§1 从普查到抽样
学习目标 1.了解普查与抽样调查的概念.2.了解随机抽样的必要性和重要性.3.明确两种调查的优缺点．
知识点一 普查的概念
思考 根据你的理解，举例说明我国常进行的普查有哪些？
答案 人口普查、工业普查、农业普查．
梳理 (1)普查的定义
普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全面调查，目的是为了详细地了解某项重要的国情、国力．
(2)普查的主要特点
①所取得的资料更加全面、系统；
②主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量；
③当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．
知识点二 抽样调查
思考 要了解一批牛奶的质量是否达标，能用普查吗？
答案 检验具有破坏性，故不能普查．
梳理 (1)抽样调查的定义：通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查，其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．
(2)抽样调查最突出的优点
①迅速、及时；②节约人力、物力和财力．
知识点三 统计的相关概念
名称
定义
总体
调查对象的全体称为总体
样本
被抽取的一部分称为样本
个体
构成总体的每一个对象称为个体
样本容量
样本中个体的数目叫作样本容量
1．要了解一批节能灯的使用寿命，可以采用普查的方式．( × )
2．抽样调查在抽样时，通常按一定方法进行抽取．( √ )
3．普查获取的资料更加全面、系统，抽样调查更方便、快捷．( √ )
类型一 抽样调查与普查辨析
例1 下列调查中哪些是用普查方式，哪些是用抽样方法收集数据的？
(1)为了了解我们班级的每个学生穿几号鞋，向全班同学做调查；
(2)为了了解我们学校高一年级学生穿几号鞋，向我们所在班的全体同学做调查；
(3)为了了解我们班的同学们每天睡眠时间，在每个小组中各选取2名学生做调查；
(4)为了了解我们班的同学们每天的睡眠时间，选取班级中学号为双数的所有学生做调查．
解 (1)因为调查的是班级的每个学生，所以用的是普查．(2)通过我们班的全体同学穿几号鞋来了解学校高一年级学生穿几号鞋，这是抽样调查，样本是我们班的全体同学所穿的鞋号，总体是学校高一年级学生所穿的鞋号．(3)(4)也都是抽样调查，样本分别是每小组中选取的2名学生的睡眠时间，学号为双数的所有学生的睡眠时间；总体都是我们班的同学每天的睡眠时间．
反思与感悟 (1)在抽样调查中要注意的事项
①样本抽取具有随机性：即在抽取样本时总体的每个个体被抽到的可能性相等．
②样本抽取具有代表性：当总体数目较大且个体有明显差异时，要特别注意样本的代表性．
(2)普查与抽样调查的特点
方式
抽样调查
普查
特点
节省人力、物力和财力
需要大量的人力、物力和财力
可以用于带有破坏性的检查
不能用于带有破坏性的检查
结果与实际情况之间有误差
在操作正确的情况下，能得到准确结果
跟踪训练1 下列调查必须采用抽样调查的是( )
A．调查某城市今年7月份的温度变化情况
B．调查某一品牌5万瓶化妆品是否符合质量标准
C．调查我国所有城市中哪些是第一批沿海开放城市
D．了解全班50名学生100米短跑的成绩
答案 B
解析 B不能用普查．因为质量检验具有破坏性．
类型二 如何进行抽样调查
例2 为了缓解城市的交通拥堵情况，某市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查．某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果会怎样？
解 一个城市的交通状况的好坏将直接影响着生活在这个城市中的每个人，关系到每个人的利益．为了调查这个问题，在抽样时应当关注到各种人群，既要抽到拥有私家车的市民，也要抽到没有私家车的市民．调查时，如果只对拥有私家车的市民进行调查，结果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿．因此，在调查时，要对生活在该城市的所有市民进行随机地抽样调查，不要只关注到拥有私家车的市民．
反思与感悟 在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断．
跟踪训练2 为了创建“和谐平安”校园，某校决定在开学前将学校的电灯电路使用情况进行检查，以便排除安全隐患，此检查能否进行普查，为什么？
解 由于一个学校的电灯电路数目不算大，且对创建“和谐平安”校园来说，必须排除任一潜在或已存在的安全隐患，故必须用普查的方式．
类型三 总体与样本的概念
例3 为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量．下列说法正确的是( )
A．总体是240名 B．个体是每一个学生
C．样本是40名学生 D．样本容量是40
答案 D
解析 在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每个学生的身高，样本是40名学生的身高，样本容量是40.因此选D.
反思与感悟 解决此类问题要注意区分以下几个概念：
(1)总体：在抽样调查中，调查对象的全体称为总体．
(2)样本：被抽取的一部分称为样本．
(3)个体：构成总体的每一个元素称为个体．
(4)样本容量：样本中个体的个数称为样本容量．
(5)总体容量：总体中个体的个数称为总体容量．
跟踪训练3 从某年级500名学生中抽取60名学生进行身高的统计分析，下列说法正确的是( )
A．500名学生是总体
B．每个被抽查的学生是个体
C．抽取的60名学生的身高是一个样本
D．抽取的60名学生的身高是样本容量
答案 C
解析 本题抽取的是60名学生的身高，因此500名学生的身高是总体，每个学生的身高是个体，这60名学生的身高构成一个样本，样本的容量为60.
1．下列调查方式中，可用普查方式的是( )
A．调查某品牌电视机的市场占有率
B．调查某电视连续剧在全国的收视率
C．调查某校七年级一班的男女同学的比例
D．调查某型号炮弹的射程
答案 C
解析 选项C中调查对象的数目较少，适合采用普查方式．
2．下列说法不正确的是( )
A．普查是要对所有的对象进行调查
B．样本不一定是从总体中抽取的，没抽取的个体也是样本
C．当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，则要耗费大量的人力、物力和财力
D．普查不是在任何情况下都能实现的
答案 B
解析 样本必须是从总体中抽取的，没抽取的个体不是样本，故B说法不正确，而其他的都正确．
3．为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽测了其中100名同学的视力情况．在这个过程中，100名同学的视力情况(数据)是( )
A．总体 B．个体
C．总体的一个样本 D．样本容量
答案 C
解析 100名同学的视力情况(数据)是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，所以是总体的一个样本．
4．下列调查中属于抽样调查的是( )
①每隔5年进行一次人口普查；②某商品的质量优劣；③某报社对某个事情进行舆论调查；④高考考生的查体．
A．②③ B．①④
C．③④ D．①②
答案 A
解析 人口普查和高考考生的查体都属于普查，调查某商品的质量优劣和对某个事情进行舆论调查只能是抽样，没必要进行普查．故答案为A.
5．下列问题，适合抽样调查的是________．(填序号)
①调查黄河的水质情况；
②调查某化工厂周围8个村庄的水质是否受到污染；
③调查某药品生产厂家一批药品的质量情况；
④进行某一项民意测验．
答案 ①②③④
解析 ①因为无法对所有的黄河水质进行全面调查，所以只能采取抽样调查的方式；②也是抽样调查的方式；③对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查；④由于民意测验的特殊性，不可能也没必要对所有的人都进行调查，因此也是采用抽样调查的方式．
1．普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查．当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．
2．抽样调查是对部分对象的调查，适用于数量多的调查.
一、选择题
1．下列调查所抽取的样本具有代表性的是( )
A．利用某地七月份的日平均最高气温值估计该地全年的日平均最高气温
B．在农村调查市民的平均寿命
C．利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量
D．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验
答案 D
解析 A项中某地七月份的日平均最高气温值不能代表全年的日平均最高气温；B项中在农村调查得到的平均寿命不能代表市民的平均寿命；C项中实验田的产量与水稻的实际产量相差可能较大，只有D项正确．
2．若要调查某城市家庭的收入情况，在该问题中，总体是( )
A．某城市 B．某城市的所有家庭的收入
C．某城市的所有人口 D．某城市的工薪阶层
答案 B
解析 因为要调查的是某城市家庭的收入情况，所以总体是某城市的所有家庭的收入．
3．下列哪个问题不宜用普查( )
A．跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量
B．对你所在学校的学生最喜欢的体育活动情况的调查
C．某轮胎厂要对一个批次轮胎的寿命进行调查
D．对上海市常住人口家庭收入情况的调查
答案 C
4．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，则下列说法正确的是( )
A．500名学生是总体
B．每个被抽查的学生是个体
C．抽取的60名学生的体重是一个样本
D．抽取的60名学生的体重是样本容量
答案 C
解析 本题抽取的是60名学生的体重，因此500名学生的体重是总体，每个学生的体重是个体，这60名学生的体重构成一个样本，样本的容量为60.
5．为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是( )
A．1 000名运动员是总体
B．每个运动员是个体
C．抽取的100名运动员是样本
D．样本容量是100
答案 D
解析 此问题研究的是运动员的年龄情况，不是运动员，故A，B，C错，故选D.
6．对于下列调查：
①某商场对所进的一批盒装牛奶中三聚氰胺含量进行调查；
②入学报考者的学历调查；
③要了解高一·一班50名学生的身高．
其中不属于抽样调查的是( )
A．① B．②③ C．② D．①③
答案 B
7．为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是( )
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．个体指的是1 000名学生中的每一名学生
C．样本容量指的是1 000名学生
D．样本是指1 000名学生的数学升学考试成绩
答案 D
解析 因为是了解学生的数学成绩的情况，因此样本是指1 000名学生的数学成绩，而不是学生．
8．对于下列调查：
①测定海洋中微生物的含量；
②某种灯泡使用寿命的测定；
③电视台想知道某一个节目的收视率；
④银行在收进储户现金时想知道有没有假钞．
其中不属于抽样调查的是( )
A．①② B．③④
C．②③ D．④
答案 D
解析 银行在收进储户现金时要对钞票逐张检验，所以不是抽样调查．
二、填空题
9．(1)对某班学生视力做一个调查；
(2)某汽车生产厂要对所生产的某种品牌的轿车的抗碰撞情况进行检验；
(3)联合国教科文组织要对全世界适龄儿童的入学情况做一个调查．
对于上述3个实际问题所应选用的调查方法分别为__________、____________、_________.
答案 普查 抽样调查 抽样调查
10．某公司新上市一款MP4，为了调查产品在用户中受欢迎的情况，应采用____________．(填“普查”或“抽样调查”)
答案 抽样调查
11．为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案：
①测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；
②查阅有关外地180名男生身高的统计资料；
③在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关的年级(1)班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．
为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，则上述调查方案比较合理的是________．(填序号)
答案 ③
解析 ①中，少年体校的男子篮球、排球的运动员的身高一定高于一般情况，因此不能用测量的结果去估计总体的结果；②中，用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况；而③中的调查方案比较合理，能达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的．
12．一名交警在高速路上随机观测了6辆车的行驶速度，然后作出了一份报告，调查结果如下表：
车序号
1
2
3
4
5
6
速度(km/h)
66
65
71
54
69
58
(1)交警采取的是________调查方式；
(2)这次调查的样本是____________，个体是____________________．
答案 (1)抽样
(2)6辆车的行驶速度 每一辆车的行驶速度
解析 此种调查是抽样调查，调查的对象是车的行驶速度．
三、解答题
13．为了考察某地10 000名高一学生的体重情况，从中抽出了200名学生做调查．这里统计的总体、个体、样本、总体容量、样本容量各指什么？为什么我们一般要从总体中抽取一个样本，通过样本来研究总体？
解 统计的总体是指该地10 000名高一学生的体重；个体是指这10 000名学生中每一名学生的体重；样本指这10 000名学生中抽出的200名学生的体重；总体容量为10 000；样本容量为200.若对每一个个体逐一进行“调查”，有时费时、费力，有时根本无法实现，一个行之有效的办法就是在每一个个体被抽取的机会均等的前提下从总体中抽取部分个体，进行抽样调查．
四、探究与拓展
14．在一次竞选中，规定一个人获胜的条件是：
(1)在竞选中得票最多；
(2)得票数不低于总票数的一半．如果在计票时，周鹏得票数据丢失，试根据统计数据回答问题：
候选人
赵明
钱红
孙华
李丽
周鹏
得票数
300
100
30
60
x
请问如果周鹏获胜，那么周鹏的得票数x的最小值为________．
答案 490
解析 根据条件，如果周鹏获胜，周鹏的得票数x不低于总票数的一半，即
≥，解得x≥490，且x∈N，即周鹏得票数至少为490票．
15．儿童的喂养及辅食添加是影响儿童生长发育、身体健康的重要因素，喂养不当及辅食添加不正确，容易导致儿童贫血及其他疾病，影响儿童生长发育．为了了解农村儿童的喂养、辅食添加情况、发现存在的问题、确定儿童的喂养及辅食添加的促进措施，欲在该地农村进行一次农村3岁以下儿童的喂养、辅食添加情况和贫血相关因素的调查研究．请给出一个合理的调查方案．(该地区共10个县)
解 可采用如下抽样：先从该地区10个县中随机抽取4个县，再在随机抽取的各县中随机抽取5个乡(镇)，在随机抽取的乡(镇)中再随机抽取5个行政村，在被抽中的行政村中各抽取24户有3岁以下儿童的住户，在样本户的3岁以下儿童中随机抽取1名儿童．当抽样村符合要求的家庭不足24户时，将其全部调查，不够的户在邻村补齐(邻村是指距离最近的非抽样村)．(根据实际情况，也可有其他合理的抽样)
§2 抽样方法
学习目标 1.了解随机抽样的必要性和重要性.2.理解随机抽样的目的和基本要求.3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法的一般步骤.4.理解并掌握分层抽样，会用分层抽样从总体中抽取样本.5.理解两种抽样的区别与联系．
知识点一 简单随机抽样
思考1 从含有甲、乙的9件产品中随机抽取一件，总体内的各个个体被抽到的机会相同吗？为什么？甲被抽到的机会是多少？
答案 总体内的各个个体被抽到的机会是相同的．因为是从9件产品中随机抽取一件，这9件产品每件产品被抽到的机会都是，甲也是.
思考2 被抽取的样本总体的个数有限定条件吗？
答案 被抽取的样本总体的个数必须有限，便于分析．
梳理 (1)简单随机抽样的定义
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫作简单随机抽样．
(2)简单随机抽样必须具备的特点
①样本容量n小于等于总体容量N；
②简单随机抽样是一种逐个不放回的抽样；
③简单随机抽样的每个个体被抽到的可能性均为.
(3)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．
知识点二 抽签法和随机数法
1．抽签法
(1)抽签法的定义
先把总体中的N个个体编号，并把编号写在形状、大小相同的号签上，然后将这些号签放在同一个箱子中均匀搅拌后，每次随机地从中抽取一个号签，然后将号签均匀搅拌，再进行下一次抽取，如此下去，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本，这种方法称为抽签法．
(2)抽签法的一般步骤
①给调查对象群体中的每个对象编号；
②准备“抽签”的工具，实施“抽签”；
③对样品中每一个个体进行测量或调查．
(3)优缺点
优点：简单易行，适合总体个数不多的情况．
缺点：当总体容量非常大时，对个体编号工作量大，搅拌均匀较难，影响样本的代表性．
2．随机数法
(1)随机数法的定义
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样叫随机数法，这里仅介绍随机数表法．
(2)随机数表法的一般步骤
①编号：将总体中的个体以数字编号；
②选定开始的数字，为了保证所选定数字的随机性，应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置；
③获取样本号码，抽取样本．
(3)优缺点
优点：简单易行，它很好地解决了当总体中个体数较多时抽签法制签难的问题．
缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本容量也较大时，用随机数法抽取样本仍不方便．
知识点三 分层抽样
思考 分层抽样的总体具有什么特性？
答案 分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样．
梳理 (1)分层抽样的概念
将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．
(2)分层抽样的适用条件
分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
(3)分层抽样的实施步骤
第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)；
第二步，计算抽样比．抽样比＝；
第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比；
第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本；
第五步，综合每层抽样，组成样本．
知识点四 两种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；
(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样
从总体中逐个、不放回地抽取
总体中的个体数较少
分层抽样
将总体分成几层，在各层中按同一抽样比抽取
在各层抽样时，采用简单随机抽样
总体由差异明显的几部分组成
1．简单随机抽样也可以是有放回的抽样．( × )
2．简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等．( √ )
3．采用随机数表法抽取样本时，个体编号的位数必须相同．( √ )
4．分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样．( √ )
类型一 简单随机抽样的判断
例1 下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是( )
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中不放回地逐个抽出6个号签．
④箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里．
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．④不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样．综上，只有③是简单随机抽样．
反思与感悟 简单随机抽样必须具备下列特点
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；
(3)简单随机抽样是一种不放回抽样；
(4)简单随机抽样是一种等可能的抽样．
如果四个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．
跟踪训练1 在简单随机抽样中，某一个体被抽到的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些
B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一定
答案 B
解析 在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A，C，D不正确，B正确．
类型二 简单随机抽样等可能性应用
例2 一个布袋中有10个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________，第三次抽取时，剩余每个小球被抽到的可能性是________．
答案
解析 因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为，所以第一个空填.因为本题中的抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽到的可能性为，第二次抽取时，剩余9个小球，每个小球被抽到的可能性为，第三次抽取时，剩余8个小球，每个小球被抽到的可能性为.
反思与感悟 简单随机抽样，每次抽取时，总体中各个个体被抽到的概率相同，在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等．
跟踪训练2 从总体容量为N的一批零件中，抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为( )
A．120 B．200 C．150 D．100
答案 A
解析 因为从含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，每个个体被抽到的可能性为，所以＝0.25，从而有N＝120.故选A.
类型三 抽签法与随机数法
例3 某卫生单位为了支援抗震救灾，要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作，请用抽签法设计抽样方案．
解 方案如下：
第一步，将18名志愿者编号，号码为01,02,03，…，18.
第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．
第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀．
第四步，从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号．
第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员．
反思与感悟 一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．
跟踪训练3 从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．
解 第一步，将20架钢琴编号，号码是01,02，…，20.
第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．
第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．
第四步，从袋子中逐个不放回地抽取5个号签，并记录上面的编号．
第五步，与所得号码对应的5架钢琴就是要进行质量检查的对象．
例4 为了检验某种药品的副作用，从编号为1,2,3，…，120的服药者中用随机数法抽取10人作为样本，写出抽样过程．
解 第一步，将120名服药者重新进行编号，分别为001,002,003，…，120；
第二步，在随机数表(见教材P9表1－2)中任选一数作为初始数，如选第9行第6列的数1；
第三步，从选定的数1开始向右读，每次读取三位，凡不在001～120中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到111,024,042,019,058,005,002,054,115,062；
第四步，以上这10个号码所对应的服药者即是要抽取的对象．
反思与感悟 (1)当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本．
(2)用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数．
(3)将总体中的个体进行编号时，可以从0开始，也可以从1开始．
跟踪训练4 某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
解 方法一 (抽签法)将100件轴编号为1,2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，搅拌均匀，接着连续不放回地抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴的直径．
方法二 (随机数法)将100件轴编号为00,01，…，99，在随机数表(见教材P10表1－2续表)中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，向右选取10个为93,12,47,79,57,37,89,
18,45,50，这10件即为所要抽取的样本．
类型四 分层抽样及应用
例5 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________.
答案 13
解析 ∵＝，∴n＝13.
反思与感悟 分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用．
跟踪训练5 某单位有员工500人，其中35岁以下的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了调查员工的身体状况，要从中抽取一个容量为100的样本，如何进行抽取？
解 因为员工按年龄分为三个层，各层的身体状况有明显的差异，所以为了使样本具有代表性，需要采用分层抽样．抽样比为1∶5，即每5人中抽取一人．
35岁以下：125×＝25(人)，35岁～49岁：280×＝56(人)，50岁以上：95×＝19(人)．
例6 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程．
解 抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝.
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；
从教师中抽取112×＝14(人)；
从后勤人员中抽取32×＝4(人)．
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人．
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
反思与感悟 在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．
跟踪训练6 某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．
解 (1)由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样法抽取样本．
(2)确定每层抽取个体的人数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是
200×＝40；200×＝60；
200×＝100.
(3)在各层分别按简单随机抽样法抽取样本．
(4)综合每层抽样，组成容量为200的样本.
1．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)
答案 D
解析 选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误．
2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．抽签法
C．随机数法 D．分层抽样
答案 D
解析 从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层抽样．
3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808 C．1 212 D．2 012
答案 B
解析 根据分层抽样，得N×＝96，解得N＝808，故选B.
4．一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为________．
答案
解析 因为是简单随机抽样，故每个个体被抽到的机会相等，所以指定的某个个体被抽到的可能性为.
5．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
答案 60
解析 根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60.
1．简单随机抽样是一种简单、基本、不放回的抽样方法，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．
2．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量大时，费时、费力，并且标号的签不易搅拌均匀，这样会导致抽样不公平；随机数法的优点也是简单易行，缺点是当总体容量大时，编号不方便．两种方法只适合总体容量较少的抽样类型．
3．简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为，但要将每个个体入样的可能性与第n次抽取时每个个体入样的可能性区分开，避免在解题中出现错误．
4．总体容量小，简单随机抽样；总体差异明显，分层抽样．在实际抽样中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法．
一、选择题
1．某校有40个班，每班50人，要求每班随机选派3人参加“学生代表大会”．在这个问题中样本容量是( )
A．40 B．50 C．120 D．150
答案 C
解析 由于样本容量即样本的个数，故抽取的样本的个数为40×3＝120.
2．对于简单随机抽样，每个个体被抽到的机会( )
A．不相等 B．相等
C．不确定 D．与抽样次序有关
答案 B
解析 简单随机抽样中每一个个体被抽到的机会相等．
3．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取( )
A．12,6,3 B．12,3,6 C．3,6,12 D．3,12,6
答案 C
解析 由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21×＝3,21×＝6,21×＝12.
4．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.， B.， C.， D.，
答案 A
解析 简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等，都为.
5．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A．100 B．150 C．200 D．250
答案 A
解析 由题意得，＝，解得n＝100，故选A.
6．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B．07 C．02 D．01
答案 D
解析 从第1行的第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.
7．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于( )
A．80 B．160 C．200 D．280
答案 C
解析 由题意可知，＝0.2，解得n＝200.
8．从容量为160的总体中用随机数表法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号正确的是( )
A．1,2，…，160 B．0,1，…，159
C．00,01，…，159 D．000,001，…，159
答案 D
解析 总体中有160个个体，编号应为三位数．
9．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )
A．8 B．11 C．16 D．10
答案 A
解析 若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.
二、填空题
10．用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是________．
答案 0.2
解析 因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每个个体被抽到的可能性都为＝0.2.
11．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
答案 068
解析 由随机数表可以看出前4个样本的个体的编号是331,572,455,068.于是第4个样本个体的编号是068.
12．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比为2∶3∶5.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n＝________.
答案 80
解析 16÷＝80.
三、解答题
13．学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学．
解 第一步，将32名男生从0到31进行编号．
第二步，用相同的纸条制成32个号签，在每个号签上写上这些编号．
第三步，将写好的号签放在一个不透明的容器内摇匀，不放回地从中逐个抽出10个号签．
第四步，相应编号的男生参加合唱．
第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名，则此8名女生参加合唱．
四、探究与拓展
14．从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏．过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为( )
A. B．k＋m－n C. D．不能估计
答案 C
解析 设参加游戏的小孩有x人，则＝，x＝.
15．为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0＜m≤72≤n)．
(1)若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n；
(2)若高校B中抽取的教授总数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数．
解 (1)∵0＜m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，∴B高校中抽取2人，∴A高校中抽取1人，C高校中抽取3人，∴＝＝，解得m＝36，n＝108.
(2)∵高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授数的，
∴(m＋n)＝72，解得m＋n＝108，
∴三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.
§3 统计图表
学习目标 1.了解统计图表的作用与意义.2.掌握茎叶图的概念与应用.3.会利用合适的统计图表研究生活中的统计问题．
知识点一 统计图表的作用与意义
思考 通过抽样获得的原始数据有什么缺点？
答案 因为通过抽样获得的原始数据多而且杂乱，无法直接从中理解它们的含义，并提取信息，也不便于我们用它来传递信息．
梳理 数据分析的基本方法
(1)借助于图形
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此方法可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息．
(2)借助于表格
分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此方法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式．
知识点二 常见统计图的特征
1．统计图表的应用更利于对样本数据的分析和处理．( √ )
2．茎叶图由茎和叶两部分组成，能保留原始数据，并方便随时添加记录数据．( √ )
3．扇形统计图表示的是比例，条形统计图不表示比例．( × )
类型一 条形统计图与扇形统计图
例1 某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
解 (1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)．
即该校对50名学生进行了抽样调查．
(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，
×100%＝36%.
即最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%.
(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，
200÷20%＝1 000(人)，
×1 000＝160(人)．
即估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．
反思与感悟 (1)条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的矩形条，然后把这些矩形条按照一定的顺序排列起来．其特点是便于看出和比较各种数量的多少，即条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
(2)扇形统计图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各部分所占总数的百分数．总之，用统计图来表示数量关系更生动形象、具体，使人一目了然．
跟踪训练1 (1)某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图(如图所示)，那么参加羽毛球活动的人数的频率是________．
答案 0.1
解析 参加羽毛球活动的人数是4，则频率是＝0.1.
(2)如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为( )
A．250 B．150
C．400 D．300
答案 A
解析 甲组人数是120，占30%，则总人数是＝400.则乙组人数是400×7.5%＝30，则丙、丁两组人数和为400－120－30＝250.
类型二 折线统计图
例2 如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位：℃)的扇形统计图．
解 该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最低气温(℃)
－3
－2
0
－1
1
2
0
－1
2
2
其中最低气温为－3 ℃的有1天，占10%，最低气温为－2 ℃的有1天，占10%，最低气温为－1℃的有2天，占20%，最低气温为0℃的有2天，占20%，最低气温为1℃的有1天，占10%，最低气温为2℃的有3天，占30%，扇形统计图如图所示．
引申探究
若本例中条件不变，绘制该市3月1日到3月10日最低气温(单位：℃)的条形统计图．
解 该城市3月1日到3月10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最低气温(℃)
－3
－2
0
－1
1
2
0
－1
2
2
其中最低气温为－3℃的有1天，最低气温为－2℃的有1天，最低气温为－1℃的有2天，最低气温为0℃的有2天，最低气温为1℃的有1天，最低气温为2℃的有3天．条形统计图如图所示．
反思与感悟 在绘制折线统计图时，可以先整理和观察数据统计表，建立直角坐标系，用两坐标轴上的点分别表示数据，再描出数据的相应点，顺次连接相邻的点，得到一条折线．特别注意，画折线统计图时，横轴、纵轴表示的实际含义要标明确．
跟踪训练2 (1)如图是某市2018年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是( )
A．4月1日 B．4月2日
C．4月3日 D．4月5日
答案 D
解析 由折线图可以看出，该市日温差最大的一天是4月5日．
(2)甲、乙两个城市2018年4月中旬每天的最高气温统计图如图所示，则这9天里，气温比较稳定的是__________城市．(填“甲”“乙”)
答案 甲
解析 这9天里，乙城市的最高气温约为35℃，最低气温约为20℃；甲城市的最高气温约为25℃，最低气温约为21℃.故甲城市气温较稳定．
类型三 茎叶图
例3 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：
甲的得分 12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50；
乙的得分 8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.
(1)画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图；
(2)根据茎叶图分析甲、乙两名运动员的水平．
解 (1)作出茎叶图如图．
(2)由上面的茎叶图可以看出，甲运动员的得分情况是大致对称的；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称．因此甲运动员的发挥比较稳定，总体得分情况比乙运动员好．
反思与感悟 当数据较少时，用茎叶图分析问题的突出优点是
(1)保留原始信息；(2)随时记录．用茎叶图分析数据可以运用数据分布的对称情况、集中分散情况来分析总体情况．
跟踪训练3 在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子所含的字数如下：
10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17；
在某报纸的一篇文章中，每个句子所含的字数如下：
27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.
(1)将这两组数据用茎叶图表示；
(2)将这两组数据进行比较分析，得到什么结论？
解 (1)茎叶图如图所示：
(2)电脑杂志上每个句子的字数集中在10～30之间，报纸上每个句子的字数集中在20～40之间，说明电脑杂志上每个句子的平均字数要比报纸上每个句子的平均字数少．说明电脑杂志作为科普读物需要通俗易懂、简明.
1．当收集到的数据量很大或有多组数据时，用哪种统计图表示较合适( )
A．茎叶图 B．条形统计图
C．折线统计图 D．扇形统计图
答案 B
解析 当收集到的数据量很大或有多组数据时条形统计图较为合适．
2．把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康．如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不正确的家庭达到( )
A．79% B．80% C．18% D．82%
答案 D
解析 79%＋1%＋2%＝82%.
3．如图所示是某校高一年级学生到校方式的条形统计图，根据图形可得出骑自行车人数占高一年级学生总人数的( )
A．20% B．30% C．50% D．60%
答案 B
解析 某校高一年级学生总数为60＋90＋150＝300(人)，骑自行车人数为90人，骑自行车人数占高一年级学生总数的百分比为×100%＝30%.
4．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
从折线图上两人射击命中环数的走势看，最有潜力的是________．
答案 乙
5．甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行随堂测试，两班同学成绩的茎叶图如图所示，则甲班同学的最高成绩是________分，乙班同学的最低成绩是________分．
答案 96 57
解析 由茎叶图可知，甲班同学的最高成绩为96分，乙班同学的最低成绩是57分．
1．条形统计图及折线统计图特别适用于数据量很大的情况，但却损失了数据的部分信息．扇形统计图适合表示总体的各个部分所占比例的问题，但不适用于总体分成部分较多的问题．
2．茎叶图表示数据有两个突出优点：
(1)统计图上没有原始信息的损失．
(2)茎叶图可以随时记录，方便表示与比较．
缺点：当数据量很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了.
一、选择题
1．没有数据信息的损失，所有的原始数据都可以从图中得到的统计图是( )
A．条形统计图 B．茎叶图
C．扇形统计图 D．折线统计图
答案 B
解析 所有的统计图中，仅有茎叶图完好无损地保存着所有的数据信息．
2．某班学生在课外活动中参加文娱、美术、体育小组的人数之比为3∶1∶6，则在扇形统计图中表示参加体育小组人数的扇形圆心角是( )
A．108° B．216° C．60° D．36°
答案 B
解析 参加体育小组人数占总人数的×100%＝60%，则扇形圆心角是360°×60%＝216°.
3．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )
A．0.6小时 B．0.9小时
C．1.0小时 D．1.5小时
答案 B
解析 由题意可知这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为(5×0＋20×0.5＋10×1.0＋10×1.5＋5×2.0)＝0.9(小时)．
4．数据8,51,33,39,38,23,26,28,13,16,14的茎叶图是( )
答案 A
解析 题中数据没有十位数字是4的数，故选A.
5．2017年某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如图，则成绩高于11级分的人数约为( )
A．8 000 B．10 000 C．20 000 D．60 000
答案 B
解析 由题意结合条形图分析得成绩高于11级分的考生数的百分比大约为(2.3＋3.5＋0.9＋1.7)%＝8.4%，所以考生大约为8.4%×120 000＝10 080(人)．故最接近的人数为10 000.
6．观察某省统计局公布的“十二五”时期农村居民人均收入每年比上一年的增长率的统计图(如图所示)，下列说法正确的是( )
A．2013年农村居民人均收入低于2012年
B．农村居民人均收入比上一年增长率低于9%的有2年
C．农村居民人均收入最多的是2014年
D．农村居民人均收入每年比上一年的增长率有大有小，但农村居民人均收入在持续增加
答案 D
解析 由折线图给定的信息知，从2011年到2015年每年的人均收入都比上一年有所增加，故农村居民人均收入始终持续增加．
7．如图所示的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位：元)，图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为( )
A．7元 B．37元
C．27元 D．2 337元
答案 C
解析 茎叶图的茎表示十位上的数字，叶表示个位上的数字．图中的数字7在叶上，对应的十位数字是2，所以表示的意义是这台自动售货机的销售额为27元．故选C.
8．给出如图所示的三幅图及四个说法：
①从折线图能看出世界人口的变化情况；
②2050年非洲人口将达到大约15亿；
③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；
④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢．
其中说法正确的为( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
答案 B
解析 ①从折线图能看出世界人口的变化情况，故①正确；
②从条形统计图中可得到2050年非洲人口大约将达到18亿，故②错误；
③从扇形统计图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故③正确；
④由题中三幅图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误．
因此正确的说法有①③.故选B.
二、填空题
9．某校高一(1)班有50名学生，综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，则该班“运动与健康”评价等级为A的人数是________．
答案 19
解析 由扇形图可知评价等级为A的人数占总人数的38%，由此可知高一(1)班的50名学生中有50×38%＝19人在该等级中．
10．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图．已知该校在校学生3 000人，根据统计图计算该校共捐款________元．
答案 37 770
解析 根据统计图，得
高一人数为3 000×32%＝960，
捐款960×15＝14 400(元)；
高二人数为3 000×33%＝990，
捐款990×13＝12 870(元)；
高三人数为3 000×35%＝1 050，
捐款1 050×10＝10 500(元)．
所以该校学生共捐款14 400＋12 870＋10 500＝37 770(元)．
11．如图是甲、乙两名运动员在某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知以下说法正确的是________．(填序号)
①甲运动员的成绩好于乙运动员；
②乙运动员的成绩好于甲运动员；
③甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异；
④甲运动员的最低得分为0分．
答案 ①
解析 由茎叶图可知，甲运动员的成绩相对稳定，总体要好于乙运动员，甲运动员的最低得分为10分．
三、解答题
12．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：
甲组：76 90 84 86 81 87 86 82 85 83
乙组：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74
用茎叶图表示两个小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更整齐一些．
解 茎叶图如图所示(中间的茎为十位上的数字)：
由茎叶图容易看出甲组的成绩是对称的，叶的分布有集中在茎8上，乙组的成绩也大致对称，叶的分布有集中在茎8上，从叶在茎上的分布情况看，甲组的成绩更整齐一些．
13．某校七(1)班同学分三组进行教学活动，对七年级400名同学最喜欢喝的饮料种类情况、八年级300名同学零花钱的最主要用途情况、九年级300名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇形统计图、条形统计图、表格来描述整理得到的数据．
九年级同学完成家庭作业时间情况统计表
时间
1小时左右
1.5小时左右
2小时左右
2.5小时左右
人数
50
80
120
50
根据以上信息，请回答下列问题：
(1)七年级400名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少？
(2)补全八年级300名同学中零花钱的最主要用途情况的条形统计图；
(3)九年级300名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时？(结果保留一位小数)
解 (1)400×(1－25%－25%－10%)
＝400×40%＝160(人)．
(2)补全条形统计图如图所示．
(3)(50×1＋80×1.5＋2×120＋2.5×50)≈1.8(小时)．
四、探究与拓展
14．根据条形统计图填空(如图)．
(1)总共统计了________名学生的心跳情况；
(2)________次数段的学生数最多，约占________%；
(3)如果每半分钟心跳30～39次属于正常范围，那么心跳次数属于正常范围的学生约占________%.
答案 (1)27 (2)30～33 25.9 (3)55.6
解析 (1)2＋4＋7＋5＋3＋1＋2＋2＋1＝27.
(2)30～33段矩形最高，故人数最多，为7人，
所占比例为×100%≈25.9%.
(3)(7＋5＋3)÷27×100%≈55.6%.
15．对某校2017年高中毕业生去向调查如下：
上本科
上专科
上技校
参军
直接就业
其他
25.4%
20.6%
15.7%
5.2%
20.4%
12.7%
用适当的方式表示出上面的数据．
解 用条形统计图、折线统计图和扇形统计图分别表示如下．
由上可得，用条形统计图与扇形统计图表示较为合适．
§4 数据的数字特征
学习目标 1.能合理地选取样本，并从中提取基本的数字特征.2.了解众数、中位数、平均数的概念，会计算方差和标准差.3.会用样本的数字特征估计总体的数字特征．
知识点一 众数、中位数、平均数
思考 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？
答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．
梳理 众数、中位数、平均数定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫作这组数据的中位数．
(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫作这n个数的平均数．
知识点二 极差、方差、标准差
思考 有一组数据：2,3,6,8,10，哪两个数据的差最大？
答案 10－2＝8最大，即最大值与最小值的差最大．
梳理 (1)一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差．
(2)如果一组数据是x1，x2，x3，…，xn，这组数据的方差记为s2，则s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
(3)标准差
①标准差的定义
标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量，一般用s表示，计算公式为
s＝
②标准差的求法
样本数据x1，x2，…，xn的标准差的算法
(ⅰ)计算出样本数据的方差s2；
(ⅱ)求出方差s2的算术平方根，即s＝.
知识拓展：平均数、方差公式的推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，
mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)设数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则
a．s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]；
b．数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
c．数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
类型一 数字特征的计算
例1 (1)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数 B．平均数
C．中位数 D．标准差
(2)某医院为了了解病人每分钟呼吸次数，对20名病人进行检测，记录结果如下：12,20,16,18,20,28,23,16,15,18,20,24,18,21,18,19,18,31,18,13.则这组数据的平均数为________，中位数为________，众数为________．
答案 (1)D (2)19.3 18 18
解析 (1)当每个样本数据都加上2后，众数、平均数、中位数都会发生变化，不变的是数据的波动情况，即标准差不变．
(2)平均数＝＝19.3，中位数为18，众数为18.
反思与感悟 (1)众数的求法
在样本数据中出现次数最多的数据即为众数．
(2)中位数的求法
①把数据按从小到大的顺序排列．
②找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数．
若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数的计算公式
一组样本数据为x1，x2，…，xn，则样本平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)．简记为＝i.
(4)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
跟踪训练1 对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论：
①这组数据的众数是3；
②这组数据的众数与中位数的数值不相等；
③这组数据的中位数与平均数的数值相等；
④这组数据的平均数与众数的数值相等．
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数＝＝4.故只有①正确．
类型二 标准差、方差的应用
例2 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.
问：(1)哪种玉米的苗长得高？
(2)哪种玉米的苗长得齐？
解 (1)甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)．
乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．
所以甲＜乙．即乙种玉米长得高．
(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1 042＝104.2(cm2)，
s＝[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝×1 288＝128.8(cm2)．
所以s
反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．
(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．
(3)若样本数据都相等，则s＝0.
(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．
跟踪训练2 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和(1)中算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
解 (1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分．
甲＝＝13，
乙＝＝13，
s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由s＞s可知乙的成绩较稳定．
从折线图来看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．
类型三 数据的数字特征的综合应用
例3 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
解 (1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)s＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
s＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵s(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．
反思与感悟 要正确处理两组数据的优劣问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的优劣，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言得出结论．
跟踪训练3 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5 500
5 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，并说明理由．
解 (1)平均数＝1 500＋
≈1 500＋591＝2 091(元)，
中位数是1 500元，众数是1 500元．
(2)新的平均数′＝1 500＋
≈1 500＋1 788＝3 288(元)，
中位数是1 500元，众数是1 500元．
(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.
1．某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：
则这组数据的中位数是( )
A．19 B．20
C．21.5 D．23
答案 B
解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.
2．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x等于( )
A．21 B．22
C．20 D．23
答案 A
解析 根据题意知，中位数22＝，则x＝21.
3．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，则x等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 D
解析 由题意知，10＋11＋0＋3＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8.
4．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
答案 16
解析 设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16.
5．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8，7,9,5,4,9,10,7,4
则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
答案 (1)7 (2)2
解析 (1)＝＝7.
(2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.
1．平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息．
2．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
一、选择题
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数，众数，中位数分别为( )
A．85分，85分，85分 B．87分，85分，86分
C．87分，85分，85分 D．87分，85分，90分
答案 C
解析 平均数为＝87，众数为85，中位数为85，故选C.
2．如图是某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈节目打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84,4.84 B．84,1.6
C．85,1.6 D．85,4
答案 C
解析 根据平均数和方差公式计算．
3．样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 C
解析 x2－5x＋4＝0的两根是1,4.
当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；
当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.
∴a＝1，b＝4，则方差s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
答案 C
解析 由茎叶图及已知得x＝5，又乙组数据的平均数为16.8，即＝16.8，解得y＝8，选C.
5．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
答案 D
解析 由题意得
a＝＝15.7.
中位数b＝16，众数为c＝18.故c>b>a.
6．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90,90,93,94,93，则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为( )
A．92,2.8 B．92,2 C．93,2 D．93,2.8
答案 A
解析 该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为
＝×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，
方差为s2＝×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.故选A.
7．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为( )
A．15 B．16
C．17 D．18
答案 D
解析 由题意得，＝108，①
＝35.2，②
由①②解得x＝99，y＝117，所以|x－y|＝18.故选D.
8．为了普及环保知识，增强保护环境意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则( )
A．me＝m0＝ B．m0<C．me答案 D
解析 由图知30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分、10个人得5分、6个人得6分、3个人得7分，2个人得8分、2个人得9分、2个人得10分，中位数为第15,16个数的平均数，即me＝＝5.5，5出现次数最多，故m0＝5，＝(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97.
于是m0二、填空题
9．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
8.5
8.7
8.8
8.0
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
则参加奥运会的最佳人选应为________．
答案 丙
解析 因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．
10．已知样本7,8,9，x，y的平均数是8，标准差是，则xy的值为________．
答案 60
解析 由已知得7＋8＋9＋x＋y＝5×8，
则x＋y＝16，所以x2＋y2＋2xy＝256.
又[(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(x－8)2＋(y－8)2]＝2，
整理，得x2＋y2＝16(x＋y)－120＝136，
所以136＋2xy＝256，则xy＝60.
11．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时．
答案 50 1 015
解析 由分层抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)．由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时)．
三、解答题
12．从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班成绩数据的中位数为13，乙班成绩数据的平均数为16.
(1)求x，y的值；
(2)试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低．
(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)
解 (1)由茎叶图知甲班成绩数据依次为9,12,10＋x,20,26，所以中位数为10＋x＝13，得x＝3；乙班成绩数据的平均数乙＝(9＋15＋10＋y＋18＋20)＝16，得y＝8.
(2)乙班整体水平较高．
理由：由题意及(1)得
甲＝×(9＋12＋13＋20＋26)＝16，
s＝×[(9－16)2＋(12－16)2＋(13－16)2＋(20－16)2＋(26－16)2]＝38，
乙＝16，
s＝×[(9－16)2＋(15－16)2＋(18－16)2＋(18－16)2＋(20－16)2]＝＝14.8.
因为甲＝乙，s＞s，
所以乙班的整体水平较高．
13．高一·三班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．
(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？
(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
解 (1)这次测验全班平均分
＝(82×27＋80×21)≈81.13(分)．
(2)因为男同学的中位数是75，
所以至少有14人得分不超过75分．
又因为女同学的中位数是80，
所以至少有11人得分不超过80分．
所以全班至少有25人得分低于80分．
(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的得分两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．
四、探究与拓展
14．如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样．
(1)求a的值；
(2)求甲、乙两组学生的成绩整体水平的高低．
解 (1)由题意可知＝＝89，解得a＝5.
(2)因为s＝×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝，s＝×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝，所以s＜s，又甲＝乙，所以甲组的整体水平较高．
15.为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息；
(2)估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适.
解 (1)画茎叶图如图所示，可以看出，甲、乙两人的最大速度都是均匀分布的，只是甲的最大速度的中位数是33，乙的最大速度的中位数是33.5，因此从中位数看乙的情况比甲好.
(2)甲＝(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，乙＝(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，所以他们的最大速度的平均数相同，再看方差s＝[(－6)2＋…＋(－2)2]＝，s＝(02＋…＋32)＝，则s＞s.
故乙的最大速度比甲稳定，所以派乙参加比赛更合适.
§5 用样本估计总体
学习目标 1.学会列频率分布表，会画频率分布直方图.2.会用频率分布表或分布直方图估计总体分布，并作出合理解释.3.进一步体会用样本估计总体的思想，认识统计的实际作用，初步经历收集数据到统计数据的全过程.
知识点一 频率分布表与频率分布直方图
思考 要对一组数据进行处理分析，一般要做频率分布表或频率分布直方图，要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？做频率分布直方图呢？
答案 ①分组，频数累计，计算频数和频率.
②做频率分布直方图还需计算每组的频率÷组距的值.
梳理 (1)频率分布直方图的概念
将数据分组，宽度Δxi作小矩形的宽度，以频率与分组宽度的比为小矩形的高，将所有小矩形在同一个平面直角坐标系内画出来，所得图形称为频率分布直方图.
(2)绘制频率分布直方图的步骤
①确定组距与组数
(ⅰ)组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试与选择的过程.
(ⅱ)组距和样本容量有关，一般样本容量越大，分的组也越多，当样本容量不超过120时，按照数据的多少，常分为5～12组.
(ⅲ)极差、组距、组数之间有如下关系：
极差即一组数据中最大值和最小值的差.
设组数k＝，若k∈Z，则组数为k；若k?Z，则组数为大于k的最小整数.
②将数据分组
按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间.
③列频率分布表
④画频率分布直方图
画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示各组频率与组距的比值，其相应组距上的频率应该等于该组上的矩形的面积，即每个矩形的面积＝组距×＝频率.
(3)频率分布直方图的特征
①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体走势；
②从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.
知识点二 频率折线图
在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边与右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图.
知识点三 样本平均数与样本标准差
假设通过随机抽样得到的样本为x1，x2，…，xn，则＝(x1＋x2＋…＋xn)，
s＝＝分别叫作样本平均数和样本标准差，可用它们估计总体的平均数和标准差.
1.频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值.( √ )
2.频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数.( × )
3.频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.( √ )
类型一 列频率分布表及画频率分布直方图
例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).
区间界限
[122，126)
[126，130)
[130，134)
[134，138)
[138，142)
人数
5
8
10
22
33
区间界限
[142，146)
[146，150)
[150，154)
[154，158)
人数
20
11
6
5
(1)列出样本频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比.
解 (1)样本频率分布表如下：
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
[126,130)
8
0.07
[130,134)
10
0.08
[134,138)
22
0.18
[138,142)
33
0.28
[142,146)
20
0.17
[146,150)
11
0.09
[150,154)
6
0.05
[154,158)
5
0.04
合计
120
1.00
(2)频率分布直方图如下：
(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
反思与感悟 频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的，它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况.
跟踪训练1 为了了解中学生身体发育情况，对某中学17岁的60名女生的身高(单位：cm)进行了测量，结果如下：
154 159 166 169 159 156 166 162 158 159
156 166 160 164 160 157 151 157 161 162
158 153 158 164 158 163 158 153 157 168
162 159 154 165 166 157 155 146 151 158
160 165 158 163 163 162 161 154 165 161
162 159 157 159 149 164 168 159 153 160
列出样本的频率分布表；绘出频率分布直方图和频率折线图.
解 第一步，求极差：上述60个数据中最大为169，最小为146.故极差为169－146＝23(cm).
第二步，确定组距和组数，可取组距为3 cm，
则组数为＝7，可将全部数据分为8组.
第三步，确定区间界限：[145.5,148.5)，[148.5,151.5)，[151.5，154.5)，[154.5,157.5)，[157.5,160.5)，[160.5,163.5)，[163.5,166.5)，[166.5,169.5).
第四步，列频率分布表：
分组
频数
频率
[145.5,148.5)
1
0.017
[148.5,151.5)
3
0.050
[151.5,154.5)
6
0.100
[154.5,157.5)
8
0.133
[157.5,160.5)
18
0.300
[160.5,163.5)
11
0.183
[163.5,166.5)
10
0.167
[166.5,169.5)
3
0.050
合计
60
1.000
第五步，根据上述数据绘制频率分布直方图：
第六步，在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，即为频率折线图.
类型二 频率分布直方图的应用
例2 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？
解 (1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，
因此第二小组的频率为＝0.08.
因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为×100%＝88%.
反思与感悟 (1)频率分布直方图的性质
①因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
③＝样本容量.
(2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.
跟踪训练2 某校开展了一次小制作评比活动，作品上交时间为5月1日到30日.评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了如图所示的频率分布直方图.已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列有关问题.
(1)本次活动共有多少件作品参加评比？
(2)哪组上交的作品数最多？有多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，则这两组哪组获奖率较高？
解 (1)依题意知，
第三组的频率为＝0.2，
又第三组的频数为12，
故本次活动的参评作品有＝60(件).
(2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×＝18(件).
(3)第四组的获奖率是＝.
因为第六组上交的作品数量为60×＝3(件)，
所以第六组的获奖率为.
又>，显然第六组的获奖率较高.
类型三 频率分布与数字特征
例3 已知一组数据：
125 121 123 125 127 129 125 128 130 129
126 124 125 127 126 122
124 125 126 128
(1)填写下面的频率分布表：
分组
频数
频率
[121,123)
[123,125)
[125,127)
[127,129)
[129,131)
合计
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.
解 (1)
分组
频数
频率
[121,123)
2
0.10
[123,125)
3
0.15
[125,127)
8
0.40
[127,129)
4
0.20
[129,131)
3
0.15
合计
20
1.00
(2)
(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为126，事实上，众数的精确值为125.频率分布直方图中虚线对应的数据是125＋2×＝126.25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，平均数的精确值为＝125.75.
反思与感悟 (1)利用频率分布直方图估计数字特征
①众数是最高的矩形的底边的中点；
②中位数左右两侧小矩形的面积相等；
③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致.
跟踪训练3 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数.
(2)高一参赛学生的平均成绩.
解 (1)由图可知众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积为0.4，
∴设中位数为60＋x，
则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，
∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，
＝55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，
∴平均成绩约为67分.
1.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是( )
A.总体容量越大，估计越精确
B.总体容量越小，估计越精确
C.样本容量越大，估计越精确
D.样本容量越小，估计越精确
答案 C
解析 由用样本估计总体的性质可得.
2.在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，该组的频率为m，该组的频率分布直方图的高为h，则|a－b|等于( )
A.hm B. C. D.h＋m
答案 B
解析 ＝h，故|a－b|＝组距＝＝.
3.某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重.将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在40～45 kg的人数是( )
A.10 B.2 C.5 D.15
答案 A
解析 由图及频率＝×组距，知体重在40～45 kg的女生的频率＝0.02×5＝0.1.∴女生中体重在40～45 kg的人数为0.1×100＝10.
4.一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：
组距
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本在[10,50)上的频率为( )
A.0.5 B.0.24 C.0.6 D.0.7
答案 D
解析 因为样本在[10,50)上的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，所以在[10,50)上的频率为＝0.7.
5.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中x的值为__________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________.
答案 (1)0.004 4 (2)70
解析 (1)(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，∴x＝0.004 4.
(2)(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50×100＝70.
1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布.
2.用同样的方法先后从总体中抽取两个大小相同的样本，但两次得到的样本频率分布表、样本频率分布直方图、样本的平均数和标准差仍然可能互不相同，是样本的随机性造成的，是不可避免的.只要抽样的方法比较合理，就能反映总体的信息，当样本容量很大时，就比较接近总体的真实情况.
一、选择题
1.已知样本7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12,9,13,20，那么这组数据落在[8.5,11.5)内的频率为( )
A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.2
答案 B
解析 样本的总数为20，数据落在[8.5,11.5)内的个数为8，故所求频率为＝0.4.
2.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知样本落在[15,20)内的频数为( )
A.20 B.30 C.40 D.50
答案 B
解析 样本数据落在[15,20)内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.
3.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A.6 B.8 C.12 D.18
答案 C
解析 志愿者的总人数为＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.
4.为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量(单位：个)，结果如下：33,25,28,26,25,31.如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约为( )
A.900个 B.1 080个
C.1 260个 D.1 800个
答案 C
解析 样本的平均数为28，估计总共丢弃塑料袋45×28＝1 260个.
5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )
A.588 B.480 C.450 D.120
答案 B
解析 ∵少于60分的学生人数为600×(0.05＋0.15)＝120，∴不少于60分的学生人数为480.
6.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图，估计样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )
A.18 B.36 C.54 D.72
答案 B
解析 样本数据落在区间[10,12)内的频率为1－(0.02×2＋0.05×2＋0.15×2＋0.19×2)＝0.18，所以样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36.
7.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，若想在这n个人中抽取50个人，则在[50,60)之间应抽取的人数为( )
A.10 B.15 C.25 D.30
答案 B
解析 根据频率分布直方图得总人数
n＝＝100，
依题意知，应采取分层抽样，再根据分层抽样的特点，则在[50,60)之间应抽取的人数为50×＝15.
8.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n的值为( )
A.20 B.27 C.6 D.60
答案 D
解析 ∵n·＝27，
∴n＝60.
二、填空题
9.在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，则这个样本容量是______.
答案 40
解析 设中间长方形的面积为x，样本容量为n.由题意得x＝(1－x)，解得x＝，即频率为，∴＝，n＝40.
10.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106)，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是________.
答案 90
解析 ∵样本中产品净重小于100克的频率为
(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，
∴样本总数为＝120.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.
11.某市统计局就本地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图.
则居民月收入在[3 000,3 500)的频率为____________________________________.
样本数据的中位数为________.
答案 0.15 2 400
解析 月收入在[3 000,3 500)的频率为
0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15.
∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，
0.000 4×(2 000－1 500)＝0.2，
0.000 5×(2 500－2 000)＝0.25，
0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.
∴样本数据的中位数为
2 000＋＝2 000＋400＝2 400.
12.已知某一段公路限速70千米/时，现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度，其频率分布直方图如图所示，则这400辆汽车中在该路段超速的有________辆.
答案 80
解析 [70,80)的频率为
1－(0.01×10＋0.03×10＋0.04×10)＝0.2，
∴[70,80)内的频数为0.2×400＝80.
三、解答题
13.为加强中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局将举办全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表解答下列问题：
分组
频数
频率
一
[60.5,70.5)
a
0.26
二
[70.5,80.5)
15
c
三
[80.5,90.5)
18
0.36
四
[90.5,100.5)
b
d
合计
50
e
(1)求a，b，c，d，e的值；
(2)作出频率分布直方图.
解 (1)根据题意，得分在[60.5,70.5)内的频数是a＝50×0.26＝13，在[90.5,100.5]内的频数是b＝50－13－15－18＝4，在[70.5,80.5)内的频率是c＝＝0.30，在[90.5,100.5]内的频率是d＝＝0.08，频率和e＝1.
(2)根据频率分布表作出频率分布直方图，如图所示.
四、探究与拓展
14.某市2018年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下：(主要污染物为可吸入颗粒物)
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103，
95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染.
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
解 (1)频率分布表：
分组
频数
频率
[41,51)
2
[51,61)
1
[61,71)
4
[71,81)
6
[81,91)
10
[91,101)
5
[101,111)
2
(2)频率分布直方图如图所示.
(3)答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好.
②轻微污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数为15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善.
§6 统计活动：结婚年龄的变化
§7 相关性
学习目标 1.了解一个统计活动的全过程，提高收集、处理数据的能力.2.能通过实例体会变量间的相关性.3.掌握相关关系的判断.能根据散点图对线性相关关系进行判断和直线拟合，从而对整体进行估计.
知识点一 统计活动的步骤
思考 这一章到目前为止，我们已经学了很多统计知识，你能简要概括一下统计都是做哪些工作吗？
答案 收集数据；整理数据；分析数据；估计总体.
梳理 统计活动的步骤：一般地，有
(1)确定调查对象；(2)收集数据；(3)整理数据；(4)分析数据；(5)作出推断.
知识点二 散点图与曲线拟合
思考 假定我们已经有了两个量的一些对应取值，怎样处理这些数据才能便于我们观察猜想这两个量的关系？
答案 以一个量为横坐标，另一个量为纵坐标画图.
梳理 在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图.从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合.
知识点三 相关关系
思考 数学成绩y与学习数学所用时间t之间的关系，能否用函数关系刻画？
答案 一般来说，学数学的时间越长，成绩越好.但用时10小时，数学成绩却不是一个确定的数字.故不能用函数关系刻画.
梳理 一般地，函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系.函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
相关关系的分类
(1)线性相关：若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的.
(2)非线性相关：若散点图上所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关的，此时，可以用一条曲线来拟合.
(3)不相关：如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的.
1.对于给定的两个变量的统计数据，都可以分析出两个变量之间的关系.( × )
2.在一定范围内，农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系.( √ )
3.对于给定的两个变量的统计数据，都可以作出散点图.( √ )
类型一 统计活动中的数据分析
例1 某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如表所示：
景点
A
B
C
D
E
原价/元
10
10
15
20
25
现价/元
5
5
15
25
30
日平均人数/103人
1
1
2
3
2
(1)该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，日平均总收入持平，问风景区是怎样计算的？
(2)另一方面，游客认为调整收费后风景区的日平均总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？
(3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？
解 (1)调整前的平均价格为＝16(元).
调整后的平均价格为＝16(元).
因为调整前后的平均价格不变，日平均人数不变，所以日平均总收入不变.
(2)游客是这样计算的，原日平均总收入为
10×1 000＋10×1 000＋15×2 000＋20×3 000＋25×2 000＝160 000(元).
现在日平均总收入为5×1 000＋5×1 000＋15×2 000＋25×3 000＋30×2 000＝175 000(元).
日平均总收入增加了≈9.4%.
(3)游客的说法较能反映整体实际.
反思与感悟 (1)统计活动中的数据分析，可以分析数据中的平均值、方差、标准差、中位数、众数等数字特征，从而全面把握总体情况.
(2)统计活动中的数据分析，可以采取图表来分析，如条形图、扇形图、折线图、直方图以及茎叶图等，这样得到的结果更直观，更能体现出各部分数据所占的份量.
跟踪训练1 某班综合实践活动小组对该班50名学生进行了一次《学生每周做家务劳动时间统计》的调查，有关数据如表所示：
每周做家务的时间(小时)
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
人数(人)
2
2
6
8
12
13
4
3
根据表格中的数据，回答下列问题：
(1)该班学生每周做家务劳动的平均时间是________小时；
(2)这组数据的中位数、众数分别是____小时、____小时.
答案 (1)2.44 (2)2.5 3
解析 (1)该班学生每周做家务劳动的平均时间为
＝2.44(小时).
(2)50个数据，中位数应是第25个和第26个数据的平均数，为2.5小时；3小时出现的次数最多，为13次，应是众数.
类型二 变量之间的相关关系的判定
例2 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？
(1)正方形边长与面积之间的关系；
(2)作文水平与课外阅读量之间的关系；
(3)人的身高与年龄之间的关系；
(4)降雪量与交通事故发生率之间的关系.
解 两变量之间的关系有：函数关系与带有随机性的相关关系.(1)正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.(2)作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系.(3)人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系.(4)降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系.
反思与感悟 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系， 而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
跟踪训练2 下列说法：①路程与时间、速度的关系是相关关系；②同一物体的加速度与作用力是函数关系；③产品的成本与产量之间的关系是函数关系；④广告费用与销售量之间的关系是相关关系.其中说法正确的序号是________.
答案 ②④
解析 路程与时间、速度的关系是函数关系，所以①错误；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，②正确；产品的成本与产量之间是相关关系，③错误；广告费用与销售量之间是相关关系，④正确.
类型三 散点图及曲线拟合
例3 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
年龄
23
27
39
41
45
49
50
脂肪
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
年龄
53
54
56
57
58
60
61
脂肪
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
画出散点图，分析年龄与人体脂肪含量的关系.
解 散点图如下；
在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，故人的年龄与人体脂肪含量是线性相关关系.
反思与感悟 画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或过小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.
跟踪训练3 如表所示为我国在1000年到2000年间的人口数量.
(1)试画出散点图；
(2)年份与人口是相关关系吗？你觉得用什么函数模型模拟效果比较好？
年份
人口/亿
1393
0.6
1578
0.6
1764
2
1849
4.1
1928
4.7
1949
5.4
1982
10.3
1990
11.6
解 (1)散点图如下：
(2)由图可知，我国在1000年到2000年间的人口数量与年份是相关关系.因为增长速度越来越快， 用指数函数模型模拟效果比较合适.
1.下列每组的两个变量之间具有相关关系的是( )
A.乌鸦叫，灾难到 B.圆心角的大小与半径
C.收入水平与纳税水平 D.儿童的年龄与身高
答案 D
解析 A，B中的两个变量之间没有关系，C中的两个变量之间是函数关系，D中的两个变量之间是相关关系.
2.下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
A.瑞雪兆丰年 B.名师出高徒
C.吸烟有害健康 D.喜鹊叫喜
答案 D
解析 瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，而喜鹊叫喜，没有必然的关系，故选D.
3.观察下列散点图，具有相关关系的是( )
A.①② B.①③
C.②④ D.②③
答案 D
4.下列变量之间的关系是函数关系的是( )
A.圆的周长与半径
B.施肥量和小麦亩产量
C.降雨量和交通事故发生率
D.学习时间和学习成绩
答案 A
5.下列关系是相关关系的是________.(填序号)
①角度和它的余弦值；
②某商场搞促销活动与销售量之间的关系；
③父亲与儿子身高的关系；
④质量与密度、体积之间的关系.
答案 ②③
解析 ①④中两个变量之间的关系是一种确定性关系，而②③中的两个变量之间的关系是不确定的，所以它们具有相关关系.故填②③.
1.判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图.根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关.
2.设计统计方案可以帮助我们更好地理解统计的全过程，其中收集数据过程实质是抽样，要强调样本的代表性；把数据整理成图表形式并计算特征数如平均数，标准差，可以估计总体分布，且便于交流.
一、选择题
1.下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
A.正方体的棱长与体积
B.读书破万卷，下笔如有神
C.数学成绩与物理成绩
D.日照时间与水稻的单位产量
答案 A
2.下列两变量中具有相关关系的是( )
A.角度和它的正弦值
B.正方形的边长和面积
C.正n边形的边数与内角度数之和
D.人的身高和体重
答案 D
解析 A，B，C具有确定性的函数关系.一般地，身高越高，体重越重，是相关关系.
3.下列图形中具有相关关系的两个变量是( )
答案 D
解析 A和B符合函数关系，即对x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应；从C，D散点图来看，D的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有相关关系.
4.有下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系.
其中，具有相关关系的是( )
A.①② B.②③
C.①②③ D.①③
答案 D
5.下列关系中，是相关关系的为( )
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；
②教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；
④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.
A.①② B.①③
C.②③ D.②④
答案 A
解析 ①中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系.②教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系.③④都不具备相关关系.
6.下列说法正确的是( )
A.任何两个变量之间都有相关关系
B.根据身高和体重的相关关系可以确定身高对应的体重值
C.相关关系是一种不确定的关系
D.以上答案都不对
答案 C
解析 变量之间的相关关系是一种不确定的关系，它也能反映变量之间的某种依赖关系.利用相关关系可以估计某些相关数据，但是不能确定准确的数值.
7.从统计学的角度看，下列关于变量间的关系说法正确的是( )
A.人体的脂肪含量与年龄之间没有相关关系
B.汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程之间有相关关系
C.吸烟量与健康水平之间没有相关关系
D.气温与热饮销售好不好之间没有相关关系
答案 B
解析 从统计学的角度看，
在一定年龄段内，人体的脂肪含量与年龄之间有相关关系，∴A错误；
汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程之间有相关关系，∴B正确；
吸烟量与健康水平之间有相关关系，∴C错误；
气温与热饮销售好不好之间有相关关系，∴D错误.
8.2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制.下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS病患治愈者数据及根据这些数据绘制的散点图.
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
人数
100
109
115
118
121
134
日期
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
人数
141
152
168
175
186
203
下列说法：
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；
②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系；
③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%；
④后三天中每天治愈出院的人数均超过这12天内北京市SARS病患治愈者总人数的10%.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 由散点图可知①正确，②错误；由于后三天出院人数共564人，这12天出院人数为1 722人，所以564÷1 722≈0.328，故③错误；由于1 722×10%＝172.2，故④正确.综上，①④正确，故选B.
二、填空题
9.下列两个变量之间的关系，是函数关系的有________.(填序号)
①球的体积和它的半径；
②人的身高和体重；
③底面积为定值的长方体的体积和高；
④城镇居民的消费水平和平均工资.
答案 ①③
解析 球的体积公式为V＝πr3，长方体的体积V＝S·h，都是确定的关系，因此①③中两个变量为函数关系，而②④中的两个变量，不是函数关系是相关关系.
10.对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断，变量x，y与u，v均具有_______关系.
答案 线性相关
解析 由点的分布知x与y，u与v均在一条直线附近波动，故都是线性相关关系.
11.若5个学生的数学和物理成绩如表：
学生
学科
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
那么数学和物理成绩存在________关系.
答案 线性相关
解析 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有线性相关关系.
三、解答题
12.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：
气温(℃)
25
18
12
10
4
0
杯数
18
30
37
35
50
54
(1)根据表中的数据画出散点图；
(2)你能从散点图中发现气温与热茶杯数近似成什么关系吗？
解 (1)根据表中的数据画出某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的散点图，如图.
(2)从散点图上可以看出气温与卖出的热茶杯数近似地成线性关系.说明了当气温越高时，所卖出的热茶的杯数就越少.
13.有人收集了10年中某城市居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：(单位：亿元)
第n年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年收入
32.2
31.1
32.9
35.8
37.1
38.0
39.0
43.0
44.6
46.0
销售额
25.0
30.0
34.0
37.0
39.0
41.0
42.0
44.0
48.0
51.0
(1)画出散点图.你能从散点图中发现居民年收入与某种商品销售额之间的近似关系吗？
(2)如果它们之间近似成线性关系，请画出一条直线来近似表示这种关系.
解 (1)散点图如图所示：
从散点图中可以看出年收入与销售额之间的总体趋势成一条直线，也就是说它们之间是线性相关的.
(2)所画直线如图所示.
四、探究与拓展
14.下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
施化肥量 15
20
25
30
35
40
45
水稻产量 320
330
360
410
460
470
480
(1)将上述数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？
解 (1)散点图如下：
(2)从图中可以发现施化肥量和水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线附近，因此施化肥量与水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着施化肥量的增加而增长.
§8 最小二乘估计
学习目标 1.了解最小二乘法，会用给出的公式建立线性回归方程.2.理解回归直线与观测数据的关系，能用线性回归方程进行估计和预测.
知识点一 最小二乘法
思考 具有线性相关关系的散点大致分布在一条直线附近.如何确定这条直线比较合理？
答案 应该使散点整体上最接近这条直线.
梳理 (1)最小二乘法的定义
如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.
(2)最小二乘法的应用
利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图.如果散点图呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合.
知识点二 线性回归方程
1.回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.
2.回归直线对应的方程y＝a＋bx叫作线性回归方程，简称回归方程.
3.如果用表示，用表示，则可以求得
b＝
＝.
a＝－b.
4.样本点的中心
对于一组有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(，)称为样本点的中心.
1.最小二乘法是求线性回归方程的基本思想.( √ )
2.任意一组数据都可以由最小二乘法求得回归直线方程，且可以由方程进行预测.( × )
3.回归直线一定过点(，).( √ )
类型一 求线性回归方程
例1 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)求回归方程.
解 (1)散点图如图所示.
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
x
4
16
25
36
64
＝5，＝50，＝145，iyi＝1 380
于是可得，b＝＝＝6.5，
a＝－b＝50－6.5×5＝17.5.
反思与感悟 求线性回归方程的步骤
(1)先把数据制成表，从表中计算出，，x＋x＋…＋x，x1y1＋x2y2＋…＋xnyn.
(2)计算回归系数a，b，公式为
(3)写出线性回归方程y＝bx＋a.
跟踪训练1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求线性回归方程.
解 ＝＝9，＝＝4，
x＝62＋82＋102＋122＝344，
xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
b＝＝＝0.7，
a＝－b＝4－0.7×9＝－2.3.
则所求的线性回归方程为y＝0.7x－2.3.
类型二 线性回归方程的应用
例2 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件)
11
9
8
5
(1)画出散点图；
(2)如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；
(3)在实际生产中，若它们的近似方程为y＝x－，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
解 (1)散点图如图所示：
(2)近似直线如图所示：
(3)由y≤10得x－≤10，解得x≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内.
引申探究
1.本例中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？
解 因为y＝x－，所以当x增加一个单位时，y大约增加.
2.本例中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速.
解 因为y＝x－，所以当y＝7时，7＝x－，
解得x≈11.
反思与感悟 线性回归分析的三个步骤
(1)判断两个变量是否线性相关，可以利用经验，也可以画散点图.
(2)求线性回归方程，注意运算的正确性.
(3)根据回归直线进行预测估计，估计值不是实际值，两者会有一定的误差.
跟踪训练2 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏
温度/℃
－5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36
热饮杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间有什么关系；
(3)求线性回归方程；
(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数；
(5) 气温为2℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？
解 (1)散点图如图所示：
(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温越高，卖出去的热饮杯数越少.
(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出线性回归方程的系数.利用计算器可求得线性回归方程为y＝－2.352x＋147.767.
(4)当x＝2时，y＝143.063.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮.
(5)小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：①线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在误差，这种误差可以导致预测结果的偏差.②即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x的预报值，能够与实际值y很接近.我们不能保证点(x，y)落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近.
1.已知x与y之间的一组数据如下表：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过点( )
A.(2,2) B.(1.5,0) C.(1,2) D.(1.5,4)
答案 D
解析 ＝＝1.5，＝＝4.
2.已知某车间加工零件的个数x与所花费的时间y(h)之间的线性回归方程为y＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要( )
A.6.5 h B.5.5 h C.3.5 h D.0.5 h
答案 A
解析 由题意知y＝0.01×600＋0.5＝6.5.
3.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点中心(即(，))为(4,5)，则线性回归方程为( )
A.y＝1.23x＋4 B.y＝1.23x＋5
C.y＝1.23x＋0.08 D.y＝0.08x＋1.23
答案 C
解析 回归直线必过样本点中心.
4.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A.y随x的增大而增大
B.回归直线过样本点的中心(，)
C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D.若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg
答案 D
解析 当x＝170时，y＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg.
5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得线性回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元.
答案 65.5
解析 由题意可知＝3.5，＝42，则42＝9.4×3.5＋a，a＝9.1，y＝9.4×6＋9.1＝65.5.
1.求线性回归方程时应注意的问题
(1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的.
(2)用公式计算a，b的值时，要先计算b，然后才能算出a.
2.利用线性回归方程，我们可以进行估计和预测.若线性回归方程为y＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为y0＝bx0＋a.
一、选择题
1.工人月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的线性回归方程为y＝60＋90x，下列判断正确的是( )
A.劳动生产率为1千元时，工资为50元
B.劳动生产率提高1千元时，工资提高150元
C.劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元
D.劳动生产率为1千元时，工资为90元
答案 C
解析 因工人月工资依劳动生产率变化的线性回归方程为y＝60＋90x，当x由a提高到a＋1时，y2－y1＝60＋90(a＋1)－60－90a＝90.
2.已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，试验测得(x，y)的四组值分别为(1,2)，(2,4)，(3,5)，(4,7)，则y与x之间的线性回归方程为( )
A.y＝0.8x＋3 B.y＝－1.2x＋7.5
C.y＝1.6x＋0.5 D.y＝1.3x＋1.2
答案 C
解析 ∵＝×(1＋2＋3＋4)＝2.5，
＝×(2＋4＋5＋7)＝4.5，
∴线性回归方程y＝bx＋a必过定点(2.5,4.5)，
故排除A，D.又由四组数值知y随x的增大而增大，故b>0，排除B.
3.已知表中y与x之间的线性回归方程是y＝bx＋5.25，则b等于( )
x
1
2
3
4
y
4.5
4
3
2.5
A.－0.5 B.－0.6 C.－0.7 D.－0.8
答案 C
解析 由回归直线y＝bx＋5.25经过样本点的中心(2.5,3.5)，得3.5＝2.5b＋5.25，解得b＝－0.7，故选C.
4.设一个线性回归方程为y＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时( )
A.y平均增加1.2个单位
B.y平均增加3个单位
C.y平均减少1.2个单位
D.y平均减少3个单位
答案 A
5.若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程为y＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A.70% B.84% C.87.5% D.89.5%
答案 C
解析 设该地区人均工资收入为，
则＝0.7＋2.1，
当＝10.5时，＝＝12.
×100%＝87.5%.
6.期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的线性回归方程为y＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩相差的分数大约为( )
A.0.4 B.6 C.20 D.50
答案 C
解析 令两人的总成绩分别为x1，x2.
则对应的数学成绩估计为
y1＝6＋0.4x1，y2＝6＋0.4x2，
所以|y1－y2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
7.对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y＝x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数a的值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 依题意可知，样本点的中心为，则＝×＋a，解得a＝.
8.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y＝0.8x－155.
x
196
197
200
203
204
y
1
3
6
7
m
则实数m的值为( )
A.8 B.8.2 C.8.4 D.8.5
答案 A
解析 依题意得＝×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，＝×(1＋3＋6＋7＋m)＝，因为回归直线必经过样本点的中心，所以＝0.8×200－155，解得m＝8，选A.
二、填空题
9.正常情况下，年龄在18岁到38岁的人的体重y(kg)对身高x(cm)线性相关，可用直线方程y＝0.72x－58.2近似表示这种线性关系，张东同学(20岁)，身高182 cm，他的体重应该在________kg左右.
答案 72.84
解析 当x＝182 cm时，y＝0.72×182－58.2＝72.84(kg).
10.现有5组数据A(1,3)，B(2,4)，C(4,5)，D(3,10)，E(10,12)，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大.
答案 D
解析 在散点图中，点的分布越接近回归直线，两个变量的相关性越大.
11.某公司的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
资料显示y与x成线性相关关系.
根据上表提供的数据得到线性回归方程y＝bx＋a中的b＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费.
答案 15
解析 ＝＝5，
＝＝50.
因为线性回归方程必过样本点的中心(5,50)，
代入y＝6.5x＋a，得a＝17.5，
所以y＝6.5x＋17.5，
当y＝115时，x＝15.
三、解答题
12.有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第一列表示此种食品所含热量的百分比，第二列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价.
品牌
所含热量的百分比
口味记录
A
25
89
B
34
89
C
20
80
D
19
78
E
26
75
F
20
71
G
19
65
H
24
62
I
19
60
J
13
52
(1)根据上表数据，制成散点图，你能从散点图中发现食品所含热量的百分比与食品口味之间的近似关系吗？
(2)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.
解 (1)画出散点图.
从散点图上可以看出，食品所含热量的百分比与口味值之间总体趋势近似地成一条直线，也就是说它们之间是线性相关的.
(2)如图，我们用一条直线近似地表示这种线性相关关系.
13.某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，试用线性回归分析的方法预测他孙子的身高.
解 根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：
父亲的身高(x)
173
170
176
儿子的身高(y)
170
176
182
＝173，＝176，∴b＝＝＝1，a＝－b＝176－173＝3，
∴线性回归方程为y＝x＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm).
四、探究与拓展
14.某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表：
广告费用x
4
2
3
5
销售额y
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为( )
A.63.6万元 B.65.5万元
C.67.7万元 D.72.0万元
答案 B
解析 ＝＝3.5，＝＝42.因为回归直线过点(，)，所以42＝9.4×3.5＋a，解得a＝9.1.故回归方程为y＝9.4x＋9.1.所以当x＝6时，y＝6×9.4＋9.1＝65.5.
15.已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归方程为y＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.b＞b′，a＞a′ B.b＞b′，a＜a′
C.b＜b′，a＞a′ D.b＜b′，a＜a′
答案 C
解析 由(1,0)，(2,2)求b′，a′.
b′＝＝2，a′＝0－2×1＝－2.
求a，b时，iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝，＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴b＝＝，
a＝－×＝－＝－，
∴b＜b′，a＞a′.
滚动训练一(§1～§8)
一、选择题
1.以下四个叙述：①极差与方差都反映了数据的集中程度；②方差是没有单位的统计量；③标准差比较小时，数据比较分散；④只有两个数据时，极差是标准差的2倍，其中正确的是( )
A.①④ B.②③
C.①③ D.②④
考点 极差与方差
题点 极差与方差的应用
答案 A
解析 只有两个数据时，极差等于|x2－x1|，标准差等于|x2－x1|.故④正确.由定义可知①正确，②③错误.
2．关于简单随机抽样，下列说法正确的是( )
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能性抽样．
A．①②③④ B．③④
C．②③ D．①④
答案 A
解析 由简单随机抽样的特征可知．①②③④都正确．
3.如图所示，给出下列说法：
①陆地面积最大的是亚洲；
②南美洲、北美洲、非洲的陆地面积共占全球陆地总面积的50%；
③非洲的陆地面积是全球陆地总面积的五分之一；
④南美洲的陆地面积是大洋洲陆地面积的2倍.
其中正确的说法是( )
A.②③ B.②④
C.①④ D.③
答案 C
解析 南美洲、北美洲和非洲的陆地面积共占全球总面积的48.3%；非洲的陆地面积占全球陆地面积的20.2%，不是五分之一.
4.一个容量为200的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：
组别
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
频数
15
15
20
30
35
组别
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
25
20
15
15
10
则样本数据落在[20,60)上的频率为( )
A.0.11 B.0.5
C.0.45 D.0.55
考点 频率分布表
题点 求指定组的频率
答案 D
解析 由题中表格可知样本数据落在[20,60)上的频数为20＋30＋35＋25＝110，故其频率为＝0.55.
5.已知一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，若样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则( )
A.＝5，s2<2 B.＝5，s2>2
C.>5，s2<2 D.>5，s2>2
答案 A
解析 设(x1＋x2＋…＋x8)＝5，则(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5，∴＝5.由方差的定义及意义可知，加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来增强，∴s2<2，故选A.
6.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为( )
A. B. C.36 D.
考点 茎叶图
题点 平均数、方差的计算
答案 B
解析 根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99，
则[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，
∴x＝4.
∴s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝.
7.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )
A.32 B.0.2
C.40 D.120
答案 A
解析 频率分布直方图中所有小长方形的面积和等于1，则中间小长方形的面积为，也就是中间一组的频率是，中间一组的频数为160×＝32.
8.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A.46,45,56 B.46,45,53
C.47,45,56 D.45,47,53
答案 A
解析 根据茎叶图可知样本中共有30个数据，中位数为46，出现次数最多的数是45，最大数与最小数的差为68－12＝56.故选A.
二、填空题
9.某校高一、高二、高三分别有学生1 600名、1 200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样.若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为________.
答案 70
解析 每层的抽样比为＝.
∴高一、高二共需抽取的学生数为(1 600＋1 200)×＝70.
10.将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m＝________.
答案 20
解析 由题意知第一组的频率为1－(0.15＋0.45)＝0.4，
∴＝0.4，∴m＝20.
11.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的数据，计算得回归方程为y＝0.85x－0.25.由以上信息，可得表中c的值为________.
天数x
3
4
5
6
7
繁殖数量y(千个)
2.5
3
4
4.5
c
答案 6
解析 ＝＝5，＝＝，代入回归方程中得＝0.85×5－0.25，解得c＝6.
三、解答题
12.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100)后画出如下频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
解 (1)众数是最高小矩形底边中点的横坐标，
∴众数为m＝75.
前三个小矩形面积为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4.
∵中位数平分直方图的面积，
∴n＝70＋×10≈73.3.
(2)依题意60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
∴抽样学生成绩的及格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分为
45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
估计这次考试的平均分是71分.
13.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，为样本平均数.
解 (1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，
＝i＝＝2，
又lxx＝－n2＝720－10×82＝80，
lxy＝iyi－n＝184－10×8×2＝24，由此得
b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为
y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).
四、探究与拓展
14.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________.
答案 2
解析 由表中数据计算可得甲＝90，乙＝90，且
s＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，
s＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，
由于s＞s，故乙的成绩较为稳定，其方差为2.
15．现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取多少户？
解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5，
故直方图中x的值是0.007 5.
(2)月平均用电量的众数为＝230.
∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，
设中位数为a，
由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，
得a＝224，即月平均用电量的中位数为224.
(3)月平均用电量在[220,240)内的有0.012 5×20×100＝25(户)，
月平均用电量在[240,260)内的有0.007 5×20×100＝15(户)，
月平均用电量在[260,280)内的有0.005×20×100＝10(户)，
月平均用电量在[280,300)内的有0.002 5×20×100＝5(户)，
抽取比例为＝，
∴月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取25×＝5(户)．
章末复习
学习目标 1.会选择适当的抽样方法获得样本数据.2.能利用统计图、表对样本数据进行整理分析，用样本和样本的数字特征估计总体.3.能利用散点图对两个变量是否相关进行初步判断，能用线性回归方程进行预测.
1.抽样方法
(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法.
(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可用随机数法.
(3)当总体由差异明显的几部分组成时，可用分层抽样法.
2.统计图表的特点及选择方法
(1)在统计过程中收集到的数据量较多时，在用统计图表表示之前，一般需要先将数据按一定的方式进行整理.在此基础上，再根据不同的需要选择适当的统计图进行表示.
(2)如果只需大致判断一些数据的分布规律，了解数据中各元素所占比例的大小情况可以使用扇形统计图.
(3)如果需要根据图表了解各个数据所占的频率可以使用条形统计图.例如，统计一批产品中优等品所占频率.
(4)如果要了解数据的增减情况可以使用折线统计图.例如，统计一个人考试成绩的变化情况.
(5)如果要了解数据的全部信息可以使用茎叶图.例如，篮球比赛的记分.
因此要选择恰当的统计图表直观表达统计的数据，必须把各种统计图表的特点和问题中的需要结合起来，确定选择哪种统计图表.
3.数据的数字特征
(1)分类：样本的数字特征可分为两大类，一类是反映样本数据的集中趋势的，包括样本平均数、中位数、众数；一类是反映样本数据的波动大小的，包括样本方差和标准差，通常我们用样本的数字特征来估计总体的数字特征.
(2)意义：在实际应用中，平均数常被理解为平均水平，标准差常被理解为稳定性，常常将二者结合起来解决问题.
(3)常用公式
①平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn)；
②方差的求法：标准差的平方s2叫作方差，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数；
③标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示.s＝.
4.变量间的相关关系
(1)两个变量之间的相关关系的研究，通常先作变量的散点图，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系).
(2)求线性回归方程的步骤：
①先把数据制成表，从表中计算出，，x，xiyi；
②计算回归系数a，b.公式为
③写出线性回归方程y＝bx＋a.
1.随机数表只有一张，并且读数时只能按照从左向右的顺序读取，否则产生的随机样本就不同了，对整体的估计就不准确了.( × )
2.某企业共有3 200名职工，其中青年、中年、老年职工的比例为3∶5∶2.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则每人被抽到的可能性都为.( √ )
3.一组数据一定存在众数，且不可能有两个众数.( × )
4.一组数据为10,15,8,13,7,9,20,5，则这组数据的中位数为10.( × )
类型一 抽样方法的应用
例1 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，干事20人，上级机关为了了解机关人员对政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？
解 用分层抽样抽取.
∵20∶100＝1∶5，∴＝2，＝14，＝4，
即从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，干事中抽取4人.
∵副处级以上干部与干事人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部采用00,01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人.
反思与感悟 两种抽样方法并非截然分开，它们都能保证个体被抽到的机会相等.
跟踪训练1 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
答案 B
解析 分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本.设从高二年级抽取的学生数为n，
则＝，得n＝8.
类型二 用样本的频率分布估计总体分布
例2 有1个容量为100的样本，数据(均为整数)的分组及各组的频数如下：
[12.5,15.5)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；
[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，10；
[30.5,33.5)，8.
(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；
(3)估计小于30的数据所占的百分比.
解 (1)样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[12.5,15.5)
6
0.06
[15.5,18.5)
16
0.16
[18.5,21.5)
18
0.18
[21.5,24.5)
22
0.22
[24.5,27.5)
20
0.20
[27.5,30.5)
10
0.10
[30.5,33.5)
8
0.08
合 计
100
1.00
(2)频率分布直方图如图：
(3)小于30的数据占0.06＋0.16＋0.18＋0.22＋0.20＋0.10＝0.92＝92%.
反思与感悟 借助图表，可以把抽样获得的庞杂数据变得直观，凸显其中的规律，便于信息的提取和交流.
跟踪训练2 某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.
解 (1)如题图所示，用水量在[0.5,3)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.
∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，
∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.
(2)当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10
＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).
即该市居民该月的人均水费估计为10.5元.
类型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例3 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
(2)分别计算两组数据的平均数及方差；
解 (1)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，
又s>s，
所以乙机床加工零件的质量更稳定.
(2)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
反思与感悟 样本的数字特征就像盲人摸到的象的某一局部特征，只有把它们结合起来才能看到全貌.
跟踪训练3 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图.
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，估计1－2的值.
解 (1)设甲校高三年级学生总人数为n.
由题意，知＝0.05，解得n＝600.
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格的人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－＝.
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为，.
根据样本茎叶图知，
30(－)＝30－30
＝2＋49－53－77＋2＋92
＝15.
因此－＝0.5，
所以1－2的估计值为0.5分.
类型四 线性回归方程的应用
例4 下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
解 (1)散点图如图所示：
(2)＝＝4.5，
＝＝3.5，
xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
x＝32＋42＋52＋62＝86，
∴b＝＝＝0.7，
a＝－b＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
∴所求的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(3)现在生产100吨甲产品用煤
y＝0.7×100＋0.35＝70.35，
∴90－70.35＝19.65.
∴预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤.
反思与感悟 散点图经最小二乘法量化为线性回归方程后，更便于操作(估计、预测)，但得到的值仍是估计值.
跟踪训练4 2018年元旦前夕，某市统计局统计了该市2017年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表：
年收入x(万元)
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食支出y(万元)
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
(1)如果已知y与x成线性相关关系，求线性回归方程；
(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出.
(参考数据：xiyi＝117.7，x＝406)
解 (1)依题意可计算得：＝6，＝1.83，2＝36，
＝10.98，又∵xiyi＝117.7，x＝406，
∴b＝≈0.17，
a＝－b≈0.81，
∴y＝0.17x＋0.81.
∴所求的线性回归方程为y＝0.17x＋0.81.
(2)当x＝9时，y＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元).
可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元.
1.为了了解全校1 320名高一学生的身高情况，从中抽取220名学生进行测量，下列说法正确的是( )
A.样本容量是220 B.个体是每一个学生
C.样本是220名学生 D.总体是1 320
答案 A
解析 个体是每一个学生的身高；样本是220名学生的身高；总体是全校1 320名高一学生的身高.
2.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 设这10个数为a1，a2，…，a10，则有a＋a＋…＋a＝200，且a1＋a2＋…＋a10＝40，
所以
＝
＝＝4，∴标准差为＝2.
3.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如图，则所给结论中错误的是( )
A.甲的极差是29 B.乙的众数是21
C.甲罚球命中率比乙高 D.甲的中位数是24
答案 D
解析 甲的极差是37－8＝29；乙的众数显然是21；甲的平均数显然高于乙，即C成立；甲的中位数应该是23.
4.某农田施肥量x(单位：kg)与小麦产量y(单位：kg)之间的回归方程是y＝4x＋250，则当施肥量为50 kg时，可以预测小麦的产量为________kg.
答案 450
解析 直接将x＝50代入回归方程中，
可得y＝4×50＋250＝450.
5.如图所示是一次考试结果的频率分布直方图，则据此估计这次考试的平均分为________.
答案 75
解析 利用组中值估算平均分，则有＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.1＝75，故估计这次考试的平均分为75.
1.应用抽样方法抽取样本时，应注意根据总体特征和已知信息设计和选择合适的抽样方法，确保样本的代表性.
2.用样本的频率分布估计总体分布
利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计，有时也利用频率折线图和茎叶图对总体情况作出估计.直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状.在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，这给数据的记录和表示都带来方便.
3.用样本的数字特征估计总体的数字特征
为了从整体上更好地把握总体的规律， 我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计.虽然随着样本不同，样本数字特征也不同，但只要样本代表性好，样本数字特征还是能估计总体数字特征的.
4.线性回归方程的应用
分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出线性回归方程，并利用线性回归方程进行估计和预测.
一、选择题
1.下列两个变量间的关系是相关关系的是( )
A.电压一定时，电流与电阻
B.长方形的面积一定时，长与宽
C.正n边形的边数与内角之和
D.汽车的维修费用与行驶里程
答案 D
解析 由变量间相关关系的概念可知，D正确.
2. 从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为( )
A．36% B．72% C．90% D．25%
答案 C
解析 ×100%＝90%.
3.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示(虚线为甲的折线图)，则以下说法错误的是( )
A.甲、乙两人打靶的平均环数相等
B.甲的环数的中位数比乙的大
C.甲的环数的众数比乙大
D.甲打靶的成绩比乙的更稳定
答案 C
解析 将甲、乙两人打靶的环数分别按从小到大的顺序排列，得
甲：6,6,8,8,8,9.
乙：4,6,7,8,10,10.
甲、乙的平均数均为7.5，故A正确；
甲的中位数为8，乙的中位数为7.5，故B正确；
甲的众数为8，乙的众数为10，故C错误；
甲的方差为，乙的方差为，故D正确.
4．总体已经分成A，B，C三层，且A，B，C三层个体数之比为2∶3∶5，现要从总体中抽取一个容量为20的样本，已知A层中用简单随机抽样抽取样本时，甲被抽到的可能性为，则总体的个体数为( )
A．60 B．80
C．100 D．120
答案 B
解析 由已知条件知，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为，∴总体的个体数为20÷＝80.
5．一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为，则第三组的频数为( )
A．24 B．48
C．16 D．32
答案 A
解析 因为频率＝，所以第二、四组的频数都为72×＝16.所以第三组的频数为72－2×8－2×16＝24.
6.一次数学测验，100名学生测验成绩的中位数为85分，说明( )
A.测验成绩为85分的有85人
B.100名学生测验成绩的平均分为85分
C.测验成绩为85分的人最多
D.将这次数学测验成绩排序后，第50名和第51名两位学生成绩的平均数是85分
答案 D
解析 根据中位数、平均数和众数的定义可知，D选项正确.
7.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为( )
A.64 B.54 C.48 D.27
答案 B
解析 前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.
因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38.
所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.故选B.
8.下列说法：
①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 ①错，众数可以有多个；②错，方差可以为0.
9.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为( )
A.，s2＋1002 B.＋100，s2＋1002
C.，s2 D.＋100，s2
答案 D
解析 据已知可得
＝＝＋100，
又s＝
＝s2，故选D.
二、填空题
10.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________.
考点 样本估计总体
题点 用样本的数字特征估计总体的数字特征
答案 甲
解析 甲＝9，乙＝9，
s＝×2＝，s＝×6＝，甲的方差较小，故甲入选.
11.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.
考点 样本估计总体
题点 用样本的数字特征估计总体的数字特征
答案 24 23
解析 甲＝(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24，
乙＝(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23.
12.某电子商务公司对10 000名网络购物者在2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.
考点 样本估计总体
题点 用样本的频率分布估计总体的频率分布
答案 (1)3 (2)6 000
解析 由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
三、解答题
13.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).
(1)由图中数据求a的值；
(2)若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150)三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150)的学生中选取的人数应为多少？
(3)估计这所小学的小学生身高的众数、中位数(保留两位小数)及平均数.
考点 样本估计总体
题点 用样本的频率分布估计总体的频率分布
解 (1)因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1，
所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，
解得a＝0.030.
(2)由频率分布直方图知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150)三组的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150)内的学生人数为10，
所以从身高在[140,150)内选取的学生人数为×10＝3.
(3)根据频率分布直方图知，身高在[110,120)的小矩形最高，
所以这所小学的小学生身高的众数为＝115(cm).
又0.005×10＋0.035×10＝0.4＜0.5，
0.4＋0.030×10＝0.7＞0.5，
所以中位数在[120,130)内，可设为x，
则(x－120)×0.030＋0.4＝0.5，
解得x≈123.33，
所以中位数为123.33 cm.
根据频率分布直方图，计算平均数为
105×0.05＋115×0.35＋125×0.3＋135×0.2＋145×0.1＝124.5(cm).
四、探究与拓展
14.已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a；x4，x5，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵x1，x2，x3的平均数为a，
∴x1，x2，x3的和为3a.
∵x4，x5，…，x10的平均数为b，
∴x4，x5，…，x10的和为7b，
∴样本数据的和为3a＋7b，
样本数据的平均数为，
故选A.
15.某高中的一个综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x(℃)
10
11
13
12
8
6
就诊人数y
22
25
29
26
16
12
该综合实践研究小组确定的研究方案：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
(1)若选取的是1月份与6月份的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y与x之间的线性回归方程；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，问该小组得到的线性回归方程是否理想？
解 (1)设线性回归方程为y＝bx＋a，
∵＝×(11＋13＋12＋8)＝11，＝×(25＋29＋26＋16)＝24，
iyi＝11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1 092，＝112＋132＋122＋82＝498，
∴b＝＝＝，
a＝－b＝24－×11＝－，
∴y与x之间的线性回归方程为y＝x－.
(2)∵当x＝10时，y＝，＜2；
当x＝6时，y＝，＜2，
∴该小组得到的线性回归方程是理想的.
章末检测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2∶3∶2∶4，则该样本中D类产品的数量为( )
A．22 B．33
C．40 D．55
答案 C
解析 根据分层抽样，总体中产品数量比与抽取的样本中产品数量比相等，∴样本中D类产品的数量为110×＝40.
2．已知总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号最方便的是( )
A．1,2，…，106 B．0,1,2，…，105
C．00,01，…，105 D．000,001，…，105
答案 D
解析 由随机数抽取原则可知选D.
3．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的线性回归方程为y＝7.19x＋73.93，用这个方程预测这个孩子10岁时的身高，正确的叙述是( )
A．身高一定是145.83 cm
B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm以下
D．身高在145.83 cm左右
答案 D
解析 回归直线是用来估计总体的，所以我们求的值都是估计值，所以我们得到的结果也是近似的，只要把自变量的值代入线性回归方程即可求得结果为145.83 cm.
4．我市对上下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度(单位：km/h)，并作出茎叶图(如图)：
则上、下班时间行驶时速的中位数分别为( )
A．28与28.5 B．29与28.5
C．28与27.5 D．29与27.5
答案 D
5．某农科所种植的甲、乙两种水稻，连续六年在面积相等的两块稻田中作对比试验，试验得出平均产量是甲＝乙＝415 kg，方差是s＝794，s＝958，那么这两种水稻中产量比较稳定的是( )
A．甲 B．乙
C．甲、乙一样稳定 D．无法确定
答案 A
解析 ∵s6．若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5的平均数和标准差分别为( )
A.，s B．3＋5，s
C．3＋5,3s D．3＋5，
答案 C
解析 ∵x1，x2，…，xn的平均数为，
∴3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5的平均数为3＋5，
s′2＝[(3x1＋5－3－5)2＋…＋(3xn＋5－3－5)2]
＝×32[(x1－)2＋…＋(xn－)2]＝9s2.∴s′＝3s.
7．一组数据中的每一个数据都乘2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )
A．40.6,1.1 B．48.8,4.4
C．81.2,44.4 D．78.8,75.6
答案 A
解析 设原来数据的平均数和方差分别为和s2，则得
8．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60)内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为( )
A．4∶3∶1 B．5∶3∶1
C．5∶3∶2 D．3∶2∶1
考点 频率分布直方图
题点 求频数
答案 B
解析 体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.3，体重在[55,60)内的频率为0.02×5＝0.1，
∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，
∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1，故选B.
9．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
答案 A
解析 频率为(13＋5＋6＋18＋11)＝0.53.
10．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是( )
①平均数≤3；②标准差s≤2；③平均数≤3且标准差s≤2；④平均数≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4.
A．①② B．③④ C．③④⑤ D．④⑤
答案 D
解析 ①②③不符合，④符合，若极差等于0或1，在≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标．⑤符合，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，故选D.
11．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：
分组
[90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150)
频数
1
2
3
10
3
1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的( )
A．30% B．70% C．60% D．50%
答案 B
解析 由数据分布表可知，质量不小于120克的苹果有10＋3＋1＝14(个)，占苹果总数的×100%＝70%.
12．对一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋c(i＝1,2,3，…，n)，其中c≠0，则下面结论中正确的是( )
A．平均数与方差均不变
B．平均数变了，而方差保持不变
C．平均数不变，而方差变了
D．平均数与方差均发生了变化
答案 B
解析 设原来数据的平均数为，将它们改变为xi＋c后平均数为，则＝＋c，而方差s′2＝[(x1＋c－－c)2＋…＋(xn＋c－－c)2]＝s2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，低级职称90人，现采用分层抽样来抽取30人，则抽取的高级职称的人数为________．
答案 3
解析 由题意得抽样比为＝，所以抽取的高级职称的人数为15×＝3.
14．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：
甲：3,4,5,6,8,8,8,10；
乙：4,6,6,6,8,9,12,13；
丙：3,3,4,7,9,10,11,12.
三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲________，乙________，丙________．
答案 众数 平均数 中位数
解析 甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数＝＝8；丙：该组数据的中位数是＝8.
15．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
答案 0.5 0.53
解析 小李这5天的平均投篮命中率
＝＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间＝3.根据表中数据可求得b＝0.01，a＝0.47，故线性回归方程为y＝0.01x＋0.47，将x＝6代入，得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.
16．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温的数据如下表.
气温x(℃)
14
12
8
6
用电量y(度)
22
26
34
38
由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为________．
答案 40
解析 ∵＝(14＋12＋8＋6)＝10，
＝(22＋26＋34＋38)＝30，
∴a＝－b＝30＋2×10＝50，
∴线性回归方程为y＝－2x＋50.
∴当x＝5时，y＝－2×5＋50＝40.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则[30,35)(百元)月工资段应抽出多少人？
解 月工资落在[30,35)(百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，而0.15÷5＝0.03，所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝2∶4∶5∶5∶3∶1，
所以[30,35)(百元)月工资段应抽出×100＝15(人)．
18．(12分)某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间
第二车间
第三车间
女工
173
100
y
男工
177
x
z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？
考点 分层抽样的方法
题点 由各层比例关系求每层抽取个数．
解 (1)依题意有＝0.15，解得x＝150.
(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250，
∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400.
设应从第三车间抽取m名工人，则有＝，
解得m＝20，
∴应在第三车间抽取20名工人．
19．(12分)为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下表是该学生7次考试的成绩.
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
(2)已知该学生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该学生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该学生在学习数学、物理上的合理建议．
解 (1)＝100＋＝100，
＝100＋＝100，
∴s＝142，s＝，从而s>s，
∴物理成绩更稳定．
(2)∵x与y之间具有线性相关关系，
∴b＝0.5，a＝100－0.5×100＝50.
∴线性回归方程为y＝0.5x＋50.
当y＝115时，x＝130.
估计他的数学成绩大约是130分．
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．
20．(12分)为了研究三月下旬的平均气温(x)与四月棉花害虫化蛹高峰日(y)的关系，某地区观察了2012年至2017年的情况，得到下面数据：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
x(℃)
24.4
29.6
32.9
28.7
30.3
28.9
y
19
6
1
10
1
8
已知x与y之间具有线性相关关系，据气象预测该地区在2018年三月下旬平均气温为27℃，试估计2018年四月化蛹高峰日为哪天？
解 由题意知，
≈29.13，＝7.5，x＝5 130.92，
xiyi＝1 222.6，
∴b＝≈－2.2，
a＝－b≈71.6，
∴线性回归方程为y＝－2.2x＋71.6.
当x＝27时，y＝－2.2×27＋71.6＝12.2，据此，可估计该地区2018年4月12日或13日为化蛹高峰日．
21．(12分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高(单位：cm)情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：
组别
频数
频率
[145.5,149.5)
8
0.16
[149.5,153.5)
6
0.12
[153.5,157.5)
14
0.28
[157.5,161.5)
10
0.20
[161.5,165.5)
8
0.16
[165.5,169.5)
m
n
合计
M
N
(1)求出表中字母m，n，M，N所对应的数值；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计该校高一女生身高在[149.5,165.5)范围内的有多少人？
解 (1)由题意得M＝＝50，
落在区间[165.5,169.5)内的数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，
频率为n＝0.08，总频率N＝1.00.
(2)频率分布直方图如图：
(3)该校高一女生身高在[149.5,165.5)之间的比例为0.12＋0.28＋0.20＋0.16＝0.76，则该校高一女生在此范围内的人数为450×0.76＝342.
22．(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药、B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2
3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1
2．3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3
1．4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2
2．7 0.5
(1)根据两组数据完成如图所示的茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
(2)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
解 (1)由观测结果可绘制茎叶图如图．
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好．
(2)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.
由观测结果可得：
＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6，
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．
§1 随机事件的概率
1.1 频率与概率
学习目标 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.3.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题．
知识点一 随机事件
思考 抛掷一粒骰子，下列事件，在发生与否上有什么特点？
(1)向上一面的点数小于7；(2)向上一面的点数为7；
(3)向上一面的点数为6.
答案 (1)必然发生；(2)必然不发生；(3)可能发生也可能不发生．
梳理 事件的概念及分类
事件
确定事件
不可能事件
在某条件下，一定不会发生的事件，叫作相对于此条件的不可能事件
必然事件
在某条件下，一定会发生的事件，叫作相对于此条件的必然事件
随机事件
在某条件下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于此条件的随机事件
知识点二 频数与频率
思考 抛掷一枚硬币10次，正面向上出现了3次，则在这10次试验中，正面向上的频数与频率分别是多少？
答案 频数为3，频率为.
梳理 (1)频率是一个变化的量，但在大量重复试验时，它又具有“稳定性”，在一个“常数”附近摆动．
(2)随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势．
(3)有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情形，但是随着试验次数的增大，频率偏离“常数”的可能性会减小．
知识点三 概率
思考 一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，100次，1 000次，正面向上的频率与0.5相比，有什么变化？
答案 随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近0.5.
梳理 在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．P(A)的范围是0≤P(A)≤1.
1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.( √ )
2．小概率事件就是不可能发生的事件．( × )
3．某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．( × )
4．在一定条件下，频率就是概率．( × )
类型一 事件类型的判断
例1 在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
(3)铁球浮在水中；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15次传呼；
(5)同性电荷相互排斥．
解 由实数运算性质知(1)恒成立是必然事件；(5)由物理知识知同性电荷相斥是必然事件，所以(1)(5)是必然事件．铁球会沉入水中，(3)是不可能事件．由于(2)(4)中的事件有可能发生，也有可能不发生，所以(2)(4)是随机事件．
反思与感悟 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
跟踪训练1 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下次奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过6个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和大于12.
解 由题意知，(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最大是6，两次朝上面的数字之和最大是12，不可能大于12，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
类型二 列举试验结果
例2 某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
解 (1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．
反思与感悟 在写出试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
跟踪训练2 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；(2)从中任取2球．
解 (1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．
类型三 频率与概率的关系
例3 (1)下列说法一定正确的是( )
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
答案 D
解析 A错误，会有意外；B错误，可能6次都不是2；C错误，概率是预测，不一定一定出现．随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关．
(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数
50
100
200
300
500
1 000
优等品数
40
92
192
285
478
954
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
解 ①抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
反思与感悟 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定；
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关．
跟踪训练3 一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数m
2 883
4 970
6 994
8 892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
考点 概率与频率
题点 利用频率估计概率
解 (1)计算即得男婴出生的频率依次约是0.520 0，0.517 3, 0.517 3,0.517 3.
(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( )
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
答案 B
解析 正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件．
2．下列说法正确的是( )
A．任一事件的概率总在(0,1)内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．以上均不对
答案 C
解析 任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.
3．给出关于满足A?B的非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x?A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x?B，则x?A是必然事件．
其中正确的命题是( )
A．①③ B．①③④
C．①②④ D．①④
答案 B
4．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为________．
答案 0.52
解析 ＝0.52.
5．从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个．
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．
其中必然事件是________，不可能事件是________，
随机事件是________．
答案 ⑥ ④ ①②③⑤
解析 从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品、一个次品”，“一个正品、两个次品”．
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
3.写出试验结果时，要按顺序，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
一、选择题
1．下列事件中，不可能事件为( )
A．三角形内角和为180°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
答案 C
解析 若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，故C为不可能事件，而A，B，D均为必然事件．
2．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A．本市明天将有90%的地区降雨
B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
答案 D
解析 降雨概率为90%是指明天降雨这个随机事件发生的可能性为90%，明天也可能不下雨，故选D.
3．下列事件中的随机事件为( )
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．没有水和空气，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，反面向上
D．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾
答案 C
解析 等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件；在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件；抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件；在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．
4．从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是( )
A．次品率小于10% B．次品率大于10%
C．次品率等于10% D．次品率接近10%
答案 D
解析 抽出的样本中次品的频率为，即10%，所以样本中次品率大约为10%，所以总体中次品率大约为10%.
5．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义，这种鱼卵的孵化概率( )
A．约为0.851 3
B．必为0.851 3
C．再孵一次仍为0.851 3
D．不确定
答案 A
解析 这种鱼卵的孵化频率为＝0.851 3，
它近似的为孵化的概率．
6．从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差，共有不同结果的个数为( )
A．4 B．6
C．8 D．12
答案 D
解析 结果：
1－3＝－2,1－6＝－5,1－10＝－9，
3－1＝2,3－6＝－3,3－10＝－7，
6－1＝5,6－3＝3,6－10＝－4，
10－1＝9,10－3＝7,10－6＝4.
即试验的结果：－2,2，－5，－3，－9，－7,5,9,3,7，－4,4.
共12个．
7．下列说法正确的是( )
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上
C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
答案 D
解析 注意概率与概率的区别及正确理解概率的含义是解题的关键．A的结果是频率，不是概率；B，C都没有正确理解概率的含义，D正确．
8．某医院治疗一种疾病的治愈率为，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人治愈的概率是( )
A．1 B. C. D．0
答案 B
解析 每一个病人治愈与否都是随机事件，
故第5个人被治愈的概率仍为.
9．给出下列3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 A
解析 由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确．
二、填空题
10．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
答案 500
解析 设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验．
11．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，不同的结果共有____个．
答案 3
解析 结果：(红球，白球)；(红球，黑球)；(白球，黑球)．
12．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布如下表：
分组
[90，100)
[100，110)
[110，120)
[120，130)
[130，140)
[140，150)
频数
1
2
3
10
3
1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的________%.
答案 70
解析 计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率，来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例．由题意知＝0.7＝70%.
三、解答题
13．在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球，其中有2个白球，1个红球，1个蓝球，每次从袋中摸出一球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据：
摸球次数
10
50
80
100
150
200
250
300
出现红球的频数
2
20
27
36
50
出现红球的频率
30%
26%
24%
(1)请将表中数据补充完整；
(2)如果按照此方法再摸球300次，所得频率与表格中摸球300次对应的频率一样吗？为什么？
(3)试估计红球出现的概率．
解 (1)频数分别是15,65,72；频率分别是20%,25%,27%,24%,25%.
(2)不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化．
(3)频率集中在25%附近，所以估计概率约为0.25.
四、探究与拓展
14．将一骰子抛掷1 200次，估计点数是6的次数大约是________，估计点数大于3的次数大约是________．
答案 200 600
解析 一枚骰子上的6个点数在每次掷出时出现的可能性(即概率)都是，而点数大于3的点数为4,5,6，故点数大于3的可能性(即概率)为＝，故点数是6的次数大约是×1 200＝200，点数大于3的次数大约是×1 200＝600.
15．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：
直径
个数
直径
个数
6.881
6.9326
6.892
6.9415
6.9010
6.958
6.9117
6.962
6.9217
6.972
从这100个螺母中任意抽取一个，求：
(1)事件A(6.92(2)事件B(6.90(3)事件C(d>6.96)的频率；
(4)事件D(d≤6.89)的频率．
解 (1)事件A的频率
f(A)＝＝0.43.
(2)事件B的频率
f(B)＝＝0.93.
(3)事件C的频率f(C)＝＝0.04.
(4)事件D的频率f(D)＝＝0.01.
1.2 生活中的概率
学习目标 1.理解概率的意义，会用概率知识解释现实生活中的概率问题.2.通过概率对实际问题的解释，体会数学与现实世界的联系．
知识点一 正确理解概率的含义
思考 抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率为0.5，是否意味着连续抛2次，一定是一次正面朝上，一次是反面朝上？
答案 抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，它是大量试验得出的一种规律性结果，对具体的几次试验来讲不一定能体现出这种规律性，在连续抛掷一枚硬币两次的试验中，可能两次均正面朝上，也可能两次均反面朝上，也可能一次正面朝上，一次反面朝上．
梳理 随机性与规律性
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性．
知识点二 概率与公平性
思考 一副围棋子共181枚黑子，180枚白子．如果裁判闭目从中任取一枚，指定比赛双方的一方猜黑白，猜对先行，否则让对方先行．这种规则是否公平？
答案 从361枚棋子中任取一枚，取到黑子的概率大，指定一方猜黑，猜对先行的概率大，所以这个规则不公平．
梳理 游戏的公平性
一般地，规则公平的标准是参与各方机会均等，即胜出的概率相等．
知识点三 概率与决策
思考 一个班主任听说自己班里有一个学生迟到了，但不知是谁，他首先猜是那位经常迟到的．他的这种猜想原理是什么？可不可能猜错？
答案 该班主任是把以往迟到的频率当概率，选择迟到概率最大的那位同学．这样猜可能犯错，但猜对的可能性更大．
梳理 概率和日常生活有着密切的联系．对于生活中的随机事件，我们可以利用概率知识作出合理的判断和决策．
1．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品．( × )
2．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是.( × )
3．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．( × )
4．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是.( √ )
类型一 概率的正确理解
例1 下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩， 则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1 张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1 张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
答案 D
解析 一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
反思与感悟 (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，并不是概率大就一定会发生，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
跟踪训练1 某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？
解 从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9，并不意味着射击10次就一定能击中9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为n，其中n为射击次数，而且当n越大时，击中的次数就越接近n.
类型二 概率思想的实际应用
例2 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪一个箱子中取出的？
解 甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是.乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的．所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的．
反思与感悟 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大．
跟踪训练2 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
解 设保护区中天鹅的数量为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，
设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝.
从保护区中捕出150只天鹅，
其中有20只带有记号，
由概率的定义可知P(A)≈.
由≈，解得n≈1 500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500.
类型三 游戏规则的公平性
例3 有四张卡片，分别写有2,3,7,8.规定任意不放回地抽取两张，积是2的倍数则甲获胜，积是3的倍数则乙获胜，如果积是6的倍数则重来．这个游戏规则公平吗？
解 任意抽取2张，可能的结果有6,14,16,21,24,56，且各结果出现的机会均等．所以在一局中甲获胜的概率是＝，乙获胜的概率是，不公平．
反思与感悟 在各类游戏中，如果各方获胜概率相等，那么规则就是公平的．
跟踪训练3 街头有人摆一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时，白方胜，这种游戏对双方公平吗？若不公平，请说明哪方占便宜？
解 两枚骰子点数之和如下表：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种，概率是＝，
两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共24种，
概率是＝.
所以这种游戏不公平，白方比较占便宜.
1．“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买1 000张彩票就一定能中奖
B．买1 000张彩票中一次奖
C．买1 000张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性是
答案 D
2．某学校有教职工400名，从中选出40名教职工组成教工代表大会，每位教职工当选的概率是，其中正确的是( )
A．10个教职工中，必有1人当选
B．每位教职工当选的可能性是
C．数学教研组共有50人，该组当选教职工代表的人数一定是5
D．以上说法都不正确
答案 B
3．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班．按照这个规则，当选概率最大的是( )
A．二班 B．三班
C．四班 D．三个班机会均等
答案 B
4．同时向上抛掷100枚质量均匀的铜板，落地时这100枚铜板全都正面向上，则这100枚铜板更可能是下面哪种情况( )
A．这100枚铜板两面都是一样的
B．这100枚铜板两面是不一样的
C．这100枚铜板中有50枚两面是一样的，另外50枚两面是不一样的
D．这100枚铜板中有20枚两面是一样的，另外80枚两面是不一样的
答案 A
解析 一枚质量均匀的铜板，抛掷一次正面向上的概率为0.5，从题意中知抛掷100枚结果正面都向上，因此这100枚铜板两面是一样的可能性最大．
1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．
2．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
一、选择题
1．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有( )
A．64个 B．6个
C．16个 D．8个
答案 C
解析 80×(1－80%)＝16.
2．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲与乙公司 D．以上都对
答案 B
解析 由于甲公司桑塔纳的比例为＝，
乙公司桑塔纳的比例为＝，
可知乙公司的可能性大些．
3．下列说法正确的是( )
A．某事件发生的频率是1.12
B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1
C．小概率事件是不会发生的，大概率事件必然要发生
D．某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化
答案 B
解析 事件发生的概率是0～1之间的一个确定的数，∴A错；小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，几乎不发生．大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，∴C错；某事件发生的概率为一个常数，不随试验次数的变化而变化，∴D错；B正确．
4．先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大( )
A．至少一枚硬币正面向上
B．只有一枚硬币正面向上
C．两枚硬币都是正面向上
D．两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上
答案 A
解析 抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况．至少有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大．
5．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都随机地选择其中一个选项，则一定有3道选择题结果正确．”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定正确 D．以上都不对
答案 B
解析 虽然答对一道题的概率为，但实际问题中，并不意味着一定答对3道，可能全对，可能对3道，也可能全不对等．
6．一名保险推销员对人们说：“人有可能得病，也可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占50%”，他的说法( )
A．正确 B．有时正确，有时不正确
C．不正确 D．应根据气候等条件确定
答案 C
解析 人虽然有得病与不得病两种情况，但这两种情况出现的机会不同，所以他的说法不正确．
7．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
答案 B
解析 对于A，C，D，甲胜，乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．
8．在下列各事件中，发生的可能性最大的为( )
A．任意买1张电影票，座位号是奇数
B．掷1枚骰子，点数小于等于2
C．有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票
D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球
答案 D
解析 概率分别是PA＝，PB＝，PC＝，PD＝，故选D.
二、填空题
9．给出下列三个结论：
①小王任意买1张电影票，座号是3的倍数的可能性比座号是5的倍数的可能性大；
②高一(1)班有女生22人，男生23人，从中任选1人，则选出的女生可能性大于选出男生的可能性．
③掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上的可能性与反面朝上的可能性相同．
其中正确结论的序号为________．
答案 ①③
10．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则出现一次正面与两次均出现反面的概率之比为________．
答案 2∶1
解析 将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：
(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．
出现一次正面有2种情形，两次均出现反面有1种情形，故答案为2∶1.
11．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498
497 501 502 504 496
497 503 506 508 507
492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为________．
答案 0.25
解析 袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的共有5袋，所以其概率约为＝0.25.
三、解答题
12．假设人的某一特征是由一对基因所决定的，以d代表显性基因，r代表隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd或dr基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征．孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母的基因都是混合性的，求他们的一个孩子显露显性基因决定的特征的概率．
解 如图，由图可知，他们的孩子可能的基因有4种，即dd，dr，rd，rr，它们的概率分别为，，，.当基因为dd，dr，rd时，孩子显露显性基因决定的特征，所以他们的一个孩子显露显性基因决定的特征的概率为.
四、探究与拓展
13．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
解 列表如下：
B
A
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．
因为P(和为6)＝＝，所以甲、乙获胜的概率不相等．
所以这样的游戏规则不公平．如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的．
§2 古典概型
2.1 古典概型的特征和概率计算公式
学习目标 1.理解基本事件的概念并会罗列某一事件包含的所有基本事件.2.理解古典概型的概念及特点.3.会应用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．
知识点一 基本事件
思考 一枚硬币抛一次，可能出现的结果有哪些？
答案 有2个：正面向上，反面向上．
梳理 (1)基本事件
在完全相同的条件下，事件出现的结果往往是不同的，我们把条件每实现一次，叫作进行一次试验．试验的每一个可能结果称为基本事件．
(2)基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
知识点二 古典概型
1．试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；
2．每一个试验结果出现的可能性相同．
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．
知识点三 古典概型的概率公式
思考 在抛掷硬币试验中，如何求正面朝上及反面朝上的概率？
答案 一枚硬币抛掷一次，基本事件共 2个：“正面朝上”和“反面朝上”．且2个基本事件等可能，故“正面朝上”与“反面朝上”的概率都是.
梳理 如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝＝.
1．古典概型是一种计算概率的重要模型．( √ )
2．古典概型有两个重要条件：①基本事件是有限的，每次试验只出现其中的一个结果，②基本事件的发生是等可能的．( √ )
3．在古典概型下，事件A发生的概率不再需要通过大量重复的试验获得．( √ )
类型一 随机试验中基本事件的判定
例1 袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意摸2个小球，以下不是基本事件的是( )
A．正好摸到2个红球 B．正好摸到2个黑球
C．正好摸到2个白球 D．至少摸到1个红球
答案 D
解析 至少1个红球包含：1红1白或1红1黑或2个红球，所以“至少1个红球”不是基本事件，其他事件都是基本事件．
反思与感悟 基本事件不可再分；任何两个基本事件不能同时发生；事件由基本事件构成．
跟踪训练1 连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．
(1)写出这个试验的基本事件；(2)“两正一反”是基本事件吗？
解 (1)记(正，正，正)表示基本事件“3枚硬币正面均向上”，则这个试验的基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
(2)“两正一反”不是基本事件，它是有三个基本事件构成的，即有(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
类型二 基本事件的罗列方法
例2 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？
解 所求的基本事件有6个，
A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，
D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d}．
“取到字母a”是基本事件A，B，C的和，即A＋B＋C.
反思与感悟 罗列基本事件时首先要考虑元素间排列有无顺序，其次罗列时不能毫无规律，而要按照某种规律罗列，比如树状图．
跟踪训练2 做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于8”；
(3)事件“出现点数相等”；
(4)事件“出现点数之和等于7”．
解 (1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．
(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．
类型三 古典概型概率的计算
例3 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？
解 由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A，B，C，D哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4.设答对为随机事件A，由于正确答案是唯一的，所以事件A只包含一个基本事件，所以P(A)＝.
反思与感悟 解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出．
跟踪训练3 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．
解 只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．有1听不合格的有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种；有2听不合格的有(5,6)，共1种，所以检测出不合格产品的概率为＝.
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
解析 该生选报的所有可能情况有{数学和计算机}、{数学和航空模型}、{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个．
2．下列不是古典概型的是( )
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
答案 C
解析 A，B，D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不满足等可能性，故不为古典概型．
3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个．甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率P＝＝.
4．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除的概率为.
5．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________．
答案 0.2
解析 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，所以P＝＝0.2.
1．古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m，n.
2．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．
一、选择题
1．下列是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止，抛掷的次数作为基本事件
答案 C
解析 A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
2．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 列树状图得：
共有12种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况为8种，所以所求概率为.
3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 基本事件的总数为6，
构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，
所以所求概率P＝＝，故选B.
4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设“所取的数中b>a”为事件A，如果把选出的数a，b写成数对(a，b)的形式，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共15个，事件A包含的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝＝.
5．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 从五个数中任意取出两个不同的数，有10个基本事件，若取出的两数之和等于5，则有(1,4)，(2,3)，共有2种，所以取出的两数之和等于5的概率＝.
6．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．其中“摸出2个黑球”的基本事件有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
答案 A
解析 由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．
将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有的基本事件为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)，共6个，其中“摸出2个黑球”的基本事件有3个．
7．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆x2＋y2＝9内的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 掷骰子共有6×6＝36(种)可能情况，而落在x2＋y2＝9内的情况有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种，故所求概率P＝＝.
8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 所有基本事件的个数为6×6＝36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或满足log2xy＝1，故事件“log2xy＝1”包含3个基本事件，所以所求的概率为P＝＝.
二、填空题
9．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________．
答案
解析 用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种．其中，2名都是女同学的包括ab，ac，bc，共3种．故所求的概率为＝.
10．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
答案
解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1,2；2,1；2,4；4,2共4种，故所求的概率为＝.
11．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n的值为________．
答案 2
解析 由题意可知＝，解得n＝2.
三、解答题
12．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．现从袋中任取两球，求两球颜色为一白一黑的概率．
解 设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所包含的基本事件为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个．
两球颜色为一白一黑的基本事件有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．
∴其概率为＝.
13．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．求所取的2道题不是同一类题的概率．
解 将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
四、探究与拓展
14．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得，基本事件共有36种．因此他们“心有灵犀”的概率P＝＝.
15.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，
并说明理由．
解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16，
记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3则事件B包含的基本事件共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以P(C)＝.因为>，
所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率．
2.2 建立概率模型
学习目标 1.认识和理解对于同一个随机试验，可以根据需要来合理建立需要的概率模型.2.学会选用比较简单、适用的概率模型解决实际生活中有关概率的问题．
知识点一 基本事件的相对性
思考 掷一枚均匀的骰子，计算“向上的点数为奇数”的概率，可以怎样规定基本事件？
答案 可以规定向上的点数为1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；也可以规定“向上的点数为奇数”、“向上的点数为偶数”共2个基本事件．
梳理 在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．
知识点二 同一问题的不同概率模型
从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单．
1．基本事件具有相对性．( √ )
2．同一个问题从不同角度可以构建出不同的概率模型．( √ )
类型一 基本事件的相对性
例1 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”，
所以A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
因为事件A由4个基本事件组成，所以P(A)＝＝.
反思与感悟 “有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．
跟踪训练1 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
解 设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．
则事件A包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共18个．
(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P(A)＝＝.
(2)有放回取球时，总的基本事件数为100，故P(A)＝＝.
类型二 概率模型的多角度构建
例2 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球．试计算第二个人摸到白球的概率．
解 方法一 需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．
解题过程如下：用A表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来，如图所示：
由上图可知，试验的所有可能结果数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12种，
故第二个人摸到白球的概率P(A)＝＝.
方法二 把2个白球编上序号1,2，两个黑球也编上序号1,2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示：
由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6种，
故第二个人摸到白球的概率P(A)＝＝.
方法三 由于4个球除颜色外完全相同，如果对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，4个人按顺序依次从袋中摸出一球，所有可能的结果如图所示：
由图可知，试验的所有结果数是6，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这6种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有3种，
故第二个人摸到白球的概率P(A)＝＝.
方法四 只考虑第二个人摸出的球的情况．第二个人可能摸到口袋中的任何一个，共4种结果，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这4种结果出现的可能性相同，其中，摸到白球的结果有2种，
故第二个人摸到白球的概率P(A)＝＝.
反思与感悟 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果更利于模型的建立与解答．
跟踪训练2 假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A，C，J，K，S，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：
(1)女孩K得到一个职位；
(2)女孩K和S各自得到一个职位．
解 5个人仅有3人被录用的结果共有10种，如图所示，
由于5个人被录用的机会相等，
所以这10种结果出现的可能性相同．
(1)女孩K被录用的结果有6种，所以她得到一个职位的概率为.
(2)女孩K和S都被录用的结果有3种，所以K和S各自得到一个职位的概率为.
1．有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌，将牌正面向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 从5张牌中任抽一张，共有5种可能的结果，
抽到红心的可能结果有3种．∴P＝.
2．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图给4块试验田分别标号A1，A2，B1，B2.
基本事件为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，共6种基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”(记为事件A)的基本事件有(A1，B2)，(A2，B1)，共2种．
∴P(A)＝＝，故选D.
3．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设3个元素为a，b，c，则所有子集共8个：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，含2个元素的子集共3个，故所求概率为.
4．在1,2,3,4,5五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是________．
答案
解析 在1,2,3,4,5五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字有10种可能的结果：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，其中两个数字都是奇数包含3种结果：{1,3}，{1,5}，{3,5}，故所求的概率为.
5．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为________.
1
8
9
2
1
2
2
7
9
3
0
0
3
答案 0.4
解析 10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因此，所求的概率为＝0.4.
1．对同一个概率问题，如果从不同的角度去考虑，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而得到古典概型的所有可能的结果越少，问题的解决就越简单．因而在平时的学习中要多积累从不同的角度解决问题的方法，逐步达到活用．
2．基本事件总数的确定方法
(1)列举法：此法适于较简单的试验，就是把基本事件一一列举出来；
(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求；
(3)列表法：列表法也是列举法的一种，这种方法能够清楚地显示基本事件的总数，不会出现重复或遗漏；
(4)分析法：分析法能解决基本事件总数较大的概率问题．
3．在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序”和“无序”，因而常常导致出现“重算”或“漏算”的错误．解决这一问题的有效方法是交换次序，看是否对结果有影响，并合理使用分步法.
一、选择题
1．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 从A，B中任意取一个数，共有6种情形，
两数和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)两种，
∴P＝＝.
2．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，则女同学甲被抽到的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知，在抽出的容量为10的样本中，有×20＝4(名)女同学，每个女同学被抽到的概率是一样的，所以女同学甲被抽到的概率为＝.
3．在5张卡片上分别写1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是( )
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
答案 C
解析 一个数能否被2或5整除取决于个位数字，故可只考虑个位数字的情况．
因为组成的五位数中，个位数共有1,2,3,4,5五种情况，其中个位数为2,4时能被2整除，个位数为5时能被5整除．故所求概率为P＝＝0.6.
4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝.
5．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为＝.
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意设3个兴趣小组分别为A，B，C.试验发生包含的基本事件为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC，共9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P＝＝，故选A.
7．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)，共四种，其中能构成三角形的有(3,5,7)一种，故概率P＝.
8．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 从5张卡片中任取2张有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种结果，而恰好按字母顺序相邻的有AB，BC，CD，DE ,4种结果，故此事件的概率为＝.
二、填空题
9．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________．
答案
解析 设3件正品为A，B，C,1件次品为D，从中不放回任取2件，有以下基本事件：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个．其中恰有1件是次品的基本事件有AD，BD，CD，共3个，故P＝＝.
10．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则他们淋雨的概率为________．
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案
解析 用A，B分别表示下雨和不下雨，用a，b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝.
11．已知x，y∈{0,1,2,3,4,5}，P(x，y)是坐标平面内的点，则点P在x轴上方的概率为________．
答案
解析 由于点P与x轴的位置关系只与纵坐标有关，因此，纵坐标的6种可能结果中，有5种在x轴上方，
所以点P在x轴上方的概率为.
三、解答题
12．一枚质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，抛掷这枚正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．
(1)若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；
(2)若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率．
解 (1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A，抛掷这枚正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有{2,3,4}，{1,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，共有4种情况，
其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，
则P(A)＝.
(2)记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B，两次朝下面上的数字构成的数对共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共6种，则P(B)＝＝.
13．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
其中满足条件n≥m＋2的事件有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率P1＝.
故满足条件n四、探究与拓展
14．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，则两种品牌都齐全的概率________．
答案
解析 3 台甲型电脑为1,2,3,2台乙型电脑为A，B，则所有的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1，A)，(1，B)，(2,3)，(2，A)，(2，B)，(3，A)，(3，B)，(A，B)，共10个．记事件C为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的事件有6个，所以P(C)＝＝.
15．袋中装有球，从袋中不放回地取球，有三种游戏规则，具体规则如下：
规则编号
游戏①
袋中球数
1个红球和1个白球
规则
取1个球，取出的球是红球，则获胜
规则编号
游戏②
袋中球数
2个红球和2个白球
规则
取2个球，取出的球同色，则获胜
规则编号
游戏③
袋中球数
3个红球和1个白球
规则
取2个球，取出的球不同色，则获胜
若每个同学可选择参加两项游戏，则你选择哪两项游戏？并说出理由．
解 游戏①获胜的概率P1＝；游戏②获胜的概率P2＝＝；游戏③获胜的概率P3＝＝，
所以选择参加游戏①与③.
2.3 互斥事件
学习目标 1.了解互斥事件、事件A＋B及对立事件的概念和实际意义.2.能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立.3.学会用互斥事件概率加法公式计算一些事件的概率．
知识点一 互斥事件
思考 从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，“抽到红桃”与“抽到方块”能否同时发生？
答案 不能．
梳理 在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．
知识点二 事件A＋B
给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．
知识点三 互斥事件概率加法公式
思考 一枚均匀的骰子抛掷一次，记事件A＝“向上的点数大于2”；B＝“向上的点数大于3”；
则P(A＋B)是否等于P(A)＋P(B)?
答案 A＋B即：向上的点数大于2，
∴P(A＋B)＝＝，
而P(A)＝，P(B)＝，
P(A)＋P(B)＝≠P(A＋B)．
梳理 互斥事件概率加法公式
(1)在一个随机试验中，如果随机事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(2)如果随机事件A1，A2，…，An中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
知识点四 对立事件
思考 从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，记A＝“抽到红色牌”；B＝“抽到黑色牌”，则A，B的关系与知识点一思考中两事件关系有何异同？
答案 共同点：都不能同时发生；不同点：在一次试验中，A，B必有一个发生．
梳理 在同一次试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作；对立事件概率公式P()＝1－P(A)．
1．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．( × )
2．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．( √ )
3．若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.( √ )
类型一 事件的关系与判断
例1 判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．
解 (1)是互斥事件．
理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．
(2)不是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．
(3)不是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．
(4)是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．
反思与感悟 如果A，B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A，B这两个事件所含结果组成的集合交集为空集．
跟踪训练1 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环；
事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6,7,8,9,10环．
解 A 与C 互斥(不可能同时发生)，B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件(至少一个发生)．
类型二 概率的加法公式
例2 从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A＝“抽到的是一等品”，事件B＝“抽到的是二等品”，事件C＝“抽到的是三等品”，且P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05.求下列事件的概率：
(1)事件D＝“抽到的是一等品或三等品”；
(2)事件E＝“抽到的是二等品或三等品”．
解 (1)事件D即事件A＋C，因为事件A＝“抽到的是一等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，
由互斥事件的概率加法公式知，P(D)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.7＋0.05＝0.75.
(2)事件E即事件B＋C，因为事件B＝“抽到的是二等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，
由互斥事件的概率加法公式知，
P(E)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.1＋0.05＝0.15.
反思与感悟 在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”．
跟踪训练2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．
解 分别记小明的成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
小明考试及格的概率为P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
类型三 对立事件的概率
例3 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示，随机选取1个成员：
(1)他至少参加2个小组的概率是多少？
(2)他参加不超过2个小组的概率是多少？
解 (1)从题图可以看出，3个课外兴趣小组总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，
则就表示“选取的成员至少参加2个小组”，
所以P()＝1－P(A)＝1－＝＝0.6.
因此，随机选取1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.
(2)用B表示事件“选取的成员参加3个小组”，
则就表示“选取的成员参加不超过2个小组”，
所以P()＝1－P(B)＝1－＝.
所以随机选取的1个成员参加不超过2个小组概率等于.
反思与感悟 求复杂事件的概率通常有两种方法：
一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；
二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
跟踪训练3 某战士射击一次，若事件A＝“中靶”的概率为0.95，事件B＝“中靶环数大于5”的概率为0.7.
(1)的概率为多少？
(2)事件C＝“中靶环数小于6”的概率为多少？
(3)事件D＝“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？
解 (1)因为A与互为对立事件，
所以P()＝1－P(A)＝0.05.
(2)事件B与事件C互为对立事件，
所以P(C)＝1－P(B)＝0.3.
(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P(D)＝P(C)－P()＝0.3－0.05＝0.25.
1．给出以下结论：
①互斥事件一定对立；
②对立事件一定互斥；
③互斥事件不一定对立；
④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；
⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；
又当A＋B＝A时，P(A＋B)＝P(A)，∴④错；
只有当A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，
∴⑤错．
2．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
答案 C
解析 由于只有一本语文书，甲、乙两同学不可能同时得到，所以这两个事件为互斥事件．又因为甲、乙可以都得不到语文书，所以这两事件不是对立事件．
3．在同一事件下，若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．以上答案都不对
答案 C
4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是( )
A．至少有一个红球；都是红球
B．至少有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；至少有一个白球
D．恰有一个红球；恰有两个红球
答案 D
解析 可以先考虑哪几对事件是互斥的，然后从中排除还是对立的事件后，即可获得互斥而不对立的事件．
在各选项所涉及的四对事件中，仅选项B和D中的两对事件是互斥事件．同时，又可以发现选项B所涉及事件是一对对立事件，而D中的这对事件可以都不发生，故不是对立事件．
5．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是，乙队胜的概率是，则甲队胜的概率是________．
答案
解析 记甲队胜为事件A，
则P(A)＝1－－＝.
1．互斥事件与对立事件的判定
(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，也即A＝?IB或B＝?IA；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.
2．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.
一、选择题
1．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于( )
A．0.3 B．0.2
C．0.1 D．不确定
答案 D
解析 由于不能确定A与B是否互斥，所以P(A＋B)的值不能确定．
2．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
答案 C
解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．
3．从1,2，…，9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述几对事件中是对立事件的是( )
A．① B．②④ C．③ D．①③
答案 C
解析 从1,2，…，9中任取两个数，有以下三种情况：
(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．①中“恰有一个偶数”和“恰有一个是奇数”是同一个事件，因此不互斥也不对立；②中“至少有一个是奇数”包括“两个都是奇数”这个事件，可以同时发生，因此不互斥也不对立；④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”，可以同时发生，因此不互斥也不对立；③中是对立事件，故选C.
4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85(g)范围内的概率是( )
A．0.62 B．0.38
C．0.02 D．0.68
答案 C
解析 设“质量小于4.8g”为事件A，“质量小于4.85 g”为事件B，“质量在4.8 g～4.85 g”为事件C，则A＋C＝B，且A，C为互斥事件，所以P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.
5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则A，B，C，D，E互斥，取到理科书的概率为事件B，D，E概率的和．
∴P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.
6．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50A. B. C. D.
答案 A
解析 由于空气质量达到良或优包含污染指数T≤100，由互斥事件概率的加法公式，得该城市2017年空气质量达到良或优的概率为＋＋＝.
7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，
事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式，
可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝＝.
8．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是( )
A．都是一级品
B．都是二级品
C．一级品和二级品各1件
D．至少有1件二级品
答案 D
解析 基本事件总数为10,2件都是一级品包含的基本事件有3种，因此至少有1件二级品的基本事件有7种，故“至少有1件二级品”的概率为.
二、填空题
9．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是________．
答案
解析 记“同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点”的事件为A，则P(A)＝，至少有一个5点或6点的事件为B.
则A与B是对立事件，
所以P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故至少有一个5点或6点的概率为.
10．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，则“3个球中既有红球又有白球”的概率为________．
答案
解析 记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，
所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
11．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
答案 120
解析 可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－＝.
再由题意，知n－n＝12，解得n＝120.
三、解答题
12．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
解 (1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．
故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，
则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A1)＋P(A2)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
13．玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；
(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．
解 方法一 (1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，
所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
方法二 (1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A＋B的对立事件为C＋D，所以P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)
＝1－－＝，
即“取出1个球为红球或黑球”的概率为.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A＋B＋C的对立事件为D，
所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－＝，
即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为.
四、探究与拓展
14．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________.
答案
解析 由题意知P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1－＝.又P(A)＝2P(B)，联立方程组解得P(A)＝，P(B)＝，故P()＝1－P(A)＝.
15．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．
解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的．
由题意，得
即
解得
故取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是.
滚动训练二(§1～§2)
一、选择题
1．抛掷一枚骰子，落地时向上的点数是5的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 掷一次骰子相当于做一次试验，因为骰子是均匀的，它有6个面，每个面朝上的机会是均等的，所以出现5点的概率是.
2．某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6环，7环，8环，9环，10环的概率依次为0.10,0.20,0.30,0.15，0.05，则该人射击命中的概率为( )
A．0.50 B．0.60
C．0.70 D．0.80
答案 D
解析 ∵某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，
∴该人射击命中的概率P＝1－0.20＝0.80.故选D.
3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
答案 C
解析 该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．
4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别记为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别记为b1，b2，b3，
齐王与田忌赛马，其情况有：
(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；
(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜，共6种．
其中田忌获胜的只有一种(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，
则田忌获胜的概率为，故选D.
5．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
答案 B
解析 E1与E3，E1与E4均为互斥而不对立的事件．
6.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 按规则，小青蛙跳动一次，可能的结果共有4种，跳动三次，可能的结果共有16种，而三次跳动后首次跳到5的只有3－1－3－5,3－2－3－5,3－4－3－5,3种可能，所以，它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是.
7．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4,5的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，球的标号分别记作a，b，每个球被取出的可能性相等，则|a－b|≤1的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 所有的数对(a，b)共有5×5＝25个，而满足|a－b|≤1的数对(a，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共13个，
故|a－b|≤1的概率为.故选B.
8．已知集合A＝{－5，－3，－1,0,2,4}，在平面直角坐标系中，点(x，y)的坐标满足x∈A，y∈A，且x≠y，则点(x，y)不在x轴上的概率( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为x∈A，y∈A，且x≠y，所以x有6种可能，y有5种可能，所以试验的所有结果有6×5＝30(种)，且每种结果的出现是等可能的．
设事件A为“点(x，y)不在x轴上”，那么y≠0，有5种可能，x有5种可能，事件A包含基本事件个数为5×5＝25种．因此所求事件的概率为P(A)＝＝.
9．将一枚均匀的硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面向上的概率是( )
A. B. C. D．1
答案 C
解析 将一枚硬币先后抛掷两次包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，至少出现一次正面向上包含了3种基本事件，故所求概率为.
二、填空题
10．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为________．
答案
解析 可能构成的两位数有20个，其中大于40的两位数有41,42,43,45,51,52,53,54，共8个，
所以所求概率P＝＝.
11．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽5件，记A为“恰有1件次品”，B为“至少有2件次品”，C为“至少有1件次品”，D为“至多有1件次品”．现给出下列结论：①A＋B＝C；②B＋D是必然事件；③A＋C＝B；④A＋D＝C.
其中正确的结论为________．(写出序号即可)
答案 ①②
解析 由互斥、对立事件的概念得A＋B＝C，故③错；A＋D表示“至多有1件次品”，所以④错．
12．甲、乙两名围棋选手在一次比赛中，甲胜的概率比乙胜的概率高0.05，和棋的概率为0.59，则乙胜的概率为________．
答案 0.18
解析 设乙胜的概率为P，则甲胜的概率为P＋0.05，和棋的概率为0.59，所以P＋P＋0.05＋0.59＝1，故P＝0.18.
三、解答题
13．现有甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的．
(1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；
(2)求甲、乙在同一个社团，且丙、丁不在同一个社团的概率．
解 甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社与街舞社的情况如下，
文学社
街舞社
1
甲乙丙丁
2
甲乙丙
丁
3
甲乙丁
丙
4
甲丙丁
乙
5
乙丙丁
甲
6
甲乙
丙丁
7
甲丙
乙丁
8
甲丁
乙丙
9
乙丙
甲丁
10
乙丁
甲丙
11
丙丁
甲乙
12
甲
乙丙丁
13
乙
甲丙丁
14
丙
甲乙丁
15
丁
甲乙丙
16
甲乙丙丁
共有16种情形，即有16个基本事件．
(1)文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个，则都至少有1人参加的基本事件有14个，概率为＝，
即文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为.
(2)甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，概率为＝.
四、探究与拓展
14．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
解 (1)设(i，j)表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，则甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种．
(2)甲抽到红挑3，乙抽到的牌只能是红桃2，红桃4，方片4.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为.
(3)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，∴甲胜的概率P1＝，乙胜的概率P2＝.∵<，∴此游戏不公平．
15．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a，b)．
(1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数y＝f(x)有零点的概率；
(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解 (1)(a，b)共有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，15种情况．
函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况满足条件．
所以函数y＝f(x)有零点的概率为＝.
(2)因为a>0，函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝，在区间[1，＋∞)上是增函数，所以有≤1，满足条件的(a，b)有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种．所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为.
章末复习
学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.
1．频率与概率
频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．
2．事件的分类
事件
3．概率的性质
(1)必然事件的概率为1.
(2)不可能事件的概率为0.
(3)随机事件A的概率为04．古典概型的特征及计算公式
(1)有限性：试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果．
(2)等可能性：每一个试验结果出现的可能性相同．
(3)古典概型的计算公式
P(A)＝＝.
5．(1)互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(2)对立事件：一般地，在一次试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件称为对立事件．P(A＋)＝1，
即P(A)＝1－P()．
1．两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件．( × )
2．“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．( × )
3．在古典概型中，如果事件A的基本事件构成集合A，试验的所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为(card(A)表示集合A中的元素个数)．( √ )
类型一 频率与概率
例1 对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进多少个U盘？
解 (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进2 041个U盘．
反思与感悟 概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．
跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
解 (1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，
故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约是300×0.9＝270.
(3)由概率的意义可知，概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．
类型二 互斥事件与对立事件
例2 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
解 (1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，A，B互斥，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.由于投保金额为2 800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为
P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
反思与感悟 在求有关事件的概率时，对事件恰当的分解，不重不漏，利用互斥事件运算法则求解，若从正面分析包含的事件较多或较烦琐，则可以从反面入手，利用对立事件求解．
跟踪训练2 (1)中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会女子乒乓球单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
答案
解析 甲夺得冠军与乙夺得冠军不可能同时发生，因此它们是互斥事件，故所求事件的概率为＋＝.
(2)某射手在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：
①射中10环或9环的概率；
②至少射中7环的概率；
③射中环数不足8环的概率．
解 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”分别为事件A，B，C，D，E.
①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，
即射中10环或9环的概率为0.52.
②方法一 P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，
即至少射中7环的概率为0.87.
方法二 “射中7环以下”为“至少射中7环”的对立事件，所以所求事件的概率为1－P(E)＝1－0.13＝0.87.
③P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，
即射中环数不足8环的概率为0.29.
类型三 古典概型
例3 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
解 (1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，
故该样本的一等品率为＝0.6，
从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
跟踪训练3 有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券．
(1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；
(2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率．
解 (1)把4张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(a，b)表示“第一次取出a号债券，第二次取出b号债券”，则所有可能的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种．
用C表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，则表示“有放回地从债券中任取2张，取出的2张中至少有1张是中奖债券”，则C＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，所以P()＝1－P(C)＝1－＝.
(2)无放回地从债券中任取2张，则所有可能的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种．
用D表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张都不是中奖债券”，则表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张至少有1张是中奖债券”，
则D＝{(1,2)，(2,1)}．
所以P()＝1－P(D)＝1－＝.
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4℃时结冰．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4℃时结冰是不可能事件．故选C.
2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．必然事件
答案 B
解析 根据题意知，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
3．下列试验属于古典概型的有( )
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；
②在公交车站候车不超过10分钟概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出“两正”“两反”“一正一反”的次数；
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
答案 A
解析 古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.
4．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．
答案
解析 共有4个事件“甲、乙同住房间A，甲、乙同住房间B，甲住A乙住B，甲住B乙住A”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是.
1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．
2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：
(1)本试验是不是等可能的？
(2)本试验的基本事件有多少个？
(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．
一、选择题
1．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：
“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
答案 A
解析 从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，基本事件为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑．除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立．②符合，理由同上．③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥．
2．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 把白球编号为1,3,5，黑球编号为2,4,6.从中任取2个，基本事件为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15个．其中至多一个黑球的事件有12个．由古典概型公式得P＝＝.
3．有一种竞猜游戏，游戏规则为：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额，其余商标牌的背面是一张笑脸，若翻到笑脸，则不得奖，参加这个游戏的人有三次翻牌的机会．某人前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么此人第三次翻牌获奖的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意知，第三次翻牌时，还有18个商标牌，其中有奖的商标牌还有3个，故所求概率P＝＝.
4．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，则( )
A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3
C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1
答案 B
解析 点数之和为12的事件为(6,6)，P(12)＝，同理P(11)＝，P(10)＝.
5．在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 在三棱锥的六条棱中任意选择两条，
所有的选法共有15种．
其中，所选两条棱是一对异面直线的选法有3种，
即三棱锥的3对对棱，
故所求事件的概率为＝.
6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 共可组成10条线段，其中小于边长的有4条，故不小于边长的有6条，所以不小于边长的概率为.
7．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一个点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A＋B)等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 事件A＋B为“向上的点数是奇数或向上的点数不超过3”，共包含点数为1,2,3,5四种情况，
所以P(A＋B)＝＝，故选C.
8．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3,5，第三组有3个数为7,9,11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由已知可得，前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45(个)奇数，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中恰为3的倍数的数有93,99,105共3个，故所求概率为P＝.
二、填空题
9．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
答案
解析 两本数学书编号为1,2，语文书编号为3.则共有123,132,231,213,312,321,6个基本事件.2本数学书相邻的有4个．
10．集合A＝{2,4,6,8,10}，集合B＝{1,3,5,7,9}，在集合A中任取一个元素m和在集合B中任取一个元素n，则所取两数m>n的概率是________．
答案 0.6
解析 基本事件总数为5×5＝25，当m＝2时，n＝1；当m＝4时，n＝1,3；当m＝6时，n＝1,3,5；当m＝8时，n＝1,3,5,7；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9.
共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．
∴P＝＝0.6.
11．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
答案
三、解答题
12．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解 记事件A1＝{任取1球为红球}，事件A2＝{任取1球为黑球}，事件A3＝{任取1球为白球}，事件A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，
P(A3)＝，P(A4)＝.
由题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
方法一 P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
方法二 P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
13．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解 (1)由题意得，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
四、探究与拓展
14．设集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，从集合A和B中各随机取一个数，分别记为a，b，从而确定平面上的一个点P(a，b)，设“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(0≤n≤4，n∈N)．若事件Cn的概率最大，则n的值为________．
答案 2
解析 基本事件为：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9个．
当n＝0时，落在直线x＋y＝0上的点只有(0,0)；
当n＝1时，落在直线x＋y＝1上的点有(0,1)，(1,0)，
共2个；
当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点只有(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3个；
当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点只有(1,2)，(2,1)，共2个；
当n＝4时，落在直线x＋y＝4上的点只有(2,2)．
因此，当事件Cn的概率最大时，n＝2.
15．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)，畅通；T∈[2,4)，基本畅通；T∈[4,6)，轻度拥堵；T∈[6,8)，中度拥堵；T∈[8,10]，严重拥堵．在晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．
(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．
解 (1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，
轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，
中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，
严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个)．
(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为×6＝2，×9＝3，×3＝1，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，抽取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，抽取的1个严重拥堵路段为C1，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，共9种．
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为＝.
章末检测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是( )
①选出的1人是班长的概率为；
②选出的1人是男生的概率是；
③选出的1人是女生的概率是；
④在女生中选出的1人是班长的概率是0.
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
答案 D
解析 该班共有40人，1人为班长，故选出的1人为班长的概率为；选出的1人是男生的概率为＝；选出的1人为女生的概率为＝；因为班长是男生，所以在女生中选出的1人是班长为不可能事件，概率为0.
2．利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 总体个数为N，样本容量为M，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝.
3．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案 A
解析 由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．
4．甲、乙两人每人可以用手出0,5,10三种数字，同时可以喊0,5,10,15,20五种数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时为胜，若甲喊10，乙喊15，则( )
A．甲胜的概率大 B．乙胜的概率大
C．甲、乙胜的概率一样大 D．不能确定
答案 A
解析 甲、乙两人用手共有9种出法，其中和为10的出法有3种，和为15的出法有2种，故甲胜的概率大．
5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，有10种方法．能成为勾股数的只有3,4,5一组，∴P＝.
6．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是( )
A．P(M)＝，P(N)＝
B．P(M)＝，P(N)＝
C．P(M)＝，P(N)＝
D．P(M)＝，P(N)＝
答案 D
解析 U＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，
M＝{(正，反)，(反，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P(M)＝，P(N)＝.
7．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为的是( )
A．颜色相同 B．颜色不全同
C．颜色全不同 D．无红球
答案 B
解析 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不同的结果有3种，其概率为＝；无红球的结果有8种，其概率为.故选B.
8．已知口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是( )
A．0.42 B．0.28
C．0.3 D．0.7
答案 C
解析 因为“摸出黑球”的对立事件是“摸出红球或摸出白球”，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.
9．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i＝0,1,2，…，9)；(1，i)(i＝0,1,2，…，9)；(2，i)(i＝0,1,2，…，9)；…；(9，i)(i＝0,1,2，…，9)，故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种．故所求概率为.
10．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任选2人，则至少有1名优秀工人的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由茎叶图可知6名工人日加工的零件个数为17,19,20,21,25,30.平均数为×(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，因为日加工零件个数大于22的为25,30，
所以优秀工人有2人．
从该车间6名工人中，任取2人共有15种取法：(17,19)，(17,20)，(17,21)，(17,25)，(17,30)，(19,20)，(19,21)，(19,25)，(19,30)，(20,21)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30)．
其中至少有1名优秀工人的共有9种取法：(17,25)，(17,30)，(19,25)，(19,30)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30)．由概率公式可得P＝＝.故选C.
11．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 每一个图形有2种涂法，总的涂色种数为23＝8，三个图形颜色完全相同的有2种(全是红或全是蓝)，
则三个图形颜色不全相同的涂法种数为8－2＝6.
∴三个图形颜色不全相同的概率为＝.
故选A.
12．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
答案 A
解析 由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，
所以甲获胜的概率是＋×＝，
乙获胜的概率是×＝.
所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张)，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为________．
答案
解析 用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝＝.
14．袋中有3只白球和a只黑球，从中任取1只，是白球的概率为，则a＝________.
答案 18
解析 ∵＝，∴a＝18.
15．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．
答案
解析 第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为.
16．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A∪发生的概率为________．( 表示B的对立事件)
答案
解析 事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与是互斥的，故P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表(单位：人 )：
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
解 (1)记“该同学至少参加上述一个社团”为事件A，
则P(A)＝＝.
所以该同学至少参加上述一个社团的概率为.
(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基本事件有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共15个，其中A1被选中且B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率P＝.
18．(12分)M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩(单位：分)如茎叶图所示，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．
(1)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数；
(2)如果用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”的概率是多少？
解 (1)男生共有14人，中间两个成绩是175和176，因此男生成绩的中位数是175.5.
女生成绩的平均数＝＝181.
(2)用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是＝.
根据茎叶图，“甲部门”有8人，“乙部门”有12人．
所以选中的“甲部门”的有8×＝2(人)，“乙部门”的有12×＝3(人)．
记选中的“甲部门”的为A1，A2，选中的“乙部门”的为B，C，D.从这5人中选2人的所有可能情况为
(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种．
其中至少有一人是“甲部门”的结果有7种．
因此，至少有一人是“甲部门”的概率是.
19．(12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解 (1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25(种)，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种情况，
∴P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13个．即(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为.
所以这种游戏规则不公平．
20．(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，
所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4种，
故所求概率P＝＝.
21．(12分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
解 (1)从8人中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18个基本事件，这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，事件M由6个基本事件组成，
因而P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件由3个基本事件组成，所以P()＝＝，所以由对立事件的概率公式，得P(N)＝1－P()＝1－＝.
22．(12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
解 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b包含的基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，
∴＝1，整理得a2＋b2＝25.
由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4或a＝4，b＝3两种情况．
∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是＝.
(2)∵三角形的一条边长为5，三条线段围成等腰三角形，
∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝3时，b＝3,5，共2个基本事件；
当a＝4时，b＝4,5，共2个基本事件；
当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；
当a＝6时，b＝5,6，共2个基本事件；
∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14(个)．
∴三条线段能围成等腰三角形的概率为＝.
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是( )
A．一个算法只能含有一种逻辑结构
B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构
C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构
D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合
考点 算法的概念
题点 算法概念的辨析
答案 D
解析 任何一种算法都是由上述三种逻辑结构组成的，它可以含有三种结构中的一种、两种或三种．
2．下面算法语句若输出的结果为4，则输入的x值可能是( )
输入 x；
y＝x2＋2*x+1
输出y.
A．1 B．－3 C．－1 D．1或－3
答案 D
解析 由x2＋2x＋1＝4，得x＝1或x＝－3.
3．阅读下面的算法框图：若输出结果为0，则①处的执行框内应填的是( )
A．x＝－1 B．b＝0 C．x＝1 D．a＝
答案 A
解析 先确定执行框内是给x赋值然后倒着推，b＝0时，2a－3＝0，a＝，a＝时，2x＋1＝，x＝－1.
4．如图所示，算法框图的输出结果是( )
A．3 B．4 C．5 D．8
答案 B
解析 当x＝1，y＝1时，满足x≤4，则x＝2，y＝2；
当x＝2，y＝2时，满足x≤4，则x＝2×2＝4，y＝2＋1＝3；
当x＝4，y＝3时，满足x≤4，则x＝2×4＝8，y＝3＋1＝4；
当x＝8，y＝4时，不满足x≤4，则输出y＝4.
5．执行如图所示的算法框图，若输出的k＝5，则输入的整数p的最大值为( )
A．7 B．15 C．31 D．63
考点 三种结构的综合应用
题点 解读算法框图求输入条件
答案 B
解析 由算法框图可知：①S＝0，k＝1；②S＝1，k＝2；③S＝3，k＝3；④S＝7，k＝4；⑤S＝15，k＝5，输出k，此时S＝15≥p，则p的最大值为15，故选B.
6．执行如图所示的算法框图，则输出的k的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 由题意，得k＝1时，s＝1；k＝2时，s＝1＋1＝2；k＝3时，s＝2＋4＝6；k＝4时，s＝6＋9＝15；k＝5时，s＝15＋16＝31>15，此时输出的k值为5.
7．若如图所示算法框图的功能是计算1××××的结果，则在空白的执行框中应该填入( )
A．T＝T·(i＋1) B．T＝T·i
C．T＝T· D．T＝T·
考点 循环结构
题点 循环结构步骤的完善及补充
答案 C
解析 算法框图的功能是计算1××××的结果，依次验证选项可得C正确．
8．有算法语句如图，其运算的结果是( )
S＝0
For i＝1 To 3
A＝0
For j＝1 To 4
A＝A＋
Next
S＝S＋A
Next
输出S.
A．12 B．3 C．4 D.
答案 D
解析 本题是两个循环语句的嵌套，特别要注意在内循环中i的值．
9．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，输出的S的值等于( )
A．18 B．20 C．21 D．40
答案 B
解析 由题意，得S＝0，n＝1；S＝0＋2＋1＝3<15，n＝2；S＝3＋22＋2＝9<15，n＝3；S＝9＋23＋3＝20，n＝4，因为20≥15，因此输出S.故选B.
10．下面算法语句运行后，输出的值是( )
i＝0
Do
i＝i＋1
Loop While i*i<2 000
i＝i－1
输出i.
A．42 B．43 C．44 D．45
答案 C
解析 程序功能是求使i2<2 000成立的最大i值，输出结果为i－1，
∵442＝1 936,452＝2 025>2 000，
∴输出结果为44.
11．执行如图所示的算法框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )
A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤
答案 C
解析 由s＝0，k＝0满足条件，则k＝2，s＝，满足条件；k＝4，s＝＋＝，满足条件；k＝6，s＝＋＝，满足条件；k＝8，s＝＋＝，不满足条件，输出k＝8，所以应填“s≤”．
12．执行下面的算法框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 D
解析 M＝×2＝2，S＝2＋3＝5，k＝2；
M＝×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝3，
此时k＞t，结束循环，输出S＝7，故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．执行如图算法框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为 ．
考点 三种结构的综合应用
题点 由输入条件求输出结果
答案 3
解析 第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，a第2次循环：i＝2，a＝3，b＝6，a第3次循环：i＝3，a＝6，b＝3，a>b，
输出i的值为3.
14．执行如图所示的算法框图，若输入x＝9，则输出y＝ .
答案
解析 x＝9时，y＝＋2＝5，|y－x|＝|5－9|＝4<1不成立；x＝5时，y＝＋2＝，|y－x|＝＝<1不成立；x＝时，y＝＋2＝，|y－x|＝＝<1成立，输出y＝.
15．执行如图所示的算法框图，若输入n＝10，则输出S＝ .
答案
解析 执行第一次循环后，S＝，i＝4；
执行第二次循环后，S＝，i＝6；
执行第三次循环后，S＝，i＝8；
执行第四次循环后，S＝，i＝10；
执行第五次循环后，S＝，i＝12，此时i≤n不成立，退出循环，输出S＝.
16．如图是一个算法框图，则输出的k的值是 ．
答案 5
解析 由算法框图逐次循环可得：
第1次循环k＝1，则12－5×1＋4＝0，否；
第2次循环k＝2，则22－5×2＋4＜0，否；
第3次循环k＝3，则32－5×3＋4＜0，否；
第4次循环k＝4，则42－5×4＋4＝0，否；
第5次循环k＝5，则52－5×5＋4＞0，是．
故输出k的值为5.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)写出求过点P1(1,1)，P2(m,0)的直线斜率的算法．
解 算法步骤如下：
1．输入m.
2．若m＝1，则执行第3步，若m≠1，则执行第4步．
3．输出“直线斜率不存在”．
4．计算k＝.
5．输出k.
18．(12分)某中学高中三年级男子体育训练小组2013年5月测试的50米跑的成绩(单位：s)如下：6.4，6.5，7.0，6.8，7.1,7.3,6.9,7.4,7.5，设计一个算法框图．从这些成绩中搜索出小于6.8 s的成绩．
解 算法框图如图：
19．(12分)根据下面的算法语句画出相应的算法框图．
S＝1
n＝1
Do
S＝S*n
n＝n＋1
Loop While S<1 000
输出n.
解 算法框图如图所示：
20．(12分)已知函数y＝编写一个算法语句，对于输入的每一个x的值，都能得到相应的函数值，并写出算法步骤，画出算法框图．
解 算法步骤如下：
1．输入x值；
2．判断x的范围，若x≥0，则y＝x2－3，否则y＝2x2－6；
3．输出y值．
算法框图如图所示：
算法语句如下：
输入x；
If x>＝0 Then
y＝x*x－3
Else
y＝2*x*x-6
End If
输出y.
21．(12分)下面是某个问题的算法，将其改为算法语句，并画出算法框图．
算法：
(1)令i＝1，S＝0；
(2)若i≤999成立，则执行第(3)步．
否则，输出S，结束算法；
(3)S＝S＋；
(4)i＝i＋2，返回第(2)步．
解 算法语句如下：
i＝1
S＝0
Do
S＝S＋1/i
i＝i＋2
Loop While i<＝999
输出S.
算法框图如图所示：
22．(12分)高一(2)班共有54名同学参加数学竞赛，现已有这54名同学的竞赛分数，请设计一个将竞赛成绩优秀同学的平均分输出的算法语句(规定90分以上为优秀)，并画出算法框图．
解 算法语句如下：
S＝0
M＝0
i＝1
Do
输入x
If x>90 Then
M＝M＋1
S＝S＋x
End If
i＝i＋1
Loop While i<＝54
P＝S/M
输出P.
算法框图如图所示：
§1 算法的基本思想
学习目标 1.通过几个具体问题的求解过程，体会算法的基本思想.2.了解算法的含义和特征.3.会用自然语言描述简单的具体问题的算法．
知识点一 算法的概念
思考 有一碗酱油，一碗醋和一个空碗．现要把两碗盛的物品交换一下，试用自然语言表述你的操作方法．
答案 先把醋倒入空碗，再把酱油倒入原来盛醋的碗，最后把倒入空碗中的醋倒入原来盛酱油的碗，就完成了交换．
梳理 一般地，算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．一般来说，“用算法解决问题”都是可以利用计算机帮助完成的．
同一个问题可能存在多种算法，一个算法也可以解决某一类问题．
知识点二 算法的特点
思考 设想一下电脑程序需要计算无限多步，会怎么样？
答案 若有无限步，必将陷入死循环，解决不了问题．故算法必须在有限步内解决问题．
梳理 算法的特点
(1)有限性
一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有限的操作步骤之后结束．
(2)确定性
算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的．
(3)可行性
算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果．
1．算法是解决一个问题的方法．( × )
2．一个算法可以产生不确定的结果．( × )
3．算法的步骤必须是明确的、有限的．( √ )
类型一 算法的概念
例1 (1)下列对算法的理解正确的是________．(填上所有正确说法的序号)
①算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)；
②算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果；
③算法一般是机械的，有时要进行大量重复计算，它的优点是一种通法；
④任何问题都可以用算法来解决．
答案 ①②③
解析 由于算法要求必须在有限步骤内求解某类问题，所以并不是任何问题都可以用算法解决，例如求1＋＋＋＋…＋＋…，故④不正确．
(2)给出下列叙述：
①发电子邮件：先打开电子信箱，点击写邮件，输入发送地址，输入信件内容，然后点击发送；
②解一元二次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，求解；
③方程x2－1＝0有两个根；
④求1＋2＋3＋4的值，先算1＋2＝3，再计算3＋3＝6，6＋4＝10，最终结果为10.
其中是算法的是________．(写出所有是算法的序号)
答案 ①②④
解析 算法强调的是解决一类问题的方法和步骤，③只陈述了有两个根的事实，没有解决如何求两个根的问题，所以不能看成算法．
反思与感悟 判断算法的关注点
(1)明确算法的含义及算法的特征．
(2)判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步骤之内完成．
(3)算法实际上是一种程序方法，在利用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想．
跟踪训练1 给出以下叙述：
①过河要走桥；
②老师提问说不会；
③做米饭需刷锅、淘米、添水、加热这些步骤；
④学习要预习、听讲、质疑、练习巩固等步骤．
其中能称为算法的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案 C
解析 ①②不能称为算法，根据算法的含义知③④正确．
类型二 算法设计
例2 设计一个算法，求840与1 764的最大公因数．
解 算法步骤如下：
1．先将840进行素因数分解：
840＝23×3×5×7；
2．然后将1 764进行素因数分解：
1 764＝22×32×72；
3．确定它们的公共素因数：2,3,7；
4．确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1；
5．最大公因数为22×31×71＝84.
反思与感悟 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法．
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述．
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤．
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
跟踪训练2 设计一个算法，求98与63的最大公因数．
解 算法步骤如下：
1．先将98进行素因数分解：98＝2×72；
2．然后将63进行素因数分解：63＝32×7；
3．确定它们的公共素因数：7；
4．确定公共素因数的指数：公共素因数的指数是1；
5．最大公因数为7.
类型三 选择性执行问题的算法
例3 某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用c＝
其中ω(单位：kg)为行李的质量，
如何设计计算托运费用c(单位：元)的算法．
解 算法步骤如下：
1．输入行李的质量ω；
2．如果ω≤50，则令c＝0.53×ω后执行第4步，否则执行第3步；
3．c＝50×0.53＋(ω－50)×0.85；
4．输出托运费用c.
反思与感悟 解决选择性问题的算法的步骤
(1)输入自变量的值；
(2)对自变量的范围进行判断，选择对应的解析式，求函数值；
(3)输出函数值．
跟踪训练3 已知函数y＝写出给定自变量x求函数值的一个算法．
解 算法步骤如下：
1．输入x；
2．若x>0，则令y＝－x＋1后执行第5步，否则执行第3步；
3．若x＝0，则令y＝0后执行第5步，否则执行第4步；
4．令y＝x＋1；
5．输出y的值.
1．下列关于算法的说法，正确的个数为( )
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
④算法执行后一定产生确定的结果．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由于算法具有有穷性、确定性、输出性等特点，所以②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，所以①错误．
2．下列四种自然语言叙述中，能称为算法的是( )
A．在家里一般是妈妈做饭
B．买衣服需要选衣服、试衣服、试衣服、付款这些步骤
C．在野外做饭叫野炊
D．做饭必须要有米
答案 B
解析 算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步骤，故选B.
3．已知一个算法：
(1)给出三个数x，y，z；
(2)计算M＝x＋y＋z；
(3)计算N＝M；
(4)得出每次计算的结果．
则上述算法是( )
A．求和 B．求余数
C．求平均数 D．先求和再求平均数
答案 D
解析 由算法过程可知，M为三数之和，N为这三数的平均数，故选D.
4．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是________．
(1)从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；
(2)解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
(3)方程x2－1＝0有两个实根；
(4)求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15.
答案 (3)
解析 由于(3)不是解决某一类问题的步骤，故(3)不是解决问题的算法．
5．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：
(1)计算c＝；
(2)输入直角三角形两直角边长a，b的值；
(3)输出斜边长c的值．
其中正确的顺序是________．
答案 (2)(1)(3)
解析 算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．
算法是建立在解法基础上的操作过程，算法不一定要有运算结果，答案可以由计算机解决，算法没有一个固定的模式，但有以下几个基本要求：
(1)符合运算规则，计算机能操作；
(2)每个步骤都有一个明确的计算任务；
(3)对重复操作步骤返回处理；
(4)步骤个数尽可能少；
(5)每个步骤的语言描述要准确、简明．
一、选择题
1．下列可以看成算法的是( )
A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题
B．今天餐厅的饭真好吃
C．这道数学题难做
D．方程2x2－x＋1＝0无实数根
答案 A
解析 A是学习数学的一个步骤，所以是算法．
2．下列关于算法的描述正确的是( )
A．算法与求解一个问题的方法相同
B．算法只能解决一个问题，不能重复使用
C．算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切
D．有的算法执行完后，可能无结果
答案 C
解析 算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对；算法能重复使用，故B不对；每个算法执行后必须有结果，故D不对；由算法的有序性和确定性可知C正确．
3．我们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式，加减消元法求二元一次方程组的解，二分法求出函数的零点等，对算法的描述有①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．以上算法的描述正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 D
解析 由算法的概念可知①②③④都正确，故选D.
4．计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是( )
①S＝＋＋＋…＋；
②S＝＋＋＋…＋＋…；
③S＝＋＋＋…＋(n≥1且n∈N＋)．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
答案 B
解析 因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法求解．
5．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是( )
A．只能设计一种算法
B．可以设计两种算法
C．不能设计算法
D．不能根据解题过程设计算法
答案 B
解析 算法具有不唯一性，对于一个问题，我们可以设计不同的算法．
6．对于算法：
(1)输入n；
(2)判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第(3)步；
(3)依次从2到(n－1)检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第(4)步；若能整除n，则执行第(1)步；
(4)输出n.
满足条件的n是( )
A．质数 B．奇数
C．偶数 D．约数
答案 A
解析 此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n－1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数．
7．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程．下列选项中最好的一种算法是( )
A．第一步，洗脸刷牙．第二步，刷水壶．第三步，烧水．第四步，泡面．第五步，吃饭．第六步，听广播
B．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭．第五步，听广播
C．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭同时听广播
D．第一步，吃饭同时听广播．第二步，泡面．第三步，烧水同时洗脸刷牙．第四步，刷水壶
考点 算法的设计与应用
题点 应用问题的算法设计
答案 C
解析 最好算法的标准是方便、省时、省力．
A中共需5＋2＋8＋3＋10＋8＝36(min)，
B中共需2＋8＋3＋10＋8＝31(min)，
C中共需2＋8＋3＋10＝23(min)，
D中共需10＋3＋8＋2＝23(min)，但算法步骤不合理，最好的算法为C.
8．一个算法步骤如下：
(1)S取值0，i取值1.
(2)若i≤9，则执行第(3)步；否则，执行第(6)步．
(3)计算S＋i并用结果代替S.
(4)用i＋2的值代替i.
(5)转去执行第(2)步．
(6)输出S.
运行以上算法，则输出的结果S等于( )
A．16 B．25
C．36 D．以上均不对
考点 算法的设计与应用
题点 循环型算法设计
答案 B
解析 解本题关键是读懂算法，本题中的算法功能是求S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.
9．结合下面的算法：
(1)输入x.
(2)判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第(3)步．
(3)输出x－1.
当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( )
A．－1,0,1 B．－1,1,0
C．1，－1,0 D．0，－1,1
考点 算法的概念
题点 算法功能的判断与结果的求解
答案 C
解析 依据算法可知，当x＝－1时，满足x<0，则输出x＋2＝－1＋2＝1；当x＝0时，不满足x<0，则输出x－1＝0－1＝－1；当x＝1时，不满足x<0，则输出x－1＝1－1＝0.故选C.
二、填空题
10．已知直角三角形两条直角边长分别为a，b(a>b)．写出求最大锐角θ的余弦值的算法如下：
(1)输入两直角边长a，b的值；
(2)计算c＝的值；
(3)________________；
(4)输出cos θ.
将算法补充完整，横线处应填____________．
答案 计算cos θ＝
11．下面给出了解决问题的算法：
(1)输入x；
(2)若x≤1，则y＝2x－1，否则y＝x2＋3；
(3)输出y.
则这个算法解决的问题是________；当输入的x值为________时，输入值与输出值相等．
答案 求分段函数y＝的函数值 1
12．给出下列算法：
(1)输入x的值；
(2)当x＞4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步；
(3)计算y＝；
(4)输出y.
当输入x＝0时，输出y＝________.
答案 2
解析 0＜4，执行第三步，y＝＝2.
三、解答题
13．某商场举办优惠促销活动．若购物金额在800元以上(不含800元)，打7折；若购物金额在400元以上(不含400元)，800元以下(含800元)，打8折；否则，不打折．请为商场收银员设计一个算法，要求输入购物金额x，输出实际交款额y.
考点 算法的设计与应用
题点 应用问题的算法设计
解 算法步骤如下：
1．输入购物金额x(x>0)．
2．判断“x>800”是否成立，若成立，则y＝0.7x，转第4步；否则，执行第3步．
3．判断“x>400”是否成立，若成立，则y＝0.8x，转第4步；否则，y＝x.
4．输出y，结束算法．
四、探究与拓展
14．如图所示，汉诺塔问题是指有3根杆子A，B，C，杆子上有若干碟子，把所有的碟子从B杆移动到A杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面．把B杆上的3个碟子全部移动到A杆上，最少需要移动的次数是________．
考点 算法的设计与应用
题点 应用问题的算法设计
答案 7
解析 直接进行分析，将最小的碟子命名为①，中间的碟子命名为②，最大的碟子命名为③，进行如下移动：①→A，②→C，①→C，③→A，①→B，②→A，①→A，此时按要求全部放好，移动7次．
15．鸡兔同笼问题：鸡和兔各若干只，数腿共100条，数头共30个，试设计一个算法，求出鸡和兔各有多少只．
解 算法步骤如下：
1．设有x只鸡，y只兔，列方程组
2．②÷2＋①×(－1)，得y＝20.
3．把y＝20代入x＝30－y，得x＝10.
4．得到方程组的解
5．输出结果，鸡10只，兔20只．
§2 算法框图的基本结构及设计
2.1 顺序结构与选择结构
学习目标 1.掌握算法框图的概念.2.熟悉各种框图的功能和作用.3.会判断顺序结构和选择结构，能用两种结构表示算法．
知识点一 算法框图
思考 许多办事机构都有工作流程图，你觉得要向来办事的人员解释工作流程，是用自然语言好，还是用流程图好？
答案 使用流程图好．因为使用流程图表达更直观准确．
梳理 在算法设计中，算法框图(也叫程序框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思路和步骤．
算法框图由框图构成，以下是基本的框图及其表示的功能
名称
框图
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立
知识点二 顺序结构、选择结构
1．顺序结构
(1)定义：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．
(2)算法框图：如图所示．
2．选择结构
(1)定义：在算法中，需要判断条件的真假，依据判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称为选择结构．
(2)算法框图：如图所示．
1．任何一个算法框图必须有起止框．( √ )
2．任何一个算法都离不开顺序结构．( √ )
3．对于一个算法框图来说，判断框内的条件是唯一的．( × )
类型一 画算法框图
例1 已知一个算法如下：
(1)输入x.
(2)计算y＝2x＋3.
(3)计算d＝.
(4)输出d.
把上述算法用算法框图表示．
解 算法框图如图：
反思与感悟 画算法框图的规则
(1)使用标准的框图符号；
(2)框图一般按从上到下，从左到右的方向画；
(3)描述语言写在框内，语言清楚、简练．
跟踪训练1 算法如下，画出算法框图．
(1)输入a，b，c的值－1，－2,3.
(2)计算max＝.
(3)输出max.
解 算法框图如图：
类型二 顺序结构的算法框图设计
例2 已知直角三角形的两条直角边长分别为a，b，设计一个求直角三角形内切圆面积的算法，并画出对应的算法框图．
考点 顺序结构
题点 顺序结构的简单应用
解 算法步骤如下：
1．输入直角三角形的直角边长a，b的值；
2．计算斜边长c＝；
3．计算直角三角形内切圆半径
r＝(a＋b－c)；
4．计算内切圆面积S＝πr2；
5．输出S.
算法框图如图．
反思与感悟 顺序结构的算法框图的基本特征
(1)必须有两个起止框，穿插输入、输出框和处理框，没有判断框．
(2)各程序框从上到下用流程线依次连接．
(3)处理框按计算机执行顺序沿流程线依次排列．
跟踪训练2 已知一个三角形三条边的边长分别为a，b，c，利用海伦－秦九韶公式(令p＝，则三角形的面积S＝，设计一个计算三角形面积的算法，并画出算法框图．
解 算法步骤如下：
1．输入三角形三条边的边长a，b，c.
2．计算p＝.
3．计算S＝.
4．输出S.
算法框图如图：
类型三 选择结构的算法框图设计
例3 下面给出了一个问题的算法：
(1)输入x.
(2)若x>1，则y＝x2＋3，否则y＝2x－1.
(3)输出y.
试用算法框图表示该算法．
解 主体用顺序结构，其中根据条件x>1是否成立选择不同的流向用选择结构实现．
算法框图如图：
反思与感悟 凡是必须先根据条件作出判断然后再进行哪一个步骤的问题，在画算法框图时，必须引入一个判断框应用选择结构．
跟踪训练3 任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三条边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的算法框图．
解 算法步骤如下：
1．输入3个正实数a，b，c.
2．判断a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b是否同时成立．若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形．
算法框图如图．
1．下列说法正确的是( )
A．程序框图中的图形符号可以由个人来确定
B.也可以用来执行计算语句
C．程序框图中可以没有输出框，但必须要有输入框
D．用程序框图表达算法，其优点是算法的基本逻辑结构展现得非常直接
考点 程序框图的概念
题点 程序框图的结构
答案 D
解析 一个完整的程序框图至少要有起止框和输入、输出框，判断框只能用来判断某一条件是否成立，不能用来执行计算．
2．算法框图符号“”可用于( )
A．输出a＝10
B．赋值a＝10
C．判断a＝10
D．输入a＝1
答案 B
解析 图形符号“”是处理框，它的功能是赋值、计算，不是输入、输出框和判断框，故选B.
3．下面四个问题中必须用选择结构才能实现的是_____________________________．
①已知梯形上、下底分别为a，b，高为h，求梯形面积；
②求方程ax＋b＝0(a，b为常数)的根；
③求三个数a，b，c中的最小数；
④求函数f(x)＝的函数值．
答案 ②③④
解析 在本题的四个问题的求解中，只有①不需要分类讨论，故①不需用选择结构就能实现，②③④必须用选择结构才能实现．
4．如图所示的算法框图中，当输入的数为3时，输出的结果为________．
答案 8
解析 ∵3<5，∴y＝32－1＝8.
5．利用梯形的面积公式计算上底为2，下底为4，高为5的梯形面积，设计出该问题的算法及算法框图．
解 算法如下：
1．a＝2，b＝4，h＝5；
2．S＝(a＋b)h；
3．输出S.
该算法的算法框图如图所示：
1．顺序结构描述的是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．
2．对需要按给定的条件进行分析、比较和判断，并按判断的不同情况进行不同的操作的问题，设计算法时就要用到选择结构．
3．选择结构要先根据指定的条件进行判断，再由判断的结果决定选取执行两条分支路径中的某一条.
一、选择题
1．任何一种算法都离不开的基本结构为( )
A．逻辑结构
B．选择结构
C．循环结构
D．顺序结构
答案 D
2．对终端框叙述正确的是( )
A．表示一个算法的起始和结束，框图是
B．表示一个算法输入和输出的信息，框图是
C．表示一个算法的起始和结束，框图是
D．表示一个算法输入和输出的信息，框图是
答案 C
3．如图所示的算法框图，其功能是( )
A．输入a，b的值，按从小到大的顺序输出它们的值
B．输入a，b的值，按从大到小的顺序输出它们的值
C．求a，b的最大值
D．求a，b的最小值
答案 C
解析 输入a＝1，b＝2，运行算法框图可得输出2.根据执行过程可知该算法框图的功能是输入a，b的值，输出它们的最大值，即求a，b的最大值.
4．以下给出对算法框图的几种说法：
①任何一个算法框图都必须有起止框；
②输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框；
③判断框是唯一具有超出一个退出点的符号．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①③正确．因为任何一个算法框图都有起止框；输入、输出框可以在算法框图中的任何需要的位置；判断框有一个入口、两个出口．
5．求下列函数的函数值的算法中需要用到选择结构的是( )
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝2x＋1
C．f(x)＝
D．f(x)＝2x
答案 C
解析 C项中函数f(x)是分段函数，需分类讨论x的取值范围，要用选择结构来设计算法，A，B，D项中均不需要用选择结构．
6．输入－5，按图中所示的算法框图运行后，输出的结果是( )
A．－5 B．0 C．－1 D．1
答案 D
解析 因x＝－5，不满足x>0，所以在第一个判断框中执行“否”，在第二个判断框中，由于－5<0，执行“是”，所以得y＝1.
7．如图所示的算法框图运行后输出结果为，则输入的x值为( )
A．－1 B. C. D．－1或
答案 D
解析 算法框图表示的是求分段函数
f(x)＝的函数值，
由得，x＝；由得，x＝－1.
又无解，故选D.
8．阅读如下算法框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入( )
A．S＝2i－2 B．S＝2i－1 C．S＝2i D．S＝2i＋4
答案 C
解析 当空白矩形框中填入的是S＝2×i时，算法在运行过程中各变量的值如下表示：
i S 是否继续循环
循环前1 0
第一圈2 5 是
第二圈3 6 是
第三圈4 9 是
第四圈5 10 否
故输出的i值为5，符合题意．故选C.
9．执行如图所示的算法框图，如果输入t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
答案 A
解析 因为t∈[－1,3]，当t∈[－1,1)时，s＝3t∈[－3,3)；当t∈[1,3]时，s＝4t－t2＝－(t2－4t)＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，所以s∈[－3,4]．
二、填空题
10．下面算法框图表示的算法的运行结果是________．
答案 6
解析 由题意得P＝＝9，
S＝＝＝6.
11．已知函数y＝如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的算法框图．
①处应填写________；②处应填写________．
答案 x<2 y＝log2x
解析 ∵满足判断框中的条件执行y＝2－x，
∴①处应填x<2.
不满足x<2，即x≥2时，y＝log2x，
故②处应填y＝log2x.
12．如下算法框图，当输入x＝2时，输出的y值为______．
答案 1
解析 x＝2>，∴y＝2×2－3＝1.
三、解答题
13．已知函数y＝试设计一个算法框图，计算输入自变量x的值时，输出y的值．
解 算法框图：
四、探究与拓展
14．下图(1)是计算图(2)所示的阴影部分的面积的算法框图，则图(1)中执行框内应填________．
考点 顺序结构
题点 由顺序结构算法框图求条件
答案 S＝a2
解析 正方形的面积为S1＝a2，扇形的面积为S2＝πa2，则阴影部分的面积为S＝S1－S2＝a2.因此图中执行框内应填入S＝a2.
15．如图所示的算法框图，其作用是：输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，求这样的x值有多少个．
解 由题可知算法的功能是求分段函数
y＝的函数值，要满足题意，
则需要或或
解得x＝0或x＝1或x＝3，共3个值.
2.2 变量与赋值
学习目标 1.通过实例，理解并掌握变量和赋值的概念.2.掌握赋值号“＝”的作用及与等号的区别.3.进一步体会算法的基本思想．
知识点一 变量
思考 在前面学过的算法案例中，我们已经注意到步骤要反复执行，但具体的数据却每步都在变，怎样解决步骤相同数据在变的问题？
答案 引入常量和变量的概念，这样就可以把多个重复的步骤变为可以反复执行的一个步骤．
梳理 (1)定义：在研究问题的过程中可以取不同数值的量称为变量．在设计算法的过程中，引入变量后，会使算法的表述变得非常简洁、清楚．
(2)变量的表示：算法中的变量常用英文字母或英文字母加数字表示，例如A，a，a1，sum等．不同的变量要用不同的字母表示．
知识点二 赋值
思考 在算法框图中，常见“i＝i＋1”，它是什么意思？
答案 它表示先计算等号右边“i＋1”的值，再把这个值赋给等号左边的变量．
梳理 一般地，有
(1)赋值：赋予一个变量一个值的过程．通常“＝”为赋值符号．
(2)赋值的一般格式：变量＝表达式．
(3)赋值的作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值．
(4)一个变量可以被多次赋值，这时的变量表现得就像一个黑瞎子，当新的值一来，旧的值就丢掉，它手里始终只能拿着最后一次赋给的值．
1．一个赋值语句只能给一个变量赋值．( √ )
2．不能给一个变量重复赋值．( × )
3．赋值号两侧的内容不能随意互换．( √ )
类型一 赋值语句的判断
例1 判断下列赋值语句是否正确：
(1)1＝m；(2)x－y＝3；(3)A＝B＝2；(4)N＝M.
解 由赋值语句中的“＝”左边是变量，右边是表达式知(1)(2)错误；由赋值语句只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”知(3)错误；(4)是正确的．故(1)错误；(2)错误；(3)错误；(4)正确．
反思与感悟 (1)赋值语句的格式：变量＝表达式，先计算右边表达式的值，然后把这个值赋给“＝”左边的变量．
(2)赋值号左边只能是变量名称，如：X＋Y＝3是不正确的,3＝X也是不正确的．
(3)在一个赋值语句中，不能出现两个或多个“＝”．
跟踪训练1 下列赋值语句中正确的是( )
A．4＝M B．x＋y＝10
C．A＝B＝5 D．N＝N2
答案 D
类型二 赋值语句的功能
例2 若A，B是两个变量，先把1赋给A，把2赋给B，再交换A，B的值．
解 A＝1；B＝2；C＝A；A＝B；B＝C.
反思与感悟 可以把变量想像成一个盒子，这个盒子可以装不同的值，但一次只能装一个，所以要交换A，B的值，需要再找一个变量C，用来寄存A原来存放的值．
跟踪训练2 用赋值语句写出变量a，b，c分别为3,4,5，求b2－4ac的值的算法．
解 算法如下：
1．a＝3；
2．b＝4；
3．c＝5；
4．y＝b2－4ac；
5．输出y.
类型三 变量与赋值语句在算法框图中的应用
例3 经过市场调查分析得知，2015年第一季度内，某地区对某件商品的需求量为12 000件．为保证商品不脱销，商家在每月月初将商品按相同数量投放市场．已知年初商品的库存量为50 000件，用S表示商品的库存量，请设计一个算法，求出第一季度结束时商品的库存量，算法用框图表示．
解 因为第一季度商品的需求量为12 000件，而且每个月以相同数量投放市场，因此每个月向市场投放4 000件商品，这样，三个月后的库存量为50 000－12 000＝38 000件．
算法框图如图：
反思与感悟 在算法框图中，有时会对同一变量进行多次赋值，如：S＝S－4 000，赋值的目的是改变变量S的值，将变量S的值减去4 000再次赋予变量S.
跟踪训练3 有关专家建议，在未来几年，中国的通货膨胀率保持在3%左右将对中国经济的稳定有利无害，所谓通货膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%.在这种情形下，某种品牌的钢琴2015年的价格是20 000元，请用框图描述这种钢琴今后4年的价格变化情况，并输出4年后钢琴的价格．
解 算法框图如图：
1．给出下列算法框图：
若输出的结果为2，则①处的处理框内应填的是( )
A．x＝2 B．b＝2 C．x＝1 D．a＝5
答案 C
解析 因结果是b＝2，∴2＝a－3，即a＝5.
当2x＋3＝5时，得x＝1.
2．如图所示的算法框图输出的结果为( )
A．2,5 B．4,5
C．11,5 D．7,5
答案 C
3．所给算法语句执行后，变量a，b的值分别为( )
a＝15
b＝20
a＝a＋b
b＝a－b
a＝a－b
输出 a，b.
A．20,15 B．35,35 C．5,5 D．－5，－5
答案 A
4．如图所示的一段程序执行后的结果是________．
A＝2
A＝A*2
A＝A＋6
输出 A.
答案 10
解析 先把2赋给A，然后把A*2赋给A，即A的值为4，再把4＋6＝10赋给A，所以输出的结果为10.
5．下列程序执行后结果为3，则输入的x值为________．
输入 x；
y＝x*x＋2*x
输出 y.
答案 1或－3
解析 由题意得x2＋2x＝3，解方程得x＝1或x＝－3.
1．赋值语句是最重要的一种基本语句，一定要注意其格式要求，如：赋值号左边只能是变量而不能是表达式；赋值号左右两边不能对换；不能利用赋值语句进行代数式计算等．
2．利用赋值语句可以实现两个变量值的互换，方法是引进第三个变量，用三个赋值语句完成.
一、选择题
1．下列给出的赋值语句中正确的是( )
A．4＝M B．M＝－M
C．B＝A＝3 D．x＋y＝0
答案 B
解析 赋值语句的格式：变量＝表达式，是将右边表达式的值赋给左边的变量，赋值时左右两端不能对换，也不能进行字符运算．故选B.
2．赋值语句M＝M＋3表示的意义是( )
A．将M的值赋给M＋3
B．将M的值加3后再赋给M
C．M和M＋3的值相等
D．以上说法都不对
答案 B
解析 赋值语句是将“＝”右边的一个确定值赋给它左边的一个变量．
3．“x＝3“x=3*5”“x=x+1”是某算法步骤中的先后两个语句，那么下列语法中正确的是( )
①x=3*5的意思是x=3×5=15，此式与算术中的式子是一样的；②x=3*5是将数值15赋给x；③x=3*5可以写成3*5=x；④x=x+1在执行时赋值号右边x的值是15，执行后左边x的值是16.
A. ①③ B.②④ C．①④ D．②③
答案 B
解析 赋值语句中的“＝”与算术中的“＝”意义不同，只要不对变量赋新的值，变量的值始终不变．
4．给出下列算法语句，若输入x＝2，y＝3，则输出x，y的值分别为( )
输入 x，y；
A＝x
x＝y
y＝A
输出 x，y.
A．2,3 B．2,2 C．3,3 D．3,2
答案 D
解析 该算法语句的运行过程是：
输入2,3
A＝2
x＝3
y＝2
输出3,2
即x，y的值分别为3,2.
5．给出下面一个算法语句：
A＝5
B＝8
X＝A
A＝B
B＝X＋A
输出A，B.
此算法语句运行的结果A，B分别是( )
A．5,8 B．8,5 C．8,13 D．5,13
答案 C
解析 此算法语句先将A的值赋给X，再将B的值赋给A，再将X＋A的值赋给B，即将原来的A与B的和赋给B，最后A的值是原来B的值8，而B的值是两数之和13.
6．执行下列算法语句后的结果(x MOD y表示整数x除以整数y的余数)为( )
输入 x，y；
A＝x*y
B＝x MOD y
C＝A*y＋B
输出 A，B，C.
(运行时从键盘上输入16,5)
A．A＝80，B＝1，C＝401
B．A＝80，B＝3，C＝403
C．A＝80，B＝3.2，C＝403.2
D．A＝80，B＝3.2，C＝404
答案 A
解析 第一句输入x＝16，y＝5，第二句A＝xy＝80，第三句B取x除以y的余数，即B＝1，第四句C＝80×5＋1＝401，故选A.
7．给出下列算法语句：
输入 x1，y1，x2，y2；
a＝x1－x2
m＝a2
b＝y1－y2
n＝b2
s＝m＋n
d＝SQR?s?
输出 d.
此算法语句的功能(SQR()是一个函数，用来求某个非负数的算术平方根)为( )
A．求点到直线的距离
B．求两点之间的距离
C．求一个多项式函数的值
D．求输入的值的平方和
答案 B
解析 输入的四个实数可作为两个点的坐标，算法语句中的a，b分别表示两个点的横、纵坐标之差，而m，n分别表示两点横、纵坐标之差的平方：s是横、纵坐标之差的平方和，d是平方和的算术平方根，即两点之间的距离，最后输出此距离．
8．给出下列算法语句：
输入 A；
A＝A*2
A＝A*3
A＝A*4
A＝A*5
输出 A.
若输出的A的值为120，则输入的A的值为( )
A．1 B．5 C．15 D．120
答案 A
解析 该算法语句的功能是计算A×2×3×4×5的值，则120＝A×2×3×4×5，故A＝1，即输入A的值为1.
9．如图所示的算法框图的功能是( )
A．求出a，b，c三数中的最大数
B．求出a，b，c三数中的最小数
C．将a，b，c按从小到大排列
D．将a，b，c按从大到小排列
答案 B
解析 根据框图可知，该框图的功能是求a，b，c三数中的最小数．
二、填空题
10．根据下面的算法框图所表示的算法，输出的结果是______．
答案 2
解析 该算法的第1步分别将1,2,3三个数赋值给X，Y，Z，第2步使X取Y的值，即X取值变成2，第3步使Y取X的值，即Y的值也是2，第4步使Z取Y的值，即Z的值也是2，从而第5步输出时，Z的值是2.
11．如图一个计算半径为10的圆的周长的算法框图，则中间处理框中应填________．
答案 2πr
12．在如图所示的算法语句中输入x＝1 000，y＝2，则输出的结果M是________．
输入x，y；
M＝2*x+4*y
输出M.
答案 2 008
解析 M＝2×1 000＋4×2＝2 008.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝x2－2x＋1，画出求出y1＝f(3)的值，再计算f(y1)的值的一个算法框图．
解 算法框图如图所示：
四、探究与拓展
14．如图是计算1＋＋＋…＋的算法框图，判断框内应填的内容是________，处理框内应填的内容是________．
答案 i≤99 i＝i＋2
解析 由题意知，该算法从i＝1开始到99结束，循环变量依次加2.
15．已知函数f(x)＝x2－2x－3.求f(3)、f(－5)、f(5)，并计算f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．设计出解决该问题的一个算法并画出算法框图．
解 算法如下：
1．令x＝3；
2．把x＝3代入y1＝x2－2x－3；
3．令x＝－5；
4．把x＝－5代入y2＝x2－2x－3；
5．令x＝5；
6．把x＝5代入y3＝x2－2x－3；
7．把y1，y2，y3的值代入y＝y1＋y2＋y3；
8．输出y1，y2，y3，y的值．
该算法对应的算法框图如右图所示：
2.3 循环结构
学习目标 1.掌握循环结构的有关概念.2.理解循环结构的基本模式，会用循环结构描述算法.3.体会循环结构在重复计算中的重要作用．
知识点一 循环结构的概念
思考 前面我们曾用累加法计算1＋2＋3＋…＋100的值，其中有没有重复操作的步骤？
答案 用S表示每一步的计算结果，S加下一个数得到一个新的S，这个步骤被重复了100次．
梳理 循环结构的概念
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，像这样的算法结构称为循环结构．
循环体：反复执行的处理步骤称为循环体．
循环变量：控制着循环的开始和结束的变量，称为循环变量．
循环的终止条件：判断是否继续执行循环体的条件，称为循环的终止条件．
知识点二 循环结构的设计过程
设计循环结构之前需要确定的三件事
(1)确定循环变量和初始条件；
(2)确定算法中反复执行的部分，即循环体；
(3)确定循环的终止条件．
1．循环结构中，判断框内的条件不是唯一的．( √ )
2．判断框中的条件成立时，要结束循环向下执行．( × )
3．循环体中要对判断框中的条件变量有所改变才会使循环结构不会出现“死循环”．( √ )
类型一 循环结构算法框图的运行
例1 (1)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的算法框图，输出S的值为( )
A．7 B．42 C．210 D．840
(2)如图所示，算法框图的输出结果是( )
A．34 B．55 C．78 D．89
答案 (1)C (2)B
解析 (1)算法框图的执行过程如下：
m＝7，n＝3时，m－n＋1＝5，
k＝m＝7，S＝1，S＝1×7＝7；
k＝k－1＝6>5，S＝6×7＝42；
k＝k－1＝5＝5，S＝5×42＝210；
k＝k－1＝4<5，输出S＝210.故选C.
(2)当输入x＝1，y＝1，执行z＝x＋y及z≤50，x＝y，y＝z后，
x，y，z的值依次对应如下：
x＝1，y＝1，z＝2；
x＝1，y＝2，z＝3；
x＝2，y＝3，z＝5；
x＝3，y＝5，z＝8；
x＝5，y＝8，z＝13；
x＝8，y＝13，z＝21；
x＝13，y＝21，z＝34；
x＝21，y＝34，z＝55.
由于55≤50不成立，故输出55.故选B.
反思与感悟 高考中对算法框图的考查类型之一就是读图，解决此类问题的关键是根据算法框图理解算法的功能．考查的重点是算法框图的输出功能、算法框图的补充，以及算法思想和基本的运算能力、逻辑思维能力，试题难度不大，大多可以按照算法框图的流程逐步运算而得到．
跟踪训练1 阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝________.
答案 4
解析 m＝2，A＝1，B＝1，i＝0.
第一次：i＝0＋1＝1，A＝1×2＝2，B＝1×1＝1，A＞B；
第二次：i＝1＋1＝2，A＝2×2＝4，B＝1×2＝2，A＞B；
第三次：i＝2＋1＝3，A＝4×2＝8，B＝2×3＝6，A＞B；
第四次：i＝3＋1＝4，A＝8×2＝16，B＝6×4＝24，A＜B；
终止循环，输出i＝4.
类型二 循环结构解决累加、累乘问题
例2 设计一个计算1＋3＋5＋…＋(2n－1)(n∈N＋)的值的算法，并画出算法框图．
解 这一问题的算法：
1．输入n的值．
2．令i＝1，S＝0.
3．若i≤2n－1成立，则执行第4步；否则，输出S，结束算法．
4．S＝S＋i，i＝i＋2，返回第3步．
算法框图如下：
反思与感悟 循环结构中的循环变量并不一定是逐次加1，设计者要根据需要灵活控制循环变量的变化幅度．
跟踪训练2 设计算法求1×2×3×…×2 016×2 017的值，并画出算法框图．
考点 循环结构
题点 循环结构的画法
解 算法步骤如下：
1．设M的值为1；
2．设i的值为2；
3．如果i≤2 017，则执行第4步；否则执行第6步；
4．M＝M×i；
5．i＝i＋1，返回执行第3步；
6．输出M的值，并结束算法．
算法框图如图所示．
类型三 运用循环结构求变量
例3 写出一个求满足1×3×5×7×…×n＞50 000的最小正整数n的算法，并画出相应的算法框图．
考点 循环结构
题点 循环结构的画法
解 算法步骤如下：
1．S＝1；
2．n＝3；
3．如果S≤50 000，那么执行第4步；否则，执行第5步；
4．S＝S×n，n＝n＋2，返回执行第3步；
5．n＝n－2，输出n.
算法框图如图所示．
反思与感悟 (1)在使用循环结构时，需恰当地设置累加(乘)变量和计数变量，在循环体中要设置循环终止的条件．
(2)在最后输出结果时，要避免出现多循环一次或少循环一次的情况．
跟踪训练3 看下面的问题：1＋2＋3＋…＋( )>10 000，这个问题的答案虽然不唯一，但我们只要确定出满足条件的最小正整数n0，括号内填写的数只要大于或等于n0即可．试写出寻找满足条件的最小正整数n0的算法，并画出相应的算法框图．
解 方法一 1.p＝0.
2．i＝0.
3．i＝i＋1.
4．p＝p＋i.
5．如果p>10 000，则输出i；否则执行第6步．
6．返回第3步，重新执行第3步、第4步、第5步．该算法的算法框图如图①所示．
方法二 1.取n的值等于1.
2．计算.
3．如果的值大于10 000，那么n即为所求；否则，让n的值增加1后转到第2步重复作操．
根据以上的操作步骤，可以画出如图②所示的算法框图．
类型四 循环结构的应用
例4 电脑游戏中，“主角”的生命机会往往被预先设定，如在枪战游戏中，“主角”被设定生命机会5次，每次生命承受射击8枪(被击中8枪则失去一次生命机会)．假设射击过程均为单发发射，试将“主角”耗用生命机会的过程设计成一个算法框图．
解 方法一 “主角”所有生命机会共能承受8×5＝40(枪)(第40枪被击中则生命结束)．设“主角”被击中枪数为i(i＝0,1,2，…，39)，算法框图可设计为如图1.
方法二 与方法一相对，电脑中预先共承受枪数40，“主角”生命机会以“减法”计数，算法框图可设计为如图2.
反思与感悟 解决带有循环结构的实际应用题的关键是读懂题目，建立合适的模型，找到解决问题的计算公式和判断条件
跟踪训练4 在某次田径比赛中，男子100米A组有8位选手参加预赛，成绩(单位：秒)依次为：9.88,10.57，10.63，9.90,9.85,9.98,10.21,10.86.请设计一个算法，在这些成绩中找出不超过9.90秒的成绩，并画出算法框图．
解 算法步骤如下：
1．把计数变量n的初值设为1.
2．输入一个成绩x，判断x与9.90的大小：若x＞9.90，则执行下一步；若x≤9.90，则输出x，并执行下一步．
3．使计数变量n的值增加1.
4．判断计数变量n的值与成绩个数8的大小，若n≤8，则返回第2步，否则结束．
算法框图如图所示．
1．给出下面的算法框图，那么其循环体执行的次数是( )
A．500 B．499 C．1 000 D．998
答案 B
解析 本题中循环的结束条件是i≥1 000，而计数变量是i＝i＋2，由于计数变量的初始值是i＝2，所以计数变量应该为4,6,8,10，…，1 000，故循环体执行的次数为499.
2．下面四种说法中正确的是( )
①任何一个算法都离不开顺序结构；
②算法框图中，根据条件是否成立有不同的流向；
③任何一个算法都必须同时含有三种基本结构；
④循环结构中必须有选择结构，选择结构中也一定有循环结构．
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③
答案 A
解析 本题可以从算法框图及三种基本结构的结构形式的特点入手，仔细分析每一句话，并注意概念间的异同点．
3．如图所示，算法框图的输出结果是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 赋值S＝0，n＝2
进入循环体：检验n＝2<8，
S＝0＋＝，n＝2＋2＝4；
检验n<8，
S＝＋＝，n＝4＋2＝6；
检验n<8，
S＝＋＝，
n＝6＋2＝8，
检验n＝8，脱离循环体，
输出S＝.
4．如图所示的算法框图，当输入x的值为5时，则其输出的结果是________．
答案 2
解析 ∵x＝5>0，∴x＝5－3＝2，
∵x＝2>0，∴x＝2－3＝－1.
∴y＝0.5－1＝2.
5．如图是一个算法框图，则输出的a的值是________．
答案 9
解析 a＝1，b＝9，不满足a>b，进入循环体，则a＝5，b＝7，仍不满足a>b，进入循环体，则a＝9，b＝5，满足a>b，输出a＝9.
1．用循环结构来描述算法时，要事先确定三件事
(1)确定循环变量和初始条件．
(2)确定算法中反复执行的循环体．
(3)确定循环的终止条件．
2．选择结构与循环结构的区别和联系
选择结构是根据条件是否成立决定有不同的流向，循环结构是根据条件决定是否重复执行一条或多条指令．循环结构一定要在某个条件下跳出循环，这就需要选择结构来判断．因此，循环结构一定包含选择结构.
一、选择题
1．阅读如图所示的算法框图，则输出的S等于( )
A．14 B．30 C．20 D．55
答案 B
解析 第一次循环，S＝1，i＝2；第二次循环，S＝1＋22＝5，i＝3；第三次循环，S＝5＋32＝14，i＝4；第四次循环，S＝14＋42＝30，i＝5，满足条件，输出S＝30.
2．如图所示的算法框图输出的S是126，则①应为( )
A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8
答案 B
解析 2＋22＋23＋24＋25＋26＝126，所以应填“n≤6”．
3．执行如图所示的算法框图，输出的S值为( )
A．1 B. C. D.
答案 C
解析 执行第一次循环后，S＝，i＝1；
执行第二次循环后，S＝，i＝2≥2，
退出循环体，输出的S值为.
4．如图是一个算法框图，该算法所输出的结果是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 运行第一次的结果为n＝0＋＝；
第二次n＝＋＝；
第三次n＝＋＝.
此时i＝4算法终止，即输出n＝.
5．执行如图所示的算法框图，若输入n的值为4，则输出s的值为( )
A．1 B．2 C．4 D．7
答案 D
解析 i＝1，s＝1→i＝2，s＝1→i＝3，s＝2→i＝4，s＝4→i＝5，s＝7结束．
6．某算法框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为( )
A．k>4 B．k>5 C．k>6 D．k>7
答案 A
解析 由题意k＝1时S＝1；当k＝2时，S＝2×1＋2＝4；当k＝3时，S＝2×4＋3＝11；当k＝4时，S＝2×11＋4＝26；当k＝5时，S＝2×26＋5＝57，此时与输出结果一致，所以判断框内应填k>4.
7．如果执行如图算法框图，输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于( )
A．720 B．360 C．240 D．120
答案 B
解析 ①k＝1，p＝3；②k＝2，p＝12；③k＝3，p＝60；④k＝4，p＝360.而k＝4时符合条件，终止循环输出p＝360.
8．执行如图所示的算法框图，第3次和最后一次输出的A的值分别是( )
A．7,9 B．5,11
C．7,11 D．5,9
考点 循环结构
题点 解读循环结构求输出结果
答案 D
解析 模拟执行算法框图，可得A＝1，S＝1，
输出A的值为1，S＝2，不满足条件S>5，A＝3；
输出A的值为3，S＝3，不满足条件S>5，A＝5；
输出A的值为5，S＝4，不满足条件S>5，A＝7；
输出A的值为7，S＝5，不满足条件S>5，A＝9；
输出A的值为9，S＝6，满足条件S>5，退出循环体，结束．
故第3次和最后一次输出的A的值分别是5,9.故选D.
9．如图所示的算法框图，输出S的值是，则判断框内应填( )
A．n＜2 015 B．n≤2 014
C．n≤2 016 D．n≤2 015
考点 循环结构
题点 循环结构的完善及补充
答案 D
解析 由算法框图可知，该程序的功能是利用循环结构输出1××××…×＝的值，
若输出S的值是，
则循环变量的终值为2 015，
故判断框内应填入n≤2 015，故选D.
二、填空题
10．阅读如图所示的算法框图，运行相应的算法语句，输出的s值为________．
答案 －3
解析 第一次循环：s＝1，k＝1<4，s＝2×1－1＝1，k＝1＋1＝2；
第二次循环：k＝2<4，s＝2×1－2＝0，k＝2＋1＝3；
第三次循环：k＝3<4，s＝2×0－3＝－3，k＝3＋1＝4；
当k＝4时，k<4不成立，循环结束，此时s＝－3.
11．执行如图所示的算法框图，若输入n＝5，则输出k的值为________．
答案 3
解析 n＝5，k＝0?n＝16，k＝1?n＝49，k＝2?n＝148，k＝3?n＝445＞150，输出k＝3.
12．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1，…，xn(单位：吨)．根据如图所示的算法框图，若n＝2，且x1，x2分别为1,2，则输出的结果S为________．
答案
解析 当i＝1时，S1＝1，S2＝1；
当i＝2时，S1＝1＋2＝3，S2＝1＋22＝5，
此时S＝×＝.
i的值变成3，从循环体中跳出输出S的值为.
三、解答题
13．设计算法框图实现求＋＋＋…＋的值．
解 算法分析：该式中每一项的分母是分子数加1，单独观察分子，恰好是1,2,3,4，…，20，因此可用循环结构实现，设计数变量i，用i＝i＋1实现分子，设累加变量S，用S＝S＋，可实现累加．
算法框图如下：
四、探究与拓展
14．执行如图所示的算法框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是( )
A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9
考点 循环结构
题点 循环结构的完善及补充
答案 B
解析 k＝2，s＝1×log23＝log23；
k＝3，s＝log23×log34＝log24；
k＝4，s＝log24×log45＝log25；
k＝5，s＝log25×log56＝log26；
k＝6，s＝log26×log67＝log27；
k＝7，s＝log27×log78＝log28＝3，停止，说明判断框内应填“k≤7”．
15．根据条件把图中的算法框图补充完整，求区间[1,1 000]内所有奇数的和，(1)处填________；(2)处填________．
考点 循环结构
题点 循环结构的完善及补充
答案 (1)S＝S＋i (2)i＝i＋2
解析 求[1,1 000]内所有奇数和，初始值i＝1，S＝0，并且i<1 000，所以(1)应填“S＝S＋i”，(2)应填“i＝i＋2”．
§3 几种基本语句
3.1 条件语句
学习目标 1.掌握条件语句的含义、格式.2.会利用条件语句将具体问题的框图转化为算法语句.3.会利用条件语句解决实际生活中的应用问题．
知识点一 条件语句
思考 一般在什么条件下才需要用到条件语句？使用条件语句的关键是什么？
答案 一般在分类处理问题时需要用到条件语句；使用条件语句的关键是明确分类的对象和标准．
梳理 条件语句格式和对应框图
格式一
格式二
条件语句
If条件Then
语句
End If
If条件Then
语句1
Else
语句2
End If
功能
首先对If后的条件进行判断，如果(If)条件符合，那么(Then)执行语句，否则执行End If之后的语句
首先对If后的条件进行判断，如果(If)条件符合，那么(Then)执行语句1，否则(Else)执行语句2
算法框图
知识点二 条件语句的嵌套
条件语句的嵌套是选择结构嵌套的实现和表达，一般形式如下：
If 条件1 Then
语句1
Else
If 条件2 Then
语句2
Else
语句3
End If
End If
1．If语句中必须有Else和End If.( × )
2．If语句中可以没有End If.( × )
3．If语句中可以没有Else，但必须以End If结束．( √ )
4．If语句中可以没有End If，但必须以有Else.( × )
类型一 选择结构和条件语句
例1 用条件语句表示分段函数y＝
解 可以用条件语句表示如下：
If x＜＝2.5 Then
y＝x*x＋1
Else
y＝x*x－1
End If
反思与感悟 当计算机执行条件语句时，首先对If后的条件进行判断，如果(If)条件符合，那么(Then)执行语句1，否则(Else)执行语句2.
跟踪训练1 写出求实数x的绝对值的一个算法，画出算法框图并写出算法对应的语句．
解 算法步骤如下：
1．输入一个实数x；
2．判断x的符号，若x≥0，则输出x；否则，输出－x.
算法框图如图：
算法对应的语句：
输入x；
If x>＝0 Then
输出 x
Else
输出 －x
End If
类型二 条件语句的应用
例2 在音乐唱片超市里，每张唱片售价25元．顾客如果购买5张以上(含5张)唱片，则按照九折收费；如果顾客购买10张以上(含10张)唱片，则按照八五折收费．请用语句描述完成计费工作的算法，画出算法框图并写出对应的语句．
解 假如用变量a表示顾客购买的唱片数，用变量C表示顾客要缴纳的金额，则这个算法可以表示为
(1)输入a.
(2)对a进行判断：
①若a<5，则C＝25a；
②若5≤a<10，则C＝22.5a；
③若a≥10，则C＝21.25a.
(3)输出C.
算法框图如图所示：
算法对应的语句为
输入a；
If a<5 Then
C＝25*a
Else
If a<10 Then
C=22.5*a
Else
C=21.25*a
End If
End If
输出C.
反思与感悟 先建立数学模型，再画出算法框图，根据算法框图就比较容易写出算法语句了．
跟踪训练2 已知某商店对顾客购买货款数满500元，减价3%，不足500元不予优惠，输入一顾客购物的货款数，计算出这个顾客实交的货款，画出算法框图，写出算法语句．
解 设购买货款数为x(元)，则顾客实际应交的货款y(元)为y＝
即y＝
所以，算法框图如图所示：
算法语句为
输入x；
If x>＝500 Then
y＝0.97*x
Else
y=x
End If
输出y.
类型三 条件语句的复合
例3 已知分段函数y＝编写算法语句，要求输入自变量x的值，输出相应的函数值，并画出算法框图．
解 算法框图如图所示：
算法语句为
输入x；
If x<0 Then
y＝－x＋1
Else
If x＝0 Then
y＝0
Else
y＝x＋1
End If
End If
输出y.
反思与感悟 (1)适用范围：已知分段函数的解析式求函数值的问题，须用条件语句书写算法语句，当条件的判断有两个以上的结果时，可以选择条件语句的复合去解决．
(2)解此类问题的步骤
①构思出解决问题的一个算法(可用自然语言)．
②画出算法框图，形象直观地描述算法．
③根据框图编写语句，即逐步把框图中的算法步骤用算法语句表达出来．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝试编写算法语句，根据输入的x值输出对应的y值．
解 算法语句如下：
输入x；
If x>0 Then
y＝2*x*x－1
Else
If x=0 The
y=2*x+1
Else
y=(－2)*x*x+4
End If
End If
输出y.
1．以下关于条件语句的说法，正确的是( )
A．条件语句的执行是按照程序中的先后顺序执行的
B．条件语句实现了算法框图中的选择结构
C．条件语句中不能再使用条件语句
D．条件语句一定要完整，即If－Then－Else－End If中每一部分都不能少
答案 B
2．给出以下问题：
①输入一个数x，输出它的相反数；
②求周长为8的正方形的面积；
③求三个数a，b，c中的最小值；
④求分段函数f(x)的函数值．
其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
答案 A
3．给出以下算法语句：
输入x1，x2；
If x1＝x2 Then
x1＝x1＋x2
End If
y＝x1＋x2
输出y.
如果输入x1＝2，x2＝3，那么执行此算法语句的结果是输出( )
A．7 B．10 C．5 D．8
答案 C
解析 由于输入的两个数x1＝2，x2＝3，不满足条件x1＝x2，因此，不执行语句体x1＝x1＋x2，而直接执行y＝x1＋x2，所以y＝5，最后输出5.
4．写出下面所示的算法语句表示的函数： .
输入x；
If x<＝6 Then
y＝3*x+2
Else
y＝x＋2 006
End If
输出y.
答案 y＝
5．将下列算法语句补充完整．
(1)输入两个数，输出其中较大的一个数；
(2)判断输入任意数x的奇偶性．
输入x；
m＝x Mod 2
If Then
输出 x是奇数
Else
输出 x是偶数
End If
输入a，b；
If a>b Then
输出 a
Else
End If
(1) (2)
则(1) ；(2)
答案 (1)输出b (2)m≠0
使用条件语句时应注意的问题
(1)条件语句是一个语句，If，Then，Else，End If都是语句的一部分．
(2)条件语句必须是以If开始，以End If结束，一个If必须与一个End If相对应．
(3)如果程序中只需对条件为真的情况作出处理，不用处理条件为假的情况，Else分支可以省略，此时条件语句就由双支变为单支.
一、选择题
1．给出以下四个问题：
①输入一个正数x，输出它的算术平方根；
②求函数f(x)＝的函数值；
③求周长为6的正三角形的面积；
④求三个数a，b，c中的最小值．
其中需要用条件语句来描述其算法的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 对于②，当x取不同范围时，f(x)的解析式不同，因此需分情况讨论，要用到条件语句；对于④，要求出最小值，需分情况讨论，要用到条件语句．
2．阅读下面程序：
输入 x；
If x＜0 Then
x＝－x
End If
输出 x.
若输入x＝5，则输出结果x为( )
A．－5 B．5
C．0 D．不确定
答案 B
解析 当x≥0时，不符合条件，执行END IF之后的语句，直接输出x的值，即为5.
3．下列算法语句是求函数y＝|x－4|＋1的函数值，则①处为( )
输入 x；
If x>＝4 Then
y＝x－3
Else
①
End If
输出y.
A．y＝3－x
B．y＝x－5
C．y＝5－x
D．y＝ABS(x－4)＋1
答案 C
解析 ∵y＝|x－4|＋1＝故选C.
4．阅读如图所示的算法语句，则该算法语句运行后，变量y的值为( )
x＝4
If x>3 Then
y＝x*x
Else
y＝2*x
End If
输出y.
A．4 B．16
C．6 D．8
答案 B
解析 因x＝4满足“x>3”的条件，所以执行的是Then后面的y＝4×4＝16.
5．当a＝3时，所给出的语句输出的结果是( )
输入a；
If a<10 Then
y＝2*a
Else
y=a*a
End If
输出y.
A．9 B．3 C．10 D．6
答案 D
解析 因3<10，所以y＝2×3＝6.
6．阅读算法语句，若最后输出的y为9，则输入的x应该是( )
输入x；
If x<0 Then
y＝(x＋1)*(x＋1)
Else
y＝(x－1)*(x－1)
End If
输出y.
A．－4 B．－2
C．4或－4 D．－4或－2
答案 C
解析 把y＝9代入y＝(x＋1)×(x＋1)和y＝(x－1)×(x－1)中分别求出适当的x值．
7．根据下面算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )
输入x；
If x<＝50 Then
y＝0.5*x
Else
y＝25＋0.6*(x-50)
End If
输出y.
A．25 B．30
C．31 D．61
答案 C
解析 由题意，得y＝
当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.
∴输出y的值为31.
8．如图所示的算法语句运行的结果是3，则输入的x值是( )
输入 x；
If x＞＝0 Then
y＝x2＋2
Else
y＝－x
End If
输出 y.
A．1 B．－3
C．1或－3 D．±1或－3
答案 C
解析 当x≥0时，3＝x2＋2，所以x＝1；当x＜0时，3＝－x，所以x＝－3，故选C.
9．在下面的算法语句中，如果输入x＝，则输出的y的值为( )
输入 x；
If x>＝0 Then
If x>0 Then
y＝?π/2?*x－5
Else
y＝0
End If
Else
y＝?π/2?*x－3
End If
输出y.
A．0 B．1 C．3 D.
答案 B
解析 x＝→x≥0→x>0→y＝×－5＝1.
二、填空题
10．根据下面的算法语句，当输入a，b的值分别为2,3时，最后输出的m的值是 ．
输入 a，b；
If a>b Then
m＝a
Else
m＝b
End If
输出 m.
答案 3
解析 由于2>3不成立，所以语句执行Else后面的m＝b，即把b的值赋给m，所以输出的值为3.
11．下图是根据输入x的值，计算y＝的值的一个算法语句．则①处应填 ．
输入x；
If ① Then
y＝x*x－4
Else
y＝x*x＋5
End If
输出y.
答案 x>2.5
12．如图所给出的是一个算法语句．如果输出的y的值是20，则输入的x的值是 ．
输入x；
If x<＝5 Then
y＝10*x
Else
y=2.5*x+5
End If
输出y.
答案 2或6
解析 当x≤5时，10x＝20，即x＝2；
当x>5时，2.5x＋5＝20，解出x＝6.
三、解答题
13．给出如下语句．(其中x满足：0输入x；
If x>0 And x<＝4 Then
y＝2*x
Else
If x<=8 Then
y=8
Else
y=24-2*x
End If
End If
输出y.
(1)该语句的功能是求什么函数的函数值；
(2)画出这个语句的算法框图．
解 (1)该语句所求函数的函数关系式为
y＝
(2)算法框图如下：
四、探究与拓展
14．下面算法语句在开始运行后，通过键盘输入三个值a＝3，b＝24，c＝7，则输出的结果分别是( )
算法语句：
输入a，b，c；
If b>a Then
t＝a
a＝b
b＝t
End If
If c>a Then
t＝a
a＝c
c＝t
End If
If c>b Then
t＝b
b＝c
c＝t
End If
输出a，b，c.
A．3,24,7 B．3,7,24
C．24,7,3 D．7,3,24
答案 C
解析 当a＝3，b＝24，c＝7时，此时b>a，首先是a，b交换数值即a＝24，b＝3，c＝7，又此时c>b，执行的程序是b，c交换数值，即b＝7，c＝3，所以a＝24，b＝7，c＝3.
15．儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1 m，则无需购票；若身高超过1.1 m但不超过1.4 m，可买半票；若超过1.4 m，应买全票．试写出一个购票算法语句．
解 算法语句如下：
输入h；
If h<＝1.1 Then
输出 免费乘车
Else
If h<＝1.4 Then
输出 半票乘车
Else
输出 全票乘车
End If
End If
3.2 循环语句
学习目标 1.理解两种结构的循环语句——For语句和Do Loop语句.2.掌握两种循环语句的一般形式并会应用.3.通过具体实例使学生明确两种循环语句的区别和联系．
知识点一 循环语句
思考 在算法框图中我们用选择结构来控制循环．在语句中怎样实现循环？
答案 使用循环语句．
梳理 一般地，循环语句有两种，预先知道循环次数用For语句，不知道则用Do Loop语句．
知识点二 For语句
1．For语句适用范围
循环结构是算法中的基本结构，For语句是表达循环结构最常见的语句之一，它适用于预先知道循环次数的循环结构．
2．For语句的一般形式是
For循环变量＝初始值To终值
循环体
Next
知识点三 Do Loop语句
1．Do Loop语句适用范围
预先不知道循环次数的循环结构，一般用Do Loop语句来描述．
2．Do Loop语句的一般形式为
Do
循环体
Loop While条件为真
1．在For循环中，步长为1，可以省略不写；若为其他值，则不可省略．( √ )
2．当循环次数未知时，只能用Do Loop语句解决累加、累乘问题．( √ )
3．For循环的关键是要为循环变量设定初值、步长、终值．( √ )
类型一 For语句
例1 (1)下列是求1＋3＋5＋…＋49的值的算法，则横线处应填 ．
S＝0
For
S＝S＋i
Next
输出S.
答案 i＝1 To 49 Step 2
解析 根据For语句的一般格式及功能可知．
(2)请阅读下列用For语句写出的算法，则该算法的处理功能为 ．
S＝0
T＝1
For i＝1 To 20
S＝S＋i
T＝T*i
Next
输出 S
输出 T.
答案 求和S＝1＋2＋3＋…＋20及求积T＝1×2×3×…×20
反思与感悟 解决这类问题首先是确定循环变量的初始值和终止值，根据题意确定循环体，然后用For语句的形式对算法加以描述．
跟踪训练1 (1)已知S＝5＋10＋15＋…＋1 500，画出算法框图，用For语句写出算法语句．
解 算法框图如图所示：
从算法框图可以看出是一个循环结构，我们可以运用循环语句来实现．
S＝0
For i＝5 To 1 500
S＝S＋i
i＝i＋5
Next
输出S.
(2)设计一个计算1＋＋＋＋…＋的算法，并画出算法框图写出算法语句．
解 原式＝1＋＋＋＋…＋，计数变量在指数位置上，累积变量与计数变量的初始值都可看作1，利用循环结构设计算法．
算法步骤如下：
1．S＝1；
2．i＝1；
3．S＝S＋；
4．i＝i＋1；
5．如果i≤20，则返回3，重新执行3、4、5，否则输出S.
语句如下：
S＝1
For i＝1 To 20
S＝S＋1/?3i?
Next
输出S.
相应算法框图如下图所示：
类型二 Do Loop语句
例2 计算1＋2＋3＋…＋100的值有如下算法：
1．令i＝1，S＝0.
2．计算S＋i，仍用S表示．
3．计算i＋1，仍用i表示．
4．判断i≤100是否成立．若是，则返回第二步；否则，输出S，结束算法．
请利用Do Loop语句写出这个算法对应的语句．
解 语句如下：
i＝1
S＝0
Do
S＝S＋i
i＝i＋1
Loop While i<＝100
输出S.
反思与感悟 用Do Loop语句写算法时，要注意Loop While后面的条件，只要条件为真就执行循环体．
跟踪训练2 根据下面的算法语句，绘制算法框图，指出输出的最后结果是什么？并将它改为另一种循环语句．
S＝0
For i＝3 To 99
S＝S＋i3
i＝i＋2
Next
输出S.
解 算法语句对应的算法框图如图所示，它用的是“For”语句，最终输出的结果是33＋53＋…＋993，
算法框图如图所示：
或
利用“Do Loop语句”可以改为
S＝0
i＝3
Do
S＝S＋i3
i＝i＋2
Loop While i<＝99
输出S.
1．关于Do Loop循环语句叙述正确的是( )
A．至少执行循环体一次
B．执行一次循环体
C．满足条件时执行循环体
D．遇到Do Loop就结束
答案 A
2．根据下面语句判断输出结果为( )
i＝1
S＝0
Do
S＝S＋i
i＝i＋1
Loop While S<20
输出 i.
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 前6次循环后，S的值分别为1,3,6,10,15,21，因21>20，要输出i，此时i是加1后的值为7.
3．下列算法语句输出的结果是( )
i＝1
S＝0
Do
S＝S*2＋1
i＝i＋1
Loop While i<＝4
输出S.
A．3 B．7
C．15 D．19
答案 C
解析 由算法语句可知，该循环体共循环4次，分别为S＝2×0＋1＝1，S＝2×1＋1＝3，S＝2×3＋1＝7，S＝2×7＋1＝15.
4．下面是求1×2×3×4×5×6×7×8×9×10的一个算法语句，将其补充完整．
a＝10
b＝1
Do
b＝a*b
a＝
Loop While
输出b
答案 a－1 a>＝1
解析 a的初始值为10，故循环体中的值应该递减，即a从10减小到1，循环体的条件应为a≥1.
5．请阅读下面用For语句给出的算法，画出算法框图并说明该算法的处理功能．
S＝0
For i＝1 To 20 Step 2
S＝S＋i
Next
输出 S.
解 算法的框图如图所示，因此，这个算法实际上处理的是求和S＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19.
1．For语句适用于预先知道循环次数的循环结构，而不知循环次数的循环结构用Do Loop语句．
2．①当计算机执行For语句时，一般先执行一次循环体，当循环变量在初始值与终止值之间时，执行循环体；当循环变量超过终止值时，不再执行循环体，跳出循环体执行后面的语句．
②计算机执行Do Loop语句，先执行一次循环体，若符合条件，继续执行循环体；当不符合条件时，跳出循环，执行Loop While后的语句．
3．一般情况下，For语句可以改成Do Loop语句，而Do Loop语句不一定能改成For语句.
一、选择题
1．执行下面算法语句的结果是( )
For i＝1 To 7
a＝i＋2
S＝2*a+3
Next
输出S.
A．17 B．19
C．21 D．23
答案 C
解析 该语句为For循环语句，循环变量i，初始值为1，终止值为7，步长为1，所以须循环7次，最后循环结束时，i＝7.故此时a＝7＋2＝9，S＝2×9＋3＝21.
2．下面程序中循环语句的循环终止条件是( )
m＝1
Do
m＝m＋3
Loop While m<10
输出m.
A．m＝10 B．m<10
C．m>10 D．m≥10
答案 D
解析 当m<10不成立即m≥10时，循环终止，执行Do Loop语句后的语句．
3．下面的算法语句第3个输出的数是( )
i＝1
x＝1
Do
输出x
i＝i＋1
x＝x＋
Loop While i<5
A．1 B. C．2 D.
答案 C
解析 该算法语句中关键是循环语句，
第一次输出的数是1，
第二次输出的数是x＝1＋＝，
第三次输出的数是x＝1＋＋＝2.
4．有下面算法语句：
For i＝－5 To 150
i＝i＋5
Next
该语句共执行循环的次数为( )
A．30 B．31 C．29 D．32
答案 B
解析 由题意知，该问题为－5加上多少次5之后为150，设加n次，
则有－5＋5n＝150，n＝31.
5．下列是一个表示计算S＝2＋4＋6＋…＋30的算法，其中横线内应填( )
S＝0
i＝2
Do
S＝S＋i
i＝i＋2
Loop While
输出S.
A．i≤30 B．i≥30
C．i<30 D．i>30
答案 A
解析 Do Loop语句中，条件成立时执行循环体，条件不成立时退出循环，循环15次，故i≤30.
6．下面语句执行后输出的结果是( )
n＝5
S＝0
Do
S＝S＋n
n＝n－1
Loop While S<15
输出n.
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 由于5＋4＋3＋2＝14，n＝2－1＝1，这时仍满足条件“S<15”，S＝14＋1＝15，n＝1－1＝0，这时S<15不满足，跳出循环．
7．运行下面的语句，执行后输出的S的值是( )
i＝1
Do
i＝i＋2
S＝2*i+1
Loop While i<6
输出S.
A．11 B．15 C．17 D．19
答案 B
解析 当i＝3时，S＝7，当i＝5时，S＝11，此时条件还满足，因此再循环一次，即i＝7时，S＝15.
8．下列语句的运行结果是( )
S＝0
For i＝1 To 5
S＝S＋1/i
Next
输出S.
A. B. C. D．3
答案 A
解析 该语句是求1＋＋＋＋的和．
9．下列语句运行后输出的结果是64，那么横线上应填( )
s＝2
i＝1
Do
s＝si
i＝i＋1
Loop While
输出s.
A．i≥3 B．i>3 C．i≤3 D．i<3
答案 C
解析 这是用Do Loop语句描述的算法，i为循环变量，初始值为1，输出结果为64时，应该是进行了三次循环，故While后面的条件为i≤3.
二、填空题
10．用Do Loop语句编写一个算法语句，输出使1＋4＋7＋…＋i≥300成立的最小正整数．则①处应填 ．
S＝0
i＝1
Do
S＝S＋i
i＝i＋3
Loop While ①
输出i－3.
答案 S<300
解析 Do Loop语句中，当While后的条件为真执行循环．
11．执行下面的算法语句，输出的结果是 ．
A＝1
B＝1
Do
A＝A＋B
B＝A＋B
Loop While B<15
C＝A＋B
输出C.
答案 34
解析 循环结构中的循环体的作用是将前两个数相加，得到后一个数；如果没有循环条件的限制，程序中的循环结构将连同初始值，依次给A，B赋值为1,1；2,3；5,8；13,21；…，其中第一、三、五、…个数为A的值，第二、四、六、…个数为B的值；可见，当B＝21时，循环结束，此时A＝13，所以，C＝A＋B＝34.
12．下述算法语句的表达式为 ．
S＝0
For i＝2 To 10
p＝2*i-1
S=S+1/p
Next
输出S.
答案 S＝＋＋…＋＋
解析 算法语句中体现的是循环语句的应用．
S＝＋＋…＋＋.
三、解答题
13．分别用两种不同循环语句描述下列算法：计算2×4×6×…×100的值．
解 循环语句如下：
方法一
S＝1
For i＝2 To 100 Step 2
S＝S*i
Next
输出S.
方法二
i＝2
S＝1
Do
S＝S*i
i＝i＋2
Loop While i<＝100
输出S.
四、探究与拓展
14．运行下面的算法语句，输出的i的值为 ．
S＝0
i＝1
Do
S＝S＋i
i＝i＋1
Loop While S<18
输出i.
答案 7
解析 由于循环体是先执行S＝S＋i，再执行i＝i＋1，然后进行判断，所以当S＝1＋2＋3＋4＋5＝15时，执行i＝5＋1＝6，这时15<18成立，当S＝15＋6＝21时，i＝6＋1＝7，这时21<18不成立，于是输出i＝7.
15．设计算法求＋＋＋…＋的值，并画出算法框图及编写算法语句．
解 算法步骤如下：
1．令S＝0，i＝1；
2．若i≤99成立，则执行第3步；否则，输出S，结束算法；
3．S＝S＋；
4．i＝i＋1，返回第2步．
算法框图如图：
或
算法语句：
S＝0
For i＝1 To 99
S＝S＋1/?i*?i＋1??
Next
输出S.
滚动训练二(§1～§3)
一、选择题
1．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是( )
①S＝－1＋2－3＋…＋28－29＋30；
②S＝1＋2＋3＋…＋30＋…；
③S＝1－2－3－…－n(n∈N＋)．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
考点 算法的特点
题点 判断问题是否可以设计算法求解
答案 B
解析 ②为求无限项的和，而算法要求必须在有限步之内完成．
2．下列算法语句的功能是判断输入的数x是否是正数，若是，输出它的平方，若不是，输出它的相反数，则填入的条件应为( )
输入x；
If Then
y＝－x
Else
y＝x2
End If
输出y.
A．x>0 B．x<0 C．x≥0 D．x≤0
答案 D
解析 根据算法语句的功能可知：x≤0.
3．下面给出的四个框图中满足Do Loop语句的是( )
答案 D
解析 当执行Do Loop语句时，一般是先执行一次循环体，若符合条件，继续执行循环体，直到不满足条件为止．
4．下列赋值语句错误的是( )
A．i＝i－1 B．m＝m^2＋1
C．k＝－1/k D．x*y＝a
考点 赋值语句
题点 赋值语句的定义及格式
答案 D
解析 执行A中语句后，i的值比原来小1，则A正确；执行B中语句后，m的值等于原来m的平方再加1，则B正确；执行C中语句后，k的值是原来的值的负倒数，则C正确；赋值号的左边只能是一个变量，则D错误．
5．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，输出S的值为( )
A．15 B．105 C．245 D．945
考点 三种结构的综合应用
题点 由输入条件求输出结果
答案 B
解析 依据算法流程图中提供的信息可知循环过程依次为：T＝3，S＝3，i＝2；T＝5，S＝15，i＝3；T＝7，S＝105，i＝4，结束循环，输出S＝105.
6．下列算法语句输出的结果为( )
n＝5
S＝0
Do
S＝2*S+n
n=n-1
Loop While S<65
输出n.
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案 B
解析 第一次循环，S＝5，n＝4；第二次循环，S＝2×5＋4＝14，n＝3；第三次循环，S＝2×14＋3＝31，n＝2；第四次循环，S＝2×31＋2＝64，n＝1；第五次循环，S＝64×2＋1＝129，n＝0，跳出循环．
7．读算法框图，循环体执行的次数为( )
A．50 B．49
C．100 D．99
考点 循环结构
题点 循环结构的应用
答案 B
解析 ∵i＝i＋2，∴当2＋2n≥100时，循环结束，
此时n＝49.
8．阅读如图所示的算法框图，运行相应的框图，如果输入某个正整数n后，输出的s∈(10,20)，那么n的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 框图首先给累加变量s赋值0，给循环变量k赋值1，
输入n的值后，执行s＝1＋2×0＝1，k＝1＋1＝2；
判断2＞n不成立，执行s＝1＋2×1＝3，k＝2＋1＝3；
判断3＞n不成立，执行s＝1＋2×3＝7，k＝3＋1＝4；
判断4＞n不成立，执行s＝1＋2×7＝15，k＝4＋1＝5.
此时s＝15∈(10,20)是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，即5＞n满足，所以正整数n的值应为4.故选B.
二、填空题
9．下面算法语句执行后，输出的结果是 ．
i＝11
S＝1
Do
S＝S*i
i＝i－1
Loop While i＞＝9
输出 S.
答案 990
解析 分析程序知S＝1×11×10×9＝990.
10．下面算法语句运行后输出的结果为 ．
输入x＝5，y＝－20；
If x<0 Then
y＝y－3
Else
y＝y＋3
End If
输出x－y，y－x.
答案 22，－22
解析 ∵x＝5，∴y＝－20＋3＝－17，∴x－y＝5－(－17)＝22，y－x＝－17－5＝－22.
11．执行如图的算法框图，若输出的S＝，则输入的整数p的值为 ．
考点 循环结构
题点 循环结构的应用
答案 5
解析 当n＝1时，S＝；
当n＝2时，S＝；
当n＝3时，S＝；
当n＝4时，S＝；
当n＝5时，S＝.
因此p＝5.
12．执行如图所示的算法框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为 ．
答案 3
解析 由算法框图可知：第一次循环，F1＝1＋2＝3，F0＝3－1＝2，n＝2，此时＝≤0.25不成立；第二次循环，F1＝2＋3＝5，F0＝5－2＝3，n＝3，此时＝≤0.25成立，输出n＝3.
三、解答题
13．某商场购物实行优惠措施，若购物金额x在800元以上(包括800元)，打8折；若购物金额x在500元以上(包括500元)，但不足800元，则打九折，否则不打折．设计算法框图，并编写算法语句，要求输入购物金额x，能输出实际付款额y.
解 由题意建立函数模型为y＝
算法框图如图所示．
算法语句如下：
输入 x；
If x＞＝800 Then
y＝0.8*x
Else
If x>=500 Then
y=0.9*x
Else
y=x
End If
End If
输出y.
四、探究与拓展
14．运行如图所示的算法框图，如果输入的n的值为6，那么输出的n的值为( )
A．3 B．5 C．10 D．16
考点 三种结构的综合应用
题点 由输入条件求输出结果
答案 B
解析 输入n＝6时，第一次循环，有n＝＝3，i＝0＋1＝1；
第二次循环，有n＝3×3＋1＝10，i＝1＋1＝2；
第三次循环，有n＝＝5，i＝2＋1＝3，
退出循环，此时n＝5，故选B.
15．用循环语句来书写求1＋22＋32＋…＋n2＞1 000的最小自然数n的算法，并画出算法框图．
解 算法语句如下： 算法框图如图所示．
S＝0
n＝1
Do
S＝S＋n2
n＝n＋1
Loop While S<＝1 000
输出n－1.
章末复习
学习目标 1.加深对算法思想的理解.2.加强用算法框图清晰条理地表达算法的能力.3.进一步体会由自然语言到算法框图再到程序的逐渐精确的过程．
1．算法的概念
算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．
2．算法框图
算法框图由框图组成， 按照算法进行的顺序用流程线将框图连接起来．结构可分为顺序结构、选择结构和循环结构．
3．算法语句
基本算法语句有输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句五种，它们对应于算法的三种逻辑结构：顺序结构、选择结构、循环结构．用基本语句编写程序时要注意各种语句的格式要求，条件语句应注意If与Then、End If配套使用，缺一不可，而Else可选；循环语句应注意循环条件的准确表达以及循环变量的步长设置．
1．一个算法框图一定包含顺序结构，但不一定包含选择结构和循环结构．( √ )
2．输入语句可以同时给多个变量赋值．( √ )
3．一个赋值语句可以给多个变量同时赋值．( × )
4．算法框图共有三种逻辑结构，即顺序结构、选择结构、循环结构．( √ )
类型一 算法设计
例1 已知平面直角坐标系中两点A(－1,0)，B(3,2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法．
解 算法步骤如下：
1．计算x0＝＝1，y0＝＝1，
得AB的中点N(1,1)．
2．计算k1＝＝，得直线AB的斜率．
3．计算k＝－＝－2，得直线AB的垂直平分线的斜率．
4．由点斜式方程得直线AB的垂直平分线的方程，并输出．
反思与感悟 算法设计应注意：
(1)与解决问题的一般方法有联系，从中提炼出算法；
(2)将解决问题的过程分为若干个可执行步骤；
(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达；
(4)用最简练的语言将各个步骤表达出来；
(5)算法的执行要在有限步内完成．
跟踪训练1 求两底面直径分别为2和4，且高为4的圆台的表面积及体积，写出解决该问题的算法．
解 算法步骤如下：
1．取r1＝1，r2＝2，h＝4.
2．计算l＝.
3．计算S＝πr＋πr＋π(r1＋r2)l与V＝π(r＋r＋r1r2)h.
4．输出计算结果．
类型二 算法框图及设计
例2 给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36.要求把大于40的数找出来并输出．试画出该问题的算法框图．
解 算法框图如下：
反思与感悟 算法的设计是画算法框图的基础，我们通过对问题的分析，写出相应的算法步骤．画算法框图之前应先对算法问题设计的合法性和合理性进行探讨，然后分析算法的逻辑结构和各步骤的功能(输入、输出、判断、赋值和计算)，画出相应的算法框图．
跟踪训练2 执行如图所示的算法框图，若输入n＝3，则输出T＝ .
答案 20
解析 按照算法框图的流程写出前n次循环的结果，直到不满足判断框中的条件，输出结果．
初始值：i＝0，S＝0，n＝3.
①i＝1，S＝1，T＝1；
②i＝2，S＝3，T＝4；
③i＝3，S＝6，T＝10；
④i＝4，S＝10，T＝20，
由于此时4≤3不成立，停止循环，故输出T＝20.
类型三 算法语句的设计
例3 给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推，要计算第30个数的大小，现在已给出了该问题算法的算法框图(如图)．
(1)请在图中判断框①处和执行框②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；
(2)根据算法框图写出算法语句．
解 (1)①i≥30 ②P＝P＋i
(2)算法语句如下：
P＝1
i＝1
Do
P＝P＋i
i＝i＋1
Loop While i<30
输出 P.
反思与感悟 用基本语句编写程序时要注意各种语句的格式要求，特别是条件语句和循环语句，应注意这两类语句中条件的表达以及循环语句中有关变量的取值范围．
跟踪训练3 某人用分期付款的方式购买一台价格为1 150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，并加入上次余款利息，一个月后付第一个月的分期付款，若月利率为1%，购买冰箱的钱全部付清后，实际付出的款额是多少元？请编写一个算法语句解决这个问题．
解 购买时付款150元，余款1 000元，分20次分期付款，并且每次要加上余款的利息，可以看出每次付款数是这样一列数：ai＝50＋(21－i)×50×1%(i＝1,2，…20)．
算法语句如下：
m＝1 000
S＝0
i＝1
Do
k＝50＋m*1%
S＝S＋k
m＝1 000－50*i
i=i+1
Loop While i<=20
S=S+150
输出S.
1．二分法作为一个优秀算法， 有下列说法①适用于求所有函数的零点；
②一定能在有限步内达到要求的精确度；
③每一步的指令都十分明确，只需按指令机械执行；
④能很方便地移植到计算机上执行，代替人完成枯燥的、重复的、烦琐的工作．
其中正确的说法有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
答案 D
解析 二分法只适合求零点左右两侧函数值异号的零点，虽能解决一类问题，但不适合所有函数求零点．
2．根据如图所示的算法框图，要使得输出的结果在区间[－1,0]上，则输入的x可以是( )
A．2 B．3
C．5 D．6
答案 A
解析 由算法框图可得输出值y＝
若y∈[－1,0]，则或
解得2≤x≤.
3．若算法框图所给的运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是( )
A．k＝9 B．k≤8
C．k＜8 D．k＞8
答案 D
解析 据算法框图可得当k＝9时，S＝11；
k＝8时，S＝11＋9＝20.∴应填入“k＞8”．
4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )
a＝1
b＝3
a＝a＋b
b＝a－b
输出 a，b.
A．1,3 B．4,1
C．0,0 D．6,0
答案 B
解析 由语句知a＝1＋3＝4，b＝4－3＝1.
5．将下面的语句改编成Do Loop语句．
S＝0
For i＝1 To 1 000
S＝S＋i
Next
输出S.
解
i＝1
S＝0
Do
S＝S＋i
i＝i＋1
Loop While i<＝1 000
输出S.
1．算法往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有些步骤甚至重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．
2．对算法框图的考查之一是程序的运行结果；考查之二是补全算法框图中的条件或循环体等．
3．算法设计和算法框图是程序设计的基础，编写程序的基本方法是“自上而下，逐步求精”.
一、选择题
1．下列关于算法的说法正确的是( )
A．任何一个算法都必须含有三种基本逻辑结构
B．从2开始写起，后一个数为前一个数与2的和，不断地写，写出所有偶数．这个问题编程后，可由计算机完成
C．算法：把a，b的值代入x＝，求方程ax＝b的解是有效的算法
D．在语句中，x＝y与y＝x是不一样的
答案 D
解析 一个算法可以只含有顺序结构，故A错；算法步骤必须是有限的，故B错；C中当a＝0时该算法是无效的．赋值语句中，x＝y是将y的值赋给x，y＝x是将x的值赋给y，D是正确的．
2．下面的算法语句运行后输出的结果为( )
x＝－1
y＝20
If x<0 Then
x＝y＋3
Else
x＝y－3
End If
输出 x－y，y＋x.
A．3,43 B．43,3
C．－18,16 D．16，－18
答案 A
解析 因为x＝－1，y＝20，x<0，所以 x＝y＋3＝23，所以x－y＝23－20＝3，y＋x＝20＋23＝43.
3．如图，若输入x的值为－5，则输出的y值是( )
A．－1 B．1
C．2 D．14
答案 A
解析 第一次输入x＝－5，满足|x|>3，x＝|－5－3|＝8，第二次满足|x|>3，x＝|8－3|＝5，第三次满足|x|>3，x＝|5－3|＝2，第四次不满足|x|>3，此时y＝＝＝－1，输出y＝－1，故选A.
4．执行如图所示的算法框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 本程序为分段函数y＝当x≤2时，由x2－1＝3得，x2 ＝4，所以x＝±2，满足x≤2.
当x>2时，由log 2x＝3，得x＝8，满足x>2.
所以满足条件的x有3个，故选C.
5．下面语句的功能是( )
s＝1
For i＝1 To 10
s＝s*i
Next
输出s.
A．计算3×10的值 B．计算310的值
C．计算39的值 D．计算1×2×3×…×10的值
答案 D
解析 循环变量初始值为1，终止值为10，i＝1时，s＝1；i＝2时，s＝2×1；i＝3时，s＝3×2×1；故输出的是1×2×…×10的值．
6．如图所示的算法框图表示求算式“2×3×5×9×17” 的值，则判断框内可以填入( )
A．k≤10 B．k≤16 C．k≤22 D．k≤34
答案 C
解析 第一次循环，若满足条件，则S＝2，k＝3；第二次循环，满足条件时，S＝2×3，k＝5；第三次循环，满足条件时，S＝2×3×5，k＝9；第四次循环，满足条件时，S＝2×3×5×9，k＝17；第五次循环，若满足条件，则S＝2×3×5×9×17，k＝33，此时不满足条件，输出S.所以条件应满足17≤k<33，k≤22满足，所以选C.
7．执行如图所示的算法框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于( )
A．[－6，－2] B．[－5，－1]
C．[－4,5] D．[－3,6]
答案 D
解析 由算法框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后18．如图是计算函数y＝的值的算法框图，则在①，②和③处应分别填入的是( )
A．y＝－x，y＝0，y＝x2 B．y＝－x，y＝x2，y＝0
C．y＝0，y＝x2，y＝－x D．y＝0，y＝－x，y＝x2
答案 B
解析 当x＞－1不成立时，y＝－x，故①处应填“y＝－x”；当x＞－1成立时，若x＞2，则y＝x2，即②处应填“y＝x2”，否则y＝0，即③处应填“y＝0”．
二、填空题
9．下面语句是计算当x＝0°，20°，40°，…，180°时sin x的值．
y＝0
x＝0°
Do
y＝sin x ①
输出x，sin x ②
x＝x＋20° ③
Loop While x<＝180° ④
要让它输出x＝0°，10°，20°，30°，…，180°时sin x的值，只需将 处改为 ．
答案 ③ x＝x＋10°
解析 这是个Do Loop循环，只需将循环变量x的步长改小，即可多输出一些值．
10．如图所示的算法框图，程序运行后输出的结果是 ．
答案 10
解析 程序运行后，s＝0＋(－1)1＋1＝0，n＝2；s＝0＋(－1)2＋2＝3，n＝3；s＝3＋(－1)3＋3＝5，n＝4；s＝5＋(－1)4＋4＝10＞9，故输出的结果是10.
11．阅读下面的算法框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a＝ ，i＝ .
答案 12 3
解析 要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，此时有i＝3.
12．按如图所示的算法框图运算，若输出k＝2，则输入x的取值范围是 ．
答案 [19,200)
解析 由题意得
解得19≤x<200.
三、解答题
13．已知某算法框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，…
(1)若算法运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；
(2)算法结束时，共输出(x，y)的组数为多少？
(3)写出算法框图的算法语句．
解 (1)由算法框图知：当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝－2；当x＝9时，y＝－4，所以t＝－4.
(2)当n＝1时，输出一组，当n＝3时，又输出一组，…，当n＝2 009时，输出最后一组，共输出(x，y)的组数为1 005；
(3)算法框图的对应语句为：
x＝1
y＝0
n＝1
Do
Print (x，y)
n＝n＋2
x＝3*x
y=y-2
Loop While n<2 010
四、探究与拓展
14．如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3＝ .
答案 8
解析 x1＝6，x2＝9，|x1－x2|＝3<2不成立，即为“否”，所以再输入x3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x3－x1|<|x3－x2|知，点x3到点x1的距离小于点x3到点x2的距离，所以当x3<7.5时，|x3－x1|<|x3－x2|成立，即为“是”，此时x2＝x3，所以p＝，即＝8.5，解得x3＝11>7.5，不合题意；当x3>7.5时，|x3－x1|<|x3－x2|不成立，即为“否”，此时x1＝x3，所以p＝，即＝8.5，解得x3＝8>7.5，符合题意．
15．画出求(共6个2)的值的算法框图．
解 方法一 如图①所示，
①
方法二 如图②所示，
②
