第1章三角函数学案+滚动训练+章末检测

章末检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．角α的终边上有一点P(a，a)(a≠0)，则sin α的值是(　　)
A. B．－ C．1 D.或－
答案　D
解析　r＝＝|a|，
所以sin α＝＝
所以sin α的值是或－.
2．计算cos(－780°)的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　C
解析　cos(－780°)＝cos 780°
＝cos(360°×2＋60°)＝cos 60°＝，故选C.
3．若cos θ>0，sin θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　由题意且根据三角函数的定义sin θ＝<0，cos θ＝>0，∵r>0，∴y<0，x>0.∴θ在第四象限，故选D.
4．在直径为20 cm的圆中，165°圆心角所对应的弧长为(　　)
A. cm B. cm
C. cm D. cm
答案　B
解析　∵165°＝×165 rad＝ rad，
∴l＝×10＝(cm)．
5．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为(　　)
A．1 B．－ C．－1 D．－4
答案　A
解析　根据任意角的三角函数定义，可得tan α＝3，
所以＝
＝tan α－＝－＝1.故选A.
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)与直线y＝的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是(　　)
A. B．π C．2π D．4π
答案　B
解析　ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)或ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
≥，≥，
令＝，得ω＝2，T＝＝π.
7．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案　B
解析　函数y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos.故选B.
8．下列函数中，在区间上为减函数的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝tan x D．y＝sin
答案　A
解析　对于A，函数y＝cos x在区间上是减函数，满足题意；对于B，函数y＝sin x在区间上是增函数，不满足题意；对于C，函数y＝tan x在区间上是增函数，且在x＝时无意义，不满足题意；对于D，函数y＝sin在区间上是增函数，不满足题意．故选A.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
9．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．
答案　2－
解析　因为0≤x≤9，所以0≤x≤，
－≤x－≤－，
即－≤x－≤，
所以当x－＝－时，y＝2sin(0≤x≤9)有最小值2sin＝－，
当x－＝时，
y＝2sin(0≤x≤9)有最大值2sin ＝2，
所以最大值与最小值之和为2－.
10．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为________．
答案　1
解析　根据任意角的三角函数定义，可得tan α＝3，
所以＝
＝tan α－＝－＝1.
11．化简sin(π＋α)·cos＋sin·cos(π＋α)
＝________.
答案　－1
解析　原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α)＝－(sin2α＋cos2α)＝－1.
12．设ω>0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是_______．
答案　
解析　向右平移个单位长度得
y＝sin＋2
＝sin＋2.
∵与原函数图象重合，
故－ω＝2nπ(n∈Z)，
∴ω＝－n(n∈Z)，∵ω>0，∴ωmin＝.
13．若f(x＋2)＝则f·f(－98)＝________.
答案　2
解析　f＝tan ＝1，
f(－98)＝f(－100＋2)＝lg 100＝2，
所以f·f(－98)＝1×2＝2.
14．有下列说法：
①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是；
③在同一直角坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图象；
⑤函数y＝sin在[0，π]上是单调减函数．
其中正确的说法是________．(填序号)
答案　①④
解析　对于①，y＝－cos 2x的最小正周期T＝＝π，故①对；对于②，因为k＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错；对于③，作出y＝sin x与y＝x的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y＝3sin的图象向右平移个单位长度后，得y＝3sin
＝3sin 2x，故④对；对于⑤，y＝sin＝－cos x在[0，π]上为单调增函数，故⑤错．
三、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知tan α＝－.
(1)求2＋sin αcos α－cos2α的值；
(2)求的值．
解　(1)2＋sin αcos α－cos2α
＝
＝
＝，
把tan α＝－代入，得
原式＝
＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝－＝－tan α，
把tan α＝－代入，得原式＝.
16．(14分)已知f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
解　(1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z知，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的最小正周期为π，单调增区间为(k∈Z)．
(2)变换情况如下：y＝sin 2x
y＝sin y＝sin＋.
17．(14分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
解　(1)由最低点为M，得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，
得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由点M在图象上，得2sin＝－2，
即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，∴φ＝，故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
故当x∈时，f(x)的值域为[－1,2]．
18．(16分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的一系列对应值如表：
x
－






f(x)
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解　(1)设f(x)的最小正周期为T，
则T＝－＝2π，由T＝，得ω＝1，
又解得
令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
取φ＝－，
所以f(x)＝2sin＋1.
(2)因为函数y＝f(kx)＝2sin＋1的周期为，又k＞0，所以k＝3.
令t＝3x－，
因为x∈，所以t∈，
如图，sin t＝s在上有两个不同的解，则s∈，所以方程f(kx)＝m在x∈时恰好有两个不同的解，则m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．
19．(16分)大风车叶轮最高顶点离地面14.5 m，叶轮旋转所成圆的直径为14 m，叶轮以每分钟2周的速度匀速转动，叶轮顶点从离地面最低点经16 s后到达最高点．假设叶轮顶点离地面高度y(m)与叶轮顶点离地面最低点开始转动的时间t(s)建立一个数学模型，用函数
y＝asin[ω(t－b)]＋c来表示，试求出其中四个参数a，b，c，ω的值，并写出函数解析式．
解　∵叶轮每分钟旋转2周，∴f＝＝.
又∵f＝，T＝，∵f＝，
∴ω＝2πf＝2π×＝.
又∵叶轮旋转所成圆的直径为14 m，
∴叶轮应该在离圆心上下、左右7 m范围内变化，
即函数振幅a＝7.
根据叶轮顶点从离地面最低点经16 s后到达最高点，
可得ω(16－b)＝，即b＝16－＝.
圆心离地面高度7.5 m不变，即c＝.
故函数解析式为y＝7sin＋.
20．(16分)是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acos x＋a－在闭区间上的最大值是1？若存在，则求出对应的a值；若不存在，则说明理由．
解　y＝1－cos2x＋acos x＋a－
＝－2＋＋a－.
∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1.
若>1，即a>2，
则当cos x＝1时，ymax＝a＋a－＝1，
解得a＝<2(舍去)；
若0≤≤1，即0≤a≤2，
则当cos x＝时，ymax＝＋a－＝1.
解得a＝或a＝－4<0(舍去)；
若<0，即a<0，
则当cos x＝0时，ymax＝a－＝1，
解得a＝>0(舍去)．
综上所述，存在a＝符合题设条件．

§1.1　任意角、弧度
1.1.1　任意角
学习目标　1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．
知识点一　角的相关概念
思考1　用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？
答案　角的构成要素有始边、顶点、终边．
思考2　将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？
答案　有顺时针和逆时针两种旋转方向．
梳理　(1)角的概念：一个角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类
类型
定义
正角
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角
负角
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角
零角
如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角
知识点二　象限角、轴线角
思考　把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的正半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？
答案　终边可能落在坐标轴上或四个象限内．
梳理　以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，则称这个角为轴线角．
知识点三　终边相同的角
思考1　假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
答案　它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角．
思考2　如何表示与60°终边相同的角？
答案　60°＋k·360°(k∈Z)．
梳理　终边相同角的表示
一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
1．终边与始边重合的角是零角．(　×　)
提示　终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．
2．小于90°的角是锐角．(　×　)
提示　锐角是指大于0°且小于90°的角．
3．钝角是第二象限角．(　√　)
4．第二象限角是钝角．(　×　)
提示　第二象限角不一定是钝角．
类型一　任意角概念的理解
例1　(1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确命题的序号为________；(把正确命题的序号都写上)
(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．
答案　(1)①　(2)－120°
解析　(1)锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限的角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误．
(2)分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.
反思与感悟　解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小．
跟踪训练1　写出下列说法所表示的角．
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．
解　(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.
类型二　象限角的判定
例2　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
引申探究
确定(n∈N*)的终边所在的象限．
解　一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，…，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．
反思与感悟　判断象限角的步骤：
(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．
(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．
跟踪训练2　下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
(1)60°；(2)－21°.
解　(1)60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.
(2)－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.
类型三　终边相同的角

例3　在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．
解　与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
反思与感悟　求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
跟踪训练3　写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
解　由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.

例4　写出终边在直线y＝－x上的角的集合．
解　终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
反思与感悟　求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．
跟踪训练4　写出终边在直线y＝x上的角的集合．
解　终边在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
类型四　区域角的表示
例5　如图所示．
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解　(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
反思与感悟　解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．
跟踪训练5　如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：
(1){α|k·360°＋30°≤α(2){α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合(1)与(2)的并集，即
S＝{α|k·360°＋30°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α1．－1 120°角所在象限是________．
答案　第四象限
解析　∵－1 120°＝－360°×3－40°，
∴－1 120°是第四象限角．
2．与－457°角终边相同的角的集合是________．
答案　{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
解析　∵－457°＝－2×360°＋263°，
∴与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}．
3．2 017°是第________象限角．
答案　三
解析　因为2 017°＝5×360°＋217°，故2 017°是第三象限角．
4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．
答案　－252°
解析　∵－1 692°＝－4×360°－252°，
∴与－1 692°终边相同的最大负角为－252°.
5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
解　终边落在x轴上的角的集合：
S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合：
S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}．
∴终边落在坐标轴上的角的集合：
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角．
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
(4)k∈Z这一条件不能少．
一、选择题
1．下列命题正确的是(　　)
A．终边在x轴非正半轴上的角是零角
B．第二象限角一定是钝角
C．第四象限角一定是负角
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同
答案　D
解析　终边在x轴非正半轴上的角为k·360°＋180°，k∈Z，零角为0°，所以A错误；480°角为第二象限角，但不是钝角，所以B错误；285°角为第四象限角，但不是负角，所以C错误，故选D.
2．下列各角中，与60°角终边相同的角是(　　)
A．－300° B．－60°
C．600° D．1 380°
答案　A
解析　与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，
令k＝－1，则α＝－300°.
3．把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(　　)
A．315°－5×360° B．45°－4×360°
C．－315°－4×360° D．－45°－10×180°
答案　A
解析　可以估算－1 485°介于－5×360°与－4×360°之间．∵0°≤α＜360°，∴k＝－5，则α＝315°.
4．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则A，B，C关系正确的是(　　)
A．B＝A∩C B．B∪C＝C
C．A?C D．A＝B＝C
答案　B
解析　由题意得B?(A∩C)，故A错误；B?C，所以B∪C＝C，故B正确；A与C互不包含，故C错误；由以上分析可知D错误．
5．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　C
解析　可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
二、填空题
6．已知α与β均为正角，且α＋β＝180°，若0°＜α≤90°，则角β的终边位于________________．
答案　第二象限或y轴正半轴上
解析　若0°＜α<90°，则90°＜β＝180°－α＜180°，即角β的终边在第二象限；若α＝β＝90°，则角β的终边位于y轴正半轴上．
7．设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则集合A，B的关系为________．
答案　A＝B
解析　对于集合A，
α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°
或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°
＝45°＋(2k＋1)·90°.
∵k∈Z，
∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，
∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，
又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，
∴A＝B.
8.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是_________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是___________．
答案　{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}　{315°，－45°}
{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
解析　终边落在OA的位置上的角的集合是
{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}．
终边落在OB的位置上的角的集合是
{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}，
取k＝0，－1得α＝315°，－45°.
故终边落在OB的位置上，
且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}．
终边落在阴影部分的角的集合是
{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．
9．若α＝k·360°＋45°，k∈Z，则是第________象限角．
答案　一或三
解析　∵α＝k·360°＋45°，k∈Z，
∴＝k·180°＋22.5°，k∈Z.
当k为偶数，即k＝2n，n∈Z时，
＝n·360°＋22.5°，n∈Z，∴为第一象限角；
当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，
＝n·360°＋202.5°，n∈Z，∴为第三象限角．
综上，是第一或第三象限角．
10．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝________________.
答案　{－126°，－36°，54°，144°}
解析　当k＝－1时，α＝－126°；
当k＝0时，α＝－36°；
当k＝1时，α＝54°；
当k＝2时，α＝144°.
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
三、解答题
11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.
解　(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．
(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．
(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．
12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.
解　∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ则一定有k＝0，于是90°<θ<135°.
又∵14θ＝n·360°(n∈Z)，
∴θ＝，从而90°<<135°，
∴当n＝4时，θ＝；
当n＝5时，θ＝.
13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解　由题意可知，
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴0°＜α＋β＜180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴－90°＜α－β＜90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°，②
由①②得α＝15°，β＝65°.
四、探究与拓展
14．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.
答案　270°
15．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
解　(1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.解得－所以集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素为
60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；
60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.
1.1.2　弧度制
学习目标　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．
知识点一　角度制与弧度制
思考1　在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？
答案　周角的等于1度．
思考2　在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？
答案　把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示．
思考3　“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
答案　“1弧度的角”的大小等于长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
梳理　(1)角度制和弧度制
角度制
规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
弧度制
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad，读作1弧度．用弧度作为单位来度量角的单位制称为弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
知识点二　角度制与弧度制的换算
思考　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
答案　 利用1°＝ rad和1 rad＝°进行弧度与角度的换算．
梳理　(1)角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧
度
0








π

2π
知识点三　扇形的弧长及面积公式
思考　扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
答案　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则：
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝|α|r
扇形的面积
S＝
S＝lr＝|α|r2
1.1 rad的角和1°的角大小相等．(　×　)
提示　1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝ rad.
2．用弧度来表示的角都是正角．(　×　)
提示　弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数．
3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(　√　)
提示　“1弧度的角”的大小等于长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
类型一　角度与弧度的互化
例1　将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
解　(1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
反思与感悟　将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可．
跟踪训练1　(1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度．
解　(1)112°30′＝°＝×＝.
(2)－＝－°＝－75°.
类型二　用弧度制表示终边相同的角
例2　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 500°；(2)；(3)－4.
解　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角．
(2)∵＝2π＋，
∴与终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π.
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
反思与感悟　用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练2　(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
(2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角．
解　(1)∵－1 480°＝－1 480×＝－，
而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，∴α＝.
∴－1 480°可写成＋2×(－5)π.
(2)∵＝×°＝72°，
∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.
∴在[0°，720°]内与角的终边相同的角为72°，432°.
类型三　扇形的弧长及面积公式的应用
例3　(1)若扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为 ．
(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为 ．
答案　(1)π　(2)
解析　(1)扇形的中心角为120°＝，半径为，
所以S扇形＝|α|r2＝××()2＝π.
(2)连结圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，又弦所对的圆心角为2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2×＝.
反思与感悟　联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算．
跟踪训练3　一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
解　设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
1．将化为角度是 ．
答案　105°
解析　＝×＝105°.
2．时针经过一小时，转过了 rad.
答案　－
解析　时针经过一小时，转过－30°，即－ rad.
3．若θ＝－5，则角θ的终边在第 象限．
答案　一
解析　2π－5与－5的终边相同，
∵2π－5∈，
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．
4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是 ．
答案　1或4
解析　设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，
则由题意得
∴或
5．已知⊙O的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是 ．
答案　－
解析　设⊙O的半径为r，其内接正三角形为△ABC.如图所示，
D为AB边中点，
AO＝r，∠OAD＝30°，
AD＝r·cos 30°＝r，
∴边长AB＝2AD＝r.
∴的弧长l＝AB＝r.
又∵α是负角，
∴α＝－＝－＝－.
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．
一、选择题
1．下列说法中，错误的是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
答案　D
解析　根据1度，1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.
2．－240°化为弧度是(　　)
A．－π B．－π C．－π D．－π
答案　A
解析　－240°＝－240×＝－π.
3．圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是(　　)
A. cm2 B. cm2
C．π cm2 D．3π cm2
答案　B
解析　因为15°＝，所以l＝×6＝(cm)，
所以S＝lr＝××6＝(cm2)．
4．设角α＝－2弧度，则α所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　∵－π<－2<－，
∴2π－π<2π－2<2π－，
即π<2π－2<π，
∴2π－2为第三象限角，∴α为第三象限角．
5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　)
A．－π B．－2π
C．π D．－π
答案　A
解析　∵－π＝－2π＋
＝2×(－1)π＋，
∴θ＝－π.
二、填空题
6．若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________
答案　2∶3
解析　设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，
则R＝r＋＝r＋2r＝3r.
∴S内切圆＝πr2.
S扇形＝αR2＝××R2＝××9r2＝πr2.
∴S内切圆∶S扇形＝2∶3.
7．扇形的半径是，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．
答案　π
8．在直径长为20 cm的圆中，圆心角为165°时所对的弧长为________ cm.
答案　
解析　∵165°＝×165＝(rad)，
∴l＝×10＝(cm)．
9．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．
答案　2
解析　设圆的半径为r，其外切正三角形的边长为a，
则r＝××a＝a，又弧长为a，
所以圆心角为α＝＝＝＝2.
10．若2π<α<4π，且α与－π角的终边垂直，则α＝________________.
答案　π或π
解析　α＝－π－＋2kπ＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π；
或者α＝－π＋＋2kπ＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π.
综上，α＝π或π.
11．如果圆心角为的扇形所对的弦长为2，则扇形的面积为________．
答案　
解析　设扇形的半径为R，如图，作BF⊥AC.已知AC＝2，∠ABC＝，则AF＝，∠ABF＝.
∴AB＝＝2，即R＝2.
∴弧长l＝|α|R＝，∴S＝lR＝.
三、解答题
12．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．
(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．
解　(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋＝－10π＋，是第一象限角．
(2)－60°＋360°·k＝－×60＋2π·k＝－＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．
13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是30，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10(cm)，∴l＝αR＝ (cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin ×10×cos ＝50(cm2)．
(2)∵l＋2R＝30，∴l＝30－2R，
从而S＝·l·R＝(30－2R)·R
＝－R2＋15R＝－2＋.
∴当半径R＝ cm时，l＝30－2×＝15(cm)，
扇形面积有最大值 cm2，这时α＝＝2(rad)．
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2.
四、探究与拓展
14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2.
答案　9
解析　根据题设，弦＝2×4sin＝4(m)，矢＝4－2＝2(m)，
故弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)
＝4＋2≈9(m2)．
15．已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．
解　(1)∵α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，
∴角α与的终边相同，
又<<π，
∴角α是第二象限的角．
(2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，
∴由－4π≤2kπ＋≤π，k∈Z，得－≤k≤.
∵k∈Z，∴k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，.
§1.2　任意角的三角函数
1.2.1　任意角的三角函数
第1课时　任意角的三角函数
学习目标　1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．
知识点一　任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，OP＝r.
思考1　角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
答案　sin α＝，cos α＝，tan α＝.
思考2　对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
答案　不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
思考3　在思考1中，当取OP＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
答案　 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
梳理　任意角的三角函数的定义
前提
如图，设 α是一个任意角，P(x，y)是它的终边上任意一点
定义
正弦
比值叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝
余弦
比值叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝
正切
比值(x≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以角的终边上点的坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
知识点二　正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考　根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
答案　由三角函数定义，可以判断三角函数值的符号．
梳理　三角函数值的符号，如图所示．
口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
1.sin α，cos α，tan α的大小与点P(x，y)在角α的终边上的位置有关．(　×　)
提示　三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的位置无关．
2．终边相同的角的同名三角函数值相等．(　√　)
提示　由三角函数的定义可知，终边相同的角的同名三角函数值相等．
类型一　三角函数定义的应用

例1　已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
解　由题意知r＝OP＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝ .
又∵cos θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1，3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1，3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
反思与感悟　(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1　已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
解　r＝＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
∴2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
综上所述，2sin α＋cos α＝±1.

例2　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
解　由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，＝＝＝，
∴10sin α＋＝10×＋3
＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
∴10sin α＋＝10×＋3×(－)
＝3－3＝0.
综上所述，10sin α＋＝0.
反思与感悟　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标为(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.
跟踪训练2　已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值．
解　因为角α的终边在直线y＝x上，
所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，
则r＝＝2|a|(a≠0)．
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝＝，
cos α＝＝，
tan α＝＝.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，
cos α＝－＝－，
tan α＝＝.
类型二　三角函数值符号的判断
例3　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在第 象限．
答案　四
解析　∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限．
(2)确定下列各三角函数值的符号．
①sin 182°；②cos(－43°)；③tan.
解　①∵182°是第三象限角，
∴sin 182°是负的，符号是“－”．
②∵－43°是第四象限角，
∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”．
③∵是第四象限角，
∴tan是负的，符号是“－”．
反思与感悟　角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
跟踪训练3　(1)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第 象限角．
答案　二
解析　由题意知tan α<0，cos α<0，
∴α是第二象限角．
(2)判断下列各式的符号．
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
解　①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
②∵＜3＜π＜4＜＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
1．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝ .
答案　－
解析　由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，
所以cos α＝＝－.
2．已知角α的终边上有一点P，则sin α＋cos α＝ .
答案　－
解析　r＝＝1，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴sin α＋cos α＝－.
3．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α＝ .
答案　－
解析　∵cos α＝＝，
∴＝5，∴y2＝16.
又∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－.
4．当α为第二象限角时，－的值是 ．
答案　2
解析　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴－＝－＝2.
5．已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cos α＝，求sin α和tan α.
解　因为r＝OP＝，
所以由cos α＝，得＝，解得x＝±.
当x＝时，sin α＝－，tan α＝－；
当x＝－时，sin α＝－，tan α＝.
1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．
2．角α的三角函数值的符号只与角α的终边所在象限有关，由角α的终边所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等．
一、选择题
1．sin(－315°)的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　C
解析　sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.
2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于(　　)
A. B．－ C．－ D．－
答案　C
解析　由题意得P(1，－)，它与原点的距离r＝＝2，∴sin α＝－.
3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　D
4．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x的值为(　　)
A. B．±
C．－ D．－
答案　D
解析　∵cos α＝＝＝x，
∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3，
∴x＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x＝(舍去)或x＝－.故选D.
5．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是(　　)
A．sin  B．cos 
C．tan  D．cos 2θ
答案　C
解析　因为θ是第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以tan >0.
二、填空题
6．角α的终边上有一点P(a,4)，且tan α＝，则3sin α－2cos α的值为________．
答案　
解析　∵tan α＝，∴a＝3，
∴r＝＝5，sin α＝，cos α＝，
∴3sin α－2cos α＝－＝.
7．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在第________象限．
答案　三
解析　由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
∴∴θ为第三象限角．
8．设α是第三象限角，且＝－cos ，则的终边在第________象限．
答案　二
解析　因为α是第三象限角，
所以2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
所以kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
所以在第二、四象限．
又因为＝－cos ，
所以cos ＜0，
所以的终边在第二象限．
9．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角．
答案　一或二
解析　要使原式有意义，需cos αtan α>0，
即需cos α，tan α同号，
所以α是第一或第二象限角．
10．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝，则m－n＝________.
答案　2
解析　∵y＝3x且sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，且m<0，n<0，n＝3m.
∴OP＝＝|m|＝－m＝，
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
11．函数y＝＋－的值域是________________．
答案　{－4,0,2}
解析　由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，
当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，
sin xcos x>0，y＝0；
当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，
sin xcos x<0，y＝2；
当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，
sin xcos x>0，y＝－4；
当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，
sin xcos x<0，y＝2.
故函数y＝＋－的值域为{－4,0,2}．
三、解答题
12．已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
解　当k>0时，令x＝24k，y＝7k，
则有r＝＝25k，
∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝.
13．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ.
解　∵θ的终边过点P(x，－1)(x≠0)，
∴tan θ＝－.
又tan θ＝－x，
∴x2＝1，即x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝，
因此sin θ＋cos θ＝0；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，
因此sin θ＋cos θ＝－.
故sin θ＋cos θ的值为0或－.
四、探究与拓展
14．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α＝________.
答案　±
15．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
解　(1)∵＝－，
∴sin α＜0. ①
∵lg(cos α)有意义，
∴cos α＞0. ②
由①②得角α在第四象限．
(2)∵点M在单位圆上，
∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，∴m＜0，∴m＝－.
由三角函数定义知，sin α＝－.
第2课时　三角函数线
学习目标　1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一　有向线段
思考1　比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？
答案　不一样．
思考2　如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？
答案　用有向线段AB和BA表示较好．
梳理　有向线段
(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．
(2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线．
(3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB.
(4)单位圆：圆心在原点，半径等于单位长度的圆．
知识点二　三角函数线
思考1　在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？
答案　 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.
思考2　三角函数线的方向是如何规定的？
答案　 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值．
思考3　三角函数线的长度和方向各表示什么？
答案　 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．
梳理　
图示
正弦线
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线
余弦线
有向线段OM即为余弦线
正切线
过点A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线
知识点三　正弦、余弦、正切函数的定义域
思考　对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？
答案　由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时无意义，故tan α无意义．
梳理　三角函数的定义域
函数名
定义域
正弦函数
R
余弦函数
R
正切函数

1．正弦线MP也可写成PM.(　×　)
提示　三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒．
2．三角函数线都只能取非负值．(　×　)
提示　三角函数线表示的值也可取负值．
3．正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域都是R.(　×　)
4．当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(　√　)
类型一　三角函数线
例1　作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解　如图所示，
sin＝MP，
cos＝OM，
tan＝AT.
反思与感悟　(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
跟踪训练1　在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合．
解　已知角α的正弦值，可知MP＝，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为.
类型二　利用三角函数线比较大小
例2　利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小．
解　如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，
cos＝OM′，tan＝AT′.
显然MP>M′P′，
∴sin>sin；
OM>OM′，∴cos>cos；
AT反思与感悟　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”．(2)比较三角函数线的长度．(3)确定有向线段的正负．
跟踪训练2　比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小．
解　sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.
如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M1P1，M2P2.
∵M1P1>M2P2，
∴sin 1 155°>sin(－1 654°)．
类型三　利用三角函数线解不等式(组)

例3　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
解　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连结OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足要求的角α的集合为

(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连结OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
反思与感悟　用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：
(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期．
(2)注意区间是开区间还是闭区间．
跟踪训练3　已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．
解　图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即
.

例4　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg＋.
解　(1)为使y＝有意义，
则3tan x－≥0，所以tan x≥，
所以角x终边所在区域如图所示，
所以kπ＋≤x所以原函数的定义域是.
(2)由题意知，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
反思与感悟　(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
跟踪训练4　求函数f(x)＝的定义域．
解　要使函数f(x)有意义，必须使2sin x－1≥0，
则sin x≥.
如图，画出单位圆，作x轴的平行直线y＝，
交单位圆于点P1，P2，连结OP1，OP2，
分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，
易知这两条正弦线的长度都等于.
在[0，2π)内，sin＝sin＝.
因为sin x≥，所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，
所以函数f(x)的定义域为.
1．函数y＝的定义域为 ．
答案　
解析　由cos x－≥0，得cos x≥，
所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
2．如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线分别是 ．
答案　MP，AT
3．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则a，b，c的大小关系是 ．(按由小到大顺序排列)
答案　b解析　∵<<，作的三角函数线，则sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，
∴OM∴b4．函数y＝的定义域为 ．
答案　 ，k∈Z
5．利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角α的区域，并写出角α的集合：
(1)cos α＞－；(2)tan α≤；(3)|sin α|≤.
解　(1).
(2).
(3)|sin α|≤，即－≤sin α≤，
.
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
2．三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了．
4．三角函数线解题一定要注意角的象限及相互的关系，准确画出三角函数线并弄清其方向．
一、选择题
1．函数y＝tan的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵x－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z.
2．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则(　　)
A．aC．b答案　D
解析　∵<<，作的三角函数线，
则sin＝MP，cos＝OM，
tan＝AT，
∴OM3．如果MP，OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是(　　)
A．MPC．MP>OM>0 D．OM>MP>0
答案　D
解析　0<<，作三角函数线可知OM>MP>0.
4．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪
答案　D
解析　角α的取值范围为图中阴影部分，
即∪.
5．如果<α<，那么下列不等式成立的是(　　)
A．cos αC．sin α答案　A
解析　方法一　(特值法)令α＝，
则cos α＝，tan α＝，sin α＝，
故cos α方法二　如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，
则OM即cos α二、填空题
6．sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是________．
答案　cos ＜sin ＜tan 
解析　由图可知：cos ＜0，tan ＞0，sin ＞0.
∵MP＜AT，∴sin ＜tan .
故cos ＜sin ＜tan .
7．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形的形状是____________．
答案　钝角三角形
解析　当0＜α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝，∴α必为钝角．
8．有三个说法：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．
其中正确说法的序号为________．
答案　①②③
解析　和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等．故①②③都正确．
9．把sin，sinπ，cosπ，tanπ由小到大排列为________________________．
答案　cosπ解析　由图可知，
sin＝M1P1>0，
sinπ＝M2P2>0，
tanπ＝AT>0，
cosπ＝OM3<0.
而0∴0而cosπ<0，∴cosπ10．函数f(x)＝的定义域为________．
答案　，k∈Z
解析　如图所示．
三、解答题
11．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)；(2)－.
解　(1)因为∈，所以作出角的终边如图1所示，
图1
交单位圆于点P，作PM⊥x轴于点M，则有向线段MP＝sin，有向线段OM＝cos，设过A(1,0)垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于点T，则有向线段AT＝tan .综上所述，图1中的有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线．
(2)因为－∈，所以在第三象限内作出－角的终边如图2所示，
图2
交单位圆于点P′用类似(1)的方法作图，可得图2中的有向线段M′P′，OM′，A′T′分别为－角的正弦线、余弦线、正切线．
12．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝；(2)cos α＝－.
解　(1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，
则OP，OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，
则OM，ON为角α的终边，如图乙．
13．求函数y＝logsin x(2cos x＋1)的定义域．
解　由题意可知，要使函数有意义，
则需
如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求．
所以所求函数的定义域为.
四、探究与拓展
14．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
答案　0
15．若α，β是关于x的一元二次方程x2＋2(cos θ＋1)x＋cos2θ＝0的两实根，且|α－β|≤2，求θ的范围．
解　∵方程有两实根，
∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos2θ≥0，
∴cos θ≥－. ①
∵|α－β|≤2，∴(α＋β)2－4αβ≤8.
由根与系数的关系，得α＋β＝－2(cos θ＋1)，αβ＝cos2θ，
∴4(cos θ＋1)2－4cos2θ≤8，
即cos θ≤. ②
由①②得－≤cos θ≤，
利用单位圆中的三角函数线可知＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z或＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z.
∴＋kπ≤θ≤＋kπ，k∈Z
即θ的范围是(k∈Z)．
1.2.2　同角三角函数关系
学习目标　1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．
知识点　同角三角函数的基本关系式
思考1　计算下列式子的值：
(1)sin230°＋cos230°；
(2)sin245°＋cos245°；
(3)sin290°＋cos290°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它．
答案　3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝x.
∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝OP2＝1.
思考2　由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
答案　∵tan α＝，∴tan α＝.
梳理　(1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
②商数关系：tan α＝ .
(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
②tan α＝的变形公式
sin α＝cos αtan α；cos α＝.
1．sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
提示　在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
2．sin2＋cos2＝1.(　√　)
提示　在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1.
3．对任意的角α，都有tan α＝成立．(　×　)
提示　当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立.
类型一　利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1　已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
例1　若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为 ．
答案　－
解析　∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，
∴tan α＝＝－.
反思与感悟　同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．
跟踪训练1　已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
命题角度2　已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
例2　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
反思与感悟　利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．
跟踪训练2　已知cos α＝－，求13sin α＋5tan α的值．
解　方法一　∵cos α＝－<0，
∴α是第二或第三象限角．
(1)若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－，
故13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
(2)若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－＝－，
tan α＝＝＝，
故13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上可知，13sin α＋5tan α＝0.
方法二　∵tan α＝，
∴13sin α＋5tan α＝13sin α
＝13sin α＝0.
类型二　利用同角三角函数关系化简
例3　已知α是第三象限角，化简：－.
解　原式＝－
＝－＝－.
∵α是第三象限角，∴cos α＜0.
∴原式＝－＝－2tan α(注意象限、符号)．
反思与感悟　解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
跟踪训练3　化简：(1)；
(2)－ (α为第二象限角)．
解　(1)原式＝ 
＝ ＝
＝＝1.
(2)∵α是第二象限角，∴cos α＜0，
则原式＝－ 
＝ －
＝＋＝＝＝tan α.
类型三　利用同角三角函数关系证明
例4　求证：＝.
证明　∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立．
反思与感悟　证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
(3)比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．
(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练4　求证：＝.
证明　方法一　(比较法——作差)
∵－＝
＝＝0，
∴＝.
方法二　(比较法——作商)
∵＝＝
＝＝＝1.
∴＝.
方法三　(综合法)
∵(1－sin x)(1＋sin x)＝1－sin2x＝cos2x
＝cos x·cos x，
∴＝.
类型四　齐次式求值问题
例5　已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
解　(1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝.
反思与感悟　(1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值．
(2)假若代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式．
跟踪训练5　已知＝2，计算下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α－2sin αcos α＋1.
解　由＝2，化简，得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
1．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值为 ．
答案　－
解析　∵α为第二象限角，sin α＝，
∴cos α＝－，tan α＝－.
2．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α＝ .
答案　－
解析　由题意得(sin α－cos α)2＝，
即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－.
3.＝ .
答案　－cos
解析　＝＝，
∵<<π，∴cos<0，
∴＝－cos，
即＝－cos.
4．若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝ .
答案　－
解析　sin θcos θ＝＝＝－.
5．已知sin α＝，求cos α，tan α.
解　∵sin α＝>0，∴α是第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝
＝＝，
tan α＝＝；
当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－.
1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．
2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．
3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．
4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．
5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．
一、选择题
1．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α等于(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
答案　C
解析　∵α是第二象限角，∴cos α<0.
又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－，
∴cos α＝－.
2.等于(　　)
A．sin  B．cos 
C．－sin  D．－cos 
答案　A
解析　∵0<<，∴sin >0，
∴＝＝sin .
3．已知＝2，则sin θcos θ的值是(　　)
A. B．± C. D．－
答案　C
解析　由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，
解得sin θcos θ＝.
4．函数y＝＋的值域是(　　)
A．{0,2} B．{－2,0}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
答案　C
解析　y＝＋.
当x为第一象限角时，y＝2；
当x为第三象限角时，y＝－2；
当x为第二、四象限角时，y＝0.
5．若π<α<，则 ＋ 的化简结果为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　原式＝ ＋ 
＝＋＝，
∵π<α<，∴原式＝－.
二、填空题
6．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为________．
答案　－8
解析　tan α＋＝＋＝.
∵sin αcos α＝＝－，
∴tan α＋＝－8.
7．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________.
答案　
解析　sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝.
8．已知＝，则＝________.
答案　－
解析　利用1－sin2x＝cos2x，可得＝－＝－.
9．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝________.
答案　 3或－
解析　因为sin α＋2cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，
联立解得或
故tan α＝＝－或3.
10．在△ABC中，sin A＝，则角A＝________.
答案　
解析　由题意知cos A>0，即A为锐角．
将sin A＝两边平方，得2sin2A＝3cos A.
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
∴A＝.
11．已知tan α＝－，则的值为________．
答案　－
解析　原式＝
＝＝＝＝－.
三、解答题
12．求证：＝.
证明　方法一　右边＝＝
＝
＝＝左边，
∴原式得证．
方法二　左边＝
＝
＝
＝＝＝右边，
∴原式得证．
13．已知α是第二象限角，且cos＝－，求tan(5π－α)的值．
解　因为cos＝－，所以sin α＝.
又α是第二象限角，
所以cos α＝－＝－＝－.
故tan (5π－α)＝－tan α＝－＝2.
四、探究与拓展
14．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为________．
答案　1
解析　∵sin α＋cos α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，
当sin α＝0时，cos α＝1，
此时有sinnα＋cosnα＝1；
当cos α＝0时，sin α＝1，
也有sinnα＋cosnα＝1，
∴sinnα＋cosnα＝1.
15．已知θ∈(0,2π)，且sin θ，cos θ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实根，求k和θ的值．
解　由题意知

由①得1＋2sin θcos θ＝k2，
把②代入①得k2－2k－3＝0，
解得k＝3或k＝－1，
当k＝3时，sin θ·cos θ＝4与sin θ·cos θ<1矛盾，
不合题意，舍去．
当k＝－1时，
∴或
又θ∈(0,2π)，∴θ＝π或.
综上知k＝－1，θ＝π或.
1.2.3　三角函数的诱导公式
第1课时　诱导公式(一～四)
学习目标　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．
知识点一　诱导公式一
思考　终边相同角的三角函数值之间有什么关系？
答案　终边相同角的三角函数值相等．
梳理
诱导公式一
知识点二　诱导公式二
思考　如图，角－α的终边与单位圆的交点P1(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
答案　 关于x轴对称．
梳理　
诱导公式二
知识点三　诱导公式三
思考　如图，角π－α的终边与单位圆的交点P2(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
答案　 关于y轴对称．
梳理　
诱导公式三
知识点四　诱导公式四
思考　如图，角π＋α的终边与单位圆的交点P3(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
答案　 关于原点对称．
梳理　
诱导公式四
公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，－α，π－α，π＋α的三角函数与α的三角函数值之间的关系，这四组公式的共同特点是：
2kπ＋α(k∈Z)，－α，π－α，π＋α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．
1．诱导公式中角α是任意角．(　×　)
提示　正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
2．sin(α－π)＝sin α.(　×　)
提示　sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.
3．cos π＝－.(　√　)
提示　cos ＝cos＝－cos ＝－.
4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．(　×　)
提示　在角度制和弧度制下，公式都成立.
类型一　利用诱导公式求值

例1　求下列各三角函数式的值．
(1)cos 210°；
(2)sin ；
(3)sin；
(4)cos(－1 920°)．
解　(1)cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos 30°＝－.
(2)sin＝sin
＝sin＝sin
＝sin＝.
(3)sin＝－sin
＝－sin＝－sin＝sin＝.
(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°
＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.
反思与感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
(1)“负化正”：用公式一或二来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“角化锐”：用公式三或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1　求下列各三角函数式的值．
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
解　(1)方法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
方法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)方法一　cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
方法二　cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.

例2　已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ＝ .
答案　
解析　由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，
可得－sin θ＝－cos θ，|θ|<，
即tan θ＝，|θ|<，∴θ＝.
反思与感悟　对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．
跟踪训练2　已知sin(π－α)＝－sin(π＋β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.
解　由题意，得

①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵0<α<π，∴sin α＝，
∴α＝或α＝π.
把α＝，α＝π分别代入②，
得cos β＝或cos β＝－.
又∵0<β<π，∴β＝或β＝π.
∴α＝，β＝或α＝π，β＝π.
类型二　利用诱导公式化简
例3　化简下列各式．
(1)；
(2).
解　(1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
引申探究
若本例(1)改为：(n∈Z)，请化简．
解　当n＝2k时，
原式＝＝－tan α；
当n＝2k＋1时，
原式＝＝－tan α.
反思与感悟　三角函数式的化简方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
跟踪训练3　化简下列各式．
(1)；
(2).
解　(1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝.
1．sin 585°的值为 ．
答案　－
解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
＝－sin 45°＝－.
2．sin 750°＝ .
答案　
解析　∵sin θ＝sin(k·360°＋θ)，k∈Z，
∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝.
3．cos＋sin的值为 ．
答案　
解析　原式＝cos －sin ＝cos －sin 
＝－cos ＋sin ＝.
4．已知cos(π－α)＝，则tan(π＋α)＝ .
答案　－
解析　cos(π－α)＝－cos α＝，
∴cos α＝－.
方法一　∵<α<π，∴sin α>0.
∴sin α＝＝ ＝，
∴tan(π＋α)＝tan α＝＝－.
方法二　由cos α＝－，<α<π，得α＝π，
∴tan α＝－，∴tan(π＋α)＝tan α＝－.
5．化简：·sin(α－2π)·cos(2π－α)．
解　原式＝·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α)
＝·sin α·cos α＝cos2α.
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将负角转化为正角求值
公式三
将角转化为0～之间的角求值
公式四
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式二和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”
一、选择题
1．cos 600°的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　D
解析　cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
2．已知sin＝，则sin的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　C
解析　sin＝sin
＝sin＝.
3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　B
解析　因为sin(π＋α)＝，且sin(π＋α)＝－sin α，
所以sin α＝－，
又因为α是第四象限角，
所以cos(α－2π)＝cos α＝
＝＝.
4．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为(　　)
A．1 B．2sin2α
C．0 D．2
答案　D
解析　原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
解析　∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝，则tan 80°＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.
二、填空题
6．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为________．
答案　－
解析　∵sin(π－α)＝sin α＝log23 2－2＝－，
且α∈，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－
＝－＝－.
7.的值为________．
答案 　－2
解析　原式＝
＝
＝
＝＝＝－2.
8．已知a＝tan，b＝cos ，c＝sin，则a，b，c的大小关系为________．
答案　b＞a＞c
解析　∵a＝－tan＝－tan ＝－，
b＝cos＝cos ＝，
c＝－sin＝－sin＝－，
∴b＞a＞c.
9．已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝________.
答案　
解析　∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，
又∵π<α<2π，∴<α<2π，
∴sin α＝－.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α)
＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)
＝－＝.
10．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为________．
答案　－3
解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，
∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β＝－3.
11．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
答案　
三、解答题
12．化简下列各式．
(1)sincos π；
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．
解　(1)sincos π
＝－sincos＝sin cos ＝.
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)
＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.
13．若cos(α－π)＝－，求的值．
解　原式＝
＝＝＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.
∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，
∴tan α＝＝，
∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
四、探究与拓展
14．已知f(x)＝则f?＋f?的值为________．
答案　－2
解析　因为f?＝sin
＝sin＝sin＝；
f?＝f?－1＝f?－2
＝sin－2＝－－2＝－，
所以f?＋f?＝－2.
15．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解　(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.又α是第三象限角，
∴cos α＝－.∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f?＝－cos
＝－cos ＝－cos ＝－.
第2课时　诱导公式(五～六)
学习目标　1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．
知识点一　诱导公式五
思考1　角与角的三角函数值有什么关系？
答　sin＝cos ＝，cos ＝sin ＝.
思考2　角α的终边与角－α的终边有怎样的对称关系？
答　关于直线y＝x对称．
梳理　诱导公式五
知识点二　诱导公式六
思考　能否利用已有公式得出＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？
答案　 以－α代替公式五中的α得到
sin＝cos(－α)，
cos＝sin(－α)．
梳理　诱导公式六
知识点三　诱导公式的推广与规律
1．sin＝－cos α，cos＝－sin α，
sin＝－cos α，cos＝sin α.
2．诱导公式记忆规律：
公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．
公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．
1．诱导公式五、六中的角α只能是锐角．(　×　)
提示　诱导公式五、六中的角α是任意角．
2．诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变．(　√　)
提示　由诱导公式一～六可知其正确．
3．sin＝±cos α.(　×　)
提示　当k＝2时，sin＝sin(π－α)＝sin α.
4．口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．(　×　)
提示　应看原三角函数值的符号.
类型一　利用诱导公式求值
例1　(1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值；
(2)已知cos＝，求cos·sin的值．
解　(1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，又α为第一象限角，
则cos＝－sin α＝－
＝－ ＝－.
(2)cos·sin
＝cos·sin
＝－cos·sin
＝－sin
＝－cos＝－.
反思与感悟　对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
跟踪训练1　已知sin＝，求cos的值．
解　∵＋α＋－α＝，∴－α＝－.
∴cos＝cos
＝sin＝.
类型二　利用诱导公式证明三角恒等式
例2　求证：＝－tan α.
证明　∵左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
反思与感悟　利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
跟踪训练2　求证：＝.
证明　因为左边＝
＝
＝＝
＝＝.
右边＝＝.
所以左边＝右边，故原等式成立．
类型三　诱导公式在三角形中的应用
例3　在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状．
解　∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
∵sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴sin＝sin，
即cos C＝cos B.
又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
反思与感悟　解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，＝，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos，cos＝sin.
跟踪训练3　在△ABC中，给出下列四个式子：
①sin(A＋B)＋sin C；
②cos(A＋B)＋cos C；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C.
其中为常数的式子的序号是 ．
答案　②③
解析　①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C
＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C
＝sin[2(π－C)]＋sin 2C
＝sin(2π－2C)＋sin 2C
＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C
＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C
＝cos[2(π－C)]＋cos 2C
＝cos(2π－2C)＋cos 2C
＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.
类型四　诱导公式的综合应用
例4　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．
解　(1)f(α)＝＝cos α.
(2)因为f(A)＝cos A＝，
又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得sin A＝＝，
所以tan A＝＝，
所以tan A－sin A＝－＝.
反思与感悟　解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
跟踪训练4　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
解　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α
＝－tan2α＝－＝－.
1．已知sin＝，则cos的值为 ．
答案　－
解析　cos＝cos
＝－sin＝－.
2．若cos(2π－α)＝，则sin＝ .
答案　－
解析　∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝，
∴sin＝－cos α＝－.
3．已知tan θ＝2，则＝ .
答案　－2
解析　＝＝＝＝－2.
4．已知cos＝2sin，
求的值．
解　∵cos＝2sin，
∴－sin α＝－2sin，
∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.
∴
＝
＝
＝＝
＝＝
＝
＝＝
＝＝.
5．已知cos＝，求＋的值．
解　原式＝＋
＝－sin α－sin α＝－2sin α.
又cos＝，所以－sin α＝.
所以原式＝－2sin α＝.
1．诱导公式的分类及其记忆方式
(1)诱导公式分为两大类：
①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．
②α＋，－α＋的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
(2)以上两类公式可以归纳为：k·＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成内的三角函数值”这种方式求解．
用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：
一、选择题
1．已知cos α＝，则sin等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　A
解析　sin＝cos α＝.
2．已知sin＝，那么cos α等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　C
解析　sin＝cos α，故cos α＝，故选C.
3．化简sin·cos·tan的结果是(　　)
A．1 B．sin2α C．－cos2α D．－1
答案　C
解析　因为sin＝cos α，
cos＝cos＝－sin α，
tan＝＝，
所以原式＝cos α(－sin α)＝－cos2α，故选C.
4．已知sin 10°＝k，则cos 620°的值为(　　)
A．k B．－k C．±k D．不确定
答案　B
解析　cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k.
5．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　A
解析　f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
二、填空题
6．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为________．
答案　－
解析　∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝.
故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α
＝－3sin α＝－.
7．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝________.
答案　
解析　∵cos α＝，且α是第四象限角，
∴sin α＝－ ＝－ ＝－.
∴cos＝－sin α＝.
8．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
答案　
解析　原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°
＝44＋＝.
9．已知tan(3π＋α)＝2，则＝________.
答案　2
解析　因为tan(3π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝2，
所以原式＝＝＝＝2.
10．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos Α＝－cos(π－B)，则C＝________.
答案　
解析　由题意得cos A＝3sin A，　　　　　　 　①
cos A＝cos B, ②
由①得tan A＝，∵0由②得cos B＝＝，∵0∴C＝.
三、解答题
11．已知角α的终边经过点P(－4,3)，求
的值．
解　∵角α的终边经过点P(－4,3)，
∴tan α＝＝－，
∴
＝＝tan α
＝－.
12．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
解　∵sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α，
∴sin α·cos α＝，
即2sin α·cos α＝. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝.
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝， ③
sin α－cos α＝， ④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.
13．已知sin(π＋α)＝－.计算：
(1)cos；(2)sin；(3)tan(5π－α)．
解　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
(1)cos＝cos＝－sin α＝－.
(2)sin＝cos α，cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
∵sin α＝，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin＝cos α＝.
②当α为第二象限角时，sin＝cos α＝－.
(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，
∵sin α＝，
∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，cos α＝，
∴tan α＝，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－.
②当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－，
∴tan(5π－α)＝－tan α＝.
四、探究与拓展
14．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则＝________.
答案　－
解析　∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝＝＝＝－.
15．已知α是第四象限角，且f(α)＝.
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
解　f(α)＝＝＝.
(1)∵cos＝，
∴cos＝，
∴cos＝，
∴sin α＝－，∴f(α)＝＝－5.
(2)当α＝－1 860°时，f(α)＝
＝＝
＝＝
＝－.
§1.3　三角函数的图象和性质
1.3.1　三角函数的周期性
学习目标　1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．
知识点一　周期函数
思考　单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．
答案　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sin x，cos(2π＋x)＝cos x．故正弦函数和余弦函数也具有周期性．
梳理　(1)周期函数的定义
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
知识点二　正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
思考　6π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？
答案　是的．由sin(6π＋x)＝sin x恒成立，根据周期函数的定义，可知6π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．
梳理　(1)正弦函数、余弦函数的周期
正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.
(2)正切函数的周期
正切函数是周期函数，最小正周期是π.
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝.
1．函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，所以f(x)＝x2是以6为周期的周期函数．(　×　)
提示　周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(x＋T)＝f(x)，对于f(x)＝x2，f(0)＝0，f(0＋6)＝f(6)＝36，f(0)≠f(0＋6)，∴f(x)＝x2不是以6为周期的周期函数．
2．周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R)．(　×　)
提示　周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．
3．任何周期函数都有最小正周期．(　×　)
提示　常函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期．
类型一　求三角函数的周期
例1　求下列函数的周期：
(1)y＝3sin；
(2)y＝2cos；
(3)y＝|sin x|.
解　(1)T＝＝＝4.
(2)y＝2cos＝2cos，
∴T＝＝4π.
(3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π.
验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，
∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的周期是π.
反思与感悟　求三角函数的周期，通常有三种方法：
(1)定义法．
(2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，有T＝.
(3)观察法(图象法)．
跟踪训练1　(1)函数y＝3cos的最小正周期为________．
(2)y＝2cos的最小正周期为π，则ω＝__________________________________.
答案　(1)4π　(2)±2
解析　(1)y＝3cos中ω＝，故T＝4π.
(2)∵T＝＝π，∴ω＝±2.
类型二　利用周期求函数值
例2　若f(x)是以为周期的奇函数，且f?＝1，求f?的值．
解　∵f(x)是以为周期的奇函数，
∴f?＝－f?
＝－f?＝－f?＝f
＝f?＝－f?，
又∵f?＝1，
∴f?＝－f?＝－1.
反思与感悟　(1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．
(2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题．
跟踪训练2　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
解　∵f(x)是周期函数，且最小正周期为π，
∴f＝f＝f.
∵f(x)是偶函数，
∴f＝f.
当x∈时，f(x)＝sin x，
∴f＝sin ＝，
∴f＝f＝.
类型三　函数周期性的综合应用
例3　设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7)的值．
解　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)的周期为4.又f(x)是奇函数，
∴f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝－f(1)．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，
∴f(7)＝－f(1)＝－1.
引申探究
将例3中的条件f(x＋2)＝－f(x)改为：f(x)的图象关于x＝1对称，其余条件不变，求f(7)的值．
解　函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
又函数f(x)的图象关于x＝1对称，
则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
从而得f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
反思与感悟　(1)解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．
(2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．
跟踪训练3　设函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2.
(1)求f(3)；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
解　(1)∵函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2，
∴f(3)＝f(3－2)＝f(1)＝(1－1)2＝0.
(2)∵f(x)的周期为2，
∴当x∈[2,4]时有f(x)＝f(x－2)，
又∵x－2∈[0,2]，
∴f(x－2)＝(x－2－1)2＝(x－3)2，
∴f(x)＝(x－3)2.
即x∈[2,4]时，f(x)＝(x－3)2.
1．下列说法中，正确的是________．(填序号)
①因为sin(π－x)＝sin x，所以π是函数y＝sin x的一个周期；
②因为tan(2π＋x)＝tan x，所以2π是函数y＝tan x的最小正周期；
③因为当x＝时，等式sin＝sin x成立，所以是函数y＝sin x的一个周期；
④因为cos≠cos x，所以不是函数y＝cos x的一个周期．
答案　④
解析　根据周期函数的定义容易知道①③均是错误的，同时④是正确的；对于②，我们只能得出2π是函数y＝tan x的一个周期，但不是最小正周期．
2．函数f(x)＝sin(ω>0)的周期为，则ω＝________.
答案　8
解析　由＝，得ω＝8.
3．函数y＝cos的最小正周期为________．
答案　π
解析　T＝＝π.
4．求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝cos；
(2)y＝4sin(a≠0)．
解　(1)∵y＝cos，∴ω＝2.
又T＝＝＝π.
∴函数f(x)＝cos的周期T＝π.
(2)当a>0时，T＝，
当a<0时，y＝－4sin，T＝.
综上可知，T＝.
1．函数周期性的理解：
(1)对于“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x，x＋T仍在定义域内且等式成立．
(2)周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数的周期．
(3)并不是所有周期函数都有最小正周期．如常数函数f(x)＝C没有最小正周期．
2．求三角函数的周期，通常有三种方法：
(1)定义法．
(2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝.
(3)观察法(图象法)．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.
一、选择题
1．函数f(x)＝2sin的最小正周期是(　　)
A．2π B．6π
C.π D.π
答案　B
解析　T＝＝6π.
2．函数f(x)＝2cos的最小正周期是(　　)
A.π B. C. D．2π
答案　C
解析　T＝＝.
3．函数y＝3sin的最小正周期是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　T＝＝.
4．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(6)等于(　　)
A．6 B．4 C．1 D．3
答案　D
5．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且当2A．2 B．－2 C．－1 D．1
答案　B
解析　∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(1)＝f(1＋4)＝f(5)，
又当2∴f(5)＝3－5＝－2，∴f(1)＝－2.
二、填空题
6．函数y＝2cos(ω<0)的最小正周期为4π，则ω＝________.
答案　－
解析　由周期公式可知4π＝?|ω|＝，由ω<0，
可知ω＝－.
7．已知函数f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝________.
答案　2＋
解析　由诱导公式知sin＝sin＝sin，
∴f(n＋12)＝f(n)，
且f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0,102＝12×8＋6，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)
＝sin＋sin＋…＋sin＝2＋.
8．函数y＝cos(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值为________．
答案　13
解析　∵T＝＝≤2，∴k≥4π.
又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.
9．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f＝________.
答案　
解析　∵f(x)的最小正周期为，
∴f＝f＝f
＝sin ＝.
三、解答题
10．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，则当x∈时，求f(x)的解析式．
解　当x∈时，3π－x∈，
因为当x∈时，f(x)＝1－sin x，
所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又f(x)是以π为周期的偶函数，
所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.
11．已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k的值．
解　∵函数f(x)＝sin的最小正周期为
T＝＝，
且由题意知T≤1，即≤1，|k|≥20π≈62.8.
∴最小正整数k的值为63.
12．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
(1)证明　∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)解　∵4是f(x)的一个周期，
∴f(5)＝f(1)＝－5，
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
＝－＝－＝.
四、探究与拓展
13．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin x；当x∈时，f(x)＝cos x，则f＝________.
答案　－
解析　∵T＝π，x∈时，f(x)＝cos x.
∴f＝f＝f＝cos 
＝cos＝－cos＝－.
14．欲使函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值．
解　函数y＝Asin ωx的最小正周期为，因为在每一个周期内，函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y＝Asin ωx在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y在区间[0,1]内至少含49个周期，即解得ω≥，所以ω的最小值为.
1.3.2　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象与性质
学习目标　1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.4.掌握正弦曲线、余弦曲线的性质．
知识点一　正弦函数图象
思考　如果有y＝sin x，x∈[0，2π]图象上的五个点，进行描点、连线，作出图象，那么哪五个点最关键？
答案　(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
梳理　正弦曲线及作法
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线．如图：
(2)正弦曲线的作法
①几何法——借助三角函数线．
②描点法——五点法．
用“五点法”画正弦曲线在[0，2π]上的图象时所取的五个关键点为(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
知识点二　余弦函数图象
思考1　能否把正弦函数y＝sin x的图象转化为y＝cos x的图象？
答案　能．把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．
思考2　如果用“五点法”作出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点应为什么？
答案　(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
梳理　余弦曲线及作法
(1)余弦函数的图象叫做余弦曲线．如图：
(2)余弦曲线的画法
①要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度便可，这是由于cos x＝sin.
②用“五点法”画出余弦曲线y＝cos x在[0，2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
知识点三　正弦函数、余弦函数的性质
正、余弦函数的性质可从定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及最值等方面进行比较.
正弦函数
余弦函数
解析式
y＝sin x
y＝cos x
图象
定义域
R
R
值域
[－1，1]
[－1，1]
周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在(k∈Z)上是单调增函数，在(k∈Z)上是单调减函数
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是单调增函数，在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是单调减函数
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
1．正弦函数y＝sin x的图象向左、右和上、下无限伸展．(　×　)
提示　正弦函数y＝sin x的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y＝1和y＝－1之间．
2．余弦函数y＝cos x的图象与x轴有无数个交点．(　√　)
3．正弦函数在定义域上是单调函数．(　×　)
4．存在实数x，使得cos x＝.(　×　)
类型一　“五点法”作图的应用
例1　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解　(1)取值列表：
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
描点连线，如图所示．
反思与感悟　作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
跟踪训练1　用“五点法”作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
解　列表如下：
x
0

π

2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
0
1
2
1
0
描点并用光滑的曲线连结起来，如图．
类型二　求正弦、余弦函数的单调区间
例2　求下列函数的单调区间．
(1)y＝2sin；
(2)y＝cos 2x.
解　(1)令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是单调增函数，∴y＝2sin z的单调增(减)区间即为原函数的单调增(减)区间，
y＝2sin z在上是单调增函数，
∴原函数的单调增区间应满足
x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调增区间为(k∈Z)，
同理可求函数y＝2sin的单调减区间为(k∈Z)．
(2)由题意，令2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
故y＝cos 2x的单调增区间为(k∈Z)．
令2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，
得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故y＝cos 2x的单调减区间为(k∈Z)．
反思与感悟　用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．
跟踪训练2　求函数y＝2sin的单调增区间．
解　y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，
则y＝－2sin z.
因为z是x的一次函数且是单调增函数，所以要求y＝－2sin z的单调增区间，即求sin z的单调减区间，即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的单调增区间为(k∈Z)．
类型三　正弦函数、余弦函数的最值问题
例3　(1)已知函数f(x)＝2asin x＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值；
(2)求函数y＝sin2x－cos x的值域．
解　(1)∵－≤x≤，∴－≤sin x≤1.
若a＞0，则解得
若a＜0，则解得
当a＝0时，不符合题意．
(2)y＝sin2x－cos x
＝－cos2x－cos x＋1
＝－2＋.
∵cos x∈[－1，1]，
∴当cos x＝－时，ymax＝；
当cos x＝1时，ymin＝－1.
∴函数y＝sin2x－cos x的值域为.
反思与感悟　(1)求形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值要注意对a的讨论．
(2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．
(3)换元后配方，利用二次函数求最值．
跟踪训练3　(1)若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
答案　±2
解析　当a＝0时，不合题意，
当a＞0时，得
当a＜0时，得
∴ab＝±2.
(2)求函数y＝3－4cos，x∈的最大值、最小值及相应的x值．
解　∵x∈，∴2x＋∈.
从而－≤cos≤1，
∴当cos＝1，
即2x＋＝0，x＝－时，ymin＝3－4＝－1.
当cos＝－，即2x＋＝，x＝时，
ymax＝3－4×＝5.
综上所述，当x＝－时，ymin＝－1，
当x＝时，ymax＝5.
(3)求函数y＝3－4sin x－4cos2x的值域．
解　y＝3－4sin x－4cos2x＝3－4sin x－4(1－sin2x)
＝4sin2x－4sin x－1，令t＝sin x，则－1≤t≤1，
∴y＝4t2－4t－1＝42－2(－1≤t≤1)．
∴当t＝时，ymin＝－2，当t＝－1时，ymax＝7.
即函数y＝3－4sin x－4cos2x的值域为[－2，7].
1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．
答案　0，，，，π
解析　“五点法”作图是当2x＝0，，π，，2π时的x的值，此时x＝0，，，，π.
2．函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈的值域是________．
答案　[－1，3]
解析　∵x∈，
∴sin x∈[－1，1]，
∴f(x)＝－2sin x＋1∈[－1，3]．
3．函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
答案　2
解析　作y＝cos x，x∈[0，2π]的图象及直线y＝－(图略)，可知两函数图象有2个交点．
4．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________．
答案　sin 3解析　∵1<<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
y＝sin x在上单调增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)即sin 35．请用“五点法”画出函数y＝sin的图象．
解　令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表：
X
0

π

2π
x





y
0

0
－
0
描点画图：
将函数在上的图象向左、向右平移即得y＝sin的图象.
1．对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．
2．作函数y＝asin x＋b的图象的步骤：
3．用“五点法”画函数y＝asin x＋b在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出．
一、选择题
1．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有(　　)
A．最大值1，最小值－1 B．最大值1，最小值－
C．最大值2，最小值－2 D．最大值2，最小值－1
答案　D
解析　因为－≤x≤，所以－≤x＋≤，
所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2.
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
答案　A
3．下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°答案　C
解析　∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.
∴由正弦函数的单调性，得sin 11°即sin 11°4．y＝的最小值是(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案　B
解析　由y＝＝2－，
当sin x＝－1时，y＝取得最小值－2.
5．(2017·全国Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)
A. B．1 C. D.
答案　A
解析　∵＋＝，
∴f(x)＝sin＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋sin
＝sin≤.
∴f(x)max＝.
故选A.
二、填空题
6．函数y＝2sin2x＋2cos x－3的最大值是________．
答案　－
解析　由题意，得y＝2sin2x＋2cos x－3＝2(1－cos2x)＋2cos x－3＝－22－.
∵－1≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，函数有最大值－.
7．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．
答案　4π
解析　作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，
∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
8．函数f(x)＝lg cos x＋的定义域为__________．
答案　∪∪
解析　由题意，得x满足不等式组
即作出y＝cos x的图象，如图所示．
结合图象可得
x∈∪∪.
9．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________.
答案　3π
解析　如图所示，
x1＋x2＝2×＝3π.
10．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数，则ω＝________.
答案　
解析　由题意知，＝，即T＝，＝，∴ω＝.
11．函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是_________________________．
答案　
解析　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图象(图略)，由图易得－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈N.
三、解答题
12．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的简图．
解　(1)取值列表如下：
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
＋sin x



－

(2)描点、连线，如图所示．
13．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
解　f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
图象如图所示，
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1,3)．
四、探究与拓展
14．已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为________．
答案　4π
解析　数形结合，如图所示．
y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.
15．已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，且f＝0，△ABC的内角A满足f(cos A)≤0，求角A的取值范围．
解　①当00.
由f(cos A)≤0＝f，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
得0解得≤A<.
②当∵f(x)为R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上是单调增函数，
f＝－f＝0，
∴由f(cos A)≤0＝f，得cos A≤－，
∴≤A<π.
③当A＝时，cos A＝0，∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，
∴f(0)≤0成立．
综上所述，角A的取值范围是∪.
第2课时　正切函数的图象与性质
学习目标　1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．
知识点一　正切函数的图象
思考　我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y＝tan x，x∈的简图吗？怎样画？
答案　能，三个关键点：，(0，0)，，两条平行线：x＝，x＝－.
梳理　(1)正切函数的图象叫正切曲线，图象如下：
(2)正切函数的图象特征
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
知识点二　正切函数的性质
思考1　正切函数的定义域是什么？
答案　.
思考2　诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？
答案　 周期性．
思考3　诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？
答案　 奇偶性．
思考4　从正切线上看，正切函数是区间上的单调增函数吗？
答案　是．
梳理　函数y＝tan x的图象与性质见下表：
解析式
y＝tan x
图象
定义域

值域
R
周期
π
奇偶性
奇
单调性
在开区间(k∈Z)上都是单调增函数
1．函数y＝tan x在其定义域上是增函数．(　×　)
提示　y＝tan x在开区间(k∈Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函数．
2．函数y＝tan x的图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．(　×　)
提示　y＝tan x图象的对称中心是(k∈Z)．
3．正切函数y＝tan x无单调减区间．(　√　)
4．正切函数在区间上单调增．(　×　)
提示　正切函数在区间上是增函数，不能写成闭区间，当x＝±时，y＝tan x无意义．
类型一　正切函数的定义域
例1　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(－tan x)．
解　(1)要使函数y＝有意义，必须且只需
所以函数的定义域为.
(2)因为－tan x>0，所以tan x<.
又因为当tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋ (k∈Z)，
所以函数的定义域是.
反思与感悟　求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
跟踪训练1　求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
解　由题意得即－1≤tan x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是，又y＝tan x的周期为π，
所以函数的定义域是(k∈Z)．
类型二　正切函数的单调性及其应用

例2　求函数y＝tan的单调区间及周期．
解　y＝tan＝－tan，
由kπ－<x－得2kπ－所以函数y＝tan的单调减区间是
，k∈Z，周期T＝＝2π.
反思与感悟　y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
跟踪训练2　求函数y＝tan的单调区间．
解　∵y＝tan x在区间上是单调增函数，∴－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，
即－＋∴函数y＝tan的单调增区间是 (k∈Z)．

例3　(1)比较大小：
①tan 32°________tan 215°；
②tan________tan.
(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为_______________________________________．
(用“<”连接)
答案　(1)①<　②<　(2)tan 2解析　(1)①tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，
∵y＝tan x在(0°，90°)上是单调增函数，32°<35°，
∴tan 32°②tan＝tan＝tan，
tan＝tan＝tan，
∵y＝tan x在上是单调增函数，
且－<－，
∴tan即tan(2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
∵－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在上是单调增函数，
∴tan(2－π)即tan 2反思与感悟　运用正切函数的单调性比较大小的方法：
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
跟踪训练3　比较大小：tan________tan.
答案　>
解析　∵tan＝－tan＝tan ，
tan＝－tan＝tan .
又0＜＜＜，y＝tan x在内是单调增函数，
∴tan ＜tan ，
∴tan＞tan.
类型三　正切函数的图象及应用
例4　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
解　由y＝|tan x|，得
y＝
其图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调增区间为(k∈Z)，
单调减区间为(k∈Z)，周期为π.
反思与感悟　(1)作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分．
②将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
跟踪训练4　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
解　(1)∵ω＝，
∴周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝；
令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
1．函数y＝tan的最小正周期是________．
答案　
解析　最小正周期为T＝＝.
2．若tan x＞tan 且x在第三象限，则x的取值范围是____________________．
答案　(k∈Z)
解析　∵tan x＞tan ＝tan ，
又x为第三象限角，且tan x在上是单调增函数，
∴kπ＋＜x＜kπ＋(k∈Z)．
3．方程tan＝在区间[0，2π)上的解的个数是________．
答案　4
解析　由tan＝，解得2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，又∵x∈[0，2π)，∴x＝0，，π，.故填4.
4．比较大小：tan 1________tan 4.
答案　＞
解析　由正切函数的图象易知tan 1＞0，
tan 4＝tan(4－π)，而0＜4－π＜1＜，
函数y＝tan x在上是单调增函数，
所以tan 1＞tan(4－π)＝tan 4.
1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调增．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0)的周期为T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上是增函数，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间．
一、选择题
1．函数y＝tan，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是(　　)
A.(0,0) B.
C. D.(π，0)
答案　C
2．函数f(x)＝2tan(－x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
答案　A
解析　因为f(－x)＝2tan x＝－2tan(－x)＝－f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称，所以函数f(x)＝2tan(－x)是奇函数．
3．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则(　　)
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
答案　B
解析　∵y＝tan ωx在内是减函数，∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0.
4．下列各点中，不是函数y＝tan的图象的对称中心的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　令－2x＝，k∈Z，得x＝－.
令k＝0，得x＝；
令k＝1，得x＝－；
令k＝2，得x＝－.故选C.
5．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)
答案　D
解析　当当x＝π时，y＝0；
当πsin x，y＝2sin x<0.故选D.
二、填空题
6．观察正切曲线，满足条件|tan x|＞的x的取值范围是______________________．
答案　∪(k∈Z)
解析　画出函数y＝|tan x|的图象可知，当|tan x|＞时，x的取值范围为＋kπ＜x＜＋kπ或－＋kπ＜x＜－＋kπ，k∈Z.
7．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得的线段长为，则f的值是____．
答案　0
解析　由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.
8．已知函数f(x)＝tan x＋，若f(α)＝5，则f(－α)＝________.
答案　－5
解析　f(－α)＝tan(－α)＋＝－＝－5.
9．下列关于函数y＝tan的说法，其中正确说法的序号是________．
①在区间上是单调增函数；
②最小正周期是π；
③图象关于点成中心对称；
④图象关于直线x＝成轴对称．
答案　②
解析　令kπ－10．函数y＝3tan的对称中心的坐标是________．
答案　(k∈Z)
解析　由3x＋＝(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以对称中心的坐标为(k∈Z)．
11．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________．
答案　[－4,4]
解析　∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
12．函数y＝3tan的最小正周期是π，则ω＝________.
答案　±
解析　∵T＝＝π，∴ω＝±.
三、解答题
13．求函数y＝tan的定义域、周期、单调区间和对称中心．
解　①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋π，k∈Z.
∴函数的定义域为.
②∵T＝＝2π.∴函数的周期为2π.
③由kπ－<－解得2kπ－∴函数的单调增区间为，k∈Z.
④由－＝，k∈Z，
得x＝kπ＋π，k∈Z.
∴函数的对称中心是，k∈Z.
四、探究与拓展
14．已知函数y＝tan ωx在区间(－π，π)上是单调减函数，则实数ω的范围是________．
答案　
解析　∵函数y＝tan ωx在区间(－π，π)上是单调减函数，
∴ω<0，≥2π，解得－≤ω<0.
15．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
解　(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，
即＝.
因为ω>0，所以ω＝2，
从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，
故f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－＋kπ<2x即－＋所以函数的单调增区间为，k∈Z，无单调减区间．
(3)由(1)知，f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.
1.3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
学习目标　1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)的图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
知识点一　φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
思考1　如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？
答案　向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度．
思考2　如何由y＝sin x的图象变换得到y＝sin的图象？
答案　向左平移个单位长度．
梳理　如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．
知识点二　ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
思考1　函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？
答案　2π，π，4π.
思考2　当以上三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？
答案　当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍．
思考3　函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？
答案　 可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图象即可．
梳理　如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
知识点三　A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
思考　对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函数值有何关系？
答案　对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值是y＝sin x的函数值的.
梳理　如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0知识点四　函数y＝sin x的图象与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象关系
正弦曲线y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程：
y＝sin x的图象 y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
1．把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象．(　×　)
提示　得到y＝sin 2＝sin的图象．
2．要得到函数y＝sin的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向左平移个单位长度得到．(　×　)
提示　y＝sin，故要得到y＝sin的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向右平移个单位长度．
3．把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin 2x的图象．(　×　)
提示　应得到y＝sin x的图象．
类型一　平移变换
例1　函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
解　函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的．
反思与感悟　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为||个单位长度．
跟踪训练1　要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象向左平移________个单位长度．
答案　
解析　y＝sin 2x＝cos＝cos
＝cos＝cos.
若设f(x)＝sin 2x＝cos，
则f＝cos，
所以向左平移个单位长度．
类型二　伸缩变换
例2　将函数y＝sin的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的函数解析式为____________________．
答案　y＝sin
反思与感悟　横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化．
跟踪训练2　将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数______的图象．
答案　y＝sin
类型三　图象变换的综合应用
例3　把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
解　y＝2sin
y＝3sin
y＝3sin
y＝3sin＝3sin＝3cos x.
所以f(x)＝3cos x.
反思与感悟　(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．
跟踪训练3　将函数y＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为________．
答案　
解析　因为函数y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z.
又m>0，所以m的最小值为.
1．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．
答案　
2．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移________个单位长度．
答案　
解析　由y＝sin x得到y＝sin(x±a)的图象，只需记住“左加右减”的规则即可．
3．要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象向左平移________个单位长度．
答案　
4．将函数y＝sin(－2x)的图象向左平移个单位长度，所得函数图象的解析式为__________________．
答案　y＝－cos 2x
解析　y＝sin(－2x)y＝sin，
即y＝sin＝－sin＝－cos 2x.
5．函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为____________．
答案　y＝sin
解析　y＝siny＝sin＝sin
y＝sin.
1．由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位长度．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位长度，这是容易出错的地方，应特别注意．
2．类似地，y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到．
一、选择题
1．要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　C
解析　因为y＝sin＝sin 2，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin 2＝sin的图象．
2．若把函数y＝sin的图象向右平移m(m>0)个单位长度后，得到y＝sin x的图象，则m的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　依题意，y＝sin＝sin x，
∴m－＝2kπ(k∈Z)，
∴m＝＋2kπ(k∈Z)，
又m>0，∴m的最小值为.
3．为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　C
解析　y＝cos＝sin
＝sin，
所以只需将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度．
4．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是(　　)
A．非奇非偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数
D．偶函数
答案　D
解析　y＝sin的图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象，y＝－cos 2x是偶函数．
5．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　)
答案　B
解析　把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y1＝cos x＋1，向右平移1个单位长度，得y2＝cos(x－1)＋1，再向下平移1个单位长度，得y3＝cos(x－1)．令x＝0，得y3>0，令x＝＋1，得y3＝0，观察即得答案．
二、填空题
6．要得到函数y＝－cos 2x的图象，可以将y＝sin 2x的图象向______平移个单位长度即可．
答案　左
解析　y＝－cos 2x＝sin＝sin 2，所以将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度即可．
7．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标__________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
答案　伸长　3
8．将y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得y＝sin(4x＋φ)的图象，则φ＝________.
答案　
解析　将y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin＝sin，
由sin(4x＋φ)＝sin及0<φ<，知φ＝.
9．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式为________________．
答案　y＝2sin 2x
解析　将函数y＝sin图象右移个单位长度得函数y＝sin＝sin 2x的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得到函数y＝2sin 2x的图象．
10．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________.
答案　
解析　y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把每一点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin的图象，即为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象，所以f(x)＝sin，f
＝.
11．为得到函数y＝cos x的图象，可以把y＝sin x的图象向右平移φ个单位长度得到，那么φ的最小正值是________．
答案　
解析　y＝sin x＝cos＝cos向右平移φ个单位长度后得到y＝cos，
∴φ＋＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.
∴φ的最小正值是.
12．某同学给出了以下判断：
①将y＝cos x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin x的图象；
②将y＝sin x的图象向右平移2个单位长度，可得到y＝sin(x＋2)的图象；
③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位长度，得到y＝sin(－x－2)的图象；
④函数y＝sin的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度而得到的．
其中正确的结论是______．(将所有正确结论的序号都填上)
答案　①③
三、解答题
13．使函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，然后再将其图象沿x轴向左平移个单位长度得到的曲线与y＝sin 2x的图象相同，求f(x)的表达式．
解　方法一　(正向变换)
y＝f(x)y＝f(2x)
y＝f ，即y＝f ，
∴f ＝sin 2x.
令2x＋＝t，则2x＝t－，
∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin.
方法二　(逆向变换)
根据题意，y＝sin 2xy＝sin 2
＝siny＝sin.
四、探究与拓展
14．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为_______．
答案　
解析　平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，图象关于x＝对称，∴2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－－(k∈Z)．又∵φ>0，
∴当k＝－1时，φ的最小值为.
15．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在上是单调增函数，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a解　(1)因为ω>0，根据题意有
即0<ω≤.
所以ω的取值范围为.
(2)由题意知f(x)＝2sin 2x，
g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，
g(x)＝0?sin＝－，解得x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g(x)的零点相离间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.
第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
学习目标　1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．
知识点一　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
思考1　用“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？
答案　依次为0，，π，，2π.
思考2　用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？
答案　用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，，π，，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－，－＋，－＋，－＋，－＋.
梳理　用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
第一步：列表：
ωx＋φ
0

π

2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连结这些点，形成图象．
知识点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
对称性
对称中心(k∈Z)
对称轴
x＝＋(k∈Z)
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
知识点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
一个弹簧振子作简谐振动，如图所示，该弹簧振子离开平衡位置的位移随时间t变化的图象如下：
思考　做简谐振动的物体离开平衡位置的位移s与时间t满足s＝2sin ，图象中纵坐标2和横坐标4各具有怎样的物理意义？
答案　2表示振幅，周期T＝＝4.
梳理　设物体做简谐运动时，位移s与时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T＝称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝＝称为振动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相．
1．函数y＝－2sin的振幅是－2.(　×　)
提示　振幅是2.
2．函数y＝sin的初相是.(　×　)
提示　初相是－.
3．函数y＝sin的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.(　√　)
提示　令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，即f(x)的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.
类型一　用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例1　利用五点法作出函数y＝3sin在一个周期内的草图．
解　依次令－＝0，，π，，2π，列出下表：
－
0

π

2π
x





y
0
3
0
－3
0
描点，连线，如图所示．
反思与感悟　(1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点．
(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象．
跟踪训练1　已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在x∈上的图象．
解　(1)∵x∈，
∴2x－∈.
列表如下：
x
－
－π
－

π

2x－
－π
－π
－
0

π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点，连线，如图所示．
类型二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
解　方法一　(逐一定参法)
由图象知振幅A＝3，
又T＝－＝π，∴ω＝＝2.
由点可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝，∴y＝3sin.
方法二　(待定系数法)
由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得
∴y＝3sin.
方法三　(图象变换法)
由T＝π，点，A＝3可知，
图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，
∴y＝3sin，即y＝3sin.
反思与感悟　若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
跟踪训练2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数的解析式为________．
答案　y＝2sin
解析　由图可知，A＝2，
T＝2＝π，
所以ω＝2.由五点作图法可知2×＋φ＝，
所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.
类型三　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
例3　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的单调增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
解　(1)∵图象最高点的坐标为，
∴A＝5.
∵＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝5sin(2x＋φ)．
代入点，得sin＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又∵|φ|<，
∴k＝0，则φ＝－，
∴y＝5sin.
(2)∵函数的单调增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调增区间为(k∈Z)．
(3)∵5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故所求x的取值范围是(k∈Z)．
反思与感悟　有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．
跟踪训练3　设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
解　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋－，令＋－＝，
得φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数的单调增区间是(k∈Z)．同理可得函数的单调减区间是(k∈Z)．
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；
当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值为－1.
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)的图象的一段如图所示，它的解析式是___________．
答案　y＝sin
解析　由图象可得A＝，＝－－＝，
所以T＝π，所以ω＝＝＝2，
所以y＝sin(2x＋φ)．
将点的坐标代入y＝sin(2x＋φ)，
得＝sin，
则sin＝1，
所以－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即φ＝＋2kπ，k∈Z.
又0<φ<π，令k＝0，则φ＝.
2．函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是________________．
答案　4π，2，－
解析　y＝－2sin＝2sin，
所以周期T＝＝4π，
振幅A＝2，初相φ＝－.
3．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝________.
答案　4
解析　设函数的最小正周期为T，由函数图象可知＝－x0＝，
所以T＝，又因为T＝，可解得ω＝4.
4．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f＝________.
答案　0
解析　ω＝＝2，所以f(x)＝sin.
所以f＝sin＝0.
5．已知函数f(x)＝Asin的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的单调增区间．
解　(1)易知A＝，T＝4×[2－(－2)]＝16，
∴ω＝＝，
∴f(x)＝sin，
将点(－2，0)代入得sin＝0，
令－＋φ＝0，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
∴f(x)的增区间为[16k－6，16k＋2]，k∈Z.
1．利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0，，π，π，2π，再求出x的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值．
2．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
3．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
一、选择题
1．函数y＝2sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A.，2， B．4π，－2，－
C．4π，2， D．2π，2，
答案　C
解析　由函数解析式，得A＝2，ω＝，φ＝，T＝＝4π.
2．如图所示，函数的解析式为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
答案　D
解析　由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2.
又当x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
答案　A
4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则有f等于(　　)
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
答案　D
解析　由f＝f知，x＝是函数的对称轴，解得f＝3或－3，故选D.
5．把函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　)
A．1， B．2，
C.， D.，
答案　B
解析　依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos，
则函数g(x)＝2cos.
因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2，
则g(x)＝2cos.
又因为函数为奇函数，所以φ＋＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<π，则φ＝.
二、填空题
6.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调减区间为____________________．
答案　，k∈Z
解析　由图象知，
周期T＝2×＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ≤πx＋≤2kπ＋π，k∈Z，
得2k－≤x≤2k＋，k∈Z，
∴f(x)的单调减区间为，k∈Z.
7．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.
答案　
解析　由图象可得A＝1，＝＝－＝，
解得ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
点相当于y＝sin x中的(0,0)，
令2×＋φ＝0，解得φ＝，
满足|φ|<，符合题意，
∴f(x)＝sin.
∵sin＝1，
∴图中点B的坐标为.
又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，
∴x1＋x2＝×2＝，
∴f(x1＋x2)＝sin＝.
8．把函数y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值是________．
答案　
解析　把y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，
则y＝2sin，其图象关于y轴对称，
∴m＋＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ－，k∈Z.
∴取k＝1，m的最小正值为.
9．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
答案　
解析　由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为
2＝，∴＝，∴ω＝.
∵当x＝时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵－π≤φ<π，∴φ＝.
10．若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f＝f，且f＝－3，则实数m的值为________．
答案　－5或－1
解析　∵f＝f，
∴x＝为f(x)的一条对称轴，
∴f＝±2＋m＝－3，解得m＝－5或m＝－1.
11．关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图象关于对称；
④y＝f(x)图象关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为________．
答案　②③
解析　对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)，
∴x＝－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin利用公式，得
f(x)＝4cos＝4cos.∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，∴④错．
三、解答题
12．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
解　(1)由题意知A＝，T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又∵φ∈，∴φ＝，
∴y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
0

π
π
π
π
2x＋


π
π
2π

y
1

0
－
0
1
描点，连线，如图所示．
13．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标的差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．
解　由于最小值为－2，所以A＝2.
又相邻的最高点与最低点横坐标的差为3π，
故T＝2×3π＝6π，从而ω＝＝＝，
所以y＝2sin.
又图象过点(0,1)，所以sin φ＝.
因为|φ|<，所以φ＝.
故所求解析式为y＝2sin.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为________．
答案　－
解析　由函数f(x)是奇函数，且0<φ<π，可得φ＝.由图象及已知可得函数的最小正周期为4，得ω＝.由△EFG的边FG上的高为，可得A＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝cos π＝－.
15．已知函数f(x)＝2sin＋2.
(1)若f(α)＝3，且α∈(0，π)，求α的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调增区间；
(3)若对任意的x∈，不等式f(x)>m－3恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)∵f(α)＝3，
∴2sin＋2＝3，则sin＝.
又由α∈(0，π)，得<2α＋<，
∴2α＋＝，解得α＝.
(2)令2kπ－≤2α＋≤2kπ＋(k∈Z)，
则kπ－≤α≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
故分别取k＝0,1可得当x∈[0，π]时，函数f(x)的单调增区间为和.
(3)对任意的x∈，有≤2x＋≤，
∴－≤sin≤，∴1≤f(x)≤2＋，
∴要使f(x)>m－3恒成立，只需函数f(x)的最小值大于m－3，
∴m－3<1，解得m<4.
故所求实数m的取值范围为(－∞，4)．
1.3.4　三角函数的应用
学习目标　1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
知识点　利用三角函数模型解释自然现象
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．
思考　现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
答案　三角函数模型．
梳理　利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.
类型一　三角函数模型在物理中的应用
例1　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解　(1)由图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝.
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
反思与感悟　此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．
跟踪训练1　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin.
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解　(1)周期T＝＝1(s)．
列表：
t
0




1
2πt＋


π

2π
2π＋
6sin
3
6
0
－6
0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．
类型二　三角函数模型在生活中的应用
例2　某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：
(1)当此人第四次距离地面 米时用了多少分钟？
(2)当此人距离地面不低于米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？
解　(1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y 米，则α＝t＝t.
由y＝108－－cost
＝－49cost＋59(t≥0)．
令－49cost＋59＝，得cost＝，
所以t＝2kπ±，
故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3，15，21，33.
故当此人第四次距离地面 米时用了33分钟．
(2)由题意得－49cost＋59≥59＋，
即cost≤－.
故不妨在第一个周期内求即可，
所以≤t≤，解得≤t≤，
故－＝3.
因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌．
反思与感悟　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案．
跟踪训练2　如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
解　(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为t＝t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0)．
(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，
则25≤t≤125.
故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m.
1．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是
1 s时，线长l＝ cm.
答案　
解析　∵T＝＝1，∴ ＝2π，∴l＝.
2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为 ℃.
答案　20.5
解析　由题意可知A＝＝5，a＝＝23，从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为
y＝5cos＋23＝20.5.
3.一个单摆的平面图如图．设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角．α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝Asin，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝，且每经过π s小球回到初始位置，那么A＝ ；α关于t的函数解析式是 ．
答案　　α＝sin，t∈[0，＋∞)
解析　∵当t＝0时，α＝，
∴＝Asin，∴A＝.
又∵周期T＝π，∴＝π，解得ω＝2.
故所求的函数解析式是α＝sin，t∈[0，＋∞)．
4．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解　(1)因为f(t)＝10－2sin，
又0≤t<24，
所以≤t＋<，
－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，
因此<t＋<，
即10故在10时至18时实验室需要降温．
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
一、选择题
1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆一次所需的时间为(　　)
A. s B. s C．50 s D．100 s
答案　A
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
答案　C
解析　由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
3．弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s＝2sin.给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方 cm处；②小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处；③经过2π s小球重复振动一次．其中正确的说法是(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
答案　D
解析　当t＝0时，s＝2sin＝，故①正确；smin＝－2，故②正确；函数的最小正周期T＝2π，故③正确．
4．如图所示为2018年某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，则该天8 h的温度大约为(　　)
A．16 ℃ B．15 ℃ C．14 ℃ D．13 ℃
答案　D
解析　由题意得A＝×(30－10)＝10，
b＝×(30＋10)＝20，
∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝，
∴y＝10sin＋20，
将x＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10，
即sin＝－1，
由于<φ<π，可得φ＝，
∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，
即该天8 h的温度大约为13 ℃，故选D.
5．如图所示，有一广告气球，直径为6 cm，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sin θ≈θ，试估算气球的高BC的值约为(　　)
A．70 m B．86 m C．102 m D．118 m
答案　B
解析　AC＝＝≈×180≈172(m)，
又∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝86 m.
二、填空题
6．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
答案　80
解析　T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
7．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为________________．
答案　h＝－6sin t，t∈[0,24]
解析　根据题图设h＝A·sin(ωt＋φ)，则A＝6，T＝12，＝12，∴ω＝，点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，
∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π，
∴h＝6·sin＝－6sin t，t∈[0,24]．
8．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是________安．
答案　5
解析　由图象可知A＝10，
周期T＝2×＝，
∴ω＝＝100π，
∴I＝10sin，
当t＝秒时，I＝10sin＝5(安)．
9.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m(即OM长)，巨轮的半径长为30 m，AM＝BP＝2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m，则h(t)＝____________________.
答案　30sin＋30
解析　过点O作地面的平行线作为x轴，过点O作x轴的垂线，作为y轴，过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点，如图，
点A在圆O上逆时针运动的角速度是＝，所以t分钟转过的弧度数为t.设θ＝t，当θ>时，∠BON＝θ－，h＝OA＋BN＝30＋30sin，当0<θ<时，上述关系式也适合．故h＝30＋30sin＝30sin＋30.
10．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60]．
答案　10sin 
解析　解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin .
三、解答题
11．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天6～14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解　(1)由图可知，这段时间的最大温差是20℃.
(2)从图可以看出，从6～14是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴＝14－6＝8，∴T＝16.
∵T＝，∴ω＝.
又∵∴
∴y＝10sin＋20.
将点(6,10)代入得sin＝－1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，取φ＝，
∴y＝10sin＋20(6≤x≤14)．
12．如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
解　(1)如图所示，以O为坐标原点，过O点作平面水面的平行线为x轴，过点O作x轴的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为＝，
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s.
13．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解　(1)由表中数据知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1.
(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴cos t＋1>1，
∴cos t>0，∴2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z，
即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，
得0≤t<3或9∴在规定的时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.
四、探究与拓展
14．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是________．
答案　7
15．如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b
.
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解　(1)最大用电量为50万kW·h，
最小用电量为30万kW·h.
(2)观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，
∴ω＝.∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，
又∵0<φ<，∴φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
滚动训练一(§1.1～§1.2)
一、选择题
1．sin π等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　A
解析　sin π＝sin＝sin ＝.
2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α等于(　　)
A．1 B．－
C. D．0
答案　C
解析　∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝＝，∴cos α＝＝＝.
3．若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为(　　)
A．－＋，－－
B．－＋，－
C.＋，－－
D.＋，－
答案　D
解析　设两个角的弧度数分别为α，β，
∵1°＝ rad，
∴
∴即这两个角的弧度数分别为＋，－.
4．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
答案　C
解析　A，B中弧度与角度混用，不正确．
＝2π＋，所以与的终边相同．
－315°＝－360°＋45°，
所以－315°也与45°的终边相同．
5．如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是(　　)
A．(1＋sin 1cos 1)R2 B．(1－sin 1cos 1)R2
C．(1－sin 1)R2 D．(1－cos 1)R2
答案　B
解析　设扇形的圆心角为α，
∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2，
∴S弓形＝S扇形－S△
＝αR2－
＝×2×R2－R2sin 1·cos 1
＝R2(1－sin 1cos 1)．
二、填空题
6．化简的值为_____________________________________．
答案　－sin θ
解析　原式＝
＝＝－sin θ.
7．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是________．
答案　1
解析　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
8．计算：cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝________.
答案　0
解析　原式＝cos ＋cos ＋cos ＋cos＋cos＋cos＝cos ＋cos ＋cos －cos －cos －cos ＝0.
9．式子cos2＋cos2＝________.
答案　1
解析　原式＝sin2＋cos2
＝sin2＋cos2＝1.
10．点P(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第________象限．
答案　三
解析　2 018°＝5×360°＋218°，sin 2 018°＝sin 218°<0，cos 2 018°＝cos 218°<0，∴P(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限．
11．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m,2sin αcos α＝m2，则m的值为________．
答案　－
解析　由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得4m2＝1＋m2，即m2＝.又α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，则m<0，所以m＝－.
三、解答题
12．已知cos α＝－，且α为第三象限角．
(1)求sin α的值；
(2)求f(α)＝的值．
解　(1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－＝－.
(2)f(α)＝＝tan α·sin α
＝·sin α＝＝2×＝－.
13．已知扇形AOB的周长为10 cm.
(1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．
解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，
半径为r，面积为S，
(1)依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去；
当r＝4时，l＝2，此时，θ＝＝ rad.
(2)由l＋2r＝10得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2
＝－2＋(0当r＝时，S取得最大值，这时l＝10－2×＝5，
∴θ＝＝＝2 rad.
四、探究与拓展
14．一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为C，面积为S，则的最大值为________．
答案　4
解析　设扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，则l＝2r，故C＝l＋2r＝2r＋2r＝4r，S＝lr＝r2，∴＝＝－2＋＝－2＋4≤4，当r＝时等号成立，则的最大值为4.
15．已知A，B，C为△ABC的三个内角，求证：
(1)cos(2A＋B＋C)＝cos(B＋C)；
(2)sin＝cos.
证明　(1)∵左式＝cos(2A＋B＋C)
＝cos[A＋(A＋B＋C)]＝cos(π＋A)＝－cos A，
右式＝cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，
∴左式＝右式，
∴cos(2A＋B＋C)＝cos(B＋C)．
(2)右式＝cos
＝cos
＝cos
＝cos
＝sin
＝左式，
∴sin＝cos.
滚动训练二(§1.1～§1.3)
一、选择题
1．下列函数中，最小正周期为4π的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin  D．y＝cos 2x
答案　C
解析　A项，y＝sin x的最小正周期为2π，故A项不符合题意；B项，y＝cos x的最小正周期为2π，故B项不符合题意；C项，y＝sin 的最小正周期为T＝＝4π，故C项符合题意；D项，y＝cos 2x的最小正周期为T＝＝π，故D项不符合题意．故选C.
2．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只需将y＝f(x)的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　A
解析　由T＝π＝ ，得ω＝2，
g(x)＝cos 2x＝sin，
f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，
得到y＝sin
＝sin＝g(x)的图象．
3．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　)
A．120° B．－120° C．－60° D．60°
答案　B
解析　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°，故选B.
4．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan 5；④.
其中符号为负的是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
答案　C
解析　因为－1 000°＝80°－3×360°，
所以sin(－1 000°)＝sin 80°>0；
可知cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；
因为5∈，所以tan 5<0，
＝＝>0.
故选C.
5．函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由y＝|sin x|的图象，可得函数y＝|sin x|的单调递增区间为，k∈Z，当k＝1时，得为函数y＝|sin x|的一个单调递增区间．
二、填空题
6．若f(x)＝tan，则f(0)，f(－1)，f(1)的大小关系为____________________．
答案　f(0)>f(－1)>f(1)
解析　当kπ－即kπ－而f(0)＝tan .
f(1)＝tan＝tan＝tan，
f(－1)＝tan.
又因为1－<－1<0，
所以f(0)>f(－1)>f(1)．
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图，则其解析式为________________．
答案　f(x)＝2sin
解析　由图象知，A＝2，T＝－＝π，
所以ω＝2，又过点，
令－×2＋φ＝0，得φ＝，
所以f(x)＝2sin.
8．当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
答案　　2
解析　∵x∈，∴－≤sin x≤1，
y＝3－sin x－2cos2x＝1－sin x＋2(1－cos2x)
＝2sin2x－sin x＋1＝22＋，
当sin x＝时，ymin＝；
当sin x＝1或sin x＝－时，ymax＝2.
9．已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＋cos α的值为________．
答案　±
解析　在角α的终边上任取一点P(x，y)，则y＝x，
当x>0时，r＝＝x，
sin α＋cos α＝＋＝＋＝；
当x<0时，r＝＝－x，
sin α＋cos α＝＋＝－－＝－.
10．函数f(x)＝cos的单调减区间是________．
答案　，k∈Z
解析　令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即f(x)的单调减区间是(k∈Z)．
11．设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f的值为________．
答案　
解析　取K，L的中点N，则MN＝，因此A＝.
由T＝2，得ω＝π.
∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝cos πx，
∴f＝cos ＝.
三、解答题
12．已知sin(3π－α)＝cos，cos(π－α)＝cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．
解　由已知，得sin α＝sin β，①
cos α＝cos β，②
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，所以sin2α＝.
又0<α<π，则sin α＝.
将sin α＝代入①，得sin β＝.
又0<β<π，故cos β＝±.
13．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的最小正周期为T，且在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(mx)＋1(m>0)的图象关于点M对称，且在区间上不是单调函数，求m的取值所构成的集合．
解　(1)由图象得最小正周期T＝4π，∴ω＝＝.
又A>0，∴解得
∴f(x)＝3sin－1.
由f＝3sin－1＝2，
得sin＝1，∴φ＝2kπ－，k∈Z，
又－<φ<，∴φ＝－，
∴f(x)＝3sin－1.
(2)g(x)＝3sin.
∵g(x)的图象关于点M对称，
∴g＝0，即3sin＝0.
∴－＝kπ，k∈Z，
又m>0，∴m＝k＋，k∈N.
当k＝0时，m＝，g(x)＝3sin在区间上单调增；
当k＝1时，m＝，g(x)＝3sin在区间上单调增；
当k≥2时，m≥，g(x)在区间上不是单调函数．
综上可知，m的取值构成的集合为
.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图象的对称轴完全相同，则g的值是________．
答案　－2
解析　由两函数的图象的对称轴完全相同，知ω＝2，又f(x)＝3sin图象的一条对称轴为直线x＝，所以cos＝±1(0<φ<π)，解得φ＝，
所以g＝2cos＝－2.
15．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f(x)≤对x∈R 恒成立．且f>f(π)，求f(x)的单调增区间．
解　由f(x)≤对x∈R恒成立知，
2·＋φ＝2kπ±(k∈Z)．
∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|<π，得φ＝或φ＝－，
又∵f>f(π)，∴φ＝－，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得f(x)的单调增区间是(k∈Z)．
章末复习
学习目标　1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换．
1．任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin_α＝y；
(2)x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos_α＝x；
(3)叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．
2．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan α＝.
3．诱导公式
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R


值域
[－1,1]
[－1,1]
R
对称性
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)；
对称中心：
(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)，
无对称轴
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
最小正周期：2π
最小正周期：2π
最小正周期：π
单调性
在
(k∈Z)上是单调增函数；在(k∈Z)上是单调减函数
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是单调增函数；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是单调减函数
在开区间，
(k∈Z)上是单调增函数
最值
在x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
类型一　三角函数的概念
例1　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
答案　－8
解析　r＝＝，且sin θ＝－，
所以sin θ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.
反思与感悟　(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1　已知角α的终边经过点P(3,4t)，且sin(2kπ＋α)＝－(k∈Z)，则t＝________.
答案　－
解析　sin(2kπ＋α)＝sin α＝－＜0，则α的终边在第三或第四象限．又点P的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t＜0.又sin α＝，则＝－，所以t＝－.
类型二　同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用
例2　已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：
(1)＋；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解　由根与系数的关系，得
sin θ＋cos θ＝，
sin θcos θ＝.
(1)原式＝＋
＝＋
＝－
＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由sin θ＋cos θ＝，
两边平方可得
1＋2sin θcos θ＝，
1＋2×＝1＋，
m＝.
(3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0，
得两根和.
∴ 或 
∵θ∈(0,2π)，
∴θ＝或.
反思与感悟　(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.
(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．
跟踪训练2　已知f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解　(1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，
(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.
又∵<α<，∴cos α∴cos α－sin α＝－.
(3)∵α＝－＝－6×2π＋，
∴f＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos·sin＝×＝.
类型三　三角函数的图象与性质
例3　将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin x的图象．
(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值．
解　(1)函数y＝ sin x的图象向下平移1个单位长度得y＝sin x－1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的倍，得到y＝sinx－1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y＝sin－1的图象，∴函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，
∴函数y＝f(x)的单调增区间是，k∈Z.
(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3,4]时，y＝f(x)的最值．
∵当x∈[3,4]时，x－∈，
∴sin∈，∴f(x)∈.
∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最小值是－1，最大值为.
反思与感悟　研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决．
跟踪训练3　函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解　(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
类型四　三角函数的最值和值域
命题角度1　可化为y＝Asin?ωx＋φ?＋k型
例4　求函数y＝－2sin＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值．
解　∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴－≤sin≤1.
当sin＝1，即x＝时，y取得最小值1.
当sin＝－，即x＝π时，y取得最大值4.
∴函数y＝－2sin＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.
反思与感悟　利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响．
跟踪训练4　已知函数y＝asin＋b在x∈上的值域为[－5,1]，求a，b的值．
解　∵x∈，
∴2x＋∈，sin∈.
∴当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
当a＝0时，不符合题意，舍去．
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
命题角度2　可化为sin x或cos x的二次函数型
例5　已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值．
解　y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.
令t＝sin x，∵|x|≤，∴－≤sin x≤.
则y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－2＋＝.
反思与感悟　在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．
跟踪训练5　已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值．
解　令t＝sin x，则
g(t)＝－t2－at＋b＋1＝－2＋＋b＋1，
且t∈[－1,1]．根据对称轴t0＝－与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．
①当－≤－1，即a≥2时，
解得
②当－1<－<0，即0
解得(舍)
或(舍)，
综上所述，a＝2，b＝－2.
类型五　数形结合思想在三角函数中的应用
例6　已知方程sin＝在[0，π]上有两个解，求实数m的取值范围．
解　函数y＝sin，x∈[0，π]的图象如图所示，方程sin＝在[0，π]上有两个解等价于函数y1＝sin，y2＝在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点，所以≤＜1，即≤m＜2.
即实数m的取值范围为[，2)．
反思与感悟　数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想．
跟踪训练6　设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间上是单调函数，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
答案　π
解析　记f(x)的最小正周期为T.由题意知≥－＝.又f＝f＝－f，且－＝，
可作出示意图如图所示(一种情况)，
∴x1＝×＝，
x2＝×＝，
∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.
1．若一个角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a的值为________________．
答案　－4或－
解析　由三角函数定义可知，r＝，
sin α＝ ，cos α＝，
sin α·cos α＝＝，得a＝－4或－.
2．已知f(α)＝，则f的值为________．
答案　－
解析　∵f(α)＝＝
＝－cos α，
∴f＝－cos
＝－cos＝－cos＝－.
3．函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为________．
答案　[0,2]
解析　∵f(x)＝
∴0≤f(x)≤2.
4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是____________．
答案　2，－
解析　从图象可得T
＝－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2.又∵f＝2sin＝2sin＝2，且－＜φ＜，∴φ＝－.
5．已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解　令t＝sin x，则t∈[－1,1]，
则函数可化为f(t)＝－t2＋t＋a＝－2＋a＋.
当t＝时，f(t)max＝a＋，即f(x)max＝a＋；
当t＝－1时，f(t)min＝a－2，即f(x)min＝a－2.
故函数f(x)的值域为.
所以解得3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3,4]．
三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．
一、选择题
1．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵sin ＝，cos ＝－.
∴角α的终边在第四象限，且tan α＝＝－，
∴角α的最小正值为2π－＝.
2．把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为(　　)
A．x＝0 B．x＝
C．x＝－ D．x＝
答案　B
解析　把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得的图象的解析式为y＝sin.由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，故选B.
3．若cos＝－，则sin(－5π＋α)等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　因为cos＝－，所以sin α＝，所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sin α＝－，故选D.
4．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是(　　)
A．2，－2 B．1，－3
C．1，－1 D．2，－1
答案　B
解析　∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，当cos x＝－1时，函数取得最小值为－2－1＝－3，故最大值、最小值分别为1，－3，故选B.
5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的解析式为(　　)
A．y＝sin 2x－2
B．y＝2cos 3x－1
C．y＝sin－1
D．y＝1－sin
答案　D
解析　由题图得＝－，∴T＝π＝，
又ω>0，∴ω＝2，∴y＝1＋sin(2x＋φ)，
当x＝时，0＝1＋sin，
∴2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－－＝2kπ－(k∈Z)．
∴y＝1＋sin＝1－sin
＝1－sin，故选D.
二、填空题
6．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________________．
答案　26,27,28
解析　∵T＝，又∵<<，
∴8π∴m＝26,27,28.
7．已知＝－，则的值是________．
答案　
解析　设＝t，则·＝＝－1＝－，解得t＝.
8．设x∈(0，π)，则f(x)＝cos2x＋sin x的最大值是________．
答案　
解析　∵f(x)＝cos2x＋sin x
＝－sin2x＋sin x＋1
＝－2＋.
又∵x∈(0，π)，∴0＜sin x≤1，
∴当sin x＝时，f(x)的最大值是.
9．函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)的值为________．
答案　
解析　由题图知A＝2，ω＝，φ＝0，
∴f(x)＝2sinx，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0.
又f(x)的周期为8，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)．
＝f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝.
10．设函数f(x)＝sin，下列说法：
①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点对称；③把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f(x)的周期为π，且在上是单调增函数．其中正确说法的序号为______________________________________________________________．
答案　③
解析　f(x)＝sin的图象的对称轴方程满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)；f(x)＝sin的图象的对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)；f(x)的周期为T＝＝π，由∈(k∈Z)，得f(x)的单调增区间为(k∈Z)；把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到f(x)＝
sin＝sin＝cos 2x的图象，
为偶函数．故只有③正确．
11．将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值为________．
答案　
解析　g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]＝sin(2x－2φ＋θ)，
若f(x)，g(x)的图象都经过点P，
所以sin θ＝，sin(－2φ＋θ)＝，
又－<θ<，
所以θ＝，sin＝.
又0<φ<π，所以－<－2φ<，
所以－2φ＝－.
即φ＝.
三、解答题
12．若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 ＋ ＝2，求tan α.
解　∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，
∴α是第二象限角，∴cos α<0，
∴ ＋ 
＝ ＋ 
＝＝＝2，
∴cos α＝－，
则sin α＝，tan α＝－1.
13．已知函数f(x)＝3sin.
(1)写出f(x)的最大值、最小值，并求出取最大值、最小值时的自变量x的集合；
(2)用“五点法”画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
2x＋
x
y
(3)完整叙述函数y＝3sin的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到．
解　(1)最大值为3，取最大值时的自变量x的集合是；最小值为－3，取最小值时的自变量x的集合是.
(2)列表如下：
2x＋
0

π

2π
x
－




y
0
3
0
－3
0
图象如图所示．
(3)先把正弦曲线上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝sin的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y＝3sin的图象．
四、探究与拓展
14．将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________．
答案　2
15．已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
解　(1)因为f(x)＝cos，x∈R，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)因为f(x)＝cos在区间上为单调增函数，在区间上为单调减函数，又f＝0，f＝，f＝cos＝－cos ＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x＝；最小值为－1，此时x＝.