22.1.2二次函数y=ax?的图像和性质课件（37张PPT）

九年级数学上册
22.1 二次函数的性质和图像
22.1.2 二次函数y=ax2的
图像和性质
（1） 你们喜欢打篮球吗？
导入新知

（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
反比例函数的图象
一次函数的图象
二次函数的图象是什么样子的？
一条直线
双曲线
回顾旧知
素养目标
3.能根据图象说出抛物线y=ax?的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.
1.正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数y=ax?的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax?的开口方向与a的符号有关.


二次函数y=ax2的图象的画法
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
画出二次函数y=x2的图象.
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
探究新知

知识点 1
问题1


2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y






2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
探究新知
-3
3
o





















3
6
9

















当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
x
y
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
探究新知

画出函数y=-x2的图象.
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x







x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　
探究新知
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
x
o

y=x2
1.y＝x2的图象是一条抛物线;
2.图象开口向上;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最低点．
y
二次函数y=ax2的图象性质
探究新知

知识点 2
问题2
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.


o
x
y



y=-x2
1.y＝-x2的图象是一条抛物线;
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最高点．
探究新知
1. 顶点都在原点（0,0）;
3. 当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
2. 图像关于y轴对称;
探究新知
二次函数y=ax2的图象性质
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
x
y
O
y=ax2
y=-ax2
探究新知
二次函数y=ax2的性质
1.观察图形，y随x的变化如何变化？

(-2,4)

(-1,1)

(2,4)

(1,1)






探究新知

知识点 3
问题3
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
探究新知
二次函数y=ax2的性质

(-2,-4)

(-1,-1)

(2,-4)

(1,-1)




2.观察图形，y随x的变化如何变化？
探究新知
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
探究新知
二次函数y=ax2的性质
解：分别填表，再画出它们的图象，如图：
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
探究新知
问题3




















x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8




















【思考】二次函数 的图象开口大小与a的大小有什么关系？
当a>0时，a越大，开口越小.
探究新知
【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
-8
-4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
探究新知



















x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8




















当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
【思考】二次函数 的图象开口大小与a的大小有什么关系？
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
探究新知
y＝ax2 a>0 a<0
图象






位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
归 纳



y
O
x



y
O
x
探究新知
（3）函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 ,
顶点是 ;顶点是抛物线的最 点
（2）函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点
是 顶点是抛物线的最 点.
（1）函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
（4）函数y= －0.2x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 .
向上
y轴
(0,0)
向下
y轴
(0,0)
高
低
填一填
探究新知
二次函数y = ax2的实际应用
二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.






物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值）
质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值）
物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值）
探究新知

知识点 4
例1 已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ①
m2+m=2 ②

解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
因此 m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
利用函数y=ax2的定义确定字母的值





素养考点 1
探究新知
已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= .
分析 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0. 因此，
，解得k=2 .
2
巩固练习
变式题1
例2 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，
（1）求S与C之间的二次函数关系式；
即：S= （c＞0）
（2）画出它的图象；
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
二次函数y=ax2与不等式的综合运用
注意自变量的范围





素养考点 2
探究新知
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 cm，
∴S与C之间的关系式为S = ；
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm
（4）若S ≥ 4cm2，即 ≥4，解得C ≥ 8
.
，或c≤-8(舍去）.
因此C ≥ 8cm.
探究新知
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2；(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
<
巩固练习
变式题2 已知二次函数y＝2x2.

(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，
∴当x＝2时，y＝2×22＝8.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，
且y轴为它们的对称轴，
∴OA＝OB，
∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
巩固练习

方法点拨
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
探究新知
已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）．
A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0

连接中考
C
巩固练习




连接中考
解析 ∵抛物线y=ax2(a＞0)，∴A（-2，y1）关于y轴的对称点的坐标为（2，y1），又∵a＞0，∴ 当x＞0时，y随x的增大而增大，又∵0＜1＜2， ∴ 0＜y2＜y1.
1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
2.函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大






x
x
y
y
O
O
课堂检测





基础巩固题
3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .


x
y

k>1
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：





开口方向
对称轴
顶点
向上
向下
向下
向上
y轴
y轴
y轴
y轴
（0,0）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
O
课堂检测
已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：在二次函数y=x2中，a=1＞0
因此当x=0时，y有最小值.
∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
课堂检测





能力提升题
已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝ ×4×1+ ×4×4＝10.
课堂检测





拓广探索题
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性







课堂小结

作业
内容


教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业