22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质课件(共3课时,90张PPT)

九年级数学上册
22.1 二次函数的性质和图像
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的
图像和性质

第一课时
第二课时
第三课时
第一课时
二次函数y=ax2+k的图像和性质











返回
这个函数的图象是如何画出来呢？






x
y
导入新知
素养目标
3. 能说出抛物线y=ax?+k的开口方向、对称轴、顶点.
1. 会画二次函数y=ax2+k的图象.

2. 理解抛物线y=ax?与抛物线 y=ax?+k之间的联系.


在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.
【解析】
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=x2+1 … …
y=x2-1 … …
10 5 2 1 2 5 10
8 3 0 -1 0 3 8
二次函数y=ax2+k图象的画法
探究新知

知识点 1
问题1
1.列表：


y=x2+1



10


8


6


4


2




-2



-5










5


















x
y
y=x2-1
y=x2
O


2.描点，连线：
探究新知
【思考】抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？

解析 它们的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点分别是（0，1）（0，-1）.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2 向上 x=0 （0,0）
y=x2+1 向上 x=0 (0，1)
y=x2-1 向上 x=0 (0，-1)
探究新知
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解析 先列表：
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …





素养考点 1
探究新知
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y = 2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …
然后描点画图：
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4









y = 2x2 -1
y = 2x2+1











-1
探究新知
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4









y = 2x2 -1
y = 2x2+1











-1
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
【思考】
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2+1 向上 x=0 （0,1）
y=2x2-1 向上 x=0 （0，-1）
解答：
探究新知
变式题1 在同一坐标系中，画出二次函数 ， ，
的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，

-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4




如图所示
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下 x=0 （0,0）
向下 x=0 （0,2）
向下 x=0 （0，-2）
巩固练习
解：先列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象．
二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
探究新知

知识点 2












x








y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6


















再描点、连线，画出这两个函数的图象：
探究新知



【思考】抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
抛物线
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,0）
（0,1）
y轴
y轴
【想一想】通过观察图象，二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？
探究新知
开口方向：向上
对称轴：x=0
顶点坐标：（0，k）
最值：当x=0时，有最小值，y=k
增减性：当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大.

探究新知
二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质

y








-2
-2
4
2
2
-4


x
0
2.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：



探究新知
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 .
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________
(4) 从上而下顶点坐标分别是
_____________________
抛物线
向下
直线x=0
( 0,0)
( 0，2)
( 0,-2)
探究新知
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________
(6) 函数的增减性都相同： __________________________
__________________________
高
大
y=0
y= -2
y=2
对称轴左侧y随x增大而增大
对称轴右侧y随x增大而减小
探究新知
y=ax2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（x=0） y轴（x=0）
顶点坐标 （0,k） （0,k）
最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
注意：k带前面的符号！
探究新知
二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质
例2 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
解析 由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
c
【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
二次函数y=ax2+k的性质的应用





素养考点 2
探究新知
抛物线y= ?2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，y随着x的增大而增大；
在 侧，y随着x的增大而减小.
巩固练习
变式题2
（0,3）
y轴
对称轴左
对称轴右
解析式
y=2x2

y=2x2+1

y=2x2-1
+1
-1
点的坐标
函数对应值表
x … …
y=2x2-1 … …
y=2x2 … …
y=2x2+1 … …
4.5
-1.5
3.5
5.5
-1
2
1
3
x
2x2
2x2-1
(x, )
(x, )
(x, )
2x2-1
2x2
2x2+1
从数的角度探究
二次函数y=ax2+k的图象及平移
2x2+1
探究新知

知识点 4
4




















x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8

10


－2














y = 2x2＋1
y = 2x2－1




观察图象可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
从形的角度探究
探究新知
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移 个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移 个单位长度得到.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
探究新知
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将 (　　 )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
解析 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．
D
巩固练习
变式题3
1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，分两步即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax的图象向上（或向下）平移︱k ︱单位.
第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
巩固练习
【想一想】
（2018?中考）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是 ．
解析 二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．
连接中考
巩固练习




连接中考
y=x2+2　
1.抛物线 y=2x2 向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　

2.填表：
y = 2x2－4
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = ３x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
课堂检测





基础巩固题
3.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上 ，点 (-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
在
=2
>2
<2
课堂检测





基础巩固题
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
课堂检测
6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　)
D
解析 此类题目就是看字母a、k在两个函数中符号一致，选项A二次函数中a＜0，一次函数中a＞0，故错误；选项B二次函数中a＞0，一次函数中a＜0，故错误；选项C二次函数中a＞0，一次函数中a＜0，故错误；选项D二次函数中a＜0，一次函数中a＜0.
课堂检测
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.
8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）， 则a=____.
9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
2
-2
8





能力提升题
课堂检测
1.开口方向由a的符号决定；
2.k决定顶点位置；
3.对称轴是y轴.
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.



课堂小结
课堂小结
第二课时
二次函数y=a（x-h）2的图象和性质











返回

导入新知
a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,c）
（0,c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
回顾旧知
二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0) 的图象有何关系？
答：二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0)
的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移 个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移 个单位长度得到.
【思考】 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？
导入新知
素养目标
3. 能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.

2. 理解抛物线y=ax2 与抛物线 y=a(x-h)2的联系.


二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与
的图象．
解：先列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
探究新知

知识点 1












x








y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
















再描点、连线，画出这两个函数的图象：

探究新知
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性


向上
向上
y轴
x=2
(0,0)
(2,0)
根据所画图象，填写下表：
【想一想】通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a＞0）的性质是什么？
探究新知
当x=0时，
y最小值=0
当x=2时，
y最小值=0
当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小
当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
y=a(x-h)2
（a＞0） 向上 x=h （h，0） 当x=h时，
y最小值=0 当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小
探究新知
二次函数y=a(x-h)2（a＞0）的图象性质
【试一试】画出二次函数 的图象，并说出它们的开口方向、对称轴和顶点．

x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
－2
－4.5
－2
0
0
－2
－2
















－2
2
－2
－4
－6
4
－4













－4.5
0
x
y
－8
探究新知

















x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4















抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
当x=-1时，
y最大值=0 当x＜-1时，y随x的增大而增大；当x＞-1时，y随x的增大而减小
当x=0时，
y最大值=0 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
当x=1时，
y最大值=0 当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小
向下
直线x=-1
( -1 , 0 )

直线x=0
直线x=1
向下
向下
( 0 , 0 )
( 1, 0)
探究新知
函数y=a(x-h)2（a＜0）的性质（结合图象）
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
y=a(x-h)2
（a＜0） 向下 x=h （h，0） 当x=h时，
y最大值=0 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小
【想一想】通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a＜0）的性质是什么？
探究新知
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
探究新知
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象性质
向上
直线x=h
（h,0）
当x=h时，y最小值=0
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
向下
直线x=h
（h,0）
当x=h时，y最大值=0
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
例1 若抛物线y＝3(x＋ )2的图象上的三个点，A(－3 ，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________．
解：∵抛物线y＝3(x＋ )2的对称轴为x＝－，a＝3＞0，开口向上，∴当x＜－时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；当x＞－时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3，y1)，∴点A在抛物线上关于x=-的对称点A′的坐标为(，y1)．又∵－1＜0＜，∴y2＜y3＜y1.
y2＜y3＜y1
二次函数y = a（x-h）2 的图象和性质





素养考点 1
探究新知

方法点拨
利用函数的性质比较函数值的大小时，首先确定函数的对称轴，然后判断所给点与对称轴的位置关系，若同侧，直接比较大小；若异侧，先依对称性转化到同侧，在比较大小.

探究新知
变式题1 已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-3时，y随x的增大而增大，当x>-3时，y随x的增大而减小，当x=0时，y的值是（ ）
A.-1 B.-9 C.1 D.9
巩固练习
B
向右平移
1个单位
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系

抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？

















x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4













向左平移
1个单位
探究新知

知识点 2

可以看作互相平移得到.
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2
当向左平移 ︱h︱ 个单位时
y=a(x+h)2
当向右平移 ︱h︱个单位 时
y=ax2



探究新知
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
因此平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
二次函数平移性质的应用





素养考点 2
探究新知
变式题2
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)
A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
解析 抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．
C
巩固练习
（2018?中考）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
解析 当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h的值为1或6．
连接中考
巩固练习




连接中考
B　
1. 把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
2. 二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_______，顶点是________.
3. 若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.

y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
y1 ＞y2 ＞ y3
课堂检测





基础巩固题
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标



向上
直线x=3
( 3, 0 )

直线x=2
直线x=1
向下
向上
(2, 0 )
( 1, 0)
课堂检测





基础巩固题
在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
y
O
x


y = 2x2


2
课堂检测





能力提升题
在直角坐标系中画出函数y＝ (x-3)2的图象．
(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)说明该函数图象与二次函数y＝ x2的图象的关系；
(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x
的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少?
课堂检测





拓广探索题
解：（1）开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，0）.


（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0.
-2
2
4
y
O
-2
2
x
4
-4



（2）该函数图象由二次函数y= x2的图象向右平移3个单位得到.
复习y=ax2+k
探索y=a(x-h)2的图象及性质

图象的画法
图象的特征

描点法
平移法

开口方向

顶点坐标
对称轴


平移关系
直线x=h
（h,0）
a>0,开口向上
a<0,开口向下
y=ax2
平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
课堂小结
第三课时
二次函数y=a（x-h）2 +k的图象和性质











返回
y=ax2
y=a(x-h)2
y=ax2+k
y=ax2

k>0
k<0
上移
下移

左加
右减
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴.
顶点
在x轴上（h，0）
顶点
在y轴上(0,k)
对称轴
y轴
对称轴 x=h
导入新知
【思考】 顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
素养目标
3. 能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点.
1. 能画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.

2. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.


二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
解：
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4








开口方向：
对称轴：
顶点：
向下
x=-1
(-1,-1)
探究新知

知识点 1
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4









探究新知


画一画，填写下表:

画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2)






























-2
2
x
y
O




-2
4
6
8
-4
2
4
探究新知
变式题1
a>0 a<0
图象 h>0
h<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当xh时，y随x增大而减小.
当xh时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
（h,k）
探究新知
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
例1 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
解析 根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．
A
利用二次函数y= a(x-h)2+k的性质识别图象





素养考点 1
探究新知
在同一坐标系内，一次函数y=ax+2与二次函数y=x?+a的图象可能是（ ）
巩固练习
变式题2
C

-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4











向左平移一个单位
向下平移一个单位
向左平移一个单位，
再向下平移一个单位
还有其他平移方法吗？
二次函数y= a(x-h)2+k的图象与平移
探究新知

知识点 2
向左平移
1个单位

























1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10









【想一想】怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？


平移方法1：
向下平移
1个单位
探究新知

























1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10











平移方法2：
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
探究新知
y=a(x-h)2+k
y=ax2

平移关系
？
二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？
探究新知

方法点拨
一般地,抛物线y=a(x－h) ?＋k与y=ax?形状相同,位置不同.把抛物线y=ax?向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h) ?＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位

向上(下)平移|k|个单位

y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h) 2+k


y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax?+k
向左(右)平移|h|个单位
平移方法:
探究新知
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
探究新知
抛物线y=a(x－h)2+k的特点
可以看作互相平移得到的.
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k




上下平移




左右平移
上下平移
左右平移
平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
探究新知
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.
巩固练习
变式题3
例2 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
二次函数的应用





素养考点 2
探究新知
C(3,0)
B(1，3)

A
x
O
y










1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴ 0=a(3－1)2＋3.
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
3
4

a=－
y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3)
3
4

－
探究新知
如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值.
巩固练习
变式题4
巩固练习
巩固练习
1.（2018?中考）抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（　 ）
A．（1，1） B．（﹣1，1）
C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
解析 ∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，
∴顶点坐标是（1，1）．
连接中考
巩固练习




连接中考
A
2.（2018?中考）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
解析 将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=﹣5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为：y=﹣5（x+1）2﹣1．
巩固练习
A




连接中考
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5



向上
( 1, －2 )

向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下表:
巩固练习





基础巩固题

2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________.
4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 .
3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为 _____________ .
答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位.
巩固练习





基础巩固题
5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.
y=a(x-h)2+k
y=5(x+1)2+3
巩固练习





基础巩固题
已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．
解：由函数顶点坐标是（1，-2），
设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2.
图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2，
解得a=2
∴这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
巩固练习





能力提升题
小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y= x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( )
A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m
B
解析：由图可以知道，小敏与篮底的距离就是AB.因为AB=OA+OB,OA=2.5m，所以要求OB即可，而OB就是篮圈中心的横坐标，设为a，则篮圈中心的坐标就是（a，3.5），点在抛物线上，即：3.5= a2+3.5，整理得：a2=2.25,即a=±1.5,a=-1.5（舍去），故a=1.5，因此AB=4.
巩固练习





拓广探索题

向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+k

向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位

y
O
x



y=ax2
y=a(x-h)2+k
h
k


课堂小结

作业
内容


教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业