第二章圆锥曲线与方程学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测

1　椭圆的定义在解题中的妙用
椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．
1．求最值
例1　线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是(　　)
A．2 B. C. D．5
解析　由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A，B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.
答案　C
2．求动点坐标
例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是________．
解析　设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
由解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，
此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，
即所求点的坐标为(±3,0)．
答案　(±3,0)
点评　由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合均值不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．
3．求焦点三角形面积
例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
将②代入①，得|PF1|＝.
所以＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.
点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.
从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．
2　如何求椭圆的离心率
1．由椭圆的定义求离心率
例1　以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
解析　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.
∴|AF2|＝c，|AF1|＝2c·sin 60°＝c.
∴|AF1|＋|AF2|
＝2a＝(＋1)c.
∴e＝＝＝－1.
答案　－1
点评　本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．
2．解方程(组)求离心率
例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________.
解析　如图所示，
直线AB的方程为＋＝1，
即bx－ay＋ab＝0.
∵点F1(－c,0)到直线AB的距离为，∴＝，
∴|a－c|＝，
即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.
又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.
两边同除以a2,8e2－14e＋5＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．
答案　
3．利用数形结合求离心率
例3　在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________.
解析　如图所示，切线PA，PB互相垂直，PA＝PB.
又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB，
则四边形OAPB是正方形，
故OP＝OA，
即＝a，∴e＝＝.
答案　
4．综合类
例4　设M为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率．
解　由正弦定理，得＝＝
＝＝，
∴e＝＝＝＝.
点评　此题可推广为若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，则椭圆的离心率e＝.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　活用双曲线定义妙解题
在解双曲线中的有关求离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用．下面举例说明．
1．求焦点三角形的周长
例1　过双曲线－＝1左焦点F1的直线与左支交于A，B两点，且弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是________．
解析　由双曲线的定义知|AF2|－|AF1|＝8，
|BF2|－|BF1|＝8，
两式相加得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)
＝|AF2|＋|BF2|－|AB|＝16，
从而有|AF2|＋|BF2|＝16＋6＝22，
所以△ABF2的周长为
|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝22＋6＝28.
答案　28
点评　与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧．
2．最值问题
例2　已知F是双曲线－y2＝1的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求|PM|＋|PF|的最小值．
解　设双曲线的左焦点为F′，
则F′(－2,0)，
由双曲线的定义，知|PF′|－|PF|＝2a＝2，所以|PF|＝|PF′|－2，
所以|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF′|－2，要使|PM|＋|PF|取得最小值，只需|PM|＋|PF′|取得最小值，由图可知，当P，F′，M三点共线时，|PM|＋|PF′|最小，此时|MF′|＝2，
故|PM|＋|PF|的最小值为2－2.
点评　本题利用双曲线的定义对点F的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值．另外同学们不妨思考一下：①若将M坐标改为M(1,1)，其他条件不变，如何求解呢？②若P是双曲线左支上一动点，如何求解呢？
3．求离心率范围
例3　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，试求双曲线离心率的取值范围．
解　因为|PF1|＝4|PF2|，点P在双曲线的右支上，
所以设|PF2|＝m，则|PF1|＝4m，
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝4m－m＝2a，
所以m＝.
又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即4m＋m≥2c，
所以m≥，
即≥，所以e＝≤.
又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为1点评　本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a，c的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解．
　　　　　　　　　　　　　　　4　解析几何中的定值与最值问题的解法
1．定点、定值问题
对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．
例1　已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线．设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值．
证明　∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，
则＝，此时λ＝1，μ＝0，
∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，
∴
①－②得＋＝0，
即＝－＝－，
又∵kAB＝＝1，∴y0＝－x0.
∴直线ON的方向向量为＝，
∵∥a，∴＝.
∵a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，
又直线方程为y＝x－c.
联立消去y，得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0.
∵x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2.
又设M(x，y)，则由＝λ＋μ，
得代入椭圆方程整理得
λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，
x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．
例2　已知抛物线y2＝2px(p>0)上有两个动点A，B及一个定点M(x0，y0)，F是抛物线的焦点，且|AF|，|MF|，|BF|成等差数列．
求证：线段AB的垂直平分线经过定点(x0＋p,0)．
证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，知
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|MF|＝x0＋.
因为|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，
所以2|MF|＝|AF|＋|BF|，即x0＝.
设AB的中点为(x0，t)，t＝.
则kAB＝＝＝＝.
所以线段AB的垂直平分线方程为y－t＝－(x－x0)，
即t[x－(x0＋p)]＋py＝0.
所以线段AB的垂直平分线过定点(x0＋p,0)．
2．最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．
例3　已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析　设右焦点为F′，由题意可知F′坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，|PF′|＋|PA|最小需P，F′，A三点共线，最小值即4＋|F′A|＝4＋＝4＋5＝9.
答案　9
点评　“化曲为直”法求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．
例4　已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解　(1)设动点P的坐标为(x，y)，
由题意有－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；
当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取得最小值16.
　　　　　　　　　　　　5　圆锥曲线中存在探索型问题的求解方法
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本文仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习．
1．常数存在型问题
例1　直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在这样的实数a，使A，B关于直线y＝2x对称？请说明理由．
分析　先假设实数a存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．
解　设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB中点坐标为.
依题设有＝2·，
即y1＋y2＝2(x1＋x2)，①
又A，B在直线y＝ax＋1上，
∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，
∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，②
由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，
即(2－a)(x1＋x2)＝2，③
联立得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
∴x1＋x2＝，④
把④代入③，得(2－a)·＝2，
解得a＝，经检验符合题意，
∴kAB＝，而kl＝2，∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.
故不存在满足题意的实数a.
2．点存在型问题
例2　在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y＝x相切于原点O，椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析　假设满足条件的点Q存在，根据其满足的几何性质，求出Q的坐标，则点Q存在，若求不出Q的坐标，则点Q就不存在．
解　(1)由题意知圆心在y＝－x上，
设圆心的坐标是(－p，p)(p>0)，
则圆的方程可设为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，
由于O(0,0)在圆上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a＝10，a＝5，
∴椭圆右焦点为F(4,0)．
假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|＝|OF|，
则有且m2＋n2≠0，
解得
故圆C上存在满足条件的点Q.
3．直线存在型问题
例3　试问是否能找到一条斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析　假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解．
解　设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．
由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝.∵AP⊥MN，
∴＝－ (k≠0)，故m＝－.
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)
＝9(1＋3k2)·(1－k2)>0，得－1故当k∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　6　圆锥曲线中的易错点剖析
1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误
例1　长为a的线段AB，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB的中点P的轨迹方程．
错解　如图所示，设A(0，y)，B(x,0)．由中点坐标公式可得P点坐标为，连接OP，由直角三角形斜边上的中线性质有
|OP|＝|AB|＝a.
故2＋2＝2，
即所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
错因分析　求轨迹方程，即求轨迹上任意一点的坐标所满足的方程，并检验以方程的解为坐标的点是否都是轨迹上的点，因此，应设轨迹上任意一点的坐标为?x，y?.上述解法是因为动点坐标设的不对，即运用方法不当而导致错误.
正解　设中点P(x，y)，A(0，m)，B(n,0)，
则m2＋n2＝a2，x＝，y＝，
于是所求轨迹方程为x2＋y2＝a2.
2．忽视定义中的条件而致误
例2　平面内一点M到两定点F1(0，－4)，F2(0,4)的距离之和为8，则点M的轨迹为(　　)
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
错解　根据椭圆的定义，点M的轨迹为椭圆，故选A.
错因分析　在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF1|＋|MF2|>|F1F2|，亦即2a>2c.而本题中|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.
正解　因为点M到两定点F1，F2的距离之和为|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案　D
3．忽视标准方程的特征而致误
例3　设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解　抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线方程为y＝－.
又与直线y＝1的距离为3的直线为y＝－2或y＝4.
故－＝－2或－＝4.∴m＝8或m＝－16.
所以抛物线的标准方程为y＝8x2或y＝－16x2.
错因分析　错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2＝y的形式，再求解.
正解　由于y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
4．涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而致误
例4　正方形ABCD的A，B两点在抛物线y＝x2上，另两点C，D在直线y＝x－4上，求正方形的边长．
错解　∵AB与直线y＝x－4平行，∴设AB的直线方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由得x2－x－b＝0，
|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)．
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，
即b2－8b＋12＝0，
解得b＝2或b＝6，
∴|AB|＝3或|AB|＝5.
错因分析　在考虑直线AB与抛物线相交时，必须有方程x2－x－b＝0的判别式Δ>0，以此来限制b的取舍.
正解　∵AB与直线y＝x－4平行，∴设AB的直线方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由得x2－x－b＝0，
|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)．
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，即b2－8b＋12＝0，
解得b＝2或b＝6，∵Δ＝1＋4b>0，∴b>－.
∴b＝2或b＝6都满足Δ>0，∴b＝2或b＝6.
∴|AB|＝3或|AB|＝5.

　　　　　　　　　　　　　　7　圆锥曲线中的数学思想方法的应用
1．方程思想
方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．本章中，方程思想的应用最为广泛．
例1　已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且a＝2b，若|AB|＝2，求椭圆的方程．
解　由
消去y，得x2－4x＋8－2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得
x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵|AB|＝2，
∴ ·＝2，
即·＝2，
解得b2＝4，故a2＝4b2＝16.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
2．函数思想
很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法．
例2　若点(x，y)在＋＝1(b>0)上运动，求x2＋2y的最大值．
解　∵＋＝1(b>0)，
∴x2＝4≥0，
即－b≤y≤b.
∴x2＋2y＝4＋2y
＝－＋2y＋4＝－2＋4＋.
当≤b，即0b，即b>4时，若y＝b，
则x2＋2y取得最大值，其最大值为2b.
综上所述，x2＋2y的最大值为
3．转化和化归思想
在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法．
例3　如图所示，已知椭圆＋＝1，直线l：x＝12，P是l上任意一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在线段OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上运动时，求点Q的轨迹方程．
解　设P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，∠POx＝α.
∵|OR|2＝|OQ|·|OP|，
∴2＝·.
由题意知xR>0，x>0，∴x＝x·12.①
又∵O，Q，R三点共线，
∴kOQ＝kOR，即＝.②
由①②得y＝.③
∵点R(xR，yR)在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1.④
由①③④得2(x－1)2＋3y2＝2(x>0)，
∴点Q的轨迹方程是2(x－1)2＋3y2＝2(x>0)．
4．分类讨论思想
本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论．
例4　求与双曲线－y2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程．
分析　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．
解　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，
即－＝1(λ≠0)．
当λ>0时，c2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
当λ<0时，c2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
综上所述，所求双曲线的方程为
－＝1或－＝1.
5．数形结合思想
利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．
例5　在△ABC中，BC边固定，顶点A在移动，设|BC|＝m，当三个角满足条件|sin C－sin B|＝|sin A|时，求顶点A的轨迹方程．
解　以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，
则B，C.
设点A坐标(x，y)，由题设，
得|sin C－sin B|＝|sin A|.
根据正弦定理，得||AB|－|AC||＝m.
可知点A在以B，C为焦点的双曲线上．
这里2a＝m，∴a＝.又c＝m，
∴b2＝c2－a2＝－＝m2.
故所求点A的轨迹方程为－＝1(y≠0)．

§2.1　椭　圆
2．1.1　椭圆及其标准方程
学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
知识点一　椭圆的定义
观察图形，回答下列问题：
思考1　如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？
答案　椭圆．
思考2　图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？
答案　笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．
梳理　平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
知识点二　椭圆的标准方程
思考　椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？
答案　椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半．a，b，c始终满足关系式a2＝b2＋c2.
梳理　
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
(1)平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为定值．(　√　)
(3)已知长、短轴长，椭圆的标准方程有两个，因为焦点在不同的坐标轴上，其标准方程不同．(　√　)
类型一　椭圆的标准方程
命题角度1　求椭圆的标准方程
例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B；
(2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点．
考点　椭圆的标准方程
题点　定义法求椭圆的标准方程
解　(1)方法一　当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵A(0,2)，B在椭圆上，
∴
解得
这与a>b相矛盾，故舍去．
当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)，
∵A(0,2)，B在椭圆上，
∴
解得
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1，
综上可知，椭圆的标准方程为＋x2＝1.
方法二　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
∵A(0,2)，B在椭圆上，
∴∴
故椭圆的标准方程为x2＋＝1.
(2)方法一　椭圆＋＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，
由椭圆的定义可得
2a＝＋，
∴2a＝12，即a＝6.
∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　由题意可设椭圆的标准方程为
＋＝1，
将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得
＋＝1，
解得λ＝11或λ＝－21(舍去)，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
反思与感悟　求椭圆标准方程的方法
(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．
(2)待定系数法
①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程．
特别提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．
跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．
考点　椭圆的标准方程
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知，
2a＝ ＋ 
＝2，
即a＝.又c＝2，
∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴∴
∴所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，
∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
∴代入得∴
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
命题角度2　由标准方程求参数?或其取值范围?
例2　若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是________．
考点　椭圆的标准方程
题点　求椭圆方程中的参数(或其取值范围)
答案　(0,1)
解析　∵方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
将方程改写为＋＝1，
∴有解得0反思与感悟　(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．
(2)＋＝1表示椭圆的条件是
表示焦点在x轴上的椭圆的条件是
表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
跟踪训练2　(1)已知方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为________．
考点　椭圆的标准方程
题点　求椭圆方程中的参数(或其取值范围)
答案　(7,10)
解析　化成椭圆标准形式得＋＝1，
根据其表示焦点在x轴上的椭圆，
得
解得7(2)若椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________.
考点　椭圆的标准方程
题点　求椭圆方程中的参数(或其取值范围)
答案　3或5
解析　当焦点在x轴上时，
∵a2＝4，b2＝m，由2c＝2，得c＝1，
∴4－m＝1，∴m＝3.
当焦点在y轴上时，
∵a2＝m，b2＝4，由2c＝2，得c＝1，
∴m－4＝1，则m＝5.
综上可知，m＝3或5.
类型二　椭圆定义的应用
命题角度1　椭圆图中的焦点三角形问题
例3　如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
考点　椭圆定义的应用
题点　焦点三角形中的问题
解　在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2，
∴c＝＝1.
又∵P在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，①
由余弦定理知，
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30°
＝|F1F2|2＝(2c)2＝4，②
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，③
③－②，得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
∴＝|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4.
引申探究　
在例3中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长．
解　由椭圆的定义，
可得△BPF2的周长为|PB|＋|PF2|＋|BF2|
＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝2a＋2a＝4a＝4.
反思与感悟　(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)；有时把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
(2)焦点三角形的周长等于2a＋2c.设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积为b2tan .
跟踪训练3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，
从而|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
又由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|，
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，
解得|PF1|＝，
所以△PF1F2的面积S＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝××2×＝.
命题角度2　与椭圆有关的轨迹问题
例4　如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆的定义确定轨迹方程
解　∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q，
∴|AQ|＝|PQ|，∴|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6，
∴点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
且2a＝6,2c＝4，∴点Q的轨迹方程为＋＝1.
反思与感悟　用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义产生椭圆的基本量a，b，c.
跟踪训练4　已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆的定义确定轨迹方程
解　如图，设圆P的半径为r，
又圆P过点B，∴|PB|＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.
∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.
1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆的定义确定轨迹
答案　D
解析　∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，
∴点M的轨迹是线段F1F2.
2．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(±，0) B．(0，±)
C. D.
考点　椭圆的标准方程
题点　由椭圆的标准方程求焦点、焦距
答案　C
解析　椭圆的方程为＋＝1，
则c2＝－＝，c＝.
∴其焦点坐标为.
3．设α∈，方程＋＝1是表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
考点　椭圆的标准方程
题点　求椭圆方程中的参数(或其取值范围)
答案　C
解析　∵焦点在y轴上，∴cos α>sin α，
即sin>sin α，
又α∈，∴－α>α，即α∈.
4．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m＝________.
考点　椭圆的标准方程
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　25
解析　由椭圆的定义知，3＋7＝2a，得a＝5，则m＝a2＝25.
5．焦点在坐标轴上，且经过A(－，2)和B(，1)两点，求椭圆的标准方程．
考点　椭圆的标准方程
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，
∵A(－，2)和B(，1)两点在椭圆上，
∴解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.

1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．
一、选择题
1．a＝6，c＝1的椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D．以上都不对
考点　椭圆的标准方程
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
答案　D
解析　因为椭圆的焦点位置不确定，
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
2．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为(　　)
A．－1 B．1 C. D．－
考点　椭圆的标准方程
题点　求椭圆方程中的参数(或其取值范围)
答案　B
解析　原方程可化简为x2＋＝1，
由c2＝－1＝4，得k＝1.
3．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于(　　)
A．2 B．4 C．8 D.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　B
解析　如图，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，
则ON是△F1MF2的中位线，∴|ON|＝|MF2|，又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
∴|MF2|＝8，
∴|ON|＝4.
4．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　B
解析　由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
不妨设|PF1|>|PF2|，
∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，
又∵|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
5．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
考点　椭圆的标准方程
题点　由椭圆的标准方程求焦点、焦距
答案　B
解析　曲线＋＝1焦点在x轴上．
对于曲线＋＝1，
∵09－k>0，
∴焦点在y轴上，故两者的焦点不同．
∵25－9＝(25－k)－(9－k)＝16＝c2，
∴2c＝8，则两者焦距相等．
故选B.
6．方程＋＝1表示椭圆的必要不充分条件是(　　)
A．m∈(－1,2)
B．m∈(－4,2)
C．m∈(－4，－1)∪(－1,2)
D．m∈(－1，＋∞)
考点　椭圆的标准方程
题点　求椭圆方程中的参数(或其取值范围)
答案　B
解析　方程＋＝1表示椭圆的充要条件是
即m∈(－4，－1)∪(－1,2)．
由题意可得，
所求m的取值范围包含集合(－4，－1)∪(－1,2)．
观察选项，故选B.
7．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为(　　)
A. B. C. D.
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　C
解析　∵·＝0，∴⊥，
由|MF1|＋|MF2|＝4，①
又|MF1|2＋|MF2|2＝(2)2＝12，②
由①与②可得|MF1|·|MF2|＝2，
设M到x轴的距离为h，
则|MF1|·|MF2|＝|F1F2|h，
h＝＝.
二、填空题
8．若椭圆的两个焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)，椭圆的弦AB过点F1，且△ABF2的周长等于20，该椭圆的标准方程为________________．
考点　椭圆的标准方程
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　＋＝1
解析　如图，
∵△ABF2的周长等于20，
∴4a＝20，即a＝5，又c＝3，
∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
9．已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝_________________.
考点　椭圆的标准方程
题点　求椭圆方程中的参数(或其取值范围)
答案　4或8
解析　(1)当焦点在x轴上时，10－m－(m－2)＝4，
解得m＝4.
(2)当焦点在y轴上时，m－2－(10－m)＝4，
解得m＝8，∴m＝4或8.
10．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____________．
考点　椭圆的标准方程
题点　求椭圆方程中的参数(或其取值范围)
答案　(8,25)
解析　由题意得解得811．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　
解析　由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.
故＝＝＝.
三、解答题
12．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
考点　椭圆的标准方程
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，∴·＝0.
而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，
①若|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值；
②求|PF1|·|PF2|的最大值．
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
解　(1)由题意，得椭圆焦点在y轴上，且c＝1.
又∵3a2＝4b2，
∴a2－b2＝a2＝c2＝1，
∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)①由|PF1|－|PF2|＝1，
又由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝.
②∵a＝2,4＝|PF1|＋|PF2|≥2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，
∴|PF1|·|PF2|≤4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取等号，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为4.
四、探究与拓展
14．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆的定义确定轨迹
答案　D
解析　∵a＞0，a＋≥2 ＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，
点P的轨迹是椭圆．
15．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程．
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆的定义确定轨迹
解　如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中，
|BC|＝＝，
∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2，且|PA|＋|PB|＞|AB|，
∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a＝，
c＝1，b＝1.∴所求曲线E的方程为＋y2＝1.
2．1.2　椭圆的几何性质
第1课时　椭圆的几何性质
学习目标　1.根据椭圆的方程研究其几何性质，并正确地画出它的图形.
2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一　椭圆的简单几何性质
已知两椭圆C1，C2的标准方程：C1：＋＝1，C2：＋＝1.
思考1　怎样求C1，C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？
答案　对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0，得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x轴的交点为(4,0)与(－4,0)．
思考2　椭圆具有怎样的对称性？
答案　椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．
思考3　椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？
答案　C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4；
C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
梳理　
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c(c＝)
|F1F2|＝2c(c＝)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b,0)
轴
长轴长2a，短轴长2b
知识点二　椭圆的离心率
思考　观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？
答案　如图所示，在Rt△BOF2中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0梳理　(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的离心率．
(2)性质：离心率e的取值范围是(0,1)，当e越接近于1，椭圆越扁，当e越接近于0，椭圆就越接近于圆．
(1)椭圆是封闭图形，所以它一定有范围限制．(　√　)
(2)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　√　)
(3)椭圆的焦距越大椭圆就越扁．(　×　)
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁．(　√　)
类型一　椭圆的几何性质
例1　已知椭圆方程为9x2＋16y2＝144，求此椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
考点　椭圆的几何性质
题点　由椭圆方程研究其几何性质
解　已知方程化成标准方程为＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝.又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)，
四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)．
反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
考点　椭圆的几何性质
题点　由条件研究椭圆的几何性质
解　椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.
(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，
c＝，又e＝，
即＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1.
∴椭圆的长轴长为4，短轴长为2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m＞4时，a＝，b＝2，
∴c＝，又e＝，即＝，
∴m＝，a＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为，短轴长为4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．
类型二　求椭圆的离心率
命题角度1　焦点三角形的性质
例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆的离心率
答案　－1
解析　方法一　如图，
∵△DF1F2为正三角形，
N为DF2的中点，
∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝c，
∴|NF1|＝
＝＝c，
则由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1.
方法二　由题意知，在焦点三角形NF1F2中 ，∠NF1F2＝30°，
∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，
则由离心率的三角形式，可得
e＝＝＝
＝
＝
＝－1.
反思与感悟　涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝ 求解．
跟踪训练2　已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，若∠BAF2＝60°，|AB|＝|AF2|，则椭圆的离心率为________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆的离心率
答案　
解析　如图所示，
∵∠BAF2＝60°，|AB|＝|AF2|，
∴△ABF2是等边三角形，
∴△ABF2的周长＝3|AF2|＝4a，
∴|AF2|＝，∴|AF1|＝.
在△AF1F2中，由余弦定理得(2c)2＝2＋2－2×××cos 60°，
化为a2＝3c2，解得e＝＝.
命题角度2　利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)
例3　(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆的离心率
答案　
解析　直线AB：x＝c，代入＋＝1，
得y＝±，
∴A，B.
∴＝＝＝－，
∴直线BF1：y－0＝－(x＋c)，
令x＝0，则y＝－，
∴D，∴kAD＝＝.
由于AD⊥BF1，∴－·＝－1，
∴3b4＝4a2c2，
∴b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac，
∴e2＋2e－＝0，
∴e＝＝，
∵e>0，∴e＝＝＝.
(2)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆离心率的取值范围
答案　
解析　椭圆＋＝1(a>b>0)，－b≤y≤b.
由题意知，以F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，
则c≥b，即c2≥b2，
所以c2≥a2－c2，
所以e2≥1－e2，即e2≥.
又0所以e的取值范围是.
反思与感悟　若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，且∠BAO＋∠BFO＝90°(O为坐标原点)，则椭圆的离心率e＝________.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆的离心率
答案　
解析　设椭圆的右焦点为F′，如图，
由题意得A(－a,0)，B(0，b)，F′(c,0)，
∵∠BAO＋∠BFO＝90°且∠BFO＝∠BF′O，
∴∠BAO＋∠BF′O＝90°，
∴·＝0，
∴(a，b)·(c，－b)＝ac－b2＝ac－a2＋c2＝0，
∴e2＋e－1＝0，解得e＝.
类型三　利用几何性质求椭圆的标准方程
例4　(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
(2)如图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何性质求方程
解　(1)∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3.
∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，
∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，
∵e＝＝，∴c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴a2＝3b2＝27，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
(2)依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的对称性，知|B1F|＝|B2F|，
又B1F⊥B2F，
∴△B1FB2为等腰直角三角形，
∴|OB2|＝|OF|，即b＝c.
|FA|＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
反思与感悟　此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．
跟踪训练4　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何性质求方程
解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
∴椭圆方程为＋＝1.
同理可求出当焦点在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求的椭圆方程为＋＝1.
1．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆的离心率
答案　B
解析　由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1.
∴c2＝－＝，∴e2＝，又0＜e＜1，∴e＝.
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
考点　椭圆的几何性质
题点　由椭圆方程研究其几何性质
答案　D
3．设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________．
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆的范围的简单应用
答案　[－5,5]
4．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为____________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何性质求方程
答案　＋＝1
解析　据题意a＝5，c＝3，故b＝＝4，又焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
考点　椭圆的几何性质
题点　由条件研究椭圆的几何性质
答案　(0，±)
解析　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．
一、选择题
1．椭圆C1：＋＝1与椭圆C2：x2＋＝1在扁圆程度上(　　)
A．C1较扁
B．C2较扁
C．C1与C2的扁圆程度一样
D．不能确定
考点　椭圆的几何性质
题点　由椭圆方程研究其几何性质
答案　B
解析　∵C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，且e12．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有(　　)
A．相同短轴 B．相同长轴
C．相同离心率 D．以上都不对
考点　椭圆的几何性质
题点　由椭圆方程研究其几何性质
答案　D
解析　因为在椭圆＋＝1中，焦点的位置不确定，所以无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系．
3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是(　　)
A. B.
C. D．－
考点　椭圆的几何性质
题点　由条件研究椭圆的几何性质
答案　C
解析　椭圆方程可简化为＋＝1，由题意知m>0，∴<，∴a＝，∴椭圆的长轴长2a＝.
4．设椭圆中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，点P在椭圆上，若椭圆的离心率为，△PF1F2的周长为12，则椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何性质求方程
答案　B
解析　由题意知＝，①
2a＋2c＝12，②
由①②可知，a＝4，c＝2，
∴b＝＝2，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
5．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆的离心率
答案　B
解析　由题意有2a＋2c＝2×2b，
即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，
消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，
即5e2＋2e－3＝0，
∴e＝或e＝－1(舍去)．
6．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
考点　椭圆性质的应用
题点　求椭圆的离心率
答案　C
解析　由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，
则kOP＝－，kAB＝－，
∵OP∥AB，∴－＝－，即y0＝.
把P代入椭圆方程，得＋＝1，
∴2＝，∴e＝＝.
7．椭圆＋＝1和＋＝k(k＞0，a＞0，b＞0)具有(　　)
A．相同的顶点 B．相同的离心率
C．相同的焦点 D．相同的长轴和短轴
考点　椭圆的几何性质的应用
题点　求椭圆的离心率
答案　B
解析　不妨设a＞b＞0，则椭圆＋＝k的离心率e2＝＝ .
而椭圆＋＝1的离心率e1＝ ，故B正确．
二、填空题
8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何性质求参数
答案　(2,4]
解析　∵e＝ ＝ ，
∴0< ≤，
得19．若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为____________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何性质求方程
答案　＋＝1或＋＝1
解析　由题意可知a＝2b，c＝1，
所以1＋b2＝4b2，故b2＝，a2＝，
则此椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
10．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆的离心率
答案　
解析　由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，
∴∠PF2x＝60°.
∴|PF2|＝2×＝3a－2c.
∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，
∴e＝＝.
11．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m＝________.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何性质求参数
答案　或4
解析　方程化为x2＋＝1，则有m＞0且m≠1.
当＜1时，由题意 ＝，解得m＝4；
当＞1时，由题意 ＝，解得m＝.
综上，m＝或4.
三、解答题
12.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆的离心率
解　设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.
因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形．
又∠MF1F2＝30°，
所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝|MF1|.
而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a，
因此|MF1|＝，所以2c＝×，即＝，
即椭圆的离心率是.
13．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若·＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．
考点　椭圆的标准方程
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　如图，
因为·＝0，
所以AF2⊥F1F2，
因为椭圆的离心率e＝＝，
所以b2＝a2，
设A(x，y)(x>0，y>0)，
由AF2⊥F1F2知x＝c，
所以A(x，y)代入椭圆方程得＋＝1，
所以y＝.
因为△AOF2的面积为2，
所以＝c×y＝2，
即c·＝2，
因为＝，所以b2＝8，
所以a2＝2b2＝16，
故椭圆的方程为＋＝1.
四、探究与拓展
14．设AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是(　　)
A．98a B．99a
C．100a D．101a
考点　椭圆几何性质的应用
题点　利用椭圆的性质求值
答案　D
解析　由椭圆的定义及其对称性可知，|F1P1|＋|F1P99|＝|F1P2|＋|F1P98|＝…＝|F1P49|＋|F1P51|＝|F1A|＋|F1B|＝2a，|F1P50|＝a,50×2a＋|F1P50|＝101a.
15．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆的离心率
解　(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.
故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.
又x＋2y＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝2＋(y0－2)2
＝x＋y＋＋4
＝x＋＋＋4
＝＋＋4(0＜x≤4)．
因为＋≥4(0＜x≤4)，当且仅当x＝4时等号成立，
所以|AB|2≥8.
故线段AB长度的最小值为2.
第2课时　椭圆的几何性质的应用
学习目标　1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．
知识点一　点与椭圆的位置关系
思考　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？
答案　当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二　直线与椭圆的位置关系
思考　直线与椭圆有几种位置关系？如何判断？
答案　有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．可以通过直线与椭圆的公共点的个数判断．
梳理　直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1的位置关系的判定
联立消去y得关于x的一元二次方程.
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
知识点三　直线与椭圆的相交弦
思考　若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？
答案　有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得．
梳理　弦长公式：(1)|AB|＝＝|x1－x2|＝；
(2)|AB|＝ |y1－y2|
＝ 
(直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率)．
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．
(1)点与椭圆的位置关系有且仅有三种．(　√　)
(2)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(　√　)
类型一　直线与椭圆的位置关系
命题角度1　直线与椭圆位置关系判断
例1　直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点的个数问题
答案　A
解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．
反思与感悟　直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：
(1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点．
(2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点．
(3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点．
跟踪训练1　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点的个数问题
解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞.
即k的取值范围为∪.
命题角度2　距离的最值问题
例2　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　距离的最值问题
解　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0
?m2＝16?m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
由图可知y＝x－4距l最近，故最短距离
d＝＝＝，
P点为切点，即P.
反思与感悟　解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交?Δ>0；(2)直线与椭圆相切?Δ＝0；(3)直线与椭圆相离?Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．
跟踪训练2　已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　距离的最值问题
解　如图，由直线l的方程与椭圆的方程可知，直线l与椭圆不相交．
设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0.①
由方程组
消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.②
令方程②的根的判别式Δ＝0，
得64k2－4×25×(k2－225)＝0.③
解方程③得k1＝25或k2＝－25.
由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0.
直线m与直线l间的距离d＝＝.
所以，最小距离是.
类型二　弦长与中点弦问题
例3　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y，可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝ 
＝ 
＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)方法一　当直线l的斜率不存在时，不合题意．
所以直线l的斜率存在．
设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立消去y，得
(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则x3＋x4＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
方法二　设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－，
由于P(4,2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
引申探究
若P(4,2)恰是直线l：x＋2y－8＝0被椭圆＋＝1(a＞b＞0)所截弦AB的中点，求该椭圆的离心率．
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1，
∴＝－，
∴kAB＝＝－＝－＝－＝－，
∴a2＝4b2.又c2＝a2－b2＝3b2，
∴e2＝＝，∴e＝.
反思与感悟　处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．
跟踪训练3　已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
解　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，
得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，代入①式可得b＝a.
∵直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.
又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，消去y，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝2－4·.②
将b＝a代入②式，解得a＝，∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋＝1.
方法二　由
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
且直线AB的斜率k＝－1，
∴|AB|＝
＝
＝·.
∵|AB|＝2，∴＝2，
∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，
∴＝＝，将其代入①式得，a＝，b＝.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
类型三　椭圆中的最值(或范围)问题
例4　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中的最值问题
解　(1)由消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝
＝＝
＝ ＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
引申探究　
在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．
解　可求得O到AB的距离d＝，
又|AB|＝，
∴S△AOB＝|AB|·d
＝··
＝ ≤·＝，
当且仅当－m2＝m2时，上式取“＝”，
此时m＝±∈.
∴所求直线方程为x－y±＝0.
反思与感悟　解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
跟踪训练4　若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆的范围的简单应用
答案　6
解析　由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴·＝x＋x0＋3
＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2，
∴·的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
考点　椭圆的几何性质
题点　点与椭圆的位置关系
答案　A
解析　由题意知＋＜1，
解得－＜a＜.
2．若直线y＝x＋与椭圆x2＋＝1(m>0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为(　　)
A．1 B. C．2 D．2
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆公共点的个数问题
答案　D
解析　联立
消去y，得(m2＋1)x2＋2x＋6－m2＝0，
Δ＝(2)2－4(m2＋1)(6－m2)＝0，
即4m2(m2－5)＝0，
∵m>0且m≠1，∴m＝，故选D.
3．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于(　　)
A．0 B．2 C．4 D．－2
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长与三角形面积
答案　D
解析　由题意，得c＝＝，
又＝2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，
∴当h＝b＝1时，取最大值，此时∠F1PF2＝120°.
∴·＝||·||·cos 120°
＝2×2×＝－2.
4．过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
答案　x－2y＋3＝0
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则又
两式相减得＝.
∴AB所在的直线方程为x－2y＋3＝0.
5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，
且|MN|＝，求直线l的方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　求椭圆中的直线方程
解　设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并化简，
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，Δ＝16k2＞0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)2＝，
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，所以k＝±1.
所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
1．直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝＝＝ ·
＝ 
＝ ·(k为直线斜率)．
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
2．解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．
一、选择题
1．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)
A．8,2 B．5,4 C．5,1 D．9,1
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆的范围的简单应用
答案　D
解析　因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.
2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是(　　)
A．[4－2，4＋2] B．[4－，4＋]
C．[4－2，4＋2] D．[4－，4＋]
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆的范围的简单应用
答案　A
解析　方程可化为＋＝1，故椭圆焦点在y轴上，
又a＝2，b＝，所以－≤m≤，
故4－2≤2m＋4≤2＋4.
3．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m≥1或0C．0考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆公共点的个数问题
答案　D
解析　直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，且直线与椭圆总有公共点，则点(0,1)在椭圆上或内部，即＋≤1，得m≥1，又m≠5，所以选D.
4．直线y＝1被椭圆＋＝1截得的线段长为(　　)
A．4 B．3 C．2 D.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长与三角形面积
答案　C
5．若直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．需根据a，b的取值来确定
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆公共点的个数问题
答案　C
解析　∵直线与圆没有交点，∴d＝ >2，
∴a2＋b2<4，即<1，∴＋<1，
∴点(a，b)在椭圆内部，
故直线与椭圆有2个交点．
6．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度是(　　)
A．3 B．2 C. D.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
答案　C
解析　设以(1,1)为中点的弦的两端为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

①－②可得
(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
又∴＝－，
∴所在直线方程为y－1＝－(x－1)，
即y＝－x＋，
由得3x2－6x＋1＝0，
x1＋x2＝2，x1x2＝.
|AB|＝ ×
＝×＝.
二、填空题
7．直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆公共点的个数问题
答案　(－2,2)
解析　如图，－28．如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率为________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆的离心率
答案　－1
解析　由直线方程y＝(x＋c)，得直线与x轴的夹角∠MF1F2＝，且过点F1
(－c,0)．∵∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴∠MF1F2＝2∠MF2F1＝，即F1M⊥F2M.
∴在Rt△F1MF2中，|F1F2|＝2c，|F1M|＝c，|F2M|＝c，
∴由椭圆定义可得2a＝c＋c，
∴离心率e＝＝＝－1.
9．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为原点，则△OAB的面积为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长与三角形面积
答案　
解析　直线方程为y＝2x－2，与椭圆方程＋＝1联立，可以解得A(0，－2)，B，
∴S△OAB＝|OF|·|yA－yB|＝(也可以用设而不求的方法求弦长|AB|，再求出点O到AB的距离，进而求出△AOB的面积)．
10．若椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，若＝，则过原点与线段AB的中点M的连线的斜率为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即＋·＝0.
∵＝－1，＝，
∴＝，
∴kOM＝.
三、解答题
11．已知点A，B是椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)与直线x－3y＋2＝0的交点，点M是AB的中点，且点M的横坐标为－，若椭圆C的焦距为8，求椭圆C的方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
解　设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，
依题意得
∴＋kAB＝0，
∵点M，
∴－＋×＝0，
∴a2＝3b2.
又∵c＝4，∴a2＝24，b2＝8，
经检验，a2＝24，b2＝8符合题意，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
12．已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且⊥，求直线l的方程．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何性质求方程
解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
根据题意知解得a2＝，b2＝.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)容易求得椭圆C的方程为＋y2＝1.
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．
由消去y，
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
因为⊥，
所以·＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)
＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1
＝＝0，解得k2＝，即k＝±.
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
13．椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交的其他问题
(1)证明　椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)>0，
得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，
即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即－＋1＝0，
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)解　∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．
四、探究与拓展
14．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长与三角形面积
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得3x2－4x＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
|AB|＝·＝·＝，
|F1A|＋|F2B|＝4a－|AB|＝.
15.已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长与三角形面积
解　(1)由题设知解得
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d<1，得|m|<.(*)
∴|CD|＝2＝2 ＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
Δ＝(－m)2－4(m2－3)＞0，得m2＜4.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝ 
＝.
由＝，得 ＝1，
解得m＝±，满足(*)，也满足Δ＞0，
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
§2.2　双曲线
2.2.1　双曲线及其标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点一　双曲线的定义
观察图形，思考下列问题：
思考1　图中动点M的几何性质是什么？
答案　||MF1|－|MF2||＝常数(常数|F1F|或|F2F|)且0＜常数<|F1F2|.
思考2　若||MF1|－|MF2||＝|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？
答案　以F1或F2为端点的两条射线．
梳理　平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
知识点二　双曲线的标准方程
思考1　双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
答案　双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．
思考2　如图，类比椭圆中a，b，c的意义，对于双曲线，你能在y轴上找一点B，使|OB|＝b吗？
答案　以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B.
梳理　
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　×　)
(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.(　×　)
(3)在双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.(　×　)
类型一　求双曲线的标准方程
例1　求下列双曲线的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)过点P，Q，且焦点在坐标轴上．
考点　求双曲线的标准方程
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)方法一　椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有
解得
故所求双曲线的方程为－＝1.
方法二　由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，
设所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25)．
因为双曲线过点(－2，)，所以－＝1，
解得λ＝20或λ＝7(舍去)，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
因为点P，Q在双曲线上，
所以
解得
故所求双曲线方程为－＝1.
反思与感悟　待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
②与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)．
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
跟踪训练1　根据条件求双曲线的标准方程．
(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(3)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)．
考点　求双曲线的标准方程
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.
由题意知－＝1，∴－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍)．
∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的方程为－＝1.
(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，
故可设双曲线的方程为－＝1.
由题意，知解得
故双曲线的方程为－＝1.
类型二　双曲线的定义及应用
例2　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为_______．
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　(1)4a＋2m　(2)16
解析　(1)由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a.
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.
(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
引申探究
本例(2)中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
解　由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36.①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100.②
将②代入①得|PF1|·|PF2|＝32，
所以＝|PF1|·|PF2|＝16.
反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．
跟踪训练2　已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
解　设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2，ON是三角形PF1F2的中位线，
所以|ON|＝|PF2|，
因为||PF1|－|PF2||＝2a＝8，|PF1|＝10，
所以|PF2|＝2或18，|ON|＝|PF2|＝1或9.
类型三　与双曲线有关的轨迹问题
例3　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
考点　双曲线的定义
题点　由双曲线的定义确定轨迹方程
答案　x2－＝1(x≤－1)
解析　如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件 |MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|, 因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且2<6＝|C1C2|.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，
其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
反思与感悟　定义法求双曲线方程的注意点
(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．
(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．
(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．
跟踪训练3　在△ABC中，已知A(－2，0)，B(2，0)，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，求顶点C的轨迹方程．
考点　双曲线的定义
题点　由双曲线的定义确定轨迹方程
解　由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
因为2sin A＋sin C＝2sin B，
所以2a＋c＝2b，即b－a＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
因为a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝6，
即所求轨迹方程为－＝1(x>).
1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．双曲线 D．两条射线
考点　双曲线的定义
题点　由双曲线的定义确定轨迹
答案　D
解析　由题意知|F1F2|＝||MF1|－|MF2||＝6，
所以点M的轨迹是两条射线．
2．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．24 D．48
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　C
解析　由题意得解得
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
则＝|PF1|×|PF2|＝24.
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(　　)
A. B．1或－2
C．1或 D．1
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　椭圆与双曲线的综合应用
答案　D
解析　由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，所以可解得a＝1，故选D.
4．若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(　　)
A．－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　A
解析　由题意知，k＋3>0且k＋2<0，
∴－35．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．
考点　求双曲线的标准方程
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)由题设知，a＝3，c＝4，
由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上，
因为点A(－5,6)在双曲线上，
所以2a＝|－|
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．
如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．
一、选择题
1．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
考点　双曲线的定义
题点　由双曲线的定义确定轨迹方程
答案　D
解析　由题意知动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝3，b＝4，故选D.
2．若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　A
解析　当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k>5或k<2.故选A.
3．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是(　　)
A．1 B．－1 C．－ D.
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　B
解析　由焦点坐标知，焦点在y轴上，∴m<0，
∴双曲线的标准方程为－＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
4．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)
A．m－s B.(m－s)
C．m2－s2 D.－
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　A
解析　如图所示，
设|PF1|＝x，|PF2|＝y，
则
∴x＝＋，y＝－，
∴|PF1|·|PF2|＝xy＝m－s.
5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　双曲线的标准方程
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　B
解析　据已知条件得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点坐标为(0,2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，
∴双曲线的方程为x2－＝1.
6．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A．x＝0 B.－＝1(x≥)
C.－＝1 D.－＝1或x＝0
答案　D
考点　双曲线的定义
题点　由双曲线的定义确定轨迹方程
解析　动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：
①动圆M与两圆都外切；
②动圆M与两圆都内切；
③动圆M与圆C1外切，与圆C2内切；
④动圆M与圆C1内切，与圆C2外切．
在①②情况下，显然动圆圆心M的轨迹方程是x＝0；
在③的情况下，如图，
设动圆M的半径为r，
则|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
故得|MC1|－|MC2|＝2；
在④的情况下，同理，
得|MC2|－|MC1|＝2.
由③④得||MC1|－|MC2||＝2<8＝|C1C2|，
根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，
且a＝，c＝4，b2＝c2－a2＝14，
所以此时动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.故选D.
7．设F1，F2分别是双曲线－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，·的值为(　　)
A．0 B．1
C. D．2
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　A
解析　不妨设P(xP，yP)(xP，yP＞0)，由×2c×yP＝1，得yP＝，∴P，
∴＝，＝，
∴·＝0.
二、填空题
8．双曲线－＝1上一点P到点F1(5,0)的距离为15，则点P到点F2(－5,0)的距离为________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　7或23
解析　由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，而由双曲线方程知a＝4，则点P到F2的距离为23或7.
9．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为____________．
考点　双曲线的标准方程
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　－＝1
解析　设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，
∴·＝－1，∴c＝5.
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　
解析　由双曲线的定义可得a－c＝10，
由正弦定理得＝＝＝.
11．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出下列判断：
①当1②当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线；
③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4.
其中正确的是________．(填序号)
考点　双曲线的标准方程
题点　已知方程判断曲线的类型
答案　②③④
解析　①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若曲线C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；③正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，∴14.
三、解答题
12.如图，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的曲线方程．
考点　双曲线的定义
题点　由双曲线的定义确定轨迹方程
解　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，
且a＝，c＝5.∴b2＝.
∴双曲线方程为－＝1.
13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，
且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1，
则有解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
而cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
四、探究与拓展
14．双曲线－＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m的取值范围为________．
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　{－2,7}
解析　(1)当焦点在x轴上时，有m＞5，
则c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；
(2)当焦点在y轴上时，有m＜0，则c2＝－m＋5－m＝9，
∴m＝－2.
综上所述，m＝7或m＝－2.
15．已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．
(1)设＜m＜4，求与的夹角θ的正切值的取值范围；
(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
考点　双曲线的标准方程
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)因为
所以tan θ＝.
又＜m＜4，所以1＜tan θ＜4.
即tan θ的取值范围为(1,4)．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，则y1＝±.
又·＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，
解得x1＝，
所以||＝＝ ≥＝2，
当且仅当c＝4时取等号，||最小，
这时点Q的坐标为(，)或(，－)．
因为所以
所以双曲线的标准方程为－＝1.
2.2.2　双曲线的几何性质
学习目标　1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．
知识点一　双曲线的几何性质
类比椭圆的几何性质，结合图象得到双曲线的几何性质如下表：
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
知识点二　双曲线的离心率
思考1　如何求双曲线的渐近线方程？
答案　将方程－＝1(a>0，b>0)右边的“1”换成“0”，即由－＝0得±＝0，如图，作直线±＝0，在双曲线－＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫做双曲线的渐近线．
思考2　椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？
答案　双曲线－＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e＝，则＝＝.
当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．
梳理　双曲线的半焦距c与实半轴a的比叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1，＋∞)．e越大，双曲线的开口越开阔．
(1)双曲线与椭圆都有离心率e，且其取值范围相同．(　×　)
(2)双曲线的离心率越大，双曲线的张口越大．(　√　)
(3)双曲线可以和它的渐近线无限靠近，但不可能相交．(　√　)
类型一　双曲线的几何性质问题
命题角度1　已知双曲线的标准方程求其简单性质
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线方程研究几何性质
解　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；
焦点坐标为(－，0)，(，0)；
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±x.
反思与感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线方程研究几何性质
解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
命题角度2　由双曲线的几何性质确定标准方程
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6，得λ＝；
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6，得λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
将点M(2，－2)代入双曲线方程，
得λ＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟　(1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a，b，写出方程．
(2)①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为
－＝1(λ≠0，－b2<λ②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
③渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝；
(3)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的几何性质求方程
解　(1)由题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由e2＝，得＝，设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
∴设所求双曲线方程为－＝1①
或－＝1.②
将(3,9)代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；
将(3,9)代入②，得k＝9.
故所求双曲线方程为－＝1.
(3)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
类型二　与双曲线有关的离心率问题
例3　分别求适合下列条件的双曲线的离心率．
(1)双曲线的渐近线方程为y＝±x；
(2)双曲线－＝1(0考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
解　(1)若焦点在x轴上，则＝，
∴e＝ ＝；
若焦点在y轴上，则＝，即＝，
∴e＝ ＝.
综上可知，双曲线的离心率为或.
(2)依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c，
即ab＝c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0，
∴32－10×＋3＝0.
解得＝或＝3.
又∵0反思与感悟　求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0跟踪训练3　已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
解　设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±；
∴|PF1|＝.
由双曲线对称性，知|PF2|＝|QF2|.
又∠PF2Q＝90°，
∴|F1F2|＝|PQ|＝|PF1|，
∴＝2c，则b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，∴2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0，
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
∴所求双曲线的离心率为1＋.
类型三　直线与双曲线的位置关系
例4　已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1.
(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；
(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；
(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
解　把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1，
整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
(1)∵直线与双曲线有两个公共点，
∴判别式Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2>0，
且3－a2≠0，得－故当－(2)∵直线与双曲线只有一个公共点，
∴或3－a2＝0，
故当a＝±或a＝±时，
直线与双曲线只有一个公共点．
(3)∵直线双曲线没有公共点，
∴∴a>或a<－.
故当a>或a<－时，直线与双曲线没有公共点．
反思与感悟　直线与双曲线的位置关系问题的求解要注意常用方法的应用，即将直线方程代入双曲线的标准方程，得到一元二次方程，这个方程的根就是直线与双曲线交点的横(纵)坐标．利用根与系数的关系可以解决有关弦长、弦中点、轨迹等问题．
(1)直线与双曲线的位置的判断方法
直线与双曲线位置关系的判定有时通过联立方程组求解，有时也要结合图形进行求解．
联立消去y，
得(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2m2－a2b2＝0.①
当b2－a2k2＝0时，①式为一次方程，仅有一解，此时直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线有一个公共点，相交；
当b2－a2k2≠0时，
若Δ>0，直线与双曲线有两个公共点，相交；
若Δ＝0，直线与双曲线有一个公共点，相切；
若Δ<0，直线与双曲线没有公共点，相离．
(2)对于弦长的问题，通常结合两点间的距离公式或弦长公式求解．
跟踪训练4　设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于不同的两点A，B，求双曲线C的离心率e的取值范围．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　求双曲线离心率的取值范围
解　将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1(a>0)中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
因为双曲线C与直线l相交于不同两点，
所以解得0又双曲线的离心率e＝＝ ，
所以e>且e≠.
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线方程研究几何性质
答案　C
解析　双曲线的标准方程为－＝1，故实轴长为4.
2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．－4 B．－3 C．2 D．1
考点　双曲线性质的应用
题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题
答案　A
解析　∵方程表示双曲线，
∴a<0，标准方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝± x，
∴＝，解得a＝－4.
3．已知双曲线－＝1(a＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　C
解析　由题意知a2＋5＝9, 解得a＝2，则e＝＝.
4．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为____________．
考点　双曲线的几何性质
题点　求渐近线方程
答案　y＝±x
解析　由条件知2b＝2,2c＝2，
∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，
即a＝.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
5．若双曲线的顶点在坐标轴上，两顶点的距离为8，离心率是，求双曲线的标准方程．
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
解　由题设，①当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵2a＝8，∴a＝4，由e＝＝，得c＝5，
∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.
此时双曲线的标准方程为－＝1.
②当焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
同理可求得a＝4，b2＝9.
此时双曲线的标准方程为－＝1.
因此所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.
一、选择题
1．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
考点　双曲线性质的应用
题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题
答案　A
解析　由双曲线渐近线方程的求法知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.
2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)
A．2 B．2
C. D．1
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线方程研究几何性质
答案　A
解析　∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F(4,0)到x－y＝0的距离为＝2.
3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
答案　B
解析　依题意得，c＝3，e＝，
所以a＝2，从而a2＝4，b2＝c2－a2＝5，故选B.
4．直线y＝kx－1与双曲线－＝1有且只有一个交点，则k的值为(　　)
A．k＝± B．k＝±
C．k＝±或k＝± D．k∈?
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
答案　C
解析　将直线方程代入双曲线方程，得
(9－4k2)x2＋8kx－40＝0.
当9－4k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线只有一个交点；
当9－4k2≠0，Δ＝0时，k＝±，
此时直线与双曲线相切，只有一个公共点．
5．若实数k满足0A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线方程研究几何性质
答案　D
解析　因为0在－＝1中，a2＝16，b2＝5－k.
在－＝1中，a2＝16－k，b2＝5.
由c2＝a2＋b2知，两双曲线的焦距相等，
故选D.
6．双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
考点　双曲线的几何性质
题点　双曲线的焦点三角形
答案　B
解析　双曲线的离心率e1＝，
椭圆的离心率e2＝，
由e1e2＝1，得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，
故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．
7．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D．3
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　B
解析　不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a.
又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.又r1·r2＝ab，所以·＝ab，解得＝(负值舍去)．故e＝＝ ＝ ＝ ＝，故选B.
二、填空题
8．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________．
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
答案　－＝1
解析　设所求双曲线方程为x2－＝λ，
将点(2,2)代入，可得λ＝3，∴双曲线方程为－＝1.
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为___________．
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
答案　－＝1
解析　∵顶点(±a,0)到渐近线的距离为1，
∴＝1，解得a＝2.
∵＝，∴b＝.
∴双曲线方程为－＝1.
10．已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－2x－8＝0上，则双曲线的渐近线方程为______．
考点　双曲线的几何性质
题点　求渐近线方程
答案　y＝±x
解析　由已知得一个焦点坐标为(4,0)，故双曲线方程为－＝1，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
11．已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________．
考点　双曲线性质的应用
题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题
答案　(4，＋∞)
解析　∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，∴双曲线C：－＝1的离心率e＞，即＞2，∴m＞4.
三、解答题
12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，求双曲线的离心率．
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
解　设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F1PF2中，|PF1|＝2c，|PF2|＝2c，又|PF1|－|PF2|＝2a，故有e＝＋1.
13．已知双曲线的一条渐近线方程为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
解　椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴　解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
四、探究与拓展
14．已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线离心率的取值范围
答案　(1,2)
解析　要使△ABE是锐角三角形，只需满足∠AEB为锐角．又△ABE是等腰三角形，其中|AE|＝|BE|，所以只需满足∠AEF＜45°.在Rt△AFE中，tan∠AEF＝＝＜1，即c2－ac－2a2＜0，两边同除以a2，得e2－e－2＜0，所以－1＜e＜2.又e＞1，所以离心率e的取值范围是(1,2)．
15．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围．
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线离心率的取值范围
解　直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，可得点(1,0)到直线l的距离d1＝，同理得到点(－1，0)到直线l的距离d2＝.所以s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2，于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解不等式得≤e2≤5.由于e>1，所以e的取值范围是.
§2.3　抛物线
2．3.1　抛物线及其标准方程
学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一　抛物线的定义
思考　如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线？
点D在移动过程中，满足什么条件？
答案　抛物线，|DA|＝|DC|.
梳理　抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
知识点二　抛物线的标准方程
思考1　抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？
答案　p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向．
思考2　已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
答案　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
梳理　抛物线的标准方程有四种类型
图形
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
焦点坐标




准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
(1)在平面内，点P到点F和到直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)
(2)抛物线其实就是双曲线的一支．(　×　)
(3)抛物线的标准方程只需焦点到准线的距离p就可以确定．(　×　)
类型一　抛物线标准方程及求解
命题角度1　由抛物线方程求焦点坐标或准线方程
例1　已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；
(3)y＝4x2；(4)y2＝a2x(a≠0)．
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
解　(1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，
2p＝6，p＝3，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为x＝.
(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－y，
知抛物线开口向下，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为y＝.
(3)将y＝4x2化为x2＝y，
知抛物线开口向上，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为y＝－.
(4)由方程y2＝a2x(a≠0)知抛物线开口向右，
2p＝a2，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为x＝－.
反思与感悟　如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．
跟踪训练1　(1)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A. B.
C．1 D.
(2)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝______________，准线方程为____________．
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　(1)B　(2)2　x＝－1
解析　(1)抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0，
∴所求距离为＝.故选B.
(2)由＝1，知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.
命题角度2　求解抛物线标准方程
例2　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为(－2,0)；
(2)准线为y＝－1；
(3)过点A(2,3)；
(4)焦点到准线的距离为.
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，
∴抛物线标准方程为y2＝－8x.
(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，∴p＝2，
∴抛物线标准方程为x2＝4y.
(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2,3)的坐标代入，得32＝m·2,22＝n·3，
∴m＝，n＝.
∴所求抛物线方程为y2＝x或x2＝y.
(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.
∴所求抛物线方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
反思与感悟　求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)．
跟踪训练2　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1) 过点(3，－4)；
(2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　(1)方法一　∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
方法二　设抛物线的方程为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0)．
把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
类型二　抛物线定义的应用
例3　已知点A(3,2)，点M到F的距离比它到y轴的距离大.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
解　(1)设M(x，y)，则|MF|＝，当x≥0时，点M到y轴的距离为x，可得＝x＋?y2＝2x；当x＜0时，由题意可得点M的轨迹方程为y＝0(x＜0)．综上所述，点M的轨迹方程为y2＝2x或y＝0(x＜0)．
(2)如图，
由于点M在抛物线上，
所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0,2)，代入抛物线方程得x0＝2，
即M(2,2)．
反思与感悟　(1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用．本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．
(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程．在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题．
跟踪训练3　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是(　　)
A. B．3 C. D.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
答案　A
解析　如图，
由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离等于点P到焦点F的距离．因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为 ＝.
1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　A
解析　由y＝x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－＝－1.
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝±8x
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
答案　D
解析　由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．4 B．2 C．1 D．8
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求点的坐标
答案　C
解析　如图，F，
过A作AA′⊥准线l，
∴|AF|＝|AA′|，
∴x0＝x0＋＝x0＋，
∴x0＝1.
4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A．2 B．3 C. D.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
答案　A
解析　如图所示，
动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离d＝＝2.
5．若抛物线y2＝－2px (p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　由抛物线定义，设焦点为F.
则该抛物线准线方程为x＝，由题意设点M到准线的距离为|MN|，
则|MN|＝|MF|＝10，
即－(－9)＝10，∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y0)代入抛物线方程，得y0＝±6.
∴M点的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
一、选择题
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求点的坐标
答案　B
解析　∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦点坐标为(－2,0)．
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)
A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　B
解析　抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－.由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.故选B.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)
A. B．1 C．2 D．4
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　C
解析　抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，它与圆相切，所以必有3－＝4，p＝2.
4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．4 B．6 C．8 D．12
考点　抛物线定义
题点　由抛物线定义求距离
答案　B
解析　由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
5．过点F(0,3)，且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程
答案　C
解析　由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，轨迹方程为x2＝12y.
6．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A．－ B．－1
C．－ D．－
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　C
解析　因为抛物线C：y2＝2px的准线方程为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，故＝－2，解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x，焦点F的坐标为(2,0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
7．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求三角形面积
答案　C
解析　抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而纵坐标yP＝±2.
∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.
二、填空题
8．若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝________.
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　－
解析　y＝ax2可化为x2＝y.
∵准线方程为y＝2，∴a<0且－＝2，
∴a＝－.
9．若椭圆＋＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p为________．
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　圆锥曲线的综合应用
答案　
解析　由题意知，左焦点为，则c＝.
∵a2＝3，b2＝，
∴3＝＋，得p＝.
10．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__________．
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求点的坐标
答案　
解析　抛物线方程化为x2＝y，准线为y＝－.由于点M到焦点的距离为1，所以点M到准线的距离也为1，所以点M的纵坐标等于1－＝.
11．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　圆锥曲线的综合应用
答案　4
解析　由双曲线－＝1得标准形式为－＝1，
由此c2＝3＋，
左焦点为，
由y2＝2px得准线为x＝－，
∴－ ＝－，
∴p＝4.
三、解答题
12．如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点A，B都在抛线C上，且＝2，求点A的坐标．
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义求点的坐标
解　(1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－.
∵准线l与圆x2＋y2＝1相切，
∴圆心(0,0)到准线l的距离d＝0－＝1，
解得p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由题意得F(0,1)，
∴＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)，
∵＝2，
∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)，
即代入②得4x＝8y1＋4，
即x＝2y1＋1，
又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，
解得y1＝，x1＝±，
即点A的坐标为或.
13．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
解　(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，
准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为.
(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2.
因为2>2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线定义知，|P1Q|＝|P1F|.所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
四、探究与拓展
14．已知点M是抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上都对
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的应用
答案　B
解析　如图，取线段MF的中点C，作CE垂直于抛物线的准线l于点E，
则|CE|＝(|MF|＋p)
＝|MF|＋，
所以|CD|＝|CE|－＝|MF|，
所以MF的中点C到y轴的距离等于|MF|的一半．
15．已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|＝2，|FB|＝5，求原点O到直线AB的距离．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　(1)因为曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，
所以曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线，
且＝1，所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义结合|FA|＝2可得，A到准线
x＝－1的距离为2，
即A的横坐标为1，代入抛物线方程可得y＝2，
即A(1,2)，
同理可得B(4，－4)，故直线AB的斜率k＝＝－2，
故AB的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0，
由点到直线的距离公式，得原点O到直线AB的距离为＝.
2.3.2　抛物线的几何性质
第1课时　抛物线的几何性质
学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点一　抛物线的几何性质
思考1　类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？
答案　范围、对称性、顶点、离心率．
思考2　类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗？
答案　范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)．
梳理　抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
知识点二　焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y2＝2px(p>0)
|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0)
|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0)
|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0)
|AB|＝p－(y1＋y2)

(1)椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形．(　×　)
(2)抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关．(　×　)
(3)抛物线只有一条对称轴和一个顶点．(　√　)
(4)抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关．(　√　)
类型一　由抛物线的几何性质求标准方程
例1　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
考点　抛物线的几何性质
题点　求抛物线方程
解　由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F.直线l：x＝，
所以A，B两点坐标为，，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以··2|m|＝4，
所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
引申探究　
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
答案　B
解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
所以点A的坐标为(2p,2p)，同理可得B(2p，－2p)，
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
反思与感悟　把握三个要点确定抛物线的几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆＋＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程．
考点　抛物线的几何性质
题点　求抛物线方程
解　∵椭圆＋＝1的短轴所在直线为x轴，
∴抛物线的对称轴为x轴．
设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，
设＝5，∴a＝±20.
∴抛物线的方程为y2＝20x或y2＝－20x.
类型二　抛物线的焦点弦问题
例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　焦点弦长与中点坐标
解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立消去y，得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
引申探究
本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1.
解　由抛物线定义|AA1|＝|AF|，得∠AA1F＝∠AFA1，
又AA1∥x轴，
∴∠OFA1＝∠AA1F，
∴∠OFA1＝∠AFA1，
同理得∠OFB1＝∠BFB1，
∴∠A1FO＋∠B1FO＝90°，即∠A1FB1＝90°.
反思与感悟　(1)抛物线的焦半径
定义
抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段
焦半径公式
P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点.
①若抛物线y2＝2px(p>0)，则|PF|＝x0＋；
②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则|PF|＝－x0；
③若抛物线x2＝2py(p>0)，则|PF|＝y0＋；
④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则|PF|＝－y0
(2)过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
跟踪训练2　直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________．
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　焦点弦长与中点坐标
答案　x＋y－1＝0或x－y－1＝0
解析　因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意．
所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝.
又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
即＝6，解得k＝±1.
所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
类型三　抛物线的实际应用
例3　某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分高为 m，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
解　以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立如图所示直角坐标系．
设抛物线的方程是x2＝－2py(p>0)，
由题意知A(4，－5)在抛物线上，
故16＝－2p×(－5)，即p＝，
则抛物线的方程是x2＝－y(－4≤x≤4)，
设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B，B′时，木船开始不能通航．
设B(2，y′)，
∴22＝－y′，得y′＝－，∴＋＝2.
故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航．
反思与感悟　在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．
跟踪训练3　如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度从警戒线开始上升，则再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为点O的)
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
解　设所求抛物线的解析式为y＝ax2.
设D(5，b)，则B(10，b－3)，
把D，B的坐标分别代入y＝ax2，得
解得∴y＝－x2.
∵b＝－1，∴拱桥顶O到CD的距离为1，＝5.
即再持续5小时水位到达拱桥顶.
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
答案　C
解析　设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，p＝4.
2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求点的坐标
答案　B
解析　由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以P点的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为)，故选B.
3．已知过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为________．
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　求抛物线的焦点弦长
答案　10
解析　由y2＝8x，得p＝4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由焦点弦公式得|AB|＝x1＋x2＋p＝2×＋4
＝2×3＋4＝10.
4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
符合抛物线方程为y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)
考点　抛物线的几何性质
题点　由方程研究抛物线的性质
答案　②⑤
解析　由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，
所以②符合．
又因为它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，
设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，所以⑤也符合．
而①显然不符合，通过计算可知③，④不合题意．
所以应填②⑤.
5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；
(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　(1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为，故＝4，p＝8.
因此，所求抛物线的标准方程为y2＝±16x或x2＝±16y.
(2)双曲线方程16x2－9y2＝144化为标准形式为－＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.
1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
3．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
一、选择题
1．抛物线y＝ax2(a<0)的焦点坐标和准线方程分别为(　　)
A.，x＝－
B.，x＝
C.，y＝－
D.，y＝
考点　抛物线的几何性质
题点　由方程研究抛物线的性质
答案　C
解析　y＝ax2可化为x2＝y，
∴其焦点坐标为，准线方程为y＝－.
2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)
A．18 B．24 C．36 D．48
考点　抛物线的几何性质
题点　焦点弦长与中点坐标
答案　C
解析　由题意知|AB|＝2p，则S△ABP＝×2p×p＝p2，
又∵2p＝12，∴p＝6，S△ABP＝62＝36.
3．抛物线C1：y2＝2x的焦点为F1，抛物线C2：x2＝y的焦点为F2，则过F1且与直线F1F2垂直的直线l的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．4x－y－2＝0 D．4x－3y－2＝0
考点　抛物线的几何性质
题点　与准线、焦点有关的简单几何性质
答案　C
解析　由题意知，F1，F2.
所以直线F1F2的斜率为－，
则直线l的斜率为4.
故直线l的方程为y＝4，
即4x－y－2＝0.
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是(　　)
A．y2＝4x B．y2＝2x
C．y2＝8x D．y2＝6x
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　知抛物线焦点弦长，求方程
答案　C
解析　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝3，即x1＋x2＝6.
又|PQ|＝x1＋x2＋p＝10，
即p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.
5．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，点A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于(　　)
A．4 B．8 C．8 D．16
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求距离
答案　B
解析　抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，焦点F(2,0)，
设A(－2，y0)，kAF＝＝－，则y0＝4，
∴P(x0,4)，将P点坐标代入抛物线方程y2＝8x，
(4)2＝8x0，得x0＝6.
由抛物线定义可知|PF|＝|PA|＝x0＋＝6＋＝8.
6．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|等于(　　)
A. B．6
C．12 D．7
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　求抛物线的焦点弦长
答案　C
解析　设A，B的坐标分别为(x1，y1，)(x2，y2)．∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°，
即y＝x－.
联立
消去y，得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，
由于|AB|＝x1＋x2＋p，
∴|AB|＝＋＝12.
7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　　)
A．8 B．10 C．16 D．32
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求距离
答案　A
解析　∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，
∴K(－2,0)．
设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，垂足为B，则B(－2，y0)，
∵|AK|＝|AF|，
又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，
∴由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，得y＝(x0＋2)2，
即8x0＝(x0＋2)2，解得A(2，±4)．
∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8.
二、填空题
8．设抛物线y2＝16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求距离
答案　13
解析　设P(x,12)，代入y2＝16x，得x＝9，
∴|PF|＝x＋＝9＋4＝13.
9．抛物线y＝x2的焦点与双曲线－＝1的上焦点重合，则m＝________.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合的有关问题
答案　13
解析　抛物线y＝x2可化为x2＝16y，
则其焦点为(0,4)，∴3＋m＝16，则m＝13.
10．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝3，则|BF|＝________.
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　与焦点弦有关的其他问题
答案　
解析　由题意知F(1,0)，且AB与x轴不垂直，
则由|AF|＝3，知xA＝2.
设lAB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x，
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以xA·xB＝1，故xB＝，
故|BF|＝xB＋1＝.
11．一个正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是________．
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　48
解析　设一个顶点为(x,2)，则tan 30°＝＝，
∴x＝12.
∴S＝×12×8＝48.
三、解答题
12．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，由题知M.
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3.
∵|AM|＝，∴x＋2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
13．已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
解　(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)(x≥0)，
则|PA|2＝2＋y2＝2＋2x
＝2＋.
∵x≥0，且在此区间上函数单调递增，
故当x＝0时，|PA|min＝，
故距点A最近的点P的坐标为(0,0)．
(2)设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则P到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝
＝，
当y0＝1时，dmin＝＝，
∴点P的坐标为.
四、探究与拓展
14．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，点F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合的问题
答案　C
解析　M到准线的距离大于p，即y0＋2＞4，∴y0＞2.
15．设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，·＝0.
(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上除去原点外的不同三点，且||，||，||成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求点B的坐标．
考点　抛物线的简单几何性质的综合运用
题点　抛物线的简单几何性质的综合运用
解　(1)设N(x，y)，由＝2 ，得点P为线段MN的中点，∴P，M(－x,0)，
∴＝，＝.
由·＝－x＋＝0，得y2＝4x.
即点N的轨迹方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1，
∵||，||，||成等差数列，
∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝.
∵线段AD的中点为，且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)，
∴线段AD的垂直平分线的斜率为k＝.
又kAD＝，∴·＝－1，
即＝－1.
∵x1≠x3，∴x1＋x3＝2，又x2＝，∴x2＝1.
∵点B在抛物线上，∴B(1,2)或B(1，－2)．
第2课时　抛物线的几何性质的应用
学习目标　1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．
知识点　直线与抛物线的位置关系
思考1　直线与抛物线有哪几种位置关系？
答案　三种：相离、相切、相交．
思考2　若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？
答案　不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．
梳理　(1)直线与抛物线的位置关系与公共点个数.
位置关系
公共点个数
相交
有两个或一个公共点
相切
有且只有一个公共点
相离
无公共点
(2)直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
1．若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切．(　×　)
2．直线与抛物线相交弦的弦长公式是|AB|＝·|x1－x2|＝x1＋x2＋p.(　×　)
3．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　√　)
类型一　直线与抛物线的位置关系
例1　已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点的个数
解　由方程组
消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．
(1)若直线与抛物线有两个交点，
则k2≠0且Δ>0，
即k2≠0且16(1－k2)>0，
解得k∈(－1,0)∪(0,1)．
所以当k∈(－1,0)∪(0,1)时，
直线l和抛物线C有两个交点．
(2)若直线与抛物线有一个交点，
则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，
解得k＝0或k＝±1.
所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．
(3)若直线与抛物线无交点，
则k2≠0且Δ<0.
解得k>1或k<－1.
所以当k>1或k<－1时，
直线l和抛物线C无交点．
反思与感悟　直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．
跟踪训练1　平面内一动点M(x，y)到定点F(0,1)和到定直线y＝－1的距离相等，设M的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)在曲线C上找一点P，使得点P到直线y＝x－2的距离最短，求出P点的坐标；
(3)设直线l：y＝x＋m，问当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点的个数
解　(1)x2＝4y.
(2)设点P，点P到直线y＝x－2的距离为
＝＝，
当x0＝2时，取得最小值，此时P(2,1)．
(3)由得x2－4x－4m＝0，
Δ＝42－4×(－4m)≥0，m≥－1.
所以当m≥－1时，直线l和曲线C有交点．
类型二　与弦长中点弦有关的问题
例2　已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求抛物线E的方程；
(2)求直线AB的方程．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　弦中点问题
解　(1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以＝1，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1，①
y＝4x2，②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由②－①得，(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，
所以＝2.
所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
反思与感悟　中点弦问题有两种解法：
(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由k＝求斜率，再由点斜式求解．
(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．
跟踪训练2　已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　弦中点问题
解　方法一　由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y－1＝k(x－4)．
由
得ky2－6y－24k＋6＝0.
当k＝0时，y＝1，显然不成立．
当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①
设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
∵P1P2的中点为(4,1)，
∴＝2，∴k＝3，适合①式．
∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝＝.
方法二　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
则y＝6x1，y＝6x2，
∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2，
∴＝＝3，
∴所求直线的斜率k＝3，
所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝·＝.
类型三　抛物线性质的综合应用
命题角度1　抛物线中的定点?定值?问题
例3　已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　定点(定值)问题
(1)解　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，
所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，
所以y1y2＝－4p2，
所以x1x2＝4p2.
(2)证明　因为y＝2px1，y＝2px2，
所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，
所以kAB＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，
所以y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0)．
反思与感悟　在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．
跟踪训练3　如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　定点(定值)问题
证明　方法一　设AB的斜率为k，则AC的斜率为－k.
把直线AB的方程y－2＝k(x－4)与y2＝x联立得
y－2＝k(y2－4)，即ky2－y－4k＋2＝0.
∵y＝2是此方程的一个解，
∴2yB＝，∴yB＝，
∴xB＝y＝，
∴B.
∵kAC＝－k，
∴以－k代替k代入B点坐标得C.
∴kBC＝＝－，为定值．
方法二　设B(y，y1)，C(y，y2)，
则kBC＝＝.
∵kAB＝＝，kAC＝＝，
由题意得kAB＝－kAC，
∴＝－，则y1＋y2＝－4，
则kBC＝－，为定值．
命题角度2　对称问题
例4　在抛物线y2＝4x上恒有两点A，B关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　对称问题
解　因为A，B两点关于直线y＝kx＋3对称，
所以可设直线AB的方程为x＝－ky＋m.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把直线AB的方程代入抛物线方程，得y2＋4ky－4m＝0，
设AB的中点坐标为M(x0，y0)，
则y0＝＝－2k，x0＝2k2＋m.
因为点M(x0，y0)在直线y＝kx＋3上，
所以－2k＝k(2k2＋m)＋3，即m＝－.
因为直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，
所以Δ＝16k2＋16m>0，
把m＝－代入，
化简，得<0，
所以<0.
因为k2－k＋3＝2＋>0，所以<0，
解得－1反思与感悟　轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
跟踪训练4　已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，求A，B两点间的距离．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　对称问题
解　由题意可设l：y＝x＋b，把直线方程代入y＝－x2＋3中，得x2＋x＋b－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝(x1＋x2)＋2b＝2b－1.
所以AB的中点坐标为，
因为该点在直线x＋y＝0上．
所以－＋＝0，得b＝1.
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝＝3.
所以A，B两点间的距离为3.
1．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点的个数问题
答案　B
解析　当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2＝x只有一个公共点．
当斜率存在时，设直线为y＝kx＋1.
由
消去y，得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，
当k＝0时，符合题意；
当k≠0时，令Δ＝(2k－1)2－4k2＝0，
得k＝.
∴与抛物线只有一个交点的直线共有3条．
2．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于(　　)
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求比值
答案　C
解析　如图所示，
由抛物线定义知|MF|＝|MH|，
所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.
由△MHN∽△FOA，
则＝＝，故＝，
则|MH|∶|MN|＝1∶，即|MF|∶|MN|＝1∶.
3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，设C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)
A. B. C. D.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的位置关系的综合应用
答案　D
解析　∵点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线x＝－上，
∴－＝－2，p＝4，∴抛物线C：y2＝8x.
设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2，①
将①与y2＝8x联立，得y2－8ky＋24k＋16＝0，②
令Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，
解得k＝2或k＝－.
当k＝－时，切点在第四象限，与题意不符，舍去．
将k＝2代入①②，得即B(8,8)．
又F(2,0)，∴kBF＝.故选D.
4．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　定点(定值)问题
答案　16
解析　由已知设OM的斜率为k，则ON的斜率为－.从而OM的方程为y＝kx，联立方程
解得M的横坐标x1＝.
同理可得N的横坐标x2＝4k2，可得x1x2＝16.
5．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线的方程．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　由抛物线弦长求解相关问题
解　设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝4，
∴|AB|＝＝3，
即5＝45，
∴a＝4或a＝－36.
∴所求抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－36x.
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.
一、选择题
1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　)
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　求抛物线中的直线方程
答案　D
解析　设直线方程为2x－y＋m＝0，
由
得x2－2x－m＝0，
Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1，
∴直线方程为2x－y－1＝0.
2．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝20x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积是(　　)
A．5π B．9π C．16π D．25π
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的位置关系的综合应用
答案　D
解析　抛物线D：y2＝20x的准线方程为x＝－5.
圆C的圆心(－2,0)到准线的距离d＝3.
又由|AB|＝8，
∴r2＝d2＋2＝25，
故圆C的面积S＝25π，故选D.
3．已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为(　　)
A．(1,2) B．(0,0)
C. D．(1,4)
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　距离的最值问题
答案　C
解析　因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，
设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.
则即4x2－4x－m＝0.①
设此直线与抛物线相切有Δ＝0，
即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.
将m＝－1代入①式，得x＝，y＝1，
所求点的坐标为.
4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于(　　)
A．2 B．2 C．4 D．2
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求距离
答案　B
解析　由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则点M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，
∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝4×2＝8，
∴|OM|＝＝＝2.
5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　　)
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　B
解析　∵抛物线的焦点为F(1,0)，设A，
则＝，＝，
由·＝－4，得y0＝±2，
∴点A的坐标是(1,2)或(1，－2)．
6．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB的中点的横坐标为2，则k等于(　　)
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　弦中点问题
答案　C
解析　由题意知
得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝2，
即x1＋x2＝4，∴x1＋x2＝＝4，
∴k＝2或－1，
经判别式检验知k＝2符合题意．
7．已知直线l：y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是(　　)
A. B. C．2 D.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的位置关系的综合应用
答案　D
解析　设抛物线C：y2＝8x的准线为m：x＝－2.
直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，
如图，
过点A，B分别作AM⊥m于点M，BN⊥m于点N.
由|AM|＝2|BN|，
得点B为AP的中点，连接OB，
则|OB|＝|AF|，
∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，
∴点B的坐标为(1,2)．
把B(1,2)代入直线l：y＝k(x＋2)(k>0)，
解得k＝，故选D.
二、填空题
8．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是______________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点的个数
答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　由题意知机器人进行的轨迹为以F(1,0)为焦点，
x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.
设过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．
代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.
∵机器人接触不到该直线，
∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，
∴k2>1，∴k>1或k<－1.
9．抛物线焦点在y轴上，截得直线y＝x＋1的弦长为5，则抛物线的标准方程为_______．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　弦长问题
答案　x2＝－20y或x2＝4y
解析　设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
由得x2－x－a＝0.
设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－a，
|AB|＝ ·
＝ ·＝5，
得a＝－20或4，经检验，a＝－20或4都符合题意．
∴抛物线方程为x2＝－20y或x2＝4y.
10．已知抛物线y＝2x2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称．若2x1x2＝－1，则2m的值是_______．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　对称问题
答案　3
解析　由题意，得k＝＝＝2(x2＋x1)＝－1，
∴x2＋x1＝－.
∵＝＋m，
∴y1＋y2＝x1＋x2＋2m，
∴2x＋2x＝－＋2m，
即2(x1＋x2)2－4x1x2＝－＋2m，∴2m＝3.
11．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
考点　抛物线与其他曲线结合有关问题
题点　抛物线与其他曲线结合有关问题
答案　6
解析　抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－.代入－＝1，得|x|＝ .若△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，
解得p2＝36，p＝6.
三、解答题
12．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的位置关系的综合应用
(1)证明　如图所示，
由
消去x，得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得
y1y2＝－1，y1＋y2＝－.
因为A，B在抛物线y2＝－x上，
所以y＝－x1，y＝－x2，
所以y·y＝x1x2.
因为kOA·kOB＝·
＝＝＝－1，
所以OA⊥OB.
(2)解　设直线与x轴交于点N，显然k≠0，
令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)，
因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
所以S△OAB＝·1·
＝ .
因为S△OAB＝，
所以＝ ，
解得k＝±.
13．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　定点(定值)问题
解　(1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
所以·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4b＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
因为·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
又·＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线l过定点(2,0)．
四、探究与拓展
14．如图，已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点P是其准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点．若点P的纵坐标为m(m≠0)，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的位置关系的综合运用
答案　(4，＋∞)
解析　由抛物线C：y2＝4x可得焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PF的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．联立方程组消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1，
∴|AB|＝·
＝·＝.
点D(－1,0)到直线AB的距离d＝，
∴S＝d·|AB|＝·＝4 ＞4，∴△DAB的面积S的取值范围为(4，＋∞)．
15．已知F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(4,2)为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|PA|＋|PF|的最小值为8.
(1)求抛物线的方程；
(2)是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线交于B，C两点(异于坐标原点)，且以BC为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　定点(定值)问题
解　(1)设抛物线的准线为l，过点P作PD⊥l于点D，过A作AE⊥l于点E(图略)．
由抛物线的定义，知|PF|＝|PD|，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PD|≥|AE|，当且仅当A，P，E三点共线时取等号．
由题意知|AE|＝8，即4＋＝8，得p＝8，
所以抛物线的方程为y2＝16x.
(2)假设存在点M，当直线BC的斜率存在时，设过点M的直线方程为y＝kx＋b.
显然k≠0，b≠0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由以BC为直径的圆恰好过坐标原点，得·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，
把y＝kx＋b代入y2＝16x，得k2x2＋2(bk－8)x＋b2＝0，
由根与系数的关系，得
又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2，
所以y1y2＝，
所以＋＝0，得b＝－16k.
所以过点M的直线方程为y＝kx－16k＝k(x－16)，必过定点(16,0)．
当直线BC的斜率不存在时，直线x＝16交抛物线于B(16，－16)，C(16,16)或B(16,16)，C(16，－16)，仍然有·＝0.
综上，存在点M(16,0)满足条件．
滚动训练(二)
一、选择题
1．下列命题为真命题的是(　　)
A．互余的两个角不相等
B．相等的两个角是同位角
C．如果a2＝b2，则|a|＝|b|
D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
考点　命题的概念及分类
题点　命题真假性判断
答案　C
解析　由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．
2．下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何一个数除0，都等于0.
其中全称命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　全称量词及全称命题的真假判断
题点　识别全称命题
答案　C
解析　命题①②④都是全称命题．
3．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为(　　)
A．16 B．18 C．20 D．不确定
答案　B
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
解析　△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝＝4，
所以周长为10＋8＝18.
4．“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
考点　椭圆的标准方程
题点　求椭圆方程中的参数(或其取值范围)
解析　当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以15．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)
A．－ B．－4
C．4 D.
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　A
解析　∵a2＝1，b2＝，又b2＝4a2＝4，∴m＝－.
6．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　椭圆的几何性质
题点　由椭圆的几何性质求方程
答案　A
解析　△AF1B的周长为4，
由椭圆的定义，得4a＝4，得a＝，
又由e＝＝，
得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，
故C的方程为＋＝1.
7．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为(　　)
A. B. C. D.
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆的几何性质的应用
答案　A
解析　易知△ABF2的内切圆的半径r＝，根据椭圆的性质结合△ABF2的特点，可得△ABF2的面积S＝lr＝×2c×|y1－y2|，其中l为△ABF2的周长，且l＝4a，代入数据解得|y1－y2|＝.
二、填空题
8．若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是______________．
考点　全称命题
题点　由全称命题的真假求参数的取值范围
答案　(－，－1)∪(1，)
解析　∵f(x)＝(a2－1)x是减函数，
∴0∴a∈(－，－1)∪(1，)．
9．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长与三角形面积
答案　8
解析　由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，
∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝20.
又∵|F2A|＋|F2B|＝12，∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝8.
10．如果双曲线－＝1(a＞0，b＞0)两渐近线的夹角是60°，则该双曲线的离心率是________．
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　或2
解析　易知双曲线的渐近线的斜率是±.又两渐近线的夹角为60°，则＝tan 30°或＝tan 60°，即e2－1＝或e2－1＝3，又e＞1，所以e＝或e＝2，故该双曲线的离心率为或2.
11．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点的坐标为F(2,0)，给出下列四个条件：
①短半轴长为2；②长半轴长为2；③离心率为；④一个顶点坐标为(2,0)．
其中可求得椭圆方程为＋＝1的条件有________．(填序号)
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何性质求方程
答案　①②③
解析　只需保证a＝2，b＝2，c＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±2，0)，故①②③可求得椭圆方程为＋＝1.
三、解答题
12．直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求l的方程．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
解　设直线l的方程为y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5.
∵|AB|＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.
∴3m2＝70，m＝±.
由(*)式得Δ＝24m2－240，
把m＝±代入上式，得Δ＞0，
∴m的值为±.
∴所求l的方程为6x－3y±＝0.
13.如图，过点B(0，－b)作椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，求这些弦中的最大弦长．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　椭圆中的最值问题
解　设M(x，y)是椭圆上任意一点，
|BM|2＝x2＋(y＋b)2＝x2＋y2＋2by＋b2，①
由＋＝1，得x2＝(b2－y2)．②
将②代入①式，整理得
|BM|2＝y2＋2by＋(a2＋b2)
＝·2＋.
∵－b≤y≤b，
(1)当b≤c，即b≤a时，≤b，
∴当y＝时，|BM|的最大值为；
(2)当b>c，即b>a时，>b，
∴当y＝b时，点M为(0，b)，即椭圆的上顶点，
|BM|2的最大值为·2＋＝4b2，
∴|BM|的最大值为2b.
综上所述，当b≤c，即b≤a时，这些弦中的最大弦长为；当b>c，即b>a时，这些弦中的最大弦长为2b.
四、探究与拓展
14．点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
考点　双曲线的几何性质
题点　双曲线的焦点三角形
答案　D
解析　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a，①
又因为PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，②
①2－②得：－2mn＝4a2－4c2，所以mn＝－2a2＋2c2.
又因为△F1PF2的面积是9，所以mn＝9，
所以c2－a2＝9.
又因为双曲线的离心率＝，
所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为，且|BF2|＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆的离心率
解　设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)因为B(0，b)，所以|BF2|＝＝a.
又|BF2|＝，故a＝.
因为点C在椭圆上，
所以＋＝1，解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为＋＝1.
解方程组得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，
得点C的坐标为.
因为直线F1C的斜率为＝，
直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，
所以·＝－1，
所以a2＝5c2，故e2＝，又0＜e＜1，
所以e＝.
章末复习
学习目标　1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹
平面内到一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹
标准方程
＋＝1或＋＝1(a>b>0)
－＝1或－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x
无限延展，没有渐近线
变量范围
|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e＝，且0e＝，且e>1
e＝1
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
2．椭圆的焦点三角形
设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．
(1)焦点三角形的面积S＝b2tan .
(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
3．双曲线及渐近线的设法技巧
(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x；双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，
即y＝±x.
(2)如果双曲线的渐近线方程为±＝0，它的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
4．求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
5．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．
(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　圆锥曲线的定义及应用
例1　已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随m，n变化而变化
考点　椭圆与双曲线的综合应用
题点　椭圆与双曲线的综合应用
答案　B
解析　设P为双曲线右支上的一点．
对于椭圆＋y2＝1(m>1)，c2＝m－1，
|PF1|＋|PF2|＝2，
对于双曲线－y2＝1，c2＝n＋1，
|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
|F1F2|2＝(2c)2＝2(m＋n)，
而|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝(2c)2＝|F1F2|2，
∴△F1PF2是直角三角形，故选B.
反思与感悟　涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
跟踪训练1　抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则(　　)
A．x1，x2，x3成等差数列
B．y1，y2，y3成等差数列
C．x1，x3，x2成等差数列
D．y1，y3，y2成等差数列
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的其他应用
答案　A
解析　如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义可知
|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，
∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，
∴2＝x1＋＋x3＋，得2x2＝x1＋x3，
故选A.
类型二　圆锥曲线的方程及几何性质
命题角度1　求圆锥曲线的方程
例2　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p等于(　　)
A．1 B. C．2 D．3
考点　求圆锥曲线的方程
题点　求圆锥曲线的方程
答案　C
解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，y2＝2px的准线方程为x＝－.
∵双曲线的离心率为2，∴e＝ ＝2，
即＝±，∴渐近线方程为y＝±x，
由得y＝－p，∴|AB|＝p，
S△OAB＝××p＝，解得p＝2.
反思与感悟　一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系．
跟踪训练2　设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
答案　C
解析　由抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，知焦点F.
设M(x，y)，由抛物线性质|MF|＝x＋＝5，
可得x＝5－.
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心横坐标为＝.
由已知，得圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
则M，代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，
所以p＝2或p＝8.
所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
命题角度2　求圆锥曲线的离心率
例3　如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　求圆锥曲线的离心率
答案　
解析　由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，
所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
反思与感悟　求圆锥曲线离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
跟踪训练3　已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　求圆锥曲线的离心率
答案　
解析　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，又△FAB为直角三角形，则只有∠AFB＝90°，如图，
则A(－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2＝，
于是c＝＝.
故e＝＝.
类型三　直线与圆锥曲线的位置关系
例4　已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆位置关系的综合应用
解　(1)由题意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，
所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知F2(1,0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程得
化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＝16k4－4(1＋2k2)(2k2－2)＞0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为.
①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－
＝－，
因为|MA|＝|MB|，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得，
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，或.
反思与感悟　解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
跟踪训练4　如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝(，－1)共线．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆位置关系的综合应用
解　(1)因为2c＝2，所以c＝1.
又＝(－a，b)，且∥n，
所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，
所以b2＝1，a2＝2.
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直线方程y＝kx＋m代入椭圆方程＋y2＝1，
消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
Δ＝16k2－8m2＋8>0，
即m2<2k2＋1.(*)
因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，
所以·<0，
即x1x2＋y1y2<0.
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
由＋<0，
得m2<k2＋.
依题意且满足(*)得，m2<，
故实数m的取值范围是.
1．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
考点　圆锥曲线方程的应用
题点　圆锥曲线方程的应用
答案　D
解析　方程mx2－my2＝n可化为－y2＋x2＝1.
∵mn<0，∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
2．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(　　)
A．2 B.
C. D.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　C
解析　双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x.
依题意·＝－1，故＝1.
所以＝1，即e2＝2，
所以双曲线的离心率e＝.
3．设椭圆＋＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　椭圆与抛物线的综合应用
答案　B
解析　∵y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴＋＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2.
又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴椭圆方程为＋＝1.
4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是(　　)
A．2p B．4p
C．6p D．8p
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线性质的综合问题
答案　B
解析　设A，B在y2＝2px上，另一个顶点为O，则A，B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则OA方程为y＝x.
由得y＝2p.
∴△AOB的边长为4p.
5．过抛物线y2＝4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积为________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线位置关系的综合应用
答案　2
解析　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F为抛物线的焦点．
由消去x，得y2＋4y－4＝0，
|y1－y2|＝＝4.
S△POQ＝|OF||y1－y2|＝2.
在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的烦琐问题．

一、选择题
1．方程＋＝1所表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
考点　双曲线的标准方程
题点　已知方程判断曲线类型
答案　D
解析　∵sin θ－1<0,2sin θ＋3>0，
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
2.如图所示，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为(　　)
A．e1B．e2C．e1D．e2考点　圆锥曲线的综合应用
题点　比较离心率的大小
答案　C
解析　由椭圆的离心率小于双曲线的离心率知e1，e23．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
考点　椭圆的标准方程
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
答案　A
解析　∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，
∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　双曲线的标准方程
题点　待定系数法求双曲线方程
答案　C
解析　由已知条件，得2r＝|F1F2|＝2c，
即r＝c，而r＝|OP|＝5.
渐近线方程为y＝±x，
点P(3,4)在直线y＝x上，
所以解得
所以双曲线方程为－＝1.
5．已知曲线＋＝1和直线ax＋by＋1＝0(a，b为非零实数)在同一坐标系中，它们的图象可能为(　　)
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　由曲线类型判断图象
答案　C
解析　直线ax＋by＋1＝0，与x轴的交点为，与y轴的交点为，在图A，B中，曲线表示椭圆，则a>b>0，直线与坐标轴负半轴相交，图形不符合．在图C，D中，a>0，b<0，曲线为双曲线，直线与x轴负半轴相交，与y轴正半轴相交，D中图形不符合，而C中图形正确，故选C.
6．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的应用
答案　A
解析　由图形可知，
△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.
∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.
在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.
二、填空题
7．设中心在原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________________．
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　椭圆与双曲线的综合应用
答案　2x2－2y2＝1
解析　椭圆的焦点为(±1,0)，∴双曲线的焦点为(±1,0)，设双曲线的方程为－＝1，
椭圆的离心率e＝，∴双曲线的离心率e′＝，
∴c2＝1＝2a2.又c2－a2＝b2，∴a2＝b2＝，故所求双曲线方程为2x2－2y2＝1.
8．已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　已知三角形面积求方程
答案　y2＝8x
解析　依题意得|OF|＝，
又直线l的斜率为2，可知|AO|＝2|OF|＝，
△AOF的面积等于|AO||OF|＝＝4，
则a2＝64.
又a>0，所以a＝8，
所以抛物线的方程是y2＝8x.
9.如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为________．
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　椭圆与抛物线的综合应用
答案　－1
解析　设椭圆的左焦点为F′，
抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF′，
∴F，F′，
可得焦距|FF′|＝p＝2c(c＝，为椭圆的半焦距)．
对抛物线方程y2＝2px，令x＝，
得y2＝p2，所以|AF|＝|yA|＝p.
∴在Rt△AFF′中，|AF|＝|FF′|＝p，可得|AF′|＝p，
再根据椭圆的定义，可得|AF|＋|AF′|＝2a＝(1＋)p，
∴该椭圆的离心率为e＝＝
＝＝－1.
10．点P在椭圆x2＋＝1上，点Q在直线y＝x＋4上，若|PQ|的最小值为，则m＝________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　最值问题
答案　3
解析　根据题意，与直线y＝x＋4平行且距离为的直线方程为y＝x＋2或y＝x＋6(舍去)，
联立
消去y，得(m＋1)x2＋4x＋4－m＝0，
令Δ＝16－4(m＋1)(4－m)＝0，
解得m＝0或m＝3，∵m>0，∴m＝3.
11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　双曲线与抛物线的综合应用
答案　y＝±x
解析　抛物线的准线方程为y＝－，焦点为F，
∴a2＋2＝c2.①
设抛物线的准线y＝－交双曲线于M，N两点，
∴
即－＝1，解得x＝±a，
∴2a＝2c.②
又∵b2＝c2－a2，③
∴由①②③，得＝2.∴＝－1＝1，
解得＝1.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
三、解答题
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB＝8，BC＝6，其中A(－4，0)，B(4,0)．
(1)若A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，求该椭圆的方程；
(2)若A，B为双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，求双曲线的方程．
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　椭圆与双曲线的综合应用
解　(1)∵A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，
根据椭圆的定义，|CA|＋|CB|＝16＝2a，
∴a＝8.
在椭圆中，b2＝a2－c2＝64－16＝48，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)∵A，B是双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，
根据双曲线的定义，|CA|－|CB|＝4＝2a′，
∴a′＝2.
在双曲线中，b′2＝c′2－a′2＝16－4＝12，
∴双曲线方程为－＝1.
13．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个顶点A(0，)，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E相切于点P，且与直线x＝4相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆过定点N(1，0)．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　定点(定值)问题
(1)解　由已知，可得
∴a2＝4，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
(2)证明　联立方程＋＝1与y＝kx＋m，消去y，得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∵曲线E与直线只有一个公共点，
∴Δ＝0，化简可得m2＝4k2＋3，故m≠0.
设P(xP，yP)，故xP＝＝－，
yP＝kxP＋m＝，
故P.
又由得Q(4,4k＋m)．
∵N(1,0)，＝，＝(3,4k＋m)，
∴·＝3＋－－3＝0，
∴⊥，
∴以PQ为直径的圆过定点N(1,0)．
四、探究与拓展
14．若点M(1,2)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　最值问题
答案　8－2
解析　设点B为椭圆的左焦点，则B(－3,0)，点M(1,2)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，当且仅当A，B，M三点共线时等号成立，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，|BM|＝＝2，
所以(|AM|＋|AC|)min＝8－2.
15．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆位置关系的综合应用
解　(1)设椭圆的方程为＋＝1，则b＝1.
又焦点F(c,0)到直线x－y＋2＝0的距离为3，
∴＝3，∴|c＋2|＝3，∵c＞0，∴c＝，
∴a2＝b2＋c2＝3，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由消去y，
得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
∵直线与椭圆有两个不同的交点，
∴Δ＞0，即m2＜3k2＋1.①
(i)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM，xN分别为点M，N的横坐标，则xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
kAP＝＝－，
又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN.
则－＝－，即2m＝3k2＋1，②
将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，
由②得k2＝＞0，解得m＞，
故所求的m的取值范围是.
(ii)当k＝0时，|AM|＝|AN|，
∴AP⊥MN，由m2＜3k2＋1，解得－1＜m＜1.
综上所述，当k≠0时，m的取值范围是，
当k＝0时，m的取值范围是(－1,1)．
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　双曲线与抛物线的综合应用
答案　D
解析　∵y2＝8x的焦点是(2,0)，
∴双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，又虚半轴长b＝1且a＞0，∴a＝＝，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是(　　)
A．k＞3 B．2＜k＜3
C．k＝2 D．0＜k＜2
考点　椭圆与双曲线的综合应用
题点　椭圆与双曲线的综合应用
答案　C
解析　由9－k2＝k＋3，即k2＋k－6＝0，
解得k＝2或－3.
又由题意知k2<9且k>0，
所以03．若双曲线的顶点为椭圆x2＋＝1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程为(　　)
A．x2－y2＝1 B．y2－x2＝1
C．x2－y2＝2 D．y2－x2＝2
考点　椭圆与双曲线的综合应用
题点　椭圆与双曲线的综合应用
答案　D
解析　椭圆x2＋＝1的离心率为，则双曲线的离心率为，且双曲线的顶点为(0，±)，故选D.
4．方程mx＋ny2＝0与mx2＋ny2＝1(|m|>|n|>0)的曲线在同一坐标系中的图象可能是(　　)
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　由曲线类型判断图象
答案　A
解析　mx＋ny2＝0，整理为y2＝－x.当mn<0时，两方程表示开口向右的抛物线和双曲线，所以B错；当m>n>0时，y2＝－x表示开口向左的抛物线，mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，所以C，D都错．
5．双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，且双曲线的实轴长与虚轴长相等，则双曲线C的实轴长为(　　)
A. B．2
C．4 D．8
考点　双曲线与抛物线的综合应用
题点　双曲线与抛物线的综合应用
答案　C
解析　设双曲线的方程为－＝1(a>0)，
抛物线的准线为x＝－4，且|AB|＝4，
故可得A(－4,2)，B(－4，－2)，
将点A坐标代入双曲线方程，得a2＝4，
故a＝2，故实轴长为4.
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　焦点弦长与中点坐标
答案　B
解析　抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋.代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
7.如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是(　　)
A. B. C. D.
考点　椭圆与双曲线的综合应用
题点　椭圆与双曲线的综合应用
答案　B
解析　由题意知，|F1F2|＝|F1A|＝4，
∵|F1A|－|F2A|＝2，∴|F2A|＝2，
∴|F1A|＋|F2A|＝6，∵|F1F2|＝4，
∴C2的离心率是＝，故选B.
8．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C．4 D.
考点　双曲线的性质的应用
题点　求双曲线的离心率
答案　D
解析　根据双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝2a，由(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab可得4a2＝b2－3ab，即b2－3ab－4a2＝0，所以2－3－4＝0，解得＝4(负值舍去)．所以e＝＝ ＝ ＝＝.
9．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在抛物线x2＝y的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线性质的应用
答案　A
解析　由已知可得|AB|＝2，要使S△ABC＝2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：x＋y－2＝0，所以有＝，所以x2＋x－2＝±2，
当x2＋x－2＝2时，有两个不同的C点；
当x2＋x－2＝－2时，亦有两个不同的C点．
因此满足条件的C点有4个，故选A.
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－＝1(m＞0，n＞0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
考点　椭圆与双曲线的综合应用
题点　椭圆与双曲线的综合应用
答案　D
解析　由题意可得
解得＝，∴e＝＝.
11．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，定点A的坐标为，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　)
A. B．4 C. D．5
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
答案　C
解析　如图|PM|＝|PF|－，
|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，
当P，A，F三点共线时，
|PM|＋|PA|的值最小，
∴|PM|＋|PA|的最小值为
|AF|－＝.
12．设k<3，k≠0，则二次曲线－＝1与＋＝1必有(　　)
A．不同的顶点 B．不同的准线
C．相同的焦点 D．相同的离心率
答案　C
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　圆锥曲线的综合应用
解析　当0∴两曲线有相同焦点；
当k<0时，3－k>－k>0，
∴＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．
∵a2＝3－k，b2＝－k，
∴a2－b2＝3＝c2，
与已知椭圆有相同焦点．
综上，二次曲线－＝1与＋＝1有相同的焦点．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．椭圆3x2＋2y2＝1的短轴长为________．
考点　椭圆的几何性质
题点　由椭圆方程研究几何性质
答案　
14．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的标准方程为________________．
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　圆锥曲线的综合应用
答案　y2＝3x或y2＝－3x
解析　设所求抛物线的方程为y2＝2mx(m≠0)，
设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，
则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2，
由对称性知y2＝－y1，∴y1＝.
将y1＝代入x2＋y2＝4，得x＝±1，
将点(1，)，(－1，)分别代入方程y2＝2mx中，
得3＝2m或3＝－2m，解得m＝或－，
所以抛物线的标准方程为y2＝3x或y2＝－3x.
15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为____________．
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线的几何性质求方程
答案　－＝1
解析　由题意，得＝，
∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，
∴c＝，∴a2＋b2＝c2＝7，
∴a＝2，b＝，
∴双曲线的方程为－＝1.
16．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　最值问题
答案　32
解析　若k不存在，则y＋y＝32.若k存在，设直线AB的斜率为k，当k＝0时，直线AB的方程为y＝0，不合题意，故k≠0.
消去y，由题意，设直线AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)．
由
得ky2－4y－16k＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝－16.
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝2＋32＞32.
∴y＋y的最小值为32.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知一个椭圆中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为2.一双曲线和这个椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的标准方程．
考点　椭圆与双曲线的综合应用
题点　椭圆与双曲线的综合应用
解　①若焦点在x轴上，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，c＝.
设双曲线方程为－＝1，m＝a－4.
∵＝，易得a＝7，m＝3.
∴b2＝36，n2＝4.
∴椭圆的标准方程为＋＝1，
双曲线的标准方程为－＝1.
②若焦点在y轴上，同理可得椭圆的标准方程为＋＝1，双曲线的标准方程为－＝1.
18．(12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线l交抛物线于A，B两点，且|AB|＝5.
(1)求此抛物线方程；
(2)若M(1,2)是抛物线上一点，求·的值．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　知焦点弦长求方程
解　(1)∵焦点F，
∴直线l的方程为y＝2.
由消去y，得
4x2－6px＋p2＝0.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＝5，
∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)方程①化为x2－3x＋1＝0，
∴x1＋x2＝3，x1x2＝1，直线l的方程为y＝2x－2，
∴·＝(x1－1，y1－2)(x2－1，y2－2)
＝(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)
＝(x1－1)(x2－1)＋(2x1－4)(2x2－4)
＝5x1x2－9(x1＋x2)＋17＝5－27＋17＝－5.
19．(12分)如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的位置关系的综合应用
解　(1)∠F1AF2＝60°等价于a＝2c等价于e＝＝.
(2)设|BF2|＝m，则|BF1|＝2a－m，
在△BF1F2中，|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|BF2||F1F2|cos 120°，即(2a－m)2＝m2＋a2＋am，得
m＝a.
△AF1B的面积S＝|F1A||BA|sin 60°，
即×a××＝40，得a＝10，
所以c＝5，b＝5.
综上a＝10，b＝5.
20．(12分)已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别与双曲线C1的两条渐近线相交于A，B两点．当·＝3时，求实数m的值．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线位置关系的综合应用
解　(1)∵双曲线C1：x2－＝1，
∴焦点坐标为(，0)，(－，0)．
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)，
∴解得
∴双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2)双曲线C1的两条渐近线为y＝2x，y＝－2x.
由可得x＝m，y＝2m，∴A(m,2m)．
由可得x＝－m，y＝m，
∴B.
∴·＝－m2＋m2＝m2.
∵·＝3，∴m2＝3，∴m＝±.
21．(12分)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ斜率之和为2.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的位置关系的综合应用
(1)解　由题设知，＝，b＝1，
结合a2＝b2＋c2，解得a＝，所以＋y2＝1.
(2)证明　由题意，设直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠0)，代入椭圆方程＋y2＝1，
可得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.
由已知得(1,1)在椭圆外，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
且Δ＝16k2(k－1)2－8k(k－2)(1＋2k2)>0，
解得k>0或k<－2.
则直线AP，AQ的斜率之和为
kAP＋kAQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)·
＝2k＋(2－k)·＝2k－2(k－1)＝2.
即直线AP与AQ斜率之和为2.
22．(12分)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
考点　椭圆与抛物线的综合应用
题点　椭圆与抛物线的综合应用
解　(1)由C1方程可知F(0,1)，
∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2－b2＝1.
又∵C1与C2的公共弦的长为2，
C1与C2的图象都关于y轴对称，
∴易得C1与C2的公共点的坐标为，
∴＋＝1.又∵a2－b2＝1，
∴a2＝9，b2＝8，
∴C2的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
∵与同向，且|AC|＝|BD|，
∴＝，∴x1－x2＝x3－x4，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1，
由消去y，得x2－4kx－4＝0，
由根与系数的关系，可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
由消去y，得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，
由根与系数的关系，可得x3＋x4＝－，
x3x4＝－，
又∵(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4，
∴16(k2＋1)＝＋，
化简得16(k2＋1)＝，
∴(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，
即直线l的斜率为±.