滚动训练(二)
一、填空题
1．下列五个写法：其中错误写法的个数为_______.
①{0}∈{0,2,3}；②??{0}；③{0,1,2}?{1,2,0}；④0∈?；⑤0∩?＝?.
答案 3
解析 ②③正确．
2．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于_______.
答案 N
解析 M＝{x|y＝x2－2}＝R，
N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.
3．函数f(x)＝的定义域为_______.
答案 [1,2)∪(2,+∞)
解析 根据题意有解得x≥1且x≠2.
4．在下面的四个选项所给的区间中，函数f(x)＝x2－1不是减函数的是_______.
①(－∞，－2)；②(－2，－1)；③(－1,1)；④(－∞，0).
答案 ③
解析 函数f(x)＝x2－1为二次函数，单调减区间为(－∞，0]，而(－1,1)不是(－∞，0]的子集.
5．函数f(x)＝x5＋x3＋x的图象关于_______对称.
答案 坐标原点
解析 易知f(x)是R上的奇函数，因此图象关于坐标原点对称．
6．已知f(x)＝则f?＋f?等于_______.
答案 －
解析 f?＝2×－1＝－，f?＝f?＋1＝f?＋1＝2×－1＋1＝，
∴f?＋f?＝－.
7．若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)<1的解集为_______.
答案 {x|x<－3或x>3}
解析 由于f(x)是偶函数，∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴当x>0时，f(x)<1即f(x)
3，当x<0时，f(x)<1即f(x)8．已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为_______.
答案
解析 ∵y≥0，
∴y＝＋＝ (－3≤x≤1)，
∴当x＝－3或1时，ymin＝2；当x＝－1时，ymax＝2，
即m＝2，M＝2，∴＝.
9．函数f(x)是定义在[－1,3]上的减函数，且函数f(x)的图象经过点P(－1,2)，Q(3，－4)，则该函数的值域是________．
答案 [－4,2]
解析 ∵f(x)的图象经过点P，Q，
∴f(－1)＝2，f(3)＝－4.
又f(x)在定义域[－1,3]上是减函数，
∴f(3)≤f(x)≤f(－1)，即－4≤f(x)≤2.
∴函数f(x)的值域是[－4,2]．
10．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________．
答案 f(x1)>f(x2)
解析 ∵x1<0，∴－x1>0，又|x1|>|x2|，x2>0，
∴－x1>x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)．
又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．
11．若函数f(x)＝2x4－|3x＋a|为偶函数，则a＝________.
答案 0
解析 f(－x)＝2x4－|a－3x|，由偶函数定义得|3x＋a|＝|a－3x|，∴(a＋3x)2＝(a－3x)2，∴a＝0.
二、解答题
12．已知集合A＝{x|－4≤x<8}，函数y＝的定义域构成集合B，求：
(1)A∩B；
(2)(?RA)∪B.
解 y＝的定义域为B＝{x|x≥5}，则
(1)A∩B＝{x|5≤x<8}．
(2)?RA＝{x|x<－4或x≥8}，
∴(?RA)∪B＝{x|x<－4或x≥5}．
13．已知二次函数f(x)满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的值域．
解 (1)方法一 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c
＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c
＝9x2－6x＋5.
比较系数，得解得
所以f(x)＝x2－4x＋8.
方法二 令t＝3x＋1，t∈R，
则x＝，
f(t)＝9×2－6×＋5，
即f(t)＝t2－4t＋8，
所以f(x)＝x2－4x＋8.
(2)因为函数f(x)＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，
当x＝2时取等号．
所以函数f(x)的值域为[4，＋∞)．
三、探究与拓展
14．设函数f(x)＝(x＋|x|)，g(x)＝则f＝________.
答案
解析 f(x)＝
当x>0时，g(x)＝x2>0.
则f＝f(x2)＝x2.
当x≤0时，g(x)＝x≤0，则f＝f(x)＝0.
综上可得，f＝
15．函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)当x<0时，求函数f(x)的解析式．
(1)证明 设0f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵00，x2－x1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)解 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－－1.
故f(x)＝－－1(x<0)．
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．若函数f(x)＝x2－2x＋m在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为________．
答案 －2
解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，
∴f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.
2．函数f(x)＝－2x在区间上的最小值为________．
答案 －1
解析 ∵f(x)在上为单调减函数，
∴f(x)min＝f＝－2·＝－1.
3．函数y＝(－6≤a≤3)的最大值为________．
答案
解析 因为＝
＝，
所以当a＝－时，的值最大，最大值为.
4．下列函数中，既是奇函数又是单调增函数的为________．(填序号)
①y＝x＋1；②y＝－x3；③y＝；④y＝x|x|.
答案 ④
5．设f(x)＝则f(f(0))＝________.
答案 2
解析 f(0)＝1－0＝1，f(f(0))＝f(1)＝1＋1＝2.
6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有________个．
答案 9
解析 当2x2－1＝1时，x＝1或－1；
当2x2－1＝7时，x＝2或－2.
定义域为2个元素的集合有{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，共4个；
定义域为3个元素的集合有{1，－2,2}，{－1，－2,2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，共4个；
定义域为4个元素的集合有{1，－1,2，－2}，共1个．
因此符合题意的“孪生函数”共有9个．
7．已知函数f(x)＝－x5－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)>6，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，1)
解析 令g(x)＝f(x)－3，则g(x)为奇函数，且在R上为单调减函数，
f(a)＋f(a－2)>6可化为f(a)－3>－f(a－2)＋3＝－[f(a－2)－3]＝f(2－a)－3，
即g(a)>g(2－a)，
∴a<2－a，∴a<1.
8．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是单调________函数．(填增、减)
答案 减
解析 ∵f(x)为偶函数，∴m＝0，
∴f(x)＝－x2＋3，开口向下，
对称轴为y轴，∴f(x)在(2,5)上是单调减函数．
9．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有最小值为________．
答案 －4
解析 设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
∴F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＋2≤8且存在x0∈(0，＋∞)使F(x0)＝8.
又∵f(x)，g(x)都是奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－[f(x)＋g(x)]≤6，
∴f(x)＋g(x)≥－6，
∴F(x)＝f(x)＋g(x)＋2≥－4，且存在x0∈(－∞，0)使F(x0)＝－4.
∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.
10．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断是________．(填序号)
答案 ①
解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．
11．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.
答案 －2
解析 f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，
∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，
∵1∈(0,2)，∴f(1)＝2×12＝2，
∴f(7)＝－f(1)＝－2.
12．已知m＞2，点(m－1，y1)(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝2x2－4x＋3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________．(用“＜”连接)
答案 y1＜y2＜y3
解析 因为二次函数y＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1在[1，＋∞)上为单调增函数，且1＜m－1＜m＜m＋1，所以y1＜y2＜y3.
13．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．
答案 (－∞，2]
解析 若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2不合题意．
∴2∈[a，＋∞)，∴a≤2.
14．定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且x≥1时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝
解析 设x<1，则2－x>1，
且f(x)＝f[(x－1)＋1]＝f[1－(x－1)]＝f(2－x)＝＋1.
∴f(x)＝
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知函数f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|.
(1)证明：函数f(x)是R上的奇函数；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的单调区间．
(1)证明 因为f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|
＝|2x＋1|－|2x－1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)
＝－f(x)，
所以函数f(x)是R上的奇函数．
(2)解 函数f(x)＝
画出函数f(x)的图象如图所示．
(3)解 由图可知，单调减区间为．
16．(14分)已知f(x)，g(x)在(a，b)上是单调增函数，且a证明 设a∵g(x)在(a，b)上是单调增函数，
∴g(x1)又∵f(x)在(a，b)上是单调增函数，
∴f[g(x1)]∴f[g(x)]在(a，b)上也是单调增函数．
17．(14分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的值域．
解 (1)当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
代入(－1,0)，(0,1)，得解得
∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
∴f(x)＝
(2)当－1≤x≤0时，y∈[0,1]．
当x>0时，y∈[－1，＋∞)．
∴函数值域为[0,1]∪[－1，＋∞)＝[－1，＋∞)．
18．(16分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
解 (1)函数f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是单调增函数，
故最大值为f(4)＝，最小值为f(1)＝.
19．(16分)某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．
(1)分别将A，B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A，B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
解 (1)设投资x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，
依题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由图1，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2.
由图2，得g(4)＝1.6，即k2×＝1.6，∴k2＝0.8.
故f(x)＝0.2x(x≥0)，g(x)＝0.8(x≥0)．
(2)设B产品投入x万元，则A产品投入10－x万元，设企业利润为y万元，
由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－0.2x＋0.8＋2(0≤x≤10)．
∵y＝－0.2x＋0.8＋2＝－0.2×(－2)2＋2.8，0≤≤.
∴当＝2，即x＝4时，ymax＝2.8.
因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元．
20．(16分)已知函数y＝x＋有如下性质：
如果常数t＞0，那么该函数在(0，]上是单调减函数，在[，＋∞)上是单调增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
解 (1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，1≤u≤3，
则y＝u＋－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)为单调减函数，所以单调减区间为；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)为单调增函数，所以单调增区间为；
由f(0)＝－3，f＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为单调减函数，
故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意得，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以所以a＝.
§2.1 函数的概念
2.1.1 函数的概念和图象(一)
学习目标 1.理解函数、定义域、值域的概念.2.了解构成函数的三要素.3.正确使用函数符号，会求简单函数的定义域、值域．
知识点一 函数的概念
思考 初中是用两个变量之间的依赖关系定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，是函数图象？
答案 因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念．
梳理 设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．
知识点二 判断两个变量是否具有函数关系的方法
思考 用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图象(0,1)自然是函数图象．试用新定义判断下列对应是不是函数？
(1)f：求周长；A＝{三角形}，B＝R；
(2)
x
1
2
3
y
3
2
1
(3)
x
1
2
3
y
1
1
1
(4)
x
1
1
1
y
1
2
3
(5)
x
1
2
3
y
1
2
答案 (1)不是，因为集合A不是数集．
(2)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．
(3)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．
(4)不是．一个x＝1，对应了三个不同的y，违反了“唯一确定”．
(5)不是．x＝3没有相应的y与之对应．
梳理 (1)如果一个输入值对应到唯一的输出值，就称这种对应为单值对应．
(2)检验两个变量之间是否具有函数关系的方法
①定义域和对应法则是否给出.
②根据对应法则，确认是否为两个非空数集上的单值对应．
知识点三 值域
思考 下图所示的“箭头图”表示的对应关系是否为函数？如果是，3是不是输出值？
答案 对于A中任意一个元素，B中都有唯一的元素和它对应，故上图中的对应关系是函数，但B中元素3没有输入值与之对应，故3不是输出值．
梳理 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．
对于函数f：A→B而言，如果值域是C，那么C?B，不能将B当作函数的值域．
1．集合A＝可以作为某个函数的定义域．(×)
2．若1∈A，则对于f：A→B，f(1)可能不存在．(×)
3．对于函数f：A→B，当x1>x2∈A，可能有f(x1)＝f(x2)．(√)
类型一 函数关系的判断
命题角度1 给出三要素判断是否为函数
例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
解 (1)输入值0在B中没有输出值与之对应，故不是集合A到集合B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应法则f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的输出值，故不是集合A到集合B的函数．
(4)对于集合A中任意一个输入值x，按照对应法则f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的输出值0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟 判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任何一个输入值在B中必须有输出值与其对应．
(3)A中任何一个输入值在B中必须有唯一一个输出值与其对应．
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是________．(填序号)
①A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→；
②A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|；
③A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2；
④A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→.
答案 ③
解析 ①中，当x＝0时，无意义；②中，当x＝1时，输出值为0，而集合B中没有0；③正确；④不正确．
命题角度2 给出图形判断是否为函数图象
例2 下列图形中可以作为函数图象的是____________．(填序号)
答案 ②③④
解析 ①中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于A中至少有一个输入值在B中对应的输出值不唯一，故①不是函数图象，其余②③④均符合函数定义．
反思与感悟 在图形中，横坐标相当于输入值，纵坐标相当于输出值．判断图形是否为函数图象，就是看横坐标与纵坐标是否单值对应．
跟踪训练2 若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是________．(填序号)
答案 ②
解析 ①中，定义域为[－2,0]，不符合题意；
②中，定义域为[－2,2]，值域为[0,2]，符合题意；
③中，存在一个x值对应2个y值的情形，不是函数；
④中，定义域为[－2,2]，但值域不是[0,2]，不符合题意．
类型二 已知函数的解析式，求其定义域
例3 求下列函数的定义域．
(1)y＝3－x；
(2)y＝2－；
(3)y＝－＋.
解 (1)函数y＝3－x的定义域为R.
(2)由得0≤x≤，
所以函数y＝2－的定义域为．
(3)要使函数有意义，需
解得－≤x＜2，且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为．
反思与感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练3 函数f(x)＝的定义域为________．
答案 {x|x≥0且x≠1}
解析 要使有意义，需满足解得x≥0且x≠1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}．
类型三 对于f(a)，f(x)的理解
例4 (1)已知函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝________.
答案 14
解析 f(a)＝＝4，
∴a＋2＝16，a＝14.
(2)已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
①求f(2)，g(2)的值；
②求f(g(2))的值；
③求f(a＋1)，g(a－1)．
解 ①因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
②f(g(2))＝f(6)＝＝.
③f(a＋1)＝＝.
g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3.
反思与感悟 (1)f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，只需把相应的x都换成对应的数或式子．
(2)f(a)有3个含义
①a∈定义域．
②f(a)∈值域．
③输入值a按对应法则f对应输出值f(a)．
跟踪训练4 已知f(x)＝(x≠－1)．
(1)求f(0)及f的值；
(2)求f(1－x)及f(f(x))．
解 (1)f(0)＝＝1.
∵f＝＝，
∴f＝f＝＝.
(2)f(1－x)＝＝(x≠2)．
f(f(x))＝f＝＝x(x≠－1)．
类型四 求函数值域
例5 求下列函数的值域．
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(3)y＝；
(4)y＝2x－.
解 (1)按照对应法则，输入值1,2,3,4,5分别对应输出值2,3,4,5,6，
∴值域为{2,3,4,5,6}．
(2)y＝(x－1)2＋2，
∵x∈[0,3)，
∴(x－1)2∈[0,4)，
∴(x－1)2＋2∈[2,6)，
∴这个函数的值域为[2,6)．
(3)y＝＝2＋.
∵≠0，
∴2＋≠2.
∴这个函数的值域为{y|y≠2}．
(4)这个函数的定义域为[1，＋∞)，
y＝2x－＝2(x－1)－＋2.
设t＝，t≥0，
则y＝2t2－t＋2＝22＋.
∵t≥0，∴2≥0，
∴22＋≥，
∴这个函数的值域为．
反思与感悟 求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
跟踪训练5 求下列函数的值域．
(1)f(x)＝x2＋x＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝x2＋2(x∈[－1,3])；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝x－.
解 (1)由题意，得f(－1)＝1，f(0)＝1，f(1)＝3，f(2)＝7，f(3)＝13，所以函数f(x)的值域为{1,3,7,13}．
(2)由题意，得抛物线y＝x2＋2开口向上，对称轴是y轴，所以函数f(x)＝x2＋2在[－1,3]上的最小值为2，最大值为11，所以函数f(x)的值域是[2,11]．
(3)方法一 因为f(x)＝＝2－，
所以f(x)≠2，
所以函数f(x)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
方法二 令y＝，所以x＝.
由于y≠2，所以函数f(x)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)令＝t(t≥0)，则x＝t2－1，
所以y＝t2－t－1(t≥0)．
因为抛物线y＝t2－t－1开口向上，对称轴为直线t＝，所以当t＝时，y取得最小值为－，无最大值，
所以函数f(x)的值域为．
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的是________．(填序号)
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
答案 ①③
2．函数y＝＋的定义域为________．
答案 [0,1)
3．函数f(x)＝(x≥1)的值域为________．
答案 [1，＋∞)
4．设f(x)＝，则＝________.
答案 －1
解析 ∵f(2)＝＝，f＝＝－，
∴＝－1.
5．下列各组函数是同一函数的是________．(填序号)
①f(x)＝与g(x)＝x；
②f(x)＝x与g(x)＝；
③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
答案 ③
解析 ①f(x)＝－x，g(x)＝x，对应法则不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)＝x，g(x)＝＝|x|，对应法则不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应法则和定义域均相同，故是同一函数．
1．函数的本质：两个非空数集间的一种单值对应．由于函数的定义域和对应法则一经确定，值域也随之确定，所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应法则一样即可．
2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的输入值x的集合．
3．在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应法则，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自变量．关于对应法则f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值．
一、填空题
1．下列各式是函数的为________．(填序号)
①y＝1；②y＝x2；③y＝1－x；④y＝＋.
答案 ①②③
解析 根据函数的定义可知，①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则∴∴x无解，
∴④不是函数．
2．若f(x)＝x－x2，则f(－1)＝________；f(n)－f(n＋1)＝________.
答案 －2 2n
解析 f(－1)＝(－1)－(－1)2＝－2，
f(n)－f(n＋1)＝(n－n2)－[(n＋1)－(n＋1)2]
＝n－n2－(－n2－n)＝2n.
3．函数y＝＋的定义域为________．
答案 [2，＋∞)
解析 要使函数式有意义，需所以x≥2.
4．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)的值是________．
答案 π
解析 由函数解析式可知该函数为常数函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f(π2)＝π.
5．已知函数f(x)的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数f(x)的图象与直线x＝3的交点个数是________．
答案 1
解析 ∵3∈[－3,4]，由函数定义，f(3)唯一确定，故只有一个交点(3，f(3))．
6．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列图象中，能表示f(x)的图象的只可能是________．
答案 ④
解析 ①②中值域为[0,2]，不合题意；③不是函数．
7．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
答案 {－1,1,3,5,7}
解析 定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值即可．
8．若函数y＝x2－4x的定义域为[－4，a]，值域为[－4,32]，则实数a的取值范围为________．
答案 [2,8]
解析 y＝x2－4x的图象过(4,0)，(0,0)点且关于直线x＝2对称，如图所示．
其中当x＝－4或8时，y＝32，
当x＝2时，y＝－4.
只需a∈[2,8]，函数值域不变．
9．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是________．
答案 1
解析 f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，
f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，
∴a＝1或a＝0(舍去)．
10．已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________.
答案 3
解析 f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
二、解答题
11．已知函数f(x)＝x2＋x－1，求
(1)f(2)；
(2)f；
(3)若f(x)＝5，求x的值．
解 (1)f(2)＝4＋2－1＝5.
(2)f＝2＋－1＝＋＋1.
(3)f(x)＝5，即x2＋x－1＝5.
由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3.
12．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，求A∩B.
解 集合A＝{x|y＝}表示函数y＝的定义域，∴A＝[－1，＋∞)，集合B＝{y|y＝x2＋1}表示函数y＝x2＋1的值域，∴B＝[1，＋∞)，
∴A∩B＝[1，＋∞)．
13．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．
解 ∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，
∴－1≤x＋1≤4.令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为[－1,4]，
即f(x)的定义域为[－1,4]，
要使f(2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，
∴－≤x≤－或≤x≤.
函数f(2x2－2)的定义域为
.
三、探究与拓展
14．已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)＝________.
答案 3p＋2q
解析 f(72)＝f(36×2)＝f(36)＋f(2)＝f(6×6)＋f(2)＝2f(6)＋f(2)＝2f(2×3)＋f(2)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 017)＋f＋f(2 018)＋f的值．
(1)解 因为f(x)＝，
所以f(2)＋f＝＋＝1.
(2)证明 f(x)＋f＝＋
＝＋＝＝1，是定值．
(3)解 由(2)知，f(x)＋f＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…，
f(2 018)＋f＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 017)＋f＋f(2 018)＋f＝2 018.
2.1.1 函数的概念和图象(二)
学习目标 1.理解函数图象的定义.2.会画简单的函数图象.3.能利用图象初步研究函数的性质．
知识点一 函数的图象
思考 在上一节中我们提到A＝{0}，B＝{1}，从A到B是函数关系，那么这个函数的图象是什么？
答案 这个函数的图象是一个点(0,1)．
梳理 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
知识点二 函数图象的初步应用
思考 如图是一个函数f(x)的图象，那么函数f(x)的定义域、值域是什么？f和f谁大？
答案 由定义知图象上每一点的横坐标组成的集合是定义域，故f(x)定义域为[－1,1]．图象上每一点的纵坐标组成的集合是值域，故f(x)的值域为[0,1]．
由图知f(x)在(0,1]上的图象呈下降趋势，故f梳理 如果已知函数图象，可以从中知道函数的定义域、值域、上升、下降趋势、某些特殊点的坐标等性质．
1．函数y＝f(x)的图象上任一点(x0，y0)必满足y0＝f(x0)．(√)
2．直线x＝a与函数y＝f(x)至多有一个交点．(√)
类型一 画函数的图象
例1 画出下列函数的图象．
(1)y＝x2＋x，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)y＝x2＋x，x∈R；
解 (1)列表：
x
－1
0
1
2
3
y
0
0
2
6
12
描点得该函数的图象如图：
(2)y＝x2＋x＝2－，
故函数对称轴为x＝－，顶点为.
又y＝x2＋x开口向上，且与x轴，y轴分别交于点(－1,0)，(0,0)．
故图象如图：
反思与感悟 函数图象受对应法则和定义域的双重影响，故画图时要关注定义域，另外画图时要标明关键点坐标，如最高点、最低点、与x轴、y轴交点，点的虚实要分清．
跟踪训练1 试画出下列函数的图象．
(1)y＝；
(2)y＝，x∈[－2,1)且x≠0；
(3)y＝.
解 (1)如图：
(2)y＝在x∈[－2,1)上的一段，如图：
(3)由y＝向左平移一个单位得y＝的图象，如图：
类型二 函数图象的应用
例2 函数f(x)，g(x)图象分别为如图(1)，(2)所示．
试指出f(x)，g(x)的定义域、值域，并求当y＝1时，f(x)，g(x)对应的x的值．
解 (1)f(x)的定义域为{－1,0,1,2}，值域为{0,1,4}．
当y＝1时，x＝0或2.
(2)g(x)的定义域为(－∞，2)，值域为[1,4)．
当y＝1时，x∈(－∞，1]．
反思与感悟 由图求定义域看横坐标的范围，求值域看纵坐标的范围．函数定义允许多个x值对应一个y值，但不允许一个x值对应多个y值.
跟踪训练2 已知函数f(x)，g(x)的图象分别为如图(1)，(2)．试指出f(x)，g(x)的定义域、值域，设x1，x2分别是f(x)，g(x)定义域内的两个数，且x1解 (1)f(x)的定义域为[1,3)，值域为，
对于x1，x2∈[1,3)，且x1f(x2)；
(2)g(x)的定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)，
对于x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有g(x1)＜g(x2)．
1．下列图形中，可以作为函数y＝f(x)的图象的是______．(填序号)
答案 ①②④
2．将函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式为______________________________________________________________．
答案 y＝(x－1)2＋3
3．若函数y＝f(x)的图象经过点(0,1)，则函数y＝f(x－1)的图象必经过点________．
答案 (1,1)
4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，建立坐标系，其中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是________．(填序号)
答案 ④
5．画出下列函数的图象，并求值域．
(1)f(x)＝2；
(2)f(x)＝1－x，x∈Z，－2≤x≤2；
(3)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈(－2,3]．
解 (1)图象：
值域为{2}．
(2)图象：
值域为{－1,0,1,2,3}．
(3)图象：
值域为[1,10)．
1．函数图象受对应法则和定义域双重影响，画图时要注意定义域．
2．对于y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝这类我们熟知的图象，通常是先画整体，再根据定义域剪裁，同时标注关键点的坐标．
3．y＝f(x)向左平移a个单位长度，可得y＝f(x＋a)的图象；向上平移b个单位长度，可得y＝f(x)＋b的图象．口诀为“左加右减，上加下减”．
4．读图求定义域、值域要理解定义域、值域与图象的关系．
一、填空题
1．将函数y＝3x2的图象向上平移一个单位长度，得到函数y＝________的图象，再将所得的图象向右平移两个单位长度，得到函数y＝________的图象．
答案 3x2＋1 3(x－2)2＋1
解析 左右平移遵循“左加右减”的原则，上下平移遵循“上加下减”的原则．
2．函数y＝4(x＋3)2＋4的图象可以看作由函数y＝4(x－3)2－4的图象经过________________________变换得到．
答案 向左平移6个单位长度，向上平移8个单位长度
解析 根据平移遵循的原则．
3．函数f(x)＝1＋的图象与y＝g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________，函数f(x)与y＝h(x)关于原点对称，则h(x)＝________.
答案 －1－ －1＋
解析 根据函数图象关于轴与原点的对称性质．
4．函数y＝的图象关于点________对称，则函数y＝－1的图象关于点________对称．
答案 (0,0) (－1，－1)
解析 根据函数图象关于点的对称性质．
5．下列可作为函数y＝f(x)的图象的是________．(填序号)
答案 ④
解析 ①中，当x∈(－1,1)时，y有两个值与它对应；
②中，当x>－1时，y有两个值与它对应；
③中，当x＝0时，y有两个值与它对应；
④中，图象所体现的对应特点符合函数的概念．
6．函数f(x)＝的图象为________．(填序号)
答案 ④
解析 因为f(x)＝＝1＋，所以将函数y＝的图象向左平移1个单位长度，然后再向上平移1个单位长度就可得到f(x)的图象，故④正确．
7．已知二次函数的图象开口向上，函数的图象关于直线x＝1对称，若实数x1<1，x2>1，且x1＋x2>2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________．
答案 f(x2)>f(x1)
解析 因为x1<1，x2>1，且x1＋x2>2，所以x2－1>1－x1，根据二次函数的图象可得f(x2)>f(x1)．
8．若函数f(x)＝x2－2x在区间[a，b]上的值域是[－1,3]，则点(a，b)的集合是如图中的线段________．
答案 AC和AB
解析 f(x)＝(x－1)2－1，a＝－1，1≤b≤3或b＝3，－1≤a≤1.
9．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值为________．
答案 2
解析 依题意知，f(3)＝1，∴f＝f(1)＝2.
10．某工厂从2009年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的年产量y随年数t变化的图象是________．(填序号)
答案 ②
解析 由前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随t的变大而变小，由后四年年产量的增长速度不变，知图象的斜率不变．故填②.
二、解答题
11．画出函数y＝x2－4|x|＋3的图象，若该图象与y＝b有4个交点，求实数b的取值范围．
解 函数y＝x2－4|x|＋3可化为y＝|x|2－4|x|＋3，在平面直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1的图象，删去y轴左侧的图象并将轴右侧的图象关于y轴作对称即得y＝|x|2－4|x|＋3＝x2－4|x|＋3的图象(如下图)，由图象知若y＝|x|2－4|x|＋3＝x2－4|x|＋3与y＝b有4个交点，则b∈(－1,3)．
12．设f(x)＝|2－x2|，若a解 保留函数y＝2－x2在x轴上方的图象，将其在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即可得到函数f(x)＝|2－x2|的图象(如图所示)．通过观察图象，由a13．作下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)．
解 (1)如图所示，其值域为．
(2)如图所示，其值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
三、探究与拓展
14．已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
15．函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)图象如图，
f(x)与直线y＝m图象有2个不同交点，
由图易知－1即实数m的取值范围为(－1,3].
2.1.2 函数的表示方法
学习目标 1.理解函数的三种表示方法.2.能根据需要选择恰当的函数表示方法.3.了解分段函数，并能进行简单应用．
知识点一 解析法
思考 一次函数如何表示？
答案 y＝kx＋b(k≠0)．
梳理 用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．
知识点二 图象法
用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．
知识点三 列表法
思考 在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？怎样表示这种对应关系？
答案 对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．
梳理 用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．
三种表示法的优缺点：
知识点四 分段函数
思考 某市规定出租车收费标准：起步价(不超过2 km)为5元．超过2 km时，前2 km依然按5元收费，超过2 km部分，每千米收1.5元．按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应？收费额y元是行驶里程x km的函数吗？当x∈[0,2]时的计费方法与x∈(2，＋∞)时计费方法一样吗？
答案 因为任一行驶里程x都对应唯一的收费额y，故y是x的函数；但由于起步价的规定，x∈[0,2]时，y＝5，x∈(2，＋∞)时，y＝5＋(x－2)×1.5.计费方法不一样．
梳理 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
1．y＝x＋1与y＝x＋1，x∈N是同一个函数．(×)
2．在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．(×)
3．列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(√)
4．分段函数各段上的函数值集合的交集为?.(×)
类型一 解析式的求法
例1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
(2)f＝x2＋.
解 (1)由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得
∴或
∴所求函数解析式为
f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.
(2)∵f＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2.
又x≠0，∴x＋≥2或x＋≤－2，
∴f(x)中的x与f中的x＋取值范围相同，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．
(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式．
(3)如果条件是一个关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x)．
跟踪训练1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
(3)2f＋f(x)＝x(x≠0)．
解 (1)由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
(3)∵f(x)＋2f＝x，将原式中的x与互换，
得f＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
类型二 列表法及函数表示法的选择
例2 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
测试序号
成绩
姓名
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．
解 (1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜．
在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：
(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．
跟踪训练2 若函数f(x)如下表所示：
x
0
1
2
3
f(x)
3
3
1
2
则f(f(1))＝________.
答案 2
解析 ∵f(1)＝3，∴f(f(1))＝f(3)＝2.
类型三 分段函数
命题角度1 建立分段函数模型
例3 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
解 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图象如图所示.
反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式为y＝
函数图象如图所示：
命题角度2 研究分段函数的性质
例4 已知函数f(x)＝
(1)求f；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值；
(3)解不等式f(x)>8.
解 (1)∵≤2，
∴f＝2×＝3，
∴f＝f(3)．
∵3＞2，
∴f(3)＝32＋2＝11，
即f＝11.
(2)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；
当x0>2时，由x＋2＝8，得x0＝或x0＝－(舍去)，故x0＝.
(3)f(x)>8等价于①
或②
解①得x∈?，解②得x>.
综合①②，f(x)>8的解集为{x|x>}．
反思与感悟 已知函数值求变量x取值的步骤
(1)先对x的取值范围分类讨论．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通过解方程求出x的解．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．
跟踪训练4 已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由于f＝，结合此函数图象可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪．
(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1]．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
答案 1
2．如果二次函数的图象开口向上顶点坐标为(1，－1)，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为______________．
答案 f(x)＝(x－1)2－1
3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为________．
答案 y＝x
4．如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为________．
答案 y＝
5．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图象．
解 (1)因为5>4，
所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，
所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1≤4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图象如图：
1．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组法(消元法)．
2．如何用函数图象
常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．
3．对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．
一、填空题
1．若正比例函数y＝(m－1)的图象经过二、四象限，则m＝________.
答案 －2
解析 因为y＝(m－1)是正比例函数，所以有m2－3＝1，m＝±2.
又图象经过二、四象限，所以m＝－2.
2．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，若把它的高y表示成x的函数，则解析式为________．
答案 y＝(x>0)
解析 由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．
3．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
答案 2x－
解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，
依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴∴
则f(x)＝2x－.
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，观察图象可知其值域是________．
答案 {1,4}
5．设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为________．
答案 0
解析 ∵π为无理数，∴g(π)＝0，
∴f(g(π))＝f(0)＝0.
6．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是________．
答案 f(x)＝3x＋2
解析 设t＝3x＋2，则x＝，
所以f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
7．若g(x)＝1－2x，f(g(x))＝，则f的值为______．
答案 15
解析 令1－2x＝，则x＝，
∴f＝＝15.
8．已知函数f(x)的图象如图，则函数f(x)的解析式为__________________．
答案 f(x)＝
解析 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，代入(1,2)，得k＝2，
∴f(x)＝2x.
当1当x≥2时，f(x)＝3，
∴f(x)＝
9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.
x
1
2
3
4
f(x)
1
3
1
3
g(x)
3
2
3
2
答案 2,4
解析 x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3.
x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3.
x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3.
x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3.
满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为2,4.
10．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(f(2)))＝________.
答案 2
解析 由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.
因此，有f(f(f(2)))＝f(f(0))＝f(4)＝2.
二、解答题
11．求下列函数的解析式．
(1)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式；
(2)求满足f＝－1的函数f(x)．
解 (1)以－x代x得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.
与f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x联立得
f(x)＝x2－2x.
(2)令t＝1＋(x≠0)，则x＝(t≠1)，
所以f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≠1)，
所以f(x)＝x2－2x(x≠1)．
12．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
13．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0),f(1),f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
描点，连线，得函数图象如图.
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
三、探究与拓展
14．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是________．(填序号)
答案 ②
解析 根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有②③符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，故填②.
15．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
解 当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
当点P在CD上运动，
即4当点P在DA上运动，
即8综上可知，f(x)＝
§2.2 函数的简单性质
2.2.1 函数的单调性(一)
学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.
3.会用定义证明函数的单调性．
知识点一 函数的单调性
思考 画出函数f(x)＝x，f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x，f(x)＝x2的图象的升降情况如何？
答案 两函数的图象如下：
函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．
梳理 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I?A.
(1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1(2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间．
单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
知识点二 函数的单调区间
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D，定义域I，必有D?I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是单调增函数，则f(x)在区间[a，c]上是单调增函数．(×)
2．单调区间[a，b]可以写成{x|a≤x≤b}．(×)
3．用定义证明函数单调性时，可设x1x2.(√)
4．证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可．(×)
类型一 求单调区间并判断单调性
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是单调增函数还是单调减函数？
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是单调减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是单调增函数．
反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是单调增函数，要么是单调减函数，不能二者兼有．
跟踪训练1 写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性．
解 先画出f(x)＝的图象，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
类型二 证明单调性
命题角度1 证明具体函数的单调性
例2 证明f(x)＝在其定义域上是单调增函数．
证明 f(x)＝的定义域为[0，＋∞)．
设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
∵0≤x10，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是单调增函数．
反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1跟踪训练2 求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是单调增函数．
证明 设x1，x2是[1，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＝(x1－x2).．
∵1≤x1∴>0，故(x1－x2)<0，
即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是单调增函数．
命题角度2 证明抽象函数的单调性
例3 已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是单调增函数．
证明 方法一 设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.
f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x)－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在R上是单调增函数．
方法二 设x1>x2，则x1－x2>0，
从而f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0.
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，故f(x)在R上是单调增函数．
反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．
跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0证明 ∵对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，可得f(1)＝f(1)·f(0)，
∵当x＞0时，0＜f(x)＜1，∴f(1)≠0，∴f(0)＝1.
令m＝x＜0，n＝－x＞0，则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，
又∵－x＞0时，0＜f(－x)＜1，∴f(x)＝＞1.
∴对任意实数x，f(x)恒大于0.
设任意x10，
∴0∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)·[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)在R上是单调减函数．
类型三 单调性的应用
命题角度1 利用单调性求参数范围
例4 若函数f(x)＝是定义在R上的单调减函数，则a的取值范围为________．
答案
解析 要使f(x)在R上是单调减函数，需满足：
解得≤a＜.
反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要保证在接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为________________．
答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)
解析 由于二次函数开口向上，故其单调增区间为[a，＋∞)，单调减区间为(－∞，a]，而f(x)在区间[1,2]上单调，所以[1,2]?[a，＋∞)或[1,2]?(－∞，a]，即a≤1或a≥2.
命题角度2 用单调性解不等式
例5 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是单调减函数，且f(1－a)解 f(1－a)解得0即所求a的取值范围是.
反思与感悟 若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小关系，可得f(x1)，f(x2)的大小关系；由f(x1)，f(x2)的大小关系，可得x1，x2的大小关系．
跟踪训练5 在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为单调增函数，f(1－a)解 ∵y＝f(x)的定义域为R，且为单调增函数，
f(1－a)，
∴所求a的取值范围是．
1．函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的单调增区间是________．
答案 [－2,1]
2．函数y＝的单调减区间是________．
答案 (－∞，0)，(0，＋∞)
3．在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是________．(填序号)
①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.
答案 ②
4．给出下列说法：
①若定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数f(x)在R上为单调增函数；
②若定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数f(x)在R上不可能为单调减函数；
③函数f(x)＝－在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为单调增函数；④函数f(x)＝在定义域R上为单调增函数．
其中说法正确的是________．(填序号)
答案 ②④
解析 由单调增函数的定义，可知①错误；由单调减函数的定义，可知②正确；因为函数f(x)＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上为单调增函数，所以③错误；作出函数f(x)＝的图象，如图所示，由图象可知④正确．
5．若函数f(x)在R上是单调减函数，且f(|x|)>f(1)，则x的取值范围是________．
答案 (－1,1)
1．若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都为单调减函数，未必有f(x)在A∪B上为单调减函数．
2．对单调增函数的判断，对任意x1(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0.对单调减函数的判断，对任意x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0或<0.
3．熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．
4．若f(x)，g(x)都是单调增函数，h(x)是单调减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)为单调增函数，f(x)－h(x)为单调增函数，②－f(x)为单调减函数，③为单调减函数(f(x)≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较．
一、填空题
1．函数y＝的单调减区间是________．
答案 (－∞，1)，(1，＋∞)
解析 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域．
2．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的单调增函数，则满足f(x)＜f的实数x的取值范围为________．
答案
解析 由题设得
解得
3．已知函数f(x)是R上的单调增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么－1答案 (0,3)
解析 由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，
∴－1∵f(x)在R上为单调增函数，
∴0∴－14．已知函数f(x)在R上是单调增函数，则下列说法正确的是________．(填序号)
①y＝－f(x)在R上是单调减函数；
②y＝在R上是单调减函数；
③y＝[f(x)]2在R上是单调增函数；
④y＝af(x)(a为实数)在R上是单调增函数．
答案 ①
解析 设x1所以－f(x1)>－f(x2)，①一定成立．
其余三个不一定成立，如当f(x)＝x时，②③不成立，当a<0时，④不成立．
5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有f(a)＋f(b)________f(－a)＋f(－b)．(填＞，＝，＜)
答案 ＞
解析 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，
∵f(x)在R上是单调增函数，
∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
6．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，2)
解析 画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上为单调增函数，
故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.
7．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的单调减函数，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是单调减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是单调减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，
∴0≤a≤.
8．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的单调增函数，且f(x－2)答案
解析 由题意，得解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
9．函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[－2,0]，则f(x)的单调减区间是________．
答案 [－1,1]
解析 ∵f(x＋1)＝x2－2x＋1＝(x－1)2＝(x＋1－2)2，
∴f(x)＝(x－2)2，x∈[－1,1]，
∴f(x)在定义域[－1,1]上为单调减函数．
10．已知一次函数y＝(k＋1)x＋k在R上是单调增函数，且其图象与x轴的正半轴相交，则k的取值范围是________．
答案 (－1,0)
解析 依题意解得－1二、解答题
11．求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间．
解 ∵y＝－x2＋2|x|＋3＝
函数图象如图所示：
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]．
12．已知函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性并给出证明过程．
解 F(x)在(0，＋∞)上为单调减函数．证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∴F(x2)－F(x1)＝－＝.
∵y＝f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，且x1∴f(x1)而f(x1)<0，f(x2)<0，∴f(x1)f(x2)>0.
∴F(x2)－F(x1)<0，即F(x1)>F(x2)．
∴F(x)在(0，＋∞)上为单调减函数．
13．已知函数f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内为单调增函数；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内为单调减函数，求a的取值范围．
(1)证明 设任意x1，x2∈(－x,－2)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)∴f(x)在(－∞，－2)内为单调增函数．
(2)解 设任意x1，x2∈(1,+ ∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述,a的取值范围为(0,1].
三、探究与拓展
14．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是单调减函数，则a的取值范围是____________．
答案 (0,1]
解析 由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是单调减函数可得a≤1，由g(x)＝在[1,2]上是单调减函数可得a>0.
∴015．设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且x>1时，f(x)>0.
(1)求f的值；
(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；
(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.
解 (1)对于任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
当x＝2，y＝时，有f＝f(2)＋f，
即f(2)＋f＝0，
又f(2)＝1，∴f＝－1.
(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，证明如下：
设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)＋f＝f(x2)，
即f(x2)－f(x1)＝f.
∵>1，∴f>0，
即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．
(3)由(1)知，f＝－1，
∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f
＝f＝f(4x－3)，
∴f(2x)>f(4x－3)，
∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为单调增函数，
∴
解得解集为.
2.2.1 函数的单调性(二)
学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．
知识点一 函数的最大(小)值
思考 在如图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？
答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．
梳理 设y＝f(x)的定义域为A.
如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．
如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．
知识点二 函数的最大(小)值的几何意义
思考 函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如图：
试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．
答案 x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点．
梳理 函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点．
1．因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.(×)
2．f(x)＝(x>0)的最小值为0.(×)
3．函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．(√)
4．如果f(x)的最大值,最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．(×)
类型一 借助单调性求最值
例1 已知函数f(x)＝(x>0)，求函数的最大值和最小值．
解 设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝＝.
当x10，x1x2－1<0，
f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0,1]上为单调增函数；
当1≤x10，x1x2－1>0，
f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数．
∴f(x)max＝f(1)＝，无最小值．
反思与感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为单调增函数，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为单调减函数，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)．函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)画出f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的最小值．
解 (1)f(x)的图象如图．
(2)由图知，f(x)在(－∞，－1]上为单调减函数，在[－1,1]上为常函数，在[1，＋∞)上为单调增函数，
∴f(x)min＝2.
类型二 求二次函数的最值
例2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；
(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；
(3)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值；
(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)?
解 (1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，
∴f(x)在[0,1]上为单调减函数，在[1,2]上为单调增函数，且f(0)＝f(2)．
∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
(2)∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
②当≤1f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
③当t≤1<，即0f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
④当11时，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝
φ(t)＝
(3)设＝t(t≥0)，则x－2－3＝t2－2t－3.
由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上为单调减函数，在[1，＋∞)上为单调增函数．
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
(4)作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象(如图)．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有：当t＝－＝1.5时，函数有最大值h＝≈29.
于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.
反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．
(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋，x∈，求水流喷出的高度h的最大值是多少？
解 (1)设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.
y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上为单调减函数，在[1，＋∞)上为单调增函数．
∴当t＝1即x＝±1时，f(x)min＝－4，无最大值．
(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是单调增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是单调减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
(3)由函数h＝－x2＋2x＋，x∈的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．
对于函数h＝－x2＋2x＋，x∈，
当x＝1时，函数有最大值hmax＝－12＋2×1＋＝.
于是水流喷出的最高高度是 m.
类型三 函数最值的应用
例3 已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
解 方法一 令y＝x2－x＋a，
要使x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需ymin＝>0，解得a>.
∴实数a的取值范围是．
方法二 x2－x＋a>0可化为a>－x2＋x.
要使a>－x2＋x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
只需a>(－x2＋x)max，
又(－x2＋x)max＝，∴a>.
∴实数a的取值范围是．
引申探究
若将本例中“x∈(0，＋∞)”改为“x∈”，再求a的取值范围．
解 f(x)＝－x2＋x在上为单调减函数，
∴f(x)的值域为，
要使a>－x2＋x对任意x∈恒成立，只需a≥，
∴a的取值范围是．
反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)min>a来解决．任意x∈D，f(x)跟踪训练3 已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
解 ∵x>0，∴ax2＋x≤1可化为a≤－.
要使a≤－对任意x∈(0,1]恒成立，
只需a≤min.
设t＝，∵x∈(0,1]，∴t≥1.
－＝t2－t＝2－.
当t＝1时，(t2－t)min＝0，即x＝1时，min＝0，
∴a≤0.
∴a的取值范围是(－∞，0]．
1．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是________．
答案
2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上的最大值为________．
答案 1
3．函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值、值分别为________．
答案 4,0
4．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、小值分别为________．
答案 10,6
5．若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为________．
答案 －
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
2．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
一、填空题
1．函数f(x)＝的值域是______．
答案 {－1,0,1}
解析 该函数的函数值只有三个．
2．函数g(x)＝x2－4x＋3在区间(1,4]上的值域是______．
答案 [－1,3]
解析 ∵g(x)＝(x－2)2－1，当x＝2时，g(x)min＝－1；
当x＝4时，g(x)max＝3，
∴g(x)在(1,4]上的值域为[－1,3]．
3．函数f(x)＝2－ax2(a＞0)在区间[0,3]上的最大值为________．
答案 2
解析 ∵f(x)＝2－ax2(a＞0)在[0,3]上为单调减函数，
∴f(x)max＝f(0)＝2.
4．函数y＝x＋的最小值为________．
答案
解析 ∵y＝x＋在定义域上是单调增函数，∴y≥f＝，即函数最小值为，无最大值．
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为________．
答案 1
解析 因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，即－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.
6．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是________．
答案 (－∞，40]∪[160，＋∞)
解析 由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.
7．若x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)
解析 由题意得x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是单调减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
8．若函数y＝ax＋1(a＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
答案 1
解析 ∵a＞0，∴函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是单调增函数，∵ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.
9．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
答案 (1,3]
解析 f(x)的对称轴为x＝3，
当且仅当110．下列函数：
①y＝x＋|x|；②y＝x－|x|；③y＝x|x|；④y＝.其中有最小值的函数有________个．
答案 2
解析 y＝x＋|x|＝ymin＝0.
y＝x－|x|＝无最小值．
y＝x|x|＝无最小值．
y＝＝ymin＝－1.
二、解答题
11．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为多少万元？
解 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，设两地销售的利润之和为y，则
y＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.
由题意知
∴0≤x≤15，且x∈Z.
当x＝－＝9.5时y值最大，
∵x∈Z，∴取x＝9或10.
当x＝9时，y＝120，当x＝10时，y＝120.
综上可知，公司获得的最大利润为120万元．
12．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
解 f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)当a＜0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是单调增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1＜a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
(4)当a＞2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为单调减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
13．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)取得最小值为1，
当x＝－5时，f(x)取得最大值为37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为x＝－a.
∵f(x)在[－5,5]上是单调的，
故－a≤－5或－a≥5.
即实数a的取值范围是a≤－5或a≥5.
三、探究与拓展
14．若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 当x≤0时，f(x)＝(x－m)2，f(x)min＝f(0)＝m2，
所以对称轴x＝m≥0.
当x>0时，f(x)＝x＋＋m≥2 ＋m＝2＋m，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号，
所以f(x)min＝2＋m.
因为f(x)的最小值为m2，
所以m2≤2＋m，所以0≤m≤2.
15．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)设F(x)＝m＋f(x)，求函数F(x)的最大值的表达式g(m)．
解 (1)要使函数f(x)有意义，
需满足得－1≤x≤1.
故函数f(x)的定义域是{x|－1≤x≤1}．
∵[f(x)]2＝2＋2，且0≤≤1，
∴2≤[f(x)]2≤4，又∵f(x)≥0，
∴≤f(x)≤2，
即函数f(x)的值域为[，2]．
(2)令f(x)＝t，则t2＝2＋2，
则＝－1，
故F(x)＝m＋t
＝mt2＋t－m，t∈[，2]，
令h(t)＝mt2＋t－m，
则函数h(t)的图象的对称轴方程为t＝－.
①当m>0时，－<0，函数y＝h(t)在区间[，2]上为单调增函数，
∴g(m)＝h(2)＝m＋2.
②当m＝0时，h(t)＝t，g(m)＝2；
③当m<0时，－>0，若0<－≤，
即m≤－时，函数y＝h(t)在区间[，2]上为单调减函数，
∴g(m)＝h()＝，
若<－≤2，即－g(m)＝h＝－m－；
若－>2，即－函数y＝h(t)在区间[，2]上为单调增函数，
∴g(m)＝h(2)＝m＋2.
综上，g(m)＝
2.2.2 函数的奇偶性
学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
知识点一 函数奇偶性的几何特征
思考 下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？
答案 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称．
梳理 图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二 函数奇偶性的定义
设函数y＝f(x)的定义域为A.
如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数；
如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质
1．奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
2．重要性质
(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性．
(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．
1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图象．(×)
2．若f(x)是奇函数，f(1)＝2，则f(－1)＝－2.(√)
3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(√)
4．有些函数既不是奇函数，也不是偶函数．(√)
类型一 证明函数的奇偶性
命题角度1 已知函数解析式，证明奇偶性
例1 (1)证明f(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数；
(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；
(3)证明f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
证明 (1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)·(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．
(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝＋为偶函数．又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝＋为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．
反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．
跟踪训练1 (1)证明f(x)＝(x－2) 既不是奇函数，也不是偶函数；
(2)证明
证明 (1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数．
命题角度2 证明分段函数的奇偶性
例2 判断函数f(x)＝的奇偶性．
解 由题意可知f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)，
关于原点对称，
当x∈(－6，－1]时，－x∈[1,6)，
所以f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)；
当x∈[1,6)时，－x∈(－6，－1]，
所以f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x)．
综上可知对于任意的x∈(－6，－1]∪[1,6)，
都有f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝是偶函数．
反思与感悟 分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点
(1)定义域是否关于原点对称．
(2)对于定义域内的任意x，是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))，只不过对于不同的x，f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))．
跟踪训练2 证明f(x)＝是奇函数．
证明 定义域为{x|x≠0}．
若x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
若x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
命题角度3 证明抽象函数的奇偶性
例3 f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性．
解 ∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数．
f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数．
f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数．
反思与感悟 利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x，看总的结果．
跟踪训练3 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是________．(填序号)
①f(x)g(x)是奇函数；
②f(x)g(x)是偶函数；
③|f(x)|g(x)是偶函数；
④f(x)|g(x)|是奇函数．
答案 ①③④
解析 ①令h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，故①对，②不对；
③令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，故③对；
④令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，故④对．
类型二 奇偶性的应用
命题角度1 奇?偶?函数图象的对称性的应用
例4 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
引申探究
将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
解 (1)f(x)的图象如图所示．
(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．
跟踪训练4 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值
例5 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
答案 0
解析 ∵偶函数的定义域关于原点对称，
∴a－1＝－2a，解得a＝，f(x)＝x2＋bx＋b＋1.
又f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝(－x)2＋b(－x)＋b＋1
＝f(x)＝x2＋bx＋b＋1，
对定义域内任意x恒成立，
即2bx＝0对任意x∈恒成立，
∴b＝0.综上，a＝，b＝0.
(2)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时f(x)的解析式．
解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用
(1)定义域关于原点对称．
(2)对定义域内任意x，恒有f(－x)＝f(x)(或－f(x))成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值．
跟踪训练5 已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
答案 0
解析 由题意知
则解得
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，
故a＋b＝0.
1．函数f(x)＝0(x∈R)的奇偶性是________．
答案 既是奇函数也是偶函数
2．函数f(x)＝x(－1答案 既不是奇函数也不是偶函数
3．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________.
答案 5
解析 ∵函数y＝f(x)＋x是偶函数，
∴x＝±2时函数值相等．
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.
4．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是________．
答案 2
5．下列说法错误的是________．(填序号)
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
答案 ③④
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数?它的图象关于原点对称；函数为偶函数?它的图象关于y轴对称．
3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．
一、填空题
1．如果函数f(x)＝是奇函数，则f(－2)＝________.
答案 －1
解析 f(－2)＝－f(2)＝－(2×2－3)＝－1.
2．已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，则当x≤0时，y＝f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝x2＋2x
解析 设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.
因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.
所以f(x)＝x2＋2x，x≤0.
3．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是________．(填序号)
①f(x)＋|g(x)|是偶函数；
②f(x)－|g(x)|是奇函数；
③|f(x)|＋g(x)是偶函数；
④|f(x)|－g(x)是奇函数．
答案 ①
解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
4．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)＝________.
答案 －3
解析 ∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－(ax3＋bx)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f(3)＝－f(－3)＝－3.
5．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为________．(填“奇函数”或“偶函数”)
答案 奇函数
解析 f(x)的定义域为R，
对于任意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
6．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
答案 0
解析 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
7．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，且f(3)＝0，则不等式>0的解集为________．
答案 (－3,0)∪(3，＋∞)
解析 ∵f(x)为奇函数，f(3)＝0，
∴f(－3)＝0.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数，
∴＝f(x)>0，
①当x>0时，则f(x)>f(3)＝0，∴x>3；
②当x<0时，则f(x)>f(－3)＝0，∴－3综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．
8．若函数f(x)＝＋是偶函数但不是奇函数，则实数a的取值范围为________．
答案 (1，＋∞)
解析 ∵函数f(x)＝＋是偶函数但不是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)且f(－x)≠－f(x)．
又∵∴a≥1.
当a＝1时，函数f(x)＝＋既是偶函数又是奇函数，
故a>1.
9．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
答案
解析 根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
10．函数f(x)＝为________．(填“奇函数”或“偶函数”)
答案 奇函数
解析 定义域关于原点对称，且
f(－x)＝
＝
＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
二、解答题
11．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是既不是奇函数也不是偶函数．
12．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，求实数a的值．
解 ∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，
∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，
∴a＝0.
13．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上为单调增函数，求实数a的取值范围．
解 (1)因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，即1－m＝－(－1＋2)，
解得m＝2.
经检验m＝2时函数f(x)是奇函数．
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上为单调增函数，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
三、探究与拓展
14．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
答案 [－6，－3)∪(0,3)
解析 由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．
15．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝，求函数f(x)的解析式．
解 ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，∴b＝0.
又∵f＝＝，∴a＝1，∴f(x)＝.
1 “函数”概念辨析
一、表达式相同的两个函数是不是同一函数？
答 很多同学容易把具有相同表达式的两个函数看作是同一个函数．其实，由函数的表达式相同，只能知道它们的对应法则相同，但还有定义域是否相同的问题．例如，f(x)＝3x＋1(x∈R)与g(x)＝3x＋1(x∈Z)，尽管f(x)和g(x)的表达式相同，但由于它们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函数．
二、定义域和值域分别相同的两个函数是否相等？
答 有些同学认为，两个函数的定义域和值域分别相同，那么这两个函数必相等．其实不然，例如，f(x)＝x，x∈{0,1}，g(x)＝(x－1)2，x∈{0,1}，这两个函数定义域和值域分别相同，但由于f(0)≠g(0)，f(1)≠g(1)，即当自变量x取相同值x0时，f(x0)≠g(x0)，故f(x)≠g(x)．
事实上，两个函数相等的意义也可叙述为：如果两个函数f(x)和g(x)的定义域为D，且对于任意x0∈D，都有f(x0)＝g(x0)，那么f(x)＝g(x)．
三、函数的定义域可以是空集吗？
答 教材中指出：“设A，B是非空的数集，……”．由此，不存在定义域为空集的函数．当函数存在(给定)时，则其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在．
四、y＝0是函数式吗？
答 很多同学都认为y＝0不是函数式，其理由是：函数定义中有两个变量x和y，而在y＝0中只有一个变量y.
从形式上来看，y＝0中只出现了一个变量y，但我们知道，0与任何实数的乘积仍为0，因此，变量y＝0就是y＝0·x，另一个变量x不是出现了吗？根据函数的定义，集合A＝{x|x∈R}显然满足函数的定义，即不论x取何值，y都有唯一确定的值0与之对应，因此，按函数的定义，y＝0是函数式．同理，对任意实数m，y＝m也是函数式，只要把它写成y＝m＋0·x就清楚了．
五、用解析法表示函数时，一个函数可以有两个或多个解析式吗？如果有，各解析式对自变量有何限制？函数定义域如何得到？
答 可以有两个或两个以上的解析式，这样的函数称为分段函数，但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分，这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集合的并集．
六、为什么说函数的解析式和定义域给出之后，它的值域相应就被确定了？
答 因为函数的定义域是自变量x的取值范围的集合，而函数的解析式就是确定函数关系，在这个关系下，每一个x都有唯一的y与之对应，因此可由定义域和解析式确定值域.
2 诠释函数“三要素”
构成函数的要素为定义域、对应法则“f”、值域三者．因此，这里我们把“定义域、对应法则、值域”称为函数的“三要素”．对于初学者来说，理解好函数的“三要素”极为重要．
在“三要素”中函数的定义域可称得上是函数的灵魂，做任何函数题都首先要考虑到函数的定义域，定义域不同，不管对应法则、值域是否相同，都是不同函数．如：(1)y＝x＋1，x∈R；(2)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(3)y＝x＋1，
x∈[1,5]．这三个函数是不同的函数．所以，要弄清楚函数的有关问题，首先要弄清楚其定义域．
一、定义域
1．函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示．
2．求函数定义域的方法，主要有如下三类：
(1)有函数解析式时求函数定义域：只需使函数有意义即可．
例1 求y＝＋的定义域．
解 由题意知 从而解得x≥－2且x≠4，故所求定义域为[－2,4)∪(4，＋∞)．
(2)没有具体解析式时，根据已知函数定义域求解，即视为整体来求解．
例2 已知函数y＝f(x＋1)的定义域为(－1,1)，求函数y＝f(x)的定义域．
解 令t＝x＋1，∵－1＜x＜1，∴0＜t＜2，
∴f(t)的定义域为(0,2)，即所求定义域为(0,2)．
(3)应用题当中，需满足问题所包含的实际意义．
例3 一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，求其解析式和定义域．
解 由题意知解析式为y＝20－2x，又因为构成三角形必须有2x＞y，y＞0，x＞0，解得5＜x＜10，所以定义域为(5,10)．
特别提示 求定义域时要使每个式子都有意义，所以通常取交集．
二、对应法则
一般地说，在函数f(x)符号中，“f”表示对应法则，等式y＝f(x)表明对于定义域中的任意的x值，在对应法则“f”的作用下，可得到值域中唯一的y值．因此，“f”是使“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，也就是函数的核心．特别地，f(a)表示自变量x＝a时所得的函数值，是一个常量；而f(x)称为变量x的函数，在通常情况下，它是一个变量．
例4 已知函数f(x)＝x2－2x，求f(1)，f(a)，f(2x)．
解 f(1)＝－1，f(a)＝a2－2a，f(2x)＝4x2－4x.
特别提示 对于函数来说，即使定义域相同，值域相同，对应法则不同，也是不同函数．如：(1)y＝x＋1，x∈R，(2)y＝2x＋1，x∈R，这两个函数对应法则不同，就是不同的函数．
三、值域
1．函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示．
2．值域的求法，就我们现在所学的知识而言，暂时介绍如下三种方法：
(1)二次函数型利用“配方法”．
例5 求函数y＝－2x2＋4x＋6的值域．
解 由y＝－2(x－1)2＋8得函数的值域为(－∞，8]．
(2)换元法(注意换元后新元的范围)．
例6 求函数y＝2x＋4的值域．
解 令t＝，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4，t≥0，故所求值域为(－∞，4]．
(3)形如y＝(a，c≠0)的函数用分离常数法．
例7 求函数y＝的值域．
解 y＝＝＝2＋，
∵≠0，故y≠2，∴值域为{y∈R|y≠2}．
特别提示 关于“配方法”，若有定义域加以限制的，可画出图象，利用“图象法”解决．对于值域来说，定义域和对应法则相同，值域就一定相同，即为同一函数．所以判断是否为同一函数，只需看定义域和对应法则是否相同即可．
例8 下列为同一函数的是________．(填序号)
①y＝和y＝·；
②y＝x0和y＝1；
③y＝和y＝x＋1；
④y＝x2－5x和y＝t2－5t.
解析 ①②定义域不同，③对应法则不同，④定义域与对应法则都相同，所以答案为④.
答案 ④
3 函数解析式求解的常用方法
一、换元法
例1 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
分析 采用整体思想，可把f(＋1)中的“＋1”看作一个整体，然后采用另一参数替代．
解 令t＝＋1，
则x＝(t－1)2(t≥1)，
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
评注 将接受对象“＋1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系式，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式．此法是求函数解析式时常用的方法．
二、待定系数法
例2 已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的表达式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
f(x＋1)＋f(x－1)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x.
故有解得所以f(x)＝x2－2x－1.
评注 若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数．
三、方程消元法
例3 已知：2f(x)＋f＝3x，x≠0，求f(x)．
解 2f(x)＋f＝3x，①
用去代换①式中的x得2f＋f(x)＝.②
由①×2－②得f(x)＝2x－，x≠0.
评注 方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的．
4 解读分段函数
分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考．
一、分段函数解读
在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，相应的对应法则不同，这样的函数称之为分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应法则)不同而已．
二、常见的题型及其求解策略
1．求分段函数的定义域、值域
例1 求函数f(x)＝的值域．
解 当x≤－2时，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，∴y≥－4；
当x＞－2时，y＝，∴y＞＝－1.
∴函数f(x)的值域是{y|y≥－4}．
解题策略 分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．
2．求分段函数的函数值
例2 已知f(x)＝求f(5)的值．
解 ∵5＜10，∴f(5)＝f[f(5＋6)]＝f[f(11)]，
∵11＞10，∴f[f(11)]＝f(9)，
又∵9＜10，∴f(9)＝f[f(15)]＝f(13)＝11.
即f(5)＝11.
解题策略 求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理．
3．画出分段函数的图象
例3 已知函数f(x)＝作出此函数的图象．
解 由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示．
解题策略 分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时：一、要注意每段自变量的取值范围，二、要注意判断函数图象每段端点的虚实．
4．求解分段函数的解析式
例4 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y与x之间的函数关系式．
解 (1)由题意可知当0＜x≤100时，设函数的解析式y＝kx，又因为直线过点(100,40)，得解析式为y＝x，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，
所以应交话费y＝×50＝20(元)．
(2)当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.则有，解得所以解析式为y＝x＋20，
故所求函数关系式为y＝
解题策略 以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在高考试题中，解决此类问题的关键是正确的理解题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点.
5 合理变形——突破单调性的证明
由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值→作差→变形→定号．其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f(x1)－f(x2)的符号的关键所在．本文总结了用定义证明函数单调性中的变形策略．
一、因式分解
例1 求证：函数f(x)＝x2－4x在(－∞，2]上是单调减函数．
证明 设x1，x2是(－∞，2]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x－4x1)－(x－4x2)
＝(x1－x2)(x1＋x2－4)．
因为x1＜x2≤2，所以x1－x2＜0，x1＋x2－4＜0.
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
故函数f(x)在(－∞，2]上是单调减函数．
评注 因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f(x1)－f(x2)的符号．
二、配方
例2 求证：函数f(x)＝x3＋1在R上是单调增函数．
证明 设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x＋1－x－1＝x－x
＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)
＝(x1－x2).
因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，2＋x＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
故函数f(x)在R上是单调增函数．
评注 本题极易在(x1－x2)(x＋x1x2＋x)处“止步”而致误．而实际上当我们不能直接判断x＋x1x2＋x的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明”．
三、通分
例3 已知函数f(x)＝x＋，求证：函数f(x)在区间(0,1]上是单调减函数．
证明 设x1，x2是区间(0,1]上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)
＝(x1－x2).
因为x1＜x2，且x1，x2∈(0,1]，
所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜1.
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
故函数f(x)在(0,1]上是单调减函数．
评注 同样，我们可以证明f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是单调增函数．
四、有理化
例4 已知函数f(x)＝，求证：函数f(x)在区间[1，＋∞)上是单调增函数．
证明 设x1，x2是区间[1，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－
＝ .
因为x1＜x2，且x1，x2∈[1，＋∞)，
所以x1－x2＜0，＋＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
故函数f(x)在区间[1，＋∞)上是单调增函数．
评注 对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f(x1)－f(x2)符号的目的.
6 谈复合函数的单调性
设y＝f(t)是t的函数，t＝g(x)是x的函数，若t＝g(x)的值域是y＝f(t)定义域的子集，则y通过中间变量t构成x的函数，称为x的复合函数，记作y＝f(t)＝f[g(x)]．
如函数y＝，若设t＝1－x，则y＝.这里t是x的函数，y是t的函数，所以y＝是x的复合函数，把t称为中间变量．
思考1 已知函数y＝f(t)的定义域为区间[m，n]，函数t＝g(x)的定义域为区间[a，b]，值域D?[m，n]．若y＝f(t)在定义域内单调递增，t＝g(x)在定义域内单调递增，那么y＝f[g(x)]是否为[a，b]上的单调增函数？为什么？
答 y＝f[g(x)]是区间[a，b]上的单调增函数．证明如下：
任取x1，x2∈[a，b]，且x1因为t＝g(x)在[a，b]上单调递增，所以g(x1)思考2 若将g(x)在区间[a，b]上“单调递增”改为“单调递减”或将f(x)在区间[m，n]上“单调递增”改为“单调递减”等，这时复合函数y＝f[g(x)]在区间[a，b]上的单调性又如何呢？
答 利用解决思考1的方法就可以得出相应的结论(同学们不妨一试)．由此可得到如下复合函数单调性的结论：
y＝f(t)
单调递增
单调递减
t＝g(x)
单调递增
单调递减
单调递增
单调递减
y＝f[g(x)]
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”．不过要注意：单调区间必须注意定义域；要确定t＝g(x)(常称内层函数)的值域，否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性．
例1 求函数y＝的单调区间．
解 函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
设t＝(x＋1)2，则y＝(t>0)．
当x∈(－∞，－1)时，t是x的单调减函数，y是t的单调减函数，
所以(－∞，－1)是y＝的单调增区间；
当x∈(－1，＋∞)时，t是x的单调增函数，y是t的单调减函数，
所以(－1，＋∞)是y＝的单调减区间．
综上知，函数y＝的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)．
例2 求y＝的单调区间．
解 由x2－2x－3≠0，得x≠－1且x≠3，
令t＝x2－2x－3(t≠0)，则y＝，
因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为单调减函数，
而t＝x2－2x－3在(－∞，－1)，(－1,1)上为单调减函数，
在(1,3)，(3，＋∞)上是单调增函数，
所以函数y＝的单调增区间为(－∞，－1)，(－1，1)，单调减区间为(1,3)，(3，＋∞)．
7 函数单调性的应用
一、比较大小
例1 若函数f(x)＝x2＋mx＋n，对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)成立，试比较f(－1)，f(2)，f(4)的大小．
解 依题意可知f(x)的对称轴为x＝2，
∴f(－1)＝f(5)．
∵f(x)在[2，＋∞)上是单调增函数，
∴f(2)评注 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；
(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．
二、解不等式
例2 已知函数f(x)为R上的单调减函数，则满足f解析 由f(x)为R上的单调减函数且f得即∴－1答案 (－1,0)∪(0,1)
三、求参数的值或取值范围
例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围．
解 任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则x2－x1>0.
f(x2)－f(x1)＝(x－ax2)－(x－ax1)
＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x－a)．
∵1≤x13.
显然不存在常数a，使(x＋x1x2＋x－a)恒为负值．
又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，
∴必有一个常数a，使x＋x1x2＋x－a恒为正数，
即x＋x1x2＋x>a.
当x1，x2∈[1，＋∞)时，x＋x1x2＋x>3，∴a≤3.此时，
∵x2－x1>0，∴f(x2)－f(x1)>0，
即函数f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，
∴a的取值范围是(0,3]．
四、利用函数单调性求函数的最值
例4 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；
(2)当a＝时，求f(x)的最小值；
(3)若a为正常数，求f(x)的最小值．
解 (1)当a＝4时，f(x)＝x＋＋2，易知，f(x)在[1,2]上是单调减函数，在[2，＋∞)上是单调增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6.
(2)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
易知，f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝.
(3)函数f(x)＝x＋＋2在(0，]上是单调减函数，
在[，＋∞)上是单调增函数．
若>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，
∴f(x)min＝f()＝2＋2.
若≤1，即08 例析函数的值域
求函数值域的常用方法：配方法、换元法、单调性法、判别式法、不等式法、数形结合法、有界性法、分离常数法．
例1 求下列函数的值域．
(1)y＝；(2)y＝2x－1－.
解 (1)方法一 (配方法)
∵y＝1－，
又x2－x＋1＝2＋≥，
∴0<≤，∴－≤y<1.
方法二 (判别式法)
由y＝，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.
当y＝1时，x∈?.
当y≠1时，∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，
∴－≤y<1.∴函数的值域为.
(2)方法一 (换元法)
设＝t，则t≥0，x＝，
于是f(x)＝g(t)＝2·－1－t
＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋6，
显然函数g(t)在[0，＋∞)上是单调减函数，
所以g(t)≤g(0)＝，
因此原函数的值域是.
方法二 (单调性法)
函数的定义域是，
当自变量x增大时，2x－1增大，减小，
所以2x－1－增大，
因此函数f(x)＝2x－1－在其定义域上是一个单调增函数，
所以当x＝时，函数取得最大值f＝，
故原函数的值域是.
例2 求函数y＝的值域．
解 (有界性)因为y＝＝，
所以102x＝(y≠1)．
又因为102x>0，所以>0.
解得y>1或y<－1，
所以值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
例3 求函数y＝的值域．
解 ∵y＝＝＝－1－，
又∵≠0，∴y＝－1－≠－1，
即函数的值域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
9 函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性是函数的一个重要性质，除了直接运用定义法判断外，下面再介绍几种判定方法．
一、定义域判定法
例1 判断函数f(x)＝·的奇偶性．
分析 一个函数是奇(偶)函数，其定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件．若定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数．
解 要使函数f(x)有意义，则
解得x≥1，即定义域是{x|x≥1}．因为定义域不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
评注 用定义域虽不能判断一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称来说明一个函数不具有奇偶性．
二、变式法
例2 判断f(x)＝的奇偶性．
分析 直接验证f(－x)＝±f(x)有困难，可转化为验证＝±1(f(x)≠0)．
解 f(x)的定义域为R，关于原点对称．
当x＝0时，f(x)＝0，图象过原点．
因为当x≠0时，＝＝－1，
所以f(－x)＝－f(x)．
又f(0)＝0，
所以函数f(x)为奇函数．
评注 为了运算上的方便或是直接运用定义判断较难进行时，常把验证f(－x)＝±f(x)转化为验证其变式：f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)．
三、图象法
例3 判断函数f(x)＝的奇偶性．
分析 本题可用图象法较为直观地判断．
解 作出函数f(x)的图象，如图所示．
因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数．
评注 一些函数的奇偶性可用图象法解决，即图象关于原点对称的函数是奇函数，图象关于y轴对称的函数是偶函数，否则既不是奇函数也不是偶函数．
10 函数奇偶性的应用
函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明．
一、求函数的解析式
例1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，求f(x)的解析式．
分析 要求f(x)在R上的解析式，条件已给出f(x)在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x≤0时f(x)对应的解析式．
解 因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)，
因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝x(1－)，
x∈(－∞，0)．
在f(－x)＝－f(x)中，
令x＝0，得f(0)＝0.
所以f(x)＝
评注 利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式．
二、求参数的值
例2 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a＜0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.
分析 根据已知条件可知，当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x＜0的解析式．
解析 令x＜0，则－x＞0.所以f(－x)＝－x(1－x)．
又f(x)为奇函数，所以当x＜0时，有f(x)＝x(1－x)．
令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0.
解得a＝－1或a＝2(舍去)．
答案 －1
评注 解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键．
三、求参数的范围
例3 定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是单调减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
解 因为f(x)是偶函数，所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．又f(1－m)＜f(m)，所以f(|1－m|)＜f(|m|)．由f(x)在区间[0,2)上是单调减函数，得0≤|m|＜|1－m|＜2.解得－1＜m＜.故实数m的取值范围是.
评注 本题利用了偶函数的性质：若函数f(x)是偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)，从而达到简捷求解的目的．
11 函数单调性、奇偶性联袂解题
单调性和奇偶性是函数的两个重要基本性质，二者之间有下面的密切联系：(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．巧妙地运用单调性和奇偶性的联系，可以轻松解决很多函数问题．下面分类举例说明．
一、比较大小
例1 已知函数f(x)是偶函数，且在区间[0,1]上是单调减函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是________________________________________________________________________．
解析 因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．
又因为f(x)在区间[0,1]上是单调减函数，
所以f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)．
答案 f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)
评注 比较两个函数值大小时，如果两个自变量的值不在同一单调区间上，则需要利用奇偶性来进行转化．
二、求函数最值
例2 若偶函数f(x)在区间[3,6]上是单调增函数且f(6)＝9，则它在区间[－6，－3]上的最大值为________．
解析 因为f(x)是偶函数且在区间[3,6]上是单调增函数，
所以f(x)在区间[－6，－3]上是单调减函数．因此，f(x)在区间[－6，－3]上的最大值为f(－6)＝f(6)＝9.
答案 9
评注 应用单调性和奇偶性的联系求最值时，一定要确定是最大值还是最小值．
三、解不等式
例3 若函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是单调增函数，又f(－2)＝0，则x·f(x)＜0的解集是________．
解析 因为函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是单调增函数，又f(－2)＝0，所以可画出符合条件的奇函数f(x)的图象，如图所示．
因为x·f(x)＜0，所以或，结合图象，得到答案为(－2,0)∪(0,2)．
答案 (－2,0)∪(0,2)
评注 本题是单调性和奇偶性的综合应用，并且有较强的抽象性．只要抓住其对称性，分析图象的特点，画出符合条件的图象，就不难使问题得到解决．
四、求参数的取值范围
例4 设定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在[0,1)上单调递增，且有f(1－m)＋f＜0，求实数m的取值范围．
解 由于函数f(x)的定义域为(－1,1)，
则有解得0＜m＜.
又f(1－m)＋f＜0，
所以f(1－m)＜－f．
而函数f(x)为奇函数，则有f(1－m)＜f．
因为函数f(x)是奇函数，且在[0,1)上单调递增，所以函数f(x)在定义域(－1,1)上单调递增，
则有1－m＜2m－，解得m＞，
故实数m的取值范围为．
评注 本题通过函数奇偶性和单调性的定义及其相关特征解决问题，这是比较常见的题型之一．
12 函数图象的三种变换
函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：
一、平移变换
例1 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：
(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；
(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．
解 (1)如图1 (2)如图2
图1 图2
观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到；y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到；y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．
二、对称变换
例2 设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系．
解 画出y＝f(x)＝x＋1与y＝f(－x)＝－x＋1的图象如图所示．
由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称．
评注 函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
三、翻折变换
例3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数图象的关系．
解 y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所示．
通过观察两个函数图象可知：要得到y＝|f(x)|的图象，需把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．
例4 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系．
解 y＝f(x)的图象如图1所示．
图1 图2
通过观察两个函数图象可知：要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可，如图2所示．
13 含参方程的解法
一题多解训练，就是启发和引导同学们从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动，从而提高综合运用已学知识解答数学问题的技巧，锻炼思维的灵活性，促进同学们长知识、长智慧，开阔同学们的思路，引导同学们灵活地掌握知识之间的纵横联系，培养和发挥创造性．
例 若方程x2－x＝k在区间(－1,1)内有实数解，试求实数k的取值范围．
分析 本题考查方程在区间内有实数解，考查根的分布问题，由于函数与方程的关系密切，所以解决本题可以利用根的分布得出满足条件的不等式，进而求解；也可以通过构造函数，利用数形结合思想求解．所以有以下几种方法．
解 方法一 因为f(x)＝x2－x－k的对称轴x＝∈(－1,1)，更确切地说，x＝在(0,1)内，
所以方程x2－x＝k在区间(－1,1)内有实数解的等价条件是解得－≤k<.
所以实数k的取值范围为．
评注 该解法的特点是发现了本题的特殊性，即对称轴在已知的区间内，从而迅速将难题破解．
方法二 若方程x2－x＝k在(－1,1)内有实数解，令y＝x2－x，x∈(－1,1)的值域为M，
则原方程在(－1,1)内有实数解，只需k∈M即可．
根据函数y＝x2－x的对称轴x＝，且x∈(－1,1)，
可知函数在x＝处取得最小值，
即ymin＝2－×＝－；
函数在x＝－1处取得最大值，
即ymax＝1＋＝.
所以－≤k<.
所以实数k的取值范围．
评注 该解法的妙处在于将原问题转化为求二次函数的值域问题，运用了转化与化归思想，而对于值域问题的处理，也就简单多了．
方法三 令f(x)＝x2－x，x∈(－1,1)，g(x)＝k.
若方程x2－x＝k在(－1,1)内有实数解，
则只需f(x)和g(x)的图象在(－1,1)内有交点即可，如图所示．
显然－≤k<.
所以实数k的取值范围为．
评注 该解法很好地将一个代数问题转化为图象交点问题，运用了数形结合的思想，而且该解法还能进一步对解的个数进行讨论．
章末复习
学习目标 1.构建知识网络，理解其内在的联系.2.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．
知识点一 函数的单调性
1．函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键．
2．函数单调性的证明
根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下
(1)取值：任取x1，x2∈D，且x10.
(2)作差变形：Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形.
(3)判断符号：确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论.
(4)下结论：根据定义得出结论．
3．证明函数单调性的等价变形：(1)f(x)是单调递增函数?任意x10?[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)>0；(2)f(x)是单调递减函数?任意x1f(x2)?<0?[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0.
知识点二 函数的奇偶性
对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)→
性质：①函数y＝f(x)是偶函数?f(x)的图象关于y轴对称．
②函数y＝f(x)是奇函数?f(x)的图象关于原点对称．
③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
④奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，奇函数f(x)在x＝0处有定义时，必有y＝f(x)的图象过原点，即f(0)＝0.
1．函数的定义域、值域都是集合．(√)
2．直线y＝b与R上的增函数至多有一个交点．(√)
类型一 函数概念及性质
命题角度1 函数三要素
例1 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．
(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；
(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．
解 (1)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设y＝kx＋b(k≠0)，当x＝4时，y＝16，当x＝7时，y＝10，得到解得∴y＝－2x＋24.
依题意有
解得定义域为{x∈N|0≤x≤12}．
(2)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，x∈[0,12]且x∈N.所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920.
故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.
反思与感悟 建立函数模型是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束．
跟踪训练1 如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的中点，点P沿着路径A→B→C→M在正方形边上运动所经过的路程为x，△APM的面积为y.
(1)求y＝f(x)的解析式及定义域；
(2)求△APM面积的最大值及此时点P位置．
解 (1)根据题意得
f(x)＝
f(x)的定义域为(0,1)∪[1,2)∪＝．
(2)易知f(x)在(0,1)上为单调增函数，在上为单调减函数，
∴当x＝1时，f(x)max＝－＝.
命题角度2 函数性质的综合应用
例2 已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是单调减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值；
(3)解不等式f(x)－f(－x)>2.
(1)证明 由f(x)＋f(y)＝f(x＋y)可得
f(x＋y)－f(x)＝f(y)．
在R上任取x1>x2，令x＋y＝x1，x＝x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)．
∵x1>x2，∴x1－x2>0.
又x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
即f(x1)－f(x2)<0.
由定义可知f(x)在R上是单调减函数．
(2)解 ∵f(x)在R上是单调减函数；
∴f(x)在[－3,3]上也是单调减函数；
∴f(－3)最大，f(3)最小．
又f(1)＝－，
∴f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)
＝3×＝－2.
∴f(－3)＝f(4－3)－f(4)＝f(1)－f(3)－f(1)
＝－f(3)＝2.
即f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
(3)解 由(2)知f(－3)＝2，
f(x)－f(－x)>2即f(x)>f(－x)＋2＝f(－x)＋f(－3)＝f(－3－x)，
由(1)知f(x)在R上为单调减函数，
∴f(x)>f(－3－x)?x<－3－x，
解集为．
引申探究
证明f(x)为奇函数．若已证明f(x)为奇函数，如何解(3)?
证明 令y＝－x，
则f(x)＋f(y)＝f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)．
再令x＝y＝0，有f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，
即2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.
∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f(x)－f(－x)＞2?2f(x)＞2?f(x)＞1.
由(2)知f(－3)＝f
＝f＋f＝2f＝2，
∴f＝1.
∴f(x)＞1?f(x)＞f，
∵f(x)在R上为单调减函数，∴解集为.
反思与感悟 (1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用．
跟踪训练2 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解 (1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．证明如下：
令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2?f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x－1|<16，解之得－15∴x的取值范围是{x|－15类型二 函数图象的画法及应用
例3 对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．
解 (1)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
图象关于y轴对称．
(2)f(x)＝x2－2|x|＝
画出图象如图所示，
根据图象知，函数f(x)的最小值是－1，无最大值．
单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
反思与感悟 画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．
跟踪训练3 已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.求x∈[－3,5]时，f(x)＝的所有解的和．
解 当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f(－x)＝－x.
又∵f(x)为奇函数，∴x∈[－1,0]时，f(x)＝－f(－x)＝x.
即x∈[－1,1]时，f(x)＝x.
又由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图象关于直线x＝1对称．
由此可得f(x)在[－3,5]上的图象如下：
在同一坐标系内画出y＝的图象，
由图可知在[－3,5]上共有四个交点，
∴f(x)＝在[－3,5]上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，
则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，
∴＝1，＝1.
∴x1＋x2＋x3＋x4＝4.
1．f(x)＝x2＋|x|是________函数(填奇、偶)，其单调增区间为________．
答案 偶 [0，＋∞)
2．已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是________．
答案 Q?P
解析 P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以Q?P.
3．设函数f(x)＝则f(－4)＝________，若f(x0)＝8，则x0＝________.
答案 18 －或4
解析 f(－4)＝(－4)2＋2＝18，
由f(x0)＝8，得或
得x0＝－，或x0＝4.
4．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
答案 1
解析 f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
5．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是单调减函数，则f与f的大小关系是________．
答案 f≥f
解析 因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又f(x)在[0，＋∞)上是单调减函数，
所以f≤f＝f.
1．函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为填空题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题．
2．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选择其中易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向．
3．(1)函数图象的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图象上点的坐标进行排除．
(2)应用函数图象的关键是从图象中提取所需的信息，提取图象中信息的方法主要有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图象上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题．②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
一、填空题
1．若f(＋1)＝x＋2，则f(3)＝________.
答案 8
解析 f(3)＝f(2＋1)＝f(＋1)＝4＋2＝8.
2．函数f(x)＝的定义域为________．
答案 (－∞，3)∪(3,4]
解析 f(x)中的x需满足
解得x≤4且x≠3，
故f(x)的定义域为(－∞，3)∪(3,4]．
3．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝______.
答案 1
解析 由题意得f(－x)＝－f(x)，
则＝
＝－，
则－4x2＋(2－2a)x＋a＝－4x2－(2－2a)x＋a，
所以2－2a＝－(2－2a)，
所以a＝1.
4．函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为单调减函数，则a的取值范围为________．
答案
解析 当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为单调减函数，
∴图象开口朝上，a＞0且－≥4，得0＜a≤.
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为单调减函数．
综上知，0≤a≤.
5．已知函数f(x)＝则f(1)－f(3)＝________.
答案 7
解析 由题意得f(1)＝f(4)＝42＋1＝17，f(3)＝32＋1＝10，
故f(1)－f(3)＝17－10＝7.
6．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是________．
答案 ①
解析 函数y＝f(x)g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除③④.因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，所以y＝f(x)·g(x)是奇函数，故填①.
7．函数f(x)＝x2－2mx＋1在区间[－1，＋∞)上不是单调函数，则实数m的取值范围是________．
答案 (－1，＋∞)
解析 函数f(x)图象的对称轴为直线x＝m.由题意，得m＞－1，即实数m的取值范围是(－1，＋∞)．
8．已知S(x)＝则函数g(x)＝S(|x|)＋|S(x)|的值域为________．
答案 {2}
解析 由|x|≥0，得S(|x|)＝1.又|S(x)|＝1，
所以g(x)＝2.故g(x)的值域为{2}．
9．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
答案 2x＋3
解析 设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3.
∵g(x)为奇函数，
∴f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3.
10．已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－m2)>f(2m)，则实数m的取值范围是________．
答案 (－3,1)
解析 因为函数f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是单调增函数，又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)是R上的单调增函数．要使f(3－m2)>f(2m)，只需3－m2>2m，解得－3二、解答题
11．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．
解 f(x)＝42－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是单调增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.
∵a≤0，∴a＝1－.
②当0<<2，即0f(x)min＝f＝－2a＋2.
由－2a＋2＝3，得a＝－?(0,4)，舍去．
③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是单调减函数，
f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.
∵a≥4，∴a＝5＋.
综上所述，a＝1－或a＝5＋.
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有两等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0，t]上的最大值．
解 (1)∵方程f(x)＝2x有两等根，
即ax2＋(b－2)x＝0有两等根，
∴Δ＝(b－2)2＝0，解得b＝2.
由f(x－1)＝f(3－x)，得＝1，
∴x＝1是函数图象的对称轴，
而此函数图象的对称轴是直线x＝－，
∴－＝1，∴a＝－1，故f(x)＝－x2＋2x.
(2)∵函数f(x)＝－x2＋2x的图象的对称轴为x＝1，x∈[0，t]，
∴当0∴f(x)max＝－t2＋2t.
当t>1时，f(x)在[0,1]上是单调增函数，在[1，t]上是单调减函数，∴f(x)max＝f(1)＝1.
综上，f(x)max＝
13．某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200平方米的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/平方米，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/平方米，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/平方米.
(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；
(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
解 (1)设AM＝y，AD＝x，
则x2＋4xy＝200，∴y＝.
故Q＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2
＝38 000＋4 000x2＋(0(2)令t＝x2，则Q＝38 000＋4 000，且0∵函数u＝t＋在(0,10]上为单调减函数，在[10,200)上为单调增函数，
∴当t＝10时，umin＝20.
故当x＝时，Qmin＝118 000(元)．
答 当x＝米时，可使总造价最少，最小值为118 000元.
三、探究与拓展
14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝________，g(x)＝________.
答案 x2－2 x
解析 ∵f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，
由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
得f(x)－g(x)＝x2－x－2.
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，
两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
15．若f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且对一切x，y>0，满足f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2.
解 (1)在f＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f(1)－f(1)，∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，∴f(x＋3)－f<2＝f(6)＋f(6)，
∴f(3x＋9)－f(6)∵f(x)是(0，＋∞)上的单调增函数，
∴解得－3即不等式的解集为(－3,9)．
