专题检测试卷(四)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2成立，又若P(n)对n＝1成立，则P(n)对所有( )
A．正整数n成立 B．正偶数n成立
C．正奇数n成立 D．大于1的自然数n成立
答案 C
2．若等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)，则( )
A．n为任何正整数时都成立
B．仅当n＝1,2,3时成立
C．当n＝4时成立，n＝5时不成立
D．仅当n＝4时不成立
答案 B
解析 分别用n＝1,2,3,4,5验证即可．
3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋＜2－ B．1＋＋＜2－
C．1＋＜2－ D．1＋＋＜2－
答案 A
解析 第一步验证n＝2时不等式成立，即1＋＜2－.
4．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(n∈N＋)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，然后应该证明( )
A．a4k＋1能被4整除
B．a4k＋2能被4整除
C．a4k＋3能被4整除
D．a4k＋4能被4整除
答案 D
解析 假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，即a4k能被4整除，然后应证明当n＝k＋1时，即a4(k＋1)＝a4k＋4能被4整除．
5．设f(n)＝1＋＋＋＋…＋，则f(k＋1)－f(k)等于( )
A. B.＋＋
C.＋ D.＋
答案 D
解析 当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝1＋＋＋…＋，
当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋，
所以f(k＋1)－f(k)＝＋.
6．用数学归纳法证明“42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除”的第二步中，当n＝k＋1时为了使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2变形正确的是( )
A．16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1
B．4×42k＋9×3k
C．(42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1
D．3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1
答案 A
解析 假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，42n－1＋3n＋1能被13整除，
则当n＝k＋1时，
42k＋1＋3k＋2＝16·42k－1＋3·3k＋1
＝16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1.
7．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值为( )
A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝ D．a，b，c不存在
答案 A
解析 令n等于1,2,3，得
解得a＝，b＝c＝.
8．已知n为正偶数，用数学归纳法证明：1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时，等式成立，则还需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
答案 B
解析 偶数k的后继偶数为k＋2，故应再证n＝k＋2时等式成立．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．用数学归纳法证明cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(sin α≠0，n∈N＋)，在验证当n＝1时，等式右边的式子是________．
答案 cos α
解析 当n＝1时，右边＝＝cos α.
10．仔细观察下列不等式：
>，
>，
>，
>，
则第n个不等式为______________________________．
答案 …·>(n∈N＋)
11．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为____________________________．
答案 1＋＋＋…＋>(n∈N＋)
解析 1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，
31＝25－1，归纳第n个式子为1＋＋＋…＋>(n∈N＋)．
12．设n∈N＋，f(n)＝5n＋2·3n－1＋1，通过计算n＝1,2,3,4时f(n)的值，可以猜想f(n)能被数值________整除．
答案 8
三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)
13．用数学归纳法证明：当n∈N＋时，＋＋…＋＝.
证明 (1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即＋＋…＋＝.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝
＝.
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立．
14．用数学归纳法证明：f(n)＝3·52n＋1＋23n＋1(n∈N＋)能被17整除．
证明 (1)当n＝1时，f(1)＝3×53＋24＝391＝17×23，
故f(1)能被17整除．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立．
即f(k)＝3·52k＋1＋23k＋1能被17整除，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝3·52k＋3＋23k＋4
＝52·3·52k＋1＋52·23k＋1－52·23k＋1＋23k＋4
＝25f(k)－17·23k＋1.
由归纳假设可知，f(k)能被17整除，又17·23k＋1显然可被17整除，故f(k＋1)能被17整除．
综合(1)(2)可知，对任意正整数n，f(n)能被17整除．
15．设an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在关于n的整式q(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝q(n)·(an－1)对于大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．
解 假设q(n)存在，探索q(n)．
当n＝2时，由a1＝q(2)(a2－1)，
即1＝q(2)，得q(2)＝2.
当n＝3时，由a1＋a2＝q(3)(a3－1)，
即1＋＝q(3)，得q(3)＝3.
当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝q(4)(a4－1)，
即1＋＋＝
q(4)，得q(4)＝4.
由此猜想q(n)＝n(n≥2，n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明当n≥2且n∈N＋时，
等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立．
①当n＝2时，左边＝a1＝1，右边＝2(a2－1)＝2×＝1，结论成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立，
即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k·(ak－1)，
则当n＝k＋1时，a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＋ak
＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k
＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1
＝(k＋1)
＝(k＋1)(ak＋1－1)，
所以当n＝k＋1时结论也成立．
由①②可知，对于大于1的一切正整数n，都存在q(n)＝n使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝q(n)(an－1)成立．
16．如果数列{an}满足条件：a1＝－4，an＋1＝(n＝1,2，…)，证明：对任何正整数n，都有an＋1＞an且an＜0.
证明 (1)由于a1＝－4，
a2＝＝＝＞a1.
且a1＜0，因此，当n＝1时不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，ak＋1＞ak且ak＜0，即
ak＋1＝＜0，
ak＋2－ak＋1＝－
＝＞0.
所以当n＝k＋1时不等式也成立，
由(1)(2)知，不等式对任何正整数n都成立．
因此，对任何正整数n，都有an＋1＞an且an＜0.
17．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋…＋<.
(1)解 由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由以上知结论成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，
bk＋1＝＝(k＋2)2.
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
(2)证明 ＝<.
当n≥2且n∈N＋时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)n.
故＋＋…＋
<＋
＝＋
＝＋<＋＝.
故原不等式成立．
18．已知a，b∈R＋，n∈N＋.求证：≥n.
证明 (1)当n＝1时，≥，显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，
即≥k.
要证n＝k＋1时，不等式成立，
即证≥k＋1.
在≥k的两边同时乘以，得
≥k＋1.
要证≥k＋1，
只需证≥，
因为≥
?2(ak＋1＋bk＋1)≥(a＋b)(ak＋bk)
?2(ak＋1＋bk＋1)－(ak＋1＋abk＋akb＋bk＋1)≥0
?ak＋1－abk－akb＋bk＋1≥0
?(a－b)(ak－bk)≥0.
又a－b与(ak－bk)同正负(或同时为0)，
所以不等式(a－b)(ak－bk)≥0显然成立．
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
综合(1)(2)可知，对任何n∈N＋，不等式恒成立．
滚动训练(三)(第三讲～第四讲)
一、选择题
1．设a，b∈R＋且a＋b＝16，则＋的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 (a＋b)≥2＝4，
∴＋≥.
当且仅当·＝·，
即a＝b＝8时取等号．
2．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为( )
A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B
答案 C
解析 依数列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为数列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.
3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N＋)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23
答案 C
解析 当n＝1时，左端＝1＋2＋22，故选C.
4．已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，a＋b＋c＝k(x＋y＋z)，则k等于( )
A. B. C．9 D．3
答案 D
解析 因为x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，
所以(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)＝(ax＋by＋cz)2，
又(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2，
当且仅当＝＝＝k时，等号成立，
则a＝kx，b＝ky，c＝kz，代入a2＋b2＋c2＝90，
得k2(x2＋y2＋z2)＝90，
于是k＝3，故选D.
5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1不等式左边( )
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了B中两项但减少了一项
D．以上各种情况均不对
答案 C
解析 ∵n＝k(k≥2，k∈N＋)时，左边＝＋＋…＋，
n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，
∴增加了两项，，少了一项.
6．函数y＝5＋的最大值是( )
A．6 B．2 C．5 D．2
答案 D
解析 函数的定义域为[1,3]，且y＞0.由柯西不等式可得y＝5＋＝5＋×≤＝2，当且仅当＝，即x＝时，函数取得最大值2，故选D.
7．若2x＋3y＋5z＝29，则函数μ＝＋＋的最大值为( )
A. B．2
C．2 D.
答案 C
解析 由柯西不等式可得(·1＋·1＋·1)2≤(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)(12＋12＋12)，∵2x＋3y＋5z＝29，
∴(·1＋·1＋·1)2≤120，
∴μ＝＋＋≤2，
∴μ＝＋＋的最大值为2.故选C.
二、填空题
8．已知a，b，c都是正数，且2a＋b＋c＝6，则a2＋ab＋ac＋bc的最大值为________．
答案 9
解析 ∵a，b，c都是正数，∴a2＋ab＋ac＋bc＝(a＋b)(a＋c)≤2.
∵2a＋b＋c＝6，∴a2＋ab＋ac＋bc≤9，
∴a2＋ab＋ac＋bc的最大值为9.
9．已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．
答案 220 180
解析 由排序不等式知顺序和最大，反序和最小，故所求最大值为1×25＋2×30＋3×45＝220，最小值为1×45＋2×30＋3×25＝180.
10．已知实数x，y，z满足2x＋y＋3z＝32，则的最小值为________．
答案
解析 ∵12＋22＋32＝14，由柯西不等式可得(22＋12＋32)·[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2]≥(2x－2＋y＋2＋3z)2＝322，
∴≥，当且仅当＝＝时，等号成立，
即的最小值是.
11．已知a，b，c都是正数，a＋2b＋3c＝9，则＋＋的最小值为________．
答案
解析 ∵(a＋2b＋3c)·
＝[()2＋()2＋()2]·≥2＝1，当且仅当a＝3b＝9c时取等号，
又a＋2b＋3c＝9，∴＋＋≥，即最小值为.
三、解答题
12．设函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为M.
(1)求实数M的值；
(2)若不等式＋≤M(其中a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以M＝3.
(2)因为(＋·)2≤[12＋()2](a－x＋2＋x)＝3(a＋2)，当且仅当＝·时，等号成立，即当x＝∈[－2，a]时，＋取得最大值，所以≤3.
又a＞0，所以0＜a≤1.
13．已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－2|.
(1)求不等式f(x)≥x－1的解集；
(2)若f(x)的最大值是m，且a，b，c均为正数，a＋b＋c＝m，求＋＋的最小值．
解 (1)由已知可得或或解得0≤x≤2.
故不等式的解集为[0,2]．
(2)f(x)＝
得最大值，∴m＝f(1)＝2，
∴a＋b＋c＝2.
又(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·≥(a＋b＋c)2，
∴＋＋≥a＋b＋c＝2，当且仅当a＝b＝c时取等号，故＋＋的最小值是2.
14．已知数列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋…＋2n－1，当n∈N＋时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论．
解 由已知得an＝·(n＋1)＝(n＋1)2，
bn＝＝2n－1.
当n＝1时，a1＝4，b1＝1，则a1＞b1，
当n＝2时，a2＝9，b2＝3，则a2＞b2，
当n＝3时，a3＝16，b3＝7，则a3＞b3，
当n＝4时，a4＝25，b4＝15，则a4＞b4，
当n＝5时，a5＝36，b5＝31，则a5＞b5
当n＝6时，a6＝49，b6＝63，则a6＜b6，
当n＝7时，a7＝64，b7＝127，则a7＜b7，
…，
由此得到，当n∈N＋，n≤5时，an＞bn.
猜想：当n∈N＋，n≥6时，an＜bn.
前一结论上面已用穷举法证明，
后一猜想用数学归纳法证明如下：
①当n＝6时，上面已证a6＜b6.
②假设当n＝k(k∈N＋，k≥6)时，上述结论成立，
即当k≥6时，(k＋1)2＜2k－1.
当n＝k＋1时，要证ak＋1＜bk＋1，
即证(k＋2)2＜2k＋1－1，
只需证(k＋2)2＜2·2k－1，
根据归纳假设，2·2k－1＞2[(k＋1)2＋1]－1，
所以只需证(k＋2)2＜2(k＋1)2＋1，
即证k2＋4k＋4＜2k2＋4k＋3，
即证k2＞1.
因为k≥6，所以此式显然成立．
故当n＝k＋1时结论成立．
由①②可知，对任何n∈N＋，n≥6结论都成立．
一 数学归纳法
学习目标 1.了解数学归纳法的基本原理.2.了解数学归纳法的应用范围.3.会用数学归纳法证明一些简单问题．
知识点 数学归纳法
在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．
思考1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？
答案 ①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．
思考2 由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？
答案 适合解决一些与正整数n有关的问题．
梳理 数学归纳法的概念及步骤
(1)数学归纳法的定义
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
①证明当n＝n0时命题成立；
②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
(2)数学归纳法适用范围
数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．
(3)数学归纳法的基本过程
类型一 用数学归纳法证明等式
例1 用数学归纳法证明＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，
即＋＋…＋＝1－.
当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＝1－＋＝1－，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，原等式对n∈N＋均成立．
反思与感悟 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．
跟踪训练1 用数学归纳法证明1＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2
＝.
当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝
＝.
所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
类型二 证明与整除有关的问题
例2 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
证明 (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，
那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2
＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
即当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题均成立．
反思与感悟 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．
跟踪训练2 用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，
所以结论成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，
9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，
即当n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)知，命题对一切n∈N＋成立．
类型三 用数学归纳法证明几何命题
例3 有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，
且f(1)＝1－1＋2＝2，
所以n＝1时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立，
即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
则当n＝k＋1时，
在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成k段弧，每段弧将原平面一分为二，
故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k
＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，命题成立．
综合(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立．
反思与感悟 (1)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可．
(2)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明．
跟踪训练3 平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成(n2＋n＋2)个区域(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，一条直线把平面分成两个区域，
又×(12＋1＋2)＝2，∴n＝1时命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了(k2＋k＋2)个区域．
那么当n＝k＋1时，k＋1条直线中的k条直线把平面分成了(k2＋k＋2)个区域，第k＋1条直线被这k条直线分成k＋1段，每段把它们所在的区域分成了两块，
因此增加了k＋1个区域，
∴k＋1条直线把平面分成了(k2＋k＋2)＋k＋1＝[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]个区域．
∴当n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)知，对一切的n∈N＋，此命题均成立．
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为( )
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
答案 B
解析 当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为__________．
答案 81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1(或25×(34k＋1＋52k＋1)＋56×34k＋1)
解析 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.
4．用数学归纳法证明1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，
即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，
1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
所以当n＝k＋1时等式成立．
由(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．
1．应用数学归纳法时应注意的问题
(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3.
(2)对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
(3)“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．
2．判断利用数学归纳法证明问题是否正确．
(1)是要看有无归纳基础．
(2)是证明当n＝k＋1时是否应用了归纳假设．
3．与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明．其中关键问题是从当n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立．
一、选择题
1．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述( )
A．命题、推理都正确
B．命题正确、推理不正确
C．命题不正确、推理正确
D．命题、推理都不正确
答案 B
解析 推理不正确，错在证明当n＝k＋1时，没有用到假设当n＝k时的结论，命题由等比数列求和公式知正确．
2．在数列{an}中，a1＝－1，前n项和Sn＝－1先算出数列的前4项的值，再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是( )
A．an＝－1 B．an＝n－1
C．an＝－ D．an＝－
答案 D
解析 ∵a1＝－1，S2＝－1，
∴a2＝S2－S1＝－，
a3＝S3－S2＝－，
a4＝S4－S3＝－，
猜想：an＝－.
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋3时正确
B．假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋1时正确
C．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋1时正确
D．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋2时正确
答案 B
解析 ∵n为正奇数，
∴在证明时，归纳假设应写成：
假设当n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推出当n＝2k＋1时正确，故选B.
4．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.
C.＋ D.－
答案 D
解析 因为f(n)＝＋＋…＋，
所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
所以f(n＋1)－f(n)＝＋－
＝－.
5．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值可以等于( )
A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3
答案 D
解析 令n＝1,2得到关于a，b的方程组，解得即可．
6．某个命题与正整数n有关，若当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
答案 C
解析 由已知得当n＝k时成立?n＝k＋1时成立．
∴当n＝k＋1时不成立?当n＝k时不成立．
∴由当n＝5时不成立知，当n＝4时不成立．
二、填空题
7．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)＝________.
答案 ＋＋
解析 因为f(n)＝1＋＋＋…＋，
所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，
所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
8．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n个式子应为________________．
答案 1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·
9．已知平面上有n(n∈N＋，n≥3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f(n)条，则f(3)＝__________，f(4)＝____________，f(5)＝____________，f(n＋1)＝f(n)＋____________.
答案 3 6 10 n
解析 当n＝k时，有f(k)条直线．当n＝k＋1时，增加的第k＋1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线，所以f(k＋1)＝f(k)＋k.所以f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n.
10．观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…，
照此规律，第n个等式可为____________________．
答案 (n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
解析 由已知，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，右边为2n×1×3×…×(2n－1)．
所以第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
三、解答题
11．用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
证明 (1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．
当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9×8k＋9×9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，
即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)．
∴n＝k＋1时命题也成立．
综合(1)(2)可知，对任意的n∈N＋，命题都成立．
12．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，
所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，1－＋－＋…＋－＋－＝＋－＝＋＝＋…＋＋＋＝＋＋…＋，所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意n∈N＋等式都成立．
13．请观察以下三个式子：
(1)1×3＝；
(2)1×3＋2×4＝；
(3)1×3＋2×4＋3×5＝，
归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．
解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)
＝.
证明：①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k(k＋2)
＝，
当n＝k＋1时，1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3)
＝＋(k＋1)(k＋3)
＝(2k2＋7k＋6k＋18)
＝(2k2＋13k＋18)
＝
＝，
所以当n＝k＋1时，命题成立．
由①②知，命题成立．
四、探究与拓展
14．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k(k∈N＋，k≥1)的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．
答案 (k＋1)2＋k2
解析 当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.
15．已知数列，，，，…，，…，计算数列和S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
解 S1＝＝，S2＝＋＝，
S3＝＋＝，S4＝＋＝.
上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1，于是可以猜想Sn＝.其证明如下：
(1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝，猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时猜想成立，
即＋＋…＋＝成立，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝＝，
所以当n＝k＋1时，猜想成立．
由(1)(2)知，猜想对任意n∈N＋，Sn＝都成立．
二 用数学归纳法证明不等式
学习目标 1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.3.体会归纳—猜想—证明的思想方法．
知识点 用数学归纳法证明不等式
思考1 用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？
答案 (1)归纳奠基：验证初始值n＝n0.
(2)归纳递推：在假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)成立的前提下，证明n＝k＋1时问题成立．
思考2 证明不等式与证明等式有什么不同？
答案 证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”．
梳理 (1)利用数学归纳法证明不等式
在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k时命题成立，推导n＝k＋1命题成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．
(2)贝努利(Bernoulli)不等式
如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，则有(1＋x)n＞1＋nx.
(3)贝努利不等式的推广
事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数α时，
仍有类似不等式成立．
①当α是实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)；
②当α是实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)．
类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式
例1 证明：1＋＋＋…＋＜2－(n∈N＋，n≥2)．
证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝2－＝，由于＜，因此命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，命题成立，
即1＋＋＋…＋＜2－.
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋＝2－，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N＋，n≥2都成立．
反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一．
跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)．
证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，
左边＜右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N＋)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋则当n＝k＋1时，
有1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＝k＋1，
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．
类型二 利用数学归纳法证明数列不等式
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；
(2)证明：S＋S＋…＋S≤－(n≥1且n∈N＋)．
(1)解 是等差数列，证明如下：S1＝a1＝，
所以＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.
所以－＝2.故是以2为首项，2为公差的等差数列，且＝2n.
(2)证明 ①当n＝1时，
S＝＝－，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立，
即S＋S＋…＋S≤－成立，
则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－
＝－·＜－·
＝－.即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，对任意n∈N＋不等式都成立．
反思与感悟 (1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础．
(2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明．
跟踪训练2 设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证：对一切正整数n，有1＜an＜.
证明 (1)当n＝1时，a1＞1，a1＝1＋a＜，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即1＜ak＜.
当n＝k＋1时，
由递推公式知，ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1.
同时，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜，
故当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜ak＋1＜.
综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1＜an＜.
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证( )
A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4
答案 C
解析 由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．
2．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋＞1(n∈N＋)”时，S1等于( )
A. B.
C.＋ D.＋＋
答案 D
解析 S1＝＋＋＝＋＋.
3．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－.假设当n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________．
答案 ＋＋…＋＋＞－
解析 当n＝k＋1时，目标不等式为
＋＋…＋＋＞－.
4．若不等式＋＋＋…＋＞对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．
解 当n＝1时，＋＋＞，
即＞，∴a＜26.
又a∈N＋，∴正整数a的最大值为25.
下面用数学归纳法证明＋＋…＋＞.
(1)当n＝1时，不等式显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，＋＋…＋＞成立．
当n＝k＋1时，有
＋＋…＋＋＋＋＝＋＞＋.
∵＋＝＞＝＝，
∴＋－＞0，
∴＋＋…＋＞，
即n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)(2)知，对一切n∈N＋，都有＋＋…＋＞.
数学归纳法证明不等式的技巧
(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．
(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．
一、选择题
1．对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立．
则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案 D
解析 证明过程中，当n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.
2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)的第一步需证明( )
A．1<2－
B．1＋<2－
C．1＋＋<2－
D．1＋＋＋<2－
答案 C
3．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为( )
A．12 B．13
C．14 D．不存在
答案 B
解析 令f(n)＝＋＋…＋，
取n＝2,3,4,5等值，发现f(n)是单调递增的，
所以[f(n)]min＞，由f(2)＞，得m的最大值为13.
4．对于正整数n，下列不等式不正确的是( )
A．3n≥1＋2n
B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n＜1－0.1n
D．0.1n≥1－0.9n
答案 C
解析 由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(n∈N＋，x≥－1)，得
①当x＝2时，即3n≥1＋2n成立；
②当x＝－0.1时，0.9n≥1－0.1n成立；
③当x＝－0.9时，0.1n≥1－0.9n成立．
∴0.9n＜1－0.1n不成立．
5．若不等式对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立．若该不等式对n＝2成立，则下列结论正确的是( )
A．该不等式对所有正整数n都成立
B．该不等式对所有正偶数n都成立
C．该不等式对所有正奇数n都成立
D．该不等式对所有自然数n都成立
答案 B
解析 因为当n＝2时，不等式成立，且该不等式对n＝k＋2也成立，所以该不等式对所有的正偶数n都成立．
6．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>.观察上述结果，可推测出一般结论( )
A．f(2n)>
B．f(n2)>
C．f(2n)≥
D．以上都不正确
答案 C
解析 由f(2)＝，f(22)＞，f(23)＞，
f(24)＞，f(25)＞，
可推测出f(2n)≥.
二、填空题
7．证明：＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为________________．
答案 2＜1＋＋＋＜3
解析 当n＝2时，
要证明的式子为2＜1＋＋＋＜3.
8．以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，2n＞n2”的过程，证明：
(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即2k＞k2.
那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)可知，对任何n∈N＋不等式都成立．
其中错误的步骤为________．(填序号)
答案 (2)
解析 在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．
如k＝2时，k2＜2k＋1.
9．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．
答案 10
10．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取________．
答案 5
解析 n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.
三、解答题
11．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立．
证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝，
左边>右边，所以不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时，不等式成立，
即…>，
那么当n＝k＋1时，
·>·
＝＝>
＝＝，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
12．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n＞1，且n∈N＋)，求证：＞1＋.
证明 (1)当n＝2时，＝1＋＋＋＝＞1＋，即n＝2时命题成立．
(2)假设当n＝k(k＞2，k∈N＋)时，命题成立，
即＝1＋＋＋…＋＞1＋.
当n＝k＋1时，
＝1＋＋＋…＋＋＋…＋
共项
＞1＋＋＋＋…＋
＞1＋＋
＝1＋＋
＝1＋，
故当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，对n∈N＋，n＞2，＞1＋成立．
13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若不等式··…·≤对任意n∈N＋恒成立，试猜想出实数m的最小值，并证明．
解 (1)设数列{an}公差为d(d>0)，
由题意可知a1·a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2，
解得d＝1或d＝0(舍去)．
所以an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)不等式等价于···…·≤，
当n＝1时，m≥；
当n＝2时，m≥；
而>，所以猜想，m的最小值为.
下面证不等式···…·≤对任意n∈N＋恒成立．
证明：①当n＝1时，≤＝，命题成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，
不等式···…·≤成立，
当n＝k＋1时，
···…··≤·，
只需证·≤ ，
只需证≤，
只需证≤2k＋2，
只需证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，
即证3≤4，显然成立．
所以，对任意n∈N＋，不等式
···…·≤恒成立．
四、探究与拓展
14．求证：＋＋…＋＜(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，
左边＝，右边＝1，左边＜右边，
所以不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，
即＋＋…＋＜成立，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＜＋，
只需证明＋＜即可，
即证－＞，
即证＞＋，
即证(－1)＞，
而当k≥1时上式显然成立，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，不等式对所有n∈N＋都成立．
复习课
学习目标 1.梳理数学归纳法的思想方法，初步形成“归纳—猜想—证明”的思维模式.2.熟练掌握用数学归纳法证明不等式、等式等问题的证明步骤．
1．数学归纳法是用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法．
2．一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
(1)证明当n＝n0时命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．完成以上两个步骤，就可以断定命题对不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
3．在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推，递推是实现从有限到无限飞跃的关键．
4．用数学归纳法证明不等式，关键是在假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立的条件下，推出当n＝k＋1时命题成立这一步，为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要用到分析法，综合法，放缩法等相关知识和方法．
类型一 归纳—猜想—证明
例1 已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)．
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
(1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝
(2)证明 ①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．
②假设当n＝k时成立，
即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N＋)，
当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak
＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2
＝5＋＝5×2k－1.
故当n＝k＋1时公式也成立．
由①②可知，对n≥2，n∈N＋有an＝5×2n－2.
所以数列{an}的通项an＝
反思与感悟 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．
跟踪训练1 设f(n)＞0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，又f(2)＝4.
(1)求f(1)，f(3)的值；
(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．
解 (1)由于对任意自然数n1和n2，
总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．
取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.
∵f(n)＞0(n∈N＋)，
∴f(1)＝2.
取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.
(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，
猜想f(n)＝2n.
证明：①当n＝1时，f(1)＝2成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝2k成立．
当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，
所以当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②知猜想正确，即f(n)＝2n，n∈N＋.
类型二 用数学归纳法证明等式或不等式
例2 求证tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n(n≥2，n∈N＋)．
证明 (1)当n＝2时，
左边＝tan α·tan 2α，
右边＝－2＝·－2
＝－2
＝＝
＝tan α·tan 2α，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k.
当n＝k＋1时，
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α
＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α
＝－k
＝·[1＋tan(k＋1)α·tan α]－k
＝[tan(k＋1)α－tan α]－k
＝－(k＋1)，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)和(2)知，当n≥2，n∈N＋时等式恒成立．
反思与感悟 归纳法是证明有关正整数n的命题的一种方法，应用广泛．用数学归纳法证明一个命题必须分两个步骤：(1)论证命题的起始正确性，是归纳的基础；(2)推证命题正确的可传递性，是递推的依据．两步缺一不可，证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征．
跟踪训练2 用数学归纳法证明：当n∈N＋时，(2cos x－1)·(2cos 2x－1)…(2cos 2n－1x－1)＝.
证明 (1)当n＝1时，左边＝2cos x－1，
右边＝＝＝2cos x－1，
即左边＝右边，∴命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即(2cos x－1)(2cos 2x－1)…(2cos 2k－1x－1)＝.
当n＝k＋1时，
左边＝(2cos x－1)(2cos 2x－1)…·(2cos 2k－1x－1)·(2cos 2kx－1)
＝(2cos 2kx－1)
＝
＝.
∴当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)可知，当n∈N＋时命题成立．
例3 用数学归纳法证明＋＋＋…＋>，其中n≥2，n∈N＋.
证明 (1)当n＝2时，左边＝，右边＝0，结论成立；
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立，
即＋＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋…＋>＋＋…＋>＋＝，
即当n＝k＋1时，结论成立．
由(1)(2)可知，＋＋＋…＋>，n≥2，n∈N＋.
反思与感悟 用数学归纳法证明不等式，除了注意数学归纳法规范的格式外，还要注意灵活利用问题的其他条件及相关知识．
跟踪训练3 求证：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N＋)．
证明 (1)当n＝2时，
左边＝＋＋＋＞，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立，
即＋＋…＋＞.
当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋
＝＋＋…＋＋
＞＋
＞＋＝.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．
类型三 用数学归纳法证明整除问题
例4 用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整除．
证明 (1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除．
当n＝k＋1时，
(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)．
因为2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除，
所以2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除，
即当n＝k＋1时命题成立．
由(1)和(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
反思与感悟 用数学归纳法证明整除问题的关键点
(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．
(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式．
跟踪训练4 设x∈N＋，n∈N＋，
求证：xn＋2＋(x＋1)2n＋1能被x2＋x＋1整除．
证明 (1)当n＝1时，x3＋(x＋1)3＝[x＋(x＋1)]·[x2－x(x＋1)＋(x＋1)2]＝(2x＋1)(x2＋x＋1)，结论成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，即xk＋2＋(x＋1)2k＋1能被x2＋x＋1整除，
那么当n＝k＋1时，
x(k＋1)＋2＋(x＋1)2(k＋1)＋1
＝x·xk＋2＋(x＋1)2(x＋1)2k＋1
＝x[xk＋2＋(x＋1)2k＋1]＋(x＋1)2(x＋1)2k＋1－x(x＋1)2k＋1
＝x[xk＋2＋(x＋1)2k＋1]＋(x2＋x＋1)·(x＋1)2k＋1.
由假设知，xk＋2＋(x＋1)2k＋1及x2＋x＋1均能被x2＋x＋1整除，故x(k＋1)＋2＋(x＋1)2(k＋1)＋1能被x2＋x＋1整除，即当n＝k＋1时，结论也成立．
由(1)(2)知，原结论成立．
1．某同学回答“用数学归纳法证明证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的；
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，有＝<＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知对于任意n∈N＋命题成立．以上证法是错误的，错误在于( )
A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设
B．归纳假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密
D．当n＝1时，验证过程不具体
答案 A
2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
答案 D
解析 对于D，∵f(4)＝25≥42，
∴当k≥4时，均有f(k)≥k2.
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋4＋…＋n2＝(n∈N＋)，则当n＝k＋1时，左端应为在当n＝k时的基础上加上________________．
答案 (k2＋1)＋…＋(k＋1)2
解析 当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.所以增加了(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.
4．已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝an·(4－an)(n∈N)．证明：an＜an＋1＜2(n∈N)．
证明 (1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝，
所以a0＜a1＜2，命题正确．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，即ak－1＜ak＜2.
则当n＝k＋1时，
ak－ak＋1＝ak－1(4－ak－1)－ak(4－ak)
＝2(ak－1－ak)－(ak－1－ak)(ak－1＋ak)
＝(ak－1－ak)(4－ak－1－ak)．
而ak－1－ak＜0,4－ak－1－ak＞0，所以ak－ak＋1＜0.
又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]＜2.
所以当n＝k＋1时命题正确．
由(1)(2)可知，对一切n∈N，有an＜an＋1＜2.
1．在推证“n＝k＋1”命题也成立时，必须把归纳假设“n＝k”时的命题作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法．对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，弄错项数发生的变化是常见错误．
2．用数学归纳法证明的问题通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式或不等式是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、归纳，猜想出一个等式或不等式，然后再用数学归纳法证明．
3．用数学归纳法证明与自然数有关的不等式以及数列有关的命题是考查的重点，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．
一、选择题
1．若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
答案 C
解析 由已知得n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.
2．上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想正确的是( )
A．f(n)＝n
B．f(n)＝f(n)＋f(n－2)
C．f(n)＝f(n)·f(n－2)
D．f(n)＝
答案 D
解析 当n≥3时，f(n)分两类，第一类，从第n－1层再上一层，有f(n－1)种方法；第二类从第n－2层再一次上两层，有f(n－2)种方法，所以f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3)．
3．数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由a2＝S2－S1＝4a2－1，得a2＝＝，
由a3＝S3－S2＝9a3－4a2，得a3＝a2＝＝，
由a4＝S4－S3＝16a4－9a3，得a4＝a3＝＝，
猜想an＝.
4．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)成立，其初始值至少应取( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 左边＝1＋＋＋…＋＝
＝2－，代入验证可知n的最小值是8.
5．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·2·(2n－1)(n∈N＋)”时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增加的式子是( )
A．2k＋1 B．2k＋3
C．2(2k＋1) D．2(2k＋3)
答案 C
解析 当n＝k＋1时，
(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)·(2k＋2)
＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·2(2k＋1)，
∴2(2k＋1)是从n＝k到n＝k＋1时，左边应增加的式子．
6．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证明当n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
答案 A
解析 假设当n＝k时，原式能被9整除，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
二、填空题
7．设f(n)＝…，用数学归纳法证明f(n)≥3，在假设当n＝k时成立后，f(k＋1)与f(k)的关系是f(k＋1)＝f(k)·________________.
答案
解析 f(k)＝…，
f(k＋1)＝…
·，
∴f(k＋1)＝f(k)·.
8．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4·2n－1－2的第二步中，设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即ak＝4·2k－1－2，那么当n＝k＋1时，应证明等式____________成立．
答案 ak＋1＝4·2(k＋1)－1－2
9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用含n的式子表示)．
答案 5 (n－2)(n＋1)
解析 f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，f(6)＝14，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
∴f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，f(6)－f(5)＝5，…，f(n)－f(n－1)＝n－1.
累加，得f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)
＝(n－3)．
∴f(n)＝(n－2)(n＋1)．
10．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________________________．
答案 k3＋5k＋3k(k＋1)＋6
解析 (k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5
＝k3＋5k＋3k2＋3k＋6
＝k3＋5k＋3k(k＋1)＋6.
三、解答题
11．已知f(n)＝(2n＋7)×3n＋9(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(n)能被36整除．
证明 (1)当n＝1时，f(1)＝(2＋7)×3＋9＝36，能被36整除．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，f(k)＝(2k＋7)×3k＋9能被36整除，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]×3k＋1＋9＝(2k＋7)×3k＋1＋2×3k＋1＋9＝(2k＋7)×3k×3＋2×3k＋1＋9＝3[(2k＋7)×3k＋9]－27＋2×3k＋1＋9＝3[(2k＋7)×3k＋9]＋18(3k－1－1)．
由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，即当n＝k＋1时，f(k＋1)也能被36整除．
根据(1)和(2)可知，对一切正整数n，都有f(n)＝(2n＋7)×3n＋9能被36整除．
12．是否存在常数a，b，c，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整数成立？并证明你的结论．
解 假设存在a，b，c，使题中等式对一切正整数成立，
则当n＝1,2,3时，上式显然成立，
可得
解得a＝3，b＝11，c＝10.
下面用数学归纳法证明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)对一切正整数均成立．
(1)当n＝1时，命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2
＝(3k2＋11k＋10)，
则当n＝k＋1时，有
1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)·(k＋2)2
＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2
＝(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k2＋5k＋12k＋24)
＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对任何正整数n，等式都成立．
13．设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．
解 (1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.
(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．
①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn＞Qn；
②若x＝0，则Pn＝Qn；
③若x∈(－1,0)，
则P3－Q3＝x3＜0，所以P3＜Q3.
P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)＜0，所以P4＜Q4.
假设Pk＜Qk(k≥3)，
则Pk＋1＝(1＋x)Pk＜(1＋x)Qk＝Qk＋xQk
＝1＋kx＋＋x＋kx2＋
＝1＋(k＋1)x＋x2＋x3
＝Qk＋1＋x3＜Qk＋1，
即当n＝k＋1时，不等式成立．
所以当n≥3，且x∈(－1,0)时，Pn＜Qn.
四、探究与拓展
14．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，g(n)＝
2(－1)(n∈N＋)．
(1)当n＝1,2,3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；
(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．
解 (1)f(1)＞g(1)，f(2)＞g(2)，f(3)＞g(3)．
(2)当n＝1时，f(1)＞g(1)；
当n＝2时，f(2)＞g(2)；
当n＝3时，f(3)＞g(3)．
猜想：f(n)＞g(n)(n∈N＋)，即1＋＋＋…＋＞
2(－1)(n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)＞g(1)，
不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＞2(－1)．
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＞2(－1)＋＝2＋－2，
g(k＋1)＝2(－1)＝2－2，
所以只需证明2＋＞2，
即证2(k＋1)＋1＝2k＋3＞2，
即证(2k＋3)2＞4(k＋2)(k＋1)，
即证4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8，此式显然成立．
所以，当n＝k＋1时不等式也成立．
综上可知，对n∈N＋，不等式都成立，
即1＋＋＋…＋＞2(－1)(n∈N＋)成立．
