人教版九年级数学上册第二十四章圆24.2.2 直线和圆的位置关系课件（3课时105张）

24.2 点和圆、直线和圆的
位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
九年级数学上册
第一课时
第二课时
第三课时











直线和圆的位置关系（1）
第一课时
返回
如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们
把太阳看作一个圆，
地平线看作一条直线，
由此你能得出直线和
圆的位置关系吗？
导入新知

2. 会从公共点的个数或d和r的数量关系判定直线和圆的位置关系.

1. 知道直线和圆的位置关系及有关概念.
素养目标


问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？




探究新知

用公共点个数判断直线与圆的位置关系

知识点 1
问题2 如图，在纸上画一条直线 l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线l的公共点的个数吗？







探究新知

问题3 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？

●
●
●
l
0
2
探究新知

探究新知


直线与圆的
位置关系
图形

公共点个数
公共点名称
直线名称
2个
交点
1个
切点
切线


0个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数

填一填

探究新知

直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.



A
l

O




探究新知

（1）直线与圆最多有两个公共点.
（2）若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.
（3）若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.
（4）若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离.
（5）直线a 和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.
练一练：判断正误。
√
×
×
×
×
探究新知

问题1 同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
探究新知

用数量关系判断直线与圆的位置关系

知识点 2
知识链接：
点到直线的距离是指从直线外一点（A）到直线（l）的垂线段（OA）的长度.



l
A
O
问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？


O
d
探究新知

直线和⊙O相交
直线和⊙O相离
直线和⊙O相切

d＜r；
d = r.
d＞r；


根据直线和圆相交、相切、相离的定义：

·
A


活动根据直线和圆相切的定义，经过点A用直尺近似地画出⊙O的切线.
O
探究新知

A
直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r

数形结合：
位置关系
数量关系










合作探究






r
d



∟




r
d









∟




r
d



（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
o
o
o


公共点个数
要

点

归

纳

两个
一个
0个
探究新知




B
C
A
4
3
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
(1) r=2cm；(2) r=2.4cm； (3) r=3cm．
分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d.
D


利用r和d的大小关系识别直线与圆的位置关系





素养考点
探究新知

解：过C作CD⊥AB，垂足为D.
在△ABC中，
AB=


5.
根据三角形的面积公式有

∴
即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
所以 (1)当r=2cm时,

有d >r,
因此⊙C和AB相离.

B
C
A
4
3
D


d
记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.

探究新知
（2）当r=2.4cm时,有d=r.

因此⊙C和AB相切.

B
C
A
4
3
D


d
（3）当r=3cm时，有d因此，⊙C和AB相交.


B
C
A
4
3
D


d

探究新知

A
B
C
A



D


4
5
3
变式题1 Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与直线AB没有公共点？
当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时,
⊙C与线段AB没有公共点.

巩固练习
变式题2 Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？

A
B
C
A



D


4
5
3
当r=2.4cm或3cm≤r＜4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点.
当2.4cm＜r≤3cm 时,⊙C与线段AB有两公共点.

巩固练习
变式题3 圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ；（2） 6.5cm ；（3） 8cm；
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm 直线与圆相离，

有两个公共点；
有一个公共点；
没有公共点.
A
B
·



6.5cm
d=4.5cm
O
M
（2）圆心距d=6.5cm = r = 6.5cm 直线与圆相切，

·
N

O


6.5cm
d=6.5cm
解（1） 圆心距d=4.5cm＜ r = 6.5cm 直线与圆相交，

D
·

O


6.5cm
d=8cm

巩固练习
例2 如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm,∠A=30°.
(1) 以点C为圆心，当半径为多少时，AB与☉C相切？
(2) 以点C为圆心，半径r分别为4cm,5cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？

A
C
B
解：(1) 过点C作边AB上的高CD.


D
∵∠A=30°，AB=10cm,
在Rt△BCD中，有
当半径为 时，AB与☉C相切.

巩固练习
变式题4 如图，已知∠AOB=300，M为OB上一点，且 OM=5cm，以M为圆心、r为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？
(1) r=2cm
(2) r=4cm
(3) r=2.5cm
Ｍ


O
A
B
．
D


答案： (1)相离
(2)相交
(3)相切

巩固练习
1.（2018?中考）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
解析：∵圆心到直线的距离5cm=r，
∴直线和圆相切．

巩固练习




连接中考
B
连接中考
2.（2018?中考）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．

巩固练习




连接中考


.O


.O


.O


.O


.O
1.看图判断直线l与☉O的位置关系？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
相离
相交
相切
相交
?

注意：直线是可以无限延伸的．
相交
课堂检测






基础巩固题
2．直线和圆相交，圆的半径为r, 且圆心到直线的距离为5，则有（ ）
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
B
课堂检测






基础巩固题
3. ☉O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与☉O .
相离
课堂检测






基础巩固题
4. ☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系是（ ）
A. 相交或相切 B. 相交或相离
C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能
A
课堂检测






基础巩固题
如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为(　　)
A．(－1，－2) B．(1，2)
C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
A
课堂检测






能力提升题


已知☉O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.


o

l1

l2
A
B
C

l2
解：（1） l2与l1在圆的同一侧：
m=9-7=2 cm

（2）l2与l1在圆的两侧：
m=9+7=16 cm
课堂检测






拓广探索题
直线与圆的位置关系

定义
性质
判定

相离
相切
相交

公共点的个数
d与r的数量关系

定义法
性质法
相离:0个;相切：1个;
相交：2个
相离:d>r;相切:d=r
相交:d0个：相离；1个：相切；2个：相交
d>r：相离;d=r:相切
d课堂小结












直线和圆的位置关系（2）
第二课时
返回
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？

导入新知

都是沿着圆的切线的方向飞出的．
3. 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.


1. 会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.

2. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
素养目标



如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离是多少？
这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．



?
思
考




A
l
o


直线 l 和⊙O有什么位置关系?

由d=r 直线 l 是⊙O的切线．

探究新知

切线的判定定理


知识点 1


Ｏ


A




B
C
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?
（2）二者位置有什么关系？为什么？
O
探究新知

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线


Ｏ


A


B
C


切线的判定定理

应用格式

O
探究新知

下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？

O.


A

O.


A
B








A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.


注意
探究新知

判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.



l



A
l

O




l




r
d





要

点

归

纳
探究新知

例1 如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，点A,且AB=AC.
求证：AC是☉O的切线.


分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明： ∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC- ∠ACB=90°.
∵AB是☉O的直径，
∴ AC是☉O的切线.
A
O
C
B
通过过证明角是90°判断圆的切线






素养考点 1
探究新知
变式题1 如图 所示，线段 AB 经过圆心 O，交⊙O 于点 A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边 BD 交圆于点 D.BD 是⊙O 的切线吗？为什么？
图 24-2-11
巩固练习

解：BD 是⊙O 的切线．
连接 OD, ∵OD＝OA，∠A＝30°，


∴∠DOB＝60°.
∵∠B＝30°，∴∠ODB＝90°.


∴BD 是⊙O 的切线．
例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
O
B

A




C
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
通过证明垂直判断圆的切线






素养考点 2
探究新知
变式题2 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线．


B
O
C
E
A

分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.



F

巩固练习

证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ，
∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，
O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，






F
B
O
C
E
A
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
巩固练习

如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB
求证：直线AB是⊙O的切线.



C
B
A


O
如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切线.





C
B
A


O
对比思考
？
作垂直
连接
方法归纳
探究新知

(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
例1
例2
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

要

点

归

纳
探究新知
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？


A
l

O


∵直线l是⊙O 的切线，A是切点.
∴直线l ⊥OA.
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．

应用格式

探究新知

切线的性质定理

知识点 2
证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.
则OM 因此,CD与⊙O相交.
这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.
C
D

B
O



A
所以AB与CD垂直.

M

证法1：反证法.
性质定理的证明
探究新知


C
D

O



A

证法2：构造法.
探究新知

作出小⊙O的同心圆大⊙O，
CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点.
连接OA,根据垂径定理，则
CD ⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
方法总结
探究新知

例3 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝ ，求⊙O的半径．
分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，
由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；


O
A
B
P
C
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
切线性质的应用






素养考点 3
探究新知
(1)求证：△ACB≌△APO；


O
A
B
P
C
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
∴∠OAP＝90°.
巩固练习

(2)若AP＝ ，求⊙O的半径．


O
A
B
P
C
∴AO＝1，
∴CB＝OP＝2，
∴OB＝1，
即⊙O的半径为1.
解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP = ，
巩固练习

变式题3 如图所示，点 A 是⊙O 外一点，OA 交⊙O 于点 B，AC 是⊙O 的切线，切点是 C，且∠A＝30°，BC＝1.求⊙O 的半径．


巩固练习

解：连接 OC.
因为 AC 是⊙O 的切线，所以∠OCA ＝90°.

又∵ ∠A＝30°，
∴ ∠COB＝60°
∴ OBC 是等边三角形．

∴ OB＝BC＝1，即⊙O 的半径为 1.
（2018?中考）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF、CM．判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；





连接中考
巩固练习

解：CM与⊙O相切．
理由如下：连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，
∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，
∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；




连接中考
巩固练习

1. 判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
（ ）
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
×
×
√
√
√
课堂检测






基础巩固题
2. 如图所示，A是☉O上一点，且AO=5, PO=13, AP=12,则PA与☉O的位置关系是 .
A


P
O
第2题
相切
课堂检测






基础巩固题
3. 如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35°
C．30° D．45°


P
O
第3题
D
A
B
C
C
课堂检测






基础巩固题
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4, PA=2,则⊙O的半径多少？


O
P
B
A
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,
OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得 r=3，
即⊙O的半径为3.
课堂检测






基础巩固题
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB ∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线.
1. 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.








O
A
B
C
E
P
课堂检测






能力提升题
A
B
C
P
E
O
2. 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线
AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
课堂检测






能力提升题
已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
① _________ ；② _____________ .
（2）如图2，AB是非直径的弦，
∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.

BA⊥EF
∠CAE=∠B


A
F
E
O


A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
课堂检测






拓广探索题
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.
∴ ∠D+ ∠DAC=90 °,
∵ ∠D与∠B同对 ,
∴ ∠D= ∠B,
又∵ ∠CAE= ∠B,
∴ ∠D= ∠CAE,
∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°,
∴EF是☉O的切线.



A
F
E
O
B
C
图2

D

课堂检测






拓广探索题
切线的判定方法

定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.



证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.

课堂小结

切线的
性质

有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径


有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
课堂小结












直线和圆的位置关系（3）
第三课时
返回
同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
导入新知

2. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明.



1. 掌握切线长的定义及切线长定理.
素养目标


问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？


P

O


B
A


O.
P

A
B
探究新知

切线长定理及应用

知识点 1


P
1.切线长的定义：
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．

A



O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个
端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别在哪里？
探究新知

问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是☉O的一条半径吗？
PB是☉O的切线吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB有何关系？
∠APO和∠BPO有何关系？

O.
P



A
B


探究新知









B
P
O











A
切线长定理
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B


PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
探究新知


O.
P

已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：∵PA切☉O于点A，
∴ OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证


A
B


探究新知

想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB.

O.
P



A
B


M
探究新知

想一想：若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
CA=CB

O.
P



A
B


C
探究新知

例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.
·




A
B
C
D
O
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H，
E
F
G
H
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
切线长定理的应用






素养考点 1
探究新知






B
P
O



A
变式题1 PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP= .
5
6

巩固练习
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA、OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．
O

切线长定理的生活中应用






素养考点 2
探究新知
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
O

Q
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.
∵AP、AQ为⊙O的切线，
∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
即铁环的半径为

探究新知
变式题2 如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为 cm(AD解析：设圆心为O,连接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,解得:x1=10,x2=15,∵AD
巩固练习
5
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？

探究新知

三角形的内切圆及作法

知识点2

问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？



O




O


O


O
最大的圆与三角形三边都相切
探究新知


三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？
问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？


圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.

三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.

圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.

为什么呢？
探究新知

已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.




M


N

D

作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
探究新知

做一做
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B







A
C
I

☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
探究新知

例3已知:△ABC(如图),
(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).
(2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数.
三角形的内切圆的作法






素养考点 3
探究新知
解析：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC、AB于点H、G;
②分别以H、G为圆心,以大于 HG的长为半
径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为
∠BAC的平分线;
③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心;
④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆.

探究新知
(2)∵∠BAC=88°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,
∴∠IBC+∠ICB= (∠ABC+∠ACB)= ×92°=46°,
∴∠BIC=180°-46°=134°.

巩固练习
变式题3 △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC.）
解： 设AB = c，BC = a，AC = b.

C
A
B
·



O

D


M
N
r
r
r
则S△OBC= ar,S△OBA= cr,S△OAC= br,
S△ABC=S△OBC +S△OBA +S△OAC
= ar + cr + br
= r（a+c+b）

= lr

巩固练习
B







A
C
I

问题1 如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB ,IC有什么特点？

线段IA，IB ,IC 分别是∠A，∠B，∠C的平分线.
探究新知

三角形的内心的定义和性质

知识点3
B







A
C
I

问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？
E
F
G
IE=IF=IG
探究新知

三角形内心的性质
三角形的内心在三角形的角平分线上.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
B







A
C
I

E
F
G
IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG.
探究新知

例4 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数.
解：连接IB，IC.

A
B
C
I
∵点I是△ABC的内心，
∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线，
在△IBC中，
利用三角形内心的性质求角度





素养考点 4

探究新知
变式题4如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB= .
解析：∵点P是△ABC的内心,
∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.

巩固练习
90°
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心

内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．





A
B
O





A
B
C
O

探究新知
1.（2018?中考）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（　　）
A．3 B． C．6 D．
解析：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3 ，
∴光盘的直径为6．




连接中考
巩固练习

3
6
D
2.（2018?中考）如图，菱形ABOC的边AB、AC分别与⊙O相切于点D、E．若点D是AB的中点，则∠DOE= ．
解析：连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，
∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵点D是AB的中点，
∴直线OD是线段AB的垂直平分线，∴OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，∴∠AOD= ∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE= 60° ．




连接中考
巩固练习

60°
A
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .






B
P
O



A
第1题
B
C
O
第2题
20 °
4
110 °
课堂检测






基础巩固题
（3）若∠BIC=100 °，则∠A = 度.
（2）若∠A=80 °，则∠BIC = 度.
130
20
3.如图，在△ABC中，点I是内心，
（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____.





A
B
C
I
（4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
120°
课堂检测






基础巩固题
如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，
∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB ，OC＝OC
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．
课堂检测






能力提升题
如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.

证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
课堂检测






拓广探索题
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用









课堂小结

课后作业


作业
内容


教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习