人教A版高中数学选修4-5 4.2数学归纳法 及其应用举例教学课件 共19张PPT

课件19张PPT。2.1 数学归纳法
及其应用举例 （2） 学习目标进一步理解数学归纳法的证明原理
会利用数学归纳法证明与自然数有关的几何问题、不等式问题和整除问题
了解数学归纳法应用的广泛性，进一步掌握数学归纳法的证明步骤①数学归纳法证明有哪些步骤？②数学归纳法通常解决什么问题？ (与正整数有关命题) 例1.已知x> ?1，且x?0，n?N，n?2．求证：(1+x)n>1+nx
证明：1.当n=2时，
左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x?0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右
∴n=1时不等式成立
2.假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx
当n=k+1时，因为x> ?1 ，所以1+x>0，于是
左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；
右边=1+(k+1)x．
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立 例2.证明：2n+2>n2，n?N+．
证明：1.当 n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边>右边
当n=2时，左=22+2=6，右=22=4，∴左>右；
当n=3时，左=23+2=10，右=32=9，∴左>右．
因此当n=1，2，3时，不等式成立．
2.假设当n=k(k?3且k?N)时，不等式成立．即2k+2>k2．
因为2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)?2>2k2?2
=k2+2k+1+k2?2k?3
=(k2+2k+1)+(k+1)(k?3) (因k?3，则k?3?0,k+1>0）
?k2+2k+1=(k+1)2．
所以2k+1+2>(k+1)2．
故当n=k+1时，原不等式也成立．
根据1和2，原不等式对于任何 n?N*都成立例3、求证：当n?2,n?N时，证明：1、当n=2时，∴n=2时原不等式成立
2、假设n=k (k?2)时不等式成立，即当n=k+1时例4.设数列{an}满足an+1=an2?nan+1,n=1,2,3,…
(1)当a1=2时，求a2,a3,a4，由此猜想出an的一个通项公式,并证明
(2)当a1?3时，证明：对所有的n?1，有an?n+2 注意： 此问题解答过程中用到了
“观察---归纳—猜想---证明”的思维方式. 1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．
3．数学归纳法也不是万能的，也有不能解决的问题．巩固练习：例 题 选 讲例5 用数学归纳法证明：
34n+2＋52n+1能被14整除．分析：(i)容易验证当n＝1时，34×1+2＋52×1+1
＝854＝14×61，能被14整除．(ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除．当n＝k＋1时，相应的表达式怎样写？整除问题34(k+1)+2＋52(k+1)+1从34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2·34＋52k+1·52 入手例 题 选 讲例5 用数学归纳法证明：
34n+2＋52n+1能被14整除．证明：(i)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝854＝14×61，
∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除．(ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除．那么当n＝k＋1时34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2·34＋52k+1·52 ＝81·34k+2＋25·52k+1＝(25＋56)·34k+2＋25·52k+1 ＝25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2．整除问题2、解题关键是把34(k+1)+2＋52(k+1)+1拆分为34k+2·34＋52k+1·52 ，再组合为都能被14整除的两整式的和。1、本题在解答中应用了数的整除性质
设A、B、C是整数，
（1）若A整除B,则A整除BC;
(2) 若A整除B且整除C,则A整除B+C∵ (34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除， ∴ 34n+2＋52n+1能被14整除．即n＝k＋1时，命题成立． 根据(i)、(ii)可知, 34n+2＋52n+1能被14整除．例 题 选 讲25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2．小 结 例6：用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除． 例 题 选 讲分析 （1）当n=1时是成立的， 例6：用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除． 例 题 选 讲例4与例5这类整除问题，都用到拆项的方法例4把34(k+1)+2＋52(k+1)+1拆成34k+2·34＋52k+1·52 , 不同之处是例4 拆项后可以直接分成两个
都能被14整除的数的和，而例5拆项后则需要
增减项后才能分成两个都能被x＋y整除的数的
和.例 题 选 讲思考1：例4与例5这类整除问题在由n=k到
N=k+1时的证明方法有什么相同之处？思考2：例4与例5在由n=k到N=k+1时的证明
有什么不同之处？练习：P67练习 1 、 25(5 k－2k) ＋3×2k解析：
(2)假设n=k时命题成立.即:5 k－2k 被3整除.
当n=k+1时
5k+1－2k+1
=5×5k－2×2k
=5(5 k－2k) ＋5×2k－2×2k
=5(5 k－2k) ＋3×2k
例 题 选 讲分析：画出n=2，3，4，5时的图形示意图，
观察交点的变化规律。例6 平面内有n(n>1) 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.几何问题2345f(2)=1f(3)=3
=1+2
=f(2)+2f(4)=6
=3+3
=f(3)+3f(5)=10
=6+4
=f(4)+4从k条到k+1条交点增加了k点，应证f(k+1)=f(k)+k例 题 选 讲几何问题例6 平面内有n(n>1) 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.证明: (1) 当n=2时两条直线的交点只有一个，又
f(2)=2(2-1)/2=1, 因此当n =2时，命题成立。（2）假设n=k(k>1)时命题成立，就是说，平面内满足
题设的任何k条直线的交点的个数f(k)=k(k-1)/2.
现在来考虑平面内有k+1条直线的情况，任取其中的一
条直线，记为L,由题设，L和其它k条直线必有k个不同
交点，又根据假设，其它k条直线的交点的个数f(k)等于
k(k-1)/2,根据题设，这k(k-1)/2个和这k个点是不同的交
点，从而平面内满足题设的k+1条直线的交点的个数是K(k-1)/2 + k
=k[(k-1)+2]/2=(k+1)[(k+1)-1]/2.这就是说，当n=k+1时，k+1条直线的交点的个数F(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.根据（1）（2），可知命题对任何大于1的正整数都成立。是否存在常数a、b、c使得下面等式 成立 注意： 存在性问题，一般都要通过“观察---归纳—猜想---证明”的过程补充）