人教版数学九上21.2.2 解一元二次方程——公式法课件（31张ppt）

21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
九年级数学上册
解：
移项，得
配方
由此可得
利用配方法解一元二次方程
回顾旧知
化：把原方程化成 x2＋px＋q = 0 的形式.
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q.
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.

开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.

求解：解一元一次方程.
定解：写出原方程的解.














用配方法解一元二次方程的步骤
方程右边是非负数
x2＋px＋ ( )2 = －q＋ ( )2
( x+ )2 =－q＋ ( )2
【思考】如何用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)呢？
导入新知
3.会熟练应用公式法解一元二次方程.
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.
2.灵活应用△ =b?－4ac 的值识别一元二次方程根的情况.



素养目标
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
公式法的概念
探究新知

知识点 1
问题1
一元二次方程的一般形式是什么？

【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
方程两边都除以　，得
解:
移项，得
配方，得
即
探究新知
用公式法解一般形式的一元二次方程
一元二次方程的求根公式
解：
当
探究新知
，
由上可知，一元二次方程
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 时，将a，b，c 代入式子 ，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

当 b-4ac 0 时，方程有实数根吗
<
探究新知
公式法的概念
解：∵a=1，b=-4，c=-7,
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
x=

x1=2+
x2=2-
例1 用公式法解方程：

公式法解方程





素养考点 1
（1）x2-4x-7=0；

探究新知
解：


则方程有两个相等的实数根：

（2）2x2-2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？

探究新知
则方程有两个不相等的实数根
（3）5x2-3x=x+1
解：原式可化为
探究新知




方程无实数根.
（4）x2+17=8x
探究新知

方法点拨
探究新知
（1）当
时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
（2）当
时，一元二次方程有两个相
等的实数根.
（3）当
时，一元二次方程没有实
数根.














用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值.
2. 求出 ? 的值.
3. (1)当 ? >0 时，代入求根公式 :
写出一元二次方程的根.
(2)当?=0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根.
（3）当?<0时，方程实数根.


探究新知
用公式法解方程：
解：a=3, b=-6, c=-2
?=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60
x=
x1= ， x2=
巩固练习
变式题1

用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2
⑶ 2x2－2x＋1 = 0
x＋3 = 0
观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
一元二次方程的根的情况

知识点 2
探究新知
【思考】
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
（3）没有实数根.
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
【发现】b2－4ac的符号决定着方程的解.
探究新知
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根：
（1）当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根：
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“?”来表示，即?＝b2-4ac
巩固练习
一元二次方程的根的情况
若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时， b2-4ac ＞0
当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2-4ac = 0
当一元二次方程没有实数根时， b2-4ac ＜ 0
【注意】
一元二次方程的根的情况
探究新知
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
解：a＝﹣1，b＝ ，c＝﹣6
△= b2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0
该方程有两个相等的实数根
解： 移项，得 x2+4x-2=0
a＝1，b＝4 ，c＝﹣2
△= b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0
该方程有两个不相等的实数根
利用判别式识别一元二次方程的根的情况





素养考点 2
（2）x2+4x=2
探究新知

（3）4x2+1=-3x
解：移项，得4x2+3x+1=0，
a＝4，b＝3 ，c＝1
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0
∴该方程没有实数根
解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）
∵ △= b2-4ac
=（-2m）?-4×1×4（m-1）
=4m2-16（m-1）
=4m2-16m+16
=（2m-4）2≥0
∴该方程有两个实数根
（4）x?-2mx+4（m-1）=0
探究新知
（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式
子是（ ）
A. b?-4ac＞0 B. b? -4ac＜0
C. b?-4ac≤0 D. b? -4ac≥0




（1）下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x?=9 B.4x? =3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y? +6y+7=0
D
D
巩固练习
变式题2
选一选.


例3 m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：
（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m=
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴m＜
∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时，
方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根
利用判别式求字母的值或取值范围





素养考点 3
探究新知

变式题3 m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.
解：
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.
巩固练习



1.（2018?中考）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1

巩固练习




连接中考
解析 方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，
△=（﹣2）2﹣4m＞0，解得：m＜1．
D
2.（2018?中考）解方程x2﹣2x﹣1=0．
解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，

1，
则
巩固练习




连接中考
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数
D.没有实数根






基础巩固题
课堂检测
B
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ ）
A. k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1 D. k<1 且k≠0
解析
∴k＞-1
又∵k≠0 ∴ k＞-1且k≠0
B
课堂检测





基础巩固题
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵ 没有实数根
4-4(1-m)<0, ∴m<0
对于方程 x2＋mx＝1-2m ，即
， ∵ ，∴ △>0
∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
课堂检测





基础巩固题
公式法
定义
把各系数直接带入求根公式的解一元二次方程的方法.
步骤
一化成一般形式， 并写出a，b，c的值；
二求出b2-4ac的值；
三;
四写出方程的解：x1=?, x2=?.


应用
用判别式△= b2-4ac判定一元二次方程根的情况.

课堂小结

课后作业

作业
内容


教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习