22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质课件(共2课时,58张PPT)

九年级数学上册
22.1 二次函数图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第一课时
第二课时
第一课时











返回
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质（1）
y=a(x-h)2 +k(a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
极值

向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当xy随着x的增大而减小.
当x>h时，
y随着x的增大而增大.
当x当x>h时，y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.

回顾旧知
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质?
导入新知
素养目标
3. 能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.
1. 会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.

2. 能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.


画出二次函数y=ax2+bx+c的图象
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？
【思考1】怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？
探究新知

知识点 1
配方可得
想一想：配方的方法及步骤是什么？

探究新知
怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？
配方
你知道是怎样配方的吗？

(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
【提示】配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
探究新知
【思考2】你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
【思考3】二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
探究新知
【思考4】 如何画二次函数 的图象？
…
…

…









…
9
8
7
6
5
4
3
x















1. 利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5


5
10
x
y
5
10

































2.然后描点画图，得到
图象如右图.
O
方法一：描点法
探究新知
方法二：平移法

2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
6
8


探究新知







2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
6
8
方法二：描点法
先利用对称性列表:
开口方向：
对称轴：
顶点：
向上
x=6
(6,3)
探究新知
【思考4】 结合二次函数 的图象，说出其性质.


5
10
x
y
5
10


































x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
O
探究新知
开口方向：
对称轴：
顶点：
向上
x=6
(6,3)
例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y ··· ···
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解: 函数 通过配方可得 ，
先列表：
画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质





素养考点 1
探究新知


2
x
y
-2
0


























4
-2
-4
-4
-6
-8






然后描点、连线，得到图象如下图：
由图象可知，这个函数具有如下性质：
开口方向：向下
顶点坐标：（1，-2）
对称轴：x=1
最值：x=1时，y最大值=-2
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
探究新知
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
解：
巩固练习
变式题1
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？
y=ax2+bx+c
探究新知

知识点 2
y=ax2+bx+c
二次函数的顶点式
对称轴为 .
二次函数的一般表达式


因此，抛物线的对称轴是 ，顶点是 .
探究新知

y
O
x
（a>0）

y
O
x
（a<0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象：
增减性？

最小值

最大值
探究新知
探究新知
指出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质
例2 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（　　）
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，
∴函数图象开口向上，
∵y=x?+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
方法点拨：把函数的一般式化为顶点式，再由定点式确定开口方向、对称轴、顶点及其他性质.





素养考点 2
A
探究新知
顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
(1,1)
x=1
最大值1
(0,-1)
y轴
最大值-1
最小值-6
( ,-6)
直线x=
填一填.
巩固练习
变式题2
二次函数字母系数与图象的关系
一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k2x+b2
y=k3x+b3
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 ___ 0
b2 ___ 0
＞
＞
＜
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＜
＞
探究新知

知识点 3
＞

x
y
O

二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝

开口向上，a＞0

对称轴在y轴左侧，x＜0

对称轴在y轴右侧，x＞0
x=0时，y=c.
探究新知
x
y
O


a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜

开口向下，a＜0

对称轴是y轴，x=0

对称轴在y轴右侧，x＞0
x=0时，y=c.
探究新知
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_____________
a＜0 开口_____________
b=0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
探究新知
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
D
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0， 故③正确；
由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值





素养考点 3
探究新知
变式题3
二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D． ac>0
巩固练习
解析 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．
①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0，所以ac<0，D错误．
B
（2018?中考）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
解析 由图象开口向下，可知a＜0，有对称轴在y轴右侧，可知b＞0，即ab＜0,故①正确，由对称轴x=1得： =1，即2a+b=0，故②正确，当x=3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，∵b=-2a，∴3a+c＜0,故③不正确，当x=1时，函数有最大值a+b+c，当x=m时，y=am2+bm+c，即a+b+c≥am2+bm+c,也就是a+b≥m(am+b),故④正确，由图象知：当-1＜x＜3时，y有可能小于0，故⑤不正确.
巩固练习
A




连接中考
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A. y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
课堂检测





基础巩固题


O
y
x

–1
–2
3
2. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .


（2）
课堂检测





基础巩固题
3. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确
的是（ ）
A．①②③　　 B．①③④
C．①②④　 D．②③④
x
y
O
2

x=-1
B
课堂检测





基础巩固题
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
直线x=3
直线x=8
直线x=1.25
直线x= 0.5
课堂检测





能力提升题
1.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 时，y有最大值 .
2.已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（ ）
B
课堂检测





拓广探索题
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)

课堂小结
第二课时











返回
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质（2）
用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），
所以

解得 k=3，b=-6
一次函数的解析式为y=3x-6.
【思考】如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？
回顾旧知
素养目标
2.灵活应用三点式、顶点式、交点式求二次函数的解析式.
1.会用待定系数法求二次函数的解析式.


【思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？



用三点式求二次函数的解析式
探究新知

知识点 1
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式.
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知得：

a-b+c=10
a+b+c=4
三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？
第一步:设出解析式的形式；
第二步:代入已知点的坐标；
第三步：解方程组。
探究新知
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)，求这个函数的解析式.
第一步:设出解析式的 形式；
第二步:代入已知点的 坐标；
第三步：解方程组。
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知得：
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7

三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？
探究新知
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7

①
②
③
?
由②-①可得：
2b=-6

b=-3
由③-①可得：
3a+3b=-3

a+b=-1

a=2

将a=2，b=-3代入①可得：
2+3+c=10

c=5
∴解方程组得：
a=2, b=-3, c=5.
探究新知
例1 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式.
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.
∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3).

∴

解得a＝1，b＝-2，c＝-3.
∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.
利用三点式求二次函数的解析式





素养考点 1
探究新知

求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。
若已知条件是二次函数图像上三个点的坐标，可设解析式为y=ax2+bx+c,列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
归纳

任意两点的连线不与y轴平行
三点式求二次函数的解析式
探究新知
已知一个二次函数的图象过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三点，求这个函数的解析式.
第一步:设出解析式的形式；
第二步:代入已知点的坐标；
第三步:解方程组。
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.
∵抛物线经过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9).

∴

解得a＝4，b＝5，c＝0.
∴抛物线的解析式为y＝4x2+5x.

0=c
-1=a-b+c
9=a+b+c
巩固练习
变式题1
用交点式y=a(x-x1) (x-x2) 求二次函数解析式
一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当x＝-2与 时，y＝0，求这个二次函数的解析式.

探究新知

知识点 2
两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？
交点式求二次函数的解析式：若已知抛物线与x轴的两交点坐标，可设解析式为y=a（x-x1）（x-x2），把另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程.
例2 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.
解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)
∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3)
∵图象过点C(0,3)
∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
利用交点式求二次函数的解析式





素养考点 2
探究新知
已知抛物线与x轴交于A（－1，0），
B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
因此所求的抛物线解析式为
y=－x2+1.

解: ∵图象与x轴交于A(-1,0)，B(1,0)
∴设函数解析式为y＝a(x+1)(x-1)
∵图象过点M(0,1)
∴1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1.
∴二次函数解析式为y=-1(x+1)(x-1)
巩固练习
变式题 2
【思考】图象顶点为(h, k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？

用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式
探究新知

知识点 3
利用顶点式求二次函数的解析式
例3 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.
解：∵抛物线顶点为(1,-4)
∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)，
则-3=a(2-1)2-4，则a=1.
∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
探究新知





素养考点 3

若已知顶点坐标和一点，可设解析式为y=a(x-h)2+k，将另一点坐标代入解关于a的一元一次方程.
归纳
顶点式求二次函数的解析式
探究新知
变式题3
已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的关系式.
解：∵抛物线顶点为(-1,2)
∴设其解析式为y=a(x+1)2+2，
又抛物线过点(1,-3)，
则3=a(1+1)2+2，则a= .
所以这个二次函数的关系式是y= (x+1)2+2.
巩固练习
（2018?中考）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），求该函数的关系式.
解：设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4
y=﹣x2﹣2x+3
连接中考
巩固练习




连接中考
1. 如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( )
A. y=x2+2 B. y=(x-2)2+2
C. y=(x-2)2-2 D. y=(x+2)2-2
2. 已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为 .
D
y=-7(x-3)2+4.
课堂检测





基础巩固题
如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.
解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3,
知抛物线一定过点(-2,0).
设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),
∵抛物线过点(0,4),

∴4=a(0+2)(0-8),
课堂检测





能力提升题
已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),
设解析式为y=a(x-5)(x+3),
∵抛物线过点(1,16)
∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
课堂检测





拓广探索题
待定系数法求二次函数的解析式

三点式
交点式
顶点式



已知抛物线上三个点的坐标，设解析式为 y=ax2+bx+c
已知抛物线与x轴两交点的坐标，设解析式为 y=（x-x1）（x-x2）
已知抛物线顶点坐标和另一个点的坐标，设解析式为
y=a（x-h）2+k
课堂小结

作业
内容


教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业