2019中考数学压轴选择填空复习专题：折叠问题（含解析）

中考复习专题：折叠问题
例题精讲
例1.如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数y=的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是（?? ）

A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【解析】【解答】∵矩形OABC，
∴CB∥x轴，AB∥y轴，
∵点B坐标为（6，4），
∴D的横坐标为6，E的纵坐标为4，
∵D，E在反比例函数y= 的图象上，
∴D（6，1），E（ ，4），
∴BE=6﹣ = ，BD=4﹣1=3，
∴ED= = ，
连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，

∵B，B′关于ED对称，
∴BF=B′F，BB′⊥ED，
∴BF?ED=BE?BD，
即 BF=3× ，
∴BF= ，
∴BB′= ，
设EG=x，则BG= ﹣x，
∵BB′2﹣BG2=B′G2=EB′2﹣GE2 ，
∴（ ）2﹣（ ﹣x）2=（ ）2﹣x2 ，
∴x= ，
∴EG= ，
∴CG= ，
∴B′G= ，
∴B′（ ，﹣ ），
∴k=﹣ ．
故答案为：B．
例2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=3，BC=6，沿AE翻折梯形ABCD使点B落AD的延长线上，记为点B′，连接B′E交CD于点F，则的值为（　　 )

A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】 A
【解析】
【分析】利用折叠，将线段和角进行转化，即AB′=AB，∠BAE=∠B′AE，利用线段的和差关系求DB′；根据AD∥BC，得∠B′AE=∠BEA，从而可证AB=BE，再计算EC，根据平行得相似比，求的值．
【解答】由折叠的性质可知，AB′=AB，∠BAE=∠B′AE，
∴DB′=AB′-AD=3-2=1，
又AD∥BC，
∴∠B′AE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，BE=AB=3
∴EC=BC=BE=6-3=3，
∵DB′∥EC，
∴== ．
故选A．
例3.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（?? ）

A.?150°?????????????????????????????????????B.?210°?????????????????????????????????????C.?105°?????????????????????????????????????D.?75°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，
∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．
故选A．
例4.如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（?? ）

A.??????????????????????????????????????B.?3 ?????????????????????????????????????C.?6 ?????????????????????????????????????D.?9
【答案】 A
【解析】【解答】解：△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处
∴AM=A′M，
又∵A′为MN的中点，
∴AM=A′M=A′N，
∵DE∥AC，
∴ = ，
∵△ABC是等边三角形，BC=6，
∴BC=AC，
∴ =
∴AE=2，
∵AN是△ABC的BC边上的高，中线及角平分线，
∴∠MAE=30°，
∴AM= ，ME=1，
∴DE=2，
∴△ADE的面积= DE?AM= × ×2= ，
故答案为：A
例5.如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，3 ），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为________．

【答案】( , )
【解析】【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为（0，3 ），
∴AC=OB=3 ，∠CAB=30°，
∴BC=AC?tan30°=3 × =3，
∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，
∴∠BAD=30°，AD=3 ，
过点D作DM⊥x轴于点M，

∵∠CAB=∠BAD=30°，
∴∠DAM=30°，
∴DM= AD= ，
∴AM=AD×cos30°= ，
∴MO= -3= ，
∴点D的坐标为（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．



习题精炼
1.如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（??? ）

A.????????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?4
2.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（?????? ）

A.?? ?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.如图，点E在正方形ABCD的CD边上，连结BE，将正方形折叠，使点B与E重合，? 折痕MN交BC边于点M，交AD边于点N，若tan∠EMC＝ ，ME＋CE＝8，则折痕MN的长为（?? ）

A.?????????????????????????????????????B.?4 ????????????????????????????????????C.?3 ????????????????????????????????????D.?13
4.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（? ）

A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
5.如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，则 的值为（　　）

A.?2????????????????????????????????????????B.?4????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.如图所示，在矩形纸片 中， ， 为 边上两点，且 ； ， 为 边上两点，且 ．沿虚线 折叠，使点 落在点 上，点 落在点 上；然后再沿虚线 折叠，使 落在点 上，点 落在点 上．叠完后，剪一个直径在 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（??? ）



A.????????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????????D.?
7.如图，长方形纸片ABCD，AB=a，BC=b，且b＜a＜2b，则∠ADC的平分线DE折叠纸片，点A落在CD边上的点F处，再沿∠BEF的平分线EG折叠纸片，点B落在EF边上的点H处，则四边形CGHF的周长是（??? ）


A.?2a???????????????????????????????????B.?2b???????????????????????????????????C.?2（a﹣b）???????????????????????????????????D.?a+b
8.如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（?? ）

A.?∠DAB′=∠CAB′???????????????????????B.?∠ACD=∠B′CD???????????????????????C.?AD=AE???????????????????????D.?AE=CE
9.如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为（?? ）

A.?16?????????????????????????????????????????B.?19?????????????????????????????????????????C.?22?????????????????????????????????????????D.?25
10.取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）；
第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图（3）．
若AB= ，则EF的值是（?? ）

A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
11.如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（　　）


A.?30°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?75°
12.如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB= ，EF=2，∠H=120°，则DN的长为（　　）


A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.?﹣ ?????????????????????????????D.?2 ﹣
13.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（　　）


A.?115°????????????????????????????????????B.?120°????????????????????????????????????C.?130°????????????????????????????????????D.?140°
14.如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边的A′处，若AB= ，∠EFA=60°，则四边形A′B′EF的周长是（?? ）

A.?1+3 ???????????????????????????????B.?3+ ???????????????????????????????C.?4+ ???????????????????????????????D.?5+
15.如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，如果正方形ABCD的边长为1，则△CHG的周长为________

16.如图，有一块平行四边形纸片ABCD，现将其折叠，使得AB落在AD上点F处，折痕为AE，再将△AEF沿EF翻折，若点A刚好落在CD边上点G处，则 =________。

17.如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB′与AD的交点C′处，DF=________．

18.如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为________．

19.如图，点E、F分别是正方形纸片ABCD的边BC、CD上一点，将正方形纸片ABCD分别沿AE、AF折叠，使得点B、D恰好都落在点G处，且EG=2，DC=6，则FG= ________.

20.如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2，对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，折痕为MN，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在MN上的点G处，折痕BE与MN相交于点H；再次展平，连接BG，EG，延长EG交BC于点F．有如下结论：
①EG=FG；②∠ABG=60°；③AE=1；④△BEF是等边三角形；其中正确结论的序号是________．

21.如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值________?．

22.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为________．

23.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，点E是AD边上一点，连接BE，把△ABE沿BE折叠，使点A落在点A′处，点F是CD边上一点，连接EF，把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线EA′上的点D′处，当点D′落在BC边上时，AE的长为________．



答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：依题可得阴影部分是菱形.

∴设S菱形ABCD=16,BE=x.
∴AB=4.
∴阴影部分边长为4-2x.
∴（4-2x）2=1.
∴4-2x=1或4-2x=-1.
∴x=或x=（舍去）.
∴==.
故答案为A.
【分析】依题可得阴影部分是菱形.设S菱形ABCD=16,BE=x.从而得出AB=4，阴影部分边长为4-2x.根据（4-2x）2=1求出x,从而得出答案.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意得：

???????????? EC=BC=6，AE=AB=4，∠BCA=∠FCA，
?????????? ∵四边形ABCD是矩形，
????????? ∴AD∥BC,AB=CD,
????????? ∴∠FAC=∠BCA,
????????? ∴∠FAC=∠FCA,
????????? ∴AF=CF，
????????? ∴AD-AF=CE-CF，
????????? 即DF=FE．
???????? 设DF=FE=x，CF=6-x，
??? ? ?? 在Rt△CDF中， ．
? ?? ? ? 即 ，
??????? 解得：x=,
??? ? ? 即DF=.
故选B.
【分析】根据折叠前后的图形是全等形，得出EC=BC=6，AE=AB=4，∠BCA=∠FCA，再根据AD∥BC，从而得出∠FAC=∠BCA，∠FAC=∠FCA, AF=CF，DF=FE．在Rt△CDF中，根据勾股定理得出DF的长度即可。
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴ ?
∵在Rt△MCE中, ?
即 ?
∴设 ?根据勾股定理可知： ?
?
?解得： ?
∴CE=3， ? ?
即BC=AD=CD=9，DE=6，
由折叠的性质可得： ?
∵ ?
∴ ?
∴ ?
∴ ?
?
∴ ?
∴ ?
∴ ?
过点 作 , ?

?
?
故答案为：C.
【分析】过点N作NH⊥BC ,在Rt△MCE中,由tan∠EMC=可求得，设EC=3x，MC=4x，根据勾股定理和折叠的性质可得：ME=BM=5x，由题意ME＋CE＝8可求得x的值，于是解直角三角形DEF可求得DF和EF的值，根据线段的构成可得F=E?EF，解直角三角形NF可求出N的值，则由折叠的性质可得AN=N，解直角三角形MNH即可求得MN的值。
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：设BQ=x，由折叠的性质可得DQ=AQ=9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BQD中，x2+32=（9﹣x）2 ，
解得：x=4．
故线段BQ的长为4．
故选：C．
【分析】设BQ=x，则由折叠的性质可得DQ=AQ=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BQD中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：过点N作NG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC，
∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN，
由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，
∴∠ANM=∠AMN，
∴AM=AN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AM=CM，
∴四边形AMCN是菱形，
∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，
∴DN：CM=1：4，
设DN=x，
则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x，
∴BM=x，GM=3x，
在Rt△CGN中，NG= ，
在Rt△MNG中，MN= ，
∴ = ．
故选D．

【分析】首先过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，继而求得答案．
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：由折叠的性质知，展开后是B，故选B


7.【答案】 B
【解析】【解答】解：由折叠得：DF=AD=b，BE=EH，∴FC=DC﹣DF=AB﹣DF=a﹣b，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠A=90°，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°，
∵DC∥AB，∴∠EDC=∠AED=45°，
由折叠得：∠AED=∠DEF=45°，
∴∠AEF=90°，∴∠ADC=∠A=∠AEF=90°，∴四边形DAEF是矩形，
同理四边形CFEB是矩形，四边形CFHG是矩形，
∴BE=FC=a﹣b，AD=EF=b，∴EH=BE=a﹣b，
∴FH=EF﹣EH=b﹣（a﹣b）=2b﹣a，
∴四边形CGHF的周长是：2FC+2FH=2（a﹣b）+2（2b﹣a）=2b；
故选B．

8.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，
∴∠BAC=∠CAB′，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAB′，
∴AE=CE，
所以，结论正确的是D选项．
故选D．
【分析】根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．
9.【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°
∵∠B′EC=∠DEA，
在△AED和△CEB′中，
，
∴△AED≌△CEB′（AAS）；
∴EA=EC，
∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，
=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C，
=AD+DC+AB′+B′C，
=3+8+8+3，
=22，
故选C．
【分析】首先由四边形ABCD为矩形及折叠的特性，得到B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，∠B′EC=∠DEA，得到△AED≌△CEB′，得出EA=EC，再由阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，即矩形的周长解答即可．
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图所示，将图3展开，可得图4，
由折叠可得，Rt△AMB'中，AM= AB= AB'，
∴∠AB'M=30°，
∴∠BAE=∠B'AE=30°，
∴∠EAF=60°，∠AEB=60°=∠AEB'，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=2BE，
又∵Rt△ABE中，AB= ，
∴BE=1，
∴EF=2，
故选：B．

【分析】根据折叠得到△AEF是等边三角形，再根据Rt△ABE中，AB= ，即可得到EF的长．
11.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图所示：


由题意可得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，则NG= AM，故AN=NG，
则∠2=∠4，
∵EF∥AB，
∴∠4=∠3，
∴∠1=∠2=∠3= ×90°=30°，
∴∠DAG=60°．
故选：C．
【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，进而得出答案．此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出∠2=∠4是解题关键．
12.【答案】 C
【解析】【解答】解：长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：则CP=DP= CD= ，△GCP为直角三角形，

∵四边形EFGH是菱形，∠EHG=120°，
∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG⊥FH，
∴OG=GH?sin60°=2× = ，由折叠的性质得：CG=OG= ，OM=CM，∠MOG=∠MCG，∴PG= = ，
∵OG∥CM，
∴∠MOG+∠OMC=180°，
∴∠MCG+∠OMC=180°，
∴OM∥CG，
∴四边形OGCM为平行四边形，
∵OM=CM，
∴四边形OGCM为菱形，
∴CM=OG= ，
根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，
∴DN+CM=2PG= ，∴DN= ﹣ ；
故选：C．

【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证OC=OM=CM=OG= ，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN=2GP，即可得出答案．本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．
13.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，

∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，
∵∠2=40°，
∴∠CFB'=50°，
∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，
即∠1+∠1﹣50°=180°，
解得：∠1=115°，
故选A．
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，根据三角形内角和定理求出∠CFB'=50°，进而解答即可．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等．
14.【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
过点E作EG⊥AD，
∴∠AGE=∠FGE=90°
∵矩形纸片ABCD，
∴∠A=∠B=∠AGE=90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴BE=AG，EG=AB= ，
在Rt△EFG中，∠EFG=60°，EG= ，
∴FG=1，EF=2，
由折叠有，A'F=AF，A'B'=AB= ，BE=B'E，∠A'FE=∠AFE=60°，
∵BC∥AD，
∴∠A'EF=∠AFE=60°，
∴△A'EF是等边三角形，
∴A'F=EF=2，
∴AF=A'F=2，
∴BE=AG=AF﹣FG=2﹣1=1
∴B'E=1
∴四边形A′B′EF的周长是A'B'+B'E+EF+A'F= +1+2+2=5+ ，
故选D．
【分析】先在直角三角形EFG中用勾股定理求出EF，FG，再判断出三角形A'EF是等边三角形，求出AF，从而得出BE=B'E=1，最后用四边形的周长公式即可．
二、填空题
15.【答案】 2
【解析】【解答】解：设CH=x，DE=y，则DH=1-x，EH=1-y，
∵∠EHG=90°，
∴∠DHE+∠CHG=90°．
∵∠DHE+∠DEH=90°，
∴∠DEH=∠CHG，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△DEH∽△CHG，
∴CG：DH=CH：DE=HG：EH，即CG:(1?x)=x:y=HG:(1?y)，
∴CG= ，HG= ，
∴△CMG的周长为=CH+CG+HG= ，
在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2,
即（1-x）2+y2=（1-y）2,
整理得2x-x2=2y，
∴CH+HG+CG= ．
故答案为：2．
【分析】设CH=x，DE=y，由题意易证得△DEH∽△CHG，由所得的比例式可将HG、CG用含x、y的代数式表示，在Rt△DEH中，用勾股定理可得x与y的关系 式，则△CHG的周长=CH+HG+CG可求解。
16.【答案】
?
【解析】【解答】解：由第一折叠可得AB=AF，BE=EF，∠BAE=∠FAE，
在□ABCD中，AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴AB=BE=EF=AF，
∴四边形ABEF是菱形，∴EF//AB//CD。
连接AC交EF于O，由第二次折叠可得AO=OG，∴OF是?AGD的中位线，
∴AF= AD，∴AB= BC，
即 。
故答案为 。

【分析】把3副图合在一起，更能看出一些边、角的关系，根据第一次折叠和平行线的性质可得四边形ABEF是菱形，则EF//CD，根据第2次折叠，可得EF平分AG，则可得OF是?AGD的中位线，即AF= AD，而AF=AB，AD=BC。
17.【答案】
【解析】【解答】解：连接CC′，
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，
又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．
∴EC=EC′，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
在△CC′B′与△CC′D中， ，
∴△CC′B′≌△CC′D，
∴CB′=CD，
又∵AB′=AB，
∴AB′=CB′，
所以B′是对角线AC中点，
即AC=2AB=8，
所以∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，∠ACC′=∠DCC′=30°，
∴∠DC′C=∠1=60°，
∴∠DC′F=∠FC′C=30°，
∴C′F=CF=2DF，
∵DF+CF=CD=AB=4，
∴DF= ．
故答案为： ．

【分析】首先连接CC′，可以得到CC′是∠EC′D的平分线，所以CB′=CD，又AB′=AB，所以B′是对角线中点，AC=2AB，所以∠ACB=30°，即可得出答案．
18.【答案】
【解析】【解答】解：如图3中，连接AH．
由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，
∴AH= = = ，
故答案为 ．
【分析】如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据AH= ，计算即可．
19.【答案】 3
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，DC=6，
∴∠C=90°，BC=DC=6，
设FG= ，
由折叠的性质可得：DF= ，BE=EG=2，
∴EF=EG+GF= ，EC=BC-BE=6-2=4，CF=DC-DF= ，
∵在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2 ，
∴ ，解得： ，
∴FG=3.
故答案为：3.
【分析】根据正方形的性质，可知∠B=90°及BC的长，设FG=x，由折叠的性质可得：DF= ，BE=EG=2，再用含x的代数式表示出EF、FC，求出EC的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可。
?
20.【答案】 ①②④
【解析】【解答】解：①如图，连接AG

∵MN垂直平分AB，
∴AD∥BC∥MN，
∴AG=BG，EG=FG，①正确，
②根据折叠的性质，可得
AB=BG，
∴AG=AB=BG．
∴△ABG为等边三角形．
∴∠ABG=60°，∠EDG=60°÷2=30°，
即结论②正确；
③∵∠ABG=60°，∠ABE=∠GBE，
∴∠ABE=∠GBE=60°÷2=30°，
∴AE=AB?tan30°=2× = ，
即结论③不正确；
④∵∠ABE=∠EBG=30°，∠BGE=∠BAE=90°，
∴∠BEG=∠BGE﹣∠EBG=90°﹣30°=60°，
∴∠EBF=∠ABF﹣∠ABE=90°﹣30°=60°，
∴∠BFE=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠EBF=∠BEG=∠BFE=60°，
∴△BEF为等边三角形，
即结论④正确；
故答案为：①②④．
【分析】①由折叠的性质和梯形的性质得出①相切；
②周长△ABG为等边三角形，得出②正确；
③由三角函数求出AE，得出③不正确；
④证出∠EBF=∠BEG=∠BFE=60°，得出④正确；即可得出答案．
21.【答案】　2 +4　
【解析】【解答】解：如图所示：设圆0与BC的切点为M，连接OM．

∵BC是圆O的切线，M为切点，
∴OM⊥BC．
∴∠OMG=∠GCD=90°．
由翻折的性质可知：OG=DG．
∵OG⊥GD，
∴∠OGM+∠DGC=90°．
又∵∠MOG+∠OGM=90°，
∴∠MOG=∠DGC．
在△OMG和△GCD中， ，
∴△OMG≌△GCD．
∴OM=GC=1．
CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．
∵AB=CD，
∴BC﹣AB=2．
设AB=a，则BC=a+2．
∵圆O是△ABC的内切圆，
∴AC=AB+BC﹣2r．
∴AC=2a．
∴ = ．
∴∠ACB=30°．
∴= ， 即 = ．
解得：a= ．
∴AB= ， BC=AB+2= ．
所有AB+BC=4+ ．
故答案为：4+ ．
【分析】设圆0与BC的切点为M，连接OM，由切线的性质可知OM⊥BC，然后证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=a+2，AC=2a，从而可求得∠ACB=30°，从而得到= ， 故此可求得AB= ， 则BC= ．
22.【答案】
【解析】【解答】解：连接BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE= =5，
∴BH= ，
则BF= ，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90°，
∴CF= = ．
故答案为： ．

【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．
23.【答案】 或
【解析】【解答】解：∵把△ABE沿BE折叠，使点A落在点A′处， ∴AE=AE′，AB=BE′=8，∠A=∠BE′E=90°，
∵把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线EA′上的点D′处，
∴DE=D′E，DF=D′F，∠ED′F=∠D=90°，
设AE=A′E=x，则DE=ED′=15﹣x，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠EBC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠EBD′，
∴BD′=ED′=15﹣x，
∴A′D′=15﹣2x，
在Rt△BA′D′中，
∵BD′2=BA′2+A′D′2 ，
∴82+（15﹣2x）2=（15﹣x）2 ，
解得x= ，
∴AE= 或 ．

【分析】设AE=A′E=x，则DE=ED′=15﹣x，只要证明BD′=ED′=15﹣x，在Rt△BA′D′中，根据BD′2=BA′2+A′D′2 ， 列出方程即可解决问题．