第一章数列学案+滚动训练+章末检测

习题课(一)　求数列的通项公式
学习目标　1.了解通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式的常见方法.2.掌握利用递推公式求通项公式的常见方法.3.掌握利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式的方法．
知识点一　通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
思考　你能看出数列(1)：－1，1，－1，1…与数列(2)：0，2，0，2…的联系吗？由此写出数列(2)的一个通项公式．
答案　数列(1)每项加1得到数列(2)．数列(1)的通项公式是an＝(－1)n ，故数列(2)的通项公式是an＝(－1)n ＋1.
梳理　通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找an与n，an与an＋1的联系．
知识点二　利用递推公式求通项公式
思考　还记得我们是如何用递推公式an＋1－an＝d求出等差数列的通项公式的吗？
答案　累加法．
梳理　已知递推公式求通项公式的主要思路，就是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我们熟悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式．赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待定系数法、换元、迭代等．
知识点三　利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式
思考　如何用数列{an}的前n项和Sn表示an ?
答案　an＝
梳理　 当已知Sn或已知Sn与an 的关系式，可以借助上式求出通项公式，或者得到递推公式，再由递推公式求得通项公式．在应用上式时，不要忘记对n讨论．
1．数列可由其前四项完全确定．(×)
2．可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n任意赋值．(√)
3．{Sn}也是一个数列．(√)
类型一　通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
例1　由数列的前n项，写出通项公式：
(1)3，5，3，5，3，5，…；
(2)，，，，，…；
(3)2，，，，，…；
(4)，，，，，….
考点　数列的通项公式
题点　根据数列的前几项写出通项公式
解　(1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为an＝4＋(－1)n.
(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an＝.
(3)数列可化为1＋1，2＋，3＋，4＋，5＋，…，
所以它的一个通项公式为an＝n＋.
(4)数列可化为，，，，，…，
所以它的一个通项公式为an＝.
反思与感悟　这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．
跟踪训练1　由数列的前几项，写出通项公式：
(1)1，－7，13，－19，25，…；
(2)，，，，，…；
(3)1，－，，－，….
考点　数列的通项公式
题点　根据数列的前几项写出通项公式
解　(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(6n－5)．
(2)数列化为，，，，，…，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为an＝.
(3)数列化为，－，，－，…，
所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1.
类型二　利用递推公式求通项公式
命题角度1　累加、累乘
例2　(1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式；
(2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an.
考点　递推数列通项公式求法
题点　一阶线性递推数列
解　(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，
即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝(n≥2)．
当n＝1时，也满足上式，
所以通项公式为an＝.
(2)由条件知＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1，
代入上式得(n－1)个等式累乘之，
即··…·＝×××…×(n≥2)，
∴＝，又∵a1＝，∴an＝(n≥2)．
又当n＝1时，a1＝满足上式，
∴an＝.
反思与感悟　型如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：
第一步　将递推公式写成an＋1－an＝f(n)；
第二步　依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们累加起来；
第三步　得到an－a1的值，解出an；
第四步　检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．累乘法类似．
跟踪训练2　(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－1 B．an＝2n
C． D．
考点　递推数列通项公式求法
题点　一阶线性递推数列
答案　C
解析　由an＋1＝2nan，得＝2n，即··…＝21×22×23×…×2n－1(n≥2)，
当n＝1时，a1＝1满足上式．
即＝21＋2＋3＋…＋(n－1)
当n＝1时，a1＝1，满足上式．
故选C.
(2)在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1 (n＝2，3，4…)，求{an}的通项公式．
考点　递推数列通项公式求法
题点　an＋1＝pan＋f(n)型
解　∵当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，这n－1个等式累加得，
an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝，故an＝＋a1＝且a1＝1也满足该式，
∴an＝(n∈N＋)．
命题角度2　构造等差?比?数列
例3　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.
考点　递推数列通项公式求法
题点　一阶线性递推数列
解　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3.
故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.
所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3(n∈N＋)．
反思与感悟　型如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：
第一步　假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；
第二步　由待定系数法，解得t＝；
第三步　写出数列的通项公式；
第四步　写出数列{an}通项公式．
跟踪训练3　已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式．
考点　递推数列通项公式求法
题点　an＋1＝pan＋f(n)型
解　设an＋1＋x×5n＋1＝2(an＋x×5n)，①
将an＋1＝2an＋3×5n代入①式，得2an＋3×5n＋x×5n＋1＝2an＋2x×5n，等式两边消去2an，得3×5n＋x×5n＋1＝2x×5n，两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1，代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n)．②
由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，则＝2，则数列{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n(n∈N＋)．
类型三　利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式
例4　已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N＋，则an等于(　　)
A．2n＋1 B．2n
C．2n－1 D．2n－2
考点　an与Sn关系
题点　由Sn与an递推式求通项
答案　A
解析　因为Sn＝2an－4，所以Sn－1＝2an－1－4，两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，即＝2，因为S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.
反思与感悟　已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)解题步骤
第一步　利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式；
第二步　利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；
第三步　若求出当n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．如果求出的是{an}的递推公式，则问题化归为类型二．
跟踪训练4　在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N＋)，求数列{an}的通项an.
考点　an与Sn关系
题点　由Sn与an递推式求通项
解　由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，得
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an，
两式作差得nan＝an＋1－an，得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，
即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2·3n－2.
于是an＝
1．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，则{an}的通项公式是________．
考点　递推数列通项公式求法
题点　一阶线性递推数列
答案　an＝
解析　由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝，
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
2．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋，则a1＝_____，S5＝_____.
考点　an与Sn关系
题点　由Sn与an递推式求通项
答案　1　121
解析　a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，解得a1＝1，a2＝3，
再由an＋1＝2Sn＋1，即an＝2Sn－1＋1(n≥2)，得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝3a1，所以an＋1＝3an(n≥1)，S5＝＝121.
3．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
考点　an与Sn关系
题点　由Sn与an递推式求通项
答案　2n－1
解析　当n＝1时，S1＝2a1－1，
∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，
∴an＝2an－1，
∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N＋.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.证明{an}是等比数列，并求其通项公式．
考点　an与Sn关系
题点　由Sn与an递推式求通项
解　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
所以{an}是首项为，公比为的等比数列，
所以an＝n－1.
1．不论哪种类型求通项公式，都是以等差数列、等比数列为基础．
2．利用数列前若干项归纳通项公式，对无穷数列来说只能算是一种猜想，是否对所有项都适用还需论证．
3．待定系数法求通项，其本质是猜想所给递推公式可以变形为某种等差数列或等比数列，只是其系数还不知道，一旦求出系数，即意味着猜想成立，从而可以借助等差数列或等比数列求得通项．
4．使用递推公式或前n项和求通项时，要注意n的取值范围．
一、选择题
1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N＋)，则a100的值是(　　)
A．9 900 B．9 902
C．9 904 D．11 000
考点　递推数列通项公式求法
题点　an＋1＝pan＋f(n)型
答案　B
解析　a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2
＝2×＋2＝9 902.
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，则这个数列的第n项为(　　)
A．2n－1 B．2n＋1
C. D.
考点　递推数列通项公式求法
题点　一阶线性递推数列
答案　C
解析　∵an＋1＝，∴＝＋2.
∴为等差数列，公差为2，首项＝1.
∴＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝.
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(n∈N＋)，则an等于(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
考点　递推数列通项公式求法
题点　an＋1＝pan＋f(n)型
答案　A
解析　由an＋1＝an＋ln，得an＋1－an＝ln＝ln ，
∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝ln ＋ln ＋…＋ln 
＝ln
＝ln n(n≥2)，
即an－a1＝ln n，an＝ln n＋2.
当n＝1时，a1＝2也满足上式．
4．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋(n∈N＋)，则此数列的通项公式an等于(　　)
A．2n B．n(n＋1)
C. D.
考点　递推数列通项公式求法
题点　an＋1＝pan＋f(n)型
答案　C
解析　∵an＋1＝an＋，
∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，
即2n＋1an＋1－2nan＝2.
又21a1＝2，
∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴an＝.
5．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an等于(　　)
A. B.
C. D．8n
考点　递推数列通项公式求法
题点　其他递推数列问题
答案　A
解析　∵a－a＝4，
∴{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，
∴a＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又an>0，∴an＝.
6．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：
第1行
1
第2行
2　　　3
第3行
4　　　5　　　6　　　7
…
…
则第8行中的第5个数是(　　)
A．68 B．132 C．133 D．260
考点　数列的通项公式
题点　根据数列的前几项写出通项公式
答案　B
解析　前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，则第8行中的第5个数是127＋5＝132.
二、填空题
7．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为________________．
考点　an与Sn关系
题点　由Sn与an递推式求通项
答案　an＝4n－2，n∈N＋
解析　由题意得－＝，n∈N＋，n≥2，
∴{}是首项为＝＝，公差为的等差数列．
∴＝n，∴Sn＝2n2，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，n∈N＋，n≥2，
a1＝2也适合上式．
∴an＝4n－2，n∈N＋.
8．数列{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项满足关系式anbn＝(－1)n(n∈N＋)，则bn＝________.
考点　递推数列通项公式求法
题点　一阶线性递推数列
答案　
解析　易知{an}是首项为3，公比为2的等比数列，
∴an＝3×2n－1，∴bn＝＝.
9．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式an＝________.
考点　递推数列通项公式求法
题点　累乘法求通项
答案　n
解析　an＝··…···a1
＝··…···1＝n(n≥2)．
当n＝1时，a1＝1也满足上式．
10．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝________.
考点　递推数列通项公式求法
题点　一阶线性递推数列
答案　2×3n－1－1
解析　设an＋1＋A＝3(an＋A)，化简得an＋1＝3an＋2A.
又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1.
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.
∴数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3.
则an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.
11．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋(n∈N＋)，则{an}的通项公式是an＝________.
考点　an与Sn关系
题点　由Sn与an递推式求通项
答案　(－2)n－1
解析　当n＝1时，a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
故＝－2，故an＝(－2)n－1(n∈N＋)．
三、解答题
12．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
考点　an与Sn关系
题点　由Sn与an递推式求通项
解　(1)由题设可知，a1·a4＝a2·a3＝8，
又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．
由a4＝a1q3，得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)Sn＝＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.
13．已知Sn＝4－an－，求an与Sn.
考点　an与Sn关系
题点　由Sn与an递推式求通项
解　∵Sn＝4－an－，∴Sn－1＝4－an－1－，
∴Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.
∴an＝an－1＋n－1.
∴－＝2，∴2nan－2n－1an－1＝2，
∴{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1.
∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，
∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.∴an＝n·n－1，
∴Sn＝4－an－＝4－n·－＝4－.
四、探究与拓展
14．若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整数)，则它的通项公式an为________．
考点　递推数列通项公式求法
题点　其他递推数列问题
答案　an＝
解析　由题意知an>0且an≠1，将an＋1＝a两边取对数得lg an＋1＝2lg an且lg an≠0，即＝2，所以数列{lg an}是以lg a1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg an＝(lg a1)·2n－1＝即an＝
15．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－3an(n∈N＋)．
(1)求a3，a4的值；
(2)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(3)求数列{an}的通项公式．
考点　递推数列通项公式求法
题点　一阶线性递推数列
(1)解　a3＝4a2－3a1＝13，a4＝4a3－3a2＝40.
(2)证明　∵an＋2＝4an＋1－3an，
∴an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)．
又a1＝1，a2＝4，∴＝3，
则{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，3为公比的等比数列．
(3)解　由(2)得an＋1－an＝3n，
则当n≥2时，an－an－1＝3n－1，
故an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝＝.
又a1＝1适合上式，故an＝，n∈N＋.
习题课(二)　数列求和
学习目标　1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法．
知识点一　分组分解求和法
思考　求和：1＋2＋3＋…＋.
答案　1＋2＋3＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝＋
＝＋1－.
梳理　分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．
知识点二　奇偶并项求和法
思考　求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.
答案　12－22＋32－42＋…＋992－1002
＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)
＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5 050.
梳理　奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论．
知识点三　裂项相消求和法
思考　我们知道 ＝－，试用此公式求和：＋＋…＋.
答案　由＝－得＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－＝1－(n∈N＋)．
梳理　如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消法求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式：
(1)＝；
(2)＝(－)；
(3)＝；
(4)＝.
1．并项求和一定是相邻两项结合．(×)
2．裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消．(×)
类型一　分组分解求和
例1　求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)．
考点　数列前n项和的求法
题点　分组求和法
解　当x≠±1且x≠0时，
Sn＝2＋2＋…＋2
＝＋＋…＋
＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋
＝＋＋2n
＝＋2n；
当x＝±1时，Sn＝4n.
综上知，Sn＝
反思与感悟　某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
跟踪训练1　求数列1，1＋a，1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn.(其中a≠0，n∈N＋)
考点　数列前n项和的求法
题点　分组求和法
解　当a＝1时，an＝n，
于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
当a≠1时，an＝＝(1－an)．
∴Sn＝[n－(a＋a2＋…＋an)]＝＝－.
∴Sn＝
类型二　裂项相消法求和
例2　求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N＋.
考点　数列前n项和的求法
题点　裂项相消法求和
解　∵＝＝，
∴原式＝＝
＝－(n≥2，n∈N＋)．
引申探究
求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N＋.
解　∵＝＝1＋，
∴原式＝＋＋＋…＋
＝(n－1)＋
以下同例2解法．
反思与感悟　求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和法．
跟踪训练2　求和：
1＋＋＋…＋，n∈N＋.
考点　数列前n项和的求法
题点　裂项相消法求和
解　∵an＝＝＝2，
∴Sn＝2＝.
类型三　奇偶并项求和
例3　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．
考点　数列前n项和的求法
题点　并项求和法
解　当n为奇数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)
＝2·＋(－2n＋1)＝－n.
当n为偶数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.
∴Sn＝(－1)nn (n∈N＋)．
反思与感悟　通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．
跟踪训练3　已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.
考点　数列前n项和的求法
题点　并项求和法
解　当n为偶数时，令n＝2k(k∈N＋)，
Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n·(3n－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]＝3k＝n；
当n为奇数时，
令n＝2k＋1(k∈N＋)，Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝.
∴Sn＝
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为________．
考点　数列前n项和的求法
题点　分组求和法
答案　Sn＝n＋2n－1，n∈N＋
解析　∵an＝1＋2n－1，
∴Sn＝n＋＝n＋2n－1.
2．数列的前2 016项和为________．
考点　数列前n项和的求法
题点　裂项相消法求和
答案　
解析　因为＝2，
所以S2 016＝2＝2＝.
3．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是________．
考点　数列前n项和的求法
题点　并项求和法
答案　－1,0
解析　S10＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a9＋a10)＝0，S9＝S10－a10＝－1.
4．已知数列an＝则S100＝________.
考点　数列前n项和的求法
题点　分组求和法
答案　5 000
解析　由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)
＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5 000.
求数列的前n项和，一般有下列几种方法.
?1?错位相减
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
?2?分组求和
把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
?3?裂项相消
把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
?4?奇偶并项
当数列通项中出现?－1?n或?－1?n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论.
?5?倒序相加
例如，等差数列前n项和公式的推导方法.
一、选择题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝， 则S5等于(　　)
A．1 B.
C. D.
考点　数列前n项和的求法
题点　裂项相消法求和
答案　B
解析　∵an＝＝－.
∴S5＝＋＋…＋＝1－＝.
2．数列，，，…，，…的前n项和为(　　)
A. B.
C. D.
考点　数列前n项和的求法
题点　裂项相消法求和
答案　B
解析　由数列通项公式＝，
得前n项和Sn＝＝＝.
3．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，n∈N＋，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项和是(　　)
A．n(n＋2) B.n(n＋4)
C.n(n＋5) D.n(n＋7)
考点　数列前n项和的求法
题点　数列求和方法综合
答案　C
解析　∵a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n，
∴bn＝n＋2，∴{bn}的前n项和Sn＝.
4．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，n∈N＋，则S15＋S22－S31的值是(　　)
A．13 B．－76 C．46 D．76
考点　数列前n项和的求法
题点　并项求和法
答案　B
解析　S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，
S22＝－4×11＝－44，
S31＝－4×15＋a31＝－60＋121＝61，
S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
故选B.
5．如果一个数列{an}满足an＋an＋1＝H (H为常数，n∈N＋)，则称数列{an}为等和数列，H为公和，Sn是其前n项的和，已知在等和数列{an}中，a1＝1，H＝－3，则S2 017等于(　　)
A．－3 019 B．－3 018
C．－3 023 D．－3 016
考点　数列前n项和的求法
题点　并项求和法
答案　C
解析　S2 017＝a1＋(a2＋a3＋…＋a2 017)＝a1＋1 008×H＝1＋1 008×(－3)＝－3 023.
6．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为(　　)
A．11 B．99 C．120 D．121
考点　数列前n项和的求法
题点　裂项相消法求和
答案　C
解析　∵an＝＝－，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1，
令－1＝10，得n＝120.
7．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为(　　)
A．2100－101 B．299－101
C．2100－99 D．299－99
考点　数列前n项和的求法
题点　并项求和法
答案　A
解析　由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.
二、填空题
8．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，n∈N＋，则S50＝________.
考点　数列前n项和的求法
题点　并项求和法
答案　－25
解析　S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.
9．在数列{an}中，若an＝ln，n∈N＋，则Sn＝______.
考点　数列前n项和的求法
题点　裂项相消法求和
答案　ln(n＋1)
解析　方法一　an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n
Sn＝(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln(n＋1)－ln n]
＝ln(n＋1)－ln 1＝ln(n＋1)．
方法二　Sn＝ln ＋ln ＋…＋ln 
＝ln＝ln(n＋1)．
10．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________.
考点　数列前n项和的求法
题点　数列求和方法综合
答案　
解析　∵{an}为等比数列，且a1＝，a4＝－4，
∴q3＝＝－8，∴q＝－2，∴an＝(－2)n－1，
∴|an|＝2n－2，
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝＝.
11．数列{an}的通项公式an＝ncos ，n∈N＋，其前n项和为Sn，则S2 016＝________.
考点　数列前n项和的求法
题点　并项求和法
答案　1 008
解析　a1＝cos ＝0，a2＝2cos π＝－2，a3＝0，a4＝4，….
∴数列{an}的所有奇数项为0，前2 016项的所有偶数项(共1 008项)依次为－2,4，－6,8，…，
故S2 016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 014＋2 016)＝1 008.
三、解答题
12．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
考点　数列前n项和的求法
题点　裂项相消法求和
解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以
解得
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
所以an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝×
＝×，
所以Tn＝×
＝×＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
13．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
考点　数列前n项和的求法
题点　错位相减法求和
解　(1)由已知，得当n>1时，
an＝[(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－3＋22n－5…＋2)＋2＝22n－1，
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
四、探究与拓展
14．设数列{an}满足a1＝0且－＝1，n∈N＋.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记Sn＝b1＋b2＋…＋bn，
证明：Sn<1.
考点　数列前n项和的求法
题点　裂项相消法求和
(1)解　由题设－＝1知，是公差为1的等差数列，
又＝1，故＝n，∴an＝1－.
(2)证明　由(1)得bn＝＝＝－，
∴Sn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－<1.
15．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N＋.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出{bn}；
(2)求T2n.
考点　数列前n项和的求法
题点　分组求和法
解　(1)因为an·an＋1＝n，
所以an＋1·an＋2＝n＋1，
所以＝，即an＋2＝an，
因为bn＝a2n＋a2n－1，
所以＝＝＝，
所以{bn}是公比为的等比数列．
因为a1＝1，a1·a2＝，
所以a2＝，所以b1＝a1＋a2＝，
所以bn＝×n－1＝.
(2)由(1)可知an＋2＝an，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，为公比的等比数列，
所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－(n∈N＋)．
滚动训练(一)
一、选择题
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
考点　数列的分类
题点　数列的分类
答案　C
解析　A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．
2．数列{an}中，an＝n＋(－1)n，则a4＋a5等于(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
考点　数列的通项公式
题点　已知通项公式求项或项数
答案　C
解析　因为an＝n＋(－1)n，所以a4＝4＋(－1)4＝5，a5＝5＋(－1)5＝4，
所以a4＋a5＝9.故选C.
3．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的(　　)
A．第20项 B．第24项
C．第25项 D．第30项
考点　数列的通项公式
题点　判断某数是否为数列的项
答案　B
解析　由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…可得通项公式为an＝n(n＋1)，令n(n＋1)＝600，求得n＝24(负值舍去)，故选B.
4．已知{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9的值是(　　)
A．24 B．27 C．30 D．33
考点　等差数列的性质
题点　两个等差数列的性质问题
答案　D
解析　根据等差数列的性质可知a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，
故a3＋a6＋a9＝2×39－45＝33.故选D.
5．等差数列{an}中，已知a1＝－6，an＝0，公差d∈N＋，则n(n≥3)的最大值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
考点　等差数列的通项公式
题点　通项公式的综合应用
答案　C
解析　由an＝a1＋(n－1)d，得－6＋(n－1)d＝0，n＝＋1，因为d∈N＋，所以当d＝1时，n取最大值7.故选C.
6．一同学在电脑中按a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)编制一个程序生成若干个实心圆(an表示第n次生成的实心圆的个数)，并在每次生成后插入一个空心圆，当某次生成的实心圆个数达到2 016时终止，则此时空心圆个数为(　　)
A．445 B．64 C．63 D．62
考点　等差数列前n项和
题点　求等差数列前n项和
答案　C
解析　由题意可得，
a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，
将上式相加，可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
令＝2 016，解得n＝63，
由题意可得，空心圆为63个，故选C.
7．已知数列an的通项公式an＝n＋，若对任意的n∈N＋，都有an≥a3，则实数k的取值范围为(　　)
A．[6，12] B．(6，12)
C．[5，12] D．(5，12)
考点　数列的性质
题点　求数列的最大项、最小项
答案　A
解析　∵an≥a3，即n＋≥3＋，
∴－≥3－n，即k≥3－n，
当n<3时，3－n>0，k≥(3n)max＝6；
当n＝3时，an＝a3；
当n>3时，3－n<0，
k≤(3n)min＝12.
综上可知，6≤k≤12.
二、填空题
8．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.
考点　数列的递推公式
题点　由递推公式求项
答案　
解析　由an＋1＝，可得an＝1－，又a8＝2，
故a7＝，…，依次下去，得a1＝.
9．在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，m，n∈N＋，且m>n，则am＝_______.
考点　等差中项
题点　等差中项及其应用
答案　
解析　因为am＋n与am－n的等差中项是am，所以am＝.
10．已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________.
考点　数列前n项和的求法
题点　并项求和法
答案　10
解析　观察可知a1＋a2＝2，a3＋a4＝2，…，a9＋a10＝2，故a1＋a2＋a3＋…＋a10＝10.
三、解答题
11．已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
考点　等差中项
题点　等差中项及其应用
证明　因为，，成等差数列，
所以＝＋，即2ac＝b(a＋c)．
因为＋＝＝＝＝＝，
所以，，成等差数列．
12．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N＋)．
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式an.
考点　等差数列的通项公式
题点　求通项公式
(1)解　a2＝2a1＋22＝6，
a3＝2a2＋23＝20.
(2)证明　∵an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N＋)，
∴＝＋1(n≥2，且n∈N＋)，
即－＝1(n≥2，且n∈N＋)，
∴数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列．
(3)解　由(2)，得＝＋(n－1)×1＝n－，
∴an＝·2n(n∈N＋)．
13．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，求{an}的通项公式．
考点　an与Sn关系
题点　由Sn公式求an
解　因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1 ＝2(n－1)．
两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2) .
又由题设可得a1＝2，符合an＝，
从而{an}的通项公式为an＝，n∈N＋.
四、探究与拓展
14．设等差数列{an}的公差为d，若数列{}为递减数列，则(　　)
A．d>0 B．d<0 C．a1d>0 D．a1d<0
考点　等差数列综合
题点　数列与不等式综合
答案　D
解析　由数列{}为递减数列，得，再由指数函数性质得a1an－1>a1an，由等差数列的公差为d知，an－an－1＝d(n≥2)，所以a1an－1>a1an，即a1an－a1an－1<0，a1(an－an－1)<0，即a1d<0.
15．已知等差数列{an}的公差d>0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N＋)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
考点　等差数列前n项和
题点　等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解　(1)由题意知，(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
解得d＝2或d＝－5(舍去)．
所以Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2.
(2)由(1)知，am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)·(k＋1)，
所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65，
由m，k∈N＋知，2m＋k－1≥k＋1>1，
故所以
滚动训练(二)
一、选择题
1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项an等于(　　)
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
考点　等差数列的概念
题点　等差数列概念的理解应用
答案　D
解析　∵数列{an}的公差为－1，首项为2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝3－n(n∈N＋)．
2．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，此数列的第3项是(　　)
A．1 B. C. D.
考点　数列的通项公式
题点　已知通项公式求项或项数
答案　C
解析　a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.
3．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝24－n(n∈N＋)
B．an＝2n－4(n∈N＋)
C．an＝2n－3(n∈N＋)
D．an＝23－n(n∈N＋)
考点　等比数列的通项公式
题点　已知数列为等比数列求通项公式
答案　A
解析　＝＝q3＝＝，
∴q＝，∴a1＋a3＝a1(1＋q2)＝a1＝10.
∴a1＝8，∴an＝a1qn－1＝8·n－1＝24－n(n∈N＋)．
4．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若＝(n∈N＋)，则等于(　　)
A．1 B. C. D.
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　两等差数列和之比与项之比问题
答案　C
解析　＝＝＝＝＝.
5．已知等比数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1(n∈N＋)，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn等于(　　)
A．3n－1 B．3(3n－1)
C. D.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列奇偶项和的性质
答案　D
解析　新数列首项为a2，公比为9，
故Sn＝＝.
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)
A. B. C. D.
考点　数列前n项和的求法
题点　裂项相消法求和
答案　A
解析　设等差数列{an}的公差为d，
∵∴解得
∴an＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N＋)，
∴＝＝－，
∴数列的前100项和
S100＝＋＋＋…＋＝1－＝.
7．已知p>0，n∈N＋，则数列{log0.5pn}是(　　)
A．递增数列
B．递减数列
C．增减性与p的取值有关
D．常数列
考点　数列的性质
题点　判断或证明数列的单调性
答案　C
解析　an＋1－an＝log0.5pn＋1－log0.5pn＝log0.5p.
当p>1时，an＋1－an<0；
当00.
二、填空题
8．数列1＋，2＋，3＋，…，n＋，…的前n项和是________．
考点　数列前n项和的求法
题点　分组求和法
答案　＋1－(n∈N＋)
解析　1＋＋2＋＋3＋＋…＋n＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝＋
＝＋1－(n∈N＋)．
9．在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表中的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
则数列{an}的通项公式为________．
考点　等比数列的通项公式
题点　已知数列为等比数列求通项公式
答案　an＝2·3n－1，n∈N＋
解析　当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，
所以公比q＝3，故an＝2·3n－1，n∈N＋.
10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝257，且满足S2 015＝－S2 014＋1，S2 014＝－S2 013＋1，则使|an|≥1成立的n的最大值为________．
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列前n项和综合问题
答案　9
解析　由题意易知，S2 015－S2 014＝－(S2 014－S2 013)，
即a2 015＝－a2 014，
故等比数列{an}的公比为－，
故an＝257·n－1，
所以使|an|≥1成立的n的最大值为9.
三、解答题
11．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
考点　等差、等比数列综合应用
题点　等差数列基本量问题综合
解　(1)由题意知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得＝，
解得d＝1或d＝0(舍去)，
故数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N＋)．
(2)由(1)知2an＝2n，
所以由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2(n∈N＋)．
12．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋.
(1)求证：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列前n项和综合问题
(1)证明　由an＋1＝4an－3n＋1，
可得an＋1－(n＋1)＝4an－3n＋1－(n＋1)
＝4an－4n＝4(an－n)，
∴{an－n}是公比为4的等比数列．
(2)解　由(1)可得an－n＝(a1－1)·4n－1＝4n－1，
∴an＝4n－1＋n，
∴Sn＝＋＝＋(n∈N＋)．
13．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
考点　错位相减法求和
题点　错位相减法求和
解　(1)由a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，
得a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝(n≥2，n∈N＋)，
两式相减，得3n－1an＝－＝(n≥2，n∈N＋)，
即an＝(n≥2，n∈N＋)，
当n＝1时也满足上式，
故an＝(n∈N＋)．
(2)由(1)知，bn＝n·3n，
所以Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，①
3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.②
由①－②，得－2Sn＝3＋32＋33＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1，
所以Sn＝·3n＋1－·3n＋1＋(n∈N＋)．
14．某新设备M在第1年可以生产价值为120万元的产品，在使用过程中，由于设备老化及维修等原因使得M的生产能力逐年减少，从第2年到第6年，每年M生产的产品价值比上一年减少10万元，从第7年开始，每年M生产的产品价值为上一年的75%.
(1)求第n年M生产的产品价值an的表达式；
(2)若设备M从购买回来后马上使用，问连续正常使用10年可以生产价值为多少万元的产品？(结果保留两位小数)
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和应用题
解　(1)当n≤6时，an＝120－10(n－1)＝130－10n；
当n≥7时，
因为a6＝70，所以an＝70·n－6.
因此，第n年M生产的产品价值an的表达式为
an＝
(2)×6＋＝570＋210×≈713.55(万元)，
故可以生产价值约为713.55万元的产品．
15．正项数列{an}满足a－(2n－1)an－2n＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比数列其他综合问题
解　(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，
得(an－2n)(an＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以an＝2n.
(2)由an＝2n，bn＝，
得bn＝＝.
所以Tn＝＝＝.
章末复习
学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题．
1．等差数列和等比数列的基本概念与公式
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
递推公式
an＋1－an＝d
＝q
中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时A叫作a与b的等差中项，并且A＝
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项，且G＝±
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
前n项和公式
Sn＝＝na1＋d
当q≠1时，Sn＝＝，当q＝1时，Sn＝na1
性质
am，an的关系
am－an＝(m－n)d
＝qm－n
m，n，s，t∈N＋，m＋n＝s＋t
am＋an＝as＋at
aman＝asat
{kn}是等差数列，且kn∈N＋
{}是等差数列
{}是等比数列
n＝2k－1，k∈N＋
S2k－1＝(2k－1)·ak
a1a2·…·a2k－1＝a
判断方法
利用定义
an＋1－an是同一常数
是同一常数
利用中项
an＋an＋2＝2an＋1
anan＋2＝a
利用通项公式
an＝pn＋q，其中p，q为常数
an＝abn(a≠0，b≠0)
利用前n项和公式
Sn＝an2＋bn (a，b为常数)
Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数)
2．数列中的基本方法和思想
(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；
(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法；
(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想；
(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想．
1．等差数列、等比数列的很多性质是相似的．(√)
2．一般数列问题通常要转化为等差数列、等比数列来解决．(√)
类型一　方程思想求解数列问题
例1　设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比基本量问题综合
解　(1)由已知得解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，
又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.
解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，…，
由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln 2.
故Tn＝ln 2.
反思与感悟　在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．
跟踪训练1　记等差数列的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比基本量问题综合
解　设数列的公差为d，
依题设有
即
解得或
因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N＋.
类型二　转化与化归思想求解数列问题
例2　在数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
(1) 设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；
(2) 求数列{an}的通项公式及前n项和的公式．
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比数列其他综合问题
(1)证明　 ∵Sn＋1＝4an＋2，①
∴当n≥2，n∈N＋时，Sn＝4an－1＋2.②
①－②得an＋1＝4an－4an－1.
方法一　对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得
＝2·－，
即＋＝2·，
即cn＋1＋cn－1＝2cn，
∴数列{cn}是等差数列．
由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，
∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝，
∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
方法二　∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，
令bn＝an＋1－2an，
则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝3·2n－1，
∵cn＝，∴cn＋1－cn＝－＝＝＝＝，c1＝＝，
∴ {cn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)解　由(1)可知，数列是首项为，公差为的等差数列，
∴＝＋(n－1)＝n－，an＝(3n－1)·2n－2是数列{an}的通项公式．
设Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2，
则2Sn＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n－1)·2n－1，
∴Sn＝2Sn－Sn
＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1
＝－1－3×＋(3n－1)·2n－1
＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1＝2＋(3n－4)·2n－1.
∴数列{an}的通项公式为an＝(3n－1)·2n－2，前n项和公式为Sn＝2＋(3n－4)·2n－1，n∈N＋.
反思与感悟　由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．
跟踪训练2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)．
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比数列其他综合问题
(1)解　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，
∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.
(2)证明　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2
＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2
＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．
∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
类型三　函数思想求解数列问题
命题角度1　借助函数性质解数列问题
例3　已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．
考点　数列综合问题
题点　数列与不等式的综合
解　(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，
整理得2a1d＝d2.
∵a1＝1，d>0，∴d＝2.
∴an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)∵bn＝＝＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
假设存在整数t满足Sn>总成立，
又Sn＋1－Sn＝－＝>0，
∴数列{Sn}是递增的．
∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.
又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.
反思与感悟　数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1，2，3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．
跟踪训练3　已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N＋)，求数列{Tn}最大项的值与最小项的值．
考点　数列综合问题
题点　数列与不等式的综合
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，
即4a5＝a3，于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为
an＝×n－1＝(－1)n－1·.
(2)由(1)得Sn＝1－n＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1故0当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，
所以＝S2≤Sn<1，
故0＞Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N＋，
总有－≤Sn－≤且Sn－≠0.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.
命题角度2　以函数为载体给出数列
例4　已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，n∈N＋.
(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；
(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值．
考点　数列综合问题
题点　数列与函数的综合
解　(1)由an＋1＝f(an)，得an＋1＝2－|an|，
∵a1＝0，∴a2＝2，a3＝0，a4＝2.
(2)∵a1，a2，a3成等比数列，∴a3＝＝2－|a2|，
∴a＝a1·(2－|a2|)，且a2＝2－|a1|，
∴(2－|a1|)2＝a1(2－|2－|a1||)，即(2－a1)2＝a1(2－|2－a1|)．
下面分情况讨论：
①当2－a1≥0时，(2－a1)2＝a1[2－(2－a1)]＝a，
解得a1＝1，且a1≤2；
②当2－a1<0时，(2－a1)2＝a1[2－(a1－2)]＝a1(4－a1)，即2a－8a1＋4＝0，即a－4a1＋4＝2，即(a1－2)2＝2，解得a1＝2＋，且a1＞2，
综上，a1＝1或a1＝2＋.
反思与感悟　以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝，数列{an}满足
a1＝1，an＋1＝f?，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.
考点　数列综合问题
题点　数列与函数的综合
解　(1)∵an＋1＝f?＝＝＝an＋，
∴an＋1－an＝，∴{an}是以为公差的等差数列．
又a1＝1，∴an＝n＋.
(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－(a2＋a4＋…＋a2n)
＝－·＝－(2n2＋3n)．
1．设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和(n∈N＋)，且S＝9S2，S4＝4S2，则数列{an}的通项公式是________．
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比基本量问题综合
答案　an＝36(2n－1)
解析　设等差数列{an}的公差为d，
由前n项和的概念及已知条件得
a1＝9(2a1＋d)，①
4a1＋6d＝4(2a1＋d )．②
由②得d＝2a1，代入①有a＝36a1，
解得a1＝0或a1＝36.
又d≠0，所以a1＝0不符合题意，舍去．
因此a1＝36，d＝72，
故数列{an}的通项公式为
an＝36＋(n－1)·72＝72n－36＝36(2n－1)．
2．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n(n＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为_______；数列{nan}中数值最小的项是第________项．
考点　数列综合问题
题点　数列与函数的综合
答案　an＝3n－16　3
解析　利用an＝求得an＝3n－16.
则nan＝3n2－16n＝3，
所以当n＝3时，nan的值最小．
3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N＋)，则a2 018的值为________．
考点　数列综合问题
题点　数列与函数的综合
答案　4 035
解析　根据题意，不妨设f(x)＝x，则a1＝f(0)＝1，
∵f(an＋1)＝，∴an＋1＝an＋2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1，∴a2 018＝4 035.
1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．
2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
一、选择题
1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么(　　)
A．它的首项是－2，公差是3
B．它的首项是2，公差是－3
C．它的首项是－3，公差是2
D．它的首项是3，公差是－2
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比基本量问题综合
答案　A
解析　由题意得即
解得a1＝－2，d＝3.
2．等比数列{an}中，已知前4项和为1，前8项之和为17，则此等比数列的公比q为(　　)
A．2 B．－2
C．2或－2 D．2或－1
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比基本量问题综合
答案　C
解析　由题意可知q≠1，
S4＝＝1，①
S8＝＝17，②
②÷①，得1＋q4＝17，q4＝16.
q＝±2.
3．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋t，则t＋a3的值为(　　)
A．1 B．－1 C．17 D．18
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比基本量问题综合
答案　C
解析　a1＝S1＝3＋t，
由a1＋a2＝9＋t，得a2＝6，
由a1＋a2＋a3＝27＋t，得a3＝18，
由a1a3＝a，得t＝－1，故t＋a3＝17.
4．已知等差数列前n项和为Sn，且S13<0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为(　　)
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
考点　数列综合问题
题点　数列与不等式的综合
答案　C
解析　由S13＝13a7，S12＝6(a6＋a7)及S13<0，S12＞0，
知a7<0，a6＋a7＞0，即a6＞－a7＞0，故|a6|＞|a7|.
又等差数列为递减数列，故|a1|＞|a2|＞…＞|a6|＞|a7|，|a7|<|a8|<…，
故|a7|最小．
5．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于(　　)
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比数列其他综合问题
答案　C
解析　依题意a2＝a1q＝2，a5＝a1q4＝，
两式相除可求得q＝，a1＝4，
又因为数列{an}是等比数列，所以{anan＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，
根据等比数列前n项和公式可得
原式＝＝(1－4－n)．
6．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝前n项的和为(　　)
A．4 B．4
C．1－ D.－
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比数列其他综合问题
答案　A
解析　∵an＝＝＝，
∴bn＝＝＝4.
∴Sn＝4＝4.
二、填空题
7．数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n＋1，n∈N＋，则它的通项公式为________．
考点　数列综合问题
题点　数列其他综合问题
答案　an＝
解析　当n＝1时，a1＝S1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2.
故数列{an}的通项公式为an＝
8．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N＋.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比基本量问题综合
答案　110
解析　设{an}的首项，公差分别是a1，d，
则
解得a1＝20，d＝－2，
∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.
9．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n
(n∈N＋)，则S100＝________.
考点　数列前n项和的求法
题点　分组求和法
答案　2 600
解析　由a1＝1，a2＝2且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)知，
当n为奇数时，an＋2－an＝0；
当n为偶数时，an＋2－an＝2.
所以前100项中，奇数项为常数项1，偶数项构成以
a2＝2为首项，2为公差的等差数列．
所以S100＝50×2＋×2＋50×1＝2 600.
10．已知数列{an}中，a1＝1，且P(an，an＋1)(n∈N＋)在直线x－y＋1＝0上，若函数f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋，且n≥2)，则函数f(n)的最小值为________．
考点　数列综合问题
题点　数列与函数的综合
答案　
解析　由题意得an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，
∴{an}的首项为1，公差为1，
∴an＝n，∴f(n)＝＋＋…＋，
∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋…＋－
＝＋－＝－>0，
∴{f(n)}(n∈N＋，n≥2)为递增数列，
∴f(n)min＝f(2)＝＋＝＋＝.
三、解答题
11．在等比数列{an}中，an>0 (n∈N＋)，公比q∈(0，1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值．
考点　数列综合问题
题点　数列与不等式的综合
解　(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a＋2a3a5＋a＝25，
又an>0，∴a3＋a5＝5.
又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4，而q∈(0，1)，
∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
∴q＝，a1＝16，∴an＝16×n－1＝25－n.
(2)bn＝log2an＝5－n，
∴bn＋1－bn＝－1，
∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，
∴Sn＝，∴＝，
∴当n≤8时，>0；
当n＝9时，＝0；
当n>9时，<0.
∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大．
12．求数列1，3a，5a2，7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．
考点　数列前n项和的求法
题点　错位相减法求和
解　(1)当a＝0时，Sn＝1.
(2)当a＝1时，数列变为1，3，5，7，…，(2n－1)，
则Sn＝＝n2.
(3)当a≠1且a≠0时，
有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an，②
①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
∴(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)
＝1－(2n－1)an＋2·＝1－(2n－1)an＋，
又1－a≠0，
∴Sn＝＋.
综上，Sn＝
13．已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1 (n≥2且n∈N＋)．
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(3)求通项公式an.
考点　递推数列通项公式求法
题点　an＋1＝pan＋f(n)型
解　(1)∵a1＝5，
∴a2＝2a1＋22－1＝13，
a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)假设存在实数λ，使得数列为等差数列．
设bn＝，由{bn}为等差数列，可得2b2＝b1＋b3.
∴2×＝＋，
即＝＋，解得λ＝－1.
又bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列．
(3)由(2)知，数列为首项是2，公差是1的等差数列，
∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∴an＝(n＋1)2n＋1.
四、探究与拓展
14．已知Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前n项和，且a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5，an＝，则当Tn取得最大值时n的值为(　　)
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
考点　数列综合问题
题点　数列与不等式的综合
答案　C
解析　由Sn＝eSn＋1－e5，得Sn－1＝eSn－e5(n≥2)，两式相减，得an＝ean＋1(n≥2)，易知a2＝e3，＝＝，所以{an}是首项为e4，公比为的等比数列，所以an＝e5－n.因为an＝，所以bn＝5－n.由即解得4≤n≤5，所以当n＝4或n＝5时，Tn取得最大值，故选C.
15．设n∈N＋，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标．
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥.
考点　数列综合问题
题点　数列与函数的综合
(1)解　y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．
令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.
(2)证明　由题设和(1)中的计算结果知
Tn＝xx…x＝22…2.
当n＝1时，T1＝.
当n≥2时，因为x＝2＝>＝＝，
所以Tn>2×××…×＝.
综上可得，对任意的n∈N＋，均有Tn≥.
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1等于(　　)
A．2 B．4
C. D．2
考点　数列的性质
题点　由数列的单调性求参数范围
答案　B
解析　由已知得a1q2＝1，a1q＋a1q3＝，
∴＝，q2－q＋1＝0，
∴q＝或q＝2(舍)，
∴a1＝4.
2．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　等差数列公差有关问题
答案　B
解析　∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，
∴d＝a4－a3＝7－5＝2.
3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3·a11＝16，则a5等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
考点　等比数列的性质
题点　利用项数的规律解题
答案　A
解析　∵a3·a11＝a＝16，∴a7＝4，∴a5＝＝＝1.
4．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是(　　)
A．S7 B．S8 C．S13 D．S15
考点　等差数列前n项和
题点　等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案　C
解析　∵a2＋a8＋a11＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋10d)＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)为常数，
∴a1＋6d为常数．
∴S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)也为常数．
5．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11等于(　　)
A．58 B．88 C．143 D．176
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和与中间项的关系
答案　B
解析　S11＝＝＝＝88.
6．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(　　)
A．81 B．120 C．168 D．192
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　B
解析　由a5＝a2q3得q＝3，
∴a1＝＝3，S4＝＝＝120.
7．数列{(－1)n·n}的前2 017项的和S2 017为(　　)
A．－2 015 B．－1 009 C．2 015 D．1 009
考点　数列前n项和的求法
题点　并项求和法
答案　B
解析　S2 017＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 016－2 017
＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 016－2 017)
＝(－1)＋(－1)×1 008＝－1 009.
8．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于(　　)
A．1或2 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比基本量问题综合
答案　C
解析　由题意得2a4＝a6－a5，
即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，
∴q2－q－2＝0，即(q－2)(q＋1)＝0.
∴q＝－1或q＝2.
9．一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数，则它的公差是(　　)
A．－2 B．－3 C．－4 D．－6
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　等差数列公差有关问题
答案　C
解析　由题意，知a6≥0，a7<0.
∴
∴－≤d<－.
∵d∈Z，∴d＝－4.
10．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是(　　)
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和有关的不等式问题
答案　C
解析　由S50.
由S6＝S7，得a7＝0，所以d<0.
由S7>S8?a8<0，
因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0，即S911．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an等于(　　)
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n－1 D．2(n－1)
考点　递推数列通项公式求法
题点　一阶线性递推数列
答案　A
解析　等式两边加1，an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1.
12．某人为了观看2018年世界杯足球赛，从2014年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2018年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为(　　)
A．a(1＋p)4 B．a(1＋p)5
C.[(1＋p)4－(1＋p)] D.[(1＋p)5－(1＋p)]
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和的应用题
答案　D
解析　设自2015年起每年到5月1日存款本息合计为a1，a2，a3，a4.
则a1＝a＋a·p＝a(1＋p)，
a2＝a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，
a3＝a2(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)，
a4＝a3(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)4＋(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]＝a·
＝[(1＋p)5－(1＋p)]．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝_____.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　－1
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1＝2·3n－1.
由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，
所以k＝－1.
14．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，n∈N＋，则此数列的通项公式an＝________.
考点　递推数列通项公式求法
题点　其他递推数列问题
答案　2n－1
解析　当n＝1时，S1＝2a1－1，
即a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，
∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N＋.
15．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　
解析　设三边为a，aq，aq2(q>1)，
则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.
较小锐角记为θ，则sin θ＝＝.
16．定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个量，那么这个列叫作等差列，这个量叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以a1＝(1,3)为首项，公差为d＝(1,0)的等差向量列，若向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N＋)垂直，则＝________.
考点　数列综合问题
题点　数列其他综合问题
答案　
解析　易知an＝(1,3)＋(n－1,0)＝(n,3)，因为向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N＋)垂直，所以＝－，所以＝···＝×××＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的公比；
(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
考点　等差等比数列综合应用
题点　等差等比数列其他综合问题
(1)解　设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，
由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0，得q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)，所以q＝－2.
(2)证明　方法一　对任意k∈N＋，
Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，
所以对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
方法二　对任意k∈N＋，2Sk＝，
Sk＋2＋Sk＋1＝＋＝，
则2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)
＝－
＝[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]
＝(q2＋q－2)＝0，
因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
18．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，a3＝5，S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
考点　数列前n项和的求法
题点　分组求和法
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得解得
所以an＝2n－1.
(2)因为bn＝2an＋2n＝×4n＋2n，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)
＝＋n2＋n＝×4n＋n2＋n－.
19．(12分)已知数列{log2(an－1)}(n∈N＋)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<1.
考点　数列综合问题
题点　数列与不等式的综合
(1)解　设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.
由a1＝3，a3＝9，
得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.
所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，
即an＝2n＋1.
(2)证明　因为＝＝，
所以＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＝1－<1.
20．(12分)某商店采用分期付款的方式促销一款价格为每台6 000元的电脑．商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息．
(1)已知欠款的月利率为0.5%，到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？
(2)假设货主每月还商店a元，写出在第i(i＝1,2，…，36)个月底还款后，货主对商店欠款数的表达式．
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和的应用题
解　(1)因为购买电脑时，货主欠商店的货款，
即6 000×＝4 000(元)，
又月利率为0.5%，到第一个月底的欠款数应为
4 000(1＋0.5%)＝4 020(元)．
(2)设第i个月底还款后的欠款数为yi，则有
y1＝4 000(1＋0.5%)－a，
y2＝y1(1＋0.5%)－a
＝4 000(1＋0.5 %)2－a(1＋0.5%)－a，
y3＝y2(1＋0.5%)－a
＝4 000(1＋0.5%)3－a(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a，
…，
yi＝yi－1(1＋0.5%)－a＝4 000(1＋0.5%)i－a(1＋0.5%)i－1－a(1＋0.5%)i－2－…－a，
由等比数列的求和公式，得
yi＝4 000(1＋0.5%)i－a(i＝1,2，…，36)．
21．(12分)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
考点　递推数列通项公式求法
题点　an＋1＝pan＋f(n)型
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n，n∈N＋.
(2)设数列的前n项和为Sn，
即Sn＝a1＋＋…＋，①
＝＋＋…＋.②
所以，当n＞1时，①－②得
＝a1＋＋…＋－
＝1－－
＝1－－＝.
所以Sn＝，当n＝1时也成立．
综上，数列的前n项和Sn＝，n∈N＋.
22．(12分)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
考点　数列综合问题
题点　数列与不等式的综合
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，
则由已知可得
解得或
故an＝·3n－1或an＝－5·(－1)n－1，n∈N＋.
(2)设Sm＝＋＋…＋，
若an＝·3n－1，则＝n－1，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
从而Sm＝＝·<<1.
若an＝－5·(－1)n－1，
则＝－(－1)n－1，
故数列是首项为－，公比为－1的等比数列，
从而Sm＝
故Sm<1.
综上，对任何正整数m，总有Sm<1.
故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．

§1　数　列
1.1　数列的概念
学习目标　1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
知识点一　数列及其有关概念
思考1　数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案　 不是．顺序不一样．
思考2　数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
答案　 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．
梳理　(1)按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．
(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中数列的第1项a1，也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项．
知识点二　通项公式
思考　数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
答案　100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100.
梳理　如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．数列的通项公式就是相应函数的解析式．不是所有的数列都能写出通项公式．
1．同一个数在一个数列中只能出现一次．(×)
2．如果已知数列的通项公式，则可以写出该数列的任意一项．(√)
类型一　由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－，，－；
(2)，2，，8；
(3)9,99,999,9 999；
(4)2,0,2,0.
考点　数列的通项公式
题点　根据数列的前几项写出通项公式
解　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋.
(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N＋.
反思与感悟　要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系．
跟踪训练1　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－，，－，；
(2)，，，；
(3)7,77,777,7 777.
考点　数列的通项公式
题点　根据数列的前几项写出通项公式
解　(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9 999，
即×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)，
即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)，
所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N＋.
类型二　数列的通项公式的应用
例2　已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N＋.
(1)写出它的第10项；
(2)判断是不是该数列中的项．
考点　数列的通项公式
题点　判断某数是否为数列的项
解　(1)a10＝＝.
(2)令＝，化简得8n2－33n－35＝0，
解得n＝5.
当n＝5时，a5＝－≠.
所以不是该数列中的项．
引申探究
对于本例中的{an}．
(1)求an＋1；(2)求a2n.
解　(1)an＋1＝＝.
(2)a2n＝＝.
反思与感悟　在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．
跟踪训练2　已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，那么是这个数列的第___项．
考点　数列的通项公式
题点　已知通项公式求项或项数
答案　10
解析　∵＝，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
1．下列关于数列的说法错误的是(　　)
A．按一定次序排列的一列数叫作数列
B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f(n)表示数列的通项公式
C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D．每个数列都有通项公式
考点　数列的概念
题点　数列的概念的理解
答案　D
解析　不是每个数列都有通项公式．
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝n，n∈N＋ B．an＝n＋1，n∈N＋
C．an＝n＋2，n∈N＋ D．an＝2n，n∈N＋
考点　数列的通项公式
题点　根据数列的前几项写出通项公式
答案　B
解析　这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N＋.
3．已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N＋，则a1＝________；an＋1＝________.
考点　数列的通项公式
题点　已知通项公式求项或项数
答案　1　
解析　a1＝＝1，
an＋1＝＝.
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
一、选择题
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，则该数列的前4项依次为(　　)
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.，0，，0 D．2,0,2,0
考点　数列的通项公式
题点　已知通项公式求项或项数
答案　A
解析　当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N＋，则－8是该数列的(　　)
A．第5项
B．第6项
C．第7项
D．非任何一项
考点　数列的通项公式
题点　已知通项公式求项或项数
答案　C
解析　解n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
考点　数列的通项公式
题点　根据数列的前几项写出通项公式
答案　C
解析　令n＝1,2,3,4，代入A，B，C，D检验，即可排除A，B，D，故选C.
4．数列，，，，…的第10项是(　　)
A. B. C. D.
考点　数列的通项公式
题点　已知数列的前几项求项或项数
答案　C
解析　由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为
an＝，n∈N＋，
当n＝10时，a10＝＝.
5．已知数列，，，，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中是该数列中某一项值的数应当有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点　数列的通项公式
题点　判断某数是否为数列的项
答案　C
解析　数列，，，，…的通项公式为
an＝，0.94＝＝，0.96＝＝，
0.98＝＝，0.99＝，
，，都在数列中，故有3个．
6．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　)
A．an＝n，n∈N＋ B．an＝，n∈N＋
C．an＝，n∈N＋ D．an＝n2，n∈N＋
考点　数列的通项公式
题点　根据图形写出通项公式
答案　C
解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，
∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
7．设an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么an＋1－an等于(　　)
A. B.
C.＋ D.－
考点　数列的通项公式
题点　已知通项公式求项或项数
答案　D
解析　∵an＝＋＋＋…＋
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
8．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式an等于(　　)
A.(10n－1) B.(10n－1)
C. D.(10n－1)
考点　数列的通项公式
题点　根据数列的前几项写出通项公式
答案　C
解析　代入n＝1检验，排除A，B，D，故选C.
二、填空题
9．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，_______，，….
考点　数列的通项公式
题点　已知数列的前几项求项或项数
答案　3
解析　由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3.
10．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是________．
考点　数列的通项公式
题点　根据数列的前几项写出通项公式
答案　an＝2n＋1，n∈N＋
11．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
考点　数列的通项公式
题点　已知通项公式求项或项数
答案　17
解析　由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．
∴323是数列{n(n＋2)}的第17项．
三、解答题
12．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
考点　数列的通项公式
题点　判断某数是否为数列的项
解　(1)设an＝kn＋b，k≠0.
则解得
∴an＝4n－2，n∈N＋.
(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N＋.
∴88不是数列{an}中的项．
13．已知an＝，则这个数列有多少项是整数？将这些整数从小到大排成一个新的数列{bn}，求b2.
考点　数列的通项公式
题点　已知通项公式求项或项数
解　an＝2 015＋，∵n∈N＋，an∈Z，
∴n＝1,2,3,4,6,12，
故这个数列共有6项是整数，
∴{bn}的各项依次为2 016,2 017,2 018,2 019,2 021,2 027，
∴b2＝2 017.
四、探究与拓展
14．已知数列{an}的通项公式是an＝
则a3＋＝________.
考点　数列的通项公式
题点　已知通项公式求项或项数
答案　
解析　a3＝2－3＝，a4＝＝，
∴＝，∴a3＋＝.
15．数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项 ?
考点　数列的通项公式
题点　判断某数是否为数列的项
解　(1)0是{an}中的第21项，
1不是{an}中的项．
(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，
即am＝am＋1，解得m＝10.
所以数列{an}中存在连续的两项，第10项与第11项相等．
1.2　数列的函数特性
学习目标　1.理解数列的几种表示方法.2.能从函数的观点研究数列．
知识点一　数列的表示方法
思考　以数列2，4，6，8，10，12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
答案　对数列2，4，6，8，10，12，…可用以下几种方法表示：
①通项公式法：an＝2n.
②递推公式法：
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图像法：
梳理　 数列的表示方法有通项公式法、图像法、列表法、递推公式法．
知识点二　数列的增减性
思考　观察知识点一中数列2，4，6，8，…的图像，随着n的增大，an有什么特点？
答案　图像上升，an随n增大而增大．
梳理　一般地，按项的增减趋势分类，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列；从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an＋11．若an＝f(n)是递增数列，则y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(×)
2．每个数列都可从通项公式、图像、列表等方法中任选一个表示．(×)
类型一　数列的表示法
例1　图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像．
考点　数列的表示方法
题点　数列的表示方法
解　如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋，个数依次为1，3，9，27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1，n∈N＋.在直角坐标系中的图像为一些孤立的点(如图所示)．
反思与感悟　求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图像法则一如既往地直观．
跟踪训练1　某种练习本单价5元，小王买了n本(n∈N＋，n≤5)该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}．
考点　数列的表示方法
题点　数列的表示方法
解　通项公式法：an＝5n(n∈N＋，n≤5)．
列表法：
n
1
2
3
4
5
an
5
10
15
20
25
图像法：
类型二　数列的单调性
命题角度1　判定数列的单调性
例2　已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，试判断该数列的增减性．
考点　数列的性质
题点　判断或证明数列的单调性
解　{an}为递减数列，理由如下：
an＋1－an＝－
＝
＝＝.
∵f(x)＝－2＋在[1，＋∞)上是减函数，
∴当n≥1时，f(n)≤f(1)＝－1<0.
又(n＋1)2＋1>0，n2＋1>0，
∴an＋1－an<0，
∴{an}是递减数列．
反思与感悟　判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为①作差；②变形；③定号；④结论．作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系．
跟踪训练2　已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，写出其前5项，并判断数列{an}的单调性．
考点　数列的性质
题点　判断或证明数列的单调性
解　当n＝1，2，3，4，5时，an依次为，，，，，
an＋1－an＝－＝.
∵函数f(x)＝－x2－x＋9＝－2＋
在[1，＋∞)上是减少的，
又f(1)＝7>0，f(2)＝3>0，f(3)＝－3<0，
∴当n＝1，2时，an＋1>an，
当n≥3，n∈N＋时，an＋1即a1a4>a5>….
∴数列{an}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的．
命题角度2　已知数列的单调性求参数范围
例3　已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是递增数列，求实数k的取值范围．
考点　数列的性质
题点　已知数列的单调性求参数范围
解　由{an}是递增数列，得
an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)
＝2n＋1＋k>0对于任意n∈N＋恒成立．
∵f(x)＝2x＋1＋k在[1，＋∞)上为增函数，
∴2n＋1＋k>0对任意n∈N＋恒成立等价于
2×1＋1＋k>0，
∴k>－3，
∴实数k的取值范围是(－3，＋∞)．
反思与感悟　实际上，当－3跟踪训练3　已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1.则实数k的取值范围是______．
考点　数列的性质
题点　已知数列的单调性求参数范围
答案　(0，＋∞)
解析　∵{an}单调递增，
∴an＋1－an＝[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k>0，
∴k>0.
类型三　求数列的最大项、最小项
例4　已知an＝(n∈N＋)，试问数列中有没有最大项？如果有，求出最大项；如果没有，说明理由．
考点　数列的性质
题点　求数列的最大项、最小项
解　∵an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n(n＋1)＝n＋1·，
∴当n≤7时，an＋1－an>0；
当n＝8时，an＋1－an＝0；
当n≥9时，an＋1－an<0.
∴a1a10>a11>a12>….
故数列{an}存在最大项，且最大项为a8＝a9＝.
反思与感悟　数列中最大项与最小项的两种求法
(1)若求最大项an，则an应满足
若求最小项an，则an应满足
(2)将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件．
跟踪训练4　在数列{an}中，an＝(n＋1)n(n∈N＋)．
(1)求证：数列{an}先递增，后递减；
(2)求数列{an}的最大项．
考点　数列的性质
题点　求数列的最大项、最小项
(1)证明　令>1(n≥2)，
即>1，
整理得>，解得n<10.
令>1，即>1，
整理得>，
解得n>9.
所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，
即数列{an}先增后减．
(2)解　由(1)知，a9＝a10＝最大．
1．已知数列{an}的通项公式为an＝n·n，n∈N＋，则数列{an}是(　　)
A．递增数列　B．递减数列　C．摆动数列　D．先递增再递减的数列
考点　数列的性质
题点　判断或证明数列的单调性
答案　D
解析　an＋1－an＝(n＋1)·n＋1－n·n＝n＝n.
∴当n≤3时，an＋1－an≥0，
当n>3时，an＋1－an<0，
故选D.
2．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
考点　数列的通项公式
题点　根据图形写出通项公式
答案　an＝2n＋1，n∈N＋
解析　a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，
a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N＋.
3．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为________．(填序号)
①an＝－2n＋3；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝；④an＝(－1)n.
考点　数列的性质
题点　判断或证明数列的单调性
答案　①③
4．数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2 018＝______.
考点　数列的递推公式
题点　周期数列问题
答案　－
解析　∵x1＝1，∴x2＝－，∴x3＝1，
∴数列{xn}的周期为2，
∴x2 018＝x2＝－.
1．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法：(1)图像法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．
3．数列的单调性是通过比较{an}中任意相邻两项an和an＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决．
4．数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N＋(或它的有限子集)．
一、选择题
1．已知数列{an}满足a1>0，2an＋1＝an，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．以上都不对
考点　数列的性质
题点　判断或证明数列的单调性
答案　B
解析　∵a1>0，an＋1＝an，
∴an>0，∴＝<1，
∴an＋12．已知an＝3n－2，则数列{an}的图像是(　　)
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
考点　数列的表示法
题点　数列的表示法
答案　D
解析　∵an＝3n－2，n∈N＋，∴数列{an}的图像是一群孤立的点．
3．已知数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则数列中最大项的值是(　　)
A．107 B．108
C．108 D．109
考点　数列的性质
题点　求数列的最大项、最小项
答案　B
解析　由已知得
an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋108，
由于n∈N＋，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108.∴数列{an}中的最大值为a7＝108.
4．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是(　　)
A．a1 B．a9
C．a10 D．不存在
考点　数列的性质
题点　求数列的最大项、最小项
答案　A
解析　∵a1>0且an＋1＝an，
∴an>0，＝<1，
∴an＋1∴此数列为递减数列，故最大项为a1.
5．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(　　)
A．18 B．19 C．20 D．21
考点　数列的性质
题点　求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案　C
解析　a1＋a3＋a5＝105＝3a3，
∴a3＝35，
a2＋a4＋a6＝99＝3a4，∴a4＝33，
∴d＝＝－2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n，
令an>0，∴41－2n>0，∴n<，
∴n≤20.
6．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，则数列{an}(　　)
A．有最大项，没有最小项
B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项
D．既没有最大项又没有最小项
考点　数列的性质
题点　求数列的最大项、最小项
答案　C
解析　令t＝n－1，t∈(0，1]，t是关于n的减函数，则an＝t2－t＝2－，由复合函数的单调性知an既有最大项又有最小项．
二、填空题
7．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则a2 018＝________.
考点　数列的递推公式
题点　周期数列问题
答案　－
解析　∵a2＝－＝－，a3＝－＝2，a4＝－＝a2，
∴{an}的周期为2，∴a2 018＝a2＝－.
8．若数列{an}的通项公式为an＝(k>0，且k为常数)，则该数列是________数列．(填“递增”“递减”)
考点　数列的性质
题点　判断或证明数列的单调性
答案　递减
解析　＝·＝<1.
∵k>0，∴an>0，
∴an＋19．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实数λ的最小值是________．
考点　数列的性质
题点　已知数列的单调性求参数的值或取值范围
答案　－3
解析　an≤an＋1?n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)
?λ≥－(2n＋1)，n∈N＋?λ≥－3.
10．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n个图中有________个点．
考点　数列的通项公式
题点　根据图形写出通项公式
答案　n2－n＋1
解析　图(1)只有1个点，无分支；
图(2)除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点；
图(3)除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；
图(4)除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点；
….
猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，
故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
三、解答题
11．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝.
考点　数列的表示法
题点　数列的表示法
解　(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.
图像如图1.
(2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.
图像如图2.
12．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，请回答下列问题：
(1)这个数列共有几项为负？
(2)这个数列从第几项开始递增？
(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
考点　数列的通项公式
题点　已知通项公式求项或项数
解　(1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)，
所以当0所以数列{an}共有9项为负．
(2)因为an＋1－an＝2n－7，
所以当an＋1－an>0时，n>，
故从第4项开始数列{an}递增．
(3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，
根据二次函数的性质知，
当n＝4时，an取得最小值－36，
即数列中有最小值，最小值为－36.
13．已知数列，n∈N＋.
(1)求证：该数列是递增数列；
(2)在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
考点　数列的分类
题点　数列的分类
(1)证明　∵an＝
＝＝
＝＝1－，
∴an＋1－an＝－
＝＝＞0，n∈N＋，
∴{an}是递增数列．
(2)解　令∴∴
∴∴当且仅当n＝2时，上式成立，
故在区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝.
四、探究与拓展
14．由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则b6的值是(　　)
A．9 B．17
C．33 D．65
考点　数列的新定义问题
题点　数列的新定义问题
答案　C
解析　∵bn＝abn－1，∴b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33.
15．数列{bn}的通项公式为bn＝nan(a>0)，问：{bn}是否存在最大项？并说明理由．
考点　数列的性质
题点　求数列的最大项、最小项
解　bn＋1－bn＝(n＋1)an＋1－nan
＝an[(n＋1)a－n]＝an[(a－1)n＋a]．
当a>1时，bn＋1－bn>0，
故{bn}为递增数列，无最大项；
当a＝1时，bn＋1－bn＝1，
故{bn}不存在最大项；
当0bn＋1－bn＝an(a－1)＝an(a－1).
∵0即bn＋1－bn与n－有相反的符号．
由于n为变量，而为常数，设k为不大于的最大整数，
则当n≤k时，bn＋1－bn≥0；
当n>k时，bn＋1－bn<0，
即有b1且bk>bk＋1>….
故对任意的正整数n，bn≤bk，
∴当0§2　等差数列
2.1　等差数列
第1课时　等差数列的概念及通项公式
学习目标　1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．
知识点一　等差数列的概念
思考　给出以下三个数列：
(1)0，5，10，15，20；
(2)4，4，4，4，…；
(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5.
它们有什么共同的特征？
答案　从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数．
梳理　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．
知识点二　等差中项的概念
思考　下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2，4；(2)－1，5；(3)0，0；(4)a，b.
答案　插入的数分别为3，2，0，.
梳理　如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，且A＝.
知识点三　等差数列的通项公式
思考　对于等差数列2，4，6，8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋(　　)×2.
答案　n－1
梳理　若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.此公式可用累加法证明．
1．若一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)
2．任意两个实数都有等差中项．(√)
3．从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列．(√)
4．若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列．(√)
类型一　等差数列的概念
例1　判断下列数列是不是等差数列？
(1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…；
(2)－1，11，23，35，…，12n－13，…；
(3)1，2，1，2，…；
(4)1，2，4，6，8，10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
考点　等差数列的概念
题点　等差数列概念的理解运用
解　由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．
反思与感悟　判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N＋)是不是一个与n无关的常数．
跟踪训练1　数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　)
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
考点　等差数列的概念
题点　等差数列概念的理解运用
答案　A
解析　∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
类型二　等差中项
例2　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
考点　等差中项
题点　等差中项及其应用
解　∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
反思与感悟　在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
跟踪训练2　若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
考点　等差中项
题点　等差中项及其应用
解　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为＝3.
类型三　等差数列通项公式的求法及应用
命题角度1　基本量?a1，d，n，an?知三求一
例3　在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　求等差数列的项
解　由题意可得
解得d＝2，a1＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
反思与感悟　根据已知量和未知量之间的关系，列出方程(组)求解的思想方法，称为方程思想．
跟踪训练3　(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　求等差数列的项
解　(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
命题角度2　等差数列的实际应用
例4　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
考点　等差数列的应用题
题点　等差数列的应用题
解　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.
即需要支付车费23.2元．
反思与感悟　在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素．
跟踪训练4　在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温．
考点　等差数列的应用题
题点　等差数列的应用题
解　用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，
∴an＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.
1．下列数列不是等差数列的是(　　)
A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16
C.，，1，， D．－3，－2，－1，1，2
考点　等差数列的概念
题点　等差数列概念的理解运用
答案　D
2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(　　)
A．2 B．3
C．－2 D．－3
考点　等差数列的通项公式
题点　通项公式的综合应用
答案　C
解析　由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
3．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
考点　等差中项
题点　等差中项及其应用
答案　B
解析　因为A，B，C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，
则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，从而B＝60°.
4．已知等差数列－5，－2，1，…，则该数列的第20项为(　　)
A．52 B．62
C．－62 D．－52
考点　等差数列的通项公式
题点　通项公式的综合应用
答案　A
解析　公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.
5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是(　　)
A．92 B．47
C．46 D．45
考点　等差数列的通项公式
题点　通项公式的综合应用
答案　C
解析　d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，
则－89＝1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·(－2)，∴n＝46.
1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
一、选择题
1．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是(　　)
A．公差为1的等差数列
B．公差为的等差数列
C．公差为－的等差数列
D．不是等差数列
考点　等差数列的概念
题点　等差数列概念的理解运用
答案　B
解析　由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}是公差为的等差数列．
2．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　)
A．52 B．51
C．50 D．49
考点　等差数列的概念
题点　等差数列概念的理解运用
答案　A
解析　因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52.
3．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是(　　)
A．b－a B.
C. D.
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　等差数列公差有关问题
答案　C
解析　由等差数列的通项公式，
得b＝a＋(4－1)d，
所以d＝.
4．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　)
A．15 B．22
C．7 D．29
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　求等差数列的项
答案　A
解析　设{an}的首项为a1，公差为d，
根据题意得
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
5．等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　)
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
考点　等差数列的通项公式
题点　通项公式的综合应用
答案　B
解析　∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.
6．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　)
A．26 B．29
C．39 D．52
考点　等差中项
题点　等差中项及其应用
答案　C
解析　∵5，x，y，z，21成等差数列，
∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
∴5＋21＝2y，
∴y＝13，x＋z＝2y＝26，
∴x＋y＋z＝39.
7．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　等差中项
题点　等差中项及其应用
答案　C
解析　∵b是x，2x的等差中项，∴b＝＝，
又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，
∴a＝，∴＝.
8．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)
A．15 B．30
C．31 D．64
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　求等差数列的项
答案　A
解析　由
得
∴a12＝a1＋11d＝－＋11×＝15.
二、填空题
9．若一个等差数列的前三项为a，2a－1，3－a，则这个数列的通项公式为________．
考点　等差数列的通项公式
题点　求通项公式
答案　an＝＋1，n∈N＋
解析　∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，
∴a＝.
∴这个等差数列的前三项依次为，，，
∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1，n∈N＋.
10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
考点　等差数列的应用题
题点　等差数列的应用题
答案　
解析　设此等差数列为{an}，公差为d，
则∴
解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
11．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1，2x＋3，则其通项公式为________．
考点　等差数列的通项公式
题点　通项公式的综合应用
答案　an＝2n－3(n∈N＋)
解析　∵x－1，x＋1，2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，
∴an＝－1＋(n－1)·2＝2n－3.
三、解答题
12．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
考点　等差数列的概念
题点　等差数列概念的理解运用
(1)证明　由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
又b1＝a1＝1，
因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解　由(1)知，数列{bn}的通项公式为bn＝n，又bn＝，
所以数列{an}的通项公式为an＝n·2n－1.
13．已知等差数列{an}：3，7，11，15，….
(1)135，4m＋19(m∈N＋)是{an}中的项吗？试说明理由；
(2)若ap，aq(p，q∈N＋)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．
考点　等差数列的通项公式
题点　通项公式的综合应用
解　由题意可知，a1＝3，d＝4，则an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.
(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，
∴135是数列{an}的第34项．
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N＋，
∴4m＋19是数列{an}的第m＋5项．
(2)∵ap，aq是数列{an}中的项，
∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.
∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)
＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，
其中2p＋3q－1∈N＋，
∴2ap＋3aq是数列{an}的第(2p＋3q－1)项．
四、探究与拓展
14．已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，则a10＝________.
考点　等差数列的概念
题点　等差数列概念的理解运用
答案　
解析　易知an≠0，∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2)，∴－＝1(n≥2)，故数列是等差数列，公差为1，首项为1，∴＝1＋9＝10，
∴a10＝.
15．已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为________．
考点　等差数列的通项公式
题点　求通项公式
答案　an＝
解析　由an－an＋2＝2知，{an}的奇数项，偶数项
分别构成公差为－2的等差数列．
当n＝2k－1时，2k＝n＋1，a2k－1＝a1＋(k－1)·(－2)＝12－2k，
∴an＝12－(n＋1)＝11－n(n为奇数)．
当n＝2k时，a2k＝a2＋(k－1)·(－2)＝5－2k＋2
＝7－2k.
∴an＝7－n(n为偶数)．
∴an＝
第2课时　等差数列的性质
学习目标　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．
知识点一　等差数列的性质
思考　还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
答案　利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
梳理　在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
知识点二　由等差数列衍生的新数列
思考　若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
答案　∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)
＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)
＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．
梳理　若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
1．已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率．(√)
2．等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N＋，且l＋m＋n＝p＋q＋r，则al＋am＋an＝ap＋aq＋ar.(√)
3．等差数列{an}中，若m＋n为偶数，且m，n∈N＋，则＝.(√)
类型一　等差数列推广通项公式的应用
例1　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　等差数列公差有关问题
解　因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1(n∈N＋)．
反思与感悟　灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．
跟踪训练1　数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N＋)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于(　　)
A．0 B．3 C．8 D．11
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　等差数列公差有关问题
答案　B
解析　∵{bn}为等差数列，设其公差为d，
则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝b7＋b6＋…＋b1＋a1
＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1
＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3.
类型二　等差数列与一次函数的关系
例2　已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q(n∈N＋)，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
考点　等差数列的判定
题点　判断数列是否为等差数列
解　取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，
求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列．
由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.
反思与感悟　根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列?an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质．
跟踪训练2　若数列{an}满足a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，则使ak·ak＋1<0的k值为_____．
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　等差数列公差有关问题
答案　23
解析　由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－，
又a1＝15，∴{an}是首项为15，公差为－的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d＝15＋(n－1)×
＝－n＋.
令an＝0，解得n＝＝23.5，
∵d＝－，数列{an}是递减数列，
∴a23>0，a24<0，
∴k＝23.
类型三　等差数列性质的应用
例3　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
考点　等差数列的性质
题点　利用等差数列项数的规律解题
解　方法一　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
方法二　设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5，①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，
即(5－2d)(5＋2d)＝9，②
解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.
引申探究
1．在本例中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?
解　设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
答案　20
解析　∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
反思与感悟　解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练3　在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．
考点　等差数列的性质
题点　利用等差数列项数的规律解题
解　方法一　∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．
∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝2×33－39＝27.
方法二　∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)
＝3a1＋9d＝39，
∴a1＋3d＝13，①
∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)
＝3a1＋12d＝33.
∴a1＋4d＝11，②
联立①②解得
∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)
＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于(　　)
A．3 B．－6 C．4 D．－3
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　等差数列公差有关问题
答案　B
解析　由等差数列的性质，得a8－a3＝(8－3)d＝5d，
所以d＝＝－6.
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于(　　)
A．32 B．－32 C．35 D．－35
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　求等差数列的项
答案　C
解析　由a8－a4＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12，得d＝3，
所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
3．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
考点　等差数列的性质
题点　利用等差数列项数的规律解题
答案　A
解析　由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
4．下列说法中正确的是(　　)
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
考点　等差数列的判定
题点　判断数列是否为等差数列
答案　C
5．在等差数列－5，－3，－2，－，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为(　　)
A．an＝n－
B．an＝－5－(n－1)
C．an＝－5－(n－1)
D．an＝n2－3n
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　等差数列公差有关问题
答案　A
1．等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d的正负有关．特别地，如果已知等差数列{an}的任意两项an，am，由an＝am＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式，得d＝(m≠n)．
2．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
一、选择题
1．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　)
A．12 B．8 C．6 D．4
考点　等差数列的性质
题点　利用等差数列项数的规律解题
答案　B
解析　由等差数列的性质，得
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，
∴m＝8.
2．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于(　　)
A．－182 B．－78 C．－148 D．－82
考点　等差数列的性质
题点　利用等差数列项数的规律解题
答案　D
解析　a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33＝－82.
3．下面是关于公差是d(d＞0)的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为(　　)
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
考点　等差数列的性质
题点　两个等差数列的性质问题
答案　D
解析　对于p1：an＝a1＋(n－1)d，d＞0，
∴an－an－1＝d＞0，则p1正确；
对于p2：nan＝na1＋n(n－1)d，
∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关．
故数列{nan}不一定递增，则p2不正确；
对于p3：＝＋d，∴－＝，
当d－a1＞0，即d＞a1时，数列是递增数列，
但d＞a1不一定成立，则p3不正确；
对于p4：设bn＝an＋3nd，
则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.
∴数列{an＋3nd}是递增数列，p4正确．
综上，正确的命题为p1，p4.
4．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
考点　等差数列的性质
题点　利用等差数列项数的规律解题
答案　C
解析　∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
5．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图像与x轴的交点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．1或2
考点　等差中项
题点　等差中项及其应用
答案　D
解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图像与x轴的交点个数为1或2.
6．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于(　　)
A．45 B．75 C．180 D．300
考点　等差数列的性质
题点　利用等差数列项数的规律解题
答案　C
解析　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7
＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
7．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　)
A. B．± C．－ D．－
考点　等差数列的性质
题点　利用等差数列项数的规律解题
答案　D
解析　由等差数列的性质，得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.
8．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|等于(　　)
A．1 B. C. D.
考点　等差数列的性质
题点　利用等差数列项数的规律解题
答案　C
解析　设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，
再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，
∵a1＝，∴d＝，
∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，
a4＝＋＝，
∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝＝.
二、填空题
9．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.
考点　等差数列的性质
题点　利用等差数列项数的规律解题
答案　105
解析　∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.
∵a1a2a3＝(a2－d)a2(a2＋d)＝5(25－d2)＝80，
又d为正数，∴d＝3.
∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝3×(5＋30)＝105.
10．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　等差数列对称设项问题
答案　－21
解析　设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴这三个数的积为－21.
11．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，则am＋n的值为________．
考点　等差数列基本量的计算问题
题点　等差数列公差有关问题
答案　0
解析　方法一　设等差数列的公差为d，
则d＝＝＝－1，
从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.
方法二　设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，
则得a＝－1，b＝m＋n.
所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.
三、解答题
12．已知{an}为等差数列，且a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24.
(1)求a20的值；
(2)若bn＝an－，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.
考点　等差数列的性质
题点　利用等差数列项数的规律解题
解　(1)因为a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24，所以a3＝6，a4＝8，则公差d＝2，所以a20＝a3＋17d＝40.
(2)由(1)得an＝a3＋(n－3)d＝6＋(n－3)×2＝2n，所以bn＝×2n－＝3n－.由bn>0，即3n－>0，得n>，所以数列{bn}从第7项开始大于0.
四、探究与拓展
13．若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为________________．
考点　等差数列的通项公式
题点　求通项公式
答案　an＝2n－
解析　由题意得an＋1＋an＝4n－3，①
an＋2＋an＋1＝4n＋1，②
②－①，得an＋2－an＝4.
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2.
∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－.
∴an＝2n－.
14．正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.
(1)数列{}是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
考点　等差数列的判定
题点　证明数列是等差数列
解　(1)数列{}是等差数列．
∵an＋1－＝an＋，
∴an＋1－an＝＋，
∴(＋)·(－)＝＋，
∵{an}是正项数列，∴＋≠0，
∴－＝1，
∴{}是等差数列，公差为1.
(2)由(1)知，{}是等差数列，且d＝1，
∴＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，
∴an＝n2.
2.2　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和公式的推导及简单应用
学习目标　1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an.
知识点一　等差数列前n项和公式
思考　高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
答案　 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：
设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，
又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，
∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
∴2Sn＝n(n＋1)，
∴Sn＝.
梳理　等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
选用公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
知识点二　a1，d，n，an，Sn知三求二
思考　在等差数列{an}中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn?
答案　利用an＝a1＋(n－1)d代入d，n，an，可求a1，利用Sn＝或Sn＝na1＋d可求Sn.
梳理　(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和．
(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．
知识点三　数列中an与Sn的关系
思考　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an?
答案　a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又当n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N＋.
梳理　对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，
则有an＝
特别提醒：　(1)这一关系对任何数列都适用．
(2)若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1
(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示．
若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式．
1．若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.(×)
2．等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍．(√)
类型一　等差数列前n项和公式的应用
命题角度1　等差数列基本量的计算
例1　已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
考点　等差数列前n项和
题点　等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解　方法一　由题意知，S10＝310，S20＝1 220，
将它们代入公式Sn＝na1＋d，
得到
解方程组得
∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n.
方法二　∵S10＝＝310，∴a1＋a10＝62，①
∵S20＝＝1 220，∴a1＋a20＝122，②
②－①，得a20－a10＝60，
∴10d＝60，
∴d＝6，a1＝4.
∴Sn＝na1＋d＝3n2＋n.
反思与感悟　(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用．
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．
跟踪训练1　在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
考点　等差数列前n项和
题点　等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解　由
得
解方程组，得或
命题角度2　实际应用
例2　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
考点　等差数列的前n项和应用题
题点　等差数列前n项和应用题
解　设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1 000×1%＝60，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1 105，
即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255.
反思与感悟　建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．
跟踪训练2　甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
考点　等差数列的前n项和应用题
题点　等差数列前n项和应用题
解　(1)设n分钟后第一次相遇，由题意，
得2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.
解得n＝7，n＝－20(舍去)．
所以第一次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第二次相遇，由题意，
得2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解得n＝15，n＝－28(舍去)．
所以第二次相遇是在开始运动后15分钟．
类型二　由Sn与an的关系求an
例3　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
考点　an与Sn关系
题点　由Sn公式求an
解　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知，
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N＋)，
当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－＝2n－，①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.
∵an＋1－an＝2(n＋1)－－＝2，
故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列．
引申探究
若将本例中前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求通项公式．
解　当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝2n－.①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式．
∴an＝
反思与感悟　已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．
跟踪训练3　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.
考点　an与Sn关系
题点　由Sn公式求an
解　当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，
代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.
∴an＝
1．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于(　　)
A．2 300 B．2 400 C．2 600 D．2 500
考点　等差数列前n项和
题点　求等差数列的前n项和
答案　D
解析　由am＝a1＋(m－1)d，
得99＝1＋(m－1)×2，
解得m＝50，
所以S50＝50×1＋×2＝2 500.
2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于(　　)
A．2 B．3 C．6 D．7
考点　等差数列前n项和
题点　等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案　B
解析　方法一　由
解得d＝3.
方法二　由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和与中间项的关系
答案　190
解析　S19＝＝
＝19a10 ＝19×10＝190.
4．已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，则an＝________.
考点　an与Sn关系
题点　由Sn公式求an
答案　3(n＋1)
解析　由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，①
得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)，②
①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，
∴an＝3(n＋1)(n≥2)．
又当n＝1时，a1＝1×2×3＝6也适合上式，
∴an＝3(n＋1)，n∈N＋.
5．已知等差数列{an}中：
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.
考点　等差数列前n项和
题点　等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解　(1)∵Sn＝n×＋×＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝＋(12－1)×＝－4.
∴n＝12，an＝a12＝－4.
(2)由Sn＝＝＝－1 022，
解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，
即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171.
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
3．由Sn与an的关系求an主要使用an＝
一、选择题
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于(　　)
A．27 B. C．45 D．－9
考点　等差数列前n项和
题点　求等差数列前n项和
答案　A
解析　由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，
∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.
2．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为(　　)
A．10 000 B．8 000
C．9 000 D．11 000
考点　等差数列前n项和
题点　求等差数列的前n项和
答案　A
解析　由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100＝
＝50×(25＋75＋100)＝10 000.
3．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为(　　)
A．200 B．100
C．90 D．70
考点　等差数列前n项和
题点　求等差数列的前n项和
答案　B
解析　S10＝＝100.
4．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于(　　)
A．18 B．27
C．36 D．45
考点　等差数列前n项和
题点　求等差数列的前n项和
答案　C
解析　S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.
5．在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则等于(　　)
A. B．2
C. D．4
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　两等差数列和之比与项之比问题
答案　A
解析　由题意得10a1＋×10×9d＝4，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
∴10a1＝5d，∴＝.
6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)
A．765 B．665
C．763 D．663
考点　等差数列前n项和
题点　求等差数列的前n项和
答案　B
解析　设在小于100的自然数中，所有被7除余2的数组成数列{an}，
∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
7．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于(　　)
A．－9 B．－11
C．－13 D．－15
考点　等差数列前n项和
题点　求等差数列的前n项和
答案　D
解析　由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于(　　)
A．36 B．35
C．34 D．33
考点　an与Sn关系
题点　由Sn公式求an
答案　C
解析　方法一　a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，
a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.
∴a2＋a18＝34.
方法二　a2＋a18＝a1＋a19，S19＝＝192－2×19，
∴a1＋a19＝34，即a2＋a18＝34.
二、填空题
9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．
考点　等差数列的前n项和应用题
题点　等差数列前n项和应用题
答案　10
解析　钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
考点　等差数列前n项和
题点　等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案　15
解析　设等差数列的公差为d，
则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.
由
解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
11．在等差数列{an}中，an＝2n＋3，前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，则a－b＋c＝________.
考点　等差数列前n项和
题点　等差数列前n项和综合问题
答案　－3
解析　因为an＝2n＋3，
所以a1＝5，Sn＝＝n2＋4n，与Sn＝an2＋bn＋c比较，得a＝1，b＝4，c＝0，
所以a－b＋c＝－3.
三、解答题
12．已知数列{an}的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn＝a＋an－.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
考点　an与Sn关系
题点　由Sn和an递推式求通项
(1)证明　当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，
解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)．
所以4an＝a－a＋2an－2an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2)．
所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
(2)解　由(1)知，an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
四、探究与拓展
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，求S200.
考点　等差数列的前n项和
题点　等差数列前n项和综合问题
解　因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，
所以a1＋a200＝1，所以S200＝＝100.
14．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
考点　等差数列前n项和
题点　等差数列前n项和综合问题
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，
∴a3∴
∴
∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，
∴c＝－ (c＝0舍去)．
经检验，c＝－符合题意，
∴c＝－.
第2课时　等差数列前n项和公式的变形及应用
学习目标　1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值．
知识点一　等差数列前n项和与等差中项的关系
思考　等差数列{an}中，若a3＝2，求S5.
答案　S5＝＝5·＝5a3＝10.
梳理　等差数列{an}的前n项和Sn＝，其中为a1，an的等差中项，若结合性质“m＋n＝p＋q得am＋an＝ap＋aq”，还可把a1＋an换成a2＋an－1，a3＋an－2，….
知识点二　等差数列前n项和的最值
思考　我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的前n项和Sn何时有最大值？何时有最小值？
答案　由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1＞0，d<0时，Sn先增后减，
有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
梳理　等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关．
(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
(2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值．
1．等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．(×)
2．等差数列{an}的前n项和Sn＝(n≥3)．(√)
3．若等差数列{an}的前n项和为Sn，则为等差数列．(√)
类型一　等差数列前n项和的性质的应用
例1　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列连续m项和成等差数列
解　(1)方法一　在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，
∴S3m＝210.
方法二　在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(2)＝＝＝＝＝.
反思与感悟　等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
跟踪训练1　设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和性质其他问题
解　设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，
∴
即
解得
∴＝a1＋(n－1)d＝n－，
∴－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
类型二　等差数列前n项和的最值问题
例2　在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．
考点　等差数列前n项和最值
题点　求等差数列前n项和的最值
解　方法一　∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，
解得d＝－2.
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二　同方法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，
由得
又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三　同方法一，求出公差d＝－2.
∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法四　同方法一，求出公差d＝－2.设Sn＝An2＋Bn.
∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
反思与感悟　(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和．
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．
(2)求等差数列前n项和Sn最值：
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
或来寻找；
②运用二次函数求最值．
跟踪训练2　已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
考点　等差数列前n项和最值
题点　求使等差数列前n项和取最值时的n值
解　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)方法一　由(1)知，a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二　由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
类型三　求数列{|an|}的前n项和
例3　已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
考点　等差数列前n项和绝对值之和
题点　求等差数列前n项和绝对值之和
解　a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝－3n＋104.
∵n＝1也符合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N＋)．
由an＝－3n＋104≥0，得n≤.
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
(1)当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝Sn＝－n2＋n；
(2)当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2－
＝n2－n＋3 502.
故Tn＝
反思与感悟　等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．
跟踪训练3　已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
考点　等差数列前n项和绝对值之和
题点　求等差数列前n项和绝对值之和
解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2＝16，S4＝24，得
即　解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N＋)．
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)
A．13 B．35
C．49 D．63
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和与中间项的关系
答案　C
解析　S7＝＝7·＝7×＝49.
2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和与中间项的关系
答案　B
解析　∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，
∴d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．45
C．36 D．27
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列连续m项和成等差数列
答案　B
解析　∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
考点　等差数列前n项和最值
题点　求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案　B
解析　由7a5＋5a9＝0，得＝－.
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
因为函数y＝x2＋x的图像的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.
5．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和性质其他问题
答案　2A
1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形：
(1)Sn＝n·；
(2)Sn＝n2＋n；
(3)＝n＋.
2．求等差数列前n项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图像的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．
一、选择题
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和性质其他问题
答案　B
解析　∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
2．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 014，Sk＝S2 009，则正整数k为(　　)
A．2 014 B．2 015
C．2 016 D．2 017
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和与中间项的关系
答案　C
解析　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 014，Sk＝S2 009，可得＝，解得k＝2 016.故选C.
3．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
考点　等差数列前n项和最值
题点　求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案　B
解析　因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有
所以即≤k≤.
因为k∈N＋，所以k＝7.
故满足条件的n的值为7.
4．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)
A. B. C. D.
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列奇偶项和问题
答案　B
解析　S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于(　　)
A．38 B．20 C．10 D．9
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和与中间项的关系
答案　C
解析　因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，
由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，
由S2m－1＝38知，am≠0，所以am＝2，
又S2m－1＝38，
即＝38，
即(2m－1)×2＝38，
解得m＝10，故选C.
6．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　)
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
考点　等差数列前n项和最值
题点　求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案　D
解析　∵an＝26－2n，
∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列．
又a1＝24，d＝－2，
∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋.
∵n∈N＋，∴当n＝12或13时，Sn最大，故选D.
7．已知等差数列{an}中，a1 008＝4，S2 016＝2016，则S2 017等于(　　)
A．－2 017 B．2 017
C．－4 034 D．4 034
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和与中间项的关系
答案　C
解析　因为{an}是等差数列，
所以S2 016＝1 008(a1＋a2 016)＝1 008(a1 008＋a1 009)＝2 016，则a1 008＋a1 009＝2.
又a1 008＝4，
所以a1 009＝－2，则S2 017＝＝2 017a1 009＝－4 034.
二、填空题
8．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则它的通项公式是________．
考点　an与Sn关系
题点　由Sn公式求an
答案　an＝
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，不符合上式，
∴an＝
9．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
考点　等差数列前n项和最值
题点　求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案　4或5
解析　由解得
∴a5＝a1＋4d＝0，
∴S4＝S5且同时最大．
∴n＝4或5.
10．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n，则Sn取最小值时对应的n值为_____．
考点　等差数列前n项和最值
题点　求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案　7或8
解析　∵Sn＝2n2－30n＝22－，
∴当n＝7或8时，Sn最小．
11．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 013＋a2 014＞0，a2 013·a2 014<0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和有关的不等式问题
答案　4 026
解析　由条件可知数列是递减数列，
故知a2 013＞0，a2 014<0，
故S4 026＝＝2 013(a2 013＋a2 014)＞0，
S4 027＝＝4 027×a2 014<0，
故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4 026.
三、解答题
12．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值．
考点　等差数列前n项和最值
题点　求使等差数列前n项和取最值时的n值
解　(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，
得解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N＋.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
13．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
考点　等差数列前n项和绝对值之和
题点　求等差数列前n项和绝对值之和
解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，
∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2.
∵an＝10－2n，
令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；
当n＝5时，an＝0；
当n<5时，an>0.
∴当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
∴Tn＝
四、探究与拓展
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n等于(　　)
A．12 B．14
C．16 D．18
考点　等差数列前n项和性质运用
题点　等差数列前n项和与中间项的关系
答案　B
解析　因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
15．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N＋恒成立，求实数t的取值范围．
考点　等差数列综合
题点　数列与不等式综合
解　(1)S5＝5·＝5a3＝－55，
∴a3＝－11，
∴d＝＝＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17.
(2)由(1)知，an＝2n－17，
∴Sn＝＝
＝n(n－16)＝(n－8)2－64，
∴(Sn)min＝－64.
Sn>t对任意n∈N＋恒成立等价于(Sn)min>t，
即－64>t.∴t∈(－∞，－64)．
§3　等比数列
3.1　等比数列
第1课时　等比数列的概念及通项公式
学习目标　1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
知识点一　等比数列的概念
思考　观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．
①1，2，4，8，16，…；
②1，，，，，…；
③1，1，1，1，…；
④－1，1，－1，1，….
答案　从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．
梳理　等比数列的概念和特点．
(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
(2)递推公式形式的定义：＝q(n>1)(或＝q，n∈N＋)．
(3)等比数列各项均不能为0.
知识点二　等比中项的概念
思考　在2，8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？
答案　设这个数为G，则＝，G2＝16，G＝±4，所以这样的数有2个．
梳理　等比中项与等差中项的异同，对比如下表
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫作a，b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
知识点三　等比数列的通项公式
思考　等差数列的通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？
答案　等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义，得
＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)．
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
得···…·＝qn－1，化简，得＝qn－1，
即an＝a1qn－1(n≥2)．
当n＝1时，上面的等式也成立．
∴an＝a1qn－1(n∈N＋)．
梳理　等比数列{an}首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1.
1．常数列既是等差数列，又是等比数列．(×)
2．若a，b，c成等比数列，则a，c的等比中项一定是b.(×)
3．若an＋1＝qan，n∈N＋，且q≠0，则{an}是等比数列．(×)
4．任何两个数都有等比中项．(×)
类型一　等比数列的判定
例1　数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a＋6an＋6(n∈N＋)，设cn＝log5(an＋3)．求证：{cn}是等比数列．
考点　等比数列的判定
题点　证明数列为等比数列
证明　由an＋1＝a＋6an＋6，得an＋1＋3＝(an＋3)2.
∴log5(an＋1＋3)＝log5(an＋3)2＝2log5(an＋3)，
即cn＋1＝2cn，
又c1＝log55＝1≠0，
∴＝2，
∴{cn}是等比数列．
反思与感悟　判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即＝q(与n无关的常数)．
跟踪训练1　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)证明：数列{an}是等比数列．
考点　等比数列的判定
题点　证明数列为等比数列
(1)解　∵a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝－.
又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，∴a2＝.
(2)证明　∵Sn＝(an－1)，∴Sn＋1＝(an＋1－1)，
两式相减得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝－an，
又a1＝－≠0，∴an≠0，∴＝－，n∈N＋，
∴数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
类型二　等比数列通项公式的应用
命题角度1　a1，q，n，an知三求一
例2　一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项
解　设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么

②÷①，得q＝，
将q＝代入①，得a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8.
综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.
反思与感悟　已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．
跟踪训练2　在等比数列{an}中：
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项
解　(1)由等比数列的通项公式得，
a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
那么解得
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1(n∈N＋)．
命题角度2　等比数列的实际应用
例3　某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长时间？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
解　设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，
由条件可得，数列{an}是一个等比数列．
其中a1＝0.84，q＝0.84，
设an＝0.5，则0.84n＝0.5.
两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n≈4.
答　这种物质的半衰期大约为4年．
反思与感悟　等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．
跟踪训练3　某纯净水厂在净化过程中，每过滤1次可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以内，则至少需要过滤的次数为________．(lg 2≈0.301 0)
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
答案　14
解析　设原杂质数为1，由题意可知，各次过滤后杂质数成等比数列，且a1＝0.8，
公比q＝1－20%，
∴an＝(1－20%)n(n∈N＋)，由题意可知，
(1－20%)n<5%，即0.8n<0.05，
两边取对数得nlg 0.8∵lg 0.8<0，∴n>，
即n>＝
＝≈≈13.41，
故取n＝14.
类型三　等比中项
例4　若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为(　　)
A．± B.
C．1 D．±1
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　D
解析　∵1，a，3成等差数列，∴a＝＝2，
∵1，b，4成等比数列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴＝＝±1.
反思与感悟　(1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项．(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个．
跟踪训练4　＋1与－1的等比中项是(　　)
A．1 B．－1 C．±1 D.
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　C
解析　设x为＋1与－1的等比中项，
则x2＝(＋1)(－1)＝1，∴x＝±1.
1．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于(　　)
A．－24 B．0 C．12 D．24
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　A
解析　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　)
A．4 B．8 C．6 D．32
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项数
答案　C
解析　由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，
2n－1＝32，所以n＝6.
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　)
A．64 B．81 C．128 D．243
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项
答案　A
解析　∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1×26＝64.
4．45和80的等比中项为________．
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　－60或60
解析　设45和80的等比中项为G，
则G2＝45×80，∴G＝±60.
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N＋)．
2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
一、选择题
1．2＋和2－的等比中项是(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．2
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　C
解析　设2＋和2－的等比中项为G，
则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.
2．下列各组数成等比数列的是(　　)
①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
考点　等比数列的概念
题点　等比数列的概念
答案　C
解析　由等比数列的定义，知①②④是等比数列，③中当x＝0时，不是等比数列．
3．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(　　)
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项
答案　C
解析　由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝＝32.
4．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为(　　)
A．16 B．27 C．36 D．81
考点　等比数列的概念
题点　等比数列的概念
答案　B
解析　∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
5．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　B
解析　∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.
6．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
考点　等比数列基本量的计算
题点　利用基本量法解题
答案　C
解析　在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.∵am＝a1qm－1＝qm－1，
∴m－1＝10，∴m＝11.
7．已知a，b，c成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(a，c)，则b2等于(　　)
A．3 B．2 C．1 D．－2
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　B
解析　∵y＝(x－1)2＋2，∴a＝1，c＝2.
又∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac＝2.
二、填空题
8．在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列公比
答案　2
解析　a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
9．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为_____．
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项
答案　80，40，20，10
解析　设这6个数所成等比数列的公比为q，
则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.
∴这4个数依次为80，40，20，10.
10．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　1
解析　设等差数列的公差为d，
则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，
∴q＝＝＝1.
11．若{an}为公比大于1的等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，则{an}的通项公式为_______．
考点　等比数列的通项公式
题点　已知数列为等比数列求通项公式
答案　an＝2×3n－3
解析　设等比数列{an}的公比为q，则q>1.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝，
解得q1＝(舍)，q2＝3.
由q＝3知，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3(n∈N＋)．
三、解答题
12．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
考点　等比数列的判定
题点　证明数列为等比数列
解　(1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
13．已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N＋.若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求{an}的通项公式．
考点　等比数列的通项公式
题点　判断数列为等比数列后求通项
解　由Sn＋1＝qSn＋1①可知当n≥2时，Sn＝qSn－1＋1②，两式相减可得an＋1＝qan，又当n＝1时，S2＝qS1＋1，
即a1＋a2＝qa1＋1，
解得a2＝q≠0，
∴an≠0，∴＝q(n≥2)．
又＝q，∴{an}是公比为q的等比数列．
根据2a2，a3，a2＋2成等差数列，
由等差数列性质可得2a2＋a2＋2＝2a3，
即2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－，
由q>0可知，q＝2，所以an＝2n－1，n∈N＋.
四、探究与拓展
14．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为(　　)



…
A. B. C. D.
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项
答案　C
解析　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
15．设数列{an}的首项a1＝a≠，且an＋1＝记bn＝a2n－1－，n＝1，2，3，….
(1)求a2，a3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．
考点　等比数列的判定
题点　证明数列为等比数列
解　(1)a2＝a1＋＝a＋，a3＝a2＝a＋.
(2)因为a4＝a3＋＝a＋，
所以a5＝a4＝a＋，
所以b1＝a1－＝a－，
b2＝a3－＝，
b3＝a5－＝.
猜想：数列{bn}是公比为的等比数列．
证明如下：
因为bn＋1＝a2n＋1－＝a2n－＝－＝＝bn(n∈N＋)，
又b1＝a1－＝a－≠0，
所以bn≠0，
所以＝，n∈N＋
所以数列{bn}是首项为a－，公比为的等比数列．
第2课时　等比数列的性质
学习目标　1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．
知识点一　等比数列的性质
思考　在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2，n∈N＋)是否成立？
答案　∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，
∴a1a9＝aq8＝(a1q4)2＝a，∴a＝a1a9成立．
同理a＝a3a7成立，a＝an－2·an＋2也成立．
梳理　一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N＋)．
若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N＋)．
知识点二　由等比数列衍生的等比数列
思考　等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，判断下列语句的正误．
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(3)是等比数列；
(4){a2n}是等比数列．
答案　由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．
梳理　(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列．
(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列，{an·bn}，，{|an|}是等比数列．
1．an＝amqn－m(n，m∈N＋)，当m＝1时，就是an＝a1qn－1.(√)
2．等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列．(√)
3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(×)
类型一　等比数列通项公式的推广应用
例1　等比数列{an}中．
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)若{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.
考点　等比数列的通项公式
题点　已知数列为等比数列求通项公式
解　(1)∵＝q7－4＝，即q3＝4，∴q＝，
∴an＝a4·qn－4＝2·()n－4＝
(2)由a＝a10＝a5·q10－5，且a5≠0，
得a5＝q5，即a1q4＝q5，又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，
∴2(1＋q2)＝5q，解得q＝或q＝2.
∵a1＝q，且{an}为递增数列，
∴
∴an＝2·2n－1＝2n.
反思与感悟　(1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练1　(1)在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a5＝________；
(2)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为__________．
考点　等比数列的通项公式
题点　已知数列为等比数列求通项公式
答案　(1)8　(2)64
解析　(1)∵＝q7－3＝q4＝＝4，∴q2＝2.
∴a5＝a3q5－3＝4·q2＝4×2＝8.
(2)设该等比数列{an}的公比为q，
∴即解得
∴a1a2·…·an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)＝＝,
当n＝3或4时，取得最小值－6，
此时取得最大值26，
∴a1a2·…·an的最大值为64.
类型二　等比数列的性质
命题角度1　序号的数字特征
例2　已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
考点　等比数列的性质
题点　利用项数的规律解题
解　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
反思与感悟　抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
跟踪训练2　在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝______.
考点　等比数列的性质
题点　等比数列各项积的问题
答案　128
解析　∵a3a5＝a＝4，an>0，∴a4＝2.
∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4＝43×2＝128.
命题角度2　未知量的设法技巧
例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
考点　等比数列的性质
题点　等比数列的性质的其他应用问题
解　方法一　设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二　设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)，
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
反思与感悟　合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.若四个同号的数成等比数列，可设为，，aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
跟踪训练3　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．
考点　等比数列的性质
题点　等比数列的性质的其他应用问题
解　设这四个数分别为x，y，18－y，21－x，
则由题意得
解得或
故所求的四个数为3,6,12,18或，，，.
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．8
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列公比
答案　A
解析　由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于(　　)
A．9 B．6 C．3 D．2
考点　等比数列的性质
题点　等比数列的性质与对数运算综合
答案　C
解析　因为a2a9＝a1a10＝27，
所以log3a2＋log3a9＝log327＝3.
3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为_____．
考点　等比数列的性质
题点　等比数列各项积的问题
答案　8
解析　设这8个数组成的等比数列为{an}，
则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7
＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)
＝(a1a8)3＝23＝8.
4．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
考点　等比数列的判定
题点　判断数列为等比数列
解　不是等比数列．
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，
∴a1a3≠a，∴数列{an}不是等比数列．
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．
2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a2 015＝8a2 012，则公比q的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列公比
答案　A
解析　∵a2 015＝8a2 012＝a2 012·q3，
∴q3＝8，∴q＝2.
2．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．16
考点　等比数列的判定
题点　判断数列为等比数列
答案　B
解析　点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an，
∵a1＝1≠0，∴an≠0，
∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8.
3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　)
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
考点　等比数列的性质
题点　利用项数的规律解题
答案　C
解析　∵lg(a3a8a13)＝lg a＝6，
∴a＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a＝10 000.
4．在正项等比数列{an}中，an＋1A. B.
C. D.
考点　等比数列的性质
题点　利用项数的规律解题
答案　D
解析　设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且
an＋1∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝，∴＝＝2＝.
5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为(　　)
A. B．3
C．± D．±3
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　B
解析　设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.
则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
化简得d2＝－2a1d，
∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，
∴q＝＝3.
6．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　)
A．5 B．7 C．6 D．4
考点　等比数列的性质
题点　等比数列各项积的问题
答案　A
解析　∵a1a2a3＝a＝5，∴a2＝.
∵a7a8a9＝a＝10，∴a8＝.
∴a＝a2a8＝＝，
又∵数列{an}各项均为正数，∴a5＝.
∴a4a5a6＝a＝＝5.
7．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于(　　)
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
考点　等比数列基本量的计算
题点　利用基本量法解题
答案　C
解析　设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3，2a2成等差数列，∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，a1≠0，∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
二、填空题
8．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
考点　等比数列的性质
题点　利用项数的规律解题
答案　18
解析　由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.
9．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　－6
解析　由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，
∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.
10．在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.
考点　等比数列的性质
题点　等比数列各项积的问题
答案　1 024
解析　设等比数列{an}的公比为q，
a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1，①
a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8，②
②÷①得q48＝8，q16＝2，
∴a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·q1q43＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)(q16)10＝210＝1 024.
11．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝_____.
考点　等比数列的性质
题点　利用项数的规律解题
答案　8
解析　由等比数列的性质得a3a11＝a，∴a＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
三、解答题
12．在等比数列{an}(n∈N＋)中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；
(3)试比较an与Sn的大小．
考点　等比数列的性质
题点　等比数列的性质与对数运算综合
(1)证明　因为bn＝log2an，
所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2
＝log2q(q＞0)为常数，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)解　因为b1＋b3＋b5＝6，
所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1＞1，所以b1＝log2a1＞0，
又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
即即解得
因此Sn＝4n＋(－1)＝.
又因为d＝log2q＝－1，
所以q＝，b1＝log2a1＝4，即a1＝16，
所以an＝25－n(n∈N＋)．
(3)解　由(2)知，显然an＝25－n＞0，
当n≥9时，Sn＝≤0，所以当n≥9时，an＞Sn.
又因为a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，
a7＝，a8＝，
S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，
S8＝4，
所以当n＝3,4,5,6,7,8时，an当n＝1,2或n≥9，n∈N＋时，an＞Sn.
四、探究与拓展
13．已知等比数列{an}满足an>0，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥3时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于(　　)
A．2n B．2n2
C．n2 D．n
考点　等比数列的性质
题点　等比数列的性质与对数运算综合
答案　C
解析　log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3·…·a2n－1)＝＝＝＝＝n2.
14．在等差数列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比数列，已知数列a1，a3，也成等比数列，求数列{kn}的通项公式．
考点　等比数列基本量的计算
题点　利用基本量法解题
解　由题意得a＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
得d(d－a1)＝0，又d≠0，∴a1＝d.又a1，a3，成等比数列，∴该数列的公比q＝＝＝3，
∴＝a1·3n＋1.又＝a1＋(kn－1)d＝kna1，
∴数列{kn}的通项公式为kn＝3n＋1.
3.2　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列前n项和公式及简单应用
学习目标　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
知识点一　等比数列的前n项和公式
思考　对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?
答案　 比较两式易知，两式相减能消去相同项，解出S64，即S64＝＝264－1.
梳理　等比数列的前n项和公式
已知量
首项a1，项数n与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝
Sn＝
特别提醒：在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
知识点二　等比数列的前n项和公式的应用
思考　要求等比数列前8项的和：
(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？
(2)若已知a1，a9，q的值．用哪个公式比较合适？
答案　(1)用Sn＝.(2)用Sn＝.
梳理　一般地，使用等比数列求和公式时需注意：
(1) 一定不要忽略q＝1的情况；
(2) 知道首项a1，公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用；
(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．
1．在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q，则前3项和为.(×)
2．等比数列{an}的公比q≠1，则前n项和Sn＝.(×)
3．首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(√)
类型一　等比数列前n项和公式的应用
命题角度1　前n项和公式的直接应用
例1　求下列等比数列前8项的和．
(1)，，，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
解　(1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q<0，
可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
反思与感悟　求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．
跟踪训练1　若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
答案　2　2n＋1－2
解析　设等比数列的公比为q，
∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，
解得q＝2，且a1＝2.
因此Sn＝＝2n＋1－2.
命题角度2　通项公式、前n项和公式的综合应用
例2　在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
解　由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
反思与感悟　(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．
跟踪训练2　设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为________．
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　1或－
解析　当q＝1时，S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＝3a3，成立；
当q≠1时，S3＝，a3＝a1q2，
又S3＝3a3，
所以＝3q2，化简得2q2－q－1＝0，
即(q－1)(2q＋1)＝0，
由q≠1，即q－1≠0，解得q＝－.
综上可知，公比q的值为1或－.
类型二　等比数列前n项和的实际应用
例3　由市场调查得知：某公司生产的一种产品，如果不做广告宣传且每件获利a元，那么销售量为b件；如果做广告宣传且每件售价不变，那么广告费用为n千元时比广告费用为(n－1)千元时的销售量多b×件(n∈N＋)．
(1)试写出销售量Sn与n的函数关系式；
(2)当a＝10，b＝4 000时公司应做几千元广告，销售量为多少件时，才能使去掉广告费用后的获利最大？
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和的应用题
解　(1)设不做广告宣传销售量为S0，
广告费用为n千元时的销售量为Sn，
依题意得Sn－Sn－1＝b×，n∈N＋，
所以Sn＝b＝b(n∈N＋)．
(2)Sn＝4 000.
设获利Tn元，则有Tn＝10·Sn－1 000n＝40 000－1 000n，
Tn＋1－Tn＝1 000×＝1 000×.
当－1>0时，n≤4；
当－1<0时，n≥5；
即数列{Tn}先增后减，
T1T5>T6>T7….
所以当n＝5时，Tn最大，此时Sn＝7 875.
即该厂家应做5千元的广告，销售量为7 875件产品时，能使去掉广告费用后的获利最大．
反思与感悟　在由实际问题抽象出等比数列时，对a1，n，an，Sn等量的定义要明确，准确，以便于在此基础上刻画量与量之间的关系．
跟踪训练3　一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和的应用题
解　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
答案　C
解析　当x＝1时，Sn＝n；
当x≠1时，Sn＝.
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于(　　)
A．2 B．4 C. D.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　C
解析　方法一　由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，
得＝＋1＋q＋q2＝.
方法二　∵S4＝，a2＝a1q，
∴＝＝.
3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是(　　)
A．179 B．211
C．243 D．275
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　B
解析　∵q4＝＝＝4，且q>0，
∴q＝，∴S5＝＝＝211.
4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和的应用题
答案　11a(1.15－1)
解析　去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a，
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和．
一、选择题
1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
答案　D
解析　Sn＝＝.
2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　)
A．33 B．72
C．84 D．189
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　C
解析　由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，
得q2＋q－6＝0.
∵q>0，
∴q＝2，
∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3
＝22×21＝84.
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　)
A．11 B．5
C．－8 D．－11
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　D
解析　由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
∴q＝－2，则＝＝－11.
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于(　　)
A. B．－
C. D．－
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　C
解析　设等比数列{an}的公比为q，
由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，
即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.
5．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　)
A．190 B．191
C．192 D．193
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　C
解析　设每层灯的盏数成等比数列，为an，最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.
6．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于 (　　)
A．－6(1－3－10) B.(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
答案　C
解析　由3an＋1＋an＝0，
得＝－，
故数列{an}是公比q＝－的等比数列．
又a2＝－，可得a1＝4.
所以S10＝＝3(1－3－10)．
7．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　)
A．300米
B．299米
C．199米
D．166米
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和的应用题
答案　A
解析　小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．
二、填空题
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　3
解析　∵S6＝4S3，∴q≠1，∴＝，
∴q3＝3，∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
9．数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　2n－1
解析　an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，即
各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1.
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为______．
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　
解析　由已知4S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．
∴a2＝3a3，
∴{an}的公比q＝＝.
11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q＝________.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　－
解析　当q＝1时，
Sn＝na1，S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9；
当q≠1时，＋＝2×，
得2－q3－q6＝2－2q9，
∴2q9－q6－q3＝0，
解得q3＝－或q3＝1(舍去)或q3＝0(舍去)，
∴q＝－.
三、解答题
12．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
解　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，
通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，
因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．
记{bn}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝－.
四、探究与拓展
13．在等比数列{an}中，对任意n∈N＋，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　)
A．(2n－1)2 B.
C．4n－1 D.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
答案　D
解析　∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1，
∴a1＝21－1＝1.
∵a1＋a2＝1＋a2＝22－1＝3，
∴a2＝2，
∴{an}的公比为2.
∴{a}的公比为4，首项为a＝1.
∴a＋a＋…＋a＝＝.
14．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝6，S4＝30，n∈N*，数列{bn}满足bn·bn＋1＝an，b1＝1.
(1)求an，bn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意可得a1＋a1q＝6，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝30，解得a1＝q＝2(负值舍去)，可得an＝a1qn－1＝2n，由bn·bn＋1＝an＝2n，b1＝1，可得b2＝2，即有bn＋1·bn＋2＝an＋1＝2n＋1，可得＝2，可得数列{bn}中奇数项、偶数项分别为公比为2的等比数列，即有bn＝
(2)当n为偶数时，前n项和为Tn＝(1＋2＋…＋)＋(2＋4＋…＋)＝＋＝3·()n－3；当n为奇数时，前n项和为Tn＝Tn－1＋＝3·()n－1－3＋＝()n+3－3.
综上可得，Tn＝
第2课时　等比数列前n项和性质及应用
学习目标　1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和．
知识点一　等比数列前n项和公式的函数特征
思考　若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？
答案　当Sn＝2n－1时，
an＝＝n∈N＋是等比数列；
当Sn＝2n＋1－1时，
an＝＝n∈N＋不是等比数列．
梳理　当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．
知识点二　等比数列前n项和的性质
思考　若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？
答案　设{an}的公比为q，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不为0，
Sn＝a1＋a2＋…＋an，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n
＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n
＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn
＝qn(S2n－Sn)，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
梳理　等比数列{an}前n项和的三个常用性质
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋)．
(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝
(q≠－1)．
1．对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数．(√)
2．当{an}为等差数列，{bn}为公比不是1的等比数列时，求数列的前n项和，适用错位相减法．(√)
类型一　等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1　已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，求证：数列{an}为等比数列．
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列前n项和综合问题
解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式，∴an＝(a－1)·an－1，n∈N＋.
∴＝a，∴数列{an}是等比数列．
反思与感悟　(1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
跟踪训练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列前n项和综合问题
答案　－
解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
类型二　等比数列前n项和的性质
命题角度1　连续n项之和问题
例2　已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
证明　方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
当q≠1时，Sn＝(1－qn)，
S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．
又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
方法二　根据等比数列的性质有
S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，
Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
反思与感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
跟踪训练2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
解　因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝. ?③
将③代入①得＝64，
所以S3n＝＝64×＝63.
命题角度2　不连续n项之和问题
例3　已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于(　　)
A．－3 B．－ C．3 D.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列奇偶项和的性质
答案　A
解析　∵a2＋a4＋a6＋a8
＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q
＝q(a1＋a3＋a5＋a7)
∴＝＝－3.
反思与感悟　注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快．
跟踪训练3　设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则＝________.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列奇偶项和的性质
答案　27－2
解析　
∴{}是首项为b2，公比为2的等比数列．
类型三　错位相减法求和
例4　求数列的前n项和．
考点　错位相减法求和
题点　错位相减法求和
解　设Sn＝＋＋＋…＋，
则有Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－，
即Sn＝－＝1－－.
∴Sn＝2－－＝2－(n∈N＋)．
反思与感悟　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．
跟踪训练4　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．
考点　错位相减法求和
题点　错位相减法求和
解　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝－nxn＋1，
∴Sn＝－.
综上可得，Sn＝
1．已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于(　　)
A．31 B．33 C．35 D．37
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
答案　B
解析　设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列前n项和综合问题
答案　C
解析　方法一　∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，
由Sn＝A(qn－1)，得＝，
∴x＝，故选C.
方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，
∵{an}是等比数列，∴当n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
即2x·3－1＝x－，
解得x＝.
3．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为(　　)
A．1 B.
C. D．无法确定
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列前n项和综合问题
答案　A
解析　由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，
所以向量a＝(c，d)的模为1.
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于(　　)
A．24 B．12 C．18 D．22
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
答案　B
解析　设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg an}构成等差数列．
2．等比数列前n项和中用到的数学思想
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；
②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0(2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系．
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解．
一、选择题
1．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于(　　)
A．2 B.
C．4 D.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　C
解析　∵a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，
∴a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，
∴q＝＝4，故选C.
2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)
A．1 B．0
C．1或0 D．－1
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　A
解析　∵Sn－Sn－1＝an(n∈N＋，n≥2)，又{Sn}是等差数列，
∴an为定值，即数列{an}为常数列，
∴q＝＝1.
3．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　)
A．90 B．70 C．40 D．30
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
答案　C
解析　∵S30≠3S10，∴q≠1.
由得
∴
∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，
∴S20＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
答案　B
解析　设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.
∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.
∴＝＝qm＝8＝，
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
5．已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，
cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N＋)，则以下结论一定正确的是(　　)
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2
D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
答案　C
解析　∵{an}是等比数列，
∴＝qmn＋m－m(n－1)－m＝qm，
∴＝＝(qm)m＝.
6．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)
A. B. C. D.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　B
解析　∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4.
∴S5＝＝8＝.
7．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N＋)，则a6等于(　　)
A．3×44 B．3×44＋1
C．45 D．45＋1
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　A
解析　当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，
即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，
即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，
∴an＝
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.
8．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　)
A．－3 B．5
C．－31 D．33
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
答案　D
解析　由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，
∴q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.
二、填空题
9．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列奇偶项和的性质
答案　2
解析　根据题意，得
∴∴q＝＝＝2.
10．已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列，Sn是{an}的前n项和，且＝5，则数列的前5项和为________．
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　
解析　＝＝1＋q2＝5，q＝±2.
∵{an}是摆动数列，
∴q＝－2.
∴数列的首项为1，公比为－，
∴数列的前5项和为＝＝.
三、解答题
11．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
考点　错位相减法求和
题点　错位相减法求和
解　(1)设数列{an}的公比为q，
由题意知2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.
∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n，n∈N＋.
(2)由题意得，bn＝n·2n，
∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1
＝－2－(n－1)·2n＋1.
∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1，n∈N＋.
12．中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.
(1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式；(注：2016年为第一年)
(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和的应用题
解　(1)当n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，
所以an＝45.5＋0.5×(n－1)＝45＋0.5n.
当n≥11时，数列{an}是以0.99为公比的等比数列．
又a10＝50，所以an＝50×0.99n－10，
因此新政策实施后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为
an＝
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得
S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈950.8(万)，
所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为≈47.54万．
因为<49，故到2036年不需要调整政策．
13．已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
(1)解　由已知，得an＝aqn－1，因此
S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)．
当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，
可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.
解得q＝.
(2)证明　若q＝1，则{an}的各项均为a，
此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列．
若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，
即＋＝，整理得qm＋ql＝2qn.
因此am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k，
所以am＋k，an＋k，al＋k成等差数列．
四、探究与拓展
14．数列{an}满足：a1＝，且an＋1＝(n∈N＋)，则＋＋＋…＋＝_____.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　2 017＋
解析　由题意可知＝＋·，即－1＝，
又－1＝－，所以＝1－，
所以＋＋＋…＋＝n－＝n－＋·，
则＋＋＋…＋＝2 018－＋×＝2 017＋.
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝3(2n－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝5n－2.数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}．若数列{cn}的第n项恰为数列{an}的第kn项，则数列{kn}的前32项的和是______．
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　2 016
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3(2n－1)－3(2n－1－1)＝3×2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，∴an＝3×2n－1.令at＝bs，∴3×2t－1＝5s－2，则s＝.t＝1，s＝1，符合题意；t＝2，s＝，不合题意；t＝3，s＝，不合题意；t＝4，s＝，不合题意；t＝5，s＝10，符合题意；…；
∴{kn}是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴数列{kn}的前32项之和为32×1＋×4＝2 016.
§4　数列在日常经济生活中的应用
学习目标　1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．
知识点一　单利、复利
思考1　第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按单利计息，则每个月所得利息是否相同？
答案　按单利计息，上一个月的利息在下一个月不再计算利息，故每个月所得利息是一样的．
思考2　第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按复利计息，则每个月所得利息是否相同？
答案　不同．因为按复利计息，上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金，所以每个月的利息是递增的．
梳理　一般地，(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和为a(1＋rx)．
(2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的．
利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和a(1＋r)x.
知识点二　数列应用问题的常见模型
1．整存整取定期储蓄
一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，到期本息合计为an，则an＝A(1＋np)．其本质是等差数列已知首项和公差求第n项问题．
2．定期存入零存整取储蓄
每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，则到第n期末时，应得到本息合计为：nA＋Ap.其本质为已知首项和公差，求前n项和问题．
3．分期付款问题
贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止．其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．
1．复利在第二次计息时，将上一次的本利和当作本金．(√)
2．增长率＝.(√)
3．同一笔钱，相同的利率，用单利计息和用复利计息收益是一样的．(×)
类型一　等差数列模型
例1　第一年年初存入银行1 000元，年利率为0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和为________元．
考点　等差数列的应用题
题点　等差数列的应用题
答案　1 036
解析　设各年末的本利和为{an}，
由an＝a(1＋nr)，其中a＝1 000，r＝0.72%，
∴a5＝1 000×(1＋5×0.72%)＝1 036(元)．
即第5年末的本利和为1 036元．
反思与感悟　把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比(差)，项数等．
跟踪训练1　李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？
考点　等差数列的前n项和应用题
题点　等差数列前n项和应用题
解　设第n个月存入的100元到期利息为an，
则a1＝100×2.7‰×36，
{an}是公差为100×2.7‰的等差数列．
∴数列{an}的前36项和S36＝36a1＋d
＝36×100×2.7‰×36＋18×35×100×2.7‰＝179.82，
3年共存入本金100×36＝3 600(元)．
∴到期一次可支取3 600＋179.82＝3 779.82(元)．
类型二　等比数列模型
例2　现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元．
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
答案　8×1.0255
解析　定期自动转存属于复利问题，设第n年末本利和为an，则
a1＝8＋8×0.025＝8×(1＋0.025)，
a2＝a1＋a1×0.025＝8×(1＋0.025)2，
a3＝a2＋a2×0.025＝8×(1＋0.025)3，
∴a5＝8×(1＋0.025)5，
即5年末的本利和是8×1.0255.
反思与感悟　在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项，从中寻找规律．
跟踪训练2　银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q，按单利计算利息．银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于________．
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
答案　[(1＋r)3－1]
解析　设储户开始存入的款数为a，由题意得，a(1＋3q)>a(1＋r)3，∴q>[(1＋r)3－1]．
类型三　分期付款
例3　用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？
考点　等差数列的前n项和应用题
题点　等差数列前n项和应用题
解　购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，
则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；
a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；
a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，
an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝(万元)(n＝1,2，…，10)．
因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列．
a5＝4－＝3.2(万元)．
S10＝10×4＋＝31(万元)．
因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．
反思与感悟　建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则．不易理解时就先试行规则，从中观察归纳找到规律．
跟踪训练3　某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还(　　)
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
考点　等比数列的前n项和应用题
题点　等比数列的前n项和应用题
答案　B
解析　根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x万元，则
x[(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a(1＋γ)5，
∴x·＝a(1＋γ)5
故x＝(万元).
1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程断续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂(　　)
A．65只 B．66只 C．216只 D．36只
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
答案　B
解析　设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，
∴{an}是首项为1，公比为6的等比数列．
∴a7＝a1·q7－1＝66.
2．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是(　　)
A．32 B．31 C．64 D．65
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
答案　D
解析　可递推下去，4小时后分裂成18个并死去一个，5小时后分裂成34个并死去一个；6小时后分裂成66个并死去一个，65个存活．
3．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有(　　)
A．6只 B．5只 C．8只 D．7只
考点　等差数列的前n项和应用题
题点　等差数列前n项和应用题
答案　A
解析　依题意除去一只羊外，其余n－1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列．
设a1＝7，d>0，Sn－1＝65－10＝55，
∴(n－1)a1＋d＝55，
即7(n－1)＋＝55，
∴(n－1)＝55.
∵55＝11×5且(n－1)为正整数，
为正整数．
∴解得n＝6.
1．数列应用问题的常见模型
(1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(d为常数)．
(2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型．
(3)如果容易找到该数列任意一项an＋1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题.
2．数列综合应用题的解题步骤
(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题.
(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．
(3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中．
一、选择题
1．夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为(　　)
A．1 600米 B．1 700米
C．1 800米 D．1 900米
考点　等差数列的应用题
题点　等差数列的应用题
答案　B
解析　从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n，则14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，所以山的高度为h＝(18－1)×100＝1 700(米)．
2．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近(　　)
A．860个 B．1 730个
C．3 072个 D．3 900个
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
答案　C
解析　由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a1＝3，q＝2，由27－(－34)＝61，＝10，
可得，a11＝3·210＝3 072，故选C.
3．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)(　　)
A．14 m B．15 m
C．16 m D．17 m
考点　等差数列的前n项和应用题
题点　等差数列前n项和应用题
答案　B
解析　纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·
＝480×3.14＝1 507.2(cm)≈15 m，故选B.
4．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg 0.97＝－0.013 2，lg 0.5＝－0.301 0)(　　)
A．22 B．23
C．24 D．25
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
答案　B
解析　依题意有(1－3%)n<0.5，
所以n>≈22.8，故选B.
5．某人从2009年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，至2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为(　　)
A．a(1＋r)7
B.[(1＋r)7－(1＋r)]
C．a(1＋r)8
D.[(1＋r)8－(1＋r)]
考点　等比数列的前n项和应用题
题点　等比数列的前n项和应用题
答案　B
解析　2009年存入钱为a元，2010年本息和为a＋a(1＋r)，
2011年本息和为a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2，
2012年本息和为a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3，
2013年本息和为a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3＋a(1＋r)4，
2014年本息和为a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3＋a(1＋r)4＋a(1＋r)5，
2015年本息和为a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3＋a(1＋r)4＋a(1＋r)5＋a(1＋r)6，
故选B.
6．某厂在2010年年底制定生产计划，要使2020年年底的总产量在原有基础上翻两番(变为原来的四倍)，则年平均增长率为(　　)
A．－1 B．－1 C．－1 D．－1
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
答案　A
解析　设年增长率为x,2010年总产量为1，到2020年年底翻两番后的总产量为4，故1·(1＋x)10＝4，∴x＝－1.
二、填空题
7．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本息和．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．
考点　等差数列的前n项和应用题
题点　等差数列前n项和应用题
答案　78ar
解析　依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝78ar.
8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2016年的垃圾量为________吨．
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
答案　a(1＋b)　a(1＋b)7
解析　2009年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2009年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2016年是从2009年起再过7年，所以2016年的垃圾量是a(1＋b)7吨．
9．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是________．
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
答案　－1
解析　设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a×90%×(1＋x)3＝a，
∴1＋x＝，x＝－1.
10．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在________层．
考点　等差数列的前n项和应用题
题点　等差数列前n项和应用题
答案　14
解析　设停在第x层，则
S＝[1＋2＋…＋(20－x)]×2＋[1＋2＋…＋(x－2)]＝＋421，
∴当x＝时取最小值，
而x∈{2,3，…，20}，
∴当x＝14时取最小值．
三、解答题
11．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．
考点　等比数列的前n项和应用题
题点　等比数列的前n项和应用题
解　方法一　设每期应付款x元．
第1期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x(1＋0.008)11(元)．
第2期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x(1＋0.008)10(元)，…，
第12期付款没有利息．
所以各期付款连同利息之和为
x(1＋1.008＋…＋1.00811)＝x，
又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，
于是有x＝2 000×1.00812，
解得x＝＝176(元)．
即每期应付款176元．
方法二　设每期应付款x元，则
第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x
第2期还款后欠款(2 000×1.008－x)×1.008－x
＝2 000×1.0082－1.008x－x，
…，
第12期还款后欠款2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x，
第12期还款后欠款应为0，
所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0.
∴x＝＝176(元)．
即每期应还款176元．
12．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)
考点　等差数列的前n项和应用题
题点　等差数列前n项和应用题
解　(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列．其中a1＝250，d＝50，
则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.
∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1.
由题意可知an>0.85bn，
有250＋(n－1)·50>400×1.08n－1×0.85.
由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，
∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
13．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10 000辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比一年多投入a辆．设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设Sn，Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量．
(1)求Sn，Tn，并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn；
(2)该市计划用7年时间完成全部更换，求a的最小值．
考点　等比数列的前n项和应用题
题点　等比数列的前n项和应用题
解　(1)依题意知，数列{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列；
数列{bn}是首项为400，公差为a的等差数列，
所以数列{an}的前n项和Sn＝＝256·，
数列{bn}的前n项和Tn＝400n＋a.
所以经过n年，该市更换的公交车总数Fn＝Sn＋Tn＝256＋400n＋a.
(2)易知Fn是关于n的单调递增函数，
依题意得F7≥10 000，
即256＋400×7＋a≥10 000，
解得a≥，
又a∈N＋，所以a的最小值为147.
四、探究与拓展
14.如图是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，设起始正方形的边长为，若共有1 023个正方形，则最小正方形的边长为________．
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
答案　
解析　由题意可知，正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列．
设连接n次后可得到1 023个正方形．
由题意可知，1＋2＋…＋2n＝1 023，
∴n＝9，∴最小正方形的边长为×9＝.
15．某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币)．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)．游戏规定：闯关者需在闯关前任选一种奖励方案．
(1)设闯过n(n≤12，且n∈N＋)关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为An，Bn，Cn，试求出An，Bn，Cn的表达式；
(2)如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？
考点　等比数列的前n项和应用题
题点　等比数列的前n项和应用题
解　(1)第一种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成常数列，
∴An＝40n(n≤12，且n∈N＋)．
第二种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成首项为4，公差为4的等差数列，
∴Bn＝4n＋×4＝2n2＋2n(n≤12，且n∈N＋)．
第三种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成首项为，公比为2的等比数列，
∴Cn＝＝(2n－1)(n≤12，n∈N＋)．
(2)令An>Bn，即40n>2n2＋2n(n≤12，n∈N＋)，
解得0Bn恒成立．
令An>Cn，即40n>(2n－1)(n≤12，n∈N＋)，
可得0∴当0Cn；当10≤n≤12时，Cn>An.
综上可知，若冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；若冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．