模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1.命题“?x∈R，x2＋x≤0”的否定是__________________.
答案 ?x∈R，x2＋x>0
2.双曲线x2－＝1的渐近线方程为______________.
答案 y＝±2x
解析 令x2－＝0，得y＝±2x，即为双曲线x2－＝1的渐近线方程.
3.曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________.
答案 2x－y＋1＝0
解析 y＝x3－x＋3，所以y′＝3x2－1，当x＝1时，k＝2，由点斜式方程得y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
4.命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.
答案 2
解析 若a>b，c2＝0，则ac2＝bc2.所以原命题为假.若ac2>bc2，则c2≠0且c2>0，则a>b.所以逆命题为真.又因为逆命题与否命题等价，所以否命题也为真.又因为，逆否命题与原命题等价，所以逆否命题为假.
5.已知椭圆＋＝1的一个焦点为F(3,0)，则m＝______.
答案 7
解析 由题意，知16－m＝32，解得m＝7.
6.若抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点，则抛物线方程为________.
答案 y2＝－12x
解析 双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则－＝－3，
∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x.
7.下列有关命题的说法错误的序号是________.
①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；
②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；
③命题“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”；
④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题.
答案 ①②③
解析 对于①，否命题为“若x2≠1，则x≠1”，错误；
对于②，当x＝－1时，x2－5x－6＝0成立；反过来，当x2－5x－6＝0成立时，x＝－1或6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，错误；
对于③，否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，错误；
对于④，原命题显然为真命题，所以其逆否命题也是真命题，正确.
8.若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为________.
答案 －2
解析 若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则集合{x|x＜m}是集合{x|x＜－2或x＞4}的真子集，所以m≤－2，即m的最大值为－2.
9.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为____________________________________.
答案
解析 ∵AF＋BF＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
10.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高为________ cm.
答案
解析 设圆锥的体积为V cm3，高为h cm，
则V＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，
∴V′＝π(400－3h2)，
由V′＝0，得h＝，
∴当h＝ cm时，V最大.
11.已知f(x)＝(2x－x2)ex，给出以下四个结论：
①f(x)>0的解集是{x|0
其中判断正确的是________.(填序号)
答案 ①②④
解析 f(x)>0,2x－x2>0,00，f(x)单调递增，所以f(－)是极小值，f()是极大值，故②正确；由题意知，f()为最大值，且无最小值，故③错误，④正确.
12.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为________.
答案
解析 如图，双曲线的焦点到渐近线的距离为b，点M的坐标为，由MN＝MF，可得b＝，所以a＝b，离心率为.
13.设F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x＝ma(m>1)上存在一点P，使△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则实数m的取值范围为________.
答案 (1,2)
解析 因为F1F2＝2c，所以PF2＝2c.
又△F2PF1为底角为30°的等腰三角形，
所以∠PF2F1＝120°.
设直线x＝ma与x轴交于点D，所以∠PF2D＝60°，
即F2D＝c，所以ma－c＝c，
即m＝＝2e∈(0,2)，
又m>1，所以m∈(1,2).
14.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个等边三角形，那么这两个等边三角形的面积之和的最小值是________ cm2.
答案 2
解析 设其中一段为x cm，则面积之和S＝2＋2＝(x2－12x＋72)，S′＝(x－6).
令S′＝0，得x＝6.
当x＜6时，S′＜0；当x＞6时，S′＞0.
所以当x＝6时，Smin＝2 (cm2).
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15.(14分)已知p：1<2x<8；q：不等式x2－mx＋4≥0恒成立，若綈p是綈q的必要条件，求实数m的取值范围.
解 p：1<2x<8，即0因为綈p是綈q的必要条件，
所以p是q的充分条件，
所以不等式x2－mx＋4≥0对?x∈(0,3)恒成立，
所以m≤＝x＋对?x∈(0,3)恒成立，
所以x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，等号成立.
所以m≤4.即实数m的取值范围为(－∞，4].
16.(14分)设命题p：已知函数f(x)＝x2－ax＋1，?x0∈R，?y0>0，使得f(x0)＝y0；命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围.
解 若命题p为真，?x0∈R，?y0>0，使得f(x0)＝y0等价于?x∈R，f(x)>0恒成立，
所以Δ＝a2－4<0?－2若命题q为真，则
(1)当a＝0时，y＝lg(－x)的定义域不为R，舍去；
(2)当a≠0时，y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R等价于?x∈R，ax2－x＋a>0恒成立，
则得a>，
综上，当命题q为真时，a>；
又因为“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，
所以p，q一真一假；
①当p真q假时，－2②当p假q真时，a≥2.
综上，实数a的取值范围是∪[2，＋∞).
17.(14分)设A1，A2与B分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2＋y2＝1相切.
(1)求证：＋＝1；
(2)P是椭圆E上异于A1，A2的一点，直线PA1，PA2的斜率之积为－，求椭圆E的方程.
(1)证明 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，
A1，A2与B分别是椭圆E的左、右顶点与上顶点，
所以A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，直线A2B的方程是＋＝1.
因为直线A2B与圆C：x2＋y2＝1相切，
所以＝1，即＋＝1.
(2)解 设P(x0，y0)，则直线PA1，PA2的斜率之积为kPA1·kPA2＝·＝＝－，
所以＋＝1.
又P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
所以b2＝a2.
结合＋＝1，得a2＝4，b2＝.
所以椭圆E的方程为＋＝1.
18.(16分)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
(1)解 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，
知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘?
极小值
↗?
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a).
(2)证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)的最小值为
g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R上单调递增.
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0).
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
19.(16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点.过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m＞a)于点M.已知点B(1,0)，直线PB交l于点N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值.
解 (1)因为椭圆C的离心率为，所以a2＝4b2.
又因为椭圆C过点，所以＋＝1，
解得a2＝4，b2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)方法一 设P(x0，y0)，－2＜x0＜2，x0≠1，
则＋y＝1.
因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2－x0，－y0)，
所以2－x0＝m.
由A(－2,0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y＝(x＋2)，
令x＝m，得y＝，即M.
因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，
即·＝－1，
即＝－1.
因为＋y＝1，所以＝1.
因为x0＝2－m，所以化简得3m2－10m＋4＝0，
解得m＝.
因为m＞2，所以m＝.
方法二 ①当AP的斜率不存在或为0时，不满足条件.
②设AP的斜率为k，则AP：y＝k(x＋2)，
联立消去y，得
(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
因为xA＝－2，所以xP＝，所以yP＝，
所以P.
因为PN的中点为B，所以m＝2－＝.(*)
因为AP交直线l于点M，所以M(m，k(m＋2))，
因为直线PB与x轴不垂直，
所以≠1，即k2≠，
所以kPB＝＝，kMB＝.
因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，
所以·＝－1.(**)
将(*)代入(**)，化简得48k4－32k2＋1＝0，
解得k2＝，所以m＝＝.
又因为m＞2，所以m＝.
20.(16分)已知函数f(x)＝ln x，h(x)＝ax(a∈R).
(1)函数f(x)与h(x)的图象无公共点，试求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数m，使得对任意的x∈，都有函数y＝f(x)＋的图象在g(x)＝的图象的下方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说明理由.
(参考数据：ln 2＝0.693 1，ln 3＝1.098 6，＝1.648 7，＝1.395 6).
解 (1)函数f(x)与h(x)无公共点，等价于方程＝a在(0，＋∞)上无解.
令t(x)＝，则t′(x)＝，令t′(x)＝0，得x＝e.
当x变化时，t′(x)，t(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
t′(x)
＋
0
－
t(x)
?↗
极大值
↘?
因为x＝e是唯一的极大值点，故t(x)max＝t(e)＝，
故要使方程＝a在(0，＋∞)上无解，当且仅当a>，
故实数a的取值范围为.
(2)假设存在实数m满足题意，则不等式ln x＋<对x∈恒成立.
即m令r(x)＝ex－xln x，则r′(x)＝ex－ln x－1，
令φ(x)＝ex－ln x－1，则φ′(x)＝ex－，
因为φ′(x)在上单调递增，φ′＝e－2<0，φ′(1)＝e－1>0，且φ′(x)的图象在上连续，所以存在x0∈，使得φ′(x0)＝0，即ex0－＝0，则x0＝－ln x0，
所以当x∈时，φ(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)单调递增，
则φ(x)取到最小值φ(x0)＝ex0－ln x0－1＝x0＋－1≥2－1＝1>0，
所以r′(x)>0，即r(x)在区间上单调递增.
m≤r＝－ln ＝＋ln 2＝1.995 25，
所以存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1.
1 巧用法则求导数
导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用.那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明.
1.函数和(或差)的求导法则
(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)
例1 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝＋ln x；
(2)y＝x3－2x＋3.
解 (1)f′(x)＝－＋.
(2)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.
点评 记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导.
2.函数积的求导法则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
例2 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2ex；
(2)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3).
解 (1)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′
＝2xex＋x2ex.
(2)f′(x)＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)·(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
点评 特别要注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x).同时要记住结论：若C为常数，则[Cf(x)]′＝Cf′(x)，由此进一步可以得到[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).
3.函数商的求导法则
′＝(g(x)≠0)
例3 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝tan x；
(3)f(x)＝＋ .
解 (1)f′(x)＝′＝
＝.
(2)f′(x)＝(tan x)′＝′
＝＝.
(3)因为f(x)＝＋＝
＝，
所以f′(x)＝′＝＝.
点评 应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率.
4.分式求导
对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决.
例4 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝.
解 (1)因为y＝＝x－1＋，
所以y′＝1＋＝1－.
(2)因为y＝＝x2＋x3＋x4，
所以y′＝2x＋3x2＋4x3.
点评 本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”.
2 导数计算中的“陷阱”
导数的计算是导数学习中的一个重要方面.但由于同学们不能熟记公式及法则，不能理解公式中的对应量的含义，不能灵活的运用化简及变形技巧而导致各种错误.现对求导过程中的常见错误进行梳理，希望对同学们有所帮助.
1.未能区分好变量与常量而致错
例1 求f(x)＝ax＋cos a的导数(其中a为常数).
错解 f′(x)＝axln a－sin a.
错因分析 本题错在忽视变量ax与常量cos a的不同，常量的导数应为0.
正解 f′(x)＝axln a.
2.忽视导数定义中严谨结构
例2 已知函数f(x)＝2x3＋5，求当Δx→0时，趋近于何值.
错解一 因为＝
＝＝24＋12Δx＋2Δx2.
当Δx→0时，→24.所以→24.
错解二 因为＝24＋12Δx＋2Δx2，当Δx→0时，→24.
所以→3×24＝72.
错因分析 未能把握导数定义中Δy与Δx的严格对应关系，实际上中增量Δx分子与分母要一致，这与用哪个字母没关系.
正解 因为＝24＋12Δx＋2Δx2，
当Δx→0时，→24.
所以→(－3)×24＝－72.
3.混淆函数的导函数与函数在某一点处的导数
例3 已知f(x)＝，求f′(2 015).
错解 ∵f(2 015)＝＝0，
∴f′(2 015)＝(0)′＝0.
错因分析 f′(2 015)表示的含义不是在一点处的函数值的导数，应先求f′(x)，再求f′(2 015).
正解 ∵f′(x)＝，
∴f′(2 015)＝－＝－.
指点迷津 上述的错误都说明了对导数定义及运算规律不理解，因此大家学习中应注重基础，注重知识生成及本质规律.错误并不可怕，可怕的是舍本逐末，不吸取教训.
3 导数运算的常用技巧
同学们是否有这样的感受，求导公式及运算法则已经背得很熟但在求某些函数的导数时，仍然很困难，甚至无从下手？
虽然掌握了基础知识，但还要掌握一定的方法和技巧，方能彻底解决问题，下面举几例来说明.
1.多项式函数展开处理
例1 求f(x)＝(x－3)(x－2)(x－1)的导数.
分析 若f(x)的表达式为两个因式相乘可以展开求导，也可以不展开而利用积的求导法则，但三个因式相乘最佳方法就是先展开再求导.
解 ∵f(x)＝(x－3)(x－2)(x－1)＝x3－6x2＋11x－6，
∴f′(x)＝3x2－12x＋11.
2.分式函数化整式函数
例2 求函数f(x)＝的导数.
分析 如果直接利用积与商的求导法则，运算将很烦琐，不如先看分子、分母有无公因式可约分.
解 ∵f(x)＝＝
＝x2＋1(x≠－2).∴f′(x)＝(x2＋1)′＝2x(x≠－2).
3.无理函数化有理函数
例3 求函数y＝＋的导数.
分析 直接利用商的求导法则，运算量很大，且容易出错，不妨先通分变“无理”为“有理”.
解 ∵y＝＝＝－2，
∴y′＝′＝－＝.
整体总评 上述三个实例虽然细节处理不相同，但都体现了化归思想这一重要方法，先变形(化简)再解决问题；当然化归是为了更简捷、更方便处理问题，化归不一定要化简到最简单，而是化归到最合适.比如求tan x的导数，tan x本身形式已较简单，但仍然用不上所学知识，因此可考虑将tan x变形为，从而使问题得到解决，总之同学们要明确化归的目的，是为更容易用所学知识解决问题.
4 利用导数求切线方程
曲线的切线问题是高考的常见题型之一.而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法.现对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳.
1.已知切点，求曲线的切线方程
此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可.
例1 曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为________________.
解析 由f′(x)＝3x2－6x知，
在点(1，－1)处的斜率k＝f′(1)＝－3.
所以切线方程为y－(－1)＝－3(x－1)，
即y＝－3x＋2.
答案 y＝－3x＋2
2.已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.
例2 求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程.
解 设P(x0，y0)为切点，
则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.
所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)·(x－x0).
又知切线过点(1，－1)，
所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0).
解得x0＝1或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，
或y－＝·，
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
点评 可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以为切点的直线.这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点.
3.已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解.
例3 求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程.
解 设P(x0，y0)为切点，
则切线的斜率为f′(x0)＝－.
所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)，
即y－＝－(x－x0).
又已知切线过点(2,0)，代入上述方程，
得－＝－(2－x0).
解得x0＝1，y0＝＝1，即x＋y－2＝0.
点评 点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性.
4.求两条曲线的公切线
例4 已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－x2＋4x－4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程.
分析 设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解.
解 设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－x＋4x2－4).由C1：y＝x2，得y′＝2x，
则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，
即y＝2x1x－x，由C2：y＝－x2＋4x－4，得y′＝－2x＋4，
则与C2相切于点Q的切线方程为
y＝－2(x2－2)x＋x－4.
因为两切线重合，所以2x1＝－2(x2－2)，且－x＝x－4，
解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.
所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
点评 公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解.
5 导数中的构造函数问题
对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式.
题型一 作差变形构造函数
例1 f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x＞0时，x2＜ex.
(1)解 由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.
因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，
所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2，
令f′(x)＝0，得x＝ln 2，
当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.
所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值.
(2)证明 令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0，
故g(x)在R上单调递增.
所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜ex.
题型二 分拆变形构造函数
例2 已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R).
(1)若对于任意x∈[e，e2]，都有f(x)<4ln x成立，求k的取值范围；
(2)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2(1)解 由题意，得f(x)－4ln x<0，
即问题转化为(x－4)ln x－(k＋1)x<0对于x∈[e，e2]恒成立，
即k＋1>对于x∈[e，e2]恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝，
令t(x)＝4ln x＋x－4，x∈[e，e2]，则t′(x)＝＋1>0，
所以t(x)在区间[e，e2]上单调递增，故t(x)min＝t(e)＝e－4＋4＝e>0，故g′(x)>0，
所以g(x)在区间[e，e2]上单调递增，函数g(x)max＝g(e2)＝2－.
要使k＋1>对于x∈[e，e2]恒成立，
只要k＋1>g(x)max，
所以k＋1>2－，
即实数k的取值范围为.
(2)证明 因为f(x1)＝f(x2)，
由(1)知，函数f(x)在区间(0，ek)上单调递减，在区间(ek，＋∞)上单调递增，且f(ek＋1)＝0.
不妨设x1要证x1x2只要证x2<，
即证ek因为f(x)在区间(ek，＋∞)上单调递增，
所以f(x2)又f(x1)＝f(x2)，即证f(x1)构造函数h(x)＝f(x)－f?
＝(ln x－k－1)x－，
即h(x)＝xln x－(k＋1)x＋e2k，x∈(0，ek).
h′(x)＝ln x＋1－(k＋1)＋e2k
＝(ln x－k)，
因为x∈(0，ek)，所以ln x－k<0，x20，
所以函数h(x)在区间(0，ek)上单调递增，
故h(x)而h(ek)＝f(ek)－f?＝0，故h(x)<0，
所以f(x1)所以x1x2题型三 换元变形构造函数
例3 已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)，g(x)＝.若k(x)＝f(x)－g(x)恰有三个不同的零点x1，x2，x3(x1(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：2＝1.
(1)解 由题意可得，关于x的方程＝ax＋ln x在(0，＋∞)上有三个不同的解.
即关于x的方程a＝－在(0，＋∞)上有三个不同的解.
令h(x)＝－，x∈(0，＋∞).
所以h′(x)＝－
＝.
显然，当x∈(0，＋∞)时，2x－ln x>0，证明如下：
令y＝2x－ln x(x>0)，y′＝2－＝.
当x∈时，y′<0，函数y＝2x－ln x在上单调递减；
当x∈时，y′>0，函数y＝2x－ln x在上单调递增.
所以当x＝时，y＝2x－ln x取得最小值1－ln .
所以当x∈(0，＋∞)时，2x－ln x>0.
令h′(x)＝0，可得x＝1或e.
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，e)
e
(e，＋∞)
h′(x)
－
0
＋
0
－
h(x)
?↘
极小值
?↗
极大值
?↘
h(x)的极小值为h(1)＝1，h(x)的最大值为h(e)＝－，
所以实数a的取值范围为.
(2)证明 由(1)可知，当0a＝－＝－.
令t＝，则a＝－t，
即t2＋(a－1)t＋1－a＝0，t1＋t2＝1－a<0，t1t2＝1－a<0.
不妨设t1又t(x)＝(x>0)，t′(x)＝，
当x∈(0，e)时，t′(x)>0，t(x)在(0，e)上单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，t′(x)<0，t(x)在(e，＋∞)上单调递减.
显然，当x∈(0,1)时，t(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，t(x)>0.
所以t1＝，t2＝＝.
所以2
＝22
＝(1－t1)2(1－t2)(1－t2)＝2
＝2
＝2＝1.
即2＝1.
6 导数中的分类讨论思想
分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？
1.按导数为零的根的大小来分类
例1 设函数f(x)＝－x(x－a)2(x∈R)，其中a∈R且a≠0，求函数f(x)的极大值和极小值.
解 f′(x)＝－(3x－a)(x－a)，令f′(x)＝0，
解得x＝a或x＝.
当a>，即a>0，x∈时，f′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极小值－a3，在x＝a处取得极大值0.
当a<，即a<0，x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极大值－a3，在x＝a处取得极小值0.
点评 本题对f(x)求导后，得到一个二次函数，令f′(x)＝0得到的两个根是含有参数的，因此应按两个根的大小来分类.
2.按是否为二次函数来分类
例2 已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1，讨论f(x)的单调性.
解 f′(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，
(1)当a＝0时，h(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增.
(2)当a≠0时，由f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，
①当a＝，即x1＝x2时，h(x)≥0恒成立，
此时f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当01>0，
x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)单调递增，
x∈时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减；
③当a<0时，－1<0<1，
x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增；
当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0点评 由于f′(x)的分子是一个二次项含参的函数，因此在分类讨论时，首先应按a是否为零，即该函数是否为二次函数来分类，然后当a≠0时，再按根的大小来分类(与例1类似)，另外，应注意参数的范围.
3.按最值来分类
例3 设函数f(x)＝ex－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围.
解 令g(x)＝f(x)－ax，
则g′(x)＝f′(x)－a＝ex＋e－x－a，
由于ex＋e－x＝ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立)，
所以当a≤2时，g′(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，
故g(x)在(0，＋∞)上为增函数.
所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax.
当a>2时，方程g′(x)＝0的根为x1＝ln <0，
x2＝ln >0，
此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数.
所以当x∈(0，x2)时，g(x)即f(x)综上所述，满足条件的实数a的取值范围为(－∞，2].
点评 本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论.
小结 通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：
(1)要有明确的分类标准；
(2)分类要不重复、不遗漏；
(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.
分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论.
7 “极值点类型”大揭密
通过求导，我们能够探索函数极值的情况，根据对多种题型的分析，可从极值的有无和多少进行分类，有的函数仅有唯一极值点，有的函数无极值点，有的却有两个或两个以上的极值点，这些数量的不同从哪里体现出来呢？下面通过三个实例来讨论.
1.破解无极值点类型
例1 若已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a>0)在x∈(－1,1)内没有极值点，试求实数a的取值范围.
分析 “没有极值点”即导数方程在区间(－1,1)内无解；在实数集上无解，或在实数集上有解但其根均在区间(－1,1)之外.
解析 由题意，得f′(x)＝3x2＋2ax－a2，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－a.
依题意知，两根不在区间(－1,1)内，则
所以a≥3，因此a的取值范围为[3，＋∞).
点评 本题还可以利用补集思想，先求出函数在(－1,1)内有极值点时a的取值范围，再取其补集即可.
2.破解唯一极值点类型
例2 若函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b，其中a，b∈R，仅在x＝0处存在极值，则实数a的取值范围是________.
分析 问题中的“仅”即“存在且唯一”的意思，由此可得对应符号语言.
解析 由题意f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)，而已知函数f(x)仅在x＝0处存在极值，这说明方程4x2＋3ax＋4＝0要么无解，要么有两个相同实数根，因此它的判别式Δ＝(3a)2－64≤0，解得－≤a≤，即a的取值范围是.
答案
点评 对于导函数为三次函数的情形，要充分对三次式进行因式分解，这样便于显现出f′(x)＝0的根的情况.
3.破解多个极值点类型
例3 如果函数f(x)＝ax5－bx3＋c(a>0)在x＝±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a，b，c的值.
分析 本题主要考查利用函数的极值来确定参数的值，解决本题的关键是运用待定系数法求a，b，c的值.
解 ∵y′＝5ax4－3bx2，令y′＝0，即5ax4－3bx2＝0，
∴x2(5ax2－3b)＝0.
∴x2＝0或5ax2－3b＝0.
∵x＝±1是极值点，
∴5a(±1)2－3b＝0，∴5a＝3b.
∴极值点可能为x＝0，x＝±1.
∵a>0，∴y′＝5ax2(x2－1).
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
－
0
＋
y
?↗
极大值
?↘
无极值
↗?
极小值
↘?
由上表可知，当x＝－1时，f(x)有极大值，
当x＝1时，f(x)有极小值.
∴?
经检验a＝3，b＝5，c＝2符合题意.
点评 对于导函数的零点较多时，要充分利用表格寻找极值点.
8 导数应用中的常见误区
虽然导数确实为我们解决函数问题带来了便利，但如果混淆某些概念，忽视了定理的应用条件，就会得出错误的结论.本文将介绍在解题中出现的几种典型错误，以帮助大家走出误区，加深对概念的理解.
1.误把切点当极值点
例1 已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，且在x＝1处的切线方程是y＝x－2，求f(x)的解析式.
错解 f′(x)＝4ax3＋2bx.
将x＝1代入y＝x－2中，得y＝－1.
由题意知，
即
解得a＝2，b＝－4，c＝1.
因此f(x)＝2x4－4x2＋1.
剖析 本题错在将切点当做极值点，得到f′(1)＝0的错误结论.其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈.
正解 f′(1)表示函数f(x)的图象在点(1，－1)处的切线斜率，应有f′(1)＝1，再联立f(0)＝1，f(1)＝－1便可得到正确答案：a＝，b＝－，c＝1，因此f(x)＝x4－x2＋1.
2.误把零点当极值点
例2 求函数f(x)＝x4－x3的极值，并说明是极小值还是极大值.
错解 f′(x)＝4x3－3x2，令f′(x)＝0，
即当4x3－3x2＝0，得x1＝0，x2＝.
所以f(0)＝0，f?＝－，
又f?故极小值为－，极大值为0.
剖析 本题错在将导数为零的点都认为是极值点，其实不然，导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件，错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值.事实上，极值仅描述函数在该点附近的局部特征，极大值未必一定大于极小值.
正解 f′(x)＝4x3－3x2，令f′(x)＝0，
即4x3－3x2＝0，得x1＝0，x2＝.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
－
0
＋
f(x)
?↘
不是极值点
↘
极小值
↗
由上表可知，函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间上还是减函数，所以x＝0不是函数的极值点，而函数f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以函数f(x)在x＝处取得极小值，极小值为－.
3.误把必要不充分条件当作充要条件
例3 已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求实数a的取值范围.
错解 f′(x)＝3ax2＋6x－1.
∵f(x)在R上是减函数，
∴f′(x)<0，即3ax2＋6x－1<0在x∈R上恒成立，
∴a<0且Δ＝36＋12a<0，因此a<－3.
剖析 f(x)在R上是减函数是f′(x)<0的必要不充分条件，而不是充要条件，实际上f(x)在R上是减函数可能存在着f′(x)＝0的情况，只要f′(x)不恒为0即可，本题可采用先由f′(x)≤0求解，然后验证f′(x)＝0的特殊情况即可.
正解 由f′(x)≤0，即不等式3ax2＋6x－1≤0在x∈R上恒成立，于是a<0且Δ＝36＋12a≤0，解得a≤－3.
当a＝－3时，f(x)＝－3x3＋3x2－x＋1＝－33＋，显然是R上的减函数，故a≤－3符合题意.
点评 上述三个例题虽然错误根源不同，但为了防止出错，我们应该正确理解有关概念，掌握概念之间的区别和联系，加强检验的意识.
§3.1 导数的概念
3.1.1 平均变化率
学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义.3.了解平均变化率的正负.
知识点一 函数的平均变化率
在吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与气球空气容量(体积)V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝.
思考1 当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？
答案 平均膨胀率为≈＝0.62 (dm/L).
思考2 当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
答案 平均膨胀率为.
梳理 函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝，其中Δy＝f(x2)－f(x1)是函数值的改变量.
知识点二 平均变化率的意义
思考 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？
答案 如图，表示A，B之间的曲线和B，C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化.
如用比值近似量化B，C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[xB，xC]上的平均变化率.
梳理 平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率.
1.函数y＝x2＋1在[2,3]上的平均变化率是5.( √ )
2.甲、乙二人销售化妆品，从2014年2月开始的3个月内，甲投入资金5万元，获利4万元，乙投入资金8万元，获利6万元.因此我们认为乙的经营效果较好.( × )
3.一次函数任意两点的平均变化率都是相应直线的斜率.( √ )
4.函数f(x)在A(x1，y1)，B(x2，y2)上的平均变化率就是直线AB的斜率.( √ )
类型一 求函数的平均变化率
例1 (1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；
②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率.
(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
解 (1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
＝＝2Δx＋4x1＋3.
①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21.
②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.
＝2Δx＋4x1＋3＝19.2.
(2)在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝
＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝
＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1反思与感悟 求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1 (1)如图所示，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案
解析 ∵A(－1,2)，B(3,4)，
∴Δx＝3－(－1)＝4，Δy＝4－2＝2，
∴A，B两点间的平均变化率为＝＝.
(2)已知函数f(x)＝5－3x2，分别计算f(x)在区间[0,1]，[1,2]，，上的平均变化率.
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
解 f(x)在[0,1]上的平均变化率是
＝＝2－5＝－3.
在[1,2]上的平均变化率是
＝＝(5－3×4)－(5－3×1)＝－9.
在上的平均变化率是
＝＝2＝－.
在上的平均变化率是
＝＝2＝－.
类型二 平均变化率的应用
例2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率.
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
解 (1)运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为＝4.05 m/s.
(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为＝－8.2 m/s.
反思与感悟 (1)结合物理知识可知，在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降.事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.
(2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.
跟踪训练2 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，则从出生到第3个月与从第6个月到第12个月体重的平均变化率分别为________千克/月.
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 1,0.4
解析 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为＝1(千克/月).
从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为＝＝0.4(千克/月).
1.一质点运动的方程为S＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度是________.
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 －3Δt－6
解析 ＝＝－3Δt－6.
2.圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________.
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 0.4π
解析 ∵S＝πr2，
∴＝＝＝0.4π.
3.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为________.
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 －1
解析 因为kAB＝＝＝－1，由平均变化率的意义知，y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为－1.
4.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________.
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 [x3，x4]
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为
，，.结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
5.甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
解 甲企业生产效益的平均变化率为＝.
乙企业生产效益的平均变化率为＝.
∵>，∴甲企业的生产效益较好.
1.准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值.涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法.
2.函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等.解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的.
一、填空题
1.函数f(x)＝在[2,6]上的平均变化率为________.
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 －
解析 ＝＝－.
2.在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从102.7 m上涨到105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是________ m/h.
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 0.1
解析 ＝0.1 (m/h).
3.已知某质点的运动规律为S(t)＝5t2(单位：m)，则在1 s到3 s这段时间内，该质点的平均速度为________ m/s.
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 20
解析 ＝＝20 (m/s).
4.函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________.
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 5
解析 函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是＝＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去).
所以当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.
5.假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是________元.
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 87
解析 由题意，得生产并售出x台机器所获得的利润是
L(x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3x2－3x，故所求的平均利润为
＝＝＝87(元).
6.在x＝1附近取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中平均变化率最大的是________.
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 ③
解析 由平均变化率的定义计算可得③最大.
7.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则下列说法正确的是________.(填序号)
①前3 s内球滚下的垂直距离的增量为Δh＝24 m；
②在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量为Δh＝12 m；
③前3 s内球的平均速度为8 m/s；
④在时间[2,3]内球的平均速度为12 m/s.
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 ①②③④
解析 前3 s内，Δt＝3 s，Δh＝h(3)－h(0)＝24(m)，此时平均速度为＝＝8(m/s)，故①③正确；在时间[2,3]上，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(2)＝12(m)，故平均速度为＝12(m/s)，所以②④正确.综上，①②③④都正确.
8.如果函数y＝f(x)＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a的值为________.
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 3
解析 根据平均变化率的定义可知，
＝＝a＝3.
9.汽车行驶的路程S和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________________.(用“<”连接)
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 1<2<3
解析 1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图象知，kOA10.给半径为R的热气球加热使其体积增大，若半径从R＝1到R＝m时的体积膨胀率为，则m＝________.
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 1.5
解析 ∵V＝R3，
∴＝(m2＋m＋1)＝，
∴m2＋m－＝0，解得m＝1.5(负值舍去).
二、解答题
11.函数f(x)＝x2＋2x在区间[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在区间[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值.
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
解 由题意，得函数f(x)在区间[0，a]上的平均变化率为＝＝a＋2.
函数g(x)在区间[2,3]上的平均变化率为
＝＝2.
又a＋2＝2×2，所以a＝2.
12.若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围.
考点 平均变化率的概念
题点 函数因变量的增量
解 ∵函数f(x)在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞).
13.巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
解 山路从A到B高度的平均变化率为
hAB＝＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为
hBC＝＝＝，
∵hBC>hAB，
∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多.
三、探究与拓展
14.如图所示是物体甲、乙在时间0到t1范围内运动路程的变化情况，下列说法正确的是________.
①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
⑤在0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度.
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 ③⑤
解析 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v＝，故①②错；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为S2－S0>S1－S0，t1－t0>0，所以>.所以甲的平均速度大于乙的平均速度；在0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，又S2>S1，所以甲的平均速度大于乙的平均速度.故填③⑤.
15.很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.试从平均变化率的角度，比较气球容量V从0增加到1 L及从1 L增加到2 L时平均膨胀率的大小关系，能否用来解释气球的半径增加得越来越慢？
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
解 气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3，将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝，当气球容积V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm).气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L).
类似地，当空气容积从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm).
气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L).因为0.62>0.16，所以随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了，因此气球的半径增加的越来越慢.
3.1.2 瞬时变化率——导数(二)
学习目标 1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义.
知识点一 函数的导数
思考 函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？
答案 函数f(x)在点x0附近的平均变化率为＝，
当Δx→0时，→A，
A就是f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0).
梳理 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0).
知识点二 导数的几何意义
思考 导数f′(x0)有什么几何意义？
答案 f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.
知识点三 导数与导函数的关系
思考 导函数f′(x)和f(x)在一点处的导数f′(x0)有何关系？
答案 函数f(x)在一点处的导数f′(x0)是f(x)的导函数f′(x)在x＝x0的函数值.
f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.
梳理 (1)导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x).在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数.
(2)f′(x0)的意义
f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.
1.函数f(x)在区间(a，b)内可导就是f(x)对于任意x0∈(a，b)都有f′(x0)存在.( √ )
2.f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点x0而言的，它是一个确定的值.( √ )
3.f′(x)表示函数f(x)的导函数，简称导数，是对f(x)的定义域或指定的区间(a，b)而言的.( √ )
4.f(x)在其定义域内的每一点x0都一定有f′(x0)存在.( × )
类型一 求函数的导函数
例1 求函数y＝在x＝1处的导数.
考点 函数在一点处的导数
题点 根据定义求函数在某点处的导数
解 Δy＝－1，
＝＝
＝.
当Δx→0时，＝→，
∴y＝在x＝1处的导数为.
反思与感悟 根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)得导数，当Δx→0时，→f′(x0).
关键是在求时，要注意分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用.
跟踪训练1 利用定义求函数y＝x＋在x＝1处的导数.
考点 函数在一点处的导数
题点 根据定义求函数在某点处的导数
解 ∵Δy＝(x＋Δx)＋－
＝Δx－，∴＝1－，
从而，当Δx→0时，1－→1－，
∴函数f(x)在x＝1处的导数为0.
例2 求函数y＝－x2＋3x的导函数.
考点 函数的导数
题点 根据定义求函数的导函数
解 ∵＝
＝3－2x－Δx，∴当Δx→0时，3－2x－Δx→3－2x，
故函数f(x)的导函数为f′(x)＝3－2x.
反思与感悟 利用导数的定义求函数的导函数是求函数的导函数的基本方法，此方法还能加深对导数定义的理解，而求某一点处的导数时，一般是先求出导函数，再计算这点的导数值.
跟踪训练2 求函数f(x)＝x－的导函数.
考点 函数的导数
题点 根据定义求函数的导函数
解 ∵Δy＝(x＋Δx)－－
＝Δx＋，
∴＝1＋，
∴当Δx→0时，1＋→1＋，
∴函数f(x)的导函数为f′(x)＝1＋.
类型二 导数几何意义的应用
例3 (1)求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程；
(2)求曲线y＝2x2－7过点P(3,9)的切线方程.
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
解 (1)易证得点P(1,2)在曲线上，
由y＝x3＋2x－1，得
Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1
＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3，
＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.
当Δx→0时，＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2→3x2＋2，
即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.
故点P处的切线斜率为k＝5.
所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，
即5x－y－3＝0.
(2)由于点P(3,9)不在曲线上.
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).
将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0).
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
反思与感悟 (1)利用导数的几何意义求曲线在点x＝x0处的切线方程的步骤：
①求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0).
②根据直线的点斜式方程，得切线为y－y0＝f′(x0)(x－x0)(其中y0＝f(x0)).
(2)利用导数的几何意义求过点P(m，n)所作的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤：
①设切点坐标为Q(x0，y0)，求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0).
②根据直线的点斜式方程写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
③将点P(m，n)代入切线方程并整理成关于x0的方程，解此方程求得x0的值.
④由x0的值，求出y0＝f(x0)及斜率k＝f′(x0)，进而写出切线方程.
跟踪训练3 求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
解 设切点为(x0，x＋x0＋1)，
＝
＝2x0＋1＋Δx.
当Δx→0时，＝2x0＋1＋Δx→2x0＋1，
∴切线的斜率为2x0＋1，
则k＝＝，
∴2x0＋1＝.
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0；
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
1.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是________.
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 f′(xA)解析 由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)2.已知f(x)＝x2＋3x，则f′(x)＝________.
考点 函数的导数
题点 根据定义求函数的导函数
答案 2x＋3
解析 ∵＝
＝
＝＝Δx＋2x＋3，
∴当Δx→0时，→2x＋3，即f′(x)＝2x＋3.
3.已知y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
考点 切线方程求解及应用
题点 由切线的斜率求参数的值
答案 2
解析 由题意得＝＝aΔx＋2a，
当Δx→0时，→2a＝2，
∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，∴＝2.
4.若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________.
考点 切线方程求解及应用
题点 由切线的斜率求参数的值
答案 3
解析 设切点坐标为(x0,1)，
由题意得＝
＝
＝4x0＋2Δx－4.当Δx→0时，→0，即4x0－4＝0.
∴x0＝1.即切点坐标为(1,1).
∴2－4＋P＝1，即P＝3.
5.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.
考点 切线方程求解及应用
题点 由切线的斜率求参数的值
答案 1
解析 ＝＝2a＋aΔx，
当Δx→0时，→2a.
令2a＝2，得a＝1.
1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.
3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
一、填空题
1.曲线y＝在点(3,3)处的切线的倾斜角为________.
考点 切线方程求解及应用
题点 求切线的倾斜角或斜率
答案 135°
解析 Δy＝－3＝－，＝－.
当Δx→0时，→－1，
∴切线的斜率为－1.
又∵直线的倾斜角α满足0°≤α<180°，
∴α＝135°.
2.如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 2
解析 f(5)＝－5＋8＝3.
由导数的几何意义知，f′(5)＝－1.
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
3.曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是________.
考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 9
解析 由导数的定义得＝＝3＋3Δx＋(Δx)2，则曲线在点P(1,12)处的切线斜率为3，
∴在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)，
令x＝0，则y＝9.
4.已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________.
考点 切线方程求解及应用
题点 由切线的斜率求参数的值
答案 －7
解析 设P(x0，y0)，＝
＝4x0＋2Δx，
当Δx→0时，→4x0，
由导数的几何意义，可得4x0＝8，x0＝2.
∵点P在切线8x－y－15＝0上，
∴8×2－y0－15＝0，得y0＝1，
则f(2)＝1，即8＋a＝1，得a＝－7.
5.已知函数y＝f(x)在点(，3)处的切线方程为y＝kx－1，则f′()＝________.
考点 切线方程求解及应用
题点 由切线的斜率求参数的值
答案 2
解析 由点(，3)在直线y＝kx－1上得
3＝k×－1，∴k＝2.
根据导数的几何意义得f′()＝2.
6.设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为______________.
考点 切线方程求解及应用
题点 求切点坐标
答案 (1,0)或(－1，－4)
解析 根据导数的定义可求得＝＝＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2＋1，当Δx→0时，→3x2＋1.由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值趋近于4.设点P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，这时点P0的坐标为(1,0)或(－1，－4).
7.若直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点P(1,3)，则b＝________.
考点 切线方程求解及应用
题点 由切线的斜率求参数的值
答案 3
解析 ∵点P(1,3)既在直线上又在曲线上，
∴3＝k＋1，且3＝1＋a＋b，即k＝2，a＋b＝2.
根据导数的定义可求得
＝
＝3x2＋3x·Δx＋a＋(Δx)2，
当Δx→0时，→3x2＋a.
∴3×12＋a＝2，∴a＝－1，b＝3.
8.y＝f(x)，y＝g(x)，y＝a(x)的图象如图所示：
而下图是其对应导数的图象：
则y＝f(x)对应________；y＝g(x)对应________；y＝a(x)对应________.
考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 B C A
解析 由导数的几何意义知，y＝f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y＝f(x)对应B；
y＝g(x)上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分切线斜率值趋近负无限，故y＝g(x)对应C；
y＝a(x)图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y＝a(x)对应A.
9.曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为________.
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案
解析 ∵＝＝3＋3Δx＋Δx2，
当Δx→0时，→3，
∴曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，
则切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为××4＝.
10.若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________.
考点 切线方程求解及应用
题点 由切线的斜率求参数的值
答案 4
解析 ＝
＝－5＋Δx，当Δx→0时，→－5.
∴切线方程为y＝－5x，
∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，
将P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
二、解答题
11.已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值.
考点 函数的导数
题点 根据定义求函数的导函数
解 因为＝＝
＝2x＋Δx.
当Δx→0时，2x＋Δx→2x，
即f′(x)＝2x.同理g′(x)＝3x2.
由题意可知，2x＋2＝3x2，解得x＝.
12.求过点(2,0)的曲线y＝x3的切线方程.
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
解 点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x).由题意，得所求直线方程的斜率k＝，又由导数的定义求得f′(x0)＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，切点为(0,0)，k＝0，直线方程为y＝0；
当x0＝3时，切点为(3,27)，斜率k＝27，
则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
综上，所求直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
13.已知曲线y＝在点(1,4)处的切线与直线l平行，且与l的距离等于，求直线l的方程.
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
解 ＝＝－.
当Δx→0时，→－4.
∴曲线在点(1,4)处的切线的斜率为－4.
故切线方程为y－4＝－4(x－1)，
即4x＋y－8＝0.
设直线l的方程为4x＋y＋c＝0，
由题意有＝.
∴c＝9或－25，
∴直线l的方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.
三、探究与拓展
14.用导数的定义，求得函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数为________.
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 －
解析 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－
＝
＝，
∴＝，
∴当Δx→0时，→－，
∴f′(1)＝－.
15.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值.
考点 切线方程求解及应用
题点 由切线的斜率求参数的值
解 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx→0时，→3x＋2ax0－9.
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9.
∴f′(x0)＝32－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
3.1.2 瞬时变化率——导数(一)
学习目标 1.了解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度.
知识点一 曲线上一点处的切线
思考 如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x，f(x))时，割线PPn的变化趋势是什么？
答案 当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置.这个确定的位置的直线PT称为过点P的切线.
梳理 可以用逼近的方法来计算切线的斜率，
设P(x，f(x))，Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，
则割线PQ的斜率为kPQ＝.
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率.
知识点二 瞬时速度与瞬时加速度
思考 瞬时速度和瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？
答案 瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率，瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率.
梳理 (1)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率.
(2)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率.
1.曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的两条割线.( √ )
2.过曲线上任一点可能作不出一条切线.( √ )
3.有的曲线过它上面的某一点可作两条切线.( × )
4.平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度，瞬时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度.( √ )
类型一 求曲线在某点处的切线斜率
例1 如图，已知曲线y＝x3上一点P，求：
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程.
考点 导数的概念
题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率
解 (1)由y＝x3，得
＝
＝×
＝×[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于x2.
即点P处的切线的斜率为22＝4.
(2)在点P处的切线方程为y－＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
反思与感悟 解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想.即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率.
跟踪训练1 利用割线逼近切线的方法分别求曲线y＝2x2在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率.
考点 导数的概念
题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率
解 设P(x0，f(x0))，Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，则割线PQ的斜率kPQ＝＝＝4x0＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于4x0，从而曲线y＝f(x)在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率分别为0，－4，8.
类型二 求瞬时速度、瞬时加速度
例2 已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；
(2)求质点M在t＝2 s时的瞬时加速度.
考点 导数的概念
题点 瞬时加速度
解 ＝＝
＝6t＋3Δt.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，＝6×2＋3×0.01
＝12.03 cm/s2.
(2)当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2 s时的瞬时加速度为12 cm/s2.
反思与感悟 (1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别.
(2)求瞬时加速度：①求平均加速度；②令Δt→0，求出瞬时加速度.
跟踪训练2 质点M按规律S(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s).若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
考点 导数的概念
题点 瞬时速度
解 ∵ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
∴＝4a＋aΔt.
当Δt无限趋近于0时，4a＋aΔt无限趋近于4a.
∵在t＝2 s时，瞬时速度为8 m/s，
∴4a＝8，∴a＝2.
1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为________.
考点 导数的概念
题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率
答案 8
解析 ∵＝＝8＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，8＋2Δx无限趋近于8，
∴曲线f(x)在点A处的切线斜率为8.
2.任一做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t2，则物体的初速度是________.
考点 导数的概念
题点 瞬时速度
答案 3
解析 ∵＝＝＝3－Δt，
∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于3.
3.已知物体运动的速度与时间之间的关系：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间段[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________.
考点 导数的概念
题点 瞬时加速度
答案 4＋Δt 4
解析 在[1,1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4.当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4，故在时间段[1,1＋Δt]内的平均加速度为4＋Δt，在t＝1时的瞬时加速度是4.
4.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为____________.
考点 导数的概念
题点 根据函数在某点处的切线斜率，求坐标或参数
答案 (3,30)
解析 设点P(x0,2x＋4x0).
＝
＝4x0＋4＋2Δx，
当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
5.已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx趋近于零时，无限趋近于常数________.
考点 导数的概念
题点 导数的概念的理解
答案 －11
解析 因为
＝－，
所以无限趋近于常数－11.
1.曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率.
2.瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度.
一、填空题
1.若质点A按照规律S＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为________.
考点 导数的概念
题点 瞬时速度
答案 18
解析 因为＝
＝＝18＋3Δt.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于18，
所以所求瞬时速度为18.
2.曲线f(x)＝在点(9,3)处的切线斜率是________.
考点 导数的概念
题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率
答案
解析 因为＝＝＝＝，所以当Δx无限趋近于0时，无限趋近于，即曲线f(x)＝在点(9,3)处的切线斜率是.
3.一物体的运动方程为S(t)＝t2－3t＋2，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
考点 导数的概念
题点 瞬时速度
答案 2
解析 因为＝＝＝Δt＋2t0－3，所以当Δt无限趋近于0时，Δt＋2t0－3无限趋近于2t0－3.令2t0－3＝1，得t0＝2.
4.已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为________.
考点 导数的概念
题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率
答案 45°
解析 ＝＝x＋Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于x，
∴曲线在点P处切线斜率为1，倾斜角为45°.
5.设f(x)在x处可导，则当h无限趋近于0时，无限趋近于________.
考点 导数的概念
题点 导数的概念的理解
答案 2f′(x)
6.若点(0,1)在曲线f(x)＝x2＋ax＋b上，且在该点处的斜率为1，则a＋b＝________.
考点 导数的概念
题点 根据函数在某点处的切线斜率，求坐标或参数
答案 2
解析 ∵f(0)＝1，∴b＝1.
又＝＝Δx＋a.
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于a，则a＝1.
∴a＋b＝1＋1＝2.
7.一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是v＝t2＋t＋2 (速度单位：m/s；时间单位：s)，则质点在t＝2 s时的瞬时加速度为____________ m/s2.
考点 导数的概念
题点 瞬时加速度
答案 5
解析 ∵
＝＝Δt＋5，
∴当Δt无限趋近于0时，Δt＋5无限趋近于5，
即质点在t＝2 s时的瞬时加速度为5 m/s2.
8.函数y＝x3＋1在x＝1时的瞬时变化率是________.
考点 导数的概念
题点 瞬时变化率
答案 3
解析 ＝＝(Δx)2＋3Δx＋3；
当Δx无限趋近于0时，(Δx)2＋3Δx＋3无限趋近于3，
所以f(x)在x＝1时的瞬时变化率是3.
9.若直线y＝x是曲线y＝x3－3x2＋ax的切线，则a＝________.
考点 导数的概念
题点 根据函数在某点处的切线斜率，求坐标或参数
答案 1或
解析 ∵y＝x3－3x2＋ax，设切点坐标为(x0，y0)，
∴＝
＝(Δx)2＋(3x0－3)Δx＋3x－6x0＋a.
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x－6x0＋a.
∴∴或
10.曲线y＝x2上在点________处的切线与x轴成135°的倾斜角.
考点 导数的概念
题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率
答案
解析 设P(x0，y0)是满足条件的点，
Δy＝(x0＋Δx)2－x＝2x0Δx＋(Δx)2，
＝2x0＋Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0，
∵切线与x轴成135°的倾斜角，
∴其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点.
二、解答题
11.子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为S＝at2，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度.
考点 导数的概念
题点 瞬时速度
解 运动方程为S＝at2.
因为ΔS＝a(t0＋Δt)2－at＝at0(Δt)＋a(Δt)2，
所以＝at0＋a(Δt).所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于at0.
由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，
所以at0＝8×102＝800 m/s，
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
12.已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.
求：(1)曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)曲线在点P，Q处的切线方程.
考点 导数的概念
题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率
解 将P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
∴y＝，设f(x)＝.
∵＝
＝＝，
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于.
(1)曲线在点P处的切线斜率为1，曲线在点Q处的切线斜率为.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.
13.已知曲线y＝2＋1，问曲线上哪一点处的切线与直线y＝－2x＋3垂直，并求切线方程.
考点 导数的概念
题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率
解 设切点坐标为(x0，y0)，
＝
＝＝
＝ .
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于＝ .
又直线y＝－2x＋3的斜率为－2，
所以所求切线的斜率为，故＝.
所以x0＝4，y0＝5，所以切点坐标为(4,5)，
切线方程为y－5＝(x－4)，
即x－2y＋6＝0.
三、探究与拓展
14.设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则当Δx无限趋近于0时，无限趋近于________.
考点 导数的概念
题点 导数的概念的理解
答案 －f′(2)
解析 根据题意，由于函数f(x)在x＝2处的导数存在，＝－×，且当Δx无限趋近于0时，无限趋近于f′(2).所以当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－f′(2).
15.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上一点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为________.
考点 导数的概念
题点 根据函数在某点处的切线斜率，求坐标或参数
答案
解析 可设点P的横坐标为x0，则
＝
＝＝Δx＋2x0＋2，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0＋2.
∴曲线C在点P处的切线的斜率为2x0＋2.
由题意，得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，
∴点P的横坐标的取值范围为.
§3.2 导数的运算
3.2.1 常见函数的导数
学习目标 1.能根据定义求函数y＝C，y＝kx＋b，y＝x，y＝x2，y＝的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数.
知识点一 幂函数与一次函数的导数
思考1 函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
答案 当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快；
当k<0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减少的越快.
思考2 你能结合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及()′＝归纳出f(x)＝xn的导数有怎样的规律吗？
答案 f′(x)＝(xn)′＝nxn－1.
梳理 (1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地C′＝0(C为常数).
(2)(xα)′＝αxα－1(α为常数).
知识点二 基本初等函数的求导公式
思考 计算过程′＝－sin ＝－正确吗？
答案 不正确.因为cos ＝为常数，其导数为0.
梳理
原函数
导函数
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝xα(α为常数)
f′(x)＝αxα－1
1.(ex)′＝ex.( √ )
2.(ln x)′＝.( √ )
3.′＝cos ＝.( × )
4.若f(x)＝，则f′(x)＝－.( √ )
类型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝2sin cos ；(5)y＝；(6)y＝3x.
考点 几个常用函数的导数
题点 几个常用函数导数的应用
解 (1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝()′＝＝＝ .
(4)∵y＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y′＝()′＝＝－.
(6)y′＝(3x)′＝3xln 3.
反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝2－x；
(3)f(x)＝e2；(4)f(x)＝cos x.
考点 几个常用函数的导数
题点 几个常用函数导数的应用
解 (1)f′(x)＝()′＝＝；
(2)f′(x)＝′＝xln ＝－2－xln 2；
(3)f′(x)＝(e2)′＝0；
(4)f′(x)＝(cos x)′＝－sin x.
类型二 导数公式的综合应用
例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由.
考点 几个常用函数的导数
题点 幂函数的导数
解 因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线.
设切点为(x0，y0)，则PQ的斜率为k＝＝1，
而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－.
所以切点为.
所以所求切线方程为y－＝(－1)，
即4x＋4y＋1＝0.
引申探究
若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.
考点 几个常用函数的导数
题点 幂函数的导数
解 因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则在点x＝x0处的导数为2x0，
又因为PQ的斜率为k＝＝1，
而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝.
所以切点为M.
所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：
(1)切点处的导数是切线的斜率；
(2)切点在切线上；
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
考点 基本初等函数的导数公式
题点 正弦、余弦函数的导数
解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，
即sin 2x0＝2，这是不可能的.
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
考点 几个常用函数的导数
题点 幂函数的导数
解 依题意知抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x).
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为，
∴所求的最短距离d＝＝.
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.
跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大.
考点 几个常用函数的导数
题点 幂函数的导数
解 设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率k＝ y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得M(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，
∴AB为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，
故点M(1,1)即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大.
1.设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.
考点 几个常用函数的导数
题点 指数函数、对数函数的导数
答案
解析 ∵f′(x)＝，
则f′(1)＝＝－1，∴a＝.
2.下列结论：
①(sin x)′＝－cos x；②′＝；③(log3x)′＝；④(ln x)′＝.
其中正确的结论是________.
考点 几个常用函数的导数
题点 指数函数、对数函数的导数
答案 ④
解析 由求导公式知，(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，故④正确.
3.在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P的坐标为__________.
考点 几个常用函数的导数
题点 幂函数的导数
答案 (2,1)
解析 y′＝(4x－2)′＝－8x－3，设点P(x0，y0)，
依题意，得－8x＝tan 135°＝－1，∴x0＝2.
又P(x0，y0)在曲线y＝上，∴y0＝1.
4.设正弦函数y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围为________.
考点 基本初等函数的导数公式
题点 正弦、余弦函数的导数
答案 ∪
解析 ∵(sin x)′＝cos x，∴kl＝cos x，
∴－1≤kl≤1，∴αl∈∪.
5.求下列函数的导数.
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos.
考点 几个常用函数的导数
题点 几个常用函数导数的应用
解 (1)y′＝0.
(2)∵y＝＝x－5，∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－.
(3)∵y＝＝，∴y′＝()′＝＝.
(4)y′＝.
(5)y′＝5xln 5.
(6)∵y＝cos＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
1.利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.
2.有些函数可先化简再应用公式求导.
如求y＝1－2sin2的导数.因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.
一、填空题
1.已知f(x)＝sin x，则f′＝________.
考点 基本初等函数的导数公式
题点 正弦、余弦函数的导数
答案 0
解析 ∵f′(x)＝cos x，∴f′＝0.
2.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是________.
考点 几个常用函数的导数
题点 幂函数的导数
答案 ±1
解析 ∵f′(x0)＝3x＝3，∴x0＝±1.
3.已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________.
考点 几个常用函数的导数
题点 幂函数的导数
答案 －4
解析 ∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，
又∵g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，
由g′(2)＝，得m＝－4.
4.曲线y＝f(x)＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝________.
考点 几个常用函数的导数
题点 指数函数、对数函数的导数
答案 1
解析 ∵y′＝，∴f′(a)＝＝1.
∴a＝1.
5.下列结论中正确的个数为________.
①f(x)＝ln 2，则f′(x)＝；
②f(x)＝，则f′(3)＝－；
③f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln 2；
④f(x)＝log2x，则f′(x)＝.
考点 几个常用函数的导数
题点 指数函数、对数函数的导数
答案 3
解析 ①f(x)＝ln 2为常数，所以f′(x)＝0，①错.②③④均正确.
6.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
考点 几个常用函数的导数
题点 指数函数、对数函数的导数
答案 e2
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2；当y＝0时，x＝1.
∴S＝×1×|－e2|＝e2.
7.过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为________.
考点 几个常用函数的导数
题点 幂函数的导数
答案 或
解析 ∵y′＝(x－1)′＝－＝－4，
∴x2＝，x＝±.
∴切点坐标为或.
8.已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为________.
考点 几个常用函数的导数
题点 指数函数的导数
答案 e
解析 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴＝·x0，
∴x0＝1，∴k＝e.
9.曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
考点 几个常用函数的导数
题点 指数函数、对数函数的导数
答案 log2e
解析 ∵y′＝，∴k＝，
∴切线方程为y＝(x－1)，
∴三角形面积为S△＝×1×＝＝log2e.
10.已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为____________________.
考点 几个常用函数的导数
题点 几个常用函数导数的应用
答案
解析 ∵f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，则sin x＝1，解得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴其解集为.
二、解答题
11.求下列函数的导数：
(1)f(x)＝log2x2－log2x；(2)f(x)＝－2x；
(3)f(x)＝－2sin ；
(4)y＝(1－)＋.
考点 几个常用函数的导数
题点 几个常用函数导数的应用
解 (1)∵f(x)＝log2x2－log2x＝2log2x－log2x＝log2x，
∴f′(x)＝(log2x)′＝.
(2)∵f(x)＝－2x＝2x＋－2x＝，
∴f′(x)＝′＝(x－1)′＝－x－2＝－.
(3)∵f(x)＝－2sin ＝sin x.
∴f′(x)＝(sin x)′＝cos x.
(4)∵f(x)＝(1－)＋＝1－＋－1＋＝
∴f′(x)＝()′＝＝－.
12.若曲线y＝在点(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值.
考点 几个常用函数的导数
题点 幂函数的导数
解 ∵y＝，∴y′＝，
∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－＝.
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝3a.
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·＝＝18，∴a＝64.
13.已知曲线y＝f(x)＝5(x＞0)，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)过点P(0,5)，且与曲线相切的切线方程.
考点 几个常用函数的导数
题点 幂函数的导数
解 (1)设切点为(x0，y0)，
由y＝f(x)＝5，得f′(x0)＝ .
因为切线与直线y＝2x－4平行，所以＝2，
解得x0＝，所以y0＝.
故所求切线方程为y－＝2，
即16x－8y＋25＝0.
(2)因为点P(0,5)不在曲线y＝5上，
所以设切点坐标为M(x1，y1)，
则切线斜率为(x1≠0)，
又因为切线斜率为，
所以＝＝，
解得x1＝4(x1＝0舍去).
所以切点为M(4,10)，斜率为，
故切线方程为y－10＝(x－4)，即5x－4y＋20＝0.
三、探究与拓展
14.已知函数f(x)＝－1(a>0)的图象在x＝1处的切线为l，则l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为________.
考点 几个常用函数的导数
题点 幂函数的导数
答案 1
解析 ∵f′(x)＝，∴f′(1)＝.
又f(1)＝－1，
∴f(x)在x＝1处的切线l的方程是y－＋1＝(x－1).
∴l与坐标轴围成的三角形的面积为
S＝＝
≥×(2＋2)＝1.
故l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1.
15.点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
考点 几个常用函数的导数
题点 指数函数、对数函数的导数
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近.
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
3.2.2 函数的和、差、积、商的导数
学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
知识点一 和、差的导数
已知f(x)＝x，g(x)＝.
思考1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？
答案 f′(x)＝1，g′(x)＝－.
思考2 试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数.
答案 ∵Δy＝(x＋Δx)＋－
＝Δx＋，
∴＝1－.
∴当Δx→0时，1－→1－.
∴Q′(x)＝1－.
同理，H′(x)＝1＋.
梳理 和、差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).
知识点二 积、商的导数
(1)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
②[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数).
(2)商的导数
′＝(g(x)≠0).
特别提醒：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，′≠.
1.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R且a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.( √ )
2.[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g′(x).( × )
3.(tan x)′＝.( × )
4.′＝.( × )
类型一 导数运算法则的应用
例1 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝ax3＋bx2＋c；(2)f(x)＝xln x＋2x；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝x2·ex.
考点 导数的运算法则
题点 利用法则求函数导数
解 (1)f′(x)＝′
＝′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx.
(2)f′(x)＝(xln x＋2x)′＝(xln x)′＋(2x)′
＝x′ln x＋x(ln x)′＋2xln 2＝ln x＋1＋2xln 2.
(3)方法一 f′(x)＝′
＝
＝＝.
方法二 ∵f(x)＝＝＝1－，
∴f′(x)＝′＝′
＝－＝.
(4)f′(x)＝(x2·ex)′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′
＝2x·ex＋x2·ex＝ex·(2x＋x2).
反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分.
(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程.
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导.
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝3x2＋xcos x；(2)y＝＋；
(3)y＝；(4)y＝ex(2x2－3x＋4).
考点 导数的运算法则
题点 利用法则求函数导数
解 (1)y′＝(3x2)′＋(xcos x)′＝3(x2)′＋x′cos x＋x(cos x)′＝6x＋cos x－xsin x.
(2)y′＝(2x－2)′＋(3x－3)′＝－4x－3－9x－4＝－－.
(3)y′＝＝＝.
(4)y′＝(ex)′(2x2－3x＋4)＋ex(2x2－3x＋4)′＝ex(2x2－3x＋4)＋ex(4x－3)＝ex(2x2＋x＋1).
类型二 导数运算法则的综合应用
例2 (1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
解 (1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.
所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，
f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)(2)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思与感悟 (1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数.
(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值.完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则.
跟踪训练2 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)＝________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案
解析 ∵f′(x)＝2exf′(1)＋，
令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，
∴f′(1)＝.
例3 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
解 (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知，g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.
跟踪训练3 (1)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 1
解析 y′＝＝，
当x＝时，y′＝＝1，
直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，
由题意－＝－1，所以a＝1.
(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 4
解析 因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知，g′(1)＝2，又因为f(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x?f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.
1.函数y＝(＋1)(－1)的导数为________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 1
解析 因为y＝(＋1)(－1)＝x－1，
所以y′＝x′－1′＝1.
2.函数y＝的导数是________________.
考点 导数的运算法则
题点 导数除法法则及运算
答案
解析 y′＝′＝＝.
3.曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为____________________________________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 y＝2x＋1
解析 ∵y′＝＝，
∴k＝＝2，
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 －
解析 f′(x)＝f′cos x－sin x，
则f′＝f′cos－sin，∴f′＝－.
5.设曲线y＝f(x)＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 －2
解析 y′＝＝，
∴f′(3)＝＝－，
∴曲线y＝在点(3,2)处的切线斜率为－，
由题意得×(－a)＝－1，∴a＝－2.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变换，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
一、填空题
1.函数y＝f(x)＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 ±a
解析 ∵y′＝1－，f′(x0)＝1－＝0，∴x0＝±a.
2.若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 2
解析 ∵f′(x)＝sin x＋xcos x，
由题意知，f′·＝－1，∴a＝2.
3.若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值为________.
考点 导数的运算法则
题点 导数除法法则及运算
答案
解析 ∵f′(x)＝，
由题意知，f′(x0)＋f(x0)＝0，
即＝0，解得x0＝.
4.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝___________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 2
解析 令t＝ex，则x＝ln t，
所以函数为f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，
所以f′(x)＝＋1，即f′(1)＝＋1＝2.
5.已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 1
解析 ∵f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
6.设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________.
考点 导数的运算法则
题点 导数除法法则及运算
答案
解析 ∵f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
又h′(x)＝，
∴h′(5)＝
＝＝.
7.曲线y＝f(x)＝－在点M处的切线的斜率为________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案
解析 y′＝
＝，故f′＝，
所以曲线在点M处的切线的斜率为.
8.设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，曲线在点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围为______________________________________________________________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 ∪
解析 ∵y′＝3x2－，k＝f′(x)＝3x2－，
∴k≥－.
由正切函数图象，得0≤α<或≤α<π.
9.若函数f(x)＝cos x＋2xf′，则f?与f?的大小关系是________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 f?解析 依题意得f′(x)＝－sin x＋2f′，
∴f′＝－sin ＋2f′，f′＝，
f′(x)＝－sin x＋1，
∵当x∈时，f′(x)＞0，
∴f(x)＝cos x＋x在上是增函数，
又－＜－＜＜，
∴f?10.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为________.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
答案 －2
解析 ∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，
于是解得m＝－2.
二、解答题
11.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
解 ∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
又f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，
故
解得a＝2，b＝－9，c＝12.
故f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x.
12.已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
解 f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故即
解得a＝1，b＝1.
13.已知函数g(x)＝f(x)＋x2－bx，函数f(x)＝x＋aln x的图象在x＝1处的切线l与直线x＋2y＝0垂直.
(1)求实数a的值；
(2)若g′(x)<0在(0，＋∞)上有解，求实数b的取值范围.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
解 (1)因为f(x)＝x＋aln x，所以f′(x)＝1＋.
设切线l的斜率为k，因为切线l与直线x＋2y＝0垂直，
所以k＝1＋a＝2，所以a＝1.
(2)因为g(x)＝ln x＋x2－(b－1)x(x>0)，
所以g′(x)＝＋x－(b－1)＝，
设u(x)＝x2－(b－1)x＋1(x>0)，
则u(0)＝1>0，所以只需
解得所以b>3.
故实数b的取值范围是(3，＋∞).
三、探究与拓展
14.若曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝________.
答案 ±1
解析 由y＝x3，得y′＝3x2，所以在点(a，a3)处的切线的斜率为k＝3a2，切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，
所以切线与x轴的交点为.
所以三角形的面积为·|a3|＝，
解得a＝±1.
15.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
考点 导数的运算法则
题点 导数的运算法则的运用
解 (1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①②得
解得故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋知，
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0).
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为|2x0|＝6.
§3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 单调性
学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会用导数法求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
知识点 函数的单调性与导函数正负的关系
思考1 观察下列各图，完成表格内容.
函数及其图象
切线斜率k正负
导数正负
单调性
正
正
[1，＋∞)上单调递增
正
正
R上单调递增
负
负
(0，＋∞)上单调递减
负
负
(0，＋∞)上单调递减
负
负
(－∞，0)上单调递减
思考2 依据上述分析，可得出什么结论？
答案 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上，
①如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增；
②如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减.
梳理 (1)
导数值
切线的斜率
倾斜角
曲线的变化趋势
函数的单调性
f′(x)>0
k>0
锐角
上升
单调递增
f′(x)<0
k<0
钝角
下降
单调递减
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导数
单调递增
f′(x) ≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零
单调递减
f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零
常函数
f′(x)＝0
1.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)>0，那么f(x)在区间(a，b)内单调递增.( √ )
2.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么它在区间(a，b)上都有f′(x)>0.( × )
3.函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是和(1，＋∞).( √ )
4.函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为.( × )
类型一 求函数的单调区间
例1 求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
解 f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞).
f′(x)＝6x－＝
＝，
由x>0，解f′(x)>0，得x>；
由x>0，解f′(x)<0，得0所以函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，单调递减区间为.
反思与感悟 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；
(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数.
跟踪训练1 求函数f(x)＝的单调区间.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
解 函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3.
又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).
例2 讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 求含参数函数的单调区间
解 函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝.
设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a.
当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；
当a>0时，由g(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去).
当x∈时，g(x)<0，即f′(x)<0；
当x∈时，g(x)>0，即f′(x)>0.
所以当a>0时，函数f(x)在区间上为减函数，在区间上为增函数.
综上，当a＝0时，函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.
引申探究
若将本例改为f(x)＝ax2－ln x(a∈R)呢？
解 f′(x)＝2ax－＝，
当a≤0时，且x∈(0，＋∞)，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数；
当a>0时，令f′(x)＝0，
解得x＝或x＝－(舍去).
当x∈时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数；
当x∈时，f′(x)>0，∴f(x)为增函数.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数；
当a>0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数.
反思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误.
(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，其中x∈R，t∈R.当t≠0时，求f(x)的单调区间.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 求含参数函数的单调区间
解 f′(x)＝12x2＋6tx－6t2
＝6(x＋t)(2x－t)，
令f′(x)＝0，得x1＝－t，x2＝.
当t<0，x∈时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数，
同理当x∈(－t，＋∞)时，f(x)也为增函数.
∴当t<0时，f(x)的增区间为和(－t，＋∞)，
f(x)的减区间为；
当t>0，x∈时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数，
当x∈(－∞，－t)和x∈时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数，
∴当t>0时，f(x)的增区间为(－∞，－t)，，
f(x)的减区间为.
综上所述，①当t<0时，f(x)的单调增区间是，(－t，＋∞)，单调减区间是.
②当t>0时，f(x)的单调增区间是(－∞，－t)，，单调减区间是.
类型二 证明函数的单调性问题
例3 证明：函数f(x)＝在区间上单调递减.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 证明函数的单调性
证明 f′(x)＝，又x∈，
则cos x<0，sin x>0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，
∴f(x)在上是减函数.
反思与感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.
(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.
跟踪训练3 证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 证明函数的单调性
证明 ∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.
又0∴f′(x)＝>0，故f(x)在区间(0，e)上是增函数.
类型三 已知函数的单调性求参数范围
例4 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R).若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围.
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
解 f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立.
∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)时恒成立.
∴a≤(2x3)min.
∵当x∈[2，＋∞)时，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))，有且只有 f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16].
反思与感悟 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝x3－ax2－(a＋1)x＋2在区间[1,2]上为减函数，求实数a的取值范围.
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
解 方法一 f′(x)＝x2－ax－(a＋1)，
因为函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，
所以f′(x)≤0，即x2－ax－(a＋1)≤0，解得a≥x－1.
因为在[1,2]上，a≥x－1恒成立，
所以a≥(x－1)max＝1.
所以a的取值范围是[1，＋∞).
方法二 f′(x)＝(x＋1)[x－(a＋1)]，
由于函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，
所以f′(x)≤0，当a>－2时，解得－1≤x≤a＋1，
即减区间为[－1，a＋1]，则[1,2]?[－1，a＋1]，得a≥1.
当a≤－2时，解得减区间为[a＋1，－1]，
则函数f(x)不可能在[1,2]上为减函数，故a≥1.
所以实数a的取值范围是[1，＋∞).
1.函数f(x)＝2x3－3x2＋1的单调递增区间是________，单调递减区间是________.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
答案 (－∞，0)和(1，＋∞) (0,1)
解析 ∵f′(x)＝6x2－6x，
令f′(x)>0，得x<0或x>1，
令f′(x)<0，得02.函数f(x)＝(x－1)ex的单调递增区间是________.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
答案 (0，＋∞)
解析 f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝xex，
令f′(x)>0，解得x>0.
3.函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为________.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 求含参数函数的单调区间
答案
解析 f(x)的定义域为{x|x>0}，
由f′(x)＝－a>0，得04.若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为________.
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 [3，＋∞)
解析 y′＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，
由题意知x∈(0,2)，y′≤0，
即x(3x－2a)≤0，得0≤x≤a，
则≥2，即a≥3.
5.求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 求含参数函数的单调区间
解 f′(x)＝ex＋(x－k)ex＝(x－k＋1)ex，
当x当x>k－1时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间为(k－1，＋∞).
1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.
2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
一、填空题
1.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是________.(填序号)
①在区间(－2,1)上f(x)是减函数；
②在区间(1,3)上f(x)是减函数；
③在区间(2,5)上f(x)是减函数；
④在区间(4,5)上f(x)是增函数.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 根据导数判定函数的单调性
答案 ④
解析 由题图知，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上f(x)是增函数.
2.函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
答案
解析 令f′(x)＝1－2cos x>0，得cos x<，
又x∈(0，π)，所以3.函数y＝x2－ln x的单调递减区间是________.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
答案 (0,1)
解析 ∵y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，
解得0又x>0，∴04.若函数f(x)＝x2－在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 [－2，＋∞)
解析 f′(x)＝2x＋.
令f′(x)≥0，即2x＋≥0，则a≥－2x3，
由于g(x)＝－2x3在(1，＋∞)上满足g(x)∴要使a≥－2x3在(1，＋∞)上恒成立，应有a≥－2.
5.已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的________条件.
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 充分不必要
解析 f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
6.函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为________.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 解不等式
答案 (－3，－1)∪(0,1)
解析 由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f′(x)<0；当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1).
7.若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为__________.
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案
解析 ∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立.
令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，
∴当x>2时，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴m≤2＋＝.
8.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝ex＋sin x，则f(1)，f(2)，f(3)的大小关系为________.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 比较函数值的大小
答案 f(2)＞f(1)＞f(3)
解析 由f(x)＝f(π－x)，得f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，由f(x)＝ex＋sin x得函数在上单调递增，又－<π－3<1<π－2<，∴f(π－2)＞f(1)＞f(π－3)，∴f(2)＞f(1)＞f(3).
9.若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围为________.
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 (1,2]
解析 ∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0).
令x－≤0，解得0即f(x)在(0,3]上单调递减.
又f(x)在[a－1，a＋1]上单调递减，
∴a－1>0且a＋1≤3，解得110.定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f′(x)<2，则满足f(x)>2x－1的x的取值范围为________.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 解不等式
答案 (－∞，1)
解析 令g(x)＝f(x)－2x＋1，
则g′(x)＝f′(x)－2<0，所以g′(x)是减函数，
又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，
当g(x)>g(1)＝0时，x<1，所以f(x)－2x＋1>0，
即f(x)>2x－1的解集为(－∞，1).
二、解答题
11.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其中a＋b＝0，a，b，c均为常数，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y－1＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 单调性的综合运用
解 (1)因为f′(x)＝3ax2＋2bx，
所以f′(1)＝3a＋2b.
又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，
所以3a＋2b＝－1，又a＋b＝0，
解得a＝－1，b＝1，所以f(1)＝a＋b＋c＝c.
由点(1，c)在直线x＋y＝1上，可得1＋c＝1，即c＝0，
所以a＝－1，b＝1，c＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝－x3＋x2，
令f′(x)＝－3x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0，
所以f(x)的增区间为，减区间为(－∞，0)和.
12.已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
解 (1)求导得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0在R上恒成立.
即3x2－a≥0在R上恒成立.
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意.
所以a的取值范围是(－∞，0].
(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，
则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立.
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，
又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意.
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞).
13.已知函数f(x)＝x2＋2aln x.
(1)试讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
解 (1)f′(x)＝2x＋＝，函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
①当a≥0时，f′(x)>0，
f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a<0时，f′(x)＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
单调递增
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，
单调递增区间是(，＋∞).
(2)由g(x)＝＋x2＋2aln x，
得g′(x)＝－＋2x＋，
已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即a≤－x2在[1,2]上恒成立.
令h(x)＝－x2，
则h′(x)＝－－2x＝－<0，x∈[1,2]，
所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－，
所以a≤－.
故实数a的取值范围为.
三、探究与拓展
14.若φ(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数，则实数m的取值范围为________.
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 (－∞，2]
解析 ∵φ(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数.
∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立.
即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)，
∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.
故实数m的取值范围为(－∞，2].
15.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围.
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
当a＞0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；
当a＜0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)不是单调函数.
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.
∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，
即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点.
∵g′(0)＝－2，∴
当g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1,2]恒成立，由于g′(0)＜0，
故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0，
即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；
由g′(3)＞0，即m＞－.
∴－＜m＜－9.
即实数m的取值范围是.
3.3.2 极大值与极小值
学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
知识点一 函数极值的概念
函数y＝f(x)的图象如图所示.
思考1 函数在x＝a处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？
答案 函数在x＝a处的函数值比它在x＝a附近的其他点的函数值都小.
思考2 f′(a)为多少？在x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
答案 f′(a)＝0，在x＝a的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
梳理 (1)极小值
函数y＝f(x)在x＝a处的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在x＝a的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)极大值
函数y＝f(x)在x＝b处的函数值f(b)比它在x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值和极小值统称为极值.
知识点二 求函数y＝f(x)极值的方法
(1)解方程f′(x)＝0；
(2)根据函数的极值与导数之间的关系验证判断：
①如果在x0两侧f′(x)符号相同，那么x0不是f(x)的极值点.
②如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值.
③如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值.
1.函数的极小值一定小于它的极大值.( × )
2.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值.( × )
3.若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数.( √ )
4.函数y＝x3＋x2＋2x－3存在极值.( × )
类型一 求函数的极值
例1 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝＋3ln x.
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
解 (1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗?
极大值21
↘?
极小值－6
?↗
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.
(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘?
极小值3
↗?
因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值.
反思与感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断.
跟踪训练1 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－4x＋4；
(2)f(x)＝x2ex；
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
解 (1)∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f(x)的定义域为R，f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
↘?
－
?↗
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(－2)＝；当x＝2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)＝－.
(2)函数的定义域为R，f′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(2＋x)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
4e－2
↘?
0
?↗
由上表可以看出，
当x＝－2时，函数有极大值为f(－2)＝4e－2.
当x＝0时，函数有极小值为f(0)＝0.
类型二 已知函数极值求参数
例2 (1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值，则a的取值范围为________.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 (1)2 9 (2)(－∞，1)
解析 (1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数.
故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9.
(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.
引申探究
1.若例(2)中函数在x＝－1处取到极大值，求a的值.
解 f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值.
2.若例(2)中函数f(x)有两个极值，均为正数，求a的取值范围.
解 由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不等的正根，设为x1，x2，则
解得0故a的取值范围是(0,1).
反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
跟踪训练2 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2使函数f(x)取得极大值还是极小值，并说明理由.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
解 (1)因为f(x)＝aln x＋bx2＋x，
所以f′(x)＝＋2bx＋1.
依题意得f′(1)＝f′(2)＝0，即
解方程组得a＝－，b＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝－ln x－x2＋x(x>0)，
故f′(x)＝－－x＋1＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值－ln 2.
类型三 函数极值的综合应用
例3 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点.
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x
4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?↗
－m
?↘
－16－m
↗?
则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得解得－16即实数m的取值范围为.
反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.
跟踪训练3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.
解 (1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；
单调递减区间为(－，).
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)知，y＝f(x)图象的大致形状及走向如图所示.
所以，当5－4＜a＜5＋4时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
即当实数a的取值范围为(5－4，5＋4)时，方程f(x)＝a有三个不同的实根.
1.函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________.
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
答案 11
解析 y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值
3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.
2.若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a＝________.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案
解析 f′(x)＝a－，令f′＝0，
即a－＝0，解得a＝.
3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为__________________.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
4.设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x1x2＝1，则实数a的值为________.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 9
解析 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，
所以a＝9.
5.已知关于x的函数f(x)＝－x3＋bx2＋cx＋bc，若函数f(x)在x＝1处取得极值－，则b＝________，c＝______.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 －1 3
解析 f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由f(x)在x＝1处取得极值－，得
解得或
若b＝1，c＝－1，
则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；
若b＝－1，c＝3，
则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，
当－3＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0.
所以当x＝1时，f(x)有极大值－.
故b＝－1，c＝3.
1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.
2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.
3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.
一、填空题
1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值是________.
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 2
解析 由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝2.
2.当函数y＝x·2x取极小值时，x＝________.
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
答案 －
解析 令y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－.
3.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax＋b在x＝2处取得极值9，则a＋2b＝________.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 －24
解析 f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
∵f(x)在x＝2处取得极值9，
∴即
解得
∴a＋2b＝－24.
4.若函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为________.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 －5
解析 ∵函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，
∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x，
∵f′(2)＝0，∴c＋4＝0，
∴c＝－4，
∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x，
∴函数f(x)的图象在x＝1处的切线斜率为
f′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5.
5.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数y＝f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极值点的个数是________.
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 3
解析 函数在x＝x0处取得极值必须满足两个条件：
①x0为f′(x)＝0的根；②导数值在x0左右异号.所以，有3个极值点.
6.已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)在(0，＋∞)上存在极值，则实数a的取值范围为________.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 (－∞，－1)
解析 因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，
又因为x＞0，所以－a＞1，即a＜－1.
7.如图所示是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x＝________.
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
答案
解析 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得则b＝－3，c＝2，
f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
8.若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间内有极值，则实数a的取值范围为____________.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案
解析 因为函数f(x)＝－x2＋x＋1，
所以f′(x)＝x2－ax＋1.
若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间内有极值，则f′(x)＝x2－ax＋1在区间内有零点.
由x2－ax＋1＝0，得a＝x＋.
因为x∈，所以2≤a＜.
又因为当a＝2时，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，不符合题意，所以a≠2.即29.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 9
解析 ∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，且a>0，b>0，
∴Δ＝4a2＋96b>0，
又∵x＝1是极值点，
∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，
∴ab≤＝9，
当且仅当a＝b时“＝”成立，∴ab的最大值为9.
10.直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围为________.
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
答案 (－2,2)
解析 f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
因为f(1)＝－2，f(－1)＝2，所以－2＜a＜2.
二、解答题
11.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与直线y＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数的单调递减区间.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
解 (1)∵函数图象过原点，∴c＝0，
即f(x)＝x3＋ax2＋bx，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
又∵函数f(x)的图象与直线y＝0在原点处相切，
∴f′(0)＝0，解得b＝0，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a).
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－.
由题意可知，当x＝－时，函数取得极小值－4.
∴3＋a2＝－4，解得a＝－3.
∴a＝－3，b＝c＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2)，
由f′(x)<0，得3x(x－2)<0，∴0∴函数f(x)的单调递减区间是(0,2).
12.已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a≤2，x∈R).
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
解 (1)f(x)＝(x2＋x＋1)ex，
f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex.
当f′(x)>0时，解得x<－2或x>－1，
当f′(x)<0时，解得－2所以函数的单调增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；
单调减区间为(－2，－1).
(2)令f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex
＝[x2＋(2＋a)x＋2a]ex＝(x＋a)(x＋2)·ex＝0，
所以x＝－a或x＝－2.
当a＝2时，f′(x)＝(x＋2)2ex≥0，无极值；当a<2时，－a>－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－a)
－a
(－a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗?
极大值
↘?
极小值
↗?
由表可知，f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，
解得a＝4－3e2<2，
所以存在实数a＝4－3e2，使f(x)的极大值为3.
13.已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b，c的值；
(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围.
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
解 (1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
因为
所以解得b＝1，c＝－5.
经验证，b＝1，c＝－5符合题意.
(2)由(1)知，f(x)＝x3＋x2－5x＋2，
f′(x)＝3x2＋2x－5.
由f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗?
极大值
↘?
极小值
↗?
当x＝－时，函数取得极大值且极大值为f?＝，
当x＝1时，函数取得极小值且极小值为f(1)＝－1.
根据题意结合图可知，k的取值范围为.
三、探究与拓展
14.已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是________.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 ②③
解析 ∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
由f′(x)<0，得10，得x<1或x>3，
∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数.
又a∴y极大值＝f(1)＝4－abc>0，
y极小值＝f(3)＝－abc<0.
∴0∴a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.
又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图.
∴f(0)<0，∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.
15.已知函数f(x)＝(c>0且c≠1，k∈R)恰有一个极大值和一个极小值，其中x＝－c时取得一个极值.
(1)求x为何值时，函数f(x)取得另一个极值；
(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M－m≥1时k的取值范围.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
解 (1)f′(x)＝＝，
由题意知f′(－c)＝0，即得c2k－2c－ck＝0，(*)
∵c≠0，∴k≠0.∴c－＝1.
由f′(x)＝0得－kx2－2x＋ck＝0，
故x＝c－即x＝1时函数f(x)取得另一个极值.
(2)由(*)式得k＝，即c＝1＋.
当c>1时，k>0；当0①当k>0时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)上是减函数，在(－c,1)上是增函数，
∴M＝f(1)＝＝>0，
m＝f(－c)＝＝<0，
由M－m＝＋≥1及k>0，解得k≥.
②当k<－2时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)上是增函数，在(－c,1)上是减函数，
∴M＝f(－c)＝>0，m＝f(1)＝<0，
M－m＝－＝1－≥1恒成立.
综上可知，所求k的取值范围为(－∞，－2)∪[，＋∞).
3.3.3 最大值与最小值
学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.
知识点 函数的最大值与最小值
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象.
思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.
答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).
思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
答案 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).
思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
答案 不一定，也可能是区间端点的函数值.
梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
(2)求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.定义在闭区间[a，b]上的函数f(x)一定有最大值和最小值.( × )
2.函数f(x)在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(a).( × )
3.定义在开区间(a，b)上的函数f(x)没有最值.( × )
4.函数的所有极大值中最大的一个就是最大值.( × )
类型一 求函数的最值
例1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π].
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
解 (1)f(x)＝2x3－12x，
所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，
f(－)＝8；
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，
解得x＝π或x＝π.
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f?＝＋，
f?＝π－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；
(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.
跟踪训练1 求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值.
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
解 ∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1).
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
∴函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
考点 含参数的函数最值问题
题点 含参数的函数求最值
解 由题意，得f′(x)＝x(3x－2a)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0f(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.
跟踪训练2 在例2中，将区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？
考点 含参数的函数最值问题
题点 含参数的函数求最值
解 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a.
①当a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，
从而f(x)max＝f(0)＝0；
②当a≤－1，即a≤－时，
f(x)在[－1,0]上单调递减，
从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；
③当－1<a<0，即－f(x)在上单调递增；在上单调递减，则f(x)max＝f?＝－a3.
综上所述，f(x)max＝
类型二 由函数的最值求参数
例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾.
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
①当a>0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
?↗
b
?↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.
跟踪训练3 设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.当0考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
解 f′(x)＝－x2＋x＋2a，
令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.
当x∈(－∞，x1)，(x2，＋∞)时，f′(x)<0；
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增.
当0所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2).
又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，
故a＝1，x2＝2，
从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
类型三 函数最值的综合应用
例4 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0).
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去).
当t变化时g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
↗?
1－m
↘?
∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，
h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0对t∈(0,2)恒成立，
只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞).
反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.
跟踪训练4 已知2xln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，求a的取值范围.
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 由2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋.
设h(x)＝2ln x＋＋x(x>0).
则h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.
∴h(x)min＝h(1)＝4.
∴a≤h(x)min＝4.
∴a的取值范围是(－∞，4].
1.函数y＝x－sin x，x∈的最大值是________.
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 π
解析 因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
2.函数f(x)＝x2－ln x的最小值为________.
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案
解析 f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得03.函数f(x)＝x3－x2－x＋t在区间[0,2]上的最小值为3，则函数在[0,2]上的最大值为________.
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
答案 6
解析 f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝1.因为在[0,1)上，f′(x)<0；在(1,2]上，f′(x)>0，所以当x＝1时，函数f(x)取极小值，也是最小值，则f(1)＝1－1－1＋t＝3，所以t＝4，又函数f(x)在两端点处的函数值为f(0)＝4，f(2)＝8－4－2＋4＝6，所以函数在[0,2]上的最大值为6.
4.已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
答案 －
解析 当a≤－1时，最大值为4，不符合题意.
当－1所以f(x)max＝f(a)，
即－a2－2a＋3＝，
解得a＝－或a＝－(舍去).
5.函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 (7，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，
得x＝－或x＝1.
可求得f(x)max＝f(2)＝7.
∴对于任意x∈[－1,2]，f(x)7.
1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值.
2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.
3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
一、填空题
1.函数y＝的最大值为________.
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案
2.f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 32
解析 因为函数f(x)＝x3－12x＋8，
所以f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)>0，解得x>2或x<－2；
令f′(x)<0，解得－2故函数在[－2,2]上是减函数，在[－3，－2)，(2,3]上是增函数，
所以函数在x＝2时取到最小值f(2)＝8－24＋8＝－8，
在x＝－2时取到最大值f(－2)＝－8＋24＋8＝24.
即M＝24，m＝－8，所以M－m＝32.
3.函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为__________.
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案
解析 f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x，
当0≤x≤时，f′(x)≥0，
∴f(x)是上的增函数.
∴f(x)的最大值在x＝处取得，f?＝，
f(x)的最小值在x＝0处取得，f(0)＝.
∴函数值域为.
4.函数f(x)＝xln x在区间[1，t＋1](t>0)上的最小值为________.
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 0
解析 求导得f′(x)＝ln x＋1，当x≥1时，f′(x)>0，
所以f(x)＝xln x在区间[1，t＋1](t>0)上是增函数，
所以它的最小值为f(1)＝0.
5.已知函数f(x)＝2ln x＋(a＞0)，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围为________.
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 [e，＋∞)
解析 由f(x)≥2，得a≥2x2－2x2ln x.
设g(x)＝2x2－2x2ln x，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)，
令g′(x)＝0，得x＝或x＝0(舍去)，
因为当0＜x＜时，g′(x)＞0；当x＞时，g′(x)＜0.
所以当x＝时，g(x)取得最大值g()＝e，故a≥e.
6.已知a≥0，若函数f(x)＝在[－1,1]上的最大值为2，则实数a的值为________.
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
答案 1
解析 求导得f′(x)＝，
令f′(x)＝0，可得x＝－1或x＝a，
又f(－1)＝0，f(a)＝1＋，f(1)＝，
若1＋＝2，则有a＝1；若＝2，则也有a＝1，
因此a＝1.
7.设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2，若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0,2]在x＝0处取得最大值，则a的取值范围为________.
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
答案
解析 因为f′(x)＝3ax2－6x，
所以g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x
＝ax2(x＋3)－3x(x＋2).
当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时，g(0)≥g(2)，
即0≥20a－24，解得a≤.
反之，当a≤时，对任意x∈[0,2]，
g(x)≤x2(x＋3)－3x(x＋2)
＝(2x2＋x－10)＝(2x＋5)(x－2)≤0，
而g(0)＝0，故g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0).
综上所述，a的取值范围是.
8.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)考点 含参数的函数最值问题
题点 含参数的函数求最值
答案 f(a)－g(a)
解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).
9.函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|?f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________.
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 20
解析 由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
则f(x)min＝f(－3)＝－19，f(x)max＝f(－1)＝1，
由题意知，|f(x1)－f(x2)|max＝|－19－1|＝20，
∴t≥20，故tmin＝20.
10.设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为________.
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
答案
解析 由题意画出函数图象如图所示，
由图可以看出MN＝y＝t2－ln t(t>0).
y′＝2t－＝＝.
当0当t>时，y′>0，可知y在内单调递增.
故当t＝时，MN有最小值.
二、解答题
11.已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3时f(x)有极值，求f(x)在[1，a]上的最大值和最小值.
考点 含参数的函数最值问题
题点 含参数的函数求最值
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋3，
∵当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
∴a≤min＝3(当且仅当x＝1时取最小值).
∴a≤3.即实数a的取值范围是(－∞，3].
(2)由题意知，f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去).
当10，
即当x＝3时，f(x)取极小值f(3)＝－9.
又f(1)＝－1，f(5)＝15，
∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.
12.已知函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围.
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)>0，解得x>；
令f′(x)<0，解得0所以当x＝时f(x)取得最小值－.
(2)依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式a≤ln x＋对于x∈[1，＋∞)恒成立.
令g(x)＝ln x＋，则g′(x)＝－＝，
当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)的最小值是g(1)＝1.
因此a≤g(x)min＝g(1)＝1，
故a的取值范围为(－∞，1].
13.已知函数f(x)＝ax3－x2＋b(x∈R).
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝6x－8，求a，b的值；
(2)若a>0，b＝2，当x∈[－1,1]时，求f(x)的最小值.
考点 含参数的函数最值问题
题点 含参数的函数求最值
解 (1)f′(x)＝3ax2－3x，由f′(2)＝6，得a＝1.
由切线方程为y＝6x－8，得f(2)＝4.
又f(2)＝8a－6＋b＝4，所以b＝2，
所以a＝1，b＝2.
(2)因为 f(x)＝ax3－x2＋2.
所以f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1).
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝，分以下两种情况讨论：
①若>1，即0x
(－1,0)
0
(0,1)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗?
极大值
?↘
又f(－1)＝－a－＋2，f(1)＝a－＋2，
所以f(x)min＝f(－1)＝－a.
②若0<<1，即a>1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－1,0)
0
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大值
↘?
极小值
↗?
f(－1)＝－a，f?＝2－.
而f?－f(－1)＝2－－
＝＋a－>0，
所以f(x)min＝f(－1)＝－a.
综合①②，得f(x)min＝f(－1)＝－a.
三、探究与拓展
14.设函数f(x)＝ax3＋3bx(a，b为实数，a<0，b>0)，当x∈[0,1]时，有f(x)∈[0,1]，则b的最大值是________.
考点 含参数的函数最值问题
题点 含参数的函数求最值
答案
解析 ∵f(x)＝ax3＋3bx(a，b为实数，a<0，b>0)，
∴f′(x)＝3ax2＋3b，
令f′(x)＝0，可得x＝±，
①若≥1，则f(x)max＝f(1)＝1，∴b∈；
②若0＜＜1，
则f(x)max＝f?＝1，f(1)≥0，
∴b∈.∴b的最大值是.
15.已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
(1)解 由f(x)＝，
得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)解 由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
又ex>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(3)证明 因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，
所以g(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞).
因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－xln x<(1＋e－2).
由(2)知h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)，
因此当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减.
所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，
故1－x－xln x≤1＋e－2.
设φ(x)＝ex－(x＋1).
因为φ′(x)＝ex－1＝ex－e0，
所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，
φ(x)>φ(0)＝0，
故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝ex－(x＋1)>0，即>1.
所以1－x－xln x≤1＋e－2<(1＋e－2).
因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
§3.4 导数在实际生活中的应用
学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
知识点 生活中的优化问题
1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.
2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.
3.解决优化问题的基本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
1.优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题.( √ )
2.生活中的优化问题都必须利用导数解决.( × )
3.生活中的优化问题中，若函数只有一个极值点，则它就是最值点.( √ )
类型一 几何中的最值问题
例1 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
解 (1)由题意知，包装盒的底面边长为x cm，
高为(30－x)cm,0包装盒侧面积为S＝4x×(30－x)
＝8x(30－x)≤8×2＝8×225，
当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
答 若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.
(2)包装盒容积V＝2x2·(30－x)
＝－2x3＋60x2(0所以V′＝－6x2＋120x＝－6x(x－20).
令V′>0，得0令V′<0，得20答 当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为.
反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题.
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.
跟踪训练1 在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.
(1)当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；
(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
解 (1)当a＝90时，b＝40，纸盒的底面矩形的长为90－2x，宽为40－2x，周长为260－8x.
所以纸盒的侧面积S(x)＝(260－8x)x＝－8x2＋260x，其中x∈(0,20)，
故S(x)max＝S＝.
答 当a＝90时，纸盒侧面积的最大值为 平方厘米.
(2)纸盒的体积V＝(a－2x)(b－2x)x，其中x∈，a≥b＞0，且ab＝3 600.
因为(a－2x)(b－2x)＝ab－2(a＋b)x＋4x2≤ab－4x＋4x2＝4(x2－60x＋900)，当且仅当a＝b＝60时取等号，
所以V≤4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30).
记f(x)＝4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)，
则f′(x)＝12(x－10)(x－30)，
令f′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去).
当x∈(0,30)时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(0,10)
10
(10,30)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?↗
极大值
?↘
由上表可知，f(x)的极大值是f(10)＝16 000，也是最大值.
答 当a＝b＝60，且x＝10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米.
类型二 实际生活中的最值问题
例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
解 (1)当0W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10，
当x>10时，
W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，
所以W＝
(2)①当0由W′＝8.1－＝0，得x＝9.
当x∈(0,9)时，W′>0；当x∈(9,10]时，W′<0.
所以当x＝9时，W取得最大值，
即Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.
②当x>10时，W＝98－≤98－2＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝时，W取得最大值38.
综合①②知，当x＝9(千件)时，W取得最大值为38.6万元.
答 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.
反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.
跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
解 (1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6).
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?↗
极大值42
?↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.
考点 几何类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
解 (1)由题设知，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，
当00，
故x＝5为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.
反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.
跟踪训练3 如图，一个圆心角为直角的扇形AOB花草房，半径为1，点P是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP内种花，PQ⊥OA，垂足为Q，PQ将扇形AOP分成左右两部分，在PQ左侧部分三角形POQ为观赏区，在PQ右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a为正常数，设∠AOP＝θ，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，总造价为f(θ).
(1)求f(θ)关于θ的函数关系式；
(2)求当θ为何值时，总造价最小，并求出最小值.
考点 几何类型的优化问题
题点 利用导数求解三角模型的最优化问题
解 (1)种花区的造价为，
种草区的造价为2a，
故总造价f(θ)＝＋2a
＝a,0<θ<.
(2)f′(θ)＝a
＝a＝2a
＝2a.
令f′(θ)＝0，得到θ＝.
当θ变化时，f′(θ)，f(θ)的变化情况如下表：
θ
f′(θ)
－
0
＋
f(θ)
?↘
极小值
↗?
答 当θ＝时，总造价最小，且总造价最小为a.
1.在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________时.
考点 几何类型的优化问题
题点 利用导数求生活中的最优化问题
答案 8
解析 y′＝－t2－t＋36＝－(t2＋4t－96)
＝－(t＋12)(t－8)，
当t∈(6,8)时，y′>0；当t∈(8,9)时，y′<0，
故t＝8时，y取最大值.
2.用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为________ m3.
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
答案 8
解析 设长方体的底面边长为x m，则高为(6－2x)m，
∴0令V′(x)＝0，得x＝2或x＝0(舍去).
∴当x∈(0,2)时，函数V(x)是增函数；当x∈(2,3)时，函数V(x)是减函数，
∴当x＝2时，V(x)max＝4×2＝8(m3).
3.某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝
则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是________.
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 300
解析 由题意得，总利润
P(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300.
4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元.
考点 几何类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
答案 160
解析 设底面长为x，由题意得底面宽为.
设总造价为y，则y＝20x×＋10×1×，
即y＝20x＋＋80，y′＝20－，令y′＝0，得x＝2.
因为当02时，y′>0，
所以x＝2是函数y的极小值点，也是最小值点.
所以当x＝2时，ymin＝160(元).
5.某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与年广告费x(万元)之间的函数关系式为Q＝(x≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
解 (1)由题意知，每年销售Q万件，共计成本为(32Q＋3＋x)万元.销售收入是(32Q＋3)·150%＋x·50%，
所以年利润y＝·(32Q＋3－x)
＝(32×＋3－x)
＝(x≥0)，
即所求的函数关系式为y＝(x≥0).
当x＝100时，y<0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损.
(2)由y＝(x≥0)可得
y′＝
＝.
令y′＝0，则x2＋2x－63＝0，
解得x＝7或x＝－9(舍去).
又当x∈(0,7)时，f′(x)>0；
当x∈(7，＋∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)极大值＝f(7)＝42.
又因为在[0，＋∞)上只有一个极值点，
所以f(x)最大值＝f(7)＝42.
答 当年广告费投入7万元时，企业年利润最大.
1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.
2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.
一、填空题
1.容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料.
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
答案 4
解析 设水箱高为h，底面边长为a，则a2h＝256，
其表面积为S＝a2＋4ah＝a2＋4a·＝a2＋.
令S′＝2a－＝0，得a＝8.
当08时，S′>0，
故当a＝8时，S最小，此时h＝＝4.
2.如果圆柱截面的周长l为定值，则体积的最大值为___________________________.
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
答案
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，∴h＝，
V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点，且当00，当r>时，v′<0.
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为.
3.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件.
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 3
解析 y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，
当00；当x>3时，y′<0.
故当x＝3时，该商品的年利润最大.
4.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为________.
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 0.032 4
解析 依题意知，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6).
所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0则y′＝0.097 2kx－3kx2.
令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去).
当00；
当0.032 4所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益.
5.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时底面边长为________.
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案
解析 设底面边长为x，
则表面积S＝x2＋V(x>0).
∴S′＝(x3－4V).令S′＝0，得x＝.
可判断当x＝时，直棱柱的表面积最小.
6.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.问该商品零售价定为__________元时毛利润最大.(毛利润＝销售收入－进货支出)
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 30
解析 由题意知，毛利润＝销售额－成本，
即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值.
7.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少.
考点 几何类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
答案 80
解析 当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，由题意，得
y＝
＝＋－(0则y′＝－＝(0令y′＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，y′<0，该函数递减；当x∈(80,120)时，y′>0，该函数递增，故当x＝80时，y取得最小值.
8.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，已知窗户的面积一定，若要使窗户的周长最小，则x与h的比为________.
考点 几何类型的优化问题
题点 周长的最值问题
答案 1∶1
解析 设窗户的面积为S，周长为L，
则S＝x2＋2hx，即h＝－x.
所以窗户的周长为L＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋，
则L′＝＋2－.
由于x>0，令L′＝0，得x＝，
当x∈时，L′<0；
当x∈时，L′>0，
所以当x＝时，L取得最小值，
此时＝＝1.
9.某厂生产某种产品x件的总成本(单位：元)为C(x)＝1 200＋x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，若生产100件这样的产品时，单价为50元，则要使总利润最大，产量应定为________件.
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 25
解析 设产品单价为a元，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k(k为比例系数).
由题意知，k＝250 000，则a2x＝250 000，所以a＝.
设总利润为y元，则y＝500－x3－1 200(x>0)，
则y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0；
当x∈(25，＋∞)时，y′<0，
所以当x＝25时，y取得最大值.故要使总利润最大，产量应定为25件.
10.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲、乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________n mile/h.
考点 几何类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
答案 20
解析 由题意知，设燃料费y与航速x满足
y＝ax3(0＜x≤30)，又因为25＝a·103，
所以a＝.
设海轮从甲地到乙地的航速为v，费用为w，
则w＝av3×＋×400＝20v2＋.
令w′＝40v－＝0，得v＝20.
当0＜v＜20时，y′＜0；当20＜v≤30时，y′＞0.
因此，当x＝20时，函数w取得极小值，也是最小值.
即海轮从甲地到乙地的航速为20 n mile/h时，总费用最低.
二、解答题
11.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3).
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额为－x3＋x2＋3x(百万元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.(收益＝销售额－投入)
考点 几何类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
解 (1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，所以当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大.
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，所以g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又当00；当2答 将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大.
12.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最少，并求出最少建造费用.
考点 几何类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
解 (1)因为容器的体积为 立方米，
所以＋πr2l＝，解得l＝－.
所以圆柱的侧面积为
2πrl＝2πr＝－，
两端两个半球的表面积之和为4πr2，
所以y＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2.
又由l＝－>0，得r<，
所以定义域为.
(2)因为y′＝－＋16πr＝，
所以令y′>0，得2令y′<0，得0所以当r＝2时，该容器的建造费用最少，为96π千元，此时l＝.
答 当r＝2，l＝时，该容器的建造费用最少，为96π千元.
13.如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰Rt△EFH，其中FE⊥FH，FE＝FH.现将铁片裁剪成尽可能大的梯形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥BC，且点A，B在弧EF上.点C，D在斜边EH上.设∠AOE＝θ.
(1)求梯形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；
(2)试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值.
考点 几何类型的优化问题
题点 利用导数求解三角模型的最优化问题
解 (1)因为∠AOE＝θ，∠AOE＝∠BOF且OA＝OB＝1，
所以AD＝1－cos θ＋sin θ，BC＝1＋cos θ＋sin θ，AB＝2cos θ.
所以SABCD＝＝2(1＋sin θ)cos θ，
其中0<θ<.
(2)记f(θ)＝2(1＋sin θ)cos θ，
f′(θ)＝2(cos2θ－sin θ－sin 2θ)
＝2(1－sin 2θ－sin θ－sin 2θ)
＝－2(2sin2θ＋sin θ－1)
＝－2(2sin θ－1)(sin θ＋1).
当0<θ<时，f′(θ)>0，当<θ<时，f′(θ)<0，
所以当θ＝时，f(θ)max＝f?＝，
即θ＝时，Smax＝.
答 当θ＝时，梯形铁片ABCD的面积S最大，最大值为.
三、探究与拓展
14.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元.那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处.
考点 几何类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
答案 5
解析 依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数.
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此，两项费用之和为y＝＋(x>0)，y′＝－＋，
令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去).
当05时，y′>0.
因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值.
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小.
15.如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1 km处，tan∠BAN＝，∠BCN＝.现计划铺设一条电缆连通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km,4万元/km.
(1)求A，B两镇间的距离；
(2)应该如何铺设，使总铺设费用最低？
考点 几何类型的优化问题
题点 利用导数求解三角模型的最优化问题
解 (1)如图，过B作MN的垂线，垂足为D.
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝tan∠BAN＝＝，
所以AD＝BD.
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝tan∠BCN＝＝1，
所以CD＝BD.
则AC＝AD－CD＝BD－BD＝BD＝1，
所以BD＝3，则CD＝3，AD＝4.
由勾股定理，得AB＝＝5(km).
所以A，B两镇间的距离为5 km.
(2)方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4＝20(万元).
方案②：设∠BPD＝θ，则θ∈，其中θ0＝∠BAN.
在Rt△BDP中，DP＝＝，BP＝＝，
所以AP＝4－DP＝4－.
则总铺设费用为2AP＋4BP＝8－＋
＝8＋6·.
设f(θ)＝，则f′(θ)＝＝，
令f′(θ)＝0，得θ＝，
当θ变化时，f′(θ)，f(θ)的变化情况如下表：
θ
f′(θ)
－
0
＋
f(θ)
↘?
极小值
↗?
所以f(θ)的最小值为f?＝.
所以方案②的总铺设费用最低为8＋6(万元)，此时AP＝4－.
而8＋6＜20，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A镇的正西方向(4－) km处，总铺设费用最低.
答 当点P选在A镇的正西方向(4－) km处时，总铺设费用最低.
习题课 导数的应用
学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.
知识点一 函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.
知识点三 函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法
1.求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.
2.将函数y＝f(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.函数y＝xln x在上是减函数.( √ )
2.若函数y＝ax－ln x在内单调递增，则a的取值范围为(2，＋∞).( × )
3.设函数f(x)＝x·(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝2.( × )
4.函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为.( √ )
类型一 导数与函数单调性
例1 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴.
(1)确定a与b的关系；
(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的单调性
解 (1)依题意得g(x)＝ln x＋ax2＋bx，
则g′(x)＝＋2ax＋b.
由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，
∴b＝－2a－1.
(2)由(1)得
g′(x)＝＝.
∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴当a＝0时，g′(x)＝－.
由g′(x)＞0得0＜x＜1，由g′(x)＜0得x＞1，即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当a＞0时，令g′(x)＝0得x＝1或x＝，
若＜1，即a＞，由g′(x)＞0得x＞1或0＜x＜，
由g′(x)＜0得＜x＜1，
即函数g(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
若＞1，即0＜a＜，由g′(x)＞0得x＞或0＜x＜1，由g′(x)＜0得1＜x＜，
即函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；
若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0，
即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
综上可得，当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当0当a＝时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
反思与感悟 研究含参数的函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
跟踪训练1 讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的单调性
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
③当00，故f(x)在上单调递减，
在上单调递增.
综上所述，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0在上单调递增.
例2 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的单调性
解 (1)f′(x)＝3x2－a.
①当a≤0时，f′(x)≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数.
②当a＞0时，令3x2－a＝0得x＝±；
当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数.
综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；
当a＞0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数.
(2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立.
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即a的取值范围为(－∞，0].
引申探究
1.函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.
解 因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，
所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，
所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，
即a的取值范围为(－∞，3].
2.函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围.
解 由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立.
因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.
即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数.
3.函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值.
解 由例题可知，
f(x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3.
4.函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围.
解 ∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.
由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0).
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，
∴0＜＜1，得0＜a＜3，
即a的取值范围为(0,3).
反思与感悟 f(x)为(a，b)上的增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，求a的取值范围.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的单调性
解 因为f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，
故f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，
即a≥－2x在上恒成立.
令h(x)＝－2x，则h′(x)＝－－2，
当x∈时，h′(x)＜0，则h(x)为减函数，
所以h(x)＜h＝3.所以a≥3.
故a的取值范围是[3，＋∞).
类型二 利用导数研究函数的极值与最值
例3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的极值与最值
解 (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在点P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
＋
f(x)
2
?↘
－2
?↗
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，
f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.
因为f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0，
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).
当x∈[1,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,3]时，g′(x)>0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
则解得－2即实数c的取值范围为(－2,0].
反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间及极值；
(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的极值与最值
解 (1)∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，
则f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，
于是2(a－1)x2＋2b＝0恒成立，
∴解得a＝1，b＝0.
(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，
∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4；
令f′(x)<0，得－4令f′(x)>0，得x<－4或x>4.
∴f(x)的单调递减区间为(－4,4)，单调递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，
∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，f(x)极小值＝f(4)＝－128.
(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，则f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，∴函数的最大值为－47，最小值为－128.
1.已知函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为________.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的最值
答案 (0,1)
解析 f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，显然a>0，f′(x)＝3(x＋)(x－)，由已知条件0<<1，解得02.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为________.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
答案 －37
解析 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴f(x)在x∈[0,2]上单调递减，在[－2,0]上单调递增，
∴f(x)的最大值为f(0)＝m＝3，
f(x)的最小值为f(－2)＝－16－24＋3＝－37.
3.已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的单调性
答案
解析 因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
由函数f(x)在(－2，＋∞)内单调递减，
知f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，
即≤0在(－2，＋∞)内恒成立，因此a≤.
当a＝时，f(x)＝，此时函数f(x)为常函数，
故a＝不符合题意，舍去.
故实数a的取值范围为.
4.已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为________.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
答案 －
解析 因为函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，所以函数g(x)＝ax3＋bx在[0,1]上的最大值为2，而g(x)是奇函数，所以g(x)在[－1,0]上的最小值为－2，故f(x)在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝－.
5.已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则实数a的取值范围为__________.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的极值与最值
答案 (－∞，－1)
解析 因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，
又因为x＞0，所以－a＞1，即a＜－1.
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.
一、填空题
1.函数y＝ex－ln x的值域为________.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的极值与最值
答案 [2，＋∞)
解析 由y′＝e－(x＞0)知函数在上单调递减，在上单调递增，且函数连续、无上界，从而y＝ex－ln x的值域为[2，＋∞).
2.函数y＝在定义域内的最大值、最小值分别是________.
考点
题点
答案 2，－2
解析 函数的定义域为R.
令y′＝＝＝0，
得x＝±1.当x变化时，y′，y随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
＋
0
－
y
?↘
极小值
?↗
极大值
↘?
当x趋近于负无穷大时，y趋近于0；当x趋近于正无穷大时，y趋近于0.由上表可知，当x＝－1时，y取极小值也是最小值－2；当x＝1时，y取极大值也是最大值2.
3.设f(x)＝4x3＋mx2＋(m－3)x＋n(m，n∈R)是R上的单调增函数，则m的值为________.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的单调性
答案 6
解析 因为f(x)是R上的单调增函数，故f′(x)＝12x2＋2mx＋(m－3)≥0在x∈R上恒成立，于是Δ＝4m2－48(m－3)≤0，即(m－6)2≤0，得m＝6.
4.已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为________.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的极值
答案 2ln 2－2
解析 f′(x)＝－1，令x＝1得，f′(1)＝2f′(1)－1，f′(1)＝1，所以f(x)＝2ln x－x，f′(x)＝－1，f′(x)＝－1的零点是x＝2，所以当00，f(x)是增函数，当x>2时，f′(x)<0，f(x)是减函数，所以x＝2是f(x)的极大值点，极大值为f(2)＝2ln 2－2.
5.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则函数f(x)的极大值为________，极小值为________.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的极值
答案 0
解析 ∵f′(x)＝3x2－2px－q，
∴f′(1)＝3－2p－q＝0.①
又f(1)＝1－p－q＝0，②
由①②解得p＝2，q＝－1，
∴f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1.
令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝，x2＝1.
当x<时，f′(x)>0；
当当x>1时，f′(x)>0，
∴当x＝时，f(x)有极大值为；当x＝1时，f(x)有极小值为0.
6.若函数y＝a(x3－x)的单调递增区间是，，则实数a的取值范围为________.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的单调性
答案 (0，＋∞)
解析 y′＝a(3x2－1)，令y′＝0，得x＝±.由函数y＝a(x3－x)的单调递增区间是，，得导函数y′＝a(3x2－1)的图象是开口向上的抛物线，所以a>0.
7.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围为________.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的单调性
答案 [5,7]
解析 函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意.
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数.
依题意有当x∈(1,4)时，f′(x)≤0，
当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，
所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7，
所以a的取值范围为[5,7].
8.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________.
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 －13
解析 由题意求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，
∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
9.若函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________.
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 (－1,1)
解析 令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，
则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗?
极大值
?↘
极小值
?↗
从而解得
所以f(x)的单调递减区间为(－1,1).
10.设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________.
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 [4，＋∞)
解析 ∵x∈(0,1]，∴f(x)≥0可化为a≥－.
令g(x)＝－，则g′(x)＝，
令g′(x)＝0，得x＝.
当00；
当∴g(x)在(0,1]上有极大值g＝4，也是最大值.
∴a≥4.
二、解答题
11.设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的极值
解 (1)f′(x)＝－＋.
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而有a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知，f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
则f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去).
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数.
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
12.已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.
考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题点 利用导数研究函数的最值
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，
f′(x)＝－1＋＝，
当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数.
∴f(x)max＝f(1)＝－1.
(2)∵f′(x)＝a＋，当x∈(0，e]时，∈，
①若a≥－，则f′(x)≥0，f(x)在(0，e]上是增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0不合题意；
②若a<－，则由f′(x)>0，
即a＋>0，得0由f′(x)<0，即a＋<0，得－从而f(x)在上是增函数，在上是减函数，
∴f(x)max＝f?＝－1＋ln，
令－1＋ln＝－3，则ln＝－2，
∴－＝e－2，即a＝－e2.
∵－e2<－，∴a＝－e2即为所求.
13.已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.
(1)设a＝1，求函数f(x)的极值；
(2)若a>，且当x∈[1,4a]时，|?f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围.
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x3－3x2－9x＋1，且f′(x)＝3x2－6x－9，
由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3.
当x<－1时，f′(x)>0；当－1因此x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝6；
当－13时，f′(x)>0.
因此x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－26.
(2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的图象是一条开口向上且对称轴为直线x＝a的抛物线，
因此，若所以f′(x)在[1,4a]上的最小值为f′(1)＝3－6a－9a2，最大值为f′(4a)＝15a2.
由|?f′(x)|≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a，
于是3－6a－9a2≥－12a，且15a2≤12a，
结合若a>1，则|?f′(a)|＝12a2>12a，
故当x∈[1,4a]时，|?f′(x)|≤12a不恒成立.
所以使|?f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围为.
三、探究与拓展
14.设f(x)＝x3＋x，x∈R，若当0≤θ≤时，f(msin θ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围为________.
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 (－∞，1)
解析 因为f(x)＝x3＋x，x∈R，
故f′(x)＝3x2＋1>0，
则f(x)在x∈R上为单调增函数，
又因为f(－x)＝－f(x)，故f(x)也为奇函数，
由f(msin θ)＋f(1－m)>0，
即f(msin θ)>－f(1－m)＝f(m－1)，
得msin θ>m－1，即m(sin θ－1)>－1，
因为0≤θ≤，
故当θ＝时，0>－1恒成立；
当θ∈时，m<恒成立，
即m<min＝1，故m<1.
15.已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－2.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值；
(3)若函数y＝f(x)＋g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1ln 2，求实数a的取值范围.
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 (1)令f′(x)＝ln x＋1＝0得x＝，
①当0②当t≥时，函数f(x)在[t，t＋2]上单调递增，
此时函数f(x)在区间[t，t＋2]上的最小值为f(t)＝tln t.
(2)由题意得，f(x)－g(x)＝xln x＋x2－ax＋2＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，
即a＝ln x＋x＋在(0，＋∞)上有且仅有一个根，
令h(x)＝ln x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝＋1－＝＝(x＋2)(x－1)(x>0)，
易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以a＝h(x)min＝h(1)＝3.
(3)由题意得，y＝f(x)＋g(x)＝xln x－x2＋ax－2，则其导函数为y′＝ln x－2x＋1＋a，
由题意知y′＝ln x－2x＋1＋a＝0有两个不同的实根x1，x2，
等价于a＝－ln x＋2x－1有两个不同的实根x1，x2，且x1等价于直线y＝a与函数G(x)＝－ln x＋2x－1(x>0)的图象有两个不同的交点.
由G′(x)＝－＋2(x>0)，得G(x)在上单调递减，在上单调递增，
画出函数G(x)图象的大致形状(如图).
由图象易知，当a>G(x)min＝G＝ln 2时，x1，x2存在，且x2－x1的值随着a的增大而增大.
而当x2－x1＝ln 2时，
则有
两式相减可得ln ＝2(x2－x1)＝2ln 2，
得x2＝4x1，代入上述方程组解得x1＝，x2＝ln 2，
此时实数a＝ln 2－ln －1，
所以实数a的取值范围为.
滚动训练(五)
一、填空题
1.函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________.
考点 导数在函数中的运用
题点 求函数单调区间
答案 (0，＋∞)
解析 ∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.
2.函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是______.
考点 导数在函数中的运用
题点 求函数最小值
答案 －
解析 f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0，x∈[0,2]，
得x＝1.
比较f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，
可知最小值为－.
3.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点，则椭圆C的标准方程为__________________.
考点 椭圆的几何性质
题点 求椭圆的方程
答案 ＋＝1
解析 设＝，∴＝，
∴1－2＝，∴2＝，
∴＝，∴a＝4.∴＋＝1.
4.已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝________.
考点 双曲线的几何性质
题点 双曲线的几何性质的应用
答案 0
解析 ∵y＝x为渐近线方程，则b＝2，
即双曲线方程为x2－y2＝2.
当x＝时，y＝1.
又双曲线的半焦距为2，
∴F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)
＝－1＋y＝－1＋1＝0.
5.若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围为________.
考点 导数在函数中的运用
题点 由函数单调性求参数范围
答案
解析 ∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，
∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.
又∵f(x)在R上是单调增函数，
∴Δ＝4－12m≤0，即m≥.
6.给出下列三个命题：
①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件；
②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；
③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.
其中正确命题的序号为________.
考点 充分条件、必要条件、充要条件的判断
题点 充分条件、必要条件、充要条件的判断
答案 ③
解析 ∵函数y＝3x为单调增函数，∴“a＞b”是“3a＞3b”的充要条件，故①错误；∵y＝cos x是周期函数，故②错误；当a＝0时，f(x)＝x3＋ax2＝x3是奇函数，反之，当f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数时，由f(x)＋f(－x)＝0，得a＝0，故③正确.
7.椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则＝________.
考点 直线与椭圆
题点 求椭圆中的参数
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，
＝－1，＝－1，
∴×(－1)×＝－1，∴＝.
8.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________ cm3.
考点 导数在函数中的运用
题点 导数的实际应用
答案 144
解析 设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.
则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0∴y′＝12x2－104x＋160.
令y′＝0，得x＝2或(舍去)，
∴ymax＝6×12×2＝144(cm3).
9.已知R上的可导函数f(x)的导函数f′(x)满足：f′(x)＋f(x)>0，且f(1)＝1，则不等式f(x)>的解是________.
考点 导数在函数中的运用
题点 函数单调性解不等式
答案 (1，＋∞)
解析 令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)>0，所以函数g(x)是R上的增函数，又不等式f(x)>等价于exf(x)>e＝e1f(1)，即g(x)>g(1)，从而有x>1，所以不等式f(x)>的解集为(1，＋∞).
10.曲线y＝－(x<0)与曲线y＝ln x公切线(切线相同)的条数为________.
考点 导数的几何意义
题点 函数图象切线问题
答案 1
解析 设公切线l与曲线y＝－切于点A
(x1<0)，与曲线y＝ln x切于点B(x2，ln x2)，
因为′＝，(ln x)′＝，
所以曲线y＝－在点A处的切线为y＋＝(x－x1)，
即y＝－；
曲线y＝ln x在点B处的切线为y－ln x2＝(x－x2)，
即y＝－1＋ln x2，从而有(*)
消去x1，得ln x2－1－＝0，
令f(x)＝ln x－1－，
则f′(x)＝＋＝>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
由于f(1)＝－3<0，f(e2)＝1－>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上有唯一解，
即方程ln x2－1－＝0有唯一解，
从而方程组(*)有唯一解，故两条曲线公切线的条数为1.
二、解答题
11.已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
考点 导数在函数中的运用
题点 函数单调性和最值问题
解 (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘?
极小值
↗?
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上所述，f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(x)＝
12.已知函数f(x)＝－2x2＋ln x，其中a为常数.
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围.
考点 导数在函数中的运用
题点 函数单调性问题
解 (1)当a＝1时，f(x)＝3x－2x2＋ln x，
定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－4x＋3＝
＝(x>0).
当f′(x)>0，x∈(0,1)时，函数f(x)＝3x－2x2＋ln x单调递增；当f′(x)<0，x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝3x－2x2＋ln x单调递减.
故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2)f′(x)＝－4x＋，
若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0，
即－4x＋≥0或－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－.
令h(x)＝4x－，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，解得a<0或0即a的取值范围为(－∞，0)∪∪[1，＋∞).
13.已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)，g(x)＝x2－2bx＋4.当a＝时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围.
考点 导数在函数中的运用
题点 导数的综合运用
解 由f′(x)＝－－＝0知，x1＝1，x2＝3?(0,2)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)＝－.
由于“对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值－”.(*)
又g(x)＝(x－b)2＋4－b2，x∈[1,2]，所以
①当b<1时，因为[g(x)]min＝g(1)＝5－2b>0，此时与(*)矛盾；
②当b∈[1,2]时，因为[g(x)]min＝4－b2≥0，同样与(*)矛盾；
③当b∈(2，＋∞)时，因为[g(x)]min＝g(2)＝8－4b，
解不等式8－4b≤－，可得b≥.
综上，b的取值范围是.
三、探究与拓展
14.设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”，若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围为________.
考点 导数在函数中的运用
题点 导数的综合运用
答案
解析 设g(x)＝f(x)＋x，依题意知，存在x∈[1,4]，使g(x)＝f(x)＋x＝ax2－2x－a＋＝0.当x＝1时，g(1)＝≠0；当x≠1时，由ax2－2x－a＋＝0，得a＝.记h(x)＝(10；当x∈(2,4)时，h′(x)<0，即函数h(x)在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x＝2时，h(x)取得最大值，最大值是h(2)＝，故满足题意的实数a的取值范围为.
15.已知函数f(x)＝aln x＋x2(a为实常数).
(1)当a＝－4时，求函数f(x)在[1，e]上的最大值及相应的x值；
(2)当x∈[1，e]时，讨论方程f(x)＝0根的个数；
(3)若a>0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有|f(x1)－f(x2)|≤，求实数a的取值范围.
考点 导数在函数中的运用
题点 导数的综合运用
解 (1)f′(x)＝(x>0)，
当x∈[1，)时，f′(x)<0；当x∈(，e]时，f′(x)>0，
又f(e)－f(1)＝－4＋e2－1>0，
故f(x)max＝f(e)＝e2－4，
当x＝e时，取等号.
(2)易知x≠1，故x∈[1，e]，方程f(x)＝0根的个数等价于x∈(1，e]时，方程－a＝根的个数.
设g(x)＝，g′(x)＝＝.
当x∈(1，)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
当x∈(，e]时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增.
又g(e)＝e2，g()＝2e，作出y＝g(x)与直线y＝－a的图象(图略)，
当2e<－a≤e2，即－e2≤a<－2e时，方程f(x)＝0有2个相异的根；
当a<－e2或a＝－2e时，方程f(x)＝0有1个根；
当a>－2e时，方程f(x)＝0有0个根.
(3)当a>0时，f(x)在x∈[1，e]时是增函数，
又函数y＝是减函数，不妨设1≤x1≤x2≤e，
则≤等价于f(x2)－f(x1)≤－，即f(x2)＋≤f(x1)＋，
故原题等价于函数h(x)＝f(x)＋在x∈[1，e]时是减函数，
∴h′(x)＝＋2x－≤0恒成立，
即a≤－2x2在x∈[1，e]时恒成立.
∵y＝－2x2在x∈[1，e]时是减函数，
∴a≤－2e2.
即实数a的取值范围为.
滚动训练(四)
一、填空题
1.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________.
考点 四种命题
题点 否命题
答案 若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
解析 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题.
2.已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是________.
考点 导数的几何意义
题点 求切线方程
答案 y＝0或4x＋y＋4＝0
解析 设切点坐标为(x0，x)，
∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，
∴x＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，
∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，
即y＝0或4x＋y＋4＝0.
3.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.
考点 双曲线的几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案
解析 设双曲线的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，
虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，
∵c>b，∴只有∠B1F1B2＝60°，
∴tan 30°＝，∴c＝b，
又a2＝c2－b2＝2b2，∴e＝＝＝.
4.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________.
考点 椭圆的标准方程
题点 椭圆定义的理解
答案 ＋＝1或＋＝1
解析 由题意知解得
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，
当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，
当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
5.F1，F2是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则·的最大值是________.
考点 椭圆的几何性质
题点 椭圆中的最值问题
答案 1
解析 设P(x，y)，依题意得点F1(－，0)，F2(，0)，·＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2，注意到－2≤x2－2≤1，因此·的最大值是1.
6.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________.
考点 导数的几何意义
题点 求切线方程
答案 x－y－2＝0
解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.
7.若曲线y＝x2＋aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为________.
考点 导数的几何意义
题点 求切点坐标
答案 (1,1)
解析 y＝x2＋aln x的定义域为(0，＋∞)，
由导数的几何意义知y′＝2x＋≥2＝4，则a＝2，
当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，
故所求的切点坐标是(1,1).
8.已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
考点 导数的几何意义
题点 由切线方程求参数
答案 1
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，
又点(2,7)在切线上，可得a＝1.
9.若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是________.
考点 导数的几何意义
题点 求切线方程
答案 1或
解析 易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，
(1)当O(0,0)是切点时，由f′(x)＝3x2－6x＋2得f′(0)＝2，则切线方程为y＝2x.由得x2－2x＋a＝0，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x－3x＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2.①
又k＝＝x－3x0＋2，②
由①，②联立，得x0＝(x0＝0舍去)，
∴k＝－，∴所求切线l的方程为y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0.
依题意，Δ＝－4a＝0，∴a＝.
综上，a＝1或a＝.
10.曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为__________________.
考点 导数的几何意义
题点 求切线方程
答案 2x＋y＋1＝0
解析 根据题意可知切点坐标为(0，－1)，
f′(x)＝＝，
故切线的斜率k＝f′(0)＝＝－2，
则直线的方程为y－(－1)＝－2(x－0)，
即2x＋y＋1＝0.
二、解答题
11.求下列函数的导数.
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；(3)y＝.
考点 导数的运算
题点 求函数导数
解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(3)y′＝′＝
＝－.
12.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
考点 导数的几何意义
题点 求切线方程
解 (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，
又f(2)＝－2，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
13.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
考点 导数的几何意义
题点 由切线方程求参数范围
解 (1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞).
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围是(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞).
三、探究与拓展
14.若函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围为________.
考点 导数的几何意义
题点 由切线方程求参数
答案 ∪
解析 f′(x)＝＋a(x>0).
∵函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴方程＋a＝2在区间(0，＋∞)上有解，
即a＝2－在区间(0，＋∞)上有解.
∴a＜2.
若直线2x－y＝0与曲线f(x)＝ln x＋ax相切，设切点为(x0,2x0).
则解得x0＝e，此时a＝2－.
综上可知，实数a的取值范围为∪.
15.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
考点 导数的几何意义
题点 由切线方程求参数
解 (1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0，
即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)存在.
∵直线m恒过定点(0,9)，直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0,3x＋6x0＋12)，
∵g′(x0)＝6x0＋6，
∴切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将点(0,9)代入，得x0＝±1，
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，
即有x＝－1或x＝2，
当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.
∴公切线是y＝9
又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，
∴x＝0或x＝1.
当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，
∴公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，公切线是y＝9，此时k＝0.
章末复习
学习目标 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.
知识点一 在x＝x0处的导数
1.定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，称函数y＝f(x)在x＝x0处可导.常数A为f(x)在x＝x0处的导数.
2.几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率.
3.物理意义：瞬时速度、瞬时加速度.
知识点二 基本初等函数的求导公式
函数
导数
y＝C
y′＝0
y＝xα(α为常数)
y′＝αxα－1
y＝sin x
y′＝cos x
y＝cos x
y′＝－sin x
y＝ax(a>0且a≠1)
y′＝axln a
y＝ex
y′＝ex
y＝logax(a>0且a≠1)
y′＝
y＝ln x
y′＝
知识点三 导数的运算法则
和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
积的导数
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
商的导数
′＝(g(x)≠0)
知识点四 函数的单调性、极值与导数
1.函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
2.函数的极值与导数
(1)极大值：在x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x0；当x>a时，f′(x)<0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；
(2)极小值：在x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.
知识点五 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
1.求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.
2.将函数y＝f(x)的各极值与端点处函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
特别提醒：(1)关注导数的概念、几何意义
利用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已知，若切点未知，则设出切点，用切点坐标表示切线斜率.
(2)正确理解单调性与导数、极值与导数的关系
①当函数在区间(a，b)上为增函数时，f′(x)≥0；
②f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x0处取极值的必要条件.
1.导数值为0的点一定是函数的极值点.( × )
2.在可导函数的极值点处，切线与x轴平行.( √ )
3.函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增.( × )
4.函数f(x)＝xln x的最小值为－e－1.( √ )
类型一 导数的几何意义及应用
例1 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行.
(1)求a的值；
(2)求f(x)在x＝3处的切线方程.
考点 导数的概念
题点 导数的几何意义及应用
解 (1)∵f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，
∴f′(x)min＝－a2－9，
由题意知，－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去).
故a＝1.
(2)由(1)得a＝1.
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.
反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型.
跟踪训练1 求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程.
考点 导数的概念
题点 导数的几何意义及应用
解 设切点坐标为P(x0，y0)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x，则切线的斜率为k＝3x＋6x0.
又∵直线2x－6y＋1＝0的斜率为k′＝，
∴k·k′＝(3x＋6x0)×＝－1，
解得x0＝－1，∴y0＝－3，即P(－1，－3).
又k＝－3，∴切线方程为y＋3＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋6＝0.
类型二 导数中分类讨论思想
例2 已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R).设a≥0，求f(x)的单调区间.
考点 分类讨论思想在导数中的应用
题点 分类讨论思想在单调性中的应用
解 由f(x)＝ax2＋bx－ln x，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝.
(1)当a＝0时，f′(x)＝.
①若b≤0，当x>0时，f′(x)<0恒成立，
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞).
②若b>0，当0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.
所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)当a>0时，令f′(x)＝0，得2ax2＋bx－1＝0.
由Δ＝b2＋8a>0，得
x1＝，x2＝.
显然x1<0，x2>0.
当0当x>x2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.
所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
综上所述，当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；
当a＝0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；
当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
反思与感悟 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.
(4)求参数的范围时常用到分离参数法.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a>0，讨论f(x)的单调性.
考点 分类讨论思想在导数中的应用
题点 分类讨论思想在单调性中的应用
解 f(x)的定义域是(0，＋∞)，
则f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ<0，即00，都有f′(x)>0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数；
②当Δ＝0，即a＝2时，仅对x＝时，有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0.
此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数；
③当Δ>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大值
↘?
极小值
?↗
此时f(x)在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增.
例3 已知f(x)＝x－1＋，
(1)若f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求f(x)的极值；
(3)当a＝1时，直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求实数k的取值范围.
解 f′(x)＝1－.
(1)∵f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
∴由f′(1)＝0，得a＝e.
(2)①当a≤0时，f′(x)>0，y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，
所以y＝f(x)无极值；
②当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，y＝f(x)在(－∞，ln a)上递减；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，y＝f(x)在(ln a，＋∞)上递增，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值f(ln a)＝ln a，无极大值.
综上，当a≤0时，y＝f(x)无极值；
当a>0时，y＝f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值.
(3)当a＝1时，f(x)＝x－1＋.
直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点等价于关于x的方程kx－1＝x－1＋在R上没有实数解，
即关于x的方程(k－1)x＝(*)在R上没有实数解.
①当k＝1时，方程(*)为＝0，在R上没有实数解；
②当k≠1时，方程(*)为＝xex.
令g(x)＝xex，则有g′(x)＝(1＋x)ex，
令g′(x)＝0，得x＝－1.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
?↘
－
?↗
当x＝－1时，g(x)min＝－，
从而g(x)∈.
所以当∈时，方程(*)没有实数解，
解得k∈(1－e,1).
综上，k的取值范围为(1－e,1].
反思与感悟 (1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义.
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负.
(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.
跟踪训练3 设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论g(x)与g的大小关系；
(3)求a的取值范围，使g(a)－g(x)＜对任意x＞0成立.
考点 分类讨论思想在导数中的应用
题点 分类讨论思想在极值、最值中的应用
解 (1)由题设，知g(x)＝ln x＋，
所以g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，
故g(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞).因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以g(x)的最小值为g(1)＝1.
(2)g＝－ln x＋x，
设h(x)＝g(x)－g＝2ln x－x＋，
则h′(x)＝－.
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g；
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h′(1)＝0，
因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减.
当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)＝0，即g(x)＞g；
当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，即g(x)＜g.
(3)由(1)，知g(x)的最小值为1.
因为g(a)－g(x)＜对任意x＞0成立，
所以g(a)－1＜，即ln a＜1，
解得0＜a＜e.即a的取值范围为(0，e).
类型三 导数中的构造函数问题
例4 已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f?，b＝－f(－)，c＝f?，则a，b，c的大小关系是 .
答案 b解析 令g(x)＝xf(x)，
则g(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数.
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∵f′(x)＋<0，
∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0；
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数.
∵∴g()∵g(x)是偶函数，
∴g(－)＝g()，g＝g(ln 2)，
∴g(－)反思与感悟 “构造法”是一种重要而灵活的思维方式，应用构造函数法比较大小时，先构造函数，再根据函数单调性比较大小.
跟踪训练4 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 .
答案 a>b>c
解析 设g(x)＝，
则g′(x)＝.
令g′(x)>0，解得x令g′(x)<0，解得x>e，
∴g(x)在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减，
而5>4>3>e，∴g(5)即<<，∴a>b>c.
例5 定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)满足f(x)2ex的解集为 .
答案 (0，＋∞)
解析 设g(x)＝，则g′(x)＝.
∵f(x)0，即函数g(x)单调递增.
∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，
则不等式等价于g(x)>g(0).
∵函数g(x)单调递增，
∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞).
反思与感悟 应用构造法解决不等式时，先根据所求结论与已知条件，构造函数，通过导函数判断函数的单调性，再利用单调性得到x的取值范围.
跟踪训练5 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)为其导函数.当x>0时，f(x)＋x·f′(x)>0，且f(1)＝0，则不等式x·f(x)>0的解集为 .
答案 (1，＋∞)
解析 令g(x)＝xf(x).
当x>0时，g′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，
则g(－x)＝(－x)f(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数，g(x)在R上单调递增.
∵f(1)＝0，则g(1)＝1×f(1)＝0，
由xf(x)>0，即g(x)>g(1)，得x>1，
∴xf(x)>0的解集为(1，＋∞).
例6 已知x>1，证明：x－1>ln x.
证明 设f(x)＝x－1－ln x，x∈(1，＋∞)，
则f′(x)＝1－＝，
因为x∈(1，＋∞)，所以f′(x)＝>0，
即函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
又x>1，所以f(x)>f(1)＝1－1－ln 1＝0，
即x－1－ln x>0，所以x－1>ln x.
反思与感悟 利用函数的最值证明不等式的基本步骤
(1)将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式；
(2)利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出；
(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立.
跟踪训练6 证明：当x>0时，2＋2x<2ex.
证明 设f(x)＝2＋2x－2ex，
则f′(x)＝2－2ex＝2(1－ex).
当x>0时，ex>e0＝1，
∴f′(x)＝2(1－ex)<0.
∴函数f(x)＝2＋2x－2ex在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(x)即当x>0时，2＋2x－2ex<0，
∴2＋2x<2ex.
1.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象与x轴相切于点(1,0)，则函数f(x)的单调递减区间为 .
考点 导数的概念
题点 导数的几何意义及应用
答案
解析 f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由题意可得即得
∴f′(x)＝3x2－4x＋1，
由f′(x)<0即3x2－4x＋1<0，
解得∴f(x)的单调递减区间为.
2.已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是 .
①单调递减；②单调递增；③先增后减；④先减后增.
考点 导数的运用
题点 利用导数研究函数单调性
答案 ②
解析 因为函数f(x)在定义域R上为增函数，
所以f′(x)≥0.
又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，
所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立，
所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内单调递增.
3.若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为 .
考点 导数的运用
题点 利用导数研究函数最值
答案 －1
解析 f′(x)＝＝，
当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当－0，f(x)单调递增，
当x＝时，令f(x)＝＝，＝<1，不合题意.
∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.
4.设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
考点 导数的运用
题点 导数的综合运用
解 (1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
所以f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，
f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x＝2或3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
综上，f(x)的单调增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2,3)，f(x)的极大值为＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.
1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点.
2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体.
3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.
一、填空题
1.已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是 .
考点 导数的概念
题点 导数的几何意义及应用
答案 (－1，－3)
解析 令f′(x)＝2x＋2＝0，解得x＝－1.
又f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3，
所以M(－1，－3).
2.设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围为 .
考点 导数的运用
题点 利用导数求函数最值
答案
解析 f′(x)＝3x2－x－2，
令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，
解得x＝1或x＝－，
又f(1)＝，f?＝，f(－1)＝，f(2)＝7，
故f(x)min＝，∴a<.
3.已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为 .
考点 导数的运用
题点 利用导数求函数最值
答案 1
解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f?＝－ln a－1＝－1，解得a＝1.
4.已知f(x)＝sin x＋2x，x∈R，且f(2a)考点 导数的运用
题点 导数的综合运用
答案 (－∞，－1)
解析 ∵f′(x)＝cos x＋2>0恒成立，
∴f(x)在R上单调递增.
∵f(2a)得a<－1.
5.已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是 .
考点 导数的运用
题点 利用导数求函数最值
答案 15x－3y－2＝0
解析 ∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5，
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切线方程为y－＝5(x－1)，
即15x－3y－2＝0.
6.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是 .
考点 导数的运用
题点 利用导数研究函数单调性
答案
解析 不妨取a＝1，
∵f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由图可知，f′(－2)＝0，f′(3)＝0，
∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，
∴b＝－，c＝－18.
∴y＝x2－x－6，y′＝2x－，
当x>时，y′>0.
∴y＝ax2＋bx＋的单调递增区间为.
7.将8分成两个数之和，使其立方之和最小，则这两个数分别为 .
考点 导数的运用
题点 导数的运用
答案 4,4
解析 设一个数为x，则另一个数为8－x，
则y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2.
令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0；当40.
所以当x＝4时，y最小.
8.若函数f(x)＝(mx－1)ex在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为 .
考点 导数的运用
题点 利用导数研究函数单调性
答案 [1，＋∞)
解析 f′(x)＝mex＋(mx－1)ex＝(mx＋m－1)ex，
由题意知，f′(x)≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立.
也就是mx＋m－1≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，
当m≤0时显然不成立，
当m>0时，令g(x)＝mx＋m－1，
只需g(0)≥0，得m≥1.
即实数m的取值范围为[1，＋∞).
9.已知函数f(x)在定义域[0，＋∞)上恒有f(x)>f′(x).若a＝，b＝，则a与b的大小关系为 .(用“>”连接)
考点 导数的运用
题点 构造函数求解
答案 a>b
解析 设g(x)＝，则当x≥0时，g′(x)＝<0，所以g(x)在[0，＋∞)上是减函数，所以g(2)>g(3)，即>，所以a>b.
10.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且＝ax (a>0且a≠1)，f′(x)g(x)考点 导数的运用
题点 构造函数求解
答案
解析 令h(x)＝，∵f′(x)g(x)∴h′(x)＝<0，
∴函数y＝ax在R上单调递减，∴0∵＋＝，∴a1＋a－1＝，
化为2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或.
∵0二、解答题
11.已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1与直线4x－y－1＝0平行，且点P0在第三象限.
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.
考点 导数的概念
题点 导数的几何意义及应用
解 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知，得3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4).
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
12.已知函数f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值.
(1)求a，b，c的值；
(2)求出f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值.
考点 导数的运用
题点 利用导数求函数极值、最值
解 (1)因为f′(x)＝3ax2＋2bx－2，
由已知，得
解得a＝，b＝，c＝.
(2)由(1)知，f(x)＝x3＋x2－2x＋，
f′(x)＝x2＋x－2，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
6
↘?
↗?
所以当x＝3时，f(x)取得最大值；当x＝1时，f(x)取得最小值.
13.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的单调区间和最大值.
考点 导数的运用
题点 导数的综合运用
解 (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以f′(1)＝3＋2a＋b，
故过曲线上P点的切线方程为
y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，
即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，
已知该切线方程为y＝3x＋1，
所以即
因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝0，
即－4a＋b＝－12，
解方程组得
所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.
(2)由(1)知f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
当x∈[－3，－2)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调递增区间为[－3，－2)和，单调递减区间为.
又f(－2)＝13，f?＝，f(－3)＝8，f(1)＝4，
所以f(x)在区间[－3,1]上的最大值为13.
三、探究与拓展
14.已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与直线y＝x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为 .
考点 导数的运用
题点 导数的综合运用
答案 {－16，－20}
解析 因为f(x)＝sin x(x<1)与y＝x无交点，故只需函数f(x)＝x3－9x2＋25x＋a(x≥1)的图象与直线y＝x有三个不同的公共点即可.
设g(x)＝x3－9x2＋24x＋a，
则g′(x)＝3x2－18x＋24.
令g′(x)＝3x2－18x＋24＝0，得x1＝2，x2＝4，
且g(x)在[1,2]上递增，在[2,4]上递减，在[4，＋∞)上递增，
g(1)＝a＋16，g(2)＝a＋20，g(4)＝a＋16，
故只需g(1)＝g(4)＝a＋16＝0或g(2)＝a＋20＝0，
解得a＝－20或a＝－16.
15.设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|?f′(x)|≤a，试确定a的取值范围；
(3)当a＝时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围.
考点 导数的运用
题点 导数的综合运用
解 (1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2
＝－(x－a)(x－3a).
令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a)
a
(a,3a)
3a
(3a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数；在(a,3a)上是增函数.
当x＝a时，f(x)取得极小值，
f(x)极小值＝f(a)＝b－a3；
当x＝3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(3a)＝b.
(2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其对称轴为x＝2a.
因为0所以f′(x)在区间[a＋1，a＋2]上是减函数.
当x＝a＋1时，f′(x)取得最大值，f′(a＋1)＝2a－1；
当x＝a＋2时，f′(x)取得最小值，f′(a＋2)＝4a－4.
于是有即≤a≤1.
又因为0即a的取值范围为.
(3)当a＝时，f(x)＝－x3＋x2－x＋b.
f′(x)＝－x2＋x－，由f′(x)＝0，
即－x2＋x－＝0，解得x1＝，x2＝2，
即f(x)在上是减函数，
在上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数.
要使f(x)＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，
即f(x)在[1,2)，(2,3]上各有一个实根，
于是有即
解得0章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1.曲线y＝sin x在点P处的切线斜率是________.
考点 导数的几何意义
题点 求某点处切线斜率
答案
解析 由y＝sin x，得y′＝cos x，所以在点P处的切线斜率是k＝cos ＝.
2.函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间为________.
考点 导数的运用
题点 求函数单调区间
答案 (0,1)
解析 令f′(x)＝－1>0，解不等式即可解得x<1，注意定义域为(0，＋∞).所以03.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.
考点 导数的运用
题点 求函数导数
答案 e
解析 ∵f(x)＝xln x，
∴f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，
∴由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，∴x0＝e.
4.函数f(x)＝(x－1)2(x－2)2的极大值是________.
考点 导数的运用
题点 求函数极大值
答案
解析 ∵f(x)＝(x－1)2(x－2)2，
∴f′(x)＝2(x－1)(2x－3)(x－2).
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，x3＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1)
1
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↘
极小值
↗?
极大值
↘?
极小值
↗?
∴f?＝是函数的极大值.
5.若直线y＝kx－3与曲线y＝2ln x相切，则实数k＝________.
考点 导数的几何意义
题点 求切线方程
答案 2
解析 依题意，设切点为(x0，y0)，则有
由此得2－3＝2ln x0，∴x0＝e－.
∴k＝＝＝2.
6.已知函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上单调递减，则实数a的取值范围为________.
考点 导数的运用
题点 由函数单调性求参数范围
答案 [2，＋∞)
解析 函数的导数为f′(x)＝1－.
若函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上单调递减，
则等价为f′(x)≤0恒成立，
即1－≤0，即≥1，即a≥x，
∵07.若函数f(x)＝(2x2＋ax)ex的单调递减区间为，则实数a的值为________.
考点 导数的运用
题点 由函数单调性求参数
答案 3
解析 f′(x)＝ex[2x2＋(4＋a)x＋a]，由f(x)的单调减区间为，
得2x2＋(4＋a)x＋a＜0的解集为，
所以解得a＝3.
8.设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围为__________.
考点 导数的运用
题点 求函数导数
答案 [，2]
解析 ∵f′(x)＝x2sin θ＋x·cos θ，
∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2
＝2sin.
∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，
∴≤sin≤1.∴≤2sin≤2.
9.方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数为________.
考点 导数的运用
题点 方程根的个数
答案 1
解析 令f(x)＝2x3－6x2＋7，
∴f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
由f′(x)＞0，得x＞2或x＜0；由f′(x)＜0，得0＜x＜2.
又f(0)＝7＞0，f(2)＝－1＜0.
∴方程在(0,2)内只有一个实根.
10.已知不等式ex－x＞ax的解集为P，若[0,2]?P，则实数a的取值范围为________.
考点 导数的运用
题点 不等式恒成立问题
答案 (－∞，e－1)
解析 由题意知不等式ex－x＞ax在x∈[0,2]上恒成立.
当x＝0时，显然对任意实数a，该不等式都成立；
当x∈(0,2]时，原不等式即a＜－1，
令g(x)＝－1，则g′(x)＝，
当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
当1＜x＜2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
故g(x)在(0,2]上的最小值为g(1)＝e－1，
故a的取值范围为(－∞，e－1).
11.已知y＝f(x)为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)＋＞0，若g(x)＝f(x)＋，则函数g(x)的零点个数为________.
考点 导数的运用
题点 函数零点问题
答案 0
解析 令h(x)＝xf(x)，
因为当x≠0时，＞0，所以＞0，
因此当x＞0时，h′(x)＞0，当x＜0时，h′(x)＜0，
又h(0)＝0，易知当x≠0时，h(x)＞0，
又g(x)＝，所以g(x)≠0，
故函数g(x)的零点个数为0.
12.函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为________.
考点 导数的运用
题点 由函数极值求参数范围
答案
解析 f′(x)＝3x2－3a2＝3(x－a)(x＋a)(a>0)，
令f′(x)＝0，得x＝±a.
当－a当x>a或x<－a时，f′(x)>0，函数递增.
所以f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0，f(a)＝a3－3a3＋a<0，
解得a>.
13.设f(x)是R上的奇函数，g(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且g(x)≠0.当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)·g′(x)>0，且f(2)＝0，则不等式<0的解集是____________.
考点 导数的运用
题点 构造函数解不等式
答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 令h(x)＝.
当x<0时，h′(x)＝>0，
∴函数h(x)在(－∞，0)上单调递增.
∵f(x)和g(x)均为奇函数，
∴h(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减.
∵f(2)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝0，
∴不等式<0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞).
14.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围为________.
考点 导数的运用
题点 函数零点问题
答案 (－∞，－2)
解析 若a＝0，令f(x)＝0，
解得x＝±，不合题意；
若a>0，则f(－1)＝－a－2<0，f(0)＝1>0，
所以f(x)存在负的零点，不合题意；
若a<0，则f′(x)＝3ax，
可得f?＝1－为极小值.
则1－>0，解得a>2或a<－2，故a<－2.
综上，实数a的取值范围为(－∞，－2).
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15.(14分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程.
考点 导数的几何意义
题点 求切线方程与切点坐标
解 (1)因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为
k＝f′(2)＝13.
所以切线方程为y＝13(x－2)－6，
即13x－y－32＝0.
(2)因为切线与直线y＝－＋3垂直，
所以切线的斜率为k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，
所以x0＝±1，
所以或
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18).
所以切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
16.(14分)已知函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：?x1，x2∈(－∞，0]，f(x1)－f(x2)≤.
考点 导数的运用
题点 求单调区间和证明不等式
(1)解 f′(x)＝x(x＋2)ex.
令f′(x)＝x(x＋2)ex＝0，
得x1＝－2，x2＝0.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大值
?↘
极小值
↗?
所以函数f(x)的单调递减区间为(－2,0)，单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞).
(2)证明 由(1)知f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，单调递减区间为(－2,0)，
所以当x∈(－∞，0]时，f(x)最大值＝f(－2)＝.
因为当x∈(－∞，－2]时，f(x)＞0，f(0)＝0，
所以当x∈(－∞，0]时，f(x)最小值＝f(0)＝0.
所以f(x)最大值－f(x)最小值＝.
所以对?x1，x2∈(－∞，0]，都有f(x1)－f(x2)≤.
17.(14分)某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x＞0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180时，q(x)＝a－b(a，b为实常数).
(1)求函数q(x)的表达式；
(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值.
考点 导数的运用
题点 实际应用问题
解 (1)当20≤x≤180时，
由得
故q(x)＝
(2)设总利润f(x)＝x·q(x)，
由(1)得f(x)＝
当0＜x≤20时，f(x)＝＝126 000－，
又f(x)在(0,20]上单调递增，
所以当x＝20时，f(x)有最大值120 000.
当20＜x＜180时，f(x)＝9 000x－300·x，
f′(x)＝9 000－450·，
令f′(x)＝0，得x＝80.
当20＜x＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当80＜x＜180时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当x＝80时，f(x)有最大值240 000.
当x≥180时，f(x)＝0.
答 当x＝80时，总利润取得最大值240 000元.
18.(16分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间上是增函数，求实数a的取值范围.
考点 导数的运用
题点 求极值及由函数单调性求参数范围
解 (1)函数的定义域为(0，＋∞).
因为f(x)＝ax2＋2x－ln x，
当a＝0时，f(x)＝2x－ln x，
则f′(x)＝2－，令f′(x)＝0，得x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?↘
极小值
?↗
所以当x＝时，f(x)有极小值1＋ln 2，无极大值.
(2)由已知，得f(x)＝ax2＋2x－ln x，且x>0，
则f′(x)＝ax＋2－＝.
若a＝0，由(1)中f′(x)≥0，得x≥，显然不符合题意；
若a≠0，因为函数f(x)在区间上是增函数，
所以f′(x)≥0对x∈恒成立，
即不等式ax2＋2x－1≥0对x∈恒成立，
即a≥＝－＝2－1对x∈恒成立，故a≥max.
而当x＝时，函数2－1有最大值3，
所以实数a的取值范围为[3，＋∞).
19.(16分)已知函数f(x)＝ln x＋(a＞0).
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若不等式f(x)≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围.
考点 导数的运用
题点 导数的综合运用
解 (1)由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
当a＝2时，函数f(x)＝ln x＋，
所以f′(x)＝－＝，
所以当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，e)上单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(e，＋∞)上单调递增.
(2)由题意知ln x＋≥a在(0，＋∞)上恒成立，
等价于xln x＋a＋e－2－ax≥0在(0，＋∞)上恒成立.
令g(x)＝xln x＋a＋e－2－ax，则g′(x)＝ln x＋1－a，
令g′(x)＝0，得x＝ea－1.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(0，ea－1)
ea－1
(ea－1，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
?↘
极小值
↗?
所以g(x)的最小值为g(ea－1)＝(a－1)ea－1＋a＋e－2－aea－1＝a＋e－2－ea－1，
令t(x)＝x＋e－2－ex－1(x＞0)，
则t′(x)＝′＝1－ex－1，
令t′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，t′(x)，t(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
t′(x)
＋
0
－
t(x)
?↗
极大值
↘?
所以当a∈(0,1)时，g(x)的最小值为t(a)＞t(0)＝e－2－＝＞0，符合题意；当a∈[1，＋∞)时，g(x)的最小值为t(a)＝a＋e－2－ea－1≥0＝t(2)，
所以a∈[1,2].
综上所述，实数a的取值范围是(0,2].
20.(16分)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围；
(3)求证：a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要不充分条件.
考点 导数的运用
题点 导数的综合运用
(1)解 由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，曲线在x＝0处的切线斜率为k＝f′(0)＝b.
又f(0)＝c，所以切点坐标为(0，c).
所以所求切线方程为y－c＝b(x－0)，即bx－y＋c＝0.
(2)解 由a＝b＝4，得f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，
所以f′(x)＝3x2＋8x＋4＝(3x＋2)(x＋2).
令f′(x)＝0，得(3x＋2)(x＋2)＝0，
解得x＝－2或x＝－，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
－
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗?
c
?↘
c－
↗?
所以，当c＞0且c－＜0时，存在x1∈(－∞，－2)，
x2∈，x3∈，
使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的单调性知，当且仅当c∈时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.
(3)证明 当Δ＝4a2－12b＜0，即a2－3b＜0时，
f′(x)＝3x2＋2ax＋b＞0，x∈(－∞，＋∞)，
此时函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增，
所以f(x)不可能有三个不同零点.
当Δ＝4a2－12b＝0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b只有一个零点，记作x0.
当x∈(－∞，x0)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(－∞，x0)上单调递增；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(x0，＋∞)上单调递增.
所以f(x)不可能有三个不同零点.
综上所述，若函数f(x)有三个不同零点，
则必须有Δ＝4a2－12b＞0，
故a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要条件.
当a＝b＝4，c＝0时，a2－3b＞0，f(x)＝x3＋4x2＋4x＝x(x＋2)2只有两个不同零点，
所以a2－3b＞0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.
因此a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要不充分条件.
