模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若sin(π－α)＝，则tan α的值为( )
A. B．－ C．± D．±
答案 C
解析 sin(π－α)＝sin α＝，∴cos α＝±，tan α＝±.
2．设a＝sin 46°，b＝cos 46°，c＝tan 46°，则( )
A．c＞a＞b B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．c＞b＞a
答案 A
解析 如图所示，
由于46°＞45°，结合三角函数线知，AT＞MP＞OM.
故有tan 46°＞sin 46°＞cos 46°，即c＞a＞b.
3．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 由题意得
∴sin α＞0，cos α＜0.∴α在第二象限．
4．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
答案 B
解析 |2a－b|＝＝
＝＝2.
5．已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(0＜φ＜π)，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g＝，则φ等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ
＝sin 2xsin φ＋cos φcos 2x＝cos(2x－φ)，
∴g(x)＝cos＝cos.
∵g＝，∴2×＋－φ＝2kπ(k∈Z)，
∴φ＝－2kπ(k∈Z)．
∵0＜φ＜π，∴φ＝.故选D.
6．O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点．若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC一定是( )
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
答案 B
解析 设BC的中点为D，
∵(－)·(＋－2)＝0，
∴·(2－2)＝0，
∴·2＝0，
∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．
故△ABC一定是以BC为底边的等腰三角形．故选B.
7．函数y＝2sin2－1是( )
A．最小正周期是π的奇函数
B．最小正周期是π的偶函数
C．最小正周期是的奇函数
D．最小正周期是的偶函数
答案 A
解析 ∵y＝2sin2－1＝－cos
＝－cos＝－sin 2x，
∴函数为奇函数且T＝＝π.
8．如图，在四边形ABCD中，||＋||＋||＝4，||·||＋||·||＝4，·＝·＝0，则(＋)·的值为( )
A．4 B．2 C．4 D．2
答案 A
9．已知偶函数y＝f(x)在区间[－1,0]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两个内角，则( )
A．f(sin α)＞f(cos β)
B．f(sin α)＜f(cos β)
C．f(sin α)＞f(sin β)
D．f(cos α)＜f(cos β)
答案 A
解析 ∵y＝f(x)为偶函数，且在区间[－1,0]上为减函数，∴y＝f(x)在[0,1]上为增函数．
∵α，β为锐角三角形的两个内角，
∴0＜α＜，0＜β＜，且α＋β＞，
∴α＞－β＞0.
∴sin α＞sin＝cos β＞0.
∴f(sin α)＞f(cos β)．
10．化简·的结果为( )
A．tan α B．tan 2α
C．1 D.
答案 B
解析 原式＝·＝tan 2α.
11．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则等于( )
A. B. C．1 D．2
答案 D
解析 ∵－3＋2＝0，
∴－＝2(－)，∴＝2.∴＝2.
12．关于函数f(x)＝sin(x∈R)，给出下列三个结论：
①函数f(x)的图象与g(x)＝cos的图象重合；
②函数f(x)的图象关于点对称；
③函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．3 D．2
答案 C
解析 ∵g(x)＝cos＝cos
＝cos＝－sin
＝sin＝f(x)，
∴结论①正确；
∵f＝sin＝0，
∴是f(x)图象的一个对称中心，
∴结论②正确；
又f＝sin＝sin＝1，
∴f(x)的图象关于直线x＝对称．∴结论③正确．
综上，结论①②③都正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
答案
14．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
答案
解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值．
所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，
所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.
又ω－(－ω)≤·，即ω2≤，
所以ω2＝，所以ω＝.
15．已知平面向量a＝(4x,2x)，b＝，x∈R.若a⊥b，则|a－b|＝________.
答案 2
解析 ∵a⊥b，∴4x＋2x－2＝0，(2x＋2)·(2x－1)＝0.
∴2x＝1，x＝0.∴a＝(1,1)，b＝(1，－1)，
∴a－b＝(0,2)．∴|a－b|＝2.
16．已知函数f(x)＝msin x＋ncos x且f是它的最大值(其中m，n为常数，mn≠0)，给出下列命题：
①f为偶函数；②函数f(x)的图象关于点对称；③f是函数f(x)的最小值；
④＝1.
其中正确的命题是________．(填序号)
答案 ①③④
解析 ∵f(x)＝msin x＋ncos x
＝sin(x＋φ)，
又f是f(x)的最大值，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴f(x)＝sin
＝sin.
f＝sin
＝cos x，为偶函数，故①正确；
f(x)的图象的对称中心的横坐标满足x＋＝kπ，k∈Z，
∴x＝kπ－，k∈Z，故②不正确；
f＝sin
＝－，故③正确；
∵φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴tan φ＝＝1，
∴＝1，故④正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为θ.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a－b与a垂直，求θ.
解 (1)∵a∥b，
∴θ＝0°或180°.
∴a·b＝|a||b|cos θ＝±.
(2)∵a－b与a垂直，
∴(a－b)·a＝0，
即|a|2－a·b＝1－cos θ＝0.
∴cos θ＝.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
18．(12分)求值：(1)cos ·cos ·cos ；
(2).
解 (1)cos ·cos ·cos
＝··
＝·＝.
(2)
＝
＝＝＝－4.
19．(12分)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．
解 (1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)
.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝2sin x＋－1的图象，即g(x)＝2sin x＋－1，
所以g＝2sin＋－1＝.
20．(12分)已知m＝(acos x，cos x)，n＝(2cos x，bsin x)，f(x)＝m·n，且f(0)＝2，f＝＋.
(1)求f(x)的最大值与最小值；
(2)若f(α)＝0，α∈(0,2π)，求α的值．
解 (1)∵m＝(acos x，cos x)，n＝(2cos x，bsin x)，
∴f(x)＝2acos2x＋bsin xcos x.
∵f(0)＝2a＝2，∴a＝1.
又∵f＝2cos2＋bsincos＝＋，
∴b＝2.
∴f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1.
故f(x)的最大值是＋1，最小值是1－.
(2)由f(α)＝0，得sin＋1＝0，
∴sin＝－.
∴2α＋＝2kπ－，k∈Z或2α＋＝2kπ＋，k∈Z，
即α＝kπ－，k∈Z或α＝kπ＋，k∈Z.
∵α∈(0,2π)，∴α＝或α＝或α＝或α＝.
21．(12分)已知函数f(x)＝2cos xsin－sin2x＋sin xcos x.
(1)当x∈时，求f(x)的值域；
(2)用五点法在下图中作出y＝f(x)在闭区间上的简图．
解 f(x)＝2cos xsin－sin2x＋sin xcos x
＝2cos x－sin2x＋
sin xcos x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
(1)∵x∈，
∴≤2x＋≤.
∴－≤sin≤1.
∴当x∈时，f(x)的值域为[－，2]．
(2)由T＝，得T＝π，列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
2sin
0
2
0
－2
0
图象如图所示．
22．(12分)已知函数f(x)＝4sincos ωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0,2)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所有图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若α为锐角，且g(α)＝－，求cos α的值．
解 (1)f(x)＝4sincos ωx＝4cos ωx
＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx－
＝2sin－.
∵函数f(x)在x＝处取得最值，
∴2ω×－＝kπ＋，k∈Z，
解得ω＝2k＋，k∈Z.
又ω∈(0,2)，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin－.∴最小正周期T＝.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin－＝2sin－的图象，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝2sin－的图象，
即g(x)＝2sin－.
∵α为锐角，g(α)＝2sin－＝－，
∴sin＝.
∴cos＝＝.
∴cos α＝cos＝cos－sin
＝×－×＝.
滚动训练五(§3.1～§3.2)
一、选择题
1．cos 555°的值为( )
A. B．－
C. D.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 B
解析 cos 555°＝cos(720°－165°)＝cos 165°＝－cos 15°＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝－.
2．若π＜α＜2π，则化简的结果是( )
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用降幂公式化简求值
答案 C
解析 ∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos ＜0，
原式＝＝＝－cos .故选C.
3．在△ABC中，若tan Atan B＞1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 三角恒等变换与三角形的综合应用
答案 A
解析 由tan Atan B＞1，得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sin Asin B＞cos Acos B，即cos(A＋B)＜0，
∴cos(π－C)＜0.∴－cos C＜0.∴cos C＞0.∴角C为锐角．∴△ABC是锐角三角形，故选A.
4．已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f，则( )
A．a＋b＝0 B．a－b＝0
C．a＋b＝1 D．a－b＝1
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用降幂公式化简求值
答案 C
解析 f(x)＝sin2＝
＝，
∵a＝f(lg 5)，b＝f＝f(－lg 5)，
∴a＋b＝＋＝1，a－b＝－＝sin(2lg 5)．
5．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
答案 B
解析 y＝sin－sin 2x
＝sin 2xcos－cos 2xsin－sin 2x
＝－sin 2x－cos 2x＝－sin.
y＝－sin的单调递增区间是y＝sin的单调递减区间，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
令k＝0，得x∈.故选B.
6．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )
A. B．－ C. D．－
考点 两角差的余弦公式
题点 两角差的余弦公式的综合应用
答案 C
解析 ∵0<α<，∴<α＋<.
∵cos＝，∴sin＝.
∵－<β<0，∴<－<.
∵cos＝，∴sin＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
7．已知函数f(x)＝cos ，则下列区间中f(x)在其上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
答案 D
解析 f(x)＝cos ＝sin x＋＝sin＋.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，函数f(x)在上单调递增．
又?，故选D.
二、填空题
8．化简··＝________.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
答案 tan
解析 原式＝··＝·＝·＝＝tan .
9．若sin(π－α)＝，α∈，则sin 2α－cos2 的值为________．
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
答案
解析 ∵sin(π－α)＝，∴sin α＝，
又∵α∈，
∴cos α＝＝(舍负)，
因此，sin 2α－cos2 ＝2sin αcos α－(1＋cos α)＝2××－×＝－＝.
10.＝________.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用二倍角公式化简三角函数式
答案 －4
解析 原式＝
＝＝＝
＝＝－4.
11．函数y＝sin2x－2sin xsin＋sin 的图象的对称轴是____________，对称中心是____________．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
答案 x＝＋(k∈Z) (k∈Z)
解析 ∵y＝sin2x－2sin xsin＋sin
＝sin2x－2sin x－1
＝－sin xcos x－1＝－sin 2x－1.
令2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)；
令2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)．
∴该函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．
三、解答题
12．已知cos＝，≤α≤，求的值．
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
解 由cos＝，得cos α－sin α＝，
解方程组
得或
∵≤α≤，∴cos α≤0，
∴
∴＝
＝＝－.
13．已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(2＋sin x，2－cos x)，函数f(x)＝m·n，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
解 (1)因为f(x)＝m·n＝cos x(2＋sin x)＋sin x·(2－cos x)
＝2(sin x＋cos x)＝4sin(x∈R)，
所以f(x)的最大值是4.
(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.
又因为x∈，即x＋∈，
所以cos＝－.
cos＝cos
＝coscos －sinsin
＝－×－×＝－.
四、探究与拓展
14．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
答案 π (k∈Z)
解析 由题意，知f(x)＝＋sin 2x＋1＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，所以最小正周期T＝π.令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故单调递减区间为(k∈Z)．
15．设f(x)＝4cossin ωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.
(1)求函数y＝f(x)的值域；
(2)若f(x)在区间上为增函数，求ω的最大值．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
解 (1)f(x)＝4sin ωx＋cos 2ωx
＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx
＝sin 2ωx＋1(ω＞0)．
因为－1≤sin 2ωx≤1，
所以函数y＝f(x)的值域为[1－，1＋]．
(2)因为y＝sin x在闭区间(k∈Z)上为增函数，所以f(x)＝sin 2ωx＋1(ω＞0)在闭区间(k∈Z)上为增函数．
依题意，知?对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是
解得0＜ω≤，故ω的最大值为.
1 三角恒等变换中角的变换的技巧
三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换．观察条件及目标式中角度间的联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧．
一、利用条件中的角表示目标中的角
例1 设α，β为锐角，且满足cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值．
分析 利用变换β＝α－(α－β)沟通条件与欲求之间的关系．
解 ∵α，β为锐角，且tan(α－β)＝－<0，
∴－<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－＝－，
cos(α－β)＝＝，
sin α＝＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝·＋＝.
二、利用目标中的角表示条件中的角
例2 设α为第四象限的角，若＝，则tan 2α＝_____________________.
分析 要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到＝，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α.
解析 由＝
＝
＝2cos2α＋cos 2α＝.
∵2cos2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝，∴cos 2α＝.
∵α为第四象限的角，
∴2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)．
∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)．
∴2α可能为第三、四象限角．
又∵cos 2α＝，∴2α为第四象限角．
∴sin 2α＝－，tan 2α＝－.
答案 －
三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角
例3 已知sin＝，0
分析 转化为已知一个角的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现这个角的三角函数．
解 原式＝＝
＝2sin＝2cos.
∵sin＝，且0∴cos＝ ＝.
∴原式＝2×＝.
四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角
例4 求函数f(x)＝sin(x－20°)－cos(x＋40°)的最大值．
分析 观察角(x＋40°)－(x－20°)＝60°，可以把x＋40°看成(x－20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f(x)．
解 f(x)＝sin(x－20°)－cos[(x－20°)＋60°]
＝sin(x－20°)－sin(x－20°)－cos(x－20°)cos 60°＋sin(x－20°)sin 60°
＝[sin(x－20°)－cos(x－20°)]＝sin(x－65°)．
当x－65°＝k·360°＋90°，k∈Z，
即x＝k·360°＋155°(k∈Z)时，f(x)有最大值.
2 三角函数化简求值的“主角”
三角函数化简求值是学习三角函数的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招：
第一招 单角化复角
例1 已知sin α＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为________．
解析 因为sin α＝，α为第二象限角，
所以cos α＝－.所以tan α＝－.
所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝＝－.
答案 －
点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
第二招 复角化单角
例2 化简：－2cos(α＋β)．
解 原式＝
＝
＝
＝＝.
点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可．
第三招 复角化复角
例3 已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解 因为<α<，<＋α<π，
所以sin＝＝.
又因为0<β<，<＋β<π，
所以cos＝－＝－.
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－
＝－＝.
点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较烦琐，故需要找到α＋β与＋α和＋β的关系，即将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.
3 三角恒等变换的几个技巧
三角函数题是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．
一、灵活降幂
例1 ＝________.
解析 ＝
＝＝2.
答案 2
点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1进行降幂：如cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ，等等．
二、化平方式
例2 化简求值：
.
解 因为α∈，所以∈.
所以cos α>0，sin>0，
故原式＝＝
＝＝sin.
点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α，1－cos 2α，1＋sin 2α，1－sin 2α常常化为平方式：2cos2α，2sin2α，(sin α＋cos α)2，(sin α－cos α)2.
三、灵活变角
例3 已知sin＝，则cos＝________.
解析 cos＝2cos2－1
＝2sin2－1＝2×2－1＝－.
答案 －
点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“－α”表示待求角“＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余．
四、构造齐次弦式比，由切求弦
例4 已知tan θ＝－，则的值是________．
解析 ＝
＝＝
＝＝3.
答案 3
点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比．
五、分子、分母同乘以2nsin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n－1α的值
例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
解 原式＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝＝·＝.
点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘最小角的正弦的倍数即可.
4 聚焦三角函数最值的求解策略
一、化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求解
例1 求函数f(x)＝的最值．
解 原函数变形得：
f(x)＝
＝＝
＝sin 2x＋.
∴f(x)max＝，f(x)min＝.
例2 求函数y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合．
解 原函数化简得y＝sin 2x＋cos 2x＋2
＝sin＋2.
当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝kπ＋，k∈Z时，ymin＝2－.
此时x的集合为.
点评 形如y＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx＋d(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值．
二、利用正、余弦函数的有界性求解
例3 求函数y＝的值域．
解 原函数整理得：sin x＝.
∵|sin x|≤1，∴≤1，解出y≤或y≥3.
例4 求函数y＝的值域．
解 原函数整理得sin x－ycos x＝－4y－3，
∴sin(x＋φ)＝－4y－3.
∴sin(x＋φ)＝ .
∵|sin(x＋φ)|≤1，解不等式≤1得
≤y≤.
点评 对于形如y＝或y＝的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．
三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值
例5 设关于x的函数y＝cos 2x－2acos x－2a的最小值为f(a)，写出f(a)的表达式．
解 y＝cos 2x－2acos x－2a＝2cos2x－2acos x－(2a＋1)
＝22－.
当<－1，即a<－2时，f(a)＝ymin＝1，此时cos x＝－1.
当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，
f(a)＝ymin＝－－2a－1，此时cos x＝.
当>1，即a>2时，f(a)＝ymin＝1－4a，此时cos x＝1.
综上所述，f(a)＝
点评 形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数可转化为二次函数y＝at2＋bt＋c在区间[－1,1]上的最值问题解决．
四、利用函数的单调性求解
例7 求函数y＝的最值．
解 y＝＝
＝(sin x＋2)－.
令t＝sin x＋2，则t∈[1,3]，y＝t－.
利用函数单调性的定义易证函数y＝t－在[1,3]上为增函数．
故当t＝1即sin x＝－1时，ymin＝0；
当t＝3即sin x＝1时，ymax＝.
例8 在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB＝a，∠ABC＝θ，△ABC的面积为P，正方形的面积为Q.求的最小值．
解 AC＝atan θ，P＝AB·AC＝a2tan θ.设正方形边长为x，AG＝xcos θ，BC＝，BC边上的高h＝asin θ.
∵＝，
∴x＝ .
∴Q＝x2＝.
从而＝·
＝＝1＋.
令t＝sin 2θ，则0＜t＜1.
易知函数y＝＋在区间(0,1]上是减函数，
从而，当sin 2θ＝1时，min＝.
点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决，事半功倍.
5 《三角恒等变换》一章易错问题盘点
一、求角时选择三角函数类型不当而致错
例1 已知sin α＝，sin β＝，α和β都是锐角，求α＋β的值．
[错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos β＝，
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
因为α，β∈，则α＋β∈(0，π)．
所以α＋β＝或.
[剖析] 由sin α＝，sin β＝，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值．
[正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos β＝，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
因为α，β∈，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
温馨点评 根据条件求角，主要有两步：?1?求角的某种三角函数值；?2?确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.
二、忽视条件中隐含的角的范围而致错
例2 已知tan2α＋6tan α＋7＝0，tan2β＋6tan β＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．
[错解] 由题意知tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π.
∴α＋β＝或α＋β＝π.
[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0.角α，β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．
[正解] 由易知，
tan α<0，tan β<0.∵α，β∈(0，π)，
∴<α<π，<β<π.∴π<α＋β<2π.
又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝π.
温馨点评 在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.
三、忽略三角形内角间的关系而致错
例3 在△ABC中，已知sin A＝，cos B＝，求cos C.
[错解] 由sin A＝，得cos A＝±.
由cos B＝，得sin B＝.
当cos A＝时，
cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.
当cos A＝－时，
cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.
[剖析] 在△ABC中，三个内角A，B，C的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A＝±后，没有对cos A＝－这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确．
[正解] 由cos B＝>0，∴B∈，且sin B＝.
由sin A＝，得cos A＝±，
当cos A＝－时，cos A<－.∴A>.
∵sin B＝>，B∈，∴B>.
故当cos A＝－时，A＋B>π，与A，B是△ABC的内角矛盾．
∴cos A＝.
∴cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.
温馨点评 涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和A＋B＋C＝180°这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止角的增解出现.
四、忽略三角函数的定义域而致错
例4 判断函数f(x)＝的奇偶性．
[错解] f(x)＝
＝
＝＝tan .
由此得f(－x)＝tan＝－tan ＝－f(x)，
因此函数f(x)为奇函数．
[剖析] 运用公式后所得函数f(x)＝tan 的定义域为.两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错．
[正解] 事实上，由1＋sin x＋cos x≠0可得
sin x＋cos x≠－1，即sin≠－1，
从而sin≠－，
所以x＋≠2kπ＋且x＋≠2kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域是，
显然该定义域不关于原点对称．
因此，函数f(x)为非奇非偶函数．
温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数．上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑而致错．
五、误用公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)而致错
例5 若函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)，x∈R是偶函数，求θ的值．
[错解] ∵f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)，
∴f(0)＝sin θ＋cos θ＝sin.
∵f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)是偶函数．
∴|f(0)|＝f(x)max＝.
∴f(0)＝sin＝±.
∴sin＝±1.
∴θ＋＝kπ＋，k∈Z.即θ＝kπ＋，k∈Z.
[剖析] 因为x＋θ与x－θ是不同的角，所以函数f(x)的最大值不是，上述解答把f(x)的最大值误当作来处理．
[正解] ∵f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)是偶函数．
∴f(x)＝f(－x)对一切x∈R恒成立．
即sin(x＋θ)＋cos(x－θ)＝sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ)恒成立．
∴[sin(x＋θ)＋sin(x－θ)]＋[cos(x－θ)－cos(x＋θ)]＝0.
∴2sin xcos θ＋2sin xsin θ＝0恒成立，
即2sin x(cos θ＋sin θ)＝0恒成立．
∴cos θ＋sin θ＝0.
∵cos θ＋sin θ＝sin＝0，
∴θ＋＝kπ，即θ＝kπ－，k∈Z.
温馨点评 注意公式asin x＋bcos x＝r(a2＋b2)·sin?x＋φ?的左端是同角x.当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.,例如：函数f?x?＝sin?x＋θ?＋r(3)cos?x－θ??x∈R?的最大值不是2.
6 平面向量与三角函数的交汇题型大全
平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想．这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角函数问题，然后联想相关的三角函数知识求解．
一、平面向量平行与三角函数交汇
例1 已知a＝(2cos x＋2sin x,1)，b＝(y，cos x)，且a∥b.若f(x)是y表示成x的函数，则f(x)的最小正周期为________．
解析 由a∥b得2cos2x＋2sin xcos x－y＝0，
即y＝2cos2x＋2sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x＋1
＝2sin＋1，
所以f(x)＝2sin＋1.
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
答案 π
点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解．
二、平面向量垂直与三角函数交汇
例2 已知向量a＝(4,5cos α)，b＝(3，－4tan α)，α∈.若a⊥b，则cos＝________.
解析 因为a⊥b，
所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，
解得sin α＝.
又因为α∈，所以cos α＝.
所以cos 2α＝1－2sin2α＝，sin 2α＝2sin αcos α＝.
于是cos＝cos 2αcos－sin 2αsin
＝－.
答案 －
点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理．
三、平面向量夹角与三角函数交汇
例3 已知向量m＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n＝(2,0)的夹角为，则θ＝________.
解析 由条件得|m|＝
＝，
|n|＝2，m·n＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式，得cos ＝＝＝.
整理得2cos2 θ－cos θ－1＝0，
解得cos θ＝－或cos θ＝1(舍去)．
因为0<θ<π，所以θ＝.
答案
点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解．
四、平面向量的模与三角函数交汇
例4 若向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值为________．
解析 由条件可得|a|＝1，|b|＝2，
a·b＝cos θ－sin θ，
则|2a－b|＝
＝
＝
＝≤4.
所以|2a－b|的最大值为4.
答案 4
点评 解答平面向量的模与三角函数的交汇试题一般要用到向量的模的性质|a|2＝a2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解．
五、平面向量数量积与三角函数交汇
例5 若函数f(x)＝2sin(－2A．－32 B．－16
C．16 D．32
解析 由f(x)＝0，解得x＝4，即A(4,0)，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，
根据对称性可知，A是BC的中点，所以＋＝2.所以(＋)·＝2·＝
2||2＝2×42＝32.
答案 D
点评 平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及的向量的模、以及它们的夹角．
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．sin 53°cos 23°－cos 53°sin 23°等于( )
A. B．－
C．－ D.
答案 A
解析 原式＝sin(53°－23°)＝sin 30°＝.
2．已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 B
解析 sin(45°＋α)＝(sin α＋cos α)＝，
∴sin α＋cos α＝.
两边平方，得1＋sin 2α＝，
∴sin 2α＝－.
3．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 y＝sin－sin 2x
＝sin 2xcos－cos 2xsin－sin 2x
＝－sin 2x－cos 2x＝－sin.
y＝－sin的单调递增区间是y＝sin的单调递减区间，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
令k＝0，得x∈.故选B.
4．已知β∈，满足tan(α＋β)＝，sin β＝，则tan α等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝.所以tan β＝＝.
又因为tan(α＋β)＝，
所以tan α＝tan[(α＋β)－β]
＝
＝＝.故选B.
5．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 C
解析 在△ABC中，tan＝sin C＝sin(A＋B)
＝2sincos，
∴2cos2＝1.
∴cos(A＋B)＝0，A＋B＝.
∴△ABC为直角三角形．
6．将函数f(x)＝cos2＋sin x－的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝cos
B．g(x)＝－sin 2x
C．g(x)＝sin
D．g(x)＝sin
答案 C
解析 ∵f(x)＝cos2＋sin x－
＝×＋sin x－＝sin，
∴其图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的函数解析式为y＝sin.
再将所得图象向右平移个单位长度得到函数g(x)，
则g(x)＝sin＝sin.故选C.
7．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B.
C. D．－
答案 A
解析 ∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－＝－.
∴tan α＝＝－.
∵tan(π－β)＝，
∴tan β＝－.
∴tan(α－β)＝＝－.故选A.
8．已知tan＝，则的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 ＝
＝tan＝.
9．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)．若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B
＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin C＋cos C
＝2sin＝1.
∴sin＝.
∵0∴∴＋C＝.∴C＝.
10．已知函数f(x)＝cos 2x＋2sin xcos x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．若f(x1)＝f(x2)，则x1－x2＝kπ，k∈Z
D．f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝sin的图象
答案 A
解析 f(x)＝cos 2x＋2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x
＝sin.
当x＝时，2x＋＝，所以直线x＝是对称轴，故A项正确；
当x＝－时，2x＋＝－，所以直线x＝－是对称轴，故B项错误；
易知f＝f＝0，但－－＝－，故C项错误；
f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝·sin的图象，故D项错误．
11．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 ∵0<α<，∴<α＋<.
∵cos＝，∴sin＝.
∵－<β<0，∴<－<.
∵cos＝，
∴sin＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
12．已知不等式3sin cos ＋cos2－－m≤0对任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[，＋∞) B．(－∞，]
C．[－，＋∞) D．(－∞，－]
答案 A
解析 ∵f(x)＝3sin cos ＋cos2－－m
＝sin ＋cos －m≤0，
∴m≥sin.
∵－≤x≤，∴－≤＋≤.
∴－≤sin≤.
∴m≥.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.＝________.
答案
解析
＝cos2 －sin2＝cos ＝.
14．若方程sin x＋cos x＝a在[0,2π]上恰有两个不同的实数解，则a的取值范围为________．
答案 (－2,1)∪(1,2)
解析 a＝2＝2sin，
∵x∈[0,2π]，
∴x＋∈.
∴2sin∈[－2,2]．如图所示．
由于sin x＋cos x＝a有两个不同的实数解，
∴a∈(－2,1)∪(1,2)．
15.的值是________．
答案 1
解析 ∵＝＝tan 45°＝1，
∴＝1.
16．设α为钝角，且3sin 2α＝cos α，则sin α＝________.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用正弦的二倍角公式化简求值
答案
解析 因为α为钝角，所以sin α＞0，cos α＜0，
由3sin 2α＝cos α，可得6sin αcos α＝cos α，
所以sin α＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知tan α，tan β是x2＋3x＋4＝0的两根，－<α<，－<β<，求α＋β.
解 ∵tan α＋tan β＝－3<0，
tan αtan β＝4>0，
∴tan α<0，tan β<0.
∵－<α<，－<β<，
∴－<α<0，－<β<0.
∴－π<α＋β<0.
∴tan(α＋β)＝＝＝.
∴α＋β＝－.
18．(12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
解 (1)f＝2cos ＋sin2－4cos
＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x
＝3cos2x－4cos x－1＝32－，x∈R.
因为cos x∈[－1,1]，
所以当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝时，f(x)取得最小值－.
19．(12分)已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈.求：
(1)cos ；
(2)tan(α＋β)．
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
解 (1)∵＜α＜π，0＜β＜，
∴＜α－＜π，－＜－β＜，
∴sin＝＝，
cos＝＝，
∴cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－.
(2)∵＜＜π，
∴sin ＝＝.
∴tan ＝＝－，
∴tan(α＋β)＝＝.
20．(12分)如图，将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法，让矩形一边在扇形的半径OA上(如图①)或让矩形一边与弦AB平行(如图②)，请问哪种裁法得到的矩形的最大面积大？请求出这个最大值．
解 对于题干图①，MN＝20sin θ，ON＝20cos θ，
所以S1＝ON·MN＝400sin θcos θ＝200sin 2θ.
所以当sin 2θ＝1，即θ＝45°时，S1max＝200 cm2.
对于题干图②，MQ＝40sin(60°－α)，
MN＝20cos(60°－α)－＝sin α，
所以S2＝.
因为0°<α<120°，
所以－60°<2α－60°<180°.
所以当cos(2α－60°)＝1，即2α－60°＝0，
即α＝30°时，S2max＝ cm2.
因为>200，
所以用图②这种裁法得到的矩形的最大面积最大，为 cm2.
21．(12分)已知向量＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m＝(2,1)，n＝(0，－)，且m⊥(－n)．
(1)求向量；
(2)若cos(β－π)＝，0＜β＜π，求cos(2α－β)的值．
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
解 (1)∵＝(cos α，sin α)，
∴－n＝(cos α，sin α＋)．
∵m⊥(－n)，∴m·(－n)＝0，
∴2cos α＋sin α＋＝0.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得sin α＝－，cos α＝－，
∴＝.
(2)∵cos(β－π)＝，∴cos β＝－.
又∵0＜β＜π，∴sin β＝＝.
又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β
＝×＋×＝.
22．(12分)已知函数f(x)＝sin＋cos＋2cos2x－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，且f(α)＝，求cos 2α.
解 (1)∵f(x)＝sin 2x－cos 2x＋cos 2x＋sin 2x＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)∵f(α)＝.
∴sin＝，
∴sin＝.
∵α∈，
∴≤2α＋≤.
∴cos＝－.
∴cos 2α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝－×＋×
＝－.
§3.1 和角公式
3．1.1 两角和与差的余弦
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
知识点 两角和与差的余弦公式
思考1 如何用角α，β的正、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗？试举出两例加以说明．
答案 不正确．
例如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos ＝，
而cos α－cos β＝cos －cos ＝－，
故cos(α－β)≠cos α－cos β；
再如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos ＝，
而cos α－cos β＝cos －cos ＝，
故cos(α－β)≠cos α－cos β.
思考2 单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？
答案 A(cos α，sin α)，
B(cos β，sin β)．
与的夹角是α－β.
思考3 请根据上述条件推导两角差的余弦公式．
答案 ①·＝||||cos(α－β)＝cos(α－β)，
②·＝cos αcos β＋sin αsin β.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
思考4 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
答案 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到．
梳理 两角和与差的余弦公式
Cα＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
Cα－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
1．存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β.( √ )
提示 如α＝，β＝，cos(α－β)＝cos＝cos＝，cos α－cos β＝cos －cos ＝，满足cos(α－β)＝cos α－cos β.
2．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( × )
提示 由两角差的余弦公式可知不正确．
3．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( √ )
类型一 利用两角和与差的余弦公式求值
例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°.
解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝×＋×＝.
方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝.
(2)原式＝cos(15°＋105°)
＝cos 120°＝－.
反思与感悟 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路：
(1)把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差或和的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．
跟踪训练1 求下列各式的值．
(1)cos 105°；
(2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°.
解 (1)原式＝cos(150°－45°)
＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45°
＝－×＋×
＝.
(2)原式＝cos(46°－16°)＝cos 30°＝.
类型二 给值求值
例2 已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α－β)＝，求cos β的值．
解 因为α∈，sin α＝<，所以0<α<.
所以α－β∈.
又因为cos(α－β)＝<，
所以－<α－β<－.
所以cos α＝＝＝，
sin(α－β)＝－＝－
＝－.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
反思与感悟 三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
跟踪训练2 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos β的值．
解 ∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
又∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
类型三 给值求角
例3 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
解 由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，
即cos β＝×＋×＝.
又∵0<β<，
∴β＝.
反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤：
(1)求角的某一个三角函数值．
(2)确定角的范围．
(3)根据角的范围写出所求的角．
跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，
且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解 由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α＋β∈，α－β∈，∴2β∈.
∴2β＝π，则β＝.
1．计算cos cos ＋cos sin 的值是( )
A．0 B.
C. D.
答案 C
解析 cos cos ＋cos sin
＝cos cos ＋sin sin ＝cos
＝cos ＝.
2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b等于( )
A. B.
C. D．－
答案 A
解析 a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
3．设α∈，若sin α＝，则cos等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 B
解析 ∵α∈，sin α＝，cos α＝，
∴cos＝
＝cos α－sin α＝－＝.
4．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求cos(α－β)的值．
解 ∵(sin α＋sin β)2＝2，
(cos α＋cos β)2＝2，
以上两式展开，两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，
∴cos(α－β)＝－.
5．已知sin α＝－，sin β＝，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α＋β)的值．
解 因为sin α＝－，180°<α<270°，所以cos α＝－.
因为sin β＝，90°<β<180°，所以cos β＝－.
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝＋＝.
1．公式Cα－β与Cα＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用．要注意公式的结构特征．如：
cos αcos β±sin αsin β＝cos(α?β)．
2．要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解．
3．注意角的拆分技巧的积累，如：
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝＋等.
一、选择题
1．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为( )
A. B．－
C. D．－
答案 A
解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]
＝cos(－60°)＝.
2．已知cos＝，0＜θ＜，则cos θ等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵θ∈，
∴θ＋∈，
∴sin＝＝，
∴cos θ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
3．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵α，β∈，且α<β，
∴α－β∈，2α∈(0，π)，
∴sin(α－β)＝－，sin 2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
4．若cos(α＋β)＝，sin＝，α，β∈，则cos的值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵α，β∈，
∴α＋β∈(0，π)，β－∈.
又∵cos(α＋β)＝，sin＝，
∴sin(α＋β)＝＝，
cos＝＝，
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝，故选C.
5．计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( )
A．－ B. C. D．－
答案 B
解析 sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°
＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°
＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝，故选B.
6．化简sin(x＋y)sin(y－x)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为( )
A．sin 2y B．cos 2y
C．－cos 2y D．－sin 2y
答案 C
解析 原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y，故选C.
二、填空题
7．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos＝________.
答案
解析 由题意可得sin α＝，cos α＝，
cos＝cos cos α－sin sin α
＝×－×＝.
8.的值是________．
答案
解析 原式＝
＝
＝＝.
9．已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m，且β为第三象限角，则sin β＝________.
答案 －
解析 cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝cos[(α－β)－α]＝m，
即cos β＝m.
又∵β为第三象限角，
∴sin β＝－＝－.
10．设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cos A，2sin A)，b＝(3cos B,3sin B)．若a，b的夹角的弧度数为，则A－B＝________.
答案 ±
解析 cos ＝＝
＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)．
又－＜A－B＜，
∴A－B＝±.
三、解答题
11．已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
解 ∵α，β∈，
∴cos α＝，sin β＝.
∵sin α∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝，
∴α－β＝－.
12．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值．
解 ∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，
∴|a－b|＝
＝
＝＝，
∴2－2cos(α－β)＝，
∴cos(α－β)＝.
13．已知cos α－2cos β＝－，sin α－2sin β＝，求cos(α－β)的值．
解 由
得
两式相加，得5－4cos(α－β)＝，
所以cos(α－β)＝.
四、探究与拓展
14．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
答案 －
解析 sin α＋sin β＝－sin γ，①
cos α＋cos β＝－cos γ， ②
①2＋②2?2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1
?cos(α－β)＝－.
15．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β；
(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．
解 (1)∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，，
∴sin α＝，sin β＝.∴cos α＝.
(2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－，
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－×＋×＝.
3．1.2 两角和与差的正弦
学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数的性质．
知识点一 两角和与差的正弦
思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
答案 sin(α＋β)＝cos＝cos
＝coscos β＋sinsin β
＝sin αcos β＋cos αsin β .
思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？
答案 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
梳理 两角和与差的正弦公式
内容
两角和的正弦
两角差的正弦
简记符号
Sα＋β
Sα－β
公式形式
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
记忆口诀：“正余余正，符号相同”．
知识点二 辅助角公式
思考1 asin x＋bcos x化简的步骤有哪些？
答案 (1)提常数，提出得到
.
(2)定角度，确定一个角θ满足：
cos θ＝，sin θ＝，.一般θ为特殊角，则得到(cos θsin x＋sin θcos x)(或(sin θsin x＋cos θcos x))．
(3)化简、逆用公式得asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(或asin x＋bcos x＝cos(x－θ))．
思考2 在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？
答案 θ所在的象限由a和b的符号确定．
梳理 辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)＝cos(x－θ)．其中cos φ＝，sin φ＝，sin θ＝，cos θ＝，φ，θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．
1．任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.( √ )
提示 由两角和的正弦公式知结论正确．
2．存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )
提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.
3．存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ )
提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0.
4．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ所在的象限由a，b的符号决定，φ与点(a，b)同象限．( √ )
5．sin x＋cos x＝2sin.( × )
提示 sin x＋cos x＝2＝2sin.
类型一 给角求值
例1 (1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．
解 原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)
＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝.
(2)＝________.
答案
解析 原式＝＝
＝＝sin 30°＝.
反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦，统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．
跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．
解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
类型二 给值求值(角)
例2 已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)．
解 ∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略：
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．
跟踪训练2 已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α的值．
解 ∵α∈，β∈，
∴α－β∈(0，π)．
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∵β∈，sin β＝－，
∴cos β＝.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
又α∈，∴α＝.
类型三 辅助角公式
例3 将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式．
(1)sin x－cos x；
(2)sin＋cos.
解 (1)sin x－cos x＝2
＝2＝2sin.
(2)原式＝
＝
＝cos
＝cos＝sin.
反思与感悟 辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)可以把含sin x，cos x的一次式化为Asin(ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大小由tan φ＝确定．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数的性质都要用到该公式．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝cos 2x－sin 2x，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期与值域；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解 (1)f(x)＝－sin 2x＋cos 2x
＝－2
＝－2
＝－2sin，x∈R.
∴最小正周期T＝＝π，函数的值域为[－2,2]．
(2)由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数的单调递增区间为(k∈Z).
1．计算cos ＋sin 的值是( )
A. B．2 C．2 D.
答案 B
解析 cos ＋sin ＝2
＝2
＝2sin
＝2sin ＝2.
2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
3．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于________．
答案
解析 原式＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝.
4．化简：cos＋sin＝________.
答案 cos α
解析 cos＋sin＝sin＋
sin＝2sin cos α＝cos α.
5．化简：sincos－cos·sin.
解 原式＝sincos－sin·cos＝sin
＝sin＝sin cos －cos sin
＝×－×＝.
1．公式的推导和记忆
(1)理顺公式间的逻辑关系
Cα－βSα＋βSα－β.
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式Cα－β，Cα＋β可记为“同名相乘，符号反”；
对于公式Sα－β，Sα＋β可记为“异名相乘，符号同”．
(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式Cα－β，Cα＋β，Sα－β，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．
2．应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°，1＝2cos 60°，1＝2sin 30°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.
一、选择题
1．已知α∈，sin＝，则sin α等于( )
A. B.
C．－或 D．－
答案 B
解析 由α∈，得<α＋<，
所以cos＝－
＝－＝－.
所以sin α＝sin
＝sincos －cossin
＝×
＝，故选B.
2．sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°
＝sin 10°cos 20°＋cos 10°sin 20°
＝sin(10°＋20°)＝sin 30°＝，故选C.
3．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝(cos B＋)
＝×＝.
4．已知0<α<<β<π，又sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β等于( )
A．0 B．0或 C. D．0或－
答案 C
解析 ∵0<α<<β<π，sin α＝，cos(α＋β)＝－，∴cos α＝，sin(α＋β)＝或－.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝或0.
∵<β<π，∴sin β＝.
5．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 D
解析 ∵A＝180°－(B＋C)，
∴sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bcos C.
又∵sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝sin(B－C)＝0.
∴B＝C，故△ABC为等腰三角形．
6．已知cos＋sin α＝，则sin的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
解析 ∵cos＋sin α＝，
∴cos αcos ＋sin αsin ＋sin α＝，
∴cos α＋sin α＝，
即cos α＋sin α＝，
∴sin＝，
∴sin＝－sin＝－.
二、填空题
7．sin 15°＋sin 75°的值是________．
答案
解析 sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)
＝2sin 45°cos 30°＝.
8．已知cos＝sin，则tan α＝________.
答案 1
9．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β＝________.
答案
解析 由题意，得sin αcos β－cos αsin β＝，
∴sin(α－β)＝.∵0＜β＜α＜，
∴cos(α－β)＝ ＝.
又由cos α＝，得sin α＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
∴β＝.
10.＝________.
答案 1
解析 原式＝
＝
＝tan 45°＝1.
11．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
答案 1
解析 因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin[(x＋φ)－φ]
＝sin x，所以f(x)的最大值为1.
三、解答题
12．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，求β的值．
解 ∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝.
∵－<α－β<且sin(α－β)＝－，
∴cos(α－β)＝，
∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝×＋×＝.
又∵β为锐角，∴β＝.
13．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．
解 ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，
∴sin β＝－.又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－.
∴sin＝sin βcos＋cos βsin
＝×＋×＝－.
四、探究与拓展
14．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．若·＝－1，则sin＝________.
答案
解析 ∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴·＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)
＝cos2α－3cos α＋sin2α－3sin α
＝1－3(sin α＋cos α)
＝1－3
＝1－3sin＝－1.
∴sin＝.
15．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解 (1)由f＝Asin
＝Asin ＝＝，可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin－3sin＝，
即3－3＝.
故sin θ＝.
因为θ∈，所以cos θ＝.
所以f＝3sin
＝3sin＝3cos θ＝.
3．1.3 两角和与差的正切
学习目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．
知识点一 两角和与差的正切
思考1 怎样由两角和的正、余弦公式得到两角和的正切公式？
答案 tan(α＋β)＝＝，
分子分母同除以cos αcos β，便可得到．
思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？
答案 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．
梳理 两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
Tα＋β
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
Tα－β
tan(α－β)＝
α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)
知识点二 两角和与差的正切公式的变形
(1)Tα＋β的变形：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．
tan αtan β＝1－.
(2)Tα－β的变形：
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．
tan αtan β＝－1.
1．对于任意角α，β，总有tan(α＋β)＝ .( × )
提示 公式成立需α，β，α＋β均不等于kπ＋，k∈Z.
2．使公式tan(α±β)＝有意义，只需α，β≠kπ＋(k∈Z)即可．( × )
提示 还应使α±β≠kπ＋，k∈Z.
3．若α，β，α＋β均不等于kπ＋，k∈Z，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)恒成立．( √ )
4．α≠kπ－，且α≠kπ＋，k∈Z时，tan＝.( √ )
类型一 正切公式的正用
例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
答案 3
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝3.
(2)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝______.
答案
解析 因为tan α＝，tan β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝1.
因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，
所以α＋β＝.
反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角．
(2)利用公式Tα＋β求角的步骤：
①计算待求角的正切值．
②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
③根据角的范围及三角函数值确定角．
跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
答案 －
解析 由题意，得cos＝，∴tan＝.
∴tan＝tan＝－＝－.
类型二 正切公式的逆用
例2 (1)＝________；
(2)＝________.
答案 (1) (2)－1
解析 (1)原式＝＝tan(45°＋15°)
＝tan 60°＝.
(2)原式＝＝
＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.
反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现，1，这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示．
跟踪训练2 求下列各式的值．
(1)；
(2).
解 (1)原式＝＝
＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝＝＝.
类型三 正切公式的变形使用
例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°；
(2)若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，求α＋β的值．
解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°
＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
方法二 ∵tan(23°＋37°)＝，
∴＝，
∴－tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
(2)∵(1＋tan α)(1＋tan β)
＝1＋(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，
∴tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，
∴tan(α＋β)＝＝.
又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝60°.
反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式：
①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)或②1?tan α·tan β＝.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．
跟踪训练3 在△ABC中，A＋B≠，且tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C的值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵tan A＋tan B＋＝tan Atan B?tan(A＋B)·(1－tan Atan B)＝(tan Atan B－1)，①
∴若1－tan Atan B＝0，
则cos Acos B－sin Asin B＝0，
即cos(A＋B)＝0.
∵0∴由①得tan(A＋B)＝－，即tan C＝.
又∵01．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于( )
A. B．－ C．3 D．－3
答案 A
解析 tan(α－β)＝＝＝.
2．已知cos α＝－，且α∈，则tan等于( )
A．－ B．－7 C. D．7
答案 D
解析 由cos α＝－，且α∈，得sin α＝，
所以tan α＝＝－.
所以tan＝＝＝7.
故选D.
3．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A．1 B．2 C．－2 D．不确定
答案 B
解析 (1＋tan A)(1＋tan B)
＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.
4．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________.
答案
解析 ∵B为锐角，sin B＝，
∴cos B＝，∴tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
又∵05．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
答案
解析 由条件知，＝＝3，
则tan α＝2.
∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2.
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝
＝＝.
1．公式Tα±β的结构特征和符号规律
(1)公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．应用公式Tα±β时要注意的问题
(1)公式的适用范围
由正切函数的定义可知，α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
(2)公式的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．
特别要注意tan＝，
tan＝.
(3)公式的变形应用
只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式Tα±β的意识，就不难想到解题思路．
特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.
一、选择题
1．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝.
2．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan的值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为α＋＝(α＋β)－，
所以tan＝tan
＝
＝＝.
3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
答案 A
解析 ∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，
∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形．
4．若tan 28°tan 32°＝a，则tan 28°＋tan 32°等于( )
A.a B.(1－a)
C.(a－1) D.(a＋1)
答案 B
解析 ∵tan(28°＋32°)＝＝，
∴tan 28°＋tan 32°＝(1－a)．
5．设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan等于( )
A．－ B.
C．－3 D．3
答案 B
解析 由a·b＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.
tan＝＝＝.
6．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则B等于( )
A．30° B．45°
C．120° D．60°
答案 D
解析 由公式变形，得
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)
＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)
＝－tan C＋tan Atan Btan C.
∴tan A＋tan B＋tan C
＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C
＝tan Atan Btan C＝3.
又∵tan2B＝tan Atan C，
∴tan3B＝3，
∴tan B＝，
又∵B为三角形的内角，∴B＝60°.
二、填空题
7.＝________.
答案
解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.
8．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
答案 1
解析 ∵tan β＝＝，
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α，
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
∴＝1，
∴tan(α＋β)＝1.
9.tan 23°tan 97°－tan 23°－tan 97°的值为________．
答案
解析 ∵tan(23°＋97°)＝
＝tan 120°＝－，
∴tan 23°＋tan 97°＝－＋tan 23°tan 97°，
∴原式＝tan 23°tan 97°－(－＋tan 23°tan 97°)
＝.
10．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为________．
答案 4
解析 tan 45°＝tan(21°＋24°)＝1，
∴tan 21°＋tan 24°＝1－tan 21°tan 24°，
∴tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＋1＝2，
即(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2.
同理，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
∴原式＝2×2＝4.
三、解答题
11．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，求的值．
解 ＝
＝＝＝－.
12．已知tan＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解 (1)∵tan＝，
∴＝，∴2＋2tan α＝1－tan α，
∴tan α＝－.
(2)＝tan α－＝－－＝－.
13．已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<，求tan(α＋β)及α＋β的值．
解 ∵tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<，π<β<，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.
四、探究与拓展
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
答案
解析 ∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，
∴tan∠BAD＝＝，
tan∠CAD＝＝.
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
＝
＝
＝.
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解 由条件，得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，
∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
因此tan α＝＝7，tan β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)
＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝
＝＝－1.
又∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.
§3.2 倍角公式和半角公式
3．2.1 倍角公式
学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
知识点一 二倍角公式的推导
思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？
答案 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α
＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α
＝cos2α－sin2α；
tan 2α＝tan(α＋α)＝.
思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？
答案 cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；
或cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
梳理 二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sin αcos α， (S2α)
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1
＝1－2sin2α， (C2α)
tan 2α＝. (T2α)
知识点二 二倍角公式的变形
(1)公式的逆用
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.
(2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，
1＋cos α＝2cos2,1－cos α＝2sin2 .
降幂公式
cos2α＝，sin2α＝.
1．sin α＝2sin cos .( √ )
2．cos 4α＝cos22α－sin22α.( √ )
3．对任意角α，tan 2α＝.( × )
提示 公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝及α＝，上式均无意义.
类型一 给角求值
例1 求下列各式的值．
(1)cos 72°cos 36°；(2)－cos215°；
(3)；(4)－.
解 (1)cos 36°cos 72°＝
＝＝＝.
(2)－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°
＝－.
(3)＝2·＝2·＝－2.
(4)－＝
＝
＝
＝＝4.
反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)cos cos cos ；
(2)＋.
解 (1)原式＝
＝＝
＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝＝4.
类型二 给值求值
例2 (1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝________.
答案
解析 (sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α
＝1－sin 2α＝2?sin 2α＝1－2＝.
(2)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于( )
A. B. C．1 D.
答案 A
解析 cos2α＋2sin 2α＝＝.
把tan α＝代入，得
cos2α＋2sin 2α＝＝＝.故选A.
引申探究 在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝，求sin 2α.
解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝，
∴1＋2sin αcos α＝，即1＋sin 2α＝.
∴sin 2α＝－.
反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢．②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
跟踪训练2 已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解 (1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
类型三 利用倍角公式化简
例3 化简.
解 方法一 原式＝
＝＝
＝＝1.
方法二 原式＝
＝
＝＝＝1.
反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求：
①能求出值的应求出值．②使三角函数种数尽量少．③使三角函数式中的项数尽量少．④尽量使分母不含有三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．
(2)化简的方法：
①弦切互化，异名化同名，异角化同角．
②降幂或升幂．
跟踪训练3 化简下列各式：
(1)若＜α＜，则＝________；
(2)若α为第三象限角，则－＝________.
答案 (1)sin α－cos α (2)0
解析 (1)∵α∈，∴sin α＞cos α，
∴＝
＝
＝＝sin α－cos α.
(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，
∴－ ＝－
＝－＝0.
1.sin cos 的值等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 原式＝sin ＝.
2．sin4－cos4等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 B
解析 原式＝·
＝－＝－cos ＝－.
3.＝________.
答案 1－
解析 ＝·
＝tan 15°＝·＝1－.
4．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
答案
解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈，∴sin α≠0，∴2cos α＋1＝0，
即cos α＝－，sin α＝，tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.
5．已知sin＝，0解 原式＝
＝＝2sin.
∵sin＝cos＝，且0∴＋x∈，
∴sin＝ ＝，
∴原式＝2×＝.
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；
3α是α的二倍；是的二倍；
是的二倍；＝(n∈N＋)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝；
③1－cos 2α＝2sin2α；④sin2α＝.
一、选择题
1．已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 由α是第三象限角，且cos α＝－，
得sin α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.故选D.
2．已知x∈，cos x＝，则tan 2x等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 由cos x＝，x∈，
得sin x＝－，
所以tan x＝－，
所以tan 2x＝＝＝－，故选D.
3．已知sin 2α＝，则cos2等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为cos2＝
＝＝，
所以cos2＝＝＝.故选A.
4．如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 ∵<θ<3π，|cos θ|＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－.
又∵<<，∴sin <0.
∴sin2＝＝，sin ＝－.
5．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 由题意，得(sin α＋cos α)2＝，
∴1＋sin 2α＝，sin 2α＝－.
∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0.
又∵sin α＋cos α>0，
∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α<0，
∴cos 2α＝－＝－＝－＝－，故选A.
6．若f(x)＝2tan x－，则f的值为( )
A．4 B. C．4 D．8
答案 D
解析 ∵f(x)＝＋＝2＝＝，
∴f＝＝＝8.故选D.
二、填空题
7．2sin222.5°－1＝________.
答案 －
解析 原式＝－cos 45°＝－.
8．若tan θ＝－，则cos 2θ＝________.
答案
解析 tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝＝＝.
9．若cos＝，则sin 2α＝________.
答案 －
解析 因为sin 2α＝cos＝2cos2－1，又因为cos＝，所以sin 2α＝2×－1＝－.
10．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.
答案
解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝＝＝.
三、解答题
11．若tan α＋＝，α∈，求sin＋2cos cos2α的值．
解 由tan α＋＝，得tan α＝或tan α＝3.
又∵α∈，∴tan α＝3.
∴sin α＝，cos α＝ .
∴sin＋2cos cos2α
＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋2cos cos2α
＝×2sin αcos α＋(2cos2α－1)＋cos2α
＝sin αcos α＋2cos2α－
＝××＋2×2－
＝－＝0.
12．已知π<α<π，化简：
＋ .
解 ∵π<α<π，
∴<<π，
∴＝＝－cos ，
＝＝sin .
∴＋
＝＋
＝＋
＝－cos .
13．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解 (1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos＝2cos
＝－2sin α＝，所以sin α＝－.
又α∈，
故cos α＝＝＝.
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
所以f(2α)＝2cos
＝2cos 2αcos＋2sin 2αsin
＝2××＋2××＝.
四、探究与拓展
14．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝，则tan 2α＝________.
答案
解析 cos α＝＝，
∴x2＝9或x＝0.∴x＝±3或x＝0.
又∵α是第二象限角，∴x＝－3，
∴cos α＝－，sin α＝，
∴tan α＝－，tan 2α＝＝＝
＝＝.
15.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，P是AB的中点．该矩形有一内接Rt△PQR，P为直角顶点，点Q，R分别落在线段BC和线段AD上，记Rt△PQR的面积为S.设∠BPQ为α，求S＝f(α)及f(α)的最大值．
解 由题图知，在Rt△PBQ中，PQ＝；
在Rt△PAR中，RP＝.
因为∠RPQ为直角，
所以S＝PR·PQ＝··＝.
又因为R，Q分别在线段AD，BC上，所以≤α≤，
所以≤2α≤.
所以sin 2α∈，
所以当2α＝或时，(sin 2α)min＝，
所以Smax＝.
所以S＝f(α)＝，其最大值为.
3．2.2 半角的正弦、余弦和正切
学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
知识点 半角公式
思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用α替换2α，结果怎样？
答案 结果是cos α＝2cos2－1＝1－2sin2
＝cos2－sin2.
思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin ，cos ，tan .
答案 ∵cos2＝，
∴cos ＝± ，
同理sin ＝± ，
∴tan ＝＝± .
思考3 利用tan α＝和倍角公式又能得到tan 与sin α，cos α有怎样的关系？
答案 tan＝＝＝，
tan ＝＝＝.
梳理 正弦、余弦、正切的半角公式
sin ＝±，
cos＝± ，
tan ＝± ＝＝ .
1．若α≠kπ，k∈Z，则tan ＝＝恒成立．( √ )
2．对任意角α都有1＋sin α＝2.( √ )
类型一 应用半角公式求值
例1 若＜α＜π，且cos α＝－，则sin＝________.
答案
解析 因为cos α＝1－2sin2，
所以sin2＝＝.
又因为＜＜，所以sin＝.
反思与感悟 容易推出下列式子：
(1)sin α＝2sin cos ＝＝.
(2)cos α＝cos2－sin2＝＝.
sin α，cos α都可以表示成tan ＝t的“有理式”，将其代入式子中，从而可以对式子求值．
跟踪训练1 若tan ＋＝m，则sin θ＝________.
答案
解析 因为tan＋＝m，
即＝m，
所以＝，
即＝.
所以sin θ＝.
例2 已知sin θ＝，＜θ＜3π，求cos和tan .
解 ∵sin θ＝，且＜θ＜3π，
∴cos θ＝－＝－.
由cos θ＝2cos2－1，
得cos2＝＝.
∵＜＜，
∴cos ＝－＝－.
tan ＝＝2.
反思与感悟 (1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．
(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：
①先化简所求的式子；
②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．
跟踪训练2 已知sin α＝－，且π<α<，求sin ，cos 和tan .
解 ∵sin α＝－，π<α<，∴cos α＝－.
又∵π<α<，∴<<，
∴sin ＝＝＝，
cos ＝－＝－＝－，
tan ＝＝－4.
类型二 三角恒等式的证明
例3 求证：＝.
证明 要证原式，可以证明＝.
∵左边＝＝
＝＝tan 2θ，
右边＝＝tan 2θ，
∴左边＝右边，
∴原式得证．
反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
跟踪训练3 证明：＝tan ＋.
证明 ∵左边＝
＝＝
＝＝tan ＋＝右边，
∴原等式成立.
1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为( )
A. B．－ C．± D．±
答案 A
解析 由题意知，∈，
∴cos >0，cos ＝＝.
2．已知tan＝3，则cos θ等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 cos θ＝＝＝＝－.
3．cos的值为________．
答案
解析 ∵是第一象限角，
∴cos＝＝＝.
4．已知2π<θ<4π，且sin θ＝－，cos θ<0，则tan ＝________.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 －3
解析 由题意知θ为第三象限角，
cos θ＝－＝－，
所以tan ＝＝＝－3.
5．化简：(180°<α<360°)．
解 原式＝
＝
＝
＝.
因为180°<α<360°，所以90°<<180°，
所以cos <0，所以原式＝cos α.
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．三角恒等式的证明类型
(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．
(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法.
一、选择题
1．若cos α＝－，α是第三象限角，则等于( )
A．－ B. C．2 D．－2
答案 A
解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－，∴＝
＝＝·
＝＝＝－.
2．若tan α＝2tan ，则等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ＝＝
＝＝＝＝3.
3．已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
4．在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
答案 B
5．tan 15°等于( )
A．2－ B．－ C．－ D．2＋
答案 A
解析 tan 15°＝＝2－.
6．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A．cC．a答案 C
解析 a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴a7．已知sin θ＝，cos θ＝，则tan等于( )
A．－ B．5
C．－5或 D．－或5
答案 B
解析 由sin2θ＋cos2θ＝1，得2＋2＝1，
解得m＝0或8.当m＝0时，sin θ＜0，不符合＜θ＜π.
∴m＝0舍去．故m＝8，sin θ＝，cos θ＝－，
tan ＝＝＝5.
二、填空题
8．设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin 的值为________．
答案 －
解析 sin2＝，
∵θ∈(5π，6π)，∴∈.
∴sin ＝－＝－.
9．若tan ＝3，则sin θ－cos θ的值是________．
答案
解析 因为tan ＝3，所以sin θ＝＝＝，
cos θ＝＝＝－.
所以sin θ－cos θ＝－＝.
10．已知sin －cos ＝－，450°＜α＜540°，则tan＝________.
答案 2
解析 已知等式两边平方得sin α＝，
又450°＜α＜540°，
所以cos α＝－，所以tan ＝2.
三、解答题
11．已知tan＝3，求sin θ－2cos2的值．
解 ∵tan＝3，∴＝3，
∴tan＝，
∴sin θ－2cos2＝sin θ－cos θ－1
＝－－1
＝－－1＝－.
12．在平面直角坐标系xOy中，以x轴的正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，，求cos＋sin＋tan的值．
解 依题意，得cos α＝，cos β＝，因为α，β为锐角，
所以cos＋sin＋tan
＝＋＋
＝＋＋＝.
13．已知cos 2θ＝，<θ<π.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
解 (1)因为cos 2θ＝，所以＝，
所以＝，解得tan θ＝±.
因为<θ<π，所以tan θ＝－.
(2)因为<θ<π，tan θ＝－，
所以sin θ＝，cos θ＝－，
所以＝＝＝－4.
四、探究与拓展
14．已知<α<2π，化简 的结果为( )
A．sin B．－sin
C．cos D．－cos
答案 D
解析 ∵<α<2π，∴<<π，
∴＝＝＝
＝＝＝－cos.
故选D.
15．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
解 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α.∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α＝R(sin α＋cos α)＋R＝Rsin＋R.
∵0＜α＜，∴＜α＋＜.
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R.
此时，α＋＝，即α＝.
即当α＝时，△OAB的周长最大．
§3.3 三角函数的积化和差与和差化积
学习目标 1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用．
知识点一 积化和差公式
思考 根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整．
(1)sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β；
(2)sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β；
(3)cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos β；
(4)cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.
在上述四个等式两边同乘以，等号两端互换，就可以得出四个相应的积化和差公式．
梳理 积化和差公式
(1)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
(2)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
(3)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．
(4)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
知识点二 和差化积公式
思考 在四个积化和差公式中，如果我们令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝.由此可以得出四个相应的和差化积公式，请你试一试写出这四个公式：
(1)sin θ＋sin φ＝2sin cos ；
(2)sin θ－sin φ＝2cos sin ；
(3)cos θ＋cos φ＝2cos cos ；
(4)cos θ－cos φ＝－2sin sin .
类型一 利用积化和差与和差化积公式化简求值
例1 求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
解 sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)
＝－sin 50°＋cos 40°
＝－sin 50°＋sin 50°＝.
反思与感悟 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．
跟踪训练1 求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°.
解 原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°)
＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°
＝cos 20°＋－cos 20°＝.
类型二 三角恒等式的证明
例2 在△ABC中，求证：sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝4sin Asin Bsin C.
证明 左边＝sin 2A＋sin 2B＋sin 2C
＝2sincos＋sin 2C
＝2sin(A＋B)cos(A－B)－2sin(A＋B)cos(A＋B)
＝2sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)]
＝2sin C·(－2)sin·
sin
＝4sin Asin Bsin C＝右边，
所以原等式成立．
反思与感悟 在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系．
跟踪训练2 已知A＋B＋C＝π，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinsincos.
证明 ∵左边＝sin(B＋C)＋2sincos
＝2sincos＋2sincos
＝2cos
＝2cos ·2sincos
＝4sinsincos＝右边，
∴原等式成立.
1．sin 75°－sin 15°的值为( )
A. B.
C. D．－
答案 B
解析 sin 75°－sin 15°＝2cos 45°sin 30°＝2××＝，故选B.
2．sin 15°cos 165°的值是( )
A. B. C．－ D．－
答案 C
解析 sin 15°cos 165°＝sin 15°cos(180°－15°)
＝－sin 15°cos 15°＝－sin 30°＝－，故选C.
3．sin 105°＋sin 15°等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 sin 105°＋sin 15°＝2sincos＝2sin 60°cos 45°＝.
4．sin 37.5° cos 7.5°等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 sin 37.5 °cos 7.5°
＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝(sin 45°＋sin 30°)
＝×
＝.
故选C.
5．在△ABC中，若B＝30°，求cos Asin C的取值范围．
解 由题意，得
cos Asin C＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]
＝[sin(π－B)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)．
∵B＝30°，∴－150°＜A－C＜150°，
∴－1≤sin(A－C)≤1，∴－≤－sin(A－C)≤.
∴cos Asin C的取值范围是.
1．本节学习了积化和差公式、和差化积公式，一定要清楚这些公式的形式特征，理解公式间的关系．
2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系.
一、选择题
1．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为( )
A．0 B. C. D．1
答案 A
解析 原式＝2sin 30°cos 10°－sin 80°
＝cos 10°－sin 80°＝sin 80°－sin 80°＝0.
2．化简的结果为( )
A．tan α B．tan 2α C. D.
答案 B
解析 ＝
＝＝tan 2α.
3．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是( )
A. B.
C. D. [0，1]
答案 C
解析 cos2A＋cos2B＝＋＝1＋(cos 2A＋cos 2B)
＝1＋cos·cos
＝1＋cos(A＋B)·cos(A－B)
＝1＋cos·cos(A－B)
＝1－cos(A－B)．
∵cos(A－B)∈[－1,1]，
∴cos2A＋cos2B∈.
4．求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°等于( )
A. B.
C. D．1
答案 C
解析 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°
＝2sin 30°cos 10°＋2cos 70°sin (－10°)
＝cos 10°－2[cos(60°＋10°)]sin 10°
＝cos 10°－2sin 10°
＝cos 10°－sin 20°＋(1－cos 20°)
＝－＋cos 10°
＝－(sin 30°sin 20°＋cos 30°cos 20°)＋cos 10°
＝－cos(30°－20°)＋cos 10°
＝－cos 10°＋cos 10°＝.
5．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)
＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β，
∴cos2α－sin2β＝.
6.等于( )
A. B. C．2 D．4
答案 C
解析 ＝＝＝2.
二、填空题
7．cos275°＋cos215°＋cos 75°·cos 15°的值是________．
答案
解析 原式＝sin215°＋cos215°＋cos 75°·cos 15°
＝1＋(cos 90°＋cos 60°)＝.
8.＋＝________.
答案
解析 ＋
＝＋
＝
＝
＝
＝
＝2cos 30°＝.
9．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)＝________.
答案 －
解析 cos α＋cos β＝2cos cos
＝2cos ·cos ＝cos ＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
10．函数y＝coscos的最大值是______．
答案
解析 y＝＝＝－cos 2x，
因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝.
三、解答题
11．求下列各式的值．
(1)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°；
(2)sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°.
解 (1)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°
＝2cos 120°cos 26°＋2×(cos 120°＋cos 26°)
＝2××cos 26°＋＋cos 26°
＝－cos 26°＋＋cos 26°＝－.
(2)原式＝＋＋sin 70°－sin 30°
＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋sin 70°－
＝＋(－2sin 70sin 30°)＋sin 70°
＝－sin 70°＋sin 70°＝.
12．化简下列各式．
(1)；
(2).
解 (1)原式＝
＝＝
＝tan .
(2)原式＝
＝
＝＝.
13．已知f(x)＝－＋，x∈(0，π)．
(1)将f(x)表示成cos x的多项式；
(2)求f(x)的最小值．
解 (1)f(x)＝＝
＝2cos cos ＝cos 2x＋cos x
＝2cos2x＋cos x－1.
(2)∵f(x)＝22－且－1∴当cos x＝－时，f(x)取最小值－.
四、探究与拓展
14．函数y＝sincos x的最大值为( )
A. B. C．1 D.
答案 B
解析 y＝sincos x
＝
＝
＝sin－.
∴ymax＝－＝.
15．已知△ABC的三个内角A，B，C满足：(1)A＋C＝2B；
(2)＋＝－.求cos 的值．
解 ∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°.
∵－＝－2，
∴＋＝－2.
∴cos A＋cos C＝－2cos Acos C.
由和差化积与积化和差公式，得
2coscos＝－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，
∴cos＝－.
化简，得4cos2＋2cos－3＝0.
∴＝0.
∵2cos＋3≠0，
∴2cos －＝0，
∴cos ＝.
章末复习
学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.熟练应用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式.3.能对三角函数式进行化简、求值和证明，体会重要的数学思想方法．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
tan(α＋β)＝.
tan(α－β)＝.
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3．升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α.
1－cos 2α＝2sin2α.
4．降幂公式
sin xcos x＝，cos2x＝.
sin2x＝.
5．和差角正切公式变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
6．辅助角公式
y＝asin ωx＋bcos ωx＝sin(ωx＋θ)．
1．两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )
2．对任意角α，sin 2α＝2sin α均不成立．( × )
提示 如α＝kπ，k∈Z，则sin 2α＝2sin α＝0.
3．y＝sin x＋cos x的最大值为2.( × )
提示 ∵y＝sin x＋cos x＝sin，∴函数最大值为.
4．存在角α，β，使等式cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立．( √ )
提示 如α＝－，β＝，则cos(α＋β)＝cos＝，cos α＋cos β＝cos＋cos ＝cos ＝，两式相等.
类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1 已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值．
解 ∵α是锐角，cos α＝，∴sin α＝，tan α＝.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝.
∵β是锐角，∴cos β＝.
反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等．
跟踪训练1 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α－β)的值；
(2)求α＋β的值．
解 (1)由题可知，cos α＝，cos β＝.
由于α，β为锐角，则sin α＝，sin β＝.
故tan α＝，tan β＝.
则tan(α－β)＝＝＝－.
(2)因为tan(α＋β)＝＝1，
sin α＝<，sin β＝<，
即0<α＋β<，故α＋β＝.
类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用
例2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值．
解 设sin x＋cos x＝t，
则t＝sin x＋cos x＝
＝sin，
∴t∈[－，]．
∴sin x·cos x＝＝.
∵f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，
∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．
当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1，
此时，由sin＝－，
解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.
当t＝，即sin x＋cos x＝时，f(x)max＝＋，
此时，由sin＝，即sin＝1，
解得x＝2kπ＋，k∈Z.
综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值＋.
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．
跟踪训练2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域．
解 令sin x－cos x＝t，
则由t＝sin知，t∈[－，]．
又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2，
∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2
＝－2＋，t∈[－，]．
当t＝时，ymax＝；当t＝－时，ymin＝－－1.
∴函数的值域为.
类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
例3 已知函数f(x)＝2sin(x－3π)sin＋2sin2－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
解 (1)因为f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为π.
又因为x∈，
所以2x＋∈.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知，f(x0)＝2sin.
又因为f(x0)＝，
所以sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈，
所以cos＝－＝－，
cos 2x0＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝.
反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
跟踪训练3 已知cos＝，解 ＝
＝
＝
＝sin 2x·tan.
∵又∵cos＝，
∴sin＝－.
∴tan＝－.
∴cos x＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝×＝－.
∴sin x＝sin
＝sincos －sin cos＝－.
∴sin 2x＝，∴＝－.
类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用
例4 已知sin x＋2cos y＝2，求2sin x＋cos y的取值范围．
解 设2sin x＋cos y＝a.
由解得
从而解得1≤a≤.
故2sin x＋cos y的取值范围是.
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决．
跟踪训练4 已知关于θ的方程cos θ＋sin θ＋a＝0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值．
解 设x＝cos θ，y＝sin θ，则有
消去y，并整理得4x2＋2ax＋a2－1＝0.①
由已知得cos α，cos β是①的两个实数解，
由根与系数的关系，得
∴sin αsin β＝(cos α＋a)(cos β＋a)
＝3cos αcos β＋(cos α＋cos β)a＋a2
＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝.
1．若＝－，则sin α＋cos α的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 由题意得＝－(sin α＋cos α)
＝－，所以sin α＋cos α＝.故选C.
2．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan 等于( )
A．－5 B．－ C. D．5
答案 A
解析 ∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)
＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－，
又∵α是第三象限角，∴cos α＝－.
∴tan ＝＝＝－5.
3．已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝________.
答案 －
解析 由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝，
得2sin(α－β)＝－，即sin(α－β)＝－.
4．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
答案
解析 ∵α为锐角且cos＝，
∴sin＝.
sin＝2sincos＝，
cos＝2cos2－1＝，
∴sin＝sin
＝＝.
5．已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
解 (1)由已知，有
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确、快速化到最简，再进一步研究函数的性质.
一、选择题
1．cos 2 017°cos 1 583°－sin 2 017°sin 1 583°等于( )
A．0 B.
C. D．1
答案 D
解析 原式＝cos(2 017°＋1 583°)＝cos 3 600°＝1.
2．函数y＝sin 2x＋sin2x(x∈R)的值域是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 y＝sin 2x＋
＝＋
＝sin＋.
∵x∈R，∴2x－∈R.
∴sin∈[－1,1]．
∴函数的值域是.
3．函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
答案 A
解析 ∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴最小正周期T＝π，振幅A＝1.
4．已知tan＝－，且＜α＜π，则等于( )
A. B．－
C．－ D．－
答案 B
解析 ＝＝2cos α.
∵tan＝＝－，∴tan α＝－3.
∵α∈，∴cos α＝－，
则＝2cos α
＝2×＝－.
5．已知向量a＝(sin α，1)，b＝(2,2cos α－).若a⊥b，则sin等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案 D
解析 ∵a⊥b，
∴a·b＝2sin α＋2cos α－＝2sin－＝0，
∴sin＝.
∵<α<π，∴<α＋<，
∴cos＝－.
∴sin＝－sin＝－cos(α＋)＝.
6．若＝3，则cos2θ＋sin 2θ的值是( )
A．－ B．－
C. D.
答案 D
解析 由题意知，tan θ＝，
则cos2θ＋sin 2θ＝cos2θ＋sin θcos θ＝＝＝.
7．函数y＝sin xcos x＋cos2x－的图象的一个对称中心为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 y＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－
＝sin－.令2x＋＝kπ(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)．当k＝2时，x＝.
∴函数图象的一个对称中心为.
二、填空题
8．若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.
答案 －2
解析 由题意知，tan α＝－2，
sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos2α－2sin2α
＝
＝＝＝－2.
9．函数y＝(acos x＋bsin x)cos x有最大值2，最小值－1，则实数a＝________，b＝________.
答案 1 ±2
解析 y＝acos2x＋bsin xcos x
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin(2x＋φ)＋.
由已知得，＋＝2，－＋＝－1，
∴a＝1，b＝±2.
10．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)＝________.
答案 4
解析 由已知，得4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，
即＝4.
∴tan(α－β)＝4.
三、解答题
11．已知函数f(x)＝sin2x－2sin·sin.
(1)若tan α＝2，求f(α)；
(2)若x∈，求f(x)的取值范围．
解 (1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋cos 2x
＝＋sin 2x＋cos 2x
＝(sin 2x＋cos 2x)＋.
由tan α＝2，得sin 2α＝
＝＝，
cos 2α＝
＝＝－，
所以f(α)＝×＋＝.
(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋
＝sin＋，
由x∈，得2x＋∈，
所以sin∈.
从而f(x)＝sin＋∈.
所以f(x)的取值范围为.
12．已知△ABC的内角B满足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若＝a，＝b，且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b| ＝5，θ为a，b的夹角．求sin(B＋θ)．
解 易知02(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，
4cos2B－8cos B＋3＝0，
解得cos B＝，sin B＝.
又cos θ＝＝－，sin θ＝，
∴sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝.
13．已知函数f(x)＝2cos x·(sin x－cos x)，x∈R.
(1)求函数f(x)的图象的对称中心；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值．
解 (1)f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1.
令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
因此，函数f(x)的图象的对称中心为
，k∈Z.
(2)因为f(x)＝sin－1在区间上是增函数，在区间上是减函数，
又f＝－1，f＝－1，
f＝sin－1，
＝－cos－1＝－2，
故函数f(x)在区间上的最大值为－1，最小值为－2.
四、探究与拓展
14．设向量a＝(cos 55°，sin 55°)，b＝(cos 25°，sin 25°)．若t为实数，则|a－tb|的最小值是( )
A. B．1 C. D．1＋
答案 A
解析 |a－tb|＝
＝
＝
＝
＝
＝＝ ，
∴的最小值为.
15．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx＋1(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为6π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋π)＝，求cos(α＋β)的值．
解 (1)易得f(x)＝sin ωx－cos ωx＋1
＝2sin＋1，
∵T＝＝6π，∴ω＝.
(2)由(1)得f(x)＝2sin＋1，
∵f＝2sin＋1
＝2sin＋1＝－2cos α＋1＝，
∴cos α＝.
又f(3β＋π)＝2sin＋1
＝2sin β＋1＝，
∴sin β＝.
∵α，β∈，
∴sin α＝＝，cos β＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－.
