一 平面直角坐标系
学习目标 1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题.
知识点一 平面直角坐标系
思考1 在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？
答案 直角坐标系；在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负.
思考2 坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？
答案 建立平面直角坐标系；通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线为坐标轴.比如，对称中心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴.
梳理 (1)平面直角坐标系的概念
①定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.
②相关概念：
数轴的正方向：水平放置的数轴向右的方向、竖直放置的数轴向上的方向分别是数轴的正方向.
x轴或横轴：坐标轴水平的数轴.
y轴或纵轴：坐标轴竖直的数轴.
坐标原点：坐标轴的公共点O.
③对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对(x，y)之间一一对应.
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论.
知识点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
思考1 如何由y＝sin x的图象得到y＝3sin 2x的图象？
答案 y＝sin xy＝sin 2x
y＝3sin 2x.
思考2 伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？
答案 不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置，但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.
梳理 平面直角坐标系中伸缩变换的定义
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称_φ_为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
类型一 坐标法的应用
命题角度1 研究几何问题
例1 已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高，求证：BD＝CE.
证明 如图，
以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h).
则直线AC的方程为y＝－x＋h，
即hx＋ay－ah＝0.
直线AB的方程为y＝x＋h，
即hx－ay＋ah＝0.
由点到直线的距离公式，得
|BD|＝，|CE|＝ .
∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.
反思与感悟 根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.
跟踪训练1 在?ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
证明 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设B(a，0)，C(b，c)，
则AC的中心E，
由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，
|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab
＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，
|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，
所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
命题角度2 求轨迹方程
例2 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
解 如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0).
设P(x，y)，则
|PM|2＝|O1P|2－|O1M|2＝(x＋2)2＋y2－1，
|PN|2＝|O2P|2－|O2N|2＝(x－2)2＋y2－1.
∵|PM|＝|PN|，∴|PM|2＝2|PN|2，
∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即x2－12x＋y2＋3＝0，即(x－6)2＋y2＝33.
∴动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
反思与感悟 建立坐标系的几个基本原则：①尽量把点和线段放在坐标轴上；②对称中心一般放在原点；③对称轴一般作为坐标轴.
跟踪训练2 在△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，直线AB，AC的斜率之积为，求顶点A的轨迹方程.
解 设A(x，y)，则kAB＝，kAC＝(x≠±3).
由kAB·kAC＝·＝，化简可得－＝1，
所以顶点A的轨迹方程为－＝1(x≠±3).
类型二 伸缩变换
例3 求圆x2＋y2＝1经过φ：变换后得到的新曲线的方程，并说明新曲线的形状.
解 ∵∴
把x，y代入方程x2＋y2＝1，得＋＝1.
即所求新曲线的方程为＋＝1.
∴新曲线是以长轴为8，短轴为6，焦点在y轴上的椭圆.
引申探究
1.若曲线C经过变换后得到圆x2＋y2＝1，求曲线C的方程.
解 ∵曲线C经过变换后得到的圆为x2＋y2＝1.
∴(x′，y′)满足x2＋y2＝1，即x′2＋y′2＝1.
∴2＋2＝1，
∴＋＝1即为曲线C的方程.
2.若圆x2＋y2＝1经过变换φ后得到曲线C′：＋＝1，求φ的坐标变换公式.
解 设φ：∴
代入x2＋y2＝1，得＋＝1.
∴曲线C′的方程为＋＝1.
又已知曲线C′的方程为＋＝1，
∴∴
∴φ：
反思与感悟 (1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换.
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
跟踪训练3 在同一直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足条件的伸缩变换.
解 设满足条件的伸缩变换为将其代入方程2x′－y′＝4，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4.比较系数得λ＝1，μ＝4.
所以直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.
1.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )
A. B.
C. D.
答案 B
2.在同一平面直角坐标系中，曲线y＝3sin 2x经过伸缩变换后，所得曲线为( )
A.y＝sin x B.y＝9sin 4x
C.y＝sin 4x D.y＝9sin x
答案 D
解析 ∵伸缩变换∴
代入y＝3sin 2x，可得y′＝3sin x′，
即y′＝9sin x′.故选D.
3.已知?ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则点D的坐标是( )
A.(9，－1) B.(－3,1) C.(1,3) D.(2,2)
答案 C
解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出点D的坐标.设D(x，y)，
则即解得
故点D的坐标为(1,3).
4.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为________________.
答案 ＋＝1(y≠0)
解析 ∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，而|BC|＝4，∴|AB|＋|AC|＝6>4.∴A点的轨迹为除去长轴两顶点的椭圆，且2a＝6，2c＝4.∴a＝3，c＝2，∴b2＝a2－c2＝5.
∴A点的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
5.用解析法证明：若C是以AB为直径的圆上的任意一点(异于A，B)，则AC⊥BC.
证明 设AB＝2r，线段AB的中心为O，以线段AB所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝r2.设A(－r，0)，B(r，0)，C(x，y)，
则kAC＝，kBC＝，则kAC·kBC＝·＝，
又x2＋y2＝r2，所以y2＝r2－x2，
所以kAC·kBC＝＝－1，
所以AC⊥BC.
1.平面直角坐标系的作用与建立
平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台，建立平面直角坐标系，常常利用垂直直线为坐标轴，充分利用图形的对称性等特征.
2.伸缩变换的类型与特点
伸缩变换包括点的伸缩变换，以及曲线的伸缩变换，曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化，通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系.
一、选择题
1.如图所示是永州市几个主要景点示意图的一部分，如果用(0,1)表示九嶷山的中心位置点C，用(－2,0)表示盘王殿的中心位置点A，则千家峒的中心位置点B表示为( )
A.(－3,1) B.(－1，－3)
C.(1，－3) D.(－3，－1)
答案 A
解析 根据题意建立平面直角坐标系，由坐标系可知，千家峒的中心位置点B表示为(－3,1).故选A.
2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝0，则曲线C的方程为( )
A.25x2＋36y2＝0 B.9x2＋100y2＝0
C.10x＋24y＝0 D.x2＋y2＝0
答案 A
3.在平面直角坐标系中，方程3x－2y＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为( )
A.3x－4y＋1＝0 B.3x＋y－1＝0
C.9x－y＋1＝0 D.x－4y＋1＝0
答案 C
4.在直角坐标系中，点A(2，－3)关于直线x－y－1＝0对称的点是( )
A.(－2,1) B.(2，－1)
C.(1，－2) D.(－2，－1)
答案 A
解析 设点A关于直线x－y－1＝0对称的点为B(m，n)，则AB的中心为M，因为点M在直线x－y－1＝0上，直线AB与直线x－y－1＝0垂直，所以
解得故点A关于直线x－y－1＝0对称的点为(－2,1)，故选A.
5.直角坐标系中到两坐标轴的距离之差等于1的点的轨迹方程是( )
A.|x|－|y|＝1 B.|x－y|＝1
C.||x|－|y||＝1 D.|x±y|＝1
答案 C
6.已知四边形ABCD的顶点分别为A(－1,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(－1,1)，四边形ABCD在伸缩变换(a>0)的作用下变成正方形，则a的值为( )
A.1 B.2 C. D.
答案 C
解析 如图，
由矩形ABCD变为正方形A′B′C′D′，已知y′＝y，∴边长为1，
∴AB的长由2缩为原来的一半，
∴x′＝x，∴a＝.
二、填空题
7.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋9y′2＝9，则曲线C的方程是______________.
答案 x2＋y2＝1
解析 将代入x′2＋9y′2＝9，得x2＋y2＝1.
∴曲线C的方程为x2＋y2＝1.
8.若点P(－2 016,2 017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________.
答案 －1
解析 ∵P(－2 016,2 017)经过伸缩变换
得代入x′y′＝k，得k＝x′y′＝－1.
9.可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为________.
答案
解析 将椭圆方程＋＝1，化为＋＝4，
∴2＋2＝4.令
得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4.
∴伸缩变换为所求.
10.已知平面内有一固定线段AB且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|PO|的最小值为________.
答案
解析 以AB为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则动点P的轨迹是以AB为实轴的双曲线的一支.其中a＝，故|PO|的最小值为.
三、解答题
11.求证等腰梯形对角线相等.已知：等腰梯形ABCD，求证：AC＝BD.
证明 取B，C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.
设A(－a，h)，B(－b,0)，
则D(a，h)，C(b,0).
∴|AC|＝，|BD|＝.
∴|AC|＝|BD|，即等腰梯形ABCD中，AC＝BD.
12.已知一条长为6的线段两端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求动点M的轨迹方程.
解 设A(a,0)，B(0，b)，M(x，y)，
∵|AB|＝6，∴a2＋b2＝36.①
∵AM∶MB＝1∶2，∴2＝.
又∵＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
∴? ②
将②式代入①式，化简可得＋＝1.
13.在平面直角坐标系中，求下列曲线方程所对应的图象经过伸缩变换后的图象形状.
(1)y2＝2x；
(2)x2＋y2＝1.
解 由伸缩变换可知
(1)将代入y2＝2x，
可得4y′2＝6x′，即y′2＝x′.
故经过伸缩变换后的图象还是抛物线.
(2)将代入x2＋y2＝1，
得(3x′)2＋(2y′)2＝1，即＋＝1.
故经过伸缩变换后的图象为焦点在y轴上的椭圆.
四、探究与拓展
14.已知函数f(x)＝＋，则f(x)的最小值为________.
答案 2
解析 f(x)可看作是平面直角坐标系下x轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得，f(x)的最小值为2.
15.已知椭圆C：＋＝1，P，Q为椭圆C上的两点，O为原点，直线OP，OQ的斜率的乘积为－，求|OP|2＋|OQ|2的值.
解 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，OP，OQ的斜率为k1，k2，
则k1k2＝
＝＝－，
∴x＝16－x.
又|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y
＝x＋＋x＋＝20，
∴|OP|2＋|OQ|2的值为20.
三 简单曲线的极坐标方程
第1课时 圆的极坐标方程
学习目标 1.了解极坐标方程的意义.2.掌握圆的极坐标方程.3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质．
知识点一 曲线的极坐标方程
(1)在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤
①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；
②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；
③将列出的关系式整理、化简；
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．
知识点二 圆的极坐标方程
思考1 在极坐标系中，点M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？
答案 不一定．
思考2 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？
答案 ρ＝2.
梳理 圆的极坐标方程
圆心位置
极坐标方程
图形
圆心在极点(0,0)
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心在点(r,0)
ρ＝2rcos θ
圆心在点
ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)
圆心在点(r，π)
ρ＝－2rcos θ
圆心在点
ρ＝－2rsin θ(－π<θ≤0)
类型一 求圆的极坐标方程
例1 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．
解 在圆周上任取一点P(如图)，
设其极坐标为(ρ，θ)，
由余弦定理知，
CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，
故其极坐标方程为
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．
引申探究
若圆心在(3,0)，半径r＝2，求圆的极坐标方程．
解 设P(ρ，θ)为圆上任意一点，
则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos ∠COP，
∴22＝ρ2＋9－6ρcos θ，
即ρ2＝6ρcos θ－5.
当O，P，C共线时此方程也成立．
反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤
(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)．
(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化简．
(3)验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程．
跟踪训练1 在极坐标系中，已知圆C的圆心为C，半径为r＝3.求圆C的极坐标方程．
解 设M(ρ，θ)为圆C上任一点，
易知极点O在圆C上，设OM的中点为N，
∴△OCM为等腰三角形，
则|ON|＝|OC|cos，
∴|OM|＝2×3cos，
则ρ＝6cos即为圆C的极坐标方程．
类型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化
命题角度1 直角坐标方程化极坐标方程
例2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程．
(1)x2＋y2＝1；
(2)x2＋y2－4x＋4＝0；
(3)x2＋y2－2x－2y－2＝0.
解 把代入方程化简，
(1)∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝1，∴ρ2＝1，即ρ＝1.
(2)∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－4ρcos θ＋4＝0，
∴ρ2－4ρcos θ＋4＝0.
(3)∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.
∴ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，
∴ρ2－2ρsin－2＝0.
反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时，要注意
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值．
跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程．
(1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0.
解 (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，
得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简，得ρsin2θ＝4cos θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0，
得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0，
化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
命题角度2 极坐标方程化直角坐标方程
例3 把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
(1)ρ2cos 2θ＝1；(2)ρ＝2cos；
(3)ρcos＝；(4)ρ＝.
解 (1)∵ρ2cos 2θ＝1，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，
∴化为直角坐标方程为x2－y2＝1.
(2)∵ρ＝2cos θcos ＋2sin θsin＝cos θ＋sin θ，
∴ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
∴化为直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.
(3)∵ρcos＝，
∴ρ＝，
∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0.
又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，∴x－y－1＝0.
(4)∵ρ＝，∴2ρ－ρcos θ＝1，
∴2－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.
反思与感悟 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．
跟踪训练3 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．
(1)x2＋y2－2x＝0；(2)ρ＝cos θ－2sin θ；(3)ρ2＝cos2θ.
解 (1)∵x2＋y2－2x＝0，
∴ρ2－2ρcos θ＝0.∴ρ＝2cos θ.
(2)∵ρ＝cos θ－2sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ.
∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.
(3)∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcos θ)2.
∴(x2＋y2)2＝x2，
即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.
类型三 直角坐标与极坐标方程互化的应用
例4 若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若曲线ρsin＝0与曲线C相交于A，B，求|AB|的值．
解 (1)∵∴ρ2＝x2＋y2，
由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，
∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)由ρsin＝0，得ρ＝0，
即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.
由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5的半径为r＝，圆心(2,1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝，
∴|AB|＝2＝3.
反思与感悟 在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便，可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程．
跟踪训练4 在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为 ．
答案 (1,1)
1．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( )
A．3 B. C．1 D.
答案 D
2．将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为( )
A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
答案 C
3．在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是( )
A．(1，π) B.
C. D．(1,0)
答案 C
解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(0,1)，化为极坐标为.
4．4ρsin2＝5表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
答案 D
解析 4ρsin2＝5?4ρ＝5?2ρ＝2ρcos θ＋5.
∵ρ＝，ρcos θ＝x，
代入上式得2＝2x＋5，两边平方并整理，
得y2＝5x＋，
∴它表示的曲线为抛物线．
5．在极坐标系中，已知圆C的圆心为C，半径为1，求圆C的极坐标方程．
解 在圆C上任取一点P(ρ，θ)，在△POC中，
由余弦定理可得
CP2＝OC2＋OP2－2OC·OP·cos∠POC，
即1＝4＋ρ2－2×2×ρcos，
化简可得ρ2－4ρcos＋3＝0.
当O，P，C共线时，此方程也成立，
故圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M可以表示为或或等多种形式，其中，只有的极坐标满足方程ρ＝θ.
2．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解．
一、选择题
1．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是( )
A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆
B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆
C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆
D．以点为圆心，3为半径的圆
答案 C
2．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( )
A．ρ＝2cos B．ρ＝2sin
C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1)
答案 C
3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
答案 C
4．极坐标系内，点到直线ρcos θ＝2的距离是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
5．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )
A. B.
C. D.
答案 D
二、填空题
6．把圆的直角坐标方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为 ．
答案 ρ＝4sin θ
解析 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.
7．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sin θ，则曲线C的直角坐标方程为 ．
答案 x2＋y2－3y＝0
解析 由ρ＝3sin θ，得ρ2＝3ρsin θ，
故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝0.
8．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝ .
答案 2
解析 由题意知，直线方程为x＝3，曲线方程为(x－2)2＋y2＝4，将x＝3代入圆的方程，得y＝±，则|AB|＝2.
9．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝ .
答案
解析 曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.
三、解答题
10．从极点O引定圆ρ＝2cos θ的弦OP，延长OP到Q使＝，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？
解 设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，则θ＝θ0，＝，
∴ρ0＝ρ.
∵ρ0＝2cos θ0，∴ρ＝2cos θ，
即ρ＝5cos θ，它表示一个圆．
11．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，求圆C的直角坐标方程．
解 将圆C的极坐标方程ρ＝4sin变形可得
ρ2＝4ρ，
可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，
即(x＋1)2＋(y－)2＝4.
12．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
(1)ρ＝4cos θ＋2sin θ；
(2)ρ2＝.
解 (1)方程ρ＝4cos θ＋2sin θ两边同时乘以ρ，并把ρ＝，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入，
化简可得(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)ρ2＝可化为4(ρcos θ)2＋5(ρsin θ)2＝20，把ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入，化简可得＋＝1.
四、探究与拓展
13．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，则圆C的半径及圆心坐标分别为 ．
答案 ，
解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
圆心C的直角坐标为(1，－1)，
∴ρ＝＝，tan θ＝－1，且C在第四象限．
∴θ＝，∴C的极坐标为.
14．判断两圆ρ＝cos θ＋sin θ和ρ＝2cos θ的位置关系．
解 圆C1：ρ＝cos θ＋sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
即2＋2＝1.
∴C1，r1＝1.
同理，圆C2：ρ＝2cos θ的直角坐标为(x－1)2＋y2＝1，
∴C2(1,0)，r2＝1，∴|C1C2|＝1，
∴r1－r2<|C1C2|第2课时 直线的极坐标方程
学习目标 1.掌握直线的极坐标方程.2.能熟练进行曲线的极坐标方程和直角坐标方程间的互化.3.能用极坐标方程解决相关问题．
知识点 直线的极坐标方程
思考1 直线l的极坐标方程f(ρ，θ)＝0应该有什么要求？
答案 ①直线l上任意一点M至少有一个极坐标适合方程f(ρ，θ)＝0；
②以f(ρ，θ)＝0的解为坐标的点都在直线l上．
思考2 过极点O且倾斜角θ＝的直线的极坐标方程是什么？
答案 θ＝(ρ∈R)．
梳理 直线的极坐标方程(ρ∈R)
直线位置
极坐标方程
图形
过极点，倾斜角为α
(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)
过点(a,0)，且与极轴垂直
ρcos θ＝a
过点，且与极轴平行
ρsin θ＝a(0<θ<π)
类型一 求直线的极坐标方程
例1 在极坐标系中，求过点(3，π)且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程．
解 令A(3，π)，设直线上任意一点P(ρ，θ)，
在△OAP中，∠APO＝θ－，
由正弦定理＝，
得ρsin＝.
又因为点A(3，π)适合上式，
故所求直线的极坐标方程为ρsin＝.
引申探究
在本例条件下，若倾斜角改为，求直线的极坐标方程．
解 设P(ρ，θ)为直线上的任意一点，
在△AOP中，
ρcos(π－θ)＝3，
∴ρcos θ＝－3.
又点A(3，π)适合ρcos θ＝－3，
∴直线的方程为ρcos θ＝－3.
反思与感悟 (1)求直线的极坐标方程的一般方法
设出直线上的任意一点(ρ，θ)，利用三角形中的定理，如正弦定理、余弦定理等列出ρ，θ的关系式，即为直线的极坐标方程．
(2)求直线的极坐标方程的注意事项
①当ρ≥0时，直线上的点的极角不是常量，所以直线的极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程，所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程惟一且简便；
②当规定了“负极径”的意义，即ρ∈R时，直线的极坐标方程就是惟一的了．
跟踪训练1 在极坐标系中，直线l经过点M，且该直线与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程．
解 方法一 设P(ρ，θ)是直线上除M点外任意一点，则在△OPM中，|OP|＝ρ，∠POM＝－θ或θ－，
∠OPM＝θ－或－θ，∠OMP＝或.
由正弦定理，有＝，即＝.
∵sin＝sin＝sin，
∴ρsin＝，又M满足该式，
∴直线l的极坐标方程为ρsin＝.
方法二 以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，
则点M的直角坐标为(0,3)．过点M且倾斜角为的直线l的直角坐标方程为y＝x＋3.
由直角坐标与极坐标的互化公式
得直线l的极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋3，
即ρ(sin θ－cos θ)＝3.
类型二 直线的直角坐标方程与极坐标方程的互化
例2 把下列方程极、直互化．
(1)θ＝；(2)y＝2x；(3)ρsin＝.
解 (1)∵θ＝，∴tan θ＝，
即tan θ＝＝(x≠0)，∴y＝x(x≠0)．
又点(0,0)适合方程y＝x，
∴θ＝的直角坐标方程为y＝x.
(2)∵y＝2x，∴ρsin θ＝2ρcos θ，
∴tan θ＝2，极点(0,0)也适合tan θ＝2，
∴y＝2x的极坐标方程为tan θ＝2.
(3)∵ρsin＝，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，
∴x＋y－1＝0.
反思与感悟 把极坐标方程化为直角坐标方程时，通常要进行配凑．
(1)通常要用ρ去乘方程的两边，使之出现ρ2，ρcos θ，ρsin θ的形式．
(2)常取tan θ，方程用公式tan θ＝(x≠0)．
关键要注意变形的等价性．
跟踪训练2 把下列方程进行极、直互化．
(1)2x＋y＋1＝0；(2)y＝－x；(3)θ＝α.
解 (1)由得2x＋y＋1＝0的极坐标方程为ρ(2cos θ＋sin θ)＋1＝0.
(2)由得ρsin θ＝－ρcos θ，
∴tan θ＝－，∴θ＝.
(3)当α＝时，θ＝α的直角坐标方程为x＝0，
当α≠时，由θ＝α，得tan θ＝tan α，∴＝tan α，
即y＝tan α·x，原点(0,0)也适合y＝tan α·x，
∴θ＝α的直角坐标方程为y＝tan α·x.
类型三 直线的极坐标方程的应用
例3 在极坐标系中，直线l的方程是ρsin＝1，求点P到直线l的距离．
解 点P的直角坐标为(，－1)．
直线l：ρsin＝1可化为
ρsin θ·cos－ρcos θ·sin＝1，
即直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
∴点P(，－1)到直线x－y＋2＝0的距离为
d＝＝＋1.
故点P到直线ρsin＝1的距离为＋1.
反思与感悟 对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．
跟踪训练3 在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点．
(1)求a的值；
(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．
解 (1)由曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，
得ρ2＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为(x－a)2＋y2＝a2，
直线l：ρcos＝，
即ρcos θcos＋ρsin θsin＝，
得x＋y－＝0，即x＋y－3＝0，
由于直线与圆有且只有一个公共点，
所以d＝＝a，解得a＝1，a＝－3(舍去)．
(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，
则|OA|＋|OB|＝2cos θ＋2cos＝3cos θ－sin θ
＝2cos.
当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.
1．过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )
A．ρcos θ＝4 B．ρsin θ＝4
C．ρsin θ＝ D．ρcos θ＝
答案 C
解析 由题意可得，所求直线的直角坐标方程为
y＝2sin ＝，①
再根据y＝ρsin θ，将①化为极坐标方程可得ρsin θ＝.
2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
答案 B
3．7cos θ＋2sin θ＝0表示( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案 A
解析 两边同乘以ρ，得7ρcos θ＋2ρsin θ＝0.
即7x＋2y＝0，表示直线．
4．极坐标方程cos θ＝(ρ≥0)表示的曲线是( )
A．余弦曲线 B．两条相交直线
C．一条射线 D．两条射线
答案 D
解析 ∵cos θ＝，∴θ＝±＋2kπ(k∈Z)．
又∵ρ≥0，∴cos θ＝表示两条射线．
5．已知直线的极坐标方程为ρsin＝，则点A到这条直线的距离是 ．
答案
解析 点A的直角坐标为(，－)．
直线ρsin＝，
即ρsin θ·cos＋ρcos θ·sin ＝的直角坐标方程为x＋y＝，即x＋y＝1.
∴点A(，－)到直线x＋y－1＝0的距离为
d＝＝.
一、选择题
1．过点A(5,0)和直线θ＝垂直的直线的极坐标方程是( )
A．ρsin＝ B．ρcos＝
C．ρsin＝5 D．ρsin＝
答案 A
2．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．重合
答案 B
解析 直线θ＝α与直线ρsin(θ－α)＝1的斜率相同，且无公共点，故选B.
3．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于( )
A．直线θ＝对称 B．直线θ＝对称
C．点对称 D．极点对称
答案 B
4．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的直角坐标方程是( )
A．x＝2 B．y＝ C．x＝1 D．y＝
答案 D
5．在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 A
解析 点M的直角坐标为(2,2),
曲线ρcos＝2的直角坐标方程为x＋y－4＝0，根据点到直线的距离公式得d＝＝2.
6．在极坐标系中有如下三个结论：
①若点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；
②tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线；
③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．
在这三个结论中，正确的是( )
A．①③ B．① C．②③ D．③
答案 D
解析 若点P在曲线C上，则点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程，故①错；tan θ＝1能表示θ＝和θ＝π两条射线，故②错；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，3为半径的圆，故③正确．
二、填空题
7．在极坐标系中，过点A引圆ρ＝4sin θ的一条切线，则切线长为 ．
答案 4
解析 圆的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点A的直角坐标为(0，－4)，点A与圆心的距离为|－4－2|＝6，所以切线长为＝4.
8．过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ．
答案 ρcos θ＝1
解析 点P的直角坐标为(1，)，所以经过该点垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＝1.
9．在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为 ．
答案 4
解析 因为ρsin＝2，所以ρsin θ＋ρcos θ＝2，
化成直角坐标方程为x＋y－2＝0，
圆ρ＝4化成直角坐标方程为x2＋y2＝16，半径R＝4，
圆心到直线的距离为d＝＝2，
所以截得的弦长为2×＝2×＝4.
10．在极坐标系中，圆ρ＝2上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离的最小值是 ．
答案 1
解析 ρ＝2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，ρ(cos θ＋sin θ)＝6的直角坐标方程为x＋y－6＝0，圆心到直线的距离为d＝3，所以圆上的点到直线的距离的最小值为3－2＝1.
三、解答题
11．在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.(ρ≥0,0≤θ<2π)
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
解 (1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，
即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
则圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)由(1)知，圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得解得
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为，即为所求．
12．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解 在ρsin＝－中，
令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)，
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径PC＝ ＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
13．在极坐标系中，已知极点O到直线l的距离为3，过点O作直线l的垂线，垂足为A，由极轴到OA的角的大小为，求直线l的极坐标方程．
解 在直线l上任取一点M(ρ，θ)，如图所示．
在Rt△OAM中，|OM|＝ρ，
∠AOM＝∠AOx－∠MOx＝－θ或θ－，
则|OA|＝|OM|·cos∠AOM，即ρcos＝3，
所以所求直线l的极坐标方程为ρcos＝3.
四、探究与拓展
14．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ在点M(2,0)处的切线的极坐标方程为 ．
答案 ρcos θ＝2
解析 如图，
∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，
∴x2＋y2＝2x.
由图象可知圆在点M(2,0)处的切线为x＝2，即ρcos θ＝2.
15．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝，过极点作直线与它交于A，B两点，且|AB|＝6.求直线AB的极坐标方程．
解 设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1.
A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)，
ρ1＝，
ρ2＝＝.
|AB|＝|ρ1＋ρ2|＝
＝，
∴＝±1，
∴cos θ1＝0或cos θ1＝±.
故直线AB的极坐标方程为θ＝，θ＝或θ＝.
专题检测试卷(一)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知曲线C的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P，Q(2，π)，则有( )
A．P在曲线C上，Q不在曲线C上
B．P，Q都不在曲线C上
C．P不在曲线C上，Q在曲线C上
D．P，Q都在曲线C上
答案 C
2．将曲线C按伸缩变换公式变换，得到的曲线方程为x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C．4x2＋9y2＝36 D．4x2＋9y2＝1
答案 D
解析 把代入x′2＋y′2＝1，可得到关于x，y的式子，即得曲线C的方程，∴4x2＋9y2＝1即为所求．
3．直角坐标为(3－，3＋)的点的极坐标可能是( )
A. B.
C. D.
答案 B
4．将点的柱坐标化为直角坐标为( )
A．(，1,3) B．(1，，3)
C．(1,2,3) D．(2,1,3)
答案 A
5．圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 A
6．在极坐标系中，点A与B之间的距离为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由A与B知，∠AOB＝，∴△AOB为等边三角形，因此|AB|＝2.
7．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( )
A．两条直线 B．四条直线
C．两个点 D．四个点
答案 D
解析 由方程得
解得或或或故选D.
8．在极坐标系中，直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 化圆的极坐标方程ρ＝2cos为直角坐标方程，得2＋2＝1，圆心坐标为，半径为1，化直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为x－y＝0，由于－×＝0，即直线x－y＝0，过圆2＋2＝1的圆心，故直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长为2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．点A的直角坐标为，则它的球坐标为________．
答案
解析 r＝＝6.
cos φ＝＝，∴φ＝.tan θ＝＝，∴θ＝.
∴它的球坐标为.
10．在极坐标系中，点A关于直线l：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．
答案
解析 由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直，设A′是点A关于l的对称点，
则四边形OBA′A是正方形，∠BOA′＝，且OA′＝2，
故A′的极坐标可以是.
11．已知点A是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A到直线ρsin＝4的距离的最大值是________．
答案
解析 曲线ρ＝2cos θ，即(x－1)2＋y2＝1，表示圆心为(1,0)，半径为1的圆，直线ρsin＝4，即x＋y－8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于＝，所以点A到直线ρsin＝4的距离的最大值是＋1＝.
12．在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为________．
答案
解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＝2，
即x－y－2＝0，圆ρ＝4sin θ，
即x2＋(y－2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，半径为2的圆，
由得故直线和圆的交点坐标为(，1)，
故它的极坐标为.
三、解答题(本大题共6小题，共60分)
13．(10分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x－5)2＋(y＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．
解 ∵经过伸缩变换后，
曲线C变为曲线(x－5)2＋(y＋6)2＝1，
∴(x′，y′)适合方程(x－5)2＋(y＋6)2＝1，
即(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，
∴(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，
∴2＋(y＋3)2＝.
∴曲线C的方程为2＋(y＋3)2＝，曲线是以为圆心，半径为的圆．
14．(10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．
解 将曲线C1，C2化为直角坐标方程，得C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心到直线的距离d＝＝>，
∴曲线C1与C2相离．
15．(10分)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
解 (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，
则由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ.
又ρ2＝2，ρ1＝，
所以＝4，
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．
16．(10分)如图所示，在柱坐标系中，长方体OABC—O1A1B1C1的两个顶点的坐标分别为A1(2,0,3)，C，求此长方体的外接球的表面积．
解 在柱坐标系中，由A1(2,0,3)，C，
得|OA|＝2，|OO1|＝3，|OC|＝4，
∴长方体的体对角线|OB1|＝＝，
∴长方体的外接球的半径为，
故该长方体的外接球的表面积S＝4π2＝29π.
17．(10分)已知圆M的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0，求ρ的最大值．
解 原方程化为ρ2－4ρ·＋6＝0，
即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0.
故圆的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.
圆心为M(2,2)，半径为.
故ρmax＝|OM|＋＝2＋＝3.
18．(10分)从极点O引一条直线和圆ρ2－2aρcos θ＋a2－r2＝0相交于一点Q，点P分线段OQ的比为m：n，求点Q在圆上移动时，点P的轨迹方程，并指出它表示什么曲线．
解 设点P，Q的极坐标分别为(ρ，θ)和(ρ1，θ1)，
由题设知将其代入圆的方程，
得2－2acos θ＋a2－r2＝0，
整理得(m＋n)2ρ2－2am(m＋n)ρcos θ＋m2(a2－r2)＝0，
∴点P的轨迹方程为(m＋n)2ρ2－2am(m＋n)ρcos θ＋m2(a2－r2)＝0，它表示一个圆．
二 极坐标系
第1课时 极坐标系的概念
学习目标 1.了解极坐标系的实际背景.2.理解极坐标系的概念.3.理解极坐标的多值性．
知识点 极坐标系
思考1 某同学说他家在学校东偏北60°，且距学校1公里处，那么他说的位置能惟一确定吗？这个位置是由哪些量确定的？
答案 能惟一确定；位置是由角和距离两个量确定的．
思考2 类比平面直角坐标系，怎样建立用角与距离确定平面上点的位置的坐标系？
答案 选一个点O为基点，射线OA为参照方向．
梳理 极坐标系的概念
(1)极坐标系的定义
①取极点：平面内取一个定点O；
②作极轴：自极点O引一条射线Ox；
③定单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)．
(2)点的极坐标
①定义：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)；
②意义：ρ＝|OM|，即极点O与点M的距离(ρ≥0)．
θ＝∠xOM，即以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角．
类型一 由极坐标画出点
例1 根据下列极坐标作出各点．
(1)A，B，C；
(2)D，E，F，G.
解 如图，
反思与感悟 由极坐标作点，先由极角线找点所在角的终边，再由极径确定点的位置．通过作点可以看出“极角确定，极径变，点在一条线”，“极径不变，极角变，点在圆上转”．
跟踪训练1 根据下列极坐标，作出各点．
A(5,0)，B，C，D.
解 在极坐标系中，点A，B，C，D的位置是确定的．
类型二 求点的极坐标
例2 设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．
解 如图所示，
关于极轴的对称点为B.
关于直线l的对称点为C.
关于极点O的对称点为D.
引申探究
1．若将极角θ限定为0≤θ<2π，求例2中的点的极坐标．
解 B，C，D.
2．若将极角θ改为θ∈R，求例2中的点的极坐标．
解 B，C，D(k∈Z)．
反思与感悟 (1)设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
(2)点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．
(3)写点的极坐标要注意顺序，极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．
跟踪训练2 在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线θ＝的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π))．
解 作出图形，可知A关于直线θ＝的对称点是.
类型三 极坐标系中两点间的距离
例3 在极坐标系中，点O为极点，已知点A，B，求|AB|的值．
解 如图∠AOB＝－＝，
∴△AOB为直角三角形，
∴|AB|＝＝6.
引申探究
在本例条件不变的情况下，求AB的中点的极坐标．
解 取AB的中点M，连接OM，
在△AOB中，∠AOB＝，OA＝OB，
∴∠AOM＝，∴∠xOM＝＋＝.
又|OM|＝6×cos ＝3，
∴M的极坐标为.
反思与感悟 在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝的两种特殊情形为
①当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|；
②当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.
跟踪训练3 (1)在极坐标系中，已知两点P，Q，则线段PQ的长度为________．
答案 5
解析 作出图形，如图所示，可知OP与OQ垂直，所以线段PQ的长度|PQ|＝＝5.
(2)在极坐标系中，若△ABC的三个顶点为A，B，C，判断三角形的形状．
解 因为|AB|2＝52＋82－2×5×8×cos＝49，
|AC|2＝52＋32－2×5×3×cos＝49，
|BC|2＝82＋32－2×8×3×cos＝49.
所以△ABC是等边三角形．
1．极坐标系中，下列与点(1，π)相同的点为( )
A．(1,0) B．(2，π)
C．(1,2 016π) D．(1,2 017π)
答案 D
2．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为( )
A. B.
C. D.(k∈Z)
答案 C
3．在极坐标系中，与点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 根据极坐标的对称关系知，点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是.
4．在极坐标系中，已知A，B两点，则|AB|＝________.
答案
解析 |AB|＝ ＝.
1．极坐标系的四要素
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．
2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置．
3．确定点的极坐标的方法
点P的极坐标的一般形式为(ρ，θ＋2kπ)，k∈Z，则
(1)ρ为点P到极点的距离，是个定值．
(2)极角为满足θ＋2kπ，k∈Z的任意角，不惟一，其中θ是始边在极轴上，终边过OP的任意一个角，一般取绝对值较小的角．
一、选择题
1．在极坐标系中，下列与点M重合的点的极坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 与点M重合的点的极坐标可表示为(k∈Z)，故选D.
2．极坐标系中，极坐标对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 因为极坐标对应的点的极径大于0，极角的终边在平面直角坐标系中的第三象限，所以点在第三象限．
3．在极坐标系中，已知点A(4,1)，B，则线段AB的长度是( )
A．1 B. C．7 D．5
答案 D
解析 设极点为O，因为点A(4,1)，B，
所以OA⊥OB，所以AB＝＝5.
4．已知极坐标系中，点A，B，若O为极点，则△OAB为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰锐角三角形 D．等腰直角三角形
答案 D
解析 由题意，得∠AOB＝，
|AB|＝ ＝，
所以|OB|2＋|AB|2＝|OA|2且|AB|＝|OB|＝，
故△OAB为等腰直角三角形．
5．在极坐标中，已知点P，Q，则线段PQ的中点M的一个极坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 如图所示，|OP|＝|OQ|＝2，∠POQ＝－＝，
则|PQ|＝2，
|OM|＝|PQ|＝，
∠xOM＝＋＝，
所以点M的一个极坐标为.
6．已知极坐标系中，极点为O，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别是，，则顶点C的极坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 如图所示，
由于点A，B，故极点O为AB中点，
故等边△ABC的边长|AB|＝4，
则CO⊥AB，|CO|＝2，
则点C的极坐标为，即.
二、填空题
7．在极坐标系中，若两点A，B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．
答案 3
解析 由题意知，∠AOB＝，AO＝3，OB＝4，
所以△AOB(其中O为极点)的面积为
×3×4×sin ＝3.
8．已知在极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________．
答案 或
解析 在射线OM上符合条件的点为，
在射线OM反向延长线上符合条件的点为.
9．在极坐标系中，过点P作极轴的垂线，垂足为M，则点M的一个极坐标为__________．
答案 (1,0)
解析 如图所示，在极坐标系中，点P的极坐标为，
则|OP|＝2，∠xOP＝.由题意，过点P作极轴的垂线，垂足为M，则|OM|＝|OP|cos ＝1，故点M的一个极坐标为(1,0)．
10．已知在极坐标系中，△AOB为等边三角形，A，若ρ≥0，θ∈[0,2π)，则点B的极坐标为________________________________________________________________________．
答案 或
解析 设B(ρ，θ)，由∠AOB＝，
得θ－＝±＋2kπ，k∈Z，
即θ＝±＋2kπ，k∈Z.
由|OA|＝2，得ρ＝2，
又因为θ∈[0,2π)，所以θ＝或.
所以点B的极坐标为或.
三、解答题
11．在极坐标系中，分别求下列条件下点M关于极轴的对称点M′的极坐标．
(1)ρ≥0，θ∈[0,2π)；
(2)ρ≥0，θ∈R.
解 (1)当ρ≥0，θ∈[0,2π)时，点M关于极轴的对称点M′的极坐标为.
(2)当ρ≥0，θ∈R时，点M关于极轴的对称点M′的极坐标为，k∈Z.
12．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)如图所示，由A，B，C，
得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝.
∴△AOB≌△BOC≌△AOC，
∴AB＝BC＝CA，故△ABC为等边三角形．
(2)由上述可知，AC＝2OAsin＝2×2×＝2.
∴S△ABC＝×(2)2＝3.
13．某大学校园的部分平面示意图如图：
用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m，建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．
解 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系．
由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，
得|AC|＝300 m，|OA|＝300 m，
又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m.
同理，得|OE|＝2|OG|＝300 m，
所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，
C，D，E，F(300，π)，G.
四、探究与拓展
14．已知两点的极坐标A，B，则|AB|＝____，AB与极轴正方向所夹的角为________．
答案 3
解析 ∵|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝，∴|AB|＝3.
∠ADx＝π－∠ADO＝.
15．已知定点P.
(1)将极点移至O′处，极轴方向不变，求P点的新坐标；
(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标．
解 (1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，
由题意可知|OO′|＝2，
|OP|＝4，∠POx＝，
∠O′Ox＝，∴∠POO′＝.
在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2×4×2·cos
＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.
又∵＝，
∴sin∠OPO′＝·2＝，∴∠OPO′＝.
∴∠OP′P＝π－－＝，
∴∠PP′x＝.∴∠PO′x′＝.
∴P点的新坐标为.
(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，
则ρ＝4，θ＝＋＝.
∴P点的新坐标为.
第2课时 极坐标和直角坐标的互化
学习目标 1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用．
知识点 极坐标和直角坐标的互化
思考1 平面内的一个点M的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？
答案 可以．
思考2 要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？
答案 ①直角坐标的原点为极点；②x轴的正半轴为极轴；③单位长度相同．
梳理 互化的条件及互化公式
(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式
①极坐标化直角坐标：
②直角坐标化极坐标：
类型一 点的极坐标化直角坐标
例1 把下列点的极坐标化为直角坐标．
(1)A；(2)B；(3)M.
解 由公式得
(1)x＝2cos ＝－，y＝2sin ＝－1，
∴点A的直角坐标为(－，－1)．
(2)x＝3cos＝，y＝3sin＝－，
∴点B的直角坐标为.
(3)x＝6cos＝－3，y＝6sin＝3，
∴点M的直角坐标为(－3，3)．
反思与感悟 由极坐标化直角坐标是惟一的．由公式惟一确定．
跟踪训练1 已知点的极坐标分别为A，B，C，求它们的直角坐标．
解 根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
得A(－1，)，B，C(0，－4)．
类型二 点的直角坐标化极坐标
例2 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)．
(1)(－2,2)；(2)(，－)；(3).
解 (1)∵ρ＝＝＝4，
tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)．
由于点(－2,2)在第二象限，∴θ＝.
∴点的直角坐标(－2,2)化为极坐标为.
(2)∵ρ＝＝＝2，tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)，由于点(，－)在第四象限，
∴θ＝.
∴点的直角坐标(，－)化为极坐标为.
(3)∵ρ＝＝＝，tan θ＝＝1，θ∈[0,2π)．
由于点在第一象限，所以θ＝.
∴点的直角坐标化为极坐标为.
引申探究
1．若规定θ∈R，上述点的极坐标还惟一吗？
解 (1)(k∈Z)．
(2)(k∈Z)．
(3)(k∈Z)．
极坐标不惟一．
2．若点的直角坐标为(1)(0,2)，(2)(0，－)，(3)化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解 结合坐标系及直角坐标的特点知，
(1).(2).(3).
反思与感悟 (1)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)进行求解，先求极径，再求极角．(2)在[0,2π)范围内，由tan θ＝(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．
跟踪训练2 在直角坐标系中，求与点M的距离为1且与原点距离最近的点N的极坐标．
解 把点M的直角坐标化为极坐标，
得ρ＝ ＝5，tan θ＝＝－.
因为点M在第四象限，所以θ＝＋2kπ，k∈Z，
则点M的极坐标为，k∈Z.
依题意知，M，N，O三点共线，
则点N的极坐标为，k∈Z.
类型三 极坐标与直角坐标互化的应用
例3 已知A，B两点的极坐标为和，求线段AB中点的直角坐标．
解 因为A点的极坐标为，
所以xA＝6×cos ＝3，yA＝6×sin ＝3，
所以A(3,3)，
同理可得B(－4，－4)．
设线段AB的中点为M(m，n)，由线段中点的坐标公式可得
所以线段AB中点的直角坐标为.
引申探究
1．若本例条件不变，求线段AB中点的极坐标．
解 由例3知，AB中点的直角坐标为，
∴ρ2＝x2＋y2＝1，∴ρ＝1.
又tan θ＝＝，∴θ＝，∴极坐标为.
2．若本例条件不变，求AB的直线方程．
解 因为A点的极坐标为，
所以xA＝6×cos ＝3，yA＝6×sin ＝3，
所以A(3,3)．
又因为直线AB的倾斜角为，故斜率k＝，
故直线AB的方程为y－3＝(x－3)，即x－y＝0.
反思与感悟 应用点的极坐标与直角坐标互化的策略
在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时，若不方便利用极坐标直接解决，可先将极坐标化为直角坐标，利用直角坐标系中的公式、性质解决，再转化为极坐标系中的问题即可．
跟踪训练3 在极坐标系中， 如果A，B为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
解 对于点A有ρ＝2，θ＝，
∴x＝2cos ＝，
y＝2sin ＝，则A(，)．
对于B有ρ＝2，θ＝，
∴x＝2cos ＝－，y＝2sin ＝－.∴B(－，－)．
设点C的坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，
故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.
∴解得或
∴点C的坐标为(，－)或(－，)．
∴ρ＝＝2，tan θ＝＝－1或tan θ＝＝－1，
∴θ＝或θ＝.
故点C的极坐标为或.
1．将点M的极坐标化成直角坐标是( )
A．(5,5) B．(5，5)
C．(5,5) D．(－5，－5)
答案 A
2．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设点P的极坐标为(ρ，θ)，
∵ρ2＝x2＋y2＝4，∴ρ＝2，
又tan θ＝＝－1，且点P在第二象限，∴θ＝.
3．若M点的极坐标为，则M点的直角坐标是( )
A．(－，1) B．(－，－1) C．(，－1) D．(，1)
答案 A
解析 由公式可知
∴M点的直角坐标为(－，1)．
4．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－)．若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标与直角坐标的互化公式，得
ρ＝＝＝2，tan θ＝＝＝－.
∵点P在第四象限，结合选项知，θ可以是－，
∴点P的极坐标可以是.
5．已知点M的直角坐标为(－3，－3)，若ρ>0,0≤θ<2π，则点M的极坐标是________．
答案
解析 ρ＝＝6，
由6cos θ＝－3，得cos θ＝－，
又0≤θ<2π，且M(－3，－3)在第三象限，
∴θ＝，
故点M的极坐标为.
极坐标与直角坐标的互化
任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带，事实上，若ρ>0，sin θ＝，cos θ＝，所以x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．
一、选择题
1．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是( )
A. B. C. D.
答案 A
2．直角坐标为(－2,2)的点M的极坐标可以为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 易知ρ＝＝2，tan θ＝＝－1，
因为点M在第二象限，所以可取θ＝，则点M的极坐标可以为.
3．若点M的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－，<θ<π，则点M的直角坐标为( )
A．(3,4) B．(4,3) C．(－4,3) D．(－3,4)
答案 D
4．点M的直角坐标是(3，)，则点M的极坐标可能为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ρ＝＝2，tan θ＝＝，
又θ的终边过点(3，)，所以θ＝＋2kπ，k∈Z，
所以M的极坐标可能为.
5．在极坐标系中，已知△OAB的顶点A的极坐标为(，π)，AB边的中点D的极坐标为.若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B的直角坐标为( )
A．(3，4) B．(－3，4)
C．(－3，－4) D．(3，－4)
答案 C
解析 设顶点B的直角坐标为(x0，y0)．把A，D两点的极坐标化为直角坐标，得A(－，0)，D(－2，－2)，则由中点坐标公式得＝－2，＝－2，解得x0＝－3，y0＝－4，故顶点B的直角坐标为(－3，－4)．
二、填空题
6．把点M的极坐标化为直角坐标为________．
答案 (－5，－5)
7．已知两点的极坐标A，B，则直线AB的倾斜角为________．
答案
解析 点A，B的直角坐标分别为(0,3)，，
故kAB＝＝－，故直线AB的倾斜角为.
8．将向量＝(－1，)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为________．
答案 (－1，－)
解析 由于M(－1，)的极坐标为，绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为，化为直角坐标为(－1，－)．
9．在极坐标系中，O是极点，点A，B，则点O到AB所在直线的距离是________．
答案
解析 点A，B的直角坐标分别为(2，2)，，
则直线AB的方程为＝，
即(4－3)x－(4＋3)y＋24＝0，则点O到直线AB的距离为＝.
10．在极轴上与点A的距离为5的点M的坐标为________．
答案 (1,0)或(7,0)
解析 设M(r,0)，因为A，
所以 ＝5，即r2－8r＋7＝0，
解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．
三、解答题
11．若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．
(1)已知点A的极坐标为，求它的直角坐标；
(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)
解 (1)∵x＝ρcos θ＝4cos ＝2，
y＝ρsin θ＝4sin ＝－2，
∴A点的直角坐标为(2，－2)．
(2)∵ρ＝＝＝2，
tan θ＝＝－1，且点B位于第四象限内，
∴θ＝，∴点B的极坐标为.
又∵x＝0，y<0，∴ρ＝15，θ＝.
∴点C的极坐标为.
12．在极坐标系中，已知点A，B.
(1)求|AB|的值；
(2)求△AOB的面积(O为极点)．
解 如图所示，
(1)∠AOB＝－＝，所以|AB|2＝32＋(4)2－2×3×4cos ＝93，所以|AB|＝.
(2)S△AOB＝OA·OBsin∠AOB＝×3×4×＝3.
13．在极坐标系中，已知三点M，N(2,0)，P.判断M，N，P三点是否共线？说明理由．
解 将极坐标M，N(2,0)，P分别化为直角坐标，得M(1，－)，N(2,0)，P(3，)．
方法一 因为kMN＝kPN＝，所以M，N，P三点共线．
方法二 因为＝＝(1，)，所以∥，
所以M，N，P三点共线．
四、探究与拓展
14．已知点P在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P的极坐标为________．
答案
解析 ∵点P(x，y)在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，
∴x＝－2，y＝－2，∴ρ＝＝2.
又tan θ＝＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝π.
因此，点P的极坐标为.
15．已知点M的极坐标为，极点O′在直角坐标系xOy中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x轴，极轴的方向与x轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M的直角坐标．
解 如图所示．
设M在直角坐标系x′O′y′中的坐标为(x′，y′)，
则x′＝ρcos θ＝4cos ＝2，y′＝ρsin θ＝4sin ＝2，
又M在原坐标系中的坐标为(x，y)，
则x＝x′＋2＝2＋2，y＝y′＋3＝5，
∴点M的直角坐标是(2＋2,5)．
四 柱坐标系与球坐标系简介
学习目标 1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题．
知识点一 柱坐标系
思考 要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？
答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．
梳理 柱坐标系的概念
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
知识点二 球坐标系
思考 要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示．
答案 可以．
梳理 球坐标系的概念
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以
用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
类型一 柱坐标与直角坐标的互化
例1 (1)已知点A的直角坐标为(－1，，4)，求它的柱坐标；
(2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标．
解 (1)设点A的柱坐标为(ρ，θ，z)，则
解得∴点A的柱坐标为.
(2)由变换公式
得x＝4cos ＝2，y＝4sin ＝2，z＝8.
∴点P的直角坐标为(2,2，8)．
反思与感悟 (1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ＝，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．
(2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．
跟踪训练1 (1)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标；
(2)已知点N的柱坐标为，求它的直角坐标．
解 (1)ρ＝＝＝1.
∵x＝0，y>0，∴θ＝.∴点M的柱坐标为.
(2)由变换公式
x＝2cos ＝0，y＝2sin ＝2，
故点N的直角坐标为(0,2,3)．
类型二 球坐标与直角坐标的互化
例2 (1)已知点P的球坐标为，求它的直角坐标；
(2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－2)，求它的球坐标．
解 (1)由变换公式，得
x＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2.
y＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2.
z＝rcos φ＝4cos ＝－2.
故其直角坐标为(2,2，－2)．
(2)由坐标变换公式，可得
r＝＝＝4.
由rcos φ＝z＝－2，
得cos φ＝＝－，φ＝.
又tan θ＝＝1，θ＝，
从而知M点的球坐标为.
反思与感悟 由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝来求，要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．
跟踪训练2 把下列各点的球坐标化为直角坐标．
(1)；(2).
解 设点的直角坐标为(x，y，z)．
(1)∵(r，φ，θ)＝，
∴
∴(－1，－1，－)为所求．
(2)∵(r，φ，θ)＝，
∴
∴为所求．
类型三 求点的坐标
例3 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD边长为1，高AA1为，建立空间直角坐标系(如图)，Ax为极轴，求点C1的直角坐标，柱坐标及球坐标．
解 点C1的直角坐标为(1,1，)，
设C1的柱坐标为(ρ，θ，)，ρ＝＝，tan θ＝＝1，θ＝，
所以C1的柱坐标为，
设C1的球坐标为(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，
由x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ，
得r＝＝＝2.
由z＝rcos φ，得cos φ＝，φ＝，
又tan θ＝＝1，∴θ＝，
从而点C1的球坐标为，柱坐标为，直角坐标为(1,1，)．
反思与感悟 (1)弄清空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系之间的关系，灵活运用直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式．
(2)结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系．
跟踪训练3 在例3的条件下，求点C，A1的直角坐标、柱坐标及球坐标．
解 C的直角坐标为(1,1,0)，设C的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)(ρ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π)．
ρ＝＝，tan θ＝＝1，
∴θ＝，z＝0，∴C的柱坐标为.
又r＝＝，φ＝，θ＝，
∴C的球坐标为.
A1的直角坐标为(0,0，)，A1的柱坐标为(0,0，)，
A1的球坐标为(，0,0)．
1．在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为( )
A．(2,0,3) B．(，，0)
C. D.
答案 B
2．设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为( )
A．(2,0,2) B．(2，π，2)
C．(，0,2) D．(，π，2)
答案 A
3．在球坐标系中，方程r＝2表示空间的( )
A．球 B．球面 C．圆 D．直线
答案 B
4．点P的柱坐标为，则点P到原点的距离为________．
答案 5
解析 x＝ρcos θ＝4cos ＝2，y＝ρsin θ＝4sin ＝2.即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点距离为
＝＝5.
5．已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.
答案 2
解析 如图所示，
tan φ＝＝，tan θ＝＝2.
1．空间点的坐标的确定
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的，即(x，y，z)．
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z)．
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离组成的，即(r，φ，θ)．注意求坐标的顺序为①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.
2．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标系中的竖坐标．
一、选择题
1．点P的柱坐标是，则其直角坐标为( )
A．(2，2，3) B．(－2，2，3)
C．(－2，－2，3) D．(2，－2，3)
答案 C
2．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 B
3．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 (1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为.
4．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面yOz内．
5．已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为( )
A．2 B. C．2 D．4
答案 A
解析 设点M的直角坐标为(x，y，z)．
∵(r，φ，θ)＝，
∴
∴点M的直角坐标为(－2,2,2)，
∴点M到Oz轴的距离为＝2.
6．在柱坐标系中，点P的坐标为，则点P的直角坐标为( )
A．(，－1,1) B．(，1,1)
C．(－1，，1) D．(1，，1)
答案 D
解析 柱坐标对应的点的直角坐标是，即(1，，1)．
二、填空题
7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在坐标轴Oy上的射影为N，则|MN|＝________.
答案
解析 设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，
则PN为线段MN在平面xOy上的射影．
因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，
所以PN⊥直线Oy，
所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝＝＝.
8．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．
答案
解析 如图，
由题意知|OA|＝|OB|＝1，∠POC＝，∠PAC＝，|PC|＝|CA|＝，故所求面积为.
9．已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为，则|OM|＝________.
答案 3
解析 因为(ρ，θ，z)＝，
设点M的直角坐标为(x，y，z)，则x2＋y2＝ρ2＝4，
所以|OM|＝＝＝3.
10．已知点P1的球坐标是，P2的柱坐标是，则|P1P2|＝________.
答案
解析 因为点P1的球坐标是，
所以
经计算得P1(2，－2，0)，
因为P2的柱坐标是，
所以经计算得P2(，1,1)．
所以|P1P2|＝＝.
三、解答题
11．设点M的直角坐标为(1,1，)，求点M的柱坐标与球坐标．
解 由坐标变换公式，可得ρ＝＝，tan θ＝＝1，θ＝，r＝＝＝2.
由rcos φ＝z＝(0≤φ≤π)，
得cos φ＝＝，φ＝.
所以点M的柱坐标为，
球坐标为.
12．已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，求这两个点的直角坐标．
解 设点P的直角坐标为(x，y，z)，
则由柱坐标与直角坐标的变换公式，得
x＝cos ＝×＝1，y＝sin ＝1，z＝5.
设点B的直角坐标为(x，y，z)，
则由球坐标与直角坐标的变换公式，得
x＝1×sin cos ＝1××＝，
y＝1×sin sin ＝1××＝，
z＝1×1×cos ＝.
故点P的直角坐标为(1,1,5)，
点B的直角坐标为.
四、探究与拓展
13．点M的球坐标为(r，φ，θ)，φ，θ∈(0，π)，则其关于点(0,0,0)的对称点的球坐标为________________．
答案 (r，π－φ，π＋θ)
14．有一个母线与轴线夹角为的倒置圆锥，一只小虫在圆锥面上从顶点出发盘旋着向上爬行，已知它上升的速度为v>0，盘旋的角速度为ω>0，求t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标．
解 取圆锥的顶点O为坐标原点，建立球坐标系，如图，
设t时刻蚂蚁在点M(r，φ，θ)处，
由题意得θ＝ωt，z＝vt，φ＝，
由于＝cos φ＝cos ＝，于是r＝2z＝2vt，
所以t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标为M，t∈[0，＋∞)．
复习课
学习目标 1.复习回顾坐标系的重要知识点.2.进一步熟练极坐标方程的求法，能熟练进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.能应用极坐标解决相关问题，并体会极坐标在解决有关问题时的优越性．
1．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．
由图可知下面的关系式成立：
或
顺便指出，上式对ρ<0也成立．
这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．曲线极坐标方程的求法
求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程．
类型一 求曲线的极坐标方程
例1 在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程．
解 (1)设M(ρ，θ)是圆C上除O(0,0)以外的任意一点，
在△OCM中，∠COM＝，
由余弦定理，得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM，
∴32＝ρ2＋32－2×ρ×3cos，即ρ＝6cos.
经检验，点O(0,0)也在此方程所表示的圆上．
∴圆C的极坐标方程为ρ＝6cos.
(2)设点Q为(ρ1，θ1)，点P为(ρ0，θ0)，
由＝2，得＝2(－)，
∴＝，∴ρ1＝ρ0，θ1＝θ0，
将其代入圆ρ1＝6cos，得ρ0＝6cos，
即ρ0＝9cos.
所以动点P的轨迹方程为ρ＝9cos.
反思与感悟 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．
跟踪训练1 在极坐标系中，过点作圆ρ＝4sin θ的切线，求切线的极坐标方程．
解 把代入圆的极坐标方程ρ＝4sin θ，易知点满足方程，所以点M在圆ρ＝4sin θ上．
如图所示，在极坐标系中，过点M的圆ρ＝4sin θ的切线与极轴垂直，设切线与极轴的交点为N，
则在Rt△OMN中，|ON|＝|OM|cos ＝2.设P(ρ，θ)是切线上除点N以外的任意一点，则在Rt△OPN中，cos∠PON＝，即cos θ＝，又N(2,0)满足上式，故所求切线的极坐标方程为ρcos θ＝2.
类型二 极坐标与直角坐标的互化
例2 (2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
反思与感悟 (1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．
(2)极坐标方程化直角坐标方程时，要注意凑出：ρcos θ，ρsin θ，tan θ，以方便用ρcos θ＝x，ρsin θ＝y及tan θ＝代入化简．
跟踪训练2 已知点A，B的直角坐标分别为(2,0)，(3，)，求以A为圆心，过点B的圆的极坐标方程．
解 |AB|＝＝2，
故圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2＝4x.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝4x，
化简得ρ＝4cos θ，
所以所求圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
类型三 极坐标的综合应用
例3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB.
(1)求证：＋为定值；
(2)求△AOB面积的最大值和最小值．
解 以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
设A，B两点的极坐标分别为(ρ1，θ1)，(ρ2，θ2)
，
则A，B两点的直角坐标分别为(ρ1cos θ1，ρ1sin θ1)，(ρ2cos θ2，ρ2sin θ2)．
(1)∵A在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1，∴ρ＝，
同理ρ＝＝
∴＋
＝＋＝
＝为定值．
(2)在△AOB中，OA⊥OB.
S＝|OA|·|BO|×＝ρ1ρ2.∴S2＝ρρ.
由(1)知ρ＝，ρ＝，
∴ρρ＝
＝
＝，
当sin22θ1＝0时，(ρ1ρ2)2的最大值为a2b2，
∴S最大＝ab，
当sin22θ1＝1时，(ρ1ρ2)2的最小值为，
∴S最小＝.
反思与感悟 (1)用极坐标解决问题的关键是建立适当的极坐标系．建系的原则是有利用极径、极角表示问题中的量．
(2)用极坐标解决问题，并不能忽视极坐标与直角坐标间的互化问题．
跟踪训练3 用极坐标法证明：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．
证明 设F为抛物线的焦点，AB是过焦点F的弦，焦点到准线的距离为ρ.
以F为极点，Fx为极轴，建立如图所示的极坐标系．
设A的极坐标为(ρ1，θ)，
则B的极坐标为(ρ2，θ＋π)，
由抛物线的定义知，＝1，ρ1＝ρ1cos θ＋ρ，
∴ρ1＝.同理ρ2＝＝，
∴＋＝＋＝＋
＝(常数)．
1．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝1，ρ＝4cos θ，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．
答案
2．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
答案 3
解析 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，
所以不妨取直线OB的方程为y＝x，
联立
消去y，得x2＝x，
解得x＝或x＝0，
所以y＝x＝3，即a＝3.
3．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
答案 2
4．已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin＝6，
(1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；
(2)求C1，C2交点间的距离．
解 (1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，所以x2＋y2＝100，
所以C1为圆心是(0,0)，半径是10的圆．
由C2：ρsin＝6，得ρ＝6.
所以y－x＝12，即x－y＋12＝0，
所以C2表示直线．
(2)由于圆心(0,0)到直线x－y＋12＝0的距离为
d＝＝6所以直线l被圆截得的弦长为2＝2＝16.
1．对于极坐标问题，重点是极坐标与直角坐标的互化公式，充分体现转化与化归的思想．
2．极坐标方程的求法，可以用直接法即直接去求极坐标方程，也可以先求曲线的直角坐标方程，再利用互化公式，将直角坐标方程化为极坐标方程．
3．要充分体会极坐标的优势，有些问题，用极坐标解决就比较方便简洁．
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝的图形是( )
答案 B
2．极坐标方程θ＝，θ＝(ρ>0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )
A. B.
C. D.
答案 B
3．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( )
A．2 B．6
C．2 D．2
答案 C
4．直线l1：ρsin(θ＋α)＝a和l2：θ＝－α的位置关系是( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1和l2重合 D．l1和l2斜交
答案 B
解析 由ρsin(θ＋α)＝a知，ρsin θcos α＋ρcos θsin α＝a，∴ycos α＋xsin α＝a，
即xsin α＋ycos α＝a，
∴斜率为－＝－tan α＝k1.
又k2＝tan＝，
∴k1·k2＝－1，∴两直线垂直．
5．下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的图形的是( )
A．ρ＝6＋5cos θ B．ρ＝6＋5sin θ
C．ρ＝6－5cos θ D．ρ＝6－5sin θ
答案 D
解析 由图可知，当θ＝－时，ρ最大，
所以应该是ρ＝6－5sin θ.
6．下列结论中不正确的是( )
A.与关于极轴对称
B.与关于极点对称
C.与关于极轴对称
D.与关于极点对称
答案 D
解析 与是同一个点，
因此D不正确．
二、填空题
7．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
答案
解析 直线2ρcos θ＝1可化为2x＝1，
即x＝，圆ρ＝2cos θ，
两边同乘以ρ得ρ2＝2ρcos θ，
化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1，
∴弦长为2 ＝.
8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，则|PQ|的最大值为________．
答案 18
解析 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又ρ＝12cos，∴ρ2＝12ρ，∴x2＋y2－6x－6y＝0.∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，
∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.
9．在极坐标系中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
答案
解析 ∵∴2sin θ·cos θ＝－1，即sin 2θ＝－1.
∴2θ＝，即θ＝，∴ρ＝2sin＝.
10．在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0与圆ρ－2cos θ＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 2
解析 ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴直线的直角坐标方程为x－y－1＝0，由ρ－2cos θ＝0，得ρ＝2cos θ，ρ2＝2ρcos θ，又ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＝2x，∴圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，又圆心(1,0)在直线上，∴AB为圆的直径，∴|AB|＝2.
三、解答题
11．已知定点A(a,0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．
解 设Q，P的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，则θ＝θ1，
在△POA中，ρ1＝·sin，|PA|＝，
又|OQ|＝|OP|＋|PA|，∴ρ＝2asin.
12．从极点O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．
解 (1)由题意可设动点P的坐标为(ρ，θ)，M的坐标为(ρ0，θ)，
由|OM|·|OP|＝12，得ρρ0＝12.
∵点M在直线l上，∴ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，
即点P的轨迹方程为ρ＝3cos θ.
(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝3x，
即2＋y2＝.
易知点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
直线l的直角坐标方程是x＝4.
结合图形(图略)易知|RP|的最小值为1.
13．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
得C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝，
故|ρ1－ρ2|＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，
故其面积为×1×1＝.
四、探究与拓展
14．如果直线ρ＝与直线l关于极轴对称，那么直线l的极坐标方程是________．
答案 ρ＝
解 设M(ρ，θ)是直线l上的任意一点，则M(ρ，θ)关于极轴的对称点M′(ρ，－θ)必在直线ρ＝上，
∴ρ＝，即ρ＝.
15．已知如图点O为极点，OR为圆ρ＝acos θ的弦，在直线OR上取点P和点Q，使得|RP|＝|RQ|＝a，当点R在圆上移动时，试求点P和点Q的轨迹方程．
解 设P(ρ，θ)，R(ρ0，θ0)，则θ0＝θ，ρ＝ρ0＋a，
∴∵R在圆ρ＝acos θ上，即ρ0＝acos θ0，
∴ρ－a＝acos θ，即ρ＝acos θ＋a.
设Q(ρ，θ)，R(ρ0，θ0)则θ0＝θ，ρ＝ρ0－a，∴
∴ρ＋a＝acos θ，即ρ＝acos θ－a.
∴点P的轨迹方程为ρ＝acos θ＋a，
点Q的轨迹方程为ρ＝acos θ－a.
