模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.若角α是第二象限角，且＝－cos ，则角是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
考点 象限角、轴线角
题点 判断角所在象限
答案 C
解析 由角α是第二象限角，易得是第一、三象限角.
又＝－cos ，所以角是第三象限角.
2.若＝－，则sin α＋cos α的值为( )
A.－ B.－
C. D.
考点 三角恒等变换
题点 利用三角恒等变换求值
答案 C
解析 由题意得＝－(sin α＋cos α)＝－，所以sin α＋cos α＝，故选C.
3.已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则|a－b|的值为( )
A. B.1
C.2 D.3
考点 向量的模
题点 求向量的模
答案 B
解析 如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a＝，b＝，则|a－b|＝||且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，又因为|a|＝|b|＝1，则△AOB为正三角形，从而||＝|a－b|＝1.
4.已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β等于( )
A. B.－ C. D.－
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给值求值
答案 B
解析 因为cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，
所以
解得
所以tan αtan β＝＝－.
5.函数y＝sin与y＝cos的图像关于直线x＝a对称，则a可能是( )
A. B.
C. D.
考点 三角函数的对称性
题点 由三角函数的对称性求参数值
答案 A
解析 由题意可知，两个函数图像关于直线x＝a对称，
则函数y＝sin关于直线x＝a对称的函数为y＝sin.
利用诱导公式将其化为余弦表达式为y＝cos＝cos，
令y＝cos＝cos，
则a＝，故选A.
6.函数y＝3sin＋cos的最小正周期为( )
A. B. C.8 D.4
考点 三角函数的性质
题点 利用辅助角公式研究三角函数的性质
答案 A
7.同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图像关于直线x＝对称；③在上是增函数”的一个函数是( )
A.y＝sin B.y＝cos
C.y＝sin D.y＝cos
考点 三角函数的性质
题点 三角函数的性质
答案 C
解析 y＝sin＝1；由－≤x≤，
得－≤2x－≤，符合①②③，故选C.
8.如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值等于( )
A.1 B.－ C. D.－
考点 同角三角函数关系
题点 利用同角三角函数关系求值
答案 D
解析 小正方形的边长为cos θ－sin θ，即(cos θ－sin θ)2＝，得cos θ＝，sin θ＝，故sin2θ－cos2θ＝－.
9.已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||为( )
A. B. C.7 D.18
考点 向量的模
题点 求向量的模
答案 A
解析 ∵＝(＋)＝(6p－q)，
∴||＝＝＝
＝＝.
10.函数f(x)＝lg(sin x＋)的奇偶性为( )
A.非奇非偶函数 B.奇函数
C.偶函数 D.既奇又偶函数
考点 判断函数的奇偶性
题点 判断函数的奇偶性
答案 B
解析 因为函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝lg(－sin x＋)＝lg(sin x＋)－1＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.
11.已知sin－cos α＝，则cos等于( )
A.－ B. C.－ D.
考点 二倍角的余弦公式
题点 给值求值
答案 D
解析 由sin－cos α＝，
得sin α＋cos α－cos α＝sin α－cos α＝sin＝，
故cos(2α－)＝cos 2＝1－2sin2＝1－＝.
12.将函数f(x)＝sin 2x的图像向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图像，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ等于( )
A. B. C. D.
考点 三角函数的图像和性质
题点 三角函数的图像和性质
答案 D
解析 因为g(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，
所以|f(x1)－g(x2)|＝|sin 2x1－sin(2x2－2φ)|＝2.
因为－1≤sin 2x1≤1，－1≤sin(2x2－2φ)≤1，
所以sin 2x1和sin(2x2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋，k1∈Z，2x2－2φ＝2k2π－，k2∈Z，2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，得|x1－x2|＝.
因为0<φ<，所以0<－φ<，
故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝－φ＝，则φ＝，故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.函数y＝的递减区间为 .
考点 三角函数的单调性
题点 求三角函数的单调区间
答案 ，k∈Z
解析 由2sin－1≥0，得＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
由题意得＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，即＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得函数的递减区间为，k∈Z.
14.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图像如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)＝ .
考点 y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质
题点 y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质
答案 2＋2
解析 由图像可知，f(x)＝2sin 的周期为8，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2sin ＋2sin ＋2sin ＝2＋2.
15.设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝ .
考点 平面向量的坐标运算
题点 由平面向量的坐标运算求参数值
答案 －2
解析 a＋b＝(m＋1，3)，由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得(m＋1)2＋32＝m2＋12＋12＋22，解得m＝－2.
16.给出下列4个说法：
①函数y＝tan x的图像关于点，k∈Z对称；
②函数f(x)＝sin|x|是最小正周期为π的周期函数；
③设θ为第二象限角，则tan >cos ，且sin >cos ；
④函数y＝cos2x＋sin x的最小值为－1.
其中正确的说法是 .
考点 三角函数性质的综合
题点 三角函数性质的综合
答案 ①④
解析 ①点，k∈Z是正切函数的对称中心，∴①对；
②f(x)＝sin|x|不是周期函数，∴②错；
③∈，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，sin
④y＝1－sin2x＋sin x＝－2＋，∴当sin x＝－1时，ymin＝－1，∴④对.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值.
考点 三角恒等变换
题点 利用三角恒等变换求值
解 (1)因为sin ＋cos ＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又<α<π，所以cos α＝－.
(2)因为<α<π，<β<π，
所以－π<－β<－，故－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.
18.(12分)已知函数f(x)＝4tan xsincos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
考点 三角函数的性质
题点 三角函数的性质
解 (1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcos－＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝，
易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上是增加的，在区间上是减少的.
19.(12分)已知非零向量e1，e2不共线，且＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－e2.
(1)若E是BC的中点，试用e1，e2表示；
(2)如果|e1|＝|e2|＝1，|e1＋e2|＝，求e1·e2的值；
(3)判断B，C，D三点是否共线，并证明你的结论.
考点 平面向量的综合问题
题点 平面向量的综合问题
解 (1)∵E是BC的中点，
∴＝(＋)＝e1＋e2.
(2)由|e1＋e2|＝，
得|e1＋e2|2＝3，
∴e＋e＋2e1·e2＝3，
∴e1·e2＝.
(3)B，C，D三点不共线.证明如下：
由题意，得＝－＝e1＋7e2，＝－＝2e1－2e2.
假设B，C，D三点共线，则存在λ∈R，使得＝λ，
即e1＋7e2＝λ(2e1－2e2)＝2λe1－2λe2.
∵e1，e2不共线，
∴此时λ无解，故假设不正确，
∴B，C，D三点不共线.
20.(12分)已知a＝(cos α，sin α)，α∈(0，π)，b＝(sin β，cos β)，β∈(0，2π)，又tan ＝，且a·b＝.
(1)求sin β，cos β；
(2)求sin α.
考点 三角恒等变换与向量的综合
题点 三角恒等变换与向量的综合
解 (1)由tan ＝，得tan β＝＝，
由tan ＝±，得＝，
即cos β＝，从而sin β＝，
所以sin β＝，cos β＝.
(2)由a·b＝，得sin αcos β＋cos αsin β＝，
即sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－或，
sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β，
即sin α＝或sin α＝－，而sin α>0，
所以sin α＝.
21.(12分)已知a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f(x)＝2a·b＋2m－1(x，m∈R).
(1)求f(x)关于x的表达式，并求f(x)的最小正周期；
(2)若当x∈时，f(x)的最小值为5，求m的值.
考点 三角函数与向量的综合
题点 三角函数与向量的综合
解 (1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋2m－1
＝sin 2x＋cos 2x＋2m＝2sin＋2m(x，m∈R)，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈，
∴2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，
函数f(x)取得最小值2m－1.
∵2m－1＝5，
∴m＝3.
22.(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的部分图像如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)的递增区间；
(3)当x∈时，求函数y＝f?－·f?的最值.
考点 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
题点 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
解 (1)由题图得T＝－＝＝，
∴T＝2π，
∴ω＝＝1.
又由f?＝0，得Asin＝0，
∴＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，k∈Z.
又∵0<φ<，
∴当k＝1时，φ＝.
又由f(0)＝2，得Asin ＝2，∴A＝4，
∴f(x)＝4sin.
(2)将f(x)＝4sin的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝4sin，再将图像向右平移个单位长度，得到g(x)＝4sin＝4sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的递增区间为(k∈Z).
(3)y＝f?－f?＝4sin－·4sin
＝4sin－4sin＝4－4cos x
＝2sin x＋2cos x－4cos x＝2sin x－2cos x＝4sin.
∵x∈，x－∈，
∴sin∈，
∴函数的最小值为－4，最大值为2.
滚动训练四(§1～§3)
一、选择题
1.cos 555°的值为( )
A. B.－ C. D.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 B
解析 cos 555°＝cos(720°－165°)＝cos 165°＝－cos 15°＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝－.
2.若π＜α＜2π，则化简的结果是( )
A.sin B.cos C.－cos D.－sin
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用降幂公式化简求值
答案 C
解析 ∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos ＜0，
原式＝＝＝－cos .故选C.
3.(2017·河北衡水中学调研)在△ABC中，若tan Atan B＞1，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上均有可能
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 三角恒等变换与三角形的综合应用
答案 A
解析 由tan Atan B＞1，得角A，B均为锐角，然后切化弦，
得sin Asin B＞cos Acos B，即cos(A＋B)＜0，
∴cos(π－C)＜0，
∴－cos C＜0，∴cos C＞0，
∴角C为锐角，
∴△ABC是锐角三角形，故选A.
4.已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f?，则( )
A.a＋b＝0 B.a－b＝0
C.a＋b＝1 D.a－b＝1
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用降幂公式化简求值
答案 C
解析 f(x)＝sin2＝＝，
∵a＝f(lg 5)，b＝f?＝f(－lg 5)，
∴a＋b＝＋＝1，a－b＝－＝sin(2lg 5).
5.y＝sin－sin 2x的一个递增区间是( )
A. B.
C. D.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
答案 B
解析 y＝sin－sin 2x＝sin 2xcos －cos 2xsin －sin 2x
＝－sin 2x－cos 2x＝－sin.
y＝－sin的递增区间是y＝sin的递减区间，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0，得x∈.故选B.
6.(2017·山东)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
答案 C
解析 由题意得y＝2sin，其最小正周期T＝＝π.
7.已知函数f(x)＝cos ，则下列区间中f(x)在其上是增函数的是( )
A. B.
C. D.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
答案 D
解析 f(x)＝cos ＝sin x＋＝sin＋.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，函数f(x)在上为增函数.
又?，故选D.
二、填空题
8.设α为钝角，且3sin 2α＝cos α，则sin α＝ .
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用正弦的二倍角公式化简求值
答案
解析 因为α为钝角，所以sin α＞0，cos α＜0，
由3sin 2α＝cos α，可得6sin αcos α＝cos α，
所以sin α＝.
9.若sin(π－α)＝，α∈，则sin 2α－cos2 的值为 .
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
答案
解析 ∵sin(π－α)＝，∴sin α＝，
又∵α∈，
∴cos α＝＝，
因此，sin 2α－cos2 ＝2sin αcos α－(1＋cos α)＝2××－×＝－＝.
10.＝ .
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用二倍角公式化简三角函数式
答案 －4
解析 原式＝＝
＝＝＝＝－4.
11.化简··＝ .
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
答案 tan
解析 原式＝··＝·
＝·＝＝tan .
三、解答题
12.已知cos＝，≤α≤，求的值.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
解 由cos＝，得cos α－sin α＝，
解方程组得或
∵≤α≤，∴cos α≤0，∴tan α＝7，
∴＝＝＝－.
13.已知a＝(sin x，1)，b＝(2cos x，2＋cos 2x)，函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的对称中心.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
解 (1)f(x)＝a·b＝2sin xcos x＋2＋cos 2x＝2＋sin 2x＋cos 2x＝2＋sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)＝2＋sin，
令2x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－＋，k∈Z，
所以函数f(x)的对称中心为，k∈Z.
四、探究与拓展
14.函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是 ，递减区间是 .
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
答案 π (k∈Z)
解析 由题意，知f(x)＝＋sin 2x＋1＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，所以最小正周期T＝π.令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故递减区间为(k∈Z).
15.设f(x)＝4cossin ωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.
(1)求函数y＝f(x)的值域；
(2)若f(x)在区间上为增函数，求ω的最大值.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
解 (1)f(x)＝4sin ωx＋cos 2ωx
＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin 2ωx＋1(ω＞0).
因为－1≤sin 2ωx≤1，
所以函数y＝f(x)的值域为[1－，1＋].
(2)因为y＝sin x在闭区间(k∈Z)上为增函数，
所以f(x)＝sin 2ωx＋1(ω＞0)在闭区间(k∈Z)上为增函数.
依题意，知?对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，
于是
解得0＜ω≤，故ω的最大值为.
1 同角三角函数关系巧运用
同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧运用.
一、知一求二
例1 已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝ .
解析 由sin α＝，
且sin2α＋cos2α＝1得cos α＝±，
因为≤α≤π，可得cos α＝－，
所以tan α＝＝－2.
答案 －2
点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.
二、“1”的妙用
例2 证明：＝.
证明 因为sin2x＋cos2x＝1，
所以1＝(sin2x＋cos2x)3，1＝(sin2x＋cos2x)2，
所以＝
＝＝＝.
即原命题得证.
点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.
三、齐次式型求值
例3 已知tan α＝2，求值：
(1)＝ ；
(2)2sin2α－3cos2α＝ .
解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α，
得＝＝＝－1.
(2)2sin2α－3cos2α＝，
因为cos2α≠0，分子分母同除以cos2α，
得＝＝＝1.
答案 (1)－1 (2)1
点评 这是一组在已知tan α＝m的条件下，求关于sin α，cos α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式. (2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cosn α(n∈N＋).这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m的值求解.
2 三角函数化简求值的“主角”——“变角”
三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招：
第一招 单角化复角
例1 已知sin α＝，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为 .
解析 因为sin α＝，α为第二象限的角，所以cos α＝－，所以tan α＝－.
所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝－.
答案 －
点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等.
第二招 复角化单角
例2 化简：－2cos(α＋β).
解 原式＝＝
＝＝＝.
点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和与差的正弦或余弦公式展开即可.
第三招 复角化复角
例3 已知<α<π，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值.
解 因为<α<π，<＋α<π，
所以sin＝＝.
又因为0<β<，π<π＋β<π，
所以cos＝－＝－，
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin
＝－
＝－＝.
点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较繁琐，故需要找到α＋β与＋α和＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.
3 三角恒等变形的几个技巧
三角函数是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助.
一、灵活降幂
例1 ＝ .
解析 ＝＝＝2.
答案 2
点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1进行降幂：如cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ，等等.
二、化平方式
例2 化简求值：.
解 因为α∈，所以∈，
所以cos α>0，sin>0，
故原式＝＝＝＝sin .
点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α，1－cos 2α，1＋sin 2α，1－sin 2α常常化为平方式：2cos2α，2sin2α，(sin α＋cos α)2，(sin α－cos α)2.
三、灵活变角
例3 已知sin＝，则cos＝ .
解析 cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝2×2－1＝－.
答案 －
点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“－α”表示待求角“＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余.
四、构造齐次弦式比，由切求弦
例4 已知tan θ＝－，则的值是 .
解析 ＝＝＝＝＝3.
答案 3
点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比.
五、分子、分母同乘以2nsin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n－1α的值
例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
解 原式＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝＝
＝＝·＝.
点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.
4 聚焦三角函数最值的求解策略
一、化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求解
例1 求函数f(x)＝的最值.
解 原函数变形得：f(x)＝
＝＝＝sin 2x＋.
∴f(x)max＝，f(x)min＝.
例2 求函数y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合.
解 原函数化简得：y＝sin 2x＋cos 2x＋2＝sin＋2.
当2x＋＝2kπ＋π，k∈Z，
即x＝kπ＋π，k∈Z时，ymin＝2－.
此时x的集合为.
点评 形如y＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx＋d(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成y＝Asin(2ωx＋φ)＋B的形式求最值.
二、利用正弦、余弦函数的有界性求解
例3 求函数y＝的值域.
解 原函数整理得sin x＝.
∵|sin x|≤1，
∴≤1，解出y≤或y≥3.
即函数的值域为∪[3，＋∞).
例4 求函数y＝的值域.
解 原函数整理得sin x－ycos x＝－4y－3，
∴sin(x＋φ)＝－4y－3，∴sin(x＋φ)＝.
∵|sin(x＋φ)|≤1，解不等式≤1得：≤y≤.
即值域为.
点评 对于形如y＝或y＝的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.
三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值
例5 设关于x的函数y＝cos 2x－2acos x－2a的最小值为f(a)，写出f(a)的表达式.
解 y＝cos 2x－2acos x－2a＝2cos2x－2acos x－(2a＋1)＝22－.
当<－1，即a<－2时，f(a)＝ymin＝1，此时cos x＝－1.
当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，f(a)＝ymin＝－－2a－1，此时cos x＝.
当>1，即a>2时，f(a)＝ymin＝1－4a，此时cos x＝1.
综上所述，f(a)＝
点评 形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数可转化为二次函数y＝at2＋bt＋c在区间[－1，1]上的最值问题解决.
例6 试求函数y＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的最值.
解 设sin x＋cos x＝t，t∈[－，]，
则2sin xcos x＝t2－1，原函数变为y＝t2＋t＋1，t∈[－， ]，
当t＝－时，ymin＝；
当t＝时，ymax＝3＋.
点评 一般地，既含sin x＋cos x(或sin x－cos x)又含sin xcos x的三角函数采用换元法可以转化为t的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x＋cos x＝t，则sin xcos x＝(t2－1)；sin x－cos x＝t，则sin xcos x＝(1－t2).
四、利用函数的单调性求解
例7 求函数y＝的最值.
解 y＝＝＝(sin x＋2)－，
令t＝sin x＋2，则t∈[1，3]，y＝t－.
利用函数单调性的定义易证函数y＝t－在[1，3]上为增函数.
故当t＝1即sin x＝－1时，ymin＝0；
当t＝3即sin x＝1时，ymax＝.
例8 在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB＝a，∠ABC＝θ，△ABC的面积为P，正方形面积为Q.求的最小值.
解 AC＝atan θ，P＝AB·AC＝a2tan θ.
设正方形边长为x，
AG＝xcos θ，BC＝.BC边上的高h＝asin θ，
∵＝，
即＝，
∴x＝，
∴Q＝x2＝.
从而＝·＝＝1＋.
令t＝sin 2θ，t∈(0，1]
易知函数y＝＋在区间(0，1]上是减少的，
所以当sin 2θ＝1时，min＝.
点评 一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决.
5 ——《三角恒等变形》一章易错问题盘点
一、求角时选择三角函数类型不当而致错
例1 已知sin α＝，sin β＝，α和β都是锐角，求α＋β的值.
[错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos β＝，
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.
因为α，β∈，则α＋β∈(0，π).
所以α＋β＝或.
[剖析] 由sin α＝，sin β＝，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值.
[正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos β＝，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
因为α，β∈，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
温馨点评 根据条件求角，主要有两步：?1?求角的某种三角函数值；?2?确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.
二、忽视条件中隐含的角的范围而致错
例2 已知tan2α＋6tan α＋7＝0，tan2β＋6tan β＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.
[错解] 由题意知tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π，
∴α＋β＝或α＋β＝π.
[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，角α，β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.
[正解] 由易知tan α<0，tan β<0.
∵α，β∈(0，π)，∴<α<π，<β<π.∴π<α＋β<2π.
又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝π.
温馨点评 在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其它知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.
三、忽略三角形内角间的关系而致错
例3 在△ABC中，已知sin A＝，cos B＝，求cos C.
[错解] 由sin A＝，得cos A＝±，
由cos B＝，得sin B＝，
当cos A＝时，cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.
当cos A＝－时，cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.
[剖析] 在△ABC中，三个内角A，B，C的和为π，解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A＝±后，没有对cos A＝－这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确.
[正解] 由cos B＝>0，∴B∈，且sin B＝.
由sin A＝，得cos A＝±，
当cos A＝－时，cos A<－.∴A>.
∵sin B＝>，B∈，∴B>.
故当cos A＝－时，A＋B>π，与A，B是△ABC的内角矛盾.
∴cos A＝，cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.
温馨点评 涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和A＋B＋C＝180°这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止角的增解出现.
四、忽略三角函数的定义域而致错
例4 判断函数f(x)＝的奇偶性.
[错解] f(x)＝＝＝＝tan ，
由此得f(－x)＝tan＝－tan ＝－f(x)，
因此函数f(x)为奇函数.
[剖析] 运用公式后所得函数f(x)＝tan 的定义域为{x|x∈R，x≠2kπ＋π，k∈Z}.两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错.
[正解] 事实上，由1＋sin x＋cos x≠0可得sin x＋cos x≠－1，
即sin≠－1，从而sin≠－，
所以x＋≠2kπ＋且x＋≠2kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域是，
显然该定义域不关于原点对称.所以函数f(x)为非奇非偶函数.
温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错.
五、误用公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)而致错
例5 若函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)，x∈R是偶函数，求θ的值.
[错解] ∵f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)，
∴f(0)＝sin θ＋cos θ＝sin.
∵f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)是偶函数，
∴|f(0)|＝f(x)max＝.
∴f(0)＝sin＝±，
∴sin＝±1，∴θ＋＝kπ＋，k∈Z.
即θ＝kπ＋，k∈Z.
[剖析] 因为x＋θ与x－θ是不同的角，所以函数f(x)的最大值不是，上述解答把f(x)的最大值误当作来处理.
[正解] 因为f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)对一切x∈R恒成立.
即sin(x＋θ)＋cos(x－θ)＝sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ)恒成立.
∴[sin(x＋θ)＋sin(x－θ)]＋[cos(x－θ)－cos(x＋θ)]＝0.
∴2sin xcos θ＋2sin xsin θ＝0恒成立.
即2sin x(cos θ＋sin θ)＝0恒成立.
∴cos θ＋sin θ＝0.
∵cos θ＋sin θ＝sin＝0，
∴θ＋＝kπ，即θ＝kπ－，k∈Z.
温馨点评 注意公式asin x＋bcos x＝·sin?x＋φ?的左端是同角x.当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.
例如：函数f?x?＝sin?x＋θ?＋cos?x－θ??x∈R?的最大值不是2.
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.sin 53°cos 23°－cos 53°sin 23°等于( )
A. B.－ C.－ D.
考点 两角差的正弦公式
题点 给角求值
答案 A
解析 原式＝sin(53°－23°)＝sin 30°＝.
2.已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于( )
A.－ B.－ C. D.
考点 二倍角的正弦公式
题点 给值求值
答案 B
解析 sin(45°＋α)＝(sin α＋cos α)＝，
∴sin α＋cos α＝.
两边平方，得1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－.
3.若cos αcos β＝－sin αsin β，且α∈，β∈，则α－β的值是( )
A.－ B.－ C. D.
考点 两角差的余弦公式
题点 给值求角
答案 A
解析 由题得cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝，
又α∈，β∈，∴α－β∈(－π，0)，
∴α－β＝－.故选A.
4.已知β∈，满足tan(α＋β)＝，sin β＝，则tan α等于( )
A. B. C. D.
考点 两角差的正切公式
题点 给值求值
答案 B
解析 因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝，所以tan β＝＝.
又因为tan(α＋β)＝，
所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝＝＝，故选B.
5.在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为( )
A.正三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
考点 三角恒等变换在三角形中的应用
题点 利用三角恒等变换判断三角形的形状
答案 C
解析 在△ABC中，tan ＝sin C＝sin(A＋B)＝2sin cos ，
∴2cos2＝1，
∴cos(A＋B)＝0，A＋B＝，∴△ABC为直角三角形.
6.将函数f(x)＝cos2＋sin x－的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图像向右平移个单位长度得到函数g(x)的图像，则函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)＝cos B.g(x)＝－sin 2x
C.g(x)＝sin D.g(x)＝sin
考点 三角函数图像变换
题点 求变换后三角函数的解析式
答案 C
解析 ∵f(x)＝cos2＋sin x－＝×＋sin x－＝sin，
∴其图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的函数解析式为y＝sin，
再将所得图像向右平移个单位长度得到函数g(x)，
则g(x)＝sin＝sin.故选C.
7.已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A.－ B. C. D.－
考点 两角差的正切公式
题点 给值求值
答案 A
解析 ∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
∵tan(π－β)＝，
∴tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－，故选A.
8.已知tan ＝，则的值为( )
A. B.－ C. D.－
考点 三角恒等变换
题点 利用三角恒等变换求值
答案 A
解析 ＝＝tan ＝.
9.设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为( )
A. B. C. D.
考点 三角函数与向量的综合
题点 三角函数与向量的综合
答案 C
解析 ∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin C＋cos C＝2sin＝1，
∴sin＝.
∵0∴∴＋C＝，
∴C＝.
10.已知函数f(x)＝cos 2x＋2sin xcos x，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的图像关于直线x＝对称
B.f(x)的图像关于点对称
C.若f(x1)＝f(x2)，则x1－x2＝kπ，k∈Z
D.f(x)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)＝sin的图像
考点 三角函数的性质
题点 利用辅助角公式研究三角函数的性质
答案 A
解析 f(x)＝cos 2x＋2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x＝sin.
当x＝时，2x＋＝，所以直线x＝是对称轴，故A项正确；
当x＝－时，2x＋＝－，所以直线x＝－是对称轴，故B项错误；
易知f?＝f?＝0，但－－＝－，故C项错误；
f(x)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)＝·sin的图像，故D项错误.
11.若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )
A. B.－ C. D.－
考点 两角和的余弦公式
题点 给值求值
答案 C
解析 ∵0<α<，∴<α＋<.
∵cos＝，∴sin＝.
∵－<β<0，∴<－<.
∵cos＝，
∴sin＝.
∴cos＝cos＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
12.已知不等式3sin cos ＋cos2－－m≤0对任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.[，＋∞) B.(－∞，]
C.[－，＋∞) D.(－∞，－]
考点 三角函数与恒成立求参数范围问题
题点 利用辅助角公式研究恒成立求参数范围问题
答案 A
解析 ∵f(x)＝3sin cos ＋cos2－－m＝sin ＋cos －m≤0，
∴m≥sin.
∵－≤x≤，
∴－≤＋≤，
∴－≤sin≤，
∴m≥.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.＝ .
考点 余弦的二倍角公式
题点 给角求值
答案
解析
＝cos2－sin2＝cos ＝.
14.若方程sin x＋cos x＝a在[0，2π]上恰有两个不同的实数解，则a的取值范围为 .
考点 三角恒等变换与方程的综合
题点 三角恒等变换与方程的综合
答案 (－2，1)∪(1，2)
解析 a＝2＝2sin，
∵x∈[0，2π]，∴x＋∈，
∴2sin∈[－2，2]，
由于sin x＋cos x＝a有两个不同的实数解，
∴a∈(－2，1)∪(1，2).
15.计算：＝ .
考点 两角差的正切公式
题点 逆用两角差的正切公式求值
答案 1
解析 ∵＝＝tan 45°＝1，
∴＝1.
16.函数y＝sin2x－2sin xsin＋sin 的图像的对称轴是 ，对称中心是 .
考点 三角函数的性质
题点 利用三角恒等变换研究三角函数的性质
答案 x＝＋(k∈Z) (k∈Z)
解析 ∵y＝sin2x－2sin xsin＋sin ＝sin2x－2sin x－1
＝－sin xcos x－1＝－sin 2x－1.
令2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
令2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z).
∴该函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z).
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知tan α，tan β是x2＋3x＋4＝0的两根，－<α<，－<β<，求α＋β的值.
考点 两角和的正切公式与一元二次方程的综合
题点 两角和的正切公式与一元二次方程的综合
解 ∵tan α＋tan β＝－3<0，tan αtan β＝4>0，
∴tan α<0，tan β<0.
∵－<α<，－<β<，
∴－<α<0，－<β<0.
∴－π<α＋β<0，
∴tan(α＋β)＝＝＝，
∴α＋β＝－.
18.(12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f?的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值.
考点 三角函数的最值
题点 化为sin x或cos x的二次函数求最值
解 (1)f?＝2cos ＋sin2－4cos ＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x＝3cos2x－4cos x－1＝32－，x∈R.
因为cos x∈[－1，1]，
所以当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝时，f(x)取得最小值－.
19.(12分)已知函数f(x)＝4sin·cos ωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0，2).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，若α为锐角，且g(α)＝－，求cos α的值.
考点 三角函数的综合问题
题点 三角函数的综合问题
解 (1)f(x)＝4sin·cos ωx＝4cos ωx
＝2 sin ωxcos ωx－2cos2ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx－＝2sin－，
∵函数f(x)在x＝处取得最值，∴2ω×－＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝2k＋，k∈Z，又ω∈(0，2)，∴ω＝，∴f(x)＝2sin－，∴最小正周期T＝.
(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin－＝2sin－的图像，
再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝2sin－的图像，即g(x)＝2sin－.
∵α为锐角，g(α)＝2sin－＝－，
∴sin＝，cos＝＝，
∴cos α＝cos＝cos－sin＝×－×＝.
20.(12分)如图，将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法，让矩形一边在扇形的一半径OA上(如图①)或让矩形一边与弦AB平行(如图②)，请问哪种裁法得到的矩形的最大面积大？请求出这个最大值.
考点 三角函数的实际应用
题点 三角函数的实际应用
解 对于题干图①，MN＝20sin θ，ON＝20cos θ，
所以S1＝ON·MN＝400sin θcos θ＝200sin 2θ.
所以当sin 2θ＝1，即θ＝45°时，S1max＝200 cm2.
对于题干图②，MQ＝40sin(60°－α)，MN＝sin α，
所以S2＝.
因为0°<α<120°，
所以－60°<2α－60°<180°，
所以当cos(2α－60°)＝1，即2α－60°＝0，
即α＝30°时，S2max＝ cm2.
因为>200，
所以用图②这种裁法得到的矩形的最大面积大，为 cm2.
21.(12分)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(2＋sin x，2－cos x)，函数f(x)＝m·n，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值.
考点 三角函数与向量的综合
题点 三角函数与向量的综合
解 (1)因为f(x)＝m·n＝cos x(2＋sin x)＋sin x·(2－cos x)
＝2(sin x＋cos x)＝4sin(x∈R)，
所以f(x)的最大值是4.
(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.
又因为x∈，即x＋∈.
所以cos＝－.
cos＝cos＝coscos －sinsin
＝－×－×＝－.
22.(12分)已知函数f(x)＝sin＋cos＋2cos2x－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，且f(α)＝，求cos 2α.
考点 三角函数的综合问题
题点 三角函数的综合问题
解 (1)∵f(x)＝sin 2x－cos 2x＋cos 2x＋sin 2x＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)∵f(α)＝，∴sin＝，
∴sin＝.
∵α∈，∴≤2α＋≤，
∴cos＝－.
∴cos 2α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝－.
§1 同角三角函数的基本关系
学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.
知识点 同角三角函数的基本关系式
思考1 计算下列式子的值：
(1)sin230°＋cos230°；
(2)sin245°＋cos245°；
(3)sin290°＋cos290°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它.
答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝x.
∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1.
思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
答案 ∵tan α＝，∴tan α＝.
梳理 (1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
②商数关系：tan α＝ .
(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
②tan α＝的变形公式
sin α＝cos αtan α；cos α＝.
1.sin2α＋cos2β＝1.( × )
提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
2.sin2＋cos2＝1.( √ )
提示 在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1.
3.对任意的角α，都有tan α＝成立.( × )
提示 当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立.
类型一 利用同角三角函数的关系式求值
例1 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为( )
A. B.－ C. D.－
考点 利用同角三角函数的关系式求值
题点 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
答案 D
解析 ∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，
∴tan α＝＝－，故选D.
反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.
跟踪训练1 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
考点 利用同角三角函数的关系式求值
题点 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
解 由tan α＝＝，得sin α＝cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
例2 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.
考点 利用同角三角函数的关系式求值
题点 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
解 ∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角.
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
跟踪训练2 已知cos α＝－，求13sin α＋5tan α的值.
考点 利用同角三角函数的关系式求值
题点 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
解 方法一 ∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限角.
(1)若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－，
故13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
(2)若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－＝－，
tan α＝＝＝，
故13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上可知，13sin α＋5tan α＝0.
方法二 ∵tan α＝，
∴13sin α＋5tan α＝13sin α＝13sin α＝0.
类型二 利用同角三角函数关系化简
例3 已知α是第三象限角，化简：－.
考点 利用同角三角函数关系化简
题点 利用同角三角函数关系化简
解 原式＝－
＝－＝－.
∵α是第三象限角，
∴cos α＜0.
∴原式＝－＝－2tan α(注意象限、符号).
反思与感悟 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
跟踪训练3 化简：(1)；
(2)－(α为第二象限角).
考点 利用同角三角函数关系化简
题点 利用同角三角函数关系化简
解 (1)原式＝
＝＝＝＝1.
(2)∵α是第二象限角，∴cos α＜0，
则原式＝－＝－
＝＋＝＝＝tan α.
类型三 利用同角三角函数关系证明
例4 求证：＝.
考点 利用同角三角函数关系证明
题点 利用同角三角函数关系证明
证明 ∵右边＝＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立.
反思与感悟 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简.
(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).
(3)比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0).
(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.
跟踪训练4 求证：＝.
考点 利用同角三角函数关系证明
题点 利用同角三角函数关系证明
证明 方法一 (比较法——作差)
∵－＝＝＝0，
∴＝.
方法二 (比较法——作商)
∵＝＝＝＝＝1，
∴＝.
方法三 (综合法)
∵(1－sin x)(1＋sin x)＝1－sin2x＝cos2x＝cos x·cos x，∴＝.
类型四 齐次式求值问题
例5 已知tan α＝2，求下列代数式的值.
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
考点 齐次式求值问题
题点 齐次式求值问题
解 (1)原式＝＝.
(2)原式＝＝＝＝.
反思与感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值.
(2)注意假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式.
跟踪训练5 已知＝2，计算下列各式的值.
(1)；
(2)sin2α－2sin αcos α＋1.
考点 齐次式求值问题
题点 齐次式求值问题
解 由＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.
(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＋1＝＋1＝＋1＝.
1.若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A.－ B. C.± D.±
考点 利用同角三角函数的关系式求值
题点 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
答案 A
解析 ∵α为第二象限角，sin α＝，
∴cos α＝－，tan α＝－.
2.已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于( )
A. B.－ C.－ D.
考点 利用sin α±cos α，sin αcos α之间的关系解题
题点 利用sin α±cos α，sin αcos α之间的关系解题
答案 C
解析 由题得(sin α－cos α)2＝，
即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－.故选C.
3.化简的结果是( )
A.cos B.sin
C.－cos D.－sin
考点 利用同角三角函数关系化简
题点 利用同角三角函数关系化简
答案 C
解析 ＝＝，
∵<<π，∴cos<0，
∴＝－cos，
即＝－cos，故选C.
4.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝ .
考点 齐次式求值问题
题点 齐次式求值问题
答案 －
解析 sin θcos θ＝＝＝－.
5.已知sin α＝，求cos α，tan α.
考点 利用同角三角函数的关系式求值
题点 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
解 ∵sin α＝>0，∴α是第一或第二象限角.
当α为第一象限角时，cos α＝＝＝，tan α＝＝；
当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－.
1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.
2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.
3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.
4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.
5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.
一、选择题
1.(2017·阜阳检测)等于( )
A.sin B.cos
C.－sin D.－cos
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的平方关系
答案 A
解析 ∵0<<，∴sin >0，
∴＝＝sin .
2.已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α等于( )
A.－ B.－ C.－ D.－
考点 利用同角三角函数的关系式求值
题点 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
答案 C
解析 ∵α是第二象限角，∴cos α<0.
又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－，
∴cos α＝－.
3.已知A是三角形的一个内角，sin A＋cos A＝，则这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
考点 利用sin α±cos α，sin αcos α之间的关系解题
题点 利用sin α±cos α，sin αcos α之间的关系解题
答案 B
解析 ∵sin A＋cos A＝，
∴1＋2sin Acos A＝，∴sin Acos A＝－＜0，
又∵A∈(0，π)，sin A＞0，
∴cos A＜0，即A为钝角.故选B.
4.函数y＝＋的值域是( )
A.{0，2} B.{－2，0}
C.{－2，0，2} D.{－2，2}
考点 利用同角三角函数关系化简
题点 利用同角三角函数关系化简
答案 C
解析 y＝＋.
当x为第一象限角时，y＝2；
当x为第三象限角时，y＝－2；
当x为第二、四象限角时，y＝0.
5.(2017·四川成都树德中学期中)已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为( )
A. B.－ C. D.－
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的平方关系
答案 A
解析 由sin4θ＋cos4θ＝，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，
∴sin2θcos2θ＝，
∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，
∴sin θcos θ＝.
6.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )
A.－ B. C.－ D.
考点 齐次式求值问题
题点 齐次式求值问题
答案 D
解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝.
7.已知＝，则等于( )
A. B.－ C.2 D.－2
考点 利用同角三角函数关系求值
题点 利用同角三角函数关系求值
答案 B
解析 利用1－sin2x＝cos2x，可得＝－＝－.
二、填空题
8.已知＝1，则α在第 象限.
考点 利用同角三角函数关系求值
题点 利用同角三角函数关系求值
答案 二或四
解析 ＝tan α＋2＝1，tan α＝－1＜0，
∴α在第二或第四象限.
9.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝ .
考点 利用同角三角函数关系求值
题点 利用同角三角函数关系求值
答案 3或－
解析 因为sin α＋2cos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，
联立解得或
故tan α＝＝－或3.
10.在△ABC中，sin A＝，则角A＝ .
考点 同角三角函数关系式在三角形中的应用
题点 同角三角函数关系式在三角形中的应用
答案
解析 由题意知cos A>0，即A为锐角.
将sin A＝两边平方，得2sin2A＝3cos A.
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
∴A＝.
11.已知tan α＝－，则＝ .
考点 齐次式求值问题
题点 齐次式求值问题
答案 －
解析 原式＝＝＝＝＝－.
12.已知sin θ＋cos θ＝－，则＋＝ ，tan θ＝ .
考点 利用同角三角函数关系求值
题点 利用同角三角函数关系求值
答案 －3或－
解析 (1)因为sin θ＋cos θ＝－，
所以1＋2sin θcos θ＝，sin θcos θ＝－，
所以＋＝＝.
(2)由(1)得＝－，
所以＝－，即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0，
所以tan θ＝－3或tan θ＝－.
三、解答题
13.已知tan α＝3，求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
考点 齐次式求值问题
题点 齐次式求值问题
解 (1)∵tan α＝3，∴cos α≠0.
原式的分子、分母同除以cos α，
得原式＝＝＝.
(2)原式的分子、分母同除以cos2α，得
原式＝＝＝－.
(3)原式＝＝＝＝.
四、探究与拓展
14.若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为 .
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 1
解析 ∵sin α＋cos α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.
当sin α＝0时，cos α＝1，
此时有sinnα＋cosnα＝1；
当cos α＝0时，sin α＝1，
也有sinnα＋cosnα＝1，
∴sinnα＋cosnα＝1.
15.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值；
(2)＋的值；
(3)方程的两根及此时θ的值.
考点 同角三角函数的综合问题
题点 同角三角函数的综合问题
解 (1)由根与系数的关系可知，
sin θ＋cos θ＝，①
sin θ·cos θ＝m.②
将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝，
所以sin θ·cos θ＝，
代入②得m＝.
(2)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(3)由(1)得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
所以或
又因为θ∈(0，π)，
所以θ＝或.
§2 两角和与差的三角函数
2.1 两角差的余弦函数
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.
知识点 两角差的余弦公式
思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明.
答案 不正确.
例如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos ＝，
而cos α－cos β＝cos －cos ＝－，
故cos(α－β)≠cos α－cos β；
再如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos ＝，
而cos α－cos β＝cos －cos ＝，
故cos(α－β)≠cos α－cos β.
思考2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.
①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1；
②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝；
③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0；
④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝.
猜想：
cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，
即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
思考3 单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？
答案 A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β).与的夹角是α－β.
思考4 请根据上述条件推导两角差的余弦公式.
答案 ①·＝||||cos(α－β)＝cos(α－β)，
②·＝cos αcos β＋sin αsin β.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
梳理 Cα－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.
(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.
1.存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β.( √ )
提示 如α＝，β＝，cos(α－β)＝cos＝cos＝，cos α－cos β＝cos －cos ＝，满足cos(α－β)＝cos α－cos β.
2.任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( × )
提示 由两角差的余弦公式可知不正确.
3.任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( √ )
类型一 利用两角差的余弦公式化简求值
例1 计算：(1)cos(－15°)；
(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
考点 两角差的余弦公式
题点 运用公式化简求值
解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝×＋×＝.
方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝.
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.
反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路：
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
跟踪训练1 化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为( )
A. B. C.－ D.－
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 B
解析 cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°
＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝.
类型二 给值求值
例2 已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α－β)＝，求cos β的值.
考点 两角差的余弦公式
题点 给值求值
解 因为α∈，sin α＝<，所以0<α<，
所以α－β∈，又因为cos(α－β)＝<，
所以－<α－β<－.
所以cos α＝＝＝，
sin(α－β)＝－＝－＝－，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
反思与感悟 三角恒等变形是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等.
跟踪训练2 已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求cos(α－β)的值.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
解 ∵(sin α＋sin β)2＝2，(cos α＋cos β)2＝2，
以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，
∴cos(α－β)＝－.
类型三 给值求角
例3 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值.
考点 两角差的余弦公式
题点 给值求角
解 由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，
即cos β＝×＋×＝，
又∵0<β<，∴β＝.
反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤：
(1)求角的某一个三角函数值.
(2)确定角的范围.
(3)根据角的范围写出所求的角.
跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值.
考点 两角差的余弦公式
题点 给值求角
解 由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，得sin(α＋β)＝－.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α＋β∈，α－β∈，∴2β∈，
∴2β＝π，则β＝.
1.计算cos cos ＋cos sin 的值是( )
A.0 B. C. D.
考点 两角差的余弦公式
题点 运用公式化简求值
答案 C
解析 cos cos ＋cos sin ＝cos cos ＋sin sin ＝cos＝cos ＝.
2.若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b等于( )
A. B. C. D.－
考点 两角差的余弦公式与向量的综合
题点 两角差的余弦公式与向量的综合
答案 A
解析 a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝，故选A.
3.设α∈，若sin α＝，则cos等于( )
A. B. C.－ D.－
考点 两角差的余弦公式
题点 给值求值
答案 A
解析 ∵α∈，sin α＝，cos α＝.
∴cos＝＝cos α＋sin α＝＋＝.
4.设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于( )
A. B.
C.或 D.或
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 A
解析 依题意得sin α＝＝，cos(α＋β)＝±＝±.
又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β).
因为>>－，所以cos(α＋β)＝－.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
5.已知sin α＝－，sin β＝，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.
考点 两角差的余弦公式
题点 给值求值
解 因为sin α＝－，180°<α<270°，所以cos α＝－.
因为sin β＝，90°<β<180°，所以cos β＝－.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－＝.
1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.
2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值.
(2)确定角所在的范围(找区间).
(3)确定角的值.
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
一、选择题
1.化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为( )
A. B.－ C. D.－
考点 两角差的余弦公式
题点 运用公式化简求值
答案 A
解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.
2.已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于( )
A. B. C.－ D.
考点 两角差的余弦公式
题点 给角求值
答案 A
解析 由题意可得sin α＝，cos α＝，
cos＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝.
3.已知cos＝，0＜θ＜，则cos θ等于( )
A. B. C. D.
考点 两角差的余弦公式
题点 给值求值
答案 A
解析 ∵θ∈，
∴θ＋∈，
∴sin＝＝.
∴cos θ＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝.
4.若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.
考点 两角差的余弦公式
题点 给值求角
答案 C
解析 ∵α，β∈，且α<β
∴α－β∈，2α∈(0，π)，
∴sin(α－β)＝－，sin 2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
5.若cos(α＋β)＝，sin＝，α，β∈，则cos的值为( )
A. B. C. D.
考点 两角差的余弦公式
题点 给值求值
答案 C
解析 ∵α，β∈，
∴α＋β∈(0，π)，β－∈.
又∵cos(α＋β)＝，sin＝，
∴sin(α＋β)＝＝，
cos＝＝，
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝，故选C.
6.计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( )
A.－ B. C. D.－
考点 两角差的余弦公式
题点 运用公式化简求值
答案 B
解析 sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝，故选B.
7.化简sin(x＋y)sin(y－x)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为( )
A.sin 2y B.cos 2y
C.－cos 2y D.－sin 2y
考点 两角差的余弦公式
题点 运用公式化简求值
答案 C
解析 原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y，故选C.
8.的值是( )
A. B. C. D.
考点 给角求值
题点 给角求值
答案 C
解析 原式＝＝
＝＝.
二、填空题
9.已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m，且β为第三象限角，则sin β＝ .
考点 两角差的余弦公式与同角三角函数关系式的综合
题点 两角差的余弦公式与同角三角函数关系式的综合
答案 －
解析 cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝cos[(α－β)－α]＝m，
即cos β＝m.
又∵β为第三象限角，
∴sin β＝－＝－.
10.设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cos A，2sin A)，b＝(3cos B，3sin B).若a，b的夹角的弧度数为，则A－B＝ .
考点 两角差的余弦公式与向量的综合
题点 两角差的余弦公式与向量的综合
答案 ±
解析 cos ＝＝＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B).
又－＜A－B＜，∴A－B＝±.
11.已知cos α－2cos β＝－，sin α－2sin β＝，则cos(α－β)＝ .
考点 两角差的余弦公式
题点 给值求值
答案
解析 由
得
两式相加，得5－4cos(α－β)＝，
所以cos(α－β)＝.
12.函数f(x)＝sin 2xsin －cos 2xcos 在上的递增区间为 .
考点 两角差的余弦公式
题点 两角差的余弦公式的综合应用
答案
解析 f(x)＝sin 2xsin －cos 2xcos ＝sin 2xsin ＋cos 2xcos ＝cos.当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)是增加的.取k＝0，得－≤x≤，故函数f(x)在上的递增区间为.
三、解答题
13.已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且＜α＜，0＜β＜，求证：α＋β＝.
考点 两角差的余弦公式
题点 给值求值
证明 因为＜α＜，0＜β＜，所以＜2α－β＜π，
因为cos(2α－β)＝－，所以＜2α－β＜π，
所以sin(2α－β)＝.
因为＜α＜，0＜β＜，所以－＜α－2β＜.
因为sin(α－2β)＝，所以0＜α－2β＜.
所以cos(α－2β)＝，
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝0.
又＜α＜，0＜β＜，所以＜α＋β＜，
所以α＋β＝.
四、探究与拓展
14.函数y＝cos x＋cos，x∈[0，π]的最小值为( )
A.－ B.
C.－ D.
考点 两角差的余弦公式
题点 两角差的余弦公式的综合应用
答案 C
解析 y＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos，
因为x∈[0，π]，所以x－∈，
故ymin＝×＝－.
15.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β；
(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值.
考点 两角差的余弦公式与同角三角函数关系式的综合
题点 两角差的余弦公式与同角三角函数关系式的综合
解 (1)∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos α＝.
(2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－，
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－×＋×＝.
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式的过程.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
知识点一 两角和的余弦
思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
答案 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到.
梳理 两角和的余弦公式
公式
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
简记符号
Cα＋β
使用条件
α，β都是任意角
记忆口决：“余余正正，符号相反”.
知识点二 两角和与差的正弦
思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
答案 sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscos β＋sinsin β
＝sin αcos β＋cos αsin β.
思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？
答案 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
梳理 两角和与差的正弦公式
内容
两角和的正弦
两角差的正弦
简记符号
Sα＋β
Sα－β
公式形式
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
记忆口诀：“正余余正，符号相同”.
1.不存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( × )
提示 如α＝β＝0，cos(α＋β)＝cos 0＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1.
2.任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.( √ )
提示 由两角和的正弦公式知结论正确.
3.存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )
提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.
4.存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ )
提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0.
类型一 给角求值
例1 (1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°).
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给角求值
解 原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝.
(2)＝ .
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给角求值
答案
解析 原式＝
＝＝＝sin 30°＝.
反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.
(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.
跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x).
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给角求值
解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
类型二 给值求值
例2 已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值.
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给值求值
解 ∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴cos(α＋β)＝sin＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.
跟踪训练2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值.
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给值求值
解 ∵<β<α<，
∴0<α－β<，π<α＋β<.
∴sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝×－×＝－，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－.
类型三 可化为两角和与差的正弦形式
例3 将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：
(1)sin x－cos x；
(2)sin＋cos.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用辅助角公式化简求值
解 (1)sin x－cos x＝2＝2＝2sin.
(2)原式＝＝
＝cos＝cos＝sin.
反思与感悟 一般地对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.
跟踪训练3 sin －cos ＝ .
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用辅助角公式化简求值
答案 －
解析 ∵原式＝2，
∴原式＝2＝2
＝2sin＝2sin＝－.
1.计算cos ＋sin 的值是( )
A. B.2 C.2 D.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案 B
解析 cos ＋sin ＝2
＝2＝2sin＝2sin ＝2.
2.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A.－ B. C.－ D.
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给角求值
答案 D
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
3.已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给值求值(角)
答案
解析 ∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.
4.设α为锐角，若cos＝，则sin＝ .
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案
解析 因为α为锐角，所以<α＋<.
又cos＝，所以sin＝.
所以sin＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.
5.化简：sincos－cos·sin.
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给角求值
解 原式＝sincos－sin·cos＝sin
＝sin＝sin cos －cos sin ＝×－×＝.
1.公式的推导和记忆
(1)理顺公式间的逻辑关系
Cα－βCα＋βSα＋βSα－β.
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式Cα－β，Cα＋β可记为“同名相乘，符号反”；
对于公式Sα－β，Sα＋β可记为“异名相乘，符号同”.
(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式Cα－β，Cα＋β，Sα－β，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意.
2.应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.
一、选择题
1.已知α∈，sin＝，则sin α等于( )
A. B.
C.－或 D.－
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给值求值
答案 B
解析 由α∈，得<α＋<，
所以cos＝－＝－＝－.
所以sin α＝sin ＝sincos －cossin ＝×＝，故选B.
2.sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于( )
A.－ B.－
C. D.
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给角求值
答案 C
解析 sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝sin 10°cos 20°＋cos 10°sin 20°
＝sin(10°＋20°)＝sin 30°＝，故选C.
3.在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于( )
A. B.－
C. D.－
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给值求值
答案 A
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝(cos B＋)＝×＝.
4.已知0<α<<β<π，又sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β等于( )
A.0 B.0或
C. D.0或－
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给值求值
答案 C
解析 ∵0<α<<β<π，sin α＝，cos(α＋β)＝－，∴cos α＝，sin(α＋β)＝或－.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝或0.
∵<β<π，∴sin β＝.
5.在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 两角和与差的正弦、余弦公式在三角形中的应用
答案 D
解析 ∵A＝180°－(B＋C)，
∴sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bcos C.
又∵sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝sin(B－C)＝0，
则B＝C，故△ABC为等腰三角形.
6.已知cos＋sin α＝，则sin的值为( )
A.－ B.
C.－ D.
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给值求值
答案 C
解析 ∵cos＋sin α＝，
∴cos αcos ＋sin αsin ＋sin α＝，
∴cos α＋sin α＝，即cos α＋sin α＝，
∴sin＝.
∴sin＝－sin＝－.
7.函数f(x)＝cos－cos是( )
A.周期为π的偶函数
B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数
D.周期为2π的奇函数
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 利用公式判断三角函数周期性、奇偶性
答案 D
解析 因为f(x)＝cos－cos＝－＝－sin x，所以函数f(x)的最小正周期为＝2π.
又f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，故选D.
8.已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则sin的值为( )
A. B. C. D.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案 A
解析 因为sin α＋cos α＝，α∈(0，π).
所以1＋2sin αcos α＝，2sin αcos α＝－，
所以sin α>0，cos α<0，
由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.
可得sin α－cos α＝.
解得sin α＝，cos α＝.
因为cos ＝cos＝cos cos ＋sin sin ＝，
sin ＝sin＝sin cos －cos sin ＝，
则sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝.
二、填空题
9.sin 15°＋sin 75°＝ .
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给角求值
答案
解析 sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cos 30°＝.
10.(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为 .
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用辅助角公式化简求值
答案
解析 f(x)＝2cos x＋sin x＝，
设sin α＝，cos α＝，则f(x)＝sin(x＋α)，
∴函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为.
11.＝ .
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给角求值
答案 1
解析 原式＝＝＝tan 45°＝1.
三、解答题
12.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，求β的值.
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给值求值(角)
解 ∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝.
∵－<α－β<且sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝，
∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝×＋×＝.
又∵β为锐角，∴β＝.
13.若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，求α＋β的值.
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给值求角
解 因为α∈，所以2α∈.
又sin 2α＝，故2α∈，
所以α∈，且cos 2α＝－.
又β∈，所以β－α∈，α＋β∈，
于是cos(β－α)＝－，
所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝×－×＝，
故α＋β＝.
四、探究与拓展
14.定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β＝ .
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 给值求值
答案
解析 由题意，得sin αcos β－cos αsin β＝，
∴sin(α－β)＝.
∵0＜β＜α＜，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝＝.
又由cos α＝，得sin α＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，
又∵0<β<，∴β＝.
15.已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f?＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f?.
考点 两角和与差的正弦、余弦公式
题点 两角和与差的正弦、余弦公式与函数的综合
解 (1)由f?＝Asin＝Asin ＝＝，可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin－3sin＝，
即3－3＝，
故sin θ＝.
因为θ∈，所以cos θ＝，
所以f?＝3sin＝3sin＝3cos θ＝.
2.3 两角和与差的正切函数
学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.
知识点一 两角和与差的正切
思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
答案 tan(α＋β)＝＝，
分子分母同除以cos αcos β，便可得到.
思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？
答案 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到.
梳理 两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
Tα＋β
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
Tα－β
tan(α－β)＝
α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)
知识点二 两角和与差的正切公式的变形
(1)Tα＋β的变形：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β).
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β).
tan αtan β＝1－.
(2)Tα－β的变形：
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β).
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β).
tan αtan β＝－1.
1.对于任意角α，β，总有tan(α＋β)＝ .( × )
提示 公式成立需α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
2.使公式tan(α±β)＝有意义，只需α，β≠kπ＋(k∈Z)即可.( × )
提示 还应使α±β≠kπ＋，k∈Z.
3.若α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)恒成立.( √ )
4.α≠kπ－，且α≠kπ＋，k∈Z时，tan＝.( √ )
类型一 正切公式的正用
例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为 .
考点 两角和与差的正切公式
题点 给值求值
答案 3
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
(2)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝ .
考点 两角和与差的正切公式
题点 给值求角
答案
解析 因为tan α＝，tan β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝1.
因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角.
(2)利用公式Tα＋β求角的步骤：
①计算待求角的正切值.
②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息.
③根据角的范围及三角函数值确定角.
跟踪训练1 (2017·江苏)若tan＝，则tan α＝ .
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案
解析 方法一 ∵tan＝＝＝.
∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，
∴tan α＝.
方法二 tan α＝tan＝＝＝.
类型二 正切公式的逆用
例2 (1)＝ ；
(2)＝ .
考点 两角和与差的正切公式
题点 逆用两角和与差的正切公式求值
答案 (1) (2)－1
解析 (1)原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝.
(2)原式＝＝＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.
反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现，1，这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示.
跟踪训练2 求下列各式的值：
(1)；
(2).
考点 两角和与差的正切公式
题点 逆用两角和与差的正切公式求值
解 (1)原式＝＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝＝＝.
类型三 正切公式的变形使用
例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°；
(2)若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，求α＋β的值.
考点 两角和与差的正切公式
题点 变形使用两角和与差的正切公式
解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°
＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
方法二 ∵tan(23°＋37°)＝，
∴＝，
∴－tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
(2)∵(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，
∴tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，
∴tan(α＋β)＝＝.
又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝60°.
反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式：
①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)或②1?tan α·tan β＝.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.
跟踪训练3 在△ABC中，A＋B≠，且tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C的值为( )
A. B. C. D.
考点 两角和与差的正切公式
题点 变形使用两角和与差的正切公式
答案 A
解析 ∵tan A＋tan B＋＝tan Atan B?tan(A＋B)·(1－tan Atan B)＝(tan Atan B－1)，①
∴若1－tan Atan B＝0，
则cos Acos B－sin Asin B＝0，
即cos(A＋B)＝0.
∵0∴A＋B＝，与题设矛盾.
∴由①得tan(A＋B)＝－，即tan C＝.
又∵0∴C＝.
1.若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于( )
A. B.－ C.3 D.－3
考点 两角和与差的正切公式
题点 给值求值
答案 A
解析 tan(α－β)＝＝＝.
2.已知cos α＝－，且α∈，则tan等于( )
A.－ B.－7 C. D.7
考点 两角和与差的正切公式
题点 给值求值
答案 D
解析 由cos α＝－，且α∈，得sin α＝，
所以tan α＝＝－，
所以tan＝＝＝7.故选D.
3.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A.1 B.2 C.－2 D.不确定
考点 两角和与差的正切公式
题点 变形使用两角和与差的正切公式
答案 B
解析 (1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.
4.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝ .
考点 两角和与差的正切公式
题点 给值求角
答案
解析 ∵B为锐角，sin B＝，
∴cos B＝，
∴tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
又∵05.已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .
考点 两角和与差的正切公式
题点 给值求值
答案
解析 由条件知＝＝3，则tan α＝2.
∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.
1.公式Tα±β的结构特征和符号规律
(1)公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
2.应用公式Tα±β时要注意的问题
(1)公式的适用范围
由正切函数的定义可知，α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z).
(2)公式的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等.
特别要注意tan＝，tan＝.
(3)公式的变形应用
只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式Tα±β的意识，就不难想到解题思路.
特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.
一、选择题
1.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β等于( )
A. B. C. D.
考点 两角和与差的正切公式
题点 给值求值
答案 A
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
2.tan 23°tan 97°－tan 23°－tan 97°的值为( )
A.2 B.2 C. D.0
考点 两角和与差的正切公式
题点 给值求值
答案 C
解析 ∵tan(23°＋97°)＝＝tan 120°＝－，
∴tan 23°＋tan 97°＝－＋tan 23°tan 97°，
∴原式＝tan 23°tan 97°－(－＋tan 23°tan 97°)＝.
3.已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan的值为( )
A. B. C. D.
考点 两角和与差的正切公式
题点 给值求值
答案 A
解析 因为α＋＝(α＋β)－(β－)，
所以tan＝＝＝.
4.A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
考点 两角和与差的正切公式的综合问题
题点 两角和与差的正切公式与三角形的综合
答案 A
解析 ∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，
∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形.
5.若tan 28°tan 32°＝a，则tan 28°＋tan 32°等于( )
A.a B.(1－a) C.(a－1) D.(a＋1)
考点 两角和与差的正切公式
题点 变形使用两角和与差的正切公式
答案 B
解析 ∵tan(28°＋32°)＝＝，
∴tan 28°＋tan 32°＝(1－a).
6.设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan等于( )
A.－ B. C.－3 D.3
考点 两角和与差的正切公式的综合问题
题点 两角和与差的正切公式与向量的综合
答案 B
解析 由a·b＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.
tan＝＝＝.
7.在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则B等于( )
A.30° B.45° C.120° D.60°
考点 两角和与差的正切公式的综合问题
题点 两角和与差的正切公式与三角形的综合
答案 D
解析 由公式变形得
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)＝－tan C＋tan Atan Btan C.
∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3.
又∵tan2B＝tan Atan C，
∴tan3B＝3，
∴tan B＝，又0°＜B＜180°，
∴B＝60°.
二、填空题
8.(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝ .
考点 两角和与差的正切公式
题点 变形使用两角和与差的正切公式
答案 4
解析 tan 45°＝tan(21°＋24°)＝1，
∴tan 21°＋tan 24°＝1－tan 21°tan 24°，
∴tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＋1＝2，
即(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2.
同理，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
∴原式＝2×2＝4.
9.＝ .
考点 两角和与差的正切公式
题点 逆用两角和与差的正切公式求值
答案
解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.
10.已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝ .
考点 两角和与差的正切公式
题点 变形使用两角和与差的正切公式
答案 1
解析 ∵tan β＝＝，
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α，
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
又α，β均为锐角，∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β≠0，
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.
11.已知tan＝2，则的值为 .
考点 两角和与差的正切公式
题点 两角和与差的正切公式的综合应用
答案
解析 ∵tan＝2，∴＝2，解得tan α＝.
∴＝＝＝＝.
三、解答题
12.已知tan＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值.
考点 两角和与差的正切公式
题点 齐次式求值
解 (1)∵tan＝，
∴＝，∴2＋2tan α＝1－tan α，
∴tan α＝－.
(2)＝tan α－＝－－＝－.
13.已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<，求tan(α＋β)及α＋β的值.
考点 两角和与差的正切公式综合问题
题点 两角和与差的正切公式与一元二次方程的综合
解 ∵tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<，π<β<，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.
四、探究与拓展
14.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝ .
考点 两角和与差的正切公式的综合问题
题点 两角和与差的正切公式与三角形的综合
答案
解析 ∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，
∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝＝，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值.
考点 两角和与差的正切公式的综合问题
题点 两角和与差的正切公式的综合问题
解 由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，sin β＝＝.
因此tan α＝＝7，tan β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.
又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.
§3 二倍角的三角函数(一)
学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变形并能灵活地将公式变形运用.
知识点一 二倍角公式
思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？
答案 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；
tan 2α＝tan(α＋α)＝.
思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？
答案 cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；
或cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
梳理 二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α， (S2α) (3.9)
cos 2α＝cos2α－sin2 α (C2α) (3.10)
＝1－2sin2α (3.11)
＝2cos2α－1， (3.12)
tan 2α＝. (T2α) (3.13)
知识点二 二倍角公式的变形
1.公式的逆用
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.
2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，
1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
降幂公式
cos2α＝，sin2α＝.
1.sin α＝2sin cos .( √ )
2.cos 4α＝cos22α－sin22α.( √ )
3.对任意角α，tan 2α＝.( × )
提示 公式中所含各角应使三角函数有意义.如α＝及α＝，上式均无意义.
类型一 给角求值
例1 求下列各式的值：
(1)cos 72°cos 36°；(2)－cos215°；(3)；(4)－.
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 给角求值
解 (1)cos 36°cos 72°＝＝＝＝.
(2)－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°＝－.
(3)＝2·＝2·＝－2.
(4)－＝＝
＝＝＝4.
反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)cos cos cos ；
(2)＋.
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 给角求值
解 (1)原式＝＝＝
＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝＝4.
类型二 给值求值
例2 (1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝ .
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 给值求值
答案
解析 (sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2，即sin 2α＝1－2＝.
(2)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于( )
A. B. C.1 D.
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 利用倍角公式化齐次式求值
答案 A
解析 cos2α＋2sin 2α＝＝.
把tan α＝代入，得cos2α＋2sin 2α＝＝＝.
故选A.
引申探究
在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝，求sin 2α.
解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝，
∴1＋2sin αcos α＝，
即1＋sin 2α＝，
∴sin 2α＝－.
反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.
(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
跟踪训练2 (1)(2017·石家庄高一检测)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为( )
A.－ B.－ C. D.
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值
答案 A
解析 因为sin(π－α)＝，所以sin α＝，
又因为≤α≤π，
所以cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
(2)已知α为锐角，若cos＝，则cos＝ .
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
答案
解析 因为α为锐角，cos＝>0，
所以α＋为锐角，sin＝，
则sin＝2sincos＝2××＝.
又cos＝sin，所以cos＝.
类型三 利用倍角公式化简
例3 化简：.
考点 利用倍角公式化简
题点 利用倍角公式化简
解 方法一 原式＝
＝＝＝＝1.
方法二 原式＝＝
＝＝＝1.
反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求：
①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.
(2)化简的方法：
①弦切互化，异名化同名，异角化同角.
②降幂或升幂.
③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
跟踪训练3 化简下列各式：
(1)＜α＜，则＝ ；
(2)α为第三象限角，则－＝ .
考点 利用倍角公式化简
题点 利用倍角公式化简
答案 (1)sin α－cos α (2)0
解析 (1)∵α∈，∴sin α＞cos α，
∴＝＝
＝＝sin α－cos α.
(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，
∴－ ＝－＝－＝0.
1.(2017·山东)已知cos x＝，则cos 2x等于( )
A.－ B. C.－ D.
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 利用二倍角公式求二倍角的余弦值
答案 D
解析 cos 2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.故选D.
2.sin4－cos4等于( )
A.－ B.－ C. D.
考点 二倍角的余弦公式
题点 给角求值
答案 B
解析 原式＝·
＝－＝－cos ＝－.
3.＝ .
考点 二倍角的正切公式
题点 给角求值
答案 1－
解析 ＝·＝tan 15°＝·＝1－.
4.设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α＝ .
考点 二倍角的正切公式
题点 给值求值
答案
解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈，∴sin α≠0，∴2cos α＋1＝0，
即cos α＝－，sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.
5.已知sin＝，0考点 二倍角的正弦、余弦公式的综合问题
题点 二倍角的正弦、余弦公式与同角三角函数关系式的综合
解 原式＝＝＝2sin.
∵sin＝cos＝，且0∴＋x∈，
∴sin＝＝，
∴原式＝2×＝.
1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；
3α是α的二倍；是的二倍；
是的二倍；＝(n∈N＋).
2.二倍角余弦公式的运用
在倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝；
③1－cos 2α＝2sin2α；④sin2α＝.
一、选择题
1.已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于( )
A.－ B. C.－ D.
考点 二倍角的正弦公式
题点 给值求值
答案 D
解析 由α是第三象限角，且cos α＝－，
得sin α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D.
2.若tan θ＝－，则cos 2θ等于( )
A.－ B.－ C. D.
考点 二倍角的余弦公式
题点 利用二倍角的余弦公式化齐次式求值
答案 D
解析 tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.
3.已知x∈－，cos x＝，则tan 2x等于( )
A. B.－ C. D.－
考点 二倍角的正切公式
题点 给值求值
答案 D
解析 由cos x＝，x∈，得sin x＝－，
所以tan x＝－，
所以tan 2x＝＝＝－，故选D.
4.已知sin 2α＝，则cos2等于( )
A. B. C. D.
考点 二倍角的正弦、余弦公式
题点 给值求值
答案 A
解析 因为cos2＝＝＝，
所以cos2＝＝＝，故选A.
5.如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )
A.－ B. C.－ D.
考点 二倍角的余弦公式
题点 给值求值
答案 C
解析 ∵<θ<3π，|cos θ|＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－.
∴sin2＝＝，
又∵<<，∴sin <0，
∴sin ＝－.
6.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于( )
A.－ B.－ C. D.
考点 二倍角的正弦、余弦公式
题点 给值求值
答案 A
解析 由题意得(sin α＋cos α)2＝，
∴1＋sin 2α＝，sin 2α＝－.
∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0.
又∵sin α＋cos α>0，
∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α<0，
∴cos 2α＝－＝－＝－＝－，故选A.
7.若cos＝，则sin 2α等于( )
A. B. C.－ D.－
考点 二倍角的正弦公式
题点 给值求值
答案 D
解析 因为sin 2α＝cos＝2cos2－1，
又因为cos＝，
所以sin 2α＝2×－1＝－，故选D.
二、填空题
8.2sin222.5°－1＝ .
考点 二倍角的余弦公式
题点 给角求值
答案 －
解析 原式＝－cos 45°＝－.
9.若f(x)＝2tan x－，则f?＝ .
考点 二倍角的正弦、余弦公式
题点 给角求值
答案 8
解析 ∵f(x)＝＋＝2＝＝，
∴f?＝＝＝8.
10.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .
考点 二倍角的正弦公式
题点 给角求值
答案
解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝
＝＝＝.
三、解答题
11.若tan α＋＝，α∈，求sin＋2cos cos2α的值.
考点 二倍角的正弦、余弦公式的综合问题
题点 二倍角的正弦、余弦公式与同角三角函数关系式的综合
解 由tan α＋＝，得tan α＝或tan α＝3.
又∵α∈，∴tan α＝3.∴sin α＝，cos α＝ .
∴sin＋2cos cos2α＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋2cos cos2α
＝×2sin αcos α＋(2cos2α－1)＋cos2α＝sin αcos α＋2cos2α－
＝××＋2×2－＝－＝0.
12.已知π<α<π，化简：＋.
考点 利用倍角公式化简
题点 利用倍角公式化简
解 ∵π<α<π，∴<<π，
∴＝＝－cos ，＝＝sin .
∴＋
＝＋
＝＋＝－cos .
13.已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f?＝，α∈，求f(2α)的值.
考点 二倍角公式综合问题
题点 二倍角公式综合问题
解 (1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.
(2)因为f?＝2cos＝2cos＝－2sin α＝，
所以sin α＝－.
又α∈，
故cos α＝＝＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
所以f(2α)＝2cos＝2cos 2αcos＋2sin 2αsin
＝2××＋2××＝.
四、探究与拓展
14.等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为 .
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用正弦的二倍角公式化简求值
答案
解析 设A是等腰△ABC的顶角，
则cos B＝，sin B＝＝＝.
所以sin A＝sin(180°－2B)＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝.
15.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，P是AB的中点，该矩形有一内接Rt△PQR，P为直角顶点，点Q，R分别落在线段BC和线段AD上，记Rt△PQR的面积为S.设∠BPQ为α，求S＝f(α)及f(α)的最大值.
考点 二倍角公式的应用
题点 利用倍角公式求最值
解 由题图知，在Rt△PBQ中，PQ＝；
在Rt△PAR中，RP＝.
因为∠RPQ为直角，
所以S＝PR·PQ＝··＝.
又因为R，Q分别在线段AD，BC上，所以≤α≤，
所以≤2α≤，
所以sin 2α∈，
所以当2α＝或时，(sin 2α)min＝，
所以Smax＝.
所以S＝f(α)＝，其最大值为.
§3 二倍角的三角函数(二)
学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变形的基本思想方法.2.了解三角恒等变形的特点、变形技巧，掌握三角恒等变形的基本思想方法.3.能利用三角恒等变形对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.
知识点一 半角公式
思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用α替换2α，结果怎样？
答案 结果是cos α＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2.
思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin ，cos ，tan .
答案 ∵cos2＝，∴cos ＝±，
同理sin ＝±，∴tan ＝＝±.
思考3 利用tan α＝和倍角公式又能得到tan 与sin α，cos α有怎样的关系？
答案 tan ＝＝＝，
tan ＝＝＝.
梳理 正弦、余弦、正切的半角公式
sin ＝±，
cos ＝±，
tan ＝±＝＝
知识点二 辅助角公式
思考1 asin x＋bcos x化简的步骤有哪些？
答案 (1)提常数，提出得到
.
(2)定角度，确定一个角θ满足：
cos θ＝，sin θ＝(或sin θ＝，cos θ＝).一般θ为特殊角，则得到(cos θsin x＋sin θcos x)(或(sin θsin x＋cos θcos x)).
(3)化简、逆用公式得asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(或asin x＋bcos x＝cos(x－θ)).
思考2 在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？
答案 θ所在的象限由a和b的符号确定.
梳理 辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
1.若α≠kπ，k∈Z，则tan ＝＝恒成立.( √ )
2.若函数f(x)＝A1sin(ωx＋φ1)，g(x)＝A2sin(ωx＋φ2)(其中A1>0，A2>0，ω>0)，则h(x)＝f(x)＋g(x)的周期与f(x)和g(x)的一致.( √ )
3.辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ所在的象限由a，b的符号决定，φ与点(a，b)同象限.( √ )
4.sin x＋cos x＝2sin.( × )
提示 sin x＋cos x＝2＝2sin.
类型一 应用半角公式求值
例1 已知sin θ＝，＜θ＜3π，求cos 和tan .
考点 半角公式
题点 应用半角公式求值
解 ∵sin θ＝，且＜θ＜3π，∴cos θ＝－＝－.
由cos θ＝2cos2－1，得cos2＝＝.
∵＜＜，∴cos ＝－＝－.
tan ＝＝2.
反思与感悟 (1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论.
(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：
①先化简所求的式子；
②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).
跟踪训练1 已知sin α＝－，且π<α<，求sin ，cos 和tan .
考点 半角公式
题点 应用半角公式求值
解 ∵sin α＝－，π<α<，∴cos α＝－.
又∵π<α<，∴<<，
∴sin ＝＝＝，
cos ＝－＝－＝－，tan ＝＝－4.
类型二 三角恒等式的证明
例2 求证：＝.
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
证明 要证原式，可以证明＝.
∵左边＝＝＝＝tan 2θ，
右边＝＝tan 2θ，
∴左边＝右边，
∴原式得证.
反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.
跟踪训练2 证明：＝tan ＋.
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
证明 ∵左边＝＝
＝＝＝tan ＋＝右边，∴原等式成立.
类型三 利用辅助角公式研究函数性质
例3 已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
考点 三角函数的性质
题点 利用辅助角公式研究三角函数的性质
解 (1)∵f(x)＝sin＋2sin2＝sin＋1－cos
＝2＋1＝2sin＋1＝2sin＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为.
反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.
考点 三角函数的性质
题点 利用辅助角公式研究三角函数的性质
解 (1)f(x)＝·＝cos2x－sin2x
＝－＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值，
此时x的集合为.
类型四 三角函数在实际问题中的应用
例4 如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.
考点 三角函数的实际应用
题点 三角函数的实际应用
解 如图，连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，
则AM＝90cos θ，MP＝90sin θ.
所以PQ＝MB＝100－90cos θ，PR＝MR－MP＝100－90sin θ.
所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
令t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤)，
则sin θcos θ＝.
所以S矩形PQCR＝10 000－9 000t＋8 100·＝2＋950.
故当t＝时，S矩形PQCR有最小值950 m2；
当t＝时，S矩形PQCR有最大值(14 050－9 000) m2.
反思与感悟 解决与三角函数有关的实际问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.
跟踪训练4 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).
考点 三角函数的实际应用
题点 三角函数的实际应用
解 如图，连接OC，设∠COB＝θ，
则0°<θ<45°，OC＝1.
∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin2θ＋sin θcos θ
＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)－＝cos(2θ－45°)－.
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，Smax＝(m2).
∴割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
1.若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为( )
A. B.－ C.± D.±
考点 半角公式
题点 应用半角公式求值
答案 A
解析 由题意知∈，∴cos >0，cos ＝＝.
2.已知tan ＝3，则cos θ等于( )
A. B.－ C. D.－
考点 半角公式
题点 应用半角公式求值
答案 B
解析 cos θ＝＝＝＝－.
3.函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是( )
A.1 B.2 C. D.3
考点 三角函数的最值
题点 利用辅助角公式求三角函数的最值
答案 C
解析 f(x)＝＋sin 2x＝sin＋，
∵x∈，
∴2x－∈，
∴sin∈，
∴f(x)max＝1＋＝，故选C.
4.函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为 .
考点 三角函数的最值
题点 利用辅助角公式求三角函数的最值
答案 －1
解析 f(x)＝sin，x∈.
∵－≤x－≤，∴f(x)min＝sin＝－1.
5.化简：(180°<α<360°).
考点 利用三角恒等变换化简
题点 利用三角恒等变换化简
解 原式＝＝
＝＝.
因为180°<α<360°，所以90°<<180°，
所以cos <0，所以原式＝cos α.
1.学习三角恒等变形，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.
2.辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝.
3.研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，
例如sin x±cos x＝sin；
sin x±cos x＝2sin等.
一、选择题
1.若cos α＝－，α是第三象限角，则等于( )
A.－ B. C.2 D.－2
考点 三角恒等变换
题点 利用三角恒等变换化简求值
答案 A
解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－，
∴＝＝＝·＝＝＝－.
2.(2017·安徽芜湖高一期末考试)已知等腰三角形的顶角的余弦值为，则它的底角的余弦值为( )
A. B. C. D.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 三角恒等变换与三角形的综合应用
答案 B
解析 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝.
又β＝－，所以cos β＝cos＝sin ＝＝，故选B.
3.已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
A.－ B. C.－ D.
考点 半角公式
题点 应用半角公式化简
答案 C
4.在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.不等边三角形 D.直角三角形
考点 三角恒等变换在三角形中的应用
题点 利用三角恒等变换判断三角形形状
答案 B
解析 用降幂公式进行求解.
5.设函数f(x)＝cos2ωx＋sin ωxcos ωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是，则ω的值为( )
A. B.－ C.－ D.
考点 三角函数的性质
题点 利用辅助角公式研究三角函数的性质
答案 A
解析 f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋＋a＝sin＋＋a，
依题意得 2ω·＋＝，即ω＝.
6.设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A.c考点 比较三角代数式值的大小
题点 利用三角恒等变换化简后比较大小
答案 C
解析 a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c＝sin 25°，
∵y＝sin x在[0°，90°]上是增加的，
∴a7.已知sin θ＝，cos θ＝，则tan 等于( )
A.－ B.5 C.－5或 D.－或5
考点 半角公式
题点 应用半角公式求值
答案 B
解析 由sin2θ＋cos2θ＝1，得2＋2＝1，
解得m＝0或8，当m＝0时，sin θ＜0，不符合＜θ＜π.
∴m＝0舍去，故m＝8，
sin θ＝，cos θ＝－，tan ＝＝＝5.
二、填空题
8.设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin 的值为 .
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用降幂公式化简求值
答案 －
解析 sin2＝，
∵θ∈(5π，6π)，∴∈，
∴sin ＝－＝－.
9.已知α∈，sin 2α＝，则sin＝ .
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
答案
解析 因为1－2sin2＝cos＝－sin 2α，
所以sin2＝，
因为α∈，
所以α＋∈，所以sin＝.
10.sin220°＋sin 80°·sin 40°的值为 .
考点 三角恒等变换
题点 利用三角恒等变换化简求值
答案
解析 原式＝sin220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)
＝sin220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°·cos 20°－cos 60°sin 20°)
＝sin220°＋sin260°cos220°－cos260°sin220°
＝sin220°＋cos220°－sin220°＝sin220°＋cos220°＝.
11.函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是 .
考点 三角函数的性质
题点 利用辅助角公式研究三角函数的性质
答案 π
解析 ∵f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－，
∴T＝＝π.
三、解答题
12.求证：tan －tan ＝.
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
证明 ∵左边＝tan －tan ＝－＝＝
＝＝＝＝右边.
∴原等式得证.
13.已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性.
考点 三角函数的综合问题
题点 三角函数的综合问题
解 (1)f(x)＝sinsin x－cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)
＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而
当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)是增加的，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)是减少的.
综上可知，f(x)在上是增加的；在上是减少的.
四、探究与拓展
14.如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数：
①f(x)＝2sin xcos x＋1；
②f(x)＝2sin；
③f(x)＝sin x＋cos x；
④f(x)＝sin 2x＋1.
其中是“同簇函数”的有( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
答案 C
解析 ①式化简后为f(x)＝sin 2x＋1，③式化简后为f(x)＝2sin，①④中振幅不同，平移后不能重合.②③振幅、周期相同，平移后可以重合.
15.如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
考点 三角函数的实际应用
题点 三角函数的实际应用
解 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α＝R(sin α＋cos α)＋R＝Rsin(α＋)＋R.
∵0＜α＜，∴＜α＋＜.
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝.
即当α＝时，△OAB的周长最大.
章末复习
学习目标 1.进一步掌握三角恒等变形的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差的公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明.
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
tan(α＋β)＝.
tan(α－β)＝.
2.二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α.
1－cos 2α＝2sin2α.
4.降幂公式
sin xcos x＝，cos2x＝，
sin2x＝.
5.和差角正切公式变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β).
6.辅助角公式
y＝asin ωx＋bcos ωx＝sin(ωx＋θ).
1.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( √ )
2.对任意角α，sin 2α＝2sin α均不成立.( × )
提示 如α＝kπ，k∈Z，则sin 2α＝2sin α＝0.
3.y＝sin x＋cos x的最大值为2.( × )
提示 ∵y＝sin x＋cos x＝sin，∴函数最大值为.
4.存在角α，β，使等式cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立.( √ )
提示 如α＝－，β＝，则cos(α＋β)＝cos＝，cos α＋cos β＝cos＋cos ＝cos ＝，两式相等.
类型一 灵活变角的思想在三角恒等变形中的应用
例1 已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值.
考点 给值求值
题点 给值求值
解 ∵α是锐角，cos α＝，
∴sin α＝，tan α＝.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝.
∵β是锐角，∴cos β＝.
反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变形时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等.
跟踪训练1 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－＜β＜0＜α＜，且sin β＝－，求sin α的值.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
解 (1)因为向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
|a－b|＝＝＝，
所以2－2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝.
(2)因为0＜α＜，－＜β＜0，所以0＜α－β＜π，
因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝，且sin β＝－，cos β＝，
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)·sin β＝×＋×＝.
类型二 整体换元思想在三角恒等变形中的应用
例2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值.
考点 三角函数的最值或值域
题点 sin x±cos x，sin x·cos x有关的最值或值域
解 设sin x＋cos x＝t，则t＝sin x＋cos x＝＝sin，
∴t∈[－，]，
∴sin x·cos x＝＝.
∵f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，
∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，].
当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1，
此时，由sin＝－，
解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.
当t＝，即sin x＋cos x＝时，f(x)max＝＋，
此时，由sin＝，即sin＝1，
解得x＝2kπ＋，k∈Z.
综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值＋.
反思与感悟 在三角恒等变形中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.
跟踪训练2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域.
考点 三角函数的最值或值域
题点 sin x±cos x，sin x·cos x有关的最值或值域
解 令sin x－cos x＝t，则由t＝sin知，t∈[－，].
又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2，
∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2＝－2＋.
当t＝时，ymax＝；
当t＝－时，ymin＝－－1.
∴函数的值域为.
类型三 转化与化归思想在三角恒等变形中的应用
例3 已知函数f(x)＝2sin(x－3π)sin＋2sin2－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值.
考点 三角函数的综合问题
题点 三角函数的综合问题
解 (1)因为f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为π.
又因为x∈，所以2x＋∈，
所以f(x)的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知，f(x0)＝2sin.
又因为f(x0)＝，所以sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈，
所以cos＝－＝－，
cos 2x0＝cos＝coscos ＋sinsin ＝.
反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质.
跟踪训练3 已知cos＝，考点 三角恒等变换
题点 三角恒等变换
解 ＝＝
＝＝sin 2x·tan.
∵又∵cos＝，∴sin＝－，∴tan＝－.
∵2cos2－1＝cos＝－sin 2x，
∴sin 2x＝－＝，
∴＝sin 2x·tan＝×＝－.
类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变形中的应用
例4 已知sin x＋2cos y＝2，求2sin x＋cos y的取值范围.
考点 三角函数的取值范围问题
题点 三角函数的取值范围问题
解 设2sin x＋cos y＝a.
由解得
从而解得1≤a≤.
故2sin x＋cos y的取值范围是.
反思与感悟 在三角恒等变形中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.
跟踪训练4 已知关于θ的方程cos θ＋sin θ＋a＝0在区间(0，2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值.
考点 三角恒等变换与方程的综合
题点 三角恒等变换与方程的综合
解 设x＝cos θ，y＝sin θ，则有
消去y，并整理得4x2＋2ax＋a2－1＝0.①
由已知得cos α，cos β是①的两个实数解，
由根与系数的关系，得
∴sin αsin β＝(cos α＋a)(cos β＋a)＝3cos αcos β＋(cos α＋cos β)a＋a2＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝.
1.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan 等于( )
A.－5 B.－
C. D.5
考点 半角公式
题点 应用半角公式求值
答案 A
解析 ∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－，
又∵α是第三象限角，
∴cos α＝－.
∴tan ＝＝＝－5.
2.已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin 2θ等于( )
A. B.－ C. D.－
考点 二倍角的正弦公式
题点 给值求值
答案 A
解析 由＝sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ，
得sin22θ＝，即sin22θ＝.
又∵2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π(k∈Z)，
故sin 2θ＝.故选A.
3.已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝ .
考点 两角差的正弦公式
题点 两角差的正弦公式
答案 －
解析 由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝，
得2sin(α－β)＝－，即sin(α－β)＝－.
4.设α为锐角，若cos＝，则sin的值为 .
考点 倍角公式与和角公式的综合应用
题点 给值求值
答案
解析 ∵α为锐角且cos＝，
∴sin＝.
sin＝2sincos＝，
cos＝2cos2－1＝，
∴sin＝sin＝＝.
5.已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
考点 三角函数的综合问题
题点 三角函数的综合问题
解 (1)由已知，有f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减少的，在区间上是增加的，
f?＝－，f?＝－，f?＝，
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
本章所学的内容是三角恒等变形重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.
一、选择题
1.cos 2 017°cos 1 583°－sin 2 017°sin 1 583°等于( )
A.0 B.
C. D.1
考点 两角和的余弦公式
题点 给角求值
答案 D
解析 原式＝cos(2 017°＋1 583°)＝cos 3 600°＝1.
2.函数y＝sin 2x＋sin2x(x∈R)的值域是( )
A. B.
C. D.
考点 三角函数的值域或最值
题点 利用辅助角公式求函数的值域
答案 C
解析 y＝sin 2x＋＝＋＝sin＋.
∵x∈R，∴2x－∈R，
∴sin∈[－1，1]，
∴函数的值域是.
3.函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是( )
A.π，1 B.π，2 C.2π，1 D.2π，2
考点 三角函数的性质
题点 利用辅助角公式研究三角函数的性质
答案 A
解析 ∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴最小正周期T＝π，振幅A＝1.
4.已知tan＝－，且＜α＜π，则等于( )
A. B.－ C.－ D.－
考点 三角恒等变换
题点 利用三角恒等变换求值
答案 B
解析 ＝＝2cos α.
∵tan＝＝－，∴tan α＝－3 ，
∵α∈，cos α＝－.
则＝2cos α＝2×＝－.
5.已知向量a＝(sin α，1)，b＝(2，2cos α－)，若a⊥b，则sin等于( )
A.－ B.－ C. D.
考点 三角恒等变换与向量的综合
题点 三角恒等变换与向量的综合
答案 D
解析 ∵a⊥b，
∴a·b＝2sin α＋2cos α－＝2sin－＝0，
∴sin＝.
∵<α<π，∴<α＋<，
∴cos＝－.
∴sin＝－sin＝－cos＝.
6.若＝3，则cos2θ＋sin 2θ的值是( )
A.－ B.－ C. D.
考点 三角恒等变换
题点 利用三角恒等变换求值
答案 D
解析 由题意知，tan θ＝，
则cos2θ＋sin 2θ＝cos2θ＋sin θcos θ＝＝＝.
7.函数y＝sin xcos x＋cos2x－的图像的一个对称中心为( )
A. B.
C. D.
考点 三角函数的性质
题点 利用辅助角公式研究三角函数的性质
答案 B
解析 y＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－＝sin－，
令2x＋＝kπ(k∈Z)，x＝－(k∈Z)，当k＝2时，x＝，
∴函数图像的一个对称中心为.
二、填空题
8.若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cos 2α＝ .
考点 正弦、余弦的二倍角公式
题点 利用倍角公式求值
答案 －2
解析 由题意知，tan α＝－2，sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos2α－2sin2α
＝＝＝＝－2.
9.函数y＝(acos x＋bsin x)cos x有最大值2，最小值－1，则实数a＝ ，b＝ .
考点 三角函数的值域或最值
题点 利用辅助角公式研究三角函数的值域或最值
答案 1 ±2
解析 ∵y＝acos2x＋bsin xcos x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin(2x＋φ)＋，
∴＋＝2，－＋＝－1，a＝1，b＝±2.
10.若＜θ＜2π，sin θ＝－，则cos ＝ .
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 －
解析 ∵＜θ＜2π，∴＜＜π.
又sin θ＝－，
∴cos θ＝，
∴cos ＝－＝－＝－.
11.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)＝ .
考点 两角差的正切公式
题点 逆用两角差的正切公式求值
答案 4
解析 由已知得4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，
即＝4.
∴tan(α－β)＝4.
三、解答题
12.已知函数f(x)＝sin2x－2sin·sin.
(1)若tan α＝2，求f(α)；
(2)若x∈，求f(x)的取值范围.
考点 三角函数的综合问题
题点 三角函数的综合问题
解 (1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋cos 2x＝＋sin 2x＋cos 2x＝(sin 2x＋cos 2x)＋，
由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝，
cos 2α＝＝＝－，
所以f(α)＝×＋＝.
(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋＝sin＋，
由x∈，得2x＋∈，
所以sin∈，
从而f(x)＝sin＋∈.
所以f(x)的取值范围为.
13.已知函数f(x)＝2cos x·(sin x－cos x)，x∈R.
(1)求函数f(x)的图像的对称中心；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值.
考点 三角函数综合问题
题点 三角函数综合问题
解 (1)f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1.
令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
因此，函数f(x)的图像的对称中心为，k∈Z.
(2)因为f(x)＝sin－1在区间上是增加的，在区间上是减少的，
又f?＝－1，f?＝－1，
f?＝sin－1＝－cos －1＝－2，
故函数f(x)在区间上的最大值为－1，最小值为－2.
