第二章平面向量学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测

滚动训练三(§5～§7)
一、选择题
1.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b的夹角的余弦值是(　　)
A.－ B. C. D.－
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的夹角
答案　A
解析　由|a|＝|a＋2b|得a2＝a2＋4b2＋4a·b，即a·b＝－b2，所以cos θ＝＝＝－.
2.已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于(　　)
A. B.
C. D.(1，0)
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　已知数量积求向量的坐标
答案　B
解析　设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝.
由解得
即b＝.故选B.
3.(2017·辽宁葫芦岛高一期末)已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为(　　)
A.－ B.0 C.3 D.
考点　平面向量夹角的坐标表示与应用
题点　已知坐标形式下的向量夹角求参数
答案　C
解析　∵2a－3b＝(2k－3，－6).
又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，
即(2k－3)×2＋(－6)×1＝0，解得k＝3.
4.如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则·等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
考点　平面向量数量积的概念与几何意义
题点　平面向量数量积的概念与几何意义
答案　B
解析　取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，
可知OD⊥AB，OE⊥AC.
∵M是边BC的中点，∴＝(＋)，
∴·＝(＋)·＝·＋·＝·＋·.
由数量积的定义可得·＝||||cos〈，〉，
而||·cos〈，〉＝||，
故·＝||2＝4，
同理可得·＝||2＝1，
故·＝·＋·＝5，故选B.
5.已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b等于(　　)
A.(4，0) B.(0，4) C.(4，－8) D.(－4，8)
考点　向量共线的坐标表示的应用
题点　已知向量共线求向量的坐标
答案　C
解析　由a∥b知4＋2m＝0，
所以m＝－2，2a－b＝(2，－4)－(m，4)＝(2－m，－8)＝(4，－8).
6.已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
考点　平面向量数量积的应用
题点　数量积在三角形中的应用
答案　C
解析　如图，D为BC的中点，
因为＋＋＝0，
所以＋＝－，
依向量加法的平行四边形法则，知||＝2||，
故点N为△ABC的重心.
因为·＝·，
所以(－)·＝·＝0，
同理·＝0，·＝0，
所以点P为△ABC的垂心.
由||＝||＝||知，点O为△ABC的外心.
7.点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(x，y)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(12，12)，6秒后点P的坐标为(0，18)，则(x＋y)2 018等于(　　)
A.－1 B.1 C.0 D.2 012
考点　平面向量的坐标运算的应用
题点　利用平面向量的坐标运算求参数
答案　B
解析　由题意，(12，12)＋6(x，y)＝(0，18)，
即(12＋6x，12＋6y)＝(0，18)，解得
故(x＋y)2 018＝(－2＋1)2 018＝1.
二、填空题
8.已知||＝||＝1，||＝，则·＝ ，|＋|＝ .
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的模
答案　－　1
解析　由||＝||＝1，||＝，可知以向量，为邻边的平行四边形是菱形，，的夹角为，
∴·＝cos＝－，|＋|＝＝＝1.
9.(2017·山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是 .
考点　平面向量数量积的应用
题点　已知向量夹角求参数
答案　
解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝ ＝ ＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝＝＝＝，
解得λ＝.
10.已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2，3)同向，且||＝2，则点B的坐标为 .
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　已知数量积求向量的坐标
答案　(5，4)
解析　设＝(2λ，3λ)(λ>0)，
则||＝＝2，
∴13λ2＝13×22，∴λ＝2，
∴＝(4，6)，
∴＝＋＝(1，－2)＋(4，6)＝(5，4).
∴点B的坐标为(5，4).
11.(2018·定远育才中学月考)若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为 .
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　已知向量垂直求参数值
答案　
解析　由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m＝.
三、解答题
12.设x，y∈R，向量a＝(x，2)，b＝(4，y)，c＝(1，－2)，且a⊥c，b∥c.
(1)求x，y的值；
(2)求|a＋b|的值.
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
解　(1)由a⊥c及b∥c，得x－4＝0且4×(－2)－y＝0，
即x＝4，y＝－8.
(2)∵a＝(4，2)，b＝(4，－8)，
∴a＋b＝(4，2)＋(4，－8)＝(8，－6).
∴|a＋b|＝＝10.
13.(2017·福州高一检测)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值.
考点　平面向量数量积的应用
题点　向量模与夹角的综合应用
解　(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，
所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
四、探究与拓展
14.(2017·长春高一检测)已知向量a＝(1，)，b＝(0，t2＋1)，则当t∈[－，2]时，的取值范围是 .
考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点　平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用
答案　[1，]
解析　由题意知，＝(0，1)，
根据向量的差的几何意义知，表示向量t的终点到向量a的终点的距离d，所以d＝，
所以当t＝时，该距离取得最小值1，
当t＝－时，该距离取得最大值，
即的取值范围是[1，].
15.在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为 .
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　坐标形式下的数量积运算
答案　
解析　以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2)，所以直线AB的方程为x＋y－2＝0.设M(t，2－t)，因为MN＝，所以N(t＋1，1－t)(0≤t≤1)，所以·＝t(t＋1)＋(2－t)(1－t)＝2t2－2t＋2＝22＋.
因为0≤t≤1，所以·的取值范围为.
滚动训练二(§1～§4)
一、选择题
1.若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的是(　　)
A.①④ B.③ C.①②③ D.②③
考点　相等向量与共线向量
题点　各类向量特征的综合判定
答案　B
解析　a为任一非零向量，故|a|>0.
2.平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是(　　)
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.菱形
考点　向量加减法的综合运算及应用
题点　几何图形中向量的加、减法运算
答案　B
解析　因为＋＝＋，
所以－＝－，即＝，
所以AB∥CD，且AB＝CD，
故四边形ABCD是平行四边形.
3.已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A. B. C. D.
考点　平面向量的坐标运算的应用
题点　利用平面向量的坐标运算求参数
答案　C
解析　如图所示，
因为∠AOC＝45°，所以设C(x，－x)，
则＝(x，－x).
又因为A(－3，0)，B(0，2).
所以λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ).
所以解得λ＝.
4.化简的结果是(　　)
A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b
考点　向量的线性运算及应用
题点　向量的线性运算
答案　B
解析　原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a.
5.如图所示，在△ABC中，BO为边AC上的中线，＝2，设∥，若＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A. B. C. D.2
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数
答案　C
解析　如图，延长AG交BC于点F，
∵BO为边AC上的中线，＝2，
∴AF为边BC上的中线，
∴＝＋.
又∵＝－＝＋(λ－1)，且∥.
∴(λ－1)∶＝∶，∴＝λ－1，∴λ＝.
6.已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　)
A.－1或3 B.
C.－1或4 D.3或4
考点　向量共线定理及其应用
题点　利用共线定理求参数
答案　A
解析　因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，
所以ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，
所以解得m＝－1或m＝3.
7.在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)
A. B. C.1 D.3
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数
答案　B
解析　如图，
因为＝，
所以＝，＝m＋＝m＋，
因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝，故选B.
二、填空题
8.(2018·定远藕塘中学月考)已知向量a＝(2，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m＝ .
答案　±2
解析　由a∥b，可得4－m2＝0，∴m＝±2.
9.若向量a与b的夹角为45°，则2a与－3b的夹角是 .
考点　向量数乘的定义及运算
题点　向量数乘的定义及几何意义
答案　135°
解析　如图所示，可知2a与－3b的夹角是135°.
10.在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝ ，|＋|＝ .
考点　向量加减法的综合运算及应用
题点　利用向量的加、减法运算求向量的模
答案　1　
解析　易知|＋|＝||＝1，
以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，
则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝.
11.D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论：
①＝－a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＝a.
其中正确的结论的序号为 .
考点　平面向量基本定理
题点　用基底表示向量
答案　①②③
解析　如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，①正确；
＝＋＝a＋b，②正确；
＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，③正确；
④＝＝－a，④不正确.
三、解答题
12.设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，求k的值.
考点　向量共线定理及其应用
题点　利用向量共线定理求参数
解　因为A，B，D三点共线，
故存在一个实数λ，使得＝λ，
又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，
所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
所以
解得k＝－.
13.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值.
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数
(1)证明　若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).
由e1，e2不共线，得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.
(2)解　设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∵e1与e2不共线，
∴∴
∴c＝2a＋b.
(3)解　由4e1－3e2＝λa＋μb，
得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴∴
故所求λ，μ的值分别为3和1.
四、探究与拓展
14.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，且3a＋4b＋5c＝0，则a∶b∶c＝ .
考点　向量共线定理及其应用
题点　向量共线定理在平面几何中的应用
答案　20∶15∶12
解析　∵3a＋4b＋5c＝0，
∴3a(＋)＋4b＋5c＝0，∴(3a－5c)＋(3a－4b)＝0.
在△ABC中，∵，不共线，∴解得
∴a∶b∶c＝a∶a∶a＝20∶15∶12.
15.(2017·广东汕头高一期末)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是 .
考点　向量共线定理及其应用
题点　三点共线定理的应用
答案　(－1，0)
解析　由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ>1)，
则＝＋λ＝λ＋(1－λ).
又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)，
则＝－－(λ>1，μ>1)，
所以m＝－，n＝－，
则m＋n＝－－＝－∈(－1，0).

1　向量线性运算的应用
平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面.
一、化简
例1 化简下列各式：
(1)(2－)－(－2)；
(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)].
解　(1)(2－)－(－2)＝2－－＋2＝2＋＋＋2
＝2(＋)＋(＋)＝2＋＝.
(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]＝(6a＋24b－24a＋12b)
＝(－18a＋36b)＝－a＋b.
点评　向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量.
二、求参数
例2 如图，已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝ .
解析　如图，
因为＋＋＝0，
即＝－(＋)，
即＝＋，延长AM，
交BC于D点，
所以D是BC边的中点，所以＝2，
所以＝，所以＋＝2＝3，
所以m＝3.
答案　3
点评　求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值.
三、表示向量
例3 如图所示，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N，设＝a，＝b，用向量a，b表示，，，，.
解　因为DE∥BC，＝，
所以＝＝b，＝－＝b－a.
由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a).
又M是△ABC底边BC的中点，DE∥BC，
所以＝＝(b－a)，＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝(a＋b).
点评　用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量.
2　走出平面向量的误区
平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础，试题的特点是概念较多，应用也多，不少同学由于概念、性质掌握不清，在解题时经常出现错误，本文将常见的错误进行简单的总结，希望帮助同学们走出平面向量的误区.
一、理解失误
例1 已知e1，e2是平面α内的一组基底，那么下列命题中正确的有 .(填序号)
①e1，e2两个向量可以共线，也可以是零向量；
②λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
③对于平面α内的任意向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数对.
错解　①②③
正解　由平面向量的基本定理知，只有不共线的两个向量才能作为平面向量的一组基底，所以①错误；任一平面向量都可以用一组基底线性表示，且基底确定，其表示是唯一的，所以②正确，③错误.故正确答案为②.
答案　②
点评　对平面向量基本定理的学习要把握以下几点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内的任意向量a都可用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.
二、考虑不全
例2 与模长为13的向量d＝(12，5)平行的单位向量为(　　)
A. B.
C.或 D.
错解　由题意得|d|＝13，则与d＝(12，5)平行的单位向量为，故选A.
正解　与d＝(12，5)平行的单位向量为或.故选C.
答案　C
点评　与d平行的单位向量有同向和反向两种情况，错解忽略了反向的情况.
三、概念混淆
例3 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝3，＝2，试求点M，N和向量的坐标.
错解　A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以＝(－2＋3，4＋4)＝(1，8)，
＝(3＋3，－1＋4)＝(6，3)，
＝3＝(3，24)，＝2＝(12，6)，
所以点M(3，24)，点N(12，6)，＝(9，－18).
正解　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).
所以＝(－2＋3，4＋4)＝(1，8)，
＝(3＋3，－1＋4)＝(6，3)，
＝3＝(3，24)，＝2＝(12，6)，
又C(－3，－4)，
所以点M(0，20)，点N(9，2)；
所以＝(9－0，2－20)＝(9，－18).
点评　向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点处时，向量的坐标才与终点坐标相等.
3　平面向量基本定理应用三技巧
技巧一　构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e1，e2为基底，且a＝x1e1＋y1e2＝x2e1＋y2e2，则用来求解.
例1　在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使||∶||＝1∶3，||∶||＝1∶4，设线段AN与BM交于点P，记＝a，＝b，用a，b表示向量.
解　∵B，P，M共线，
∴存在常数s，使＝s，
则＝＋.
即＝＋＝a＋b.①
同理，存在常数t，使＝t，
则＝a＋b.②
∵a，b不共线，∴
解得，∴＝a＋b.
点评　这里选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解.
技巧二　构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e1，e2为基底，a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0”来求解.
例2　如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
(1)解　设＝ma＋nb，则＝(m－1)a＋nb，＝－a＋b.
∵点A，M，D共线，∴与共线，
∴(m－1)－(－1)×n＝0，∴m＋2n＝1.①
而＝－＝)a＋nb，＝－a＋b.
∵C，M，B共线，∴与共线，
∴－n－＝0，∴4m＋n＝1.②
联立①②可得m＝，n＝，
∴＝a＋b.
(2)证明　＝a＋b，＝－pa＋qb，
∵与共线，
∴q－×(－p)＝0，
∴q－pq＝－p，即＋＝1.
点评　这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解.
技巧三　将题目中的已知条件转化成λ1e1＋λ2e2＝0的形式(e1，e2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解.
例3　如图，已知P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令＝p，试用向量p表示.
解　∵＝＋，＝＋，
∴(＋)＋2(＋)＋3＝0，
∴＋3＋2＋3＝0.
又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，
∴＝λ，＝μ，
∴λ＋3＋2＋3μ＝0，
∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.
而，为不共线向量，
∴
∴λ＝－2，μ＝－1.
∴＝－＝.
故＝＋＝2＝2p.
点评　这里选取，两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成λ1e1＋λ2e2＝0的形式来求解.
4　直线的方向向量和法向量的应用
直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具.由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析.
一、直线的方向向量
1.定义
设P1，P2是直线l：Ax＋By＋C＝0上的不同两点，那么向量以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则的坐标为(x2－x1，y2－y1)；特别当直线l与x轴不垂直时，即x2－x1≠0，直线的斜率k存在时，那么(1，k)是它的一个方向向量；当直线l与x轴平行时，方向向量可为(1，0)；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(－B，A).
2.应用
(1)求直线方程
例1　已知三角形三顶点坐标分别为A(2，－3)，B(－7，9)，C(18，9)，求AB边上的中线、高线所在直线的方程以及∠C的内角平分线所在直线的方程.
解　①求中线方程
由于＝(－25，0)，＝(－16，－12)，
那么AB边上的中线CD的方向向量为＋＝(－41，－12)，
也就是，因而直线CD的斜率为，
那么直线CD的方程为y－9＝(x－18)，
整理得12x－41y＋153＝0.
②求高线方程
由于kAB＝＝－，
因而直线AB的方向向量为，
而AB边上的高CE⊥AB，
则直线CE的方向向量为，
那么高线CE的方程为y－9＝(x－18)，
整理得3x－4y－18＝0.
③求∠C的内角平分线方程＝(－1，0)，＝，
则∠C的内角平分线的方向向量为＋＝，也就是，
因而内角平分线CF的方程为y－9＝(x－18)，
整理得x－3y＋9＝0.
点评　一般地，经过点(x0，y0)，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程是A(x－x0)＋B(y－y0)＝0；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程是B(x－x0)－A(y－y0)＝0.
(2)求直线夹角
例2　已知l1：x＋3y－15＝0与l2：y－3mx＋6＝0的夹角为，求m的值.
解　直线l1的方向向量为v1＝(－3，1)，
直线l2的方向向量为v2＝(1，3m)，
∵l1与l2的夹角为，
∴|cos〈v1，v2〉|＝＝＝，
化简得18m2＋9m－2＝0，解得m＝－或m＝.
点评　一般地，设直线l1：y＝k1x＋b1，其方向向量为v1＝(1，k1)，直线l2：y＝k2x＋b2，其方向向量为v2＝(1，k2)，当1＋k1k2＝0时，两直线的夹角为90°；当1＋k1k2≠0时，设夹角为θ，则cos θ＝＝；若设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，其方向向量为(－B1，A1)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，其方向向量为(－B2，A2)，那么cos θ＝.
二、直线的法向量
1.定义
直线Ax＋By＋C＝0的法向量：如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量.因此若直线的方向向量为v，则n·v＝0，从而对于直线Ax＋By＋C＝0而言，其方向向量为v＝(B，－A)，则由于n·v＝0，于是可取n＝(A，B).
2.应用
(1)判断直线的位置关系
例3　已知直线l1：ax－y＋2a＝0与直线l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0.
(1)若l1⊥l2，求实数a的值；
(2)若l1∥l2，求实数a的值.
解　直线l1，l2的法向量分别为：n1＝(a，－1)，n2＝(2a－1，a)，
(1)若l1⊥l2，则n1·n2＝a(2a－1)＋(－1)×a＝0，
解得a＝0或a＝1.
∴当a＝0或1时，l1⊥l2.
(2)若l1∥l2，则n1∥n2，
∴a2－(2a－1)×(－1)＝0.
解得a＝－1±，且＝－≠2.
∴当a＝－1±时，l1∥l2.
点评　一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)，当n1⊥n2，即A1A2＋B1B2＝0时，l1⊥l2，反之亦然；当n1∥n2，即A1B2－A2B1＝0时，l1∥l2或l1与l2重合.
(2)求点到直线的距离
例4　已知点M(x0，y0)为直线l：Ax＋By＋C＝0外一点.
求证：点M(x0，y0)到直线l的距离d＝.
证明　设P(x1，y1)是直线Ax＋By＋C＝0上任一点，n是直线l的一个法向量，不妨取n＝(A，B).则M(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d等于向量在n方向上射影的长度，如图所示.
d＝||·|cos〈，n〉|＝＝
＝＝.
∵点P(x1，y1)在直线l上，
∴Ax1＋By1＋C＝0，
∴Ax1＋By1＝－C，
∴d＝.
点评　同理应用直线的法向量可以证明平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与直线l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0且C1≠C2)的距离为d＝.
证明过程如下：
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别为直线l1：Ax＋By＋C1＝0，直线l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0且C1≠C2)上任意两点，取直线l1，l2的一个法向量n＝(A，B)，则＝(x2－x1，y2－y1)在向量n上的射影的长度，就是两平行线l1，l2的距离.
d＝|||cos〈，n〉|＝＝＝
＝＝.
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知O，A，M，B为平面上的四点，且＝λ＋(1－λ)·，λ∈(0，1)，则(　　)
A.点M在线段AB上
B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上
D.O，A，M，B四点一定共线
考点　向量共线的判定与应用
题点　向量共线的判定与应用
答案　A
解析　＝－＝λ＋(1－λ)－＝λ－λ＝λ，这表明点M在线段AB上.
2.设e1，e2为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　)
A.2 B.－3 C.－2 D.3
考点　向量共线定理及其应用
题点　利用向量共线定理求参数
答案　A
解析　易知＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)，
又A，B，D三点共线，则∥，
则k＝2，故选A.
3.(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A.a⊥b B.|a|＝|b|
C.a∥b D.|a|>|b|
考点　平面向量数量积的概念与几何意义
题点　平面向量数量积的概念与几何意义
答案　A
解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.
方法二　利用向量加法的平行四边形法则.
在?ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.
4.已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为(　　)
A.－2 B.2 C.－ D.
考点　向量的数量积的应用
题点　利用向量的数量积求参数
答案　C
解析　设a，b的夹角为θ，
则由a·b＝|a||b|cos θ＝－6，得cos θ＝－1，
∴θ＝π，即a，b共线且反向，
∴a＝－b，
∴x1＝－x2，y1＝－y2，
∴＝－.
5.向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.2
考点　向量数量积的运算
题点　向量数量积的运算
答案　C
解析　∵2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)，
∴(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，
故选C.
6.对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)
A.|a·b|≤|a||b| B.|a－b|≤||a|－|b||
C.(a＋b)2＝|a＋b|2 D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
考点　平面向量数量积的性质
题点　平面向量数量积的性质
答案　B
解析　当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B选项不成立.
7.已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A.1 B. C. D.
考点　平面向量的线性运算
题点　平面向量的线性运算
答案　D
解析　过C作CE⊥x轴于点E.
由∠AOC＝，|OC|＝2，得|OE|＝|CE|＝2，
所以＝＋＝λ＋，
即＝λ，
所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.
8.向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为(　　)
A.等腰非直角三角形 B.等边三角形
C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形
考点　平面向量数量积的应用
题点　判断三角形形状
答案　C
解析　∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，
∴＝－＝(－2，－1).
∴·＝(2，1)·(－2，4)＝0，
∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||，
∴△ABC是直角非等腰三角形.
9.在△ABC中，P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M.若＝t，则t的值为(　　)
A. B. C. D.
考点　向量共线有关的参数问题
题点　由向量共线求参数值
答案　D
解析　因为A，M，Q三点共线，所以可设＝λ.
又因为＝t＝t＝t＋t，
所以＝－＝＋t，＝－＝－.
将它们代入＝λ，
得＋t＝λ－λ.
由于，不共线，从而
解得故选D.
10.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.π
考点　向量的夹角
题点　求向量的夹角
答案　A
解析　由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，
即3a2－a·b－2b2＝0.∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，
即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，
∴|b|2－|b|2cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
11.(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A.－2 B.－ C.－ D.－1
考点　平面向量数量积的应用
题点　数量积在三角形中的应用
答案　B
解析　以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1，0)，C(1，0).
设P点的坐标为(x，y)，
则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，
∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2
≥2×＝－.
当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.故选B.
12.若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)
A.－1 B.1 C. D.2
考点　向量的模
题点　求向量模的最值
答案　B
解析　由已知可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
由|c|＝1，(a－c)·(b－c)≤0，
得故x＋y≥1.
所以|a＋b－c|＝＝≤1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝ .
考点　向量共线的判定与应用
题点　已知向量共线求参数值
答案　
解析　∵λa＋b与a＋2b平行，
∴λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb，
∴∴
14.如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为 N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为 .
考点　向量的线性运算在物理中的应用
题点　利用向量解决力的有关问题
答案　　(5，4)
解析　F1＝(2，3)，F2＝(3，1)，
所以合力F＝F1＋F2＝(2，3)＋(3，1)＝(5，4)，
所以合力的大小为＝(N).
15.如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是 .
考点　向量的数量积
题点　求向量数量积的最值
答案　－
解析　因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，
设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)，
所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)＝22－.
所以当x＝时，(＋)·取到最小值－.
16.(2018·定远育才中学月考)关于平面向量有下列四个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；
②已知a＝(k，3)，b＝(－2，6)，若a∥b，则k＝－1；
③·＝0.
其中正确的命题为 .(填序号)
考点　平面向量的综合问题
题点　平面向量的综合问题
答案　②③
解析　①中，由a·b＝a·c，得a·(b－c)＝0，当a＝0时也成立，故①错；
②中，若a∥b，则有6×k＝－2×3，得k＝－1，故②正确；
③中，·＝2－2＝－＝0，故③正确.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)(2018·定远育才学校月考)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2).
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标；
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
考点　向量的平行与垂直
题点　向量的平行与垂直的综合问题
解　(1)设b＝(x，y)，
因为a∥b，所以y＝2x.①
又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20.②
由①②联立，
解得b＝(2，4)或b＝(－2，－4).
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，
得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
由|a|＝，|c|＝，
解得a·c＝5，
所以cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，
所以a与c的夹角θ＝.
18.(12分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置.
考点　向量的线性运算
题点　向量的线性运算
解　(1)由＝，
可得＝＋＝－＋.
∵＝，
∴＝＋＝－＋.
(2)将＝－＋，＝－＋
代入＝＋λ＝＋μ，
则有＋λ＝＋μ，
即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)，
∴解得
(3)设＝m，＝n.
由(2)知＝＋，
∴＝－＝n－＝n－＝·＋＝m＝m－m，
∴解得
∴＝，即＝2，
∴点P在BC的三等分点且靠近点C处.
19.(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin θ，t).
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取得最大值4时，求·.
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
解　(1)由题设知＝(n－8，t)，
∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝||，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，
得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，
∴＝(24，8)或＝(－8，－8).
(2)由题设知＝(ksin θ－8，t)，
∵与a共线，
∴t＝－2ksin θ＋16，tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k2＋.
∵k>4，∴0<<1，
∴当sin θ＝时，tsin θ取得最大值.
由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4，8).
∴·＝(8，0)·(4，8)＝32.
20.(12分)已知在△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　平面向量在平面几何中的应用
证明　建立如图所示的直角坐标系，
设A(a，0)，则B(0，a)，E(x，y).
∵D是BC的中点，∴D.
又∵＝2，即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，
∴解得∴E.
∵＝－(a，0)＝，
＝＝，
∴·＝－a×＋×a＝－a2＋a2＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
21.(12分)(2017·江西南昌三中高一期末)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6，0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图所示.
(1)求∠OCM的余弦值；
(2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　向量垂直的坐标表示的综合应用
解　(1)由题意，可得＝(6，0)，＝(1，)，
＝＝(3，0)，＝(2，－)，＝(－1，－).
∴cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝.
(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，
则λ＝(λt，λ)，－λ＝(6－λt，－λ).
若(－λ)⊥，
则(－λ)·＝0，
即12－2λt＋3λ＝0，
∴(2t－3)λ＝12，
若t＝，则λ不存在；
若t≠，则λ＝.
∵t∈∪.
∴λ∈(－∞，－12]∪.
即满足条件的实数λ存在，实数λ的取值范围为(－∞，－12]∪.
22.(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2，1)，A(1，0)，B(cos θ，t).
(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；
(2)若a∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值.
考点　平面向量的综合问题
题点　平面向量的综合问题
解　(1)∵＝(cos θ－1，t)，a∥，
∴2t－cos θ＋1＝0.
∴cos θ－1＝2t.①
∵||＝||，∴(cos θ－1)2＋t2＝5.②
由①②，得t2＝1，∴t＝±1.
当t＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t＝－1时，cos θ＝－1，
∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1).
(2)由①式可知t＝，
∴y＝cos2θ－cos θ＋＝cos2θ－cos θ＋＝＋＝2－，
∴当cos θ＝时，ymin＝－.

§1　从位移、速度、力到向量
学习目标　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
知识点一　向量的概念
思考1　在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
答案　面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.
思考2　两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？
答案　数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小.
梳理　向量与数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量统称为向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量.
知识点二　向量的表示方法
思考1　向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？
答案　可以用一条有向线段表示.
思考2　0的模是多少？0有方向吗？
答案　0的模为0，方向任意.
思考3　单位向量的模是多少？
答案　单位向量的模为1个单位长度.
梳理　(1)向量的表示
①具有方向和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，以B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||.
②向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模).箭头所指的方向表示向量的方向.
③向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…来表示，书写用，，，…来表示.
(2)长度为零的向量称为零向量，记作0或；与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0.
知识点三　相等向量与共线向量
思考1　已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？
答案　因为向量和向量方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.
思考2　向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？
答案　不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.
思考3　若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
答案　不一定.因为当b＝0时，a，c可以是任意向量.
梳理　(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量.
(2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线.
①记法：a与b平行或共线，记作a∥b.
②规定：零向量与任一向量平行.
1.向量就是有向线段.(　×　)
提示　向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段.
2.若两个向量共线，则其方向必定相同或相反(　×　)
3.若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同.(　√　)
提示　若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同.
类型一　向量的概念
例1　下列说法正确的是(　　)
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量没有方向
D.任意两个单位向量都相等
考点　向量的概念
题点　向量的概念
答案　A
解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确.故选A.
反思与感悟　解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
跟踪训练1　下列说法正确的有 .(填序号)
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量.
考点　向量的概念
题点　向量的概念
答案　③
解析　①错误.|a|＝|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系.
②错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量，必须在同一直线上，因此点A，B，C，D不一定在同一条直线上.
③正确.向量和是长度相等，方向相反的两个向量.
类型二　共线向量与相等向量
例2　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量.
考点　共线向量与相等向量
题点　共线向量与相等向量
解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)与模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
反思与感悟　相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
跟踪训练2　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有哪些？
考点　共线向量与相等向量
题点　共线向量与相等向量
解　(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.
(2)存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.
(3)由(2)知，BC∥AO∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.
类型三　向量的表示及应用
例3　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量，，；
(2)求||.
考点　向量的表示及应用
题点　向量的表示及应用
解　(1)向量，，如图所示.
(2)由题意知，与方向相反，故与共线.
又∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200 km.
反思与感悟　准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练3　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
考点　向量的表示及应用
题点　向量的表示及应用
解　(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).
(2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆(作图略).
1.下列结论正确的个数是(　　)
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A.0 B.1 C.2 D.3
考点　向量的概念
题点　向量的概念
答案　B
解析　①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对.
2.下列说法错误的是(　　)
A.若a＝0，则|a|＝0
B.|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关
C.零向量与任一向量都不平行
D.零向量的方向是任意的
考点　向量的概念
题点　向量的概念
答案　B
3.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　)
A.＝ B.||＝||
C.> D.<
考点　向量的概念
题点　向量的概念
答案　B
解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等.
4.如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.
(1)写出与，相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量.
考点　共线向量与相等向量
题点　相等向量
解　(1)＝＝，＝.
(2)与的模相等的向量有，，.
1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.
3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.
一、选择题
1.(2017·北师大附中一模)下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程.其中是向量的有(　　)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
考点　向量的概念
题点　向量的概念
答案　C
解析　②③④⑤是向量.
2.下列说法中正确的个数是(　　)
①一个向量方向不确定当且仅当模为0；②共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；③单位向量的模都相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
考点　向量的概念
题点　向量的概念
答案　C
3.下列说法正确的是(　　)
A.若a∥b，则a与b的方向相同或相反
B.若a∥b，b∥c，则a∥c
C.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
D.若a＝b，b＝c，则a＝c
考点　共线向量与相等向量
题点　共线向量与相等向量
答案　D
4.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
考点　共线向量与相等向量
题点　共线向量与相等向量
答案　D
解析　∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC，BD互相平分，∴＝.
5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是(　　)
A.与相等的向量只有1个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
考点　共线向量与相等向量
题点　共线向量与相等向量
答案　D
解析　由于＝，因此与相等的向量只有，因此选项A正确；而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项B正确；而在Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确；由于＝，因此与是共线的，故选D.
6.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(　　)
A.||＝||
B.与共线
C.与共线
D.＝
考点　共线向量与相等向量
题点　共线向量与相等向量
答案　C
7.下列说法正确的是(　　)
A.∥表示所在的直线平行于所在的直线
B.长度相等的向量叫作相等向量
C.零向量的长度等于0
D.共线向量是在一条直线上的向量
考点　向量的概念
题点　向量的概念
答案　C
解析　∥表示所在的直线平行于所在的直线，或所在的直线与所在的直线重合；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A，B，D均错误，故选C.
二、填空题
8.在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为 .
考点　向量的应用
题点　向量在平面几何中的应用
答案　菱形
解析　∵＝，∴AB綊DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形.
9.给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是 .(填序号)
考点　共线向量与相等向量
题点　共线向量与相等向量
答案　①③④
解析　相等向量一定是共线向量，故①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a∥b；零向量与任一向量平行，故④能使a∥b.
10.以下命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③单位向量都是共线向量.其中，正确说法的个数为 .
考点　共线向量与相等向量
题点　共线向量与相等向量
答案　1
11.某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是 .
考点　向量的表示方法
题点　向量的几何意义及其应用
答案　南偏东30°
解析　如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，
则tan∠BAC＝＝＝，
∵∠BAC是三角形的内角，∴∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东30°.
三、解答题
12.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值.
考点　向量的表示与应用
题点　向量的表示与应用
解　(1)画出所有的向量，如图所示.
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值为＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值为＝.
所以||的最大值为，最小值为.
13.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线的向量及相等的向量.
考点　相等向量与共线向量
题点　相等向量与共线向量
解　(1)与共线的向量有，，，，，，，，，，.
(2)与相等的向量有，，.
四、探究与拓展
14.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：
(1)图中与共线的向量有 ；
(2)图中与相等的向量有 ；
(3)图中与的模相等的向量有 ；
(4)图中与相等的向量有 .
考点　共线向量与相等向量
题点　共线向量与相等向量
答案　(1)，，，，，，
(2)，
(3)，，，，，，，，
(4)
15.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置向量.
考点　向量在生活中的应用
题点　向量在生活中的应用
解　(1)向量，，，如图所示.
(2)由题意知＝，
∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，长度为6千米”.
§2　从位移的合成到向量的加法
2.1　向量的加法
学习目标　1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.
知识点一　向量加法的定义及其运算法则
分析下列实例：
(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，
这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果.

思考1　从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？
答案　后面的一次位移叫作前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线 表示的力是与表示的力的合力.体现了向量的加法运算.
思考2　上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则？
答案　三角形法则和平行四边形法则.
梳理　(1)向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫作向量的加法.
(2)向量加法的法则
三角形法则
已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
平行四边形法则
已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作平行于的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形.向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
知识点二　向量加法的运算律
思考1　实数加法有哪些运算律？
答案　交换律和结合律.
思考2　根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律.(注：＝a，＝b)
答案　∵＝＋，∴＝a＋b.
∵＝＋，
∴＝b＋a.
∴a＋b＝b＋a.
思考3　根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律.(注：＝a，＝b，＝c)
答案　∵＝＋＝(＋)＋，
∴＝(a＋b)＋c，
又∵＝＋＝＋(＋)，
∴＝a＋(b＋c)，
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
梳理　向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
1.0＋a＝a＋0＝a.(　√　)
2.＋＝.(　√　)
3.＋＝0.(　√　)
4.＋>.(　×　)
5.||＋||＝||.(　×　)
类型一　向量加法的三角形法则和平行四边形法则
例1　如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
　
(1)　　　 　　 　 (2)
考点　向量加法法则
题点　求作和向量
解　(1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
反思与感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”.
(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.
跟踪训练1　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.
(1)＋＝ ；(2)＋＝ ；(3)＋＝ .
考点　向量加法法则
题点　结合图形求向量的和
答案　(1)　(2)　(3)0
类型二　向量加法运算律的应用
例2　化简：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
考点　向量加法法则
题点　利用向量加法运算律化简
解　(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋＝＋＝0.
反思与感悟　(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.
(2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特別地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0.
跟踪训练2　(2017·上饶高一检测)向量(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　)
A. B. C. D.
考点　向量的加法运算与运算律
题点　化简向量
答案　D
解析　向量(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝.
类型三　向量加法的实际应用
例3　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
考点　向量加法的实际应用
题点　小船航行问题
解　作出图形，如图所示.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角.
∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进.
引申探究
1.若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？
解　由例3知v船＝20 m/min，
v实际＝20×sin 60°＝10(m/min)，
故该船1 h行驶的航程为10×60＝600(m)＝(km).
2.若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值.
解　如图，作平行四边形ABDC，
则＝v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，
则tan α＝＝＝2.
即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
反思与感悟　向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图像是解题关键.
跟踪训练3　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
考点　向量加法的实际应用
题点　物体受力问题
解　如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
∴||＝||cos 30°＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°＝10×＝5(N).
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
1.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)
A.0 B. C. D.
考向　向量加法法则
题点　结合图形求向量的和
答案　D
解析　＋＋＝＋＋＝＋＝.
2.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是(　　)
A.＋＋＝0 B.＋＋＝0
C.＋＋＝ D.＋＋＝
考点　向量加法法则
题点　利用向量加法运算律化简
答案　D
解析　＋＋＝＋＝0，
＋＋＝＋＋＝0，
＋＋＝＋＝＋＝，
＋＋＝＋0＝＝≠.
故选D.
3.(＋)＋(＋)＋等于(　　)
A. B. C. D.
考点
题点
答案　C
4.如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形为(　　)
A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形
考点　向量在平面几何中的应用
题点　判断平面几何图形形状
答案　C
解析　∵＝＋，
∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，
即＝，
∴四边形ABCD为平行四边形.
5.小船以10 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为 km/h.
考点　向量加法的实际应用
题点　小船航行问题
答案　20
解析　如图，设船在静水中的速度为|v1|＝10 km/h，河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船的实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则.
2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
3.在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.
一、选择题
1.作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，则这两个力的合力大小为(　　)
A.30 N B.60 N C.90 N D.120 N
考点　向量加法的实际应用
题点　物体受力问题
答案　B
2.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是(　　)
A.＝，＝ B.＋＝
C.＋＝＋ D.＋＋＝
考点　向量加法法则
题点　结合图形求向量的和
答案　C
3.在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为(　　)
A.2 B.4 C.12 D.6
考点　向量加法的平行四边形法则
题点　利用向量的加法求模
答案　B
解析　因为＋＝，
所以＋＋的长度为的模的2倍.
又||＝＝2，
所以向量＋＋的长度为4.
4.已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是(　　)
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
考点　向量加法法则
题点　结合图形求向量的和
答案　C
解析　对于A，＋＝≠；对于B，＋≠；对于C，＋＝＋＝，又＝，所以＋＝；对于D，＋≠.
5.已知a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　)
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a，b是共线向量且方向相反
C.a＝b
D.a，b无论什么关系均可
考点　向量加法的几何意义
题点　|a＋b|与|a|＋|b|的关系
答案　A
6.若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是(　　)
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
考点　向量在平面几何中的应用
题点　判断平面几何图形形状
答案　D
解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，
∵AB＝AC＝1，AD＝，∴∠ABD＝90°，该四边形为正方形，
∴∠BAC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选D.
7.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于(　　)
A. B. C. D.
考点　向量的加法
题点　向量的加法
答案　C
解析　设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
二、填空题
8.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则
(1)＋＝ ；
(2)＋＋＝ ；
(3)＋＋＝ ；
(4)＋＋＝ .
考点　向量加法法则
题点　结合图形求向量的和
答案　(1)　(2)　(3)　(4)0
9.根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.
(1)a＋b＋c＝ ；
(2)b＋d＋c＝ .
考点　向量加法法则
题点　结合图形求向量的和
答案　(1)　(2)
解析　(1)a＋b＋c＝＋＋＝.
(2)b＋d＋c＝＋＋＝.
10.在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝ .
考点　向量加法法则
题点　结合图形求向量的和
答案　0
三、解答题
11.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点.
求证：＋＋＋＝4.
考点　向量加法法则
题点　结合图形求向量的和
证明　∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋0＝4，
∴＋＋＋＝4.
12.在水流速度为4 km/h的河中，要使船以12 km/h的实际航速与河岸成直角行驶，求船的航行速度的大小和方向.
考点　向量加法的实际应用
题点　小船航行问题
解　如图，设表示水流的速度，则表示船的实际航行速度，连接BC，作AD綊BC，则为所求船的航行速度，且＋＝.
∵||＝4 km/h，||＝12 km/h，
∴tan∠ACB＝＝.
∴∠ACB＝30°＝∠CAD，||＝||＝8 km/h，∠BAD＝120°.
∴船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流速度成120°角.
13.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
考点　向量加法法则
题点　利用向量加法运算律化简
解　(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
四、探究与拓展
14.(2017·邯郸鸡泽一中期末)设非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为(　　)
A.[0，1] B.[0，2] C.[0，3] D.[1，2]
考点　向量加法的平行四边形法则
题点　利用向量的加法求模
答案　C
解析　因为，，是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.
15.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
考点　向量在平面几何中的应用
题点　求证向量相等
证明　∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，
∴＋＝0，
∴＋＝＋，即＋＝＋.
2.2　向量的减法
学习目标　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.
知识点一　相反向量
思考　实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫作什么？
答案　相反向量.
梳理　与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量.
(2)－(－a)＝a.
(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
知识点二　向量的减法
思考1　根据向量的加法，如何求作a－b?
答案　先作出－b，再按三角形法则或平行四边形法则作出a＋(－b).
思考2　向量减法的三角形法则是什么？
答案　(1)两个向量a，b的始点移到同一点；
(2)连接两个向量(a与b)的终点；
(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点.
这种求差向量a－b的方法叫作向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”.
梳理　(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b).求两个向量差的运算，叫作向量的减法.
(2)几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
(3)文字叙述：如果把向量a与b的起点放在O点，那么由向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a－b.
知识点三　|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系
思考　在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？
答案　它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
梳理　当向量a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.
故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①
因为|a－b|＝|a＋(－b)|，所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，
即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②
将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
1.相反向量就是方向相反的向量.(　×　)
提示　相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系.
2.向量与是相反向量.(　√　)
提示　与大小相等、方向相反.
3.－＝，－(－a)＝a.(　√　)
提示　根据相反向量的定义可知其正确.
4.两个相等向量之差等于0.(　×　)
提示　两个相等向量之差等于0.
类型一　向量减法的几何作图
例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
考点　向量减法法则
题点　求作差向量
解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
引申探究
若本例条件不变，则a－b－c如何作？
解　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c.
反思与感悟　在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点时，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.
跟踪训练1　如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
考点　向量减法法则
题点　求作差向量
解　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.
则a－b＝，c－d＝.
类型二　向量减法法则的应用
例2　化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－).
考点　向量减法法则
题点　利用向量减法法则化简
解　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.
反思与感悟　向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.
跟踪训练2　化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－).
考点　向量减法法则
题点　利用向量减法法则化简
解　(1)(－)－(－)＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)＝＋－＋(＋)
＝＋－＋＝－＋＝＋＋＝＋＝0.
类型三　向量减法几何意义的应用
例3　已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围.
考点　向量减法的几何意义
题点　由向量三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求向量模的取值范围
解　∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3，15].
反思与感悟　(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
(2)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.
跟踪训练3　在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，若|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是(　　)
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
考点　向量减法的几何意义
题点　利用向量判断平面几何图形形状
答案　B
解析　∵＝a＋b，
∴四边形ABCD为平行四边形.
又∵＝a－b，|a＋b|＝|a－b|，
∴||＝||.
∴四边形ABCD为矩形.
1.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　)
A.a＋b和a－b
B.a＋b和b－a
C.a－b和b－a
D.b－a和b＋a
考点　向量加、减法法则
题点　向量加、减法法则
答案　B
解析　由向量的加法、减法法则，得
＝＋＝a＋b，
＝－＝b－a.
故选B.
2.化简－＋＋的结果等于(　　)
A. B. C. D.
考点　向量减法法则
题点　利用向量减法法则化简
答案　B
3.若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝ .
考点　向量的模
题点　结合图形求模长
答案　2
解析　|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2.
4.若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为 ，|a－b|的最大值为 .
考点　向量减法的几何意义
题点　由向量三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求向量模的取值范围
答案　7　17
5.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
考点　向量加、减法法则
题点　利用已知向量表示其他向量
解　∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，
＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).
2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.
3.平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别为＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.
一、选择题
1.化简－＋所得的结果是(　　)
A. B. C.0 D.
考点　向量加、减法法则
题点　利用向量加、减法法则化简
答案　C
解析　－＋＝＋＝0.
2.已知一点O到?ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于(　　)
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C.a＋b－c D.a－b－c
考点　向量加、减法法则
题点　利用已知向量表示其他向量
答案　B
解析　如图所示，＝＋＝＋＝＋－＝－＋＝a－b＋c.故选B.
3.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A.－＝0 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
考点　向量加、减法法则
题点　利用向量加、减法法则化简
答案　C
解析　∵＝，∴－＝0，A正确；
∵－＝＋＝，B正确；
∵－＝＋＝，C错误；
∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确.
4.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　)
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
考点　向量加、减法法则
题点　利用向量加、减法法则化简
答案　A
解析　＋＋＝＋＋＝(＋＋)＝0.
5.(2017·三门峡灵宝三中质检)下列四个式子中可以化简为的是(　　)
①＋－；②－；③＋；④－.
A.①④ B.①② C.②③ D.③④
考点　向量加、减法的综合运算及应用
题点　利用向量的加、减法化简向量
答案　A
解析　因为＋－＝－＝＋＝，所以①正确，排除C，D；因为－＝，所以④正确，排除B，故选A.
6.在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)
A.1 B.2 C. D.
考点　向量加、减法的综合运算及应用
题点　利用向量的加、减法化简向量
答案　D
解析　如图，作菱形ABCD，
则|－|＝|－|＝||＝.
7.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A.a－b＋c B.b－(a＋c)
C.a＋b＋c D.b－a＋c
考点　向量加、减法法则
题点　利用已知向量表示其他向量
答案　A
二、填空题
8.已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝ .
考点　向量的模
题点　结合图形求模长
答案　13
解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.
∵＝a，＝b，
∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13.
9.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝ .
考点　向量加、减法法则
题点　利用向量加、减法法则化简
答案　
10.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝ .
考点　向量加、减法的几何意义
题点　利用向量加、减法的几何意义求模长
答案　2
解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，
由向量加减法的几何意义可知，
＝＋，＝－.
∵|＋|＝|－|，∴||＝||.
又∵||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
11.已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝2，∠AOB＝，则|a＋b|＝ ，|a－b|＝ .
考点　向量加、减法的几何意义
题点　利用向量加、减法的几何意义求模长
答案　2　2
解析　如图，则a＋b＝，a－b＝.
因为|a|＝|b|＝2，∠AOB＝，所以△AOB为等边三角形，故|a＋b|＝||＝2||＝2，
|a－b|＝||＝2.
三、解答题
12.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，试求：
(1)|a＋b＋c|；
(2)|a－b＋c|.
考点　向量加、减法的几何意义
题点　利用向量加、减法的几何意义求模长
解　(1)由已知得a＋b＝＋＝，
∵＝c，∴延长AC到E，
使||＝||.
则a＋b＋c＝，
且||＝2.
∴|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，则＋＝，
而＝－＝－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
∴|a－b＋c|＝2.
13.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值.
考点　向量加、减法的几何意义
题点　利用向量加、减法的几何意义求模长
解　在平面内任取一点A，作＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b.
由题意知，||＝||＝2，||＝1.
如图所示，过点B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AB交直线AB的延长线于点F.
∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝.
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，∴cos ∠CBF＝，
∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝，∴CF＝.
∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.
在Rt△AFC中，AC＝＝＝，
∴|a＋b|＝.
四、探究与拓展
14.若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是 .
考点　向量加、减法的几何意义
题点　利用向量加、减法的几何意义求夹角
答案　30°
解析　设＝a，＝b.
则a－b＝.
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，∴∠BOA＝60°.
又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
15.已知|a|＝8，|b|＝6，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
考点　向量加、减法的几何意义
题点　利用向量加、减法的几何意义求模长
解　设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示.
则＝a＋b，＝a－b，所以||＝||.
又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，||＝8，||＝6，由勾股定理得||＝＝＝10.
所以|a－b|＝10.
§3　从速度的倍数到数乘向量
3.1　数乘向量
学习目标　1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.
知识点一　向量数乘的定义
思考1　实数与向量相乘的结果是实数还是向量？
答案　向量.
思考2　向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？
答案　3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同.
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反.
思考3　λa的几何意义是什么？
答案　由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；
当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍.
梳理　数乘向量
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度为|λa|＝|λ||a|.它的方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意.
知识点二　向量数乘的运算律
思考　类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？
答案　结合律，分配律.
梳理　向量数乘运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三　向量共线定理
思考　若b＝2a，b与a共线吗？
答案　根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线.
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
梳理　(1)向量共线的判定定理
a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线.
(2)向量共线的性质定理
若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.
知识点四　向量的线性运算
向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合).
1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(　×　)
提示　当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一.
2.若b＝λa，则a与b共线.(　√　)
提示　由向量共线定理可知其正确.
3.若λa＝0，则a＝0.(　×　)
提示　若λa＝0，则a＝0或λ＝0.
类型一　向量数乘的基本运算
例1　(1)化简：[2(2a＋4b)－4(5a－2b)].
考点　向量的线性运算
题点　向量的化简
解　[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]＝(4a＋8b－20a＋8b)＝(－16a＋16b)＝－4a＋4b.
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.
考点　向量的线性运算
题点　解向量方程
解　因为
由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，即y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
反思与感悟　(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.
跟踪训练1　(1)(a＋b)－3(a－b)－8a＝ .
考点　向量的线性运算
题点　向量的化简
答案　－10a＋4b
解析　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
(2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝ .
考点　向量的线性运算
题点　解向量方程
答案　a－b＋c
解析　因为2－(c＋b－3y)＋b＝0，
3y－a＋b－c＝0，所以y＝a－b＋c.
类型二　向量共线的判定及应用

例2　已知非零向量e1，e2不共线.
(1)若a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线.
考点　向量共线的判定及应用
题点　判定向量共线
解　∵b＝6a，∴a与b共线.
(2)若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线.
考点　向量共线的判定及应用
题点　判定三点共线
证明　∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线.
反思与感悟　(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.
(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点.
跟踪训练2　已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是 .
考点　向量共线的判定及应用
题点　判定三点共线
答案　A，B，D
解析　∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2，
∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线.

例3　已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值.
考点　向量共线的判定及应用
题点　利用向量共线求参数值
解　∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
又e1与e2不共线，∴∴k＝±1.
反思与感悟　利用向量共线定理，即b与a(a≠0)共线?b＝λa，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.
跟踪训练3　已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y＝ .
考点　向量共线的判定及应用
题点　利用向量共线求参数值
答案　1
解析　由于A，B，P三点共线，则，在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实数λ使得＝λ，即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ.
∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
类型三　用已知向量表示其他向量
例4　在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　)
A.＋ B.－ C.－ D.＋
考点　用已知向量表示其他向量
题点　用已知向量表示其他向量
答案　D
解析　示意图如图所示，
由题意可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
反思与感悟　用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.
(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
跟踪训练4　如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，.
考点　用已知向量表示其他向量
题点　用已知向量表示其他向量
解　∵＝3a，＝2b，
∴＝－＝2b－3a.
又∵D，E为边AB的两个三等分点，
∴＝＝b－a，
∴＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，＝＋＝3a＋＝3a＋(2b－3a)＝a＋b.
1.已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c等于(　　)
A.5e B.－5e
C.23e D.－23e
考点　向量的线性运算
题点　向量的化简
答案　C
解析　2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.
2.在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于(　　)
A. B. C.2 D.
考点　向量的线性运算
题点　向量的化简
答案　C
解析　如图，作出平行四边形ABEC，M是对角线的交点，故M是BC的中点，且是AE的中点，由题意知，＋＝＝2，故选C.
3.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)
A.k＝0 B.k＝1
C.k＝2 D.k＝
考点　向量共线的判定及应用
题点　利用向量共线求参数值
答案　D
解析　当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
所以n＝2m，此时，m，n共线.
4.(2018·定远育才中学月考)如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案　B
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
5.如图所示，已知＝，用，表示.
考点　用已知向量表示其他向量
题点　用已知向量表示其他向量
解　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的.
2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量表示与向量a同向的单位向量.
3.向量共线定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.
4.已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，A，P，B三点共线?m＋n＝1.
一、选择题
1.下列说法中正确的是(　　)
A.λa与a的方向不是相同就是相反
B.若a，b共线，则b＝λa
C.若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D.若b＝±2a，则|b|＝2|a|
考点　向量数乘的概念
题点　对向量数乘概念的理解
答案　D
解析　显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.
2.在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且＝a，＝b，那么等于(　　)
A.a＋b B.a－b
C.a－b D.－a＋b
考点　用已知向量表示其他向量
题点　用已知向量表示其他向量
答案　A
解析　由题意，得＝＋＝b＋＝b＋(＋)＝b＋a＋，
即＝b＋a＋，解得＝a＋b.
3.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　)
A.a－b B.a－b
C.a＋b D.a＋b
考点　用已知向量表示其他向量
题点　用已知向量表示其他向量
答案　D
解析　连接CD，OD，如图所示.
∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，
∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝×90°＝30°.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.
由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，
∴AC∥DO.
由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴∠CDA＝∠DAO，
∴CD∥AO，
∴四边形ACDO为平行四边形，
∴＝＋＝＋＝a＋b.
4.(2017·安徽太和中学高一期中)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为(　　)
A.－1 B.2 C.－2或1 D.－1或2
考点　向量共线定理及其应用
题点　利用向量共线定理求参数
答案　D
解析　因为A，B，C三点共线，
所以存在实数k使＝k.
因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，
所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b].
因为a与b不共线，所以
解得λ＝2或λ＝－1.
5.(2017·江西赣州高三二模)如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则等于(　　)
A.－a＋b B.a－b
C.a＋b D.－a＋b
考点　向量的线性运算及应用
题点　用已知向量表示未知向量
答案　D
解析　＝＋＝＋
＝(－)－＝－＋
＝－a＋b，故选D.
6.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的是(　　)
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A.①④ B.①②
C.①③ D.③④
考点　向量数乘的运算律
题点　向量数乘的运算律
答案　B
解析　①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误.
7.O是平面内的一个定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P所在的直线是△ABC的(　　)
A.边 B.中线 C.高 D.角平分线
考点　向量的线性运算与三角形的“四心”
题点　向量的线性运算与三角形的“四心”
答案　D
二、填空题
8.(a＋9b－2c)＋(b＋2c)＝ .
考点　向量的线性运算
题点　向量的线性运算
答案　a＋10b
9.在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝ .(用a，b表示)
考点　用已知向量表示其他向量
题点　用已知向量表示其他向量
答案　b－a
解析　如图，＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝b－a.
10.若非零向量a与b不共线，ka＋2b与3a＋kb共线，则实数k的值为 .
考点　向量共线的判定及应用
题点　利用向量共线求参数值
答案　±
解析　∵ka＋2b与3a＋kb共线，
∴存在实数λ，使得ka＋2b＝λ(3a＋kb)，
∴(k－3λ)a＋(2－λk)b＝0，
∴(k－3λ)a＝(λk－2)b.
∵a与b不共线，∴∴k＝±.
11.在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，则＝ ，＝ .(用c，d表示)
考点　用已知向量表示其他向量
题点　用已知向量表示其他向量
答案　d－c　c－d
解析　如图，设＝a，＝b.
∵M，N分别是DC，BC的中点，
∴＝b，＝a.
∵在△ADM和△ABN中，
即
①×2－②，得b＝(2c－d)，
②×2－①，得a＝(2d－c).
∴＝d－c，＝c－d.
12.设向量a，b不平行，若向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝ .
考点　向量共线的判定及应用
题点　利用向量共线求参数值
答案　
解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0.又∵向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.
三、解答题
13.如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E.设＝a，＝b.
(1)用向量a，b表示，；
(2)若＝λ，求实数λ的值.
考点　向量共线的判定及应用
题点　利用向量共线求参数值
解　(1)由＝(＋)，
得＝2－＝2a－b，
＝－＝－＝2a－b.
(2)∵D，E，C三点共线，
∴可设＝m＝2ma－mb.①
在△ODE中，＝－＝λ－＝λa－b.②
由①②得2ma－mb＝λa－b，
即(2m－λ)a＝b.
又a，b不共线，
∴∴λ＝.
3.2　平面向量基本定理
学习目标　1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
知识点　平面向量基本定理
思考1　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
答案　能.依据是数乘向量和平行四边形法则.
思考2　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
答案　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.
思考3　若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？
答案　由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.
∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，
∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.
梳理　(1)平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底
平面内不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底.(　×　)
提示　只有不共线的两个向量才可以作为基底.
2.零向量可以作为基向量.(　×　)
提示　由于0和任意向量共线，故不可作为基向量.
3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(　×　)
提示　基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.
类型一　对基底概念的理解
例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A.①② B.②③ C.③④ D.②
考点　平面向量的基底
题点　对基底概念的理解
答案　B
解析　由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.
反思与感悟　考察两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
跟踪训练1　若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)
A.e1－e2，e2－e1 B.2e1－e2，e1－e2 C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.e1＋e2，e1＋3e2
考点　平面向量的基底
题点　对基底概念的理解
答案　D
解析　选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2(e1－e2)，为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.
类型二　平面向量基本定理的应用
例2　如图所示，在?ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
考点　平面向量基本定理的应用
题点　用基底表示向量
解　∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
引申探究
若本例中其他条件不变，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
解　取CF的中点G，连接EG.
∵E，G分别为BC，CF的中点，
∴＝＝b，∴＝＋＝a＋b.
又∵＝＝，
∴＝＝＝a＋b.
又∵＝＝＋＝＋＝＋，
∴＝＝b＋＝a＋b.
反思与感悟　将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.
跟踪训练2　如图所示，在△AOB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于点P，用基底a，b表示.
考点　平面向量基本定理的应用
题点　用基底表示向量
解　＝＋，＝＋.
设＝m，＝n，则
＝＋m＝＋m(－)＝a＋m＝(1－m)a＋mb，
＝＋n＝＋n(－)＝b＋n＝(1－n)b＋na.
∵a，b不共线，
∴即
∴＝a＋b.
1.下列关于基底的说法正确的是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.
A.① B.② C.①③ D.②③
考点　平面向量的基底
题点　对基底概念的理解
答案　C
解析　零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确.
2.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与.
其中可作为该平面内所有向量的基底的是(　　)
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
考点　平面向量基本定理
题点　基底的判定
答案　B
解析　②中与共线，④中与共线，①③中两向量不共线，故选B.
3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝ ，y＝ .
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数值
答案　－15　－12
解析　∵向量e1，e2不共线，
∴解得
4.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 .
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数
答案　
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，
又∵与不共线，
∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝.
5.已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b为基底表示，，.
考点　平面向量基本定理的应用
题点　用基底表示向量
解　连接FD，
∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，
∴DC綊FB.
∴四边形DCBF为平行四边形.
依题意，得＝＝＝b，
＝＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－－＝－－×b＝b－a.
1.对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.
2.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
一、选择题
1.如图所示，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
考点　平面向量基本定理
题点　用基底表示向量
答案　A
解析　＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2).
2.如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为(　　)
A.－4e1－2e2 B.－2e1－4e2
C.e1－3e2 D.3e1－e2
考点　平面向量基本定理的应用
题点　用基底表示向量
答案　C
解析　如图，由向量的减法得a－b＝.
由向量的加法得＝e1－3e2.
3.设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　　)
A.3 B.4 C.－ D.－
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数值
答案　B
解析　因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，
所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0.
又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，
所以解得故选B.
4.若1＝a，2＝b，＝λ2(λ≠－1)，则等于(　　)
A.a＋λb B.λa＋(1－λ)b
C.λa＋b D.a＋b
考点　平面向量基本定理的应用
题点　用基底表示向量
答案　D
解析　∵＝λ2，
∴－1＝λ(2－)，∴(1＋λ)＝1＋λ2，
∴＝1＋2＝a＋b.
5.(2017·石嘴山第三中学四模)设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝－ D.＝－＋
考点　平面向量基本定理
题点　用基底表示向量
答案　D
解析　依题意，得＝－＝－＝×(＋)－＝－＋，故选D.
6.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
考点　平面向量基本定理的应用
题点　用基底表示向量
答案　C
解析　如图，设＝λ，＝μ，
则＝－＝b－a，
故＝＋＝a＋λb.
∵＝＝(＋)＝＝a＋b，
由平面向量基本定理，得
∴
∴＝a＋b，故选C.
7.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为(　　)
A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
考点　平面向量基本定理与三角形的“四心”
题点　平面向量基本定理与三角形的“四心”
答案　B
解析　∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，∴＝＝，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心).故选B.
二、填空题
8.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为 .
考点　平面向量的基底
题点　对基底概念的理解
答案　(－∞，4)∪(4，＋∞)
解析　若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线.a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.
9.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝ .
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数值
答案　
解析　设＝a，＝b，
则＝a＋b.＝a＋b，
又∵＝a＋b，
∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
10.如图，平面内有三个向量，，.其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝ .
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数值
答案　6
解析　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，
则＝＋.
在Rt△OCD中，∵||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴||＝4，||＝2，故＝4，＝2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
三、解答题
11.判断下列命题的正误，并说明理由：
(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d；
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来.
考点　平面向量的基底
题点　对基底概念的理解
解　(1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立.
(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，
使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，
所以e1与e2共线，这与e1，e2不共线矛盾.
所以e1＋e2与e1－e2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来.
12.在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，.
考点　平面向量基本定理的应用
题点　用基底表示向量
解　方法一　如图所示，
∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2.
又∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.
又∵＋＋＋＝0，
且＝－，＝，
∴＝－－－＝－＋＋＝e2.
方法二　如图所示，过C作CE∥DA，交AB于点E，交MN于点F.
同方法一可得＝ke2.
则＝＋＝－(－)＋＝e1＋(k－1)e2，
＝＋＝＋＝＋(－)＝e2.
方法三　如图所示，连接MB，MC.
同方法一可得＝ke2，＝e1＋(k－1)e2.
由＝(＋)，得＝(＋＋＋)＝(＋)＝e2.
13.已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线.
考点　向量共线的判定及应用
题点　判定三点共线
(1)解　＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2).
当点M在第二或第三象限时，
有
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.
(2)证明　当t1＝1时，由(1)知，＝(4t2，4t2＋2).
∵＝－＝(4，4)，＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，
∴与共线，又有公共点A，
∴A，B，M三点共线.
四、探究与拓展
14.A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 .
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数值
答案　(1，＋∞)
解析　设＝k(0则＝－＝k－＝(kλ－1)＋kμ.
∵D是OC与AB的交点，
∴A，D，B三点共线，∴，共线.
设＝m，
又＝－，
∴(kλ－1)＋kμ＝m－m.
∵，不共线，
∴
∴kλ－1＝－kμ，
即k(λ＋μ)＝1，
∴λ＋μ＝>1.
15.如图，在△ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE＝2EC，BE交AD于点G，求及的值.
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求值
解　设＝λ，＝μ.
∵＝，即－＝－，
∴＝(＋).
又∵＝λ＝λ(－)，
∴＝＝＋.
又∵＝μ，即－＝μ(－)，
∴(1＋μ)＝＋μ，＝＋.
又＝，∴＝＋.
∵，不共线，
∴解得
∴＝4，＝.
§4　平面向量的坐标
4.1　平面向量的坐标表示
4.2　平面向量线性运算的坐标表示
学习目标　1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
知识点一　平面向量的正交分解
思考　如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
答案　互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.
梳理　把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解.
知识点二　平面向量的坐标表示
思考1　如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?
答案　a＝2i＋2j.
思考2　在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？
答案　对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关，所以不确定.
思考3　设向量＝(1，1)，O为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是多少？A点坐标是多少？
答案　向量的坐标为＝(1，1)，A点坐标为(1，1).
梳理　(1)平面向量的坐标
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y).
②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).
(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系
区
别
表示形式不同
向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系
当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点三　平面向量的坐标运算
思考　设i，j是分别与x轴，y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？
答案　a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.
梳理　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
数学公式
文字语言表述
向量加、减法
a±b＝(x1±x2，y1±y2)
向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差
向量数乘
λa＝(λx1，λy1)
实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积
向量坐标
＝(x2－x1，y2－y1)
一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的相应坐标
1.相等向量的坐标相等.(　√　)
2.在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x1－x2，y1－y2).(　×　)
提示　＝(x2－x1，y2－y1).
3.与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i＝(1，0)，j＝(0，1).(　√　)
类型一　平面向量的坐标表示
例1　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标.
考点　平面向量的坐标表示
题点　求点或向量的坐标
解　(1)如图，作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°＝4×＝2.
∴A(2，2)，故a＝(2，2).
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
∴C，∴＝＝，即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋＝(2，2)＋＝.
反思与感悟　在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.
跟踪训练1　已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标.
考点　平面向量的坐标表示
题点　求向量的坐标
解　如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，D.
∴＝(2，0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
类型二　平面向量的坐标运算
例2　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值.
考点　平面向量的坐标运算
题点　平面向量的坐标运算的综合问题
解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，
∴解得
反思与感悟　向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练2　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
考点　平面向量的坐标运算
题点　平面向量的坐标运算
解　(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
(3)a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝.
类型三　平面向量坐标运算的应用
例3　已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10).若＝＋λ(λ∈R)，试求当λ为何值时：
(1)点P在第一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内.
考点　平面向量坐标运算的应用
题点　利用平面向量坐标运算及向量相等求参数
解　设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ).
∵＝＋λ，
∴则
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，
∴λ＝.
(2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1.
反思与感悟　(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.
(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.
跟踪训练3　已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.
考点　平面向量的坐标运算的应用
题点　利用平面向量的坐标运算求点的坐标
解　当平行四边形为ABCD时，设D(x，y)，
由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)，
且＝，得D(2，2).
当平行四边形为ACDB时，设D(x，y)，
由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且＝，
得D(4，6).
当平行四边形为ACBD时，设D(x，y)，
由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且＝，
得D(－6，0)，
故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0).
1.设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b等于(　　)
A.(7，3) B.(7，7) C.(1，7) D.(1，3)
考点　平面向量的坐标运算
题点　平面向量的坐标运算
答案　A
2.已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　)
A. B.
C.(－8，1) D.(8，1)
考点　平面向量的坐标表示
题点　求向量的坐标
答案　A
解析　∵＝－＝(－8，1)，
∴＝.
3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A. B. C.(3，2) D.(1，3)
考点　平面向量的坐标表示
题点　求点的坐标
答案　A
解析　设D点坐标为(x，y)，则＝(4，3)，＝(x，y－2)，
由＝2，得∴∴D.
4.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　)
A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4) D.(1，4)
考点　平面向量的坐标运算
题点　平面向量的坐标运算
答案　A
解析　＝(3，1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).
5.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝ .
考点　平面向量坐标运算的应用
题点　利用平面向量坐标运算及向量相等求参数
答案　
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，
则可得a＝(1，2)，b＝(2，－3)，c＝(3，4).
∵c＝xa＋yb，∴
解得因此x＋y＝.
1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.
2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)则＝(xB－xA，yB－yA).
3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.
一、选择题
1.已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐标是(　　)
A.(－4，2) B.(－4，－2)
C.(4，2) D.(4，－2)
考点　平面向量的坐标运算
题点　平面向量的坐标运算
答案　D
解析　3b－a＝3(1，0)－(－1，2)＝(3，0)－(－1，2)＝(3＋1，0－2)＝(4，－2)，故选D.
2.已知a－b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)
A.(－2，－2) B.(2，2)
C.(－2，2) D.(2，－2)
考点　平面向量的坐标运算
题点　平面向量的坐标运算
答案　D
3.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)
A.－2，1 B.1，－2 C.2，－1 D.－1，2
考点　平面向量坐标运算的应用
题点　利用平面向量坐标运算及向量相等求参数
答案　D
解析　由　解得
4.在?ABCD中，已知＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC，BD相交于点O，则的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
考点　平面向量的坐标运算
题点　平面向量的坐标运算
答案　B
解析　＝－＝－(＋)＝－×(－2，3)－×(3，7)＝，故选B.
5.如果将＝绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是(　　)
A. B.
C.(－1，) D.
考点　平面向量的坐标表示
题点　求向量的坐标
答案　D
解析　因为＝所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是，故选D.
6.若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标.现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　)
A.(2，0) B.(0，－2)
C.(－2，0) D.(0，2)
考点　平面向量坐标运算的应用
题点　利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答案　D
解析　∵a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，
∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4).
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴解得
∴a在基底m，n下的坐标为(0，2).
7.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)
A.(2，6) B.(－2，6) C.(2，－6) D.(－2，－6)
考点　平面向量的坐标运算
题点　平面向量的坐标运算
答案　D
解析　由题意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)
＝(－6＋8－4，18－16－8)＝(－2，－6).
二、填空题
8.已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝ .
考点　平面向量坐标运算的应用
题点　利用平面向量坐标运算及向量相等求参数
答案　
解析　∵＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
又∵2＝，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，
∴　解得　
∴x＋y＝.
9.已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为 .
考点　平面向量的坐标运算
题点　求点的坐标
答案　(3，3)
解析　方法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4，4λ).
又＝－＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，
所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3).
方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，
所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3).
10.已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为 .
考点　平面向量的坐标运算
题点　平面向量的坐标运算
答案　或(－5，8)
解析　设点P坐标为(x，y)，||＝2||.
当点P在线段AB上时，＝2，
即(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，
∴解得
∴点P的坐标为.
当点P在线段AB的延长线上时，＝－2.
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，
即解得
∴点P的坐标为(－5，8).
综上所述，点P的坐标为或(－5，8).
11.已知A(2，3)，B(1，4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝ .
考点　平面向量的坐标运算的应用
题点　利用平面向量的坐标运算求参数
答案　或－
解析　因为＝(－1，1)＝＝(sin α，cos β)，
所以sin α＝－且cos β＝，
因为α，β∈，所以α＝－，β＝或－，
所以α＋β＝或－.
三、解答题
12.已知点A(－1，2)，B(2，8)，且＝，＝－，求点C，D和的坐标.
考点　平面向量的坐标运算
题点　平面向量的坐标运算
解　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6).
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3，6)＝(1，2)，(－1－x2，2－y2)＝－(－3，－6)＝(1，2)，
则有和
解得和
∴C，D的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，∴＝(－2，－4).
13.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，请说明理由.
考点　平面向量的坐标运算的应用
题点　利用平面向量的坐标运算求参数
解　(1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
∴t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
∴t＝－，
若点P在第二象限，则
∴－(2)＝(1，2)，＝－＝(3－3t，3－3t).
若四边形OABP为平行四边形，
则＝，
∴该方程组无解.
故四边形OABP不能成为平行四边形.
四、探究与拓展
14.已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则点P的坐标为(　　)
A.(－14，16) B.(22，－11)
C.(6，1) D.(2，4)
考点　平面向量的坐标运算
题点　求点的坐标
答案　D
解析　∵＝－2，
∴P，M，N三点共线，且＝.
又＝(10，－2)－(－2，7)＝(12，－9)，
∴＝＋＝＋＝(－2，7)＋(12，－9)＝(－2，7)＋(4，－3)＝(2，4).
15.如图，已知在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标.
考点　平面向量的坐标运算
题点　求点的坐标
解　∵＝＝(0，5)＝，∴C.
∵＝＝(4，3)＝，∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5).
∵＝＝，A，M，D三点共线，
∴设＝λ(λ∈R)，即(x，y－5)＝λ，
∴①
∵＝，＝，C，M，B三点共线，
∴设＝μ(μ∈R)，即＝μ，
∴②
联立①②，解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.
4.3　向量平行的坐标表示
学习目标　1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.
知识点　向量平行
已知下列几组向量：
(1)a＝(0，3)，b＝(0，6)；
(2)a＝(2，3)，b＝(4，6)；
(3)a＝(－1，4)，b＝(3，－12)；
(4)a＝，b＝.
思考1　上面几组向量中，a，b有什么关系？
答案　(1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－3a，(4)中b＝－a.
思考2　以上几组向量中，a，b共线吗？
答案　共线.
思考3　当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
答案　坐标不为0时成比例.
思考4　如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
答案　能.将b写成λa的形式，当λ>0时，b与a同向，当λ<0时，b与a反向.
梳理　设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
(1)当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0.
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有＝.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行.
1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.(　×　)
提示　当y1y2＝0时不成立.
2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(　×　)
3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(　√　)
类型一　向量共线的判定与证明
例1　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)
A.a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B.a＝(2，3)，b＝(3，2)
C.a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D.a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
考点　向量共线的判定与证明
题点　向量共线的判定与证明
答案　D
解析　A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，
故选D.
(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3).判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
考点　向量共线的判定与证明
题点　向量共线的判定与证明
解　＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6).
方法一　∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0，
∴与共线且方向相反.
方法二　∵＝－2，∴与共线且方向相反.
反思与感悟　此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练1　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且＝，＝，求证：∥.
考点　向量共线的判定与证明
题点　向量共线的判定与证明
证明　设E(x1，y1)，F(x2，y2).
∵＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)，
∴＝＝，＝＝.
∴(x1，y1)－(－1，0)＝，(x2，y2)－(3，－1)＝，
∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝.
∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.
∵4×－(－1)×＝0，∴∥.
类型二　利用向量共线求参数
例2　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？
考点　利用向量共线求参数
题点　利用向量共线求参数
解　方法一　ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b).
由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
得解得k＝λ＝－.
方法二　由方法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2).
a－3b＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
引申探究
1.若本例条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？
解　由例2知当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
∵λ＝－<0，
∴ka＋b与a－3b反向.
2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？”，又如何求k的值？
解　a＋kb＝(1，2)＋k(－3，2)＝(1－3k，2＋2k)，
3a－b＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4).
∵a＋kb与3a－b平行，
∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0，
解得k＝－.
反思与感悟　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解.
跟踪训练2　设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝ .
考点　利用向量共线求参数
题点　利用向量共线求参数
答案　2
解析　λa＋b＝λ(1，2)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)，
∵λa＋b与c共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0，
∴λ＝2.
类型三　三点共线问题
例3　已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k).当k为何值时，A，B，C三点共线？
考点　三点共线问题
题点　三点共线问题
解　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
若A，B，C三点共线，
则∥，
∴(4－k)(k－12)＝－7×(10－k)，
解得k＝－2或11.
又，有公共点A，
∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线.
反思与感悟　(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点.
(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.
跟踪训练3　已知A(1，－3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线.
考点　三点共线问题
题点　三点共线问题
证明　＝＝，
＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，
∵7×4－×8＝0，
∴∥.
又，有公共点A，
∴A，B，C三点共线.
1.已知a＝(－1，2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是(　　)
A.1 B.－1 C.4 D.－4
考点　利用向量共线求点的坐标
题点　利用向量共线求点的坐标
答案　D
解析　∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.
2.与a＝(6，8)平行的单位向量为(　　)
A. B.
C.或 D.
答案　C
解析　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，
则∴或
3.已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为 .
考点　三点共线问题
题点　三点共线问题
答案　6
解析　＝(2，4)－(1，2)＝(1，2)，＝(3，m)－(1，2)＝(2，m－2).
∵A，B，C三点共线，即向量，共线，
∴存在实数λ使得＝λ，
即(1，2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ).
∴?
即当m＝6时，A，B，C三点共线.
4.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，－1)，(1，2)，(－1，1)，(3，－5).求证：四边形ABCD是梯形.
考点　共线向量的坐标表示的应用
题点　向量共线在平面几何中的应用
证明　∵A(3，－1)，B(1，2)，C(－1，1)，D(3，－5)，
∴＝(－2，3)，＝(4，－6).
∴＝－2，即||＝||，
∴AB∥CD，且AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形.
5.已知A(3，5)，B(6，9)，M是直线AB上一点，且||＝3||，求点M的坐标.
考点　共线向量的坐标表示的应用
题点　利用向量共线求点的坐标
解　设点M的坐标为(x，y).由||＝3||，得＝3或＝－3.
由题意，得＝(x－3，y－5)，＝(6－x，9－y).
当＝3 时，(x－3，y－5)＝3(6－x，9－y)，
∴解得
当＝－3时，(x－3，y－5)＝－3(6－x，9－y)，
∴解得
故点M的坐标是或.
1.两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例.
2.向量共线的坐标表示的应用
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
一、选择题
1.(2017·青岛高一检测)下列向量中，与向量c＝(2，3)不共线的一个向量p等于(　　)
A.(5，4) B. C. D.
考点　向量共线的坐标表示
题点　向量共线的判定与证明
答案　A
解析　因为向量c＝(2，3)，对于A，2×4－3×5＝－7≠0，所以A中向量与c不共线.
2.已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)
A.(4，8) B.(8，4) C.(－4，－8) D.(－4，8)
考点　共线向量的坐标表示的应用
题点　求共线向量
答案　D
3.已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和是相反向量，则D点坐标是(　　)
A.(1，0) B.(－1，0)
C.(1，－1) D.(－1，1)
考点　共线向量的坐标表示的应用
题点　利用向量共线求点的坐标
答案　C
4.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.
考点　利用向量共线求参数
题点　利用向量共线求参数
答案　D
解析　因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，
所以＝－，所以λ＋μ＝.
5.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　)
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
答案　B
解析　由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.
6.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2).若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　　)
A. B.2 C.－ D.－2
考点　利用共线向量求参数
题点　利用共线向量求参数
答案　D
解析　根据题意，得ma＋4b＝(2m－4，3m＋8)，a－2b＝(4，－1).
因为ma＋4b与a－2b共线，
所以(2m－4)×(－1)＝4(3m＋8)，解得m＝－2.
7.已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，则当a∥b时，实数λ等于(　　)
A.－1 B.0 C.－ D.－2
考点　利用向量共线求参数
题点　利用向量共线求参数
答案　D
解析　∵e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，
∴a＝2(1，0)＋(0，1)＝(2，1)，b＝λ(1，0)－(0，1)＝(λ，－1).
又∵a∥b，∴2×(－1)－1×λ＝0，解得λ＝－2.故选D.
8.已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，正确的个数为(　　)
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(ma＋b)∥a；
④存在实数x，m，使(ma＋b)∥b.
A.0 B.1 C.2 D.3
考点　向量共线的判定与证明
题点　向量共线的判定与证明
答案　B
解析　只有④正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.
二、填空题
9.已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝ .
考点　利用向量共线求参数
题点　利用向量共线求参数
答案　－6
解析　因为a∥b，所以由(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.
10.已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1，3)，b＝(m，2m－3)，使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋b，则m的取值范围是 .
考点　利用向量共线求参数
题点　利用向量共线求参数范围
答案　{m|m∈R且m≠－3}
解析　根据平面向量的基本定理知，a与b不共线，即2m－3－3m≠0，解得m≠－3.
所以m的取值范围是{m|m∈R且m≠－3}.
11.(2017·广东阳江高一期末)已知＝(6，1)，＝(4，k)，＝(2，1).若A，C，D三点共线，则k＝ .
考点　向量共线的坐标表示的应用
题点　利用三点共线求参数
答案　4
解析　因为＝(6，1)，＝(4，k)，＝(2，1)，所以＝＋＝(10，k＋1).又A，C，D三点共线，所以∥，所以10×1－2(k＋1)＝0，解得k＝4.
12.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ma＋nb，求m＋n＝ .
考点　平面向量的坐标运算的应用
题点　利用平面向量的坐标运算求参数
答案　7
解析　由于p＝ma＋nb，
即(9，4)＝(2m，－3m)＋(n，2n)＝(2m＋n，－3m＋2n)，
所以2m＋n＝9且－3m＋2n＝4，
解得m＝2，n＝5，所以m＋n＝7.
三、解答题
13.设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，－1).
(1)若＝，求点D的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值.
考点　共线向量坐标表示的应用
题点　利用向量共线求点的坐标及参数值
解　(1)设点D的坐标为(x，y).
由＝，得(2，－2)－(1，3)＝(x，y)－(4，－1)，
即(1，－5)＝(x－4，y＋1)，
所以解得
所以点D的坐标为(5，－6).
(2)因为a＝＝(2，－2)－(1，3)＝(1，－5)，
b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2，1)，
所以ka－b＝k(1，－5)－(2，1)＝(k－2，－5k－1)，
a＋3b＝(1，－5)＋3(2，1)＝(7，－2).
由ka－b与a＋3b平行，
得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，解得k＝－.
四、探究与拓展
14.设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是 .
考点　利用向量共线求参数
题点　利用向量共线求参数范围
答案　{m|m∈R且m≠6}
解析　∵A，B，C三点能构成三角形.
∴，不共线.
又∵＝－＝(1，1)，＝(m－2，4)，
∴1×4－1×(m－2)≠0.
解得m≠6.
∴m的取值范围是{m|m∈R且m≠6}.
15.已知a＝(2＋sin x，1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3，1)，d＝(1，k)(x∈R，k∈R).
(1)若x∈，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2)若(a＋d)∥(b＋c)，求实数k的取值范围.
考点　向量共线综合问题
题点　向量共线与三角函数的综合问题
解　(1)b＋c＝(sin x－1，－1)，
因为a∥(b＋c)，
所以－(2＋sin x)＝sin x－1，sin x＝－，
因为x∈，所以x＝－.
(2)a＋d＝(3＋sin x，1＋k)，b＋c＝(sin x－1，－1)，
若(a＋d)∥(b＋c)，
则有－(3＋sin x)＝(1＋k)(sin x－1).
当sin x＝1时等式不成立，
所以k＝，k＝－2－.
因为－1≤sin x<1，
所以－2≤sin x－1<0，故≥2，所以k≥0，
所以k的取值范围是[0，＋∞).
§5　从力做的功到向量的数量积(一)
学习目标　1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
知识点一　两向量的夹角
思考1　平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
答案　存在夹角，不一样.
思考2　△ABC为正三角形，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角是多少？
答案　如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝a，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.
梳理　(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示).
当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向.
(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量可与任一向量垂直.
知识点二　平面向量数量积的物理背景及其定义
一个物体在力F的作用下产生位移s，如图.
思考1　如何计算这个力所做的功？
答案　W＝|F||s|cos θ.
思考2　力做功的大小与哪些量有关？
答案　与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.
梳理　(1)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
(2)数量积的特殊情况
当两个向量相等时，a·a＝|a|2.
当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ.
知识点三　平面向量数量积的几何意义
思考1　什么叫作向量b在向量a方向上的射影？什么叫作向量a在向量b方向上的射影？
答案　如图所示，＝a，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.
|b|cos θ叫作向量b在向量a方向上的射影，|a|cos θ叫作向量a在向量b方向上的射影.
思考2　向量b在向量a方向上的射影与向量a在向量b方向上的射影相同吗？
答案　由射影的定义知，二者不一定相同.
梳理　(1)射影：若非零向量a，b的夹角为θ，则|b|cos θ叫作向量b在a方向上的射影(简称为投影).
(2)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos θ的乘积.
知识点四　平面向量数量积的性质
思考1　向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别？
答案　向量的线性运算的结果是向量，而向量的数量积运算的结果是数量.
思考2　非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？
答案　由两个非零向量的夹角决定.
当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数.
当θ＝90°时，非零向量的数量积为零.
当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.
梳理　向量的数量积的性质
(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b?a·b＝0.
(3)|a|＝.
(4)cos θ＝(|a||b|≠0).
(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立.
1.向量数量积的运算结果是向量.(　×　)
2.向量a在向量b方向上的射影一定是正数.(　×　)
类型一　求两向量的数量积
例1　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.
考点　求两向量的数量积
题点　求两向量的数量积
解　(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，
∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，
a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×＝10.
反思与感悟　求平面向量数量积的步骤：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.
跟踪训练1　已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60° ，则·等于(　　)
A.－a2 B.－a2
C.a2 D.a2
考点　求两向量的数量积
题点　求两向量的数量积
答案　D
解析　如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
∴·＝(＋)·＝·＋2＝a·a·cos 60°＋a2＝a2.
类型二　求向量的模
例2　已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
考点　求向量的模
题点　求向量的模
解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝＝＝5.
|a－b|＝＝＝＝5.
引申探究
若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.
解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝，
|2a＋b|＝＝＝＝5.
|a－2b|＝＝＝＝5.
反思与感悟　求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方.
跟踪训练2　已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值.
考点　求向量的模
题点　求向量的模
解　|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，
∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.
类型三　求向量的夹角
例3　(1)设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.
考点　求向量的夹角
题点　求向量的夹角
解　∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是，
∴m·n＝|m||n|cos ＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝＝＝，
|b|＝|2n－3m|＝＝＝＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a＋b的夹角及a与a－b的夹角.
考点　求向量的夹角
题点　求向量的夹角
解　如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，使||＝||，
∴四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，
这时＝a＋b，＝a－b.
由于|a|＝|b|＝|a＋b|，即||＝||＝||，
∴∠AOC＝60°，即a与a＋b的夹角为60°.
∵∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，
又||＝||，∴∠OAB＝30°，
即a与a－b的夹角为30°.
反思与感悟　当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].
跟踪训练3　已知a·b＝－9，a在b方向上的射影为－3，b在a方向上的射影为－，求a与b的夹角θ.
考点　求向量的夹角
题点　求向量的夹角
解　∵　∴
即∴
∴cos θ＝＝＝－.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的射影为(　　)
A.4 B.－4 C.2 D.－2
考点　求向量的射影
题点　求向量的射影
答案　D
解析　向量b在a方向上的射影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.
2.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
考点　求向量的数量积
题点　求向量的数量积
答案　A
解析　∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
3.若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝ .
答案　11
解析　(a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c
＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.
4.在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是 .
考点　求向量的数量积
题点　求向量的数量积
答案　－25
解析　易知||2＝||2＋||2，即C＝90°.
∴cos B＝.
又cos〈，〉＝cos(180°－B)，
∴·＝||||cos(180°－B)＝13×5×＝－25.
5.已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
考点　求向量的数量积
题点　求向量的数量积
解　(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).
2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.
3.在a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫作b在a方向上的射影和a在b方向上的射影，要结合图形严格区分.
4.求射影有两种方法
(1)b在a方向上的射影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的射影为|a|cos θ.
(2)b在a方向上的射影为，a在b方向上的射影为.
5.两非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.
一、选择题
1.已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝，则|a－b|等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　求向量的模
题点　求向量的模
答案　A
解析　因为|a＋b|2＝19，
所以a2＋2a·b＋b2＝19，
所以2a·b＝19－4－9＝6.
于是|a－b|＝＝＝.
2.(2017·大连二十中高一月考)设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　　)
A.150° B.120°
C.60° D.30°
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的夹角
答案　B
解析　由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2，即2a·b＝－|a|2，
所以2|a||b|·cos θ＝－|a|2，解得cos θ＝－，
即θ＝120°.
3.已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　)
A.45° B.135° C.120° D.150°
考点　求向量的夹角
题点　求向量的夹角
答案　B
解析　∵cos θ＝＝＝－，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
4.若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的射影等于(　　)
A.－3 B.－2 C.2 D.－1
考点　求向量的射影
题点　求向量的射影
答案　D
解析　向量a在向量b方向上的射影是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.
5.已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是(　　)
A.|a|＝ B.|a·b|＝|a||b|
C.λ(a·b)＝λa·b D.|a·b|≤|a||b|
考点　向量数量积的性质
题点　向量数量积的性质
答案　B
解析　因为|a·b|＝||a||b|cos θ|(θ为向量a与b的夹角)＝|a||b||cos θ|，
当且仅当θ＝0或π 时，使|a·b|＝|a||b|，故B错.
6.已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　向量数量积的综合问题
题点　向量数量积与一元二次方程的综合
答案　B
解析　∵Δ＝a2－4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)，
若方程有实根，则有Δ≥0，即a2－4|a||b|cos θ≥0，
又|a|＝2|b|，
∴Δ＝4|b|2－8|b|2cos θ≥0，
∴cos θ≤，
又∵0≤θ≤π，
∴≤θ≤π.
7.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A.－ B. C. D.
考点　求向量的数量积
题点　求向量的数量积
答案　B
解析　如图所示，∵＝＋＝＋，＝－，
∴·＝·(－)＝－||2－·＋||2
＝－×1－×1×1×＋＝.
故选B.
8.(2018·定远藕塘中学月考)已知平面向量a，b满足a(a＋b)＝2，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由已知a(a＋b)＝a2＋a·b＝2，得a·b＝1，则cos〈a，b〉＝＝，所以向量a与b的夹角为，故选B.
二、填空题
9.(2017·全国Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝ .
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的模
答案　2
解析　方法一　|a＋2b|＝＝
＝＝＝2.
方法二(数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
10.(2017·绵阳南山中学高一月考)已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是 三角形.
考点　平面向量数量积的应用
题点　数量积在三角形中的应用
答案　等边
解析　·＝||||cos∠BAC，
即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，
又因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.
11.已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，则a与b的夹角为 .
考点　求向量的夹角
题点　求向量的夹角
答案　
解析　由向量垂直得
即
化简得
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴a与b的夹角为.
12.已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，则(2a＋b)·(2a－b)＝ ，|4a－2b|＝ .
考点　求向量的数量积和模
题点　求向量的数量积和模
答案　0　16
解析　(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.
∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256，
∴|4a－2b|＝16.
三、解答题
13.在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1)·；(2)在方向上的射影；(3)在方向上的射影.
考点　向量数量积的综合问题
题点　向量数量积的综合问题
解　∵||＝5，||＝4，||＝3.
∴△ABC为直角三角形，且C＝90°.
∴cos A＝＝，cos B＝＝.
(1)·＝－·＝－5×4×＝－16.
(2)在方向上的射影为||cos〈，〉＝＝＝.
(3)在方向上的射影为||cos〈，〉＝＝＝＝－4.
四、探究与拓展
14.已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是 .
考点　求向量的数量积
题点　求向量的数量积
答案　－25
解析　∵||2＝||2＋||2，
∴B＝90°，∴·＝0.
∵cos C＝，cos A＝，
∴·＝||||cos (180°－C)＝4×5×＝－16.
·＝||||cos(180°－A)＝5×3×＝－9.
∴·＋·＋·＝－25.
15.已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？
考点　向量数量积的综合应用
题点　向量数量积的综合应用
解　(1)∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|.
∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2，
∴a·b＝＝＝＝.
又∵a·b＝|a||b|cos θ，
∴＝3×5×cos θ，
∴cos θ＝，即θ＝60°.
(2)∵(μa＋b)⊥(a－2b)，
∴(μa＋b)·(a－2b)＝0，
∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0，
∴9μ－2×25－2μ×＋＝0，
∴μ＝－.
∴存在μ＝－，使得μa＋b与a－2b垂直.
§5　从力做的功到向量的数量积(二)
学习目标　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
知识点一　平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律
实数乘法
向量数量积
判断正误
交换律
ab＝ba
a·b＝b·a
正确
结合律
(ab)c＝a(bc)
(a·b)c＝a(b·c)
错误
分配律
(a＋b)c＝ac＋bc
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
正确
消去律
ab＝bc(b≠0)?a＝c
a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
错误
知识点二　平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法
向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
梳理　与多项式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”.
1.向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c).(　×　)
2.已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.(　×　)
3.λ(a·b)＝λa·b.(　√　)

类型一　向量数量积的运算性质
例1　给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是 .
考点　向量数量积的运算律
题点　向量数量积的运算律的理解
答案　④
解析　因为当两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确.
反思与感悟　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律.
跟踪训练1　下面给出的关系式中正确的个数是(　　)
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A.1 B.2 C.3 D.4
考点　向量数量积的运算律
题点　向量数量积的运算律的理解
答案　C
解析　①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos2θ，故选C.
类型二　平面向量数量积有关的参数问题

例2　已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，且b⊥c，则t＝ .
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　已知向量垂直求参数值
答案　2
解析　由题意，将b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝0整理，
得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所以t＝2.
反思与感悟　由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b?a·b＝0.
跟踪训练2　已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k等于(　　)
A.－ B.0 C.3 D.
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　已知向量垂直求参数值
答案　C
解析　因为a＝(k，3)，b＝(1，4)，所以2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6).
因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2，1)＝2(2k－3)－6＝0，
解得k＝3.故选C.

例3　已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， 则k的取值范围为 .
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
答案　(0，1)∪(1，＋∞)
解析　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.
综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
反思与感悟　由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a，b，θ∈?a·b>0；θ∈?a·b<0.
跟踪训练3　设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
解　设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ.
根据题意，得cos θ＝<0，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.
化简，得2t2＋15t＋7<0，解得－7当θ＝π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角.
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
则∴
∴实数t的取值范围是∪.
1.已知|a|＝1，|b|＝，且a＋b与a垂直，则a与b的夹角是(　　)
A.60° B.30° C.135° D.45°
考点　求向量的夹角
题点　求向量的夹角
答案　C
解析　∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝135°.
2.已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为(　　)
A.1 B.0 C.2 D.3
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　已知向量垂直求参数值
答案　D
解析　由题意得(a－mb)·a＝0，故a2＝ma·b，
∴m＝＝＝＝3，故选D.
3.已知正三角形ABC的边长为1，设＝c，＝a，＝b，那么a·b＋b·c＋c·a的值是(　　)
A. B. C.－ D.－
考点　平面向量数量积的运算
题点　平面向量数量积的运算
答案　C
解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
即|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴3＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.
4.在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　)
A.矩形 B.菱形
C.直角梯形 D.等腰梯形
考点　平面向量数量积的应用
题点　向量模与夹角的综合应用
答案　B
解析　由＝知，四边形ABCD是平行四边形，由·＝0知，AC⊥BD，即对角线垂直，所以四边形ABCD是菱形.
5.已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；
(2)求向量a在a＋b上的射影.
考点　平面向量数量积的综合应用
题点　平面向量数量积的综合应用
解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，∴a·b＝1，
∴cos θ＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，即|a＋b|＝.
设a与a＋b的夹角为α，则向量a在a＋b上的射影为|a|cos α＝|a|×＝＝＝＝.
1.数量积对结合律不一定成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，若b与c不共线，则两者不相等.
2.在实数中，若ab＝0，则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cos θ有可能为0.
3.在实数中，若ab＝bc，b≠0，则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0?a＝c.
一、选择题
1.已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是(　　)
A.0 B.a C.b D.c
考点　平面向量数量积的运算
题点　应用向量数量积的运算律化简
答案　B
解析　∵b·c＝|b||c|cos 45°＝1，∴a·(b·c)＝a.
2.已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(　　)
A.0 B.2 C.4 D.8
考点　求向量的模
题点　求向量的模
答案　B
解析　|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.
3.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　)
A. B.－ C.± D.1
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　已知向量垂直求参数值
答案　A
解析　∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝.
4.设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角θ的余弦值是(　　)
A. B. C. D.
考点　求向量夹角的余弦值
题点　求向量夹角的余弦值
答案　D
解析　∵|3e1＋4e2|2＝9e＋24e1·e2＋16e＝9＋24×＋16＝37，∴|3e1＋4e2|＝.
又∵(3e1＋4e2)·e1＝3e＋4e1·e2＝3＋4×＝5，
∴cos θ＝＝＝.
5.已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A.4 B.－4 C. D.－
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　已知向量垂直求参数值
答案　B
解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.
6.设向量a与b满足|a|＝2，b在a方向上的射影为1.若存在实数λ，使得a与a－λb垂直，则λ等于(　　)
A. B.1 C.2 D.3
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　已知向量垂直求参数值
答案　C
解析　∵b在a方向上的射影为1，|a|＝2，
∴a·b＝2×1＝2，
又∵a⊥(a－λb)，
∴a·(a－λb)＝0，
∴λa·b＝|a|2，故2λ＝4，∴λ＝2，故选C.
7.(2017·嘉峪关高一检测)已知向量a，b为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的夹角
答案　B
解析　设a与b的夹角为θ.
因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
所以(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0.
所以a2＝2a·b，b2＝2a·b，所以a2＝b2，
所以|a|＝|b|，
所以cos θ＝＝＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
所以a，b的夹角为.
二、填空题
8.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 .
考点　向量数量积的应用
题点　求模长的最值
答案　
解析　因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|cos θ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|·cos θ＝cos θ≤，所以|c|的最大值是.
9.已知平面内三个向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则向量a，b夹角的大小是 .
考点　求向量的夹角
题点　求向量的夹角
答案　
解析　∵a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝c2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2，
∴1＋2a·b＋1＝3，a·b＝.
则cos〈a，b〉＝＝，
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
10.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b夹角的大小为 .
考点　求向量的夹角
题点　求向量的夹角
答案　
解析　由题意可知，|a＋xb|2≥|a＋b|2，
即a2＋2a·b·x＋b2·x2≥a2＋2a·b＋b2，
设a与b的夹角为θ，
则4＋4cos θ·x＋x2≥4＋4cos θ＋1，
即x2＋4cos θ·x－1－4cos θ≥0.
因为对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，
所以Δ＝(4cos θ)2＋4(1＋4cos θ)≤0，即(2cos θ＋1)2≤0，
所以2cos θ＋1＝0，cos θ＝－.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
三、解答题
11.已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的射影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
考点　平面向量数量积的综合问题
题点　平面向量数量积的综合问题
解　(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又∵向量a在向量b方向上的射影为|a|cos θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1.
∵|a|＝2，|b|＝1，∴cos θ＝－，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝.
12.已知非零向量a，b满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角θ；
(2)求|a－b|.
考点　平面向量数量积的综合问题
题点　平面向量数量积的综合问题
解　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝.
又|a|＝1，∴|b|＝.
∵a·b＝，即|a||b|cos θ＝，
∴cos θ＝.
又∵0°≤θ≤180°，∴向量a，b的夹角θ＝45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，∴|a－b|＝.
四、探究与拓展
13.已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝ .
考点　平面向量数量积的综合问题
题点　平面向量数量积的综合问题
答案　
解析　∵a⊥b，∴a·b＝0.
∵(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，
|a＋2b|＝＝，
|a－2b|＝＝，
∴a2－4b2＝··cos 120°，
化简得a2－2b2＝0，
∴＝.
14.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围.
考点　平面向量数量积的综合问题
题点　平面向量数量积的综合问题
(1)证明　因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
(2)解　因为|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°>1，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2.
所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).
§6　平面向量数量积的坐标表示
学习目标　1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
知识点一　平面向量数量积的坐标表示
设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.
思考1　i·i，j·j，i·j分别是多少？
答案　i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0.
思考2　取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b.
答案　∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.
梳理　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.这就是说，两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.
知识点二　向量模的坐标表示
思考　若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示.
答案　∵a＝xi＋yj，x，y∈R，
∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xy i·j＋(yj)2＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2.
又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，
∴a2＝x2＋y2，即|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝.
梳理　设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝.
知识点三　向量夹角的坐标表示
思考　设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
答案　cos θ＝＝.
梳理　设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则
(1)cos θ＝.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
知识点四　直线的方向向量
思考1　什么是直线的方向向量？
答案　与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.
思考2　直线的方向向量唯一吗？
答案　不唯一.因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个.
梳理　(1)给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.
(2)对于直线l：Ax＋By＋C＝0，可取直线l的方向向量为m＝(B≠0)，或取直线l的方向向量为m＝(B，－A).
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(　√　)
2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.(　√　)
3.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.(　×　)
提示　当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.
类型一　平面向量数量积的坐标表示
例1　已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
考点　平面向量数量积的坐标运算
题点　平面向量数量积的坐标运算
解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4).
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).
反思与感悟　此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量运算结合律一般不成立.
跟踪训练1　向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.2
考点　平面向量数量积的坐标运算
题点　平面向量数量积的坐标运算
答案　C
解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，
则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C.
类型二　向量的模、夹角问题
例2　在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16，12)，B(－5，15).
(1)求||，||；
(2)求∠OAB.
考点　向量的模、夹角的综合
题点　用坐标求向量的模与夹角
解　(1)由＝(16，12)，
＝(－5－16，15－12)＝(－21，3)，
得||＝＝20，
||＝＝15.
(2)cos∠OAB＝cos?，?＝.
其中·＝－·＝－(16，12)·(－21，3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，
故cos∠OAB＝＝.
∴∠OAB＝45°.
反思与感悟　利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.
(2)利用|a|＝求两向量的模.
(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值.
跟踪训练2　已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).
类型三　向量垂直的坐标形式
例3　(1)已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
考点　向量垂直的坐标形式
题点　利用平面向量数量积的坐标表示解决垂直问题
答案　B
解析　由向量λa＋b与a－2b垂直，
得(λa＋b)·(a－2b)＝0.
因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，
所以(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0，
即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.
(2)在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值.
考点　向量垂直的坐标形式
题点　利用平面向量数量积的坐标表示解决垂直问题
解　∵＝(2，3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3).
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝.
故所求k的值为－或或.
反思与感悟　利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论.
跟踪训练3　在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1)，若(－t)⊥，则实数t＝ .
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　已知向量垂直求参数值
答案　－1
解析　∵＝(－3，－1)，
∴－t＝(－3－2t，－1＋t).
又∵＝(2，－1)，(－t)⊥，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，∴t＝－1.
1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
考点　向量的夹角
题点　用坐标求向量的夹角
答案　B
解析　∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵a，b的夹角范围为[0，π]，
∴a与b的夹角为.
2.已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
考点　向量的夹角
题点　用坐标求向量的夹角
答案　A
解析　∵||＝1，||＝1，
∴cos∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°.
3.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于(　　)
A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　已知向量垂直求参数值
答案　B
解析　因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，
又(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，
解得λ＝－3.
4.已知平面向量a，b，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝ .
考点　平面向量数量积的坐标运算
题点　已知向量数量积求未知向量
答案　
解析　∵|a|＝5，cos〈a，b〉＝＝1，
∴a，b方向相同，∴b＝a＝.
5.已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.
考点　平面向量数量积的坐标形式的综合应用
题点　平面向量数量积的坐标形式的综合应用
解　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝.
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a，b不为0时，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
一、选择题
1.已知向量a＝(－5，6)，b＝(6，5)，则a与b(　　)
A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向
考点　平面向量数量积的坐标运算
题点　平面向量数量积的坐标运算
答案　A
解析　∵a·b＝－5×6＋6×5＝0，
∴a⊥b.
2.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
A.1 B. C.2 D.4
考点　向量的模
题点　用坐标求向量的模
答案　C
解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
∴n2＝3，∴|a|＝＝2.
3.若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)
A.－ B. C. D.
考点　向量的夹角
题点　用坐标求向量的夹角
答案　C
解析　∵2a＋b＝2(1，2)＋(1，－1)＝(3，3)，a－b＝(1，2)－(1，－1)＝(0，3)，
∴(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.
设所求两向量的夹角为α，则cos α＝＝，
又∵0≤α≤π，∴α＝.
4.若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为(　　)
A.(3，2)
B.
C.或
D.以上都不对
考点　单位向量
题点　求单位向量的坐标
答案　C
解析　设与a垂直的向量为单位向量(x，y)，
∵(x，y)是单位向量，
∴＝1，即x2＋y2＝1.①
又∵(x，y)表示的向量垂直于a，
∴2x－3y＝0.②
由①②得或
5.已知平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于(　　)
A.－2 B.－1 C.1 D.2
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　向量夹角有关的参数问题
答案　D
解析　因为a＝(1，2)，b＝(4，2)，所以c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，
所以a·c＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8，b·c＝4(m＋4)＋2(2m＋2)＝8m＋20.
因为c与a的夹角等于c与b的夹角，
所以＝，即＝，
所以＝，
解得m＝2，故选D.
6.已知向量p＝(2，－3)，q＝(x，6)，且p∥q，则|p＋q|的值为(　　)
A. B. C.5 D.13
考点　向量的模
题点　用坐标求向量的模
答案　B
解析　由题意得2×6＋3x＝0，解得x＝－4.故|p＋q|＝|(2，－3)＋(－4，6)|＝|(－2，3)|＝.
7.已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A. B. C.5 D.25
考点　向量的模
题点　用坐标求向量的模
答案　C
解析　∵|a＋b|＝5，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5)2，
∴|b|＝5.
二、填空题
8.已知a＝(3，)，b＝(1，0)，则(a－2b)·b＝ .
考点　平面向量数量积的坐标运算
题点　平面向量数量积的坐标运算
答案　1
解析　∵a－2b＝(1，)，
∴(a－2b)·b＝1×1＋×0＝1.
9.已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为 .
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　向量夹角有关的参数问题
答案　1
解析　由题意知＝(－3，0)，＝(0，)，则＝(－3λ，).
由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，
∴tan 150°＝，
即－＝－，∴λ＝1.
10.已知a＝(1，3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .
考点　平面向量数量积有关的参数问题
题点　由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
答案　∪
解析　由a与b的夹角为锐角，
得a·b＝2＋λ＋3＞0，λ＞－5.
当a∥b时，(2＋λ)×3－1＝0，λ＝－.
故λ的取值范围为λ＞－5且λ≠－.
11.(2017·广东揭阳惠来一中、揭东一中联考)已知向量＝(1，7)，＝(5，1)(O为坐标原点)，设M为直线y＝x上的一点，那么·的最小值是 .
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　坐标形式下的数量积运算
答案　－8
解析　设M?，
则＝，＝，
·＝(1－x)(5－x)＋＝(x－4)2－8.
所以当x＝4时，·取得最小值－8.
三、解答题
12.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2).
(1)若|c|＝2，且c与a方向相反，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
考点　平面向量数量积的坐标形式的综合应用
题点　平面向量数量积的坐标形式的综合应用
解　(1)设c＝(x，y)，
由c∥a及|c|＝2，
可得
所以或
因为c与a方向相反，
所以c＝(－2，－4).
(2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
所以2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，
解得a·b＝－.
所以cos θ＝＝－1.
又因为θ∈[0，π]，
所以θ＝π.
13.已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值.
考点　平面向量数量积的坐标形式的综合应用
题点　平面向量数量积的坐标形式的综合应用
(1)证明　∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
∴＝(1，1)，＝(－3，3).
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解　∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得
∴C点坐标为(0，5).
∵＝(－2，4)，＝(－4，2)，
∴·＝8＋8＝16>0.
又||＝2 ，||＝2 ，
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝>0，
∴矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值为.
四、探究与拓展
14.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3).若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　)
A. B. C. D.
考点　平面向量平行与垂直
题点　用坐标求解平行、垂直问题
答案　D
解析　设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，
∵(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又∵c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②
由①②解得x＝－，y＝－.故c＝.
15.平面内有向量＝(1，7)，＝(5，1)，＝(2，1)，点Q为直线OP上的一个动点.
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值.
考点　平面向量数量积的坐标形式的综合应用
题点　平面向量数量积的坐标形式的综合应用
解　(1)设＝(x，y)，
∵Q在直线OP上，
∴向量与共线.
又∵＝(2，1)，
∴x－2y＝0，
∴x＝2y，
∴＝(2y，y).
又∵＝－＝(1－2y，7－y)，＝－＝(5－2y，1－y)，
∴·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.
故当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4，2).
(2)由(1)知：＝(－3，5)，＝(1，－1)，·＝－8，||＝，||＝，
∴cos∠AQB＝＝＝－.
§7　向量应用举例
学习目标　1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离公式.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.
知识点一　直线l：Ax＋By＋C＝0的法向量
思考　类比直线的方向向量的定义，思考与直线l垂直的非零向量是否也是特殊向量？
答案　是，为直线的法向量.
梳理　(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量.
(2)若直线l的方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)，与直线l的法向量n同向的单位向量n0＝＝.
知识点二　点到直线的距离公式
思考　n为直线l的法向量，P为直线l上任一点，点M是平面内一定点且不在直线l上，那么点M到直线l的距离d与向量，n有怎样的关系？
答案　点M到直线l的距离d即为向量在向量n方向上的射影的绝对值，即d＝.
梳理　若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
知识点三　向量方法解决平面几何问题
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.
思考1　证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？
答案　可用向量共线的相关知识：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0).
思考2　证明垂直问题，可用向量的哪些知识？
答案　可用向量垂直的相关知识：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
梳理　(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.
(2)向量方法解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
知识点四　向量方法解决物理问题
1.物理上力做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积.
2.向量方法解决物理问题的步骤
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
类型一　平面向量在解析几何中的应用
例1　已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点.
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.
考点　平面向量在解析几何中的应用
题点　用平面向量求解直线方程
解　(1)由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.
＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程.
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则⊥.
∴·＝0.
又＝(x＋6，y－2)，＝(4，4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程.
反思与感悟　利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.
跟踪训练1　在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分线所在的直线方程.
考点　平面向量在解析几何中的应用
题点　用平面向量求解直线方程
解　＝(3，4)，＝(－8，6)，
∠A的平分线的一个方向向量为a＝＋＝＋＝.
设P(x，y)是角平分线上的任意一点，
∵∠A的平分线过点A，
∴∥a，又＝(x－4，y－1)，
∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.
整理得7x＋y－29＝0.
类型二　用平面向量求解平面几何问题
例2　已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　用平面向量解决垂直及相等问题
证明　建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).
(1)∵＝(－1，2)，＝(－2，－1)，
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(2，1)，
∵∥，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2.
同理，由∥，得y＝－2x＋4，
由得
∴点P的坐标为.
∴||＝＝2＝||，
即AP＝AB.
反思与感悟　用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化.
跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　用平面向量解决垂直问题
证明　方法一　设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°
＝－a＋a2＋a(1－a)＝0，
∴⊥，即DP⊥EF.
方法二　如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.
设正方形ABCD的边长为1，AP＝λ(0<λ<)，
则D(0，1)，P，E，F.
∴＝，＝，
∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0，
∴⊥，即DP⊥EF.
类型三　向量在物理中的应用
例3　已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.
考点　向量的数量积在物理中的应用
题点　向量与物体做功问题
解　(1)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.∴合力F对质点所做的功为－102.
反思与感悟　物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.
跟踪训练3　一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.
考点　向量的数量积在物理中的应用
题点　向量与物体做功问题
解　以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.
则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)，
所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4).
又因为位移s＝(4，4)，
所以合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J).
即合力F所做的功为24 J.
1.已知在△ABC中，若＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为(　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　利用向量判断三角形形状
答案　A
2.过点A(2，3)，且垂直于向量a＝(2，1)的直线方程为(　　)
A.2x＋y－7＝0 B.2x＋y＋7＝0
C.x－2y＋4＝0 D.x－2y－4＝0
考点　平面向量在解析几何中的应用
题点　用平面向量求解直线方程
答案　A
解析　设P(x，y)为直线上在一点，则⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0.
3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为 N.
考点　向量的线性运算在物理中的应用
题点　利用向量解决力的有关问题
答案　10
解析　设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，
则由题意得F1，F2与－G都成60°角，且|F1|＝|F2|，
∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，
∴每根绳子的拉力都为10 N.
4.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝ J.
考点　向量的数量积在物理中的应用
题点　向量与物体做功问题
答案　300
解析　W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos 60°＝300(J).
5.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.
考点　向量的线性运算在物理中的应用
题点　利用向量解决速度有关问题
解　如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h.
1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立平面直角坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.
2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.
一、选择题
1.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　)
A.2 B. C.3 D.
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　求线段的长度
答案　B
解析　∵BC的中点为D，＝，
∴||＝.
2.点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　平面向量与三角形的“心”
答案　D
解析　∵·＝·，
∴(－)·＝0，
∴·＝0，
∴OB⊥AC.
同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴O为三条高的交点.
3.已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是(　　)
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰(非等边)三角形
D.等边三角形
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　利用向量判断三角形形状
答案　D
解析　由·＝0，得角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.
而·＝cos〈，〉＝，
又〈，〉∈[0，π]，∴∠BAC＝.
故△ABC为等边三角形，故选D.
4.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　)
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
考点　向量的线性运算在物理中的应用
题点　利用向量解决力的有关问题
答案　B
解析　如图，有|F1|＝|F|cos 60°＝10×＝5(N).
5.已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(　　)
A.(9，1) B.(1，9) C.(9，0) D.(0，9)
考点　向量的线性运算在物理中的应用
题点　利用向量解决力的有关问题
答案　A
解析　f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，设合力f的终点为P(x，y)，
则＝＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1).
6.已知点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A.△ABC的内部
B.AC边所在的直线上
C.AB边所在的直线上
D.BC边所在的直线上
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　三点共线问题
答案　B
解析　∵＝λ＋，∴－＝λ，
∴＝λ，∴P，A，C三点共线，
∴点P一定在AC边所在的直线上.
7.(2018·定远育才学校月考)河水的流速为5 m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A.13 m/s B.12 m/s C.17 m/s D.15 m/s
考点　向量的线性运算在物理中的应用
题点　利用向量解决速度有关问题
答案　A
解析　设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2，v1与v2的合速度为v，
∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即小船在静水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，
合速度v指向对岸，
∴静水速度|v1|＝＝＝13(m/s).
二、填空题
8.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝ .
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　求向量的数量积
答案　－
解析　如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，∴C(2，1).
∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E，F(1，1)，
∴＋＝，＝(－2，1)，
∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－.
9.已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则·＝ .
考点　平面向量在解析几何中的应用
题点　求向量的数量积
答案　－
解析　如图，作OD⊥AB于点D，则在Rt△AOD中，OA＝1，AD＝，所以∠AOD＝60°，∠AOB＝120°，所以·＝||||·cos 120°＝1×1×＝－.
10.一个重20 N的物体从倾斜角为θ，斜面长为1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J，则θ＝ .
考点　向量的数量积在物理中的应用
题点　向量与物体做功有关问题
答案　30°
解析　∵WG＝G·s＝|G||s|·cos(90°－θ)＝20×1×cos(90°－θ)＝10 (J)，
∴cos(90°－θ)＝，∴θ＝30°.
三、解答题
11.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，求·的最小值.
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　求向量的数量积
解　在等腰梯形ABCD中，由AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，
可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，
∴·＝(＋λ)·＝·＋·＋λ·＋λ·
＝2×1×cos 60°＋2×＋λ×1×1×cos 60°＋λ·×cos 120°＝＋＋.
由对勾函数的性质知，·≥2＋＝，
当且仅当＝，即λ＝或λ＝－(舍)时，取得最小值.
12.如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　用平面向量解决垂直问题
证明　设＝λ，并设△ABC的边长为a，则有
＝＋＝λ＋＝λ＋＝(2λ＋1)－λ，
＝－.
∵∥，
∴(2λ＋1)－λ＝k－k，
于是有解得λ＝.
∴＝.
∴＝－，
＝＋＝＋＝＋
从而·＝·＝a2－a2－a2cos 60°＝0，
∴⊥，
∴BP⊥DC.
13.如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4，1)，C(6，8).
(1)求顶点D的坐标；
(2)若＝2，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标.
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　求点的坐标
解　(1)设点D(m，n)，因为＝，
所以(m，n)＝(6，8)－(4，1)＝(2，7)，
所以顶点D的坐标为(2，7).
(2)设点I(x，y)，则点F的坐标为，
由于＝2，
故(xE－2，yE－7)＝2(6－xE，8－yE)，所以E.
由于＝，＝(x－4，y－1)，∥，
所以(x－4)＝－3(y－1).①
又∥，所以x＝y，②
解①②得x＝，y＝.
则点I的坐标为.
四、探究与拓展
14.在?ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为(　　)
A.1 B. C. D.
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　求线段的长度
答案　B
解析　设AB的长为a(a＞0)，
因为＝＋，＝＋＝－，
所以·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1.
由已知，得－a2＋a＋1＝1，
又因为a＞0，
所以a＝，即AB的长为.
15.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.
考点　向量在运动学中的应用
题点　求速度
解　设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a.
设实际风速为v，那么此时人感到风速为v－a，
设＝－a，＝－2a，＝v，
因为＋＝，
所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为＋＝，
所以＝v－2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.
由题意∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，
从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a，
即|v|＝a.
所以实际风速是每小时a千米的西北风.
章末复习
学习目标　1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.
1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量运算
法则(或几何意义)
坐标运算
向量的线
性运算
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λa＝(λx1，λy1)
向量的数
量积运算
a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)，规定0·a＝0，
数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的射影的积
a·b＝x1x2＋y1y2
2.两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
②基底：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
(2)向量共线定理
a是非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线.
3.向量的平行与垂直
a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
a∥b
有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0)
x1y2－x2y1＝0
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
1.平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(　×　)
提示　平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底.
2.若向量和向量共线，则A，B，C，D四点在同一直线上.(　×　)
提示　也可能AB∥CD.
3.若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　×　)
4.若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.(　×　)
提示　当a，b同向共线时，a·b>0，但a和b的夹角为0.当a，b反向共线时，a·b<0，但a和b的夹角为π.
类型一　向量的线性运算
例1　如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为 .
考点　向量的线性运算
题点　由向量共线求参数值
答案　
解析　设＝λ，
则＝＋＝－＋m＋＝(m－1)＋，
＝＋＝－＋.
∵与共线，∴(m－1)＋＝0，∴m＝.
反思与感悟　向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.
跟踪训练1　(2017·广东深圳二模)如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.2
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数
答案　B
解析　因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)
＝λ＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋，
且＝＋，
所以得
所以λ＋μ＝，故选B.
类型二　向量的数量积运算
例2　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.
考点　向量的数量积的应用
题点　求向量的夹角与模
解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又∵|a|＝4，|b|＝3，
∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6，
∴cos θ＝＝＝－.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.
(3)∵与的夹角θ＝，
∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.
反思与感悟　数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b?x1y2－x2y1＝0，
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)
cos θ＝＝ .
跟踪训练2　已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m)).
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.
考点　向量数量积的综合问题
题点　利用向量的数量积求参数
解　(1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
∵＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))，
∴＝(3，1)，＝(－m－1，－m).
∵与不平行，
∴－3m≠－m－1，解得m≠，
∴当实数m≠时满足条件.
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，而＝(3，1)，＝(2－m，1－m)，
∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.
类型三　向量坐标法在平面几何中的应用
例3　已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　利用向量坐标运算求夹角
解　建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c，0)，其中a＞0，c＞0.
则B(－c，0)，＝(0，a)，＝(c，a)，＝(c，0)，＝(2c，0).
因为BB′，CC′为AC，AB边上的中线，
所以＝(＋)＝，
同理＝.
因为⊥，所以·＝0，
即－＋＝0，化简得a2＝9c2.
又因为cos A＝＝＝＝，
所以顶角A的余弦值为.
反思与感悟　把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.
跟踪训练3　如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.2
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　利用向量坐标相等求参数值
答案　A
解析　由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则O(0，0)，A(0，)，C(，0)，B(×cos 30°，－×sin 30°).
因为＝λ＋μ，
所以(，0)＝λ(0，)＋μ，
即则
所以λ＋μ＝.
1.在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于(　　)
A.2 B.－2
C.||cos A D.与菱形的边长有关
考点　平面向量的数量积的运算
题点　求平面向量的数量积
答案　B
解析　如图，设对角线AC与BD交于点O，∴＝＋.
∴·＝·(＋)＝－2＋0＝－2.
2.设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)
A.20 B.15 C.9 D.6
考点　平面向量的数量积的运算
题点　求平面向量的数量积
答案　C
解析　?ABCD的图像如图所示，由题设知，
＝＋＝＋，＝－，
∴·＝·＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
3.已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　)
A.2 B. C.0 D.－
考点　共线向量的应用
题点　利用向量共线的坐标运算求参数值
答案　B
解析　∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，
a·b＝××cos ，
∴3＋m＝××cos ，
∴m＝.
4.若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝ .
考点　向量的模与数量积的综合
题点　求向量的模
答案　2
解析　由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长||＝||＝，由勾股定理得||＝＝2.
5.平面向量a＝(，－1)，b＝，若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t).
考点　向量的坐标运算与函数的综合
题点　向量的坐标运算与函数的综合
解　由a＝(，－1)，b＝，
得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1.
由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
－ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0，
即－4k＋t3－3t＝0，
所以k＝(t3－3t)，令f(t)＝(t3－3t)，
所以函数关系式为k＝f(t)＝(t3－3t).
1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.
2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.
一、选择题
1.下列命题中正确的是(　　)
A.－＝ B.＋＝0
C.0·＝0 D.＋＋＝
考点　平面向量的线性运算
题点　平面向量的线性运算
答案　D
解析　－＝；，BA是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即＋＝0；0·＝0.
2.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·等于(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
考点　平面向量的数量积的运算
题点　求平面向量的数量积
答案　A
解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.
3.(2017·辽宁大连庄河高中高一期中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb与a垂直，则λ等于(　　)
A.－2 B.1 C.－1 D.0
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　已知向量垂直求参数
答案　C
解析　a＋λb＝(1＋4λ，－3－2λ)，
因为a＋λb与a垂直，
所以(a＋λb)·a＝0，
即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.
4.若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于(　　)
A.(－3，6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6，3)
考点　平面向量的坐标表示
题点　求平面向量的坐标
答案　A
解析　设b＝ka＝(k，－2k)，k＜0，而|b|＝3，则＝3，∴k＝－3，即b＝(－3，6).
5.在△ABC中，若2－·＝·－·，则△ABC是(　　)
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
考点　向量的数量积的应用
题点　判断三角形形状
答案　C
解析　由已知，得·(－)－·(－)＝0，
∴·－·＝0，
∴·(－－)＝0，即－·＝0，∴⊥，
∴BC⊥AC，∴△ABC为直角三角形.故选C.
6.若a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角θ的大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，
∴a2＝b2，|a|＝|b|.
又∵cos θ＝＝＝，θ∈[0，π]，
∴θ＝.
二、填空题
7.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是 .
考点　平面向量在平面几何中的应用
题点　求向量的数量积
答案　22
解析　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
8.已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是 .
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的模
答案　[0，1]
解析　b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ ，
∴0≤|b|≤1.
9.在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||＝3||，当＝x＋y时，x－y＝ .
考点　向量共线的判定及应用
题点　利用向量共线求参数值
答案　－2
解析　由||＝3||，得＝3，则＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
所以x＝－，y＝，所以x－y＝－－＝－2.
10.已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的射影是 .
考点　向量的射影
题点　向量的射影
答案　1
解析　∵|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，
∴b在a方向上的射影是|b|cos 60°＝1.
11.如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为 .
考点　平面向量基本定理的应用
题点　利用平面向量基本定理求参数
答案　
解析　∵＝，＝，
∴＝，＝2.
由向量加法的平行四边形法则可知，＝＋，
∴＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋2λ，
∵E，F，K三点共线，∴λ＋2λ＝1，∴λ＝.
三、解答题
12.(2017·四川宜宾三中高一月考)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值.
考点　平面向量数量积的概念与几何意义
题点　平面向量数量积的概念与几何意义
解　(1)若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
(2)若＝3，
则＝＋，
·＝·(－)＝－2－·＋2
＝－×42－×4×2×cos 60°＋×22＝－3.
13.如图，在同一平面内，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，||＝2，||＝3，||＝4.
(1)用和表示；
(2)若＝λ，⊥，求λ的值.
考点　平面向量的综合问题
题点　平面向量的综合问题
解　由题意，得∠BOC＝90°，以OC所在的直线为x轴，以BO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则O(0，0)，A(－1，)，B(0，－3)，C(4，0).
(1)设＝λ1＋λ2，
则(－1，)＝λ1(0，－3)＋λ2(4，0)＝(4λ2，－3λ1)，
∴λ1＝－，λ2＝－，
∴＝－－.
(2)设D(x，y)，∵＝λ，
∴(x＋1，y－)＝λ(5，－)，
∴∴D(5λ－1，－λ＋)，＝(5λ－1，3－λ＋).
∵·＝0，
∴(5λ－1)×5＋(3＋－λ)×(－)＝0，
解得λ＝.
四、探究与拓展
14.如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为(　　)
A. B.
C. D.
考点　平面向量基本定理
题点　用基底表示其他向量
答案　C
解析　令＝λ.
由题可知，＝＋＝＋λ＝＋λ＝(1－λ)＋λ.
令＝μ，则＝＋＝＋μ＝＋μ＝μ＋(1－μ).
又，不共线，
所以解得
所以＝＋，故选C.
15.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，e1＝，e2＝，与的夹角为.
(1)若＝xe1＋ye2，求x，y的值；
(2)求·的值；
(3)求与的夹角的余弦值.
考点　平面向量的综合问题
题点　平面向量的综合问题
解　(1)因为AB＝3，BC＝2，e1＝，e2＝，
所以＝＋＝3e1＋2e2＝xe1＋ye2.
又e1与e2不共线，所以x＝3，y＝2.
(2)由(1)知＝3e1，＝2e2，
所以＝－＝－＝2e2－3e1.
所以AC·＝(3e1＋2e2)·(2e2－3e1)＝4e－9e＝－5.
(3)因为与的夹角为，
所以e1与e2的夹角为.
又|e1|＝|e2|＝1，所以||＝|＋|＝|2e2＋3e1|＝
＝＝.
||＝|－|＝|2e2－3e1|＝＝＝.
设与的夹角为θ，可得
cos θ＝＝＝－.
所以与的夹角的余弦值为－.