第二章平面向量学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测

滚动训练三(§2.1～§2.2)
一、选择题
1．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的是(　　)
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
考点　相等向量与共线向量
题点　各类向量特征的综合判定
答案　B
解析　a为任一非零向量，故|a|>0.
2．平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
考点　向量加减法的综合运算及应用
题点　几何图形中向量的加、减法运算
答案　B
解析　因为＋＝＋，
所以－＝－，即＝，
所以AB∥CD，且AB＝CD，
故四边形ABCD是平行四边形．
3．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A. B. C. D.
考点　平面向量的坐标运算的应用
题点　利用平面向量的坐标运算求参数
答案　C
解析　如图所示，
因为∠AOC＝45°，所以设C(x，－x)，
则＝(x，－x)．
又因为A(－3,0)，B(0,2)．
所以λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)．
所以解得λ＝.
4．化简的结果是(　　)
A．2a－b B．2b－a C．b－a D．a－b
考点　向量的线性运算及应用
题点　向量的线性运算
答案　B
解析　原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a.
5.如图所示，在△ABC中，BO为边AC上的中线，＝2，设∥，若＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A. B. C. D．2
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数
答案　C
解析　如图，延长AG交BC于点F，
∵BO为边AC上的中线，
＝2，
∴AF为边BC上的中线，
∴＝＋.
又∵＝－＝＋(λ－1)，且∥.
∴(λ－1)∶＝∶，∴＝λ－1，∴λ＝.
6．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　)
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
考点　向量共线定理及其应用
题点　利用共线定理求参数
答案　A
解析　因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，
所以ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，
所以解得m＝－1或m＝3.
7．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)
A. B. C．1 D．3
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数
答案　B
解析　如图，
因为＝，
所以＝，
＝m＋＝m＋，
因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝，
故选B.
二、填空题
8．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.
答案　或－
解析　因为＝(－1,1)＝＝(sin α，cos β)，
所以sin α＝－且cos β＝，
∵α，β∈，所以α＝－，β＝或－，
所以α＋β＝或－.
9．若向量a与b的夹角为45°，则2a与－3b的夹角是________．
考点　向量数乘的定义及运算
题点　向量数乘的定义及几何意义
答案　135°
解析　如图所示，可知2a与－3b的夹角是135°.
10．在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝______，|＋|＝________.
考点　向量加减法的综合运算及应用
题点　利用向量的加、减法运算求向量的模
答案　1　
解析　易知|＋|＝||＝1，
以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，
则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝.
11．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论：
①＝－a－b；②＝a＋b；
③＝－a＋b；④＝a.
其中正确的结论的序号为________．
考点　平面向量基本定理
题点　用基底表示向量
答案　①②③
解析　如图，
＝＋＝－b＋＝－b－a，①正确；
＝＋＝a＋b，②正确；
＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，③正确；
④＝＝－a，④不正确．
三、解答题
12．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，求k的值．
考点　向量共线定理及其应用
题点　利用向量共线定理求参数
解　因为A，B，D三点共线，
故存在一个实数λ，使得＝λ，
又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，
所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
所以解得k＝－.
13．已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b为基底表示，，.
考点　平面向量基本定理
题点　用基底表示向量
解　连接FD，
∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，
∴DC∥FB，DC＝FB.
∴四边形DCBF为平行四边形．
依题意，＝＝＝b，
＝＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－－
＝－－×b＝b－a.
四、探究与拓展
14．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，且3a＋4b＋5c＝0，则a∶b∶c＝________.
考点　向量共线定理及其应用
题点　向量共线定理在平面几何中的应用
答案　20∶15∶12
解析　∵3a＋4b＋5c＝0，
∴3a(＋)＋4b＋5c＝0，
∴(3a－5c)＋(3a－4b)＝0.
在△ABC中，∵，不共线，
∴解得
∴a∶b∶c＝a∶a∶a＝20∶15∶12.
15.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
考点　向量共线定理及其应用
题点　三点共线定理的应用
答案　(－1,0)
解析　由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ>1)，
则＝＋λ＝λ＋(1－λ).
又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)，
则＝－－(λ>1，μ>1)，
所以m＝－，n＝－，
则m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．
滚动训练四(§2.3～§2.4)
一、选择题
1．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b的夹角的余弦值是(　　)
A．－ B. C. D．－
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的夹角
答案　A
解析　由|a|＝|a＋2b|得a2＝a2＋4b2＋4a·b，即a·b＝－b2，所以cos θ＝＝＝－.
2．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于(　　)
A. B.
C. D．(1,0)
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　已知数量积求向量的坐标
答案　B
解析　设b＝(x，y)，其中y≠0，
则a·b＝x＋y＝.
由解得
即b＝.故选B.
3．(2017·辽宁葫芦岛高一期末)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为(　　)
A．－ B．0 C．3 D.
考点　平面向量夹角的坐标表示与应用
题点　已知坐标形式下的向量夹角求参数
答案　C
解析　∵2a－3b＝(2k－3，－6)．
又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，
即(2k－3)×2＋(－6)×1＝0，解得k＝3.
4.如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则·等于(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
考点　平面向量数量积的概念与几何意义
题点　平面向量数量积的概念与几何意义
答案　B
解析　取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，
可知OD⊥AB，OE⊥AC.
∵M是边BC的中点，∴＝(＋)，
∴·＝(＋)·
＝·＋·
＝·＋·.
由数量积的定义可得·＝||||cos〈，〉，
而||·cos〈，〉＝||，
故·＝||2＝4，
同理可得·＝||2＝1，
故·＋·＝5，
故选B.
5．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b等于(　　)
A．(4,0) B．(0,4)
C．(4，－8) D．(－4,8)
考点　向量共线的坐标表示的应用
题点　已知向量共线求向量的坐标
答案　C
解析　由a∥b知4＋2m＝0，所以m＝－2，
2a－b＝(2，－4)－(m,4)＝(2－m，－8)＝(4，－8)．
6．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
考点　平面向量数量积的应用
题点　数量积在三角形中的应用
答案　C
解析　如图，D为BC的中点，因为＋＋＝0，
所以＋＝－，
依向量加法的平行四边形法则，
知||＝2||，
故点N为△ABC的重心，因为·＝·，
所以(－)·＝·＝0，
同理·＝0，·＝0，
所以点P为△ABC的垂心．
由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心．
7．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(x，y)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(12,12)，6秒后点P的坐标为(0,18)，则(x＋y)2 017等于(　　)
A．－1 B．1 C．0 D．2 012
考点　平面向量的坐标运算的应用
题点　利用平面向量的坐标运算求参数
答案　A
解析　由题意，(12,12)＋6(x，y)＝(0,18)，
即(12＋6x，12＋6y)＝(0,18)，解得
故(x＋y)2 017＝(－2＋1)2 017＝－1.
二、填空题
8．已知||＝||＝1，||＝，则·＝________，|＋|＝________.
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的模
答案　－　1
解析　由||＝||＝1，||＝，可知以向量，为邻边的平行四边形是菱形，，的夹角为，
∴·＝cos＝－，|＋|＝＝1.
9．(2017·山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
考点　平面向量数量积的应用
题点　已知向量夹角求参数
答案　
解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝＝
＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝＝＝，
解得λ＝.
10．已知向量＝(1,7)，＝(5,1)(O为坐标原点)，设M为直线y＝x上的一点，那么·的最小值是________________．
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　坐标形式下的数量积运算
答案　－8
解析　设M，
则＝，＝，
·＝(1－x)(5－x)＋
＝(x－4)2－8.
所以当x＝4时，·取得最小值－8.
11．关于平面向量有下列命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；
②已知a＝(k,3)，b＝(－2,6)，若a∥b，则k＝－1；
③·＝0.
其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)
考点　平面向量数量积的运算性质与法则
题点　向量的运算性质与法则
答案　②③
解析　①中，由a·b＝a·c，得a·(b－c)＝0，
当a＝0，b≠c时也成立，故①错；
②中，若a∥b，则有6×k＝－2×3，得k＝－1，故②正确；
③中，·＝2－2＝－＝0，故③正确．
三、解答题
12．设x，y∈R，向量a＝(x,2)，b＝(4，y)，c＝(1，－2)，且a⊥c，b∥c.
(1)求x，y的值；
(2)求|a＋b|的值．
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
解　(1)由a⊥c及b∥c，得x－4＝0且4×(－2)－y＝0，
即x＝4，y＝－8.
(2)∵a＝(4,2)，b＝(4，－8)，
∴a＋b＝(4,2)＋(4，－8)＝(8，－6)．
∴|a＋b|＝＝10.
13．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
考点　平面向量数量积的应用
题点　向量模与夹角的综合应用
解　(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
四、探究与拓展
14．已知向量a＝(1，)，b＝(0，t2＋1)，则当t∈[－，2]时，的取值范围是________．
考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点　平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用
答案　[1，]
解析　由题意，＝(0,1)，
根据向量的差的几何意义，表示向量t的终点到向量a的终点的距离d，所以d＝，
所以当t＝时，该距离取得最小值1，
当t＝－时，该距离取得最大值，
即的取值范围[1，]．
15．(2017·济宁一模)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(cos α，sin α)(α∈R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，求(m－3)2＋n2的最大值．
考点　平面几何中的向量方法
题点　利用向量解决平面几何问题
解　由ma＋nb＝c，可得
故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，
故点M(m，n)在单位圆上，(m－3)2＋n2的几何意义为点P(3,0)到点M的距离的平方，则点P(3,0)到点M的距离的最大值为OP＋1＝3＋1＝4，其中O为坐标原点，故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16.

1　向量线性运算的应用
平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用．在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面．
一、化简
例1 化简下列各式：
(1)(2－)－(－2)；
(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]．
解　(1)(2－)－(－2)
＝2－－＋2＝2＋＋＋2
＝2(＋)＋(＋)＝2＋＝.
(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]
＝(6a＋24b－24a＋12b)＝(－18a＋36b)
＝－a＋b.
点评　向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用．数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量．
二、求参数
例2 如图，已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
解析　如图，
因为＋＋＝0，
即＝－(＋)，
即＝＋.
延长AM，交BC于点D，
所以点D是BC边的中点．所以＝2.
所以＝.所以＋＝2＝3.
所以m＝3.
答案　3
点评　求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值．
三、表示向量
例3 如图所示，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N.设＝a，＝b，用向量a，b表示，，，，.
解　因为DE∥BC，＝，
所以＝＝b，＝－＝b－a.
由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)．
又M是△ABC底边BC的中点，DE∥BC，
所以＝＝(b－a)，
＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)．
点评　用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量．
2　走出平面向量的误区
平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础，试题的特点是概念较多，应用也多，不少同学由于概念、性质掌握不清，在解题时经常出现错误，本文将常见的错误进行简单的总结，希望帮助同学们走出平面向量的误区．
一、理解失误
例1 已知e1，e2是平面α内的一组基底，那么下列命题中正确的有________．(填序号)
①e1，e2两个向量可以共线，也可以是零向量；
②λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
③对于平面α内的任意向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数对．
错解　①②③
正解　由平面向量的基本定理知，只有不共线的两个向量才能作为平面向量的一组基底，所以①错误；任一平面向量都可以用一组基底线性表示，且基底确定，其表示是唯一的，所以②正确，③错误．故正确答案为②.
答案　②
点评　对平面向量基本定理的学习要把握以下几点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内的任意向量a都可用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底．
二、考虑不全
例2 与向量d＝(12,5)平行的单位向量为(　　)
A.
B.
C.或
D.
错解　由题意得|d|＝13，则与d＝(12,5)平行的单位向量为，故选A.
正解　与d＝(12,5)平行的单位向量为或.故选C.
答案　C
点评　与d平行的单位向量有同向和反向两种情况，错解忽略了反向的情况．
三、概念混淆
例3 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝3，＝2，试求点M，N和向量的坐标．
错解　A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)，
＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，
＝3＝(3,24)，＝2＝(12,6)．
所以点M的坐标为(3,24)，点N的坐标为(12,6)，
＝(9，－18)．
正解　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
所以＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)，
＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，
＝3＝(3,24)，＝2＝(12,6)．
又C(－3，－4)，
所以点M的坐标为(0,20)，点N的坐标为(9,2)．
所以＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
点评　向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点处时，向量的坐标才与终点坐标相等.
3　平面向量的基本定理应用三技巧
技巧一　构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e1，e2为基底，且a＝x1e1＋y1e2＝x2e1＋y2e2，则用”来求解．
例1　在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使||∶||＝1∶3，||∶||＝1∶4.设线段AN与BM交于点P，记＝a，＝b，用a，b表示向量.
解　∵B，P，M共线，
∴存在常数s，使＝s，则＝＋.
即＝＋＝a＋b.①
同理，存在常数t，使＝t，
则＝a＋b.②
∵a，b不共线，∴由①②得
解得∴＝a＋b.
点评　这里选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解．
技巧二　构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e1，e2为基底，a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0”来求解．
例2　如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
(1)解　设＝ma＋nb，则
＝(m－1)a＋nb，＝－a＋b.
∵点A，M，D共线，
∴与共线．
∴(m－1)－(－1)×n＝0.
∴m＋2n＝1.①
而＝－＝a＋nb，＝－a＋b.
∵C，M，B共线，
∴与共线，
∴－n－＝0.
∴4m＋n＝1.②
联立①②可得m＝，n＝.
∴＝a＋b.
(2)证明　＝a＋b，＝－pa＋qb.
∵与共线，
∴q－×(－p)＝0.
∴q－pq＝－p，即＋＝1.
点评　这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解．
技巧三　将题目中的已知条件转化成λ1e1＋λ2e2＝0的形式(e1，e2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解．
例3　如图，已知P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0.设点Q为CP的延长线与AB的交点，令＝p，试用向量p表示.
解　∵＝＋，＝＋，
∴(＋)＋2(＋)＋3＝0.
∴＋3＋2＋3＝0.
又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，
∴＝λ，＝μ.
∴λ＋3＋2＋3μ＝0.
∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.
而，为不共线向量，
∴∴λ＝－2，μ＝－1.
∴＝－＝.
故＝＋＝2＝2p.
点评　这里选取，两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成λ1e1＋λ2e2＝0的形式来求解.
4　直线的方向向量和法向量的应用
直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具．由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析．
一、直线的方向向量
1．定义
设P1，P2是直线l：Ax＋By＋C＝0上的不同两点，那么向量以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量．若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则的坐标为(x2－x1，y2－y1)；特别当直线l与x轴不垂直时，即x2－x1≠0，直线的斜率k存在时，那么(1，k)是它的一个方向向量；当直线l与x轴平行时，方向向量可为(1,0)；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(－B，A)．
2．应用
(1)求直线方程
例1　已知三角形的三顶点坐标分别为A(2，－3)，B(－7,9)，C(18,9)，求AB边上的中线、高线方程以及∠C的内角平分线方程．
解　①求中线方程
由于＝(－25,0)，＝(－16，－12)，那么AB边上的中线CD的方向向量为＋＝(－41，－12)，
也就是，因而直线CD的斜率为.
那么直线CD的方程为y－9＝(x－18)，
整理得12x－41y＋153＝0.
②求高线方程由于kAB＝＝－，
因而直线AB的方向向量为.
而AB边上的高CE⊥AB，
则直线CE的方向向量为.
那么高线CE的方程为y－9＝(x－18)，
整理得3x－4y－18＝0.
③求∠C的内角平分线方程
＝(－1,0)，＝，
则∠C的内角平分线的方向向量为
＋＝，也就是.
因而内角平分线CF的方程为y－9＝(x－18)，
整理得x－3y＋9＝0.
点评　一般地，经过点(x0，y0)，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程是A(x－x0)＋B(y－y0)＝0；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程是B(x－x0)－A(y－y0)＝0.
(2)求直线夹角
例2　已知l1：x＋3y－15＝0与l2：y－3mx＋6＝0的夹角为，求m的值．
解　直线l1的方向向量为v1＝(－3,1)，
直线l2的方向向量为v2＝(1,3m)．
∵l1与l2的夹角为，
∴|cos〈v1，v2〉|＝＝＝.
化简得18m2＋9m－2＝0，解得m＝－或m＝.
点评　一般地，设直线l1：y＝k1x＋b1，其方向向量为v1＝(1，k1)，直线l2：y＝k2x＋b2，其方向向量为v2＝(1，k2)，当1＋k1k2＝0时，两直线的夹角为90°；当1＋k1k2≠0时，设夹角为θ，则cos θ＝＝；若设直线l1：a1x＋b1y＋C1＝0，其方向向量为(－b1，a1)，直线l2：a2x＋b2y＋C2＝0，其方向向量为(－b2，a2)，那么cos θ＝ .
二、直线的法向量
1．定义
直线Ax＋By＋C＝0的法向量：如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量．因此若直线的方向向量为v，则n·v＝0，从而对于直线Ax＋By＋C＝0而言，其方向向量为v＝(B，－A)，则由于n·v＝0，于是可取n＝(A，B)．
2．应用
(1)判断直线的位置关系
例3　已知直线l1：ax－y＋2a＝0与直线l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0.
(1)若l1⊥l2，求实数a的值；
(2)若l1∥l2，求实数a的值．
解　直线l1，l2的法向量分别为n1＝(a，－1)，n2＝(2a－1，a)，
(1)若l1⊥l2，则n1·n2＝a(2a－1)＋(－1)×a＝0，解得a＝0或a＝1.∴当a＝0或1时，l1⊥l2.
(2)若l1∥l2，则n1∥n2，∴a2－(2a－1)×(－1)＝0，解得a＝－1±，且＝－≠2.∴当a＝－1±时，l1∥l2.
点评　一般地，设直线l1：a1x＋b1y＋C1＝0，l2：a2x＋b2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝(a1，b1)，n2＝(a2，b2)，当n1⊥n2，即a1a2＋b1b2＝0时，l1⊥l2，反之亦然；当n1∥n2，即a1b2－a2b1＝0时，l1∥l2或l1与l2重合．
(2)求点到直线的距离
例4　已知M(x0，y0)为直线l：Ax＋By＋C＝0外一点．
求证：点M(x0，y0)到直线l的距离d＝.
证明　设P(x1，y1)是直线Ax＋By＋C＝0上任一点，
n是直线l的一个法向量，不妨取n＝(A，B)，则M(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d等于向量在n方向上正射影的数量，如图所示，
d＝||·|cos〈，n〉|
＝
＝
＝
＝.
∵点P(x1，y1)在直线l上，
∴Ax1＋By1＋C＝0.
∴Ax1＋By1＝－C.
∴d＝.
点评　同理应用直线的法向量可以证明平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与直线l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0且C1≠C2)的距离为d＝ .
证明过程如下：
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别为直线l1：Ax＋By＋C1＝0，直线l2：Ax＋By＋C2＝0上任意两点，取直线l1，l2的一个法向量n＝(A，B)，则＝(x2－x1，y2－y1)在向量n上的正射影的数量，就是两平行线l1，l2的距离．
d＝|||cos〈，n〉|＝
＝＝
＝＝ .
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知O，A，M，B为平面上的四点，且＝λ＋(1－λ)·，λ∈(0,1)，则(　　)
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O，A，M，B四点一定共线
答案　A
解析　＝－＝λ＋(1－λ)－
＝λ－λ＝λ，这表明点M在线段AB上．
2．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
答案　B
解析　由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.
3．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由已知，得＝(3，－4)，所以||＝5，
因此与同方向的单位向量是＝，
故选A.
4．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为(　　)
A．－2 B．2 C．－ D.
答案　C
解析　设a，b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cos θ＝－6，∴cos θ＝－1，
∴θ＝π，即a，b共线且反向，∴a＝－b，
∴x1＝－x2，y1＝－y2，∴＝－.
5．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　C
解析　∵2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，
故选C.
6．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
答案　B
解析　当向量a和b方向不相同时，
|a－b|>||a|－|b||，B选项不成立．
7．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　D
解析　过C作CE⊥x轴于点E.
由∠AOC＝，得|OE|＝|CE|＝2，
所以＝＋＝λ＋，即＝λ，
所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
8．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰非直角三角形 B．等边三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案　C
解析　∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，
∴＝－＝(－2，－1)．
∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||，
∴△ABC是直角非等腰三角形．
9．在△ABC中，P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M.若＝t，则t的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为A，M，Q三点共线，所以可设＝λ.
又因为＝t＝t
＝t＋t，
所以＝－＝＋t，
＝－＝－.
将它们代入＝λ，
得＋t＝λ－λ.
由于，不共线，从而
解得故选D.
10．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D．π
答案　A
解析　由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，
即3a2－a·b－2b2＝0.∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，
即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，
∴|b|2－|b|2cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
11．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为(　　)
A．30° B．60° C．45° D．75°
答案　A
解析　∵a∥b，∴sin2α＝×＝，
∴sin α＝±.又∵α为锐角，∴α＝30°.
12．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)
A.－1 B．1 C. D．2
答案　B
解析　由已知可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，
由|c|＝1，(a－c)·(b－c)≤0，
得?x＋y≥1.
所以|a＋b－c|＝＝≤1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
答案　
解析　∵λa＋b与a＋2b平行，
∴λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb，
又a，b不平行，∴∴
14．如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为________．
答案　　(5,4)
解析　F1＝(2,3)，F2＝(3,1)，
所以合力F＝F1＋F2＝(2,3)＋(3,1)＝(5,4)，
所以合力的大小为＝(N)．
15.如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．
答案　－
解析　因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，
设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)，
所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)
＝22－.
所以当x＝时，(＋)·取到最小值－.
16．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为________．
考点　平面几何中的向量方法
题点　利用向量解决平面几何问题
答案　2
解析　设∠BAC＝θ，AD＝x(x>0)，
则·＝2x·3·cos θ＝5，
∴x·cos θ＝.
作DE⊥AB于点E，由DE2＋EB2＝BD2，
得(x·sin θ)2＋(3－x·cos θ)2＝5，
解得x·sin θ＝.
∴x2·cos2θ＋x2·sin2θ＝x2＝＋＝1，
∴x＝1，∴AC＝2x＝2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标；
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
解　(1)设b＝(x，y)，
因为a∥b，所以y＝2x.①
又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20.②
由①②联立，解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，
得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
由|a|＝，|c|＝，解得a·c＝5，
所以cos θ＝＝，θ∈[0，π]，
所以a与c的夹角θ＝.
18．(12分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置．
解　(1)由＝，
可得＝＋＝－＋.
∵＝，∴＝＋＝－＋.
(2)将＝－＋，＝－＋
代入＝＋λ＝＋μ，
则有＋λ＝＋μ，
即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)，
又∵，不共线，
∴解得
(3)设＝m，＝n.
由(2)知＝＋，
∴＝－＝n－＝n－＝·＋＝m＝m－m，
又∴，不共线，
∴解得∴＝，即＝2，
∴点P在BC的三等分点且靠近点C处．
19．(12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又∵|a|＝4，|b|＝3，
∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6，
∴cos θ＝＝＝－.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝.
(3)∵与的夹角θ＝，
∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC
＝×4×3×＝3.
20．(12分)已知在△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
证明　以点C为坐标原点，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系，
设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)．
∵D是BC的中点，∴D.
又∵＝2，即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，
∴解得x＝，y＝a，∴E.
∵＝－(a,0)＝，
＝＝，
∴·＝(－a)×＋×a＝－a2＋a2＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
21．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
(1)证明　由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.
(2)解　因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以
由此得cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，
又0<α<π，故α＝π－β，
代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝，
又α>β，所以α＝，β＝.
22．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)．
(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；
(2)若a∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值．
解　(1)∵＝(cos θ－1，t)，a∥，
∴2t－cos θ＋1＝0.
∴cos θ－1＝2t.①
∵||＝||，∴(cos θ－1)2＋t2＝5.②
由①②，得t2＝1，∴t＝±1.
当t＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t＝－1时，cos θ＝－1，
∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)．
(2)由①式可知t＝，
∴y＝cos2θ－cos θ＋
＝cos2θ－cos θ＋
＝＋
＝2－，
∴当cos θ＝时，ymin＝－.

§2.1　向量的线性运算
2．1.1　向量的概念
学习目标　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
知识点一　向量的概念及表示
思考1　在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
答案　 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．
思考2　向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？
答案　可以用一条有向线段表示．
思考3　向量可以用有向线段表示，那么能否说向量就是有向线段？
答案　向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．
梳理　(1)向量：具有大小和方向的量称为向量．只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量．
(2)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向．具有方向的线段，叫做有向线段．点A叫做有向线段的始点，点B叫做有向线段的终点．有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示位移的距离，位移的距离叫做向量的长度．
(3)以A为始点，以B为终边的有向线段记作，的长度记作||，如果有向量线段表示一个向量，通常我们就说向量.
知识点二　相等向量
思考1　已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？
答案　因为向量和向量方向不同，所以二者不相等．
思考2　两向量相等需要具备哪些条件？
答案　需要具备两个条件：长度相等、方向相同．
梳理　(1)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．
(2)如果＝a，那么的长度表示向量a的大小，也叫做a的长(或模)，记作|a|.两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作a＝b.
知识点三　向量共线或平行
思考1　共线向量的方向有何特征？
答案　共线向量的方向相同或相反．
思考2　向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？
答案　不相同．我们说到向量，指的都是自由向量，因此向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．
梳理　(1)通过有向线段的直线，叫做向量的基线(如图)．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于b，记作a∥b.
(2)长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行．
知识点四　位置向量
任给一定点O和向量a(如图)，过点O作有向线段＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量，又常叫做点A相对于点O的位置向量．

1．向量就是有向线段．(　×　)
提示　向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段．
2．如果||＞||，那么＞.(　×　)
提示　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
3．若a，b都是单位向量，则a＝b.(　×　)
提示　a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同．
4．若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．(　√　)
提示　若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同．
5．零向量的大小为0，没有方向．(　×　)
提示　任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.
类型一　向量的概念
例1　下列说法正确的是(　　)
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量都是相等的
D．任意两个单位向量都相等
答案　A
解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量模都是0，但方向不确定；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确．故选A.
反思与感悟　解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
跟踪训练1　下列说法正确的有________．(填序号)
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量．
答案　③
解析　①错误．|a|＝|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系；
②错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量，必须在同一直线上，因此点A，B，C，D不一定在同一条直线上；
③正确．向量和是长度相等，方向相反的两个向量．
类型二　共线向量与相等向量
例2　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，且EF＝BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)与模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
反思与感悟　(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反．(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．
跟踪训练2　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有哪些？
解　(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．
(2)存在．由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个．
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个．
类型三　向量的表示及应用
例3　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解　(1)向量，，如图所示．
(2)由题意易知，与方向相反，故与共线．
又∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200 km.
反思与感悟　准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
跟踪训练3　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解　(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆(作图略)．

1．下列结论正确的个数是(　　)
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对．
2．下列说法错误的是(　　)
A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
答案　B
解析　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任一向量都平行，所以B是错误的．
3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　)
A.＝ B．||＝||
C.> D.<
答案　B
解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
4.如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1)写出与，相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解　(1)＝＝，＝.
(2)与的模相等的向量有，，.
1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
3．注意一个特殊向量——零向量，零向量的长度为0，方向不确定，通常规定零向量与任意向量平行.
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
答案　C
解析　②③④⑤是向量．
2．下列说法中正确的个数是(　　)
①任一向量与它的相反向量都不相等；②一个向量方向不确定当且仅当模为0；③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；④单位向量的模都相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
3．下列说法正确的是(　　)
A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
答案　D
4.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
答案　D
解析　∵＝，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC，BD互相平分，∴＝.
5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
答案　D
解析　由于＝，因此与相等的向量只有，因此选项A正确；而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项B正确；而在Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确；由于＝，因此与是共线的，故选D.
6.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(　　)
A．||＝||
B.与共线
C.与共线
D.＝
答案　C
7．以下命题：①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确说法的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　②④错误．
8．下列说法正确的是(　　)
A.∥表示所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
答案　C
解析　∥表示所在的直线平行于所在的直线，或所在的直线与所在的直线重合；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A，B，D均错误，故选C.
二、填空题
9．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________．
答案　菱形
解析　∵＝，∴AB∥DC，且AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．
10．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)
答案　①③④
解析　相等向量一定是共线向量，故①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a∥b；零向量与任一向量平行，故④能使a∥b.
三、解答题
11．如图，已知＝＝.求证：
(1)△ABC≌△A′B′C′；
(2)＝，＝.
证明　(1)∵＝，∴||＝||，且∥.
又∵点A不在上，∴AA′∥BB′，
∴四边形AA′B′B是平行四边形，
∴||＝||.
同理||＝||，||＝||.
∴△ABC≌△A′B′C′.
(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴∥，且||＝||，
∴＝.同理可证＝.
12．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解　(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，
||取得最小值为＝；
②当点C位于点C5或C6时，
||取得最大值为＝.
所以||的最大值为，最小值为.
13.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线的向量及相等的向量．
解　(1)与共线的向量有，，，，，，，，，，.
(2)与相等的向量有，，.
四、探究与拓展
14.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：
(1)图中与共线的向量有__________________；
(2)图中与相等的向量有________；
(3)图中与的模相等的向量有__________________；
(4)图中与相等的向量有________．
答案　(1)，，，，，，
(2)，
(3)，，，，，，，，
(4)
15．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置向量．
解　(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，∴AD∥BC，且AD＝BC，则四边形ABCD为平行四边形，∴＝，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，长度为6千米”．
2．1.2　向量的加法
学习目标　1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．
知识点一　向量加法的三角形法则与平行四边形法则
分析下列实例：
(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．

思考1　从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？
答案　后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线 表示的力是与表示的力的合力．体现了向量的加法运算．
思考2　上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？
答案　 三角形法则和平行四边形法则．
梳理　(1)向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)三角形法则
如图所示，已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，
则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
对于零向量与任一向量a的和，有a＋0＝0＋a＝a.
(3)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，
则A，B，D三点不共线，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
知识点二　向量求和的多边形法则
思考　如果一个动点先由点A位移到点B，再由点B位移到点C，最后由点C位移到点D，那么动点的合位移向量是多少？由此可得到向量加法的什么法则？
答案　合位移向量是，由此可得向量求和的多边形法则．
梳理　已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则．
知识点三　向量加法的运算律
思考1　实数加法有哪些运算律？
答案　交换律和结合律．
思考2　根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律．(注：＝a，＝b)
答案　∵＝＋，∴＝a＋b.
∵＝＋，∴＝b＋a.
∴a＋b＝b＋a.
思考3　根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．(注：＝a，＝b，＝c)
答案　∵＝＋
＝(＋)＋，
∴＝(a＋b)＋c.
又∵＝＋＝＋(＋)，
∴＝a＋(b＋c)，
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
梳理　向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
1．0＋a＝a＋0＝a.(　√　)
2.＋＝.(　√　)
3.＋＝0.(　√　)
4.＋>.(　×　)
5．||＋||＝||.(　×　)
类型一　向量加法的三角形法则和平行四边形法则
例1　如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
　
　　　　 (1)　　　　　　　(2)
解　(1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
反思与感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”．
(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．
(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
跟踪训练1　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．
(1)＋＝________；(2)＋＝________；
(3)＋＝________.
答案　(1)　(2)　(3)0
类型二　向量加法运算律的应用
例2　化简：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
解　(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
反思与感悟　(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．
(2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特別地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0.
跟踪训练2　已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
答案　2
解析　|＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
类型三　向量加法的实际应用
例3　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解　作出图形，如图所示．
船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．
∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进的．
引申探究
1．若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？
解　由例3知v船＝20 m/min，
v实际＝20×sin 60°＝10(m/min)，
故该船1 h行驶的航程为10×60＝600(m)
＝(km)．
2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．
解　如图，作平行四边形ABDC，
则＝v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，
则tan α＝＝＝2.
即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
反思与感悟　向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键．
跟踪训练3　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
解　如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
∴||＝||cos 30°
＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°
＝10×＝5(N)．
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
1.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)
A．0 B.
C. D.
考向　向量加法法则
题点　结合图形求向量的和
答案　D
解析　＋＋＝＋＋＝＋＝.
2.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是(　　)
A.＋＋＝0
B.＋＋＝0
C.＋＋＝
D.＋＋＝
答案　D
解析　＋＋＝＋＝0，
＋＋＝＋＋＝0，
＋＋＝＋＝＋＝，
＋＋＝＋0＝＝≠.
故选D.
3．已知正方形的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于(　　)
A．0 B．3 C．2 D.
答案　C
解析　∵＋＝，
∴|a＋b＋c|＝|2c|＝2.
4.如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形为(　　)
A．矩形
B．正方形
C．平行四边形
D．菱形
答案　C
解析　∵＝＋，
∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，
即＝，
∴四边形ABCD为平行四边形．
5．小船以10 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为________km/h.
答案　20
解析　如图，
设船在静水中的速度为
|v1|＝10 km/h，
河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船的实际航行速度为v0，
则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，
得(10)2＋102＝|v0|2，
所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.
一、选择题
1．作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，则这两个力的合力大小为(　　)
A．30 N B．60 N C．90 N D．120 N
答案　B
2．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是(　　)
A.＝，＝ B.＋＝
C.＋＝＋ D.＋＋＝
答案　C
3．下列说法正确的个数为(　　)
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；
②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.
4．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是(　　)
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
答案　C
解析　对于A，＋＝≠；对于B，＋≠；对于C，＋＝＋＝，又＝，
所以＋＝；对于D，＋≠.
5．已知a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　)
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
答案　A
6．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是(　　)
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
答案　D
解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，
∵AB＝AC＝1，AD＝，
∴∠ABD＝90°，该四边形为正方形，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，故选D.
7．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
二、填空题
8．如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
答案　(1)　(2)　(3)　(4)0
9.根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋d＋c＝________.
答案　(1)　(2)
解析　(1)a＋b＋c＝＋＋＝.
(2)b＋d＋c＝＋＋＝.
10．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.
答案　0
三、解答题
11.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．
求证：＋＋＋＝4.
证明　∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋0＝4，
∴＋＋＋＝4.
12．在水流速度为4 km/h的河中，要使船以12 km/h的实际航速与河岸成直角行驶，求船的航行速度的大小和方向．
解　如图，设表示水流的速度，则表示船的实际航行速度，连接BC，作AD∥BC，且AD＝BC，则为所求船的航行速度，且＋＝.
∵||＝4 km/h，||＝12 km/h，
∴tan∠ACB＝＝.
∴∠ACB＝30°＝∠CAD，||＝||＝8 km/h，
∠BAD＝120°.
∴船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流速度成120°角．
13.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
解　(1)＋＋＝＋＋
＝＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝＋＋＋
＝＋＋＝＋＝0.
四、探究与拓展
14．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
答案　1
解析　在菱形ABCD中，连接BD，
∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形．
又∵||＝1，∴||＝1，∴|＋|＝||＝1.
15.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
证明　∵＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，∴＋＝0，
∴＋＝＋，即＋＝＋.
2．1.3　向量的减法
学习目标　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．
知识点一　向量的减法
思考1　向量减法的几何意义是什么？
答案　a－b的几何意义：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
思考2　向量减法的三角形法则是什么？
答案　(1)两个向量a，b的始点移到同一点；
(2)连接两个向量(a与b)的终点；
(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．
这种求差向量a－b的方法叫做向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．
梳理　(1)已知向量a，b(如图)，作＝a，作＝b，则b＋＝a，向量叫做向量a与b的差，并记作a－b，即＝a－b＝－.
(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．
(3)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”．
知识点二　相反向量
思考　实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫做什么？
答案　 相反向量．
梳理　(1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图)．显然a＋(－a)＝0.
(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点三　|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系
思考　在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？
答案　它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
梳理　当向量a，b不共线时，作＝a，＝b，
则a＋b＝，如图(1)，根据三角形的三边关系，
则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.
故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①
因为|a－b|＝|a＋(－b)|，
所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，
即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②
将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
1．相反向量就是方向相反的向量．(　×　)
提示　相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．
2．向量与是相反向量．(　√　)
提示　与大小相等、方向相反．
3．－＝，－(－a)＝a.(　√　)
提示　根据相反向量的定义可知其正确．
4．两个相等向量之差等于0.(　×　)
提示　两个相等向量之差等于0.
类型一　向量减法的几何作图
例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
引申探究
若本例条件不变，则a－b－c如何作？
解　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c.
反思与感悟　在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．
跟踪训练1　如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
解　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.
则a－b＝，c－d＝.
类型二　向量减法法则的应用
例2　化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－)．
解　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
反思与感悟　向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．
跟踪训练2　化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
解　(1)(－)－(－)
＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋＝0.
类型三　向量减法几何意义的应用
例3　已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
解　∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3,15]．
反思与感悟　(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
(2)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.
跟踪训练3　在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，若|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
答案　B
解析　∵＝a＋b，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵＝a－b，|a＋b|＝|a－b|，
∴||＝||.
∴四边形ABCD为矩形．
1.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　)
A．a＋b和a－b
B．a＋b和b－a
C．a－b和b－a
D．b－a和b＋a
答案　B
解析　由向量的加法、减法法则，得＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.故选B.
2．化简－＋＋的结果等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
3．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
答案　2
解析　＝
＝＝＝2.
4．若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．
答案　7　17
解析　由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|可得．
5.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
解　∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别为＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用中非常广泛，应该加强理解并掌握.
一、选择题
1．化简－＋所得的结果是(　　)
A. B. C．0 D.
答案　C
解析　－＋＝＋＝0.
2．已知一点O到?ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于(　　)
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．a＋b－c D．a－b－c
答案　B
解析　如图所示，
＝＋＝＋＝＋－＝－＋＝a－b＋c.故选B.
3．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A.－＝0 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
答案　C
解析　∵＝，∴－＝0，A正确；
∵－＝＋＝，B正确；
∵－＝＋＝，C错误；
∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确．
4.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　)
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
答案　A
解析　＋＋＝＋＋＝(＋＋)＝0.
5．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)
A．1 B．2 C. D.
答案　D
解析　如图，作菱形ABCD，
则|－|＝|－|
＝||＝.
6．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　)
A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13)
答案　C
解析　∵||＝|－|且
|||－|||≤|－|≤|A|＋||，
∴3≤|－|≤13，
∴3≤||≤13.
7.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a－b＋c　　　　　 B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c　　　　　 D．b－a＋c
答案　A
二、填空题
8．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
答案　13
解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，
∴||＝13.
∵＝a，＝b，∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13.
9.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________.
答案　
三、解答题
10．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，求||.
解　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，
由向量加减法的几何意义可知，
＝＋，＝－.
∵|＋|＝|－|，∴||＝||.
又∵||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
11．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，试求：|a－b＋c|.
解　作＝，连接CF，DB，
则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且
||＝2，∴|a－b＋c|＝2.
12．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝2，∠AOB＝，求|a＋b|，|a－b|.
解　如图，则a＋b＝，a－b＝.因为|a|＝|b|＝2，∠AOB＝，所以△AOB为等边三角形，
故|a＋b|＝||＝2||＝2，
|a－b|＝||＝2.
13．已知|a|＝8，|b|＝6，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
解　设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示，则＝a＋b，＝a－b，
所以||＝||.
又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，||＝8，||＝6，由勾股定理，得||＝＝＝10.
所以|a－b|＝10.
四、探究与拓展
14．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________．
答案　30°
解析　如图，设＝a，＝b，
则a－b＝.∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
15．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．
解　在平面内任取一点A，作＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b.由题意知，
||＝||＝2，||＝1.
如图所示，过点B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AB交直线AB的延长线于点F.
∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝.
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，∴cos∠CBF＝，
∴BF＝BC·cos∠CBF＝1×＝，∴CF＝.
∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.
在Rt△AFC中，AC＝＝ ＝，
∴|a＋b|＝.
2．1.4　数乘向量
学习目标　1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会运用数乘向量运算律进行向量运算．
知识点一　数乘向量的定义
思考1　实数与向量相乘的结果是实数还是向量？
答案　向量．
思考2　向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？
答案　 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．
梳理　(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长|λa|＝|λ||a|.
λa(a≠0)的方向
当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.
(2)λa中的实数λ，叫做向量a的系数．数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
知识点二　向量数乘的运算律
思考　类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？
答案　 结合律，分配律．
梳理　向量数乘运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三　向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．
类型一　数乘向量概念的理解
例1　已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由：
(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
(2)－2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的；
(3)－2a与2a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量；
(5)若a，b不共线，则λa与b不共线．
解　(1)正确．∵2>0，∴2a与a同向，且|2a|＝2|a|.
(2)正确．∵5>0，∴5a与a同向，且|5a|＝5|a|.
∵－2<0，∴－2a与a反向，且|－2a|＝2|a|.
(3)正确．
(4)错误．－(b－a)＝－b＋a＝a－b.
(5)错误．若λ＝0，则0a＝0,0与任意向量共线．
反思与感悟　对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识，当λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍；当λ<0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍；当λ＝0时，λa＝0.
跟踪训练1　设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是(　　)
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
答案　C
解析　当λ＜0时，a与－λa方向相同，故A错；
当|λ|＜1时，|－λa|≤|a|，故B错；
|－λa|＝|λ||a|，故D错；
∵λ≠0，∴λ2＞0，∴a与λ2a的方向相同，故选C.
类型二　向量的线性运算
例2　(1)化简：[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]．
解　[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]
＝(4a＋8b－20a＋8b)
＝(－16a＋16b)
＝－4a＋4b.
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.
解　因为
由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，即y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
反思与感悟　(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．
跟踪训练2　(1)计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
(2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________.
答案　a－b＋c
解析　因为2－(c＋b－3y)＋b＝0，
3y－a＋b－c＝0，所以y＝a－b＋c.
类型三　用已知向量表示其他向量
例3　在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　)
A.＋ B.－
C.－ D.＋
答案　D
解析　示意图如图所示，
由题意可得＝＋
＝＋
＝＋(－)＝＋.
反思与感悟　用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．
(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练3　如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，.
解　∵＝3a，＝2b，
∴＝－＝2b－3a.
又∵D，E为边AB的两个三等分点，
∴＝＝b－a，
∴＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，
＝＋＝3a＋＝3a＋(2b－3a)＝a＋b.
1．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c等于(　　)
A．5e B．－5e C．23e D．－23e
答案　C
解析　2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.
2．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于(　　)
A. B. C．2 D.
答案　C
解析　如图，作出平行四边形ABEC，
M是对角线的交点，故M是BC的中点，且是AE的中点，由题意知，＋＝＝2，故选C.
3．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于(　　)
A．2a B．－2a C.a D．－a
答案　B
4．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)
A.＋　　 B．－＋
C．－－　 D.－
答案　B
解析　＝－＝－.
5.如图所示，已知＝，用，表示.
解　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.
一、选择题
1．下列说法中正确的是(　　)
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
答案　D
解析　显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.
2．在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且＝a，＝b，那么等于(　　)
A.a＋b B.a－b
C.a－b D．－a＋b
答案　A
解析　由题意，得＝＋＝b＋
＝b＋(＋)＝b＋a＋，
即＝b＋a＋，解得＝a＋b.
3.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　)
A．a－b
B.a－b
C．a＋b
D.a＋b
答案　D
解析　连接CD，OD，如图所示．
∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，
∴AC＝CD，
∠CAD＝∠DAB＝×90°＝30°.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.
由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO.
由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴∠CDA＝∠DAO，
∴CD∥AO，
∴四边形ACDO为平行四边形，
∴＝＋＝＋＝a＋b.
4．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
答案　A
解析　∵＝3，∴－＝3(－)，
即4－＝3，∴＝－＋.
5．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的是(　　)
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，
则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
答案　B
解析　①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
6．O是平面内的一个定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P所在的直线是△ABC的(　　)
A．边 B．中线 C．高 D．角平分线
答案　D
7．如图，已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　)
A.＝
B.＝2
C.＝3
D．2＝
答案　A
解析　∵2＋＋＝2＋2＝0，
∴＝.
二、填空题
8．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝______________.
答案　a－b＋c
9．(a＋9b－2c)＋(b＋2c)＝________.
答案　a＋10b
10．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝____.(用a，b表示)
答案　b－a
解析　如图，
＝＋＋
＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．
三、解答题
11．化简下列各式．
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)(－)－(－)；
(4)(＋＋)－(－－)．
解　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(3)(－)－(－)
＝(＋)－(＋)＝－＝0.
(4)(＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)＝－＝0.
12．设x为未知向量，解关于x的方程．
(1)x＋3a－b＝0；
(2)2(x－3a)＋3(x＋4b)＝0.
解　(1)∵x＝－3a＋b，
∴x＝－9a＋b.
(2)由题意，得5x＝6a－12b，
∴x＝a－b.
13．在△ABC的内部有一点O满足＋＋3＝0，求的值．
解　设AC的中点为D，
则＋＝2，
∴2＋3＝0，
即＝－，
∴＝＝×＝.
四、探究与拓展
14.如图，在正六边形ABCDEF中，O为其中心，下列向量：
①；②－；③＋；④－；⑤＋＋＋.其中与＋＋2＋相等的向量有________．(填对应向量的序号即可)
答案　②③④⑤
解析　＋＋2＋＝(＋＋)＋＝＋＝＝＝－，与②相等，与①不相等；
∵＋＝＋＝，∴与③相等；
∵－＝＋＝＋＝，∴与④相等；
∵＋＋＋＝＋＝＋＝，
∴与⑤相等．故填②③④⑤.
15．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
解　如图，设＝a，＝b.
∵M，N分别是DC，BC的中点，
∴＝b，＝a.
∵在△ADM和△ABN中，
即
①×2－②，得b＝(2c－d)，②×2－①，得a＝(2d－c)．
∴＝d－c，＝c－d.
2．1.5　向量共线的条件与轴上向量坐标运算
学习目标　1.理解平行向量基本定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.2.理解轴上向量坐标的含义及运算.3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算．
知识点一　平行向量基本定理
思考　若b与非零向量a共线，是否存在λ满足b＝λa？若b与向量a共线呢？
答案　若b与非零向量a共线，存在λ满足b＝λa；若b与向量a共线，当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.
梳理　(1)平行向量基本定理：如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.
(2)a的单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，记作a0.由数乘向量的定义可知，a＝|a|a0或a0＝.
知识点二　轴上向量的坐标及其运算
思考1　轴与数轴有何区别与联系？
答案　规定了方向和长度单位的直线叫做轴，而数轴是规定了坐标原点的轴．
思考2　实数与数轴上的向量建立了什么关系？
答案　数轴上的实数与轴上的向量建立起一一对应的关系，可以用数值表示向量．
思考3　与AB有何区别？
答案　是一个向量，既有大小，也有方向，而AB表示的坐标，它是一个实数．
梳理　(1)轴上向量的坐标
名称
定义
轴
规定了方向和长度单位的直线叫做轴
轴的基向量
取单位向量，使其方向与轴同方向，则该单位向量为轴的基向量
a在轴l上的坐标
如果a＝xe，则x叫做向量a在轴l上的坐标(或数量)
(2)轴上向量的坐标运算
法则(或公式)
文字语言
符号语言
轴上两个向量相等的法则
轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等
设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b?x1＝x2
轴上求两个向量的和的法则
轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和
设a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝(x1＋x2)e
轴上向量的坐标公式
轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标
AB＝x2－x1，|AB|＝|x2－x1|
1．若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(　×　)
提示　当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一．
2．若b＝λa，则a与b共线．(　√　)
提示　由向量共线定理可知其正确．
3．若λa＝0，则a＝0.(　×　)
提示　若λa＝0，则a＝0或λ＝0.
类型一　轴上向量的坐标运算
例1　已知A，B，C为数轴上三点，且xA＝－2，xB＝6，试求符合下列条件的点C的坐标．
(1)AC＝10；(2)||＝10；(3)||＝3||.
解　(1)∵AC＝10，∴xC－xA＝10，∴xC＝xA＋10＝8.
(2)∵||＝10，∴AC＝10或AC＝－10，
当AC＝10时，xC－xA＝10，xC＝xA＋10＝8；
当AC＝－10时，xC－xA＝－10，xC＝xA－10＝－12.
(3)∵||＝3||，∴＝3或＝－3.
当＝3时，xC－xA＝3(xC－xB)，
∴xC＝(3xB－xA)＝10；
当＝－3时，xC－xA＝－3(xC－xB)，
∴xC＝(3xB＋xA)＝4.
反思与感悟　轴上向量的坐标及长度计算的方法
(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标；(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．
跟踪训练1　已知数轴上A，B两点的坐标x1，x2，根据下列各题中的已知条件，求点A的坐标x1.
(1)x2＝3，AB＝5；(2)x2＝－5，|AB|＝2.
解　(1)∵AB＝x2－x1＝5，∴x1＝x2－5＝－2.
(2)∵|AB|＝|x2－x1|＝2，∴x2－x1＝－2或2.
∴x1＝x2－(－2)＝－3或x1＝x2－2＝－7.
类型二　向量共线的判定及应用
命题角度1　判定向量共线或三点共线
例2　已知非零向量e1，e2不共线．
(1)若a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线．
解　∵b＝6a，∴a与b共线．
(2)若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
证明　∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
∴，共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
反思与感悟　(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
(2)利用平行向量基本定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点．
跟踪训练2　已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．
答案　A，B，D
解析　∵＝e1＋2e2，＝＋
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2，
∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．
命题角度2　利用向量共线求参数值
例3　已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值．
解　∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
又e1与e2不共线，∴∴k＝±1.
反思与感悟　利用平行向量基本定理，即b与a(a≠0)共线?b＝λa，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．
跟踪训练3　已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y＝________.
答案　1
解析　由于A，B，P三点共线，则，在同一直线上，由平行向量基本定理可知，一定存在实数λ使得＝λ，即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ.∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
1．已知数轴上两点A，B的坐标分别是－4，－1，则AB与||分别是(　　)
A．－3,3 B．3,3 C．3，－3 D．－6,6
答案　B
解析　AB＝－1－(－4)＝3，||＝|3|＝3.
2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则(　　)
A．AB＝－3 B．BC＝3
C.＝6 D.＝3
答案　B
3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝
答案　D
解析　当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
所以n＝2m，此时，m，n共线．
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则(　　)
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上
D．P在AC边上
答案　D
解析　∵＋＋＝－，
∴＝－2，∴P在AC边上．
5．已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
解　若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0.
因为e1与e2不共线，
所以
所以λ不存在，所以a与b不共线．
1．平行向量基本定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
2．轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.
一、选择题
1．在△ABC中，＝，点P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵B，P，N三点共线，又∵＝m＋，
＝m＋，∴m＋＝1，∴m＝.
2．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝＋λ，则λ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵A，B，D三点共线，∴＋λ＝1，λ＝.
3．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　B
解析　∵＝a＋b，＝a－2b，
∴＝＋＝2a－b.
又A，B，D三点共线，∴，共线．
设＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.
4．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．梯形 D．等腰梯形
答案　A
解析　∵－＝，－＝，
而＋＝＋，
∴－＝－，∴＝.
又∵与不重合，∴AB∥CD且AB＝CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
5．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
答案　B
解析　∵＝＋＝5a＋3b－3a＋3b＝2a＋6b
＝2(a＋3b)＝2，
∴∥.
又，都过点B，∴A，B，D三点共线．
6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的条件是(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
答案　D
解析　由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线，得＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，得所以λμ＝1.故选D.
7．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设＝y，
∵＝＋＝＋y＝＋y(－)
＝－y＋(1＋y)，
又＝3，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)，
∴y∈.
∵＝x＋(1－x)，∴x＝－y，∴x∈.
二、填空题
8．设向量a，b不平行，若向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
答案　
解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0.又∵向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.
9．设e1，e2是两个不共线的向量，关于向量a，b，有：
①a＝2e1，b＝－2e1；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
其中a，b共线的有________．(填序号)
答案　①②③
10．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝________.
答案　－4
解析　由题意得，存在λ＜0，使得ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)，
∴∴8λ2＝2，λ2＝.
又λ＜0，∴λ＝－，∴k＝8×＝－4.
三、解答题
11．已知数轴上有A，B，C三点．
(1)若AB＝2，BC＝3，求向量的坐标；
(2)若AB＝BC，求证：B是AC的中点．
(1)解　AC＝AB＋BC＝5，即向量的坐标为5.
(2)证明　∵AB＝BC，∴xB－xA＝xC－xB，
∴xB＝，故B是AC的中点．
12．若非零向量a与b不共线，ka＋2b与3a＋kb共线，试求实数k的值．
解　∵ka＋2b与3a＋kb共线，
∴存在实数λ，使得ka＋2b＝λ(3a＋kb)，
∴(k－3λ)a＋(2－λk)b＝0，
∴(k－3λ)a＝(λk－2)b.
∵a与b不共线，∴∴k＝±.
四、探究与拓展
13.如图所示，平行四边形ABCD，点E在边AB上，且BE＝BA，点F为对角线BD上的点，且BF＝BD，则(　　)
A．E，F，C三点共线，且＝
B．E，F，C三点共线，且＝
C．E，F，C三点共线，且＝
D．E，F，C三点不共线
答案　B
解析　不妨设＝a，＝b，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝a＋b.
∵BE＝BA，BF＝BD，∴＝a，＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－a＝－a＋b，
＝－＝b－a＝5，
即＝5，
∴与共线，∴E，F，C三点共线，且＝.
14.如图所示，正三角形ABC的边长为15，＝＋，＝＋.
求证：四边形APQB为梯形．
证明　因为＝＋＋
＝－－＋＋＋＝，
所以∥.又||＝15，
所以||＝13，
故||≠||，于是四边形APQB为梯形．
§2.2　向量的分解与向量的坐标运算
2．2.1　平面向量基本定理
学习目标　1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
知识点一　平面向量基本定理
思考1　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
答案　 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．
思考2　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
答案　 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
思考3　若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？
答案　由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.
∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，
∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.
梳理　(1)平面向量基本定理
如果e1，e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
(2)基底
把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．
知识点二　直线的向量参数方程式
思考1　什么是直线的向量参数方程？
答案　若P在直线AB上(或P，A，B共线)，则一定存在实数t，使得＝(1－t)＋t.
思考2　直线的向量参数方程式有什么用途？
答案　利用直线的向量参数方程可证明三点共线．
梳理　(1)直线的向量参数方程式
已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，
对直线l上任意一点P，存在唯一的实数t满足向量等式＝(1－t)＋t，反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应．向量等式＝(1－t)＋t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．
(2)线段中点的向量表达式
在向量等式＝(1－t)＋t中，若t＝，则点P是AB的中点，且＝(＋)，这是线段AB的中点的向量表达式．
1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．(　×　)
提示　只有不共线的两个向量才可以作为基底．
2．零向量可以作为基向量．(　×　)
提示　由于0和任意向量共线，故不可作为基向量．
3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．(　×　)
提示　基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.
类型一　对基底概念的理解
例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．②
答案　B
解析　由平面向量基本定理可知，①④正确；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.
反思与感悟　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
跟踪训练1　若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
答案　D
解析　选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2，为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合．
类型二　平面向量基本定理的应用
例2　如图所示，在?ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
解　∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
引申探究
若本例中其他条件不变，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
解　取CF的中点G，连接EG.
∵E，G分别为BC，CF的中点，
∴＝＝b，
∴＝＋＝a＋b.
又∵＝＝，
∴＝＝＝a＋b.
又∵＝＝＋＝＋＝＋，
∴＝＝b＋
＝a＋b.
反思与感悟　将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
跟踪训练2　如图所示，在△AOB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于点P，用基底a，b表示.
解　＝＋，＝＋.
设＝m，＝n，则
＝＋m＝＋m(－)＝a＋m＝(1－m)a＋mb，
＝＋n＝＋n(－)
＝b＋n＝(1－n)b＋na.
∵a，b不共线，
∴即
∴＝a＋b.
1．下列关于基底的说法正确的是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．① B．② C．①③ D．②③
答案　C
解析　零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．
2.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于(　　)
A．a＋b　　　　　 B.a＋b
C.a＋b　　　　 D.a＋b
答案　B
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
答案　－15　－12
解析　∵向量e1，e2不共线，
∴解得
4.如图所示，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则当以a，b为基底时，可表示为________，当以a，c为基底时，可表示为________．
答案　a＋b　2a＋c
解析　由平行四边形法则可知，＝＋＝a＋b.以a，c为基底时，将平移，使点B与点A重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到．
5．已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b为基底表示，，.
解　如图，连接FD，
∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，
∴DC∥FB，且DC＝FB，∴四边形DCBF为平行四边形．
依题意，＝＝＝b，
＝＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－－
＝－－×b＝b－a.
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．

一、选择题
1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
答案　B
解析　B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．
2．如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为(　　)
A．－4e1－2e2　　 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2　　　　 D．3e1－e2
答案　C
解析　如图，
由向量的减法得a－b＝.
由向量的加法得＝e1－3e2.
3．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　　)
A．3 B．4 C．－ D．－
答案　B
解析　因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，
所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0.
又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，
所以解得故选B.
4．若1＝a，2＝b，＝λ2(λ≠－1)，则等于(　　)
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D.a＋b
答案　D
解析　∵＝λ2，
∴－1＝λ(2－)，∴(1＋λ)＝1＋λ2，
∴＝1＋2＝a＋b.
5．若点D在△ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)
＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案　C
解析　如图，
设＝λ，＝μ，
则＝－＝b－a，
故＝＋＝a＋λb.
∵＝＝(＋)＝
＝a＋b，
∴由平面向量基本定理，得
∴
∴＝a＋b，故选C.
7．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足O＝，则点P一定为(　　)
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．△ABC的重心
D．AB边的中点
答案　B
解析　∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，∴＝＝，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心)．故选B.
二、填空题
8．已知e1，e2不共线，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________．
答案　(－∞，4)∪(4，＋∞)
解析　若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.
9.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
答案　
解析　设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b.
又∵＝a＋b，
∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
三、解答题
10．判断下列命题的正误，并说明理由：
(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d；
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．
解　(1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立．
(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，
使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，
所以e1与e2共线，这与e1，e2不共线矛盾．
所以e1＋e2与e1－e2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．
11．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，
则＝＋.
在Rt△OCD中，∵||＝2，
∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴||＝4，||＝2，故＝4，
＝2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
12．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，.
解　方法一　如图所示，
∵＝e2，且＝k，
∴＝k＝ke2.
又∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－
＝－＋＋
＝e1＋(k－1)e2.
又∵＋＋＋＝0，
且＝－，＝，
∴＝－－－
＝－＋＋
＝e2.
方法二　如图所示，过C作CE∥DA，交AB于点E，交MN于点F.
同方法一可得＝ke2.
则＝＋＝－(－)＋＝e1＋(k－1)e2，
＝＋＝＋
＝＋(－)＝e2.
方法三　如图所示，连接MB，MC.
同方法一可得＝ke2，＝e1＋(k－1)e2.
由＝(＋)，
得＝(＋＋＋)
＝(＋)＝e2.
13．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基底表示向量与.
解　∵平行四边形ABCD中，＝a，＝b，
H，M是AD，DC的中点，BF＝BC，
∴＝＋＝＋
＝＋＝b＋a，
＝－＝＋－
＝a＋b－b＝a－b.
四、探究与拓展
14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
答案　(1，＋∞)
解析　设＝k(0则＝－＝k－
＝(kλ－1)＋kμ.
∵D是OC与AB的交点，
∴A，D，B三点共线，
∴，共线．
设＝m，
又＝－，
∴(kλ－1)＋kμ＝m－m.
∵，不共线，
∴
∴kλ－1＝－kμ，
即k(λ＋μ)＝1，
∴λ＋μ＝>1.
15．如图，在△ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE＝2EC，BE交AD于点G，求及的值．
解　设＝λ，＝μ.
∵＝，即－＝－，
∴＝(＋)．
又∵＝λ＝λ(－)，
∴＝＝＋.
又∵＝μ，
即－＝μ(－)，
∴(1＋μ)＝＋μ，
＝＋.
又＝，∴＝＋.
∵，不共线，
∴解得
∴＝4，＝.
2．2.2　向量的正交分解与向量的直角坐标运算
学习目标　1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．
知识点一　平面向量的正交分解
思考　如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
答案　互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．
梳理　如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．
知识点二　平面向量的坐标表示
思考1　如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?
答案　a＝2i＋2j.
思考2　在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？
答案　对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关，所以不确定．
梳理　(1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．
(2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)，其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量．
(3)若＝xe1＋ye2＝(x，y)，则的坐标(x，y)?点A的坐标(x，y)．
知识点三　平面向量的坐标运算
思考　设i，j是分别与x轴，y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？
答案　a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.
梳理　(1)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝λ(a1，a2)＝(λa1，λa2)．即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
(3)在直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．则线段AB中点的坐标为.
1．相等向量的坐标相等．(　√　)
2．在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x1－x2，y1－y2)．(　×　)
提示　＝(x2－x1，y2－y1)．
3．与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i＝(1,0)，j＝(0,1)．(　√　)
类型一　平面向量的坐标表示
例1　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
解　(1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°
＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°
＝4×＝2.
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
∴C，∴＝＝，
即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋＝(2，2)＋
＝.
即点B的坐标为.
反思与感悟　在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标．
跟踪训练1　已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
解　如图，
正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，
C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，D.
∴＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
类型二　平面向量的坐标运算
例2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
解　由已知，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，
∴解得
反思与感悟　向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
跟踪训练2　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
解　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－＝.
类型三　平面向量坐标运算的应用
例3　已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求当λ为何值时：
(1)点P在第一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
解　设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴则
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1.
反思与感悟　(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．
(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
跟踪训练3　已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
答案　－3
解析　∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，
∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
即解得
故m－n＝2－5＝－3.
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于(　　)
A．(7,3) B．(7,7) C．(1,7) D．(1,3)
答案　A
2．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　)
A. B.
C．(－8,1) D．(8,1)
答案　A
解析　∵＝－＝(－8,1)，
∴＝.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A. B.
C．(3,2) D．(1,3)
答案　A
解析　设D点坐标为(x，y)，
则＝(4,3)，＝(x，y－2)，
由＝2，得
∴，∴D.
4．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　)
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
答案　A
解析　＝(3,1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
5．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.
答案　
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，
设小方格的边长为1，则可得a＝(1,2)，b＝(2，－3)，c＝(3,4)．
∵c＝xa＋yb，∴
解得因此x＋y＝.
1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．
2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA)．
3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．
一、选择题
1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是(　　)
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4,2) D．(4，－2)
答案　D
解析　3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(3,0)－(－1,2)＝(3＋1，0－2)＝(4，－2)，故选D.
2．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(－2,2) D．(2，－2)
答案　D
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
答案　D
解析　由　解得
4．在?ABCD中，已知＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC，BD相交于点O，则的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　＝－＝－(＋)
＝－×(－2,3)－×(3,7)＝，故选B.
5．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c等于(　　)
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
答案　A
解析　∵a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，
且3a－2b＋c＝0，
∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5,2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．
6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)
A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6)
答案　D
解析　由题意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－6＋8－4,18－16－8)＝(－2，－6)．
二、填空题
7．如果将＝绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是________．
答案　
解析　因为＝所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是.
8．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.
答案　
解析　∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，
＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
又∵2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，
∴　解得　∴x＋y＝.
9．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
答案　(3,3)
解析　方法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．
10．已知点A(3，－4)与B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为________．
答案　或(－5,8)
解析　设点P坐标为(x，y)，||＝2||.
当点P在线段AB上时，＝2，
即(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴解得
∴点P的坐标为.
当点P在线段AB的延长线上时，＝－2.
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
即解得
∴点P的坐标为(－5,8)．
综上所述，点P的坐标为或(－5,8)．
11．已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)，c＝(1,2)，求p＝2a＋3b＋c，则用基底a，b表示p为________．
答案　p＝a＋b
解析　p＝2a＋3b＋c
＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2)
＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)
＝(2,13)．
设p＝xa＋yb，
则有解得
∴p＝a＋b.
三、解答题
12．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．
解　设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，
则有和
解得和
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
∴＝(－2，－4)．
四、探究与拓展
13．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且P＝－2，则点P的坐标为________．
答案　(2,4)
解析　∵＝－2，
∴P，M，N三点共线，且＝.
又＝(10，－2)－(－2,7)＝(12，－9)，
∴＝＋＝＋
＝(－2,7)＋(12，－9)
＝(－2,7)＋(4，－3)
＝(2,4)．
14．如图，已知在△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
解　∵＝＝(0,5)＝，
∴C.
∵＝＝(4,3)＝，∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)．
∵＝＝，A，M，D三点共线，
∴设＝λ(λ∈R)，即(x，y－5)＝λ，
∴①
∵＝，＝，C，M，B三点共线，
∴设＝μ(μ∈R)，即＝μ，
∴②
联立①②，解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.
2．2.3　用平面向量坐标表示向量共线条件
学习目标　1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．
知识点　向量共线条件
已知下列几组向量：
(1)a＝(0,3)，b＝(0,6)；
(2)a＝(2,3)，b＝(4,6)；
(3)a＝(－1,4)，b＝(3，－12)；
(4)a＝，b＝.
思考1　上面几组向量中，a，b有什么关系？
答案　(1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－3a，(4)中b＝－a.
思考2　以上几组向量中，a，b共线吗？
答案　共线．
思考3　当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
答案　坐标不为0时成比例．
思考4　如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
答案　能．将b写成λa的形式，当λ>0时，b与a同向，当λ<0时，b与a反向．
梳理　向量共线的坐标表示
设a，b是非零向量，且a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．
(1)当a∥b时，有a1b2－a2b1＝0.
(2)当a∥b，且b不平行于坐标轴，即b1≠0，b2≠0时，
有＝.即两个向量平行的条件是相应坐标成比例．
1．若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.(　×　)
提示　当y1y2＝0时不成立．
2．若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(　×　)
3．若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(　√　)
类型一　向量共线的判定与证明
例1　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
答案　D
解析　A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，
∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，
故选D.
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
方法一　∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0，
∴与共线且方向相反．
方法二　∵＝－2，∴与共线且方向相反．
反思与感悟　此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
跟踪训练1　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝，
求证：∥.
证明　设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
∵＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)，
∴＝＝，＝＝.
∴(x1，y1)－(－1,0)＝，
(x2，y2)－(3，－1)＝，
∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝.
∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.
∵4×－(－1)×＝0，
∴∥.
类型二　利用向量共线求参数
例2　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？
解　方法一　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
得解得k＝λ＝－.
方法二　由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)．
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
引申探究
1．若本例条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？
解　由例2知，当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
∵λ＝－<0，
∴ka＋b与a－3b反向．
2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？”，又如何求k的值？
解　a＋kb＝(1,2)＋k(－3,2)＝(1－3k,2＋2k)，
3a－b＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)．
∵a＋kb与3a－b平行，
∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0，
解得k＝－.
反思与感悟　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用平行向量基本定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．
跟踪训练2　设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
答案　2
解析　λa＋b＝λ(1,2)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)，
∵λa＋b与c共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0，
∴λ＝2.
类型三　三点共线问题
例3　已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)．当k为何值时，A，B，C三点共线？
解　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)．
若A，B，C三点共线，则∥，
∴(4－k)(k－12)＝－7×(10－k)，
解得k＝－2或11.
又，有公共点A，
∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．
反思与感悟　(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．
跟踪训练3　已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．
证明　＝＝，
＝(9－1,1＋3)＝(8,4)．
∵7×4－×8＝0，∴∥.
又，有公共点A，∴A，B，C三点共线.
1．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是(　　)
A．1 B．－1 C．4 D．－4
答案　D
解析　∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.
2．与a＝(6,8)平行的单位向量为(　　)
A.
B.
C.或
D.
答案　C
解析　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，
则∴或
3．已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为________．
答案　6
解析　＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)，
＝(3，m)－(1,2)＝(2，m－2)．
∵A，B，C三点共线，即向量，共线，
∴存在实数λ使得＝λ，
即(1,2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ)．
∴?
即当m＝6时，A，B，C三点共线．
4．已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，－1)，(1,2)，(－1,1)，(3，－5)．求证：四边形ABCD是梯形．
证明　∵A(3，－1)，B(1,2)，C(－1,1)，D(3，－5)，
∴＝(－2,3)，＝(4，－6)．
∴＝－2，
即||＝||，
∴AB∥CD，且AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形．
5．已知A(3,5)，B(6,9)，M是直线AB上一点，且||＝3||，求点M的坐标．
解　设点M的坐标为(x，y)．
由||＝3||，
得＝3 或＝－3.
由题意，得＝(x－3，y－5)，＝(6－x,9－y)．
当＝3 时，(x－3，y－5)＝3(6－x,9－y)，
∴解得
当＝－3时，(x－3，y－5)＝－3(6－x,9－y)，
∴解得
故点M的坐标是或.
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
2．向量共线的坐标表示的应用
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
一、选择题
1．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是(　　)
A．b＝(k，k) B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1) D．e＝(k2－1，k2－1)
答案　C
解析　由向量共线的判定条件知，当k＝0时，向量b，c与a平行；当k＝±1时，向量e与a平行．对任意k∈R，1·(k2＋1)＋1·(k2＋1)≠0，∴a与d不平行，故选C.
2．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)
A．(4,8) B．(8,4)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
答案　D
3．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是(　　)
A．(1,0) B．(－1,0) C．(1，－1) D．(－1,1)
答案　C
4．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，
所以＝－，
所以λ＋μ＝.
5．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
答案　B
解析　A选项，∵e1＝0，∴e1∥e2，故不可以作为基底；
B选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e1与e2不共线，故可以作为基底；
C选项，3×10－5×6＝0，∴e1∥e2，故不可以作为基底；
D选项，2×－(－3)×＝0，
∴e1∥e2，故不可以作为基底．
故选B.
6．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)．若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　　)
A. B．2 C．－ D．－2
答案　D
解析　根据题意，得ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，
a－2b＝(4，－1)．因为ma＋4b与a－2b共线，
所以(2m－4)×(－1)＝4(3m＋8)，
解得m＝－2.
7．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，当a∥b时，实数λ等于(　　)
A．－1 B．0 C．－ D．－2
答案　D
解析　∵e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，
∴a＝2(1,0)＋(0,1)＝(2,1)，b＝λ(1,0)－(0,1)＝(λ，－1)．
又∵a∥b，∴2×(－1)－1×λ＝0，解得λ＝－2.故选D.
8．已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，正确的个数为(　　)
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(ma＋b)∥a；
④存在实数x，m，使(ma＋b)∥b.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　只有④正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.
二、填空题
9．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
答案　－6
解析　因为a∥b，所以由(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.
10．已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋b，则m的取值范围是________．
答案　{m|m∈R且m≠－3}
解析　根据平面向量的基本定理知，a与b不共线，即2m－3－3m≠0，解得m≠－3.
所以m的取值范围是{m∈R|且m≠－3}．
11．已知向量＝(k,6)，＝(4,5)，＝(1－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值为________．
答案　
解析　＝－＝(4－k，－1)，
＝－＝(－3－k,5)．
∵A，B，C三点共线，
∴∥，
即(4－k)×5＋(－3－k)＝0，
解得k＝.
三、解答题
12．已知向量＝(6,1)，＝(－2，－3)，＝(x，y)且||＝，∥，求x，y的值．
解　由题意得＝－＝－(＋＋)
＝－[(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)]
＝(－x－4，－y＋2)．
又＝(x，y)，∥，
∴x(－y＋2)－y(－x－4)＝0，
化简得x＋2y＝0，
即x，y应满足的关系为x＋2y＝0.①
又∵||＝，
∴x2＋y2＝5.②
由①②解得或
四、探究与拓展
13．设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________．
答案　{m|m∈R且m≠6}
解析　∵A，B，C三点能构成三角形，
∴，不共线．
又∵＝－＝(1,1)，＝(m－2,4)，
∴1×4－1×(m－2)≠0，
解得m≠6.
∴m的取值范围是{m|m∈R且m≠6}．
14．已知a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3,1)，d＝(1，k)(x∈R，k∈R)．
(1)若x∈，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2)若(a＋d)∥(b＋c)，求实数k的取值范围．
解　(1)b＋c＝(sin x－1，－1)，
因为a∥(b＋c)，
所以－(2＋sin x)＝sin x－1，
sin x＝－，
因为x∈，所以x＝－.
(2)a＋d＝(3＋sin x,1＋k)，
b＋c＝(sin x－1，－1)，
若(a＋d)∥(b＋c)，
则有－(3＋sin x)＝(1＋k)(sin x－1)．
当sin x＝1时，等式不成立，
所以k＝，k＝－2－.
因为－1≤sin x<1，
所以－2≤sin x－1<0，
故≥2，所以k≥0，
所以k的取值范围是[0，＋∞)．
§2.3　平面向量的数量积
2．3.1　向量数量积的物理背景与定义
学习目标　1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．
知识点一　向量的夹角
思考1　平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
答案　 存在夹角，不一样．
思考2　△ABC为正三角形，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角是多少？
答案　如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
则＝a，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，
故向量a与b的夹角为120°.
梳理　两个向量夹角的定义
(1)已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是0≤〈a，b〉≤π.
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b.
知识点二　向量在轴上的正射影
思考　向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？
答案　向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角θ的范围：当θ为锐角时，该数量为正值；当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为0；当θ＝0°时，该数量为|b|；当θ＝180°时，该数量为－|b|.
梳理　向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)．
作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.
知识点三　向量的数量积(内积)
思考1　如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？
答案　W＝|F||s|cos θ.
思考2　对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos〈a，b〉叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？
答案　a·b的运算结果是数量．
0·a＝0.
梳理　向量数量积的定义
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
知识点四　向量数量积的性质
思考1　设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
答案　a⊥b?a·b＝0.
思考2　当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
答案　当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
a·a＝a2＝|a|2或|a|＝.
思考3　|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
答案　|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”．
所以|a·b|≤|a||b|.
cos θ＝.
梳理　两个向量内积有如下重要性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉(a≠0)．
(2)a⊥b?a·b＝0，且a·b＝0?a⊥b(a≠0，b≠0)．
(3)a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．
(5)|a·b|≤|a||b|.
1．向量数量积的运算结果是向量．(　×　)
2．向量a在向量b方向上的射影一定是正数．(　×　)
3．在等边△ABC中，向量与向量夹角为60°.(　×　)
提示　向量与向量夹角为120°.
类型一　求两向量的数量积
例1　已知|a|＝4，|b|＝5，a与b的夹角为θ，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
解　(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°
＝4×5×＝10.
反思与感悟　求平面向量数量积的步骤：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
跟踪训练1　已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60° ，则·等于(　　)
A．－a2 B．－a2
C.a2 D.a2
答案　D
解析　如图所示，
由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
∴·＝(＋)·
＝·＋2
＝a·a·cos 60°＋a2
＝a2.
类型二　求向量的模
例2　已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为，求|a＋b|，|a－b|.
解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝
＝＝5.
|a－b|＝＝
＝＝5.
引申探究
若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.
解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝，
|2a＋b|＝＝
＝＝5.
|a－2b|＝＝
＝＝5.
反思与感悟　此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方．
跟踪训练2　已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值．
解　∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2
＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2
＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.
类型三　求向量的夹角
例3　设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
解　∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝＝，
|b|＝|2n－3m|＝＝
＝＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
反思与感悟　当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．
跟踪训练3　已知a·b＝－9，a在b方向上的正射影的数量为－3，b在a方向上的正射影的数量为－，求a与b的夹角θ.
解　∵　∴
即∴
∴cos θ＝＝＝－.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的正射影的数量为(　　)
A．4 B．－4 C．2 D．－2
答案　D
解析　向量b在a方向上的正射影的数量为
|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
答案　A
解析　∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
3．若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝________.
答案　11
解析　(a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.
4．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________．
答案　－25
解析　易知||2＝||2＋||2，C＝90°.
∴cos B＝.
又cos 〈，〉＝cos(180°－B)，
∴·＝||||cos(180°－B)
＝13×5×＝－25.
5．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
解　(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．
3．在a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫做b在a方向上的正射影的数量和a在b方向上的正射影的数量，要结合图形严格区分．
4．求射影有两种方法
(1)b在a方向上的正射影的数量为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的正射影的数量为|a|cos θ.
(2)b在a方向上的正射影的数量为，a在b方向上的正射影的数量为.
5．两非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.

一、选择题
1．已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝，则|a－b|等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为|a＋b|2＝19，
所以a2＋2a·b＋b2＝19，
所以2a·b＝19－4－9＝6.
于是|a－b|＝＝＝.
2．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于(　　)
A．－6 B．6 C．－6 D．6
答案　C
3．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　)
A．45° B．135° C．120° D．150°
答案　B
解析　∵cos θ＝＝＝－，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
4．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的正射影的数量等于(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．－1
答案　D
解析　向量a在向量b方向上的正射影的数量是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.
5．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是(　　)
A．|a|＝ B．|a·b|＝|a||b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b|
答案　B
解析　因为|a·b|＝|a||b||cos θ|(θ为向量a与b的夹角)，
当且仅当θ＝0或π 时，|a·b|＝|a||b|，故B错．
6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵Δ＝a2－4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)，
若方程有实根，则有Δ≥0，即a2－4|a||b|cos θ≥0，
又|a|＝2|b|，
∴Δ＝4|b|2－8|b|2cos θ≥0，
∴cos θ≤.
又∵0≤θ≤π，∴≤θ≤π.
7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A．－ B. C. D.
答案　B
解析　如图所示，
∵＝＋＝＋，
＝－，
∴·＝·(－)
＝－||2－·＋||2
＝－×1－×1×1×＋＝.
故选B.
8．定义：a×b＝|a||b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则a×b等于(　　)
A．－8 B．8 C．－8或8 D．6
答案　B
解析　由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－，
∴sin θ＝，
∴a×b＝|a||b|·sin θ＝2×5×＝8.
二、填空题
9．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.
答案　
解析　∵|a|＝
＝＝3，
|b|＝＝＝2，
a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e
＝9－9×1×1×＋2＝8，
∴cos β＝＝.
10．已知向量a在向量b方向上的正射影的数量是，|b|＝3，则a·b的值为________．
答案　2
解析　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|b||a|cos〈a，b〉
＝3×＝2.
三、解答题
11．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解　由向量垂直，得
即
化简得
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
12．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.
解　(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2
＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2
＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256，
∴|4a－2b|＝16.
13．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1)·；(2)在方向上的正射影的数量；
(3)在方向上的正射影的数量．
解　∵||＝5，||＝4，||＝3，
∴△ABC为直角三角形，且C＝90°.
∴cos A＝＝，cos B＝＝.
(1)·＝－·＝－5×4×＝－16.
(2)||·cos〈，〉＝＝＝.
(3)||·cos〈，〉＝＝
＝＝－4.
四、探究与拓展
14．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．
答案　－25
解析　∵||2＝||2＋||2，
∴∠B＝90°，∴·＝0.
∵cos C＝，cos A＝，
∴·＝||||cos (180°－C)
＝4×5×＝－16.
·＝||||cos(180°－A)
＝5×3×＝－9.
∴·＋·＋·＝－25.
15．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？
解　(1)∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|.
∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2，
∴a·b＝
＝＝＝.
又∵a·b＝|a||b|cos θ，
∴＝3×5×cos θ，
∴cos θ＝，θ＝60°.
(2)∵(μa＋b)⊥(a－2b)，
∴(μa＋b)·(a－2b)＝0，
∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0，
∴9μ－2×25－2μ×＋＝0，
∴μ＝－.
∴存在μ＝－，使得μa＋b与a－2b垂直．
2．3.2　向量数量积的运算律
学习目标　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
知识点一　平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律
实数乘法
向量数量积
判断正误
交换律
ab＝ba
a·b＝b·a
正确
结合律
(ab)c＝a(bc)
(a·b)c＝a(b·c)
错误
分配律
(a＋b)c＝ac＋bc
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
正确
消去律
ab＝bc(b≠0)?a＝c
a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
错误
知识点二　平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法
向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
梳理　与多项式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”．
1．向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)
2．已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.(　×　)
3．λ(a·b)＝λa·b.(　√　)

类型一　向量数量积的运算性质
例1　给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．
答案　④
解析　因为当两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．
反思与感悟　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．
跟踪训练1　设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法：
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的是________．(填序号)
答案　③
解析　(a·b)·c表示与向量c共线的向量，(c·a)·b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；由[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0知，(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，故②错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确．
类型二　平面向量数量积有关的参数问题
命题角度1　已知向量垂直求参数值
例2　已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)·b，且b⊥c，则t＝________.
答案　2
解析　由题意，将b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝0整理，
得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所以t＝2.
反思与感悟　由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b?a·b＝0.
跟踪训练2　已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直．
考点　平面向量数量积的应用
题点　已知向量夹角求参数
解　由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
若c⊥d，则c·d＝0，
∴c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即当m＝时，c与d垂直．
命题角度2　由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例3　已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， 则k的取值范围为________．
答案　(0,1)∪(1，＋∞)
解析　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k>0，∴k>0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
反思与感悟　由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a，b，θ∈?a·b>0，θ∈?a·b<0.
跟踪训练3　设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解　设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ.
根据题意，得cos θ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.
化简，得2t2＋15t＋7<0，解得－7当θ＝π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
则∴
∴实数t的取值范围是∪.

1．下面给出的关系式中正确的个数是(　　)
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ，故选C.
2．已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是(　　)
A．60° B．30° C．135° D．45°
答案　C
解析　∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝135°.
3．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为(　　)
A．1 B．0 C．2 D．3
答案　D
解析　由题意得(a－mb)·a＝0，a2＝ma·b，
∴m＝＝＝＝3，
故选D.
4．已知正三角形ABC的边长为1，设＝c，＝a，＝b，那么a·b＋b·c＋c·a的值是(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　C
解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
即|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴3＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.
5．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；
(2)求向量a在a＋b上的正射影的数量．
解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，
∴a·b＝1，∴cos θ＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，即|a＋b|＝.
设a与a＋b的夹角为α，则向量a在a＋b上的正射影的数量为|a|cos α＝|a|×＝＝＝＝.
1．数量积对结合律不一定成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，若b与c不共线，则两者不相等．
2．在实数中，若ab＝0，则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cos θ有可能为0.
3．在实数中，若ab＝bc，b≠0，则a＝c，在向量中，a·b＝b·c，b≠0?a＝c.
一、选择题
1．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是(　　)
A．0 B．a C．b D．c
答案　B
解析　∵b·c＝|b||c|cos 45°＝1，
∴a·(b·c)＝a.
2．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(　　)
A．0 B．2 C．4 D．8
答案　B
解析　|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　)
A. B．－
C．± D．1
答案　A
解析　∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2
＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝.
4．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角θ的余弦值是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵|3e1＋4e2|2＝9e＋24e1·e2＋16e＝9＋24×＋16＝37，∴|3e1＋4e2|＝.
又∵(3e1＋4e2)·e1＝3e＋4e1·e2＝3＋4×＝5，
∴cos θ＝＝＝.
5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4 B．－4 C. D．－
答案　B
解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.
6．设向量a与b满足|a|＝2，b在a方向上的正射影的数量为1.若存在实数λ，使得a与a－λb垂直，则λ等于(　　)
A. B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　∵b在a方向上的正射影的数量为1，|a|＝2，
∴a·b＝2×1＝2.
又∵a⊥(a－λb)，
∴a·(a－λb)＝0，
∴λa·b＝|a|2，故2λ＝4，λ＝2，故选C.
7．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为(　　)
A．0 B. C. D.
答案　D
解析　∵a·c＝a·
＝a·a－·(a·b)＝a·a－a·a＝0，
∴a⊥c.故选D.
8．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A．1 B．2 C. D.
答案　C
解析　因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|cos θ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|·cos θ＝cos θ≤，所以|c|的最大值是，故选C.
二、填空题
9．已知平面内三个向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则向量a，b夹角的大小是________．
答案　
解析　∵a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝c2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2，
∴1＋2a·b＋1＝3，a·b＝，
则cos〈a，b〉＝＝.
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
10．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b的夹角的大小为________．
答案　
解析　由题意可知，|a＋xb|2≥|a＋b|2，
即a2＋2a·b·x＋b2·x2≥a2＋2a·b＋b2，
设a与b的夹角为θ，
则4＋4cos θ·x＋x2≥4＋4cos θ＋1，
即x2＋4cos θ·x－1－4cos θ≥0.
因为对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，
所以Δ＝(4cos θ)2＋4(1＋4cos θ)≤0，
即(2cos θ＋1)2≤0，
所以2cos θ＋1＝0，cos θ＝－.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
11．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的正射影的数量为－1.则a与b的夹角θ为________．
答案　
解析　∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1.
又∵向量a在向量b方向上的正射影的数量为|a|cos θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1.
∵|a|＝2，|b|＝1，∴cos θ＝－，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
12．已知非零向量a，b满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.则向量a，b的夹角为________．
答案　45 °
解析　设向量a与b的夹角为θ，
∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝.
又|a|＝1，∴|b|＝.
∵a·b＝，即|a||b|cos θ＝，
∴cos θ＝.
又∵0°≤θ≤180°，
∴向量a，b的夹角为45°.
三、解答题
13．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ.
解　假设存在满足条件的θ，
∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2，
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)，
∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0，
∴|a|2－4|a||b|cos θ＋|b|2＝0，
∴
解得cos θ∈.
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
四、探究与拓展
14．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.
答案　
解析　∵a⊥b，∴a·b＝0.
∵(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，
|a＋2b|＝＝，
|a－2b|＝＝，
∴a2－4b2＝··cos 120°，
化简得a2－2b2＝0，∴＝.
15．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1 (k∈R)，求k的取值范围．
(1)证明　因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c.
(2)解　因为|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°>1，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2.
所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
2．3.3　向量数量积的坐标运算与度量公式
学习目标　1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
知识点一　平面向量数量积的坐标表示
设e1，e2是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．
思考1　e1·e1，e2·e2，e1·e2分别是多少？
答案　e1·e1＝1×1×cos 0＝1，e2·e2＝1×1×cos 0＝1，e1·e2＝0.
思考2　取e1，e2为坐标平面内的一组基底，设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，试将a，b用e1，e2表示，并计算a·b.
答案　∵a＝a1e1＋a2e2，b＝b1e1＋b2e2，
∴a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e＋(a1b2＋a2b1)e1·e2＋a2b2e＝a1b1＋a2b2.
梳理　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
知识点二　向量模的坐标表示及两点间距离公式
思考　若a＝(a1，a2)，试将向量的模|a|用坐标表示．
答案　∵a＝(a1，a2)，
∴|a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)
＝a＋a，
∴|a|＝.
梳理　(1)向量的长度公式：设a＝(a1，a2)，
则|a|＝.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝.
知识点三　两个向量夹角余弦的坐标表达式
思考　设a，b都是非零向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
答案　cos θ＝＝.
梳理　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，a与b的夹角为θ，则
(1)cos θ＝.
(2)a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＝0.
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(　√　)
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.(　√　)
3．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．(　×　)
提示　当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.
类型一　平面向量数量积的坐标运算
例1　已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
反思与感悟　(1)解答有关向量数量积的坐标运算问题时，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量．(2)一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量运算结合律一般不成立．
跟踪训练1　向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　C
解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，
则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.
类型二　向量的模、夹角问题
例2　在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)．已知点A(16,12)，B(－5,15)．
(1)求||，||；
(2)求∠OAB.
解　(1)由＝(16,12)，
＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，
得||＝＝20，
||＝＝15.
(2)cos∠OAB＝cos〈，〉＝.
其中·＝－·
＝－(16,12)·(－21,3)
＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，
故cos∠OAB＝＝.
∴∠OAB＝45°.
反思与感悟　利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝求两向量的模．
(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．
跟踪训练2　已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
类型三　向量垂直的坐标形式
例3　(1)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　B
解析　由向量λa＋b与a－2b垂直，得
(λa＋b)·(a－2b)＝0.
因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，
即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.
(2)在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
解　∵＝(2,3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
反思与感悟　利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．
跟踪训练3　在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)，若(－t)⊥，则实数t＝____.
答案　－1
解析　∵＝(－3，－1)，
∴－t＝(－3－2t，－1＋t)．
又∵＝(2，－1)，(－t)⊥，
∴(－3－2t)·2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.
1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵a，b的夹角范围为[0，π]，
∴a与b的夹角为.
2．已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．120°
答案　A
解析　∵||＝1，||＝1，
∴cos∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°.
3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于(　　)
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
答案　B
解析　因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
又(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)
＝－2λ－6＝0，
解得λ＝－3.
4．已知平面向量a，b，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝____________.
答案　
解析　∵|a|＝5，cos〈a，b〉＝＝1，
∴a，b方向相同，∴b＝a＝.
5．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
解　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝.
1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a，b不为0时，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角的范围”的问题，稍不注意就会带来失误与错误.
一、选择题
1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b(　　)
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
答案　A
解析　∵a·b＝－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.
2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
A．1 B. C．2 D．4
答案　C
解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
∴n2＝3，∴|a|＝＝2.
3．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)
A．－ B. C. D.
答案　C
解析　∵2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，
a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，
∴(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.
设所求两向量的夹角为α，则cos α＝＝，
又∵0≤α≤π，∴α＝.
4．若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为(　　)
A．(3,2)
B.
C.或
D．以上都不对
答案　C
解析　设与a垂直的单位向量坐标为(x，y)，
∴＝1，即x2＋y2＝1.①
又∵(x，y)表示的向量垂直于a，
∴2x－3y＝0.②
由①②得或
5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　D
解析　因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，
所以c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，
所以a·c＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8，
b·c＝4(m＋4)＋2(2m＋2)＝8m＋20.
因为c与a的夹角等于c与b的夹角，
所以＝，即＝，
所以＝，解得m＝2，故选D.
6．已知＝(－2,1)，＝(0,2)且∥，⊥，则点C的坐标是(　　)
A．(2,6) B．(－2，－6)
C．(2，－6) D．(－2,6)
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
答案　D
解析　设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)，
∵∥，∴2(x＋2)＝0，①
∵⊥，∴2x＋y－2＝0，②
由①②可得∴C(－2,6)．
7．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A. B. C．5 D．25
答案　C
解析　∵|a＋b|＝5，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5)2，
∴|b|＝5.
二、填空题
8．已知a＝(3，)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.
答案　1
解析　∵a－2b＝(1，)，∴(a－2b)·b＝1×1＋×0＝1.
9．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．
答案　1
解析　由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，
则＝(－3λ，)．
·＝(－3,0)·(－3λ，)＝9λ，
∴cos∠AOC＝＝＝，
∴λ2＝1，又C在第二象限，∴λ＝1.
10．已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
答案　∪
解析　由a与b的夹角为锐角，
得a·b＝2＋λ＋3＞0，λ＞－5.
当a∥b时，(2＋λ)×3－1＝0，λ＝－.
故λ的取值范围为λ＞－5且λ≠－.
11．已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，且||＝2，则点B的坐标为________．
答案　(5,4)
解析　设＝(2λ，3λ)(λ>0)，
则||＝＝2，
∴13λ2＝13×22，∴λ＝2，∴＝(4,6)．
∴＝＋＝(1，－2)＋(4,6)＝(5,4)．
∴点B的坐标为(5,4)．
12．已知a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝(1,2)．若|c|＝2，且c与a方向相反，则c的坐标为________．
答案　(－2，－4)
解析　设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2，
可得
所以或
因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4)．
三、解答题
13．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值．
(1)证明　∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解　∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16>0.
又||＝2 ，||＝2，
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝>0，
∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
四、探究与拓展
14．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________.
答案　
解析　设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，
∵(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又∵c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②
由①②解得x＝－，y＝－.
15．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．
解　(1)设＝(x，y)，
∵Q在直线OP上，∴向量与共线．
又∵＝(2,1)，∴x－2y＝0，∴x＝2y，∴＝(2y，y)．
又∵＝－＝(1－2y,7－y)，
＝－＝(5－2y,1－y)，
∴·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)·(1－y)
＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.
故当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知：＝(－3,5)，＝(1，－1)，
·＝－8，||＝，||＝，
∴cos∠AQB＝＝＝－.
§2.4　向量的应用
2．4.1　向量在几何中的应用
学习目标　1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
知识点一　向量在平面几何中的应用
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.
思考1　证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？
答案　可用向量共线的相关知识：
a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
思考2　证明垂直问题，可用向量的哪些知识？
答案　可用向量垂直的相关知识：
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
思考3　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？
答案　(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系、距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
梳理　(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式：cos θ＝＝ .
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.
知识点二　直线的方向向量和法向量
思考　若向量a＝(a1，a2)平行于直线l，则a1，a2与直线l的斜率k有何关系？
答案　设A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，直线l的倾斜角为α，斜率为k.
∵向量a平行于l，
∴由直线斜率和正切函数的定义，
可得k＝＝＝tan α.
梳理　如果知道直线的斜率k＝，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．这时向量(a1，a2)称为这条直线的方向向量．
如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．
即直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)；直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)．
1．若∥，则A，B，C三点共线．(　√　)
2．若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形．(　√　)
类型一　用平面向量解决平面几何问题
例1　已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
证明　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)∵＝(－1,2)，＝(－2，－1)，
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，
＝(2,1)，∵∥，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2.
同理，由∥，得y＝－2x＋4.
由得∴点P的坐标为.
∴||＝ ＝2＝||，
即AP＝AB.
反思与感悟　用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化．
跟踪训练1　如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
证明　方法一　设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°
＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
∴⊥，即DP⊥EF.
方法二　如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
设正方形ABCD的边长为1，
AP＝λ(0<λ<)，
则D(0,1)，P，E，F.
∴＝，＝.
∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0，
∴⊥，即DP⊥EF.
类型二　向量在解析几何中的应用
例2　已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
解　(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.
又∵＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，
则⊥，∴·＝0.
又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
反思与感悟　利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
跟踪训练2　在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线方程．
解　＝(3,4)，＝(－8,6)，
∠A的平分线的一个方向向量为
a＝＋＝＋
＝.
设P(x，y)是角平分线上的任意一点，
∵∠A的平分线过点A，∴∥a，
∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.
整理得7x＋y－29＝0.
1．已知在△ABC中，若＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
答案　A
2．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为(　　)
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
答案　A
解析　设P(x，y)为直线上一点，则⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0.
3．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于(　　)
A．2 B．1 C. D．4
考点　平面几何中的向量方法
题点　利用向量解决平面几何问题
答案　B
解析　∵＝＋(＋)，
∴－＝(＋)，＝(＋)，
∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线．∴||＝1.
4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
答案　22
解析　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
5．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
答案　2
解析　∵O是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝m，＝n，
∴＝＋.
又∵M，O，N三点共线，
∴＋＝1，则m＋n＝2.
利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.
一、选择题
1．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　)
A．2 B. C．3 D.
答案　B
解析　∵BC的中点为D，＝，
∴||＝.
2．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
答案　D
解析　∵·＝·，∴(－)·＝0，
∴·＝0，∴AC⊥OB.
同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高的交点．
3．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是(　　)
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形
D．等边三角形
答案　D
解析　由·＝0，得角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.而·＝cos〈，〉＝，
又〈，〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°.
故△ABC为等边三角形，故选D.
4．在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)
A. B．2 C．5 D．10
答案　C
解析　∵·＝0，∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积
S＝||||＝××2＝5.
5．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案　C
解析　＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，
＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，
·＝21－21＝0，∴⊥.
又||≠||，
∴△ABC为直角三角形．
6．已知点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC的内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
答案　B
解析　∵＝λ＋，∴－＝λ，
∴＝λ，∴P，A，C三点共线，
∴点P一定在AC边所在的直线上．
7.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是(　　)
A. B．2
C．0 D．1
答案　A
解析　∵·＝(＋)＝·＝.
∴||＝1，∴||＝－1，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＝.
二、填空题
8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________.
答案　－
解析　如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，
∴C(2,1)．
∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E，F(1,1)，
∴＋＝，＝(－2,1)，
∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－.
9．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则·＝________.
答案　－
解析　如图，作OD⊥AB于点D，
则在Rt△AOD中，
OA＝1，AD＝，所以∠AOD＝60°，∠AOB＝120°，所以·＝||||·cos 120°＝1×1×＝－.
10．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
答案　1∶3
解析　如图，D为BC边的中点，
则＝(＋)．
因为3－－＝0，
所以3＝2，
所以＝，
所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.
三、解答题
11．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，求·的最小值．
解　在等腰梯形ABCD中，由AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，∴·＝(＋λ)·
＝·＋·＋λ·＋λ·
＝2×1×cos 60°＋2×＋λ×1×1×cos 60°＋λ·×cos 120°＝＋＋.
由对勾函数的性质知，
·≥2＋＝，
当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值.
12.如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.
证明　设＝λ，并设△ABC的边长为a，则有
＝＋＝λ＋＝λ＋
＝(2λ＋1) －λ，
＝－ .
∵∥，
∴(2λ＋1)－λ＝k－k.
于是有解得λ＝.
∴＝，
∴＝＋＝＋， ＝－，
从而·＝·
＝a2－a2－a2cos 60°＝0，∴⊥，
∴BP⊥DC.
13．已知点A(－1,2)，直线l∶4x－3y＋9＝0.求：
(1)过点A且与直线l平行的直线方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线方程．
解　直线l的斜率k＝，向量u＝与直线l平行．
(1)设P是过点A且与直线l平行的直线上的一动点，点P的坐标是(x，y)，则＝(x＋1，y－2)，
当且仅当u∥，即当1×(y－2)－×(x＋1)＝0时，所求直线与直线l平行．
整理得4x－3y＋10＝0，即为所求的过点A且与直线l平行的直线方程．
(2)设Q是过点A且与直线l垂直的直线上的一动点，点Q的坐标是(x，y)，
则＝(x＋1，y－2)，
当且仅当u⊥，即当1×(x＋1)＋×(y－2)＝0时，所求直线与直线l垂直．
整理得3x＋4y－5＝0，即为所求的过点A且与直线l垂直的直线方程．
四、探究与拓展
14．在?ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　B
解析　设AB的长为a(a＞0)，
因为＝＋，＝＋＝－，
所以·＝(＋)·
＝·－2＋2＝－a2＋a＋1.
由已知，得－a2＋a＋1＝1，
又因为a＞0，所以a＝，即AB的长为.
15．如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0,0)，B(4,1)，C(6,8)．
(1)求顶点D的坐标；
(2)若＝2，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标．
解　(1)设点D(m，n)，
因为＝，
所以(m，n)＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)，
所以顶点D的坐标为(2,7)．
(2)设点I(x，y)，
则点F坐标为，
由于＝2，故(xE－2，yE－7)＝2(6－xE，8－yE)，
所以E，
由于＝，＝(x－4，y－1)，∥，
所以(x－4)＝－3(y－1)，①
又∥，所以x＝y，②
解①②得x＝，y＝.则点I的坐标为.
2．4.2　向量在物理中的应用
学习目标　1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力．
知识点一　向量的线性运算在物理中的应用
思考1　向量与力有什么相同点和不同点？
答案　向量与力都包括大小、方向两个要素，但与向量不同是力还包括作用点这一要素．
思考2　向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？
答案　速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．
梳理　(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上．
(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．
知识点二　向量的数量积在物理中的应用
思考　向量的数量积与功有什么联系？
答案　物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．
梳理　物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积．
知识点三　向量方法解决物理问题的步骤
用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题．
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．
1．功是力F与位移S的数量积．(　√　)
2．力的合成与分解体现了向量的加减法运算．(　√　)
3．某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直．(　√　)

类型一　向量的线性运算在物理中的应用
例1　(1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
解　如图，两根绳子的拉力之和＋＝，且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，
∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°，
从而||＝||·cos 30°＝150(N)，
||＝||·sin 30°＝150(N)，
所以||＝||＝150(N)．
答　与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
解　建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，
设帆船行驶的速度为v，
则v＝v1＋v2.
由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)，
则帆船的行驶速度为
v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)，
所以|v|＝＝20(km/h)．
因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，且为锐角)，
所以α＝30°，
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h.
反思与感悟　利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算．第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算．
跟踪训练1　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度．
解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b，以，为邻边作矩形OACB，连接，如图，则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度．
∴||＝＝＝20(km/h)，
tan ∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝60°，
∴小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30°的方向航行．
类型二　向量的数量积在物理中的应用
例2　已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．
解　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.
∴合力F对质点所做的功为－102.
反思与感悟　物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．
跟踪训练2　一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
解　以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示．
则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，
F3＝(－3,3)，
所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．
又因为位移s＝(4，4)，
所以合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J)．
即合力F所做的功为24 J.
1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.
答案　10
解析　设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，
则由题意得F1，F2与－G都成60°角，
且|F1|＝|F2|.∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，
∴每根绳子的拉力都为10 N.
2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J.
答案　300
解析　W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉
＝6×100×cos 60°＝300(J)．
3．一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min.
答案　3
解析　∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，
|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h，
∴|v|＝＝＝16(km/h)．
∴所需时间t＝＝0.05(h)＝3(min)．
∴该船到达B处所需的时间为3 min.
4．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．
解　如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.
易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h.
用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.
一、选择题
1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(　　)
A．6 N B．2 N C．2 N D．2 N
答案　C
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需再加上一个力F4，则F4等于(　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
答案　D
解析　∵物体平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，
∴F4＝－F1－F2－F3＝－(－2，－1)－(－3,2)－(4，－3)＝(1,2)．故选D.
3．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则力F对物体所做的功为(　　)
A．|F|·s B．Fcos θ·s
C．Fsin θ·s D．|F|cos θ·s
答案　D
4．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　)
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
答案　B
解析　如图，有|F1|＝|F|cos 60°＝10×＝5(N)．
5．已知作用在点A的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝F1＋F2＋F3的终点坐标为(　　)
A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9)
答案　A
解析　f＝F1＋F2＋F3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力f的终点为P(x，y)，
则＝＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．
6．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
答案　C
解析　设(－10,10)为点A,5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则＝(x＋10，y－10)，由题意可知，＝5ν，
即(x＋10，y－10)＝(20，－15)，
所以解得
7．河水的流速为5 m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A．13 m/s B．12 m/s C．17 m/s D．15 m/s
答案　A
解析　设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2，
v1与v2的合速度为v，∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，合速度v指向对岸，
∴静水速度|v1|＝＝＝13(m/s)．
二、填空题
8．若＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为________．
答案　5
解析　∵F1＋F2＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝＝5.
9．一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．
答案　－40
解析　∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，
∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)．
又∵＝(0－1,5－1)＝(－1,4)，
∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，
即三个力的合力做的功等于－40.
10．一个重20 N的物体从倾斜角为θ，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J，则θ＝________.
答案　30°
解析　∵WG＝G·s＝|G||s|·cos(90°－θ)
＝20×1×cos(90°－θ)＝10 J，
∴cos(90°－θ)＝，∴θ＝30°.
11．河水的流速为2 m/s，一艘小船以10 m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________m/s.
答案　2
解析　设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，
则v＝v1＋v2，|v1|＝2 m/s，|v|＝10 m/s.
所以|v2|＝|v－v1|＝
＝＝＝2(m/s)．
三、解答题
12．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．
解　如图，用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．
则v0＋v1表示船实际航行的速度，
∵|v0|＝4千米/时，
|v1|＝8 千米/时，
∴|v0＋v1|＝＝4(千米/时)．
故船实际航行的速度为4 千米/时．
13．质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离．(g＝9.8 N/kg)
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；
(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
解　(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；
支持力FN与位移方向垂直，不做功，
所以WN＝FN·s＝0；
重力G对物体所做的功为
WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为
W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．
四、探究与拓展
14．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为(　　)
A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2
答案　D
解析　F1＋F2＝(1,2lg 2)．
∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)
＝2lg 5＋2lg 2＝2.
15．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P，Q在t＝0时分别在P0，Q0处，当⊥时所需的时间t为多少？
解　e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，
其单位向量为，3e1＋2e2＝(3,2)，
|3e1＋2e2|＝，其单位向量为，如图．
依题意知，||＝t，||＝t，
所以＝||·＝(t，t)，
＝||·＝(3t,2t)．
由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，
得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，
所以＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)．
因为⊥，所以·＝0.
即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2，
所以当⊥时，所需的时间为2.
章末复习
学习目标　1.构建本章知识网络，进一步理解向量的有关概念.2.梳理本章知识要点，进一步强化对有关法则、定理的理解和记忆.3.强化应用向量解决问题的意识，提高解决问题的能力．
1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量运算
法则(或几何意义)
坐标运算
向量的
线性运算
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λa＝(λx1，λy1)
向量的
数量积运算
a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)，规定0·a＝0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的正射影的数量的积
a·b＝x1x2＋y1y2
2.两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理：如果e1，e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2)平行向量基本定理
如果a＝λb，则a∥b，反之，如果a∥b且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.
3．向量的平行与垂直
a，b为非零向量，
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b
有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0)
x1y2－x2y1＝0
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
1．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　×　)
提示　平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底．
2．若向量和向量共线，则A，B，C，D四点在同一直线上．(　×　)
提示　也可能AB∥CD.
3．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　×　)
4．若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)
提示　当a，b同向共线时，a·b>0，但a和b的夹角为0.当a，b反向共线时，a·b<0，但a和b的夹角为π.
类型一　向量的线性运算
例1　如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
答案　
解析　设＝λ，
则＝＋＝－＋m＋
＝(m－1)＋，
＝＋＝－＋.
∵与共线，∴(m－1)＋＝0，∴m＝.
反思与感悟　平行向量基本定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．
跟踪训练1　在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得＝＋，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由．
解　假设存在D点，使得＝＋.
＝＋，
所以＝＋(＋)＝＋，
所以－＝，即＝，
所以＝×，
所以＝，
所以当点D为AC的三等分点时，
＝＋.
类型二　向量的数量积运算
例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小．
解　(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，
得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝＝1，|b|＝＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝＝.
(2)a·b＝＝.
由函数的单调性可知，f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝，
此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝，
∴θ＝60°.
反思与感悟　数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝；
②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)
cos θ＝＝ .
跟踪训练2　已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))．
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
解　(1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
∵＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))，
∴＝(3,1)，＝(－m－1，－m)．
∵与不平行，∴－3m≠－m－1，解得m≠，
∴当实数m≠时满足条件．
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，而＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，
∴·＝0，即3(2－m)＋(1－m)＝0，
解得m＝.
类型三　向量坐标法在平面几何中的应用
例3　已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小．
解　以BC的中点为坐标原点，BC，BC边上的高所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，
＝(0，a)，＝(c，a)，＝(c,0)，＝(2c,0)．
因为BB′，CC′为AC，AB边上的中线，
所以＝(＋)＝，
同理＝.
因为⊥，
所以·＝0，
即－＋＝0，
化简得a2＝9c2.
又因为cos A＝＝＝＝，
所以顶角A的余弦值为.
反思与感悟　把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性．
跟踪训练3　如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B.
C. D．2
答案　A
解析　由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系如图所示，
则O(0,0)，A(0，)，C(，0)，
B(×cos 30°，－×sin 30°)．
因为＝λ＋μ，
所以(，0)＝λ(0，)＋μ，
即则
所以λ＋μ＝.
1．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于(　　)
A．2 B．－2
C．||cos A D．与菱形的边长有关
答案　B
解析　如图，设对角线AC与BD交于点O，∴＝＋.
∴·＝·(＋)
＝－2＋0＝－2.
2．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)
A．20 B．15 C．9 D．6
答案　C
解析　?ABCD的图象如图所示，由题设知，
＝＋＝＋，＝－，
∴·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
3．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　)
A．2 B. C．0 D．－
答案　B
解析　∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，
a·b＝××cos ，
∴3＋m＝××cos ，
∴m＝.
4．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
答案　2
解析　由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长||＝||＝，由勾股定理得||＝＝2.
5．平面向量a＝(，－1)，b＝，若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)．
解　由a＝(，－1)，b＝，
得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1.
由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
－ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0，
即－4k＋t3－3t＝0，
所以k＝(t3－3t)，
令f(t)＝(t3－3t)，
所以函数关系式为k＝f(t)＝(t3－3t)．
1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．
2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.
一、选择题
1．下列命题中正确的是(　　)
A.－＝ B.＋＝0
C．0·＝0 D.＋＋＝
答案　D
解析　－＝；，BA是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即＋＝0；0·＝0.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
答案　A
解析　∵四边形ABCD为平行四边形，
∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，
∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.
3．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
答案　B
解析　∵a∥b，∴2×6－4x＝0，∴x＝3.
4．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于(　　)
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
答案　A
解析　设b＝ka＝(k，－2k)，k＜0，而|b|＝3，则
＝3，∴k＝－3，b＝(－3,6)．
5．在△ABC中，若2－·＝·－·，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
答案　C
解析　由已知，得
·(－)－·(－)＝0，
∴·－·＝0，
∴·(－－)＝0，即－·＝0，⊥，
∴BC⊥AC，∴△ABC为直角三角形．故选C.
6．若a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角θ的大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0, ∴a2＝b2，|a|＝|b|.
又∵cos θ＝＝＝，θ∈[0，π]，∴θ＝.
二、填空题
7．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的正射影的数量是________．
答案　1
解析　∵|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，
∴b在a方向上的正射影的数量是|b|cos 60°＝1.
8．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为________．
答案　
解析　由题意知，(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m＝.
9．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||＝3||，当＝x＋y时，x－y＝________.
答案　－2
解析　由||＝3||，得＝3，
则＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)
＝－＋.
所以x＝－，y＝，所以x－y＝－－＝－2.
10.如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，则||＝________.
答案　
解析　因为〈，〉＝60°，所以·＝||·||cos 60°＝1×3×＝.又＝(＋)，所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，所以2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.
三、解答题
11．若＝(sin θ，－1)，＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈，求||的最大值．
解　∵＝－＝(sin θ，2cos θ＋1)，
∴||＝
＝＝，
∴当cos θ＝1，即θ＝0时，||取得最大值3.
12．已知＝(1,0)，＝(0,1)，＝(t，t)(t∈R)，O是坐标原点．
(1)若A，B，M三点共线，求t的值；
(2)当t取何值时，·取到最小值？并求出最小值．
解　(1)＝－＝(－1,1)，
＝－＝(t－1，t)．
∵A，B，M三点共线，∴与共线，
∴－(t－1)－t＝0，∴t＝.
(2)∵＝(1－t，－t)，＝(－t,1－t)，
∴·＝2t2－2t＝22－，
易知当t＝时，·取得最小值－.
13.如图，在同一平面内，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，||＝2，||＝3，||＝4.
(1)用和表示；
(2)若＝λ，⊥，求λ的值．
解　由题意，得∠BOC＝90°，以O为坐标原点，以OC所在的直线为x轴，以BO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则O(0,0)，A(－1，)，B(0，－3)，C(4,0)．
(1)设＝λ1＋λ2，则(－1，)＝λ1(0，－3)＋λ2(4,0)＝(4λ2，－3λ1)，
∴λ1＝－，λ2＝－，∴＝－－.
(2)设D(x，y)，∵＝λ，
∴(x＋1，y－)＝λ(5，－)，
∴∴D(5λ－1，－λ＋)，
＝(5λ－1,3－λ＋)．
∵·＝0，
∴(5λ－1)×5＋(3＋－λ)×(－)＝0，
解得λ＝.
四、探究与拓展
14.如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　令＝λ.
由题可知，＝＋＝＋λ
＝＋λ＝(1－λ)＋λ.
令＝μ，则＝＋＝＋μ
＝＋μ＝μ＋(1－μ).
由解得
所以＝＋，故选C.
15.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，
e1＝，e2＝，与的夹角为.
(1)若＝xe1＋ye2，求x，y的值；
(2)求·的值；
(3)求与的夹角的余弦值．
解　(1)因为AB＝3，BC＝2，e1＝，e2＝，
所以＝＋＝3e1＋2e2＝xe1＋ye2.
又e1与e2不共线，所以x＝3，y＝2.
(2)由(1)知＝3e1，＝2e2，
所以＝－＝－＝2e2－3e1.
所以AC·＝(3e1＋2e2)·(2e2－3e1)
＝4e－9e＝－5.
(3)因为与的夹角为，
所以e1与e2的夹角为.
又|e1|＝|e2|＝1，
所以||＝|＋|＝|2e2＋3e1|
＝＝＝.
||＝|－|＝|2e2－3e1|
＝
＝＝.
设与的夹角为θ，可得
cos θ＝＝
＝－.
所以与的夹角的余弦值为－.