第三章基本初等函数（I）学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测+模块综合检测

§3.1　指数与指数函数
3.1.1　实数指数幂及其运算(一)
学习目标　1.理解正整指数幂的含义，掌握正整指数幂的运算法则.2.了解根式与方根的概念.3.掌握根式的性质，并能进行简单的根式运算．
知识点一　整数指数
思考1　n个相同因数a相乘的结果怎么表示？这个结果叫什么？
答案　an，叫幂．
思考2　零指数幂和负整指数幂是如何规定的？
答案　规定：a0＝1 (a≠0)，零的零次幂无意义；a－n＝ (a≠0，n∈N＋)．
梳理　整数指数幂的概念及性质
(1)有关幂的概念
an＝，an叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，n∈N＋，并规定a1＝a.
(2)零指数幂与负整指数幂
规定：a0＝1(a≠0)，a－n＝(a≠0，n∈N＋)．
(3)整数指数幂的运算法则
am·an＝am＋n.(am)n＝amn.
＝am－n(m＞n，a≠0)．(ab)m＝ambm.
知识点二　n次方根、n次根式
思考　若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
答案　这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±.
梳理　根式的概念
(1)a的n次方根定义
如果存在实数x，使得xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中a∈R，n>1，且n∈N＋.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数

a∈R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
当有意义的时候，叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点三　根式的性质
一般地，有(1)＝0(n∈N＋，且n>1)．
(2)()n＝a(n∈N＋，且n>1)．
(3)＝a(n为大于1的奇数)．
(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
1．a0一定等于1.(　×　)
2．实数a的n次方根有且只有一个．(　×　)
3．当n为偶数，a≥0时，≥0.(　√　)
4.＝n.(　×　)
类型一　根式的意义
例1　求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
解　＝
＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)，
需解得a∈[－3,3]．
反思与感悟　对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要有意义，必不为负．
跟踪训练1　若＝a－1，求a的取值范围．
解　∵＝|a－1|＝a－1，
∴a－1≥0，∴a≥1.
类型二　利用根式的性质化简或求值
例2　化简：
(1)；
(2)(a>b)；
(3)()2＋＋.
解　(1)＝|3－π|＝π－3.
(2)＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
反思与感悟　n为奇数时，n＝＝a，a为任意实数；
n为偶数时，a≥0，n才有意义，且n＝a；
而a为任意实数均有意义，且＝|a|.
跟踪训练2　求下列各式的值：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
解　(1)＝－2.
(2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)＋＝a＋|1－a|＝
类型三　有限制条件的根式的化简
例3　设－3解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3∴当－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
引申探究
本例中，若将“－3解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，
∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
反思与感悟　n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．
跟踪训练3　已知x∈[1,2]，化简()4＋＝________.
答案　1
解析　∵x∈[1,2]，∴x－1≥0，x－2≤0，
∴()4＋
＝x－1＋
＝x－1－(x－2)
＝1.
1．已知x5＝6，则x等于(　　)
A. B.
C．－ D．±
答案　B
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
3．()4运算的结果是(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．不确定
答案　A
4.的值是(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．－8
答案　B
5．化简(2x>1)的结果是(　　)
A．1－2x B．0
C．2x－1 D．(1－2x)2
答案　C
1．如果xn＝a，n为奇数时，x＝，n为偶数时，x＝±(a>0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
2．掌握两个公式：(1)()n＝a；(2)n为奇数，＝a，n为偶数，＝|a|＝
一、选择题
1．已知m10＝2，则m等于(　　)
A. B．－
C. D．±
答案　D
解析　∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±.故选D.
2．计算的结果是(　　)
A．32 B．16
C．64 D．128
答案　B
3．化简的值是(　　)
A. B．－
C．± D．－
答案　B
解析　＝＝－.
4．化简等于(　　)
A．e－e－1 B．e－1－e
C．e＋e－1 D．0
答案　A
解析　＝
＝＝
＝|e－1－e|＝e－e－1.
5．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
答案　C
解析　∵20，a－3<0，
∴＋＝|2－a|＋|3－a|＝a－2＋3－a＝1.
6．5－2的平方根是(　　)
A.＋ B.－
C.－ D.－，－
答案　D
解析　±＝±＝±
＝±(－)．
二、填空题
7．化简＋的结果为________．
答案　0
解析　原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.
8．若x<0，则|x|－＋＝________.
答案　1
解析　∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋＝－x＋x＋1＝1.
9.＝________.
答案　3－2
解析　方法一　＝ ＝
＝＝3－2.
方法二　＝＝3－2.
10．把a 根号外的a移到根号内等于________．
答案　－
解析　要使 有意义，需a<0.
∴a ＝－|a| 
＝－ ＝－.
三、解答题
11．求＋＋的值．
解　∵＝－6，
＝|－4|＝4－，
＝－4，
∴原式＝－6＋4－＋－4＝－6.
12．设f(x)＝，若0解　f＝ ＝ 
＝＝，
因为0故f＝－a.
13．化简＋.
解　原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．
∴原式＝
四、探究与拓展
14．化简(1－a)·＝________.
答案　－
解析　要使代数式有意义需a－1>0.
(1－a) ＝－|a－1| 
＝－＝－.
15．计算：
(1)－ ＋；
(2)＋－；
(3)·(＋1)＋(－)0.
解　(1)原式＝－＋
＝－＋＝.
(2)原式＝－8＋|－2|－(2－)
＝－8＋2－－2＋
＝－8.
(3)原式＝·(＋1)＋1
＝(－1)·(＋1)＋1
＝(3－1)＋1＝1＋1＝2.
3.1.1　实数指数幂及其运算(二)
学习目标　1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理指数幂的意义．
知识点一　分数指数
思考　根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？
①＝＝a2＝(a>0)；
②＝＝a4＝(a>0)；
③＝＝a3＝(a>0)．
答案　当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数．
梳理　分数指数幂的概念
分数指数幂
正分数指数幂
①＝(a＞0)，
②＝()m＝(a＞0，m，n∈N＋，且为既约分数)
负分数指数幂
＝(a＞0，m，n∈N＋，且为既约分数)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
知识点二　有理指数幂的运算性质
思考　我们知道32×33＝32＋3.那么×＝成立吗？
答案　成立. ×＝×＝×＝8×4＝32, ＝＝＝＝25＝32.
梳理　整数指数幂的运算性质，可以推广到有理指数幂，即：aαaβ＝aα＋β(a>0，α，β∈Q)；(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈Q)；(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈Q)．
知识点三　无理指数幂
无理指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂．
1．.(　×　)
2．.(　×　)
3．当a>0时，(ar)s＝(as)r.(　√　)
4．∈R.(　√　)
类型一　根式与分数指数幂之间的相互转化
命题角度1　分数指数幂化根式
例1　用根式的形式表示下列各式(x>0)．
(1) ；(2).
解　(1)＝.
(2)＝.
反思与感悟　实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域时，根式形式较容易观察出各式的取值范围．故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．
跟踪训练1　用根式表示(x>0，y>0)．
解　＝＝·.
命题角度2　根式化分数指数幂
例2　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.
(1)；(2)；(3)；(4).
解　(1)＝.
(2)＝＝.
(3)＝.
(4)＝＝＝a3.
反思与感悟　指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义．如＝＝－1，但就不是实数了．为了保证在取任何有理数时， 都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．
跟踪训练2　把下列根式化成分数指数幂：
(1) ；(2)(a>0)；(3)b3·；(4) .
解　(1)＝＝.
(2)＝.
(3)b3·＝b3·.
(4)＝.
类型二　用指数幂运算公式化简求值
例3　计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1)；
(2)；
(3).
解　(1)
＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]
＝4ab0＝4a.
(3).
反思与感悟　一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
跟踪训练3　(1)化简：＋80.25×＋(×)6；
(2)化简：；
(3)已知＝5，求的值．
解　(1)原式＝×1＋＋22×33＝112.
(2)
＝5×(－4)××.
(3)由＝5，两边同时平方，得x＋2＋x－1＝25，整理，得x＋x－1＝23，则有＝23.
类型三　运用指数幂运算公式解方程
例4　已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
解　方法一　∵a>0，b>0，又ab＝ba，
∴，
∴?a8＝32?a＝.
方法二　∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，
即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝.
反思与感悟　指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的．
跟踪训练4　已知67x＝27,603y＝81，求－的值．
解　由67x＝33，得67＝，由603y＝81得603＝，
∴＝＝9＝32，
∴－＝2，故－＝－2.
1．化简的值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
答案　B
2．等于(　　)
A．25 B.
C．5 D.
答案　D
3．用分数指数幂表示(a>b)为(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
4．()4等于(　　)
A．a16 B．a8
C．a4 D．a2
答案　D
5．给出下列各式：
①＝a；②＝(a＞0)；③＝.
其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　B
解析　①＝∴①错；
②＝(a)，∴②正确；③＝－，＝＝，∴③错．故正确的个数为1.
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．
2．根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算的原则，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
一、选择题
1．等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　C
解析　＝3－＝＝.
2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A．－＝
B．＝－
C.＝ (x，y≠0)
D.＝
答案　C
解析　－＝，＝，＝故选C.
3.·等于(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　·＝.
4．中x的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B.∪
C. D.
答案　C
解析　，要使该式有意义，需3－2x>0，即x<.
5．这三个数的大小关系为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　
∵<<，∴.
6．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋
＝1＋＝.
二、填空题
7．计算＝________.
答案　
解析　原式＝＝47－9＝4－2＝.
8．若＝9，则a＝________.
答案　±3－5
解析　由＝9，得＝95，即a－2＝95＝310，
所以a＝±3－5.
9．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝________.
答案　9
解析　＝(ax)2·＝9.
10．(＋)2 015×(－)2 016＝________.
答案　－
解析　(＋)2 015×(－)2 016
＝[(＋)(－)]2 015×(－)
＝12 015×(－)＝－.
三、解答题
11．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)，若g(2)＝a，求f(2)．
解　因为f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，
又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，
所以f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，
－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，
两式联立解得a＝2，进一步求得f(2)＝.
12．已知函数f(x)＝，g(x)＝.
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(已知y＝x在R上是增函数)
(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
(1)证明　设x1>x2>0，∵y＝在R上是增函数，
∴
又∵>0，
∴f(x1)－f(x2)＝
.
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)解　经计算知f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)·g(3)＝0，由此猜想：f(x2)－5f(x)g(x)＝0.
证明如下：
f(x2)－5f(x)g(x)
四、探究与拓展
13．设＝m，则等于(　　)
A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2
答案　C
解析　将＝m两边平方得()2＝m2，
即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋＝m2＋2?＝m2＋2.
14．化简下列各式：
(1)(a>0，b>0)；
(2)(a>0)；
(3)．
解　(1)方法一　＝＝a＋b.
方法二　＝＝a＋b.
(2)＝
＝(a>0)．
(3)
＝
3.1.2　指数函数(一)
学习目标　1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象和性质.3.会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域．
知识点一　指数函数
思考　细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？
答案　y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好相反．
梳理　一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．
知识点二　指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
1．y＝xx(x>0)是指数函数．(　×　)
2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(　×　)
3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．(　√　)
4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(　×　)
类型一　求指数函数的解析式
例1　已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．
解　设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，
即a3＝π，解得a＝π，于是f(x)＝π.
反思与感悟　根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．
要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
跟踪训练1　已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值．
解　由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.
类型二　指数型函数的定义域、值域问题
命题角度1　y＝f?ax?型
例2　求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1.
解　(1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1)．
∵y＝＝1－，
又∵3x>0,1＋3x>1，
∴0<<1，∴－1<－<0，
∴0<1－<1，∴值域为(0,1)．
(2)定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，
∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，
∴值域为.
反思与感悟　解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围．从而把问题转化为y＝f(t)的问题．
跟踪训练2　求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝ ；
(2)y＝(a>0，且a≠1)．
解　(1)∵1－x≥0，∴x≤1，解得x≥0，
∴原函数的定义域为[0，＋∞)．
令t＝1－x (x≥0)，则0≤t<1，∴0≤<1，
∴原函数的值域为[0,1)．
(2)原函数的定义域为R.
方法一　设ax＝t，则t∈(0，＋∞)．
y＝＝＝1－.
∵t>0，∴t＋1>1，
∴0<<1，∴－2<<0，
∴－1<1－<1.
即原函数的值域为(－1,1)．
方法二　由y＝(a>0，且a≠1)，得ax＝－.
∵ax>0，∴－>0，∴－1∴原函数的值域是(－1,1)．
命题角度2　y＝af?x?型
例3　求函数y＝ 的定义域、值域．
解　要使函数有意义，
则x应满足32x－1－≥0，即32x－1≥3－2.
∵y＝3x在R上是增函数，
∴2x－1≥－2，解得x≥－.
故所求函数的定义域为.
当x∈时，32x－1∈.
∴32x－1－∈[0，＋∞)．
∴原函数的值域为[0，＋∞)．
反思与感悟　y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围．
跟踪训练3　求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝0.3；(2)y＝.
解　(1)由x－1≠0，得x≠1，
所以函数定义域为{x|x≠1}．
由≠0，得y≠1，
所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0，得x≥，
所以函数定义域为.
由≥0，得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}．
类型三　指数函数图象的应用
命题角度1　指数函数整体图象
例4　在如图所示的图象中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝x的图象可能是(　　)
答案　A
解析　根据图中二次函数图象可知c＝0，
∴二次函数y＝ax2＋bx，∵>0，
∴二次函数的对称轴为x＝－<0，
排除B、D.
对于A，C，都有0<<1，∴－<－<0，C不符合．
故选A.
反思与感悟　函数y＝ax的图象主要取决于01.但前提是a>0且a≠1.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(－1,5) B．(－1,4)
C．(0,4) D．(4,0)
答案　A
解析　当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，
此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．
命题角度2　指数函数图象局部
例5　若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
解　y＝|2x－1|＝
图象如下：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|图象有两个公共点，
需0<2a<1，即0反思与感悟　指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，体现了指数函数图象的“原料”作用．
跟踪训练5　函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　)
答案　B
解析　函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.
1．下列各函数中，是指数函数的是(　　)
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝x
答案　D
2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1 D．a≥
答案　C
3．函数y＝的值域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(0,1] D．[－1,0)
答案　C
4．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0答案　D
5．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
答案　A
解析　由题意，自变量x应满足
解得－31．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．
3．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域．
(2)求t＝f(x)的值域t∈M.
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．
一、选择题
1．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则(　　)
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
答案　C
解析　由题意得解得a＝2.
2．函数y＝ax－a (a>0且a≠1)的大致图象可能是(　　)
答案　C
解析　如果函数的图象是A，那么1－a＝1?a＝0，这与a>0且a≠1相矛盾，故A不可能；如果函数的图象是B，那么a1－a<0?0<0，这是不可能的，故B不可能；如果函数的图象是C，那么0<1－a<1?03．设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中不正确的是(　　)
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝
C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N＋)
答案　D
解析　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A对；
f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B对；
f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，C对；
[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n≠(axy)n，D错．
4．设f(x)＝则f(f(－1))等于(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案　B
解析　f(－1)＝(－1)2＝1，f(f(－1))＝f(1)＝21＝2.
5．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(　　)
A．na(1－b%) B．a(1－nb%)
C．a[1－(b%)n] D．a(1－b%)n
答案　D
解析　一年后价值为a－ab%＝a(1－b%)，两年后价值为a(1－b%)－a(1－b%)b%＝a(1－b%)2，…，n年后价值为a(1－b%)n，故选D.
6．如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点E，B，则a等于(　　)
A. B.
C．2 D．3
答案　A
解析　设点C(0，m)，则由已知可得A，E，B.又因为点E，B在指数函数的图象上，所以两式相除，得＝2，所以m＝2，
所以a＝.
二、填空题
7．函数y＝的定义域是________．
答案　(－∞，5]
解析　要使函数式有意义，需32－2x≥0,32≥2x,25≥2x，解得x≤5.
8．函数y＝3x与y＝x的图象关于________对称．
答案　y轴
解析　y＝x＝3－x，(x，y)与(－x，y)关于y轴对称．
9．已知5a＝0.3,0.7b＝0.8，则ab与0的大小关系是________．
答案　ab<0
解析　由f(x)＝5x与g(x)＝0.7x的图象可知，5a＝0.3<1时，a<0，同理b>0.所以ab<0.
10．给出函数f(x)＝则f(x)的值域为________．
答案　[8，＋∞)
解析　当x≥3时，2x≥23＝8；当x<3时，皆可通过有限次加1转化为第一类．
三、解答题
11．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；
(2)y＝5－x－1.
解　(1)令1－x≥0，得x≤1.
∴定义域为(－∞，1]．
设t＝≥0.
则3t≥30＝1.
∴值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R，
∵5－x>0，∴5－x－1>－1.
∴值域为(－1，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝ax－1 (x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．
解　(1)因为函数f(x)＝ax－1 (x≥0)的图象经过点，
所以a2－1＝a＝.
(2)由(1)得f(x)＝x－1(x≥0)，
函数为减函数，
当x＝0时，函数取最大值2，故f(x)∈(0,2]，
所以函数y＝f(x)＋1＝x－1＋1 (x≥0)∈(1,3]，
故函数y＝f(x)＋1 (x≥0)的值域为(1,3]．
13．已知x∈[－3,2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．
解　f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝2＋，∵x∈[－3,2]，∴≤2－x≤8，则当2－x＝，即x＝1时，f(x)有最小值，当2－x＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57.
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(　　)
A．a>1，且b<1 B．0C．00 D．a>1，且b<0
答案　D
解析　已知函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，画出草图如图所示．
由图象可得
即解得故D正确．
15．已知函数f(x)＝ax (a>0，且a≠1)，在区间[1,2]上的最大值为m，最小值为n.
(1)若m＋n＝6，求实数a的值；
(2)若m＝2n，求实数a的值．
解　(1)∵无论01，函数f(x)的最大值都是a和a2的其中一个，最小值为另一个，
∴a2＋a＝6，解得a＝2或a＝－3(舍)，
故a的值为2.
(2)当0由a＝2a2，解得a＝0(舍)或a＝，∴a＝.
当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，其最小值为f(1)＝a，最大值为f(2)＝a2.
由a2＝2a，解得a＝0(舍)或a＝2.∴a＝2.
综上知，实数a的值为或2.
3.1.2　指数函数(二)
学习目标　1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式．
知识点一　不同底指数函数图象的相对位置
思考　y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？
答案　经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方．
梳理　一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：
(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y的值去理解，如图．
(2)指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．
知识点二　比较幂的大小
比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
知识点三　解指数方程、不等式
思考　若则x1，x2的大小关系如何？
答案　当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，则f(x1)＜f(x2)?x1＜x2(x1＞x2)．
所以，当0＜a＜1时，
当a＞1时，
此原理可用于解指数方程、不等式．
梳理　简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
知识点四　与指数函数复合的函数单调性
思考　y＝的定义域与y＝的定义域是什么关系？y＝的单调性与y＝的单调性有什么关系？
答案　由于y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，故y＝的定义域与y＝的定义域相同，故研究y＝的单调性，只需在y＝的定义域内研究．若设0＜x1＜x2，则＞，＜，不等号方向的改变与y＝x，y＝的单调性均有关．
梳理　形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当01．y＝21－x是R上的增函数．(　×　)
2．若0.1a>0.1b，则a>b.(　×　)
3．a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.(　×　)
4．由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．(　×　)
类型一　解指数方程
例1　解下列关于x的方程：
(1)81×32x＝x＋2；
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.
解　(1)∵81×32x＝x＋2，
∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
∴2x＋4＝－2(x＋2)，
∴x＝－2.
(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝或t＝－1(舍去)．
∴2x＝，解得x＝－2.
反思与感悟　(1)af(x)＝b型通常化为同底来解．
(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．
跟踪训练1　解下列方程．
(1)33x－2＝81；
(2)＝；
(3)52x－6×5x＋5＝0.
解　(1)∵81＝34，∴33x－2＝34，
∴3x－2＝4，解得x＝2.
(2)∵＝，∴，
∴＝，解得x＝.
(3)令t＝5x，则t>0，
原方程可化为t2－6t＋5＝0，
解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，
∴x＝1或x＝0.
类型二　指数函数单调性的应用
命题角度1　比较大小
例2　比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；
(3)1.70.3，0.83.1.
解　(1)∵1.7＞1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.
(2)方法一　∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方．
而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.
方法二　∵1.50.3＞0，且＝0.3，
又＞1,0.3＞0，∴0.3＞1，
∴1.70.3＞1.50.3.
(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，
∴1.70.3＞0.83.1.
反思与感悟　当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.
跟踪训练2　比较下列各题中的两个值的大小．
(1)0.8－0.1，1.250.2；(2)－π，1.
解　(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1＜1.250.2.
(2)∵0＜＜1，∴函数y＝x在R上是减函数．
又∵－π＜0，∴－π＞0＝1，
即－π＞1.
命题角度2　解指数不等式
例3　解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
解　(1)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
反思与感悟　解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
跟踪训练3　已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
答案　
解析　∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x?x>1－x?x>.
∴x∈.
命题角度3　与指数函数复合的单调性问题
例4　(1)求函数y＝的单调区间；
(2)求函数y＝的单调区间．
解　(1)y＝的定义域为R.
在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，
∴y＝在(－∞，3]上是增函数．
在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数，
∴y＝在[3，＋∞)上是减函数．
∴y＝的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)．
(2)设t＝x，又y＝t2－8t＋17在(－∞，4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增．
令x≤4，得x≥－2.
∴当－2≤x1即4≥t1>t2，∴t－8t1＋17∴y＝2x－8·x＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．
同理可得减区间是(－∞，－2]．
反思与感悟　复合函数单调性问题归根结底是由x1跟踪训练4　求下列函数的单调区间．
(1)y＝；
(2)y＝.
解　(1)设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数．
当a>1时，y关于u为增函数；
当0∴当a>1时，原函数的增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当0(2)已知函数的定义域为{x|x≠0}．
设y＝，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数．
而根据y＝的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的减函数，∴原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
1．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．b＜c＜a
答案　B
解析　∵y＝0.5x在R上是减函数，且＞＞，
2．方程42x－1＝16的解是(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝1 D．x＝2
答案　B
解析　42x－1＝42，∴2x－1＝2，x＝.
3．函数f(x)＝的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案　A
解析　∵f(x)＝，0<<1，∴f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．
4．设0＜a＜1，则关于x的不等式的解集为________．
答案　(1，＋∞)
解析　∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，
又∵，
∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.
5．若指数函数y＝ax 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.
答案　
解析　若0解得a＝或a＝(舍去)．
若a>1，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，
解得a＝或a＝(舍去)．
综上所述a＝.
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．
3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．
当0(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间，其中u＝ax.
一、选择题
1．设x<0，且1A．0C．1答案　B
解析　∵1当x＝－1时，<，即b>a，∴02．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)
A．6 B．1 C．3 D.
答案　C
解析　函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.
3．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的关系为(　　)
A．m＋n<0 B．m＋n>0
C．m>n D．m答案　D
解析　∵0<<1，
∴f(x)＝ax＝x在R上单调递减，
又∵f(m)>f(n)，∴m4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案　B
解析　由f(1)＝，得a2＝，
所以a＝，
即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
故选B.
5．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
答案　D
解析　40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，
根据y＝2x在R上是增函数，
得21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2，故选D.
6．设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是(　　)
A．3c≤3b B．3c>3b
C．3c＋3a>2 D．3c＋3a<2
答案　D
解析　f(x)＝|3x－1|的图象如下．
由c＜b＜a且f(c)>f(a)>f(b)可知c，b，a不在同一个单调区间上．
故有c<0，a>0.
∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.
∴f(c)>f(a)，即1－3c>3a－1,3c＋3a<2.
二、填空题
7．函数f(x)＝的单调递减区间是________．
答案　(2，＋∞)
解析　函数由f(t)＝t，t(x)＝x2－4x－5复合而成，其中f(t)＝t是减函数，t(x)＝x2－4x－5在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为(2，＋∞)．
8．已知0.2x＜25，则x的取值范围为________．
答案　(－2，＋∞)
解析　原不等式即5－x＜52，∴－x＜2，x＞－2.
9．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足解析式f(x)＝规定驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过________ h后才能开车．(精确到1 h)
答案　4
解析　当0≤x≤1时，≤5x－2≤，此时不宜开车；由·x≤0.02，当x＝3时，不等式不成立，当x＝4时，不等式成立．故至少要过4 h后才能开车．
10．若4x＋2x＋1＋m>1对一切实数x成立，则实数m的取值范围是__________．
答案　[1，＋∞)
解析　4x＋2x＋1＋m>1等价于(2x)2＋2·2x＋1>2－m，即(2x＋1)2>2－m.∵2x∈(0，＋∞)，∴2x＋1∈(1，＋∞)，∴2－m≤1.解得m≥1.
三、解答题
11．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)>0；
(2)当a＝，x∈[0,2]时，求f(x)的值域．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
f(x)>0，即2·(2x)2－2x－1>0，
解得2x>1或2x<－(舍去)，
∴x>0，
∴不等式f(x)>0的解集为(0，＋∞)．
(2)当a＝时，f(x)＝4x－2x－1，x∈[0,2]．
设t＝2x.∵x∈[0,2]，∴t∈[1,4]．
∴y＝g(t)＝t2－t－1 (1≤t≤4)．
画出g(t)＝t2－t－1 (1≤t≤4)的图象(如图)，
可知g(t)min＝g(1)＝－1，g(t)max＝g(4)＝11，
∴f(x)的值域为[－1,11]．
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，求不等式f(x)<－的解集．
解　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
由2x－1<－，2x<2－1，得x<－1.
当x>0时，由1－2－x<－，x>，得x∈?.
综上可知x∈(－∞，－1)．
13．已知函数f(x)＝3x＋k·3－x为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若关于x的不等式f(9ax2－2x－1)＋f(1－3ax－2)<0只有一个整数解，求实数a的取值范围．
解　(1)显然f(x)的定义域为R.
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＋f(－x)＝3x＋k·3－x＋3－x＋k·3x
＝(k＋1)(3x＋3－x)＝0对一切实数x都成立，
∴k＝－1.
(2)易得f(x)为R上的增函数，又f(x)是奇函数，
∴＋f(1－3ax－2)<0?<3ax－2－1?<3ax－2?2ax2－4x当a≤0时，显然不符合题意；
当a>0时，由不等式只有一个整数解，可知不等式的解集为，且1<≤2?1≤a<2，
∴实数a的取值范围是[1,2)．
四、探究与拓展
14．设f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且当x>2时，f(x)是增函数，则a＝f(1.10.9)，b＝f(0.91.1)，c＝f(2)的大小关系是________．(按由大到小排列)
答案　b>a>c
解析　∵f(x)＝f(4－x)，∴f(x)关于x＝2对称．
又∵f(x)在(2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，2)上是减函数．
又∵1.10.9>1,0<0.91.1<1，∴0.91.1<1.10.9<2，
∴f(0.91.1)>f(1.10.9)>f(2)，即b>a>c.
15．已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)当x∈(1，＋∞)时，求函数f(x)的值域．
解　(1)函数f(x)为奇函数，证明如下：
函数f(x)＝的定义域为R，
又∵f(－x)＝＝
＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)令2x＝t，则g(t)＝＝－1＋.
∵x∈(1，＋∞)，∴t>2，∴t＋1>3，
∴0<<，∴－1<－1＋<－.
故函数f(x)的值域为.
§3.2　对数与对数函数
3.2.1　对数及其运算
第1课时　对数的概念
学习目标　1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．
知识点一　对数的概念
1．对数的概念
如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N可简记为lg_N.
知识点二　对数的性质
思考　loga1(a>0，且a≠1)等于多少？
答案　设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.
梳理　1.对数与指数的关系
若a>0，且a≠1，则ab＝N?logaN＝b.
2．对数恒等式
＝N.
3．对数的性质
(1)1的对数为0.
(2)底的对数为1.
(3)零和负数没有对数．
1．若3x＝2，则x＝log32.(　√　)
2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.(　√　)
3．logaN>0(a>0且a≠1，N>0)．(　×　)
类型一　对数的概念
例1　在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(　　)
A．b<2或b>5 B．2C．4答案　D
解析　∵∴2反思与感悟　由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.
跟踪训练1　求f(x)＝logx的定义域．
解　要使函数式有意义，需
解得0∴f(x)＝logx的定义域为(0,1)．
类型二　对数基本性质的应用
例2　求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1.
解　(1)∵log2(log5x)＝0.
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
反思与感悟　logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
跟踪训练2　若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
答案　A
解析　∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
类型三　对数式与指数式的互化
命题角度1　指数式化为对数式
例3　将下列指数式写成对数式：
(1)54＝625；(2)2－6＝；(3)3a＝27；(4)m＝5.73.
解　(1)log5625＝4；(2)log2＝－6；
(3)log327＝a；(4)log5.73＝m.
反思与感悟　指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
跟踪训练3　如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有(　　)
A．log2a＝b B．log2b＝a
C．logba＝2 D．logb2＝a
答案　C
解析　logba＝2，故选C.
命题角度2　对数式化为指数式
例4　求下列各式中x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；
(4)＝x.
解　(1)x＝＝＝4－2＝.
(2)因为x6＝8，所以
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)因为＝x，
所以(－1)x＝＝＝＝－1，
所以x＝1.
反思与感悟　要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
跟踪训练4　计算：(1)log927；(2)；(3)
解　(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.
(2)设x＝，则x＝81,＝34，∴x＝16.
(3)令x＝，则x＝625,＝54，∴x＝3.
1．logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是(　　)
A．ab＝N B．ba＝N
C．aN＝b D．bN＝a
答案　B
2．若logax＝1，则(　　)
A．x＝1 B．a＝1
C．x＝a D．x＝10
答案　C
3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A．100＝1与lg 1＝0
B．＝与log8＝－
C．log39＝2与＝3
D．log77＝1与71＝7
答案　C
4．已知logx16＝2，则x等于(　　)
A．±4 B．4 C．256 D．2
答案　B
5．设10lg x＝100，则x的值等于(　　)
A．10 B．0.01
C．100 D．1 000
答案　C
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
一、选择题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数．
其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　①③正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
2．已知b＝log(a－2)(5－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<2
B．2C．2D．3答案　C
解析　由得23．方程的解是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
答案　A
解析　∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.
4．下列四个等式：
①lg(lg 10)＝0；②lg＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若lg x＝－2，则x＝100.
其中正确的是(　　)
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
答案　C
解析　①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg＝lg 1＝0；
③若lg x＝10，则x＝1010；
④若lg x＝－2，则x＝10－2＝.
5.－1＋log0.54的值为(　　)
A．6 B. C．0 D.
答案　C
解析　－1＋log0.54＝－1＋＝2－2＝0.
6．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(　　)
A．15 B．75 C．45 D．225
答案　C
解析　由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
二、填空题
7．已知f(log2x)＝x，则f＝________.
答案　
解析　令log2x＝，则x＝＝，
即f＝f(log2)＝.
8．＝________.
答案　8
解析　设＝t，则()t＝81,＝34，＝4，t＝8.
9．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.
答案　
解析　∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴23＝x.
10．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝________.
答案　
解析　∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，
∴3a－b＝＝.
11．将下列式子改写成指数式．
(1)log2x＝－?________；
(2)logx3＝－?________.
答案　(1)　(2)＝3
解析　(1)因为log2x＝－，所以
(2)因为logx3＝－，所以
12．已知6a＝8，则log68＝________；log62＝________；log26＝________.(用a表示上述各式)
答案　a　　
解析　log68＝a.
由6a＝8，得6a＝23，即＝2，所以log62＝.
由＝2，得＝6，所以log26＝.
13.＝________.
答案　－1
解析　由题意知，
三、解答题
14．设M＝{0,1}，N＝{lg a,2a，a,11－a}，是否存在实数a，使M∩N＝{1}?
解　不存在实数a，使M∩N＝{1}成立．理由如下：
若lg a＝1，则a＝10，此时11－a＝1，从而11－a＝lg a＝1，与集合元素的互异性矛盾；
若2a＝1，则a＝0，此时lg a无意义；
若a＝1，此时lg a＝0，
从而M∩N＝{0,1}，与条件不符；
若11－a＝1，则a＝10，从而lg a＝1，与集合元素的互异性矛盾．
四、探究与拓展
15．若集合{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}，求log2(x2＋y2)的值．
解　根据集合中元素的互异性可知，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，y≠0，
∴第一个集合中的元素xy≠0，只有lg(xy)＝0，可得xy＝1.①
然后，还有两种可能：x＝y，②
或xy＝y.③
由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，
若x＝y＝1，则xy＝1，违背集合中元素的互异性；
若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两集合中的元素相同．
由①③联立，解得x＝y＝1，不符合题意．
∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．
因此，log2(x2＋y2)＝log22＝1.
第2课时　积、商、幂的对数
学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识点一　对数运算法则
一般地，如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点二　自然对数
1．定义：以无理数e＝2.718_28…为底的对数叫做自然对数．
2．记法：loge N＝ln_N.
知识点三　换底公式
思考　观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？
答案　设法换为同底．
梳理　对数换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
特别地，logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
1．若ln N＝，则N＝e.(　×　)
2．loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．(　×　)
3．logaM·logaN＝loga(M＋N)．(　×　)
4．logx2＝.(　√　)
类型一　具体数字的化简求值
例1　计算：(1)log345－log35；
(2)log2(23×45)；
(3)；
(4)log29·log38.
解　(1)log345－log35＝log3＝log39＝log332
＝2log33＝2.
(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)
＝13log22＝13.
(3)原式＝
(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)
＝2log23·3log32
＝6·log23·
＝6.
反思与感悟　具体数的化简求值主要遵循两个原则
(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．
(2)不同底化为同底．
跟踪训练1　计算：(1)2log63＋log64；
(2)÷100；
(3)log43·log98；
(4)log2.56.25＋ln－0.064.
解　(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)
＝log6(62)＝2log66＝2.
(2)原式＝÷＝lg 102÷10－1
＝2×10＝20.
(3)原式＝·＝·＝.
(4)原式＝log2.5(2.5)2＋－
＝2＋－
＝.
类型二　代数式的化简
命题角度1　代数式恒等变换
例2　化简loga.
解　∵>0且x2>0，>0，
∴y>0，z>0.
loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga
＝2loga|x|＋logay－logaz.
反思与感悟　使用公式要注意成立条件，如lg x2不一定等于2 lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.
跟踪训练2　已知y>0，化简loga.
解　∵>0，y>0，∴x>0，z>0.
∴loga＝loga－loga(yz)＝logax－logay－logaz.
命题角度2　用代数式表示对数
例3　已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
解　方法一　∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b，
于是log3645＝＝＝
＝＝.
方法二　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝
＝＝.
方法三　∵log189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
∴log3645＝＝＝
＝＝.
反思与感悟　用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．
跟踪训练3　已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
解　∵log23＝a，则＝log32，
又∵log37＝b，
∴log4256＝＝＝.
1．log5＋log53等于(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．log5
答案　A
2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
答案　B
解析　由logab·logcb＝·≠logca，知A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb.故选B.
3．log29×log34等于(　　)
A. B.
C．2 D．4
答案　D
4．lg 0.01＋log216的值是________．
答案　2
解析　lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2.
5．log3＋lg 25＋lg 4＋＋(－9.8)0＝________.
答案　
解析　原式＝log333＋lg (25×4)＋2＋1＝＋2＋3
＝.
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n；②loga(MN)＝logaM·logaN；
③logaM±logaN＝loga(M±N)．
一、选择题
1．下列各式(各式均有意义)不正确的个数为(　　)
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga(M－N)＝；③＝；④(am)n＝；⑤＝－nlogab.
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确．
2．等于(　　)
A. B.
C．2 D．4
答案　D
解析　
3．化简等于(　　)
A．log54 B．3log52
C．2 D．3
答案　D
解析　＝log28＝log223＝3.
4．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示lg 15为(　　)
A．b－a＋1 B．b(a－1)
C．b－a－1 D．b(1－a)
答案　A
解析　lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5
＝lg 3＋lg ＝lg 3＋1－lg 2＝b－a＋1.
5．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A．9 B.
C．25 D.
答案　D
解析　由换底公式，得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
6．计算(log32＋log23)2－－的值是(　　)
A．log26 B．log36
C．2 D．1
答案　C
解析　原式＝(log32)2＋2log32·log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.
二、填空题
7．(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
答案　
解析　原式＝
＝log23·＝.
8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.
答案　1
解析　(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
9．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg 2＋lg x＋lg y，则＝________.
答案　2
解析　由已知条件得
即
整理得
∴x－2y＝0，∴＝2.
10．计算＋＋(－)0－log31＋2lg 5＋lg 4－＝________.
答案　
解析　
＝＝＝1.
(－)0＝1，log31＝0.
2lg 5＋lg 4＝lg(52×4)＝lg 102＝2.
∴原式＝＋1＋1－0＋2－2＝.
11．若x·log32 016＝1，则2 016x＋2 016－x＝________.
答案　
解析　方法一　∵x·log32 016＝log32 016x＝1，
∴2 016x＝3，∴2 016－x＝.
∴2 016x＋2 016－x＝3＋＝.
方法二　由x·log32 016＝1，得x＝＝log2 0163，
∴2 016x＝＝3,2 016－x＝＝.
∴2 016x＋2 016－x＝3＋＝.
12.＝________.
答案　1
解析　＝
＝＝
＝＝
＝＝1.
13．若3x＝4y＝36，则＋＝________.
答案　1
解析　3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得
xlog63＝ylog64＝2，
∴＝log63，＝log64，即＝log62，
故＋＝log63＋log62＝1.
三、解答题
14．设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.
证明　log(c＋b)a＋log(c－b)a＝＋
＝
＝
＝logaa2·log(c＋b)a·log(c－b)a
＝2log(c＋b)a·log(c－b)a，
即等式成立．
四、探究与拓展
15．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p的值；
(2)求证：－＝.
(1)解　设3x＝4y＝6z＝t，则t>0，且t≠1.
∴x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t.
∵2x＝py，∴2log3t＝plog4t＝p·.
∵log3t≠0，∴p＝2log34＝4log32.
(2)证明　－＝－
＝logt6－logt3＝logt2.
又＝＝·logt4＝·2logt2＝logt2，
∴－＝.
3.2.2　对数函数(一)
学习目标　1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的图象与性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．
知识点一　对数函数的概念
思考　已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？
答案　由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)，都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)．习惯上用x，y分别表示自变量、因变量，上式可改为y＝log2x，x∈(0，＋∞)．
梳理　函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点二　对数函数的图象与性质
定义
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过点(1,0)，即loga1＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称
1．y＝2log2x是对数函数．(　×　)
2．由loga1＝0可得y＝logax恒过定点(1,0)．(　√　)
3．函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　√　)
类型一　对数函数的概念
例1　已知对数函数y＝f(x)过点(4,2)，求f及f(2lg 2)．
解　设y＝logax(a＞0，且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，因此f＝log2＝－1，f(2lg 2)＝log22lg 2＝lg 2.
反思与感悟　判断一个函数是否为对数函数的方法
一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：系数为1；底数为大于0且不等于1的常数；对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1　判断下列函数是不是对数函数？并说明理由．
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)；
(4)y＝log5x.
解　∵(1)中真数不是自变量x，
∴不是对数函数．
∵(2)中对数式后减1，∴不是对数函数．
∵(3)中底数是自变量x，而非常数a，
∴不是对数函数．
(4)为对数函数．
类型二　与对数函数有关的定义域问题
例2　求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)．
解　(1)由得－3∴函数的定义域是{x|－3(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
引申探究
1．把本例(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定义域．
解　由得x>3.
∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x>3}．
2．求函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？
解　(x＋3)(x－3)>0，即或
解得x<－3或x>3.
∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}．
相比引申探究1，函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y＝loga[(x＋3)·(x－3)]，要使对数有意义，只需(x＋3)与(x－3)同号，而对于y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，要使对数有意义，必须(x－3)与(x＋3)同时大于0.
反思与感悟　求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．
跟踪训练2　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；
(3)y＝log(3x－1)(2x＋3)．
解　(1)要使函数有意义，需
即即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需即
所以－1故所求函数的定义域为{x|－1(3)要使函数有意义，需
即所以x>且x≠，
故所求函数的定义域为∪.
类型三　对数函数单调性的应用
命题角度1　比较同底对数值的大小
例3　比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
解　(1)考察对数函数y＝log2x，
因为2>1，
所以它在(0，＋∞)上是增函数，
又3.4＜8.5，
于是log23.4(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，
又1.8＜2.7，
于是log0.31.8>log0.32.7.
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1＜5.9，
于是loga5.1当0又5.1＜5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9，
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.
反思与感悟　比较两个同底数的对数大小，首先要根据底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22跟踪训练3　设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
答案　A
解析　∵a＝log3π＞1，b＝log23，则＜b＜1，c＝log32＜，∴a＞b＞c.
命题角度2　求y＝logaf?x?型的函数值域
例4　函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．
答案　(0，＋∞)
解析　f(x)的定义域为R.
∵3x>0，∴3x＋1>1.
∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0.
即f(x)的值域为(0，＋∞)．
反思与感悟　在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y＝logaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf(x)的取值范围．
跟踪训练4　函数y＝的值域为(　　)
A．(0,3) B．[0,3]
C．(－∞，3] D．[0，＋∞)
答案　D
解析　x<－1时，0<3x<3－1＝.
x≥1时，log2x≥log21＝0.
∴函数的值域为∪[0，＋∞)＝[0，＋∞)．
类型四　对数函数的图象
命题角度1　画与对数函数有关的函数图象
例5　画出函数y＝lg|x－1|的图象．
解　(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图)．
(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图)．
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图)．
反思与感悟　画函数图象一般有两种方法，描点法和图象变换，其中图象变换是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
跟踪训练5　画出函数y＝|lg(x－1)|的图象．
解　(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图)．
(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图)．
(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．
命题角度2　与对数函数有关的图象变换
例6　函数f(x)＝4＋loga(x－1)(a>0，a≠1)的图象过一个定点，则这个定点的坐标是________．
答案　(2,4)
解析　因为函数y＝loga(x－1)的图象过定点(2,0)，所以函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图象过定点(2,4)．
反思与感悟　y＝f(x)y＝f(x＋a)，y＝f(x)y＝f(x)＋b.对具体函数(如对数函数)仍然适用．
跟踪训练6　已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)
A．a>1，c>1
B．a>1,0C．01
D．0答案　D
解析　由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知01．下列函数为对数函数的是(　　)
A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)
B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)
D．y＝2logax(a＞0且a≠1)
答案　C
2．函数y＝log2(x－2)的定义域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
答案　C
3．函数f(x)＝log0.2(2x＋1)的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]
答案　B
4．函数y＝lg|x|的图象是(　　)
答案　A
5．若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________．
答案　(1,3)
1．含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数．判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式．如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数．
2．研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质．
3．研究与对数函数图象有关的问题，以对数函数图象为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分．
一、选择题
1．给出下列函数：
①②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.
其中是对数函数的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　A
解析　①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2．下列不等号连接错误的一组是(　　)
A．log0.52.2>log0.52.3
B．log34>log65
C．log34>log56
D．logπe>logeπ
答案　D
解析　对A，根据y＝log0.5x为单调减函数可知正确．
对B，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．
对C，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．
对D，由π>e>1，得logeπ>1>logπe可知错误．
3．设集合M＝，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于(　　)
A．(－∞，0)∪[1，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，1]
D．(－∞，0)∪(0,1)
答案　C
解析　M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．
4．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为(　　)
A．－2 B．2
C. D．－
答案　B
解析　代入(6,3)，得3＝loga(6＋2)＝loga8，
即a3＝8，∴a＝2.
∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2.
5．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是(　　)
答案　D
解析　由f(x)图象可知0∴g(x)的图象应为D.
6．已知函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，那么(　　)
A．f(x)在(－∞，0)上是增函数
B．f(x)在(－∞，0)上是减函数
C．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
答案　C
解析　当x∈(－1,0)时，|x＋1|∈(0,1)，
∵loga|x＋1|>0，∴0画出f(x)的图象如图：
由图可知选C.
二、填空题
7．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的定义域是____________．
答案　{x|2解析　由题意知，f(x)>0，由所给图象可知f(x)>0的解集为{x|28．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a，b，c的大小关系是______________．
答案　a>c>b
解析　因为π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝logπ<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0c>b.
9．已知函数f(x)＝|lg x|，若0答案　(5，＋∞)
解析　因为f(a)＝f(b)，且0g(1)＝1＋＝5，即a＋4b的取值范围是(5，＋∞)．
10．已知f(x)＝的值域为R，那么实数a的取值范围是____________．
答案　
解析　要使函数f(x)的值域为R，则必须满足即所以－≤a<.
三、解答题
11．若y＝(loga)x在R上为减函数，求实数a的取值范围．
解　∵函数y＝(loga)x在R上为减函数，
∴0即log1∴12．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
解　(1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当013．已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2×log2的最大值与最小值．
解　∵f(x)＝log2×log2
＝(log2x－2)(log2x－1)
＝2－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝＝2时，f(x)有最小值－；
当log2x＝0时，f(x)有最大值2，此时x＝1.
∴函数f(x)的最大值是2，最小值是－.
四、探究与拓展
14．已知loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围是________．
答案　
解析　由题意知loga(3a－1)>0＝loga1.
当a>1时，y＝logax是增函数，
∴解得a>，∴a>1；
当0∴解得∴综上所述，a的取值范围是.
15．根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题：
(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最值．
解　函数f(x)＝log2x的图象如图．
(1)∵f(x)＝log2x为增函数，又f(a)>f(2)，
∴log2a>log22.
∴a>2.即a的取值范围是(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27.
∴log23≤log2(2x－1)≤3log23.
∴函数f(x)＝log2(2x－1)在[2,14]上的最小值为log23，最大值为3log23.
3.2.2　对数函数(二)
学习目标　1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式．
知识点一　y＝logaf(x)型函数的单调区间
一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：(1)先求g(x)＞0的解集(也就是函数的定义域)；
(2)在f(x)的定义域内，先求g(x)的单调区间，再按“同增异减”原则与对数函数复合．
知识点二　对数不等式的解法
思考　log2x＜log23等价于x＜3吗？
答案　不等价．log2x＜log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0，
∴log2x＜log23?0＜x＜3.
梳理　对数不等式的常见类型
当a＞1时，
logaf(x)＞logag(x)?
当0＜a＜1时，
logaf(x)＞logag(x)?
知识点三　不同底的对数函数图象的相对位置
思考　y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？
答案　可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数．
梳理　一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0
1．y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(　×　)
2．y＝在(0，＋∞)上为增函数．(　×　)
3．ln x<1的解集为(－∞，e)．(　×　)
类型一　对数型复合函数的单调性
命题角度1　求单调区间
例1　求函数y＝的值域和单调区间．
解　设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.
∵y＝logt为减函数，且0∴＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞)．
函数的定义域为满足－x2＋2x＋1>0的x的取值范围，由函数y＝－x2＋2x＋1的图象知，1－∵t＝－x2＋2x＋1在(1－，1)上递增，而在(1,1＋)上递减，而y＝logt为减函数．
∴函数y＝的增区间为(1,1＋)，减区间为(1－，1)．
反思与感悟　求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝log(－x2＋2x)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)求f(x)的单调性．
解　(1)由题意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，
∴0当0∴函数y＝log(－x2＋2x)的值域为[0，＋∞)．
(2)设u＝－x2＋2x(0∵函数u＝－x2＋2x在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，v＝是减函数，
∴由复合函数的单调性得到函数f(x)＝log(－x2＋2x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数．
命题角度2　已知复合函数单调性求参数范围
例2　已知函数y＝在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围．
解　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是减函数，∵0<<1，∴y＝logg(x)是减函数，而已知复合函数y＝log (x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，
∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0，x∈(－∞，)恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2(＋1)]．
反思与感悟　在f(x)>0的限制下，若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0跟踪训练2　若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,3)
C．(1,3] D．[3，＋∞)
答案　B
解析　函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，且当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1类型二　对数型复合函数的奇偶性
例3　判断函数f(x)＝ln 的奇偶性．
解　由>0可得－2所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称．
方法一　f(－x)＝ln ＝ln－1＝－ln 
＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln 是奇函数．
方法二　f(x)＋f(－x)＝ln ＋ln 
＝ln＝ln 1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln 是奇函数．
引申探究
若已知f(x)＝ln为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？
解　由>0，得－b∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，即a＝b.
当a＝b时，f(x)＝ln.
f(－x)＋f(x)＝ln＋ln
＝ln
＝ln 1＝0，
∴有f(－x)＝－f(x)，
∴此时f(x)为奇函数．
故f(x)为奇函数时，a＝b.
反思与感悟　(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．
(2)含对数式的函数奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单．
跟踪训练3　判断函数f(x)＝lg(－x)的奇偶性．
解　方法一　由－x>0可得x∈R，
所以函数的定义域为R且关于原点对称，
又f(－x)＝lg(＋x)
＝lg 
＝lg 
＝－lg(－x)＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)．
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
方法二　由－x>0可得x∈R，
f(x)＋f(－x)＝lg(－x)＋lg(＋x)
＝lg[(－x)(＋x)]
＝lg(1＋x2－x2)＝0.
所以f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
类型三　对数不等式
例4　已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1)．解关于x的不等式：loga(1－ax)＞f(1)．
解　∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a)．
∴1－a＞0.∴0＜a＜1.
∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a)．
∴即∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为(0,1)．
反思与感悟　对数不等式解法要点
(1)化为同底logaf(x)＞logag(x)；
(2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向；
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.
跟踪训练4　已知A＝{x|log2x<2}，B＝，则A∩B等于(　　)
A. B．(0，)
C. D．(－1，)
答案　A
解析　log2x<2，即log2x∴A＝(0,4)．
<3x<，即3－1<3x<3，
∴－11.如图所示，曲线是对数函数f(x)＝logax的图象，已知a取，，，，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
答案　A
2．如果那么(　　)
A．yC．1答案　D
3．函数f(x)＝lg (x∈R)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案　A
4．函数f(x)＝的定义域为________．
答案　(0，]
解析　要使函数f(x)＝有意义，
则
解得05．函数f(x)＝ln x2的减区间为____________．
答案　(－∞，0)
1．与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响．
2．在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响：无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增．
一、选择题
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C. D.
答案　A
解析　要使函数有意义，需满足
∴　∴x≥1，
∴函数y＝的定义域为[1，＋∞)．
2．函数y＝ax与y＝－logax (a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能是(　　)
答案　A
解析　当a>1时，指数函数y＝ax为增函数，而对数函数y＝－logax＝logx为减函数．故选A.
3．已知loga<1，那么a的取值范围是(　　)
A．0
C.1
答案　D
解析　当a>1时，由loga，故a>1；当01.
4．若函数y＝loga|x－2|(a>0，且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性为(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
答案　D
解析　当15．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)
A．0＜k＜1 B．0≤k＜1
C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1
答案　C
解析　令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
6．已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1,2) D．[2，＋∞)
答案　C
解析　由已知可得a>1，当x∈[0,1]时，2－ax>0恒成立，∴a<2.∴1二、填空题
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________________．
答案　∪(2，＋∞)
解析　∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
由f＝0，得f＝0.
∴f(logx)>0?logx<－或logx>
?x>2或0∴x∈∪(2，＋∞)．
8．函数y＝log2(x2－1)的增区间为________．
答案　(1，＋∞)
解析　由x2－1>0解得定义域为{x|x<－1或x>1}，
又y＝log2t在定义域上单调递增，t＝x2－1在(1，＋∞)上单调递增，
∴函数的增区间为(1，＋∞)．
9．不等式的解集为_____________________________________．
答案　(－∞，log2(－1))
解析　由，得4x＋2x＋1＜1，
即(2x)2＋2·2x＜1，配方得(2x＋1)2＜2，
所以2x＜－1，两边取以2为底的对数，
得x＜log2(－1)．
10．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，则不等式0答案　
解析　不等式0即0由得－1由0因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，
解得－由得－三、解答题
11．已知函数y＝lg是奇函数，求实数a的值．
解　由函数y＝lg是奇函数，得
lg＝－lg＝lg ，
即－a＝，
化简得4－4a＋a2(1－x2)＝1－x2，
所以解得a＝1.
12．设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,3]时，求f(x)的最大值．
解　(1)由
得
∴　即
∴a＝4，b＝2.
(2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，
设t＝2x，∵x∈[1,3]，∴t∈[2,8]．
令u＝4x－2x＝t2－t＝2－，
∴当t＝8，即x＝3时，umax＝56.
故f(x)的最大值为log256.
13．已知f(x)＝log(x2－ax－a)．
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域；
(2)若f(x)在上为增函数，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝
∵x2＋x＋1＝2＋≥，
＝2－log23，
∴f(x)的值域为(－∞，2－log23]．
y＝x2＋x＋1在上递减，在上递增，y＝在(0，＋∞)上递减，
∴f(x)的增区间为，
减区间为.
(2)令u＝x2－ax－a＝2－－a，
∵f(x)在上为单调增函数，
又∵y＝logu为单调减函数，∴u在上为单调减函数，且u＞0在上恒成立.
因此即
解得－1≤a≤.
故实数a的取值范围是.
四、探究与拓展
14．已知－3≤≤－，求函数f(x)＝log2 ·log2 的最大值和最小值．
解　∵－3≤≤－，
∴≤log2 x≤3.
f(x)＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2
＝2－.
当log2x＝3时，f(x)max＝2，
当log2x＝时，f(x)min＝－，
故函数f(x)的最大值为2，最小值为－.
15．如图所示，过函数f(x)＝logcx(c>1)的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M(a,0)，N(b,0)(b>a>1)，线段BN与函数g(x)＝logmx(m>c>1)的图象交于点C，且AC与x轴平行．
(1)当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；
(2)当b＝a2时，求－的最小值；
(3)已知h(x)＝ax，φ(x)＝bx，若x1，x2为区间(a，b)内任意两个变量，且x1(1)解　由题意得A(2，log32)，B(4，log34)，C(4，logm4)，
因为AC与x轴平行，所以logm4＝log32，所以m＝9.
(2)解　由题意得A(a，logca)，B(b，logcb)，C(b，logmb)，
因为AC与x轴平行，所以logmb＝logca，
因为b＝a2，所以m＝c2，
所以－＝－＝2－1，
所以当＝1时，－取得最小值－1.
(3)证明　因为a1，
所以logca又因为a>1，b>1，所以
又因为logcb·logca＝logca·logcb，
所以
所以所以
即h[f(x2)]<φ[f(x1)]．
3.2.3　指数函数与对数函数的关系
学习目标　1.了解反函数的概念，理解互为反函数的图象间的关系.2.知道指数函数与对数函数互为反函数，明确它们的图象关于y＝x对称．
知识点一　反函数
思考　函数y＝5x与y＝x的关系是什么？
答案　由y＝5x得x＝y，把y＝5x中的自变量x和因变量y互换即得y＝x.
梳理　反函数的概念
(1)定义：把函数f(x)的因变量作为新函数的自变量，把函数f(x)的自变量作为新函数的因变量，称这两个函数互为反函数．
(2)记法：函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x)．
知识点二　指数函数与对数函数的关系
思考　指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x互为反函数吗？它们的图象有什么关系？
答案　是，关于y＝x对称．
梳理　指数函数与对数函数的关系
(1)关系：指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数．
(2)图象特征：指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象关于y＝x对称．
(3)单调性：在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y＝log2x的增长速度逐渐变得很缓慢．
1．y＝ax与x＝logay的图象相同．(　√　)
2．由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.(　√　)
3．y＝ax与y＝logax的单调区间相同．(　×　)

类型一　求反函数
例1　写出下列函数的反函数：
(1)y＝lg x；(2)；(3)y＝x.
解　(1)y＝lg x(x>0)的底数为10，它的反函数为指数函数y＝10x (x∈R)．
(2)(x>0)的底数为，
它的反函数为指数函数y＝x (x∈R)．
(3)y＝x (x∈R)的底数为，它的反函数为对数函数y＝logx (x>0)．
反思与感悟　求给定解析式的函数的反函数的步骤
(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；
(2)从y＝f(x)中解出x；
(3)x，y互换并注明反函数的定义域．
跟踪训练1　求下列函数的反函数：
(1)y＝3x－1；(2)y＝x3＋1 (x∈R)；
(3)y＝＋1 (x≥0)；(4)y＝ (x∈R，x≠1)．
解　(1)由y＝3x－1，得x＝(y＋1)，
即所求反函数为y＝(x＋1)，x∈R.
(2)函数y＝x3＋1的值域为R，
x3＝y－1，x＝，
所以反函数为y＝ (x∈R)．
(3)函数y＝＋1 (x≥0)的值域为y≥1，
由＝y－1，得x＝(y－1)2，
所以反函数为y＝(x－1)2 (x≥1)．
(4)因为y＝＝＝2＋，
所以y≠2，由＝y－2，
得x＝1＋＝，
所以反函数为y＝ (x≠2)．
类型二　反函数的应用
例2　已知函数y＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，求a，b的值．
解　∵y＝ax＋b的图象过点(1,4)，
∴a＋b＝4.①
又∵y＝ax＋b的反函数的图象过点(2,0)，
∴点(0,2)在函数y＝ax＋b的图象上．
a0＋b＝2.②
联立①②，得a＝3，b＝1.
反思与感悟　互为反函数的图象关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)图象上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)图象上．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图象过(2,0)点，则f(x)的表达式为________．
答案　f(x)＝2x＋1
解析　∵y＝f－1(x)的图象过(2,0)，
∴(2,0)关于y＝x的对称点(0,2)一定在f(x)＝ax－k上，又(1,3)也在函数f(x)＝ax－k上，
∴∴∴f(x)＝2x＋1.
类型三　指数函数与对数函数的综合应用
例3　已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0.
(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)＞log2.
解　(1)由f(0)＝0，得a＝1，
所以f(x)＝.
因为f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
(2)因为f(x)＝y＝＝1－，
所以2x＝(－1＜y＜1)，
所以f－1(x)＝log2(－1＜x＜1)．
(3)因为f－1(x)＞log2，
即log2＞log2，
所以
所以
所以当0＜k＜2时，原不等式的解集为{x|1－k＜x＜1}；
当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．
反思与感悟　(1)明确求反函数的方法，注意在求反函数时一定要标明定义域．(2)要注意应用指数函数与对数函数是一对反函数的性质．
跟踪训练3　设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
解　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.
如图可知，
a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，
所以它们的图象关于直线y＝x对称，
由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，
于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
而A，B都在直线y＝－x＋3上，
∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，
或a＝－b＋3，故a＋b＝3.
1．函数y＝x＋2，x∈R的反函数为(　　)
A．x＝2－y B．x＝y－2
C．y＝2－x，x∈R D．y＝x－2，x∈R
答案　D
2．函数y＝－(x≤1)的反函数是(　　)
A．y＝x2－1(－1≤x≤0) B．y＝x2－1(0≤x≤1)
C．y＝1－x2(x≤0) D．y＝1－x2(0≤x≤1)
答案　C
解析　∵x≤1，∴－x≥－1,1－x≥0，
∴≥0，∴－≤0，∴y≤0.
原函数的值域应与反函数的定义域相同，
∴选项中只有C的定义域满足小于等于0.
3．函数y＝f(x)的图象经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图象经过(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
答案　B
解析　因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f－1(x)的图象经过第二、三象限．
4．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则f－1(4)等于(　　)
A. B．1－
C．－ D.－2
答案　C
解析　∵f(x－1)＝(x－1)2＋2(x≤1)，
∴f(x)＝x2＋2(x≤0)，
∴f－1(x)＝－，
∴f－1(4)＝－.
5．若函数y＝f(x)的图象和函数y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.
答案　3x
解析　∵y＝f(x)与y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，
∴f(x)＝3x.
1．对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数．它们的图象关于直线y＝x对称．
2．反函数的性质
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
若函数y＝f(x)的图象关于y＝x对称，说明y＝f(x)的反函数是它本身，如反比例函数y＝.
(2)若函数y＝f(x)上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数图象上，反之若(b，a)在反函数图象上，则(a，b)必在原函数图象上．
3．反函数的定义域是原函数的值域，并不一定是使反函数有意义的所有x的集合．
一、选择题
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)等于(　　)
A．log2x B． C. D．x2
答案　B
解析　∵函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，∴f(x)＝logax，∵f(x)＝logax的图象经过点(，a)，∴loga＝a?a＝，∴f(x)＝logx.
2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为(　　)
A．(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　C
解析　y＝f－1(x)的定义域即为原函数的值域，
∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.
3．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数图象过点(2,8)，则a＋b等于(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
答案　C
解析　由题意知，f(x)＝loga(x＋b)的图象过点(2,1)和(8,2)，∴
∴解得∴a＋b＝4.
4．设a＞0，且a≠1，函数f(x)＝ax，g(x)＝bx的反函数分别是f－1(x)和g－1(x)．若lg a＋lg b＝0，则f－1(x)与g－1(x)的图象(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于y＝x对称
答案　A
解析　由lg a＋lg b＝0，得b＝a－1，∴f(x)＝ax，g(x)＝a－x.其反函数分别为f－1(x)＝logax，g－1(x)＝－logax，∴f－1(x)与g－1(x)的图象关于x轴对称．
5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝g(x)的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，而函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称，若f(m)＝－1，则m的值为(　　)
A．－e B．－
C．e D.
答案　B
解析　由题意知y＝g(x)应为y＝ex的反函数，即g(x)＝ln x．由y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称，故可得f(x)＝ln(－x)．又f(m)＝－1，所以ln(－m)＝－1，得－m＝e－1，即m＝－.
6．已知f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，f－1(2)＜0，则f－1(x＋1)的图象可能是(　　)
答案　A
解析　f(x)＝a－x，f－1(x)＝－logax，由f－1(2)＜0，
即－loga2＜0，loga2＞0，所以a＞1.
f－1(x＋1)＝－loga(x＋1)(a＞1)，过(0,0)点．
二、填空题
7．已知f(x5)＝log2x，则f(2)＝________.
答案　
解析　设t＝x5，则x＝t，
∴f(t)＝log2t＝log2t，
∴f(2)＝log22＝.
8．设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是________．
答案　[3，＋∞)
解析　f－1(x)的定义域为f(x)的值域，
∵x≥1，∴log2x≥0，
∴log2x＋3≥3，
∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．
9．已知f(x)＝(a＞0)，若f－1(x)的定义域是，则f(x)的定义域是________．
答案　[4,7]
解析　f－1(x)的定义域即为f(x)的值域，∴≤≤.又a＞0，∴4≤x≤7.∴f(x)的定义域为[4,7]．
10．已知函数f(x)的反函数g(x)＝1＋2lg x(x＞0)，则f(1)＋g(1)＝________.
答案　2
解析　令g(x)＝1，则2lg x＝0，∴x＝1，即g(1)＝1.
∵f(x)与g(x)互为反函数，
∴f(1)＝1，
∴f(1)＋g(1)＝2.
11．对任意不等于1的正数a，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数的图象恒过点P，则点P的坐标是________．
答案　(0，－2)
解析　当x＝－2时，f(x)＝loga(－2＋3)＝0，
∴f(x)恒过点(－2,0)，
即反函数的图象恒过点P(0，－2)．
三、解答题
12．求下列函数的反函数．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝1－(－1≤x＜0)．
解　(1)设y＝f(x)＝，则y≠0.
由y＝，解得x＝.
∴f－1(x)＝(x≠0)．
(2)设y＝f(x)＝1－.
∵－1≤x＜0，∴0＜y≤1.
由y＝1－，解得x＝－.
∴f－1(x)＝－(0＜x≤1)．
13．函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上存在反函数，求a的取值范围．
解　若函数f(x)在区间[1,2]上存在反函数，则f(x)在[1,2]上为单调函数，
f(x)＝x2－2ax－3的对称轴是x＝a，
要使f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上为单调函数，
则[1,2]?(－∞，a]或[1,2]?[a，＋∞)，
即a≥2或a≤1.
所以a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．
四、探究与拓展
14．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝_______.
答案　
解析　因为点在y＝f(x)的图象上，
所以点在y＝ax的图象上，则有＝，
即a2＝2，又因为a>0，所以a＝.
15．已知函数f(x)＝loga(2－x)，(a＞1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)判断f－1(x)的单调性．
解　(1)要使函数f(x)有意义，
需满足2－x＞0，即x＜2，
故函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R.
(2)由y＝loga(2－x)，得2－x＝ay，
即x＝2－ay.∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．
(3)f－1(x)在R上是减函数．
证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2.
∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－－2＋＝－，
∵a＞1，x1＜x2，∴＜，即－＜0，
∴f－1(x2)＜f－1(x1)，
∴y＝f－1(x)在R上是减函数．
§3.3　幂函数
学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．
知识点一　幂函数的概念
思考　y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？
答案　底数为x，指数为常数．
梳理　一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞) 上减，
在(－∞，0) 上减
知识点三　一般幂函数的图象特征
一般幂函数特征
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
1．y＝－是幂函数．(　×　)
2．当x∈(0,1)时，x2>x3.(　√　)
3．y＝与y＝定义域相同．(　×　)
4．若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(　√　)
类型一　幂函数的概念
例1　已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
解　由题意得解得
所以m＝－3或1，n＝.
反思与感悟　幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数．
跟踪训练1　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　∵y＝＝x－2，所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y＝1不是幂函数．
类型二　幂函数的图象及应用
例2　若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)解　设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)．
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)．
(3)当－1引申探究
若对于本例中的f(x)，g(x)，定义h(x)＝试画出h(x)的图象．
解　h(x)的图象如图所示：
反思与感悟　由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程．
跟踪训练2　幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．无法确定
答案　A
解析　由条件知，M，N，
∴＝α，＝β，
∴αβ＝α＝α＝，
∴αβ＝1.故选A.
类型三　幂函数性质的综合应用
命题角度1　比较大小
例3　设则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
答案　B
解析　∵y＝x在R上为减函数，∴，即a即a>c.∴b>a>c.故选B.
反思与感悟　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
跟踪训练3　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.3与0.3；
(2)－1与－1；
(3)0.3与(0.3).
解　(1)∵0<0.3<1，
∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．
又>，
∴0.3>0.3.
(2)∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－<－.
∴－1>－1.
(3)∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，
∴由>0.3，可得0.3>0.30.3.①
又y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴0.30.3>0.3.②
由①②知0.3>0.3.
命题角度2　幂函数性质的综合应用
例4　已知函数f(x)＝(m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小．
解　f(x)＝＝＝m－＝m－(x－1)－2.
f(x)的图象可由y＝x－2的图象首先作关于x轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m≥0)(或向下(m<0))平移|m|个单位长度得到(如图所示)．
显然，图象关于x＝1对称且在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(－π)＝f(2＋π)，而2＋π>5，
∴f(－π)＝f(2＋π)>f(5)．
反思与感悟　幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去确定α的取值．
跟踪训练4　已知幂函数f(x)＝ (m∈N＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解　(1)∵m∈N＋，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．
(2)
∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，
∴f(x)＝，
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数．
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，
解得1≤a<.
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　C
解析　由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
2．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)的值等于(　　)
A．16 B. C．2 D.
答案　D
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为(　　)
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
答案　A
4．下列是y＝的图象的是(　　)
答案　B
5．以下结论正确的是(　　)
A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
答案　D
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．
3．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．
一、选择题
1．下列函数中是幂函数的是(　　)
A．y＝x4＋x2 B．y＝10x
C．y＝ D．y＝x＋1
答案　C
解析　根据幂函数的定义知，y＝是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．
2．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为(　　)
A．－3 B．2
C．－3或2 D．3
答案　A
解析　由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数知，m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m<0.故m＝－3.
3．已知f(x)＝x，若0A．f(a)B．fC．f(a)D．f答案　C
解析　因为函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，
又04．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案　A
解析　根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝x在x>0时是增函数，所以a>c，y＝x在x>0时是减函数，所以c>b.
5．已知幂函数f(x)＝ (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
答案　B
解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
6．若α∈，则使幂函数y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　A
解析　∵幂函数y＝xα是奇函数，∴α＝－1，，1,3.
又∵幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α＝，1,3.故选A.
二、填空题
7．已知函数：①y＝3x－2；②y＝x4＋x2；③y＝，其中幂函数有________个．
答案　1
解析　③y＝＝，符合幂函数的定义；①y＝3x－2，②y＝x4＋x2不符合幂函数的定义．
8．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)
答案　>
解析　∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，
∴5.25－1>5.26－1；
∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.
综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.
9．函数f(x)＝(x＋3)－2的单调增区间是________．
答案　(－∞，－3)
解析　y＝x－2＝的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y＝(x＋3)－2是由y＝
x－2向左平移3个单位得到的．
∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．
10．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
答案　f(x)＝x－1
解析　∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1∵图象关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
三、解答题
11．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，求m的值．
解　因为f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－5<0，故m<.
又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，
当m＝0时，f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；
当m＝1时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意．
综上知，m＝1.
12．已知幂函数(m∈Z)在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)讨论F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)的奇偶性，并说明理由．
解　(1)由于幂函数在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，求得－1因为m∈Z，所以m＝0,1,2.
因为f(x)是偶函数，所以m＝1，故f(x)＝x－4.
(2)F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)
＝a·x－4＋(a－2)x.
当a＝0时，F(x)＝－2x，对于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝－F(－x)，
所以F(x)＝－2x是奇函数；
当a＝2时，F(x)＝，对于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝F(－x)，
所以F(x)＝是偶函数；
当a≠0且a≠2时，F(1)＝2a－2，F(－1)＝2，
因为F(1)≠F(－1)，F(1)≠－F(－1)，
所以F(x)＝＋(a－2)x既不是奇函数也不是偶函数．
13．已知幂函数f(x)的图象过点(25,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－lg x)，求g(x)的定义域、值域．
解　(1)设f(x)＝xα，则由题意可知25α＝5，
∴α＝，∴f(x)＝
(2)∵g(x)＝f(2－lg x)＝，
∴要使g(x)有意义，只需2－lg x≥0，
即lg x≤2，解得0＜x≤100.
∴g(x)的定义域为(0,100]，
又2－lg x≥0，∴g(x)的值域为[0，＋∞)．
四、探究与拓展
14．已知实数a，b满足等式下列五个关系式：①0其中可能成立的式子有________．(填上所有可能成立式子的序号)
答案　①③⑤
解析　首先画出y1＝与y2＝的图象(如图)，已知＝m，作直线y＝m.
若m＝0或1，则a＝b；若0若m>1，则115．已知幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx是单调函数，求m的取值范围．
解　(1)∵幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，
∴(2k－1)(3－k)>0，解得∵k∈Z，∴k＝1或k＝2.
当k＝1时，(2k－1)(3－k)＝2，
满足函数f(x)为偶函数，
当k＝2时，(2k－1)(3－k)＝3，
不满足函数f(x)为偶函数，
∴k＝1，且f(x)＝x2.
(2)∵f(x)＝x2，
∴g(x)＝f(x)－mx＝x2－mx，函数g(x)的对称轴为直线x＝.
要使函数g(x)当x∈[－1,1]时是单调函数，
则≤－1或≥1，
解得m≤－2或m≥2，
故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
§3.4　函数的应用(Ⅱ)
学习目标　1.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.2.会根据函数的增长差异选择函数模型．
知识点一　函数模型
一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
知识点二　三种常见函数模型的增长差异
比较三种函数模型的性质，填写下表.
　　　函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随n值而不同
增长速度
ax的增长快于xn的增长，xn的增长快于logax的增长
增长后果
总会存在一个x0，当x>x0时，就有ax>xn>logax
1．先有实际问题，后有模型．(　√　)
2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(　√　)
3．增长速度越来越快的一定是指数函数模型．(　×　)
4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>x2(a>1)．(　×　)
类型一　几类函数模型的增长差异
例1　(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)
A．y＝50x B．y＝x50
C．y＝50x D．y＝log50x(x∈N＋)
答案　C
解析　四个函数中，增长速度由慢到快依次是y＝log50x，y＝50x，y＝x50，y＝50x.
(2)函数y＝2x－x2的大致图象为(　　)
答案　A
解析　在同一平面直角坐标系内作出y1＝2x，y2＝x2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x∈(0,2)时，2x＞x2，即此时y＞0；当x∈(2,4)时，2x＜x2，即y＜0；当x∈(4，＋∞)时，2x＞x2，即y＞0；当x＝－1时，y＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A中的图象符合条件．
反思与感悟　在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.
跟踪训练1　函数f(x)＝的大致图象为(　　)
答案　D
解析　f(x)为偶函数，排除A，B.当x＞1时，y＝lg|x|＝lg x＞0，且增长速度小于y＝x2，所以随着x的逐渐增大，越来越接近0且函数值为正数，故选D.
类型二　函数模型应用
命题角度1　选择函数模型
例2　某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用(　　)
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
答案　D
解析　四个函数中，A的增长速度不变，B，C增长速度越来越快，其中C增长速度比B更快，D增长速度越来越慢，故只有D能反映y与x的关系．
反思与感悟　根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型．
跟踪训练2　某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示，则正确的是(　　)
答案　A
命题角度2　用函数模型决策
例3　某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：
甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；
乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．
哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
解　按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150(万元)；
按乙，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元)．
故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利．
反思与感悟　建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要靠建立的函数模型与实际的拟合程度．而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据．
跟踪训练3　一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
解　设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N＋)，旅游收费为y，旅游原价为a.
甲旅行社收费：y＝a＋(x＋1)＝(x＋3)；
乙旅行社收费：y＝(x＋2)．
∵(x＋2)－(x＋3)＝(x－1)，
∴当x＝1时，两家旅行社收费相等．
当x＞1时，甲旅行社更优惠．
1．下列函数中随x的增长而增长最快的是(　　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝x100 D．y＝2x
答案　A
2．能使不等式log2xA．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(4，＋∞)
答案　D
3．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为(　　)
A．8℃ B．78℃
C．112℃ D．18℃
答案　B
4．下面选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是(　　)
A．y＝10×1.05x
B．y＝20＋x1.5
C．y＝30＋lg(x－1)
D．y＝50
答案　A
5．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　)
A.倍 B．10倍
C.倍 D．ln倍
答案　B
解析　由题意，令70＝10lg，则有I1＝I0×107.同理得I2＝I0×106，所以＝10.
1．四类不同增长的函数模型
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型．
(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型．
(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型．
2．函数模型的应用
(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
一、选择题
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
答案　B
解析　D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意．
2．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xa＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax
答案　D
解析　对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，显然不成立；对于D，当a＞1时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立．
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
答案　D
解析　设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
答案　A
解析　由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数．
5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系式为：P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为(　　)
A.小时 B.小时
C．5小时 D．10小时
答案　C
解析　由题意知前5个小时消除了90%的污染物．∵P＝P0e－kt，∴(1－90%)P0＝P0e－5k，∴0.1＝e－5k，即－5k＝ln 0.1，∴k＝－ln 0.1.由1%P0＝P0e－kt，即0.01＝e－kt，∴－kt＝ln 0.01，∴t＝ln 0.01，∴t＝10.∴至少还需要过滤5小时才可以排放．
6．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是(　　)
答案　B
解析　水深h为自变量，随着h增大，A中V增长速度越来越快，C中先慢后快，D增长速度不变，只有B中V增长速度越来越慢．
二、填空题
7．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为________双．
答案　800
解析　要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，
即10x－(5x＋4 000)≥0，解得x≥800.
8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝2 000ln，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
答案　e6－1
解析　由题意2 000ln＝12 000.
∴ln＝6，从而＝e6－1.
9．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只．
答案　300
解析　把x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)，
得a＝100，
故函数关系式为y＝100log2(x＋1)，
所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
所以到第7年这种动物发展到300只．
10．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．
答案　y＝a(1＋r)x，x∈N＋
解析　已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，
2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，
3期后本利和为y＝a(1＋r)3，
…
x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N＋.
三、解答题
11．在制造纯净水的过程中，如果每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，那么要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少要过滤几次？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解　设原有杂质为a，经过x次过滤后杂质为y，则y＝a×(1－20%)x＝a0.8x.
由题意得<5%，即0.8x<5%，
所以xlg 0.8≈13.4，
因此至少需要经过14次过滤才能使水中杂质减少到原来的5%以下．
12．某企业生产A，B两种产品．根据市场调查与市场预测知A产品的利润与投资成正比，其关系如图(1)所示，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图(2)所示．(注：图中的横坐标表示投资金额，单位为万元)
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产．问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润为多少万元？
解　(1)设投资了x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．
由题意知f(x)＝k1x(k1≠0)，g(x)＝k2(k2≠0)．
由题图可知f(2)＝1，所以k1＝，
由g(4)＝4，得k2＝2.
故f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝2(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10－x)万元．
设企业利润为y万元，
则y＝f(x)＋g(10－x)＝x＋2(0≤x≤10)．
令＝t，则y＝＋2t＝－(t－2)2＋7(0≤t≤)．
当t＝2时，ymax＝7，此时x＝10－4＝6.
所以当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为7万元．
13．某纪念章从2018年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单元：天)的数据如下：
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
解　(1)∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，
∴函数y＝ax2＋bx＋c满足该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系．
(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
得解得
∴y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26.
∴当x＝20时，y有最小值26.
故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元．
四、探究与拓展
14．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份(　　)
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案　A
解析　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．
15．众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3元．假定该商品的售价由三部分组成：生产成本(a元)、包装成本(b元)、利润，生产成本(a元)与饼干质量成正比，包装成本(b元)与饼干质量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试求出该种饼干1 000克装的合理售价(精确到0.1元)．
解　设饼干的质量为x克，
则其售价y(元)与质量x(克)之间的函数解析式为
y＝(mx＋n)(1＋0.2)，
由题意得1.6＝(100m＋n)(1＋0.2)，
即＝100m＋10n.
又3＝(200m＋n)(1＋0.2)．
即2.5≈200m＋14.14n，
∴0.167≈5.86n，
∴
∴y≈(1.05×10－2x＋0.028 4)×1.2，
当x＝1 000时，y≈13.7.
∴估计这种饼干1 000克装的售价为13.7元．
习题课　对数函数
学习目标　1.巩固和深化对于对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．
知识点一　对数概念及其运算
1．当a>0，且a≠1时，由指数式对数式互化可得恒等式：
?＝N.
2．对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质
(1)0和负数没有对数，即N>0.
(2)loga1＝0.
(3)logaa＝1.
3．运算公式
已知a>0，且a≠1，M，N>0.
(1)logaM＋logaN＝loga(MN)．
(2)logaM－logaN＝loga.
(3)＝logaM.
(4)logaM＝＝(c>0，且c≠1，M>0且M≠1)．
知识点二　对数函数及其图象、性质
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数．
(1)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；值域为R.
(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(1,0)．
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增．
当0(4)直线y＝1与函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象交点为(a,1)．
(5)y＝logax与y＝ax的图象关于y＝x对称．
y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称．
1．y＝x与y＝是相等函数．(　×　)
2．＝logab.(　×　)
3．若ax>b，则x>logab.(　×　)
4．y＝loga(x＋1)恒过定点(0,0)．(　√　)
类型一　对数式的化简与求值
例1　(1)计算：
(2)已知2lg＝lg x＋lg y，求
解　(1)方法一　利用对数定义求值：
设＝x，
则(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1，
∴x＝－1.
方法二　利用对数的运算性质求解：
(2)由已知得lg2＝lg xy，
∴2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴2－6＋1＝0.
∴＝3±2.
∵
∴＞1，∴＝3＋2，
＝－1.
反思与感悟　在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化．
跟踪训练1　(1)＝________.
(2)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.
答案　(1)－　(2)2
解析　(1)∵＝
＝1－lg 3，
lg＋lg 8－lg＝lg 3＋3lg 2－
=(lg 3＋2lg 2－1)，
lg 0.3·lg 1.2＝lg ·lg ＝(lg 3－1)(lg 12－1)
＝(lg 3－1)(lg 3＋2lg 2－1)，
∴原式＝－.
(2)∵f(ab)＝lg(ab)＝1.
∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2.
类型二　对数函数图象的应用
例2　已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，求abc的取值范围．
解　f(x)的图象如图：
设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，
不妨设a则直线y＝m与f(x)交点横坐标从左到右依次为a，b，c，
由图象易知0∴f(a)＝|ln a|＝－ln a，f(b)＝|ln b|＝ln b.
∴－ln a＝ln b，ln a＋ln b＝0，ln ab＝ln 1，∴ab＝1.
∴abc＝c∈(e，e2)．
反思与感悟　函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．
跟踪训练2　已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
解　∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如图．
由图示，要使x∈时恒有|f(x)|≤1，
只需≤1，即－1≤loga≤1，
即logaa－1≤loga≤logaa，
所以当a＞1时，得a－1≤≤a，即a≥3；
当0＜a＜1时，a≤≤a－1，得0＜a≤.
综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)．
类型三　对数函数的综合应用
例3　已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
解　(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，
则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，
即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
设F(x)＝loga＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可．
∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m≤0即为所求．
跟踪训练3　已知函数f(x)的定义域是(－1,1)，对于任意的x，y∈(－1,1)，有f(x)＋f(y)＝f，且当x＜0时，f(x)＞0.
(1)验证函数g(x)＝ln，x∈(－1,1)是否满足上述这些条件；
(2)你发现这样的函数f(x)还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明．
解　(1)因为g(x)＋g(y)＝ln＋ln
＝ln＝ln，
g＝ln＝ln，
所以g(x)＋g(y)＝g成立．
又当x＜0时，1－x＞1＋x＞0，所以＞1，
所以g(x)＝ln＞0成立．
综上g(x)＝ln满足这些条件．
(2)发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是奇函数．
将x＝y＝0代入条件，得f(0)＋f(0)＝f(0)，
所以f(0)＝0.
将y＝－x代入条件，得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0?f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是奇函数．
又发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是减函数．
因为f(x)－f(y)＝f(x)＋f(－y)＝f，
当－1＜x＜y＜1时，＜0，由条件知f＞0，
即f(x)－f(y)＞0?f(x)＞f(y)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是减函数．
1．若logx＝z，则(　　)
A．y7＝xz B．y＝x7z C．y＝7xz D．y＝z7x
答案　B
解析　由logx＝z，得xz＝，
∴7＝(xz)7，即y＝x7z.
2．当0A. B. C．(1，) D．(，2)
答案　B
解析　a>1时，当00即logaa2，
又a∈(0,1)，∴a∈.
3．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为(　　)
A．[－1,1] B. C．[1,2] D．[，4]
答案　D
解析　∵－1≤x≤1，∴2－1≤2x≤2，即≤2x≤2.
∴y＝f(x)的定义域为，即≤log2x≤2，
∴≤x≤4.
4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B. C．2 D．4
答案　B
解析　函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)，
令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，
y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减．
因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)
＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝.
5．若f(x3)＝lg x，则f(2)＝________.
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
答案　lg 2
解析　令x3＝2，则x＝，得f(2)＝＝lg 2.
1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．
2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．
3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式＝·logab，logab＝在解题中的灵活应用．
4．在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N＋，且n为偶数)．
5．同底的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
6．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．
一、选择题
1．已知a＝log0.60.5，b＝ln 0.5，c＝0.60.5，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
答案　B
解析　∵y＝log0.6x在(0，＋∞)上为减函数．
∴log0.60.61.
同理，ln 0.50<0.60.5<0.60，即0∴a>c>b.
2．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为(　　)
A. B．60
C. D.
答案　B
解析　由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝，即logzm＝60.
3．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．先减后增
答案　A
解析　∵当a>1时，y＝logau，u＝(a－1)x＋1都是增函数．
当0∴f(x)在定义域上为增函数．
4．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)
答案　A
解析　本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数过(0,0)点，排除B，D.
5．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
答案　D
解析　f(x)≤2等价于或
解得0≤x≤1或x>1.
∴x的取值范围是[0，＋∞)．
6．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：
f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，
则是“同形”函数的是(　　)
A．f2(x)与f4(x)
B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x)
D．f3(x)与f4(x)
答案　A
解析　因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)，沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数．f3(x)＝log2x2＝2log2|x|与f1(x)＝2log2(x＋1)不“同形”，故选A.
二、填空题
7．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
答案　
解析　由题意可知求b－a的最小值即求区间[a，b]的长度的最小值，当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或，所以区间[a，b]的最短长度为1－＝，
所以b－a的最小值为.
8．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.
答案　2
解析　原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.
9．已知实数a，b满足loga＝logb，下列五个关系式：
①a>b>1；②0a>1；④0其中可能成立的关系式序号为________．
答案　②③⑤
解析　由图易知，
有且仅有3种情形：
010．已知0答案　(3,4)
解析　∵0<1＝a0等价于logb(x－3)>0＝logb1.
∵0三、解答题
11．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f(1)>f，求x的取值范围．
解　因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是单调减函数，
所以f(x)在区间(－∞，0)上是单调增函数，
所以不等式f(1)>f可化为
lg >1或lg <－1，
所以lg >lg 10或lg 所以>10或0<<，
所以010.
所以x的取值范围为∪(10，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；
(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．
(1)证明　因为函数f(x)＝log2(2x＋1)，
任取x1则f(x1)－f(x2)＝
＝，
因为x1所以log2<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增．
(2)解　g(x)＝m＋f(x)，即g(x)－f(x)＝m.
设h(x)＝g(x)－f(x)
＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2
＝log2.
设1≤x1则3≤≤5，
∴log2≤h(x1)即h(x)在[1,2]上为增函数且值域为.
要使g(x)－f(x)＝m有解，需m∈.
13．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
解　(1)由ax－bx＞0，得x＞1，且a＞1＞b＞0，
得＞1，所以x＞0，
即f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)任取x1＞x2＞0，a＞1＞b＞0，
则
所以
即
故f(x1)＞f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．
故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．
(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)，这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
四、探究与拓展
14．函数f(x)＝log2·的最小值为________．
答案　－
解析　由题意得x>0，∴f(x)＝log2·＝log2x·log2(4x2)＝log2x·(log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x)2＝2－≥－.当且仅当x＝时，有f(x)min＝－.
15．已知函数f(x)＝2＋log2x，x∈[1,4]．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)设g(x)＝[f(x)]2－f(x2)，求g(x)的最值及相应的x的值．
解　(1)∵f(x)＝2＋log2x在[1,4]上是增函数，
又f(1)＝2＋log21＝2，f(4)＝2＋log24＝2＋2＝4.
∴函数f(x)的值域是[2,4]．
(2)g(x)＝[f(x)]2－f(x2)
＝4＋4log2x＋(log2x)2－(2＋log2x2)
＝(log2x)2＋2log2x＋2
＝(log2x＋1)2＋1.
由得1≤x≤2，
∴g(x)的定义域是[1,2]．
∴0≤log2x≤1.
∴当log2x＝0，即x＝1时，g(x)有最小值g(1)＝2；
当log2x＝1，即x＝2时，g(x)有最大值g(2)＝5.
模块综合试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．如果A＝{x|x>－1}，那么(　　)
A．0?A B．{0}∈A
C．?∈A D．{0}?A
答案　D
解析　∵0∈A，∴{0}?A.
2．已知集合A＝{y|y＝31－x，x∈R}，B＝{x|1≤x≤4}，则(　　)
A．A∩B＝? B．A∩B＝[1,3]
C．A∪B＝(0，＋∞) D．A∪B＝(0,4]
答案　C
解析　∵y＝31－x＝3·x，∴y>0，
∴A∪B＝(0，＋∞)∪[1,4]＝(0，＋∞)．
3．函数y＝的值域是(　　)
A．[1，＋∞) B．(0,1]
C．(－∞，1] D．(0，＋∞)
答案　B
解析　∵x2＋1≥1，∴≤1，且>0，即函数的值域为(0,1]．
4．已知f(x)＝(m－1)x2＋3mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－4,2)上为(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先递增再递减 D．先递减再递增
答案　C
解析　∵f(x)＝(m－1)x2＋3mx＋3是偶函数，
∴m＝0，f(x)＝－x2＋3，函数图象是开口向下的抛物线，顶点坐标为(0,3)，f(x)在(－4,2)上先增后减．
5．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
答案　B
解析　∵2<3.6<4，∴log23.6>1>log43.6.
又∵log43.6>log43.2，∴a>c>b.
6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
答案　B
解析　∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对．
y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C不对．
D中y＝2－|x|＝|x|虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B对．
7．对数式log(a－3)(7－a)＝b中，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，7) B．(3,7)
C．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞)
答案　C
解析　由题意得解得38．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间(　　)
A．(5,6) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)
答案　B
解析　f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，
f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3,4)．
9．已知0A．2 B．3
C．4 D．与a值有关
答案　A
解析　分别画出函数y＝a|x|与y＝|logax|的图象，通过数形结合法，可知交点个数为2.
10．函数f(x)＝x2－2ax＋1有两个零点，且分别在(0,1)与(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．－11
C．1答案　C
解析　∵f(x)＝x2－2ax＋1，
∴f(x)的图象是开口向上的抛物线．
由题意得即解得111．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是(　　)
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．一次函数
答案　C
解析　根据幂的运算性质可知，
f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y)，故选C.
12．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且方程f(x)＝x无实根．现有四个说法：①若a>0，则不等式f[f(x)]>x对一切x∈R成立；②若a<0，则必存在实数x0使不等式f[f(x0)]>x0成立；③方程f[f(x)]＝x一定没有实数根；④若a＋b＋c＝0，则不等式f[f(x)]A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　方程f(x)＝x无实根，
∴f(x)－x>0或f(x)－x<0.
∵a>0，∴f(x)－x>0对一切x∈R成立，
∴f(x)>x，用f(x)代替x，∴f[f(x)]>f(x)>x，
∴说法①正确；
同理若a<0，则有f[f(x)]∴说法②错误；说法③正确；
∵a＋b＋c＝0，∴f(1)－1<0，
∴必然归为a<0，有f[f(x)]∴说法④正确．综上，选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．计算：0.25×－4＋lg 8＋3lg 5＝________.
答案　7
解析　原式＝0.25×24＋lg 8＋lg 53＝(0.5×2)2×22＋lg(8×53)＝4＋lg 1 000＝7.
14．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.
答案　6
解析　依题意，得g(－2)＝f(－2)＋9＝－f(2)＋9＝3，解得f(2)＝6.
15．定义在R上的奇函数f(x)为减函数，若a＋b≤0，给出下列不等式：
①f(a)·f(－a)≤0；②f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)；③f(b)·f(－b)>0；④f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
其中正确的是________．(填序号)
答案　①④
解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又∵f(x)为R上的减函数，
∴当x>0时，f(x)<0，当x<0时，f(x)>0.
由于a·(－a)≤0，∴f(a)·f(－a)≤0，
又∵a＋b≤0，即a≤－b，
∴f(a)≥f(－b)，同理，得f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
16．已知关于x的函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是________．
答案　(1,2)
解析　依题意，a>0且a≠1，
∴y＝2－ax在[0,1]上是减函数，
即当x＝1时，2－ax的值最小，又∵2－ax为真数，
∴，解得1三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值．
解　(1)∵>1，∴f＝－2×＋8＝5，
∵0<<1，∴f＝＋5＝.
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)如图，在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数y＝x＋5的图象上截取01的部分．图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)的最大值为6.
18．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；
(3)写出f(x)的值域．
解　(1)函数的定义域为R，
f(x)＝＝＝，
所以f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)＝＝＝1－在R上是增函数，
证明如下：任意取x1，x2，使得x1>x2，
所以
则f(x1)－f(x2)＝
＝>0.
所以f(x1)>f(x2)，f(x)在R上是增函数．
(3)因为0<<2，
所以f(x)＝1－∈(－1,1)，
所以f(x)的值域为(－1,1)．
19．(12分)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)是函数y＝f(x)图象上的点时，点是函数y＝g(x)图象上的点．
(1)写出函数y＝g(x)的表达式；
(2)当2g(x)－f(x)≥0时，求x的取值范围．
解　(1)令x′＝，y′＝，
把x＝3x′，y＝2y′代入y＝log2(x＋1)，
得y′＝log2(3x′＋1)，
∴g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)2g(x)－f(x)≥0，即log2(3x＋1)－log2(x＋1)≥0，
∴解得x≥0.
20．(12分)已知函数f(x)＝
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，由x－＝0，x2＋2x＝0，
得零点为，0，－2.
(2)显然，函数g(x)＝x－在上单调递增，
且g＝－；
函数h(x)＝x2＋2x＋a－1在上单调递增，
且h＝a＋.
故若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，
则a＋≤－，
∴a≤－.
故a的取值范围为.
21．(12分)若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且当x<0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)>0；
(2)求证：f(x)为减函数；
(3)当f(4)＝时，解不等式f(x2＋x－3)·f(5－x2)≤.
(1)证明　f(x)＝f＝f2≥0，
又∵f(x)≠0，∴f(x)>0.
(2)证明　设x1又∵f(x)为非零函数，
∴f(x1－x2)＝＝
＝>1，
由(1)知f(x)>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)为减函数．
(3)解　由f(4)＝f2(2)＝，f(x)>0，得f(2)＝.
原不等式转化为f(x2＋x－3＋5－x2)≤f(2)，
结合(2)得x＋2≥2，∴x≥0，
故不等式的解集为{x|x≥0}．
22．(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax－1.其中a>0且a≠1.
(1)求f(2)＋f(－2)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)解关于x的不等式－1解　(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝a－x－1.
∵f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．
∴f(x)＝
(3)不等式等价于
或
即或
当a>1时，有或
注意此时loga2>0，loga5>0，
可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)．
同理，可得当0综上所述，当a>1时，
不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)；
当0滚动训练(四)
一、选择题
1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B等于(　　)
A．{0} B．{－1,0}
C．{0,1} D．{－1,0,1}
答案　B
解析　根据两集合交集的定义求解．
∵A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}且1?B，
∴A∩B＝{－1,0}．
2．已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)的图象过点，则函数f(x)的值域为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
考点　求幂函数的解析式
题点　求幂函数的解析式后再求值
答案　C
解析　∵f(x)＝xα(α是常数)的图象过点，
∴2α＝，则α＝－1，
故f(x)＝x－1，易知值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
3．函数f(x)＝x－1的定义域、值域分别是(　　)
A．定义域是R，值域是R
B．定义域是R，值域是(0，＋∞)
C．定义域是(0，＋∞)，值域是R
D．定义域是R，值域是(－1，＋∞)
考点　指数函数的定义域和值域
题点　指数函数的定义域和值域
答案　D
解析　显然函数f(x)的定义域为R，
因为x>0，故x－1>－1，
即y>－1，故选D.
4．若a<，则化简的结果是(　　)
A. B．－
C. D．－
考点　n次方根及根式概念
题点　根式的化简
答案　C
解析　∵a<，∴2a－1<0，
于是，原式＝＝.
5.等于(　　)
A．7 B．10 C．6 D.
考点　对数的运算
题点　对数恒等式的应用
答案　B
解析　＝2·＝2×5＝10.
6．比较的大小关系是(　　)
A． B．
C． D．
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
答案　C
解析　∵幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，1.5<2，
又∵指数函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数，
<3.1，
7．函数f(x)＝log2|2x－1|的图象大致是(　　)
考点　对数函数的图象
题点　含绝对值的对数函数的图象
答案　A
解析　当x>0时，函数f(x)单调递增，
当x<0时，f(x)<0，故选A.
8．已知f(x)＝loga|x＋b|是偶函数，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为(　　)
A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)>f(a＋1)
C．f(b－2)考点　对数函数的综合问题
题点　与单调性有关的对数函数综合问题
答案　C
解析　∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，
此时f(x)＝loga|x|.
当a>1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；
当0∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．
综上可知f(b－2)二、填空题
9．式子的值为________．
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
答案　
解析　∵log89＝＝log23，
∴原式＝.
10．函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．
考点　对数函数的综合问题
题点　与奇偶性有关的对数函数综合问题
答案　－3
解析　∵>0，∴－3∴f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)＝－3.
11．设f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)>0，则实数a的取值范围为________．
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　
解析　因为f(1－a)>f(a)，f(x)＝lg x单调递增，
所以解得0即实数a的取值范围为.
12．设f(x)＝则f(log0.51.5)＝________.
考点　指数函数的求值
题点　指数函数的求值
答案　
解析　由对数的运算性质可得log0.51.5＝log2<0，
所以f(log0.51.5)＝f＝f＝＝.
三、解答题
13．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
解　(1)设V＝k·log3(k>0)，
∵当Q＝900时，V＝1，
∴1＝k·log3，
∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为V＝log3.
(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，∴Q＝2 700，
∴一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位．
四、探究与拓展
14．f(x)＝a＋(a∈R)．
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；
(2)用定义法判断函数f(x)的单调性；
(3)若当x∈[－1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
考点　函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点　奇偶性、单调性及最值的综合问题
解　(1)若函数f(x)为奇函数，
∵x∈R，∴f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，
验证当a＝－1时，f(x)＝－1＋＝为奇函数，
∴a＝－1.
(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1∴又
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
(3)当x∈[－1,5]时，∵f(x)为减函数，
∴f(x)max＝f(－1)＝＋a，
若f(x)≤0恒成立，则满足f(x)max＝＋a≤0，
得a≤－，
∴a的取值范围为.
15．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
考点　对数函数的值域
题点　真数为二次函数的对数型函数的值域
解　(1)∵f(1)＝2，
∴loga(1＋1)＋loga(3－1)＝loga4＝2，
解得a＝2(a>0，且a≠1)，
由得x∈(－1,3)．
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]
＝log2，
∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数；
当x∈时，f(x)是减函数．
∴函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

1　指数与指数运算疑点透析
一、如何理解n次方根的概念
若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？是x＝吗？这个回答是不完整的．正确表示应如下：
x＝
主要性质有：
①当n为奇数时，＝a；
②当n为偶数时，＝|a|＝
二、如何理解分数指数幂的意义
分数指数幂不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．规定＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)，＝＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定．
三、分数指数幂和整数指数幂有什么异同
相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理指数幂，都可以利用有理指数幂的运算性质进行运算．其运算形式为ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br，式中a＞0，b＞0，r、s∈Q，对于这三条性质，不要求证明，但需记准．
不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式．
四、指数幂的运算
在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
例1 化简
解　原式
例2 求的值．
解　原式
例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.
2　解读指数函数的四个难点
在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握．
难点之一：概念
指数函数y＝ax有三个特征：①指数：指数只能是自变量x(a>0且a≠1)；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：ax前的系数只能是1.
例1 给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；
④y＝xx；⑤y＝22x＋1.
以上是指数函数的个数是________．
分析　根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考查，判断是否满足指数函数的定义．
解析　对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①②④⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．
答案　1
难点之二：讨论
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．
例2 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
分析　遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求出a.
解　当a＞1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2－a＝，即a2＝，所以a＝；当0＜a＜1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a，最小值是a2，依题意得a－a2＝，即a2＝，所以a＝.
综上可知，a＝或a＝.
难点之三：复合
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则．
例3 求函数y＝的单调递减区间．
分析　指数函数与指数型复合函数的区别在于指数自变量是x还是x的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解．
解　由－x2＋x＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]．
令u＝－x2＋x＋2＝－2＋，则y＝，
当x∈时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的递减区间为.
难点之四：图象
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征是：在y轴的右侧，a越大，图象越高；在y轴左侧，a越大，图象越低．
例4 利用指数函数的图象比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．
分析　可在同一坐标系中作出y＝0.7x及y＝0.4x的图象，从图象中得出结果．
解　如图所示，作出y＝0.7x，y＝0.4x及x＝－0.3的图象，
易知0.7－0.3＜0.4－0.3.
评注　图象应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的函数应是y＝0.4x，而不是y＝0.7x，这一点应注意．
3　对数与对数运算学习讲解
1．对数的定义
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
解读：(1)由对数定义可以知道，当a＞0，且a≠1时，ax＝N?x＝logaN，也就是说指数式与对数式实际上是表示a，N之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，＝N，即a的logaN次方等于N，对数恒等式也是化简或计算的重要公式．
2．对数的性质
(1)零和负数没有对数．由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ax＝N(a＞0，且a≠1)中N总是正数；(2)1的对数为0.由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以loga1＝0；(3)底数的对数等于1.由于a1＝a对于任何非零实数都成立，所以logaa＝1.
3．对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，即正数积的对数，等于同一底数的各因数的对数和；
(2)loga＝logaM－logaN，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；
(3)logaMn＝nlogaM，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中．
例1 将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式：
(1)log3＝－3；(2)log232＝5；
(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.
解　(1)3－3＝；(2)25＝32；(3)log6216＝3；
(4)log100.001＝－3，也可写成lg 0.001＝－3.
评注　本题考查了对数式与指数式的互化．解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数．
例2 求下列各式的值：
(1)3log72－log79＋2log7；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解　(1)原式＝log723－log79＋log72
＝log7＝log71＝0；
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(lg 5＋2lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2
＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.
评注　利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性.
4　换底公式的证明及其应用
换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助．
一、换底公式及证明
换底公式：logbN＝.
证明　设logbN＝x，则bx＝N.两边均取以a为底的对数，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN.
∴x＝，即logbN＝.
二、换底公式的应用举例
1．乘积型
例1 (1)计算：log89·log2732；
(2)求证：logab·logbc·logcd＝logad.
分析　先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决．
(1)解　换为常用对数，得log89·log2732＝·
＝·＝×＝.
(2)证明　由换底公式，得logab·logbc·logcd＝··＝logad.
评注　此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决．
2．知值求值型
例2 已知log1227＝a，求log616的值．
分析　本题可选择以3为底进行求解．
解　log1227＝＝a，解得log32＝.
故log616＝＝＝＝.
评注　这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决．
3．综合型
例3 设A＝＋＋，B＝＋，试比较A与B的大小．
分析　本题可选择以19及π为底进行解题．
解　A换成以19为底，B换成以π为底，
则有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360＜2，
B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.
故A＜B.
评注　有倒数关系式logab·logba＝1成立，即logab＝.
5　精析对数函数
一、对数函数的概念
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．
由对数的定义容易知道对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)是指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数．在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记．若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数．
二、对数函数的图象和性质
1．对数函数性质的记忆与运用的注意事项
(1)数形结合——利用图象记忆性质．x＝1是“分水岭”；
(2)函数的单调性决定于底数a大于1还是大于0小于1；
(3)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(其中a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的概念、图象、性质，既有密切的联系又有本质的区别．
2．对数函数图象分布规律
如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x＝1的右边区域，在x轴上方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越大，且底数均大于1；在x轴下方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间．图中的对数函数的底数a，b，c，d的大小关系是0＜a＜b＜1＜c＜d.在具体解题时，还可利用特殊值法．
例1 函数y＝log(x－1)(4－x)的定义域是________．
解析　由可得
所以函数的定义域是{x|1＜x＜4，且x≠2}．
答案　{x|1＜x＜4，且x≠2}
评注　函数定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.
例2 函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d与正整数1的大小顺序是(　　)
A．1＜d＜c＜a＜b B．c＜d＜1＜a＜b
C．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b
解析　作出直线y＝1(图略)，可知其与对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a，b，c，d，于是c＜d＜1＜a＜b.
答案　B
评注　利用特殊值的方法解决有关对数函数的图象问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速的解决.
6　对数函数中化难为易三策略
对数函数是最重要的一类初等函数，解对数函数问题时常因方法不当或没有充分挖掘隐含条件而导致错误．这主要是因为对数函数的制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，因此在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面从三个方面谈谈对数函数学习中化难为易的求解策略，希望能对同学们的学习有所帮助．
一、数形结合策略
例1 若不等式2x－logax＜0在x∈时恒成立，求实数a的取值范围．
解　要使不等式2x＜logax在x∈时恒成立，
即函数y＝logax的图象在内恒在函数y＝2x的图象上方，如图所示．
而y＝2x的图象过点，即需loga ≥，
显然这里0＜a＜1，则函数y＝logax递减．
又因为loga ≥＝，所以a≥，
即a≥.
故所求a的取值范围为.
评注　数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易．
二、合理换元策略
例2 设y＝[a2x＋2(ab)x－b2x＋1]，a，b∈(0，＋∞)，求使y为负值的x的取值范围．
解　∵0＜＜1，y＜0，
∴由对数函数的性质知a2x＋2(ab)x－b2x＋1＞1，
即a2x＋2(ab)x－b2x＞0.①
把①式两边同时除以b2x，
得2x＋2x－1＞0，②
令＝t，则②式可化为t2x＋2tx－1＞0，
解得tx＞－1或tx＜－－1(舍去)，
再给两边取以t为底的对数，但需分t＞1，t＝1,0＜t＜1三种情况进行讨论．
当t＞1，即a＞b＞0时，x＞log (－1)；
当t＝1，即a＝b＞0时，x∈R；
当0＜t＜1，即0＜a＜b时，x＜
评注　对某些对数函数问题，巧妙地进行变量代换，可使问题转化为一次或二次函数等常规函数问题来解，往往能化难为易．
三、分离参数策略
例3 设f(x)＝lg，其中a∈R，n是任意给定的自然数，且n≥2，如果f(x)在(－∞，1]上有意义，求a的取值范围．
解　由f(x)有意义，得1＋2x＋…＋(n－1)x＋nxa＞0，
x∈(－∞，1]，n≥2，
把上式看作关于a的不等式，解得
a＞－，
令g(x)＝－，
∵y＝－x(m＝1,2，…，n－1)在(－∞，1]上是增函数，
∴g(x)在(－∞，1]上也是增函数，
故有g(x)≤g(1)＝－＝－，
即[g(x)]max＝－，故a＞，
∴a的取值范围是.
评注　有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的思维习惯，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境．如果打破思维定势，反“客”为“主”，把原来处于相对次要地位的“客元”突显出来，常常能收到出人意料的效果．当一个题目中有多个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，逐步减少变量，使问题获解．
7　巧解指数、对数函数综合题
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a＞1时，它们在各自的定义域内都是增函数；当0＜a＜1时，它们在各自的定义域内都是减函数，因此在解决指、对函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题．
一、共享底数
对数式与指数式互化，其底数一致，即logaN＝b，ab＝N.利用它可以解决指、对数方程及互化等问题．
例1 方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝________.
解析　将对数式化为指数式，得32x＋1＝1－2· 3x，
即3·(3x)2＋2·3x－1＝0，得3x＝，故x＝－1.
答案　－1
二、亮出底数
在有些指数、对数函数问题，特别是图象问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决．
例2 当a＞1时，在同一坐标系中，能表示函数y＝a－x与y＝logax的图象的是(　　)
解析　由a＞1时，有0＜＜1，则指数函数y＝a－x＝x在R上是减函数，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，故排除B，C，D.
答案　A
三、变换底数
对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数．
例3 若loga2＜logb2＜0，则(　　)
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
解析　化为同底，有＜＜0，
从而log2b＜log2a＜0，即log2b＜log2a＜log21.
∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．
∴0＜b＜a＜1.
答案　B
四、讨论底数
当底数不定时，常分0＜a＜1与a＞1两种情况进行讨论．
例4 函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的差为5，则a＝________.
解析　由题意知，a＞0，且a≠1.
①当a＞1时，有a1－a0＝5，即a＝6；
②当0＜a＜1时，有a0－a1＝5，即a＝－4(舍去)．
综上知，a＝6.
答案　6
五、消去底数
有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来一定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化．
例5 设0＜x＜1，a＞0且a≠1.试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
解　作商＝|log(1＋x)(1－x)|，
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＜1＋x＜2,0＜1－x2＜1，
∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)
＝log(1＋x)＞log(1＋x)(1＋x)＝1.
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
8　三种数学思想在幂函数中的应用
一、分类讨论的思想
例1 若(a＋1)<(3－2a)，试求a的取值范围．
分析　利用函数y＝x的图象及单调性解题，注意根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．
解　分类讨论或
或
解得a<－1或评注　考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．
二、数形结合的思想
例2 已知x2>x，求x的取值范围．
解　x2与x有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y＝xα，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可得x的取值范围是x<0或x>1.
评注　数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．
三、转化的数学思想
例3 指出函数f(x)＝的单调区间，并比较f(－π)与f的大小．
解　因为f(x)＝
＝1＋＝1＋(x＋2)－2，
所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，如图所示．
所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x＝－2对称．
又因为－2－(－π)＝π－2，
－－(－2)＝2－，所以π－2<2－，
故－π距离对称轴更近，所以f(－π)>f.
评注　通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题．
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．化简＋的结果是(　　)
A．2π－9 B．9－2π
C．－1 D．1
答案　C
解析　＋
＝(4－π)＋(π－5)＝－1.
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
答案　C
解析　A项，y＝是奇函数，故不正确；
B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；
C，D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
3．已知集合A＝{x|y＝lg(2－x)＋lg x}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，R是实数集，则(?RB)∩A等于(　　)
A．[0,1] B．(0,1]
C．(－∞，0] D．以上都不对
答案　B
解析　由得0＜x＜2，
故A＝{x|0＜x＜2}，由x＞0，得2x＞1，
故B＝{y|y＞1}，?RB＝{y|y≤1}，
则(?RB)∩A＝{x|0＜x≤1}．
4．函数y＝的图象大致是(　　)
答案　B
解析　函数y＝＝是定义域为R的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A，C.
另外，因为所以当x∈(0,1)时，函数y＝的图象在直线y＝x的下方；当x∈(1，＋∞)时，函数y＝的图象在直线y＝x的上方．故选B.
5．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝x2＋x＋1 D．
答案　A
解析　A中，y＝＝x的值域为(0，＋∞)．
B中，因为1－2x≥0，所以2x≤1，x≤0，
y＝的定义域是(－∞，0]，
所以0＜2x≤1，所以0≤1－2x＜1，
所以y＝的值域是[0,1)．
C中，y＝x2＋x＋1＝2＋的值域是.
D中，因为∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．
6．1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小关系是(　　)
A．23.1＜2－3.1＜1.5－3.1 B．1.5－3.1＜23.1＜2－3.1
C．1.5－3.1＜2－3.1＜23.1 D．2－3.1＜1.5－3.1＜23.1
答案　D
解析　1.5－3.1＝3.1,2－3.1＝3.1，
又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函数，且＜＜2，
∴3.1＜3.1＜23.1，故选D.
7．已知f(3x)＝4x·log2x，那么f的值是(　　)
A．－2 B．4
C．8(log23－1) D．－
答案　A
解析　令3x＝，得x＝.
故f＝×log2＝－2.
8．若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D.
答案　D
解析　方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当0∴0<2a<1，即0②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．
综上，09．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)＜f(lg x)的解集是(　　)
A．(0,10) B.
C. D.∪(10，＋∞)
答案　D
解析　因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，因为f(x)在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)内单调递增，故|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜－1，解得x＞10或0＜x＜.
10．已知奇函数y＝若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，则g(x)等于(　　)
A.－x B．－x
C．2－x D．－2x
答案　D
解析　由图象可知，当x>0时，函数f(x)单调递减，则0∵f(1)＝，∴a＝，即函数f(x)＝x.当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＝－g(x)，即g(x)＝－－x＝－2x，故g(x)＝－2x，x<0，故选D.
11．已知函数f(x)＝是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意得
∴12．已知点A(1,0)，点B在曲线G：y＝ln x上，若线段AB与曲线M：y＝相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
答案　B
解析　设B(x0，ln x0)，线段AB的中点为C，则C，又点C在曲线M上，故＝，即ln x0＝.
此方程的解的个数可以看作函数y＝ln x与y＝的图象的交点个数．画出图象，可知两个函数的图象只有1个交点．故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
答案　(1,4)
解析　由于函数y＝ax恒过点(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作由y＝ax的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1,4)．
14．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
答案　
解析　函数f(x)的定义域为，
令t＝2x＋1(t>0)．
因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，
t＝2x＋1在上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为.
15．若f(x)＝则f(x)的值域为__________．
答案　(－2，－1]
解析　当x∈(－∞，1]时，x－1≤0,0<3x－1≤1，－216．对于函数f(x)的定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；
②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③>0.
当f(x)＝ex时，上述结论中正确结论的序号是______．
答案　①③
解析　∵f(x)＝ex，∴f(x1＋x2)＝，f(x1)f(x2)＝，故f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)，①正确．f(x1x2)≠f(x1)＋f(x2)，②不正确．由f(x)＝ex为增函数，可知当x1>x2时，f(x1)>f(x2)；当x10成立，故③正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)计算下列各式的值．
(1)(ln 5)0＋0.5＋－；
(2)log21－lg 3·log32－lg 5.
解　(1)∵(ln 5)0＝1，
＝|1－|＝－1.
∴原式＝1＋＋－1－＝.
(2)原式＝0－lg 3·－lg 5
＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg 10＝－1.
18．(12分)已知x＞1且x≠，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．
解　f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx
＝logxx，
当1＜x＜时，x＜1，∴logxx＜0，
∴f(x)当x＞时，x＞1，∴logxx＞0，∴f(x)>g(x)．
即当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＞时，f(x)＞g(x)．
19．(12分)若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
解　由x2－logmx<0，得x2要使x2在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示．
∵当x＝时，y＝x2＝，
∴只要当x＝时，y＝logm≥＝
∴≤，即≤m.又0∴≤m<1，即实数m的取值范围是.
20．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解　(1)由题意，得y＝
(2)∵x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
答　老张的销售利润是39万元．
21．(12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
解　(1)由解得1故函数φ(x)的定义域为{x|1(2)不等式f(x)≤g(x)，
即为loga(x－1)≤loga(6－2x)．(*)
①当a>1时，不等式(*)等价于
解得1②当0解得≤x<3.
综上可知，当a>1时，不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围是；
当022．(12分)如图，A，B，C是函数y＝f(x)＝logx图象上的三点，它们的横坐标分别是t，t＋2，t＋4(t≥1)．
(1)设△ABC的面积为S，求S＝g(t)；
(2)若函数S＝g(t)＜f(m)恒成立，求m的取值范围．
解　(1)S＝g(t)＝
＝log2
＝log2(t≥1)．
(2)∵函数g(t)在区间[1，＋∞)上单调递减，
∴g(t)max＝g(1)＝log2.
∴g(t)max＝log2＜f(m)＝logm＝log2.
∴＞，∴0＜m＜.
章末复习
学习目标　1.构建知识网络.2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆.3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．
1．知识网络
2．要点归纳
(1)分数指数幂
①＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．
②(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．
(2)根式的性质
①()n＝a.
②当n为奇数时， ＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
(3)指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
(4)指数式与对数式的互化式
logaN＝b?ab＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(5)对数的换底公式
logaN＝(a>0，且a≠1，m>0，且m≠1，N>0)．
(6)对数的四则运算法则
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则
①loga(MN)＝logaM＋logaN.
②loga＝logaM－logaN.
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
1．y＝log2(2x)的图象可由y＝log2x的图象向上平移一个单位得到．(　√　)
2．y＝ax－1(a>0且a≠1)恒过定点(1,1)．(　√　)
3．函数y＝2x2是幂函数．(　×　)
4．建立的函数模型必须真实地反映原型的特征和关系．(　√　)
类型一　指数、对数的运算
例1　化简：(1)
解　原式
(2)2log32－log3＋log38－
解　原式＝
＝log39－9＝2－9＝－7.
反思与感悟　指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
跟踪训练1　计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．
答案　111
解析　∵log32×log2(log327)＝log32×log23
＝×＝1，
∴原式＝2×2＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.
类型二　数的大小比较
例2　比较下列各组数的大小：
(1)27,82；
解　∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27即82<27.
(2)log20.4，log30.4，log40.4；
解　∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.44又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
即log20.4(3)
解　
log2反思与感悟　数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．
跟踪训练2　比较下列各组数的大小：
(1)log0.22，log0.049；
解　∵log0.049＝＝
＝＝＝log0.23.
又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，
∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.
(2)a1.2，a1.3；
解　∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数；当底数0而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2当0a1.3.
(3)30.4,0.43，log0.43.
解　30.4>30＝1，
0<0.43<0.40＝1，
log0.43∴log0.43<0.43<30.4.
类型三　指数函数、对数函数、幂函数的综合应用
命题角度1　函数性质及应用
例3　已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
解　(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；
当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，
所以函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.
①当a<0，b>0时，x>－，
解得x>
②当a>0，b<0时，x<－，
解得x<
反思与感悟　指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
解　(1)要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]
＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]．
∵－3∵0由loga4＝－2，得a－2＝4，∴a＝4＝.
命题角度2　函数图象及应用
例4　如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
答案　C
解析　借助函数的图象求解该不等式．
令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图.
由　得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1反思与感悟　指数函数、对数函数、幂函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．
跟踪训练4　若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)
答案　B
解析　由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝
x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称．显然不符．故选B.
1.等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
答案　B
解析　＝
＝＝2.
2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)
答案　D
解析　显然a>0且a≠1.
若0若a>1，只有B中y＝xa符合，但B中g(x)不符合．
3．函数f(x)＝x与函数g(x)＝在区间(－∞,0)上的单调性为(　　)
A．都是增函数
B．都是减函数
C．f(x)是增函数，g(x)是减函数
D．f(x)是减函数，g(x)是增函数
答案　D
解析　f(x)＝x在x∈(－∞，0)时为减函数，g(x)＝为偶函数，x∈(0，＋∞)时g(x)＝为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．
4．已知P＝，Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是(　　)
A．P＜Q＜R B．Q＜R＜P
C．Q＜P＜R D．R＜Q＜P
答案　B
解析　函数y＝x3在R上是增函数，∴3＜3，
由函数y＝2x在R上是增函数知，＞2－3＝3，
所以Q＜R＜P.
5．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝的图象(图略)，易知有2个交点．
1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．
2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．
课时对点练
一、选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0]∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
答案　B
解析　由得－1＜x≤2，且x≠0.
即x∈(－1,0)∪(0,2]．
2．已知x，y为正实数，则(　　)
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y
B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y
D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
答案　D
解析　2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)．故选D.
3．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)等于(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
答案　C
解析　因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.
4．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是(　　)
A．(－∞，1] B.
C. D．[1,2)
答案　D
解析　方法一　当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D.
方法二　f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图．
由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.

5．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是(　　)
答案　C
解析　因为f(x)是函数y＝log2x的反函数，所以f(x)＝2x，所以y＝f(1－x)＝21－x＝x－1，其函数图象可由函数y＝x的图象向右平移1个单位长度得到，故选C.
6．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若 c＝f(－2)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
答案　C
解析　因为所以
因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以
因为f(x)是偶函数，
所以
c＝f(－2)＝f(2)．
所以c＞a＞b.
二、填空题
7．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
答案　1
解析　f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，
即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
8．已知＝(a＞0)，则＝________.
答案　4
解析　∵＝(a＞0)，
9．若函数y＝log(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
答案　(－8，－6]
解析　令g(x)＝3x2－ax＋5，其对称轴为直线x＝.依题意，有即
∴－810．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
答案　1
解析　∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴y＝f(x)关于直线x＝1对称，∴a＝1.
∴f(x)＝2|x－1|在[1，＋∞)上单调递增．
∴[m，＋∞)?[1，＋∞)．
∴m≥1，即m的最小值为1.
三、解答题
11．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，求lg(ab)·2的值．
解　∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，
∴lg a＋lg b＝2，lg alg b＝，
∴(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝4－2＝2，
∴lg(ab)·2＝(lg a＋lg b)·(lg a－lg b)2
＝2×2＝4.
12．已知函数f(x)＝(－2≤x≤2)．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值为64，求f(x)的最小值．
解　(1)令t＝x2＋2x＋a，则其对称轴x＝－1，
∴t＝x2＋2x＋a在[－2，－1]上单调递减，
在[－1,2]上单调递增，
又y＝2t在(－∞，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的增区间为[－1,2]，减区间为[－2，－1]．
(2)由(1)知f(x)max＝f(2)＝
∴28＋a＝64＝26，
∴8＋a＝6，a＝－2，
13．已知常数a(a>1)和变量x，y之间的关系式是logax＋3logxa－logxy＝3，若x＝at (t≠0)，且当t≥1时，y的最小值是8，求相应的x的值．
解　把x＝at代入logax＋3logxa－logxy＝3，
得t＋－logay＝3.
∴logay＝t2－3t＋3，
又t≥1，a>1，故可令u＝t2－3t＋3，
则当t＝时，u＝t2－3t＋3有最小值为，
此时y也有最小值，即ymin＝a＝8，
此时x＝at＝a＝(a)2＝82＝64.
四、探究与拓展
14．如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．
答案　
解析　由图象可知，点A(xA,2)在函数y＝的图象上，所以2＝，xA＝2＝.点B(xB,2)在函数的图象上，所以2＝，xB＝4.点C(4，yC)在函数y＝x的图象上，所以yC＝4＝.
又xD＝xA＝，yD＝yC＝，
所以点D的坐标为.
15．已知函数f(x)＝xn－，且f(4)＝3.
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意实数x1，x2∈[1,3]，有|f(x1)－f(x2)|≤t成立，求t的最小值．
解　(1)f(4)＝4n－1＝3，即4n＝4，∴n＝1.
∴f(x)＝x－.
其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又∵f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋
＝x1－x2＋＝(x1－x2).
∵x1>x2>0，
∴x1－x2>0,1＋>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)依题意，得t≥|f(x1)－f(x2)|成立，
只要t≥|f(x1)－f(x2)|的最大值即可．
∵f(x)在区间[1,3]上单调递增．
∴|f(x1)－f(x2)|的最大值为
|f(3)－f(1)|＝＝.
∴t≥.
故t的最小值为.