第三章导数及其应用学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测+模块检测

模块综合试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)
1．命题“?x∈R,3x≤0”的否定是(　　)
A．?x∈R,3x≤0
B．?x∈R,3x＞0
C．?x∈R,3x＞0
D．?x∈R,3x≥0
考点　存在性量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
答案　B
2．x＝1是x2－3x＋2＝0的(　　)
A．充分不必要条件
B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件
D．充要条件
考点　充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点　充分不必要条件的判定
答案　A
解析　若x＝1，则x2－3x＋2＝1－3＋2＝0成立，即充分性成立，
若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，此时x＝1不一定成立，即必要性不成立，
故x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件．
3．函数f(x)＝exln x在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)
A．y＝2e(x－1) B．y＝ex－1
C．y＝x－e D．y＝e(x－1)
考点　切线方程求解及应用
题点　求曲线的切线方程
答案　D
解析　因为f′(x)＝ex，所以f′(1)＝e.
又f(1)＝0，
所以所求的切线方程为y＝e(x－1)．
4．下列说法中正确的是(　　)
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　D
解析　否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.
5．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心离为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±4x D．y＝±x
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
答案　A
解析　由椭圆的离心率e＝＝，可知＝＝，所以＝，故双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
6．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x，则f(－1)与f(1)的大小关系是(　　)
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)>f(1)
C．f(－1)考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　B
解析　因为f(x)＝x2f′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)>f(1)．
7．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　C
解析　由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又af(b)>f(a)，选C.
8．点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B．2
C. D．3
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的其他问题
答案　C
解析　∵△ABF2是等边三角形，∴|BF2|＝|AB|，
根据双曲线的定义，可得 |BF1|－|BF2|＝2a，
∴|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，
又∵|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a.
∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，
∠F1AF2＝120°，
∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos 120°，
即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×(－)＝28a2，
解得c＝a，由此可得双曲线C的离心率e＝＝.
9．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝时，△F1PF2的面积最大，则m＋n的值是(　　)
A．41 B．15 C．9 D．1
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　B
解析　由＝|F1F2|·|yP|＝3|yP|，
知当P为短轴端点时，△F1PF2的面积最大．
此时∠F1PF2＝，
得a＝＝2，b＝＝，故m＋n＝15.
10．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
答案　C
解析　由题意得f′(x)＝(x>0)，
令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0令f′(x)＝0，得x＝3，
故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，
在区间(3，＋∞)上为增函数，
在点x＝3处有极小值1－ln 3<0；
又f＝＋1>0，
f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，
所以f()f(1)＞0，f(1)f(e)＜0，故函数在(1，e)上有零点，在(，1)上无零点．故选C.
11．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
答案　B
解析　由2xln x≥－x2＋ax－3，得a≤2ln x＋x＋，设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.
故实数a的取值范围是(－∞，4]．
12．设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(O＋)·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.＋1 C. D.＋1
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　D
解析　设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
由(O＋)·＝0，
得(O＋)·(O－)＝0，
∴2＝2，∴|O|＝||，
故△F1PF2是直角三角形，
又|PF1|＝|PF2|，|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝c，|PF2|＝c，
由双曲线的定义知c－c＝2a，e＝＝＝＋1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为________．
考点　存在量词与特称命题的真假判断
题点　存在性问题求参数的范围
答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析　由题意知原命题为真，∴Δ＝a2－4>0，
∴a>2或a<－2.
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2＝2py(p>0)上纵坐标为1的点到其焦点的距离为2，则p＝________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求参数
答案　2
解析　由抛物线上一点到其焦点的距离等于该点到准线的距离，得1＋＝2，即p＝2.
15．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是________．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
答案　
解析　f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x.
当k<0时，f′(x)<0在区间(0,4)上恒成立，
即f(x)在区间(0,4)上是减函数，故k<0满足题意．
当k≥0时，则由题意，知解得0≤k≤.
综上，k的取值范围是.
16．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为____________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆离心率的值
答案　
解析　如图所示，在△AFB中，|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，
由余弦定理可得
|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos∠ABF
＝100＋64－2×10×8×＝36.
∴|AF|＝6，∠BFA＝90°.
设F′为椭圆右焦点，连接BF′，AF′.
根据对称性，可得四边形AFBF′是矩形，
∴|BF′|＝6，|FF′|＝10，
∴2a＝8＋6＝14,2c＝10，
则e＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．)
17．(10分)已知命题p：方程＋＝1(a>0)表示双曲线，命题q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．
(1)若命题q为真命题，求m的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点　充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点　利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数的范围
解　(1)∵命题q为真命题，∴2－m>m－1>0，
∴1(2)方程＋＝1(a>0)表示双曲线，
则(m－3a)(m－4a)<0(a>0)，解得3a∵p是q的充分不必要条件，∴(等号不同时取得)，解得≤a≤.
18．(12分)已知抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积．
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合的有关问题
解　(1)因为a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝4，c＝2.
所以＝2，p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)a＝，b＝1，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
抛物线的准线方程为x＝－2，
令x＝－2，得y＝±，
设抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点为A，B，
则|AB|＝，
所以S＝××2＝.
19．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
考点　导数的运用
题点　导数的综合运用
(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知，f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值2(1－ln 2＋a)
↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明　设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知，当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
所以当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
20．(12分)已知函数f(x)＝ax2－ln x，a∈R.
(1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)是否存在a，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
考点　导数的综合应用
题点　导数的综合应用
解　(1)当a＝1时，f(x)＝－ln x(x>0)，
则f′(x)＝x－(x>0)，∴f′(1)＝0，f(1)＝，
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－＝(x>0)．
①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝，
当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.
故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(3)存在a∈(0，e3)，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根．
理由如下：
由(2)可知，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
方程f(x)＝2不可能有两个不等的实数根；
当a>0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根，
等价于函数f(x)的极小值f<2，即f＝＋ln a<2，解得0∴a的取值范围是(0，e3)．
21．(12分)已知函数f(x)＝－x3＋x2＋b，g(x)＝aln x.
(1)若f(x)在上的最大值为，求实数b的值；
(2)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求实数a的取值范围．
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
解　(1)由f(x)＝－x3＋x2＋b，得f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，当x变化时，f(x)－f′(x)的变化情况如下表：
x
－

0



f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
＋b
↘
极小值b
↗
极大值＋b
↘
由f＝＋b，f＝＋b，
∴f>f，即函数f(x)在上的最大值为f＝＋b＝，∴b＝0.
(2)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x2－2x.
∵x∈[1，e]，∴ln x≤1≤x，且等号不能同时成立，
∴ln x0，
∴a≤恒成立，即a≤min，令t(x)＝，x∈[1，e]，求导得，t′(x)＝，当x∈[1，e]时，x－1≥0，ln x≤1，x＋2(1－ln x)>0，从而t′(x)≥0，∴t(x)在[1，e]上为增函数，∴t(x)min＝t(1)＝－1，∴a≤－1.
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点．
①若线段AB中点的横坐标为－，求斜率k的值；
②若点M，求证M·M为定值．
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　圆锥曲线的综合应用
(1)解　因为＋＝1(a>b>0)满足a2＝b2＋c2，＝，×b×2c＝，解得a2＝5，b2＝，
则椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①解　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)将y＝k(x＋1)代入＋＝1，
得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，
Δ＝36k4－4(3k2＋1)(3k2－5)＝48k2＋20>0，
x1＋x2＝－.
因为AB中点的横坐标为－，
所以－＝－，
解得k＝±.
②证明　由①知x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以M·M＝·
＝＋y1y2
＝＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋k2
＝(1＋k2)＋＋＋k2
＝＋＋k2
＝＋＋k2＝.
即M·M为定值．

1　巧用法则求导数
导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用．那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明．
1．函数和(或差)的求导法则
(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)
例1　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝＋ln x；
(2)f(x)＝cos x－－1.
解　(1)f′(x)＝－＋.
(2)f′(x)＝－sin x－ .
点评　记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导．
2．函数积的求导法则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
例2　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2ex；
(2)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
解　(1)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′
＝2xex＋x2ex.
(2)f′(x)＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
点评　特别要注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)．
同时要记住结论：若C为常数，则[Cf(x)]′＝Cf′(x)，由此进一步可以得到[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
3．函数商的求导法则
′＝(g(x)≠0)
例3　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝tan x；
(3)f(x)＝＋ .
解　(1)f′(x)＝′＝
＝.
(2)f′(x)＝(tan x)′＝′
＝＝.
(3)因为f(x)＝＋＝＝，
所以f′(x)＝′＝＝.
点评　应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率．
4．分式求导
对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决．
例4　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝.
分析　直接求导，或比较烦杂，或无从下手，这时，我们不妨利用数学运算法则将其分解，那么“曙光就在前头”．
解　(1)因为y＝＝x－1＋，
所以y′＝1＋＝1－.
(2)因为y＝
＝x2＋x3＋x4，
所以y′＝2x＋3x2＋4x3.
点评　本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”．
2　利用导数求切线方程
曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．
1．已知切点，求曲线的切线方程
此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可．
例1　曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
解析　由f′(x)＝3x2－6x知，曲线在点(1，－1)处的斜率为k＝f′(1)＝－3.
所以切线方程为y－(－1)＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故选B.
答案　B
2．已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例2　求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
解　设P(x0，y0)为切点，
则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.
所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)·(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，
所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，
解得x0＝1或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)
或y－＝·，
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
点评　可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．
3．已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例3　求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程．
解　设P(x0，y0)为切点，
则切线的斜率为f′(x0)＝－.
所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)，
即y－＝－(x－x0)．
又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，
得－＝－(2－x0)．
解得x0＝1，y0＝＝1，
所以所求切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
点评　点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性．
4．求两条曲线的公切线
例4　已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－x2＋4x－4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．
分析　设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．
解　设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－x＋4x2－4)．由C1：y＝x2，得y′＝2x，
则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，
即y＝2x1x－x.由C2：y＝－x2＋4x－4，得y′＝－2x＋4，
则与C2相切于点Q的切线方程为
y＝－2(x2－2)x＋x－4.
因为两切线重合，所以2x1＝－2(x2－2)且－x＝x－4，
解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.
所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
点评　公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解．
3　利用导数研究函数单调性常见题型
1．运用导数求函数的单调区间
利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，得单调区间．
例1　求函数f(x)＝x(ex－1)－x2的单调区间．
解　由已知，得当f′(x)＝(ex－1)(x＋1)＝0时，有x＝0或x＝－1.
当x<－1时，f′(x)>0；当－1当x>0时，f′(x)>0.
故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)．
点评　单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“∪”连接，中间用“，”或“和”连接．
例2　已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为________．
分析　先求函数f(x)的定义域和导数，再结合定义域解f′(x)<0即可．
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x＋3－.
令f′(x)<0，即2x＋3－＝<0，
结合定义域知，x>0且2x2＋3x－2<0，
解得0答案　
点评　求解该类问题时要注意两点：①不要忽视定义域；②如有多个单调递增(减)区间，不要把这些区间取并集．
2．证明不等式
例3　求证：当x>1时，ln x>－.
分析　可构造函数f(x)＝ln x－，由于f(1)＝0，故若能证明f(x)为(1，＋∞)上的增函数，即证明在(1，＋∞)上，导函数f′(x)≥0恒成立即可．
证明　令f(x)＝ln x－，则有f(1)＝0.
因为f′(x)＝＋x＝>0(x∈(1，＋∞))，
所以函数f(x)为(1，＋∞)上的增函数，
又f(1)＝0，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0恒成立，
即ln x>－.
点评　证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)的一般方法：构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈(a，b)，分析F(x)在区间(a，b)上的单调性及最小值与0的大小，进而说明F(x)>0在(a，b)内恒成立即可．
3．求参数的取值范围
例4　已知函数f(x)＝x3－ax2＋1.
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(0,2)，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在区间(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围．
分析　注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆．
解　(1)由f(x)的单调递减区间是(0,2)可知，0与2是方程f′(x)＝3x2－2ax＝0的两根，
故有3×22－2a×2＝0，解得a＝3.
(2)由函数f(x)在区间(0,2)内单调递减可知，
f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0,2)内恒成立，
即2a≥3x在区间(0,2)内恒成立．
因为x∈(0,2)，所以3x∈(0,6)，故2a≥6，即a≥3.
经验证a＝3时满足题意，故a的取值范围为[3，＋∞)．
点评　若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则有f′(x)≥0(f′(x)≤0)对x∈D恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大(小)值问题求解．也可根据所给区间是单调递增(减)区间的子区间求解．
4　巧用导数求极值
1．函数的极值点的判定方法
设函数f(x)在x0处连续，判定f(x0)是极大(小)值点的方法：(1)如果在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(3)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值．极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值．
2．极值常见题型详解
(1)利用导数求函数的极值
例1　求函数f(x)＝xln x的极值点．
解　f′(x)＝ln x＋1，x>0.
而f′(x)>0?ln x＋1>0?x>，
f′(x)<0?ln x＋1<0?0所以f(x)在上是递减的，在上是递增的．
所以x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．
点评　求极值问题一定注意函数的定义域，所以在定义域内研究函数的极值是求极值时应注意的知识点，再利用求极值的步骤求解即可．
(2)含参数的极值问题
例2　设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax.讨论函数f(x)的单调区间和极值．
解　由已知，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝.
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，无极值；
②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是单调递增的；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是单调递减的．
所以当x＝时，f(x)有极大值，
极大值为f＝ln －1＝－ln a－1.
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无极值；
当a>0时，f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为，极大值为－ln a－1.
点评　本题通过求导，把问题转化为含参数的不等式问题，需要对问题进行讨论，讨论时需要全面，避免遗漏．
(3)极值问题的逆向考查
例3　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　)
A．－ B．－2
C．－2或－ D．不存在
解析　由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
所以
解得或　经检验满足题意，
所以＝－.故选A.
答案　A
点评　本题是已知极值求参数，逆向考查了极值的含义，解题关键是需要对所求参数进行讨论，是否满足极值的条件．如果不满足，需要舍去．
5　分类讨论思想在导数中如何应用
分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？
1．按导数为零的根的大小来分类
例1　设函数f(x)＝－x(x－a)2(x∈R)，其中a∈R且a≠0，求函数f(x)的极大值和极小值．
解　f′(x)＝－(3x－a)(x－a)，令f′(x)＝0，
解得x＝a或x＝.
当a>，即a>0，x∈时，f′(x)<0，
x∈时，f′(x)>0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极小值－a3，在x＝a处取得极大值0.
当a<，即a<0，x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，
x∈时，f′(x)>0，x∈时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极大值－a3，在x＝a处取得极小值0.
点评　本题对f(x)求导后，得到一个二次函数，令f′(x)＝0得到的两个根是含有参数的，因此应按两个根的大小来分类．
2．按是否为二次函数来分类
例2　已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1，讨论f(x)的单调性．
解　f′(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，
(1)当a＝0时，h(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
(2)当a≠0时，由f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，
①当a＝，即x1＝x2时，h(x)≥0恒成立，
此时f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当01>0，
当x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减；
③当a<0时，－1<0<1，
当x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0点评　由于f′(x)的分子是一个二次项含参的函数，因此在分类讨论时，首先应按a是否为零，即该函数是否为二次函数来分类，然后当a≠0时，再按根的大小来分类(与例1类似)，另外，应注意参数的范围．
3．按最值来分类
例3　设函数f(x)＝ex－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围．
解　令g(x)＝f(x)－ax，
则g′(x)＝f′(x)－a＝ex＋e－x－a，
由于ex＋e－x＝ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立)，
所以当a≤2时，g′(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，
故g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax.
当a>2时，方程g′(x)＝0的根为x1＝ln <0，x2＝ln >0，
此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数．
所以x∈(0，x2)时，g(x)即f(x)综上所述，满足条件的实数a的取值范围为(－∞，2]．
点评　本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论．
小结　通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论．
6　导数计算中的易错点
1．对定义理解不透
例1　已知函数f(x)＝3x4－2x3＋5，
则 ＝________.
错解　因为f′(x)＝12x3－6x2，
所以原式＝f′(1)＝6.故填6.
剖析　在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种增量形式，相应的Δy也应选择对应的形式，本题Δy中x的增量为2Δx，则分母也应为2Δx.
正解　因为f′(x)＝12x3－6x2，
所以原式＝ ·2＝2f′(1)＝12.
答案　12
2．对导数的几何意义理解有误
例2　已知曲线y＝f(x)＝x3－3x，求过点A(2,2)且与该曲线相切的切线方程．
错解　因为点A(2,2)在曲线y＝f(x)＝x3－3x上，
且f′(x)＝3x2－3，所以f′(2)＝9.
所以所求切线方程为y－2＝9(x－2)，
即9x－y－16＝0.
剖析　上述解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k应是切点处的导数，而点A(2,2)虽在曲线上，但不一定是切点，故本题应先设切点，再求斜率k.
正解　设切点为P(x0，x－3x0)，又y′＝3x2－3.
所以在点x0处的切线方程为
y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．
又因为切线过点A(2,2)，
所以2－(x－3x0)＝(3x－3)(2－x0)，
即(x0－2)2(x0＋1)＝0，解得x0＝2或x0＝－1.
故切线方程为9x－y－16＝0或y＝2.
3．求导时混淆了常量与变量
例3　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝a2＋x2；
(2)f(x)＝eπx.
错解　(1)f′(x)＝(a2＋x2)′＝2a＋2x.
(2)f′(x)＝(eπx)′＝(eπ)′x＋(x)′eπ＝eπx＋eπ.
剖析　(1)求导是对自变量的求导，要看清表达式中的自变量．本题的自变量是x，而a是常量．
(2)中误把常数eπ当作了变量．
正解　(1)f′(x)＝(a2＋x2)′＝2x.
(2)f′(x)＝(eπx)′＝eπ(x)′＝eπ.
4．混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”
例4　已知曲线f(x)＝2x3－3x，过点M(1，－1)作曲线f(x)的切线，求此切线方程．
错解　因为点M在曲线上，所以M为切点，
又f′(x)＝6x2－3，
所以切线的斜率为k＝f′(1)＝6－3＝3，
所以由点斜式可求得切线方程为y＝3x－4.
剖析　错解直接把M看成是切点，对于此类问题应着重考虑已知点是否为切点，若已知点是切点，则错解中的方法就是正确的；否则，就要设出切点，由切点写出切线方程，再将已知点代入求得切点坐标进而得到切线方程．
正解　设切点坐标为N(x0,2x－3x0)，f′(x)＝6x2－3，
所以切线的斜率为k＝f′(x0)＝6x－3，
所以切线方程为y－(2x－3x0)＝(6x－3)·(x－x0)．
又点M在切线上，
所以有－1－(2x－3x0)＝(6x－3)(1－x0)，
解得x0＝1或x0＝－，
故切线方程为3x－y－4＝0或3x＋2y－1＝0.
5．公式或法则记忆不准
例5　已知函数f(x)＝x2＋exln x＋＋3，则f′(2)等于(　　)
A.e2＋3 B．0
C.e2＋3 D．e2＋3
错解　因为f′(x)＝(x2)′＋(ex)′(ln x)′＋′＋(3)′
＝2x＋ex·－，
所以f′(2)＝e2＋3.
故选C.
剖析　基本初等函数的求导公式和求导法则，是求较复杂函数的基础，上述函数就是四个基本函数y＝ex，y＝ln x，y＝xu，y＝C的和与积构成的，因此求导时需利用求导法则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，而不是直接求两个函数导数的乘积．
正解　因为f′(x)＝(x2)′＋(exln x)′＋′＋(3)′
＝2x＋(ex)′·ln x＋ex(ln x)′－＝2x＋exln x＋－，
所以f′(2)＝e2＋3.
故选A.
答案　A
点评　基本初等函数的求导公式中指数与对数函数的求导公式相对较难，而在加、减、乘、除四种求导法则中一定要注意对乘、除两种法则记忆的准确性．

§3.1　导　数
3．1.1　函数的平均变化率
学习目标　1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．
知识点　函数的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
思考1　若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
答案　自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值y的改变量为y2－y1，记作Δy.
思考2　怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
答案　对山路AB来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度．
思考3　观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？
答案　观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．
梳理　(1)函数的平均变化率的定义
已知函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，
令Δx＝x－x0；Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
则当Δx≠0，比值＝叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．
(2)平均变化率的实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率．
(1)在平均变化率的定义中，自变量x的增量Δx＞0.(　×　)
(2)对于函数f(x)在区间[x1，x2]内的平均变化率也可以表示为.(　√　)
(3)＝是f(x)在区间[x0，x0＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率，也可以说是f(x)在x＝x0处的变化率．(　×　)
类型一　求函数的平均变化率
例1　已知函数y＝f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)在0.1到0.2之间的平均变化率；
(2)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．
考点　
题点　
解　(1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以在0.1到0.2之间的平均变化率为＝＝0.9.
(2)Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2，
函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为
＝＝6x0＋3Δx.
反思与感悟　求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；
②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率.
(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
考点　平均变化率的概念
题点　求平均变化率
解　(1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
＝＝2Δx＋4x1＋3.
①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21.
②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.
＝2Δx＋4x1＋3＝19.2.
(2)在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1类型二　求物体的平均速度
例2　一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，求该质点在t＝1,2,3附近，Δt＝时，平均速度的值，并比较在哪一时刻附近的平均速度最大．
考点　
题点　
解　s(t)在t0到t0＋Δt之间的位移增量为s(t0＋Δt)－s(t0)＝(t0＋Δt)2＋1－(t＋1)＝2t0Δt＋(Δt)2，
＝＝2t0＋Δt，
将t0＝1,2,3，Δt＝分别代入上式得，
当t0＝1时，平均速度＝；
当t0＝2时，平均速度＝；
当t0＝3时，平均速度＝.
由上面的计算知，t＝3附近的平均速度最大．
引申探究
若该质点在2到2＋Δt之间的平均速度不大于5，则Δt(Δt＞0)的取值范围是什么？
解　s(t)在t0到t0＋Δt之间的位移增量为s(t0＋Δt)－s(t0)＝(t0＋Δt)2＋1－(t＋1)＝2t0Δt＋(Δt)2.
＝＝2t0＋Δt.
当t0＝2时，
由题意，得4＋Δt≤5，得Δt≤1.
又因为Δt＞0，故Δt的取值范围是(0,1]．
反思与感悟　已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t0，t0＋Δt]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t0，t0＋Δt]内的平均变化率．
跟踪训练2　动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中
(1)Δt＝1；(2)Δt＝0.1；(3)Δt＝0.01.
考点　
题点　
解　动点在20≤t≤20＋Δt时间段内的平均速度为
＝
＝＝5Δt＋210，
(1)当Δt＝1时，＝5×1＋210＝215(m/s)．
(2)当Δt＝0.1时，＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)．
(3)当Δt＝0.01时，＝5×0.01＋210＝210.05(m/s).
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(　　)
A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2
考点　平均变化率的概念
题点　求平均变化率
答案　B
解析　＝＝2.
2．如图，函数y＝f(x)在1到3之间的平均变化率为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
考点　
题点　
答案　B
解析　＝＝－1.
3．在曲线y＝f(x)＝x2＋2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2＋Δx,6＋Δy)，则为(　　)
A．Δx＋＋4 B．Δx－－4
C．Δx＋4 D．4＋Δx－
考点　
题点　
答案　C
解析　＝＝＝Δx＋4.
4．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________．
考点　
题点　
答案　2
解析　ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝.
∴m2＋m＋1＝7，
∴m＝2或m＝－3(舍)．
理解平均变化率要注意以下几点：
(1)平均变化率表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．
(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的形式．
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．

一、选择题
1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在时间[2，2.1]内的平均速度是(　　)
A．4 B．4.1 C．0.41 D．3
考点　平均变化率的概念
题点　求平均变化率
答案　B
解析　＝＝4.1.
2.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是(　　)
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率的应用
答案　B
解析　在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．
所以乙厂的治污效果较好．
3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及附近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于(　　)
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
考点　
题点　
答案　B
解析　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－1]－1＝4Δx＋2(Δx)2，
∴＝＝4＋2Δx.
4．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率中，Δx不可能(　　)
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
考点　
题点　
答案　C
5．函数y＝f(x)＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为(　　)
A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2
考点　
题点　
答案　C
解析　＝
＝＝Δx＋3.
6．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)
A．k1＜k2 B．k1＞k2
C．k1＝k2 D．无法确定
考点　
题点　
答案　D
解析　k1＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝2x0－Δx.
又因为Δx可正可负且不为0，
所以k1，k2的大小关系不确定．
二、填空题
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________________．(用“＜”连接)
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率的应用
答案　1<2<3
解析　1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图象知，kOA8．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________.
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率的应用
答案　5
解析　函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是＝＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，所以t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
所以当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.
9．在曲线y＝2x2＋1的图象上取一点(1,3)及邻近一点(1＋Δx,3＋Δy)，则＝________.
考点　
题点　
答案　2Δx＋4
解析　＝＝2Δx＋4.
10．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1,1＋Δr]时，圆的面积S的平均变化率为________．
考点　
题点　
答案　2π＋πΔr
解析　当r∈[1,1＋Δr]时，圆的面积S的平均变化率为
＝＝＝2π＋πΔr.
三、解答题
11．过曲线y＝f(x)＝x3＋2x上两点P(1,3)和Q(1＋Δx，3＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.2时割线的斜率．
考点　
题点　
解　由条件可知，当Δx＝0.2时，
kPQ＝＝
＝
＝(Δx)2＋3Δx＋5＝0.22＋3×0.2＋5＝5.64.
故当Δx＝0.2时，割线的斜率为5.64.
12．求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
考点　
题点　
解　函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
13．以初速度v0竖直向上抛一物体的位移s与时间t的关系为s(t)＝v0t－gt2(g为物体的重力加速度)．
(1)求物体从时刻t0到时刻t0＋Δt这段时间内的平均速度；
(2)求物体在t＝10 s到10.4 s这段时间内的平均速度．
考点　
题点　
解　(1)由t0到t0＋Δt，则改变量为Δt.
因为Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)
＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－v0t0＋gt
＝v0Δt－gt0·Δt－g(Δt)2，
所以＝＝
＝v0－gt0－gΔt.
(2)当t0＝10 s时，Δt＝0.4 s，
则物体在t＝10 s到10.4 s这段时间内的平均速度
＝v0－10g－×g×0.4＝v0－10.2g.
四、探究与拓展
14．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则第二年婴儿体重的平均变化率为________千克/月．
考点　
题点　
答案　0.25
解析　第二年婴儿体重的平均变化率为
＝0.25(千克/月)．
15．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率的应用
解　∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝
＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．
3．1.2　瞬时速度与导数
学习目标　1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数.3.掌握函数在某一点处的导数的定义．
知识点一　瞬时变化率
思考1　物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
答案　Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.
思考2　当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
答案　当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．
梳理　(1)物体运动的瞬时速度
设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当t0到t0＋Δt时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt的平均变化率趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
(2)函数的瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．
知识点二　函数的导数
思考　f′(x0)与f′(x)表示的意义一样吗？
答案　f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的导数，是一个确定的值．f′(x)是f(x)的导函数，它是一个函数．f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
梳理　(1)函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ .
(2)导函数定义
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)(或yx′、y′)．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝.
(1)函数在某一点处的导数即是函数在该点处的瞬时变化率．(　√　)
(2)平均变化率刻画函数在区间上的变化的快慢，瞬时变化刻画的是函数在某一点处的变化情况．(　√　)
(3)f(x)在x＝x0处的导数就是导数f′(x)在x＝x0处的函数值．(　√　)
类型一　求函数在某一点处的导数
例1　求y＝x2在点x＝1处的导数．
考点　
题点　
解　Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，
＝＝2＋Δx，
∴ ＝ (2＋Δx)＝2，∴y′|x＝1＝2.
反思与感悟　求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
跟踪训练1　(1)若 ＝k，
则 等于(　　)
A．2k B．k
C.k D．以上都不是
考点　
题点　
答案　A
解析　 ，
＝2 ＝2k.
(2)求y＝2x2＋4x在点x＝3处的导数．
考点　
题点　
解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝2(Δx)2＋16Δx，＝2Δx＋16，
＝ (2Δx＋16)＝16，
所以y′|x＝3＝16.
类型二　求物体运动的瞬时速度
例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
考点　导数的概念
题点　瞬时速度
解　∵＝
＝
＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3，
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
引申探究　
1．若本例的条件不变，试求物体的初速度．
解　∵＝
＝
＝1＋Δt，
∴ ＝ (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，
∵＝
＝2t0＋1＋Δt.
∴ ＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思与感悟　(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题．
(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
②求平均速度＝.
③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′(t0)．
跟踪训练2　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
考点　导数的概念
题点　瞬时速度
解　质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
＝＝＝4a＋aΔt，
∴ ＝4a＝8，即a＝2.
类型三　导数的实际意义
例3　一条水管中流出的水量y(单位：m3)是时间x(单位：s)的函数y＝f(x)＝x2＋7x＋15(0≤x≤8)．计算2 s和6 s时，水管流量函数的导数，并说明它们的实际意义．
考点　
题点　
解　在2 s和6 s时，水管流量函数的导数为f′(2)和f′(6)，
根据导数的定义，＝
＝
＝＝Δx＋11，
所以f′(2)＝ ＝ (Δx＋11)＝11，
即在2 s时的水流速度为11 m3/s.
同理可得在6 s时的水流速度为19 m3/s.
在2 s与6 s时，水管流量函数的导数分别为11与19.它说明在2 s时附近，水流大约以11 m3/s的速度流出，
在6 s 时附近，水流大约以19 m3/s的速度流出．
反思与感悟　导数实质上就是瞬时变化率，它描述物体的瞬时变化，例如位移s关于时间t的导数就是运动物体的瞬时速度，气球体积V关于半径r的导数就是气球的瞬时膨胀率．
跟踪训练3　服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)关于时间t(单位：min)的函数为y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.60，试解释它们的实际意义．
考点　
题点　
解　f′(10)＝1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min)．
f′(100)＝－0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min).
1．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为(　　)
A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s
C．0.88 m/s D．4.8 m/s
考点　
题点　
答案　A
解析　物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
2．设函数f(x)可导，则 等于(　　)
A．f′(1) B．3f′(1)
C.f′(1) D．f′(3)
考点　
题点　
答案　A
解析　 ＝f′(1)．
3．函数f(x)在x0处可导，则 (　　)
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0，h均无关
考点　导数的概念
题点　导数概念的理解
答案　B
4．函数y＝f(x)＝3x2＋2x在x＝2处的导数为________．
考点　函数在某一点处的导数
题点　根据定义求函数在某点处的导数
答案　14
解析　f′(2)＝ 
＝ 
＝ (3Δx＋14)＝14.
5．已知函数f(x)＝在x＝1处的导数为－2，则实数a的值是________．
考点　函数在某一点处的导数
题点　根据导数值，求坐标及参数
答案　2
解析　f′(1)＝ ＝ ＝－a.
由题意知，－a＝－2，∴a＝2.
利用导数的定义求导数三步曲
(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)作比求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
简记为一差，二比，三极限．
一、选择题
1．一质点的运动方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3 B．3 C．6 D．－6
考点　导数的概念
题点　瞬时速度
答案　D
解析　由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝ (－3Δt－6)＝－6.
2．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于(　　)
A．2 B．－2 C．3 D．－3
考点　函数在某一点处的导数
题点　根据导数值，求坐标及参数
答案　C
解析　∵f′(1)＝ 
＝ ＝a，
又∵f′(1)＝3，∴a＝3.
3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
考点　函数在某一点处的导数
题点　根据定义求函数在某点处的导数
答案　B
解析　∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝ ＝ ＝－1.
4．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻为(　　)
A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4
考点　导数的概念
题点　瞬时速度
答案　B
解析　设在t0时刻速度为0，
∵s′(t0)＝ 
＝ 
＝ (－8t0＋16－4Δt)
＝－8t0＋16＝0，
∴t0＝2.
5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于(　　)
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
考点　
题点　
答案　C
解析　f′(0)＝ ＝ 
＝ (Δx－3)＝－3.
6．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)等于(　　)
A．1 B．－1
C．－ D.
考点　
题点　
答案　C
解析　因为 
＝－ 
＝－3f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝－，故选C.
7．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝f(x)＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为(　　)
A．(1,10) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－1,10)
考点　
题点　
答案　B
解析　＝
＝
＝3Δx＋6x0＋6，
∴f′(x0)＝ ＝ (3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，
∴x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，
得y0＝－2.
∴点P的坐标为(－1，－2)．
二、填空题
8．已知f(3)＝2，f′(3)＝－2，则 ＝________.
考点　导数的概念
题点　导数概念的理解
答案　8
解析　 ＝ 
＝[2＋]＝2＋3 
＝2－3 ＝2－3f′(3)＝8.
9．对于函数y＝，其导数值等于函数值的点是________．
考点　函数在某一点处的导数
题点　根据导数值，求坐标及参数
答案　
解析　设导数值等于函数值的点是(x0，f(x0))，
则f′(x0)＝ 
＝ ＝－.
由题意知，f′(x0)＝f(x0)，即－＝，
解得x0＝－2，从而y0＝.
所以导数值等于函数值的点是.
10.如图所示，水波的半径以1 m/s的速度向外扩张，当半径为5 m时，则水波面的圆面积的膨胀率是________ m2/s.
考点　函数在某一点处的导数
题点　根据定义求函数在某点处的导数
答案　10π
解析　＝ ＝ (10π＋πΔr)＝10π.
11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则 ＝________.
考点　
题点　
答案　－22
解析　 
＝－2 
＝－2f′(x0)＝－22.
三、解答题
12．某一运动物体，在x(s)时离出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x.
(1)求在第1 s内的平均速度；
(2)求在1 s末的瞬时速度；
(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14 m/s?
考点　导数的概念
题点　瞬时速度
解　(1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为＝ m/s.
(2)＝
＝
＝6＋3Δx＋(Δx)2.
当Δx→0时，→6，
所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s.
(3)＝
＝
＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.
当Δx→0时，→2x2＋2x＋2，
令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2或x＝－3(舍)，
即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值．
考点　导数在某一点处的导数
题点　导数的综合应用
解　由导数的定义知，
f′(x0)＝ ＝2x0，
g′(x0)＝ ＝3x.
因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，
所以2x0＋2＝3x，
即3x－2x0－2＝0，
解得x0＝或x0＝.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝，则f′(1)等于(　　)
A．－ B．1 C．2 D.
答案　A
解析　f′(1)＝ ＝ 
＝ ＝－.
15．建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
考点　
题点　
解　＝
＝
＝＋＝＋，
所以当x＝100时，
 ＝ ＝0.105 (万元/m2)，
即f′(100)＝0.105.
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2，也就是说当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加1 050元.
3．1.3　导数的几何意义
学习目标　1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．
知识点　导数的几何意义
如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，f(x0))，直线PT为过点P的切线．
思考1　割线PPn的斜率kn是多少？
答案　割线PPn的斜率为kn＝.
思考2　当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？
答案　kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理　(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在点P处的切线．
(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，
即k＝ ＝f′(x0)．
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(1)过曲线上一点的割线有无数条，而过这点的切线确仅有一条．(　×　)
(2)曲线在点P处的切线和过点P的切线意思相同．(　×　)
(3)这里对曲线切线的定义与圆的切线的定义并不完全相同．(　√　)
类型一　求切线方程
命题角度1　曲线在某点处的切线方程
例1　已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求在某点的切线方程
解　将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点坐标为P(2,4)．
∵y′|x＝2＝ 
＝ 
＝[4＋2Δx＋(Δx)2]＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
反思与感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求在某点的切线方程
答案　－3
解析　∵y′|x＝2＝ 
＝ ＝ (4＋Δx)＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
命题角度2　曲线过某点的切线方程
例2　求抛物线y＝x2过点的切线方程．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求过某点的切线方程
解　设切线在抛物线上的切点坐标为，
∵＝ 
＝ ＝x0，
∴＝x0，
即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1.
∴切线过抛物线y＝x2上的点，，
故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，
化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即为所求的切线方程．
反思与感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，y0)．
(2)建立方程f′(x0)＝.
(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
跟踪训练2　求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求过某点的切线方程
解　设切点坐标为(x0，x＋x0＋1)，
则切线斜率为
k＝ ＝2x0＋1.
又k＝＝，
∴2x0＋1＝，
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线的斜率为k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0；
当x0＝－2时，切线的斜率为k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
类型二　求切点坐标
例3　已知曲线y1＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y2＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切点坐标
解　＝ ＝ ＝2x0，
＝ 
＝ ＝－3x.
由题意得2x0＝－3x，
解得x0＝0或－.
引申探究
1．若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值．
解　∵＝2x0，＝－3x.
又曲线y1＝x2－1与y2＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，
∴2x0·(－3x)＝－1，
解得x0＝.
2．若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程．
解　由例3知，x0＝0或－.
当x0＝0时，两条平行切线方程分别为y＝－1，y＝1.
当x0＝－时，曲线y＝x2－1的切线方程为12x＋9y＋13＝0.
曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0.
∴所求两平行切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0.
反思与感悟　根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)．
(2)求导函数f′(x)．
(3)求切线的斜率f′(x0)．
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．
跟踪训练3　已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切点坐标
解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．
∵＝ 
＝ 
＝3x－4x0，
又由题意可知k＝4，∴3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点坐标为时，有＝4×＋a，
解得a＝.
当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.
∴当a＝时，切点坐标为；
当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．
类型三　导数几何意义的应用
例4　已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为______________．(请用“>”连接)
考点　导数的几何意义
题点　导数几何意义的理解
答案　k1>k3>k2
解析　由导数的几何意义，可得k1>k2.
∵k3＝表示割线AB的斜率，
∴k1>k3>k2.
反思与感悟　导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．
跟踪训练4　(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)
(2)已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．
考点　导数的几何意义
题点　导数几何意义的理解
答案　(1)A　(2)－7
解析　(1)依题意知，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A满足．
(2)设点P(x0,2x＋a)．
由导数的几何意义，可得
f′(x0)＝ ＝ ＝4x0＝8.
∴x0＝2，∴点P的坐标为(2,8＋a)．
将x＝2，y＝8＋a代入8x－y－15＝0，得a＝－7.
1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为(　　)
A．4 B．16 C．8 D．2
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切线的倾斜角或斜率
答案　C
解析　f′(2)＝ 
＝ ＝ (8＋2Δx)＝8，∴k＝8.
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线的斜率求值
答案　A
解析　由题意知，k＝y′|x＝0
＝ ＝1，
∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
3．曲线y＝f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于(　　)
A．45° B．60° C．135° D．120°
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切线的倾斜角或斜率
答案　C
解析　∵f′(x)＝ 
＝9 
＝－9 ＝－，
∴y′|x＝3＝－＝－1.
又∵直线倾斜角的范围为[0°，180°)，
∴倾斜角为135°.
4.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.
考点　导数的几何意义
题点　导数几何意义的理解
答案　－2
解析　由题图及已知可得函数解析式为
f(x)＝
由导数的几何意义，知f(x)在x＝1处的斜率为－2.
5．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切点坐标
答案　(3,30)
解析　设点P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝ 
＝ ＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，
即k＝ ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
一、选择题
1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　)
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在
考点　导数的几何意义
题点　导数几何意义的理解
答案　C
解析　由导数的几何意义，可得f′(x0)＝－2<0.
2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
考点　导数的几何意义
题点　导数几何意义的理解
答案　B
解析　由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是f(x)在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)3．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值是(　　)
A. B．1
C. D．2
考点　
题点　
答案　D
解析　∵(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，
∴1－2f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1.
又f′(1)＝，∴f(1)＋2f′(1)＝1＋2×＝2.故选D.
4．下列点中，在曲线y＝f(x)＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切点坐标
答案　D
解析　∵f′(x)＝ ＝2x，
又切线的倾斜角为，
∴直线斜率为tan ＝1，即2x＝1，
∴x＝，y＝，则切点坐标为.
5．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A．1 B. C．－ D．－1
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切点坐标
答案　A
解析　∵y′|x＝1＝ 
＝ (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，即a＝1.
6．设P为曲线C：y＝f(x)＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角α的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为(　　)
A. B．[－1,0]
C．[0,1] D.
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切点坐标
答案　D
解析　设点P的横坐标为x0，则曲线在点P处的切线倾斜角α与x0的关系为
tan α＝f′(x0)＝ ＝2x0＋2.
∵α∈，∴tan α∈[1，＋∞)，
∴2x0＋2≥1，即x0≥－.
∴x0的取值范围为.
7．如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)等于(　　)
A. B．3 C．4 D．5
考点　
题点　
答案　A
解析　由题图知直线l过点(0,3)，(4,5)，所以直线l的斜率k＝，则由导数的几何意义，知f′(4)＝.
二、填空题
8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
答案　2
解析　∵函数过点(1,3)，∴a＋b＝3.
又y′|x＝1＝ ＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2，故＝2.
9．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝________.
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
答案　1
解析　由题图可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝1.
10．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为________．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求在某点的切线方程
答案　
解析　∵y′|x＝1＝3，
∴曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，
则切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为S＝××4＝.
11．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
答案　4
解析　设抛物线在点P处的切线斜率为k，
k＝y′|x＝－2
＝ ＝－5，
∴切线方程为y＝－5x.
∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，
将P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
三、解答题
12．已知曲线C：y＝f(x)＝x2，试在曲线C上求一点P.
(1)使在该点处的切线平行于直线y＝4x－5；
(2)使在该点处的切线垂直于直线2x－6y＋5＝0.
考点　
题点　
解　设P(x0，y0)是满足条件的点．
因为f′(x0)＝ 
＝ 
＝ (2x0＋Δx)＝2x0.
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，x0＝2，
又点P在曲线C上，所以y0＝4，即P(2,4)．
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0·＝－1，
得x0＝－，
又点P在曲线C上，所以y0＝，即P.
13．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
解　∵f′(x0)＝ 
＝[3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2]
＝3x＋2ax0－9.
＝32－9－，
∴当x0＝－时，f′(x0)取到最小值－9－.
∵函数f(x)斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线的斜率为－12.
∴－9－＝－12，解得a＝±3，
又a<0，∴a＝－3.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　)
A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)
考点　
题点　
答案　B
解析　从图象上可以看出f(x)在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0＜f′(3)＜f′(2)，过此两点的割线的斜率比f(x)在x＝2处的切线的斜率小，比f(x)在x＝3处的切线的斜率大，所以0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故选B.
15．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
考点　切线方程的求解及应用
题点　切线的存在性问题
解　∵＝＝2x＋Δx，
∴y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设切点坐标为P(x0，y0)，
则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，
由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．
又∵切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，
∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，
即x－2x0＋a－1＝0.
∵切线有两条，
∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，此时a的取值范围是{a|a<2}．
§3.2　导数的运算
3．2.1　常数与幂函数的导数
3．2.2　导数公式表
学习目标　1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
知识点一　常数与幂函数的导数
思考1　利用导数的定义可以求得f(x)＝x2在x＝x0处的导数为f′(x0)＝2x0.若把x0看成任意实数x，其导数是什么呢？
答案　f′(x)＝2x.
思考2　用类似的方法，能否求出f(x)＝C，g(x)＝x的导数？
答案　f′(x)＝0，g′(x)＝1.
梳理
原函数
导函数
f(x)＝C
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
知识点二　基本初等函数的导数公式表
原函数
导函数
f(x)＝C
f′(x)＝0
f(x)＝xn
f′(x)＝nxn－1(n为自然数)
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，a≠1，x>0)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
类型一　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝2sin cos ；(5)y＝；(6)y＝3x.
考点　基本初等函数的导数公式
题点　基本初等函数导数公式的应用
解　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝＝＝＝ .
(4)∵y＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y′＝()′＝＝－.
(6)y′＝(3x)′＝3xln 3.
反思与感悟　若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．
跟踪训练1　给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x；
②′＝cos；
③若f(x)＝，则f′(3)＝－；
④(2ex)′＝2ex；
⑤(log4x)′＝；
⑥(2x)′＝2x.
其中正确的有 个．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　基本初等函数导数公式的应用
答案　3
解析　因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
因为sin＝，而′＝0，所以②错误；
因为f′(x)＝′＝(x－2)′＝－2x－3，
则f′(3)＝－，所以③正确；
因为(2ex)′＝2ex，所以④正确；
因为(log4x)′＝，所以⑤正确；
因为(2x)′＝2xln 2，所以⑥错误．
类型二　导数公式的综合应用
命题角度1　利用导数公式解决切线问题
例2　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　
解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．
设切点坐标为(x0，y0)，由直线PQ的斜率为k＝＝1，
又切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－，
所以切点坐标为.
所以所求切线方程为y－＝(－1)，
即4x＋4y＋1＝0.
引申探究
若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则＝2x0.
又因为PQ的斜率为k＝＝1，
而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝.
所以切点为M，
所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：
(1)切点处的导数是切线的斜率．
(2)切点在切线上．
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．
跟踪训练2　已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求解切线问题
解　设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝＝cos x0，k2＝＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，
即sin 2x0＝2，这是不可能的．
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直．
命题角度2　利用导数公式解决切点问题
例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　由导数公式求最值问题
解　依题意知，抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为，
∴所求的最短距离为d＝＝.
反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3　已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　由导数公式求最值问题
解　设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率为k＝y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1，故可得M(1,1)，
∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，
故点M(1,1)即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大.
1．下列结论：
①(sin x)′＝cos x； ②＝；
③(log3x)′＝； ④(ln x)′＝.
其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
考点　基本初等函数的导数公式
题点　基本初等函数导数公式的应用
答案　C
解析　∵②＝；③(log3x)′＝，
∴②③错误，故选C.
2．函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　)
A. B．0
C. D.
考点　基本初等函数的导数公式
题点　幂函数的导数
答案　A
解析　∵根据导数的定义，可得f′(x)＝，
∴f′(3)＝＝.
3．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝ .
考点　基本初等函数的导数公式
题点　对数函数的导数
答案　
解析　∵f′(x)＝，
则f′(1)＝＝－1，∴a＝.
4．求过曲线y＝sin x上的点P且与在这一点处的切线垂直的直线方程．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　正弦函数的导数
解　曲线y＝sin x在点P处的切线斜率
为k＝＝cos ＝，
则与切线垂直的直线的斜率为－，
∴所求直线方程为y－＝－，
即12x＋18y－2π－9＝0.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.

一、选择题
1．下列各式中正确的个数是(　　)
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③′＝；④()′＝；
⑤(cos x)′＝－sin x；⑥(cos 2)′＝－sin 2.
A．3 B．4 C．5 D．6
考点　基本初等函数的导数公式
题点　基本初等函数的导数公式的应用
答案　B
解析　∵②(x－1)′＝－x－2；⑥(cos 2)′＝0，
∴②⑥不正确．故选B.
2．函数y＝f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
考点　基本初等函数的导数公式
题点　幂函数的导数
答案　B
解析　∵y′＝3x2，设切点坐标为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．
3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
考点　基本初等函数的导数公式
题点　正弦函数的导数
答案　A
解析　∵(sin x)′＝cos x，又∵kl＝cos x，
∴－1≤kl≤1，∴αl∈∪.
4．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b等于(　　)
A．4 B．－4 C．28 D．－28
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求解切线问题
答案　C
解析　∵点(2,8)在切线上，∴2k＋b＝8，①
又y′|x＝2＝3×22＝12＝k，②
∴由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.
5．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)
A．e B．－e C. D．－
考点　基本初等函数的导数公式
题点　指数函数、对数函数的导数
答案　C
解析　设切点坐标为(x0，ln x0)，
则切线的斜率为＝.
又切线斜率可表示为，
∴＝，则x0＝e，
∴切线的斜率为.
6．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 018(x)等于(　　)
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
考点　基本初等函数的导数公式
题点　正弦、余弦函数的导数
答案　B
解析　f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，
f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，
可知周期为4，
∴f2 018(x)＝f504×4＋2(x)＝f2(x)＝－sin x.
7．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求解切线问题
答案　D
解析　若两条直线垂直且斜率都存在，则其斜率之积为－1.
因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln x)′＝>0，所以不会使两条切线斜率之积为－1，故选D.
二、填空题
8．已知f(x)＝，g(x)＝mx且g′(2)＝，则m＝ .
考点　几个常用函数的导数
题点　几个常用函数导数的应用
答案　－4
解析　∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－.
又g′(x)＝m，且g′(2)＝，∴m＝－4.
9．某质点沿直线运动的路程与时间的关系式为s＝，则该质点在t＝8时的速度为 ．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　幂函数的导数
答案　
解析　∵s＝，∴s′＝，∴s′|t＝8＝.
10．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为 ．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求解切线问题
答案　(1,1)
解析　因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1＝e0＝1.
设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－ (x>0)，
曲线y＝ (x>0)在点P处的切线斜率为k2＝－ (m>0)．
因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，
所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
11．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
考点　
题点　
答案　log2e
解析　y′＝＝·log2e，所以切线的斜率k＝y′＝log2e，切线方程为y＝(x－1)log2e，令x＝0，得y＝－log2e，令y＝0，得x＝1，因此所求三角形的面积S＝×1×log2e＝log2e.
三、解答题
12．若曲线y＝在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为9，求实数a的值．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　幂函数的导数
解　∵y＝，∴y′＝，
∴曲线在点(a，)处的切线的斜率为k＝，
∴切线方程为y－＝ (x－a)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝3a.
由题意知，a>0，该切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为S＝×3a×＝＝9，∴a＝16.
13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　由导数公式求最值问题
解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，
又y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
由点到直线的距离公式，得最小距离为d＝＝.
四、探究与拓展
14．已知直线y＝kx是y1＝ln x的切线，则k的值是(　　)
A. B．－
C. D．－
考点　
题点　
答案　C
解析　设切点为(x0，kx0)．
∵k＝＝，
∴y＝x.
又ln x0＝·x0＝1，
∴x0＝e.
∴k＝.
15．设曲线y＝上有点P(x1，y1)，与曲线切于点P的切线为m，若直线n过点P且与m垂直，则称n为曲线在点P处的法线．设n交x轴于点Q，又作PR⊥x轴于点R，求|RQ|的值．
考点　
题点　
解　由题意知，＝，
因为n与m垂直，
所以n的斜率为－2，
所以直线n的方程为
y－y1＝－2(x－x1)．
令y＝0，则－y1＝－2(xQ－x1)，
所以xQ＝＋x1，易知xR＝x1，
于是|RQ|＝|xQ－xR|＝.
3．2.3　导数的四则运算法则
学习目标　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
知识点一　和、差的导数
已知f(x)＝x，g(x)＝.
思考1　f(x)，g(x)的导数分别是什么？
答案　f′(x)＝1，g′(x)＝－.
思考2　试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．
答案　Q′(x)＝1－.
H′(x)＝1＋.
梳理　和、差的导数
(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)．
知识点二　积、商的导数
(1)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
②[Cf(x)]′＝Cf′(x)．
(2)商的导数
′＝(g(x)≠0)．
注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，′≠.
(1)[f(x0)＋g(x0)]′＝f′(x0)＋g′(x0)．(　×　)
(2)两函数和的导数等于它们各自导数的和，两函数积的导数却不等于它们各自导数的积．
(　√　)
(3)′＝.(　×　)
类型一　导数运算法则的应用
例1　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝ax3＋bx2＋c；(2)f(x)＝xln x＋2x；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝x2·ex.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的应用
解　(1)f′(x)＝′
＝′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx.
(2)f′(x)＝(xln x＋2x)′＝(xln x)′＋(2x)′
＝x′ln x＋x(ln x)′＋2xln 2＝ln x＋1＋2xln 2.
(3)方法一　f′(x)＝′
＝
＝＝.
方法二　∵f(x)＝＝＝1－，
∴f′(x)＝′＝′
＝－＝.
(4)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′
＝2x·ex＋x2·ex＝ex(2x＋x2)．
反思与感悟　(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝xtan x；
(2)f(x)＝2－2sin2；
(3)f(x)＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；
(4)f(x)＝.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的应用
解　(1)f′(x)＝(x·tan x)′＝′
＝
＝＝.
(2)∵f(x)＝2－2sin2＝1＋cos x，
∴f′(x)＝－sin x.
(3)方法一　f′(x)＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二　∵f(x)＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴f′(x)＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
(4)∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
类型二　导数运算法则的综合应用
命题角度1　利用导数求函数解析式
例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，求f(x)；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.
考点　导数的应用
题点　利用导数求函数解析式
解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.
所以f(x)＝－2x.
(2)由已知得f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又因为f′(x)＝xcos x，
所以即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思与感悟　求解此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则．
跟踪训练2　已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)等于(　　)
A．－3 B．2e C. D.
考点　导数的应用
题点　利用导数求函数解析式
答案　D
解析　∵f′(x)＝2exf′(1)＋，
令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，
∴f′(1)＝.
命题角度2　与切线有关的问题
例3　已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)．当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．
考点　
题点　
解　因为当a＝－1时，
f(x)＝ln x＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．
所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.
又f(2)＝ln 2＋2，
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－(ln 2＋2)＝x－2，
即x－y＋ln 2＝0.
引申探究
若本例函数不变，已知曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为x－y＋ln 2＝0，求a.
解　因为f′(x)＝－a＋＝，
又曲线在点(2，f(2))处的切线方程为x－y＋ln 2＝0，
所以f′(2)＝1, 即＝1，
即a＝－1.
反思与感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行恒等变换，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
考点　导数的应用
题点　与切线有关的问题
解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b.
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知，g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.

1．下列结论不正确的是(　　)
A．若y＝3，则y′＝0
B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的应用
答案　D
解析　D中，∵y＝sin x＋cos x，
∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.
2．设y＝－2exsin x，则y′等于(　　)
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
考点　导数的运算法则
题点　导数的乘法法则及运算
答案　D
解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
3．对于函数f(x)＝＋ln x－，若f′(1)＝1，则k＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数的加减法则及运算
答案　
解析　∵f′(x)＝＋＋，
∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝.
4．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b，c的值．
考点　导数的应用
题点　与切线有关的问题
解　由题意，得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，
由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上，得
即
解得b＝0，c＝1.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些与切线斜率、瞬时速度等有关的问题.
一、选择题
1．下列求导运算正确的是(　　)
A.′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(x2cos x)′＝－2xsin x
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的应用
答案　B
解析　A中，′＝1－，故错误；
B中，(log2x)′＝，故正确；
C中，(3x)′＝3xln 3，故错误；
D中，(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故错误．
故选B.
2．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，则x0等于(　　)
A．a B．±a C．－a D．a2
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的应用
答案　B
解析　∵y′＝1－，∴＝1－＝0，∴x0＝±a.
3．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于(　　)
A．0 B．1
C. D．不存在
考点　导数的运算法则
题点　导数的除法法则及运算
答案　C
解析　∵f′(x)＝，
又f′(x0)＋f(x0)＝0，
∴＋＝0，解得x0＝.
4．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
考点　导数的应用
题点　与切线有关的问题
答案　D
解析　∵f′(x)＝sin x＋xcos x，∴f′＝1，
∴f′＝sin＋·cos＝1.
又由题意知，f′·＝－1，
∴a＝2.
5．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，则(　　)
A．f(0)C．f(0)>f(5) D．f(0)≥f(5)
考点　导数的运算法则
题点　导数的加法法则及运算
答案　C
解析　∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，
∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，
∴f′(2)＝2×2＋2f′(2)，即f′(2)＝－4.
∴f(x)＝x2－8x＋m，
∴f(0)＝m，f(5)＝25－40＋m＝－15＋m.
∴f(0)>f(5)．
6．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于(　　)
A. B．－ C. D．－或
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　B
解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，
∴导函数f′(x)的图象开口向上．
又∵a≠0，∴f′(x)不是偶函数，
其图象不关于y轴对称，
故其图象必为③.
由图象特征知f′(0)＝0，且对称轴－a>0，
∴a＝－1，
则f(－1)＝－－1＋1＝－，故选B.
7．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A．2 B. C．－ D．－2
考点　导数的应用
题点　与切线有关的问题
答案　D
解析　y′＝＝，
∴y′|x＝3＝＝－，
∴曲线y＝在点(3,2)处的切线斜率为－，
由题意得×(－a)＝－1，∴a＝－2.
二、填空题
8．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数的除法运算法则及运算
答案　
解析　∵f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
又h′(x)＝，
∴h′(5)＝
＝＝.
9．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数的加法法则及运算
答案　1
解析　∵f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
10．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
考点　导数的应用
题点　与切线有关的问题
答案　[2，＋∞)
解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，
即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时，取等号)．
11．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是______．
考点　导数的应用
题点　与切线有关的问题
答案　
解析　∵y＝，∴y′＝.
令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1，
∴y′＝＝－.
再令＝m，则0∴y′＝4m2－4m＝42－1，m∈(0,1)．
∴－1≤y′<0，
∴－1≤tan α<0，得≤α<π.
三、解答题
12．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式．
考点　导数的应用
题点　利用导数求函数解析式
解　∵f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，
又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c＝0，即c＝，
∴f(x)的表达式为f(x)＝x2＋x＋.
13．已知函数f(x)＝－1(a＞0)的图象在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．
考点　
题点　
解　因为f′(x)＝，所以f′(1)＝，
又因为f(1)＝－1，
所以切线l的方程为y－＋1＝(x－1)．
令x＝0，得y＝－－1.
令y＝0，得x＝，
所以三角形的面积
S＝·＝≥×(2＋2)＝1，
当且仅当a＝，即a＝1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1.
四、探究与拓展
14．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为________．
考点　
题点　
答案　
解析　y′＝＝，
∴k＝＝.
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
考点　导数的应用
题点　与切线有关的问题
(1)解　由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，所以f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，且f′(2)＝，②
由①②得解得
故f(x)＝x－.
(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为
S＝×|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
§3.3　导数的应用
3．3.1　利用导数判断函数的单调性
学习目标　1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
知识点一　函数的单调性与导函数正负的关系
思考1　观察下列各图，完成表格内容.
函数及其图象
切线斜率k的正负
导数的正负
单调性
正
正
[1，＋∞)上单调递增
正
正
R上单调递增
负
负
(0，＋∞)上单调递减
负
负
(0，＋∞)上单调递减
负
负
(－∞，0)上单调递减
思考2　依据上述分析，可得出什么结论？
答案　一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增．
(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减．
梳理　函数的单调性与其导数正负的关系
设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)＞0
增函数
f′(x)＜0
减函数
知识点二　函数的变化快慢与导数的关系
思考　我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？
答案　如图所示，函数y＝f(x)在区间(0，b)或(a,0)内导数的绝对值较大，图象“陡峭”，在区间(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图象“平缓”．
梳理　一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则必有f′(x)＞0.(　×　)
(2)若函数f(x)在区间(a，b)上的导数为常数，则f(x)在(a，b)上不具有单调性．(　×　)
(3)若f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上也可以是单调增函数．(　√　)
类型一　利用导数判断函数的单调性
例1　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定函数的单调性
证明　∵f′(x)＝，又x∈，
则cos x<0，sin x>0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减．
反思与感悟　关于利用导数证明函数单调性的问题
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．
(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则f′(x)≥(或≤)0.
跟踪训练1　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定函数的单调性
证明　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.
又00，
故f(x)在区间(0，e)上是增函数．
类型二　利用导数求函数的单调区间
命题角度1　不含参数的函数求单调区间
例2　求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　不含参数的函数求单调区间
解　f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝6x－＝
＝，
由x>0，解f′(x)>0，得x>，
由x＞0，解f′(x)<0，得0所以函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，
单调递减区间为.
反思与感悟　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．
跟踪训练2　求函数f(x)＝的单调区间．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　不含参数的函数求单调区间
解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3，
又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，(2,3)．
命题角度2　含参数的函数求单调区间
例3　讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　含参数的函数求单调区间
解　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝.
设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a.
当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，由g(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．
当x∈时，g(x)<0，即f′(x)<0，
当x∈时，g(x)>0，即f′(x)>0.
所以当a>0时，函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上，当a＝0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
反思与感悟　(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－(a＋m)x＋aln x，且f′(1)＝0，其中a，m∈R.
(1)求m的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　含参数的函数求单调区间
解　(1)由题设知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝x－(a＋m)＋.
由f′(1)＝0，得1－(a＋m)＋a＝0，解得m＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.
当a>1时，由f′(x)>0，得x>a或0此时f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，(0,1)；
当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当00，得x>1或0此时f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，(0，a)；
当a≤0时，由f′(x)>0，得x>1，此时f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
综上，当a>1时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，(0,1)；
当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当0当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
类型三　含参数函数的单调性
例4　若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
答案　[1，＋∞)
解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1，
即k的取值范围为[1，＋∞)．
引申探究
试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
解　f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－，
当k≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k>0时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
反思与感悟　(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．
(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(3)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
解　f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立，
∴a≤(2x3)min.设y＝2x3，
∵y＝2x3在[2，＋∞)上单调递增，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))，有且只有f′(2)＝0，
∴a的取值范围是(－∞，16].
1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定函数的单调性
答案　A
解析　∵x∈(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，
∴函数在(0,6)上单调递增．
2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　)
考点　函数变化快慢与导数的关系
题点　根据原函数的图象确定导函数的图象
答案　C
解析　原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增，
当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增．
故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.
3．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C．(0，＋∞) D．(0，a)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　求含参数函数的单调区间
答案　A
解析　f(x)的定义域为{x|x>0}，且a>0，
由f′(x)＝－a>0，
得04．若函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，则m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
答案　A
解析　∵函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，
∴f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0在R上恒成立，
则判别式Δ＝16－12m≤0，即m≥.
5．求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　求含参数函数的单调区间
解　f′(x)＝ex＋(x－k)ex＝(x－k＋1)ex，
当x当x>k－1时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，k－1)，
单调递增区间为(k－1，＋∞)．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．

一、选择题
1．函数y＝f(x)＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是增函数(　　)
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定函数的单调性
答案　B
解析　y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，
若y＝f(x)在某区间内是增函数，
只需在此区间内y′≥0(只在有限个点处y′＝0)恒成立即可，
∴只有选项B符合题意，
当x∈(π，2π)时，y′>0恒成立．
2．函数y＝x2－ln x的单调递减区间是(　　)
A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　不含参数的函数求单调区间
答案　A
解析　∵y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
∴y′＝x－，
令y′<0，即x－<0，
解得0＜x＜1或x＜－1，
又∵x>0，∴03．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．常数
D．既不是增函数也不是减函数
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定函数的单调性
答案　A
解析　求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应的方程f′(x)＝0的判别式Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数．
4．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在(1,3)上f(x)是减函数
C．在(4,5)上f(x)是增函数
D．在(－3，－2)上f(x)是增函数
考点　函数变化快慢与导数的关系
题点　根据导函数的图象研究原函数的图象
答案　C
解析　由图知当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上f(x)是增函数．
5．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定函数的单调性
答案　B
解析　对于A，显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减；对于B，因为e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；
对于C，y′＝3x2－1＝3，
故函数在，上为增函数，
在上为减函数；
对于D，y′＝－1 (x>0)，
故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数．
故选B.
6．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
答案　A
解析　f′(x)＝3ax2－1，
由题意知，对?x∈R,3ax2－1≤0，
当a>0时，显然不合题意，
当a≤0时，符合题意．故a≤0.
7．函数f(x)＝sin x＋2xf′，f′(x)为f(x)的导函数，令a＝－，b＝log32，则下列关系正确的是(　　)
A．f(a)>f(b) B．f(a)C．f(a)＝f(b) D．f(|a|)考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值大小
答案　A
解析　∵f′(x)＝cos x＋2f′，
∴f′＝cos＋2f′，
解得f′＝－，
∴f(x)＝sin x－x，
由f′(x)＝cos x－1≤0知，函数f(x)为减函数，
而－∴f>f(log32)，即f(a)>f(b)．
二、填空题
8．当x＞0时，f(x)＝x＋的单调递减区间是________．
考点　
题点　
答案　(0，)
解析　f′(x)＝1－＝＝.
由f′(x)＜0且x＞0，得0＜x＜.
故f(x)的单调递减区间是(0，)．
9．已知函数f(x)＝kex－1－x＋x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递减区间为____________．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　含参数的函数求单调区间
答案　(－∞，0)
解析　f′(x)＝kex－1－1＋x，
∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，
∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，
∴f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)<0，解得x<0，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)．
10．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为________．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
答案　
解析　∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．
令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，
∴当x>2时，g′(x)>0，
即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴m≤2＋＝，
故实数m的取值范围为.
11．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为____．
考点　函数变化快慢与导数的关系
题点　求解不等式
答案　(－3，－1)∪(0,1)
解析　由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f′(x)<0，
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
三、解答题
12．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln x；(2)y＝x＋.
考点　
题点　
解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－＝，
由y′＞0，得x＞1；由y′＜0，得0＜x＜1.
∴函数y＝x－ln x的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
(2)函数y＝x＋的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
∵y＝x＋，∴y′＝1－＝＝.
当y′＞0，即x＞3或x＜－3时，函数y＝x＋单调递增；
当y′＜0，即－3＜x＜0或0＜x＜3时，
函数y＝x＋单调递减．
故函数y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3,0)，(0,3)．
13．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a的取值范围．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
解　f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a－1.
因为f(x)在(1,4)内为减函数，
所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0；
因为f(x)在(6，＋∞)内为增函数，
所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0.
所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.
所以实数a的取值范围为[5,7]．
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是________．
考点　
题点　
答案　[3，＋∞)
解析　因为f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，故f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，
即a≥－2x在上恒成立，
若满足题意，需a≥max.
令h(x)＝－2x，则h′(x)＝－－2，
当x∈时，h′(x)＜0，则h(x)为减函数，
所以h(x)＜h＝3.所以a≥3.
15．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图，f(x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
解　(1)由已知得，h′(x)＝2ax＋b，
其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，
把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
∴　解得
∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2.
(2)f′(x)＝＋2x－8＝(x>0)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
↘
↗
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，(3，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为(1,3)．
要使函数f(x)在区间上是单调函数，
则　解得即实数m的取值范围为.
3.3.2　利用导数研究函数的极值
第1课时　利用导数研究函数的极值
学习目标　1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一　函数极值的概念
函数y＝f(x)的图象如图所示．
思考1　函数f(x)在点x＝a处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？f′(x)在x＝a处的值与其附近的值有什么关系？
答案　函数在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小；f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
思考2　函数在点x＝b处的情况呢？
答案　函数在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
梳理　函数的极值及极值点
(1)已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．
(2)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
极值点是指函数在区间(a，b)内取得极大(小)值的对应的自变量x0，极值点不是点，是一个数x0∈(a，b)；而极值是一个函数值，是极值点x0对应的函数值f(x0)．
(3)函数的极值与其导数的关系
①极大值与导数的关系
x
(a，x0)
x0
(x0，b)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
②极小值与导数的关系
x
(a，x0)
x0
(x0，b)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
知识点二　求可导函数y＝f(x)极值的步骤
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；
(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．
如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值．
(1)极大值一定大于极小值．(　×　)
(2)f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(　×　)
(3)在极值点两侧的单调性一定相反．(　√　)
类型一　求函数的极值和极值点
例1　求下列函数的极值：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝＋3ln x.
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值
解　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值21
↘
极小值－6
↗
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.
(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值3
↗
因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值．
反思与感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．
跟踪训练1　求函数f(x)＝－2的极值．
考点　
题点　
解　函数的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
－3
↗
－1
↘
由上表可以看出：
当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
类型二　已知函数极值求参数
例2　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
解　因为f(x)在x＝－1时有极值0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
引申探究
若本例的条件改为“x＝－3，x＝－1是f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2的两个极值点”，求常数a，b的值．
解　因为f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由极值点的必要条件可知

即解得
所以a＝2，b＝9.
反思与感悟　已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求：
(1)x0的值；
(2)a，b，c的值．
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
解　(1)由图象可知，在区间(－∞，1)上f′(x)＞0，在区间(1,2)上f′(x)＜0，在区间(2，＋∞)上f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.
(2)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，
得解得a＝2，b＝－9，c＝12.
类型三　函数极值的综合应用
例3　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
解　(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；
单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知，y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．
所以，当5－4＜a＜5＋4时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的实根．
反思与感悟　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x



4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
－m
↘
－16－m
↗
则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得解得－16即实数m的取值范围为.
1.如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是(　　)
①f(x)在(－3,1)上为增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上是增函数；
④x＝2是f(x)的极小值点．
A．①②③ B．②③
C．③④ D．①③④
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在图象上的应用
答案　B
解析　当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，故①不正确；
x＝－1是f(x)的极小值点，故②正确；
当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，故③正确；
x＝2是f(x)的极大值点，故④不正确．
2．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值与极小值之和为(　　)
A．8 B. C．10 D．12
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值
答案　A
解析　由f′(x)＝x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2，
∴函数f(x)的极大值与极小值的和为f(－2)＋f(2)＝8.
3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝________.
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　5
解析　因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
则f′(－3)＝3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，所以a＝5.
4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为______________．
考点　函数极值的应用
题点　极值存在性问题
答案　{a|a<－3或a>6}
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
5．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的单调区间，并求极值．
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
解　(1)∵f′(x)＝2ax＋，
由题意得　即
∴a＝，b＝－1.
(2)由(1)得
f′(x)＝x－＝＝，x∈(0，＋∞)．
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
∴f(x)极小值＝f(1)＝，无极大值．
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
一、选择题
1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点　函数的极值与导数关系
题点　判断函数的极值(点)
答案　A
解析　当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．
2．函数f(x)＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值
答案　C
解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．
当x∈(－2，－1)时，f′(x)>0，
当x∈(－1,2)时，f′(x)<0，
故f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．
3．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3 C．6 D．9
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　D
解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.
又a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴2≤6，
∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，
∴ab的最大值为9.
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间和极值分别是(　　)
A．(－∞，2)，－e2 B．(0,3)，0
C．(1,4)，e D．(2，＋∞)，－e2
考点　
题点　
答案　D
解析　f′(x)＝(x－2)ex，令f′(x)＝0，得x＝2.
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，∴f(x)在(2，＋∞)上单调递增；当x∈(－∞，2)时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(－∞，2)上单调递减，
∴f(x)极小值＝f(2)＝－e2，无极大值．
5．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为(　　)
A．a<－1 B．a>－1
C．a<－ D．a>－
考点　函数极值的应用
题点　极值存在性问题
答案　A
解析　因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，
又因为x＞0，所以－a＞1，即a＜－1.
6．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则(　　)
A．f(x)极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)
考点　函数极值的应用
题点　函数的极值在图象上的应用
答案　D
解析　当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－33时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值为f(3)，f(x)的极小值为f(－3)．
7．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
考点　函数的极值与导数的关系
题点　判别函数的极值(点)
答案　C
解析　当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，
∴x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
显然f′(1)＝0，且x在1附近的左侧f′(x)<0，
x在1附近的右侧f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.
二、填空题
8．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值
答案　y＝－
解析　令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，
得x＝－1，∴y＝－，
∴函数y＝xex在极值点处的切线方程为y＝－.
9．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax＋b在x＝2处取得极值9，则a＋2b＝________.
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　－24
解析　f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
∵f(x)在x＝2处取得极值9，
∴即
解得
∴a＋2b＝－24.
10．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(－1)＝________.
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　30
解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意知即
解得或
经检验知，当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，不合题意．
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，则f(－1)＝30.
11．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________．
考点　
题点　
答案　(1,4)
解析　y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0.
函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；
当a＞0时，y′＝3x2－3a＝0，得x＝±，不难分析，当1＜＜2，即1＜a＜4时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．
三、解答题
12.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与直线y＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数的单调递减区间．
考点　极值的应用
题点　函数的极值在图象上的应用
解　(1)∵函数图象过原点，∴c＝0，
即f(x)＝x3＋ax2＋bx，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
又∵函数f(x)的图象与直线y＝0在原点处相切，
∴f′(0)＝0，解得b＝0，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－.
由题意可知，当x＝－时，函数取得极小值－4.
∴3＋a2＝－4，解得a＝－3.
∴a＝－3，b＝c＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2)，
由f′(x)<0，得3x(x－2)<0，∴0∴函数f(x)的单调递减区间是(0,2)．
13．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a≤2，x∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明由．
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
解　(1)根据题意得f(x)＝(x2＋x＋1)ex，
所以f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex
＝(x2＋3x＋2)ex＝(x＋1)(x＋2)ex，
当f′(x)>0时，解得x<－2或x>－1，
当f′(x)<0时，解得－2所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；
单调递减区间为(－2，－1)．
(2)令f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex
＝[x2＋(2＋a)x＋2a]ex
＝(x＋a)(x＋2)ex＝0，
得x＝－a或x＝－2，
当a＝2时，f′(x)＝(x＋2)2ex≥0恒成立，无极值，
当a＜2，即－a＞－2时．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－a)
－a
(－a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由表可知，
f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，
解得a＝4－3e2＜2，
所以存在实数a＝4－3e2，使f(x)的极大值为3.
四、探究与拓展
14．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断正确的是________．(填序号)
考点　
题点　
答案　③
解析　函数的单调性由导数的符号确定，
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，
同理f(x)在(2,4)上为减函数，
在(－2,2)上为增函数，在(4，＋∞)上为增函数，
所以可排除①和②，可选择③；
由于函数在x＝2的左侧单调递增，右侧单调递减，
所以当x＝2时，函数有极大值；
而在x＝－的左、右两侧，函数的导数都是正数，
故函数在x＝－的左、右两侧均为增函数，
所以x＝－不是函数的极值点，排除④和⑤.
15．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，若f(x)在x＝1时有极值－1.
(1)求b，c的值；
(2)若函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
解　(1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，
所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由已知得f′(1)＝0，f(1)＝－1，
所以解得b＝1，c＝－5.
经验证，b＝1，c＝－5符合题意．
(2)由(1)知f(x)＝x3＋x2－5x＋2，
f′(x)＝3x2＋2x－5.
由f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x

－

1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
根据表格，当x＝－时，函数取得极大值且极大值为f＝，
当x＝1时函数取得极小值且极小值为f(1)＝－1.
根据题意结合上图可知k的取值范围为.
第2课时　利用导数研究函数的最值
学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点　函数的最值
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
答案　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
梳理　(1)函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，若函数在(a，b)上是可导的，函数的最值必在区间端点处或极值点处取得．
(2)求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(3)函数在开区间(a，b)上的最值
在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；
若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．
(4)极值与最值的意义
①最值是在区间[a，b]上的所有函数值中相比较最大(小)的值；
②极值是在区间(a，b)上的某一个x0附近相比较最大(小)的函数值．
(1)函数在给定区间上的极大值就是最大值．(　×　)
(2)函数在闭区间上一定有最值，在开区间上不一定存在最值．(　√　)
(3)函数在闭区间上的最值不一定是极值，但在开区间上的最值一定是极值．(　√　)
类型一　求函数的最值
命题角度1　不含参数的函数最值问题
例1　求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
解　(1)f(x)＝2x3－12x，
所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，
f(－)＝8，
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，x∈[0,2π]，令f′(x)＝0，
解得x＝或x＝.
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，
f＝－，
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
反思与感悟　求可导函数最值的四个步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．
(4)求极值、端点值，确定最值．
跟踪训练1　求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值．
考点　利用导数求函数的最值
题点　不含参数的函数求最值
解　∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)．
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
∴函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
命题角度2　含参数的函数最值问题
例2　已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1(a，b∈R)．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．
考点　利用导数求函数的最值
题点　含参数的函数求最值
解　f′(x)＝ex－2ax－b，则g(x)＝ex－2ax－b，
g′(x)＝ex－2a，x∈[0,1]，
当g′(x)min＝e0－2a＝1－2a≥0，即a≤时，
g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)min＝g(0)＝1－b；
当g′(x)min＝g′(0)＝1－2a<0，
g′(x)max＝g′(1)＝e－2a>0，
即当x(x∈(0,1])变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
0
(0，ln(2a))
ln(2a)
(ln(2a)，1)
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
↘
极小值
↗
g(x)min＝g(ln(2a))＝eln(2a)－2aln(2a)－b
＝2a－2aln(2a)－b；
当g′(x)max＝g′(1)＝e－2a≤0，即a≥时，
g(x)在[0,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min＝g(0)＝1－b；
当当a≥时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
反思与感悟　对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
考点　利用导数求函数的最值
题点　含参数的函数求最值
解　(1)f′(x)＝3x2－2ax.
因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，即3x2－2ax＝0，
解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0f(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
类型二　由函数的最值求参数
例3　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
考点　含参数的函数的最值问题
题点　已知最值求参数
解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得当x＝0时，f(x)取得极小值b，也是函数在[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思与感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．
考点　含参数的函数的最值问题
题点　已知最值求参数
解　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
则当x∈(－2,0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
又f(－2)＝－40＋a，f(2)＝－8＋a，
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.
当x＝0时，f(x)的最大值为3.
类型三　与最值有关的恒成立问题
例4　设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
解　(1)由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，所以g(x)＝ln x＋，
所以g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的单调递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．
因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)因为g(a)－g(x)<对任意x>0成立，
即ln a0成立．
由(1)知，g(x)的最小值为1，
所以ln a<1，解得0即a的取值范围为(0，e)．
反思与感悟　分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
跟踪训练4　已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
解　因为f′(x)＝＋ln x－1＝ln x＋，
所以xf′(x)＝xln x＋1，
所以xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于ln x－x≤a.
令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝－1.
当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，
所以x＝1是g(x)的极大值点也为最大值点，
所以g(x)≤g(1)＝－1.
所以a≥g(x)max＝－1.
综上可知，a的取值范围是.
1．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
考点　函数最值的应用
题点　最值存在性问题
答案　D
解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
考点　利用导数求函数的最值
题点　不含参数的函数求最值
答案　C
解析　因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，
则函数y＝x－sin x在区间上为增函数，
所以y＝x－sin x的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)
A．[0,1) B．(0,1)
C．(－1,1) D.
考点　函数最值的应用
题点　最值存在性问题
答案　B
解析　∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，
∴a>0，
又∵函数在(0,1)上有最小值，
∴0<<1，∴04．已知函数f(x)＝ax3＋c，f′(1)＝6，且函数f(x)在[1,2]上的最大值为20，则c＝________.
考点　含参数的函数的最值问题
题点　已知最值求参数
答案　4
解析　∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)＝2×23＋c＝20，
∴c＝4.
5．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
答案　[e，＋∞)
解析　由f(x)≥2，得a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)，
由g′(x)＝0，得x＝或x＝0(舍去)，
当00，g(x)单调递增，
当x>时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
∴当x＝时，g(x)取得最大值为g()＝e，
∴a≥e，
即实数a的取值范围是[e，＋∞)
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．

一、选择题
1．函数y＝的最大值为(　　)
A．e－1 B．e C．e2 D.
考点　利用导数求函数的最值
题点　不含参数的函数求最值
答案　A
解析　令y′＝＝＝0(x>0)．
解得x＝e.当x>e时，y′<0；当00，
所以y极大值＝y＝，且在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，
所以ymax＝.
2．函数y＝f(x)在[a，b]上(　　)
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
考点　最值与极值的关系
题点　最值与极值的关系
答案　D
解析　由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．
3．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
考点　利用导数求函数的最值
题点　不含参数的函数求最值
答案　A
解析　令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．
4．函数y＝在定义域内(　　)
A．有最大值2，无最小值
B．无最大值，有最小值－2
C．有最大值2，最小值－2
D．无最值
答案　C
解析　令y′＝＝＝0，
得x＝±1.
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
＋
0
－
y
↘
极小值
↗
极大值
↘
∵当x>0时，y>0；当x<0，时y<0.
由上表可知x＝－1时，y取极小值也是最小值－2；x＝1时，y取极大值也是最大值2.
5．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
答案　A
解析　∵f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，
验证可知x＝3是函数的最小值点，
故f(x)min＝f(3)＝3m－，
由f(x)＋9≥0恒成立，得f(x)≥－9恒成立，
即3m－≥－9，∴m≥.
6．已知函数f(x)＝axsin x－(a∈R)，且在上的最大值为，则实数a的值为(　　)
A. B．1 C. D．2
考点　含参数的函数的最值问题
题点　已知最值求参数
答案　B
解析　由已知得f′(x)＝a(sin x＋xcos x)，
对于任意的x∈，有sin x＋xcos x≥0.
当a＝0时，f(x)＝－，不合题意；
当a<0时，x∈，f′(x)≤0，
从而f(x)在上单调递减，
又函数在图象上是连续不断的，
故函数f(x)在上的最大值为f(0)＝－，不合题意；
当a>0时，x∈，f′(x)≥0，
从而f(x)在上单调递增，
又函数在图象上是连续不断的，
故函数f(x)在上的最大值为f＝a－＝，
解得a＝1，故选B.
7．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围为(　　)
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D.
考点　函数最值的应用
题点　最值存在性问题
答案　D
解析　由题意得函数f(x)＝x3－6bx＋3b的导数f′(x)＝3x2－6b在(0,1)内有零点，且f′(0)<0，f′(1)>0即－6b<0，且3－6b>0，∴08．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时，t的值为(　　)
A．1 B. C. D.
考点　函数最值的应用
题点　函数最值的实际应用
答案　D
解析　由题意画出函数图象如图所示，
由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．
y′＝2t－＝＝.
当0当t>时，y′>0，可知y在内单调递增．
故当t＝时，y取极小值也为最小值，
即|MN|有最小值．
二、填空题
9．函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，x∈[－2,2]的最小值为－2，则f(x)的最大值为________．
考点　含参数的函数的最值问题
题点　含参数的函数求最值
答案　25
解析　求导函数可得
f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
令f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝0，解得x＝－1或3.
∵当x∈[－2，－1)时，f′(x)<0，函数单调递减，
当x∈(－1,2]时，f′(x)>0，函数单调递增，
∴函数在x＝－1处取得极小值也为最小值，在x＝－2或x＝2处取得最大值．
∵f(－1)＝－5＋a＝－2，∴a＝3，∴f(－2)＝2＋a＝5，
f(2)＝22＋a＝25，∴函数的最大值为25.
10．已知a≥0，若函数f(x)＝在[－1,1]上的最大值为2，则实数a的值为________．
考点　含参数的函数的最值问题
题点　已知最值求参数
答案　1
解析　求导得f′(x)＝，
令f′(x)＝0，可得x＝－1或x＝a，
又f(－1)＝0，f(a)＝1＋，f(1)＝，
若1＋＝2，则有a＝1；若＝2，则也有a＝1，
因此a＝1.
11．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若?x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________．
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
答案　
解析　f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x>－1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
所以函数f(x)的最小值为f(－1)＝－.
而函数g(x)的最大值为a，
则由题意，可得－≤a，即a≥－.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值和最小值．
考点　函数最值的应用
题点　已知极值求最值
解　(1)f′(x)＝3x2－2ax＋3，
∵当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
∴a≤min＝3(当且仅当x＝1时取等号)．
∴a≤3.
即实数a的取值范围为(－∞，3]．
(2)由题意知f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5，∴f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．
当10，
即当x＝3时，f(x)取极小值f(3)＝－9.
又f(1)＝－1，f(5)＝15，
∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.
13．已知函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有的x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)>0，解得x>；
令f′(x)<0，解得0所以当x＝时，f(x)取得极小值也为最小值－.
(2)依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式a≤ln x＋对于x∈[1，＋∞)恒成立．
令g(x)＝ln x＋，则g′(x)＝－＝，
当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)的最小值是g(1)＝1.
因此a≤g(x)min＝g(1)＝1，
故a的取值范围为(－∞，1]．
四、探究与拓展
14．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是________．
考点　
题点　
答案　(－∞，2]
解析　由题意知，当x＞0时，f(x)的极小值为f(1)＝2，当x≤0时，f(x)≥f(0)＝a，f(0)是f(x)的最小值，则a≤2.
15．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范围．
考点　
题点　
解　(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b.
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴∴
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
当x∈[－2,6]时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1,3)
3
(3,6)
6
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
c－2
↗
极大值
c＋5
↘
极小值
c－27
↗
c＋54
∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)＜2|c|恒成立，只要c＋54＜2|c|即可，
当c≥0时，c＋54＜2c，∴c＞54；
当c＜0时，c＋54＜－2c，∴c＜－18.
∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)．
3．3.3　导数的实际应用
学习目标　1.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识．
知识点　生活中的优化问题
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
类型一　几何中的最值问题
命题角度1　平面几何中的最值问题
例1　某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)将S表示为θ的函数；
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
考点　几何类型的优化问题
题点　面积的最值问题
解　(1)BM＝AOsin θ＝100sin θ，
AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)，
则S＝MB·AB＝×100sin θ×(100＋100cos θ)
＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．
(2)S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1)
＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)，
令S′＝0，得cos θ＝或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝，
当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：
θ



S′
＋
0
－
S
↗
极大值
↘
所以当θ＝时，Smax＝3 750 m2，
此时AB＝150 m，
即点A到北京路一边l的距离为150 m.
反思与感悟　平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
跟踪训练1　如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．
考点　几何类型的优化问题
题点　面积的最值问题
解　设点B的坐标为(x,0)，且0∵f(x)＝4x－x2图象的对称轴为x＝2，
∴点C的坐标为(4－x,0)，
∴|BC|＝4－2x，|BA|＝f(x)＝4x－x2.
∴矩形面积为y＝(4－2x)(4x－x2)＝16x－12x2＋2x3，
y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)，
令y′＝0，解得x＝2±，
∵0∵当00，函数单调递增；
当2－∴当x＝2－时，矩形的面积有最大值为.
命题角度2　立体几何中的最值问题
例2　请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
考点　几何类型的优化问题
题点　几何体体积的最值问题
解　(1)由题意知包装盒的底面边长为x cm，
高为(30－x)cm,0＜x＜30，
所以包装盒侧面积为S＝4x×(30－x)
＝8x(30－x)≤8×2＝1 800，
当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.
(2)包装盒容积为V＝2x2·(30－x)
＝－2x3＋60x2(0所以V′＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．
令V′>0，得0令V′<0，得20所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.
反思与感悟　(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
跟踪训练2　周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为___ cm3.
考点　几何类型的优化问题
题点　几何体体积的最值问题
答案　π
解析　设矩形的长为x cm，
则宽为(10－x)cm (0由题意可知，圆柱体积为
V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.
∴V′＝20πx－3πx2.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝，
且当x∈时，V′(x)>0，
当x∈时，V′(x)<0，
∴当x＝时，V(x)max＝π cm3.
类型二　实际生活中的最值问题
命题角度1　利润最大问题
例3　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　(1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2，3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值42
↘
由上表可得x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.
答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练3　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．
考点　
题点　
解　(1)当0＜x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)
＝8.1x－－10，
当x＞10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，
所以W＝
(2)①当0＜x≤10时，
由W′＝8.1－＝0，得x＝9或－9(舍)．
当x∈(0,9)时，W′＞0；当x∈(9,10]时，W′＜0.
所以当x＝9时，W取得极大值且为最大值，
即Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.
②当x＞10时，
W＝98－≤98－2 ＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝或－(舍)时，W取得最大值38.
综合①②知，当x＝9时，W取得最大值38.6.
答　当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．
命题角度2　费用?用料?最省问题
例4　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数解决费用最省问题
解　(1)设隔热层厚度为x cm，
由题设知，每年能源消耗费用为C(x)＝，
又C(0)＝8，所以k＝40，
因此C(x)＝.
而隔热层建造费用为C1(x)＝6x.
所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，
故x＝5为f(x)的极小值点也为最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
答　当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
反思与感悟　(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练4　现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数解决费用最省问题
解　(1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，
即y＝＋300x(0(2)由(1)知，y′＝－＋300，
令y′＝0，
解得x＝40或x＝－40(舍去)．
因为函数的定义域为(0,35]，
所以函数在定义域内没有极值点．
又当0所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
答　为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶.
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　C
解析　∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，
令y′＝0，解得x＝9，又当x∈(0,9)时，y′>0，
x∈(9，＋∞)时，y′<0，
∴当x＝9时函数取最大值，故选C.
2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的是(　　)
A．6时 B．7时 C．8时 D．9时
考点　函数类型的优化问题
题点　有关函数类型的其他问题
答案　C
解析　因为y′＝－t2－t＋36＝－(t2＋4t－96)
＝－(t＋12)(t－8)，
当t∈(6,8)时，y′>0，当t∈(8,9)时，y′<0，
故当t＝8时，y取极大值也为最大值．
3．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为(　　)
A．2 m3 B．3 m3
C．4 m3 D．5 m3
考点　几何类型的优化问题
题点　几何体体积的最值问题
答案　B
解析　设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h＝＝－3x(m)，
故长方体的体积为V(x)＝2x2
＝9x2－6x3，
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．
当00；当1故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而最大体积为V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数解决费用最省问题
答案　160
解析　设底面长为x，由题意得底面宽为.
设总造价为y，则y＝20x×＋10×1×，
即y＝20x＋＋80，
则y′＝20－，令y′＝0，得x＝2.
因为当0＜x＜2时，y′＜0，当x＞2时，y′＞0，
所以x＝2是函数y的极小值点也是最小值点．
所以当x＝2时，ymin＝160(元)．

1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.
一、选择题
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A．8 B. C．－1 D．－8
考点　函数类型的优化问题
题点　有关函数类型的其他问题
答案　C
解析　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值为－1.
2．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为(　　)
A．4 B．6 C．4.5 D．8
考点　
题点　
答案　A
解析　设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，
∴S′(x)＝2x－.
令S′(x)＝0，解得x＝8，
当0＜x＜8时，S′(x)＜0，
当x＞8时，S′(x)＞0，
∴x＝8时，S(x)取到极小值且为最小值，
∴h＝＝4.
3．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)
A．150 B．200 C．250 D．300
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　D
解析　由题意得，总利润为
P(x)＝
∴P′(x)＝
当0≤x≤390时，令P′(x)＝0，得x＝300，
当00，
当300又P(300)＝40 000>P(390)＝31 090.
当x>390，P(x)单调递减，此时P(x)4．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，那么这两个数为(　　)
A．2,6 B．4,4
C．3,5 D．以上都不对
考点　函数类型的优化问题
题点　有关函数类型的其他问题
答案　B
解析　设一个数为x，则另一个数为8－x，
其立方和为y＝x3＋(8－x)3
＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，
则y′＝48x－192.
令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0；
当40，
所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值．
所以这两个数为4,4.
5．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时底面边长为(　　)
A. B.
C. D．2
考点　几何类型的优化问题
题点　面积的最值问题
答案　C
解析　设底面边长为x，
则表面积为S＝x2＋V(x>0)．
∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
可判断当x＝时，直棱柱的表面积最小．
6．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　　)
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数解决费用最省问题
答案　D
解析　设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，
根据题意得箱底面积为＝16(m2)，
则箱底另一边的长度为 m，
所以l＝16×15＋×12
＝240＋72，
l′＝72.
令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．
当04时，l′>0.
故当x＝4时，l取得极小值，也就是最小值为816.
因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．
7．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)
A.3π B.3π
C.3π D.3π
考点　
题点　
答案　A
解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，∴h＝，
V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，
∴r＝是其唯一的极值点，
且当0＜r＜，V′＞0，
当r＞时，V′＜0，
∴当r＝时，V取得极大值且为最大值，最大值为3π.
二、填空题
8．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能与下列________相对应．
考点　函数类型的优化问题
题点　与函数类型有关的其他问题
答案　①
解析　加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，应与①相吻合．
9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km处．
答案　5
解析　依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，令y′＝0，
得x＝5(x＝－5舍去)，此时y取得最小值．
故当仓库建在离车站5 km处时，两项费用之和最小．
10．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大．(毛利润＝销售收入－进货支出)
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　30
解析　由题意知，毛利润等于销售额减去成本，
即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．
11．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少．
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数解决费用最省问题
答案　80
解析　当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为w升，依题意得
w＝
＝＋－(0则w′＝－＝(0令w′＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，w′<0，该函数单调递减；当x∈(80,120)时，w′>0，该函数单调递增，故当x＝80时，w取得最小值．
三、解答题
12．某商场预计2018年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N＋，且x≤12)．
该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)＝150＋2x(x∈N＋，且x≤12)．
(1)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37；
当2≤x≤12时，f(x)＝p(x)－p(x－1)
＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)
＝－3x2＋40x(x∈N＋，且2≤x≤12)．
验证当x＝1时符合f(x)＝－3x2＋40x，
∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋，且1≤x≤12)．
(2)该商场预计销售该商品的月利润为
g(x)＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)
＝6x3－185x2＋1 400x(x∈N＋，且1≤x≤12)，
则g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，解得x＝5.
当1≤x<5时，g′(x)>0；
当5∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3 125(元)．
综上，5月份的月利润最大是3 125元．
13．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知当速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问当轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数解决费用最省问题
解　设当速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，由题设知p＝kv3，因为当v＝10时，p＝6，
所以k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.
又设当船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
则q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.
当0＜v<20时，q′<0；当v>20时，q′>0，
所以当v＝20时，q取得最小值．
即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．
四、探究与拓展
14．将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．
考点　
题点　
答案　
解析　设剪成的小正三角形的边长为x，
则S(x)＝＝·(0＜x＜1)，
S′(x)＝·
＝·，令S′(x)＝0(0＜x＜1)，得x＝.当x∈时，S′(x)＜0，S(x)单调递减；当x∈时，S′(x)＞0，S(x)单调递增，故当x＝时，S取得最小值.
15．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块空地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为(560＋48x)元．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
考点　
题点　
解　设该楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝560＋48x＋
＝560＋48x＋，x≥10，
f′(x)＝48－，令f′(x)＝0，得x＝15.
当x＞15时，f′(x)＞0；当10≤x＜15时，f′(x)＜0.
所以当x＝15时，f(x)取得极小值也为最小值，即f(15)＝2 000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建15层．
习题课　导数的应用
学习目标　1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．
知识点一　函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
知识点三　函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法
1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
2．将函数y＝f(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
类型一　函数与其导函数之间的关系
例1　已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是(　　)
考点　函数变化快慢与导数的关系
题点　根据导函数的图象确定原函数的图象
答案　C
解析　当0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，排除A，B.
当10，
∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1,2)上为增函数，因此排除D.
反思与感悟　研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考察其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致．
跟踪训练1　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)
考点　数形结合思想在导数中的应用
题点　数形结合思想在导数中的应用
答案　A
解析　∵函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，
且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
∴当x>－2时，f′(x)>0；
当x＝－2时，f′(x)＝0；
当x<－2时，f′(x)<0.
∴当－2当x＝－2时，xf′(x)＝0；
当x<－2时，xf′(x)>0.
由此观察四个选项，故选A.
类型二　构造函数求解不等式问题
命题角度1　比较函数值的大小
例2　已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f，b＝－f(－)，c＝f，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．aC．a考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　B
解析　令g(x)＝xf(x)，
则g(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数．
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∵f′(x)＋<0，
∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
∵∴g()又∵g(x)是偶函数，
∴g(－)＝g()，g＝g(ln 2)，
∴g(－)故选B.
反思与感悟　此类题目的关键是构造出恰当的函数．通过求导确定函数的单调性，进而确定函数值的大小．
跟踪训练2　已知函数f(x)在定义域[0，＋∞)上恒有f(x)>f′(x)．若a＝，b＝，则a与b的大小关系为________．(用“>”连接)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　a>b
解析　设g(x)＝，
则当x≥0时，g′(x)＝<0，
所以g(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以g(2)>g(3)，即>，所以a>b.
命题角度2　求解不等式
例3　定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)满足f(x)2ex的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　求解不等式
答案　C
解析　设g(x)＝，则g′(x)＝.
∵f(x)0，即函数g(x)单调递增．
∵f(0)＝2，∴g(0)＝＝2，
则不等式等价于g(x)>g(0)．
∵函数g(x)单调递增，
∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.
反思与感悟　解决此类题目的关键是构造恰当的函数，通过其导函数的符号判断函数的单调性，利用单调性得到x的取值范围．
跟踪训练3　函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　求解不等式
答案　B
解析　令g(x)＝f(x)－2x－4，∵f′(x)>2，
则g′(x)＝f′(x)－2>0.∴g(x)在定义域内单调递增，
又由g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
由g(x)>0，即g(x)>g(－1)，得x>－1，
∴f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
类型三　利用导数研究函数的极值与最值
例4　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
考点　利用导数研究函数的极值与最值
题点　利用导数研究函数的极值与最值
解　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，
即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
2
↘
－2
↗
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，
f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
因为f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0，
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当x∈[1,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,3]时，g′(x)>0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
则即解得－2即实数c的取值范围为(－2,0]．
反思与感悟　(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间及极值；
(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．
考点　利用导数研究函数的极值与最值
题点　利用导数研究函数的极值与最值
解　(1)∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，
则f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b
＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，
于是2(a－1)x2＋2b＝0恒成立，
∴解得a＝1，b＝0.
(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，
∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，令f′(x)<0，得－40，得x<－4或x>4.
∴f(x)的单调递减区间为(－4,4)，单调递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，
∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，f(x)极小值＝f(4)＝－128.
(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，对f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，
∴当x∈[1,5]时，函数的最大值为－47，最小值为－128.

1．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　　)
A. B. C. D.
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在图象上的应用
答案　C
解析　由题意可知f(0)＝0，f(1)＝0，f(2)＝0，
可得1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，
所以函数的解析式为f(x)＝x3－3x2＋2x，
所以f′(x)＝3x2－6x＋2.
令3x2－6x＋2＝0，可得x1＋x2＝2，x1x2＝，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2×＝.
2．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　C
解析　由条件，得′＝<0.
∴在(a，b)上是减函数，
∴<<，
∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．
3．若函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为________．
考点　导数的综合应用
题点　导数的综合应用
答案　－5
解析　∵函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，
∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x.
∵f′(2)＝0，∴c＋4＝0，∴c＝－4，
∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x，
∴函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为
f′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5.
4．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
答案　20
解析　由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
则f(x)min＝f(－3)＝－19，f(x)max＝f(－1)＝1，
由题意知，|f(x1)－f(x2)|max＝|－19－1|＝20，
∴t≥20，故tmin＝20.
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.
一、选择题
1．函数y＝xsin x＋cos x，x∈(－π，π)的单调递增区间是(　　)
A.和
B.和
C.和
D.和
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　不含参数的函数求单调区间
答案　A
解析　y′＝xcos x，
当－π0；
当－0，∴y′＝xcos x<0；
当00，∴y′＝xcos x>0；
当2．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　)
A．f(2)C．f(3)考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　A
解析　∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝＋>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又23．函数f(x)＝x3－mx2＋1在[－2，－1]上的最大值就是f(x)的极大值，则m的取值范围是(　　)
A．(－6，－3) B．[－6，－3]
C. D.
考点　函数最值的应用
题点　最值存在性问题
答案　D
解析　由f′(x)＝3x2－2mx＝0，得x1＝，x2＝0，
由题意知，∈ [－2，－1]，
即m∈.
4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(　　)
考点　函数变化快慢与导数的关系
题点　根据原函数的图象确定导函数的图象
答案　D
解析　若函数在给定区间上是增函数，则y＝f′(x)>0，若函数在给定区间上是减函数，则y＝f′(x)<0.
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则函数f(x)的(　　)
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－
D．极大值为－，极小值为0
考点　函数的极值与导数的关系
题点　含参数的函数求极值
答案　A
解析　∵f′(x)＝3x2－2px－q，
∴f′(1)＝3－2p－q＝0.①
又f(1)＝1－p－q＝0，②
由①②解得p＝2，q＝－1，
∴f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1.
令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝，x2＝1.
当x<时，f′(x)>0；
当当x>1时，f′(x)>0，
∴当x＝时，f(x)有极大值为；当x＝1时，f(x)有极小值为0.
6．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．1C．a≤2 D．0考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
答案　A
解析　∵f(x)＝x2－9ln x，
∴f′(x)＝x－(x>0)，
当x－≤0时，有0即在区间(0,3]上原函数是减函数，
∴a－1>0且a＋1≤3，解得17．某厂生产某种产品x件的总成本(单位：元)为C(x)＝1 200＋x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，若当生产100件这样的产品时，单价为50元，则要使总利润最大，产量应定为(　　)
A．15件 B．25件
C．30件 D．35件
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　B
解析　设产品单价为a元，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k(k为比例系数)．由题意知，k＝250 000，则a2x＝250 000，所以a＝.设总利润为y元，则y＝500－x3－1 200(x>0)，则y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0，当x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以当x＝25时，y取得最大值．故要使总利润最大，产量定为25件．
8．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
答案　B
解析　令f(x)＝2x3－6x2＋7，
∴f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由f′(x)＞0，得x＞2或x＜0；由f′(x)＜0，得0＜x＜2.
又f(0)＝7＞0，f(2)＝－1＜0，
∴方程在(0,2)内只有一个实根．
二、填空题
9．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是__________________．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　不含参数的函数求单调区间
答案　，(1，＋∞)
解析　令y′＝3x2＋2x－5>0，得x<－或x>1.
10．函数y＝在定义域内的最大值、最小值分别是________．
考点　
题点　
答案　2，－2
解析　函数的定义域为R.
令y′＝＝＝0，
得x＝±1.当x变化时，y′，y随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
＋
0
－
y
↘
极小值
↗
极大值
↘
当x趋近于负无穷大时，y趋近于0；当x趋近于正无穷大时，y趋近于0.由上表可知，当x＝－1时，y取极小值也是最小值－2；当x＝1时，y取极大值也是最大值2.
11．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且＝ax(a>0且a≠1)，f′(x)g(x)考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
答案　
解析　令h(x)＝，∵f′(x)g(x)∴h′(x)＝<0，
∴函数h(x)＝ax在R上单调递减，∴0∵＋＝，∴a1＋a－1＝，
化为2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或.
∵0三、解答题
12．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，求实数a的取值范围．
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
解　∵x∈(0,1]，∴f(x)≥0可化为a≥－.
令g(x)＝－，则g′(x)＝，
令g′(x)＝0，得x＝.
当00；
当∴g(x)在(0,1]上有极大值g＝4，也是最大值．
∴a≥4.即a的取值范围是[4，＋∞)．
13．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的极值．
考点　函数的极值与导数的关系
题点　含参数的函数求极值
解　由已知得f′(x)＝6x2－6(a－1)x
＝6x[x－(a－1)]．
令f′(x)＝0，
解得x＝0或x＝a－1.
(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2，
令f′(x)＝0，得x＝0，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
＋
f(x)
↗
1
↗
因为f(x)是连续函数，所以f(x)在R上单调递增．
当a＞1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
1
↘
1－(a－1)3
↗
由上表可知，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(a－1，＋∞)，
单调递减区间为(0，a－1)．
(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值；
当a＞1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，
在x＝a－1处取得极小值f(a－1)＝1－(a－1)3.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝在区间(a＞0)上存在极值，则实数a的取值范围是________．
考点　
题点　
答案　
解析　由f(x)＝(x＞0)，得f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以x＝1是函数f(x)的极大值点．又函数f(x)在区间(a＞0)上存在极值，所以a＜1＜a＋，解得＜a＜1，即实数a的取值范围是.
15．已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
考点　含参数的函数最值问题
题点　已知最值求参数
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，
f′(x)＝－1＋＝，
当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
∴f(x)max＝f(1)＝－1.
(2)∵f′(x)＝a＋，当x∈(0，e]时，∈，
①若a≥－，则f′(x)≥0，f(x)在(0，e]上是增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0不合题意；
②若a<－，则由f′(x)>0，即a＋>0，
得0由f′(x)<0，即a＋<0，得－从而f(x)在上是增函数，在上是减函数，
∴f(x)max＝f＝－1＋ln.
令－1＋ln＝－3，则ln＝－2，
∴－＝e－2，即a＝－e2.
∵－e2<－，∴a＝－e2即为所求．
滚动训练(三)
一、选择题
1．下列命题中的假命题是(　　)
A．?x∈R，lg x＝0
B．?x∈R，tan x＝1
C．?x∈R，x3＞0
D．?x∈R，2x＞0
考点　
题点　
答案　C
解析　对于A，当x＝1时，lg x＝0，正确；对于B，当x＝时，tan x＝1，正确；对于C，当x＜0时，x3＜0，错误；对于D，?x∈R,2x＞0，正确．
2．“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　
题点　
答案　B
解析　当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．
3．已知双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a等于(　　)
A．2 B.
C. D．1
考点　
题点　
答案　D
解析　由题意得e＝＝2，
∴＝2a，
∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，又a＞0，∴a＝1.
4．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B．1
C. D.
考点　
题点　
答案　C
解析　∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
5．下列求导运算正确的是(　　)
A．(cos x)′＝sin x B.′＝cos 
C.′＝－ D.′＝
考点　
题点　
答案　D
解析　A项，(cos x)′＝－sin x；B项，′＝0，C项，′＝－.
6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则切点坐标为(　　)
A．(2,3) B．(3,8)
C．(4,15) D．(－2,3)
考点　
题点　
答案　A
解析　y′＝2x，令2x＝4，∴x＝2，∴y＝22－1＝3.
即切点坐标为(2,3)．
二、填空题
7．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是____________．
考点　
题点　
答案　6x－4y－3＝0
解析　设直线l的方程为3x－2y＋c＝0，抛物线y2＝2x的焦点为F，
所以3×－2×0＋c＝0，
所以c＝－，故直线l的方程是6x－4y－3＝0.
8．曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝__________.
考点　
题点　
答案　1
解析　y′＝，∴y′＝＝1.∴a＝1.
9．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
考点　
题点　
答案　e2
解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S＝×1×|－e2|＝e2.
10．过点A(0,2)且和抛物线C：y2＝6x相切的直线l的方程为________．
考点　
题点　
答案　x＝0或3x－4y＋8＝0
解析　当l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，满足题意；当l的斜率存在时，设y＝kx＋2，代入y2＝6x，得k2x2＋(4k－6)x＋4＝0，则Δ＝(4k－6)2－16k2＝0，∴k＝，∴y＝x＋2，即3x－4y＋8＝0.所以直线l的方程为x＝0或3x－4y＋8＝0.
11．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形面积为________．
考点　
题点　
答案　3
解析　抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则准线与渐近线的交点为(－3，－)，(－3，)．
∴所围成三角形的面积S＝×3×2＝3.
三、解答题
12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．
考点　
题点　
解　设切点为(x0，y0)，
则由导数的几何意义得切线的斜率
k＝f′(x0)＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，
又切点(x0，y0)在切线上，∴y0＝3(x－1)x0＋16，
即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，解得x0＝－2，
∴切线方程为9x－y＋16＝0.
13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．
考点　
题点　
解　∵曲线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点P(1,1)，
∴a＋b＋c＝1.①
根据导数的定义可得
y′＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1.②
又曲线过点Q(2，－1)，∴4a＋2b＋c＝－1，③
联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.
四、探究与拓展
14．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A. B．2 C. D.
考点　
题点　
答案　A
解析　如图，由抛物线定义知，
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，
则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，
则当点P在第一象限且A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值．
又A(0,2)，F，
∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|
＝ ＝.
15．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝g(x)＝x2＋a都相切，求a的值．
考点　
题点　
解　易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上．
(1)当O(0,0)是切点时，
由f′(x)＝3x2－6x＋2，得f′(0)＝2，
即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.
由得x2－2x＋a＝0，
依题意知，Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则f(x0)＝x－3x＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，①
又k＝＝x－3x0＋2，②
联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，
故直线l的方程为y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0，
依题意知，Δ＝－4a＝0，得a＝.
综上，a＝1或a＝.
滚动训练(四)
一、选择题
1．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为(　　)
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角
D．以上都不对
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　B
解析　若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．
2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
考点　
题点　
答案　D
解析　由于椭圆焦点在x轴上，
∴即
解得a＞3或－6＜a＜－2.故选D.
3．若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
考点　
题点　
答案　D
解析　因为0＜k＜5，所以两曲线都表示双曲线，在－＝1中，a2＝16，b2＝5－k；在－＝1中，a2＝16－k，b2＝5.由c2＝a2＋b2知，两双曲线的焦距相等，故选D.
4．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　)
A. B．p C．2p D．无法确定
考点　
题点　
答案　C
解析　当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p.
5．已知f(x)＝sin x＋cos x＋，则f′等于(　　)
A．－1＋ B.＋1
C．1 D．－1
考点　
题点　
答案　D
解析　∵f′(x)＝cos x－sin x，
∴f′＝cos －sin ＝－1.
6．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－17．函数y＝ln 的大致图象为(　　)
考点　
题点　
答案　D
解析　y＝ln(x≠－1)的图象关于x＝－1对称，
当x＞－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数．
二、填空题
8．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是_____．
考点　
题点　
答案　－
解析　f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.
∵f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，f(1)＝－＋a，
∴f(x)max＝a＝2，∴f(x)min＝－＋a＝－.
9．若函数f(x)＝ax－ln x在上单调递增，则a的取值范围是________．
考点　
题点　
答案　[2，＋∞)
解析　f′(x)＝a－＝≥0在上恒成立，
∴a≥在上恒成立．
∴a≥2.
10．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
答案　∪
解析　函数y＝f(x)为减函数的区间，反映在图象上，图象是下降的．
11．已知f(x)是定义在R上的可导函数．若函数F(x)＝xf(x)，满足F′(x)＞0对x∈R恒成立，则下则三个结论中，所有正确结论的序号是________．
①f(1)＋f(－1)＞0；②f(x)≥0对x∈R恒成立；
③f(x)可能是奇函数．
考点　
题点　
答案　①②
解析　由题意知，F(x)＝xf(x)为R上的增函数，
则①f(1)＞－f(－1)，即f(1)＋f(－1)＞0，故①正确；
②由于F(x)＝xf(x)，F′(x)＞0，则当x＜0时，F(x)＝xf(x)＜F(0)＝0成立，故f(x)＞0；
当x＞0时，F(x)＝xf(x)＞F(0)＝0成立，故f(x)＞0，故②正确；
③若f(x)是奇函数，则函数F(x)＝xf(x)为偶函数，
不满足F(x)在R上单调递增．
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，x＝3是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在x∈[1,5]上的最大值和最小值．
考点　
题点　
解　根据题意知，f′(x)＝3x2－2ax＋3，
x＝3是函数f(x)的极值点，
得f′(3)＝0，
即27－6a＋3＝0，得a＝5.
所以f(x)＝x3－5x2＋3x，x∈[1,5]．
令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，
得x＝3或x＝(舍去)．
当1≤x＜3时，f′(x)＜0，函数f(x)在[1,3)上是减函数；
当3＜x≤5时，f′(x)＞0，函数f(x)在(3,5]上是增函数，
由此得到当x＝3时，函数f(x)有极小值f(3)＝－9，也就是函数f(x)在[1,5]上的最小值；又因为f(1)＝－1，f(5)＝15，即函数f(x)在[1,5]上的最大值为f(5)＝15.
综上，函数f(x)在[1,5]上的最大值为15，最小值为－9.
13．若函数f(x)＝4x3－ax＋3在上是单调函数，求实数a的取值范围．
考点　
题点　
解　f′(x)＝12x2－a，若f(x)在上为单调增函数，则f′(x)≥0在上恒成立，
即12x2－a≥0在上恒成立，
∴a≤12x2在上恒成立，
∴a≤(12x2)min＝0.
当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有当x＝0时，f′(x)＝0)，
∴a＝0符合题意．
若f(x)在上为单调减函数，
则f′(x)≤0在上恒成立，
即12x2－a≤0在上恒成立，
∴a≥(12x2)max＝3.
当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有当x＝±时，f′(x)＝0)，∴a＝3符合题意．
因此，a的取值范围为{a|a≤0或a≥3}．
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)
考点　
题点　
答案　A
解析　f′(x)＝3ax2－6x，
当a＝3时，f(x)＝3x3－3x2＋1，
f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
则当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；当x∈时，
f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0，注意f(0)＝1，f＝＞0，则f(x)的大致图象如图1所示．
不符合题意，排除B，C.
当a＝－时，f(x)＝－x3－3x2＋1.f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，
则当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图2所示．不符合题意，排除D.
15．已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；
(3)问过点A(－1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)
考点　
题点　
解　(1)由f(x)＝2x3－3x，得f′(x)＝6x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝－10，f＝，
f＝－，f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－2,1]上的最大值为f＝.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x－3x0，
且切线斜率为k＝6x－3，
所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，
因为t－y0＝(6x－3)(1－x0)，
整理得4x－6x＋t＋3＝0.
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“函数g(x)有3个不同的零点”．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
t＋3
↘
t＋1
↗
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，
g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．
若要g(x)有3个不同的零点，即其图象与x轴有3个不同的交点，
只需解得－3＜t＜－1.
即当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，
t的取值范围是(－3，－1)．
(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．
章末复习
学习目标　1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．
1．在x＝x0处的导数
(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．
(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝C(C为常数)
y′＝0
y＝xn
y′＝nxn－1(n为自然数)
y＝sin x
y′＝cos x
y＝cos x
y′＝－sin x
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axln a
y＝ex
y′＝ex
y＝logax(a>0且a≠1，x>0)
y′＝
y＝ln x
y′＝
3.导数的运算法则
和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
积的导数
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
商的导数
′＝(g(x)≠0)
4.函数的单调性、极值与导数
(1)函数的单调性与导数
如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内单调递增；f′(x)<0，则f(x)在此区间内单调递减．
(2)函数的极值与导数
已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．
极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．
5．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点．
(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
类型一　导数几何意义的应用
例1　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求在某点的切线方程
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0),
∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,
∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1), 即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0.
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
∵当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(0，)．
反思与感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一类类型．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．
考点　导数的应用
题点　与切线有关的问题
解　(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，
所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.
(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程．
设切点坐标为(x0,3x＋6x0＋12)，
又因为g′(x0)＝6x0＋6，
所以切线方程为
y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．
将点(0,9)代入，得9－3x－6x0－12＝－6x－6x0，
所以3x－3＝0，得x0＝±1.
当x0＝1时，g′(1)＝12，g(1)＝21，切点坐标为(1,21)，
所以切线方程为y＝12x＋9；
当x0＝－1时，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切点坐标为(－1,9)，
所以切线方程为y＝9.
下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：
因为f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12.
由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；
当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.
所以y＝12x＋9不是公切线．
由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；
当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，
所以y＝9是公切线．
综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线．
类型二　函数的单调性与导数
例2　已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间．
考点　
题点　
解　(1)f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－＝，
因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点．
(2)因为f′(x)＝x－＝，x∈(0，＋∞)，
所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝，
当0＜x＜时，f′(x)＜0，当x＞时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；单调递减区间为(0，)．
综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
反思与感悟　(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间．
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价．
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
解　(1)求导得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0在R上恒成立．
即3x2－a≥0在R上恒成立，
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．
所以a的取值范围是(－∞，0]．
(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，
则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，
又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意．
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞)．
类型三　函数的极值、最值与导数
例3　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的单调区间和最大值．
考点　函数极值与最值的综合应用
题点　函数极值与最值的综合应用
解　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以f′(1)＝3＋2a＋b，
故过曲线上P点的切线方程为
y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，
即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，
已知该切线方程为y＝3x＋1，
所以即
因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝0，
即－4a＋b＝－12，
解方程组得
所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.
(2)由(1)知f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
当x∈[－3，－2)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调递增区间为[－3，－2)和，单调递减区间为.
又f(－2)＝13，f＝，f(－3)＝8，f(1)＝4，
所以f(x)在区间[－3,1]上的最大值为13.
反思与感悟　(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．
(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
考点　函数的极值与导数的关系
题点　含参数的函数求极值
解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知，f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
所以函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5，无极大值．
类型四　分类讨论思想在导数中的应用
例4　已知函数f(x)＝－1.
(1)试判断函数f(x)的单调性；
(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值．
考点　导数的综合应用
题点　导数的综合应用
解　(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．
由已知得f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得1－ln x＝0，所以x＝e.
因为当00，
当x>e时，f′(x)＝<0，
所以函数f(x)在(0，e]上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数f(x)在(0，e]上单调递增，
在(e，＋∞)上单调递减，
①当0<2m≤e，即0f(x)在[m,2m]上单调递增，
所以f(x)max＝f(2m)＝－1；
②当m≥e时，f(x)在[m,2m]上单调递减．
所以f(x)max＝f(m)＝－1；
③当m当m≤x0，
当e所以f(x)max＝f(e)＝－1.
综上，当0＜m≤时，f(x)max＝－1；
当＜m＜e时，f(x)max＝－1；
当m≥e时，f(x)max＝＝－1.
反思与感悟　(1)分类讨论即分别归类再进行讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略．
(2)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要再分类．
(3)分类讨论的基本原则是不重不漏．
跟踪训练4　设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a为实数)．
(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；
(2)若a>3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；
(3)是否存在a，使得当x∈(0,1]时，f(x)有最大值1?
考点　导数的综合应用
题点　导数的综合应用
解　(1)设x∈(0,1]，则－x∈[－1,0)．
∵f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝－x3＋ax，
即当x∈(0,1]时，f(x)＝－x3＋ax.
(2)f(x)在(0,1]上单调递增，证明如下：
由(1)知f′(x)＝－3x2＋a，x∈(0,1]，
∴－3x2∈[－3,0)．
又a>3，∴a－3x2>0，即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1]上单调递增．
(3)由(2)知当a>3时，f(x)在(0,1]上单调递增，
∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1.
∴a＝2与a>3矛盾．
当0≤a≤3时，令f′(x)＝a－3x2＝0，
得x＝或x＝－(舍去)．
当x∈时，f′(x)>0，
∴f(x)在上单调递增．
当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递减．
又函数f(x)在x＝处连续，
∴f(x)max＝f＝－3＋a＝1，
解得a＝.
当a<0时，f′(x)＝a－3x2<0，
∴f(x)在(0,1]上单调递减，f(x)在(0,1]上无最大值．
综上，存在a＝，使f(x)在(0,1]上有最大值1.
1．已知曲线y＝f(x)＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是(　　 )
A．(－1,3) B．(－1，－3)
C．(－2，－3) D．(－2,3)
考点　
题点　
答案　B
解析　令f′(x)＝2x＋2＝0，解得x＝－1.
又f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3，
∴M(－1，－3)．
2．如果函数f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
考点　函数变化快慢与导数的关系
题点　根据原函数的图象确定导函数的图象
答案　A
解析　由f(x)与f′(x)的关系可知选A.
3．体积为16π的圆柱，它的半径为 时，圆柱的表面积最小．
考点　几何类型的优化问题
题点　面积的最值问题
答案　2
解析　设圆柱底面半径为r，母线长为l.
∴16π＝πr2l，即l＝，
则S表面积＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×＝2πr2＋，
由S′＝4πr－＝0，得r＝2.
∴当r＝2时，圆柱的表面积最小．
4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为 ．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
答案　3
解析　由题意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，
∴a≤3x2，∴a≤3，∴a的最大值为3.
5．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
考点　函数的极值与导数的关系
题点　含参数的函数求极值
解　(1)f′(x)＝－＋.
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知，f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
则f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．
1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．
3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．
一、选择题
1．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a等于(　　)
A．9 B．6 C．－9 D．－6
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
答案　D
解析　y′＝4x3＋2ax，由导数的几何意义知在点(－1，a＋2)处的切线斜率为
k＝y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.
2．y＝x＋sin x在(0，π)上是(　　)
A．单调递减函数
B．单调递增函数
C.上是增函数，上是减函数
D.上是减函数，上是增函数
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定函数的单调性
答案　B
解析　∵y′＝1＋cos x，又x∈(0，π)，
∴y′>0，∴函数为增函数，故选B.
3．函数f(x)＝ln x－x2的图象大致是(　　)
考点　函数变化快慢与导数的关系
题点　由函数解析式确定其图象
答案　B
解析　f′(x)＝－x＝＝，x∈(0，＋∞)．
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，函数单调递减，
所以函数在(0，＋∞)上的最大值为f(1)＝－，故选B.
4．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是(　　)
A．3x－15y＋4＝0 B．15x－3y－2＝0
C．15x－3y＋2＝0 D．3x－y＋1＝0
考点　导数的综合应用
题点　导数的综合应用
答案　B
解析　∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5，
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切线方程为y－＝5(x－1)．
即15x－3y－2＝0.
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－) B．[－，]
C．(，＋∞) D．(－，)
考点　
题点　
答案　B
解析　∵f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，即－≤a≤ .
6．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2] B.
C．[－2,3] D.
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在图象上的应用
答案　D
解析　不妨取a＝1，
∵f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，
∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，
∴b＝－，c＝－18.
∴y＝x2－x－6，y′＝2x－，
当x>时，y′>0，
∴y＝ax2＋bx＋的单调递增区间为.
故选D.
7．当函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点时，a可以为(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
答案　C
解析　由f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)知，极值点为x＝1，x＝2，且f(1)＝5－a，f(2)＝4－a，可见当a＝4时，函数f(x)恰好有两个零点．
二、填空题
8．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝ .
考点　
题点　
答案　
解析　y′＝2ax－，∴k＝y′＝2a－1＝0，∴a＝.
9．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，那么实数k的取值范围是 ．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
答案　
解析　f′(x)＝4x－＝＝，
令f′(x)＝0，得x＝或－，
∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴x＝－舍去．
由题意知解得1≤k<.
10．已知函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则实数a的取值范围是 ．
考点　函数极值的应用
题点　极值存在性问题
答案　
解析　∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，
当x>a或x<－a时，f′(x)>0，
当－a∴当x＝a时，f(x)取得极小值，
当x＝－a时，f(x)取得极大值．
由题意，得解得a>.
11．若函数f(x)＝(mx－1)ex在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是 ．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
答案　[1，＋∞)
解析　f′(x)＝mex＋(mx－1)ex＝(mx＋m－1)ex，
由题意知，f′(x)≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，
即mx＋m－1≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立．
当m≤0时显然不成立，
当m>0时，令g(x)＝mx＋m－1，
只需g(0)≥0，得m≥1.
即实数m的取值范围为[1，＋∞)．
三、解答题
12．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1与直线4x－y－1＝0平行，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切点坐标
解　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
13．已知函数f(x)＝ln x＋(a>0)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若以函数y＝f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值．
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
解　(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)由(1)知f′(x)＝(0则k＝f′(x0)＝≤(0即a≥(－x＋x0)max.
当x0＝1时，－x＋x0取得最大值为，
所以a≥，所以a的最小值为.
四、探究与拓展
14．设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B.
C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　∵f′(x)＝x2sin θ＋x·cos θ，
∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2
＝2sin.
∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，
∴≤sin≤1，
∴≤2sin≤2.
15．设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0＜a＜1)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取值范围；
(3)当a＝时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．
考点　
题点　
解　(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2
＝－(x－a)(x－3a)．
令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a)
a
(a,3a)
3a
(3a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．
所以当x＝a时，f(x)取得极小值，
f(x)极小值＝f(a)＝b－a3；
当x＝3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(3a)＝b.
(2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其对称轴为x＝2a.
因为0＜a＜1，所以2a＜a＋1.
所以f′(x)在区间[a＋1，a＋2]上是减函数．
当x＝a＋1时，f′(x)取得最大值，f′(a＋1)＝2a－1；
当x＝a＋2时，f′(x)取得最小值，f′(a＋2)＝4a－4.
于是有即≤a≤1.
又因为0＜a＜1，
所以≤a＜1，即a的取值范围为.
(3)当a＝时，f(x)＝－x3＋x2－x＋b.
f′(x)＝－x2＋x－，
由f′(x)＝0，即－x2＋x－＝0，
解得x1＝，x2＝2，
可知f(x)在上是减函数，
在上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．
若f(x)＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，
即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，
于是有即
解得0＜b≤，即b的取值范围为.
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列导数运算正确的是(　　)
A.′＝1＋
B．(2x)′＝x2x－1
C．(cos x)′＝sin x
D．(xln x)′＝ln x＋1
考点　导数公式及运算法则的应用
题点　导数公式及运算法则的应用
答案　D
解析　根据导数的运算公式可得′＝1－，故A错误；(2x)′＝2xln 2，故B错误；
(cos x)′＝－sin x，故C错误；(xln x)′＝ln x＋1，故D正确．
2．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝.
3．已知函数f(x)＝x2＋f′(2)(ln x－x)，则f′(1)等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　
题点　
答案　B
解析　∵f′(x)＝2x＋f′(2)，∴f′(2)＝，
∴f′(x)＝2x＋，∴f′(1)＝2.
4．若函数y＝a(x3－x)的单调递增区间是，，则a的取值范围是(　　)
A．a>0 B．－1C．a>1 D．0考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
答案　A
解析　依题意得y′＝a(3x2－1)>0的解集为，，∴a>0.
5．如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是(　　)
A．2 B．1
C．－1 D.
考点　导数的几何意义
题点　导数几何意义的理解
答案　B
解析　由题图可知曲线的切线经过点(1,2)，
则k＋3＝2，得k＝－1，
即f′(1)＝－1，且f(1)＝2.
∵h(x)＝xf(x)，
∴h′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
则h′(1)＝f(1)＋f′(1)＝2－1＝1，
故选B.
6．对于实数集R上的可导函数f(x)，若满足(x2－3x＋2)·f′(x)<0，则当x∈[1,2]时必有(　　)
A．f(1)≤f(x)≤f(2)
B．f(x)≤f(1)
C．f(x)≥f(2)
D．f(x)≤f(1)或f(x)≥f(2)
答案　A
解析　因为(x2－3x＋2)f′(x)<0，
所以或
故当x∈[1,2]时，f(x)为增函数，
有f(1)≤f(x)≤f(2)．
7．已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为(　　)
A．－ B.
C．－2 D．2
考点　
题点　
答案　A
解析　∵f′(x)＝3ax2＋b＋2xln 2＞0，
∴f(x)在[0,1]，[－1,0]上都为增函数，
当x∈[0,1]时，f(x)max＝f(1)＝a＋b＋2＝4，∴a＋b＝2，
当x∈[－1,0]时，f(x)min＝f(－1)＝－(a＋b)＋2－1＝－2＋＝－.
8．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　)
A．e2 B．ln 2
C. D．e
考点　
题点　
答案　D
解析　∵f′(x)＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝1＋ln x，
∴f′(x0)＝1＋ln x0＝2，
∴ln x0＝1，
∴x0＝e.
9．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　
题点　
答案　C
解析　因为y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．
10．函数y＝x－2sin x的图象大致是(　　)
考点　函数变化快慢与导数的关系
题点　由函数的解析式确定其图象
答案　C
解析　因为y′＝－2cos x，所以令y′＝－2cos x>0，得cos x<，此时原函数是增函数；
令y′＝－2cos x<0，得cos x>，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得C正确．
11．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若aA．bf(b)≤af(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤bf(b) D．af(b)≤bf(a)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　A
解析　设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，
∴g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减或g(x)为常函数．
∵a12．若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上根的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
答案　B
解析　设f(x)＝x3－ax2＋1，
则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，
因为a>2，所以2a>4，所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，则f(x)在(0,2)上为减函数，
又f(0)f(2)＝1×＝－4a<0，
所以f(x)＝0在(0,2)上恰好有1个根，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
考点　
题点　
答案　－1
解析　求导得y′＝k＋，由题意知k＋1＝0，
所以k＝－1.
14．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
考点　
题点　
答案　{a|a≥3}
解析　由题意知f′(x)＝－3x2＋a≥0在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.
15．若函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋5在区间上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a的取值范围是________．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
答案　
解析　因为f′(x)＝3x2＋2ax－2，
由题意知f′f′<0，
即<0，
解得16．已知f(x)＝(2x－x2)ex，给出以下四个结论：
①f(x)>0的解集是{x|0②f(－)是极小值，f()是极大值；
③f(x)没有最小值，也没有最大值；
④f(x)有最大值，没有最小值．
其中判断正确的是________．
考点　利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点　利用导数研究函数的单调性、极值与最值
答案　①②④
解析　f(x)>0?2x－x2>0?0由f(x)＝(2x－x2)ex，得f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝，
∵在(－∞，－)和(，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(－，)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(－)是极小值，f()是极大值，故②正确．
由题意知，f()为最大值，且无最小值，故③错误，④正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设＜a＜1，函数f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b.
考点　
题点　
解　令f′(x)＝3x2－3ax＝0，－1≤x≤1，
得x1＝0，x2＝a.
f(0)＝b，f(a)＝－＋b，f(－1)＝－1－a＋b，
f(1)＝1－a＋b.
因为＜a＜1，所以1－a＜0，－＞－1－a，
故最大值为f(0)＝b＝1，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
故a＝，b＝1.
18．(12分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
考点　利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点　利用导数研究函数的单调性、极值与最值
解　(1)因为f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，
所以a＝9.
(2)由于Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，
所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．
19．(12分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
考点　切线方程的求解及应用
题点　切线方程的求解及应用
解　(1)因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为
k＝f′(2)＝13.
所以切线的方程为y＝13(x－2)－6，
即13x－y－32＝0.
(2)因为切线与直线y＝－＋3垂直，所以切线的斜率为k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1，
所以或
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，
所以切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
20．(12分)已知命题p：f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数；命题q：f(x)＝x3＋ax2＋3x＋1在R上有极值．若命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．
解　对于命题p，f′(x)＝1－.
∵f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数，
则f′(x)＝1－≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≤x2在[1，＋∞)上恒成立，
∴a≤(x2)min，∴a≤1.
命题p：A＝{a|a≤1}．
对于命题q，f′(x)＝3x2＋2ax＋3.
要使得f(x)＝x3＋ax2＋3x＋1在R上有极值，
则f′(x)＝3x2＋2ax＋3＝0有两个不相等的实数解，
Δ＝4a2－4×3×3>0，解得a<－3或a>3.
命题q：B＝{a|a<－3，或a>3}．
∵命题“p∨q”为真命题，
∴A∪B＝{a|a≤1，或a>3}．
∴所求实数a的取值范围为(－∞，1]∪(3，＋∞)．
21．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
考点　利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点　利用导数研究函数的单调性、极值与最值
解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)．
因为f(x)＝ax2＋2x－ln x，
当a＝0时，f(x)＝2x－ln x，
则f′(x)＝2－，令f′(x)＝0，得x＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x



f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
所以当x＝时，f(x)的极小值为1＋ln 2，无极大值．
(2)由已知，得f(x)＝ax2＋2x－ln x，且x>0，
则f′(x)＝ax＋2－＝.
若a＝0，由(1)中f′(x)≥0，得x≥，显然不符合题意；
若a≠0，因为函数f(x)在区间上是增函数，
所以f′(x)≥0对x∈恒成立，
即不等式ax2＋2x－1≥0对x∈恒成立，
即a≥＝－＝2－1对x∈恒成立，故a≥max.
而当x＝时，函数2－1的最大值为3，
所以实数a的取值范围为[3，＋∞)．
22．(12分)已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.
(1)设a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若a>，且当x∈[1,4a]时，f(x)≥a3－12a恒成立，试确定a的取值范围．
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
解　(1)当a＝1时，f(x)＝x3－3x2－9x＋1，
则f′(x)＝3x2－6x－9，
由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
当x<－1时，f′(x)>0；当－1当x>3时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)，
单调递减区间为(－1,3)．
(2)因为f′(x)＝3x2－6ax－9a2
＝3(x＋a)(x－3a)，a>，
所以当1≤x<3a时，f′(x)<0；
当3a0.
所以当x∈[1,4a]时，f(x)的最小值为f(3a)＝－26a3.
由f(x)≥a3－12a在[1,4a]上恒成立，得
－26a3≥a3－12a，解得－≤a≤.
又a>，所以