2019数学苏教版必修三全套学案+滚动训练+章末检测

§1.1　算法的含义
学习目标　1.了解算法的特征.2.初步建立算法的概念.3.会用自然语言表述简单的算法．
知识点一　算法的概念
思考　某笑话有这样一个问题：把大象装进冰箱总共分几步？答案是分三步．第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．这是一个算法吗？
答案　是．
梳理　(1)算法的概念
对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．
(2)算法的性质
①找到了某种算法，是指使用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题，其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．
②算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．
知识点二　算法的特征与设计
1．算法的特征
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限的操作之后停止，不能是无限的．
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可．
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．
(4)不唯一性：求解某一问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法．
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．
2．算法的设计要求
(1)写出的算法，必须能解决一类问题，并且能够重复使用．
(2)要使算法尽量简单、通俗易懂．
(3)要保证算法正确，且计算机能够执行．
1．算法是解决一个问题的方法．(　×　)
2．一个算法可以产生不确定的结果．(　×　)
3．算法的步骤必须是明确的、有限的．(　√　)
类型一　算法概念的理解
例1　下列关于算法的说法，正确的个数为________．
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
④算法执行后一定产生确定的结果．
答案　3
解析　由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错．
反思与感悟　算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常用来解决某一个或某一类问题，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想．
跟踪训练1　下列对算法的理解不正确的是________．(填序号)
①算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)；
②算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果；
③算法一般是机械的，有时要进行大量重复计算，它的优点是一种通法；
④任何问题都可以用算法来解决．
答案　④
解析　①②③都是正确的，只有④是错误的．只有按照一定规则解决的有明确的、有限的操作步骤的问题才可以设计算法，其他的问题一般是不可以的．
类型二　算法的阅读理解
例2　下面算法要解决的问题是__________________________________．
第一步　输入三个数，并分别用a，b，c表示；
第二步　比较a与b的大小，如果a第三步　比较a与c的大小，如果a第四步　比较b与c的大小，如果b第五步　输出a，b，c.
答案　输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出
解析　第一步是给a，b，c赋值．
第二步运行后a>b.
第三步运行后a>c.
第四步运行后b>c，所以a>b>c.
第五步运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列．
反思与感悟　一个算法的作用往往并不明显，这需要我们结合具体数值去执行一下才知道．
跟踪训练2　下面给出了一个问题的算法：
第一步　输入a；
第二步　若a≥4，则执行第三步，否则执行第四步；
第三步　输出2a－1；
第四步　输出a2－2a＋3.
这个算法解决的问题是____________________________________________．
答案　求函数f(x)＝当x＝a时的函数值f(a)
类型三　算法的设计
例3　已知在平面直角坐标系中点A(4,0)和B，写出求直线AB的方程的一个算法．
解　算法设计如下：
第一步　求出直线AB的斜率k＝＝－；
第二步　选定A(4,0)，用点斜式写出AB的方程y－0＝－(x－4)；
第三步　将第二步的运算结果化简，得到方程3x＋4y－12＝0.
引申探究　若把本例中的B改为B(2,2)，其他条件不变，写出满足条件的一个算法．
解　算法步骤如下：
第一步　求出直线AB的斜率k＝＝－1；
第二步　选定A(4,0)，用点斜式写出AB的方程y－0＝－(x－4)；
第三步　将第二步的运算结果化简，得到方程x＋y－4＝0.
反思与感悟　设计算法的四个关键点：
(1)认真分析问题，确定解决此类问题的一般数学方法．
(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况．
(3)将解决问题的过程划分为若干个步骤．
(4)用简练的语言将各个步骤表示出来．
跟踪训练3　有一个底面半径为3，母线为5的圆锥，写出求该圆锥体积的算法．
解　如图，先给r，l赋值，计算h，再根据圆锥体积公式V＝πr2h计算V，然后输出结果．
第一步　令r＝3，l＝5；
第二步　计算h＝；
第三步　计算V＝πr2h；
第四步　输出运算结果．
1．下列不是算法的是________．(填序号)
①解方程2x－6＝0的过程是移项和系数化为1；
②从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机；
③解方程2x2＋x－1＝0；
④利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积．
答案　③
解析　③不是算法，没有给出解这个方程的步骤．
2．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：
第一步　取A＝89，B＝96，C＝99；
第二步　____________________；
第三步　____________________；
第四步　输出计算的结果．
答案　计算x＝A＋B＋C　计算y＝
解析　求三个数的平均数必须是先计算三个数的总和，再被3除．
3．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是________．(填序号)
①只能设计一种算法；
②可以设计至少两种算法；
③不能设计算法；
④不能根据解题过程设计算法．
答案　②
解析　算法具有不唯一性，对于一个问题，我们可以设计不同的算法．
4．已知算法：第一步，输入n.第二步，判断n是不是2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．第三步，依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，若不能整除n，满足条件．该算法的功能是____________________．
答案　判断所给的数是否为质数
解析　因为2是质数，且大于2的任何数，只要它不能被2,3，…，n－1，整除，则n一定为质数．故上述步骤是判断n是否为质数的算法．
1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．
2．算法设计的要求：
(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．
(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．
(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．
一、填空题
1．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是________．(填序号)
①从济南到云南旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；
②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
③方程x2－1＝0有两个实根；
④求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15.
答案　③
解析　由于③不是解决某一类问题的步骤，故③不是解决问题的算法．
2．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：
①计算c＝；
②输入直角三角形两直角边长a，b的值；
③输出斜边长c的值．
其中正确的顺序是________．(填序号)
答案　②①③
解析　算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．
3．下面是求15和18的最小公倍数的算法，其中不恰当的一步是________．
第一步　先将15分解素因数：15＝3×5.
第二步　然后将18分解素因数：18＝32×2.
第三步　确定它们的所有素因数：2,3,5.
第四步　计算出它们的最小公倍数：2×3×5＝30.
答案　第四步
解析　素因数2,3,5的最高指数是1,2,1，算出它们的最小公倍数为2×32×5＝90.
4．计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是________．(填序号)
①S＝＋＋＋…＋；
②S＝＋＋＋…＋＋…；
③S＝＋＋＋…＋(n≥1且n∈N*)．
答案　①③
解析　因为算法的步骤是有限的，②不能设计算法求解．
5．结合下面的算法：
第一步　输入x；
第二步　判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步；
第三步　输出x－1.
当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为____________．
答案　1，－1,0
解析　依据算法可知，当x＝－1时，满足x＜0，则输出x＋2＝－1＋2＝1；当x＝0时，不满足x＜0，则输出x－1＝0－1＝－1；当x＝1时，不满足x＜0，则输出x－1＝1－1＝0.
6．已知直角三角形两条直角边长分别为a，b(a>b)．写出求两直角边所对的最大角θ的余弦值的算法如下：
第一步　输入两直角边长a，b的值；
第二步　计算c＝的值；
第三步　________________；
第四步　输出cos θ.
将算法补充完整，横线处应填____________．
答案　计算cos θ＝
7．下面是一个求梯形面积S的算法，则第二步应是________________．
算法如下：
第一步　输入梯形的底边长a和b，以及高h；
第二步　________________；
第三步　输出结果S.
答案　计算S＝的值
解析　直接利用梯形面积公式计算．
8．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法．
第一步　输入实数a；
第二步　______________________________________________；
第三步　输出a＝18.
答案　若a＝18，则执行第三步，否则返回第一步
解析　从序列数字中搜索18，必须依次输入各数字才可以找到．
9．下面给出了解决问题的算法：
第一步　输入x；
第二步　若x≤1，则y＝2x－1，否则y＝x2＋3；
第三步　输出y.
(1)这个算法解决的问题是______________________________________________；
(2)当输入的x值为________时，输入值与输出值相等．
答案　(1)求分段函数y＝的函数值　(2)1
10．下列所给问题中：
①二分法解方程x2－3＝0；
②解方程组
③求半径为3的圆的面积；
④判断y＝x2在R上的单调性．
其中可以设计算法求解的是________．(填上你认为正确的两个序号)
答案　①②(或①③或②③)
解析　本题属于开放题，由题意可知填上正确的两个即可，根据算法的五个特征知，只有④不能设计算法求解，故填①②③中的任意两个即可．
11．一个算法步骤如下：
第一步　S取0，i取1；
第二步　若i≤9，则执行第三步；否则，执行第六步；
第三步　计算S＋i并用结果代替S；
第四步　用i＋2的值代替i；
第五步　转去执行第二步；
第六步　输出S.
运行以上算法，则输出的结果S为________．
答案　25
解析　解本题的关键是读懂算法，本题中的算法功能是求S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.
二、解答题
12．已知函数y＝写出给定自变量x，求函数值的算法．
解　算法如下：
第一步　输入x；
第二步　若x>0，则令y＝－x＋1后执行第五步，否则执行第三步；
第三步　若x＝0，则令y＝0后执行第五步，否则执行第四步；
第四步　令y＝x＋1；
第五步　输出y的值．
13．某商场举办优惠促销活动．若购物金额在800元以上(不含800元)，打7折；若购物金额在400元以上(不含400元)，800元以下(含800元)，打8折；否则，不打折．请为商场收银员设计一个算法，要求输入购物金额x，输出实际交款额y.
解　算法步骤如下：
第一步　输入购物金额x(x>0)．
第二步　判断“x>800”是否成立，若是，则y＝0.7x，转第四步；否则，执行第三步．
第三步　判断“x>400”是否成立，若是，则y＝0.8x；否则，y＝x.
第四步　输出y，结束算法．
三、探究与拓展
14．给出下列算法：
第一步　输入x的值；
第二步　当x＞4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步；
第三步　计算y＝；
第四步　输出y.
当输入x＝0时，输出y＝________.
答案　2
解析　0＜4，执行第三步，y＝＝2.
15．鸡兔同笼问题：鸡和兔各若干只，数腿共100条，数头共30只，试设计一个算法，求出鸡和兔各有多少只．
解　第一步　设有x只鸡，y只兔，列方程组
　　　　　　　 
第二步　②÷2＋①×(－1)，得y＝20；
第三步　把y＝20代入x＝30－y，得x＝10；
第四步　得到方程组的解
第五步　输出结果，鸡10只，兔20只．
§1.2　流程图
1．2.1　顺序结构
学习目标　1.了解各种图框及流程线的功能和作用.2.能够读懂简单的流程图.3.能用流程图表示顺序结构的算法．
知识点一　流程图
思考　许多办事机构都有工作流程图，你觉得要向来办事的人员解释工作流程，是用自然语言好，还是用流程图好？
答案　使用流程图好．因为使用流程图表达更直观准确．
梳理　流程图的概念：
(1)流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．
(2)常见的图框、流程线及各自表示的功能
图形符号
名称
功能
起止框
表示算法的开始或结束
输入、输出框
表示输入、输出操作
处理框
表示赋值或计算
判断框
根据条件决定执行两条路径中的某一条
流程线
表示执行步骤的路径
知识点二　顺序结构
1．顺序结构的定义
依次进行多个处理的结构称为顺序结构．它是一种最简单、最基本的结构．
2．结构形式
1．任何一个流程图都必须有起止框．(　√　)
2．任何一个算法都离不开顺序结构．(　√　)
3．对于一个流程图来说，判断框内的条件表达方法是唯一的．(　×　)
类型一　流程图的理解
例1　下列说法正确的是________．(填序号)
①流程图中的图形符号可以由个人来确定；
②也可以用来执行计算语句；
③流程图中可以没有输出框，但必须要有输入框；
④用流程图表达算法，其优点是算法的基本逻辑结构展现得非常直接．
答案　④
解析　一个完整的流程图至少要有起止框和输入、输出框，输入、输出框只能用来输入、输出信息，不能用来执行计算．
反思与感悟　流程图的关注点
(1)理解流程图中各图框的功能是解决此类题的关键，用流程图表示算法更直观、清晰、易懂．
(2)起止框用“”表示，是任何流程图不可少的，表明程序的开始或结束．
(3)输入、输出框用“”表示，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，需要输入的字母、符号、数据都填在框内．
(4)处理框用“”表示，算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内，另外，对变量进行赋值时，也用到处理框．
(5)判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号．
跟踪训练1　程序框图中表示判断框的是________．
①矩形框；②菱形框；③圆形框；④椭圆形框．
答案　②
解析　要画好程序框图，就必须准确了解各图形符号的意义，圆角矩形框为起止框，矩形框为执行框，平行四边形框为输入、输出框，菱形框为判断框．
类型二　流程图的应用

例2　已知一个算法如下：
S1　输入x；
S2　y←2x＋3；
S3　d←；
S4　输出d.
把上述算法用流程图表示．
解　流程图如图：
反思与感悟　画流程图的规则：
(1)使用标准的图形符号．
(2)流程图一般按从上到下，从左到右的方向画．
(3)描述语言写在图框内，语言清楚、简练．
跟踪训练2　算法如下，画出流程图．
S1　输入a，b，c的值－1，－2,3；
S2　max←；
S3　输出max.
解　流程图如图：

例3　一个算法如图，它的功能是什么？
解　其功能是求点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离．
反思与感悟　流程图本身就是为直观清晰地表达算法而生，故只需弄清各种图框、流程线的功能，再依次执行一下程序，不难读懂该图所要表达的算法．
跟踪训练3　写出下列算法的功能：
(1)图①中算法的功能是(a>0，b>0)_________ ________________________；
(2)图②中算法的功能是________________．
答案　(1)求以a，b为直角边的直角三角形斜边c的长　(2)求两个实数a，b的和
类型三　画流程图
例4　已知f(x)＝x2－1，求f(2)，f(－3)，f(3)，并计算f(2)＋f(－3)＋f(3)的值，设计出解决该问题的一个算法，并画出流程图．
解　算法如下：
S1　x←2；
S2　y1←x2－1；
S3　x←－3；
S4　y2←x2－1；
S5　x←3；
S6　y3←x2－1；
S7　y←y1＋y2＋y3；
S8　输出y1，y2，y3，y.
流程图：
反思与感悟　应用顺序结构表示算法的步骤：
(1)仔细审题，理清题意，找到解决问题的方法．
(2)梳理解题步骤．
(3)用数学语言描述算法，明确输入量，计算过程，输出量．
(4)用流程图表示算法过程．
跟踪训练4　已知一个三角形三条边的边长分别为a，b，c，利用海伦－秦九韶公式(令p＝，则三角形的面积S＝)设计一个计算三角形面积的算法，并画出流程图．
解　算法步骤如下：
S1　输入三角形三条边的边长a，b，c；
S2　p←；
S3　S←；
S4　输出S.
流程图如图：
1．下面的流程图是顺序结构的是________．(填序号)
答案　①
解析　由于表示的是依次执行的几个步骤，故①为顺序结构．
2．下列关于流程图的说法中正确的是________．(填序号)
①流程图只有一个入口，也只有一个出口；
②流程图中的每一部分都应有一条从入口到出口的路径通过它；
③流程图中的循环可以是无尽的循环；
④流程图中的语句可以有执行不到的．
答案　①②
解析　由流程图的概念知，整个框图只有一个入口，一个出口，流程图中的每一部分都有可能执行到，不能出现“死循环”，必须在有限步骤内完成．故①②正确，③④错误．
3．如图是一个算法的流程图，已知输入a1＝3，输出的结果为7，则a2的值是________．
答案　11
解析　从流程图中可知b＝a1＋a2＝14，因为a1＝3，所以a2＝11.
4．已知一个算法：
S1　m←a；
S2　如果bS3　如果c如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是______．
答案　2
解析　当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，
本算法是求a，b，c三个数的最小值，
故输出m的值为2.
5．如图所示的流程图，其运行结果为________．
答案　6
解析　从流程图中可知，先是m←1，然后p←3，接着把p＋3的值6赋给m，所以输出的值为6.
1．在设计计算机程序时要画出程序运行的流程图，有了这个流程图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此流程图是我们设计程序的基本和开端．
2．规范流程图的表示：(1)使用标准的图形符号；(2)流程图一般按从上到下、从左到右的方向画，流程线要规范；(3)除判断框外，其他图形符号只有一个进入点和一个退出点；(4)在图框内描述的语言要非常简练、清楚．
一、填空题
1．以下给出对流程图的几种说法：
①任何一个流程图都必须有起止框；
②输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框；
③判断框是唯一具有超出一个退出点的符号；
④对于一个问题的算法来说，其流程图判断框内的条件的表述方法是唯一的．
其中正确说法的个数是________．
答案　2
解析　①③正确．因为任何一个流程图都有起止框；输入、输出框可以在流程图中的任何需要位置；判断框有一个入口、多个出口；判断框内的条件的表述方法不唯一．
2．下面所画流程图是已知直角三角形两条直角边a，b求斜边的算法，其中正确的是________．(填序号)
答案　①
解析　②中输入框应在开始后；③中输入和输出框不应该是矩形，应该是平行四边形；④中c←应该用处理框矩形．所以答案为①.
3．如图所示流程图的运行结果是________．
答案　
解析　运行流程图得S＝＋＝.
4．如图所示的流程图，输出的结果是S＝7，则输入的A值为________．
答案　3
解析　该流程图的功能是输入A，计算2A＋1的值．由2A＋1＝7，解得A＝3.
5．图(2)是计算图(1)的阴影部分面积的一个流程图，则①中应该填________．
答案　M←x2
解析　设阴影部分面积为M，
则M＝x2－π2＝x2－πx2＝x2.
6．给出下面流程图：
若输出的结果为2，则①处的处理框内应填的是_________________________．
答案　x←1
解析　∵结果是b＝2，
∴2＝a－3，即a＝5.
当2x＋3＝5时，得x＝1.
7．已知半径为r的圆的周长公式为C＝2πr，当r＝10时，计算圆的周长的一个算法如下，在画流程图时，不会用到的图框是________．
答案　判断框
解析　流程图如图：
其中没用到的只有判断框．
8．下图(1)是计算图(2)所示的阴影部分的面积的流程图，则图(1)中执行框内应填________．
答案　S＝a2
解析　正方形的面积为S1＝a2，扇形的面积为S2＝πa2，则阴影部分的面积为S＝S1－S2＝a2.因此图中执行框内应填入S＝a2.
9．阅读如图所示的流程图，若输入的a，b，c分别是21,32,75，则输出的a，b，c分别是________．
答案　75,21,32
解析　由流程图可知x＝a，则x的值为21，由“a＝c”知a的值是75，依次得到c的值为32，b的值为21.
10．根据如图所示的流程图所表示的算法，输出的结果是______．
答案　2
解析　该算法的第1步分别将X，Y，Z赋于1,2,3三个数，第2步使X取Y的值，即X取值变成2，第3步使Y取X的值，即Y的值也是2，第4步让Z取Y的值，即Z取值也是2，从而第5步输出时，Z的值是2.
11．如图是求长方体的体积和表面积的一个流程图，补充完整，横线处应填________．
答案　
解析　根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框
二、解答题
12．已知函数y＝2x＋3，设计一个算法，若给出函数图象上任一点的横坐标x(由键盘输入)，写出计算该点到坐标原点的距离的一个算法，并画出流程图．
解　算法如下：
S1　输入横坐标的值x；
S2　y←2x＋3；
S3　d←；
S4　输出d.
流程图如图：
13.如图所示的流程图，当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个问题．
(1)该流程图解决的是一个什么问题？
(2)当输入的x的值为3时，求输出的f(x)的值；
(3)要想使输出的值最大，求输入的x的值．
解　(1)该流程图解决的是求二次函数
f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．
(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，
即f(0)＝f(4)．
因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，
所以m＝4.所以f(x)＝－x2＋4x.
因为f(3)＝－32＋4×3＝3，
所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3.
(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
当x＝2时，f(x)max＝4，
所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.
三、探究与拓展
14．已知在平面直角坐标系中有一个圆心在坐标原点，半径为c的圆，(a，b)为任一点，则如图所示的流程图表示的算法的作用是________．
答案　计算点(a，b)到原点的距离与圆的半径之差
解析　因为x＝表示点(a，b)到原点(0,0)的距离，所以该算法的功能是计算点(a，b)到原点的距离与圆的半径之差．
15．已知球的表面积为4π，一立方体的体积与球的体积相等，求立方体的棱长．设计出解决问题的算法，并画出流程图．
解　设球的半径为R，体积为V，表面积为S，则S＝4πR2，R＝，V＝πR3，立方体的棱长为a，则a＝.
算法：
S1　S←4πR2；
S2　R← ；
S3　V←πR3；
S4　a←；
S5　输出a.
算法的流程图如图所示：
1．2.2　选择结构
学习目标　1.掌握选择结构的流程图的画法.2.能用选择结构流程图描述分类讨论问题的算法.3.进一步熟悉流程图的画法．
知识点一　选择结构
思考　我们经常需要处理分类讨论的问题，顺序结构能否完成这一任务？为什么？
答案　分类讨论是带有分支的逻辑结构，而顺序结构是一通到底的“直肠子”，所以不能表达分支结构，这就需要选择结构．
梳理　(1)先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构，也称为分支结构．
(2)选择结构的形式如图所示：
知识点二　顺序结构与选择结构的异同
选择结构
顺序结构
不同点
对变量进行分类讨论时用到的一种重要结构
体现了算法按照一定的顺序依次执行
相同点
①一个入口，一个出口，注意：一个判断框有两个出口，但只有一个起作用，即条件结构本质上只有一个出口；
②结构中每个程序都有从入口进，出口出的路径
梳理　嵌套的选择结构：一个选择结构的执行过程中还包含一个或多个选择结构的即为嵌套的选择结构，此时各个条件的执行有选择顺序．当执行时，先判断外层的条件，当满足或不满足外层条件时，再执行内层条件，内层条件与外层条件执行完后要汇于同一点.
1．选择结构的流程图中含有顺序结构．(　√　)
2．选择结构的流程图中可以不含判断框．(　×　)
3．选择结构的判断条件要写在判断框内．(　√　)
类型一　用流程图表示选择结构
例1　下面给出了一个问题的算法：
S1　输入x；
S2　若x>1，则y←x2＋3，否则y←2x－1；
S3　输出y.
试用流程图表示该算法．
解　主体用顺序结构，其中根据条件x>1是否成立选择不同的流向用选择结构实现．
反思与感悟　凡是先根据条件作出判断，然后再确定进行哪一个步骤的问题，需引入一个判断框，应用选择结构．
跟踪训练1　任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三条边的边长的三角形是否存在，并画出这个算法的流程图．
解　算法步骤如下：
S1　输入3个正实数a，b，c；
S2　判断a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b是否同时成立．若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形．
流程图如图：
类型二　选择结构流程图的应用
例2　“特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式．某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：
f＝
其中f(单位：元)为托运费，ω为托运物品的重量(单位：千克)．
试设计计算费用f的算法并画出流程图．
解　算法：
S1　输入物品的重量ω；
S2　如果ω≤50，那么f←0.53ω，否则执行S3；
S3　f←50×0.53＋(ω－50)×0.85；
S4　输出托运费f.
流程图如图：
反思与感悟　在解决实际问题时，要善于识别需要选择结构的情境．
跟踪训练2　设计算法判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是否有实数根，并画出相应的流程图．
解　算法步骤如下：
S1　输入3个系数a，b，c；
S2　计算Δ←b2－4ac；
S3　判断Δ≥0是否成立．若成立，则输出“方程有实数根”；否则，输出“方程无实数根”．结束算法．
相应的流程图如图：
类型三　选择结构的嵌套
例3　已知函数y＝写出输入一个x值，输出y值的算法并画出流程图．
解　算法如下：
S1　输入x；
S2　如果x＜0，那么y←2x－1，执行S5；否则，执行S3；
S3　如果x＜1，那么y←x2＋1，执行S5；否则，执行S4；
S4　y←x2＋2x；
S5　输出y.
流程图如图所示．
反思与感悟　解决分段函数求值问题一般采用选择结构来设计算法．对于判断具有两个以上条件的问题，往往需要用到选择结构的嵌套，这时要注意嵌套的次序．
跟踪训练3　执行如图所示的流程图，若输入的x的值为0，则输出的结果为________．
答案　1
解析　这是一个嵌套的选择结构，当输入x＝0时，执行的是y←1，即y＝1.故输出的结果为1.
1．下面三个问题中必须用选择结构才能实现的是______．
①已知梯形上、下底分别为a，b，高为h，求梯形面积；
②求三个数a，b，c中的最小数；
③求函数f(x)＝的函数值．
答案　②③
解析　在本题的三个问题求解中，只有①不需要分类讨论，故①不需用选择结构就能实现，②③必须用选择结构才能实现．
2．选择结构不同于顺序结构的特征是含有________．
答案　判断框
解析　由于顺序结构中不含判断框，而选择结构中必须含有判断框．
3．某算法的流程图如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________．
答案　y＝
4．如图所示的流程图中，若输入x＝2，则输出的结果是________．
答案　2
解析　输入x＝2后，该流程图的执行过程是：输入x＝2，x＝2>1成立，y＝＝2，输出y＝2.
5．某次考试，为了统计成绩情况，设计了如图所示的流程图．当输入一个同学的成绩x＝75时，输出结果为__________________________________________．
答案　及格
解析　由于75<80，在流程图中的第一个判断框中，将按“N”的指向进入第二个判断框，又因为75≥60，将按“Y”的指向，所以输出的是“及格”．
1．选择结构的特点是：先判断后执行．
2．在利用选择结构画流程图时要注意两点：一是需要判断条件是什么，二是条件判断后分别对应执行什么．
3．设计流程图时，首先设计算法步骤，再转化为流程图，待熟练后可以省略算法步骤直接画出流程图．对于算法中分类讨论的步骤，通常设计成选择结构来解决．
一、填空题
1．下列算法中，含有选择结构的是________．(填序号)
①求两个数的积；②求点到直线的距离；③解方程ax＋b＝0；④已知棱柱底面积和高求体积．
答案　③
解析　解方程ax＋b＝0时，当a＝0，b≠0时，方程无解；当a＝0，b＝0时，方程的解为任意实数；当a≠0时，方程的解为x＝－.由于分情况，故用到选择结构．
2．执行下面的流程图，如果输入t∈[－1,3]，则输出的s的范围所属的区间为________．
答案　[－3,4]
解析　因为t∈[－1,3]，当t∈[－1,1)时，s＝3t∈[－3,3)；
当t∈[1,3]时，s＝4t－t2＝－(t2－4t)＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，所以s∈[－3,4]．
3．输入－5，按图中所示流程图运行后，输出的结果是______．
答案　1
解析　因为x＝－5，不满足x>0，所以在第一个判断框中执行“N”，在第二个判断框中，由于－5<0，执行“Y”，所以y＝1.
4．执行下面的流程图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝________.
答案　
解析　根据流程图逐步运行，共运行3次．第一次运行后M＝1＋＝，a＝2，b＝，n＝2＜3；第二次运行后M＝2＋＝，a＝，b＝，n＝3；第三次运行后M＝＋＝，a＝，b＝，n＝4＞3结束循环，输出M＝.
5．流程图如图所示，若输出y的值是4，则输入的实数x的值为________．
答案　－2或1
解析　根据题意和流程图可知，流程图反映的函数关系式为y＝时，
x＝－2；当1≤x＜10时，x＝1；当x≥10时，无解．
6．如图所示的流程图中，当输入的数为3时，输出的结果为________．
答案　8
解析　∵3<5，∴y＝32－1＝8.
7．如图是计算函数y＝|2x－3|的函数值的流程图(x由键盘输入)，则①处应填________．
答案　x≥
解析　当2x－3≥0，即x≥时，|2x－3|＝2x－3.
8．执行如图所示的流程图，输出的S的值为________．
答案　2
解析　i＝0<4，i＝1，S＝；i＝1<4，i＝2，S＝－；i＝2<4，i＝3，S＝－3；i＝3<4，i＝4，S＝2；i＝4，条件不成立，输出S＝2.
9．给出一个流程图，如图所示，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则输入的这样的x的值有________个．
答案　3
解析　当x≤2时，若x＝y，则x＝x2，则x＝1或x＝0；
当2当x>5时，x＝不成立，所以满足题意的x的值有1,0，3，共3个．
10．已知函数y＝如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的流程图．①处应填写__________；②处应填写________．
答案　x<2　y←log2x
解析　∵满足判断框中的条件执行y←2－x，∴①处应填“x<2”．不满足x<2，即x≥2时，y＝log2x，故②处应填“y←log2x”．
11．阅读如图所示的流程图．如果输入a＝log3 ，b＝，c＝2，那么输出的是________．
答案　c
解析　该流程图的算法功能是输出a，b，c中的最大值．因为a＝log3 ＜0,0＜b＝＜1，c＝2＞1，所以a＜b＜c，因此最后输出的为c.
二、解答题
12．任意给定三个数a，b，c，找出其中的最大值．试用流程图表示这一算法．
解　流程图如图：
13．如图所示是某函数f(x)给出x的值时，求相应函数值y的流程图．
(1)写出函数f(x)的解析式；
(2)若输入的x取x1和x2(|x1|<|x2|)时，输出的y值相同，试简要分析x1与x2的取值范围．
解　(1)由流程图知，该流程图执行的功能是求函数f(x)＝|x2－1|的值，
故f(x)的解析式为f(x)＝|x2－1|.
(2)画出f(x)＝|x2－1|的草图如图．
由图象的对称性知，
要使f(x1)＝f(x2)且|x1|<|x2|，需－1同时1所以x1的取值范围是{x|－1x2的取值范围是{x|1三、探究与拓展
14.有一城市，市区是半径为15 km的圆形区域，近郊区为距市中心15～25 km的范围内的环形地带，距市中心25 km以外的为远郊区，坐标原点O为市中心，如图所示．市区地价为每公顷100万元，近郊区地价为每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元．请画出输入坐标为(x，y)的点处的地价的算法的流程图．
解　流程图如下图所示．
15．根据如图所示的流程图回答下列问题．
(1)若输入12,18,7,5，则最终输出的结果是多少？
(2)该流程图的算法功能是什么？
(3)根据流程图写出它的算法．
解　(1)若输入12,18,7,5，则最终输出的结果是5.
(2)该流程图的算法功能是求四个数a，b，c，d中的最小数．
(3)算法：
S1　输入a，b，c，d；
S2　如果aS3　如果bS4　如果cS5　输出d.
1．2.3　循环结构
学习目标　1.掌握当型和直到型两种循环结构的流程图的画法.2.了解两种循环结构的区别，能进行两种循环结构流程图间的转化.3.能正确读流程图．
知识点一　循环结构
思考　用累加法计算1＋2＋3＋…＋100的值，其中有没有重复操作的步骤？
答案　用S表示每一步的计算结果，S加下一个数得到一个新的S，这个步骤被重复了100次．
梳理　循环结构的定义：
在算法中，需要重复执行同一操作的结构称为循环结构．
知识点二　常见的两种循环结构
名称
结构图
特征
直到型循环结构
先执行A，再判断所给条件p是否成立，若p不成立，则再执行A.如此反复，直到p成立，该循环过程结束
当型循环结构
先判断所给条件p是否成立，若p成立，则执行A，再判断条件p是否成立；若p仍成立，则又执行A.如此反复，直到某一次条件p不成立时为止
1．循环结构中，判断框内的条件是唯一的．(　×　)
2．判断框中的条件成立时，要结束循环向下执行．(　×　)
3．在循环执行的几步中要对判断框中的条件变量有所改变才会使循环结构不会出现“死循环”．(　√　)
4．循环结构就是无限循环的结构，执行程序时会永无止境地运行下去．(　×　)
类型一　如何实现和控制循环
例1　设计一个计算1＋2＋…＋100的值的算法，并画出流程图．
解　算法如下：
S1　令i←1，S←0；
S2　若i≤100成立，则执行S3；否则，输出S，结束算法；
S3　S←S＋i；
S4　i←i＋1，返回S2.
流程图如图：
反思与感悟　变量S作为累加变量，来计算所求数据之和．当第一个数据送到变量i中时，累加的动作为S＝S＋i，即把S的值与变量i的值相加，结果再送到累加变量S中，如此循环，则可实现数的累加求和．
跟踪训练1　设计一个计算1＋3＋5＋…＋(2n－1)(n∈N*)的值的算法，并画出流程图．
解　算法如下：
S1　输入n的值；
S2　i←1，S←0；
S3　若i≤2n－1成立，则执行S4；否则，输出S，结束算法；
S4　S←S＋i，i←i＋2，返回S3.
流程图如图：
类型二　当型循环与直到型循环的转化
例2　例1中流程图用的是当型循环结构，如果用直到型循环结构表示，则流程图如何？
解　流程图如图：
反思与感悟　当型循环是满足条件则循环，直到型循环是满足条件则终止循环，故两种结构相互转化时注意判断框中的条件变化．
跟踪训练2　试把跟踪训练1中的流程图改为直到型循环结构．
解　流程图如图：
类型三　循环结构功能解读
例3　某班一共有40名学生，如图中s代表学生的数学成绩．若该班有5名90分以上的学生，20名80分以上的学生，则输出的m＝________，n＝________.
答案　5　15
解析　该流程图是用循环结构实现40个成绩的输入，每循环一次就输入一个成绩s，然后对s的值进行判断．
如果s>90，则m的值增加1，如果80由已知得，m＝5，n＝20－5＝15.
反思与感悟　读流程图的方法就是严格按图操作．有循环结构时不一定从头执行到尾，只要执行几圈找到规律，最后确认何时终止即可．
跟踪训练3　阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的值为________．
答案　4
解析　当i＝1时，a＝2，S＝2，i＝1＋1＝2，由于2>11不成立，因此继续循环，当i＝2时，a＝2×22＝8，S＝10，i＝3，由于10>11不成立，因此继续循环，当i＝3时，a＝3×23＝24，S＝34，i＝4，此时，S＝34>11，满足条件，跳出循环，最后输出i＝4，故答案为4.
1．下列语句正确的序号是________．
①不同的算法都是由顺序结构、选择结构、循环结构这三种基本的逻辑结构构成的；
②循环结构中，循环体指的是算法中反复执行的处理步骤；
③选择结构中一定包含循环结构．
答案　①②
解析　由算法的基本结构的意义知①②正确．
2.某流程图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为____________．
答案　k>4
解析　由题意可知，
当k＝1时，S＝1；
当k＝2时，S＝2×1＋2＝4；
当k＝3时，S＝2×4＋3＝11；
当k＝4时，S＝2×11＋4＝26；
当k＝5时，S＝2×26＋5＝57，此时与输出结果一致，
所以k>4.
3．执行如图所示的流程图，输出的S值为________．
答案　
解析　执行第一次循环后S＝，i＝1；执行第二次循环后，S＝，i＝2≥2，退出循环体，输出S的值为.
4．给出以下10个数：8,19,86,45,96,73,28,27,68,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的流程图．
解　流程图如图所示：
1．当反复执行某一步骤或过程时，应用循环结构．当型循环是先判断条件，条件满足再执行循环体，不满足退出循环；直到型循环是先执行循环体，再判断条件，不满足条件时执行循环体，满足时退出循环．
2．应用循环结构前：
(1)确定循环变量和初始条件；
(2)确定算法中反复执行的部分，即循环体；
(3)确定循环的终止条件．
一、填空题
1．执行如图所示的流程图，输出的S值为________．
答案　9
解析　①S＝0＋03＝0，k＝0＋1＝1，满足k≤2；
②S＝0＋13＝1，k＝1＋1＝2，满足k≤2；
③S＝1＋23＝9，k＝2＋1＝3，不满足k≤2，输出S＝9.
2．当m＝7，n＝3时，执行如图所示的流程图，输出的S值为________．
答案　210
解析　流程图的执行过程如下：
m＝7，n＝3时，m－n＋1＝5，
k＝m＝7，S＝1，S＝1×7＝7；
k＝k－1＝6>5，S＝6×7＝42；
k＝k－1＝5＝5，S＝5×42＝210；
k＝k－1＝4<5，输出S＝210.
3．执行如图所示的流程图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．
答案　3
解析　第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，a第2次循环：i＝2，a＝3，b＝6，a第3次循环：i＝3，a＝6，b＝3，a>b，输出i的值为3.
4．如果执行如图所示的流程图，输入n＝6，m＝4，那么输出的p为________．
答案　360
解析　①k＝1，p＝3；
②k＝2，p＝12；
③k＝3，p＝60；
④k＝4，p＝360.
而k＝4时不符合条件，终止循环输出p＝360.
5．如图是一个算法流程图，则输出的n的值是________．
答案　5
解析　由算法流程图可知，
第一次循环：n＝1,2n＝2<20，不满足要求，进入下一次循环；
第二次循环：n＝2,2n＝4<20，不满足要求，进入下一次循环；
第三次循环：n＝3,2n＝8<20，不满足要求，进入下一次循环；
第四次循环：n＝4,2n＝16<20，不满足要求，进入下一次循环；
第五次循环：n＝5,2n＝32>20，满足要求，输出n＝5.
6．阅读如图所示的流程图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i＝________.
答案　4
解析　第一次循环：i＝1，A＝2，B＝1，A>B；第二次循环：i＝2，A＝4，B＝2，A>B；第三次循环：i＝3，A＝8，B＝6，A>B；第四次循环：i＝4，A＝16，B＝24，A7．如图是求x1，x2，…，x10的乘积S的流程图，图中空白框中应填入的内容为____________．
答案　S←S×xn
解析　赋值框内应为累乘积，累乘积＝前面项累乘积×第n项，即S＝S×xn.
8．如图是计算1＋＋＋…＋的值的一个流程图，则①处应填________．
答案　i≤999
解析　判断框中条件为真，则循环，否则跳出，故应填i≤999.
9．阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的s的值为______．
答案　－3
解析　第一次循环：s＝1，k＝1<4，s＝2×1－1＝1，k＝1＋1＝2；
第二次循环：k＝2<4，s＝2×1－2＝0，k＝2＋1＝3；
第三次循环：k＝3<4，s＝2×0－3＝－3，k＝3＋1＝4；
当k＝4时，k<4不成立，循环结束，此时s＝－3.
10．如果执行如图所示的流程图，输入x＝－1，n＝3，则输出的数S＝________.
答案　－4
解析　当n＝3时，i＝3－1＝2，满足i≥0，
故S＝6×(－1)＋2＋1＝－3.
执行i＝i－1后，i的值为1，满足i≥0，
故S＝(－3)×(－1)＋1＋1＝5.
再执行i＝i－1后i的值为0，满足i≥0，
故S＝5×(－1)＋0＋1＝－4.
继续执行i＝i－1后i的值为－1，不满足i≥0，
故输出S＝－4.
11．阅读下面的流程图，运行相应的程序，则输出S的值为________．
答案　4
解析　按照流程图中的顺序依次计算，直到满足条件输出S的值．
第一次：S＝8，n＝2；第二次：S＝2，n＝3；
第三次：S＝4，n＝4，满足n>3，输出S＝4.
二、解答题
12．设计一个流程图，对输入的任意n个数字，输出其中的最大数字．
解　流程图如图所示：
13．某工厂2016年生产小轿车200万辆，技术革新后预计每年的生产能力比上一年增加5%，问最早哪一年该厂生产的小轿车数量超过300万辆？写出解决该问题的一个算法，并画出相应的流程图．
解　(1)算法如下：
S1　a←200，n←1，r←0.05；
S2　T←ar；
S3　a←a＋T；
S4　如果a>300，那么转S6，否则转S5；
S5　n←n＋1，转S2；
S6　N←2 016＋n；
S7　输出N.
(2)流程图如图所示．
三、探究与拓展
14．执行如图所示的流程图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是________．
答案　k≤7
解析　k＝2，s＝1×log23＝log23；
k＝3，s＝log23×log34＝log24；
k＝4，s＝log24×log45＝log25；
k＝5，s＝log25×log56＝log26；
k＝6，s＝log26×log67＝log27；
k＝7，s＝log27×log78＝log28＝3，停止，说明判断框内应填“k≤7”．
15．画出求满足12＋22＋32＋…＋n2>2 0172的最小正整数n的流程图．
解　流程图如图所示．
§1.3　基本算法语句
1．3.1　赋值语句
1．3.2　输入、输出语句
学习目标　1.了解学习程序语句的必要性和根本目的.2.理解输入语句、输出语句、赋值语句的格式和功能.3.能把本节涉及的算法流程图转化为相应的伪代码．
知识点一　伪代码
思考　现代算法很多都需要用计算机实现，你认为计算机与人能直接用自然语言交流吗？
答案　不能．自然语言计算机不懂．
梳理　伪代码：伪代码是介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法．
知识点二　赋值语句
思考　计算机用变量来存取数据．怎样表示“把变量a，b中的数据相加存入c中”？
答案　用赋值语句“c←a＋b”．
梳理　赋值语句：
(1)格式：变量←表达式．
(2)功能：将表达式所代表的值赋给变量．一般先计算“←”右边表达式的值，然后把这个值赋给“←”左边的变量．
知识点三　输入语句、输出语句
思考　一个计算圆的面积的程序，可以不需要使用者设计，
但需要使用者输入什么信息？计算后会输出一个什么结果？
答案　圆的半径；圆的面积．
梳理　(1)输入语句：
①格式：Read　a，b.
②功能：表示输入的数据依次送给a，b.
(2)输出语句：
①格式：Print　x.
②功能：表示输出运算结果x.
1．输入语句所输入的内容可以是函数、变量或表达式．(　×　)
2．输出语句的作用是实现算法的输出结果功能．(　√　)
3．赋值语句的作用是把赋值号左边的值赋值给右边．(　×　)
类型一　赋值语句
例1　(1)(2017·徐州高二检测)下列赋值语句中正确的序号是________．
①N←N＋1；②K←K×K；③C←A(B＋D)；④C←A/B.
(2)下列语句中，能实现将两个数A＝1，B＝2交换，使得A＝2，B＝1的一组是________．
A←B
B←A
　①
A←C
C←B
B←A
　②
B←A
A←B
　③
C←B
B←A
A←C
④
　　　　　　
(3)下面一段伪代码执行之后的结果是________．
a←2
b←5
c←a＋b
a←c＋4
Print　a，b
答案　(1)①②③④　(2)④　(3)11,5
解析　(1)根据赋值语句的相关理解，①②③④均正确．(2)要交换两个变量的值，需要找一个中间变量来过渡．(3)由输出及赋值语句的特点知，因为a←2，b←5，所以c←7，所以a←11，所以输出a，b的值分别为11,5.
反思与感悟　赋值语句的几种常见形式
(1)赋予变量常数值．如a←5表示将5这个数值赋给变量a.
(2)赋予变量其他变量或表达式的值，如c←a＋b，表示将a＋b的值赋给变量c.
(3)将含有变量自身的表达式赋予变量，如i←i＋1，表示将i＋1的数值赋给i.弄清赋值语句的含义及伪代码功能就能输出正确的结果．
跟踪训练1　(1)运行如图所示的伪代码，输出的结果是________．
a←1
b←2
a←a＋b
Print　a
(2)阅读下列两个伪代码，回答问题：
①
x←3
y←4
x←y
　
②
x←3
y←4
y←x
上述两个伪代码最后输出的x和y值分别为________．
答案　(1)3　(2)4,4　3,3
解析　(1)a←1，b←2，把1与2的和赋给a，即a←3，输出的结果为3.
(2)程序①中的x←y是将y的值4赋给x，赋值后x的值变为4；②中y←x是将x的值3赋给y，赋值后y的值为3.
类型二　输入、输出语句
例2　已知一匀速运动的物体的初速度、末速度和加速度分别为v1，v2，a，求物体运动的距离s，试编写求解这个问题的一个算法的流程图，并用伪代码表示这个算法．
解　流程图：　　　　　　 伪代码：　
反思与感悟　输入语句的作用是实现算法的输入信息功能．输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；输出语句的作用是实现算法的输出结果功能，输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符．
跟踪训练2　设计一个求任意三门功课成绩的平均数的算法流程图，并写出相应的伪代码．
解　流程图：　　　　伪代码：
　　　
类型三　伪代码和流程图
例3　根据如图所示的流程图，写出相应的算法语句．
解　算法语句：
Read　x，y
x←2×x
y←y/4
Print　x，y
x←x－y
y←y－2
Print　x，y
反思与感悟　由流程图写算法语句时，对顺序结构的流程图只需利用输入、输出、赋值语句即可完成，其中输入、输出框对应输入、输出语句，执行框对应赋值语句．
跟踪训练3　把下列伪代码用流程图表示出来．
A←20
B←15
A←A＋B
B←A－B
A←A×B
Print　A＋B
解　流程图如下：
1．在Read语句中，如果同时输入多个变量，变量之间的分隔符是________．
答案　逗号
2．下列给出的赋值语句中正确的是________．(填序号)
①3←A；②m←－m；③B←A←2；④x＋y←0.
答案　②
解析　赋值语句只能把常数或表达式的值赋给变量，并且一个赋值语句只能给一个变量赋值，故①③④都不正确，②正确．
3．下列用伪代码描述的算法执行后的结果为________．
a←2
a←4
a←a＋a
Print　a
答案　8
解析　根据赋值语句的意义，输出结果为8.
4．如图的伪代码功能是：摄氏温度C为23.5℃，将它转换成华氏温度F，并输出．已知F＝C＋32.若要改编一下该伪代码，使之能任意输入摄氏温度C，都能转换成华氏温度F输出，则只需把C←23.5改为________．
C←23.5
F←C＋32
Print F
答案　Read　C
解析　C←23.5是计算机直接将23.5存入变量C，而Read　C则是将使用者输入的值赋给C，故可随时改变.
5．已知一个正三棱柱的底面边长为2，高为3，用输入、输出语句和赋值语句表示计算这个正三棱柱的体积的算法．
解
Read　a，h
a←2
h←3
V←a2h
Print　V
1．输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是变量或表达式(输入语句无计算功能)，若输入多个数，各数之间应用“，”隔开．
2．输出语句可以输出常量、变量或表达式的值(输出语句有计算功能)或字符．
3．赋值语句的作用是先算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值．
4．赋值号两边的内容不能对调，如a←b与b←a表示的意义完全不同．
一、填空题
1．将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确的一组是________．(填写相应的序号)
①a←b　b←a；
②c←b　b←a　a←c；
③b←a　a←b；
④a←c　c←b　b←a.
答案　②
解析　两个变量值的互换应引进第三个变量，每个变量都有各自的“门牌号”．
2．伪代码
M←1
M←M＋1
M←M＋2
Print M
的输出结果为________．
答案　4
解析　本题表示的算法为1＋1＋2＝4.
3．下列对赋值语句的描述中正确的是________．(填序号)
①可以给变量提供初值；
②将表达式的值赋给变量；
③可以给一个变量重复赋值；
④不能给同一变量重复赋值．
答案　①②③
解析　赋值语句可以给变量提供初值和能够确定数值的表达式，并且可以给一个变量重复赋值，所以①②③正确．
4．如图所示的伪代码输出的结果是________．
A←10
B←A－8
A←A－B
A←A＋2
Print　A
答案　10
5．如图所示的伪代码中依次输入128,130,109,141，则输出的结果为________．
Read　M1，M2，M3，M4
M←?M1＋M2＋M3＋M4?/4
Print　M
答案　127
解析　图中伪代码表示的是求这四个数的平均数．
6．如图所示的一段伪代码是利用赋值语句和输入、输出语句写出的算法，最后输出的k＋j的值为________．
i←10
j←2i＋5
k←2j＋5
Print k＋j
答案　80
解析　j＝2×10＋5＝25，
k＝2×25＋5＝55，
k＋j＝55＋25＝80.
7．给出下列伪代码，若输入x＝2，y＝3，则输出x，y的值分别为________．
Read　x，y
A←x
x←y
y←A
Print　x，y
答案　3,2
解析　该语句的运行过程是：
输入2,3，
A＝2，
x＝3，
y＝2，
输出3,2，
即x，y的值分别为3,2.
8．如图所示的伪代码运行的结果是________．
a←1
b←2
c←a－b
b←a＋c－b
Print a，b，c
答案　1，－2，－1
解析　由输出及赋值语句的特点知，输出结果为1，－2，－1.
9．执行如图所示的伪代码，则A，B的值分别为________．
A←2
B←3
B←A2
A←A＋B
B←A＋B
答案　6,10
解析　因为A＝2，B＝A2，所以B＝4.
又因为A＝A＋B，所以A＝2＋4＝6.
又B＝A＋B，所以B＝6＋4＝10.
10．下列伪代码执行后，变量a，b的值分别为________．
a←15
b←20
a←a＋b
b←a－b
a←a－b
Print a，b
答案　20,15
解析　根据赋值语句的意义，先把a＋b＝35赋给a，然后把a－b＝35－20＝15赋给b，最后再把a－b＝35－15＝20赋给a.
11．读伪代码，完成下列题目：
Read　x
Y←x2＋2x
Print　Y
(1)若输入“3”，则执行结果为________．
(2)若执行结果为3，则输入的值可能为________．
答案　(1)15　(2)1或－3
解析　(1)若输入3，则Y＝3×3＋2×3＝15.
(2)若执行结果为3，即输出3.即x2＋2x＝3，解得x＝－3或x＝1，即输入的值为－3或1.
二、解答题
12．已知某学生一次考试中语文、数学和英语学科的得分分别为85,90,95，试用输出语句和赋值语句设计适当的算法求出这名学生三科的总分和平均分．
解
S←0
C←85
M←90
E←95
S←C＋M＋E
A←S/3
Print S，A
13．用伪代码写出求用长度为L的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆的面积．要求输入L的值，输出正方形和圆的面积，并画出流程图．(π取3.14)
解　由题意知，正方形的边长为，面积S1＝；
圆的半径r＝，面积S2＝π2＝.
因此伪代码如图：
Read　L
S1←L2/16
S2←L2/?4×3.14?
Print　S1，S2
流程图：
三、探究与拓展
14．读伪代码Ⅰ，Ⅱ，若两伪代码输入值与执行结果均分别相同，则两伪代码的输入值为__________，执行结果为__________．
伪代码Ⅰ：　　　　 伪代码Ⅱ：
　
答案　0　2
解析　两程序执行结果相同，即求y＝x＋2与y＝2x＋2的交点，由得x＝0，y＝2.
15．已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝3x＋5，画出求f(g(2))＋g(f(3))的值的伪代码．
解　伪代码如下：
x←2
g←3x＋5
f←g2－1
y1←f
x←3
f←x2－1
g←3f＋5
y2←g
y←y1＋y2
Print y
1.3.3　条件语句
学习目标　1. 了解条件语句的格式及功能.2.体验如何把判断框转化为条件语句.3.通过对条件语句的学习，进一步体会算法的基本思想．
知识点　条件语句
思考　对于选择结构的算法或流程图，要转化为计算机能够理解的算法语言，只使用输入、输出和赋值语句还行吗？还需要用怎样的语句？
答案　不行，因为输入、输出、赋值都不会先判断再选择执行，要用与选择结构相适应的条件语句．
梳理　条件语句的结构与功能
If A Then
　B
Else
　C
End If
其中A表示判断的条件，B表示满足条件时执行的操作内容，C表示不满足条件时执行的操作内容，End_If表示条件语句结束．当遇到类似数学中分类讨论的算法时，适用条件语句．
1．If语句中必须有Else和End If.(　×　)
2．If语句中可以没有End If.(　×　)
3．If语句中可以没有Else，但必须以End If结束．(　√　)
4．If语句中可以没有End If，但必须有Else.(　×　)
类型一　条件语句和选择结构
例1　(1)已知如下伪代码，若x＝6，则其运行的结果是________．
Read　x
If x≤10 Then
　Y←0.35x
Else
　Y←10×0.35＋?x－10?×0.7
End If
Print　Y
答案　2.1　
解析　因为x＝6<10，所以Y＝0.35×6＝2.1，
所以运行的结果为2.1.
(2)将如图的伪代码翻译成算法，并画出相应的流程图：
Read　x
If x<1 Then
y←x
Else
y←2x－1
End If
Print　y
解　伪代码所表示的算法如下：
S1　输入x；
S2　如果x<1，则y←x，转S4，否则S3；
S3　y←2x－1，转S4；
S4　输出y，算法结束．
流程图如图所示．
引申探究　本例(2)中伪代码不变，若输入x＝5，则输出y的值为________，若输出的y值为21，则输入的x应为________．
答案　9　11
解析　因为x＝5>1，所以y＝2×5－1＝9.
由2x－1＝21，得x＝11，故输入的x应为11.
反思与感悟　条件语句与选择结构转化的一般思路
(1)明确已知语句或结构的大体框架．
(2)分清楚各种可能的情况以及每一种可能情况所对应的结论．
(3)将流程图与伪代码一一对应分别写出．
跟踪训练1　下面是一个使得任意输入2个整数按从大到小的顺序输出的算法：
S1　输入2个整数a，b；
S2　若aS3　输出a，b；
S4　结束．
试把它转化为伪代码．
解　
Read　a，b
If a x←a
a←b
b←x
End If
Print　a，b
类型二　条件语句的应用
例2　儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1 m，则无须购票；若身高超过1.1 m但不超过1.4 m，可买半票；若超过1.4 m，应买全票．试设计一个购票的算法，写出伪代码，并画出流程图．
解　购票的算法步骤如下：
S1　测量儿童身高h；
S2　如果h≤1.1，那么免费乘车；否则，如果h≤1.4，那么购买半票乘车；否则，购买全票乘车．
用条件语句表示为：
Read　h
If h≤1.1 Then
　Print 免费乘车
Else
　If h≤1.4 Then
Print 半票乘车
　Else
Print 全票乘车
End If
End If
流程图如图：
反思与感悟　算法中需要判断情况、分类执行时，如判断一个数的正负、比较两个数的大小、求分段函数的函数值等，都需要用到条件语句．
跟踪训练2　写出求实数x的绝对值的一个算法，画出其流程图，并写出对应的伪代码．
解　S1　输入一个实数x；
S2　若x<0，则x←－x，否则，x←x；
S3　输出x.
该算法的流程图如图：
伪代码如图：
Read　x
If x<0 Then
　x←－x
Else
　x←x
End If
Print　x
类型三　条件语句的嵌套
例3　函数y＝输入x的值，输出相应的函数值，写出伪代码．
解　伪代码如图所示：
Read　x
If x<1 Then
y←x
Else
If x<10 Then
y←2x－1
　Else
y←3x－11
　End If
End If
Print　y
反思与感悟　条件语句的功能类似于分类讨论．当需要分三种以上情况讨论时，就需要多个条件语句联用或条件语句内部嵌套条件语句．
跟踪训练3　编写伪代码，使得任意输入3个整数，输出三者中的最大者．
解　伪代码：
Read　a，b，c
If b>a Then
a←b
End If
If c>a Then
a←c
End If
Print　a
也可以是以下伪代码：
Read　a，b，c
If b>a Then
a←b
Else
　If c>a Then
a←c
　End If
End If
Print　a
1．给出以下四个问题：
①输入一个正数x，输出它的算术平方根；
②求函数f(x)＝的函数值；
③求周长为6的正方形的面积；
④求三个数a，b，c中的最小值．
其中需要用条件语句来描述其算法的个数为________．
答案　2
解析　对于②，当x取不同范围时，f(x)的解析式不同，因此需分情况讨论，要用到条件语句；对于④，要求出最小值，需分情况讨论，要用到条件语句．
2．下面是一个算法的伪代码，如果输入的x的值是10，则输出的y的值是________．
Read　x
If x≤5 Then
　y←10x
Else
　y←8.5x
End If
Print　y
答案　85
解析　由输入x的值为10，得y＝8.5×10＝85.
3．阅读下面伪代码：
Read　a
If a＞5 Then
b←4
Else
　If a＜3 Then
b←5
　Else
b←9
　End If
End If
Print　a，b
如果在运行时，输入2，那么输出的结果是________．
答案　2,5
解析　输入a的值2，首先判断是否大于5，显然2不大于5，然后判断2与3的大小，显然2小于3，所以结果是b＝5，因此结果应当输出2,5.
4．用条件语句表示：输入两个数，输出较大的数．
解　伪代码如图：
Read　a，b
If a≥b Then
　Print a
Else
　Print b
End If
使用条件语句时应注意的问题：
(1)条件语句是一个语句，If，Then，Else，End If都是语句的一部分．
(2)条件语句必须是以If开始，以End If结束，一个If必须与一个End If相对应．
(3)如果程序中只需对条件为真的情况作出处理，不用处理条件为假的情况时，Else分支可以省略，此时条件语句就由双支变为单支．
(4)为了程序的可读性，一般If，Else与End If顶格书写，则其他的语句体前面空两格．
一、填空题
1．已知某伪代码如图所示：
Read　x
If x>1 Then
y←－x2＋1
Else
If x>－1 Then
y←3x－6
Else
　 y←－x－2
End If
End If
Print　y
若输入x＝－3，则输出的结果为________．
答案　1
解析　由伪代码知，其功能是求函数
f(x)＝的值．
所以当输入x＝－3时，f(x)＝－(－3)－2＝1.
2．下面伪代码的运行结果是________．
x←5
If x≤0 Then
y←x－3
Else
y←x＋3
End If
Print y
答案　8
解析　∵5＞0，∴执行Else后的语句，∴y＝5＋3＝8.
3．在如图所示的算法过程中，当分别输入x＝－2，x＝3时，输出的函数值分别为________．
Read　x
If x≤0 Then
　y←x2
Else
　y←2x
End If
Print　y
答案　4,6
解析　表示函数y＝
当x＝－2，x＝3时，求y的值．
4．阅读下列伪代码：
x←4
If x>3 Then
　y←x2
Else
　y←2x
End If
Print y
则该伪代码执行后，变量y的值为________．
答案　16
解析　因为x＝4满足“x>3”的条件，所以执行的是Then后面的y＝42＝16.
5．为了在执行下面的伪代码之后输出y＝25，则输入的x应该是________．
Read　x
If x<0 Then
　y←?x＋1?2
Else
　y←?x－1?2
End If
Print　y
答案　－6或6
解析　伪代码对应的函数是y＝
由或
得x＝－6或x＝6.
6．下面伪代码的算法功能是：判断任意输入的数x是不是正数，若是，则输出它的平方值；若不是，则输出它的相反数．
Read　x
If　　　　Then
y←－x
Else
y←x2
End If
Print　y
则横线处填入的条件应该是________．
答案　x≤0
解析　条件成立时，执行y←－x；条件不成立时，执行y←x2.由程序的算法功能，知条件应为x≤0.
7．伪代码如下：
Read　a，b，c
m←a
If b>m Then
　m←b
End If
If c>m Then
　m←c
End If
Print　m
若执行伪代码时输入10,12,8，则输出的结果为______．
答案　12
解析　本伪代码的功能是筛选出a，b，c中的最大值，故输出m的值为12.
8．已知函数y＝根据输入x的值，计算y的值的伪代码为：
Read　x
If ① Then
　y←x2－1
Else
　y←x2＋1
End If
Print　y
则①处应填________．
答案　x>2.5
解析　根据分段函数对应法则，当x>2.5时，y＝x2－1.
故①处应填x>2.5.
9．下面给出的是条件语句编写的伪代码，该伪代码的功能是求函数____________的函数值．
Read　x
If x≤3 Then
　y←2x
Else
　y←x2－1
End If
Print　y
答案　y＝
解析　该伪代码的主要功能是对分段函数y求值．
当x≤3时，y＝2x；当x>3时，y＝x2－1.
所以y＝
10．如图所给出的是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是20，则输入的x的值是________．
Read　x
If x≤5 Then
　y←10x
Else
　y←2.5x＋5
End If
Print　y
答案　2或6
解析　当x≤5时，10x＝20，即x＝2；
当x>5时，2.5x＋5＝20，解得x＝6.
11．若下面伪代码执行的结果是5，则输入的x的值是____________．
Read　x
If x≥0 Then
y←x
Else
y←－x
End If
Print　y
答案　5或－5
解析　由算法语句知，该程序的功能是输入一个x，输出函数y＝的值，故输出5时，应输入5或－5.
二、解答题
12．某工厂有一批计时工，8小时内每小时工资6元，8小时外加班每小时10元，会计当天就要向工人付清工钱．请用伪代码编写一个根据小时数计算当天工资的算法．
解　设某工人一天工作x小时，则当天工资y可表示为
y＝
用伪代码可表示为：
Read　x
If 0　y←6x
Else
　y←6×8＋10?x－8?
End If
Print　y
13．分析如图所示的伪代码，并回答问题：
Read　x
If x≤2 Then
y←－2
Else
y←x2－2x
End If
Print　y
(1)伪代码解决的是什么问题？画出相应的流程图；
(2)根据伪代码回答：
①当输入的x值为1时，输出的y值为多少？
②当输出的y值为8时，输入的x值应为多少？
③输入的x值和输出的y值能够相等吗？若能，输入的x应为多少？若不能，请说明理由．
解　(1)本题伪代码解决的是求分段函数y＝的函数值的问题．相应的流程图如图．
(2)①当x＝1时，因为1<2，所以y＝－2，
即输出y的值为－2.
②当y＝8时，x>2，由x2－2x＝8，
得x＝4，所以输入x的值是4.
③能．当输入x＝－2时，y＝－2；
由x2－2x＝x，x>2，得x＝3，
所以当x＝3时，y＝3.
故当输入的x值为3或－2时，输入的x值与输出的y值相等．
三、探究与拓展
14．已知如图所示的伪代码，若函数g(x)＝f(x)－m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是________．
Read　x
If x≤－1 Then
　f?x?←x＋2
Else
　If x≤1 Then
f?x?←x2
　Else
f?x?←－x＋2
　End If
End If
Print　f?x?
答案　(－∞，0)∪{1}
解析　本算法功能为求函数
f(x)＝的函数值，
根据函数f(x)的图象，可知m＝1或m<0.
15．给出如下伪代码(其中x满足x＞0)．
Read　x
If x＞0 And x≤4 Then
　y←2×x
Else
　If x≤8 Then
　　y←8
　Else
y←24－2×x
　End If
End If
Print　y
(1)该程序的功能是求什么函数的函数值？
(2)画出这个程序的流程图．
解　(1)该程序的功能是求函数y＝.
(2)流程图如图所示．
1.3.4　循环语句
学习目标　1.了解循环语句的格式和功能.2.了解两种循环语句与两种循环结构的对应关系，能把相应流程图翻译为程序语句.3.体会由问题到自然语言描述的算法到流程图再到程序的全过程，体会算法的形成及优化过程．
知识点一　循环语句
思考　循环语句与条件语句有何关系？
答案　循环语句中一定有条件语句，但条件语句可以不依赖循环语句独立地解决问题．
梳理　循环语句与流程图中的循环结构相对应．循环语句结构一般有直到型和当型两种循环语句结构，分别对应于流程图中的直到型和当型循环结构．
知识点二　两种循环语句
两种循环语句的对比
名称
直到型
当型
格式
Do
循环体
Until_p
End_Do
While p
循环体
End_While
功能
先执行一次Do和Until之间的循环体，再判断Until条件p是否符合，如果不符合，继续执行循环体，然后再检查上述条件，如果条件仍不符合，再次执行循环体，直到条件符合时为止．这时计算机不再执行循环体，跳出循环体执行Until语句后面的语句
先判断条件是否符合，如果条件符合，则执行循环体，然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止，这时不再执行循环体，执行End_While后面的语句
对应流
程图
知识点三　“For语句”
1．其一般形式
For I From “初值” To “终值” Step “步长”
循环体
End For
2．“For”语句属于当型循环．
3．如果循环次数已知，可采用“For”语句．
1．当计算机遇到While语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行While与End While之间的循环体．(　√　)
2．当型循环有时也称为后测试型循环．(　×　)
3．While型语句结构也叫当型循环语句．(　√　)
类型一　“While…End While”语句的应用
例1　(1)下列伪代码运行后输出的结果为________．
i←1
While　i<8
　i←i＋2
　S←2i＋3
　i←i－1
End While
Print S
答案　21
解析　由伪代码知，每循环一次，i的值增加2，然后减小1，所以每循环一次i增加1.最后一次执行循环体时，
S←2×(7＋2)＋3＝21.
(2)用While…End While语句写出求1＋＋＋…＋>1 000的最小自然数n的伪代码．
解　伪代码如图：
S←0
i←1
While　S≤1 000
　S←S＋1/i
　i←i＋1
End While
Print i
反思与感悟　利用While语句的三个关注点：
(1)在用While语句解决相关问题时，要熟练掌握While语句的一般格式，后面的End While一定不要忘记．在运行语句的时候，一定要先判断表达式是否成立，再执行循环体．
(2)While语句可以不知循环次数，但需要知道循环终止的条件．条件为真时执行循环，条件为假时终止循环，防止表达式相反出现错误．
(3)用While语句解决循环次数不确定的问题时，首先要确定控制运算次数的变量，然后确定变量与运算次数的关系，利用这种关系，将运算次数当作一个确定的量，从而将问题转化为循环次数确定的问题来解决．
跟踪训练1　(1)执行如图所示的伪代码后输出的结果是________．
n←5
s←0
While　s<14
　s←s＋n
　n←n－1
End While
Print n
答案　1
解析　执行伪代码：
n＝5，s＝0，满足s<14，所以s＝0＋5＝5，n＝4；满足s<14，所以s＝5＋4＝9，n＝3；满足s<14，所以s＝9＋3＝12，n＝2；满足s<14，所以s＝12＋2＝14，n＝1，不满足s<14，结束．故n＝1.
(2)已知伪代码如下，则输出结果S＝________.
i←0
S←0
While　i＜6
　i←i＋2
　S←S＋i2
End While
Print S
答案　56
解析　根据伪代码逐次写出每次循环的结果．第一次循环，i＝2，S＝4；第二次循环；i＝4，S＝4＋16＝20；第三次循环，i＝6，S＝20＋36＝56.由于i＝6不满足条件，跳出循环，输出S，结果为56
类型二　“Do…End Do”语句的应用
例2　用Do…End Do语句写出计算1－＋－＋…＋－的值的伪代码．
解　伪代码如图：
s←0
i←1
Do
　
　i←i＋1
Until i>1 000
End Do
Print s
引申探究
1．若将例2中的“－”改为“＋”其余不变，写出相应的伪代码．
解　伪代码如图：
s←0
i←1
Do
　
　i←i＋1
Until i>1 000
End Do
Print s
2．若例2中条件不变，用“While…End While”写出伪代码．
解　
s←1
i←2
While　i≤1 000
　
　i←i＋1
End While
Print s
反思与感悟　“Do…End Do”语句的使用条件：
(1)算法中有需要反复执行的步骤(如累加求和、累乘求积等问题)．
(2)算法中先执行再判断．
(3)循环的次数不能确定或已经确定．
跟踪训练2　下列伪代码是求1＋3＋5＋…＋99的值，读伪代码完成问题．
i←1
p←0
While　i≤99
　p←p＋i
　i←i＋2
End While
Print p
问题：(1)伪代码中的循环语句是________型循环语句；
(2)将伪代码用另一类型的循环语句实现为________．
答案　(1)当
(2)
i←1
p←0
Do
　p←p＋i
　i←i＋2
Until i>99
End Do
Print p
类型三　“For”语句的应用
例3　用For语句设计一个计算2＋4＋6＋8＋…＋2 016的伪代码算法．
解　伪代码如下：
S←0
For I From 2 To 2 016 Step 2
　 S←S＋I
End For
Print S
引申探究
将例3改为用While…End While语句表示，结果如何？
解　伪代码如图：
S←0
I←2
While I≤2 016
　S←S＋i
　I←I＋2
End While
Print S
反思与感悟　利用For语句实现循环结构的三个关键点：
(1)确定变量的初值，即进行初始化操作．
(2)确定循环的次数、步长以及终值．
(3)确定循环体的内容．
跟踪训练3　写出计算12＋32＋52＋…＋9992的伪代码，并画出相应的流程图．
解　伪代码如下：　　　　　　　　流程图如图所示：
　　
1．下列问题可以设计成循环语句来计算的有________．(填序号)
①求1＋3＋32＋…＋39的和；
②比较a，b两个数的大小；
③对于分段函数，要求输入自变量，输出函数值；
④求平方值小于100的最大整数．
答案　①④
解析　①和④用到循环语句；②③用不到．
2．下列伪代码执行的次数是________．
For I From 1 To 10 Step 3
Print I
End For
答案　4
解析　输出的结果为1,4,7,10，故共执行了4次．
3．下列伪代码输出的结果是________．
n←5
S←0
While　S<15
　S←S＋n
　n←n－1
End While
Print n
答案　0
解析　当S←5＋4＋3＋2＝14时，n←2－1＝1，此时S<15继续执行循环体，则S←5＋4＋3＋2＋1＝15，n←1－1＝0，此时S←15，循环结束，输出0.
4．对于问题1＋2＋3＋…＋______＞2 017，求满足条件的最小整数．试用“While”语句描述这一问题的算法过程．
解　伪代码如图：
S←0
I←1
While S≤2 017
　S←S＋I
　I←I＋1
End While
Print I－1
1．当循环的次数确定时，我们通常用For循环语句，而当循环的次数不确定时，我们通常用“While…End While”或“Do…End Do”循环语句．
2．For循环语句及“While…End While”循环语句都是前测试语句，即先判断后执行．若初始条件不成立，则一次也不执行循环体中的内容，任何一种需要重复处理的问题都可以用这种前测试循环来实现．
3．“Until”语句是先执行一次循环体，再判断是否满足条件，若不满足，再执行循环体，然后再检查是否满足条件，如此反复，直到满足条件为止．当满足条件时，将不执行循环体，直接跳到Until语句后．
一、填空题
1．下列给出的四个流程图，其中满足While语句格式的是________．
答案　②③
解析　While语句的特点是“前测试”．
2．运行如图所示的伪代码：
S←0
For I From 2 To 10 Step 2
S←S＋I
End For
Print S
则输出的结果是________．
答案　30
解析　由题意可知：S＝2＋4＋6＋8＋10＝30.
3．下面伪代码的功能是______________________．
n←0
i←0
Do
　Read　x
　If x<0 Then
n←n＋1
　End If
　i←i＋1
Until i>10
End Do
Print n
答案　统计10个数据中负数的个数
解析　输入x后，若x<0，则n值增加1，直到输入10次后，输出n值，故其功能为统计10个数据中负数的个数．
4．下面的伪代码执行后第3个输出的数是________．
i←1
x←1
Do
Print x
i←i＋1
x←x＋1/2
Until i>5
End Do
答案　2
解析　该伪代码中关键是循环语句，
第一次输出的数是1，
第二次输出的数是x＝1＋＝，
第三次输出的数是x＝1＋＋＝2.
5．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S的值为________．
S←1
I←1
While I<5
　S←S＋2
　I←I＋1
End While
Print S
答案　9
解析　由伪代码可知，在循环的过程中，S与I的值依次是3,2；5,3；7,4；9,5，故最后输出的S的值是9.
6．下面的伪代码执行后输出s的值是________．
i←1
While i<6
　i←i＋2
　s←2i＋1
End While
Print s
答案　15
解析　当i＝3时，s＝7，当i＝5时，s＝11，
此时仍满足条件“i<6”，因此再循环一次，
即i＝7时，s＝15，此时不满足“i<6”，
所以执行“Print s”，即s＝15.
7．若伪代码如下，则输出结果为________．
S←0
i←1
Do
　S←S＋i
　i←i＋3
Until S≥30
End Do
Print i－3
答案　10
解析　i＝1，S＝0＋1，
i＝4，S＝1＋4＝5，
i＝7，S＝5＋7＝12，
i＝10，S＝12＋10＝22，
i＝13，S＝22＋13＝35>30，
终止循环．
输出13－3＝10.
8．运行下面的伪代码，输出的值为__________．
S←0
i←1
While S<18
S←S＋i
i←i＋1
End While
Print i
答案　7
解析　由于循环体是先执行S＝S＋i，再执行i＝i＋1，然后进行判断，当S＝1＋2＋3＋4＋5＝15时，执行i＝5＋1＝6，这时15<18成立，再循环一次S＝15＋6＝21，i＝6＋1＝7，这时再判断21<18不成立，于是执行“Print i”，即i＝7.
9．下面为一个求10个数的平均数的伪代码，则在横线上应填充的语句为________．
S←0
i←1
Do
　Read　x
　S←S＋x
　i←i＋1
Until　　　　　
a←S/10
End Do
Print a
答案　i>10
解析　此为直到型循环，在程序一开始，即i←1时，开始执行循环体，当i←10时继续执行循环体，题目中求10个数的平均数，所以当i>10时应终止循环．
10．下面伪代码表示的算法是__________________________________．
n←2
S←1
While　S≤5 000
S←S×n
n←n＋1
End While
Print n－1
答案　求使1×2×3×…×n>5 000的n的最小正整数
11．如果在伪代码运行后输出的结果为132，那么在While后面的条件应为________．
S←1
I←12
While 　　　　
　S←S×I
　I←I－1
End While
Print S
答案　I＞10(或I≥11或S<132)
解析　∵输出值为132，而132＝12×11，∴循环体执行2次，又While语句是条件成立时执行循环体，∴循环条件应为I＞10.另外也可以是I≥11或S＜132.
二、解答题
12．已知S＝5＋10＋15＋…＋1 500，用伪代码写出求S的算法．
解　
S←5
For I From 10 To 1 500 Step 5
　S←S＋I
End For
Print S
13．分别用当型和直到型循环语句写出一个伪代码，计算2×4×6×…×100的值．
解　(1)当型：　　　　 (2)直到型：
　　　　
三、探究与拓展
14．如图是求1～1 000内所有偶数的和的程序，把流程图补充完整，则正确的序号为________．
(1)①处为S←S＋i，
②处为i←i＋1
(2)①处为S←S＋i，②处为i←i＋2
(3)①处为i←i＋1，②处为S←S＋i
(4)①处为i←i＋2，②处为S←S＋i
答案　(2)
解析　流程图求的是1～1 000内所有偶数的和，故i的步长为2，应有i＝i＋2，排除(1)，(3)；i初始值为2，S应加的第一个偶数为2，而不是4，故语句S←S＋i应在i←i＋2的前面，排除(4)．
15．设计算法求＋＋＋…＋的值，画出流程图，并写出相应的伪代码．
解　算法如下：
S1　S←0，i←1；
S2　若i≤99成立，则转S3；
否则，输出S，结束算法；
S3　S←S＋；
S4　i←i＋1，转S2.
方法一　当型循环结构流程图如图：　　伪代码如下：
　　
方法二　直到型循环结构流程图如图：
伪代码如下：
S←0
i←1
Do
　S←S＋1/[i?i＋1?]
　i←i＋1
Until i>99
End Do
Print S
§1.4　算法案例
学习目标　1.理解解决“韩信点兵—孙子问题”的算法思想.2.理解辗转相除法与更相减损术的数学原理．
知识点一　“韩信点兵一孙子问题”的数学本质
思考　“三三数之剩二”是什么意思？如何用代数式表示？
答案　“三三数之剩二”意思是一堆东西，三个三个地分组，余二个．
设这堆东西数目为m，则m＝3x＋2，其中x指组数．
梳理　“韩信点兵—孙子问题”是求关于x，y，z的一次不定方程组的正整数解．
知识点二　辗转相除法与更相减损术的算法原理
思考　我们知道204＝85×2＋34.为什么204与85的最大公约数就是85与34的最大公约数？
答案　设204与85的最大公约数为a，则a能整除204，故能整除85×2＋34.又因为a也是85的约数，故a能整除85×2，所以a必能整除34，即a是34的约数，从而是85与34的最大公约数，显然，204与85的公约数问题转化成了85与34的公约数问题，问题难度降低了．
梳理　一般地，有2种算法求两个正整数的最大公约数：
(1)辗转相除法的运算步骤：
第一步，给定两个正整数m，n(m>n)．
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m←n，n←r.
第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；
否则，返回第二步．
(2)更相减损术的运算步骤：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
1．辗转相除法也叫欧几里得算法．(　√　)
2．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数．(　√　)
3．求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法．(　×　)
4．编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．(　√　)
类型一　孙子剩余定理的应用
例1　(1)方程组的整数解有________组．
答案　无数
解析　方程组中的两方程相减并化简整理得x＋1＝y.
当y取3的整数倍时，x就可以取到相应的整数，因此，原方程组的整数解有无数组．
(2)有三个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除；最大的能被19整除，求满足要求的一组3个连续的自然数，画出流程图，并用伪代码表示算法．
解　流程图如图所示：
伪代码如下：
m←1
While Mod(m,15)≠0 or
Mod(m＋1,17)≠0 or
Mod(m＋2,19)≠0
　m←m＋1
End While
Print m，m＋1，m＋2
反思与感悟　(1)孙子剩余定理常用来解决求不定方程(组)的正整数解问题，需要熟练掌握算术中的整除知识和算法中的循环结构．
(2)设计算法时要选择循环结构(直到型或当型)．
跟踪训练1　有一堆围棋子，五个五个地数，最后余下2个；七个七个地数，最后余下3个；九个九个地数，最后余下4个．请用伪代码表示“求出这堆棋子至少有多少个”的一种算法．
解　算法的伪代码如下：
m←2
While Mod(m,5)≠2 or
Mod(m,7)≠3 or
Mod(m,9)≠4
　m←m＋1
End While
Print m
类型二　求两个正整数的最大公约数
例2　设计用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数的算法，并画出流程图，写出伪代码．
解　算法如下：
S1　a←8 251；
S2　b←6 105；
S3　如果Mod(a，b)≠0，那么转S4，否则转S7；
S4　r←Mod(a，b)；
S5　a←b；
S6　b←r，转S3；
S7　输出b.
流程图与伪代码：
a←8 251
b←6 105
While Mod?a，b?≠0
　 r←Mod?a，b?
　 a←b
　 b←r
End While
Print b
反思与感悟　利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．
跟踪训练2　用辗转相除法和更相减损术求261和319的最大公约数．
解　辗转相除法：
319÷261＝1(余58)，
261÷58＝4(余29)，
58÷29＝2(余0)，
所以319与261的最大公约数为29.
更相减损术：
319－261＝58，
261－58＝203，
203－58＝145，
145－58＝87，
87－58＝29，
58－29＝29，
29－29＝0，
所以319与261的最大公约数是29.
类型三　求方程f(x)＝0近似解的算法
例3　画出用区间二分法求方程x3－x－1＝0在区间[1，1.5]上的一个近似解(误差不超过0.001)的一个算法流程图并编写伪代码．
解　流程图如图：　　　　　　 伪代码如图：

反思与感悟　在此算法中用到了条件语句和循环语句，所以用“Do”是因为要执行再判断是否满足条件，因为不知循环次数，所以也不宜用“For”语句．
跟踪训练3　改造例3中的伪代码，用来求方程ln x＋2x－1＝0在区间[a，b]上的一个近似解(误差不超过c)．
解　伪代码如图：
Read　a，b，c
Do
　x0←
　f?a?←ln a＋2a－1
　f?x0?←ln x0＋2x0－1
　If f?x0?＝0 Then Exit Do
　If f?a?f?x0?<0 Then
b←x0
　Else
a←x0
　End If
Until|a－b|End Do
Print　x0
1．两个整数490和910的最大公约数是________．
答案　70
解析　∵490＝72×2×5,910＝13×7×2×5，∴最大公约数为7×2×5＝70.
2．m是一正整数，对两个正整数a，b，若a－b是m的倍数，则称a，b模m同余，用符号a≡b(Modm)表示．则a≡5(Mod27)中，a的取值最小为________．
答案　32
3．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为__________________________．
答案　先除以2，得到18与67
解析　∵36与134都是偶数，
∴第一步应为：先除以2，得到18与67.
4．求方程x＝5y＋3(其中y为自然数)的所有小于100的x的正整数解，用伪代码表示．
解　算法的伪代码如图：
y←0
x←0
While x<100
　x←5y＋3
　Print x
　y←y＋1
End While
5．求a＝204与b＝85的最大公约数．
解　204÷85，余数r1为34，
所以204＝85×2＋34；
85÷34，余数r2为17，所以85＝34×2＋17；
34÷17，余数为0，所以34＝17×2.
因此，204与85的最大公约数是r2＝17.
1．求两个正整数的最大公约数时，用辗转相除法进行设计的关键是：将“辗转”的过程用循环语句表示．
为了避免求循环次数(对两个具体的正整数，循环次数可以求出，但会使程序更为复杂)，最好使用“While”语句．
2．用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给定区间上是否有解．
3．二分法的过程是一个多次重复的过程，故可用循环结构处理．
4．二分法过程中需要对中点(端点)处函数值的符号进行判断，故实现算法需用选择结构，即用条件语句进行分支选择．
一、填空题
1．若Int(x)表示不超过x的最大整数，对于下列等式：
①Int(10.01)＝10；
②Int(－1)＝－1；
③Int(－5.2)＝－5.
其中正确的有________个．
答案　2
解析　①②正确，③错误．因为Int(x)表示的是不超过x的最大整数，所以Int(－5.2)＝－6.
2．对于下列不等式：
①Mod(2,3)＝3；
②Mod(3,2)＝2；
③Mod(2,3)＝1；
④Mod(3,2)＝1.
成立的有________．(写出成立的等式的序号)
答案　④
解析　Mod(a，b)表示a除以b所得的余数，所以Mod(2,3)＝2，Mod(3,2)＝1.
3．若Int(x)表示不超过x的最大整数，则Int(0.35)＝______，Int(－0.01)＝________，Int(0)＝________.
答案　0　－1　0
4．1 037和425的最大公约数是________．
答案　17
解析　∵1 037＝425×2＋187，
425＝187×2＋51，
187＝51×3＋34，
51＝34×1＋17，
34＝17×2，
∴1 037和425的最大公约数是17.
5．用辗转相除法计算60和48的最大公约数，需要做的除法次数是________．
答案　2
解析　60＝48×1＋12,48＝12×4，故需做2次除法．
6．如果a，b是整数，且a>b>0，r＝Mod(a，b)，则a与b的最大公约数与下面的________相等．(填写正确答案的序号)
①r；②b；③b－r；④b与r的最大公约数．
答案　④
解析　根据辗转相除法的算法思想，就是将较大的数的最大公约数转化为较小的数的最大公约数．
7．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r答案　13,21
解析　用333除以24，商即为q，余数就是r.
8．319,377,116的最大公约数为________．
答案　29
解析　用辗转相除法：
377＝319×1＋58；
319＝58×5＋29；
58＝29×2，
∴377与319的最大公约数为29，
又∵116＝29×4，∴116与29的最大公约数为29，
∴377,319,116的最大公约数为29.
9．将用二分法求方程x2－2＝0的近似根(误差不超过0.001)的一个算法补充完整：
S1　令f(x)＝x2－2，因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1＝1，x2＝2；
S2　令m＝____________，判断f(m)是否为0，若f(m)＝0，则m即为所求；若否，则判断__________的符号；
S3　若____________，则x1←m；否则x2←m；
S4　判断____________<0.001是否成立，若是，则x1，x2之间的任意值均为满足条件的近似根，若否，________.
答案　　f(x1)f(m)　f(x1)f(m)>0 |x1－x2|　转S2
10．1 624与899的最大公约数是________．
答案　29
解析　∵1 624＝899×1＋725；
899＝725×1＋174；
725＝174×4＋29；
174＝29×6；
∴1 624与899的最大公约数为29.
11．下列伪代码的运行结果是________．
a←120
b←252
While　a≠b
If a>b
　a←a－b
Else
　b←b－a
End If
End While
Print a
答案　12
解析　此伪代码的功能是求两个正整数的最大公约数．a，b的值依次是：
(120,132)→(120,12)→(108,12)→(96,12)→(84,12)→(72,12)→(60,12)→(48,12)→(36,12)→(24,12)→(12,12)，∴输出12.
二、解答题
12．有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？
解　每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数.343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49.
∴147和343的最大公约数为49.
同理可求得49与133的最大公约数为7.
∴每瓶最多装7克．
13．设计求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小正整数的算法流程图，并写出伪代码．
解　流程图如图：
伪代码如图：
n←1
While Mod(n,6)≠4 or
Mod(n,10)≠8 or
Mod(n,9)≠4
　n←n＋1
End While
Print n
三、探究与拓展
14．如图所示的伪代码，若输入a，b的值分别为855和228，则输出b的值为________．
Read　a，b
While　a≠b
r←a－b
If b>r Then
a←b
b←r
Else
a←r
End If
End While
Print　b
答案　57
解析　855－228＝627,627－228＝399，
399－228＝171,228－171＝57，
171－57＝114,114－57＝57.
15．在平面直角坐标系中作出函数f(x)＝和g(x)＝lg x的图象，根据图象判断方程lg x＝的解的范围，再将用二分法求这个方程的近似解(误差不超过0.001)的算法用伪代码表示．
解　图象为
设h(x)＝－lg x.
∵h(2)＝－lg 2>0，h(3)＝－lg 3<0，
∴h(x)＝0在(2,3)内有解．
伪代码为
a←2
b←3
c←0.001
Do
　x0←
　h?a?←－lg a
　h?x0?←－lg x0
　If h?x0?＝0 Then Exit Do
　If h?a?h?x0?<0 Then
b←x0
　Else
a←x0
　End If
Until |a－b|End Do
Print x0
滚动训练一(§1.1～§1.4)
一、填空题
1．下列关于流程图的说法中正确的个数是________．
①用流程图表示算法直观、形象、容易理解；
②流程图能清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的一图胜万言；
③在流程图中，起止框是任何流程图不可少的；
④输入、输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置．
答案　①②③④
解析　根据流程图的概念及处理符号的功能知①②③④都正确．
2．根据如图所示的流程图，若输入m的值是3，则输出的m＝________.
答案　13
解析　若输入m的值是3，则p＝8，m＝13，故输出的m的值为13.
3．下面伪代码输出的结果是________．
A←10
B←A－8
A←A－B
A←A＋2
Print　A
答案　10
解析　A＝10－2＋2＝10.
4．下面流程图表示的算法的运行结果是________．
答案　6
解析　由题意P＝＝9，S＝＝6.
5．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是________．
答案　9
解析　a＝1，b＝9，不满足a>b，进入循环体，则a＝5，b＝7，仍不满足a>b，进入循环体，则a＝9，b＝5，满足a>b，输出a＝9.
6．如图所示的流程图输出的S是126，则①处应为________．
答案　n≤6
解析　2＋22＋23＋24＋25＋26＝126，所以应填“n≤6”．
7．执行如图所示的流程图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝________.
答案　3
解析　第一次：S＝0－1＝－1，a＝1，K＝2；
第二次：S＝－1＋2＝1，a＝－1，K＝3；
第三次：S＝1－3＝－2，a＝1，K＝4；
第四次：S＝－2＋4＝2，a＝－1，K＝5；
第五次：S＝2－5＝－3，a＝1，K＝6；
第六次：S＝－3＋6＝3，a＝－1，K＝7；
结束循环，输出S＝3.
8．执行下面的流程图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝________.
答案　4
解析　第一次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝6，n＝1；
第二次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝10，n＝2；
第三次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝16，n＝3；
第四次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝20，n＝4，满足题意，结束循环．
9．用辗转相除法计算56和264的最大公约数时，需要做________次除法．
答案　4
解析　由辗转相除法，可知
264＝56×4＋40；56＝40×1＋16；
40＝16×2＋8；16＝8×2.
即得最大公约数为8，做了4次除法．
10．在求方程x(x＋2)＝48的正整数解时，某同学给出了下面流程图，其结果为________．
答案　6
解析　因为当i＝6，i＋2＝8时，6×8＝48，所以输出i为6.
11．如图所示的流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为________．
答案　73
解析　经过第一次循环得到S←0＋13＝1，不满足S≥50，x＝2；
执行第二次循环得到S←1＋23＝9，不满足S≥50，x＝4；
执行第三次循环得到S←9＋43＝73，满足判断框的条件，退出循环，执行“Y”，输出S←73.
二、解答题
12．分别用辗转相除法求282与470的最大公约数．
解　辗转相除法：
470＝1×282＋188，
282＝1×188＋94，
188＝2×94，
∴282与470的最大公约数为94.
13．某公司为激励广大员工的积极性，规定：若推销产品价值在10 000元之内的年终提成5%；若推销产品价值在10 000元以上(包括10 000元)，则年终提成10%，设计一个求公司员工年终提成f(x)的算法的流程图．
解　流程图如下图所示：
三、探究与拓展
14．执行如图所示的流程图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝________.
答案　7
解析　执行第一次，t＝0.01，S＝1，n＝0，m＝＝0.5，
S＝S－m＝0.5，m＝＝0.25，
n＝1，S＝0.5>t＝0.01，是，循环；
执行第二次，S＝S－m＝0.25，m＝＝0.125，n＝2，S＝0.25>t＝0.01，是，循环；
执行第三次，S＝S－m＝0.125，m＝＝0.062 5，n＝3，
S＝0.125>t＝0.01，是，循环；
执行第四次，S＝S－m＝0.062 5，m＝＝0.031 25，n＝4，S＝0.062 5>t＝0.01，是，循环；
执行第五次，S＝S－m＝0.031 25，
m＝＝0.015 625，
n＝5，S＝0.031 25>t＝0.01，是，循环；
执行第六次，S＝S－m＝0.015 625，m＝＝0.007 812 5，
n＝6，S＝0.015 625>t＝0.01，是，循环；
执行第七次，S＝S－m＝0.007 812 5，
m＝＝0.003 906 25，n＝7，
S＝0.007 812 5>t＝0.01，否，输出n＝7.
15．给出30个数：1,2,4,7,11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依次类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的流程图如图所示．
求①，②框内可填的内容，并根据流程图写出伪代码．
解　①i≤30
②p←p＋i
伪代码如下：
i←1
p←1
S←0
While　i≤30
　S←S＋p
　p←p＋i
　i←i＋1
End While
Print S
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．给出以下四个问题：
①输入一个数x，输出它的相反数；②求三个数a，b，c中的最大数；③求面积为6的正方形的周长；④求函数f(x)＝的函数值．
其中不需要用条件语句来描述其算法的是________．
答案　①③
解析　①③只需用赋值语句就能解决，不需要用条件语句；②④在运算时要根据不同的条件进行执行，因此要用条件语句设计算法．
2．阅读如图所示的流程图：若输出结果为0，则①处的执行框内应填的是________．
答案　x←－1
解析　先确定执行框内是给x赋值，然后倒着推，当b＝0时，2a－3＝0，a＝，当a＝时，2x＋1＝，x＝－1.
3．如图所示，流程图的输出结果是________．
答案　4
解析　利用循环结构求解．
当x←1，y←1时，满足x≤4，则x←2，y←2；
当x←2，y←2时，满足x≤4，则x←2×2＝4，y←2＋1＝3；
当x←4，y←3时，满足x≤4，则x←2×4＝8，y←3＋1＝4；
当x←8，y←4时，不满足x≤4，则输出y＝4.
4．执行如图所示的流程图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．
答案　3
解析　由x2－4x＋3≤0，
解得1≤x≤3.
当x＝1时，满足1≤x≤3，
所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；
当x＝2时，满足1≤x≤3，
所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；
当x＝3时，满足1≤x≤3，
所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；
当x＝4时，不满足1≤x≤3，
所以输出n＝3.
5．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数时，需要做的除法次数是________．
答案　4
解析　由辗转相除法可知，264＝56×4＋40；56＝40×1＋16；40＝16×2＋8；16＝8×2.
即得最大公约数为8，做了4次除法．
6．给出一个伪代码：
Read　x
If x≤0 Then
　f?x?←4x
Else
　f?x?←2x
End If
Print　f?x?
根据以上算法，可求得f(－1)＋f(2)＝________.
答案　0
解析　f(x)＝
∴f(－1)＋f(2)＝－4＋22＝0.
7．阅读如图所示的流程图，则循环体执行的次数为________．
答案　49
解析　∵i←i＋2，∴当2＋2n≥100时循环结束，此时n←49.
8．执行如图所示的流程图，则输出的k的值是________．
答案　5
解析　由题意，得k＝1时，s＝1；k＝2时，s＝1＋1＝2；k＝3时，s＝2＋4＝6；k＝4时，s＝6＋9＝15；k＝5时，s＝15＋16＝31>15，此时输出的k的值为5.
9．按如图所示的伪代码运行后输出的结果为________．
i←1
While　i<8
　i←i＋2
　S←2i＋1
　i←i－1
End While
Print S
答案　19
解析　第一次循环：i＝3，S＝7，i＝2；第二次循环，i＝4，S＝9，i＝3；第三次循环，i＝5，S＝11，i＝4；第四次循环，i＝6，S＝13，i＝5；第五次循环，i＝7，S＝15，i＝6；第六次循环，i＝8，S＝17，i＝7；第七次循环，i＝9，S＝19，i＝8.此时i＝8，不满足i<8，故退出循环，输出S＝19.
10．下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．
答案　3
解析　赋值n＝1，a＝2
进入循环体，
检验a＝2<20，
a＝3×2＋2＝8，
n＝2，
检验a＝8<20，
a＝3×8＋2＝26，
n＝3，
检验a＝26≥20，
脱离循环体，
输出n＝3.
11．当x＝5，y＝－20时，下面伪代码运行后输出的结果为______．
Read　x，y
If x<0 Then
　x＝y－3
Else
　y＝y＋3
End If
Print　x－y
y－x
答案　22，－22
解析　具体运行如下：(x，y)→(5，－20)→(5，－17)，
∴x－y＝22，y－x＝－22.
12．若某流程图如图所示，则该程序运行后输出的值为____．
答案　
解析　当k＝5时，输出S，
此时，S＝1＋＋＋＋
＝1＋1－＋－＋－＋－
＝2－＝.
13．阅读如图所示的流程图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为________．
答案　S＝2i
解析　当空白矩形框中填入的语句为S＝2i时，在运行过程中各变量的值如下所示：
i　S　是否继续循环
循环前 1 0
第一圈 2 5 是
第二圈 3 6 是
第三圈 4 9 是
第四圈 5 10 否
故输出的i的值为5，符合题意．
14．执行如图所示的流程图，若输入n＝10，则输出S＝______.
答案　
解析　执行第一次循环后，S＝，i＝4；
执行第二次循环后，S＝，i＝6；
执行第三次循环后，S＝，i＝8；
执行第四次循环后，S＝，i＝10；
执行第五次循环后，S＝，i＝12，此时i≤n不成立，退出循环，输出S＝.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)编写函数y＝的算法，根据输入x的值，计算y的值．
解　其算法步骤如下：
S1　输入x；
S2　如果x≤2.5，则y←x2＋1，否则转S3；
S3　y←x2－1；
S4　输出y.
用算法语句可表示如下：
Read　x
If x≤2.5 Then
　y←x2＋1
Else
　y←x2－1
End If
Print　y
16．(14分)写出求|x－2|的算法，并画出流程图．
解　算法如下：
S1　输入x；
S2　若x<2，则y←2－x，否则转S3；
S3　y←x－2；
S4　输出y.
流程图如图：
17．(14分)设计流程图计算12＋22＋32＋…＋1 0002，并写出相应的伪代码．
解　流程图：
伪代码：
S←0
i←1
Do
　S←S＋i2
　i←i＋1
Until i>1 000
End Do
Print S
18．(16分)设计一个算法，将n个数a1，a2，…，an中的最小数找出来，并用伪代码表示这个算法．
解　算法如下：
S1　x←a1，I←2；
S2　如果2≤I≤n，那么转S3；否则转S6；
S3　输入aI；
S4　如果aIS5　I←I＋1，转S2；
S6　输出x.
伪代码为
x←a1
For I From 2 To n
　Read　aI
　If aIx←aI
　End If
End For
Print x
19．(16分)新课标要求学生数学模块学分认定由模块成绩决定，模块成绩由考试成绩和平时成绩构成，各占50%，若模块成绩大于或等于60分，获得2学分，否则不能获得学分(为0分)．设计一个算法，通过考试成绩和平时成绩计算学分，并画出流程图．
解　算法如下：
S1　输入考试成绩C1和平时成绩C2；
S2　计算模块成绩C＝；
S3　判断C与60的大小关系，输出学分F：
若C≥60，则输出F＝2；
若C＜60，则输出F＝0.
流程图如图所示：
20．(16分)有一分数数列：，，，，，…，求这个数列的前20项的和．写出伪代码，并用流程图表示．
解　伪代码如下：
a←2
b←1
k←1
S←0
While　k≤20
　S←S＋a/b
　t←a
　a←a＋b
　b←t
　k←k＋1
End While
Print S
流程图如图所示：
章末复习
学习目标　1.加深对算法思想的理解.2.加深用流程图清晰条理地表达算法的能力.3.进一步体会由自然语言到流程图再到程序的逐渐精确的过程．
1．算法、流程图、算法语句
(1)算法的概念： 算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．
(2)流程图：流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．
(3)算法语句： 基本算法语句有输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句五种，它们对应于算法的三种逻辑结构：顺序结构、选择结构、循环结构．用基本语句编写程序时要注意各种语句的格式要求，条件语句应注意If与Then、End_If配套使用，缺一不可，而Else可选；循环语句应注意循环条件的准确表达以及循环变量的步长设置．
2．算法案例
(1)孙子剩余定理
“孙子问题”的解法是解一次方程组的一种方法．特例是求关于x，y，z的正整数解的不定方程组．
(2)辗转相除法
①辗转相除法是求两个正整数的最大公约数的一种方法．
②步骤：在所给两数中，用大数除以小数，得商和余数．把除数和余数构成一对新数．重复上述步骤，直至余数为零．此时的除数即为原来两数的最大公约数．
1．一个流程图一定包含顺序结构，但不一定包含选择结构和循环结构．(　√　)
2．输入语句可以同时给多个变量赋值．(　√　)
3．一个赋值语句可以给多个变量同时赋值．(　×　)
类型一　算法设计
例1　已知平面直角坐标系中的两点A(－1,0)，B(3，2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法．
解　S1　计算x0＝＝1，y0＝＝1，得AB的中点N(1,1)；
S2　计算k1＝＝，得直线AB的斜率；
S3　计算k＝－＝－2，得线段AB垂直平分线的斜率；
S4　由点斜式得直线AB的垂直平分线的方程为2x＋y－3＝0，并输出．
反思与感悟　该算法步骤的设计依据解析几何中求线段垂直平分线的一般方法．设计算法时，对于数值型问题，我们可以采用数值分析的方法进行处理，数值分析中有许多现成的固定算法，我们可以直接使用，当然我们也可以根据问题的实际情况设计算法．对于非数值型问题，根据过程模型分析算法并进行处理，也可以选择一些成熟的办法进行处理，如排序、递推等．
跟踪训练1　所谓正整数p为素数是指：p的所有约数只有1和p.例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n(n＞1)是否为素数的算法．
解　算法如下：
S1　给出任意一个正整数n(n＞1)；
S2　若n＝2，则输出“2是素数”，判断结束；
S3　令m＝1；
S4　将m的值增加1，仍用m表示；
S5　如果m≥n，则输出“n是素数”，判断结束；
S6　判断m能否整除n，
①如果能整除，则输出“n不是素数”，判断结束；
②如果不能整除，则转S4.
类型二　条件语句与流程图
例2　输入一学生成绩，评定其等级．方法是：90～100分为“优秀”，80～89分为“良好”，60～79分为“及格”，60分以下为“不合格”．写出其算法的伪代码，并画出流程图．
解　伪代码如图：
Read　x
If x≥90 Then
　Print “优秀”
Else
　If x≥80 Then
Print “良好”
　Else
If x≥60 Then
　 Print “及格”
Else
　 Print “不及格”
End If
　End If
End If
流程图如图：
跟踪训练2　阅读如图所示的伪代码，当分别输入x←2，x←1，x←0时，输出的y值分别为______，________，________.
Read x
If x>1 Then
　y←
Else
　If x＝1 Then
y←1
　Else
y←x2＋
　End If
End If
Print　y
答案　1　1　－1
解析　该流程图描述的函数为y＝
所以当x＝2时，y＝1；当x＝1时，y＝1；当x＝0时，y＝－1.
类型三　循环语句与流程图
例3　根据下面的算法伪代码，绘制流程图，指出输出的最后结果是什么？并分别将它们改为另一种循环，画出相应流程图．
伪代码：
S←0
I←3
While I≤99
　S←S＋I3
　I←I＋2
End While
Print S
解　伪代码对应的流程图如图所示，它用的是“While”语句，最终输出的结果是33＋53＋…＋993.
利用“For”语句伪代码可以改为：
S←0
For I From 3 To 99 Step 2
　S←S＋I3
End For
Print S
相应流程图如图所示：
跟踪训练3　计算：102＋202＋302＋…＋1002，写出解决该问题的算法伪代码，并画出相应的算法流程图．
解　伪代码如图：
S←0
For I From 10 To 100 Step 10
　S←S＋I2
End For
Print S
相应流程图如图所示．
1．写出如下流程图的运行结果．
S＝________；若R＝8，则a＝________.
答案　2.5　4
2．下列伪代码执行后输出的结果是________．
i←11
s←1
Do
s←s·i
i←i－1
Until i<9
End Do
Print s
答案　990
解析　该伪代码是求s＝1×11×10×9＝990.
3．执行下面的流程图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．
答案　1
解析　输入n的值为3，
第1次循环：i＝1，S＝－1，i第2次循环：i＝2，S＝－1，i第3次循环：i＝3，S＝1，i＝n.
输出S的值为1.
4．执行如图所示的流程图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是________．
答案　[－2，－1]
解析　若x∈ [－2,2]，则f(x)＝2∈，不合题意；当x∈[－2,2]时，由f(x)＝2x∈，
得x∈[－2，－1]．
从近几年高考试题中可以看出，本部分命题呈现以下特点：
(1)考题以填空题为主，分值为5分，属于中低档题．
(2)考查内容主要是流程图，一般要求出按流程图执行后的结果．流程图中主要以选择结构和循环结构为主，其中循环结构是重点．但有时也考查伪代码．
一、填空题
1．下列关于算法的说法正确的是________．(填序号)
①任何一个算法都必须含有三种基本逻辑结构；
②从2开始写起，后一个数为前一个数与2的和，不断地写，写出所有偶数．这个问题编程后，可由计算机完成；
③算法：把a，b的值代入x＝，求方程ax＝b的解是有效的算法；
④在程序中，x←y与y←x是不一样的．
答案　④
解析　一个算法可以只含有顺序结构，故①错；算法步骤必须是有限的，故②错；③中当a＝0时该算法是无效的；赋值语句中，x←y是将y的值赋给x，y←x是将x的值赋给y，④是正确的．
2．执行下面的伪代码后输出的结果为________．
x←－1
y←20
If x<0 Then
　x←y＋3
Else
　x←y－3
End If
Print x－y，y＋x
答案　3,43
解析　因为x＝－1，y＝20，x<0，所以 x＝y＋3＝23，所以x－y＝23－20＝3，y＋x＝20＋23＝43.
3．如图，若输入x的值为－5，则输出的y值是________．
答案　－1
解析　第一次输入x＝－5，满足|x|>3，x＝|－5－3|＝8，第二次满足|x|>3，x＝|8－3|＝5，第三次满足|x|>3，x＝|5－3|＝2，第四次不满足|x|>3，此时y＝logx＝log2＝－1，输出y＝－1.
4．执行如图所示的流程图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为________．
答案　3
解析　本程序为分段函数y＝当x≤2时，由x2－1＝3，得x2 ＝4，所以x＝±2，满足x≤2.
当x>2时，由log 2x＝3，得x＝8，满足x>2.
所以满足条件的x有3个．
5．下列伪代码的功能是______________．
s←1
i←1
While i≤10
　s←i×s
　i←i＋1
End While
Print s
答案　计算1×2×3×…×10的值
解析　循环变量初始值为1，终止值为10，i＝1时，s＝1；i＝2时，s＝2×1；i＝3时，s＝3×2×1.故输出的是1×2×…×10的值．
6．如图所示的流程图表示求算式“2×3×5×9×17” 的值，则判断框内可以填入________．
①k≤10；②k≤16；③k≤22；④k≤34.
答案　③
解析　第一次循环，若满足条件，则S＝2，k＝3；第二次循环，满足条件时，S＝2×3，k＝5；第三次循环，满足条件时，S＝2×3×5，k＝9；第四次循环，满足条件时，S＝2×3×5×9，k＝17；第五次循环，若满足条件，则S＝2×3×5×9×17，k＝33，此时不满足条件，输出S.所以条件应满足17≤k<33，k≤22满足．
7．执行如图所示的流程图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S的取值范围为________．
答案　[－3,6]
解析　由流程图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后，1因此输出S的取值范围为[－3,6]．
8．如图是计算函数y＝的值的流程图，则在①，②和③处应分别填入的是________．
①y←－x，y←0，y←x2;
②y←－x，y←x2，y←0；
③y←0，y←x2，y←－x;
④y←0，y←－x，y←x2.
答案　②
解析　当x＞－1不成立时，y＝－x，故①处应填“y←－x”；当x＞－1成立时，若x＞2，则y＝x2，即②处应填“y←x2”，否则y＝0，即③处应填“y←0”．
9．下面的伪代码是求一个函数的函数值：
Read　x
If x≤0 Then
　y←－x
Else
　If x≤1 Then
y←0
　Else
y←x－1
　End If
End If
Print　y
若执行此语句的结果为3，则输入的x值为________．
答案　4或－3
解析　此伪代码是求函数y＝的值．若输出的结果为3，则有可能x－1＝3，即x＝4，或－x＝3，即x＝－3.
10．如图是某算法的流程图，则程序运行后输出的结果是________．
答案　10
解析　程序运行后，s＝0＋(－1)1＋1＝0，n＝2；s＝0＋(－1)2＋2＝3，n＝3；s＝3＋(－1)3＋3＝5，n＝4；s＝5＋(－1)4＋4＝10＞9，故输出的结果是10.
11．有324,243,270三个数，则它们的最大公约数是________，最小公倍数是________．
答案　27　29 160
解析　由324＝243×1＋81,243＝81×3知，324与243的最大公约数为81.又因为270＝81×3＋27,81＝27×3，所以这三个数的最大公约数是27.最小公倍数是27×(324÷27)×(243÷27)×(270÷27)＝29 160.
12．下面的伪代码中，语句“Print I*J”执行的次数是______．
For I From 1 To 3 Step 1
　For J From 5 To 1 Step －1
　Print I*J
　End For
End For
答案　15
解析　对于每个I，内循环都执行5次，而I有3个取值，所以共执行15次．
二、解答题
13．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)….
(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；
(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少？
(3)写出流程图的伪代码．
解　(1)由流程图知：当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝－2；当x＝9时，y＝－4，所以t＝－4.
(2)当n＝1时，输出一组，当n＝3时，又输出一组，…，当n＝2 009时，输出最后一组，共输出(x，y)的组数为1 005；
(3)流程图的伪代码如图：
x←1
y←0
n←1
Do
　Print　(x，y)
　n←n＋2
　x←3*x
y←y-2
Until n>2010
End Do
三、探究与拓展
14．如图给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x＝________.
Read　x
If x≥0 Then
　f?x?←x2－3x－1
Else
　f?x?←log2?x＋5?
End If
Print　f?x?
答案　4
解析　由题目所给伪代码可得f(x)＝
因为最后输出的结果为3，
所以或
解得x＝4，即输入值x＝4.
15．新华商场2017年销售计算机5 000台，如果平均每年销售量比上一年增加10%，那么从2017年起，大约到第几年可使年销售量达40 000台？试分别用“While…End While”语句、“Do…End Do”语句描述解决此问题的一个算法．
解　由题意知第2年销售量为5 000(1＋0.1)，
第3年销售量为5 000(1＋0.1)2，…，
第n年销售量为5 000(1＋0.1)n－1.
“While…End While”语句如下：
m←5 000
i←1
While m<40 000
　m←m×?1＋0.1?
　i←i＋1
End While
Print i
“Do…End Do”语句如下：
m←5 000
i←1
Do
　m←m×?1＋0.1?
　i←i＋1
Until m≥40 000
End Do
Print i

　　　　　　　　　　　　　　　1　算法概念解读
1．对算法含义的理解
(1)算法是机械的
算法的设计要“面面俱到”，不能省略任何一个小小的步骤，有时可能要进行大量重复计算，但只要按步骤一步一步地执行，总能得到结果．算法的这种机械化的特点，在设计出算法后，便于把具体过程交给计算机去完成．
(2)算法是普遍存在的
实际上处理任何问题都需要算法，如国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判标准，邮寄物品的相关手续，求一个二元一次方程组的解等等．
(3)求解某个具体问题的算法一般是不唯一的
算法实际上是解决问题的步骤和方法，求解问题的出发点不同，就会得到不同的算法．如求二元一次方程组的解有代入消元法和加减消元法，但不同的算法可能会有“优劣”之分．
例1 现有9个乒乓球，只有其中一个重量稍轻，请写出找到较轻乒乓球的一个算法．
解　算法如下：
S1　将9个乒乓球分成三组，每组3只；
S2　将两组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的小的乒乓球在另一组，执行S3，若不平衡，则较轻的小球在较轻的一组，执行S3；
S3　取出含较轻小球的一组，任取两球放在天平上，若左右不平衡，则较轻的小球找到；若天平平衡，则另一只是较轻的小球．
2．算法与数学问题解法的区别与联系
(1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．如教材中由具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发，归纳出了二元一次方程组求解的步骤．同时指出，这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了二元一次方程组的算法．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决．
(2)区别：算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．
例2 写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．
分析　本题是求一元二次方程解的问题，方法很多．要注意设计算法时算法的逻辑性和有穷性．
解　算法1：利用配方法设计算法如下：
S1　移项，得x2－2x＝3； ①
S2　①两边同时加1，并配方，得(x－1)2＝4； ②
S3　②式两边开方，得x－1＝±2； ③
S4　解③得x＝3或x＝－1.
算法2：利用公式法设计算法如下：
S1　计算方程的判别式，判断其符号Δ＝22＋4×3＝16>0；
S2　将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式
x＝，得x1＝3，x2＝－1.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　流程图画法全知晓
1．画流程图的基本步骤
第一步，设计算法，因为算法的设计是画流程图的基础，所以画流程图前，首先写出相应的算法步骤，并分析算法需要用哪种基本算法结构(顺序结构、选择结构、循环结构)完成．
第二步，把算法步骤转化为对应的图框，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．
第三步，将所有步骤的图框用流程线连结起来并加上终端框，得到表示算法的流程图．
2．画流程图的规则
(1)使用标准的图形符号．
(2)流程图一般按从上到下、从左到右的方向来画．
(3)除判断框外，大多数图形符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号．
(4)在图形符号内描述的语言要简练清楚．
3．典例分析
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不开的结构．若一个算法由若干个依次执行的步骤组成，则在画流程图时，可直接由顺序结构完成．因为在其他的结构中都会涉及到顺序结构，所以关于顺序结构的画法，在此不再单独叙述．
(2)选择结构
设计流程图时，若是分段函数或执行时需要先判断才能执行的问题，则需要用到判断框，引入选择结构．
例1 如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着BCDA的方向由点B向点A运动，设点P运动的路程为x(0分析　先根据题意写出算法，再根据算法画出流程图．即：
第一步，按照题意，y与x的关系满足分段函数：
y＝
第二步，用合适的含选择结构的流程图表示该分段函数．
解　流程图如图所示．
点评　该题中的分段函数是分三段的函数，需引入两个判断框．至于判断框的内容是没有顺序的，但与下一图形的内容或操作必须相互对应．同时，在画流程图时，要特别注意图形符号的规范性．
(3)循环结构
如果问题中进行了重复的运算，且有相同的规律，就可根据需要引入相关变量，利用这些规律组成一个循环体，用循环结构来解决．
例2 某机械厂为增加产值进行了技术革新．据统计2009年的生产总值为500万元，技术革新后预计每年的生产总值比上一年增加5%，问最早要到哪一年生产总值才能超过600万元，试用流程图表示．
分析　用变量n，a分别表示所经过的年数和生产总值的数量，注意变量的初始值以及递加的值是多少．由题意知第n年后的生产总值为a＝500(1＋0.05)n，此时为(2009＋n)年．由于题中进行了重复的运算，故应引入循环结构．
解　流程图如图所示．
点评　在本例中，给出了当型循环结构的流程图，同学们可以自行完成直到型循环结构．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　例说选择结构
选择结构是三种基本算法结构之一，可以解决一些含有条件判断的算法问题，如分段函数求值问题、比较大小问题、分类讨论问题和一些实际问题等．在此就其应用略举两例，供同学们学习时参考．
1．分段函数求值问题
例1 已知函数y＝请设计流程图，要求输入自变量x，输出函数值y.
分析　输入自变量x的值，首先判断x与0的大小关系，再代入相应的表达式求函数值．
解　流程图如图．
点评　求分段函数的函数值，需先判断再执行步骤，需要引入选择结构．注意画流程图时，判断条件不同，框图中表达式的位置也不同．
2．实际应用问题
例2 邮政电子汇款单笔最高限额为1万元，每笔汇款的资费标准为汇款金额的1%，最低收费2元，最高收费为50元．试编写一流程图求出当汇款x (0分析　由题意分析，当x≤200时，应交纳资费2元，当x≥5 000时，应交纳资费50元，所以引入选择结构，200和5 000是两个分段点．
解　流程图如图．
点评　在一些需要判断的实际问题中，一般都会用到选择结构，在设计流程图时，可先根据题意，设计算法，再根据算法画出流程图．
4　两种循环结构辨与析
在我们学习的三种基本算法结构中，循环结构尤其重要，其算法设计又相对困难，因此就循环结构的流程图的设计问题及解题思路加以剖析，以期达到明辨结构、合理选择、准确解题的目的．
1．循环结构要点分析
(1)循环结构解决的是大量的重复性的问题，适用于累加求和、累乘求积等问题．
(2)循环结构有两种形式，即当型循环和直到型循环，它们在流程图的表示上是有所区别的．
(3)设计流程图时，我们按照“确定循环体”、“初始化变量”、“设定循环控制条件”的顺序来构造．
2．两种循环结构的区别与联系
区别：
(1)循环体执行的先后顺序不同：当型循环是先判断后循环；直到型循环是先执行一次循环体，然后再判断是否继续执行循环体．
(2)循环的条件不同：当型循环是在条件满足时执行循环体，而直到型循环是在条件不满足时执行循环体，条件满足时退出循环体．
(3)循环体执行的次数不同：若当型循环结构的循环条件一开始就不成立，则直接退出循环；直到型循环是先执行一次循环体，再判断条件．这就是说，当型循环可能一次也不执行，而直到型循环至少执行一次．
联系：
很多情况下，这两种形式的流程图是可以相互转化的，但要注意判断框中的条件是有区别的．
3．典例精析
例 设计计算12＋32＋52＋…＋992的值的流程图．
分析　为了方便表示，可应用循环结构引入两个变量：一个是累加变量，为每一次加法运算提供初始值；一个是计数变量，用来控制循环次数．
解　当型循环结构的流程图如图1，直到型循环结构的流程图如图2.
　　
点评　在进行当型循环和直到型循环结构的互化时，不能仅通过将图1中判断框内的“i≤99”，改为“i>99”，同时调换“Y”，“N”的位置完成(或是图2中作类似的变换)．同学们一定要在理解的基础上，牢记两种循环结构的条件和“Y”，“N”的位置．同一算法中，当型循环和直到型循环判断框中的条件恰恰相反．
　　　　　　　　　　　　　　　　5　走出流程图中的误区
1．忽视选择结构中“N”的意义导致错误
例1 已知x，y满足y＝画出给出x求y的流程图．
错解　流程图如图所示：
错解剖析　判断框中0≤x≤1处应填x≤1，因为“N”的意义就是指x<0的反方面，即表示x≥0，再写x≥0则画蛇添足．
正解　流程图如图所示：
2．循环结构忽视初始值和循环条件
例2 设计一个计算1×2×3×…×40的值的流程图．
错解　流程图如图所示：
错解剖析　在给变量赋初值时一定要注意与题目中的已知相对应，同时还要注意的是要求和还是求积．一般来说，在解连加问题时存放累加和的变量初值常取0，而在解连乘问题时，存放累乘积的变量初值常取1.另外，循环终止条件的确定与流程图中的各变量的赋值顺序有关，因此确定循环终止条件时不应只看已知条件．
正解　流程图如图所示：
　　　　　　　　　　　　　　　6　画流程图的“三抓”
1．抓特征
组成任何一个流程图的三要素是“四框”、“一线”加“文字说明”．“四框”即起止框、输入(出)框、处理框、判断框．“一线”即流程线，任意两个图框之间都存在流程线．“文字说明”即在图框内加以说明的文字、算式等，这是每个流程图不可缺少的内容．
2．明规则
流程图的画法规则是：①用标准，即使用标准的图形符号；②按顺序，即流程图一般按照从上到下、从左到右的顺序画；③看出入，即大多数图框只有一个入口和一个出口，判断框是唯一具有两个出口的图框，选择结构中要在出口处标明“Y”或“N”；④明循环，即循环结构要注意变量的初始值及循环终止条件；⑤辨流向，即流程线的箭头表示执行的方向，不可缺少；⑥简说明，即在图框内的描述语言要简练清晰．
3．依步骤
画流程图的总体步骤是：第一步，先设计算法，因为算法的设计是画流程图的基础，所以在画流程图前，首先应在稿纸上写出相应的算法步骤，并分析算法需要哪些基本算法结构；第二步，再把算法步骤转化为对应的流程图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．
例　某商场进行优惠促销：若购物金额x在500元以上(不包括500元)，则全部货款打8折；若购物金额x在300元以上(不包括300元)500元以下(包括500元)，则全部货款打9折；否则，不打折．写出算法并画出流程图，要求输入购物金额x元，能输出实际交款额．
分析　由题意，实际交款额y与购物金额x之间的函数关系是y＝
因为它需对x进行三次判断，所以算法含有两个选择结构，写出算法步骤如下．
解　算法如下：
S1　输入购物金额x；
S2　判断x≤300是否成立．若是，则y←x，执行S4；否则，进入S3；
S3　判断x≤500是否成立．若是，则y←0.9x；否则，y←0.8x；
S4　输出y，算法结束．
画法步骤　①画顺序结构图，即起止框及输入框，并用流程线连结(如图中①)；②画选择结构图，即画判断框，里面填写“x≤300”(如图中②)．对于“Y”流向画处理框并填入“y←x”，对于“N”流向下一个判断框；③再画选择结构图，即画判断框，里面填写“x≤500”，对于“Y”流向画处理框并填入“y←0.9x”，对于“N”流向画处理框并填入“y←0.8x”(如图中③)；④画一个总的输出框并输出y，以及起止框表示算法结束(如图中④)．最后，合成整个流程图．

§2.1　抽样方法
2．1.1　简单随机抽样
学习目标　1.了解随机抽样的必要性和重要性.2.理解随机抽样的目的和基本要求.3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数表法的一般步骤．
知识点一　随机抽样的必要性及基本概念
思考　要知道一批牛奶是否达标，为什么不采用逐一检测的方法？
答案　因为检测具有破坏性．
梳理　(1)抽样的必要性：
第一，要考查的总体中个体数往往很多，而且在时刻变化，逐一调查不可能．第二，考查往往具有破坏性，所以逐一调查也不可取．这就需要抽查一部分，以此来估计总体．
(2)抽样涉及的基本概念：①总体：一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体．
②个体：构成总体的每一个元素作为个体．
③样本：从总体中抽出若干个个体所组成的集合叫样本．
④样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．
知识点二　简单随机抽样
思考　从含有甲、乙的9件产品中随机抽取一件，总体内的各个个体被抽到的机会相同吗？甲被抽到的机会是多少？
答案　总体内的各个个体被抽到的机会是相同的．因为是从9件产品中随机抽取一件，这9件产品每件产品被抽到的机会都是1/9，甲也是1/9.
梳理　简单随机抽样：
(1)从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本(n(2)简单随机抽样方法分为
(3)简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．
知识点三　抽签法和随机数表法
1．抽签法
(1)抽签法：抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
(2)抽签法的步骤：
①将总体中的N个个体编号；
②将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；
③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
④从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次；
⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出．
2．随机数表法
(1)随机数表法：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．
(2)随机数表法的一般步骤：
①将总体中的个体编号(每个号码位数一致)；
②在随机数表中任选一个数作为开始；
③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止；
④根据选定的号码抽取样本．
3．抽签法与随机数表法的异同点
抽签法
随机数表法
不同点
①抽签法比随机数表法简单；②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况
①随机数表法要求编号的位数相同；②随机数法适用于总体中的个体数相对较多的情况
相同点
①都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；②都是从总体中逐个不放回地抽取
1．简单随机抽样也可以是有放回的抽样．(　×　)
2．简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等．(　√　)
3．采用随机数表法抽取样本时，个体编号的位数必须相同．(　√　)
类型一　简单随机抽样的概念理解
例1　(1)(2017·连云港高二检测)关于简单随机抽样，下列说法正确的是________．(填序号)
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能性抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
答案　①②③④
解析　根据简单随机抽样的概念及特征可知，①②③④都属于简单随机抽样．
(2)判断下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样，并说明理由．
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本．
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检验．
③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴青海参加抗震救灾工作．
④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
⑤箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里．
解　①不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．
③不是简单随机抽样．因为50名官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．
⑤不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样．
反思与感悟　简单随机抽样必须具备下列特点：
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；
(3)简单随机抽样是一种不放回抽样；
(4)简单随机抽样是一种等可能的抽样．
如果四个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．
跟踪训练1　人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方式是不是简单随机抽样？为什么？
解　不是简单随机抽样．因为简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始牌，其他各张牌虽然是逐张搬牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样．
类型二　抽签法
例2　某卫生单位为了支援抗震救灾，要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作，请用抽签法设计抽样方案．
解　方案如下：
第一步，将18名志愿者编号，号码为01,02,03，…，18.
第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．
第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀．
第四步，从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号．
第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员．
反思与感悟　一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．
跟踪训练2　从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．
解　第一步　将20架钢琴编号，号码是01,02，…，20.
第二步　将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．
第三步　将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．
第四步　从袋子中逐个不放回地抽取5个号签，并记录上面的编号．
第五步　与所得号码对应的5架钢琴就是要进行质量检查的对象．
类型三　随机数表法
例3　假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，应如何操作？
解　第一步，将800袋牛奶编号为000,001，…，799.
第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数(例如选出第8行第7列的数7)．
第三步，从选定的数7开始依次向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等)，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60的样本．
反思与感悟　抽签法和随机数表法对个体的编号是不同的，抽签法可以利用个体已有的编号，如学生的学籍号、产品的记数编号等，也可以重新编号，例如总体个数为100，编号可以为1,2,3，…，100.随机数表法对个体的编号要看总体的个数，总体数为100，通常为00,01，…，99.总体数大于100小于1 000，从000开始编起，然后是001,002，….
跟踪训练3　要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001,002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始并向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号________．(下面抽取了随机数表第1行至第8行)
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
答案　227,665,650,267
解析　从随机数表第3行第6列的数2开始向右读，第一个小于850的数字是227，第二个数字是665，第三个数字是650，第四个数字是267，符合题意.
1．抽签法确保样本代表性的关键是________．
①制签； ②搅拌均匀；
③逐一抽取； ④抽取不放回．
答案　②
解析　若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀．
2．为了检验某种产品的质量，决定从101件产品中抽取10件检验，若用随机数表法抽取样本，则编号的位数为________．
答案　3
解析　用随机数表法抽取样本，位数应相同，应为3位，首位可以是000或001.
3．某次考试有10 000名学生参加，为了了解这10 000名考生的数学成绩，从中抽取1 000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，有以下三种说法：①1 000名考生是总体的一个样本；②10 000名考生是总体；③样本容量是1 000.其中正确的说法有________种．
答案　1
解析　总体是10 000名考生的数学成绩，样本是1 000名考生的数学成绩，故①②都错，只有③正确．
4．下列抽样方法是简单随机抽样的是________．
①从50个零件中一次性抽取5个进行质量检验；
②从50个零件中有放回地抽取8个进行质量检验；
③从实数集中逐个抽取10个正整数分析奇偶性；
④运动员从8个跑道中随机抽取1个跑道．
答案　④
解析　①是一次性抽取；②是有放回抽取；③中的实数集中有无限个正整数，这些都不符合简单随机抽样的特征．
5．从100件电子产品中抽取一个容量为25的样本进行检测，试用随机数表法抽取样本．
解　第一步　将所有电子产品编号：00,01,02，…，98,99；
第二步　选定随机数表中第一个数0作为开始；
第三步　从选定的数0开始按两个数字一组向右读下去，一行读完时按下一行自左向右继续读，将重复的两位数去掉，保留下来的两位数直到取足25个为止．
1．简单随机抽样是一种简单、基本、不放回的抽样方法，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．
2．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量较大时，费时、费力，并且标号的签不易搅拌均匀，这样会导致抽样不公平；随机数表法的优点也是简单易行，缺点是当总体容量较大时，编号不方便．两种方法只适合总体容量较少的抽样类型．
3．简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为，但要将每个个体入样的可能性与第n次抽取时每个个体入样的可能性区分开，避免在解题中出现错误．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、填空题
1．为了了解某种花的发芽天数，种植某种花的球根200个，进行调查发芽天数的试验，样本是________．(填序号)
①200个表示发芽天数的数值；
②200个球根；
③无数个球根发芽天数的数值集合．
答案　①
2．某校有40个班，每班50人，要求每班随机选派3人参加“学生代表大会”．在这个问题中样本容量是________．
答案　120
解析　由于样本容量即样本的个数，抽取的样本的个数为40×3＝120.
3．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是________．
答案　，
解析　简单随机抽样中每个个体被抽到的机会均等，都为.
4．用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向，这些步骤的先后顺序应为____________．
答案　①③④②
5．一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________；
第三次抽取时，剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是________．
答案　　
解析　因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性为＝，所以某一特定小球被抽到的可能性是.因为此抽样是不放回抽样，所以第一次抽样时，每个小球被抽到的可能性均为；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为.
6．为了了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有________．(填序号)
①2 000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的20名运动员是样本；
④样本容量为20；
⑤每个运动员被抽到的机会相等．
答案　④⑤
解析　①2 000名运动员不是总体，2 000名运动员的年龄才是总体；②每个运动员的年龄是个体；③20名运动员的年龄是样本．
7．下列调查的样本不合理的是________．
①在校内发出一千张印有全校各班级的选票，要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”，以了解最受欢迎的教师是谁；
②从一万多名工人中，经过选举，确定100名代表，然后投票表决，了解工人们对厂长的信任情况；
③到老年公寓进行调查，了解全市老年人的健康状况；
④为了了解全班同学每天的睡眠时间，在每个小组中各选取3名学生进行调查．
答案　①③
解析　因为①中样本不符合有效性原则，在班级前画“√”与了解最受欢迎的教师没有关系．③中样本缺少代表性．②④都是合理的样本．
8．齐鲁风采“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1,2，…，30的三十个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是________．
答案　抽签法
解析　三十个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，是典型的抽签法．
9．下列抽样试验中，用抽签法方便的是________．(填序号)
①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验；
②从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验；
③从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验；
④从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验．
答案　②
解析　①中总体容量较大，样本容量也较大不适宜用抽签法；②中总体容量较小，样本容量也较小可用抽签法；③中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；④中总体容量较大，不适宜用抽签法．
10．(2017·徐州高二检测)下列问题中，最适合用简单随机抽样的是________．
①某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈；
②从10台冰箱中抽出3台进行质量检查；
③某学校有在编人员160人．其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本；
④某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量．
答案　②
解析　根据简单随机抽样的特点进行判断：
①的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；②的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；③中，由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；④中，总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不宜采用简单随机抽样法．
11．(2017·南通高二检测)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
答案　01
解析　由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.
二、解答题
12．现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数表法设计抽样方案？
解　(1)将元件的编号调整为010,011,012，…，099,100，…，600；
(2)在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第6行第7列数“9”，向右读；
(3)从数“9”开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到544,354,378,520,384,263；
(4)以上号码对应的6个元件就是要抽取的样本．
13．学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学．
解　第一步　将32名男生从00到31进行编号；
第二步　用相同的纸条制成32个号签，在每个号签上写上这些编号；
第三步　将写好的号签放在一个不透明的箱中摇匀，不放回地逐个从中抽出10个号签；
第四步　相应编号的男生参加合唱；
第五步　用相同的办法从28名女生中选出8名，则此8名女生参加合唱．
三、探究与拓展
14．从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏．过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为________．
答案　
解析　设参加游戏的小孩有x人，则＝，x＝.
15．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．
解　第一步　先确定艺人：(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；
(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人．
第二步　确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可．
2.1.3　分层抽样
学习目标　1.理解分层抽样的基本思想和适用情形.2.掌握分层抽样的实施步骤.3.了解二种抽样方法的区别和联系．
知识点一　分层抽样
思考　当总体由差异明显的几部分构成时，为了使样本能充分地反映总体情况，在抽样时，还能直接用简单随机抽样吗？
答案　不能．
梳理　分层抽样的概念及特点
(1)分层抽样的定义
一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”．
(2)分层抽样具有如下特点：
①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
②按比例确定每层抽取个体的个数；
③在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样的方法；
④分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；
⑤分层抽样也是等机会抽样，每个个体被抽到的可能性都是，而且在每层抽样时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法
知识点二　分层抽样的实施步骤
分层抽样的步骤是：
(1)将总体按一定标准分层．
(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比．
(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量．
(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样抽样)．
知识点三　二种抽样方法的比较
类别
特点
相互联系
适用范围
共同点
简单随机抽样
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同
分层抽样
将总体分成几层，按各层个体数之比抽取
各层抽样时采用简单随机抽样
总体由差异明显的几部分组成
1．系统抽样和分层抽样都是等可能抽样．(　√　)
2．分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样．(　√　)
3．因为抽样在不同层内进行，所以不同层的个体被抽到的可能性不一样．(　×　)
类型一　对分层抽样概念的理解
例1　有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．现从中抽出8件进行质量分析，则应采取的抽样方法是________．
答案　分层抽样
解析　总体是由差异明显的几部分组成，符合分层抽样的特点，故采用分层抽样．
反思与感悟　判断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点：
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
(2)样本能更充分地反映总体的情况．
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
跟踪训练1　某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________．
答案　分层抽样法
解析　从全体学生中抽取100名宜用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．
类型二　分层抽样的应用
例2　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
解　用分层抽样来抽取样本，步骤如下：
(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽取125×＝25(人)；
在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56(人)；
在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19(人)．
(3)在各层分别按系统抽样或随机数表法抽取样本．
(4)汇总每层抽样，组成样本．
反思与感悟　利用分层抽样抽取样本的操作步骤：
(1)将总体按一定标准进行分层；
(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；
(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量；
(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)；
(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．
跟踪训练2　某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________.
答案　13
解析　∵＝，
∴n＝13.
1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为________．
答案　8
解析　分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本，设从高二年级抽取的学生数为n，则＝，得n＝8.
2．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．
答案　15
解析　青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7∶5∶3，所以样本容量为7÷＝15.
3．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．
答案　6,30,10
解析　设三种型号的轿车依次抽取x，y，z辆，
则有＝＝＝，
解得x＝6，y＝30，z＝10.
4．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为________．
答案　20
解析　样本中松树苗为4 000×＝4 000×＝20(棵)．
5．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
答案　12
解析　设抽取男运动员的人数为n，则＝，
解得n＝12.
1．用分层抽样从个体为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．
2．分层抽样是建立在简单随机抽样基础上的，由于它充分利用了已知信息，考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，因此它获取的样本更具代表性，在实用中更为广泛．解决分层抽样问题时，注意以下两个关系的应用：
(1)＝.
(2)总体中各层的容量比＝对应各层样本数之比．
一、填空题
1．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取________．
答案　3,6,12
解析　由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21×＝3,21×＝6,21×＝12.
2．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为________．
答案　100
解析　由题意得，＝，解得n＝100.
3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，则应在这三校抽取学生数分别为________．
答案　30,45,15
解析　抽样比是＝，则应在这三校分别抽取学生：×3 600＝30(人)，×5 400＝45(人)，×1 800＝15(人)．
4．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有________人．
答案　36
解析　设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x,3x，由题意可得3x－x＝12，x＝6，∴持“喜欢”态度的有6x＝36(人)．
5．某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，则应从小学中抽取________所学校，从中学中抽取________所学校．
答案　18　9
解析　先求出样本抽取的比例，再逐个求解．
150×＝150×＝18(所)，
75×＝9(所)．
6．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________人．
答案　10
解析　设超过45岁的职工应抽取x人，＝，x＝10.
7．某学校高一年级有x个学生，高二年级有y个学生，高三年级有z个学生．现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，其中高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则此学校共有高中学生______人．
答案　900
解析　高二年级被抽取45－20－10＝15(人)，
被抽取的比例为＝，∴x＝400，z＝200.
∴此学校共有高中学生900人．
8．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是________．
答案　9,7
解析　抽样比为＝，则一班和二班分别被抽取的人数是54×＝9,42×＝7.
9．学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的相关学生中抽取若干人进行调查，相关数据如表：
相关学生人数
抽取人数
高一年级
56
b
高二年级
a
3
高三年级
35
5
则抽取的总人数为________．
答案　16
10．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务的情况，记这项调查为②.则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是__________________．
答案　分层抽样，简单随机抽样
解析　由于甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分层抽样法．在丙地区中有20个特大型销售点，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样法．
11．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，则最适合的抽样方法是________．(填序号)
①简单随机抽样；
②先从中年人中剔除1人，再用分层抽样；
③先从老年人中剔除1人，再用分层抽样．
答案　③
解析　总人数为28＋54＋81＝163.样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样．若按36∶163取样，无法得到整解，故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162＝2∶9，则中年人抽取12人，青年人抽取18人，先从老年人中剔除1人，老年人抽取6人，组成36的样本．
二、解答题
12．某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3 000,4 000,8 000.若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150的样本，应该分别抽取多少件产品？
解　总体中的个体数N＝3 000＋4 000＋8 000＝15 000，样本容量n＝150，抽样比例为＝＝，所以应该在第1条流水线生产的产品中随机抽取3 000×＝30(件)产品，在第2条流水线生产的产品中随机抽取
4 000×＝40(件)产品，在第3条流水线生产的产品中随机抽取8 000×＝80(件)产品．
13．一批产品有一级品100个，二级品60个，三级品40个，采用分层抽样，从这批产品中抽取一个容量为20的样本．
解　分层抽样方法：因为样本容量与总体的个体数的比为20∶200＝1∶10，所以一、二、三级品中分别抽取产品的个数依次是100×，60×，40×，即10,6,4.将一级品的100个产品按00,01,02，…，99编号，将二级品的60个产品按00,01,02，…，59编号，将三级品的40个产品按00,01,02，…，39编号，采用随机数表法，分别抽取10个，6个，4个．这样可得容量为20的一个样本．
三、探究与拓展
14．(2017·盐城高二检测)某企业3月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类型
A
B
C
产品数量/件
1 300
样本容量
130
由于不小心，表格中A，C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．
答案　800
解析　抽样比为130∶1 300＝1∶10，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[(3 000－1 300)－100]×＝800(件)．
15．为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0＜m≤72≤n)．
(1)若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n；
(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授数的，求三所高校的教授的总人数．
解　(1)∵0＜m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，∴B高校中抽取2人，∴A高校中抽取1人，C高校中抽取3人，∴＝＝，解得m＝36，n＝108.
(2)∵高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授数的，∴(m＋n)＝72，解得m＋n＝108，
∴三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.
§2.2　总体分布的估计
2．2.1　频率分布表
2．2.2　频率分布直方图与折线图
学习目标　1.体会分布的意义和作用.2.学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据.3.能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计．
知识点一　频率分布表
思考　要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？
答案　分组，频数累计，计算频数和频率．
梳理　一般地，制作频率分布表的步骤如下：
(1)求全距，决定组数和组距，组距＝；
(2)分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
(3)登记频数，计算频率，列出频率分布表．
知识点二　频率分布直方图与频率分布折线图
(1)在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用小长方形的面积来表示，各小长方形的面积的总和等于1.
(2)将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，那么就得到频率分布折线图．
(3)当样本容量足够大时，组距足够小时，频率分布折线图就趋近于总体分布的密度曲线．
1．频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．(　√　)
2．频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数．(　×　)
3．频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.(　√　)
类型一　频率分布概念的理解
例1　一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在[10,40)上的频率为________．
答案　0.52
解析　由题意可知频数在[10,40)的有13＋24＋15＝52(个)，所以频率为＝0.52.
反思与感悟　频率分布的关键就是对样本数据进行分组，按照分组登记频数，计算频率，列出频率分布表．
跟踪训练1　容量为100的某个样本，数据拆分为10组，并填写频率分布表，若前七组频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最大的一组频率为________．
答案　0.12
解析　设剩下的三组中频率最大的一组的频率为x，则另两组的频率分别为x－0.05，x－0.1，而由频率和为1得0.79＋(x－0.05)＋(x－0.1)＋x＝1，解得x＝0.12.
类型二　频率分布直方图的绘制
例2　从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例．
解　(1)频率分布表如下：
成绩分组
频数
频率
[40,50)
2
0.04
[50,60)
3
0.06
[60,70)
10
0.20
[70,80)
15
0.30
[80,90)
12
0.24
[90,100]
8
0.16
合计
50
1.00
(2)频率分布直方图如图所示：
(3)成绩在[60,90)分的学生比例，即学生成绩在[60,90)分的频率为0.20＋0.30＋0.24＝0.74＝74%.所以估计成绩在[60,90)分的学生比例为74%.
反思与感悟　频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的，它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．
跟踪训练2　一个农技站为了考察某种大麦穗生长的分布情况，在一块试验田里抽取了100株麦穗，量得长度如下(单位：cm)：
6．5　6.4　6.7　5.8　5.9　5.9　5.2　4.0　5.4　4.6
5．8　5.5　6.0　6.5　5.1　6.5　5.3　5.9　5.5　5.8
6．2　5.4　5.0　5.0　6.8　6.0　5.0　5.7　6.0　5.5
6．8　6.0　6.3　5.5　5.0　6.3　5.2　6.0　7.0　6.4
6．4　5.8　5.9　5.7　6.8　6.6　6.0　6.4　5.7　7.4
6．0　5.4　6.5　6.0　6.8　5.8　6.3　6.0　6.3　5.6
5．3　6.4　5.7　6.7　6.2　5.6　6.0　6.7　6.7　6.0
5．6　6.2　6.1　5.3　6.2　6.8　6.6　4.7　5.7　5.7
5．8　5.3　7.0　6.0　6.0　5.9　5.4　6.0　5.2　6.0
6．3　5.7　6.8　6.1　4.5　5.6　6.3　6.0　5.8　6.3
根据上面的数据列出频率分布表，绘制出频率分布直方图，并估计在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗所占的百分比．
解　(1)求全距：7.4－4.0＝3.4.
(2)决定组距与组数：
若取组距为0.3，因为≈11.3，需分为12组，组数合适，所以取组距为0.3，组数为12.
(3)决定分点：
使分点比数据多一位小数，并且把第1小组的起点稍微减小一点，那么所分的12个小组可以是3.95～4.25,4.25～4.55,4.55～4.85，…，7.25～7.55.
(4)列频率分布表：
分组
频数
频率
[3.95,4.25)
1
0.01
[4.25,4.55)
1
0.01
[4.55,4.85)
2
0.02
[4.85,5.15)
5
0.05
[5.15,5.45)
11
0.11
[5.45,5.75)
15
0.15
[5.75,6.05)
28
0.28
[6.05,6.35)
13
0.13
[6.35,6.65)
11
0.11
[6.65,6.95)
10
0.10
[6.95,7.25)
2
0.02
[7.25,7.55]
1
0.01
合计
100
1.00
(5)绘制频率分布直方图如图．
从表中看到，样本数据落在5.75～6.35之间的频率是0.28＋0.13＝0.41，于是可以估计，在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗约占41%.
类型三　频率分布表及频率分布直方图的应用
例3　为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
解　(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为
＝0.08；又因为频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由图可估计该学校全体高一学生的达标率约为
×100%＝88%.
反思与感悟　在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.
跟踪训练3　在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
频率
[1.30,1.34)
4
[1.34,1.38)
25
[1.38,1.42)
30
[1.42,1.46)
29
[1.46,1.50)
10
[1.50,1.54]
2
合计
100
(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38,1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？
解　(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[1.30,1.34)
4
0.04
[1.34,1.38)
25
0.25
[1.38,1.42)
30
0.30
[1.42,1.46)
29
0.29
[1.46,1.50)
10
0.10
[1.50,1.54]
2
0.02
合计
100
1.00
频率分布直方图如图所示：
(2)纤度落在[1.38,1.50)的可能性即为纤度落在[1.38，1.50)的频率，即为0.3＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.
纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.
1．已知样本7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12,9,13,20，那么这组数据落在[8.5,11.5)内的频率为________．
答案　0.4
解析　样本的总数为20，数据落在[8.5,11.5)内的个数为8，故所求频率为＝0.4.
2．一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为，则第三组的频数为___________________________________．
答案　24
解析　因为频率＝，所以第二、四组的频数都为72×＝16.所以第三组的频数为72－2×8－2×16＝24.
3．统计某校1 000名学生的数学水平测试成绩，得到样本的频率分布直方图如图所示．若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是________．
答案　80%
解析　样本中及格的频率为
(0.025＋0.035＋0.010＋0.010)×10＝0.8＝80%，
由样本估计总体，得及格率是80%.
4．下列命题正确的是________．(填序号)
①频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数；
②频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1；
③频率分布直方图中各小矩形的高(平行于纵轴的边)表示频率与组距的比．
答案　②③
解析　在频率分布直方图中，横轴表示样本数据；纵轴表示.由于小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积等于相应各组的频率，因此各小矩形面积之和等于1.综上可知②③正确．
5．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是________．
答案　48
解析　因为第2小组的频数为12，且前3个小组的频率之比为1∶2∶3，
所以前3个小组的频数分别为6,12,18，共6＋12＋18＝36，第4,5两小组的频率和为5×0.037 5＋5×0.012 5＝5×0.05＝0.25，
所以前3个小组的频率和为1－0.25＝0.75，
所以抽取的学生总人数是＝48.
1．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布．
2．频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式，用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况．通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．
3．样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．
一、填空题
1．下列关于频率分布直方图的说法正确的是__________．(填序号)
①频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率；
②频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大；
③频率分布直方图能直观地表明样本数据的分布情况．
答案　②③
2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．
答案　200,20
解析　该地区中小学生总人数为
3 500＋2 000＋4 500＝10 000，
则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.
3．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为________．
答案　0.45
解析　由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，
所以样本数据落在区间[10,40)的频率为＝0.45.
4．某校为了了解高三学生的身体情况，抽取了100名女生的体重．将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在40～45 kg的人数是______．
答案　10
解析　由图可知频率＝×组距，知频率＝0.02×5＝0.1，所以0.1×100＝10.
5．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是________．
答案　140
解析　设所求人数为N，
则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140.
6．某路段检查站监控录像显示，在某段时间内有2 000辆车通过该站，现随机抽取其中的200辆进行车速分析，分析结果表示为如图所示的频率分布直方图．则图中a＝______，估计在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90 km/h的约有________辆．
答案　0.02　600
解析　因为组距为10，所以直方图中5组的频率分别为0.1、10a、0.4、0.25和0.05，由和为1可得a＝0.02.不小于90 km/h的汽车所占的频率为0.25＋0.05＝0.3，故约有汽车2 000×0.3＝600(辆)．
7．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n的值为______．
答案　60
解析　∵n·＝27，
∴n＝60.
8．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．
答案　480
解析　少于60分的学生人数为600×(0.05＋0.15)＝120，所以不少于60分的学生人数为480.
9．100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60,70)的汽车大约有________辆．
答案　40
解析　时速在[60,70)的汽车的频率为
0．04×(70－60)＝0.4，
又因为汽车的总辆数为100，
所以时速在[60,70)的汽车大约有0.4×100＝40(辆)．
10．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．
答案　9
解析　最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，所以样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18＝9.
11.某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为________．
答案　90
解析　∵样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，∴样本总数为＝120.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.
二、解答题
12．某制造商在今年3月份生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
10
[39.97,39.99)
20
[39.99,40.01)
50
[40.01,40.03]
20
合计
100
补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在上图中画出频率分布直方图．
解　频率分布表如下：
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
10
0.10
[39.97,39.99)
20
0.20
[39.99,40.01)
50
0.50
[40.01,40.03]
20
0.20
合计
100
1.00
频率分布直方图如图：
13．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
解　(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.
(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×＝20,30×＝40,20×＝25.
故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.
三、探究与拓展
14．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20 000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[1 500,2 000)(单位：元)内的应抽取________人．
答案　40
解析　月收入在[1 500,2 000)的频率为1－(0.000 2＋0.000 5×2＋0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人)．
15．为加强中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局将举办全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表解答下列问题：
分组
频数
频率
一
[60,70)
a
0.26
二
[70,80)
15
c
三
[80,90)
18
0.36
四
[90,100]
b
d
合计
50
e
(1)求a，b，c，d，e的值；
(2)作出频率分布直方图．
解　(1)根据题意，得分在[60,70)内的频数是a＝50×0.26＝13，在[90,100]内的频数是b＝50－13－15－18＝4，在[70,80)内的频率是c＝＝0.30，在[90,100]内的频率是d＝＝0.08，频率和e＝1.00.
(2)根据频率分布表作出频率分布直方图，如图所示．
§2.3　总体特征数的估计
2．3.1　平均数及其估计
学习目标　1.了解平均数为什么是“最理想”的近似值.2.会计算一组数据的平均数.3.会根据频率分布表或频率分布直方图估计平均数．
知识点一　平均数
思考　处理实验数据的原则是使近似值与实验数据越接近越好．但是实验数据往往很多，怎么刻画“最近”呢？
答案　设近似值为x，实验数据为ai(i＝1,2，…，n)，因为x－ai有正有负，故用(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2来刻画近似值与实验数据最接近．
梳理　(1)一般地，使(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a，最小的x＝称为这个n个数据a1，a2，…，an的平均数或均值．
(2)n个数据a1，a2，a3，…，an的平均数
＝.
知识点二　平均数的估计
思考　在频率分布表里，还能看到原始数据吗？怎样根据频率分布表计算平均数？
答案　在频率分布表里，已看不到原始数据，但可用各区间的组中值近似地表示．
梳理　一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
知识点三　总体特征数
1．总体特征数的定义
在数学中，通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数．
2．常见的总体特征数
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果数据的个数是偶数，则取中间两个数的平均数．
(3)平均数：n个数据x1，x2，x3，…，xn，则平均数＝.
1．中位数是一组数据中间的数．(　×　)
2．众数是一组数据中出现次数最多的数．(　√　)
3．如果在n个数据中，x1，x2，…，xn出现的频率分别为f1，f2，…，fn，则＝.(　×　)
类型一　平均数的计算
例1　一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：
178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185,180,184，问这个球队的队员平均身高是多少？(精确到1 cm)
解　方法一　利用平均数的公式计算．
＝×(178＋179＋181＋…＋180＋184)
＝×2 523≈180(cm)．
方法二　取a＝180，将上面各数据同时减去180，得到一组新数据：－2，－1,1,2，－4,3，－4,0,3，－5,1,5,0,4.
′＝×(－2－1＋1＋2－4＋3－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4)＝×3＝≈0.2，
∴＝′＋a＝0.2＋180≈180(cm)．
反思与感悟　(1)在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用“方法一”这个公式．
(2)当数据较大，且大部分数据在某一常数左、右波动时，“方法二”可以减少运算量，故此法比较简便．
跟踪训练1　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩(单位：m)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
求这些运动员成绩的平均数．
解　平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1)＝≈1.69(m)．
类型二　利用频率分布表或直方图估计平均数
例2　下面是某校学生日睡眠时间(单位：h)的抽样频率分布表，试估计该校学生的日平均睡眠时间.
睡眠时间
人数
频率
[6,6.5)
5
0.05
[6.5,7)
17
0.17
[7,7.5)
33
0.33
[7.5,8)
37
0.37
[8,8.5)
6
0.06
[8.5,9]
2
0.02
合计
100
1
解　方法一　总睡眠时间约为6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2＝739(h)．
故平均睡眠时间约为7.39 h.
方法二　求组中值与对应频率之积的和．
6．25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h)．
答　估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h.
反思与感悟　一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
跟踪训练2　一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图．试估计这个样本的平均数．
解　平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.
类型三　众数、中位数、平均数的简单应用
例3　某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：
职位
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5 500
5 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么？
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？
解　(1)公司职工月工资的平均数为
＝＝≈2 091(元)．
若把所有数据从大到小排序，则得到中位数是1 500元，众数是1 500元．
(2)若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为
＝
＝≈3 288(元)．
中位数是1 500元，众数是1 500元．
(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司职工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．
反思与感悟　如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．
跟踪训练3　今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表所示：(月均用水量的单位：吨)
月均用水量分组
频数
频率
[0.5,2.5)
12
[2.5,4.5)
[4.5,6.5)
40
[6.5,8.5)
0.18
[8.5,10.5]
6
合计
100
1
(1)请完成该频率分布表，并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图；
(2)估计样本的中位数是多少？
(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1 200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？
解　(1)频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如下：
月均用水量分组
频数
频率
[0.5,2.5)
12
0.12
[2.5,4.5)
24
0.24
[4.5,6.5)
40
0.40
[6.5,8.5)
18
0.18
[8.5,10.5]
6
0.06
合计
100
1
(2)设中位数为x，因为月均用水量在[0.5,4.5)内的频率是(0.06＋0.12)×2＝0.36，月均用水量在[0.5,6.5)内的频率是(0.06＋0.12＋0.20)×2＝0.76，
所以x∈[4.5,6.5)，则(x－4.5)×0.20＝0.5－0.36，
解得x＝5.2.
故样本的中位数是5.2.
(3)该乡每户月均用水量估计为
1．5×0.12＋3.5×0.24＋5.5×0.40＋7.5×0.18＋9.5×0.06＝5.14(吨)．
5．14×1 200＝6 168(吨)．
所以估计上级支援该乡的月调水量是6 168吨．
1．下列说法错误的是________．(填序号)
①在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体；
②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据；
③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势；
④众数是一组数据中出现次数最多的数．
答案　②
解析　平均数不大于最大值，不小于最小值．
2．下面是高一八班十位同学的数学测试成绩：82,91,73,84,98,99,101,118,98,110，则该组数据的中位数是________．
答案　98
解析　将这组数据按从小到大排列为73,82,84,91,98,98,99,101,110,118，则最中间的两个数为98,98，故中位数是(98＋98)＝98.
3．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x为________．
答案　21
解析　数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值＝22，所以x＝21.
4．某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是______分．
答案　85
解析　平均成绩为＝85(分)．
5．样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本频率分布直方图，则平均数为________．
答案　14.84
解析　平均数＝10×0.06＋12×0.1＋14×0.4＋16×0.24＋18×0.2＝14.84.
1．能反映总体某种特征的量称为总体特征数，如平均数，中位数，使总体特征数通常难以获得，故常以样本特征数估计总体特征数．
2．平均数是离差的平方和最小的近似值，计算器、计算机均有专门的程序，手工计算要细致，不要漏加或重复．
3．若数据xi的频率为pi(i＝1,2，…，n)，则＝ipi，该值公式可以用在频率分布表中估计平均数．
一、填空题
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数为________．
答案　87
解析　平均数是×(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75)＝87.
∴平均数是87.
2．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是________．
答案　5
解析　这组数据的众数为5，则5出现的次数最多，所以x＝5，那么这组数据从小到大排列为－3,5,5,7,11，则中位数为5.
3．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为________．
答案　c>b>a
解析　由题意a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7，
中位数为16，众数为18，即b＝16，c＝18，
所以c>b>a.
4．某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：
次品数
0
1
2
3
4
频率
0.5
0.2
0.05
0.2
0.05
则次品数的众数，平均数依次为________．
答案　0,1.1
解析　由于次品数为0的频率最大，所以众数为0；数据xi出现的频率为pi(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，xn的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.
5．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为________．
答案　－3
解析　少输入90，＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际的平均数等于－3.
6．有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：
[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5，18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5)，8,0.08.则估计总体的平均数为________．
答案　19.42
解析　由于每组数据是一个范围，所以可以用组中值近似地表示平均数．
方法一　总体的平均数约为(13.5×6＋15.5×16＋17.5×18＋19.5×22＋21.5×20＋23.5×10＋25.5×8)＝19.42.
故总体的平均数约为19.42.
方法二　组中值与对应频率积的和为13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.
故总体的平均数约为19.42.
7．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40,0.15,0.10,0.05.
则估计高一参赛学生的成绩的众数、中位数分别为________，________.
答案　65　65
解析　由图可知众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设中位数为60＋x，
则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，
∴中位数为60＋5＝65.
8．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为________．
答案　
解析　前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，样本平均数为10个数据的和除以10.
9．某商店的大米价格是3.00元/千克，面粉价格是3.60元/千克，大米与面粉的销量分别是1 000千克，500千克，则该商店出售的粮食的平均价格是______元/千克．
答案　3.20
解析　平均价格为(3.60×500＋3.00×1 000)＝1.20＋2.00＝3.20(元/千克)．
10．若有一个企业，70%的员工年收入1万，25%的员工年收入3万，5%的员工年收入11万，则该企业员工的年收入的平均数是________万，中位数是________万，众数是________万．
答案　2　1　1
解析　年收入的平均数是1×70%＋3×25%＋11×5%＝2(万)．中位数与众数都是1万．
11．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h，1 020 h，1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________ h.
答案　1 013
解析　依题意可知平均数
＝＝1 013(h)．
二、解答题
12．某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试，为了估计学生的成绩，从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：
100分12人，90分30人，80分18人，70分24人，60分12人，50分4人．
请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率(60或60分以上均属合格)．
解　平均分为
＝79.40(分)，
(12＋30＋18＋24＋12)÷100＝96%，
所以样本的平均分是79.40分，合格率是96%，由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分，合格率是96%.
13．某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．
解　该组数据的平均数为(10＋10＋x＋8)＝(28＋x)，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数．
(1)当x≤8时，原数据从小到大排序为x,8,10,10，中位数是9，由(28＋x)＝9，得x＝8，符合题意，此时中位数是9；
(2)当8＜x≤10时，原数据从小到大排序为8，x,10,10，中位数是(x＋10)，由(28＋x)＝(10＋x)，得x＝8，与8＜x≤10矛盾，舍去；
(3)当x＞10时，原数据从小到大排序为8,10,10，x，中位数是10，由(28＋x)＝10，得x＝12，符合题意，此时中位数是10.
综上所述，这组数据的中位数是9或10.
14．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
(3)估计居民月均用水量的中位数．
解　(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)
＝0.5×a＋0.5×a，
解得a＝0.30.
(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.
(3)设中位数为x吨．
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.
所以2≤x<2.5.
由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．
三、探究与拓展
15．高一·三班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．
(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？
(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
解　(1)这次测验全班平均分
＝(82×27＋80×21)≈81.13(分)．
(2)因为男同学的中位数是75，
所以至少有14人得分不超过75分．
又因为女同学的中位数是80，
所以至少有11人得分不超过80分．
所以全班至少有25人得分低于80分．
(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的得分两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．
16．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100)后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分．
解　(1)众数是最高小矩形底边中点的横坐标，∴众数为m＝75.
前三个小矩形面积为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4.
∵中位数平分直方图的面积，
∴n＝70＋×10≈73.3.
(2)依题意60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
∴抽样学生成绩的及格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
估计这次考试的平均分是71分．
2.3.2　方差与标准差
学习目标　1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差.2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征.3.体会用样本估计总体的思想．
知识点一　极差
(1)定义：一组数据的最大值与最小值的差．
(2)作用：极差较大，数据点较分散；极差较小，数据点较集中．
知识点二　方差、标准差
思考　若两名同学的两门学科的平均分都是80分，一名是两门均为80分，另一名是一门40分，一门120分，如何刻画这种差异？
答案　可以通过考察样本数据的分散程度的大小．
梳理　标准差与方差：
一般地，
(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝ .
(2)标准差的平方s2叫做方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．
(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为.
1．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．(　√　)
2．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(　√　)
3．一般来说，平均数越大，方差越大．(　×　)
类型一　标准差、方差的计算
例1　计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1)．
解　①＝90＋[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)]＝90＋×0＝90；
②计算xi－(i＝1,2，…，8)，得各数据为－1,3，－2,1,4,0，－2，－3；
③计算(xi－)2(i＝1,2，…，8)，得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9；
④计算方差：s2＝(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝＝5.5；
⑤计算标准差：s＝≈2.3.
所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.
反思与感悟　(1)标准差公式及变形要记忆牢固，运用熟练．(2)方差、标准差单位不一致，要注意区别．
跟踪训练1　已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？
解　方法一　∵＝＝3，∴x＝4.
由方差公式有：
s2＝[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，∴s＝.
方法二　∵＝＝3，∴x＝4，
由方差公式的变形形式有：
s2＝(12＋32＋22＋52＋42)－32＝2，∴s＝.
类型二　感受数据的离散程度
例2　分别计算下列四组样本数据的平均数、标准差，并画出条形图，说明它们的异同点．
(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；
(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；
(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；
(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.
解　平均数、标准差计算如下：
(1)＝5，s＝0.00.
(2)＝＝5，
s2＝[(4－5)2×3＋(5－5)2×3＋(6－5)2×3]，
s＝≈0.82.
(3)＝＝5，
s2＝[(3－5)2×2＋(4－5)2×2＋(5－5)2＋(6－5)2×2＋(7－5)2×2]，
s＝≈1.49.
(4)＝＝5，
s2＝[(2－5)2×4＋(5－5)2＋(8－5)2×4]
s＝≈2.83.
四组样本数据的条形图如下：
四组数据的平均数都是5，但数据的离散程度不一样，其中(1)最集中，(4)的离散程度最大．
反思与感悟　标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定．标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定．
跟踪训练2　有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7
试求出甲、乙两人本次射击的平均成绩， 并画出两人成绩的条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？
解　甲＝(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，
同理可得乙＝7.
条形图如下：
通过条形图直观地看，虽然平均数相同，还是有差异的．甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中．
类型三　标准差、方差的应用
例3　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
解　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
反思与感悟　(1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．
(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．
(3)若样本数据都相等，则s＝0.
(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．
跟踪训练3　某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上分别抽取7件产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：
甲：102　101　99　98　103　98　99
乙：110　115　90　85　75　115　110
试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定．
解　甲＝(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；
乙＝(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；
s＝[[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]
＝(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43；
s＝[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]
＝(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)≈228.57.
所以s＜s，故甲车间产品较稳定．
1．下列说法正确的是________．
①在两组数据中，平均数较大的一组方差较大；
②平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小；
③方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和；
④在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高．
答案　②
解析　①中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；③中求和后还需取平均数；④中方差越大，射击越不平稳，水平越低．
2．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
答案　16
解析　设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，
可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16.
3．若1,2,3，x的平均数是5，而1,3,3，x，y的平均数是6，则1,2,3，x，y的方差是________．
答案　24.56
解析　由5＝，得x＝14.同理y＝9.
由s2＝(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56.
4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
答案　(1)7　(2)2
解析　(1)＝(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)
＝＝7.
(2)s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.∴命中环数标准差为2.
5．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为________．
答案　2
解析　由题意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，
所以样本方差为s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．
3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案．

一、填空题
1．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为________．
答案　
解析　∵样本容量n＝5，
∴＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s＝ 
＝.
2．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是________．
①众数；②平均数；③中位数；④标准差．
答案　④
解析　对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．
3．一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，则此组数据的标准差是________．
答案　2
解析　∵一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，
∴2＋x＋4＋6＋10＝5×5，解得x＝3，
∴此组数据的方差s2＝×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]＝8，
∴此组数据的标准差s＝2.
4．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是________．
答案　62.8,3.6
解析　每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．
5．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．
答案　0.1
解析　＝＝5.1，
则该组数据的方差s2＝

＝0.1.
6．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．
答案　2
解析　甲＝(87＋91＋90＋89＋93)＝90，
乙＝(89＋90＋91＋88＋92)＝90，
s＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，
s＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.
7．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为________．
答案　18
解析　由题意得，＝108， ①
＝35.2， ②
由①②解得x＝99，y＝117，或x＝117，y＝99，
所以|x－y|＝18.
8．有一组数据：19,20，x,43，已知这组数据的平均数是整数，且20＜x＜28，则这组数据的平均数及方差分别为________，________.
答案　26　97.5
解析　∵(19＋20＋x＋43)为整数，不妨设为k，则x＝4k－82，
又∵20＜x＜28.即20＜4k－82＜28，
∴25＜k＜27，
∴k＝26，x＝22，
即方差s2＝[(19－26)2＋(20－26)2＋(22－26)2＋(43－26)2]＝97.5.
9．设一组数据x1，x2，…，xn的标准差为sx，另一组数据3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的标准差为sy，则sx与sy的关系为________________．
答案　sy＝3sx
解析　设x1，x2，…，xn的平均数为，
则3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的平均数为3＋a.
sy＝
＝
＝
＝＝3sx，
∴sy＝3sx.
10．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
答案　10
解析　设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知＝7，
(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，
五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，
由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.
由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6.
由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，
故最大值为10.
二、解答题
11．为了检验A，B两条网线从网络下载数据的稳定性，现选取一天内的10个不同的时间点，测得分别用A，B两条网线在同一网址下载同一文件所需要的时间(单位：s)如下表：
A
40.0
39.8
40.1
40.2
39.9
40.0
40.2
39.8
40.2
39.8
B
40.0
40.0
39.9
40.0
39.9
40.1
40.0
40.1
40.1
39.9
分别计算A，B两条网线在同一网址下载同一文件所用时间的标准差，并比较两者下载时间的稳定性．
解　从数据容易得到A，B两条网线在同一网址下载同一文件10次所需时间的平均数A＝B＝40(s)．
分别计算出它们下载10次所用时间的标准差：
sA＝≈0.161(s)，
sB＝≈0.077(s)．
由上面的计算可以看出：A，B两条网线在同一网址下载同一文件10次所需时间的平均数相同，而A网线下载时间的标准差为0.161 s，比B网线下载时间的标准差0.077 s大，说明B网线下载时间更稳定一些．
12．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：
74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.
(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；
(2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．
解　(1)这10个学生体重数据的平均数为＝×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.
这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，
∴这10个学生体重数据的中位数为＝71.5.
这10个学生体重数据的方差为
s2＝×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，
这10个学生体重数据的标准差为s＝＝.
(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为.
三、探究与拓展
13．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________．(从小到大排列)
答案　1,1,3,3
解析　假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，则　
∴
又s＝ 
＝
＝＝1，
∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2.
同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.
由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为方程(x－2)2＋(y－2)2＝2的解，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3.
14．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
　　　　统计量
组别　　　　
平均成绩
标准差
第一组
90
6
第二组
80
4
求全班学生的平均成绩和标准差．
解　设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1,2，…，20)，
第二组20名学生的成绩为yi(i＝1,2，…，20)，
依题意有＝(x1＋x2＋…＋x20)＝90，
＝(y1＋y2＋…＋y20)＝80，
故全班平均成绩为
(x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20)
＝(90×20＋80×20)＝85；
又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则
s＝(x＋x＋…＋x－202)，
s＝(y＋y＋…＋y－202)(此处，＝90，＝80)，
又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为(＝85)，故有
s2＝(x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋y－402)
＝(20s＋202＋20s＋202－402)
＝(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.
即s＝.
所以全班同学的平均成绩为85分，标准差为.
§2.4　线性回归方程
学习目标　1. 了解相关关系、线性相关的概念.2.会根据散点图判断数据是否具有相关关系.3.会求线性回归方程，并能根据线性回归方程做出合理判断．
知识点一　变量之间的两类关系
变量间的两类关系
函数关系
变量之间的关系可以用函数表示
相关关系
变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达
能用直线近似表示的相关关系叫线性相关关系
知识点二　散点图
1．散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫散点图．
2．利用散点图可以大致确定两个变量是不是有相关关系，以及相关性强弱．
知识点三　最小平方法及线性回归方程
思考　若散点大致分布在一条直线附近，如何确定这条直线比较合理？
答案　应该使散点整体上最接近这条直线．
梳理　线性回归方程：
能用直线方程＝bx＋a近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程．
最小平方法是一种求回归直线的方法，用这种方法求得的回归直线能使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．
给出一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，用最小平方法求得线性回归方程的系数a，b满足

上式还可以表示为

1．函数关系是一种确定关系，而相关关系是具有随机性的两个变量之间的关系．(　√　)
2．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可以是伴随关系．(　√　)
3．回归直线一定过样本点中心(，)．(　√　)
4．根据线性回归方程公式，任给一组数据，均可以求出线性回归方程，并可以预报．(　×　)
类型一　变量之间相关关系的判断
例1　在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？
(1)正方形边长与面积之间的关系；
(2)作文水平与课外阅读量之间的关系；
(3)人的身高与年龄之间的关系；
(4)降雪量与交通事故发生率之间的关系．
解　两变量之间的关系有：函数关系与带有随机性的相关关系．(1)正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．(2)作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．(3)人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．(4)降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系．
反思与感悟　如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么．
跟踪训练1　有下列关系：
①老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其横截面直径与高度之间的关系；
⑤学生与其学号之间的关系．
其中有相关关系的是________．(填序号)
答案　①③④
类型二　散点图及应用
例2　5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：
　　学生
成绩　　
A
B
C
D
E
数学成绩
80
75
70
65
60
物理成绩
70
66
68
64
62
判断它们是否具有线性相关关系．
解　以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．
由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．
反思与感悟　(1)判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
(2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．
跟踪训练2　下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．
答案　③
解析　散点图①中的点无规则的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中的点分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是在一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.
类型三　线性回归方程的求法及应用
例3　下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系．如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．
机动车辆数x/103辆
95
110
112
120
129
135
150
180
交通事故数y/103件
6.2
7.5
7.7
8.5
8.7
9.8
10.2
13
解　在直角坐标系中画出数据的散点图如图：
直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．
从而计算相应的数据之和：
i＝1 031，i＝71.6，
＝137 835，iyi＝9 611.7.
将它们代入公式计算得b≈0.077 4，a≈－1.024 1，
所以，所求线性回归方程为＝0.077 4x－1.024 1.
反思与感悟　对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，若呈直线形，再依系数a，b的计算公式，算出a，b.求a，b时，先计算平均数，；接着计算xi与yi的积，然后求∑xiyi及∑x；最后将结果代入公式求b；用a＝－b 求a.
跟踪训练3　下表数据是退水温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的变量x，y，其方差与x无关．
x(℃)
300
400
500
600
700
800
y(%)
40
50
55
60
67
70
(1)画出散点图；
(2)指出x，y是否线性相关；
(3)若线性相关，求y关于x的线性回归方程；
(4)估计退水温度是1 000℃时，黄酮延长性的情况．
解　(1)散点图如图：
(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关．
(3)列出下表并用科学计算器进行有关计算．
i
1
2
3
4
5
6
xi
300
400
500
600
700
800
yi
40
50
55
60
67
70
xiyi
12 000
20 000
27 500
36 000
46 900
56 000
x
90 000
160 000
250 000
360 000
490 000
640 000
＝550，＝57
＝1 990 000，xiyi＝198 400
于是可得
b＝＝≈0.058 9，
a＝－b＝57－0.058 9×550＝24.605.
因此所求的线性回归方程为＝0.058 9x＋24.605.
(4)将x＝1 000代入线性回归方程得
＝0.058 9×1 000＋24.605＝83.505，
即退水温度是1 000℃时，黄酮延长性大约是83.505%.
1．如图所示的五组数据(x，y)中，去掉__________后，剩下的4组数据相关性增强．
答案　(4,10)
解析　去除(4,10)后，其余四点大致分布在一条直线附近，相关性增强．
2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小平方法建立的线性回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是________．
①体重y与身高x具有函数间的关系；
②回归直线过(，)点；
③若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；
④若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg.
答案　①④
解析　体重与身高的关系不确定，不是函数关系．当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg.
3．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
若y与x线性相关，则y与x的线性回归方程＝bx＋a必过________．
答案　(1.5,4)
解析　∵＝＝1.5，＝＝4，
∴线性回归方程必过点(1.5,4)．
4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的线性回归方程为＝0.72x－58.2，张明同学(20岁)身高178 cm，他的体重应该在________kg左右．
答案　69.96
解析　用线性回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，
＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得线性回归方程＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元．
答案　65.5
解析　由题意可知＝3.5，＝42，
则42＝9.4×3.5＋a，a＝9.1，＝9.4×6＋9.1＝65.5.
1．求样本数据的回归方程，可按下列步骤进行：
第一步　计算平均数，.
第二步　求和iyi，.
第三步　计算b＝
＝，a＝－b.
第四步　写出回归方程＝bx＋a.
2．回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线附近．对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性．
3．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．
一、填空题
1．下列两个变量中具有相关关系的是________．(填写相应的序号)
①球的半径与体积；
②角的弧度数和它的正弦值；
③单产为常数时，土地面积和总产量；
④日照时间与水稻的亩产量．
答案　④
解析　球的半径r与体积V存在着函数关系V＝πr3 ；角的弧度数α和它的正弦值y存在着函数关系y＝sin α；单产为常数a公斤/亩，土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax；日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应填④.
2．下列有关线性回归方程的说法，不正确的是________．(填序号)
①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；
②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；
③线性回归方程最能代表观测值x、y之间的线性关系；
④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线．
答案　④
解析　只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线．
3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为＝60＋90x，下列判断正确的是________．(填序号)
①劳动生产率为1千元时，工资为50元；
②劳动生产率提高1千元时，工资提高150元；
③劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元；
④劳动生产率为1千元时，工资为90元．
答案　③
解析　因工人月工资与劳动生产率变化的线性回归方程为＝60＋90x，当x由a提高到a＋1时，2－1＝60＋90(a＋1)－60－90a＝90.
4．如图所示，表示两个变量不具有相关关系的有________．
答案　①④
解析　①是确定性函数关系；④中的点的分布没有任何规律可言，故x，y不具有相关关系．
5．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程为＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费额为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．
答案　87.5%
解析　设该地区人均工资收入为，则＝0.7＋2.1，
当＝10.5时，＝＝12.
×100%＝87.5%.
6．期中考试后，某校高一(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．
答案　20
解析　令两人的总成绩分别为x1，x2.
则对应的数学成绩估计为
1＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，
所以|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
7．给出两组数据x，y的对应值如下表，若已知x，y是线性相关的，且线性回归方程：＝a＋bx，经计算知：b＝－1.4，则a为________．
x
4
5
6
7
8
y
12
10
9
8
6
答案　17.4
解析　＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6，
＝(12＋10＋9＋8＋6)＝9.
a＝－b＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4.
8．某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元．
答案　12.1
解析　将x＝15代入＝0.8x＋0.1，得＝12.1.
9．在一定的限度范围内，若施化肥量x(单位：kg/公顷)与水稻产量y(单位：kg/公顷)的线性回归方程为＝5x＋250，当施化肥量为80kg/公顷时，预计水稻产量为______ kg/公顷．
答案　650
解析　把x＝80代入线性回归方程＝5x＋250，
得＝650.
10．某男数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
答案　185
解析　根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：
父亲的身高(x)
173
170
176
儿子的身高(y)
170
176
182
＝173，＝176，
∴b＝＝＝1，
a＝－b＝176－173＝3，
∴线性回归方程为＝x＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．
11．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h篮球的投篮命中率为________．
答案　0.5　0.53
解析　＝＝＝0.5，
＝＝3.由公式，得b＝0.01，
从而a＝－b＝0.5－0.01×3＝0.47.
所以线性回归方程为＝0.47＋0.01x.
所以当x＝6时，＝0.47＋0.01×6＝0.53.
二、解答题
12．某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)，对应数据如下：
x
3
5
2
8
9
12
y
4
6
3
9
12
14
求y对x的线性回归方程．(结果保留三位小数)
解　∵＝＝6.5，
＝＝8，
＝327，iyi＝396，
∴b＝≈1.143，a＝－b≈0.571，
∴线性回归方程为＝1.143x＋0.571.
13．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积x(m2)
115
110
80
135
105
销售价格y(万元)
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．(结果保留四位小数)
解　(1)数据对应的散点图如图所示．
(2)＝i＝109，＝i＝23.2，
＝60 975，iyi＝12 952.
设所求回归方程为＝bx＋a，
则b＝≈0.196 2，
a＝－b＝23.2－109×0.196 2≈1.814 2，
故所求回归方程为＝0.196 2x＋1.814 2.
回归直线见(1)图．
(3)由(2)可知，当x＝150时，销售价格的估计值为
＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．
三、探究与拓展
14．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归方程＝bx＋a，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是________．
①b>b′，a>a′；②b>b′，a③ba′；④b答案　③
解析　由已知得，b′＝2，a′＝－2.
由公式b＝求得，
b＝，a＝－b＝－×＝－，
∴ba′.
15．下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小平方法求出y关于x的回归方程＝bx＋a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
解　(1)散点图如图所示．
(2)＝＝4.5，＝＝3.5，
xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
x＝32＋42＋52＋62＝86，
∴b＝＝＝0.7，
a＝－b＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
∴所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)现在生产100吨甲产品用煤
＝0.7×100＋0.35＝70.35，
∴90－70.35＝19.65(吨标准煤)．
∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．
滚动训练一(§2.1～§2.4)
一、填空题
1．下列两个变量间的关系是相关关系的是________．
①电压一定时，电流与电阻；
②长方形的面积一定时，长与宽；
③正n边形的边数与内角之和；
④汽车的维修费用与行驶里程．
答案　④
解析　由变量间相关关系的概念可知，④正确．
2．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________．
答案　36
解析　根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×＝36.
3．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为________．
答案　36
解析　样本数据落在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据落在区间[10,12)内的频数为36.
4．我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣________人．
答案　108
解析　由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×＝300×＝108.
5．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为________．
答案　808
解析　四个社区抽取的总人数为12＋21＋25＋43＝101，由分层抽样可知，＝，解得N＝808.
6．某校高一、高二、高三分别有学生1 600名、1 200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为________．
答案　70
解析　先求出每层的抽样比，再进一步求解．
每层的抽样比为＝.
∴高一、高二共需抽取的学生数为(1 600＋1 200)×＝70.
7．将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m＝________.
答案　20
解析　由题意知第一组的频率为1－(0.15＋0.45)＝0.4，
∴＝0.4，∴m＝20.
8．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的数据，计算得回归方程为＝0.85x－0.25.由以上信息，可得表中c的值为________．
天数x
3
4
5
6
7
繁殖数量y(千个)
2.5
3
4
4.5
c
答案　6
解析　＝＝5，＝＝，代入回归方程中得＝0.85×5－0.25，
解得c＝6.
9．一组数据中的每一个数据都乘2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是________．
答案　40.6,1.1
解析　设原数据的平均数为，方差为s2，则新数据的平均数为2－80，方差为4s2，由题意得2－80＝1.2，＝40.6,4s2＝4.4，s2＝1.1.
10．下列关于线性回归的判断，正确的个数为________．
①若散点图中所有的点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的点A，B，C；
③已知线性回归方程＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
答案　3
解析　能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义，知只有按最小二乘法求得回归系数a，b，得到的直线＝bx＋a才是回归直线，所以①不对；②正确；将x＝25代入＝0.50x－0.81，解得＝11.69，所以③正确；④正确．
11．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
答案　30
解析　由题意知，＝，解得a＝30.
二、解答题
12．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图：
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
解　(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分．
甲＝＝13；
乙＝＝13，
s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4；
s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由s>s，可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
13．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，为样本平均数，线性回归方程也可写为＝bx＋a.
解　由题意知n＝10，＝i＝＝8，
＝i＝＝2，
b＝＝＝0.3，
a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3＞0)，故x与y之间正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为
y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
三、探究与拓展
14．若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5的标准差为__________．
答案　3s
解析　∵x1，x2，…，xn的平均数为，
∴3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5的平均数为3＋5，
s′2＝[(3x1＋5－3－5)2＋…＋(3xn＋5－3－5)2]
＝×32[(x1－)2＋…＋(xn－)2]＝9s2.
∴s′＝3s.
15．某公司过去五个月的广告费支出x(单元：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
▲
40
60
50
70
工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y对x呈线性相关关系，且回归方程为＝6.5x＋17.5，有下列说法：①销售额y与广告费支出x正相关；②丢失的数据(表中▲处)为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；④若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元．其中，正确说法的序号是________．
答案　①②
解析　由回归直线方程为＝6.5x＋17.5，可知b＝6.5，则销售额y与广告费支出x正相关，所以①正确；设丢失的数据为m，由表中的数据可得＝5，＝，把点
代入回归方程，可得＝6.5×5＋17.5，解得m＝30，所以②正确；该公司广告费支出每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以③不正确；若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为y＝6.5×8＋17.5＝69.5(万元)，所以④不正确．
章末复习
学习目标　1.会根据不同的特点选择适当的抽样方法获得样本数据.2.能利用图、表对样本数据进行整理分析，用样本和样本的数字特征估计总体的数字特征.3.能利用散点图对两个变量是否相关进行初步判断，能用线性回归方程进行预测．
1．抽样方法
(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法．
(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可用随机数表法．
(3)当总体由差异明显的几部分组成时，可用分层抽样法．
2．总体分布的估计
用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据作频率分布表与频率分布直方图．
3．总体特征数的估计
样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括极差、方差及标准差．
4．线性回归方程
(1)两个变量之间的相关关系的研究，通常先作变量的散点图，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系)．
(2)求回归方程的步骤：
①先把数据制成表，从表中计算出，，x，xiyi.
②计算a，b.公式为
③写出回归方程＝bx＋a.
1．简单随机抽样是不放回抽样．(　√　)
2．随机数表只有一张，并且读数时只能按照从左向右的顺序读取，否则产生的随机样本就不同了，对整体的估计就不准确了．(　×　)
3．一组数据一定存在众数，且不可能有两个众数．(　×　)
4．在频率分布直方图中，每个小组的频率等于相应小长方形的高度．(　×　)
类型一　抽样方法的应用
例1　某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，干事20人，上级机关为了了解机关人员对政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？
解　用分层抽样抽取．
∵20∶100＝1∶5，∴＝2，＝14，＝4，
即从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，干事中抽取4人．
∵副处级以上干部与干事人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部采用00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．
反思与感悟　二种抽样方法并非截然分开，有时你中有我，我中有你，它们都能保证个体被抽到的机会相等．
跟踪训练1　甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
答案　1 800
解析　分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件．
类型二　用样本的频率分布估计总体分布
例2　有1个容量为100的样本，数据(均为整数)的分组及各组的频数如下：
[12.5,15.5)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；
[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，10；
[30.5,33.5]，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计小于30的数据约占多大百分比．
解　(1)样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[12.5,15.5)
6
0.06
[15.5,18.5)
16
0.16
[18.5,21.5)
18
0.18
[21.5,24.5)
22
0.22
[24.5,27.5)
20
0.20
[27.5,30.5)
10
0.10
[30.5,33.5]
8
0.08
合　计
100
1.00
(2)频率分布直方图如图：
(3)小于30的数据占0.06＋0.16＋0.18＋0.22＋0.20＋0.10＝0.92＝92%.
反思与感悟　借助图表，可以把抽样获得的庞杂数据变得直观，凸显其中的规律，便于信息的提取和交流．
跟踪训练2　为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．
答案　54
解析　[4.7,4.8)之间频率为0.32，[4.6,4.7)之间频率为1－0.62－0.05－0.11＝1－0.78＝0.22.
∴a＝(0.22＋0.32)×100＝54.
类型三　用样本的数字特征估计总体的数字特征
例3　某公司的各层人员及工资数构成如下：
人员：经理1人，周工资22 000元；高层管理人员6人，周工资均为1 800元；高级技工5人，周工资均为1 500元；工人10人，周工资均为1 000元；学徒1人，周工资为500元．
(1)计算该公司员工周工资的众数、中位数、平均数；
(2)这个问题中，平均数能客观地反映这个公司的工资水平吗？
解　(1)众数为1 000，中位数为1 500，平均数为
≈2 209.
(2)虽然平均数为2 209，但由给出的数据可见，只有经理的周工资在平均数以上，其余的都在平均数以下，故用平均数不能客观地反映该公司的工资水平．
反思与感悟　样本的数字特征就像盲人摸到的象的某一局部特征，只有把它们结合起来才能看到全貌．
跟踪训练3　对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？
解　甲的平均成绩为甲＝74，乙的平均成绩为乙＝73.所以甲的平均成绩好．
甲的方差是s＝[(－14)2＋62＋(－4)2＋162＋(－4)2]＝104，乙的方差是s＝×[72＋(－13)2＋(－3)2＋72＋22]＝56.
因为s>s，所以乙的各门功课发展较平衡．
类型四　线性回归方程的应用
例4　某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少小时？
(注：b＝，a＝－b)
解　(1)散点图如图．
(2)由表中数据得：iyi＝52.5，
＝3.5，＝3.5，＝54，
∴b＝0.7，∴a＝1.05，
∴＝0.7x＋1.05，回归直线如图所示．
(3)将x＝10代入线性回归方程，得
＝0.7×10＋1.05＝8.05，
故预测加工10个零件约需要8.05小时．
反思与感悟　散点图经最小平方法量化为线性回归方程后，更便于操作(估计、预测)，但得到的值仍是估计值．
跟踪训练4　2017年元旦前夕，某市统计局统计了该市2016年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
年收入
x(万元)
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食支出y(万元)
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
(1)如果已知y与x成线性相关关系，求线性回归方程；
(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
(参考数据：xiyi＝117.7，x＝406)
解　(1)依题意可计算得：＝6，＝1.83，2＝36，
 ＝10.98，又∵xiyi＝117.7，x＝406，
∴b＝≈0.17，a＝－b≈0.81，
∴＝0.17x＋0.81.
∴所求的线性回归方程为＝0.17x＋0.81.
(2)当x＝9时，＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．
可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．
1．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
答案　15
解析　从高二年级中抽取的学生数与抽取学生总数的比为，所以应从高二年级抽取学生人数为50×＝15.
2．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为________________．
答案　＝x＋88
解析　由已知得＝176，＝176，利用公式可得a，b.
从而求出 ＝x＋88.
3．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如下表所示：
不喜欢戏剧
喜欢戏剧
男性青年观众
40
10
女性青年观众
40
60
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为________．
答案　30
解析　参与调查的总人数为150，由8∶n＝40∶150，
得n＝30.
4．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．
答案　50
解析　由频率分布直方图，得低于60分的频率为
(0.01＋0.005)×20＝0.3.
∴该班学生人数n＝＝50.
1．应用抽样方法抽取样本时，应注意以下几点：
用随机数表法抽样时，对个体所编的号码位数要相等．当问题所给位数不相等时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．
2．用样本的频率分布估计总体分布
利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计，有时也利用频率分布折线图对总体情况作出估计．直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式，这样根据样本的频率分布，我们可以大致估计出总体的分布．但是，当总体的个体数较多时，所需抽样的样本容量也不能太小，随着样本容量的增加，频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称
这条曲线为总体密度曲线，它能给我们提供更加精细的信息．
3．用样本的数字特征估计总体的数字特征
为了从整体上更好地把握总体的规律， 我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计．平均数就是所有样本数据的平均值，用表示；标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量，有时也用标准差的平方s2—方差来代替标准差，实质一样．
4．线性回归方程的应用
分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出线性回归方程，并利用线性回归方程进行估计和预测．
一、填空题
1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为，则m，n，的大小关系为________．(用“<”连接)
答案　n解析　由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m＝5.5；又5出现的次数最多，故n＝5；
＝≈5.97.故n2．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，已知3个区人口数之比为2∶3∶5，如果人口最多的一个区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为________．
答案　120
解析　由题意知，3个区人口数之比为2∶3∶5，第三个区所抽取的人口数最多，所占比例为50%.又因为第三个区抽取的人数为60，所以三个区所抽取的总人数为60÷50%＝120，即这个样本的容量为120.
3．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是________．
答案　2
解析　设这10个数为a1，a2，…，a10，则有a＋a＋…＋a＝200，且a1＋a2＋…＋a10＝40，
所以
＝
＝＝4，∴标准差为＝2.
4．如图所示是一次考试结果的频率分布直方图，则据此估计这次考试的平均分为________．
答案　75
解析　利用组中值估算平均分，则有＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.1＝75，故估计这次考试的平均分为75.
5．根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
0
0.5
－2.0
－3.0
得到的线性回归方程为＝bx＋a，则ab__________0.(填“>”“<”或“＝”)
答案　<
解析　作出散点图如下：由图象不难得出，回归直线＝bx＋a的斜率b＜0，截距a＞0.
6．某电子商务公司对10 000名网络购物者在2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．
答案　(1)3　(2)6 000
解析　由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.
所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
7．下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的是________．
答案　①②
解析　①错，众数可以有多个；②错，方差可以为0.
8．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为________________．
答案　＋100，s2
解析　据已知易得
＝＝＋100，
又s＝＝s2.
9．设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为________．
答案　1＋a,4
解析　因为＝1，yi＝xi＋a，
所以y1，y2，…，y10的平均数为1＋a，方差不变仍为4.
10．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.
答案　24
解析　由频率分布直方图可得树木底部周长小于100 cm的频率是(0.025＋0.015)×10＝0.4，又样本容量是60，所以频数是0.4×60＝24.
11．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是________．
答案　5
解析　x2－5x＋4＝0的两根是1,4.
当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4，
当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.
∴a＝1，b＝4.则方差s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
12．已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45(xi∈{1,5,7,13,19})，则＝________.
答案　58.5
解析　因为xi∈{1,5,7,13,19}，
所以＝(1＋5＋7＋13＋19)＝9，
又因线性回归方程＝1.5x＋45经过点(，)，
所以＝1.5×9＋45＝58.5.
二、解答题
13．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
解　(1)频率分布直方图如图．
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
三、探究与拓展
14．一般来说，一个人脚越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚长x与身高y进行测量，得如下数据(单位：cm)：
x
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
y
141
146
154
160
169
176
181
188
197
203
作出散点图后，发现散点在一条直线附近．经计算得到一些数据：
＝24.5，＝171.5，xiyi＝42 595，x＝6 085，
10＝42 017.5,102＝6 002.5.
某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长26.5 cm，请你估计案发嫌疑人的身高为______ cm.
答案　185.5
解析　由已知b＝
＝＝7，
a＝－b＝0，
故＝7x.
当x＝26.5时，＝185.5(cm)．
15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x/元
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y/件
90
84
83
80
75
68
(1)求线性回归方程＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解　(1)由于＝×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
所以a＝－b＝80＋20×8.5＝250，
从而线性回归方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1 000
＝－20(x－8.25)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
章末检测试卷
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是________．
答案　(2)(3)
解析　由散点图知(1)为函数关系，(4)不具有相关关系，故(2)(3)正确．
2．(2017·江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
答案　18
解析　∵＝＝，
∴应从丙种型号的产品中抽取×300＝18(件)．
3．一防疫站对学生进行身体健康调查，红星中学共有学生1 600名，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是________．
答案　760
解析　设该校的女生人数是x，则男生人数是1 600－x，抽样比是＝，
则x＝(1 600－x)－10，解得x＝760.
4．由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于－1，那么对于样本1，x1，－x2，x3，－x4，x5的中位数可以表示为________．
答案　(1＋x5)
解析　由题意把样本从小到大排序为x1，x3，x5,1，－x4，－x2，因此得中位数为(1＋x5)．
5．某校共有学生2 000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
答案　16
解析　依题意可知二年级的女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2 000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×＝16.
6．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师的人数为________.
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
答案　180
解析　由题意，得抽样比为＝，
∴该样本中的老年教师的人数为900×＝180.
7．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在[2 700,3 000)的频率为________．
答案　0.3
解析　频率＝×组距＝0.001×300＝0.3.
8．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
答案　0.030　3
解析　因为5个矩形面积之和为1，
即(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，
所以0.070×10＋10a＝1，所以a＝0.030.
由于三组内学生数的频率分别为0.3,0.2,0.1，
所以三组内学生的人数分别为30,20,10.
因此从[140,150]内选取的人数为×18＝3.
9．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝________.
答案　90
解析　由题意，得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.
10．甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数及其标准差s如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是______．
甲
乙
丙
丁

7
8
8
7
s
2.5
2.5
2.8
3
答案　乙
解析　平均数反映平均水平大小，标准差表明稳定性．标准差越小，稳定性越好．
11．某大学数学系共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为________．
答案　40
解析　应抽取三年级的学生人数为200×＝40.
12．对一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋c(i＝1,2,3，…，n)，其中c≠0，则下面结论中正确的是________．
①平均数与方差均不变；②平均数变了，而方差保持不变；③平均数不变，而方差变了；④平均数与方差均发生了变化．
答案　②
解析　设原来数据的平均数为，将它们改变为xi＋c后平均数为′，则′＝＋c，而方差s′2＝[(x1＋c－－c)2＋…＋(xn＋c－－c)2]＝s2.
13．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
答案　4
解析　由平均数为10，得
(x＋y＋10＋11＋9)×＝10，则x＋y＝20.
又方差为2，∴[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×＝2，得x2＋y2＝208,2xy＝192；
∴|x－y|＝＝＝4.
14．在某地区高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是________．(填序号)
①平均数≤3；②标准差s≤2；③平均数≤3且标准差s≤2；④平均数≤3，且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4.
答案　④⑤
解析　①②③不符合，④符合，若极差等于0或1，在≤3的条件下显然符合指标；若极差等于2且≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(ⅰ)0,2；(ⅱ)1,3；(ⅲ)2,4，符合指标．⑤符合，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间
第二车间
第三车间
女工
173
100
y
男工
177
x
z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？
解　(1)依题意有＝0.15，解得x＝150.
(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250，
∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400.
设应从第三车间抽取m名工人，则有＝，
解得m＝20，
∴应在第三车间抽取20名工人．
16．(14分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.
(1)求第四小组的频率；
(2)参加这次测试的学生有多少人；
(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．
解　(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为
1－0.1－0.3－0.4＝0.2.
(2)设参加这次测试的学生有x人，则0.1x＝5，
所以x＝50.即参加这次测试的学生有50人．
(3)达标率为(0.3＋0.4＋0.2)×100%＝90%，
所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.
17．(14分)一次科技知识竞赛，两组学生的成绩如下表(满分为100分).
分数(分)
50
60
70
80
90
100
人数(人)
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经计算得知两个组成绩的平均数都是80，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次，说明理由．
解　(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些．
(2)由表中数据可知，两组均有学生50人，所以s＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172.
s＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵s＜s，∴甲组的成绩比乙组的成绩好．
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80，其中，甲组成绩不低于80分的有33人，乙组成绩不低于80分的有26人，从这一角度来看甲组的成绩较好．
(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩不低于90分的有20人，乙组的成绩不低于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6，从这一些角度来看，乙组的成绩较好．
18．(16分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：
组别
频数
频率
[145.5,149.5)
8
0.16
[149.5,153.5)
6
0.12
[153.5,157.5)
14
0.28
[157.5,161.5)
10
0.20
[161.5,165.5)
8
0.16
[165.5,169.5]
m
n
合计
M
N
(1)求出表中字母m，n，M，N所对应的数值；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm范围内有多少人？
解　(1)由题意M＝＝50，
落在区间[165.5,169.5]内的数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，频率为n＝0.08，总频率N＝1.00.
(2)频率分布直方图如图．
(3)该校高一女生身高在[149.5,165.5)之间的比例为0.12＋0.28＋0.20＋0.16＝0.76，则该校高一女生在此范围内的人数为450×0.76＝342.
19．(16分)对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下表所示：
寿命/h
[100，200)
[200，300)
[300，400)
[400，500)
[500，600]
个数
20
30
80
40
30
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计电子元件的寿命在300 h以上的可能性是多少？
解　(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[100,200)
20
0.10
[200,300)
30
0.15
[300,400)
80
0.40
[400,500)
40
0.20
[500,600]
30
0.15
合计
200
1.00
(2)频率分布直方图如图所示．
(3)由频率分布表可知：电子元件寿命在300 h以上的频率为0.40＋0.20＋0.15＝0.75，故我们估计电子元件的寿命在300 h以上的可能性是0.75.
20．(16分)某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)已知两变量线性相关，求y关于t的回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝，a＝－b.
解　(1)由所给数据计算得
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
b＝＝＝0.5，
a＝－b＝4.3－0.5×4＝2.3，
故所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，b＝0.5＞0，故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年约增加0.5千元．
将2019年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，
得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．

§3.1　随机事件及其概率
学习目标　1.了解随机现象、随机事件、必然事件、不可能事件的概念.2.理解概率的含义以及频率与概率的区别与联系.3.能列举一些简单试验的所有可能结果．
知识点一　现象、试验、事件
1．现象
2．试验、事件：对于某个现象，让其条件实现1次，那么就是进行了1次试验．而试验的每一种可能的结果都是一个事件．
知识点二　随机事件
思考　抛掷一粒骰子，下列事件，在发生与否上有什么特点？
(1)向上一面的点数小于7；
(2)向上一面的点数为7；
(3)向上一面的点数为6.
答案　(1)必然发生；(2)必然不发生；(3)可能发生也可能不发生．
梳理　随机事件、确定事件的概念：
事件
知识点三　随机事件的概率
思考　抛掷一枚硬币10次，正面向上出现了3次，则在这10次试验中，正面向上的频数与频率分别是多少？能说一枚硬币抛一次正面向上的概率为吗？
答案　频数为3，频率为.不能说概率为.
梳理　随机事件的概率与性质
(1)概率的定义：一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．
(2)概率的性质：
①随机事件的概率范围为0≤P(A)≤1；
②必然事件和不可能事件分别用Ω和?表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.
1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.(　√　)
2．小概率事件就是不可能发生的事件．(　×　)
3．某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．(　×　)
4．频率的大小会随着试验次数的变化而变化，而概率则是常数．(　√　)
类型一　事件的分类与判断
例1　指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)从分别标有1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；
(2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；
(3)函数y＝logax(a＞0且a≠1)在其定义域内是增函数；
(4)平行于同一直线的两条直线平行；
(5)某同学竞选学生会主席成功．
解　(2)为不可能事件，(4)为必然事件，(1)(3)(5)为随机事件．
反思与感悟　事件的分类
事件类型
定义
举例
必然事件
在一定条件下，必然会发生的事件
在山顶上，抛一块石头，石头下落
不可能事件
在一定条件下，肯定不会发生的事件
在常温常压下，铁熔化
随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件
掷一枚硬币，出现正面向上
跟踪训练1　指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书．
解　(1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．
(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件．
(4)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件．
类型二　列举试验结果
例2　某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
解　(1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；
当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，
则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．
反思与感悟　在写试验结果时，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
跟踪训练2　袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球．
解　(1)条件为：从袋中任取1球，结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．
类型三　利用频率估计概率
例3　下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率．
试验序号
抛掷的次数n
正面朝上的次数m
“正面朝上”出现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
245
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
解　由fn(A)＝可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.
引申探究　
1．在本例条件不变的情况下，抛掷硬币30次，则“正面朝上”的次数大约有多少次？
解　∵“正面朝上”的概率为，
∴30×＝15，即“正面朝上”的次数约为15.
2．在本例条件不变的情况下，连续抛掷硬币两次，有没有可能连续两次“正面朝上”？有多大可能？
解　有可能连续两次“正面朝上”；连续两次“正面朝上”的可能性为×＝.
反思与感悟　(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
(2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
跟踪训练3　某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1 000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率
(1)计算并完成表格；
(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？
(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
解　(1)
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1 000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
(2)当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.
(3)获得铅笔的概率约是0.7.
1．下面给出了三个事件：
①明天天晴；
②在常温常压下，水沸腾；
③自由下落的物体做匀速直线运动．
其中随机事件为________．
答案　①
解析　由事件的定义可判断①是随机事件，②③是不可能事件．
2．下面五个事件：
①某地明年2月3日将下雪；
②函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；
③实数的绝对值不小于0；
④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；
⑤a，b∈R，则ab＝ba.
其中必然事件是________．
答案　③⑤
3．从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中，必然事件是________．
①3人都是男生； ②至少有1名男生；
③3人都是女生； ④至少有1名女生．
答案　②
解析　由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生．
4．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面向上，设反面向上为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________．
答案　52　0.52
解析　100次试验中，48次正面向上，则52次反面向上．又频率＝＝＝0.52.
5．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数
50
100
200
300
500
1 000
优等品数
40
92
192
285
478
954
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)该厂生产的电视机优等品的概率约为多少？
解　(1)抽样50台中优等品40台，
优等品的频率为＝0.8，
同理可求得其他的频率依次为：0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
(2)频率稳定在0.95附近，所以该厂生产的电视机优等品的概率约为0.95.
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
3.写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
一、填空题
1．下列事件中，随机事件的个数为________．
①在标准大气压下，水在0℃结冰；
②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；
③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m.
答案　1
解析　①是必然事件；②中，方程x2＋2x＋5＝0，Δ＝4－20＝－16<0，可知它不可能有两个不相等的实根，是不可能事件，仅③是随机事件．
2．下列事件中，随机事件的个数是________．
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；
②若a为整数，则a＋1为整数；
③发射一颗炮弹，命中目标；
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
答案　3
解析　当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然事件，其余3个均为随机事件．
3．下列说法中正确的是________．
①任一事件的概率总在(0,1)内；
②不可能事件的概率不一定为0；
③必然事件的概率一定为1.
答案　③
解析　任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率一定为0，必然事件的概率一定为1.
4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
答案　500
解析　设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验．
5．设某厂产品的次品率为2%，则该厂8 000件产品中合格品的件数约为________．
答案　7 840
解析　合格品的件数约为8 000－8 000×2%＝7 840.
6．在掷一颗骰子观察点数的试验中，若令A＝{2,4,6}，则用语言叙述事件A对应的含义为________．
答案　掷出的点数为偶数
7．某医院治疗一种疾病的治愈率为，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人被治愈的概率是________．
答案　
解析　每一个病人治愈与否都是随机事件，故第5个病人被治愈的概率仍为.
8．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面与两次均出现反面的概率比为________．
答案　3∶1
解析　将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：
(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．
至少出现一次正面有3种情形，两次均出现反面有1种情形，故答案为3∶1.
9．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
则落在桌面的数字不小于4的频率为________．
答案　0.35
解析　落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35，所以频率＝＝0.35.
10．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布如下表：
分组
[90，100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
频数
1
2
3
10
3
1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的________%.
答案　70
解析　计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率，来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例，实质上也是用频率估算概率．
由题意知＝0.7＝70%.
11．给出下列4个说法：
①现有一批产品，次品率为0.05，则从中选取200件，必有10件是次品；
②做100次抛掷一枚硬币的试验，结果有51次出现正面向上，因此，出现正面向上的概率是；
③抛掷一颗骰子100次，有18次出现1点，则出现1点的频率是；
④随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率．
其中正确的说法是________．(填序号)
答案　③
解析　次品率为0.05，即出现次品的概率(可能性)是0.05，所以200件产品中可能有10件是次品，并非“必有”，故①错；在100次具体的试验中，正面向上的次数与试验的总次数之比是频率，而不是概率，故②错；③显然正确；由概率的定义知，概率是频率的稳定值，频率在概率附近摆动，故随机事件的概率不一定等于该事件发生的频率，故④错．故正确的说法是③.
二、解答题
12．指出下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件．
①三角形的内角和是180°；
②方程x2＋3x＋8＝0有两个不等实根；
③若a>b，则a2>b2；
④掷一枚硬币，正面朝上；
⑤直线l的倾斜角是180°；
⑥射击运动员射击一次击中9环．
解　①是内角和定理，是必然事件；②方程的判别式Δ＝32－4×8＝9－32＝－23<0，方程没有实根，从而②是不可能事件；③a2－b2＝(a－b)(a＋b)，虽然a－b>0，但是a＋b的符号不能确定，从而③是随机事件；④掷一枚硬币，有两种结果，正面朝上和正面朝下，从而④是随机事件；⑤因为直线l的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，从而⑤是不可能事件；⑥中事件可能发生也可能不发生，是随机事件．故①是必然事件，②⑤是不可能事件，③④⑥是随机事件．
13．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数nA
2 883
4 970
6 994
8 892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的频率是否稳定在一个常数上？
解　(1)男婴出生的频率依次是：0.520 0,0.517 3，0.517 3，0.517 3.
(2)是，各个频率稳定在常数0.517 3上．
三、探究与拓展
14．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2 100
1 000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是________．
答案　
解析　由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，
所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为＝.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.
15．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：
直径
个数
直径
个数
6.881
6.9326
6.892
6.9415
6.9010
6.958
6.9117
6.962
6.9217
6.972
从这100个螺母中任意抽取一个，求：
(1)事件A(6.92(2)事件B(6.90(3)事件C(d>6.96)的频率；
(4)事件D(d≤6.89)的频率．
解　(1)事件A的频率f(A)＝＝0.43.
(2)事件B的频率
f(B)＝＝0.93.
(3)事件C的频率f(C)＝＝0.04.
(4)事件D的频率f(D)＝＝0.01.
§3.2　古典概型
学习目标　1.理解基本事件的概念并会罗列某一事件包含的所有基本事件.2.理解古典概型的概念及特点.3.会应用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．
知识点一　基本事件
思考　一枚硬币抛一次，可能出现的基本结果都有哪些？它们发生的可能性相同吗？
答案　正面向上，反面向上，它们发生的可能性相同．
梳理　(1)在1次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件．
(2)若在1次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．
知识点二　古典概型
1．古典概型的定义：
如果某概率模型具有以下两个特点：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件的发生都是等可能的．
那么我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概型．
2．古典概型的概率公式：
对于任何事件A，P(A)＝.
如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝.
1．古典概型是一种计算概率的重要模型．(　√　)
2．古典概型有两个重要条件：①基本事件是有限的．②基本事件的发生是等可能的．(　√　)
3．同时掷两枚骰子，则点数为5的概率问题可以看作古典概型．(　√　)
类型一　基本事件的计数问题
例1　一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个基本事件？
(2)2个都是白球包含几个基本事件？
解　方法一　(1)采用列举法．
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号)．
(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个基本事件．
方法二　(1)采用列表法．
设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．
列表如下：
a
b
c
d
e
a
(a，b)
(a，c)
(a，d)
(a，e)
b
(b，a)
(b，c)
(b，d)
(b，e)
c
(c，a)
(c，b)
(c，d)
(c，e)
d
(d，a)
(d，b)
(d，c)
(d，e)
e
(e，a)
(e，b)
(e，c)
(e，d)
由于每次取2个球，因此每次所得的2个球不相同，而事件(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．
(2)“2个都是白球”包含(a，b)，(b，c)，(c，a)三个基本事件．
反思与感悟　(1)求基本事件的基本方法是列举法．
基本事件具有以下特点：①不可能再分为更小的随机事件；②两个基本事件不可能同时发生．
(2)当基本事件个数较多时还可应用列表法或树形图法求解．
跟踪训练1　做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于8”；
(3)事件“出现点数相等”；
(4)事件“出现点数之和等于7”．
解　(1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．
(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．
类型二　古典概型概率的计算
例2　从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)事件A＝{三个数字中不含1和5 }；
(2)事件B＝{三个数字中含1或5}．
解　这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n＝10.
(1)因为事件A＝{(2,3,4)}，
所以事件A包含的事件数m＝1.
所以P(A)＝＝.
(2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，
所以事件B包含的基本事件数m＝9.
所以P(B)＝＝.
反思与感悟　解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出．
跟踪训练2　从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解　每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)和(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，事件A由4个基本事件组成，因而P(A)＝＝.
类型三　较复杂的古典概型的概率计算
例3　有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时，
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．
解　将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝.
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝＝.
(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝＝.
反思与感悟　(1)当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树形图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树形图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．
(2)在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出基本事件的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．
跟踪训练3　随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天，则
(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？
(2)甲在乙之前的安排方法有多少种？
(3)甲安排在乙之前的概率是多少？
解　(1)作树形图，如图所示．
故不同的安排方法共有6种．
(2)由树形图，得甲在乙之前的安排方法有3种．
(3)设事件A为“甲安排在乙之前”，由古典概型的概率公式，得甲安排在乙之前的概率为P(A)＝＝.
1．某高二年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只能选报其中的2个，则基本事件共有______个．
答案　3
解析　基本事件有：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)共3个．
2．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为________．
答案　
解析　所有的基本事件有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8个，仅有2次出现正面向上的有(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个，则所求概率为.
3．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为________．
答案　
解析　用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有：(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有：(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝＝.
4．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是________．
答案　
解析　用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除的概率为.
5．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．
求：(1)甲被选中的概率；(2)丙丁被选中的概率．
解　(1)记甲被选中为事件A，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6个，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁，共3个，则P(A)＝＝.
(2)记丙丁被选中为事件B，由(1)知，基本事件共6个，又因丙丁被选中只有1种情况，所以P(B)＝.
1．基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，试验中的事件A可以是基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的．
2．有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P(A)＝事件A所包含的等可能基本事件的个数÷等可能基本事件的总数，只对古典概型适用．
3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是枚举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．
一、填空题
1．下列事件是古典概型的是________．(填序号)
①任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时；
②求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时；
③从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率；
④抛掷一枚均匀硬币直到首次出现正面为止．
答案　③
解析　①中由于点数的和出现的可能性不相等，故①不是；②中的基本事件是无限的，故②不是；③满足古典概型的有限性和等可能性，故③是；④中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故④不是．
2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________．
答案　
解析　从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，
甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝.
3．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是________．
答案　
解析　设取出两件产品全是正品为事件A，设三件正品的编号分别为a，b，c，一件次品的编号为d，则基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6个，事件A包含的基本事件为ab，ac，bc，共3个．
因此P(A)＝＝.
4．一袋中装有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，现从中有放回地每次取一个球，共取2次，记“取得两个球的编号和大于或等于6”为事件A，则P(A)＝________.
答案　
解析　基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，事件A包括(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)这6个基本事件，
所以P(A)＝＝.
5．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
答案　
解析　从5个数中任意取出两个不同的数，有10种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4)，(2,3)，共有2种，所以取出的两数之和等于5的概率为＝.
6．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________．
答案　
解析　设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个．
两球颜色为一白一黑的基本事件有：(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．
所以其概率为＝.
7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．
答案　
解析　设所取的数中b>a为事件A，如果把选出的数a，b写成一数对(a，b)的形式，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共15个，事件A包含的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝＝.
8．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆x2＋y2＝9内的概率为________．
答案　
解析　掷骰子共有6×6＝36(种)可能情况，而落在x2＋y2＝9内的情况有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种，故所求概率P＝＝.
9．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________．
答案　
解析　用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc,2名都是女同学的选法为ab，ac，bc，故所求的概率为＝.
10．从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两个数，两个数都是奇数的概率是________．
答案　
解析　基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，而两个数都是奇数的有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个．
故所求概率P＝.
11．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
答案　
解析　所有基本事件的个数为6×6＝36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或满足log2xy＝1，故事件“log2xy＝1”包含3个基本事件，所以所求的概率为P＝＝.
二、解答题
12．从A，B，C，D，E，F 6名学生中选出4名参加数学竞赛．
(1)写出这个试验的所有基本事件；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出试验“A没被选中”所包含的基本事件．
解　(1)这个试验的所有基本事件如下：
(A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F)，(A，B，D，E)，(A，B，D，F)，(A，B，E，F)，(A，C，D，E)，(A，C，D，F)，(A，C，E，F)，(A，D，E，F)，(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)．
(2)从6名学生中选出4名参加数学竞赛，共有15种可能情况，即基本事件的总数为15.
(3)“A没被选中”包含下列5个基本事件：(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)．
13．某学校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加某项活动的志愿服务工作．
(1)求选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；
(2)求选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率．
解　把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4；2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.从6名同学中任选两名的所有可能结果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．
(1)从6名同学中任选两名，都是书法比赛一等奖的所有可能结果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．
所以选出的两名志愿者都是书法比赛一等奖的概率是
P1＝＝.
(2)从6名同学中任选两名，一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的所有可能结果如下： (1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个．
所以选出的两名志愿者一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的概率是P2＝.
三、探究与拓展
14．一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是________．
答案　
解析　基本事件共有36个．因为方程有实根，所以Δ＝(m＋n)2－16≥0.所以m＋n≥4，其对立事件是m＋n＜4，其中有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件．
所以所求概率为1－＝.
15．某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
解　(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
§3.4　互斥事件
学习目标　1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系.2.掌握互斥事件的概率加法计算公式．
知识点一　互斥事件
思考　一枚骰子掷一次，记事件A：点数大于4；事件B：点数小于3，则事件A，B在一次试验中能同时发生吗？
答案　不能．
梳理　互斥事件的概念：
不能同时发生的两个事件称为互斥事件．
知识点二　事件A＋B
思考　一枚骰子掷一次，A：点数为奇数；事件B：点数大于3，则A，B至少有一个发生包含哪些基本事件？
答案　A，B至少有一个发生包含点数为1,3,4,5,6.
梳理　一般地，事件“A，B至少有一个发生”记为A＋B.如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
知识点三　对立事件
对立事件及其概率公式：
如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件A的对立事件记为，对立事件概率公式P()＝1－P(A)．
1．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(　×　)
2．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(　√　)
3．若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(　√　)
类型一　互斥、对立的判定
例1　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
解　(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
反思与感悟　(1)要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．
(2)考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．
跟踪训练1　判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．
解　(1)是互斥事件．
理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．
(2)不是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果；“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．
(3)不是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．
(4)是互斥事件，也是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．
类型二　互斥、对立事件的概率公式
例2　如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是，取到方块(事件B)的概率是，问：
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？
解　(1)因为C＝A＋B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，根据概率的加法公式得P(C)＝P(A)＋P(B)＝.
(2)事件C与事件D互斥，且C＋D为必然事件，因此事件C与事件D是对立事件，P(D)＝1－P(C)＝.
反思与感悟　(1)只有当A，B互斥时，公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立．
(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求解．
跟踪训练2　某人外出去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
解　(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，
所以P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，则
P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
类型三　概率公式的综合应用
例3　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.
因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P(N)＝1－P(A＋B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
反思与感悟　应用概率加法公式的注意事项
(1)首先判断两个事件是否彼此互斥．
(2)只有A，B为互斥事件，才能运用概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)计算和事件的概率．
(3)只有A，B为对立事件时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1.
跟踪训练3　从3名男生2名女生中任选2人参加志愿者活动，求：
(1)恰有一名女生的概率；
(2)至少有一名男生的概率．
解　记3名男生分别为a，b，c,2名女生分别为m，n，从中任选2人，基本事件构成全集为Ω＝{ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn}，
所以基本事件共有10个．
(1)设A＝{恰有1名女生}＝{am，an，bm，bn，cm，cn}，
所以P(A)＝＝.
(2)方法一　设B＝{至少有1名男生}＝{ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn}，所以P(B)＝.
方法二　设B＝{至少有1名男生}，
则＝{都是女生}＝{mn}，
所以P()＝，P(B)＝1－P()＝1－＝.
1．给出以下结论，其中正确命题的个数为________．
①互斥事件一定对立；
②对立事件一定互斥；
③互斥事件不一定对立；
④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；
⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．
答案　2
解析　对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；
又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；
只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，
∴⑤错．
2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为________．
答案　
解析　先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算．事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.
3．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是________．
答案　
解析　该子集恰是{a，b，c}的子集的概率为P＝1－＝.
4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是________．
①至少有一个红球与都是红球；
②至少有一个红球与都是白球；
③至少有一个红球与至少有一个白球；
④恰有一个红球与恰有两个红球．
答案　④
解析　①中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以①不符合题意；②中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以②不符合题意；③中，若取出的3个球是1个红球，2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以③不符合题意；④中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以④符合题意．
5．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．
解　设射中10环或7环的概率为P1，不够7环的概率为P2.
(1)P1＝0.21＋0.28＝0.49；
(2)P2＝1－0.21－0.23－0.25－0.28＝0.03.
1．互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生；(2)事件A不发生且事件B发生；(3)事件A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：(1)事件A发生事件B不发生；(2)事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．
2．当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
3．若事件A与B为对立事件，则A＋B为必然事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，于是有P(A)＝1－P(B)．
一、填空题
1．某家庭电话，打进电话响第一声时被接的概率是0.1，响第2声时被接的概率为0.2，响第3声时被接的概率是0.3，响第4声时被接的概率为0.3，则电话在响第5声前被接的概率为________．
答案　0.9
解析　P＝0.1＋0.2＋0.3＋0.3＝0.9.
2．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列几组事件互为互斥事件的为________．(填序号)
①“都是红球”与“至少一个红球”；
②“恰有两个红球”与“至少一个白球”；
③“至少一个白球”与“至多一个红球”；
④“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”．
答案　④
解析　①②中两个事件是包含与被包含关系，③中两事件有相同的基本事件．只有④，两个事件不可能同时发生，是互斥事件．
3．在掷骰子的游戏中，向上的数字是1或2的概率是______．
答案　
解析　事件“向上的数字是1”与事件“向上的数字是2”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的数字是1或2”的概率是＋＝.
4．已知直线Ax＋By＋1＝0.若A，B是从－3，－1,0,2,7这5个数中选取的不同的两个数，则直线的斜率小于0的概率为________．
答案　
解析　k＝－为小于0的数，则>0且B≠0.若“A，B同正”为事件M1，“A，B同负”为事件M2，则P(M1)＝＝，P(M2)＝＝.故所求概率P＝P(M1)＋P(M2)＝.
5．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是______．
答案　0.10
解析　射手命中圆环Ⅰ为事件A，命中圆环Ⅱ为事件B，命中圆环Ⅲ为事件C，不中靶为事件D，则A，B，C互斥，故射手中靶的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A＋B＋C)＝1－0.90＝0.10.
6．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
答案　
解析　由题意知摸出的2只球的颜色相同的概率为，故所求概率P＝1－＝.
7．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80分～89分的概率为0.51，在70～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，则小明数学考试及格的概率为________．(60分及以上为及格)
答案　0.93
解析　分别记小明的成绩“90分以上”，“在80分～89分”，“在70分～79分”，“在60分～69分”为事件A，B，C，D.这四个事件彼此互斥．
方法一　因为小明数学考试及格的概率是
P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
方法二　因为小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
8．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P






其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2018年空气质量达到良或优的概率为________．
答案　
解析　由于空气质量达到良或优包含污染指数T≤100，由互斥事件概率的加法公式，得该城市2018年空气质量达到良或优的概率为＋＋＝.
9．从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在[4.8,4.85](g)范围内的概率是________．
答案　0.02
解析　从羽毛球产品中任取一个，A＝{质量小于4.8 g}，B＝{质量在[4.8,4.85](g)}，C＝{质量小于4.85 g}，
P(A)＝0.3，P(C)＝0.32，
由P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，
得P(B)＝P(C)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.
10．已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________．
答案　0.2
解析　设“命中9环以上(含9环)”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“，命中6环以下(含6环)”为事件D，则D与A＋B＋C对立，已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，又∵A，B，C三个事件两两互斥，∴P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.8，
∴P(D)＝1－0.8＝0.2.
11．袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球，从袋中任意摸出一球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．
答案　0.32
解析　设从中摸出一球为红球、白球、黑球分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥，由题意得
P(A)＝＝0.45，P(B)＝0.23，
所以P(C)＝1－P(A)－P(B)
＝1－0.45－0.23＝0.32.
二、解答题
12．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
解　(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，D表示事件“赔付金额大于2 800元”．由题意知，A，B互斥且D＝A＋B.
由频率估计概率知，
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
13．(1)在一个袋子中放入3个白球，1个红球，摇匀后随机摸球，摸出的球不放回袋中，求第1次或第2次摸出红球的概率．
(2)在一个袋子中放入3个白球，1个红球，摇匀后随机摸球，摸出的球放回袋中连续摸2次，求第1次或第2次摸出的球都是红球的概率．
解　(1)记第1次摸到红球为事件A，第2次摸到红球为事件B.显然A，B为互斥事件，易知P(A)＝.
下面计算P(B)．
摸两次球可能出现的结果为：
(白1，白2)、(白1，白3)、(白1，红)、(白2，白1)、(白2，白3)、(白2，红)、(白3，白1)、(白3，白2)、(白3，红)、(红，白1)、(红，白2)、(红，白3)，
在这12种情况中，第二次摸到红球有3种情况，所以P(B)＝，故第1次或第2次摸到红球的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)把第1次，第2次摸球的结果列举出来，除了上题中列举的12种以外，由于放回，又会增加4种即(白1，白1)，(白2，白2)，(白3，白3)，(红，红)，这样共有16种摸法．
其中第1次摸出红球，第2次摸出不是红球的概率为
P1＝.
第1次摸出不是红球，第2次摸出是红球的概率为
P2＝.
两次都是红球的概率为P3＝.
所以第1次或第2次摸出红球的概率为
P＝P1＋P2＋P3＝.
三、探究与拓展
14．抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P(A＋B)＝________.
答案　
解析　将事件A＋B分成“出现1,2,3”和“出现5”这两个事件，记“出现1,2,3”为事件C，“出现5”为事件D，则C与D两个事件互斥，所以P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
15．把一颗骰子投掷两次，并把第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，试就方程组解答下列各题：
(1)求方程组有解的概率；
(2)求以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率．
解　(1)由题意知基本事件构成集合Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，基本事件总数n＝36，设A＝“方程组有解”，则＝“方程组无解”，若方程没有解，则＝，即b＝2a，
所以符合条件的数组为(1,2)，(2,4)，(3,6)，
所以P()＝＝，P(A)＝1－＝.
故方程组有解的概率为.
(2)由方程组
得
若b>2a，则有即a＝2,3,4,5,6，b＝4,5,6，符合条件的数组有(2,5)，(2,6)共2个，若b<2a，则有即b＝1,2，a＝1，符合条件的数组有(1,1)共1个，所以概率为P＝＝，即以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率为.
滚动训练二(§3.1～§3.4)
一、填空题
1．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.2，是不可能事件的概率为0.3，则这10个事件中随机事件的个数是________．
答案　5
解析　这10个事件中，必然事件的个数为10×0.2＝2，不可能事件的个数为10×0.3＝3.
而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为10.
故随机事件的个数为10－2－3＝5.
2．掷一枚骰子，出现偶数点或出现不小于4的点数的概率是________．
答案　
解析　对立事件为出现1点或3点，所以P＝1－＝.
3．一袋中装有大小相同，且编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为________．
答案　
解析　用(i，j)表示第一次取得球编号i，第二次取得球编号j的一个基本事件(i，j＝1,2,3，…8)，则所有基本事件的总数n＝64，其中取得两个球的编号和不小于15的基本事件有(7,8)，(8,7)，(8,8)共3种，故所求的概率P＝.
4．甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A，B两个不同的岗位，且每个岗位至少1人，则甲、乙两人被分到同一岗位的概率为________．
答案　
解析　所有可能的分配方式如下表：
A
甲、乙
甲、丙
乙、丙
甲
乙
丙
B
丙
乙
甲
乙、丙
甲、丙
甲、乙
共有6个基本事件，令事件M为“甲、乙两人被分到同一岗位”， 则事件M包含2个基本事件，所以P(M)＝＝.
5．从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________．
答案　
解析　从5个数字中不放回地任取两数，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．因为都为奇数的基本事件有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以P＝.
6．若A，B为对立事件，则P(AB)＝________.
答案　0
解析　A，B为对立事件，所以A，B同时发生的概率为0.故P(AB)＝0.
7．一枚硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝________.
答案　1
解析　事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
8．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．
答案　0.35
解析　∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，
∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为
P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
9．2017年暑假里，甲、乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是________．
答案　
解析　最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P＝＝.
10．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.
答案　7
解析　1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,1＋6＝7,2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7，2＋6＝8，…依次列出m的可能的值，知7出现次数最多．
11．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；
④恰有1个白球与都是黄球．
其中互斥而不对立的事件共有________组．
答案　1
解析　①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，故两个事件不是互斥事件；②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，故两个事件不互斥；③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”都是指有1个白球和1个黄球，故两个事件是同一事件；④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件．
二、解答题
12．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
解　从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为＋＝.
13．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校进行进一步数据分析：
a．列出所有可能的抽取结果；
b．求抽取的2所学校均为小学的概率．
解　(1)由分层抽样的定义知，
从小学中抽取的学校数目为6×＝3；
从中学中抽取的学校数目为6×＝2；
从大学中抽取的学校数目为6×＝1.
故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)a.在抽取的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
b．从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，所以P(B)＝＝.
三、探究与拓展
14．有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数．试写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；
(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件．
解　(1)这个试验的基本事件为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为
(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，
(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为
(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
15．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.
(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；
(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．
解　(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．
当z＝4时，(b，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，
所以P(z＝4)＝＝.
(2)①若方程一根为x＝1，则1－b－c＝0，
即b＋c＝1，不成立．
②若方程一根为x＝2，则4－2b－c＝0，
即2b＋c＝4，所以
③若方程一根为x＝3，则9－3b－c＝0，
即3b＋c＝9，所以
④若方程一根为x＝4，则16－4b－c＝0，
即4b＋c＝16，所以
由①②③④知(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，
所以方程为“漂亮方程”的概率为P＝.
章末复习
学习目标　1.了解频率与概率的关系.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能辨别古典概型，并能求相应概率．
1．频率与概率
大量重复试验中的频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．
2．求较复杂概率的常用方法
(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和．
(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
3．古典概型概率的计算
关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．
1．两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件．(　×　)
2．“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．(　×　)
3．事件和的概率等于其概率的和．(　×　)
类型一　频率与概率
例1　对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
解　(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
反思与感悟　概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．
跟踪训练1　某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
解　(1)由题意得击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．
(4)不一定．
类型二　互斥事件与对立事件
例2　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解　把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为
＋＝.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.
反思与感悟　在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．
跟踪训练2　现有8名2016年巴西奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
解　(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1被选中”这一事件，事件M由3×2＝6(个)基本事件组成，因而P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，事件由3个基本事件组成，所以P()＝＝，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.
类型三　古典概型
例3　海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解　(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1,150×＝3,100×＝2.
所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，
则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，
即这2件商品来自相同地区的概率为.
反思与感悟　求解古典概型概率的基本步骤
(1)判断事件是不是古典概型．
(2)列举出总的基本事件的各种情况或个数．
(3)计算出事件的概率．
跟踪训练3　从装有编号分别为a，b的2个黄球和编号分别为c，d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：
(1)第1次摸到黄球的概率；
(2)第2次摸到黄球的概率．
解　(1)第1次摸球有4个可能的结果：a，b，c，d，其中第1次摸到黄球的结果包括：a，b，故第1次摸到黄球的概率是＝.
(2)先后两次摸球有12种可能的结果：
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(c，a)，(c，b)，(c，d)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，其中第2次摸到黄球的结果包括：(a，b)，(b，a)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，故第2次摸到黄球的概率为＝.
1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是________事件．(填“互斥不对立”“对立不互斥”)
答案　互斥不对立
解析　根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
2．下列试验属于古典概型的有________．
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；
②在公交车站候车不超过10分钟的概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；
④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌．
答案　①
解析　古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等．
3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是________．
答案　
解析　基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共六个，甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为P＝＝.
4．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率为________．
答案　
解析　共有4个事件“甲、乙同住房间A，甲、乙同住房间B，甲住A乙住B，甲住B乙住A”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是.
5．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是________．
答案　
解析　三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27,28,29，共3个，故所求事件的概率为＝.
1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：
(1)本试验是不是等可能的？
(2)本试验的基本事件有多少个？
(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．
一、填空题
1．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的________．
答案　①②
解析　从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，基本事件为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑．除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立．②符合，理由同上．③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥．
2．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是________．
答案　
解析　把白球编号为1,3,5，黑球编号为2,4,6.从中任取2个，基本事件为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15个，其中至多一个黑球的事件有12个．由古典概型公式得P＝＝.
3．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3,4}，点P的坐标为(m，n)，m∈A，n∈B，则点P在直线x＋y＝6上方的概率为________．
答案　
解析　基本事件总数为25，
点P在直线x＋y＝6上方的个数为6，
∴P＝.
4．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为________．
答案　
解析　把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1、红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P＝＝.
5．在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为________．
答案　
解析　在三棱锥的六条棱中任意选择两条，所有的选法共有15种，其中，所选两条棱是一对异面直线的选法有3种，即三棱锥的3对对棱，故所求事件的概率为＝.
6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为______．
答案　
解析　共可组成10条线段，其中小于边长的有4条，故不小于边长的有6条，所以不小于边长的概率为.
7．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为________．
答案　
解析　从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.
8．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．
答案　
解析　基本事件有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个．其中有a的事件4个．
9．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，则两球颜色为一白一黑的概率为________．
答案　
解析　标记红球为A，白球分别为B1，B2，黑球分别为C1，C2，C3，记事件M为“取出的两球颜色为一白一黑”．则基本事件有：(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共15个．其中事件M包含的基本事件有：(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，共6个．根据古典概型的概率计算公式可得其概率为P(M)＝＝.
10．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
答案　
解析　基本事件共有36个．如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于10的有30个．故所求概率为P＝＝.
11．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．
答案　
解析　首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而由题意，得基本事件的总数为36.因此他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.
二、解答题
12．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解　由题意，得(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
(1)设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
13．某中学作为蓝色海洋教育特色学校，从该校随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩分组如下：第一组[65,70)，第二组[70,75)，第三组[75,80)，第四组[80,85)，第五组[85,90](假设考试成绩均在[65,90]内)，得到频率分布直方图如图：
(1)求测试成绩在[80,85)内的频率；
(2)从第三、四、五组同学中用分层抽样的方法抽取6名同学组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名同学中随机选取2名参加市里组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有一名同学被抽中的概率．
解　(1)测试成绩在[80,85)内的频率为
1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.
(2)第三组的人数为0.06×5×100＝30，
第四组的人数为0.2×100＝20，
第五组的人数为0.02×5×100＝10.
分层抽样抽取各组的人数为第三组3人，第四组2人，第五组1人．
设第三组抽到的3人为A1，A2，A3，
第四组抽到的2人为B1，B2，
第五组抽到的1人为C.
从这6名同学中随机抽取2名的可能情况有15种，如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)．
第四组至少有一名同学被抽中的可能情况有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共9种．
所以第四组至少有一名同学被抽中的概率为＝.
14．设a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，求函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[1,2]上有零点的概率．
解　由已知f′(x)＝3x2＋a>0，
所以f(x)在R上单调递增，若f(x)在[1,2]上有零点，
则需经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11对满足条件，而总的情况有16对，
故所求概率为.
三、探究与拓展
15．一个盒子里装有完全相同的四个小球，分别标上1,2,3,4这4个数字，现随机地抽取两个小球，若
(1)小球是不放回的；
(2)小球是有放回的．
求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
解　设事件A：两个小球上的数字为相邻整数，
则事件A包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共6个．
(1)不放回取球时，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12种．
故P(A)＝＝.
(2)有放回取球时，基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16种．
故P(A)＝＝.
16．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，小布袋中有3个黄色球和3个白色球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板，写道：摸球方法：从小布袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
(1)摸出的3个球为白球的概率是多少？
(2)摸出的3个球为2个黄球和1个白球的概率是多少？
(3)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱？
解　把3个黄色的球记为A，B，C,3个白色的球记为1,2,3.从6个球中随机摸出3个球的基本事件为：ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，A12，A13，A23，BC1，BC2，BC3，B12，B13，B23，C12，C13，C23,123，共20个．
(1)设事件E＝{摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P(E)＝.
(2)设事件F＝{摸出的3个球为2个黄球和1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，P(F)＝.
(3)设事件G＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P(G)＝＝，假定一天中有100人次摸球，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生10次，不发生90次，则一天可赚90×1－10×5＝40(元)，每月可赚40×30＝1 200(元)．
章末检测试卷
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．下列事件中，是随机事件的为________．(填序号)
①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．
答案　①②③
解析　①在明年的运动会上，张涛可能获冠军，也可能不获冠军；②李凯不一定被抽到；③任取一张不一定为1号签；④在标准大气压下，水在4 ℃时不可能结冰，故①②③是随机事件，④是不可能事件．
2．利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．
答案　
解析　总体个数为N，样本容量为M，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝.
3．先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是________．(填序号)
①“至少一枚硬币正面向上”；
②“只有一枚硬币正面向上”；
③“两枚硬币都是正面向上”；
④“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”．
答案　①
解析　抛掷2枚硬币出现的结果为正正，正反，反正，反反．故“至少一枚硬币正面向上”有3种结果．
4．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面向上的概率是________．
答案　
解析　投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为，它不因抛掷的次数而变化，因此抛掷一次正面向上的概率为，抛掷第999次正面向上的概率还是.
5．下列四个说法错误的是________．
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．
答案　②③④
解析　①正确；②当且仅当A与B互斥时才有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，②不正确；③P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1，所以③也不正确；④也不正确，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{红球或黄球}，事件B＝{黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＝，P(B)＝，P(A)＋P(B)＝1.
6．(2017·苏北四市一模)若随机地从1,2,3,4,5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为__________．
答案　
解析　从1,2,3,4,5五个数中选出两个数的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中一奇一偶的基本事件有6个，故所求事件的概率为P＝＝.
7．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
答案　
解析　设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b，则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．
因此2本数学书相邻的概率为P＝＝.
8．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他在一小时内的任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有________分钟的广告．
答案　6
解析　由题意知，某人在一小时内看节目时，看到广告的概率为1－＝，则该台每小时约有60×＝6(分钟)的广告．
9．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．
答案　
解析　抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种．
∴所求概率为＝.
10．若“A＋B”发生(A，B中至少有一个发生)的概率为0.6，则，同时发生的概率为________．
答案　0.4
解析　“A＋B”发生指A，B中至少有一个发生，它的对立事件为A，B都不发生，即，同时发生．
11．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
答案　120
解析　设男教师为n人，则女教师为(n＋12)人，
∴＝，∴n＝54，∴参加联欢会的教师共有120人．
12．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋发生的概率为________．( 表示B的对立事件)
答案　
解析　事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点数出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与是互斥的，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
13．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．
答案　
解析　从4种颜色的花种中任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，((红紫)，(黄白))，((黄白)，(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种种法，故所求概率为P＝＝.
14．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率为________．
答案　
解析　从编号为男1,2,3,4号和女5,6号的6个人中选3人的方法有
(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)，(4,5,6)，共20种．
所选3人都是男生的情况有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共4种，
故所选3人都是男生的概率为＝.
“所选3人中至少有1名女生”的对立事件为“所选3人都是男生”，故所求事件的概率为1－＝.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表(单位：人 )：
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
解　(1)记“该同学至少参加一个社团”为事件A，
则P(A)＝＝.
所以该同学至少参加一个社团的概率为.
(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基本事件有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共15个，其中A1被选中且B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，B3)共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为
P＝.
16．(14分)同时抛掷1角、5角和1元的三枚硬币，计算：
(1)恰有一枚出现正面的概率；
(2)至少有两枚出现正面的概率．
解　基本事件有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，正，正)，共8个．
(1)用A表示“恰有一枚出现正面”这一事件，
则A＝{(正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)}．
因此P(A)＝.
(2)用B表示“至少有两枚出现正面”这一事件，
则B＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)}，
因此P(B)＝＝.
17．(14分)某校举行运动会，高二·一班有男乒乓球运动员4名，女乒乓球运动员3名，现要选一男一女运动员组成混合双打组合代表本班参赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？
解　由于男生从4人中任意选取，女生从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男生为A，B，C，D，女生为1,2,3，我们可以用一个“数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：从男生中随机选取的是男生A，从女生中随机选取的是女生1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E.
女
结果
男
1
2
3
A
(A,1)
(A,2)
(A,3)
B
(B,1)
(B,2)
(B,3)
C
(C,1)
(C,2)
(C,3)
D
(D,1)
(D,2)
(D,3)
由上表可知，可能的结果总数是12个．设该国家一级运动员为编号1，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P(E)＝＝.
18．(16分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解　(1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)共5种情况，
所以P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13个，即(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为.
所以这种游戏规则不公平．
19．(16分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解　(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2 000.
则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得＝，即a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7个．
故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.0.
设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4,8.6，9.2，8.7,9.3,9.0，共6个，
所以P(D)＝＝，即所求概率为.
20．(16分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
解　先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，
∴＝1，整理得a2＋b2＝25.
由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4或a＝4，b＝3两种情况．
∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是＝.
(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，
∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝3时，b＝3,5，共2个基本事件；
当a＝4时，b＝4,5，共2个基本事件；
当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；
当a＝6时，b＝5,6，共2个基本事件；
∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14(个)．
∴三条线段能围成等腰三角形的概率为＝.