人教版九年级数学上册第二十二章二次函数22.1.1二次函数课件（27张）

九年级数学上册
22.1 二次函数的性质和图像
22.1.1 二次函数
函数
什么是函数，我们学过什么样的函数？
一次函数

反比例函数
二次函数
正比例函数
y=kx+b (k≠0)
y=kx(k≠0)
一条直线
双曲线
函数名称
解析式
图象
导入新知
【思考】
【想一想】如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？
上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？
导入新知
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数是否是二次函数.能指出二次函数的项及各项系数.


2. 能根据实际问题中的数量关列出二次函数解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.


素养目标
正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为







y=6x2①
二次函数的概念
探究新知

知识点 1
问题1
多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？
如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,可以作 条对角线.
n
(n-3)









多边形的对角线总数
d= n(n-3)


M
N


即d= n2- n②

②式表示了多边形的对角线总条数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.
探究新知
问题2
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量为
y=20（1+x）2
20(1+x)
20(1+x)2
即y=20x2+40x+20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数.
探究新知
问题3
函数①②③有什么共同点?
①式y是x的一次函数？反比例函数？
y=6x2①
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的,这样的函数是什么函数呢？
d= n2- n②

y=20x2+40x+20③
②式d是n的一次函数？反比例函数？
③式y是x的一次函数？反比例函数？
探究新知
【思考】
y=6x2
自变量









函数
函数解析式
y
y
d
x
x
n
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．
这些函数有什么共同点？
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
探究新知
一般地，形如y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二次函数。
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
（3 ）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
注意
（2）a,b,c为常数，且
（4）x的取值范围是 。
整式.
a≠0.
2
任意实数
探究新知
二次函数的定义
概念
一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.
二次项系数
自变量
一次项系数
常数项
探究新知
二次函数的定义
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)

探究新知
二次函数的形式
当b＝0时， y＝ax2＋c（只含有二次项和常数项）
当c＝0时， y＝ax2＋bx（只含有二次项和一次项）
当b＝0，c＝0时， y＝ax2（只含有二次项）
二次函数的特殊形式:
二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 。
二次函数：y=ax?+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
√
a=0
×
最高次数是4
×

×
√
=x2
√
①⑤⑥





素养考点 1
探究新知

方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
探究新知
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)?+1
(3) s=3-2t?
(5) y=(x+3)?-x?
(6) v =10πr?
（是）
（否）
（是）
（否）
（否）
（是）

(7) y=x?+x?+25
(8) y =2?+2x
（否）
（否）
(2)
(4)
右边不是整式
右边不是整式
自变量的最高次数是1
整理后，自变量的最高次数是1
自变量的最高次数是3
巩固练习
变式题1
例2 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.
解: 由二次函数的定义得m2-m=2,m+1≠0
注意 二次函数的二次项系数不能为零.
利用二次函数的定义求字母的值
解得 m=2.
因此当m=2时，函数为二次函数.





素养考点 2
探究新知
解：根据二次函数的定义，得
解得a=-1.
巩固练习
变式题2
根据实际问题确定二次函数解析式

根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：
①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言；
②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式；
③取值：联系实际，确定自变量的取值范围.

知识点 2
探究新知
例3 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
xm
y m2
xm
（40-2x ）m
解：
由题意得：
y=x(40-2x)
即 y=-2x2+40x
(0当x＝12m时，菜园的面积为
y =-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
素养考点2
建立二次函数的模型





素养考点 3
探究新知
①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；
②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；
③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
y=πx2
y=2(1+x)2
S=4πr2
做一做:
(x>0)
(x>0)
(r>0)
说一说以上二次函数解析式的各项系数。
巩固练习
变式题3
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是
（ ）
A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+
解析 A是一次函数，B当a=0时是一次函数，C符合二次函数的定义，D等式右边不是整式，不是二次函数.
巩固练习




连接中考
C
2.已知函数 y=（m?﹣m）x?+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
解得m=0或m=1，又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m=0时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，
得：m2﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1；
∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.
巩固练习
1 .下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为( )
A. y=ax2+bx+c B. y2=x2-4x+1
C. y=x2 D. y=22+ x+1
2. 函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A. m,n是常数,且m≠0 B. m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D. m,n为任何实数
C
C
课堂检测





基础巩固题
3. 一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
4. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.
S=4πr2
m= n(n-1)
即m= n2- n
课堂检测





基础巩固题
解：由二次函数的定义得
解得m=1.
当m为何值时，函数y=(m-4)xm?-5m+6+mx是关于x的二次函数.
课堂检测





能力提升题
问题导入，列关系式
探索二次关系式共同点

总结二次函数概念

二次函数y=ax?+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）

二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
确定二次函数解析式及自变量的取值范围
课堂小结

作业
内容


教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业