21.1一元二次方程课件(36张ppt）

21.1 一元二次方程
九年级数学上册
【想一想】要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
【思考】上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？






A
B
C
2m
设雕像下部高x m，依题意得方程
x2=2(2-x)
整理，得
x2+2x-4=0
导入新知

3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能解决相关问题.
1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.
素养目标



有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平
方厘米,那么铁皮各角应切去多大的
正方形?

一元二次方程的概念

知识点 1
探究新知






100㎝
50㎝
3600cm2
问题1
【分析】 设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为(100-2x)cm ,宽为 (50-2x)cm.
根据方盒的底面积为3600cm2,得
整理，得

（100-2x）（50-2x）=3600
x2-75x+350=0






x
100㎝
50㎝
3600cm2
探究新知
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【分析】设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部比赛 x（x-1）场。
可列方程
x（x-1）=7×4
整理，得
x2-x=56

问题2
探究新知
【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？


区别
特点
（1）这两个方程的两边都是整式；
（2）都只含一个未知数x；
（3）它们的未知数的最高次数都是 2 次的.
未知数最高次数为2
探究新知

像上述两个方程式这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程（必须满足三个特征）.
一元二次方程的概念
探究新知

【想一想】
-10x-900=0是一元二次方程吗？
一元二次方程的概念
【分析】不是。等号左边含有分式；化简整理后，未知数的最高次数为3次。
探究新知

一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式,我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
探究新知

一元二次方程的一般形式
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项



二次项
一次项

探究新知

【思考】为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？

【结论】只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数.
探究新知


当a=0时，ax2+bx+c=0
当a≠0，b=0时，ax2+bx+c=0
当a≠0，c=0时，ax2+bx+c=0
当a≠0，b=0,c=0时，ax2+bx+c=0





一元二次方程
bx+c=0（一元一次方程）
ax2+c=0
ax2+bx=0
ax2=0
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成x2-3x+2=0
少了限制条件a≠0
A. x2+ =0 B. 3x2-5xy+y2=0
C.（x-1）（x-2）=0 D. ax2+bx+c=0





素养考点 1
一元二次方程的识别





探究新知
变式题1 判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3+ x2=36
(3) x+3y=36

(5) x+1=0
(1) x2+ x=36
(4)
(6)
(7)
(8)
巩固练习

例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2-x=2x2
(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
利用一元二次方程的定义求字母的值






素养考点 2
探究新知
变式题2 方程(2a-4)x2－2bx+a=0.
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当 2a-4≠0，即a ≠2 时是一元二次
方程.
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程.
巩固练习

一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点
不同点
【思考】一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
Ax+b=0 (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2

探究新知

例3 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
一元二次方程一般形式的有关概念
解： 去括号，得
3x2-3x=5x+10
整理，得
3x2-8x-10=0
其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10.

二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的






素养考点 3
探究新知

方法点拨
（1）一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数.
（2）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的.
（3）指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符号.


探究新知
变式题3 将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：
（1）5x2-1=4x; (2)4 x2=81
解：⑴把5x2-1=4x化为一般形式5x2-4x-1=0 ，二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1.
⑵把4 x2 =81化为一般形式4 x2-81=0 ，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81．
巩固练习

（3）4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x+1)=8x-3
解： ⑶把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25．
⑷把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式3x2-7x+1=0 ，二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1．
巩固练习



一元二次方程解的概念

知识点 2
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
探究新知
例4 已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2＋3x-5m＋4=0有一个根为2，求m.
分析 一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程.
解：依题意把x＝2代入原方程，得
4（m-1）+6-5m+4=0,
整理，得
-m+6=0,
解，得 m=6.





素养考点 4
利用一元二次方程的解确定字母的值

探究新知
变式题4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：依题意把x=3代入原方程，得
32+3a+a=0
9+4a=0，
巩固练习

整理，
即
1.（2018中考）已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
解析 把x=1代入方程，得
1+k﹣3=0，
解，得
k=2．
巩固练习





连接中考
B
2.（2018?中考）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　）
解析：设房价定为x元。依题意，得
A.（180+x-20）（50- ）=10890
B.（x-20）（50- ）=10890
C. x（50- ）-50×20=10890
D.（x+180）（50- ）-50×20=10890
巩固练习

（x-20）（50- ）=10890
B
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
课堂检测






基础巩固题
2.填空：
课堂检测

方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项







-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元一次方程．当k 　　　时，是一元二次方程．
≠±1
＝－1
课堂检测

4.已知方程5x?+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______．
5.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）.
150cm


200cm
解：设由于圆的半径为x cm，则它的面积为 3x2 cm2.
整理，得
x2-2500=0
课堂检测

根据题意，得
200×150-3x2=200×150×





能力提升题
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.
整理，得
25x2+50x-11=0.
根据题意有
75（1+x）2 =108
课堂检测

已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：依题意把x=1代入原方程，得
a×12+b×1+c=0,
即 a+b+c=0.





拓广探索题
课堂检测

【思考】1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a+b+c=0可转化为
a×12+b×1+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
课堂检测

2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
课堂检测

解：a-b+c=0可转化为
a×（-1）2+b×（-1）+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是-1.
4a+2b +c=0可转化为
a×22+b×2+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是2.
课堂小结

一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；（一元）
最高次数是2.（二次）
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要
条件；
解（根）
使方程左右两边相等的未知数的值.






定义
判断
等号两边都是整式，只含一个未知数且未知数的最高次数是2的方程
课后作业


作业
内容


教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习