模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知a>b，则下列不等式成立的是( )
A.a2－b2>0 B.ac>bc
C.ac2>bc2 D.2a>2b
答案 D
解析 A.当a＝0，b＝－1时，a2－b2＝0－1＝－1<0，所以A错误.B.当c＝0时，ac＝bc＝0，所以B错.C.当c＝0时，ac2＝bc2＝0，C错.D.因为y＝2x为单调递增函数，所以当a>b时，2a>2b成立.
2.在△ABC中，A
A.tan Atan C
C.sin A答案 C
解析 由大边对大角及A3.已知a>b>0，c>d>0，则( )
A.> B.ac>bd
C.a－c>b－d D.>
答案 B
4.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为( )
A. B.－ C. D.－
答案 D
解析 ∵sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，
∴a∶b∶c＝3∶2∶4，设a＝3k，则b＝2k，c＝4k，k>0，
∴cos C＝＝－.
5.若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是( )
A.M＝N B.MC.M≤N D.M>N
答案 B
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋y＋1>1＋x>0，1＋x＋y>1＋y>0，
∴<，<，
故M＝＝＋<＋＝N，即M6.若存在x∈[－2，3]，使不等式2x－x2≥a成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1] B.(－∞，－8]
C.[1，＋∞) D.[－8，＋∞)
答案 A
解析 设f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
因为存在x∈[－2，3]，使不等式2x－x2≥a成立，可知a≤f(x)max，所以a≤1，故选A.
7.等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n是( )
A.5 B.6 C.5或6 D.6或7
答案 C
解析 由题设可知a1＝－a11，所以a1＋a11＝0，所以a6＝0.因为d<0，故a5>0，a7<0，所以n＝5或6.
8.若不等式ax2＋2ax－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－2，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2，2] D.(－∞，－2]
答案 C
解析 由题设可得(2－a)x2＋(4－2a)x＋4>0，当a＝2时，4>0，对一切实数恒成立；当2－a>0时，由Δ＝4(2－a)2－16(2－a)<0，解得－29.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为( )
A. B.
C.2 D.
答案 B
解析 由a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，故(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，又根据正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，化简得b2＋c2－a2＝bc，故cos A＝＝，所以A＝60°，又b2＋c2－bc＝4≥bc，故S△BAC＝bcsin A≤(当且仅当b＝c时，取等号).
10.已知锐角三角形的边长分别为2，4，x，则x的取值范围是( )
A.1答案 D
解析 由于△ABC为锐角三角形，故有
解得211.若在等差数列{an}中，d＝－2，a1＋a4＋a7＋…＋a31＝50，那么a2＋a6＋a10＋…＋a42的值为( )
A.60 B.－82 C.182 D.－96
答案 B
解析 a2＋a6＋a10＋…＋a42＝a1＋d＋a4＋2d＋a7＋3d＋…＋a31＋11d
＝(a1＋a4＋…＋a31)＋(d＋2d＋3d＋…＋11d)＝50＋d＝50＋66d＝－82.
12.若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
答案 C
解析 由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知不等式x2＋bx－b－>0的解集为R，则b的取值范围是 .
答案 (－3，－1)
解析 由题意知b2－4<0，即b2＋4b＋3<0，所以－314.在等差数列{an}中，若a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则S15＝ .
答案 －30
解析 因为a4＋a12＝a1＋a15＝2a8，所以a8＝－2.
所以S15＝×15＝a8×15＝－2×15＝－30.
15.在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°，则sin 2C＝ .
答案
解析 由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，
所以BC＝.
由正弦定理知，＝，所以sin C＝·sin A＝＝.
因为AB因此sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝.
16.若a，b∈R，ab>0，则的最小值为 .
答案 4
解析 ≥＝4ab＋≥2＝4，前一个等号成立的条件是a2＝2b2，后一个等号成立的条件是ab＝，两个等号可以同时成立，当且仅当a2＝，b2＝时取等号.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若sin＝2cos A，求A的值；
(2)若cos A＝，b＝3c，求sin C的值.
解 (1)由题意知sin Acos ＋cos Asin ＝2cos A，从而sin A＝cos A，所以cos A≠0，tan A＝，因为0(2)由cos A＝，b＝3c，及a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＝a2＋c2，
所以△ABC是直角三角形，且B＝，所以sin C＝cos A＝.
18.(12分)某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的车费均为40元.若使每个同学游8次，则购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？
解 设购买x张游泳卡，则游泳活动总支出为y＝×40＋240x，即y＝240(x∈N＋).
所以y＝240≥240×2＝3 840，
当且仅当＝x，即x＝8时，最合算，每人最少交钱＝80(元).
即购买8张游泳卡最合算，每人最少交80元.
19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N＋).
(2)由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－20＝0，解得q＝－5，q＝4，
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21，
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
20.(12分)已知△ABC的外接圆半径为1，且角A，B，C成等差数列，若角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，求a2＋c2的取值范围.
解 由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，所以B＝60°，A＋C＝120°.设A＝60°＋α，得C＝60°－α.由0°由正弦定理，得a＝2Rsin A＝2sin A，c＝2Rsin C＝2sin C.
所以a2＋c2＝4(sin2A＋sin2C)＝4＝4－2(cos 2A＋cos 2C)
＝4－2[cos(120°＋2α)＋cos(120°－2α)]＝4＋2cos 2α.
因为－60°<α<60°，所以－120°<2α<120°.
所以－21.(12分)若关于x的不等式(2x－1)2解 原不等式可化为(4－a)x2－4x＋1<0，
由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a>0，即a<4，故0解得不等式有即亦即<<<，且要使该不等式的解集中的整数恰有3个，
那么3<<4，解得22.(12分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；
(2)若a>0，且0解 (1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n).
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，
∵a>0，且0∴x－m<0，1－an＋ax>0.
∴f(x)－m<0，即f(x)滚动训练(五)
一、选择题
1.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2asin B，则角A等于( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
答案 A
解析 因为b＝2asin B，所以利用正弦定理的变式得sin B＝2sin Asin B.因为sin B≠0，∠A为锐角，所以sin A＝，所以∠A＝30°.
2.已知x＋y＝1且x>0，y>0，则＋的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
答案 C
解析 方法一 ＋＝＝≥＝4，
当且仅当x＝y＝时取等号.
方法二 ＋＝＋＝2＋＋≥4，当且仅当x＝y＝时取等号.
3.在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7等于( )
A.－1 B.1 C.±1 D.以上都不正确
答案 B
解析 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
由an＝a1qn－1，知数列{an}奇数项和偶数项的符号分别相同.这样由a5＋a9＝>0，a5·a9＝1，得a7＝1，故选B.
4.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，b＝，c＝，B＝，那么a等于( )
A.1 B.2 C.4 D.1或4
答案 C
解析 在△ABC中，b＝，c＝，cos B＝，由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accos B，即7＝a2＋3－3a，解得a＝4或a＝－1(舍去).故a的值为4.
5.若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为( )
A.[－2，2] B.(0，2)
C.(1，3) D.(4，5)
答案 A
解析 由题意知，x2＋ax＋1≥0的解集为R，∴Δ≤0，
即a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
6.不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )
A.(－2，0) B.(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C.(－4，2) D.(－∞，－4)∪(2，＋∞)
答案 C
解析 对任意a，b∈(0，＋∞)，＋≥2＝8(当且仅当＝，即a＝4b时等号成立)，
所以只需x2＋2x<8，
即(x－2)(x＋4)<0，解得x∈(－4，2).故选C.
7.若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 D
解析 由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，
所以4x＋3y＝(4x＋3y)·＝≥(4＋9＋2)＝5，
当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立，
故4x＋3y的最小值为5.故选D.
二、填空题
8.若不等式x2－4x＋m<0的解集为空集，则不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集是 .
答案 (3，m)
解析 由题意，知方程x2－4x＋m＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m≤0，解得m≥4，又x2－(m＋3)x＋3m<0等价于(x－3)(x－m)<0.所以39.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为 .
答案 15
解析 由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.
由一个内角为120°，知其必是最长边x＋4所对的角.
由余弦定理得，(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)·cos 120°，
∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10，
∴S△ABC＝×(10－4)×10×sin 120°＝15.
10.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝ .
答案 －
解析 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.
又＝－1，
∴是首项为－1，公差为－1的等差数列.
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.
11.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是 .(填序号)
答案 ①③④
解析 因为ab≤2＝1，当且仅当a＝b时，等号成立，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，所以③正确；＋＝＝≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，所以④正确.
三、解答题
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.
(1)求角A的值；
(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围.
解 (1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2，又A∈(0，π)，化简得sin A＝，故A＝或.
(2)由题意知，若b≥a，则A＝，又a＝，
所以由正弦定理可得＝＝＝2，
得b＝2sin B，c＝2sin C，
故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin
＝3sin B－cos B＝2sin.
因为b≥a，所以≤B<，≤B－<，
所以2sin∈[，2).
即2b－c的取值范围为[，2).
13.若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
解 (1)由题意知，1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，
即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式的解集为R，
则Δ＝b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.
故b的取值范围是[－6，6]
四、探究与拓展
14.若关于x的不等式4x－2x+1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为_______.
答案 (－∞，0]
解析 因为不等式4x－2x+1－a≥0在[1，2]上恒成立，
所以4x－2x+1≥a在[1，2]上恒成立.
令y＝4x－2x+1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.
因为1≤x≤2，
所以2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知，当2x＝2，
即x＝1时，y取得最小值0，
所以实数a的取值范围为(－∞，0].
15.某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置.设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时.设f(x)＝t1＋t2.
(1)求f(x)的解析式，并写出其定义域；
(2)当x等于多少时，f(x)取得最小值？
解 (1)因为t1＝，
t2＝＝，
所以f(x)＝t1＋t2＝＋，
定义域为{x|1≤x≤99，x∈N＋}.
(2)f(x)＝＋＝10[x＋(100－x)]＝10，
因为1≤x≤99，x∈N＋，
所以>0，>0，
所以＋≥2＝6，
当且仅当＝，
即当x＝75时取等号.
即当x＝75时，f(x)取得最小值.
滚动训练(四)
一、选择题
1.已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B等于( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
答案 D
解析 由正弦定理＝得
sin B＝＝＝，
又∵B∈(0°，180°)，且b>a，B>A，
∴B＝60°或120°.
2.已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A.16 B.25 C.9 D.36
答案 B
解析 (1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25，故选B.
3.在等比数列{an}中，a1＝，an＝，q＝，则项数n为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B
解析 由a1qn－1＝an，得·n－1＝，
解得n＝4.
4.已知△ABC的三边长分别为2，3，4，则此三角形是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰三角形
答案 A
解析 4所对的角的余弦值为＝－<0，
故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形.
5.若a>b>c，则下列不等式成立的是( )
A.> B.< C.ac>bc D.ac答案 B
解析 因为a>b>c，所以a－c>0，b－c>0，且a－c>b－c，所以<.
6.已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为( )
A. B.3 C. D.1
答案 C
解析 因为x>0，y>0，2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝.
当且仅当2x＝3y＝3，即x＝，y＝1时等号成立，即xy的最大值为.
7.函数y＝(x＞1)在x＝t处取得最小值，则t等于( )
A.1＋ B.2
C.3 D.4
答案 B
解析 y＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.
二、填空题
8.已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是 .
答案 P＞Q
解析 P＝＞＝＝Q.
9.若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是 .
答案 18
解析 设＝t(t>0)，
由xy＝2x＋y＋6≥2＋6，
即t2≥2t＋6，(t－3)(t＋)≥0，
所以t≥3，则xy≥18，
当且仅当2x＝y，2x＋y＋6＝xy，
即x＝3，y＝6时等号成立，
所以xy的最小值为18.
10.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝ .
答案
解析 由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2相减可得a3＋a4＝3a4－3a2，同除以a2可得2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1.因为q>0，所以q＝.
11.数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝(n≥2且n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为an＝ .
答案 2－
解析 ∵an－an－1＝(n≥2)，a1＝1，
∴a2－a1＝＝1－，
a3－a2＝＝－，
a4－a3＝＝－，…，
an－an－1＝＝－.
以上各式累加，得
an－a1＝＋＋…＋＝1－.
∴an＝a1＋1－＝2－，当n＝1时，2－＝1＝a1，
∴an＝2－，故数列{an}的通项公式为an＝2－.
12.若正数x，y满足＋＝1，则xy的最小值为 .
答案 36
解析 由1＝＋≥2，得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
三、解答题
13.已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明 ∵a，b，c>0，
∴a2＋b2≥2ab，
∴＋b≥2a.
同理＋c≥2b，＋a≥2c，
∴＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c.当且仅当a＝b＝c时，取等号.
四、探究与拓展
14.若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是 .
答案 4＋7
解析 ∵log4(3a＋4b)＝log2＝log4(ab)，
∴3a＋4b＝ab，
∴＋＝1.
∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7.
当且仅当＝，即a＝2＋4，b＝3＋2时，取等号.
15.已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.
求证：＋＋<＋＋.
证明 因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋.
因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立.
所以＋＋<＋＋.
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是( )
A.ac>bd B.a－c>b－d
C.a＋c>b＋d D.>
答案 C
解析 ∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
2.若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A.A≤B B.A≥B
C.AB D.A>B
答案 B
解析 ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，
∴A≥B.
3.不等式x2＋3x－4＜0的解集是( )
A.(－4，1) B.(0，2)
C.(2，3) D.(4，5)
答案 A
解析 易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4，1，所以不等式x2＋3x－4＜0的解集为(－4，1).
4.设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A.M >N B.M ≥N
C.M答案 A
解析 ∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)
＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3
＝(a－1)2＋2>0.
∴M >N.
5.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A.(0，2) B.(－2，1)
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－1，2)
答案 B
解析 根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，
故不等式的解集是(－2，1).
6.已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 A
解析 由题意知y＝，
所以＝＝＋≥＋＝＋＝3(当且仅当x2＝9z2时等号成立)，
所以的最小值为3.
7.方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是( )
A.(－5，－4] B.(－∞，－4]
C.(－∞，－2) D.(－∞，－5)∪(－5，－4]
答案 A
解析 令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，要使f(x)＝0的两根都大于2，
则
解得故选A.
8.若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)
C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)
答案 A
解析 令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，则不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a9.已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )
A.(1－，2) B.(0，2)
C.(－1，2) D.(0，1＋)
答案 A
解析 如图，
根据题意得C(1＋，2).
作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，
过点B(1，3)和C(1＋，2)时，z＝－x＋y分别取得最大值和最小值，
即－(1＋)＋2∴z＝－x＋y的取值范围是(1－，2).
10.已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集是( )
A.[－1，1] B.[－2，2]
C.[－2，1] D.[－1，2]
答案 A
解析 f(x)≥x2?或
?或
?或
?－1≤x≤0或0?－1≤x≤1.
11.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B. C.5 D.6
答案 C
解析 ∵x＋3y＝5xy，∴＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)×1＝(3x＋4y)(＋)
＝＋＋＋≥＋2＝5，
当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立.
12.当x>0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为( )
A.－2 B.－3
C.－1 D.－
答案 A
解析 方法一 当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式x2＋ax＋1≥0对任意x>0恒成立，当Δ＝a2－4>0时，则需解得a>2，所以使不等式x2＋ax＋1≥0对任意x>0恒成立的实数a的最小值是－2.
方法二 当x>0时，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，等价于当x>0时，a≥－恒成立，∵x＋≥2当且仅当x＝1时，取等号，
∴－≤－2，∴a≥－2，
∴a的最小值为－2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.关于x的不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是 .
答案 (－1，3)
解析 ∵x2－2x－(a2－2a－4)≤0的解集为?，
∴Δ＝4＋4(a2－2a－4)<0，
∴a2－2a－3<0，∴－114.不等式组有解，则实数a的取值范围是 .
答案 (－1，3)
解析 由题意得，a2＋1＜x＜4＋2a.
∴只需4＋2a＞a2＋1，
即a2－2a－3＜0，∴－1＜a＜3.
15.已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________.
答案 [4，12]
解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，
∴6－(x2＋4y2)≤，
∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号).
又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，
∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12
(当且仅当x＝－2y时取等号).
综上可知，4≤x2＋4y2≤12.
16.设a＋b＝2，b>0，则当a＝ 时，＋取得最小值.
答案 －2
解析 由于a＋b＝2，
所以＋＝＋＝＋＋，
由于b>0，|a|>0，
所以＋≥2＝1，
因此当a>0时，＋的最小值是＋1＝；
当a<0时，＋的最小值是－＋1＝.
故＋的最小值为，此时即a＝－2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)解不等式组
解 由≤1，得≤0，即x∈[－2，6)，
6x2－x－1>0，即(3x＋1)(2x－1)>0，
得x∈∪，
所以原不等式组的解集为x∈∪.
18.(12分)关于x的不等式＜2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，
∴原式即4x＋m＜2(x2－2x＋3)恒成立，
∴m＜2x2－8x＋6恒成立，
设f(x)＝2x2－8x＋6＝2(x2－4x)＋6＝2(x－2)2＋6－8＝2(x－2)2－2，
则f(x)min＝－2.
∴m＜－2.故m的取值范围是(－∞，－2).
19.(12分)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.
解 方法一 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，
此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为[－3，1].
方法二 令g(x)＝x2－2ax＋2－a，
由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
20.(12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0).
(1)若不等式f(x)>0的解集为(－1，3)，求a，b的值；
(2)若f(1)＝4，a>0，b>0，求＋的最小值.
解 (1)因为不等式f(x)>0的解集为(－1，3)，
所以a<0且－1和3是方程f(x)＝0的两个实根，
从而有
解得
(2)由f(1)＝4，得a＋b＝1，
又a>0，b>0，
所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立.
所以＋的最小值为9.
21.(12分)甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
解 (1)根据题意，由200≥3 000，得5x－14－≥0，
即5x2－14x－3≥0.
又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
(2)设利润为y元，则y＝×100＝9×104×，
故当x＝6千克/小时时，ymax＝457 500元.
22.(12分)已知不等式(a＋b)x＋2a－3b<0的解集为，求不等式(a－2b)x2＋2(a－b－1)x＋a－2>0的解集.
解 因为(a＋b)x＋2a－3b<0，所以(a＋b)x<3b－2a，
因为不等式的解集为，
所以a＋b<0，且＝－，
解得a＝3b<0，
则不等式(a－2b)x2＋2(a－b－1)x＋a－2>0，
等价于bx2＋(4b－2)x＋3b－2>0，
即x2＋x＋3－<0，
即(x＋1)<0.
因为－3＋<－1，
所以所求不等式的解集为.
§3.1 不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式
学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.学会用作差法比较两实数的大小.
知识点一 不等关系与不等式的概念
思考 限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
答案 v≤40.
梳理 (1)用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.
(2)符号“≥”和“≤”的含义：如果a，b是两个实数，那么a≥b，即为a>b或a＝b；a≤b即为a(3)对于任意实数a，b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立.
知识点二 p推出q的符号表示
1.“如果p，则q”为正确的命题，则简记为p?q，读作“p推出q”.
2.如果p?q，且q?p都是正确的命题，则记为p?q，读作“p等价于q”或“q等价于p”.
知识点三 作差法
思考 x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？
答案 作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.
梳理 作差法的理论依据：a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a1.不等式x≥2的含义是指x不小于2.( √ )
2.若a3.“p?q”表示由p成立就能得出q成立.( √ )
类型一 用不等式(组)表示不等关系
例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解 提价后销售的总收入为x万元，
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20.
反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系，思维要严密、规范.
跟踪训练1 (1)雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是 .
答案 4.5t<28 000
解析 由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.
(2)配制A，B两种药剂，需要甲，乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克.今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y所满足的不等关系.
解 根据题意可得
类型二 作差法的应用
例2 已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小.
解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
反思与感悟 比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了.作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.
跟踪训练2 已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 ∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
∵2＋＞0，x－1＜0，
∴(x－1)＜0，
∴x3－1＜2x2－2x.
例3 证明函数f(x)＝x3(x∈R)为增函数.
证明 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)＝(x1－x2).
因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，
又2＋x＞0，
所以(x1－x2)＜0，
即f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2).
所以函数f(x)＝x3(x∈R)为增函数.
反思与感悟 有时证明a＞b不易，可以转为证明其等价命题a－b＞0，因为作差过程中使不等号两端的信息集中到一端，从而可以使用消去、分解因式、配方等方法，使问题变得易于解决.
跟踪训练3 若a＞b，ab＞0，求证：＜.
证明 －＝.
∵a＞b，∴b－a＜0.又ab＞0，
∴＜0，即－＜0，∴＜.
1.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.
2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A.a>b>－b>－a B.a>－b>－a>b
C.a>－b>b>－a D.a>b>－a>－b
答案 C
解析 由a＋b>0，知a>－b，∴－a又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.
3.比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小.
解 ∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4).
4.某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？
解 设该校有初中班x个，高中班y个，
则有
1.比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了.
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a2.作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论.
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.
一、选择题
1.一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.57～0.6之间，用不等式表示为( )
A.＜0.57 B.＞0.6
C.0.57＜≤0.6 D.0.57≤＜0.6
答案 D
解析 在a～b之间，即a≤x＜b.
2.已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是( )
A.a－b≤0 B.a＋b<0
C.|a|>|b| D.a2＋b2≥－2ab
答案 D
解析 a>0，b<0.则a－b>0，而a＋b的符号不确定，
|b|与|a|的大小也不确定；(a＋b)2≥0，则a2＋b2≥－2ab，故选D.
3.设xA.x2ax>a2
C.x2a2>ax
答案 B
解析 ∵x2－ax＝x(x－a)>0，
∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，
∴ax>a2，
∴x2>ax>a2.
4.不等式：①a2＋2＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab恒成立的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 D
解析 a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，
∴a2＋2＞2a，①对；
a2＋b2－2(a－b－1)＝a2－2a＋1＋b2＋2b＋1＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴②对.
a2＋b2－ab＝a2－ab＋＋＝2＋≥0，
∴③对.
5.若A＝＋3，B＝＋2，则A，B的大小关系是( )
A.A＞B B.A＜B C.A≥B D.不确定
答案 A
解析 A－B＝＋3－－2＝－＋1＝2＋＞0.
∴A＞B.
6.已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A.M＜N B.M ＞N C.M＝N D.不确定
答案 B
解析 M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1).
∵a1，a2∈(0，1)，
∴a1－1＜0，a2－1＜0，
∴M－N＞0，
∴M＞N.
7.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b≤c B.b≤c＜a C.b＜c＜a D.b＜a＜c
答案 A
解析 由c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，得b≤c，
再由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，得2b＝2＋2a2，
因为1＋a2－a＝2＋＞0，
所以b＝1＋a2＞a，所以a＜b≤c.
二、填空题
8.b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式： .
答案 >
解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了.
9.若x∈R，则与的大小关系为 .
答案 ≤
解析 ∵－＝＝≤0.
∴≤.
10.(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小关系为 .
答案 (x＋5)(x＋7)<(x＋6)2
解析 因为(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36)＝－1<0.
所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2.
11.已知0答案 M >N
解析 ∵0M＝＋＝，
N＝＋＝.
∵ab<1，∴2ab<2，
∴a＋b＋2ab<2＋a＋b，
∴M >N.
三、解答题
12.设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小.
解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号.
13.商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；
(2)按总价的92%付款.
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯为x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法的y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱？
解 由优惠办法(1)得y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4)，
由优惠办法(2)得
y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4).
y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4)，
令y1－y2＝0，得x＝34，
当购买34只茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x＜34时，y1＜y2，优惠办法(1)省钱；当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)省钱.
四、探究与拓展
14.已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小.
解 －(＋)＝＋
＝＋＝＝.
因为a，b为正实数，
所以＋>0，>0，(－)2≥0，
所以≥0，
所以＋≥＋.
15.规定A⊕B＝A2＋B2，A?B＝A·B，A，B∈R，若M＝a－b，N＝a＋b，a，b∈R，判断M⊕N与M?N的大小.
解 M⊕N＝M2＋N2＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2a2＋2b2.
M?N＝M·N＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2，
M⊕N－M?N＝2a2＋2b2－(a2－b2)＝a2＋3b2≥0，
所以M⊕N≥M?N.
3.1.2 不等式的性质
学习目标 1.理解并掌握不等式的性质.2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较.3.会证明一些简单的不等式.
知识点一 不等式的基本性质
思考 试用作差法证明a>b，b>c?a>c.
答案 a>b，b>c?a－b>0，b－c>0?a－b＋b－c>0?a－c>0?a>c.
梳理 不等式性质：
名称
式子表达
性质1(对称性)
a＞b?b＜a
性质2(传递性)
a＞b，b＞c?a＞c
性质3
a＞b?a＋c＞b＋c
推论1
a＋b＞c?a＞c－b
a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d
推论2
性质4
a＞b，c＞0?ac＞bc
a＞b，c＜0?ac＜bc
推论1
a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd
a＞b＞0?an＞bn(n∈N＋，n＞1)
a＞b＞0?＞(n∈N＋，n＞1)
推论2
推论3
知识点二 不等式性质的注意事项
思考1 在性质4的推论1中，若把a，b，c，d为正数的条件去掉，即a＞b，c＞d，能推出ac＞bd吗？若不能，试举出反例.
答案 不能，例如1＞－2，2＞－3，但1×2＝2＜(－2)×(－3).
思考2 在性质3的推论2中，能把“?”改为“?”吗？为什么？
答案 不能，因为由a＋c＞b＋d，不能推出a＞b，c＞d，例如1＋100＞2＋3，但显然1＜2.
梳理 (1)注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要想当然随意捏造性质.
(2)注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性，只有a＞b?b＜a，a＞b?a＋c＞b＋c，a＞b?ac＞bc(c＞0)是可以逆推的，其余几条性质不可逆推.
1.若a>b，则ac>bc一定成立.( × )
2.若a＋c>b＋d，则a>b且c>d.( × )
3.若a>b且db＋d.( √ )
4.若a>b且c>d，则ac>bd.( × )
类型一 不等式性质的证明
例1 若a＞b，c＞0，求证：ac＞bc.
证明 ac－bc＝(a－b)c.
∵a＞b，∴a－b＞0.
又c＞0，∴(a－b)c＞0，即ac－bc＞0，
∴ac＞bc.
反思与感悟 对任意两个实数a，b有a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.数学是个讲究逻辑的学科，不能以理解代替证明.
跟踪训练1 (1)若ac2＞bc2，求证：a＞b；
(2)由a＞b能推出ac2＞bc2吗？
解 (1)∵ac2＞bc2，
∴ac2－bc2＞0，即(a－b)c2＞0.
若c2＝0，则ac2＝bc2与条件矛盾.
∴c2＞0，∴a－b＞0，即a＞b.
(2)不能.当c＝0时，ac2＝bc2.
类型二 不等式性质的应用
例2 判断下列命题的真假：
(1)若a>b，则ac(2)若aab>b2；
(3)若a.
解 (1)由于c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据.故该命题为假命题.
(2)由?a2>ab；由?ab>b2.
所以a2>ab>b2，故该命题为真命题.
(3)由a－b>0?a2>b2?>，
即>，故该命题为假命题.
反思与感悟 要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，应熟练掌握不等式的性质及其推论的条件和结论，若判断命题是假命题只需举一反例即可.
跟踪训练2 下列命题中正确的个数是( )
①若a>b，b≠0，则>1；
②若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d；
③若a>b，且ac>bd，则c>d.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 ①若a＝2，b＝－1，则不符合题意；
②取a＝10，b＝2，c＝1，d＝3，虽然满足a>b且a＋c>b＋d，但不满足c>d，故错；
③当a＝－2，b＝－3时，取c＝－1，d＝2，则c＞d不成立.
例3 已知a>b>0，c.
证明 ∵c－d>0，
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴0<<.
又∵e<0，∴>.
反思与感悟 利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件，如果不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式性质进行转化.
跟踪训练3 若a>b>0，c证明 ∵c－d>0.
又a>b>0，∴－ac>－bd>0，∴ac又c<0，d<0，∴cd>0.∴<，即<.
例4 已知－6解 ∵－6∴－10<2a＋b<19.
又∵－3<－b<－2，∴－9又<<，
当0≤a<8时，0≤<4；当－6∴－3<<4.
反思与感悟 解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错.同时在变换过程中要准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的情况，同时，要特别注意同向不等式相乘的条件是同为正.
跟踪训练4 已知－≤α<β ≤，求，的取值范围.
解 ∵－≤α<β≤，
∴－≤<，－<≤.
上面两式相加得－<<.
∵－<≤，∴－≤－<，
∴－≤<.
又知α<β，∴α－β<0，故－≤<0.
1.如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的个数是( )
①＜；②＜；③a2＜b2；④|a|＞|b|.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 ①正确，②③④可举反例排除，如对②③，设a＝－9，b＝1，对④，设a＝－1，b＝2即可.
2.已知a>b，不等式：①a2>b2；②<；③>成立的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 由题意可令a＝1，b＝－1，此时①不对，②不对，③a－b＝2，此时有<，故③不对.故选A.
3.已知a，b，c，d∈R且ab>0，－>－，则( )
A.bcad C.> D.<
答案 A
解析 ∵ab>0，
∴在－>－两侧乘ab不变号，
即－bc>－ad，即bc4.若α∈，β∈，那么2α－的取值范围是 .
答案
解析 ∵α∈，∴2α∈(0，π)，
∵β∈，∴－∈，
∴－<2α－<π.
1.不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆.只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆.
2.不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行推导，不能自己“制造”性质运算.
一、选择题
1.设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②acloga(b－c).
其中所有正确结论的序号是( )
A.① B.①② C.②③ D.①②③
答案 D
解析 由不等式性质及a>b>1知<，
又c<0，∴>，①正确；
构造函数y＝xc，
∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，
又a>b>1，∴ac∵a>b>1，c<0，
∴a－c>b－c>1，
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确.
2.已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A.a>> B.>>a C.>a> D.>>a
答案 D
解析 取a＝－2，b＝－2，
则＝1，＝－，
∴>>a.
3.若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.< B.a2>b2
C.> D.a|c|>b|c|
答案 C
解析 对于A，若a>0>b，则>0，<0，
此时>，
∴A不成立；
对于B，若a＝1，b＝－2，则a2对于C，∵c2＋1≥1，且a>b，
∴>恒成立，∴C成立；
对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立.
4.若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A.ab>ac B.ac>bc
C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2
答案 A
解析 由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，?ab>ac.
5.若a<0，－1A.aa>ab
C.ab>b>ab2 D.ab>ab2>a
答案 D
解析 ∵－1又a<0，
∴ab>ab2>a.
6.如果－1A.<C.<答案 A
解析 ∵－10，
∴<即<<0，
∴1>a2>b2>0，
∴<<0二、填空题
7.已知a，b为非零实数，且a(1)a2b答案 (2)
解析 对于(1)，
当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于(2)，
∵a0，∴<，故成立；
对于(3)，
当a＝－1，b＝1时，＝＝－1，故不成立.
8.如果a，b，c满足c(1)ab>ac; (2)c(b－a)>0；
(3)cb2答案 (3)
解析 c0，c<0，而b的取值不确定，当b＝0时，(3)不成立.
9.若－1≤a≤3，1≤b≤2，则a－b的范围为 .
答案 [－3，2]
解析 ∵－1≤a≤3，－2≤－b≤－1，∴－3≤a－b≤2.
10.已知a>b，e>f，c>0，则f－ac e－bc.(填“>”“<”或“＝”)
答案 ＜
解析 因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.
又e>f，即f三、解答题
11.判断下列各命题是否正确，并说明理由：
(1)若<且c>0，则a>b；
(2)若a>b，ab≠0，则<；
(3)若a>b，c>d，则ac>bd.
解 (1)?<，但推不出a>b，故(1)错.
(2)例如，当a＝1，b＝－1时，不成立，故(2)错.
(3)例如，当a＝c＝1，b＝d＝－2时，不成立，故(3)错.
12.已知a＞b＞0，c＞d＞0，
(1)求证：ac＞bd.
(2)试比较与的大小.
(1)证明 因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bc，bc＞bd，所以ac＞bd.
(2)解 因为a＞b＞0，c＞d＞0，
所以＞＞0，＞＞0，
所以＞＞0，所以＞.
13.已知函数f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.
解 ∵f(x)＝ax2－c，
∴
∴
∴f(3)＝9a－c＝?f(2)－?f(1)，
又∵－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，
∴≤－?f(1)≤，①
－≤?f(2)≤.②
把①②的两边分别相加，得－1≤?f(2)－?f(1)≤20，即－1≤f(3)≤20.
所以f(3)的取值[－1，20].
四、探究与拓展
14.已知不等式：①a<00；⑥a答案 ①②④⑤⑥
解析 因为<?<0?b－a与ab异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都能使<.
15.已知：f(x)＝logax，a>1>b>c>0，
证明：>.
证明 ∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，
∴0<<，
又∵f(b)＝logab，f(c)＝logac，a>1，
∴f(b)>f(c)，
又∵1>b>c>0，∴f(b)<0，f(c)<0，
∵f(b)>f(c)，
∴0<－f(b)<－f(c)，
∴b－f(c)>c－f(b)>0，
∴>.
§3.2 均值不等式
第1课时 均值不等式
学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.
知识点一 算术平均值与几何平均值的概念
思考 如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？
答案 PO＝＝.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么PQ2＝AQ·QB，即PQ＝.
梳理 一般地，对于正数a，b，为a，b的算术平均值，为a，b的几何平均值.两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即≤.其几何意义如上图中的PO≥PQ.
知识点二 均值定理及其常见推论
思考 如何证明不等式≤(a>0，b>0)?
答案 ∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，
∴a＋b≥2，
∴≤，
当且仅当a＝b时，等号成立.
梳理 1.均值定理
如果a，b∈R＋，那么≥.当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论通常称为均值定理，又叫均值不等式.
均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.
2.常见推论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2)＋≥2(a，b同号)；
(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).
1.对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立.( × )
2.若a≠0，则a＋≥2＝4.( × )
3.若a>0，b>0，则ab≤2.( √ )
类型一 常见推论的证明
例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立).
引申探究
证明不等式2≤(a，b∈R).
证明 由例1，得a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，
两边同除以4，即得2≤，
当且仅当a＝b时，取等号.
反思与感悟 使用作差法与不等式性质是证明不等式中常用的方法.
跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
证明 ∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
类型二 用均值不等式证明不等式
例2 已知x，y都是正数.
求证：(1)＋≥2；
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
证明 (1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，
∴＋≥2＝2，即＋≥2，
当且仅当x＝y时，等号成立.
(2)∵x，y都是正数，
∴x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0.
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立.
反思与感悟 在(1)的证明中把，分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在(2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号.
跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
证明 ∵a，b，c都是正实数，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
类型三 用均值不等式比较大小
例3 已知a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，试比较a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca，的大小.
解 因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
所以2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，①
所以a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.
①式两边分别加上a2＋b2＋c2得，
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，所以a2＋b2＋c2≥，
3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1，
所以ab＋bc＋ca≤.
综上知，a2＋b2＋c2≥≥ab＋bc＋ca.
反思与感悟 均值不等式≥一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.
跟踪训练3 设a＞b＞1，P＝，Q＝，R＝lg ，则P，Q，R的大小关系是( )
A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R
C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q
答案 B
解析 ∵a＞b＞1，
∴lg a＞lg b＞0，
∴＞，
即Q＞P.①
又＞，
∴lg ＞lg＝(lg a＋lg b)，
即R＞Q.②
综合①②，有P＜Q＜R.
1.已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )
A.2 B.2
C.4 D.5
答案 C
解析 ∵a>0，b>0，
∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立.
2.若0A.a>>>b B.b>>>a
C.b>>>a D.b>a>>
答案 C
解析 ∵0∴2b>a＋b，∴b>>.
∵b>a>0，
∴ab>a2，∴>a，>.
故b>>>a.
3.设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A.6 B.4 C.2 D.8
答案 B
解析 ∵a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4，
当且仅当a＝b＝时，等号成立.
4.设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是 .(填序号)
答案 ①②③
解析 由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；
由于a＋≥2，b＋≥2.
∴≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；
由于a＋b≥2，＋≥2，
故(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
1.两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面，当a＝b时，＝；另一方面，当＝时，也有a＝b.
2. 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.
一、选择题
1.不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是( )
A.m＝1 B.m＝±1 C.m＝－1 D.m＝0
答案 A
2.若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A.a2＋b2>2ab B.a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
答案 D
解析 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；
对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误；
对于D，∵ab>0，
∴＋≥2＝2，
当且仅当a＝b时，等号成立.
3.若x>0，y>0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.≥ B.＋≥1 C.≥2 D.≥1
答案 B
解析 若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)＝≥×(2＋2)＝1，
当且仅当x＝y＝2时，等号成立.
4.若0A. B.a2＋b2 C.2ab D.a
答案 B
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵0∴a2＋b2最大.
5.设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A.8 B.4 C.1 D.
答案 B
解析 由题意知3a·3b＝3，即3a+b＝3，
所以a＋b＝1.
因为a>0，b>0，
所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝时，等号成立.
6.已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( )
A.a＋b＋≥2 B.(a＋b)≥4
C.≥2 D.>
答案 D
解析 a＋b＋≥2＋≥ 2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；
(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
∵a2＋b2≥2ab>0，
∴≥2，
当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
∵a＋b≥2，且a，b∈(0，＋∞)，
∴≤1，≤.
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立.
7.设0A.logab＋logba≥2
B.logab＋logba≥－2
C.logab＋logba≤－2
D.logab＋logba>2
答案 C
解析 ∵0∴logab<0，logba<0，－logab>0，－logba＞0，
∴(－logab)＋(－logba)＝(－logab)＋≥2，
当且仅当ab＝1时，等号成立，
∴logab＋logba≤－2.
二、填空题
8.若a<1，则a＋有最 (填“大”或“小”)值，为 .
答案 大 －1
解析 ∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2(当且仅当a＝0时取等号)，
∴a－1＋≤－2，
∴a＋≤－1.
9.已知a＞b＞c，则与的大小关系是 .
答案 ≤
解析 因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，
所以＝≥，
当且仅当a－b＝b－c时，等号成立.
10.设a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga2a，则m，n，p的大小关系是 .(用“＞”连接)
答案 m＞p＞n
解析 ∵a＞1，
∴a2＋1＞2a＞a＋1，
∴loga(a2＋1)＞loga(2a)＞loga(a＋1)，
故m＞p＞n.
三、解答题
11.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明 ∵a，b，c都是正数，∴，，也都是正数.
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
12.已知x＞y＞0，xy＝1，求证：≥2.
证明 ∵xy＝1，x>y>0，
∴＝＝＝(x－y)＋≥2＝2.
当且仅当
即时取等号.
13.已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：≥8.
证明 ∵a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
四、探究与拓展
14.若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值是 .
答案 2－2
解析 由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，
得a(a＋b)＋(a＋b)c＝(a＋b)(a＋c)＝4－2，
而2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2＝2＝2(－1)＝2－2.
当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立.
15.已知k>，若对任意正数x，y，不等式x＋ky≥恒成立，求实数k的最小值.
解 ∵x>0，y>0，
∴不等式x＋ky≥恒成立等价于＋k≥恒成立.
又k>，∴＋k≥2，
∴2≥，解得k≤－(舍去)或k≥，
∴kmin＝.
第2课时 均值不等式的应用
学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.
知识点一 均值不等式及变形
思考 使用均值不等式证明：≤(a>0，b>0)，并说明什么时候等号成立.
答案 ∵a>0，b>0，∴＋≥2>0，
∴≤，
即≤(a>0，b>0)，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立.
梳理 以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件.
当a>0，b>0时，有≤≤≤；
当且仅当a＝b时，以上三个等号同时成立.
知识点二 用均值不等式求最值
思考 因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2.
以上说法对吗？为什么？
答案 错.显然(x2＋1)min＝1.
x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.仅说明抛物线y＝x2＋1恒在直线y＝2x上方，仅在x＝1时有公共点.
使用均值不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值，可能出错.
梳理 均值不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值，即“和定积大，积定和小”.
(3)等号成立的条件是否满足.
1.函数y＝x＋的最小值是2.( × )
2.函数y＝sin x＋，x∈的最小值为2.( × )
3.若＋≥2，则必有x>0，y>0.( × )
类型一 均值不等式与最值
例1 (1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)设0(3)已知x>2，求x＋的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且 ＋＝1，求x＋y的最小值.
解 (1)当x>0时，x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号.
∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.
(2)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.
∵∈.
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立.
∴x＋的最小值为6.
(4)方法一 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，不等式取等号.
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
方法二 由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值).
由＋＝1可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时不等式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.
跟踪训练1 (1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.
解 (1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，
当且仅当3x＝，即x＝2时取等号，
∴f(x)的最小值为12.
(2)∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号.
∴f(x)的最大值为－1.
(3)方法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立.
∴x＋y的最小值是18.
方法二 由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立.
∴x＋y的最小值是18.
类型二 均值不等式在实际问题中的应用
例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解 (1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m.
由≥，可得x＋y≥2，2(x＋y)≥40.
当且仅当x＝y＝10时等号成立.
所以这个矩形的长、宽都为10 m时，
所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.
(2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.
由≤＝＝9，可得xy≤81，
当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.
反思与感悟 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？
解 设水池底面一边的长度为x m，
则另一边的长度为 m.
又设水池总造价为y元，根据题意，得
y＝150×＋120×＝240 000＋720×
≥240 000＋720×2＝297 600(元)，
当且仅当x＝，即x＝40时，y取得最小值297 600.
所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元.
例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.
由题意可知，面粉的保管及其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y元，
则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝10 989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立.
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
引申探究
若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？
解 设x1，x2∈[15，＋∞)，且x1＜x2.
则－＝9(x1－x2)＋900
＝(x1－x2)＝(x1－x2).
∵15≤x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1x2＞225，
∴(x1－x2)＜0，
即y＝9x＋＋10 809在[15，＋∞)上为增函数.
∴当x＝15，即15天购买一次面粉，平均每天支付的费用最少.
反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解.
跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要 小时.
答案 8
解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t＝＝＋≥2＝8(小时)，
当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，
所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时.
1.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A.80 B.77 C.81 D.82
答案 C
解析 ∵x>0，y>0，∴≥，
即xy≤2＝81，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
2.已知a＝(x－1，2)，b＝(4，y)(x，y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是( )
A. B.－ C.1 D.－1
答案 A
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，
∴xy＝(2x)·y≤·2＝×2＝，
当且仅当2x＝y＝1时，等号成立.
3.设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为( )
A.16 B.9 C.12 D.15
答案 A
解析 因为x，y为正数，
所以(x＋y)＝1＋9＋＋≥16，当且仅当y＝3x时，等号成立.
4.已知x≥，则f(x)＝的最小值为 .
答案 1
解析 f(x)＝＝＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立.
1.用均值不等式求最值
(1)利用均值不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值.
2.求解应用题的方法与步骤：
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
一、选择题
1.已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，则lg xlg y的最大值是( )
A.4 B.2 C.1 D.
答案 A
解析 ∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，
lg xlg y≤2＝4，当且仅当lg x＝lg y＝2，即x＝y＝100时取等号.
2.已知点P(x，y)在经过A(3，0)，B(1，1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A.2 B.4 C.16 D.不存在
答案 B
解析 ∵点P(x，y)在直线AB上，
∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝4.
当且仅当2x＝4y，即x＝，y＝时，等号成立.
3.函数y＝log2(x>1)的最小值为( )
A.－3 B.3 C.4 D.－4
答案 B
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
∴x＋＋5＝(x－1)＋＋6≥2＋6＝8，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.
∴log2≥3，
∴ymin＝3.
4.已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B.4 C. D.5
答案 C
解析 ∵a＋b＝2，
∴＝1.
∴＋＝＝＋≥＋2＝
，
故y＝＋的最小值为.
5.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.3
答案 B
解析 由x2－3xy＋4y2－z＝0且z≠0得＋＝＋1，
∵＋≥2＝4·，
∴3·＋1≥4·.
∴≤1，当且仅当＝即x＝2y时取等号.
∴max＝1，
此时x＝2y，z＝xy＝2y2.
∴＋－＝＋－＝－＝－2＋1≤1.
当＝1即y＝1时取等号.
∴max＝1.
6.已知x＞1，y＞1，且ln x，，ln y成等比数列，则xy的最小值为( )
A. B.2 C.e D.e2
答案 C
解析 由题意得2＝ln x·ln y，
∴ln x·ln y＝，
∵x＞1，y＞1，∴ln x·ln y＞0，
又ln(xy)＝ln x＋ln y≥2＝1，当且仅当ln x＝ln y＝时，等号成立，∴xy≥e.
即xy的最小值为e.
7.已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆C：x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A.9 B.8 C.4 D.2
答案 A
解析 圆C：x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，
得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0，1).
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.
因为b，c>0，
所以＋≥2＝4，
当且仅当＝时等号成立.
由此可得b＝2c且b＋c＝1，
即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
二、填空题
8.若xy是正数，则2＋2的最小值是
答案 4
解析 2＋2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4，
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号.
9.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2.
答案 25
解析 设矩形的一边为x m，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，
即x＝5时，ymax＝25.
10.设0答案 4
解析 ∵02>0，
∴y＝≤＝＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号.
∴当x＝时，y＝有最大值4.
11.设x>－1，则函数y＝的最小值是 .
答案 9
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9.
12.已知x>0，y>0，且3x＋4y＝12，则lg x＋lg y的最大值为 .
答案 lg 3
解析 由x>0，y>0，且3x＋4y＝12，得xy＝·(3x)·(4y)≤2＝3.
所以lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 3，
当且仅当3x＝4y＝6，
即x＝2，y＝时，等号成立.
故当x＝2，y＝时，lg x＋lg y的最大值是lg 3.
三、解答题
13.某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
依题意得f(x)＝Q(x)＋＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N＋)，
f(x)＝50x＋＋3 000≥2＋3 000＝5 000(元).
当且仅当50x＝，即x＝20时，上式取等号，
所以当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元).
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元.
四、探究与拓展
14.已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为 .
答案 6
解析 由已知，可得6＝1，
所以2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立，
所以9m≤54，即m≤6.
15.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为 时，可使每间虎笼面积最大.
答案 4.5 m，3 m
解析 设每间虎笼长为x m，宽为y m.
依题意，得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
方法一 由于2x＋3y≥2，
∴2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立.
由
解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大.
方法二 由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，
∴0S＝xy＝y＝(6－y)·y.
∵0∴6－y>0，
∴S≤·2＝.
当且仅当6－y＝y，
即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大.
§3.3 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式及其解法
学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.体会数形结合、分类讨论的思想.
知识点一 一元二次不等式的概念
思考 我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立.那么你能写出不等式x2>1的解集吗？
答案 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集.
梳理 (1)一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式.
(2)一元二次不等式的一般表达形式为ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，其中a，b，c均为常数.
知识点二 “三个二次”的关系
思考 分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系.
答案 x2－1>0y＝x2－1x2－1＝0.
梳理 一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1?
?
知识点三 一元二次不等式的解法
思考 根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x.
答案 先化为x2－3x＋2>0.
∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，
∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.
梳理 解一元二次不等式的步骤：
(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；
(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；
(3)有根求根；
(4)根据图象写出不等式的解集.
1.mx2－5x<0是一元二次不等式.( × )
2.若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解.( × )
3.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x14.不等式x2－2x＋3>0的解集为R.( √ )
类型一 一元二次不等式的解法
例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集.
解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，
所以原不等式的解集为.
反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.
跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集.
解 ∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是.
例2 解不等式－x2＋2x－3>0.
解 不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是?.
反思与感悟 将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本题的关键之处.
跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集.
解 不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，∴x1＝1－，x2＝1＋，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是.
例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
解 当a＜0时，不等式可化为(x－1)＞0，
∵a＜0，∴＜1，∴不等式的解集为.
当a＝0时，不等式即－x＋1＜0，解集为{x|x＞1}.
当a＞0时，不等式可化为(x－1)＜0.
当0＜a＜1时，＞1，不等式的解集为.
当a＝1时，不等式的解集为?.
当a＞1时，＜1，不等式的解集为.
综上，当a＜0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a＝1时，解集为?；
当a＞1时，解集为.
反思与感悟 解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再进行分类讨论.
跟踪训练3 解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.
解 当a＜0或a＞1时，有a＜a2，
此时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，有a2＜a，
此时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；
当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为?.
综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；
当a＝0或a＝1时，解集为?.
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.
解 由根与系数的关系，可得
即
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0，解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
反思与感悟 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
跟踪训练4 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1解 方法一 由题设条件知a>0，且1，2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.
由根与系数的关系，知解得
方法二 把x＝1，2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
得解得
1.不等式2x2－x－1>0的解集是( )
A.
B.{x|x＞1}
C.{x|x＜1或x＞2}
D.
答案 D
解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－，
∴不等式的解集为.
2.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵－6x2－x＋2≤0，
∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，
∴x≥或x≤－.
3.不等式x2＋x－2<0的解集为 .
答案 {x|－2解析 由x2＋x－2<0，得－2故其解集为{x|－24.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.
解 当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
所以当a＝2时解集为R.
当a－2≠0时，
由题意得
即
解得－2综上所述，a的取值范围为(－2，2].
1.解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集.
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m0，则可得{x|x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得{x|m有口诀如下：大于取两边，小于取中间.
2.含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1一、选择题
1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )
A.{x|x<－1或x>2} B.{x|x≤－1或x≥2} C.{x|－1答案 D
解析 由题意知，－＝1，＝－2，
∴b＝－a，c＝－2a，
又∵a<0，∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.
2.若00的解集是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵01，∴>t.
∴(t－x)>0?(x－t)<0?t3.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.
∴－7×(－1)＝，故a＝3.
4.已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a＜b)，且α，β(α＜β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是( )
A.a＜α＜β＜b B.a＜α＜b＜β
C.α＜a＜b＜β D.α＜a＜β＜b
答案 A
解析 设g(x)＝(x－a)(x－b)，
则g(x)向上平移2个单位长度得到f(x)的图象，
如图易知a＜α＜β＜b.
5.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A.(－2，2) B.(－2，2]
C.(－∞，－2)∪[2，＋∞) D.(－∞，2)
答案 B
解析 ∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，
∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.
当m＝2时，4>0，不等式的解集为R，满足题意；
当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，
解得－2此时，不等式的解集为R，满足题意.
综上所述，－26.设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A.(－3，1)∪(3，＋∞)
B.(－3，1)∪(2，＋∞)
C.(－1，1)∪(3，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(1，3)
答案 A
解析 f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3所以f(x)>f(1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞).
7.设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}.若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0.f(－3)＝6a＋8>0.根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所以即≤a<.
二、填空题
8.不等式－1答案 {x|－3≤x<－2或0解析 ∵
∴－3≤x<－2或09.若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是 .
答案 (－2，2)
解析 由题意知，不等式x2＋mx＋1>0对应的函数的图象在x轴的上方，
所以Δ＝m2－4×1×1<0，所以－210.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是 .
答案 (－∞，2]∪[4，＋∞)
解析 x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，
把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，
解得k≥4或k≤2.
11.不等式x2－3|x|＋2≤0的解集为 .
答案 {x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}
解析 原不等式等价于|x|2－3|x|＋2≤0，即1≤|x|≤2.
当x≥0时，1≤x≤2；当x<0时，－2≤x≤－1.
所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}.
12.若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，则关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集为 .
答案
解析 由ax2＋bx＋c≥0的解集为，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，
∴
∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为x2－x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2－5x－3<0，解得－＜x＜3，
∴所求不等式的解集为.
三、解答题
13.解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.
解 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，
所以①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a②当a＝－1时，原不等式的解集为?；
③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1四、探究与拓展
14.对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N＋)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为 .
答案 [2，8)
解析 由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，
又当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N＋)时，[x]＝n，所以[x]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8).
15.已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，则实数a的取值范围是 .
答案 (－∞，－1)∪
解析 原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式，得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
第2课时 一元二次不等式的应用及恒成立问题
学习目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
知识点一 分式不等式的解法
思考 >0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？
答案 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.
梳理 一般的分式不等式的同解变形法则：
(1)>0?f(x)·g(x)>0；
(2)≤0?
(3)≥a?≥0.
知识点二 一元二次不等式恒成立问题
思考 x－1>0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2，3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？
答案 x－1>0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2，3]上的图象恒在x轴上方.区间[2，3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2，3]是不等式x－1>0的解集的子集.
梳理 一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象全部在x轴上方.区间[a，b] 是不等式f(x)>0的解集的子集.
含参不等式的恒成立问题通常转化为分离参数求最值问题，即：
若f(x)有最大值，则k≥f(x)恒成立?k≥f(x)max；
若f(x)有最小值，则k≤f(x)恒成立?k≤f(x)min.
1.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
2.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )
3.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.( √ )
类型一 分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)≤1；
(2)若关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，求关于x的不等式>0的解集.
解 (1)∵≤1，
∴－1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，
解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
(2)由ax－b>0的解集为(1，＋∞)，知a>0且a＝b.
由>0，得(ax＋b)(x－2)>0.
令(ax＋b)(x－2)＝0得，x1＝－＝－1，x2＝2.
∴(ax＋b)(x－2)>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
即>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.
跟踪训练1 解下列不等式.
(1)≥0；(2)>1.
解 (1)原不等式可化为
解得
∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)方法一 原不等式可化为或
解得或
∴－3∴原不等式的解集为.
方法二 原不等式可化为>0，化简得>0，
即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，
解得－3∴原不等式的解集为.
类型二 不等式恒成立问题
例2 当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R.
解 (1)当a2－1＝0即a＝1或－1时，
①由a＝1，得原不等式为－1<0，恒成立.
②由a＝－1，得原不等式为2x－1<0即x<，不合题意，舍去.
(2)当a2－1≠0即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是
解得－综上a的取值范围是.
反思与感悟 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
跟踪训练2 若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A.(－3，0] B.[－3，0) C.[－3，0] D.(－3，0)
答案 D
解析 ∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，
∴k≠0，
又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则必有解得－3
例3 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解 (1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
若m≠0，则即－4∴综上，m的取值范围是(－4，0].
(2)方法一 要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立.
就要使m2＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立.
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1，3].
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二 当x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，
∴只需m<即可.
综上所述，m的取值范围是.
引申探究
把例3(2)改为：对于任意m∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数x的取值范围.
解 f(x)＜－m＋5，
即mx2－mx－1＜－m＋5，m(x2－x＋1)－6＜0.
设g(m)＝m(x2－x＋1)－6.
则g(m)是关于m的一次函数且斜率是x2－x＋1＝2＋＞0，
∴g(m)在[1，3]上为增函数，要使g(m)＜0在[1，3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)＜0，
即3(x2－x＋1)－6＜0，x2－x－1＜0，
方程x2－x－1＝0的两根为x1＝，x2＝，
∴x2－x－1＜0的解集为区间，
即x的取值范围为.
反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解.
跟踪训练3 当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是 .
答案 (－∞，－5]
解析 构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1，2]，
则f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)或f(2).
由于当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立.
则有即
即即m≤－5.
类型三 一元二次方程根的分布
例4 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围.
解 (1)由条件，得抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图(1)所示，
得即
即－＜m＜－.故m的取值范围是.
(2)抛物线与x轴的交点均落在区间(0，1)内，如图(2)所示
得即
即－＜m≤1－.故m的取值范围是.
反思与感悟 在解决一元二次方程根的分布问题时，可以从以下几点考虑：(1)设方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，对应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0).
(2)结合二次函数开口方向研究对称轴，判别式Δ＝b2－4ac.
(3)确定区间端点值f(a)，f(b)的正负.
跟踪训练4 已知x2＋2ax＋2a＋1＝0的两个根均大于－1，求a的取值范围.
解 设f(x)＝x2＋2ax＋2a＋1，
则y＝f(x)的开口方向向上，且对称轴为x＝－a，
∴即
∴a≤1－.
即a的取值范围是(－∞，1－].
1.若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，则a的取值范围是( )
A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－2，1) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，
依题意得f(1)<0，即1＋a2－1＋a－2<0，
∴a2＋a－2<0，
∴－22.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
答案 C
解析 y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去).
故生产者不亏本的最低产量是150台.
3.不等式x2＋x＋k>0恒成立时，k的取值范围为 .
答案
解析 由题意知Δ<0，
即1－4k<0，
得k>，即k∈.
4.解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1.
解 (1)原不等式等价于
解得x≤1或x>2，
∴原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}.
(2)原不等式可改写为＋1<0，即<0，
∴(6x－4)(4x－3)<0，
∴∴原不等式的解集为.
1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零.
2.对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然，这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.
一、选择题
1.不等式≥2的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 ∵≥2??
∴不等式解集为.
2.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0，1]恒成立，则m的最大值为( )
A.1 B.－1 C.－3 D.3
答案 C
解析 由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0，1]恒成立，
又f(x)＝x2－4x在(0，1]上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3，
∴m的最大值为－3.
3.不等式(x－1)≥0的解集是( )
A.{x|x>1}
B.{x|x≥1}
C.{x|x≥1或x＝－2}
D.{x|x≤－2或x＝1}
答案 C
解析 当x＝－2时，0≥0成立.
当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}.
4.a＞0，b＞0，不等式－b＜＜a的解集为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 原不等式即即即
故不等式的解集为.
5.已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于( )
A.M∩N B.M∪N
C.?R(M∩N) D.?R(M∪N)
答案 D
解析 <0?(x＋3)(x－1)<0，
故集合M可化为{x|－3将集合M和集合N在数轴上表示出来(如图)，
易知答案为D.
6.设a为常数，对于?x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是( )
A.(0，4) B.[0，4)
C.(0，＋∞) D.(－∞，4)
答案 B
解析 对于?x∈R，ax2＋ax＋1>0，
则必有或a＝0，∴0≤a<4.
7.对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A.13
C.12
答案 B
解析 设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
g(a)＞0恒成立且a∈[－1，1]
?
??x<1或x>3.
二、填空题
8.不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是?，则实数a的取值范围是 .
答案 (－1，0]
解析 当a＝0时，－2≥0，解集为?，满足题意；
当a≠0时，a满足条件解得－1综上可知，a的取值范围是(－1，0].
9.若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝ .
答案 4
解析 >0?(x＋1)(x－a)>0，
又∵原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，
∴(x＋1)(x－4)>0，∴a＝4.
10.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|x∈N＋，x≤5}，则A∩B＝ .
答案 {1，2}
解析 (2x＋1)(x－3)＜0，
∴－＜x＜3，
又x∈N＋且x≤5，则x＝1，2.
11.方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是 .
答案 (0，1]
解析 由题意得
解得0＜m≤1.
12.已知关于x的不等式＜1，若a＝1，则该不等式的解集为 .
答案 {x|1解析 原不等式可化为－1＜0，
即＜0，等价于(ax－2)(x－1)＜0.
当a＝1时，不等式等价于(x－1)(x－2)＜0，
所以1＜x＜2，
所以原不等式的解集为{x|1＜x＜2}.
三、解答题
13.已知f(x)＝－3x2＋a(5－a)x＋b.
(1)当不等式f(x)>0的解集为(－1，3)时，求实数a，b的值；
(2)若对任意实数a，f(2)<0恒成立，求实数b的取值范围.
解 (1)由f(x)>0，得－3x2＋a(5－a)x＋b>0，
∴3x2－a(5－a)x－b<0.
又f(x)>0的解集为(－1，3)，
∴
∴或
(2)由f(2)<0，得－12＋2a(5－a)＋b<0，
即2a2－10a＋(12－b)>0.
又对任意实数a，f(2)<0恒成立，
∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b)<0，
∴b<－，∴实数b的取值范围为.
四、探究与拓展
14.在R上定义运算?：x?y＝x(1－y).若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是 .
答案
解析 根据定义，得(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，
又(x－a)?(x＋a)<1对任意的实数x都成立，
所以x2－x＋a＋1－a2>0对任意的实数x都成立，
所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，
解得－15.已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为 .
答案 [－6，2]
解析 f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
∴－6≤a≤2.
∴a的取值范围为[－6，2].
§3.4 不等式的实际应用
学习目标 1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题.2.掌握建立均值不等式模型解决实际问题.
知识点一 不等式模型
思考 一般情况下，建筑民用住宅时，民用住宅商户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，如何研究住宅的采光条件是变好了还是变差了？
答案 设a和b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积，m表示增加的面积，则只需比较与的大小即可.
梳理 建立不等式模型解决实际问题的过程：
(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)；
(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；
(3)解决数学问题；
(4)回归实际问题，写出准确答案.
知识点二 常见的不等式模型
1.一元二次不等式模型
根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响.
2.均值不等式模型
根据题意抽象出的模型是(1)y＝x＋(a＞0)，(2)a＋b，ab中有一个是定值，求另一个的最值，解决办法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a＞0，b＞0，以及等号成立的条件是否具备.
1.当a>0，b>0时，有≤.( √ )
2.由于sin2x＋≥2＝4，所以sin2x＋的最小值为4.( × )
类型一 一元二次不等式的实际应用
例1 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？
解 设产销量每年为x万瓶，则销售收入每年70x万元，
从中征收的金额为70x·R%万元，其中x＝100－10R.
由题意，得70(100－10R)·R%≥112，
整理，得R2－10R＋16≤0.
因为Δ＝36＞0，
所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.
由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，
得不等式的解集为{R|2≤R≤8}.
所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元.
反思与感悟 解有关不等式应用题的步骤
(1)选用合适的字母表示题中的未知数.
(2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组).
(3)解所列出的不等式(组).
(4)结合问题的实际意义写出答案.
跟踪训练1 某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
解 如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，因为AB＝400，∠BAx＝30°，所以热带风暴中心B的坐标为(200，－200)，x h后热带风暴中心B到达点P(200，40x－200)处，
由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350，
即(200)2＋(40x－200)2≤3502，
整理得16x2－160x＋375≤0，
解不等式，得3.75≤x≤6.25，
A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5，
故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h.
例2 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险.
(1)若f(0)＝10，g(0)＝20，试解释它们的实际意义；
(2)设f(x)＝＋10，g(x)＝＋20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？
解 (1)f(0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g(0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.
(2)设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，依题意，
当且仅当成立.
故y≥(＋20)＋10，
则4y－－60≥0，
所以(－4)(4＋15)≥0，得≥4，
故y≥16，x≥＋20≥24，
即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费.
反思与感悟 与最值相关的二次函数问题的解题方法
(1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数，再通过配方求最值.
(2)需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系，若对称轴在取值范围内，则最值在对称轴处取，若不在取值范围内，则根据函数的单调性确定在哪一个端点处取最值.
(3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小.
跟踪训练2 已知不等式sin2x－2asin x＋a2－2a＋2>0对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
解 设f(x)＝sin2x－2asin x＋a2－2a＋2，
则f(x)＝(sin x－a)2＋2－2a.
当a<－1时，f(x)在sin x＝－1时取到最小值，且f(x)min＝a2＋3，a2＋3>0显然成立，
∴a<－1.
当－1≤a≤1时，f(x)在sin x＝a时取到最小值，且f(x)min＝2－2a，由2－2a>0，解得a<1，
∴－1≤a<1.
当a>1时，f(x)在sin x＝1时取到最小值，且f(x)min＝a2－4a＋3，由a2－4a＋3>0，解得a<1或a>3，
∴a>3.综上所述，a的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞).
类型二 均值不等式的实际应用
例3 某单位决定投资3 200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.
(1)仓库底面积S(m2)的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解 (1)设铁栅长为x m，一侧砖墙长为y m，
则有S＝xy.
由题意得40x＋2×45y＋20xy＝3 200.
由均值不等式，得3 200≥2＋20xy＝120＋20xy＝120＋20S，
∴S＋6≤160，即(＋16)(－10)≤0.
∵＋16>0，∴－10≤0，∴S≤100.
∴S的最大允许值是100 m2.
(2)由(1)知取得最大值的条件是40x＝90y，而xy＝100，由此求得x＝15，即铁栅的长应是15 m.
反思与感悟 (1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求.均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查.
(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视.在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性.
跟踪训练3 把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
解析 设截成的两段铁丝长分别为x，16－x，01.某工厂第一年产量为A，第二年增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A.x＝ B.x≤ C.x> D.x≥
答案 B
解析 由题意知A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
即x＝－1≤－1＝，
当且仅当1＋a＝1＋b，即a＝b时，取等号.
2.某校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m和4 m的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为 m2.
答案 648
解析 设游泳池的长为x m，则游泳池的宽为 m，
又设占地面积为y m2，依题意，得y＝(x＋8)
＝424＋4≥424＋224＝648(m2).
当且仅当x＝，即x＝28时，取“＝”.
3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 公里处.
答案 5
解析 设仓库到车站距离为x公里，
则y1＝，y2＝k2x且 k1＝20，k2＝，
则两项费用之和S＝＋x≥8(万元)，
当且仅当＝x，
即x＝5公里时，两项费用之和最小为8万元.
4.要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值.
解 设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，ab＝9 000.①
广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a＞0，b＞0.
广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500
＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2
＝18 500＋2＝24 500.
当且仅当25a＝40b时，等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75，即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500，
故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm2.
1.解不等式实际应用题的解题思路
2.建立一元二次不等式模型求解实际问题
操作步骤为：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解.
一、选择题
1.若－2x2＋5x－2＞0，则＋2|x－2|等于( )
A.4x－5 B.－3
C.3 D.5－4x
答案 C
解析 ∵－2x2＋5x－2＞0，
∴＜x＜2，
∴2x＞1，x＜2，
原式＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1－2(x－2)＝3.
2.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1，2，…，12).按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )
A.5月、6月 B.6月、7月
C.7月、8月 D.8月、9月
答案 C
解析 n个月累积的需求量为Sn，
∴第n个月的需求量为an＝Sn－Sn－1
＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]
＝(－n2＋15n－9).
∵a1＝S1＝<1.5，
∵an>1.5即满足条件，
∴(－n2＋15n－9)>1.5，
解得6∴n＝7或n＝8.故选C.
3.某汽车运输公司买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，营运了( )
A.3年 B.4年
C.5年 D.6年
答案 C
解析 设y＝a(x－6)2＋11，
由条件知7＝a(4－6)2＋11，
∴a＝－1.
∴y＝－(x－6)2＋11＝－x2＋12x－25.
∴每辆客车营运的年平均利润＝＝－＋12≤－2＋12＝2(万元)，
当且仅当x＝，即x＝5时等号成立.
4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A.a＜v＜ B.v＝
C.＜v＜ D.v＝
答案 A
解析 依题意，设甲，乙两地路程为s，则v＝＝.
∵0＜a＜b，
∴＝＜＝.
又＞＝a，
∴a＜v＜.
5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A.[15，20] B.[12，25]
C.[10，30] D.[20，30]
答案 C
解析 依题意，设矩形高为y m，
则·x·(40－y)＋(40－x)·y＋xy＝×40×40，
即x＋y＝40，∴y＝40－x，
∴xy≥300，即x(40－x)≥300，
解得10≤x≤30.
6.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A.60件 B.80件 C.100件 D.120件
答案 B
解析 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，
则y＝＝＋.
∵x＞0，
∴＋≥2＝20.
当且仅当＝，即x＝80时取等号.
即每批生产80件，平均每件费用最小.
二、填空题
7.周长为＋1的直角三角形面积的最大值为 .
答案
解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，
则＋1＝a＋b＋≥2＋，
解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，
所以直角三角形的面积S＝ab≤，
即S的最大值为.
8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝ 吨.
答案 20
解析 设一年总费用为y万元，每年购买次数为次，则y＝·4＋4x＝＋4x≥2＝2＝160(万元).当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.
9.某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t 变动的范围是 .
答案 [3，5]
解析 由题意可列不等式·24 000·t%≥9 000?3≤t≤5.
10.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (单位：元).
答案 160
解析 设长方体底面的一边长为x，则另一边长为，
故总造价S＝4·20＋x·10·2＋·10·2＝80＋20≥160，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，
故最低总造价为160元.
11.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 .
①6.5 m；②6.8 m；③7 m；④7.2 m.
答案 ③
解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m).故③既够用，浪费也最少.
三、解答题
12.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解 (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0＜x＜1).
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即解得0＜x＜，
所以投入成本增加的比例应在内.
13.一服装厂生产某种风衣，月销售x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x(元).
(1)当月产量为多少时，该厂的月获利不少于1 300元？
(2)当月产量为多少时，该厂的月获利最大？最大月获利是多少？
解 (1)设该厂月获利为y，
则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，
由题意得y≥1 300，解得20≤x≤45，
∴当月产量在20至45件之间时，月获利不少于1 300元.
(2)由(1)知y＝－22＋1 612.5.
∵x为正整数，
∴当x＝32或33时，y取最大值为1 612，
∴当月产量为32或33件时，月获利最大，且最大为1 612元.
四、探究与拓展
14.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足关系：s＝＋(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中则n为( )
A.7 B.5 C.6 D.8
答案 C
解析 依题意，得
解得又n∈N，所以n＝6.
15.学校食堂定期从某粮店以每吨1 500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元.已知食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买.
(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由.
解 (1)设每t天购进一次大米，易知每次购进大米量为t吨，那么库存总费用即为
2[t＋(t－1)＋…＋2＋1]＝t(t＋1).
若设平均每天所支付的总费用为y1，则
y1＝[t(t＋1)＋100]＋1 500＝t＋＋1 501≥1 521.
当且仅当t＝，即t＝10时，等号成立，
故应每10天购买一次大米，能使平均每天支付的总费用最少.
(2)若接受价格优惠条件则至少每20天购买一次，
设t(t≥20)天购买一次，每天支付费用y2，则
y2＝[t(t＋1)＋100]＋1 500×0.95＝t＋＋1 426，
令f(t)＝t＋(t≥20)，
设20≤t1≤t2，
f(t2)－f(t1)＝ >0，
即f(x)在[20，＋∞)上单调递增.
故当t＝20时，y2取最小值为1 451元<1 521元，从而知该食堂应接受价格优惠条件.
章末复习
学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.会用均值不等式求解函数最值.
1.“三个二次”之间的关系
所谓三个二次，指的是①二次函数图象及与x轴的交点；②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点.
解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化.
2.均值不等式
利用均值不等式证明不等式和求最值的区别.
利用均值不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件.
利用均值不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.
1.当a≠0时，(ax－1)(x－1)>0?(x－1)>0.( × )
2.目标函数z＝x＋ay，当a<0时，当纵截距取最小值时，z才取最大值.( √ )
3.用a2＋b2≥2ab求最值时，不用满足条件“a>0，b>0”.( √ )
类型一 “三个二次”之间的关系
例1 设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M?[1，4]，求实数a的取值范围.
解 M?[1，4]有两种情况：
其一是M＝?，此时Δ<0；其二是M≠?，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围.
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
对方程x2－2ax＋a＋2＝0，
有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，
①当Δ<0时，－1②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，M＝{－1}?[1，4]，不满足题意；
当a＝2时，M＝{2}?[1，4]，满足题意.
③当Δ>0时，a<－1或a>2.
设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1那么M＝[x1，x2]，M?[1，4]?1≤x1即解得2综上可知，当M?[1，4]时，a的取值范围是.
反思与感悟 用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想.
跟踪训练1 已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解 (1)由题意知，a>0且1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，则解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，原不等式的解集为{x|2②当c<2时，原不等式的解集为{x|c③当c＝2时，原不等式的解集为?.
类型二 利用均值不等式求最值
例2 设f(x)＝.
(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值.
解 (1)当x＝0时，f(0)＝0；
当x>0时，有x＋≥2，
∴f(x)＝＝≤25.
当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，
∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.
(2)∵函数y＝x＋在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，
∴f(x)＝在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20.∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20.
反思与感悟 利用均值不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形以构造定值.如“相等”的条件不具备，不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解.
跟踪训练2 设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为 .
答案 9
解析 ·＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，
当且仅当x2y2＝时，“＝”成立.
例3 函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为 .
答案 4
解析 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1，1)，
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，∴m＋n＝1，
方法一 ＋＝＝≥＝4，
当且仅当m＝n＝时，取等号.
方法二 ＋＝(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当即m＝n＝时取等号.
∴min＝4.
反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值.
跟踪训练3 设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值.
解 ∵＋＝3，∴＝1.
∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×＝≥＝＋＝.
当且仅当＝，即y＝2x时，取等号.
又∵＋＝3，∴x＝，y＝.
∴2x＋y的最小值为.
1.设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为( )
A.0 B. C.1 D.
答案 A
解析 y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＋＝，
即x＝时等号成立.
∴函数的最小值为0.故选A.
2.若不等式ax2＋bx－2>0的解集为，则a＋b等于( )
A.－18 B.8 C.－13 D.1
答案 C
解析 ∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的两根.
∴∴∴a＋b＝－13.
3.设a>b>0，则a2＋＋的最小值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 D
解析 a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4.
当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，
即a＝，b＝时取等号.
4.若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝ .
答案 2
解析 因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，
所以a>0，1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，
且m>1，即即
1.不等式的基本性质
不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的四条性质及推论.
2.一元二次不等式的求解方法
对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集.
3.运用均值不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
一、选择题
1.下列四个结论，正确的是( )
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cbd；
③a>b>0?>；
④a>b>0?>.
A.①② B.②③ C.①④ D.①③
答案 D
2.原点和点(1，1)在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是( )
A.a<0或a>2 B.0答案 B
解析 原点和点(1，1)在直线x＋y＝a两侧，将原点(0，0)和点(1，1)代入x＋y－a中，结果异号，即－a(1＋1－a)<0，故03.不等式≤2的解集是( )
A.{x|x<－8或x>－3} B.{x|x≤－8或x>－3}
C.{x|－3≤x≤2} D.{x|－3答案 B
解析 原不等式可化为－2≤0，即≤0，
即(x＋3)(x＋8)≥0且x≠－3，
解得x≤－8或x>－3.
4.已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
A.4 B.2
C.8 D.16
答案 B
解析 由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，
则＋≥2＝2.
当且仅当＝，
即a＝，b＝时等号成立.故选B.
5.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A.a2>a>－a2>－a B.－a>a2>－a2>a
C.－a>a2>a>－a2 D.a2>－a>a>－a2
答案 B
解析 ∵a2＋a<0，
∴a(a＋1)<0，∴－1取a＝－，可知－a>a2>－a2>a.
6.已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于( )
A.－3 B.2 C.3 D.8
答案 C
解析 y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，
因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y≥2－5＝2×3－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
此时a＝2，b＝1，
所以a＋b＝3.
7.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A.{x|x<－1或x>－lg 2}
B.{x|－1C.{x|x>－lg 2}
D.{x|x<－lg 2}
答案 D
解析 由题意知，一元二次不等式f(x)>0的解集为.
又f(10x)>0，所以－1<10x<，
解得x二、填空题
8.已知x，y∈(0，＋∞)，且满足＋＝1，则xy的最大值为 .
答案 3
解析 因为x>0，y>0，＋＝1，
所以＋≥2＝，
即≤1，解得xy≤3，所以xy的最大值为3.
9.若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是 .
答案 [25，＋∞)
解析 令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7.
∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，
∴由二次函数图象得
解得
∴m的取值范围是{m|m≥25}.
10.函数y＝的最大值是 .
答案
解析 设t＝，从而x＝t2－2(t≥0)，
则y＝.当t＝0时，y＝0；
当t>0时，y＝≤＝，
当且仅当2t＝，即t＝时等号成立.
又x＋2≥0，即x≥－2，即当x＝－时，ymax＝.
11.已知a>0，b>0且a≠b，则＋与a＋b的大小关系是 .
答案 ＋>a＋b
解析 ∵－(a＋b)＝－b＋－a＝＋＝(a2－b2)
＝(a2－b2)＝，
又∵a>0，b>0，a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，
∴－(a＋b)>0，
∴＋>a＋b.
三、解答题
12.对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围.
解 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意，知在[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故当x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1，1]，函数f(x)的值恒大于零.
13.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.
解 (1)由题意，得y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0，2].
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，
解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
四、探究与拓展
14.若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是_______.
答案 (－2，2]
解析 不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，
当a－2＝0，即a＝2时，
不等式恒成立，符合题意；
当a－2≠0时，要使不等式恒成立，
需
解得－2所以a的取值范围为(－2，2].
15.已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值.
解 (1)∵x>0，y>0，
∴由均值不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，
∴2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立.
因此有
解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，
∴＋＝·＝≥＝，
当且仅当＝时，等号成立.
由
解得
∴＋的最小值为.
