模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．如果A＝{x|x>－1}，则下列关系正确的是________．(填序号)
①0?A；②{0}∈A；③?∈A；④{0}?A.
答案 ④
解析 ∵0∈A，∴{0}?A.
2．已知集合A＝{y|y＝31－x，x∈R}，B＝{x|1≤x≤4}，则下列关系正确的是________．(填序号)
①A∩B＝?； ②A∩B＝[1,3]；
③A∪B＝(0，＋∞); ④A∪B＝(0,4]．
答案 ③
解析 ∵y＝31－x＝3·x，∴y>0，
∴A∪B＝(0，＋∞)∪[1,4]＝(0，＋∞)．
3．函数y＝的值域是________．
答案 (0,1]
解析 ∵x2＋1≥1，∴≤1，且>0，即函数的值域为(0,1]．
4．已知f(x)＝(m－1)x2＋3mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－4,2)上的单调性为________．
答案 先递增再递减
解析 ∵f(x)＝(m－1)x2＋3mx＋3是偶函数，
∴m＝0，f(x)＝－x2＋3，函数图象是开口向下的抛物线，顶点坐标为(0,3)，f(x)在(－4,2)上先增后减．
5．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系为________．(按由大到小排列)
答案 a>c>b
解析 ∵2<3.6<4，∴log23.6>1>log43.6.
又∵log43.6>log43.2，∴a>c>b.
6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是________．(填序号)
①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝2－|x|.
答案 ②
解析 ∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴①不对．
y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是单调减函数，故③不对．
④中y＝2－|x|＝|x|虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是单调减函数，只有②对．
7．对数式log(a－3)(7－a)＝b中，实数a的取值范围是________．
答案 (3,4)∪(4,7)
解析 由题意得解得3
8．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.
答案 6
解析 依题意，得g(－2)＝f(－2)＋9＝－f(2)＋9＝3，解得f(2)＝6.
9．已知0答案 2
解析 分别画出函数y＝a|x|与y＝|logax|的图象，通过数形结合法，可知交点个数是2.
10．函数f(x)＝x2－2ax＋1有两个零点，且分别在(0,1)与(1,2)内，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(x)＝x2－2ax＋1，
∴f(x)的图象是开口向上的抛物线．
由题意得即解得111．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是________．(填序号)
①幂函数；②对数函数；③指数函数；④一次函数．
答案 ③
解析 根据指数函数的运算性质可知，
f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y)，故填③.
12．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且方程f(x)＝x无实根．现有四个说法：①若a>0，则不等式f(f(x))>x对一切x∈R成立；②若a<0，则必存在实数x0使不等式f(f(x0))>x0成立；③方程f(f(x))＝x一定没有实数根；④若a＋b＋c＝0，则不等式f(f(x))答案 3
解析 方程f(x)＝x无实根，
∴f(x)－x>0或f(x)－x<0.
∵a>0，∴f(x)－x>0对一切x∈R成立，
∴f(x)>x，用f(x)代替x，∴f(f(x))>f(x)>x，
∴①正确；
同理若a<0，则有f(f(x))∴②错误；③正确；
∵a＋b＋c＝0，∴f(1)－1<0，
∴必然归为a<0，有f(f(x))∴④正确．综上，说法正确的个数是3.
13．定义在R上的奇函数f(x)为减函数，若a＋b≤0，给出下列不等式：
①f(a)·f(－a)≤0；②f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)；③f(b)·f(－b)>0；④f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
其中正确的是________．(填序号)
答案 ①④
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又∵f(x)为R上的单调减函数，
∴当x>0时，f(x)<0，当x<0时，f(x)>0.
由于a·(－a)≤0，∴f(a)·f(－a)≤0，
又∵a＋b≤0，即a≤－b，
∴f(a)≥f(－b)，同理，得f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
14．已知关于x的函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是单调减函数，则a的取值范围是________．
答案 (1,2)
解析 依题意知，a>0且a≠1，
∴2－ax在[0,1]上是单调减函数，
即当x＝1时，2－ax的值最小，又∵2－ax为真数，
∴解得1二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值．
解 (1)∵>1，∴f＝－2×＋8＝5，
∵0<<1，∴f＝＋5＝.
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)如图，在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数y＝x＋5的图象上截取01的部分．图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)的最大值为6.
16．(14分)已知函数f(x)＝.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；
(3)写出f(x)的值域．
解 (1)因为f(x)＝＝＝，
所以f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)＝＝＝1－在R上是单调增函数．
证明如下：任意取x1，x2，使得x1>x2，
所以6x1>6x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝
＝>0.
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在R上是单调增函数．
(3)因为0<<2，
所以f(x)＝1－∈(－1,1)，
所以f(x)的值域为(－1,1)．
17．(14分)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)是函数y＝f(x)图象上的点时，点是函数y＝g(x)图象上的点．
(1)写出函数y＝g(x)的表达式；
(2)当2g(x)－f(x)≥0时，求x的取值范围．
解 (1)令x′＝，y′＝，
把x＝3x′，y＝2y′代入y＝log2(x＋1)，
得y′＝log2(3x′＋1)，
∴g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)2g(x)－f(x)≥0，即log2(3x＋1)－log2(x＋1)≥0，
∴解得x≥0.
即x的取值范围是[0，＋∞)．
18．(16分)已知函数f(x)＝
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)在[－1，＋∞)上为单调增函数，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，由
得零点为，0，－2.
(2)显然，函数g(x)＝x－在上单调递增，
且g＝－；
函数h(x)＝x2＋2x＋a－1在上单调递增，
且h＝a＋.
故若函数f(x)在[－1，＋∞)上为单调增函数，
则a＋≤－，
∴a≤－.
故a的取值范围为.
19．(16分)若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且当x<0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)>0；
(2)求证：f(x)为单调减函数；
(3)当f(4)＝时，解不等式f(x2＋x－3)·f(5－x2)≤.
(1)证明 f(x)＝f＝f2≥0，
又∵f(x)≠0，∴f(x)>0.
(2)证明 设x1又∵f(x)为非零函数，
∴f(x1－x2)＝＝
＝>1，又f(x)>0，∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)为单调减函数．
(3)解 由f(4)＝f2(2)＝，f(x)>0，得f(2)＝.
原不等式转化为f(x2＋x－3＋5－x2)≤f(2)，
结合(2)得x＋2≥2，∴x≥0，
故不等式的解集为{x|x≥0}．
20．(16分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax－1.其中a>0且a≠1.
(1)求f(2)＋f(－2)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)解关于x的不等式－1解 (1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝a－x－1.
∵f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－a－x＋1，x<0.
∴f(x)＝
(3)不等式等价于
或
即或
当a>1时，有或
注意此时loga2>0，loga5>0，
可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)．
同理，可得当0综上所述，当a>1时，
不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)；
当0滚动训练(三)
一、填空题
1．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)＝________.
答案 {3}
解析 ∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．
又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．
又?UB＝{3,4}，∴A∩(?UB)＝{3}．
2．已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)的图象过点，则函数f(x)的值域为________．
答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)
解析 ∵f(x)＝xα(α是常数)的图象过点，
∴2α＝，则α＝－1，
故f(x)＝x－1，易知值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
3．函数f(x)＝x－1的定义域是________，值域是________．
答案 R (－1，＋∞)
解析 显然函数f(x)的定义域为R，因为x>0，故x－1>－1，即f(x)>－1.
4．若a<，则化简的结果是________．
答案
解析 ∵a<，∴2a－1<0，
于是，原式＝＝.
5．＝________.
答案 10
解析 ＝2·＝2×5＝10.
6．比较，23.1,的大小关系是________．
答案 <<23.1
解析 ∵幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，1.5<2，
∴<.又∵指数函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数，<3.1，∴<23.1，∴<<23.1.
7．函数f(x)＝log2|2x－1|的图象大致是__________．(填序号)
答案 ①
解析 当x>0时，函数f(x)单调递增，
当x<0时，f(x)<0.
8．已知f(x)＝loga|x＋b|是偶函数，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为________．
答案 f(b－2)解析 ∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝loga|x|.
当a>1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；
当0∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．综上可知，f(b－2)9．式子的值为________．
答案
解析 ∵log89＝＝log23，∴原式＝.
10．函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．
答案 －3
解析 ∵>0，∴－3∴函数f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－3.
11．设f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)>0，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 因为f(1－a)>f(a)，f(x)＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以解得012．设f(x)＝则f(log0.51.5)＝________.
答案
解析 由对数的运算性质，可得log0.51.5＝log2<0，
所以f(log0.51.5)＝f＝f＝＝.
二、解答题
13．已知集合A＝{x|a－1(1)若a＝0，求A∩B；
(2)若A?B，求实数a的取值范围．
解 (1)若a＝0，则A＝{x|－1所以A∩B＝{x|0(2)由得1≤a≤2，
所以实数a的取值范围是{a|1≤a≤2}．
三、探究与拓展
14．f(x)＝a＋(a∈R)．
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；
(2)用定义法判断函数f(x)的单调性；
(3)若当x∈[－1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)若函数f(x)为奇函数，
∵x∈R，∴f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，
验证当a＝－1时，f(x)＝－1＋＝为奇函数，
∴a＝－1.
(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝，
由x1∴
又＋1>0,＋1>0，
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
(3)当x∈[－1,5]时，∵f(x)为减函数，
∴f(x)max＝f(－1)＝＋a，
若f(x)≤0恒成立，则满足f(x)max＝＋a≤0，
得a≤－，
∴a的取值范围为.
15．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga(1＋1)＋loga(3－1)＝loga4＝2，
解得a＝2(a>0，且a≠1)，
由得x∈(－1,3)．
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]
＝log2，
∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数；
当x∈时，f(x)是减函数．
∴函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
滚动训练(四)
一、填空题
1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B等于_______.
答案 [－2,1)
解析 由4－x2≥0，解得－2≤x≤2，
则函数y＝的定义域为[－2,2]，
由对数函数的定义域可知，1－x>0，
解得x<1，则函数y＝ln(1－x)的定义域为(－∞，1)，
则A∩B＝[－2,1).
2．已知3x＝10，则这样的x的个数为_______.
答案 1
解析 y＝3x是R上的增函数，且值域为(0，＋∞)．
∵10∈(0，＋∞)，∴有且只有一个x与之对应．
3．函数y＝的值域为___________.
答案 (－∞，2)∪(2，＋∞)
解析 y＝＝2＋.
∵≠0，∴y≠2.
4．已知函数f(x)＝logax(0答案 ①
解析 由题意知，当x＝0时，y＝f(1)＝0，排除③④；
当x＝1时，y＝f(2)<0，排除B.
5．函数y＝1＋的零点是_______.
答案 －1
解析 由1＋＝0，得＝－1，∴x＝－1.
6．将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时能全部卖出．已知这种商品每个涨价1元，其销售数就减少20个．为了获得最大利润，售价应定为每个_______元.
答案 95
解析 设售价为90＋x元，
所以利润为(10＋x)(400－20x)＝－20(x＋10)(x－20)
＝－20(x－5)2＋4 500.
所以当x＝5时，即售价为95元时，利润最大.
7．已知0＜a＜1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则x，y，z的大小关系为________．
答案 y＞x＞z
解析 依题意，得x＝loga，y＝loga，z＝loga.又0＜a＜1，＜＜，因此有loga＞loga＞loga，即y＞x＞z.
8．已知f(x)是偶函数，对任意的x1，x2∈(－∞，－1]，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，则下列关系式中成立的是______________________．
答案 f(－1)解析 ∵对任意的x1，x2∈(－∞，－1]，
都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，
∴函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减，
∴f(－2)>f>f(－1)．
又∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)．
∴f(－1)9．y＝ax＋2＋3(a>0且a≠1)恒过定点________．
答案 (－2,4)
解析 y＝ax恒过定点(0,1)，该函数图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得y＝ax＋2＋3的图象．故y＝ax＋2＋3恒过定点(－2,4)．
10．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
答案 (2,3)
解析 设f(x)＝x3－2x－5，
则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，
有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．
11．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序为________．
答案 a解析 在同一平面直角坐标系中同时画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3和y＝－x的图象，根据交点可知a12．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案 16
解析 当t＝0时，y＝a，
当t＝8时，y＝ae－8b＝a，∴e－8b＝，
容器中的沙子只有开始时的八分之一，
即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，
则t＝24,24－8＝16.
二、解答题
13．已知函数f(x)＝
(1)求f(－3)，f(f(－3))；
(2)画出y＝f(x)的图象；
(3)若f(a)＝，求a的值．
解 (1)∵当x≤－1时，f(x)＝x＋5，
∴f(－3)＝－3＋5＝2，
∴f(f(－3))＝f(2)＝2×2＝4.
(2)函数图象如图所示．
(3)当a≤－1时，f(a)＝a＋5＝，a＝－≤－1；
当－1当a≥1时，f(a)＝2a＝，a＝?[1，＋∞)，舍去．
故a的值为－或±.
三、探究与拓展
14．已知函数y＝＋的定义域为M.
(1)求M；
(2)当x∈M时，求函数f(x)＝2(log2x)2＋alog2x的最大值．
解 (1)由题意知解得1≤x≤2，
故M＝{x|1≤x≤2}．
(2)f(x)＝2(log2x)2＋alog2x，
令t＝log2x，t∈[0,1]，
可得g(t)＝2t2＋at，t∈[0,1]，
其对称轴为直线t＝－，
当－≤，即a≥－2时，g(t)max＝g(1)＝2＋a.
当－>，即a<－2时，g(t)max＝g(0)＝0.
综上可知，f(x)max＝
15．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，
令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
∴函数f(x)的零点为3和－1.
(2)依题意知，ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同的实数根，
∴b2－4a(b－1)>0恒成立，
即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，
则(－4a)2－4×4a<0，
即a2－a<0，解得0因此实数a的取值范围是(0,1)．
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知f(3x)＝4x·log2x，那么f的值是________．
答案 －2
解析 令3x＝，得x＝.
故f＝4×log2＝－2.
2．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%(a≠b)的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为________．
答案 y＝x
解析 根据配制前后溶质不变，有等式a%x＋b%y＝c%(x＋y)，即ax＋by＝cx＋cy，
故y＝x.
3．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
答案
解析 函数f(x)的定义域为，
令t＝2x＋1(t>0)．
因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为单调增函数，
t＝2x＋1在上为单调增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为.
4．若f(x)＝则f(x)的值域为__________．
答案 (－2，－1]
解析 当x∈(－∞，1]时，x－1≤0,0<3x－1≤1，－25．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为________．
答案 1，－1,3
解析 令y＝0，即(x－1)(x2－2x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，x3＝3.
6．函数y＝2x－x2的大致图象为________．
答案 ①
解析 在同一平面直角坐标系内作出y1＝2x，y2＝x2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x∈(0,2)时，2x＞x2，即此时y＞0；当x∈(2,4)时，2x＜x2，即y＜0；当x∈(4，＋∞)时，2x＞x2，即y＞0；当x＝－1时，y＝2－1－1＜0.据此可知只有①中的图象符合条件．
7．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
答案 1
解析 f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，
即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
8．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为________．
答案
解析 函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)，
令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，
y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减．
因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)
＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝.
9．已知函数f(x)＝是定义域上的单调减函数，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 由题意得
∴10．有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)________．
答案 21
解析 操作次数为n时的浓度为n＋1，
由n＋1<10%，得n＋1>＝≈21.8，
∴n≥21.
11．已知实数a，b满足loga＝logb，下列五个关系式：
①a>b>1；②0a>1；④0其中可能成立的关系式为________．(填序号)
答案 ②③⑤
解析 由图易知，
loga＝logb有且仅有3种情形：
012．已知0答案 (3,4)
解析 ∵0∴<1＝a0等价于logb(x－3)>0＝logb1.
∵013．如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝ x，y＝，y＝x的图象上，且矩形的边 分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．
答案
解析 由图象可知，点A(xA,2)在函数y＝ x的图象上，所以2＝ xA，xA＝2＝.点B(xB,2)在函数y＝x的图象上，所以2＝，xB＝4.点C(4，yC)在函数y＝x的图象上，
所以yC＝4＝.
又xD＝xA＝，yD＝yC＝，
所以点D的坐标为.
14．已知函数f(x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列四个命题：
①F(x)＝|f(x)|；②函数F(x)是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F(m)－F(n)＜0成立；④当a＞0时，函数y＝F(x)－2有4个零点．其中真命题的序号是________．
答案 ②③④
解析 易知F(x)＝f(|x|)，故F(x)＝|f(x)|不正确；②∵F(x)＝f(|x|)，∴F(－x)＝F(x)，∴函数F(x)是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则F(m)－F(n)＝－alog2m＋1－(－alog2n＋1)＝a(log2n－log2m)＜0；④当a＞0时，F(x)＝2可化为f(|x|)＝2，即a|log2|x||＋1＝2，即|log2|x||＝，故|x|＝2或|x|＝2，故函数y＝F(x)－2有4个零点，故②③④正确．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)计算：(1)－0＋－0.5＋；
(2)lg 500＋lg －lg 64＋50×(lg 2＋lg 5)2.
解 (1)原式＝＋1－1＋＋e－＝＋e.
(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－lg 26＋50×(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.
16．(14分)已知函数y＝loga(x＋3)－(a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，求b的值．
解 当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a>0，且a≠1都有y＝loga1－＝0－＝－，所以函数y＝loga(x＋3)－的图象恒过点A．
若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则－＝3－2＋b，所以b＝－1.
17．(14分)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
解 (1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，
则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，
即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
设F(x)＝loga＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可．
∵F(x)在[0,1)上是单调增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m≤0即为所求．
18．(16分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解 (1)由题意，得y＝
(2)∵当x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
由1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
答 老张的销售利润是39万元．
19．(16分)已知关于x的方程32x＋1＋(m－1)(3x＋1－1)－(m－3)·3x＝0有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．
解 设3x＝t，则t>0,32x＋1＝3t2,3x＋1＝3t，原方程化为3t2＋(m－1)(3t－1)－(m－3)t＝0，
即3t2＋2mt－(m－1)＝0.①
∵t＝3x在R上为单调增函数，
∴原方程有2个不相等的实根即方程①有两个不相等的正根．
∴ 解得m<－.
∴m的取值范围是．
20．(16分)对于实数a和b，定义运算“*”：
a*b＝
设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程为f(x)＝m(m∈R)，恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，求x1x2x3的取值范围．
解 当x≤0，即2x－1≤x－1时，则f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝(2x－1)2－(2x－1)(x－1)＝2x2－x，当x＞0，即2x－1＞x－1时，则f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝(x－1)2－(2x－1)(x－1)＝－x2＋x，画出大致图象如图，可知当m∈时，f(x)＝m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，其中x2，x3是方程－x2＋x－m＝0的根，x1是方程2x2－x－m＝0的一个根，则x2x3＝m，x1＝，所以x1x2x3＝，显然，该式随m的增大而减小，
令g(x)＝，m∈，则当m＝0时，g(x)max＝0；
当m＝时，g(x)min＝.
由以上可知x1x2x3的取值范围为.
§3.1 指数函数
3.1.1 分数指数幂
第1课时 根 式
学习目标 1.理解n次实数方根、n次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
知识点一 n次实数方根，n次根式
思考 若x2＝3，这样的x有几个？x叫做3的什么？怎么表示？
答案 这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±.
梳理 (1)n次实数方根的概念
定义
一般地，如果一个实数x满足xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根
性质及表示
n是奇数
正数的n次实数方根是一个正数
a的n次实数方根用符号表示
负数的n次实数方根是一个负数
n是偶数
正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数
正数a的正的n次实数方根用符号表示，正数a的负的n次实数方根用符号－表示，可以合并成±(a>0)的形式
负数没有偶次实数方根
0的n次实数方根是0，记作＝0
(2)根式的概念
式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点二 根式的性质
思考 我们已经知道，若x2＝3，则x＝±，那么()2等于什么？呢？呢？
答案 把x＝代入方程x2＝3，有()2＝3.
＝，代表9的正的平方根3.
＝＝3.
梳理 根式的性质
(1)＝0(n∈N*，且n>1)；
(2)()n＝a(n∈N*，且n>1)；
(3)＝a(n为大于1的奇数)；
(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
1．当a≥0时，表示一个数．(√)
2．实数a的n次方根有且只有一个．(×)
3．当n为偶数，a≥0时，≥0.(√)
4.＝n.(×)
类型一 根式的意义
例1 求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
解 ＝
＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，
需解得a∈[－3,3]．
反思与感悟 对于，当n为偶数时，要注意两点
(1)只有a≥0才有意义．
(2)只要有意义，必不为负．
跟踪训练1 若＝a－1，求a的取值范围．
解 ∵＝|a－1|＝a－1，
∴a－1≥0，∴a≥1.
类型二 利用根式的性质化简或求值
例2 化简：
(1)；
(2)(a>b)；
(3)()2＋＋.
解 (1)＝|3－π|＝π－3.
(2)＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
反思与感悟 n为奇数时n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数且a≥0时，n才有意义，且n＝a，而a为任意实数均有意义，且＝|a|.
跟踪训练2 求下列各式的值．
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
解 (1)＝－2.
(2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)＋＝a＋|1－a|＝
类型三 有限制条件的根式的化简
例3 设－3解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3∴当－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
引申探究
本例中，若将“－3解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，
∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
反思与感悟 当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．
跟踪训练3 已知x∈[1,2]，化简()4＋＝________.
答案 1
解析 ∵x∈[1,2]，∴x－1≥0，x－2≤0，
∴()4＋
＝x－1＋
＝x－1－(x－2)
＝1.
1．已知x5＝6，则x等于________．
答案
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是________．（填序号）
①；②；③；④.
答案 ③
3．()4运算的结果是________．
答案 2
4.的值是________．
答案 －2
5．化简(2x>1)的结果是________．
答案 2x－1
1．根式的概念：如果xn＝a，那么x叫做a的n次实数方根，其中n>1，且n∈N*.n为奇数时，x＝，n为偶数时，x＝±(a>0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
2．掌握两个公式：(1)()n＝a；(2)n为奇数，＝a，n为偶数，＝|a|＝
3．一个数到底有没有n次实数方根，我们一定要先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数还是偶数这两种情况．
一、填空题
1．已知m10＝2，则m＝________.
答案 ±
解析 ∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±.
2．计算×的结果是 .
答案 16
3．化简的值是________．
答案 －
解析 ＝＝－.
4．化简等于________．
答案 e－e－1
解析 ＝
＝＝
＝|e－1－e|＝e－e－1.
5．若2答案 1
解析 ∵20，a－3<0，
∴＋＝|2－a|＋|3－a|＝a－2＋3－a＝1.
6．5－2的平方根是________．
答案 ±(－)
解析 ±＝±＝±
＝±(－)．
7．化简＋的结果为________．
答案 0
解析 原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.
8．若x<0，则|x|－＋＝________.
答案 1
解析 ∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋
＝－x＋x＋1＝1.
9.＝________.
答案 3－2
解析 方法一 ＝＝
＝＝3－2.
方法二 ＝＝3－2.
10．把a 根号外的a移到根号内等于________．
答案 －
解析 要使有意义，需a<0.
∴a＝－|a|
＝－＝－.
二、解答题
11．求＋＋的值．
解 ∵＝－6，
＝|－4|＝4－，
＝－4，
∴原式＝－6＋4－＋－4＝－6.
12．设f(x)＝，若0解 f＝＝
＝＝，
因为0故f＝－a.
13．化简＋.
解 原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．
∴原式＝
三、探究与拓展
14．化简(1－a)·＝________.
答案 －
解析 要使函数有意义需a－1>0.
(1－a) ＝－|a－1|
＝－ ＝－.
15．计算：
(1) － ＋；
(2)＋－.
解 (1)原式＝－＋
＝－＋＝.
(2)原式＝－8＋|－2|－(2－)
＝－8＋2－－2＋
＝－8.
第2课时 分数指数幂
学习目标 1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理数指数幂的意义．
知识点一 分数指数幂
思考 根据n次实数方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？
①＝＝a2＝ (a>0)；
②＝＝a4＝ (a>0)；
③＝＝a3＝ (a>0)．
答案 当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数．
梳理 分数指数幂的定义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n均为正整数)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n均为正整数)；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
知识点二 有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂，即
(1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)；
(2)(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)；
(3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，s，t∈Q)．
知识点三 无理数指数幂
一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用．
1．(×)
2．(×)
3．当a>0时，(ar)s＝(as)r.(√)
4．(√)
类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化
命题角度1 分数指数幂化根式
例1 用根式的形式表示下列各式(x>0)．
(1)；(2).
解 (1)＝.
(2)＝.
反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．
跟踪训练1 用根式表示(x>0，y>0)．
解 ＝＝·.
命题角度2 根式化分数指数幂
例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.
(1)；(2)；
(3)；(4).
解 (1)＝.
(2)＝＝.
(3)＝＝＝.
(4)＝＝＝a3.
反思与感悟 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义．如＝＝－1，但就不是实数了．为了保证在取任何有理数时，都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．
跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂．
(1) ；(2) (a>0)；(3)b3·；(4) .
解 (1)＝＝＝.
(2)＝＝＝＝.
(3)b3·＝b3·＝.
(4)＝＝＝＝＝＝.
类型二 运用指数幂运算公式化简求值
例3 计算下列各式(式中字母都是正数)．
(1)＋－0.5；
(2)÷；
(3).
解 (1) ＋－0.5
＝()2＋ －＝0.09＋－＝0.09.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]
＝4ab0＝4a.
(3)＝＝.
反思与感悟 一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
跟踪训练3 (1)化简：×0＋80.25×＋；
(2)化简：；
(3)已知＝5，求的值．
解 (1)原式＝×1＋＋22×33＝112.
(2)＝5×(－4)××.
(3)由＝5，两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理得：x＋x－1＝23，则有＝23.
类型三 运用指数幂运算公式解方程
例4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
解 方法一 ∵a>0，b>0，又ab＝ba，
∴＝?a＝?a＝，
∴＝?a8＝32?a＝.
方法二 ∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，
即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝.
反思与感悟 指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的．
跟踪训练4 已知67x＝27,603y＝81，求－的值．
解 由67x＝33，得67＝，由603y＝81，得603＝，
∴＝＝9＝32，
∴－＝2，故－＝－2.
1．化简的值为________．
答案 4
2．等于________．
答案
3．用分数指数幂表示(a>b)为________．
答案
4．()4等于________．
答案 a2
5．给出下列各式：
①＝a；②＝(a>0)；③＝.
其中正确的为________．（填序号）
答案 ②
解析 ①＝∴①错；②＝(a)＝(aa)＝(a)＝a，∴②正确；③＝－，＝＝，∴③错．
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质．
2．指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
一、填空题
1．已知等式x2n=45-3，则x________．
答案
2．已知n∈N，n>1，那么＝________.
答案 5
解析 ＝＝5.
3．若＝9，则a＝________.
答案 ±3－5
解析 由＝9，得＝95，即a－2＝95＝310，
所以a＝±3－5.
4．化简式子[(－)2]的结果是________．
答案
解析 [(－)2]＝＝＝.
5.·等于________．
答案 a
解析 ·＝a＝a.
6．(3－2x)中x的取值范围是________．
答案
解析 (3－2x)＝＝，要使该式有意义，需3－2x>0，即x<.
7．＋＝________.
答案 4
解析 ＋＝＋=2＋2=4.
8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则a2x＋＝________.
答案 9
解析 a2x＋＝(ax)2·(ay)＝32·5＝9.
9．若＋＝0，则(x2 017)y＝________.
答案 －1
解析 因为＋＝0，
所以＋＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
所以x＝－1，y＝－3.
所以(x2 017)y＝[(－1)2 017]－3＝(－1)－3＝－1.
10．(＋)2 015×(－)2 016＝________.
答案 －
解析 (＋)2 015×(－)2 016＝[(＋)(－)]2 015×(－)
＝12 015×(－)＝－.
二、解答题
11．化简：÷.
解 原式＝÷
＝÷()
＝÷()
＝÷(ab)
＝
＝.
12．化简下列各式．
(1)(a>0，b>0)；
(2)(a>0)；
(3)a3·；
(4)－(a>0)．
解 (1)方法一 ＝＝a＋b.
方法二 ＝＝a＋b.
(2)＝＝a
＝a(a>0)．
(3)a3·＝a3·a＝a.
(4)－
＝－
＝a－a＝0.
13．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)，若g(2)＝a，求f(2)．
解 因为f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，
又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，
所以f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，
－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，
两式联立解得a＝2，进一步求得f(2)＝.
三、探究与拓展
14．设a－a＝m，则＝________.
答案 m2＋2
解析 将a－a＝m两边平方得(a－a)2＝m2，
即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋＝m2＋2?＝m2＋2.
15．已知函数f(x)＝，g(x)＝.
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数(已知y＝x在R上是单调增函数)；
(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
(1)证明 设x1>x2>0，
∵y＝x在R上是单调增函数，
∴>.
又∵(x1x2)>0，
∴f(x1)－f(x2)＝()
＝()[1＋(x1x2)]>0.
∴f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．
(2)解 经计算知f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)·g(3)＝0，由此猜想：f(x2)－5f(x)g(x)＝0.
证明如下：
f(x2)－5f(x)g(x)
＝(x－x)－(x＋x)(x－x)
＝(x－x)－(x－x)＝0.
3.1.2 指数函数(一)
学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．
知识点一 指数函数
思考 细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？
答案 y＝2x.它的底为常数，自变量为实数，在指数位置，而y＝x2恰好反过来．
梳理 一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R.
特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的原因：
①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③ax的系数必须为1；④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．
知识点二 指数函数的图象和性质
a>1
0图象
性质
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)图象过定点(0,1)
(4)在(－∞，＋∞)上是单调增函数
在(－∞，＋∞)上是单调减函数
1．y＝xx(x>0)是指数函数．(×)
2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(×)
3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．(√)
4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(×)
类型一 求指数函数的解析式
例1 已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，
即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝.
反思与感悟 (1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．
(2)要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
跟踪训练1 已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值．
解 由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.
类型二 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域
命题角度1 f?ax?型
例2 求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1.
解 (1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1)．
∵y＝＝1－，
又∵3x>0,1＋3x>1，
∴0<<1，∴－1<－<0，
∴0<1－<1，∴值域为(0,1)．
(2)函数的定义域为R，
y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，
∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，
∴值域为．
反思与感悟 解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围．从而把问题转化为y＝f(t)的问题．
跟踪训练2 求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；
(2)y＝(a>0，且a≠1)．
解 (1)∵1－x≥0，∴x≤1，解得x≥0，
∴原函数的定义域为[0，＋∞)．
令t＝1－x (x≥0)，则0≤t<1，∴0≤<1，
∴原函数的值域为[0,1)．
(2)原函数的定义域为R.
方法一 设ax＝t，则t∈(0，＋∞)．
y＝＝＝1－.
∵t>0，∴t＋1>1，
∴0<<1，∴－2<<0，
∴－1<1－<1.
即原函数的值域为(－1,1)．
方法二 由y＝(a>0，且a≠1)，得ax＝－.
∵ax>0，∴－>0，∴－1∴原函数的值域是(－1,1)．
命题角度2 af?x?型
例3 求函数y＝ 的定义域、值域．
解 要使函数有意义，
则x应满足32x－1－≥0，即32x－1≥3－2.
∵y＝3x在R上是单调增函数，
∴2x－1≥－2，解得x≥－.
故所求函数的定义域为.
当x∈时，32x－1∈.
∴32x－1－∈[0，＋∞)．
∴原函数的值域为[0，＋∞)．
反思与感悟 y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围．
跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；(2)y＝.
解 (1)由x－1≠0，得x≠1，
所以函数定义域为{x|x≠1}．
由≠0，得y≠1，
所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0，得x≥，
所以函数定义域为．
由≥0，得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}．
类型三 指数函数图象的应用
命题角度1 指数函数整体图象
例4 试画出y＝2x＋1的图象，指出它与y＝2x的图象的关系．
解 y＝2x＋1的图象如图，它是由y＝2x的图象向左平移1个单位长度得到．
反思与感悟 函数y＝ax的图象主要取决于01.但前提是a>0且a≠1.在此基础上通过平移、伸缩对称等变换，可得到一些常遇到的函数图象．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是________．
答案 (－1,5)
解析 方法一 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．
方法二 y＝ax过定点(0,1)，它向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度可得y＝ax＋1＋4的图象．
∴f(x)的图象过定点P(－1,5)．
命题角度2 指数函数局部图象
例5 若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
解 y＝|2x－1|＝
图象如下：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，需0<2a<1，即0反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，体现了指数函数图象的“原料”作用．
跟踪训练5 试画出函数y＝a|x|(a>1)的图象．
解 函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，图象如图．
1．下列各函数中，为指数函数的是________．(填序号)
①y＝(－3)x；②y＝－3x；③y＝3x－1；④y＝x.
答案 ④
2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是________．
答案 ∪(1,+∞)
3．函数y＝的值域是________．
答案 (0,1]
4.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则a，b的取值范围分别是________．
答案 05．函数f(x)＝＋的定义域为________．
答案 (－3,0]
解析 由题意，自变量x应满足
解得－31．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．
3．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．
一、填空题
1．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝____.
答案 2
解析 由题意得解得a＝2.
2．函数y＝的定义域是________．
答案 (－∞，5]
解析 要使函数式有意义，需32－2x≥0,32≥2x,25≥2x，解得x≤5.
3．函数y＝3x与y＝x的图象关于________对称．
答案 y轴
解析 y＝x＝3－x，(x，y)与(－x，y)关于y轴对称．
4．若函数y＝ax－a (a>0且a≠1)是R上的单调减函数，与y轴交于点P(0，b)，则b的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 ∵y＝ax－a是R上的单调减函数，
∴0令x＝0，得b＝1－a∈(0,1)．
5．设f(x)＝则f(f(－1))＝________.
答案 2
解析 f(－1)＝(－1)2＝1，f(f(－1))＝f(1)＝21＝2.
6．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．
答案 7
解析 由已知得解得
所以f(x)＝x＋3，所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7.
7．已知5a＝0.3,0.7b＝0.8，则ab与0的大小关系是________．
答案 ab<0
解析 由f(x)＝5x与g(x)＝0.7x的图象可知，5a＝0.3<1时，a<0，同理b>0.所以ab<0.
8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
答案 (－1,0)∪(0,1)
解析 由x<0，得0<2x<1；
∵x>0，∴－x<0,0<2－x<1，
∴－1<－2－x<0.
∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
9．如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点E，B，则a＝________.
答案
解析 设点C(0，m)，则由已知可得A，E，B.又因为点E，B在指数函数的图象上，所以两式相除得＝2，所以m＝2，
所以a＝.
10．给出函数f(x)＝则f(x)的值域为________．
答案 [8，＋∞)
解析 当x≥3时，2x≥23＝8；当x<3时，皆可通过有限次加1转化为第一类．
二、解答题
11．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝；
(2)y＝5－x－1.
解 (1)令1－x≥0，得x≤1.
∴定义域为(－∞，1]．
设t＝≥0.
则3t≥30＝1.
∴值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R，
∵5－x>0，∴5－x－1>－1.
∴值域为(－1，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝ax (a>0，且a≠1)，在区间[1,2]上的最大值为m，最小值为n.
(1)若m＋n＝6，求实数a的值；
(2)若m＝2n，求实数a的值．
解 (1)∵无论01，函数f(x)的最大值都是a和a2的其中一个，最小值为另一个，
∴a2＋a＝6，解得a＝2或a＝－3(舍)，
故a的值为2.
(2)当0由a＝2a2，解得a＝0(舍)或a＝，∴a＝.
当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上是单调增函数，其最小值为f(1)＝a，最大值为f(2)＝a2.
由a2＝2a，解得a＝0(舍)或a＝2.∴a＝2.
综上知，实数a的值为或2.
13．已知x∈[－3,2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．
解 f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝2＋，∵x∈[－3,2]，∴≤2－x≤8，则当2－x＝，即x＝1时，f(x)有最小值，当2－x＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57.
三、探究与拓展
14．若函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是________．(填序号)
①a>1，且b<1; ②0③00; ④a>1，且b<0.
答案 ④
解析 已知函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，画出草图如图所示．
由图象可得
即解得故④正确．
15．已知函数f(x)＝ax－1 (x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．
解 (1)因为函数f(x)＝ax－1 (x≥0)的图象经过点，
所以a2－1＝a＝.
(2)由(1)得f(x)＝x－1(x≥0)，
函数为单调减函数，
当x＝0时，函数取最大值2，故f(x)∈(0,2]，
所以函数y＝f(x)＋1＝x－1＋1(x≥0)∈(1,3]，
故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1,3]．
3.1.2 指数函数(二)
学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．
知识点一 不同底指数函数图象的相对位置
思考 y＝2x与y＝3x都是单调增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？
答案 经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方．
梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系
(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去记忆，如图．
(2)指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．
知识点二 比较幂的大小
思考 若x1＜x2，则与 (a＞0且a≠1)的大小关系如何？
答案 当a＞1时，y＝ax在R上为单调增函数，所以＜，
当0＜a＜1时，y＝ax在R上为单调减函数，所以＞.
梳理 一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
知识点三 解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解，也可化归为x >1求解．
知识点四 与指数函数复合的函数单调性
思考 y＝的定义域与y＝的定义域是什么关系？y＝的单调性与y＝的单调性有什么关系？
答案 由于y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，故y＝的定义域与y＝的定义域相同，故研究y＝的单调性，只需在y＝的定义域内研究．若设0＜x1＜x2，则＞，＜，不等号方向的改变与y＝x，y＝的单调性均有关．
梳理 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当01．y＝21－x是R上的增函数．(×)
2．若0.1a>0.1b，则a>b.(×)
3．a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.(×)
4．由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．(×)
类型一 解指数方程
例1 解下列关于x的方程．
(1)81×32x＝x＋2；
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.
解 (1)∵81×32x＝x＋2，
∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
∴2x＋4＝－2(x＋2)，
∴x＝－2.
(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝或t＝－1(舍去)．
∴2x＝，解得x＝－2.
反思与感悟 (1)af(x)＝b型通常化为同底来解．
(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．
跟踪训练1 解下列方程．
(1)33x－2＝81；
(2)＝；
(3)52x－6×5x＋5＝0.
解 (1)∵81＝34，∴33x－2＝34，
∴3x－2＝4，解得x＝2.
(2)∵＝，∴5＝5，
∴＝，解得x＝.
(3)令t＝5x，则t>0，
原方程可化为t2－6t＋5＝0，
解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，
∴x＝1或x＝0.
类型二 指数函数单调性的应用
命题角度1 比较大小
例2 比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；
(3)1.70.3,0.83.1.
解 (1)∵1.7＞1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是单调增函数．
∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.
(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方．
而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.
方法二 ∵1.50.3＞0，且＝0.3，
又＞1,0.3＞0，∴0.3＞1，
∴1.70.3＞1.50.3.
(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，
∴1.70.3＞0.83.1.
反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.
跟踪训练2 比较下列各题中两个值的大小．
(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)－π，1.
解 (1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是单调减函数．
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1＜1.250.2.
(2)∵0＜＜1，
∴函数y＝x在R上是单调减函数．
又∵－π＜0，∴－π＞0＝1，
即－π＞1.
命题角度2 解指数不等式
例3 解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
解 当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
跟踪训练3 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
答案
解析 ∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x?x>1－x?x>.
∴x∈．
命题角度3 与指数函数复合的函数单调性问题
例4 (1)求函数y＝的单调区间；
(2)求函数y＝2x－8·x＋17的单调区间．
解 (1)y＝的定义域为R.
∵在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是单调减函数，
∴y＝在(－∞，3]上是单调增函数．
在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是单调增函数，
∴y＝在[3，＋∞)上是单调减函数．
∴y＝的单调增区间是(－∞，3]，单调减区间是[3，＋∞)．
(2)设t＝(t>0)，又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，
令≤4，得x≥－2.
∴当－2≤x1，
即4≥t1>t2，∴t－8t1＋17∴y＝－8·＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．
同理可得单调减区间是(－∞，－2]．
反思与感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x1跟踪训练4 求下列函数的单调区间．
(1)y＝；
(2)y＝.
解 (1)设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为单调减函数，在[－1，＋∞)上为单调增函数．
当a>1时，y关于u为单调增函数；
当0∴当a>1时，原函数的单调增区间为[－1，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1]；
当0(2)已知函数的定义域为{x|x≠0}．
设y＝，u＝0.2x，且u＝0.2x为单调减函数．
而根据y＝的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的单调减函数，∴原函数的单调增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
1．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
答案 a解析 ∵y＝0.5x在R上是单调减函数，且＞＞，
∴＜＜.
2．方程42x－1＝16的解是________．
答案
解析 42x－1＝42，∴2x－1＝2，x＝.
3．设0＜a＜1，则关于x的不等式＞的解集为________．
答案 (1，＋∞)
解析 ∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是单调减函数，
又∵＞，
∴ ＜ ，解得x＞1.
4．函数f(x)＝的单调增区间为________．
答案 (－∞，0]
解析 ∵f(x)＝，0<<1，∴f(x)的单调增区间为u(x)＝x2－1的单调减区间，即(－∞，0]．
5．若指数函数y＝ax 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.
答案
解析 若0解得a＝或a＝(舍去)．
若a>1，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，
解得a＝或a＝(舍去)．
综上所述a＝.
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．
3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相同．
当0(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的单调增区间还是单调减区间．
一、填空题
1．设x<0，且1答案 a解析 ∵1当x＝－1时，<，即b>a，∴02．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是________．
答案 3
解析 函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调增函数，当x＝1时，ymax＝3.
3．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m,n满足f(m)>f(n)，则m,n的大小关系为________．
答案 m解析 ∵0<<1，
∴f(x)＝ax＝x在R上是单调减函数，
又∵f(m)>f(n)，∴m4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调减区间是________．
答案 [2，＋∞)
解析 由f(1)＝得a2＝，
所以a＝，
即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上是单调减函数，在[2，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)在(－∞，2]上是单调增函数，在[2，＋∞)上是单调减函数．
5．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则y1，y2，y3由小到大依次为________．
答案 y2，y3，y1
解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，
根据y＝2x在R上是单调增函数，
得21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2.
6．已知0.2x＜25，则x的取值范围为________．
答案 (－2，＋∞)
解析 原不等式即5－x＜52，∴－x＜2，x＞－2.
7．函数f(x)＝的单调减区间是________．
答案 (2，＋∞)
解析 函数由f(t)＝t，t(x)＝x2－4x－5复合而成，其中f(t)＝t是单调减函数，t(x)＝x2－4x－5在(－∞，2)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．由复合函数的单调性可知，函数的单调减区间为(2，＋∞)．
8．设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，则3c＋3a________2.(填>，＝，<)
答案 <
解析 f(x)＝|3x－1|的图象如图．
由c＜b＜a且f(c)>f(a)>f(b)可知c，b，a不在同一个单调区间上．
故有c<0，a>0.
∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.
∵f(c)>f(a)，∴1－3c>3a－1, ∴3c＋3a<2.
9．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足解析式f(x)＝规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过________ h后才能开车．(精确到1 h)
答案 4
解析 当0≤x≤1时，≤5x－2≤，此时不宜开车；由·x≤0.02，当x=3时，不等式不成立，当x=4时，不等式成立.故至少要过4 h后才能开车．
10．若4x＋2x＋1＋m>1对一切实数x成立，则实数m的取值范围是__________．
答案 [1，＋∞)
解析 4x＋2x＋1＋m>1等价于(2x)2＋2·2x＋1>2－m，即(2x＋1)2>2－m.∵2x∈(0，＋∞)，∴2x＋1∈(1，＋∞)，∴2－m≤1，解得m≥1.
二、解答题
11．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)>0；
(2)当a＝，x∈[0,2]时，求f(x)的值域．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
f(x)>0，即2·(2x)2－2x－1>0，
解得2x>1或2x<－(舍去)，∴x>0，
∴不等式f(x)>0的解集为(0，＋∞)．
(2)当a＝时，f(x)＝4x－2x－1，x∈[0,2]．
设t＝2x.∵x∈[0,2]，∴t∈[1,4]．
∴y＝g(t)＝t2－t－1(1≤t≤4)．
画出g(t)＝t2－t－1(1≤t≤4)的图象(如图)，
可知g(t)min＝g(1)＝－1，g(t)max＝g(4)＝11，
∴f(x)的值域为[－1,11]．
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1-2-x，求不等式f(x)<－的解集．
解 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
由2x－1<－，2x<2－1，得x<－1.
当x>0时，由1－2－x<－，x>，得x∈?.
综上可知x∈(－∞，－1)．
13．已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)当x∈(1，＋∞)时，求函数f(x)的值域．
解 (1)函数f(x)为奇函数，证明如下：
函数f(x)＝的定义域为R，
又∵f(－x)＝＝
＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)令2x＝t，则g(t)＝＝－1＋.
∵x∈(1，＋∞)，∴t>2，∴t＋1>3，
∴0<<，∴－1<－1＋<－.
故函数f(x)的值域为．
三、探究与拓展
14．设f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且当x>2时，f(x)是单调增函数，则a＝f(1.10.9)，b＝f(0.91.1)，c＝f(2)的大小关系是________．(按由大到小排列)
答案 b>a>c
解析 ∵f(x)＝f(4－x)，∴f(x)关于x＝2对称．
又∵f(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，
∴f(x)在(－∞，2)上是单调减函数．
又∵1.10.9>1,0<0.91.1<1，∴0.91.1<1.10.9<2，
∴f(0.91.1)>f(1.10.9)>f(2)，即b>a>c.
15．已知函数f(x)＝3x＋k·3－x为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若关于x的不等式＋f(1－3ax－2)<0只有一个整数解，求实数a的取值范围．
解 (1)显然f(x)的定义域为R.
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＋f(－x)＝3x＋k·3－x＋3－x＋k·3x
＝(k＋1)(3x＋3－x)＝0对一切实数x都成立，
∴k＝－1.
(2)由(1)得f(x)为R上的单调增函数，又f(x)是奇函数，
∴)＋f(1－3ax－2)<0
?<3ax－2－1
?<3ax－2
?2ax2－4x?(ax－2)(2x－1)<0.
当a≤0时，显然不符合题意；
当a>0时，由不等式只有一个整数解，可知不等式的解集为，且1<≤2?1≤a<2，
∴实数a的取值范围是[1,2)．
§3.2 对数函数
3.2.1 对 数
第1课时 对数的概念
学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．
知识点一 对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数．log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.
知识点二 对数与指数的关系
思考 loga1(a>0，且a≠1)等于？
答案 设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.
梳理 (1)对数与指数的关系
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝x.
对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
(2)对数的性质
①1的对数为零.
②底的对数为1.
③零和负数没有对数．
1．若3x＝2，则x＝log32.(√)
2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.(√)
3．logaN>0(a>0且a≠1，N>0)．(×)
4．若ln N＝，则N＝e.(×)
类型一 对数的概念
例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是________．
答案 (2,4)∪(4,5)
解析 ∵∴2反思与感悟 由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.
跟踪训练1 求f(x)＝logx的定义域．
解 要使函数式有意义，需
解得0∴f(x)＝logx的定义域为(0,1)．
类型二 应用对数的基本性质求值
例2 求下列各式中x的值．
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1.
解 (1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
反思与感悟 logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
跟踪训练2 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为________．
答案 9
解析 ∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
类型三 对数式与指数式的互化
命题角度1 指数式化为对数式
例3 将下列指数式写成对数式．
(1)54＝625；(2)2－6＝；(3)3a＝27；(4)m＝5.73.
解 (1)log5625＝4.(2)log2＝－6.
(3)log327＝a.(4) 5.73＝m.
反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
跟踪训练3 (1)将3－2＝，6＝化为对数式;
(2)解方程：m＝5.
解 (1)3－2＝可化为log3＝－2；
6＝可化为＝6.
(2)m＝5.
命题角度2 对数式化为指数式
例4 求下列各式中x的值．
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；
(4)－ln e2＝x；(5)＝x.
解 (1)x＝＝＝4－2＝.
(2)因为x6＝8，所以x＝＝＝＝＝.
(3)因为10x＝100＝102，所以x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.
(5)因为)＝x，
所以(－1)x＝＝＝＝－1，
所以x＝1.
反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
跟踪训练4 计算：(1)log927；(2)；(3).
解 (1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.
(2)设x＝，则x＝81,＝34，∴x＝16.
(3)令x＝，则x＝625,＝54，∴x＝3.
命题角度3 对数恒等式＝N的应用
例5 (1)求 ＝2中x的值；
(2)求 的值(a，b，c∈(0，＋∞)且不等于1，N＞0)．
解 (1)∵ ＝33· ＝27x＝2，∴x＝.
(2) ＝ ＝ ＝N.
反思与感悟 应用对数恒等式时应注意
(1)底数相同．
(2)当N>0时才成立，例如y＝x与y＝并非相等的函数．
跟踪训练5 设＝9，则x＝________.
答案 2
解析 ∵＝＝＝(2x－1)2＝9.
∴2x－1＝±3，又∵2x－1>0，∴2x－1＝3.
∴x＝2.
1．logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是________．
答案 ba＝N
2．若logax＝1，则x＝________.
答案 a
3．下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________．
①e0＝1与ln 1＝0；
②＝与log8＝－；
③log39＝2与＝3；
④log77＝1与71＝7.
答案 ③
4．已知logx16＝2，则x＝________.
答案 4
5．设10lg x＝100，则x的值等于________．
答案 100
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
一、填空题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的序号为________．
答案 ①③④
解析 ①,③,④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
2．已知log2(1－2x)＝1的解x＝________.
答案 －
解析 ∵log2(1－2x)＝1，
∴2＝1－2x，
∴x＝－.
3．81＝________.
答案 8
解析 设81＝t，则()t＝81,3＝34，＝4，t＝8.
4．下列四个等式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.
其中正确等式的序号是________．
答案 ①②
解析 ①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；
③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝ee.
5．－1＋log0.54的值为________．
答案 0
解析 －1＋log0.54＝－1＋log4＝2－2＝0.
6．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是________．
答案 45
解析 由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
7．已知f(log2x)＝x，则f＝________.
答案
解析 令log2x＝，则x＝2＝，
即f＝f(log2)＝.
8．方程＝的解是________．
答案 x＝
解析 ∵＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.
9．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x＝________.
答案
解析 ∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴23＝x.
∴x＝(23)＝＝＝.
10．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝________.
答案
解析 ∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，
∴3a－b＝＝.
11．＋＝________.
答案 13
解析 ＋
＝22×＋
＝4×3＋
＝12＋1＝13.
二、解答题
12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式．
①log68；②log62；③log26.
解 (1)①因为log2x＝－，所以x＝2＝.
②因为logx3＝－，所以x＝3，
所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8，得6a＝23，即6＝2，所以log62＝.
③由6＝2，得2＝6，所以log26＝.
13．设M＝{0,1}，N＝{lg a,2a，a,11－a}，是否存在a的值，使M∩N＝{1}?
解 不存在a的值，使M∩N＝{1}成立．
若lg a＝1，则a＝10，此时11－a＝1，从而11－a＝lg a＝1，与集合元素的互异性矛盾；
若2a＝1，则a＝0，此时lg a无意义；
若a＝1，此时lg a＝0，
从而M∩N＝{0,1}，与条件不符；
若11－a＝1，则a＝10，从而lg a＝1，与集合元素的互异性矛盾．
所以不存在a，使M∩N＝{1}．
三、探究与拓展
14．(＋)＝________.
答案 －1
解析 由题意，知(＋)
＝(－)－1＝－1.
15．若集合{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}，求log2(x2＋y2)的值．
解 根据集合中元素的互异性可知，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，y≠0，
∴第一个集合中的元素xy≠0，只有lg(xy)＝0，可得xy＝1.①
然后，还有两种可能：x＝y，②
或xy＝y.③
由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，
若x＝y＝1，则xy＝1，违背集合中元素的互异性；
若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两集合中的元素相同．
∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．
①③联立，解得x＝y＝1，违背集中元素的互异性.
因此，log2(x2＋y2)＝log22＝1.
第2课时 对数的运算性质
学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识点一 对数运算性质
一般地，如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点二 换底公式
思考 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？
答案 设法换为同底．
一般地，我们有logaN＝，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1.这个公式称为对数的换底公式．
1．log2x2＝2log2x.(×)
2．loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．(×)
3．logaM·logaN＝loga(M＋N)．(×)
4．logx2＝.(√)
类型一 具体数字的化简求值
例1 计算：(1)log345－log35；
(2)log2(23×45)；
(3)；
(4)log29·log38.
解 (1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2log33＝2.
(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)＝13log22＝13.
(3)原式＝
＝＝
＝＝.
(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)
＝2log23·3log32
＝6·log23·
＝6.
反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循两个原则
(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．
(2)不同底化为同底．
跟踪训练1 计算：(1)2log63＋log64；
(2)(lg 25－lg )÷；
(3)log43·log98；
(4)log2.56.25＋ln－.
解 (1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.
(2)原式＝÷＝lg 102÷10－1＝2×10＝20.
(3)原式＝·＝·＝.
(4)原式＝log2.5(2.5)2＋－
＝2＋－
＝.
类型二 代数式的化简
命题角度1 代数式恒等变换
例2 化简loga.
解 ∵>0且x2>0，>0，
∴y>0，z>0.
loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga
＝2loga|x|＋logay－logaz.
反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lg x2不一定等于2lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.
跟踪训练2 已知y>0，化简loga.
解 ∵>0，y>0，∴x>0，z>0.
∴loga＝loga－loga(yz)＝logax－logay－logaz.
命题角度2 用代数式表示对数
例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b，
于是log3645＝＝＝
＝＝.
方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝
＝＝.
方法三 ∵log189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
∴log3645＝＝＝
＝＝.
反思与感悟 用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．
跟踪训练3 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
解 ∵log23＝a，则＝log32，
又∵log37＝b，
∴log4256＝＝＝.
1．log5＋log53等于________．
答案 0
2．lg ＋lg 的值是________．
答案 1
解析 lg ＋lg ＝lg ＝lg 10＝1.
3．log29×log34等于________．
答案 4
4．lg 0.01＋log216的值是________．
答案 2
解析 lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2.
5．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值是________．
答案 2
解析 由已知得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，
所以2＝(lg a－lg b)2
＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝4－2＝2.
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质时应注意
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n；②loga(MN)＝logaM·logaN；
③logaM±logaN＝loga(M±N)．
一、填空题
1．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
答案 81
解析 ∵logab·log3a＝·＝＝log3b＝4，
∴b＝34＝81.
2．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.
答案 1
解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
3．化简等于________．
答案 3
解析 ＝log28＝log2(23)＝3.
4．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示lg 15为________．
答案 b－a＋1
解析 lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5
＝lg 3＋lg ＝lg 3＋1－lg 2＝b－a＋1.
5．若log5·log36·log6x＝2，则x等于________．
答案
解析 由换底公式，得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
6．计算(log32＋log23)2－－的值是________．
答案 2
解析 原式＝(log32)2＋2log32·log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.
7．(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
答案
解析 原式＝
＝log23·＝.
8．(log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6－log62)＝________.
答案 1
解析 (log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6－log62)
＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6
＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6
＝(log62)2＋(log63)2＋2log62×log63
＝(log62＋log63)2
＝1.
9．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg 2＋lg x＋lg y，则＝________.
答案 2
解析 由已知条件得
即
整理得
∴x－2y＝0，∴＝2.
10．计算＋＋(－)0－log31＋2lg 5＋lg 4－＝________.
答案
解析 ∵＝＝＝，
＝＝＝1，
(－)0＝1，log31＝0，
2lg 5＋lg 4＝lg(52×4)＝lg 102＝2，
＝2，
∴原式＝＋1＋1－0＋2－2＝.
11．若log23·log34·log4m＝log3，则m＝________.
答案 2
解析 因为log23·log34·log4m＝··＝log2m＝，所以m＝＝2.
二、解答题
12．若x·log32 016＝1，求2 016x＋2 016－x的值．
解 方法一 ∵x·log32 016＝log32 016x＝1，
∴2 016x＝3，∴2 016－x＝.
∴2 016x＋2 016－x＝3＋＝.
方法二 由x·log32 016＝1，得x＝＝log2 0163，
∴2 016x＝＝3,2 016－x＝＝.
∴2 016x＋2 016－x＝3＋＝.
13．计算：
(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－1；
(2).
解 (1)(log33)2＋log0.25＋9log5－1
＝2＋1＋9×－0
＝＋1＋＝.
(2)＝
＝＝
＝＝
＝＝1.
三、探究与拓展
14．若3x＝4y＝36，则＋＝________.
答案 1
解析 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得
xlog63＝ylog64＝2，
∴＝log63，＝log64，即＝log62，
故＋＝log63＋log62＝1.
15．设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.
证明 log(c＋b)a＋log(c－b)a＝＋＝
＝＝logaa2·log(c＋b)a·log(c－b)a
＝2log(c＋b)a·log(c－b)a，
即等式成立．
3.2.2 对数函数(一)
学习目标 1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．
知识点一 对数函数的概念
思考 已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？
答案 由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)．习惯上用x,y分别表示自变量、因变量，上式可改为y=log2x,x∈(0，＋∞)．
梳理 一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．
知识点二 对数函数的图象与性质
定义
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是单调增函数
在(0，＋∞)上是单调减函数
共点性
图象过点(1,0)，即loga1＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0) ；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与y＝x的图象关于x轴对称
1．由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.(√)
2．y＝2log2x是对数函数．(×)
3．y＝ax与y＝logax的单调区间相同．(×)
4．由loga1＝0，可得y＝logax恒过定点(1,0)．(√)
类型一 对数函数的概念
例1 已知对数函数y＝f(x)过点(4,2)，求f及f(2lg 2)．
解 设y＝logax(a＞0，且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，因此f＝log2＝－1，f(2lg 2)＝log22lg 2＝lg 2.
反思与感悟 一个函数是对数函数必须满足以下条件
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由．
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)；
(4)y＝log5x.
解 ∵(1)中真数不是自变量x，
∴不是对数函数.
∵(2)中对数式后减1，∴不是对数函数.
∵(3)中底数是自变量x，而非常数a，
∴不是对数函数．
(4)为对数函数．
类型二 对数函数的定义域的应用
例2 求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)．
解 (1)由得－3∴函数的定义域是{x|－3(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
引申探究
1．若将本例(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定义域．
解 由得x>3.
∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x>3}．
2．求函数y＝loga[(x＋3)·(x－3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？
解 (x＋3)(x－3)>0，即或
解得x<－3或x>3.
∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}．
相比引申探究1，函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y＝loga[(x＋3)·(x－3)]，要使对数有意义，只需(x＋3)与(x－3)同号，而对于y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，要使对数有意义，必须(x－3)与(x＋3)同时大于0.
反思与感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．
跟踪训练2 求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；
(3)y＝log(3x－1)(2x＋3)．
解 (1)要使函数有意义，需
即即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需即
所以－1故所求函数的定义域为{x|－1(3)要使函数有意义，需
即所以x>且x≠，
故所求函数的定义域为∪.
类型三 对数函数单调性的应用
命题角度1 比较同底对数值的大小
例3 比较下列各组数中两个值的大小．
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
解 (1)考察对数函数y＝log2x，
因为2>1，
所以它在(0，＋∞)上是单调增函数，
又3.4＜8.5，
于是log23.4(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是单调减函数，
又1.8＜2.7，
于是 log0.31.8>log0.32.7.
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是单调增函数，
又5.1＜5.9，
于是loga5.1当0又5.1＜5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.
反思与感悟 比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数的底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22跟踪训练3 设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是________．
答案 a>b>c
解析 ∵a＝log3π＞1，b＝log23，则＜b＜1，c＝log32＜，∴a＞b＞c.
命题角度2 求y＝logaf?x?型的函数值域
例4 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．
答案 (0，＋∞)
解析 f(x)的定义域为R.
∵3x>0，∴3x＋1>1.
∵y＝log2x在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，
即f(x)的值域为(0，＋∞)．
反思与感悟 在函数三要素中，值域从属于定义域和对应法则．故求y＝logaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf(x)的取值范围．
跟踪训练4 函数y＝的值域为________．
答案 [0，＋∞)
解析 ∵当x<－1时，0<3x<3－1＝，
当x≥1时，log2x≥log21＝0，
∴函数的值域为∪[0，＋∞)＝[0，＋∞)．
类型四 对数函数的图象
命题角度1 画与对数函数有关的函数图象
例5 画出函数y＝lg|x－1|的图象．
解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图)．
(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图)．
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图)．
反思与感悟 现在画图象很少单纯描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
跟踪训练5 画出函数y＝|lg(x－1)|的图象．
解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图)．
(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图)．
(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．
命题角度2 与对数函数有关的图象变换
例6 函数f(x)＝4＋loga(x－1)(a>0，a≠1)的图象过一个定点，则这个定点的坐标是__________．
答案 (2,4)
解析 因为函数y＝loga(x－1)的图象过定点(2,0)，所以函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图象过定点(2,4)．
反思与感悟 y＝f(x)y＝f(x＋a)，y＝f(x)y＝f(x)＋b.对具体函数(如对数函数)仍然适用．
跟踪训练6 若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝loga的图象是________．（填序号）
答案 ④
解析 代入(4,2)，得2＝a4－1，即a3＝2，
∴a＝>1.
g(x)＝loga＝－loga(x＋1)．
在(－1，＋∞)上为单调减函数且过点(0,0)．故填④.
1．函数y＝log2(x－2)的定义域是________．
答案 (2，＋∞)
2．函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是________．
答案 (－1,1)∪(1，＋∞)
解析 ∵∴
∴定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
3．函数f(x)＝log0.2(2x＋1)的值域为________．
答案 (－∞，0)
4．已知函数y＝loga(a，b为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则a＋b的值为________．
答案
解析 ∵u＝x＋b为单调增函数，
y＝logau为单调减函数，
∴0又由图象过点(0,2)，(3,0)，
∴2＝logab，∴a2＝b，又0＝loga，
∴＋b＝1，b＝.
∴a＝，∴a＋b＝＋＝.
5．若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________．
答案 (1,3)
1．含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数．
判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式．如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数．
2．研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质．
3．研究与对数函数图象有关的问题，以对数函数图象为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分．
一、填空题
1．给出下列函数：
①y＝x2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；
④y＝logπx.
其中是对数函数的是________．(填序号)
答案 ④
解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝______.
答案 5
解析 ∵
∴a＝5.
3．设集合M＝，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于________．
答案 (－∞，1]
解析 M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．
4．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为________．
答案 2
解析 代入(6,3)，得3＝loga(6＋2)＝loga8，
即a3＝8，∴a＝2.
∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2.
5．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
答案 (4，－1)
解析 当x－3＝1，即x＝4时，与a值无关，
∴P(4，－1)．
6．已知函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，那么f(x)的单调增区间是________．
答案 (－∞，－1)
解析 当x∈(－1,0)时，|x＋1|∈(0,1)，
∵loga|x＋1|>0，∴0画出f(x)的图象如图：
由图可知f(x)的单调增区间为(－∞，－1)．
7.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是____________．
答案 {x|2解析 由题意知，f(x)>0，由所给图象可知f(x)>0的解集为{x|28．设a＝log2π，b＝π，c＝π－2，则a，b，c的大小关系是______________．
答案 a>c>b
解析 因为π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝π<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0c>b.
9．已知函数f(x)＝|lg x|，若0答案 (5，＋∞)
解析 因为f(a)＝f(b)，且0g(1)＝1＋＝5，即a＋4b的取值范围是(5，＋∞)．
10．已知f(x)＝的值域为R，那么实数a的取值范围是____________．
答案
解析 要使函数f(x)的值域为R，则必须满足
即所以－≤a<.
二、解答题
11．若y＝(a)x在R上为单调减函数，求实数a的取值范围．
解 ∵函数y＝(a)x在R上为单调减函数，
∴0即1∴即a的取值范围为．
12．根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题：
(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最值．
解 函数f(x)＝log2x的图象如图．
(1)∵f(x)＝log2x为单调增函数，又f(a)>f(2)，
∴log2a>log22.
∴a>2.即a的取值范围是(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27.
∴log23≤log2(2x－1)≤log227=3log23.
∴函数f(x)＝log2(2x－1)在[2,14]上的最小值为log23，最大值为=3log23.
13．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
解 (1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的单调增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当0三、探究与拓展
14．已知loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围是________．
答案
解析 由题意知loga(3a－1)>0＝loga1.
当a>1时，y＝logax是单调增函数，
∴解得a>，∴a>1；
当0∴解得∴综上所述，a的取值范围是1.
15．已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2×log2的最大值与最小值．
解 ∵f(x)＝log2×log2
＝(log2x－2)(log2x－1)
＝2－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝＝2时，f(x)有最小值－；
当log2x＝0时，f(x)有最大值2，此时x＝1.
∴函数f(x)的最大值是2，最小值是－.
3.2.2 对数函数(二)
学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式．
知识点一 y＝logaf(x)型函数的单调区间
形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法
(1)先求g(x)＞0的解集(也就是函数的定义域)．
(2)在f(x)的定义域内，先求g(x)的单调区间，再按“同增异减”原则与对数函数复合.
知识点二 对数不等式的解法
思考 log2x＜log23等价于x＜3吗？
答案 不等价．log2x＜log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0，
∴log2x＜log23?0＜x＜3.
梳理 对数不等式的常见类型
当a＞1时，
logaf(x)＞logag(x)?
当0＜a＜1时，
logaf(x)＞logag(x)?
知识点三 不同底的对数函数图象的相对位置
思考 y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的单调增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？
答案 可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数．
梳理 一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数01．y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(×)
2．在(0，＋∞)上为增函数．(×)
3．ln x<1的解集为(－∞，e)．(×)
4．y＝ax与x＝logay的图象相同．(√)
类型一 对数型复合函数的单调性
命题角度1 求单调区间
例1 求函数y＝(－x2＋2x＋1)的值域和单调区间．
解 设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.
∵y＝t为单调减函数，且0又y＝2＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞)．
再由函数(－x2＋2x＋1)的定义域为－x2＋2x＋1>0，由二次函数的图象知1－∴t＝－x2＋2x＋1在(1－，1)上为单调增函数，而在(1,1＋)上为单调减函数，而y＝t为单调减函数，
∴函数y＝(－x2＋2x＋1)的单调增区间为(1,1＋)，单调减区间为(1－，1)．
反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点
(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．
(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为单调增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为单调减函数，简称“同增异减”．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝(－x2＋2x)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)求f(x)的单调性．
解 (1)由题意得－x2＋2x>0，
由二次函数的图象知0当0∴(－x2＋2x)≥1＝0.
∴函数y＝(－x2＋2x)的值域为[0，＋∞)．
(2)设u＝－x2＋2x(0∵函数u＝－x2＋2x在(0,1)上是单调增函数，在(1,2)上是单调减函数，v＝u是单调减函数，
∴由复合函数的单调性得函数f(x)＝(－x2＋2x)在(0,1)上是单调减函数，在(1,2)上是单调增函数．
命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围
例2 已知函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
解 令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是单调减函数，∵0<<1，∴y＝g(x)是单调减函数，而已知复合函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是单调增函数，
∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2(＋1)]．
反思与感悟 若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0跟踪训练2 若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为单调减函数，则a的取值范围是________．
答案 (1,3)
解析 函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是单调减函数，那么函数y＝logau就是单调增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1类型二 对数型复合函数的奇偶性
例3 判断函数f(x)＝ln 的奇偶性．
解 由>0可得－2所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称．
方法一 f(－x)＝ln ＝ln－1＝－ln
＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln 是奇函数．
方法二 f(x)＋f(－x)＝ln ＋ln
＝ln＝ln 1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln 是奇函数．
引申探究
若已知f(x)＝ln为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？
解 由>0，得－b∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，即a＝b.
当a＝b时，f(x)＝ln.
f(－x)＋f(x)＝ln＋ln
＝ln
＝ln 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
故f(x)为奇函数时，a＝b.
反思与感悟 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单．
跟踪训练3 判断函数f(x)＝lg(－x)的奇偶性．
解 方法一 由－x>0可得x∈R，
所以函数的定义域为R且关于原点对称，
又f(－x)＝lg(＋x)
＝lg
＝lg
＝－lg(－x)＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)．
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
方法二 由－x>0可得x∈R，
f(x)＋f(－x)＝lg(－x)＋lg(＋x)
＝lg[(－x)(＋x)]
＝lg(1＋x2－x2)＝0.
所以f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
类型三 对数不等式
例4 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1)．解关于x的不等式：loga(1－ax)＞f(1)．
解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a)．
∴1－a＞0.∴0＜a＜1.
∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a)．
∴即∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为(0,1)．
反思与感悟 对数不等式解法要点
(1)化为同底logaf(x)＞logag(x)．
(2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向．
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.
跟踪训练4 已知A＝{x|log2x<2}，B＝，则A∩B等于________．
答案
解析 log2x<2，即log2x∴A＝(0,4)．
<3x<，即3－1<3x<，
∴－11.如图所示，曲线是对数函数f(x)＝logax的图象，已知a取，，，，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为________．
答案 ，，，
2．如果x答案 13．函数f(x)＝ln x2的单调减区间为____________．
答案 (－∞，0)
4．给出下列函数：
①f(x)＝lg；②f(x)＝|lg x|；③f(x)＝lg|x|.其中是偶函数的是________．(填序号)
答案 ①③
5．若函数f(x)＝(mx＋6)在(1,3)上是单调增函数，则实数m的取值范围是________．
答案 [－2,0)
解析 ∵f(x)＝(mx＋6)在(1,3)上是单调增函数，
∴y＝mx＋6在(1,3)上是单调减函数，并且在(1,3)上恒有mx＋6>0，∴解得－2≤m<0，即实数m的取值范围是[－2,0)．
1．判断函数奇偶性的三个步骤
(1)一看：定义域是否关于原点对称.
(2)二找：若函数的定义域关于原点对称，再确定是否满足恒等式f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0，或者f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0.
(3)三判断：判断是奇函数还是偶函数．
2．判断函数是否具有单调性的方法步骤
(1)对于由基本初等函数通过运算构成的函数或复杂函数，先利用换元法将函数分解为基本初等函数，利用“同增异减”的规律判断单调性．
(2)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．
特别提醒：在解决函数的单调性和奇偶性问题时，首先要确定其定义域．
一、填空题
1．函数y＝的定义域为________．
答案 [1，＋∞)
解析 要使函数有意义，需满足
∴ ∴x≥1，
∴函数y＝的定义域为[1，＋∞)．
2．函数y＝ax与y＝－logax (a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能是______．(填序号)
答案 ①
解析 当a>1时，指数函数y＝ax为单调增函数，而对数函数y＝－logax＝logx为单调减函数．故填①.
3．已知loga<1，那么a的取值范围是________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 当a>1时，由loga，故a>1；当04．函数y＝log2(x2－1)的单调增区间为________．
答案 (1，＋∞)
解析 由x2－1>0解得定义域为{x|x<－1或x>1}，
又y＝log2t在定义域上是单调增函数，t＝x2－1在(1，＋∞)上单调增函数，
∴函数的单调增区间为(1，＋∞)．
5．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是________．
答案 (－∞，0]∪[1，＋∞)
解析 令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
6．若函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
答案 (1,2)
解析 根据题意有或
解得17．不等式(4x＋2x＋1)＞0的解集为_____________________________________．
答案 (－∞，log2(－1))
解析 由(4x＋2x＋1)＞0，得4x＋2x＋1＜1，
即(2x)2＋2·2x＜1，配方得(2x＋1)2＜2，
所以2x＜－1，两边取以2为底的对数，
得x＜log2(－1)．
8．若函数y＝loga|x－2|(a>0，且a≠1)在区间(1,2)上是单调增函数，则f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性为________．
答案 单调减函数
解析 当19．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f(1)>f，则x的取值范围为___________．
答案 ∪(10，＋∞)
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(1)>f?f(1)>f．①
又∵f(x)在[0，＋∞)上是单调减函数，
∴①式等价于>1，
即>1，|－lg x|>1，
lg x>1或lg x<－1，
lg x>lg 10或lg x或
解得解集为∪(10，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，则不等式0答案
解析 不等式0即0由得－1由0因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，
解得－由得－二、解答题
11．已知函数y＝lg是奇函数，求实数a的值．
解 由函数y＝lg是奇函数，得
lg＝－lg＝lg ，
即－a＝，
化简得4－4a＋a2(1－x2)＝1－x2，
所以解得a＝1.
12．设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,3]时，求f(x)的最大值．
解 (1)由
得
∴ 即
∴a＝4，b＝2.
(2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，
设t＝2x，∵x∈[1,3]，∴t∈[2,8]．
令u＝4x－2x＝t2－t＝2－，
∴当t＝8，即x＝3时，umax＝56.
故f(x)的最大值为log256.
13．已知f(x)＝(x2－ax－a)．
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域；
(2)若f(x)在上为单调增函数，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝(x2＋x＋1)，
∵x2＋x＋1＝2＋≥，
∴(x2＋x＋1)≤＝2－log23，
∴f(x)的值域为(－∞，2－log23]．
y＝x2＋x＋1在上单调减函数，在上单调增函数，y＝x在(0，＋∞)上单调减函数，
∴f(x)的单调增区间为，
单调减区间为．
(2)令u＝x2－ax－a＝2－－a，
∵f(x)在上为单调增函数，
又∵y＝u为单调减函数，∴u在上为单调减函数，且u＞0在上恒成立．
因此即
解得－1≤a≤.
故实数a的取值范围是.
三、探究与拓展
14．已知0答案 (3,4)
解析 <1，即∵00.
又∵015．如图所示，过函数f(x)＝logcx(c>1)的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M(a,0)，N(b,0)(b>a>1)，线段BN与函数g(x)＝logmx(m>c>1)的图象交于点C，且AC与x轴平行．
(1)当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；
(2)当b＝a2时，求－的最小值；
(3)已知h(x)＝ax，φ(x)＝bx，若x1，x2为区间(a，b)内任意两个变量，且x1(1)解 由题意得A(2，log32)，B(4，log34)，C(4，logm4)，
因为AC与x轴平行，所以logm4＝log32，所以m＝9.
(2)解 由题意得A(a，logca)，B(b，logcb)，C(b，logmb)，
因为AC与x轴平行，所以logmb＝logca，
因为b＝a2，所以m＝c2，
所以－＝－＝2－1，
所以当＝1时，－取得最小值－1.
(3)证明 因为a1，
所以logca又因为a>1，b>1，所以<， <，
又因为logcb·logca＝logca·logcb，
所以logc＝logc，
所以＝，所以<，
即h[f(x2)]<φ[f(x1)]．
§3.3 幂函数
学习目标 1.理解幂函数的概念.2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．
知识点一 幂函数的概念
思考 y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？
答案 底数为x，指数为常数．
梳理 一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞) 上减，在(－∞，0) 上减
知识点三 一般幂函数的图象特征
一般幂函数的特征
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是单调减函数．
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(5)在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
1．y＝－是幂函数．(×)
2．当x∈(0,1)时，x2>x3.(√)
3．与的定义域相同．(×)
4．若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(√)
类型一 幂函数的概念
例1 已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
解 由题意得解得
所以m＝－3或1，n＝.
反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数．
跟踪训练1 在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数为________．
答案 y＝
解析 因为y＝＝x－2，所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y＝1不是幂函数．
类型二 幂函数的图象及应用
例2 若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)解 设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以，将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1引申探究
若对于本例中的f(x)，g(x)，定义h(x)＝
试画出h(x)的图象．
解 h(x)的图象如图所示：
反思与感悟 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程．
跟踪训练2 幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ=________．
答案 1
解析 由条件知，M，N，
∴＝α，＝β，
∴αβ＝α＝α＝，
∴αβ＝1.
类型三 幂函数性质的综合应用
命题角度1 比较大小
例3 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．（用“>”连接）
答案 b>a>c
解析 ∵y＝x在R上为单调减函数，
∴<，即a∵f(x)＝在(0，＋∞)上为单调增函数，
∴>，即a>c.∴b>a>c.
反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小．
(1)0.3与0.3；
(2)－1与－1；
(3)0.3与.
解 (1)∵0<0.3<1，
∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为单调增函数．
又>，
∴0.3>0.3.
(2)∵y＝x－1在(－∞，0)上为单调减函数，
又－<－，
∴－1>－1.
(3)∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为单调增函数，
∴由>0.3，可得0.3>0.30.3.①
又y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为单调减函数，
∴0.30.3>.②
由①②知0.3>.
命题角度2 幂函数性质的综合应用
例4 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
<的a的取值范围．
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为<.
因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a解得故a的取值范围是．
反思与感悟 幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．
跟踪训练4 已知幂函数f(x)＝(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解 (1)∵m∈N*，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为单调增函数．
(2)∵＝＝，
∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍)，
∴f(x)＝，
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为单调增函数，
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，
解得1≤a<.
即实数a的取值范围为.
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α=________．
答案
解析 由幂函数的定义知，k＝1.又f＝，
所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
2．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4) =________．
答案
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为________．
答案 1,3
4．下列是y＝的图象的是________．(填序号)
答案 ②
5．以下结论正确的是________．（填序号）
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
答案 ④
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸．
3．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．
一、填空题
1．下列函数中是幂函数的是________．(填序号)
①y＝x4＋x2；②y＝10x；③y＝；④y＝x＋1.
答案 ③
解析 根据幂函数的定义知，y＝是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．
2．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内单调递减，则m的值为________．
答案 －3
解析 由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数知，m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵该函数在第一象限内单调递减，∴m<0.故m＝－3.
3．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．
答案 －1
解析 ∵f(x)＝xα为奇函数，∴α可能为－1,1,3，
又y＝f(x)＝xα在(0，＋∞)上为单调减函数，∴α＝－1.
4．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)
答案 >
解析 ∵y＝x－1在(0，＋∞)上是单调减函数，5.25<5.26，
∴5.25－1>5.26－1；
∵y＝5.26x是单调增函数，－1>－2，
∴5.26－1>5.26－2.
综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．(用“>”连接)
答案 a>c>b
解析 因为y＝在x>0时是单调增函数，所以a>c.又y＝x在x>0时是单调减函数，所以c>b.所以a>c>b.
6．已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 当x≤0时，由f(x)＝ax为减函数，知00时，由f(x)＝3a－为减函数，知a∈R，且要满足a0≥3a，解得a≤.综上可知，实数a的取值范围为.
7．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2) (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是单调减函数，则n的值为________．
答案 1
解析 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n ＝－3，经检验只有n＝1符合题意．
8．函数f(x)＝(x＋3)－2的单调增区间是________．
答案 (－∞，－3)
解析 y＝x－2＝的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，又y＝(x＋3)－2是由y＝x－2向左平移3个单位得到的，∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．
9．已知幂函数f(x)＝(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
答案 f(x)＝x－1
解析 ∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，∴m2－1<0，解得－1∵图象关于原点对称，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
10．已知x2>，则x的取值范围是________________．
答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 作出函数y＝x2和y＝的图象(如图所示)．
由图象易知，当x2>时，x<0或x>1.
二、解答题
11．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是单调减函数，且f(－x)＝f(x)，求m的值．
解 因为f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是单调减函数，所以3m－5<0，故m<.
又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，
当m＝0时，f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；
当m＝1时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意．
综上知，m＝1.
12．已知幂函数f(x)＝(m∈Z)在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)讨论F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)的奇偶性，并说明理由．
解 (1)由于幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，求得－1因为m∈Z，所以m＝0,1,2.
因为f(x)是偶函数，所以m＝1，故f(x)＝x－4.
(2)由(1)知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)
＝a·x－4＋(a－2)x.
当a＝0时，F(x)＝－2x，对于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有F(x)＝－F(－x)，
所以F(x)＝－2x是奇函数；
当a＝2时，F(x)＝，对于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有F(x)＝F(－x)，所以F(x)＝是偶函数；
当a≠0且a≠2时，F(1)＝2a－2，F(－1)＝2，
因为F(1)≠F(－1)，F(1)≠－F(－1)，
所以F(x)＝＋(a－2)x是非奇非偶函数．
综上，当a＝0时，F(x)为奇函数；当a＝2时，F(x)为偶函数；当a≠0且a≠2时，F(x)为非奇非偶函数．
13．已知幂函数f(x)的图象过点(25,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－lg x)，求g(x)的定义域、值域．
解 (1)设f(x)＝xα，则由题意可知25α＝5，
∴α＝，∴f(x)＝.
(2)∵g(x)＝f(2－lg x)＝，
∴要使g(x)有意义，只需2－lg x≥0，
即lg x≤2，解得0＜x≤100.
∴g(x)的定义域为(0,100]，
又2－lg x≥0，∴g(x)的值域为[0，＋∞)．
三、探究与拓展
14．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0其中可能成立的式子有________．(填上所有可能成立式子的序号)
答案 ①③⑤
解析 首先画出y1＝与y2＝的图象(如图)，已知＝＝m，作直线y＝m.
若m＝0或1，则a＝b；若0若m>1，则115．已知幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为单调增函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx是单调函数，求m的取值范围．
解 (1)∵幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)在(0，＋∞)上为单调增函数，
∴(2k－1)(3－k)>0，解得∵k∈Z，∴k＝1或k＝2.
当k＝1时，(2k－1)(3－k)＝2，
满足函数f(x)为偶函数，
当k＝2时，(2k－1)(3－k)＝3，
不满足函数f(x)为偶函数，
∴k＝1，且f(x)＝x2.
(2)∵f(x)＝x2，
∴g(x)＝f(x)－mx＝x2－mx，
函数g(x)的对称轴为直线x＝.
要使函数g(x)在[－1,1]上是单调函数，
则≤－1或≥1，
解得m≤－2或m≥2，
故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
§3.4 函数的应用
3.4.1 函数与方程
第1课时 函数的零点
学习目标 1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数的单调性及图象判断零点个数．
知识点一 函数的零点概念
思考 函数的“零点”是一个点吗？
答案 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
梳理 (1)一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
知识点二 零点存在性定理
一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
1．f(x)＝x2的零点是0.(√)
2．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(×)
3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(√)
4．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(×)
类型一 求函数的零点
例1 函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
答案 x＝1或x＝10
解析 由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.
反思与感悟 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．
答案 4
解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)
＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．
可知零点为±1，－2,3，共4个．
类型二 判断函数零点所在的区间
例2 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
答案 (1,2)
解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．
反思与感悟 在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．
跟踪训练2 若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
答案 2
解析 ∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是单调增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点．
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，
∴n＝2.
类型三 函数零点个数问题
命题角度1 判断函数零点的个数
例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2零点的个数．
解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为单调增函数，
故函数f(x)有且只有一个零点．
方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
反思与感悟 判断函数零点个数的方法
(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．
(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．
跟踪训练3 求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数．
解 方法一 由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．又因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调增函数，所以它仅有一个零点．
方法二 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数．
由图象可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点．
命题角度2 根据零点情况求参数范围
例4 f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是________．
答案 (－1，＋∞)
解析 由题意可得a＝x－x(x＞0)．
令g(x)＝x－x，该函数在(0，＋∞)上为单调增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．
反思与感悟 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向为
(1)化为常见的基本初等函数．
(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．
跟踪训练4 若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，
即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，
根据图象列出不等式组
解得∴－＜m＜－，
∴实数m的取值范围是．
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1零点的个数是________．
答案 2
解析 ∵Δ＝9－4×2×1＝1>0，
∴f(x)有两个零点．
2．函数f(x)＝x2－2x的零点是________．
答案 0,2
解析 令x2－2x＝0，得x＝0，x＝2，
∴零点是0,2.
3．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，对于下面的判断：
①f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点；
②f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点；
③f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点；
④f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点．
正确的说法是________．(填序号)
答案 ③
4．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
答案 (－1,0)
解析 由f(0)·f(1)<0，即b(b＋1)<0，
得－15．函数f(x)＝x3－x零点的个数是________．
答案 1
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象．
4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
一、填空题
1．下列图象表示的函数中没有零点的是________．
答案 ①
解析 ②③④的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，①的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．
2．设函数f(x)＝若f(－4)＝0，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．
答案 2
解析 根据f(－4)＝0，f(－2)＝－2，易求得b＝5，c＝4，故f(x)＝所以当x≤0时，方程f(x)＝x即为x2＋4x＋4＝0，此方程有两个相等的实根，即x1＝x2＝－2，当x>0时，x＝2是方程f(x)＝x的解，故方程f(x)＝x的解的个数为2.
3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是________．
①(0,1)；②(1,2)；③(3,4)；④(4，＋∞)．
答案 ③
解析 由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为单调减函数．f(3)＝2－log23＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－＜0.由零点存在性定理可知函数f(x)在区间(3,4)上必存在零点．
4．若a>3，则函数f(x)＝x2－ax＋1在区间(0,2)上恰好有________个零点．
答案 1
解析 由于f(0)＝1，>1，f(2)＝5－2a<0，则函数f(x)的大致图象如图所示，在(0,2)上恰好有1个零点．
5．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则f(x1)·f(x2)________0. (填“>”“＝”“<”)
答案 <
解析 方法一 由f(x)＝0，得2x＋＝0，∴2x＝.
在同一直角坐标系中，作出函数y1＝2x，y2＝的图象(图略)，观察图象可知，当x1∈(1，x0)时，y1当x2∈(x0，＋∞)时，y1>y2，∴f(x1)<0，f(x2)>0.
方法二 ∵函数y＝2x，y＝在(1，＋∞)上均为单调增函数，∴函数f(x)在(1，＋∞)上为单调增函数，
∴由x1∈(1，x0)，f(x0)＝0，得f(x1)由x2∈(x0，＋∞)，f(x0)＝0，得f(x2)>f(x0)＝0.
6．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点是________．
答案 －2和2
解析 f(x)在(0，＋∞)上是单调减函数，f(2)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.
又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.
因此函数f(x)有两个零点－2和2.
7．若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.
8．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________．
答案 (－12,0)
解析 根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．
由图可知
即
解得－12＜a＜0.
9．函数f(x)＝的零点是________．
答案 －2,1
解析 当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lg x＝0，得x＝1，满足要求．所以函数f(x)的零点是－2,1.
10．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
答案
解析 画出函数f(x)的图象，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图象有两个交点，由图可知k＞，且k＜1.
二、解答题
11．设函数f(x)＝ex－m－x，其中，x∈R，当m＞1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．
解 ∵f(x)＝ex－m－x，∴f(0)＝e－m－0＝e－m＞0，f(m)＝e0－m＝1－m，又∵m＞1，∴f(m)＜0，∴f(0)·f(m)＜0.∵函数f(x)的图象在区间(0，m)上是一条连续的曲线，∴函数f(x)＝ex－m－x(m＞1)在区间(0，m)内存在零点．
12．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
则a的取值范围是(－1,1)．
13．已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，求函数y＝f(x)－g(x)零点的个数．
解 由题意知y＝f(x)＋f(2－x)－3，
因为f(x)＝f(2－x)＝
所以f(x)＋f(2－x)＝
在同一坐标系中分别画出函数y＝f(x)＋f(2－x)，y＝3的图象，观察图象可知，函数y＝f(x)－g(x)只有两个零点．
第2课时 用二分法求方程的近似解
学习目标 1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
知识点一 二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
用二分法求方程f(x)＝0近似解的一般步骤
第一步：取一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，令a0＝a，b0＝b；
第二步：取区间(a0，b0)的中点，x0＝(a0＋b0)；
第三步：计算f(x0)．
(1)若f(x0)＝0，则x0就是f(x)＝0的解，计算终止；
(2)若f(a0)·f(x0)<0，则解位于区间(a0，x0)中，令a1＝a0，b1＝x0；
(3)若f(x0)·f(b0)<0，则解位于区间(x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0.
第四步：取区间(a1，b1)的中点，x1＝(a1＋b1)，重复第二步和第三步，直到第n步，方程的解总位于区间(an，bn)内．
第五步：当an，bn精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．(√)
2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．(√)
3．用二分法最后一定能求出函数零点．(×)
4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．(√)
类型一 二分法的操作
例1 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点(精确到0.1)．
解 由于f(0)＝－3＜0，
f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，
故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值(或近似值)
(1,2)
1.5
0.375
(1,1.5)
1.25
－1.047
(1.25,1.5)
1.375
－0.400
(1.375,1.5)
1.437 5
－0.030
(1.437 5,1.5)
1.468 75
0.168
(1.437 5,1.468 75)
1.453 125
0.068
(1.437 5,1.453 125)
1.445 313
0.019
因为1.437 5和1.445 313精确到0.1的近似值都是1.4，所以f(x)的零点的近似值为1.4.
反思与感悟 用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．
跟踪训练1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)．
解 原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
f(x)＝2x＋3x－7
－6
－2
3
10
21
40
75
142
273
…
观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，
所以x0∈(1,1.5)．
再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5)．
因为1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，
所以原方程的近似解为1.4.
类型二 二分法取中点的次数问题
例2 若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)二等分的次数至少为________．
答案 7
解析 设对区间(1,2)至少二等分n次，初始区间长为1.
第1次二等分后区间长为；
第2次二等分后区间长为；
第3次二等分后区间长为；
…，
第n次二等分后区间长为.
根据题意，得＜0.01，∴n＞log2100.
∵6＜log2100＜7，∴n≥7.
故对区间(1,2)至少二等分7次．
反思与感悟 对于区间(a，b)二分一次区间长度为，二分二次区间长度为，…，二分n次区间长度为.令<ε，即2n>，nlg 2>lg，n>，从而估算出至少要使用多少次二分法．
跟踪训练2 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度为0.05，则取中点的次数不小于________．
答案 5
解析 ∵初始区间的长度为1，精确度为0.05，∴≤0.05，即2n≥20.又∵n∈N*，∴n≥5，∴取中点的次数不小于5.
1．下列函数中，只能用二分法求其零点的是________．
①y＝x＋7; ②y＝5x－1；
③y＝log3x; ④y＝x－x.
答案 ④
2．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________．
答案 (2,3)
3．方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为________．
①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)
答案 ③
4．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f＝0时，则函数f(x)的零点是________．
答案 x＝
5．已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断，并且在区间(a，b)内有唯一零点，当a＝1.2，b＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间(a，b)等分的次数至少为________．
答案 2
1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．
一、填空题
1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的图象序号是________．
答案 ③
解析 只有③中零点左右的函数值符号相反且函数图象连续，可以利用二分法求解．
2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是________．(填序号)
①ε越大，零点的精确度越高；
②ε越大，零点的精确度越低；
③重复计算次数就是ε；
④重复计算次数与ε无关．
答案 ②
解析 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间________．
答案 (1.25,1.5)
解析 易知f(x)在R上是单调增函数．由题意可知f(1.25)·f(1.5)＜0，故函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25,1.5)内．
4．用二分法求函数f(x)＝ln x－的零点时，初始区间大致可选为(k，k＋1)，k∈N，那么k的最小值为________．
答案 2
解析 由于f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，f(2)·f(3)＜0，故初始区间可选(2,3)．∴k＝2.
5．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在后面的过程中，他又用“二分法”取了四个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他取的x的四个值依次是________．
答案 1.5,1.75,1.875,1.812 5
6．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.05)为________．
答案 1.4
解析 ∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0，
∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，
∴该方程的根在区间(1.406 5,1.438)内，
又∵|1.406 5－1.438|＝0.031 5＜0.05，
∴方程的近似根为1.4.
7．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．
①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；
③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
答案 ①②
8．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
答案 ④
解析 ∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.∴函数f(x)在(0,4)上有零点．
9．设方程2x＋2x＝10的根为β，β所在区间为(n，n＋1)，则n＝________.
答案 2
解析 设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为单调增函数，又f(0)＝－9，f(1)＝－6，f(2)＝－2，f(3)＝4，
∴f(2)·f(3)＜0，∴β∈(2,3)，n＝2.
10．用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________．
答案
解析 令f(x)＝x3－x2－1，则f(1)＝－1＜0，f(2)＝3＞0，f＝＞0，所以ff(1)＜0，故可断定该实数根所在的区间为.
11．函数f(x)＝log3x－在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为________．
①[1,2]；②；③.
答案 ②
解析 f(1)＝－<0，f(3)＝>0，f(2)＝log32－＝log32－log3＝log3＝log3<0，f＝log3－＝log3－log3＝log3>log3＝log3>0，因此，函数f(x)的零点在区间内．
二、解答题
12．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻)．现只有一台天平，请问：利用二分法的思想，你至多几次就一定可以找出这枚假币？
解 利用二分法，至多四次就一定可以找出这枚假币．第一次把26枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定不平衡，轻的一组(13枚金币)含假币；第二次把含假币的13枚金币分成三组，6,6,1，把6枚金币的两组放在天平上称，如果平衡，说明剩下的一枚是假币(称量结束)，如果不平衡，轻的一组(6枚金币)含假币；第三次把含假币的6枚金币分成两组，放在天平上称，天平不平衡，轻的一组(3枚金币)含假币；第四次把含假币的3枚金币中的两枚放在天平上称，如果平衡，说明剩下的一枚是假币，如果不平衡，轻的一边是假币．
3.4.2 函数模型及其应用
学习目标 1.理解函数模型的概念和作用.2.能用函数模型解决简单的实际问题.3.了解建立拟合函数模型的思想和步骤，并了解检验和调整的必要性．
知识点一 函数模型
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
知识点二 用函数模型解决实际问题
1.解答应用问题的基本思想
2.解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③求模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将数学结论还原为实际应用问题的结论．
知识点三 数据拟合
思考1 我们知道不同的身高需要坐不同高度的桌椅，但你知道任一确定的身高对应的桌椅的最佳高度吗？如何解决？
答案 我们知道桌椅高度与身高有关系，但我们不知道具体的对应关系是什么．这需要调查获得大量的数据，再从数据中找出规律或近似的规律．
梳理 现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的，反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系．这些关系的发现，通常是通过试验或实验测定得到一批数据，再经过分析处理得到的．
数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制．
此类题的解题过程一般有如下五步
(1)作图：即根据已知数据，画出散点图.
(2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试.
(3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式.
(4)检验：将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型.
(5)利用所求出的函数模型解决问题．
思考2 数据拟合时，得到的函数为什么要检验？
答案 因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模型或改选其他函数模型．
1．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(√)
2．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．(×)
3．用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有散点．(×)
4．函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．(×)
类型一 利用已知函数模型求解实际问题
例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．
解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝(h)，所以0≤t≤.
因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t.2 h内火车行驶的路程S＝13＋120×＝233(km)．
反思与感悟 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式．再根据解题需要研究函数性质．
跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
答案 2
解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A(2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2(a≠0)，则－2＝a·22，∴a＝－，∴y＝－x2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B(b，－3)，将B点的坐标代入y＝－x2，得b＝±，因此水面宽2 米．
类型二 自建确定性函数模型解决实际问题
命题角度1 非分段函数模型
例2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000
＝－＋88x－8 000
＝－(x－220)2＋1 680 (0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是单调增函数，∴当x＝210时，
R(x)max＝－(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
反思与感悟 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
跟踪训练2 某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：
销售单价(元)
6
7
8
9
10
11
12
日销售量(桶)
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？
解 设每桶水在进价的基础上上涨x元，利润为y元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x元后，日销售的桶数为
480－40(x－1)＝520－40x＞0，所以0＜x＜13，
则利润y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200
＝－402＋1 490，其中0＜x＜13，
所以当x＝6.5时，利润最大，
即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1 490元．
命题角度2 分段函数模型
例3 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入等于一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用)
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3.
又因为x∈N，所以3≤x≤6，且x∈N.
当6＜x≤20，且x∈N时，
y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115，
综上可知，
y＝f(x)＝
(2)当3≤x≤6，且x∈N时，
因为y＝50x－115是单调增函数，
所以当x＝6时，ymax＝185.
当6＜x≤20，且x∈N时，
y＝－3x2＋68x－115＝－32＋，
所以当x＝11时，ymax＝270.
综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．
反思与感悟 自变量x按取值不同，依不同的对应法则对应因变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型时应注意
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后求并集．
跟踪训练3 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图所示的图象．当x∈(0,12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图象是线段BC，其中C(40,50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．
(1)试求y＝f(x)的函数关系式；
(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．
解 (1)当x∈(0,12]时，
设f(x)＝a(x－10)2＋80(a≠0)．
因为该部分图象过点B(12,78)，将B点的坐标代入上式，得a＝－，
所以f(x)＝－(x－10)2＋80.
当x∈[12,40]时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)．因为线段BC过点B(12,78)，C(40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组解得
所以f(x)＝－x＋90.
故所求函数的关系式为
f(x)＝
(2)由题意，得
或
解得4＜x≤12或12＜x＜28，即4＜x＜28.
故老师应在x∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
1．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为________．
答案 19
2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是________．(填序号)
①y＝ax＋b; ②y＝ax2＋bx＋c；
③y＝aex＋b; ④y＝aln x＋b.
答案 ②
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是____________．
答案 y＝0.957
4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是________．
①y＝2x－1; ②y＝x2－1；
③y＝2x－1; ④y＝1.5x2－2.5x＋2.
答案 ④
5．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
解 设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，旅游收费为y，旅游原价为a.
甲旅行社收费：y＝a＋(x＋1)＝(x＋3)；
乙旅行社收费：y＝(x＋2)．
∵(x＋2)－(x＋3)＝(x－1)，
∴当x＝1时，两家旅行社收费相等．
当x＞1时，甲旅行社更优惠．
1．几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论.
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
一、填空题
1．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)．例如，f(2)＝3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)＝3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元．下图给出的四个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是________．
答案 ③
解析 开始时平均价格与即时价格一致，排除①④；平均价格不能一直大于即时价格，排除②.
2．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低________元．
答案 1.5
解析 设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x)，利润y＝(4－0.1x)·(1 000＋100x)＝－10x2＋300x＋4 000＝－10(x2－30x＋225－225)＋4 000＝－10(x－15)2＋6 250.∴当x＝15时，ymax＝6 250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益．
3．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元(精确到个位)．
(附：1.067≈1.50,1.065≈1.59)
答案 4 500
解析 根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067≈4 500.
4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为________．
答案 x＝15，y＝12
解析 由三角形相似，得＝，
得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180(8≤y<24)．
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次试验的数据．根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
答案 3.75
解析 依题意得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.22＋0.8125，所以当t＝3.75时，p取得最大值．所以最佳加工时间为3.75分钟．
6．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2012年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2018年冬有越冬白鹤________只．
答案 6 000
解析 当x＝1时，由3 000＝alog3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2018年冬，即第7年，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000.
7．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
答案 1.75
解析 由题意有
解得
∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
8．国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税：超过800而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为________元．
答案 3 800
解析 设稿费为x元时纳税y元．
由题意可得y＝
当x＝4 000时，y＝(4 000－800)·14%＝448＞420，可知此人稿费少于4 000元，则有(x－800)·14%＝420，解得x＝3 800，即此人稿费为3 800元．
9．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 3≈0.477，lg 4≈0.602)
答案 5
解析 设至少经过x小时才能开车，由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.2.
10．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
答案 甲
解析 将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．
11．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如表：
时间t(单位：天)
60
100
180
种植成本Q(单位：元/100 kg)
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求得：西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种值成本是________元/100 kg.
答案 120 80
解析 因为随时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数Q＝a(t－120)2＋m描述．将表中数据代入可得则所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种值成本取到最低值80元/100 kg.
二、解答题
12．牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y(只)和实际蓄养量x(只)与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
解 (1)由题意，知空闲率为，
∴y＝kx(0＜x＜m)．
(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)
＝－2＋，
即当x＝时，y取得最大值，
即羊群年增长量的最大值为只．
(3)由题意知，实际蓄养量与年增长量的和不大于最大蓄养量，即0＜x＋y≤m.
∵当x＝时，y最大＝，
∴0＜＋≤m，解得－2＜k≤2.
又∵k＞0，∴0＜k≤2.
1 指数与指数运算疑点透析
1．如何理解n次方根的概念
若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？是x＝吗？这个回答是不完整的．正确表示应如下：
x＝
主要性质有：
①当n为奇数时，＝a；
②当n为偶数时，＝|a|＝
2．如何理解分数指数幂的意义
分数指数幂不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．规定＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定．
3．分数指数幂和整数指数幂有什么异同
相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算．其运算形式为at·as＝at＋s；(at)s＝ats；(ab)t＝at·bt，式中a＞0，b＞0，t，s∈Q，对于这三条性质，不要求证明，但须记准．
不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式．
4．指数幂的运算
在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
例1 化简÷.
解 原式＝÷
＝(aa)÷(aa)
＝a＝a0＝1.
例2 求 的值．
解 原式＝
＝(3)＝3×＝3＝3.
例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算．
2 解读指数函数的四个难点
在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握．
难点之一：概念
指数函数y＝ax有三个特征：①指数：指数只能是自变量x，而不能是x的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.
例1 给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；
④y＝xx；⑤y＝.
其中指数函数的个数是________．
分析 根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考察，是否满足指数函数的定义．
解析 对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①，②，④，⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．
答案 1
难点之二：讨论
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当a＞1时，是单调增函数；当0＜a＜1时，是单调减函数．
例2 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
分析 遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求出a.
解 当a＞1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2－a＝，即a2＝，所以a＝；当0＜a＜1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a，最小值是a2，依题意得a－a2＝，即a2＝，所以a＝.综上可知，a＝或a＝.
难点之三：复合
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则．
例3 求函数y＝的单调减区间．
分析 指数函数与指数型复合函数的区别在于指数自变量是x还是x的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解．
解 由－x2＋x＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]．令u＝－x2＋x＋2＝－2＋，则y＝，当x∈时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的单调减区间为．
难点之四：图象
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征是：当a＞1时，在y轴的右侧，a越大，图象越往上排；在y轴左侧，a越大，图象越往下排．当0＜a＜1时情况相同．
例4 利用指数函数的图象比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．
分析 可在同一坐标系中作出y＝0.7x及y＝0.4x的图象，从图象中得出结果．
解 如图所示，作出y＝0.7x，y＝0.4x及x＝－0.3的图象，
易知0.7－0.3＜0.4－0.3.
评注 图象应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的函数应是y＝0.4x，而不是y＝0.7x，这一点应注意．
3 对数与对数运算学习讲解
1．对数的定义
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
解读：(1)由对数定义可以知道，当a＞0，且a≠1时，ax＝N?x＝logaN，也就是说指数式与对数式实际上是表示a，N之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，＝N，即a的logaN次方等于N，对数恒等式也是化简或计算的重要公式．
2．对数的性质
(1)零和负数没有对数，由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ax＝N(a＞0，且a≠1)中N总是正数；(2)1的对数为0，由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以loga1＝0；(3)底数的对数等于1，由于a1＝a对于任何非零实数都成立，所以logaa＝1.
3．对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；(2)loga＝logaM－logaN，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；(3)logaMn＝nlogaM，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中．
例1 将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式．
(1)log3＝－3；(2)log232＝5；
(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.
解 (1)3－3＝.(2)25＝32.
(3)log6216＝3.
(4)log100.001＝－3，也可写成lg 0.001＝－3.
评注 本题考查了对数式与指数式的互化．解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数．
例2 求下列各式的值．
(1)3log72－log79＋2log7；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解 (1)原式＝log723－log79＋log72
＝log7＝log71＝0.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(lg 5＋2lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2
＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.
评注 利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性．
4 换底公式的证明及其应用
换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助．
一、换底公式及证明
换底公式：logbN＝.
证明 设logbN＝x，则bx＝N.两边均取以a为底的对数，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN.
∴x＝，即logbN＝.
二、换底公式的应用举例
1．乘积型
例1 (1)计算：log89·log2732；
(2)求证：logab·logbc·logcd＝logad.
分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决．
(1)解 换为常用对数，得log89·log2732＝·
＝·＝×＝.
(2)证明 由换底公式，得logab·logbc·logcd
＝··＝logad.
评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决．
2．知值求值型
例2 已知log1227＝a，求log616的值．
分析 本题可选择以3为底进行求解．
解 log1227＝＝a，解得log32＝.
故log616＝＝＝＝.
评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决．
3．综合型
例3 设A＝＋＋，B＝＋，试比较A与B的大小．
分析 本题可选择以19及π为底进行解题．
解 A换成以19为底，B换成以π为底，
则有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360＜2，
B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.故A＜B.
评注 有倒数关系式logab·logba＝1成立，即logab＝.
5 精析对数函数
一、对数函数的概念
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．
由对数的定义容易知道对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)是指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数．在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记．若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数．
二、对数函数的图象和性质
1．对数函数性质的记忆与运用的注意事项
(1)数形结合——利用图象记忆性质．x＝1是“分水岭”；
(2)函数的单调性决定于底数a大于1还是大于0小于1；
(3)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(其中a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的概念、图象、性质，既有密切的联系又有本质的区别．
2．对数函数图象分布规律
如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x＝1的右边区域，在x轴上方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越大，且底数均大于1；在x轴下方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间．图中的对数函数的底数a，b，c，d的大小关系是0＜a＜b＜1＜c＜d.在具体解题时，还可利用特殊值法．
例1 函数y＝log(x－1)(4－x)的定义域是________．
解析 由可得，
所以函数的定义域是{x|1＜x＜4，且x≠2}．
答案 {x|1＜x＜4，且x≠2}
评注 函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.
例2 函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d与正整数1的大小顺序是______________．
解析 作出直线y＝1，可知其与对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a，b，c，d，于是c＜d＜1＜a＜b.
答案 c＜d＜1＜a＜b
评注 利用特殊值的办法解决有关对数函数的图象问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速地解决．
6 巧解指数函数、对数函数综合题
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a＞1时，它们在各自的定义域内都是单调增函数；当0＜a＜1时，它们在各自的定义域内都是单调减函数，因此在解决指、对函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题．
1．共享底数
对数式与指数式互化，其底数一致，即logaN＝b，ab＝N.利用它可以解决指、对数方程及互化等问题．
例1 方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝________.
解析 将对数式化为指数式，得32x＋1＝1－2· 3x，
即3·(3x)2＋2·3x－1＝0，得3x＝，故x＝－1.
答案 －1
2．亮出底数
在有些指数、对数函数问题，特别是图象问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决．
例2 当a＞1时，在同一坐标系中，能表示函数y＝a－x与y＝logax的图象是________．(填序号)
解析 由a＞1，得0＜＜1，则指数函数y＝a－x＝x在R上是单调减函数，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是单调增函数，故①符合．
答案 ①
3．变换底数
对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数．
例3 若loga2＜logb2＜0，则下列各式成立的是________．(填序号)
①0＜a＜b＜1；②0＜b＜a＜1；③a＞b＞1；④b＞a＞1.
解析 化为同底，有＜＜0，
从而log2b＜log2a＜0，
即log2b＜log2a＜log21.
∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴0＜b＜a＜1.
答案 ②
4．讨论底数
当底数不定时，常分0＜a＜1与a＞1两种情况进行讨论．
例4 函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的差为5，则a＝________.
解析 由题意知，a＞0，且a≠1.
①当a＞1时，有a1－a0＝5，即a＝6；
②当0＜a＜1时，有a0－a1＝5，即a＝－4(舍去)．
综上知，a＝6.
答案 6
5．消去底数
有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来一定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化．
例5 设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
解 作商＝|log(1＋x)(1－x)|，
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＜1＋x＜2,0＜1－x2＜1，
∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)
＝log(1＋x)＞log(1＋x)(1＋x)＝1.
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
7 三种数学思想在幂函数中的应用
1．分类讨论的思想
例1 若(a＋1)－<(3－2a)，试求a的取值范围．
分析 利用函数y＝x的图象及单调性解题，注意根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．
解 分类讨论或
或解得a<－1或评注 考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．
2．数形结合的思想
例2 当0解析 a>1时，当00即logaa2，
又a∈(0,1)，∴a∈.
答案
评注 数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．
3．转化的数学思想
例3 指出函数f(x)＝的单调区间，并比较f(－π)与f的大小．
解 因为f(x)＝
＝1＋＝1＋(x＋2)－2，
所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，如图所示．
所以f(x)在(－2，＋∞)上是单调减函数，在(－∞，－2)上是单调增函数，且图象关于直线x＝－2对称．
又因为－2－(－π)＝π－2，
－－(－2)＝2－，所以π－2<2－，
故－π距离对称轴更近，所以f(－π)>f．
评注 通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题.
8 函数的零点及应用
一、要点扫描
1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且f(a)f(b)＜0，则f(x)在区间[a，b]内有零点．
2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)＝0.
3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y＝f(x)与y＝g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求方程f(x)－g(x)＝0的根．
二、典型例题剖析
1．求函数的零点
例1 求函数f(x)＝x3－3x＋2的零点．
解 令f(x)＝x3－3x＋2＝0，
∴(x＋2)(x－1)2＝0.∴x＝－2或x＝1，
∴函数f(x)＝x3－3x＋2的零点为－2,1.
评注 求函数的零点，就是求f(x)＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题．
2．判断函数零点的个数
例2 已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，判断函数f(x)＝0的根的个数．
解 设f1(x)＝ax(a＞1)，f2(x)＝－，则f(x)＝0的解，即为f1(x)＝f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标．在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)＝ax(a＞1)与f2(x)＝－的图象(如图所示)．所以方程f(x)＝0的根有一个．
评注 利用数形结合的思想解决，在同一坐标系下作出f1(x)与f2(x)两函数的图象，从而观察出两函数的交点(即是原函数的零点的个数)．
3．确定零点所在的区间
例3 设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是下列中的________．(填序号)
①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．
解析 y＝x3与y＝x－2的图象的交点的横坐标即为x3＝x－2的根，即f(x)＝x3－x－2的零点，f(1)
＝1－－1＝－1＜0，f(2)＝23－0＝7＞0，
∴f(x)的零点在(1,2)内．
答案 ②
评注 本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求．
4．利用函数零点的存在性求参数范围
例4 关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
又∵f(0)＝1>0，由题意得
①或②
解①得－3≤m≤－1，
解②得m<－3.即m≤－1.
所以m的取值范围为(－∞，－1]．
评注 本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求．
9 零点问题考向探究
函数零点就是方程的根，这为我们提供了一个通过函数性质确定方程根的途径，是近几年课标高考命题的热点．本节结合实例归纳有关函数零点问题的几类热点题型．
一、判断函数零点的存在性
例1 已知函数f(x)＝2x3－4x2－3x＋1，那么在区间长度为1的条件下，下列叙述不正确的是________．(填序号)
①函数在区间(－1,0)内有零点；
②函数在区间(0,1)内有零点；
③函数在区间(1,2)内有零点；
④函数在区间(2,3)内有零点．
分析 根据选项提供的区间来看，需要计算f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，然后看相邻两个函数之间的符号关系，进而确定函数零点的所在区间．
解析 因为f(－1)＝－2<0，f(0)＝1>0，f(1)＝－4<0，f(2)＝－5<0，f(3)＝10>0，
所以f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(1)<0，f(2)·f(3)<0.
又因为一个三次方程最多有三个实根，
所以函数f(x)＝2x3－4x2－3x＋1在区间(－1,0)，(0,1)，(2,3)内各有一个零点．
答案 ③
评注 由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断，因此通过找全函数的可能存在的零点，用排除法找到正确答案．
二、考查函数图象与函数零点的关系
例2 函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数为________．
解析 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
答案 1
评注 函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标即为函数f(x)的零点．求方程f(x)＝g(x)的根或根的个数，即求函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标或交点的个数．
三、判断函数零点所在的大致区间
例3 函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是下列中的________．(填序号)
①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．
解析 因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，
所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
答案 ②
评注 若f(a)·f(b)<0，且f(x)在[a，b]上连续，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定有零点，但要注意，若f(a)·f(b)≥0，并不能证明f(x)在(a，b)内没有零点.
10 解读二分法
“二分法”主要用途在于求函数的零点、求方程的近似解以及求两函数图象交点的横坐标等．在学习的过程中，我们应重视从本质上理解和掌握“二分法”的实质，合理准确地使用“二分法”解题．
一、定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．
二、适用条件
若用“二分法”求函数y＝f(x)零点的近似值，必须具备两个条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上图象要连续不断．例如函数y＝图象不连续，要求它在[0,3]上零点的近似值，区间的中点1.5根本就不在定义域内，不能用“二分法”；②必须满足f(a)·f(b)＜0，这说明y＝f(x)在区间(a，b)上一定有零点，否则若f(a)·f(b)＞0，则y＝f(x)在区间(a，b)上有无零点不能保证，不能用“二分法”．
三、用二分法求函数零点近似值的一般步骤
给定精确到ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确到ε；
2．求区间(a，b)的中点c；
3．计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
4．判断是否达到精确到ε：即若a，b精确到ε的值相等，则得到零点近似值；否则重复步骤2～4.
四、二分法的优、缺点
二分法的优点在于其解题思想简单易懂，即为“取区间中点，层层逼近零点”的原则，其体现了过程的机械性和简单性．缺点在于其求解过程中计算量较大，必要时要用到计算器，计算要求准确性高，可谓是“一步走错则全盘皆输”．
例 求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确到0.1)．
分析 先利用函数图象直观得到某根所在的区间．
解 设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的草图，如图所示．
∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，∴在区间(2,3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1，取2和3的平均数2.5，
∵f(2.5)＝0.25＞0，∴x1∈(2,2.5)，
再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5＜0，∴x1∈(2.25,2.5)，
如此继续下去，得f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0，
则x1∈(2.375,2.437 5)，
∵2.375与2.43 75精确到0.1的近似值都为2.4，
∴方程的近似解为x1≈2.4.
评注 运用二分法的前提是先判断某根所在的大概区间．
11 函数与方程，唇齿相依
函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．
一、判断方程解的存在性
例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？
分析 可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．
解 因为f(－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2＋1＝－4<0，
f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，
所以f(－1)·f(0)<0.
又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，
所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．
评注 要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．
二、确定方程根的个数
例2 若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为________．
分析 利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．
解析 设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1，
得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，
即g(－6)g(6)<0.
因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)上有零点．
因为g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，
所以当a>0时g(x)是单调增函数；
当a<0时，g(x)是单调减函数，
故g(x)仅有一个零点．
因此方程f(x)＝1仅有一个根．
答案 1
评注 在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有唯一的零点．
三、求参数的取值范围
例3 已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
分析 将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．
解析 因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，
即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，
所以f(－2)f(0)≤0.
即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.
答案 [1，＋∞)
评注 本题对方程实根的研究转化为对一次函数f(x)在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m的不等式求出m的取值范围．整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．
例4 已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．
分析 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示.
对应的条件是或解出即可．
解 令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，为使方程f(x)＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需
或
即或
解得k>0或k<－4.
故k的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
评注 本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决．
12 函数应用问题“讲”与“练”
讲解一 求函数模型
例1 某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少t(t＞0)万件．请将税金收入表示为征收附加税的函数．
解 设每年销售量为x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税为y＝250x·＝tx.
依题意，知x＝40－t＞0，即t＜25.
故所求的函数关系式为y＝×t＝－4t2＋100t(0＜t＜25)．
评注 在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
练习1 将进货单价为70元的商品按100元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少15个，求利润y与每个商品涨价x元之间的函数关系式．
答案 y＝－15x2＋50x＋15 000
讲解二 函数模型的选用
例2 某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q(万元)与上市时间t(天)的关系如下表所示：
种植成本Q(万元)
150
100
上市时间t(天)
50
150
模拟函数可以选用二次函数Q＝a(t－150)2＋b(a，b为常数，且a≠0)，或一次函数Q＝kt＋m(k，m为常数，且k≠0)．已知种植成本Q＝112.5万元时，上市时间t＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
分析 根据题目给定的两组Q，t的值，可分别求出模拟函数中的未知量a，b，k，m.
解 设f(t)＝a(t－150)2＋b(其中a，b为常数，a≠0)，
g(t)＝kt＋m(k≠0)．
由已知，得
所以
解得
所以f(t)＝(t－150)2＋100，g(t)＝－t＋175.
因为f(200)＝(200－150)2＋100＝112.5，
g(200)＝－×200＋175＝75，
所以选用f(t)＝(t－150)2＋100作为模拟函数较好．
评注 本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化．
练习2 现有一组数据如下表所示：
x
1
2
3
…
y
1.5
3.51
7.5
…
其中最能近似地表达这些数据规律的函数是________．
①y＝2x－1；②y＝x2－1；③y＝2x－；
④y＝x3－x＋1.
答案 ③
讲解三 转化为熟悉的函数模型
例3 有A，B两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M(万元)和N(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：M＝x，N＝，今有4万元资金投入经营A，B两种商品．为获得最大利润，应分别对A，B两种商品的资金投入多少万元？
解 设对A种产品投资x万元，则对B种产品投资(4－x)万元．于是获得总利润y＝x＋.
由得0≤x≤4.
令t＝(0≤x≤4)，则x＝4－t2(0≤t≤2)．
所以y＝(4－t2)＋t＝－2＋(0≤t≤2)．
于是，当t＝时，ymax＝(万元)．
此时，x＝4－t2＝＝1.75(万元)，4－x＝2.25(万元)．
故为了获得最大利润，对A种商品的资金投入为1.75万元，对B种商品的资金投入为2.25万元．
练习3 某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元．已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计
算，应安排生产童装和西服各多少天？并求出最大利润．
答案 安排生产童装10天，生产西服20天，可获得最大利润，最大利润为124 000元．
13 哪种模拟函数更合适
例 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双，由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好，为了推销员在推销产品时接受的定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程，厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？
解 先将产量转化为图象上的四个点A(1,1)，B(2，1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)，在平面直角坐标系中描出这四个点，再进行模拟估计．
①一次函数模拟
设模拟函数为y＝ax＋b，将B，C两点的坐标代入函数式，得解得
所以y＝0.1x＋1.
如果用此模拟函数估计今后几个月的产量，因为在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上涨1 000双，这是不切合实际的，所以这个模拟函数不可取．
②二次函数模拟
设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c，将A，B，C三点的坐标代入，得解得
所以y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
运用二次函数作为模拟函数，计算出的4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，另外由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降(图象开口向下，二次函数的对称轴方程是x＝3.5)，这显然不符合生产实际，所以这种模拟函数不可取．
③幂函数模拟
设模拟函数为y＝a＋b，将A，B两点的坐标代入，得
解得
所以y＝0.48＋0.52.
将x＝3和x＝4代入，分别得到y≈1.35和y≈1.48，与实际产量差距较大，这是因为此法只使用了两个月的数据．
④指数函数模拟
设模拟函数为y＝a·bx＋c，将A，B，C三点的坐标代入，得解得
所以y＝－0.8×0.5x＋1.4.
将x＝4代入，得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与第4个月的产量比较接近，所以该模拟函数较适合．
反思与感悟 比较上述四个模拟函数可以发现，选择模拟函数既要考虑到误差最小，又要考虑到生产的实际情况，比如增长的趋势和可能性．经过反复选择，以指数函数模拟为最好．首先是误差最小；其次是由于新建厂，随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会有明显上升，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势．因此选用y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近实际．
章末复习
学习目标 1.掌握基本初等函数的图象和性质.2.会借助基本初等函数的图象性质研究函数与方程问题.3.能建立函数模型解决简单的实际问题．
知识点一 指数函数与对数函数的性质
指数函数
对数函数
定义
y＝ax(a＞0，a≠1)叫指数函数
y＝logax(a＞0，a≠1)叫对数函数
定义域
R
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
R
图象
性质
(1)图象经过(0,1)点，
(2)a＞1，当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1.
0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1.
(3)a＞1，y＝ax在R上为单调增函数，0＜a＜1，y＝ax在R上为单调减函数
(1)图象经过(1,0)点，
(2)a＞1，当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0.
0＜a＜1，当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0.
(3)a＞1，在(0，＋∞)上y＝logax为单调增函数，0＜a＜1，在(0，＋∞)上y＝logax为单调减函数
知识点二 幂函数y＝xα的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1).
(2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为单调增函数.
(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是单调减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴.
(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
知识点三 函数的零点与方程的根
函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
知识点四 函数模型及其应用
解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为
1．y＝log2(2x)的图象可由y＝log2x的图象向上平移一个单位得到．(√)
2．y＝ax－1(a>0且a≠1)恒过定点(1,1)．(√)
3．y＝的增区间为(－∞，0]．(×)
4．用二分法求函数零点近似解时，始终要保持零点区间(a，b)满足f(a)·f(b)<0.(√)
类型一 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用
命题角度1 函数性质及应用
例1 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
解 (1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；
当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，
所以函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.
①当a<0，b>0时，x>－，
解得x>；
②当a>0，b<0时，x<－，
解得x<.
反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
解 (1)要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]．
∵－3∵0由loga4＝－2，得a－2＝4，∴a＝＝.
命题角度2 函数图象及应用
例2 如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．
答案 (－1,1]
解析 令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图.
由 得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数的图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．
跟踪训练2 若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象中正确的是________．(填序号)
答案 ②
解析 由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.①中，y＝3－x＝x，显然图象错误；②中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；③中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；④中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称．显然不符．故填②.
类型二 函数的零点与方程的根的关系及应用
例3 已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是____________．
答案 x1＜x2＜x3
解析 令x＋2x＝0，得2x＝－x；
令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；
在同一坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图象，如图可知x1＜0＜x2＜1.
令h(x)＝x－－1＝0，则()2－－1＝0，
所以＝，即x3＝2＞1.所以x1＜x2＜x3.
反思与感悟 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．
跟踪训练3 若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,3)
解析 显然f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，由条件可知f(1)·f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，
即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.
类型三 用二分法求函数的零点或方程的近似解
例4 已知函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(0,1)，进行两次二分后，零点所在区间为________．
答案
解析 ∵f(x)是R上的单调增函数且图象是连续的，且f(0)＝e0＋4×0－3＜0，f(1)＝e＋4－3＞0，∴f(x)在(0,1)内有唯一零点．f＝＋4×－3＝－1＞0，f＝＋4×－3＝－2＜0，
∴f(x)在内存在唯一零点．
反思与感悟 (1)根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大．
(3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，an，bn与精确度要求的近似值相等．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝__________.
答案 2
解析 ∵a＞2，
∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为单调增函数，且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b.
∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜loga2＜1，－2＜2－b＜－1，
∴－2＜loga2＋2－b＜0.
又1＜loga3＜2，－1＜3－b＜0，
∴0＜loga3＋3－b＜2，即f(2)＜0，f(3)＞0.
又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，
∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点．
类型四 函数模型及应用
例5 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解 (1)令y＝0 ，得kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标?
存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ?
关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?
判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?0所以当它的横坐标a不超过6时，可击中目标．
反思与感悟 在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y＝0时求x的最大值)非常重要．另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响．
跟踪训练5 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．
答案 24
解析 依题意得两式相除可得e22k＝，故e11k＝，故e33k＋b＝e33k·eb＝24，即该食品在33℃的保鲜时间是24小时．
1．已知＝(a>0)，则a＝________.
答案 3
解析 设a＝x，则a＝x，
又＝，∴＝2，即＝2，
∴x＝2，解得x＝3.
2．如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是________．
答案 ④
解析 由晨练的图象可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据所给路线可知只有④符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越来越小，④也符合．故填④.
3．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为________．
答案 2
解析 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝的图象(图略)，易知有2个交点．
4．设函数f(x)＝log3 －a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (log32,1)
5．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______.
答案 2
1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．
2．函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题.
(2)建立确定的函数模型解决问题.
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
3．函数建模的基本过程如图：
一、填空题
1．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪
解析 当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0，函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，由f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞.
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．
答案 0
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.
3．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝2 000ln，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
答案 e6－1
解析 由题意知2 000ln＝12 000.
∴ln＝6，从而＝e6－1.
4．若函数f(x)＝x－没有零点，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，0]
解析 f(x)＝x－＝，其定义域为{x|x∈R且x≠0}，故a≤0.
5．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是单调减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
答案 (－2,2)
解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f(x)在(－∞，0]上是单调减函数，则f(x)<0的x的取值范围是(－2,2)．
6．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2的两个零点分别为α，β，则a，b，α，β由小到大依次为________．
答案 α解析 设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)是由g(x)的图象向下平移2个单位得到的，而g(x)的两个零点为a，b，f(x)的两个零点为α，β，结合图象(图略)可得α＜a＜b＜β.
7．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．
答案 (0,1]
解析 作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：
由图可知k∈(0,1]．
8.，23.1，的大小关系是________．
答案 <<23.1
解析 ＝1.5－3.1＝3.1，
＝2－3.1＝3.1，
又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是单调增函数，
且＜＜2，
∴3.1＜3.1＜23.1，
∴<<23.1.
9．如图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中水量就是y2＝a－ae－nt升，桶1与桶2相同，假设过5分钟时桶1和桶2的水量相等，则要使桶1中的水量只有时，需再经过______分钟．
答案 10
解析 由题意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝.设再经过t分钟，桶1中的水量只有，
则ae－n(t＋5)＝，即＝3，解得t＝10.
10．我们把形如y＝(a＞0，b＞0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.
答案 4
解析 由题意知，当a＝1，b＝1时，
y＝＝
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．
二、解答题
11．比较下列各组数的大小．
(1)log0.22，log0.049；
(2)a1.2，a1.3；
(3)30.4,0.43，log0.43.
解 (1)∵log0.049＝＝
＝＝＝log0.23.
又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，
∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.
(2)∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是单调增函数；当底数0而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2当0a1.3.
(3)∵30.4>30＝1，
0<0.43<0.40＝1，
log0.43∴log0.43<0.43<30.4.
12．已知函数f(x)＝ (－2≤x≤2)．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值为64，求f(x)的最小值．
解 (1)令t＝x2＋2x＋a，则其对称轴x＝－1，
∴t＝x2＋2x＋a在[－2，－1]上单调递减，
在[－1,2]上单调递增，
又y＝2t在(－∞，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的单调增区间为[－1,2]，单调减区间为[－2，－1]．
(2)由(1)知f(x)max＝f(2)＝＝28＋a.
∴28＋a＝64＝26，
∴8＋a＝6，a＝－2，
∴f(x)min＝f(－1)＝＝2－3＝.
13.某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格x(单位：万元/吨)的关系可用如图所示的一条折线表示．
(1)写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系式；
(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价为多少万元时，销售该商品的月利润最大？求月利润的最大值．
解 (1)由函数图象可知：
当5≤x≤8时，Q＝－x＋25；
当8＜x≤12时，Q＝－x＋13.
所以Q＝
(2)设月利润与商品每吨定价x的函数为f(x)，则根据题意得f(x)＝Q·(x－5)－10，
即f(x)＝
＝
所以当5≤x≤8时，在x＝处，f(x)取得最大值；
当8＜x≤12时，在x＝9处，f(x)取得最大值6.
综上可知：该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．
三、探究与拓展
14．函数f(x)＝log2·(2x)的最小值为________．
答案 －
解析 由题意得x>0，∴f(x)＝log2·(2x)＝log2x·log2(4x2)＝log2x·(log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x)2＝2－≥－.当且仅当x＝时，有f(x)min＝－.
15．已知函数f(x)＝xn－，且f(4)＝3.
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意实数x1，x2∈[1,3]，有|f(x1)－f(x2)|≤t成立，求t的最小值．
解 (1)f(4)＝4n－1＝3，即4n＝4，∴n＝1.
∴f(x)＝x－.
其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又∵f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋
＝x1－x2＋＝(x1－x2).
∵x1>x2>0，
∴x1－x2>0,1＋>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)依题意，得t≥|f(x1)－f(x2)|成立，
只要t≥|f(x1)－f(x2)|的最大值即可．
∵f(x)在区间[1,3]上单调递增.
∴|f(x1)－f(x2)|的最大值为
|f(3)－f(1)|＝＝，
∴t≥.
故t的最小值为.
