江苏省溧水高级中学、镇江第一中学等七校2018-2019学年高二下学期5月联考试题 数学 word版

2018－2019学年度第二学期高二数学调研试卷
数 学 试 题 2019.05
数学Ⅰ 必做题部分
（本部分满分160分，时间120分钟）
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题
卡上。
参考公式：给定一组数据x1，x2，…，xn，方差.?

一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．
1．已知集合，，则　 ▲ ．　　
2. 已知复数（是虚数单位），则=　 ▲ ．
3．用系统抽样的方法从某校名高二学生中抽取容量为的样本，将名学生随机编
号为～，按编号顺序平均分为个组（～号，～号，……，～号），
若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为，则第组抽取的号码为　 ▲ ．
4．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和大于9的概率为　 ▲ ．








5．为了了解某校高二年级名男生的健康状况，随机抽测了其中 名学生的身高（单位：），所得数据均在区间上，其频率分布直方图（部分图形）如图所示，则估计该校高二年级身高在以上的男生人数为　 ▲ ．
6．一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的的值为　 ▲ ．





7．已知一个质点在腰长为4的等腰直角三角形内随机运动，则某时刻
该质点距离三角形的三个顶点的距离均超过的概率为　 ▲ ．
8．运行如图所示的程序框图，所得的结果是　 ▲ ．
9．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员
在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 ▲ ．

10．正弦曲线在处的切线的斜率为　 ▲ ．
11．记不等式的解集为集合，函数)的定义域为集合．若“”是“”的充分条件，则实数的最大值为　 ▲ ．
12．函数，对于任意，恒成立，
则实数的取值范围是　 ▲ ．
13．如图，已知椭圆的左焦点为，左顶点为，点为椭圆第一象限上的点，直线交椭圆于另一点，若直线平分线段，则椭
圆的离心率为　 ▲ ．
14．已知函数，若存在，
使得，则的最小值为　 ▲ ．



二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知复数．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．



16.（本小题满分14分）
为了弘扬传统文化，某市举办了“高中生诗词大赛”，现从全市参加比赛的学生中随机抽取人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为，，，.

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）在所抽取的名学生中，用分层抽样的方法在成绩为的学生中抽取了一个容量为的样本，再从该样本中任意抽取人，求人的成绩均在区间内的概率；
（3）若该市有名高中生参赛，根据此次统计结果，试估算成绩在区间内的人数.



17.（本小题满分14分）
已知函数和.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，解关于的不等式.



18.（本小题满分16分）
对某种商品作市场调查发现，该商品去年的价格为30元/kg，需求量为akg，今年计划将该商品的价格降为x元／kg，其中x[23，28]．但是用户的期望价位为20元／kg，实际价格和用户期望价位仍然存在差值，今年新增的需求量与这个差值成反比(比例系数为ka，0（1）当k=2时，为保证今年销售该商品的收益不会减少，求x的最小值；
（2）若对任意的x[23，28]，都能保证销售该商品的收益增长率不低于，求k的取值范围．
【注：收益＝需求量×(销售价－成本价)】


19.（本小题满分16分）
已知椭圆的长轴长为， 离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，(在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.
①设直线、的斜率分别为，证明为定值;
②求直线斜率取最小值时，直线的方程.






20.（本小题满分16分）
已知函数，，其中，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：存在唯一的正实数，使函数在处取得极小值；
（3）若，且函数有个互不相同的零点，求实数的取值范围．





2018－2019学年度第二学期高二数学调研试卷
数 学 试 题
数学Ⅱ 附加题部分
注意事项：
本试卷共2页，本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将答题卡交回．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．
21. （本小题满分10分）
求下列各式的值（结果用数值表示）：
（1）－；
（2）+++;






22．（本小题满分10分）
已知曲线的参数方程是 （为参数），直线的参数方程是（为参数）．
（1）将曲线和直线的参数方程化为普通坐标方程；
（2）设直线与曲线交点是、，求线段的长.







23．（本小题满分10分）
小王创建了一个由他和甲、乙、丙共人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙人每次抢得红包的概率相同（红包只能被1人抢到）.
（1）若小王发次红包，求甲恰有次抢得红包的概率；
（2）若小王发次红包，其中第，次，每次发元的红包，第次发元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为，求的分布列和数学期望.








23．（本小题满分10分）
已知等式
（1）求的展开式中含的项的系数,并化简:；
（2）证明：.


















2018－2019学年度第二学期高二数学调研试卷
数学试题参考答案与评分标准
数学Ⅰ部分
一、填空题：
1． ； 2. ； 3． ； 4． ； 5． 30 ； 6． 16
7． ； 8．2 ； 9． 5； 10． ； 11． ； 12．
13． ； 14．
二、解答题：
15．（本小题满分14分）
已知复数．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．
解: （2）若z为纯虚数，则， …………………2分
且， …………………4分
解得实数a的值为2； …………………7分
（2z在复平面上对应的点， …………………9分
在直线上，则，…………………11分
解得． …………………14分











16.（本小题满分14分）
为了弘扬传统文化，某市举办了“高中生诗词大赛”，现从全市参加比赛的学生中随机抽取人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为，，，.

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）在所抽取的名学生中，用分层抽样的方法在成绩为的学生中抽取了一个容量为的样本，再从该样本中任意抽取人，求人的成绩均在区间内的概率；
（3）若该市有名高中生参赛，根据此次统计结果，试估算成绩在区间内的人数.
【分析】
（1）由各组频率之和，即频率分布直方图中各组矩形的面积和为1，可得的值；
（2）根据分层抽样的原则，可得成绩在分别是3人和2人，之和写出抽取两人对应的所有的基本事件总数，找出满足条件的基本事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案；
（3）根据成绩落在内的频率，可估算出成绩在区间的人数.
【详解】（1）依题意可知组距为，
由解得 . …………………4分
（2）抽取了一个容量为的样本成绩在区间的人数为：
人， …………………6分
记3人为、、.
成绩在区间的人数为：人，记2人为、
任取2人的基本事件为：
、、、、、、、、、，共计10个.
其中在区间的基本事件为： ，共计1个
所以人的成绩均在区间的概率为： . …………………10分
（3）由人，
即估计成绩在区间的人数为人. …………………14分
17.（本小题满分14分）
已知函数和.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，解关于的不等式.
解：（1）当时，，即，所以或…………………4分
所以当时，不等式的解集为； …………………5分
（2）因为，所以，即 ………………8分
（ⅰ）当，即时，原不等式即为：，所以 …………………10分
（ⅱ）当，即时，原不等式即为：或； …………………12分
（ⅲ）当，即时，原不等式即为：或 …………………14分
综上可知：
①当时，；
②当时，；
注意：注意第（2）问不一定要求学生写“综上可知：………”，但不写成解集的形式一律扣除3分，
如果第（1）问也没有写成解集的形式，共计扣除4分！
18.（本小题满分16分）
对某种商品作市场调查发现，该商品去年的价格为30元/kg，需求量为akg，今年计划将该商品的价格降为x元／kg，其中x[23，28]．但是用户的期望价位为20元／kg，实际价格和用户期望价位仍然存在差值，今年新增的需求量与这个差值成反比(比例系数为ka，0（1）当k=2时，为保证今年销售该商品的收益不会减少，求x的最小值；
（2）若对任意的x[23，28]，都能保证销售该商品的收益增长率不低于，求k的取值范围．
【注：收益＝需求量×(销售价－成本价)】
解：设降价前的收益为y1元，降价后的收益为y2元，则
y1=16a, y2=(a+)(x－14)=a(1+)(x－14) …………2分
(1) 当k=2时，为保证收益不减少，则a(1+)(x－14)≥16a,
　　　即　　　　x2－48x+572≥0， 　　　　　　　…………………4分
　　　解得　　　　x≤22，或x≥26，
　　　又x[23，28]，故x的最小值为26．　　…………………………7分
(2)由题意知，a(1+)(x－14) ≥16a(1+)对任意的x[23，28]都成立，
即k≥(x－20)[]=－[+(x－14)]对任意的x[23，28]都成立．……10分
　又y=+(x－14) ≥2=20，
当且仅当x=24[23，28]时取等号，
　所以k≥. 　　　　　　　………………………………………………15分
答：(1)当k=2时，为保证销售该商品的收益不会减少， x的最小值为26；
(2)都能保证销售该商品的收益增长率不低于时，k的取值范围为[,3)．………16分
19.（本小题满分16分）
已知椭圆的长轴长为， 离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，(在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.
①设直线、的斜率分别为，证明为定值;
②求直线斜率取最小值时，直线的方程.






【解】
（1）由题意得：，
所以，，
故椭圆方程为. …………………3分
（2）①设，（，），
由，可得， …………………4分
所以直线的斜率，直线的斜率…………………6分
此时，所以为定值. …………………7分
②设，，直线的方程为，直线的方程为.
联立，整理得， ………………… 8分
由，可得，

同理，. …………………10分
所以，，
，
所以，
由，，可知，所以，当且仅当时取得等号. ……………12分
由，，在椭圆：上得，

此时，即， …………………14分
由得，，所以时，符合题意. …………………15分
所以直线的斜率最小时，直线的方程为. …………………16分

20.（本小题满分16分）
已知函数，，其中，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：存在唯一的正实数，使函数在处取得极小值；
（3）若，且函数有个互不相同的零点，求实数的取值范围．

解：∵，
∴，
（1）∵，
∴，， …………2分
∴切点为，即，切线的斜率为，即切线的斜率为，
∴函数在处的切线方程为，
即． …………4分
（2）令，得，
设，，
∴，∴在区间上单调递增，
∵，，
∴，且在区间上的图象不间断，
∴存在唯一的，使， …………6分


减 极小 增





∴存在唯一的，使函数在处取得极小值． …………8分
（3）∵，∴，，　　∴，
由（2）可得：函数的极小值为，且，
∴，
设，，∴，
∴当时，，当时，， …………10分
由（2）可得：函数在区间上单调递增，
（ⅰ）当时，
∵，∴，∴，
∴，
∴当，，无零点， 　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分
（ⅱ）当时，
∵，∴，∴，
∵在区间上单调递减，
∴，
∴，
∵，其中，
∴，且函数在区间上单调递减，图象不间断，
∴在区间上上有唯一的零点，
又∵，，
设，，∴，
∵，∴在区间上单调递增，
∴，∴在区间上单调递增，
∴，即，
又∵，
∵，且函数在区间上单调递增，图象不间断，
∴在区间上上有唯一的零点，
综上所述：函数有个互不相同的零点时，实数的取值范围为．……16分











2018－2019学年度第二学期高二数学调研试卷
数 学 试 题
数学Ⅱ 附加题部分
注意事项：
本试卷共2页，本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将答题卡交回．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．
21. （本小题满分10分）
求下列各式的值（结果用数值表示）：
（1）－；
（2）+++;
解：（1）－＝－＝……5分
（2）+++=++++－1
=－1 ……7分
=……10分
22．（本小题满分10分）
已知曲线的参数方程是 （为参数），直线的参数方程是（为参数）．
（1）将曲线和直线的参数方程化为普通坐标方程；
（2）设直线与曲线交点是、，求线段的长.
解：（1）曲线的普通坐标方程可化为普通方程为. ……2分
注意：答案为同样得分！
将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得.
即 ……4分
（2） 圆心C到直线l的距离 ……6分
所以． ……10分
23．（本小题满分10分）
（本小题满分10分）小王创建了一个由他和甲、乙、丙共人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙人每次抢得红包的概率相同（红包只能被1人抢到）.
（1）若小王发次红包，求甲恰有次抢得红包的概率；
（2）若小王发次红包，其中第，次，每次发元的红包，第次发元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为，求的分布列和数学期望.
【解析】
试题分析：
（1）根据事件的互斥性和独立性即可求得事件的概率，另外也可利用独立重复试验求对应事件的概率；（2）首先列出随机变量的所有可能的取值，再根据事件的互斥性和独立性求出取各值时的概率，最后即可求得的分布列和数学期望.
解：（1）记“甲第次抢得红包”为事件，“甲第次没有抢得红包”为事件.
则，. ……1分
记“甲恰有次抢得红包”为事件，则，
由事件的独立性和互斥性，得：
. ……4分
（2）记“乙第次抢得红包”为事件，“乙第次没有抢得红包”为事件.
则，.
由题意知的所有可能取值为，
由事件的独立性和互斥性，得
.
.
.
.
.
所以的分布列为


所以乙抢得所有红包的钱数之和的数学期望 ……8分
. ……10分
注意：如果分布列不正确，每算对一个概率得1分，但不得超过3分！
24．（本小题满分10分）
已知等式
（1）求的展开式中含的项的系数,并化简:；
（2）证明：.
（1）的展开式中含的项的系数为，……………………1分
由可知，
的展开式中含的项的系数为．
所以．…………………………………4分
（2）当时，
．……………………………6分
所以
．………8分
由（1）知，即，
所以． …………………………………10分
注意：其他解法参照标准酌情给分！























PAGE



2