2018-2019学年上海市虹口区高二（下）期中数学试卷解析版

2018-2019学年上海市虹口区高二（下）期中数学试卷
一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1．（3分）过点（1，0）且与直线x﹣y＝0平行的直线方程是　 　．
2．（3分）将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为　 　cm2．
3．（3分）以A（1，1），B（3，﹣1）为直径的端点的圆的方程是　 　．
4．（3分）正方体的外接球体积为V1，其内切球体积为V2，则的值为　 　．
5．（3分）椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为（，0），则椭圆的标准方程是　 　．
6．（3分）已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的全面积为　 　．
7．（3分）双曲线﹣＝1（a＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则a的值为　 　．
8．（3分）点P是棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱A1B1上的动点，则四棱锥P﹣ABC1D1的体积为　 　．
9．（3分）已知椭圆+＝1（m＞0）和曲线﹣＝1（n＞0）有相同的焦点F1、F2，点P为椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|?|PF2|的值是　 　．
10．（3分）正方形铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径圆弧，剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于　 　cm3．
11．（3分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P分别是正方形ABCD、正方形BB1C1C和正方形ABB1A1的中心，则过点M、N、P的平面截正方体的截面面积为　 　．
12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，C为直线y＝5上的动点，以C为圆心的圆C截y轴所得的弦长恒为6，过原点O作圆C的一条切线，切点为P，则点P到直线3x+4y﹣25＝0的距离的最小值为　 　．
二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）
13．（3分）直线m⊥平面α，下面判断错误的是（　　）
A．若直线n⊥m，则n∥α B．若直线n⊥α，则n∥m
C．若直线n∥α，则n⊥m D．若直线n∥m，则n⊥α
14．（3分）已知直线1：2x﹣y+2＝0被双曲线C：x2﹣＝1截得的线段长等于3，下面哪一条直线被双曲线C所截得的弦长不等于3（　　）
A．l：2y﹣x+2＝0 B．l：﹣2x﹣y+2＝0
C．l：2x+y+2＝0 D．l：2x﹣y﹣2＝0
15．（3分）有一把三角尺ABC，∠A＝30°，∠C＝90°，把边BC放置在桌面上，当三角尺与桌面所在的平面成60°的时候，AB边所在的直线与桌面所成的角等于（　　）
A．arcsin B． C． D．arcsin
16．（3分）阅读材料：空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为＝（a，b，c）的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0；过点P（x0，y0，z0）且个方向向量为＝（u，v，w）（uvw≠0）的直线l的方程为＝＝，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y﹣2z﹣4＝0，直线l是两平面3x﹣2y﹣7＝0与2y﹣z+6＝0的交线，则直线l与平面α所成角的大小为（　　）
A．arcsin B．arcsin
C．arcsin D．arcsin
三、解答题（本大题共4题，共52分，解答时写出必要的步骤）
17．（8分）抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A（4，4），过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45°的直线l，直线l交抛物线C于M、N两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求线段MN的长．
18．（8分）如图，AB是异面直线a、b的公垂线，长度为2，点C、D分别在直线a和b上，且CD长为4，过线段AB的中点M作平面α，使得AB⊥平面α，线段CD与平面α交点为N．
（1）求异面直线AB和CD所成的角的大小；
（2）求证：直线a∥α且CN＝DN．
19．（10分）过双曲线C：﹣＝1的右焦点F且与x轴不重合的直线交双曲线C于A、B两个点，定点D（，0）．
（1）当直线AB垂直于x轴时，求直线AD的方程．
（2）设直线AD与直线x＝1相交于点E，求证：FD∥BE．
20．（12分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，AB⊥CD，AB＝10，CD＝6．
（1）问在AB上是否存在点E，使得AB⊥平面ECD？
（2）如果S△ABC＝S△ABD＝30，求二面角C﹣AB﹣D的大小．
（3）求三棱锥A﹣BCD体积的最大值．
21．（14分）已知椭圆C：+y2＝1，直线l：y＝kx+b与椭圆C相交于A、B两点．
（1）如果k+b＝﹣，求动直线l所过的定点；
（2）记椭圆C的上顶点为D，如果∠ADB＝，证明动直线l过定点P（0，﹣）；
（3）如果b＝﹣，点B关于y轴的对称点为B'，向直线AB'是过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．

2018-2019学年上海市虹口区高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1．【解答】解：设与直线x﹣y＝0平行的直线方程是x﹣y+m＝0，
且直线过点（1，0），则1﹣0+m＝0，解得m＝﹣1，
所以所求直线方程是x﹣y﹣1＝0．
故答案为：x﹣y﹣1＝0．
2．【解答】
解：依题意，将该圆柱的侧面展开，则展开图是以2π为长，以2为宽的矩形，
所以该圆柱的侧面积为S＝2π×2＝4π．
故填：4π．
3．【解答】解：点A（1，1），B（3，﹣1），则AB的中点为M（2，0），
AB的长为|AB|＝＝2，
所以以AB为直径的端点的圆的圆心为M，半径为，
所求圆的方程是（x﹣2）2+y2＝2．
故答案为：（x﹣2）2+y2＝2．
4．【解答】解：设正方体的棱长为2a，
则其外接球的半径为，
内切球的半径为a，
则，．
∴．
故答案为：．
5．【解答】解：依题意得2a＝4b，c＝，又a2＝b2+c2，
∴a＝1，b＝1，
故答案为：+y2＝1．
6．【解答】解：如图在正四棱锥S﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，E为BC的中点，连接OE，SO，SE，
则SO⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以BC⊥SO，
在三角形ABC中，O，E分别为AC，BC的中点，所以OE∥AB，又因为AB⊥BC，所以BC⊥OE．
又OE∩SO＝0，所以BC⊥平面SOE，因为SE?平面SOE，
所以SE⊥BC，即SE为侧面SBC的斜高，
三角形SBE为直角三角形，所以SE＝＝＝2．
所以该正四棱锥的全面积S全＝SABCD+4×SSBC＝2×2+4×＝4+8＝12．
故填：12．
7．【解答】解：双曲线＝1（a＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，
可得：，解得a＝1．
故答案为：1．
8．【解答】解：连接B1C交BC1于点O，显然OB1＝B1C＝BC1＝a，
∵四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，
∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1O，
又AB∩BC1＝B，
∴OB1⊥平面ABC1D1，
∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1D1，
∴P到平面ABC1D1的距离等于B1O，
∴V＝＝＝．
故答案为：．
9．【解答】解：∵已知椭圆+＝1（m＞0）和曲线﹣＝1（n＞0）有相同的焦点F1、F2，
∴m2﹣9＝n2+4，即m2﹣n2＝13，
假设P在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2m，|PF1|﹣|PF2|＝2n，
两式平方差得4|PF1|?|PF2|＝4m2﹣4n2＝4×13，∴|PF1|?|PF2|＝13．
故答案为13．
10．【解答】
解：依题意，设该圆锥的母线长为l，则l＝4，
设底面圆的半径为r，则2πr＝＝2π，解得r＝1，
所以圆锥的高h＝＝，
所以这个圆锥形容器的容积V＝×πr2×h＝＝π．
故填：．
11．【解答】解：依题意，M、N、P分别是正方形ABCD、正方形BB1C1C和正方形ABB1A1的中心，即M，N，P分别为AB1、B1C、AC的中点，
所以过点M、N、P的平面截正方体的截面为三角形AB1C，如图．
因为正方体的棱长为a，所以三角形AB1C，的边长为a，所以三角形AB1C，的面积为：S＝＝．
故填：．
12．【解答】解：根据题意，设C的坐标为（m，5），圆C的半径为r，
又由圆C截y轴所得的弦长恒为6，则点（0，2）在圆C上，则r2＝m2+9，
又由过原点O作圆C的一条切线，切点为P，则|CP|2＝r2＝m2+9，
|OC|2＝m2+25，
则|OP|2＝|OC|2﹣|CP|2＝（m2+25）﹣（m2+9）＝16，
则P在以O为圆心，半径为4的圆上，
其圆心O到直线3x+4y﹣25＝0的距离d＝＝5，
则P到直线3x+4y﹣25＝0的距离的最小值为d﹣r＝5﹣4＝1，
故答案为：1
二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）
13．【解答】解：由直线m⊥平面α，得：
在A中，若直线n⊥m，则由线面平行性质得n与α相交、平行或n?α，故A错误；
在B中，若直线n⊥α，则由线面垂直的性质得n∥m，故B正确；
在C中，若直线n∥α，则由线面垂直的性质得n⊥m，故C正确；
在D中，若直线n∥m，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．
故选：A．
14．【解答】解：根据双曲线的图象关于x轴，y轴和原点对称可知，与直线2x﹣y+2＝0关于原点对称的直线2x﹣y﹣2＝0被双曲线C所截得的弦长等于3；
与直线2x﹣y+2＝0关于y轴对称的直线2x+y﹣2＝0被双曲线C所截得的弦长等于3；
与直线2x﹣y+2＝0关于x轴对称的直线2x+y+2＝0被双曲线C所截得的弦长等于3；
故选：A．
15．【解答】解：过A作AD垂直于桌面，垂足为D，连CD，BD，
∵AC⊥BC，根据三垂线定理得CD⊥BC，
∴∠ACD＝60°，
设BC＝x，则AC＝x，AB＝2x，
∴AD＝AC＝×x＝x，
所以AB边所在直线与桌面所成角为∠ABD，
∵sin∠ABD＝＝＝，
所以∠ABD＝racsin．
故选：D．
16．【解答】解：平面α的法向量为＝（1，2，﹣2），
联立方程组，令x＝1，得y＝﹣2，z＝2，
令x＝3，得y＝1，z＝8，
故点P（1，﹣2，2）和点Q（3，1，8）为直线l的两个点，
∴＝（2，3，6）为直线l的方向向量，
∵cos＜，＞＝＝＝﹣，
∴直线l与平面α所成角的正弦值为，
故选：B．
三、解答题（本大题共4题，共52分，解答时写出必要的步骤）
17．【解答】解：（1）依题意设抛物线C的方程为y2＝2px，将A（4，4）代入得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．
（2）F（1，0），直线l：y＝x﹣1，
联立得x2﹣6x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝6，
根据抛物线的定义可得|MN|＝x1+x2+p＝6+2＝8．
18．【解答】解：（1）过点O作AB的平行线CO，且使CO＝AB，连结BO，DO，
则∠DCO是异面直线AB和CD所成角，
∵CO＝AB＝2，CD＝4，∴∠DCO＝60°，
∴异面直线AB和CD所成的角的大小为60°．
证明：（2）设BC∩α＝P，连结MN、MP、PN，
∵AB是异面直线a、b的公垂线，AB⊥平面α，
∴AC⊥AB，MP⊥AB，
∵MP?平面ABC，AB?平面ABC，AC?平面ABC，
∴MP∥AC，
∵MP?α，AC?α，∴直线a∥α．
∵a∥α，∴b∥α，∴PN∥BD，
∵MP∥AC，M是AB中点，∴P是BC中点，∴N是CD中点，
∴CN＝DN．
19．【解答】解：（1）F（2，0）
当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为：x＝2，可得A（2，）或A（2，﹣），
∴直线AD的方程为2﹣y﹣3＝0或2x+y﹣3＝0
（2）设直线AB的方程为x＝ty+2代入x2﹣y2＝2得（t2﹣1）y2+4ty+2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2＝﹣，y1y2＝，
直线AD的方程为：＝，令x＝1得y＝y1+y1×＝y1（1+）
∴y＝y1（1+）＝（1+）
＝y2，
∴FD∥BE．
20．【解答】解：（1）假设在AB上存在点E，使得AB⊥平面ECD，
∵在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，
AB⊥CD，AB＝10，CD＝6．
作CE⊥AB，交AB于E，连结DE，
又CE∩CD＝C，
∴AB⊥平面ECD．
（2）由（1）知AB⊥平面CDE，故AB⊥DE，AB⊥CE，
∴CED为二面角C﹣AB﹣D的平面角，
∵AB＝10，CD＝6，S△ABC＝S△ABD＝30，
∴，
解得DE＝CE＝6，又CD＝6，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CED＝60°，
即二面角C﹣AB﹣D的大小为60°．
（3）由（1）知AB⊥平面CDE，故VA﹣BCD＝S△CDE?AB＝S△CDE，
∵△ABD和△ABC都是以AB为斜边的直角三角形，且由（1）知AB⊥平面CDE，
∴CE＝DE，
设CE＝DE＝m，则E到CD的距离d＝，
∴S△CDE＝＝3，
∵△ABD是直角三角形，∴D在以AB为直径的圆上，故DE的最大值为AB＝5，
即0＜m≤5，
∴S△CDE的最大值为3＝12，
∴三棱锥A﹣BCD体积的最大值为＝40．
21．【解答】解：（1）∵k+b＝﹣，∴b＝﹣k﹣，∴y＝kx﹣k﹣＝k（x﹣1）﹣，
所以动直线l过定点（1，﹣）．
（2）联立消去y得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵∠ADB＝，又D（0，1），
∴（x1，y1﹣1）?（x2，y2﹣1）＝x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）＝x1x2+（kx1+b﹣1）（kx2+b﹣1）
＝x1x2+k2x1x2+（b﹣1）2+k（b﹣1）（x1+x2）
＝（1+k2）x1x2+k（b﹣1）（x1+x2）+（b﹣1）2
＝（1+k2）×+k（b﹣1）×+（b﹣1）2
＝（b﹣1），
∴（b﹣1）＝0，又b≠1（否则直线l过D），
∴b＝﹣，所以动直线l过定点（0，﹣）
（3）b＝﹣，直线l为：y＝kx﹣，
由（2）知x1+x2＝，x1x2＝，
经过A（x1，y1），B′（﹣x2，y2）的直线方程为：＝，
∴＝，
令x＝0得y﹣（kx1﹣）＝k（x2﹣x1）?，
∴y＝kx1﹣+k?＝﹣＝﹣﹣＝﹣2
所以直线AB′是过定点（0，﹣2）．