第二章函数 学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测

1　函数解析式求解的常用方法
一、换元法
例1 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
分析　采用整体思想，可把f(＋1)中的“＋1”看作一个整体，然后采用另一参数替代．
解　令t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)，
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
评注　将接受对象“＋1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式．此法是求函数解析式时常用的方法．
二、待定系数法
例2 已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的表达式．
解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c
＝2x2－4x.
故有
解得
所以f(x)＝x2－2x－1.
评注　若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数．
三、方程消元法
例3 已知：2f(x)＋f＝x2－2，x≠0，求f(x)．
解　2f(x)＋f＝x2－2，①
用去代换①式中的x得2f＋f(x)＝－2.②
由①×2－②得f(x)＝x2－－，x≠0.
评注　方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的.
2　解读分段函数
分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考．
一、分段函数解读
在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，相应的对应关系不同，这样的函数称之为分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应关系)不同而已．
二、常见的题型及其求解策略
1．求分段函数的定义域、值域
例1 求函数f(x)＝的值域．
解　当x≤－2时，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，∴y≥－4；
当x＞－2时，y＝，∴y＞＝－1.
∴函数f(x)的值域是{y|y≥－4}．
解题策略　分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．
2．求分段函数的函数值
例2 已知f(x)＝求f(5)的值．
解　∵5<10，∴f(5)＝f(f(5＋6))＝f(f(11))，
∵11＞10，∴f(f(11))＝f(9)，
又∵9<10，∴f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.
即f(5)＝11.
解题策略　求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理．
3．画出分段函数的图像
例3 已知函数f(x)＝作出此函数的图像．
解　由于分段函数有两段，所以这个函数的图像应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图像如图所示．
解题策略　分段函数有几段，其图像就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图像，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图像每段端点的虚实．
4．求解分段函数的解析式
例4 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图像如图所示．则：
(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；
(2)求y与x之间的函数关系式．
解　(1)由题意可知当0设函数的解析式y＝kx，
又因过点(100,40)，得解析式为y＝x，
当月通话为50分钟时，0<50<100，
所以应交话费y＝×50＝20元．
(2)当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.
则有解得
所以解析式为y＝x＋20，
故所求函数关系式为y＝
解题策略　以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在高考试题中，解决此类问题的关键是正确的理解题目(或图像)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点．
3　函数单调性的应用
一、比较大小
例1 若函数f(x)＝x2＋mx＋n，对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)成立，试比较f(－1)，f(2)，f(4)的大小．
解　依题意可知f(x)的对称轴为x＝2，
∴f(－1)＝f(5)．
∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(2)即f(2)评注　(1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；
(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．
二、解不等式
例2 已知y＝f(x)在定义域(－2,2)上是减函数，且f(t)解　依题意可得解得评注　(1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式．
(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围．
(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错．
三、求参数的值或取值范围
例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围．
解　任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则x2－x1>0.
f(x2)－f(x1)＝(x－ax2)－(x－ax1)
＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x－a)．
∵1≤x13.
显然不存在常数a，使(x＋x1x2＋x－a)恒为负值．
又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，
∴必有一个常数a，使x＋x1x2＋x－a恒为正数，
即x＋x1x2＋x>a.
当x1，x2∈[1，＋∞)时，x＋x1x2＋x>3，
∴a≤3.此时，
∵x2－x1>0，∴f(x2)－f(x1)>0，
即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴a的取值范围是(0,3]．
四、利用函数单调性求函数的最值
例4 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；
(2)当a＝时，求f(x)的最小值；
(3)若a为正常数，求f(x)的最小值．
解　(1)当a＝4时，f(x)＝x＋＋2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6.
(2)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝.
(3)函数f(x)＝x＋＋2在(0，]上是减函数，
在[，＋∞)上是增函数．
当>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，
∴f(x)min＝f()＝2＋2.
当≤1，即0
4　函数奇偶性的应用
函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明．
一、求函数的解析式
例1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，求f(x)的解析式．
分析　要求f(x)在R上的解析式，条件已给出f(x)在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x≤0时f(x)对应的解析式．
解　因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)，
因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝x(1－)，x∈(－∞，0)．
在f(－x)＝－f(x)中，令x＝0，得f(0)＝0.
所以f(x)＝
评注　利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式．
二、求参数的值
例2 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a<0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.
分析　根据已知条件当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x<0的解析式．
解析　令x<0，则－x＞0.
所以f(－x)＝－x(1－x)．
又f(x)为奇函数，
所以当x<0时，有f(x)＝x(1－x)．
令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0.
解得a＝－1或a＝2(舍去)．
答案　－1
评注　解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键．
三、求参数的范围
例3 定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是减函数，若f(1－m)解　因为f(x)是偶函数，
所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
又f(1－m)由f(x)在区间[0,2)上是减函数，
得0≤|m|<|1－m|<2.
解得－1故实数m的取值范围是.
评注　本题利用了奇偶性的性质：若函数f(x)是偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)，从而达到简捷求解的目的.
5　函数单调性、奇偶性联袂解题
单调性和奇偶性是函数的两个重要基本性质，二者之间有下面的密切联系：(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．巧妙地运用单调性和奇偶性的联系，可以轻松解决很多函数问题．下面分类举例说明．
一、比较大小
例1 已知函数f(x)是偶函数，且在区间[0,1]上是减函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　)
A．f(－0.5)B．f(－1)C．f(0)D．f(－1)解析　因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．
又因为f(x)在区间[0,1]上是减函数，
所以f(－1)答案　B
评注　比较两个函数值大小时，如果两个自变量的值不在同一单调区间上，则需要利用奇偶性来进行转化．
二、求函数最值
例2 若偶函数f(x)在区间[3,6]上是增函数且f(6)＝9，则它在区间[－6，－3]上(　　)
A．最小值是9 B．最小值是－9
C．最大值是－9 D．最大值是9
解析　因为f(x)是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，
所以f(x)在区间[－6，－3]上是减函数．
因此，f(x)在区间[－6，－3]上最大值为f(－6)＝f(6)＝9.
答案　D
评注　应用单调性和奇偶性的联系求最值时，一定要确定是最大值还是最小值．
三、解不等式
例3 若函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，则x·f(x)<0的解集是(　　)
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析　因为函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，所以可画出符合条件的奇函数f(x)的图像，如图所示．
因为x·f(x)<0，
所以或
结合图像，得到答案为A.
答案　A
评注　本题是单调性和奇偶性的综合应用，并且有较强的抽象性．只要抓住其对称性，分析图像的特点，画出符合条件的图像，就不难使问题得到解决．
四、求参数的取值范围
例4 设定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在[0,1)上单调递增，且有f(1－m)＋f<0，求实数m的取值范围．
解　由于函数f(x)的定义域为(－1,1)，
则有
解得0又f(1－m)＋f<0，
所以f(1－m)<－f.
而函数f(x)为奇函数，
则有f(1－m)因为函数f(x)是奇函数，且在[0,1)上单调递增，所以函数f(x)在定义域(－1,1)上单调递增，
则有1－m<2m－，
解得m＞，
故实数m的取值范围为.
评注　本题通过函数奇偶性和单调性的定义及其相关特征解决问题，这是比较常见的题型之一．
6　函数图像的三种变换
函数的图像变换是高考中的考查热点，常见变换有以下3种：
一、平移变换
例1 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：
(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图像，并观察三个函数图像的关系；
(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图像，并观察三个函数图像的关系．
解　(1)如图　　　　　　　　　　　(2)如图
　
观察图像得：y＝f(x＋1)的图像可由y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图像可由y＝f(x)的图像向右平移1个单位长度得到；y＝f(x)＋1的图像可由y＝f(x)的图像向上平移1个单位长度得到；y＝f(x)－1的图像可由y＝f(x)的图像向下平移1个单位长度得到．
二、对称变换
例2 设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图像，并观察两个函数图像的关系．
解　画出y＝f(x)＝x＋1与y＝f(－x)＝－x＋1的图像如图所示．
由图像可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图像关于y轴对称．
评注　函数y＝f(x)的图像与y＝f(－x)的图像关于y轴对称；函数y＝f(x)的图像与y＝－f(x)的图像关于x轴对称；函数y＝f(x)的图像与y＝－f(－x)的图像关于原点对称．
三、翻折变换
例3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图像，并观察两个函数图像的关系．
解　y＝f(x)的图像如图1所示，y＝|f(x)|的图像如图2所示．
通过观察两个函数图像可知：要得到y＝|f(x)|的图像，把y＝f(x)的图像中x轴下方图像翻折到x轴上方，其余部分不变．
例4 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图像，并观察两个函数图像的关系．
解　如下图所示．
通过观察两个函数图像可知：要得到y＝f(|x|)的图像，先把y＝f(x)图像在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图像补到左方即可.

7　三种数学思想在幂函数中的应用
1．分类讨论的思想
例1 若(a＋1)<(3－2a)，试求a的取值范围．
分析　利用函数y＝x的图像及单调性解题，注意根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．
解　分类讨论
或或
解得a<－1或评注　考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．
2．数形结合的思想
例2 已知x2>x，求x的取值范围．
解　x2与x有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y＝xα，所以同一坐标系内作出它们的图像比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可得x的取值范围是x<0或x>1.
评注　数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．
3．转化的数学思想
例3 指出函数f(x)＝的单调区间，并比较f(－π)与f的大小．
解　因为f(x)＝
＝1＋＝1＋(x＋2)－2，
所以其图像可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．
所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图像关于直线x＝－2对称．
又因为－2－(－π)＝π－2，－－(－2)＝2－，
所以π－2<2－，
故－π距离对称轴更近，
所以f(－π)>f.
评注　通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题．

§1　生活中的变量关系
学习目标　1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象.2.了解生活中两个变量之间的函数关系现象.3.能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系．
知识点一　依赖关系
思考　某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？
答案　该人的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．
梳理　在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．
知识点二　函数关系
思考　某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间t当作自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？
答案　每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．
梳理　当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且y是x的函数．
知识点三　依赖关系与函数关系
思考　在知识点二的思考中，h是t的函数吗？t是h的函数吗？h，t有依赖关系吗？
答案　h是t的函数；t不是h的函数；h，t有依赖关系．
梳理　函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系．要确定变量的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量.
类型一　依赖关系与函数关系的辨析
例1　下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
①圆的面积和它的半径；
②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；
④正三角形的面积和它的边长．
考点　
题点　
解　①中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系；
②中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；
③中，家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；
④中，正三角形的面积S与其边长a间存在S＝a2的关系．
综上，①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．
反思与感悟　判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．
跟踪训练1　下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
考点　
题点　
解　(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；
(2)家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系．
综上可知，(1)(3)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系．
类型二　变量关系的表示
例2　声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：
气温x/℃
0
5
10
15
20
音速y(米/秒)
331
334
337
340
343
(1)根据表内数据作图，由图可看出变量__________随________的变化．
(2)用x表示y的关系式为________．
(3)气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米．
考点　
题点　
答案　(1)音速　气温　(2)y＝x＋331　(3)1 721
解析　(1)
此图反映的是变量音速随气温的变化．
(2)由表中数据可知，气温每升高5℃，音速加快3米/秒，又过点(0,331)，
故所求函数关系式为y＝x＋331.
(3)由(2)可知气温为22℃时音速y＝×22＋331，
故此人与燃放的烟花所在地约相距为5×＝66＋1 655＝1 721(米)．
反思与感悟　借助图表可以直观地显现两个变量的关系，便于我们分析和猜想，从而发现规律．
跟踪训练2　心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)
提出概念所用时间(x)
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的接受能力(y)
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
考点　
题点　
解　(1)画出图如下：
反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量．
(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59.
(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．
(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低.
1．下列说法不正确的是(　　)
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
考点　
题点　
答案　D
解析　A、B、C中说法均正确，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系．
2．下列各变量间不存在依赖关系的是(　　)
A．扇形的圆心角与它的面积
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
D．某人的衣着价格与视力
考点　
题点　
答案　D
3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；图中与这件事正好吻合的图像是(其中x轴表示时间，y轴表示行驶的路程)(　　)
考点　
题点　
答案　A
解析　开始一段时间路程逐渐增大，速度相同，图像是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图像与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图像知选A.
4．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有________．(填序号)
考点　
题点　
答案　①③④
解析　由已知关系判断得，①③④中关系不确定故不是函数关系，只有②是函数关系．
5．自变量x与因变量y之间的关系如下表：
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
4
6
8
…
(1)写出x与y的关系式：________.
(2)当x＝2.5时，y＝________.
考点　
题点　
答案　(1)y＝2x　(2)5
1．依赖关系和非依赖关系
在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．
2．函数关系
如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有唯一确定的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．
3．借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律．
一、选择题
1．谚语“瑞雪兆丰年”说明(　　)
A．下雪与来年的丰收具有依赖关系
B．下雪与来年的丰收具有函数关系
C．下雪是丰收的函数
D．丰收是下雪的函数
考点　
题点　
答案　A
解析　积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田的作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．
2．已知变量x，y满足y＝|x|，则下列说法错误的是(　　)
A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数 D．x是y的函数
考点　
题点　
答案　D
解析　当y取一个正值时，有两个x与它对应，故D错．
3．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是(　　)
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13℃
D．这天21时的温度是30℃
考点　
题点　
答案　C
解析　这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14℃，故C错．
4．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表：
运送距离x(km)
05001 000…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　)
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．无法确定
考点　
题点　
答案　C
解析　∵800 g<1 000 g，∴适用表格给出的邮资标准．
∵1 000<1 200<1 500，∴应付邮资7.00元．
5．下列两个变量之间不是函数关系的为(　　)
A．角度和它的正弦值
B．正方体的边长和体积
C．正n边形边数和顶点角度之和
D．人的年龄和身高
考点　
题点　
答案　D
6．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图像，下面的描述符合小明散步情况的是(　　)
A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家
考点　
题点　
答案　B
解析　水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．
二、填空题
7．从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：
K数
24 K
22 K
21 K
18 K
14 K
含金量%
99以上
91.7
87.5
75
58.5
K数
12 K
10 K
9 K
8 K
6 K
含金量%
50
41.66
37.5
33.34
25
饰用K金的K数与含金量之间是________关系，K数越大，含金量________．
考点　
题点　
答案　函数　越高
8．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：
(1)甲、乙两人中先到达终点的是________．
(2)乙在这次赛跑中的速度为________ m/s.
考点　
题点　
答案　(1)甲　(2)8
解析　设甲、乙的速度分别为v1，v2，
则v1＝＝(m/s)，v2＝＝8(m/s)，v1>v2.
9．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入______，它们之间是______关系．
考点　
题点　
答案　增加　函数
10．圆柱的高为10 cm，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量．设圆柱底面半径为r(cm)，圆柱的体积V(cm3)与r(cm)的关系式为_____，当底面半径从2 cm变化到5 cm时，圆柱的体积由_____ cm3变化到____ cm3.
考点　
题点　
答案　圆柱底面半径　圆柱的体积　V＝10πr2　40π　250π
解析　圆柱的体积为V＝πr2h(其中r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高)．
三、解答题
11．如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
考点　
题点　
解　(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11：00至12：00，他骑了13千米．
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；
10：00～10：30的平均速度是14千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐．
12．向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆．
(1)在这个变化过程中，有哪些变量？
(2)若圆的面积用S表示，半径用R表示，则S和R的关系是什么？它们是常量还是变量？
(3)若圆的周长用C表示，半径用R表示，则C与R的关系式是什么？
考点　
题点　
解　(1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量．
(2)圆的面积S与半径R存在依赖关系，对于半径R的每一个取值，都有唯一的面积S与之对应，所以圆的面积S是半径R的函数，其函数关系式是S＝πR2.圆的面积S、半径R都是变量．
(3)C＝2πR.
四、探究与拓展
13．在工作的状态下，饮水机会通过自动对水加热使饮水机中水的温度保持在一定范围内．如图表示在饮水机的水温达到最高后，饮水机处于工作状态中的水的温度的变化情况：根据此图，设计一个问题，并解答所设计的问题．
考点　
题点　
解　设计问题就是从图像中获取有关信息．例如，提出下列问题：
问题1：饮水机中水的最高温度是多少？最低温度是多少？
解：水的最高温度为96℃，最低温度约为91℃，
问题2：水温上升到最高温度后，再经过10分钟饮水机中水的温度多高？35分钟时水的温度多高？
解：10分钟后水的温度约为93℃，35分钟时水的温度约为95℃.
问题3：哪段时间水的温度在不断下降？哪段时间水的温度在持续上升？
解：约从开始到27分钟时水的温度在不断下降，从27分钟到32分钟时水的温度在不断上升，后面又一个相同的下降与上升的过程．
§2　对函数的进一步认识
2．1　函数概念
学习目标　1.理解函数的概念.2.了解构成函数的三要素.3.正确使用函数、区间符号．
知识点一　函数的概念
思考　初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图像？
答案　因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应关系来定义函数的概念．
梳理　函数的概念：
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.其中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．
用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图像(0,1)自然是函数图像．
知识点二　函数三要素
思考　函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案　两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
梳理　一般地，函数有三个要素：定义域、对应关系与值域．其中，定义域和对应关系起决定作用，只要确定了一个函数的定义域和对应关系，这个函数也就确定，值域也随之确定．
两点说明：(1)在没有标明函数定义域的情况下，定义域是使函数解析式有意义的x的取值范围．在实际问题中，除了要使函数式有意义，还要符合实际意义．
(2)f(a)表示自变量x＝a时对应的函数值．
知识点三　区间
1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x左闭右开区间
[a，b)
{x|a左开右闭区间
(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x(－∞，a)
R
(－∞，＋∞)
取遍数轴上所有的值
2.注意：(1)“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．
(2)区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．
1．集合A＝可以作为某个函数的定义域．(　×　)
2．若1∈A，则对于f：A→B，f(1)可能不存在．(　×　)
3．对于函数f：A→B，当x1>x2∈A，可能有f(x1)＝f(x2)．(　√　)
4．区间不可能是空集．(　√　)
类型一　函数关系的判断
命题角度1　给出三要素判断是否为函数
例1　判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
考点　函数的概念
题点　判断代数式或对应关系是否为函数
解　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟　判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．
跟踪训练1　下列对应是从集合A到集合B的函数的是(　　)
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
考点　函数的概念
题点　判断代数式或对应关系是否为函数
答案　C
解析　A中，当x＝0时，无意义；B中，当x＝1时，绝对值x－1＝0，集合B中没有0；C正确；D不正确．
命题角度2　给出图形判断是否为函数图像
例2　下列图形中不是函数图像的是(　　)
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　A
解析　A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图像，其余B、C、D均符合函数定义．
反思与感悟　(1)判断一个图像是否为函数图像的方法：作任何一条垂直于x轴的线，不与已知图像有两个或两个以上的交点的就是函数图像．
(2)函数图像上点的横坐标、纵坐标分别对应函数自变量、因变量的取值，故判断图形是否为函数图像，主要看横坐标、纵坐标之间的对应关系是否满足函数定义．
跟踪训练2　若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　B
解析　A中，定义域为[－2,0]，不符合题意；
B中，定义域为[－2,2]，值域为[0,2]，符合题意；
C中，存在一个x值对应2个y值的情形，不是函数；
D中，定义域为[－2,2]，但值域不是[0,2]，不符合题意．
类型二　已知函数的解析式，求其定义域
例3　求下列函数的定义域．
(1)y＝3－x；
(2)y＝2－；
(3)y＝；
(4)y＝－＋.
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
解　(1)函数y＝3－x的定义域为R.
(2)由得0≤x≤，
所以函数y＝2－的定义域为.
(3)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．
(4)要使函数有意义，需
解得－≤x<2，且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为.
反思与感悟　求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练3　函数f(x)＝的定义域为________．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　{x|x≥0且x≠1}
解析　要使有意义，需满足解得x≥0且x≠1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}．
类型三　函数相等
例4　下列函数中哪个与函数y＝x相等？
(1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝.
考点　相等函数
题点　判断函数是否为同一函数
解　(1)y＝()2＝x(x≥0)，y≥0，定义域不同，所以不是同一函数；
(2)y＝＝x(x∈R)，y∈R，对应关系相同，定义域相同，所以与y＝x是同一函数；
(3)y＝＝|x|＝y≥0；且当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，所以与y＝x不是同一函数；
(4)y＝的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x的定义域不相同，所以与y＝x不是同一函数．
反思与感悟　在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相同．值域相同，只是前两个要素相同的必然结果．
跟踪训练4　下列各组中的两个函数是否为相等的函数？
(1)y1＝，y2＝x－5；
(2)y1＝，y2＝.
考点　相等函数
题点　判断函数是否为同一函数
解　(1)两函数定义域不同，所以两函数不相同．
(2)y1＝的定义域为{x|x≥1}，而y2＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，定义域不同，所以两函数不相同．
类型四　对于f(x)，f(a)的理解
例5　(1)已知函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝________.
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　已知函数值求参数
答案　14
解析　f(a)＝＝4，
∴a＋2＝16，a＝14.
(2)已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
①求f(2)，g(2)的值；
②求f(g(2))的值；
③求f(a＋1)，g(a－1)．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值
解　①因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
②f(g(2))＝f(6)＝＝.
③f(a＋1)＝＝.
g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3.
反思与感悟　f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，只需把相应的x都换成对应的数或式子即可．
跟踪训练5　已知f(x)＝(x≠－1)．
(1)求f(0)及f的值；
(2)求f(1－x)及f(f(x))．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值或解析式综合
解　(1)f(0)＝＝1.
∵f＝＝，
∴f＝f＝＝.
(2)f(1－x)＝＝(x≠2)．
f(f(x))＝f＝＝x(x≠－1).
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有(　　)
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　B
2．区间(0,1)等于(　　)
A．{0,1} B．{(0,1)}
C．{x|0考点　区间的概念
题点　区间概念的理解
答案　C
3．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是(　　)
A．f(a)∈B
B．f(a)有且只有一个
C．若f(a)＝f(b)，则a＝b
D．若a＝b，则f(a)＝f(b)
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　C
4．设f(x)＝，则等于(　　)
A．1 B．－1 C. D．－
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值
答案　B
解析　∵f(2)＝＝，f＝＝－，
∴＝－1.
5．下列各组函数是同一函数的是(　　)
①f(x)＝与g(x)＝x；
②f(x)＝x与g(x)＝；
③f(x)＝x0与g(x)＝；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
考点　相等函数
题点　判断函数是否为同一函数
答案　C
解析　①f(x)＝－x，g(x)＝x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)＝x，g(x)＝＝|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；③f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．
1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域也随之确定，所以判断两个函数是否相同只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可．
2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合．
3．在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自变量．关于对应关系f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f(　)中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值．
一、选择题
1．下列各式中是函数的个数为(　　)
①y＝1；②y＝x2；③y＝1－x；④y＝＋.
A．4 B．3 C．2 D．1
考点　函数的概念
题点　判断代数式或对应关系是否为函数
答案　B
解析　根据函数的定义可知，①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则∴∴x无解，∴④不是函数．
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
考点　相等函数
题点　判断函数是否为相等函数
答案　D
解析　A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
3．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1)
B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(0,1)
D．[1，＋∞)
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　B
解析　要使函数有意义，需
解得x≤1且x≠0.
∴定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
4．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)的值是(　　)
A．π2 B．π
C. D．不确定
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值
答案　B
解析　由函数解析式可知该函数为常函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f(π2)＝π.
5．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f(x)的图像的只可能是(　　)
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　D
解析　A，B中值域为[0,2]，不合题意；C不是函数．
6．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(　　)
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　已知函数值求参数
答案　D
解析　组装第A件产品用时15分钟，即f(A)＝15.
∵A≥A，∴f(A)＝＝15，①
∴必有4联立①②解得c＝60，A＝16.
7．下列函数中，值域为[1，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
考点　函数的值域
题点　求函数的值域方法综合
答案　C
解析　对于A，当x＝1时，y＝0?[1，＋∞)，A不对；
对于B，当x＝0时，y＝－1?[1，＋∞)，B不对；
对于D，当x＝5时，y＝＝?[1，＋∞)，D不对，故选C.
二、填空题
8．函数y＝＋的定义域为________．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　[2，＋∞)
解析　要使函数式有意义，需所以x≥2.
9．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为__________________．
考点　函数的值域
题点　求函数的值域
答案　{－1,1,3,5,7}
解析　定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值即可．
10．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是________．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　已知函数值求参数
答案　1
解析　f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，
f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，
∴a＝1或a＝0(舍去)．
11．已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________.
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值
答案　3
解析　f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
解　(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
13．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．
考点　
题点　
解　∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，
∴－1≤x＋1≤4.令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为[－1,4]，
即f(x)的定义域为[－1,4]，
要使f(2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，
∴－≤x≤－或≤x≤.
故函数f(2x2－2)的定义域为.
四、探究与拓展
14．已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)等于(　　)
A．p＋q B．3p＋2q
C．2p＋3q D．p3＋q2
考点　
题点　
答案　B
解析　f(72)＝f(36×2)＝f(36)＋f(2)＝f(6×6)＋f(2)＝2f(6)＋f(2)＝2f(2×3)＋f(2)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…
＋f(2 017)＋f＋f(2 018)＋f的值．
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　中心对称函数倒序相加法求函数值的和
(1)解　因为f(x)＝，
所以f(2)＋f＝＋＝1.
(2)证明　f(x)＋f＝＋
＝＋＝＝1，是定值．
(3)解　由(2)知，f(x)＋f＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…，
f(2 018)＋f＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 017)＋f＋f(2 018)＋f＝2 018.
2．2　函数的表示法(一)
学习目标　1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图像上获取有用的信息．
知识点一　解析法
思考　一次函数如何表示？
答案　y＝kx＋b(k≠0)．
梳理　一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．
知识点二　图像法
用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法．
知识点三　列表法
思考　在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？
答案　对于任意一个人的序号x，都有一个他写的数字y与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．
梳理　用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．
函数三种表示法的优缺点：
1．y＝x＋1与y＝x＋1，x∈N是同一个函数．(　×　)
2．在坐标平面上，一个图形就是一个函数图像．(　×　)
3．函数y＝f(x)的图像上任一点(x0，y0)必满足y0＝f(x0)．(　√　)
4．列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(　√　)
类型一　解析式的求法
例1　根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
解　由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得
∴或
∴所求函数解析式为
f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.
(2)f＝x2＋；
考点　求函数的解析式
题点　换元法求函数解析式
解　∵f＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2.
又x≠0，∴x＋≥2或x＋≤－2，
∴f(x)中的x与f中的x＋取值范围相同，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
考点　求函数的解析式
题点　方程组法求函数解析式
解　∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
反思与感悟　(1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．
(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式．
(3)如果条件是一个关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)，f(－x)的方程，然后消元消去f(－x)．
跟踪训练1　根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
解　由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
考点　求函数的解析式
题点　换元法求函数解析式
解　设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
(3)2f＋f(x)＝x(x≠0)．
考点　求函数的解析式
题点　方程组法求函数解析式
解　∵f(x)＋2f＝x，将原式中的x与互换，
得f＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
类型二　图像的画法及应用
命题角度1　画函数图像
例2　试画出函数y＝的图像．
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
解　由1－x2≥0解得函数定义域为[－1,1]．
当x＝±1时，y有最小值0.当x＝0时，y有最大值1.
x＝±时，y＝.
利用以上五点描点连线，即得函数y＝的图像如下：
反思与感悟　描点法作函数图像的三个关注点
(1)画函数图像时首先应关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．
(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
跟踪训练2　作出下列函数的图像并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
解　(1)列表：
x
0

1

2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图像是直线的一部分，
观察图像可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x
2
3
4
5
…
y
1



…
当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝的一部分，观察图像可知其值域为(0,1]．
(3)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
命题角度2　函数图像的应用
例3　已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
考点　函数图像
题点　函数图像的应用
答案　[－2,4]∪[5,8]　[－4,3]
解析　函数的定义域对应图像上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
反思与感悟　函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解．
跟踪训练3　函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
考点　函数图像
题点　函数图像的应用
解　f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)图像如图，
f(x)与直线y＝m图像有2个不同交点，
由图易知－1类型三　列表法表示函数及应用
例4　已知函数f(x)由下表给出，求满足f(f(x))>f(3)的x的值.
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
考点　函数的表示法
题点　函数的表示法
解　∵f(3)＝1.
当f(f(x))>1时，f(x)＝1或2.
当f(x)＝1时，x＝3.
当f(x)＝2时，x＝1.
∴满足条件的x的值为1或3.
反思与感悟　列表法能直接地表示x的值与对应y的值，解题时要充分利用这个特点给x求y或给y求x.
跟踪训练4　若函数f(x)如下表所示：
x
0
1
2
3
f(x)
2
2
1
0
(1)求f(f(1))的值；
(2)若f(f(x))＝1，求x的值．
考点　函数的表示法
题点　函数的表示法
解　(1)∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.
(2)设f(x)＝t，由表知，当f(t)＝1时，对应的t＝2，
即f(x)＝2，再由表求得当且仅当x＝0或1时，f(x)＝2.
∴x＝0或x＝1.
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于(　　)
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A.1 B．2 C．3 D．4
考点　函数的表示法
题点　列表法表示函数
答案　A
2．如果二次函数的图像开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1
D．f(x)＝(x－1)2－1
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
答案　D
3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
考点　求函数的解析式
题点　实际问题的函数解析式
答案　A
4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑步，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是(　　)
考点　函数图像
题点　函数图像的判断与理解
答案　C
5．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图像，并求出y的最大值、最小值．
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
解　y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，y有最小值－5.
1．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
2．如何作函数的图像
一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再根据所列表中的点描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．
3．如何用函数图像
常借助函数图像研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图像交点问题．
一、选择题
1．一次函数f(x)的图像过点A(－1,0)和B(2,3)，则下列各点在函数f(x)的图像上的是(　　)
A．(2,1) B．(－1,1)
C．(1,2) D．(3,2)
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
答案　C
解析　设一次函数的解析式为y＝kx＋b，
又图像过点A(－1,0)，B(2,3)，
则有
解得故y＝x＋1.
结合选项中各点的坐标，C中的点(1,2)满足y＝x＋1.
2．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(　　)
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
考点　求函数的解析式
题点　实际问题的函数解析式
答案　C
解析　由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．
3．如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于(　　)
A. B. C. D.－1
考点　求函数的解析式
题点　换元法求函数的解析式
答案　B
解析　令＝t，则x＝，代入f＝，
则有f(t)＝＝，故选B.
4.函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝(x－a)2(b－x)
B．f(x)＝(x－a)2(x＋b)
C．f(x)＝－(x－a)2(x＋b)
D．f(x)＝(x－a)2(x－b)
考点　函数图像
题点　函数图像的应用
答案　A
解析　由图像知，当x＝b时，f(x)＝0，故排除B，C；又当x>b时，f(x)<0，故排除D.故选A.
5．函数y＝的大致图像是(　　)
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
答案　A
解析　y＝定义域为{x|x≠－1}，排除C、D，
当x＝0时，y＝0，排除B.
6．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
考点　求函数的解析式
题点　换元法求函数解析式
答案　B
解析　设t＝3x＋2，则x＝，
所以f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
7．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为(　　)
A．－2 B．6
C．1 D．0
考点　求函数的解析式
题点　换元法求函数解析式
答案　B
解析　方法一　令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－3，
∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
方法二　f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，
∴f(x)＝x2＋2x－2，∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.
方法三　令x－1＝2，∴x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.
二、填空题
8．若g(x)＝1－2x，f(g(x))＝，则f的值为______．
考点　求函数值
题点　已知函数解析式求函数值
答案　15
解析　令1－2x＝，则x＝，
∴f＝＝15.
9．若正比例函数y＝(m－1)的图像经过二、四象限，则m＝________.
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
答案　－2
解析　因为y＝(m－1)是正比例函数，所以有m2－3＝1，m＝±2.
又图像经过二、四象限，所以m＝－2.
10．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.
x
1
2
3
4
f(x)
1
3
1
3
g(x)
3
2
3
2
考点　函数的表示法
题点　列表法表示函数
答案　2或4
解析　x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3.
x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3.
x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3.
x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3.
故满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4.
11．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是________．
考点　求函数的解析式
题点　方程组法求函数解析式
答案　f(x)＝－x＋
解析　因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，①
所以把①中的x换成－x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1.②
由①②解得f(x)＝－x＋.
三、解答题
12．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
解　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
13．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图像回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
考点　函数图像
题点　函数图像的应用
解　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
描点，连线，得函数图像如图：
(1)根据图像，容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图像，容易发现当x1(3)根据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
四、探究与拓展
14．已知函数p＝f(m)的图像如图所示，则
(1)函数p＝f(m)的定义域为________．
(2)函数p＝f(m)的值域为________．
(3)当p∈________时，只有唯一的m值与之对应．
考点　函数图像
题点　函数图像的应用
答案　(1)[－3,0]∪[1,4]　(2)[－2,2]　(3)(0,2]
解析　(1)观察函数p＝f(m)的图像，可以看出图像上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，所以定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由图知值域为[－2,2]．
(3)由图知：当p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．
15．求下列函数的解析式：
(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；
(2)已知3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，求f(x)．
考点　求函数的解析式
题点　方程组法求函数解析式
解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2.由f(x＋1)－f(x)＝x－1，
得恒等式2ax＋a＋b＝x－1，得a＝，b＝－.
故所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋2.
(2)由3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，①
x用－x代换得3f(－x)＋2f(x)＝－x＋3，②
解①②得f(x)＝x＋.
2．2　函数的表示法(二)
学习目标　1.会用解析法及图像法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.
知识点　分段函数
思考　设集合A＝R，B＝[0，＋∞)．对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y＝x；若x<0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对是不是函数？
答案　是函数．因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应．
梳理　(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图像时，应在同一坐标系内分别作出每一段的图像．
1．分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.(　×　)
2．分段函数各段上的函数值集合的交集为?.(　×　)
3．分段函数的图像一定是不连续的．(　×　)
类型一　建立分段函数模型
例1　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图像．
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
解　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2×2＋2(x－2)＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图像如图所示：
反思与感悟　当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图像也需要分段画．
跟踪训练1　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
解　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式为y＝
函数图像如图所示：
类型二　研究分段函数的性质
命题角度1　给x求y
例2　已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f的值．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.
∵－∈(－2,2)，
∴f(－)＝(－)2＋2(－)
＝3－2，
∵－∈(－∞，－2]，
∴f＝－＋1＝－∈(－2,2)，
∴f＝f＝2＋2＝－.
引申探究　
本例中f(x)解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围．
解　当－5≤x≤－2时，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；
当－2当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；
∴当x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．
反思与感悟　分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图像．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　(1)因为5>4，
所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，
所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图像如下：
命题角度2　给y求x
例3　已知函数f(x)＝
(1)若f(x0)＝8，求x0的值；
(2)解不等式f(x)>8.
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　(1)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；
当x0>2时，由x＋2＝8，得x0＝或x0＝－(舍去)，故x0＝.
(2)f(x)>8等价于①
或②
解①，x∈?，解②得x>.
综合①②，f(x)>8的解集为{x|x>}．
反思与感悟　已知函数值求x取值的步骤
(1)先对x的取值范围分类讨论．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通过解方程求出x的解．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．
跟踪训练3　已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图像；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
考点　分段函数
题点　分段函数的定义域、值域
解　(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．
(2)由于f＝，结合此函数图像可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪.
(3)由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1]．
1．设函数f(x)＝则f(f(3))等于(　　)
A. B．3 C. D.
答案　D
解析　∵f(3)＝，∴f(f(3))＝2＋1＝.
2．f(x)的图像如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
答案　D
3．设f(x)＝则f(f(0))等于(　　)
A．1 B．0 C．2 D．－1
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
4．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是(　　)
A．－2或2
B．2或－
C．－2
D．2或－2或－
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
5．设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．π
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　B
对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．
一、选择题
1．已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)
A．0 B.
C．1 D．2
答案　C
解析　f(2)＝＝1.
2．已知函数f(n)＝则f(5)的值是(　　)
A．4 B．48 C．240 D．1 440
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
解析　因为f(n)＝
所以f(5)＝5f(4)＝5×4f(3)＝5×4×3f(2)＝5×4×3×2f(1)＝5×4×3×2×1×f(0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C.
3．已知f(x)＝则f(f(f(－2)))等于(　　)
A．π B．0
C．2 D．π＋1
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　D
解析　f(－2)＝0，f(0)＝π，f(π)＝π＋1.
4．已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是(　　)
A．?
B．[－1,1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．{2}∪[－1,1]
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　D
解析　若x∈[－1,1]，则f(x)＝2，f(f(x))＝f(2)＝2，符合题意；若x>1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，此时只有x＝2符合题意；若x<－1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，但因为x<－1，此时没有x符合题意．
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　)
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
考点　分段函数
题点　分段函数应用问题
答案　A
解析　该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．
6．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D(D(x))等于(　　)
A．0 B．1
C. D.
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　B
解析　∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，
∴D(D(x))＝1.
7．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α等于(　　)
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　B
解析　当α≤0时，由f(α)＝－α＝4，得α＝－4；
当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.
7．若集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}，则从A到B可以建立不同的映射个数为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．9
考点　
题点　
答案　C
解析　用树状图写出所有的映射为：
a→d　a→e共8个．
二、填空题
8．函数f(x)＝的定义域是________．
考点　分段函数
题点　分段函数的定义域、值域
答案　[0，＋∞)
解析　定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．
9．函数f(x)的图像如图，则函数f(x)的解析式为__________________．
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
答案　f(x)＝
解析　当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，代入(1,2)，得k＝2，
∴f(x)＝2x.
当1当x≥2时，f(x)＝3，
∴f(x)＝
10．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
考点　分段函数
题点　分段函数与不等式结合
答案　{x|x≤1}
解析　当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，∴x<0.综上可知x≤1.
11．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．
考点　分段函数
题点　分段函数的定义域、值域
答案　(－∞，1]
解析　由题意知f(x)＝
画出图像为
由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．
三、解答题
12．设函数f(x)＝若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求关于x的方程f(x)＝x的解．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　∵当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，
∴f(－2)＝(－2)2－2b＋c，
f(0)＝c，
f(－1)＝(－1)2－b＋c.
∵f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
∴
解得
则f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，
得x＝－2或x＝1.
由于x＝1>0，故舍去．
当x>0时，由f(x)＝x得x＝2，
∴方程f(x)＝x的解为－2,2.
13．已知函数f(x)＝
(1)求f，f，f(4.5)，f；
(2)若f(a)＝6，求a的值．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
解　(1)∵－∈(－∞，－1)，
∴f＝－2×＝3.
∵∈[－1,1]，∴f＝2.
又2∈(1，＋∞)，∴f＝f(2)＝2×2＝4.
∵4.5∈(1，＋∞)，∴f(4.5)＝2×4.5＝9.
(2)经观察可知a?[－1,1]，否则f(a)＝2.
若a∈(－∞，－1)，令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；
若a∈(1，＋∞)，令2a＝6，得a＝3，符合题意．
∴a的值为－3或3.
四、探究与拓展
14．设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.
答案　
解析　若a>0，则f(a)＝－a2<0，
∴f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝(舍负)．
若a≤0，则f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，
f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．
综上，a＝.
15．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图像无交点，求实数a的取值范围．
考点　分段函数
题点　分段函数的综合应用
解　若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，
f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；
若－10，
f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；
若x>3，则x－3>0，x＋1>0，
f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
∴f(x)＝
(1)当－1∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．
(2)f(x)>0，即①
或②
或③
解①得x≤－1，解②得－1∴f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪?＝(－∞，1)．
(3)f(x)的图像如下：
由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图像无交点．
§3　函数的单调性(一)
学习目标　1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.
3.会用定义证明函数的单调性．
知识点一　函数的单调性
思考　画出函数f(x)＝x，f(x)＝x2的图像，并指出f(x)＝x，f(x)＝x2的图像的升降情况如何？
答案　两函数的图像如下：
函数f(x)＝x的图像由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．
梳理　单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数．反之则为减函数．
很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：
一般地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y＝f(x)在该子集上具有单调性；如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数．
知识点二　函数的单调区间
思考　我们已经知道f(x)＝x2在(－∞，0]上是减少的，f(x)＝在区间(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？
答案　f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝的定义域．
梳理　一般地，有下列常识：
(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D?定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(　×　)
2．单调区间[a，b]可以写成{x|a≤x≤b}．(　×　)
3．用定义证明函数单调性时，可设x1x2.(　√　)
4．证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可．(　×　)
类型一　求单调区间并判断单调性
例1　如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
解　y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减少的，在区间[－2,1]，[3,5]上是增加的．
反思与感悟　函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有．
跟踪训练1　写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性．
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
解　先画出f(x)＝的图像，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，
其中递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
类型二　证明单调性
例2　证明f(x)＝在其定义域上是增函数．
考点　函数的单调性的判定与证明
题点　定义法证明具体函数的单调性
证明　f(x)＝的定义域为[0，＋∞)．
设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
∵0≤x10，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．
反思与感悟　运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1跟踪训练2　求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数．
考点　函数的单调性的判定与证明
题点　定义法证明具体函数的单调性
证明　设x1，x2是[1，＋∞)上的任意实数，且1≤x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＝(x1－x2).
∵1≤x1∴>0，故(x1－x2)<0，
即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数．
类型三　单调性的应用
命题角度1　利用单调性求参数范围
例3　若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.∪
考点　函数单调性的应用
题点　已知一次函数、分段函数单调性求参数范围
答案　A
解析　要使f(x)在R上是减函数，需满足：

解得≤a<.
反思与感悟　分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．
考点　函数单调性的应用
题点　已知二次函数单调性求参数范围
答案　(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析　由于二次函数开口向上，故其增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，而f(x)在区间[1,2]上单调，所以[1,2]?[a，＋∞)或[1,2]?(－∞，a]，即a≤1或a≥2.
命题角度2　用单调性解不等式
例4　已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性解抽象函数不等式
解　f(1－a)解得0即所求a的取值范围是0反思与感悟　若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小关系，可得f(x1)，f(x2)的大小关系；由f(x1)，f(x2)的大小关系，可得x1，x2 的大小关系．
跟踪训练4　在例4中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性解抽象函数不等式
解　∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)，
∴所求a的取值范围是.
1．函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是(　　)
A．[－2,0] B．[0,1]
C．[－2,1] D．[－1,1]
考点　函数单调性的概念
题点　函数单调性概念的理解
答案　C
2．函数y＝的减区间是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
答案　C
3．在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
考点　函数单调性的概念
题点　函数单调性概念的理解
答案　B
4．若函数f(x)在R上是减函数，且f(|x|)>f(1)，则x的取值范围是(　　)
A．x<1 B．x>－1
C．－11
考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性解抽象函数不等式
答案　C
5．若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a,3a－1)上是增加的，则实数a的取值范围是________．
考点　函数单调性的应用
题点　已知二次函数单调性求参数范围
答案　
解析　f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝3，
∴解得11．若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都递减，未必有f(x)在A∪B上递减．
2．对增函数的判断，对任意x1(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0.对减函数的判断，对任意x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0或<0.
3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数、二次函数、反比例函数等．
4．若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)递增，f(x)－h(x)递增，②－f(x)递减，③递减(f(x)≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较.
一、选择题
1．函数y＝的单调区间是(　　)
A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1} D．R
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
答案　A
解析　单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A.
2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　)
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1D.>0
考点　函数单调性的概念
题点　函数单调性概念的理解
答案　C
解析　因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x13．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么－1A．(－3,0)
B．(0,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性解抽象函数不等式
答案　B
解析　由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，
∴－1∵f(x)在R上递增，
∴0∴－14．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝－f(x)在R上是减函数
B．y＝在R上是减函数
C．y＝[f(x)]2在R上是增函数
D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数
考点　函数单调性的判定与证明
题点　判断函数的单调性
答案　A
解析　设x1所以－f(x1)>－f(x2)，A选项一定成立．
其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B、C不成立，当a<0时，D不成立．
5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性比较函数值大小
答案　C
解析　∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
6．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
考点　函数单调性的应用
题点　已知分段函数单调性求参数范围
答案　A
解析　画出f(x)的图像(图略)可判断f(x)在R上递增，
故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.
7．已知四个函数的图像如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
考点　函数的单调性的概念
题点　函数单调性概念的理解
答案　B
解析　对于A，存在x1∈(0,1)，f(x1)>f(1)，A不对；
对于C，存在x1>1，f(x1)对于D，存在x1＝－1，x2＝1，f(x1)只有B完全符合单调性定义．
二、填空题
8．已知一次函数y＝(k＋1)x＋k在R上是增函数，且其图像与x轴的正半轴相交，则k的取值范围是________．
考点　函数单调性的应用
题点　已知一次函数单调性求参数范围
答案　(－1,0)
解析　依题意解得－19．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
考点　函数单调性的应用
题点　已知分段函数单调性求参数范围
答案　
解析　当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，∴0≤a≤.
10．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性解抽象函数不等式
答案　
解析　由题意，得解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
11．函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[－2,0]，则f(x)的递减区间是________．
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
答案　[－1,1]
解析　f(x＋1)＝x2－2x＋1＝(x－1)2＝(x＋1－2)2，
∴f(x)＝(x－2)2，x∈[－1,1]，
∴f(x)在定义域[－1,1]上递减．
三、解答题
12．求函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间．
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
解　∵y＝－x2＋2|x|＋3＝
函数图像如图所示：
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间是(－∞，－1]和[0,1]．
13．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内递减，求a的取值范围．
考点　函数单调性的应用
题点　已知一次函数、分式函数单调性求参数范围
(1)证明　设任意x1，x2∈(－∞，－2)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)(2)解　设任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述0四、探究与拓展
14．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是____________．
考点　
题点　
答案　(0,1]
解析　由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得a≤1，由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0.
∴015．设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求f的值；
(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；
(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.
考点　函数单调性的应用
题点　函数单调性的综合应用
解　(1)对于任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
当x＝2，y＝时，有f＝f(2)＋f，
即f(2)＋f＝0，
又f(2)＝1，∴f＝－1.
(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：
设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)＋f＝f(x2)，
即f(x2)－f(x1)＝f.
∵>1，故f>0，
即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
(3)由(1)知，f＝－1，
∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f
＝f＝f(4x－3)
∴f(2x)>f(4x－3)，
∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
∴
解得解集为.
§3　函数的单调性(二)
学习目标　1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．
知识点一　函数的最大(小)值
思考　在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？
答案　最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．
梳理　对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．
知识点二　函数的最大(小)值的几何意义
思考　函数y＝x2，x∈[－1,1]的图像如图所示：
试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．
答案　x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点．
梳理　一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
1．因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.(　×　)
2．f(x)＝(x>0)的最小值为0.(　×　)
3．函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．(　√　)
4．如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．(　×　)
类型一　借助单调性求最值
例1　已知函数f(x)＝(x>0)，求函数的最大值和最小值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
解　设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝＝.
当00，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0,1]上递增；
当1≤x10，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上递减．
∴f(x)max＝f(1)＝，无最小值．
反思与感悟　(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)．函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
解　设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以函数y＝在区间[2,6]上是减函数．
因此，函数y＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即在x＝2时取得最大值，最大值是2，
在x＝6时取得最小值，最小值是.
类型二　求二次函数的最值
例2　(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；
(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；
(3)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　二次函数的最值
解　(1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，
∴f(x)在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，且f(0)＝f(2)．
∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
(2)∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
②当≤1f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
③当t≤1<，即0f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
④当11时，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝
φ(t)＝
(3)设＝t(t≥0)，则x－2－3＝t2－2t－3.
由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增．
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
反思与感悟　(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．
(2)图像直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
(3)求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　二次函数的最值
解　(1)设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.
y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增．
∴当t＝1即x＝±1时，f(x)min＝－4，无最大值．
(2)∵函数图像的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
(3)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)．
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
综上，g(t)＝
类型三　借助图像求最值
例3　(2017·昌平区检测)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．无最大值
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数图像求最值
答案　B
解析　在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图像，如图：
根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图像．
所以当x＝1时，f(x)max＝1.
反思与感悟　借助图像求最值注意两点
(1)作图要准确；
(2)最值的几何意义要理解．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数图像求最值
答案　2
解析　f(x)的图像如图：
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
类型四　函数最值的应用
例4　已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
解　方法一　令y＝x2－x＋a，
要使x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需ymin＝>0，解得a>.
∴实数a的取值范围是.
方法二　x2－x＋a>0可化为a>－x2＋x.
要使a>－x2＋x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
只需a>(－x2＋x)max，
又(－x2＋x)max＝，∴a>.
∴实数a的取值范围是.
引申探究　
把本例中“x∈(0，＋∞)”改为“x∈”，再求a的取值范围．
解　f(x)＝－x2＋x在上为减函数，
∴f(x)的值域为，
要使a>－x2＋x对任意x∈恒成立，
只需a≥，
∴a的取值范围是.
反思与感悟　恒成立的不等式问题，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)min>a来解决．任意x∈D，f(x)跟踪训练4　已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
解　∵x>0，∴ax2＋x≤1可化为a≤－.
要使a≤－对任意x∈(0,1]恒成立，
只需a≤min.
设t＝，∵x∈(0,1]，∴t≥1.
－＝t2－t＝2－.
当t＝1时，(t2－t)min＝0，即x＝1时，min＝0，
∴a≤0.
∴a的取值范围是(－∞，0].
1．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是(　　)
A．－ B．－1 C. D．3
考点　函数的最值及其几何意义
题点　利用一次函数单调性求最值
答案　C
2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
考点　函数的最值及其几何意义
题点　利用分式函数单调性求最值
答案　A
3．函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值、最小值分别为(　　)
A．4,1 B．4,0
C．1,0 D．以上都不对
考点　函数的最值及其几何意义
题点　二次函数的最值
答案　B
4．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
考点　函数的最值及其几何意义
题点　分段函数的最值
答案　A
5．若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为(　　)
A．0 B．－2
C．－ D．－
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
答案　D
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
2．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图像的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
一、选择题
1．函数f(x)＝的值域是(　　)
A．R B．[－1,1]
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
考点　函数的最值及其几何意义
题点　分段函数的最值
答案　D
解析　该函数的函数值只有三个．
2．函数g(x)＝x2－4x＋3在区间(1,4]上的值域是(　　)
A．[－1，＋∞) B．[0,3]
C．(－1,3] D．[－1,3]
考点　函数的最值及其几何意义
题点　二次函数的最值
答案　D
解析　g(x)＝(x－2)2－1，当x＝2时，g(x)min＝－1；
当x＝4时，g(x)max＝3，
∴g(x)在(1,4]上的值域为[－1,3]．
3．下列说法正确的是(　　)
A．若函数f(x)的值域为[a，b]，则f(x)min＝a，f(x)max＝b
B．若f(x)min＝a，f(x)max＝b，则函数f(x)的值域为[a，b]
C．若f(x)min＝a，直线y＝a不一定与f(x)的图像有交点
D．若f(x)min＝a，直线y＝a一定与f(x)的图像有且仅有一个交点
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数图像求最值
答案　A
解析　函数的值域为[a，b]，则最小的函数值即f(x)min＝a，最大的函数值即f(x)max＝b，A对；f(x)min＝a，f(x)max＝b，区间[a，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a，b]不一定是值域，B错；若f(x)min＝a，由定义一定存在x0使f(x0)＝a，即f(x)与直线y＝a一定有交点，但不一定唯一，C，D都错．
4．函数y＝x＋(　　)
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含根式函数的最值
答案　A
解析　∵y＝x＋在定义域上是增函数，∴y≥f＝，即函数最小值为，无最大值，故选A.
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
答案　C
解析　因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，即－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C.
6．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是(　　)
A．[160，＋∞)
B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞)
D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数图像求最值
答案　C
解析　由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图像的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.
7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，若对任意的x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，则实数a的最大值为(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数最值
答案　A
解析　对任意x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，
只需即
解得a≤－1.
∴a的最大值为－1.
二、填空题
8．若函数y＝ax＋1(a＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
答案　1
解析　∵a＞0，∴函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，∵ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.
9．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数图像求最值
答案　(1,3]
解析　f(x)的对称轴为x＝3，
当且仅当110．若x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围是________．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
答案　(－∞，－1)
解析　由题意得x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
11．下列函数：
①y＝x＋|x|；②y＝x－|x|；③y＝x|x|；④y＝.其中有最小值的函数有________个．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　分段函数的最值
答案　2
解析　y＝x＋|x|＝ymin＝0.
y＝x－|x|＝无最小值．
y＝x|x|＝无最小值．
y＝＝ymin＝－1.
三、解答题
12．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为多少万元？
考点　函数的最值及其几何意义
题点　二次函数的最值
解　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，设两地销售的利润之和为y，则
y＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.
由题意知
∴0≤x≤15，且x∈Z.
当x＝－＝9.5时y值最大，
∵x∈Z，∴取x＝9或10.
当x＝9时，y＝120，当x＝10时，y＝120.
综上可知，公司获得的最大利润为120万元．
13．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
解　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1(4)当a＞2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[0,2]
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数图像求最值
答案　D
解析　当x≤0时，f(x)＝(x－m)2，f(x)min＝f(0)＝m2，
所以对称轴x＝m≥0.
当x>0时，f(x)＝x＋＋m≥2＋m＝2＋m，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号，
所以当x>0时，f(x)min＝2＋m.
因为f(x)的最小值为m2，
所以m2≤2＋m，所以0≤m≤2.
15．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)设F(x)＝m＋f(x)，求函数F(x)的最大值的表达式g(m)．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
解　(1)要使函数f(x)有意义，
需满足得－1≤x≤1.
故函数f(x)的定义域是{x|－1≤x≤1}．
∵[f(x)]2＝2＋2，且0≤≤1，
∴2≤[f(x)]2≤4，又∵f(x)≥0，
∴≤f(x)≤2，
即函数f(x)的值域为[，2]．
(2)令f(x)＝t，则t2＝2＋2，则＝t2－1，
故F(x)＝m＋t
＝mt2＋t－m，t∈[，2]，
令h(t)＝mt2＋t－m，
则函数h(t)的图像的对称轴方程为t＝－.
①当m>0时，－<0，函数y＝h(t)在区间[，2]上是增加的，∴g(m)＝h(2)＝m＋2.
②当m＝0时，h(t)＝t，g(m)＝2；
③当m<0时，－>0，若0<－≤，
即m≤－时，函数y＝h(t)在区间[，2]上是减少的，
∴g(m)＝h()＝，
若<－≤2，即－g(m)＝h＝－m－；
若－>2，即－函数y＝h(t)在区间[，2]上是增加的，
∴g(m)＝h(2)＝m＋2.
综上，g(m)＝
§4　二次函数性质的再研究
学习目标　1.掌握配方法，理解a，b，c(或a，h，k)对二次函数图像的作用.2.理解由y＝x2到y＝a(x＋h)2＋k的图像变换方法.3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式.4.掌握二次函数的性质．
知识点一　二次函数的配方法
思考　y＝4x2－4x－1如何配方？你能由此求出方程4x2－4x－1＝0的根吗？
答案　y＝4(x2－x)－1＝4－1
＝42－2.
令y＝0，即4x2－4x－1＝0，
42－2＝0，
2＝，
x＝±＝.
梳理　对于一般的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，可类似地配方为y＝a2＋，由此可得二次函数的值域、顶点等性质，y＝x2与y＝ax2＋bx＋c图像间的关系以及二次方程求根公式等．所以配方法是非常重要的数学方法．
知识点二　图像变换
思考　y＝x2和y＝2(x＋1)2＋3的图像之间有什么关系？
答案　y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y＝2x2的图像；再把y＝2x2的图像向左平移1个单位长度，再上平移3个单位长度，得y＝2(x＋1)2＋3的图像．
梳理　由y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的a倍，左移个单位长度，上移个单位长度，可得y＝a2＋的图像，即y＝ax2＋bx＋c的图像．
知识点三　二次函数的三种形式
思考　我们知道y＝x2－2x＝(x－1)2－1＝(x－2)x，那么点(1，－1)，数0,2是y＝x2－2x的什么？
答案　点(1，－1)是y＝x2－2x的顶点，数0,2是方程x2－2x＝0的两根．
梳理　(1)二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)如果已知二次函数的顶点坐标为(－h，k)，则可将二次函数设为y＝a(x＋h)2＋k.
(3)如果已知方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2(即抛物线与x轴交点横坐标)，可设为y＝a(x－x1)(x－x2)．
知识点四　二次函数的性质
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a2＋(a，b，c是常数，且a≠0)
图像
性质
开口
向上
向下
对称轴方程
x＝－
x＝－
顶点坐标


单调性
在区间上是减函数，在区间上是增函数
在区间上是增函数，在区间上是减函数
最值
当x＝－时，y有最小值，ymin＝
当x＝－时，y有最大值，ymax＝
1．若函数f(x)＝(a－1)x＋b在R上为增函数，则a>1，b∈R.(　√　)
2．若函数y＝x2的图像向上平移1个单位长度，则所得图像对应的函数解析式为y＝(x＋1)2.
(　×　)
3．二次函数y＝x2与y＝3x2的图像的形状相同．(　×　)
类型一　二次函数解析式的求解
例1　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴相交于点A(－3,0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．
考点　二次函数解析式求法
题点　一般式求法
解　方法一　代入A(－3,0)，
有9a－3b＋c＝0，①
由对称轴为x＝－1，得－＝－1，②
顶点M到x轴的距离为|a－b＋c－0|＝2，③
联立①②③解得或
所以此函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
考点　二次函数解析式求法
题点　顶点式求法
方法二　因为二次函数图像的对称轴是x＝－1，
又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1,2)或(－1，－2)，
故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.
因为图像过点A(－3,0)，所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋或y＝(x＋1)2－2＝x2＋x－.
考点　二次函数解析式的求法
题点　两根式求法
方法三　因为二次函数图像的对称轴为x＝－1，
又图像过点A(－3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图像上，
所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)．
由题意得顶点坐标为(－1,2)或(－1，－2)，
分别代入上式，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－x＋或y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－.
反思与感悟　求二次函数解析式的步骤
跟踪训练1　(1)y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x交于点A(1，m)，求a.
考点　二次函数解析式的求法
题点　一般式求法
解　把A(1，m)代入y＝－3x，得m＝－3，
把(1，－3)代入y＝ax2＋6x－8，得
a＋6－8＝－3，即a＝－1.
(2)f(x)＝x2＋bx＋c，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，求f(x)．
考点　二次函数解析式求法
题点　顶点式求法
解　方法一　由f(－4)＝f(0)，知f(x)的对称轴为
x＝＝－2，
又f(－2)＝－2，∴顶点坐标为(－2，－2)，
∴f(x)＝(x＋2)2－2＝x2＋4x＋2.
考点　二次函数解析式的求法
题点　两根式求法
方法二　由f(－4)＝f(0)，可设f(x)＝x(x＋4)＋c.
代入x＝－2，得－2×(－2＋4)＋c＝－2，∴c＝2.
∴f(x)＝x2＋4x＋2.
类型二　二次函数的图像及变换
例2　由函数y＝x2的图像如何得到f(x)＝－x2＋2x＋3的图像．
考点　二次函数图像
题点　二次函数图像变换
解　f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x)＋3
＝－(x2－2x＋1－1)＋3＝－(x－1)2＋4，
∴由y＝－x2的图象与y＝x2的图像关于x轴对称，
可得y＝－x2的图像．
由y＝－x2的图像向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度，可得y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3的图像．
引申探究　
利用f(x)＝－x2＋2x＋3的图像比较f(－1)，f(2)的大小．
解　f(x)图像如图．
由图知越接近对称轴，函数值越大．
由|－1－1|＝2>|2－1|＝1，
即f(2)比f(－1)更接近对称轴，∴f(2)>f(－1)．
反思与感悟　处理二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像问题，主要是考虑其图像特征如开口、顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系．
在图像变换中，记住“h正左移，h负右移，k正上移，k负下移”．
跟踪训练2　将二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数f(x)＝x2－2x＋1的图像，则b＝______，c＝______.
考点　二次函数图像
题点　二次函数图像变换
答案　－6　6
解析　f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其图像顶点为(1,0)．
将二次函数f(x)＝x2－2x＋1的图像向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为(3，－3)，得到的抛物线为y＝(x－3)2－3，即f(x)＝x2＋bx＋c，
∴(x－3)2－3＝x2＋bx＋c，即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c，
∴b＝－6，c＝6.
类型三　二次函数的性质
例3　已知函数f(x)＝x2－3x－：
(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值；
(2)若x∈[1,4]，求函数值域．
考点　二次函数性质
题点　由解析式研究二次函数性质
解　(1)对函数右端的表达式配方，得
f(x)＝(x－3)2－，
所以函数图像的顶点坐标为，
对称轴方程为x＝3，最小值为－，无最大值．
(2)由于3∈[1,4]，所以函数在区间[1,3]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数，
所以当x＝3时，ymin＝－，
当x＝1时，ymax＝×4－＝－，
所以函数的值域为.
反思与感悟　解析式、图像、性质三者各有特点又联系紧密，应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
考点　二次函数性质
题点　由性质求参数范围
解　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去；
当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上，a的值为－3或.
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与g(x)＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图像可能是下图中的(　　)
考点　二次函数图像
题点　图像与a，b，c的关系
答案　D
解析　由于f(x)，g(x)的图像的对称轴方程分别是x＝－，x＝－，则－与－同号，即f(x)，g(x)的图像的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A，B；由C，D中给出的图像，可判定f(x)，g(x)的图像的开口方向相反，故ab<0，于是－>0，－>0，即f(x)，g(x)的图像的对称轴都位于y轴右侧，排除C，故选D.
2．设二次函数y＝f(x)满足f(4＋x)＝f(4－x)，又f(x)在[4，＋∞)上是减函数，且f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥4 B．0≤a≤8
C．a<0 D．a<0或a≥8
考点　二次函数性质
题点　二次函数性质综合应用
答案　B
解析　由题意知二次函数f(x)的图像关于直线x＝4对称，则有f(0)＝f(8)．因为f(x)在[4，
＋∞)上是减函数，所以f(x)在(－∞，4]上是增函数．当a∈(－∞，4]时，由f(a)≥f(0)，得0≤a≤4；当a∈[4，＋∞)时，由f(a)≥f(0)，即f(a)≥f(8)，得4≤a≤8.综上可知0≤a≤8.
3．已知f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，则(　　)
A．f(1)>c>f(－1) B．f(1)C．c>f(－1)>f(1) D．c考点　二次函数性质
题点　二次函数的单调性
答案　B
解析　因为f(－1)＝f(3)，所以f(x)图像的对称轴为x＝1，因此函数在区间(－∞，1]上是减函数，又c＝f(0)，所以f(1)4．根据下列条件，求二次函数y＝f(x)的解析式．
(1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；
(2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)；
(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
考点　二次函数解析式求法
题点　(1)两根式求法
(2)顶点式求法
(3)一般式求法
解　(1)由题意可设二次函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)，
将(0,3)代入得a＝.
∴所求二次函数解析式为y＝(x－2)(x－4)．
(2)由题意可设二次函数解析式为y＝a(x－1)2＋2，
将(0,4)代入得a＝2，
∴所求二次函数解析式为y＝2(x－1)2＋2.
(3)由题意可设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，
将(1,1)，(0,2)，(3,5)代入得
解得
∴所求二次函数解析式为y＝x2－2x＋2.
1．配方法是重要的数学方法，在处理二次函数图像变换，研究二次函数性质时使用频繁．
2．二次函数图像变换规律可以推广到一般函数，即：
(1)y＝f(x)y＝f(x＋a)；
(2)y＝f(x)y＝f(x)＋b；
(3)y＝f(x)y＝af(x)(a>0)；
(4)y＝f(x)y＝－f(x)；
(5)y＝f(x)y＝f(－x).
一、选择题
1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则(　　)
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
考点　二次函数解析式求法
题点　一般式求法
答案　A
解析　二次函数f(x)＝x2＋mx＋1图像的对称轴为x＝－，于是－＝1，解得m＝－2.
2．二次函数y＝－x2＋4x＋t的顶点在x轴上，则t的值是(　　)
A．－4 B．4
C．－2 D．2
考点　二次函数解析式求法
题点　一般式求法
答案　A
解析　二次函数的图像开口向下，顶点在x轴上，所以对应一元二次方程的Δ＝42－4×(－1)t＝0，解得t＝－4.
3．已知抛物线与x轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为(　　)
A．y＝－x2＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝－x2－1 D．y＝x2－1
考点　二次函数解析式求法
题点　两根式求法
答案　A
解析　设f(x)＝a(x－1)(x＋1)，
代入(0,1)，f(0)＝a(0－1)(0＋1)＝－a＝1，
∴a＝－1，∴f(x)＝1－x2.
4．若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图像只可能是(　　)
考点　二次函数图像
题点　图像与a，b，c的关系
答案　C
解析　因为一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴x＝－<0，只有选项C满足．
5．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)(　　)
A．在(－∞，2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的
B．在(－∞，3)上是增加的
C．在[1,3]上是增加的
D．单调性不能确定
考点　二次函数性质
题点　二次函数单调性
答案　A
解析　由已知可得函数f(x)图像的对称轴为x＝2，又二次项系数1>0，所以f(x)在(－∞，2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的．
6．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0,1] B．[0,2] C．[－2,0] D．[－1,0]
考点　二次函数性质
题点　二次函数在闭区间上的最值
答案　D
解析　y＝－(x＋a)2＋a2，要使ymax＝a2，需满足0≤－a≤1，解得－1≤a≤0.
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像顶点为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则(　　)
A．a＝1，b＝－4，c＝－11
B．a＝3，b＝12，c＝11
C．a＝3，b＝－6，c＝－11
D．a＝3，b＝－12，c＝11
考点　二次函数解析式求法
题点　一般式求法
答案　D
解析　由二次函数的图像与y轴交点坐标为(0,11)，知c＝11，又因为函数y＝ax2＋bx＋c的图像顶点为(2，－1)，所以－＝2，＝－1，解得a＝3，b＝－12.
二、填空题
8．函数y＝3x2－x＋2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数解析式是________________．
考点　二次函数图像
题点　二次函数图像变换
答案　y＝3x2＋5x＋2
解析　函数y＝3x2－x＋2的图像向左平移1个单位长度，得函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2的图像，再向下平移2个单位长度，得函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2－2的图像，即所得图像对应的函数解析式是y＝3x2＋5x＋2.
9．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减少的，那么实数a的取值范围是________．
考点　二次函数性质
题点　二次函数单调性
答案　(－∞，－3]
解析　二次函数f(x)的图像开口向上，且对称轴方程为x＝1－a，
所以f(x)的递减区间为(－∞，1－a]，
故(－∞，4]?(－∞，1－a]，因此1－a≥4，解得a≤－3.
10．设f(x)＝x2＋4x＋3，不等式f(x)≥a对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　二次函数性质
题点　二次函数最值
答案　(－∞，－1]
解析　f(x)≥a对x∈R恒成立?f(x)min≥a，
f(x)＝(x＋2)2－1，∴f(x)min＝f(－2)＝－1，
∴a≤－1.
三、解答题
11．已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x＝1，且f(1)＝4，f(4)＝－5.
(1)求函数f(x)的解析式，并画出f(x)的图像；
(2)根据图像写出函数f(x)的单调区间，并指明在该区间上的单调性；
(3)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围．
考点　二次函数图像与性质
题点　图像性质综合应用
解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得

解得
所以函数f(x)＝－x2＋2x＋3，f(x)的图像如图所示．
(2)由图像可得函数f(x)的单调区间是(－∞，1]和[1，＋∞)，其中函数f(x)在区间(－∞，1]上是增加的，在区间[1，＋∞)上是减少的．
(3)由(2)知函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数，那么(－∞，m]?(－∞，1]，则有m≤1.
12．二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同．已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式．
(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7)；
(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)．
考点　二次函数解析式求法
题点　顶点式求法
解　(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，
f(x)图像的顶点是(4，－7)，
所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9.
(2)由题意知，f(x)的二次项系数为－2，
又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，
所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.
13．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知：这种服装每天的销售量t(t>0，t∈N)(件)与每件的销售价x(x>42，x∈N)(元)之间可看成是一次函数关系：t＝－3x＋204.
(1)写出商场每天卖这种服装的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的总销售所得与购进这些服装所花费金额的差)；
(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？
考点　二次函数性质
题点　二次函数最值
解　(1)由题意得，每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式为y＝(x－42)(－3x＋204)＝－3x2＋330x－8 568(42(2)由(1)得y＝－3(x－55)2＋507(42即当每件的销售价定为55元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为507元．
四、探究与拓展
14.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A．a>0
B．当x>1时，y随x的增大而增大
C．c<0
D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
考点　二次函数图像
题点　二次函数图像与性质关系
答案　D
解析　从二次函数的图像可知，图像开口向下，a<0；当x>1时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y＝c>0；二次函数图像的对称轴为直线x＝1，函数图像与x轴的一个交点的横坐标为－1，则根据对称性，函数图像与x轴的另一个交点的横坐标为3.故选D.
15．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
考点　二次函数性质
题点　二次函数性质综合
解　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
由于x∈[－4,6]，∴f(x)在区间[－4,2]上是减少的，在区间[2,6]上是增加的，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，
∴f(x)的最大值是35.
(2)∵函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，
∴要使f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，
应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且f(x)＝
∴f(|x|)的递增区间是(0,6]，递减区间是[－6,0]．
§5　简单的幂函数(一)
学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．
知识点一　幂函数的概念
思考　y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？
答案　底数为x，指数为常数．
梳理　如果一个函数底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
知识点二　幂函数的图像与性质
思考　如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图像．
填写下表：
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
单调性
增
在[0，＋∞) 上增加，在(－∞，0] 上减少
增
增
在(0，＋∞) 上减少，在(－∞，0) 上减少
梳理　根据上表，可以归纳一般幂函数特征：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点(1,1)；
(2)α>0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图像下凸；当0<α<1时，幂函数的图像上凸；
(3)α<0时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
1．y＝－是幂函数．(　×　)
2．当x∈(0,1)时，x2>x3.(　√　)
3．与定义域相同．(　×　)
4．若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(　√　)
类型一　幂函数的概念
例1　已知是幂函数，求m，n的值．
考点　
题点　
解　由题意得解得
所以m＝－3或1，n＝.
反思与感悟　只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数．
跟踪训练1　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　
题点　
答案　B
解析　因为y＝＝x－2，所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图像比幂函数y＝x0的图像多了一个点(0,1), 所以常函数y＝1不是幂函数．
类型二　幂函数的图像及应用
例2　若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)考点　
题点　
解　设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图像上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.
同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系内作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图像(如图所示)，观察图像可得：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1反思与感悟　幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也不同，性质也不同，幂函数的图像主要分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论．
跟踪训练2　幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA，则αβ等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．无法确定
考点　
题点　
答案　A
解析　由条件知，M，N，
∴＝α，＝β，
∴αβ＝α＝α＝，∴αβ＝1.故选A.
类型三　幂函数性质的应用
命题角度1　比较大小
例3　设则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
考点　比较幂值的大小
题点　利用单调性比较大小
答案　B
解析　∵y＝x在R上为减函数，∴即a∴即a>c.∴b>a>c.故选B.
反思与感悟　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
跟踪训练3　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.3与0.3；
(2)－1与－1；
(3)0.3与
考点　比较幂值的大小
题点　利用中间值比较大小
解　(1)∵0<0.3<1，
∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．
又>，∴0.3>0.3.
(2)∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－<－，∴－1>－1.
(3)∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，
∴由>0.3，可得0.3>0.30.3.①
又y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴0.30.3>②
由①②知0.3>
命题角度2　幂函数性质的综合应用
例4　已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N＋)的图像关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．
考点　幂函数的性质
题点　利用幂函数的性质解不等式
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N＋，所以m＝1,2.
因为函数的图像关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为
因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a解得故a的取值范围是.
反思与感悟　幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．
跟踪训练4　已知幂函数 (m∈N＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
考点　幂函数的性质
题点　利用幂函数的性质解不等式
解　(1)∵m∈N＋，
∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．
(2)∵∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，
∴
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，
解得1≤a<.
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α等于(　　)
A. B．1 C. D．2
考点　幂函数概念
题点　求幂函数解析式
答案　C
解析　由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
2．已知幂函数f(x)的图像经过点，则f(4)的值等于(　　)
A．16 B. C．2 D.
考点　幂函数概念
题点　求幂函数解析式
答案　D
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为(　　)
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
考点　幂函数性质
题点　幂函数定义域
答案　A
4．下列是的图像的是(　　)
考点　幂函数图像
题点　根据解析式选函数图像
答案　B
5．以下结论正确的是(　　)
A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限
考点　幂函数性质
题点　幂函数性质
答案　D
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
3．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.
一、选择题
1．函数y＝的图像大致是(　　)
考点　幂函数图像
题点　根据解析式选图像
答案　B
解析　函数y＝＝的定义域为R，且此函数在定义域上是增函数，排除A，C.另外，因为>1，在第一象限图像下凸．故选B.
2．已知f(x)＝，若0A．f(a)B．fC．f(a)D．f考点　幂函数性质
题点　应用单调性比大小
答案　C
解析　因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
又03．函数y＝－1的图像关于x轴对称的图像大致是(　　)
考点　幂函数图像
题点　幂函数图像变换
答案　B
解析　y＝－1的定义域为[0，＋∞)且为增函数，所以函数图像是上升的，所以y＝－1关于x轴对称的图像是下降的，故选B.
4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
考点　幂函数性质
题点　应用单调性比大小
答案　A
解析　根据幂函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c，由y＝x在第一象限的图像(图略)，可知c>b.故a>c>b.
5．已知幂函数f(x)＝(n∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3 B．1 C．2 D．1或－3
考点　幂函数概念
题点　求幂函数解析式
答案　B
解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)是增加的，不合题意，故选B.
6．如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图像，则(　　)
A．－1C．－11 D．n<－1，m>1
考点　幂函数图像
题点　同一坐标系内不同幂函数相对位置
答案　B
解析　由题图知，y＝xm在[0，＋∞)上是增函数，y＝xn在(0，＋∞)上为减函数，所以m>0，n<0.又当x>1时，y＝xm的图像在y＝x的下方，y＝xn的图像在y＝x－1的下方，所以m<1，n<－1，从而07．对于幂函数f(x)＝，若0A．f>
B．f<
C．f＝
D．无法确定
考点　幂函数的图像
题点　幂函数的图像与性质
答案　A
解析　幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，大致图像如图所示．
设A(x1,0)，C(x2,0)，其中0(|AB|＋|CD|)，∴f>，故选A.
二、填空题
8．判断大小：5.25－1________5.26－1.(填“>”或“<”)
考点　幂函数性质
题点　应用单调性比大小
答案　>
解析　∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，
又5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1.
9．函数f(x)＝(x＋3)－2的增区间是________．
考点　幂函数性质
题点　幂函数性质应用
答案　(－∞，－3)
解析　y＝x－2＝的增区间为(－∞，0)，y＝(x＋3)－2是由y＝x－2向左平移3个单位长度得到的．
∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．
10．已知幂函数f(x)＝(m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，则函数f(x)的解析式是________．
考点　幂函数性质
题点　幂函数性质应用
答案　f(x)＝x－1
解析　∵函数的图像与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
11．若函数f(x)＝x2－|x＋a|的图像关于y轴对称，则实数a＝________.
考点　
题点　
答案　0
解析　∵函数f(x)＝x2－|x＋a|的图像(图略)关于y轴对称，由图像知f(－x)＝f(x)，
即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，
∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，
∴a＝0.
三、解答题
12．比较下列各组数的大小：
(1)(－2)－3，(－2.5)－3；(2)－8，－；
(3)4.1，3.8，(－1.9).
考点　幂函数性质
题点　比较大小
解　(1)∵幂函数y＝x－3在(－∞，0)上为减函数，且－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3.
(2)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，
又－8＝－，>，∴>，
从而－<－，∴－8<－.
(3)∵4.1>1＝1,0<3.8<1＝1，(－1.9) <0，∴4.1>3.8>(－1.9).
13．已知函数f(x)＝(m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小．
考点　幂函数性质
题点　幂函数性质综合应用
解　f(x)＝＝＝m－＝m－(x－1)－2.
f(x)的图像可由y＝x－2的图像首先作关于x轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m≥0)(或向下(m<0))平移|m|个单位长度得到(如图所示)．
显然，图像关于x＝1对称且在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(－π)＝f(2＋π)，而2＋π>5，
∴f(－π)＝f(2＋π)>f(5)．
四、探究与拓展
14．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0其中可能成立的式子有________．(填上所有可能成立式子的序号)
考点　
题点　
答案　①③⑤
解析　首先画出y1＝x与y2＝x的图像(如图)，已知a＝b＝m，作直线y＝m.
若m＝0或1，则a＝b；若0若m>1，则115．已知幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx是单调函数，求m的取值范围．
考点　幂函数的综合问题
题点　幂函数的综合问题
解　(1)∵幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，
∴(2k－1)(3－k)>0，解得∵k∈Z，∴k＝1或k＝2.
当k＝1时，(2k－1)(3－k)＝2，
满足函数f(x)为偶函数，
当k＝2时，(2k－1)(3－k)＝3，
不满足函数f(x)为偶函数，
∴k＝1，且f(x)＝x2.
(2)∵f(x)＝x2，
∴g(x)＝f(x)－mx＝x2－mx，
函数g(x)的对称轴为直线x＝.
要使函数g(x)当x∈[－1,1]时是单调函数，
则≤－1或≥1，解得m≤－2或m≥2，
故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
§5　简单的幂函数(二)
学习目标　1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题．
知识点一　函数奇偶性的几何特征
思考　下列函数图像中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？
答案　①②关于y轴对称，③④关于原点对称．
梳理　一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．
知识点二　函数奇偶性的定义
思考1　为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？
答案　因为很多函数图像我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断．
思考2　利用点对称来刻画图像对称有什么好处？
答案　好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图像关于y轴(原点)对称，反之亦然．
(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图像也能操作．
梳理　函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图像上．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫作奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图像上．
(3)由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．
知识点三　奇偶性与单调性
思考　观察偶函数y＝x2与奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？
答案　偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同．
梳理　(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量．
1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图像．(　×　)
2．若f(x)是奇函数，f(1)＝2，则f(－1)＝－2.(　√　)
3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(　√　)
4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(　√　)
类型一　判断函数的奇偶性
例1　判断并证明下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝(x＋1)(x－1)；
(3)f(x)＝＋.
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断简单函数的奇偶性
证明　(1)因为函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f(x)＝既非奇函数又非偶函数．
(2)函数的定义域为R，因为函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．
(3)函数的定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝＋为偶函数．又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝＋为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．
反思与感悟　利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．
跟踪训练1　判断并证明下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x－2)；
(2)f(x)＝x|x|；
(3)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性．
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断函数的奇偶性
解　(1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数．
(3)∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数．
f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数．
f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数．
类型二　奇偶性的应用
命题角度1　奇?偶?函数图像的对称性的应用
例2　定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示．
(1)画出f(x)的图像；
(2)解不等式xf(x)>0.
考点　函数图像的对称性
题点　中心对称问题
解　(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图像如图．
(2)xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号．结合图像可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
引申探究　
把例2中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
解　(1)f(x)的图像如图所示：
(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
反思与感悟　鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．
跟踪训练2　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图像如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图像；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
考点　函数图像的对称性
题点　中心对称问题
解　(1)如图，在[0,5]上的图像上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
命题角度2　应用函数奇偶性求解析式
例3　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
解　设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
反思与感悟　利用函数的奇偶性求函数解析式
已知函数f(x)在区间[a，b]上的解析式，求函数f(x)在区间[－b，－a]上的解析式的一般方法：
(1)设：设－b≤x≤－a，则a≤－x≤b.
(2)求f(－x)：根据已知条件f(x)在区间[a，b]上的解析式可求得f(－x)的解析式．
(3)求f(x)：根据函数f(x)的奇偶性来实现函数的解析式在f(x)与f(－x)之间的相互转化．
跟踪训练3　已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
解　设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.
因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.
所以f(x)＝
命题角度3　奇偶性对单调性的影响
例4　设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性
证明　设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，
且有x1∵－b≤x1∴a≤－x2<－x1≤b.
∵f(x)在[a，b]上是减函数，
∴f(－x2)＞f(－x1)．
∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)．
∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．
反思与感悟　与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属于哪个区间．同样，求哪个区间上的最值，也设x属于哪个区间．
跟踪训练4　已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
答案　(－1,3)
解析　∵f(x)为偶函数，
∴f(x－1)＝f(|x－1|)，
又f(2)＝0，∴f(x－1)>0，即f(|x－1|)>f(2)，
∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，
且f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
∴|x－1|<2，即－2∴x的取值范围为(－1,3).
1．下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
考点　函数的奇偶性概念
题点　判断函数的奇偶性
答案　D
解析　D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
2．函数f(x)＝x(－1A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断函数的奇偶性
答案　C
3．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于(　　)
A．－1 B．1 C．－5 D．5
考点　函数图像的对称性
题点　轴对称问题
答案　D
解析　函数y＝f(x)＋x是偶函数，∴x＝±2时函数值相等．
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5，故选D.
4．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时f(x)等于(　　)
A．x＋1 B．x－1 C．－x－1 D．－x＋1
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
答案　A
5．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
答案　C
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数?它的图像关于原点对称；函数为偶函数?它的图像关于y轴对称．
3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．
4．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
5．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.
一、选择题
1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于(　　)
A．－1 B．1 C．0 D．2
考点　函数的奇偶性概念
题点　函数奇偶性概念的理解
答案　A
解析　因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，
根据奇函数的定义域关于原点对称，
所以a与b有一个等于1，一个等于－2，
所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，
故选A.
2．(2017·葫芦岛检测)下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图像是(　　)
考点　函数图像的对称性
题点　中心对称问题
答案　B
解析　D不是函数；A，C不关于原点对称．
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
考点　函数图像的对称性
题点　中心对称问题
答案　A
解析　∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断抽象函数的奇偶性
答案　A
解析　由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B. C. D．－
考点　函数图像的对称性
题点　对称问题综合
答案　B
解析　依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴a＝，则a＋b＝.
6．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断函数的奇偶性
答案　A
解析　f(x)的定义域为R，
对于任意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
又f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(－1)≠f(1)，
∴f(x)不是偶函数．
7．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(3)＝0，则不等式>0的解集为(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
考点　函数图像的对称性
题点　对称问题综合
答案　A
解析　∵f(x)为奇函数，f(3)＝0，
∴f(－3)＝0.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数，
∴＝f(x)>0，
①当x>0时，则f(x)>f(3)＝0，∴x>3；
②当x<0时，则f(x)>f(－3)＝0，∴－3综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．
二、填空题
8．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
考点　函数图像的对称性
题点　轴对称问题
答案　0
解析　由于偶函数的图像关于y轴对称，所以偶函数的图像与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
9．函数f(x)＝为________．(填“奇函数”或“偶函数”)
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断分段函数的奇偶性
答案　奇函数
解析　定义域关于原点对称，且
f(－x)＝
＝
＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
10．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上递增，则满足f(2x－1)考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
答案　
解析　由于f(x)是偶函数，因此f(x)＝f(|x|)，
∴f(|2x－1|)11．若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________.
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数值
答案　－15
解析　当x<0时，－x＞0，又f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，
所以f(x)＝－x2＋2x.
即g(x)＝－x2＋2x，
因此，f(g(－1))＝f(－3)＝－9－6＝－15.
三、解答题
12．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝.
考点　函数奇偶性的判定与证明
题点　判断函数的奇偶性
解　(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
13．已知函数y＝f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图像，根据图像写出它的单调区间．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
解　(1)因为函数f(x)的图像关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
因为x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
于是有f(x)＝
(2)先画出函数在y轴右侧的图像，再根据对称性画出y轴左侧的图像，如图．
由图像可知函数f(x)的单调区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，[－1,0)，(0,1]，其中f(x)在前两个区间上是增加的，在后两个区间上是减少的．
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
考点　函数图像的对称性
题点　中心对称问题
答案　
解析　根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
15．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增加的，求实数a的取值范围．
考点　函数图像的对称性
题点　对称问题综合
解　(1)因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，即1－m＝－(－1＋2)，解得m＝2.
经检验m＝2时函数f(x)是奇函数．所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上是增加的，
结合f(x)的图像(图略)知
所以1滚动训练(三)
一、选择题
1．下列五个写法：其中错误写法的个数为(　　)
①{0}∈{0,2,3}；②??{0}；③{0,1,2}?{1,2,0}；④0∈?；⑤0∩?＝?.
A．1 B．2
C．3 D．4
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　C
解析　②③正确．
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　D
解析　根据题意有解得x≥1且x≠2.
3．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是减少的，则m的值为(　　)
A．－3 B．2
C．－3或2 D．3
考点　幂函数的性质
题点　幂函数的单调性
答案　A
解析　由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵该函数在第一象限内是减少的，∴m<0.故m＝－3.
4．函数f(x)＝x5＋x3＋x的图像(　　)
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
考点　函数图像的对称性
题点　中心对称问题
答案　C
解析　易知f(x)是R上的奇函数，因此图像关于坐标原点对称．
5．已知f(x)＝则f＋f等于(　　)
A．－ B.
C. D．－
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　A
解析　f＝2×－1＝－，f＝f＋1＝f＋1＝2×－1＋1＝，
∴f＋f＝－，故选A.
6．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图像，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(　　)
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
考点　幂函数的图像
题点　幂指数大小关系问题
答案　B
解析　令x＝2，由图知C1，C2，C3，C4对应纵坐标依次减小，而22>2>2>2－2，故选B.
7．若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)<1的解集为(　　)
A．{x|x>3或－3B．{x|x<－3或0C．{x|x<－3或x>3}
D．{x|－3考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
答案　C
解析　由于f(x)是偶函数，∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴当x>0时，f(x)<1，即f(x)3；当x<0时，f(x)<1，即f(x)8．已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为(　　)
A. B.
C．2 D．2
考点　函数的最值及其几何意义
题点　二次函数最值
答案　A
解析　∵y≥0，
∴y＝＋＝ (－3≤x≤1)，
∴当x＝－3或1时，ymin＝2；当x＝－1时，ymax＝2，
即m＝2，M＝2，∴＝.
二、填空题
9．函数f(x)是定义在[－1,3]上的减函数，且函数f(x)的图像经过点P(－1,2)，Q(3，－4)，则该函数的值域是________．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
答案　[－4,2]
解析　∵f(x)的图像经过点P，Q，
∴f(－1)＝2，f(3)＝－4.
又f(x)在定义域[－1,3]上是减函数，
∴f(3)≤f(x)≤f(－1)，即－4≤f(x)≤2.
∴函数f(x)的值域是[－4,2]．
10．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案　f(x1)>f(x2)
解析　∵x1<0，∴－x1>0，又|x1|>|x2|，x2>0，
∴－x1>x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)．
又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．
11．若函数f(x)＝2x4－|3x＋a|为偶函数，则a＝________.
考点　函数奇偶性的应用
题点　其他已知函数奇偶性求参数值问题
答案　0
解析　f(－x)＝2x4－|a－3x|，由偶函数定义得|3x＋a|＝|a－3x|，∴(a＋3x)2＝(a－3x)2，
∴a＝0.
三、解答题
12．已知集合A＝{x|－4≤x<8}，函数y＝的定义域构成集合B，求：
(1)A∩B；
(2)(?RA)∪B.
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
解　y＝的定义域为B＝{x|x≥5}，则
(1)A∩B＝{x|5≤x<8}．
(2)?RA＝{x|x<－4或x≥8}，
∴(?RA)∪B＝{x|x<－4或x≥5}．
13．已知二次函数f(x)满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的值域．
考点　求函数的解析式
题点　换元法求函数解析式
解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c
＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c
＝9x2－6x＋5.
比较系数，得解得
所以f(x)＝x2－4x＋8.
(2)因为函数f(x)＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，
当x＝2时取等号．
所以函数f(x)的值域为[4，＋∞)．
四、探究与拓展
14．设函数f(x)＝(x＋|x|)，g(x)＝则f＝________.
考点　分段函数
题点　求分段函数解析式
答案　
解析　f(x)＝
当x>0时，g(x)＝x2>0.
则f＝f(x2)＝x2.
当x≤0时，g(x)＝x≤0，则f＝f(x)＝0.
综上可得，f＝
15．函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)当x<0时，求函数f(x)的解析式．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
(1)证明　设0f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵00，x2－x1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)解　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－－1.
故f(x)＝－－1(x<0)．
滚动训练(二)
一、选择题
1．下列集合中表示同一集合的是(　　)
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
答案　B
解析　选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．
2．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)等于(　　)
A．{3} B．{4} C．{3,4} D．?
答案　A
解析　∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}．
又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．
又?UB＝{3,4}，∴A∩(?UB)＝{3}．
3．下列说法正确的是(　　)
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
答案　C
解析　根据从集合A到集合B函数的定义可知，强调集合A中元素的任意性和集合B中对应元素的唯一性，所以集合A中的多个元素可以对应集合B中的同一个元素，从而选项A错误；同样由函数定义可知，A，B集合都是非空数集，故选项B错误；选项C正确；对于选项D，可以举例说明，如定义域、值域均为A＝{0,1}的函数，对应关系可以是x→x，x∈A，可以是x→，x∈A，还可以是x→x2，x∈A.
4．函数f(x)＝|x－1|的图像是(　　)
答案　B
解析　代入特殊点，
∵f(1)＝0，∴排除A，C；
又f(－1)＝2，∴排除D.
5．函数y＝＋的定义域为(　　)
A．(－∞，1] B．[0,1]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案　B
解析　由题意得，解得0≤x≤1.
6．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2＋2x＋1
B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝x2＋2x－1
D．f(x)＝x2－2x－1
答案　A
解析　令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
7．下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1与g(x)＝
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝x与g(x)＝
D．f(x)＝与g(x)＝x＋2
答案　C
解析　A选项中，f(x)与g(x)的对应关系不同，它们不表示同一函数；B，D选项中，f(x)与g(x)的定义域不同，它们不表示同一函数．
8．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
答案　D
解析　对于选项A，右边＝x|sgn x|＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项B，右边＝xsgn|x|＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项C，右边＝|x|sgn x＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项D，右边＝xsgn x＝而左边＝|x|＝显然正确；故选D.
二、填空题
9．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝?，则实数t的取值范围是________．
答案　(－∞，－3)
解析　B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.
10．(a,3a－1]为一确定的区间，则a的取值范围是________．
答案　
解析　根据区间的定义，可知a<3a－1，解得a>.
11．分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝|x|，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)，仿照上述式子，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝________.
答案　(x＋6＋|x－6|)
解析　因为f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)，其分界点为3，从而式子中含有x＋3与x－3，并通过|x－3|前面的“－”构造出需要的结果的形式．所以，对于分段函数f(x)＝其分界点为6，故式子中应含有x＋6与x－6.又x<6时f(x)＝6，故|x－6|的前面应取“＋”．因此f(x)＝(x＋6＋|x－6|)．
12．若2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，则f(2)＝________.
答案　
解析　令x＝2得2f(2)＋f＝，
令x＝得2f＋f(2)＝，
消去f，得f(2)＝.
三、解答题
13．已知全集U＝{x|x－2≥0或x－1≤0}，A＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x≤1或x>2}，求A∩B，A∪B，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．
解　∵全集U＝{x|x≥2或x≤1}，
∴A∩B＝A＝{x|x<1或x>3}；
A∪B＝B＝{x|x≤1或x>2}；
(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{2}；
(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)＝{x|2≤x≤3或x＝1}．
四、探究与拓展
14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0，求F(x)的表达式．
解　∵f(x)＝ax2＋bx＋1，f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0.
又∵对任意实数x，均有f(x)≥0，
∴Δ＝b2－4a≤0.∴(a＋1)2－4a≤0.∴a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋1.∴F(x)＝
15．设集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，求x0的取值范围．
解　∵x0∈A，∴f(x0)＝x0＋∈B，
∴f(f(x0))＝f＝2＝1－2x0.
又f(f(x0))∈A，∴0≤1－2x0<，
解得章末复习
学习目标　1.构建知识网络，理解其内在联系.2.盘点重要技能，提炼操作要点.3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．
1．对函数的进一步认识
(1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．它的三要素是定义域、值域和对应关系．函数的值域是由定义域和对应关系所确定的．
(2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则，表示函数的定义域和值域时，要写成集合的形式，也可用区间表示．
(3)函数的表示方法有三种：解析法、图像法和列表法．在解决问题时，根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的．
(4)分段函数是一种函数模型，它是一个函数而并非几个函数．
2．函数的单调性
函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1＝x2?f(x1)＝f(x2)．
(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)＝0在区间I上至多有一个实数根．
(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)＋g(x)亦与它们的单调性相同．
函数单调性的判断方法：①定义法；②图像法．
3．函数的奇偶性
判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图像判断，考察函数的图像是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．
1．函数的定义域、值域都是集合．(　√　)
2．直线x＝a与函数y＝f(x)至多有一个交点．(　√　)
3．直线y＝b与R上的增函数至多有一个交点．(　√　)
类型一　函数的三要素
例1　已知函数f(x)＝
(1)当a＝2时，求f(x)的定义域、值域；
(2)若存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，求a的取值范围．
考点　
题点　
解　(1)f(x)的定义域为(－∞，a]∪(a，＋∞)＝R.
当a＝2时，y＝x3在(－∞，2]上是增加的，∴x3∈(－∞，8]．
y＝x2在(2，＋∞)上是增加的，∴x2∈(4，＋∞)．
∴f(x)的值域为(－∞，8]∪(4，＋∞)＝R.
(2)当a<0时，f(x)在(a，＋∞)上不单调，
∴存在x1≠x2使f(x1)＝f(x2)．
当a＝0时，f(x)在R上是增函数，
∴不存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)．
当a>0时，f(x)在(－∞，a]，(a，＋∞)上都是增加的，
要使x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，
需a3>a2，即a>1.
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
反思与感悟　分段函数也是函数，所以它的定义域、值域都分别是一个数集，求定义域、值域时要把各段相应的值合并．在(2)中寻找不同的x，使其对应相同的y时，也要把目光放在整个函数上．
跟踪训练1　设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　作出函数f(x)＝的图像，如图，不妨设x1类型二　函数性质的综合应用
例2　已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝
－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值；
(3)解不等式f(x)－f(－x)>2.
考点　抽象函数单调性与奇偶性
题点　抽象函数单调性、奇偶性综合
(1)证明　由f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，可得
f(x＋y)－f(x)＝f(y)．
在R上任取x1>x2，令x＋y＝x1，x＝x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)．
∵x1>x2，∴x1－x2>0.
又x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
即f(x1)－f(x2)<0.
由定义可知f(x)在R上是减函数．
(2)解　∵f(x)在R上是减函数；
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数；
∴f(－3)最大，f(3)最小．
又f(1)＝－，
∴f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)
＝3×＝－2.
∴f(－3)＝f(4－3)－f(4)＝f(1)－f(3)－f(1)＝－f(3)＝2.
即f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
(3)解　由(2)知f(－3)＝2，
f(x)－f(－x)>2，即f(x)>f(－x)＋2＝f(－x)＋f(－3)＝f(－3－x)，
由(1)知f(x)在R上为减函数，f(x)>f(－3－x)，得x<－3－x，
解得解集为.
反思与感悟　(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图像辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用．
跟踪训练2　函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
考点　抽象函数单调性与奇偶性
题点　抽象函数单调性、奇偶性的综合
解　(1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，则f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2?f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x－1|<16，解得－15∴x的取值范围是{x|－15类型三　函数图像的画法及应用
例3　对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性；
(2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值．
考点　函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点　奇偶性、单调性及最值综合问题
解　(1)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
图像关于y轴对称．
(2)f(x)＝x2－2|x|＝
画出图像如图所示，
根据图像知，函数f(x)的最小值是－1，无最大值．
增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；
减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
反思与感悟　画函数图像的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图像，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．
跟踪训练3　已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.求x∈
[－3,5]时，f(x)＝的所有解的和．
考点　函数图像的对称性
题点　对称问题综合
解　当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f(－x)＝－x.
又∵f(x)为奇函数，∴x∈[－1,0]时，f(x)＝－f(－x)＝x.即x∈[－1,1]时，f(x)＝x.
又由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图像关于直线x＝1对称．
由此可得f(x)在[－3,5]上的图像如下：
在同一坐标系内画出y＝的图像，
由图可知在[－3,5]上共有四个交点，
∴f(x)＝在[－3,5]上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，
∴＝1，＝1.
∴x1＋x2＋x3＋x4＝4.
1．已知f(x)＝x2＋x＋1，则f(f(1))的值是(　　)
A．11 B．12
C．13 D．10
答案　C
解析　f(f(1))＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
2．已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是(　　)
A．P＝Q B．P?Q
C．P?Q D．P∩Q＝?
考点　函数定义域、值域
题点　具体函数的定义域、值域求法
答案　B
解析　P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以Q?P.
3．函数f(x)＝则f的值为(　　)
A. B．－ C. D．18
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
解析　∵3>1，∴f(3)＝32－3－3＝3，
∵<1，∴f＝f＝1－2＝.
4．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数值
答案　C
解析　f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
5．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是(　　)
A．f>f
B．fC．f≥f
D．f≤f
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案　C
解析　因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以f≤f＝f.
1．函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题．
2．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向．
3．(1)函数图像的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图像上点的坐标进行排除．
(2)应用函数图像的关键是从图像中提取所需的信息，提取图像中信息的方法主要有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图像上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题．②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.
一、选择题
1．已知f(2x＋1)＝x2－2x－5，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝4x2－6
B．f(x)＝x2－x－
C．f(x)＝x2＋x－
D．f(x)＝x2－2x－5
考点　求解析式
题点　换元法求函数解析式
答案　B
解析　设t＝2x＋1，则x＝，
∴f(t)＝2－2·－5＝t2－t－，
∴f(x)＝x2－x－.
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(－∞，4] B．(－∞，3)∪(3,4]
C．[－2,2] D．(－1,2]
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　B
解析　f(x)中的x需满足
解得x≤4且x≠3，
故f(x)的定义域为(－∞，3)∪(3,4]．
3．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)
A．1 B．2 C. D．－
考点　函数奇偶性的应用
题点　已知函数奇偶性求参数值
答案　A
解析　由题意得f(－x)＝－f(x)，
则＝
＝－，
则－4x2＋(2－2a)x＋a＝－4x2－(2－2a)x＋a，
所以2－2a＝－(2－2a)，
所以a＝1.
4．若函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为(　　)
A．0C．0考点　函数单调性的应用
题点　已知二次函数单调性求参数范围
答案　B
解析　当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴图像开口朝上，a＞0且－≥4，得0当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．
综上知，0≤a≤.
5．已知函数f(x)＝则f(1)－f(3)等于(　　)
A．－7 B．－2 C．7 D．27
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
解析　由题意得f(1)＝f(4)＝42＋1＝17，
f(3)＝32＋1＝10，
故f(1)－f(3)＝17－10＝7.
6．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是(　　)
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
答案　A
解析　函数y＝f(x)g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D.因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，所以y＝f(x)·g(x)是奇函数，故选A.
7．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于(　　)
A．x2 B．2x2
C．2x2＋2 D．x2＋1
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
答案　D
解析　∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①
∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，
∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②
由①②联立，得f(x)＝x2＋1.
二、填空题
8．已知幂函数y＝(a2－2a－2)xa在实数集R上单调，那么实数a＝________.
考点　幂函数
题点　幂函数性质应用
答案　3
解析　由题意，a2－2a－2＝1，∴a＝－1或3，
又当a＝－1时，y＝x－1定义域不是R，舍去，
当a＝3时，y＝x3在R上是增函数，符合题意．
9．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
答案　2x＋3
解析　设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3.
∵g(x)为奇函数，
∴f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3.
10．已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－m2)>f(2m)，则实数m的取值范围是________．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
答案　(－3,1)
解析　因为函数f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数．要使f(3－m2)>f(2m)，只需3－m2>2m，
解得－3三、解答题
11．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数的最值
解　f(x)＝42－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.
∵a≤0，∴a＝1－.
②当0<<2，即0f(x)min＝f＝－2a＋2.
由－2a＋2＝3，得a＝－?(0,4)，舍去．
③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，
f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.
∵a≥4，∴a＝5＋.
综上所述，a＝1－或a＝5＋.
12．某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；
(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　利用对勾函数性质求最值
解　(1)设AM＝y，AD＝x，
则x2＋4xy＝200，∴y＝.
故Q＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38 000＋4 000x2＋(0(2)令t＝x2，则Q＝38 000＋4 000，且0∵函数u＝t＋在(0,10]上递减，在[10,200)上递增，
∴当t＝10时，umin＝20.
故当x＝时，Qmin＝118 000(元)．
答　当x＝米时，可使总造价最少，最小值为118 000元．
13．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有两相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0，t]上的最大值．
考点　
题点　
解　(1)∵方程f(x)＝2x有两相等实根，
即ax2＋(b－2)x＝0有两相等实根，
∴Δ＝(b－2)2＝0，解得b＝2.
由f(x－1)＝f(3－x)，得＝1，
∴x＝1是函数图像的对称轴，
而此函数图像的对称轴是直线x＝－，
∴－＝1，∴a＝－1，故f(x)＝－x2＋2x.
(2)∵函数f(x)＝－x2＋2x的图像的对称轴为x＝1，x∈[0，t]，
∴当0∴f(x)max＝f(t)＝－t2＋2t.
当t>1时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，∴f(x)max＝f(1)＝1.
综上，f(x)max＝
四、探究与拓展
14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝________，g(x)＝________.
考点　
题点　
答案　x2－2　x
解析　∵f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，
由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
得f(x)－g(x)＝x2－x－2.
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，
两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
15．若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2.
考点　抽象函数单调性与奇偶性
题点　抽象函数单调性、奇偶性的综合
解　(1)在f＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f(1)－f(1)，∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－f<2＝f(6)＋f(6)，
∴f(3x＋9)－f(6)∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴解得－3即不等式的解集为(－3,9)．
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a＋3)>f(a－2) D．f(6)>f(a)
答案　C
解析　因为函数f(x)是R上的增函数，且a＋3>a－2，所以f(a＋3)>f(a－2)．
2．若函数f(＋1)＝x2－2x，则f(3)等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　对于f(a)，f(x)的理解
题点　求函数值
答案　A
解析　∵f(＋1)＝x2－2x，
∴f(＋1)＝22－2·2，即f(3)＝0.
3．函数f(x)＝－2x在区间上的最小值为(　　)
A．1 B. C．－ D．－1
考点　函数的最值及其几何意义
题点　由函数单调性求最值
答案　D
解析　∵f(x)在上为减函数，
∴f(x)min＝f＝－2＝－1.
4．函数y＝(－6≤a≤3)的最大值为(　　)
A．9 B. C．3 D.
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含根式函数的最值
答案　B
解析　因为＝
＝ ，
所以当a＝－时，的值最大，最大值为.故选B.
5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　判断函数的单调性、奇偶性
答案　D
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于(　　)
A．2 B．－2 C．－3 D．3
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数值
答案　C
解析　∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)
＝－(ax3＋bx)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f(3)＝－f(－3)＝－3.
7．设f(x)＝则f(f(0))等于(　　)
A．1 B．0 C．2 D．－1
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
解析　f(0)＝1－0＝1，f(f(0))＝f(1)＝1＋1＝2.
8．已知一次函数y＝kx＋b为减函数，且kb<0，则在直角坐标系内它的大致图像是(　　)
考点　函数图像
题点　求作或判断函数的图像
答案　A
解析　∵y＝kx＋b为减函数，∴k<0，
又∵kb<0，∴b>0，故选A.
9．已知函数f(x)＝－x5－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)>6，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，3)
C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
答案　A
解析　g(x)＝f(x)－3为奇函数，且在R上递减，
f(a)＋f(a－2)>6可化为f(a)－3>－f(a－2)＋3＝－[f(a－2)－3]＝f(2－a)－3，
即g(a)>g(2－a)，
∴a<2－a，∴a<1.
10．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．有增有减 D．增减性不确定
考点　函数奇偶性的应用
题点　由二次函数为偶函数求参数值
答案　B
解析　∵f(x)为偶函数，∴m＝0，
∴f(x)＝－x2＋3，开口向下，
对称轴为y轴，∴f(x)在(2,5)上是减函数．
11．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有(　　)
A．最小值－8 B．最大值－8
C．最小值－6 D．最小值－4
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的最值或值域
答案　D
解析　设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
∴F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＋2≤8且存在x0∈(0，＋∞)使F(x0)＝8.
又∵f(x)，g(x)都是奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－[f(x)＋g(x)]≤6，
f(x)＋g(x)≥－6，
∴F(x)＝f(x)＋g(x)＋2≥－4，且存在x0∈(－∞，0)使F(x0)＝－4.
∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.
12．已知函数f(x)＝设F(x)＝x2·f(x)，则F(x)是(　　)
A．奇函数，在(－∞，＋∞)上是减少的
B．奇函数，在(－∞，＋∞)上是增加的
C．偶函数，在(－∞，0)上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的
D．偶函数，在(－∞，0)上是增加的，在(0，＋∞)上是减少的
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　判断函数的单调性、奇偶性
答案　B
解析　F(x)＝其图像如图所示．
故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数值
答案　－2
解析　f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，
∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，
∵1∈(0,2)，∴f(1)＝2×12＝2，
∴f(7)＝－f(1)＝－2.
14．已知幂函数f(x)的图像过点(，2)，则不等式f(3x－2)＋1>0的解集是________．
考点　幂函数
题点　幂函数综合
答案　
解析　设f(x)＝xa，则f()＝()a＝2，∴a＝3.
f(x)＝x3在R上为增函数，
∴f(3x－2)＋1>0?f(3x－2)>f(－1)?3x－2>－1，
解得x>，∴不等式的解集为.
15．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．
考点　分段函数
题点　分段函数求参数值
答案　(－∞，2]
解析　若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2不合题意．
∴2∈[a，＋∞)，∴a≤2.
16．定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且当x≥1时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
考点　求解析式
题点　利用对称性求解析式
答案　f(x)＝
解析　设x<1，则2－x>1，
且f(x)＝f((x－1)＋1)＝f(1－(x－1))＝f(2－x)＝＋1.
∴f(x)＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a考点　函数的单调性的判定与证明
题点　抽象函数单调性的判断
证明　设a∵g(x)在(a，b)上是增函数，
∴g(x1)又∵f(x)在(a，b)上是增函数，
∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a，b)上也是增函数．
18．(12分)已知函数y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.
(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；
(2)已知f＝1，不计算函数值，求f(0)；
(3)不直接计算函数值，试比较f与f的大小．
考点　二次函数
题点　二次函数对称性
解　(1)因为y＝f(x)＝3x2＋2x＋1＝32＋.
所以顶点坐标为，对称轴是直线x＝－.
(2)因为f＝1，
又＝，＝，
所以结合二次函数的对称性可知f(0)＝f＝1.
(3)由f(x)＝32＋知二次函数图像开口向上，且对称轴为x＝－，
所以离对称轴越近，函数值越小．
又<，
所以f19．(12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的值域．
考点　函数的图像
题点　函数图像的应用
解　(1)当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
代入(－1,0)，(0,1)，
则得∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图像过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
∴f(x)＝
(2)当－1≤x≤0时，y∈[0,1]．
当x>0时，y∈[－1，＋∞)．
∴函数值域为[0,1]∪[－1，＋∞)＝[－1，＋∞)．
20．(12分)某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．
(1)分别将A，B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A，B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
考点　求函数的解析式
题点　实际问题的函数解析式
解　(1)设投资x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，
依题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由图1，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2＝.
由图2，得g(4)＝1.6，即k2×＝1.6，
∴k2＝.
故f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设B产品投入x万元，则A产品投入10－x万元，设企业利润为y万元，
由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－x＋＋2(0≤x≤10)．
∵y＝－x＋＋2＝－(－2)2＋，0≤≤.
∴当＝2，即x＝4时，ymax＝＝2.8.
因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元．
21．(12分)(2017·马鞍山检测)对于区间[a，b]和函数y＝f(x)，若同时满足：
①f(x)在[a，b]上是单调函数；
②函数y＝f(x)，x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的“不变”区间．
(1)求函数y＝x2(x≥0)的所有“不变”区间；
(2)函数y＝x2＋m(x≥0)是否存在“不变”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
考点　函数单调性的应用
题点　函数单调性的综合应用
解　(1)易知函数y＝x2(x≥0)是增函数，故有解得
又a(2)易知函数y＝x2＋m(x≥0)是增函数，若函数y＝x2＋m存在“不变”区间，则有：b>a≥0，所以
消去m得a2－b2＝a－b，整理得
(a－b)(a＋b－1)＝0.
因为a即b＝1－a.又所以0≤a<.
因为m＝－a2＋a
＝－2＋，
所以0≤m<.
综上，当0≤m<时，函数y＝x2＋m(x≥0)存在“不变”区间．
22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：
如果常数t＞0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　利用对勾函数性质求最值
解　(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，1≤u≤3，
则y＝u＋－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)是减少的，所以f(x)的减区间为；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)是增加的，所以f(x)的增区间为；
由f(0)＝－3，f＝－4，f(1)＝－，
得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，
故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意得，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以所以a＝.