第二章随机变量及其分布学案+滚动训练+章末检测

章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P(A|B)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率
题点　直接利用公式求条件概率
答案　C
解析　∵P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝.
2．10张奖券中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　排列与组合的应用
题点　排列、组合在概率中的应用
答案　D
解析　设事件A为“无人中奖”，即P(A)＝＝，
则至少有1个人中奖的概率P＝1－P(A)＝1－＝.
3．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是(　　)
A．0.80 B．0.75 C．0.60 D．0.48
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　B
解析　设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，
由已知得：P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，
由P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8×P(A2)＝0.6，
解得P(A2)＝＝0.75.
4．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为(　　)
A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　A
解析　由Y＝2X－1<6，得X<3.5，∴P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.
5．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0A.p B．1－p
C．1－2p D.－p
考点　正态分布的概念及性质
题点　求正态分布的均值或方差
答案　D
解析　由正态曲线的对称性知P(X<1)＝，故μ＝1，即正态曲线关于直线x＝1对称，于是P(X<0)＝P(X>2)，
所以P(02)＝－p.
6．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
a
4a
5a
则均值E(X)与方差D(X)分别为(　　)
A．1.4,0.2 B．0.44,1.4
C．1.4,0.44 D．0.44,0.2
考点　均值、方差的综合应用
题点　求随机变量的均值与方差
答案　C
解析　由离散型随机变量的性质知a＋4a＋5a＝1，∴a＝0.1.∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，∴均值E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；方差D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.
7．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是(　　)
A．P(X≤1) B．P(X≤2)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　C
解析　P(X＝1)＝.
8．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　A
解析　设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝.
9．设随机变量X服从二项分布B，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是(　　)
A. B. C. D.
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　D
解析　∵函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，
∴方程x2＋4x＋X＝0存在实数根，
∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4，
∵随机变量X服从二项分布B，
∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝，故选D.
10．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为(　　)
A．0.93 B．1－(1－0.9)3
C．C×0.93×0.12 D．C×0.13×0.92
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　C
解析　5头猪中恰有3头被治愈的概率为C×0.93×0.12.
11．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是(　　)
A. B. C. D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　B
解析　最后乙队获胜事件含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P＝＋×＋2×＝，故选B.
12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的面上的数之积的均值是(　　)
A. B. C. .D.
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
答案　D
解析　将小正方体抛掷1次，向上的面上可能出现的数有0,1,2，概率分别为，，，将这个小正方体抛掷2次，可以表示为下表：
0
1
2
0
×
×
×
1
×
×
×
2
×
×
×
令ξ为小正方体抛掷2次后向上的面上的数之积，
则积为0的概率P(ξ＝0)＝×＋×＋×＋×＋×＝.
积为1的概率P(ξ＝1)＝×＝.
积为2的概率P(ξ＝2)＝×＋×＝.
积为4的概率P(ξ＝4)＝×＝，
所以向上的面上的数之积的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝4，η＝2ξ＋3，D(η)＝3.2，则P(ξ＝2)＝________.
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布的分布列求概率
答案　
解析　由已知np＝4,4np(1－p)＝3.2，
∴n＝5，p＝0.8，∴P(ξ＝2)＝Cp2(1－p)3＝.
14．某处有水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为，则3个水龙头同时被打开的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　0.008 1
解析　对5个水龙头的处理可视为做5次独立重复试验，每次试验有2种可能结果：打开或不打开，相应的概率为0.1或0.9，根据题意得3个水龙头同时被打开的概率为C×0.13×0.92＝0.008 1.
15．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，向量a＝(1,2)与向量b＝(ξ，－1)的夹角为锐角的概率是，则μ＝______.
考点　正态分布的概念及性质
题点　求正态分布的均值或方差
答案　2
解析　由向量a＝(1,2)与向量b＝(ξ，－1)的夹角是锐角，得a·b>0，即ξ－2>0，解得ξ>2，则P(ξ>2)＝.
根据正态分布密度曲线的对称性，可知μ＝2.
16．一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止．若他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目X的均值E(X)＝________.
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
答案　1.89
解析　由题意知，X的可能取值是0,1,2，对应的概率分别为P(X＝2)＝0.9，P(X＝1)＝0.1×0.9＝0.09，P(X＝0)＝0.13＋0.12×0.9＝0.01，
由此可得均值E(X)＝2×0.9＋1×0.09＋0×0.01＝1.89.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分，100分，200分，答错得0分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
考点　互斥、对立、独立重复试验的综合应用
题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
解　记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得300分的概率
P1＝P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率
P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
18．(12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值．
考点　均值与方差的综合应用
题点　离散型随机变量的分布列及均值
解　(1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝3)＝×＝，
P(ξ＝4)＝×＝，
P(ξ＝6)＝2××1＝，
ξ的分布列为
ξ
1
3
4
6
P




(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝.
19．(12分)从1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．
(1)求这3个数恰有1个偶数的概率；
(2)记X为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X的值为2，求随机变量X的分布列及均值E(X)．
考点　均值与方差的综合应用
题点　离散型随机变量的分布列及均值
解　(1)设Y表示“任取的3个数中偶数的个数”，
则Y服从N＝9，M＝4，n＝3的超几何分布，
∴P(Y＝1)＝＝.
(2)X的取值为0,1,2，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P



∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
20．(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和ξ的均值；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
解　(1)由分布列的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”．
则由事件的独立性得
P(A1)＝CP(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
21．(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值．
考点　均值与方差的应用
题点　离散型随机变量的分布列及均值
解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.
P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－－＝＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P



E(X)＝200×＋300×＋400×＝350.
22．(12分)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有(n＋m)道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．
(1)求X＝n＋2的概率；
(2)设m＝n，求X的分布列和均值．
解　以Ai表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2.
(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·
＝.
(2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2.
P(X＝n)＝P(12)＝·＝，
P(X＝n＋1)＝P(A12)＋P(1A2)＝·＋·＝，
P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·＝.
从而X的分布列为
X
n
n＋1
n＋2
P



所以E(X)＝n×＋(n＋1)×＋(n＋2)×＝n＋1.

§2.1　离散型随机变量及其分布列
2.1.1　离散型随机变量
学习目标　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系．
知识点一　随机变量
思考1　抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？
答案　可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
思考2　在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为x，则x可取哪些数字？
答案　x＝0,1,2,3，…，10.
梳理　(1)定义
在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
知识点二　随机变量与函数的关系
相同点
随机变量和函数都是一种一一对应关系
区别
随机变量是随机试验的结果到实数的一一对应，函数是实数到实数的一一对应
联系
随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
知识点三　离散型随机变量
1．定义：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．
2．特征：
(1)可用数字表示．
(2)试验之前可以判断其出现的所有值．
(3)在试验之前不能确定取何值．
(4)试验结果能一一列出．
1．离散型随机变量的取值是任意的实数．(　×　)
2．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　√　)
3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　×　)
类型一　随机变量的概念
例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
解　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，故是随机变量．
反思与感悟　随机变量的辨析方法
(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
(2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
跟踪训练1　掷均匀硬币一次，随机变量为(　　)
A．掷硬币的次数
B．出现正面向上的次数
C．出现正面向上的次数或反面向上的次数
D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　B
解析　掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.
类型二　离散型随机变量的判定
例2　下面给出四个随机变量：
①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；
③某网站未来1小时内的点击量；
④一天内的温度η.
其中是离散型随机变量的为(　　)
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　离散型随机变量的概念
答案　C
解析　①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出；②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出；③是，1小时内网站的访问次数可一一列出；④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．故选C.
反思与感悟　“三步法”判定离散型随机变量
(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量．
(2)由条件求解随机变量的值域．
(3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．
跟踪训练2　①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③体积为1 000 cm3的球的半径长；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是(　　)
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　离散型随机变量的概念
答案　B
解析　由题意知③中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而①②④是离散型随机变量．
类型三　用随机变量表示随机试验的结果
例3　写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
解　(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4，…，11.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.
X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
反思与感悟　解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
跟踪训练3　写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)从学校回家要经过3个红绿灯路口，可能遇到红灯的次数ξ；
(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为ξ分钟．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
解　(1)ξ可取0,1,2,3，
ξ＝0表示遇到红灯的次数为0；
ξ＝1表示遇到红灯的次数为1；
ξ＝2表示遇到红灯的次数为2；
ξ＝3表示遇到红灯的次数为3.
(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．
1．下列变量中，不是随机变量的是(　　)
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　B
解析　B中水沸腾时的温度是一个确定的值．
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　C
解析　对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B，D也是一个常量，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
3．下列叙述中，是离散型随机变量的为(　　)
A．某人早晨在车站等出租车的时间
B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度
C．射击十次，命中目标的次数
D．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　离散型随机变量的概念
答案　C
4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　17
解析　X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个．
5．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
解　根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．
1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．
2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．
一、选择题
1．将一枚均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是(　　)
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　A
解析　两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．
2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为(　　)
A．0≤X≤5，x∈N
B．－5≤X≤0，x∈Z
C．－1≤X≤6，x∈N
D．－5≤X≤5，x∈Z
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　D
解析　两次掷出点数均可取1～6所有整数，
所以X∈[－5,5]，x∈Z.
3．下列变量中，离散型随机变量的个数为(　　)
①在2 012张已编号(从1号到2 012号)的卡片中取一张，被取出的号码为ξ；
②在2 012张已编号(从1号到2 012号)的卡片中任取三张，被取出的号码和为X；
③某加工厂加工的某种铜管，外径与规定的外径尺寸之差Y；
④投掷一枚骰子，正面向上的点数为ξ.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　离散型随机变量的概念
答案　C
解析　③中Y取值在某一区间内，不是离散型随机变量．
4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
答案　C
解析　ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C.
5．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示的试验的结果为(　　)
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为4点，第二枚为1点
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
答案　C
6．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是(　　)
A．Y＝5 B．Y＝4
C．Y＝3 D．Y＝2
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　B
7．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．2
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　B
解析　由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选B.
8．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为(　　)
A．24 B．20 C．4 D．18
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　A
解析　由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A＝24种．
9．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为(　　)
A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
答案　D
解析　由题意，得ξ＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品，故选D.
二、填空题
10．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________．(填序号)
①某宾馆每天入住的旅客数量X；
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　离散型随机变量的概念
答案　②
11．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为________．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　1,2,3,4,5,6,7
解析　由于取到是白球时，取球停止，所以取球次数可以是1,2,3，…，7.
12．一木箱中装有8个同样大小的篮球，分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
答案　21
解析　ξ＝8表示在3个篮球中，一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C种方法，即21种．
三、解答题
13．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分．设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
解　ξ的可能取值为0,1,2.
ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品；
ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品；
ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．
四、探究与拓展
14．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
答案　－300，－100,100,300
解析　∵答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.
15．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的取值
解　(1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球2个黑球
取得2个白球1个黑球
取得3个白球
(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.
故η的可能取值为{6,11,16,21}，显然η为离散型随机变量．
2.1.2　离散型随机变量的分布列(一)
学习目标　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．
知识点　离散型随机变量的分布列
思考　掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？
答案　(1)x＝1,2,3,4,5,6，概率均为.
(2)X与P的对应关系为
X
1
2
3
4
5
6
P






梳理　(1)离散型随机变量的分布列的概念
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②＝1.
1．在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　×　)
2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　×　)
3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.(　√　)

类型一　离散型随机变量分布列的性质
例1　设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
解　(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)∵P＝k(k＝1,2,3,4,5)，
∴P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)当故P
＝P＋P＋P
＝＋＋＝.
反思与感悟　利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
跟踪训练1　(1)设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P(ξ(2)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X≥2)＝________.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　(1)(5,6]　(2)
解析　(1)由条件知P(ξ＝k)＝，k＝5,6，…，16，
P(ξ(2)由已知得随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P



∴＋＋＝1，∴k＝.
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝＋＝.
类型二　求离散型随机变量的分布列

例2　已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P






分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列．
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　两个相关的随机变量分布列的求法
解　由η1＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－，0，，1，，
所以η1的分布列为
η1
－1
－
0

1

P






由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率与的和，所以η2的分布列为
η2
0
1
4
9
P




反思与感悟　(1)若ξ是一个随机变量，a，b是常数，则η＝aξ＋b也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则η＝f(ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f(ξ)也为离散型随机变量．
(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f(ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．
跟踪训练2　已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P






分别求出随机变量η1＝－ξ＋，η2＝ξ2－2ξ的分布列．
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　两个相关随机变量分布列的求法
解　由η1＝－ξ＋，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝，，，－，－，－，相应的概率值为，，，，，.
故η1的分布列为
η1



－
－
－
P






由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3.
所以P(η2＝8)＝，P(η2＝3)＝＋＝，
P(η2＝0)＝＋＝，P(η2＝－1)＝.
故η2的分布列为
η2
8
3
0
－1
P





例3　某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
解　将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，
则X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
4
P




反思与感悟　求离散型随机变量分布列的步骤
(1)首先确定随机变量X的取值；
(2)求出每个取值对应的概率；
(3)列表对应，即为分布列．
跟踪训练3　一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X表示取出的3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
解　随机变量X的可能取值为1,2,3.
当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P(X＝1)＝＝＝；
当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P(X＝3)＝＝.
因此，X的分布列为
X
1
2
3
P



类型三　离散型随机变量的分布列的综合应用
例4　袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
(1)求袋中原有的白球的个数；
(2)求随机变量ξ的分布列；
(3)求甲取到白球的概率．
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　排列、组合知识在分布列中的应用
解　(1)设袋中原有n个白球，由题意知
＝＝＝，
可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．
(2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝；
P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；
P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P





(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，
则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝.
反思与感悟　求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率．
跟踪训练4　北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
2
3
1
1
从中随机地选取5只．
(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；
(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列．
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　排列、组合知识在分布列中的应用
解　(1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P＝＝＝.
(2)X的取值为100,80,60,40.
P(X＝100)＝＝，
P(X＝80)＝＝，
P(X＝60)＝＝＝，
P(X＝40)＝＝.
所以X的分布列为
X
100
80
60
40
P




1．已知随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P









m
则P(X＝10)等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　C
解析　P(X＝10)＝1－－…－＝.
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于(　　)
X
－1
0
1
P
a
b
c
A. B.
C. D.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　D
解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝.
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)
＝1－P(X＝0)＝1－＝.
3．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果错误的是(　　)
A．a＝0.1
B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4
D．P(X≤1)＝0.3
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　C
解析　易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3，故C错误．
4．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为
ξ
－1
0
1
P

1－2q
q2
则P(ξ≤0)＝________.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　－
解析　由分布列的性质，得1－2q≥0，q2≥0，
＋(1－2q)＋q2＝1，
所以q＝1－，q＝1＋(舍去)．
P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)
＝＋1－2×＝－.
5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
解　由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，
则P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；
P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝＝；
P(ξ＝6)＝＝.
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P






1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
一、选择题
1．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么(　　)
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n＝9
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求参数
答案　C
解析　由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.
2．若随机变量η的分布列如下：
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(ηA．x≤1 B．1≤x≤2
C．1考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　由分布列的性质求参数
答案　C
解析　由分布列知，
P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)
＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，
∴P(η<2)＝0.8，故13．若随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2，3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B. C. D.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　D
解析　∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝a＝1，∴a＝.
∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝×＝.
4．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　B
解析　由题意知解得b＝.
∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，
∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，
∴P(ξ＝1)＝.
5．设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于(　　)
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　A
解析　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
6．抛掷2枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　A
解析　根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两枚骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)．
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝.
7．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－3,3] D．[0,1]
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求参数
答案　B
解析　设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质，得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，
故a＝.由解得－≤d≤.
二、填空题
8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝________.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　
解析　设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为k个．∴ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P



∴P＝P(ξ＝1)＝.
9．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.1□
0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率是________．
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　0.6
解析　由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.
10．把3枚骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则有P(X<2)＝________.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　
解析　P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
11．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
答案　
X
1
2
3
P



解析　由题意知X＝1,2,3.
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
P



三、解答题
12．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
解　(1)由x2－x－6≤0，
得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为
(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有
P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
4
9
P




13．将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X，求X的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
解　第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，
则P(X＝－5)＝，
P(X＝－4)＝＝，
…，
P(X＝5)＝.
故X的分布列为
X
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
P











四、探究与拓展
14．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，记得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　排列、组合知识在分布列中的应用
答案　
解析　取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1，相应的黑球个数为0,1,2,3，其得分ξ＝4,6,8,10，则P(ξ≤6)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝6)＝＋＝.
15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X的分布列，并求出P(5≤X≤25)的值．
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　排列、组合知识在分布列中的应用
解　(1)该顾客中奖的概率P＝1－＝1－＝.
(2)X的可能取值为0,10,20,50,60.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，
P(X＝50)＝＝，
P(X＝60)＝＝.
故随机变量X的分布列为
X
0
10
20
50
60
P





所以P(5≤X≤25)＝P(X＝10)＋P(X＝20)＝＋＝.
2.1.2　离散型随机变量的分布列(二)
学习目标　1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.理解两点分布和超几何分布．
知识点一　两点分布
随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
知识点二　超几何分布
思考　在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式．
答案　.
梳理　一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
X
0
1
…
m
P


…

为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
类型一　两点分布
例1　(1)某运动员射击命中10环的概率为0.9，求他在一次射击中命中10环的次数的分布列；
(2)若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
求出c，并说明X是否服从两点分布，若是，则成功概率是多少？
考点　离散型随机变量的分布列
题点　两点分布
解　(1)设该运动员射击一次命中10环的次数为X，
则P(X＝1)＝0.9，P(X＝0)＝1－0.9＝0.1.
X
0
1
P
0.1
0.9
(2)由(9c2－c)＋(3－8c)＝1，解得c＝或c＝，
又9c2－c≥0,3－8c≥0，所以≤c≤，所以c＝.
X的取值为0,1，故X服从两点分布，成功概率为3－8c＝.
反思与感悟　两步法判断一个分布是否为两点分布
(1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.
(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．
跟踪训练1　已知一批100件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　两点分布
解　由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－＝.所以随机变量X的分布列为
X
0
1
P


类型二　超几何分布
例2　一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；
(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的分布列
解　(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝＝.
(2)由题意知X＝0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




引申探究
1．在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列．
解　由题意可知η＝0,1，服从两点分布．又P(η＝1)＝＝，所以η的分布列为
η
0
1
P


2．将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？
解　(1)取出3个球颜色都不相同的概率
P＝＝.
(2)由题意知X＝0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝.
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




反思与感悟　超几何分布的求解步骤
(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．
(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．
(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
跟踪训练2　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的分布列
解　(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P



1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去表示1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)
A．0 B. C. D.
考点　离散型随机变量的分布列
题点　两点分布
答案　C
解析　由题意知该分布为两点分布，
又P(ξ＝1)＝2P(ξ＝0)且P(ξ＝1)＋P(ξ＝0)＝1，
∴P(ξ＝0)＝.
2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是(　　)
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　C
解析　X服从超几何分布，基本事件总数为C，所求事件数为CC，∴P(X＝4)＝.
3．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)等于(　　)
A．0.8 B．0.2 C．0.4 D．0.1
考点　离散型随机变量的分布列
题点　两点分布
答案　A
解析　因为Y＝3X－2，所以X＝(Y＋2)．当Y＝－2时，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.
4．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　设所选女生数为随机变量X，则X服从超几何分布，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
5．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的分布列
解　设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则ξ＝2,6,10.
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝，
P(ξ＝10)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
2
6
10
P



1．两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量．
2．超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：
P(X＝k)＝求出X取不同值k时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M，N，n，k的含义．
一、选择题
1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为(　　)
A. B.
C．1－ D.
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　D
解析　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.
2．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
考点　超几何分布
题点　超几何分布的概念
答案　B
解析　由超几何分布的定义可知B正确．
3．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是(　　)
A. B. C. D.
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　C
解析　记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝.
4．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于(　　)
A．1 B．2或8 C．2 D．8
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　B
解析　由题意知，＝，
解得a＝2或8.
5．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)
A．P(0C．P(X＝1) D．P(X＝2)
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　B
解析　本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．
6．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　)
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　C
解析　“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，
则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C.
7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P(X＝3)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　排列、组合知识在分布列中的应用
答案　D
解析　“X＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P(X＝3)＝＝＝，故选D.
二、填空题
8．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　易知P(X＝1)＝＝.
9．在A，B两个袋中都有6张分别写有数字0,1,2,3,4,5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，两张卡片上的数字之和记为X，则P(X＝7)＝________.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　排列、组合知识在分布列中的应用
答案　
解析　P(X＝7)＝＝.
10．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　二级品不多于1台，即一级品有3台或4台．
11．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________.
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－－＝.
三、解答题
12．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；
(2)他能及格的概率．
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的分布列
解　(1)X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
13．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障
时间x(年)
01x>2
0x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
解　(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P



X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P


四、探究与拓展
14．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝________.
考点　超几何分布
题点　利用超几何分布求概率
答案　
解析　设10个球中有白球m个，
则＝1－，
解得m＝5或m＝14(舍去)．
所以P(X＝2)＝＝.
15．为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列．
考点　超几何分布
题点　求超几何分布的分布列
解　(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×＝2(人)，“非高个子”有18×＝3(人)．
用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，
则它的对立事件表示“没有一个‘高个子’被选中”，
则P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.
因此，至少有一人是“高个子”的概率是.
(2)依题意，X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
因此，X的分布列为
X
0
1
2
3
P




§2.2　二项分布及其应用
2.2.1　条件概率
学习目标　1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点一　条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．
思考1　试求P(A)，P(B)，P(AB)．
答案　P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
思考2　任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
答案　事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
思考3　P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系．
答案　P(A|B)＝.
梳理　
条件
设A，B为两个事件，且P(A)>0
含义
在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
记作
P(B|A)
读作
A发生的条件下B发生的概率
计算公式
①缩小样本空间法：P(B|A)＝
②公式法：P(B|A)＝
知识点二　条件概率的性质
1．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.
2．如果B和C是两个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
1．若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　×　)
2．事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　√　)
类型一　求条件概率

例1　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30.
根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝.
(3)方法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝.
方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
反思与感悟　利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．
(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．
跟踪训练1　某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　A
解析　设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)＝＝＝0.8.

例2　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　利用缩小基本事件空间求条件概率
解　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
引申探究
1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．
解　在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
解　甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.
反思与感悟　将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的．
跟踪训练2　5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　利用缩小基本事件空间求条件概率
答案　
解析　设第1次取到新球为事件A，第2次取到新球为事件B，则P(B|A)＝＝＝.
类型二　条件概率的性质及应用
例3　把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率性质的简单应用
解　设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
R＝{第二次取出的球是红球}，
W＝{第二次取出的球是白球}，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，
P(W|A)＝，P(R|B)＝，P(W|B)＝.
事件“试验成功”表示为AR∪BR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得
P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)
＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
＝×＋×＝0.59.
反思与感悟　当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．
跟踪训练3　在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率性质的简单应用
解　记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋＝＋＝.
故获得优秀成绩的概率为.
1．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　C
解析　因为P(B|A)＝，所以P(A)＝＝＝.
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　)
A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　A
解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　利用缩小基本事件空间求条件概率
答案　B
解析　P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(B|A)＝＝.
4．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　利用缩小基本事件空间求条件概率
答案　
解析　一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由题意可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P＝.
5．抛掷红、蓝两枚骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
解　抛掷红、蓝两枚骰子，事件总数为6×6＝36，事件A的基本事件数为6×2＝12，
所以P(A)＝＝.
由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8，5＋6＝6＋5>8,6＋6>8.
所以事件B的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，
所以P(B)＝＝.
事件AB的基本事件数为6.
故P(AB)＝＝.
由条件概率公式得
(1)P(B|A)＝＝＝.
(2)P(A|B)＝＝＝.
1．条件概率：P(B|A)＝＝.
2．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝，P(AB)＝.
一、 选择题
1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　)
A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　A
解析　记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝＝＝0.2，
所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.
2．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　利用缩小基本事件空间求条件概率
答案　A
解析　出现点数互不相同的共有6×5＝30(种)，出现一个5点共有5×2＝10(种)，所以P(B|A)＝＝.
3．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　利用缩小基本事件空间求条件概率
答案　C
解析　记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，
则n(A)＝A，
n(AB)＝A，
所以P(B|A)＝＝.
4．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　D
解析　设“第二次取得一等品”为事件A，“第一次取得二等品”为事件B，则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝×＝.
5．在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若A＝，B＝，则P(B|A)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　A
解析　P(A)＝＝.∵A∩B＝，
∴P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.
6．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　利用缩小基本事件空间求条件概率
答案　C
解析　由题意可知．n(B)＝C22＝12，n(AB)＝A＝6.
所以P(A|B)＝＝＝.
7．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　方法一　设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则所求概率为P(B|A)＝＝＝.
方法二　第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为＝.
二、填空题
8．某种元件用满6 000小时未坏的概率是，用满10 000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　设“用满6 000小时未坏”为事件A，“用满10 000小时未坏”为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.
9．如图，四边形EFGH是以O为圆心、1为半径的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，
则(1)P(A)＝________；
(2)P(B|A)＝________.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　(1)　(2)
解析　正方形的面积为2，圆的面积为π.
(1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，
∴P(A)＝.
(2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，
∴P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝.
10．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率 0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　0.5
解析　设该动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，
又P(AB)＝P(B)，
所以P(B|A)＝＝＝＝0.5.
11．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率性质的简单应用
答案　
解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C且B与C互斥．
又P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.
三、解答题
12．从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，求此数是2或3的倍数的概率．
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率性质的简单应用
解　设事件C为“取出的数不大于50”，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B为“取出的数是3的倍数”．
则P(C)＝，且所求概率为
P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)
＝＋－
＝2×＝.
13．坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
解　设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的总基本事件数为n(Ω)＝A＝20.
又n(A)＝A×A＝12，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝3×2＝6，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)由(1)(2)，可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝＝.
四、探究与拓展
14．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)＝________.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　根据题意，事件A为“x＋y为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件．
∴事件A发生的概率为P(A)＝＝，而A，B同时发生，基本事件有“2＋4”，“2＋6”，“4＋2”，“4＋6”，“6＋2”，“6＋4”，共6个，
∴事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
15．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率性质的简单应用
解　(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝28，这2个产品都是次品的事件数为C＝3，所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品，1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1，事件B2，事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，
所以P(A|B1)＝，
P(A|B2)＝，P(A|B3)＝.
所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
2.2.2　事件的相互独立性
学习目标　1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点一　相互独立的概念
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A为“从甲箱里摸出白球”，事件B为“从乙箱里摸出白球”．
思考1　事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
答案　不影响．
思考2　P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？
答案　P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝＝.
思考3　P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？
答案　P(AB)＝P(A)P(B)．
梳理　
条件
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)
结论
称事件A与事件B相互独立
知识点二　相互独立的性质
条件
A与B是相互独立事件
结论
也相互独立
1．不可能事件与任何一个事件相互独立．(　√　)
2．必然事件与任何一个事件相互独立．(　√　)
3．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　√　)
4．“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　√　)
类型一　事件独立性的判断
例1　判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
考点　相互独立事件的定义
题点　相互独立事件的判断
解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A与B相互独立．
反思与感悟　三种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
跟踪训练1　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
考点　相互独立事件的定义
题点　相互独立事件的判断
解　(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为
Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
类型二　求相互独立事件的概率
例2　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个相互独立事件同时发生的概率
解　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，
所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(  )
＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
引申探究
1．在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
解　恰有一列火车正点到达的概率为
P3＝P(A )＋P(B)＋P( C)＝P(A)P()·P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
2．若一列火车正点到达计10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．
解　事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，
所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
反思与感悟　明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件 .
(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋ .
跟踪训练2　甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，求两人破译时，以下事件发生的概率：
(1)两人都能破译的概率；
(2)恰有一人能破译的概率；
(3)至多有一人能破译的概率．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求两个相互独立事件同时发生的概率
解　记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”．
(1)两个人都破译出密码的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，
∴其概率为1－P(AB)＝1－＝.
类型三　相互独立事件的综合应用
例3　计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率；
(3)用X表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获合格证书的人数，求X的分布列．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与分布列
解　(1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，
P(C)＝×＝.
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大．
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则
P(D)＝P(AB )＋P(A C)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
(3)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝2)＝P(D)＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－－－＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




反思与感悟　概率问题中的数学思想
(1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)．
(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
跟踪训练3　甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p；
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
解　(1)设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得P()P()＝，
解得P()＝或P()＝－(舍去)，
故p＝1－P()＝，所以乙投球的命中率为.
(2)方法一　由题设知，P(A)＝，P()＝，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
1－P(·)＝1－P()P()＝.
方法二　由题设知，P(A)＝，P()＝，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为2P(A)P()＋P(A)P(A)＝.
1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是(　　)
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
考点　相互独立事件的定义
题点　相互独立事件的判断
答案　D
解析　互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错．而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件．
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　)
A. B.
C. D.
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求两个相互独立事件同时发生的概率
答案　A
解析　P甲＝＝，P乙＝，所以P＝P甲·P乙＝.
3．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是(　　)
A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　B
解析　恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决两种情况，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)，故选B.
4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为(　　)
A. B.
C. D.
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个相互独立事件同时发生的概率
答案　C
解析　由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，，则在这段道路上三处都不停车的概率P＝××＝.
5．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
解　设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3.
(1)第3次拨号才接通电话可表示为12A3，
于是所求概率为P(12A3)＝××＝.
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为
A1＋1A2＋12A3，
于是所求概率为P(A1＋1A2＋12A3)
＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)
＝＋×＋××＝.
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)
互斥事件
相互独立事件
定义
不可能同时发生的两个事件
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响
概率
公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
P(AB)＝P(A)P(B)
一、选择题
1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
考点　相互独立事件的定义
题点　相互独立事件的判断
答案　C
解析　∵P(A)＝1－P()＝1－＝，
∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴A，B相互独立．
2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是(　　)
A. B. C. D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　A
解析　因为P(A)＝，P(B)＝，所以P()＝，
P()＝.又A，B为相互独立事件，
所以P( )＝P()P()＝×＝.
所以A，B中至少有一个发生的概率为1－P( )＝1－＝.
3．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是(　　)
A. B. C. D．1
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　相互独立事件性质的应用
答案　C
解析　设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．
根据题意，知事件A和B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.
记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，
则C＝A∪B，且A和B互斥．
故P(C)＝P(A∪B)
＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
4．从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则等于(　　)
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰好有1个红球的概率
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　C
解析　至少有1个红球的概率是×＋×＋×＝.
5．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)
A. B. C. D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　相互独立事件性质的应用
答案　D
解析　由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)P()，
即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P( )＝，则P()＝P()＝，
∴P(A)＝.
6．出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，则这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个相互独立事件同时发生的概率
答案　B
解析　因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，它们之间相互独立，且遇到红灯的概率都是，所以未遇到红灯的概率都是1－＝，所以P＝××＝.
7．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为(　　)
A. B.
C. D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　C
解析　满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率为
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
＝×＋×＋×＝.
8．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)
A. B.
C. D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　B
解析　设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥，
所以P(E)＝P(ABC∪AB∪AC)
＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()·P(C)
＝××＋××＋××＝.
二、填空题
9．某自动银行设有两台ATM机．在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为，，则该客户此刻到达需要等待的概率为________．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求两个相互独立事件同时发生的概率
答案　
解析　该客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用，故所求概率为P＝×＝.
10．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　相互独立事件性质的应用
答案　　
解析　∵P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝，
∴P()＝，即P(C)＝.又P(C)＝P()·P(C)＝，
∴P()＝，P(B)＝.又P(AB)＝，则P(A)＝，
∴P(B)＝P()·P(B)＝×＝.
11．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　相互独立事件性质的应用
答案　0.128
解析　由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P(A)＝0.8，故P＝P[(A＋)AA]＝[1－P(A)]·P(A)P(A)＝0.128.
三、解答题
12．要生产一种产品，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率为0.05，从甲、乙机床生产的产品中各任取1件，求：
(1)至少有1件废品的概率；
(2)恰有1件废品的概率．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
解　从甲、乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A，B，则事件A，B相互独立．
(1)设至少有1件废品为事件C，则
P(C)＝1－P( )＝1－P()P()＝1－(1－0.04)×(1－0.05)＝0.088.
(2)设“恰有1件废品”为事件D，则
P(D)＝P(A )＋P(B)＝0.04×(1－0.05)＋(1－0.04)×0.05＝0.086.
13．某校设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆，10个学豆，20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别为，，，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．
(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
(2)设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与分布列
解　(1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥．
P(A1)＝××＝，
P(A2)＝××××＝，
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝，
所以选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为.
(2)由题意得X的所有可能取值为0,5,15,35，
P(X＝0)＝＋P(A)＝，
P(X＝5)＝×＝，
P(X＝15)＝×××＝，
P(X＝35)＝××××＝.
所以X的分布列为
X
0
5
15
35
P




四、探究与拓展
14．甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中6道题，乙能答对其中8道题．若规定每人每次考试都从这10道题中随机抽出3道题进行测试，且至少答对2道题算合格，则甲、乙两人分别参加一次考试，至少有一人考试合格的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　C
解析　设事件A表示“甲考试合格”，事件B表示“乙考试合格”，则P(A)＝＝＝，
P(B)＝＝＝.
所以甲、乙两人考试都不合格的概率为P( )＝P()P()＝×＝，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1－P( )＝1－＝.
15．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列．
考点　
题点　
解　设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4.
∵利润＝产量×市场价格－成本，
∴X所有可能的取值为
500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，
300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.
P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()
＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，
P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，
所以X的分布列为
X
4 000
2 000
800
P
0.3
0.5
0.2
2.2.3　独立重复试验与二项分布
学习目标　1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．
知识点一　独立重复试验
思考1　要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．其前提是什么？
答案　条件相同．
思考2　试验结果有哪些？
答案　正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生．
思考3　各次试验的结果有无影响？
答案　无，即各次试验相互独立．
梳理　(1)定义：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
(2)基本特征：
①每次试验是在同样条件下进行．
②每次试验都只有两种结果：发生与不发生．
③各次试验之间相互独立．
④每次试验，某事件发生的概率都是一样的．
知识点二　二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用Bk表示仅投中k次这个事件．
思考1　用Ai如何表示B1，并求P(B1)．
答案　B1＝(A12 3)∪(1A23)∪(1 2A3)，
因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，
且A12 3，1A23，1 2A3两两互斥，
故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22
＝3×0.8×0.22＝0.096.
思考2　试求P(B2)和P(B3)．
答案　P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384，
P(B3)＝0.83＝0.512.
思考3　由以上问题的结果你能得出什么结论？
答案　P(Bk)＝C0.8k0.23－k(k＝0,1,2,3)．
梳理　在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，
则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
1．有放回地抽样试验是独立重复试验．(　√　)
2．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．(　√　)
3．在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．(　×　)
4．如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(　√　)
类型一　独立重复试验的概率
例1　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答)
(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
解　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×2＝，P(B2)＝C×1×＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝.
引申探究
1．在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．
解　记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C××＝，P(B3)＝，
所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝×＝.
2．在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率．
解　记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C2＝，P(B4)＝C2＝，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P(A4B4)＝×＝.
反思与感悟　独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练1　某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
解　(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8，
5次预报相当于5次独立重复试验．
“恰有2次准确”的概率为
P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”．
其概率为P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006 72.
所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
类型二　二项分布
例2　已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；
(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
考点　二项分布的计算及应用
题点　求二项分布的分布列
解　(1)由题意，得随机变量X可能取值为0,1,2,3，
则X～B.
即P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C3＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，
因此所求概率为P＝C3×3×＝.
反思与感悟　(1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
(2)解决二项分布问题的两个关注点
①对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．
②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
跟踪训练2　某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．
考点　二项分布的计算及应用
题点　求二项分布的分布列
解　由题意可知X～B，
所以P(X＝k)＝Ck·3－k，k＝0,1,2,3，
即P(X＝0)＝C×0×3＝；
P(X＝1)＝C××2＝；
P(X＝2)＝C×2×＝；
P(X＝3)＝C×3＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




类型三　二项分布的综合应用
例3　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
解　(1)由ξ～B，则P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
即P(ξ＝0)＝C×0×5＝；
P(ξ＝1)＝C××4＝；
P(ξ＝2)＝C×2×3＝；
P(ξ＝3)＝C×3×2＝；
P(ξ＝4)＝C×4×＝；
P(ξ＝5)＝C×5＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P






(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k·，k＝0,1,2,3,4，
即P(η＝0)＝0×＝；
P(η＝1)＝×＝；
P(η＝2)＝2×＝；
P(η＝3)＝3×＝；
P(η＝4)＝4×＝；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5.
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P






(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
＝1－5＝.
反思与感悟　对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．
跟踪训练3　一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，求p与n的值．
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
解　由题设知，Cp2(1－p)2>.
∵p(1－p)>0，
∴不等式化为p(1－p)>，
解得又∵6p∈N，∴6p＝3，
即p＝.由＝，得n＝6.
1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是(　　)
A. B. C. D.
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案　B
解析　播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C2×＝.
2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于(　　)
A．C2× B．C2×
C.2× D.2×
考点　独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　C
解析　P(X＝3)＝2×.
3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1]
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　A
解析　由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
解得p≥0.4，故选A.
4．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
答案　
解析　因为X～B(2，p)，
所以P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
所以P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)
＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2.
所以1－(1－p)2＝，结合05．甲队有3人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列．
考点　二项分布的计算及应用
题点　求二项分布的分布列
解　由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，
且P(ξ＝0)＝C×3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2．如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式．
一、选择题
1．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于(　　)
A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22 D．0.82×0.28
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　A
2．某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)
A. B.
C. D.
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案　B
解析　记“恰有1次获得通过”为事件A，
则P(A)＝C·2＝.
3．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是(　　)
A. B. C. D.
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　B
解析　设此射手的命中概率为x，则不能命中的概率为1－x，由题意知4次射击全部没有命中目标的概率为1－＝，有(1－x)4＝，解得x＝或x＝(舍去)．
4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案　A
解析　当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P＝C2×＝3×××＝，故选A.
5．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)
A.5 B．C×5
C．C×3 D．C×C×5
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　B
解析　如图，由题意可知，
质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率，所求概率为P＝C×2×3＝C×5.故选B.
6．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为(　　)
A. B. C. D.
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　C
解析　易知P(ξ＝0)＝C(1－p)2＝1－，∴p＝，则P(η≥2)＝Cp3＋Cp2(1－p)1＝＋＝.
7．已知X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是(　　)
A．2 B．3 C．2或3 D．4
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
答案　B
解析　P(X＝k)＝Ck·6－k＝C6，
当k＝3时，C6最大．
8．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)
A.3× B.
C.× D．C×3×
考点　独立重复试验的计算
题点　用独立重复试验的概率公式求概率
答案　A
解析　由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球．故其概率为3×.
二、填空题
9．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案　0.048 6
解析　P＝C×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6.
10．已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的计算
答案　
解析　实验女排要获胜必须赢得两局，故获胜的概率为
P＝2＋××＋××＝.
11．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　
解析　由已知可求得通项公式为an＝10－2n(n＝1,2,3，…)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为＝，为负数的概率为.∴取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C×2×1＝.
三、解答题
12．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中，
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
解　设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1,2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1,2，
则A1，A2，B1，B2相互独立，
且P(A1)＝P(A2)＝，
P(B1)＝P(B2)＝.
(1)至少有1棵成活的概率为1－P(1·2·1·2)
＝1－P(1)·P(2)·P(1)·P(2)
＝1－22＝.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，
所求概率为
P＝C·C
＝×＝＝.
13．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为.
(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的分布列．
考点　二项分布的计算及应用
题点　求二项分布的分布列
解　(1)设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，
则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB＋ ”，且事件A，B相互独立．
故P(AB＋ )
＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，
且ξ～B.
则P(ξ＝k)＝Ck4－k
＝C4(k＝0,1,2,3,4)．
即P(ξ＝0)＝C4＝；
P(ξ＝1)＝C4＝；
P(ξ＝2)＝C4＝；
P(ξ＝3)＝C4＝；
P(ξ＝4)＝C4＝.
故随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P





四、探究与拓展
14．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为(　　)
A．C×2×5
B．C×2×2
C．C×2×5
D．C×2×5
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　D
解析　由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则S7＝3的概率为C×2×5，故选D.
15．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．
(1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
(2)用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令X＝ξη，求随机变量X的分布列．
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
解　依题意，得这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为.设“这4个人中恰有i人去淘宝网购物”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，
则P(Ai)＝Ci4－i(i＝0,1,2,3,4)．
(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率为
P(A1)＝C13＝.
(2)易知X的所有可能取值为0,3,4.
P(X＝0)＝P(A0)＋P(A4)
＝C0×4＋C4×0
＝＋＝，
P(X＝3)＝P(A1)＋P(A3)
＝C1×3＋C3×1
＝＋＝，
P(X＝4)＝P(A2)＝C22＝.
所以随机变量X的分布列是
X
0
3
4
P



§2.3　离散型随机变量的均值与方差
2.3.1　离散型随机变量的均值
学习目标　1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．
知识点一　离散型随机变量的均值
设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.
思考1　任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？
答案　X＝5,6,7.
思考2　X取上述值时，对应的概率分别是多少？
答案　P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝.
思考3　如何求每个西瓜的平均重量？
答案　＝5×＋6×＋7×＝.
梳理　(1)离散型随机变量的均值
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，
①Y也是随机变量；
②E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
知识点二　两点分布、二项分布的均值
1．两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝p.
2．二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　×　)
2．随机变量的均值与样本的平均值相同．(　×　)
3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　√　)
类型一　离散型随机变量的均值

例1　袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
解　X的所有可能取值为5,6,7,8.X＝5时，表示取出1个红球3个白球，此时P(X＝5)＝＝；
X＝6时，表示取出2个红球2个白球，
此时P(X＝6)＝＝；
X＝7时，表示取出3个红球1个白球，
此时P(X＝7)＝＝；
X＝8时，表示取出4个红球，此时P(X＝8)＝＝.
所以X的分布列为
X
5
6
7
8
P




所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
反思与感悟　求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求E(X)．
跟踪训练1　现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，，，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为(　　)
A．1.18 B．3.55
C．1.23 D．2.38
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　A
解析　因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，
P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，
所以X的分布列为
X
1.2
1.18
1.17
P



所以E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.

例2　(1)设X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于(　　)
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
(2)一次单元测试由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测试中成绩的均值为________．
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　(1)D　(2)90
解析　(1)∵E(X)＝16，
∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.
(2)设该学生在这次测试中选对的题数为X，该学生在这次测试中成绩为Y，则X～B(20,0.9)，Y＝5X.
由二项分布的均值公式得E(X)＝20×0.9＝18.
由随机变量均值的性质得E(Y)＝E(5X)＝5×18＝90.
反思与感悟　(1)常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
①两点分布E(X)＝p；
②二项分布E(X)＝np.
熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度．
(2)两点分布与二项分布辨析
①相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
②不同点：
a．随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X＝0,1,2，…，n.
b．试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
跟踪训练2　根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
解　设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.
(1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.
∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20.
∴X的均值是20.
类型二　离散型随机变量均值的性质
例3　已知随机变量X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
2
P



m

若Y＝－2X，则E(Y)＝________.
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　离散型随机变量的均值性质的应用
答案　
解析　由随机变量分布列的性质，得
＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝.
引申探究
本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值．
解　E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，
所以a＝15.
反思与感悟　若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)．
跟踪训练3　已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　)
ξ
1
2
3
4
P

m
n

A. B. C. D.
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　离散型随机变量的均值性质的应用
答案　A
解析　因为η＝12ξ＋7，
则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，
所以m＋n＝，②
由①②可解得m＝.
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P



则X的均值E(X)等于(　　)
A. B．2
C. D．3
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　A
解析　E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　)
A．0 B. C．1 D．－1
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　A
解析　因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，
所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0.
3．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
－p
p

则E(ξ)的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　B
解析　由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，则E(ξ)＝p＋1≤.故选B.
4．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是(　　)
A．2×0.44 B．2×0.45
C．3×0.44 D．3×0.64
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　C
解析　因为ξ～B(n,0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，
故有0.6n＝3，解得n＝5.
则P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n＝1,2,3,4)个．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、均值；
(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值．
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　离散型随机变量均值与其他知识点的综合
解　(1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P





ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)E(η)＝aE(ξ)＋4＝1，又E(ξ)＝，
则a×＋4＝1，∴a＝－2.
1．求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定离散型随机变量X的取值；
(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；
(3)根据公式写出均值．
2．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．
一、选择题
1．设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，则查得废品数X的均值为(　　)
A．20 B．10 C．5 D．15
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　B
解析　废品率为，所以E(X)＝150×＝10.
2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值是(　　)
A．0.6 B．1 C．3.5 D．2
考点　
题点　
答案　C
解析　抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P






∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5.
3．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＋b等于(　　)
A．10 B．5
C. D.
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　离散型随机变量的均值性质的应用
答案　D
解析　易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0.
4．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P




又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)
A. B. C. D.
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　离散型随机变量的均值性质的应用
答案　D
解析　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
5．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是(　　)
A. B.
C. D.
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　A
解析　由题意得，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，故A正确．
6．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是(　　)
A．20 B．30 C．25 D．40
考点　离散型随机变量均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　C
解析　抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝，所以X～B，故E(X)＝80×＝25.
7．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于(　　)
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　B
解析　P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15
＝0.015，
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
8．在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，，，，，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试．假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有(　　)
A．1人 B．2人
C．3人 D．4人
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　C
解析　5名同学投篮各10次，相当于各做了10次独立重复试验，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的均值分别为10×＝6,10×<6,10×>6,10×>6,10×<6，故晋级下一轮的大约有3人．
二、填空题
9．已知某一随机变量X的分布列如下表：
X
3
b
8
P
0.2
0.5
a
且E(X)＝6，则a＝________，b＝________.
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　离散型随机变量的均值性质的应用
答案　0.3　6
解析　由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.又由E(X)＝3×0.2＋b×0.5＋8×a＝6，得b＝6.
10．设离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C·k·300－k(k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　100
解析　由P(X＝k)＝C·k·300－k，
可知X～B，∴E(X)＝300×＝100.
11．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是________．
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
答案　
解析　试验次数ξ的可能取值为1,2,3，
则P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P



所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
三、解答题
12．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
解　X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
所以抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P



所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
13．在有奖摸彩中，一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　均值的计算
解　设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0,5,25,100.依题意，可得X的分布列为
X
0
5
25
100
P




所以E(X)＝0×＋5×＋25×＋100×
＝0.2，
所以一张彩票的合理价格是0.2元．
四、探究与拓展
14．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x，y，z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X＝x＋y，则E(X)＝________.
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　3
解析　将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种，且丙盒中投入球(成功)的概率为，z表示6次实验中成功的次数，则z～B，
∴E(z)＝3，又x＋y＋z＝6，
∴X＝x＋y＝6－z，
∴E(X)＝E(6－z)＝6－E(z)＝6－3＝3.
15．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
解　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，
因为P(X＝0)＝×＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝×＝，
所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，
即这2人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：
X1
0
2
4
P



X2
0
3
6
P



所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，
E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.
因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．
2.3.2　离散型随机变量的方差
学习目标　1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
知识点一　方差、标准差的定义及方差的性质
甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下：
X
0
1
2
P



Y
0
1
2
P



思考1　试求E(X)，E(Y)．
答案　E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.
思考2　能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？
答案　不能，因为E(X)＝E(Y)．
思考3　试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？
答案　方差．
梳理　(1)方差及标准差的定义
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
①方差：D(X)＝(xi－E(X))2pi；
②标准差：.
(2)方差与标准差的意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
(3)方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)．
知识点二　两点分布与二项分布的方差
X
X服从两点分布
X～B(n，p)
D(X)
p(1－p)(其中p为成功概率)
np(1－p)
1．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　×　)
2．若a是常数，则D(a)＝0.(　√　)
3．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度．(　√　)
类型一　求随机变量的方差与标准差
例1　已知X的分布列如下：
X
－1
0
1
P


a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
考点　离散型随机变量方差的性质
题点　方差性质的应用
解　(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，
从而X2的分布列为
X2
0
1
P


(2)方法一　由(1)知a＝，
所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
故X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
方法二　由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.
(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
反思与感悟　方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．
跟踪训练1　已知η的分布列为
η
0
10
20
50
60
P





(1)求方差及标准差；
(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
考点　离散型随机变量方差的性质
题点　方差性质的应用
解　(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
∴＝8.
(2)∵Y＝2η－E(η)，
∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.
类型二　两点分布与二项分布的方差
例2　为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
解　由题意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.
(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，从而n＝6，p＝.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
6
P







(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，
得P(A)＝＋＋＋＝，或P(A)＝1－P(ξ>3)＝1－＝，所以需要补种沙柳的概率为.
反思与感悟　解决此类问题第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．
跟踪训练2　某厂一批产品的合格率是98%.
(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；
(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
解　(1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.
ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，
所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.
(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10,0.98)，
所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，
标准差为≈0.44.
类型三　方差的实际应用
例3　为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．
考点　均值、方差的综合应用
题点　均值与方差在实际中的应用
解　(1)依据题意知，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，
解得a＝0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，
∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
∴ξ，η的分布列分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
∵E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．
又∵D(ξ)∴甲的射击技术好．
反思与感悟　(1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．
(2)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值偏离于均值的平均程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断．
跟踪训练3　甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为
ξ
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
η
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定两个保护区的管理水平．
考点　均值、方差的综合应用
题点　均值与方差在实际中的应用
解　甲保护区的违规次数ξ的均值和方差分别为
E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为
E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)>D(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定．
1．已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P



则下列式子：①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝.其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
考点　离散型随机变量方差、标准差的概念与计算
题点　离散型随机变量的方差、标准差的计算
答案　C
解析　由分布列可知，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故①正确；D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确，③显然正确．
2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
考点　均值、方差的综合应用
题点　均值与方差在实际中的应用
答案　B
3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)等于(　　)
A. B. C. D．5
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　A
解析　抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为P＝×＝，
则易知满足ξ～B，∴n＝10，p＝，
则D(ξ)＝np(1－p)＝10××＝.
4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c

考点　离散型随机变量方差的性质
题点　方差性质的应用
答案　　
解析　由题意知解得
5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
考点　均值、方差的综合应用
题点　求随机变量的均值与方差
解　ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P



E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.
D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.
1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量取值偏离均值的平均程度越小；方差D(X)或标准差越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散．
2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值．
(2)求X取每一个值的概率．
(3)写出随机变量X的分布列．
(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．
特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)．
一、选择题
1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　)
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
考点　三种常用分布的方差
题点　两点分布的方差
答案　D
解析　随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
P
1－m
m
所以E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.
所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
2．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于(　　)
A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804
考点　均值、方差的综合应用
题点　求随机变量的均值与方差
答案　C
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为(　　)
A. B．8 C．12 D．16
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　B
解析　由题意可知ξ～B，
所以n＝E(ξ)＝24.所以n＝36.
所以D(ξ)＝n××＝×36＝8.
4．若数据x1，x2，…，xn的平均数为6，标准差为2，则数据2x1－6,2x2－6，…，2xn－6的平均数与方差分别为(　　)
A．6,8 B．12,8 C．6,16 D．12,16
考点　均值、方差的综合应用
题点　求随机变量的均值与方差
答案　C
5．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为
X1(甲得分)
0
1
2
P(X1＝xi)
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P(X2＝xi)
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？(　　)
A．甲 B．乙
C．甲、乙均可 D．无法确定
考点　均值、方差的综合应用
题点　均值与方差在实际中的应用
答案　A
解析　E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)6．已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ
m
n
P

a
若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　)
A. B．2 C．1 D．0
考点　离散型随机变量方差的性质
题点　方差性质的应用
答案　D
解析　由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，D(ξ)取最小值为0.
7．某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为(　　)
A. B．3 C. D．2
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　A
解析　因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即X～B，则X的方差D(X)＝3××＝，所以Y的方差D(Y)＝32·D(X)＝9×＝6，所以Y的标准差为＝.
8．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是(　　)
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　B
解析　因为X＋Y＝8，所以Y＝8－X.
因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，
D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
二、填空题
9．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
考点　离散型随机变量方差的性质
题点　方差性质的应用
答案　
解析　由题意得
解得a＝，b＝，c＝，故D(ξ)＝.
10．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则D(η)＝________.
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
答案　
解析　由随机变量ξ～B(2，p)，且P(ξ≥1)＝，得P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－C×(1－p)2＝，易得p＝.由η～B(4，p)，得随机变量η的方差D(η)＝4××＝.
11．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝________.
考点　均值、方差的综合应用
题点　求随机变量的均值与方差
答案　3.36
解析　由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12.
P(X＝6)＝＝，
P(X＝9)＝＝，
P(X＝12)＝＝，
则E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8，
D(X)＝×(6－7.8)2＋×(9－7.8)2＋×(12－7.8)2＝3.36.
三、解答题
12．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：
(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差．
考点　均值、方差的综合应用
题点　求随机变量的均值与方差
解　(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，
则P(A)＝＝.
所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





因此，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＋×2＝.
13．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
ξA
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
ξB
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．
考点　均值、方差的综合应用
题点　求随机变量的均值与方差
解　E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由此可见，E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好．
四、探究与拓展
14．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示.
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延
误天数Y
0
2
6
10
若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y的方差为________．
考点　均值、方差的综合应用
题点　求随机变量的均值与方差
答案　9.8
解析　由已知条件和概率的加法公式知，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以随机变量Y的分布列为
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的方差为9.8.
15．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
解　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C×(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C×0.6×(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C×0.63＝0.216，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
§2.4　正态分布
学习目标　1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．
知识点一　正态曲线
思考　函数f(x)＝，x∈R的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．
答案　由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为，由函数表达式可知，函数图象的对称轴为x＝μ，
∴μ＝72，且＝，∴σ＝10.
∴f(x)＝(x∈R)．
梳理　(1)正态曲线
函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：
知识点二　正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a知识点三　3σ原则
1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
(1)P(μ－σ(2)P(μ－2σ(3)P(μ－3σ2．通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
1．函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　×　)
2．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　×　)
3．正态曲线可以关于y轴对称．(　√　)
类型一　正态曲线的图象的应用
例1　如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．
考点　正态分布的概念及性质
题点　求正态分布的均值或方差
解　从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.由＝，解得σ＝.于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
反思与感悟　利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．
跟踪训练1　某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(　　)
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线
答案　A
解析　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.
类型二　利用正态分布的对称性求概率
例2　设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－15)．
考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
解　因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＝P(μ－σ(2)因为P(3所以P(3＝[P(1－4＝[P(μ－2σ＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
(3)P(X>5)＝P(X≤－3)
＝[1－P(－3引申探究　
本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X解　因为X服从正态分布N(1,22)，所以对应的正态曲线关于x＝1对称．又P(X>c＋1)＝P(X反思与感悟　利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解．
跟踪训练2　已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　)
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
答案　C
解析　∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.
∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
类型三　正态分布的应用
例3　有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
解　(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，
μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%.
因此尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.15%≈108(个)．
反思与感悟　解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
跟踪训练3　在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该班同学成绩在90分以上的有多少人？
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
解　∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85，
∴成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%，设该班有x人，则x·34.13%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%，即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．
1．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线
答案　A
解析　根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线：当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.
2．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为(　　)
A．P1＝P2 B．P1＜P2
C．P1＞P2 D．不确定
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线性质的应用
答案　A
解析　根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．
3．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ等于(　　)
A．1 B．2
C．4 D．不能确定
考点　正态分布的概念及性质
题点　求正态分布的均值或方差
答案　C
解析　因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4.
4．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]和(μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120]内的学生大约有(　　)
A．997人 B．972人 C．954人 D．683人
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
答案　C
解析　依题意可知μ＝90，σ＝15，故P(605．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；(2)求P(－4考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
解　(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，
∴c＝2.
(2)P(－41．理解正态分布的概念和正态曲线的性质．
2．正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．
①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
②P(Xμ＋a)，
若b<μ，则P(X<μ－b)＝.
一、选择题
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　)
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
考点　正态分布的概念及性质
题点　求正态分布的均值或方差
答案　B
解析　由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于(　　)
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
答案　A
解析　∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，
∵P(ξ≤4)＝0.84，
∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，
∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6]内的概率为(　　)(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
答案　B
解析　由正态分布的概率公式，知P(－3<ξ≤3)＝0.682 6，P(－6<ξ≤6)＝0.954 4，
故P(3<ξ≤6)＝＝＝0.135 9＝13.59%，故选B.
4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4)
A．2 386 B．2 718 C．4 772 D．3 413
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
答案　D
解析　由X～N(0,1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682 6，
∴P(0≤X≤1)＝×0.682 6＝0.341 3，故S≈0.341 3.
∴落在阴影部分的点的个数x的估计值为＝，∴x＝10 000×0.341 3＝3 413，故选D.
5．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(　　)
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)>P(Y≥t)
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线
答案　C
解析　由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；
当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，
∴P(X≥t)6．如果正态总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　正态分布的概念及性质
题点　求正态分布的均值或方差
答案　B
解析　正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义就是均值，而区间(－3，－1)和(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值是1.
7．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在区间(　　)
A．(90,110] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
答案　C
解析　∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人参加考试，故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41,60×0.954 4≈57,60×0.997 4≈60.
8．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第(　　)
A．1 500名 B．1 700名
C．4 500名 D．8 000名
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
答案　A
解析　因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，所以P(X≥108)＝[1－P(88二、填空题
9．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为 ．
考点　正态分布的概念及性质
题点　求正态分布的均值或方差
答案　1
解析　∵X服从正态分布N(a,4)，∴正态曲线关于直线x＝a对称，又P(X≤1)＝0.5，故a＝1.
10．设随机变量X～N(4，σ2)，且P(4考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
答案　0.2
解析　概率密度曲线关于直线x＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.
11．某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间(0,2]内的概率为 ．
考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
答案　0.477 2
解析　正态分布密度函数是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0，
∵f(x)的最大值为f(μ)＝＝，∴σ＝1，
∴P(0三、解答题
12．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72(1)求参数μ，σ的值；
(2)求P(64＜X≤72)．
考点　正态分布的概念及性质
题点　求正态分布的均值或方差
解　(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，
在(80，＋∞)上是减函数，
所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.
又P(72结合P(μ－σ(2)因为P(μ－2σ＝P(64＝0.954 4.
又因为P(X≤64)＝P(X>96)，
所以P(X≤64)＝×(1－0.954 4)
＝×0.045 6＝0.022 8.
所以P(X>64)＝0.977 2.
又P(X≤72)＝[1－P(72＝×(1－0.682 6)＝0.158 7，
所以P(X>72)＝0.841 3，
P(64＝P(X>64)－P(X>72)
＝0.135 9.
13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从正态分布N(6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
解　还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率
P1＝P(X≤7)
＝P(X≤5)＋P(5＝＋P(μ－2σ若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，能及时到达的概率
P2＝P(X≤7)
＝P(X≤6)＋P(6＝＋P(μ－2.5σ因为P1同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．
四、探究与拓展
14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，
且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为 ．
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
答案　683
解析　依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.515．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
(附：≈12.2)
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的综合应用
解　(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，
从而P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2]的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，
所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.
习题课　离散型随机变量的均值
学习目标　1.进一步熟练掌握均值公式及性质.2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题．
类型一　放回与不放回问题的均值
例1　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值；
(2)放回抽样时，抽取次品数η的均值．
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布与超几何分布的识别
解　(1)方法一　P(ξ＝0)＝＝；
P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝.
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　由题意知P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2)，
∴随机变量ξ服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
∴E(ξ)＝＝＝.
(2)由题意知1次取到次品的概率为＝，
随机变量η服从二项分布η～B，
∴E(η)＝3×＝.
反思与感悟　不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．
跟踪训练1　甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；
(3)设P2＝，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
解　(1)设甲袋中红球的个数为x，
依题意得x＝10×＝4.
(2)由已知，得＝，解得P2＝.
(3)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝××＋×C××＝，
P(ξ＝2)＝×C××＋×2＝，
P(ξ＝3)＝×2＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
类型二　与排列、组合有关的分布列的均值
例2　如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．
(1)求V＝0的概率；
(2)求均值E(V)．
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的随机变量的均值
解　(1)从6个点中随机选取3个点总共有C＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC＝12(种)，
因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝.
(2)V的所有可能取值为0，，，，，
则P(V＝0)＝，P＝＝，
P＝＝，
P＝＝，
P＝＝.
因此V的分布列为
V
0




P





所以E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝.
反思与感悟　解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到．
跟踪训练2　某位同学记住了10个数学公式中的m(m≤10)个，从这10个公式中随机抽取3个，若他记住2个的概率为.
(1)求m的值；
(2)分别求他记住的数学公式的个数X与没记住的数学公式的个数Y的均值E(X)与E(Y)，比较E(X)与E(Y)的关系，并加以说明．
考点　超几何分布的均值
题点　超几何分布的均值
解　(1)P(X＝2)＝＝，
即m(m－1)(10－m)＝120，且m≥2.
所以m的值为6.
(2)由原问题知，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
没记住的数学公式有10－6＝4个，故Y的可能取值为0,1，2,3.
P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，
P(Y＝3)＝＝，
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P




E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
由E(X)＝，E(Y)＝得出
①E(X)>E(Y)．说明记住公式个数的均值大于没记住公式个数的均值．
②E(X)＋E(Y)＝3.说明记住和没记住的均值之和等于随机抽取公式的个数．
类型三　与互斥、独立事件有关的分布列的均值
例3　某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考核是否合格互不影响．
假设该生不放弃每一次考核的机会．用ξ表示其参加补考的次数，求随机变量ξ的均值．
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
解　ξ的可能取值为0,1,2.
设该学生第一次，第二次身体体能考核合格分别为事件A1，A2，第一次，第二次外语考核合格分别为事件B1，B2，
则P(ξ＝0)＝P(A1B1)＝×＝，
P(ξ＝2)＝P(1A21 B2)＋P(1A21 2)
＝×××＋×××＝.
根据分布列的性质，可知P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
反思与感悟　若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率．
跟踪训练3　甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，没有和棋，采用五局三胜制，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的均值．
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
解　由题意，得X的所有可能取值是3,4,5.
则P(X＝3)＝C×3＋C×3＝，
P(X＝4)＝C×2××＋C×2××＝，
P(X＝5)＝C×2×2×＋C×2×2×＝.
所以X的分布列为
X
3
4
5
P



E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
类型四　均值问题的实际应用
例4　某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
解　(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，且X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22，从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的均值小于当n＝20时所需费用的均值，故应选n＝19.
反思与感悟　解答概率模型的三个步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
跟踪训练4　某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列及均值E(η)．
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
解　(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
P()＝(1－0.4)3＝0.216，
P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.
(2)η的可能取值为200,250,300.
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，
因此η的分布列为
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
1．若随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)等于(　　)
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A. B. C. D.
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　C
解析　因为2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝18x＝1，所以x＝，因此E(X)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝40×＝.
2．某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是(　　)
A．np(1－p) B．np
C．n D．p(1－p)
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　B
解析　用电单位X～B(n，p)，∴E(X)＝np.
3．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为(　　)
A. B. C．2 D.
考点　超几何分布的均值
题点　超几何分布的均值
答案　D
解析　X可能取值为2,3.P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以E(X)＝×2＋×3＝＋2＝.故选D.
4．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数是75,80，则这次考试该年级学生平均分数为________．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　78
解析　平均成绩为×75＋×80＝78.
5．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值．
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
解　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝.
(2)依题意，得X所有可能的取值是1,2,3，又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.所以X的分布列为
X
1
2
3
P



所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
1．实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
一、选择题
1．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，则E(Y)等于(　　)
A．5 B．10 C．15 D．20
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　B
解析　E(X)＝n＝15，∴n＝30，∴E(Y)＝30×＝10.
2．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别是：
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定(　　)
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量一样 D．无法判定
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
答案　A
解析　E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
显然E(X)3．一射手向靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击完成后剩余子弹的数目X的均值为(　　)
A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4
考点　常见的几种均值
题点　独立重复事件的均值
答案　C
解析　X的可能取值为3,2,1,0，P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096，P(X＝0)＝0.43＝0.064，所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.
4．抛掷两枚骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，在10次试验中，成功次数X的均值是(　　)
A. B. C. D.
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　D
解析　成功的概率为1－＝，
所以X～B，所以E(X)＝10×＝.
5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　)
A. B.
C. D．1
考点　超几何分布的均值
题点　超几何分布的均值
答案　A
解析　由题意知X＝0,1,2，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.
6．某城市有甲，乙，丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则E(ξ)等于(　　)
A．1.48 B．0.76
C．0.24 D．1
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
答案　A
解析　ξ的分布列为
ξ
1
3
P
0.76
0.24
E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.
7．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的6支签，从中任意取3支签，设X为这3支签中号码最大的一个，则X的均值为(　　)
A．5 B．5.25
C．5.8 D．4.6
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的均值
答案　B
解析　由题意可知，X可以取3,4,5,6，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
由均值的定义可求得E(X)＝5.25.
二、填空题
8．邮局邮寄普通信件的收费标准是：20克以内收费1.2元，达到20克不足40克收费2.4元，达到40克不足60克收费3.6元．假设邮局每天收到的这三类信件的数量比例为8∶1∶1，那么一天内该邮局收寄的此类普通信件的均价是________元．
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
答案　1.56
解析　设收寄信件的价格为X，则X的分布列为
X
1.2
2.4
3.6
P
0.8
0.1
0.1
E(X)＝1.2×0.8＋2.4×0.1＋3.6×0.1＝1.56，即一天内该邮局收寄的此类普通信件的均价为1.56元．
9．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则均值E(ξ)＝____.(结果用最简分数表示)
考点　超几何分布的均值
题点　超几何分布的均值
答案　
解析　由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2，
因此P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
10．已知卖水果的某个体户，在不下雨的日子可赚100元，在雨天则要损失10元．若该地区每年下雨的日子约有130天，则该个体户每天获利的均值是________．(1年按365天计算)
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
答案　61
解析　设该个体户每天的获利是随机变量X，则X可能的取值为100，－10，其中P(X＝－10)＝，P(X＝100)＝，所以E(X)＝100×＋(－10)×≈61.
11．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，则该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的均值等于a的10%，那么公司应要求投保人交的保险金为________元．
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
答案　(0.1＋p)a
解析　设要求投保人交x元，公司的收益额为随机变量ξ，则P(ξ＝x)＝1－p，P(ξ＝x－a)＝p，
∴E(ξ)＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，∴x－ap＝0.1a，解得x＝(0.1＋p)a.
三、解答题
12．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的7个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和均值．
考点　超几何分布的均值
题点　超几何分布的均值
解　(1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.
所以，选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以，随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P




E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
13．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值．
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的随机变量的均值
解　(1)由已知事件A：选2人参加义工活动，次数之和为4，则P(A)＝＝.
(2)随机变量X可能的取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
则X的分布列为
X
0
1
2
P



所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
四、探究与拓展
14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值E(ξ)＝________.
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
答案　
解析　依题意知，ξ的所有可能取值为2,4,6，
设每两局比赛为一轮，则第一轮结束时比赛停止的概率为2＋2＝.
若第一轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在第一轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.
15．本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲，乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲，乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲，乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲，乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．
考点　常见的几种均值
题点　相互独立事件的均值
解　(1)由题意，得甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A，则
P(A)＝×＋×＋×＝.
故甲，乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)ξ可能的取值有0,2,4,6,8.
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝，
P(ξ＝8)＝×＝.
∴甲，乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
ξ
0
2
4
6
8
P





∴E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.
滚动训练三(§2.1～§2.2)
一、选择题
1．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则随机变量可以是(　　)
A．第一次出现的点的种数
B．第二次出现的点的种数
C．两次出现的点数之和
D．两次出现相同点的种数
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　C
2．盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为(　　)
A. B.
C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　B
解析　记事件A为“第一支抽取为好的”，事件B为“第二支是坏的”，则
P(A)＝，
P(AB)＝×＝，
∴P(B|A)＝＝.
3．若ξ～B，则P(ξ≥2)等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　C
解析　P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)
＝1－C0×10－C1×9
＝1－－＝.
4．离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：
X＝i
1
2
3
4
5
6
P(X＝i)
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则P等于(　　)
A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求概率
答案　B
解析　根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率和为1，因此0.x＋0.05＋0.1＋0.0y＝0.4，
即10x＋y＝25，
由x，y是0～9间的自然数可解得，x＝2，y＝5.
故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35.
5．某人进行射击训练，射击1次中靶的概率为.若射击直到中靶为止，则射击3次的概率为(　　)
A.3 B.2×
C.2× D.3
考点　同时发生的概率计算
题点　求多个相互独立事件同时发生的概率
答案　C
解析　由题意得，射击3次说明前2次未中，第3次击中，所以射击3次的概率为2×.
6．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为(　　)
A．0.998 B．0.046
C．0.002 D．0.954
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　D
解析　三枚导弹中仅有一枚命中目标或均未命中目标的概率为P＝0.9×0.1×0.2＋0.1×0.9×0.2＋0.1×0.1×0.8＋0.1×0.1×0.2＝0.046，
由对立事件的概率公式知
至少有两枚导弹命中目标的概率为
P＝1－0.046＝0.954.
7．甲、乙两名同学做游戏，他们分别从两个装有编号为1～5的球的箱子中抽取一个球，若两个球的编号之和小于6，则甲赢，若大于6，则乙赢，若等于6，则和局．若他们共玩三次，则甲赢两次的概率为(　　)
A. B.
C. D.
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案　C
解析　由题意知，玩一次游戏甲赢的概率为P＝＝，那么，玩三次游戏，甲赢两次的概率为C2×1＝.
8．某学校对高二年级学生进行体能测试，若每名学生测试达标的概率都是(相互独立)，经计算，5名学生中恰有k名学生同时达标的概率是，则k的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．3或4
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　D
解析　设X表示这5名学生中达标的人数，则P(X＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
由已知，得P(X＝k)＝，即C×k×5－k＝，解得k＝3或k＝4.
二、填空题
9．现有10张奖券，其中8张2元的，2张5元的，从中同时取3张，记所得金额为ξ元；则P(ξ＝6)＝________，P(ξ＝9)＝________.
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　排列、组合知识在分布列中的应用
答案　　
解析　ξ＝6代表事件为取出的三张都是2元的，
所以P(ξ＝6)＝＝，
ξ＝9代表事件为取出的三张有两张2元的，一张5元的，
所以P(ξ＝9)＝＝.
10．某仪表内装有m个同样的电子元件，有一个损坏时，这个仪表就不能工作．如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是p，则这个仪表不能工作的概率为________．
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
答案　1－(1－p)m
解析　由题意知，设电子元件损坏的个数为X，
则X～B(m，p)，则这个仪表不能工作的概率
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)m＝1－(1－p)m.
11．某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　设A为下雨，B为刮风，
由题意得P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
P(B|A)＝＝＝.
12．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列{an}，使得an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为________．
考点　独立重复试验的计算
题点　n次独立重复试验概率的应用
答案　
解析　S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P＝C×3×＝.
三、解答题
13．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．记X为第二天开始时该商品的件数，求X的分布列．
考点　离散型随机变量的分布列
题点　求离散型随机变量的分布列
解　由题意知，X的可能取值为2,3.
P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.
故X的分布列为
X
2
3
P


四、探究与拓展
14．实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．
(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；
(2)求按比赛规则甲获胜的概率．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与分布列
解　(1)甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
记事件A＝“甲打完3局才能取胜”，
记事件B＝“甲打完4局才能取胜”，
记事件C＝“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜．所以甲打完3局取胜的概率P(A)＝C×3＝.
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负．所以甲打完4局才能取胜的概率P(B)＝C×2××＝.
③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负．所以甲打完5局才能取胜的概率P(C)＝C×2×2×＝.
(2)设事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D＝A∪B∪C.
因为事件A，B，C两两互斥，所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，
故按比赛规则甲获胜的概率为.
15．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
考点　二项分布的计算及应用
题点　二项分布的实际应用
解　设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，
∵P(A)＝×＝，
P(B)＝2××＝，
P(C)＝，
∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝C×0×4＝，
P(X＝1)＝C××3＝，
P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝C×3×＝，
P(X＝4)＝C×4×0＝.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





滚动训练四(§2.1～§2.4)
一、选择题
1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
考点　随机变量及离散型随机变量的概念
题点　随机变量的概念
答案　C
解析　A中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B，D中的量也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
2．设随机变量ξ服从正态分布N(3,16)，若P(ξ>c＋2)＝P(ξA．4 B．3 C．2 D．1
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线性质的应用
答案　B
解析　由P(ξ>c＋2)＝P(ξ3．设X～N，则X落在(－3.5，－0.5]内的概率是(　　)(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%)
A．95.44% B．99.74%
C．4.56% D．0.26%
考点　正态分布的概念及性质
题点　正态分布下的概率计算
答案　B
解析　由X～N知，μ＝－2，σ＝，
则P(－3.54．设X为随机变量且X～B(9，p)，若随机变量X的均值E(X)＝3，则P(X＝2)等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　二项分布的计算及应用
题点　利用二项分布求概率
答案　D
解析　∵X～B(9，p)，E(X)＝3，∴9p＝3，∴p＝，
∴P(X＝2)＝C×2×7＝.
5．某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　A
解析　因为师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件不全是精品的对立事件是师徒二人各加工2个零件全是精品，所以师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为
P＝1－C2C2＝.故选A.
6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　C
解析　设“甲、乙二人相邻”为事件A，“甲、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，P(B|A)＝，而P(A)＝＝，
AB是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，则P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝×＝.
7．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3X＋5)等于(　　)
A．6 B．9 C．3 D．4
考点　离散型随机变量方差的性质
题点　方差性质的应用
答案　A
解析　E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
所以D(X)＝×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝，
所以D(3X＋5)＝9D(X)＝9×＝6.
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|，则ξ的均值E(ξ)为(　　)
A. B. C. D.
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的随机变量的均值
答案　D
解析　∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴－<0，即>0，∴a与b同号，
∴ξ的取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
二、填空题
9．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者．则乙连胜四局的概率为________．
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　0.09
解析　乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴所求概率为P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
10．一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率是________，问题得到解决的概率是________．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求两个相互独立事件同时发生的概率
答案　　
解析　设“甲解决这道难题”为事件A，“乙解决这道难题”为事件B，则A，B相互独立．
所以两人都未解决的概率为P( )＝×＝.
问题得到解决的概率为P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1－P( )＝1－＝.
11．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p.若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p＝________.
考点　二项分布、两点分布的均值
题点　二项分布的均值
答案　
解析　因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6,1－p)，又E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝.
三、解答题
12．篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知甲运动员投篮命中的概率为p，且各次投篮互不影响．
(1)若投篮1次的得分记为X，求方差D(X)的最大值；
(2)当(1)中D(X)取最大值时，求甲运动员投篮5次得4分的概率．
考点　三种常用分布的方差
题点　二项分布的方差
解　(1)依题意，得X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
∴E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝－2＋，
∴当p＝时，D(X)取得最大值，且最大值为.
(2)由(1)可知p＝.记投篮5次的得分为Y，则Y～B，那么P(Y＝4)＝C×4×＝，
则甲运动员投篮5次得4分的概率为.
13．某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止．
(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率；
(2)设所要测试的次数为随机变量X，求X的分布列和均值．
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的随机变量的均值
解　(1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＋＝，P(X＝5)＝＋＝.
X的分布列为
X
2
3
4
5
P




因此，E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
四、探究与拓展
14．如图所示，用A，B，C，D表示四类不同的元件连接成系统M.当元件A，B至少有一个正常工作且元件C，D至少有一个正常工作时，系统M正常工作．已知元件A，B，C，D正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.7,0.8.则元件连接成的系统M正常工作的概率P(M)等于(　　)
A．0.752 B．0.988
C．0.168 D．0.832
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　相互独立事件性质的应用
答案　A
解析　P(M)＝[1－P( )][1－P( )]＝0.752.
15．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
考点　离散型随机变量的均值的性质
题点　均值在实际中的应用
解　(1)X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有
P(X＝10)＝C×1×2＝，
P(X＝20)＝C×2×1＝，
P(X＝100)＝C×3×0＝，
P(X＝－200)＝C×0×3＝.
所以X的分布列为
X
10
20
100
－200
P




(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
(3)X的均值为
E(X)＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
这表明，获得分数X的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
章末复习
学习目标　1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解离散型随机变量及分布列，并掌握两个特殊的分布列——二项分布和超几何分布.3.理解离散型随机变量的均值、方差的概念，并能应用其解决一些简单的实际问题.4.了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义．
1．离散型随机变量的分布列
(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
(2)若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：
①pi ≥ 0，i＝1,2，…，n；
②pi＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中03．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率：P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，则称分布列
X
0
1
…
m
P


…

为超几何分布列．
4．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质：
①0≤P(B|A)≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
5．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，
P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．
6．二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
7．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
(3)均值与方差的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
②D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
(4)两点分布与二项分布的均值、方差
①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
8．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为 1 ；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着 μ 的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
　
(3)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b (a正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ类型一　条件概率的求法
例1　设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
解　记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，则基本事件总数为6×6＝36.其中先后两次出现的点数中有5，共有11种．从而P(M)＝.
记“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，
若使方程x2＋bx＋c＝0有实根，
则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2.
∵b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，
∴当先后两次出现的点数中有5时，
若b＝5，则c＝1,2,3,4,5,6；
若c＝5，则b＝5,6.b＝5，c＝5只能算一种情况，从而P(MN)＝.
∴在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为P(N|M)＝＝.
反思与感悟　条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法
(1)P(B|A)＝.
(2)P(B|A)＝.在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数．
跟踪训练1　已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．
(1)求此人患色盲的概率；
(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各问结果写成最简分式形式)
考点　条件概率的性质及应用
题点　条件概率的性质的简单应用
解　设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.
(1)此人患色盲的概率
P(C)＝P(AC)＋P(BC)
＝P(A)P(C|A)＋P(B)·P(C|B)
＝×＋×＝.
(2)由(1)得P(AC)＝，又因为P(C)＝，
所以P(A|C)＝＝＝.
类型二　相互独立事件的概率与二项分布
例2　天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．
(1)分别求甲、乙两地降雨的概率；
(2)在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列、均值与方差．
考点　二项分布的计算及应用
题点　求二项分布的分布列
解　(1)设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且P(A)＝x，P(B)＝y.
由题意得解得
所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为.
(2)在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为P＝P(A )＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C2＝，
P(X＝3)＝C3＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
方差D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＝.
反思与感悟　(1)求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
①“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
②涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
③公式“P(A∪B)＝1－P( )”常应用于相互独立事件至少有一个发生的概率．
(2)二项分布的判定
与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定：
①每次试验中，事件发生的概率是相同的．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
④随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．
跟踪训练2　在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.
(1)求油灌被引爆的概率；
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．
考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
解　(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为
P＝C××4＋5，
所以所求的概率为
1－P＝1－＝.
(2)当ξ＝4时，记事件为A，
则P(A)＝C××2×＝，
当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B.
则P(B)＝C××3＋4＝，
所以所求概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
类型三　离散型随机变量的均值与方差
例3　为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及均值；
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
考点　均值与方差的应用
题点　均值与方差的综合应用
解　(1)设顾客所获的奖励额为X，
①依题意，得P(X＝60)＝＝，
即顾客所获的奖励额为60元的概率为.
②依题意得X的所有可能取值为20,60，
P(X＝20)＝＝，P(X＝60)＝，
即X的分布列为
X
20
60
P


所以这位顾客所获奖励额的均值为E(X)＝20×＋60×＝40.
(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找均值为60元的可能方案．
对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元．
如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，
记为方案2，
以下是对这两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为
X1
20
60
100
P



X1的均值E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60.
X1的方差D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝，
对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为
X2
40
60
80
P



X2的均值E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，
X2的方差D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.
由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.
反思与感悟　求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)；
(3)写出X的分布列；
(4)由分布列和均值的定义求出E(X)；
(5)由方差的定义，求D(X)，若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
跟踪训练3　某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的分布列如下表：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的均值E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
　3　5　3　3　8　5　5　6　3　4
　6　3　4　7　5　3　4　8　5　3
　8　3　4　3　4　4　7　5　6　7
用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的均值；
(3)在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具有可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”＝；
②“性价比”高的产品更具有可购买性．
考点　均值与方差的应用
题点　均值与方差的综合应用
解　(1)∵E(X1)＝6，
∴5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，
即6a＋7b＝3.2，
又由X1的分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，
即a＋b＝0.5.
由解得
(2)由已知得，样本的频率分布表如下：
X2
3
4
5
6
7
8
f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
∴E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即乙厂产品的等级系数的均值为4.8.
(3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：
甲厂产品的等级系数的均值为6，价格为6元/件，
其性价比为＝1，
乙厂产品的等级系数的均值等于4.8，价格为4元/件，
其性价比为＝1.2.
∴乙厂的产品更具有可购买性．
类型四　正态分布的应用
例4　为了评估某大米包装生产设备的性能，从该设备包装的大米中随机抽取100袋作为样本，称其重量为
重量kg
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
10.0
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
合计
包数
1
1
3
5
6
19
34
18
3
4
2
1
2
1
100
经计算：样本的平均值μ＝10.10，标准差σ＝0.21.
(1)为评判该生产线的性能，从该生产线中任抽取一袋，设其重量为X(kg)，并根据以下不等式进行评判．
①P(μ－σ②P(μ －2σ③P(μ－3σ若同时满足三个不等式，则生产设备为甲级；满足其中两个，则为乙级；仅满足其中一个，则为丙级；若全不满足，则为丁级．请判断该设备的等级；
(2)将重量小于或等于μ－2σ与重量大于μ＋2σ的包装认为是不合格的包装，从设备的生产线上随机抽取5袋大米，求其中不合格包装袋数Y的均值E(Y)．
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的综合应用
解　(1)由题意得
P(μ－σ0.682 6，
P(μ－2σP(μ－3σ所以该生产设备为丙级．
(2)由表知，不合格的包装共有6袋，则从设备的生产线上随机抽一袋不合格的概率P＝＝，
由题意知Y服从二项分布，即Y～B，
所以E(Y)＝5×＝0.3.
反思与感悟　正态曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
跟踪训练4　某市去年高考考生成绩X服从正态分布N(500,502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550分～600分的人数．
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
解　∵考生成绩X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50，
∴P＝(550＝[P(500－2×50＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
故考生成绩在550分～600分的人数约为25 000×0.135 9≈3 398.
1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　利用缩小基本事件空间求条件概率
答案　D
解析　设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B，则P(B|A)＝＝＝.故选D.
2．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　B
解析　设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴至少有1人去北京旅游的概率为1－P(  )＝1－P()·P()·P()＝1－××＝1－＝，故选B.
3．某班有50名学生，一次考试后的数学成绩ξ～N(110,102)，若P(100≤ξ≤110)＝0.34，则估计该班学生的数学成绩在120分以上(含120分)的人数为(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的实际应用
答案　C
解析　∵数学成绩ξ服从正态分布N(110,102)，
且P(100≤ξ≤110)＝0.34，
∴P(ξ≥120)＝P(ξ<100)＝×(1－0.34×2)＝0.16，
∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50＝8.
4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m·k，k＝1,2,3，则m的值为 ．
考点　离散型随机变量分布列的性质及应用
题点　根据分布列的性质求参数
答案　
解析　因为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，
即m＝1，所以m＝.
5．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝ .
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与分布列
答案　
解析　随机变量X的可能取值是0,1,2,3.
由题意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，所以p＝，于是P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－－－＝，所以均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
1．条件概率的两个求解策略
(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解．
(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝求解．
其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．
2．求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的分布列，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质．
一、选择题
1．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为(　　)
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.5 B．6 C．7 D．8
考点　离散型随机变量的可能取值
题点　离散型随机变量的结果
答案　C
解析　由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，
且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得b＝0.4，a＝7.
2．某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X(单位：mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如下表所示：
年降水量X
X<100
100≤X<200
200≤X<300
X≥300
工期延误天数Y
0
5
15
30
概率P
0.4
0.2
0.1
0.3
在年降水量X至少是100的条件下，工期延误小于30天的概率为(　　)
A．0.7 B．0.5
C．0.3 D．0.2
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　B
解析　设事件A为“年降水量X至少是100”，事件B为“工期延误小于30天”，则P(B|A)＝＝＝0.5，故选B.
3．从应届高中毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生均合格的概率为(假设各项标准互不影响)(　　)
A. B.
C. D.
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个相互独立事件同时发生的概率
答案　D
解析　该生各项均合格的概率为××＝.
4．设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一个必要不充分条件是(　　)
A．a＝1或2 B．a＝±1或2
C．a＝2 D．a＝
考点　正态分布密度函数的概念
题点　正态曲线性质的应用
答案　B
解析　∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)，
∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1或2.故选B.
5．(2017·福建莆田二十四中高二期中)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案　A
解析　根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C0.62×0.4＋C0.63＝0.648.
6．命题r：随机变量ξ～N(3，σ2)，若P(ξ≤2)＝0.4，则P(ξ≤4)＝0.6.命题q：随机变量η～B(n，p)，且E(η)＝200，D(η)＝100，则p＝0.5.则(　　)
A．r正确，q错误
B．r错误，q正确
C．r错误，q也错误
D．r正确，q也正确
考点　正态分布的应用
题点　正态分布的综合应用
答案　D
解析　因为随机变量ξ～N(3，σ2)，所以正态曲线关于x＝3对称，又P(ξ≤2)＝0.4，则P(ξ>4)＝P(ξ≤2)＝0.4，所以P(ξ≤4)＝0.6，所以r是正确的；随机变量η～B(n，p)，且E(η)＝np＝200，D(η)＝np(1－p)＝100，所以200(1－p)＝100，解得p＝0.5，所以q是正确的．故选D.
7．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
若进这种鲜花500束，则利润的均值为(　　)
A．706元 B．690元
C．754元 D．720元
考点　离散型随机变量均值的概率与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　A
解析　因为E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，
所以利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706元，故选A.
8．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的均值为(　　)
A. B.
C. D.
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的随机变量的均值
答案　B
解析　由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的学生人数为0.006×10×50＝3，
∴ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
二、填空题
9．盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为 ．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　记事件A为“第一支抽取为好的”，事件B为“第二支是坏的”，则
P(A)＝，
P(AB)＝×＝，
∴P(B|A)＝＝.
10．甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出．已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为，，则甲胜出的概率为 ．
考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案　
解析　方法一　甲胜的情况为：①举行一局比赛，甲胜出，比赛结束，②举行两局比赛，第一局乙胜，第二局甲胜，其概率分别为，×，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率为＋×＝.
方法二　因为比赛结果只有甲胜出和乙胜出两个结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜出，其概率为×＝，所以甲胜出的概率为1－＝.
11．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获得30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利 元．
考点　离散型随机变量的均值的概念与计算
题点　离散型随机变量均值的计算
答案　37
解析　设生产一件该产品可获利钱数为X，则随机变量X的取值可以是－20,30,50.依题意，X的分布列为
X
－20
30
50
P
0.1
0.3
0.6
故E(X)＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37(元)．
12．一批玉米种子的发芽率是0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种 粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.(lg 2＝0.301 0)
考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案　3
解析　记事件A为“种一粒种子，发芽”，
则P(A)＝0.8，P()＝1－0.8＝0.2.
因为每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，
则P()＝C0.80(1－0.8)n＝0.2n，
所以P(B)＝1－P()＝1－0.2n.
根据题意，得P(B)>98%，即0.2n<0.02.
两边同时取以10为底的对数，得
nlg 0.2所以n>＝≈2.43.
因为n∈N*，
所以n的最小正整数值为3.
三、解答题
13．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)用X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与均值．
(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)
考点　常见的几种均值
题点　与排列、组合有关的随机变量的均值
解　(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率P＝＝.
(2)X的所有可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
P



从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
四、探究与拓展
14．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖．哪个方案更划算？
考点　均值、方差的综合应用
题点　均值与方差在实际中的应用
解　(1)由题意得，X的所有可能取值为0,500,1 000，则P(X＝0)＝＋××＝，
P(X＝500)＝×＝，
P(X＝1 000)＝××＝，
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
X
0
500
1 000
P



(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的均值E(X)＝500×＋1 000×＝520，
若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B，
则E(ξ)＝3×＝，抽奖所获奖金Y的均值E(Y)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故选择方案甲较划算．
15．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、均值及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
考点　均值、方差的综合应用
题点　均值与方差在实际中的应用
解　(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.
当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.
所以当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为
y＝(n∈N)
(2)①X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
故X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，
D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②方法一：花店一天应购进16枝玫瑰花．
理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4，
D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.
由以上的计算结果可以看出，D(X)方法二：花店一天应购进17枝玫瑰花．
理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
由以上的计算结果可以看出，E(X)即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．
故花店一天应购进17枝玫瑰花．