第三章指数函数和对数函数 学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测

1　解读指数函数的四个难点
盘点了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握．
难点之一：概念
指数函数y＝ax有三个特征：①指数：指数只能是自变量x，而不能是x的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.
例1 给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝ex；④y＝xx；⑤y＝22x＋1.
其中指数函数的个数是________．
分析　根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考察，是否满足指数函数的定义．
解析　对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①②④⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．
答案　1
难点之二：讨论
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当a＞1时，是增函数；当0例2 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
分析　遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求出a.
解　当a＞1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2－a＝，即a2＝，所以a＝；
当0综上可知，a＝或a＝.
难点之三：复合
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则．
例3 求函数y＝的减区间．
分析　指数函数与指数型复合函数的区别在于指数自变量是x还是x的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解．
解　由－x2＋x＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]．
令u＝－x2＋x＋2＝－2＋，
则y＝，
当x∈时，随x的增大，u增大，y减小，
故函数的减区间为.
难点之四：图像
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像特征是：当a＞1时，在y轴的右侧，a越大，图像越往上排；在y轴左侧，a越大，图像越往下排．
例4 利用指数函数的图像比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．
分析　可在同一坐标系中作出y＝0.7x及y＝0.4x的图像，从图像中得出结果．
解　如图所示，作出y＝0.7x，y＝0.4x及x＝－0.3的图像，
易知0.7－0.3<0.4－0.3.
评注　图像应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的函数应是y＝0.4x，而不是y＝0.7x，这一点应注意．
2　换底公式的证明及其应用
换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助．
一、换底公式及证明
换底公式：logbN＝.
证明　设logbN＝x，则bx＝N.两边均取以a为底的对数，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN.
∴x＝，即logbN＝.
二、换底公式的应用举例
1．乘积型
例1 (1)计算：log89·log2732；
(2)求证：logab·logbc·logcd＝logad.
分析　先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决．
(1)解　换为常用对数，得log89·log2732＝·
＝·＝×＝.
(2)证明　由换底公式，得logab·logbc·logcd
＝··＝logad.
评注　此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决．
2．知值求值型
例2 已知log1227＝a，求log616的值．
分析　本题可选择以3为底进行求解．
解　log1227＝＝a，解得log32＝.
故log616＝＝
＝＝.
评注　这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决．
3．综合型
例3 设A＝＋＋，B＝＋，试比较A与B的大小．
分析　本题可选择以19及π为底进行解题．
解　A换成以19为底，B换成以π为底，
则有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360<2，
B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.
故A评注　一般也有倒数关系式成立，即logab·logba＝1，logab＝.

3　精析对数函数
一、对数函数的概念
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．
由对数的定义容易知道对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)是指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数．在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记．若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数．
二、对数函数的图像和性质
1．对数函数性质的记忆与运用的注意事项
(1)数形结合——利用图像记忆性质．x＝1是“分水岭”；
(2)函数的单调性决定于底数a大于1还是大于0小于1；
(3)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(其中a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的概念、图像、性质，既有密切的联系又有本质的区别．
2．对数函数图像分布规律
如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x＝1的右边区域，在x轴上方，对数函数的图像越靠近x轴，底数越大，且底数均大于1；在x轴下方，对数函数的图像越靠近x轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间．图中的对数函数的底数a，b，c，d的大小关系是0例1 函数y＝log(x－1)(4－x)的定义域是________．
解析　由得
所以函数的定义域是(1,2)∪(2,4)．
答案　(1,2)∪(2,4)
评注　函数定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.
例2　函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像如图所示，则a，b，c，d与正整数1的大小顺序是(　　)
A．1C．c解析　作出直线y＝1，可知其与对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a，b，c，d，于是c答案　B
评注　利用特殊值的办法解决有关对数函数的图像问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速地解决.
4　巧解指数、对数函数综合题
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a＞1时，它们在各自的定义域内都是增函数；当01．共享底数
对数式与指数式互化，其底数一致，即logaN＝b，ab＝N.利用它可以解决指、对数方程及互化等问题．
例1 方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝________.
解析　将对数式化为指数式，得32x＋1＝1－2· 3x，
即3·(3x)2＋2·3x－1＝0，
得3x＝(负值舍去)，故x＝－1.
答案　－1
2．亮出底数
在有些指数、对数函数问题，特别是图像问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决．
例2 当a＞1时，在同一坐标系中，能表示函数y＝a－x与y＝logax 的图像的是(　　)
解析　由a＞1，得0<<1，则指数函数y＝a－x＝x在R上是减函数，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，故排除B，C，D.
答案　A
3．变换底数
对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数．
例3 若loga2A．0C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
解析　化为同底，有<<0，
从而log2b即log2b∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
∴0答案　B
4．讨论底数
当底数不定时，常分0例4 函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的差为5，则a＝________.
解析　由题意知，a＞0，且a≠1.
①当a＞1时，有a1－a0＝5，即a＝6；
②当0综上知，a＝6.
答案　6
5．消去底数
有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来一定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化．
例5 设0解　作商＝|log(1＋x)(1－x)|，
∵0∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)
＝log(1＋x)＞log(1＋x)(1＋x)＝1.
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.

§1　正整数指数函数
学习目标　1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性．
知识点一　正整数指数函数的概念
思考　定义在N＋上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y
2
4
8
16
32
64
128
256
…
答案　y＝2x，x∈N＋，自变量在指数上．
梳理　正整数指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
知识点二　正整数指数函数的图像特征及其单调性
思考　比较，2，3的大小，你有什么发现？
答案　>2>3，对于y＝x，x∈N＋，x越大，y越小．
梳理　函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)图像是散点图，当a>1时，在定义域上递增；当0知识点三　指数型函数
思考　y＝3·2x，x∈N＋是正整数指数函数吗？
答案　不是，正整数指数函数的系数为1.
梳理　形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型．
1．函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)是正整数指数函数．(　√　)
2．正整数指数函数y＝2x(x∈N＋)过点(0,1)．(　×　)
3．函数y＝2ax(x∈N＋)是正整数指数函数．(　×　)
类型一　正整数指数函数的概念
命题角度1　判断是否为正整数指数函数
例1　下列表达式是否为正整数指数函数？
(1)y＝1x；(2)y＝(－2)x；(3)y＝3－x(x∈R)；(4)y＝ex(x∈N＋)．
考点　正整数指数函数的概念
题点　判断是否为正整数指数函数
解　(1)(2)底数不符合，要大于0且不等于1，(3)中y＝3－x＝x，但定义域不符合，所以只有(4)为正整数指数函数．
反思与感悟　判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式是否符合，特别还应看定义域是否为正整数集．
跟踪训练1　下列函数中是正整数指数函数的是(　　)
A．y＝－2x，x∈N＋ B．y＝2x，x∈R
C．y＝x2，x∈N＋ D．y＝x，x∈N＋
考点　正整数指数函数的概念
题点　判断是否为正整数指数函数
答案　D
解析　结合正整数指数函数的定义可知选D.
命题角度2　根据正整数指数函数概念求参数
例2　已知正整数指数函数f(x)＝(a－2)·ax，则f(2)等于(　　)
A．2 B．3 C．9 D．16
考点　正整数指数函数的概念
题点　根据概念求参数
答案　C
解析　∵f(x)是正整数指数函数，
∴∴a＝3，f(x)＝3x.
∴f(2)＝32＝9.
反思与感悟　解此类题的关键是找到参数应满足的条件．
跟踪训练2　函数y＝(1－3a)x是正整数指数函数，则a应满足________．
考点　正整数指数函数的概念
题点　根据概念求参数
答案　a<，且a≠0
解析　由解得a<，且a≠0.
类型二　正整数指数函数的图像与性质
例3　比较下面两个正整数指数函数的图像与性质．
(1)y＝2x(x∈N＋)；
(2)y＝0.95x(x∈N＋)．
考点　正整数指数函数的图像与性质
题点　具体函数的图像和性质
解　列表比较如下：
函数
y＝2x(x∈N＋)
y＝0.95x(x∈N＋)
图像
定义域
正整数集N＋
单调性
增函数
减函数
图像特征
由一群孤立的点组成
反思与感悟　通过列表、描点画图，即可得到正整数指数函数的图像，由于定义域为正整数集，所以不需要连成光滑曲线，图像就是由一群孤立的点组成．
跟踪训练3　作出下列函数(x∈N＋)的图像．
(1)y＝3x；(2)y＝x.
考点　正整数指数函数的图像与性质
题点　具体函数的图像和性质
解　(1)
(2)
类型三　正整数指数函数的应用
例4　某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和(本金加上利息)为y元．
(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
考点　正整数指数函数模型
题点　复利问题
解　(1)已知本金为a元，利率为r，则
1期后的本利和为y＝a＋a×r＝a(1＋r)，
2期后的本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，
3期后的本利和为y＝a(1＋r)3，
x期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N＋，
即本利和y随存期x变化的函数关系式为
y＝a(1＋r)x，x∈N＋.
(2)将a＝1 000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式，得
y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)，
即5期后本利和约为1 117.68元．
反思与感悟　建立实际问题的函数模型关键是获得数据，并根据数据归纳规律．
跟踪训练4　一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶？(精确到1小时)
考点　正整数指数函数模型
题点　增长问题
解　1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%) mg/mL，
x小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL.
由题意知：0.3(1－50%)x≤0.08，x≤.
采用估算法，当x＝1时，1＝>；
当x＝2时，2＝＝<.
由于y＝x是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2，故至少过2小时驾驶员才能驾驶.
1．函数y＝x(x∈N＋)的值域是(　　)
A．R B．正实数
C．N D.
考点　正整数指数函数性质
题点　值域
答案　D
2．下列函数：①y＝3x3(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝(a－3)x(a>3，x∈
N＋)．其中正整数指数函数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　正整数指数函数的概念
题点　判断是否为正整数指数函数
答案　B
3．当x∈N＋时，函数y＝(a－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　)
A．1C．a>1 D．a>2
考点　正整数指数函数的概念
题点　根据概念求参数
答案　D
解析　在y＝(a－1)x中，当x＝0时，y＝1.
而x∈N＋时，y>1，则必有a－1>1，∴a>2，故选D.
4．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是(　　)
A．增加7.84% B．减少7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
考点　正整数指数函数模型
题点　增长问题
答案　B
解析　设商品原价为a，两年后价格为a(1＋20%)2，
四年后价格为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.921 6a，
∴×100%＝7.84%，故选B.
5．正整数指数函数f(x)＝(a－2)(2a)x(x∈N＋)在定义域N＋上是________的．(填“增加”或“减少”)
考点　正整数指数函数性质
题点　单调性
答案　增加
解析　∵f(x)＝(a－2)(2a)x是正整数指数函数，
∴a－2＝1，且2a>0,2a≠1，
∴a＝3，∴f(x)＝6x，x∈N＋.
∵6>1，∴f(x)在N＋上是增加的．
1．判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式和定义域是否为正整数集．
2．当a>1时是增函数．
3．当04．正整数指数函数的图像是一些孤立的点.
一、选择题
1．下列函数：①y＝，②y＝6x，③y＝32x，④y＝，⑤y＝2x＋1.(以上各函数定义域为x∈
N＋)其中正整数指数函数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　正整数指数函数的概念
题点　判断是否为正整数指数函数
答案　C
解析　只有②③符合题意．
2．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是(　　)
A．R B.
C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　(1－2x)＝，
∴1－2x＞0，得x＜.
3．函数y＝x，x∈N＋是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．减函数
考点　正整数指数函数性质
题点　单调性
答案　D
解析　因为正整数指数函数y＝x，x∈N＋的底数小于1，所以此函数是减函数．
4．函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1，x∈N＋)的图像必经过点(　　)
A．(0,1) B．(2,0) C．(2,1) D．(2,2)
考点　正整数指数函数的图像与性质
题点　具体函数的图像和性质
答案　D
解析　令x＝2，则y＝2，故必经过点(2,2)．
5．中心城区现有绿化面积为1 000 hm2，计划每年增长4%，经过x(x∈N＋)年，绿化面积为y hm2，则x，y间的函数关系为(　　)
A．y＝1 000(1＋4%)x(x∈N＋)
B．y＝(1 000×4%)x(x∈N＋)
C．y＝1 000(1－4%)x(x∈N＋)
D．y＝1 000(4%)x(x∈N＋)
考点　正整数指数函数模型
题点　增长问题
答案　A
6．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．a<0 B．－1C．0考点　正整数指数函数的概念
题点　根据概念求参数
答案　B
解析　∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，∴07．函数y＝3×2x－3，x∈N＋，且x∈[0,4]，则y的值域是(　　)
A．{－3,3,9,21,45} B．{3,9,21,45}
C．{0,3,9,21,45} D．{－3,0,3,9,21,45}
考点　正整数指数函数性质
题点　值域
答案　B
解析　∵x∈N＋且x∈[0,4]，∴x＝1,2,3,4，故值域为{3,9,21,45}．
二、填空题
8．经过点(2,9)的正整数指数函数的解析式为________．
考点　
题点　
答案　y＝3x(x∈N＋)
解析　将点(2,9)代入正整数指数函数的解析式y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，求出底数．
9．已知不等式(a2＋a＋2)2x>(a2＋a＋2)x＋8，其中x∈N＋，使此不等式成立的x的最小整数值是________．
考点　单调性
题点　增加
答案　9
解析　∵a2＋a＋2＝2＋>1，且x∈N＋，
∴可以利用正整数指数函数在底数大于1时递增的性质，得2x>x＋8，即x>8，
∴使此不等式成立的x的最小整数值为9.
10．有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是________．
考点　正整数指数函数模型
题点　增长问题
答案　10a%
解析　第1次加满水后，瓶中酒精的浓度为·a%，第2次加满水后，瓶中酒精的浓度为a%＝2a%，
依次可得第x次加满水后，瓶中酒精的浓度为x·a%(x∈N＋)．
三、解答题
11．设a>0，定义在N＋上的函数f(x)＝·(a2)x的图像经过点(2,256)，试求此函数的最值．
考点　
题点　
解　化简f(x)＝·(a2)x＝·a2x＝，由f(2)＝256知，＝256，于是a＝2，所以f(x)＝，从而知f(x)min＝f(1)＝23＝8，f(x)无最大值．
12．有关部门计划于2017年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2023年应投入多少辆电力型公交车？
考点　正整数指数函数模型
题点　增长问题
解　由题意知，在2018年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)；
在2019年应投入的数量为128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2；
…
故在2023年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)6，即128×6＝1 458(辆)．
答　该市在2023年应投入1 458辆电力型公交车．
13．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可以出售重栽也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)
考点　正整数指数函数模型
题点　增长问题
解　设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：
①连续生长十年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
②生长五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18%)5，
则＝，
因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以>1，即M>N.
因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．
四、探究与拓展
14．若y＝(2－3a)x为增加的正整数指数函数，则a的取值范围是________．
考点　正整数指数函数的概念
题点　根据概念求参数
答案　
解析　由2－3a>1，解得a<，即a的取值范围是.
15．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)的值；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因．
考点　
题点　
解　(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，
x∈N＋)，
因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，
即a3＝27，解得a＝3，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)因为f(x)的定义域为N＋，且在定义域上是增加的，
所以f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．
§2　指数扩充及其运算性质
学习目标　1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理数指数幂，理解实数指数幂的运算性质.3.能用实数指数幂运算性质化简、求值．
知识点一　分数指数幂
思考　由a2＝22(a>0)易得由此你有什么猜想？
答案　当a>0，b>0时，若am＝bn，则(m，n为非零整数)．
梳理　分数指数幂
(1)定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝.
(2)意义
正分数指数幂
负分数指数幂
0的分数指数幂
前提条件
a>0，m，n均为整数，m，n互素
结论
＝
＝＝
＝0，
无意义
知识点二　无理数指数幂
思考　无理数是无限不循环小数，课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的？
答案　随着精确度越高，无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值都无限趋近于同一个数，这个数即为实数．
梳理　无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数) 是一个确定的正实数．至此，指数幂aα的指数取值范围扩充为R.
知识点三　实数指数幂的运算性质
思考1　在实数指数幂ax中，为什么要规定a>0?
答案　把指数扩大为全体实数后，若a<0，ax有时没有意义，如，为了运算方便，规定a>0.
梳理　一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数．
思考2　初中，我们知道a≠0，m0，m，n为任意实数时，上式还成立吗？
答案　因为指数已扩充为实数，故有＝am·a－n＝am－n.既不必再区分m，n的大小，也不必区分am·an和了．
梳理　一般地，当a>0，b>0时，有：
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)n＝anbn，其中m，n∈R.
知识点四　实数指数幂的化简
思考　如何化简？
答案　
梳理　实数指数幂的化简中，先把根式、分式都化为实数指数幂的形式，再利用指数幂运算性质化简．
1．(　×　)
2．(　×　)
3．当a>0时，(ar)s＝(as)r.(　√　)
4．2∈R.(　√　)
类型一　根式与分数指数幂之间的相互转化
命题角度1　分数指数幂化根式
例1　用根式的形式表示下列各式(x>0)．
(1)(2)
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
解　(1)＝.
(2)＝.
反思与感悟　实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．
跟踪训练1　用根式表示(x>0，y>0)．
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
解　
命题角度2　根式化分数指数幂
例2　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.
(1)；(2)；(3)；(4).
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
解　(1)＝
(2)
(3)
(4)
反思与感悟　指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义．如＝＝－1，但就不是实数了．为了保证在取任何实数时，都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．
跟踪训练2　把下列根式化成分数指数幂．
(1) ；(2) (a>0)；(3)b3·；(4) .
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
解　(1)
(2)
(3)
(4)
类型二　运用指数幂运算公式化简求值
例3　计算下列各式(式中字母都是正数)．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的四则混合运算
解　(1)
＝()2＋ －＝0.09＋－＝0.09.
(2)原式
＝4ab0＝4a.
(3)
反思与感悟　一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
跟踪训练3　(1)化简：
(2)化简：
(3)已知求的值．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的四则混合运算
解　(1)原式＝
(2)
(3)由两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理得：x＋x－1＝23，则有＝23.
类型三　运用指数幂运算公式解方程
例4　已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
解　方法一　∵a>0，b>0，又ab＝ba，
∴
∴
方法二　∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，
即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝.
反思与感悟　指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数进行变形，以达到我们代入、消元等目的．
跟踪训练4　已知67x＝27,603y＝81，求－的值．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
解　由67x＝33，得由603y＝81，得
∴
∴－＝2，故－＝－2.
1．化简的值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　B
2．用分数指数幂表示(a>b)为(　　)
A． B．
C． D．
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　C
3．以下说法中正确的是(以下n>1且n∈N＋)(　　)
A．正数的n次方根是一个正数
B．负数的n次方根是一个负数
C．任何数的n次方根都是正数
D．a的n次方根用表示
考点　
题点　
答案　A
4．()4等于(　　)
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
考点　利用指数幂的性质化简求值
题点　根式与分数指数幂的乘除运算
答案　D
5．计算的结果是(　　)
A．32 B．16 C．64 D．128
考点　利用指数幂的性质化简求值
题点　根式与分数指数幂的乘除运算
答案　B
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质．
2．指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
一、选择题
1．化简式子[(－)2]的结果是(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的乘除运算
答案　C
解析　[(－)2]＝3＝＝.
2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A．－＝(－x)
B．x＝－
C.＝ (x，y≠0)
D.＝y
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　C
解析　－＝－x，x＝，＝故选C.
3.·等于(　　)
A．a B．a C．a D．a
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　B
解析　·＝a＝a.
4．(3－2x)中x的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B.∪
C. D.
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　C
解析　(3－2x)＝＝，要使该式有意义，需3－2x>0，即x<.
5．2，3，6这三个数的大小关系为(　　)
A．6<3<2 B．6<2<3
C．2<3<6 D．3<2<6
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　B
解析　2＝2＝＝，3＝3＝＝，6＝.
∵<<，∴6<2<3.
6．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于(　　)
A. B. C. D.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
答案　D
解析　由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋
＝1＋＝.
二、填空题
7．计算＝________.
考点　指数幂的运算性质
题点　指数幂的乘除运算
答案　
解析　原式＝＝47－9＝4－2＝.
8．若a＝9，则a＝________.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的乘除运算
答案　±3－5
解析　由a＝9，得(a)5＝95，即a－2＝95＝310，
所以a＝±3－5.
9．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则a＝________.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
答案　9
解析　a＝(ax)2·(ay)＝32·5＝9.
10．(＋)2 017×(－)2 018＝________.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的乘除运算
答案　－
解析　(＋)2 017×(－)2 018
＝[(＋)(－)]2 017×(－)
＝12 017×(－)＝－.
三、解答题
11．化简：÷.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的四则混合运算
解　原式＝÷
＝ab÷(ab)
＝ab÷(ab)
＝ab
＝ab.
12．化简下列各式：
(1)(a>0，b>0)；
(2)(a>0)；
(3)(a>0)．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的四则混合运算
解　(1)方法一　＝＝a＋b.
方法二　＝＝a＋b.
(2)＝＝
＝a(a>0)．
(3)－
＝－
＝a－a＝0.
13．已知x＋x－1＝3，求的值．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　有理数指数幂的四则混合运算
解　∵x＋x－1＝3，∴(x＋x)2＝x＋x－1＋2＝5，
∵x＋x>0，∴x＋x＝，
又∵(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9，∴x2＋x－2＝7，
∴＝＝.
四、探究与拓展
14．已知：315a＝55b＝153c，则5ab－bc－3ac＝________.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
答案　0
解析　因为153(5ab－bc－3ac)＝＝
＝b·3a＝1，
所以3(5ab－bc－3ac)＝0，
即5ab－bc－3ac＝0.
15．已知a>0，对于0≤r≤8，r∈N＋，式子()8－r·r能化为关于a的整数指数幂的情形有几种？
考点　
题点　
解　()8－r·r＝a·a＝a，由题意知，16－3r能被4整除才行，故r＝0，r＝4或r＝8，因此原式能化为关于a的整数指数幂的情形有三种，即a4，a，a－2.
§3　指数函数(一)
学习目标　1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图像和性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．
知识点一　指数函数
思考　细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？
答案　y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．
梳理　一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：
①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③ax的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．
知识点二　指数函数的图像和性质
思考　函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？
答案　函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．
梳理　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质：
a>1
0图像
性质
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
(4)当x>0时，y>1；
x<0时，0(4)当x>0时，0x<0时，y>1
(5)是R上的增函数
(5)是R上的减函数
1．y＝xx(x>0)是指数函数．(　×　)
2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(　×　)
3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．(　√　)
4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(　×　)
类型一　求指数函数的解析式
例1　已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．
考点　指数函数的解析式
题点　待定系数法求指数函数解析式
解　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，
即a3＝π，解得于是
反思与感悟　(1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.凡是不符合这个要求的都不是指数函数．
(2)要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
跟踪训练1　已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值．
考点　指数函数的解析式
题点　待定系数法求指数函数解析式
解　由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.
类型二　求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域
命题角度1　f?ax?型
例2　求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1.
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　(1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1)．
∵y＝＝1－，
又∵3x>0,1＋3x>1，
∴0<<1，∴－1<－<0，
∴0<1－<1，∴值域为(0,1)．
(2)定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，
∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，
∴值域为.
反思与感悟　解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围，从而把问题转化为y＝f(t)的问题．
跟踪训练2　求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝ ；
(2)y＝(a>0，且a≠1)．
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　(1)∵1－x≥0，∴x≤1，解得x≥0，
∴原函数的定义域为[0，＋∞)．
令t＝1－x (x≥0)，则0≤t<1，∴0≤<1，
∴原函数的值域为[0,1)．
(2)原函数的定义域为R.
方法一　设ax＝t，则t∈(0，＋∞)．
y＝＝＝1－.
∵t>0，∴t＋1>1，
∴0<<1，∴－2<<0，
∴－1<1－<1.
即原函数的值域为(－1,1)．
方法二　由y＝(a>0，且a≠1)，得ax＝－.
∵ax>0，∴－>0，∴－1∴原函数的值域是(－1,1)．
命题角度2　af?x?型
例3　求函数y＝ 的定义域、值域．
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　要使函数有意义，
则x应满足32x－1－≥0，即32x－1≥3－2.
∵y＝3x在R上是增函数，
∴2x－1≥－2，解得x≥－.
故所求函数的定义域为.
当x∈时，32x－1∈.
∴32x－1－∈[0，＋∞)．
∴原函数的值域为[0，＋∞)．
反思与感悟　y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围．
跟踪训练3　求下列函数的定义域、值域．
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　(1)由x－1≠0，得x≠1，
所以函数定义域为{x|x≠1}．
由≠0，得y≠1，
所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0，得x≥，
所以函数定义域为.
由≥0，得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}．
类型三　指数函数图像的应用
命题角度1　指数函数整体图像
例4　在如图所示的图像中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝x的图像可能是(　　)
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的位置与底数的关系
答案　A
解析　根据图中二次函数图像可知c＝0，
∴二次函数y＝ax2＋bx，∵>0，
∴二次函数的对称轴为x＝－<0，
排除B，D.
对于A，C，都有0<<1，∴－<－<0，C不符合．
故选A.
反思与感悟　函数y＝ax的图像主要取决于01.但前提是a>0且a≠1.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图像经过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(－1,5) B．(－1,4)
C．(0,4) D．(4,0)
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数的图像过定点问题
答案　A
解析　当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，
此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．
命题角度2　指数函数局部图像
例5　若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，求实数a的取值范围．
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的变换
解　y＝|2x－1|＝
图像如下：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，需0<2a<1，即0反思与感悟　指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图像的“原料”作用．
跟踪训练5　函数y＝a|x|(a>1)的图像是(　　)
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的变换
答案　B
解析　函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.
1．下列各函数中，是指数函数的是(　　)
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝x
考点　指数函数的概念
题点　指数函数的判断
答案　D
2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1 D．a≥
考点　指数函数的概念
题点　根据指数函数的定义求参数
答案　C
3．下面关于函数y＝2x与y＝x的性质的说法不正确的是(　　)
A．定义域都是R B．值域都为R
C．单调性不同 D．均过点(0,1)
考点　指数函数的性质
题点　指数函数的性质
答案　B
解析　值域都为{y|y>0}．
4.函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的变换
答案　D
5．函数f(x)＝x的定义域是________，值域是________．
考点　指数函数的值域
题点　指数函数的值域
答案　R　(0，＋∞)
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1.
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1，03．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．
一、选择题
1．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则(　　)
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
考点　指数函数的解析式
题点　待定系数法求指数函数解析式
答案　C
解析　由题意得解得a＝2.
2．函数y＝ax－a (a>0且a≠1)的大致图像可能是(　　)
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的位置与底数的关系
答案　C
解析　如果函数的图像是A，那么1－a＝1?a＝0，这与a>0且a≠1相矛盾，故A不可能；如果函数的图像是B，那么a1－a<0?0<0，这是不可能的，故B不可能；如果函数的图像是C，那么0<1－a<1?03．设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中不正确的是(　　)
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝
C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N＋)
考点　指数函数的概念
题点　指数函数的判断
答案　D
解析　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A对；
f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B对；
f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，C对；
[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n≠(axy)n，D错．
4．当x∈[－1,1]，函数f(x)＝2x－2的值域是(　　)
A. B．[－1,1]
C. D.
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
答案　D
解析　因为指数函数y＝2x在区间[－1,1]上是增函数，所以有2－1≤2x≤21，于是2－1－2≤2x－2≤21－2，即－≤f(x)≤0.
5．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(　　)
A．na(1－b%) B．a(1－nb%)
C．a[1－(b%)n] D．a(1－b%)n
考点　指数函数的实际应用
题点　指数函数的实际应用
答案　D
解析　一年后价值为a－ab%＝a(1－b%)，两年后价值为a(1－b%)－a(1－b%)b%＝a(1－b%)2，…，n年后价值为a(1－b%)n，故选D.
6.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像经过点E，B，则a等于(　　)
A. B.
C．2 D．3
考点　指数函数的解析式
题点　待定系数法求指数函数解析式
答案　A
解析　设点C(0，m)，则由已知可得A，E，B.又因为点E，B在指数函数的图像上，所以两式相除得a＝2，所以m＝2，
所以a＝.
二、填空题
7．若f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________.
考点　
题点　
答案　125
解析　设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，则a＝，
∴a＝＝5，∴f(x)＝5x，∴f(3)＝53＝125.
8．函数y＝的定义域是________．
考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
答案　(－∞，5]
解析　要使函数式有意义，需32－2x≥0,32≥2x,25≥2x，解得x≤5.
9．若函数f(x)＝(a>1)恒过定点(1,10)，则m＝________.
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数的图像过定点问题
答案　9
解析　代入x＝1，f(1)＝a0＋m＝1＋m＝10，
∴m＝9.
10．给出函数f(x)＝则f(x)的值域为________．
考点　指数函数的定义域和值域
题点　指数函数的定义域和值域
答案　[8，＋∞)
解析　当x≥3时，2x≥23＝8；当x<3时，皆可通过有限次加1转化为第一类．
三、解答题
11．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝；
(2)y＝5－x－1.
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　(1)令1－x≥0，得x≤1.
∴定义域为(－∞，1]．
设t＝≥0.
则3t≥30＝1.
∴值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R，
∵5－x>0，∴5－x－1>－1.
∴值域为(－1，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝ax (a>0，且a≠1)，在区间[1,2]上的最大值为m，最小值为n.
(1)若m＋n＝6，求实数a的值；
(2)若m＝2n，求实数a的值．
考点　
题点　
解　(1)∵无论01，函数f(x)的最大值都是a和a2的其中一个，最小值为另一个，
∴a2＋a＝6，解得a＝2或a＝－3(舍)，
故a的值为2.
(2)当0由a＝2a2，解得a＝0(舍)或a＝，∴a＝.
当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，其最小值为f(1)＝a，最大值为f(2)＝a2.
由a2＝2a，解得a＝0(舍)或a＝2.∴a＝2.
综上知，实数a的值为或2.
13．已知x∈[－3,2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝2＋，∵x∈[－3,2]，∴≤2－x≤8，则当2－x＝，即x＝1时，f(x)有最小值，当2－x＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57.
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图像经过第一、三、四象限，则一定有(　　)
A．a>1，且b<1 B．0C．00 D．a>1，且b<0
考点　
题点　
答案　D
解析　已知函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图像经过第一、三、四象限，画出草图如图所示．
由图像可得
即解得故D正确．
15．已知函数f(x)＝ax－1 (x≥0)的图像经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．
考点　指数函数性质的综合应用
题点　指数函数性质的综合应用
解　(1)因为函数f(x)＝ax－1 (x≥0)的图像经过点，
所以a2－1＝a＝.
(2)由(1)得f(x)＝x－1(x≥0)，
函数为减函数，
当x＝0时，函数取最大值2，故f(x)∈(0,2]，
所以函数y＝f(x)＋1＝x－1＋1 (x≥0)∈(1,3]，
故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1,3]．
§3　指数函数(二)
学习目标　1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.
2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．
知识点一　不同底指数函数图像的相对位置
思考　y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？
答案　经描点观察，在y轴右侧，2x<3x，即y＝3x图像在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图像上方．
梳理　一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：
(1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．
(2)指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图像关于y轴对称．
知识点二　比较幂的大小
思考　若x1答案　当a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以
当0梳理　一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
知识点三　解指数方程、不等式
思考　若(a>0，且a≠1)，则x1，x2的大小关系如何？
答案　当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，则f(x1)所以，当0当a＞1时，
此原理可用于解指数方程、不等式．
梳理　简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图像求解．
知识点四　与指数函数复合的函数单调性
思考　的定义域与y＝的定义域是什么关系？的单调性与y＝的单调性有什么关系？
答案　由于y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，故的定义域与y＝的定义域相同，故研究的单调性，只需在y＝的定义域内研究．若设0梳理　一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当01．y＝21－x是R上的增函数．(　×　)
2．若0.1a>0.1b，则a>b.(　×　)
3．a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.(　×　)
4．由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．(　×　)
类型一　解指数方程
例1　解下列关于x的方程．
(1)81×32x＝x＋2；
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.
考点　指数方程的解法
题点　指数方程的解法
解　(1)∵81×32x＝x＋2，
∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
∴2x＋4＝－2(x＋2)，
∴x＝－2.
(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝或t＝－1(舍去)．
∴2x＝，解得x＝－2.
反思与感悟　(1)af(x)＝b型通常化为同底来解．
(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．
跟踪训练1　解下列方程．
(1)33x－2＝81；
(2)＝；
(3)52x－6×5x＋5＝0.
考点　指数方程的解法
题点　指数方程的解法
解　(1)∵81＝34，∴33x－2＝34，
∴3x－2＝4，解得x＝2.
(2)∵＝，∴
∴＝，解得x＝.
(3)令t＝5x，则t>0，
原方程可化为t2－6t＋5＝0，
解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，
∴x＝1或x＝0.
类型二　指数函数单调性的应用
命题角度1　比较大小
例2　比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；
(3)1.70.3,0.83.1.
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
解　(1)∵1.7＞1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.
(2)方法一　∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图像位于y＝1.5x的图像的上方．
而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.
方法二　∵1.70.3>0,1.50.3＞0，且＝0.3，
又＞1,0.3＞0，∴0.3＞1，
∴1.70.3＞1.50.3.
(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，
∴1.70.3＞0.83.1.
反思与感悟　当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.
跟踪训练2　比较下列各题中的两个值的大小．
(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)－π，1.
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
解　(1)∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1<1.250.2.
(2)∵0<<1，∴函数y＝x在R上是减函数．
又∵－π<0，∴－π＞0＝1，
即－π＞1.
命题角度2　解指数不等式
例3　解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
解　(1)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
反思与感悟　解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
跟踪训练3　已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
答案　
解析　∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x?x>1－x?x>.
∴x∈.
命题角度3　与指数函数复合的函数单调性问题
例4　(1)求函数的单调区间；
(2)求函数y＝2x－8·x＋17的单调区间．
考点　指数函数的单调性
题点　指数型复合函数的单调区间
解　(1)的定义域为R.
在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减少的，
∴在(－∞，3]上是增加的．
在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增加的，
∴在[3，＋∞)上是减少的．
∴的增区间是(－∞，3]，
减区间是[3，＋∞)．
(2)设t＝x(t>0)，
又y＝t2－8t＋17在(0,4]上是减少的，
在[4，＋∞)上是增加的．
令x≤4，得x≥－2.
∴当－2≤x1即4≥t1>t2，∴t－8t1＋17∴y＝2x－8·x＋17的增区间是[－2，＋∞)，同理可得减区间是(－∞，－2]．
反思与感悟　复合函数单调性问题归根结底是由x1跟踪训练4　求下列函数的单调区间．
(2)y＝.
考点　指数函数的单调性
题点　指数型复合函数的单调区间
解　(1)设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．
当a>1时，y关于u为增函数；
当0∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当0(2)已知函数的定义域为{x|x≠0}．
设y＝，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数．
而根据y＝的图像可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的减函数，∴原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
1．若则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．aC．a考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
答案　B
解析　∵y＝0.5x在R上是减函数，且＞＞，
2．方程42x－1＝16的解是(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝1 D．x＝2
考点　指数方程的解法
题点　指数方程的解法
答案　B
解析　42x－1＝42，∴2x－1＝2，x＝.
3．函数的递增区间为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
考点　指数函数的单调性
题点　指数型复合函数的单调区间
答案　A
解析　∵0<<1，∴f(x)的递增区间为u(x)＝x2－1的递减区间，即(－∞，0]．
4．设0考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
答案　(1，＋∞)
解析　∵0又∵
∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x＞1.
5．若指数函数y＝ax 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.
考点　指数函数的单调性
题点　指数型复合函数的单调区间
答案　
解析　若0解得a＝或a＝(舍去)．
若a>1，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，
解得a＝或a＝(舍去)．
综上所述a＝.
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图像求解．
3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相同．
当0(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.
一、选择题
1．设x<0，且1A．0C．1考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
答案　B
解析　∵1当x＝－1时，<，即b>a，∴02．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的关系为(　　)
A．m＋n<0 B．m＋n>0
C．m>n D．m考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
答案　D
解析　∵0<<1，
∴f(x)＝ax＝x在R上是减少的，
又∵f(m)>f(n)，∴m3．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
考点　指数函数的单调性
题点　指数型复合函数的单调区间
答案　B
解析　由f(1)＝，得a2＝，
所以a＝(a＝－舍去)，
即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的，所以f(x)在(－∞，2]上是增加的，在[2，＋∞)上是减少的．故选B.
4．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
答案　D
解析　40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，
根据y＝2x在R上是增函数，
得21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2，故选D.
5．若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有(　　)
A．f(2)C．f(2)考点　
题点　
答案　B
解析　由f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，
又f(x)－g(x)＝ex，①
得f(－x)－g(－x)＝e－x，
即f(x)＋g(x)＝－e－x，②
由①＋②，①－②分别得
f(x)＝，g(x)＝－，
易得g(0)＝－1，
又因为f(x)是R上的增函数，且f(0)＝0，
所以06．设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是(　　)
A．3c≤3b B．3c>3b
C．3c＋3a>2 D．3c＋3a<2
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的应用
答案　D
解析　f(x)＝|3x－1|的图像如图．
由cf(a)>f(b)可知c，b，a不在同一个单调区间上．
故有c<0，a>0.
∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.
∴f(c)>f(a)，即1－3c>3a－1,3c＋3a<2.
二、填空题
7．已知0.2x<25，则x的取值范围为________．
考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
答案　(－2，＋∞)
解析　原不等式即5－x<52，∴－x<2，x＞－2.
8．若－1考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
答案　3a>a3>a
解析　因为3a>0，a<0，a3<0，且由－1即－a3<－a，所以a3>a，因此3a>a3>a.
9．函数f(x)＝的递减区间是________．
考点　指数函数的单调性
题点　指数型复合函数的单调区间
答案　(2，＋∞)
解析　函数由f(t)＝t，t(x)＝x2－4x－5复合而成，其中f(t)＝t是减函数，t(x)＝x2－4x－5在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为(2，＋∞)．
10．若4x＋2x＋1＋m>1对一切实数x成立，则实数m的取值范围为__________．
考点　指数函数性质的综合应用
题点　与指数函数有关的恒成立问题
答案　[1，＋∞)
解析　4x＋2x＋1＋m>1等价于(2x)2＋2·2x＋1>2－m，即(2x＋1)2>2－m.∵2x∈(0，＋∞)，
∴2x＋1∈(1，＋∞)，∴2－m≤1，解得m≥1.
三、解答题
11．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)>0；
(2)当a＝，x∈[0,2]时，求f(x)的值域．
考点　指数不等式
题点　指数不等式的解法
解　(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
f(x)>0，即2·(2x)2－2x－1>0，
解得2x>1或2x<－(舍去)，∴x>0，
∴不等式f(x)>0的解集为(0，＋∞)．
(2)当a＝时，f(x)＝4x－2x－1，x∈[0,2]．
设t＝2x.∵x∈[0,2]，∴t∈[1,4]．
∴y＝g(t)＝t2－t－1 (1≤t≤4)．
画出g(t)＝t2－t－1 (1≤t≤4)的图像(如图)，
可知g(t)min＝g(1)＝－1，g(t)max＝g(4)＝11，
∴f(x)的值域为[－1,11]．
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，求不等式f(x)<－的解集．
考点　指数函数性质的综合应用
题点　指数函数性质的综合应用
解　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
由2x－1<－，2x<2－1，得x<－1.
当x>0时，由1－2－x<－，x>，得x∈?.
综上可知x∈(－∞，－1)．
13．已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)当x∈(1，＋∞)时，求函数f(x)的值域．
考点　指数函数性质的综合应用
题点　指数函数性质的综合应用
解　(1)函数f(x)为奇函数，证明如下：
函数f(x)＝的定义域为R，
又∵f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)令2x＝t，则g(t)＝＝－1＋.
∵x∈(1，＋∞)，∴t>2，∴t＋1>3，
∴0<<，∴－1<－1＋<－.
故函数f(x)的值域为.
四、探究与拓展
14．设f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且当x>2时，f(x)是增函数，则a＝f(1.10.9)，b＝f(0.91.1)，c＝f(2)的大小关系是________________．(按由大到小排列)
考点　
题点　
答案　b>a>c
解析　∵f(x)＝f(4－x)，∴f(x)关于x＝2对称．
又∵f(x)在(2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，2)上是减函数．
又∵1.10.9>1,0<0.91.1<1，∴0.91.1<1.10.9<2，
∴f(0.91.1)>f(1.10.9)>f(2)，即b>a>c.
15．已知f(x)＝a－.
(1)求证：不论a为何实数，f(x)总是增函数；
(2)确定a的值，使f(x)为奇函数；
(3)当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域．
考点　
题点　
(1)证明　由题意知f(x)的定义域为R，设x1则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝，
因为x1所以2－2<0，(1＋2)(1＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以不论a为何实数，f(x)总是增函数．
(2)解　因为f(x)为奇函数，且函数定义域为R，
所以f(0)＝0，解得a＝，
所以f(x)＝－.
(3)解　由(2)知f(x)＝－，
因为2x＋1>1，所以0<<1，
所以－1<－<0，所以－所以f(x)的值域为.
§4　对　数
第1课时　对　数
学习目标　1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．
知识点一　对数的概念
思考　解指数方程：3x＝.可化为，所以x＝.那么你会解3x＝2吗？
答案　不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．
梳理　(1)对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数log10N简记作lg_N．以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记作ln N.
知识点二　对数与指数的关系
思考　loga1(a>0，且a≠1)等于多少？
答案　设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.
梳理　一般地，对数与指数的关系如下：
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝x.
对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
对数的性质：
(1)1的对数为零．
(2)底的对数为1.
(3)零和负数没有对数．
1．若3x＝2，则x＝log32.(　√　)
2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.(　√　)
3．logaN>0(a>0且a≠1，N>0)．(　×　)
4．若ln N＝，则N＝e.(　×　)
类型一　对数的概念
例1　在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(　　)
A．b<2或b>5 B．2C．4考点　对数的概念
题点　对数的概念
答案　D
解析　∵∴2反思与感悟　由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.
跟踪训练1　求f(x)＝logx的定义域．
考点　对数的概念
题点　对数的概念
解　要使函数式有意义，需
解得0∴f(x)＝logx的定义域为(0,1)．
类型二　应用对数的基本性质求值
例2　求下列各式中x的值．
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1.
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
解　(1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
反思与感悟　本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
跟踪训练2　若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
答案　A
解析　∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1，
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
类型三　对数式与指数式的互化
命题角度1　指数式化为对数式
例3　将下列指数式写成对数式．
(1)54＝625；(2)2－6＝；(3)3a＝27；(4)m＝5.73.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
解　(1)log5625＝4；(2)log2＝－6；
(3)log327＝a；(4).
反思与感悟　指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
跟踪训练3　(1)如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有(　　)
A．log2a＝b B．log2b＝a
C．logba＝2 D．logb2＝a
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　C
解析　logba＝2，故选C.
(2)将3－2＝，6＝化为对数式．
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
解　3－2＝可化为log3＝－2；
6＝可化为
(3)解方程：m＝5.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
解　
命题角度2　对数式化为指数式
例4　求下列各式中x的值．
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；
(4)－ln e2＝x；(5)log＝x.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
解　(1)
(2)因为x6＝8，所以
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.
(5)因为log＝x，
所以(－1)x＝＝＝＝－1，
所以x＝1.
反思与感悟　要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
跟踪训练4　计算：(1)log927；
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
解　(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.
(2)设则x＝81,∴x＝16.
(3)令则x＝625,∴x＝3.
1．logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是(　　)
A．ab＝N B．ba＝N
C．aN＝b D．bN＝a
考点　对数的概念
题点　对数的概念
答案　B
2．若logax＝1，则(　　)
A．x＝1 B．a＝1
C．x＝a D．x＝10
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
答案　C
3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．与log8＝－
C．log39＝2与
D．log77＝1与71＝7
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　C
4．若logx＝z，则(　　)
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　B
解析　由logx＝z，得xz＝，
∴7＝(xz)7，即y＝x7z.
5．log6[log4(log381)]＝________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　0
解析　log6[log4(log334)]＝log6(log44)＝log61＝0.
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
一、选择题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫作常用对数；
④以e为底的对数叫作自然对数．
其中说法正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　对数的概念
题点　对数的概念
答案　C
解析　①、③、④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
2．已知b＝log(a－2)(5－a)，则实数a的取值范围为(　　)
A．a>5或a<2
B．2C．2D．3考点　对数的概念
题点　对数的概念
答案　C
解析　由得23．方程＝的解是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　A
解析　∵＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.
4．下列四个等式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.
其中正确的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
答案　C
解析　①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；
③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝ee.
5.－1＋log0.54的值为(　　)
A．6 B. C．0 D.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　C
解析　设log0.54＝x，则0.5x＝4，即2－x＝22，∴x＝－2.－1＋log0.54＝2－2＝0.
6．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(　　)
A．15 B．75 C．45 D．225
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化结论的应用
答案　C
解析　由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
二、填空题
7．已知f(log2x)＝x，则f＝________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　
解析　令log2x＝，则x＝2＝，
即f＝f(log2)＝.
8．81＝________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　8
解析　设log81＝t，则()t＝81,3＝34，＝4，t＝8.
9．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x＝________.
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
答案　
解析　∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴23＝x.
∴x＝(23)＝＝＝.
10．已知a＝log32，那么log38－2log36的结果用a表示是________．
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
答案　a－2
解析　log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝a－2.
11．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化结论的应用
答案　
解析　∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，
∴3a－b＝＝.
12．若logπ[log3(ln x)]＝0，则x＝________.
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
答案　e3
解析　∵logπ[log3(ln x)]＝0，∴log3(ln x)＝1，
∴ln x＝3，∴x＝e3.
三、解答题
13．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式．
①log68；②log62；③log26.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
解　(1)①因为log2x＝－，所以x＝2＝.
②因为logx3＝－，所以x＝3，
所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8，得6a＝23，即6＝2，所以log62＝.
③由6＝2，得2＝6，所以log26＝.
四、探究与拓展
14．已知x＝log23，求＝________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式化为指数式
答案　
解析　由x＝log23，得2x＝3，∴2－x＝＝，
∴23x＝(2x)3＝33＝27,2－3x＝＝，
∴＝＝＝＝.
15．设M＝{0,1}，N＝{lg a,2a，a,11－a}，是否存在实数a，使M∩N＝{1}?
考点　对数的概念
题点　对数的基本性质
解　不存在实数a，使M∩N＝{1}成立．
若lg a＝1，则a＝10，此时11－a＝1，从而11－a＝lg a＝1，与集合元素的互异性矛盾；
若2a＝1，则a＝0，此时lg a无意义；
若a＝1，此时lg a＝0，
从而M∩N＝{0,1}，与条件不符；
若11－a＝1，则a＝10，从而lg a＝1，与集合元素的互异性矛盾．故不存在实数a，使M∩N＝{1}成立．
第2课时　对数的运算
学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识点一　对数运算性质
思考　有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？
答案　有．例如，设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n，∴loga(MN)＝m＋n＝logaM＋logaN.得到的结论loga(MN)＝logaM＋logaN可以当公式直接进行对数运算．
梳理　如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(3)loga＝logaM－logaN.
知识点二　换底公式
思考1　观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e为底)，可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？
答案　设法换为同底．
思考2　假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，再化为对数式可得到什么结论？
答案　把3x＝5化为对数式为log35＝x，
又因为x＝，所以得出log35＝的结论．
梳理　对数换底公式为
logbN＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)．
特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
1．log2x2＝2log2x.(　×　)
2．loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．(　×　)
3．logaM·logaN＝loga(M＋N)．(　×　)
4．logx2＝.(　√　)
类型一　具体数字的化简求值
例1　计算：(1)log345－log35；
(2)log2(23×45)；
(3)；
(4)log29·log38.
考点　对数的运算
题点　具体数化简求解对数值
解　(1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2log33＝2.
(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)＝13log22＝13.
(3)原式＝
(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)
＝2log23·3log32＝6·log23·＝6.
反思与感悟　具体数的化简求值主要遵循2个原则：
(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．
(2)不同底化为同底．
跟踪训练1　计算：(1)2log63＋log64；
(3)log43·log98；
考点　对数的运算
题点　具体数化简求解对数值
解　(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.
(2)原式＝＝lg 102÷10－1＝2×10＝20.
(3)原式＝·＝·＝.
(4)原式＝
＝2＋－＝.
类型二　代数式的化简
命题角度1　代数式恒等变形
例2　化简loga.
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
解　∵>0且x2>0，>0，
∴y>0，z>0.
loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga
＝2loga|x|＋logay－logaz.
反思与感悟　使用公式要注意成立条件，如lg x2不一定等于2 lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.
跟踪训练2　已知y>0，化简loga.
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
解　∵>0，y>0，∴x>0，z>0.
∴loga＝loga－loga(yz)＝logax－logay－logaz.
命题角度2　用代数式表示对数
例3　已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
考点　对数的运算
题点　用代数式表示对数
解　方法一　∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b，
于是log3645＝＝＝
＝＝.
方法二　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝
＝＝.
方法三　∵log189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
∴log3645＝＝＝
＝＝.
反思与感悟　此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．
跟踪训练3　已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
考点　对数的运算
题点　用代数式表示对数
解　∵log23＝a，则＝log32，
又∵log37＝b，
∴log4256＝＝＝.

1．下列各等式正确的是(　　)
A．log23·log25＝log2(3×5)
B．lg 3＋lg 4＝lg(3＋4)
C．log2＝log2x－log2y
D．lg ＝lg m(m>0)
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
答案　D
解析　A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义．
2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
答案　B
解析　由logab·logcb＝·≠logca，故A错；由logab·logca＝·＝＝logcb.C，D显然错误．故选B.
3．设lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　对数的运算
题点　用代数式表示对数
答案　C
解析　log512＝＝＝＝.
4．lg 0.01＋log216的值是________．
考点　对数的运算
题点　具体数化简求解对数值
答案　2
解析　lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2.
5．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值是________．
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
答案　2
解析　由已知得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，
所以2＝(lg a－lg b)2
＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝4－2＝2.
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N).
一、选择题
1．下列各式(各式均有意义)不正确的个数为(　　)
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga(M－N)＝；③a＝；④(am)n＝；⑤＝－nlogab.
A．2 B．3
C．4 D．5
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
答案　B
解析　①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确．
2.＋等于(　　)
A．lg 3 B．－lg 3
C. D．－
考点　对数的运算
题点　具体数化简求解对数值
答案　C
解析　原式＝log＋log＝log＋log
＝log＋log＝log
＝log＝＝＝.
3．化简等于(　　)
A．log54 B．3log52
C．2 D．3
考点　对数的运算
题点　换底公式的应用
答案　D
解析　＝log28＝log2(23)＝3.
4．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示lg 15为(　　)
A．b－a＋1 B．b(a－1)
C．b－a－1 D．b(1－a)
考点　对数的运算
题点　用代数式表示对数
答案　A
解析　lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5
＝lg 3＋lg ＝lg 3＋1－lg 2＝b－a＋1.
5．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A．9 B.
C．25 D.
考点　对数的运算
题点　换底公式的应用
答案　D
解析　由换底公式，得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
6．计算(log32＋log23)2－－的值是(　　)
A．log26 B．log36
C．2 D．1
考点　对数的运算
题点　换底公式的应用
答案　C
解析　原式＝(log32)2＋2log32·log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.
二、填空题
7．(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
考点　对数的运算
题点　具体数化简求解对数值
答案　
解析　原式＝
＝log23·＝.
8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.
考点　对数的运算
题点　具体数化简求解对数值
答案　1
解析　(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
9．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg 2＋lg x＋lg y，则＝________.
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
答案　2
解析　由已知条件得
即
整理得
∴x－2y＝0，∴＝2.
10．若3x＝4y＝36，则＋＝________.
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
答案　1
解析　3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得
xlog63＝ylog64＝2，
∴＝log63，＝log64，即＝log62，
故＋＝log63＋log62＝1.
11．若x·log32 016＝1，则2 016x＋2 016－x＝________.
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
答案　
解析　方法一　∵x·log32 016＝log32 016x＝1，
∴2 016x＝3，∴2 016－x＝.
∴2 016x＋2 016－x＝3＋＝.
方法二　由x·log32 016＝1，得x＝＝log2 0163，
∴2 016x＝＝3,2 016－x＝＝.
∴2 016x＋2 016－x＝3＋＝.
12．若f(x)＝a且f(lg a)＝，则a＝________.
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
答案　10或
解析　f(lg a)＝a＝＝，
∴alg a＝(10a)，两边取常用对数，
得(lg a)2＝(1＋lg a)，
∴2(lg a)2－lg a－1＝0，解得lg a＝1或lg a＝－，
则a＝10或a＝.
三、解答题
13．计算：
(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；
(2).
考点　对数的运算
题点　具体数化简求解对数值
解　(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1
＝2＋1＋9×－0
＝＋1＋＝.
(2)＝
＝＝
＝＝
＝＝1.
四、探究与拓展
14．若log83＝p，log35＝q，则lg 5可以表示为(　　)
A. B. C. D.
考点　对数的运算
题点　用代数式表示对数
答案　A
解析　∵log83＝＝＝＝p，①
log35＝＝q，②
联立①②两式得lg 5＝.
15．设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.
考点　对数的运算
题点　换底公式的应用
证明　∵a，b，c是直角三角形的三边长，c为斜边，
∴log(c＋b)a＋log(c－b)a＝＋
＝
＝
＝logaa2·log(c＋b)a·log(c－b)a
＝2log(c＋b)a·log(c－b)a，
即等式成立．
§5　对数函数
5．1　对数函数的概念
5．2　对数函数y＝log2x的图像和性质
学习目标　1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.4.了解反函数的概念及它们的图像特点．
知识点一　对数函数的概念
思考　已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？
答案　由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)．
梳理　一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．a叫作对数函数的底数．
特别地，称以10为底的对数函数y＝lg x为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数y＝ln x为自然对数函数．
知识点二　对数函数的图像与性质
思考　y＝logax化为指数式是x＝ay，你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？
答案　当a＞1时，若0＋∞)上为增函数．
当0梳理　类似地，我们可以借助指数函数图像和性质得到对数函数图像和性质：
a>1
0图像
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0，
0(4)当x>1时，y<0，
00
(5)是(0，＋∞)上的增函数
(5)是(0，＋∞)上的减函数
知识点三　反函数的概念
思考　如果把y＝2x视为A＝R→B＝(0，＋∞)的一个映射，那么y＝log2x是从哪个集合到哪个集合的映射？
答案　如图，y＝log2x是从B＝(0，＋∞)到A＝R的一个映射，相当于A中元素通过f：x→2x对应B中的元素2x，y＝log2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x.
梳理　一般地，像y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)这样的两个函数互为反函数．
(1)y＝ax的定义域R，就是y＝logax的值域，而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像关于直线y＝x对称．
(3)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同．
1．由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.(　√　)
2．y＝2log2x是对数函数．(　×　)
3．y＝ax与y＝logax的单调区间相同．(　×　)
4．由loga1＝0，可得y＝logax恒过定点(1,0)．(　√　)
类型一　对数函数的概念
例1　已知对数函数y＝f(x)过点(4,2)，求f及f(2lg 2)．
考点　对数函数的解析式
题点　对数函数的解析式
解　设y＝logax(a＞0，且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，因此f＝log2＝－1，f(2lg 2)＝log22lg 2＝lg 2.
反思与感悟　对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1　判断下列函数是不是对数函数？并说明理由．
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)；
(4)y＝log5x.
考点　对数函数的概念
题点　对数函数的概念
解　∵(1)中真数不是自变量x，
∴不是对数函数；
∵(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；
∵(3)中底数是自变量x，而非常数a，
∴不是对数函数．
(4)为对数函数．
类型二　对数函数的定义域的应用
例2　求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)．
考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
解　(1)由得－3∴函数的定义域是{x|－3(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
引申探究
1．若把例2(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定义域．
解　由得x>3.
∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x>3}．
2．求函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？
解　(x＋3)(x－3)>0，即或
解得x<－3或x>3.
∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}．
相比引申探究1，函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y＝loga[(x＋3)·(x－3)]，要使对数有意义，只需(x＋3)与(x－3)同号，而对于y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，要使对数有意义，必须(x－3)与(x＋3)同时大于0.
反思与感悟　求含对数式的函数定义域的关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．
跟踪训练2　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；
(3)y＝log(3x－1)(2x＋3)．
考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
解　(1)要使函数有意义，需
即即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需即
所以－1故所求函数的定义域为{x|－1(3)要使函数有意义，需
即所以x>且x≠，
故所求函数的定义域为∪.
类型三　对数函数单调性的应用
命题角度1　比较同底对数值的大小
例3　比较下列各组数中两个值的大小．
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
解　(1)考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是增函数，
又3.4<8.5，
于是log23.4(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，
又1.8<2.7，
于是 log0.31.8>log0.32.7.
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1<5.9，
于是loga5.1当0又5.1<5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1当0反思与感悟　比较两个同底数的对数大小，首先要根据底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22跟踪训练3　设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
答案　A
解析　∵a＝log3π＞1，b＝log23，则命题角度2　求y＝logaf?x?型的函数值域
例4　函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．
考点　对数函数的值域或最值
题点　求对数函数的值域或最值
答案　(0，＋∞)
解析　f(x)的定义域为R.
∵3x>0，∴3x＋1>1.
∵y＝log2x在(0，＋∞)上递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，
即f(x)的值域为(0，＋∞)．
反思与感悟　在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y＝logaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf(x)的取值范围．
跟踪训练4　函数y＝的值域为(　　)
A．(0,3) B．[0,3]
C．(－∞，3] D．[0，＋∞)
考点　对数函数的值域或最值
题点　求对数函数的值域或最值
答案　D
解析　∵当x<－1时，0<3x<3－1＝，
当x≥1时，log2x≥log21＝0，
∴函数的值域为∪[0，＋∞)＝[0，＋∞)．
类型四　对数函数的图像
命题角度1　画与对数函数有关的函数图像
例5　画出函数y＝lg|x－1|的图像．
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
解　(1)先画出函数y＝lg x的图像(如图)．
(2)再画出函数y＝lg|x|的图像(如图)．
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图像(如图)．
反思与感悟　现在画图像很少单纯描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
跟踪训练5　画出函数y＝|lg(x－1)|的图像．
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
解　(1)先画出函数y＝lg x的图像(如图)．
(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图像(如图)．
(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图像(如图)．
命题角度2　与对数函数有关的图像变换
例6　函数f(x)＝4＋loga(x－1)(a>0，a≠1)的图像过一个定点，则这个定点的坐标是__________．
考点　对数函数的图像
题点　对数函数的图像变换
答案　(2,4)
解析　因为函数y＝loga(x－1)的图像过定点(2,0)，所以函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图像过定点(2,4)．
反思与感悟　y＝f(x)y＝f(x＋a)，y＝f(x)y＝f(x)＋b.对具体函数(如对数函数)仍然适用．
跟踪训练6　已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是(　　)
A．a>1，c>1 B．a>1,0C．01 D．0考点　对数函数的图像
题点　对数函数的图像变换
答案　D
解析　由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知01．下列函数为对数函数的是(　　)
A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)
B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)
D．y＝2logax(a＞0且a≠1)
考点　对数函数的概念
题点　对数函数的概念
答案　C
2．函数y＝log2(x－2)的定义域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
答案　C
3．函数f(x)＝log0.2(2x＋1)的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]
考点　对数函数的值域或最值
题点　求对数函数的值域或最值
答案　B
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　)
A．log2x B.
C． D．2x－2
考点　函数的反函数
题点　求函数的反函数
答案　A
5．若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________．
考点　对数函数的图像
题点　对数函数的图像变换
答案　(1,3)
1．含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数．
判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式．如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数．
2．研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质．
3．研究与对数函数图像有关的问题，以对数函数图像为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分．
4．y＝ax与x＝logay的图像是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.
一、选择题
1．给出下列函数：
①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.
其中对数函数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点　对数函数的概念
题点　对数函数的概念
答案　A
解析　①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2．下列不等号连接错误的一组是(　　)
A．log0.52.2>log0.52.3 B．log34>log65
C．log34>log56 D．logπe>ln π
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
答案　D
解析　对A，根据y＝log0.5x为减函数易知正确．
对B，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．
对C，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．
对D，由π>e>1得，ln π>1>logπe可知错误．
3．下列函数的图像过点(2,2)，且是对数函数的是(　　)
A．y＝log2x＋1 B．y＝log2(x＋2)
C．y＝logx D．y＝logx
考点　对数函数的概念
题点　对数函数的概念
答案　C
解析　选项A，B不是对数函数，选项D，函数不过点(2,2)，只有C正确．
4．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图像过点(6,3)，则f(2)的值为(　　)
A．－2 B．2 C. D．－
考点　对数函数的解析式
题点　对数函数的解析式
答案　B
解析　代入(6,3)，3＝loga(6＋2)＝loga8，
即a3＝8，∴a＝2.
∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2.
5．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图像如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图像大致是(　　)
考点　对数函数的图像
题点　同一坐标系下的指数函数与对数函数图像
答案　D
解析　由f(x)图像可知0∴g(x)的图像应为D.
6．已知函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，那么(　　)
A．f(x)在(－∞，0)上是增函数
B．f(x)在(－∞，0)上是减函数
C．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
答案　C
解析　当x∈(－1,0)时，|x＋1|∈(0,1)，
∵loga|x＋1|>0，∴0画出f(x)的图像如图：
由图可知选C.
二、填空题
7．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图像经过点，则a＝________.
考点　函数的反函数
题点　反函数的图像与性质
答案　
解析　因为点在y＝f(x)的图像上，
所以点在y＝ax的图像上，则有＝a，
即a2＝2，又因为a>0，所以a＝.
8．若函数f(x)＝则f(f(2))的值为______．
考点　
题点　
答案　lg 5
解析　∵f(2)＝－2，∴f[f(2)]＝f(－2)＝lg 5.
9.已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是____________．
考点　对数函数的定义域
题点　与对数函数有关的抽象函数的定义域
答案　{x|2解析　由题意知，f(x)>0，由所给图像可知f(x)>0的解集为{x|210．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a，b，c的大小关系是______________．
考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
答案　a>c>b
解析　因为π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝logπ<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0c>b.
11．已知f(x)＝的值域为R，那么实数a的取值范围是____________．
考点　对数函数的值域或最值
题点　由对数函数的值域或最值求参数问题
答案　
解析　要使函数f(x)的值域为R，则必须满足即
所以－≤a<.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
考点　对数函数的值域或最值
题点　由对数函数的值域或最值求参数问题
解　(1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当0综上，当a>1时，x的取值范围是(0,1)；当013．根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题：
(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最值．
考点　对数函数的值域或最值
题点　由对数函数的值域或最值求参数问题
解　函数f(x)＝log2x的图像如图．
(1)∵f(x)＝log2x为增函数，又f(a)>f(2)，
∴log2a>log22.
∴a>2.即a的取值范围是(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27.
∴log23≤log2(2x－1)≤3log23.
∴函数f(x)＝log2(2x－1)在[2,14]上的最小值为log23，最大值为3log23.
四、探究与拓展
14．已知loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围是________．
考点　对数函数的值域或最值
题点　由对数函数的值域或最值求参数问题
答案　
解析　∵loga(3a－1)>0＝loga1.
当a>1时，y＝logax是增函数，
∴解得a>，∴a>1；
当0∴解得综上所述，a的取值范围是.
15．已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2×log2的最大值与最小值．
考点　对数函数的值域或最值
题点　求对数函数的值域或最值
解　∵f(x)＝log2×log2
＝(log2x－2)(log2x－1)
＝2－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝＝2时，f(x)有最小值－；
当log2x＝0时，f(x)有最大值2，此时x＝1.
∴函数f(x)的最大值是2，最小值是－.
5．3　对数函数的图像和性质
学习目标　1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式．
知识点一　y＝logaf(x)型函数的单调区间
思考　我们知道y＝2f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，那么y＝log2f(x)的单调区间与y＝f(x)的单调区间相同吗？
答案　y＝log2f(x)与y＝f(x)的单调区间不一定相同，因为y＝log2f(x)的定义域与y＝f(x)的定义域不一定相同．
梳理　一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：①先求g(x)＞0的解集(也就是函数的定义域)；②当底数a大于1时， g(x)＞0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)＞0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间；③当底数a大于0且小于1时，g(x)＞0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反．
知识点二　对数不等式的解法
思考　log2x答案　不等价．log2x∴log2x梳理　一般地，对数不等式的常见类型：
当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)?
当0知识点三　不同底的对数函数图像的相对位置
思考　y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？
答案　可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数．
梳理　一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数01．y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(　×　)
2．在(0，＋∞)上为增函数．(　×　)
3．ln x<1的解集为(－∞，e)．(　×　)
4．y＝ax与x＝logay的图像相同．(　√　)
类型一　对数型复合函数的单调性
命题角度1　求单调区间
例1　求函数的值域和单调区间．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
解　设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.
∵为减函数，且0即函数的值域为[－1，＋∞)．
又函数的定义域为－x2＋2x＋1>0，由二次函数的图像知1－∴t＝－x2＋2x＋1在(1－，1)上是增加的，而在(1,1＋)上是减少的，而为减函数．
∴函数的增区间为(1,1＋)，减区间为(1－，1)．
反思与感悟　求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．
(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”．
跟踪训练1　已知函数
(1)求函数f(x)的值域；
(2)求f(x)的单调性．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
解　(1)由题意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，
由二次函数的图像知0当0∴
∴函数的值域为[0，＋∞)．
(2)设u＝－x2＋2x(0∵函数u＝－x2＋2x在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，是减函数，
∴由复合函数的单调性得到函数在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数．
命题角度2　已知复合函数单调性求参数范围
例2　已知函数在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围．
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
解　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是减函数，∵0<<1，∴是减函数，而已知复合函数在区间(－∞，)上是增函数，
∴只要g(x)在(－∞，)上是减少的，且g(x)>0在x∈(－∞，)恒成立，即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2(＋1)]．
反思与感悟　若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0跟踪训练2　若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,3)
C．(1,3] D．[3，＋∞)
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案　B
解析　函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1类型二　对数型复合函数的奇偶性
例3　判断函数f(x)＝ln 的奇偶性．
考点　对数型函数的奇偶性
题点　对数型函数的奇偶性
解　由>0可得－2所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称．
方法一　f(－x)＝ln ＝ln－1＝－ln ＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln 是奇函数．
方法二　f(x)＋f(－x)＝ln ＋ln 
＝ln＝ln 1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln 是奇函数．
引申探究
若已知f(x)＝ln为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？
解　由>0得－b∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，即a＝b.
当a＝b时，f(x)＝ln，
f(－x)＋f(x)＝ln＋ln
＝ln＝ln 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴此时f(x)为奇函数．
故f(x)为奇函数时，a＝b.
反思与感悟　(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单．
跟踪训练3　已知函数y＝lg是奇函数，求实数a的值．
考点　对数型函数的奇偶性
题点　对数型函数的奇偶性
解　由函数y＝lg是奇函数，得
lg＝－lg＝lg ，
即－a＝，
化简得4－4a＋a2(1－x2)＝1－x2，
所以解得a＝1.
类型三　对数不等式
例4　已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1)，解关于x的不等式：loga(1－ax)＞f(1)．
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
解　∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a)．
∴1－a＞0，∴0∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a)．
∴即∴0∴不等式的解集为(0,1)．
反思与感悟　对数不等式解法要点：
(1)化为同底logaf(x)＞logag(x)．
(2)根据a＞1或0(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.
跟踪训练4　已知A＝{x|log2x<2}，B＝，则A∩B等于(　　)
A. B．(0，)
C. D．(－1，)
考点　对数不等式
题点　与对数不等式有关的集合的运算
答案　A
解析　log2x<2，即log2x∴A＝(0,4)．
<3x<，即
∴－11.如图所示，曲线是对数函数f(x)＝logax的图像，已知a取，，，，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
考点　对数函数的图像
题点　对数函数图像的应用
答案　A
2．如果那么(　　)
A．yC．1考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　D
3．函数y＝|lg(x＋1)|的图像是(　　)
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
答案　A
解析　y＝|lg(x＋1)|的图像可由函数y＝|lg x|的图像向左平移一个单位得到．
4．已知函数f(x)＝ln (a≠2)为奇函数，则实数a＝________.
考点　对数型函数的奇偶性
题点　对数型函数的奇偶性
答案　－2
解析　∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＋f(－x)＝ln ＋ln 
＝ln ＝ln ＝0.
∴＝1，即1－a2x2＝1－4x2对定义域内任意x恒成立，∴a2＝4.
又a≠2，∴a＝－2.
5．函数f(x)＝ln x2的减区间为____________．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　(－∞，0)
1．判断函数奇偶性的三个步骤
(1)一看：定义域是否关于原点对称．
(2)二找：若函数的定义域关于原点对称，再确定是否满足恒等式f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0，或者f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0.
(3)三判断：判断是奇函数还是偶函数．
2．判断函数是否具有单调性的方法步骤
(1)对于由基本初等函数通过运算构成的函数或复杂函数，先利用换元法将函数分解为基本初等函数，利用“同增异减”的规律判断单调性．
(2)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．
特别提醒：在解决函数的单调性和奇偶性问题时，首先要确定其定义域.
一、选择题
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C. D.
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　A
解析　要使函数有意义，需满足
∴　∴x≥1，
∴函数y＝的定义域为[1，＋∞)．
2．函数y＝ax与y＝－logax(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图像只可能是(　　)
考点　对数函数的图像
题点　同一坐标系下的指数函数与对数函数的图像
答案　A
解析　当a>1时，指数函数y＝ax为增函数，而对数函数y＝－logax＝logx为减函数．故选A.
3．已知loga<1，那么a的取值范围是(　　)
A．0
C.1
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　D
解析　当a>1时，由loga，故a>1；当01.
4．若函数y＝loga|x－2|(a>0，且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f(x)在区间(2，＋∞)上是(　　)
A．先增加后减少 B．先减少后增加
C．增函数 D．减函数
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　D
解析　当15．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)
A．0C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1
考点　对数函数的值域或最值
题点　由对数函数的值域或最值求参数范围
答案　C
解析　令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图像一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
6．已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1,2) D．[2，＋∞)
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案　C
解析　由已知可得a>1，当x∈[0,1]时，2－ax>0恒成立，∴a<2，∴1二、填空题
7．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　∪(1，＋∞)
解析　loga<1＝logaa.当a>1时，恒成立；当08．函数y＝log2(x2－1)的增区间为________．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　(1，＋∞)
解析　由x2－1>0解得定义域为{x|x<－1或x>1}，
又y＝log2x在定义域上是增加的，
y＝x2－1在(1，＋∞)上是增加的，
∴函数的增区间为(1，＋∞)．
9．不等式log(4x＋2x＋1)＞0的解集为______________________．
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　(－∞，log2(－1))
解析　由log(4x＋2x＋1)＞0，得4x＋2x＋1<1，
即(2x)2＋2·2x<1，配方得(2x＋1)2<2，
因为2x＋1>0，
所以2x<－1，两边取以2为底的对数，
得x10．已知函数y＝loga(x＋3)－(a>0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则b＝________.
考点　
题点　
答案　－1
解析　函数y＝loga(x＋3)－的图像恒过定点，又由3－2＋b＝－，得b＝－1.
11．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，则不等式0考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　
解析　不等式0即0由得－1由0因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，
解得－由得－三、解答题
12．已知f(x)＝log(x2－ax－a)．
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域；
(2)若f(x)在上为增函数，求实数a的取值范围．
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝log(x2＋x＋1)，
∵x2＋x＋1＝2＋≥，
∴log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，
∴f(x)的值域为(－∞，2－log23]．
y＝x2＋x＋1在上是减少的，在上是增加的，y＝logx在(0，＋∞)上是减少的，
∴f(x)的增区间为，
减区间为[－，＋∞)．
(2)令u＝x2－ax－a＝2－－a，
∵f(x)在上为增函数，
又y＝logu为减函数，
∴u在上为减函数，
且u＞0在上恒成立．

因此即
解得－1≤a≤.
故实数a的取值范围是.
13．设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,3]时，求f(x)的最大值．
考点　
题点　
解　(1)由得
∴　即
∴a＝4，b＝2.
(2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，
设t＝2x，∵x∈[1,3]，∴t∈[2,8]．
令u＝4x－2x＝t2－t＝2－，
∴当t＝8，即x＝3时，umax＝56.
故f(x)的最大值为log256.
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　当a>1时，y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上是增函数，
∴f(x)max＝a＋loga2，f(x)min＝a0＋loga1＝1，
∴a＋loga2＋1＝a，∴loga2＝－1，a＝(舍去)；
当0y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上是减函数，
∴f(x)max＝a0＋loga(0＋1)＝1，f(x)min＝a＋loga2，
∴a＋loga2＋1＝a，∴a＝.
综上所述，a＝.
15．如图所示，过函数f(x)＝logcx(c>1)的图像上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M(a,0)，N(b,0)(b>a>1)，线段BN与函数g(x)＝logmx(m>c>1)的图像交于点C，且AC与x轴平行．
(1)当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；
(2)当b＝a2时，求－的最小值；
(3)已知h(x)＝ax，φ(x)＝bx，若x1，x2为区间(a，b)内任意两个变量，且x1考点　对数函数的综合问题
题点　对数型函数各类问题的综合
(1)解　由题意得A(2，log32)，B(4，log34)，C(4，logm4)，
因为AC与x轴平行，所以logm4＝log32，所以m＝9.
(2)解　由题意得A(a，logca)，B(b，logcb)，C(b，logmb)，
因为AC与x轴平行，所以logmb＝logca，
因为b＝a2，所以m＝c2，
所以－＝－＝2－1，
所以当＝1时，－取得最小值－1.
(3)证明　因为a1，
所以logca又因为a>1，b>1，所以<，<，
又因为logcb·logca＝logca·logcb，
所以＝，
所以所以，
即h[f(x2)]<φ[f(x1)]．
§6　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学习目标　1.了解三种函数的增长特征.2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．
知识点一　同类函数增长特点
思考　同样是增函数，当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？
答案　23－22＝4,103－102＝900，即同样是x从2变到3，y＝2x与y＝10x的纵坐标分别增加了4和900.
梳理　当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，并且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快．
知识点二　指数函数、幂函数、对数函数的增长差异
思考　当x从1变到10，函数y＝2x，y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少？
答案　210－21＝1 024－2＝1 022,102－12＝99，lg 10－lg 1＝1，即同样是x从1变到10，y＝2x，y＝x2和y＝lg x 的纵坐标分别增加了1 022,99和1.
梳理　一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝ax(a>1)、幂函数y＝xn(n>0)与对数函数y＝logax(a>1)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝xn(n>0)的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax1，n>0)．
1．先有实际问题，后有模型．(　√　)
2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(　√　)
3．增长速度越来越快的一定是指数函数模型．(　×　)
4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>x2(a>1)．(　×　)

类型一　根据图像判断函数的增长速度
例1　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2 017)，g(2 017)的大小．
考点　
题点　
解　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
∴1x2.
从图像上可以看出，当x1∴f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2 017)>g(2 017)．
又g(2 017)>g(6)，∴f(2 017)>g(2 017)>g(6)>f(6)．
反思与感悟　判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时，函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化，图像越陡，增长越快．
跟踪训练1　函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．
考点　
题点　
解　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当0f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
类型二　函数增长模型的应用
例2　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
考点　
题点　
解　设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．
画出三个函数的图像，如图所示，
由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，但“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．
下面再看累计的回报数．列表如下：
天数
回报/元
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三．
反思与感悟　直线上升反映了一次函数(一次项系数大于0)的增长趋势，其增长速度不变(恒为常数)；指数爆炸反映了指数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度急剧(越来越快)；对数增长反映了对数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度平缓(越来越慢)．解题时，注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律．
跟踪训练2　某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
考点　
题点　
解　作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图)．
观察图像发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求.
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是(　　)
A．y＝3x B．y＝log3x
C．y＝x3 D．y＝3x
考点　
题点　
答案　D
解析　几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.
2．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是(　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
考点　
题点　
答案　B
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是(　　)
考点　
题点　
答案　D
解析　设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意得，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图像大致为D中图像．
4．当2A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x
考点　
题点　
答案　B
解析　方法一　在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2＞2x＞log2x.
方法二　比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.
5．某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q.
能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝____________.
考点　
题点　
答案　③　x2－8x＋17
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快.
一、选择题
1．下列函数中，增长速度最慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
考点　
题点　
答案　B
解析　对数函数增长的速度越来越慢，故选B.
2．下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是(　　)
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
考点　
题点　
答案　C
解析　在区间(0，＋∞)上，指数函数y＝ax(03．今年小王用7 200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低，则三年后这种笔记本的价格是(　　)
A．7 200×3 B．7 200×3
C．7 200×2 D．7 200×2
考点　
题点　
答案　B
解析　由于小王用7 200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7 200－7 200×＝7 200×，两年后，价格为7 200××＝7 200×2，三年后这种笔记本电脑的价格为7 200×3.
4．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)
A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
考点　
题点　
答案　A
解析　由题中图像可知，该函数模型为指数函数．
5．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到(　　)
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
考点　
题点　
答案　A
解析　由已知第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，
得y＝300.
6.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是(　　)
考点　
题点　
答案　B
解析　取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．
二、填空题
7．三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：
x
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________．
考点　
题点　
答案　y3　y2　y1
解析　根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化．
8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg，火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝2 000ln，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
考点　
题点　
答案　e6－1
解析　由题意得2 000ln＝12 000，
∴ln＝6，从而＝e6－1.
9．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax中最大的是________．
考点　
题点　
答案　ax
解析　由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知ax>xn>logax.
10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图像．有以下叙述：
①第4个月时，残留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确叙述的序号是________．
考点　
题点　
答案　①③
解析　根据题意，函数的图像经过点，
故函数为y＝t.易知①③正确．
三、解答题
11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1.
(1)求出v关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
考点　
题点　
解　(1)设v＝k·log3，
∵当Q＝900时，v＝1，
∴1＝k·log3，∴k＝，
∴v关于Q的函数解析式为v＝log3.
(2)令v＝1.5，则1.5＝log3，
∴Q＝2 700，
∴当一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位．
12．国庆黄金周及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天(t∈N＋)的部分数据如下表：
天数t(单位：天)
1
3
8
12
15
日经济收入Q(单位：万元)
218
248
288
284
260
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝－t2＋at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt，并求出该函数的解析式；
(2)利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天，并求出最高日经济收入．
考点　
题点　
解　(1)由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为单调函数，而Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以选取二次函数进行描述最恰当．
将(1,218)，(8,288)代入Q＝－t2＋at＋b，
可解得a＝19，b＝200.
所以Q＝－t2＋19t＋200(1≤t≤20，t∈N＋)．
(2)Q＝－t2＋19t＋200，因为1≤t≤20，t∈N＋，
所以t＝9或10时，Q取得最大值290万元．
四、探究与拓展
13．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12 W/m2，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
考点　
题点　
解　(1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为
L2＝10lg＝10lg 1＝0(分贝)；
耳语的强度水平为
L3＝10lg＝10lg 102＝20(分贝)；
恬静的无线电广播的强度水平为
L4＝10lg＝10lg 104＝40(分贝)．
(2)由题意知0≤L1<50，
即0≤10lg<50，
所以1≤<105，
即1×10－12≤I<1×10－7.
所以新建的安静小区的声音强度I的范围为[1×10－12,1×10－7)．
习题课　对数函数
学习目标　1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图像变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．
知识点一　对数概念及其运算
1．由指数式对数式互化可得恒等式：?＝N(a>0，且a≠1)．
2．对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即N>0.
(2)loga1＝0.
(3)logaa＝1.
3．运算公式
已知a>0，且a≠1，M，N>0.
(1)logaM＋logaN＝loga(MN)．
(2)logaM－logaN＝loga.
(3)＝logaM.
(4)logaM＝＝(c>0，且c≠1，M>0且M≠1)．
知识点二　对数函数及其图像、性质
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数．
(1)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；值域为R.
(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过点(1,0)．
(3)当a>1时，y＝logax是(0，＋∞)上的增函数．
当0(4)直线y＝1与函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像交点为(a,1)．
(5)y＝logax与y＝ax的图像关于y＝x对称．
y＝logax与的图像关于x轴对称．
1．y＝x与是相等函数．(　×　)
2．＝logab.(　×　)
3．若ax>b，则x>logab.(　×　)
4．y＝loga(x＋1)恒过定点(0,0)．(　√　)
类型一　对数式的化简与求值
例1　(1)计算：log(2－)；
(2)已知2lg＝lg x＋lg y，求log.
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
解　(1)方法一　(利用对数定义求值)
设log(2－)＝x，
则(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1，
∴x＝－1.
方法二　(利用对数的运算性质求解)
log(2－)＝log＝log(2＋)－1
＝－1.
(2)由已知得lg2＝lg xy，
∴2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴2－6＋1＝0.∴＝3±2.
∵∴＞1，∴＝3＋2，
∴log＝log(3＋2)
＝log＝－1.
反思与感悟　在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化．
跟踪训练1　(1)＝_____________________.
(2)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
答案　(1)－　(2)2
解析　(1)∵＝
＝1－lg 3，
lg＋lg 8－lg＝lg 3＋3lg 2－
＝(lg 3－1)＋3lg 2＝(lg 3＋2lg 2－1)，
lg 0.3×lg 1.2＝lg ×lg ＝(lg 3－1)(lg 12－1)
＝(lg 3－1)(lg 3＋2lg 2－1)，
∴原式＝－.
(2)∵f(ab)＝lg(ab)＝1.
∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2.
类型二　对数函数图像的应用
例2　已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，求abc的取值范围．
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
解　f(x)的图像如图：
设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，
不妨设a则直线y＝m与f(x)交点横坐标从左到右依次为a，b，c，
由图像易知0∴f(a)＝|ln a|＝－ln a，f(b)＝|ln b|＝ln b.
∴－ln a＝ln b，ln a＋ln b＝0，ln ab＝ln 1，∴ab＝1.
∴abc＝c∈(e，e2)．
反思与感悟　函数的图像直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图像解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．
跟踪训练2　已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
解　∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图像如图．
由图示，要使x∈时恒有|f(x)|≤1，
只需≤1，即－1≤loga≤1，
即logaa－1≤loga≤logaa，故当a＞1时，得a－1≤≤a，即a≥3；
当0综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)．
类型三　对数函数的综合应用
例3　已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图像上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图像上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
考点　对数函数的综合问题
题点　对数型函数各类问题的综合
解　(1)设P(x，y)为g(x)图像上任意一点，
则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图像上，
∴－y＝loga(－x＋1)，
即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
设F(x)＝loga＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可．
∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m≤0.即实数m的取值范围为(－∞，0]．
反思与感悟　指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、伸缩、对称、翻折等变换．
跟踪训练3　已知函数f(x)的定义域是(－1,1)，对于任意的x，y∈(－1,1)，有f(x)＋f(y)＝f，且当x<0时，f(x)＞0.
(1)验证函数g(x)＝ln，x∈(－1,1)是否满足上述这些条件；
(2)你发现这样的函数f(x)还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明．
考点　对数函数的综合问题
题点　对数型函数各类问题的综合
解　(1)因为g(x)＋g(y)＝ln＋ln
＝ln＝ln，
g＝ln＝ln，
所以g(x)＋g(y)＝g成立．
又当x<0时，1－x＞1＋x＞0，所以＞1，
所以g(x)＝ln＞0成立，
综上g(x)＝ln满足这些条件．
(2)发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是奇函数．
将x＝y＝0代入条件，得f(0)＋f(0)＝f(0)，
所以f(0)＝0.
将y＝－x代入条件得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0?f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是奇函数．
又发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是减函数．
因为f(x)－f(y)＝f(x)＋f(－y)＝f，
当－1即f(x)－f(y)＞0?f(x)＞f(y)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是减函数.
1．函数f(x)＝ln(x＋1)的定义域为(　　)
A．{x|x>0} B．{x|x≥0}
C．{x|x>－1} D．{x|x≥－1}
考点　
题点　
答案　C
解析　由x＋1>0，得x>－1，故定义域为{x|x>－1}．
2．当0A. B.
C．(1，) D．(，2)
考点　对数函数的图像
题点　指数、对数函数图像的应用
答案　B
解析　a>1时，当00即logaa2，
又a∈(0,1)，∴a∈.
3．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为(　　)
A．[－1,1] B. C．[1,2] D．[，4]
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　D
解析　∵－1≤x≤1，∴2－1≤2x≤2，即≤2x≤2.
∴y＝f(x)的定义域为，即≤log2x≤2，
∴≤x≤4.
4．若f(x3)＝lg x，则f(2)等于(　　)
A．lg 2 B．lg 8 C．lg  D.lg 2
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
答案　D
解析　令x3＝2，则得
5．已知(a>0)，则＝________.
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
答案　3
解析　设则a＝x，
又∴即
∴x＝2，解得x＝3.

1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．
2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．
3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambn＝·logab，logab＝在解题中的灵活应用．
4．在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N＋，且n为偶数)．
5．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
6．明确函数图像的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图像．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图像．
一、选择题
1．已知a＝log0.60.5，b＝ln 0.5，c＝0.60.5，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
答案　B
解析　∵y＝log0.6x在(0，＋∞)上为减函数．
∴log0.60.61.
同理，ln 0.50<0.60.5<0.60＝1，即0∴a>c>b.
2．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为(　　)
A. B．60 C. D.
考点　对数的运算
题点　用代数式表示对数
答案　B
解析　由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝，即logzm＝60.
3．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．先减后增
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调性
答案　A
解析　∵当a>1时，y＝logau，u＝(a－1)x＋1都是增函数．
当0∴f(x)在定义域上为增函数．
4．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是(　　)
考点　对数型函数的图像
题点　对数型函数的图像性质
答案　A
解析　由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数过(0,0)点，排除B，D.
5．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　D
解析　f(x)≤2等价于或
解得0≤x≤1或x>1.
∴x的取值范围是[0，＋∞)．
6．两个函数的图像经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：
f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，
则是“同形”函数的是(　　)
A．f2(x)与f4(x)
B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x)
D．f3(x)与f4(x)
考点　对数函数的图像
题点　对数函数的图像变换
答案　A
解析　因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)，沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图像，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数．f3(x)＝log2x2＝2log2|x|与f1(x)＝2log2(x＋1)不“同形”，故选A.
二、填空题
7．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.
考点　对数的运算
题点　具体数化简求解对数值
答案　2
解析　原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.
8．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
答案　
解析　由题意可知求b－a的最小值即求区间[a，b]的长度的最小值，当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或，所以区间[a，b]的最短长度为1－＝，
所以b－a的最小值为.
9．已知实数a，b满足loga＝logb，下列五个关系式：
①a>b>1；②0a>1；④0其中可能成立的关系式序号为________．
考点　对数函数的图像
题点　指数、对数函数的图像的应用
答案　②③⑤
解析　由图易知，
loga＝logb有且仅有3种情形：
010．若函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
考点　
题点　
答案　(1,2)
解析　根据题意有或
解得111．函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为________．
考点　
题点　
答案　－
解析　由题意得x>0，∴f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·log2(4x2)＝log2x·(log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x)2＝2－≥－.当且仅当x＝时，有f(x)min＝－.
三、解答题
12．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是减函数，若f(1)>f，求x的取值范围．
考点　对数函数的综合问题
题点　对数型函数各类问题的综合
解　因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是减函数，
所以f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，
所以不等式f(1)>f可化为
lg >1或lg <－1，
所以lg >lg 10或lg 所以>10或0<<，
所以010.
所以x的取值范围为∪(10，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图像上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
考点　对数函数的综合问题
题点　对数型函数各类问题的综合
解　(1)由ax－bx＞0，得x＞1，且a＞1＞b＞0，
得＞1，所以x＞0，
即f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)任取x1＞x2＞0，a＞1＞b＞0，
则a＞a＞1,0所以＞＞0，
即＞．
故f(x1)＞f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
假设函数y＝f(x)的图像上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．
故函数y＝f(x)的图像上不存在不同的两点使过这两点的直线平行于x轴．
(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)，这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
四、探究与拓展
14．已知0考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　(3,4)
解析　∵0∴<1＝a0等价于logb(x－3)>0＝logb1.
∵015．已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；
(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
(1)证明　任取x1则f(x1)－f(x2)＝log2(2＋1)－log2(2＋1)
＝log2，
因为x1所以log2<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(2)解　g(x)＝m＋f(x)，即g(x)－f(x)＝m.
设h(x)＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2＝log2.
设1≤x1则3≤2＋1<2＋1≤5，≥>≥，
－≤<≤－，
∴≤1－<1－≤，
∴log2≤h(x1)即h(x)在[1,2]上为增函数且值域为.
要使g(x)－f(x)＝m有解，需m∈.
滚动训练(五)
一、选择题
1．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)等于(　　)
A．{3} B．{4} C．{3,4} D．?
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　A
解析　∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}．
又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．
又?UB＝{3,4}，∴A∩(?UB)＝{3}．
2．已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)的图像过点，则函数f(x)的值域为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
考点　求幂函数的解析式
题点　求幂函数的解析式后再求值
答案　C
解析　∵f(x)＝xα(α是常数)的图像过点，
∴2α＝，则α＝－1，
故f(x)＝x－1，易知值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
3．函数f(x)＝x－1的定义域、值域分别是(　　)
A．定义域是R，值域是R
B．定义域是R，值域是(0，＋∞)
C．定义域是(0，＋∞)，值域是R
D．定义域是R，值域是(－1，＋∞)
考点　指数函数的定义域和值域
题点　指数函数的定义域和值域
答案　D
解析　显然函数f(x)的定义域为R，
因为x>0，故x－1>－1，
即y>－1，故选D.
4．若a<，则化简的结果是(　　)
A. B．－
C. D．－
考点　n次方根及根式概念
题点　根式的化简
答案　C
解析　∵a<，∴2a－1<0，
于是，原式＝＝.
5．log2.56.25＋lg ＋ln ＋2的值是(　　)
A. B. C. D.
考点　
题点　
答案　B
解析　原式＝2－3＋＋6＝.
6．比较1.5，23.1，2的大小关系是(　　)
A．23.1<2<1.5 B．1.5<23.1<2
C．1.5<2<23.1 D．2<1.5<23.1
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
答案　C
解析　∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，1.5<2，
∴1.5<2.
又∵指数函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数，
<3.1，
∴2<23.1，
∴1.5<2<23.1.
7．函数f(x)＝log2|2x－1|的图像大致是(　　)
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
答案　A
解析　当x>0时，函数f(x)单调递增，
当x<0时，f(x)<0，故选A.
8．已知函数g(x)＝f(x)－，其中log2f(x)＝2x，x∈R，则g(x)(　　)
A．既是奇函数又是减函数
B．既是偶函数又是增函数
C．既是奇函数又是增函数
D．既是偶函数又是减函数
考点　
题点　
答案　C
解析　由log2f(x)＝2x，得f(x)＝22x＝4x，
∴g(x)＝f(x)－＝4x－＝4x－4－x.
函数g(x)的定义域为R，关于原点对称，
且g(－x)＝4－x－4x＝－(4x－4－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，易知g(x)为增函数．
二、填空题
9．式子的值为________．
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
答案　
解析　∵log89＝＝log23，∴原式＝.
10．函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．
考点　对数函数的综合问题
题点　与奇偶性有关的对数函数综合问题
答案　－3
解析　∵>0，∴－3∴f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)＝－3.
11．设f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)>0，则实数a的取值范围为________．
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　
解析　因为f(1－a)>f(a)，f(x)＝lg x是增函数，
所以解得0即实数a的取值范围为.
12．已知函数f(x)对于任何x1，x2∈(0，＋∞)，恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，若f(8)＝3，则f()＝________.
考点　
题点　
答案　
解析　因为函数f(x)对于任何x1，x2∈(0，＋∞)，恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且f(8)＝3，所以f(8)＝6f()，即f()＝.
三、解答题
13．已知集合A＝{x|a－1(1)若a＝0，求A∩B；
(2)若A?B，求实数a的取值范围．
考点　集合各类问题的综合
题点　集合各类问题的综合
解　(1)若a＝0，则A＝{x|－1A∩B＝{x|0(2)由得1≤a≤2，
所以实数a的取值范围是1≤a≤2.
四、探究与拓展
14．f(x)＝a＋(a∈R)．
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；
(2)用定义法判断函数f(x)的单调性；
(3)若当x∈[－1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
考点　函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点　奇偶性、单调性及最值的综合问题
解　(1)若函数f(x)为奇函数，
∵x∈R，∴f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，
验证当a＝－1时，f(x)＝－1＋＝为奇函数，
∴a＝－1.
(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1∴2<2，2－2>0，又2＋1>0,2＋1>0，
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
(3)当x∈[－1,5]时，∵f(x)为减函数，
∴f(x)max＝f(－1)＝＋a，
若f(x)≤0恒成立，则满足f(x)max＝＋a≤0，
得a≤－，
∴a的取值范围为.
15．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
考点　对数函数的值域
题点　真数为二次函数的对数型函数的值域
解　(1)∵f(1)＝2，
∴loga(1＋1)＋loga(3－1)＝loga4＝2，
解得a＝2(a>0，且a≠1)，
由得x∈(－1,3)．
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]
＝log2，
∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数；
当x∈时，f(x)是减函数．
∴函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
滚动训练(四)
一、选择题
1．(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(　　)
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝?
考点　并集、交集的综合运算
题点　并集、交集的综合运算
答案　A
解析　∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．
又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．
故选A.
2．已知函数f：A→B(A，B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系是(　　)
A．M＝A，N＝B B．M?A，N＝B
C．M＝A，N?B D．M?A，N?B
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　C
解析　值域N应为集合B的子集，即N?B，而不一定有N＝B.
3．已知f＝2x＋3，则f(6)的值为(　　)
A．15 B．7 C．31 D．17
考点　对f(a)与f(x)的理解
题点　求函数值
答案　C
解析　令－1＝6，则x＝14，
则f(6)＝2×14＋3＝31.
4．已知二次函数图像的顶点坐标为(1,1)，且过(2,2)点，则该二次函数的解析式为(　　)
A．y＝x2－1 B．y＝－(x－1)2＋1
C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
答案　C
解析　设二次函数为y＝a(x－1)2＋1，将(2,2)代入上式，得a＝1.所以y＝(x－1)2＋1.
5．函数f(x)＝ax与g(x)＝ax－a的图像可能是下图中的(　　)
考点　
题点　
答案　D
解析　若01，则f(x)＝ax为增函数，g(x)＝ax－a为增函数且过点(0，－a)，图像D符合．
6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋x＋1
考点　函数的值域
题点　求函数的值域方法综合
答案　B
解析　A选项中，y的值可以取0；C选项中，y可以取负值；D选项中，x2＋x＋1＝2＋，故其值域为，只有B选项的值域是(0，＋∞)．故选B.
7．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　　)
A．2 B．－2 C．－2 D．2
考点　指数函数的概念
题点　根据指数函数的定义求参数的值
答案　D
解析　∵函数f(x)是指数函数，
∴a－3＝1，∴a＝8.
∴f(x)＝8x，f＝8＝＝2.
8．(2017·北京)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
考点　与指数函数相关的函数的奇偶性
题点　与指数函数相关的函数的奇偶性
答案　A
解析　∵函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
∵函数y＝x在R上是减函数，
∴函数y＝－x在R上是增函数．
又∵y＝3x在R上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－x在R上是增函数．
故选A.
二、填空题
9．方程3x－1＝的解为________．
考点　指数方程的解法
题点　指数方程的解法
答案　－1
解析　∵3x－1＝＝3－2，∴x－1＝－2，∴x＝－1.
10.若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
答案　[－1,0]
解析　依题意，≥0对x∈R恒成立，
即x2＋2ax－a≥0恒成立，
∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0.
11．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝________.
考点　求函数的解析式
题点　换元法求函数解析式
答案　2x－1
解析　∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1.
12．已知f(x)＝若f(1)＋f(a＋1)＝5，则a＝________.
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　－1
解析　f(1)＝1×(1＋4)＝5，
∵f(1)＋f(a＋1)＝5，∴f(a＋1)＝0.
当a＋1≥0，即a≥－1时，有(a＋1)(a＋5)＝0，
∴a＝－1或a＝－5(舍去)．
当a＋1<0，即a<－1时，有(a＋1)(a－3)＝0，无解．
综上可知a＝－1.
三、解答题
13．将下列各数从小到大排列起来：(用序号即可)
①，②，③3，④，⑤，
⑥0，⑦(－2)3，⑧.
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
解　(－2)3<0，＝∈(0,1)，＝∈(0,1)，＝<＝，
<＝，0＝1，＝＝>1，＝>1,3＝>1，
＝<<3.
综上，有(－2)3<<<<0<<<3，即⑦<④<②<⑧<⑥<①<⑤<③.
四、探究与拓展
14．给出下列4个条件：
①②③
④
其中能使函数y＝a为减函数的是________(把你认为正确的条件编号都填上)．
考点　
题点　
答案　①④
15．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
考点　
题点　
解　(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0，所以b＝1，所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)，知＝－，所以a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又因为f(x)是奇函数，
所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，
等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
因为f(x)为减函数，
由上式推得t2－2t>k－2t2，
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而判别式Δ＝4＋12k<0，所以k<－.
即实数k的取值范围为.
章末复习
学习目标　1.构建知识网络.2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆.
3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．
1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．
3．应用指数函数y＝ax和对数函数y＝logax的图像和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和04．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．
5．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．
6．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．
7．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．
1.＝a.(　×　)
2．y＝log2(2x)的图像可由y＝log2x的图像向上平移一个单位长度得到．(　√　)
3．y＝ax－1(a>0且a≠1)恒过定点(1,1)．(　√　)
4．y＝的增区间为(－∞，0]．(　×　)
类型一　指数、对数的运算
例1　化简：
考点　利用指数幂的性质化简求值
题点　根式与分数指数幂的四则混合运算
解　原式＝
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
解　原式＝
＝log39－9＝2－9＝－7.
反思与感悟　指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
跟踪训练1　计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
答案　111
解析　∵log32×log2(log327)＝log32×log23
＝×＝1，
∴原式＝＝21＋4×27＋1＝111.
类型二　数的大小比较
例2　比较下列各组数的大小．
(1)27,82；
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
解　∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y＝2x在R上递增知26<27，即82<27.
(2)log20.4，log30.4，log40.4；
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
解　∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.44又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
∴<<，
即log20.4考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
解　∵
log2∴
反思与感悟　数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．
跟踪训练2　比较下列各组数的大小．
(1)log0.22，log0.049；
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
解　∵log0.049＝＝
＝＝＝log0.23.
又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上递减，
∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.
(2)a1.2，a1.3；
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
解　∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数；当底数0而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2当0a1.3.
(3)30.4，0.43，log0.43.
考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
解　30.4>30＝1，
0<0.43<0.40＝1，
log0.43∴log0.43<0.43<30.4.
类型三　指数函数、对数函数、幂函数的综合应用
命题角度1　函数的性质及应用
例3　已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
考点　指数函数性质的综合应用
题点　指数函数的综合问题
解　(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x在R上都是增函数，所以函数f(x)在R上是增函数；
当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x在R上都是减函数，
所以函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.
①当a<0，b>0时，x>－，解得
②当a>0，b<0时，x<－，解得
反思与感悟　指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
考点　对数函数的定义域与值域
题点　求对数函数的定义域与值域
解　(1)要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]
＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]．
∵－3∵0由loga4＝－2，得a－2＝4，∴
命题角度2　函数的图像及应用
例4　如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1D．{x|－1考点　对数函数的图像
题点　同一坐标系下的对数函数与其他函数图像
答案　C
解析　借助函数的图像求解该不等式．
令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图像如图.
由　得
∴结合图像知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1反思与感悟　指数函数、对数函数、幂函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图像，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．
跟踪训练4　函数f(x)＝xln |x|的大致图像是(　　)
考点　对数型函数的图像
题点　对数型函数的图像性质
答案　A
解析　显然函数f(x)＝xln |x|为奇函数，C，D错，当01．化简为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
考点　对数的运算
题点　具体数化简求解对数值
答案　B
解析　＝
＝＝2.
2．为了得到函数g(x)＝log2(－2x＋2)的图像，只需把函数f(x)＝log2(－2x)图像上所有的点(　　)
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度
考点　
题点　
答案　D
解析　函数f(x)＝log2(－2x)的图像向右平移一个单位长度得函数g(x)＝log2[－2(x－1)]＝log2(－2x＋2)的图像．
3．函数f(x)＝x与函数在区间(－∞,0)上的单调性为(　　)
A．都是增函数
B．都是减函数
C．f(x)是增函数，g(x)是减函数
D．f(x)是减函数，g(x)是增函数
考点　指数函数与对数函数的关系
题点　指数函数与对数函数的关系
答案　D
解析　f(x)＝x在x∈(－∞，0)上为减函数，为偶函数，x∈(0，＋∞)时为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．
4．已知Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是(　　)
A．PC．Q考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
答案　B
解析　由函数y＝x3在R上是增函数知，3<3，由函数y＝2x在R上是增函数知，
所以P＞R＞Q.
5．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　对数函数的图像
题点　指数、对数函数图像的应用
答案　B
解析　函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴的交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝的图像(图略)，易知有2个交点．
1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．
2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图像的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图像、性质等方面来考查.
一、选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0]∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
答案　B
解析　由得－1即x∈(－1,0)∪(0,2]．
2．已知x，y为正实数，则(　　)
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y
B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y
D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
答案　D
解析　2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)．故选D.
3．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)等于(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
考点　与对数函数有关的分段函数求值
题点　与对数函数有关的分段函数求值
答案　C
解析　因为－2<1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝＝×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.
4．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是(　　)
A．(－∞，1] B.
C. D．[1,2)
考点　对数函数的图像
题点　含绝对值的对数函数的图像
答案　D
解析　方法一　当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上是减函数．
当0<2－x≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上是增函数，故选D.
方法二　f(x)＝|ln(2－x)|的图像如图．
由图像可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.

5．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图像是(　　)
考点　函数的反函数
题点　反函数的图像与性质
答案　C
解析　因为f(x)是函数y＝log2x的反函数，所以f(x)＝2x，所以y＝f(1－x)＝21－x＝x－1，其函数图像可由函数y＝x的图像向右平移1个单位长度得到，故选C.
6．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上是增函数，若a＝f，b＝f，c＝f(－2)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
答案　C
解析　因为1＝log所以0因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(log)因为f(x)是偶函数，
所以a＝f＝f(－log)＝f(log)，
b＝f＝f(－log)＝f(log)，
c＝f(－2)＝f(2)．
所以c＞a＞b.
二、填空题
7．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log＝________.
考点　对数的运算
题点　具体数化简求解对数值
答案　4
解析　因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
即lg xy＝lg(x－2y)2，得x2－5xy＋4y2＝0，
解得x＝y(不符，舍去)或x＝4y，
所以log＝log4＝4.
8．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
考点　对数型函数的奇偶性
题点　对数型函数的奇偶性
答案　1
解析　f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，
即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
9．已知a＝(a＞0)，则loga＝________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　4
解析　∵a＝(a＞0)，
∴log(a)＝log＝2，
∴loga＝2，∴loga＝4.
10．若函数y＝log(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案　(－8，－6]
解析　令g(x)＝3x2－ax＋5，其对称轴为直线x＝.依题意，有即
11．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上是增函数，则实数m的最小值为________．
考点　
题点　
答案　1
解析　∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴y＝f(x)关于直线x＝1对称，∴a＝1.
∴f(x)＝2|x－1|在[1，＋∞)上是增函数．
∴[m，＋∞)?[1，＋∞)．
∴m≥1，即m的最小值为1.
三、解答题
12．求值：lg 2·lg 50＋lg 5·lg 20－lg 100·lg 5·lg 2.
考点　
题点　
解　lg 2·lg 50＋lg 5·lg 20－lg 100·lg 5·lg 2＝lg 2·lg(25×2)＋lg 5·lg(4×5)－2lg 5·lg 2
＝lg 2(2lg 5＋lg 2)＋lg 5(2lg 2＋lg 5)－2lg 5·lg 2
＝2lg 2·lg 5＋(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2－2lg 5·lg 2＝(lg 2＋lg 5)2＝(lg 10)2＝1.
13．已知常数a(a>1)和变量x，y之间的关系式是logax＋3logxa－logxy＝3，若x＝at (t≠0)，且当t≥1时，y的最小值是8，求相应的x的值．
考点　对数函数的综合问题
题点　与最值有关的对数型函数综合问题
解　把x＝at代入logax＋3logxa－logxy＝3，
得t＋－logay＝3.
∴logay＝t2－3t＋3，
∴y＝.
又t≥1，a>1，故可令u＝t2－3t＋3，
则当t＝时，u＝t2－3t＋3有最小值为，
此时y也有最小值，即ymin＝a＝8，
此时x＝at＝a＝(a)2＝82＝64.
四、探究与拓展
14．如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．
考点　对数、指数、幂函数的图像
题点　对数、指数、幂函数的图像与性质
答案　
解析　由图像可知，点A(xA,2)在函数y＝logx的图像上，所以2＝logxA，xA＝2＝.点B(xB,2)在函数y＝x的图像上，所以2＝，xB＝4.点C(4，yC)在函数y＝x的图像上，
所以yC＝4＝.
又xD＝xA＝，yD＝yC＝，
所以点D的坐标为.
15．已知函数f(x)＝xn－，且f(4)＝3.
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意实数x1，x2∈[1,3]，有|f(x1)－f(x2)|≤t成立，求t的最小值．
考点　
题点　
解　(1)f(4)＝4n－1＝3，即4n＝4，∴n＝1.
∴f(x)＝x－.
其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又∵f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)在(0，＋∞)上是增加的，证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋
＝x1－x2＋＝(x1－x2).
∵x1>x2>0，
∴x1－x2>0,1＋>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
(3)依题意，得t≥|f(x1)－f(x2)|成立，
只要t≥|f(x1)－f(x2)|的最大值即可．
∵f(x)在区间[1,3]上是增加的．
∴|f(x1)－f(x2)|的最大值为
|f(3)－f(1)|＝＝.
∴t≥.
故t的最小值为.
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．化简＋的结果是(　　)
A．2π－9 B．9－2π
C．－1 D．1
考点　n次方根及根式概念
题点　根式的化简
答案　C
解析　＋
＝(4－π)＋(π－5)＝－1.
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上递减的是(　　)
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
考点　
题点　
答案　C
解析　A项，y＝是奇函数，故不正确；
B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；
C，D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
3．已知集合A＝{x|y＝lg(2－x)＋lg x}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，R是实数集，则(?RB)∩A等于(　　)
A．[0,1] B．(0,1]
C．(－∞，0] D．以上都不对
考点　对数函数的值域或最值
题点　与对数函数值域有关的集合的运算
答案　B
解析　由得0故A＝{x|0故B＝{y|y＞1}，?RB＝{y|y≤1}，
则(?RB)∩A＝{x|04．某电影院统计电影放映场次的情况如图所示，下列函数模型中，最不合适近似描述电影放映场次逐年变化规律的是(　　)
A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝aex＋b
C．y＝ax3＋b D．y＝aln x＋b
考点　指数函数、对数函数、幂函数增长的比较
题点　选择函数模型
答案　D
解析　适当设置系数，A，B，C选项都可能呈现图中增长方式，只有D不可能．
5．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝2 B．y＝
C．y＝x2＋5x＋3 D．y＝3
考点　指数型复合函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
答案　A
解析　A中，y＝2＝x的值域为(0，＋∞)．
B中，因为1－2x≥0，所以2x≤1，x≤0，
y＝的定义域是(－∞，0]，
所以0<2x≤1，所以0≤1－2x<1，
所以y＝的值域是[0,1)．
C中，y＝x2＋5x＋3＝2－的值域是.
D中，因为∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以y＝3的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．
6．1.5－3.1,23.1,2－3.1的大小关系是(　　)
A．23.1<2－3.1<1.5－3.1
B．1.5－3.1<23.1<2－3.1
C．1.5－3.1<2－3.1<23.1
D．2－3.1<1.5－3.1<23.1
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
答案　D
解析　1.5－3.1＝3.1,2－3.1＝3.1，
又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函数，且<<2，
∴3.1<3.1<23.1，故选D.
7．已知f(3x)＝4x·log2x，那么f的值是(　　)
A．－2 B．4
C．8(log23－1) D．－
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
答案　A
解析　令3x＝，得x＝.
故f＝×log2＝－2.
8．若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D.
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像的应用
答案　D
解析　方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当0∴0<2a<1，即0②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．
综上，09．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减少的，则不等式f(－1)A．(0,10) B.
C. D.∪(10，＋∞)
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　D
解析　因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，因为f(x)在(－∞，0)上是减少的，所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的，故|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x<－1，解得x＞10或010．已知奇函数y＝若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图像如图所示，则g(x)等于(　　)
A.－x B．－x
C．2－x D．－2x
考点　指数函数的解析式
题点　待定系数法求指数函数解析式
答案　D
解析　∵f(1)＝，∴a＝，即函数f(x)＝x.
当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＝－g(x)，
即g(x)＝－－x＝－2x，故g(x)＝－2x，x<0，故选D.
11．已知函数f(x)＝是定义域上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　指数函数的单调性
题点　根据指数函数的单调性求参数的取值范围
答案　B
解析　由题意得
∴12．已知点A(1,0)，点B在曲线G：y＝ln x上，若线段AB与曲线M：y＝相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
考点　对数函数的图像
题点　同一坐标系下的对数函数与其他函数图像
答案　B
解析　设B(x0，ln x0)，线段AB的中点为C，则C，又点C在曲线M上，故＝，即ln x0＝.
此方程根的个数即函数y＝ln x与y＝的图像的交点个数．画出图像，可知两个函数的图像只有1个交点．故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝ax－1＋3的图像一定过定点P，则P点的坐标是________．
考点　指数函数的图像与性质
题点　指数函数图像过定点问题
答案　(1,4)
解析　由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图像可看作由y＝ax的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1,4)．
14．函数y＝log(x＋1)()的定义域为________．
考点　
题点　
答案　{x|－1解析　依题意得解得－115．函数f(x)＝log5(2x＋1)的增区间是________．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　
解析　函数f(x)的定义域为，
令t＝2x＋1(t>0)．
因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，
t＝2x＋1在上为增函数，
所以函数y＝log5(2x＋1)的增区间为.
16．对于函数f(x)的定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；
②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③>0.
当f(x)＝ex时，上述结论中正确结论的序号是______．
考点　指数函数的性质
题点　指数函数的性质
答案　①③
解析　∵f(x)＝ex，∴f(x1＋x2)＝e，f(x1)f(x2)＝e·e＝e，故f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)，①正确．f(x1)f(x2)≠f(x1)＋f(x2)，②不正确．由f(x)＝ex为增函数，可知当x1>x2时，f(x1)>f(x2)；当x10成立，故③正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)计算下列各式的值．
(1)(ln 5)0＋0.5＋ －；
(2)log21－lg 3·log32－lg 5.
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
解　(1)∵(ln 5)0＝1，0.5＝＝.
＝|1－|＝－1.
2＝＝4＝4＝.
∴原式＝1＋＋－1－＝.
(2)原式＝0－lg 3·－lg 5
＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg 10＝－1.
18．(12分)设f(x)＝，若0(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)f＋f＋f＋…＋f的值．
考点　
题点　
解　(1)f(a)＋f(1－a)＝＋＝＋＝＋＝＋＝＝1.
(2)f＋f＋f＋…＋f＝＋＋…＋＝500×1＝500.
19．(12分)已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(－1)＝，f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式并判断奇偶性；
(2)若f(x)＝，求x的值．
考点　
题点　
解　(1)由已知得
解得∴f(x)＝2x＋2－x.
显然函数的定义域为R，
因为f(－x)＝2－x＋2x＝2x＋2－x＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．
(2)设2x＝t(t>0)，则有t＋＝，即＝，
解得t＝8或t＝，所以x＝3或x＝－3.
20．(12分)已知关于x的方程32x＋1＋(m－1)(3x＋1－1)－(m－3)·3x＝0有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．
考点　指数方程的解法
题点　指数方程的解法
解　设3x＝t，则t>0,32x＋1＝3t2,3x＋1＝3t，
原方程化为3t2＋(m－1)(3t－1)－(m－3)t＝0，
即3t2＋2mt－(m－1)＝0.①
∵t＝3x在R上为增函数，
∴原方程有2个不相等的实根即方程①有两个不相等的正根．
∴　解得m<－.
∴m的取值范围是.
21．(12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
考点　对数函数的综合问题
题点　与定义域、值域有关的对数型函数综合问题
解　(1)由解得1故函数φ(x)的定义域为{x|1(2)不等式f(x)≤g(x)，
即为loga(x－1)≤loga(6－2x)．(*)
①当a>1时，不等式(*)等价于
解得1②当0解得≤x<3.
综上可知，当a>1时，不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围是；
当022．(12分)如图，A，B，C是函数y＝f(x)＝logx图像上的三点，它们的横坐标分别是t，t＋2，t＋4(t≥1)．
(1)设△ABC的面积为S，求S＝g(t)；
(2)若函数S＝g(t)考点　对数函数的综合问题
题点　对数型函数各类问题的综合
解　(1)S＝g(t)＝＋－
＝log2
＝log2.
(2)∵函数g(t)在区间[1，＋∞)上是减少的，
∴g(t)max＝g(1)＝log2.
∴g(t)max＝log2∴＞，∴0