人教版数学九上24.1.1 圆课件（33张PPT）

24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
九年级数学上册
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
导入新知

骑车运动
看了此画,你有何想法?
导入新知

【思考】车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？
2. 掌握弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.

1. 认识圆，理解圆的定义.
素养目标

情景：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
探究新知

圆的定义

知识点 1

甲
丙
乙
丁








为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆排队。

因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
探究新知



·
r
O
A

圆的旋转定义（描述性定义）
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
有关概念
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．
问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
探究新知

一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
确定一个圆的要素
同心圆
等圆
半径相同，圆心不同
圆心相同，半径不同


探究新知

圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的.
满足什么条件的？




















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































有间隙吗？
圆也可以看成是由多个点组成的
到定点的距离等于定长
的点都在同一个圆上吗？
探究新知

（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ．
（2）到定点的距离等于定长的点都在 ．
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

O
·





A
C
E
r
r
r
r
r
D
定长r
同一个圆上
圆的集合定义
【想一想】从画圆的过程可以看出什么呢？
探究新知


圆的基本性质

o
?




































同圆半径相等.
探究新知


例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.
求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.



A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
又∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
圆的定义的应用






素养考点 1
探究新知
变式题1如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.
巩固练习

分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两三角形全等,最后根据全等的性质得出结论.
解：连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,
∵CE=DF.
∴△OCE≌△ODF,
∴OE=OF,
∴△OEF是等腰三角形.
【想一想】
圆是一条曲线,还是一个曲面?
提示:圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线,而不是曲面.
巩固练习

弦:
·

C
O
A

B

连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.

探究新知

圆的有关概念

知识点 2
注意

O
A
B
O
A
B
探索：圆中最长的弦是什么？为什么？




O
A
B









































C







C







D












C







D













O
A
B
C


























O
A
B
C
D































O
A
B
C
D





























【发现】直径是最长的弦
探究新知


弧:
·

C
O
A

B


圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
劣弧与优弧
·

C
O
A

B



半圆
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．以A、B为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
(
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
(
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.
(
劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示.
探究新知

等圆:
·
C
O
A

能够重合的两个圆叫做等圆.
·
C
O1
A

容易看出，等圆是两个半径相等的圆.
等弧:
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

探究新知

【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
可见这两条弧不可能完全重合
实际上这两条弧弯曲程度不同
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
︵
︵



















D
C
A
B
【想一想】长度相等的弧是等弧吗？

探究新知

A
B
C
D
例2 如图.
(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;



(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 和 .



A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
AF,
(
AD,
(
AC,
(
AE.
(
AFE,
(
AFC,
(
ADE,
(
ADC.
(
AF
(
圆的有关概念的识别
ABF
(






素养考点 2
探究新知
变式题2 在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是直径;③如图所围成的图形是半圆.
其中正确的命题有　　　.
巩固练习

解析：
①
例3 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上。（1）求证：OB=OC.
连OA,OD即可，
同圆的半径相等.
Ⅰ
Ⅱ
10
？
x
2x
（2）设OB=x，则AB=2x，
在Rt△ABO中，
（2）设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 .
圆的有关概念的应用
解：（1）连接OA，OD，
证明Rt?ABO≌Rt?DCO
解得：x=2






素养考点 3
探究新知
x
x
x
x


变式题3 如图，在扇形MON中， ∠MON=45°，半径MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
解：连结OA.
∵ABCD为正方形
∴∠CDO=45°∴DC=CO
设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x
又∵OA=OM=10
∴在Rt△ABO中,
解之得：x=2
即AB=x=2
巩固练习

变式题4 CD为⊙O的直径,∠EOD=72°,AE交⊙O于B,且AB=OC,则∠A=_______.


24°


解析：∵OB=OC，AB=CO，∴AB=OA，∴∠A=∠BOA.
又∵OB=OE，∴∠E=∠EBO，∵∠EBO=2∠A，∴∠E=2∠A，
又∵∠EOD=∠E+∠A，∴3∠A=∠EOD，
∵∠EOD=72°，∴∠A=24°
巩固练习

1.（2017?中考）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（　　）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
巩固练习





连接中考
B
连接中考
2.（2017?中考）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．0.5π
C．0.25π D．2π
巩固练习





连接中考
B
　
1.填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．
（2）图中有 条直径， 条非直径的弦，
圆中以A为一个端点的优弧有 条，
劣弧有 条．

直径
半径
一
二
四
四
课堂检测






基础巩固题


A
B
C
D
O
F
E
2. 一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是 .
7cm或3cm
课堂检测






基础巩固题
3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
课堂检测






基础巩固题
一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的
活动区域．
5m
课堂检测






能力提升题
求证：直径是圆中最长的弦.
证明：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，半径是r.
CD是不同于AB的任意一条弦.
连接OC、OD，
则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.
在△OCD中，OC+OD＞CD，
∴AB＞CD.即直径是圆中最长的弦.

课堂检测






拓广探索题
圆
定义
旋转定义
（描述性定义）
要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径
集合定义
同圆半径相等
有关
概念
弦（直径）
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
劣弧
半圆
优弧
同心圆
等圆
同圆
等弧
能够互相重合的两段弧













课堂小结

24.1 圆的有关性质/
课后作业


作业
内容


教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习