§1.1 集合与集合的表示方法
1.1.1 集合的概念
学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．
知识点一 集合的概念
元素与集合的概念
(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．
集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示．
(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)．
元素通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．
知识点二 元素与集合的关系
思考 1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？
答案 1是整数；不是整数．没有．
梳理 元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于
a是集合A的元素
a∈A
a属于集合A
不属于
a不是集合A的元素
a?A
a不属于集合A
知识点三 元素的三个特性
思考 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．
梳理 集合元素的三个特性
元素
意义
确定性
元素与集合的关系是确定的，即给定元素a和集合A，a∈A与a?A必居其一
互异性
集合中的元素互不相同，即a∈A且b∈A时，必有a≠b
无序性
集合中的元素是没有顺序的
知识点四 集合的分类及常用数集
1．集合的分类
集合
2．常用数集
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
1．若y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.( √ )
2．0∈N但0?N＋.( √ )
3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1?A.( × )
类型一 判断给定的对象能否构成集合
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
(4)的近似值的全体．
解 (1)对任意一个实数都能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
答案 B
解析 A中，“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中，没有明确的标准，所以不能构成集合．
类型二 元素与集合的关系
命题角度1 判定元素与集合的关系
例2 给出下列关系：
①∈R；②?Q；③|－3|?N；
④|－|∈Q；⑤0?N，其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 是实数，①对；
不是有理数，②对；
|－3|＝3是自然数，③错；
|－|＝为无理数，④错；
0是自然数，⑤错．
故选B.
反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．
跟踪训练2 用符号 “∈”或“?”填空．
－________R；
－3________Q；
－1________N；
π________Z.
答案 ∈ ∈ ? ?
命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理
例3 集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
答案 0,1,2
解析 ∵x∈N，∈N，
∴0≤x≤2且x∈N.
当x＝0时，＝＝2∈N；
当x＝1时，＝＝3∈N；
当x＝2时，＝＝6∈N.
∴A中的元素有0,1,2.
反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法
①使用前提：集合中的元素是直接给出的．
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．
(2)推理法
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．
跟踪训练3 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1?A,2∈A，则( )
A．a>－4 B．a≤－2
C．－4
答案 D
解析 ∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，
∴－4类型三 元素的三个特性的应用
例4 已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
解 (1)由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同．
若2a－1＝0，则a＝，A包含的元素为0，－，，与集合B中元素不相同．
故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．
反思与感悟 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等．
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．
跟踪训练4 已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________．
答案 1
解析 ∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.
当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意．
当a2－1＝0时，a＝±1.
a＝－1(舍)，∴a＝1.
此时，A＝{2,0}，符合题意．
1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．方程x2－1＝0的实数根
答案 D
2．下面说法正确的是( )
A．所有在N中的元素都在N＋中
B．所有不在N＋中的数都在Z中
C．所有不在Q中的实数都在R中
D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中
答案 C
3．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
4．下列结论不正确的是( )
A．0∈N B.?Q C．0?Q D．－1∈Z
答案 C
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
答案 B
解析 由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．
1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.
3．集合中元素的三个特性
(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素是否属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合是否相等．
课时对点练
一、选择题
1．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1?A
答案 C
解析 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则( )
A．0∈A B．a＝A
C．a∈A D．a?A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 C
解析 ∵A中只有一个元素a且a≠0，
∴0?A，选项A错．
∵a为元素，A为集合，故B错误．
由已知选C.
3．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含( )
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
答案 A
解析 由于＝|x|，－＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．
4．已知x，y为非零实数，代数式＋所有可能的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0?M B．1∈M
C．－2?M D．2∈M
答案 D
解析 ①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的值为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－2,0,2，故选D.
5．已知A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－1?A B．－11∈A
C．3k2－1∈A D．－34?A
答案 C
解析 令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.
令3k－1＝－11，解得k＝－?Z，∴－11?A；
∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.
令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.
6．由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则( )
A．a∈A B．a2∈A
C.?A D．a＋1?A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 A
解析 a＝＋<＋＝4<5，∴a∈A.
a＋1<＋＋1＝5，∴a＋1∈A.
a2＝()2＋2·＋()2＝5＋2>5.∴a2?A.
＝＝＝－<5.
∴∈A.
故选A.
二、填空题
7．在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素．
答案 1
解析 易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．
8．下列所给关系正确的个数是________．
①π∈R；②D∈/Q；③0∈N＋；④|－4|D∈/N＋.
答案 2
解析 ∵π是实数，是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.
9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.
答案 6
解析 ∵x∈N,2＜x＜a，且P中只有三个元素，∴结合数轴知a＝6.
10．如果有一集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是____________________．
答案 x≠0,1,2，
解析 由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.
11．已知a，b∈R，集合A中含有a，，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，若集合A与集合B中的元素相同，则a＋b＝____.
答案 －1
解析 ∵若集合A与集合B中的元素相同，0∈B，
∴0∈A.
又a≠0，∴＝0，则b＝0.
∴B＝{a，a2,0}．
∵1∈B，∴a2＝1，a＝±1.
由元素的互异性知，a＝－1，
∴a＋b＝－1.
三、解答题
12．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，满足题意．
∴实数a的值为－.
13．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．
解 (1)2∈A，则∈A，
即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，
即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，.
(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－，.
(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，(a≠1，且a≠0)，且三个数的乘积为－1.
证明如下：
若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，
所以又有＝∈A且≠1，
进而有＝a∈A.
又因为a≠(因为若a＝，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解)．
同理≠，a≠，所以A中只能有3个元素，
它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.
四、探究与拓展
14．已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )
A．{1,2,3} B．{1,2}
C．{0,1} D．{0,1,2}
答案 B
解析 由题意知：
解得
∴集合A＝{0,1,2}，
则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.
故集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．故选B.
15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：
(1)3∈A；
(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.
证明 (1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z，
得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A.
(2)假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立．
①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，
所以(m＋n)(m－n)为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．
②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，
所以(m＋n)(m－n)为奇数，与4k－2是偶数矛盾．
所以假设不成立．
综上，4k－2?A.
1.1.2 集合的表示方法
学习目标 1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情形.3.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换．
知识点一 列举法
思考 要研究集合，或在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？
答案 把它们一一列举出来．
梳理 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在花括号“{ }”内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法．
知识点二 描述法
思考 能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？
答案 不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．
梳理 1.集合的特征性质
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．
2．特征性质描述法
集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法．
1.＝1.( × )
2.＝.( × )
3.＝.( √ )
4.＝.( √ )
类型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合．
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}．
反思与感悟 (1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．
(2)列举法表示的集合的种类：①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合．
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由1～20以内的所有素数组成的集合．
解 (1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
类型二 用描述法表示集合
例2 试用描述法表示下列集合．
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
解 (1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
(2)设大于10小于20的整数为x，
它满足条件x∈Z，且10因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10引申探究
函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合用描述法可表示为________．
答案 {(x，y)|y＝x2－2}
反思与感悟 用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号．
(2)说明该集合中元素的性质．
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内．
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征性质，竖线不可省略．
跟踪训练2 用描述法表示下列集合．
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
解 (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
类型三 集合表示的综合应用
命题角度1 选择适当的方法表示集合
例3 用适当的方法表示下列集合．
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
解 (1)列举法：{0,2,4}(或描述法：{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N})．
(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
反思与感悟 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
跟踪训练3 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.
答案 {2 000,2 001,2 004}
解析 由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}．
命题角度2 新定义的集合
例4 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：
①2 016∈[1]；
②－3∈[3]；
③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；
④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”．
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示与余数有关的整数集合
答案 C
解析 由于[k]＝，对于①，2 016除以5等于403余1，∴2 016∈[1]，∴①正确；
对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；
对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5(n1－n2)能被5整除，∴a－b∈[0]，
∴③正确；
对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0,1,2,3,4，
则a＝5n＋5m＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，
∴a，b属于同一“类”，∴④正确，
则正确的有①③④，共3个．
反思与感悟 命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．
跟踪训练4 定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为________．
答案 6
解析 由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，
又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
答案 B
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}
答案 D
3．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是( )
A．6∈A B．0∈A
C．3?A D．3.5?A
答案 D
4．第一象限的点组成的集合可以表示为( )
A．{(x，y)|xy>0}
B．{(x，y)|xy≥0}
C．{(x，y)|x>0且y>0}
D．{(x，y)|x>0或y>0}
答案 C
5．已知A＝，用列举法表示为A＝______________.
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案
1．在用列举法表示集合时应注意
(1)元素间用分隔号“，”．(2)元素不重复．(3)元素无顺序．(4)列举法可表示有限集，也可表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑．
课时对点练
一、选择题
1．方程组的解集不可以表示为( )
A.
B.
C．{1,2}
D．{(1,2)}
答案 C
解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C不符合．
2．集合A＝{x∈Z|－2A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 因为A＝{x∈Z|－23．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
答案 D
解析 集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.
4．已知x，y为非零实数，则集合M＝为( )
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
答案 C
解析 当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x>0，y<0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
5．下列选项中，集合M，N元素相同的是( )
A．M＝{3,2}，N＝{2,3}
B．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
C．M＝{3,2}，N＝{(3,2)}
D．M＝{(x，y)|x＝3且y＝2}，N＝{(x，y)|x＝3或y＝2}
答案 A
解析 元素具有无序性，A正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B选项两集合中的元素不同；C选项中集合M中的元素是两个数，N中的元素是一个点，不相同；D选项中集合M中元素是一个点(3,2)，而N中元素是两条直线x＝3和y＝2上所有的点，不相同．
6．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 D
解析 对于x＝4s－3，当s依次取1,2,3,4,5时，
恰好对应的x的值为1,5,9,13,17.
二、填空题
7．方程x2－5x＋6＝0的解集可表示为______．
答案 {2,3}
解析 易知方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或3，则方程解集为{2,3}．
8．集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________．
答案 {1}
解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
9．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
答案 3
解析 根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．
10．定义集合A－B＝{x|x∈A，且x?B}，若集合A＝{x|2x＋1>0}，集合B＝，则集合A－B＝________.
答案 {x|x≥2}
解析 A＝，B＝{x|x<2}，
A－B＝
＝{x|x≥2}．
三、解答题
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合中元素相同吗？试说明理由．
解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，
所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(2)24的所有正因数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内与两坐标轴的距离相等的点组成的集合．
解 (1)用描述法表示为{x|2(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．
13．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义：集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P＋Q.
解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．
四、探究与拓展
14．已知集合A＝{x|x＝3m，m∈N＋}，B＝{x|x＝3m－1，m∈N＋}，C＝{x|x＝3m－2，m∈N＋}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下列结论中可能成立的是( )
A．2 018＝a＋b＋c B．2 018＝abc
C．2 018＝a＋bc D．2 018＝a(b＋c)
答案 C
解析 由于2 018＝3×673－1，不能被3整除，
而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2＝3(m1＋m2＋m3－1)不满足；
abc＝3m1(3m2－1)(3m3－2)不满足；
a＋bc＝3m1＋(3m2－1)(3m3－2)＝3m－1适合；
a(b＋c)＝3m1(3m2－1＋3m3－2)不满足．
故选C.
15．设A表示集合{2,3，a2＋2a－3}，B表示集合{|a＋3|,2}，若5∈A，且5?B，求实数a的值．
解 ∵5∈A，且5?B，∴
即 解得a＝－4.
§1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系
学习目标 1.理解子集、真子集的概念.2.理解集合相等并能用符号和Venn图表示集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识点一 子集与真子集
思考1 如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？
答案 所有的白马都是马，马不一定是白马．
思考2 我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？
答案 用真子集．
梳理 1.子集与真子集
定义
符号语言
图形语言(Venn 图)
子集
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集
A?B(或B?A)
真子集
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集
A?B或(B?A)
2.子集的性质
(1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有??A.
(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A?A.
(3)如果A?B，B?C，则A?C.
(4)如果A?B，B?C，则A?C.
知识点二 集合的相等
思考 “中国的直辖市”构成的集合记为A，由北京、上海、天津、重庆四个城市构成的集合记为B，请问集合A与集合B的元素有什么关系？你认为集合A与集合B有什么关系？
答案 A中的元素与B中的元素完全相同，A与B相等．
梳理 集合的相等
定义
符号语言
图形语言(Venn 图)
如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B
A＝B
知识点三 集合关系与其特征性质之间的关系
1．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，于是x具有性质p(x)?x具有性质q(x)，即p(x)?q(x)．
反之，如果p(x)?q(x)，则A一定是B的子集，其中符号“?”是“推出”的意思．
2．如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”，都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“?”表示，于是，上述两个正确的互逆命题可表示为p(x)?q(x)，显然，如果p(x)?q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x)?q(x)．
1．若用“≤”类比“?”，则“?”相当于“<”．( √ )
2．若a∈A，则?A.( √ )
3．若a∈A，则?A.( × )
类型一 集合间关系的判断
命题角度1 概念间的包含关系
例1 设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )
A．P?N?M?Q
B．Q?M?N?P
C．P?M?N?Q
D．Q?N?M?P
答案 B
解析 正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
反思与感悟 一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义．
跟踪训练1 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为________．
答案 N?Z?Q?R
命题角度2 数集间的包含关系
例2 设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为( )
A．A∈B B．B∈A
C．A?B D．B?A
答案 C
解析 ∵0<2，∴0∈B.
又∵1<2，∴1∈B.
∴A?B.
反思与感悟 判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
跟踪训练2 已知集合A＝{x|－1A．A∈B B．A?B
C．B?A D．B?A
答案 B
解析 由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2?A，故有A?B.
类型二 求集合的子集
例3 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
解 (1)?，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如?，有一个子集，0个真子集．
反思与感悟 为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．
跟踪训练3 适合条件{1}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )
A．15 B．16
C．31 D．32
答案 A
解析 这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．
类型三 由集合间的关系求参数(或参数范围)
例4 已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求实数a的值．
解 A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．
当a＝0时，B＝??A，符合题意；
当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝，
∵≠0，要使A?B，只有＝1，即a＝1.
综上，a＝0或a＝1.
反思与感悟 集合A的子集可分三类：?、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略?.
跟踪训练4 已知集合A＝{x|1解 当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝??A，符合题意；
当a<1时，要使A?B，需满足这样的实数a不存在．
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．
1．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( )
A．P?T B．P∈T
C．P＝T D．P?T
答案 A
2．下列关系错误的是( )
A．??? B．A?A
C．??A D．?∈A
答案 D
3．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是( )
答案 B
4．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A?B，则实数a可以是( )
A．3 B．4 C．5 D．7
答案 D
5．已知集合A＝，B＝，则集合A，B之间的关系为________．
考点 集合的关系
题点 集合关系的判定
答案 A＝B
解析 A＝
＝，
B＝
＝，故A＝B.
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
课时对点练
一、选择题
1．在下列关系中错误的个数是( )
①1∈{0,1,2}；
②{1}∈{0,1,2}；
③{0,1,2}?{0,1,2}；
④{0,1,2}＝{2,0,1}；
⑤{0,1}?{(0,1)}．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 ①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用属于来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.
2．若＝，则( )
A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3
考点 集合相等的概念
题点 由集合相等求参数的值
答案 A
解析 依题意知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系得，b＝－(x1＋x2)＝－3，c＝x1x2＝2.
3．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )
①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U.
A．①③ B．②③
C．③④ D．③⑥
答案 D
解析 元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．
4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )
A．A?B B．C?B
C．D?C D．A?D
答案 B
解析 ∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C?B.
5．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?，B?A，则(a，b)不能是( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(0，－1) D．(1,1)
答案 B
解析 当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；
当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；
当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；
当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．
6．已知集合A?，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
考点 子集及其运算
题点 求集合的子集
答案 A
解析 方法一 集合的子集为?，，，，，，，，其中含有偶数的集合有6个．
方法二 共有23＝8个子集，其中不含偶数的有?，.
故符合题意的A共有8－2＝6(个)．
二、填空题
7．若M?P，M?Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是________．
答案 4
解析 P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M?C，这样的集合M共有22＝4(个)．
8．已知{0,1}?A?{－1,0,1}，则集合A＝________.
答案 {－1,0,1}
解析 由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A?{－1,0,1}，所以A＝{－1,0,1}．
9．已知集合A＝，B＝，则集合A，B满足的关系是________．(用?，?，＝连接A，B)
考点 集合的包含关系
题点 集合包含关系的判定
答案 A?B
解析 若x0∈A，即x0＝＋＝＋－
＝＋，k0∈Z.
∵2k0－1∈Z，∴x0∈B，即A?B，
又∈B，但?A，即A≠B，
∴A?B.
10．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
答案 M＝P
解析 ∵xy>0，∴x，y同号，
又x＋y<0，∴x<0，y<0，
即集合M表示第三象限内的点，
而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
三、解答题
11．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0解 先用列举法表示集合A，B.
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
12．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，求实数a的值．
解 ∵集合A的子集只有两个，
∴A中只有一个元素．
当a＝0时，x＝.
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝.
综上，a的值为0或.
13．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．
解 因为B是A的子集，
所以B中元素必是A中的元素，
若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．
若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，
所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.
因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，
此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．
综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，
此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．
四、探究与拓展
14．给定集合U，若非空集合A，B满足A?U，B?U，且集合A中的最大元素小于B中的最小元素，则称(A，B)为U的一个有序子集对，若U＝{1,2,3,4}，则U的有序子集对的个数为( )
A．16 B．17 C．18 D．19
考点 子集及其运算
题点 求集合的子集
答案 B
解析 当A＝{1}时，集合B为集合{2,3,4}的非空子集，有7个；
当A＝{2}时，集合B为集合{3,4}的非空子集，有3个；
当A＝{3}时，集合B＝{4}，有1个；
当A＝{1,2}时，集合B为集合{3,4}的非空子集，有3个；
当A＝{1,3}时，集合B＝{4}，有1个；
当A＝{2,3}时，集合B＝{4}，有1个；
当A＝{1,2,3}时，集合B＝{4}，有1个．
所以符合条件的有序子集对有17个．
15．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A?B，求实数m的取值范围．
解 ∵A?B，
∴当A＝?时，即方程x2－4mx＋2m＋6＝0无实根，
故Δ＝16m2－8(m＋3)<0，解得－1当A≠?时，方程x2－4mx＋2m＋6＝0的根为负，
则?
??－3综上，实数m的取值范围是.
1.2.2 集合的运算
第1课时 交集与并集
学习目标 1.理解交集、并集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．
知识点一 交集
思考 一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？
答案 1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．
梳理 1.定义：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．
2．交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
3．图形语言：，阴影部分为A∩B.
4．性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?∩A＝?，如果A?B，则A∩B＝A.
知识点二 并集
思考 某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？
答案 19人．参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19(人)．
梳理 1.定义：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．
2．并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
3．图形语言：、阴影部分为A∪B.
4．性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A，如果A?B，则A∪B＝B.
1．若x∈A∩B，则x∈A∪B.( √ )
2．A∩B是一个集合．( √ )
3．如果把A，B用Venn图表示为两个圆，则两圆必须相交，交集才存在．( × )
4．若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素．( × )
类型一 交集的运算
例1 (1)(2016·全国Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B等于( )
A．{1} B．{2}
C．{－1,2} D．{1,2,3}
考点 交集的概念及运算
题点 有限集合的交集运算
答案 B
解析 由题得，B＝，∴A∩B＝
(2)若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于( )
A．{0} B．{1}
C．{0,1,2} D．{0,1}
答案 D
解析 M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N＝{0,1}，故选D.
(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义．
解 A∩B＝{(x，y)|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．
反思与感悟 求集合A∩B的步骤
(1)首先要搞清集合A，B的代表元素是什么．
(2)把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式．
(3)把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可．
跟踪训练1 (1)集合A＝{x|－25}，求A∩B；
(2)集合A＝{x|2k(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.
解 (1)A∩B＝{x|－2(2)A∩B＝{x|2(3)A∩B＝?.
类型二 并集的运算
命题角度1 数集求并集
例2 (1)(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B等于( )
A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}
C．{2,3,4} D．{1,3,4}
考点 并集的概念及运算
题点 有限集合的并集运算
答案 A
解析 ∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，
∴A∪B＝{1,2,3,4}．故选A.
(2)A＝{x|－1解 如图，
由图知A∪B＝{x|－1反思与感悟 有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．
跟踪训练2 (1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.
解 B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．
(2)A＝{x|－13}，求A∪B.
解 如图：
由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．
命题角度2 点集求并集
例3 集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．
解 A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．
其几何意义为平面直角坐标系内第一、二、四象限内的点．
反思与感悟 求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．
跟踪训练3 A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．
解 A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．
类型三 并集、交集性质的应用
例4 设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2，x∈R}．
(1)若A∩B≠?，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
考点 交集的概念及运算
题点 由交集的运算结果求参数的值
解 ∵A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，
∴A＝{x|x≤－1或x≥4}．
(1)∵A∩B≠?，
∴或
∴或
∴a＝2或a≤－.
∴a的取值范围为.
(2)由A∩B＝B知，B?A，有三种情况：
①解得a≤－3；
②解得a＝2；
③B＝?，则2a>a＋2，解得a>2.
∴a的取值范围为{a|a≤－3或a≥2}．
反思与感悟 解决此类题，首先要准确翻译，诸如“A∪B＝B”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．
跟踪训练4 若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C一定满足( )
A．A?C B．C?A C．A?C D．C?A
考点 集合的交集、并集性质及应用
题点 交集、并集的性质
答案 C
解析 A∩B＝A?A?B，B∪C＝C?B?C，所以A?C.
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于( )
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
答案 B
2．已知集合A＝{x|x2－3x＝0}，B＝{2,3,4}，则A∩B等于( )
A．{3} B．{3,4}
C．{0,3} D．{2,3}
答案 A
3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0A．{x|x>0} B．{x|x>1}
C．{x|1答案 A
4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B等于( )
A．? B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0答案 A
5．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或 B．0或3
C．1或 D．1或3
答案 B
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
课时对点练
一、选择题
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是( )
A．N?M B．M∪N＝M
C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}
答案 D
解析 ∵－2∈N，但－2?M，
∴A，B，C三个选项均不对．
2．若集合M＝{x|－3≤x＜4}，N＝{－3,1,4}，则M∩N等于( )
A．{－3} B．{1}
C．{－3,1,4} D．{－3,1}
答案 D
解析 M＝{x|－3≤x＜4}，N＝{－3,1,4}，
则M∩N＝{－3,1}，故选D.
3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于( )
A．{y|0B．{y|0≤y≤1}
C．{y|y>0}
D．{(0,1)，(1,0)}
答案 B
解析 ∵B＝{y|y＝x2}，
∴B＝{y|y≥0}，A∩B＝{y|0≤y≤1}．
4．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于( )
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 A
解析 集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.
5．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠?，若A∪B＝A，则( )
A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4
C．2＜m＜4 D．2＜m≤4
答案 D
6．若集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，则集合B可能是( )
A．{1,2} B．{x|x≤1}
C．{－1,0,1} D．R
答案 A
解析 ∵A∩B＝B，∴B?A，
四个选项中，符合B?A的只有选项A.
二、填空题
7．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有________个．
答案 2
解析 ∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，
∴B?A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，
解得x＝0或或－或1.
经检验当x＝或－时满足题意．
8．已知集合P＝{x||x|>x}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝________.
答案 {x|x<0}
解析 ∵|x|>x?x<0，
∴P＝{x|x<0}，
∵1－x≥0?x≤1，
∴Q＝{x|x≤1}，
故P∩Q＝{x|x<0}．
9．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
答案 {a|a≤1}
解析 A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，要使A∪B＝R，只需a≤1.如图．
10．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
答案 {(0,1)，(－1,2)}
解析 A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
三、解答题
11．已知集合A＝，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B.
解 解不等式组得－2则A＝{x|－2解不等式3>2m－1得m<2，
则B＝{m|m<2}．
用数轴表示集合A和B，如图所示，
则A∩B＝{x|－212．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)若A∩B＝{x|1≤x≤3}，求实数m的值；
(2)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
解 A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝{x|1≤x≤3}，∴解得m＝3.
(2)∵A∩B＝?，A?{x|x∴m－2＞3或m＋2<－1.
∴实数m的取值范围是{m|m＞5或m<－3}．
13．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？
解 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．
四、探究与拓展
14．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x，x∈R}，则A∩B中的元素个数为________．
答案 2
解析 由得或
15．已知集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|x2－ax－b＝0}．
(1)若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，求a，b的值；
(2)若??B?A，求实数a，b的值．
解 (1)因为A＝{3,5}，A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，
所以3∈B,2∈B，故2,3是一元二次方程x2－ax－b＝0的两个实数根，
所以a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，b＝－6.
(2)由??B?A，且A＝{3,5}，得B＝{3}或B＝{5}．
当B＝{3}时，解得a＝6，b＝－9；
当B＝{5}时，解得a＝10，b＝－25.
综上，或
第2课时 补集及综合应用
学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．
知识点一 全集
1．定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．
2．记法：全集通常记作U.
知识点二 补集
思考 实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？
答案 剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}．
梳理 1.补集定义
文字语言
如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
2.运算性质
A∪?UA＝U；
A∩?UA＝?；
?U(?UA)＝A.
1．根据研究问题的不同，可以指定不同的全集．( √ )
2．存在x0∈U，x0?A，且x0??UA.( × )
3．设全集U＝R，A＝，则?UA＝.( × )
4．设全集U＝，A＝，
则?UA＝.( × )
类型一 求补集
例1 (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则?UA等于( )
A．{x∈R|0C．{x∈R|0答案 C
解析 ∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，
A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴?UA＝{x∈R|0(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求?UA，?UB.
解 根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以?UA＝{4,5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}．
(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，?U(A∪B)．
解 根据三角形的分类可知，A∩B＝?，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
?U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
反思与感悟 求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解．
跟踪训练1 (1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA＝________.
答案 {3,4,5}
(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则?UA＝________.
答案 {x|－1＜x＜2}
(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则?UA＝________.
答案 {(x，y)|xy≤0}
类型二 补集性质的应用
命题角度1 补集性质在集合运算中的应用
例2 已知A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.
解 ∵A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而?UB＝{－1,0,2}，
∴B＝?U(?UB)＝{－3,1,3,4,6}．
反思与感悟 从Venn图的角度讲，A与?UA就是圈内和圈外的问题，由于(?UA)∩A＝?，
(?UA)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．
跟踪训练2 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.
答案 {x|0≤x≤1或x＞2}
解析 A∩B＝{x|1由图可得A*B＝?(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
命题角度2 补集思想的应用
例3 关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①
x2＋2x－a＝0，②
x2＋2ax＋2＝0，③
若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围．
解 假设三个方程均无实根，则有
即
解得－∴当a≤－或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，
即a的取值范围为{a|a≤－或a≥－1}．
反思与感悟 运用补集思想求参数取值范围的步骤(1)把已知的条件否定，考虑反面问题.
(2)求解反面问题对应的参数的取值范围．
(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．
跟踪训练3 若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
解 假设集合A中含有2个元素，
即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，
则解得a<，且a≠0，
即当集合A中含有2个元素时，
实数a的取值范围是.
在全集U＝R中，集合的补集是，
所以满足题意的实数a的取值范围是.
类型三 集合的综合运算
例4 (1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)等于( )
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．?
答案 A
解析 ∵?U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}，
又∵B＝{1,2}，∴?UB＝{3,4}，
{3}?B?{1,2,3}，∴A∩(?UB)＝{3}．
(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(?RB)＝R，则实数a的取值范围是________．
答案 {a|a≥2}
解析 ∵?RB＝{x|x<1或x>2}且A∪(?RB)＝R，
∴{x|1≤x≤2}?A，∴a≥2.
反思与感悟 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．
跟踪训练4 (1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(?UA)∩(?UB)＝{1,3,7}，A∩(?UB)＝{4,9}，则B等于( )
A．{1,2,3,6,7} B．{2,5,6,8}
C．{2,4,6,9} D．{2,4,5,6,8,9}
答案 B
解析 根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.
(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解 如图所示．
∵A＝{x|－2∴?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3或2A∩B＝{x|－2∴(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|21．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?UM等于( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
答案 C
2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)等于( )
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
答案 D
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于( )
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
答案 C
4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是( )
A．Z∪?UN B．N∩?UN
C．?U(?U?) D．?UQ
答案 A
5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(?UN)＝{2,4}，则N等于( )
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
答案 B
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究的问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3)?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?UA＝{x|x∈U，且x?A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
课时对点练
一、选择题
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
答案 C
解析 因为?UA＝{0,4}，所以(?UA)∪B＝{0,2,4}．
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则?UM等于( )
A．{x|－2C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}
答案 C
解析 ∵M＝{x|－2≤x≤2}，
∴?UM＝{x|x<－2或x>2}．
3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a等于( )
A．0或2 B．0
C．1或2 D．2
答案 D
解析 由题意，知则a＝2.
4．图中的阴影部分表示的集合是( )
A．A∩(?UB) B．B∩(?UA)
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
答案 B
解析 阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集．
因此，阴影部分所表示的集合为B∩(?UA)．
5．已知S＝，A＝，B＝，C＝.下列式子不成立的是( )
A．B∩C＝
B．?AB＝
C．?SA＝
D．A＝B∪C
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
答案 D
解析 平行四边形有邻边不相等也不垂直的，D错误．
6．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA等于( )
A．? B．{2} C．{5} D．{2,5}
答案 B
解析 因为A＝{x∈N|x≤－或x≥}，
所以?UA＝{x∈N|2≤x<}，故?UA＝{2}．
二、填空题
7．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝______，(?UA)∩(?UB)＝________.
答案 {x|0解析 A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，?U(A∪B)＝{x|00}，?UB＝{x|x<1}，∴(?UA)∩(?UB)＝{x|08．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(?UA)∩B＝?，则m的值是________________________________________________________________________．
答案 1或2
解析 A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知，m＝1和m＝2符合条件．
∴m＝1或2.
9．设U＝R，已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(?UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
答案 {a|a≤1}
解析 ?UA＝{x|x≤1}，
∵(?UA)∪B＝R，
∴{x|x>1}?B，
∴a≤1.
10．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的有________人．
答案 12
解析 设两项运动都喜欢的人数为x，喜爱篮球的记为集合A，喜爱乒乓球的记为集合B，画出Venn图得到方程
15－x＋x＋10－x＋8＝30?x＝3，
∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.
三、解答题
11．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(?UA)＝?，求实数m的值．
解 A＝{－1,2}，B∩(?UA)＝?等价于B?A.
当m＝0时，B＝??A；
当m≠0时，B＝.
∴－＝－1或－＝2，即m＝1或m＝－.
综上，m的值为0,1，－.
12．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝，P＝{(x，y)|y≠x＋1}，求?U(M∪P)．
解 集合M表示的是直线y＝x＋1上除去点(2,3)的所有点，集合P表示的是不在直线y＝x＋1上的所有点，显然M∪P表示的是平面内除去点(2,3)的所有点，
故?U(M∪P)＝{(2,3)}．
四、探究与拓展
13．如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(?IA∩B)∩C B．(?IB∪A)∩C
C．(A∩B)∩(?IC) D．(A∩?IB)∩C
答案 D
解析 由题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是(A∩?IB)∩C.
14．设全集为R，A＝{x|3(1)求?R(A∪B)及(?RA)∩B；
(2)若C＝{x|a－4≤x≤a＋4}，且A∩C＝A，求a的取值范围．
解 (1)∵A∪B＝{x|3∴?R(A∪B)＝{x|x≤3或x≥10}．
又∵?RA＝{x|x≤3或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|7≤x<10}．
(2)∵A∩C＝A，∴A?C.
∴即解得3≤a≤7.
∴a的取值范围为{a|3≤a≤7}．
滚动训练(一)
一、选择题
1．若集合A＝{x|x>－1}，则下列关系式中成立的为( )
A．0?A B．{0}∈A C．?∈A D．{0}?A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 D
解析 元素与集合之间为“∈”与“?”关系，集合与集合之间是“?”与“?”关系，只有选项D符合．
2．已知集合M＝{x∈N|4－x∈N}，则集合M中元素个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
考点 集合的表示综合
题点 集合的表示综合问题
答案 C
解析 当x取0,1,2,3,4时，4－x的值分别为4,3,2,1,0，都是自然数，符合题意，故选C.
3．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(?RB)等于( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
答案 B
解析 ∵?RB＝{x|x≤1}，∴A∩(?RB)＝{x|04．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{4} B．{2,4} C．{4,5} D．{1,3,4}
考点 交并补集的综合问题
题点 有限集合的交并补运算
答案 A
解析 阴影部分表示的是集合(?UA)∩B＝{4,5}∩{2,4}＝{4}．
5．设集合A＝{x|x≤}，a＝，那么( )
A．a?A B．aD∈/A
C．{a}D∈/A D．{a}?A.
答案 D
解析 ∵≤，∴a∈A，∴{a}?A.
6．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)等于( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
答案 D
解析 由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
所以?U(A∪B)＝{x|07．设集合A＝{－2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,1－x?A}，则集合B中元素的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 集合的表示综合
题点 集合的表示综合问题
答案 C
解析 若只考虑－x∈A，则x可以为2,0，－1，－3，但1－x?A，所以x可以为2，－1，－3，故集合B中有3个元素．
二、填空题
8．设集合M＝{x|－1≤x≤2}，N＝{x|x－2k≤0}，若M?N，则k的取值范围是________．
考点 子集及其运算
题点 根据子集关系求参数的取值范围
答案 {k|k≥1}
解析 由题意知2≤2k，解得k≥1.
9．用描述法表示由图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M是________．
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示集合
答案 {(x，y)|－1≤x≤0,0≤y≤1}
解析 阴影部分点的横坐标的范围为－1≤x≤0，纵坐标的范围为0≤y≤1，所以M＝{(x，y)|－1≤x≤0,0≤y≤1}．
10．设全集为U，若M∩(?UN)＝{0}，M∩N＝{1}，则集合M中含有________个元素．
考点 Venn图表达的集合关系及运用
题点 Venn图表达的集合关系
答案 2
解析 借助于Venn图求解，如图①所示，阴影部分为M∩(?UN)，如图②所示，阴影部分为M∩N，所以M＝{0,1}，即集合M中有2个元素．
11．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数为________．
考点 元素与集合的关系
题点 伴随元素问题
答案 7
解析 伙伴关系集合有{1}，{－1}，{1，－1}，，，，，共7个．
三、解答题
12．设集合P＝{x－y，x＋y，xy}，Q＝{x2＋y2，x2－y2,0}，若P＝Q，求x，y的值及集合P，Q.
考点 集合的关系
题点 由集合的关系求参数的值
解 ∵P＝Q，∴0∈P.
当x－y＝0时，x＝y，x2－y2＝0，舍去；
当x＋y＝0时，x＝－y，x2－y2＝0，舍去；
当xy＝0时，若x＝0，y≠0，则P＝{－y，y,0}，Q＝{y2，－y2,0}，
∴y＝±1.若y＝0，x－y＝x＋y，舍去．
∴x＝0，y＝±1，P＝Q＝{1，－1,0}．
13．设全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
解 ?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，?UB＝{x|x≤－3或3四、探究与拓展
14．已知集合A＝，B＝，且9∈(A∩B)，则a的值为________．
考点 交集的概念及运算
题点 由交集的运算结果求参数的值
答案 5或－3
解析 因为9∈(A∩B)，所以9∈A，且9∈B，即2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3.
当a＝5时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合题意；
当a＝3时，A＝，B＝，B中有元素重复，不符合题意，舍去；当a＝－3时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合题意．
综上所述，a＝5或a＝－3.
15．已知集合A＝{x|1(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A?B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
考点
题点
解 (1)当m＝－1时，B＝{x|－2则A∪B＝{x|－2(2)由A?B知，
得m≤－2，即实数m的取值范围为{m|m≤－2}．
(3)由A∩B＝?，得
①当2m≥1－m即m≥时，B＝?，符合题意；
②当2m<1－m即m<时，需或
得0≤m<或?，即0≤m<.
综上知m≥0，
即实数m的取值范围为{m|m≥0}．
1 聚焦“集合”双基
一、透析“集合”的基础知识
(一)集合的含义
1．集合的含义是一个描述性的，我们可以理解为一些对象组成的总体就构成集合，其中构成集合的每一个对象称为集合的元素．所以只要把对象看成整体就可以构成集合．
2．集合的元素的三个特性
(1)确定性：对于一个集合中每一个元素都可以判断该元素是不是集合中的元素．如“2017年中国效益较好的大型企业”就不能构成集合，因为“2017年中国效益较好的大型企业”中的对象是不确定的，效益较好和大型企业都没有明确的标准，无法判断一些企业是否属于这个范围．
(2)互异性：互异性是指集合中的元素必须是互不相同的．如集合{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，而不能写成{－2，－2}．
(3)无序性：对于一个集合中的元素无先后顺序，只要构成两个集合的元素一样，这两个集合就是相等的．
(二)集合的表示
1．列举法：列举法是将集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合．用列举法表示集合时，首先要注意集合中元素的基本形式．例如：集合{1,2}与{(1,2)}是两个完全不同的集合，{1,2}是由1,2这两个元素所构成的集合，{(1,2)}是以一个实数对(1,2)为元素构成的集合．另外，用列举法表示由许多元素或无限个元素组成的集合时，要注意充分体现元素间的规律，在花括号内列举出部分元素，其余的元素用省略号表示．例如：所有正整数构成的集合可记为{1,2,3,4，…，n，…}．
2．描述法：它是指用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法．具体可这样表示：在花括号“{ }”内先写上表示这个集合元素(代表元素)的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．它的一般表示形式为{x∈A|p(x)}，竖线前的x就是代表元素．对于描述法中的代表元素应注意以下两点：
(1)应写清楚该集合中的代表元素．如集合{x|2≤x≤4}不能写成{2≤x≤4}，因为这样少了代表元素．
(2)竖线后边应对代表元素的取值有准确的表示，比如下面的表示方法是错误的：{(x，y)|(－1,0)}，事实上，它应表示为{(x，y)|x＝－1，y＝0}，或表示为{(－1,0)}．
(三)集合间的基本关系
1．空集是不含任何元素的集合，它虽然不含任何元素，但这样的集合是客观存在的．由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在研究集合问题时，空集还是很活跃的，一不小心就会出错．如满足B?A，就要分B＝?和B≠?进行研究．
2．子集可以理解为集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则A是B的子集．比如任何一个整数都是有理数，也就是说整数集是有理数集的子集，可以表示为：Z?Q.但不要理解为A是B中部分元素组成的集合，因为A＝?时，A也是B的子集，还有A＝B时，A也是B的子集．
3．真子集可以从两方面理解：一是集合A是集合B的子集，二是集合B中至少有一个元素不属于集合A.如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3,4,5,6}，由于6∈B，但6?A，且有A?B，则集合A是集合B的真子集．
4．若两个集合互相包含，即A?B，且A?B，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.
(四)集合的基本运算
1．并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B.
符号表示：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
相关结论：A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
A∪B中的元素就是把集合A，B中所有元素并在一起构成的集合，要注意集合间元素的互异性，对于既属于集合A又属于集合B的元素只能出现一次．
2．交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B.
符号表示：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
相关结论：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
A∩B中的任何元素都是集合A和B的公共元素，当集合A，B没有公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝?.
3．补集：由全集U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，表示为?UA，实际上?UA＝{x|x∈U，且x?A}．补集的概念是在全集中定义的，是由属于全集U但不属于集合A的所有元素构成，集合A和它的补集?UA都是集合U的子集，且A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，全集不同，则集合A的补集也不同．
二、盘点解集合问题的基本方法
(一)列举法
对于一些有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来．
例1 设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N等于( )
A．{2,4} B．{1,2,4} C．{2,4,8} D．{1,2,8}
解析 因为N＝{x|x是2的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，所以M∩N＝{2,4,8}．故选C.
答案 C
评注 对于元素易于列举的集合，通常是直接列举．
(二)结构相似法
对于用描述法给出的若干集合，判断它们的关系时，可以把它们各自的属性化为结构相似的表达式．
例2 若集合A＝，B＝，C＝，则A，B，C之间的关系是( )
A．A＝B＝C B．A?B＝C
C．A?B?C D．B?C?A
解析 集合A中，x＝＋，m∈Z；集合B中，x＝＋，n∈Z；集合C中，x＝＋，p∈Z.不难判断A?B＝C.
答案 B
(三)数轴法
当集合中的元素与不等式相关时，借助于数轴进行运算具有简明的直观效果．
例3 设集合A＝{x|－1＜x－a＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是( )
A．0≤a≤6 B．a≤2或a≥4
C．a≤0或a≥6 D．2≤a≤4
解析 由－1＜x－a＜1，得a－1＜x＜a＋1.
∵a＋1>a－1，∴A≠?.
如图，可知a＋1≤1或a－1≥5.所以a≤0或a≥6.
答案 C
评注 不等式型集合的交集、并集和补集通常可以借助数轴来解，解题时注意验证区间端点是否符合题意．
(四)Venn图法
借助Venn图的直观显示，常可使集合问题化难为易．
例4 已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，则A等于( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
解析 如图，因为A∩B＝{3}，所以3∈A.又因为(?UB)∩A＝{9}，所以9∈A.
答案 D
(五)取特殊值法
对于以选择题出现的集合的交、并、补运算问题，根据选择题的特点(有且仅有一个正确)，对集合中的未知数或参数取特殊值进行解答是一种行之有效的方法．
例5 设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x＜1}，则M∩N等于( )
A．{x|1＜x＜2} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|1＜x≤2} D．{x|－2≤x＜1}
答案 D
2 集合的基本关系与运算
一、子集——集合问题的核心
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作：A?B或B?A.当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A?B或B?A.
例1 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|(x－a)·(x2－1)＝0}，当a为何值时，A?B?
分析 集合A，B都是用“描述法”表示的方程的解集，为了比较A和B的关系，先考虑将A和B进行化简．
解 易得集合A＝{1,2}．当a＝1或a＝－1时，B＝{－1,1}，此时A?B；当a≠1且a≠－1时，B＝{－1,1，a}．要使A?B，则a＝2.
故当a＝2时，A?B.
二、交集——两集合间的“且运算”
由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，其中关键词为“且”．
例2 设全集U＝Z，集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2－x＝0}，则A∩(?UB)＝________.
分析 先求出集合B，再按集合相关运算法则求解．
解析 因为B＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，
所以A∩(?UB)＝{－1,2}．
答案 {－1,2}
三、并集——两集合间的“或运算”
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，其中关键词为“或”．
例3 若全集U＝R，集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＝y＋1，y∈A}，求A∪B.
分析 欲求A∪B，先对B进行化简．
解 因为y∈A，即－1＜y＜2，且x＝y＋1，
所以0＜x＜3，即B＝{x|0＜x＜3}．
所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}．
四、补集——全集对子集的“差运算”
一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集，即A?U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集U中的补集，记为?UA，即?UA＝{x|x∈U且x?A}，可以理解为全集对子集的差集．
例4 设全集U＝{2,9，a2＋2a－3}，集合A＝{|2a－1|,2}，且?UA＝{5}，求实数a的值．
解 因为U＝{2,9，a2＋2a－3}，?UA＝{5}，
所以a2＋2a－3＝5.解得a＝2或a＝－4.
若a＝2，则U＝{2,9,5}，A＝{2,3}，不合题意；
若a＝－4，则U＝{2,9,5}，A＝{2,9}，符合题意．
故a＝－4.
五、等集——一个集合的两种表示
例5 已知集合M＝{2，a，b}与集合N＝{2a,2，b2}是同一个集合，求a、b.
分析 此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的性质建立关系式．
解 两个集合为同一个集合，则这两个集合的元素完全相同且与元素的顺序无关，于是
或
解之，得或或
又当a＝0，b＝0时，不满足互异性，应该舍去．
因此或
评注 解决集合相等的问题，易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.
3 集合中的数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和Venn图法．
例1 已知全集为U，U＝{a|a∈N＋且a≤9}，且(?UA)∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,8}，试确定集合A，B.
分析 若能将题设条件中所给出的各个集合中的元素，都能在Venn图上表示出来，那么所要确定的集合A，B中的元素，将会从Venn图上一目了然地得出．
解 将已知条件中的集合
U＝{a|a∈N＋且a≤9}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
(?UA)∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}，
(?UA)∩(?UB)＝{4,6,8}，在Venn图上表示出来，如图所示．
由Venn图可以直观地得出
A＝{2,3,5,7}，
B＝{1,2,9}．
例2 某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生有67人，学唱歌的学生有45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌，人数有21人，那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？
解 设只学舞蹈的学生有x人，只学唱歌的学生有y人，既学舞蹈又学唱歌的学生有z人，Venn图如图．
解得
所以同时学舞蹈和唱歌的有33人．
例3 已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a解 ∵a<1，∴2a画出数轴分析，如图所示．
由图知要使B?A，需2a≥1或a＋1≤－1，
即a≥或a≤－2.
又∵a<1，∴实数a的取值范围是(－∞，－2]∪.
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合 A∩(?UB)等于( )
A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
答案 A
解析 根据补集的定义可得?UB＝{2,5,8}，
所以A∩(?UB)＝{2,5}，故选A.
2．设集合I＝，A?I，若把满足M∪A＝I的集合M叫做集合A的配集，则A＝的配集有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点 并集的概念及运算
题点 有限集合的并集运算
答案 D
解析 M可以是，，，，共4个．
3．设全集U＝{1,3,5,7,9}，集合A＝{1，|a－5|,9}，?UA＝{5,7}，则a的值是( )
A．2 B．8
C．－2或8 D．2或8
答案 D
解析 ∵A∪?UA＝U，
∴|a－5|＝3，∴a＝2或8.
4．若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．16
答案 C
解析 A∩B＝{1,3}，故A∩B的子集有4个．
5．已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)·(x－3)＝0}，则集合A∪B是( )
A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}
答案 C
解析 ∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，
∴A∪B＝{1，－2,3}．
6．设全集U＝{x∈Z|－3≤x＜5}，集合A＝{x∈N|－1＜x＜3}，集合B＝{x∈R|0≤x≤3}，则集合(?UA)∩B等于( )
A．{0,3} B．{3}
C．{－2，－1,0,1,2,3} D．{0,1,3}
答案 B
解析 ∵U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}，A＝{0,1,2}，
∴?UA＝{－3，－2，－1,3,4}，(?UA)∩B＝{3}．
7．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?UA)∩B等于( )
A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1,0,1} D．{0,1}
答案 A
解析 ∵A＝{x|x＋1＞0}，
∴?UA＝{x|x＋1≤0}＝{x|x≤－1}，
又∵B＝{－2，－1,0,1}，∴(?UA)∩B＝{－2，－1}．
8．满足A∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A共有( )
A．2个 B．4个 C．8个 D．16个
答案 B
解析 ∵A∪{－1,1}＝{－1,0,1}，∴0∈A，
∴A＝{0}，{0，－1}，{0,1}，{0,1，－1}，共4个．
9．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(?RB)＝R，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≤1} B．{a|a＜1}
C．{a|a≥2} D．{a|a＞2}
答案 C
解析 如图所示，若能保证并集为R，则只需实数a在数2的右边，注意等号的选取．故选C.
10．已知集合A＝{x|1＜x≤4，x∈R}，B＝{x|a≤x＜b，x∈R，a＜b}，若A?B，则下列结论正确的是( )
A．a＝1，b＝4 B．a≤1，b＞4
C．a＜1，b≥4 D．a＞1，b≤4
答案 B
解析 画出数轴，如图所示，由A?B，可知a≤1，b＞4.
11．图中阴影部分表示的集合是( )
A．B∩[?U(A∪C)] B．(A∪B)∪(B∪C)
C．(A∪C)∩(?UB) D．[?U(A∩C)]∪B
答案 C
解析 阴影部分不包含B，所以是B的补集的一部分，另外，阴影部分是A∪C的一部分，所以阴影部分可表示为(A∪C)∩(?UB)．
12．设全集U＝{x∈Z|－2＜x＜4}，集合S与T都是U的子集，S∩T＝{2}，(?US)∩T＝{－1}，(?US)∩(?UT)＝{1,3}，则有( )
A．0∈S且0∈T B．0∈S但0?T
C．0?S但0∈T D．0?S且0?T
答案 B
解析 由已知，得U＝{－1,0,1,2,3}，
∵S∩T＝{2}，∴2∈S,2∈T.
∵(?US)∩T＝{－1}，∴－1∈T，－1?S.
∵(?US)∩(?UT)＝{1,3}，
∴1,3?S,1,3?T.
而(?US)∩(?UT)＝?U(S∪T)，
∴S∪T＝{－1,0,2}．
画出Venn 图，从而可以将－1,0,1,2,3填写到Venn 图中(如图)，0∈S但0?T，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．用列举法表示集合：M＝＝________________________________.
答案 {－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}
解析 由∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，
故|m＋1|＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2，0,1,4,9.
14．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，C＝{x|cx＋1＝0}，若A＝B，则a＋b＝________，若C?A，则常数c组成的集合为________________．
考点 集合相等的概念
题点 由集合相等求参数的值
答案 －1
解析 ∵A＝B，∴1,2为方程x2＋ax＋b＝0的根，
∴
即a＋b＝－1.
当c＝0时，集合C＝??A；
当c≠0时，集合C＝，
∴－＝1或－＝2.
解得c＝－1或c＝－.
∴常数c组成的集合为.
15．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪(?UB)＝A，则?UB＝________.
答案 {－}或{}或{3}
解析 因为B∪(?UB)＝A，所以A＝U.
当x2＝3时，x＝±，B＝{1,3}，
?UB＝{}或{－}．
当x2＝x时，x＝0或1.
当x＝0时，B＝{0,1}，?UB＝{3}；而当x＝1时不合题意，舍去．
综上，?UB＝{－}或{}或{3}．
16．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果(k－1)?A且(k＋1)?A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
答案 6
解析 ∵S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
∴不含“孤立元”的集合中三个元素必须是三个连续的整数，共有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x|2≤x＜5}，求下列集合：
(1)?UA及?UB；
(2)A∩(?UB)；
(3)(?UA)∪B.
解 (1)?UA＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}，
?UB＝{x|x＜2或x≥5}．
(2)A∩(?UB)＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}∩{x|x＜2或x≥5}＝{x|1≤x＜2或5≤x＜6}．
(3)(?UA)∪B＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}∪{x|2≤x＜5}＝{x|x＜1或2≤x＜5或x≥6}．
18．(12分)已知集合A＝{x|4≤x＜8}，B＝{x|5＜x＜10}，C＝{x|x＞a}．
(1)求A∪B及(?RA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
解 (1)A∪B＝{x|4≤x＜10}，
因为(?RA)＝{x|x＜4或x≥8}，
所以(?RA)∩B＝{x|8≤x＜10}．
(2)结合数轴，根据示意图．
要使得A∩C≠?，则a＜8.
19．(12分)集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}．
(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围．
解 (1)如图所示，A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∩B＝?，
∴数轴上的点x＝a在x＝－1左侧或a＝－1.
∴a≤－1.
(2)如图所示：
A＝{x|－1＜x＜1}，
B＝{x|x＜a}且A∪B＝{x|x＜1}，
∴数轴上的点x＝a在x＝－1和x＝1之间．
即a的取值范围为{a|－1＜a≤1}．
20．(12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}．
(1)当a＝3时，求A∩B；
(2)A??UB，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝3时，B＝{x|4≤x≤5}．
∴A∩B＝{x|4≤x≤5}．
(2)若B＝?，则a＋1＞2a－1，则a＜2，
此时?UB＝R，∴A??UB；
若B≠?，则a＋1≤2a－1，
即a≥2，
此时?UB＝{x|x＜a＋1或x＞2a－1}，
由于A??UB，
则或∴a＞4，
∴实数a的取值范围为{a|a＜2或a＞4}．
21．(12分)设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．
(1)求a的值及集合A，B；
(2)设全集U＝A∪B，求(?UA)∪(?UB)；
(3)写出(?UA)∪(?UB)的所有子集．
解 (1)由交集的概念易得2是方程2x2＋ax＋2＝0和x2＋3x＋2a＝0的公共解，则a＝－5，此时A＝，B＝{－5,2}．
(2)由并集的概念易得U＝A∪B＝.
由补集的概念易得?UA＝{－5}，?UB＝.
所以(?UA)∪(?UB)＝.
(3)(?UA)∪(?UB)的所有子集即为集合的所有子集：?，，{－5}，.
22．(12分)已知全集U＝R，A＝{x∈R|x2－3x＋b＝0}，B＝{x∈R|(x－2)(x2＋3x－4)＝0}．
(1)若b＝4时，存在集合M使得A?M?B，求出所有这样的集合M；
(2)集合A，B是否能满足(?UB)∩A＝?？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．
解 B＝{－4,1,2}，
(1)当b＝4时，A＝?，
所以M≠?且M?B，
所以符合题意的集合M有6个，分别是{－4}，{1}，{2}，{－4,1}，{－4,2}，{1,2}．
(2)由题意知，A?B，
①若A＝?，则Δ＝9－4b＜0，所以b＞；
②若A≠?，则方程x2－3x＋b＝0有实根，由根与系数的关系知，x1＋x2＝3.
又A?B，所以A＝{1,2}，
所以由根与系数的关系得b＝1×2＝2.
综上所述，b＝2或b＞.
章末复习
学习目标 1.深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．
1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．
2．元素与集合有且只有两种关系：∈，?.
3．集合表示方法有列举法，描述法，Venn图法，常用数集字母代号．
4．集合间的关系与集合的运算
符号
定义
Venn图
子集
A?B
x∈A?x∈B
真子集
A?B
A?B且存在x0∈B但x0?A
并集
A∪B
{x|x∈A或x∈B}
交集
A∩B
{x|x∈A且x∈B}
补集
?UA(A?U)
{x|x∈U且x?A}
5.常用结论
(1)??A.
(2)A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝A?A?B.
(3)A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝A?A?B.
(4)A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；
?U(?UA)＝A.
1．若A＝，则x<0.( √ )
2．任何集合至少有两个子集．( × )
3．若有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a＝0.( × )
4．设A，B为全集的子集，则A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.( √ )
类型一 集合的概念及表示法
例1 下列表示同一集合的是( )
A．M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}
B．M＝{2,1}，N＝{1,2}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N}
D．M＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}
答案 B
解析 A选项中M，N两集合的元素个数不同，故不可能相同；
B选项中M，N均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M＝N；
C选项中M，N均为数集，显然有N?M；
D选项中M为点集，即抛物线y＝x2－1上所有点的集合，而N为数集，即抛物线y＝x2－1的值域，故选B.
反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．
跟踪训练1 设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.
答案 {(4,4)}
解析 由得∴A∩B＝{(4,4)}．
类型二 集合间的基本关系
例2 若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可能取值组成的集合．
解 由题意得，P＝{－3,2}．
当a＝0时，S＝?，满足S?P；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－，
为满足S?P，可使－＝－3或－＝2，
即a＝或a＝－.
故所求集合为.
反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
(2)对于两集合A，B，当A?B时，不要忽略A＝?的情况．
跟踪训练2 下列说法中不正确的是________．(填序号)
①若集合A＝?，则??A；
②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；
③已知集合A＝{x|12.
答案 ③
解析 ?是任何集合的子集，故①正确；
∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，
∴A＝B，故②正确；
若A?B，则a≥2，故③错误．
类型三 集合的交、并、补运算
命题角度1 用符号语言表示的集合运算
例3 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2解 把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
∵?RA＝{x|x<3或x≥7}．
∴(?RA)∩B＝{x|2反思与感悟 求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．
跟踪训练3 已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3，6}，B＝{1,4,5}，则A∩(?UB)等于( )
A．{1} B．{3,6}
C．{4,5} D．{1,3,4,5,6}
答案 B
解析 ∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，
∴?UB＝{0,2,3,6}，
又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(?UB)＝{3,6}，故选B.
命题角度2 用图形语言表示的集合运算
例4 设全集U＝R，A＝{x|0答案 {x|1≤x<2}
解析 图中阴影部分表示的集合为A∩(?UB)，因为?UB＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(?UB)＝{x|1≤x＜2}．
反思与感悟 解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．
跟踪训练4 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？
解 设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出Venn图(如图)，
则没有参加过比赛的同学有：
45－(12＋20－6)＝19(名)．
答 这个班共有19名同学没有参加过比赛．
类型四 关于集合的新定义题
例5 设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．
①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；
②集合 A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；
③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；
④若A为封闭集，则一定有0∈A.
其中正确结论的序号是________．
答案 ②④
解析 ①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④.
反思与感悟 新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．
跟踪训练5 设数集M＝，N＝，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果b－a叫做集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 方法一 由已知可得
解得0≤m≤，≤n≤1.
取字母m的最小值0，字母n的最大值1，
可得M＝，N＝，
所以M∩N＝∩＝，
此时得集合M∩N的“长度”为－＝.
方法二 集合M的“长度”为，集合N的“长度”为.
由于M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，
而{x|0≤x≤1}的“长度”为1，
由此可得集合M∩N的“长度”的最小值是－1＝.
1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
答案 B
2．下列关系中正确的个数为( )
①∈R；②0∈N＋；③{－5}?Z.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①③正确．
3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B等于( )
A．{x|－1C．{x|0答案 A
解析 由A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，
得A∪B＝{x|－1＜x＜3}．故选A.
4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(?IM)∩(?IN)等于( )
A．? B．{d}
C．{b，e} D．{a，c}
答案 A
5．已知集合U＝R，集合A＝，B＝，则(?UA)∩B＝________.
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
答案 .
解析 由图知(?UA)∩B＝.
1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．
2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．
课时对点练
一、选择题
1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，则M∩N等于( )
A．{1,4} B．{－1，－4}
C．{0} D．?
答案 D
解析 因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M∩N＝?，故选D.
2．已知集合A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．A＝B B．A∩B＝?
C．A?B D．B?A
考点 集合的包含关系
题点 集合包含关系的判定
答案 D
解析 A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B?A.
3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(?UA)∩B＝{5}，则集合B等于( )
A．{1,3} B．{3,5}
C．{1,5} D．{1,3,5}
答案 D
解析 画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．
4．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．1或－1
答案 A
解析 由M∩N＝N得N?M.
当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；
当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；
当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．
5．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(?UA)∩B≠?，则a的取值范围为( )
A．a＞3 B．a≥3
C．a≥7 D．a＞7
答案 A
解析 因为A＝{x|x＜3或x≥7}，所以?UA＝{x|3≤x＜7}，又(?UA)∩B≠?，则a＞3.
6．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x?B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为( )
答案 A
解析 如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.
二、填空题
7．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∩(?UB)＝________.
答案 {1,4}
解析 ∵?UB＝{x|x<2或x>3}，
∴A∩(?UB)＝{1,4}．
8．设集合A＝{1，－1，}，B＝{1，a}，A∩B＝B，则a＝______.
答案 0
解析 ∵A∩B＝B，即B?A，∴a∈A.
要使有意义，a≥0.
∴a＝，∴a＝0或a＝1，
由元素互异，舍去a＝1.∴a＝0.
9．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________.
答案 {(3，－1)}
解析 M，N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中的元素也是点，解方程组
得
∴M∩N＝{(3，－1)}．
10．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，则a的取值范围是________．
答案
解析 ①若A＝?，则A∩B＝?，
此时2a>a＋3，即a>3.
②若A≠?，如图，由A∩B＝?，可得
解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是.
三、解答题
11．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.
解 结合图形可得
M＝.
12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
(2)当A＝{x∈Z|－2≤x≤5|}时，求A的非空真子集的个数；
(3)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
考点 集合各类问题的综合
题点 集合各类问题的综合
解 (1)因为A∪B＝A，所以B?A，
当B＝?时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；
当B≠?时，根据题意，可得
解得2≤m≤3.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．
(2)当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(3)当B＝?时，由(1)知m<2；
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或解得m>4.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}．
13．设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B?A，求实数a的取值范围．
解 因为A＝{0，－4}，所以B?A分以下三种情况：
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，
则解得a＝1；
②当B≠?且B?A时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝?时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.
四、探究与拓展
14．已知全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，?UA＝{7}，则a＝________.
答案 －2
解析 由题意，得a2－a＋1＝7，即a2－a－6＝0，
解得a＝－2或a＝3.
当a＝3时，A＝{7,4}，不合题意，舍去，故a＝－2.
15．对于集合A，B，我们把集合记作A×B.例如，A＝，B＝，则有：A×B＝，B×A＝，A×A＝，B×B＝.
据此，试回答下列问题：
(1)已知C＝，D＝，求C×D；
(2)已知A×B＝，求集合A，B；
(3)若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确定A×B中有多少个元素．
考点 集合各类问题的综合
题点 集合各类问题的综合
解析 (1)C×D＝.
(2)因为A×B＝，
所以A＝，B＝.
(3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．
若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中应有m×n个元素．于是，若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则A×B中有12个元素．
