模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：160分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．sin 300°等于 ( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 sin 300°＝sin(－60°＋360°)＝sin(－60°)
＝－sin 60°＝－，故选A.
2．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则|a－b|的值为( )
A. B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 如图，将向量a，b的起点都移到原点，
即a＝，b＝，
则|a－b|＝||且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，
又因为|a|＝|b|＝1，
则△AOB为正三角形，从而||＝|a－b|＝1.
3．函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程可以为( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
答案 A
解析 ∵函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程为2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴x＝π＋(k∈Z)．
当k＝0时，x＝，∴函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程可以为x＝.
4．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于( )
A．－＋ B．－－
C.－ D.＋
答案 A
解析 由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，
＝，∴＝＋＝－＋.故选A.
5．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.
当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.
6．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||为( )
A. B. C．7 D．18
答案 A
解析 ∵＝(＋)＝(6p－q)，
∴||＝＝
＝
＝ ＝.
7.如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值等于( )
A．1 B．－ C. D．－
答案 D
解析 小正方形的边长为cos θ－sin θ，即(cos θ－sin θ)2＝，得cos θ＝，sin θ＝，
故sin2θ－cos2θ＝－.
8．若e1，e2是夹角为120°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2和b＝e2－2e1的夹角的余弦值是( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 设θ为a，b的夹角，cos θ＝
＝
＝＝－.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
9．已知sin－cos α＝，则cos＝________.
答案
解析 由sin－cos α＝，
得sin α＋cos α－cos α＝sin α－cos α＝sin＝，
故cos＝cos 2＝1－2sin2
＝1－＝.
10．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
答案 －2
解析 a＋b＝(m＋1,3)，由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得(m＋1)2＋32＝m2＋12＋12＋22，解得m＝－2.
11．函数y＝ 的单调减区间为______________________．
答案 ，k∈Z
解析 由2sin－1≥0，得＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，由单调性得＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，即＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得，k∈Z.
12．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)＝________.
答案 2＋2
解析 由图象可知，f(x)＝2sin的周期为8，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)
＝2sin＋2sin＋2sin＝2＋2.
13．关于函数f(x)＝sin＋sin，有以下结论：
①y＝f(x)的最大值为；
②y＝f(x)在区间上是单调增函数；
③当x1－x2＝π，f(x1)＝f(x2)；
④函数f(x)的图象关于点对称；
⑤将函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合．
其中正确的结论是________．(填序号)
答案 ①③④
解析 f(x)＝sin＋sin
＝cos＋sin＝sin
＝sin.
y＝f(x)的最大值为，①正确；
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z可解得函数f(x)的单调增区间为，k∈Z，故②错误；
当x1－x2＝π时，
f(x1)＝f(x2＋π)＝sin
＝sin＝sin＝f(x2)．
故③正确；
由2x－＝kπ，k∈Z可解得函数的对称点为
，k∈Z，当k＝0时，④正确；
将函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数解析式
h(x)＝cos
＝cos＝sin，故⑤错误．
故答案为①③④.
14．给出下列4个命题：
①函数y＝tan x的图象关于点，k∈Z对称；
②函数f(x)＝sin|x|是最小正周期为π的周期函数；
③设θ为第二象限角，则tan>cos，且sin>cos；
④函数y＝cos2x＋sin x的最小值为－1.
其中正确的命题是________．(填序号)
答案 ①④
解析 ①点，k∈Z是正切函数的对称中心，∴①对；
②f(x)＝sin|x|不是周期函数，∴②错；
③∈，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，sin
④y＝1－sin2x＋sin x＝－2＋，
∴当sin x＝－1时，ymin＝－1，∴④对．
三、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解 (1)因为sin ＋cos ＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又<α<π，所以cos α＝－.
(2)因为<α<π，<β<π，
所以－π<－β<－，故－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－.
16．(14分)已知函数f(x)＝4tan xsincos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解 (1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，
B＝，
可知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数．
17．(14分)已知向量m＝(sin x,1－cos x)，n＝(1－sin x，cos x)，函数f(x)＝m·n＋.
(1)求函数f(x)的零点；
(2)若f(α)＝，且α＝，求cos α的值．
解 (1)f(x)＝m·n＋＝sin x－sin2x＋cos x－cos2x＋＝sin x＋cos x
＝2sin.
由2sin＝0，得x＋＝kπ(k∈Z)，
所以x＝kπ－(k∈Z)，
所以函数f(x)的零点为x＝kπ－(k∈Z)．
(2)由(1)，知f(α)＝2sin＝，
所以sin＝，因为α∈，
所以<α＋<，则cos＝－，
所以cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝.
18．(16分)已知a＝(cos α，sin α)，α∈(0，π)，b＝(sin β，cos β)，β∈(0,2π)，又tan＝，且a·b＝.
(1)求sin β，cos β；
(2)求sin α.
解 (1)由tan＝，得tan β＝＝，
由tan＝± ，得＝，
即cos β＝，
因为tan β＝>0，从而sin β＝，
所以sin β＝，cos β＝.
(2)由a·b＝，得sin αcos β＋cos αsin β＝，
即sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－或，
sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β，
即sin α＝或sin α＝－，而sin α>0，
所以sin α＝.
19．(16分)已知a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f(x)＝2a·b＋2m－1(x，m∈R)．
(1)求f(x)关于x的表达式，并求f(x)的最小正周期；
(2)若当x∈时，f(x)的最小值为5，求m的值．
解 (1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋2m－1
＝sin 2x＋cos 2x＋2m＝2sin＋2m，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，
函数f(x)取得最小值2m－1.
∵2m－1＝5，∴m＝3.
20．(16分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调增区间；
(3)当x∈时，求函数y＝f－·f的最值．
解 (1)由题图得T＝－＝＝，
∴T＝2π，∴ω＝＝1.
又由f＝0，得Asin＝0，
∴＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.
又∵0<φ<，∴当k＝1时，φ＝.
又由f(0)＝2，得Asin ＝2，∴A＝4，
∴f(x)＝4sin.
(2)将f(x)＝4sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到
y＝4sin，再将图象向右平移个单位长度，得到
g(x)＝4sin＝4sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(3)y＝f－f
＝4sin－·4sin
＝4sin－4sin
＝4－4cos x
＝2sin x＋2cos x－4cos x
＝2sin x－2cos x＝4sin.
∵x∈，x－∈，
∴sin∈，
∴函数的最小值为－4，最大值为2.
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知α为第二象限角，sin α＝，则sin的值等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵sin α＝，α是第二象限角，∴cos α＝－，
则sin＝sin αcos －cos αsin
＝×＋×＝.故选A.
2．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A. B. C．π D．2π
答案 C
解析 由题意得y＝2sin，其最小正周期T＝＝π.
3.等于( )
A．2cos α B．2cos α
C．2sin α D．sin α
答案 A
解析 原式＝＝2cos α.
4．函数f(x)＝3cos x－sin x的图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
答案 A
解析 ∵f(x)＝3cos x－sin x＝2
＝2cos，
∴函数的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，
即x＝kπ－，k∈Z.
∴当k＝1时，x＝是其中的一条对称轴方程，故选A.
5．函数y＝sin 2x＋sin2x(x∈R)的值域是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 y＝sin 2x＋
＝＋
＝sin＋.
∵x∈R，∴2x－∈R，
∴sin∈[－1,1]，
∴函数的值域是.
6．函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期是( )
A. B. C．π D．2π
答案 B
解析 ∵f(x)＝sin4x＋1－sin2x
＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2x)＋1
＝1－sin2xcos2x＝1－sin22x
＝1－×＝cos 4x＋，
∴T＝＝.
7．已知β∈，满足tan(α＋β)＝，sin β＝，则tan α等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝，所以tan β＝＝.
又因为tan(α＋β)＝，
所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝
＝＝，故选B.
8．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 ∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
∵tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－，故选A.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
9.＝________.
答案
解析
＝cos2 －sin2＝cos ＝.
10．设α为锐角，若cos＝，则sin＝____________.
答案 －
解析 因为α为锐角，所以α＋∈，
所以sin＝ ＝，
则sin＝sin＝×－×＝－.
11．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
答案 1
解析 tan β＝＝＝tan.
∵α，β均为锐角，∴β＝－α，∴α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝tan ＝1.
12．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为________．
答案
解析 ∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B
＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin C＋cos C
＝2sin＝1，
∴sin＝，
∵0∴∴＋C＝，∴C＝.
13．已知不等式3sin cos ＋cos2－－m≤0对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 [，＋∞)
解析 令f(x)＝3sin cos ＋cos2－－m
＝sin ＋cos －m≤0，
∴m≥sin.
∵－≤x≤，∴－≤＋≤，
∴－≤sin≤，∴m≥.
14．函数y＝sin2x－2sin xsin＋sin 的图象的对称轴方程是____________．
答案 x＝＋(k∈Z)
解析 ∵y＝sin2x－2sin xsin＋sin
＝sin2x－2sin x－1
＝－sin xcos x－1＝－sin 2x－1.
令2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
∴该函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
三、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知tan α，tan β是x2＋3x＋4＝0的两根，－<α<，－<β<，求α＋β.
解 ∵tan α＋tan β＝－3<0，tan αtan β＝4>0，
∴tan α<0，tan β<0.
∵－<α<，－<β<，
∴－<α<0，－<β<0.
∴－π<α＋β<0，
∴tan(α＋β)＝＝＝，
∴α＋β＝－.
16．(14分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
解 (1)f＝2cos ＋sin2－4cos
＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x
＝3cos2x－4cos x－1＝32－，x∈R.
因为cos x∈[－1,1]，
所以当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝时，f(x)取得最小值－.
17．(14分)已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sinsin，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和值域；
(2)若x0为f(x)的一个零点，求sin 2x0的值．
解 (1)f(x)＝sin2x＋sin 2x＋(sin2x－cos2x)＝＋sin 2x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin＋，
所以f(x)的最小正周期为π，值域为.
(2)由f(x0)＝2sin＋＝0，
得sin＝－<0.
又由0≤x0≤，得－≤2x0－≤，
所以－≤2x0－<0，所以cos＝.
故sin 2x0＝sin＝sincos ＋cossin
＝－×＋×＝.
18．(16分)(1)已知＜α＜π，tan α＋＝－，求的值；
(2)已知0＜α＜＜β＜π，tan ＝，cos(β－α)＝，求β的值．
解 (1)因为＜α＜π，所以－1＜tan α＜0，
由tan α＋＝－，得3tan2α＋10tan α＋3＝0，
解得tan α＝－或tan α＝－3(舍去)．
故
＝
＝＝－－2tan α
＝－－2×＝－.
(2)因为0＜α＜，tan ＝，
所以tan α＝＝＝.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝.
又因为0＜α＜＜β＜π，所以0＜β－α＜π.
因为cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝.
所以sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝×＋×＝.
因为β∈，所以β＝.
19．(16分)已知函数f(x)＝4sin·cos ωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0,2)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若α为锐角，且g(α)＝－，求cos α的值．
解 (1)f(x)＝4sin·cos ωx
＝4cos ωx
＝2 sin ωxcos ωx－2cos2ωx
＝sin 2ωx－cos 2ωx－
＝2sin－，
∵函数f(x)在x＝处取得最值，∴2ω×－＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝2k＋，k∈Z，又ω∈(0,2)，∴ω＝，∴f(x)＝2sin－，∴最小正周期T＝.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，
得到函数y＝2sin－＝2sin－的图象，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，
得到函数y＝2sin－的图象，即g(x)＝2sin－.
∵α为锐角，g(α)＝2sin－＝－，
∴sin＝，cos＝＝，
∴cos α＝cos
＝cos－sin
＝×－×＝.
20．(16分)已知函数f(x)＝sin＋cos＋2cos2x－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，且f(α)＝，求cos 2α.
解 (1)∵f(x)＝sin 2x－cos 2x＋cos 2x＋sin 2x＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)∵f(α)＝，∴sin＝，
∴sin＝.
∵α∈，∴≤2α＋≤，
∴cos＝－.
∴cos 2α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝－×＋×＝－.
§3.1 两角和与差的三角函数
3.1.1 两角和与差的余弦
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值．
知识点一 两角差的余弦
思考1 cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？
答案 不成立．
思考2 单位圆中(如图)，∠P1Ox＝α，∠P2Ox＝β，那么P1，P2的坐标是什么？与的夹角是多少？
答案 P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β).与的夹角是α－β.
思考3 由思考2，体会两角差的余弦公式的推导过程．
答案 在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β )，则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β≤π的情况．
设向量a＝＝(cos α，sin α)，
b＝＝(cos β，sin β)，
则a·b＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)．
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有
a·b＝cos αcos β＋sin αsin β，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C(α－β))
梳理 两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C(α－β))
知识点二 两角和的余弦
思考 你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗？
答案 能，cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin α·sin(－β)＝cos αcos β－sin α·sin β.
梳理 两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C(α＋β))
特别提醒：(1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体．
(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式．
1.存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β.( √ )
提示 如α＝，β＝，cos(α－β)＝cos＝cos＝，cos α－cos β＝cos －cos ＝，满足cos(α－β)＝cos α－cos β.
2．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( × )
提示 由两角差的余弦公式可知不正确．
3．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( √ )
4．不存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( × )
提示 如α＝β＝0，cos(α＋β)＝cos 0＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1.
类型一 给角求值问题
例1 求下列各式的值：
(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；
(2)；
(3)cos 15°＋sin 15°.
解 (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°
＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝.
(2)原式＝＝＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝.
(3)∵cos 60°＝，sin 60°＝，
∴cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
反思与感悟 对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则．如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)；
(2).
解 (1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)
＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝2.
类型二 已知三角函数值求值
例2 已知sin α＝－，sin β＝，且π＜α＜，＜β＜π，求cos(α－β)．
解 ∵sin α＝－，π＜α＜，
∴cos α＝－＝－.
又∵sin β＝，＜β＜π，
∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
引申探究
1．若将本例改为已知sin α＝－，sin β＝，且π＜α＜2π，0＜β＜，求cos(α－β)．
解 ∵sin β＝，0＜β＜，
∴cos β＝＝.
又sin α＝－，且π＜α＜2π，
①当π＜α＜时，cos α＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝－；
②当＜α＜2π时，cos α＝＝，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
综上所述，cos(α－β)＝－或.
2．若将本例改为已知sin α＝－，π＜α＜，＜β＜π，cos(α－β)＝，求sin β.
解 ∵sin α＝－，且π＜α＜，
∴cos α＝－＝－.
又∵＜β＜π，
∴－π＜－β＜－，
∴0＜α－β＜π.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β)，
＝×＋×＝－，
又∵<β<π，
∴sin β＝＝.
反思与感悟 (1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角．
(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
跟踪训练2 已知＜β＜α＜，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α的值．
解 因为＜β＜α＜，所以π＜α＋β＜，0＜α－β＜，又因为cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，所以sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，所以cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝×－×＝－.
类型三 已知三角函数值求角
例3 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
解 由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝ ＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝ ＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又∵0<β<，∴β＝.
反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤：
(1)求角的某一个三角函数值．
(2)确定角的范围．
(3)根据角的范围写出所求的角．
跟踪训练3 已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值．
解 因为α，β为锐角且sin α＝，cos β＝，
所以cos α＝＝，sin β＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝，
由0＜α＜，0＜β＜，得0＜α＋β＜π，
又cos(α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝.
1．cos cos ＋cos sin ＝ .
答案
解析 cos cos ＋cos sin
＝cos cos ＋sin sin ＝cos
＝cos ＝.
2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b＝ .
答案
解析 a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
3．已知cos α＝，且α为第一象限角，则cos
＝ .
答案
解析 ∵cos α＝，且α为第一象限角，
∴sin α＝＝＝，
∴cos＝cos cos α－sin sin α
＝×－×＝.
4．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，则角β＝ .
答案
解析 因为sin(π－α)＝，所以sin α＝.
因为0<α<，所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，所以0<α－β<，
所以sin(α－β)＝＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
因为0<β<，所以β＝.
5．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，求cos 2β的值．
解 ∵sin(α－β)＝，α－β∈，
∴cos(α－β)＝－.
∵sin(α＋β)＝－，α＋β∈，
∴cos(α＋β)＝.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角所在的范围(找区间)；
(3)确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
一、选择题
1．cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 原式＝－cos 115°cos 20°＋sin 115°sin 20°
＝cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)
＝cos 45°＝.
2．已知cos＝，0＜θ＜，则cos θ等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵θ∈，∴θ＋∈，
∴sin＝＝.
∴cos θ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 ∵α为锐角，且cos α＝，
∴sin α＝＝.
∵β为第三象限角，且sin β＝－，
∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.故选A.
4．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于( )
A. B. C．－ D.
答案 A
解析 由题意可得sin α＝，cos α＝，
cos＝cos cos α＋sin sin α
＝×＋×＝.
5．已知点A(cos 80°，sin 80°)，B(cos 20°，sin 20°)，则|A|等于( )
A. B. C. D．1
答案 D
解析 |A|＝
＝
＝＝＝1.
二、填空题
6．计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为________．
答案
解析 sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°
＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°
＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝.
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β＝________.
答案
解析 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝.
则
得cos αcos β＝，sin αsin β＝.
tan αtan β＝＝.
8．已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m，且β为第三象限角，则sin β＝________.
答案 －
解析 cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α
＝cos[(α－β)－α]＝m，即cos β＝m.
又∵β为第三象限角，
∴sin β＝－＝－.
9．设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cos A，2sin A)，b＝(3cos B,3sin B)．若a，b的夹角的弧度数为，则A－B＝________.
答案 ±
解析 cos ＝＝
＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)．
又－＜A－B＜，
∴A－B＝±.
10．已知sin α＝，α∈，则cos的值为________．
答案
11．已知cos α＝，cos(α－β)＝－，<α<2π，<α－β<π，则cos β＝________.
答案 －1
解析 由条件知sin α＝－，sin(α－β)＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－－＝－1.
三、解答题
12．已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
解 ∵α，β∈，
∴cos α＝，sin β＝.
∵sin α∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝，
∴α－β＝－.
13．已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β)．
解 因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π.
因为cos(2α－β)＝－，所以<2α－β<π，
所以sin(2α－β)＝.
因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝，所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝.
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝0.
四、探究与拓展
14．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
答案 －
解析 sin α＋sin β＝－sin γ，①
cos α＋cos β＝－cos γ， ②
①2＋②2?2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1
?cos(α－β)＝－.
15.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β；
(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．
解 (1)∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，，
∴sin α＝，sin β＝，∴cos α＝.
(2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－，
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α
＝－×＋×＝.
3.1.2 两角和与差的正弦
学习目标 1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征.3.能运用公式进行三角函数的有关化简求值．
知识点 两角和与差的正弦
思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
答案 sin(α＋β)＝cos
＝cos＝coscos β＋sinsin β＝sin αcos β＋cos αsin β.
思考2 如何推导两角差的正弦呢？
答案 可以由sin(α－β)＝cos
＝cos得到，也可以由sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]得到．
梳理 (1)两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
α，β∈R
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
α，β∈R
记忆口诀：“正余余正，符号相同”．
(2)辅助角公式
asin x＋bcos x＝，
令cos φ＝，sin φ＝，则有asin x＋bcos x＝(cos φsin x＋sin φcos x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ为辅助角．
1.任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.( √ )
提示 由两角和的正弦公式知结论正确．
2．存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )
提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.
3．存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ )
提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0.
类型一 给角求值
例1 (1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．
解 原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·
sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)
＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝.
(2)＝ .
答案
解析 原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
反思与感悟 (1)解答给角求值题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．
跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．
解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
类型二 给值求值
例2 已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)．
解 ∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略：
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．
跟踪训练2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．
解 ∵<β<α<，
∴0<α－β<，π<α＋β<.
∴sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×－×＝－，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－.
类型三 辅助角公式
例3 将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：
(1)sin x－cos x；
(2)sin＋cos.
解 (1)sin x－cos x＝2
＝2
＝2sin.
(2)原式＝
＝
＝cos＝cos
＝sin.
反思与感悟 一般地对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．
跟踪训练3 sin －cos ＝ .
答案 －
解析 原式＝2.
方法一 原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝－.
方法二 原式＝2
＝－2
＝－2cos＝－2cos ＝－.
例4 已知函数f(x)＝2sin－2cos x，x∈，求函数f(x)的值域．
解 f(x)＝2sin－2cos x＝sin x－cos x
＝2sin，因为≤x≤π，所以≤x－≤.
所以≤sin≤1.
所以函数f(x)的值域为[1,2]．
反思与感悟 (1)用辅助角公式化成一角一函数，
即asin x＋bcos x＝sin(x±φ)的形式．
(2)根据三角函数的单调性求其值域．
跟踪训练4 (1)当函数y＝sin x－cos x(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝ ；
(2)函数f(x)＝sin x－cos的值域为 ．
答案 (1) (2)[－，]
解析 (1)y＝2sin，
∵0≤x≤2π，
∴－≤x－≤，
∴当x－＝，即x＝时，ymax＝2.
(2)f(x)＝sin x－cos x＋sin x
＝sin x－cos x＝sin，
∴f(x)∈[－，].
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果为 ．
答案
解析 原式＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝.
2．化简：cos＋sin＝ .
答案 cos α
解析 cos＋sin
＝sin＋sin＝2sin cos α＝cos α.
3．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ .
答案
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
4．计算cos ＋sin 的值是 ．
答案 2
解析 cos ＋sin
＝2
＝2
＝2sin＝2sin ＝2.
5．化简：sincos－cos·sin.
解 原式＝sincos－sin·
cos＝sin
＝sin＝sin cos －cos sin
＝×－×＝.
1．公式的推导和记忆
(1)理顺公式间的逻辑关系
C(α－β)C(α＋β)S(α＋β)S(α－β)．
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；
对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．
(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．
2．应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．
一、选择题
1．已知cos＝，x∈(0，π)，则sin x的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意得x＋∈，
所以sin＝，
所以sin x＝sin
＝sincos －cossin
＝×－×
＝.
2．已知α∈，sin＝，则sin α等于( )
A. B.
C．－或 D．－
答案 B
解析 由α∈，得<α＋<，
所以cos＝－
＝－＝－.
所以sin α＝sin
＝sincos －cossin
＝×＝，故选B.
3．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 A
解析 ∵∴0<α－β<π.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝.
∵－<β<0，sin β＝－，
∴cos β＝，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝.
4．在△ABC中，若A＝，cos B＝，则sin C等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝(cos B＋)
＝×＝.
5．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则sin的值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因为sin α＋cos α＝，α∈(0，π)．
所以1＋2sin αcos α＝，2sin αcos α＝－，
所以sin α>0，cos α<0，
由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.
可得sin α－cos α＝.
解得sin α＝，cos α＝.
因为cos ＝cos＝cos cos ＋sin sin ＝，
sin ＝sin＝sin cos －cossin＝，
则sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝.
二、填空题
6．设α为锐角，若cos＝，则sin＝______.
答案
解析 因为α为锐角，所以＜α＋＜.
又cos＝，所以sin＝，
所以sin＝sin
＝sincos －cos·sin
＝×－×＝.
7．已知cos＋sin α＝，则sin的值为________．
答案 －
解析 ∵cos＋sin α＝，
∴cos αcos ＋sin αsin ＋sin α＝，
∴cos α＋sin α＝，即cos α＋sin α＝，
∴sin＝.
∴sin＝－sin＝－.
8．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝________.
答案
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝(cos B＋)
＝×＝.
9．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
答案 1
解析 因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin[(x＋φ)－φ]
＝sin x，所以f(x)的最大值为1.
10．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β＝________.
答案
解析 由题意，得sin αcos β－cos αsin β＝，
∴sin(α－β)＝.
∵0＜β＜α＜，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝ ＝.
又由cos α＝，得sin α＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，
又∵0<β<，
∴β＝.
11.＝________.
答案 1
解析 原式＝
＝
＝tan 45°＝1.
三、解答题
12．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，求β.
解 ∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝.
∵－<α－β<且sin(α－β)＝－，
∴cos(α－β)＝，
∴sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝×＋×＝.
又∵β为锐角，∴β＝.
13．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．
解 ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，
∴sin β＝－，又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－.
∴sin＝sin βcos＋cos βsin
＝×＋×
＝－.
四、探究与拓展
14．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若·＝－1，则sin＝________.
答案
解析 ∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴·＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)
＝cos2α－3cos α＋sin2α－3sin α
＝1－3(sin α＋cos α)
＝1－3
＝1－3sin＝－1，
∴sin＝.
15．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解 (1)由f＝Asin
＝Asin ＝A·＝，可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin－3sin＝，
即3－3＝，
故sin θ＝.
因为θ∈，所以cos θ＝，
所以f(－θ)＝3sin
＝3sin＝3cos θ＝.
3.1.3 两角和与差的正切
学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．
知识点一 两角和与差的正切公式
思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
答案 tan(α＋β)＝＝，
分子分母同除以cos αcos β，便可得到．
思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？
答案 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．
梳理
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和
的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z)
两角差
的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)
知识点二 两角和与差的正切公式的变形
1．T(α＋β)的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．
tan αtan β＝1－.
2．T(α－β)的变形
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．
tan αtan β＝－1.
1．对于任意角α，β，总有tan(α＋β)＝ .( × )
提示 公式成立需α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
2．使公式tan(α±β)＝有意义，只需α，β≠kπ＋(k∈Z)即可．( × )
提示 还应使α±β≠kπ＋，k∈Z.
3．若α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)恒成立．( √ )
4．α≠kπ－，且α≠kπ＋，k∈Z时，tan＝.( √ )
类型一 正切公式的正用
例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为 ．
答案 3
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝＝＝3.
(2)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝ .
答案
解析 因为tan α＝，tan β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝1.
因为α，β均为锐角，
所以α＋β∈(0，π)，
所以α＋β＝.
反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角．
(2)利用公式T(α＋β)求角的步骤：
①计算待求角的正切值．
②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
③根据角的范围及三角函数值确定角．
跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝ .
答案 －
解析 由题意，得cos＝，∴tan＝.
∴tan＝tan＝－
＝－.
类型二 正切公式的逆用
例2 (1)＝ ；
(2)＝ .
答案 (1) (2)－1
解析 (1)原式＝＝tan(45°＋15°)
＝tan 60°＝.
(2)原式＝＝
＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.
反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现，1，这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示．
跟踪训练2 求下列各式的值：
(1)；(2).
解 (1)原式＝＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝＝＝.
类型三 正切公式的变形使用
例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°；
(2)若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，求α＋β的值．
解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°
＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
方法二 ∵tan(23°＋37°)＝，
∴＝，
∴－tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
(2)∵(1＋tan α)(1＋tan β)
＝1＋(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，
∴tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，
∴tan(α＋β)＝＝.
又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝60°.
反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式：
①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)或②1?tan α·tan β＝.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．
跟踪训练3 在△ABC中，A＋B≠，且tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C的值为 ．
答案
解析 ∵tan A＋tan B＋＝tan Atan B?tan(A＋B)·(1－tan Atan B)＝(tan Atan B－1)．(*)
若1－tan Atan B＝0，则cos Acos B－sin Asin B＝0，
即cos(A＋B)＝0.
∵0∴由(*)得tan(A＋B)＝－，即tan C＝.
又∵01．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)＝ .
答案
解析 tan(α－β)＝＝＝.
2．已知cos α＝－，且α∈，则tan＝ .
答案 7
解析 由cos α＝－，且α∈，得sin α＝，
所以tan α＝＝－，
所以tan＝＝＝7.
3．已知tan α＝，则＝ .
答案
解析 方法一 因为tan α＝，
所以tan＝＝＝3，
所以＝＝.
方法二 ＝
＝tan＝tan α＝.
4．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝ .
答案
解析 ∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，
∴tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
又∵05．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .
答案
解析 由条件知＝＝3，则tan α＝2.
∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝
＝＝.
1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．应用公式T(α±β)时要注意的问题
(1)公式的适用范围
由正切函数的定义可知，α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
(2)公式的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．
特别要注意tan＝，
tan＝.
(3)公式的变形用
只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．
特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．
一、选择题
1．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( )
A. B．1＋
C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)
答案 C
解析 (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.
2．已知α＋β＝π，则(1＋tan α)·(1＋tan β)等于( )
A．－1 B．－2 C．2 D．3
答案 C
解析 (1＋tan α)·(1＋tan β)＝1＋(tan α＋tan β)＋tan α·tan β＝1＋tan(α＋β)·(1－tan α·tan β)＋tan α·tan β＝1＋1－tan α·tan β＋tan α·tan β＝2.
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan的值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为α＋＝(α＋β)－，
所以tan＝
＝＝.
4．在△ABC中，若(tan B＋tan C)＝tan Btan C－1，则sin 2A等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 B
解析 在△ABC中，
因为(tan B＋tan C)＝tan Btan C－1，
所以tan(B＋C)＝＝－，
所以B＋C＝150°，所以A＝30°，
所以sin 2A＝sin 60°＝.
5．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
答案 A
解析 ∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形．
二、填空题
6．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β＝________.
答案
解析 因为tan(α＋β)＝，
所以1－tan αtan β＝＝＝，
所以tan α·tan β＝1－＝.
7．设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan＝________.
答案
解析 由a·b＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.
tan＝＝＝.
8．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
答案 1
解析 ∵tan β＝＝，
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α，
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
又α，β均为锐角，∴tan α＋tan β＝1－tan α＋tan β≠0，
∴＝1，
∴tan(α＋β)＝1.
9．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为________．
答案
解析 ∵(tan α－1)(tan β－1)＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtanβ－1，
∴tan(α＋β)＝－1.
∴α＋β＝－＋kπ，k∈Z.
∴α＋β的最小正值为π.
10．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则B＝________.
答案 60°
解析 由公式变形得
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)
＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)
＝－tan C＋tan Atan Btan C.
∴tan A＋tan B＋tan C
＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C
＝tan Atan Btan C＝3.
又∵tan2B＝tan Atan C，
∴tan3B＝3，
∴tan B＝，又∵B是三角形的内角，∴B＝60°.
11.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝__________.
答案
解析 ∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，
∴tan∠BAD＝＝，
tan∠CAD＝＝＝，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
＝＝
＝.
12．若α，β均为锐角，tan α＝(1＋m)，(tan αtan β＋m)＋tan β＝0，则α＋β＝________.
答案
解析 由已知得tan α＝＋m，①
tan β＝－tan αtan β－m，②
①＋②得tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，
∵＝tan(α＋β)＝，
∴0＜α＜，0＜β＜，
∴0＜α＋β＜π，
∴α＋β＝.
三、解答题
13．已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan的值；(2)tan(α＋β)的值．
解 (1)tan＝tan
＝＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝＝＝2－3.
四、探究与拓展
14．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________.
答案 －
解析 由题意得tan α＋tan β＝3，tan αtanβ＝－3.
＝
＝＝＝－.
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解 由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
∴tan α＝＝7，tan β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.
又∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.
§3.2 二倍角的三角函数
第1课时 二倍角的三角函数
学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
知识点 二倍角公式
思考1 根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？
答案 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α
＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；
tan 2α＝tan(α＋α)＝.
思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？
答案 cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；
或cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.梳理 (1)倍角公式
①sin 2α＝2sin αcos α.(S2α)
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α
＝2cos2α－1.(C2α)
③tan 2α＝.(T2α)
(2)二倍角公式的重要变形——升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，
1＋cos α＝2cos2,1－cos α＝2sin2 .
1．sin α＝2sin cos .( √ )
2．cos 4α＝cos22α－sin22α.( √ )
3．对任意角α，tan 2α＝.( × )
提示 公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝及α＝，上式均无意义．
类型一 给角求值
例1 求下列各式的值：
(1)cos 72°cos 36°；(2)－cos215°；(3)；(4)－.
解 (1)cos 36°cos 72°＝
＝＝＝＝.
(2)－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°＝－.
(3)＝2·＝2·＝－2.
(4)－＝
＝
＝＝＝4.
反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)cos cos cos ；(2)＋.
解 (1)原式＝
＝＝
＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝＝4.
类型二 给值求值
例2 已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解 (1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：
①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢．
②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
跟踪训练2 若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝ .
答案
解析 cos2α＋2sin 2α＝＝.
把tan α＝代入，得
cos2α＋2sin 2α＝＝＝.
类型三 利用倍角公式化简
例3 化简.
解 方法一 原式＝
＝＝
＝＝1.
方法二 原式＝
＝
＝＝＝1.
反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求：
①能求出值的应求出值．
②使三角函数种数尽量少．
③使三角函数式中的项数尽量少．
④尽量使分母不含有三角函数．
⑤尽量使被开方数不含三角函数．
(2)化简的方法：
①弦切互化，异名化同名，异角化同角．
②降幂或升幂．
③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
跟踪训练3 化简：＜α＜，则＝ .
答案 sin α－cos α
解析 ∵α∈，∴sin α＞cos α，
∴＝
＝
＝＝sin α－cos α.
1.sin cos 的值为 ．
答案
解析 原式＝sin ＝.
2．sin4－cos4＝ .
答案 －
解析 原式＝·
＝－＝－cos ＝－.
3.＝ .
答案 1－
解析 ＝·
＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝×＝1－.
4．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是 ．
答案
解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈，
∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－，sin α＝，tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.
5．化简：－.
解 原式＝＝＝tan 2θ.
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝；③1－cos 2α＝2sin2α；④sin2α＝.
一、选择题
1．已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 D
解析 由α是第三象限角，且cos α＝－，
得sin α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D.
2．(2017·全国Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 ∵sin α－cos α＝，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，
∴sin 2α＝－.故选A.
3．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( )
A．30°或60° B．45°
C．60° D．30°
答案 D
解析 因为cos 2α＝1－2sin2α，
故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，
即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.
因为α为锐角，所以sin α＝，
所以α＝30°.故选D.
4．已知x∈，cos x＝，则tan 2x等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 D
解析 由cos x＝，x∈，得sin x＝－，
所以tan x＝－，
所以tan 2x＝＝＝－，故选D.
5.的值是( )
A．sin 2 B．－cos 2
C.cos 2 D．－cos 2
答案 D
解析 原式＝＝＝－cos 2.
二、填空题
6．如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是________．
答案 －
解析 ∵<θ<3π，|cos θ|＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－.
∴sin2＝＝，
又∵<<，∴sin <0.
∴sin ＝－.
7．已知sin 2α＝，则cos2＝________.
答案
解析 因为cos2＝
＝＝，
所以cos2＝＝＝.
8．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝________.
答案 －
解析 由题意得(sin α＋cos α)2＝，
∴1＋sin 2α＝，sin 2α＝－.
∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0，cos α－sin α<0.
又∵sin α＋cos α>0，
∴|cos α|<|sin α|，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α<0，
∴cos 2α＝－
＝－＝－＝－.
9．若cos＝，则sin 2α＝________.
答案 －
解析 因为sin 2α＝cos＝2cos2－1，又因为cos＝，所以sin 2α＝2×－1＝－.
10．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝，则tan 2α＝________.
答案
解析 cos α＝＝，
∴x2＝9，x＝±3.
又∵α是第二象限角，∴x＝－3，
∴cos α＝－，sin α＝，
∴tan α＝－，tan 2α＝＝＝
＝.
11．已知tan x＝2，则tan 2＝________.
答案
12．若tan α＋＝，α∈，则sin＋2cos cos2α的值为________．
答案 0
解析 由tan α＋＝，得tan α＝或tan α＝3.
又∵α∈，∴tan α＝3.
∴sin α＝，cos α＝ .
∴sin＋2cos cos2α
＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋2cos cos2α
＝×2sin αcos α＋(2cos2α－1)＋cos2α
＝sin αcos α＋2cos2α－
＝××＋2×2－
＝－＝0.
三、解答题
13．已知角α在第一象限且cos α＝，求的值．
解 ∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝，
∴原式＝
＝＝.
四、探究与拓展
14．等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
答案
解析 设A是等腰△ABC的顶角，
则cos B＝，sin B＝＝＝.
所以sin A＝sin(180°－2B)＝sin 2B
＝2sin Bcos B＝2××＝.
15．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈，
求sin α及tan α的值．
解 由题意得sin22α＋sin 2αcos α＝1＋cos 2α
＝2cos2α，
所以2sin2αcos2α＋sin αcos2α－cos2α＝0.
因为α∈，所以cos α≠0，
所以2sin2α＋sin α－1＝0，即(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.
因为sin α＋1≠0，所以2sin α－1＝0，所以sin α＝.
因为0＜α＜，所以α＝，所以tan α＝.
第2课时 二倍角的三角函数的应用
学习目标 1.进一步熟练掌握二倍角公式的特征及正用、逆用.2.掌握二倍角公式的变形即降幂公式的特征.3.会用二倍角公式进行三角函数的一些简单的恒等变换．
知识点 降幂公式
思考 如何用cos α表示sin2，cos2？
答案 ∵cos α＝2cos2－1＝1－2sin2，
∴sin2＝，cos2＝.
梳理 降幂公式
(1)sin2＝.
(2)cos2＝.
(3)tan2＝.
类型一 化简求值
例1 (1)化简cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－cos 2θ；
(2)已知π＜α＜，化简：
＋ .
解 (1)cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－cos 2θ
＝＋－cos 2θ
＝1＋[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－cos 2θ
＝1＋(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°＋cos 2θcos 30°＋sin 2θsin 30°)－cos 2θ
＝1＋×2cos 2θcos 30°－cos 2θ
＝1＋cos 2θ－cos 2θ＝1.
(2)∵π＜α＜，∴＜＜，
原式＝＋
＝－＋
＝－cos .
跟踪训练1 (1)化简sin2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋cos 2θ；
(2)求证：tan2x＋＝.
(1)解 原式＝＋＋cos 2θ
＝1－[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]＋cos 2θ
＝1－(2cos 2θcos 30°)＋cos 2θ
＝1－cos 2θ＋cos 2θ＝1.
(2)证明 ∵左边＝＋
＝＝
＝＝
＝
＝＝右边，
∴等式成立．
类型二 与三角函数性质有关的问题
例2 已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
解 (1)∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为.
反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)由已知，得f(x)＝－
＝－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝
＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数，f＝－，f＝－，f＝.所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
类型三 三角函数在实际问题中的应用
例3 点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？
解 如图所示，∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，AB＝1，
PA＝cos α，PB＝sin α.
又PT切圆于P点，
∠TPB＝∠PAB＝α，
作BC⊥PT于点C.
∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·BC
＝PA·PB＋PT·PB·sin α
＝sin αcos α＋sin2α
＝sin 2α＋(1－cos 2α)
＝(sin 2α－cos 2α)＋
＝sin＋.
∵0<α<，∴－<2α－<，
∴当2α－＝，即α＝时，S四边形ABTP最大．
反思与感悟 利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围．
跟踪训练3 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
解 在直角三角形OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α.
在直角三角形OAD中，＝tan ＝.
∴OA＝DA＝BC＝sin α，
∴AB＝OB－OA＝cos α－sin α.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝sin α
＝sin αcos α－sin2α＝sin 2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝－＝sin－.
∵0<α<，∴<2α＋<，
∴当2α＋＝，即α＝时，Smax＝－＝.
∴当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
1．已知tan＝3，则cos θ＝________.
答案 －
解析 cos θ＝
＝＝＝－.
2．若cos α＝，且α∈(0，π)，则sin 的值为________．
答案
解析 ∵α∈(0，π)，∴∈，
∴sin ＝＝＝.
3．函数y＝1＋4cos2x的单调增区间是______________．
答案 (k∈Z)
解析 y＝1＋4cos2x＝2cos 2x＋3，
由－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
∴该函数单调增区间为(k∈Z)．
4．若＝，则tan 2α＝________.
答案 －
解析 ∵＝＝＝，
∴tan α＝2，
∴tan 2α＝＝＝－.
5．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是________．
答案
解析 f(x)＝＋sin 2x＝sin＋，
∵x∈，∴2x－∈，
∵sin∈，∴f(x)max＝1＋＝.
1．二倍角余弦公式的变形可用来降幂，应灵活掌握：sin2α＝，cos2α＝.
2．解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用．
3．对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理，由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入．
一、选择题
1.等于( )
A.1 B.2 C. D.
答案 B
解析 ＝＝＝2.
2.若cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.
3.设sin＝，则sin 2θ等于( )
A.－ B. C. D.－
答案 A
解析 sin 2θ＝－cos＝2sin2－1
＝2×－1＝－.
4.已知tan ＝，则等于( )
A. B.－ C.－ D.
答案 D
解析 ＝＝＝tan ＝.
5.－等于( )
A.2 B. C.4 D.
答案 C
解析 原式＝
＝＝＝4.
二、填空题
6.若α为第三象限角，则－＝______.
答案 0
解析 ∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，
∴－ ＝－
＝－＝0.
7.已知5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin ＝________.
答案 －
解析 ∵θ∈(5π，6π)，∴∈.
又sin2＝，cos ＝a，
∴sin ＝－＝－.
8.已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________.
答案
解析 因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝，所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝2＋2
＝＋＝.
9.化简：cos2－sin2＝________.
答案 cos x
解析 原式＝－
＝
＝
＝＝cos x.
10.已知α为锐角，且sin α＝，则tan＝_____________________.
答案 －7
解析 因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝，
所以tan α＝2，所以tan 2α＝＝＝－，
故tan＝＝＝－7.
三、解答题
11.已知α为第三象限角，且cos >0，tan α＝3，求tan 的值.
解 ∵tan α＝3，∴＝3，
即3tan2＋2tan －3＝0，
∴tan ＝－＋或tan ＝－－.
∵cos >0，α为第三象限角，∴为第四象限角，
∴tan <0，∴tan ＝－－.
12.已知函数f(x)＝2cos xsin x＋2cos2x.
(1)求f?的值；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域.
解 (1)因为f(x)＝sin 2x＋2cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝2sin＋1，所以f?＝2sin＋1
＝2sin ＋1＝2sin ＋1＝2sin ＋1＝2.
(2)由(1)得f(x)＝2sin＋1，
因为x∈，所以2x＋∈，
所以－≤sin≤1，
所以0≤2sin＋1≤3，即f(x)的值域是[0,3].
13.已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.
解 (1)∵f(x)＝·
＝cos2x－sin2x
＝－＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值.
此时x的取值集合为.
§3.3 几个三角恒等式
学习目标 1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程.2.掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换．
知识点一 积化和差与和差化积公式
思考1 如何用sin(α＋β)，sin(α－β)表示sin αcos β和cos αsin β？
答案 ∵
∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，
即sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
同理得cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
思考2 若α＋β＝θ，α－β＝φ，则如何用θ，φ表示α，β？
答案 α＝，β＝.
梳理 (1)积化和差公式
sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
(2)和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin cos.
sin α－sin β＝2cossin.
cos α＋cos β＝2coscos.
cos α－cos β＝－2sinsin.
知识点二 万能代换公式
思考 结合前面所学倍角公式，能否用tan表示sin α？
答案 sin α＝2sin cos ＝
＝，即sin α＝.
梳理 万能公式
(1)sin α＝.
(2)cos α＝.
(3)tan α＝.
知识点三 半角公式
思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用替换α，结果怎样？
答案 结果是cos α＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2.
思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin ，cos ，tan .
答案 ∵cos2＝，∴cos ＝± ，
同理sin ＝± ，∴tan ＝＝± .
思考3 利用tan α＝和倍角公式又能得到tan 与sin α，cos α怎样的关系？
答案 tan＝＝＝，
tan ＝＝＝.
梳理 半角公式
(1)sin ＝± .
(2)cos＝± .
(3)tan ＝± ＝＝ .
特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由所在的象限相应的三角函数值的符号确定．
(2)半角与倍角一样，也是相对的，即是α的半角，而α是2α的半角．
1．若α≠kπ，k∈Z，则tan ＝＝恒成立．( √ )
2．cos αsin β＝.( × )
类型一 积化和差与和差化积公式
例1 求下列各式的值．
(1)sin 37.5°cos 7.5°；
(2)sin 20°·sin 40°·sin 80°；
(3)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
解 (1)sin 37.5°cos 7.5°
＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝(sin 45°＋sin 30°)＝.
(2)sin 20°·sin 40°·sin 80°
＝－[cos 60°－cos(－20°)]·sin 80°
＝－sin 80°＋sin 80°cos 20°
＝－sin 80°＋×(sin 100°＋sin 60°)
＝－sin 80°＋sin 80°＋＝.
(3)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
＝[sin 90°＋sin(－50°)]－[cos 60°－cos(－40°)]
＝－sin 50°－＋cos 40°＝.
反思与感悟 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应用sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应用cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差．
跟踪训练1 化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)．
解 原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)]
＝－2sin θ
＝sin θ＋2sin θcos 2θ＝sin θ＋sin 3θ－sin θ
＝sin 3θ.
例2 已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值．
解 因为cos α－cos β＝，
所以－2sin sin ＝.①
又因为sin α－sin β＝－，
所以2cos sin ＝－.②
因为sin ≠0，所以由①②得－tan ＝－，
即tan ＝.
所以sin(α＋β)＝
＝＝＝.
反思与感悟 和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式．
跟踪训练2 求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值．
解 方法一 原式＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋sin 20°·cos 50°
＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋(sin 70°－sin 30°)
＝－sin 70°·sin 30°＋sin 70°＝.
方法二 原式＝(sin 20°＋cos 50°)2－sin 20°·cos 50°
＝(2sin 30°·cos 10°)2－(sin 70°－sin 30°)
＝cos210°－cos 20°＋
＝－cos 20°＋＝.
类型二 利用万能公式化简求值
例3 (1)已知cos θ＝－，并且180°＜θ＜270°，求tan 的值；
(2)已知＝－5，求3cos 2θ＋4sin 2θ的值．
解 (1)∵180°＜θ＜270°，
∴90°＜＜135°，∴tan ＜0.
∵cos θ＝＝－，
∴tan2 ＝4，∴tan ＝－2.
(2)∵＝－5，
∴＝－5，∴tan θ＝2.
又cos 2θ＝＝－，sin 2θ＝＝，
∴3cos 2θ＋4sin 2θ＝－＋＝.
反思与感悟 (1)万能公式是三角函数中的重要变形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示为“单角”的正切的有理式的形式．
(2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解．
跟踪训练3 已知tan＝3，求sin 2θ－2cos2θ的值．
解 ∵tan＝3，∴＝3，∴tan θ＝.
sin 2θ－2cos2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1
＝－－1
＝－－1＝－.
类型三 三角恒等式的证明
例4 求证：＝.
证明 要证原式，可以证明＝.
∵左边＝
＝
＝＝tan 2θ，
右边＝＝tan 2θ，
∴左边＝右边，∴原等式成立．
反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
跟踪训练4 证明：＝tan ＋.
证明 ∵左边＝＝
＝＝
＝tan ＋＝右边，
∴原等式成立.
1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为________．
答案
解析 由题意知∈，∴cos >0，cos ＝＝.
2．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)＝________________________.
答案 －
解析 cos α＋cos β＝2cos cos ＝2cos cos ＝cos ＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
3．已知sin －cos ＝－，450°＜α＜540°，则tan ＝________.
答案 2
解析 对已知等式两边平方，得sin α＝，又450°＜α＜540°，∴cos α＝－，∴tan α＝－，
又tan α＝，且∈(225°，270°)，∴tan ＝2.
4．化简：(0＜α＜π)．
解 ∵tan ＝，∴(1＋cos α)tan ＝sin α.
又∵cos＝－sin α，且1－cos α＝2sin2，
∴原式＝＝＝－.
∵0＜α＜π，∴0＜＜，∴sin ＞0.
∴原式＝－2cos .
1．本节重点学习了积化和差公式、和差化积公式及万能公式等，一定要清楚这些公式的形式特征．同时要理解公式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式．
2．三角恒等式的证明类型
(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．
(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法．
一、选择题
1.已知cos α＝，α∈，则sin 等于( )
A. B.－ C. D.
答案 A
解析 ∵α∈，∴∈，
sin ＝＝.
2.已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 C
3.设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A.cC.a答案 C
解析 a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)
＝sin 24°，b＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c＝sin 25°，
∵y＝sin x在上是单调递增的，
∴a4.已知等腰三角形的顶角的余弦值为，则它的底角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝.
又β＝－，
所以cos β＝cos＝sin ＝＝，
故选B.
5.在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.不等边三角形 D.直角三角形
答案 B
解析 sin Asin B＝(1＋cos C)，
即2sin Asin B＝1＋cos C，
∴2sin Asin B＝1－cos Acos B＋sin Asin B，
故得cos(A－B)＝1，
又∵A－B∈(－π，π)，
∴A－B＝0，即A＝B，
则△ABC是等腰三角形.
二、填空题
6.若tan θ＋＝m，则sin 2θ＝________.
答案
解析 因为tan θ＋＝m，即＝m，
所以sin 2θ＝＝.
7.已知sin θ＝，cos θ＝，则tan＝________.
答案 5
解析 由sin2θ＋cos2θ＝1，得2＋2＝1，
解得m＝0或8，当m＝0时，sin θ＜0，不符合＜θ＜π.
∴m＝0舍去，故m＝8，sin θ＝，cos θ＝－，
tan ＝＝＝5.
8.若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.
答案 －m
解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos 2α－cos 2β)
＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－m.
9.函数f(x)＝sin x的最小正周期是________.
答案 2π
解析 f(x)＝sin x·
＝sin x·＝sin x·
＝＝tan x.
因为函数f(x)的定义域为
，
即x≠kπ＋且x≠2kπ＋π，k∈Z.显然有f(0)＝0，
而f(π)无意义，所以T＝2π.
10.已知α，β为锐角，且α－β＝，则sin αsin β的取值范围是________.
答案
解析 ∵α－β＝，
∴sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]
＝－＝－.
∵α，β为锐角，且α－β＝，
∴0＜＋β＜，即0＜β＜，∴＜2β＋＜，
∴－＜cos＜，
∴0＜－＜，
∴sin αsin β的取值范围为.
11.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin β·cos(α＋β)＝－，则tan ＝________.
答案 －5
解析 ∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)
＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－，
又∵α是第三象限角，∴cos α＝－.
∴tan ＝＝＝－5.
三、解答题
12.求证：tan －tan ＝.
证明 ∵左边＝tan －tan ＝－
＝＝
＝＝
＝＝右边.
∴原等式成立.
13.已知在△ABC中，A＞C，且B＝60°，能否利用log4sin A＋log4sin C＝－1求出A和C的大小？若能，请求出；若不能，请说明理由.
解 ∵在△ABC中，A＞C，B＝60°，
∴A＋C＝120°.①
∵log4sin A＋log4sin C＝－1，∴sin Asin C＝.
∵sin Asin C＝[cos(A－C)－cos(A＋C)]，
∴[cos(A－C)－cos(A＋C)]＝，
∴cos(A－C)＝＋cos(A＋C)＝＋cos 120°＝0.
又∵0°＜A－C＜180°，
∴A－C＝90°.②
由①②，得A＝105°，C＝15°.
滚动训练五(§3.1～§3.3)
一、选择题
1．cos 555°的值为( )
A. B．－
C. D.
答案 B
解析 cos 555°＝cos(720°－165°)＝cos 165°＝－cos 15°＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝－.
2．若π＜α＜2π，则化简 的结果是( )
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
答案 C
解析 ∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos ＜0，
原式＝ ＝＝－cos .故选C.
3．(2017·河北衡水中学调研)在△ABC中，若tan Atan B＞1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
答案 A
解析 由tan Atan B＞1，得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sin Asin B＞cos Acos B，即cos(A＋B)＜0，
∴cos(π－C)＜0，∴－cos C＜0，∴cos C＞0，∴角C为锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选A.
4．已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f，则( )
A．a＋b＝0 B．a－b＝0
C．a＋b＝1 D．a－b＝1
答案 C
解析 f(x)＝sin2＝
＝，
∵a＝f(lg 5)，b＝f＝f(－lg 5)，
∴a＋b＝＋＝1，
a－b＝－＝sin(2lg 5)．
5．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 y＝sin－sin 2x
＝sin 2xcos－cos 2xsin－sin 2x
＝－sin 2x－cos 2x＝－sin.
y＝－sin的单调递增区间是y＝sin的单调递减区间，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0，得x∈.故选B.
二、填空题
6．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝________.
答案
解析 ∵0<α<，∴<α＋<.
∵cos＝，∴sin＝.
∵－<β<0，∴<－<.
∵cos＝，∴sin＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
7．已知函数f(x)＝cos ，则f(x)在[0，π]上的单调增区间为________．
答案
解析 f(x)＝cos
＝sin x＋＝sin＋.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，函数f(x)的单调增区间为.
又x∈[0，π]，所以f(x)在[0，π]上的单调增区间为.
8．化简··＝________.
答案 tan
解析 原式＝··＝·＝·＝＝tan .
9．若sin(π－α)＝，α∈，则sin 2α－cos2 的值为________．
答案
解析 ∵sin(π－α)＝，∴sin α＝，
又∵α∈，
∴cos α＝＝，
因此，sin 2α－cos2 ＝2sin αcos α－(1＋cos α)
＝2××－×＝－＝.
10.＝________.
答案 －4
解析 原式＝
＝
＝＝
＝＝－4.
11．函数y＝sin2x－2sin xsin＋sin 的图象的对称中心是____________．
答案 (k∈Z)
解析 ∵y＝sin2x－2sin xsin＋sin
＝sin2x－2sin x－1
＝－sin xcos x－1＝－sin 2x－1.
令2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)．
∴该函数的对称中心为(k∈Z)．
三、解答题
12．已知cos＝，≤α≤，求的值．
解 由cos＝，得cos α－sin α＝，
解方程组
得或
∵≤α≤，∴cos α≤0，
∴
∴tan α＝7，
∴＝
＝＝－.
13．已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(2＋sin x，2－cos x)，函数f(x)＝m·n，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值．
解 (1)因为f(x)＝m·n＝cos x(2＋sin x)＋sin x·(2－cos x)
＝2(sin x＋cos x)＝4sin(x∈R)，
所以f(x)的最大值是4.
(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.
又因为x∈，即x＋∈.
所以cos＝－.
cos＝cos
＝coscos －sinsin
＝－×－×＝－.
四、探究与拓展
14．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调减区间是_______________．
答案 π (k∈Z)
解析 由题意，知f(x)＝＋sin 2x＋1＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，所以最小正周期T＝π.令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故单调减区间为(k∈Z)．
15．设f(x)＝4cossin ωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.
(1)求函数y＝f(x)的值域；
(2)若f(x)在区间上为单调增函数，求ω的最大值．
解 (1)f(x)＝4sin ωx＋cos 2ωx
＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx
＝sin 2ωx＋1(ω＞0)．
因为－1≤sin 2ωx≤1，
所以函数y＝f(x)的值域为[1－，1＋]．
(2)因为y＝sin x在闭区间(k∈Z)上为单调增函数，所以f(x)＝sin 2ωx＋1(ω＞0)在闭区间(k∈Z)上为单调增函数．
依题意，知?对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是
解得0＜ω≤，故ω的最大值为.
章末复习
学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
tan(α＋β)＝.
tan(α－β)＝.
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3．升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α.
1－cos 2α＝2sin2α.
4．降幂公式
sin xcos x＝，cos2x＝，sin2x＝.
5．和差角正切公式变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
6．辅助角公式
y＝asin ωx＋bcos ωx＝sin(ωx＋θ)．
7．积化和差公式
sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
8．和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin cos.
sin α－sin β＝2cossin.
cos α＋cos β＝2coscos.
cos α－cos β＝－2sinsin.
9．万能公式
(1)sin α＝.
(2)cos α＝.
(3)tan α＝.
1.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )
2．对任意角α，sin 2α＝2sin α均不成立．( × )
提示 如α＝kπ，k∈Z，则sin 2α＝2sin α＝0.
3．y＝sin x＋cos x的最大值为2.( × )
提示 ∵y＝sin x＋cos x＝sin，∴函数最大值为.
4．存在角α，β，使等式cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立．( √ )
提示 如α＝－，β＝，则cos(α＋β)＝cos＝，cos α＋cos β＝cos＋cos ＝cos ＝，两式相等．
类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1 已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值．
解 ∵α是锐角，cos α＝，∴sin α＝，tan α＝.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝.
∵β是锐角，∴cos β＝.
反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等．
跟踪训练1 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α－β)的值；
(2)求α＋β的值．
解 (1)由题可知，cos α＝，cos β＝.
由于α，β为锐角，则sin α＝，sin β＝，
故tan α＝，tan β＝，
则tan(α－β)＝＝＝－.
(2)因为tan(α＋β)＝＝1，
sin α＝<，sin β＝<，
即0<α＋β<，故α＋β＝.
类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用
例2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值．
解 设sin x＋cos x＝t，
则t＝sin x＋cos x＝
＝sin，
∴t∈[－，]，
∴sin x·cos x＝＝.
∵f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，
∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．
当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1，
此时，由sin＝－，
解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.
当t＝，即sin x＋cos x＝时，f(x)max＝＋，
此时，由sin＝，即sin＝1，
解得x＝2kπ＋，k∈Z.
综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．
跟踪训练2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域．
解 令sin x－cos x＝t，
则由t＝sin知，t∈[－，]．
又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2，
∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2
＝－2＋.
当t＝时，ymax＝；
当t＝－时，ymin＝－－1.
∴函数的值域为.
类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
例3 已知函数f(x)＝2sin(x－3π)sin＋2sin2－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
解 (1)因为f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为π.
又因为x∈，所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)∈[－1,2]．
所以f(x)的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知，f(x0)＝2sin.
又因为f(x0)＝，
所以sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈，
所以cos＝－ ＝－，
cos 2x0＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝.
反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)在三角恒等变换中充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
跟踪训练3 已知cos＝，解 ＝
＝
＝
＝sin 2x·tan.
∵又∵cos＝，∴sin＝－.
∴tan＝－.
sin 2x＝sin
＝－cos
＝1－2cos2
＝1－2×2
＝.
∴＝－.
类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用
例4 已知sin x＋2cos y＝2，求2sin x＋cos y的取值范围．
解 设2sin x＋cos y＝a.
由解得
从而解得1≤a≤.
故2sin x＋cos y的取值范围是.
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决．
跟踪训练4 已知关于θ的方程cos θ＋sin θ＋a＝0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值．
解 设x＝cos θ，y＝sin θ，则有
消去y，并整理得4x2＋2ax＋a2－1＝0.①
由已知得cos α，cos β是①的两个实数解，
由根与系数的关系，得
∴sin αsin β＝(cos α＋a)(cos β＋a)
＝3cos αcos β＋a(cos α＋cos β)＋a2
＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝－＝.
1．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝ ，cos 2θ＝ .
答案
解析 ∵sin ＋cos ＝，
∴2＝，
即1＋2sin cos ＝，
∴sin θ＝，
∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.
2．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin 2θ＝ .
答案
解析 由＝sin4θ＋cos4θ
＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－sin22θ，
得sin22θ＝，即sin22θ＝.
又∵2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，
∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π(k∈Z)，
故sin 2θ＝.
3．已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝ .
答案 －
解析 由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝，
得2sin(α－β)＝－，即sin(α－β)＝－.
4．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为 ．
答案
解析 ∵α为锐角且cos＝，
∴sin＝.
sin＝2sincos＝，
cos＝2cos2－1＝，
∴sin＝sin＝＝.
5．已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
解 (1)由已知，有f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数，
f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．
一、选择题
1．已知sincos ＋cossin ＝，则cos x等于( )
A. B．－ C. D．±
答案 B
解析 因为sincos ＋cossin ＝，所以sin＝sin＝－cos x＝，
所以cos x＝－.
2．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 D
解析 ∵A＝180°－(B＋C)，
∴sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bcos C.
又∵sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝sin(B－C)＝0.
则B＝C，故△ABC为等腰三角形．
3．若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于( )
A. B. C．1 D.
答案 A
解析 原式＝cos2α＋4sin αcos α＝＝.
4．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若·＝－1，则sin(α＋)等于( )
A. B．1 C．2 D.
答案 A
解析 ∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴·＝(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)
＝cos2α－3cos α＋sin2α－3sin α
＝1－3(sin α＋cos α)
＝1－3
＝1－3sin＝－1，
∴sin＝.
5．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于( )
A．－ B. C．2 D．－2
答案 A
解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－.
∴＝＝
＝·
＝＝＝－.
二、填空题
6．若＝3，则cos2θ＋sin 2θ的值是________．
答案
解析 由题意知，tan θ＝，
则cos2θ＋sin 2θ＝cos2θ＋sin θcos θ＝＝＝.
7．函数y＝sin xcos x＋cos2x－的最大值为________．
答案
解析 y＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－
＝sin－，
当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1－＝.
8．若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.
答案 －2
解析 由题意知，tan α＝－2，
sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos2α－2sin2α
＝
＝＝＝－2.
9．函数y＝(acos x＋bsin x)cos x有最大值2，最小值－1，则实数a＝________，b＝________.
答案 1 ±2
解析 y＝acos2x＋bsin xcos x
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin(2x＋φ)＋，
＋＝2，－＋＝－1，
a＝1，b＝±2.
10．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)＝________.
答案 4
解析 由已知得4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，
即＝4.
∴tan(α－β)＝4.
11．函数y＝cos2＋sin2－1的最小正周期为________．
答案 π
解析 ∵y＝cos2＋sin2－1
＝＋－1
＝
＝sin 2x，∴T＝＝π.
三、解答题
12．已知△ABC的内角B满足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若＝a，＝b，且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b| ＝5，θ为a，b的夹角．求sin(B＋θ)．
解 2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，
4cos2B－8cos B＋3＝0，
解得cos B＝，sin B＝，
cos θ＝＝－，sin θ＝，
sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝.
13．设函数f(x)＝sin2x＋cos.
(1)求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合；
(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，已知cos B＝，f＝－，且C为锐角，求sin A的值．
解 (1)∵f(x)＝＋cos 2x－sin 2x
＝－sin 2x，
∴当sin 2x＝－1时，f(x)max＝，
此时2x＝2kπ－(k∈Z)，x＝kπ－(k∈Z)，
∴x的取值集合为.
(2)∵f＝－sin C＝－，
∴sin C＝.
∵C为锐角，∴C＝.
由cos B＝，得sin B＝＝，
∴sin A＝sin＝cos B＋sin B
＝.
四、探究与拓展
14．若tan＝3＋2，则＝________.
答案
解析 tan＝
＝3＋2，∴tan α＝.
又＝＝tan α.∴原式＝.
15．已知向量＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]．向量m＝(2,1)，n＝(0，－)，且m⊥(－n)．
(1)求向量；
(2)若cos(β－π)＝，0<β<π，求cos(2α－β)的值．
解 (1)∵＝(cos α，sin α)，
∴－n＝(cos α，sin α＋)．
∵m⊥(－n)，∴m·(－n)＝0，
∴2cos α＋sin α＋＝0.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得sin α＝－，cos α＝－，
∴＝.
(2)∵cos(β－π)＝，∴cos β＝－.
又∵0<β<π，∴sin β＝＝.
又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β
＝×＋×
＝＝.
