1 函数的零点及应用
一、要点扫描
1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)<0是f(x)在区间[a，b]内有零点的充分不必要条件．
2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)＝0.
3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y＝f(x)与y＝g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求f(x)－g(x)＝0的根．
二、典型例题剖析
1．求函数的零点
例1 求函数f(x)＝x3－3x＋2的零点．
解 令f(x)＝x3－3x＋2＝0，
∴(x＋2)(x－1)2＝0.
∴x＝－2或x＝1，
∴函数f(x)＝x3－3x＋2的零点为－2,1.
评注 求函数的零点，就是求f(x)＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图像与x轴的交点问题．
2．判断函数零点的个数
例2 已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，判断函数f(x)＝0的根的个数．
解 设f1(x)＝ax(a＞1)，f2(x)＝－，则f(x)＝0的解，即为f1(x)＝f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标．在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)＝ax(a＞1)与f2(x)＝－的图像(如图所示)．所以方程f(x)＝0的根有一个．
评注 利用数形结合的思想解决零点问题，在同一坐标系下作出f1(x)与f2(x)两函数的图像，从而观察出两函数的交点的个数(即是原函数的零点的个数)．
3．确定零点所在的区间
例3 设函数y＝x3与y＝x－2的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析 y＝x3与y＝x－2的图像的交点的横坐标即为x3＝x－2的根，即f(x)＝x3－x－2的零点，f(1)＝1－－1＝－1<0，f(2)＝23－0＝7＞0，
∴f(x)的零点在(1,2)内．
答案 B
评注 本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求．
4．利用函数零点的存在性求参数范围
例4 关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
又∵f(0)＝1>0，由题意得
①
或②
解①得－3≤m≤－1，解②得m<－3，即m≤－1.
所以m的取值范围为(－∞，－1]．
评注 本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求．
2 零点问题考向探究
函数零点就是方程的根，这为我们提供了一个通过函数性质确定方程根的途径，是近几年课标高考命题的热点．本节结合实例归纳有关函数零点问题的几类热点题型．
一、判断函数零点的存在性
例1 已知函数f(x)＝2x3－4x2－3x＋1，那么在区间长度为1的条件下，下列叙述不正确的是( )
A．函数在区间(－1,0)内有零点
B．函数在区间(0,1)内有零点
C．函数在区间(1,2)内有零点
D．函数在区间(2,3)内有零点
分析 根据选项提供的区间来看，需要计算f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，然后看相邻两个函数之间的符号关系，进而确定函数零点．
解析 因为f(－1)＝－2<0，f(0)＝1>0，f(1)＝－4<0，f(2)＝－5<0，f(3)＝10>0，
所以f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(1)<0，
f(2)·f(3)<0.
又因为一个三次方程最多有三个实根，
所以函数f(x)＝2x3－4x2－3x＋1在区间(－1,0)，(0,1)，(2,3)内各有一个零点．
答案 C
评注 由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断，因此通过找全函数的可能存在的零点，来确定零点的唯一性，不失为解决不易判断单调性的函数零点问题的好方法．
二、判断函数零点所在的大致区间
例2 函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析 因为f(－1)＝－3<0，f(0)＝1＞0，所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
答案 B
评注 若f(a)·f(b)<0，且f(x)在[a，b]上连续，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定有零点，但要注意，若f(a)·f(b)≥0，并不能证明f(x)在(a，b)内没有零点.
3 解读二分法
“二分法”是现行教材中一个新增内容，它的主要用途在于求函数的零点、求方程的近似解以及求两函数图像交点的横坐标等．在学习的过程中，我们应重视从本质上理解和掌握“二分法”的实质，合理准确地使用“二分法”解题．
一、定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫作二分法．
二、要注意适用条件
若用“二分法”求函数y＝f(x)零点的近似值，必须具备两个条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上图像要连续不断．例如函数y＝图像不连续，要求它在[0,3]上零点的近似值，区间的中点1.5根本就不在定义域内，不能用“二分法”；②必须满足f(a)·f(b)<0，这说明y＝f(x)在区间(a，b)上一定有零点，否则若f(a)·f(b)＞0，则y＝f(x)在区间(a，b)上不能保证有无零点，不能用“二分法”．
三、注意用二分法求函数零点近似值的一般步骤
给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；
2．求区间(a，b)的中点c；
3．计算f(c)；
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
4．判断是否达到精度ε：即若|a－b|≤ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
四、二分法的优、缺点
二分法的优点在于其解题思想简单易懂，即为“取区间中点，层层逼近零点”的原则，其体现了过程的机械性和简单性．缺点在于其求解过程中计算量较大，必要时要用到计算器，计算要求准确性高，可谓是“一步走错则全盘皆输”．
例 求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解．(精度为0.1)
分析 先利用函数图像直观得到某根所在的区间．
解 设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图像的草图，如图所示．
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2＞0，
∴在区间(2,3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，
记为x1，取2和3的中间数2.5，
∵f(2.5)＝0.25＞0，
所以x1∈(2,2.5)，
再取2与2.5的中间数2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5<0，
∴x1∈(2.25,2.5)，
如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.437 5)＞0，
则x1∈(2.375,2.437 5)，
∵|2.375－2.4375|＝0.062 5<0.1，
∴此方程一个大于零的近似解为2.4.
评注 运用二分法的前提是先判断某根所在的大概区间.
4 函数应用问题“讲”与“练”
讲解一 求函数模型
例1 某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少t(t＞0)万件．请将税金收入表示为征收附加税的函数．
解 设每年销售量为x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税为y＝250x·＝tx.
依题意，知x＝40－t＞0，即t<25.
故所求的函数关系式为y＝×t＝－4t2＋100t(0
评注 在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
练习1 经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为关于时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)＝________________.
讲解二 函数模型的选用
例2 某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q(万元)与上市时间t(天)的关系如下表所示：
种植成本Q(万元)
150
100
上市时间t(天)
50
150
模拟函数可以选用二次函数Q＝a(t－150)2＋b(a，b为常数，且a≠0)，或一次函数Q＝kt＋m(k，m为常数，且k≠0)．已知种植成本Q＝112.5万元时，上市时间t＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
分析 根据题目给定的两组Q，t的值，可分别求出模拟函数中的未知量a，b，k，m.
解 设f(t)＝a(t－150)2＋b(其中a，b为常数，a≠0)，
g(t)＝kt＋m(k≠0)．
由已知，得
所以
解得
所以f(t)＝(t－150)2＋100，g(t)＝－t＋175.
因为f(200)＝(200－150)2＋100＝112.5，
g(200)＝－×200＋175＝75，
所以选用f(t)＝(t－150)2＋100作为模拟函数较好．
评注 本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化．
练习2 现有一组数据如下表所示：
x
1
2
3
…
y
1.5
3.51
7.5
…
其中最能近似地表达这些数据规律的函数是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－ D．y＝x3－x＋1
练习1 2t2＋108t＋400
练习2 C
§1 函数与方程
1．1 利用函数性质判定方程解的存在
学习目标 1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图像判断零点个数．
知识点一 函数的零点概念
思考 函数的“零点”是一个点吗？
答案 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．
梳理 概念：函数y＝f(x)的零点是函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标．
方程、函数、图像之间的关系：
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
知识点二 零点存在性定理
思考 函数零点有时是不易求或求不出来的．如f(x)＝lg x＋x.但函数值易求，如我们可以求出f＝lg ＋＝－1＋＝－，f(1)＝lg 1＋1＝1.
那么能判断f(x)＝lg x＋x在区间内有零点吗？
答案 能．因为f(x)＝lg x＋x在区间内是连续的，函数值从－变化到1，势必在内某点处的函数值为0.
梳理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．这个结论可称为函数零点的存在性定理．
1．f(x)＝x2的零点是0.( √ )
2．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．( × )
3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．( √ )
4．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.( × )
类型一 求函数的零点
例1 函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 x＝1或x＝10
解析 由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.
反思与感悟 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 4
解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)
＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．
可知零点为±1，－2,3，共4个．
类型二 判断函数的零点所在的区间
例2 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数零点所在的区间
答案 C
解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．
反思与感悟 在函数图像连续的前提下，f(a)·f(b)<0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．
跟踪训练2 若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数零点所在的区间
答案 2
解析 ∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点．
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，
∴n＝2.
类型三 函数零点个数问题
命题角度1 判断函数零点个数
例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．
故函数f(x)有且只有一个零点．
方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图像知g(x)＝lg(x＋1)的图像和h(x)＝2－2x的图像有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
反思与感悟 判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图像交点的个数判定函数零点的个数．
跟踪训练3 求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
解 方法一 由于f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．又因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
方法二 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图像，观察两图像的交点个数得出结论．也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图像交点的个数．
由图像可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点．
命题角度2 根据零点情况求参数范围
例4 f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
考点 函数零点存在性定理
题点 与函数零点有关的参数取值范围问题
答案 D
解析 由题意可得a＝x－x(x＞0)．
令g(x)＝x－x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．
反思与感悟 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．
跟踪训练4 若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)
B．(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)
C.
D.
考点 一元二次方程根的分布
题点 两根分别在两不同区间
答案 D
解析 函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，
即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图像与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，
根据图像列出不等式组
解得∴－∴实数m的取值范围是.
1．函数y＝x的零点是( )
A．(0,0) B．x＝0 C．x＝1 D．不存在
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 B
2．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 C
3．若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数在区间上是否有零点
答案 C
4．下列各图像表示的函数中没有零点的是( )
考点 函数零点的概念
题点 判断函数有无零点
答案 D
5．函数f(x)＝x3－x的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 B
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：
(1)用定理；(2)解方程；(3)用图像．
4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
一、选择题
1．下列图像表示的函数中没有零点的是( )
考点 函数零点的概念
题点 判断函数有无零点
答案 A
解析 B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．
2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图像是连续不断的，若f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．必有唯一的实数根
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数在区间上是否有零点
答案 D
解析 由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)f(b)<0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.
3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数零点所在的区间
答案 C
解析 由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0.由零点存在性定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．
4．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至少有一个零点
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数在区间上是否有零点
答案 C
解析 若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)，如图(1)或图(2)所示，可知A，D错，若如图(3)所示，可知B错．
5．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
考点 函数零点存在性定理
题点 与函数零点有关的参数取值范围问题
答案 B
解析 方法一 由f(x)＝0得2x＋＝0，
∴2x＝.
在同一直角坐标系中，作出函数y1＝2x，y2＝的图像(图略)，
观察图像可知，当x1∈(1，x0)时，y1当x2∈(x0，＋∞)时，y1>y2，∴f(x1)<0，f(x2)>0.
方法二 ∵函数y＝2x，y＝在(1，＋∞)上均为增函数，∴函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，
∴由x1∈(1，x0)，f(x0)＝0，得f(x1)由x2∈(x0，＋∞)，f(x0)＝0，得f(x2)>f(x0)＝0.
6．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．一个 B．两个 C．至少两个 D．无法判断
考点 函数零点的综合应用
题点 函数零点的个数问题
答案 B
解析 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.
又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.
因此函数f(x)有两个零点－2与2.
二、填空题
7．若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．
考点 函数零点存在性定理
题点 与函数零点有关的参数取值范围问题
答案 (1，＋∞)
解析 f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.
8．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________．
考点 一元二次方程根的分布
题点 两根分别在两不同区间
答案 (－12,0)
解析 根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图．
由图可知
即解得－129．函数f(x)＝的零点是________．
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 －2,1
解析 当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lg x＝0，得x＝1，满足要求．所以函数f(x)的零点是－2,1.
10．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
考点 函数零点存在性定理
题点 与函数零点有关的参数取值范围问题
答案
解析 画出函数f(x)的图像，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图像有两个交点，由图可知k＞，且k<1.
三、解答题
11．试判断方程x3＝2x在区间[1,2]内是否有实数解．
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数在区间上是否有零点
解 设函数f(x)＝x3－2x，则f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝8－4＝4>0，∴f(1)·f(2)<0，且f(x)在区间[1,2]上连续，∴函数f(x)＝x3－2x在区间[1,2]内有零点，即方程x3＝2x在区间[1,2]内有实数解．
四、探究与拓展
12．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
考点 函数零点存在性定理
题点 与函数零点有关的参数取值范围问题
答案 (0,1)
解析 在平面直角坐标系中作出函数f(x)的图像，如下图所示．
利用函数图像可知，当013．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
考点 函数零点存在性定理
题点 与函数零点有关的参数取值范围问题
解 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
据此可作出函数y＝f(x)的图像，如图所示，
根据图像可知，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．
1．2 利用二分法求方程的近似解
学习目标 1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
知识点一 二分法的原理
思考 通过上节课的学习，我们知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？
答案 ①取区间(2,3)的中点2.5.
②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．
梳理 二分法的概念
如果在区间[a，b]上，函数f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，则区间[a，b]内有方程f(x)＝0的解．
依次取有解区间的中点，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．
像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
知识点二 精度与精确到
思考 “精确到0.1”与“精度为0.1”一样吗？
答案 不一样．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25,1.34)．若精度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
梳理 在许多实际应用中，不需要求出方程精确的解，只要满足一定的精度就可以．设 是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－|<ε，就称x0是满足精度ε的近似解．
为了得到满足精度ε的近似解，只需找到方程的一个有解区间[a，b]，使得区间长度b－a≤ε，那么区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．
事实上，任意选取两数x1，x2∈(a，b)，都有|x1－x2|<ε.由于 ∈(a，b)，所以任意选取x′∈(a，b)都有|x′－|<ε.
知识点三 二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程实数解的过程可以用下图表示出来．
在这里：
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；
“N”的含义是：方程解满足要求的精度；
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．
1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．( √ )
2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．( √ )
3．用二分法最后一定能求出函数零点．( × )
4．达到精度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．( √ )
类型一 二分法的操作
例1 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点．(精度为0.02)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
解 由于f(0)＝－3<0，
f(1)＝－2<0，f(2)＝5＞0，
故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值(或近似值)
(1,2)
1.5
0.375
(1,1.5)
1.25
－1.047
(1.25,1.5)
1.375
－0.400
(1.375,1.5)
1.437 5
－0.030
(1.437 5,1.5)
1.468 75
0.168
(1.437 5,1.468 75)
1.453 125
0.068
(1.437 5,1.453 125)
因为|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625<0.02，
所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.437 5.
引申探究
如何求的近似值？(精度为0.01)
解 设x＝，则x3＝2，即x3－2＝0，
令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点．
由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值
(1,2)
1.5
1.375
(1,1.5)
1.25
－0.046 9
(1.25,1.5)
1.375
0.599 6
(1.25,1.375)
1.312 5
0.261 0
(1.25,1.312 5)
1.281 25
0.103 3
(1.25,1.281 25)
1.265 625
0.027 3
(1.25,1.265 625)
1.257 812 5
－0.010 0
由于|1.265 625－1.257 812 5|＝0.007 812 5<0.01，所以1.265 625是函数的零点的近似值，即的近似值是1.265 625.
反思与感悟 用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．
跟踪训练1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精度为0.1)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
解 原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图像如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
f(x)＝2x＋3x－7
－6
－2
3
10
21
40
75
142
273
…
观察图或表可知f(1)·f(2)<0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1,1.5)．
再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5)．
由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，
所以原方程的近似解可取为1.437 5.
类型二 二分法取中点的次数问题
例2 若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
考点 二分法的概念
题点 分析二分法计算的次数
答案 C
解析 设对区间(1,2)至少二等分n次，初始区间长为1.
第1次二等分后区间长为；
第2次二等分后区间长为；
第3次二等分后区间长为；
…；
第n次二等分后区间长为.
根据题意，得<0.01，∴n＞log2100.
∵6故对区间(1,2)至少二等分7次．
反思与感悟 对于区间(a，b)二分一次区间长度为，二分二次区间长度为，…，二分n次区间长度为.令<ε，即2n>，nlg 2>lg，n>，从而估算出至少要使用多少次二分法．
跟踪训练2 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精度为0.05，则取中点的次数不小于______．
考点 二分法的概念
题点 分析二分法计算的次数
答案 5
解析 ∵初始区间的长度为1，精度为0.05，
∴≤0.05，即2n≥20.又∵n∈N＋，∴n≥5，
∴取中点的次数不小于5.
1．下列函数中，只能用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝x－x
考点 二分法的概念
题点 二分法概念的理解
答案 D
2．观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 A
3．方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 C
4．定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f＝0时，则函数f(x)的零点是( )
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间或内的任意一个实数
D．x＝a或b
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 B
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2,4) B．(2,3)
C．(3,4) D．无法确定
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 B
1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图像是连续的，且两端点函数值反号．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.
一、选择题
1．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 C
解析 只有选项C中零点左右的函数值符号相反且函数图像连续，可以利用二分法求解．
2．用“二分法”可求近似解，对于精度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精度越高
B．ε越大，零点的精度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
考点 二分法的概念
题点 二分法概念的理解
答案 B
解析 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精度越低．
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)＞0，f(1.25)<0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 A
解析 易知f(x)在R上是增函数．由题意可知f(1.25)·f(1.5)<0，故函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25,1.5)内．故选A.
4．用二分法求函数f(x)＝ln x－的零点时，初始区间大致可选在( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 B
解析 由于f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－＞0，f(2)·f(3)<0，故初始区间可选(2,3)．
5．函数f(x)＝log3x－在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为( )
A. B.
C. D.
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 C
解析 f(1)＝－<0，f(3)＝>0，f(2)＝log32－＝log32－log33＝log3＝log3<0，f＝log3－＝log3－log33＝log3>log3＝log3>0，因此，函数f(x)的零点在区间内，故选C.
6．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精度0.05)为( )
A．1.5 B．1.375 C．1.438 D．1.25
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
答案 C
解析 ∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0，
∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，
∴该方程的根在区间(1.406 5,1.438)，
又∵|1.406 5－1.438|＝0.031 5<0.05，
∴方程的近似根为1.406 5或1.438.故选C.
二、填空题
7．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．
①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；
③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
考点 二分法的概念
题点 二分法概念的理解
答案 ①②
解析 由二分法适用条件直接可得．
8．用“二分法”求方程2x＋log2x－4＝0在区间(1,3)内的根，如果取区间的中点x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 (1,2)
解析 设f(x)＝2x＋log2x－4，因为f(1)·f(2)＝(2＋0－4)×(4＋1－4)＝－2<0，所以下一个有根的区间为(1,2)．
9．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 ④
解析 ∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.∴函数f(x)在(0,4)上有零点．
10．设方程2x＋2x＝10的根为β，β所在区间为(n，n＋1)，则n＝________.
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 2
解析 设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为增函数，
又f(0)＝－9，f(1)＝－6，f(2)＝－2，f(3)＝4，
∴f(2)·f(3)<0，∴β∈(2,3)，∴n＝2.
三、解答题
11．求函数f(x)＝x2－5的近似解．(精度为0.1)
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
解 由于f(－2)＝－1<0，
f(－3)＝4＞0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.062 5
(－2.25，－2)
－2.125
－0.484 4
(－2.25，－2.125)
－2.187 5
－0.214 8
(－2.25，－2.187 5)
－2.218 75
－0.077 1
由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似解可取－2.25.
§2 实际问题的函数建模
学习目标 1.了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型.2.学会对收集到的相关数据进行拟合，并建立适当的数学模型.3.学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题．
知识点一 实际问题的函数刻画
思考 世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？
答案 先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式．
梳理 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
知识点二 用函数模型解决实际问题
思考 函数模型是应用最广泛的数学模型之一，一旦确定是函数模型，怎样研究它？
答案 先确定函数关系式，再根据解决实际问题的需要针对性研究函数性质，如定义域、最值、单调性等，使实际问题得到解决．
梳理 用函数模型解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
知识点三 数据拟合
思考 自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，简述什么是数据拟合？
答案 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就是数据拟合．
梳理 数据拟合
(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．
(2)数据拟合的步骤：
①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的检验．
1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．( × )
2．用来拟合散点图的函数图像一定要经过所有散点．( × )
3．函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．( × )
4．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( × )
类型一 利用已知函数模型求解实际问题
例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝ (h)，所以0≤t≤.
因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t，所以，火车行驶的总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t.2 h内火车行驶的路程S＝13＋120×＝233(km)．
反思与感悟 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．
跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 2
解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，
则水面和拱桥交点A(2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2(a≠0)，则－2＝a·22，∴a＝－，∴y＝－x2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B(b，－3)，将B点的坐标代入y＝－x2，得b＝±，因此水面宽2米．
类型二 自建确定性函数模型解决实际问题
命题角度1 非分段函数模型
例2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
考点 函数模型的综合应用
题点 函数模型中的最值问题
解 设可获得总利润R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000
＝－＋88x－8 000
＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴当x＝210时，
R(x)max＝－(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．
∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
反思与感悟 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
跟踪训练2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝x，Q2＝.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？
考点 函数模型的综合应用
题点 函数模型中的最值问题
解 设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元．
所以Q1＝x，Q2＝.
所以y＝x＋(0≤x≤3)，
令t＝(0≤t≤)，则x＝3－t2.
所以y＝(3－t2)＋t＝－2＋.
当t＝时，ymax＝＝1.05(万元)，即x＝＝0.75(万元)，所以3－x＝2.25(万元)．
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．
命题角度2 分段函数模型
例3 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
考点 函数模型的应用
题点 分段函数模型的应用
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3.
又因为x∈N，所以3≤x≤6，且x∈N.
当6y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115，
综上可知
y＝f(x)＝
(2)当3≤x≤6，且x∈N时，
因为y＝50x－115是增函数，
所以当x＝6时，ymax＝185元．
当6y＝－3x2＋68x－115＝－32＋，
所以当x＝11时，ymax＝270元．
综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．
反思与感悟 自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应因变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型应注意：
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练3 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图的图像．当x∈(0,12]时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图像是线段BC，其中C(40,50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．
(1)试求y＝f(x)的函数关系式；
(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．
考点 函数模型的应用
题点 分段函数模型的应用
解 (1)当x∈(0,12]时，
设f(x)＝a(x－10)2＋80(a≠0)．
因为该部分图像过点B(12,78)，将B点的坐标代入上式，得a＝－，所以f(x)＝－(x－10)2＋80.
当x∈[12,40]时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)．因为线段BC过点B(12,78)，C(40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组解得
所以f(x)＝－x＋90.
故所求函数的关系式为
f(x)＝
(2)由题意，得
或
解得4故老师应在x∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.
1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B．幂函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 A
解析 根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
2．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为( )
A．17 B．18 C．19 D．20
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 C
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A． B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝x D．
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 A
4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
考点 函数拟合问题
题点 据实际问题选择函数模型
答案 D
5．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b
考点 函数拟合问题
题点 据实际问题选择函数模型
答案 B
解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
一、选择题
1．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)．例如，f(2)＝3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)＝3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元．下图给出的四个图像中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
考点 函数拟合问题
题点 函数拟合问题
答案 C
解析 开始时平均价格与即时价格一致，排除A，D；平均价格不能一直大于即时价格，排除B.
2．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为( )
A．2元 B．2.5元
C．1元 D．1.5元
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 D
解析 设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x)，利润y＝(4－0.1x)·(1 000＋100x)＝－10x2＋300x＋4 000＝－10(x2－30x＋225－225)＋4 000＝
－10(x－15)2＋6 250.∴当x＝15时，ymax＝6 250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益．
3．(2017·湖南衡阳、长郡中学等十三校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2017年 B．2018年 C．2019年 D．2020年
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 D
解析 设从2016年起，过了n(n∈N＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n≥200，则n≥≈＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2 016＝2 020.故选D.
4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 A
解析 由三角形相似得＝，
得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180(8≤y<24)．
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次试验的数据．根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 B
解析 依题意得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.22＋，所以当t＝3.75时，p取得最大值．所以最佳加工时间为3.75分钟．故选B.
6．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2012年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2018年冬有越冬白鹤( )
A．4 000只 B．5 000只
C．6 000只 D．7 000只
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 C
解析 当x＝1时，由3 000＝alog3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2018年冬，即第7年，
y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000.故选C.
二、填空题
7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
考点 函数拟合问题
题点 据实际问题选择函数模型
答案 甲
解析 将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．
8．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林________亩．
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 17 280
解析 易知第四年造林为10 000×(1＋20%)3＝10 000×1.23＝17 280(亩)．
9．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 1.75
解析 由题意有解得
∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
10．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为正数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案
解析 D＝a－A＝－2＋，
当＝时，Dmax＝，此时A＝.
滚动训练(六)
一、选择题
1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B等于( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 D
解析 由4－x2≥0，解得－2≤x≤2，
则函数y＝的定义域为[－2,2]，
由对数函数的定义域可知，1－x>0，
解得x<1，则函数y＝ln(1－x)的定义域为(－∞，1)，
则A∩B＝[－2,1)，故选D.
2．已知3x＝10，则这样的x( )
A．存在且只有一个 B．存在且不只一个
C．存在且x<2 D．根本不存在
考点 指数函数的性质
题点 指数函数的性质
答案 A
解析 y＝3x是R上的增函数，且值域为(0，＋∞)．
∵10∈(0，＋∞)，∴有且只有一个x与之对应．
3．函数y＝的值域为( )
A.∪
B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．R
D.∪
考点 函数的值域
题点 求分式函数的值域
答案 B
解析 y＝＝2＋.
∵≠0，∴y≠2.
4．已知函数f(x)＝logax(0考点 对数函数的图像
题点 含绝对值的对数函数的图像
答案 A
解析 由题意知，当x＝0时，y＝f(1)＝0，排除C，D；
当x＝1时，y＝f(2)<0，排除B，故选A.
5．函数y＝1＋的零点是( )
A．(－1,0) B．－1
C．1 D．0
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 B
解析 由1＋＝0，得＝－1，∴x＝－1.
6．将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时能全部卖出．已知这种商品每个涨价1元，其销售数就减少20个．为了获得最大利润，售价应定为每个( )
A．5元 B．90元
C．95元 D．96元
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 C
解析 设售价为90＋x元，
所以利润为(10＋x)(400－20x)＝－20(x＋10)(x－20)
＝－20(x－5)2＋4 500.
所以当x＝5时，即售价为95元时，利润最大，故选C.
7．设a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若x0>a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．以上都有可能
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 B
解析 画出y＝2x与y＝logx的图像(图略)，可知当x0>a时，2>logx0，故f(x0)>0.
8．已知f(x)是偶函数，对任意的x1，x2∈(－∞，－1]，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，则下列关系式中成立的是( )
A．fB．f(－1)C．f(2)D．f(2)考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案 B
解析 ∵对任意的x1，x2∈(－∞，－1]，
都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，
∴函数f(x)在(－∞，－1]上是减少的，
∴f(－2)>f>f(－1)．
又∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)．
∴f(－1)二、填空题
9．y＝ax＋2＋3(a>0且a≠1)恒过定点________．
考点 指数函数的图像与性质
题点 指数函数图像过定点问题
答案 (－2,4)
解析 y＝ax恒过定点(0,1)，该函数图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得y＝ax＋2＋3的图像．故y＝ax＋2＋3恒过定点(－2,4)．
10．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 (2,3)
解析 设f(x)＝x3－2x－5，
则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，
有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．
11．a，b，c分别表示方程2x＋x＝1,2x＋x＝2,3x＋x＝2的根，则a，b，c的大小顺序为________．
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数的图象与性质
答案 a解析 在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝3x，y＝1－x，y＝2－x的图像(图略)，观察图像可知a12．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 16
解析 当t＝0时，y＝a，
当t＝8时，y＝ae－8b＝a，∴e－8b＝，
容器中的沙子只有开始时的八分之一，
即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，
则t＝24,24－8＝16.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝
(1)求f(－3)，f(f(－3))；
(2)画出y＝f(x)的图像；
(3)若f(a)＝，求a的值．
考点 分段函数
题点 分段函数的综合应用
解 (1)∵当x≤－1时，f(x)＝x＋5，
∴f(－3)＝－3＋5＝2，
∴f(f(－3))＝f(2)＝2×2＝4.
(2)函数图像如图所示．
(3)当a≤－1时，f(a)＝a＋5＝，a＝－≤－1；
当－1当a≥1时，f(a)＝2a＝，a＝?[1，＋∞)，舍去．
故a的值为－或±.
四、探究与拓展
14．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在区间[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在区间[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是( )
A. B．[－1,0]
C．(－∞，－2] D.
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 一元二次方程根的分布
答案 A
解析 设h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m，根据题意知函数h(x)＝x2－5x＋4－m在区间[0,3]上有两个不同的零点，于是即
解得－15．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 一元二次方程根的分布
解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，
令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
∴函数f(x)的零点为3和－1.
(2)依题意知，ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同的实数根，
∴b2－4a(b－1)>0恒成立，
即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，
则(－4a)2－4×4a<0，
即a2－a<0，解得0因此实数a的取值范围是(0,1)．
章末复习
学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用．
1．对于函数y＝f(x)，x∈D，使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)，x∈D的零点．
2．方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数的零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)<0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即零点存在性定理仅对连续函数适用)．
(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，不一定有f(a)·f(b)<0，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)<0.
4．二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精度，计算时及时检验．
5．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
1．函数y＝f(x)－g(x)的零点即方程＝1的根．( × )
2．用二分法求函数零点近似解时，始终要保持零点区间(a，b)满足f(a)·f(b)<0.( √ )
3．存在x0，当x>x0时，有2x>x3.( √ )
4．建立的函数模型必须真实地反映原型的特征和关系．( √ )
类型一 函数的零点与方程的根的关系及应用
例1 已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是____________．
考点 函数零点的综合应用
题点 函数零点的综合应用
答案 x1解析 令x＋2x＝0，得2x＝－x；
令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；
在同一坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图像，
如图可知x1<0令h(x)＝x－－1＝0，
则()2－－1＝0，
所以＝，
即x3＝2＞1.
所以x1反思与感悟 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数进行判断．
跟踪训练1 若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
考点 函数零点存在性定理
题点 与函数零点有关的参数取值范围问题
答案 C
解析 显然f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由条件可知f(1)·f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，
即a(a－3)<0，解得0类型二 用二分法求函数的零点或方程的近似解
例2 方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间是( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[1,2] D．[2,3]
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 C
解析 设f(x)＝x3－x－3，因为f(1)·f(2)＝(1－1－3)×(23－2－3)＝－9<0，所以函数的零点即对应方程的解所在的区间是[1,2]．
反思与感悟 (1)根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大．
(3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，|an－bn|<ε，那么区间(an，bn)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 2
解析 ∵a＞2，
∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b.
∵2∴－2又1∴0又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点．
类型三 函数模型及应用
例3 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
考点 函数模型的综合应用
题点 函数模型的综合应用
解 (1)令y＝0 ，得kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标?
存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ?
关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?
判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6.
所以当它的横坐标a不超过6时，可击中目标．
反思与感悟 在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y＝0时求x的最大值)非常重要．另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响．
跟踪训练3 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b
(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．
考点 函数模型的综合应用
题点 函数模型的综合应用
答案 24
解析 依题意得两式相除可得e22k＝，故e11k＝，故e33k＋b＝e33k·eb＝24，即该食品在33℃的保鲜时间是24小时．
1．已知函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．至少1个
考点 函数零点的综合应用
题点 函数零点的个数问题
答案 D
解析 在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图像，当a＞1时，如图(1)，当02.如图所示是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图像．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
考点 函数模型的应用
题点 分段函数模型的应用
答案 D
解析 由晨练的图像可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据四个选项可知只有选项D符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越来越小，选项D也符合．故选D.
3．若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数零点所在的区间
答案 A
解析 由题意a4．设函数f(x)＝log3 －a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．
考点 函数零点存在性定理
题点 与函数零点有关的参数取值范围问题
答案 (log32,1)
5．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______.
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数零点所在的区间
答案 2
1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图像、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．
2．函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
3．函数建模的基本过程如图：
一、选择题
1．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是( )
A．a＞ B．a＞或a<－1
C．－1考点 函数的零点与方程根的关系
题点 由函数零点个数求参数的取值范围
答案 B
解析 当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0，函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，f(－1)f(1)<0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a<－1或a＞.
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2,0
C. D．0
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 D
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.
3．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( )
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断
考点 函数零点的综合应用
题点 函数零点的综合应用
答案 D
解析 观察下列各种图像：
上面各种函数y＝f(x)在(0,4)内仅有一个零点，但是图(1)中，f(0)·f(4)＞0；图(2)中，f(0)·f(4)<0；图(3)中，f(0)·f(4)＝0.
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．130
考点 函数模型的应用
题点 分段函数模型
答案 C
解析 当1≤x<10时，y＝4x∈[4,40)，
当10≤x<100时，y＝2x＋10∈[30,210)，
当x≥100时，y＝1.5x∈[150，＋∞)，
∵60∈[30,210)，∴60＝2x＋10，x＝25.
5．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
A. B.
C. D.
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数零点所在的区间
答案 C
解析 因为f(x)在定义域内为递增函数，而在4个选项中，只有ff<0，所以零点所在区间为.
6．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2的两个零点分别为α，β，则( )
A．a<αC．a<α<β考点 函数的零点与方程根的关系
题点 函数的零点与方程根的关系
答案 B
解析 设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)是由g(x)的图像向下平移2个单位得到的，而g(x)的两个零点为a，b，f(x)的两个零点为α，β，结合图像(图略)可得α二、填空题
7．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 由函数零点个数求参数的取值范围
答案 (0,1]
解析 作出函数y＝f(x)与y＝k的图像，如图所示：
由图可知k∈(0,1]．
8．设函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是连续曲线，且f(a)·f(b)<0，取x0＝，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求方程f(x)＝0的根时取有根区间为________．
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在区间
答案 (a，x0)
解析 利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤 ，由于f(a)·f(x0)<0，则取有根区间为(a，x0)．
9．如图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中水量就是y2＝a－ae－nt升，桶1与桶2相同，假设过5分钟时桶1和桶2的水量相等，则桶1中的水量只有时，需再经过________分钟．
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 指数函数模型
答案 10
解析 由题意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝.设再经过t分钟，桶1中的水量只有，
则ae－n(t＋5)＝，即＝3，解得t＝10.
10．我们把形如y＝(a＞0，b＞0)的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 4
解析 由题意知，当a＝1，b＝1时，
y＝＝
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图像如图所示，易知它们有4个交点．
三、解答题
11．某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格x(单位：万元/吨)的关系可用如图所示的一条折线表示．
(1)写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系式；
(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？求月利润的最大值．
考点 函数模型的应用
题点 分段函数模型的应用
解 (1)由函数图像可知
当5≤x≤8时，Q＝－x＋25；
当8所以Q＝
(2)设月利润与商品每吨定价x的函数为f(x)，则根据题意得f(x)＝Q·(x－5)－10，
即f(x)＝
＝
所以当5≤x≤8时，在x＝处，f(x)取得最大值；
当8综上可知，该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．
章末检测试卷(四)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列函数
①y＝lg x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝|x|－1，其中有2个零点的函数是( )
A．①② B．③④ C．②③ D．④
考点 函数零点的概念
题点 判断函数的零点个数
答案 D
解析 分别作出这四个函数的图像(图略)，其中④y＝|x|－1的图像与x轴有两个交点，即有2个零点，故选D.
2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为( )
A．1,2,3 B．1，－1,3
C．1，－1，－3 D．无零点
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 B
解析 令y＝0，即(x－1)(x2－2x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，x3＝3.故选B.
3．设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 A
解析 在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图像，如图所示．
可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．
4．已知函数f(x)＝2x＋x－5，则f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数零点所在的区间
答案 C
解析 f(0)＝20－5<0，f(1)＝21＋－5<0，f(2)＝22＋－5<0，f(3)＝8＋－5＞0，f(4)＞0，则有f(2)·f(3)<0.故选C.
5．若函数f(x)＝alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a<－3 B．－C．－3考点 函数零点存在性定理
题点 与函数零点有关的参数取值范围问题
答案 C
解析 ∵函数y＝log2x，y＝4x在其定义域上是增加的，∴函数f(x)＝alog2x＋a·4x＋3在区间上单调且连续，∴由零点存在性定理可得f·f(1)<0，即(－a＋2a＋3)(4a＋3)<0，解得－36．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元 D．45.51万元
考点 函数模型的综合应用
题点 函数模型的综合应用
答案 B
解析 依题意，可设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，故总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)，∴对称轴为直线x＝10.2，又x∈N＋，∴当x＝10时，Smax＝45.6.
7．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%(a≠b)的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 B
解析 根据配制前后溶质不变，有等式a%x＋b%y＝c%(x＋y)，即ax＋by＝cx＋cy，
故y＝x.
8．下列函数中，在某个区间(x0，＋∞)内随x增大而增长速度最快的是( )
A．y＝2 017ln x B．y＝x2 017
C．y＝ D．y＝2 017·2x
考点 三种函数模型增长的差异
题点 三种函数模型增长的差异
答案 C
解析 当x>x0时，指数型函数增长速度呈“爆炸式”增长，又e>2，∴增长速度最快的是y＝.
9．今有一组数据，如下表所示：
x
1
2
3
4
5
y
3
5
6.99
9.01
11
下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的是( )
A．指数函数 B．反比例函数
C．一次函数 D．二次函数
考点 函数拟合问题
题点 据实际问题选择函数模型
答案 C
解析 由表中数据知随着自变量每增加1，函数值约增加2，所以一次函数最接近地表示这组数据满足的规律．
10．有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( )
A．19 B．20 C．21 D．22
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 指数函数模型
答案 C
解析 操作次数为n时的浓度为n＋1，
由n＋1<10%，得n＋1>＝≈21.8，
∴n≥21.
11．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精度为0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875，0.6253＝0.244 14)( )
A．0.25 B．0.375
C．0.635 D．0.825
考点 用二分法求方程的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
答案 C
解析 令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0.625)<0，
∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625,0.75)内，
∵|0.75－0.625|＝0.125<0.25，
∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．
12．我国股市中对股票的股价实行涨停、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票在连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是( )
A．跌1.99% B．涨1.99%
C．跌0.99% D．涨0.99%
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 A
解析 设四天前股价为a，则现在的股价为a×1.12×0.92＝0.980 1a，跌1.99%.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
考点 三种函数模型增长的差异
题点 三种函数模型增长的差异
答案 y＝x2
解析 y＝x2＝x·x，y＝x·ln x，其中y＝x比y＝ln x在(1，＋∞)上增长较快，也可取特殊值验证．
14．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
考点 函数零点的综合应用
题点 函数零点的个数问题
答案 (0,2)
解析 由函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点可得|2x－2|＝b有两个不等的根，从而可得函数y＝|2x－2|与函数y＝b的图像有两个交点，结合函数的图像可得015．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
考点 函数零点的综合应用
题点 函数零点的综合应用
答案 (－2,2)
解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，则f(x)<0的x的取值范围是(－2,2)．
16．已知函数f(x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列四个命题：
①F(x)＝|f(x)|；②函数F(x)是偶函数；③当a<0时，若0考点 函数零点的综合应用
题点 函数零点的综合应用
答案 ②③④
解析 易知F(x)＝f(|x|)，故F(x)＝|f(x)|不正确；②∵F(x)＝f(|x|)，∴F(－x)＝F(x)，∴函数F(x)是偶函数；③当a<0时，若0三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数在区间是否有零点
解 令f(x)＝4x3＋x－15，
∵y＝4x3和y＝x在[1,2]上都为增函数，
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上为增函数，
∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，
f(2)＝4×8＋2－15＝19＞0，
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上存在一个零点，
∴方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内有一个实数解．
18．(12分)已知函数f(x)＝x|x－4|－5，当方程f(x)＝a有3个根时，求实数a的取值范围．
考点 函数零点存在性定理
题点 与函数零点有关的参数取值范围问题
解 f(x)＝x|x－4|－5＝在平面直角坐标系中画出该函数的图像，
由图可得当直线y＝a与该函数的图像有3个交点时，a的取值范围是－519．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
考点 函数模型的应用
题点 分段函数模型的应用
解 (1)由题意，得y＝
(2)∵当x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
答 老张的销售利润是39万元．
20．(12分)已知函数f(x)＝mx2－3x＋1的零点至少有一个大于0，求实数m的取值范围．
考点 一元二次方程根的分布
题点 区间根问题综合
解 ①当m＝0时，由f(x)＝0得x＝，符合题意，
②当m≠0时，
(ⅰ)由Δ＝9－4m＝0，得m＝，
令f(x)＝0解得x＝，符合题意；
(ⅱ)Δ＞0，即9－4m＞0时，m<.
设f(x)＝0的两根为x1，x2且x1若0即x1＞0，x2＞0，符合题意，
若m<0，则x1＋x2＝<0，x1·x2＝<0，
即x1<0，x2＞0，符合题意．
综上m≤，即m的取值范围为.
21．(12分)对于实数a和b，定义运算“*”：
a*b＝
设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程为f(x)＝m(m∈R)，恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，求x1x2x3的取值范围．
考点 函数零点存在性定理
题点 与函数零点有关的参数取值范围问题
解 当x≤0，即2x－1≤x－1时，则f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝(2x－1)2－(2x－1)(x－1)＝2x2－x，当x＞0，即2x－1＞x－1时，则f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝(x－1)2－(2x－1)(x－1)＝－x2＋x，画出大致图像如图，
可知当m∈时，f(x)＝m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，其中x2，x3是方程－x2＋x－m＝0的根，x1是方程2x2－x－m＝0的一个根，则x2x3＝m，x1＝，所以x1x2x3＝，显然，该式随m的增大而减小，
因此，当m＝0时，(x1x2x3)max＝0；
当m＝时，(x1x2x3)min＝.
由以上可知x1x2x3的取值范围为.
22．(12分)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m(1≤m≤4且m∈R)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y＝m·f(x)，其中f(x)＝
(1)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2个小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
考点 函数模型的综合应用
题点 函数模型的综合应用
解 (1)因为m＝3，所以y＝
当0≤x<6时，由≥2，解得x≤11，此时0≤x<6；当6≤x≤8时，由12－≥2，解得x≤，此时6≤x≤.综上所述，0≤x≤.
故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达小时．
(2)方法一 当6≤x≤8时，y＝2×＋m＝8－x＋，因为8－x＋≥2对6≤x≤8恒成立，即m≥对6≤x≤8恒成立，等价于m≥max(6≤x≤8)．令g(x)＝，则函数g(x)＝在[6,8]上是单调递增函数，当x＝8时，函数g(x)＝取得最大值为，所以m≥，所以所求m的最小值为.
方法二 当6≤x≤8时，y＝2×＋m＝8－x＋，注意到y1＝8－x及y2＝(1≤m≤4且m∈R)均在x∈[6,8]上是减少的，则y＝8－x＋在x∈[6,8]上是减少的，故y≥8－8＋＝，由≥2，得m≥，所以所求m的最小值为.
