第2章圆锥曲线与方程学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测

1　圆锥曲线定义的妙用
1.求动点轨迹
例1　一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________________.
解析　x2＋y2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆.设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则?PA－PO＝1答案　双曲线的一支
2.解三角形
例2　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，＝________.
解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CA＋CB＝2a，而AB＝2c，所以＝＝＝3.
答案　3
3.求离心率
例3　如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是椭圆C1，双曲线C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则双曲线C2的离心率是________.
解析　由椭圆可知AF1＋AF2＝4，F1F2＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以AF＋AF＝F1F＝12，
所以2AF1·AF2＝(AF1＋AF2)2－(AF＋AF)
＝16－12＝4，
所以(AF2－AF1)2＝AF＋AF－2AF1·AF2
＝12－4＝8，
所以AF2－AF1＝2.
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
答案　
例4　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率e的取值范围是________.
解析　由双曲线的定义有PF1－PF2＝2a.
又∵PF1＝4PF2，
∴PF1＝a，PF2＝a.
∵点P在双曲线的右支上，∴PF2≥c－a，
∴≥c－a，∴e＝≤，
又e>1，∴离心率e的取值范围是.
答案　
4.求最值
例5　线段AB＝4，PA＋PB＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是________.
解析　由于PA＋PB＝6>4＝AB，
故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为中心，A，B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.
于是PM的长度的最小值是b＝.
答案　
例6　已知F是双曲线－y2＝1的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求PM＋PF的最小值.
解　设双曲线的左焦点为F′，
如图所示，则F′(－2,0).
由双曲线的定义知，
PF′－PF＝2a＝2，
所以PF＝PF′－2，
所以PM＋PF＝PM＋PF′－2，
要使PM＋PF取得最小值，只需PM＋PF′取得最小值，
由图可知，当P，F′，M三点共线时，PM＋PF′最小，
此时MF′＝2，
故PM＋PF的最小值为2－2.
2　圆锥曲线的离心率问题
求与离心率有关的问题的三大模板：
模板一：利用公式直接求解，对于椭圆三个基本量a，b，c，它们之间具有关系a2＝b2＋c2；双曲线的三个基本量a，b，c，它们之间具有关系a2＋b2＝c2，知二求一，可求得离心率.此种方法适用于已知椭圆、双曲线方程或相关性质的离心率的求解.
模板二：通过构造整体求解，将提供的椭圆、双曲线的几何关系转化为关于基本量a，b，c的方程或不等式，利用a，b，c的关系和e＝构造为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.
模板三：利用数形结合求解，利用椭圆、双曲线的性质特征与图形的直观性，发现图形中的相关几何关系，建立关于基本量a，b，c的等量关系或不等量关系，求解离心率的值或范围.
例1　双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________.
解析　双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标(c,0)到相应准线x＝的距离等于实轴长2a，可得c－＝2a，即c2－2ac－a2＝0，解得c＝(1＋)a或c＝(1－)a(舍去)，即离心率e＝＝1＋.
答案　1＋
例2　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点.若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________.
解析　由题意得，A(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F(c,0)，
所以＝(c，－b)，＝(－a，－b)，
因为B2F⊥AB1，所以·＝0，
即b2＝ac，所以c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，
又椭圆的离心率e∈(0,1)，所以e＝.
答案　
例3　已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且2AB＝3BC，则双曲线E的离心率是________.
解析　假设点A在第一象限，点B在第四象限，
则A，B，
所以AB＝，BC＝2c.
由2AB＝3BC，c2＝a2＋b2，
得离心率e＝2或e＝－(舍去)，
所以双曲线E的离心率为2.
答案　2
　　　　　　3 巧解直线和椭圆位置关系问题——“设而不求”法的应用
在直线和椭圆位置关系问题中，设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用.
当直线和椭圆相交时要切记Δ>0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分.
例　已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线的倾斜角为，原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过D(－1,0)与椭圆分别交于点E，F，若＝2，求直线EF的方程；
(3)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且DP＝DQ，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.
思路点拨　
解　(1)由＝，ab＝××，
得a＝，b＝1，
所以椭圆的方程是＋y2＝1.
(2)设EF：x＝my－1(m>0)，
代入＋y2＝1，
得(m2＋3)y2－2my－2＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2).
由＝2，得y1＝－2y2，
由y1＋y2＝－y2＝，
y1y2＝－2y＝，
得2＝，
∴m＝1，m＝－1(舍去)，直线EF的方程为x＝y－1，
即x－y＋1＝0.
(3)记P(x1′，y1′)，Q(x2′，y2′).
将y＝kx＋2代入＋y2＝1，
得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，(*)
x1′，x2′是此方程的两个相异实根.
Δ＝36k2－36>0，即k2>1，
设PQ的中点为M，则
xM＝＝－，
yM＝kxM＋2＝.
由DP＝DQ，得DM⊥PQ，
∴kDM＝＝＝－，
∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝.
但k＝1，k＝均不能使方程(*)有两相异实根，
∴满足条件的k不存在.
4　解析几何中的定点、定值与最值问题
1.定点问题
圆锥曲线中定点问题的两种解法：
(1)引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
例1　如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的顶点A1，A2，B1，B2，S四边形A1B2A2B1＝4，直线y＝x＋与圆O：x2＋y2＝b2相切.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交B2P于点E.若设B2P的斜率为k，探究EF是否过定点？如果有，求出其定点，如果没有，说明理由.
解　(1)因为直线y＝x＋与圆O相切，
所以＝b，即b＝1，
又因为S四边形A1B2A2B1＝4，
所以×2a×2b＝4，
所以a＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1，
所以离心率e＝＝.
(2)由(1)可知A1(－2,0)，B1(0，－1)，B2(0,1)，
因为B2P的斜率为k，
所以直线B2P的方程为y＝kx＋1，
由消去y，得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，
其中xB2＝0，所以xP＝－，
所以P，
则直线A1P的斜率kA1P＝＝－，
直线A1P的方程为y＝－(x＋2)，
令x＝0，则y＝－，
即F，
因为直线A1B1的方程为x＋2y＋2＝0，
由
解得
所以E，
所以EF的斜率k0＝＝－，
所以直线EF的方程为y＝－x－，
所以2k(x＋y＋1)－(y－1)＝0，所以可求定点为(－2,1)，
即直线EF过定点(－2,1).
2.定值问题
定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题.
例2　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)过点D(，－)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.
(1)解　由题意可知，椭圆＋＝1(a＞b＞0)，焦点在x轴上，2c＝2，c＝1，
椭圆的离心率e＝＝，
则a＝，b2＝a2－c2＝1，
则椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，
由题意得PQ的方程为y＝k(x－)－，
则整理得
(2k2＋1)x2－(4k2＋4k)x＋4k2＋8k＋2＝0，
由根与系数的关系可知，
x1＋x2＝，x1x2＝，
则y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k－2＝，
则kAP＋kAQ＝＋
＝，
由y1x2＋y2x1＝[k(x1－)－]x2＋[k(x2－)－]x1
＝2kx1x2－(k＋)(x1＋x2)
＝－，
kAP＋kAQ＝
＝＝1，
∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1.
3.最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值.
例3　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH＝1，求△POQ面积的最大值.
解　(1)由已知得＝，＋＝1，
解得a2＝4，b2＝1，
椭圆C的标准方程是＋y2＝1.
(2)设l与x轴的交点为D(n,0)，直线l：x＝my＋n，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消去x，得
(4＋m2)y2＋2mny＋n2－4＝0，
y1,2＝，
∴＝－，y1y2＝，
∴＝＝，
即H，
由OH＝1，得n2＝，
则S△POQ＝OD|y1－y2|＝|n||y1－y2|，
令n2(y1－y2)2＝n2[(y1＋y2)2－4y1y2]
＝12·16·.
设t＝4＋m2(t≥4)，
则＝＝≤，
当且仅当t＝，即t＝12时，S△POQ＝1，
所以△POQ面积的最大值为1.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5　圆锥曲线中的存在探索型问题
探索型问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.反证法与验证法也是求解探索型问题常用的方法.
题型一　给出结论，探索条件
例1　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方).
(1)若QF＝2FP，求直线l的方程；
(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2.是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
解　(1)因为a2＝4，b2＝3，
所以c＝＝1，
所以F的坐标为(1,0)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1，
代入椭圆方程，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
则y1＝，y2＝.
若QF＝2PF，则＋2×＝0，
解得m＝，
故直线l的方程为x－2y－＝0.
(2)由(1)知，y1＋y2＝，y1y2＝，
所以my1y2＝＝(y1＋y2)，
所以＝·＝
＝＝，
故存在常数λ＝，使得k1＝k2.
题型二　特殊入手，论证一般
例2　如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)内一点A(0,1)的动直线l与椭圆相交于M，N两点，当l平行于x轴和垂直于x轴时，l被椭圆C所截得的线段长均为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在与点A不同的定点B，使得对任意过点A的动直线l都满足＝？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由.
解　(1)当l垂直于x轴时，2b＝2，从而b＝.
当l平行于x轴时，点(，1)在椭圆C上，
所以＋＝1，解得a＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设存在与点A不同的定点B满足＝.
当l平行于x轴时，AM＝AN，
所以BM＝BN，
从而点B在y轴上，设B(0，t)；
当l垂直于x轴时，不妨设M(0，)，N(0，－).
由＝，可得＝，
解得t＝1(舍去)或t＝2，即B(0,2).
下面证明对任意斜率存在且不为0的动直线l都满足＝.
设直线l的方程为y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2).
联立
消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
因为＝＝，
＝＝
＝，
要证＝，
只要证＝，
只要证x[(1＋k2)x－2kx2＋1]＝x[(1＋k2)x－2kx1＋1]，
即证2kxx2－2kxx1＋x－x＝0，
即证(x1－x2)[2kx1x2－(x1＋x2)]＝0.
因为2kx1x2－(x1＋x2)＝2k·－＝0，
所以＝.
所以存在与点A不同的定点B(0,2)，使得对任意过点A的动直线l都满足＝.
题型三　同时探索条件和结论，分类讨论
例3　如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
解　(1)由已知，得点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)，
又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1，
由解得a＝2，b＝，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立消去y，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
从而·＋λ·
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝
＝－－λ－2.
所以当λ＝1时，－－λ－2＝－3，
此时·＋λ·＝－3为定值.
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时，·＋λ·＝·＋·
＝－2－1＝－3.
故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6　圆锥曲线中的易错点剖析
1.忽视定义中的条件而致误
例1　平面内一点M到两定点F1(0，－4)，F2(0,4)的距离之和为8，则点M的轨迹为________.
错解　根据椭圆的定义知，点M的轨迹为椭圆.
错因分析　在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即MF1＋MF2>F1F2，即2a>2c.而在本题中MF1＋MF2＝F1F2，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.
正解　因为点M到两定点F1，F2的距离之和为F1F2，所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案　线段
2.忽视标准方程的特征而致误
例2　设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程.
错解　抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线方程为y＝－.
又与直线y＝1的距离为3的直线为y＝－2或y＝4.
故－＝－2或－＝4.
所以m＝8或m＝－16.
所以抛物线的标准方程为y＝8x2或y＝－16x2.
错因分析　错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2＝y的形式，再求解.
正解　方程y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
3.求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误
例3　抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且AF＝5，求抛物线的标准方程.
错解一　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以抛物线方程可设为y2＝2px(p>0).
设点A到准线的距离为d，则d＝AF＝＋m，
所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
错解二　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为
y2＝2px(p>0).
设点A到准线的距离为d，则d＝AF＝＋m，
所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
当m<0时，点A在第三象限，
抛物线方程可设为y2＝－2px(p>0)，
设点A到准线的距离为d，则d＝AF＝＋m，
所以
解得或(舍去).
所以抛物线方程为y2＝－2(5＋)x.
综上所述，抛物线方程为y2＝－2(5＋)x或y2＝2x或y2＝18x.

正解　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y2＝2px(p>0)，设点A到准线的距离为d，
则d＝AF＝＋m，
所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
当m<0时，点A在第三象限，抛物线的方程可设为y2＝－2px(p>0)，
设A到准线的距离为d，则d＝AF＝－m，
所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x.
综上所述，抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.
7　圆锥曲线中的数学思想方法
1.方程思想
方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决.在本章中，方程思想的应用最为广泛.
例1　已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1 (a>b>0)相交于A，B两点，且a＝2b，若AB＝2，求椭圆的方程.
解　由
消去y并整理，得x2－4x＋8－2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵AB＝2，∴·＝2，
即·＝2，
解得b2＝4，故a2＝4b2＝16.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
2.函数思想
很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系.
这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果.一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法.
例2　若点(x，y)在＋＝1 (b>0)上运动，求x2＋2y的最大值.
解　∵＋＝1(b>0)，
∴x2＝4≥0，即－b≤y≤b.
∴x2＋2y＝4＋2y＝－＋2y＋4
＝－2＋4＋.
当≤b，即0若y＝，则x2＋2y取得最大值，
其最大值为4＋；
当>b，即b>4时，若y＝b，
则x2＋2y取得最大值，其最大值为2b.
综上所述，x2＋2y的最大值为
3.分类讨论思想
在本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论.
例3　求与双曲线－y2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程.
解　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ (λ≠0)，
即－＝1 (λ≠0).
当λ>0时，c2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
当λ<0时，c2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，
即λ＝－5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
综上所述，所求双曲线的方程为
－＝1或－＝1.

§2.1　圆锥曲线
学习目标　1.掌握圆锥曲线的类型及其定义、几何图形和标准方程，会求简单圆锥曲线的方程.2.通过对圆锥曲线性质的研究，感受数形结合的基本思想和理解代数方法研究几何性质的优越性.
知识点一　椭圆的定义
思考　如果动点P到两定点A，B的距离之和为PA＋PB＝2a(a>0且a为常数)，点P的轨迹一定是椭圆吗？
答案　不一定.
当2a>AB时，P点的轨迹是椭圆；
当2a＝AB时，P点的轨迹是线段AB；
当2a梳理　平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两焦点之间的距离称为椭圆的焦距.
知识点二　双曲线的定义
思考1　取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
答案　如图，曲线上的点满足条件：MF1－MF2＝常数.如果改变一下位置，使MF2－MF1＝常数.可得到另一条曲线.
思考2　在双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a答案　若没有绝对值，动点的轨迹就成了双曲线的一支.
只有当2aF1F2时，满足条件的点不存在.
梳理　平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
知识点三　抛物线的定义
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.
思考1　画出的曲线是什么形状？
答案　抛物线.
思考2　DA是点D到直线EF的距离吗？为什么？
答案　是.AB是直角三角形的一条直角边.
思考3　点D在移动过程中，满足什么条件？
答案　DA＝DC.
梳理　平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
1.设F1，F2为定点，F1F2＝3，动点M满足MF1＋MF2＝3，则动点M的轨迹是椭圆.(　×　)
2.已知定点M(1,1)，定直线l：x＝3，有一动点N，点N到M点的距离MN始终等于N点到直线l的距离，则N点的轨迹是一条抛物线.(　√　)
3.已知A(－3,0)，B(3,0)，且MA－MB＝8，则M点的轨迹是双曲线.(　×　)
类型一　椭圆定义的应用
例1　在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列.
(1)顶点A的轨迹是什么？
(2)指出轨迹的焦点和焦距.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
解　(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A.由正弦定理，可得AC＋AB＝2BC.
又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，
所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点).
(2)椭圆的焦点为B，C，焦距为10.
反思与感悟　此类题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点满足的条件.注意三点要构成三角形，轨迹要除去两点.
跟踪训练1　已知△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，且AB，BC，AC成等差数列.
(1)求证：点A在一个椭圆上运动；
(2)写出这个椭圆的焦点坐标.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
(1)证明　在△ABC中，由AB，BC，AC成等差数列得AB＋AC＝2BC＝12>BC满足椭圆定义，所以点A在以B，C为焦点的椭圆上运动.
(2)解　焦点坐标为(－3,0)，(3,0).
类型二　双曲线定义的应用
例2　如图，已知动圆C与圆F1，F2均外切(圆F1与圆F2相离)，试问：动点C的轨迹是什么曲线？
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的理解
解　设动圆C的半径为R，圆F1，F2的半径分别为r1，r2，易知CF1＝R＋r1，CF2＝R＋r2.
所以CF1－CF2＝r1－r2.
又CF1－CF2＝r1－r2故动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线靠近F2的一支.
引申探究
若把本例中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？
解　设动圆C的半径为R，
圆F1，F2的半径分别为r1，r2.
易知CF1＝R－r1，CF2＝R－r2，
CF2－CF1＝r1－r2故动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线靠近F1的一支.
反思与感悟　判断动点轨迹是双曲线应满足三个条件
(1)动点P到两定点的距离之差是否为常数.
(2)该常数是否小于两定点之间的距离.
(3)其差是否加上绝对值.
跟踪训练2　在△ABC中，BC固定，顶点A移动.设BC＝m，且|sin C－sin B|＝sin A，则顶点A的轨迹是什么？
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的理解
解　因为|sin C－sin B|＝sin A，
由正弦定理，可得|AB－AC|＝BC＝m，且m所以点A的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC的两个交点).
类型三　抛物线定义的应用
例3　若动圆与定圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹.
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的理解
解　如图所示，设动圆O′的半径为r，则动圆的圆心O′到点(2,0)的距离为r＋1，点O′到直线x＝－1的距离为r，从而可知点O′到点(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等.由抛物线定义可知，动圆圆心O′的轨迹是抛物线.
引申探究
点P到点F(2,0)的距离比它到直线l：x＝－3的距离小1，则点P的轨迹是________.
答案　抛物线
解析　将直线l：x＝－3向右平移1个单位，
得直线l′：x＝－2.依题意知，点P到F(2,0)的距离等于点P到l′：x＝－2的距离，可见点P的轨迹是抛物线.
反思与感悟　判断点的轨迹是抛物线注意应满足两点
(1)判断动点到定点与到定直线的距离相等.
(2)要特别注意定点不在定直线上.
跟踪训练3　已知直线l：x＋2y－3＝0，点F(2,1)，P为平面上一动点，过P作PE⊥l于E，PE＝PF，则点P的轨迹为________.
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的理解
答案　抛物线
解析　∵点F(2,1)不在直线l上，且PE＝PF，
∴点P的轨迹为抛物线.
1.动点M到定点A，B的距离之和是2，则动点M的轨迹是__________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　椭圆定义的理解
答案　椭圆
解析　∵MA＋MB＝2>1＝AB，
∴点M的轨迹是椭圆.
2.已知两点F1(－5,0)，F2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M的轨迹是____________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　双曲线定义的理解
答案　双曲线
解析　∵＝6∴点M的轨迹是双曲线.
3.到定点A(4,0)和到定直线l：x＝－4的距离相等的点的轨迹是__________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　抛物线定义的理解
答案　抛物线
4.动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹为________.(从圆、椭圆、双曲线或抛物线中选填一个)
考点　圆锥曲线的定义
题点　抛物线定义的理解
答案　抛物线
解析　由题意知，动圆圆心到直线x＝－1的距离与到定点(1,0)的距离相等，由抛物线定义可得圆心的轨迹为抛物线.
5.如图，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内有一定点B(3,0).动圆P过B点且与圆A内切，设动圆P的半径为r，试判断圆心P的轨迹.
考点　圆锥曲线的定义
题点　椭圆定义的理解
解　由题意知A(－3,0)，
PA＝10－r，PB＝r，
则PA＋PB＝10>AB＝6，
满足椭圆的定义，
故点P的轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆.
1.在椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数2.在双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线.
3.在抛物线定义中F?l.若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线.
一、填空题
1.已知定点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　椭圆定义的理解
答案　椭圆
解析　∵MF1＋MF2＝10>F1F2，∴点M的轨迹是椭圆.
2.已知点M(x，y)的坐标满足－＝±4，则动点M的轨迹是______.
考点　圆锥曲线的定义
题点　双曲线定义的理解
答案　双曲线
解析　点M(x，y)到点(1,1)及到点(－3，－3)的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)的距离为4.由定义知，动点M的轨迹是双曲线.
3.已知平面内有一条长度为4的定线段AB，动点P满足PA－PB＝3，则点P的轨迹是________________________________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　双曲线定义的理解
答案　以A，B为焦点的双曲线的一支(靠近焦点B)
解析　∵PA－PB＝3<4，∴动点P在以A，B为焦点的双曲线的一支(靠近焦点B)上.
4.若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　抛物线定义的理解
答案　直线
解析　由定点F(1,1)在直线l：3x＋y－4＝0上，
故动点P的轨迹为直线.
5.已知在△ABC中，A，C两点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，且三边a，b，c满足a＋c＝b，则点B的轨迹为________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　椭圆定义的理解
答案　椭圆(除去与x轴的交点)
解析　设点B的坐标为(x，y).
由a＋c＝b，得BC＋AB＝AC，即BC＋BA＝6＞AC.
由椭圆的定义，知点B的轨迹是以A，C为焦点的椭圆.又因为A，B，C构成三角形，所以点B的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，除去椭圆与x轴的交点.
6.平面内有两个定点F1，F2及动点P，设命题甲是“|PF1－PF2|是非零常数”，命题乙是“动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”，那么甲是乙的____________条件.
考点　圆锥曲线的定义、条件判断
题点　双曲线定义的理解、条件判断
答案　必要不充分
解析　按照双曲线的定义可知，若动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则|PF1－PF2|是非零常数；反之，若|PF1－PF2|是非零常数，则动点P的轨迹不一定是以F1，F2为焦点的双曲线.
7.已知F1(0，－2)，F2(0,2)，PF1＋PF2＝m，则当m＝________时，点P的轨迹是线段，当m∈________时，点P的轨迹是椭圆.
考点　圆锥曲线的定义
题点　椭圆定义的理解
答案　4　(4，＋∞)
解析　当m＝4时，点P的轨迹是线段F1F2.
当PF1＋PF2＝m>F1F2＝4时，满足椭圆的定义，
此时点P的轨迹是椭圆.
8.下列说法中正确的有________.(填序号)
①已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆；
②已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；
③到点F1(－6,0)，F2(6,0)的距离之和等于点M(10,0)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；
④到点F1(－6,0)，F2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.
考点　圆锥曲线的定义
题点　椭圆定义的理解
答案　③
解析　椭圆是到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用.
①中，F1F2＝12，故到F1，F2两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段F1F2；
②中，点到F1，F2两点的距离之和为常数8小于F1F2，故这样的点不存在；
③中，点(10,0)到F1，F1两点的距离之和为＋＝20>F1F2＝12，故③中点的轨迹是椭圆；
④中，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
故正确的是③.
9.在△ABC中，已知AB＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，则顶点C的轨迹为________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　双曲线定义的理解
答案　双曲线的一支(除去与直线AB的交点)
解析　由正弦定理，得sin A＝，
sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径).
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2a＋c＝2b，即b－a＝，
从而有CA－CB＝AB＝2由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的一支(除去与直线AB的交点).
10.已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q使得PQ＝PF2，则动点Q的轨迹是________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　椭圆定义的理解与运用
答案　以F1为圆心的圆
解析　由P是椭圆上的一点，根据椭圆的定义，则PF1＋PF2＝定值，而PQ＝PF2，则QF1＝PF1＋PQ＝PF1＋PF2＝定值，所以点Q的轨迹是以F1为圆心的圆.
二、解答题
11.已知点F(0，－1)，直线l：y＝3，动点P到直线l的距离与它到点F的距离的差为2，试判断动点P的轨迹.
考点　圆锥曲线的定义
题点　抛物线定义的理解
解　因为点P到直线l的距离与它到点F的距离的差为2，所以点P到直线y＝1的距离与它到点F的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线.
12.一炮弹在某处爆炸，在F1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5 000,0)处晚 s，已知坐标轴的单位长度为1 m，声速为340 m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？
考点　圆锥曲线的定义
题点　双曲线定义的理解
解　由声速为340 m/s可知F1，F2两处与爆炸点的距离差为340×＝6 000(m)，且小于F1F2＝10 000，
因此爆炸点在以F1，F2为焦点的双曲线上，
因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上.
13.已知圆C1：(x－4)2＋y2＝132，圆C2：(x＋4)2＋y2＝32，动圆C与圆C1内切同时与圆C2外切，求证：动圆圆心C的轨迹是椭圆.
考点　圆锥曲线的定义
题点　椭圆定义的理解
证明　由已知可得圆C1与圆C2的圆心坐标与半径分别为
C1(4,0)，r1＝13；
C2(－4,0)，r2＝3.
设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.
由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件，
可得C1C＝r1－r.①
由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，可得C2C＝r2＋r.②
如图所示，由①＋②可得CC1＋CC2＝r1＋r2＝13＋3＝16.
即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且C1C2＝8，可知动点C的轨迹为椭圆，且以C1，C2两点为其焦点.
三、探究与拓展
14.方程5·＝|3x－4y－6|表示的曲线为________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　抛物线定义的理解
答案　抛物线
解析　方程5·＝|3x－4y－6|，即为＝，即动点(x，y)到定点(2,2)的距离等于动点(x，y)到定直线3x－4y－6＝0的距离，且(2,2)不在定直线3x－4y－6＝0上.由抛物线的定义知表示的曲线为抛物线.
15.已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过点A且垂直于l的直线，设N为l上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证：点P的轨迹为抛物线.
考点　圆锥曲线的定义
题点　抛物线定义的理解
证明　如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结PA，PN，NB.
由题意知PB垂直平分线段AN，
且点B关于AN的对称点为P，
∴AN也垂直平分PB.
∴四边形PABN为菱形，∴PA＝PN.
∵AB⊥l，∴PN⊥l.
故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线.
§2.2　椭　圆
2.2.1　椭圆的标准方程
学习目标　1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是不是椭圆.
知识点一　椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
知识点二　椭圆的标准方程
思考　在椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？
答案　在椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间的距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距.a，b，c始终满足关系式a2＝b2＋c2.
梳理　椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(－c,0)与(c,0)
(0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

1.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.(　×　)
2.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.(　×　)
3.椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　√　)
类型一　椭圆的标准方程

例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B；
(2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点.
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程
解　(1)方法一　当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
∵点A(0,2)，B在椭圆上，
∴解得
这与a>b相矛盾，故应舍去.
当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0).
∵点A(0,2)，B在椭圆上，
∴解得
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
综上可知，椭圆的标准方程为＋x2＝1.
方法二　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
∵点A(0,2)，B在椭圆上，
∴∴
故椭圆的标准方程为x2＋＝1.
(2)方法一　椭圆＋＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，
由椭圆的定义，可得
2a＝＋，
∴2a＝12，即a＝6.
∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　由题意可设椭圆的标准方程为
＋＝1(λ>－9)，
将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得
＋＝1，
解得λ＝11或λ＝－21(舍去)，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
反思与感悟　求椭圆标准方程的方法
(1)定义法
即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程.
(2)待定系数法
①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程.
特别提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0).
跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2).
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程
解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由椭圆的定义知，
2a＝＋
＝2，
即a＝.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴∴
∴所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n).
∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
∴代入得∴
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

例2　若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围为________.
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　(0,1)
解析　∵方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
将方程改写为＋＝1，
∴解得0反思与感悟　(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.
(2)＋＝1表示椭圆的条件是
表示焦点在x轴上的椭圆的条件是
表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
跟踪训练2　(1)已知方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为________.
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　(7,10)
解析　将方程化成椭圆的标准形式为＋＝1.
根据其表示焦点在x轴上的椭圆，
得解得7(2)若椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________.
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　3或5
解析　当焦点在x轴上时，
∵a2＝4，b2＝m，由2c＝2，得c＝1，∴4－m＝1，∴m＝3.
当焦点在y轴上时，
∵a2＝m，b2＝4，由2c＝2，得c＝1，∴m－4＝1，则m＝5.
综上可知，m＝3或5.
类型二　椭圆定义的应用
例3　如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
解　在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2，
∴c＝＝1.
又∵P在椭圆上，
∴PF1＋PF2＝2a＝2.①
由余弦定理知，
PF＋PF－2PF1·PF2·cos 30°
＝F1F＝(2c)2＝4.②
①式两边平方，得
PF＋PF＋2PF1·PF2＝20.③
③－②，得(2＋)PF1·PF2＝16，
∴PF1·PF2＝16(2－).
∴＝PF1·PF2·sin 30°＝8－4.
引申探究　
在本例中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连结BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长.
解　由椭圆的定义，可得△BPF2的周长为PB＋PF2＋BF2
＝(PF1＋PF2)＋(BF1＋BF2)
＝2a＋2a＝4a＝4.
反思与感悟　(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于PF1(或PF2)的方程求得PF1(或PF2)；有时把PF1·PF2看成一个整体，运用公式PF＋PF＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2及余弦定理求出PF1·PF2，而无需单独求出，这样可以减少运算量.
(2)焦点三角形的周长等于2a＋2c.设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积为b2tan .
跟踪训练3　设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1>PF2，求的值.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
解　当∠PF2F1＝90°时，
由
得PF1＝，PF2＝，∴＝.
当∠F1PF2＝90°时，同理求得PF1＝4，PF2＝2，
∴＝2.
综上，＝或2.
1.在椭圆的标准方程中，a＝6，b＝，则椭圆的标准方程是________________.
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程
答案　＋＝1或＋＝1
2.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为__________.
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程
答案　＋＝1
解析　依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)，
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
3.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值为________.
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　2
解析　由题意得椭圆标准方程为x2＋＝1.
又其一个焦点坐标为(0,1)，故－1＝1，解得k＝2.
4.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的__________条件.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用、条件判断
答案　充要
解析　方程可化为＋＝1.若m>n>0，则0<<，可得方程为焦点在y轴上的椭圆.
若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则>>0，可得m>n>0.
5.设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2的面积为________.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　6
解析　由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝8，
不妨设PF1>PF2.
∵PF1－PF2＝2，∴PF1＝5，PF2＝3，
又∵F1F2＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形，
则＝×4×3＝6.
1.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解.
2.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.
一、填空题
1.已知椭圆C上任意一点P(x，y)都满足关系式＋＝4，则椭圆C的标准方程为________________.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　＋＝1
解析　由题设可知，椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为(1,0)，(－1,0)，2a＝4，故a＝2，c＝1，所以b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
2.已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且AB＝3，则椭圆C的标准方程为________.
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程
答案　＋＝1
解析　由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝1，
可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞1)，
又椭圆C由过F2且垂直于x轴的直线截得的弦长AB＝3，知点必在椭圆上，
代入椭圆方程化简得4a4－17a2＋4＝0，
所以a2＝4或a2＝(舍去).
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且a＝2b，则该椭圆的标准方程是________________.
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程
答案　＋＝1
解析　设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0).
由题意知　解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
4.已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝___________________________________.
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　4或8
解析　(1)当焦点在x轴上时，10－m－(m－2)＝4，
解得m＝4.
(2)当焦点在y轴上时，m－2－(10－m)＝4，
解得m＝8.∴m＝4或8.
5.“2考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用、条件判断
答案　必要不充分
解析　由方程＋＝1表示的曲线是椭圆，可得解得2所以2而2所以“26.椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON＝________.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　4
解析　如图，F2为椭圆右焦点，连结MF2，则ON是△F1MF2的中位线，∴ON＝MF2.
又MF1＝2，MF1＋MF2＝2a＝10，∴MF2＝8，
∴ON＝4.
7.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　
解析　∵椭圆E：x2＋＝1(0∵AF1＋AF2＝2a＝2，BF1＋BF2＝2，
相加得AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4，
AF2＋BF2＝4－AF1－BF1＝4－AB.
∵AF2，AB，BF2成等差数列，
∴2AB＝AF2＋BF2，于是2AB＝4－AB，∴AB＝.
8.设F1，F2为椭圆＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为________.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　
解析　∵线段PF1的中点在y轴上，∴PF2⊥x轴，
∴PF2＝＝，PF1＝2a－PF2＝4－＝，
∴＝.
9.已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则PF1·PF2＝________.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　48
解析　因为2c＝10，PF1⊥PF2，
所以PF＋PF＝F1F，即PF＋PF＝100.
又由椭圆定义知，PF1＋PF2＝2a＝14，
所以(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝100，
即196－2PF1·PF2＝100，
解得PF1·PF2＝48.
10.如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　2
解析　∵△POF2是面积为的正三角形，
∴PO＝PF2＝OF2＝2，∴c＝2，连结PF1.
在△POF1中，PO＝OF1＝2，∠POF1＝120°，∴PF1＝2.
∴2a＝PF1＋PF2＝2＋2，
∴a＝1＋，b2＝a2－c2＝2.
二、解答题
11.已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，椭圆与x轴的一个交点B和两个焦点F1，F2组成的三角形的周长等于4＋2，且∠F1BF2＝，求椭圆的方程.
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程
解　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意得解得a＝2，b＝1.
∴椭圆方程为＋x2＝1.
12.如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(，1)，求椭圆C的标准方程.
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程
解　∵直线l⊥x轴，M(，1)，∴F2的坐标为(，0)，
由题意知椭圆的焦点在x轴上，标准方程为＋＝1(a>b>0)，则
解得
∴所求椭圆C的标准方程为＋＝1.
13.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点坐标分别为F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值.
考点　椭圆标准方程的求法，椭圆的定义
题点　定义法求椭圆的标准方程、定义的应用
解　(1)由题意得椭圆的焦点在y轴上，且c＝1.
又∵3a2＝4b2，
∴a2－b2＝a2＝c2＝1，
∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)如图所示，PF1－PF2＝1.
又由椭圆定义知，PF1＋PF2＝4，
∴PF1＝，PF2＝，F1F2＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝.
三、探究与拓展
14.已知c是椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距，则的取值范围为________.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　(1，]
解析　如图，＝sin θ＋cos θ＝sin，
又θ为锐角，故∈(1，].
15.已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2＋AF2的最大值为5，则b的值为________.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　
解析　由题意知a＝2，
所以BF2＋AF2＋AB＝4a＝8，
因为BF2＋AF2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，
代入椭圆方程得＋＝1，
又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，
即1－＋＝1，所以＝，
解得b2＝3，所以b＝.
2.2.2　椭圆的几何性质
第1课时　椭圆的几何性质
学习目标　1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.
知识点一　椭圆的几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
F1F2＝2c
(c＝)
F1F2＝2c
(c＝)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b,0)
轴
长轴长2a，短轴长2b
知识点二　椭圆的离心率
思考　观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？
答案　如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0梳理　(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的离心率.
(2)性质：离心率e的取值范围是(0,1)，当e越接近于1，椭圆越扁，当e越接近于0，椭圆就越接近于圆.
1.椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点.(　×　)
2.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.(　√　)
3.椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越扁.(　√　)
4.椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长等于b.(　×　)
类型一　由椭圆方程研究其几何性质
例1　求椭圆＋y2＝1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并利用对称性画出这个椭圆.
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
解　由方程知a＝4，b＝1，所以长轴长2a＝8，短轴长2b＝2，c＝＝.
∴离心率e＝＝，焦点坐标为(－，0)，(，0).
顶点坐标为(±4,0)，(0，±1).
画图：先作出直线x＝±4，y＝±1围成的矩形框，然后在第一象限描点，，.
画出第一象限部分的图象，最后利用对称性作出二、三、四象限的图象.
反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.
跟踪训练1　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
解　将椭圆方程化成标准方程为＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝＝.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝.又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)，
四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3).
类型二　求椭圆的离心率

例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆离心率
答案　－1
解析　方法一　如图，
∵△DF1F2为正三角形，
N为DF2的中点，
∴F1N⊥F2N.∵NF2＝c，
∴NF1＝
＝＝c，
则由椭圆的定义可知，NF1＋NF2＝2a，
∴c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1.
方法二　注意到在焦点三角形NF1F2中 ，∠NF1F2＝30°，
∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°.
则由离心率的公式和正弦定理，得
e＝＝＝
＝＝
＝－1.
反思与感悟　涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝ 求解.
跟踪训练2　设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆离心率
答案　
解析　如图，设直线x＝交x轴于D点.
因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有F1F2＝F2P.
因为∠PF1F2＝30°，
所以∠PF2D＝60°，∠DPF2＝30°.
所以DF2＝F2P＝F1F2，
即－c＝×2c?＝2c，即＝，
所以椭圆的离心率为e＝.

例3　(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2 作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆离心率
答案　
解析　直线AB：x＝c，代入＋＝1，得y＝±，
∴A，B.
∴＝＝＝－.
∴直线BF1：y－0＝－(x＋c)，
令x＝0，则y＝－，∴D.
∴kAD＝＝.
由于AD⊥BF1，∴－·＝－1，∴3b4＝4a2c2，
∴b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac，
∴e2＋2e－＝0，
∴e＝＝，
∵e>0，∴e＝＝＝.
(2)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求离心率的范围
答案　
解析　椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，－b≤y≤b.
由题意知，以F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，则c≥b，即c2≥b2，
所以c2≥a2－c2，
所以e2≥1－e2，即e2≥.
又0反思与感悟　若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
跟踪训练3　已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求离心率的范围
答案　
解析　设F0为椭圆的左焦点，连结F0A，F0B，
则四边形AFBF0为平行四边形.
∵AF＋BF＝4，
∴AF＋AF0＝4，∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，
∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝＝ ∈.
类型三　利用几何性质求椭圆的标准方程
例4　(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，
且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
解　(1)∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点.
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3.
∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，
∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3.
∵e＝＝，∴c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴a2＝3b2＝27，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
(2)依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的对称性知，B1F＝B2F.
又B1F⊥B2F，
∴△B1FB2为等腰直角三角形，
∴OB2＝OF，即b＝c.
又FA＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
反思与感悟　此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论.
跟踪训练4　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程.
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
由题意得解得
∴椭圆方程为＋＝1.
同理可得当焦点在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
1.椭圆＋＝1的上顶点与右顶点之间的距离为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
答案　
解析　上顶点坐标为(0,5)，右顶点坐标为(4,0)，故它们的距离为.
2.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________________.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　＋＝1或＋＝1
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
解析　由题意可知a＝2b，c＝1，所以1＋b2＝4b2，故b2＝，a2＝，则此椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
3.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
答案　(0，±)
解析　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±).
4.已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围为________________.
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆范围的简单应用
答案　[4－2，4＋2]
解析　因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＋＝1上，所以点(m，n)满足椭圆的取值范围|x|≤，|y|≤2，因此|m|≤，即－≤m≤，所以2m＋4∈[4－2，4＋2].
5.过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆离心率
答案　
解析　∵PF1＋PF2＝2a，又∠F1PF2＝60°，
∴PF1＝PF2，
∴PF2＝2a?PF2＝a，PF1＝a.
在Rt△PF1F2中，PF＋F1F＝PF，
∴2＋(2c)2＝2，解得e＝＝.
1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.
2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.
3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.
一、填空题
1.椭圆25x2＋9y2＝225的短轴长是________.
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
答案　6
解析　椭圆25x2＋9y2＝225，即为＋＝1.
则椭圆的焦点在y轴上，且b＝3，所以椭圆的短轴长为2b＝6.
2.已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆离心率
答案　
解析　根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)，
所以a＝5，c＝4，故e＝＝.
3.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
答案　(2,4]
解析　∵e＝ ＝ ，
∴0< ≤，得1∴2<2a≤4.
4.已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
答案　[8,10]
解析　椭圆的长半轴长为10，短半轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心距离的最小值为8，最大值为10，故取值范围为[8,10].
5.如图，A，B，C分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆的离心率
答案　
解析　∵∠ABC＝90°，∴BC2＋AB2＝AC2，
∴c2＋b2＋a2＋b2＝(a＋c)2.
又b2＝a2－c2，∴e2＋e－1＝0.
∵06.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为______________.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　＋＝1
解析　∵△AF1B的周长为4，∴4a＝4，∴a＝.
∵离心率为，∴＝，即c＝1.
∴b＝＝，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
7.在△ABC中，AB＝BC，cos B＝－.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆的离心率
答案　
解析　设AB＝x(x>0)，则BC＝x，
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B
＝x2＋x2－2x2·＝x2，
∴AC＝x.
由条件知，AC＋BC＝2a，AB＝2c，
∴x＋x＝2a，x＝2c，
∴e＝＝＝＝.
8.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆范围的简单应用
答案　6
解析　由椭圆方程，得F(－1,0).设P(x0，y0)，
则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴·＝x＋x0＋3＝＋x0＋3
＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2，
∴当x0＝2时，·取得最大值6.
9.若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为____________.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　＋＝1
解析　∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线.
∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c＝1.
设P，则kOP＝，
∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，
则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，
它与y轴的交点为(0,2).
∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，
故椭圆的方程为＋＝1.
10.从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆离心率
答案　
解析　左焦点为F1(－c,0)，PF1⊥x轴，
当x＝－c时，＋＝1，即y＝b2＝，解得yP＝(负值不合题意，已舍去)，点P，由斜率公式得kAB＝－，kOP＝－.
∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，得b＝c.
∵a2＝b2＋c2＝2c2，∴＝，解得e＝＝.
二、解答题
11.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标.
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
解　将椭圆方程化为＋＝1，
由m－＝>0，可知m>.
所以a2＝m，b2＝，c＝＝ .
由e＝，得 ＝，解得m＝1.
于是椭圆的标准方程为x2＋＝1，
则a＝1，b＝，c＝.
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；
两焦点坐标为，；
四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，.
12.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆离心率
解　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
如题图所示，则有F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0).
直线PF1的方程为x＝－c，
代入方程＋＝1，得y＝±，
∴P.又PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB.
∴＝，∴＝，∴b＝2c.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，即＝，∴e2＝，
即e＝，∴椭圆的离心率为.
13.如图，已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆离心率
解　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c，
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1,0).设B(x，y)，
由AF2＝2F2B，得＝2，
即(1，－b)＝2(x－1，y)，
解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，
解得a2＝3，所以b2＝2，
故椭圆的方程为＋＝1.
三、探究与拓展
14.在平面直角坐标系xOy中，以椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的率心率的取值范围为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求离心率的范围
答案　
解析　由题意得，圆半径r＝，因为△ABC是锐角三角形，所以cos 0>cos ＝>cos ，即<<1，所以<<1，即<<1，解得e∈.
15.已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1,0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆方程、椭圆范围的简单应用
解　(1)由题意可得c＝1，a＝2，
∴b＝.
∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1.①
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②
由①②消去y0，
整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2＜x0＜2，∴－2＜t＜－1.
∴实数t的取值范围为(－2，－1).
第2课时　椭圆的几何性质及应用
学习目标　1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.
知识点一　点与椭圆的位置关系
思考　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？
答案　当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二　直线与椭圆的位置关系
思考1　直线与椭圆有几种位置关系？
答案　有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.
思考2　如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？
答案　联立消去y得关于x的一元二次方程.
梳理　直线与椭圆的三种位置关系

位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
知识点三　直线与椭圆的相交弦
思考　若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？
答案　有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得；另一种方法是利用弦长公式可求得.
梳理　弦长公式：(1)AB＝＝|x1－x2|＝；
(2)AB＝ |y1－y2|
＝ 
(直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率).
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系而得到.
1.椭圆＋y2＝1的长轴长为4.(　×　)
2.椭圆＋＝1的离心率为.(　√　)
3.若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值等于3.(　×　)
类型一　直线与椭圆的位置关系

例1　当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144.
(1)无公共点；
(2)有且仅有一个公共点；
(3)有两个公共点.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
解　由消去y，
得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
Δ＝(32m)2－100(16m2－144)
＝576(－m2＋25).
(1)由Δ<0，解得m<－5或m>5.
(2)由Δ＝0，解得m＝±5.
(3)由Δ>0，解得－5反思与感悟　判断直线与椭圆的位置关系的方法
跟踪训练1　若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
解　因为直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆＋＝1上或其内部就能满足题意，
所以解得1≤m<5.
所以m的取值范围为[1,5).

例2　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的最值问题
解　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m.
代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0，即m2＝16，得m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4.
显然y＝x－4距l最近，
由得
即P.
此时最短距离为d＝＝＝.
反思与感悟　此类题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交?Δ>0；(2)直线与椭圆相切?Δ＝0；(3)直线与椭圆相离?Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.
跟踪训练2　已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的最值问题
解　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0.
联立方程消去x，得9y2－2ay＋a2－8＝0，
Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3.
∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，
由得即P.
最小距离为d＝＝.
类型二　弦长及中点问题
例3　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y，得x2－18＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是AB＝
＝ 
＝ ×
＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)方法一　当直线l的斜率不存在时，不合题意.
所以直线l的斜率存在.
设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4).
联立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.
此时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式相减，得＋＝0，
整理得kAB＝＝－.
由于P(4,2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－.
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
反思与感悟　处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.
跟踪训练3　已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
解　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，
得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，代入①式可得b＝a.
∵直线x＋y－1＝0的斜率为k＝－1，
又AB＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，消去y，可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝2－4·.②
将b＝a代入②式，解得a＝，∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋＝1.
方法二　由消去y，
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
且直线AB的斜率为k＝－1.
∴AB＝
＝
＝·.
∵AB＝2，∴＝2，
∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，
∴＝＝，将其代入①式，得a＝，b＝.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
类型三　椭圆中的最值(或范围)问题
例4　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.若设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的最值问题
解　由消去y，得
5x2＋2mx＋m2－1＝0，
由Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，得－≤m≤，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
则AB＝|x1－x2|
＝·
＝.
又O到AB的距离d＝.
所以S△AOB＝AB·d＝×·
＝≤·＝，
当且仅当－m2＝m2时，等号成立，
此时m＝±∈，
即△AOB的面积最大为，
此时直线方程为x－y±＝0.
反思与感悟　解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.
跟踪训练4　直线y＝b与椭圆＋y2＝1交于A，B两点，记△AOB的面积为S.求在0考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的最值问题
解　设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b).
由＋b2＝1，解得x1,2＝±2，
所以S＝b·|x1－x2|＝2b≤b2＋1－b2＝1，
当且仅当b＝时，S取到最大值1.
1.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围为__________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　(1,3)∪(3，＋∞)
解析　由消去y，得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
∵Δ>0，∴m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
2.过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则AB＝________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
答案　1
解析　由题意知AB为通径，则AB＝＝＝1.
3.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
答案　
解析　易知△ABF2内切圆的半径r＝，根据椭圆的性质结合△ABF2的特点，可得△ABF2的面积S＝lr＝×2c×|y1－y2|，其中l为△ABF2的周长，且l＝4a，代入数据解得|y1－y2|＝.
4.过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
答案　x－2y＋3＝0
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则又
两式相减得＝.
∴AB所在的直线方程为x－2y＋3＝0.
5.直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且MN＝，求直线l的方程.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　求椭圆中的直线方程
解　设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).
由消去y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由MN＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)2＝，
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，即k＝±1.
所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
1.直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有AB＝＝
＝ ·
＝ 
＝ ·(k为直线斜率).
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.
2.解决椭圆中点弦问题的二种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.
一、填空题
1.若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为________________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的其他问题
答案　＋y2＝1或＋＝1
解析　直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
2.直线x＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围为________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　(－，)
3.若直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　2
解析　∵直线与圆没有交点，
∴d＝ >2，
∴a2＋b2<4，即<1，
∴＋<1，
∴点(a，b)在椭圆内部，
故直线与椭圆有2个交点.
4.过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长问题
答案　
解析　椭圆的方程可化为＋＝1，∴F(－，0).
又∵直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为y＝x＋.
由消去y，得7x2＋12x＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴AB＝＝.
5.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.若AB＝10，AF＝6，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率e＝________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的其他问题
答案　
解析　设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得BF＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以OF＝c＝5，连结AF1，因为A，B关于原点对称，所以BF＝AF1＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
6.若点O和点F分别为椭圆＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP2＋PF2的最小值为________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的最值问题
答案　2
解析　设P(x0，y0)，而F(－1,0)，
∴OP2＋PF2＝x＋y＋(x0＋1)2＋y.
又y＝1－，
∴OP2＋PF2＝x＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋2≥2.
∴OP2＋PF2的最小值为2.
7.过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴
又A，B两点在椭圆上，则
∴＋＝0，
∴＝－·.
∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－＝－，∴a2＝2b2.
又∵b2＝a2－c2，
∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴e＝＝.
8.若直线y＝kx交椭圆＋y2＝1于A，B两点，且AB≥，则k的取值范围为________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长问题
答案　
解析　由得x2＝.
不妨设
由两点间距离公式得AB2＝≥10，解得k2≤.
∴k的取值范围为.
9.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率为________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的其他问题
答案　－1
解析　由直线方程y＝(x＋c)，得直线与x轴的夹角∠MF1F2＝，且过点F1(－c,0).∵∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴∠MF1F2＝2∠MF2F1＝，即F1M⊥F2M.∴在Rt△F1MF2中，F1F2＝2c，F1M＝c，F2M＝c，∴由椭圆定义，可得2a＝c＋c，
∴离心率e＝＝＝－1.
10.若椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，则直线PA1的斜率的取值范围为________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的其他问题
答案　
解析　设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2.
则k1k2＝·＝＝＝－.
因为k2∈[－2，－1]，所以k1∈.
二、解答题
11.设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点.
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求||.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题、弦长问题
解　(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，消去y，
整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，
所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2>0，
解得－所以b的取值范围为(－，).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0，
解得x1＝0，x2＝－.
相应地，y1＝1，y2＝－.
所以||＝＝.
12.已知点A，B是椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)与直线x－3y＋2＝0的交点，点M是AB的中点，且点M的横坐标为－，若椭圆C的焦距为8，求椭圆C的方程.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
解　设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM).
由题意得∴＋kAB＝0.
∵点M，
∴－＋×＝0，∴a2＝3b2.
又∵c＝4，∴a2＝24，b2＝8，
经检验，a2＝24，b2＝8符合题意，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
13.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　求椭圆中的直线方程
解　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，知左焦点为F′(－2,0).
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l，由题意知直线l的斜率与直线OA的斜率相等，
故可设直线l的方程为y＝x＋t.
由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，可得＝4，从而t＝±2，由于±2?[－4，4]，所以符合题意的直线l不存在.
三、探究与拓展
14.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为.设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足AQ＝AO，则直线OQ的斜率为________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的其他问题
答案　±
解析　设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx.
设点Q的坐标为(x0，y0).
由条件得消去y0并整理得x＝.(*)
由AQ＝AO，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.
而x0≠0，故x0＝.
代入(*)式，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.
由离心率为知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，
即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.
所以直线OQ的斜率k＝±.
15.已知两点F1(－2,0)，F2(2,0)，曲线C上的动点M满足MF1＋MF2＝2F1F2，直线MF2与曲线C交于另一点P.
(1)求曲线C的方程及离心率；
(2)设N(－4,0)，若S△MNF2∶S△PNF2＝3∶2，求直线MN的方程.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　三角形面积问题
解　(1)因为F1F2＝4，MF1＋MF2＝2F1F2＝8>4，
所以曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆.
曲线C的方程为＋＝1，离心率为.
(2)显然直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行.
设M(xM，yM)，P(xP，yP)，直线MN的方程为y＝k(x＋4)，其中k≠0.
由消去x，得(3＋4k2)y2－24ky＝0，
解得y＝0或y＝.
依题意yM＝，xM＝yM－4＝.
因为S△MNF2∶S△PNF2＝3∶2，
所以＝，则＝.
于是
所以
因为点P在椭圆上，所以32＋42＝48.
整理得48k4＋8k2－21＝0，
解得k2＝或k2＝－(舍去)，从而k＝±.
所以直线MN的方程为y＝±(x＋4).
§2.3　双曲线
2.3.1　双曲线的标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
知识点一　双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
知识点二　双曲线的标准方程
思考　如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使OB＝b吗？
答案　以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B，此时OB＝b.
梳理　
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
F1F2＝2c，c2＝a2＋b2

1.在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同.(　×　)
2.点A(1,0)，B(－1,0)，若AC－BC＝4，则点C的轨迹是双曲线.(　×　)
3.在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b.(　×　)
4.双曲线－＝1的焦距为4.(　√　)
类型一　求双曲线的标准方程
例1　求下列双曲线的标准方程：
(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)过点P，Q，且焦点在坐标轴上.
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　定义法、待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3).
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0).
因为点P，Q在双曲线上，
所以解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟　待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).
②与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2).
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.
(4)结论：写出双曲线的标准方程.
跟踪训练1　根据条件求双曲线的标准方程：
(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(3)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4).
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　定义法、待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.
由题意知－＝1，∴－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍).
∴b2＝1，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0).
∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，
故可设双曲线的标准方程为－＝1.
由题意，知解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
类型二　由双曲线方程求参数值或范围
例2　方程＋＝1表示双曲线，那么m的取值范围为____________________.
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　{m|－3＜m＜2或m＞3}
解析　依题意有或
解得－3＜m＜2或m＞3.
∴m的取值范围为{m|－3＜m＜2或m＞3}.
反思与感悟　方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时，表示双曲线.进一步，当m>0，n<0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时，表示焦点在y轴上的双曲线.
(2)对于方程－＝1，当mn>0时，表示双曲线，且当m>0，n>0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时，表示焦点在y轴上的双曲线.
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围.
跟踪训练2　(1)已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围为________.
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　(－1,1)
解析　方程－＝1表示双曲线，
则(1＋k)(1－k)＞0，∴(k＋1)(k－1)＜0，∴－1＜k＜1.
(2)双曲线2x2－y2＝k的焦距为6，则k的值为________.
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　±6
解析　当k>0时，方程可化为－＝1，
则c2＝＋k＝k，即2×＝6，故k＝6.
当k<0时，方程可化为－＝1，
则c2＝－k，故2×＝6，解得k＝－6.
综上所述，k＝－6或6.
类型三　双曲线的定义及应用
例3　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，AB＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　4a＋2m
解析　由双曲线的定义，知AF1－AF2＝2a，
BF1－BF2＝2a.
又AF2＋BF2＝AB，
所以△ABF1的周长为AF1＋BF1＋AB
＝4a＋2AB＝4a＋2m.
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　16
解析　由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理，得PF1－PF2＝±6，
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos 60°，
所以102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，
所以PF1·PF2＝64.
∴＝PF1·PF2·sin 60°
＝×64×＝16.
引申探究
在本例(2)中，若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积.
解　由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义得|PF1－PF2|＝2a＝6，
所以PF＋PF－2PF1·PF2＝36.①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理，得PF＋PF＝F1F＝(2c)2＝100.②
将②代入①，得PF1·PF2＝32，
所以＝PF1·PF2＝16.
反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出PF1·PF2的值；
④利用公式＝×PF1·PF2sin∠F1PF2，求得面积.
(2)方法二：利用公式＝×F1F2×|yP|(yP为P点的纵坐标)，求得面积.
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1－PF2|＝2a的变形使用，特别是与PF＋PF，PF1·PF2间的关系.
跟踪训练3　已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2＝________.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　4
解析　设PF1＝m，PF2＝n，
由余弦定理，得F1F＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
即m2＋n2－mn＝8，
∴(m－n)2＋mn＝8，∴mn＝4，
即PF1·PF2＝4.
1.已知双曲线中的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________________________.
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　定义法、待定系数法求双曲线的标准方程
答案　－＝1或－＝1
2.椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝________.
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　定义法、待定系数法求双曲线的标准方程
答案　1
解析　由a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，可得a＝1.
3.若方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围为________.
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　(5,10)
解析　由题意得(10－k)(5－k)<0，解得54.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积为________.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　24
解析　由题意得解得
又由F1F2＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
则＝PF1·PF2＝24.
5.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)；
(3)以椭圆＋＝1长轴的顶点为焦点，且过(3，).
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　定义法、待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)由题意知，a＝3，c＝4.
由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上.
因为点A(－5,6)在双曲线上，
所以2a＝|－|
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8.
因为过点(3，)，所以－＝1，
解得a2＝3，b2＝5，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
1.在双曲线定义中|PF1－PF2|＝2a(2a2.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.
如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解.
一、填空题
1.过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程是______________________.
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　定义法、待定系数法求双曲线的标准方程
答案　－y2＝1或－x2＝1
解析　由于＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入(1,1)点，得a2＝.此时双曲线的标准方程为－y2＝1；同理求得当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－x2＝1.
2.“k<2”是“方程＋＝1表示双曲线”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　充分不必要
解析　k<2?方程＋＝1表示双曲线，而方程＋＝1表示双曲线?(4－k)(k－2)<0?k<2或k>4.所以“k<2”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件.
3.已知双曲线－＝1的一个焦点坐标为(3,0)，则m＝________.
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　5
解析　因为c＝＝3，故m＝5.
4.已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________.
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　22或2
解析　设F1为左焦点，F2为右焦点.
当点P在双曲线左支上时，
PF2－PF1＝10，此时PF2＝22；
当点P在双曲线右支上时，
PF1－PF2＝10，此时PF2＝2.
5.若双曲线 －＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m＝________.
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　7或－2
解析　①当焦点在x轴上时，有m>5，
则c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；
②当焦点在y轴上时，有m<0，
则c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2.
综上所述，m＝7或m＝－2.
6.设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2＝________.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　
解析　设PF1＝d1，PF2＝d2，则d1＋d2＝2，①
|d1－d2|＝2.②
①2＋②2，得d＋d＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.
又c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.
7.与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线的标准方程是____________.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　－y2＝1
解析　由椭圆的方程，得共同的焦点坐标为(±，0).
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则由解得
所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
8.已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且AB＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为________.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　9
解析　由已知，AB＋AF2＋BF2＝20.
又AB＝4，则AF2＋BF2＝16.
根据双曲线的定义，2a＝AF2－AF1＝BF2－BF1，
所以4a＝AF2＋BF2－(AF1＋BF1)＝16－4＝12，
即a＝3，所以m＝a2＝9.
9.设F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，P是双曲线左支上一点.若PF1，PF2，F1F2成等差数列，且公差大于0，则∠F1PF2＝________.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　120°
解析　由PF1＋F1F2＝2PF2，PF2－PF1＝4，
得PF1＝6，PF2＝10.
又F1F2＝14，
由余弦定理，可得cos∠F1PF2＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
10.设F1，F2分别是双曲线－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，·的值为________.
答案　0
解析　不妨设P(xP，yP)(xP>0，yP>0).
由×2c×yP＝1，得yP＝，
∴P，
∴＝，
＝，
∴·＝0.
二、解答题
11.已知在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程.
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　由Rt△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，设PN＝3k，PM＝4k，则MN＝5k,3k＋4k＋5k＝48，得k＝4，则PN＝12，PM＝16，MN＝20.以MN中点为坐标原点，以MN所在直线为x轴，以线段MN的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
由PM－PN＝4＝2a，得a＝2，a2＝4，
由MN＝20，得2c＝20，c＝10，则b2＝c2－a2＝96，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
12.已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型.
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　定义法、待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4，表示圆心为原点，以2为半径的圆；
(3)当k<0时，方程变为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0(5)当k>1时，方程变为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆.
13.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且MF1＋MF2＝6，试判断△MF1F2的形状.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1.
则有解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在双曲线的右支上，
则有MF1－MF2＝2，
又MF1＋MF2＝6，
解得MF1＝4，MF2＝2.
又F1F2＝2，
因此在△MF1F2中，MF1边最长，
而cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，
故△MF1F2为钝角三角形.
三、探究与拓展
14.曲线mx2－y2＝1(m>0)的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则实数m的取值范围为______.
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　(0,1)
解析　由题意可知，点A的坐标为，
设直线AB的方程为y＝tan 45°，
即x＝y＋，与双曲线方程联立，可得
则(m－1)y2＋2y＝0，
解得y＝0或y＝.
由题意知y＝为B点的纵坐标，且满足>0，
即015.已知0°<α<180°，当α变化时，方程x2cos α＋y2sin α＝1表示的曲线怎样变化？
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
解　(1)当0°<α<90°时，方程为＋＝1.
①当0°<α<45°时，0<<，方程表示焦点在y轴上的椭圆；
②当α＝45°时，方程表示圆x2＋y2＝；
③当45°<α<90°时，>>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(2)当α＝90°时，方程为y2＝1，方程表示两条平行直线y＝±1.
(3)当90°<α<180°时，方程为－＝1，方程表示焦点在y轴上的双曲线.
2.3.2　双曲线的几何性质
学习目标　1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.
知识点一　双曲线的几何性质
思考　类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？
答案　范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.
梳理　
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
知识点二　双曲线的离心率
思考　在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？
答案　双曲线－＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e＝，则＝＝.
当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.
梳理　定义：双曲线的焦距与实轴长的比e＝，叫做双曲线的离心率.性质：离心率e的取值范围是(1，＋∞).e越大，双曲线的张口越大.
知识点三　双曲线的相关概念
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为.
1.等轴双曲线的离心率是1.(　×　)
2.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.(　×　)
3.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(　×　)
4.方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　×　)
类型一　已知双曲线的标准方程研究几何性质
例1　求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
解　将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为－＝1，
∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，
∴c＝＝＝4，
∴双曲线的实轴长为2a＝4，虚轴长为2b＝4；
焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)；顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)；渐近线方程为y＝±x；离心率e＝2.
反思与感悟　已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质.
跟踪训练1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
解　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；
焦点坐标为(－，0)，(，0)；
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±x.
类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程.
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0).
由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝；
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0).
将点(2，－2)代入双曲线方程，
得λ＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟　(1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a，b，写出方程.
(2)①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝；
(3)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3).
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由e2＝，得＝，设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
∴设所求双曲线方程为－＝1，①
或－＝1.②
将(3,9)代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；
将(3,9)代入②，得k＝9.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
联立①②，无解.
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0).
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
类型三　求双曲线的离心率
例3　分别求适合下列条件的双曲线的离心率：
(1)双曲线的渐近线方程为y＝±x；
(2)双曲线－＝1(0考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
解　(1)若焦点在x轴上，则＝，
∴e＝ ＝；
若焦点在y轴上，则＝，即＝，
∴e＝ ＝.
综上可知，双曲线的离心率为或.
(2)依题意得直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c，
即ab＝c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0，
∴32－10×＋3＝0.
解得＝或＝3.
又∵0反思与感悟　求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值.而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值.同时也要注意问题中条件对离心率的限制，以保证问题结果的准确性.
跟踪训练3　(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为________.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　或
解析　若焦点在x轴上，则＝，
∴e＝ ＝；
若焦点在y轴上，则＝，即＝，
∴e＝ ＝.
综上可知，双曲线的离心率为或.
(2)已知双曲线－＝1的右焦点坐标为(3,0)，则该双曲线的离心率e＝________.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　
解析　因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，
所以c＝3，b2＝5，则a2＝c2－b2＝9－5＝4，
所以a＝2，所以e＝＝.
1.双曲线的一个顶点坐标为(－1,0)，一条渐近线方程为y＝－2x，则双曲线方程为____________.
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
答案　x2－＝1
解析　由题意知a＝1，又＝2，
∴b＝2，∴双曲线方程为x2－＝1.
2.设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a＝________.
考点　双曲线性质的应用
题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题
答案　－4
解析　∵方程表示双曲线，
∴a<0，标准方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝± x，
∴＝，解得a＝－4.
3.如果双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为________.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　
解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
由题意得 ×＝－1，
即＝1，所以e＝＝.
4.若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________.
考点　双曲线性质的应用
题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题
答案　(±，0)
解析　由渐近线方程为y＝±x＝±，
得m＝3，所以c＝，且焦点在x轴上.
所以双曲线的焦点坐标为(±，0).
5.设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________.
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
答案　y＝±x
解析　∵2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝，
则a＝＝，∴＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
1.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.
2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.
一、填空题
1.若双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值为________.
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
答案　－
解析　双曲线的标准方程为y2－＝1，
∴a2＝1，b2＝－.
由题意得b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.
2.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________.
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
答案　2
解析　∵双曲线－＝1的一个焦点坐标为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F(4,0)到x－y＝0的距离为＝2.
3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程是________.
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
答案　－＝1
解析　由题意得2a＋2b＝2c，即a＋b＝c，又因为a＝2，所以b＝c－2，所以c2＝a2＋b2＝4＋b2＝4＋(c－2)2，即c2－4c＋8＝0，所以c＝2，b＝2，所求的双曲线的标准方程是－＝1.
4.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为____________.
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
答案　－＝1
解析　双曲线的右顶点为(a,0)，一条渐近线为x＋y＝0，
∴1＝＝，∴a＝2.
又＝，∴b＝，
∴双曲线的方程为－＝1.
5.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　
解析　∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(3，－4)，∴3b＝4a，
∴9(c2－a2)＝16a2，∴e＝＝.
6.已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为________.
考点　双曲线性质的应用
题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题
答案　90°
解析　由＝，得＝2.
又c2＝a2＋b2，∴a2＝b2，即a＝b，
∴双曲线的两条渐近线的夹角为90°.
7.与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________________.
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
答案　－＝1
解析　设所求双曲线的标准方程为x2－＝λ.
将点(2,2)代入，可得λ＝3，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
8.F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点.若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　
解析　如图，由双曲线定义得，BF1－BF2＝AF2－AF1＝2a，因为△ABF2是正三角形，所以BF2＝AF2＝AB，因此AF1＝2a，AF2＝4a，且∠F1AF2＝120°，在△F1AF2中，4c2＝4a2＋16a2＋2×2a×4a×＝28a2，所以e＝.
9.已知双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线位置关系
答案　
解析　由题意求出双曲线中a＝3，b＝4，c＝5，
则双曲线渐近线方程为y＝±x，
不妨设直线BF斜率为，
可求出直线BF的方程为4x－3y－20＝0，(*)
将(*)式代入双曲线方程解得yB＝－，
则S△AFB＝AF·|yB|＝(c－a)·＝.
10.若在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围为________.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线离心率的取值范围
答案　(2，＋∞)
解析　由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x＝.依题意，在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x＝与右支有两个交点，故应满足>a，即>2，得e>2.
二、解答题
11.已知双曲线的一条渐近线方程为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
解　由椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴　解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴　解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
12.点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，求a＋b的值.
考点　双曲线性质的应用
题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题
解　设PF1＝m，PF2＝n，则|m－n|＝2a，①
又因为PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，②
①2－②得－2mn＝4a2－4c2，所以mn＝－2a2＋2c2.
又因为△F1PF2的面积是9，所以mn＝9，
所以c2－a2＝9.
又因为双曲线的离心率e＝＝，
所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.
13.设双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线离心率的取值范围
解　直线l过(a,0)，(0，b)两点，得到直线方程为bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离为d1＝，
同理得到点(－1,0)到直线l的距离为d2＝，
由s≥c得到≥c.(*)
将b2＝c2－a2代入(*)式的平方，整理得4c4－25a2c2＋25a4≤0，
两边同除以a4后，令＝x，得到4x2－25x＋25≤0，
解得≤x≤5，
又e＝＝，故≤e≤.
即e的取值范围为.
三、探究与拓展
14.F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________.
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
答案　y＝±x
解析　由双曲线的性质可得||＝b，则||＝3b.
在△MF1O中，||＝a，
||＝c，cos∠F1OM＝－，
由余弦定理可知＝－，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝2b2，即＝，
故此双曲线的渐近线方程为y＝±x.
15.设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值.
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
解　(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中，
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，(*)
所以
解得0又双曲线的离心率e＝＝ ，
所以e>且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
因为P为直线与y轴的交点，所以P(0,1).
因为＝，
所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1).
由此得x1＝x2.
由于x1，x2是方程(*)的两根，且1－a2≠0，
所以x2＝－，x＝－.
消去x2，得－＝.
由a>0，解得a＝.
§2.4　抛物线
2.4.1　抛物线的标准方程
学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题.
知识点　抛物线的标准方程
思考1　在抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？
答案　p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定开口方向.
思考2　已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
答案　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上.若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上.焦点确定，开口方向也随之确定.
梳理　抛物线的标准方程有四种类型
图形
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
焦点坐标




准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
1.抛物线y2＝2x(p>0)的焦点坐标为(1,0).(　×　)
2.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.(　×　)
3.抛物线的方程都是y关于x的二次函数.(　×　)
4.方程x2＝2py是表示开口向上的抛物线.(　×　)

类型一　求抛物线的标准方程
例1　分别根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)；
(2)准线方程为y＝；
(3)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5；
(4)过点A(2,3).
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，
且－＝－2，则p＝4.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－8y.
(2)因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面，
且＝，则p＝.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－?y.
(3)由焦点到准线的距离为5知，p＝5.
又焦点在x轴负半轴上，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－10x.
(4)由题意知，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0).将点A(2,3)的坐标代入，
得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝或n＝.
所以所求抛物线方程为y2＝x或x2＝y.
反思与感悟　求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).
跟踪训练1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(3，－4)；
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上，且焦点在坐标轴上；
(3)焦点到准线的距离为.
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　(1)方法一　∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
把点(3，－4)分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
方法二　∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)或x2＝by(b≠0).
把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15，
∴抛物线的焦点坐标为(0，－5)或(－15,0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
(3)由焦点到准线的距离为，得p＝，
故所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－2x或x2＝2y或x2＝－2y.
类型二　求抛物线的焦点坐标及准线方程
例2　已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－6x；　(2)3x2＋5y＝0；
(3)y＝4x2；　(4)y2＝a2x(a≠0).
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
解　(1)由方程y2＝－6x知，抛物线开口向左，
2p＝6，p＝3，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为x＝.
(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－?y，
知抛物线开口向下，2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为y＝.
(3)将y＝4x2变形为x2＝?y，
可知抛物线开口向上，2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为y＝－.
(4)由方程y2＝a2x(a≠0)知，抛物线开口向右，
2p＝a2，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为x＝－.
引申探究
若将本例(4)中条件改为y＝ax2(a≠0)，结果又如何？
解　y＝ax2可变形为x2＝?y，
所以焦点坐标为，准线方程为y＝－.
反思与感悟　如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.
跟踪训练2　若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为____________.
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　2　x＝－1
解析　由＝1知，p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.
类型三　抛物线定义的应用

例3　若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程.
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
解　由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等.由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，x＝－为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).
反思与感悟　满足抛物线的定义，可直接利用定义写出轨迹方程，避免了繁琐的化简.
跟踪训练3　平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
解　由题意知，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1.由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2＝

例4　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点.
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2).求PB＋PF的最小值.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
解　(1)如图，易知抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离，于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然，连结AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为.
(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2.因为2>2，所以点B在抛物线内部.过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连结P1F.此时，由抛物线定义知，P1Q＝P1F.所以PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝3＋1＝4，
即PB＋PF的最小值为4.
反思与感悟　解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线来解决最值问题.
跟踪训练4　已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
答案　2
解析　由题意知，直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线.由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故所求最值可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即d＝＝2.
1.抛物线y＝x2的准线方程是________.
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　y＝－1
解析　由y＝x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－＝－1.
2.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求距离
答案　6
解析　抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，则点P到准线的距离是6.由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是6.
3.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为x＝－1.________.
(2)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是2.________.
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
答案　(1)y2＝4x　(2)y2＝－4x
解析　(1)∵x＝－＝－1，∴p＝2.
又焦点在x轴上，则抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)∵焦点到准线的距离为p＝2，且焦点在x轴的负半轴上，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.
4.若椭圆＋＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p为________.
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
答案　
解析　由题意知，左焦点为，则c＝.
∵a2＝3，b2＝，∴3＝＋，得p＝.
5.若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求点坐标
解　由抛物线定义，设焦点为F.
则该抛物线的准线方程为x＝.由题意设点M到准线的距离为MN，
则MN＝MF＝10，即－(－9)＝10，∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y0)代入抛物线方程，得y0＝±6.
∴M点的坐标为(－9,6)或(－9，－6).
1.焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点坐标为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点坐标为F，准线方程为y＝－.
2.设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径.若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径MF＝x0＋.
3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.
一、填空题
1.经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为____________________.
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
答案　y2＝x或x2＝－8y
解析　∵点P在第四象限，∴抛物线开口向右或向下.
当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，
则(－2)2＝8p1，∴p1＝，
∴抛物线方程为y2＝x.
当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，
则42＝4p2，p2＝4，
∴抛物线方程为x2＝－8y.
2.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线的定义求点的坐标
答案　(1,0)
解析　抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－.由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.
3.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p＝________.
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　4
解析　∵a2＝6，b2＝2，∴c2＝a2－b2＝4，∴c＝2，
即椭圆的右焦点为(2,0)，∴＝2，即p＝4.
4.若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝________.
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　－
解析　y＝ax2可化为x2＝y.
∵准线方程为y＝2，∴a<0且－＝2，
∴a＝－.
5.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求点坐标
答案　±4
解析　由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0).由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
6.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求点坐标
答案　2
解析　抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，它与圆相切，所以必有3－＝4，所以p＝2.
7.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求距离
答案　
解析　抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得1＝2p×，解得p＝，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为＋＝.
8.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点.若AF＝3，则BF＝________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求距离
答案　
解析　抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2).由抛物线的定义可知AF＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝±2，由抛物线关于x轴对称，假设A(2,2).由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝2(x－1)，代入抛物线方程消去y，得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或，所以x2＝，故BF＝.
9.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上一点，若PF＝4，则△POF的面积为________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求点坐标
答案　2
解析　抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0).由PF＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标为xP＝3，从而纵坐标为yP＝±2.
∴S△POF＝OF·|yP|＝××2＝2.
10.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值为________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
答案　
解析　抛物线y2＝2x的焦点坐标为F，准线是x＝－.由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－的距离.因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值.结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离，因此所求距离之和的最小值为 ＝.
11.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
答案　－1
解析　点P到抛物线准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离.圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1.
二、解答题
12.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过－＝1的一个焦点，且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程.
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0).将点代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点到两焦点的距离之差为2a＝1，所以双曲线的标准方程为－＝1.
13.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且AF＋BF＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0), 则其准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AF＋BF＝8，∴x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上， ∴QA＝QB，
即＝，
又y＝2px1，y＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
∴抛物线方程为y2＝8x.
三、探究与拓展
14.已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且AK＝AF，则△AFK的面积为________.
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　32
解析　由题意可知抛物线焦点坐标为F(4,0).过点A作直线AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′，根据抛物线定义知，AA′＝AF，则在△AA′K中，AK＝AA′，故∠KAA′＝45°，所以直线AK的倾斜角为45°，直线AK的方程为y＝x＋4，代入抛物线方程y2＝16x，得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8.所以△AFK为直角三角形，故△AFK的面积为×8×8＝32.
15.设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为抛物线C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且直线n与抛物线C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
解　(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，BD＝2p，圆F的半径FA＝p.
由抛物线定义可知，A到准线l的距离d＝FA＝p.
因为△ABD的面积为4，所以BD·d＝4，
即·2p·p＝4，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.
由抛物线定义知，AD＝FA＝AB，
所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.
当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，
代入x2＝2py，得x2－px－2pb＝0.
由于直线n与抛物线C只有一个公共点，
故Δ＝p2＋8pb＝0，解得b＝－.
因为m的截距b1＝，＝3，
所以坐标原点到m，n距离的比值为3.
当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值也为3.
综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.
2.4.2　抛物线的几何性质
学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
知识点一　抛物线的几何性质
思考1　类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗？
答案　范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0).
思考2　抛物线标准方程y2＝2px(p>0)中的参数p对抛物线开口大小有何影响？
答案　p越大，开口越大.
梳理　
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
知识点二　焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
y2＝2px(p>0)
AB＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0)
AB＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0)
AB＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0)
AB＝p－(y1＋y2)
知识点三　抛物线中的弦长与中点弦问题
1.相交弦长
弦长公式：d＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
2.已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦，其中点M的坐标为(x0，y0)，运用平方差法可推导AB的斜率如下：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
由②－①得(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1).③
∵kAB＝，④
y1＋y2＝2y0，⑤
由③④⑤得kAB＝，即弦AB的斜率只与p和弦AB中点的纵坐标有关.
1.抛物线y＝2px2(p>0)的对称轴为y轴.(　√　)
2.抛物线关于顶点对称.(　×　)
3.抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(　√　)
4.抛物线的标准方程各不相同，其离心率也各不相同.(　×　)
类型一　由抛物线的几何性质求标准方程
例1　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.
考点　抛物线的几何性质
题点　由几何性质求抛物线方程
解　由题意设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点坐标为F.直线l：x＝，
所以A，B两点的坐标为，，
所以AB＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以··2|m|＝4，
所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
引申探究　
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是________.
答案　4p2
解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p).
所以AB＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
反思与感悟　把握三个要点确定抛物线的几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程.
考点　抛物线的几何性质
题点　由几何性质求抛物线方程
解　设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0).
因为点P到对称轴距离为6，
所以y0＝±6.
因为点P到准线距离为10，
所以＝10.①
因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0，②
由①②，得或或或
所以所求抛物线的方程为y2＝±4x或y2＝±36x.
类型二　抛物线的焦点弦问题
例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；
(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　求抛物线的焦点弦长及与焦点弦有关的其他问题
解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率为k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立消去y，得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.
而AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，所以AB＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).由抛物线定义知，AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离为3＋＝.
反思与感悟　(1)抛物线的焦半径
定义
抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段
焦半径公式
P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点.
①若抛物线y2＝2px(p>0)，则PF＝x0＋；
②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则PF＝－x0；
③若抛物线x2＝2py(p>0)，则PF＝y0＋；
④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则PF＝－y0
(2)过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可.
跟踪训练2　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB＝p，求AB所在直线的方程.
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　知抛物线焦点弦长求方程
解　如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
A，B到准线的距离分别为dA，dB.
由抛物线的定义知，
AF＝dA＝x1＋，
BF＝dB＝x2＋，
于是AB＝x1＋x2＋p＝p，x1＋x2＝p.
当x1＝x2时，AB＝2p<p，
所以直线AB与Ox不垂直.
设直线AB的方程为y＝k.
由消去y，得
k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，
x1＋x2＝＝p，
解得k＝±2，
所以直线AB的方程为y＝2或y＝－2.
类型三　与弦长、中点弦有关的问题
例3　已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点坐标为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分.
(1)求抛物线E的方程；
(2)求直线AB的方程.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交弦中点问题
解　(1)由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，
所以＝1，p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1，①
y＝4x2，②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由②－①，得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，
所以＝2.
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
反思与感悟　中点弦问题解题策略方法
跟踪训练3　已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及P1P2.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交弦中点问题
解　方法一　由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y－1＝k(x－4).
由消去x，得ky2－6y－24k＋6＝0.
当k＝0时，y＝1，显然不成立.
当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①
设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
∵P1P2的中点为(4,1)，
∴＝2，∴k＝3，适合①式.
∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴P1P2＝
＝＝.
方法二　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则y＝6x1，y＝6x2，
∴y－y＝6(x1－x2).
又y1＋y2＝2，∴＝＝3，
∴所求直线的斜率为k＝3，
所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴P1P2＝
＝·＝.
类型四　抛物线在实际生活中的应用
例4　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面的部分为 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线性质的综合问题
解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0).由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面的部分为 m，
所以h＝|yA|＋＝2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
反思与感悟　涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
跟踪训练4　如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米.若洪水到来时，水位从警戒线开始以每小时0.2米的速度上升，再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为原点O)
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线性质的综合问题
解　设所求抛物线的方程为y＝ax2.
设D(5，b)，则B(10，b－3).
把D，B的坐标分别代入y＝ax2，得
解得∴y＝－x2.
∵b＝－1，∴拱桥顶O到CD的距离为1，
∴t＝＝5(小时).
即再持续5小时到达拱桥顶.
1.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是6，则抛物线方程为______.
考点　抛物线的几何性质
题点　由几何性质求抛物线方程
答案　y2＝－4x
解析　由题意得5＋＝6，∴p＝2.
又抛物线开口方向为x轴负方向，
∴抛物线方程为y2＝－4x.
2.顶点在坐标原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是________.
考点　抛物线的几何性质
题点　由几何性质求抛物线方程
答案　x2＝±16y
解析　顶点在坐标原点，对称轴为y轴的抛物线的标准方程有两个：x2＝－2py(p>0)，x2＝2py(p>0).由顶点到准线的距离为4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝16y或x2＝－16y.
3.抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________.
考点　抛物线的几何性质
题点　与准线、焦点有关的简单几何性质
答案　
解析　设所求点为(x0，y0)，则x＋y＝2.
又y＝x0，∴x0＝，∴y0＝±.
4.过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB＝________.
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　求抛物线的焦点弦长
答案　8
解析　易知抛物线的准线方程为x＝－1，则线段AB的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义易得AB＝8.
5.若抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，且AB＝4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为________.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　由抛物线弦长求解相关问题
答案　1
解析　由抛物线的对称性，
可设A(x0,2)，B(x0，－2).
∵A，B两点在抛物线上，
∴(2)2＝4x0，即x0＝2.
又y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
∴焦点到直线AB的距离为1.
1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
2.抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用.
一、填空题
1.已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为________.
考点　抛物线的几何性质
题点　由几何性质求抛物线方程
答案　x2＝4y
解析　由e＝1，得焦点坐标为(0,1)，所以抛物线的标准方程为x2＝4y.
2.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为________________.
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　知抛物线焦点弦长求方程
答案　y2＝8x或y2＝－8x
解析　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0).
依题意得x＝，代入y2＝2px或y2＝－2px，
得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.
即抛物线方程为y2＝±8x.
3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点.如果x1＋x2＝6，那么AB＝________.
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　求抛物线的焦点弦长
答案　8
解析　因为直线AB过焦点F(1,0)，
所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
4.直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB的中点的横坐标为2，则k＝________.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　由抛物线弦长求解相关问题
答案　2
解析　由题意知消去y，
得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
Δ＝(4k＋8)2－16k2>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝2，
即x1＋x2＝4，∴x1＋x2＝＝4，
∴k＝2或－1，
经判别式检验知k＝2符合题意.
5.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的标准方程为________________.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　由抛物线弦长求解相关问题
答案　y2＝3x或y2＝－3x
解析　设所求抛物线的方程为y2＝2mx(m≠0)，设交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由对称性知y2＝－y1，∴y1＝.将y1＝代入x2＋y2＝4，得x＝±1.将点(1，)，(－1，)分别代入方程y2＝2mx中，得3＝2m或3＝－2m，解得m＝或m＝－.故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
6.设抛物线y2＝16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离PF＝________.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线性质的综合问题
答案　13
解析　设P(x,12)，代入y2＝16x，得x＝9，
∴PF＝x＋＝9＋4＝13.
7.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是________.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线性质的综合问题
答案　4p
解析　设A，B在y2＝2px上，另一个顶点为O，则A，B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则OA的方程为y＝x.
联立解得A(6p,2p)，
∴△AOB的边长为4p.
8.设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若OA＝OB，且△AOB的面积为16，则∠AOB＝________.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线性质的综合问题
答案　90°
解析　由OA＝OB知，抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，a>0，∴S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4.∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
9.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的投影为A1，B1，则∠A1FB1＝________.
考点　抛物线的几何性质
题点　与准线、焦点有关的几何性质
答案　90°
解析　如图，由抛物线定义知，AA1＝AF，BB1＝BF，所以∠AA1F＝∠AFA1.又∠AA1F＝∠A1FO，
∴∠AFA1＝∠A1FO.
同理∠BFB1＝∠B1FO.
∴∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.
故∠A1FB1＝90°.
10.已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上不同的两点，O为坐标原点，若OA＝OB，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，直线AB的方程为________.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线性质的综合问题
答案　x＝
解析　如图所示.设A(x0，y0)，
由题意可知，B(x0，－y0).
又F是△AOB的垂心，
则AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即·＝－1，∴y＝x0.
又y＝2px0，∴x0＝2p＋＝.
因此直线AB的方程为x＝.
二、解答题
11.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且AM＝，AF＝3，求此抛物线的标准方程.
考点　抛物线的几何性质
题点　由几何性质求抛物线方程
解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，由题意知M.
∵AF＝3，∴y0＋＝3.
∵AM＝，∴x＋2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0，得8＝2p，
解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
12.已知当抛物线形拱桥的顶点距离水面2 m时，测量水面宽为8 m，当水面上升 m后，则水面的宽度是多少？
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线性质的综合问题
解　以抛物线形拱桥的顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0).
把B(4，－2)代入得16＝4p，
所以p＝4，所以x2＝－8y.
把y＝－代入得x＝±2.
所以此时水面的宽度为4 m.
13.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值.
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　与焦点弦有关的其他问题
解　(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线的定义，得AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，
从而抛物线的方程是y2＝8x.
(2)因为p＝4，所以4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4).
设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2).
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
三、探究与拓展
14.如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则为使水不落到池外，水池直径最小为________ m.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线性质的综合问题
答案　2＋2
解析　如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则P(－1，－1)，代入抛物线方程得p＝，抛物线x2＝－y，代入点(x，－2)，得x＝，即水池半径最小为r＝(1＋) m，水池直径最小为2r＝(2＋2) m.
15.如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求直线BC的斜率.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线性质的综合问题
解　设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∵直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组消去y，得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解.
∴4·xB＝，即xB＝，
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝
＝
＝＝＝－.
§2.5　圆锥曲线的共同性质
学习目标　1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念.
知识点　圆锥曲线的共同性质
思考　圆锥曲线有怎样的共同性质？如何研究圆锥曲线的共同性质？
答案　如图，过点M作MH⊥l，H为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知M∈{M|FM＝eMH}.
取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系.设点M的坐标为(x，y)，则
OM＝.①
设直线l的方程为x＝－p，则MH＝|x＋p|.②
把①，②代入OM＝eMH，
得＝e|x＋p|.
两边平方，化简得(1－e2)x2＋y2－2pe2x－p2e2＝0.
这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的共同性质.
梳理　(1)圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比等于常数e.当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的准线方程为x＝±，＋＝1(a>b>0)的准线方程为y＝±.
双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为x＝±，双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为y＝±.
1.若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个常数e(e>0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线.(　×　)
2.双曲线x2－y2＝1的准线方程为x＝±.(　√　)
3.＋＝1上的点到左准线的距离是，则该点到右准线的距离是8.(　√　)
4.点M(x，y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l：x＝的距离的比是常数，则点M的轨迹为＋＝1.(　×　)
类型一　已知准线求圆锥曲线的方程
例1　双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过点A(2，3)，求双曲线的方程.
考点　准线
题点　由准线等条件求曲线方程
解　(1)若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得
∴a2＝2c，b2＝c2－a2＝c2－2c.
代入－＝1，整理得c2－14c＋33＝0，
∴c＝3或c＝11.
∴a2＝6，b2＝3或a2＝22，b2＝99.
∴双曲线的方程为－＝1或－＝1.
(2)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).由已知得－＝1.
将a2＝2c，b2＝c2－2c代入－＝1得，
2c2－13c＋66＝0，Δ<0，此方程无实数解.
综合(1)(2)可知，双曲线的方程为
－＝1或－＝1.
反思与感悟　(1)在此类题中，两准线间的距离是一个定值，不论双曲线位置如何，均可使用.
(2)已知准线方程(或准线间距离)求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个：①利用统一定义，②直接列出基本量a，b，c，e的关系式.
跟踪训练1　已知A，B是椭圆＋＝1上的点，F2是椭圆的右焦点，且AF2＋BF2＝a，AB的中点N到椭圆左准线的距离为，求此椭圆方程.
考点　准线
题点　由准线等条件求圆锥曲线方程
解　设F1为左焦点，连结AF1，BF1，
则根据椭圆定义知，
AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2
＝4a－(AF2＋BF2)＝4a－a＝a.
再设A，B，N三点到左准线距离分别为d1，d2，d3，由梯形中位线定理，得d1＋d2＝2d3＝3.
而已知b2＝a2，∴c2＝a2.∴离心率e＝，
由统一定义AF1＝ed1，BF1＝ed2，
∴AF1＋BF1＝a＝e(d1＋d2)＝，
∴a＝1，∴椭圆方程为x2＋＝1.
类型二　圆锥曲线统一定义的应用

例2　已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点.
(1)求MA＋MB的最大值和最小值；
(2)求MB＋MA的最小值及此时点M的坐标.
考点　共同性质
题点　运用圆锥曲线共同性质求最值
解　(1)如图所示，由＋＝1得a＝5，b＝3，c＝4.
所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(－4,0)为椭圆的左焦点.
因为MA＋MF＝2a＝10，
所以MA＋MB＝10－MF＋MB.
因为|MB－MF|≤BF＝＝2，
所以－2≤MB－MF≤2.
故10－2≤MA＋MB≤10＋2，
即MA＋MB的最大值为10＋2，
最小值为10－2.
(2)由题意得椭圆的右准线l的方程为x＝.
由图可知点M到右准线的距离为MM′，
由圆锥曲线的统一定义得＝e＝，
所以MA＝MM′.
所以MB＋MA＝MB＋MM′.
由图可知当B，M，M′三点共线时，MB＋MM′最小，
即BM′＝－2＝.
当y＝2时，由＋＝1，
解得x＝±(负值舍去)，
即点M的坐标为.
故MB＋MA的最小值为，
此时点M的坐标为.
反思与感悟　(1)解答此类题时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义.
(2)圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程.
跟踪训练2　试在抛物线y2＝4x上求一点A，使点A到点B(，2)与到焦点的距离之和最小.
考点　共同性质
题点　运用圆锥曲线共同性质求最值
解　由已知易得点B在抛物线内，＝1，准线方程为x＝－1，过点B作C′B⊥准线l于C′，直线BC′交抛物线于A′，则A′B＋A′C′为满足题设的最小值.
因为C′B∥x轴，B点的坐标为(，2)，
所以A′点的坐标为(x,2).
又因点A′在抛物线上，所以A′(1,2)即为所求A点，此时最小值为BC′＝＋1.

例3　椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，相应准线方程为x＝8，离心率e＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C所得的弦长.
考点　共同性质
题点　运用圆锥曲线共同性质研究焦点弦问题
解　(1)设椭圆上任一点P(x，y)，由统一定义得＝，
两边同时平方，得4[(x－2)2＋y2]＝(8－x)2，
化简得＋＝1.
(2)由(1)知椭圆的另一个焦点F2(－2,0)，过F2且倾斜角为45°的直线方程为y＝x＋2，
代入方程＋＝1，得7x2＋16x－32＝0.
设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
AB＝AF2＋BF2＝a＋ex1＋a＋ex2＝2a＋e(x1＋x2)
＝2×4＋(x1＋x2)＝.
反思与感悟　(1)在此类题中，若用一般弦长公式，而不用统一定义，计算起来则复杂一些.
(2)对于圆锥曲线焦点弦的计算，利用统一定义较为方便.
跟踪训练3　已知椭圆的一个焦点是F(3,1)，相应于F的准线为y轴，l是过点F且倾斜角为60°的直线，l被椭圆截得的弦AB的长是，求椭圆的方程.
考点　共同性质
题点　运用圆锥曲线共同性质研究焦点弦问题
解　设椭圆离心率为e，M(x，y)为椭圆上任一点，
由统一定义＝e，得＝e，
整理得(x－3)2＋(y－1)2＝e2x2.①
∵直线l的倾斜角为60°，
∴直线l的方程为y－1＝(x－3)，②
①②联立得(4－e2)x2－24x＋36＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，
∴AB＝e(x1＋x2)＝e·＝，
∴e＝(负值舍去)，
∴椭圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝x2，
即＋＝1.
1.椭圆＋＝1的准线方程是____________.
考点　准线
题点　求准线方程
答案　x＝±
解析　∵a＝5，b＝3，∴c＝4，∴准线方程为x＝±.
2.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两准线间距离是焦距的________倍.
考点　准线
题点　准线方程的运用
答案　9
解析　∵2c＝×2a，∴c＝a，即a＝3c.
∴两准线间距离为＝18c，为2c的9倍.
3.若双曲线－＝1左支上的一点P到左焦点的距离为15，则点P到右准线的距离为________.
考点　共同性质
题点　共同性质的简单运用
答案　
解析　∵a＝3，b＝4，∴c＝5，∴e＝.
∵PF1＝15，∴PF2＝PF1＋2a＝15＋6＝21，
∴P到右准线的距离为d＝＝.
4.已知椭圆方程为＋＝1，右焦点为F，A(2,1)为其内部一点，P为椭圆上一动点，为使PA＋2PF最小，P点坐标为__________.
考点　共同性质
题点　运用圆锥曲线共同性质求最值
答案　
解析　由题意得a＝4，b＝2，∴c＝2，
e＝＝.由统一定义知，2PF即为P到右准线的距离，因此，要使PA＋2PF最小，P点除了应在y轴的右侧外，还要使AP垂直于准线，由
解得P点坐标为.
5.在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x＝，且它的一个顶点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为____________.
考点　准线
题点　准线方程的运用
答案　x±y＝0
解析　由题意设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为抛物线y2＝－4x的焦点坐标为(－1,0)，由此可得a＝1.由＝，得c＝2.所以b2＝c2－a2＝3，于是双曲线的方程为x2－＝1，其渐近线方程为x±y＝0.
1.在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性.
2.在已知准线方程时，一般转化为的数量关系，结合其他条件求出基本量a，b，c.若是求方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型.
3.根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到对应准线的距离，这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程.

一、填空题
1.若椭圆的离心率为，准线方程为x＝±8，则椭圆的标准方程为____________.
考点　准线
题点　由准线等条件求圆锥曲线方程
答案　＋＝1
解析　由准线方程为x＝±8，可知椭圆的焦点在x轴上.
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得解得
所以b2＝a2－c2＝32－16＝16.
因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.
2.已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的左准线的距离为10，则点P到椭圆的右焦点的距离为________.
考点　准线
题点　由准线等条件求圆锥曲线方程
答案　12
解析　椭圆＋＝1的离心率e＝.根据椭圆的第二定义，得点P到椭圆的左焦点的距离为10e＝8.再根据椭圆的第一定义，得点P到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12.
3.如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________.
考点　准线
题点　准线方程的运用
答案　
解析　由题意可知a＝2，b＝，c＝，
右准线方程为x＝＝，e＝＝.
设P到y轴的距离为d，则＝，所以d＝.
4.与双曲线－＝1有共同的渐近线，且其中一条准线的方程为x＝的双曲线的标准方程为____________.
考点　准线
题点　由准线等条件求圆锥曲线方程
答案　－＝1
解析　由题意，可设所求双曲线的方程为－＝1(λ>0).该双曲线的右准线方程为x＝＝，所以λ＝4，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
5.若双曲线－＝1的一条准线与抛物线y2＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为________.
考点　准线
题点　准线方程的运用
答案　
解析　y2＝8x的准线方程为x＝－2，因此，双曲线的一条准线方程为x＝－2，则－＝－2.又a2＝8，∴c＝4.
∴e＝＝＝.
6.已知椭圆的一个焦点坐标为F1(0，－2)，对应的准线方程为y＝－，且离心率e满足，e，成等比数列，则此椭圆的方程为________.
考点　准线
题点　由准线等条件求圆锥曲线方程
答案　x2＋＝1
解析　∵，e，成等比数列，∴e2＝×，则e＝.
设P(x，y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义，得＝，化简得9x2＋y2＝9，即x2＋＝1.
7.已知双曲线－＝1，F为其右焦点，A(4,1)为平面上一点，P为双曲线上任意一点，则PA＋PF的最小值为________.
考点　共同性质
题点　运用圆锥曲线统一定义求最值
答案　
解析　设P到右准线的距离为PQ.
因为e＝，所以PF＝PQ，
即PA＋PF＝PA＋PQ.
而PA＋PQ的最小值为点A到右准线的距离，
即4－＝4－＝，
故PA＋PF的最小值为.
8.已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x，y)满足：＝，则AC＋BC＝________.
考点　共同性质
题点　共同性质的运用
答案　4
解析　∵点C到B(1,0)的距离与它到直线x＝4的距离之比为，
∴点C的轨迹是椭圆，且＝，＝4，
∴a＝2，c＝1.
∴点A恰好是椭圆的另一个焦点，
∴AC＋BC＝2a＝4.
9.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2＝d1，则椭圆C的离心率为________.
考点　共同性质
题点　共同性质的运用
答案　
解析　依题意，d2＝－c＝.
又BF＝＝a，所以d1＝.
由已知可得＝·，
所以c2＝ab，即6c4＝a2(a2－c2)，
整理可得a2＝3c2，所以离心率e＝＝.
10.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为________.
考点　共同性质
题点　共同性质的运用
答案　
解析　设椭圆C的焦点在x轴上，如图所示，
B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，
则BF＝＝a.
作DD1⊥y轴于点D1，
则由＝2，得＝＝，
所以DD1＝OF＝，即xD＝.
由圆锥曲线的统一定义，得FD＝e＝a－.
又由＝2，得a＝2a－，
整理得＝，即e2＝，
所以e＝－(舍去)或e＝.
二、解答题
11.已知椭圆＋＝1，P为椭圆上的一点，F1，F2为左、右两个焦点，若PF1∶PF2＝2∶1，求点P的坐标.
考点　共同性质
题点　共同性质的运用
解　设点P的坐标为(x，y).
∵椭圆＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3.
∴e＝，准线方程为x＝±.
由圆锥曲线的统一定义知，
PF1＝ed1＝＝x＋5，
PF2＝ed2＝＝5－x.
∵PF1∶PF2＝2∶1，
∴∶＝2∶1，
解得x＝，代入椭圆的方程，得y＝±.
∴点P的坐标为或.
12.已知A，B为椭圆＋＝1上的两点，F2是椭圆的右焦点，若AF2＋BF2＝a，AB的中点M到椭圆的左准线的距离为，试确定该椭圆的方程.
考点　准线
题点　由准线等条件求圆锥曲线方程
解　由椭圆的方程，可得b＝a，则c＝a，e＝，两准线间的距离为a.
设A，B两点到右准线的距离分别是dA，dB，
则＝＝，
∴AF2＋BF2＝(dA＋dB)＝a，
∴dA＋dB＝2a，则AB的中点M到椭圆右准线的距离为a，
于是点M到左准线的距离为a－a＝，解得a＝1，
故椭圆的方程为x2＋＝1.
13.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，点F2到右准线l的距离为.
(1)求a，b的值；
(2)设M，N是l上的两个动点，·＝0，
证明：当||取最小值时，＋＋＝0.
考点　共同性质
题点　共同性质的运用
(1)解　因为e＝，F2到l的距离d＝－c，
所以由题设得
解得c＝，a＝2.
由b2＝a2－c2＝2，得b＝.
故a＝2，b＝.
(2)证明　由c＝，a＝2得F1(－，0)，F2(，0)，l的方程为x＝2，故可设M(2，y1)，N(2，y2).
由·＝0
知(2＋，y1)·(2－，y2)＝0，
得y1y2＝－6，所以y1y2≠0，y2＝－.
||＝|y1－y2|＝＝|y1|＋≥2，
当且仅当y1＝±时，上式取等号，此时y2＝－y1，
所以，＋＋＝(－2，0)＋(，y1)＋(，y2)＝(0，y1＋y2)＝0.
三、探究与拓展
14.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线离心率e的最大值为________.
考点　共同性质
题点　共同性质的运用
答案　
解析　设P点坐标为P(x0，y0)，
由圆锥曲线的统一定义得e＝＝，
把PF1＝4PF2代入则有x0＋＝4，
整理得＝3x0.
∵x0≥a，∴e＝≤，
∴离心率e的最大值为.
15.已知椭圆＋＝1上不同的三点A(x1，y1)，B，C(x2，y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列.
(1)求证：x1＋x2＝8；
(2)若线段AC的垂直平分线与x轴交于点T，求直线BT的斜率.
考点　共同性质
题点　共同性质的运用
(1)证明　由已知得a＝5，b＝3，c＝4，e＝.
因为AF＝a－ex1＝5－x1，CF＝a－ex2＝5－x2，BF＝5－×4＝，且AF＋CF＝2BF，
所以＋＝，即x1＋x2＝8.
(2)解　因为A(x1，y1)，C(x2，y2)在椭圆上，
所以＋＝1，①
＋＝1，②
由①－②得y－y＝－(x1＋x2)(x1－x2)＝－(x1－x2)(y1≠y2).
又因为线段AC的中点为，
所以线段AC的垂直平分线的方程为
y－＝－(x－4).③
又因为点T在x轴上，则设点T的坐标为(x0,0)，
代入③得x0－4＝，所以x0－4＝－.
所以直线BT的斜率k＝＝.
故直线BT的斜率为.
滚动训练(一)
一、填空题
1.命题“任意偶数是2的倍数”的否定是______________.
考点　含有一个量词的否定
题点　全称命题的否定
答案　存在偶数不是2的倍数
解析　根据全称命题的否定是存在性命题进行求解.
2.命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是________________________.
考点　四种命题
题点　逆否命题
答案　若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
解析　“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”.
3.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________________________________.
考点　四种命题
题点　否命题
答案　若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
解析　注意否命题既否定题设又否定结论.
4.若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围为____________.
考点　椭圆的标准方程
题点　由椭圆的标准方程求参数
答案　(3,4)∪(4,5)
解析　由已知得解得35.若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为________.
考点　椭圆的标准方程
题点　由椭圆的标准方程求参数
答案　4
解析　∵点(－2，)在椭圆上，∴＋＝1，即b2＝4，∴c2＝16－4＝12，∴c＝2，故2c＝4.
6.下列命题中所有真命题的序号是________.
①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件.
考点　充分条件、必要条件、充要条件的判断
题点　充分条件、必要条件、充要条件的判断
答案　③
解析　a>b?a2>b2，故①为假命题，|a|>|b|?a2>b2，
∴|a|>|b|是a2>b2的充要条件，故②为假命题，③为真命题.
7.下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；
③“x>2”是“<”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真.
其中说法不正确的序号是________.
考点　四种命题
题点　四种命题真假判断
答案　①②
解析　对于①，一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故①错误；对于②原命题的逆否命题为“若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，是真命题，故原命题也为真命题，故②错误；对于③，x>2?<，但<?x>2，x可能为负数，故“x>2”是“<”的充分不必要条件，故③正确.对于④，逆命题与否命题互为逆否命题，真假性相同，故④正确
8.过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是____________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　圆锥曲线的定义
答案　圆或椭圆
解析　如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则AC＝R－r，由于r＝BC，
∴AC＝R－BC?CA＋CB＝R.
∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R.
∵B为圆内的定点，∴AB∴动点C的轨迹为椭圆.若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆.
9.若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
答案　
解析　∵焦点在y轴上，∴0∴a＝，b＝，∴c＝，
又e＝＝，∴＝，解得m＝.
10.已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
答案　
解析　∵·＝0，∴⊥，
由MF1＋MF2＝4，①
又MF＋MF＝(2)2＝12，②
由①与②可得MF1·MF2＝2，
设M到x轴的距离为h，
则MF1·MF2＝F1F2·h，
h＝＝.
二、解答题
11.若?x∈R，使cos 2x＋2sin x＋a＝0，求实数a的取值范围.
考点　存在量词与存在性命题
题点　存在性命题求参数的范围
解　依题意，若?x∈R，使cos 2x＋2sin x＋a＝0，
则a＝－cos 2x－2sin x＝2sin2x－2sin x－1
＝22－，
令t＝sin x，则a＝22－，－1≤t≤1.
由于函数a(t)在－1≤t≤上单调递减，
在＜t≤1上单调递增，
所以当t＝时，取最小值a＝－；
当t＝－1时，取最大值a＝3.
所以－≤a≤3.
故当－≤a≤3时满足条件，
所以a的取值范围是.
12.已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆离心率
解　(1)由题意，得椭圆C的标准方程为＋＝1，
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.
故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.
又x＋2y＝4，
所以AB2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝2＋(y0－2)2
＝x＋y＋＋4
＝x＋＋＋4
＝＋＋4(0因为＋≥4(0所以AB2≥8.
故线段AB长度的最小值为2.
13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝b2经过椭圆E：＋＝1(0(1)求椭圆E的标准方程；
(2)记直线l：y＝kx＋m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M(－1,0)，N(1,0)，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2－2k2＝1时，求k1·k2的值.
考点　直线与椭圆
题点　椭圆的综合应用
解　(1)因为0又圆O：x2＋y2＝b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c＝b，
所以2b2＝4，即b2＝2，
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(x0，y0)，
联立消去y，得
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－，
又2m2－2k2＝1，所以x1＋x2＝－，
所以x0＝－，y0＝m－k·＝，
则k1·k2＝·＝＝＝－.
三、探究与拓展
14.直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是____________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
答案　
解析　将直线y＝x＋1代入椭圆x2＋2y2＝4中，
得x2＋2(x＋1)2＝4，
∴3x2＋4x－2＝0，
∴弦的中点横坐标是x＝×＝－，
代入直线方程y＝x＋1，得y＝，
∴弦的中点坐标是.
15.已知椭圆方程＋y2＝1右焦点为F，过点F斜率为k的直线l交椭圆于P，Q两点.
(1)求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；
(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆的综合应用
解　(1)由椭圆方程＋y2＝1，
得a2＝2，b2＝1，则c2＝a2－b2＝1，
∴椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积S＝×2b×2c＝×2×2＝2.
(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝x－1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得3y2＋2y－1＝0，
解得y1＝－1，y2＝.
∴S△POQ＝OF·|y1－y2|＝|y1－y2|＝.
(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0＜m＜1)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形.
∵直线l与x轴不垂直，
∴设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0).
由可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
Δ＝8k2＋8>0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，
＝(x2－x1，y2－y1)(x2－x1≠0)，
若以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，
则(＋)⊥，得(＋)·＝0，
即(x1＋x2－2m，y1＋y2)(x2－x1，y2－y1)＝0，
∴(x1＋x2－2m)(x2－x1)＋(y1＋y2)(y2－y1)＝0，
则x1＋x2－2m＋k(y1＋y2)＝0，
∴－2m＋k2＝0，
得2k2－(2＋4k2)m＝0，解得m＝(k≠0)，
∴0＜m＜，
∴m的取值范围为.
滚动训练(三)
一、填空题
1.命题“?x∈，sin x<1”的否定是______________________.
考点　含有一个量词的否定
题点　全称命题的否定
答案　?x∈，sin x≥1
解析　“?x∈，sin x<1”的否定是?x∈，sin x≥1.
2.双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是________.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线渐近线方程
答案　y＝±x
解析　由题意知－＝1，y＝±x.
3.已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率为________.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　
解析　因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，所以c＝3，b2＝5，则a2＝c2－b2＝9－5＝4，所以a＝2.所以e＝＝.
4.已知d为抛物线y＝2px2(p>0)的焦点到准线的距离，则pd＝________.
考点　抛物线的几何性质
题点　求抛物线方程中的参数
答案　
解析　抛物线方程可化为x2＝?y，
所以d＝，则pd＝.
5.抛物线的焦点为椭圆＋＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________.
考点　抛物线标准方程
题点　求抛物线标准方程
答案　y2＝－4x
解析　由c2＝9－4＝5，得F(－，0)，
则抛物线方程为y2＝－4x.
6.设命题p：c20，若p∧q为假，p∨q为真，则实数c的取值范围为________.
考点　逻辑联结词
题点　命题的真假求参数范围
答案　∪
解析　命题p：0∵p∧q为假，p∨q为真，∴p和q有且仅有一个成立.
若p成立，q不成立，则≤c<1，
若p不成立，q成立，则－综上知，c的取值范围是∪.
7.从抛物线x2＝4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线的几何性质的运用
答案　10
解析　由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，
PM＝PF＝5，
∴P点的纵坐标为4，横坐标的绝对值为4，
∴S△MPF＝×5×4＝10.
8.已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.
考点　直线与抛物线
题点　抛物线定义的运用
答案　2
解析　由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，
设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，
则MM1＝.
因为AB≤AF＋BF(F为抛物线的焦点)，
即AF＋BF≥6，
所以AA1＋BB1≥6,2MM1≥6，MM1≥3，
故点M到x轴的距离d≥2.
9.如图，已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－a,0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，则椭圆的离心率为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆的离心率
答案　
解析　方法一　因为△AOP是等腰三角形，
所以OA＝OP，故A(－a,0)，P(0，a).
又＝2，所以Q＝，
由点Q在椭圆上得＋＝1，解得＝，
故离心率e＝ ＝ ＝.
方法二　因为△AOP是等腰三角形，所以OA＝OP，
故设直线AP的方程为y＝x＋a，
与椭圆方程联立并消去y得
(a2＋b2)x2＋2a3x＋a2c2＝0，
从而(－a)xQ＝，即xQ＝－.
又由A(－a,0)，P(0，a)，＝2得xQ＝－，
故－＝－，
即5c2＝4a2，故e＝.
10.设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则||＝__________.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线的几何性质的运用
答案　p
解析　设点A在第一象限内，依题意可设AF所在直线方程为y－0＝tan 60°，
∴y＝.
联立解得x＝或，
∵与x轴正方向夹角为60°，∴x＝，y＝p，
∴||＝＝p.
二、解答题
11.已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增，q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围.
考点　“p∨q”“p∧q”形式命题的真假判断
题点　由“p∨q”“p∧q”形式命题的真假求参数范围
解　∵函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3
＝[x＋(a2－a)]2－a2在[－2，＋∞)上单调递增，
∴－(a2－a)≤－2，即a2－a－2≥0，
解得a≤－1或a≥2.
即p：a≤－1或a≥2.
由不等式ax2－ax＋1>0的解集为R得a＝0或
解得0≤a<4，∴q：0≤a<4.
∵p∧q假，p∨q真，∴p与q一真一假，
∴p真q假或p假q真，
即或
∴a≤－1或a≥4或0≤a<2.
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞).
12.如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F.
(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；
(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点.点B是以点F为圆心，FA为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明.
考点　直线与抛物线
题点　直线与抛物线位置关系判断
解　(1)抛物线的焦点F(1,0)，
当直线l的斜率不存在时，即x＝1不符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
所以＝，解得k＝±.
故直线l的方程为y＝±(x－1)，即x±y－1＝0.
(2)直线AB与抛物线C相切，证明如下：
设A(x0，y0)，则y＝4x0.
因为BF＝AF＝x0＋1，所以B(－x0,0).
所以直线AB的方程为y＝(x＋x0)，
整理得x＝－x0，①
把方程①代入y2＝4x，得y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，
Δ＝64x－16x0y＝64x－64x＝0，
所以直线AB与抛物线C相切.
13.设椭圆M：＋＝1(a＞)的右焦点为F1，直线l：x＝与x轴交于点A，若＝2(其中O为坐标原点).
(1)求椭圆M的方程；
(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求·的最大值.
考点　直线与椭圆
题点　椭圆中的最值问题
解　由题意知，点A，F1(，0)，
由＝2，得＝2，
解得a2＝6.
所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)设圆N：x2＋(y－2)2＝1的圆心为点N，则点N的坐标为(0,2)，则·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝2－2＝2－1，
从而求·最大值转化为求2的最大值.
因为P是椭圆M上的任意一点，设P(x0，y0)，
所以＋＝1，即x＝6－3y.
因为点N的坐标为(0,2)，
所以2＝|2|＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.
因为点P(x0，y0)在椭圆M上，则y0∈[－，]，所以当y0＝－1时，2取得最大值12，所以·的最大值为11.
三、探究与拓展
14.抛物线y2＝2px的焦点为F，点A，B，C在此抛物线上，点A的坐标为(1,2).若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为________________.
考点　直线与抛物线
题点　利用直线与抛物线位置关系求直线方程
答案　2x＋y－1＝0
解析　∵点A在抛物线上，
∴4＝2p，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，
设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有y＝4x1，①
y＝4x2，②
由①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，
得kBC＝＝.
又∵＝0，∴y1＋y2＝－2，∴kBC＝－2.
又∵＝1，∴x1＋x2＝2，
∴BC的中点为(1，－1)，
则BC所在直线方程为y＋1＝－2(x－1)，
即2x＋y－1＝0.
15.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图所示.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y＝x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.
(1)当t＝时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；
(2)问救援船的时速至少是多少海里/时才能追上失事船？
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线的实际应用
解　(1)当t＝时，P的横坐标xP＝7t＝，
代入抛物线方程y＝x2，得P的纵坐标yP＝3.
由AP＝，得救援船速度的大小为海里/时.
(2)设救援船的时速为v海里/时，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2).
由vt＝，
整理得v2＝144＋337.
因为t2＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立，
所以v2≥144×2＋337＝252，即v≥25.
因此，救援船的时速至少是25海里/时才能追上失事船.
滚动训练(二)
一、填空题
1.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为________.
考点　双曲线的标准方程
题点　求双曲线焦点
答案　
解析　∵双曲线方程可化为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，c＝.
2.已知命题p：1≤x≤4，命题q：x2－4x＋3>0，则p是綈q的____________条件.
考点　充分条件、必要条件、充要条件的判断
题点　逻辑联结词和充分条件、必要条件、充要条件的判断
答案　必要不充分
解析　由x2－4x＋3>0，解得x<1或x>3，所以綈q：1≤x≤3，则綈q?p，但是p?綈q，所以p是綈q的必要不充分条件.
3.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为________.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线方程
答案　－＝1
解析　由已知可得双曲线的焦距2c＝10，a2＋b2＝52＝25，又由一条渐近线方程为y＝x＝x，得＝，解得a2＝20，b2＝5.
4.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆方程
答案　＋＝1
解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
将点(－5,4)代入得＋＝1.
又离心率e＝＝，
即e2＝＝＝，
解得a2＝45，b2＝36，
故椭圆的方程为＋＝1.
5.下列命题中：
①“?x∈R，x2－x＋1≤0”的否定；
②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；
③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题.
其中真命题的个数是________.
考点　命题
题点　命题的否定、否命题、逆否命题
答案　2
解析　“?x∈R，x2－x＋1≤0”的否定为“?x∈R，x2－x＋1＝2＋>0”为真命题；“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题为“若x2＋x－6<0?－36.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线方程
答案　－＝1
解析　椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，离心率e＝.由于双曲线－＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.
又双曲线的离心率e＝＝，所以＝，
所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，
故双曲线的方程为－＝1.
7.设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PA＝PB，则该双曲线的离心率是________.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线离心率
答案　
解析　联立直线方程x－3y＋m＝0与双曲线渐近线方程y＝±x可得交点坐标为，，而kAB＝，由PA＝PB，可得AB的中点与点P连线的斜率为－3，即＝－3，化简得4b2＝a2，所以e＝ ＝.
8.已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若＝，则椭圆的离心率为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆的离心率
答案　
解析　设M(x0，y0)，则N(x0，－y0).
|k1k2|＝＝＝＝＝，可得3a2＝4c2，从而e＝＝.
9.已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则AP＋AF2的最小值为________.
考点　双曲线的标准方程
题点　求双曲线方程中的最值问题
答案　－2
解析　由题意知，AP＋AF2＝AP＋AF1－2a，要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则AP＋AF1＝PF1＝，
∴AP＋AF2＝AP＋AF1－2a＝－2.
10.设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足·＝0，则＝________.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　求圆锥曲线离心率
答案　2
解析　设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，F1F2＝2c，由题意得PF1＋PF2＝2a1，PF1－PF2＝2a2，所以PF＋PF＝2a＋2a.
又因为·＝0，所以PF1⊥PF2.
所以PF＋PF＝F1F，即2a＋2a＝4c2.
所以2＋2＝2，
即＋＝2，即＝2.
二、解答题
11.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
解　双曲线方程可化为－＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2，∴F2(2,0)，
∵直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－<0，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上.
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴AB＝|x1－x2|
＝
＝·＝6.
12.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－).
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积.
考点　双曲线的几何性质
题点　双曲线中的焦点三角形
(1)解　∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵双曲线过点P(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明　方法一　由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2.
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝ .
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3.
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
方法二　∵＝(－2－3，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0.
∴·＝0.
(3)解　△F1MF2的底F1F2＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
13.已知椭圆＋＝1(a>b>0)和圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.
(1)①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；
②若椭圆上存在点P，使得∠APB＝90°，求椭圆离心率e的取值范围；
(2)设直线AB与x轴，y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，＋是否为定值？请证明你的结论.
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆几何性质的综合应用
解　(1)①因为圆O过椭圆的焦点，圆O：x2＋y2＝b2，所以b＝c，
所以b2＝a2－c2＝c2，a2＝2c2，所以e＝.
②由∠APB＝90°及圆的性质，可得OP＝b，所以OP2＝2b2≤a2，所以a2≤2c2，所以e2≥，≤e<1.
(2)＋的值为定值，证明如下：
设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－，
整理得x0x1＋y0y1＝x＋y.
因为x＋y＝b2，所以x0x1＋y0y1＝b2，
同理x0x2＋y0y2＝b2.
从而直线AB的方程为x0x＋y0y＝b2.
令x＝0，得ON＝|y|＝，
令y＝0，得OM＝|x|＝，
所以＋＝＝＝，
所以＋为定值，定值是.
三、探究与拓展
14.已知椭圆＋＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值为(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围为________.
考点　椭圆的几何性质
题点　求椭圆的离心率范围
答案　
解析　因为PT＝(b＞c)，
而PF2的最小值为a－c，
所以PT的最小值为.
依题意有≥(a－c)，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，
所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①
又b＞c，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以2e2＜1，②
联立①②，得≤e＜.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0,1)，Q(0,2).设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆几何性质的综合应用
(1)解　由题意知b＝＝.
因为离心率e＝＝，
所以＝＝，所以a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明　由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，
则直线PM的方程为y＝x＋1，①
直线QN的方程为y＝x＋2.②
方法一　联立①②解得x＝，y＝，
即T.
由＋＝1，可得x＝8－4y.
因为2＋2＝＝＝＝＝1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.
方法二　设T(x，y).联立①②解得x0＝，y0＝.
因为＋＝1，所以2＋2＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，
所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，
即＋＝1.
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.
章末复习
学习目标　1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.
1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹
平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹
标准方程
＋＝1或＋＝1(a>b>0)
－＝1或－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x
无限延展，没有渐近线
变量范围
|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e＝，且0e＝，且e>1
e＝1
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
2.求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
3.离心率
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.
4.焦点三角形
(1)椭圆的焦点三角形
设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图).
①焦点三角形的面积为S＝b2tan .
②焦点三角形的周长为L＝2a＋2c.
(2)双曲线的焦点三角形
焦点三角形的面积为S＝.
5.直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系，主要是直线与椭圆的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求定值、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，利用“设而不求法”以及“点差法”等.
1.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为.(　√　)
2.抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　×　)
3.若椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则它的长半轴长为2.(　×　)
4.双曲线－＝1(－2类型一　圆锥曲线的定义及应用
例1　设F1，F2为曲线C1：＋＝1的左、右两个焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　圆锥曲线定义的运用
答案　
解析　由椭圆C1与双曲线C2的标准方程可知，
两曲线的焦点相同.
不妨设P点在双曲线C2的右支上.
由椭圆和双曲线的定义，可得
解得
又F1F2＝2＝4，
由余弦定理得cos∠F1PF2＝
＝＝，
∴sin∠F1PF2＝＝，
∴＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝.
反思与感悟　涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.
跟踪训练1　已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是____________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　圆锥曲线定义的运用
答案　直角三角形
解析　设P为双曲线右支上的一点.
对椭圆＋y2＝1(m>1)，c2＝m－1，
PF1＋PF2＝2；
对双曲线－y2＝1，c2＝n＋1，
PF1－PF2＝2.
∴PF1＝＋，PF2＝－，
F1F＝(2c)2＝2(m＋n).
而PF＋PF＝2(m＋n)＝(2c)2＝F1F，
∴△F1PF2是直角三角形.
类型二　圆锥曲线的性质及其应用
例2　(1)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线的斜率为______________.
(2)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率为________.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线的离心率问题
答案　(1)±　(2)
解析　(1)∵a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，
∴C1的离心率为.
∵双曲线C2的方程为－＝1，
∴C2的离心率为.
∵C1与C2的离心率之积为，
∴·＝，
∴2＝，＝±，
∴C2的渐近线的斜率为±.
(2)抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.又△FAB为直角三角形，则只有∠AFB＝90°，如图，则A(－1,2)在双曲线上，代入双曲线方程可得a2＝，于是c＝＝.
故e＝＝.
反思与感悟　有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解.
跟踪训练2　已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围为________.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线的离心率问题
答案　
解析　设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①
将y2＝b2－x2代入①式，解得
x2＝＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
类型三　直线与圆锥曲线的位置关系

例3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M满足MA＝MB，求直线l的斜率k的值.
考点　直线与椭圆
题点　利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题
解　(1)由题意知，PF1＋PF2＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知椭圆的右焦点为F2(1,0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，
两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立直线与椭圆的方程，得
化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0.
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为.
①当k≠0时，AB的中垂线方程为
y－＝－，
因为MA＝MB，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程，得＋＝，
即2k2－7k＋＝0，解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意.
所以斜率k的取值为0，或.
反思与感悟　解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.
跟踪训练3　如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝(，－1)共线.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围.
考点　直线与椭圆
题点　利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题
解　(1)因为2c＝2，所以c＝1.
又＝(－a，b)，且∥n，所以b＝a，
所以2b2＝b2＋1，所以b2＝1，a2＝2.
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直线方程y＝kx＋m代入椭圆方程＋y2＝1，
消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
Δ＝16k2－8m2＋8>0，即m2<2k2＋1.(*)
因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，
所以·<0，即x1x2＋y1y2<0.
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
由＋<0，得m2<k2＋.
依题意且满足(*)得，m2<，
故实数m的取值范围是.

例4　已知椭圆＋＝1，动直线l与椭圆交于B，C两点.若点B的坐标为，求△OBC面积的最大值.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线中的最值问题
解　直线OB的方程为y＝x，即3x－2y＝0，
设经过点C且平行于直线OB的直线l′的方程为y＝x＋b，
则当l′与椭圆只有一个公共点时，△OBC的面积最大.
联立化为3x2＋3bx＋b2－3＝0，
由Δ＝9b2－12(b2－3)＝0，解得b＝±2.
当b＝2时，C；
当b＝－2时，C.
所以△OBC面积的最大值为
××＝.
反思与感悟　圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解.
跟踪训练4　设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝.已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线中的最值问题
解　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，M(x，y)为椭圆上的点，由＝，得a＝2b.
PM2＝x2＋2＝－32＋4b2＋3(－b≤y≤b)，
若b<，则当y＝－b时PM 2最大，即2＝7，
∴b＝－>，故矛盾.
若b≥，当y＝－时，4b2＋3＝7，b2＝1，a2＝4，
所求方程为＋y2＝1.
1.已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　圆锥曲线定义的运用
答案　
解析　因为△ABF2的周长为4a，所以a＝2，得k＝2，
所以e＝＝＝.
2.设椭圆＋＝1 (m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线几何性质的运用
答案　＋＝1
解析　∵y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴＋＝1的右焦点为(2,0)，∴c＝2.
又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴椭圆方程为＋＝1.
3.以抛物线y2＝4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为____________.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线几何性质的运用
答案　x2－＝1
解析　易得抛物线的焦点坐标为(1,0)，
所以双曲线的一个顶点坐标为(1,0).
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a＝1.
又离心率e＝＝2，所以c＝2，
从而b2＝c2－a2＝3.
所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
4.若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离的和是5，则线段AB的中点P到y轴的距离是________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　圆锥曲线定义的运用
答案　2
解析　设l是抛物线的准线，F为抛物线的焦点，A，B，P在l上的投影分别为A1，B1，P1.
则由抛物线的定义可知，AA1＋BB1＝AF＋BF＝5，
所以PP1＝(AA1＋BB1)＝，
所以点P到y轴的距离为d＝－＝2.
5.过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________.
考点　直线与椭圆
题点　利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题
答案　3x＋4y－13＝0
解析　设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由于A，B两点均在椭圆上，故＋＝1，＋＝1，
两式相减得
＋＝0.
又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3).
即3x＋4y－13＝0.

在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”思想，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题.
一、填空题
1.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若BF2＝F1F2＝2，则该椭圆的方程为____________.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线几何性质的运用
答案　＋＝1
解析　∵BF2＝F1F2＝2，∴a＝2c＝2，
∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.
2.已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是____________.
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
答案　y＝±x
解析　∵y2＝8x的焦点是(2,0)，
∴双曲线 －y2＝1的半焦距c＝2，又虚半轴长b＝1且a>0，∴a＝＝，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.
3.若曲线＋＝1的一条准线方程为x＝10，则m的值为________.
考点　圆锥曲线的准线
题点　准线方程的运用
答案　6或86
解析　∵此曲线为焦点在x轴上的椭圆，
∴a2＝m＋4，c＝＝.
而一条准线方程为x＝10，
∴＝10，解得m＝6或86.
4.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线的离心率问题
答案　
解析　不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则有即
①÷②得e＝.
5.设P是椭圆＋＝1上的任意一点，又点Q的坐标为(0，－4)，则PQ的最大值为________.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线中的最值问题
答案　8
解析　设P的坐标为(x，y)，
则PQ2＝x2＋(y＋4)2＝25＋(y＋4)2
＝－2＋(－4≤y≤4)，
当y＝4时，PQ2最大，
此时PQ最大，且PQ的最大值为
＝8.
6.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为__________.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线的离心率问题
答案　
解析　不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则可令F(c,0)，B(0，b).
直线FB：bx＋cy－bc＝0与渐近线y＝x垂直，
所以－·＝－1，即b2＝ac，
所以c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，
所以e＝或e＝(舍去).
7.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上一点P(1，m)到焦点的距离为5，则m的值为________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　圆锥曲线定义的运用
答案　±4
解析　由抛物线的定义知，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以1＋＝5，p＝8，故抛物线的方程为y2＝16x.将点P(1，m)代入方程，得m＝±4.
8.设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF1＝3，则PF2＝________.
考点　圆锥曲线的定义
题点　圆锥曲线定义的运用
答案　7
解析　双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
即＝，又b2＝9，∴a＝2.
由双曲线定义知，|PF1－PF2|＝2a＝4，
∴PF2＝7.
9.点P在椭圆x2＋＝1上，点Q在直线y＝x＋4上，若PQ的最小值为，则m＝________.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线中的最值问题
答案　3
解析　根据题意，与直线y＝x＋4平行且距离为的直线方程为y＝x＋2或y＝x＋6(舍去)，
联立消去y，得(m＋1)x2＋4x＋4－m＝0，
令Δ＝16－4(m＋1)(4－m)＝0，
解得m＝0或m＝3，∵m>0，∴m＝3.
10.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设＝e，则该椭圆的离心率e＝________.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线的离心率问题
答案　
解析　因为点A，B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴的交点，所以点A，B的坐标分别是，(0，a).
设点M的坐标是(x0，y0)，由＝e，
得(*)
因为点M在椭圆上，所以＋＝1，
将(*)式代入，得＋＝1，
整理得e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去).
二、解答题
11.在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB＝8，BC＝6，其中A(－4,0)，B(4,0).
(1)若A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，求该椭圆的方程；
(2)若A，B为双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，求双曲线的方程.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线几何性质的运用
解　(1)∵A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，
根据椭圆的定义知，CA＋CB＝16＝2a，∴a＝8.
在椭圆中，b2＝a2－c2＝64－16＝48，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)∵A，B是双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，
根据双曲线的定义知，CA－CB＝4＝2a′，∴a′＝2.
在双曲线中，b′2＝c′2－a′2＝16－4＝12，
∴双曲线方程为－＝1.
12.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点N(－，1)在椭圆上，线段NF2与y轴的交点M满足＋＝0.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积.
考点　圆锥曲线的定义
题点　圆锥曲线定义的运用，焦点三角形
解　(1)由已知，点N(－，1)在椭圆上，
∴有＋＝1，①
又∵＋＝0，M在y轴上，∴M为NF2的中点，
∴－＋c＝0，c＝.
∴a2－b2＝2，②
由①②解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4，
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设PF1＝m，PF2＝n，
则S△F1PF2＝mnsin ＝mn.
由椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a，即m＋n＝4.③
又由余弦定理得PF＋PF－2PF1·PF2cos ＝F1F，
即m2＋n2－mn＝(2)2.④
由③2－④，得mn＝，∴S△F1PF2＝.
13.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个顶点坐标为A(0，)，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E相切于点P，且与直线x＝4相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆过定点N(1，0).
考点　直线与椭圆
题点　利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题
(1)解　由已知可得∴a2＝4，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
(2)证明　联立方程＋＝1与y＝kx＋m，消元得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∵曲线E与直线只有一个公共点，
∴Δ＝0，化简可得m2＝4k2＋3，故m≠0.
设P(xP，yP)，故xP＝＝－，
yP＝kxP＋m＝，故P.
又由得Q(4,4k＋m).
∵N(1,0)，＝，＝(3,4k＋m)，
∴·＝3＋－－3＝0，∴⊥，
∴以PQ为直径的圆过定点N(1,0).
三、探究与拓展
14.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点.若AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，则椭圆C的离心率为________.
考点　圆锥曲线的几何性质
题点　圆锥曲线的离心率问题
答案　
解析　设AB＝3t(t＞0)，则BF2＝4t，AF2＝5t，则AB＋BF2＋AF2＝12t.
因为AB＋BF2＋AF2＝4a，所以12t＝4a，即t＝a.
又F1A＋AF2＝2a，
所以F1A＝2a－a＝a，F1B＝a，BF2＝a.
由AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，知AB⊥BF2，
故F1B2＋BF＝4c2，
即2＋2＝4c2，得a2＝c2.
所以e2＝＝，即e＝.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点.
(1)若点C的坐标为，求a，b的值；
(2)设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且＝，求直线AB的斜率.
考点　直线与椭圆
题点　利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题
解　(1)因为椭圆的离心率为，所以＝，
即＝.①
又因为点C在椭圆上，所以＋＝1.②
由①②解得a2＝9，b2＝5.
因为a>b>0，所以a＝3，b＝.
(2)由①知，＝，
所以椭圆方程为＋＝1，即5x2＋9y2＝5a2.
设直线OC的方程为x＝my(m>0)，B(x1，y1)，C(x2，y2).
由得5m2y2＋9y2＝5a2，
所以y2＝.
因为y2>0，所以y2＝.
因为＝，所以AB∥OC.
可设直线AB的方程为x＝my－a.
由得(5m2＋9)y2－10amy＝0，
所以y＝0或y＝，得y1＝.
因为＝，
所以(x1＋a，y1)＝，于是y2＝2y1，
即＝(m>0)，所以m＝.
所以直线AB的斜率为＝.
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1.平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1的离心率是________.
考点　圆锥曲线几何性质
题点　离心率问题
答案　
解析　由题意可知，a＝2，b＝，c＝＝1，
由椭圆的离心率e＝＝.
2.双曲线－＝1的两条渐近线的方程为__________.
考点　圆锥曲线几何性质
题点　求双曲线渐近线方程
答案　y＝±x
解析　由双曲线方程可知a＝4，b＝3，所以两条渐近线方程为y＝±x.
3.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为________.
考点　圆锥曲线几何性质
题点　离心率问题
答案　
解析　设双曲线的方程为－＝1，
则它的渐近线方程为y＝±x，故＝，
因此离心率为e＝＝＝.
4.双曲线x2－y2＝a2(a>0)的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝________.
考点　圆锥曲线方程
题点　焦点问题
答案　
解析　双曲线x2－y2＝a2的右焦点的坐标为(a,0)，抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，从而a＝1，故a＝.
5.若双曲线的顶点为椭圆x2＋＝1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的标准方程为__________.
考点　圆锥曲线几何性质
题点　由离心率问题求曲线方程
答案　－＝1
解析　由椭圆x2＋＝1的离心率为，则双曲线的离心率为，且双曲线的顶点为(0，±)，故双曲线的标准方程为－＝1.
6.双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是__________.
考点　圆锥曲线几何性质
题点　离心率问题
答案　m>1
解析　由e2＝2＝＝1＋m>2，得m>1.
7.如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点.若F1F2＝F1A，则椭圆C2的离心率是________.
考点　圆锥曲线方程
题点　求离心率问题
答案　
解析　由题意知，F1F2＝F1A＝4.
∵F1A－F2A＝2，∴F2A＝2，
∴F1A＋F2A＝6，又∵F1F2＝4，
∴椭圆C2的离心率是＝.
8.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线方程为______________.
考点　圆锥曲线几何性质
题点　求双曲线方程
答案　－＝1
解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
又渐近线过点(2，)，所以＝，即2b＝a.①
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，
由已知得＝，即a2＋b2＝7，②
联立①②解得a2＝4，b2＝3，
所以双曲线方程为－＝1.
9.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足PF1∶F1F2∶PF2＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率为________.
考点　圆锥曲线方程
题点　求离心率问题
答案　或
解析　由题意可设PF1＝4m，F1F2＝3m，PF2＝2m.
当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a＝PF1＋PF2＝4m＋2m＝6m，焦距为2c＝F1F2＝3m，
所以离心率e＝＝＝＝；
当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a＝PF1－PF2＝4m－2m＝2m，焦距为2c＝F1F2＝3m，
所以离心率e＝＝＝＝.
故e＝或.
10.已知二次曲线－＝1(k<3，k≠0)与＋＝1，则下列说法正确的是________.(填序号)
①有不同的顶点；②有不同的准线；③有相同的焦点；④有相同的离心率.
考点　圆锥曲线方程
题点　几何性质判断
答案　③
解析　当0∴两曲线有相同的焦点；
当k<0时，3－k>－k>0，
∴＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆.
a2＝3－k，b2＝－k.
∴a2－b2＝3＝c2，与已知椭圆有相同的焦点.
综上，二次曲线－＝1与＋＝1有相同的焦点.
11.椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是________________.
考点　圆锥曲线定义
题点　圆锥曲线定义的运用
答案　(0,3)或(0，－3)
解析　∵PF1＋PF2＝2a＝10，
∴PF1·PF2≤2＝25.
当且仅当PF1＝PF2＝5时，取得最大值，
此时P点是短轴端点，即P点坐标是(0,3)或(0，－3).
12.已知点A(0,2)，B(2,0).若点C在抛物线x2＝y的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为________.
考点　圆锥曲线定义
题点　圆锥曲线定义的运用
答案　4
解析　由已知可得AB＝2，要使S△ABC＝2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：x＋y－2＝0，所以有＝，所以x2＋x－2＝±2，
当x2＋x－2＝2时，有两个不同的C点；
当x2＋x－2＝－2时，亦有两个不同的C点.
因此满足条件的C点有4个.
13.过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.
答案　
解析　椭圆＋＝1的右焦点为(1,0)，
所以直线方程为y＝2(x－1).
联立得3y2＋2y－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y1，y2是3y2＋2y－8＝0的两根，
所以y1＝－2，y2＝.
所以S△OAB＝S△OFA＋S△OFB＝OF·|y1－y2|
＝×1×＝.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＋＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________.
考点　直线与圆锥曲线关系
题点　求离心率问题
答案　2－5
解析　直线A1B2的方程为＋＝1；
直线B1F的方程为＋＝1.
二者联立解得T，
又M在椭圆＋＝1(a>b>0)上，
故＋＝1，e2＋10e－3＝0，
解得e＝2－5或e＝－2－5.
又0二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15.(14分)已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和这个椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的标准方程.
考点　圆锥曲线几何性质
题点　求圆锥曲线方程
解　①若焦点在x轴上，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，c＝.
设双曲线方程为－＝1，m＝a－4.
∵＝，易得a＝7，m＝3.∴b2＝36，n2＝4.
∴椭圆的标准方程为＋＝1，
双曲线的标准方程为－＝1.
②若焦点在y轴上，同理可得椭圆的标准方程为＋＝1，双曲线的标准方程为－＝1.
16.(14分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线l交抛物线于A，B两点，且AB＝5.
(1)求此抛物线方程；
(2)若M(1,2)是抛物线上一点，求·的值.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　求抛物线方程和其他运算
解　(1)因为焦点坐标为F，
所以直线l的方程为y＝2.
由消去y，得4x2－6px＋p2＝0.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
∴AB＝x1＋x2＋p＝＝5，
∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)方程①化为x2－3x＋1＝0，
∴x1＋x2＝3，x1x2＝1，直线l的方程为y＝2x－2，
∴·＝(x1－1，y1－2)(x2－1，y2－2)
＝(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)
＝(x1－1)(x2－1)＋(2x1－4)(2x2－4)
＝5x1x2－9(x1＋x2)＋17＝5－27＋17＝－5.
17.(14分)如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值.
考点　圆锥曲线定义
题点　圆锥曲线定义的运用
解　(1)∠F1AF2＝60°?a＝2c?e＝＝.
(2)设BF2＝m，则BF1＝2a－m，
在△BF1F2中，BF＝BF＋F1F－2BF2·F1F2·cos 120°?(2a－m)2＝m2＋a2＋am?m＝a.
△AF1B的面积为S＝F1A·BA·sin 60°
?×a××＝40?a＝10，
∴c＝5，b＝5.
综上a＝10，b＝5.
18.(16分)已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别与双曲线C1的两条渐近线相交于A，B两点.当·＝3时，求实数m的值.
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线位置关系的运用
解　(1)∵双曲线C1：x2－＝1，
∴焦点坐标为(，0)，(－，0).
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)，
∴解得
∴双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2)双曲线C1的两条渐近线为y＝2x，y＝－2x.
由可得x＝m，y＝2m，∴A(m,2m).
由可得x＝－m，y＝m，
∴B.
∴·＝－m2＋m2＝m2.
∵·＝3，∴m2＝3，∴m＝±.
19.(16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且·＝－b2.
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知a＝2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥DC.记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值.
考点　椭圆方程与几何性质
题点　椭圆方程与几何性质的综合运用
解　(1)A(a,0)，B(0，b)，
由M为线段AB的中点得M.
所以＝，＝(－a，b).
因为·＝－b2，
所以·(－a，b)＝－＋＝－b2，
整理得a2＝4b2，即a＝2b.
因为a2＝b2＋c2，所以c＝b.
所以椭圆的离心率e＝＝.
(2)方法一　由a＝2，得b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1.
从而A(2,0)，B(0,1)，直线AB的斜率为－.
因为AB∥DC，故可设DC的方程为y＝－x＋m.
设D(x1，y1)，C(x2，y2).
联立消去y，得x2－2mx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝2m，从而x1＝2m－x2.
直线AD的斜率k1＝＝，直线BC的斜率k2＝＝，
所以k1·k2＝·
＝
＝
＝
＝＝，
即k1·k2为定值.
方法二　由a＝2，得b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1.
从而A(2,0)，B(0,1)，直线AB的斜率为－.
设C(x0，y0)，则＋y＝1.
因为AB∥CD，故CD的方程为y＝－(x－x0)＋y0.
联立
消去y，得x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，
解得x＝x0(舍去)或x＝2y0.
所以点D的坐标为.
所以k1·k2＝·＝，
即k1·k2为定值.
20.(16分)如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足＝λ(λ∈R)，PO⊥F2M，O为坐标原点.
(1)若椭圆方程为＋＝1，且P(2，)，求点M的横坐标；
(2)若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围.
考点　椭圆方程与几何性质
题点　椭圆方程与几何性质的综合运用
解　(1)∵＋＝1，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴kOP＝，kF2M＝－，kF1M＝，
∴直线F2M的方程为y＝－(x－2)，直线F1M的方程为y＝(x＋2)，
由解得x＝.
∴点M的横坐标为.
(2)设P(x0，y0)，M(xM，yM)，
∵＝2，∴＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，
∴M，＝，
∵PO⊥F2M，＝(x0，y0)，
∴x0＋y＝0，
即x＋y＝2cx0，
联立方程
消去y0，得c2x－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0，
解得x0＝或x0＝，
∵－a∴0.
综上，椭圆离心率e的取值范围为.