专题检测试卷(一)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )
A．ab＞ac B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0
答案 C
解析 因为b可能为0，当b2＝0时，cb2＝ab2.
2．已知|x－a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}，则实数a等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由|x－a|＜b，得a－b＜x＜a＋b，
由已知得?
3．“|x|≤2”是“|x＋1|＜1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 |x＋1|＜1?－1＜x＋1＜1?－2＜x＜0，故选B.
4．若不等式|ax＋2|≤6的解集为[－1,2]，则实数a等于( )
A．8 B．2 C．－4 D．－8
答案 C
解析 ∵|ax＋2|≤6，∴－6≤ax＋2≤6，∴－8≤ax≤4.
①当a＞0，－≤x≤，∴无解．
②当a＜0时，≤x≤－，
∴∴a＝－4.
5．已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正负都有可能
答案 B
6．已知x＞1，y＞1，且lg x＋lg y＝4，则lg xlg y的最大值是( )
A．4 B．2 C．1 D.
答案 A
解析 ∵x＞1，y＞1，∴lg x＞0，lg y＞0.
∴4＝lg x＋lg y≥2.
∴lg xlg y≤4，当且仅当x＝y时取等号．
7．若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|＞3的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
C．(－4,2)
D．[－4,1]
答案 A
解析 由题意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3对任意x∈R恒成立，又|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，故|m＋1|＞3，所以m＋1＜－3或m＋1＞3，所以m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
8．设0＜x＜1，a，b都为大于零的常数，若＋≥m恒成立，则m的最大值是( )
A．(a－b)2 B．(a＋b)2
C．a2b2 D．a2
答案 B
解析 由＋＝[x＋(1－x)]
＝a2＋b2＋＋
≥a2＋b2＋2 ＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，
当且仅当＝时等号成立，
所以m≤(a＋b)2，m的最大值为(a＋b)2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
答案
解析 由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又f(x)是偶函数，
所以由f(2|a－1|)＞f(－)＝f()知，2|a－1|＜，
即|a－1|＜，解得＜a＜.
10．已知关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 因为关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，所以Δ＝1－4≥0，
即＋|a|≤，
解得0≤a≤.
11．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|对x∈R恒成立，则实数m的取值范围为__________．
答案 [－3,5]
解析 ∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，
∴要使不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|对x∈R恒成立，只需|m－1|≤4，即－3≤m≤5.
12．若2a＞b＞0，则a＋的最小值是________．
答案 3
解析 a＋＝a＋
＝＋＋
≥3＝3.当且仅当a－＝＝，即a＝2，b＝2时，取等号．
三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)
13．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋xy＝30，求xy的取值范围．
解 ∵x＞0，y＞0，
∴x＋2y≥2＝2·，
∴30≥2·＋xy，令＝t＞0，
∴t2＋2t－30≤0，
∴0＜t≤3，∴0＜xy≤18，
即xy的取值范围是(0,18]．
14．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)若f(x)的最小值为4，求实数a的值；
(2)当－1≤x≤0时，不等式f(x)≤|x－3|恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|，
∴|a＋2|＝4，即a＋2＝±4，
∴a＝2或a＝－6.
(2)原命题等价于当－1≤x≤0时，|x＋a|＋2－x≤3－x恒成立，
即当－1≤x≤0时，|x＋a|≤1恒成立，
即当－1≤x≤0时，－1－x≤a≤1－x恒成立，
即当－1≤x≤0时，(－1－x)max≤a≤(1－x)min，
∴0≤a≤1.即实数a的取值范围为[0,1]．
15．若a＞0，b＞0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？说明理由．
解 (1)由＝＋≥，
得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立，
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2·≥4，
由于4＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
16．(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①
当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；
当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1所以f(x)≥g(x)的解集为.
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于
当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]上的最小值必为f(－1)与f(1)之一，
所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1]．
17．已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.
(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1＞0(a∈R)；
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．
解 (1)不等式f(x)＋a－1＞0，
即|x－2|＋a－1＞0，
当a＝1时，解集为{x|x≠2}，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；
当a＞1时，解集为全体实数R；
当a＜1时，
∵|x－2|＞1－a，
∴x－2＞1－a或x－2＜a－1，
∴x＞3－a或x＜a＋1，
故解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)．
综上，当a＝1时，不等式的解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a＞1时，不等式的解集为R；当a＜1时，不等式的解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)．
(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|＞－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，
即|x－2|＋|x＋3|＞m恒成立．
又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是m＜5，
即m的取值范围是(－∞，5)．
18．(2018·全国Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)＞1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时，|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时，|ax－1|＜1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1；
若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为，
所以≥1，故0＜a≤2.
综上，a的取值范围为(0,2]．
滚动训练(一)(第一讲)
一、选择题
1．已知m，n∈R，则＞成立的一个充要条件是( )
A．m＞0＞n B．n＞m＞0
C．m＜n＜0 D．mn(m－n)＜0
答案 D
解析 若＞且mn＞0?n＞m?m－n＜0?mn(m－n)＜0；
若＞且mn＜0?n＜m?m－n＞0?mn(m－n)＜0，
∴＞?mn(m－n)＜0，
同样mn(m－n)＜0?＞.
2．已知a，b，c均为正数，且abc＝27，则a＋b＋c的最小值为( )
A．3 B．6 C．9 D．27
答案 C
解析 a＋b＋c≥3＝3×3＝9，
当且仅当a＝b＝c时“＝”成立．
3．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}，若A?B，则实数a，b必满足( )
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
答案 D
解析 A＝{x|a－1＜x＜a＋1}，
B＝{x|x＞b＋2或x＜b－2}．
又A?B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，
∴a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3.
4．若a，b，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为( )
A.－1 B.＋1
C．2＋2 D．2－2
答案 D
解析 因为a，b，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，所以a2＋ab＋ac＋bc＝4－2，4－2＝a2＋ab＋ac＋bc
＝(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋2bc)
≤(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋b2＋c2)，
所以(2－2)2≤(2a＋b＋c)2，
所以2a＋b＋c≥2－2，故选D.
5．不等式|3x－2|＞4的解集是( )
A．{x|x＞2} B.
C. D.
答案 C
解析 方法一 由|3x－2|＞4，
得3x－2＜－4或3x－2＞4.
即x＜－或x＞2.
所以原不等式的解集为.
方法二 (数形结合法)
画出函数y＝|3x－2|＝的图象，
如图所示．
由|3x－2|＝4，解得x＝2或x＝－.
在同一坐标系中画出直线y＝4，所以交点坐标为(2,4)与.所以当|3x－2|＞4时，x＜－或x＞2.
所以原不等式的解集为.
6．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是增函数，则不等式loga|x＋1|＞loga|x－3|的解集为( )
A．{x|x＜－1} B．{x|x＜1}
C．{x|x＜1且x≠－1} D．{x|x＞1}
答案 C
解析 因为a＞0，且a≠1，
所以函数f(x)＝2－ax为减函数．
又因为y＝loga(2－ax)在[0,1]上是增函数，
所以0＜a＜1，则y＝logax为减函数，
所以|x＋1|＜|x－3|，且x＋1≠0，x－3≠0.
由|x＋1|＜|x－3|，
得(x＋1)2＜(x－3)2，
即x2＋2x＋1＜x2－6x＋9，
解得x＜1.又x≠－1且x≠3，
所以解集为{x|x＜1且x≠－1}．
二、填空题
7．若0＜x＜1，则函数y＝x4(1－x2)的最大值是________，此时x＝________.
答案
解析 y＝x4(1－x2)＝x2·x2·(2－2x2)≤3＝，当且仅当x2＝2－2x2，即x＝时取“＝”号．
8．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为________．
答案 12
解析 2x＋4y＋8z≥3＝3＝3＝12，
当且仅当2x＝4y＝8z，即x＝2y＝3z＝2时等号成立．
9．不等式|x－x2－2|＞x2－3x－4的解集为________．
答案 {x|x＞－3}
解析 ∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|，
而x2－x＋2＝2＋＞0，
∴|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2，
故原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4.
∴x＞－3.∴原不等式的解集为{x|x＞－3}．
10．设函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，则f(－2)＝________，若f(x)≤5，则x的取值范围是________．
答案 6 [－1,1]
解析 f(－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6.
∵|2x－1|＋x＋3≤5?|2x－1|≤2－x
?x－2≤2x－1≤2－x?
∴－1≤x≤1.
三、解答题
11．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c≤3，
求证：＋＋≥.
证明 ∵＋≥2＝1，
同理＋≥1，＋≥1，
∴＋＋＋＋＋
＝＋≥3.
又a＋b＋c≤3，
∴＋＋＋≥3，
∴＋＋≥.
12．设不等式|x－2|＜a(a∈N＋)的解集为A，且∈A，?A.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
解 (1)因为∈A，且?A，
所以＜a，且≥a，
解得＜a≤.又因为a∈N＋，所以a＝1.
(2)因为f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号．
所以f(x)的最小值为3.
13．(2018·全国Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
解 (1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值为5.
四、探究与拓展
14．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________．
答案 －1
解析 由题意知，c＝4a2－2ab＋b2＝(2a＋b)2－6ab，
∴(2a＋b)2＝c＋6ab.若|2a＋b|最大，则ab＞0.
当a＞0，b＞0时，
(2a＋b)2＝c＋6ab＝c＋3×2a·b≤c＋32，
∴(2a＋b)2≤c＋(2a＋b)2，
∴(2a＋b)2≤4c，|2a＋b|≤2，当且仅当b＝2a，即时取等号，
此时＋＋＝＋＋＞0.
当a＜0，b＜0时，(2a＋b)2＝c＋6ab＝c＋3(－2a)·(－b)≤c＋32，
∴(2a＋b)2≤4c，|2a＋b|≤2，即－2a－b≤2.
当且仅当b＝2a，即时取等号．
此时＋＋＝－－＋＝－＝42－1≥－1，当＝，即c＝4时等号成立．
综上可知，当c＝4，a＝－1，b＝－2时，
min＝－1.
15．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1，记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
(1)解 f(x)＝2|x－1|＋x－1＝
当x≥1时，由f(x)≤1，得x≤，故1≤x≤；
当x＜1时，由f(x)≤1，得x≥0，故0≤x＜1.
综上可知，f(x)≤1的解集为M＝.
(2)证明 由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，
得162≤4，解得－≤x≤.
因此N＝，
故M∩N＝.
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，
于是x2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)
＝x(1－x)＝－2≤.
一 不等式
第1课时 不等式的基本性质
学习目标 1.理解不等式的性质，会用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明简单的不等式、解决不等式的简单问题．
知识点 不等式的基本性质
思考 你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？
答案 作差，与0比较．类比等式的基本性质，联想并写出不等式的基本性质．
梳理 (1)两个实数a，b的大小关系
(2)不等式的基本性质
①对称性：a＞b?b＜a.
②传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
③可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
④可乘性：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
⑤乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．
⑥开方：如果a＞b＞0，那么＞(n∈N，n≥2).
类型一 作差比较大小
例1 (1)已知a＞b＞0，比较与的大小；
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解 (1)－＝＝.
因为a＞b＞0，
所以a－b＞0，b(b＋1)＞0，
所以＞0，
所以＞.
(2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
因为x＞1，
所以x－1＞0.
又因为2＋＞0，
所以(x－1)＞0，
所以x3－1＞2x2－2x.
反思与感悟 比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—得出结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．
跟踪训练1 已知x，y均为正数，设m＝＋，
n＝，试比较m和n的大小．
解 m－n＝＋－＝－
＝＝，
∵x，y均为正数，
∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n.(当且仅当x＝y时，等号成立)
类型二 不等式基本性质的应用
例2 判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若a＞b＞0，则＜；
(2)若c＞a＞b＞0，则＞；
(3)若＞，则ad＞bc；
(4)设a，b为正实数，若a－＜b－，则a＜b.
解 (1)正确．
因为a＞b＞0，所以ab＞0.两边同乘以，
得a·＞b·，得＞.
(2)正确．
因为c－a＞0，c－b＞0，且c－a＜c－b，
所以＞＞0.
又a＞b＞0，所以＞.
(3)不正确．
因为＞，所以－＞0，
即＞0，
所以或
即ad＞bc且cd＞0或ad＜bc且cd＜0.
(4)正确．
因为a－＜b－，且a＞0，b＞0，
所以a2b－b＜ab2－a?a2b－ab2－b＋a＜0?ab(a－b)＋(a－b)＜0?(a－b)(ab＋1)＜0，
所以a－b＜0，即a＜b.
反思与感悟 (1)利用不等式的性质判断命题真假的技巧
①要判断一个命题为真命题，必须严格证明；
②要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果．其中，举反例在解选择题时用处很大．
(2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项
①倒数法则要求两数同号；
②两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；
③同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．
跟踪训练2 下列命题中正确的是________．(填序号)
①若a＞b＞0，c＞d＞0，那么＜；
②若a，b∈R，则a2＋b2＋5≥2(2a－b)；
③若a，b∈R，a＞b，则a2＞b2；
④若a，b∈R，a＞b，则＞.
答案 ②④
解析 对于①，∵c＞d＞0，∴＞＞0，
∴＞＞0，∴＞，∴①不对；
对于②，a2＋b2＋5－(4a－2b)
＝a2－4a＋b2＋2b＋5
＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2＋5≥2(2a－b)，∴②对；
对于③，由于a＞b不能保证a，b同时大于0，
∴a2＞b2不成立，∴③不对；
对于④，∵c2＋1＞0，
∴由a＞b，可得＞，∴④对．
例3 已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜.
证明 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，
∴a－c＞b－d＞0，∴0＜＜.
又0＜b＜a，
∴＜.
引申探究
1．若本例条件不变，求证：＜.
证明 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴0＜＜.∴＞＞0，
∴ ＞ ，即－＞－，
∴＜.
2．若本例条件不变，求证：＜.
证明 ∵a＞b＞0，∴＞＞0.
又∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴＞＞0.
∴＋＞＋＞0，即＞＞0，
∴＞＞0，∴＜.
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．
跟踪训练3 已知a＞0，b＞0，求证：＋≥a＋b.
证明 ＋－(a＋b)＝＋＝＋＝(a－b)(a＋b)·＝(a－b)2(a＋b)，
∵a＞0，b＞0，∴(a－b)2(a＋b)≥0，即＋≥a＋b.
1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是( )
A．a2＜b2 B．ab＜a2
C.＋＞2 D．|a|－|b|＝|a－b|
答案 A
解析 ∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，
即(－a)2＞(－b)2，∴a2＞b2.
2．若a＜0，－1＜b＜0，则有( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
答案 D
解析 ∵－1＜b＜0，∴b＜b2＜1.
∵a＜0，∴ab＞ab2＞a.
3．下列说法中，正确的个数是________．
①若a＞b，则ac2＞bc2； ②若a≥b，则ac2≥bc2；
③若＞，则ac＞bc； ④若≥，则ac≥bc；
⑤若则c＞0； ⑥若则c≥0.
答案 4
解析 当c2＝0时，①不正确；②正确；③正确；④正确；⑤正确；当a＝b时，⑥不正确．
4．已知12＜a＜60,10＜b＜20，则的取值范围是________．
答案 ＜＜
解析 由12＜a＜60，得＜＜，又10＜b＜20，
所以根据不等式的性质可得＜＜.
5．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b满足的条件是________．
答案 ab≠1或a≠－2
解析 ∵x＞y，
∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)
＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5
＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，
∴ab≠1或a≠－2.
1．不等式的基本性质是不等式变形的依据，每一步变形都要做到有根有据，严格按照不等式的性质进行．
2．作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结．其关键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较．
3．不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中一定要注意不等式成立的条件．
一、选择题
1．已知a＞0＞b，c＜d＜0，给出下列不等式：
(1)ad＞bc；(2)a－c＞b－d；(3)a(d－c)＞b(d－c)．其中成立的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 因为a＞0，b＜0，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，故(1)不成立；
因为a＞b，c＜d＜0，所以－c＞－d，所以a－c＞b－d，故(2)成立；
由c＜d＜0，知d－c＞0，又a＞0＞b，所以a(d－c)＞b(d－c)，故(3)成立．
2．已知a＞－1且b＞－1，则p＝＋与q＝＋的大小关系是( )
A．p＞q B．p＜q C．p≥q D．p≤q
答案 C
解析 p－q＝＋
＝＝≥0，∴p≥q.
3．设a，b∈(－∞，0)，则“a＞b”是“a－＞b－”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 a，b∈(－∞，0)，
∵a＞b，∴＜，即－＞－，∴a－＞b－，
∴“a＞b”是“a－＞b－”成立的充分条件．
又由a－＞b－?a－b＋－＞0
?(a－b)＋＞0?(a－b)·＞0
?a－b＞0?a＞b.
∴“a＞b”又是“a－＞b－”成立的必要条件．
故“a＞b”是“a－＞b－”成立的充要条件．
4．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若＜＜，则( )
A．c＜a＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
答案 A
解析 由＜＜，
可得＋1＜＋1＜＋1，
即＜＜.又a，b，c∈(0，＋∞)，
所以a＋b＞b＋c＞c＋a.由a＋b＞b＋c，可得a＞c；
由b＋c＞c＋a，
可得b＞a，于是有c＜a＜b.
5．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )
A.＜ B.＞
C．a＞b2 D．a2＞2b
答案 C
解析 ∵－1＜b＜1，∴b2＜1＜a.
6．设角α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是( )
A．－π＜α－β＜0 B．－π＜α－β＜π
C．－＜α－β＜0 D．－＜α－β＜
答案 A
解析 ∵－＜α＜β＜，
∴－＜－β＜且α－β＜0，∴－π＜α－β＜0.
二、填空题
7．已知a，b，c是实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小关系是__________．
答案 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
解析 ∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
8．已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是________．
答案 M＞N
解析 M－N＝＋＝.
∵0＜a＜，∴ab＜1，即1－ab＞0，
∴M－N＞0，∴M＞N.
9．若a，b∈R，且a＞b，下列不等式：
①＞；②(a＋b)2＞(b＋1)2；③(a－1)2＞(b－1)2.
其中不成立的是________．(填序号)
答案 ①②③
解析 ①中，－＝＝.
因为a－b＞0，a(a－1)的符号不确定，①不成立；
②中，取a＝2，b＝－2，则(a＋b)2＝0，(b＋1)2＞0，②不成立；③中，取a＝2，b＝－2，则(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不成立．
10．已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成________个正确命题．
答案 3
解析 若ab＞0，bc＞ad成立，
不等式bc＞ad两边同除以ab，得＞，
即ab＞0，bc＞ad?＞；
若ab＞0，＞成立，＞两边同乘以ab，
得bc＞ad，即ab＞0，＞?bc＞ad；
若＞，bc＞ad成立，
由于－＝＞0，
又bc－ad＞0，故ab＞0，
所以＞，bc＞ad?ab＞0.
综上，任两个作为条件都可推出第三个成立，故可组成3个正确命题．
三、解答题
11．已知a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y.
求证：＞.
证明 因为a，b，x，y都是正数且＞，x＞y，
所以＞，故＜，
则＋1＜＋1，即＜.
所以＞.
12．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
证明 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴＜.
又∵e＜0，
∴＞.
13．已知a＞0，b＞0，试比较＋与＋的大小．
解 －(＋)
＝
＝
＝
＝
＝.
因为a＞0，b＞0，所以＋＞0，＞0，
又因为(－)2≥0(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以≥0，即＋≥＋(当且仅当a＝b时等号成立)．
四、探究与拓展
14．若x＞y＞0，则 与的大小关系是________．
答案 ＞
解析 －＝
＝＝.
因为x＞y＞0，
所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1，
所以＞0.
所以＞＞0.
故 ＞.
15．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
解 设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)
＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
∴
解得λ1＝，λ2＝－.
又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，
∴－≤a＋3b≤1，即a＋3b的取值范围为.
第2课时 基本不等式
学习目标 1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2).2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.3.能运用基本不等式(定理2)解决某些实际问题．
知识点 基本不等式
思考 回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件．
答案 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab.
梳理 (1)重要不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)基本不等式
①定理2：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立 .
②定理2的应用：对两个正实数x，y，
(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；
(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值.
类型一 不等式的证明
例1 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥9.
证明 方法一 ∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
∴＋＋≥9.
方法二 ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝(a＋b＋c)
＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
∴＋＋≥9.
引申探究
1．若本例条件不变，求证：＋＋≥1.
证明 ∵a2＋b2≥2ab，
∴≥2a－b.
同理，≥2b－c，≥2c－a.
∴＋＋
≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1，
∴＋＋≥1.
2．若本例条件不变，求证：＋＋≥.
证明 ∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.
又a，b，c∈R＋，
∴≥|a＋b|＝(a＋b)．
同理，≥(b＋c)，≥(a＋c)．
三式相加，得
＋＋≥ (a＋b＋c)＝，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
反思与感悟 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．
跟踪训练1 (1)已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd；
(2)已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，求证：≥9.
证明 (1)∵a，b，c，d，∈R＋，
∴ab＋cd≥2，ac＋bd≥2，
∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
当且仅当a＝d且b＝c时取等号．
(2)
＝
＝
＝4＋2＋1≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．
∴≥9.
类型二 利用基本不等式求最值
例2 (1)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，求＋的最小值；
(2)若x＜0，求f(x)＝＋3x的最大值．
解 (1)＋＝×1＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，
∴＋的最小值是8.
(2)∵x＜0，∴－x＞0, 故f(x)＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时，等号成立，∴f(x)的最大值是－12.
反思与感悟 在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值．
(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取－1变为同正．
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决．
跟踪训练2 若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2 C．2 D．4
答案 C
解析 因为＋＝，所以a＞0，b＞0，
因为＝＋≥2 ＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2.
类型三 利用基本不等式解决实际应用问题
例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数；
(2)该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
解 (1)由题意可设3－x＝(k≠0)，
将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.
当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为32x＋3＝32＋3.
当销售x(万件)时，
年销售收入为150%＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销售完，
由年利润＝年销售收入—年生产成本—促销费用，
得年利润y＝(t≥0)．
(2)y＝＝50－
≤50－2 ＝50－2＝42，
当且仅当＝，
即当t＝7时，等号成立，ymax＝42，
∴当促销费用定在7万元时，年利润最大．
反思与感悟 利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约．
跟踪训练3 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解 (1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m.
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝，
∴y＝225x＋－360(x＞2)．
(2)∵x＞2，
∴225x＋≥2＝2＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440，
当且仅当225x＝，即当x＝24时等号成立，此时修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
1．下列不等式中，正确的个数是( )
①若a，b∈R，则≥；
②若x∈R，则x2＋2＋＞2；
③若x∈R，则x2＋1＋≥2；
④若a，b∈R＋，则≥.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 显然①不正确；③正确；
对②，虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋＞2成立，故②正确；④不正确，如a＝1，b＝4.
2．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 ∵a＋b＝2×＝1，a＞0，b＞0，
∴α＋β＝a＋＋b＋＝1＋≥1＋＝5，
当且仅当a＝b＝时取“＝”号．
3．下列不等式的证明过程正确的是( )
A．若a，b∈R，则＋≥2 ＝2
B．若x＞0，则cos x＋≥2 ＝2
C．若x＜0，则x＋≤2 ＝4
D．若a，b∈R，且ab＜0，则＋＝－≤－2 ＝－2
答案 D
解析 对于A，a，b必须同号；
对于B，cos x不一定大于0；对于C，由x＜0，
得x＋＝－
≤－2 ＝－4.
对于D，由ab＜0，得＜0，＜0，
所以＋＝－ ≤－2＝－2.
4．当x＞1时，函数y＝x＋的最小值是________．
答案 3
解析 因为x＞1，所以y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，
且x＞1，即x＝2时等号成立．故函数的最小值为3.
5．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1.求证：a2＋b2≥.
证明 ∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，
∴a2＋b2≥，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
1．对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷．
(1)ab≤2≤.
(2)≤ ≤ (a，b∈R＋)．
(3)＋≥2(a，b同号)．
(4)(a＋b)≥4(a，b∈R＋)．
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
2．利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式．注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据．
一、选择题
1．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4 C．1 D.
答案 B
解析 ∵是3a与3b的等比中项，
∴3a·3b＝3a＋b＝3，∴a＋b＝1.
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
2．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
答案 D
解析 由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4，当且仅当＝时取等号．故选D.
3．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值为( )
A．2 B．2 C．4 D．5
答案 C
解析 ∵a＞0，b＞0，
∴＋＋2≥＋2≥2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立．
4．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则p的取值范围为( )
A．(－∞，－9) B．(－9,9]
C．(－∞，9] D．[9，＋∞)
答案 D
解析 要使＋≥16恒成立，必有p＞0.
又∵＋＝·(sin2x＋cos2x)
＝1＋p＋＋
≥1＋p＋2＝(＋1)2，当且仅当sin2x＝cos2x时，等号成立．
∴(＋1)2≥16，即＋1≥4，
∴≥3，∴p≥9.
5．下列说法中，正确的个数是( )
①函数y＝x＋的最小值是2；
②函数y＝cos x＋的最小值为6；
③若正数a，b满足2a＋b＝2，则ab的最大值为.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 当x＞0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，当x＜0时，－y＝(－x)＋≥2，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立，所以y≤－2，所以①错误；由x∈，得cos x∈(0,1)，所以y＝cos x＋＞10，所以②错误；由2＝2a＋b≥2，得ab≤，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立，所以③正确．
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
答案 A
解析 由已知y1＝，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8.
当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．
二、填空题
7．若a＞0，b＞0，a＋b＝1，则的最小值是________．
答案 9
解析 因为＝·
＝·
＝
＝＝1＋.
由a＞0，b＞0，a＋b＝1，得ab≤2＝，
所以≥4，所以≥9，
当a＝b＝时取等号．
8．已知x＞0，y＞0且满足x＋y＝6，则使不等式＋≥m恒成立的实数m的取值范围为________．
答案
解析 因为x＞0，y＞0，＋＝×
＝≥×(10＋6)＝.
当且仅当＝时等号成立，又x＋y＝6，x＞0，y＞0，
得x＝，y＝.
所以m的取值范围是.
9．已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝y，则＋的最小值为________．
答案 3
解析 ∵2x－3＝y，∴x－3＝－y，即x＋y＝3.
故＋＝(x＋y)·＝＋＋≥＋2＝＋＝3
.
10．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
答案 [9，＋∞)
解析 令＝t(t＞0)，由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得t2≥2t＋3，所以t≥3或t≤－1(舍去)，所以≥3，ab≥9，当a＝b＝3时取等号．
11．函数y＝(x≥0)的最小值为________．
答案 7
解析 y＝＝
＝(x＋2)＋＋1≥2 ＋1＝7.
当且仅当x＋2＝，即x＝1时取等号．
∴当x＝1时，ymin＝7.
三、解答题
12．(1)已知正数a，b满足a＋4b＝4，求＋的最小值；
(2)求函数y＝的最大值．
解 (1)因为a＞0，b＞0，且a＋4b＝4，
所以＋＝(a＋4b)＝≥＝，
当且仅当a＝，b＝时取等号，
所以＋的最小值为.
(2)令t＝(t≥)，
则f(t)＝＝≤＝，
当且仅当t＝2，即x＝±时，取等号．
故y＝的最大值为.
13．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3 m，AD＝2 m.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；
(3)若AN的长度不小于6 m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
解 (1)设AN＝x m(x＞2)，则ND＝(x－2)m.
∵＝，∴＝，∴AM＝，
∴·x＞32，∴3x2－32x＋64＞0，
∴(3x－8)(x－8)＞0，∴2＜x＜或x＞8.
∴AN的长的范围为∪(8，＋∞)．
(2)由(1)知，S矩形AMPN＝＝
＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24.
当且仅当x＝4时取等号．
∴当AN的长度为4 m时，矩形AMPN的面积最小，矩形AMPN的最小面积为24 m2.
(3)由(2)得S矩形AMPN＝3(x－2)＋＋12(x≥6)，
令x－2＝t(t≥4)，
则S矩形AMPN＝3t＋＋12(t≥4)．
设f(t)＝3t＋＋12(t≥4)，
则f′(t)＝3－，当t≥4时，f′(t)＞0，
∴函数f(t)在[4，＋∞)上单调递增，
∴f(t)min＝f(4)＝27，此时x＝6.
∴若AN的长度不小于6 m，则当AN的长度是6 m时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为27 m2.
四、探究与拓展
14．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：(1)＋＋≤；
(2)＋＋＜6.
证明 (1)∵≥，∴2≤a＋b.
同理2≤a＋c,2≤b＋c，且当a＝b＝c时，等号同时成立．
∴(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2
≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(a＋c)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)＝3，
∴＋＋≤，当a＝b＝c时等号成立．
(2)∵＝≤，且由于3a＋2≠1，
∴等号不成立，∴＜.
同理＜，＜，
∴＋＋＜[3(a＋b＋c)＋9]＝6.
15．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
解 因为x＋y＝(x＋y)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
又(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18. ①
又a＋b＝10， ②
由①②可得或
第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式
学习目标 1.理解定理3.2.能用定理3及其推广证明一些不等式.3.会用定理解决函数的最值或值域问题.4.能运用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单的实际问题．
知识点 三项均值不等式
思考 类比基本不等式：≥(a＞0，b＞0)，请写出a，b，c∈R＋时，三项的均值不等式．
答案 ≥.
梳理 (1)三个正数的算术—几何平均不等式(定理3)
如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
(2)基本不等式的推广
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
(3)重要变形及结论
①abc≤3；②a3＋b3＋c3≥3abc；
③≤≤ ≤ .
上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为a＝b＝c.
类型一 用平均不等式求最值
例1 (1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值；
(2)求函数y＝x＋(x＞1)的最小值．
解 (1)∵1＜x＜，∴3－2x＞0，x－1＞0.
又y＝(x－1)2(3－2x)
＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3
＝3＝，当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，
即x＝∈时，ymax＝.
(2)∵x＞1，∴x－1＞0，y＝x＋
＝(x－1)＋(x－1)＋＋1
≥3 ＋1＝4，
当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，
即x＝3时等号成立．即ymin＝4.
反思与感悟 (1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
跟踪训练1 求函数y＝(1－3x)2·x的最大值．
解 y＝(1－3x)2·x＝·(1－3x)·(1－3x)·6x≤3＝，
当且仅当1－3x＝1－3x＝6x，即x＝时，ymax＝.
类型二 用平均不等式证明不等式
例2 已知a，b，c∈R＋.求证：a3＋b3＋c3＋≥2.
证明 ∵a3＋b3＋c3＋≥3abc＋≥2，
当且仅当a＝b＝c，且abc＝时等号成立．
∴a3＋b3＋c3＋≥2.
引申探究
若本例条件不变，求证：＋＋≥3.
证明 ＋＋
＝＋－3
≥3＋3－3＝6－3＝3，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
反思与感悟 证明不等式的方法
(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均不等式证明．
(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．
跟踪训练2 已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，
求证：(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27.
证明 ∵1＋x＋y≥3＞0,1＋x＋z≥3＞0，
1＋y＋z≥3＞0，
∴(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27.
又∵xyz＝1，
∴(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27，
当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立．
类型三 用平均不等式解决实际应用问题
例3 如图，将边长为1的正六边形铁皮(图①)的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图②)．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．
解 设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0＜x＜1)，则OB1＝B1B2＝x.
由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，
得OA1＝A1A2＝1，∴A1B1＝OA1－OB1＝1－x.
作B1C1⊥A1A2于点C1，
在Rt△A1C1B1中，
∠B1A1C1＝60°，
则容器的高B1C1＝A1B1sin 60°＝(1－x)．
于是容器的容积为
V＝f(x)＝Sh＝·(1－x)
＝x2(1－x)(0＜x＜1)．
则f(x)＝x2(1－x)＝·x·x(2－2x)≤·3＝，
当且仅当x＝x＝2－2x，
即x＝时，Vmax＝.
故当正六棱柱容器的底面边长为时，最大容积为.
反思与感悟 利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤
(1)理解题意，设变量．设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)验证相等条件，得出结论．
跟踪训练3 已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？
解 设内接圆柱的体积为V，
又R2＝r2＋，
∴r2＝R2－，
∴V＝πr2h＝πh.
又V＝(4R2－h2)·h＝
＝ ≤
＝πR3，
当且仅当4R2－h2＝2h2，即h＝R，此时r＝R时，等号成立．
∴当h＝R，r＝R时，
内接圆柱的体积最大为πR3.
1．函数f(x)＝＋2x(x＞0)的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 A
解析 ∵x＞0，∴f(x)＝＋x＋x≥3＝3，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
2．设x＞0，则f(x)＝4－x－的最大值为( )
A．4－ B．4－ C．不存在 D.
答案 D
解析 ∵x＞0，
∴f(x)＝4－x－＝4－
≤4－3＝4－＝，
当且仅当＝＝，即x＝1时，等号成立．
3．已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是( )
A．y＝x2＋2x＋≥3＝6，故ymin＝6.
B．y＝2＋x＋≥3＝3，故ymin＝3.
C．y＝2＋x＋≥4，故ymin＝4.
D．y＝x(1－x)(1－2x)≤3＝，故ymax＝.
答案 C
解析 A，B，D在使用不等式a＋b＋c≥3(a，b，c∈R＋)和abc≤3(a，b，c∈R＋)时都不能保证等号成立，最值取不到．
C中，∵x＞0，∴y＝2＋x＋＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
4．设a，b∈R＋，且a＋b＝3，则ab2的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 ∵ab2＝4a××≤43＝43
＝4×13＝4，当且仅当a＝＝1时，等号成立．即ab2的最大值为4.
5．已知a，b为实数，且a＞0，b＞0，则
的最小值为________．
答案 9
解析 因为a＞0，b＞0，
所以a＋b＋≥3＝3＞0， ①
同理可得a2＋＋≥3＞0， ②
由①②及不等式的性质，
得≥3×3＝9，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
1．求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立．
2．求形如y＝ax2＋(x＞0，a＞0，b＞0)的函数的最小值，关键是拆为＝＋，则y＝ax2＋＝ax2＋＋≥3＝.求形如y＝ax＋(x＞0，a＞0，bc＞0)的函数的最小值，关键是拆ax为＋，则y＝ax＋＝＋＋≥3＝ .
一、选择题
1．函数y＝x2(1－5x)的最大值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 y＝x2(1－5x)＝(1－5x)×≤×3＝，
当且仅当x＝1－5x，即x＝时等号成立．
2．若a＞b＞0，则a＋的最小值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 ∵a＞b＞0，a＋＝(a－b)＋b＋≥3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋的最小值为3.故选D.
3．设x，y，z＞0且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)
答案 B
解析 ∵6＝x＋y＋z≥3，∴xyz≤8，
∴lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2 .
4．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3＝3，
当且仅当xy＝x2，即y＝2x时取等号．
5．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则( )
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D．z≤y≤x
答案 B
解析 由a，b，c∈R＋，易知≥，即x≥y.
又z2＝，x2＝，
且x2＝≤＝，∴x2≤z2，则x≤z，
因此z≥x≥y.
6．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是( )
A．V≥π B．V≤π
C．V≥π D．V≤π
答案 B
解析 设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π3＝π，
当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
二、填空题
7．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
答案
解析 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·≥3·3＝9，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，
故2(a＋b＋c)·≥9.
又a＋b＋c＝1，∴＋＋≥.
8．已知x，y，z∈R＋，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为________．
答案 1
解析 因为x，y，z∈R＋，且x＋3y＋4z＝6，
所以6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6·＝6·，
所以x2y3z≤1，当且仅当＝y＝4z时取等号．
9．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为________．
答案 8
解析 a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0，
则a＋b＋
＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3＋5＝8，
当且仅当a－2＝b－3＝，
即a＝3，b＝4时等号成立．
10．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
答案 2
解析 2x＋＝(x－a)＋(x－a)＋＋2a，
∵x－a＞0，
∴2x＋≥3＋2a
＝3＋2a，
当且仅当x－a＝，即x＝a＋1时取等号．
∴2x＋的最小值为3＋2a.
由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
11．已知a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋3c＝1，则＋＋的最小值为________．
答案 9
解析 因为a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋3c＝1，
所以＋＋＝(a＋2b＋3c)·
≥3·3＝9，
当且仅当a＝2b＝3c＝时取等号．
因此＋＋的最小值为9.
三、解答题
12．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
解 因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)，
所以2≥9(abc). ②
故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)，
又3(abc)＋9(abc)≥2＝6， ③
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立，
即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立，
所以原不等式成立．
13．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.
(1)求＋＋的最小值；
(2)证明：3≤x2＋y2＋z2＜9.
(1)解 因为x＋y＋z≥3＞0，
＋＋≥＞0，
所以(x＋y＋z)≥9，
则＋＋≥3，
当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立，故＋＋的最小值为3.
(2)证明 x2＋y2＋z2＝≥＝＝3.
当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立，
又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)＜0，所以3≤x2＋y2＋z2＜9.
四、探究与拓展
14．制造一个容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，当圆柱形桶的底面半径为________米，高为________米时，所使用的材料成本最低．
答案
解析 设此圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，
则底面面积为πr2，侧面积为2πrh，
设原料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.
∵桶的容积为，∴πr2h＝，
∴rh＝，∴y＝30πr2＋π＝10π
≥10π×3，
当且仅当3r2＝，即r＝时等号成立，此时h＝.
15．设0＜θ＜π，求函数y＝sin (1＋cos θ)的最大值．
解 y＝sin (1＋cos θ )＝2sin cos2 ＞0(0＜θ＜π)，
y取最大值当且仅当y2取最大值．
y2＝4sin2 ·cos4
＝4sin2 ·cos2 ·cos2
＝2·2sin2 ·cos2 ·cos2
≤2·3
＝2×3＝，
当2sin2 ＝cos2 时取等号，
此时tan2 ＝，tan ＝±，
而tan ＝在θ∈(0，π)上有解，
则y＝，故ymax＝.
二 绝对值不等式
第1课时 绝对值三角不等式
学习目标 1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理1)及其几何解释，理解多个实数的绝对值不等式(定理2).3.会用定理1、定理2解决简单的绝对值不等式问题．
知识点 绝对值三角不等式
思考1 实数a的绝对值|a|的几何意义是什么？
答案 |a|表示数轴上以a为坐标的点A到原点的距离．
思考2 代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？
答案 表示数轴上的点x到点－2,3的距离之和．
梳理 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
几何解释：用向量a，b分别替换a，b.
①当a与b不共线时，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其几何意义为两边之和大于第三边；
②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b反向时，|a＋b|＜|a|＋|b|；
由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．
③定理1的推广：如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.
当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，
当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.
当点B不在点A，C之间时：
①点B在A或C上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；
②点B不在A，C上时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.
应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．
类型一 含绝对值不等式的证明
例1 设函数f(x)＝x2－2x，实数a满足|x－a|＜1.
求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.
证明 ∵f(x)＝x2－2x，且|x－a|＜1，
∴|f(x)－f(a)|＝|x2－2x－a2＋2a|
＝|(x＋a)(x－a)－2(x－a)|
＝|(x－a)(x＋a－2)|＝|x－a|·|x＋a－2|
＜|x＋a－2|＝|(x－a)＋(2a－2)|
≤|x－a|＋|2a－2|＜1＋|2a|＋|2|＝2|a|＋3，
∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.
反思与感悟 两类含绝对值不等式的证明技巧
一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．
另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
跟踪训练1 已知|A－a|＜，|B－b|＜，|C－c|＜，求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜s.
证明 ∵|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|
＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|
≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c|
≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|，
又∵|A－a|＜，|B－b|＜，|C－c|＜，
∴|A－a|＋|B－b|＋|C－c|＜＋＋＝s，
∴|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜s.
类型二 利用绝对值三角不等式求最值
例2 (1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值；
(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求参数a的取值范围．
解 (1)方法一 ||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，
∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.
方法二 把函数看作分段函数，
y＝|x－3|－|x＋1|＝
∴－4≤y≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.
(2)只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值，
则|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，
而|x－3|＋|x－4|＝|x－3|＋|4－x|≥|x－3＋4－x|＝1，
当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立．
∴当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1.
∴a的取值范围为(－∞，1]．
反思与感悟 (1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．
(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．
跟踪训练2 (1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；
(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围．
解 (1)∵|f(x)|＝||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴－3≤f(x)≤3，∴f(x)min＝－3，f(x)max＝3.
(2)∵|x－3|＋|x＋1|≥|(x－3)－(x＋1)|＝4，
∴|x－3|＋|x＋1|≥4.
∴当a＜4时，|x－3|＋|x＋1|＞a的解集为R.
又∵|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，
∴a≥4.∴a的取值范围是[4，＋∞)．
类型三 绝对值三角不等式的综合应用
例3 设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)，
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．
(1)证明 由a＞0，可得f(x)＝＋|x－a|
≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.
(2)解 f(3)＝＋|3－a|，
当a＞3时，f(3)＝a＋，
由f(3)＜5，得3＜a＜；
当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，
由f(3)＜5，得＜a≤3.
综上可知，a的取值范围是.
反思与感悟 含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件．
跟踪训练3 设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，恒有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤7.
证明 因为当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，
所以|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，
又f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，
所以|f(2)|＝|4a＋2b＋c|
＝|3(a＋b＋c)＋(a－b＋c)－3c|
＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|
≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤3＋1＋3＝7，
所以|f(2)|≤7.
1．已知|x－m|＜，|y－n|＜，则|4x＋2y－4m－2n|小于( )
A．ξ B．2ξ C．3ξ D.
答案 C
解析 |4x＋2y－4m－2n|＝|4(x－m)＋2(y－n)|
≤4|x－m|＋2|y－n|＜4×＋2×＝3ξ.
2．已知a为实数，则“|a|≥1”是“关于x的绝对值不等式|x|＋|x－1|≤a有解”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由|a|≥1得a≤－1或a≥1.因为关于x的不等式|x|＋|x－1|≤a有解，而|x|＋|x－1|≥|x＋1－x|＝1，所以a≥1.故“|a|≥1”是“关于x的绝对值不等式|x|＋|x－1|≤a有解”的必要不充分条件．
3．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是( )
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．m≤n
答案 D
解析 m＝≤＝1.
又n＝≥＝1，
∴m≤n.
4．已知关于x的不等式|x－1|＋|x＋a|≤8的解集不是空集，则a的最小值是________．
答案 －9
解析 ∵|x－1|＋|x＋a|≥|x－1－(x＋a)|＝|a＋1|，且关于x的不等式|x－1|＋|x＋a|≤8的解集不是空集，∴|a＋1|≤8，解得－9≤a≤7，即a的最小值是－9.
5．下列四个不等式：①|logx10＋lg x|≥2；②|a－b|＜|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1.
其中恒成立的是________．(把你认为正确的序号都填上)
答案 ①③④
解析 |logx10＋lg x|＝＝＋|lg x|≥2，①正确；
当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
∵ab≠0，与同号，
∴＝≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正确．
1．求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用求|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，当ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的．
2．求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有
(1)借助绝对值的定义，即零点分段．
(2)利用绝对值的几何意义．
(3)利用绝对值不等式的性质定理．
一、选择题
1．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 “乙?甲”
∵|a－1|＜h，|b－1|＜ h，∴|a－1|＋|b－1|＜2h，
又|a－1|＋|b－1|≥|(a－1)－(b－1)|＝|a－b|，
∴|a－b|＜2h.
“甲?乙”
当a＝b＝5，h＝1时，甲?乙．综上，甲是乙的必要不充分条件．
2．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )
A．|a＋b|＋|a－b|＞2 B．|a＋b|＋|a－b|＜2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小
答案 B
解析 当(a＋b)与(a－b)同号或(a＋b)(a－b)＝0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2.
当(a＋b)与(a－b)异号时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.
3．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 |x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|
≥|(x－1)－x|＋|(y－1)－(y＋1)|＝3.
4．设变量x，y满足|x－1|＋|y－a|≤1，若2x＋y的最大值是5，则实数a的值是( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
答案 B
解析 由|x－1|＋|y－a|≤1，得|x－1|≤1，
∴0≤x≤2，且|x＋y－1－a|≤1，
∴a≤x＋y≤2＋a，∴a≤2x＋y≤4＋a，
又2x＋y的最大值为5，∴4＋a＝5，∴a＝1.
5．已知不等式|x－m|＜1成立的一个充分不必要条件是＜x＜，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
6．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( )
A．5 B．4 C．8 D．7
答案 A
解析 由题意，得|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|
≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，
即|x－2y＋1|的最大值为5.
二、填空题
7．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [－2,4]
解析 |x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
8．已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|.若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 由不等式性质可知，f(x)＝|x－3|－|x－a|
≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|，
所以若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，
则|a－3|≥a，解得a≤，
所以实数a的取值范围是.
9．以下三个命题：
①若|a－b|≤1，则|a|≤|b|＋1；
②若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
③|x|＜2，|y|＞3，则＜.
其中正确命题的序号为________．
答案 ①②③
解析 因为|a|－|b|≤|a－b|≤1，所以|a|≤|b|＋1，故①正确；因为|a＋b|－2|a|＝|a＋b|－|2a|≤|(a＋b)－2a|＝|a－b|.故②正确；③显然正确．
10．若不等式|2a－1|≤对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 ＝|x|＋≥2，
所以由已知得|2a－1|≤2，
即－2≤2a－1≤2，
解得－≤a≤.
11．已知函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4，若函数f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，－3]
解析 f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6，
因为x∈R，由绝对值三角不等式，得
f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6
＝|3－x|＋|x＋1|－6
≥|(3－x)＋(x＋1)|－6＝4－6＝－2，
于是有m＋1≤－2，得m≤－3，
即m的取值范围是(－∞，－3]．
三、解答题
12．设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M，证明：＜.
证明 记f(x)＝|x－1|－|x＋2|
＝
由－2＜－2x－1＜0，解得－＜x＜，
则M＝.
因为a，b∈M，所以|a|＜，|b|＜，
所以≤|a|＋|b|＜×＋×
＝.
13．设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．
(1)若|a|≤1，证明：|f(x)|≤；
(2)求使函数f(x)有最大值的实数a的值．
(1)证明 ∵|x|≤1，|a|≤1，
∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a||x2－1|＋|x|
≤|x2－1|＋|x|
＝1－|x|2＋|x|＝－2＋≤.
∴|f(x)|≤.
(2)解 当a＝0时，f(x)＝x；当－1≤x≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝1不可能满足题设条件，∴a≠0.
又f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1，
故f(±1)均不是最大值．
∴f(x)的最大值为，应在其对称轴上，即顶点位置取得，∴a＜0，
∴得
即
∴a＝－2.
四、探究与拓展
14．设x，y∈R，求证：|2x－x|＋|2y－y|＋|x＋y|≥.
证明 由绝对值三角不等式，得
|2x－x|＋|2y－y|≥|2x＋2y－(x＋y)|≥|2x＋2y|－|x＋y|，
∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x＋y|≥|2x＋2y|.
而|2x＋2y|＝2x＋2y≥2＝2＝2·＝＋1，∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x＋y|≥.
15．已知a，b∈R且a≠0，求证：≥－.
证明 (1)若|a|＞|b|，
左边＝＝
≥＝.
∵≤，≤，
∴＋≤.
∴左边≥＝右边．
(2)若|a|＜|b|，左边＞0，右边＜0，
∴原不等式显然成立．
(3)若|a|＝|b|，原不等式显然成立．
综上可知，原不等式成立．
第2课时 绝对值不等式的解法
学习目标 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解．
知识点一 |ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法
思考1 |x|≥2说明实数x有什么特征？
答案 x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2.
∴x≥2或x≤－2.
思考2 若|2x－3|≤5，求x的取值范围．
答案 {x|－1≤x≤4}．
梳理 (1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法
①|x|＜a?
②|x|＞a?
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c，
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
知识点二 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
思考 如何去掉|x－a|＋|x－b|的绝对值符号？
答案 采用零点分段法．即令|x－a|＋|x－b|＝0，得
x1＝a，x2＝b，(不妨设a＜b)
|x－a|＋|x－b|＝
梳理 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．
(2)以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．
特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法．
类型一 |ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.
解 (1)由|5x－2|≥8，得5x－2≥8或5x－2≤－8，解得x≥2或x≤－，∴原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
由①得x－2≤－2或x－2≥2，∴x≤0或x≥4，
由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}．
反思与感悟 |ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法
(1)当c＞0时，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，
|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.
(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为?.
(3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为?.
跟踪训练1 解关于x的不等式：
||x－1|－4|＜2.
解 ||x－1|－4|＜2?－2＜|x－1|－4＜2
?2＜|x－1|＜6
??
??－5＜x＜－1或3＜x＜7.
∴不等式||x－1|－4|＜2的解集为{x|－5＜x＜－1或3＜x＜7}．
类型二 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
例2 解关于x的不等式：|3x－2|＋|x－1|＞3.
解 方法一 分类(零点分段)讨论法
|3x－2|＝0，|x－1|＝0的根，1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，
代数式|3x－2|＋|x－1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．
①因为当x≤时，
|3x－2|＋|x－1|＝2－3x＋1－x＝3－4x，
所以当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＞3?3－4x＞3?x＜0.
因此，不等式组的解集为{x|x＜0}．
②因为当＜x＜1时，
|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，
所以当＜x＜1时，
|3x－2|＋|x－1|＞3?2x－1＞3?x＞2.
因此，不等式组的解集为?.
③因为当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，
所以当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＞3?4x－3＞3?x＞.
因此，不等式组的解集为.
于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，
即{x|x＜0}∪?∪＝.
方法二 构造函数f(x)＝|3x－2|＋|x－1|－3，则原不等式的解集为{x|f(x)＞0}．
f(x)＝
作出函数f(x)的图象，如图．
它是分段线性函数，函数的零点是0和.从图象可知，
当x∈(－∞，0)∪时，有f(x)＞0.
所以原不等式的解集是(－∞，0)∪.
反思与感悟 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．
跟踪训练2 解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
解 方法一 |x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到对应点－7的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]．
方法二 令x＋7＝0，得x＝－7，令x－2＝0，得x＝2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，∴x＜－7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，∴x∈?.
∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
方法三 将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，
构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，
即y＝
作出函数的图象，由图象可知，
当x≤－1时，y≤0，
即|x＋7|－|x－2|－3≤0，
∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
类型三 含绝对值不等式的恒成立问题
例3 已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)＞a恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)∵当a＝－3时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|，
∴f(x)≤6，等价于|2x＋1|＋|2x－3|－6≤0，
令g(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|－6，
令|2x＋1|＝0，得x＝－，令|2x－3|＝0，得x＝.
∴g(x)＝
作y＝g(x)的图象，如图，
∴f(x)≤6的解集为[－1,2]．
(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|≥|(2x＋1)－(2x＋a)|＝|a－1|，
∴f(x)min＝|a－1|.
要使f(x)＞a恒成立，只需|a－1|＞a成立即可．
由|a－1|＞a，得a－1＞a或a－1＜－a，
∴a＜，
∴a的取值范围是.
引申探究
若f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|且f(x)＜a恒成立，求a的取值范围．
解 ∵f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|≤|(2x＋1)－(2x＋a)|
＝|a－1|，∴f(x)max＝|a－1|.
∵f(x)＜a恒成立，∴|a－1|＜a，∴－a＜a－1＜a，
∴a＞，∴a的取值范围是.
反思与感悟 不等式解集为R或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题．f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a.
跟踪训练3 已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.根据以下情形分别求出m的取值范围．
(1)若不等式有解；
(2)若不等式的解集为R；
(3)若不等式的解集为?.
解 方法一 因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差，
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
则(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1，m的取值范围为(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1)．
(3)若不等式的解集为?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)．
方法二 由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，则m∈(－∞，－1)．
(3)若不等式的解集为?，则m∈[1，＋∞).
1．不等式|x＋1|＞3的解集是( )
A．{x|x＜－4或x＞2} B．{x|－4＜x＜2}
C．{x|x＜－4或x≥2} D．{x|－4≤x＜2}
答案 A
解析 |x＋1|＞3，则x＋1＜－3或x＋1＞3，
因此x＜－4或x＞2.
2．不等式＞0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 原不等式???
3．不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的所有实数解的集合是( )
A．(－3,2) B．(－1,3)
C．(－4,1) D.
答案 C
解析 |x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离之和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到与－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x＋1|＋|x＋2|＜5解集是(－4,1)．
4．已知x为实数，且|x－5|＋|x－3|＜m有解，则m的取值范围是( )
A．m＞1 B．m≥1 C．m＞2 D．m≥2
答案 C
解析 ∵|x－5|＋|x－3|≥|(x－5)－(x－3)|＝2，
∴m＞2.
5．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.
解 (1)当x≤－时，
|2x－1|＋|3x＋2|≥8?1－2x－(3x＋2)≥8
?－5x≥9?x≤－，∴x≤－.
(2)当－＜x＜时，
|2x－1|＋|3x＋2|≥8?1－2x＋3x＋2≥8?x≥5，
∴x∈?.
(3)当x≥时，
|2x－1|＋|3x＋2|≥8?5x＋1≥8?5x≥7?x≥，
∴x≥.
∴原不等式的解集为∪.
1．解不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c
(1)当c≥0时，|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可．
(2)当c＜0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为?，|ax＋b|≥c的解集为R.
2．解|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的核心步骤是“零点分段”，即
(1)令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；
(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；
(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
(4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．
一、选择题
1．不等式x2－|x|－2＜0(x∈R)的解集是( )
A．{x|－2＜x＜2}
B．{x|x＜－2或x＞2}
C．{x|－1＜x＜1}
D．{x|x＜－1或x＞1}
答案 A
解析 当x≥0时，不等式化为x2－x－2＜0，
解得－1＜x＜2，所以0≤x＜2；
当x＜0时，不等式化为x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1，所以－2＜x＜0.
故原不等式的解集为{x|－2＜x＜2}．
2．若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
答案 B
解析 ∵|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，
∴|a－2|≥a，即a－2≥a或a－2≤－a，
∴a≤1.
3．设函数f(x)＝则使f(x)≥1的自变量x的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪[0,4]
B．(－∞，－2]∪[0,1]
C．(－∞，－2]∪[1,4]
D．[－2,0]∪[1,4]
答案 A
4．关于x的不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1,2]
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 A
解析 ∵|x＋3|－|x－1|≤|4|＝4，
∴a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4.
5．当|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是( )
A．a＞－2 B．0＜a≤－2
C．a≥－2 D．以上都不正确
答案 B
解析 由|x－2|＜a，得a＞0，且－a＋2＜x＜a＋2，
由|x2－4|＜1，得＜x＜或－＜x＜－.
∴即0＜a≤－2，
或无解．
∴0＜a≤－2.
二、填空题
6．不等式≥1成立的充要条件是________．
答案 |a|＞|b|
解析 ≥1?≥0
?(|a|－|b|)·[|a＋b|－(|a|－|b|)]≥0.
而|a＋b|≥|a|－|b|，∴|a＋b|－(|a|－|b|)≥0.
∴|a|－|b|＞0，即|a|＞|b|.
7．若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________.
答案 －3
解析 ∵|ax－2|＜3，∴－1＜ax＜5.
当a＞0时，－＜x＜，与已知条件不符；
当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；
当a＜0时，＜x＜－，又不等式的解集为
，故a＝－3.
8．已知函数f(x)＝|x－a|＋a，g(x)＝4－x2，若存在x0∈R使g(x0)≥f(x0)，则a的取值范围是________．
答案
解析 若存在x0∈R使g(x0)≥f(x0)，则x2＋|x－a|＋a－4≤0有解．
当x≥a时，x2＋x－4≤0，显然有解；
当x＜a时，x2－x＋2a－4≤0，由Δ＝1－4(2a－4)≥0，
解得a≤.故答案为.
9．已知函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，若f(x)≤5，则x的取值范围是________．
答案 [－1,1]
解析 由题意可知，|2x－1|＋x＋3≤5，
即|2x－1|≤2－x，
所以或
解得≤x≤1或－1≤x＜，
故x的取值范围是{x}．
10．已知集合A＝{x||x－4|＋|x－1|＜5}，B＝{x|a＜x＜6}且A∩B＝(2，b)，则a＋b＝________.
答案 7
11．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a＝________.
答案 －4或8
解析 ①当a≤2时，
f(x)＝
②当a＞2时，
f(x)＝
由①②可得f(x)min＝f＝＝3，解得a＝－4或8.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.
(1)解不等式|g(x)|＜5；
(2)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．
解 (1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，
即－7＜|x－1|＜3，得不等式的解集为{x|－2＜x＜4}．
(2)因为对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}．
又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，
所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5.
故实数a的取值范围为[－1，＋∞)∪(－∞，－5]．
13．已知a＋b＝1，对任意的a，b∈(0，＋∞)，＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，求x的取值范围．
解 因为a＞0，b＞0且a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9，
故＋的最小值为9，
因为对任意的a，b∈(0，＋∞)，
使＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，
所以|2x－1|－|x＋1|≤9，
当x≤－1时，2－x≤9，所以－7≤x≤－1；
当－1＜x＜时，－3x≤9，所以－1＜x＜；
当x≥时，x－2≤9，所以≤x≤11.
综上所述，x的取值范围是[－7,11]．
四、探究与拓展
14．(2018·全国Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝5－|x＋1|－|x－2|＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当(x＋a)(x－2)≤0时等号成立．
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
15．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
解 (1)当x≤1时，
f(x)＝－(x－1)－(x－2)＝－2x＋3；
当1＜x≤2时，
f(x)＝(x－1)－(x－2)＝1；
当x＞2时，
f(x)＝(x－1)＋(x－2)＝2x－3.
所以f(x)＝
图象如图所示．
(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)，
得≥f(x)．
又因为≥＝2，
所以2≥f(x)，
解不等式2≥|x－1|＋|x－2|，得≤x≤.
复习课
学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．
1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可．
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
(5)乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．
(6)开方：如果a＞b＞0，那么＞(n∈N，n≥2)．
3．基本不等式
(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)．
(2)定理2：如果a，b＞0，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．
(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
(4)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
(5)推论：若a1，a2，…，an∈R＋，则≥.当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立；
(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求．
4．绝对值不等式的解法
解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法
(1)根据绝对值的定义．
(2)分区间讨论(零点分段法)．
(3)图象法．
5．绝对值三角不等式
(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．
(2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)．
(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)．
(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)．
(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).
类型一 不等式的基本性质的应用
例1 “a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d.
反思与感悟 利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．
跟踪训练1 如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2＞a＞－a2＞－a
B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2
D．a2＞－a＞a＞－a2
答案 B
解析 由a2＋a＜0知，a≠0，故有a＜－a2＜0,0＜a2＜－a.故选B.
类型二 基本不等式及其应用
例2 已知a＞b＞c＞d，求证：＋＋≥.
证明 ∵a＞b＞c＞d，
∴a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0，
∴(a－d)
＝·[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]
≥3 ·3＝9.
∴＋＋≥.
反思与感悟 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式．
跟踪训练2 设a，b，c均为正数，
证明：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc.
证明 (ab＋a＋b＋1)·(ab＋ac＋bc＋c2)
＝(b＋1)(a＋1)(b＋c)(a＋c)
≥2·2·2·2＝16abc，
∴所证不等式成立．
例3 若x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
答案 3
解析 由x－2y＋3z＝0，得y＝，
则＝≥＝3，
当且仅当x＝3z时取“＝”．
反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．
跟踪训练3 当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
答案 C
解析 f(x)＝＝＋.
∵x∈，∴cos x＞0，sin x＞0.
故f(x)＝＋≥2 ＝4，当且仅当cos x＝2sin x＞0时，等号成立．故选C.
类型三 含绝对值的不等式的解法
例4 解下列关于x的不等式．
(1)|x＋1|＞|x－3|；
(2)|x－2|－|2x＋5|＞2x.
解 (1)方法一 |x＋1|＞|x－3|，
两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1.
∴原不等式的解集为{x|x＞1}．
方法二 分段讨论：
当x≤－1时，有－x－1＞－x＋3，此时x∈?；
当－1＜x≤3时，有x＋1＞－x＋3，
即x＞1，∴此时1＜x≤3；
当x＞3时，有x＋1＞x－3，∴x＞3.
∴原不等式的解集为{x|x＞1}．
(2)分段讨论：①当x＜－时，原不等式变形为
2－x＋2x＋5＞2x，解得x＜7，
∴不等式的解集为.
②当－≤x≤2时，
原不等式变形为2－x－2x－5＞2x，解得x＜－，
∴不等式的解集为.
③当x＞2时，原不等式变形为x－2－2x－5＞2x，
解得x＜－，∴原不等式无解．
综上可知，原不等式的解集为.
反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝|x－2|＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|，得2≥4，无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，解得x≥5.
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以解得a＝3.
类型四 恒成立问题
例5 设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥＋1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，
f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－1≥|x＋1＋4－x|－1＝4，
∴f(x)min＝4.
(2)f(x)≥＋1对任意的实数x恒成立
?|x＋1|＋|x－4|－1≥a＋对任意的实数x恒成立
?a＋≤4.
当a＜0时，上式成立；
当a＞0时，a＋≥2 ＝4，
当且仅当a＝，即a＝2时上式取等号，
此时a＋≤4成立．
综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪{2}．
反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用①变更主次元；②数形结合等方法．
跟踪训练5 已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．
解 (1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2，
∵f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，
∴当a≤0时，不合题意．
又当a＞0时，－≤x≤，
∴a＝2.
(2)令h(x)＝f(x)－2f＝|2x＋1|－|2x＋2|，
∴h(x)＝
∴|h(x)|≤1，∴k≥1，即k的取值范围是[1，＋∞).
1．给出下列四个命题：
①若a＞b，c＞1，则alg c＞blg c；②若a＞b，c＞0，则alg c＞blg c；③若a＞b，则a·2c＞b·2c；④若a＜b＜0，c＞0，则＞.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 ①正确，c＞1，lg c＞0；②不正确，当0＜c≤1时，lg c≤0；③正确，2c＞0；④正确，由a＜b＜0，得0＞＞，故＞.
2．设6＜a＜10，≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是( )
A．9＜c＜30 B．0≤c≤18
C．0≤c≤30 D．15＜c＜30
答案 A
解析 因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a.
又因为6＜a＜10，所以＞9,3a＜30.
所以9＜≤a＋b≤3a＜30，
即9＜c＜30.
3．不等式4＜|3x－2|＜8的解集为_______________________________________．
答案
解析 由4＜|3x－2|＜8，得?
?
∴－2＜x＜－或2＜x＜.
∴原不等式的解集为.
4．解不等式3≤|x－2|＜4.
解 方法一 原不等式等价于
由①得x－2≤－3或x－2≥3，
∴x≤－1或x≥5.
由②得－4＜x－2＜4，
∴－2＜x＜6.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
方法二 3≤|x－2|＜4?3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3?5≤x＜6或－2＜x≤－1.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
1．本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法．
2．重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．
3．重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．
一、选择题
1．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＞2b B．－＞－1
C．2a＞2b D．lg(a－b)＞1
答案 C
解析 ∵y＝2x是增函数，又a＞b，∴2a＞2b.
2．设a，b为正实数，以下不等式恒成立的为( )
①＞； ②a＞|a－b|－b；
③a2＋b2＞4ab－3b2； ④ab＋＞2.
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 D
解析 ①不恒成立，因为a＝b时取“＝”；
②恒成立，因为a，b均为正数；
④是恒成立的，因为ab＋≥2＞2.
3．若a＞b，b＞0，则下列与－b＜＜a等价的是( )
A．－＜x＜0或0＜x＜
B．－＜x＜
C．x＜－或x＞
D．x＜－或x＞
答案 D
解析 －b＜＜a，当x＜0时，－bx＞1＞ax，解得x＜－；当x＞0时，－bx＜1＜ax，解得x＞，故选D.
4．不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是( )
A. B.
C．{x|x≥3} D．{x|－3＜x≤0}
答案 A
解析 ①由无解；
②由得＜x＜3；
③由得x≥3.
综上，不等式的解集为.
5．“a＜4”是“对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵|2x－1|＋|2x＋3|≥|2x－1－(2x＋3)|＝4，
∴当a＜4时?|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立，即充分条件成立；
对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a?a≤4，不能推出a＜4，即必要条件不成立．
二、填空题
6．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．
答案
解析 令f(x)＝＝，
∵x>0，∴x＋≥2，
∴f(x)≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，即f(x)的最大值为.
若使不等式恒成立，只需a≥即可．
7．已知不等式|x＋2|－|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
答案 [－2，＋∞)
解析 ∵||x＋2|－|x||≤|x＋2－x|＝2，
∴2≥|x＋2|－|x|≥－2，
∵不等式|x＋2|－|x|≤a的解集不是空集，∴a≥－2.
8．定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________．
答案
解析 因为x?y＝，所以(2y)?x＝.
又x＞0，y＞0，
故x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．
9．不等式(3|x|－1)≤|x|＋3的解集为________．
答案 {x|－13≤x≤13}
解析 当x＜0时，不等式为(－3x－1)≤－x＋3，
解得－13≤x＜0，
当x≥0时，不等式为(3x－1)≤x＋3，
解得0≤x≤13，
∴不等式的解集为{x|－13≤x≤13}．
10．若f(x)＝2|x＋1|－|x－1|且f(x)≥2，则x的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(x)＝2x是增函数，
∴f(x)≥2，即|x＋1|－|x－1|≥，
①∴x≥1，②∴≤x＜1，
③无解．综上x∈.
11．已知函数f(x)＝|x－a|，若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，则实数a的值为________．
答案 2
解析 由f(x)≤3，得|x－a|≤3，
解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2，
所以实数a的值为2.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
解 (1)当a＝－3时，f(x)＝|x－3|＋|x－2|＝
当x≤2时，由f(x)≥3，得－2x＋5≥3，
解得x≤1；
当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；
当x≥3时，由f(x)≥3，得2x－5≥3，
解得x≥4；
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a，
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，
即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解 (1)f(x)＝
当x＜－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，
解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x，而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤.
当且仅当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝，
故m的取值范围是.
四、探究与拓展
14．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a＞0)．
(1)当a＝4时，求不等式的解集；
(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．
解 (1)令f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，
当a＝4时，f(x)≤2，
当x＜－时，f(x)＝－x－2≤2，得－4≤x＜－；
当－≤x≤1时，f(x)＝3x≤2，得－≤x≤；
当x＞1时，f(x)＝x＋2≤2，此时x不存在．
所以不等式的解集为.
(2)设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝
故f(x)∈，即f(x)的最小值为－，
若f(x)≤log2a有解，则log2a≥－，解得a≥，
即a的取值范围是.
15．已知不等式|2x－3|＜x与不等式x2－mx＋n＜0的解集相同．
(1)求m－n；
(2)若a，b，c∈(0,1)，且ab＋bc＋ac＝m－n，求a＋b＋c的最小值．
解 (1)|2x－3|＜x，即－x＜2x－3＜x，解得1＜x＜3，
∴1,3是方程x2－mx＋n＝0的两根，
∴由根与系数的关系，得
∴m－n＝1.
(2)由(1)得ab＋bc＋ac＝1，
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝＋＋＋2.
∵≥ab，≥bc，≥ac，
∴＋＋≥ab＋bc＋ac＝1.
∴(a＋b＋c)2＝＋＋＋2≥3(当且仅当a＝b＝c＝时取等号)，
∴a＋b＋c的最小值是.
