一 曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念及圆的参数方程
学习目标 1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题．
知识点一 参数方程的概念
思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标(x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？
答案 可以引入参数，作为x，y联系的桥梁．
梳理 参数方程的概念
(1)参数方程的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t(θ，φ，…)的函数①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，t叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程．
(2)参数的意义
参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化．
知识点二 圆的参数方程
思考 如图，角θ的终边与单位圆交于一点P，P的坐标如何表示？
答案 P(cos θ，sin θ)，由任意角的三角函数的定义即x＝cos θ，y＝sin θ.
梳理 圆的参数方程
圆心和半径
圆的普通方程
圆的参数方程
圆心O(0,0)，半径r
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
圆心C(a，b)，半径r
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(θ为参数)
类型一 参数方程及应用
例1 已知曲线C的参数方程是(t为参数)．
(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．
解 (1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，
得解得t＝0.
∴点M1在曲线C上．
同理可知，点M2不在曲线C上．
(2)∵点M3(6，a)在曲线C上，
∴解得t＝2，a＝9.∴a＝9.
反思与感悟 参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的．
跟踪训练1 在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程是(θ为参数)．
(1)求曲线C上的点Q(－，－3)对应的参数θ的值；
(2)若点P(m，－1)在曲线C上，求m的值．
解 (1)把点Q的坐标(－，－3)代入参数方程，
得即
解得θ＝＋2kπ(k∈Z)，故曲线上的点Q对应的参数θ的值是＋2kπ(k∈Z)．
(2)把点P的坐标(m，－1)代入参数方程，
得
解得sin θ＝，故cos θ＝±，即m＝±，
即所求m的值是±.
类型二 求曲线的参数方程
例2 如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B，A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．
解 方法一 设点P(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于点Q.如图所示，则
Rt△OAB≌Rt△QBP.
取OB＝t，t为参数(0
∵|OA|＝，
∴|BQ|＝.
又∵|PQ|＝|OB|＝t，
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
(0方法二 设点P(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．
取∠QBP＝θ，θ为参数，
则∠ABO＝－θ，
在Rt△OAB中，|OB|＝acos＝asin θ.
在Rt△QBP中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
(θ为参数，0<θ<)．
反思与感悟 求曲线参数方程的主要步骤
(1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．
(2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点
①曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；
②x，y的值可以由参数惟一确定．
(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
跟踪训练2 长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，＝3，点P的轨迹为曲线C.
(1)以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程；
(2)求点P到点D(0，－2)距离的最大值．
解 (1)设P(x，y)，由题意，得
x＝|AB|cos(π－α)＝－2cos α，
y＝|AB|sin(π－α)＝sin α.
所以曲线C的参数方程为
(α为参数，<α<π)
(2)由(1)得|PD|2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2
＝4cos2α＋sin2α＋4sin α＋4
＝－3sin2α＋4sin α＋8
＝－32＋.
当sin α＝时，|PD|取得最大值.
类型三 圆的参数方程及应用
例3 如图，圆O的半径为2，P是圆O上的动点，Q(4,0)在x轴上．M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，
(1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形；
(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围．
解 (1)设点M(x，y)，令∠xOP＝θ，
则圆O的参数方程为(θ为参数)，
∴点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)．又Q(4,0)，
∴x＝＝cos θ＋2，
y＝＝sin θ.
∴点M的轨迹的参数方程为(θ为参数)．
由参数方程知，点M的轨迹是以(2,0)为圆心，1为半径的圆．
(2)x＋2y＝cos θ＋2＋2sin θ＝sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝.
∵－1≤sin(θ＋φ)≤1，
∴－＋2≤x＋2y≤＋2.
即x＋2y的取值范围是[－＋2，＋2]．
反思与感悟 (1)圆的参数方程中的参数是角，所以圆上的点的坐标是三角函数．
(2)运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．
跟踪训练3 已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值．
解 由已知，可把点(x，y)视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点，设(θ为参数)．
则x2＋y2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2
＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋6sin.
∵－1≤sin≤1，
∴11－6≤x2＋y2≤11＋6.
∴x2＋y2的最大值为11＋6，最小值为11－6.
1．下列方程：
①(m为参数)；②(m，n为参数)；
③④x＋y＝0中，参数方程的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
2．曲线(θ为参数)围成图形的面积等于( )
A．π B．2π C．3π D．4π
答案 D
3．圆C：(θ为参数)的圆心坐标为________，和圆C关于直线x－y＝0对称的圆C′的普通方程是________________________________________________________．
答案 (3，－2) (x＋2)2＋(y－3)2＝16(或x2＋y2＋4x－6y－3＝0)
解析 将参数方程化为标准方程，得
(x－3)2＋(y＋2)2＝16，
故圆心坐标为(3，－2)．
点P(3，－2)关于直线y＝x的对称点为P′(－2,3)，
则圆C关于直线y＝x对称的圆C′的普通方程为
(x＋2)2＋(y－3)2＝16(或x2＋y2＋4x－6y－3＝0)．
4．已知(t为参数)，若y＝1，则x＝________.
答案 0或2
解析 ∵y＝t2＝1，
∴t＝±1.∴x＝1＋1＝2或x＝－1＋1＝0.
5．若P(2，－1)为圆O′：(0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程为________．
答案 x－y－3＝0
解析 圆心O′(1,0)，∴kO′P＝－1，即直线l的斜率为1.
∴直线l的方程为x－y－3＝0.
1．参数方程
(1)参数的作用：参数是间接地建立横、纵坐标x，y之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用．
(2)参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系．
2．求曲线参数方程的步骤
第一步，建系，设M(x，y)是轨迹上任意一点；
第二步，选参数，比如选参数t；
第三步，建立x，y与参数间的关系，即
一、选择题
1．若点P(4，a)在曲线(t为参数)上，则a等于( )
A．4 B．4 C．8 D．1
答案 B
解析 根据题意，将点P的坐标代入曲线方程中，得?
2．下列的点在曲线(θ为参数)上的是( )
A. B.
C．(－2，) D．(1，)
答案 B
解析 由参数方程
得y2＝1＋x，只有B项中的点符合上式．
3．已知O为原点，参数方程(θ为参数)上的任意一点为A，则|OA|等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 |OA|＝＝＝1，故选A.
4．参数方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．两条直线 B．一条射线
C．两条射线 D．双曲线
答案 C
解析 当t＞0时，是一条射线；
当t＜0时，也是一条射线，故选C.
5．圆心为点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )
A.(0≤θ<2π)
B.(0≤θ<2π)
C.(0≤θ<π)
D.(0≤θ<2π)
答案 D
解析 圆心为点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．故圆心为点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ<2π)．
6．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 由得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
曲线C表示以点(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，
则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝<3，
所以直线与圆相交，所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d<，故满足题意的点有2个．
二、填空题
7．若点(－3，－3)在曲线(θ为参数)上，则θ＝________________.
答案 ＋2kπ，k∈Z
解析 将点(－3，－3)代入参数方程(θ为参数)，得解得θ＝＋2kπ，k∈Z.
8．已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．
答案 (－1,1)，(1,1)
解析 由圆C的参数方程为可求得其在直角坐标系下的方程为x2＋(y－1)2＝1，由直线l的极坐标方程ρsin θ＝1，可求得其在直角坐标系下的方程为y＝1，由可解得所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1)．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(θ为参数)和直线l：3x＋4y－10＝0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于________．
答案 4
解析 由圆C的参数方程(θ为参数)，可得圆C的圆心为(－1,2)，半径为5，
又直线l的方程为3x＋4y－10＝0，
∴圆心到直线l的距离d＝＝1，
∴直线l与圆C相交所得的弦长为2＝4.
10．若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则2x＋y的最小值为________．
答案 －2
解析 令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，
则有x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2，
故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ
＝2sin(θ＋φ)，tan φ＝2.
∴－2≤2x＋y≤2.
即2x＋y的最小值为－2.
三、解答题
11．已知直线y＝x与曲线(α为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.
解 由得
∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，
其圆心为(1,2)，半径r＝2，
则圆心(1,2)到直线y＝x的距离
d＝＝.
∴|AB|＝2＝2 ＝.
12．已知曲线C：(θ为参数)，如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．
解 ∵∴x2＋(y＋1)2＝1.
∵圆与直线有公共点，则d＝≤1，
解得1－≤a≤1＋.
即实数a的取值范围是[1－，1＋]．
13.如图所示，OA是圆C的直径，且|OA|＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求P点的轨迹方程．
解 设点P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，
由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x＝OD＝|OQ|cos θ＝|OA|cos2θ＝2acos2θ，
y＝AB＝|OA|tan θ＝2atan θ.
所以P点的轨迹的参数方程为
θ∈.
四、探究与拓展
14．设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x－y，x1y1)的轨迹的参数方程是________．
答案
解析 设x1＝cos θ，y1＝sin θ，P(x，y)．
则即为所求．
15．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在曲线C上，曲线C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解 (1)半圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得半圆C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)．
由(1)知曲线C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
第2课时 参数方程和普通方程的互化
学习目标 1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.
3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题．
知识点 参数方程和普通方程的互化
思考1 要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？
答案 用普通方程比较方便．
思考2 把参数方程化为普通方程的关键是什么？
答案 关键是消参数．
梳理 (1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化
①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；
②如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．
(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法
①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；
②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；
③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．
特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域得x，y的取值范围.
类型一 参数方程化为普通方程
例1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状．
(1)(t为参数)；(2)(θ为参数)；(3)(t≠－1，t为参数)．
解 (1)由x＝＋1≥1，得＝x－1，代入y＝1－2，
得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线．
(2)由得
①2＋②2，得＋＝1，这是椭圆．
(3)方法一 x＋y＝＋＝＝1，
又x＝＝－1，故x≠－1，
y＝＝＝2－，故y≠2，
所以所求的方程为x＋y＝1(x≠－1，y≠2)．
方程表示直线(去掉一点(－1,2))．
方法二 由x＝，所以x＋xt＝1－t，
所以(x＋1)t＝1－x，即t＝，代入y中得，
y＝＝＝＝1－x，
所以x＋y＝1(x≠－1，y≠2)．
方程表示直线(去掉一点(－1,2))．
反思与感悟 消去参数方程中参数的技巧
(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数．
(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法．
(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin2θ＋cos2θ＝1消去参数θ.
跟踪训练1 将下列参数方程化为普通方程：
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数)．
解 (1)∵x＝t＋，∴x2＝t2＋＋2，
把y＝t2＋代入得x2＝y＋2.
又∵当t>0时，x＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；当t<0时，x＝t＋≤－2，当且仅当t＝－1时等号成立．∴x≥2或x≤－2，
∴普通方程为x2＝y＋2(x≥2或x≤－2)．
(2)可化为
两式平方相加得(x－2)2＋y2＝9，
即普通方程为(x－2)2＋y2＝9.
类型二 普通方程化为参数方程
例2 已知圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，根据下列条件，求圆C的参数方程．
(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数；
(2)设x＝2m，m为参数．
解 (1)过原点且倾斜角为θ的直线方程为y＝xtan θ，
由方程组
消去y，得x2＋x2tan2θ－2x＝0，
解得x＝0或x＝＝＝2cos2θ.
当x＝0时，y＝0，当x＝2cos2θ时，y＝xtan θ＝2cos θ·sin θ＝sin 2θ.
又适合参数方程
∴所求圆C的参数方程为(θ为参数，0≤θ<π)．
(2)把x＝2m代入圆C的普通方程，得4m2＋y2－4m＝0，
可得y2＝4m－4m2，即y＝±2，
∴所求圆C的参数方程为(m为参数)．
反思与感悟 (1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．
(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．
跟踪训练2 已知曲线的普通方程为4x2＋y2＝16.
(1)若令y＝4sin θ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？
(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？
解 (1)把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，
于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，
∴x＝±2cos θ(由θ的任意性可取x＝2cos θ)．
∴4x2＋y2＝16的参数方程是
(θ为参数)．
(2)将y＝t代入普通方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，
则x2＝，∴x＝±.
因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是
和(t为参数)
同理将x＝2t代入普通方程4x2＋y2＝16，得参数方程为和(t为参数)．
类型三 参数方程与普通方程互化的应用
例3 已知x，y满足圆C：x2＋(y－1)2＝1的方程，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求3x＋4y的最大值和最小值；
(2)若P(x，y)是圆C上的点，求P到直线l的最小距离，并求此时点P的坐标．
解 圆C的参数方程为(θ为参数)，
直线l的普通方程为x＋y－5＝0.
(1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4＝5sin(θ＋φ)＋4，tan φ＝，
∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.
(2)P到直线l的距离为
d＝＝，
当θ＋＝，即θ＝时，dmin＝1，
此时，x＝cos＝，y＝sin＋1＝，
∴点P的坐标为.
反思与感悟 (1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程．
(2)解决与圆有关的最大值，最小值问题时，通常用圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值，最小值问题．
跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；
(2)若点P是曲线C上任意一点，P点的直角坐标为(x，y)，求x＋2y的最大值和最小值．
解 (1)直线l的方程为x－y＋4＝0，
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋4＝0.
又曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0，
所以ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
(2)由(1)知曲线C的参数方程为
(θ为参数)，
所以x＋2y＝(2＋cos θ)＋2(2＋sin θ)
＝6＋(cos θ＋2sin θ)＝6＋sin(θ＋φ)，tan φ＝.
当sin(θ＋φ)＝－1时，x＋2y有最小值6－，
当sin(θ＋φ)＝1时，x＋2y有最大值6＋.
1．若点P在曲线ρcos θ＋2ρsin θ＝3上，其中0≤θ≤，ρ>0，则点P的轨迹是( )
A．直线x＋2y＝3
B．以(3,0)为端点的射线
C．圆(x－1)2＋y2＝1
D．以(1,1)，(3,0)为端点的线段
答案 D
2．将参数方程(θ为参数)化成普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
答案 C
解析 由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ，
∴y＝x－2.
又sin2θ＝x－2∈[0,1]，∴x∈[2,3]．
3．参数方程(θ为参数)表示的曲线的普通方程是_____________________．
答案 y2＝x＋1(－1≤x≤1)
4．将参数方程(t为参数)化成普通方程为____________________．
答案 x2－y＝2(y≥2)
解析 由x＝t＋，得x2＝t2＋＋2，
又y＝t2＋，∴x2＝y＋2.∵t2＋≥2，∴y≥2.
5．参数方程(φ为参数)表示的图形是________．
答案 圆
解析 x2＋y2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25，表示圆．
1．参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质．
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标(x，y)和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．
2．同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．
3．参数方程与普通方程的等价性
把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．
一、选择题
1．曲线(θ为参数)的方程等价于( )
A．x＝ B．y＝
C．y＝± D．x2＋y2＝1
答案 A
2．已知直线l：(t为参数)与圆C：(θ为参数)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别为( )
A.，(1,0) B.，(－1,0)
C.，(1,0) D.，(－1,0)
答案 C
3．参数方程(θ为参数)化为普通方程是( )
A．2x－y＋4＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0，x∈[2,3]
D．2x＋y－4＝0，x∈[2,3]
答案 D
解析 由条件可得cos 2θ＝y＋1＝1－2sin2θ＝1－2(x－2)，化简可得2x＋y－4＝0，x∈[2,3]．
4．过原点作倾斜角为θ的直线与圆(α为参数)相切，则θ等于( )
A. B.
C.或 D.
答案 C
解析 直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±，∴θ＝或.
5．下列参数方程中，与普通方程y2＝x表示同一曲线的是( )
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
答案 D
解析 由参数方程消去参数t，可得y2＝x.
又参数方程满足x≥0，y∈R，故选D.
二、填空题
6．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是____________________．
答案 (t为参数)
解析 把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0，
得x＝或x＝0，
当x＝0时，y＝0，当x＝时，y＝，
又适合参数方程
∴参数方程为(t为参数)．
7．若曲线的参数方程为(k为参数)，则其普通方程为________________．
答案 4x2＋y2－y＝0(0解析 由(k为参数)两式相除，得k＝－，代入y＝，
得4x2＋y2－y＝0.
由于y＝∈(0,1]，
所以曲线的普通方程为4x2＋y2－y＝0(08．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直角l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________________．
答案 ρ(cos θ－sin θ)＝1
解析 设倾斜角为的直线l的方程为y＝x＋b，曲线C：(α为参数)的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心C(2,1)到直线x－y＋b＝0的距离为d＝，依题意，得|AB|＝2＝2，即1－2＝1，解得b＝－1，所以直线方程为x－y－1＝0，化为极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1，
即ρ(cos θ－sin θ)＝1为所求．
9．过点M(2,1)作曲线C：(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线的普通方程为________．
答案 2x＋y－5＝0
解析 由于曲线表示圆心在原点，半径为4的圆，所以过点M的弦与线段OM垂直，
因为kOM＝，所以弦所在直线的斜率是－2，
故所求直线方程为y－1＝－2(x－2)，
即2x＋y－5＝0为所求．
10．已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos＝0，则圆C截直线所得弦长为________．
答案 4
解析 圆C的参数方程为
圆心为(，1)，半径为3，直线的普通方程为ρ＝x－y＝0，
即x－y＝0，圆心C(，1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2＝2＝4.
三、解答题
11．将参数方程(a，b为大于0的常数，t为参数)化为普通方程，并判断曲线的形状．
解 因为x＝，
所以t>0时，x∈[a，＋∞)，t<0时，x∈(－∞，－a]．
由x＝两边平方，可得
x2＝，①
由y＝两边平方，可得
y2＝，②
①×－②×并化简，得－＝1(a，b为大于0的常数)．
所以普通方程为－＝1(a>0，b>0)．
所以方程表示焦点在x轴上的双曲线．
12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数，r为常数，r>0)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＋2＝0.若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝2，求r的值．
解 由ρcos＋2＝0，
得ρcos θ－ρsin θ＋2＝0，
即直线l的方程为x－y＋2＝0.
由得曲线C的普通方程为x2＋y2＝r2，圆心坐标为(0,0)，
所以，圆心到直线的距离d＝，
由|AB|＝2＝2，得r＝2.
13．已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.
(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)曲线C1，C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
解 (1)由(θ为参数)，
得(x＋2)2＋y2＝10，
∴曲线C1的普通方程为(x＋2)2＋y2＝10.
∵ρ＝2cos θ＋6sin θ，
∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ，
∴x2＋y2＝2x＋6y，即(x－1)2＋(y－3)2＝10，
∴曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
(2)∵圆C1的圆心为C1(－2,0)，圆C2的圆心为C2(1,3)，
∴|C1C2|＝＝3<2，
∴两圆相交．
设公共弦的长为d，
∵两圆半径相等，∴公共弦平分线段C1C2，
∴2＋2＝()2，解得d＝，
∴公共弦长为.
四、探究与拓展
14．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为(θ为参数)，若圆C1与C2相切，则实数a＝________.
答案 ±或±5
解析 圆C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，其标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心坐标为(2,2)，半径长为2.圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆C2相切，则|C1C2|＝2＋|a|＝3或|C1C2|＝|a|－2＝3?a＝±或a＝±5.
15．在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若P(x，y)在直线l上，且在曲线C内，求x－y的取值范围；
(3)若Q(x，y)在曲线C上，求Q到直线l的最大距离dmax.
解 (1)因为ρ＝2sin θ，
所以ρ2＝2ρsin θ，
所以x2＋y2＝2y，
即x2＋(y－1)2＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)因为x－y＝t－＝－t－1，
又－1所以－<－t<，
所以－<－t－1<－，
即x－y的取值范围是.
(3)曲线C的参数方程为(θ为参数)，
直线l的普通方程为4x－3y＋3＝0，
d＝＝|sin(θ－φ)|，tan φ＝，所以dmax＝1.
三 直线的参数方程
学习目标 1.理解并掌握直线的参数方程.2.能够利用直线的参数方程解决有关问题．
知识点 直线的参数方程
思考1 如图，
直线l过定点M0(x0，y0)且倾斜角为α，那么直线的点斜式方程是什么？
答案 y－y0＝tan α(x－x0)．
思考2 在思考1中，若令x－x0＝tcos α(t为参数)，那么直线l的参数方程是什么？
答案 (t为参数)．
梳理 (1)直线的参数方程
①过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)；
②由α为直线的倾斜角知，当0<α<π时，sin α>0.
(2)直线参数方程中参数t的几何意义
参数t的绝对值表示t对应的点M到M0的距离．
①当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数；
②当与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.
(3)重要公式：设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA，tB，则|AB|＝|tB－tA|＝.
类型一 直线的参数方程与普通方程的互化
例1 (1)化直线l1的普通方程x＋y－1＝0为参数方程，并说明|t|的几何意义；
(2)化直线l2的参数方程(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义．
解 (1)直线l1与x轴交于点M0(1,0)，
又k＝tan α＝－，
∴cos α＝－，sin α＝，
∴直线l1的参数方程为(t为参数)．
|t|表示t对应的点M(x，y)到M0的距离．
(2)方程组变形为
①代入②消去参数t，
得直线的点斜式方程y－1＝(x＋3)，可得k＝tan α＝，倾斜角α＝，普通方程为x－y＋3＋1＝0.
又∵①②两式平方相加，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，
∴|t|＝，|t|是定点M1(－3,1)到t对应的点M(x，y)的有向线段的长的一半．
反思与感悟 (1)一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α<π)惟一确定，直线上动点M(x，y)的参数方程为(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式，特别地，当α＝时，直线的参数方程为(t为参数)．
(2)直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a，b为常数，t为参数)．
跟踪训练1 已知直线l：(t为参数)．
(1)分别求t＝0,2，－2时对应的点M(x，y)；
(2)求直线l的倾斜角；
(3)求直线l上的点M(－3，0)对应的参数t，并说明t的几何意义．
解 (1)由直线l：(t为参数)知，当t＝0,2，－2时，分别对应直线l上的点(－，2)，(0,3)，(－2，1)．
(2)方法一 化直线l：(t为参数)为普通方程为y－2＝(x＋)，
设直线l的倾斜角为α，则k＝tan α＝(0≤α<π)，
解得α＝.
故直线l的倾斜角为.
方法二 易知直线l：(t为参数)，
则直线l过定点M0(－，2)，且倾斜角为，
故直线l的倾斜角为.
(3)由(2)可知直线l的单位向量
e＝＝，且M0(－，2)，
又已知M(－3，0)，
∴＝(－2，－2)＝－4＝－4e，
∴点M(－3，0)对应的参数t＝－4，
几何意义为||＝4，且与e方向相反．
类型二 直线参数方程的应用
命题角度1 求弦长|AB|问题
例2 已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点．
(1)求|AB|；
(2)求AB的中点M的坐标及|FM|.
解 抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，
依题意，设直线AB的参数方程为(t为参数)，其中cos α＝，sin α＝，α为直线AB的倾斜角．
将代入y2＝8x，整理得t2－2t－20＝0.
设A，B对应的参数值为t1，t2，
则t1＋t2＝2，t1t2＝－20.
(1)|AB|＝|t2－t1|＝＝＝10.
(2)设AB的中点为M(x，y)，则＝，
∴－＝－，
∴＝(＋)＝e＝e，
故点M对应的参数为，
由得M(3,2)，|FM|＝＝.
反思与感悟 设二次曲线C：F(x，y)＝0，直线l：(t为参数)，如果l与C相交于A，B两点，那么将l的方程代入F(x，y)＝0后，可得at2＋bt＋c＝0，则该方程有两个不等实数根t1，t2，此时＝t1e，＝t2e，e＝(cos α，sin α)，于是易得以下两个常见的公式：(1)|AB|＝|t1－t2|；(2)线段AB的中点M对应的参数t＝，且|M0M|＝.
跟踪训练2 直线l过点P0(－4,0)，倾斜角α＝，l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．
(1)求弦长|AB|；
(2)求A，B两点坐标．
解 (1)∵直线l过点P0(－4,0)，倾斜角α＝，
∴可设直线l的参数方程为(t为参数)，
代入圆方程，得2＋2＝7.
整理得t2－4t＋9＝0. ①
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
由根与系数的关系，得t1＋t2＝4，t1t2＝9，
∴|AB|＝|t2－t1|＝＝2.
(2)解①得t1＝3，t2＝，代入直线参数方程
得A，B或A，B.
命题角度2 求积|M0A|·|M0B|问题
例3 过点P作倾斜角为α的直线与曲线x2＋12y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值．
解 设直线为(0≤α<，t为参数)，
代入曲线x2＋12y2＝1，
并整理得(1＋11sin2α)t2＋(cos α)t＋＝0.
由Δ≥0得，sin2α≤，设M，N对应的参数为t1，t2，
∴t1t2＝，
∴|PM|·|PN|＝|t1t2|＝＝.
∴当sin2α＝时，|PM|·|PN|取得最小值，且最小值为.
反思与感悟 利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，当求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，根据直线参数方程中参数的几何意义解题更为方便．
跟踪训练3 已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．
解 (1)因为直线l过点P(1,1)，倾斜角为，
所以直线的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)为所求．
(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为
A，B，
把直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，
整理得到t2＋(＋1)t－2＝0， ①
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.
所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
类型三 直线参数方程的综合应用
例4 已知曲线C1：(t为参数)，
C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|.
解 (1)由曲线C1：消去参数t，得y＝x＋4，
所以曲线C1表示一条直线．
由曲线C2：消去参数θ，
得(x＋2)2＋(y－1)2＝1，
所以曲线C2表示以(－2,1)为圆心，1为半径的圆．
(2)方法一 圆心C2(－2,1)到直线x－y＋4＝0的距离为d＝＝，
所以|AB|＝2＝2＝.
方法二 将直线的参数方程C1：(t为参数)
代入曲线C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，
整理得t2－3t＋4＝0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝3，t1t2＝4，
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝.
引申探究
1．若点P(－4,0)是曲线C1上的定点，本例其它条件不变，求|PA|＋|PB|的值．
解 由曲线C2：知，
曲线C2是圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1.
因为点P(－4,0)在圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1外，
将直线的参数方程
代入曲线C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，得t2－3t＋4＝0，
设A，B对应的参数为t1，t2，则t1，t2同号，
且t1＋t2＝3，t1·t2＝4，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝3.
2．在探究1条件不变的情况下，求＋的值．
解 由探究1知，t1＋t2＝3，t1·t2＝4，
所以|PA|＋|PB|＝|t1＋t2|＝3，
|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.
所以＋＝＝.
反思与感悟 (1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根据参数值得出交点坐标．
(2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参数的几何意义加以解决．
跟踪训练4 已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值；
(3)求的值．
解 (1)曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
(2)将代入x2＋y2－2x＝0，
得t2＋5t＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t1，t2，
则由参数t的几何意义可知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
(3)由(2)知t1，t2为同号，
＝＝|t2－t1|＝＝，
∴＝＝.
1．直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )
A．1 B. C．10 D．2
答案 B
解析 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，
即＝.
2．直线(t为参数，α＝)不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
3．若直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，则k＝________.
答案 －1
解析 由－·(－2)＝－1，得k＝－1.
4．设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为，则直线l的参数方程为________．
答案 (t为参数)
解析 ∵α＝，∴cos α＝－，sin α＝，
∴l的参数方程为(t为参数)．
5．一直线过点P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．
解 设直线的参数方程为(t为参数)，
将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，
得3＋2＝6，
解得t＝－，
∴|MP0|＝|t|＝.
1．经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量，可以为正、为负，也可以为零．
2．直线l：(t为参数)与二次曲线C交于两点A，B，A，B对应的参数为t1，t2.则|AB|＝|t1－t2|.但|M0A|＋|M0B|与|AB|不完全相同，当t1与t2异号时，|M0A|＋|M0B|＝|AB|＝|t1－t2|；当t1与t2同号时，|M0A|＋|M0B|＝|t1＋t2|≠|AB|.
3．要注意区别直线参数方程是否为标准形式，若不是标准形式，则参数t就不具有相应的几何意义．
一、选择题
1．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为( )
A. B．－
C. D．－
答案 B
解析 直线的普通方程为y＝－x＋，所以直线的斜率为－.
2．直线(α为参数，0≤a<π)必过点( )
A．(1，－2) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(2，－1)
答案 A
解析 当t＝0时，
所以直线必过点(1，－2)．
3．已知直线l过点A(2,1)，且与向量a＝(－1,1)平行，则点P(－1，－2)到直线l的距离是( )
A. B．2
C．3 D．2
答案 C
解析 由已知得直线l的参数方程为(t为参数)．因为直线上的任意一点M的坐标可表示为(2－t,1＋t)，所以|PM|＝＝，
当t＝0时，|PM|有最小值，最小值是3，此时|PM|为点P到直线l的距离．
4．直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为，且交直线x－y－2＝0于点M，则|MM0|等于( )
A.＋1 B．6(＋1)
C．6＋ D．6＋1
答案 B
解析 由题意可得直线l的参数方程为(t为参数)，代入直线方程x－y－2＝0，得1＋t－－2＝0，解得t＝－6(＋1)．根据t的几何意义可知|MM0|＝6(＋1)．
5．若(λ为参数)与(t为参数)表示同一条直线，则λ与t的关系是( )
A．λ＝5t B．λ＝－5t
C．t＝5λ D．t＝－5λ
答案 C
解析 由x－x0，得－3λ＝tcos α，由y－y0，得4λ＝tsin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t2，得t＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t＝－5λ，所以t＝5λ.
6．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为( )
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
答案 D
解析 将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，得2＋2＝16，
∴t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，
因此AB的中点M对应参数t＝＝4，
∴x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，
故AB中点M的坐标为(3，－)．
二、填空题
7．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：2x－4y＝5相交于点B，且点A(1,2)，则|AB|＝________.
答案
解析 将代入2x－4y＝5，得t＝，则B.又A(1,2)，所以|AB|＝.
8．直线(t为参数)上到点M(2，－3)的距离为且在点M下方的点的坐标是________．
答案 (3，－4)
解析 直线参数方程的标准式为(t为参数)，
则M对应的参数为t＝－，
∴
∴点M的坐标为(3，－4)．
9．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．
答案 (2，π)
解析 因为直线l的参数方程为
所以直线l的普通方程为y＝x＋2.
因为曲线C的极坐标方程为
ρ2cos 2θ＝4，
可得曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝4(x<0)．
联立解得交点坐标为(－2,0)，
所以交点的极坐标为(2，π)．
10．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，则圆心C到直线l的距离为__________．
答案
解析 易得直线l的普通方程为x－y＋3＝0，圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以圆心到直线的距离d＝＝.
三、解答题
11．已知直线l过点A(－2,3)，倾斜角为135°，求直线l的参数方程，并且求直线上与点A距离为3的点的坐标．
解 直线l的参数方程为
(t为参数)，
即(t为参数)．①
设直线上与点A距离为3的点为B，且点B对应的参数为t，则|AB|＝|t|＝3.
所以t＝±3.
把t＝±3代入①，
得当t＝3时，点B在点A的上方，点B的坐标为(－5，6)；
当t＝－3时，点B在点A的下方，点B的坐标为(1,0)．
12．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
解 (1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，
直线l：(t为参数)．
(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程，可得
t2＋(2＋3)t－3＝0，
设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，
所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.
13．在极坐标系中，已知圆心C，半径r＝1.
(1)求圆的直角坐标方程；
(2)若直线(t为参数)与圆交于A，B两点，求弦AB的长．
解 (1)由已知得圆心C，半径为1，圆的方程为2＋2＝1，
即x2＋y2－3x－3y＋8＝0.
(2)由(t为参数)，得直线的直角坐标方程为x－y＋1＝0，
圆心到直线的距离d＝＝，
所以2＋d2＝1，解得|AB|＝.
四、探究与拓展
14．设直线的参数方程为(t为参数)，点P在直线上，且与点M0(－4,0)的距离为，若将该直线的参数方程改写成(t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为________．
答案 ±1
解析 由|PM0|＝知，t＝±，将其代入得点P的坐标为(－3,1)或(－5，－1)，将点P的坐标代入得t＝1或t＝－1.
15．在极坐标系中，曲线F的极坐标方程为ρ＝.以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线l1，l2均过点F(1,0)，且l1⊥l2，直线l1的倾斜角为α.
(1)写出曲线F的直角坐标方程和l1，l2的参数方程；
(2)设直线l1和l2分别与曲线F交于点A，B和C，D，线段AB，CD的中点分别为M，N，求|MN|的最小值．
解 (1)F：y2＝4x，l1：(t为参数)，
l2：(t为参数)．
(2)将l1：代入y2＝4x，
得t2sin2α－4tcos α－4＝0，①
则tM＝＝.
将l2：代入y2＝4x，
得t2cos2α＋4tsin α－4＝0，②
则tN＝＝－，
于是|MN|＝＝
＝2 ≥＝≥4，
因为α∈[0，π)，所以当且仅当α＝时，等号成立．
且此时满足方程①②的判别式均大于零，
故|MN|的最小值为4.
专题检测试卷(二)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( )
A．点(2,3) B．点(2,0)
C．点(1,3) D．点
答案 B
2．已知三个方程：①②③(都是以t为参数)，那么表示同一曲线的方程是( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
答案 B
3．已知方程x2－ax＋b＝0的两根是sin θ和cos θ ，则点(a，b)的轨迹是( )
A．椭圆弧 B．圆弧
C．双曲线弧 D．抛物线弧
答案 D
解析 由题意知
即
a2－2b＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1.
又|θ|≤，
∴点(a，b)的轨迹是抛物线弧．
4．已知点P(x，y)在曲线C：(θ为参数)上，则x－2y的最大值为( )
A．2 B．－2
C．1＋ C．1－
答案 C
解析 由题意
所以x－2y＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ)＝1－
＝1－sin(θ－φ)(其中tan φ＝)，所以x－2y的最大值为1＋.
5．若圆的方程为(θ为参数)，直线的方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．相交过圆心 B．相交且不过圆心
C．相切 D．相离
答案 B
6．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．若曲线C1，C2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[1－，1＋] B．[1－，1＋]
C．[－1,3] D．[1－，1＋]
答案 A
解析 把曲线C2的参数方程化为普通方程是x2＋(y－1)2＝4.
把曲线C1的参数方程代入曲线C2的普通方程，得
(2t＋2a)2＋(－t－1)2＝4，
即5t2＋(8a＋2)t＋4a2－3＝0.
∵曲线C1，C2有公共点，
∴Δ＝(8a＋2)2－20(4a2－3)≥0，
即a2－2a－4≤0，
解得1－≤a≤1＋.
故实数a的取值范围是[1－，1＋]．
7．已知A(0,1)为椭圆x2＋4y2＝4上一定点，点P为椭圆上异于A的一动点，则|AP|的最大值为( )
A．3 B．4
C. D.
答案 C
解析 设点P(2cos θ，sin θ)，
∴|AP|＝＝
＝ ，
∴当sin θ＝－时，|AP|max＝.
8．过抛物线(t为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为( )
A. B.或
C. D.或
答案 B
解析 将抛物线的参数方程化成普通方程为y2＝x，它的焦点为.易知直线的斜率存在且不为0，设弦所在直线的方程为y＝k，由消去y得64k2x2－48(k2＋2)x＋9k2＝0，设弦的两个端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则|x1－x2|＝＝＝，解得k＝±，
∴α＝或.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知曲线C1：ρ＝2和曲线C2：ρcos＝，则C1上到C2的距离等于的点的个数为________．
答案 3
解析 将极坐标方程ρ＝2和ρcos＝化为直角坐标方程分别得x2＋y2＝(2)2和x－y－2＝0.易知C1为以坐标原点为圆心，半径为2的圆，C2为直线．因为圆心到直线x－y－2＝0的距离为，所以满足条件的点的个数为3.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程可写为______________．
答案 ρ＝2sin θ
解析 由题意知，曲线C：x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0，
所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0，化简得ρ＝2sin θ.
11．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－2y＝0的参数方程为________．
答案 (θ为参数)
解析 当θ≠时，将直线y＝tan θ·x代入x2＋y2－2y＝0，
得(1＋tan2θ)x2－2tan θ·x＝0，
解得x＝2sin θcos θ或x＝0，
所以①或②
①式适合②式．
当θ＝时，直线与圆的交点为(0,0)或(0,2)都适合②式．
所以圆x2＋y2－2y＝0的参数方程为(θ为参数)．
12．已知直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0与曲线(θ为参数)有且仅有一个公共点，则正实数a的值为________．
答案 2
解析 直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的直角坐标方程为3x＋4y＋a＝0，曲线(θ为参数)的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.因为直线与圆有且仅有一个公共点，则d＝＝1，解得a＝2或a＝－8，所以正实数a的值为2.
三、解答题(本大题共6小题，共60分)
13．(10分)极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，直线l的参数方程为(t为参数)，⊙O的极坐标方程为ρ＝2，若直线l与⊙O相切，求x0的值．
解 由直线l的参数方程，得直线l的普通方程为y＝(x－x0)，⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
∵直线l与⊙O相切，
∴圆心O(0,0)到直线l：x－y－x0＝0的距离为2，
即＝2，解得x0＝±.
14．(10分)A为椭圆＋＝1上任意一点，B为圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，求|AB|的最大值和最小值．
解 化椭圆的普通方程为参数方程为(θ为参数)，圆C的圆心坐标为(1,0)，
设A(5cos θ，3sin θ)，
再根据平面内两点之间的距离公式，可得
|AC|＝
＝
＝ ，
当cos θ＝时，|AC|取最小值；
当cos θ＝－1时，|AC|取最大值6.
所以，当cos θ＝时，|AB|取最小值－1；
当cos θ＝－1时，|AB|取最大值6＋1＝7.
15．(10分)(2018·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
解 (1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，直线l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，
整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
16．(10分)已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与圆C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解 (1)由已知，得点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.
(2)点M的直角坐标为，A(1,0)，
故直线AM的参数方程为(t为参数)．
17．(10分)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．
解 (1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1，
C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆，
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，
故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)．
C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|.
从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取得最小值.
18．(10分)在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．
解 (1)直线l的参数方程为(t为参数)．
∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，
代入x2＋y2＝4x，得t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，
∴
∴sin α·cos α>0，
又0≤α<π，
∴α∈，且t1<0，t2<0.
∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|
＝4(sin α＋cos α)＝4sin，
由α∈(0，)，得α＋∈，
∴故|PM|＋|PN|的取值范围是.
二 圆锥曲线的参数方程
学习目标 1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．
知识点一 椭圆的参数方程
思考1 圆x2＋y2＝r2的参数方程的参数θ的几何意义是什么？
答案 是点(rcos θ，rsin θ)绕点O逆时针旋转的旋转角．
思考2 对于椭圆＋＝1(a>b>0)，若令x＝acos φ(φ为参数)，那么椭圆＋＝1的参数方程是什么？
答案 (φ为参数)．
梳理 (1)椭圆的参数方程
普通方程
参数方程
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)
(2)φ是点M(acos φ，bsin φ)的离心角．
知识点二 双曲线的参数方程
思考1 化简2－tan2φ，它的值等于什么？
答案 2－tan2φ＝1.
思考2 令y＝btan φ(φ为参数)，写出－＝1(a>0，b>0)的参数方程．
答案 (φ为参数)．
梳理 令＝sec φ.
双曲线的参数方程
普通方程
参数方程
－＝1(a>0，b>0)
(φ为参数)
知识点三 抛物线的参数方程
1．抛物线的参数方程
普通方程
参数方程
y2＝2px
(α为参数)
y2＝2px
(t为参数)
2.参数的几何意义
(1)α表示OM的倾斜角．
(2)t＝.当t＝0时，表示原点.
类型一 椭圆的参数方程
命题角度1 利用参数方程求最值
例1 已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．
解 椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，
代入目标函数，得z＝5cos φ－8sin φ＝cos(φ＋φ0)
＝cos(φ＋φ0)(tan φ0＝)．
所以目标函数zmin＝－，zmax＝.
反思与感悟 利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．
跟踪训练1 已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排序，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)求曲线C1的普通方程，判断曲线形状；
(3)设点P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解 (1)由曲线C2的极坐标方程ρ＝2可知，
曲线C2是圆心在极点，半径为2的圆，
正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.故B，
由对称性，得直角坐标分别为A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)由曲线C1的参数方程，得
两式平方相加，得＋＝1.
所以曲线是焦点在y轴上的椭圆．
(3)由点P为曲线C1：上任意一点，
得P(2cos φ，3sin φ)，
则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2
＝(2cos φ－1)2＋(3sin φ－)2＋(2cos φ＋)2＋(3sin φ－1)2＋(2cos φ＋1)2＋(3sin φ＋)2＋(2cos φ－)2＋(3sin φ＋1)2
＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ，
因为32≤32＋20sin2φ≤52，
所以|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围是[32,52]．
命题角度2 利用参数方程求轨迹方程
例2 已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
解 由题意知A(6,0)，B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式，可得
即
消去参数θ，得＋(y－1)2＝1.
反思与感悟 本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹方程问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
跟踪训练2 已知点A在椭圆＋＝1上运动，点B(0,9)，点M在线段AB上，且＝，试求动点M的轨迹方程．
解 由题意知B(0,9)，设A(12cos α，6sin α)，M(x，y)，
则x＝＝8cos α，
y＝＝4sin α＋3，
∴动点M的轨迹的参数方程是(α是参数)，消去参数α，得＋＝1.
类型二 双曲线的参数方程
例3 已知等轴双曲线C的实轴长为2，焦点在x轴上．
(1)求双曲线的普通方程和参数方程；
(2)已知点P(0,1)，点Q在双曲线C上，求|PQ|的最小值．
解 (1)设等轴双曲线C的普通方程为x2－y2＝a2(a>0)，
依题意，得2a＝2，所以a＝1，
所以x2－y2＝1，化为参数方程为
(φ为参数)．
(2)因为点P(0,1)，Q在双曲线C上，
设Q(sec φ，tan φ)，
则|PQ|＝
＝
＝
＝ ≥＝.
当且仅当tan φ＝时，|PQ|min＝.
反思与感悟 双曲线的参数方程中，常用的三角函数关系式为sin2φ＋cos2φ＝1?1＋tan2φ＝＝sec2φ?sec2φ－tan2φ＝1.
跟踪训练3 设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
证明 如图，
设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为(θ为参数)，
则(|F1P|·|F2P|)2
＝[(sec θ＋)2＋tan2θ]·[(sec θ－)2＋tan2θ]
＝(sec2θ＋2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2θ－2sec θ＋2＋tan2θ)＝(sec θ＋1)2(sec θ－1)2＝(2sec2θ－1)2.
又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，
由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
类型三 抛物线的参数方程
例4 已知抛物线C的参数方程为(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.
答案
解析 由题意知抛物线的普通方程为y2＝8x，其焦点为(2,0)，过焦点且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，由题意知圆心(4,0)到直线的距离d＝＝，即半径r＝.
反思与感悟 在解决问题时，根据题目特征，合理选择使用参数方程还是普通方程，所以熟练进行参数方程和普通方程的互化，是解题的必备技能．
跟踪训练4 将方程(t为参数)化为普通方程是________．
答案 y＝x2
解析 由y＝＝＝tan2t，
将tan t＝x代入上式，得y＝x2，即为所求方程．
1．参数方程(φ为参数)表示( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案 C
2．曲线(φ为参数)的焦点与原点的距离为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
3．曲线(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上
B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上
D．在直线y＝x＋1上
答案 B
解析 曲线可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线y＝－2x上，故选B.
4．把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是( )
A.(θ为参数) B.(θ为参数)
C.(θ为参数) D.(θ为参数)
答案 B
解析 椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，令x＝2cos θ，y＝3sin θ，
可得参数方程为(θ为参数)．
5．已知椭圆＋＝1，点A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大．
解 椭圆的参数方程为(θ为参数)．
设P(5cos θ，4sin θ)，则
|PA|＝
＝
＝＝|3cos θ－5|≤8，
当cos θ＝－1时，|PA|最大．
此时，sin θ＝0，点P的坐标为(－5,0)．
1．利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等．
2．当需要研究圆锥曲线的形状、性质时，又通常需要将圆锥曲线的参数方程化为普通方程．
3．如果用到椭圆、双曲线的参数方程，注意三角恒等式的应用．
一、选择题
1．椭圆(θ为参数)的焦点坐标为( )
A．(0，)和(0，－)
B．(，0)和(－，0)
C．(0，)和(0，－)
D．(，0)和(－，0)
答案 A
解析 把参数方程(θ为参数)化为普通方程是＋＝1，它表示焦点在y轴上的椭圆，其中a＝5，b＝2，c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
2．方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．双曲线的一部分
答案 D
解析 由xcos θ＝a，∴cos θ＝，代入y＝bcos θ，得xy＝ab.又由y＝bcos θ知，y∈[－|b|,0)∪(0，|b|]，∴曲线应为双曲线的一部分．
3．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
4．当θ取一切实数时，连接A(4sin θ，6cos θ)和B(－4cos θ，6sin θ)两点的线段的中点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．线段
答案 B
5．若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同的两点，则m的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．[0,1)
答案 D
解析 将曲线化为普通方程，得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1)，它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.
6．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，则其交点个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．2
答案 B
解析 由
得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，
由得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．
二、填空题
7．已知动圆方程x2＋y2－xsin 2θ＋2·ysin＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________．
答案 y2＝1＋2x
解析 圆心轨迹的参数方程为
即消去参数，得
y2＝1＋2x.
8．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
答案 30°或150°
解析 将参数方程化为y2－＝1，
此时a＝1，b＝，
设渐近线的倾斜角为α，则tan α＝±＝±.
∴α＝30°或150°.
9．在直角坐标系xOy中，已知直线l：(s为参数)与曲线C：(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案
解析 直线l：(s为参数)的普通方程为
y＝3－x，曲线C：(t为参数)的普通方程为y＝(x－3)2.
依题意，得(x－3)2＝3－x，
解得x1＝3，y1＝0；x2＝2，y2＝1.
所以坐标为A(3,0)，B(2,1)，则|AB|＝.
10．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ＝(ρ≥0)与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为__________．
答案
解析 射线θ＝(ρ≥0)的直角坐标方程为y＝x(x≥0)，
曲线(t为参数)的普通方程为y＝(x－2)2.
联立解得或
故线段AB的中点的直角坐标为.
三、解答题
11．已知直线l：x＋2y－6＝0与抛物线y2＝2x交于A，B两点，O为原点，求∠AOB的值．
解 设抛物线y2＝2x的参数方程
为(t是参数)，
代入x＋2y－6＝0，整理得3t2＋2t－3＝0.①
因为A，B对应的参数t1，t2分别是方程①的两根，
所以t1t2＝－1.
因为t表示抛物线上除原点外任一点与原点连线的斜率的倒数，所以·＝－1，
即kOA·kOB＝－1，
所以∠AOB＝90°.
12．如图所示，已知点M是椭圆＋＝1(a>b>0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值．
解 点M是椭圆＋＝1(a>b>0)上在第一象限的点，
由于椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，
故可设M(acos φ，bsin φ)，其中0<φ<，
因此，S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB
＝|OA|·bsin φ＋|OB|·acos φ
＝ab(sin φ＋cos φ)＝absin.
所以，当φ＝时，四边形MAOB的面积有最大值，最大值为ab.
13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的动弦BC平行于虚轴，M，N是双曲线的左、右顶点．
(1)求直线MB，CN的交点P的轨迹方程；
(2)若P(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：a是x1，x2的比例中项．
(1)解 由题意可设点B(asec θ，btan θ)，
则点C(asec θ，－btan θ)，又M(－a,0)，N(a,0)，
∴直线CN的方程为y＝(x－a)，
直线MB的方程为y＝(x＋a)，
将以上两式相乘，得点P的轨迹方程为＋＝1(a>0，b>0)．
(2)证明 ∵点P既在MB上，又在CN上，
由两直线方程消去y1，得x1＝，
而x2＝asec θ，∴有x1x2＝a2，
即a是x1，x2的比例中项．
四、探究与拓展
14．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1： (t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
答案
解析 曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝或a＝－(舍去)．
15．椭圆＋＝1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP(O为原点)，求离心率e的取值范围．
解 设椭圆的参数方程是(θ为参数)(a>b>0)，则椭圆上的点为P(acos θ，bsin θ)，A(a,0)，
∵OP⊥AP，∴·＝－1，
即(a2－b2)cos2θ－a2cos θ＋b2＝0.
解得cos θ＝或cos θ＝1(舍去)．
∵a>b，－1≤cos θ≤1，∴0<≤1.
把b2＝a2－c2代入，得0<≤1.
即0<－1≤1，
解得≤e<1.
故离心率e的取值范围为.
四 渐开线与摆线
学习目标 1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．
知识点一 渐开线
思考 把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．
答案 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y)．显然，点M由角φ惟一确定．
梳理 圆的渐开线及其参数方程
(1)定义
把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．
(2)参数方程
设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是
(φ是参数)．
知识点二 摆线
思考 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？
答案 摆线．
梳理 摆线及其参数方程
(1)定义
当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线．
(2)参数方程
设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是(φ是参数)．
类型一 圆的渐开线
例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．
解 以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ.
作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得＝(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知，∠MAB＝θ，＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
得＝＋＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．
又＝(x，y)，
因此所求的参数方程为
反思与感悟 圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
跟踪训练1 已知圆的渐开线方程为(φ为参数)，则该基圆半径为________，当圆心角φ＝π时，曲线上点A的直角坐标为________．
答案
解析
即(φ为参数)．
∴基圆半径r＝.
当φ＝π时，x＝－，y＝，
∴A的直角坐标为.
类型二 平摆线
例2 已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为________．
答案
解析 由圆的参数方程知，
圆的方程为x2＋y2＝9，
∴圆的圆心为(0,0)，半径r＝3，
∴圆上定点M的摆线的参数方程为(φ为参数)．
当φ＝时，x＝3×＝－3，y＝3×(1－0)＝3，
∴A，∴|AB|＝＝.
反思与感悟 (1)摆线的参数方程
摆线的参数方程为(φ为参数)，其中r：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM.
(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．
跟踪训练2 已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________；一个拱的跨度为________．
答案 6 6π
解析 当φ＝π时，y＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.
1．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．3π
C．6π D．10π
答案 C
2．当φ＝2π时，圆的渐开线(φ为参数)上的点是( )
A．(6,0) B．(6,6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
答案 C
3.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π B．4π
C．5π D．6π
答案 C
解析 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
4．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解 首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，
所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是
(φ为参数)．
1．圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．
3．由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示．
一、选择题
1．已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
答案 B
2．摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是( )
A．(π－2,2)，(3π＋2,2) B．(π－3,2)，(3π＋3,2)
C．(π，2)，(－π，2) D．(2π－2,2)，(2π＋2,2)
答案 A
3．给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①③④
答案 C
4．圆的渐开线(t为参数)上与t＝对应的点的直角坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 A
5．已知圆的渐开线的参数方程为 (φ为参数)，点A是此渐开线上的一点，则渐开线对应的基圆的周长是( )
A.π B．3π
C．4π D．6π
答案 B
解析 由点A在渐开线上，
得易知φ＝0，则r＝，故基圆的周长为3π.
6．圆的渐开线方程为(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( )
A．(－2,2π) B．(－2，π)
C．(4,2π) D．(－4,2π)
答案 A
解析 将φ＝π代入
可得即
二、填空题
7．基圆直径为10，则其渐开线的参数方程为__________________．
答案 (φ为参数)
8．有一标准的齿轮，其齿廓线的基圆直径为22 mm，则齿廓所在的摆线的参数方程为__________________．
答案 (φ为参数)
解析 因为基圆直径为22 mm，
所以基圆半径为11 mm，
所以摆线的参数方程为(φ为参数)．
9．已知圆的渐开线的参数方程是(t为参数)，则该渐开线的基圆的半径为________，参数t＝对应的点的直角坐标是_______________________________________．
答案 6 (－3＋2π，3＋2π)
解析 由参数方程，得基圆的半径r＝6.把t＝代入参数方程，得即参数t＝对应的点的直角坐标是(－3＋2π，3＋2π)．
10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．
答案 (π，2)
解析 由题意知，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．
当φ＝时，x＝π，y＝2，
故点P的坐标为(π，2)．
三、解答题
11．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
又圆的直径为6，所以半径为3，
所以圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．
以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x轴，建立直角坐标系，
所以摆线的参数方程为(φ为参数)．
12．已知圆的参数方程是(θ为参数)，求此圆的摆线中，参数φ＝对应的点A与点B之间的距离．
解 由圆的参数方程，得圆的半径r＝3，则其摆线的参数方程为(φ为参数)．
把φ＝代入摆线的参数方程，得
故点A与点B之间的距离
|AB|＝ ＝.
13．已知一个圆的平摆线方程是x＝2φ－2sin φ，y＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标．
解 由平摆线方程知，圆的半径为2，
则圆的周长为4π.当φ＝π时，y有最大值4，
平摆线具有周期性，周期为4π.
∴平摆线上最高点的坐标为(2π＋4kπ，4)(k∈Z)．
四、探究与拓展
14.如图，△ABC是正三角形，曲线ABCDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD，弧DE，弧EF…的圆心依次按A，B，C循环，它们依次相连接，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是( )
A．8π B．6π
C．4π D．2π
答案 C
解析 ∵∠CAD，∠DBE，∠ECF是等边三角形的外角，
∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°.
又AC＝1，∴BD＝2，CE＝3，
∴弧CD的长＝×2π×1，
弧DE的长＝×2π×2，
弧EF的长＝×2π×3，
∴曲线CDEF的长＝×2π×1＋×2π×2＋×2π×3＝4π.
15．渐开线方程为(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标．
解 由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x2＋y2＝36.
把横坐标伸长为原来的2倍，
得到椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，
对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
复习课
学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．
1．参数方程的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
2．常见曲线的参数方程
(1)直线
过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程的标准形式为 (t为参数)．
(2)圆
①圆x2＋y2＝r2的参数方程为(θ为参数)；
②圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．
(3)椭圆
中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)．
(4)双曲线
中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的参数方程为(φ为参数)．
(5)抛物线
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(α为参数)或(t为参数)．
类型一 参数方程化为普通方程
例1 把下列参数方程化为普通方程：
(1)(θ为参数)；
(2)(t为参数，a，b>0)．
解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组
变形得
∴2＋2＝cos2θ＋sin2θ＝1，
即5x2＋4xy＋17y2－81＝0.
(2)由解得
∴①2－②2，得－＝4，
∴－＝1(x>0)．
反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项
(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定．
(2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．
跟踪训练1 判断方程(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．
解 ∵x2－y2＝2－2＝4，
即x2－y2＝4，∴－＝1.
又∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，∴x＝sin θ＋≥2，
当且仅当θ＝时等号成立，
又y＝sin θ－＝≤0，
∴曲线为等轴双曲线－＝1在右支位于x轴下方的部分．
类型二 参数方程的应用
命题角度1 直线参数方程的应用
例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．
解 设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，
代入方程y2＝4x整理，得
t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0. ①
∵点P(3,2)是弦AB的中点，
由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0.
即sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝.
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝ ＝8.
反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题
(1)直线的参数方程应为标准形式．
(2)要注意直线倾斜角的取值范围．
(3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.
(4)套公式|t1－t2|求弦长．
跟踪训练2 直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为(t为参数)，直线l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．
(1)求弦长|AB|；
(2)过P0作圆的切线，求切线长．
解 将直线l的参数方程代入圆的方程，
得2＋2＝7，整理得t2－4t＋9＝0.
(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系，得t1＋t2＝4，t1t2＝9.
故|AB|＝|t2－t1|＝＝2.
(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，
则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，
∴切线长|P0T|＝3.
命题角度2 曲线参数方程的应用
例3 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；
(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最小值．
解 (1)由曲线C的参数方程
可得(x－2)2＋y2＝1，
由直线l的极坐标方程为ρsin＝2，
可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，
即x＋y＝4.
(2)方法一 设P关于直线l的对称点为Q(a，b)，
故?
所以Q(3,5)，
由(1)知曲线C为圆，圆心C(2,0)，半径r＝1，
|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1.
仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时等号成立，故(|PB|＋|AB|)min＝－1.
方法二 如图，圆心C关于直线l的对称点为D(4,2)，连接PD，交直线l于点B，此时|PB|＋|AB|有最小值，且|PB|＋|AB|＝|PB|＋|BC|－1＝|PB|＋|BD|－1＝|PD|－1＝－1.
反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．
(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．
跟踪训练3 已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
类型三 极坐标与参数方程
例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与圆C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.
由|AB|＝，得cos2α＝，tan α＝±.
所以l的斜率为或－.
方法二 把代入(x＋6)2＋y2＝25，
得t2＋(12cos α)t＋11＝0，
设A，B对应的参数为t1，t2，
所以t1＋t2＝－12cos α，t1t2＝11.
则|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，所以cos2α＝，所以tan α＝±.
所以l的斜率为或－.
反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．
(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．
跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，M为曲线C与y轴负半轴的交点，求四边形OMAB的面积．
解 (1)由得
所以2＋2＝(cos t)2＋(sin t)2＝1，
所以曲线C的普通方程为＋＝1.
在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
得3x＋2y－12＝0，
所以直线l的直角坐标方程为3x＋2y－12＝0.
(2)由(1)可得M(0，－2)，联立方程易得A(4,0)，B(2,3)，
所以四边形OMAB的面积为×4×(3＋2)＝6＋4.
1．曲线(θ为参数)的焦点坐标为( )
A．(±3,0) B．(0，±3)
C．(±6,0) D．(0，±6)
答案 D
解析 曲线(θ为参数)的普通方程为＋＝1，这是焦点在y轴上的椭圆，c2＝a2－b2＝62，
所以焦点坐标为(0，±6)．
2．椭圆的参数方程为(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
3．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则直线l与圆C的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．由参数确定
答案 C
4．点P(1,0)到曲线(t为参数)上的点的最短距离为________．
答案 1
解析 设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，则d＝＝＝＝t2＋1≥1.所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.
5．在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值和最小值．
解 椭圆＋y2＝1的参数方程为(φ为参数)，故设动点P(cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)．
因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ
＝2＝2sin.
∴当φ＝时，S取得最大值2；当φ＝时，S取得最小值－2.
1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力．
2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．
一、选择题
1．在极坐标系中，直线2ρsin＝2＋与圆ρ＝2sin θ的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
答案 B
解析 直线2ρsin＝2＋与圆ρ＝2sin θ的直角坐标方程分别为x＋y＝＋1，x2＋(y－1)2＝1，
圆心(0,1)到直线x＋y－(＋1)＝0的距离d＝＝1，所以直线与圆相切．
2．下列各点在方程(θ为参数)所表示的曲线上的为( )
A．(2，－7) B.
C. D．(1,0)
答案 C
3．直线(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)
答案 C
4．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线方程的是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 注意参数的范围，可利用排除法，普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝|t|≥0，B中x＝cos t∈[－1,1]，故排除A和B；而C中y＝＝＝，即x2y＝1，故排除C.
5．抛物线(t为参数)的准线方程是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．y＝1 D．y＝－1
答案 D
解析 由x＝4t，得t2＝，
∴y＝4t2＝，
即x2＝4y，
∴准线方程为y＝－1.
6．若直线y＝x－b与曲线θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是( )
A．(2－，1)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
答案 D
解析 由消去θ，得(x－2)2＋y2＝1.(*)
将y＝x－b代入(*)式，
化简得2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意知，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)>0，
解得2－二、填空题
7．点(－3,0)到直线(t为参数)的距离为________．
答案 1
解析 ∵直线的普通方程为x－2y＝0，
∴点(－3,0)到直线的距离为d＝＝1.
8．已知P为椭圆4x2＋y2＝4上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是________．
答案 [1,2]
解析 由4x2＋y2＝4，得x2＋＝1.
令(φ为参数)，
则|OP|2＝x2＋y2＝cos2φ＋4sin2φ＝1＋3sin2φ.
∵0≤sin2φ≤1，∴1≤1＋3sin2φ≤4，
∴1≤|OP|≤2.
9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝(ρ∈R)垂直，则直线的极坐标方程为________________________________________________________________________．
答案 2ρsin＝1(或2ρcos＝1、ρcos θ＋ρsin θ＝1)
解析 由题意可知在平面直角坐标系中，直线θ＝的斜率是，所求直线过点(1,0)，且斜率是－，所以直线方程为y＝－(x－1)，化成极坐标方程为ρsin θ＝－(ρcos θ－1)，化简得2ρsin＝1.
10．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为，则点A到直线l的距离为______________________________________________________________．
答案
解析 ∵2ρsin＝，
∴2ρ＝(ρsin θ－ρcos θ)＝，
即ρsin θ－ρcos θ＝1，
∴直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.
∵点A的直角坐标为(2，－2)，
∴点A到直线l的距离d＝＝.
三、解答题
11．已知x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝3x－y的最值．
解 由(x－1)2＋(y＋2)2＝4可知，曲线表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆．
令x＝1＋2cos θ，y＝－2＋2sin θ，
则S＝3x－y＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ
＝5＋2·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，
所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S取得最大值5＋2；
当sin(θ＋φ)＝－1时，S取得最小值5－2.
12．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心(0,0)到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
即实数a的取值范围为[－2，2]．
13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
解 (1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos θ，4sin θ)，
坐标原点为O(0,0)，
设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式，
得x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ，
所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，
因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
又点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为＝＝，
所以点P到直线l距离的最大值为2＋.
四、探究与拓展
14．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.
答案
解析 直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，
联立两方程解得
所以公共点为(1,2)，
所以公共点的极径为ρ＝＝.
15．设飞机以v＝150 m/s的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h＝588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．
解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0,588)，B为目标，坐标为(x0,0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.
设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得(g＝9.8 m/s2)，即
所以炸弹离开飞机后的轨迹方程为(0≤t≤2)．
(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝0，即588－4.9t＝0，解得t0＝2 s.
将t0＝2代入x＝150t中，得x0＝300 m.
即飞机在离目标300 m(水平距离)处投弹才能命中目标．
模块综合试卷
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．极坐标方程ρ＝－4cos θ化为直角坐标方程是( )
A．x－4＝0 B．x＋4＝0
C．(x＋2)2＋y2＝4 D．x2＋(y＋2)2＝4
答案 C
2．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin θ围成的图形面积为( )
A．π B．4 C．4π D．16
答案 C
3．设点P的直角坐标为(－3,3)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(0≤θ<2π)，则点P的极坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由已知得ρ＝＝3，
tan θ＝＝－1，又点P在第二象限，∴θ＝，
∴点P的极坐标为.
4．已知抛物线C1：(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r等于( )
A．1 B. C. D．2
答案 C
解析 抛物线C1的普通方程为y2＝8x，焦点为(2,0)，故直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，由题意＝r，得r＝.
5．曲线x2＋y2＝4与曲线(θ∈[0,2π))关于直线l对称，则l的方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x
C．y＝－x＋2 D．y＝x＋2
答案 D
解析 设圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，
圆θ∈[0,2π)的圆心为C(－2,2)，
∵⊙O与⊙C关于直线l对称，
∴l为线段OC的垂直平分线．
∵kOC＝－1，∴kl＝1，
∴l的方程为y－1＝x－(－1)，即y＝x＋2.
6．已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，则曲线C不经过第二象限的一个充分不必要条件是( )
A．a≥2 B．a>3
C．a≥1 D．a<0
答案 B
7．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 直线的普通方程为x－2y＋3＝0，
圆的圆心坐标为(0,0)，半径r＝3，
∴圆心到直线的距离d＝＝，
∴所求弦长为2＝.
8．过椭圆C：(θ为参数)的右焦点F作直线l交椭圆C于M，N两点，|MF|＝m，|NF|＝n，则＋的值为( )
A. B.
C. D．不能确定
答案 B
解析 曲线C为椭圆＋＝1，右焦点为F(1,0)，设l：(t为参数)代入椭圆方程，
得(3＋sin2θ)t2＋6cos θ·t－9＝0，
∴t1t2＝－，t1＋t2＝－，
∴＋＝＋＝＝＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知直线l：(t为参数)过定点P，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C交于A，B两点，则|PA|·|PB|的值为________．
答案 1
解析 将直线l：(t为参数)代入曲线C：ρ＝2sin θ的直角坐标方程x2＋y2－2y＝0，整理，得t2－(＋1)t＋1＝0，设直线l与曲线C的交点A，B的对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝1，即|PA|·|PB|＝|t1t2|＝1.
10．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若P点为直线ρcos θ－ρsin θ－4＝0上一点，点Q为曲线(t为参数)上一点，则|PQ|的最小值为________．
答案
解析 直线ρcos θ－ρsin θ－4＝0的直角坐标方程为x－y－4＝0，曲线(t为参数)的普通方程为y＝x2，依题意，设与直线x－y－4＝0平行的直线方程为x－y＋c＝0，即y＝x＋c，代入y＝x2，得x2－4x－4c＝0，依题意，Δ＝16＋16c＝0，所以c＝－1，即直线x－y－1＝0与抛物线y＝x2相切，所以平行线间的距离d＝＝.
11．曲线(t为参数，且t>0)与曲线(θ为参数)的交点坐标是________．
答案 (1,2)
解析 将参数方程化为普通方程分别为y＝x＋1(x>0)，y＝2x2.将y＝x＋1代入y＝2x2，得2x2－x－1＝0，解得x＝1(x＝－舍去)，则y＝2，
所以交点坐标是(1,2)．
12．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l的参数方程是(t为参数)．设直线l与x轴的交点为M，N是曲线C上一动点，则|MN|的最大值为________．
答案 ＋1
解析 曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
将直线l的参数方程化成普通方程为y＝－(x－2)．
令y＝0，得x＝2，即M点的坐标为(2,0)．
又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r＝1，
则|MC|＝，∴|MN|≤|MC|＋r＝＋1.
三、解答题(本大题共6小题，共60分)
13．(10分)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．
解 因为直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，
所以直线l的普通方程为y＝x.①
又因为曲线C的参数方程为(α为参数)，
所以曲线C的直角坐标方程为y＝x2(x∈[－2,2])．②
联立①②得或
根据x的范围应舍去
故P点的直角坐标为(0,0)．
14．(10分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)圆上所有点(x，y)中，xy的最大值和最小值．
解 (1)原方程可化为
ρ2－4ρ＋6＝0，
即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.①
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，
即(x－2)2＋(y－2)2＝2，即为所求圆的普通方程．
设
所以参数方程为(θ为参数)．
(2)由(1)可知xy＝(2＋cos θ)(2＋sin θ)
＝4＋2(cos θ＋sin θ)＋2cos θsin θ
＝3＋2(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.
设t＝cos θ＋sin θ，
则t＝sin，t∈[－，]．
所以xy＝3＋2t＋t2＝(t＋)2＋1.
当t＝－时，xy有最小值1；当t＝时，xy有最大值9.
15．(10分)设A，B为椭圆＋y2＝1上满足OA⊥OB(O为原点)的两点，O为垂足．
(1)以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆的极坐标方程；
(2)求＋的值；
(3)判断直线AB与圆C：x2＋y2＝的位置关系．
解 (1)以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入椭圆方程＋y2＝1，得椭圆的极坐标方程为＝＋sin2θ.①
(2)由条件可设A(ρ1，α)，B并代入①，
得＝＋sin2α，＝＋cos2α，
∴＋＝＋sin2α＋＋cos2α＝，
即＋＝.
(3)设原点O到直线AB的距离为d，
则由|OA|·|OB|＝d|AB|，
得d＝＝＝
＝＝＝r，
因此直线AB与圆C相切．
16．(10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P(－1，0)，其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋1＝0.
(1)写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．
解 (1)因为曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋1＝0，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋1＝0.
因为直线l经过点P(－1,0)，其倾斜角为α，
所以直线l的参数方程为(t为参数)，
将代入x2＋y2－6x＋1＝0，
整理得t2－8tcos α＋8＝0，
因为直线l与曲线C有公共点，
所以Δ＝64cos2α－32≥0，
即cos α≥或cos α≤－，
因为α∈[0，π)，所以α的取值范围是∪.
(2)已知M(x，y)是曲线C：(x－3)2＋y2＝8上一点，
则(θ为参数)．
所以x＋y＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋4sin，
所以x＋y的取值范围是[－1,7]．
17．(10分)(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解 (1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，
于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
18．(10分)已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：(t为参数)．
(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′，写出C1′，C2′的参数方程．C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．
解 (1)C1是圆，C2是直线，C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心为C1(0,0)，半径r＝1.
C2的普通方程为x－y＋＝0，
因为圆心C1到直线x－y＋＝0的距离为1，
所以C1与C2只有一个公共点．
(2)压缩后的参数方程分别为C1′：(θ为参数)，
C2′：(t为参数)，
化为普通方程为C1′：x2＋4y2＝1，C2′：y＝x＋，
联立消元得2x2＋2x＋1＝0，其判别式Δ＝(2)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和原来相同．
