滚动训练(三)
一、填空题
1．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝______.
考点 正弦定理的应用
题点 正弦定理的应用
答案 3－
解析 设角A，B，C的对边分别为a，b，c.
∵AB＝，A＝45°，C＝75°，
由正弦定理，得＝
?＝＝，解得BC＝3－.
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为________．
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案 4
解析 设公差为d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1＋7d＝24，S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝48，联立解得d＝4.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8，则△ABC的面积等于________．
考点 用余弦定理解三角形
题点 逆用面积公式、余弦定理解三角形
答案 2
解析 因为b2＋c2＝a2＋bc，所以cos A＝＝，A＝，三角形面积S＝bcsin A＝2.
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．
考点 等比数列前n项和应用题
题点 等比数列前n项和的应用题
答案 3
解析 由题可知，塔每一层的灯数由上至下构成等比数列．设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.
5．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，AC＝2，BD＝2，∠ACD＝60°，则AD＝________.
考点 几何图形中的计算问题
题点 四边形有关的几何图形计算问题
答案
解析 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°，解得BC＝，所以AC2＝AB2＋BC2，故BC⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝＝＝3，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos 60°＝7，所以AD＝.
6．已知△ABC的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是________．
考点 用正弦、余弦定理解三角形
题点 用正弦、余弦定理解三角形
答案
解析 设三边长分别为x－1，x，x＋1，
所以＝＝，
所以cos A＝＝，
解得x＝5，则三边长为4,5,6，所以cos A＝.
7．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案 32
解析 设{an}的首项为a1，公比为q，由题可知q≠1，
则解得
所以a8＝×27＝25＝32.
8．已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且＝，则数列{|log2an|}的前10项和为________．
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比基本量问题综合
答案 58
解析 根据题意＝＝q3，所以q＝，从而有an＝32·n－1＝27－2n，所以log2an＝7－2n，所以有|log2an|＝|2n－7|，所以数列的前10项和为5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝＋＝58.
9．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________.
考点 数列前n项和的求法
题点 裂项相消法求和
答案
解析 设等差数列{an}的公差为d，则
由得
∴Sn＝n×1＋×1＝，
＝＝2.
∴＝＋＋＋…＋
＝2
＝2＝.
10．某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80 n mile，BC＝40＋30 n mile，CD＝250 n mile.现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，则收到指令时该轮船到城市C的距离是________ n mile.
考点 解三角形求距离
题点 测量方向角求距离
答案 100
解析 在△ABC 中，AC2＝802＋(40＋30)2－2×80×(40＋30)×cos 60°＝7 500，则AC＝50，
所以sin∠ACB＝＝，所以cos∠ACB＝，
sin∠ACD＝sin＝＝，
则cos∠ACD＝，
AD2＝(50)2＋(250)2－2×50×250×，
可得AD＝50＝350，
设收到指令时该轮船到城市C的距离是x，
则＝，
求得x＝100.
11．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
考点 数列前n项和的求法
题点 分组求和法
答案 80
解析 令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，
由等比数列前n项和性质知：＝q＝，
所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
二、解答题
12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
考点 几何图形中的计算问题
题点 三角形有关的几何图形计算问题
解 (1)由已知可得tan A＝－，又A∈(0，π)，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos ，
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为
＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
13．如图，已知平面上直线l1∥l2，A，B分别是l1，l2上的动点，C是l1，l2之间的一定点，C到l1的距离CM＝1，C到l2的距离CN＝，△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，a>b，且bcos B＝acos A.
(1)判断△ABC的形状；
(2)记∠ACM＝θ，f(θ)＝＋，求f(θ)的最大值．
考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合
题点 正弦、余弦定理与三角函数的综合
解 (1)由正弦定理得＝，且bcos B＝acos A，得sin 2B＝sin 2A，
又a>b，所以A>B，且A，B∈(0，π)，所以2A＋2B＝π，所以C＝，所以△ABC是直角三角形．
(2)∠ACM＝θ，由(1)得∠BCN＝－θ，
则AC＝，BC＝，
f(θ)＝＋＝cos θ＋sin θ＝cos，
所以当θ＝时，f(θ)的最大值为.
14．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连结点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
考点 数列前n项和的求法
题点 错位相减法求和
解 (1)设数列{xn}的公比为q.
由题意得
所以3q2－5q－2＝0，
由已知得q＞0，
所以q＝2，x1＝1.
因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.
(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.
由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，
记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，
由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2. ①
又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1， ②
①－②得
－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1
＝＋－(2n＋1)×2n－1.
所以Tn＝.
三、探究与拓展
15．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状一定是__________．
考点 判断三角形形状
题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状
答案 等腰或直角三角形
解析 原式可化为＝?sin2A·[sin(A－B)－sin(A＋B)]＋sin2B[sin(A－B)＋sin(A＋B)]＝0?－sin2Acos Asin B＋sin2Bsin Acos B＝0?－sin 2A＋sin 2B＝0?sin 2A＝sin 2B?A＝B或A＋B＝，故该三角形是等腰或直角三角形．
16．已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．
(1)设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)设a1＝d，Tn＝ (－1)kb，n∈N*，求证： <.
考点 数列综合问题
题点 数列与不等式的综合
证明 (1)由题意得b＝anan＋1，
cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1.
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，
所以{cn}是等差数列．
(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)
＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)
＝2d·
＝2d2n(n＋1)．
所以 ＝ ＝
＝·<.
滚动训练(二)
一、填空题
1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b＝，A＝45°，则B＝________.
考点 用正弦定理解三角形
题点 已知两边及其中一边对角解三角形
答案 30°
解析 由正弦定理可得＝，sin B＝＝＝.又因为a＝2，b＝，a>b，所以A>B，所以B＝30°.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则＝________.
考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合
题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合
答案 2
解析 ∵等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Acos C＋sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin B，
等式左边＝sin B＋2sin Bcos C，
∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B.
由cos C＞0，得sin A＝2sin B.
根据正弦定理，得a＝2b，即＝2.
3．若数列{an}中，an＝n＋(－1)n，则a4＋a5＝________.
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 9
解析 因为an＝n＋(－1)n，所以a4＝4＋(－1)4＝5，a5＝5＋(－1)5＝4，所以a4＋a5＝9.
4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．
考点 数列的通项公式
题点 判断某数是否为数列的项
答案 24
解析 由数列1×2,2×3,3×4,4×5，…可得通项公式为an＝n(n＋1)，令n(n＋1)＝600，求得n＝24.
5．已知{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝________.
考点 等差数列的性质
题点 两个等差数列的性质问题
答案 33
解析 根据等差数列的性质可知a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，
故a3＋a6＋a9＝2×39－45＝33.
6．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是________．
考点 等差数列的前n项和性质运用
题点 通项公式的综合应用
答案 5
解析 ∵＝＝＝＝7＋为正整数，
∴n＝1,2,3,5,11.
7．等差数列{an}中，已知a1＝－6，an＝0，公差d∈N*，则n(n≥3)的最大值为________．
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
答案 7
解析 由an＝a1＋(n－1)d，得－6＋(n－1)d＝0，n＝＋1，因为d∈N*，所以当d＝1时，n取最大值7.
8．已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径为________．
考点 用余弦定理解三角形
题点 已知三边解三角形
答案
解析 设角A，B，C的对边分别为a，b，c.
由已知a＝3，b＝5，c＝7，∴cos C＝＝－，
∴sin C＝，∴R＝＝.
9．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案
解析 由an＋1＝，可得an＝1－，又a8＝2，故a7＝，…依次下去得a1＝.
10．在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，m，n∈N*，且m>n，则am＝________.
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
答案
解析 因为am＋n与am－n的等差中项是am，所以am＝.
11．已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________.
考点 数列前n项和的求法
题点 并项求和法
答案 10
解析 观察可知a1＋a2＝2，a3＋a4＝2，…，a9＋a10＝2，故a1＋a2＋a3＋…＋a10＝10.
二、解答题
12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b.
考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合
题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合
解 (1)由题设及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin2，
故sin B＝4(1－cos B)．
上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝1(舍去)或cos B＝.
故cos B＝.
(2)由cos B＝，得sin B＝，
故S△ABC＝acsin B＝ac.
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
＝36－2××＝4.
所以b＝2.
13．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，求{an}的通项公式．
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
解 因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1 ＝2(n－1)．
两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2) .
又由题设可得a1＝2，也符合上式，
从而{an}的通项公式为an＝，n∈N*.
三、探究与拓展
14．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则a1d________0.(填>，＝，<)
考点 等差数列综合
题点 数列与不等式综合
答案 <
解析 由数列{2a1an}为递减数列，得2a1an<2a1an－1，再由指数函数性质得a1an－1>a1an，由等差数列的公差为d知，an－an－1＝d，所以a1an－1>a1an?a1an－a1an－1<0?a1(an－an－1)<0?a1d<0.
15．已知等差数列{an}的公差d>0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解 (1)由题意知，(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
解得d＝2或d＝－5(舍去)．
所以Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2.
(2)由(1)知，
am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，
所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65，
由m，k∈N*知，2m＋k－1≥k＋1>1，
故所以
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋(n≥3)，则a5＝________.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案
解析 a3＝a2＋＝3＋1＝4，a4＝a3＋＝4＋＝，a5＝a4＋＝＋＝.
2．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________．
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 2
解析 ∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，
∴d＝a4－a3＝7－5＝2.
3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3·a11＝16，则a5＝________.
考点 等比数列的性质
题点 利用项数的规律解题
答案 1
解析 ∵a3·a11＝a＝16，∴a7＝4，∴a5＝＝＝1.
4．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则{Sn}中也为定值的是________．
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案 S13
解析 ∵a2＋a8＋a11＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋10d)＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)为常数，
∴a1＋6d为常数．
∴S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)也为常数．
5．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列的前11项和S11＝________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 88
解析 S11＝＝＝＝88.
6．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为________．
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案 120
解析 由a5＝a2q3得q＝3.
∴a1＝＝3，S4＝＝＝120.
7．数列{(－1)n·n}的前2 017项和S2 017＝________.
考点 数列前n项和的求法
题点 并项求和法
答案 －1 009
解析 S2 017＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 016－2 017
＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 016－2 017)
＝(－1)＋(－1)×1 008＝－1 009.
8．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q＝________.
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比基本量问题综合
答案 －1或2
解析 由题意得2a4＝a6－a5，
即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，
∴q2－q－2＝0，即(q－2)(q＋1)＝0.
∴q＝－1或q＝2.
9．一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数，则它的公差是________．
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 －4
解析 由题意，知a6≥0，a7<0.
∴
∴－≤d<－.
∵d∈Z，∴d＝－4.
10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
考点 等比中项
题点 利用等比中项解题
答案
解析 设三边为a，aq，aq2(q>1)，
则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.
较小锐角记为θ，则sin θ＝＝.
11．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列前n项和性质综合
答案 －1
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)
＝3n－3n－1＝2×3n－1.
由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，
所以k＝－1.
12．某人为了观看2018年世界杯足球赛，从2014年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2018年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为__________．
考点 等比数列前n项和应用题
题点 等比数列前n项和的应用题
答案 [(1＋p)5－(1＋p)]
解析 设自2015年起每年到5月1日存款本息合计为a1，a2，a3，a4.
则a1＝a＋a·p＝a(1＋p)，
a2＝a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，
a3＝a2(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)，
a4＝a3(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)4＋(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]＝a·
＝[(1＋p)5－(1＋p)]．
13．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5
S8，则下列结论正确的是________．(填序号)
①d<0；
②a7＝0；
③S9>S5；
④S6与S7均为Sn的最大值．
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和有关的不等式问题
答案 ①②④
解析 由S50.
又S6＝S7?a7＝0，所以d<0.
由S7>S8?a8<0，
因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9
＝2(a7＋a8)<0，
即S9由①②正确，知{an}递减，a7＝0，
所以S6＝S7，且为Sn的最大值，④正确．
14．定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个量，那么这个列叫作等差列，这个量叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以a1＝(1,3)为首项，公差为d＝(1,0)的等差向量列，若向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，则＝________.
考点 数列综合问题
题点 数列其他综合问题
答案
解析 易知an＝(1,3)＋(n－1,0)＝(n,3)，因为向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，所以＝－，所以＝···＝×××＝.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的公比；
(2)证明：对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比数列其他综合问题
(1)解 设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，
由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0，得q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)，所以q＝－2.
(2)证明 方法一 对任意k∈N*，
Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，
所以对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
方法二 对任意k∈N*,2Sk＝，
Sk＋2＋Sk＋1＝＋
＝，
则2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)
＝－
＝[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]
＝(q2＋q－2)＝0，
因此，对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
16．(14分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，a3＝5，S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
考点 数列前n项和的求法
题点 分组求和法
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得解得
所以an＝2n－1.
(2)因为bn＝2an＋2n＝×4n＋2n，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)
＝＋n2＋n＝×4n＋n2＋n－.
17．(14分)已知数列{log2(an－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<1.
考点 数列综合问题
题点 数列与不等式的综合
(1)解 设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.
由a1＝3，a3＝9，
得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.
所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝2n＋1.
(2)证明 因为＝＝，
所以＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＝1－<1.
18．(16分)某市2016年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制汽车总量，从2016年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．
(1)记2016年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{bn}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式.
a1＝10
a2＝9.5
a3＝____
a4＝____
…
b1＝2
b2＝____
b3＝____
b4＝____
…
(2)从2016年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？
考点 等差数列前n项和应用题
题点 等差数列前n项和的应用题
解 (1)
a1＝10
a2＝9.5
a3＝9
a4＝8.5
…
b1＝2
b2＝3
b3＝4.5
b4＝6.75
…
当1≤n≤20且n∈N*时，an＝10＋(n－1)×(－0.5)＝－0.5n＋10.5；
当n≥21且n∈N时，an＝0.
所以an＝
而a4＋b4＝15.25>15，
所以bn＝
(2)当n＝4时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋b1＋b2＋b3＋b4＝53.25.
当5≤n≤21时，Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋…＋bn)
＝10n＋·＋＋(n－4)
＝－n2＋17n－，
由Sn≥200得－n2＋17n－≥200，
即n2－68n＋843≤0，得34－≤n≤21.
所以结合实际情况，可知到2032年累积发放汽车牌照超过200万张．
19．(16分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*.
(1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
考点 递推数列通项公式求法
题点 an＋1＝pan＋f(n)型
(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，
得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1，
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知，bn＝n，即＝bn＝n，
∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，
两边同时乘以2得
2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
20．(16分)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
考点 数列综合问题
题点 数列与不等式的综合
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
则由已知可得
解得或
故an＝·3n－1或an＝－5·(－1)n－1，n∈N*.
(2)设Sm＝＋＋…＋，
若an＝·3n－1，则＝n－1，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
从而Sm＝＝·<<1.
若an＝－5·(－1)n－1，
则＝－(－1)n－1，
故数列是首项为－，公比为－1的等比数列，
从而Sm＝故Sm<1.
综上，对任何正整数m，总有Sm<1.
故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．
§2.1 数 列
第1课时 数列的概念与简单表示法
学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
知识点一 数列及其有关概念
思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案 不是．顺序不一样．
思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
答案 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．
梳理 (1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n位的数称为这个数列的第n项．
(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
知识点二 通项公式
思考 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
答案 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100.
梳理 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
知识点三 数列的分类
思考 对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？
答案 (1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．
梳理 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．
1．同一个数在一个数列中只能出现一次．(×)
2．如果一个数列不是递增数列，则一定是递减数列．(×)
3．如果已知数列的通项公式，则可以写出该数列的任意一项．(√)
类型一 数列的分类
例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是______．(填序号)
①1，，，，…；
②－1，－2，－3，－4，…；
③－1，－，－，－，…；
④1，，，…，.
考点 数列的分类
题点 数列的分类
答案 ③
解析 ①②是递减数列，④是有穷数列，只有③符合题意．
反思与感悟 处理数列分类问题的技巧：
(1)有穷数列与无穷数列
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．
(2)递增数列与递减数列
①观察从第2项起，数列中每一项与前一项的大小关系，依据定义进行判断；
②由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(低)，则图象呈上升(下降)趋势，即数列递增(减)．
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)－，，－，，…；
(5)1,0，－1，…，sin ，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
考点 数列的分类
题点 数列的分类
答案 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列．
类型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－，，－；
(2)，2，，8；
(3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0.
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N*.
反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系．
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－，，－，；
(2)，，，；
(3)7,77,777,7 777.
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9 999，
即×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，
×(10 000－1)，
即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，
×(104－1)，
所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N*.
类型三 数列的通项公式的应用
例3 已知数列{an}的通项公式an＝，
n∈N*.
(1)写出它的第10项；
(2)判断是不是该数列中的项．
考点 数列的通项公式
题点 判断某数是否为数列的项
解 (1)a10＝＝.
(2)令＝，化简得8n2－33n－35＝0，
解得n＝5.
当n＝5时，a5＝－≠.
所以不是该数列中的项．
引申探究
对于例3中的{an}．
(1)求an＋1；(2)求a2n.
解 (1)an＋1＝＝.
(2)a2n＝＝.
反思与感悟 在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第___项．
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 10
解析 ∵＝，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
1．下列叙述正确的是________．(填序号)
①数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列；
②数列0,1,2,3，…可以表示为{n}；
③数列0,1,0,1，…是常数列；
④数列是递增数列．
考点 数列的概念
题点 数列的概念的理解
答案 ④
解析 由数列的通项an＝知，
an＋1－an＝－＝>0，
即数列是递增数列．
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为____________．
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
答案 an＝n＋1，n∈N*
解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N*.
3．已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N*，则a1＝________；an＋1＝________.
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 1
解析 a1＝＝1，
an＋1＝＝.
4．写出数列：1，－3，5，－7，9，…的通项公式．
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
解 该数列的通项公式为an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*.
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
一、填空题
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则该数列的前4项依次为__________．
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 1,0,1,0
解析 当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第________项．
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 7
解析 解n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
3．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，________，，….
考点 数列的通项公式
题点 已知数列的前几项求项或项数
答案 3
解析 由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3.
4．数列，，，，…的第10项是________．
考点 数列的通项公式
题点 已知数列的前几项求项或项数
答案
解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为
an＝，n∈N*，
当n＝10时，a10＝＝.
5．数列－1，，－，，…的一个通项公式是________．
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
答案 an＝(－1)n·
解析 数列的奇数项为负，偶数项为正，分母可调整为3,5,7,9，可表示为2n＋1，分子可调整为1×3,2×4,3×5,4×6，…，故其通项公式是an＝(－1)n.
6．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为______________．
考点 数列的通项公式
题点 根据图形写出通项公式
答案 an＝，n∈N*
解析 ∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，
∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
7．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 17
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．
∴323是数列{n(n＋2)}的第17项．
8．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式an＝________.
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
答案
9．已知数列，，，，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中是该数列中某一项值的数应当有________个．
考点 数列的通项公式
题点 判断某数是否为数列的项
答案 3
解析 数列，，，，…的通项公式为
an＝，0.94＝＝，0.96＝＝，
0．98＝＝，0.99＝，
所以，，都在数列中，故有3个．
10．设an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an＝____________.
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 －
解析 ∵an＝＋＋＋…＋，
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
11．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是__________．
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
答案 an＝
解析 a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
可得an＝.
二、解答题
12．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
考点 数列的通项公式
题点 判断某数是否为数列的项
解 (1)设an＝kn＋b，k≠0.
则解得
∴an＝4n－2，n∈N*.
(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N*.
∴88不是数列{an}中的项．
13．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，请回答下列问题：
(1)这个数列共有几项为负？
(2)这个数列从第几项开始递增？
(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
解 (1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)，
所以当0所以数列{an}共有9项为负．
(2)因为an＋1－an＝2n－7，
所以当an＋1－an>0时，n>，
故从第4项开始数列{an}递增．
(3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，
根据二次函数的性质知，
当n＝4时，an取得最小值－36，
即数列中有最小值，最小值为－36.
三、探究与拓展
14．已知数列{an}的通项公式是an＝则a3＋＝________.
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案
解析 a3＝2－3＝，a4＝＝，
∴＝，∴a3＋＝.
15．已知数列，n∈N*.
(1)求证：该数列是递增数列；
(2)在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
考点 数列的分类
题点 数列的分类
(1)证明 ∵an＝
＝＝
＝＝1－，
∴an＋1－an＝－
＝＝＞0，n∈N*，
∴{an}是递增数列．
(2)解 令∴∴
∴∴当且仅当n＝2时，上式成立，
故区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝.
第2课时 数列的递推公式与通项公式
学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.3.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．
知识点一 递推公式
思考 数列1,2,4,8，…的第n项an与第n＋1项an＋1有什么关系？
答案 an＋1＝2an.
梳理 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．
特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．
(2)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．
知识点二 数列的表示方法
思考 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
答案 ①通项公式法：an＝2n.
②递推公式法：
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图象法：
梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．
1．利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}．(×)
2．有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松解决．(√)
3．递推公式是表示数列的一种方法．(√)
类型一 数列的表示法
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．
考点 数列的表示方法
题点 数列的表示方法
解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*，个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．
反思与感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观．
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n－1(n≥2，n∈N*)个三角形数多________个石子．
考点 数列的递推公式
题点 根据图形写出递推公式
答案 n
解析 a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.
类型二 数列的递推公式
命题角度1 由递推公式求前若干项
例2 设数列{an}满足
写出这个数列的前5项．
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
解 由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.
引申探究
若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求a2 018.
解 a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2 018＝a4×504＋2＝a2＝－3.
反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否有规律性．
跟踪训练2 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 018项？
考点 数列的递推公式
题点 周期数列问题
解 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，
a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….
发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.
证明如下：∵an＋2＝an＋1－an，
∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.
∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.
∴数列{an}是周期数列，且T＝6.
∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝2.
命题角度2 由递推公式求通项
例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N*)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N*)，求通项an.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求通项公式
解 (1)当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋
＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
(2)当n≥2时，an＝a1···…·
＝1···…·＝.
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝.
反思与感悟 形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；形如＝f(n)的递推公式，可以利用a1···…·＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式．以上方法分别叫累加法和累乘法．
跟踪训练3 已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋－，n∈N*，求数列的通项公式an.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求通项公式
解 ∵an＋1－an＝－，
∴a2－a1＝－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…，
an－an－1＝－(n≥2)，
∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝＋＋…＋，
即an－a1＝1－(n≥2)．
∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2)，
又当n＝1时，a1＝－1，也符合上式．
∴an＝－，n∈N*.
1．数列1,3,6,10,15，…中an＝an－1＋________(n∈N*且n>1)．
考点 数列的表示方法
题点 数列的表示方法
答案 n
解析 由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N*.
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an＝________.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求通项公式
答案 3－n
解析 ∵an＋1－an＝－1.
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
考点 数列的通项公式
题点 根据图形写出通项公式
答案 an＝2n＋1，n∈N*
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，
a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N*.
4．数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2 018＝______.
考点 数列的递推公式
题点 周期数列问题
答案 －
解析 ∵x1＝1，∴x2＝－，∴x3＝1，
∴数列{xn}的周期为2，∴x2 018＝x2＝－.
1．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．
3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
一、填空题
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是递________数列．
考点 数列的性质
题点 判断或证明数列的单调性
答案 增
解析 an＋1－an＝3＞0，故数列{an}为递增数列．
2．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是________．
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案
解析 a2＝a1＋＝1；a3＝a2＋＝；
a4＝a3＋＝.
3．已知数列{an}中，an－1＝man＋1(n>1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m＝________.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案
解析 由题意得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1，∴m＝.
4．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列的通项公式为______________．
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求通项公式
答案 an＝3n－2，n∈N*
解析 ∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3.
∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，
以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，
∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2.
5．若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第4项是________．
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案
解析 a2＝＝＝，
a3＝＝＝，a4＝＝＝.
6．已知数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则数列中最大项的值是________．
考点 数列的性质
题点 求数列的最大项、最小项
答案 108
解析 由已知得
an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋108，
由于n∈N*，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108.∴数列{an}中的最大项的值为a7＝108.
7．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则a2 018＝________.
考点 数列的递推公式
题点 周期数列问题
答案 －
解析 ∵a2＝－＝－，a3＝－＝2，a4＝－＝a2，
∴{an}的周期为2，∴a2 018＝a2＝－.
8．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案 5 050
解析 由(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝，
则a100＝a1···…·＝1×××…×＝5 050.
9．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．
考点 数列的性质
题点 已知数列的单调性求参数的值或取值范围
答案 －3
解析 an≤an＋1?n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)
?λ≥－(2n＋1)，n∈N*?λ≥－3.
10．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n个图中有________个点．
考点 数列的通项公式
题点 根据图形写出通项公式
答案 n2－n＋1
解析 图(1)只有1个点，无分支；
图(2)除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点；
图(3)除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；
图(4)除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点；
…
猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，
故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
二、解答题
11．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)；
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求通项公式
解 (1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.
猜想an＝(n－1)2(n∈N*)．
(2)a1＝1，a2＝，a3＝＝2，a4＝.
猜想an＝(n∈N*)．
12．已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求通项公式
解 ∵anan－1＝an－1－an，
∴－＝1.
∴当n≥2时，
＝＋＋＋…＋
＝2＋＝n＋1.
∴＝n＋1，
∴当n≥2时，an＝.
a1＝也符合上式，
∴ an＝(n∈N*)．
13．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，求m所有可能的取值．
考点 数列的递推公式
题点 递推公式其他应用
解 若a5为奇数，则3a5＋1＝1，a5＝0(舍去)．
若a5为偶数，则＝1，a5＝2.
若a4为奇数，则3a4＋1＝2，a4＝(舍去)．
若a4为偶数，则＝2，a4＝4.
若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，则a2＝2，a1＝4.
若a3为偶数，则＝4，a3＝8，
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)．
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4,5,32.
三、探究与拓展
14．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案
解析 a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.
15．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则b6＝________.
考点 数列的新定义问题
题点 数列的新定义问题
答案 33
解析 ∵bn＝abn－1，∴b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33.
§2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的概念
2.2.2 等差数列的通项公式
第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解等差数列的定义，会用定义判断和证明一个数列是否为等差数列.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．
知识点一 等差数列的概念
思考 给出以下三个数列：
(1)0,5,10,15,20；
(2)4,4,4,4，…；
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
答案 从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．
梳理 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．
知识点二 等差中项的概念
思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.
答案 插入的数分别为3,2,0，.
梳理 如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A＝.
知识点三 等差数列的通项公式
思考 对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋( )×2.
答案 n－1
梳理 若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.此公式可用累加法证明．
1．若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)
2．任意两个实数都有等差中项．(√)
3．从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列．(√)
4．若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列．(√)
类型一 等差数列的判定与证明
命题角度1 根据前几项判定数列是否为等差数列
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3,…,－2n＋11,…；
(2)－1,11,23,35,…,12n－13,…；
(3)1,2,1,2,…；
(4)1,2,4,6,8,10,…；
(5)a,a,a,a,a,….
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
解 由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．
反思与感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数．
跟踪训练1 下列数列是等差数列的是________．(填序号)
①5,5,5,5,5；
②3,7,11,15,19；
③－2，－1,0,2,4,6.
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
答案 ①②
命题角度2 用定义证明数列是等差数列
例2 已知数列{an}的通项公式an＝2n＋5.求证{an}是等差数列．
考点 等差数列的判定
题点 证明数列是等差数列
证明 ∵an＝2n＋5，
∴an＋1＝2(n＋1)＋5.
∴an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，n∈N*，
∴{an}是公差为2的等差数列．
反思与感悟 为了确保从第二项起，每一项减前一项的差始终是同一个常数．当证明项数较多或者无穷的数列为等差数列时，不宜逐项验证，而需证an＋1－an＝d.
跟踪训练2 在数列{an}中，an＝2n，求证{ln an}为等差数列．
考点 等差数列的判定
题点 证明数列是等差数列
证明 ln an＋1－ln an＝ln＝ln＝ln 2.n∈N*，
∴{ln an}是公差为ln 2的等差数列．
类型二 等差中项
例3 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
解 ∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
反思与感悟 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
跟踪训练3 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为＝3.
类型三 等差数列通项公式的求法及应用
命题角度1 基本量?a1，d，n，an?知其中三个求其余
例4 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 求等差数列的项
解 由题意可得
解得d＝2，a1＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
反思与感悟 根据通项公式把已知量和未知量之间的关系列为方程求解的思想方法，称为方程思想．
跟踪训练4 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 求等差数列的项
解 (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
命题角度2 等差数列的实际应用
例5 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.
即需要支付车费23.2元．
反思与感悟 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素．
跟踪训练5 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温．
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
解 用{an}表示自下而上各高度气温组成的数列，
由题意可知，数列{an}为等差数列，设其公差为d.
则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，
∴an＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.
1．下列数列不是等差数列的是________．(填序号)
①1,1,1,1,1; ②4,7,10,13,16；
③，，1，，； ④－3，－2，－1,1,2.
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
答案 ④
2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d＝________.
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
答案 －2
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
3．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B＝________.
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
答案 60°
解析 因为A，B，C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，
则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，从而B＝60°.
4．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________．
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
答案 52
解析 公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.
5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________．
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
答案 46
解析 d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，则－89＝1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·(－2)，∴n＝46.
1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)?{an}是等差数列．
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列．
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
一、填空题
1.－1与＋1的等差中项是________．
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
答案
解析 设等差中项为a，则有a＝＝.
2．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101＝______.
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
答案 52
解析 因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52.
3．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是________．
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案
解析 由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d，
所以d＝.
4．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 求等差数列的项
答案 15
解析 设{an}的首项为a1，公差为d，
根据题意得
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
5．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是第______项．
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
答案 8
解析 ∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.
6．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z＝______.
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
答案 39
解析 ∵5，x，y，z,21成等差数列，
∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
∴5＋21＝2y，
∴y＝13，x＋z＝2y＝26，
∴x＋y＋z＝39.
7．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则＝________.
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
答案
解析 ∵b是x,2x的等差中项，∴b＝＝，
又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，
∴a＝，∴＝.
8．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 求等差数列的项
答案 15
解析 由
得
∴a12＝a1＋11d＝－＋11×＝15.
9．若一个等差数列的前三项为a,2a－1,3－a，则这个数列的通项公式为________．
考点 等差数列的通项公式
题点 求通项公式
答案 an＝＋1，n∈N*
解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，
∴a＝.
∴这个等差数列的前三项依次为，，，
∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1，n∈N*.
10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
答案
解析 设此等差数列为{an}，公差为d，
则∴
解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
11．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n＝________.
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
答案 22
解析 公差d＝a2－a1＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，
令即?21又∵n∈N*，∴n＝22.
二、解答题
12．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝n，又bn＝，所以数列{an}的通项公式为an＝n·2n－1.
13．已知等差数列{an}：3,7,11,15，….
(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由；
(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
解 由题可知，a1＝3，d＝4，则an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.
(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，
∴135是数列{an}的第34项．
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*，
∴4m＋19是数列{an}的第m＋5项．
(2)∵ap，aq是数列{an}中的项，
∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.
∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)
＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，
其中2p＋3q－1∈N*，
∴2ap＋3aq是数列{an}的第2p＋3q－1项．
三、探究与拓展
14．已知在数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N*)，则a10＝________.
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
答案
解析 易知an≠0，∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2)，∴－＝1(n≥2)，故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，∴＝1＋9＝10，
∴a10＝.
15．已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
考点 等差数列的通项公式
题点 求通项公式
解 由an－an＋2＝2知，{an}的奇数项，偶数项
分别构成公差为－2的等差数列．
当n＝2k－1时，2k＝n＋1，a2k－1＝a1＋(k－1)·(－2)＝12－2k，
∴an＝12－(n＋1)＝11－n(n为奇数)．
当n＝2k时，a2k＝a2＋(k－1)·(－2)＝5－2k＋2
＝7－2k.
∴an＝7－n(n为偶数)．
∴an＝
第2课时 等差数列的性质
学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．
知识点一 等差数列的性质
思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
答案 利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
梳理 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
知识点二 由等差数列衍生的新数列
思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
答案 ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)
＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)
＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．
梳理 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
1．已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率．(√)
2．在等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N*，且l＋m＋n＝p＋q＋r，则al＋am＋an＝ap＋aq＋ar.(√)
3．在等差数列{an}中，若m＋n为偶数，且m，n∈N*，则＝.(√)
类型一 等差数列推广通项公式的应用
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.
反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．
跟踪训练1 数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝________.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 3
解析 ∵{bn}为等差数列，设其公差为d，
则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝b7＋b6＋…＋b1＋a1
＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1
＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3.
类型二 等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
考点 等差数列的判定
题点 判断数列是否为等差数列
解 取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，
求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]
＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列．
由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.
反思与感悟 根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列?an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质．
跟踪训练2 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司既不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
解 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)
＝－20n＋220.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220<0，解得n＞11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
类型三 等差数列性质的应用
例3 已知在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
解 方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5， ①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，
即(5－2d)(5＋2d)＝9， ②
解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.
引申探究
1．在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?
解 设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
答案 20
解析 ∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练3 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
解 方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．
∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)
＝3a1＋9d＝39，
∴a1＋3d＝13， ①
∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)
＝3a1＋12d＝33.
∴a1＋4d＝11， ②
联立①②解得
∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)
＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d＝________.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 －6
解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，
所以d＝＝－6.
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15＝______.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 求等差数列的项
答案 35
解析 由a8－a4＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12，得d＝3，
所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
3．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝________.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 3
解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
4．下列说法中正确的是________．
①若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列；
②若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列；
③若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列；
④若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列．
考点 等差数列的判定
题点 判断数列是否为等差数列
答案 ③
5．在等差数列－5，－3，－2，－，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为______________．
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 an＝n－
1．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
一、填空题
1．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝________.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 8
解析 由等差数列的性质，得
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，
∴m＝8.
2．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 －82
解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
3．下面是关于公差为d(d＞0)的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为________．
考点 等差数列的性质
题点 两个等差数列的性质问题
答案 p1，p4
解析 对于p1：an＝a1＋(n－1)d，d＞0，
∴an－an－1＝d＞0，则p1正确；
对于p2：nan＝na1＋n(n－1)d，
∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关．
故数列{nan}不一定递增，则p2不正确；
对于p3：＝＋d，∴－＝，
当d－a1＞0，即d＞a1时，数列是递增数列，
但d＞a1不一定成立，则p3不正确；
对于p4：设bn＝an＋3nd，
则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.
∴数列{an＋3nd}是递增数列，p4正确．
综上，正确的命题为p1，p4.
4．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8＝________.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 8
解析 ∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
5．若a，b，c成等差数列，且公差不为0，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
答案 2
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，且a≠c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2>0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为2.
6．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 180
解析 ∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7
＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
7．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)＝________.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 －
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.
8．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝________.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案
解析 设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，
再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，
∵a1＝，∴d＝，
∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，
a4＝＋＝，
∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝＝.
9．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 105
解析 ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.
∵a1a2a3＝(a2－d)a2(a2＋d)＝5(25－d2)＝80，
又d为正数，∴d＝3.
∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝3(5＋30)＝105.
10．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列对称设项问题
答案 －21
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴这三个数的积为－21.
11．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，则am＋n的值为________．
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 0
解析 方法一 设等差数列的公差为d，
则d＝＝＝－1，
从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.
方法二 设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，则得a＝－1，b＝m＋n.
所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.
二、解答题
12．已知{an}为等差数列，且a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24.
(1)求a20的值；
(2)若bn＝an－，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
解 (1)因为a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24，所以a3＝6，a4＝8，则公差d＝2，所以a20＝a3＋17d＝40.
(2)由(1)得an＝a3＋(n－3)d＝6＋(n－3)×2＝2n，所以bn＝×2n－＝3n－.由bn>0，即3n－>0，得n>，所以数列{bn}从第7项开始大于0.
13．看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列．随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一．请用所学数学知识对此给出简要的说明．
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
解 由题意知，在等差数列中，若m＋n＝2p，
则am＋an＝2ap.
因为12＝＝＝＝，
所以12＝.
三、探究与拓展
14．若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为______________．
考点 等差数列的通项公式
题点 求通项公式
答案 an＝2n－
解析 由题意得an＋1＋an＝4n－3， ①
an＋2＋an＋1＝4n＋1， ②
②－①，得an＋2－an＝4.
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2.
∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－.
∴an＝2n－.
15．在正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.
(1)数列{}是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
考点 等差数列的判定
题点 证明数列是等差数列
解 (1)数列{}是等差数列．
∵an＋1－＝an＋，
∴an＋1－an＝＋，
∴(＋)·(－)＝＋，
∵{an}是正项数列，∴＋≠0，
∴－＝1，
∴{}是等差数列，公差为1.
(2)由(1)知{}是等差数列，且d＝1，
∴＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，
∴an＝n2.
2.2.3 等差数列的前n项和
第1课时 公式推导及简单应用
学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an.
知识点一 等差数列前n项和公式
思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：
设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，
又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，
∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…
＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝.
梳理 等差数列的前n项和公式：
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
选用公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
知识点二 a1，d，n，an，Sn知三求二
思考 在等差数列{an}中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn?
答案 利用an＝a1＋(n－1)d代入d，n，an，可求a1，利用Sn＝或Sn＝na1＋d可求Sn.
梳理 (1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和．
(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．
1．若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N*.(×)
2．等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍．(√)
类型一 等差数列前n项和公式的应用
命题角度1 a1，d，n，an，Sn知三求二
例1 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解 方法一 由题意知S10＝310，S20＝1 220，
将它们代入公式Sn＝na1＋d，
得到
解方程组得
∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n.
方法二 ∵S10＝＝310，∴a1＋a10＝62，①
∵S20＝＝1 220，∴a1＋a20＝122， ②
②－①，得a20－a10＝60，
∴10d＝60，
∴d＝6，a1＝4.
∴Sn＝na1＋d＝3n2＋n.
反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用．
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．
跟踪训练1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解 由
得
解方程组得或
命题角度2 实际应用
例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1 000×1%＝60，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1 105，
即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255.
反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．
跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
解 (1)设n分钟后第1次相遇，由题意，
得2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.
解得n＝7，n＝－20(舍去)．
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，由题意，
得2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解得n＝15，n＝－28(舍去)．
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟．
类型二 由Sn与an的关系求an
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，
当n>1时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－
＝2n－， ①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.
∵an＋1－an＝2(n＋1)－－＝2，
故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列．
引申探究
若将本例中前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求通项公式．
解 当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝－
＝2n－. ①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式．
∴an＝
反思与感悟 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合n≥2时an的表达式，若符合则统一用一个解析式表示．
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
解 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.
∴an＝
1．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10＝________.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案 24
解析 由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24.
2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为________．
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案 3
解析 方法一 由解得d＝3.
方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 190
解析 S19＝＝
＝19a10 ＝19×10＝190.
4．已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，则an＝________.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
答案 3(n＋1)
解析 由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，①
得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)，②
①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)
＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，
∴an＝3(n＋1)(n≥2)．
又当n＝1时，a1＝1×2×3＝6也适合上式，
∴an＝3(n＋1)，n∈N*.
5．已知在等差数列{an}中：
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解 (1)∵Sn＝n×＋×＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×＝－4.
∴n＝12，an＝a12＝－4.
(2)由Sn＝＝＝－1 022，解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171.
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
3．由Sn与an的关系求an主要使用an＝
一、填空题
1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝________.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
答案 7
解析 a4＝S4－S3＝(42－1)－(32－1)＝7.
2．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为________．
考点 等差数列前n项和
题点 求等差数列的前n项和
答案 10 000
解析 由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100＝
＝50×(25＋75＋100)＝10 000.
3．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为________．
考点 等差数列前n项和
题点 求等差数列的前n项和
答案 100
解析 S10＝＝100.
4．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9为________．
考点 等差数列前n项和
题点 求等差数列的前n项和
答案 36
解析 S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.
5．在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则＝________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 两等差数列和之比与项之比问题
答案
解析 由题意得
10a1＋×10×9d＝4，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
∴10a1＝5d，∴＝.
6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为______．
考点 等差数列前n项和
题点 求等差数列的前n项和
答案 665
解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
7．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10＝________.
考点 等差数列前n项和
题点 求等差数列的前n项和
答案 －15
解析 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝________.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
答案 34
解析 方法一 a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，
a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.
∴a2＋a18＝34.
方法二 a2＋a18＝a1＋a19，S19＝＝192－2×19，
∴a1＋a19＝34，即a2＋a18＝34.
9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
答案 10
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案 15
解析 设等差数列的公差为d，
则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.
由
解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
11．在等差数列{an}中，an＝2n＋3，前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，则a－b＋c＝________.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和综合问题
答案 －3
解析 因为an＝2n＋3，所以a1＝5，Sn＝＝n2＋4n，与Sn＝an2＋bn＋c比较，得a＝1，b＝4，c＝0，所以a－b＋c＝－3.
二、解答题
12．已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2 550，求a及k.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解 设等差数列{an}的公差为d，
则由题意得
∴(k＝－51舍)
∴a＝2，k＝50.
13．已知数列{an}的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn＝a＋an－.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
考点 an与Sn关系
题点 由Sn和an递推式求通项
(1)证明 当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，
解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)．
所以4an＝a－a＋2an－2an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2)．
所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
三、探究与拓展
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.
考点 等差数列的前n项和
题点 等差数列前n项和综合问题
答案 100
解 因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，
所以a1＋a200＝1，所以S200＝＝100.
15．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和综合问题
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，
∴a3∴
∴
∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，
∴c＝－ (c＝0舍去)．
经检验，c＝－符合题意，
∴c＝－.
第2课时 等差数列前n项和公式的变形及应用
学习目标 1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值．
知识点一 等差数列前n项和与等差中项的关系
思考 在等差数列{an}中，若a3＝2，求S5.
答案 S5＝＝5·＝5a3＝10.
梳理 等差数列{an}的前n项和Sn＝，其中为a1，an的等差中项，若结合性质“m＋n＝p＋q得am＋an＝ap＋aq，”还可把a1＋an换成a2＋an－1，a3＋an－2，….
知识点二 等差数列前n项和的最值
思考 我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的前n项和Sn何时有最大值？何时有最小值？
答案 由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1＞0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
梳理 等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关：
(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
(2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值．
1．等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．(×)
2．等差数列{an}的前n项和Sn＝(n≥3)．(√)
3．若等差数列{an}的前n项和为Sn，则为等差数列．(√)
类型一 等差数列前n项和的性质的应用
例1 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列连续m项和成等差数列
解 (1)方法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，
∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(2)＝＝
＝＝＝.
反思与感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
跟踪训练1 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和性质其他问题
解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，
∴
即
解得
∴＝a1＋(n－1)d＝n－，
∴－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
类型二 等差数列前n项和的最值问题
例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．
考点 等差数列前n项和最值
题点 求等差数列前n项和的最值
解 方法一 ∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，
解得d＝－2.
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，
由得
又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三 同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法四 同方法一，求出公差d＝－2.设Sn＝An2＋Bn.
∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
反思与感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和．
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法：
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
或来寻找．
②运用二次函数求最值．
跟踪训练2 已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)方法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
类型三 求数列{|an|}的前n项和
例3 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
考点 等差数列前n项和绝对值之和
题点 求等差数列前n项和绝对值之和
解 a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝－3n＋104.
∵n＝1也符合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．
由an＝－3n＋104≥0，得n≤.
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
(1)当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝Sn＝－n2＋n；
(2)当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2－
＝n2－n＋3 502.
故Tn＝
反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．
跟踪训练3 已知在等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
考点 等差数列前n项和绝对值之和
题点 求等差数列前n项和绝对值之和
解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2＝16，S4＝24得
即 解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝
1．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和性质其他问题
答案 2A
2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 13
解析 ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，
∴d＝a3－a2＝5－3＝2，∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列连续m项和成等差数列
答案 45
解析 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为________．
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案 6
解析 由7a5＋5a9＝0，得＝－.
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 49
解析 S7＝＝7·＝7·＝49.
1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形：
(1)Sn＝n·.
(2)Sn＝n2＋n.
(3)＝n＋.
2．求等差数列前n项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.
一、填空题
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ＝________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和性质其他问题
答案 －1
解析 ∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn，
∴λ＝－1.
2．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 014，Sk＝S2 009，则正整数k＝________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 2 016
解析 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 014，Sk＝S2 009，可得＝，解得k＝2 016.
3．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为________．
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案 7
解析 因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有
所以即≤k≤.
因为k∈N*，所以k＝7.
故满足条件的n的值为7.
4．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________．
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列奇偶项和问题
答案
解析 S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 10
解析 因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，
由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，
由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，
又S2m－1＝38，
即＝38，
即(2m－1)×2＝38，解得m＝10.
6．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为________．
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案 12或13
解析 ∵an＝26－2n，
∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列．
又a1＝24，d＝－2，
∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n
＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大．
7．已知在等差数列{an}中，a1 008＝4，S2 016＝2 016，则S2 017＝________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 －4 034
解析 因为{an}是等差数列，所以S2 016＝1 008(a1＋a2 016)＝1 008(a1 008＋a1 009)＝2 016，则a1 008＋a1 009＝2.又a1 008＝4，所以a1 009＝－2，则S2 017＝＝2 017a1 009＝－4 034.
8．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则它的通项公式是________．
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
答案 an＝
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，不符合上式，
∴an＝
9．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案 4或5
解析 由解得
∴a5＝a1＋4d＝0，
∴S4＝S5且同时最大．
∴n＝4或5.
10．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n，则Sn取最小值时对应的n值为________．
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案 7或8
解析 ∵Sn＝2n2－30n＝22－，
∴当n＝7或8时，Sn最小．
11．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 013＋a2 014＞0，a2 013·a2 014<0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和有关的不等式问题
答案 4 026
解析 由条件可知数列单调递减，
故知a2 013＞0，a2 014<0，
故S4 026＝＝2 013(a2 013＋a2 014)＞0，
S4 027＝＝4 027×a2 014<0，
故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4 026.
二、解答题
12．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值．
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，
得解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N*.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
13．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
考点 等差数列前n项和绝对值之和
题点 求等差数列前n项和绝对值之和
解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，
∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2.
∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；
当n＝5时，an＝0；
当n<5时，an>0.
∴当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
∴Tn＝
三、探究与拓展
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 14
解析 因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
15．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．
考点 等差数列综合
题点 数列与不等式综合
解 (1)S5＝5·＝5a3＝－55，
∴a3＝－11，
∴d＝＝＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17.
(2)由(1)知，an＝2n－17，
∴Sn＝＝
＝n(n－16)＝(n－8)2－64，
∴(Sn)min＝－64.
Sn>t对任意n∈N*恒成立等价于(Sn)min>t，
即－64>t.∴t∈(－∞，－64)．
§2.3 等比数列
2.3.1 等比数列的概念
2.3.2 等比数列的通项公式
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
知识点一 等比数列的概念
思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．
①1,2,4,8,16，…；
②1，，，，，…；
③1,1,1,1，…；
④－1,1，－1,1，….
答案 从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．
梳理 等比数列的概念和特点：
(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
(2)递推公式形式的定义：＝q(n>1)(或＝q，n∈N*)．
(3)等比数列各项均不能为0.
知识点二 等比中项的概念
思考 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？
答案 设这个数为G，则＝，G2＝16，G＝±4，所以这样的数有2个．
梳理 等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有实数等比中项
知识点三 等比数列的通项公式
思考 等差数列的通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？
答案 等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义得
＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)．
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)．
当n＝1时，上面的等式也成立．
∴an＝a1qn－1(n∈N*)．
梳理 等比数列{an}首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1.
1．常数列既是等差数列，又是等比数列．(×)
2．若a，b，c成等比数列，则a，c的等比中项一定是b.(×)
3．若an＋1＝qan，n∈N*，且q≠0，则{an}是等比数列．(×)
4．任何两个数都有等比中项．(×)
类型一 等比数列的判定
例1 已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，
求证：数列{an}是等比数列．
考点 等比数列的判定
题点 证明数列为等比数列
证明 由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，
∴an＝m2n＋2，∴＝＝m2，
∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，
∴数列{an}是等比数列．
反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即＝q(与n无关的常数)．
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)证明：数列{an}是等比数列．
考点 等比数列的判定
题点 证明数列为等比数列
(1)解 ∵a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝－.
又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，∴a2＝.
(2)证明 ∵Sn＝(an－1)，∴Sn＋1＝(an＋1－1)，
两式相减得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝－an，
又a1＝－≠0，∴an≠0，∴＝－，n∈N*，
∴数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
类型二 等比中项
例2 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为________．
考点 等比中项
题点 利用等比中项解题
答案 ±1
解析 ∵1，a,3成等差数列，∴a＝＝2，
∵1，b,4成等比数列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴＝＝±1.
反思与感悟 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项．
(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个．
跟踪训练2 ＋1与－1的等比中项是________．
考点 等比中项
题点 利用等比中项解题
答案 ±1
解析 设x为＋1与－1的等比中项，
则x2＝(＋1)(－1)＝1，∴x＝±1.
类型三 等比数列通项公式的应用
命题角度1 等比数列基本量的计算
例3 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．
考点 等比数列基本量的计算
题点 求等比数列的项
解 设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
②÷①，得q＝，
将q＝代入①，得a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8.
综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.
反思与感悟 已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．
跟踪训练3 在等比数列{an}中：
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
考点 等比数列基本量的计算
题点 求等比数列的项
解 (1)由等比数列的通项公式得，
a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
那么解得
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
命题角度2 等比数列的实际应用
例4 为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
解 设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a1＝，
经过n年后绿洲面积为an＋1，设2014年底沙漠面积为b1，
经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.
依题意，an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，
∴an＋1＝92%·an＋12%(1－an)＝an＋，
即an＋1－＝，
a1－＝－＝－，
∴是以－为首项，为公比的等比数列，
∴an－＝n－1，
∴an＝－n－1，则an＋1＝－n，
∵an＋1>50%，∴－n>，
∴n<，n>＝≈3.1.
则当n≥4时，不等式n<恒成立．
∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.
反思与感悟 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．
跟踪训练4 “猴子分苹果”问题：海滩上有一堆苹果，五只猴子来分，第一只猴子把苹果分成五等份，多一个，于是它把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的苹果也分成五等份，多了一个，它把多的一个扔到海里，取走一份；以后的三只猴子都是如此处理．问原来至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
解 设最初的苹果数为a1，五只猴子分剩的苹果数依次为a2，a3，a4，a5，a6，由题意得，
an＋1＝(an－1)－(an－1)＝an－，(*)
设an＋1＋x＝(an＋x)，即an＋1＝an－x，
对照(*)式得，－x＝－，所以x＝4.
即an＋1＋4＝(an＋4)．
所以数列{an＋4}为等比数列，首项为a1＋4，公比q＝，
所以a6＋4＝(a1＋4)×5.
因此a6＝(a1＋4)×5－4.
由题意知a6为整数，故a1＋4的最小值是55，
即a1的最小值是55－4＝3 121.
即最初至少有3 121个苹果，
从而最后剩下a6＝45－4＝1 020个苹果.
1．45和80的等比中项为________．
考点 等比中项
题点 利用等比中项解题
答案 －60或60
解析 设45和80的等比中项为G，
则G2＝45×80，∴G＝±60.
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为________．
考点 等比数列基本量的计算
题点 求等比数列的项数
答案 6
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，2n－1＝32，所以n＝6.
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝________.
考点 等比数列基本量的计算
题点 求等比数列的项
答案 64
解析 ∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.
4．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项为________．
考点 等比中项
题点 利用等比中项解题
答案 －24
解析 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.
1．等比数列的判断或证明：
(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*)．
2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
一、填空题
1．2＋和2－的等比中项是________．
考点 等比中项
题点 利用等比中项解题
答案 ±1
解析 设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.
2．下列各组数成等比数列的是________．(填序号)
①1，－2,4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.
考点 等比数列的概念
题点 等比数列的概念
答案 ①②④
解析 由等比数列的定义，知①②④是等比数列，③中当x＝0时，不是等比数列．
3．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3＝________.
考点 等比数列基本量的计算
题点 求等比数列的项
答案 32
解析 由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝＝32.
4．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝________.
考点 等比数列的概念
题点 等比数列的概念
答案 27
解析 ∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
5．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么abc＝________.
考点 等比中项
题点 利用等比中项解题
答案 －27
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.
6．在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.
考点 等比数列基本量的计算
题点 求等比数列公比
答案 2
解析 a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________．
考点 等比数列基本量的计算
题点 求等比数列的项
答案 80,40,20,10
解析 设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴这4个数依次为80,40,20,10.
8．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝________.
考点 等比数列基本量的计算
题点 利用基本量法解题
答案 11
解析 在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.
9．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝________.
考点 等比中项
题点 利用等比中项解题
答案 2
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
10．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
考点 等比中项
题点 利用等比中项解题
答案 1
解析 设等差数列的公差为d，
则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，
∴q＝＝＝1.
11．若{an}为公比大于1的等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，则{an}的通项公式为______________．
考点 等比数列的通项公式
题点 已知数列为等比数列求通项公式
答案 an＝2×3n－3
解析 设等比数列{an}的公比为q，则q>1.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝，
解得q1＝(舍)，q2＝3.
由q＝3知，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
二、解答题
12．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
考点 等比数列的判定
题点 证明数列为等比数列
解 (1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
13．已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求{an}的通项公式．
考点 等比数列的通项公式
题点 判断数列为等比数列后求通项
解 由Sn＋1＝qSn＋1①可知当n≥2时，Sn＝qSn－1＋1②，两式相减可得an＋1＝qan，又n＝1时，S2＝qS1＋1，
即a1＋a2＝qa1＋1，
解得a2＝q≠0，
∴an≠0，∴＝q(n≥2)．
又＝q，∴{an}是公比为q的等比数列．
根据2a2，a3，a2＋2成等差数列，
由等差数列性质可得2a2＋a2＋2＝2a3，
即2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－，
由q>0可知，q＝2，所以an＝2n－1，n∈N*.
三、探究与拓展
14．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为________．
，
，，
考点 等比数列基本量的计算
题点 求等比数列的项
答案
解析 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
15．设数列{an}的首项a1＝a≠，且an＋1
＝
记bn＝a2n－1－，n＝1,2,3，….
(1)求a2，a3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．
考点 等比数列的判定
题点 证明数列为等比数列
解 (1)a2＝a1＋＝a＋，
a3＝a2＝a＋.
(2)因为a4＝a3＋＝a＋，
所以a5＝a4＝a＋，
所以b1＝a1－＝a－，
b2＝a3－＝，
b3＝a5－＝.
猜想：数列{bn}是公比为的等比数列．
证明如下：
因为bn＋1＝a2n＋1－＝a2n－
＝－
＝＝bn(n∈N*)，
又b1＝a1－＝a－≠0，
所以bn≠0，
所以＝，n∈N*
所以数列{bn}是首项为a－，公比为的等比数列．
第2课时 等比数列的性质
学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．
知识点一 等比数列的性质
思考 在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2，n∈N*)是否成立？
答案 ∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，
∴a1a9＝aq8＝(a1q4)2＝a，∴a＝a1a9成立．
同理a＝a3a7成立，a＝an－2·an＋2也成立．
梳理 一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*)．
若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*)．
知识点二 由等比数列衍生的等比数列
思考 等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(3)是等比数列；
(4){a2n}是等比数列．
答案 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．
梳理 (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比数列．
(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列，{an·bn}，，{|an|}是等比数列．
1．an＝amqn－m(n，m∈N*)，当m＝1时，就是an＝a1qn－1.(√)
2．在等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列．(√)
3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(×)
类型一 等比数列通项公式的推广应用
例1 在等比数列{an}中．
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)若{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.
考点 等比数列的通项公式
题点 已知数列为等比数列求通项公式
解 (1)∵＝q7－4＝，即q3＝4，∴q＝，
∴an＝a4·qn－4＝2·()n－4＝2·＝.
(2)由a＝a10＝a5·q10－5，且a5≠0，
得a5＝q5，即a1q4＝q5，又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，
∴2(1＋q2)＝5q，解得q＝或q＝2.
∵a1＝q，且{an}为递增数列，
∴
∴an＝2·2n－1＝2n.
反思与感悟 (1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练1 (1)在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a5＝________；
(2)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为__________．
考点 等比数列的通项公式
题点 已知数列为等比数列求通项公式
答案 (1)8 (2)64
解析 (1)∵＝q7－3＝q4＝＝4，∴q2＝2.
∴a5＝a3q5－3＝4·q2＝4×2＝8.
(2)设该等比数列{an}的公比为q，
∴即解得
∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)
＝，
当n＝3或4时，取得最小值－6，
此时取得最大值26，
∴a1a2…an的最大值为64.
类型二 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征
例2 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
考点 等比数列的性质
题点 利用项数的规律解题
解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
反思与感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
跟踪训练2 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________.
考点 等比数列的性质
题点 等比数列各项积的问题
答案 128
解析 ∵a3a5＝a＝4，an>0，∴a4＝2.
∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4
＝43×2＝128.
命题角度2 未知量的设法技巧
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
考点 等比数列的性质
题点 等比数列的性质的其他应用问题
解 方法一 设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得解得或
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二 设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)，
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
反思与感悟 合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.若四个同号的数成等比数列，可设为，，aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
跟踪训练3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．
考点 等比数列的性质
题点 等比数列的性质的其他应用问题
解 设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，
则由题意得
解得或
故所求的四个数为3,6,12,18或，，，.
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为________．
考点 等比数列基本量的计算
题点 求等比数列公比
答案 2
解析 由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9＝________.
考点 等比数列的性质
题点 等比数列的性质与对数运算综合
答案 3
解析 因为a2a9＝a1a10＝27，
所以log3a2＋log3a9＝log327＝3.
3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
考点 等比数列的性质
题点 等比数列各项积的问题
答案 8
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，
则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7
＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)
＝(a1a8)3＝23＝8.
4．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
考点 等比数列的判定
题点 判断数列为等比数列
解 不是等比数列．
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，
∴a1a3≠a，∴数列{an}不是等比数列．
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．
2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
一、填空题
1．在等比数列{an}中，a2 015＝8a2 012，则公比q的值为______．
考点 等比数列基本量的计算
题点 求等比数列公比
答案 2
解析 ∵a2 015＝8a2 012＝a2 012·q3，
∴q3＝8，∴q＝2.
2．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为________．
考点 等比数列的判定
题点 判断数列为等比数列
答案 8
解析 点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an，
∵a1＝1≠0，∴an≠0，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8.
3．已知在各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为________．
考点 等比数列的性质
题点 利用项数的规律解题
答案 10 000
解析 ∵lg(a3a8a13)＝lg a＝6，
∴a＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a＝10 000.
4．在正项等比数列{an}中，an＋1考点 等比数列的性质
题点 利用项数的规律解题
答案
解析 设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且
an＋15．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为________．
考点 等比中项
题点 利用等比中项解题
答案 3
解析 设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.
则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
化简得d2＝－2a1d，
∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，
∴q＝＝3.
6．已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.
考点 等比数列的性质
题点 等比数列各项积的问题
答案 5
解析 由数列{an}为等比数列得，(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)，又数列{an}各项均为正数，∴a4a5a6＝5.
7．已知在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝________.
考点 等比数列基本量的计算
题点 利用基本量法解题
答案 3＋2
解析 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，a1≠0，∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
8．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
考点 等比数列的性质
题点 利用项数的规律解题
答案 18
解析 由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.
9．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
考点 等比中项
题点 利用等比中项解题
答案 －6
解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，
∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.
10．在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.
考点 等比数列的性质
题点 等比数列各项积的问题
答案 1 024
解析 设等比数列{an}的公比为q，
a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1，①
a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8，②
②÷①得q48＝8，q16＝2，
∴a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·q1q43＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)(q16)10＝210＝1 024.
11．已知在等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
考点 等比数列的性质
题点 利用项数的规律解题
答案 8
解析 由等比数列的性质得a3a11＝a，∴a＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
二、解答题
12．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
考点 等比数列基本量的计算
题点 利用基本量法解题
解 设{an}的公差为d.
由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.
由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1S4.
又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，
故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．
若a2＝0，则d2＝－2d2，
所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；
若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，
解得d＝0或d＝2.
因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1，n∈N*.
13．在等比数列{an}(n∈N*)中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；
(3)试比较an与Sn的大小．
考点 等比数列的性质
题点 等比数列的性质与对数运算综合
(1)证明 因为bn＝log2an，
所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2
＝log2q(q＞0)为常数，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)解 因为b1＋b3＋b5＝6，
所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1＞1，所以b1＝log2a1＞0，
又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
即即解得
因此Sn＝4n＋×(－1)＝.
又因为d＝log2q＝－1，
所以q＝，b1＝log2a1＝4，即a1＝16，
所以an＝25－n(n∈N*)．
(3)解 由(2)知，an＝25－n＞0，
当n≥9时，Sn＝≤0，所以当n≥9时，an＞Sn.
又因为a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，
a7＝，a8＝，
S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，
S8＝4，
所以当n＝3,4,5,6,7,8时，an当n＝1,2或n≥9，n∈N*时，an＞Sn.
三、探究与拓展
14．已知等比数列{an}满足an>0，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥3时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝______.
考点 等比数列的性质
题点 等比数列的性质与对数运算综合
答案 n2
解析 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3·…·a2n－1)＝log2(a1a2n－1)＝log2(a5a2n－5)＝log2＝＝n2.
15．在等差数列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比数列，已知数列a1，a3，，，…，，…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式．
考点 等比数列基本量的计算
题点 利用基本量法解题
解 由题意得a＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
得d(d－a1)＝0，又d≠0，∴a1＝d.又a1，a3，，，…，，…成等比数列，∴该数列的公比q＝＝＝3，
∴＝a1·3n＋1.又＝a1＋(kn－1)d＝kna1，
∴数列{kn}的通项公式为kn＝3n＋1.
2.3.3 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列前n项和公式的推导及简单应用
学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
知识点一 等比数列的前n项和公式
思考 对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?
答案 比较两式易知，两式相减能消去相同项，解出S64，即S64＝＝264－1.
梳理 等比数列的前n项和公式：
已知量
首项a1，项数n与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝
Sn＝
特别提醒：在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
知识点二 等比数列的前n项和公式的应用
思考 要求等比数列前8项的和：
(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？
(2)若已知a1，a9，q的值．用哪个公式比较合适？
答案 (1)用Sn＝.(2)用Sn＝.
梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意：
(1) 一定不要忽略q＝1的情况．
(2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用.
(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．
1．在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q，则前3项和为.(×)
2．等比数列{an}的公比q≠1，则前n项和Sn＝.(×)
3．首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(√)
类型一 等比数列前n项和公式的应用
命题角度1 前n项和公式的直接应用
例1 求下列等比数列前8项的和：
(1)，，，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
考点 等比数列前n项和
题点 求等比数列的前n项和
解 (1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q<0，
可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
反思与感悟 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．
跟踪训练1 若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
考点 等比数列前n项和
题点 求等比数列的前n项和
答案 2 2n＋1－2
解析 设等比数列的公比为q，
∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，
解得q＝2，且a1＝2.
因此Sn＝＝2n＋1－2.
命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用
例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
解 由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
反思与感悟 (1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
考点 等比数列前n项和
题点 求等比数列的前n项和
解 方法一 由题意知
解得或
从而Sn＝＝(5n－1)
或Sn＝＝，n∈N*.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
所以
两式作比，得＝，
解得或
从而Sn＝＝(5n－1)
或Sn＝＝，n∈N*.
类型二 等比数列前n项和的实际应用
例3 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．
考点 等比数列前n项和应用题
题点 等比数列前n项和的应用题
解 方法一 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：
A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，
…
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝
＝≈880.8.
故小华每期付款金额约为880.8元．
方法二 设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则：
A2＝x；
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；
…
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．
∵年底付清欠款，∴A12＝5 000×1.00812，
即5 000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，
∴x＝≈880.8.
故小华每期付款金额约为880.8元．
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
考点 等比数列前n项和应用题
题点 等比数列前n项和的应用题
解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝
＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn＝__________.
考点 等比数列前n项和
题点 求等比数列的前n项和
答案
解析 当x＝1时，Sn＝n；
当x≠1时，Sn＝.
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝______.
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案
解析 方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，
得＝＋1＋q＋q2＝.
方法二 ∵S4＝，a2＝a1q，
∴＝＝.
3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是________．
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案 211
解析 ∵q4＝＝＝4，且q>0，
∴q＝，∴S5＝＝＝211.
4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
考点 等比数列前n项和应用题
题点 等比数列前n项和的应用题
答案 11a(1.15－1)
解析 去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a，
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和．
一、填空题
1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn＝____________.
考点 等比数列前n项和
题点 求等比数列的前n项和
答案
解析 Sn＝＝.
2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝________.
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案 84
解析 由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，
得q2＋q－6＝0.
∵q>0，
∴q＝2，
∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3
＝22·21＝84.
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案 －11
解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
∴q＝－2，则＝＝－11.
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________.
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案
解析 设等比数列{an}的公比为q，
由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，
即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.
5．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝________.
答案 －1
解析 由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.
6．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和为__________．
考点 等比数列前n项和
题点 求等比数列的前n项和
答案 3(1－3－10)
解析 由3an＋1＋an＝0，得＝－，
故数列{an}是公比q＝－的等比数列．
又a2＝－，可得a1＝4.
所以S10＝＝3(1－3－10)．
7．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是________米．(结果保留到个位)
考点 等比数列前n项和应用题
题点 等比数列前n项和的应用题
答案 300
解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案 3
解析 ∵S6＝4S3，∴q≠1，∴＝，∴q3＝3，∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
9．数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案 2n－1
解析 an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即
各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1.
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案
解析 由已知4S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．
∴a2＝3a3，
∴{an}的公比q＝＝.
11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q＝________.
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案 －
解析 当q＝1时，
Sn＝na1，S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9，不合题意；
当q≠1时，＋＝2×，
得2－q3－q6＝2－2q9，∴2q9－q6－q3＝0，
解得q3＝－或q3＝1(舍去)或q3＝0(舍去)，
∴q＝－.
二、解答题
12．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，n∈N*.
考点 错位相减法求和
题点 错位相减法求和
解 设Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
则2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
∴－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
＝－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1
＝(1－n)×2n＋1－2，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
13．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
考点 等比数列前n项和
题点 求等比数列的前n项和
解 (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．
记{bn}的前n项和为Sn，则
Sn＝＝－.
三、探究与拓展
14．在等比数列{an}中，对任意n∈N*，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝____________.
考点 等比数列前n项和
题点 求等比数列的前n项和
答案
解析 ∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1，∴a1＝21－1＝1.
∵a1＋a2＝1＋a2＝22－1＝3，∴a2＝2，∴{an}的公比为2.
∴{a}的公比为4，首项为a＝1.
∴a＋a＋…＋a＝＝.
15．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝6，S4＝30，n∈N*，数列{bn}满足bn·bn＋1＝an，b1＝1.
(1)求an，bn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
考点 等比数列前n项和
题点 求等比数列的前n项和
解 (1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意可得a1＋a1q＝6，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝30，解得a1＝q＝2(负值舍去)，可得an＝a1qn－1＝2n，由bn·bn＋1＝an＝2n，b1＝1，可得b2＝2，即有bn＋1·bn＋2＝an＋1＝2n＋1，可得＝2，可得数列{bn}中奇数项、偶数项分别为公比为2的等比数列，即有bn＝
(2)当n为偶数时，前n项和为Tn＝＋＝＋＝3·()n－3；当n为奇数时，前n项和为Tn＝Tn－1＋＝3·()n－1－3＋＝()n＋3－3.综上可得，Tn＝
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
学习目标 1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和．
知识点一 等比数列前n项和公式的函数特征
思考 若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？
答案 当Sn＝2n－1时，
an＝＝n∈N*是等比数列；
当Sn＝2n＋1－1时，
an＝＝n∈N*不是等比数列．
梳理 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．
知识点二 等比数列前n项和的性质
思考 若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？
答案 由题意可知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不为0，设{an}的公比为q，则
Sn＝a1＋a2＋…＋an，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n
＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn
＝qnSn，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n
＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn
＝qn(S2n－Sn)，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
梳理 等比数列{an}前n项和的三个常用性质：
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…
－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．
1．对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数．(√)
2．当{an}为等差数列，{bn}为公比不是1的等比数列时，求数列的前n项和，适用错位相减法．(√)
类型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，求证：数列{an}为等比数列．
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列前n项和综合问题
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式，
∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.
∴＝a，
∴数列{an}是等比数列．
反思与感悟 (1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列前n项和综合问题
答案 －
解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
类型二 等比数列前n项和的性质
命题角度1 连续n项之和问题
例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
考点 等比数列前n项和的性质
题点 连续m项的和成等比数列
证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
当q≠1时，Sn＝(1－qn)，
S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．
又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
方法二 根据等比数列的性质有
S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，
Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
反思与感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质整体处理．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 连续m项的和成等比数列
解 由等比数列前n项和的性质得，
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴122＝48(S3n－60)，
解得S3n＝63.
命题角度2 不连续n项之和问题
例3 已知等比数列{an}的公比q＝－，则＝________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列奇偶项和的性质
答案 －3
解析 ∵a2＋a4＋a6＋a8
＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q
＝q(a1＋a3＋a5＋a7)，
∴＝＝－3.
反思与感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快．
跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则＝________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列奇偶项和的性质
答案 126
解析 ∵＝＝2，
∴{}是首项为b2，公比为2的等比数列．
∴＝＝27－2＝126.
类型三 错位相减法求和
例4 求数列的前n项和．
考点 错位相减法求和
题点 错位相减法求和
解 设Sn＝＋＋＋…＋，
则有Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－，
即Sn＝－＝1－－.
∴Sn＝2－－＝2－.
反思与感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．
跟踪训练4 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．
考点 错位相减法求和
题点 错位相减法求和
解 当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝－nxn＋1，
∴Sn＝－.
综上可得，Sn＝
1．已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和为________．
考点 等比数列前n项和的性质
题点 连续m项的和成等比数列
答案 33
解析 设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为________．
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列前n项和综合问题
答案
解析 方法一 ∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，
由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝.
方法二 当n＝1时，a1＝S1＝x－；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，
∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
即2x·3－1＝x－，
解得x＝.
3．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为______．
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列前n项和综合问题
答案 1
解析 由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模为1.
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99＝________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 连续m项的和成等比数列
答案 12
解析 设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg an}构成等差数列．
2．等比数列前n项和中用到的数学思想：
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0(2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相关．
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解．
一、填空题
1．在等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q＝________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列前n项和性质综合
答案 4
解析 ∵a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，
∴a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，∴q＝＝4.
2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列前n项和性质综合
答案 1
解析 ∵Sn－Sn－1＝an(n≥2)，又{Sn}是等差数列，
∴an为定值，即数列{an}为常数列，∴q＝＝1.
3．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20＝________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 连续m项的和成等比数列
答案 40
解析 ∵S30≠3S10，∴q≠1.
由得
由等比数列前n项和性质得，S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
∴(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40.
4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为________．
考点 等比数列前n项和的性质
题点 连续m项的和成等比数列
答案 2
解析 设公比为q，若q＝1，则＝2，
与题中条件矛盾，故q≠1.
∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.
∴＝＝qm＝8＝，
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
5．已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是________．
①数列{bn}为等比数列，公比为qm；
②数列{bn}为等比数列，公比为q2m；
③数列{cn}为等比数列，公比为；
④数列{cn}为等比数列，公比为.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 连续m项的和成等比数列
答案 ①③
解析 ∵{an}是等比数列，
∴＝qmn＋k－m(n－1)－k＝qm(1≤k≤m)，
∴＝
＝(qm)m＝qm2.
＝
＝＝qm.
6．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列前n项和性质综合
答案
解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4.
∴S5＝＝8＝.
7．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N*)，则a3＝________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列前n项和性质综合
答案 12
解析 当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，
即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，
即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，∴a3＝3×4＝12.
8．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则＝________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 连续m项的和成等比数列
答案 33
解析 由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，
∴q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.
9．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列奇偶项和的性质
答案 2
解析 根据题意得
∴∴q＝＝＝2.
10．已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列，Sn是{an}的前n项和，且＝5，则数列的前5项和为________．
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列前n项和性质综合
答案
解析 ＝＝1＋q2＝5，q＝±2.
∵{an}是摆动数列，∴q＝－2.
∴首项为1，公比为－，
前5项和为＝＝.
二、解答题
11．已知在等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
考点 错位相减法求和
题点 错位相减法求和
解 (1)设数列{an}的公比为q，
由题意知2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.
∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.
(2)由题意得，bn＝n·2n，
∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， ①
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， ②
①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1
＝－2－(n－1)·2n＋1.
∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1，n∈N*.
12．中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.
(1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式；(注：2016年为第一年)
(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？
考点 等比数列前n项和应用题
题点 等比数列前n项和的应用题
解 (1)当n≤10时，数列{an}是首项为45.5，
公差为0.5的等差数列，
所以an＝45.5＋0.5×(n－1)＝45＋0.5n.
当n≥11时，数列{an}是以0.99为公比的等比数列．
又a10＝50，所以an＝50×0.99n－10，
因此新政策实施后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为
an＝
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得
S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)
＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈950.8(万)，
所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为≈47.54万．
因为<49，故到2036年不需要调整政策．
13．已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列前n项和性质综合
(1)解 由已知，得an＝aqn－1，因此
S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)．
当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，
可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.
解得q＝.
(2)证明 若q＝1，则{an}的各项均为a，
此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列．
若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，
即＋＝，
整理得qm＋ql＝2qn.
因此am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1
＝2an＋k，
所以am＋k，an＋k，al＋k成等差数列．
三、探究与拓展
14．数列{an}满足：a1＝，且an＋1＝(n∈N*)，则＋＋＋…＋＝________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列前n项和性质综合
答案 2 017＋
解析 由题意可知＝＋·，
即－1＝，
又－1＝－，所以＝1－，
所以＋＋＋…＋＝n－
＝n－＋·，
则＋＋＋…＋＝2 018－＋×
＝2 017＋.
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝3(2n－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝5n－2.数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}．若数列{cn}的第n项恰为数列{an}的第kn项，则数列{kn}的前32项的和是______．
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列前n项和性质综合
答案 2 016
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3(2n－1)－3(2n－1－1)＝3×2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，∴an＝3×2n－1.令at＝bs，∴3×2t－1＝5s－2，则s＝.t＝1，s＝1，符合题意；t＝2，s＝，不合题意；t＝3，s＝，不合题意；t＝4，s＝，不合题意；t＝5，s＝10，符合题意；…；∴{kn}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴数列{kn}的前32项之和为32×1＋×4＝2 016.
习题课(一) 求数列的通项公式
学习目标 1.了解通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式的常见方法.2.掌握利用递推公式求通项公式的常见方法.3.掌握利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式的方法．
知识点一 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
思考 你能看出数列(1)：－1,1，－1,1…与数列(2): 0,2,0,2…的联系吗？由此写出数列(2)的一个通项公式．
答案 数列(1)每项加1得到数列(2)．数列(1)的通项公式是an＝(－1)n ，故数列(2)的通项公式是an＝(－1)n ＋1.
梳理 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找an与n，an与an＋1的联系．
知识点二 利用递推公式求通项公式
思考 还记得我们是如何用递推公式an＋1－an＝d求出等差数列的通项公式的吗？
答案 累加法．
梳理 已知递推公式求通项公式的主要思路，就是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我们熟悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式．赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待定系数法、换元、迭代等．
知识点三 利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式
思考 如何用数列{an}的前n项和Sn表示an ?
答案 an＝
梳理 当已知Sn或已知Sn与an 的关系式，可以借助上式求出通项公式，或者得到递推公式，再由递推公式求得通项公式．在应用上式时，不要忘记对n讨论．
1．数列可由其前四项完全确定．(×)
2．可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n任意赋值．(√)
3．{Sn}也是一个数列．(√)
类型一 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
例1 由数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
(1)3,5,3,5,3,5，…；
(2)，，，，，…；
(3)2，，，，，…；
(4)，，，，，….
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
解 (1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为an＝4＋(－1)n.
(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an＝.
(3)数列可化为1＋1,2＋，3＋，4＋，5＋，…，
所以它的一个通项公式为an＝n＋.
(4)数列可化为，，，，，…，
所以它的一个通项公式为an＝.
反思与感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．
跟踪训练1 由数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
(1)1，－7,13，－19,25，…
(2)，，，，，…
(3)1，－，，－，…
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(6n－5)．
(2)数列化为，，，，，…，分子、分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为an＝.
(3)数列化为，－，，－，…，
所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1.
类型二 利用递推公式求通项公式
命题角度1 累加、累乘
例2 (1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式；
(2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an.
考点 递推数列通项公式求法
题点 一阶线性递推数列
解 (1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，
即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝(n≥2)，a1＝1也符合上式．
∴an＝.
(2)由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，
代入上式得(n－1)个等式累乘之，
即··…＝×××…×(n≥2)，
∴＝(n≥2)，
又∵a1＝，∴an＝(n≥2)，a1＝也符合上式．
∴an＝.
反思与感悟 型如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：
第一步 将递推公式写成an＋1－an＝f(n)．
第二步 依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们累加起来．
第三步 得到an－a1的值，解出an.
第四步 检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．累乘法类似．
跟踪训练2 (1)已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__________．
考点 递推数列通项公式求法
题点 一阶线性递推数列
答案 (n∈N*)
解析 由an＋1＝2nan，得＝2n，
即··…＝21×22×23×…×2n－1，
即＝21＋2＋3＋…＋(n－1)
(经验证a1＝1也符合)(n∈N*)．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1 (n＝2,3,4，…)，求{an}的通项公式．
考点 递推数列通项公式求法
题点 an＋1＝pan＋f(n)型
解 ∵当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，这n－1个等式累加得，
an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝，
故an＝＋a1＝且a1＝1也满足该式，
∴an＝(n∈N*)．
命题角度2 构造等差?比?数列
例3 已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.
考点 递推数列通项公式求法
题点 一阶线性递推数列
解 递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3.
故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.
所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.
反思与感悟 型如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：
第一步 假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)．
第二步 由待定系数法，解得t＝.
第三步 写出数列的通项公式．
第四步 写出数列{an}通项公式．
跟踪训练3 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式．
考点 递推数列通项公式求法
题点 an＋1＝pan＋f(n)型
解 设an＋1＋x×5n＋1＝2(an＋x×5n)，①
将an＋1＝2an＋3×5n代入①式，得2an＋3×5n＋x×5n＋1＝2an＋2x×5n，等式两边消去2an，得3×5n＋x×5n＋1＝2x×5n，两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1，代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n)．②
由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，则＝2，则数列{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n(n∈N*)．
类型三 利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式
例4 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，则an＝________.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn与an递推式求通项
答案 2n＋1
解析 因为Sn＝2an－4，所以Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，即＝2，因为S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1.
反思与感悟 已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)解题步骤：
第一步 利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式．
第二步 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式．
第三步 若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．如果求出的是{an}的递推公式，则问题化归为类型二．
跟踪训练4 在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项an.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn与an递推式求通项
解 (1)由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，得
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an，
两式作差得nan＝an＋1－an，
得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，
即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2·3n－2.
于是an＝
1．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
考点 等比数列的通项公式
题点 已知数列为等比数列求通项公式
答案 2n
解析 ∵{an}单调递增，∴q＞0，
又a＝a10＞0，∴an＞0，q＞1，
由条件得2＝5，
即2＝5，∴q＝2或q＝(舍)，
由a＝a10得(a1q4)2＝a1q9，
∴a1＝q＝2，故an＝2n.
2．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn与an递推式求通项
答案 1 121
解析 a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，解得a1＝1，a2＝3，
再由an＋1＝2Sn＋1，即an＝2Sn－1＋1(n≥2)，得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝3a1，所以an＋1＝3an(n≥1)，S5＝＝121.
3．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn与an递推式求通项
答案 2n－1
解析 当n＝1时，S1＝2a1－1，
∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，
∴an＝2an－1，
∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N*.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.证明{an}是等比数列，并求其通项公式．
考点 an与Sn关系
题点 由Sn与an递推式求通项
解 由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
所以{an}是首项为，公比为的等比数列，
所以an＝n－1.
1．不论哪种类型求通项公式，都是以等差数列、等比数列为基础．
2．利用数列前若干项归纳通项公式，对无穷数列来说只能算是一种猜想，是否对所有项都适用还需论证．
3．待定系数法求通项，其本质是猜想所给递推公式可以变形为某种等差数列或等比数列，只是其系数还不知道，一旦求出系数，即意味着猜想成立，从而可以借助等差数列或等比数列求得通项．
4．使用递推公式或前n项和求通项时，要注意n的取值范围．
一、填空题
1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100的值是________．
考点 递推数列通项公式求法
题点 an＋1＝pan＋f(n)型
答案 9 902
解析 a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2
＝2×＋2＝9 902.
2．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项为__________．
考点 递推数列通项公式求法
题点 一阶线性递推数列
答案
解析 ∵an＋1＝，∴＝＋2.
∴为等差数列，公差为2，首项＝1.
∴＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝.
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝______________.
考点 递推数列通项公式求法
题点 an＋1＝pan＋f(n)型
答案 2＋ln n
解析 由an＋1＝an＋ln得
an＋1－an＝ln＝ln ，
∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝ln ＋ln ＋…＋ln
＝ln
＝ln n，
即an－a1＝ln n，an＝ln n＋2(经验证a1＝2也符合)．
4．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的通项公式an＝__________.
考点 递推数列通项公式求法
题点 an＋1＝pan＋f(n)型
答案
解析 ∵an＋1＝an＋，
∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，
即2n＋1an＋1－2nan＝2.
又21a1＝2，
∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴an＝.
5．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
考点 递推数列通项公式求法
题点 一阶线性递推数列
答案 2n－1
解析 由题意，得an－an－1＝2n－1，
∴a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋21＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，即an＝2n－1.
6．一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)：
第1行
1
第2行
2 3
第3行
4 5 6 7
…
…
则第8行中的第5个数是________．
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
答案 132
解析 前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，则第8行中的第5个数是127＋5＝132.
7．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为________________．
考点 an与Sn关系
题点 由Sn与an递推式求通项
答案 an＝4n－2
解析 由题意得－＝，n∈N*，n≥2，
∴{}是首项为＝＝，公差为的等差数列．∴＝n，∴Sn＝2n2，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，n∈N*，n≥2，
a1＝2也适合上式．
∴an＝4n－2，n∈N*.
8．在数列{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项满足关系式anbn＝(－1)n(n∈N*)，则bn＝________.
考点 递推数列通项公式求法
题点 一阶线性递推数列
答案
解析 易知{an}是首项为3，公比为2的等比数列，
∴an＝3×2n－1，∴bn＝＝.
9．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式an＝________.
考点 递推数列通项公式求法
题点 累乘法求通项
答案 n
解析 an＝··…···a1
＝··…··＝n(经验证a1＝1也符合)．
10．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝________.
考点 递推数列通项公式求法
题点 一阶线性递推数列
答案 2×3n－1－1
解析 设an＋1＋A＝3(an＋A)，化简得an＋1＝3an＋2A.
又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1.
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.
∴数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3.
则an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.
11．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn与an递推式求通项
答案 (－2)n－1
解析 当n＝1时，a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
即an＝－2an－1，又an≠0，
故＝－2，故an＝(－2)n－1.
二、解答题
12．已知Sn＝4－an－，求an与Sn.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn与an递推式求通项
解 ∵Sn＝4－an－，∴Sn－1＝4－an－1－，
∴当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.
∴an＝an－1＋n－1.
∴－＝2，∴2nan－2n－1an－1＝2，
∴{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1.
∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，
∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.∴an＝n·n－1，
∴Sn＝4－an－＝4－n·－＝4－.
13．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)当n＝1时，T1＝2S1－1，
∵T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，求得a1＝1.
(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]
＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，
∴Sn＝2Sn－1＋2n－1，①
∴Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②
②－①得an＋1＝2an＋2，
∴an＋1＋2＝2(an＋2)，求得a1＋2＝3，a2＋2＝6，
∴an＋2≠0.
∴＝2(n≥2)．
又＝2，也满足上式，
∴{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．
∴an＋2＝3·2n－1，
∴an＝3·2n－1－2，n∈N*.
三、探究与拓展
14．若在数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整数)，则它的通项公式an为________________．
考点 递推数列通项公式求法
题点 其他递推数列问题
答案 an＝
解析 由题意知an>0且an≠1，将an＋1＝a两边取对数得lg an＋1＝2lg an，且lg an≠0，即＝2，所以数列{lg an}是以lg a1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg an＝(lg a1)·2n－1＝lg .即an＝.
15．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－3an(n∈N*)．
(1)求a3，a4的值；
(2)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(3)求数列{an}的通项公式．
考点 递推数列通项公式求法
题点 一阶线性递推数列
(1)解 a3＝4a2－3a1＝13，a4＝4a3－3a2＝40.
(2)证明 ∵an＋2＝4an＋1－3an，
∴an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)．
又a1＝1，a2＝4，∴＝3，则{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，3为公比的等比数列．
(3)解 由(2)得an＋1－an＝3n，
则当n≥2时，an－an－1＝3n－1，
故an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝＝.
又a1＝1适合上式，故an＝，n∈N*.
习题课(二) 数列求和
学习目标 1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法．
知识点一 分组分解求和法
思考 求和：1＋2＋3＋…＋.
答案 1＋2＋3＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝＋
＝＋1－.
梳理 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．
知识点二 奇偶并项求和法
思考 求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.
答案 12－22＋32－42＋…＋992－1002
＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)
＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)
＝－5 050.
梳理 奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论．
知识点三 裂项相消求和法
思考 我们知道 ＝－，试用此公式求和：＋＋…＋.
答案 由＝－，得
＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－＝1－.
梳理 如果数列的项能裂成前后抵消的两项，则可用裂项相消法求和，此法一般先研究通项的形式，然后仿照公式裂开每一项．裂项相消求和常用公式：
(1)＝；
(2)＝(－)；
(3)＝；
(4)＝.
1．并项求和一定是相邻两项结合．(×)
2．裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消．(×)
类型一 分组分解求和
例1 求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)．
考点 数列前n项和的求法
题点 分组求和法
解 当x≠±1时，
Sn＝2＋2＋…＋2
＝＋＋…＋
＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋
＝＋＋2n
＝＋2n；
当x＝±1时，Sn＝4n.
综上知，
Sn＝
反思与感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
跟踪训练1 求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn.(其中a≠0，n∈N*)
考点 数列前n项和的求法
题点 分组求和法
解 当a＝1时，an＝n，
于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
当a≠1时，an＝＝(1－an)．
∴Sn＝[n－(a＋a2＋…＋an)]
＝＝－.
∴Sn＝
类型二 裂项相消求和
例2 求和：＋＋＋…＋，n≥2，
n∈N*.
考点 数列前n项和的求法
题点 裂项相消法求和
解 ∵＝＝，
∴原式＝
＝
＝－(n≥2，n∈N*)．
引申探究
求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.
解 ∵＝＝1＋，
∴原式＝＋＋＋…＋
＝(n－1)＋
以下同例2解法．
反思与感悟 求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和法．
跟踪训练2 求和：
1＋＋＋…＋，n∈N*.
考点 数列前n项和的求法
题点 裂项相消法求和
解 ∵an＝＝＝2，
∴Sn＝2＝.
类型三 奇偶并项求和
例3 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．
考点 数列前n项和的求法
题点 并项求和法
解 当n为奇数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…
＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)
＝2·＋(－2n＋1)＝－n.
当n为偶数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.
∴Sn＝(－1)nn (n∈N*)．
反思与感悟 通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．
跟踪训练3 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.
考点 数列前n项和的求法
题点 并项求和法
解 当n为偶数时，令n＝2k(k∈N*)，
Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n·(3n－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]
＝3k＝n；
当n为奇数时，
令n＝2k＋1(k∈N*)，
Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝.
∴Sn＝
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为________．
考点 数列前n项和的求法
题点 分组求和法
答案 Sn＝n＋2n－1，n∈N*
解析 ∵an＝1＋2n－1，
∴Sn＝n＋＝n＋2n－1.
2．已知数列an＝则S100＝________.
考点 数列前n项和的求法
题点 分组求和法
答案 5 000
解析 由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)
＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)
＝5 000.
3．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是________．
考点 数列前n项和的求法
题点 并项求和法
答案 －1,0
解析 S10＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a9＋a10)＝0，
S9＝S10－a10＝－1.
4．求数列，，，，…的前n项和．
考点 数列前n项和的求法
题点 裂项相消法求和
解 因为通项an＝＝，
所以此数列的前n项和
Sn＝
＝
＝－.
求数列的前n项和，一般有下列几种方法．
1．错位相减
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
2．分组求和
把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
3．裂项相消
把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
4．奇偶并项
当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论．
5．倒序相加
例如，等差数列前n项和公式的推导方法．
一、填空题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝， 则S5＝______.
考点 数列前n项和的求法
题点 裂项相消法求和
答案
解析 ∵an＝＝－.
∴S5＝＋＋…＋
＝1－＝.
2．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________.
考点 数列前n项和的求法
题点 数列求和方法综合
答案
解析 ∵{an}为等比数列，且a1＝，a4＝－4，
∴q3＝＝－8，∴q＝－2，∴an＝(－2)n－1，
∴|an|＝2n－2，
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝＝.
3．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，n∈N*，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项和是__________．
考点 数列前n项和的求法
题点 数列求和方法综合
答案 n(n＋5)
解析 ∵a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n，
∴bn＝n＋2，∴{bn}的前n项和Sn＝.
4．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，n∈N*，则S15＋S22－S31的值是________．
考点 数列前n项和的求法
题点 并项求和法
答案 －76
解析 S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，
S22＝－4×11＝－44，
S31＝－4×15＋a31＝－60＋121＝61，
S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
5．如果一个数列{an}满足an＋an＋1＝H (H为常数，n∈N*)，则称数列{an}为等和数列，H为公和，Sn是其前n项的和，已知在等和数列{an}中，a1＝1，H＝－3，则S2 017＝________.
考点 数列前n项和的求法
题点 并项求和法
答案 －3 023
解析 S2 017＝a1＋(a2＋a3＋…＋a2 017)
＝a1＋1 008×H＝1＋1 008×(－3)＝－3 023.
6．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则n的值为________．
考点 数列前n项和的求法
题点 裂项相消法求和
答案 120
解析 ∵an＝＝－，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(－1)＋(－)＋…＋(－)
＝－1，
令－1＝10，得n＝120.
7．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为________．
考点 数列前n项和的求法
题点 并项求和法
答案 2100－101
解析 由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.
8．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，n∈N*，则S50＝________.
考点 数列前n项和的求法
题点 并项求和法
答案 －25
解析 S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.
9．在数列{an}中，若an＝ln，n∈N*，则Sn＝______.
考点 数列前n项和的求法
题点 裂项相消法求和
答案 ln(n＋1)
解析 方法一 an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n
Sn＝(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln(n＋1)－ln n]
＝ln(n＋1)－ln 1＝ln(n＋1)．
方法二 Sn＝ln ＋ln ＋…＋ln
＝ln＝ln(n＋1)．
10．数列，，，…，，…的前n项和为__________．
考点 数列前n项和的求法
题点 裂项相消法求和
答案
解析 由数列通项公式
＝，
得前n项和Sn
＝
＝＝.
11．数列{an}的通项公式an＝ncos ，n∈N*，其前n项和为Sn，则S2 016＝________.
考点 数列前n项和的求法
题点 并项求和法
答案 1 008
解析 a1＝cos ＝0，a2＝2cos π＝－2，a3＝0，a4＝4，….
∴数列{an}的所有奇数项为0，前2 016项的所有偶数项(共1 008项)依次为－2,4，－6,8，…，
故S2 016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 014＋2 016)＝1 008.
二、解答题
12．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
考点 数列前n项和的求法
题点 裂项相消法求和
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以
解得
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
所以an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝×
＝×，
所以Tn＝×
＝×＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
13．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
考点 数列前n项和的求法
题点 错位相减法求和
解 (1)由已知，得当n>1时，
an＝[(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－3＋22n－5＋…＋2)＋2＝22n－1，
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1， ①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1. ②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
三、探究与拓展
14．设数列{an}满足a1＝0且－＝1，n∈N*.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记Sn＝b1＋b2＋…＋bn，
证明：Sn<1.
考点 数列前n项和的求法
题点 裂项相消法求和
(1)解 由题设－＝1知，是公差为1的等差数列，
又＝1，故＝n，
∴an＝1－.
(2)证明 由(1)得bn＝＝
＝－，
∴Sn＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－<1.
15．已知在数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出{bn}；
(2)求T2n.
考点 数列前n项和的求法
题点 分组求和法
解 (1)因为an·an＋1＝n，
所以an＋1·an＋2＝n＋1，
所以＝，即an＋2＝an，
因为bn＝a2n＋a2n－1，
所以＝
＝＝，
所以{bn}是公比为的等比数列．
因为a1＝1，a1·a2＝，
所以a2＝，所以b1＝a1＋a2＝，
所以bn＝×n－1＝.
(2)由(1)可知an＋2＝an，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，为公比的等比数列，
所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝＋＝3－.
章末复习
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题．
1.等差数列和等比数列的基本概念与公式
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
递推公式
an＋1－an＝d
＝q
中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时A叫做a与b的等差中项，并且A＝
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
前n项和公式
Sn＝＝na1＋d
当q≠1时，Sn＝＝，当q＝1时，Sn＝na1
性质
am，an的关系
am－an＝(m－n)d
＝qm－n
m，n，s，t∈N*，m＋n＝s＋t
am＋an＝as＋at
aman＝asat
{kn}是等差数列，且kn∈N*
{}是等差数列
{}是等比数列
n＝2k－1，k∈N*
S2k－1＝(2k－1)·ak
a1a2·…·a2k－1＝a
判断方法
利用定义
an＋1－an是同一常数
是同一常数
利用中项
an＋an＋2＝2an＋1
anan＋2＝a
利用通项公式
an＝pn＋q，其中p，q为常数
an＝abn(a≠0，b≠0)
利用前n项和公式
Sn＝an2＋bn (a，b为常数)
Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数)
2．数列中的基本方法和思想
(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；
(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法．
(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想．
(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想．
1．等差数列、等比数列的很多性质是相似的．(√)
2．一般数列问题通常要转化为等差数列、等比数列来解决．(√)
类型一 方程思想求解数列问题
例1 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比基本量问题综合
解 (1)由已知得解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，
又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.
解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln 2.
故Tn＝ln 2.
反思与感悟 在等比数列和等差数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．
跟踪训练1 记等差数列的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比基本量问题综合
解 设数列的公差为d，
依题设有
即
解得或
因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N*.
类型二 转化与化归思想求解数列问题
例2 在数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
(1) 设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；
(2) 求数列{an}的通项公式及前n项和的公式．
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比数列其他综合问题
(1)证明 ∵Sn＋1＝4an＋2， ①
∴当n≥2，n∈N*时，Sn＝4an－1＋2. ②
①－②得an＋1＝4an－4an－1.
方法一 对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得
＝2·－，
即＋＝2·，
即cn＋1＋cn－1＝2cn，
∴数列{cn}是等差数列．
由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，
∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝，
∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
方法二 ∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，
令bn＝an＋1－2an，
则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝3·2n－1，
∵ cn＝，∴ cn＋1－cn＝－＝
＝＝＝，
c1＝＝，
∴ {cn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)解 由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列，
∴＝＋(n－1)＝n－，an＝(3n－1)·2n－2是数列{an}的通项公式．
设Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2，
则2Sn＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n－1)·2n－1，
∴Sn＝2Sn－Sn
＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1
＝－1－3×＋(3n－1)·2n－1
＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1
＝2＋(3n－4)·2n－1.
∴数列{an}的通项公式为an＝(3n－1)·2n－2，前n项和公式为Sn＝2＋(3n－4)·2n－1，n∈N*.
反思与感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．
跟踪训练2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比数列其他综合问题
(1)解 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，
∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.
(2)证明 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2
＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2
＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．
∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
类型三 函数思想求解数列问题
命题角度1 借助函数性质解数列问题
例3 已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．
考点 数列综合问题
题点 数列与函数的综合
解 (1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，
整理得2a1d＝d2.
∵a1＝1，d>0，∴d＝2.
∴an＝2n－1(n∈N*)．
(2)∵bn＝＝＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
假设存在整数t满足Sn>总成立，
又Sn＋1－Sn＝－＝>0，
∴数列{Sn}是递增数列．
∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.
又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.
反思与感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．
跟踪训练3 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}最大项的值与最小项的值．
考点 数列综合问题
题点 数列与函数的综合
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，
即4a5＝a3，于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列，且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为
an＝×n－1＝(－1)n－1·.
(2)由(1)得Sn＝1－n＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1故0当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，
所以＝S2≤Sn<1，
故0＞Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N*，
总有－≤Sn－≤且Sn－≠0.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.
命题角度2 以函数为载体给出数列
例4 已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；
(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值．
考点 数列综合问题
题点 数列与函数的综合
解 (1)由an＋1＝f(an)，得an＋1＝2－|an|，
∵a1＝0，∴a2＝2，a3＝0，a4＝2.
(2)∵a1，a2，a3成等比数列，∴a3＝＝2－|a2|，
∴a＝a1·(2－|a2|)，且a2＝2－|a1|，
∴(2－|a1|)2＝a1(2－|2－|a1||)，
即(2－a1)2＝a1(2－|2－a1|)．
下面分情况讨论：
①当2－a1≥0时，(2－a1)2＝a1[2－(2－a1)]＝a，解得a1＝1，且a1≤2；
②当2－a1<0时，(2－a1)2＝a1[2－(a1－2)]＝a1(4－a1)，即2a－8a1＋4＝0，即a－4a1＋4＝2，即(a1－2)2＝2，解得a1＝2＋，且a1＞2，
综上，a1＝1或a1＝2＋.
反思与感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝，数列{an}满足
a1＝1，an＋1＝f ，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.
考点 数列综合问题
题点 数列与函数的综合
解 (1)∵an＋1＝f＝＝＝an＋，
∴an＋1－an＝，∴{an}是以为公差的等差数列．
又a1＝1，∴an＝n＋.
(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－(a2＋a4＋…＋a2n)
＝－·＝－(2n2＋3n).
1．设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和(n∈N*)，且S＝9S2，S4＝4S2，则数列{an}的通项公式是________．
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比基本量问题综合
答案 an＝36(2n－1)
解析 设等差数列{an}的公差为d，
由前n项和的概念及已知条件得
a＝9(2a1＋d)， ①
4a1＋6d＝4(2a1＋d )． ②
由②得d＝2a1，代入①有a＝36a1，
解得a1＝0或a1＝36.
又d≠0，所以a1＝0不符合题意，舍去．
因此a1＝36，d＝72，
故数列{an}的通项公式为
an＝36＋(n－1)·72＝72n－36＝36(2n－1)．
2．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．
考点 数列综合问题
题点 数列与函数的综合
答案 an＝3n－16 3
解析 利用an＝求得an＝3n－16.
则nan＝3n2－16n＝3，
所以n＝3时，nan的值最小．
3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N*)，则a2 018的值为________．
考点 数列综合问题
题点 数列与函数的综合
答案 4 035
解析 根据题意，不妨设f(x)＝x，
则a1＝f(0)＝1，
∵f(an＋1)＝，∴an＋1＝an＋2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1，
∴a2 018＝4 035.
1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．
2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
一、填空题
1．若一个等差数列{an}的公差为d，第5项等于10，前3项的和等于3，那么a1＝________，d＝________.
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比基本量问题综合
答案 －2 3
解析 由题意得即
解得a1＝－2，d＝3.
2．在等比数列{an}中，已知前4项和为1，前8项之和为17，则此等比数列的公比q为________．
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比基本量问题综合
答案 ±2
解析 由题意可知q≠1，S4＝＝1， ①
S8＝＝17， ②
②÷①得1＋q4＝17，q4＝16.
q＝±2.
3．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋t，则t＋a3＝________.
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比基本量问题综合
答案 17
解析 a1＝S1＝3＋t，
由a1＋a2＝9＋t得a2＝6，
由a1＋a2＋a3＝27＋t得a3＝18，
由a1a3＝a，得t＝－1，故t＋a3＝17.
4．数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n＋1，n∈N*，则它的通项公式为________．
答案 an＝
考点 数列综合问题
题点 数列其他综合问题
解析 当n＝1时，a1＝S1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2(a1＝5不符合)．
故数列{an}的通项公式为an＝
5．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比数列其他综合问题
答案 (1－4－n)
解析 依题意a2＝a1q＝2，a5＝a1q4＝，
两式相除可求得q＝，a1＝4，
又因为数列{an}是等比数列，所以{anan＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，
根据等比数列前n项和公式可得
原式＝＝(1－4－n)．
6．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比基本量问题综合
答案 110
解析 设{an}的首项，公差分别是a1，d，
则
解得a1＝20，d＝－2，
∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.
7．已知等差数列前n项和为Sn，且S13<0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为第________项．
考点 数列综合问题
题点 数列与不等式的综合
答案 7
解析 由S13＝13a7，S12＝6(a6＋a7)及S13<0，S12＞0，
知a7<0，a6＋a7＞0，即a6＞－a7＞0，故|a6|＞|a7|.
又等差数列为递减数列，故|a1|＞|a2|＞…＞|a6|＞|a7|，|a7|<|a8|<…，
故|a7|最小．
8．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和为______．
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比数列其他综合问题
答案
解析 ∵an＝＝＝，
∴bn＝＝＝4.
∴Sn＝4＝4＝.
9．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n
(n∈N*)，则S100＝________.
考点 数列前n项和的求法
题点 分组求和法
答案 2 600
解析 由a1＝1，a2＝2且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)知，
当n为奇数时，an＋2－an＝0；
当n为偶数时，an＋2－an＝2.
所以前100项中，奇数项为常数项1，偶数项构成以
a2＝2为首项，2为公差的等差数列．
所以S100＝50×2＋×2＋50×1＝2 600.
10．已知在数列{an}中，a1＝1，且P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，若函数f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*，且n≥2)，则函数f(n)的最小值为________．
考点 数列综合问题
题点 数列与函数的综合
答案
解析 由题意得an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an＝n，∴f(n)＝＋＋…＋，
∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋…＋－
＝＋－＝－>0，
∴{f(n)}(n∈N*，n≥2)为递增数列，
∴f(n)min＝f(2)＝＋＝＋＝.
二、解答题
11．在等比数列{an}中，an>0 (n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值．
考点 数列综合问题
题点 数列与不等式的综合
解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a＋2a3a5＋a＝25，
又an>0，∴a3＋a5＝5.
又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，
∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
∴q＝，a1＝16，∴an＝16×n－1＝25－n.
(2)bn＝log2an＝5－n，
∴bn＋1－bn＝－1，
∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，
∴Sn＝，
∴＝，
∴当n≤8时，>0；
当n＝9时，＝0；
当n>9时，<0.
∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大．
12．求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．
考点 数列前n项和的求法
题点 错位相减法求和
解 (1)当a＝0时，Sn＝1.
(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，
则Sn＝＝n2.
(3)当a≠1且a≠0时，
有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1， ①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an， ②
①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
∴(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)
＝1－(2n－1)an＋2·
＝1－(2n－1)an＋，
又1－a≠0，
∴Sn＝＋.
综上，Sn＝
13．已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1 (n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(3)求通项公式an.
考点 递推数列通项公式求法
题点 an＋1＝pan＋f(n)型
解 (1)∵a1＝5，
∴a2＝2a1＋22－1＝13，
a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)假设存在实数λ，使得数列为等差数列．
设bn＝，由{bn}为等差数列，
可得2b2＝b1＋b3.
∴2×＝＋，
即＝＋，
解得λ＝－1.
又bn＋1－bn＝－
＝[(an＋1－2an)＋1]
＝[(2n＋1－1)＋1]
＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列．
(3)由(2)知，数列为首项是2，公差是1的等差数列，
∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∴an＝(n＋1)2n＋1.
三、探究与拓展
14．已知Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前n项和，且a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5，an＝，则当Tn取得最大值时n的值为________．
考点 数列综合问题
题点 数列与不等式的综合
答案 4或5
解析 由Sn＝eSn＋1－e5，得Sn－1＝eSn－e5(n≥2)，两式相减，得an＝ean＋1(n≥2)，易知a2＝e3，＝＝，所以数列{an}是首项为e4，公比为的等比数列，所以an＝e5－n.因为an＝ebn，所以bn＝5－n.由即解得4≤n≤5，所以当n＝4或n＝5时，Tn取得最大值．
15．在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
考点 数列综合问题
题点 数列其他综合问题
解 (1)设数列{an}的公差为d，
由题意有 解得a1＝1，d＝.
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；
当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；
当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；
当n＝9,10时，4≤<5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
