第4节 数制及转换
知识点
目标
考试要求
二进制、十六进制与十进制的相互转换(正整数位)
b
必考＋加试
1.用来表示信息的符号组合称为信息的代码，编制这个代码的过程称为信息的编码。
2.在二进制数中，包含0和1两个基数，一个二进制数的每一位上的位权是不一样的，如二进制数“1011”，从右至左用该位上的数字乘以位权表示：(1011)2＝1×20＋1×21＋0×22＋1×23。
3.在计算机中，所有的信息都是采用二进制数存储的，计算机存储的最小单位是位，每一个二进制位可以表示0和1两种信息。
4.n位二进制数可以表示信息的数量是2n，反之，要表示N种信息，则需要二进制位的个数为大于或等于log2N的最小整数。例如要分别表示2、8、10、100、1024种信息，则至少需要用到二进制位数为1、3、4、7、10。
5.表示信息的基本单位是字节(Byte)，是连续8个位(bit)的组合。比字节大的计量单位依次分别是KB、MB、GB和TB，他们的换算关系：后者是前者
的1024倍，即210倍
1B＝8b 1KB＝1024B 1MB＝1024KB 1GB＝1024MB
6.由于二进制存储信息位数较多，较冗长，因此往往用1位十六进制数来表示4位二进制数，有效地缩短信息的长度。熟记以下常见等量关系，相邻数据可以通过加1或减1得到。
十六进制数
2
4
8
A
C
F
二进制数
0010
0100
1000
1010
1100
1111
7.二进制、十进制和十六进制区别
进制
基数
进位机制
用字母表示的方法
二进制数
0，1
逢2进1
B
十进制数
0至9，共10个
逢10进1
D
十六进制数
0至9，A，B，C，D，E，F，共16个
逢16进1
H
一、数据编码
由于计算机内部所有信息都是由二进制来存储的，因此所有的信息均要用二进制数来编码，计算机才能识别。存储信息最小的单位是位，可能的值为0或1，连续8个二进制位的组合称为1个字节，是表示信息的基本单位。
【例1】 汉字“次”的字形码如图所示，该字形用16×16的黑白像素点表示。若用“0”表示白，“1”表示黑，则第3行的数据编码为__________________，表示该汉字的字形需要的存储空间是______字节。
解析 在第3行中，第3个和第9个位为黑色，编码为“1”，其余为白色，编码为“0”，因此为该行共有16个二制位，2个字节，整个图形的编码共有16行，计32个字节。也可以理解为，整个图形的编码共有16×16个位，转换为字节的表达式为16×16/8＝32。假设该字库共存放了8000个汉字，则存储所有汉字的字形需字节的计算表达式为16×16/8×8000/1024KB＝250KB。
答案 0010000010000000 32
[方法总结] 熟练掌握1个字节＝8位的关系，是今后学习和计算声音、图像等存储容量的基础。
【变式训练】 某十字路口有4个车道，每车道用1个红绿灯控制通行，某时刻该路口控制灯情况如图所示：
用二进制数来控制灯的情况，每个灯用2位二进制数表示，左转、直行、直行和右转四条车道从左到右依次编码为01111101。若某一时段允许车辆左转，但不允许车辆直行和右转，则此时的控制码应该是( )
A.01111101 B.11010101
C.11111101 D.01111101
答案 B
二、十进制数与其他数制的转换方法
十进制数R进制数
R进制数指除了十进制以外的其他进制数，只要求掌握十进制数分别与二进制和十六进制数的转换方法。
(一)十进制数向R进制数转换
用该十进制数除R，若商不为0，用得到的商继续除R，直到商为0为止，把该过程的得到的余数反向连接起来得到数即为转换的数。
【例2】 与56D相等的二进制数和十六进制数分别为________B、________H。
解析
向二进制数转换，反复除以2，得到的商分别为28，14，7，3，1，0，这些商作为下次的被除数，当被除数是0时，停止计算，把得到的余数反向连接起来，即为转换后的二进制值。
同理，十进制数转换成十六进制数，反复除以16，当被除数是0时，停止计算，并把余数反向连接，得到相应的值。
答案 111000 38
(二)R进制数向十进制数转换
从低位开始，把每一位上的数与该位数权的乘积可加，得到的结果为转换后的十进制数。
【例3】 二进制数111000转换为十进制数的值为____________。
解析 在十进制数的科学记数法中，1＝1×100，10＝1×101，100＝1×102。各个位幂的指数均比位数小1，因此，在二进制数，从低位(最右边)开始，每位数上的位权依次为20，21，22，23……。111000B＝0×20＋0×21＋0×22＋1×23＋1×24＋1×25＝0＋0＋0＋8＋16＋32＝56D。由于0乘以任何数为0，因此可以在实际运算时，可以简单表示为23＋24＋25＝8＋16＋32＝56D。
答案 56D
【变式训练】 某二进制数共 5 位，其中最低位和最高位均为 1，其它位未知，该二进制数转换为十进制后的最小值和最大值分别是( )
A.17、31 B.9、15 C.33、63 D.32、64
解析 已知的两位数转换成十进制数为24＋1＝17，最小的是中间3位为0，最大的是中间3个1，为21＋22＋23＝14，即最大的数为31。通过这个练习，让学生更加理解位权的关系。
答案 A
三、二进制与十六进制的互相转换
由于16＝24，所以每1位十六进制数可以转换为4位二进制数。
(一)二制数数向十六进制数转换
从低位开始，每4位二进制数为一个单元，转换为1个十六进制数。
(二)每1位十六进制转换为4位二进制数，不足4位，高位补0。
【例4】 在例2中，56D＝111000B，该二进制数转换为十六进制的值为__________。
解析 从低位(最右边)开始，每4个二进制数划分为一个单元，并转换为1个十六进制数。
转换时可以记住一些特殊的值，如10，100，1000，前面是1，后面为n个0，转换后为2的n次幂，即分别为21，22，23，对应的值为2，4，8。因此也可以用“8421”法快速地计算4位二进制对应的十六制数的值，即用每个二进制数乘以相应的值并相加，如二进制数“1000”转换为十六进制数，用1×8＋0×4＋0×2＋0×1＝8；二进制数“11”转换为十六进制数，1×2＋1×1＝3。
对于A至F之间的十六进制数，转换为二进制数，也可以强行记住特殊的数，并在此基础上进行加1或减1的操作，A对应的二进制数为1010，巧记为2个10，则B比A大1，数值为1011；C对应的二进制数为1100，则D为1101；F对应的二进制数为1111，则E为1110。因此记住熟练A、C、F对应的二进制值是关键。
答案 38
(二)十六制数数向二进制数转换
【例5】 与A1B5H等值的二进制数为__________。
解析 A→1010，1→0001，B→1011，5→0101，注意不足4位，必须在高位补0。在较大的十进数向二进制数转换时，除的步骤较多，也可以先转换成十六进制数，再转换成二进制数，如上题中，56D转换为十六进制数，只需除两次，得到值为38H，再将38H转换为二进制数，为11 1000B。
答案 10100001 10110101
【变式训练】 与二进制数1010100101B值相等的十六进制数是( )
A.2A5H B.A25H
C.A91H D.A94H
解析 从低位开始，每4位为一个单位。
答案 A
1.某二维点阵图如图所示。它由32行组成，每行有32列，通过黑、白像素进行逐行编码，若用二进数0和1分别表示白点和黑点，则以下描述正确的是( )
A.第1个字节的十六进制编码是FFH
B.绘制该编码的过程属于信息的表达
C.第二行白点较多，存储该行字节数少于第一行
D.存储该编码需要1024个字节
解析 第一个字节8位，全为1，转换成二进制数，每4位转换成1个十六进制数。绘制的过程是编码的过程，不论是黑点还是白点，所占字节是一样的。该图形所有的位是32×32，转换为字节为32×32/8＝128。
答案 A
2.某计算机游戏中，用一个字节来描述人物的动作和方向的指令，其中高4位(从左向右1－4)表示上(跳起)、下(蹲下)、左和右四个方向，值的大小分别为0、1、2和3；低四位表示人物攻击、后退和释放大招三个动作，值的大小分别为0、1和2。例如指令00100000表示向左攻击，若要表示向右后退，指令应为( )
A.00010011 B.00110011
C.00110001 D.00100011
答案 C
3.在二进制数“1011”后面添加两个“0”得到一个新二进制数，与这个新数值相等的是( )
A.42D B.44H
C.B0H D.2CH
解析 新数为101100B，由于每4位二进制数转换为一位十六进制表，比较方便，转换为十六进制数2CH，把十六进制数转换成十进数，＝C×160＋2×161＝12＋32＝44D。
答案 D
4.与十六进制数11H值相等的二进制数是( )
A.10001000B B.10001B
C.11000B D.000011B
答案 B
5.下列四个数中，值最大的是( )
A.101011B B.2CH
C.54D D.101101B
解析 101011B＝43D，2CH＝44D，101101B＝45D。
答案 C
6.将二进制数10100转换成十进制数，正确的表达式是( )
A.1×20＋0×21＋1×22＋0×23＋0×24
B.1×21＋0×22＋1×23＋0×24＋0×25
C.0×20＋0×21＋1×22＋0×23＋1×24
D.0×21＋0×22＋1×23＋0×24＋1×25
解析 最低位的权是0，从低位开始，把每个数字进行按权展开并相加。
答案 C
7.某个对二进制数据进行压缩的算法如下，采用一个字节的7个位来表示若干个连续0或1的个数，最低位表示该数字是0或1。如00001111，表示连续7个1，10000000，表示连续64个0。现有一组数据00000011 11111111 00001111，连续6个0、连续10个1、连续4个0，最后连续4个1，经该压缩后的编码用十六进制表示的值是( )
A.03 FF 0F B.06 1A 04 14
C.0C 15 08 09 D.41 40 A1 60
解析 6D＝110B，10D＝1010B，4D＝100B，因此压缩后的二进制数分别为0000110 0 0001010 1 0000100 0 0000100 1，转换为十六进制数为0C 15 08 09。
答案 C
8.求负数补码方法是：将该数的绝对值转换成二进制，再将所有位数取反(1改为0，0改为1)后加1，并设置符号位(最高位)为1。如求－6的8位二进制补码方法：6D＝0000110B，取反1111001B，加1为1111010B，设置符号位为1，－6的8位二进制补码为11111010。则十进制数－15的8位二进制补码为( )
A.11110000 B.11110010
C.11110001 D.10010000
解析 15D＝0001111B，取反加1为1110001B，再加符号位为11110001。
答案 C
9.100011B＝________ D＝____H
5AH＝________________B＝________D
答案 35 23 1011010 90
10.有一个二进制数为1▊101▊0，其中有两位数字模糊不清，下列可能与其值相等的是( )
A.84D B.64H C.53H D.52D
解析 84D＝54H＝1010100B 64H＝1100100B 53H＝1010011B 52D＝34H＝110100B。
答案 A
11.5421BCD码是用4位二进制数表示1位十进制数的代码，从左到右的位权分别是5、4、2、1，即用该二进制代码的第1至第4位分别乘以相应的位权并相加，得到的数为转换后的十进制数。则BCD码1001对应的十进制数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析 1001＝1*5＋0*4＋0*2＋1*1＝6。
答案 A
1.某一数字显示器由7段发光二极管组成，通过各二极管(字母a－f顺序)的亮灭来显示数字。若用“1”表示亮，“0”表示灭，则要显示字母“E”，应输入的编码是( )
A.110111 B.1001111
C.1000111 D.1111001
答案 B
2.某4车道马路，用4个红绿灯控制车辆的通行，除中间车道是红灯时，右转车道不能通行。用二进制代码从左向右依次编号，每个车道用两位二进制数表示红黄绿灯情况，其中00表示灯不亮，01表示红灯，10表示黄灯，11表示绿灯，那么代码11010111依次表示的灯是( )
A.红绿绿红 B.绿红红绿
C.绿红绿红 D.红绿红绿
答案 B
3.十六进制数10H是二进制数10B的倍数是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 该题要分别转换成十进制才可以进行乘除，10H＝161＝16D，10B＝21＝2D。
答案 D
4.下列4个数中，最大的数是( )
A.111110 B B.3F H
C.64 D D.111111 B
解析 111111B＝3F，64D除16，商为4余0，即64D＝40H。
答案 C
5.将十六进制数11001转换成十进制数，正确的表达式是( )
A.1×20＋0×21＋0×22＋1×23＋1×24
B.1×100＋0×101＋0×102＋1×103＋1×104
C.1×160＋0×161＋0×162＋1×163＋1×164
D.1×160＋1×161＋0×162＋0×163＋1×164
答案 C
6.某个对二进制数据进行压缩的算法如下，采用一个字节的7个位来表示若干个连续0或1的个数，最高位表示该数字是0或1。如00001111，表示连续16个0，11000000，表示连续64个1。现有一组数据00000011 11111111 00001111，连续6个0、连续10个1、连续4个0，最后连续4个1，经该压缩后的编码用十六进制表示的值是( )
A.03 FF 0F B.06 1A 04 14
C.06 8A 04 84 D.41 40 A1 60
解析 6D＝110B，10D＝1010B，4D＝100B，因此压缩后的二进制数分别为0 0000110 1 0001010 0 0000100 1 0000100，转换为十六进制数为06 8A 04 84
答案 C
7.数据在传输时采用奇校验法，即把要传输的数转换为7位二进制数，在最高位加数字0或1，使得1个字节8个位中，1的数目呈奇数。那么采用奇校验传输数字46D，显示为十六进制数为( )
A.AE B.2E C.E2 D.EA
解析 46D＝0101110B，1的个数为偶数，那么最高位应加1，即10101110B＝AEH。
答案 A
8.1100111B＝________ D＝____H
C4H＝________________B＝________D
答案 103 67 11000100 196
9.数1000H是数10H的倍数是( )
A.16 B.32 C.100 D.256
解析 两者相除的结果是100H，转换为十进制数是256。
答案 D
10.有一个二进制数为10▊▊010，其中有两位数字模糊不清，下列可能与其值相等的是( )
A.84D B.64H C.44H D.66D
解析 1位十六进制数可以表示为4位二进制数，十进制数向十六进制转化的方法是：除16倒取余数。84D＝54H＝1010100B 64H＝1100100B 44H＝1000100B 66D＝42H＝1000010B。
答案 D
11.下列关于数制及数制转换说法正确的是( )
A.16进制数的基数有15个
B.数10B中，其中数“1”的位权是12
C.在两个16进制数相加，逢16向高位进1
D.2位十六进制数表示十进制数的范围是0至32
解析 16进制数的基数有0～F，共16个，因此2个16进制数表示数的范围是0～31，共32个数，二进制数第2位的数的位权是21。
答案 C
12.1位十进制数转换为4位二进制5421BCD码方法。若该数小于5，BCD码的最高位(左边第1位)值为0，并把该数转换成3位二进制数，不足3位补0。若该数大于等于5，则第1位值为1，并把该数减去5后的值转换成3位二进制数，不足3位补0。则十进制数9对应的BCD码是( )
A.1001 B.1010 C.1011 D.1100
解析 9大于5，第1位为1，9－5＝4，4表示为二进制数为100，因此为1100.
答案 D
课件21张PPT。第4节 数制及转换1.用来表示信息的符号组合称为信息的代码，编制这个代码的过程称为信息的_____。
2.在二进制数中，包含0和1两个_____，一个二进制数的每一位上的位权是不一样的，如二进制数“1011”，从右至左用该位上的数字乘以位权表示：(1011)2＝1×20＋______＋______
＋1×23。
3.在计算机中，所有的信息都是采用________数存储的，计算机存储的最小单位是___，每一个二进制位可以表示0和1两种信息。编码基数1×210×22二进制位4.n位二进制数可以表示信息的数量是___，反之，要表示N种信息，则需要二进制位的个数为大于或等于_____的最小整数。例如要分别表示2、8、10、100、1024种信息，则至少需要用到二进制位数为1、___、___、___、10。
5.表示信息的基本单位是_____(Byte)，是连续___个位(bit)的组合。比字节大的计量单位依次分别是KB、____、____和TB，他们的换算关系：后者是前者的_____倍，即210倍
1B＝8b 1KB＝______ 1MB＝________ 1GB＝________2nlog2N347字节8MBGB10241024B1024KB1024MB6.由于二进制存储信息位数较多，较冗长，因此往往用1位十六进制数来表示___位二进制数，有效地缩短信息的长度。熟记以下常见等量关系，相邻数据可以通过加1或减1得到。47.二进制、十进制和十六进制区别一、数据编码
由于计算机内部所有信息都是由二进制来存储的，因此所有的信息均要用二进制数来编码，计算机才能识别。存储信息最小的单位是位，可能的值为0或1，连续8个二进制位的组合称为1个字节，是表示信息的基本单位。【例1】 汉字“次”的字形码如图所示，该字形用16×16的黑白像素点表示。若用“0”表示白，“1”表示黑，则第3行的数据编码为__________________，表示该汉字的字形需要的存储空间是______字节。解析 在第3行中，第3个和第9个位为黑色，编码为“1”，其余为白色，编码为“0”，因此为该行共有16个二制位，2个字节，整个图形的编码共有16行，计32个字节。也可以理解为，整个图形的编码共有16×16个位，转换为字节的表达式为16×16/8＝32。假设该字库共存放了8000个汉字，则存储所有汉字的字形需字节的计算表达式为16×16/8×8000/1024KB＝250KB。
答案 0010000010000000 32[方法总结] 熟练掌握1个字节＝8位的关系，是今后学习和计算声音、图像等存储容量的基础。【变式训练】 某十字路口有4个车道，每车道用1个红绿灯控制通行，某时刻该路口控制灯情况如图所示：
用二进制数来控制灯的情况，每个灯用2位二进制数表示，左转、直行、直行和右转四条车道从左到右依次编码为01111101。若某一时段允许车辆左转，但不允许车辆直行和右转，则此时的控制码应该是( )
A.01111101 B.11010101
C.11111101 D.01111101
答案 B二、十进制数与其他数制的转换方法
R进制数指除了十进制以外的其他进制数，只要求掌握十进制数分别与二进制和十六进制数的转换方法。
(一)十进制数向R进制数转换
用该十进制数除R，若商不为0，用得到的商继续除R，直到商为0为止，把该过程的得到的余数反向连接起来得到数即为转换的数。【例2】 与56D相等的二进制数和十六进制数分别为_____B、______H。解析 向二进制数转换，反复除以2，得到的商分别为28，14，7，3，1，0，这些商作为下次的被除数，当被除数是0时，停止计算，把得到的余数反向连接起来，即为转换后的二进制值。
同理，十进制数转换成十六进制数，反复除以16，当被除数是0时，停止计算，并把余数反向连接，得到相应的值。
答案 111000 38(二)R进制数向十进制数转换
从低位开始，把每一位上的数与该位数权的乘积可加，得到的结果为转换后的十进制数。【例3】 二进制数111000转换为十进制数的值为____________。
解析 在十进制数的科学记数法中，1＝1×100，10＝1×101，100＝1×102。各个位幂的指数均比位数小1，因此，在二进制数，从低位(最右边)开始，每位数上的位权依次为20，21，22，23……。111000B＝0×20＋0×21＋0×22＋1×23＋1×24＋1×25＝0＋0＋0＋8＋16＋32＝56D。由于0乘以任何数为0，因此可以在实际运算时，可以简单表示为23＋24＋25＝8＋16＋32＝56D。
答案 56D【变式训练】 某二进制数共 5 位，其中最低位和最高位均为 1，其它位未知，该二进制数转换为十进制后的最小值和最大值分别是( )
A.17、31 B.9、15
C.33、63 D.32、64
解析 已知的两位数转换成十进制数为24＋1＝17，最小的是中间3位为0，最大的是中间3个1，为21＋22＋23＝14，即最大的数为31。通过这个练习，让学生更加理解位权的关系。
答案 A三、二进制与十六进制的互相转换
由于16＝24，所以每1位十六进制数可以转换为4位二进制数。
(一)二制数数向十六进制数转换
从低位开始，每4位二进制数为一个单元，转换为1个十六进制数。
(二)每1位十六进制转换为4位二进制数，不足4位，高位补0。【例4】 在例2中，56D＝111000B，该二进制数转换为十六进制的值为__________。
解析 从低位(最右边)开始，每4个二进制数划分为一个单元，并转换为1个十六进制数。
转换时可以记住一些特殊的值，如10，100，1000，前面是1，后面为n个0，转换后为2的n次幂，即分别为21，22，23，对应的值为2，4，8。因此也可以用“8421”法快速地计算4位二进制对应的十六制数的值，即用每个二进制数乘以相应的值并相加，如二进制数“1000”转换为十六进制数，用1×8＋0×4＋0×2＋0×1＝8；二进制数“11”转换为十六进制数，1×2＋1×1＝3。对于A至F之间的十六进制数，转换为二进制数，也可以强行记住特殊的数，并在此基础上进行加1或减1的操作，A对应的二进制数为1010，巧记为2个10，则B比A大1，数值为1011；C对应的二进制数为1100，则D为1101；F对应的二进制数为1111，则E为1110。因此记住熟练A、C、F对应的二进制值是关键。
答案 38 (二)十六制数数向二进制数转换
【例5】 与A1B5H等值的二进制数为__________。
解析 A→1010，1→0001，B→1011，5→0101，注意不足4位，必须在高位补0。在较大的十进数向二进制数转换时，除的步骤较多，也可以先转换成十六进制数，再转换成二进制数，如上题中，56D转换为十六进制数，只需除两次，得到值为38H，再将38H转换为二进制数，为11 1000B。
答案 10100001 10110101【变式训练】 与二进制数1010100101B值相等的十六进制数是( )
A.2A5H B.A25H
C.A91H D.A94H
解析 从低位开始，每4位为一个单位。
答案 A
