第三章不等式学案+滚动训练+章末检测 +模块检测

C．q＝r>p D．p＝r>q
考点　基本不等式比较大小
题点　利用基本不等式比较大小
答案　B
解析　因为0.
又因为f(x)＝ln x在(0，＋∞)上是增加的，
所以f?>f()，即p而r＝＝(ln a＋ln b)＝ln(ab)＝ln，
所以r＝p，故p＝r6．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C.≥2 D.>
考点　基本不等式的理解
题点　基本不等式的理解
答案　D
解析　a＋b＋≥2＋≥ 2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；
(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
∵a2＋b2≥2ab>0，
∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
∵a＋b≥2，且a，b∈(0，＋∞)，
∴≤1，≤.
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．
二、填空题
7．设正数a使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，则logat________loga .(填“＞”“≥”“≤”或“＜”)
考点　基本不等式比较大小
题点　利用基本不等式比较大小
答案　≤
解析　∵a2＋a－2＞0，∴a＞1或a＜－2(舍)，
∴y＝logax是增函数，
又≥ ，∴loga≥loga＝logat.
8．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；
④＋≥2.其中恒成立的不等式是________．
考点　基本不等式的理解
题点　基本不等式的理解
答案　①②
解析　由基本不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；＝＝≥＝＝2，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．
9．已知a＞b＞c，则与的大小关系是____________________．
考点　基本不等式比较大小
题点　利用基本不等式比较大小
答案　≤
解析　因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，
所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
10．设a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________．(用“＞”连接)
考点　基本不等式比较大小
题点　利用基本不等式比较大小
答案　m＞p＞n
解析　∵a＞1，∴a2＋1＞2a＞a＋1，
∴loga(a2＋1)＞loga(2a)＞loga(a＋1)，故m＞p＞n.
三、解答题
11．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
考点　基本不等式证明不等式
题点　运用基本不等式证明不等式
证明　∵a，b，c都是正数，
∴，，也都是正数，
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
12．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；(2)≥9.
考点　基本不等式证明不等式
题点　运用基本不等式证明不等式
证明　(1)＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．
(2)方法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴＝＝5＋2≥5＋4＝9，
∴≥9(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．
方法二　＝1＋＋＋.
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
13．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：≥8.
考点　基本不等式证明不等式
题点　运用基本不等式证明不等式
证明　∵a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
四、探究与拓展
14．设0A．logab＋logba≥2
B．logab＋logba≥－2
C．logab＋logba≤－2
D．logab＋logba>2
考点　基本不等式的理解
题点　基本不等式的理解
答案　C
解析　∵0∴logab<0，logba<0，－logab>0，－logba＞0，
∴(－logab)＋(－logba)＝(－logab)＋≥2，
当且仅当ab＝1时，等号成立，
∴logab＋logba≤－2.
15．设x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)
A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1
C．x＋y≤(＋1)2 D．xy≥2(＋1)
考点　基本不等式的理解
题点　基本不等式的理解
答案　A
解析　∵x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，xy≤2，
∴2－(x＋y)－1≥0，解得x＋y≥2(＋1)，当且仅当x＝y＝1＋时取等号.
3.2　基本不等式与最大(小)值
学习目标　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
知识点　用基本不等式求最值
思考　因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2.
以上说法对吗？为什么？
答案　错．显然(x2＋1)min＝1.
x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．仅说明曲线y＝x2＋1恒在直线y＝2x的上方，仅在x＝1时有公共点，但该点不是y＝x2＋1的最低点．
使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．
梳理　基本不等式求最值的条件
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值；
(3)等号成立的条件是否满足．
1．当a>0，b>0时，有≤.(√)
2．由于sin2x＋≥2＝4，所以sin2x＋的最小值为4.(×)
类型一　基本不等式与最值
例1　(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)设0(3)已知x>2，求x＋的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且 ＋＝1，求x＋y的最小值．
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
解　(1)当x>0时，x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．
∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2处取得最小值4.
(2)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，
即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6.
(4)方法一　∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16，
当且仅当＝，＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
方法二　由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．
由＋＝1，x>0，y>0，可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
反思与感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．
跟踪训练1　(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值．
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
解　(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，
当且仅当3x＝，即x＝2时取等号，
∴f(x)的最小值为12.
(2)∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．
∴f(x)的最大值为－1.
类型二　基本不等式在实际问题中的应用
命题角度1　几何问题的最值
例2　(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
解　(1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y)m.
由≥，可得x＋y≥2，2(x＋y)≥40.
当且仅当x＝y＝10时等号成立．
所以这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.
(2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.
由≤＝＝9，可得xy≤81，
当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.
反思与感悟　利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．
跟踪训练2　以斜边为2的直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周得一几何体，求该几何体体积的最大值，并求此时几何体的表面积．
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
解　如图，设Rt△ABC的斜边AB＝2，AC＝b，BC＝a，CD为斜边上的高，则CD＝＝，且a2＋b2＝4.
则以AB所在的直线为轴旋转一周所得的几何体的体积为V＝π·CD2×AD＋π×CD2×DB
＝π·CD2×AB＝π×2×2＝(ab)2.
由a2＋b2＝4与a2＋b2≥2ab得
ab≤2，当且仅当a＝b＝时，取“＝”．
所以V＝(ab)2≤×22＝.即当a＝b＝时，Vmax＝.
此时该几何体的表面积为
S＝π·CD×AC＋π·CD×BC＝π·CD×(AC＋BC)＝π×(＋)＝2π.
即几何体的表面积为2π.
命题角度2　生活中的最优化问题
例3　某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
解　设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．
由题意可知，面粉的保管及其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．
设平均每天所支付的总费用为y元，
则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝10 989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立．
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
引申探究
若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？
解　设x1，x2∈[15，＋∞)，且x1则－
＝9(x1－x2)＋900＝(x1－x2)＝(x1－x2).
∵15≤x1∴(x1－x2)<0，
即y＝9x＋＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．
∴当x＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天支付的费用最少．
反思与感悟　应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．
跟踪训练3　一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
答案　8
解析　设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t＝＝＋≥2＝8(小时)，
当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，
所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时．
1．已知x≥，则f(x)＝有(　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　D
解析　由x≥>2得，f(x)＝＝
＝≥×2＝1.
当且仅当x－2＝，
即x＝3时等号成立．
2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
答案　C
解析　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，
所以ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋
＝4＋2≈6.828(m)(当且仅当a＝b时，取等号)．
因为要求够用且浪费最少，故选C.
3．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．4 C．1 D.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　B
解析　由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.
因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
4．已知0考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　2－2
解析　当0所以f(x)＝2＋log2x＋＝2－≤2－2.
当且仅当－log2x＝，
即(log2x)2＝5，即x＝时，等号成立．
1．用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值．
2．求解应用题的方法与步骤
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．
一、选择题
1．已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，则lg xlg y的最大值是(　　)
A．4 B．2 C．1 D.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　A
解析　∵x>1，y>1，
∴lg x>0，lg y>0，lg xlg y≤2＝4，
当且仅当lg x＝lg y＝2，即x＝y＝100时取等号．
2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．16 D．不存在
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　B
解析　∵点P(x，y)在直线AB上，
∴x＋2y＝3，
∴2x＋4y≥2＝2＝4.
当且仅当2x＝4y，即x＝，y＝时，等号成立．
3．函数y＝log2(x>1)的最小值为(　　)
A．－3 B．3 C．4 D．－4
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　B
解析　∵x>1，∴x－1>0，
∴x＋＋5＝x－1＋＋6≥2＋6＝8，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
∴log2≥3，∴ymin＝3.
4．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A. B．4 C. D．5
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　C
解析　∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝＝＋＋≥＋2＝
，故y＝＋的最小值为.
5．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)
A．3 B. C．4 D.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　C
解析　2＋2＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋≥1＋1＋2＝4，
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
6．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆C：x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)
A．9 B．8 C．4 D．2
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　A
解析　将圆C：x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，
得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.
因为b>0，c>0，所以＋≥2＝4，
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c且b＋c＝1，
即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
二、填空题
7．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为______．
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
答案　
解析　设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，
则＋1＝a＋b＋≥2＋，
解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，
所以直角三角形的面积S＝ab≤，
即S的最大值为.
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
答案　20
解析　总运费与总存储费用之和
f(x)＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，
当且仅当4x＝，即x＝20时取等号．
9．设0考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　4
解析　∵02>0，
∴y＝≤＝＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号．
∴当x＝时，y＝有最大值4.
10．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　9
解析　∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9.
三、解答题
11．已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}．
(1)求实数a，b的值；
(2)若0考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
解　(1)依题意可得方程x2－5ax＋b＝0的根为4和1，
∴即
(2)由(1)知f(x)＝＋，∵00，>0，∴＋＝[x＋(1－x)]＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，
∴f(x)的最小值为9.
12．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
依题意得f(x)＝Q(x)＋＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N＋)，
f(x)＝50x＋＋3 000≥2＋3 000＝5 000(元)．
当且仅当50x＝，即x＝20时，上式取等号，
所以当x＝20时，f(x)取得最小值5 000 元．
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元．
13．为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知{an}为等差数列，相关信息如图所示．
(1)设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；(总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用)
(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
解　(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，
则an＝6＋2(n－1)＝2n＋4(n∈N＋)，
所以y＝25n－－36＝－n2＋20n－36＝－(n－10)2＋64，
当n＝10时，y的最大值为64万元．
(2)年平均盈利为＝＝－n－＋20＝－＋20
≤－2×＋20＝8(当且仅当n＝，即n＝6时取“＝”)．
故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．
四、探究与拓展
14．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．5
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　C
解析　∵a>0，b>0，
∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号同时成立．
15．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　)
A．2∈M,0∈M B．2?M,0?M
C．2∈M,0?M D．2?M,0∈M
考点　基本不等式中的参数问题
题点　基本不等式中的参数问题
答案　A
解析　M＝.
当k∈R时，＝＝＝(k2＋1)＋－2
≥2－2＝2－2>2(当且仅当k2＝－1时，取等号)．∴2∈M,0∈M.