2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷解析版

2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷
一、填空题：
1．（3分）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m＝　 　．
2．（3分）复数z＝（2+i）（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为　 　．
3．（3分）抛物线x2＝12y的准线方程为　 　
4．（3分）已知向量＝（1，﹣2），，，，如果，则实数λ＝　 　．
5．（3分）若直线l1：ax+2y＝0和l2：3x+（a+1）y+1＝0平行，则实数a的值为　 　．
6．（3分）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝　 　．
7．（3分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣3y的最小值是　 　．
8．（3分）若复数z满足z?2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），则|z|＝　 　．
9．（3分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝　 　．
10．（3分）参数方程（t为参数）化成普通方程为　 　；
11．（3分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是　 　．
12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为　 　．
二、选择题：
13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c∈R，a≠0）下列命题不正确的是（　　）
A．两根x1，x2满足，
B．两根x1，x2满足
C．若判别式△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根
D．若判别式△＝b2﹣4ac＝0时，则方程有两个相等的实数根
14．（3分）已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
15．（3分）如图．在四边形ABCD中．AB⊥BC，AD⊥DC，若||＝a，||＝b．则＝（　　）
A．b2﹣a2 B．a2﹣b2 C．a2+b2 D．ab
16．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的集点，A，B，C为抛物线C上三点，当时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（　　）
A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个
三、解答题：
17．设 z+1为关于 x 的方程 x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．
（1）当 z＝﹣1+i 时，求 m、n 的值；
（2）若 n＝1，在复平面上，设复数 z 所对应的点为 P，复数 2+4i 所对应的点为 Q，试求|PQ|的取值范围．
18．（1）已知非零复数z满足|z+2|＝2，，求复数z．
（2）已知虚数z使和都是实数，求虚数z．
19．已知椭圆．
（1）M为直线上动点，N为椭圆上动点，求|MN|的最小值；
（2）过点，作椭圆的弦AB，使，求弦AB所在的直线方程．
20．圆，圆，动圆P与两圆M1、M2外切．
（1）动圆圆心P的轨迹C的方程；
（2）过点N（1，0）的直线与曲线C交于不同的两点N1，N2，求直线N1N2斜率的取值范围；
（3）是否存在直线l：y＝kx+m与轨迹C交于点A，B，使，且|AB|＝2|OA|，若存在，求k，m的值；若不存在，说明理由．
21．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为﹣4．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的值（其中O为坐标原点）；
（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．

2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：
1．【解答】解：∵复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（i为虚数单位）是纯虚数，
∴m2﹣5m+6＝0且m2﹣3m≠0，解得m＝2，
故答案为：2．
2．【解答】解：z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i．
则z的虚部为﹣1．
故答案为：﹣1．
3．【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．
故答案为：y＝﹣3．
4．【解答】解：∵＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），，
∴＝﹣3（﹣2+λ）＝0，解得λ＝2．
∴实数λ＝2．
故答案为2．
5．【解答】解：∵l1：ax+2y＝0与l2：3x+（a+1）y+1＝0平行
∴
∴a＝﹣3或2
故答案为：﹣3或2
6．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，
其中a＝＝3，
则有||PF1|﹣|PF2||＝6，
又由|PF1|＝5，
解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）
故|PF2|＝11，
故答案为：11．
7．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，
使目标函数z＝2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），
∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值为z＝2×3﹣3×4＝﹣6．
故答案为：﹣6．
8．【解答】解：设z＝a+bi，
∵复数z满足z?2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），
∴（a+bi）?2i＝a2+b2+1，
∴2ai﹣2b＝a2+b2+1，
∴，
解得a＝0，b＝﹣1，
∴|z|＝＝1．
故答案为：1．
9．【解答】解：∵，，
设OC与AB交于D（x，y）点
则：AD：BD＝1：5
即D分有向线段AB所成的比为
则
解得：
∴
又∵||＝2
∴＝（﹣，）
故答案为：（﹣，）
10．【解答】解：由题意，可知：，
对于①式，可化成用x表示t的函数形式，
x（1+t）＝2+3t
化简，整理得：，其中x≠3
同理，对于②式，可化成用y表示t的函数形式，
y（1+t）＝1﹣2t
化简，整理得：，其中y≠﹣2
联立两个t的表达式，得：
＝
两式交叉相乘，得：
（x﹣3）（1﹣y）＝（2﹣x）（y+2）
化简，整理，得：3x+y﹣7＝0（x≠3）．
故答案为3x+y﹣7＝0（x≠3）．
11．【解答】解：因为、是渐近线方向向量，
所以双曲线渐近线方程为，
又，∴a＝2，b＝1
双曲线方程为，＝（2a+2b，a﹣b），
∴，化简得4ab＝1．
故答案为4ab＝1．
12．【解答】解：∵，
∴＝，则O，A，P三点共线，
∵，
设Op与x轴的夹角为θ，B为A（x，y）在x轴上的投影，
则线段OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝＝＝≤48×＝10，
当且仅当即|x|＝时取得最大值10．
故答案为：10．
二、选择题：
13．【解答】解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式△≥0还是△＜0，两根x1，x2满足，，故A正确，
若两根x1，x2为虚根，则不成立，故B错误，
判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根，故C，D，正确，
故选：B．
14．【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，
与以点B为圆心，半径为4的圆外切，
故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，
故选：C．
15．【解答】解：∵AD⊥DC，
∴?＝0，
∴?＝（+）?（﹣）＝﹣?（+）＝﹣?（+），
∵AB⊥BC，
∴?＝0，
∴﹣?（+）＝﹣，
∵||＝a，||＝b，
∴＝b2﹣a2，
故选：A．
16．【解答】解：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线C三点，
当满足时时，F为△ABC的重心，
连接AF并延长至D，使FD＝AF，
当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．
故“和谐三角形”有无数个，
故选：D．
三、解答题：
17．【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，
则方程 x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．
由根与系数的关系可得，即m＝0，n＝1；
（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝a+1﹣bi．
由题意可得：（z+1）＝（a+1）2+b2＝1．
令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．
|PQ|＝＝∈[4，6]．
18．【解答】解：（1）设z＝a+bi，则z+＝a+bi+＝a+bi+＝a++（b﹣）i，
∵，
∴b﹣＝0，得b（1﹣）＝0，
得b＝0或1﹣＝0，得a2+b2＝4，
若b＝0，则z＝a，
由|z+2|＝2得|a+2|＝2得a＝0，此时z＝0，不满足条件．
若a2+b2＝4，
由|z+2|＝2得|a+bi+2|＝2，
得＝2，即（a+2）2+b2＝4，即a2+4a+4+b2＝4，
得4+4a+4＝4，得a＝﹣1，此时b＝±，即z＝﹣1±i．
（2）设z＝a+bi，（b≠0），
∵和都是实数，
∴设＝m和＝n，
即z2＝m（z+1），z＝n（z2+1），
即a2﹣b2+2abi＝m（a+1+bi）＝m（a+1）+mbi，
则，即m＝2a，即a2+b2+2a＝0，①
由z＝n（z2+1），得a+bi＝n（a2﹣b2+2abi+1）
即，
得n＝，a＝（a2﹣b2+1），即a2+b2﹣1＝0，②
则2a＝﹣1，得a＝﹣，b＝±，
即z＝﹣±i．
19．【解答】解：（1）设点N的坐标为，
则点N到直线l的距离为＝＝，
所以，|MN|的最小值为；
（2）设直线AB的参数方程为（t为参数，且β为倾斜角），设点A、B对应的参数分别为t1、t2，
由于，则﹣t1＝3t2，
将直线AB的参数方程代入椭圆的方程，并化简得，
由韦达定理得＝，，则，
所以，，化简得，得cosβ＝0或，
因此，弦AB所在的直线方程为或y，即或．
20．【解答】解：（1）圆M1的圆心为M1（0，﹣），半径为r1＝，圆M2的圆心为M2（0，），半径为r2＝．
设P（x，y），动圆P的半径为R，
则|PM1|＝＝R+，|PM2|＝＝R+，
∴＝+2，
整理得：y2﹣x2＝1．
∴动圆圆心P的轨迹C的方程y2﹣x2＝1（y≥1）．
（2）设y＝k（x﹣1），则﹣1＜k＜0．
联立，化为：（k2﹣1）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0，
△＝4k4﹣4（k2﹣1）（k2﹣1）＞0，解得：﹣1＜k＜﹣．
∴．
（3）k＝0时，不成立．
k≠0时，直线OA的方程为：y＝﹣x，则＞1或＜﹣1，解得﹣1＜k＜0，或0＜k＜1．
联立，解得＝，＝．
∴|OA|2＝+＝．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为（k2﹣1）x2+2kmx+m2﹣1＝0，
△＝4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2﹣1）＞0，化为：k2+m2﹣1＞0．
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴|AB|2＝（1+k2）[﹣4x1x2]＝（1+k2）[﹣4×]，
∵|AB|＝2|OA|，∴|AB|2＝4|OA|2，
∴（1+k2）[﹣4×]＝4×．
化为：m2＝2﹣2k2．
联立，解得：A．
∴＝，化为：m2＝．
∴2﹣2k2＝，0＜k2＜1．
∴（1﹣k2）＝k2+1，
解得．
因此存在k，m满足题意．
21．【解答】（1）y2＝4x；（2）﹣3；（2）（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）；
解：（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），抛物线的焦点F的坐标为，设直线MN的方程为，
将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x并整理得y2﹣2mpy﹣p2＝0．
由韦达定理得，由于p＞0，解得p＝2．
因此，抛物线的方程为y2＝4x；
（2）＝；
（3）设点、．
，．
∵AB⊥BC，则．
易知，y3≠2，y4≠y3，化简得（y3+2）（y4+y3）+16＝0，所以，．
①当y3+2＜0时，由基本不等式可得，
当且仅当，即当y3＝﹣6时，等号成立；
②当y3+2＞0时，．
当且仅当时，即当y3＝2时，等号成立，
事实上，y3≠2，此时，有y4＜﹣6．
综上所述，C点纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．