第一章基本初等函（II）学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测

滚动训练一(§1.1～§1.2)
一、选择题
1．sin π等于(　　)
A. B. C．－ D．－
考点　诱导公式一
题点　诱导公式一
答案　A
解析　sin π＝sin＝sin ＝.
2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为(　　)
A．1 B．－1 C. D．－
考点　任意角的三角函数
题点　任意角三角函数的定义
答案　C
解析　∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝＝，∴cos α＝＝＝.
3．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在(　　)
A．x轴的非负半轴上 B．y轴的非负半轴上
C．x轴的负半轴上 D．y轴的负半轴上
考点　象限角、轴线角
题点　轴线角
答案　A
解析　由于角α，β的终边相同，所以α＝k·360°＋β，k∈Z，所以α－β＝k·360°，k∈Z，则α－β的终边在x轴的非负半轴上，故选A.
4．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　)
A．－π B．－2π
C．π D．－π
答案　A
解析　∵－π＝－2π＋
＝2×(－1)π＋，
∴θ＝－π.
5.如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是(　　)
A.(2－sin 1cos 1)R2
B.R2sin 1cos 1
C.R2
D．(1－sin 1cos 1)R2
考点　扇形的弧长与面积公式
题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用
答案　D
解析　设扇形的圆心角为α，
∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2，
∴S弓形＝S扇形－S△
＝αR2－
＝×2×R2－R2sin 1·cos 1
＝R2(1－sin 1cos 1)．
6．化简：的值为(　　)
A．－sin θ B．sin θ C．cos θ D．－cos θ
考点　诱导公式的综合应用
题点　综合应用诱导公式化简
答案　A
解析　原式＝
＝＝－sin θ.
7．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)
A. B. C．1 D.
考点　同角三角函数的基本关系式
题点　同角三角函数的平方关系
答案　C
解析　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
二、填空题
8．计算：cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝________.
考点　诱导公式一、二、三
题点　诱导公式三
答案　0
解析　原式＝cos ＋cos ＋cos ＋cos＋cos＋cos＝cos ＋cos ＋cos －cos －cos －cos ＝0.
9．式子cos2＋cos2＝________.
考点　诱导公式
题点　诱导公式
答案　1
解析　原式＝sin2＋cos2
＝sin2＋cos2＝1.
10．点P(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第________象限．
考点　三角函数值在各象限的符号
题点　三角函数值在各象限的符号
答案　三
解析　2 018°＝5×360°＋218°，sin 2 018°＝sin 218°<0，cos 2 018°＝cos 218°<0，∴P(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限．
11．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m,2sin αcos α＝m2，则m的值为________．
考点　同角三角函数的基本关系式
题点　同角三角函数的平方关系
答案　－
解析　由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得4m2＝1＋m2，即m2＝.又α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，则m<0，所以m＝－.
三、解答题
12．已知cos α＝－，且α为第三象限角．
(1)求sin α的值；
(2)求f(α)＝的值．
考点　诱导公式的综合应用
题点　综合运用诱导公式求值
解　(1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－＝－.
(2)f(α)＝＝tan α·sin α
＝·sin α＝＝2×＝－.
13．已知扇形AOB的周长为10 cm.
(1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．
考点　扇形的弧长与面积公式
题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用
解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，
半径为r，面积为S，
(1)依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去；
当r＝4时，l＝2，此时，θ＝＝ rad.
(2)由l＋2r＝10得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2＝－2＋(0当r＝时，S取得最大值，这时l＝10－2×＝5，
∴θ＝＝＝2 rad.
四、探究与拓展
14．一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为C，面积为S，则的最大值为________．
考点　扇形的弧长与面积公式
题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用
答案　4
解析　设扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，则l＝2r，故C＝l＋2r＝2r＋2r＝4r，S＝lr＝r2，∴＝＝－2＋＝－2＋4≤4，当r＝时等号成立，则的最大值为4.
15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
考点　诱导公式的综合应用
题点　综合运用诱导公式求值
解　由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， ③
又因为sin2α＋cos2α＝1， ④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．
滚动训练二(1.3.1～1.3.3)
一、选择题
1．下列函数中，最小正周期为4π的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin  D．y＝cos 2x
考点　正弦函数、余弦函数的周期性
题点　正弦函数、余弦函数的周期性
答案　C
解析　A项，y＝sin x的最小正周期为2π，故A项不符合题意；B项，y＝cos x的最小正周期为2π，故B项不符合题意；C项，y＝sin 的最小正周期为T＝＝4π，故C项符合题意；D项，y＝cos 2x的最小正周期为T＝＝π，故D项不符合题意．故选C.
2．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只需将y＝f(x)的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
考点　三角函数图象的平移变换和伸缩变换
题点　三角函数图象的平移变换
答案　A
解析　由T＝π＝ ，得ω＝2，
g(x)＝cos 2x＝sin，
f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，
得到y＝sin
＝sin＝g(x)的图象．
3．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　)
A．120° B．－120° C．－60° D．60°
考点　任意角的概念
题点　任意角的概念
答案　B
解析　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°，故选B.
4．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan 5；④.
其中符号为负的是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
考点　任意角的概念
题点　任意角的概念
答案　C
解析　因为－1 000°＝80°－3×360°，
所以sin(－1 000°)＝sin 80°>0；
可知cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；
因为5∈，所以tan 5<0，
＝＝>0.
故选C.
5．函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
考点　和三角函数有关的几种复合函数
题点　和三角函数有关的几种复合函数
答案　C
解析　由y＝|sin x|的图象，可得函数y＝|sin x|的单调递增区间为，k∈Z，当k＝1时，得为函数y＝|sin x|的一个单调递增区间．
6．若f(x)＝tan，则(　　)
A．f(0)>f(－1)>f(1)
B．f(0)>f(1)>f(－1)
C．f(1)>f(0)>f(－1)
D．f(－1)>f(0)>f(1)
考点　正切函数的单调性
题点　正切函数单调性的应用
答案　A
解析　当kπ－即kπ－而f(0)＝tan .
f(1)＝tan＝tan＝tan，
f(－1)＝tan.
所以f(0)>f(－1)>f(1)．
7.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图，则其解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
考点　求三角函数的解析式
题点　根据三角函数的图象求解析式
答案　C
解析　由图象知，A＝2，T＝－＝π，
所以ω＝2，又函数图象过点，
令－×2＋φ＝0，得φ＝，
所以f(x)＝2sin.
二、填空题
8．当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点　正弦函数、余弦函数最值的综合问题
答案　　2
解析　∵x∈，∴－≤sin x≤1，
y＝3－sin x－2cos2x＝1－sin x＋2(1－cos2x)
＝2sin2x－sin x＋1＝22＋，
当sin x＝时，ymin＝；
当sin x＝1或sin x＝－时，ymax＝2.
9．已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＋cos α的值为________．
考点　任意角的三角函数
题点　用定义求三角函数的值
答案　±
解析　在角α的终边上任取一点P(x，y)，则y＝x，
当x>0时，r＝＝x，
sin α＋cos α＝＋＝＋＝；
当x<0时，r＝＝－x，
sin α＋cos α＝＋＝－－＝－.
10．函数f(x)＝cos的单调递减区间是________．
考点　正弦函数、余弦函数的单调性
题点　正弦函数、余弦函数单调性的判断
答案　，k∈Z
解析　令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
11.设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则f的值为________．
考点　三角函数图象的综合应用
题点　三角函数图象的综合应用
答案　
解析　取K，L的中点N，则|MN|＝，因此A＝.
由T＝2，得ω＝π.
∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝cos πx，
∴f＝cos ＝.
三、解答题
12．(2017·辽宁大连二十四中期末考试)已知sin(3π－α)＝cos，cos(π－α)＝cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．
考点　诱导公式的综合应用
题点　综合运用诱导公式求值
解　由已知，得sin α＝sin β，①
cos α＝cos β，②
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，所以sin2α＝.
又0<α<π，则sin α＝.
将sin α＝代入①，得sin β＝.
又0<β<π，故cos β＝±.
13.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的最小正周期为T，且在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(mx)＋1(m>0)的图象关于点M对称，且在区间上不是单调函数，求m的取值所构成的集合．
考点　三角函数图象的综合应用
题点　三角函数图象的综合应用
解　(1)由图象得最小正周期T＝4π，∴ω＝＝.
又A>0，∴解得
∴f(x)＝3sin－1.
由f＝3sin－1＝2，
得sin＝1，∴φ＝2kπ－，k∈Z，
又－<φ<，∴φ＝－，
∴f(x)＝3sin－1.
(2)g(x)＝3sin.
∵g(x)的图象关于点M对称，
∴g＝0，即3sin＝0.
∴－＝kπ，k∈Z，
又m>0，∴m＝k＋，k∈N.
当k＝0时，m＝，g(x)＝3sin在区间上单调递增；
当k＝1时，m＝，g(x)＝3sin在区间上单调递增；
当k≥2时，m≥，g(x)在区间上不是单调函数．
综上可知，m的取值构成的集合为
.
四、探究与拓展
14.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(　　)
A．1 B. C. D.
考点　三角函数图象的综合应用
题点　三角函数图象的综合应用
答案　D
解析　由图象可得A＝1，＝＝－＝，
解得ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
点相当于y＝sin x中的(0,0)，
令2×＋φ＝0，解得φ＝，
满足|φ|<，符合题意，
∴f(x)＝sin.
∵sin＝1，∴图中点B的坐标为.
又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，
∴x1＋x2＝×2＝，
∴f(x1＋x2)＝sin＝，故选D.
15．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f(x)≤对x∈R 恒成立．且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间．
考点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用
解　由f(x)≤对x∈R恒成立知，
2·＋φ＝2kπ±(k∈Z)．
∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|<π，得φ＝或φ＝－，
又∵f>f(π)，∴φ＝－，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

1　同角三角函数关系巧应用
同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用．
一、知一求二型
例1 　已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝________________.
解析　由sin α＝，
且sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝±.
因为≤α≤π，可得cos α＝－.
所以tan α＝＝－2.
答案　－2
点评　已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论．
二、“1”的妙用
例2 证明：＝.
证明　因为sin2x＋cos2x＝1，
所以1＝(sin2x＋cos2x)3,1＝(sin2x＋cos2x)2.
所以
＝
＝
＝＝.
即原命题得证．
点评　本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解．
三、齐次式型求值
例3 已知tan α＝2，求值：
(1)＝________；
(2)2sin2α－3cos2α＝________.
解析　(1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α，
得＝＝＝－1.
(2)2sin2α－3cos2α＝，
因为cos2 α≠0，分子分母同除以cos2α，
得＝＝＝1.
答案　(1)－1　(2)1
点评　这是一组在已知tan α＝m的条件下，求关于sin α，cos α的齐次式值的问题．解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cosn α(n∈N＋)．这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m的值求解.
2　单调不“单调”，应用很“奇妙”
三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容．利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等．下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助．
一、信心体验——比较大小
例1 比较cos ，sin，－cos 的大小．
解　因为sin ＝cos＝cos ，
－cos＝cos ，又0<<<<，
而y＝cos x在[0，π]上是减函数，
所以cos >cos >cos ，
即－cos >sin >cos .
点评　比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行．①将不同名的三角函数化为同名三角函数；②用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小．③由单调性得出各值的大小关系．
二、重拳出击——求解最值
例2　 已知f(x)＝sin，x∈R.求函数f(x)在区间上的最小值和最大值．
解　因为当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
函数f(x)＝sin单调递增；
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数单调递减，
所以f(x)＝sin在区间上为增函数，在区间上为减函数．
又f＝0，f＝，f＝－1.
故函数f(x)在区间上的最大值为，
最小值为－1.
点评　求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是考试中经常出现的考点，解题过程中要注意将ωx＋φ看作一个整体．利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合运用．
三、触类旁通——解不等式
例3 若0≤α<2π，sin α>cos α，求α的取值范围．
解　当α＝时，不等式成立．当α＝时，不等式不成立．当α∈∪时，cos α>0，则原不等式可化为tan α>，根据正切函数的单调性得，<α<；同理可得，当α∈时，<α<.
综上，α的取值范围是.
点评　利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解.
3　善用数学思想——巧解题
一、数形结合思想
例1 在[0,2π]内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是________．
解析　在同一坐标系中画出y＝sin x，y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图．
由图知，x∈.
答案　
点评　求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单．
二、分类讨论思想
例2 证明：＝(－1)ncos α，n∈Z.
证明　当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，
左边＝
＝＝＝cos α.
右边＝(－1)2kcos α＝cos α，∴左边＝右边．
当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，
左边＝
＝
＝＝＝－cos α.
右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．
综上所述，＝(－1)ncos α，
n∈Z成立．
点评　解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是kπ±α(k∈Z)的形式，往往对参数k进行讨论．常见的一些关于参数k的结论有sin(kπ＋α)＝
(－1)ksin α(k∈Z)；cos(kπ＋α)＝(－1)kcos α(k∈Z)；sin(kπ－α)＝(－1)k＋1sin α(k∈Z)；cos(kπ－α)＝(－1)kcos α(k∈Z)等．
三、函数与方程的思想
例3 函数f(x)＝cos x－sin2x的最大值是________．
解析　f(x)＝cos x－sin2x＝cos2x＋cos x－1
＝2－，
设cos x＝t，因为≤x≤，所以由余弦函数的单调性可知，≤cos x≤，即≤t≤.
又函数f(t)＝2－在上单调递增，
故f(t)max＝f＝.所以f(x)的最大值为.
答案　
点评　遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值．
四、转化与化归思想
例4 比较下列每组数的大小．
(1)tan 1，tan 2，tan 3；
(2)tan与tan.
解　(1)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又因为<2<π，所以－<2－π<0.
因为<3<π，所以－<3－π<0.
显然－<2－π<3－π<1<，
而y＝tan x在内是增函数，
所以tan(2－π)即tan 2(2)tan＝－tan，tan＝－tan.
因为0<<<，且y＝tan x在内单调递增，所以tan－tan，
即tan>tan.
点评　三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小．另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.
4　三角函数的性质总盘点
三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”．要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象．下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会．
一、定义域
例1 函数y＝的定义域为________．
解析　由题意得cos x≥，
所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
即函数的定义域是，k∈Z.
答案　，k∈Z
点评　解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中的三角函数线求解．
二、值域与最值
例2 函数y＝cos，x∈的值域是________．
解析　因为0f(x)＝cos x的图象如图所示：
cos π≤cos故函数的值域是.
答案　
点评　解本题的关键是从x的范围入手，先求得ωx＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值．
三、单调性
例3 已知函数f(x)＝sin，求：
(1)函数f(x)的单调递减区间；
(2)函数f(x)在[－π，0]上的单调递减区间．
解　由f(x)＝sin可化为
f(x)＝－sin.
所以原函数的递减区间即为函数y＝sin的递增区间．
(1)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)＝sin的递减区间为
，k∈Z.
(2)在递减区间，k∈Z中，
令k＝－1,0时，可以得到当x∈[－π，0]时，
f(x)＝sin的递减区间为
，.
点评　解本题的关键是先把函数化为标准形式y＝sin(ωx＋φ)，ω>0，然后把ωx＋φ看作一个整体，根据y＝sin x的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间．
四、周期性与对称性
例4 已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
解析　由T＝π＝，得ω＝1，
所以f(x)＝sin.
由2x－＝＋kπ，k∈Z，
解得f(x)的对称轴为x＝＋，k∈Z，
所以x＝为f(x)的一条对称轴．故选C.
答案　C
点评　解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决．同样地，求解对称中心也有两种方法．
五、奇偶性
例5　若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π))是偶函数，则φ等于(　　)
A. B. C. D.
解析　函数是偶函数，所以函数关于x＝0对称．
由＝＋kπ可得函数的对称轴方程是x＝＋3kπ－φ，k∈Z.令＋3kπ－φ＝0，
解得φ＝＋3kπ，k∈Z.
又φ∈[0,2π)，故φ＝.
答案　C
点评　解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数?函数图象关于y轴对称；奇函数?函数图象关于原点对称.
5　数形结合百般好，形象直观烦琐少
——构建正弦、余弦函数图象解题
正、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且还有着广泛的应用．若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题．
一、确定函数的值域
例1　定义运算a※b为a※b＝例如，1※2＝1，则函数f(x)＝sin x※cos x的值域为(　　)
A．[－1,1] B.
C. D.
解析　根据题设中的新定义，得f(x)＝作出函数f(x)在一个周期内的图象，
如图可知函数f(x)的值域为.
答案　C
点评　有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解．
二、确定零点个数
例2　函数f(x)＝x－sin x在区间[0,2π]上的零点个数为________．
解析　在同一直角坐标系内，画出y＝x及y＝sin x的图象，
由图象可观察出交点个数为2.
答案　2
点评　有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解．
三、确定参数的值
例3　已知f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值、无最大值，则ω＝________________.
解析　∵f(x)＝sin(ω>0)且f＝f，
又f(x)在区间内只有最小值、无最大值，
画出函数大致图象，如图所示，
∴f(x)在＝处取得最小值．
∴ω＋＝2kπ－(k∈Z)．
∴ω＝8k－(k∈Z)．
∵ω>0，∴当k＝1时，ω＝8－＝；
当k＝2时，ω＝16－＝，此时在区间内已存在最大值．故ω＝.
答案　
点评　本小题考查对y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是f(x)在处取得最小值；二是在区间内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题．
四、判断函数单调性
例4　设函数f(x)＝(x∈R)，则f(x)(　　)
A．在区间上是增函数
B．在区间上是增函数
C．在区间上是减函数
D．在区间上是减函数
解析　作出函数y＝的图象如图所示．
由图象可知B正确．
答案　B
点评　形如f(x)＝|Asin(ωx＋φ)＋k|(A≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解．
五、确定参数范围
例5　当0≤x≤1时，不等式sin ≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析　作出函数y＝sin ，y＝kx的图象，如图所示．
当k≤0时，显然成立；
当0sin ≥kx在x∈[0,1]上恒成立．
综上所述，k≤1.
答案　(－∞，1]
点评　数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断．本题讨论y＝kx与y＝sin 的图象关系时，不要忘记k≤0的情况．
六、研究方程的实根
例6　已知方程sin＝k在0≤x≤π上有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求x1＋x2的值．
解　在同一坐标系内作出函数y1＝sin(0≤x≤π)与y2＝k的图象，如图所示．
当x＝0时，y1＝sin＝1.
所以当k∈[1，)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x1，x2，且x1，x2关于x＝对称，
x1＋x2＝.
故实数k的取值范围是[1，)，且x1＋x2＝.
点评　本题通过函数图象的交点个数判断方程实数根的个数，应重视这种方法．
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．计算cos(－780°)的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　C
解析　cos(－780°)＝cos 780°
＝cos(360°×2＋60°)＝cos 60°＝，故选C.
2．设α为第二象限角，则· 等于(　　)
A．1 B．tan2α C．－tan2α D．－1
答案　D
解析　∵α为第二象限角，
∴cos α＜0，sin α＞0，·
＝·＝·
＝·
＝·＝－1.
3．若sin x·tan x<0，则角x的终边位于(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
答案　B
4．若cos θ>0，sin θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　三角函数值在各象限的符号
题点　三角函数值在各象限的符号
答案　D
解析　由题意且根据三角函数的定义sin θ＝<0，cos θ＝>0，∵r>0，∴y<0，x>0.∴θ在第四象限，故选D.
5．已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，则该扇形的面积为(　　)
A．4 cm2 B．6 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
答案　A
解析　由题意，得解得
故S＝lr＝×4×2＝4(cm2)．
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)与直线y＝的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是(　　)
A. B．π C．2π D．4π
答案　B
解析　ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)或ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
≥，≥，
令＝，得ω＝2，T＝＝π.
7．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
考点　三角函数的平移变换和伸缩变换
题点　三角函数的平移变换
答案　B
解析　函数y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos.故选B.
8．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的解析式为(　　)
A．y＝sin 2x－2 B．y＝2cos 3x－1
C．y＝sin－1 D．y＝1－sin
答案　D
解析　由题图得＝－，∴T＝π＝，
又ω>0，∴ω＝2，
∴y＝1＋sin(2x＋φ)，
当x＝时，0＝1＋sin，
∴2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－－＝2kπ－(k∈Z)．
∴y＝1＋sin＝1－sin
＝1－sin.
故选D.
9．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于(　　)
A．－ B．2kπ－(k∈Z)
C．kπ(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案　D
解析　若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f(0)＝cos φ＝0，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)．
10．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
答案　A
解析　因为0≤x≤9，所以0≤x≤，
－≤x－≤－，
即－≤x－≤，所以当x－＝－时，
y＝2sin(0≤x≤9)有最小值2sin＝－，
当x－＝时，
y＝2sin(0≤x≤9)有最大值2sin ＝2，
所以最大值与最小值之和为2－.
11.函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
考点　求三角函数的解析式
题点　根据三角函数的图象求解析式
答案　A
解析　由已知可得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象经过点和点，则A＝2，T＝π，即ω＝2，则函数的解析式可化为y＝2sin(2x＋φ)，将代入得－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝，此时y＝2sin，故选A.
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B．9 C．7 D．5
答案　B
解析　因为x＝－为f(x)的零点，
x＝为f(x)的图象的对称轴，
所以－＝＋kT，
即＝·T＝·，
所以ω＝4k＋1(k∈N＋)，
又因为f(x)在上单调，
所以－＝≤＝，即ω≤12，
由此得ω的最大值为9，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设ω>0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是________．
答案　
解析　向右平移个单位长度得
y＝sin＋2＝sin＋2.
∵与原函数图象相同，故－ω＝2nπ(n∈Z)，
∴ω＝－n(n∈Z)，∵ω>0，∴ωmin＝.
14．在△ABC中，C>，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是________．(填序号)
①f(cos A)>f(cos B)；
②f(sin A)>f(sin B)；
③f(sin A)>f(cos B)；
④f(sin A)答案　③
解析　根据0所以sin A又y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，
所以f(sin A)>f(cos B)．
15．若f(x＋2)＝则f·f(－98)＝________.
答案　2
解析　f＝tan ＝1，
f(－98)＝f(－100＋2)＝lg 100＝2，
所以f·f(－98)＝1×2＝2.
16．有下列说法：
①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③在同一直角坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；④把函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图象；⑤函数y＝sin在[0，π]上是减函数．
其中，正确的说法是________．(填序号)
答案　①④
解析　对于①，y＝－cos 2x的最小正周期T＝＝π，故①对；对于②，因为k＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错；对于③，作出y＝sin x与y＝x的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y＝3sin的图象向右平移个单位长度后，得
y＝3sin＝3sin 2x，故④对；
对于⑤，y＝sin＝－cos x在[0，π]上为增函数，故⑤错．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知tan α＝－.
(1)求2＋sin αcos α－cos2α的值；
(2)求的值．
解　(1)2＋sin αcos α－cos2α
＝
＝
＝，
把tan α＝－代入，得
原式＝＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝－＝－tan α，
把tan α＝－代入，得原式＝.
18．(12分)已知f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
解　(1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z知，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的最小正周期为π，单调递增区间为(k∈Z)．
(2)变换情况如下：
y＝sin 2x
y＝sin 
y＝sin＋.
19．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
解　(1)由最低点为M，得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，
得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由点M在图象上，得2sin＝－2，
即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，∴φ＝，故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
故f(x)的值域为[－1,2]．
20．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的一系列对应值如表：
x
－






f(x)
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解　(1)设f(x)的最小正周期为T，
则T＝－＝2π，由T＝，得ω＝1，
又解得
令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，取φ＝－，
所以f(x)＝2sin＋1.
(2)因为函数y＝f(kx)＝2sin(kx－)＋1的周期为，又k＞0，所以k＝3.令t＝3x－，
因为x∈，所以t∈，
如图，sin t＝s在上有两个不同的解，则s∈，所以方程f(kx)＝m在x∈时恰好有两个不同的解，则m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．
21．(12分)已知函数f(x)＝2sin.
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围．
考点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用
解　(1)f(x)min＝－2，此时2x－＝2kπ－，k∈Z，
即x＝kπ－，k∈Z，
即此时自变量x的集合是.
(2)把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y＝sin的图象，最后再把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象．
(3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以m≥.
又函数y＝f(x)在上是减函数，
故m的最大值为内使函数值为－的值，
令2sin＝－，得x＝，
所以m的取值范围是.
22．(12分)是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acos x＋a－在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，请说明理由．
解　y＝1－cos2x＋acos x＋a－
＝－2＋＋a－.
∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1.
若>1，即a>2，
则当cos x＝1时，ymax＝a＋a－＝1，
解得a＝<2(舍去)；
若0≤≤1，即0≤a≤2.
则当cos x＝时，ymax＝＋a－＝1.
解得a＝或a＝－4<0(舍去)；
若<0，即a<0，
则当cos x＝0时，ymax＝a－＝1，
解得a＝>0(舍去)．
综上所述，存在a＝符合题设条件．

§1.1　任意角的概念与弧度制
1．1.1　角的概念的推广
学习目标　1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．
知识点一　角的相关概念
思考　我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形．这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量．那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？
答案　一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点．
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
梳理　　(1)角的概念：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按照逆时针方向旋转而成的角
负角
按照顺时针方向旋转而成的角
零角
当射线没有旋转，称它形成了一个零角
(3)角的运算：各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
知识点二　终边相同的角
思考1　假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
答案　它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角．
思考2　如何表示与60°终边相同的角？
答案　60°＋k·360°(k∈Z)．
梳理　终边相同角的表示
设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，集合S的每一个元素都与α终边相同，当k＝0时，对应元素为α.
知识点三　象限角
思考　把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的正半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？
答案　终边可能落在坐标轴上或四个象限内．
梳理　在平面直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合．
象限角：角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限角．
轴线角：终边落在坐标轴上的角．
1．经过1小时，时针转过30°.(　×　)
提示　因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°.
2．终边与始边重合的角是零角．(　×　)
提示　终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
类型一　任意角概念的理解
例1　(1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确说法的序号为________．
(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．
答案　(1)①　(2)－120°
解析　(1)锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误．
(2)分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.
反思与感悟　解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小．
跟踪训练1　写出下列说法所表示的角．
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．
解　(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.
类型二　终边相同的角
命题角度1　求与已知角终边相同的角
例2　在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．
解　与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，
得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，
故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，
得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，
故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
反思与感悟　求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
跟踪训练2　写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
解　由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
命题角度2　求终边在给定直线上的角的集合
例3　写出终边在直线y＝－x上的角的集合．
解　终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是
S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是
S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边落在直线y＝－x上的角的集合是
S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝－x上的角的集合是
S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
反思与感悟　求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．
跟踪训练3　写出终边在直线y＝x上的角的集合．
解　终边在y＝x(x≥0)上的角的集合是
S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝x(x<0)上的角的集合是
S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝x上的角的集合是
S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
类型三　象限角的判定
例4　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
引申探究
确定(n∈N＋)的终边所在的象限．
解　一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，…，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．
反思与感悟　判断象限角的步骤
(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．
(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．
跟踪训练4　下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
(1)60°；(2)－21°.
解　(1)60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.
(2)－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.

1．下列说法正确的是(　　)
A．终边相同的角一定相等
B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角
D．小于90°的角都是锐角
答案　B
2．与－457°角终边相同的角的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
答案　C
解析　－457°＝－2×360°＋263°，故选C.
3．2 017°是第________象限角．
答案　三
解析　因为2 017°＝5×360°＋217°，故2 017°是第三象限角．
4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．
答案　－252°
解析　∵－1 692°＝－4×360°－252°，
∴与－1 692°终边相同的最大负角为－252°.
5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
解　终边落在x轴上的角的集合
S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合
S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}．
∴终边落在坐标轴上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}
＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．

1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角．
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(3)相等的角终边一定相同．终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
(4)k∈Z这一条件不能少.
一、选择题
1．下列命题正确的是(　　)
A．终边在x轴负半轴上的角是零角
B．第二象限角一定是钝角
C．第四象限角一定是负角
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同
考点　终边相同的角
题点　任意角的综合应用
答案　D
解析　终边在x轴负半轴上的角为k·360°＋180°，k∈Z，零角为0°，所以A错误；480°角为第二象限角，但不是钝角，所以B错误；285°角为第四象限角，但不是负角，所以C错误，故选D.
2．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　C
解析　∵α是第四象限角，
∴－90°＋k·360°＜α＜k·360°，
∴－k·360°＜－α＜90°－k·360°，
∴180°－k·360°＜180°－α＜270°－k·360°，
∴180°＋n·360°＜180°－α＜270°＋n·360°，
其中n＝－k，
∴180°－α是第三象限角．
3．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　)
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
答案　D
解析　直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．
4．时针走过了2小时40分，则分针转过的角度是(　　)
A．80° B．－80°
C．960° D．－960°
答案　D
解析　分针转过的角是负角，且分针每转一周是－360°，故共转了－360°×＝－960°.
5．若α与β的终边关于x轴对称，则α可以用β表示为(　　)
A．k·360°＋β(k∈Z) B．k·360°－β(k∈Z)
C．k·180°＋β(k∈Z) D．k·180°－β(k∈Z)
答案　B
解析　∵α与β的终边关于x轴对称，
∴α＋β＝k·360°(k∈Z)，
∴α＝k·360°－β(k∈Z)．故选B.
6．设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则(　　)
A．A∩B＝? B．A?B
C．B?A D．A＝B
答案　D
解析　对于集合A，
α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°
或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°
＝45°＋(2k＋1)·90°.
∵k∈Z，
∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，
∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，
又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，
∴A＝B.故选D.
7．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角α所表示的范围(阴影部分)正确的是(　　)
答案　C
二、填空题
8．已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．
答案　240°
解析　与α＝－3 000°终边相同的角的集合为
{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，
令－3 000°＋k·360°>0°，解得k>，
故当k＝9时，θ＝240°满足条件．
9．若α＝k·360°＋45°，k∈Z，则是第________象限角．
答案　一或三
解析　∵α＝k·360°＋45°，k∈Z，
∴＝k·180°＋22.5°，k∈Z.
当k为偶数，即k＝2n，n∈Z时，
＝n·360°＋22.5°，n∈Z，
∴为第一象限角；
当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，
＝n·360°＋202.5°，n∈Z，
∴为第三象限角．
综上，是第一或第三象限角．
10．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝_________________.
答案　{－126°，－36°，54°，144°}
解析　当k＝－1时，α＝－126°；
当k＝0时，α＝－36°；
当k＝1时，α＝54°；
当k＝2时，α＝144°.
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
11．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________.
答案　270°
解析　∵角5α与α具有相同的始边与终边，
∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，
∴α＝k·90°，k∈Z，
又180°<α<360°，∴当k＝3时，α＝270°.
三、解答题
12．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
解　(1)如图，
直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.解得－所以n＝－2，－1,0,1,2,3.
所以集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素为
60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；
60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.
四、探究与拓展
13.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是____________________．
答案　{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}　{315°，－45°}
{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
解析　终边落在OA的位置上的角的集合是
{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}．
终边落在OB的位置上的角的集合是
{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}，
取k＝0，－1得α＝315°，－45°，
故终边落在OB的位置上，
且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}．
终边落在阴影部分的角的集合是
{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．
14．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解　由题意可知，
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，∴0°＜α＋β＜180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，∴－90°＜α－β＜90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°，②
由①②得α＝15°，β＝65°.
1．1.2　弧度制和弧度制与角度制的换算
学习目标　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确地转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．
知识点一　角度制与弧度制
思考1　在初中几何研究过角的度量，当时是使用角度制来度量角的，那么1°的角是如何规定的？
答案　把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1°的角．
思考2　在弧度制中，1弧度的角是如何规定的？
答案　长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
思考3　“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
答案　“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
梳理　(1)角度制
①定义：用度作单位来度量角的制度．
②1度的角：把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1度．
(2)弧度制
①定义：以弧度为单位来度量角的制度．
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
③弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝.
知识点二　角度制与弧度制的换算
思考　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
答案　 利用1°＝ rad和1 rad＝°进行弧度与角度的换算．
梳理　(1)角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0








π

2π
知识点三　扇形的弧长及面积公式
思考　扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
答案　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则：
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αr
扇形的面积
S＝
S＝lr＝αr2
1．1 rad的角和1°的角大小相等．(　×　)
提示　1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝ rad.
2．用弧度来表示的角都是正角．(　×　)
提示　弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数．
3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(　√　)
提示　“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.
类型一　角度与弧度的互化
例1　将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
解　(1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
反思与感悟　将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可．
跟踪训练1　(1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度．
解　(1)112°30′＝°＝×＝.
(2)－＝－°＝－75°.
类型二　用弧度制表示终边相同的角
例2　已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解　(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，
又π<<，
∴α的终边与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ＜0，
∴当k＝－3时，γ＝－；
当k＝－2时，γ＝－；
当k＝－1时，γ＝－.
反思与感悟　用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练2　(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
(2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角．
解　(1)∵－1 480°＝－1 480×＝－，
而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，∴α＝.
∴－1 480°＝＋2×(－5)π.
(2)∵＝×°＝72°，
∴终边与角的终边相同的角为
θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.
∴在[0°，720°]内与角终边相同的角为72°，432°.
类型三　扇形的弧长及面积公式的应用
例3　(1)若扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为(　　)
A．π B. C. D.
(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为(　　)
A．2 B. C．2sin 1 D.
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)扇形的中心角为120°＝，半径为，
所以S扇形＝|α|r2＝××()2＝π.
(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角为1，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2×＝.
反思与感悟　联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝αr2，二是l＝αr，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算．
跟踪训练3　一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
解　设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，
∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
1．下列说法中，错误的是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
答案　D
解析　根据1度，1弧度的定义可知只有D是错误的，
故选D.
2．把化为角度是(　　)
A．270° B．280° C．288° D．318°
考点　弧度制
题点　角度与弧度的互化
答案　C
解析　＝×°＝288°.
3．若θ＝－5，则角θ的终边在(　　)
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
答案　D
解析　2π－5与－5的终边相同，
∵2π－5∈，
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．
4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是(　　)
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
答案　C
解析　设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，
则由题意得
∴或
5．已知⊙O的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是________．
答案　－
解析　设⊙O的半径为r，其内接正三角形为△ABC.
如图所示，
D为AB的中点，AO＝r，∠OAD＝30°，
AD＝r·cos 30°＝r，
∴边长AB＝2AD＝r.
∴的弧长l＝AB＝r.
又∵α是负角，
∴α＝－＝－＝－.
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．

一、选择题
1．－300°化为弧度是(　　)
A．－π B．－π
C．－π D．－π
答案　B
解析　－300°＝－300×＝－π.
2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案　C
解析　A，B中弧度与角度混用，不正确．
＝2π＋，所以与的终边相同．
－315°＝－360°＋45°，
所以－315°也与45°的终边相同．故选C.
3．下列转化结果错误的是(　　)
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
答案　C
解析　C项中－150°＝－150×＝－π.
4．设角α＝－2弧度，则α所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　∵－π<－2<－，
∴2π－π<2π－2<2π－，即π<2π－2<π，
∴2π－2为第三象限角，∴α为第三象限角．
5．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(　　)
A.π B．－π C.π D．－π
答案　B
6．若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为(　　)
A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9
答案　B
解析　设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，
则R＝r＋＝r＋2r＝3r.∴S内切圆＝πr2，
S扇形＝αR2＝××R2＝××9r2＝πr2，
∴S内切圆∶S扇形＝2∶3.
二、填空题
7．在直径长为20 cm的圆中，圆心角为165°时所对的弧长为________ cm.
答案　
解析　∵165°＝×165＝(rad)，
∴l＝×10＝(cm)．
8．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．
考点　扇形的弧长与面积公式
题点　扇形的弧长公式
答案　2
解析　设圆的半径为r，其外切正三角形的边长为a，
则r＝××a＝a，又弧长为a，
所以圆心角为α＝＝＝＝2.
9．若2π<α<4π，且α与－π角的终边垂直，则α＝________.
答案　或π
解析　α＝－π－＋2kπ＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π；
或者α＝－π＋＋2kπ＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π.
综上，α＝π或π.
10．如果圆心角为的扇形所对的弦长为2，则扇形的面积为________．
答案　
解析　如图，作BF⊥AC.
已知AC＝2，∠ABC＝，则AF＝，∠ABF＝.∴AB＝＝2，即R＝2.
∴弧长l＝αR＝，∴S＝lR＝.
11．将－1 725°化为弧度制为________，是第________象限角．
答案　－10π＋　一
三、解答题
12．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是30 cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10(cm)，∴l＝αR＝ (cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin ×10×cos ＝50 (cm2)．
(2)∵l＋2R＝30，∴l＝30－2R，
从而S＝lR＝(30－2R)·R＝－R2＋15R＝－2＋.
∴当半径R＝ cm时，l＝30－2×＝15(cm)，
扇形面积的最大值是 cm2，这时α＝＝2(rad)．
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2.
13．设半径为12 cm，弧长为8π cm的弧所对的圆心角为α，其中0＜α＜2π，求出与α终边相同的角的集合A，并判断集合A与集合B＝的关系．
解　因为半径为12 cm，弧长为8π cm的弧所对的圆心角为α，所以α＝＝，则与角α终边相同的角的集合
A＝.
对于集合B＝，
当k＝4n(n∈Z)时，α＝2nπ＋；
当k＝4n＋1(n∈Z)时，α＝2nπ＋；
当k＝4n＋2(n∈Z)时，α＝2nπ＋；
当k＝4n＋3(n∈Z)时，α＝2nπ＋，
所以A?B.
四、探究与拓展
14．已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．
解　(1)∵α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，
∴角α的终边与的终边相同，又<<π，
∴角α是第二象限的角．
(2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，
∴由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
∵k∈Z，∴k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，.
§1.2　任意角的三角函数
1．2.1　三角函数的定义
学习目标　1.理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各个象限的符号.3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域．
知识点一　任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1　角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
答案　sin α＝，cos α＝，tan α＝.
思考2　对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
答案　不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
梳理　如图，设P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，设OP＝r(r≠0)．
(1)定义
叫做角α的余弦，记作cos_α，即cos α＝；
叫做角α的正弦，记作sin_α，即sin α＝；
叫做角α的正切，记作tan_α，即tan α＝.
依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当α≠kπ＋(k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应．因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数．
(2)有时我们还用到下面三个函数
角α的正割：sec α＝＝；
角α的余割：csc α＝＝；
角α的余切：cot α＝＝.
这就是说，sec α，csc α，cot α分别是α的余弦、正弦和正切的倒数．
由上述定义可知，当α的终边在y轴上，即α＝kπ＋(k∈Z)时，tan α，sec α没有意义；当α的终边在x轴上，即α＝kπ(k∈Z)时，cot α，csc α没有意义．
知识点二　正弦、余弦、正切函数的定义域
思考　对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？
答案　由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时无意义，故tan α无意义．
梳理　三角函数的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α

知识点三　正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考　根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
答案　三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号．
(1)sin α＝(r>0)，因此sin α的符号与y的符号相同，当α的终边在第一、二象限时，sin α>0；当α的终边在第三、四象限时，sin α<0.
(2)cos α＝(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时，cos α<0.
(3)tan α＝，因此tan α的符号由x，y确定，当α终边在第一、三象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0，tan α<0.
梳理　三角函数值在各象限内的符号，如图所示．
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
1．sin α，cos α，tan α的大小与点P(x，y)在角α的终边上的位置有关．(　×　)
提示　三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的位置无关．
2．终边相同的角的同名三角函数值相等．(　√　)
提示　由三角函数的定义可知，终边相同的角的同名三角函数值相等．
3．正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域都是R.(　×　)
类型一　三角函数定义的应用
命题角度1　已知角α终边上一点坐标求三角函数值
例1　已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
解　由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝ .
又∵cos θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
反思与感悟　(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1　已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
解　r＝＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
∴2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
综上所述，2sin α＋cos α＝±1.
命题角度2　已知角α的终边所在直线求三角函数值
例2　已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α，sec α，csc α，cot α的值．
解　设角α的终边上任一点为P(k，－k)(k≠0)，
则x＝k，y＝－k，r＝＝2|k|.
①当k＞0时，r＝2k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝－，sec α＝＝2，
csc α＝＝－，cot α＝＝－.
②当k＜0时，r＝－2k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝－，
sec α＝＝－2，
csc α＝＝，
cot α＝＝－.
反思与感悟　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.
跟踪训练2　已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值．
解　因为角α的终边在直线y＝x上，
所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，
则r＝＝2|a|(a≠0)．
①若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝＝，cos α＝＝，
tan α＝＝.
②若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，
cos α＝－＝－，
tan α＝＝.
类型二　三角函数值符号的判断
例3　(1)确定下列各三角函数值的符号．
①sin 182°；②cos(－43°)；③tan.
解　①∵182°是第三象限角，
∴sin 182°是负的，符号是“－”．
②∵－43°是第四象限角，
∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”．
③∵是第四象限角，
∴tan是负的，符号是“－”．
(2)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D.
反思与感悟　角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
跟踪训练3　(1)判断下列各式的符号．
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
解　①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
②∵＜3＜π＜4＜＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
(2)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．
答案　二
解析　由题意知tan α<0，cos α<0，
∴α是第二象限角．
类型三　三角函数的定义域
例4　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝＋.
解　(1)要使函数有意义，需tan x≠0，
所以x≠kπ＋，k∈Z且x≠kπ，k∈Z，
所以x≠，k∈Z.
于是函数的定义域是.
(2)要使函数有意义，需
得
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z，
所以函数的定义域是.
反思与感悟　求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：(1)分母不为零．(2)偶次根号下大于等于零．(3)在真数位置时大于零．(4)在底数位置时大于零且不等于1.
跟踪训练4　求函数f(x)＝的定义域．
解　要使f(x)有意义，
则所以
解得2kπ＜x＜2kπ＋，k∈Z，
所以函数的定义域为.
1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　D
解析　由题意可知，x＝－4，y＝3，r＝5，
所以cos α＝＝－.故选D.
2．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则的终边在(　　)
A．第二、四象限
B．第一、三象限
C．第一、三象限或x轴上
D．第二、四象限或x轴上
答案　D
解析　依题意，得
∴θ为第四象限角或θ的终边在x轴非负半轴上．当θ为第四象限角时，作图可知，的终边在第二、四象限；
当θ的终边在x轴非负半轴上时，θ＝2kπ，k∈Z，＝kπ，的终边在x轴上，故选D.
3．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α等于(　　)
A．－ B.
C. D．－
答案　D
解析　∵cos α＝＝，
∴＝5，∴y2＝16，
∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－.
4．当α为第二象限角时，－的值是(　　)
A．1 B．0 C．2 D．－2
答案　C
解析　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴－＝－＝2.
5．已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
解　当k>0时，令x＝24k，y＝7k，
则有r＝＝25k，
∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝.

1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
2．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取．
3．要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值．
一、选择题
1．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
答案　A
解析　由题意，得解得－2＜a≤3，故选A.
2．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x的值为(　　)
A. B．± C．－ D．－
答案　D
解析　∵cos α＝＝＝x，
∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3，
∴x＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x＝(舍去)或x＝－.故选D.
3．若α是第四象限的角，则下列函数值一定是负值的是(　　)
A．sin  B．cos 
C．sin·cos  D．以上均不正确
答案　C
4．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　D
5．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵sin ＝，cos ＝－.
∴角α的终边在第四象限，且tan α＝＝－，
∴角α的最小正值为2π－＝.
6．某点从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由三角函数定义可得Q，
cos ＝－，sin＝.
7．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
∴∴θ为第三象限角．
二、填空题
8．函数y＝tan x＋lg sin x的定义域为________．
答案　∪，k∈Z
解析　由题意知，sin x＞0，且x≠＋kπ，k∈Z，
∴x∈∪，k∈Z.
9．设角θ的终边经过点P(－3,4)，那么sin θ＋2cos θ＝________.
考点　任意角的三角函数
题点　用定义求三角函数的值
答案　－
解析　根据三角函数的定义，sin θ＝，cos θ＝(其中r＝)，由角θ的终边经过点P(－3,4)，可得r＝＝5，sin θ＝，cos θ＝－，
所以sin θ＋2cos θ＝－2×＝－.
10．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
答案　2
解析　∵y＝3x且sin α<0，
∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，
且m<0，n<0，n＝3m.
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝，
∴m＝－1，n＝－3，
∴m－n＝2.
11．函数y＝＋－的值域是________________．
答案　{－4,0,2}
解析　由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，
当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，
sin xcos x>0，y＝0；
当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，
sin xcos x<0，y＝2；
当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，
sin xcos x>0，y＝－4；
当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，
sin xcos x<0，y＝2.
故函数y＝＋－的值域为{－4,0,2}．
12．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，则sin θ＋cos θ＝________.
答案　0或－
解析　∵θ的终边过点P(x，－1)(x≠0)，
∴tan θ＝－.
又tan θ＝－x，
∴x2＝1，即x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝，
因此sin θ＋cos θ＝0；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，
因此sin θ＋cos θ＝－.
故sin θ＋cos θ的值为0或－.
三、解答题
13．已知角α的终边落在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α的值．
解　当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1,3)，由r＝|OP|＝＝，
得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝3；
当角α的终边在第三象限时，
在角α的终边上取点P′(－1，－3)，
由r＝|OP′|＝，
得sin α＝＝－，cos α＝－，tan α＝3.
四、探究与拓展
14．已知角α的终边经过点P(3,4t)，且sin α＝－，则t等于(　　)
A．－ B.
C. D．－
答案　A
解析　sin α＝－＜0，则α的终边在第三或第四象限．又点P的横坐标为正数，所以α是第四象限角，
所以t＜0.又sin α＝，
则＝－，
所以t＝－.
15．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
解　(1)∵＝－，
∴sin α＜0.①
∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0.②
由①②得角α在第四象限．
(2)∵点M在单位圆上，
∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，∴m＜0，∴m＝－.
由三角函数定义知，sin α＝－.
1．2.2　单位圆与三角函数线
学习目标　1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一　单位圆
思考1　什么叫单位圆？
答案　把半径为1的圆叫做单位圆．
思考2　点的射影是如何定义的？
答案　过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直于y轴于点N，则点M，N分别是点P在x轴，y轴上的正射影(简称射影)．
梳理　(1)单位圆
把半径为1的圆叫做单位圆．
(2)单位圆中角α的坐标
角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
知识点二　三角函数线
思考1　三角函数线的长度等于三角函数的值吗？
答案　不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值．
思考2　三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么联系？
答案　当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示的三角函数值为正值；与x轴(或y轴)正向反向时，所表示的三角函数值为负值．
梳理　三角函数线

1．正弦线MP也可写成PM.(　×　)
提示　三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒．
2．三角函数线都只能取非负值．(　×　)
提示　三角函数线表示的值也可取负值．
3．当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(　√　)
4．当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(　√　)
类型一　三角函数线
例1　作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解　如图所示，
sin＝MP，
cos＝OM，tan＝AT.
即－的正弦线为，余弦线为，正切线为.
反思与感悟　(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
跟踪训练1　在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合．
解　已知角α的正弦值，可知MP＝，则P点纵坐标为.
所以在y轴上取点，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为
.
类型二　利用三角函数线比较大小
例2　利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小．
解　如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
显然|MP|>|M′P′|，符号皆正，
∴sin>sin；
|OM|<|OM′|，符号皆负，∴cos>cos；
|AT|>|AT′|，符号皆负，∴tan反思与感悟　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”．(2)比较三角函数线的长度．(3)确定有向线段的正负．
跟踪训练2　比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小．
解　sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.
如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M1P1，M2P2.
∵M1P1>M2P2，且符号皆正，
∴sin 1 155°>sin(－1 654°)．
类型三　利用三角函数线解不等式(组)
命题角度1　利用三角函数线解不等式?组?
例3　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
解　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足要求的角α的集合为
.
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
.
反思与感悟　用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：
(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期．
(2)注意区间是开区间还是闭区间．
跟踪训练3　已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．
解　图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即
.
命题角度2　利用三角函数线求三角函数的定义域
例4　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg＋.
解　(1)自变量x应满足2sin x－≥0，
即sin x≥.
图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即
.
(2)由题意知，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
反思与感悟　(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
跟踪训练4　求函数f(x)＝的定义域．
解　要使函数f(x)有意义，必须使2sin x－1≥0，
则sin x≥.
如图，画出单位圆，作x轴的平行直线y＝，
交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2，
分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，易知这两条正弦线的长度都等于.
在[0,2π)内，sin＝sin＝.
因为sin x≥，所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，
所以函数f(x)的定义域为
.
1．下列四个命题中：
①当α一定时 ，单位圆中的正弦线一定；
②在单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上．
则错误命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　由三角函数线的定义知①③④正确，②不正确．
2．如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　)
A．正弦线为，正切线为
B．正弦线为，正切线为
C．正弦线为，正切线为
D．正弦线为，正切线为
答案　C
3．如果<α<，那么下列不等式成立的是(　　)
A．cos αB．tan αC．sin αD．cos α考点　单位圆与三角函数线
题点　利用三角函数线比较大小
答案　A
解析　方法一　(特值法)令α＝，
则cos α＝，tan α＝，sin α＝，
故cos α方法二　如图所示，
在单位圆中分别作出α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，则OM即cos α4．函数y＝的定义域为___________________________．
答案　 ，k∈Z
5．利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角α的区域，并写出角α的集合：
(1)cos α＞－；(2)tan α≤；(3)|sin α|≤.
解　(1).
(2).
(3)|sin α|≤，即－≤sin α≤，
.
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
2．三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更加容易．
一、选择题
1．下列说法不正确的是(　　)
A．当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点
B．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在
C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D．余弦线和正切线的始点都是原点
答案　D
解析　根据三角函数线的概念，A，B，C是正确的，只有D不正确，因为余弦线的始点在原点，而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上．
2．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则(　　)
A．aC．b考点　单位圆与三角函数线
题点　利用三角函数线比较大小
答案　D
解析　∵<<，作的三角函数线，
则sin＝MP，cos＝OM，
tan＝AT，
∴OM∴b3．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪
答案　D
解析　角α的取值范围为图中阴影部分，
即∪.
4．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在(　　)
A．y轴上 B．x轴上
C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上
答案　B
解析　由题意得|cos α|＝1，即cos α＝±1，则角α的终边在x轴上．故选B.
5．在下列各组的大小比较中，正确的是(　　)
A．sin>sin B．cos>cos
C．tan>tan D．sin>tan
答案　B
6．有三个命题：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．
其中正确说法的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
答案　C
解析　和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.
7．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是(　　)
A．sin α＋cos α＞1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α＜1 D．不能确定
答案　A
二、填空题
8．不等式tan α＋>0的解集是______________．
答案　{α|kπ－<α解析　不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴.
9．把sin，sin，cos，tan由小到大排列为________________．
答案　cos解析　由图可知，
sin＝M1P1>0，
sin＝M2P2>0，
tan＝AT>0，
cos＝OM3<0.
而0∴0而cos<0，∴cos10．函数f(x)＝的定义域为________．
答案　，k∈Z
解析　如图所示．
11．设和分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM.其中正确的是______．(填序号)
答案　②
12．函数y＝logsin x(2cos x＋1)的定义域为________
答案　
解析　由题意可知，要使函数有意义，
则需如图所示，
阴影部分(不含边界与y轴)即为所求．所以所求函数的定义域为
.
三、解答题
13．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝；(2)cos α＝－.
解　(1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，
则OP，OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，
则OM，ON为角α的终边，如图乙．
四、探究与拓展
14．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　因为π＜3＜π，作出单位圆如图所示．
设MP，OM分别为a，b.
sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0，
所以sin 3－cos 3＞0.
因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|，
所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0.
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．
15．若α，β是关于x的一元二次方程x2＋2(cos θ＋1)x＋cos2θ＝0的两实根，且|α－β|≤2，求θ的范围．
解　∵方程有两实根，
∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos2θ≥0，
∴cos θ≥－.①
∵|α－β|≤2，∴(α＋β)2－4αβ≤8.
由根与系数的关系，得
α＋β＝－2(cos θ＋1)，αβ＝cos2θ，
∴4(cos θ＋1)2－4cos2θ≤8，
即cos θ≤.②
由①②得－≤cos θ≤，
利用单位圆中的三角函数线(图略)可知
＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z或＋2kπ≤θ≤＋2kπ，
k∈Z.∴＋kπ≤θ≤＋kπ，k∈Z.
即θ的取值范围是，k∈Z.
1．2.3　同角三角函数的基本关系式
学习目标　1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．
知识点　同角三角函数的基本关系式
思考1　计算下列式子的值：
(1)sin230°＋cos230°；(2)sin245°＋cos245°；
(3)sin290°＋cos290°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它．
答案　3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝x.
由勾股定理得sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1.
思考2　由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
答案　∵tan α＝，∴tan α＝.
梳理　(1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
②商数关系：tan α＝ .
(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
②tan α＝的变形公式
sin α＝cos_αtan_α；cos α＝.
1．sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
提示　在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
2．sin2＋cos2＝1.(　√　)
提示　在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1.
3．对任意的角α，都有tan α＝成立．(　×　)
提示　当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立.
类型一　利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1　已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
例1　若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，
∴tan α＝＝－，故选D.
反思与感悟　同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．
跟踪训练1　已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
命题角度2　已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
例2　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
①当α是第二象限角时，则
sin α＝＝ ＝，
tan α＝＝＝－.
②当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
反思与感悟　利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．
跟踪训练2　已知cos α＝－，求13sin α＋5tan α的值．
解　∵cos α＝－<0，
∴α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝＝ ＝，
tan α＝＝＝－，
故13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－ ＝－，
tan α＝＝＝，
故13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上可知，13sin α＋5tan α＝0.
类型二　利用同角三角函数关系化简
例3　已知α是第三象限角，化简： － .
解　原式＝ － 
＝ － ＝－.
∵α是第三象限角，∴cos α＜0.
∴原式＝－＝－2tan α(注意象限、符号)．
反思与感悟　解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
跟踪训练3　化简：(1)；
(2)－ (α为第二象限角)．
解　(1)原式＝ 
＝ ＝
＝＝1.
(2)∵α是第二象限角，∴cos α＜0，
则原式＝－ 
＝ －
＝＋＝
＝＝tan α.
类型三　利用同角三角函数关系证明
例4　求证：＝.
证明　∵右边＝
＝＝
＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
反思与感悟　证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
(3)比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．
(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练4　求证：＝.
证明　方法一　(比较法——作差)
∵－＝
＝＝0，
∴＝.
方法二　(比较法——作商)
∵＝＝
＝＝＝1.∴＝.
方法三　(综合法)
∵(1－sin x)(1＋sin x)＝1－sin2x＝cos2x＝cos x·cos x，
∴＝.
类型四　齐次式求值问题
例5　已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
解　(1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝.
反思与感悟　(1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值．
(2)注意例5第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式．
跟踪训练5　已知＝2，计算下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α－2sin αcos α＋1.
解　由＝2，化简，得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
(1)原式＝＝.
(2)原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
1．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于(　　)
A．－ B. C．± D．±
答案　A
解析　∵α为第二象限角，sin α＝，
∴cos α＝－，tan α＝－.
2．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　)
A. B．－ C．－ D.
答案　C
解析　由题意得(sin α－cos α)2＝，
即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－.故选C.
3．化简 的结果是(　　)
A．cos B．sin
C．－cos D．－sin
答案　C
解析　＝＝，
∵<<π，∴cos<0，
∴＝－cos，
即＝－cos，故选C.
4．若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________.
答案　－
解析　sin θcos θ＝＝＝－.
5．已知sin α＝，求cos α，tan α.
解　∵sin α＝>0，∴α是第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，
cos α＝＝＝，
tan α＝＝；
当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－.
1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．
2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少．(2)次数尽量低．(3)分母、根式中尽量不含三角函数．(4)能求值的尽可能求值．
3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．
4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．
5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换．(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)．(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)．(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系求解.
一、选择题
1．已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β为第三象限角，则sin α·tan β等于(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　B
解析　∵cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，
∴sin α＝＝，cos β＝－＝－，
即tan β＝，则sin α·tan β＝.故选B.
2．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α等于(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
答案　C
解析　∵α是第二象限角，∴cos α<0.
又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－，
∴cos α＝－.
3．已知A是三角形的一个内角，sin A＋cos A＝，则这个三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案　B
解析　∵sin A＋cos A＝，∴1＋2sin Acos A＝，
∴sin Acos A＝－＜0，
又∵A∈(0，π)，sin A＞0，∴cos A＜0，即A为钝角．
故选B.
4．函数y＝＋的值域是(　　)
A．{0,2} B．{－2,0}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
答案　C
解析　y＝＋.
当x为第一象限角时，y＝2；
当x为第三象限角时，y＝－2；
当x为第二、四象限角时，y＝0.
5．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)
A．－4 B．4 C．－8 D．8
答案　C
解析　tan α＋＝＋＝.
∵sin αcos α＝＝－，
∴tan α＋＝－8.
6．若π<α<，则＋的化简结果为(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　运用基本关系式化简和证明
题点　运用基本关系式化简
答案　D
解析　原式＝ ＋ 
＝＋＝，
∵π<α<，∴原式＝－.
7．已知＝，则等于(　　)
A. B．－ C．2 D．－2
答案　B
解析　利用1－sin2x＝cos2x，
可得＝－＝－.
二、填空题
8．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝________.
考点　运用基本关系式求三角函数值
题点　运用基本关系式求三角函数值
答案　－
解析　由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，
且sin α＝－，
故原式＝＝
＝sin α(1＋sin α)＝－×＝－.
9．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝________.
答案　 3或－
解析　因为sin α＋2cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，
联立解得或
故tan α＝＝－或3.
10．在△ABC中，sin A＝，则角A＝________.
答案　
解析　由题意知cos A>0，即A为锐角．
将sin A＝两边平方，得2sin2A＝3cos A.
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
∴A＝.
11．已知tan α＝－，求的值是________．
答案　－
解　原式＝
＝＝＝＝－.
12．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝________，tan2α＋＝________.
考点　运用基本关系式求三角函数值
题点　运用基本关系式求三角函数值
答案　　7
解析　∵tan α＋＝3，∴＋＝3，
即＝3，
∴sin αcos α＝，
tan2α＋＝2－2tan α·
＝9－2＝7.
三、解答题
13．已知＝，α∈.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解　(1)由＝，得3tan2α－2tan α－1＝0，
即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，
解得tan α＝－或tan α＝1.
因为α∈，
所以tan α＜0，所以tan α＝－.
(2)由(1)，得tan α＝－，
所以＝＝＝.
四、探究与拓展
14．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　A
15．求证：＝.
证明　方法一　右边＝＝
＝
＝＝左边，
∴原式得证．
方法二　左边＝
＝
＝＝＝右边，
∴原式得证．
1．2.4　诱导公式(一)
学习目标　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
知识点一　角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系
思考　角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边有什么位置关系？其三角函数值呢？
答案　角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等．
梳理　诱导公式(一)
cos?α＋k·2π?＝cos α?k∈Z?，
sin?α＋k·2π?＝sin α?k∈Z?，
tan?α＋k·2π?＝tan α?k∈Z?.
知识点二　角α与－α的三角函数间的关系
思考1　设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？
答案　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称．
角－α与单位圆的交点为P2(x，－y)．
思考2　根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
答案　sin α＝y，cos α＝x，tan α＝；
sin(－α)＝－y＝－sin α；
cos(－α)＝x＝cos α，tan(－α)＝－＝－tan α.
梳理　诱导公式(二)
cos?－α?＝cos α，
sin?－α?＝－sin α，
tan?－α?＝－tan α.
知识点三　角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系
思考1　设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？
答案　 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O对称．
P2(－x，－y)．
思考2　根据三角函数定义，sin(π＋α)，cos(π＋α)，tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
答案　 sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，
tan(π＋α)＝＝.
梳理　诱导公式(三)
cos[α＋?2k＋1?π]＝－cos α，
sin[α＋?2k＋1?π]＝－sin α，
tan[α＋?2k＋1?π]＝tan α.
特别提醒：公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”！
1．诱导公式中角α是任意角．(　×　)
提示　正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
2．sin(α－π)＝sin α.(　×　)
提示　sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.
3．cos π＝－.(　√　)
提示　cos ＝cos＝－cos ＝－.
4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．(　×　)
提示　在角度制和弧度制下，公式都成立.
类型一　利用诱导公式求值
命题角度1　给角求值问题
例1　求下列各三角函数式的值．
(1)cos 210°；(2)sin ；
(3)sin；(4)cos(－1 920°)．
解　(1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
(2)sin＝sin＝sin＝sin
＝sin＝.
(3)sin＝－sin
＝－sin＝－sin＝sin＝.
(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°
＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.
反思与感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
(1)“负化正”：用公式一或二来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°之间的角．
(3)“角化锐”：用公式一或三将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1　求下列各三角函数式的值．
(1)sin 1 320°；　(2)cos；　(3)tan(－945°)．
解　(1)方法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
方法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)方法一　cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
方法二　cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
命题角度2　给值求角问题
例2　已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，
可得－sin θ＝－cos θ，|θ|<，
即tan θ＝，|θ|<，∴θ＝.
反思与感悟　对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．
跟踪训练2　已知sin(π－α)＝－sin(π＋β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.
解　由题意，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵0<α<π，∴sin α＝，∴α＝或α＝π.
把α＝，α＝π分别代入②，
得cos β＝或cos β＝－.
又∵0<β<π，∴β＝或β＝π.
∴α＝，β＝或α＝π，β＝π.
类型二　利用诱导公式化简
例3　化简下列各式．
(1)；
(2).
解　(1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
引申探究
若将本例(1)改为：(n∈Z)，请化简．
解　当n＝2k(k∈Z)时，
原式＝＝－tan α；
当n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝＝－tan α.
综上，原式＝－tan α.
反思与感悟　三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
跟踪训练3　化简下列各式．
(1)；
(2).
解　(1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝.
1．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于(　　)
A．π－4 B．4 C．－4 D．4－π
考点　公式一、二、三
题点　公式三
答案　C
解析　tan(π－α)＝－tan α＝－4.
2．cos＋sin的值为(　　)
A．－ B.
C. D.
答案　C
解析　原式＝cos －sin ＝cos －sin 
＝－cos ＋sin ＝.
3．已知cos(π－α)＝，则tan(π＋α)等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　D
解析　方法一　cos(π－α)＝－cos α＝，
∴cos α＝－.∵<α<π，∴sin α>0.
∴sin α＝＝＝，
∴tan(π＋α)＝tan α＝＝－.
方法二　由cos α＝－，<α<π，得α＝π，
∴tan α＝－，∴tan(π＋α)＝tan α＝－.
4．sin 750°＝________.
答案　
解析　∵sin θ＝sin(k·360°＋θ)，k∈Z，
∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝.
5．化简：·sin(α－2π)·cos(2π－α)．
解　原式＝·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α)
＝·sin α·cos α＝cos2α.
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式(一)
将角转化为0～2π之间的角求值
公式(二)
将负角转化为正角求值
公式(三)
将角转化为0～π之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
一、选择题
1．cos 600°的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　D
解析　cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
2．tan 690°的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　tan 690°＝tan(360°＋330°)
＝tan 330°＝tan(360°－30°)
＝－tan 30°＝－.
3．若cos(π＋α)＝－，π＜α＜2π，则sin(2π＋α)等于(　　)
A. B．± C. D．－
答案　D
解析　由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，故sin(2π＋α)＝sin α＝－＝－(α为第四象限角)．
4．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为(　　)
A．1 B．2sin2α C．0 D．2
考点　同名诱导公式的综合应用
题点　同名诱导公式的综合应用
答案　D
解析　原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
解析　∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝，则tan 80°＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.
6．tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)
A. B.
C．－1 D．1
答案　A
解析　∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，
∴原式＝＝＝.
7．已知n为整数，化简所得的结果是(　　)
A．tan nα B．－tan nα
C．tan α D．－tan α
答案　C
解析　当n＝2k，k∈Z时，＝
＝＝tan α；
当n＝2k＋1，k∈Z时，＝
＝＝＝tan α.故选C.
二、填空题
8.的值是________．
答案 　－2
解析　原式＝
＝＝
＝＝＝－2.
9．已知a＝tan，b＝cos ，c＝sin，则a，b，c的大小关系是________．
答案　b＞a＞c
解析　∵a＝－tan＝－tan ＝－，
b＝cos＝cos ＝，
c＝－sin＝－sin＝－，
∴b＞a＞c.
10．已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝________.
答案　
解析　∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，又∵π<α<2π，∴<α<2π，
∴sin α＝－.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α)
＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)
＝－＝.
11．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β为非零常数，若f(2 017)＝－1，则f(2 018)＝________.
答案　1
解析　∵f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)
＝asin(π＋2 017π＋α)＋bcos(π＋2 017π＋β)
＝－asin(2 017π＋α)－bcos(2 017π＋β)
＝－f(2 017)，
又f(2 017)＝－1，∴f(2 018)＝1.
12．sincos π＝________.
答案　
解析　sincos π
＝－sincos＝sin cos ＝.
三、解答题
13．若cos(α－π)＝－，求
的值．
解　原式＝
＝＝＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.
∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，sin α＝＝，
∴tan α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
四、探究与拓展
14．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
答案　－2
解析　因为f＝sin
＝sin＝sin＝；
f＝f－1＝f－2
＝sin－2＝－－2＝－，
所以f＋f＝－2.
15．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解　(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.又α是第三象限角，∴cos α＝－.
∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f＝－cos
＝－cos ＝－cos ＝－.
1．2.4　诱导公式(二)
学习目标　1.掌握诱导公式(四)的推导，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式(一)至(四)，能作综合归纳，体会出四组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．
知识点一　角α与α＋的三角函数间的关系
思考　α＋的终边与α的终边有怎样的对称关系？其三角函数值呢？
答案　如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为(cos α，sin α)．
点P关于直线y＝x的对称点为M，点M也在单位圆上，且M点坐标为(sin α，cos α)．
点M关于y轴的对称点为N，点N也在单位圆上，且N点坐标为(－sin α，cos α)．
另一方面，点P经过以上两次轴对称变换到达点N，等同于点P沿单位圆旋转到点N，且旋转角的大小为∠PON＝2(∠AOM＋∠MOB)＝2×＝.
因此点N是角α＋与单位圆的交点，点N的坐标为.
所以有cos＝－sin α，sin＝cos α，
故tan＝－cot α，cot＝－tan α.
梳理　诱导公式(四)
cos＝－sin α，
sin＝cos α，
tan＝－cot α，
cot＝－tan α.
知识点二　角α与－α＋的三角函数间的关系
以－α替代公式(四)中的α，可得到诱导公式(四)的补充：
cos＝sin α，
sin＝cos α，
tan＝cot α，
cot＝tan α.
梳理　±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
1．诱导公式四中的角α只能是锐角．(　×　)
提示　诱导公式四中的角α是任意角．
2．诱导公式四与诱导公式一～三的区别在于函数名称要改变．(　√　)
提示　由诱导公式一～四可知其正确．
3．sin＝±cos α.(　×　)
提示　当k＝2时，sin＝sin(π－α)＝sin α.
4．口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．(　×　)
提示　应看原三角函数值的符号．
类型一　利用诱导公式求值
例1　(1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值；
(2)已知cos＝，求cos·sin的值．
解　(1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，又α为第一象限角，
则cos＝－sin α＝－
＝－＝－.
(2)cos·sin
＝cos·sin
＝－cos·sin
＝－sin
＝－cos＝－.
反思与感悟　对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
跟踪训练1　已知sin＝，求cos的值．
解　∵＋α＋－α＝，
∴－α＝－.
∴cos＝cos
＝sin＝.
类型二　利用诱导公式证明三角恒等式
例2　求证：＝－tan α.
证明　∵左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
反思与感悟　利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
跟踪训练2　求证：＝.
证明　因为左边＝
＝
＝＝
＝＝.
右边＝＝.
所以左边＝右边，故原等式成立．
类型三　诱导公式在三角形中的应用
例3　在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状．
解　∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
∵sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴sin＝sin，
即cos C＝cos B.
又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
反思与感悟　解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，＝，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos，cos＝sin.
跟踪训练3　在△ABC中，给出下列四个式子：
①sin(A＋B)＋sin C；
②cos(A＋B)＋cos C；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C.
其中为常数的是(　　)
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
答案　B
解析　①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C
＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C
＝sin[2(π－C)]＋sin 2C
＝sin(2π－2C)＋sin 2C
＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C
＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C
＝cos[2(π－C)]＋cos 2C
＝cos(2π－2C)＋cos 2C
＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.
故选B.
类型四　诱导公式的综合应用
例4　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．
解　(1)f(α)＝＝cos α.
(2)因为f(A)＝cos A＝，
又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得sin A＝＝，
所以tan A＝＝，
所以tan A－sin A＝－＝.
反思与感悟　解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
跟踪训练4　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
解　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α＝－＝－.
1．已知sin α＝，则cos等于(　　)
A. B. C．－ D．－
考点　诱导公式四
题点　诱导公式四
答案　C
解析　cos＝－sin α＝－.
2．若cos(2π－α)＝，则sin等于(　　)
A．－ B．－ C. D．±
答案　A
解析　∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝，
∴sin＝－cos α＝－.
3．已知tan θ＝2，则等于(　　)
A．2 B．－2 C．0 D.
答案　B
解析　＝
＝＝＝－2.
4．已知cos＝2sin，
求的值．
解　∵cos＝2sin，
∴－sin α＝－2sin，∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.
∴
＝
＝
＝＝
＝＝＝
＝＝＝＝.
5．已知sin(π＋α)＝－.计算：
(1)cos；(2)sin；(3)tan(5π－α)．
解　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
(1)cos＝cos＝－sin α＝－.
(2)sin＝cos α，cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
∵sin α＝，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin＝cos α＝.
②当α为第二象限角时，sin＝cos α＝－.
(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，
∵sin α＝，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，cos α＝，
∴tan α＝，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－.
②当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－，
∴tan(5π－α)＝－tan α＝.
1．诱导公式的分类及其记忆方式
(1)诱导公式分为两大类：
①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．
②α＋，－α＋的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
(2)以上两类公式可以归纳为：k·＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成内的三角函数值”这种方式求解．
用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：
一、选择题
1．已知cos α＝，则sin等于(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　诱导公式四
题点　诱导公式四
答案　A
解析　sin＝cos α＝.
2．已知sin 10°＝k，则cos 620°的值为(　　)
A．k B．－k C．±k D．不确定
考点　诱导公式的综合应用
题点　综合运用诱导公式求值
答案　B
解析　cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k.
3．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin B D．sin＝cos
答案　D
解析　∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，
故A，B项不正确；
∵A＋C＝π－B，
∴＝，
∴cos＝cos＝sin，
故C项不正确；
∵B＋C＝π－A，
∴sin＝sin＝cos，故D项正确．
4．已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　A
解析　cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
5．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　A
解析　f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
6．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α
＝－m，∴sin α＝.
故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α
＝－3sin α＝－.
7．若sin(3π＋α)＝－，则cos 等于(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝.
∴cos＝cos
＝－cos
＝－sin α＝－.
8．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　D
解析　sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－.
二、填空题
9．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝________.
答案　
解析　∵cos α＝，且α是第四象限角，
∴sin α＝－＝－＝－.
∴cos＝－sin α＝.
10．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
答案　
解析　原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝.
11．化简＝________.
考点　诱导公式的综合应用
题点　综合运用诱导公式化简
答案　－1
解析　原式＝
＝＝－1.
三、解答题
12．已知角α的终边经过点P(－4,3)，求
的值．
解　∵角α的终边经过点P(－4,3)，
∴tan α＝＝－，
∴＝
＝tan α＝－.
13．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
解　∵sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α，
∴sin α·cos α＝，
即2sin α·cos α＝.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝.
又∵α∈，
∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝，③
sin α－cos α＝，④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.
四、探究与拓展
14．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos Α＝－cos(π－B)，则C＝________.
答案　
解析　由题意得cos A＝3sin A，　　　　　　　①
cos A＝cos B, ②
由①得tan A＝，又0＜A＜π，∴A＝.
由②得cos B＝＝，
∴B＝.∴C＝.
15．化简：sin＋cos (k∈Z)．
解　原式＝sin＋cos.
当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则
原式＝sin
＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋
＝sin－cos
＝sin－sin＝0；
当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋sin＝0.
综上所述，原式＝0.
§1.3　三角函数的图象与性质
1．3.1　正弦函数的图象与性质(一)
学习目标　1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．
知识点一　几何法作正弦曲线
阅读课本了解在直角坐标系中，用正弦线比较精确地画出y＝sin x，x∈[0,2π]内的图象的具体操作过程．
思考　如何由y＝sin x，x∈[0,2π]的图象得到y＝sin x，x∈R的图象？
答案　因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是我们只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
梳理　(1)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线．
(2)几何法作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的操作流程．
①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示．
②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0，，，，…，2π等角的正弦线．
③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．
④找纵坐标：将正弦线对应平移，即可得到相应点的纵坐标．
⑤连线：用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来，即得到y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．
知识点二　五点法作正弦曲线
思考1　同学们观察， 在y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的点有几个？
答案　五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
思考2　如何用描点法画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？
答案　在精确度要求不太高时，y＝sin x，x∈[0,2π]可以通过找出 (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，这种方法叫做“五点法”．
梳理　“五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的步骤
(1)列表
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
(2)描点
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图．
1．正弦函数y＝sin x的图象向左、右和上、下无限伸展．(　×　)
提示　正弦函数y＝sin x的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y＝1和y＝－1之间．
2．函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同．(　×　)
提示　二者图象不同，而是关于x轴对称.
类型一　“五点法”作图的应用
例1　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解　(1)取值列表：
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
描点连线，如图所示．
反思与感悟　作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
跟踪训练1　用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的简图．
解　取值列表如下：
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
＋sin x



－

描点、连线，如图所示．
类型二　利用正弦函数图象求定义域
例2　求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．
解　由题意，得x满足不等式组
即作出y＝sin x的图象，如图所示．
结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π)．
反思与感悟　一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．
跟踪训练2　求函数y＝ 的定义域．
解　为使函数有意义，
需满足即0由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，
可得函数的定义域为{x|2kπ1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　)
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
答案　B
解析　“五点法”作图是当2x＝0，，π，，2π时的x的值，此时x＝0，，，，π，故选B.
2．下列图象中，y＝－sin x在[0,2π]上的图象是(　　)
答案　D
解析　由y＝sin x在[0,2π]上的图象作关于x轴的对称图象(图略)，应为D项．
3．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与y＝的交点的个数是________．
答案　2
4．函数y＝的定义域为________．
答案　，k∈Z
解析　由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，
即sin x≥.由y＝sin x在[0,2π]的图象，
可知≤x≤，
所以y＝的定义域为，k∈Z.
5．请用“五点法”画出函数y＝sin的图象．
解　令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表：
X
0

π

2π
x





y
0

0
－
0
描点画图：
将函数在上的图象向左、向右平移即得y＝sin的图象．
1．对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)正弦函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．
2．作函数y＝asin x＋b的图象的步骤
3．用“五点法”画的正弦函数在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出．
一、选择题
1．在同一坐标系中，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　)
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置相同
答案　B
解析　由正弦曲线，知B正确．
2．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，关键点不包括(　　)
A. B.
C．(π，0) D．(2π，0)
答案　A
解析　易知不是关键点．
3．方程sin x＝的根的个数是(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案　A
解析　在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示．
根据图象可知方程有7个根．
4．观察正弦函数的图象，以下四个命题：
①关于原点对称；②关于x轴对称；
③关于y轴对称；④有无数条对称轴．
其中正确的是(　　)
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
答案　C
解析　由正弦曲线知，①④正确．
5．函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　)
答案　D
解析　取特殊点验证，当x＝0时，y＝0，排除A，C.
当x＝时，y＝1，故选D.
6．函数y＝xsin x的部分图象是(　　)
答案　A
解析　∵f(－x)＝－xsin(－x)＝f(x)，
∴函数是偶函数，排除B，D.当x取趋近于0的正数时，f(x)＞0，故选A.
7．点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案　C
解析　由题意知，－m＝sin ，
∴－m＝1，∴m＝－1.
二、填空题
8．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________.
答案　3π
解析　如图所示，
x1＋x2＝2×＝3π.
9．函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是________________________．
答案　
解析　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图象(图略)，由图易得－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈N.
10．如果方程sin x＝a在x∈上有两个不同的解，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　画出y＝sin x，x∈的图象，如图所示．
当≤a<1时，直线y＝a与y＝sin x，x∈交于两点，故≤a<1.
11．函数y＝＋的定义域为________．
答案　[－π，0]∪[π，5]
解析　由题意得x满足不等式组
即
作出y＝sin x的图象，如图所示．
结合图象可得x∈[－π，0]∪[π，5]．
三、解答题
12．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
解　f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
图象如图所示，
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1,3)．
13．根据y＝sin x，x∈的图象，求满足sin x≥－的x的取值范围．
解　将y＝sin x，x∈和y＝－的图象画在同一坐标系中，如图所示，
观察在内的情形，满足sin x≥－的x的取值范围是.
四、探究与拓展
14．已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为(　　)
A．4 B．8
C．4π D．2π
答案　C
解析　数形结合，如图所示．
y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积，相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.
15．方程sin x＝在x∈上有两个实数解，求a的取值范围．
解　设y1＝sin x，x∈，y2＝.
y1＝sin x，x∈的图象如图．
由图象可知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，
y＝sin x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sin x＝在x∈上有两个实数解．
1．3.1　正弦函数的图象与性质(三)
学习目标　1.掌握y＝sin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．
知识点一　正弦函数的定义域、值域
观察下图中的正弦曲线．
正弦曲线：
可得如下性质：
由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R，值域是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：
当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
知识点二　正弦函数的单调性
观察正弦函数y＝sin x，x∈的图象．
思考1　正弦函数在上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
答案　观察图象可知：
当x∈时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由－1增大到1；
当x∈时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是减函数，函数值由1减小到－1.
思考2　正弦函数的单调区间是什么？
答案　 y＝sin x的增区间为，k∈Z，减区间为，k∈Z.
梳理　正弦函数y＝sin x的图象与性质
解析式
y＝sin x
图象
值域
[－1,1]
单调性
在，k∈Z上递增，
在，k∈Z上递减
最值
当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
1．正弦函数在定义域上是单调函数．(　×　)
提示　正弦函数不是定义域上的单调函数．
2．正弦函数在第一象限是增函数．(　×　)
提示　正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－<，但sin＝sin ＝，sin ＝，sin>sin .
类型一　求正弦函数的单调区间
例1　求函数y＝2sin的单调递增区间．
解　y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，则y＝－2sin z.
因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区间，即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
反思与感悟　用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．
跟踪训练1　函数y＝sin，x∈的单调递减区间为________________．
答案　，
解析　由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)．
又x∈，
所以函数y＝sin，x∈的单调递减区间为，.
类型二　正弦函数单调性的应用
命题角度1　利用正弦函数的单调性比较大小
例2　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 196°与cos 156°；
(2)cos 875°与sin 980°.
解　(1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
(2)cos 875°＝cos(720°＋155°)＝cos 155°
＝cos(90°＋65°)＝－sin 65°，
sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°
＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，
∵sin 65°＜sin 80°，
∴－sin 65°＞－sin 80°，
∴cos 875°＞sin 980°.
反思与感悟　用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
跟踪训练2　比较下列各组数的大小．
(1)sin与sin；
(2)sin与sin.
解　(1)sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin .
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin(2)sin＝－sin ＝－sin 
＝－sin ＝－sin ，
sin＝－sin ＝－sin ，
因为0<<<，且y＝sin x在上是增函数，
所以sin 于是－sin ＞－sin ，
∴sin＞sin.
命题角度2　已知三角函数的单调性求参数范围
例3　已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
解　由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋≤x≤＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间是
，k∈Z.
根据题意，得?(k∈Z)，
从而有解得0<ω≤.
故ω的取值范围是.
反思与感悟　此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．
跟踪训练3　已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(0,2]
答案　A
解析　取ω＝，f(x)＝sin，
其减区间为，k∈Z，
显然?，k∈Z，排除B，C.
取ω＝2，f(x)＝sin，
其减区间为，k∈Z，
显然?，k∈Z，排除D.
类型三　正弦函数的值域或最值
例4　求使下列函数取得最大值和最小值的x的取值范围，并说出最大值和最小值是什么．
(1)y＝sin 2x；
(2)y＝sin x＋2；
(3)y＝(sin x－1)2＋2.
解　(1)当2x＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin 2x取得最大值，最大值为1；
当2x＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，
函数y＝sin 2x取得最小值，最小值为－1.
(2)由于函数y＝sin x与函数y＝sin x＋2同时取得最大值或同时取得最小值．
因此，当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin x＋2取得最大值，最大值为3；
当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝sin x＋2取得最小值，最小值为1.
(3)设t＝sin x，则有y＝(t－1)2＋2，且t∈[－1,1]，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了．
在闭区间[－1,1]上，当t＝－1时，|t－1|最大，
此时函数y＝(t－1)2＋2取得最大值(－1－1)2＋2＝6.
由t＝sin x＝－1，得x＝2kπ－(k∈Z)，
即当x＝2kπ－(k∈Z)时，
函数y＝(sin x－1)2＋2取得最大值6.
在闭区间[－1,1]上，当t＝1时，|t－1|最小，
函数y＝(t－1)2＋2取得最小值，最小值为2.
由t＝sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，即当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝(sin x－1)2＋2取得最小值2.
反思与感悟　一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设sin x＝t，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．
(3)对于形如y＝asin x的函数的最值还要注意对a的讨论．
跟踪训练4　求函数y＝sin2x－sin x＋1，x∈R的值域．
解　设t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1.
∵f(t)＝t2－t＋1＝2＋.
∵－1≤t≤1，
∴当t＝－1，即sin x＝－1时，ymax＝f(t)max＝3；
当t＝，即sin x＝时，ymin＝f(t)min＝.
∴函数y＝sin2x－sin x＋1，x∈R的值域为.
1．函数f(x)＝sin的一个单调递减区间是(　　)
A. B．[－π，0]
C. D.
答案　D
解析　由≤x＋≤π，解得≤x≤π.故选D.
2．下列不等式中成立的是(　　)
A．sin>sin B．sin 3>sin 2
C．sin π>sin D．sin 2>cos 1
答案　D
解析　∵sin 2＝sin(π－2)，cos 1＝sin，
且(π－2)－＝－1＞0，
∴＞π－2＞－1＞0，∴sin(π－2)>sin，
即sin 2>cos 1.故选D.
3．函数y＝sin，x∈的值域是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　∵0≤x≤，∴≤x＋≤π，
∴≤sin≤1，故选D.
4．求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解　∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sin x＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
5．求函数y＝2sin，x∈(0，π)的单调递增区间．
解　∵函数y＝2sin＝－2sin，
∴函数y＝2sin的单调递增区间为y＝2sin的单调递减区间．
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∵x∈(0，π)，
∴由k＝0，得≤x≤.
∴函数y＝2sin，x∈(0，π)的单调递增区间为.
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的取值范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的取值范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围．
一、选择题
1．函数y＝1－2sin x的最小值，最大值分别是(　　)
A．－1,3 B．－1,1
C．0,3 D．0,1
答案　A
解析　∵sin x∈[－1,1]，
∴－2sin x∈[－2,2]，
∴y＝1－2sin x∈[－1,3]，
∴ymin＝－1，ymax＝3.
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
答案　A
3．下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°答案　C
解析　∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.
∴由正弦函数的单调性，得sin 11°即sin 11°4．函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是(　　)
A. B．(π，2π) C. D．(0，π)
答案　C
解析　作出函数y＝|sin x|的图象，如图，
观察图象知C正确，故选C.
5．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　y＝sin2x＋sin x－1＝2－
当sin x＝－时，ymin＝－；
当sin x＝1时，ymax＝1.
6．y＝的最小值是(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案　B
解析　由y＝＝2－，
当sin x＝－1时，y＝取得最小值－2.
7．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω的值可为(　　)
A. B. C．2 D．3
答案　A
解析　由题意知，＝，即T＝，＝，∴ω＝.
二、填空题
8．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．
答案　sin 3解析　∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
y＝sin x在上单调递增，
且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)即sin 39．函数y＝2sin的值域是________．
答案　[0,2]
解析　∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1，∴y∈[0,2]．
10．函数y＝sin(x∈[0，π])的单调递增区间为________．
答案　
解析　y＝sin＝－sin，
∵x∈[0，π]，∴－≤x－≤.
要求函数的单调递增区间，
则≤x－≤，
即≤x≤π.∴y＝sin(x∈[0，π])的单调递增区间为.
11．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
答案　
解析　∵x∈，即0≤x≤，且0<ω<1，
∴0≤ωx≤<，
∵f(x)max＝2sin ＝，
∴sin ＝，＝，
即ω＝.
三、解答题
12．求下列函数的单调递增区间．
(1)y＝1－sin ；(2)y＝sin.
解　(1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
∴y＝1－sin 的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π] (k∈Z)．
(2)要求函数y＝sin的单调递增区间，
即求使f(x)＝sin>0且单调递减的区间．
∴2kπ＋≤－<2kπ＋π，k∈Z，
整理得4kπ＋≤x<4kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调递增区间为
，k∈Z.
13．求下列函数的最大值和最小值．
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈.
解　(1)当x∈时，
2x－∈，
由函数图象知，
f(x)＝sin∈＝.
所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.
(2)f(x)＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3
＝2sin2x＋2sin x＋1
＝22＋.
因为x∈，所以≤sin x≤1.
当sin x＝1时，ymax＝5；
当sin x＝时，ymin＝.
所以f(x)在上的最大值和最小值分别为5，.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)
A. B. C．2 D．3
答案　B
解析　令ωx＝－，则x＝－<0，
∵f(x)＝2sin ωx在上取到最小值－2，
则－∈，∴－≥－，
∴ω≥.∴ωmin＝.
15．已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．
解　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)max＝a＋b＝，f(x)min＝－a＋b＝－2.
由得
1．3.1　正弦函数的图象与性质(二)
学习目标　1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．
知识点一　函数的周期性
思考1　如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？
答案　不一定．必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋3)＝f(x)，才可以说3是f(x)的周期．
思考2　所有的函数都具有周期性吗？
答案　不是．只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性．
思考3　周期函数都有最小正周期吗？
答案　周期函数不一定存在最小正周期．例如，对于常函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常函数没有最小正周期．
梳理　函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．
知识点二　正弦函数的周期性
思考1　证明函数y＝sin x是周期函数．
答案　∵sin(x＋2π)＝sin x，
∴y＝sin x都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．
思考2　证明函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数．
答案　由诱导公式一知，对任意x∈R，
都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，
所以Asin[ω＋φ]＝Asin(ωx＋φ)，
即f＝f(x)，
所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)是周期函数，就是它的一个周期．
梳理　由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)知，y＝sin x是周期函数，2kπ (k∈Z且k≠0)是它的周期，且它的最小正周期是2π.
知识点三　正弦函数的奇偶性
正弦曲线：
思考1　观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？
答案　正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称．
思考2　上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？
答案　正弦函数是R上的奇函数．根据诱导公式，得sin(－x)＝－sin x对一切x∈R恒成立．
梳理　对于y＝sin x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称．
1．函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，所以f(x)＝x2是以6为周期的周期函数．(　×　)
提示　周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(x＋T)＝f(x)，对于f(x)＝x2，f(0)＝0，f(0＋6)＝f(6)＝36，f(0)≠f(0＋6)，∴f(x)＝x2不是以6为周期的周期函数．
2．周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R)．(　×　)
提示　周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．
3．任何周期函数都有最小正周期．(　×　)
提示　常函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.
类型一　三角函数的周期性
例1　求下列函数的最小正周期．
(1)y＝sin(x∈R)；
(2)y＝|sin x|(x∈R)．
解　(1)方法一　令z＝2x＋，因为x∈R，所以z∈R.
函数f(x)＝sin z的最小正周期是2π，
即变量z只要且至少要增加到z＋2π，
函数f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得．
而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，所以函数f(x)＝sin(x∈R)的最小正周期是π.
方法二　f(x)＝sin的最小正周期为＝π.
(2)因为y＝|sin x|
＝(k∈Z)．
其图象如图所示，
所以该函数的最小正周期为π.
反思与感悟　对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法，常直接利用T＝来求解，对于y＝|Asin ωx|的周期情况常结合图象法来求解．
跟踪训练1　求下列函数的周期．
(1)y＝sin；(2)y＝|sin 2x|.
解　(1)T＝＝4π.(2)T＝.
类型二　三角函数的奇偶性
例2　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝.
解　(1)显然x∈R，f(x)＝cos x，
∵f(－x)＝cos ＝cos x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1解得定义域为.
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．
反思与感悟　判断函数奇偶性应把握好两个关键点：
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称．
关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
跟踪训练2　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos＋x2sin x；
(2)f(x)＝＋.
解　(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)由得sin x＝.
∴函数f(x)的定义域为
.
∴f(x)的定义域不关于原点对称．
∴f(x)是非奇非偶函数．
类型三　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
解　∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin ＝.
∴f＝.
反思与感悟　解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内．
跟踪训练3　若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f的值．
解　因为f(x)是以为周期的奇函数，所以f＝f＝f＝－f＝－1.
类型四　函数周期性的综合应用
例4　已知函数f(x)＝cosx，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)的值．
解　∵f(1)＝cos＝，f(2)＝cos＝－，f(3)＝cos π＝－1，f(4)＝cos＝－，f(5)＝cos＝，f(6)＝cos 2π＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理，可得每连续六项的和均为0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)
＝f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)
＝cos＋cos＋cos＋cos
＝cos＋cos＋cos π＋cos
＝＋＋(－1)＋＝－.
反思与感悟　当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值．
跟踪训练4　设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝________.
答案　0
解析　∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)
＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)
＝335
＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋
f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)
＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)
＝sin ＋sin π＋sin π＋sin π＋sin π＝0.
1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案　A
解析　因为f(x)＝sin(－x)＝－sin x，所以f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
2．下列函数中，周期为π的偶函数是(　　)
A．y＝sin x B．y＝sin 2x
C．y＝|sin 2x| D．y＝
答案　D
解析　y＝＝＝|sin x|符合题意．
3．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
答案　B
解析　∵sin＝－sin＝－cos 2x，
∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
4．函数y＝sin的最小正周期为2，则ω的值为________．
答案　±π
解析　∵T＝＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π.
5．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足
f(x)＝则f＝________.
答案　
解析　f＝f
＝f＝sin ＝.
1．求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.
2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.
一、选择题
1．下列函数中，周期为2π的是(　　)
A．y＝sin  B．y＝sin 2x
C．y＝ D．y＝|sin x|
答案　C
解析　画出y＝的图象，易知其周期为2π.
2．下列函数中，不是周期函数的是(　　)
A．y＝sin x－1 B．y＝sin2x
C．y＝|sin x| D．y＝sin |x|
答案　D
解析　画出y＝sin |x|的图象，易知D的图象不具有周期性．
3．函数f(x)＝是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案　B
解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
4．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω>0，则ω等于(　　)
A．5 B．10 C．15 D．20
答案　B
5．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．±1
答案　A
解析　因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sin x＋|a|，
所以|a|＝0，从而a＝0，故选A.
6．函数y＝sin(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)
A．10 B．11 C．12 D．13
答案　D
解析　∵T＝≤2，即k≥4π，
∴正整数k的最小值是13.
7．函数y＝的奇偶性为(　　)
A．奇函数
B．既是奇函数也是偶函数
C．偶函数
D．非奇非偶函数
答案　D
解析　由题意知，当1－sin x≠0，
即sin x≠1时，
y＝＝|sin x|，
所以函数的定义域为，
由于定义域不关于原点对称，
所以该函数是非奇非偶函数．
二、填空题
8．函数y＝＋2的最小正周期是________．
答案　
解析　∵函数y＝sin 2x的最小正周期T＝π，
∴函数y＝＋2的最小正周期是.
9．若函数f(x)＝2sin的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________．
答案　6
解析　∵T＝，1＜＜4，则＜ω＜2π.
∴ω的最大值是6.
10．关于x的函数f(x)＝sin (x＋φ)有以下说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②存在φ，使f(x)是偶函数；
③存在φ，使f(x)是奇函数；
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中错误的是________．(填序号)
答案　①④
解析　当φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数．
当φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数．
三、解答题
11．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cossin(π＋x)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
解　(1)∵x∈R，f(x)＝cossin(π＋x)
＝－sin 2x·(－sin x)＝sin 2xsin x，
∴f(－x)＝sin(－2x)sin(－x)＝sin 2xsin x
＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数．
(2)∵对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0，
∴f(x)＝＋的定义域是R.
又∵f(－x)＝＋，
＝＋＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数．
(3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x≠0，
∴x∈R且x≠kπ，k∈Z.
∴定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝
＝
＝－f(x)，
∴y＝f(x)是奇函数．
12．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
(1)证明　∵f(x＋4)＝f(x＋2＋2)
＝－＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，且4就是它的一个周期．
(2)解　∵4是f(x)的一个周期．
∴f(5)＝f(1)＝－5，
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
＝＝＝.
13．已知函数f(x)＝.
(1)求其定义域和值域；
(2)判断其奇偶性；
(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期．
解　(1)∵|sin x|>0，
∴sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z.
∴函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
∵0<|sin x|≤1，
∴≥0，
∴函数的值域为{y|y≥0}．
(2)函数的定义域关于原点对称，
∵f(－x)＝
＝＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
(3)∵f(x＋π)＝＝＝f(x)，
∴函数f(x)是周期函数，且最小正周期是π.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 020)等于(　　)
A. B．2 C．2 018 D．2 020
答案　B
解析　因为f(x＋6)＝＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为6，
故f(2 020)＝f(4)＝＝2.
15．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．
解　当x∈时，3π－x∈，
∵当x∈时，f(x)＝1－sin x，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.
1．3.1　正弦函数的图象与性质(四)
学习目标　1.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．
知识点一　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
知识点二　φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
思考1　观察下面图(1)、图(2)中函数y＝sin，y＝sin的图象，比较它们与函数y＝sin x图象的形状和位置，你有什么发现？
答案　函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x图象上所有的点向左平移个单位长度而得到的．
函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的．
思考2　观察下面图(3)、图(4)中函数y＝sin，y＝sin的图象，比较它们与函数y＝sin图象的形状和位置，你又有什么发现？
答案　函数y＝sin的图象，可以看作是把y＝sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
函数y＝sin的图象，可以看作是把y＝sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．
思考3　观察下面图(5)、图(6)中函数y＝2sin，y＝sin的图象，比较它们与函数y＝sin的图象的形状和位置，你又有什么发现？
答案　函数y＝2sin的图象，可以看作是把y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的．
函数y＝sin的图象，可以看作是把y＝sin图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)而得到的．
梳理　(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的，函数y＝Asin x的值域为[－A，A]，最大值为A，最小值为－A.
知识点三　由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
知识点四　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象
思考　用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？
答案　用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，，π，，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－，－＋，－＋，－＋，－＋.
梳理　用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的步骤
第一步：列表.
ωx＋φ
0

π

2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
知识点五　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
对称性
对称中心(k∈Z)
对称轴
x＝＋(k∈Z)
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
1．把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象．(　×　)
提示　得到y＝sin 2＝sin的图象．
2．要得到函数y＝sin的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向左平移个单位长度得到．(　×　)
提示　y＝sin，故要得到y＝sin的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向右平移个单位长度．
3．把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin 2x的图象．(　×　)
提示　应得到y＝sin x的图象.
类型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
例1　把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
解　y＝2sin
y＝3sin
y＝3sin
y＝3sin＝3sin＝3cos x.
所以f(x)＝3cos x.
反思与感悟　(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．
跟踪训练1　把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是(　　)
A．y＝sin，x∈R B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R D．y＝sin，x∈R
答案　C
解析　把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度后得到函数y＝sin的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的，得到函数y＝sin的图象．
类型二　用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例2　利用五点法作出函数y＝3sin在一个周期内的草图．
解　依次令－＝0，，π，，2π，列出下表：
－
0

π

2π
x





y
0
3
0
－3
0
描点，连线，如图所示．
反思与感悟　(1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点．
(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象．
跟踪训练2　已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在x∈上的图象．
解　(1)∵x∈，
∴2x－∈.
列表如下：
x
－
－π
－

π

2x－
－π
－π
－
0

π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点，连线，如图所示．
类型三　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例3　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
解　方法一　(逐一定参法)
由图象知，振幅A＝3，
又T＝－＝π，∴ω＝＝2.
由点可知，－×2＋φ＝0，
得φ＝，∴y＝3sin.
方法二　(待定系数法)
由图象知，A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得
∴y＝3sin.
方法三　(图象变换法)
由T＝π，点，A＝3可知，
图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，
∴y＝3sin，即y＝3sin.
反思与感悟　若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0.
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝.
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π.
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝.
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
跟踪训练3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案　A
解析　由图可知，A＝2，T＝2＝π，
所以ω＝2.由五点作图法可知2×＋φ＝，
所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin，故选A.
类型四　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
例4　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
解　(1)∵图象最高点的坐标为，∴A＝5.
∵＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝5sin(2x＋φ)．代入点，得sin＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin.
(2)∵函数的增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数的增区间为(k∈Z)．
(3)∵5sin≤0，∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故所求x的取值范围是(k∈Z)．
反思与感悟　有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．
跟踪训练4　设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
解　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋－，令＋－＝，
得φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数的单调递增区间是(k∈Z)．同理可得函数的单调递减区间是(k∈Z)．
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；
当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值－1.
1．函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．2π，－2， B．4π，－2，
C．2π，2，－ D．4π，2，－
答案　D
解析　y＝－2sin＝2sin，
所以周期T＝＝4π，
振幅A＝2，初相φ＝－.
2．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是(　　)
答案　A
解析　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所有点向右平移个单位长度即可得到y＝sin的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正确的．也可以分别令2x－＝0，，π，，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin的图象．
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
答案　A
解析　ω＝＝2，所以f(x)＝sin.
将x＝代入f(x)＝sin，
得f＝0，故选A.
4．函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为____________．
答案　y＝sin
解析　y＝sin
y＝sin＝sin
y＝sin.
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的递增区间．
解　(1)易知A＝，T＝4×[2－(－2)]＝16，
∴ω＝＝，
∴f(x)＝sin，
将点(－2,0)代入得sin＝0，
令－＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝＋kπ(k∈Z)，
又∵－＜φ＜，∴φ＝.
∴f(x)＝sin.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
∴f(x)的递增区间为[16k－6,16k＋2]，k∈Z.
1．由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
注意　两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很容易出错的地方，应特别注意．
2．利用“五点”作图法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0，，π，，2π，再求出x的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值．
3．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
4．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
一、选择题
1．函数y＝2sin在一个周期内的三个“零点”的横坐标可能是(　　)
A．－，， B．－，，
C．－，， D．－，，
答案　B
解析　令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－π＋2kπ，
分别令k＝0,1,2，得x＝－，，.故选B.
2．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
答案　A
解析　T＝＝＝6，将点(0,1)代入得sin φ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
3．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案　D
解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
4．为了得到函数y＝2sin，x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
答案　C
解析　先将y＝2sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin，x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝2sin，x∈R的图象．
5．给出几种变换：
①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
②横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；
③向左平移个单位长度；
④向右平移个单位长度；
⑤向左平移个单位长度；
⑥向右平移个单位长度．
则由函数y＝sin x的图象得到y＝sin的图象，可以实施的方案是(　　)
A．①→③ B．②→③ C．②→④ D．②→⑤
答案　D
解析　y＝sin x的图象y＝sin 2x的图象y＝sin的图象．
6．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于(　　)
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
答案　D
解析　由f＝f知，x＝是函数的对称轴，所以f＝3或－3，故选D.
7．如图所示，函数的解析式为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案　D
解析　由图知，T＝4×＝π，
∴ω＝＝2.又当x＝时，y＝1，
经验证，可得D项解析式符合题目要求．
二、填空题
8．把函数y＝2sin的图象向左平移m个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值是________．
答案　
解析　把y＝2sin的图象向左平移m个单位，
则y＝2sin，其图象关于y轴对称，
∴m＋＝kπ＋，即m＝kπ－，k∈Z.
∴取k＝1，m的最小正值为.
9．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
答案　
解析　由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为
2＝，∴＝，∴ω＝.
∵当x＝时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)．
∵－π≤φ<π，∴φ＝.
10．若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f＝f，且f＝－3，则实数m的值等于________．
答案　－5或－1
解析　∵f＝f，
∴f(x)的对称轴为x＝，
∴f＝±2＋m＝－3，解得m＝－5或m＝－1.
11．关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图象关于对称；
④y＝f(x)图象关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为________．
答案　②③
解析　对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)，
∴x＝－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，利用公式，得
f(x)＝4cos＝4cos，∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，∴④错．
三、解答题
12．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
解　(1)由题意知，A＝，T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又∵φ∈，∴φ＝，
∴y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
－

π
π
π
2x＋
0

π
π
2π
y
0

0
－
0
描点，连线，如图所示．
13．使函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，然后再将其图象沿x轴向左平移个单位长度得到的曲线与y＝sin 2x的图象相同，求f(x)的表达式．
解　方法一　(正向变换)
y＝f(x)y＝f(2x)
y＝f，即y＝f，
∴f＝sin 2x.
令2x＋＝t，则2x＝t－，
∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin.
方法二　(逆向变换)
根据题意，y＝sin 2xy＝sin 2
＝sin
y＝sin.
四、探究与拓展
14．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(　　)
A．1 B. C. D.
答案　D
解析　由图象可得A＝1，＝＝－＝，
解得ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
点相当于y＝sin x中的(0,0)，
令2×＋φ＝0，解得φ＝，
满足|φ|<，符合题意，
∴f(x)＝sin.
∵sin＝1，
∴图中点B的坐标为.
又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，
∴x1＋x2＝×2＝，
∴f(x1＋x2)＝sin＝，故选D.
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解　∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．
即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，
又0≤φ≤π，∴φ＝.
由图象关于点M对称可知，
sin＝0，解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
所以T≥π，即≥π，
∴ω≤2，又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.
综上，φ＝，ω＝或2.
1．3.2　余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
学习目标　1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系．
知识点一　余弦函数的图象
思考　如何快速作出余弦函数的图象？
答案　(1)依据诱导公式cos x＝sin，要得到y＝cos x的图象，只须把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可，图象如图所示：
(2)在精确度要求不高时，要画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象．
梳理　余弦函数y＝cos x的图象叫做余弦曲线．
知识点二　余弦函数的性质
思考1　观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
答案　余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.
思考2　当自变量x分别取何值时，余弦函数y＝cos x取得最大值1和最小值－1？余弦函数的周期性如何？
答案　对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.
思考3　观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
答案　在整个定义域R上，余弦函数不是单调函数．为研究余弦函数y＝cos x的变化情况，我们先选取一个周期区间[－π，π]来研究余弦函数单调情况，再借助周期推而广之．函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象如图所示：
观察图象可知，
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得：
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.
梳理　正弦函数、余弦函数的图象、性质对比
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期：2π
最小正周期：2π
单调性
在(k∈Z) 上单调递增；
在(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上单调递减
最值
当x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
当x＝2kπ (k∈Z)时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
知识点三　正弦曲线、余弦曲线的对称性
思考1　观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
答案　正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称．
思考2　上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？
答案　正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数．根据诱导公式，得sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x对一切x∈R恒成立．
梳理　正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．它们的图象如图所示：
研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：
(1)正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，且正弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(k∈Z)；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)．
1．余弦函数y＝cos x的图象与x轴有无数个交点．(　√　)
2．余弦函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状和位置都不一样．(　×　)
提示　函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同.
类型一　求余弦函数的单调区间
例1　求函数y＝3cos的单调递增区间．
解　y＝3cos＝3cos.
由2kπ－π≤－≤2kπ(k∈Z)，
得4kπ－π≤x≤4kπ＋π(k∈Z)，
∴函数y＝3cos的单调递增区间为
(k∈Z)．
反思与感悟　确定函数y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想．即将ωx＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间．若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域．
跟踪训练1　求函数y＝cos的单调递增区间．
解　根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数y＝cos的单调递减区间，同时x应使cos>0.∴2kπ≤－<2kπ＋(k∈Z)．
整理得4kπ＋≤x<4kπ＋(k∈Z)．
∴函数y＝cos的单调递增区间是
(k∈Z)．
类型二　余弦函数的值域或最值
例2　求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的值域.
解　y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－.
∵x∈，∴cos x∈.
从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos x＝，即x＝时，ymin＝－.
∴函数值域为.
反思与感悟　求三角函数最值的两种基本类型：
(1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合有界性求最值．
(2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值．
跟踪训练2　已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．
解　∵x∈，∴2x＋∈，
∴－1≤cos≤.
当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3，
∴a＋3＝4，∴a＝2.
当a<0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1，
综上可知，实数a的值为2或－1.
类型三　余弦函数的对称性
例3　已知函数y＝2cos.
(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
(2)把该函数的图象向右平移φ个单位长度后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．
解　(1)令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝.
∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝.
(2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，
则f(x)＝2cos＝2cos.
∵y＝f(x)的图象关于原点(0,0)对称，
∴f(0)＝2cos＝0.
∴－2φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝－(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝.∴φ的最小正值是.
反思与感悟　关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图象关于x＝x0对称?f(x0)＝A或－A.
(2)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图象关于点(x0，0)中心对称?f(x0)＝0.
跟踪训练3　把函数y＝cos的图象向右平移φ个单位长度，正好关于y轴对称，求φ的最小正值．
解　由题意可知，平移后的函数为y＝cos，
它是偶函数，因此，当x＝0时，cos取得最大值1或最小值－1，故－φ＝2nπ或(2n＋1)π (n∈Z)，
即－φ＝kπ (k∈Z)．
∴φ＝－kπ (k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值.
1．函数f(x)＝cos 4x，x∈R是(　　)
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
答案　C
2．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称知，f＝0，即3cos＝0.
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝kπ＋－(k∈Z)．
∴|φ|的最小值为|φ|＝＝.
3．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为(　　)
答案　D
解析　由题意，得
y＝
显然只有D合适．
4．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象(　　)
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位长度，得g(x)的图象
D．向右平移个单位长度，得g(x)的图象
答案　D
解析　f(x)＝sin，
g(x)＝cos＝cos＝sin x，
f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象．
5．函数f(x)＝lg cos x＋的定义域为________．
答案　∪∪
解析　由题意，得x满足不等式组
即作出y＝cos x的图象，如图所示．
结合图象可得x∈∪∪.
1．余弦函数y＝cos x(x∈R)是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y＝Asin(ωx＋φ)一样，函数y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期也是.
2．与正弦函数类似，函数y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y＝cos x的图象通过变换得到，变换规律相同．
3．在研究y＝Acos(ωx＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如它在ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值.
一、选择题
1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
2．函数y＝2－cos x的单调递增区间是(　　)
A．[2kπ＋π，2kπ＋2π] (k∈Z)
B．[kπ＋π，kπ＋2π] (k∈Z)
C. (k∈Z)
D．[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)
答案　D
解析　令u＝－cos x，则y＝2u，
∵y＝2u在u∈(－∞，＋∞)上是增函数，
∴y＝2－cos x的增区间，即u＝－cos x的增区间，
即v＝cos x的减区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)．
3．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
答案　A
解析　因为函数周期为π，所以排除C，D.又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合．故选A.
4．要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　A
解析　y＝sin 2x＝cos＝cos
＝cos＝cos
若设f(x)＝sin 2x＝cos ，
则f＝cos，
∴向左平移个单位长度．
5．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是(　　)
A．4 B．8 C．2π D．4π
答案　D
解析　作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，
∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
6．把函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　)
A．1， B．2， C.， D.，
答案　B
解析　依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos，
则函数g(x)＝2cos.
因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2，
则g(x)＝2cos.
又因为函数为奇函数，0<φ<π，
所以φ＋＝kπ＋，则φ＝.
7.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案　D
解析　由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－二、填空题
8．函数y＝的定义域是________________．
答案　，k∈Z
解析　由2cos x＋1≥0，得cos x≥－，
结合图象(图略)知，x∈，k∈Z.
9．方程x2＝cos x的实数解有________个．
答案　2
解析　作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解．
10．设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________．
答案　
解析　由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示．
观察图象知，x∈.
11．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.
答案　
解析　函数y＝cos(2x＋φ)向右平移个单位长度，
得到y＝sin，
即y＝sin向左平移个单位长度得到函数
y＝cos(2x＋φ)，
y＝sin向左平移个单位长度，
得y＝sin＝sin
＝－sin＝cos
＝cos，
即φ＝.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝lg cos 2x.
(1)求它的定义域、值域；
(2)讨论它的奇偶性；
(3)讨论它的周期性；
(4)讨论它的单调性．
解　(1)要使函数f(x)＝lg cos 2x有意义，
则cos 2x>0，
即－＋2kπ<2x<＋2kπ，k∈Z，
－＋kπ∴函数的定义域为.
由于在定义域内0∴lg cos 2x≤0，
∴函数的值域为(－∞，0]．
(2)∵f(－x)＝lg cos[2·(－x)]＝lg cos 2x＝f(x)，
∴该函数是偶函数．
(3)∵cos 2x的周期为π，即cos 2(x＋π)＝cos 2x.
∴f(x＋π)＝lg cos 2(x＋π)＝lg cos 2x＝f(x)．
∴该函数的周期为π.
(4)y＝lg u是增函数．
当x∈ (k∈Z)时，u＝cos 2x是增函数；
当x∈ (k∈Z)时，u＝cos 2x是减函数．
因此，函数y＝lg cos 2x在 (k∈Z)上是增函数；在 (k∈Z)上是减函数．
13．设函数y＝－2cos，x∈，若该函数是单调函数，求实数a的最大值．
解　由2kπ≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得
4kπ－π≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间是(k∈Z)，
同理函数的单调递减区间是(k∈Z)．
令π∈，即≤k≤，
又k∈Z，∴k不存在．
令π∈，得k＝1.
∴π∈，
这表明y＝－2cos在上是减函数，∴a的最大值是π.
四、探究与拓展
14．在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.
答案　A
解析　∵sin x>|cos x|，∴sin x>0，
∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图象，
观察图象易得x∈.
15．已知0≤x≤，求函数y＝cos2x－2acos x的最大值M(a)与最小值m(a)．
解　设cos x＝t，∵0≤x≤，∴0≤t≤1.
∵y＝t2－2at＝(t－a)2－a2，
∴当a<0时，m(a)＝0，M(a)＝1－2a；
当0≤a<时，m(a)＝－a2，M(a)＝1－2a；
当≤a<1时，m(a)＝－a2，M(a)＝0；
当a≥1时，m(a)＝1－2a，M(a)＝0.
1．3.2　余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
学习目标　1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．
知识点一　正切函数的图象
类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间的图象，阅读课本，了解具体操作过程．
思考1　结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？
答案　我们作出了正切函数一个周期上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y＝tan x(x∈R且x≠＋kπ(k∈Z))的图象．
思考2　一条平行于x轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？
答案　一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期．
梳理　(1)正切函数的图象称作“正切曲线”，如图所示．
(2)正切函数的图象特征
正切曲线是由通过点(k∈Z)且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的．
知识点二　正切函数的性质
思考1　正切函数的定义域是什么？
答案　.
思考2　诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？
答案　 周期性．
思考3　诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？
答案　 奇偶性．
思考4　从正切线上看，在上正切函数值是增大的吗？
答案　 是．
思考5　结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？
答案　正切函数在每一个开区间(k∈Z)上都是增函数．
正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间(k∈Z)上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数．
梳理　函数y＝tan x的图象与性质见下表：
解析式
y＝tan x
图象
定义域

值域
R
周期
π
奇偶性
奇
单调性
在开区间(k∈Z)内都是增函数
1．函数y＝tan x在其定义域上是增函数．(　×　)
提示　y＝tan x在开区间(k∈Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函数．
2．函数y＝tan x图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．(　×　)
提示　y＝tan x图象的对称中心是(k∈Z)．
3．正切函数y＝tan x无单调递减区间．(　√　)
4．正切函数在区间上单调递增．(　×　)
提示　正切函数在区间上是增函数，不能写成闭区间，当x＝±时，y＝tan x无意义.
类型一　正切函数的定义域
例1　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(－tan x)．
解　(1)要使函数y＝有意义，
必须且只需
所以函数的定义域为
.
(2)因为－tan x>0，所以tan x<.
又因为当tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，
所以函数的定义域是.
反思与感悟　求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
跟踪训练1　求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
解　由题意，得即－1≤tan x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是，又y＝tan x的周期为π，
所以函数的定义域是(k∈Z)．
类型二　正切函数的单调性及其应用
命题角度1　求正切函数的单调区间
例2　求函数y＝tan的单调区间及最小正周期．
解　y＝tan＝－tan，
由kπ－<x－得2kπ－所以函数y＝tan的单调递减区间是
，k∈Z，周期T＝＝2π.
反思与感悟　y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
跟踪训练2　求函数y＝tan的单调区间．
解　∵y＝tan x在x∈(k∈Z)上是增函数，∴－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，
即－＋∴函数y＝tan的单调递增区间是
(k∈Z)．
命题角度2　利用正切函数的单调性比较大小
例3　(1)比较大小：
①tan 32°________tan 215°；
②tan________tan.
(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________．(用“<”连接)
答案　(1)①<　②<　(2)tan 2解析　(1)①tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，
∵y＝tan x在(0°，90°)上单调递增，32°<35°，
∴tan 32°②tan＝tan＝tan，
tan＝tan＝tan，
∵y＝tan x在上单调递增，且－<－，
∴tan即tan(2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
∵－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在上单调递增，
∴tan(2－π)即tan 2反思与感悟　比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为，k∈Z，故在和上都是增函数．
跟踪训练3　比较大小：tan________tan.
答案　>
解析　∵tan＝－tan＝tan ，
tan＝－tan＝tan .
又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，
∴tan ＜tan ，
∴tan＞tan.
类型三　正切函数的奇偶性与对称性问题
例4　(1)判断下列函数的奇偶性．
①y＝；
②y＝xtan 2x＋x4.
解　①由
得x≠kπ＋且x≠kπ＋(k∈Z)，
即定义域为，不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数．
②函数定义域为，关于原点对称．
令f(x)＝xtan 2x＋x4，
则f(－x)＝(－x)tan 2(－x)＋(－x)4
＝xtan 2x＋x4＝f(x)，
∴该函数是偶函数．
(2)求y＝3tan的图象的对称中心．
解　由2x＋＝(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．
故所求函数图象的对称中心为点(k∈Z)．
反思与感悟　(1)在利用定义判断与正切函数有关的函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(－x)与f(x)的关系．
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的图象的对称中心，方法是把ωx＋φ看作一个整体，由ωx＋φ＝(k∈Z)解出的x的值为对称中心的横坐标，纵坐标为零．
跟踪训练4　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝tan x＋；
(2)f(x)＝lg|tan x|.
解　(1)要使函数有意义，
需满足tan x≠0且tan x有意义，
即x∈∪，k∈Z，可知定义域关于原点对称．
又对于定义域内的任意x，都有
f(－x)＝－tan x－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(2)由
得
∴函数f(x)的定义域为
∪，k∈Z，
定义域关于原点对称．
又对任意x∈∪，k∈Z，
都有f(－x)＝lg|tan(－x)|＝lg|－tan x|
＝lg|tan x|＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
类型四　正切函数的图象及应用
例5　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
解　由y＝|tan x|，得
y＝
其图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π.
反思与感悟　(1)作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
跟踪训练5　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
解　(1)∵ω＝，
∴周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，
得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝；
令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
1．函数y＝tan的最小正周期是(　　)
A．π B．2π
C. D.
答案　C
解析　最小正周期为T＝＝.
2．函数f(x)＝tan的单调递增区间为(　　)
A.，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案　C
3．在下列函数中同时满足：①在上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan  D．y＝－tan x
答案　C
4．函数y＝tan x的值域是________________．
考点　正切函数的定义域、值域
题点　正切函数的值域
答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析　函数y＝tan x在上单调递增，在上也单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
5．比较大小：tan 1________tan 4.
答案　＞
解析　由正切函数的图象易知，tan 1＞0，
tan 4＝tan(4－π)，而0＜4－π＜1＜，
函数y＝tan x在上为增函数，
所以tan 1＞tan(4－π)＝tan 4.
1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.
一、选择题
1．函数f(x)＝2tan(－x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
考点　正切函数的周期性、对称性
题点　正切函数的奇偶性
答案　A
解析　因为f(－x)＝2tan x＝－2tan(－x)＝－f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称，所以函数f(x)＝2tan(－x)是奇函数．
2．函数f(x)＝lg(tan x＋)为(　　)
A．奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
答案　A
解析　∵>|tan x|≥－tan x，
∴其定义域为，关于原点对称．
又f(－x)＋f(x)＝lg(－tan x＋)＋lg(tan x＋)＝lg 1＝0，
∴f(x)为奇函数，故选A.
3．满足tan A>－1的三角形的内角A的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.∪
答案　D
解析　因为A为三角形的内角，所以0又tan A>－1，结合正切曲线得A∈∪.
4．下列各点中，不是函数y＝tan图象的对称中心的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　令－2x＝，k∈Z，得x＝－(k∈Z)．
令k＝0，得x＝；
令k＝1，得x＝－；
令k＝2，得x＝－.故选C.
5．已知函数f(x)＝tan ωx (ω>0)图象的相邻两支截直线y＝所得的线段长为，则f的值是(　　)
A．0 B．1 C．－1 D.
答案　A
解析　由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.
6．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)
答案　D
解析　当当x＝π时，y＝0；
当πsin x，y＝2sin x<0.故选D.
7．下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　)
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
答案　B
解析　令kπ－二、填空题
8．函数y＝3tan对称中心的坐标是________．
答案　(k∈Z)
解析　由3x＋＝(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以对称中心的坐标为(k∈Z)．
9．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________．
答案　[－4,4]
解析　∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
10．比较大小：tan________tan.
考点　正切函数的单调性
题点　正切函数单调性的应用
答案　<
解析　tan＝tan ，tan＝tan ，
又y＝tan x在内单调递增，
所以tan 即tan11．已知函数y＝tan ωx在(－π，π)内是减函数，则ω的取值范围是________．
答案　
解析　∵函数y＝tan ωx在(－π，π)内是减函数，
∴ω<0，≥2π，解得－≤ω<0.
三、解答题
12．求函数y＝tan的定义域、周期、单调区间和对称中心．
解　①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋π，k∈Z.
∴函数的定义域为.
②∵T＝＝2π.∴函数的周期为2π.
③由kπ－<－解得2kπ－∴函数的单调增区间为，k∈Z.
④由－＝，k∈Z，
得x＝kπ＋π，k∈Z.
∴函数的对称中心是，k∈Z.
13．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点M对称，求f(x)的解析式．
解　由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝，
即＝，∴ω＝2.从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
∵函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
∴2×＋φ＝kπ或＋kπ，k∈Z，
即φ＝kπ＋或φ＝kπ＋(k∈Z)．
∵0<φ<，∴φ只能取.
故f(x)＝tan.
四、探究与拓展
14．函数y＝tan(sin x)的值域为(　　)
A. B.
C．[－tan 1，tan 1] D．以上均不对
答案　C
解析　∵－1≤sin x≤1，∴sin x∈.
又∵y＝tan x在上单调递增，
∴tan(－1)≤y≤tan 1，即y∈[－tan 1，tan 1]．
15．已知函数f(x)＝x2＋2x·tan θ－1，x∈[－1，]，θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
解　(1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－(x∈[－1，])，
∴当x＝时，f(x)min＝－；
当x＝－1时，f(x)max＝.
(2)函数f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥.
∴tan θ≥1或tan θ≤－.
∴θ的取值范围是∪
1．3.3　已知三角函数值求角
学习目标　1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2.了解符号arcsin x，arccos x，arctan x的含义，并能用这些符号表示非特殊角．
知识点一　已知正弦值，求角
思考　阅读教材58页下半页，谈谈对arcsin a表示的意义．
答案　(1)当|a|≤1时，arcsin a表示一个角；
(2)这个角在区间内取值，即arcsin a∈；
(3)这个角的正弦值等于a，即sin(arcsin a)＝a.
因此，a的范围必是|a|≤1.
梳理　一般地，对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin y，即arcsin y(|y|≤1)表示上正弦等于y的那个角．
知识点二　已知余弦值，求角
思考　阅读教材59页下半页，说出arccos a的含义．
答案　(1)当|a|≤1时，arccos a表示一个角；
(2)这个角在区间[0，π]内取值，即arccos a∈[0，π]；
(3)这个角的余弦值等于a，即cos(arccos a)＝a.
因此，a的范围也必须是|a|≤1.
梳理　一般的对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1,1]，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记作x＝arccos y(－1≤y≤1,0≤x≤π)．
知识点三　已知正切值，求角
思考　对arctan a的含义你是如何理解的？
答案　(1)arctan a表示一个角；
(2)这个角在区间内，即arctan a∈；
(3)这个角的正切值是a，根据正切函数的值域是R，可知a∈R，即tan(arctan a)＝a.
梳理　一般地，如果正切函数y＝tan x(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值，在开区间内有且只有一个角x，使tan x＝y，记作x＝arctan y.
类型一　已知正弦值，求角
例1　已知sin＝－，求x.
解　设x－＝t，则有sin t＝－.
当t∈时，t＝arcsin，又sin t＝－，
所以t是第三、四象限角，且t1＝arcsin是第四象限角．
又sin＝sin＝－，
且π－arcsin是第三象限角，
所以t2＝π－arcsin.
由正弦函数周期性可知
t＝2kπ＋t1或t＝2kπ＋t2(k∈Z)时，sin x＝－.
所以t＝2kπ＋arcsin(k∈Z)，
或t＝2kπ＋π－arcsin(k∈Z)．
因此x的集合为，
.
反思与感悟　方程y＝sin x＝a，|a|≤1的解集可写为{x|x＝2kπ＋arcsin a，或(2k＋1)π－arcsin a，k∈Z}，也可化简为{x|x＝kπ＋(－1)karcsin a，k∈Z}．
跟踪训练1　已知sin x＝.
(1)当x∈时，求x的取值集合；
(2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合．
解　(1)∵y＝sin x在上是增函数，
且sin＝.∴满足条件的角只有x＝.
∴x的取值集合为.
(2)∵sin x＝>0，
∴x为第一或第二象限角且sin＝sin＝.
∴在[0,2π]上符合条件的角x＝或x＝.
∴x的取值集合为.
(3)当x∈R时，x的取值集合为
.
类型二　已知余弦值，求角
例2　已知cos x＝－.
(1)当x∈[0，π]时，求x；
(2)当x∈[0,2π]时，求x；
(3)当x∈R时，求x的取值集合．
解　(1)∵cos x＝－，且x∈[0，π]，
∴x＝arccos＝π－arccos .
(2)∵x∈[0,2π]且cos x＝－<0.
∴x为第二象限角或第三象限角．
∴x＝π－arccos 或π＋arccos .
(3)当x∈R时，x与π－arccos 终边相同或者与
π＋arccos 终边相同．
∴x＝2kπ＋π－arccos 或x＝2kπ＋π＋arccos (k∈Z)．
∴x的取值集合是.
反思与感悟　方程cos x＝a，|a|≤1的解集可写成{x|x＝2kπ±arccos a，k∈Z}．
跟踪训练2　若cos 2x＝，其中A. B. C. D.
答案　B
解析　∵∴x＝.
类型三　已知正切值，求角
例3　(1)已知tan α＝－2，且α∈，求α；
(2)已知tan α＝－2，且α∈[0,2π]，求α；
(3)已知tan α＝－2，α∈R，求α.
解　(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，故α＝arctan(－2)．
(2)∵tan α＝－2<0，∴α是第二或第四象限角．
又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间，上是增函数，知符合tan α＝－2的角有两个，
∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－2且arctan(－2)∈.∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)．
(3)α∈R，则α＝kπ＋arctan(－2)(k∈Z)．
反思与感悟　方程tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋arctan a，k∈Z}．
跟踪训练3　已知tan x＝－1，求x，并写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
解　因为tan x＝－1，所以满足条件的x的解集为
{x|x＝kπ＋arctan(－1)，k∈Z}＝x|x＝kπ－，k∈Z，
在x＝kπ－中，令k＝0或－1，得x＝－或x＝－，
即在[－2π，0]内正切值为－1的角x有2个：－与－.
1．若sin x＝，x∈，则x等于(　　)
A．arcsin  B．π－arcsin 
C.＋arcsin  D．－arcsin 
答案　B
2．直线2x＋y－1＝0的倾斜角是________．(用反正切表示)
答案　π＋arctan(－2)
解析　∵2x＋y－1＝0，
∴y＝－2x＋1.
设直线y＝－2x＋1的倾斜角为θ，
则tan θ＝－2，
∴θ为钝角，θ∈.
∵arctan(－2)∈，
∴θ＝π＋arctan(－2)．
3．若cos x＝，x∈，则x＝________.
答案　－arccos 
4．arcsin(－1)＋arctan ＝________.
答案　－
解析　arcsin(－1)＋arctan ＝－＋＝－.
5．sin＝________.
答案　
解析　∵arccos＝，∴sin＝sin＝.

1．理解符号arcsin x、arccos x、arctan x的含义
每个符号都要从以下三个方面去理解，以arcsin x为例来说明．
(1)arcsin x表示一个角；
(2)这个角的范围是；
(3)这个角的正弦值是x，所以|x|≤1.
例如：arcsin 2，arcsin都是无意义的．
2．已知三角函数值求角的大致步骤
(1)由三角函数值的符号确定角的象限；
(2)求出[0,2π)上的角；
(3)根据终边相同的角写出所有的角.
一、选择题
1．下列叙述错误的是(　　)
A．arctan y表示一个内的角
B．若x＝arcsin y，|y|≤1，则sin x＝y
C．若tan ＝y，则x＝2arctan y
D．arcsin y，arccos y中的y∈[－1,1]
答案　C
2．若α是三角形内角，且sin α＝，则α等于(　　)
A．30° B．30°或150°
C．60° D．120°或60°
答案　B
解析　∵sin 30°＝，sin(180°－30°)＝sin 30°＝，
∴α＝30°或150°.
3．已知cos x＝－，πA. B. C. D.
答案　A
解析　符合条件cos x0＝的锐角x0＝，
而cos＝－cos ＝－，
∴x＝π＋＝.
4．若tan x＝－，0A.或 B.或
C.或 D.或
答案　D
解析　∵tan x＝－<0，∴x为第二或第四象限角．
符合条件tan x0＝的锐角x0＝.
而tan＝－tan ＝－，
tan＝－tan ＝－，
∴x＝π－＝或x＝2π－＝.
5．使得等式2cos ＝1成立的x的集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　cos ＝>0，为第一象限角或第四象限角．
∴与或－终边相同．
∴＝2kπ±，k∈Z，∴x＝4kπ±π，k∈Z.
6．直线x＋2y＋1＝0的倾斜角为(　　)
A．arctan B．－arctan 
C．arcsin D．arccos
答案　D
解析　A，B，C均表示负锐角，只有D选项中
arccos表示钝角．故选D.
7．若＜x＜π且cos x＝－，则x等于(　　)
A．arccos  B．－arccos 
C．π－arccos  D．π＋arccos 
答案　C
二、填空题
8．arcsin＝________.
答案　
解析　arcsin＝arcsin ＝.
9．已知cos α＝，cos(β－α)＝，且0＜β＜α＜，则角β＝________.
答案　
解析　由cos α＝，0＜α＜，得
sin α＝＝＝.
由0＜β＜α＜，得－＜β－α＜0，
又∵cos(β－α)＝，
sin(β－α)＝－
＝－＝，
由β＝(β－α)＋α得：
cos β＝cos[(β－α)＋α]
＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α
＝×－×＝，
∵0＜β＜，∴β＝.
10．arcsin＝________.
答案　
解析　arcsin＝arcsin＝.
11．tan＝________.
答案　
解析　tan＝tan ＝.
三、解答题
12．用反三角函数的形式把下列各式中的x表示出来．
(1)cos x＝－；
(2)sin x＝－；
(3)3tan x＋1＝0 (0(4)sin x＝－.
解　(1)arccos.　(2)arcsin.
(3)π－arctan .　(4)π＋arcsin .
13．利用反正切表示直线ax＋by＋c＝0 (ab>0)的倾斜角．(结果含a，b)
解　∵ab>0，ax＋by＋c＝0，
∴y＝－x－，k＝－.
∵k＝－<0，
∴直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为钝角π－arctan .
四、探究与拓展
14．已知sin α＝－，－＜α＜0，则α等于(　　)
A．π－arcsin
B．π＋arcsin
C．arcsin
D．－arcsin
答案　C
15．已知sin ＝－，且α是第二象限的角，求角α.
解　∵α是第二象限的角，
∴是第一或第三象限的角．
∵sin ＝－<0，
∴是第三象限的角，
在[0,2π]内找到满足条件的，
∵sin ＝，
∴在[0,2π]内满足条件的角＝π＋＝.
∴所有满足条件的
＝2kπ＋ (k∈Z)，
即α＝4kπ＋ (k∈Z)．
章末复习
学习目标　1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换．
1．任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；
(2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；
(3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0)．
2．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan α＝ .
3．诱导公式
四组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
对称性
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)，无对称轴
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
最小正周期：2π
最小正周期：2π
最小正周期：π
单调性
在 (k∈Z)上单调递增；
在 (k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上单调递增；
在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在开区间(k∈Z)上递增
最值
在x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ
(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
1．若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)
2．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)
3．若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　)
类型一　三角函数的概念
例1　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝ .
答案　－8
解析　r＝＝，且sin θ＝－，
所以sin θ＝＝＝－，
所以θ为第四象限角，解得y＝－8.
反思与感悟　(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
解　∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t.
r＝＝＝5|t|.
当t＞0时，r＝5t，sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－；
当t＜0时，r＝－5t，sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.
综上可知，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－
或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
类型二　同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用
例2　已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：
(1)＋；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解　由根与系数的关系，得sin θ＋cos θ＝，
sin θcos θ＝.
(1)原式＝＋
＝＋＝－
＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由sin θ＋cos θ＝，
两边平方可得1＋2sin θcos θ＝，
1＋2×＝1＋，m＝.
(3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0，
得两根和.∴ 或 
∵θ∈(0,2π)，∴θ＝或.
反思与感悟　(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.
(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．
跟踪训练2　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解　(1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，
(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.
又∵<α<，∴cos α∴cos α－sin α＝－.
(3)∵α＝－＝－6×2π＋，
∴f＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos·sin＝×＝.
类型三　三角函数的图象与性质
例3　将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin x的图象．
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值．
解　(1)函数y＝ sin x的图象向下平移1个单位长度得y＝sin x－1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的倍，得到y＝sinx－1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y＝sin－1的图象，∴函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6.由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，∴函数y＝f(x)的单调递增区间是
，k∈Z.
(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3,4]时，y＝f(x)的最值．
∵当x∈[3,4]时，x－∈，
∴sin∈，∴f(x)∈.
∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最小值是－1，最大值为.
反思与感悟　研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决．
跟踪训练3　函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解　(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
类型四　三角函数的最值和值域
命题角度1　可化为y＝Asin?ωx＋φ?＋k型
例4　求函数y＝－2sin＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值．
解　∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴－≤sin(x＋)≤1.
当sin＝1，即x＝时，y取得最小值1.
当sin＝－，即x＝π时，y取得最大值4.
∴函数y＝－2sin＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.
反思与感悟　利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响．
跟踪训练4　已知函数y＝asin＋b在x∈上的值域为[－5,1]，求a，b的值．
解　∵x∈，
∴2x＋∈，sin∈.
∴当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
命题角度2　可化为sin x或cos x的二次函数型
例5　已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值．
解　y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.
令t＝sin x，∵|x|≤，∴－≤sin x≤.
则y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－2＋＝.
反思与感悟　在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．
跟踪训练5　已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值．
解　令t＝sin x，则
g(t)＝－t2－at＋b＋1＝－2＋＋b＋1，
且t∈[－1,1]．根据对称轴t0＝－与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．
①当－≤－1，即a≥2时，
解得
②当－1<－<0，即0
解得(舍)或(舍)，
综上所述，a＝2，b＝－2.
命题角度3　分式型函数利用有界性求值域
例6　求函数y＝的值域．
解　方法一　原函数变形为y＝1＋，
∵|cos x|≤1，∴－3≤2cos x－1≤1且2cos x－1≠0，
∴≥2或≤－，
则函数的值域为.
方法二　原函数变形为cos x＝，
∵|cos x|≤1，∴≤1且≠，
∴函数的值域为.
反思与感悟　在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征——有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题．
跟踪训练6　求函数y＝的最大值和最小值．
解　y＝＝＝3－.
∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝1时，ymax＝3－＝，
当sin x＝－1时，ymin＝3－＝－2，
∴函数y＝的最大值为，最小值为－2.
类型五　数形结合思想在三角函数中的应用
例7　已知方程sin＝在[0，π]上有两个解，求实数m的取值范围．
解　函数y＝sin，x∈[0，π]的图象如图所示，方程sin＝在[0，π]上有两个解等价于函数y1＝sin，y2＝在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点，所以≤＜1，即≤m＜2.
反思与感悟　数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想．
跟踪训练7　设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为 ．
答案　π
解析　记f(x)的最小正周期为T.由题意知，
≥－＝.
又f＝f＝－f，
且－＝，
可作出示意图如图所示(一种情况)，
∴x1＝×＝，
x2＝×＝，
∴＝x2－x1＝－＝，
∴T＝π.
1．已知f(α)＝，则f的值为(　　)
A. B．－ C．－ D.
考点　同名诱导公式的综合应用
题点　同名诱导公式的综合应用
答案　C
解析　∵f(α)＝＝
＝－cos α，
∴f＝－cos＝－cos 
＝－cos＝－cos＝－.
2．若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a的值为(　　)
A．4 B．±4
C．－4或－ D.
答案　C
解析　由三角函数定义可知，r＝，
sin α＝ ，cos α＝，
sin α·cos α＝＝，
得a＝－4或－.
3．函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为(　　)
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,2] D．[0,1]
答案　C
解析　∵f(x)＝
∴0≤f(x)≤2.故选C.
4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)
A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4，
答案　A
解析　从图象可得T＝－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2.
又∵f＝2sin＝2sin＝2，且－＜φ＜，∴φ＝－.
5．已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值．
考点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点　正弦函数性质的综合应用
解　(1)f(x)＝2sin＋a，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)当x∈时，2x－∈，
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，
即2sin＋a＝－2，故a＝－1.
三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.
一、选择题
1．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为sin ＝sin＝sin ＝，
cos ＝cos＝－cos＝－，
所以点在第四象限．
又因为tan α＝＝－＝tan＝tan ，
所以角α的最小正值为.故选D.
2．若cos＝－，则sin(－5π＋α)等于(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　诱导公式的综合应用
题点　综合运用诱导公式求值
答案　D
解析　因为cos＝－，所以sin α＝，所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sin α＝－，故选D.
3．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域为(　　)
A．[－1,1] B.
C. D.
答案　C
解析　f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|
＝
函数f(x)的图象如图所示，
由f(x)的图象知，f(x)的值域为.
4．设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是(　　)
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
答案　A
解析　由数形结合的思想，画出函数y＝4sin(2x＋1)与y＝x的图象，
观察可知，故选A.
5．将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
答案　B
解析　y＝3sin向右平移个单位长度得到y＝3sin＝3sin的图象．
∵x∈，则2x－∈，
∴y＝3sin在上单调递增．
6．函数f(x)＝Asin(ωx＋θ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)等于(　　)
A.sin B.sin
C.sin D.sin
答案　A
解析　由图象知，A＝，∵－＝T，
∴T＝π，∴ω＝2.∵2×＋θ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴可取θ＝－，∴f(x)＝sin.
7．若＝2，则sin θcos θ的值是(　　)
A．－ B. C．± D.
答案　B
解析　∵＝＝2，∴tan θ＝3.
∴sin θcos θ＝＝＝.
二、填空题
8．若函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是 ．
考点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用
答案　26,27,28
解析　∵T＝，又∵<<，
∴8π∴m＝26,27,28.
9.若函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值等于 ．
考点　三角函数图象的综合应用
题点　三角函数图象的综合应用
答案　2＋
解析　由题图知A＝2，ω＝，φ＝0，
∴f(x)＝2sinx，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0.
又f(x)的周期为8，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)
＝2sin ＋2sin ＝2＋.
10．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是 ．
答案　8
解析　∵T＝6，则≤t，
∴t≥，∴tmin＝8.
11．设函数f(x)＝sin，下列命题：①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点对称；③把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数．其中正确命题的序号为 ．
答案　③
解析　函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)；
f(x)＝sin的图象的对称中心的横坐标满足
2x＋＝kπ(k∈Z)，
解得x＝－＋(k∈Z)；
f(x)的周期为T＝＝π，
由∈(k∈Z)，
得f(x)的增区间为(k∈Z)；
把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到
f(x)＝sin＝sin＝cos 2x的图象，为偶函数．故只有③正确．
三、解答题
12．若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且＋＝2，求tan α.
解　∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，
∴α是第二象限角，
∴＋
＝＋
＝＝＝2，
∴cos α＝－，则sin α＝，tan α＝－1.
13．已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
解　(1)因为f(x)＝cos，x∈R，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为f(x)＝cos在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f＝0，f＝，f＝cos＝－cos ＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x＝；最小值为－1，此时x＝.
四、探究与拓展
14．同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是(　　)
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案　B
解析　由T＝＝π知，ω＝2，D错；图象与对称轴的交点为最值点，即当x＝时，函数值为最值，A错；
由B的单调递增区间，可得
－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，即为
(k∈Z)，
当k＝1时，∈，
故选B.
15．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．
解　(1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b，3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得，a＝2，b＝－5，
∴f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)＞0得g(x)＞1，
∴4sin－1＞1，
∴sin＞，
∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.
∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.