1 解逻辑用语问题三绝招
1．利用集合——理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本文使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：
①A是B的充分条件，即A?B.
②A是B的必要条件，即B?A.
③A是B的充要条件，即A＝B.
④A是B的既不充分也不必要条件，
即A∩B＝?或A，B既有公共元素也有非公共元素．
或
例1 “x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
解析 设命题p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”对应的集合分别为A，B，则A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x≥1}，显然“AB，BA”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分也不必要条件．
答案 既不充分也不必要
2．抓住量词——对症下药
全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．
例2 (1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．
(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为____________．
解析 (1)将命题p转化为“当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0”，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.综上所述，a≤－1.
(2)命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，
即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．
综上所述，a≤－1或2≤a≤4.
答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．
3．等价转化——提高速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．
例3 设p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围．
分析 “q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”．设p，q对应的集合分别为A，B，则可由A??RB出发解题．
解 设p，q对应的集合分别为A，B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2＋y2＝r2外的点的集合．
∵A??RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，
∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r，
∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离
d＝＝，∴r的取值范围为0
点评 若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．
2 判断条件四策略
1．应用定义
如果p?q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断的关键是分清条件与结论．
例1 设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈”的____________条件．
解析 条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈.
若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，所以p?q；
若x∈，则x∈M且x∈P，所以q?p.
综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈”的必要不充分条件．
答案 必要不充分
2．利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即若p?q，q?r，则p?r.
例2 如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的____________条件．
解析 依题意，有A?B?C?D且A?B?C?D，由命题的传递性可知D?A，但A?D.于是A是D的必要不充分条件．
答案 必要不充分
3．利用集合
运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A?B，则p是q的充分不必要条件；④若B?A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件．
例3 设p：(2x＋1)20)，q：(x－1)(2x－1)>0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________________．
解析 由题意得p：q：x>1或x<.
∵p是q的充分不必要条件，
∴p?q，
∴≤或≥1，
解得m≤2.
又∵m>0，∴0答案 (0,2]
4．等价转化
由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p推q较困难时，可利用等价转化，先判断由非q推非p，从而得到p?q.
例4 已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的_______条件．
解析 因为p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，
所以綈p：x＋y＝2，綈q：x＝1且y＝1.
因为綈p?綈q，但綈q?綈p，
所以綈q是綈p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件．
答案 充分不必要
3 走出逻辑用语中的误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．
(1)x＋2>0；
(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；
(4)A?.
错解 (1)(2)(3)(4)都不是命题．
剖析 (1)中含有未知数x，且x不定，所以x＋2的值也不定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；
(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．
(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若A?B，则A∩B＝A?A∪B＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．
(4)A为A∪B的子集，故A?成立，故(4)为真命题．
正解 (2)(4)是命题，且都为真命题．
误区2 原命题为真，其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假：
(1)若a＝0，则ab＝0；
(2)若a2>b2，则a>b.
错解 (1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断．
正解 (1)否命题：若a≠0，则ab≠0，是假命题；
(2)否命题：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．
误区3 搞不清谁是谁的条件
例3 使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x>3 B．x>4
C．x>2 D．x∈{1,2,3}
错解 由不等式x－3>0成立，
得x>3，显然x>3?x>2，
又x>2?x>3，因此选C.
剖析 若p的一个充分不必要条件是q，则q?p，p?q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4?x－3>0，而x－3>0?x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.
正解 B
误区4 考虑问题不周
例4 如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
错解 判别式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的充要条件，故选C.
剖析 判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断．对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的必要不充分条件．
正解 B
误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例5 (1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p∨q”；
(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p∧q”．
错解 (1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p∧q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
剖析 (1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．
正解 (1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p∧q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
误区6 不能正确否定结论
例6 p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．
错解 綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
剖析 命题p的结论：“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．
正解 綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．
误区7 对含有一个量词的命题否定不完全
例7 已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.
错解一 綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.
错解二 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析 该命题是存在性命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是存在性命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．
正解 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区8 忽略了隐含的量词
例8 写出下列命题的否定：
(1)不相交的两条直线是平行直线；
(2)奇函数的图象关于y轴对称．
错解 (1)不相交的两条直线不是平行直线；
(2)奇函数的图象不关于y轴对称．
剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．
正解 (1)存在不相交的两条直线不是平行直线；
(2)存在一个奇函数的图象不关于y轴对称.
4 解“逻辑”问题需强化的三意识
1．转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明．
例1 证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
分析 本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题．
证明 命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题．故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
例2 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．
解 解不等式x2－8x－20>0，
得p：A＝{x|x>10或x<－2}；
解不等式x2－2x＋1－a2>0，
得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p?q，但q?p，说明A?B.
于是有或，解得0所以正实数a的取值范围是(0,3]．
2．简化意识
判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．
例3 已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数y＝－(5－2a)x是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是______________．
分析 先将命题p，q等价转化，再根据题意构建关于a的关系式，从而得到a的取值范围．
解析 函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域包含(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1；
函数y＝－(5－2a)x是减函数?5－2a>1?a<2，
即q真?a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)．
答案 (1,2)
点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．
3．反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．
例4 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．
①AB?对任意x∈A，都有x?B；
②AB?A∩B＝?；
③AB?BA；
④AB?存在x∈A，使得x?B.
分析 画出表示AB的Venn图进行判断．
解析 画出Venn图，如图1所示，则AB?存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命题，④是真命题．
AB?BA不成立的反例如图2所示．同理可得BA?AB不成立．故③是假命题．
综上知，真命题的序号是④.
答案 ④
§1.1 命题与量词
1．1.1 命 题
学习目标 1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假．
知识点一 命题的概念
思考 给出下列语句：
①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
②3＋6＝7；
③偶函数的图象关于y轴对称；
④5能被4整除．
请你找出上述语句的特点．
答案 上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假．
梳理 (1)命题的定义
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题．
(2)分类
①真命题：判断为真的语句叫做真命题；
②假命题：判断为假的语句叫做假命题．
知识点二 命题真假性的判断
思考 判断下列命题的真假性．
(1)函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期是π；
(2)若a>b，则<.
答案 命题(1)中，y＝cos4x－sin4x＝cos2x－sin2x＝cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．
命题(2)中，当a＝2，b＝－1时，＝，＝－1，<不成立，为假命题．
梳理 数学中判断一个命题是真命题，要经过证明；而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
(1)命题通常是陈述句，陈述句一定是命题．( × )
(2)“x＞5”也是命题．( × )
(3)命题只有两类，即真命题和假命题．( √ )
类型一 命题的判断
例1 下列语句：
(1)是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)二次函数的图象太美了！(7)4是集合{1,2,3}中的元素．
其中是命题的是____________．(填序号)
考点 命题的概念及分类
题点 对命题概念的理解
答案 (1)(3)(5)(7)
解析 本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假．(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为是疑问句；(5)是命题；(6)不是命题；(7)是命题．故答案为(1)(3)(5)(7)．
反思与感悟 (1)一般来说，陈述句才有可能是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．
跟踪训练1 下列语句中，命题的个数为( )
①空集是任何非空集合的真子集；
②起立！
③垂直于同一平面的两条直线平行吗？
④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 命题的概念及分类
题点 对命题概念的理解
答案 B
解析 ①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题．
类型二 命题真假的判断
例2 给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝是函数y＝sin x的一条对称轴；
④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的是________．
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
答案 ①③④
解析 结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；而函数y＝sin x的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，故③为真命题；因为·＝||||cos(π－B)＝－||||cos B>0，故得cos B<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．
引申探究
若本例中命题④变为：若·<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？
解 不是真命题，·<0只能说明B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．
反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．要判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
跟踪训练2 下列命题中假命题的个数为( )
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②空间中两条直线不相交就平行；
③函数y＝sin 4x－cos 4x的最小正周期为；④空集是任何集合的子集．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
答案 B
解析 ①mx2＋2x－1＝0(m≠0)是一元二次方程；②空间中两条直线不相交，两条直线可能平行，也可能异面；③y＝sin 4x－cos 4x＝sin，ω＝4，T＝＝；④空集是任何集合的子集，故①②是假命题.
1．下列语句不是命题的有( )
①2<1；②x<1；③如果x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
考点 命题的概念及分类
题点 对命题概念的理解
答案 B
解析 ①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．
2．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
答案 B
解析 ①由xy＝0得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；②当a>b时，有a＋c>b＋c成立，正确，所以是真命题；③矩形的对角线不一定互相垂直，不正确，是假命题．
3．下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
答案 D
解析 对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B中所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.
4．若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是______________．
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 a<且a≠0
解析 由题意知
解得a<且a≠0.
根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
A．2 015是一个大数
B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C．对数函数是增函数吗
D．a≤15
考点 命题的概念及分类
题点 对命题概念的理解
答案 B
解析 A，D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．
2．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A．两个平面
B．一条直线
C．垂直
D．两个平面垂直于同一条直线
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
答案 D
解析 所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D.
3．若x2－2x－8<0，则p为真命题，那么p是( )
A．{x|－2C．{x|x>4或x<－2} D．{x|x>4或x<2}
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
答案 A
解析 解x2－2x－8<0，得－2故p是{x|－24．下列命题为假命题的是( )
A．log24＝2
B．直线x＝0的倾斜角是
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β，则α∥β
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
答案 C
解析 由|a|＝|b|只是得到a与b的模相等，但方向不确定，∴a与b不一定相等．
5．给定下列命题：
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
答案 B
解析 ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；
③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④为真命题．
6．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2 C．0 D．－3
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 方程无实根应满足Δ＝a2－4<0，即a2<4，
故当a＝0时符合条件．
7．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使得a∈A是假命题的a的取值范围是( )
A．a≥－3 B．a>－3
C．a≤－3 D．a<－3
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 D
解析 ∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}，
又∵a∈A是假命题，即a?A，
∴a<－3.
二、填空题
8．下列语句中是命题的为________，其中是真命题的为________．(填序号)
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④在△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；
⑤求证x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实根．
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
答案 ②③④ ④
解析 ①是疑问句不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑在同一个三角形中；④是真命题；⑤是祈使句不是命题．
9．给出下列命题：
①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；
②若a，b都是正实数，则a＋b≥2；
③若x2>x，则x>1；
④函数y＝x3是指数函数．
其中假命题的个数为________．
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
答案 3
解析 ①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由均值不等式，知②是真命题；
③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．所以假命题的个数为3.
10．如果命题“若x∈A，则x＋≥2”为真命题，则集合A可以是________．(写出一个即可)
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 {x|x>0}
解析 当x>0时，有x＋≥2，故A可以为{x|x>0}．
11．下列命题中是真命题的为________．(填序号)
①如果ab＝0，则a2＋b2＝0；
②如果a＞b，则ac＞bc；
③如果M∩N＝M，则N?M；
④如果M?N，则M∩N＝M.
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
答案 ④
解析 ①中，当a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；②中，c≤0时不成立，③④中，M∩N＝M等价于M?N，故①②③皆错误，④正确．
三、解答题
12．判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)指数函数是增函数吗？
(2)x>；
(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；
(4)请把窗户关上；
(5)8>7；
(6)这是一棵大树．
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
解 (1)是疑问句，不是陈述句，所以不是命题；
(2)(6)不能判断真假，不是命题；
(3)(5)是陈述句且能判断真假，是命题；
(4)是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．
13．判断下列命题的真假：
(1)＋＝；
(2)log2x2＝2log2x；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实根；
(4)直线x＋y＝0的倾斜角是；
(5)若α＝，则sin α＝；
(6)若x∈A，则x∈(A∩B)．
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
解 (1)是真命题；
(2)是假命题，如x＝－1时，log2x2＝0，
而2log2x＝2log2(－1)无意义；
(3)是真命题，若m>1，则Δ＝4－4m<0；
(4)是假命题，直线x＋y＝0的倾斜角是；
(5)是真命题；
(6)是假命题，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}时，1∈A，
但1?(A∩B)．
四、探究与拓展
14．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
(2)求证：当x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根；
(3)垂直于同一直线的两条直线平行吗？
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
解 (1)是命题；当首项小于零，公比大于1时该数列为递减数列，该命题为假命题．(2)该语句为祈使句，不是命题．(3)不是命题，它是疑问句．
15．给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙有且只有一个是真命题；
分别求出符合(1)、(2)的实数a的取值范围．
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
解 (1)甲为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即A＝；
乙为真时，2a2－a>1，即B＝.
甲、乙至少有一个真命题时，
a的取值范围是.
(2)甲、乙有且只有一个真命题时，有两种情况：
当甲真乙假时，所以甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为.
1．1.2 量 词
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义，掌握常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．
知识点一 全称量词与全称命题
思考 观察下列命题：
①每一个三角形都有内切圆；
②所有实数都有算术平方根；
③对一切有理数x,5x＋2还是有理数．
以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．
答案 命题①②③分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．
命题①③是真命题，命题②是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题②为假命题．
梳理 (1)
全称量词
“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”
符号
?
全称命题p
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)
(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“?x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．
知识点二 存在量词与存在性命题
思考 观察下列命题：
①有些矩形是正方形；
②存在实数x，使x>5；
③至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.
以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．
答案 命题①②③分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题①②是真命题，命题③是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题①②是真命题，而任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题③为假命题．
梳理 (1)
存在量词
“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”
符号
?
存在性命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x，使q(x)成立”可用符号简记为?x∈M，q(x)
(2)判断存在性命题真假性的方法：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使q(x0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题．
(1)所谓量词，就是含有数量的词．( × )
(2)含有存在量词的命题是存在性命题，含有全称量词的命题是全称命题．( √ )
(3)存在性命题和全称命题中的量词都不能省略．( × )
类型一 全称命题与存在性命题的识别
例1 判断下列语句是全称命题，还是存在性命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(3)对任意a，b∈R，若a>b，则<；
(4)有一个函数，既是奇函数，又是偶函数．
考点 全称命题与存在性命题概念的理解
题点 识别全称命题与存在性命题
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，是全称命题．
(2)含有存在量词“有些”，故是存在性命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)含有存在量词“有一个”，是存在性命题．
反思与感悟 (1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或存在性命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是存在性命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题．
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)对每一个无理数x，x2也是无理数；
(3)有的函数既是奇函数又是增函数；
(4)对于数列，总存在正整数n，使得an与1之差的绝对值小于0.01.
考点 全称命题与存在性命题概念的理解
题点 全称命题与存在性命题的符号表示
解 (1)是全称命题，表示为?x∈N，x2≥0.
(2)是全称命题，?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
(3)是存在性命题，?f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．
(4)是存在性命题，?n∈N＋，|an－1|＜0.01，其中an＝.
类型二 全称命题与存在性命题的真假的判断
例2 判断下列命题的真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(3)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；
(4)?x∈R，x2－3x＋2＝0；
(5)?x∈R，x2－3x＋2＝0.
考点 全称命题与存在性命题的真假判断
题点 全称命题与存在性命题的真假判断
解 (1)真命题．
(2)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示．
(3)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．
(4)假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．
(5)真命题，x＝2或x＝1，都使得等式x2－3x＋2＝0成立．
反思与感悟 要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
要判定存在性命题“?x∈M，q(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使q(x0)成立即可；如果在集合M中，使q(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．
跟踪训练2 判断下列命题的真假：
(1)任意两向量a，b，若a·b＞0，则a，b的夹角为锐角；
(2)?x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P.
考点
题点
解 (1)因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＞0，
所以cos〈a，b〉＞0.
又0≤〈a，b〉≤π，所以0≤〈a，b〉＜，
即a，b的夹角为零或锐角．故它是假命题．
(2)因为x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
类型三 全称命题与存在性命题的应用
例3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若至少存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
考点 全称命题与存在性命题的应用
题点 求参数的范围
解 方法一 (1)不等式m＋f(x)>0可化为
m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0，可化为m>f(x)，
若至少存在一个实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m>4.
所以实数m的取值范围是(4，＋∞)．
方法二 (1)要使不等式m＋f(x)>0对?x∈R恒成立，即x2－2x＋5＋m>0对?x∈R恒成立．
所以Δ＝(－2)2－4(5＋m)<0，解得m>－4，
所以当m>－4时，m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．
(2)若至少存在一个实数x，使m－f(x)>0成立，
即x2－2x＋5－m<0成立．
只需Δ＝(－2)2－4(5－m)>0即可，
解得m>4.
所以实数m的取值范围是(4，＋∞)．
反思与感悟 (1)一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max，若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.
(2)有关一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的问题，一是转化为二次函数的图象运用数形结合求解，二是分离参数法求解．前者主要运用Δ＝b2－4ac的符号，转化为解不等式或不等式组，后者常常转化为求函数的最大(小)值．
跟踪训练3 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对?x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．
考点 全称命题与存在性命题的应用
题点 求参数的范围
解 (1)∵关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
解得a≥，∴实数a的取值范围为.
(2)∵对?x∈R，p(x)是真命题，
∴对?x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，则∴a>1，
即a的取值范围为(1，＋∞).
1．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
考点 全称命题与存在性命题概念的理解
题点 识别全称命题与存在性命题
答案 D
解析 D选项是存在性命题．
2．下列命题是真命题的是( )
A．a>b是ac2>bc2的充要条件
B．a>1，b>1是ab>1的充分条件
C．?x∈R,2x>x2
D．?x∈R，ex<0
考点 全称命题与存在性命题的真假判断
题点 全称命题与存在性命题的真假判断
答案 B
解析 选项A，当c＝0时，a>b?ac2>bc2，∴A不正确；
选项B，a>1，b>1?ab>1，∴B正确；
选项C，当x＝2时，2x＝x2，∴C不正确；
选项D，对?x∈R，ex>0，∴D不正确．
故选B.
3．若?x∈，tan x≤m是真命题，则实数m的最小值为________．
考点 全称命题与存在性命题的应用
题点 求参数的范围
答案 1
解析 ?x∈，(tan x)max＝1，
∴m≥1，即m的最小值为1.
4．用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有的实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
考点 全称命题与存在性命题概念的理解
题点 全称命题与存在性命题的符号表示
解 (1)?x∈R，x2＋x＋1>0，真命题．
(2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解，假命题．
(3)?x，y∈Z,3x－2y＝10，真命题．
(4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理数，真命题．
1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．
2．判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．
3．判定存在性命题真假的方法．代入法：在给定的集合中找到一个元素x0，使命题q(x0)为真，否则命题为假．
一、选择题
1．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称命题
C．②③是存在性命题
D．四个命题中有两个是假命题
考点 全称命题与存在性命题概念的理解
题点 识别全称命题与存在性命题
答案 C
解析 ①④为全称命题；②③为存在性命题；①②③为真命题；④为假命题．
2．下列全称命题中真命题的个数为( )
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 全称命题与存在性命题的真假判断
题点 全称命题与存在性命题的真假判断
答案 C
解析 ①②③为真命题．
3．下列命题中存在性命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1.
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 全称命题与存在性命题概念的理解
题点 识别全称命题与存在性命题
答案 B
解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个存在性命题．
4．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是( )
A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α
B．存在实数x，使sin x＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D．对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
考点 全称命题与存在性命题的真假判断
题点 全称命题与存在性命题的真假判断
答案 A
解析 只有A，B两个选项中的命题是存在性命题，而由于|sin x|≤1，所以sin x＝不成立，故B中命题为假命题．又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α，故A中命题为真命题．
5．下列命题中是全称命题且是真命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
考点 全称命题与存在性命题的真假判断
题点 全称命题与存在性命题的真假判断
答案 D
解析 A中的命题是全称命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题．
6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项是假命题的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0) B．?x∈R，f(x)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0) D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
考点 全称命题与存在性命题的真假判断
题点 全称命题与存在性命题的真假判断
答案 C
解析 当a>0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象为开口向上的抛物线．若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则x0＝－为抛物线顶点的横坐标，f(x)min＝f(x0)，故对于?x∈R，f(x)≥f(x0)成立，从而选项A，B，D中的命题为真命题，选项C中的命题为假命题．
7．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意x成立，则( )
A．－1C．－考点 全称量词及全称命题的应用
题点 求参数的范围
答案 C
解析 应用新定义运算可得(x－a)?(x＋a)＝(x－a)·[1－(x＋a)]
＝－x2＋x－a＋a2<1恒成立，
即x2－x＋a－a2＋1>0恒成立，
a2－a而x2－x＋1＝2＋≥，
∴a2－a<，即－二、填空题
8．判断下列命题的真假：
(1)?x∈R，x2>0；
(2)?x∈R，x2＋x＋1≤0；
(3)?x<3，函数f(x)＝有意义；
(4)?a∈，b∈，使得a＋b∈Q.
则真命题的个数为________．
考点 全称命题与存在性命题的真假判断
题点 全称命题与存在性命题的真假判断
答案 1
解析 (1)当x＝0时，x2＝0，是假命题；
(2)x2＋x＋1＝2＋≥>0，是假命题；
(3)f(0)没有意义，是假命题；
(4)当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题．
9．对任意x＞3，x＞a恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点 全称量词及全称命题的应用
题点 求参数的范围
答案 (－∞，3]
解析 对任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
10．下面四个命题：
①?x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；
③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2＞2x－1＋3x2.
其中真命题的个数为________．
考点 全称命题与存在性命题的真假判断
题点 全称命题与存在性命题的真假判断
答案 0
解析 当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，
∴①为假命题，
当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．
对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
11．命题“?x∈[2,3]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是________．(填序号)
①a≥9；②a≤9；③a≥10；④a≤10.
考点 全称命题与存在性命题的应用
题点 求参数的范围
答案 ③
解析 由于?x∈[2,3]，x2≤a是真命题．
又y＝x2在[2,3]上的最大值是9，所以a≥9.
显然②④均不正确．
因为a≥9?a≥10，a≥10?a≥9，①不正确，故填③.
三、解答题
12．判断下列命题是不是全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)有一个实数α，使sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)存在实数x，使得＝2.
考点 全称命题与存在性命题概念的理解
题点 全称命题与存在性命题的符号表示
解 (1)是一个存在性命题，用符号表示为“?α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，是一个假命题．
(2)是一个全称命题，用符号表示为“?直线l，l存在斜率”，是一个假命题．
(3)是一个存在性命题，用符号表示为“?x∈R，＝2”，是一个假命题．
13．已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p和q”都是真命题，求实数a的取值范围．
考点 全称命题与存在性命题的应用
题点 求参数的范围
解 ?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，
当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.
?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2或a≥1.
又p和q为真，∴
∴a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．
四、探究与拓展
14．已知命题p：?x∈R，sin x＋cos x＞m，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p为假命题，q为真命题，求实数m的取值范围．
考点 全称命题与存在性命题的应用
题点 求参数的范围
解 由于sin x＋cos x＝sin∈[－，]，
所以若p为假命题，则m≥－.
若对x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，
则m2－4＜0，即－2＜m＜2.
所以若q为真命题，则－2＜m＜2.
所以实数m的取值范围为[－，2)．
15．若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
考点 全称命题与存在性命题的应用
题点 求参数的范围
解 ①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，
所以a∈R；
②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈[－1,1]．
§1.2 基本逻辑联结词
1．2.1 “且”与“或”
学习目标 1.理解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．
知识点一 含有逻辑联结词“且”“或”的命题
思考1 观察下面三个命题：①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除，它们之间有什么关系？
答案 命题③是将命题①②用“且”联结得到的．
思考2 观察下面三个命题：①3>2，②3＝2，③3≥2，它们之间有什么关系？
答案 命题③是将命题①②用“或”联结得到的．
梳理 (1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．
(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．
知识点二 含有逻辑联结词“且”“或”的命题的真假
思考1 你能判断知识点一思考1中问题描述的三个命题的真假吗？p且q的真假与p，q的真假有关系吗？
答案 ①是真命题；②是真命题；③是真命题．若p，q都为真命题，则p且q也为真命题．
思考2 你能判断知识点一思考2中问题描述的三个命题的真假吗？p或q的真假与p，q的真假有关系吗？
答案 ①是真命题；②是假命题；③是真命题．若p，q一真一假，则p或q为真命题．
梳理 含有逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
真
真
真
真
真
假
真
假
假
真
真
假
假
假
假
假
(1)这节课或上语文或上数学，这里的“或”就是逻辑联结词．( × )
(2)逻辑联结词“且”具有共同的意思．( √ )
(3)含有逻辑联结词的命题的真假只与逻辑联结词有关．( × )
类型一 含有“且”“或”命题的构成
命题角度1 简单命题与复合命题的区分
例1 指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)2≥2.
考点 “且”“或”形式的命题
题点 “且”“或”命题的识别
解 (1)是p∧q形式命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p∨q形式命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是p∨q形式命题．
其中p：2>2，q：2＝2.
反思与感悟 (1)不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．
(2)判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题．
跟踪训练1 分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)3是质数或合数；
(2)他是运动员兼教练员．
考点 “且”“或”形式的命题
题点 “且”“或”命题的识别
解 (1)这个命题是“p或q”形式，其中p：3是质数，q：3是合数．
(2)这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员．
命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
考点 “且”“或”形式的命题
题点 构造“且”“或”形式的命题
解 (1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
反思与感悟 (1)用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．
(2)用逻辑联结词构造新命题的两个步骤
第一步：确定两个简单命题p，q；
第二步：分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来，就得到一个新命题“p∧q”“p∨q”．
跟踪训练2 写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题．
(1)p：是有理数，q：是整数；
(2)p：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)，q：不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)．
考点 “且”“或”形式的命题
题点 构造“且”“或”形式的命题
解 (1)p或q：是有理数或是整数；
p且q：是有理数且是整数．
(2)p或q：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)；
p且q：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)．
类型二 “p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断
例3 分别指出“p∨q”“p∧q”的真假．
(1)p：函数y＝sin x是奇函数；q：函数y＝sin x在R上单调递增；
(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝与圆x2＋y2＝1相交；
(3)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R；q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断p∨q与p∧q形式命题的真假
解 (1)∵p真，q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假．
(2)∵p真，q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真．
(3)∵p假，q假，∴“p∨q”为假，“p∧q”为假．
反思与感悟 判断p∧q与p∨q形式命题的真假的步骤
(1)首先判断命题p与q的真假．
(2)对于p∧q，“一假则假，全真则真”，
对于p∨q，只要有一个为真，则p∨q为真，全假为假．
跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．
(1)p：??{0}，q：0∈?；
(2)p：是无理数，q：π不是无理数；
(3)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；
(4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断p∨q与p∧q形式命题的真假
解 (1)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(2)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(3)∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真．
(4)∵p假，q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假．
类型三 逻辑联结词的应用
例4 设有两个命题，命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
考点 p∧q与p∨q的综合应用
题点 由命题p∨q，p∧q的真假求参数的范围
解 对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.
解不等式得－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，
则有a＋1>1，所以a>0.
又p∧q为假命题，p∨q为真命题，
所以p，q必是一真一假．
当p真q假时有－3综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．
引申探究
若本例中其他条件不变，把“p∧q为假命题，p∨q为真命题”改为“p∨q为真命题”，求a的取值范围．
解 对于p：x2－(a＋1)x＋1≤0的解集为?，
∴Δ＝[－(a＋1)]2－4<0，
解得－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内为增函数，
∴a＋1>1，即a>0.
∵p∨q为真，
∴p，q至少有一个为真，求两解集的并集即可，
∴{a|－30}＝{a|a>－3}，
综上，a的取值范围是(－3，＋∞)．
反思与感悟 由p∨q为真知p，q中至少一真；由p∧q为假知p，q中至少一假，因此，p与q一真一假，分p真q假与p假q真两种情况讨论．
跟踪训练4 已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若q为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．
考点 p∧q与p∨q的综合应用
题点 由命题p∨q，p∧q的真假求参数的范围
解 命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
即
解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，
当a＝0时，符合；当a≠0时，由得解得0因为q为假命题，“p∨q”为真命题，即p真q假，
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1].
1．命题“方程x2＝1的解是x＝±1”中，使用逻辑联结词的情况是( )
A．没有使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且”
D．使用了逻辑联结词“或”与“且”
考点 p∨q形式的命题
题点 “或”命题概念的理解
答案 B
2．命题“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少有一个不为0 D．不都是0
考点 p∧q形式的命题
题点 “且”命题概念的理解
答案 A
解析 满足xy≠0，即x，y两个都不为0，故选A.
3．已知p：??{0}，q：{1}∈{1,2}．在命题“p”，“q”，“p∧q”，和“p∨q”中，真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断p∨q与p∧q形式命题的真假
答案 B
解析 容易判断命题p：??{0}是真命题，命题q：{1}∈{1,2}是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q真命题，
故选B.
4．“p∧q是真命题”则下列结论错误的是( )
A．p是真命题 B．q是真命题
C．p∨q是真命题 D．p∨q是假命题
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断p∨q与p∧q形式命题的真假
答案 D
解析 p∧q是真命题?p是真命题且q是真命题?p∨q是真命题，故选D.
5．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．
考点 p∧q形式的命题
题点 已知p∧q命题的真假求参数(或其范围)
答案
解析 命题p：由函数f(x)在R上为减函数得2a－1<0，解得a<，
命题q：由函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，
得－≤1，解得a≥－2.
由p∧q为真得p，q都为真，故a的取值范围为∩，即为.
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．
2．判断含逻辑联结词的命题真假的步骤：
(1)逐一判断命题p，q的真假．
(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”“p∨q”的真假．
p∧q为真?p和q同时为真，
p∨q为真?p和q中至少有一个为真.
一、选择题
1．已知命题p，q，若p为真命题，则( )
A．p∧q必为真 B．p∧q必为假
C．p∨q必为真 D．p∨q必为假
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断p∧q与p∨q形式命题的真假
答案 C
解析 p∨q，见真则真，故必有p∨q为真．
2．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断p∧q与p∨q形式命题的真假
答案 D
解析 由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
由于方程x2－2x－4＝0的判别式大于0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
由于?A，?，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
3．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．q为真
C．p∧q为假 D．p∨q为真
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断p∧q与p∨q形式命题的真假
答案 C
解析 利用含逻辑联结词命题的真值表求解．p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
4．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则( )
A．p真q假 B．p∧q为真
C．p∨q为假 D．p假q真
考点 p∧q与p∨q的综合应用
题点 判断p∧q与p∨q形式命题的真假
答案 D
解析 命题p假，命题q真．
5．命题p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
考点 p∧q形式的命题
题点 已知p∧q命题的真假求参数(或其范围)
答案 C
解析 点(x，y)满足
解得P(1，－1)或P(－3，－9)，故选C.
6．p：方程x2＋2x＋a＝0有实数根，q：函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>0 B．a≥0 C．a>1 D．a≥1
考点 p∧q与p∨q的综合应用
题点 由命题p∧q，p∨q的真假求参数范围
答案 B
解析 ∵方程x2＋2x＋a＝0有实数根，
∴Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.
∵函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，
∴a2－a>0，解得a<0或a>1.
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，
∴p，q中一真一假．
①当p真q假时，得0≤a≤1；
②当p假q真时，得a>1.
由①②得所求a的取值范围是a≥0.
7．给出命题p：3≥3；q：函数f(x)＝在R上的值域为[－1,1]．在下列命题：“p”“q”“p∧q”“p∨q”中，真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断p∧q与p∨q形式命题的真假
答案 C
二、填空题
8．分别用“p∨q”“p∧q”填空：
(1)命题“集合A?B”是________的形式；
(2)命题“≥2”是________的形式；
(3)命题“60是10与12的公倍数”是________的形式．
考点 p∨q形式的命题
题点 “或”命题概念的理解
答案 (1)p∧q (2)p∨q (3)p∧q
9．已知p：x2－2x－3<0；q：<0，若p且q为真，则x的取值范围是________．
考点 p∧q形式的命题
题点 已知p∧q命题的真假求参数(或其范围)
答案 (－1,2)
解析 当p为真命题时，x2－2x－3<0，则－1当q为真命题时，x－2<0，则x<2.
当p且q为真命题时，p和q均为真命题，
从而x的取值范围是－110．已知命题p：不等式>的解集为{x|0①“p∧q”为真；②“p∧q”为假；③“p∨q”为真；④“p∨q”为假．
考点 p∧q与p∨q的综合应用
题点 判断p∧q与p∨q形式命题的真假
答案 ②③
解析 由>，得<0?0故p为真命题，由a2＝b2不一定有a＝b，
故q为假命题．
∴p∧q为假，p∨q为真．
11．对于函数①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．有命题p：f(x＋2)是偶函数；命题q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，能使p∧q为真命题的所有函数的序号是________．
考点 p∧q与p∨q的综合应用
题点 判断p∧q与p∨q形式命题的真假
答案 ②
解析 对于①，f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，故p为假命题．对于②，f(x＋2)＝x2是偶函数，则p为真命题；f(x)＝(x－2)2在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，则q为真命题，故p∧q为真命题．对于③，f(x)＝cos(x－2)显然不是(2，＋∞)上的增函数，故q为假命题．故填②.
三、解答题
12．已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
考点 p∧q与p∨q的综合应用
题点 由命题p∨q，p∧q的真假求参数的范围
解 若函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－≤－1，∴m≥2，即p：m≥2；
若函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1恒大于零，
则Δ＝16(m－2)2－16<0，
解得1因为p或q为真，p且q为假，所以p，q一真一假，
当p真q假时，由，得m≥3，
当p假q真时，由，得1综上，m的取值范围是{m|m≥3或113．设命题p：a∈{y|y＝}，命题q：关于x的方程x2＋x－a＝0有实根．
(1)若p为真命题，求a的取值范围；
(2)若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．
考点 p∧q与p∨q的综合应用
题点 由命题p∧q与p∨q的真假求参数的范围
解 (1)由题意得
y＝＝∈[0,3]，
故p为真命题时，a的取值范围为[0,3]．
(2)当q为真命题时，a的取值范围为a≥－，
由题意得p与q一真一假，从而
当p真q假时，有a无解；
当p假q真时，有
所以a>3或－≤a＜0.
所以实数a的取值范围是∪(3，＋∞)．
四、探究与拓展
14．设命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R，命题q：关于x的不等式3x－9x＜a对一切正实数都成立．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是________．
考点 p∧q与p∨q的综合应用
题点 由命题p∨q，p∧q的真假求参数的范围
答案 [0,1]
解析 由题意，得对命题p：ax2－x＋＞0
在R上恒成立，当a＝0时，不符合，
故得a＞1.
对命题q：令3x＝t(t＞1)，则3x－9x＝－2＋＜0，故a≥0.
由p或q为真，p且q为假，得p，q一真一假，
当p真q假时，无解；当p假q真时，得0≤a≤1.
15．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．
考点 p∧q与p∨q的综合应用
题点 由命题p∨q，p∧q的真假求参数的范围
解 由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0.
显然a≠0，∴x＝－或x＝.若命题p为真，
∵x∈[－1,1]，故≤1或≤1，∴|a|≥1.
若命题q为真，即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0与a＝2.
∵命题“p∨q”为假命题，∴q，p同时为假命题．
∴a的取值范围是{a|－1＜a＜0或0＜a＜1}．
1．2.2 “非”(否定)
学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义.2.掌握存在性命题和全称命题否定的格式，会对命题、存在性命题、全称命题进行否定．
知识点一 “非”命题的表示
思考1 观察下列两个命题：①p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根；
②p：y＝cos x是偶函数；q：y＝cos x不是偶函数，它们之间有什么关系？逻辑联结词中“非”的含义是什么？
答案 命题q是对命题p的否定，“非”表示“否定”“不是”“问题的反面”等．
思考2 你能判断思考1中的问题所描述的两个命题的真假吗？p的真假与綈p的真假有关系吗？
答案 ①p为真命题，q为假命题；②p为真命题，q为假命题．若p为真命题，则綈p为假命题．
梳理 (1)对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．“綈p”形式命题：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．
(2)由“非”的含义，可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集?UA＝{x∈U|綈(x∈A)}＝{x∈U|x?A}．
知识点二 全称命题与存在性命题的否定
思考1 写出下列命题的否定：
①所有的矩形都是平行四边形；
②有些平行四边形是菱形．
答案 ①并非所有的矩形都是平行四边形．
②每一个平行四边形都不是菱形．
思考2 对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形吗？
答案 不能．
思考3 对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形吗？
答案 不能．
梳理
命题
命题的表述
全称命题p
?x∈A，p(x)
全称命题的否定綈p
?x∈A，綈p(x)
存在性命题q
?x∈A，q(x)
存在性命题的否定綈q
?x∈A，綈q(x)
(1)命题的否定就是对命题的结论作出相反的判断．( √ )
(2)命题的否定就是否命题．( × )
(3)命题p与命题綈p不可能同真假．( √ )
类型一 “綈p”命题的构成与真假判断
例1 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最小值是－且最大值是1；
(2)100是10或20的倍数．
考点 “非”命题的概念
题点 命题的否定的概念
解 (1)命题是“p且q”的形式，其中p：x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最小值是－；q：x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最大值是1.p真，q假，该命题的否定是“x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最小值不是－或最大值不是1”，这是“綈p或綈q”形式的复合命题，因为綈p假，綈q真，所以“綈p或綈q”为真命题．
(2)命题是“p或q”的形式，其中p：“100是10的倍数”；q：“100是20的倍数”．它的否定形式为“綈p且綈q”，即“100不是10的倍数且不是20的倍数”是假命题．
反思与感悟 (1)对命题“p∧q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“且”变为“或”．对命题“p∨q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“或”变为“且”．
(2)命题p与命题p的否定綈p的真假性相反．
跟踪训练1 写出下列命题p的否定，并判断其真假．
(1)p：偶数都能被2整除；
(2)p：若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
(3)p：2 018＞2 017.
考点 “非”命题的概念
题点 命题的否定的概念
解 (1)綈p：偶数不都能被2整除，命题p是真命题，綈p是假命题；
(2)綈p：若x2＋y2＝0，则x≠0或y≠0，命题p是真命题，綈p是假命题；
(3)綈p：2 018≤2 017，命题p是真命题，綈p是假命题．
类型二 全称命题的否定
例2 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)所有的正方形都是菱形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)直线l⊥平面α，则?l′?α，l⊥l′；
(4)?x>1，log2x>0.
考点 全称命题的否定
题点 书写全称命题的否定
解 (1)存在一个正方形不是菱形，是假命题；
(2)存在一个素数不是奇数，是真命题；
(3)直线l⊥平面α，则?l′?α，l与l′不垂直，是假命题；
(4)?x>1，log2x≤0，是假命题．
反思与感悟 (1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．
跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；
(2)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．
考点 全称命题的否定
题点 书写全称命题的否定
解 (1)数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数，是真命题；
(2)?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一，是真命题．
类型三 存在性命题的否定
例3 写出下列存在性命题的否定，并判断其真假．
(1)?x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)有些素数是奇数；
(3)有些平行四边形不是矩形．
考点 存在性命题的否定
题点 书写存在性命题的否定
解 (1)?x>1，x2－2x－3≠0，是假命题；
(2)所有的素数都不是奇数，是假命题；
(3)所有的平行四边形都是矩形，是假命题．
反思与感悟 存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：?x∈A，p(x)成立?綈p：?x∈A，綈p(x)成立．
跟踪训练3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.
考点 存在性命题的否定
题点 书写存在性命题的否定
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
类型四 全称命题、存在性命题的应用
例4 已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0，求实数p的取值范围．
考点 全称命题、存在性命题的应用
题点 求参数范围
解 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[－1,1]上的所有实数c，都有f(c)≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，
即
即∴p≥或p≤－3.
故p的取值范围是.
反思与感悟 通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．
跟踪训练4 已知命题p：?x0∈R，x＋2ax0＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
考点 含量词命题的否定的应用
题点 由含量词命题的真假求参数的范围
答案 (0,1)
解析 方法一 若命题p：?x0∈R，x＋2ax0＋a≤0是真命题，得Δ＝(2a)2－4a≥0，
即a(a－1)≥0, 若命题p是假命题，则a(a－1)<0，解得0方法二 依题意，命题綈p：?x∈R，x2＋2ax＋a>0是真命题，得Δ＝(2a)2－4a<0，即a(a－1)<0，解得01．若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
考点 与非p有关的真假判断
题点 与非p有关的真假判断
答案 D
解析 因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．故选D.
2．设命题p：?n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
考点 存在性命题的否定
题点 识别存在性命题的否定
答案 C
解析 将命题p的量词“?”改为“?”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．
3．对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：?x∈R，x2＋x＋2≤0；綈p：?x∈R，x2＋x＋2>0
考点 存在性命题的否定
题点 书写存在性命题的否定
答案 C
解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．
4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为_________________________．
考点 存在性命题的否定
题点 书写存在性命题的否定
答案 有的向量与零向量不共线
解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题：“有的向量与零向量不共线”．
5．已知命题“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．
考点 含有量词命题的否定的应用
题点 由含量词命题的真假求参数的范围
答案
解析 由题意知，?x∈R，x2－5x＋a>0是真命题，
则Δ＝25－4×<0，得a>.
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
一、选择题
1．有以下四个命题：(1)没有男生爱踢足球；(2)所有男生都不爱踢足球；(3)至少有一个男生不爱踢足球；(4)所有女生都爱踢足球．其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是( )
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
考点
题点
答案 C
2．命题“?x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是( )
A．?x∈R，x3－2x＋1≠0
B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0
C．?x∈R，x3－2x＋1＝0
D．?x∈R，x3－2x＋1≠0
考点
题点
答案 D
3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
考点 全称命题的否定
题点 识别全称命题的否定
答案 D
解析 原命题为全称命题，其否定应为存在性命题，且结论否定．
4．已知命题p：?x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
考点 含有量词命题的否定的应用
题点 含有量词的命题的真假判断
答案 D
解析 当x＝时，tan x＝1，
∴命题p为真命题．
由x2－3x＋2<0得1∴命题q为真命题，∴p∧q为真，p∧(綈q)为假，
(綈p)∨q为真，(綈p)∨(綈q)为假．
5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B. p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
考点 含有量词命题的否定的应用
题点 含有量词的复合命题的符号表示
答案 A
解析 “至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p)∨(綈q)．
6．已知命题p：?x∈R，x2＋1<2x，命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4A．“綈p”是假命题 B．“綈q”是真命题
C．“p∧q”为真命题 D．“p∨q”为真命题
考点 含有量词的命题的否定的应用
题点 含有量词的命题的真假判断
答案 D
解析 对于命题p：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，
即对任意的x∈R，都有x2＋1≥2x，
因此命题p是假命题．
对于命题q，若mx2－mx－1<0恒成立，
则当m＝0时，mx2－mx－1<0恒成立；
当m≠0时，由mx2－mx－1<0恒成立，
得
即－4故命题q是真命题．
因此，“綈p”是真命题，“綈q”是假命题，
“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，故选D.
7．由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题的m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
考点 含有量词命题的否定的应用
题点 由含量词命题的真假求参数的范围
答案 B
解析 由题意知原命题的否定是真命题，
即?x∈R，都有x2＋2x＋m>0是真命题．
由Δ＝4－4m<0，得m>1，∴a＝1.
二、填空题
8．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是______________________________．
考点 存在性命题的否定
题点 书写存在性命题的否定
答案 每一个平行四边形都不是矩形
9．已知命题p：?x∈R，x2－x＋<0，命题q：?x∈R，sin x＋cos x＝，则p∨q，p∧q，綈p，綈q中是真命题的为________．
考点 含有量词命题的否定的应用
题点 含有量词命题的否定的综合应用
答案 p∨q，綈p
解析 ∵x2－x＋＝2≥0，
∴p为假命题．
∵sin x＋cos x＝sin，
∴q为真命题．故p∨q，綈p为真命题．
10．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
考点 含有量词命题的否定的应用
题点 由含量词命题的真假求参数的范围
答案 [3,8)
解析 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8，故实数m的取值范围是[3,8)．
11．已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：对任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假，则实数m的取值范围为________．
考点 含有量词命题的否定的应用
题点 由含有量词复合命题的真假求参数的范围
答案 [2，＋∞)
解析 依题意，知p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，方程x2＋mx＋1＝0的判别式Δ＝m2－4≥0，即m≤－2或m≥2.由p，q均为假命题，得
即m≥2.
三、解答题
12．命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
考点 含有量词命题的否定
题点 书写含有量词命题的否定
解 (1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0.
(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集，
通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b13．已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
考点 含有量词命题的否定的应用
题点 由含量词命题的真假求参数的范围
解 由已知得綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立，
∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则，
∴，解得a≤－3，
∵綈p为假，∴a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．
四、探究与拓展
14．命题“?n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)＞n B．?n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)＞n
C．?n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)＞n D．?n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)＞n
考点 全称命题的否定
题点 识别全称命题的否定
答案 D
解析 全称量词“?n∈N＋”改为存在量词“?n∈N＋”．“f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定为“f(x)?N＋或f(n)＞n”．
15．已知命题p：?m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥；命题q：?x，使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．
考点 含有量词命题的否定的应用
题点 由含有量词复合命题的真假求参数的范围
解 根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．∵m∈[－1,1]，
∴∈[2，3]．
∵?m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥，
∴a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q：?x，使不等式x2＋ax＋2<0，
∴Δ＝a2－8>0，∴a>2或a<－2，
从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，
∴命题p为真命题，q为假命题时，
a的取值范围为.
§1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件及充要条件的意义.2.能准确判断各类命题中的充分性、必要性、充要性．
知识点一 命题的结构
思考 你能把“内错角相等”写成“若…，则…”的形式吗？
答案 若两个角为内错角，则这两个角相等．
梳理 命题的形式：在数学中，经常遇到“如果p，则(那么)q”的形式的命题，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．
知识点二 充分条件与必要条件
给出下列命题：
(1)如果x>a2＋b2，则x>2ab；
(2)如果ab＝0，则a＝0.
思考1 你能判断这两个命题的真假吗？
答案 (1)真命题；(2)假命题．
思考2 命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？
答案 命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能有结论b＝0.
梳理 一般地，“如果p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
知识点三 充要条件
思考1 命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？
答案 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．
思考2 若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
答案 因为p?q且q?p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．
梳理 一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．
知识点四 充要条件的判断
1．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类
(1)充分且必要条件(充要条件)，即p?q且q?p；
(2)充分不必要条件，即p?q且q? p；
(3)必要不充分条件，即p? q且q?p；
(4)既不充分也不必要条件，即p? q且q?p.
2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
(1)若p是q的充分条件，则要使q成立，有p就足够了，不需要再附加任何条件．( √ )
(2)q是p的必要条件，就是说要使p成立，必须q先成立．( √ )
(3)q的充分条件是唯一确定的．( × )
类型一 判断充分条件与必要条件
命题角度1 定义法判断充分条件与必要条件
例1 指出下列各组命题中p是q的什么条件？
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(4)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.
考点 充要条件的判断
题点 识别四种条件
解 (1)因为x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0?x－2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为两个三角形相似?两个三角形全等，
但两个三角形全等?两个三角形相似，
所以p是q的必要不充分条件．
(3)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，
所以p是q的充要条件．
(4)取∠A＝120°，∠B＝30°，p?q；
又取∠A＝30°，∠B＝120°，q?p，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：
①如果命题：“如果p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“如果p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)
(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(3)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根．
考点 充要条件的判断
题点 识别四种条件
解 (1)因为四边形的对角线互相平分?四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
所以p是q的必要不充分条件．
(2)因为x＝1或x＝2?x－1＝，
x－1＝?x＝1或x＝2，
所以p是q的充要条件．
(3)因为m>0?方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根；
方程x2＋x－m＝0有实根，
即Δ＝1＋4m≥0? m>0.
所以p是q的充分不必要条件．
命题角度2 用集合观点判断充分条件、必要条件
例2 (1)“|x|<2”是“x2－x－6<0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设集合M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，那么“a∈M”是“a∈N”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充要条件的判断
题点 识别四种条件
答案 (1)A (2)A
解析 (1)由|x|<2，得－2令A＝{x|－2由x2－x－6<0，得－2令B＝{x|－2∵A?B，∴|x|<2是x2－x－6<0的充分不必要条件．
(2)M＝{x|－1∵N?M，∴a∈M是a∈N的必要不充分条件．
反思与感悟 设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p?q可得A?B；q?p可得B?A；p?q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A?B.若B?A，则p是q的必要不充分条件．
跟踪训练2 (1)“x＞1”是“＜0”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充要条件的判定
题点 识别四种条件
答案 B
解析 由x＞1?x＋2＞3?＜0，＜0?x＋2＞1?x＞－1，故“x＞1”是“＜0”成立的充分不必要条件．故选B.
(2)x>的一个必要不充分条件是________；x＋y>0的一个充分不必要条件是_________．
考点 充要条件的判定
题点 识别四种条件
答案 x>0 x>0且y>0(答案不唯一)
类型二 充分条件、必要条件的应用
命题角度1 由四种条件求参数的范围
例3 已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 充分条件、必要条件的应用
题点 由四种条件求参数的范围
解 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}
＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}
＝{x|x≤－或x≥2}，
N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}
＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}
＝{x|x≤a－2或x≥a}，
由已知p?q，且q?p，得M?N.
所以或
?≤a<2或即所求a的取值范围是.
反思与感悟 在涉及到求参数的取值范围与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．注意推出的方向及推出与子集的关系．
跟踪训练3 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，q：实数x满足若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
考点 充分条件、必要条件的应用
题点 由四种条件求参数的范围
答案 (1,2]
解析 x2－4ax＋3a2<0，即(x－a)(x－3a)<0，
得a0)，∴p：a由得2∴q：2又p是q的必要不充分条件，
∴{x|2则由得1命题角度2 充要条件的探求与证明
例4 求关于x的不等式ax2－ax＋1－a>0对于一切实数x都成立的充要条件．
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
解 充分性：当0判别式Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，
则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0化为1>0.
显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
必要性：因为ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，
所以a＝0或
解得0≤a<.
故0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．
跟踪训练4 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
考点
题点
证明 充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两个不等实根，
设两实根为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，且Δ＝b2－4ac>0，
即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
1．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
考点 充要条件的判断
题点 识别四种条件
答案 C
解析 ∵－2＜x＜1?x＞1或x＜－1，且x＞1或x＜－1?－2＜x＜1，∴“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分也不必要条件．
2．a<0，b<0的一个必要条件为( )
A．a＋b<0 B．a＋b>0
C.>1 D.<－1
考点 充要条件的判断
题点 识别四种条件
答案 A
解析 a＋b<0?a<0，b<0，而a<0，b<0?a＋b<0.
3．下列命题为假命题的是( )
A．在△ABC中，B＝60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件
B．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是x＝－1
C．在△ABC中，A＝B是sin A＝sin B的充要条件
D．lg x>lg y是>的充要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 D
解析 选项A中，由B＝60°?A＋C＝120°?A＋C＝2B?角A，B，C成等差数列；
而角A，B，C成等差数列?A＋C＝2B，
又A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，
所以B＝60°，故命题为真．
选项B中，a⊥b?a·b＝0，
即2x＋2＝0，得x＝－1，故B正确．
选项C中，在△ABC中，A＝B?sin A＝sin B，
反之，若sin A＝sin B，
因为A与B不可能互补(因为三角形的三个内角和为180°)，所以只有A＝B.
故A＝B是sin A＝sin B的充要条件．
选项D中，取x＝2，y＝0，
有>，但lg y却无意义，
所以是假命题．
4．若“x2＋ax＋b＝0”是“x＝1”的充要条件，则a＝________，b＝________.
考点 充分条件、必要条件的应用
题点 由四种条件求参数
答案 －2 1
解析 由题意得解得
5．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
考点 充分条件、必要条件的应用
题点 由四种条件求参数
解 由3x＋m<0，得x<－，
∴p：A＝.
由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3，
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p?q且q?p，
∴A?B，∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
一、选择题
1．设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 识别充分与必要条件
答案 B
解析 若a>2，b>2，则a＋b>4，但当a＝4，b＝1时也有a＋b>4，故选B.
2．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N?M”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 a＝1?N?M，
N?M?a2＝1或2，
∴N?M? a＝1，
故a＝1是N?M的充分不必要条件．
3．设p：x<3，q：－1A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 识别四种条件
答案 C
解析 ∵x<3?－1∴p是q的必要不充分条件，故选C.
4．下列命题中q是p的必要条件的是( )
A．p：A∩B＝A，q：A?B
B．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1
C．p：|x|<1，q：x<0
D．p：x2>2，q：x>
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 识别充分与必要条件
答案 A
解析 由A∩B＝A能得出A?B，其余选项都不符合要求．
5．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充要条件的判断
答案 C
解析 ab≠0，即此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.
6．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y>2
C．x2＋y2>2 D．xy>1
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 识别四种条件
答案 B
解析 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意．
7．集合A＝，B＝{x|－aA．[－2,0) B．(0,2]
C．(－2,2) D．[－2,2]
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 C
解析 A＝{x|(x＋1)(x－1)<0}＝{x|－1B＝{x|b－a因为a＝1，所以B＝{x|b－1若A∩B＝?，则b＋1≤－1或b－1≥1，
即b≤－2或b≥2，
所以A∩B≠?时，－2二、填空题
8．下列不等式：①x<1；②0考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 ②③④
解析 由x2<1得－1故②③④都可作为x2<1的充分条件．
9．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是________．
考点 充要条件的探求与证明
题点 探求充要条件
答案 m＝0
解析 当m＝0时，原方程即为x＝2，满足条件；
当m≠0时，有＝2，解得m＝1或m＝－，
但Δ＝(m＋1)2－8m2，
当m＝1及m＝－时，均使Δ<0，
故充要条件是m＝0.
10．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 (2，＋∞)
解析 根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，可得(－2，－1)?{x|(a＋x)(1＋x)＜0}，故有a＞2.
11．命题p：|x|0)，命题q：x2－x－6<0，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________，若p是q的必要条件，则a的取值范围是________．
考点 充分条件、必要条件的应用
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 (0,2] [3，＋∞)
解析 由题意知p：－a当p是q的充分条件时，
{x|－a∴得0＜a≤2.
当p是q的必要条件时，
{x|－2∴得a≥3.
三、解答题
12．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数
解 由M∩P＝{x|5(1)M∩P＝{x|5(2)M∩P＝{x|5(3)若a＝－5，显然M∩P＝[－5，－3)∪(5,8]是M∩P＝{x|5故a<－3时为必要不充分条件．
13．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
考点 充分条件、必要条件的应用
题点 由四种条件求参数范围
解 p：－2≤x≤10.
q：x2－2x＋1－m2≤0?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0
(m>0)?1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为綈p是綈q的充分不必要条件，
所以利 用集合知识，可得
{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}?{x|－2≤x≤10}，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或，解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0四、探究与拓展
14．下列四个命题中为真命题的是________．(填序号)
①“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；
②“a＝b”是“lg a＝lg b”的充分不必要条件；
③“函数f(x)＝ax2＋bx(x∈R)为奇函数”的充要条件是“a＝0”；
④“定义在R上的函数y＝f(x)是偶函数”的必要条件是“＝1”．
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 识别四种条件
答案 ①③
解析 ①真，∵y＝2x在R上是增函数，∴a＞b?2a＞2b”；②假，当a＝b≤0时，lg a，lg b无意义；③真，f(x)是奇函数?f(－x)＋f(x)＝0?ax2－bx＋ax2＋bx＝0?ax2＝0?a＝0；④假，如f(x)＝x2－1是偶函数，但f(1)＝0，无意义．
15．已知p：函数f(x)为(0，＋∞)上的单调递减函数，实数m满足不等式f(m＋1)＜f(3－2m)；q：当x∈时，m＝sin2x－2sin x＋1＋a.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 充分条件、必要条件的应用
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 设p，q所对应的m的取值集合分别为A，B.
对于p，由函数f(x)为(0，＋∞)上的单调递减函数，
可得
解得＜m＜，即A＝.
对于q，由x∈，得sin x∈[0,1]，
m＝sin2x－2sin x＋a＋1＝(sin x－1)2＋a，
则当sin x＝1时，mmin＝a；
当sin x＝0时，mmax＝a＋1，即B＝[a，a＋1]．
由p是q的充分不必要条件，可得A?B，
则有(等号不能同时取得)，解得≤a≤，
即实数a的取值范围为.
1．3.2 命题的四种形式
学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．
知识点一 四种命题的概念
思考 给出以下四个命题：
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．
梳理 对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后，可以构成四种不同形式的命题：
(1)原命题：如果p，则q；
(2)逆命题：如果q，则p(“换位”)；
(3)否命题：如果綈p，则綈q(“换质”)；
(4)逆否命题：如果綈q，则綈p(“换位”又“换质”)．
知识点二 命题的四种形式之间的关系
思考1 为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“如果p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？
答案 逆命题：如果q，则p.否命题：如果綈p，则綈q.逆否命题：如果綈q，则綈p.
思考2 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？
答案 互逆、互否、互为逆否．
梳理 四种命题间的相互关系
知识点三 四种命题的真假关系
思考1 知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？
答案 (1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．
思考2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？
答案 原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．
梳理 (1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系．
(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．( √ )
(2)原命题与逆命题的真假性无关，但原命题与否命题的真假性一定相反．( × )
(3)一个命题的否命题和这个命题的逆命题的真假性相同．( √ )
(4)否命题其实就是命题的否定．( × )
类型一 四种命题及其相互关系
命题角度1 四种命题的概念
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若x∈A，则x∈A∪B；
(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；
(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
解 (1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A.
否命题：若x?A，则x?A∪B.
逆否命题：若x?A∪B，则x?A.
(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．
否命题：a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．
逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．
(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.
否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B.
逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.
反思与感悟 四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
跟踪训练1 命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数．
命题角度2 四种命题的相互关系
例2 若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是( )
A．互为逆命题
B．互为否命题
C．互为逆否命题
D．同一命题
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 B
解析 已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．
命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，
命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，
∴r是p的逆否命题，
∴r是p的逆命题的否命题，故选B.
反思与感悟 判断四种命题之间四种关系的两种方法
(1)利用四种命题的定义判断．
(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．
跟踪训练2 已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2
解析 由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．
类型二 四种命题的真假判断
例3 有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题，其中真命题为( )
A．①② B．②③
C．④ D．①②③
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 D
解析 ①②③显然正确；对于④，若A∩B＝B，则B?A，
所以原命题为假，故它的逆否命题也为假．
反思与感悟 原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，与逆命题或否命题的真假性没有关系．逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
跟踪训练3 命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 B．2 C．3 D．4
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 B
解析 命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命题，
则其逆否命题是假命题．
该命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”是真命题，则其否命题是真命题．故选B.
类型三 等价命题的应用
例4 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
解 方法一 原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?，判断如下：
二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，
则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，
即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?.故此命题为真命题．
方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．
因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥＞1，
所以原命题为真，故其逆否命题为真．
引申探究
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<”的逆否命题的真假．
解 先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，
所以a<.
所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题．
反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．
跟踪训练4 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
证明 “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0，
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.
1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是( )
A．若a?A，则b?B B．若a∈A，则b?B
C．若b∈B，则a?A D．若b?B，则a?A
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“?”互为否定形式．
2．命题“如果x2<1，则－1A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．如果－1C．如果x>1或x<－1，则x2>1
D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥1
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 D
解析 原命题结论“－13．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是( )
A．真命题
B．假命题
C．不一定是真命题
D．不一定是假命题
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 A
解析 由否命题与逆命题互为逆否命题，可知这个命题的逆命题是真命题．
4．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；
③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 C
解析 ①的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题；
②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60°”为真命题；
③当k<0时，Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题．
5．已知命题“若m－1考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的真假求参数的范围
答案 [1,2]
解析 命题：“若m－1∵该逆命题为真命题，
∴由得1≤m≤2.
1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；
(3)按照四种命题的结构写出所有命题．
2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．
3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．
一、选择题
1．“如果x＞y，则x2＞y2”的逆否命题是( )
A．如果x≤y，则x2≤y2
B．如果x＞y，则x2＜y2
C．如果x2≤y2，则x≤y
D．如果x＜y，则x2＜y2
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 C
解析 由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．
2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 A
解析 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
3．命题p：若A∩B＝B，则A?B；命题q：若A?B，则A∩B≠B，那么命题p与命题q的关系是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．不能确定
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 C
解析 由逆否命题的定义可得．
4．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>2 016，则x>0”的逆命题
B．命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题
C．命题“若x2＋x－2＝0，则x＝1”
D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 B
解析 A选项，“若x>2 016，则x>0”的逆命题为“若x>0，则x>2 016”是假命题；
B选项，“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”是真命题；
C选项，由x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，故C是假命题；
D选项，“若x2≥1，则x≥1”是假命题，故其逆否命题是假命题．
5．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 B
解析 命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．
该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.
6．已知命题“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．真命题，否命题：“如果ab>0，则a>0或b>0”
B．真命题，否命题：“如果ab>0，则a>0且b>0”
C．假命题，否命题：“如果ab>0，则a>0或b>0”
D．假命题，否命题：“如果ab>0，则a>0且b>0”
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 如果ab≤0，则a与b至少有一个小于等于0，
故“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”是真命题，
该命题的否命题为“如果ab>0，则a>0且b>0”．
7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的( )
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的判断
答案 C
解析 特例：p：△ABC中，若∠A＝∠B，则a＝b；
r：△ABC中，若∠A≠∠B，则a≠b；
s：△ABC中，若a≠b，则∠A≠∠B；
t：△ABC中，若a＝b，则∠A＝∠B.
8．下列说法错误的是( )
A．命题“如果x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“如果x≠3，则x2－4x＋3≠0”
B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题p：“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 C
解析 C选项中，p且q为假命题，则p与q至少有一个为假命题．
二、填空题
9．下列命题中：
①如果一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②如果一个四边形为正方形，则它的四条边相等；
③如果一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 ②③ ①③ ①②
10．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________．
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 1
解析 原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故答案为1.
11．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则
①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．
其中正确是________．(填序号)
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 ①②
解析 原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．
三、解答题
12．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；
(2)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
解 (1)逆命题：当mx2－x＋1＝0无实根时，m>，真命题；
否命题：当m≤时，mx2－x＋1＝0有实根，真命题；
逆否命题：当mx2－x＋1＝0有实根时，m≤，真命题．
(2)逆命题：当a＝0或b＝0或c＝0时，abc＝0，真命题；
否命题：当abc≠0时，a≠0且b≠0且c≠0，真命题；
逆否命题：当a≠0且b≠0且c≠0时，abc≠0，真命题．
13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为b≤－1，所以Δ≥4>0，
故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
四、探究与拓展
14．已知A表示点，a，b，c表示直线，α，β表示平面，给出下列命题：
①a⊥α，b?α，如果b∥α，则b⊥a；
②a⊥α，如果a⊥β，则α∥β；
③a?α，b∩α＝A，c为b在α上的射影，如果a⊥c，则a⊥b；
④a⊥α，如果b∥α，c∥a，则a⊥b，c⊥b.
其中逆命题为真的是________．
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 ①②③
解析 ④的逆命题：“a⊥α，如果a⊥b，c⊥b，则b∥α，c∥a”，而b，c均可以在α内，故不正确．
15．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“如果a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
解 (1)逆命题：如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，为真命题．
由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“如果a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”为真命题．
因为a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，
则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
因此否命题为真命题，即逆命题为真命题．
(2)逆否命题：如果f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，为真命题．
因为逆否命题与原命题具有相同的真假性，所以先证原命题成立．
证明：因为a＋b≥0，所以a≥－b，
所以f(a)≥f(－b)，
同理f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题成立．
所以逆否命题是真命题．
滚动训练(一)
一、选择题
1．下列命题是真命题的是( )
A．{?}是空集
B．{x∈N||x－1|＜3}是无限集
C．π是有理数
D．x2－5x＝0的根是自然数
考点
题点
答案 D
解析 x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．
2．设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是( )
A．?m∈R，使y＝f(x)都是奇函数
B．?m∈R，使y＝f(x)是奇函数
C．?m∈R，使y＝f(x)都是偶函数
D．?m∈R，使y＝f(x)是偶函数
考点
题点
答案 D
解析 ?m＝0∈R，使y＝f(x)是偶函数，故选D.
3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点
题点
答案 A
解析 若a＝3，则A?B；若A?B，则a＝3或2.
4．设命题p：?x∈R，x2＋1＞0，则綈p为( )
A．?x∈R，x2＋1＞0
B．?x∈R，x2＋1≤0
C．?x∈R，x2＋1＜0
D．?x∈R，x2＋1≤0
答案 B
解析 根据全称命题的否定为存在性命题知B正确．
5．给出下列三个命题：
①“若x2＋2x－3≠0，则x≠1”为假命题；
②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
③命题p：?x∈R,2x>0，则綈p：?x∈R,2x≤0.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 A
解析 ①命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”，是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①不正确．②不正确．③根据含量词的命题否定方式，可知命题③正确．
6．已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
考点
题点
答案 B
解析 f(x)，g(x)均为偶函数，可推出h(x)为偶函数，反之，则不成立，如f(x)＝x，g(x)＝－x，则h(x)＝0是偶函数，但f(x)，g(x)均不是偶函数，故选B.
7．给出下列结论：
①命题“?x∈(0,2)，3x＞x3”的否定是“?x∈(0,2)，3x≤x3”；
②“若θ＝，则cos θ＝”的否命题是“若θ≠，则cos θ＝”；
③若(p∧q)∨(p∨q)是真命题，则命题p，q一真一假；
④“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的充要条件．
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点
题点
答案 A
解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可知①是正确的；②中，命题的否命题为“若θ≠，则cos θ≠”，所以②是错误的；③中，若(p∧q)∨(p∨q)是真命题，则命题p，q都是真命题或p，q一真一假，所以③是错误的；④中，由函数y＝2x＋m－1有零点，得1－m＝2x＞0，所以m＜1，而函数y＝logmx为减函数，则0＜m＜1，所以④是错误的，故选A.
二、填空题
8．命题：“存在一实数对，使2x＋3y＋3＜0成立”的否定是________________．
考点
题点
答案 对任意实数对，2x＋3y＋3≥0都成立
解析 存在性命题的否定是全称命题．
9．设p：x＞2或x＜；q：x＞2或x＜－1，则綈p是綈q的________条件．
考点
题点
答案 充分不必要
解析 綈p：≤x≤2，
綈q：－1≤x≤2.∵綈p?綈q，但綈q? 綈p，
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
10．p：＜0，q：x2－4x－5＜0，若p且q为假命题，则x的取值范围是________．
考点
题点
答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析 p：x＜3，
q：－1＜x＜5，
若p且q为真，则－1＜x＜3.
∴若p且q为假，则x≤－1或x≥3.
11．已知c＞0，设命题p：指数函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，不等式x＋＞恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则c的取值范围是________．
考点
题点
答案 ∪[1，＋∞)
解析 p：0＜c＜1，
q：c＞.
①若p真q假，则0＜c≤；
②若p假q真，则c≥1.
三、解答题
12．已知p：不等式mx2＋1＞0的解集是R；q：f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)是减函数．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
考点
题点
解 因为不等式mx2＋1＞0的解集是R，
所以或m＝0，
解得m≥0，即p：m≥0.
又f(x)＝logmx是减函数，
所以0＜m＜1，即q：0＜m＜1.
又p或q为真，p且q为假，所以p和q一真一假．
当p为真，q为假时，解得m≥1.
当p为假，q为真时，无解，
所以实数m的取值范围是[1，＋∞)．
13．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p和q有且只有一个正确，求实数a的取值范围．
考点
题点
解 方法一 p真：0＜a＜1.
q真：Δ＝(2a－3)2－4＞0，∴a＞或0＜a＜.
(1)若p正确，且q不正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于两点，因此a∈(0,1)∩，即a∈.
(2)若p不正确，且q正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，因此a∈(1，＋∞)∩，即a∈.
综上，实数a的取值范围为∪.
方法二 ∵A＝{a|p(a)}＝{a|0＜a＜1}，B＝{a|q(a)}＝，
∴p和q有且只有一个正确，即a∈且a?，
故实数a的取值范围为∪.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝x＋(x≠0)，命题p：?x＞0，f(x)≥2，命题q：?x＜0，f(x)≤－2，则下列判断正确的是( )
A．p是假命题
B．綈q是真命题
C．p∨(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
考点
题点
答案 C
解析 由基本不等式，可得命题p，q均为真命题，那么綈p，綈q均为假命题，因此综合分析只有C选项正确．
15．对于函数f(x)，若命题“?x0∈R，f(x0)≠x0”的否定为真命题，则称x0为函数f(x)的不动点．
(1)若函数f(x)＝x2－mx＋4有两个相异的不动点，求实数m的取值集合M；
(2)在(1)的条件下，设不等式(x－a)(x＋a－2)>0的解集为N，若“x∈N”是“x∈M”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
解 (1)由题意知方程x2－mx＋4＝x，即x2－(m＋1)x＋4＝0有两个相异的实根，
所以Δ＝[－(m＋1)]2－16>0，
解得m>3或m<－5，即M＝{m|m<－5或m>3}．
(2)解不等式(x－a)(x＋a－2)>0，
当a>1时，N＝{x|x>a或x<2－a}；
当a<1时，N＝{x|x>2－a或x当a＝1时，N＝{x|x≠1}．
因为“x∈N”是“x∈M”的充分不必要条件，所以N?M.
当a>1时，(等号不同时取到)，解得a≥7；
当a<1时，(等号不同时取到)，解得a≤－5；
当a＝1时，不合题意，舍去．
综上可得实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[7，＋∞)．
章末复习
学习目标 1.梳理本章知识要点，构建知识网络.2.进一步理解命题、联结词及充要条件的相关概念.3.能应用相关知识和方法解决相关问题．
1．全称命题与存在性命题
(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例即可．
(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
(3)含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
2．简单的逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断
可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假.
p
q
綈p
p∨q
p∧q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
3.充分条件、必要条件的判断方法
(1)直接利用定义判断：即若p?q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断：p?q的等价命题是綈q?綈p，即若綈q?綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
4．四种命题的关系
原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题.
类型一 命题的关系及真假的判断
例1 将下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．
(1)垂直于同一平面的两条直线平行；
(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．
考点 四种命题
题点 书写四种命题
解 (1)将命题写成“如果p，则q”的形式为：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：如果两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假)
否命题：如果两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假)
逆否命题：如果两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真)
(2)将命题写成“如果p，则q”的形式为：如果mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：如果方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.(假)
否命题：如果mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)
逆否命题：如果方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真)
反思与感悟 (1)四种命题的改写步骤
①确定原命题的条件和结论．
②逆命题：把原命题的条件和结论交换．
否命题：把原命题中条件和结论分别否定．
逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．
(2)命题真假的判断方法
跟踪训练1 下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 四种命题及其关系
题点 四种命题及其关系
答案 B
解析 正确的为①③.
类型二 逻辑联结词与量词的综合应用
例2 已知p：?x∈R，mx2＋2≤0.q：?x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
考点 逻辑联结词与量词的综合应用
题点 由复合命题的真假求参数范围
答案 A
解析 因为p∨q为假命题，所以p和q都是假命题．
由p：?x∈R，mx2＋2≤0为假，得?x∈R，mx2＋2＞0，所以m≥0.①
由q：?x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得?x∈R，x2－2mx＋1≤0，
所以Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．
跟踪训练2 已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．
考点
题点
解 p真：Δ＝(－a)2－4×4≥0，∴a≤－4或a≥4.
q真：－≤3，∴a≥－12.
由“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，得p，q两命题一真一假．
当p真q假时，a＜－12；当p假q真时，－4＜a＜4.
综上，实数a的取值范围为(－∞，－12)∪(－4,4)．
类型三 充分条件与必要条件
命题角度1 充分条件与必要条件的判断
例3 (1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 四种条件
题点 识别四种条件
答案 (1)B (2)C
解析 (1)∵x2－3x>0? x>4，
x>4?x2－3x>0，
故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．
(2)∵a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，
∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件．
反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．
(2)等价法：利用A?B与綈B?綈A，B?A与綈A?綈B，A?B与綈B?綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
跟踪训练3 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．a2>b2>0 B．>>0
C．ln a>ln b>0 D．xa>xb且x>0.5
考点 四种条件
题点 识别四种条件
答案 C
解析 设条件p符合条件，则p是a>b>0的充分条件，但不是a>b>0的必然结果，即有“p?a>b>0，a>b>0?p”．
A选项中，a2>b2>0?a>b>0，有可能是aB选项中，>>0?0b>0，故B不符合条件；
C选项中，ln a>ln b>0?a>b>1?a>b>0，而a>b>0?a>b>1，符合条件；
D选项中，xa>xb且01时a>b，无法得到a，b与0的大小关系，故D不符合条件．
命题角度2 充分条件与必要条件的应用
例4 设命题p：x2－5x＋6≤0；命题q：(x－m)(x－m－2)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点 充分条件、必要条件与充要条件的综合应用
题点 由四种条件求参数的范围
解 方法一 命题p：x2－5x＋6≤0，
解得2≤x≤3；
命题q：(x－m)(x－m－2)≤0，
解得m≤x≤m＋2，
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
∴或(等号不能同时取得)，
解得1≤m≤2.
即实数m的取值范围是[1,2]．
方法二 命题p：2≤x≤3，
命题q：m≤x≤m＋2，
綈p：x<2或x>3，綈q：xm＋2，
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴{x|xm＋2}?{x|x<2或x>3}，
故(等号不能同时取得)，解得1≤m≤2.
∴实数m的取值范围是[1,2]．
反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．
跟踪训练4 已知p：2x2－9x＋a<0，q：2考点 充分条件、必要条件与充要条件的综合应用
题点 由四种条件求参数的范围
解 ∵綈q是綈p的必要条件，
∴q是p的充分条件，
令f(x)＝2x2－9x＋a，
则解得a≤9，
∴实数a的取值范围是(－∞，9].
1．已知命题p：?x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为( )
A．?x≤0，使得(x＋1)ex≤1
B．?x>0，使得(x＋1)ex≤1
C．?x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．?x≤0，总有(x＋1)ex≤1
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 B
解析 “?x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“?x>0，使得(x＋1)ex≤1”．故选B.
2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点 四种条件
题点 识别四种条件
答案 A
解析 x2＋y2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x|≥2且|y|≥2，而x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，故A正确．
3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．
考点 四种命题
题点 四种命题的概念的理解
答案 若x，y不全为零，则xy≠0
解析 由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，
则xy≠0”．
4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；
③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．
考点 含逻辑联结词命题的真假判断
题点 含逻辑联结词命题的真假判断
答案 ②③
解析 当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果p，则q”，则该命题的否命题是“如果綈p，则綈q”；命题的否定为“如果p，则綈q”．
2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．
3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．
4．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”.
一、选择题
1．命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x
C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x
考点 全称命题的否定
题点 识别全称命题的否定
答案 D
解析 全称命题的否定是存在性命题，所以“?x∈R，x2≠x”的否定为“?x∈R，x2＝x”．
2．设p：－15，则p是綈q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 四种条件
题点 识别四种条件
答案 A
解析 p：－1∵{x|－1∴p是綈q的充分不必要条件．
3．“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )
A．?x∈R，使得f(x)>0成立
B．?x∈R，使得f(x)≤0成立
C．?x∈R，使得f(x)>0成立
D．?x∈R，f(x)≤0成立
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 A
解析 关于x的不等式f(x)>0有解的等价命题是?x∈R，使得f(x)>0成立．
4．已知命题p：如果(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x<0.下列选项中为真命题的是( )
A．綈p B．(綈p)∨q
C．(綈q)∧p D．q
考点 含逻辑联结词命题的真假判断
题点 p∧q与p∨q形式的命题的真假性
答案 C
解析 ∵p为真，q为假，∴(綈q)∧p为真命题．
5．下列有关命题的说法中，正确的是( )
A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”
B．命题“若α>β，则tan α>tan β”的逆否命题为真命题
C．命题“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“?x∈R，都有x2＋x＋1>0”
D．“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件
考点 含有一个量词的命题的否定的应用
题点 含有量词的命题的否定的综合应用
答案 D
解析 A选项，命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，∴A不正确；
B选项，若α>β，则“tan α>tan β”是假命题，故其逆否命题也是假命题，B不正确；
C选项，命题“?x∈R使得x2＋x＋1<0”的否定是“?x∈R，都有x2＋x＋1≥0”，C不正确；
D选项，由x>1?x2＋x－2>0，而x2＋x－2>0?x>1，∴D正确．
6．下列命题是真命题的是( )
A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题
B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题
C．“若x>1，则x>2”的逆否命题
D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
解析 “若x＝0，则xy＝0”的逆命题是“若xy＝0，则x＝0”，A是假命题．“若x＝0，则xy＝0”的否命题“若x≠0，则xy≠0”，因为当x≠0，y＝0时，xy＝0.所以B是假命题．因为互为逆否命题的两个命题真假性相同，而“若x>1，则x>2”是假命题，所以C是假命题，故选D.
7．下列命题中为假命题的是( )
A．?x＞0且x≠1，x＋＞2
B．?a∈R，直线ax＋y＝a恒过定点(1,0)
C．?m∈R，f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数
D．?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)不是偶函数
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
解析 当x＞0时，x＋≥2，等号在x＝1时成立，故A为真命题；将x＝1，y＝0代入直线方程ax＋y＝a中，等式成立，故B为真命题；令m－1＝1，得m＝2，此时f(x)＝x－1是幂函数，故C为真命题；当φ＝时，f(x)＝sin＝cos 2x，为偶函数，故选D.
二、填空题
8．若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是减函数，则a的取值范围是__________________．
考点 全称命题
题点 由全称命题的真假求参数的范围
答案 (－，－1)∪(1，)
解析 由题意知0解得－9．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q；?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题且p∨q为真命题，则m的取值范围是__________________．
考点 逻辑联结词与量词的综合应用
题点 由命题的真假求参数的范围
答案 (－∞，－2]∪(－1,2)
解析 p：m≤－1，q：－2∵p∧q为假命题，p∨q为真命题．
∴p，q一真一假，
当p为真，q为假时，由
得m≤－2.
当p为假，q为真时，
由得－1综上所述，m的取值范围是(－∞，－2]∪(－1,2)．
10．有不等式(x－m＋1)(x－m－1)<0成立的充分不必要条件是考点 四种条件
题点 由四种条件求参数的范围
答案
解析 (x－m＋1)(x－m－1)<0，
即m－1由题意可知(等号不同时取得)，
即－≤m≤，
故实数m的取值范围是.
11．已知命题p：“?x∈[1，＋∞)，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点 p∧q形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
答案 {a|a≤－2或a＝1}
解析 由已知可知，p和q均为真命题，由命题p为真命题得a≤1，由命题q为真命题，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0，得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．
三、解答题
12．设命题p：实数x满足(x－a)(x－3a)<0，其中a>0，命题q：实数x满足≤0.
(1)若a＝1，有p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 四种条件的综合应用
题点 由四种条件求参数的范围
解 (1)因为a＝1，所以不等式(x－a)(x－3a)<0化为(x－1)(x－3)<0，所以1由≤0，得2又因为p且q为真，所以2(2)因为綈p是綈q的充分不必要条件，
所以q是p的充分不必要条件．
又q：2所以所以113．已知函数f(x)＝－(x＋2)(x－m)(其中m>－2)，g(x)＝2x－2.
(1)若命题“log2g(x)≤1”是真命题，求x的取值范围；
(2)设命题p：?x∈(1，＋∞)，f(x)<0或g(x)<0，若綈p是假命题，求m的取值范围．
考点 “綈p”形式的命题的真假判断
题点 与綈p有关的参数问题
解 (1)若命题“log2g(x)≤1”是真命题，即log2g(x)≤1恒成立；
即log2g(x)≤log22等价于
解得1故所求x的取值范围是{x|1(2)因为綈p是假命题，所以p为真命题，
而当x>1时，g(x)＝2x－2>0，
又p是真命题，则x>1时，f(x)<0，
所以f(1)＝－(1＋2)(1－m)≤0，
即m≤1(或根据－(x＋2)(x－m)<0的解集得出)，
故所求m的取值范围为{m|－2四、探究与拓展
14．“辽宁舰”在海上进行训练时，假设A，B两处为假想敌，设命题p为“‘辽宁舰’击中A处假想敌”，命题q为“‘辽宁舰’击中B处假想敌”，则命题“‘辽宁舰’至少在一处没有击中假想敌”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
考点
题点
答案 A
解析 綈p：“辽宁舰”没有击中A处假想敌；綈q：“辽宁舰”没有击中B处假想敌．所以“‘辽宁舰’至少在一处没有击中假想敌”可表示为(綈p)∨(綈q)，故选A.
15．已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，当m∈[－1,1]时，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1＞0有解．若p∧q是假命题，綈p也是假命题，求实数a的取值范围．
考点 p∧q形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
解 ∵p∧q是假命题，綈p是假命题，
∴命题p是真命题，命题q是假命题．
∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
∴
∴|x1－x2|＝＝，
∴当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，
∴a2－5a－3≥3，
∴a≥6或a≤－1.
∴当命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
命题q：不等式ax2＋2x－1＞0有解，
①当a＞0时，Δ＝4＋4a＞0，不等式有解；
②当a＝0时，2x－1＞0有解；
③当a＜0时，令Δ＝4＋4a＞0，得－1＜a＜0.
∴当命题q为真命题时，a＞－1.
又命题q是假命题，∴a≤－1.
由得a≤－1.
∴实数a的取值范围为(－∞，－1]．
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．?x∈(－∞，0)，x3＋x＜0
B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．?x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0
D．?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
考点 全称命题的否定
题点 识别全称命题的否定
答案 C
解析 全称命题的否定是存在性命题．
全称命题：?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是存在性命题：?x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0.
2．命题“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
考点 四种命题
题点 识别四种命题
答案 D
解析 “且”的否定词为“或”，所以“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”．
3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判断
答案 C
解析 当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；
因为|y|≥y，所以若x>|y|，则x>y.
所以x>y是x>|y|的必要不充分条件．
4．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 D
解析 原命题和逆命题是真命题，故逆否命题和否命题也是真命题．
5．已知命题p：?x∈R，使sin x＝，命题q：?x∈R，都有x2＋2x＋3>0.给出下列结论：
①命题“p且q”是真命题；
②命题“p且綈q”是假命题；
③命题“綈p或q”是真命题；
④命题“綈p或綈q”是假命题．
其中正确的是( )
A．②④ B．②③
C．③④ D．①②③
考点 逻辑联结词与量词的综合应用
题点 逻辑联结词与量词的综合应用
答案 B
解析 因为p为假命题，q为真命题，故綈p为真命题，綈q为假命题，所以“p且q”为假命题，“p且綈q”为假命题，“綈p或q”为真命题，“綈p或綈q”为真命题．
6．“p∨q”是真命题是“p∧q”是真命题的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 逻辑联结词与充要条件的综合应用
题点 逻辑联结词与充要条件的综合应用
答案 B
解析 p∨q是真命题?p与q至少有一个是真命题?p∧q是真命题，
p∧q是真命题?p∨q是真命题．
所以“p∨q”是真命题是“p∧q”是真命题的必要不充条件．
7．“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
考点 四种条件
题点 识别四种条件
答案 C
解析 任意x∈[1,2]，x2－a≤0?a≥4，
又{a|a≥5}?{a|a≥4}，
∴“a≥5”是“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充分不必要条件．
8．给出以下四种命题：
①若“p∨q”为真命题，则p，q均为真命题；
②“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；
③“?x∈R，x2＋x≥1”的否定是“?x∈R，x2＋x≤1”；
④“x>0”是“x＋≥2”的充要条件．
其中正确的命题是( )
A．①② B．②③
C．①④ D．②④
考点 四种命题及命题的否定
题点 四种命题及命题的否定
答案 D
解析 选项①中，若p∨q为真命题，则p与q只需有一个为真命题即可，故①不正确；
选项③中，?x∈R，x2＋x≥1的否定为?x∈R，x2＋x<1，故③不正确．
9．若命题“?x∈R，使ax2＋x－1>0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a<－ B．a>－
C．a≥－ D．a≤－
考点 存在性命题
题点 由存在性命题的真假求参数的范围
答案 D
解析 由题意知?x∈R，ax2＋x－1≤0是真命题．
当a＝0时，x－1≤0，
得x≤1，所以不成立．
当a≠0时，由
得a≤－，故选D.
10．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：?x∈A,2x?B
B．綈p：?x?A,2x?B
C．綈p：?x?A,2x∈B
D．綈p：?x∈A,2x?B
考点 全称命题的否定
题点 识别全称命题的否定
答案 D
解析 命题p：?x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为?x∈A,2x?B.故选D.
11．已知命题p：>0；命题q：lg(＋)有意义，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点 四种条件与等价命题
题点 四种条件与等价命题
答案 A
解析 由p得x>－1，由q得－1＜x≤1，
则q是p的充分不必要条件，
故綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
12．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，则点P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是( )
A．m>－1，n<5 B．m<－1，n<5
C．m>－1，n>5 D．m<－1，n>5
考点 充要条件的探求与证明
题点 探求充要条件
答案 A
解析 A∩(?UB)满足
∵P(2,3)∈A∩(?UB)，则
∴
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“若a考点 否命题的概念
题点 辨析命题的否定与否命题
答案 若a≥b，则2a≥2b 若a14．已知命题p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q：函数y＝(2a－1)x为减函数，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是________．
考点 p∧q形式的命题
题点 由p∧q的真假求参数的范围
答案
解析 由y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，
∴≤1，即a≤，
∴p：a≤.
∵y＝(2a－1)x为减函数，
∴0<2a－1<1，即∴q：∵p且q为真命题，∴p与q均为真命题，
则
∴a的取值范围是15．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用
题点 由充分条件求参数的范围
答案 (－∞，－3]
解析 由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3a}，而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A?B，故a≤－3.
16．在下列四个命题中，真命题的个数是________．
①?x∈R，x2＋x＋3＞0；
②?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④?x，y∈Z，使3x－2y＝10.
考点 全称命题与存在性命题
题点 全称命题与存在性命题的真假判断
答案 4
解析 ①中x2＋x＋3＝2＋≥＞0，
故①是真命题；
②中x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，
故②是真命题；
③中当α＝，β＝－时，
sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题；
④中当x＝4，y＝1时，
3x－2y＝10成立，故④是真命题．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知命题p：x<－6或x>1，命题q：5x－6>ax2(a为常数)．
(1)写出原命题“若p：x<－6或x>1，则q：5x－6>ax2”的逆否命题．
(2)若p?q，则实数a应满足什么条件？
考点 四种条件
题点 由四种条件求参数的范围
解 (1)命题“若p，则q”的逆否命题为“若5x－6≤ax2，则－6≤x≤1”．
(2)∵p?q，∴x<－6或x>1?5x－6>ax2，即不等式ax2－5x＋6<0的解集为{x|x＜－6或x>1}，故方程ax2－5x＋6＝0有两根－6,1，即
解得a＝－1，故实数a应满足a＝－1.
18．(12分)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若“命题p：?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)“命题q：?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
考点 全称命题与存在性命题
题点 由命题的真假求参数范围
解 (1)A＝{x|－2≤x≤5}，
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B≠?.
∵“命题p：?x∈B，x∈A”是真命题，
∴B?A，B≠?，
∴解得2≤m≤3.
(2)q为真，则A∩B≠?，∵B≠?，
∴m≥2，∴∴2≤m≤4.
19．(12分)已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
考点 充分条件、必要条件与充要条件的综合应用
题点 由四种条件由参数的范围
解 y＝x2－x＋1
＝2＋的对称轴为x＝，
∴y＝2＋在上为增函数，
∴≤y≤2，即A＝.
又B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2}，
∵x∈A?x∈B，
∴≥1－m2，即m2≥，∴m≥或m≤－.
即实数m的取值范围是∪.
20．(12分)已知命题p：若函数f(x)＝，则实数m满足不等式f(m)＜2，命题q：关于x的方程2x＋m＝0(x∈R)有实根．若命题p，q中有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围．
考点 p∨q与p∧q形式命题的综合应用
题点 由p∨q、p∧q的真假求参数的范围
解 p：∵f(x)＝且f(m)＜2，
∴＜2，即m＞－5.
q：∵关于x的方程2x＋m＝0有根，
则m＝－2x，
∴m＜0.
若命题p，q中有且仅有一个真命题，则存在两种情况；
①当p为真命题，q为假命题时，∴m≥0；
②当q为真命题，p为假命题时，∴m≤－5.
综上，若命题p，q中有且仅有一个真命题，则实数m的取值范围是(－∞，－5]∪[0，＋∞)．
21．(12分)设命题p：实数x满足|x－1|>a，其中a>0；命题q：实数x满足3x2－x－6<1.
(1)若命题p中a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
考点 逻辑联结词与四种条件
题点 逻辑联结词与四种条件的综合应用
解 (1)当a＝1时，p：x>2或x<0，q：－2又p∧q为真，∴p，q都为真，
∴由得－2∴实数x的取值范围为(－2,0)∪(2,3)．
(2)p：|x－1|>a，∴x<1－a或x>1＋a，a>0，
綈p：1－a≤x≤1＋a，a>0.
∵綈p是q的必要不充分条件，∴
∴a≥3，即实数a的取值范围为[3，＋∞)．
22．(12分)已知p：x2－8x－20≤0；q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，求m的取值范围；
(2)若綈p是綈q的必要不充分条件，求m的取值范围．
考点 四种条件
题点 由四种条件求参数范围
解 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
即p：－2≤x≤10，
q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，则
即即m2≤3，
解得－≤m≤，
即m的取值范围是[－，]．
(2)∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
即(两个等号不同时成立)
即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.
即m的取值范围是{m|m≤－3或m≥3}．
