§2.1 函 数
2.1.1 函 数
学习目标 1.理解函数的概念.2.理解函数相等的概念，了解构成函数的三要素.3.能正确使用函数、区间符号．
知识点一 函数的概念
1．函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域与值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．
知识点二 函数相等
一般地，函数有三个要素：定义域，对应法则与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等．
特别提醒：两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同．
知识点三 区间
1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a
开区间
(a，b)
{x|a≤x半闭半开区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
2.无穷大区间的表示：
定义
符号
数轴表示
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x(－∞，a)
R
(－∞，＋∞)
取遍数轴上所有的值
3.注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．
②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．
1．集合A＝可以作为某个函数的定义域．( × )
2．若1∈A，则对于f：A→B，f(1)可能不存在．( × )
3．对于函数f：A→B，当x1，x2∈A且x1>x2时，可能有f(x1)＝f(x2)．( √ )
4．区间不可能是空集．( √ )
类型一 函数关系的判断
例1 (1)给出下列四个图形：
其中，能表示函数关系的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 ①②③能表示函数关系，④不能表示函数关系，因为当x＝1时，有两个y值与之对应．
(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？
①f：把x对应到3x＋1； ②g：把x对应到|x|＋1；
③h：把x对应到； ④r：把x对应到.
解 ①②是实数集R上的一个函数，因为给定一个x值都有唯一确定的值与之对应．③④不是，对于③，当x＝0时，没有值与之对应，对于④，当x＜0时，没有值与之对应．
反思与感悟 检验给定两个变量之间是否具有函数关系的方法
(1)定义域和对应法则是否给出.
(2)根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.
跟踪训练1 (1)下列四个图象中，表示函数图象的序号是________．
答案 ①③④
解析 ①③④表示函数的图象．
(2)下列给出的对应关系是不是函数关系？若是函数关系，其定义域是什么？
①f：把x对应到；②g：把x对应到；③h：把x对应到常数1.
解 ①是函数关系，定义域为{x|x≥－1}．
②是函数关系，定义域为R.
③是函数关系，定义域为R.
类型二 已知函数的解析式，求其定义域
例2 求下列函数的定义域．
(1)y＝3－x；
(2)y＝2－；
(3)y＝－＋.
解 (1)函数y＝3－x的定义域为R.
(2)由得0≤x≤，
所以函数y＝2－的定义域为.
(3)要使函数有意义，需
解得－≤x＜2，且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为.
反思与感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合.
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义.
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练2 函数f(x)＝的定义域为________．
答案 {x|x≥0且x≠1}
解析 要使有意义，需满足解得x≥0且x≠1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}．
类型三 求函数的值域
例3 求下列函数的值域．
(1)y＝x＋1；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(3)y＝；(4)y＝2x－.
解 (1)∵y＝x＋1的定义域为R，
∴y＝x＋1的值域为R.
(2)∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
又x∈[0,3)，
∴2≤y＜6，
∴y＝x2－2x＋3的值域为[2,6)．
(3)∵y＝＝＝3－，
又∵≠0，
∴y≠3，
∴y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
(4)y＝2x－的定义域为[1，＋∞)．
令＝t，则x＝t2＋1且t≥0，
∴y＝2t2－t＋2＝22＋≥，
∴y＝2x－的值域为.
反思与感悟 求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
跟踪训练3 求下列函数的值域．
(1)y＝＋1；(2)y＝.
解 (1)因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)因为y＝＝－1＋，
又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，
所以0＜≤2，则y∈(－1,1]．
所以所求函数的值域为(－1,1]．
类型四 对于f(x)，f(a)的理解
例4 (1)已知函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝________.
答案 14
解析 f(a)＝＝4，
∴a＋2＝16，a＝14.
(2)已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
①求f(2)，g(2)的值；
②求f(g(2))的值；
③求f(a＋1)，g(a－1)．
解 ①因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
②f(g(2))＝f(6)＝＝.
③f(a＋1)＝＝(a≠－2)．
g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3(a∈R)．
反思与感悟 f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，只需把相应的x都换成对应的数或式子即可．
跟踪训练4 已知f(x)＝(x≠－1)．
(1)求f(0)及f的值；
(2)求f(1－x)及f(f(x))．
解 (1)f(0)＝＝1.
∵f＝＝，
∴f＝f＝＝.
(2)f(1－x)＝＝(x≠2)．
f(f(x))＝f＝＝x(x≠－1).
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 B
2．区间(0,1)等于( )
A．{0,1} B．{(0,1)}
C．{x|0答案 C
3．函数y＝的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
答案 C
解析 ∵x＋1＞0，
∴x＞－1.
4．设f(x)＝，则等于( )
A．1 B．－1
C. D．－
答案 B
解析 ∵f(2)＝＝，f＝＝－，
∴＝－1.
5．下列各组函数是同一函数的是( )
①f(x)＝与g(x)＝x；②f(x)＝x与g(x)＝；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③
C．③ D．②③
答案 C
解析 ①f(x)＝－x，g(x)＝x，对应法则不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)＝x，g(x)＝＝|x|，对应法则不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应法则和定义域均相同，故是同一函数．
1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应法则．由于函数的定义域和对应法则一旦确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等，只需两个函数的定义域和对应法则分别相同即可．
2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合．
3．在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应法则，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自变量．关于对应法则f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值．
课时对点练
一、选择题
1．下列各式中是函数的个数为( )
①y＝1；②y＝x2；③y＝1－x；④y＝＋.
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 B
解析 根据函数的定义可知，①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则∴∴x无解，∴④不是函数．
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
答案 D
解析 A中的函数定义域不同；B中y＝x0的定义域为{x|x≠0}；C中两函数的对应法则不同，故选D.
3．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)的值是( )
A．π2 B．π C. D．不确定
答案 B
解析 由函数解析式可知该函数为常数函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f(π2)＝π.
4．已知函数f(x)的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数f(x)的图象与直线x＝3的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．0或1
答案 B
解析 ∵3∈[－3,4]，由函数定义，f(3)唯一确定，故只有一个交点(3，f(3))．
5．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f(x)的图象的只可能是( )
答案 D
解析 A，B中值域为[0,2]，不合题意；C不是函数．
6．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
答案 D
解析 组装第A件产品用时15分钟，即f(A)＝15.
∵A≥A，∴f(A)＝＝15，①
∴必有4联立①②解得c＝60，A＝16.
二、填空题
7．函数y＝＋的定义域为________．
答案 [2，＋∞)
解析 要使函数式有意义，需所以x≥2.
8．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
答案 {－1,1,3,5,7}
解析 定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值即可．
9．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是________．
答案 1
解析 f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，
f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，
∴a＝1或a＝0(舍去)．
10．已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________.
答案 3
解析 f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
三、解答题
11．已知函数f(x)＝x2＋x－1.
(1)求f(2)，f(a)；
(2)若f(a)＝11，求a的值．
解 (1)f(2)＝22＋2－1＝5，f(a)＝a2＋a－1.
(2)∵f(a)＝a2＋a－1，
∴若f(a)＝11，则a2＋a－1＝11，
即(a＋4)(a－3)＝0.
∴a＝－4或a＝3.
12．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
解 (1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
13．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，求A∩B.
解 集合A＝{x|y＝}表示函数y＝的定义域，∴A＝[－1，＋∞)，集合B＝{y|y＝x2＋1}表示函数y＝x2＋1的值域，∴B＝[1，＋∞)，
∴A∩B＝[1，＋∞)．
四、探究与拓展
14．已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)等于( )
A．p＋q B．3p＋2q
C．2p＋3q D．p3＋q2
答案 B
解析 f(72)＝f(36×2)＝f(36)＋f(2)＝f(6×6)＋f(2)＝2f(6)＋f(2)＝2f(2×3)＋f(2)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 017)＋f＋f(2 018)＋f的值．
(1)解 因为f(x)＝，
所以f(2)＋f＝＋＝1.
(2)证明 f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1，是定值．
(3)解 由(2)知，f(x)＋f＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…
f(2 018)＋f＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 017)＋f＋f(2 018)＋f＝2 018.
2.1.2 函数的表示方法
第1课时 函数的表示方法
学习目标 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．
知识点一 列表法
思考 在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？
答案 对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．
梳理 列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．
知识点二 图象法
图象法：用“图形”表示函数的方法叫做图象法．
知识点三 解析法
思考 一次函数如何表示？
答案 y＝kx＋b(k≠0)．
梳理 解析法：用代数式(或解析式)来表示函数的方法叫解析法．
函数三种表示方法的优缺点：
1．y＝x＋1与y＝x＋1，x∈N是同一个函数．( × )
2．在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．( × )
3．函数y＝f(x)的图象上任一点(x0，y0)必满足y0＝f(x0)．( √ )
4．列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．( √ )
类型一 解析式的求法
例1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得
∴或
∴所求函数解析式为
f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.
(2)f＝x2＋；
解 ∵f＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2.
又x≠0，∴x＋≥2或x＋≤－2，
∴f(x)中的x与f中的x＋取值范围相同，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
解 ∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．
(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式．
(3)如果条件是一个关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)，f(－x)的方程，然后消元消去f(－x)．
跟踪训练1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
解 设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
(3)2f＋f(x)＝x(x≠0)．
解 ∵f(x)＋2f＝x，将原式中的x与互换，
得f＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
类型二 图象的画法及应用
命题角度1 画函数图象
例2 试画出函数y＝的图象．
解 由1－x2≥0解得函数定义域为[－1,1]．
当x＝±1时，y有最小值0.当x＝0时，y有最大值1.
x＝±时，y＝.
利用以上五点描点连线，即得函数y＝的图象如下：
反思与感悟 描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
跟踪训练2 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
解 (1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，
观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图象可得函数的值域是[－1,8]．
命题角度2 函数图象的应用
例3 已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
反思与感悟 函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解．
跟踪训练3 函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有2个交点，求实数m的取值范围．
解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)图象如图，
f(x)与直线y＝m的图象有2个不同交点，
由图易知－1类型三 列表法及函数表示方法的选择
例4 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
测试序号
姓名
成绩
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．
解 (1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜．
在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：
(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．
跟踪训练4 若函数f(x)如下表所示：
x
0
1
2
3
f(x)
3
2
1
0
则f(f(1))＝________.
答案 1
解析 ∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A.1 B．2
C．3 D．4
答案 A
2．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1
D．f(x)＝(x－1)2－1
答案 D
3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
答案 A
4．某同学从家到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离家的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )
答案 C
5．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值，最小值．
解 y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，ymin＝－5.
1．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
2．如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最后列表描出图象．画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．
3．如何用函数图象
常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．
课时对点练
一、选择题
1．一次函数f(x)的图象过点A(－1,0)和B(2,3)，则下列各点在函数f(x)的图象上的是( )
A．(2,1) B．(－1,1)
C．(1,2) D．(3,2)
答案 C
解析 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
又图象过点A(－1,0)，B(2,3)，
则有
解得故y＝x＋1.
结合选项中各点的坐标，C中的点(1,2)满足y＝x＋1.
2．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
答案 C
解析 由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．
3．如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
答案 B
解析 令＝t，则x＝，代入f＝，
则有f(t)＝＝，故选B.
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝(x－a)2(b－x)
B．f(x)＝(x－a)2(x＋b)
C．f(x)＝－(x－a)2(x＋b)
D．f(x)＝(x－a)2(x－b)
答案 A
解析 由图象知，当x＝b时，f(x)＝0，故排除B，C；又当x>b时，f(x)<0，故排除D.故选A.
5．函数y＝的大致图象是( )
答案 A
解析 y＝定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，
当x＝0时，y＝0，排除B.
6．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
答案 B
解析 设t＝3x＋2，则x＝，
所以f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
二、填空题
7．若g(x)＝1－2x，f(g(x))＝，则f的值为______．
答案 15
解析 令1－2x＝，则x＝，
∴f＝＝15.
8．若正比例函数y＝(m－1)xm2－3的图象经过第二、四象限，则m＝________.
答案 －2
解析 因为y＝(m－1)xm2－3是正比例函数，
所以有m2－3＝1，m＝±2.
又图象经过第二、四象限，所以m＝－2.
9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.
x
1
2
3
4
f(x)
1
3
1
3
g(x)
3
2
3
2
答案 2或4
解析 x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3.
x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3.
x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3.
x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3.
满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4.
10．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(f(2)))＝________.
答案 2
解析 由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.
因此，f(f(f(2)))＝f(f(0))＝f(4)＝2.
三、解答题
11．求满足f＝－1的函数f(x)．
解 令t＝1＋(x≠0)，则x＝(t≠1)，
所以f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≠1)，
所以f(x)＝x2－2x(x≠1)．
12．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f的解析式及其定义域．
解 (1)由解得
∴f(x)＝x2－6x＋5.
(2)f＝2－＋5
＝－＋5.
由x＋1>0，得定义域为(－1，＋∞)．
13．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
四、探究与拓展
14．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )
答案 B
解析 根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有选项B，C符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，故选B.
15．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
第2课时 分段函数
学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质．
知识点 分段函数
思考 设集合A＝R，B＝[0，＋∞)．对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对算不算函数？
答案 算函数．因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应．
梳理 1.分段函数的定义
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
1．分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.( × )
2．分段函数各段上的函数值集合的交集为?.( × )
3．分段函数的图象一定是不连续的．( × )
类型一 建立分段函数模型
例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
解 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图象如图所示：
反思与感悟 当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式为y＝
函数图象如图所示：
类型二 分段函数的求值问题
命题角度1 给x求y
例2 已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f的值．
解 ∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.
∵－∈(－2,2)，
∴f(－)＝(－)2＋2(－)
＝3－2，
∵－∈(－∞，－2]，
∴f＝－＋1＝－∈(－2,2)，
∴f＝f＝2＋2＝－.
引申探究
本例中f(x)解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围．
解 当－5≤x≤－2时，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；当－2[－1,8)；
当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；
∴当x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．
反思与感悟 分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间；
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图象．
解 (1)因为5>4，
所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，
所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1≤4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图象如下：
命题角度2 给y求x
例3 已知函数f(x)＝
(1)若f(x0)＝8，求x0的值；
(2)解不等式f(x)>8.
解 (1)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；
当x0>2时，由x＋2＝8，得x0＝或x0＝－(舍去)，故x0＝.
(2)f(x)>8等价于①
或②
解①得x∈?，解②得x>，综合①②，f(x)>8的解集为{x|x>}．
反思与感悟 已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论；
(2)然后代入到不同的解析式中；
(3)通过解方程求出字母的解；
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；
(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．
跟踪训练3 已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由于f＝，结合此函数图象可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪.
(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1]．
1．已知函数f(x)＝则f(－1)的值等于( )
A．1 B．2 C．－π D．0
答案 B
解析 f(－1)＝(－1)2＋1＝2.
2．已知函数f(x)＝则f(2)等于( )
A．0 B.
C．1 D．2
答案 C
解析 f(2)＝＝1.
3．设f(x)＝则f(f(0))等于( )
A．1 B．0 C．2 D．－1
答案 C
4．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是( )
A．－2或2 B．2或－
C．－2 D．2或－2或－
答案 C
5．设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．π
答案 B
对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．
一、选择题
1．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α等于( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
答案 B
解析 当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.
2．设函数f(x)＝则f(f(3))等于( )
A. B．3
C. D.
答案 D
解析 ∵f(3)＝，∴f(f(3))＝2＋1＝.
3．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．[0,3] D．{x|0≤x≤2或x＝3}
答案 D
解析 值域为[0,2]∪{3,2}＝{x|0≤x≤2或x＝3}．
4．已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是( )
A．?
B．[－1,1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．{2}∪[－1,1]
答案 D
解析 若x∈[－1,1]，则f(x)＝2，f(f(x))＝f(2)＝2，符合题意；若x>1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，此时只有x＝2符合题意；若x<－1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，但因为x<－1，此时没有x符合题意．综上，选D.
5．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D[D(x)]等于( )
A．0
B．1
C.
D.
答案 B
解析 ∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，
∴D[D(x)]＝1.
6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
答案 A
解析 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
二、填空题
7．函数f(x)＝的定义域是________．
答案 [0，＋∞)
解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．
8．分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝|x|，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)，仿照上述式子，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝________.
考点
题点
答案 (x＋6＋|x－6|)
解析 因为f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)，其分界点为3，从而式子中含有x＋3与x－3，并通过|x－3|前面的“－”构造出需要的结果的形式．所以，对于分段函数f(x)＝其分界点为6，故式子中应含有x＋6与x－6.又x<6时f(x)＝6，故|x－6|的前面应取“＋”．因此f(x)＝(x＋6＋|x－6|)．
9．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
答案 {x|x≤1}
解析 当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，∴x<0.综上可知x≤1.
10．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．
答案 (－∞，1]
解析 由题意知f(x)＝
画出图象为
由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．
三、解答题
11．设函数f(x)＝若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求关于x的方程f(x)＝x的解．
解 ∵当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，
∴f(－2)＝(－2)2－2b＋c，f(0)＝c，
f(－1)＝(－1)2－b＋c.
∵f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
∴
解得
则f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x得，x2＋2x－2＝x，
得x＝－2或x＝1.
由于x＝1>0，所以舍去．
当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2，
所以方程f(x)＝x的解为－2,2.
12．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
解 当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8y＝×4×(12－x)＝24－2x.
综上可知，f(x)＝
13．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．
解 若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，
f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；
若－10，
f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；
若x>3，则x－3>0，x＋1>0，
f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
∴f(x)＝
(1)当－1∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．
(2)f(x)>0，即①
或②
或③
解①得x≤－1，解②得－1∴f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪?＝(－∞，1)．
(3)f(x)的图象如下：
由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无交点．
四、探究与拓展
14．已知函数f(n)＝则f(5)的值是( )
A．4 B．48 C．240 D．1 440
答案 C
解析 因为f(n)＝
所以f(5)＝5f(4)＝5×4f(3)＝5×4×3f(2)＝5×4×3×2f(1)＝5×4×3×2×1×f(0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C.
15．已知函数f(x)＝
(1)求f，f，f(4.5)，f；
(2)若f(a)＝6，求a的值．
解 (1)∵－∈(－∞，－1)，
∴f＝－2×＝3.
∵∈[－1,1]，∴f＝2.
又2∈(1，＋∞)，∴f＝f(2)＝2×2＝4.
∵4.5∈(1，＋∞)，∴f(4.5)＝2×4.5＝9.
(2)经观察可知a?[－1,1]，否则f(a)＝2.
若a∈(－∞，－1)，令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；
若a∈(1，＋∞)，令2a＝6，得a＝3，符合题意．
∴a的值为－3或3.
2.1.3 函数的单调性
学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．
知识点一 函数的单调性
思考 画出函数f(x)＝x，f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x，f(x)＝x2的图象的升降情况．
答案 两函数的图象如下：
函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．
梳理 1.设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如图(1)；当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图(2)．
2．如果函数y＝f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数，就说y＝f(x)在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．
特别提醒：函数单调性定义的理解
(1)任意性，即“任意取x1，x2”，不能取两个特殊值．
(2)x1，x2有大小，通常规定Δx＝x2－x1＞0.
(3)x1，x2同属于定义域的某个子区间．
知识点二 函数的单调区间
思考 我们已经知道f(x)＝x2的减区间为(－∞，0]，f(x)＝的一个减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？
答案 f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝的定义域．
梳理 一般地，有下列常识：
(1)函数单调性是对于定义域内的某个区间而言的，即单调区间是定义域内的某个子区间．
(2)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域，则只能开．
(3)单调区间D?定义域I.
(4)遵循最简原则，单调区间应是函数为增函数或减函数的最大区间，且多个单调区间之间用逗号隔开，不能用“∪”．
1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．( × )
2．单调区间[a，b]可以写成{x|a≤x≤b}．( × )
3．用定义证明函数单调性时，可设x1x2.( √ )
4．证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可．( × )
类型一 求单调区间并判断单调性
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数．
反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
跟踪训练1 写出函数y＝f(x)＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性．
解 先画出f(x)＝的图象，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
类型二 证明单调性
命题角度1 证明具体函数的单调性
例2 证明f(x)＝在其定义域上是增函数．
证明 f(x)＝的定义域为[0，＋∞)．
设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1Δy＝f(x1)－f(x2)＝－
＝＝ .
∵0≤x10，
∴Δy＝f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x)＝在它的定义域[0，＋∞)上是增函数．
反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1跟踪训练2 求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数．
证明 设x1，x2是[1，＋∞)上的任意实数，且x1Δy＝f(x1)－f(x2)＝x1＋－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＝(x1－x2).
∵1≤x1∴>0，故(x1－x2)<0，
即Δy＝f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数．
命题角度2 证明抽象函数的单调性
例3 已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．
证明 方法一 设x1，x2是实数集R上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.
Δy＝f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在R上是增函数．
方法二 设x1>x2，则x1－x2>0，
从而f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0.
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，故f(x)在R上是增函数．
反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．
跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0证明 ∵对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，可得f(1)＝f(1)·f(0)，
∵当x＞0时，0＜f(x)＜1，∴f(1)≠0，∴f(0)＝1.
令m＝x＜0，n＝－x＞0，则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，
又∵－x＞0时，0＜f(－x)＜1，∴f(x)＝＞1.
∴对任意实数x，f(x)恒大于0.
设任意x10，
∴0∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)在R上是减函数．
类型三 单调性的应用
命题角度1 利用单调性求参数范围
例4 若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.∪
答案 A
解析 要使f(x)在R上是减函数，需满足：
解得≤a＜.
反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要保证在接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为________________．
答案 a≤1或a≥2
解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，而f(x)在区间[1,2]上单调，所以[1,2]?[a，＋∞)或[1,2]?(－∞，a]，即a≤1或a≥2.
命题角度2 用单调性解不等式
例5 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)解 f(1－a)解得0即所求a的取值范围是0反思与感悟 若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．
跟踪训练5 在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)解 ∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)，
∴所求a的取值范围是.
1．已知函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )
A．[－2,0] B．[0,1]
C．[－2,1] D．[－1,1]
答案 C
2．函数y＝的减区间是( )
A．[0，＋∞)
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 C
3．在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
答案 B
4．已知函数y＝f(x)满足：f(－2)>f(－1)，f(－1)A．函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增
B．函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减
C．函数y＝f(x)在区间[－2,0]上的最小值是f(－1)
D．以上的三个结论都不正确
答案 D
5．若函数f(x)在R上是减函数，且f(|x|)>f(1)，则x的取值范围是( )
A．x<1 B．x>－1
C．－11
答案 C
1．若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减．
2．对增函数的判断，当Δx＝x2－x1＞0时，都有Δy＝f(x2)－f(x1)＞0，也可以用一个不等式来替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0.对减函数的判断，当Δx＝x2－x1＞0时，都有Δy＝f(x2)－f(x1)＜0，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0.
3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．
4．若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③单调递减(f(x)≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较.
一、选择题
1．函数y＝的单调减区间是( )
A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1} D．R
答案 A
解析 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A.
2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是( )
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1D.>0
答案 C
解析 因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x13．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么－1A．(－3,0)
B．(0,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案 B
解析 由已知得f(0)＝－1，f(3)＝1，
∴－1∵f(x)在R上单调递增，
∴0∴－14．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是( )
A．y＝－f(x)在R上是减函数
B．y＝在R上是减函数
C．y＝[f(x)]2在R上是增函数
D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数
答案 A
解析 设x1所以－f(x1)>－f(x2)，A选项一定成立．
其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B，C不成立，当a<0时，D不成立．
5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)答案 C
解析 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
6．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
答案 A
解析 画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上递增，
故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，
∴≥0，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的函数值应满足1≥3a，解得a≤，
∴0≤a≤.
8．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)答案
解析 由题意，得解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
9．函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[－2,0]，则f(x)的单调减区间是________．
答案 [－1,1]
解析 f(x＋1)＝x2－2x＋1＝(x－1)2＝(x＋1－2)2，
∴f(x)＝(x－2)2，x∈[－1,1]，
∴f(x)在定义域[－1,1]上单调递减．
10．已知一次函数y＝(k＋1)x＋k在R上是增函数，且其图象与x轴的正半轴相交，则k的取值范围是________．
答案 (－1,0)
解析 依题意得解得－1三、解答题
11．求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间．
解 ∵y＝－x2＋2|x|＋3＝
函数图象如图所示：
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]．
12．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
(1)证明 任设x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)(2)解 任设1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述013．设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且x>1时，f(x)>0.
(1)求f的值；
(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；
(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.
解 (1)对于任意x，y∈(0，＋∞)都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
当x＝2，y＝时，有f＝f(2)＋f，
即f(2)＋f＝0，
又f(2)＝1，∴f＝－1.
(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，证明如下：
设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)＋f＝f(x2)，
即f(x2)－f(x1)＝f.
因为>1，故f>0，
即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．
(3)由(1)知，f＝－1，
∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f
＝f＝f(4x－3)，
∴f(2x)>f(4x－3)，
∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
∴解得故所得解集为.
四、探究与拓展
14．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是____________．
答案 (0,1]
解析 由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得a≤1，由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0.
∴015．已知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性并给出证明过程．
解 F(x)在(0，＋∞)上为减函数．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∴F(x2)－F(x1)＝－＝.
∵y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且x1∴f(x1)而f(x1)<0，f(x2)<0，∴f(x1)f(x2)>0.
∴F(x2)－F(x1)<0，即F(x1)>F(x2)．
∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．
2.1.4 函数的奇偶性
学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
知识点一 函数奇偶性的定义
奇、偶函数的概念
偶函数
奇函数
定义
条件
对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有－x∈D
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
结论
函数f(x)叫做偶函数
函数f(x)叫做奇函数
知识点二 奇(偶)函数的定义域特征
在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于原点对称，因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．
知识点三 函数奇偶性的几何特征
思考 下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？
答案 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称．
梳理 奇、偶函数的图象特征
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图象．( × )
2．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．( √ )
3．有些函数既非奇函数，又非偶函数．( √ )
4．奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．( × )
类型一 判断函数的奇偶性
命题角度1 已知函数解析式，证明奇偶性
例1 (1)证明f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数；
(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；
(3)证明f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
证明 (1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，因为函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因为f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．
(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝＋为偶函数．又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝＋为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．
反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．其次，依据定义域，对函数f(x)的解析式能化简的先化简，再判断f(－x)与f(x)解析式的关系，从而确定出函数f(x)的奇偶性．
跟踪训练1 (1)证明f(x)＝(x－2) 既不是奇函数也不是偶函数；
(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数．
证明 (1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数．
命题角度2 证明分段函数的奇偶性
例2 判断函数f(x)＝的奇偶性．
解 由题意可知f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)，
关于原点对称，
当x∈(－6，－1]时，－x∈[1,6)，
所以f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)；
当x∈[1,6)时，－x∈(－6，－1]，
所以f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x)．
综上可知对于任意的x∈(－6，－1]∪[1,6)，
都有f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝是偶函数．
反思与感悟 分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意x，是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))，只不过对于不同的x，f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))．
跟踪训练2 证明f(x)＝是奇函数．
证明 定义域为{x|x≠0}．
若x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
若x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
命题角度3 证明抽象函数的奇偶性
例3 f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性．
解 ∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数．
f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数．
f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数．
反思与感悟 利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x看结果．
跟踪训练3 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C
解析 A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．
B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．
C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．
D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，D错．
类型二 奇偶性的应用
命题角度1 奇?偶?函数图象的对称性的应用
例4 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
引申探究
把例4中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
解 (1)f(x)的图象如图所示：
(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．
跟踪训练4 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
命题角度2 利用函数的奇偶性求解析式
例5 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴f(x)＝－x－1.
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
反思与感悟 求某个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
跟踪训练5 已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式．
解 设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.
因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.
所以f(x)＝
1．下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
D．f(x)＝2x＋2－x
答案 D
解析 D中，∵f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
2．函数f(x)＝x(－1A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案 C
3．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于( )
A．－1 B．1
C．－5 D．5
答案 D
解析 ∵函数y＝f(x)＋x是偶函数，∴x＝±2时函数值相等．
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，
∴f(－2)＝5，故选D.
4．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
5．已知函数f(x)为偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x＋1，则x＞0时，f(x)＝________.
答案 －x＋1
解析 设x＞0，则－x＜0，
∵f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝－x＋1.
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数?它的图象关于原点对称；函数为偶函数?它的图象关于y轴对称．
3．证明一个函数是奇(偶)函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(x))．而证明一个函数不是奇(偶)函数，只要能举出一个反例就可以了.
一、选择题
1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于( )
A．－1 B．1 C．0 D．2
答案 A
解析 因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，
根据奇函数的定义域关于原点对称，
所以a与b有一个等于1，一个等于－2，
所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，
故选A.
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案 A
解析 ∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
3．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
答案 A
解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B.
C. D．－
答案 B
解析 依题意得b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴a＝，则a＋b＝.
5．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
答案 A
解析 f(x)的定义域为R，
对于任意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
又f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(－1)≠f(1)，
∴f(x)不是偶函数．
6．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(3)＝0，则不等式>0的解集为( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
答案 A
解析 ∵f(x)为奇函数，f(3)＝0，
∴f(－3)＝0.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数，
又∵＝f(x)>0，
①当x>0时，则f(x)>f(3)＝0，∴x>3；
②当x<0时，则f(x)>f(－3)＝0，∴－3综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．
二、填空题
7．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
答案 0
解析 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
8．若函数f(x)＝＋为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为________．
答案 a>1
解析 ∵函数f(x)＝＋为偶函数且非奇函数，
∴f(－x)＝f(x)且f(－x)≠－f(x)．
又∵∴a≥1.
当a＝1时，函数f(x)＝＋为偶函数且为奇函数，不符合题意．
故a>1.
9．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
答案
解析 根据题意，得f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
10．函数f(x)＝为________．(填“奇函数”或“偶函数”)
答案 奇函数
解析 定义域关于原点对称，且
f(－x)＝
＝
＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
三、解答题
11．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
12．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f(2a2＋a＋1)解 由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，
可知f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
∵2a2＋a＋1＝22＋>0，
2a2－2a＋3＝22＋>0，
且f(2a2＋a＋1)∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，
即3a－2>0，解得a>.
∴实数a的取值范围是a＞.
四、探究与拓展
13．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
答案 [－6，－3)∪(0,3)
解析 由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．
14．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝，求函数f(x)的解析式．
解 ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，∴b＝0.
又∵f＝＝，
∴a＝1，∴f(x)＝.
§2.2 一次函数和二次函数
2.2.1 一次函数的性质与图象
[学习目标] 1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质.2.会用一次函数的图象和性质分析问题、解决问题．
知识点一 一次函数的概念
思考1 那么一次函数是如何定义的？定义域和值域又是什么？
答案 函数y＝kx＋b (k≠0)叫做一次函数，它的定义域为R，值域为R.
思考2 一次函数的图象是什么？表达式中的k，b的几何意义又是什么？
答案 一次函数y＝kx＋b (k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距．一次函数又叫做线性函数．
知识点二 一次函数的性质
思考 一次函数图象的斜率、截距对图象有什么影响？
答案 斜率影响直线的倾斜程度、截距影响直线的位置．
梳理 一次函数的性质
变化率公式
设(x1，y1)，(x2，y2)是直线l上的两点k＝＝
斜率
k＞0
k＜0
截距
b＝0
b≠0
b＝0
b≠0
图象
定义域
R
值域
R
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
非奇非偶函数
特别提醒：注意k≠0这一条件，当k＝0时，函数为y＝b，它不再是一次函数，其函数图象是平行x轴或与x轴重合的一条直线．
1．函数y＝kx＋b叫做一次函数．( × )
2．一次函数y＝mx－m过定点(1,0)．( √ )
类型一 一次函数的概念
例1 已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，m为何值时，
(1)这个函数为正比例函数；
(2)这个函数为一次函数；
(3)函数值y随x的增大而减小；
(4)这个函数图象与直线y＝x＋1的交点在x轴上．
解 (1)由题意，得
∴∴m＝.
(2)函数为一次函数，则2m－1≠0，
即m≠且m∈R.
(3)据题意，得2m－1＜0，∴m＜.
(4)由方程组
得(2m－2)y＝5m－2，(*)
∵2m－2≠0(否则*式不成立)，
∴y＝，令＝0，得m＝.
反思与感悟 解此种类型的题目，首先要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质，从概念和性质入手，问题便可迎刃而解．
跟踪训练1 设函数y＝(m－3)xm2－6m＋9＋m－2：
(1)m为何值时，它是一次函数？
(2)在(1)的条件下判断函数的增减性．
解 (1)由一次函数的表达式知，
解得m＝2或m＝4.
(2)当m＝2时，m－3＝2－3＝－1<0，
所以对应的函数是减函数；
当m＝4时，m－3＝1>0，所以对应的函数是增函数．
类型二 求一次函数的解析式及参数范围
例2 (1)若直线y＝3x－1与y＝x－k的交点在第四象限，则k的取值范围是( )
A．k＜ B.＜k＜1
C．k＞1 D．k＞1或k＜
(2)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)在x＝1时，y＝5，且它的图象与x轴交点的横坐标是6，则这个一次函数的解析式为________．
答案 (1)B (2)y＝－x＋6
解析 (1)由得
∴交点坐标为.
又∵交点在第四象限，
∴即∴＜k＜1.
(2)依题意得∴k＝－1，b＝6.
反思与感悟 求一次函数的解析式的一般步骤
(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b，其中k≠0.
(2)根据题目中所给的条件(或隐含条件)列出实数k与b满足的方程组．
(3)求出k与b的值，代入y＝kx＋b即可．
跟踪训练2 已知一次函数的图象经过y＝x＋1与y＝2x－3的交点A，并且与x轴交于点B(－1,0)，求这个一次函数的解析式，并画出其图象．
解 由解得即A(4,5)．
设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
因为函数图象过A(4,5)与B(－1,0)，
则有
解得
所以一次函数解析式为y＝x＋1，其图象如图．
类型三 一次函数中的恒成立问题
例3 已知当x∈[0,1]时，不等式2m－1＜x(m－1)恒成立，求m的取值范围．
解 ∵当x∈[0,1]时，不等式2m－1＜x(m－1)恒成立，
∴x(m－1)－(2m－1)＞0恒成立．
令f(x)＝x(m－1)－(2m－1)，
则当x∈[0,1]时，f(x)的图象恒在x轴上方，
∴即
∴m＜0，
即m的取值范围为(－∞，0)．
引申探究
若条件改为：存在x∈[0,1]，使不等式2m－1＞x(m－1)成立，求m的取值范围．
解 若在[0,1]上存在x使2m－1＞x(m－1)成立，则等价于f(x)＝(m－1)x－2m＋1在[0,1]上存在x使函数值为负值，即x∈[0,1]时，f(x)min＜0.
当m＝1时，f(x)＝－1＜0恒成立；
当m＜1时，m－1＜0，
由f(x)min＝f(1)＝－m＜0得m＞0，
故0＜m＜1.
当m＞1时，m－1＞0，
由f(x)min＝f(0)＝－2m＋1＜0得m＞，故m＞1.
综上所述，m的取值范围是(0，＋∞)．
反思与感悟 (1)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在[m，n]上恒为正?
(2)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在[m，n]上恒为负?
跟踪训练3 已知f(x)＝ax＋2在区间[1,3]上大于零恒成立，则a的取值范围为________．
答案
解析 ∵f(x)＝ax＋2在区间[1,3]上大于零恒成立，
∴
解之得a＞－.
类型四 一次函数的图象及应用
例4 画出函数y＝2x＋1的图象，利用图象求：
(1)方程2x＋1＝0的根；
(2)不等式2x＋1≥0的解集；
(3)当y≤3时，求x的取值范围．
解 因为函数y＝2x＋1的图象与y轴交于点A(0,1)，与x轴相交于点B，过A，B作直线，直线AB就是函数y＝2x＋1的图象．如图所示．
(1)直线AB与x轴的交点为B，所以方程2x＋1＝0的根为x＝－.
(2)从图象上可以看到，射线BA上的点的纵坐标都不小于零，即y＝2x＋1≥0.因为射线BA上的点的横坐标满足x≥－，所以不等式2x＋1≥0的解集是.
(3)过点(0,3)作平行于x轴的直线CC′，交直线AB于C(1，3)，直线CC′上点的纵坐标y均等于3，直线AB上位于直线CC′下方的点的纵坐标y均小于3，射线CB上点的横坐标满足x≤1.
反思与感悟 直线y＝kx＋b上y＝y0(y0是已知数)点的横坐标就是一元一次方程y0＝kx＋b的根，直线y＝kx＋b上满足y1≤y≤y2(y1，y2是已知数)的那条线段所对应的x的取值范围就是一元一次不等式y1≤kx＋b≤y2的解集．
跟踪训练4 已知y＋5与3x＋4成正比例，且当x＝1时，y＝2，若y的取值范围为0≤y≤5，求x的取值范围．
解 由已知可设y＋5＝k(3x＋4)(k≠0)，
将x＝1，y＝2代入得，
7＝k(3＋4)，∴k＝1，即y＝3x－1，
∵0≤y≤5，∴0≤3x－1≤5.∴≤x≤2.
1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )
A．y＝x2－2 B．y＝
C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2
答案 C
解析 ∵C中y＝1＋2x为一次函数且一次项系数大于零，∴y＝1＋2x在R上为增函数，故选C.
2．一次函数y＝kx(k≠0)的图象上有一点坐标为(m，n)，当m＞0，n＜0时，则直线经过( )
A．第二、四象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第一、四象限
答案 A
解析 ∵点(m，n)的坐标中m＞0，n＜0，
∴点一定在第四象限，
∴直线过第二、四象限．
3．已知一次函数y＝(m－2)x＋m2－3m－2，它的图象在y轴上的截距为－4，则m的值为( )
A．－4 B．2 C．1 D．2或1
答案 C
解析 ∵y＝(m－2)x＋m2－3m－2为一次函数，
∴m－2≠0即m≠2.
又截距m2－3m－2＝－4即m2－3m＋2＝0，
∴m＝1.
4．当m＝________时，函数y＝(m＋1)x2m－1＋4x－5是一次函数．
答案 ±1
解析 由题意可知m＋1＝0或
∴m＝－1或m＝1.
5．若函数y＝(2m－9)xm2－9m＋15是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m＝________.
答案 2
解析 ∵m2－9m＋15＝1，
∴m＝2或m＝7.
①当m＝2时，y＝－5x，符合要求；
②当m＝7时，y＝5x，不符合要求．
故m＝2.
1．一次函数图象与性质的理解
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，但是并非任意一条直线都是一次函数的图象．例如：x＝1的图象是一条直线，但x＝1不是一次函数．
(2)一次函数图象过定点，(0，b)．
(3)一次函数的单调性与其一次项系数k与0的大小关系．
当k>0时，函数单调递增，
当k<0时，函数单调递减．
2．一次函数与正比例函数
(1)一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中，若b＝0，则一次函数就变为正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)．可见正比例函数是特殊的一次函数，一次函数是正比例函数的推广．
(2)正比例函数y＝kx(k≠0)与一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象都是直线．但正比例函数的图象一定过原点，一次函数的图象一定过点(0，b).
一、选择题
1．已知函数y＝kx＋k2－k过点(0,2)且是减函数，则k的值为( )
A．－2 B．－1
C．－1,2 D．1，－2
答案 B
解析 将点的坐标代入函数关系式，得k2－k＝2，即k2－k－2＝0，所以k＝－1或k＝2，由于一次函数为减函数，即k<0，所以k＝－1，故选B.
2．两条直线y＝ax＋b与y＝bx＋a在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )
答案 A
解析 假设B项中直线y＝ax＋b正确，则a＞0，b＞0，所以y＝bx＋a的图象应过第一、二、三象限，而实际图象过第一、二、四象限．∴B错．同理C，D错．故A正确．
3．当x∈(0,1)时，不等式－ax＋a－5＜0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，5] B．(－∞，－5)
C．(－∞，5) D．(－∞，－5]
答案 A
解析 令f(x)＝－ax＋a－5＜0，
则即∴a≤5.
4．一个水池有水60 m3，现将水池中的水排出，如果排水管每小时排水量为3 m3，则水池中剩余水量Q与排水时间t之间的函数关系是( )
A．Q＝60－3t
B．Q＝60－3t (0≤t≤20)
C．Q＝60－3t (0≤t<20)
D．Q＝60－3t (0答案 B
解析 由题意，得0≤3t≤60，即0≤t≤20.只有B选项适合．
5．若函数y＝(2m－3)x＋3n＋1的图象经过第一、二、三象限，则m与n的取值范围是( )
A．m>，n>－
B．m>3，n>－3
C．m<，n<－
D．m>，n<
答案 A
解析 对于一次函数y＝kx＋b，当k>0，b>0时，其图象经过第一、二、三象限，所以m>，n>－.
6．若一次函数y＝(3a－8)x＋a－2的图象与两坐标轴都交于正半轴，则a的取值范围是( )
A．(1,2) B. C. D．(1,3)
答案 B
解析 由题意，得解得2二、填空题
7．一次函数y＝(3a－7)x＋a－2的图象与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是________．
答案
解析 ∴2＜a＜.
8．若f(x)是一次函数，g(x)＝2x＋1，f(g(x))＝5x－3，则f(x)＝________.
答案 x－
解析 设f(x)＝kx＋b，k≠0，
则f(g(x))＝k(2x＋1)＋b＝2kx＋k＋b，
∴∴
∴f(x)＝x－.
9．已知函数y＝2x＋b在区间[－1,3]上的最大值是7，则b＝________.
答案 1
解析 ∵函数y＝2x＋b在[－1,3]上单调递增，
∴最大值为2×3＋b＝7，∴b＝1.
10．直线y＝－3x＋1和直线y＝2x＋6以及x轴围成的三角形的面积为________．
答案
解析 如图A，B(－3,0)，C(－1,4)．
在△ABC中，|AB|＝，h＝4，
∴S△ABC＝××4＝.
三、解答题
11．解答下列各题：
(1)求函数y＝3x－2(－1≤x≤2)的值域；
(2)若函数y＝(3a＋2)x＋b是减函数，求a的取值范围；
(3)若直线y＝(m－2)x＋1－2m的图象不经过第二象限，求实数m的取值范围．
解 (1)∵y＝3x－2在[－1,2]上为增函数，
∴y∈[－5,4]，其值域为[－5,4]．
(2)∵3a＋2＜0，∴a＜－.
(3)①当m－2＝0，即m＝2时，y＝－3符合题意；
②当m－2≠0时，
∴m＞2，
∴m的取值范围为m≥2.
12．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式px＋3>3px恒成立，试求x的取值范围．
解 不等式px＋3>3px可化为：
2px－3<0，即2xp－3<0，
令f(p)＝2xp－3，
当p＝0时，f(p)＝－3<0，满足题意．
函数f(p)的图象是一条线段，要使当0≤p≤4时，f(p)<0恒成立，则需
即x<.
∴满足题意的x的取值范围是.
13．对于每个实数x，设f(x)取y＝3x＋5，y＝x＋5，y＝－2x＋8三个函数中的最大值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求出f(x)的最小值．
解 在同一坐标系内作出y＝3x＋5，y＝x＋5，y＝－2x＋8的图象(如图所示)，它们的交点分别为A，B，C.
解方程组 得C.
过C点作y轴的平行线x＝，由图可知，在直线x＝左边，y＝－2x＋8的图象在最上面，即当x≤时，f(x)＝－2x＋8；在直线x＝右边，y＝3x＋5的图象在最上面，即当x>时，f(x)＝3x＋5，因此，f(x)＝
观察f(x)的图象可知，f(x)min＝.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝(a＋2b)x＋2a－b(a≥0)，且当x∈[0,1]时恒有f(x)≤1，则f(－1)的最大值为________．
答案 3
解析 由题意可得
两式相加可得5a≤2，∴0≤a≤0.4.
∵f(－1)＝a－3b＝3(2a－b)－5a，
且0≤a≤0.4,2a－b≤1，
∴－2≤－5a≤0,3(2a－b)≤3，
∴3(2a－b)－5a≤3，
当a＝0，b＝－1时，f(－1)取最大值3.
15．若函数f(x)＝(k－1)x＋2在区间[－1,2]上恒有f(x)＞0，求实数k的取值范围．
解 (1)当k＝1时，f(x)＝2＞0恒成立；
(2)当k＞1时，函数f(x)＝(k－1)x＋2在区间(－1,2)上为增函数，所以只要f(x)min＞0，即
f(－1)＝－(k－1)＋2＞0，解得k＜3，所以实数k的取值范围为(1,3)；
(3)当k＜1时，函数f(x)＝(k－1)x＋2在区间(－1,2)上为减函数，所以只要f(x)min＞0，即f(2)＝2k－2＋2＞0，解得k＞0，则实数k的取值范围为(0,1)．
综上，实数k的取值范围为(0,3)．
2.2.2 二次函数的性质与图象
学习目标 1.掌握二次函数的概念，能用“描点法”作二次函数的图象.2.掌握二次函数解析式的基本形式，会求二次函数图象的对称轴及顶点坐标.3.会根据图象研究二次函数的性质.4.会求二次函数在给定区间上的最值．
知识点一 二次函数的概念
思考 结合一次函数的特征，请给出二次函数的定义、定义域？
答案 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，定义域为R.
梳理 1.二次函数的定义
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，定义域为R.
2．二次函数的解析式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为顶点．
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．
知识点二 二次函数的图象与性质
思考1 二次函数的图象是一条抛物线，那么哪一个量影响图象的开口方向？
答案 x2的系数a影响开口方向．
思考2 二次函数的图象是轴对称图形，那么对称轴的位置与哪些量有关？对称轴方程是什么？
答案 对称轴的位置与a，b两个量有关．
对称轴为x＝－.
梳理 二次函数的性质与图象
a＞0
a＜0
图象
图象特点
对称轴：x＝－
顶点：
定义域
R
值域
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
单调性
为减区间，
为增区间
为增区间，为减区间
最值
抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值ymin＝
抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值ymax＝
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是.( × )
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈R，不可能是偶函数．( × )
3．在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一平面直角坐标系中的开口大小．( √ )
类型一 二次函数的图象
例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小；
(3)由图象判断x为何值时，f(x)＞0，f(x)＝0，f(x)＜0.
解 f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4的图象如图所示．
(1)由图可知，二次函数f(x)的图象对称轴为x＝1且开口向下，且|0－1|＜|3－1|，故f(1)＞f(0)＞f(3)．
(2)∵x1＜x2＜1，
∴|x1－1|＞|x2－1|，
∴f(x1)＜f(x2)．
(3)由图可知：
当x＞3或x＜－1时，f(x)＜0；
当x＝－1或x＝3时，f(x)＝0；
当－1＜x＜3时，f(x)＞0.
反思与感悟 (1)观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号．另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题．
(2)比较二次函数函数值的大小的方法
①若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小．
②若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大．
跟踪训练1 已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；
(2)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0.
解 (1)由y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，
图象如图：
由图象可知，函数图象开口向上，
对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．
(2)由图象可知，当x＞3或x＜－1时，y＞0；
当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1＜x＜3时，y＜0.
类型二 二次函数的对称性与单调性
例2 已知函数f(x)＝x2－ax的单调增区间为(2，＋∞)．
(1)求参数a的值；(2)求对称轴方程；(3)求在R上的最小值．
解 (1)∵f(x)＝x2－ax＝2－，
∴f(x)的单调增区间为.
又f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，
∴＝2即a＝4.
(2)对称轴方程为x＝2.
(3)f(x)min＝f(2)＝－4.
引申探究
1．若f(x)＝x2－ax在(2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为________．
答案 (－∞，4]
解析 ∵≤2，∴a≤4.
2．若f(x)＝x2－ax在[1,3]上单调，求a的范围．
解 ∵f(x)＝x2－ax在[1,3]上单调，
∴区间必在对称轴x＝的一侧，
∴≤1或≥3，
∴a≤2或a≥6，
即a∈(－∞，2]∪[6，＋∞)．
反思与感悟 利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系．
跟踪训练2 已知函数y＝ax2＋(a－1)x＋在[1，＋∞)上是减函数，求a的范围．
解 (1)当a＝0时，y＝－x＋在[1，＋∞)上是减函数．
(2)当a＞0时，在上为增函数，不合题意．
(3)当a＜0时，在上为减函数，
∴－≤1，即a≤，
∴a＜0.
综上所述a∈(－∞，0]．
类型三 二次函数在给定区间上的最值的求法
例3 求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
解 ∵f(x)＝x2－2ax＋2的对称轴为x＝a且开口向上．
∴①当a≤2时，f(x)在[2,4]上为增函数．
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
②当2＜a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
③当a＞4时，f(x)在[2,4]上为减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
综上所述f(x)min＝
引申探究
1．若求f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最大值，如何分类？
解 区间[2,4]的中点为3.
∵f(x)＝x2－2ax＋2的对称轴为x＝a且开口向上，
∴①当a≤3时，f(x)max＝f(4)＝18－8a，
②当a＞3时，f(x)max＝f(2)＝6－4a.
综上所述f(x)max＝
2．若f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最大值为10，求a的值．
解 由探究1知，当a≤3时，f(x)max＝18－8a＝10，
∴a＝1；
当a＞3时，f(x)max＝6－4a＝10，
∴a＝－1(舍)．
综上所述a＝1.
3．若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求a的取值范围．
解 由探究1知：
①当a≤3时，f(x)max＝18－8a≤a恒成立，
∴a≥2，即a∈[2,3]．
②当a＞3时，f(x)max＝6－4a≤a，
∴a≥，
∴a＞3.
综上所述a∈[2，＋∞)．
反思与感悟 二次函数最值问题的解题策略
(1)确定对称轴，抛物线的开口方向，作图．
(2)在图象上标出定义域的位置．
(3)观察单调性写出最值．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a.
(1)若方程x2－2ax＋2a＝0无解，求实数a的取值范围；
(2)若x∈[－1,2]时，f(x)≥－2恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)Δ＝(－2a)2－8a＜0，
解得0＜a＜2.
(2)f(x)＝x2－2ax＋2a，对称轴为x＝a.
当a＞2时，f(x)min＝f(2)＝4－2a≥－2，
解得2＜a≤3.
当－1≤a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a≥－2，
解得1－≤a≤2.
当a＜－1时，f(x)min＝f(－1)＝1＋4a≥－2，
解得a∈?.
综上所述，a的取值范围是[1－，3].
1．函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是( )
A．(2，－2) B．(1，－2)
C．(1，－3) D．(－1，－3)
答案 D
解析 由于y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，所以函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是(－1，－3)．
2．已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋4，则函数( )
A．对称轴为x＝1，最大值为3
B．对称轴为x＝－1，最大值为5
C．对称轴为x＝1, 最大值为5
D．对称轴为x＝－1，最小值为3
答案 C
解析 由y＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，知对称轴为x＝1, 最大值为5.
3．二次函数y＝4x2－mx＋5的对称轴为x＝－2，则当x＝1时，y的值为( )
A．－7 B．1 C．17 D．25
答案 D
解析 对称轴x＝＝－2，
∴m＝－16即y＝4x2＋16x＋5，
当x＝1时，y＝4＋16＋5＝25.
4．若二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上为减少的，则( )
A．a＜－2 B．a≤－2
C．a＞－2 D．a≥－2
答案 B
解析 由题意，得－≥1，解得a≤－2.
5．函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[－2，－1]上的最大值是________，最小值是________．
答案 －2 －7
解析 f(x)＝－x2＋2x＋1的对称轴为x＝1，开口向下，
∴f(x)max＝f(－1)＝－1－2＋1＝－2，
f(x)min＝f(－2)＝－4－4＋1＝－7.
1.作二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
2．若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：
(1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域．
(2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.
一、选择题
1．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上( )
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
答案 C
解析 当m＝0时，f(x)是偶函数，此时f(x)＝－x2＋3，所以f(x)的图象是开口向下的抛物线，所以函数f(x)在区间(－3,1)上先增后减．
2．若f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，则( )
A．f(4)＜f(1)＜f(2) B．f(2)＜f(1)＜f(4)
C．f(2)＜f(4)＜f(1) D．f(4)＜f(2)＜f(1)
答案 B
解析 f(x)的对称轴为x＝2，所以f(2)最小．
又x＝4比x＝1距对称轴远，故f(4)＞f(1)，
即f(2)＜f(1)＜f(4)．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则( )
A．a＝1，b＝－4，c＝－11
B．a＝3，b＝12，c＝11
C．a＝3，b＝－6，c＝－11
D．a＝3，b＝－12，c＝11
答案 D
解析 由二次函数的图象与y轴交点坐标为(0,11)，知c＝11，又因为函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(2，－1)，所以－＝2，＝－1，解得a＝3，b＝－12.
4．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是( )
答案 C
解析 因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以为a<0，b<0，所以二次函数图象的开口向下，对称轴方程x＝－<0，只有选项C适合．
5．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
答案 D
解析 f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，
∴1≤m≤2，故选D.
6．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案 C
解析 令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a＜0.
二、填空题
7．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的有关叙述：
(1)值域为R；
(2)在上单调递减，在上单调递增；
(3)当b＝0时，函数是偶函数．
其中正确说法的序号为________．
答案 (3)
解析 二次函数的值域不可能为R，故(1)错；当a＜0时，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在上单调递增，在上单调递减，故(2)错；当b＝0时，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)正确．
8．已知函数f(x)＝(x＋a)(bx＋a)(a，b为常数)的图象关于y轴对称，其值域为(－∞，4]，则a＝________，b＝________.
答案 ±2 －1
解析 ∵f(x)＝bx2＋(a＋ab)x＋a2图象关于y轴对称，∴x＝－＝0，∴－a－ab＝0，①
又∵值域为(－∞，4]，∴＝4，②
由①②可知a＝±2，b＝－1.
9．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
答案 1
解析 函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.
故当x＝0时，函数有最小值，
当x＝1时，函数有最大值．
∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，
∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.
10．已知－x2＋4x＋a≥0在[0,1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [0，＋∞)
解析 方法一 －x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0,1]，也就是a应大于或等于f(x)＝x2－4x在[0,1]上的最大值，函数f(x)＝x2－4x在[0,1]上的最大值为0，∴a≥0.
方法二 设f(x)＝－x2＋4x＋a，
由题意知
解得a≥0.
三、解答题
11．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f＝，f(3)＝5，
∴f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
12．已知函数y＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值．
解 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴对称轴为直线x＝1，
∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论，当－21时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.
综上，当－2当a>1时，ymin＝－1.
13．已知f(x)＝x2＋2x－1，若x∈[a，a＋1]，求f(x)的最小值．
解 因为f(x)＝(x＋1)2－2，故对称轴为x＝－1.
①当a≥－1时，则区间[a，a＋1]在对称轴x＝－1的右侧，所以y＝f(x)在此区间上是单调递增的．
所以f(x)min＝f(a)＝a2＋2a－1.
②当a＋1≤－1，即a≤－2时，则区间[a，a＋1]在对称轴的左侧，
所以y＝f(x)在此区间上是单调递减的，
所以f(x)min＝f(a＋1)＝(a＋1)2＋2(a＋1)－1＝a2＋4a＋2.
③当a＜－1＜a＋1时，
即－2＜a＜－1时，
f(x)min＝f(－1)＝－2.
综上，f(x)min＝
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，如图所示，则满足等式f(a－1)＝f(5)的实数a的值为________．
答案 －2或6
解析 ∵函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
若a－1与5重合，则a－1＝5，a＝6；
若a－1与5不重合，则＝1，
∴a＝－2.
15．函数f(x)＝(a－1)x2＋2ax＋1在区间(1,2)上是增函数，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2x＋1在区间(1,2)上是增函数；
(2)当a＞1时，由题意知，对称轴x＝≤1，解得a＞1；
(3)当a＜1时，由题意知，对称轴x＝≥2，解得≤a＜1.
综上，实数a的取值范围是.
2.2.3 待定系数法
学习目标 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题．
知识点 待定系数法
思考1 若一个正比例函数y＝kx(k≠0)过点(2,3)．如何求这个函数解析式？
答案 ∵函数y＝kx过点(2,3)，
∴3＝k·2，即k＝，
∴函数为y＝x.
思考2 在思考1中，求解析式的方法有什么特点？
答案 先设出(给出)函数解析式的一般形式，再根据已知条件确定解析式中待确定的系数．
梳理 1.待定系数法定义
一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．
2．几种基本初等函数的解析式
(1)正比例函数的一般形式是y＝kx(k≠0，k是常数)．
(2)一次函数的一般形式是y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)．
(3)反比例函数的一般形式是y＝(k≠0，k是常数)．
(4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式：
①一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这是二次函数的标准形式；
②顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点；
③知两根可设为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，即抛物线与x轴两交点的横坐标．
1．待定系数法的适用条件是所求数学问题具有确定的数学表达式．( √ )
2．用待定系数法求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式时，必须知道三点坐标．( × )
类型一 待定系数法求解析式
命题角度1 待定系数法求一次函数解析式
例1 已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．
解 设所求的一次函数是f(x)＝kx＋b(k≠0)，其中k，b是常数.
根据已知条件，得方程组
即
解此方程组，得k＝3，b＝－2.
因此所求的函数是f(x)＝3x－2.
反思与感悟 在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．
跟踪训练1 已知函数f(x)是一次函数，且有f(f(x))＝9x＋8，求此一次函数的解析式．
解 设该一次函数是f(x)＝ax＋b(a≠0)，由题意得f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋8.
因此有
解方程组，得或
所以一次函数为f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4.
命题角度2 待定系数法求二次函数解析式
例2 二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式．
解 设二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
方法一 则顶点坐标为，
∴
又二次函数过点(3,1)，
∴1＝9a＋3b＋c.③
联立方程①②③解方程组，得a＝－2，b＝8，c＝－5，
∴二次函数解析式为y＝－2x2＋8x－5.
方法二 设二次函数顶点式方程为y＝a(x－2)2＋3(a≠0)，
∵二次函数图象过点(3,1)，
∴1＝a×1＋3，
∴a＝－2，
∴y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5.
引申探究
若二次函数f(x)满足f(2)＝f(4)＝0，且过点(0,6)，求这个二次函数的最值．
解 设二次函数的两根式为y＝a(x－2)(x－4)(a≠0)，
∴6＝a×(－2)×(－4)，
∴a＝，
∴y＝x2－x＋6.
当x＝3时，函数f(x)的最小值为－，无最大值．
反思与感悟 二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果．
(1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式；
(2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式；
(3)若题目中给出函数与x轴的交点或二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，可设函数的两根式．
跟踪训练2 求下列二次函数的解析式．
(1)已知y＝f(x)是二次函数，且图象过点(－2,20)，(1,2)，(3,0)；
(2)已知二次函数的顶点为(－1，－2)，且图象经过点(2,25)；
(3)已知二次函数与x轴交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)．
解 (1)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴解得
∴y＝x2－5x＋6.
(2)设y＝a(x＋1)2－2(a≠0)，
∴25＝a×32－2，
∴a＝3，
∴y＝3x2＋6x＋1.
(3)设y＝a(x＋2)(x－3)(a≠0)，
∴a×1×(－4)＝8，
∴a＝－2，
∴y＝－2x2＋2x＋12.
类型二 待定系数法的综合应用
例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域．
解 设左侧的射线对应的解析式为
y＝kx＋b(k≠0，x<1)，
因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故
解得k＝－1，b＝2，
所以左侧射线对应的函数的解析式为
y＝－x＋2(x<1)，
同理可求x>3时，函数的解析式为y＝x－2(x>3)．
当1≤x≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．
设其方程为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a＜0)，
由点(1,1)在抛物线上可知a＋2＝1，所以a＝－1，
所以抛物线对应的函数解析式为
y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
综上，函数的解析式为
y＝
由图象可知函数的最小值为1，无最大值，
所以值域为[1，＋∞)．
反思与感悟 由函数图象求函数的解析式，关键在于观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax＋＋c(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求证f(x)在上为增函数．
(1)解 ∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴－ax－＋c＝－ax－－c，
∴c＝0，
∴f(x)＝ax＋.
又f(1)＝，f(2)＝，
∴
∴a＝2，b＝.
∴f(x)＝2x＋.
(2)证明 设x1，x2∈且x1＜x2.
则f(x2)－f(x1)＝－
＝2(x2－x1)＋
＝(x2－x1).
∵x2＞x1＞，
∴x2－x1＞0，x1x2＞，
∴4x1x2＞1，
∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在上是增函数.
1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( )
A．y＝4x ．y＝－4x
C．y＝x ．y＝－x
答案 A
解析 设y＝kx(k≠0)，则8＝2k，∴k＝4，∴y＝4x.
2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)(3,4)，则这个函数的解析式为( )
A．y＝x－
B．y＝x＋
C．y＝－x＋
D．y＝－x－
答案 B
解析 设y＝kx＋b(k≠0)，则
∴
∴y＝x＋.
3．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为( )
A．y＝x2＋2x－3
B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2＋2x＋3
D．y＝x2－2x＋6
答案 A
解析 将(1,0)，(2,5)代入y＝x2＋bx＋c可得
由①②解得b＝2，c＝－3.
4．二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么二次函数的解析式为________．
答案 y＝－2x2＋4x
解析 设y＝a(x－1)2＋2(a≠0)．
∵y＝a(x－1)2＋2过原点，∴0＝a＋2，∴a＝－2.
∴y＝－2x2＋4x.
5．如图是二次函数y＝f(x)的图象，若x∈[－2,1]，则函数f(x)的值域为________．
答案 [0,4]
解析 依题意设函数f(x)＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，又函数f(x)的图象过点(0,3)，代入得a＝－1，∴f(x)＝－x2－2x＋3.结合题中图形易知函数f(x)在[－2,1]上的最大值为f(－1)＝4.又f(－2)＝3，f(1)＝0，∴函数f(x)在[－2,1]上的最小值为0，∴当x∈[－2,1]时，函数的值域为[0,4]．
1．求待定系数的方法——列方程组
(1)利用对应系数相等列方程(组)．
(2)由恒等的概念用数值代入法列方程(组)．
(3)利用定义本身的属性列方程(组)．
2．待定系数法的适用条件
要判定一个问题是否能用待定系数法求解，主要看所求的数学问题是否具有确定的数学表达式．例如，求具体函数解析式时即可用待定系数法求解．
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x2＋px＋q，满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是( )
A．5 B．－5 C．6 D．－6
答案 C
解析 ∵
∴p＝－3，q＝2.
∴f(x)＝x2－3x＋2，
∴f(－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6.
2．若一次函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )
A. B.
C．(－1,3) D．(－2,1)
答案 A
解析 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则该函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，得所以此函数的解析式为y＝2x＋4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.
3．已知2x2＋x－3＝(x－1)(ax＋b)，则a，b的值分别为( )
A．2,3 B．3,2
C．－2,3 D．－3,2
答案 A
解析 (x－1)(ax＋b)＝ax2＋(b－a)x－b，
因为(x－1)(ax＋b)＝2x2＋x－3，
所以解得
4．已知f(x)＝x2＋1，g(x)是一次函数且是增函数，若f(g(x))＝9x2＋6x＋2，则g(x)为( )
A．g(x)＝3x＋2 B．g(x)＝3x＋1
C．g(x)＝－3x＋2 D．g(x)＝3x－1
答案 B
解析 设g(x)＝ax＋b(a≠0)，则a＞0，
∴f(g(x))＝f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋1＝9x2＋6x＋2，
∴a＝3，b＝1.∴g(x)＝3x＋1.
5．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3
C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2
答案 A
解析 由于二次函数的开口向上，对称轴为x＝a，若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a≤2或a≥3.
6．二次函数y＝ax2＋bx＋2(a＜0)与x轴的交点为，，则a＋b的值是( )
A．10 B．－10 C．14 D．－14
答案 D
解析 由题意得
解得
∴a＋b＝－14.
二、填空题
7．反比例函数y＝的图象和一次函数y＝kx－7的图象都经过点P(m,2)，则一次函数的解析式为______________．
答案 y＝x－7
解析 因为点P(m,2)在函数y＝的图象上，所以2＝，m＝6，P点坐标为(6,2)．因为一次函数y＝kx－7的图象经过点P(6,2)，所以6k－7＝2，k＝.故所求的一次函数解析式是y＝x－7.
8．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则a，b的值分别为________．
答案 2，－3
解析 ∵f(x)＝x2＋2x＋a，
∴f(bx)＝(bx)2＋2(bx)＋a＝b2x2＋2bx＋a.
又∵f(bx)＝9x2－6x＋2，
∴b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2，
∴∴
9．如图，抛物线y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3与x轴交于A，B两点，且OA＝3OB，则m的值为________．
答案 0
解析 设A(x1,0)，B(x2,0)，
则x1＝－3x2.
由
得3m2＋5m＝0，
即m＝0或m＝－.
由图象知，对称轴x＝m＋1＞0，
即m＞－1，
因此m＝－不合题意，故m＝0.
10．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.
答案 2
解析 ∵f(x)＝x2＋4x＋3，
∴f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3
＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3
＝x2＋10x＋24，
∴∴或∴5a－b＝2.
三、解答题
11．已知二次函数f(x)对一切x∈R，有f(x)≥－1，又f(－1)＝0，且f(x)的对称轴为x＝1.
(1)求二次函数的解析式；
(2)若直线l过(1)中抛物线的顶点和抛物线与x轴左侧的交点，求l在y轴上的截距．
解 (1)由二次函数f(x)图象的对称轴为x＝1，
由f(x)≥－1对一切x∈R成立，
得二次函数的最小值为－1.
设二次函数的解析式为f(x)＝a(x－1)2－1(a≠0)，
∵f(－1)＝0，∴4a－1＝0，∴a＝，
∴f(x)＝(x－1)2－1＝x2－x－.
(2)设直线l的解析式为g(x)＝kx＋b.
由(1)知，抛物线顶点为C(1，－1)．
由x2－x－＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴l过点A(－1,0)，
∴解得
∴一次函数为g(x)＝－x－.
在y轴上的截距为b＝－.
12．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值．
解 因为f(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，
所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.
代入①得a＝.
所以f(x)＝＝(x≠－2)．
所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝.
13．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝－2x2＋4x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[a，a＋2]时，求f(x)的最大值．
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c
＝－2x2＋4x.
由于上式对一切x∈R都成立，
∴2a＝－2,2b＝4,2a＋2c＝0，
∴a＝－1，b＝2，c＝1，
∴f(x)＝－x2＋2x＋1.
(2)由(1)可知，f(x)＝－(x－1)2＋2.
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)在[a，a＋2]上单调递增，
∴f(x)max＝f(a＋2)＝－a2－2a＋1；
当a＜1＜a＋2，－1＜a＜1时，
f(x)max＝f(1)＝2；
当a≥1时，f(x)在[a，a＋2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a＋1.
∴f(x)max＝
四、探究与拓展
14．已知f(x)为一次函数，且y随x的增大而增大，若f(f(x))＝4x＋6，求f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，
∴
∵y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∴
∴f(x)＝2x＋2.
15．若二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求函数f(x)的表达式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
∵f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx
＝a(2x＋1)＋b＝2ax＋a＋b＝2x
∴∴
∴函数f(x)的表达式为f(x)＝x2－x＋1.
§2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点
学习目标 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．
知识点 函数零点的概念
思考1 函数的“零点”是一个点吗？
答案 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
思考2 函数一定都有零点吗？
答案 不一定．只有函数的图象与x轴有公共点时，才有零点．
梳理 1.函数的零点
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系
判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点
有两个零点x1，x2
有一个二重零点x1＝x2
没有零点
1．f(x)＝x2的零点是0.( √ )
2．函数的零点是一个点．( × )
类型一 求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝.
解 (1)存在．因为f(x)＝－8x2＋7x＋1
＝(8x＋1)(－x＋1)，
所以方程－8x2＋7x＋1＝0有两个实根－和1，
即函数f(x)＝－8x2＋7x＋1的零点是－和1.
(2)存在．令f(x)＝0，即＝0，
解方程得x＝－6(x＝2舍去)，
所以函数f(x)＝的零点是－6.
反思与感悟 求函数零点的两种方法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不易求根的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1 求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x2－；
(2)y＝(ax－1)(x＋2)．
解 (1)∵f(x)＝x2－，
∴x≠0.
令f(x)＝0，即x3－1＝0，∴x＝1，
∴f(x)＝x2－的零点为1.
(2)①当a＝0时，令y＝0得x＝－2.
②当a≠0时，令y＝0得x＝或x＝－2.
(ⅰ)当a＝－时，函数的零点为－2；
(ⅱ)当a≠－时，函数的零点为，－2.
综上所述：当a＝0或－时，零点为－2；
当a≠0且a≠－时，零点为，－2.
类型二 函数零点个数的判断
例2 已知函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，求实数a取何值时函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，(1)有两个零点；(2)有三个零点．
解 令h(x)＝|x2－2x－3|和g(x)＝a，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(x)＝|x2－2x－3|－a的零点个数．
(1)若函数有两个零点，则a＝0或a＞4.
(2)若函数有三个零点，则a＝4.
引申探究
若f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求a的取值范围．
解 令f(x)＝0，得a－1＝2|x|－x2.
令y1＝a－1，y2＝2|x|－x2.
∵f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
∴y1＝a－1，y2＝2|x|－x2的图象有四个不同的交点．
画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示．
观察图象可知，0＜a－1＜1，所以1＜a＜2.
反思与感悟 判断函数零点个数的三种方法
(1)利用方程的根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)利用函数的图象．画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数．
(3)转化为两个函数图象交点问题．
例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数．
跟踪训练2 已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．
解 令f(x)＝|x2－6x＋8|，在平面直角坐标系中画出f(x)的图象，如图所示，
下面对a进行分类讨论，由图象得，
当a<0时，原方程无实数解；
当a＝1时，原方程实数解的个数为3；
当0当a>1或a＝0时，原方程实数解的个数为2.
类型三 函数零点性质的应用
例3 已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．
解 令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.
∴f(x)的大致图象如图所示：
则a应满足或
即
或
解得0＜a＜5，
∴a的取值范围为(0,5)．
反思与感悟 解决函数零点性质的应用问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．
跟踪训练3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
解 由已知抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得
?
∴－＜m＜－，故m的取值范围是.
1．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
答案 D
2．函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是( )
A．(0，±2)；±2 B．(±2,0)；±2
C．(0，－2)；－2 D．(－2,0)；2
答案 B
解析 令x2－4＝0，得x＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.
3．如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是( )
A．(－2,6)
B．[－2,6]
C．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
D．{－2,6}
答案 C
解析 由题意，得Δ＝m2－4(m＋3)＞0，即m2－4m－12＞0，由二次函数的图象(图略)知m＞6或m＜－2.
4．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________.
答案 2 －8
解析 ∵2，－4是函数f(x)的零点，
∴f(2)＝0，f(－4)＝0，
即解得
5．若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点是3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
答案 0，－1
解析 ∵3是f(x)＝ax－b的一个零点，
∴3a－b＝0，即b＝3a.
∴g(x)＝bx2＋3ax＝3ax2＋3ax＝3ax(x＋1)，
∴g(x)的零点是0，－1.
1．函数的零点实质上是函数图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的零点．
2．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
一、选择题
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
答案 A
解析 B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．
2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
答案 C
解析 因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，
所以b＝±2.
3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 当x＜0时，x(x＋4)＝0的解为x＝－4；当x≥0时，x(x－4)＝0的解为x＝0或x＝4.故f(x)有3个零点．
4．下列说法中正确的个数是( )
①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.
5．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．3
答案 A
解析 f(x)＝x＋在(1,2)上有零点，即方程x＋＝0，亦即x2＝－a在(1,2)上有根．∴－4＜a＜－1，故选A.
6．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为( )
A．1 B．2
C．0 D．不能确定
答案 B
解析 由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，
∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0.故方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点．
二、填空题
7．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
答案 3
解析 ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
8．若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为，则f(1)＝________.
答案 0
解析 因为函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为，所以是方程2x2－ax＋3＝0的一个根，则2×－a＋3＝0，解得a＝5，所以f(x)＝2x2－5x＋3，则f(1)＝2－5＋3＝0.
9．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
答案 (－1,0)
解析 ∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，
∴∴∴－1＜b＜0.
10．二次函数y＝x2－2ax＋a－1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a的取值范围是________．
答案 (0，＋∞)
解析 由于二次函数图象开口向上，则只需f(1)＜0，即－a＜0，∴a＞0.
三、解答题
11．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
解 (1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，
所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，
即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
12．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
解 (1)当m＋6＝0，即m＝－6时，
函数为y＝－14x－5显然有零点；
当m＋6≠0，即m≠－6时，
由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上，m≤－.
故m的取值范围是.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3.
且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ＞0符合题意，
∴m的值为－3.
13．关于x的方程x2－2x＋a＝0.求a为何值时：
(1)方程一根大于1，一根小于1；
(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内；
(3)方程的两个根都大于零？
解 (1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f(1)<0.由f(1)<0，得1－2＋a<0，所以a<1.
(2)由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间
(2,3)内，得即
解得－3(3)由方程的两个根都大于零，得
解得0四、探究与拓展
14．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数?方程|log0.5x|＝＝x的根的个数?函数y1＝|log0.5x|与y2＝x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.
15．已知函数f(x)＝3ax＋1－2a在[－1,1]上存在零点x0，且x0≠±1，求实数a的取值范围．
解 当a＝0时，函数f(x)＝1，不合题意；
当a≠0时，函数f(x)的图象是一条直线．依题意，
有f(1)·f(－1)＜0?(a＋1)(－5a＋1)＜0
?(a＋1)(5a－1)＞0?a＜－1或a＞.
综上可知，
实数a的取值范围为(－∞，－1)∪.
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
学习目标 1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理.2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．
知识点一 零点存在的判定及变号零点与不变号零点的概念
思考 函数y＝3x＋3，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值有怎样的变化？
答案 函数y＝3x＋3的零点是－1，零点左侧的函数值为负数，零点右侧的函数值为正数；函数y＝x2的零点是0，在0两侧的函数值都是正数. 函数y＝x2－2x－3的零点是－1，3，在零点左右两侧的函数值异号．
梳理 1.零点存在的判定
如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)＜0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.
2．变号零点与不变号零点
如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．
知识点二 二分法
思考1 从机房到用户有一根光缆线，现测得光缆线上有一个断点，如何尽快找到这个断点？
答案 从中间(中点)向机房测试，若通，则断点必在中点与用户之间，以此查找，则能较快找到断点的大致位置．
思考2 已知y＝f(x)在[2,3]上连续，且f(2)＞0，f(3)＜0，即在(2,3)上有零点，问如何尽快缩小零点所在区间的范围？
答案 ①取[2,3]的中点2.5.
②计算f(2.5)．
③若f(2.5)＞0，则零点必在(2.5,3)内，否则在(2,2.5)内．
梳理 1.二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．二分法求函数零点的一般步骤
已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求函数零点的一般步骤为：
第一步 在D内取一个闭区间[a0，b0]?D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．
第二步 取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝(a0＋b0)．
计算f(x0)和f(a0)，并判断：
(1)如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；
(2)如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0；
(3)如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.
第三步 取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝(a1＋b1)．
计算f(x1)和f(a1)，并判断：
(1)如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；
(2)如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1；
(3)如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.
…
继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当区间的长度bn－an不大于给定的精确度时，这个区间[an，bn]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．
1．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．( × )
2．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．( √ )
3．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．( √ )
4．用二分法最后一定能求出函数零点．( × )
类型一 判断零点存在区间
例1 已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
－136
－21
6
19
13
－1
－8
－2
4
29
98
则下列判断正确的是________．
①函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点．
②函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点．
③函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点．
④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．
答案 ①②③
解析 根据零点存在的条件判断．
反思与感悟 判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得函数值相乘，并进行符号判断．
(3)总结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
跟踪训练1 (1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 A
解析 ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)，
∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，
∵a＜b＜c，∴f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
(2)已知函数f(x)＝x3－2x2－x＋2，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在[a，b]内的零点个数为________．
答案 0或2
解析 f(x)＝(x－2)(x－1)(x＋1)的图象如图，由图象可知，f(x)在[a，b]内的零点个数为0或2.
类型二 二分法的概念
例2 (1)下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是( )
(2)下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝(x－1)(x＋2)
答案 (1)C (2)C
解析 (1)A中，函数无零点．B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.
(2)结合函数f(x)＝|x|的图象可知，该函数在x＝0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．
反思与感悟 二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
跟踪训练2 已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
答案 D
解析 y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴的公共点，所以有4个．适合用二分法求零点，必须是变号零点，所以有3个．
类型三 用二分法求函数的近似零点
例3 求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．
解 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝6>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．
用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a＝1，b＝2
f(1)＝－2，f(2)＝6
[1,2]
x0＝1.5
f(1.5)＝0.625>0
[1,1.5]
x1＝1.25
f(1.25)＝－0.984<0
[1.25,1.5]
x2＝1.375
f(1.375)＝－0.260<0
[1.375,1.5]
x3＝1.437 5
f(1.437 5)＝0.162>0
[1.375,1.437 5]
由上表的计算可知，区间[1.375,1.437 5]的长度不大于0.1，因此可取1.4为所求函数的一个正实数零点的近似值．
反思与感悟 二分法求函数零点的近似值的步骤
跟踪训练3 (1)用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，f(0.74)>0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.64 B．0.74 C．0.7 D．0.6
答案 C
(2)用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0.1)．
解 由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝1，b0＝2
f(1)＝－2，f(2)＝4
[1,2]
x0＝＝1.5
f(x0)＝－0.125<0
[1.5,2]
x1＝＝1.75
f(x1)≈1.609 4>0
[1.5,1.75]
x2＝＝1.625
f(x2)≈0.666 0>0
[1.5,1.625]
x3＝＝1.562 5
f(x3)≈0.252 2>0
[1.5,1.562 5]
由上表的计算可知，区间[1.5,1.562 5]的长度不大于0.1，因此可取1.5作为所求函数的一个正实数零点的近似值．
所以f(x)＝x3－x－2的一个正实数精确到0.1的近似零点为1.5.
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
答案 A
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
答案 A
3．函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为( )
A．(－2,0) B．(0,2)
C．[－2,0] D．[0,2]
答案 B
解析 由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m＜0，
∴0＜m＜2.
4．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4] B．[－2,1]
C．[－2,2.5] D．[－0.5,1]
答案 D
解析 因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中，故选D.
5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________________．
答案 (0,0.5) x0＝0.25时f(0.25)的值
1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同．
一、选择题
1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝－x2＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
答案 C
解析 ∵f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，
∴f(x)＝x2＋2x＋2不宜用二分法求零点．
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
答案 A
解析 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R，a≠0)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根所在区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4)
B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
答案 A
解析 由表格中数据可知f(－3)·f(－1)＜0，
f(2)·f(4)＜0.
4．若函数f(x)图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
答案 D
解析 f(1)·f(2)·f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)中有一个小于0，另两个大于0或三个都小于0，则零点可能位于区间(0,1)，(1,2)，(2,4)，但它们都包含于(0,4)，因此选项D正确．
5．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|＜0.1 B．|a－b|＜0.001
C．|a－b|＞0.001 D．|a－b|＝0.01
答案 B
解析 据二分法的步骤知当区间长度|b－a|不大于精确度ε时，便可结束计算．
6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
答案 C
解析 设f(x)＝2x－x2，根据列表有f(0.2)>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．
二、填空题
7．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________.(填区间)
答案 (2,3)
解析 ∵f(2)f(4)＜0，f(2)f(3)＜0，
∴f(3)f(4)＞0，故x0∈(2,3)．
8．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
答案 ③④⑤
9．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：最多需要称________次就可以发现这枚假币．
答案 4
解析 由二分法的原理可得，最多需要4次．
10．已知函数y＝f(x)的图象如图所示．下列结论正确的序号是______．
①该函数有三个变号零点；
②所有零点之和为0；
③当x＜－时，恰有一个零点；
④当0＜x＜1时，恰有一个零点．
答案 ①②③
解析 函数y＝f(x)的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确．
三、解答题
11．用二分法求方程x2－2＝0的一个正实数解的近似值．(精确到0.1)
解 令f(x)＝x2－2，由于f(0)＝－2＜0，f(2)＝2＞0，可确定区间[0,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝0，b0＝2
f(0)＝－2，f(2)＝2
[0,2]
x0＝1
f(x0)＝－1＜0
[1,2]
x1＝1.5
f(x1)＝0.25＞0
[1,1.5]
x2＝1.25
f(x2)≈－0.438＜0
[1.25,1.5]
x3＝1.375
f(x3)≈－0.109＜0
[1.375,1.5]
x4＝1.437 5
f(x4)≈0.066＞0
[1.375,1.437 5]
由上表的计算可知，区间[1.375,1.437 5]的长度为1.437 5－1.375＝0.062 5＜0.1.
故1.4可作为所求方程的一个正实数解的近似值．
12．已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
解 (1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，所以a≠0.
由题意得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)＜0，
即或
所以1＜a＜2，故实数a的取值范围为(1,2)．
(2)若a＝，则f(x)＝x3－x＋，
所以f(－1)＝＞0，f(0)＝＞0，f(1)＝－＜0，
所以函数零点在(0,1)内，又f＝0，
所以方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为.
13．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0.
(1)证明a＞0；
(2)利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
证明 (1)∵f(1)＞0，
∴3a＋2b＋c＞0，
即3(a＋b＋c)－b－2c＞0，
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c＞0，
则－b－c＞c，即a＞c.
∵f(0)＞0，∴c＞0，则a＞0.
(2)在[0,1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0.
∵f(0)＞0，f(1)＞0，
∴f(x)在区间和上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
四、探究与拓展
14．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为＜0.01.
15．已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数．
(1)若m＝－4 ，判断f(x)＝0在(－1,1)上是否有零点？若没有，请说明理由；若有，并在精确度为0.2的条件下(即零点所在区间长度不大于0.2)，用二分法求出这个零点x0所在的区间；
(2)若函数f(x)在区间[－1,1]上存在零点，求实数m的取值范围．
解 (1) m＝－4时，f(x)＝2x2－8x－1，
可以求出f(－1)＝9，f(1)＝－7，
∵f(－1)·f(1)<0，f(x)为R上的连续函数，
∴f(x)＝0在(－1,1)上必有零点，
取中点0，代入函数得f(0)＝－1<0, f(－1)·f(0)<0，
零点x0∈(－1,0)，
再取中点－，
计算得f＝>0，
∴零点x0∈，
取其中点－，计算得f＝>0 ，
∴零点x0∈，
再取其中点－，计算得f＝>0，
∴零点x0∈，
区间长度<，符合要求，
故符合要求的零点x0所在的区间为.
(2)f(x)＝2x2－8x＋m＋3为开口向上的抛物线，对称轴为x＝－＝2，在区间[－1,1]上，函数单调递减，又f(x)在区间[－1,1]上存在零点，只可能
即
∴－13≤m≤3.
§2.3 函数的应用(Ⅰ)
学习目标 1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概念的理解.2.会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.3.了解数学知识来源于生活，又服务于生活．
知识点一 常见的函数模型
思考 用函数知识解决实际问题需要用到一些函数模型，常见的函数模型有哪些？
答案 一次函数、二次函数、反比例函数．
梳理 三类常见函数模型
名称
解析式
条件
一次函数模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函数模型
y＝＋b
k≠0
二次函数模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c
顶点式：y＝a2＋
a≠0
知识点二 函数应用的模型
思考 解决实际问题的基本过程是什么？
答案 ①分析问题，②建立函数模型，③解决函数问题，④回到实际问题．
梳理 数学模型的基本程序
类型一 一次函数模型的应用
例1 某地的水电资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足．某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x(千瓦时)与相应电费y(元)之间的函数关系如图所示．
(1)月用电量为100千瓦时时，应交电费多少元？
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
(3)月用电量为260千瓦时时，应交电费多少元？
解 (1)月用电量为100千瓦时时，应交电费60元．
(2)当x≥100时，y与x之间为一次函数关系．
设y＝kx＋b(k≠0)，则
∴
∴y＝x＋10.
(3)当x＝260时，y＝×260＋10＝140.
∴月用电量为260千瓦时时，应交电费140元．
引申探究
若将本例(2)中的x≥100去掉，求y与x的关系式．
解 由函数图象不在同一条直线上，∴选择分段求解．
(1)当0≤x≤100时，
设y＝kx(k≠0)，则60＝100k，∴k＝，
∴y＝x.
(2)当x>100时，同上例(2)，y＝x＋10.
∴y＝
反思与感悟 一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单．
跟踪训练1 商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该商店现推出两种优惠办法：
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；
(2)按购买总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x(个)，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并指出如果顾客需购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？
解 (1)买4个茶壶，送4个茶杯，再单买x－4个茶杯，
∴y＝5(x－4)＋20×4(x≥4)，
即y＝5x＋60(x≥4)．
当x＝40时，y＝5×40＋60＝260(元)．
(2)按总价的92%付款，
则y＝(20×4＋5x)×92%(x≥4)，
即y＝4.6x＋73.6(x≥4)．
当x＝40时，y＝257.6.
比较两种方案，可以看出，应选择第(2)种方案更优惠．
类型二 二次函数模型的应用
例2 如图，要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．要使鸡场面积最大，养鸡场的长度应为多少米？
解 设养鸡场面积为S.
∵养鸡场总长为x，∴宽为(0∴S＝x·即S＝－(x2－50x)＝－(x－25)2＋，
∴当x＝25时，Smax＝.
即养鸡场的长度为25米时，面积最大．
引申探究
若将本例改为：要使养鸡场面积为，怎样设计可使所用的篱笆最短？
解 ∵长为x，∴宽为，
∴L＝x＋×3，即L＝x＋.
由对勾函数的性质知，L＝x＋在(0,25)上为减函数，在(25，＋∞)上为增函数，
∴当x＝25时，Lmin＝25＋25＝50.
即养鸡场的长度为25 m时，可使用的篱笆最短．
反思与感悟 (1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式)．
(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．
(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象．
跟踪训练2 据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解 (1)由题意知，可设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，将x＝10，y＝20代入上式，
得20＝25a＋17.5.
解得a＝0.1.
所以y＝0.1x2－3x＋40(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y
＝1.6x－(0.1x2－3x＋40)
＝－0.1(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．
因为x＝23∈[10,25]，
所以当月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．
类型三 分段函数模型的应用
例3 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？
(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋＝550(个)．因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
(2)当0＜x≤100时，P＝60；
当100＜x≤550时，P＝60－0.02(x－100)＝62－；
当x＞550时，P＝51.
∴P＝f(x)＝(x∈N＋)．
(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝(P－40)x＝
当x＝500时，L＝6 000；当x＝1 000时，L＝11 000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元．
反思与感悟 分段函数模型的求解技巧
(1)在求其解析式时， 应先确定分“段”，即函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重，不漏”．
(2)求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值，求解自变量的值时，就是解方程的过程，即每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判别是否属于所在区间．
跟踪训练3 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图中的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示.
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)在(2)的结论下，用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？
解 (1)由图知该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数图象为两条直线段，且在前20天，图象经过点(0,2)和(20,6)，后10天经过点(20,6)和(30,5)，故解析式为
P＝
(2)设Q＝at＋b(a，b为常数且a≠0)，将(4,36)与(10,30)代入，
得解得a＝－1，b＝40.
日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为
Q＝40－t,0＜t≤30，t∈N＋.
(3)由(1)(2)可得
y＝
即y＝
当0＜t≤20时，当t＝15时，ymax＝125；
当20＜t≤30时，y＝t2－12t＋320在(20,30]上是减函数，
又当20＜t≤30时，ymax＜×202－12×20＋320＝120＜125，
所以第15日交易额最大，最大值为125万元．
1．某文体商店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副20元，球每只5元，该店制订了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只球；②按球拍和球的总价的92%付款．某单位计划购买4副球拍和30只球，该单位若想更省钱，则应选优惠方法( )
A．① B．②
C．两种一样 D．不能确定
答案 A
解析 若按第①种优惠方法，共需要花费4×20＋26×5＝210(元)，若按第②种优惠方法，共需要花费0.92×(4×20＋30×5)＝211.6(元)，故选A.
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
答案 D
解析 设进货价为x，则10%·x＝132×0.9－x，
∴x＝108.
3．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为( )
A．95元 B．100元
C．105元 D．110元
答案 A
解析 设每个售价定为x元，总利润为y元，
则y＝(x－80)[400－20(x－90)]
＝－20(x－95)2＋4 500，x＞80，
当x＝95时，ymax＝4 500.
4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 m B．4 m
C．6 m D．12 m
答案 A
解析 如图所示，设隔墙长为x m，则矩形长为＝12－2x(0∴S矩形＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18.
∴当x＝3时，矩形的面积最大．
解决函数应用问题的一般程序
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系．
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，选择适当的函数建立函数模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：将得到的结论，还原为实际问题的结果．
一、选择题
1．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
x
1
2
3
…
y
1
3
5
…
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x＋1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
答案 A
解析 将各数据代入y＝2x－1均成立，故选A.
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
答案 B
解析 由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1 300)代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.
3．化工厂在一月份生产某种产品200 t，三月份生产y t，则y与月平均增长率x之间的关系是( )
A．y＝200x B．y＝200x2
C．y＝200(1＋x) D．y＝200(1＋x)2
答案 D
解析 一月份为200 t，二月份为200x＋200＝200(x＋1)t，三月份为200(x＋1)x＋200(x＋1)＝200(x＋1)(x＋1)＝200(x＋1)2t，即y＝200(x＋1)2.
4．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10)
B．y＝20－2x(x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5＜x＜10)
答案 D
解析 由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.
∵y＞0，∴20－2x＞0，∴x＜10.
又∵三角形两边之和大于第三边，
∴解得x＞5，∴5＜x＜10，故选D.
5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
答案 C
解析 若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．
6.已知直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线x＝t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为y，则函数y＝f(t)的大致图象为( )
答案 C
解析 由题意知，y＝所以C正确．
二、填空题
7．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是________．
答案 y＝x(x∈N＋)
解析 设新价为b，则售价为b(1－20%)．
∵原价为a，
∴进价为a(1－25%)．
依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)×25%，化简得b＝a，
∴y＝b×20%·x＝a×20%·x，即y＝x(x∈N＋)．
8．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．
答案 6
解析 设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)＝80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值．
9．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位，成本就增加1万元，又知总收入R(万元)是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－Q2，那么，总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)
答案 250 300
解析 L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)
＝－(Q－300)2＋250，
则当Q＝300时，总利润L(Q)取最大值250万元．
10．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗澡．
答案 4
解析 设最多用t分钟，则水箱内水量y＝200＋2t2－34t，当t＝时y有最小值，此时共放水34×＝289(升)，可供4人洗澡．
三、解答题
11．某旅游公司的最大接待量为1 000(人)，为保证公司正常运作，实际的接待量x要小于1 000，留出适当的空闲量(如：当接待量为800(人)时，则空闲量为200(人))，空闲量与最大接待量的比值叫作空闲率．已知该公司4月份接待游客的日增加量y(人)和实际接待量x(人)与空闲率的乘积成正比．(设比例系数k＞0)
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出定义域；
(2)当k＝时，求4月份游客日增加量的最大值．
解 (1)由题意知，当实际接待量为x(人)时，空闲率为.故y关于x的函数关系式为y＝kx·(k＞0)，函数的定义域为0＜x＜1 000.
(2)当k＝时，y＝x·
＝(－x2＋1 000x)
＝[－(x－500)2＋250 000]
＝－(x－500)2＋25，
∴当x＝500时，ymax＝25.
∴4月份游客日增加量的最大值为25人．
12．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2
(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；
(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？
解 (1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，
得所以
所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.
(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2，所以给出的这套桌椅是配套的．
13．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a米(0解 由已知AB＝16－x，
∴y＝x(16－x)＝－x2＋16x.
又x≥a,16－x≥4，∴a≤x≤12.
即y＝－x2＋16x，x∈[a,12]．
由y＝－(x－8)2＋64，对称轴为x＝8，又0∴当0当8即BC＝a米时，ymax＝－a2＋16a(平方米)．
四、探究与拓展
14．某人定制了一批地砖，每块地砖(如图1所示)是边长为40 cm的正方形ABCD，点E，F分别在边BC和CD上，△CFE，△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE，△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分构成四边形EFGH.则当CE＝________cm时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
答案 10
解析 设CE＝x，则FC＝x，BE＝40－x，设△CFE，△ABE和四边形AEFD的面积，分别为S1，S2，S3，每块地砖的总费用为y，则
y＝3S1＋2S2＋S3＝x2＋402－40x＋402－x2－20×40＋20x＝x2－20x＋2 400，
二次函数开口向上，其对称轴为x＝10 ，所以当x＝10时，即CE＝10 cm时费用最少．
15．有时可用函数f(x)＝描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．
(1)证明 当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝－＝.而当x≥7时，函数y＝(x－3)·(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故函数f(x＋1)－f(x)单调递减，所以当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降．
(2)解 根据题意可知x＝6时，f(x)＝85%，即0.1＋15ln＝0.85，整理得＝e0.05，解得a＝≈123.0.
因为123.0∈(121,127]，由此可知该学科是乙学科．
滚动训练(三)
一、选择题
1．(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝?
考点 并集、交集的综合运算
题点 并集、交集的综合运算
答案 A
解析 ∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．
又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．
故选A.
2．函数y＝x2－2x－3的零点是( )
A．1，－3 B．3，－1
C．1,2 D．不存在
答案 B
解析 令x2－2x－3＝0得x＝－1或x＝3，故选B.
3．已知f＝2x＋3，则f(6)的值为( )
A．15 B．7 C．31 D．17
考点 对f(a)与f(x)的理解
题点 求函数值
答案 C
解析 令－1＝6，则x＝14，
则f(6)＝2×14＋3＝31.
4．已知二次函数图象的顶点坐标为(1,1)，且过(2,2)点，则该二次函数的解析式为( )
A．y＝x2－1 B．y＝－(x－1)2＋1
C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
答案 C
解析 设二次函数为y＝a(x－1)2＋1，将(2,2)代入上式，得a＝1.所以y＝(x－1)2＋1.
5．函数f(x)，g(x)由下列表格给出，则f(g(3))等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
2
4
3
1
g(x)
3
1
2
4
A.4 B．3 C．2 D．1
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法综合
答案 A
解析 g(3)＝2，f(g(3))＝f(2)＝4.
6．函数y＝的值域为( )
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，－1]
答案 B
解析 由于≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)．
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)，(3,0)，其形状与二次函数y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为( )
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
答案 D
解析 由题意得y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6，故选D.
8．下列区间中，使函数y＝－2x2＋x为增函数的是( )
A．R B．[2，＋∞)
C. D.
答案 D
解析 函数y＝－2x2＋x＝－22＋的图象的对称轴是直线x＝，图象的开口向下，所以函数值在对称轴x＝的左边是增加的．
二、填空题
9．函数f(x)＝的零点为________．
答案 －3，
解析 令x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3，
又x≤0，∴x＝－3是函数一个零点，
由－2＋x2＝0得x＝±.
又x＞0，∴x＝为函数的零点．
10．已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.
答案 10
解析 因为f(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
答案 [2,2.5]
解析 令f(x)＝x3－2x－5，f(x)图象在[2,3]上连续不断，
∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，
f(x0)＝f(2.5)＝5.625＞0，
∴f(2)·f(2.5)＜0，
故下一个有根区间是[2,2.5]．
12．已知f(x)＝若f(1)＋f(a＋1)＝5，则a＝________.
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 －1
解析 f(1)＝1×(1＋4)＝5，
∵f(1)＋f(a＋1)＝5，∴f(a＋1)＝0.
当a＋1≥0，即a≥－1时，
有(a＋1)(a＋5)＝0，
∴a＝－1或a＝－5(舍去)．
当a＋1<0，即a<－1时，
有(a＋1)(a－3)＝0，无解．
综上可知a＝－1.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1.
当x＝－5时，f(x)的最大值为37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为x＝－a.∵f(x)在[－5,5]上是单调的，故－a≤－5，或－a≥5.即实数a的取值范围是{a|a≤－5，或a≥5}．
四、探究与拓展
14．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法综合
解析 (1)列表法如下：
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
15．已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，
(1)若函数f(x)没有零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围；
(4)若函数f(x)有四个零点，求实数a的取值范围．
解 令|x2－2x|－a＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g(x)＝|x2－2x|，y＝a，作出函数g(x)＝|x2－2x|的图象(如图所示)，
由图象可知：
(1)当a＜0时，a≠|x2－2x|，
此时函数y＝a与函数g(x)的图象没有交点．
即函数f(x)没有零点．
(2)当a＝0或a＞1时，函数y＝a与函数g(x)的图象有两个交点，即f(x)有两个零点．
(3)当a＝1时，函数y＝a与函数g(x)的图象有三个交点，即f(x)有三个零点．
(4)当0＜a＜1时，函数y＝a与函数g(x)的图象有四个交点，即f(x)有四个零点．
滚动训练(二)
一、选择题
1．下列五个写法：其中错误写法的个数为( )
①{0}∈{0,2,3}；②??{0}；③{0,1,2}?{1,2,0}；④0∈?；⑤0∩?＝?.
A．1 B．2
C．3 D．4
考点 集合的包含关系
题点 集合包含关系的判定
答案 C
解析 ②③正确．
2．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于( )
A．N B．M
C．R D．?
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 A
解析 M＝{x|y＝x2－2}＝R，
N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.
3．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)
考点 函数的定义域
题点 求具体函数的定义域
答案 D
解析 根据题意有解得x≥1且x≠2.
4．在下面的四个选项所给的区间中，函数f(x)＝x2－1不是减函数的是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，－1)
C．(－1,1) D．(－∞，0)
考点 函数的单调性的判定与证明
题点 判断函数的单调性
答案 C
解析 函数f(x)＝x2－1为二次函数，单调减区间为(－∞，0]，而(－1,1)不是(－∞，0]的子集，故选C.
5．函数f(x)＝x5＋x3＋x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
答案 C
解析 易知f(x)是R上的奇函数，因此图象关于坐标原点对称．
6．已知f(x)＝则f＋f等于( )
A．－ B.
C. D．－
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 A
解析 ∵f＝2×－1＝－，
f＝f＋1＝f＋1＝2×－1＋1＝，
∴f＋f＝－，故选A.
7．若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)<1的解集为( )
A．{x|x>3或－3B．{x|x<－3或0C．{x|x<－3或x>3}
D．{x|－3考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 利用奇偶性、单调性解不等式
答案 C
解析 由于f(x)是偶函数，∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴当x>0时，f(x)<1即f(x)3，当x<0时，f(x)<1即f(x)8．已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为( )
A. B.
C．2 D．2
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数的最值
答案 A
解析 ∵y≥0，
∴y＝＋＝ (－3≤x≤1)，
∴当x＝－3或1时，ymin＝2；当x＝－1时，ymax＝2，
即m＝2，M＝2，∴＝.
二、填空题
9．函数f(x)是定义在[－1,3]上的减函数，且函数f(x)的图象经过点P(－1,2)，Q(3，－4)，则该函数的值域是________．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值
答案 [－4,2]
解析 ∵f(x)的图象经过点P，Q，
∴f(－1)＝2，f(3)＝－4.
又f(x)在定义域[－1,3]上是减函数，
∴f(3)≤f(x)≤f(－1)，即－4≤f(x)≤2.
∴函数f(x)的值域是[－4,2]．
10．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案 f(x1)>f(x2)
解析 ∵x1<0，∴－x1>0，又|x1|>|x2|，x2>0，
∴－x1>x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)．
又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．
11．若函数f(x)＝2x4－|3x＋a|为偶函数，则a＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
答案 0
解析 f(－x)＝2x4－|a－3x|，由偶函数定义得|3x＋a|＝|a－3x|，∴(a＋3x)2＝(a－3x)2，∴a＝0.
三、解答题
12．已知集合A＝{x|－4≤x<8}，函数y＝的定义域构成集合B，求：
(1)A∩B；
(2)(?RA)∪B.
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
解 y＝的定义域为B＝{x|x≥5}，则
(1)A∩B＝{x|5≤x<8}．
(2)?RA＝{x|x<－4或x≥8}，
∴(?RA)∪B＝{x|x<－4或x≥5}．
13．已知二次函数f(x)满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的值域．
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
解 (1)方法一 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c
＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c
＝9x2－6x＋5.
比较系数，得解得
所以f(x)＝x2－4x＋8.
方法二 令t＝3x＋1，t∈R，
则x＝，
f(t)＝9×2－6×＋5，
即f(t)＝t2－4t＋8，
所以f(x)＝x2－4x＋8.
(2)因为函数f(x)＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，
当x＝2时取等号．
所以函数f(x)的值域为[4，＋∞)．
四、探究与拓展
14．设函数f(x)＝(x＋|x|)，g(x)＝则f＝________.
考点 分段函数
题点 求分段函数解析式
答案
解析 f(x)＝
当x>0时，g(x)＝x2>0.
则f＝f(x2)＝x2.
当x≤0时，g(x)＝x≤0，则f＝f(x)＝0.
综上可得，f＝
15．已知函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)当x<0时，求函数f(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
(1)证明 设0f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵00，x2－x1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)解 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－－1.
故f(x)＝－－1(x<0)．
1 函数解析式求解的常用方法
一、换元法
例1 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
分析 采用整体思想，可把f(＋1)中的“＋1”看做一个整体，然后采用另一参数替代．
解 令t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)，
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
评注 将接受对象“＋1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式．此法是求函数解析式时常用的方法．
二、待定系数法
例2 已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的表达式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
f(x＋1)＋f(x－1)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c
＝2x2－4x.
故有解得
所以f(x)＝x2－2x－1.
评注 若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数．
三、方程消元法
例3 已知：2f(x)＋f＝3x，x≠0，求f(x)．
解 2f(x)＋f＝3x，①
用去代换①式中的x，得2f＋f(x)＝.②
由①×2－②，得f(x)＝2x－，x≠0.
评注 方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的.
2 解读分段函数
分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考．
一、分段函数解读
在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，相应的对应法则不同，这样的函数称之为分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应法则)不同而已．
二、常见的题型及其求解策略
1．求分段函数的定义域、值域
例1 求函数y＝f(x)＝的值域．
解 当x≤－2时，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，∴y≥－4；
当x＞－2时，y＝，∴y＞＝－1.
∴函数f(x)的值域是{y|y≥－4}．
解题策略 分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．
2．求分段函数的函数值
例2 已知f(x)＝求f(5)的值．
解 ∵5＜10，∴f(5)＝f(f(5＋6))＝f(f(11))，
∵11＞10，∴f(f(11))＝f(9)，
又∵9＜10，∴f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.即f(5)＝11.
解题策略 求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理．
3．画出分段函数的图象
例3 已知函数f(x)＝，作出此函数的图象．
解 由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示．
解题策略 分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实．
4．求解分段函数的解析式
例4 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y与x之间的函数关系式．
解 (1)由题意可知当0＜x≤100时，设函数的解析式y＝kx，又因过点(100,40)，得解析式为y＝x，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，
所以应交话费y＝×50＝20(元)．
(2)当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.
则有解得
所以解析式为y＝x＋20，
故所求函数关系式为y＝
解题策略 以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题的关键是正确地理解题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点．
3 合理变形——突破单调性的证明
由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值→作差→变形→定号．其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f(x1)－f(x2)的符号的关键所在．本文总结了用定义证明函数单调性中的变形策略．
一、因式分解
例1 求证：函数f(x)＝x2－4x在(－∞，2]上是减函数．
证明 设x1，x2是(－∞，2]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x－4x1)－(x－4x2)
＝(x1－x2)(x1＋x2－4)．
因为x1＜x2≤2，所以x1－x2＜0，x1＋x2－4＜0.
所以f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)．
故函数f(x)在(－∞，2]上是减函数．
评注 因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f(x1)－f(x2)的符号．
二、配方
例2 求证：函数f(x)＝x3＋1在R上是增函数．
证明 设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x＋1－x－1
＝x－x
＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)
＝(x1－x2).
因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，2＋x＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
故函数f(x)在R上是增函数．
评注 本题极易在(x1－x2)(x＋x1x2＋x)处“止步”而致误．而实际上当我们不能直接判断x＋x1x2＋x的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明”．
三、通分
例3 已知函数f(x)＝x＋，求证：函数f(x)在区间(0,1]上是减函数．
证明 设x1，x2是区间(0,1]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＝(x1－x2).
因为x1＜x2，且x1，x2∈(0, 1]，
所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜1.
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
故函数f(x)在(0,1]上是减函数．
评注 同样，我们可以证明f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数．
四、有理化
例4 已知函数f(x)＝，求证：函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．
证明 设x1，x2是区间[1，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－
＝ .
因为x1＜x2，且x1，x2∈[1，＋∞)，
所以x1－x2＜0，＋＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
评注 对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f(x1)－f(x2)符号的目的.
4 谈复合函数的单调性
设y＝f(t)是t的函数，t＝g(x)是x的函数，若t＝g(x)的值域是y＝f(t)定义域的子集，则y通过中间变量t构成x的函数，称为x的复合函数，记作y＝f(t)＝f[g(x)]．
如函数y＝，若设t＝1－x，则y＝.这里t是x的函数，y是t的函数，所以y＝是x的复合函数，把t称为中间变量．
思考1 已知函数y＝f(t)的定义域为区间[m，n]，函数t＝g(x)的定义域为区间[a，b]，值域D?[m，n]．若y＝f(t)在定义域内单调递增，t＝g(x)在定义域内单调递增，那么y＝f[g(x)]是否为[a，b]上的增函数？为什么？
答 y＝f[g(x)]是区间[a，b]上的增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[a，b]，且x1因为t＝g(x)在[a，b]上递增，所以g(x1)思考2 若将g(x)在区间[a，b]上“递增”改为“递减”或将f(x)在区间[m，n]上“递增”改为“递减”等，这时复合函数y＝f[g(x)]在区间[a，b]上的单调性又如何呢？
答 利用解决思考1的方法就可以得出相应的结论(你不妨一试)．
由此可得到如下复合函数单调性的结论：
y＝f(t)
递增
递减
t＝g(x)
递增
递减
递增
递减
y＝f[g(x)]
递增
递减
递减
递增
以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”．不过要注意：单调区间必须注意定义域；要确定t＝g(x)(常称内层函数)的值域，否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性．
例 求函数y＝的单调区间．
解 函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
设t＝(x＋1)2，则y＝(t>0)．
当x∈(－∞，－1)时，t是x的减函数，y是t的减函数，
所以(－∞，－1)是y＝的递增区间；
当x∈(－1，＋∞)时，t是x的增函数，y是t的减函数，
所以(－1，＋∞)是y＝的递减区间．
综上知，函数y＝的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)．
变式 求y＝的单调区间．
解 由x2－2x－3≠0，得x≠－1或x≠3，
令t＝x2－2x－3(t≠0)，则y＝，
因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，
而t＝x2－2x－3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，
在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y＝的递增区间为(－∞，－1)，(－1,1)，
递减区间为(1,3)，(3，＋∞).
5 函数单调性的应用
一、比较大小
例1 若函数f(x)＝x2＋mx＋n，对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)成立，试比较f(－1)，f(2)，f(4)的大小．
解 依题意可知f(x)的对称轴为x＝2，∴f(－1)＝f(5)．
∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(2)评注 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；
(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．
二、解不等式
例2 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是增函数，且f(t－1)解 依题意可得解得0评注 (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小关系，然后去解不等式．
(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围．
(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错．
三、求参数的值或取值范围
例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围．
解 任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则Δx＝x2－x1>0.
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x－ax2)－(x－ax1)
＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x－a)．
∵1≤x13.
显然不存在常数a，使(x＋x1x2＋x－a)恒为负值．
又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，
∴必有一个常数a，使x＋x1x2＋x－a恒为正数，
即x＋x1x2＋x>a.
当x1，x2∈[1，＋∞)时，x＋x1x2＋x>3，
∴a≤3.此时，∵Δx＝x2－x1>0，∴Δy>0，
即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴a的取值范围是(0,3]．
四、利用函数单调性求函数的最值
例4 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；
(2)当a＝时，求f(x)的最小值；
(3)若a为正常数，求f(x)的最小值．
解 (1)当a＝4时，f(x)＝x＋＋2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6.
(2)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝.
(3)函数f(x)＝x＋＋2在(0，]上是减函数，
在[，＋∞)上是增函数．
若>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，
∴f(x)min＝f()＝2＋2.
若≤1，即0∴f(x)min＝f(1)＝a＋3.
6 例析函数的值域
求函数值域的常用方法：配方法、换元法、单调性法、判别式法、不等式法、数形结合法、有界性法、分离常数法．
例1 求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝f(x)＝2x－1－.
解 (1)方法一(配方法)
∵y＝1－，
又x2－x＋1＝2＋≥，
∴0<≤，∴－≤y<1.
方法二(判别式法)
由y＝，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.
当y＝1时，x∈?.
当y≠1时，∵x∈R，
∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，
∴－≤y<1.
∴函数的值域为.
(2)方法一(换元法)
设＝t，则t≥0，x＝，
于是f(x)＝g(t)＝2·－1－t
＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋6，
显然函数g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
所以g(t)≤g(0)＝，
因此原函数的值域是.
方法二(单调性法)
函数的定义域是，
当自变量x增大时，2x－1增大，减小，
所以2x－1－增大，
因此函数f(x)＝2x－1－在其定义域上是一个单调递增函数，
所以当x＝时，函数取得最大值f＝，
故原函数的值域是.
例2 求函数y＝的值域．
解 (有界性)因为y＝＝，
所以102x＝(y≠1)．
又因为102x>0，所以>0.解得y>1或y<－1，
所以值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
例3 求函数y＝的值域．
解 ∵y＝＝
＝－1－，
又∵≠0，
∴y＝－1－≠－1，
即函数的值域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞).
7 函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性是函数的一个重要性质，除了直接运用定义法判断外，下面再介绍几种判定方法．
一、定义域判定法
例1 判断函数f(x)＝·的奇偶性．
分析 一个函数是奇(偶)函数，其定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件．若定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数．
解 要使函数f(x)有意义，则
解得x≥1，即定义域是{x|x≥1}．
因为定义域不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
评注 用定义域虽不能判断一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称来说明一个函数不具有奇偶性．
二、变式法
例2 判断f(x)＝的奇偶性．
分析 直接验证f(－x)＝±f(x)有困难，可转化为验证＝±1(f(x)≠0)．
解 f(x)的定义域为R，关于原点对称．
当x＝0时，f(x)＝0，图象过原点．
因为当x≠0时，＝＝－1，
所以f(－x)＝－f(x)．
又f(0)＝0，所以函数f(x)为奇函数．
评注 为了运算上的方便或是直接运用定义判断较难进行时，常把验证f(－x)＝±f(x)转化为验证其变式：f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)．
三、图象法
例3 判断函数f(x)＝的奇偶性．
分析 本题可用图象法较为直观地判断．
解 作出函数f(x)的图象，如图所示．
因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数．
评注 一些函数的奇偶性可用图象法解决，即图象关于原点对称的函数是奇函数，图象关于y轴对称的函数是偶函数，否则既不是奇函数也不是偶函数．
8 函数奇偶性的应用
函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明．
一、求函数的解析式
例1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，求f(x)的解析式．
分析 要求f(x)在R上的解析式，条件已给出f(x)在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x≤0时f(x)对应的解析式．
解 因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)，
因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝x(1－)，x∈(－∞，0)．
在f(－x)＝－f(x)中，
令x＝0，得f(0)＝0.
所以f(x)＝
评注 利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式．
二、求参数的值
例2 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a＜0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.
分析 根据已知条件当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x＜0的解析式．
解析 令x＜0，则－x＞0.所以f(－x)＝－x(1－x)．
又f(x)为奇函数，所以当x＜0时，有f(x)＝x(1－x)．
令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0.
解得a＝－1或a＝2(舍去)．
答案 －1
评注 解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键．
三、求参数的范围
例3 定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
解 因为f(x)是偶函数，所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．又f(1－m)＜f(m)，所以f(|1－m|)＜f(|m|)．由f(x)在区间[0,2)上是减函数，得0≤|m|＜|1－m|＜2.解得－1＜m＜.故实数m的取值范围是.
评注 本题利用了偶函数的性质：若函数f(x)是偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)，从而达到简捷求解的目的.
9 函数单调性、奇偶性联袂解题
单调性和奇偶性是函数的两个重要基本性质，二者之间有下面的密切联系：
(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
巧妙地运用单调性和奇偶性的联系，可以轻松解决很多函数问题．
下面分类举例说明．
一、比较大小
例1 已知函数f(x)是偶函数，且在区间[0,1]上是减函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)
B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)
C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)
D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)
解析 因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．
又因为f(x)在区间[0,1]上是减函数，
所以f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)．
答案 B
评注 比较两个函数值大小时，如果两个自变量的值不在同一单调区间上，则需要利用奇偶性来进行转化．
二、求函数最值
例2 若偶函数f(x)在区间[3,6]上是增函数且f(6)＝9，则它在区间[－6，－3]上( )
A．最小值是9 B．最小值是－9
C．最大值是－9 D．最大值是9
解析 因为f(x)是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，
所以f(x)在区间[－6，－3]上是减函数．因此，f(x)在区间[－6，－3]上最大值为f(－6)＝f(6)＝9.
答案 D
评注 应用单调性和奇偶性的联系求最值时，一定要确定是最大值还是最小值．
三、解不等式
例3 若函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，则x·f(x)＜0的解集是( )
A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析 因为函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，所以可画出符合条件的奇函数f(x)的图象，如图所示．
因为x·f(x)＜0，所以或结合图象，得到答案为A.
答案 A
评注 本题是单调性和奇偶性的综合应用，并且有较强的抽象性．只要抓住其对称性，分析图象的特点，画出符合条件的图象，就不难使问题得到解决．
四、求参数的取值范围
例4 设定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在[0,1)上单调递增，且有f(1－m)＋f＜0，求实数m的取值范围．
解 由于函数f(x)的定义域为(－1,1)，
则有解得0＜m＜.
又f(1－m)＋f＜0，
所以f(1－m)＜－f.
而函数f(x)为奇函数，
则有f(1－m)＜f.
因为函数f(x)是奇函数，且在[0,1)上单调递增，
所以函数f(x)在定义域(－1,1)上单调递增，
则有1－m＜2m－，解得m＞，
故实数m的取值范围为.
评注 本题通过函数奇偶性和单调性的定义及其相关特征解决问题，这是比较常见的题型之一．
10 函数图象的三种变换
函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：
一、平移变换
例1 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：
(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；
(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．
解 (1)如图1 (2)如图2
图1 图2
观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到；y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到；y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．
二、对称变换
例2 设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系．
解 画出y＝f(x)＝x＋1与y＝f(－x)＝－x＋1的图象如图所示．
由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称．
评注 函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
三、翻折变换
例3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数图象的关系．
解 y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所示．
图1 图2
通过观察两个函数图象可知：要得到y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．
例4 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系．
解 如图所示．
通过观察两个函数图象可知：要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，保留右方部分并把右方部分对称翻折到左方即可.
11 含参方程的解法
一题多解训练，就是启发和引导同学们从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动，从而提高综合运用已学知识解答数学问题的技巧，锻炼思维的灵活性，促进同学们长知识、长智慧，开阔同学们的思路，引导同学们灵活地掌握知识之间的纵横联系，培养和发挥创造性．
例 若方程x2－x＝k在区间(－1,1)内有实数解，试求实数k的取值范围．
分析 本题考查方程在区间内有实数解，考查根的分布问题，由于函数与方程的关系密切，所以解决本题可以利用根的分布得出满足条件的不等式，进而求解；也可以通过构造函数，利用数形结合思想求解．所以有以下几种方法．
方法一 令f(x)＝x2－x－k.
若方程x2－x＝k在区间(－1,1)内有两个实数解，
则有解得－≤k<－.
若方程x2－x＝k在区间(－1,1)内有一个实数解，
则有f(－1)·f(1)<0或或
解得－≤k<.
综上所述，实数k的取值范围为.
评注 本方法是利用根的分布，分别讨论有一解、两解的情况，最后把解集取并集即可．
方法二 因为f(x)＝x2－x－k的对称轴x＝∈(－1,1)，更确切地说，x＝在(0,1)内，
所以方程x2－x＝k在区间(－1,1)内有实数解等价于解得－≤k<.
所以实数k的取值范围为.
评注 该解法的特点是发现了本题的特殊性，即对称轴在已知的区间内，从而迅速将难题破解．
方法三 若方程x2－x＝k在(－1,1)内有实数解，令y＝x2－x，x∈(－1,1)的值域为M，
则原方程在(－1,1)内有实数解，只需k∈M即可．
根据函数y＝x2－x的对称轴x＝，且x∈(－1,1)，
可知函数在x＝处取得最小值，即ymin＝2－×＝－；
函数在x＝－1处取得最大值，即ymax＝1＋＝.
所以－≤k<.
所以实数k的取值范围为.
评注 该解法的妙处在于将原问题转化为求二次函数的值域问题，运用了转化与化归思想，而对于值域问题的处理，也就简单多了．
方法四 令f(x)＝x2－x，x∈(－1,1)，g(x)＝k.
若方程x2－x＝k在(－1,1)内有实数解，
则只需f(x)和g(x)的图象在(－1,1)内有交点即可，如图所示．
显然－≤k<.
所以实数k的取值范围为.
评注 该解法很好地将一个代数问题转化为图象交点问题，运用了数形结合的思想，而且该解法还能进一步对解的个数进行讨论.
12 函数的零点及应用
一、要点扫描
1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且f(a)f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之不成立．
2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)＝0.
3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y＝f(x)与y＝g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求f(x)－g(x)＝0的根．
二、典型例题剖析
1．求函数的零点
例1 求函数f(x)＝x3－3x＋2的零点．
解 令f(x)＝x3－3x＋2＝0，
∴(x＋2)(x－1)2＝0.
∴x＝－2或x＝1，
∴函数f(x)＝x3－3x＋2的零点为－2,1.
评注 求函数的零点，就是求f(x)＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题．
2．判断函数零点的个数
例2 已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，判断函数f(x)＝0的根的个数．
解 设f1(x)＝ax(a＞1)，f2(x)＝－，则f(x)＝0的解，即为f1(x)＝f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标．
在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)＝ax(a＞1)与f2(x)＝－的图象(如图所示)．
所以方程f(x)＝0的根有一个．
评注 利用数形结合的思想解决，在同一坐标系下作出f1(x)与f2(x)两函数的图象，从而观察出两函数的交点个数(即为原函数的零点的个数)．
3．确定零点所在的区间
例3 设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析 y＝x3与y＝x－2的图象的交点的横坐标即为x3＝x－2的根，即f(x)＝x3－x－2的零点，f(1)＝1－－1＝－1＜0，f(2)＝23－0＝7＞0，
∴f(x)的零点在(1,2)内．
答案 B
评注 本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求．
4．利用函数零点的存在性求参数范围
例4 关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
又∵f(0)＝1>0，由题意得
①或②
解①得－3≤m≤－1，解②得m<－3.
综合得m≤－1.
故m的取值范围为m≤－1.
评注 本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求.
13 函数与方程，唇齿相依
函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．
一、判断方程解的存在性
例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？
分析 可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．
解 因为f(－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2＋1＝－4<0，
f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，
所以f(－1)·f(0)<0.
又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，
所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．
评注 要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．
二、确定方程根的个数
例2 若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
分析 利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．
解析 设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1
得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.
因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)上有零点．
由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，
易知当a>0时g(x)单调递增；
当a<0时，g(x)单调递减，
即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．
因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.
答案 A
评注 在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有唯一的零点．
三、求参数的取值范围
例3 已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
分析 将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．
解析 因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，
即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，所以f(－2)f(0)≤0.即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.
答案 m≥1
评注 本题对方程实根的研究转化为对一次函数f(x)在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m的不等式求出m的取值范围．整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．
例4 已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．
分析 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示.
对应的条件是或解出即可．
解 令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，为使方程f(x)＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需
或
即或
解得k>0或k<－4.
故k的取值范围是k>0或k<－4.
评注 本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般地，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想，使问题得到巧妙解决．
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
答案 C
解析 适合用二分法求值的零点一定是变号零点，所以不可能求出的零点为x3.
2．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≤－1}
B．{x|－2≤x≤4}
C．{x|x≤－2或x≥4}
D．{x|x≥4}
答案 B
解析 要使函数有意义，需
解得－2≤x≤4.
3．某产品的利润y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝－2x2＋40x＋300，则利润y取最大值时，产量x等于( )
A．10 B．20 C．30 D．40
答案 A
解析 y＝－2(x－10)2＋500，当x＝10时，y取最大值．
4．若函数f(＋1)＝x2－2x，则f(3)等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 A
解析 ∵f(＋1)＝x2－2x，
∴f(＋1)＝22－2·2＝0，
即f(3)＝0.
5．已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)>－1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.∪(0,1)
答案 B
解析 ①当－1≤x<0时，0<－x≤1，
此时f(x)＝－x－1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
∴f(x)－f(－x)>－1化为－2x－2>－1，
解得x<－，则－1≤x<－.
②当0此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1，
∴f(x)－f(－x)>－1化为－2x＋2>－1，
解得x<，则0故所求不等式的解集为∪(0,1]．
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于( )
A．2 B．－2 C．－3 D．3
答案 C
解析 ∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－(ax3＋bx)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f(3)＝－f(－3)＝－3.
7．设f(x)＝则f(f(0))等于( )
A．1 B．0 C．2 D．－1
答案 C
解析 f(0)＝1－0＝1，f(f(0))＝f(1)＝1＋1＝2.
8．已知一次函数y＝kx＋b为减函数，且kb<0，则在直角坐标系内它的大致图象是( )
答案 A
解析 ∵y＝kx＋b为减函数，∴k<0，
又∵kb<0，∴b>0，故选A.
9．已知函数f(x)＝－x5－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)>6，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，3)
C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)
答案 A
解析 g(x)＝f(x)－3为奇函数，且在R上单调递减，
f(a)＋f(a－2)>6可化为f(a)－3>－f(a－2)＋3＝－[f(a－2)－3]＝f(2－a)－3，
即g(a)>g(2－a)，
∴a<2－a，∴a<1.
10．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．有增有减 D．增减性不确定
答案 B
解析 ∵f(x)为偶函数，∴m＝0，
∴f(x)＝－x2＋3，开口向下，
对称轴为y轴，∴f(x)在(2,5)上是减函数．
11．若f(x)满足f(－x)＝f(x)，在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．f＜f(－1)＜f(2)
B．f(－1)＜f＜f(2)
C．f(2)＜f(－1)＜f
D．f(2)＜f＜f(－1)
答案 D
解析 由已知可得函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，f＝f，f(－1)＝f(1)．∵1＜＜2，
∴f(1)＞f＞f(2)，即f(2)＜f＜f(－1)．
12．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.
答案 －2
解析 f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，
∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，
∵1∈(0,2)，∴f(1)＝2×12＝2，
∴f(7)＝－f(1)＝－2.
14．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
答案 (1,3]
解析 如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，
∴1＜a≤3.
15．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．
答案 (－∞，2]
解析 若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2不合题意．
∴2∈[a，＋∞)，∴a≤2.
16．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则不等式f(x)＜0的解集为____________．
答案 {x|－2＜x＜2}
解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)＝0，所以f(－2)＝0.
又f(x)在(－∞，0]上是减函数，故f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
故满足f(x)＜0的x的取值范围应为(－2,2)，
即f(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜2}．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝.
(1)判断点(3,14)是否在f(x)的图象上；
(2)当x＝4时，求f(x)的值；
(3)当f(x)＝2时，求x的值．
解 (1)因为f(x)＝，所以f(3)＝＝－，
所以点(3,14)不在f(x)的图象上．
(2)f(4)＝＝－3.
(3)令＝2，即x＋2＝2x－12，
解得x＝14.
18．(12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
解 (1)∵f(x)的两个零点是－3和2，
∴－3和2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②
①－②得b＝a＋8.③
将③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.
∵a≠0，∴a＝－3.∴b＝a＋8＝5.
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)知f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－32＋＋18.
图象的对称轴方程是x＝－，
又0≤x≤1，
∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，
∴函数f(x)的值域是[12,18]．
19．(12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的值域．
解 (1)当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
则得∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
∴f(x)＝
(2)当－1≤x≤0时，y∈[0,1]．
当x>0时，y∈[－1，＋∞)．
∴函数值域为[0,1]∪[－1，＋∞)＝[－1，＋∞)．
20．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
解 (1)函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，
故最大值f(4)＝，最小值f(1)＝.
21．(12分)某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．
(1)分别将A，B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A，B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
解 (1)设投资x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，
依题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由图1，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2＝.
由图2，得g(4)＝1.6，即k2×＝1.6，∴k2＝.
故f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设B产品投入x万元，则A产品投入10－x万元，设企业利润为y万元，
由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－x＋＋2(0≤x≤10)．
∵y＝－x＋＋2＝－(－2)2＋，0≤≤.
∴当＝2，即x＝4时，ymax＝＝2.8.
因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润2.8万元．
22．(12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1图象的上方，试确定实数m的取值范围．
解 (1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1，
将点(0,3)的坐标代入得a＝2，
所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)由(1)知f(x)的对称轴为直线x＝1，
所以2a＜1＜a＋1，
所以0＜a＜.
即实数a的取值范围为.
(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，
由题意得2x2－6x－2m＋2＞0对于任意x∈[－1,1]恒成立，
所以x2－3x＋1＞m对于任意x∈[－1,1]恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，
则g(x)min＝g(1)＝－1，
所以m＜－1，
故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
章末复习
学习目标 1.构建知识网络，理解其内在联系.2.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．
1．知识网络
2．重要技能
(1)运算技能主要表现在求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算，以及式子的变形等．
(2)图形处理技能包括识图能力和作图能力．识图主要体现在给出函数图象，要能从中读出相关信息，能根据函数解析式或性质，画出相应图象．
(3)推理技能主要体现在给出函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的函数问题．
课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理；还有一些类比推理：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到抽象函数等．
(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于发现数据的内在规律．
(5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合的关系运算及函数表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有意识地培养灵活选择语言，清晰直观而又严谨地表达自己的想法，听懂别人的想法，从而进行交流与合作．
3．数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法：
(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题．
(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域．
(3)分类讨论在函数中，主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨．
(4)数形结合主要体现在借助函数图象研究函数性质．
1．函数的定义域、值域都是集合．( √ )
2．直线y＝b与R上的增函数至多有一个交点．( √ )
3．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.( × )
4．直线x＝a与函数y＝f(x)至多有一个交点．( √ )
类型一 函数概念及性质
命题角度1 函数三要素
例1 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．
(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；
(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．
解 (1)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设y＝kx＋b(k≠0)，当x＝4时，y＝16，当x＝7时，y＝10，得到16＝4k＋b,10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，
∴y＝－2x＋24.
依题意有
解得定义域为{x∈N＋|0≤x≤12}．
(2)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，x∈[0,12]且x∈N＋.所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920.
故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.
反思与感悟 建立函数模型是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束．
跟踪训练1 如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的中点，点P沿着路径A→B→C→M在正方形边上运动所经过的路程为x，△APM的面积为y.
(1)求y＝f(x)的解析式及定义域；
(2)求△APM面积的最大值及此时点P位置．
解 (1)根据题意得
f(x)＝
f(x)的定义域为(0,1)∪[1,2)∪＝.
(2)易知f(x)在(0,1)上为增函数，在上为减函数，
∴当x＝1时，f(x)max＝－＝.
命题角度2 函数的性质及应用
例2 已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值；
(3)解不等式f(x)－f(－x)>2.
(1)证明 由f(x)＋f(y)＝f(x＋y)可得
f(x＋y)－f(x)＝f(y)．
在R上任取x1>x2，令x＋y＝x1，x＝x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)．
∵x1>x2，∴x1－x2>0.
又x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
即f(x1)－f(x2)<0.
由定义可知f(x)在R上是减函数．
(2)解 ∵f(x)在R上是减函数；
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数；
∴f(－3)最大，f(3)最小．
又f(1)＝－，
∴f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×＝－2.
∴f(－3)＝f(4－3)－f(4)＝f(1)－f(3)－f(1)＝－f(3)＝2.
即f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
(3)解 由(2)知f(－3)＝2，
f(x)－f(－x)>2即f(x)>f(－x)＋2＝f(－x)＋f(－3)＝f(－3－x)，
由(1)知f(x)在R上为减函数，
∴f(x)>f(－3－x)?x<－3－x，
不等式的解集为.
反思与感悟 (1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用．
跟踪训练2 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解 (1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2?f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x－1|<16，解之得－15∴x的取值范围是{x|－15类型二 函数图象的画法及应用
例3 对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．
解 (1)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
图象关于y轴对称．
(2)f(x)＝x2－2|x|＝
画出图象如图所示，
根据图象知，函数f(x)的最小值是－1，无最大值．
单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
反思与感悟 画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．
跟踪训练3 已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.求x∈[－3,5]时，f(x)＝的所有解的和．
解 当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f(－x)＝－x.
又∵f(x)为奇函数，∴x∈[－1,0]时，f(x)＝－f(－x)＝x.
即x∈[－1,1]时，f(x)＝x.
又由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图象关于直线x＝1对称．
由此可得f(x)在[－3,5]上的图象如下：
在同一坐标系内画出y＝的图象，
由图可知在[－3,5]上共有四个交点，
∴f(x)＝在[－3,5]上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，
则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，
∴＝1，＝1.
∴x1＋x2＋x3＋x4＝4.
类型三 二次函数的图象及性质
例4 已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值是1，且g(x)＋f(x)是奇函数，求f(x)的表达式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则g(x)＋f(x)＝(a－1)x2＋bx＋c－3为奇函数，
故有(a－1)x2＋bx＋c－3＝－[(a－1)x2－bx＋c－3]，
∴(a－1)x2＋bx＋c－3＝－(a－1)x2＋bx－(c－3)．
∴解得
∴f(x)＝x2＋bx＋3＝2＋3－，
∵f(x)在区间[－1,2]上的最小值为1，
∴需分下列3种情况讨论：
①当－1≤－≤2，即－4≤b≤2时，
3－＝1，b2＝8，b＝±2，
∵b＝2＞2，∴b＝－2，
∴f(x)＝x2－2x＋3.
②当－＞2，即b＜－4时，f(x)的最小值是f(2)．
∴f(2)＝7＋2b＝1，b＝－3，舍去．
③当－＜－1，即b＞2时，f(x)的最小值是f(－1)．
∴f(－1)＝4－b＝1，b＝3.
∴f(x)＝x2＋3x＋3.
综上所述，f(x)＝x2－2x＋3或f(x)＝x2＋3x＋3.
反思与感悟 (1)对于二次函数，根据题目条件选择恰当的解析式的形式．
(2)二次函数是典型的轴对称图形，用好对称轴是解决问题的一个关键．
(3)研究二次函数在给定区间上的最值问题，往往需要讨论对称轴与区间的关系．在分类讨论时，要按照一定顺序，注意不重不漏．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝x2－x＋.
(1)写出函数f(x)图象的顶点坐标及单调递增、递减区间；
(2)是否存在实数a，当a＞1时，f(x)的定义域和值域都是[1，a]？若存在，求出a，若不存在，说明理由．
解 (1)∵f(x)＝x2－x＋
＝(x2－2x＋3)＝(x－1)2＋1，
∴f(x)的顶点坐标为(1,1)，
单调递减区间是(－∞，1]，
单调递增区间是[1，＋∞)．
(2)假设存在实数a满足条件．
∵x＝1是f(x)＝x2－x＋的对称轴，
故[1，a]是函数f(x)的递增区间且
∵f(a)＝a2－a＋，∴a2－a＋＝a，
∴a＝1或a＝3.又a＞1，∴a＝3.
∴存在实数a＝3，使f(x)的定义域和值域均为[1，a]．
1．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1,2)上的零点( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
答案 C
解析 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．故选C.
2．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值，最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
答案 A
解析 当x∈[1,2]时，f(x)max＝f(2)＝10，
f(x)min＝f(1)＝8.
当x∈[－1,1]时，f(x)max＝f(1)＝8，
f(x)min＝f(－1)＝6.
∴x∈[－1,2]时，f(x)max＝10，f(x)min＝6.
3．函数f(x)＝则f的值为( )
A. B．－ C. D．18
答案 C
解析 ∵3>1，∴f(3)＝32－3－3＝3，
∵<1，∴f＝f＝1－2＝.
4．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案 C
解析 f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
5．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是( )
A．f>f
B．fC．f≥f
D．f≤f
答案 C
解析 因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以f≤f＝f.
1．集合是函数乃至整个现代数学的基础，学习时要侧重符号语言的理解与准确表达，集合的并交补运算是重要的基本技能．
2．函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题．
3．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向．
4．(1)函数图象的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图象上点的坐标进行排除．
(2)应用函数图象的关键是从图象中提取所需的信息，提取图象中信息的方法主要有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图象上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
一、选择题
1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．必有唯一的实数根
答案 D
解析 由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(－∞，4] B．(－∞，3)∪(3,4]
C．[－2,2] D．(－1,2]
答案 B
解析 f(x)中的x需满足
解得x≤4且x≠3，
故f(x)的定义域为(－∞，3)∪(3,4]．
3．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A．1 B．2
C. D．－
答案 A
解析 由题意得f(－x)＝－f(x)，
则＝＝－，
则－4x2＋(2－2a)x＋a＝－4x2－(2－2a)x＋a，
所以2－2a＝－(2－2a)，
所以a＝1.
4．若函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为( )
A．0＜a≤ B．0≤a≤
C．0＜a＜ D．a＞
答案 B
解析 当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴图象开口向上，a＞0且－≥4，得0＜a≤.
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．
综上知，0≤a≤.
5．已知函数f(x)＝则f(1)－f(3)等于( )
A．－7 B．－2 C．7 D．27
答案 C
解析 由题意得f(1)＝f(4)＝42＋1＝17，f(3)＝32＋1＝10，
故f(1)－f(3)＝17－10＝7.
6．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
答案 A
解析 函数y＝f(x)g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除C，D，因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，所以y＝f(x)·g(x)是奇函数，故选A.
7．函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x>0时，f(x)>1，且f(3)＝4，则( )
A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3
B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3
C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2
D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2
答案 D
解析 设x1＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1.
∵x2－x1>0，又已知x>0时，f(x)>1，
∴f(x2－x1)>1.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)∴f(x)在R上是增函数．
∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1
＝f(1)＋[f(1)＋f(1)－1]－1
＝3f(1)－2＝4，
∴f(1)＝2.
二、填空题
8．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．
答案 [0，＋∞)
解析 利用函数f(x)是偶函数，得k－1＝0，k＝1，
所以f(x)＝－x2＋3，其单调递减区间为[0，＋∞)．
9．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
答案 2x＋3
解析 设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3.
∵g(x)为奇函数，
∴f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3.
10．已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－m2)>f(2m)，则实数m的取值范围是________．
答案 (－3,1)
解析 因为函数f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数．要使f(3－m2)>f(2m)，只需3－m2>2m，
解得－3三、解答题
11．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．
解 f(x)＝42－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.
∵a≤0，∴a＝1－.
②当0<<2，即0f(x)min＝f＝－2a＋2.
由－2a＋2＝3，得a＝－?(0,4)，舍去．
③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，
f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.
∵a≥4，∴a＝5＋.
综上所述，a＝1－或a＝5＋.
12．某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；
(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
解 (1)设AM＝y，AD＝x，
则x2＋4xy＝200，∴y＝.
故Q＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38 000＋4 000x2＋(0(2)令t＝x2，则Q＝38 000＋4 000，且0∵函数u＝t＋在(0,10]上单调递减，在[10,200)上单调递增，
∴当t＝10时，umin＝20.
故当x＝时，Qmin＝118 000(元)．
13．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．
解 (1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－＝.
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.
∴实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋.
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，
则Δx＝x2－x1＞0，
则Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)
＝(x2－x1)·.
∵－2≤x1＜x2≤－1，
∴x2－x1＞0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＞0，
∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，
∴f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.
四、探究与拓展
14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝________，g(x)＝________.
答案 x2－2 x
解析 ∵f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，
由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
得f(x)－g(x)＝x2－x－2.
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，
两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有两等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0，t]上的最大值．
解 (1)∵方程f(x)＝2x有两等根，
即ax2＋(b－2)x＝0有两等根，
∴Δ＝(b－2)2＝0，解得b＝2.
由f(x－1)＝f(3－x)，得＝1，
∴x＝1是函数图象的对称轴，
而此函数图象的对称轴是直线x＝－，
∴－＝1，∴a＝－1，故f(x)＝－x2＋2x.
(2)∵函数f(x)＝－x2＋2x的图象的对称轴为x＝1，x∈[0，t]，
∴当0∴f(x)max＝f(t)＝－t2＋2t.
当t>1时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，∴f(x)max＝f(1)＝1.
综上，f(x)max＝
