1 怎样解逻辑用语问题
1.利用集合理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点.要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法.下面通过使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好.集合模型解释如下：
①A是B的充分条件，即A?B.(如图1)
②A是B的必要条件，即B?A.(如图2)
③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)
④A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝?或A，B既有公共元素也有非公共元素.(如图4)
或
图4
例1 设集合A，B是全集U的两个子集，则A?B是(?UA)∪B＝U的______________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 当A?B时，如图1所示，则(?UA)∪B＝U成立；当A＝B时，如图2所示，则(?UA)∪B＝(?UB)∪B＝U成立，即当(?UA)∪B＝U成立时，可有A?B.
故A?B是(?UA)∪B＝U的充分不必要条件.
答案 充分不必要
2.抓住量词，对症下药
全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药.
例2 (1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________.
(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为____________.
解析 (1)将命题p转化为“当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0”，即1－a≥0，
即a≤1.
由命题q知，方程有解，即Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.综上所述，a≤－1.
(2)命题p转化为“当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0”，
即4－a≥0，即a≤4.
命题q：a≤－1或a≥2.
综上所述，a≤－1或2≤a≤4.
答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢.
3.挖掘等价转化思想，提高解题速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真.
例3 设p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围.
分析 “q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”.设p，q对应的集合分别为A，B，则可由A??RB出发解题.
解 设p，q对应的集合分别为A，B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2＋y2＝r2外的点的集合.
∵A??RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，
∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r.
∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离为
d＝＝，
∴r的取值范围为0
点评 若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为
x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的.但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了等价转化思想.
2 辨析“命题的否定”与“否命题”
一、知识梳理
1.定义
定义
命题的否定
对原命题的结论进行否定得到的新命题
否命题
对原命题的条件和结论同时否定得到的新命题
2.真假关系表
原命题、命题的否定与否命题的真假关系表：
原命题
否定
否命题
真
假
与原命题的真假没有关系
假
真
3.常用正面叙述词语及它的否定
词语
等于
大于(>)
小于(<)
是
都是
词语的否定
不等于
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
词语
至多有一个
至少有一个
任意的
所有的
至多有n个
p且q
p或q
词语的否定
至少有两个
一个也没有
某个
某些
至少有n＋1个
非p或非q
非p且非q
二、典例剖析
例1 写出下列各命题的否定形式及否命题：
(1)面积相等的三角形是全等三角形；
(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(3)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数.
分析 分清结论和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定条件，又否定结论.
解 (1)命题的否定：面积相等的三角形不是全等三角形；
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形.
(2)命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0；
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.
(3)命题的否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是奇数；
否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数.
点评 首先掌握“命题的否定”和“否命题”的区别和联系，把握关键词的否定，然后分清命题的条件和结论即可.
例2 写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：
(1)若x2<4，则－2(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.
分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定.根据不等式及方程的性质逐个判断其真假.
解 (1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”；
命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”.
通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假.
(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”；
命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”.
由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.
3 判断条件四策略
1.定义法
定义法是判断充要条件最基本、最适用的方法.步骤如下：
(1)分清条件与结论(p与q)；
(2)找推式：即判断p?q及q?p的真假；
(3)下结论：?p是q的充分不必要条件，
?p是q的必要不充分条件，
?p是q的充要条件，
?p是q的既不充分又不必要条件.
例1 设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的______________条件.
解析 条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.
若x∈M，则x不一定属于P，
即x不一定属于P∩M，所以p?q；
若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q?p.
综上可知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件.
答案 必要不充分
2.利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p?q，q?r，则p?r.
例2 如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的________条件.
解析 依题意知，有A?B?C?D且A?B?C?D，由命题的传递性可知D?A，但A?D.于是A是D的必要不充分条件.
答案 必要不充分
3.集合法
适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况.
P＝{p}，Q＝{q}，利用集合间的包含关系加以判断，具体情况如下：
(1)若P?Q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若P?Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
(3)若P＝Q，则p是q的充要条件(q也是p的充要条件)；
(4)PQ且QP，则p是q的既不充分又不必要条件.
例3 设p：(2x＋1)20)，q：(x－1)(2x－1)>0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________________.
解析 由题意得p：q：x>1或x<.
∵p是q的充分不必要条件，
∴p?q，
∴≤或≥1，
解得m≤2.
又∵m>0，∴0答案 (0,2]
4.等价法
适用于“直接从正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断.常用的是逆否等价法.
(1)綈q是綈p的充分不必要条件?p是q的充分不必要条件；
(2)綈q是綈p的必要不充分条件?p是q的必要不充分条件；
(3)綈q是綈p的充要条件?p是q的充要条件；
(4)綈q是綈p的既不充分又不必要条件?p是q的既不充分又不必要条件.
例4 给定两个命题p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的_____________条件.
解析 因为綈p是q的必要不充分条件，所以綈q是p的必要不充分条件，即p是綈q的充分不必要条件.
答案 充分不必要
4 充分必要条件知识交汇例析
充分必要条件是逻辑关系的重要知识点，主要用来讨论条件和结论的关系，是理解或判断一个命题与其相关命题之间关系的重要工具，也是命题转化的主要依据.充分必要条件问题几乎可以融汇所有不同的数学知识，因此用途极为广泛.下面通过具体例子进行分析.
1.与集合的交汇
例1 若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的__________条件.
解析 当m＝2时，集合A＝{1,4}，
又B＝{2,4}，
所以A∩B＝{4}.
当A∩B＝{4}时，
m2＝4，m＝2或m＝－2，
所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
2.与函数性质的交汇
例2 已知函数f(x)＝则“－2≤a≤0”是“f(x)在R上单调递增”的____________条件.
解析 当a＝0时，易知f(x)在R上单调递增，因为当－2≤a<0时，0<－≤1，－≥，所以当x≥1时，f(x)单调递增；当x<1时，f(x)不一定单调递增，故“－2≤a≤0”不是“f(x)在R上单调递增”的充分条件.当f(x)在R上单调递增时，则
?－≤a<0，
所以“－2≤a≤0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件.
答案 必要不充分
3.与不等式的交汇
例3 “1解析 因为x>0，所以2x＋≥2.又a>1，所以2>2>1，所以“1答案 充分不必要
4.与平面向量的交汇
例4 若a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的________条件.
解析 f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·b·x＋b2.
如果函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，由此求得a·b＝0，即a⊥b.反之，也成立.所以“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件.
答案 充要
5.与数列的交汇
例5 设{an}是等比数列，则“a1解析 由a10时，q>1；当a1<0时，0答案 充要
6.与三角函数的交汇
例6 在△ABC中，“A>”是“sin A>”的__________条件.
解析 在△ABC中，当A>且A∈时，sin A<，故“A>”不是“sin A>”的充分条件.但当sin A>时，A>一定成立，所以“A>”是“sin A>”的必要不充分条件.
答案 必要不充分
7.与立体几何的交汇
例7 已知E，F，G，H是空间四个点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的____________条件.
解析 由空间点的位置关系知，E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH不相交，反之，未必成立，故甲是乙成立的充分不必要条件.
答案 充分不必要
5 命题和充要条件错误剖析
1.考虑不周出错
例1 判断命题的真假：函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1.
错解 因为函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，所以Δ＝22－4×(－1)×a＝0，即a＝－1.所以该命题是真命题.
剖析 出现上述错解的主要原因是由于没考虑到函数f(x)的最高次项系数含字母参数a，应对字母参数是否为零进行讨论.
正解 当a＝0时，函数f(x)为一次函数，此时函数只有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，所以Δ＝22－4×(－1)×a＝0，即a＝－1.所以函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.故原命题为假命题.
2.否命题否定错误
例2 写出命题“若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零”的否命题.
错解 否命题为：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全不为零.
剖析 否命题是将原命题的条件和结论分别否定.错解是条件没有否定，而结论否定为“不全为零”，却错误地写为“全不为零”.
正解 该命题的否命题为：“若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零”.
3.判断充要条件时出错
例3 (1)设x∈R，则x>2成立的必要条件有________.(填上所有正确的序号)
①x>1；②x<1；③x>3；④x<3；⑤x>0.
错解 因为x>3?x>2，所以x>2的一个必要条件为x>3.
答案 ③
剖析 错解的主要原因是没弄清“a是b的必要条件”和“a的必要条件是b”的真正含义，前者等价于b?a；后者等价于“b是a的必要条件”，即a?b.
正解 因为x>2?x>1，所以x>2的一个必要条件为x>1.同理x>2?x>0，所以x>2的一个必要条件为x>0.
答案 ①⑤
(2)命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的__________条件.
错解 若向量a与向量b的夹角θ为锐角，
则cos θ＝>0，即a·b>0；反之也成立，所以p是q的充要条件.
答案 充要
剖析 判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误.
正解 若向量a与向量b夹角θ为锐角，则cos θ＝>0?a·b>0；而当a·b>0时，θ＝0°也成立，但此时a与b夹角不为锐角.故p是q的充分不必要条件.
答案 充分不必要
6 例析逻辑用语中的常见误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假：
(1)x＋2>0；
(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；
(4)A?(A∪B).
错解 (1)，(2)，(3)，(4)都不是命题.
剖析 (1)中含有未知数x，且x不确定，所以x＋2的值也不确定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；
(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题.
(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若A?B，则A∩B＝A?A∪B＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题.
(4)A为A∪B的子集，故A?(A∪B)成立，故(4)为真命题.
正解 (2)，(4)是命题，且都为真命题.
误区2 原命题为真，其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假：
(1)若a＝0，则ab＝0；
(2)若a2>b2，则a>b.
错解 (1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题.
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断.
正解 (1)否命题：若a≠0，则ab≠0，是假命题；
(2)否命题：若a2≤b2，则a≤b，是假命题.
误区3 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例3 (1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出p∨q.
(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出p∧q.
错解 (1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p∧q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形.
剖析 (1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题.而上述解答中写出的两命题却都是真命题.错误原因：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件.
正解 (1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p∧q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形.
误区4 对含有一个量词的命题否定不完全
例4 已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.
错解一 綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.
错解二 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析 该命题是存在性命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是存在性命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定.
正解 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区5 忽略了隐含的量词
例5 写出下列命题的否定：
(1)p：若2x>4，则x>2；
(2)p：可以被5整除的数末位是0；
(3)p：能被8整除的数也能被4整除.
错解 (1)綈p：若2x>4，则x≤2.
(2)綈p：可以被5整除的数末位不是0.
(3)綈p：能被8整除的数不能被4整除.
剖析 由于有些全称命题或存在性命题隐含了量词，从而导致未变化量词而直接否定结论出现错误.
正解 (1)綈p：存在x，使得若2x>4，则x≤2.
(2)綈p：存在可以被5整除的数末位不是0.
(3)綈p：存在能被8整除的数不能被4整除.
7 解“逻辑”问题的三意识
1.转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明.
例1 证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
分析 本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题.
证明 命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”.由a－b＝1，得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.
∵原命题的逆否命题是真命题，
∴原命题也是真命题.
故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
例2 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围.
分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题.
解 解不等式x2－8x－20>0，
得p：A＝{x|x>10或x<－2}；
解不等式x2－2x＋1－a2>0，
得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}.
依题意p?q，但q?p，说明A?B.
于是有或解得0所以正实数a的取值范围是(0,3].
2.简化意识
判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断.
例3 已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数y＝－(5－2a)x是R上的减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________.
分析 先将命题p，q等价转化，再根据题意构建关于a的关系式，从而得到a的取值范围.
解析 函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域包含(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1；
函数y＝－(5－2a)x是减函数?5－2a>1?a<2，
即q真?a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题知，命题p，q中必有一真一假.若p真q假，则无解；若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,2).
答案 (1,2)
点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围.
3.反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法.
例4 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________.
①AB?对任意x∈A，都有x?B；
②AB?A∩B＝?；
③AB?BA；
④AB?存在x∈A，使得x?B.
分析 画出表示AB的Venn图进行判断.
解析 画出Venn图，如图1所示，则AB?存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命题，④是真命题.
AB?BA不成立的反例如图2所示.同理可得BA?AB不成立.故③是假命题.
综上知，真命题的序号是④.
答案 ④
§1.1 命题及其关系
1.1.1 四种命题
学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.
知识点一 命题的概念
思考 给出下列语句：
(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
(2)3＋6＝7；
(3)偶函数的图象关于y轴对称；
(4)5能被4整除.
请你找出上述语句的共同特点.
答案 上述语句能够判断真假.
梳理 (1)定义：能够判断真假的语句.
(2)分类
①真命题：判断为真的语句.
②假命题：判断为假的语句.
(3)形式：若p则q.
知识点二 四种命题的概念
思考 给出以下四个命题：
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
答案 命题(1)的条件和结论恰好是命题(2)的结论和条件.命题(1)的条件和结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.
梳理 一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，原命题：若p则q.
(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题称为互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.
(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题.
知识点三 四种命题的关系
思考1 为了书写方便常把p与q的否定分别记作“非p”和“非q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？
答案 逆命题：若q则p.否命题：若非p则非q.逆否命题：若非q则非p.
思考2 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的否命题呢？
答案 互逆、互否、互为逆否.
梳理 (1)四种命题之间的关系如下所示：
(2)四种命题的真假关系
①如果两个命题互为逆否命题，那么它们有相同的真假性；
②如果两个命题为互逆命题或互否命题，那么它们的真假性没有关系.
1.疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.( √ )
2.有的命题没有否命题.( × )
3.两个互逆命题的真假性相同.( × )
4.对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有.( √ )
类型一 命题及其真假的判定
例1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.
考点 命题的概念
题点 命题真假性判断
解 (1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；
(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题；
(3)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2，是假命题.
反思与感悟 (1)找准命题的条件和结论，是解决这类题目的关键，对于个别问题还要注意大前提的写法.
(2)命题形式的改变并不改变命题的真假，只是表述形式发生了变化.
(3)一个命题若是假命题，只需找到一个反例来说明即可.
跟踪训练1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假.
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)当ac>bc时，a>b；
(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
考点 命题的概念
题点 命题真假性判断
解 (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题.
(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，是假命题.
(3)若ac>bc，则a>b，是假命题.
(4)若一个点在角的平分线上，则该点到这个角的两边的距离相等，是真命题.
类型二 四种命题及其相互关系
例2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：
(1)若x∈A，则x∈A∪B；
(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；
(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.
考点 四种命题
题点 四种命题的理解
解 (1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A；
否命题：若x?A，则x?A∪B；
逆否命题：若x?A∪B，则x?A.
(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数；
否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数；
逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数.
(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b；
否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B；
逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.
反思与感悟 四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.
跟踪训练2 分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：
(1)若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根；
(2)三边对应相等的两个三角形全等.
考点 四种命题
题点 四种命题的理解
解 (1)逆命题：若x2＋x－m＝0有实数根，则m>0.
否命题：若m≤0，则x2＋x－m＝0没有实数根.
逆否命题：若x2＋x－m＝0没有实数根，则m≤0.
(2)逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.
否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.
逆否命题：两个不全等三角形的三边不对应相等.
例3 下列命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.
其中是真命题的是________.(填序号)
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ①②③
解析 ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③.
反思与感悟 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.
跟踪训练3 下列命题中为真命题的是________.(填序号)
①“正三角形都相似”的逆命题；
②“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
③“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ②③
解析 ①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.②原命题的逆命题是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题.③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又是无理数，∴x－是无理数，不是有理数，故为真命题.∴命题中为真命题的是②③.
类型三 等价命题的应用
例4 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假.
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
解 方法一 原命题的逆否命题为
已知a，x为实数，若a＜1，
则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集.
真假判断如下：
因为y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，
若a＜1，则4a－7＜0.
即y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点.
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集.
故原命题的逆否命题为真.
方法二 先判断原命题的真假.
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，a≥，所以a≥1成立，
所以原命题为真.
又因为原命题与其逆否命题等价，所以其逆否命题为真.
反思与感悟 (1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题的真假容易判断时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.
(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题.
跟踪训练4 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
证明 “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”.
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题正确.
1.下列语句是命题的是________.
①若a>b，则a2>b2；
②a2>b2；
③方程x2－x－1＝0的近似根；
④方程x2－x－1＝0有根吗？
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 ①
解析 ②③无法判断真假；④是疑问句，不是陈述句，不能判断真假.故②③④不是命题.
2.命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是__________.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 若tan α≠1，则α≠
解析 命题“若α＝，则tan α＝1”的条件是“α＝”，结论是“tan α＝1”，故其逆否命题是“若tan α≠1，则α≠” .
3.(2018·泰州中学月考)命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为____________________.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 若a≤b，则2a≤2b－1
解析 否定条件作为条件，同时否定结论作为结论，所以命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”.
4.已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 2
解析 由题意可判断原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题，其逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”，为假命题，所以其否命题也为假命题，故四个命题中，真命题的个数为2.
5.已知命题“若m－1考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 [1,2]
解析 “若m－1∴得1≤m≤2.
1.根据命题的含义，可以判断真假的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.
2.写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；
(3)按照四种命题的结构写出所有命题.
3.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.
一、填空题
1.已知命题r：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，下列说法正确的是________.(填序号)
①命题r的逆命题：若x②命题r的逆命题：若x<2ab，则x③命题r的否命题：若x④命题r的否命题：若x≥a2＋b2，则x<2ab.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 ③
解析 原命题为“若p则q”的形式，则原命题的逆命题为“若q则p”的形式，否命题为“若非p则非q”的形式，故只有③说法正确.
2.已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a的平方等于0，则a不是正数，则p是q的________命题.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 逆否
解析 根据四种命题的关系知，“正数a的平方不等于0”的逆否命题是“若a的平方等于0，则a不是正数”.
3.有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
②若a>b，则a＋c>b＋c；
③矩形的对角线互相垂直.
其中真命题共有________个.
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性判断
答案 1
解析 ①由xy＝0，得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；②当a>b时，有a＋c>b＋c成立，正确，是真命题；③矩形的对角线不一定互相垂直，不正确，是假命题.
4.证明“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”时，可以转化为证明____________________.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
答案 若x＋y>2，则x2＋y2≠2
解析 由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以可以转化为证明“若x＋y>2，则x2＋y2≠2”.
5.若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则命题p是命题r的________命题.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 逆否
解析 由四种命题的关系知，命题p与命题r互为逆否命题.
6.“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 若x，y不全为零，则xy≠0
解析 由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”.
7.给出下列命题：
①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；
②若a，b都是正实数，则a＋b≥2；
③若x2>x，则x>1；
④函数y＝x3是指数函数.
其中假命题的个数为________.
考点 命题的概念
题点 命题真假性判断
答案 3
解析 ①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由均值不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题.所以假命题的个数为3.
8.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使得a∈A是假命题的a的取值范围为________.
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，－3)
解析 ∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}.
又∵a∈A是假命题，即a?A，∴a<－3.
9.下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形的对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆的内接四边形的对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.
其中互为逆命题的有______________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有____________.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆的内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”.再依据四种命题间的关系，便不难判断.
10.下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“在△ABC中，如果AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.
其中真命题的序号为________.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ①②③
解析 ①若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，是真命题；
②若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，是真命题；
③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题为真命题；
④若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1，是假命题.
所以应填①②③.
二、解答题
11.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假.
(1)若a＝b，则a2＝b2；
(2)若|2x＋1|≥1，则x2＋x>0.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 (1)逆命题为：若a2＝b2，则a＝b，该命题是假命题.
否命题为：若a≠b，则a2≠b2，该命题是假命题.
逆否命题为：若a2≠b2，则a≠b，该命题是真命题.
(2)逆命题为：若x2＋x>0，则|2x＋1|≥1，这是真命题.
否命题为：若|2x＋1|<1，则x2＋x≤0，这是真命题.
逆否命题为：若x2＋x≤0，则|2x＋1|<1，这是假命题.
12.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假.
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可.
方程的判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b.
因为b≤－1，所以Δ≥4>0，
故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，
故它的逆否命题也为真.
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”.
方程的判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b.
因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.
13.给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数.
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙有且只有一个是真命题.
分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围.
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
解 (1)当甲为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
解得a>或a<－1，
即A＝；
当乙为真时，2a2－a>1，解得a>1或a<－，
即B＝.
当甲、乙至少有一个为真命题时，
a的取值范围是.
(2)当甲、乙有且只有一个真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，所以当甲、乙中有且只有一个为真命题时，a的取值范围是.
三、探究与拓展
14.原命题为“若考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 3
解析 15.命题：“若直线y＝ax＋3与圆C：x2＋y2＋2x－8＝0相交于A，B两点，且点P(x0，y0)在直线y＝2x上，则PA＝PB”的逆否命题是真命题，则x0的取值范围为________.
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 (－1,0)∪(0,2)
解析 由题意可知，原命题是真命题.
圆心C(－1,0)到直线l：y＝ax＋3的距离
d＝<3，
解得a>0或a<－.
由PA＝PB，CA＝CB，得PC⊥l，于是kPC＝－，
利用y0＝2x0，可求出x0＝－.
于是得x0的取值范围是(－1,0)∪(0,2).
1.1.2 充分条件和必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判断应归结为判断命题的真假.
知识点一 充分条件与必要条件的概念
给出下列命题：
(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；
(2)若ab＝0，则a＝0.
思考1 你能判断这两个命题的真假吗？
答案 (1)真命题，(2)假命题.
思考2 命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？
答案 命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能b＝0.
梳理
命题真假
“若p则q”为真命题
“若p则q”为假命题
推出关系
p?q
p ?q
条件关系
p是q的充分条件，q是p的必要条件
p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
知识点二 充要条件的概念
思考1 命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中的条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？
答案 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立.
思考2 若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
答案 因为p?q且q?p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件.
梳理 一般地，如果p?q，且q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.
知识点三 常见的四种条件
1.从命题的真假判断充分条件、必要条件和充要条件
如果原命题为“若p则q”，逆命题为“若q则p”
原命题
逆命题
条件p与结论q的关系
结论
真
假
p?q，但q?p
p是q成立的充分不必要条件
假
真
q?p，但p?q
p是q成立的必要不充分条件
真
真
p?q，q?p，即p?q
p是q成立的充要条件
假
假
p?q，q?p
p是q成立的既不充分又不必要条件
2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
前提：设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}.
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
1.若q是p的必要条件，则p是q的充分条件.( √ )
2.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( √ )
3.若q不是p的必要条件，则“p?q”成立.( √ )
类型一 充要条件的判断
例1 判断下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：α＝，q：cos α＝；
(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(3)在△ABC中，p：a>b，q：sin A>sin B；
(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
解 (1)∵α＝，∴cos α＝，
但cos α＝推不出α＝，
∴p是q的充分不必要条件.
(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以推出(a－2)(a－3)＝0，因此p是q的必要不充分条件.
(3)在△ABC中，∵由正弦定理＝，
知a>b可以推出sin A>sin B，sin A>sin B可以推出a>b，
∴p是q的充要条件.
(4)∵
∴p是q的既不充分又不必要条件.
反思与感悟 充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论.
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
(2)命题判断法：
①如果命题：“若p则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.
②如果命题：“若p则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.
跟踪训练1 设x∈R，则“3－x≥0”是“|x－1|≤2”的________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 必要不充分
解析 ∵3－x≥0?x≤3，|x－1|≤2?－1≤x≤3，
故“3－x≥0”是“|x－1|≤2”的必要不充分条件.
类型二 充分条件、必要条件的应用
例2 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}.
引申探究
1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以A?B.
所以或
解不等式组得m＞9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是[9，＋∞).
2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件.
解 因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).
若p是q的充要条件，则m不存在.
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
反思与感悟 (1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p?q可得A?B；q?p可得B?A；若p是q的充分不必要条件，则A?B.
(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.
跟踪训练2 已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 由(x－a)2<1，得x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，
∴a－1又由x2－5x－24<0，得－3∵M是N的充分条件，∴M?N，
∴ 解得－2≤a≤7.
即a的取值范围是[－2,7].
类型三 充要条件的证明
例3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 充分性：
∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两个不等实根.
设两实根为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
必要性：
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系，得
x1x2＝<0，且Δ＝b2－4ac>0，
即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
引申探究
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 必要性：
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0，∴必要性成立.
充分性：
∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)·(ax＋a＋b)＝0，
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴充分性成立.
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
反思与感悟 (1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两方面进行，此时应特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么.
(2)要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由条件?结论是证充分性，由结论?条件是证必要性.
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1).求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 充分性：当q＝－1时，a1＝p－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
当n＝1时也成立.
所以an＝pn－1(p－1)，n∈N*.
又p≠0，且p≠1，∴＝＝p，
∴数列{an}为等比数列.
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1).
∵p≠0且p≠1，{an}为等比数列，
∴＝＝p，
∴＝p，即p－1＝p＋q，∴q＝－1.
综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件.
1.设M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N?M”的________________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 当a＝1时，N＝{1}，此时N?M；当N?M时，a2＝1或a2＝2，解得a＝1或－1或或－.故“a＝1”是“N?M”的充分不必要条件.
2.“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是_____________________________________.
答案 a<－1
解析 函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点.
3.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件.
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 必要
解析 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.
4.若“x2>1”是“x答案 －1
解析 由x2>1，得x<－1或x>1.
又“x2>1”是“x则由“x1”，
但由“x2>1”推不出“x所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1.
5.是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p的取值范围，否则，说明理由.
解 由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1.
令A＝{x|x>2或x<－1}.
由4x＋p<0，得B＝.
由题意得B?A，即－≤－1，即p≥4，
此时由x<－≤－1可以推出x2－x－2>0，
∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的一个充分条件.
1.充分条件、必要条件的判断方法：
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)等价法：“p?q”表示p等价于q，要证p?q，只需证它的逆否命题非q?非p即可；同理要证p?q，只需证非q?非p即可.所以p?q，只需非q?非p.
(3)利用集合间的包含关系进行判断.
2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
一、填空题
1.“x>1”是“x2>x”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 由x>1可以推出x2>x，但x2>x推不出x>1.
2.“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 圆心为(a，b)，半径r＝.若a＝b，则圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝＝r，所以直线与圆相切.若直线与圆相切，有＝，则a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
3.“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上是增函数”是“a<2”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 ∵函数f(x)＝x2－2ax＋3的图象开口向上，对称轴为x＝a，
∴当f(x)在[1，＋∞)上为增函数时，a≤1，
而a≤1可以推出a<2，但a<2推不出a≤1，
∴填充分不必要.
4.若“x2＋ax＋b＝0”是“x＝1”的充要条件，则a＝________，b＝________.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 －2 1
解析 易得解得
5.下列不等式：①x<1；②0考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 ②③④
解析 由x2<1，得－1故②③④都可作为x2<1的充分条件.
6.设计如图所示的三个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是________.
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 (1)
7.给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cos α③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.
其中正确命题的序号为________.
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 ③
解析 ①∵函数y＝3x是R上的增函数，∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错误；②∵2π>，则cos 2π>cos ，∴α>β推不出cos αβ，∴“α>β”是“cos α8.给定两个条件p，q.若非p是q的必要不充分条件，则p是非q的____________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 q?非p?p?非q.
9.不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 (2，＋∞)
解析 根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)? {x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.
10.(2018·淮安中学月考)设f(x)＝x3＋lg(x＋)，则对任意实数a，b，“a＋b≥0”是“f(a)＋f(b)≥0”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 充要
解析 f(x)＋f(－x)＝x3＋lg(x＋)＋(－x)3＋lg (－x＋)＝lg 1＝0，所以f(x)为奇函数，又f(x)为单调递增函数，所以a＋b≥0?a≥－b?f(a)≥f(－b)?f(a)≥－f(b)?f(a)＋f(b)≥0，即“a＋b≥0”是“f(a)＋f(b)≥0”的充要条件.
11.“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的____________条件.
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点.
当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.
∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件.
二、解答题
12.求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 ①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx.
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数.
②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，
即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.
综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
13.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，q：实数x满足x2－6x＋5<0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}
＝{x|a0}，
B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1∵p是q的充分不必要条件，∴A?B，
则得1≤a≤.
经检验知，a＝1和满足已知条件，
故实数a的取值范围是.
三、探究与拓展
14.关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝________.
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
答案 0
解析 充分性：因为a－b＋c＝0，
即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，
所以－1是ax2＋bx＋c＝0的一个根.
必要性：因为ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，
所以a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0.
综上可知，ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
15.求使关于x的方程x2－2mx＋m2－m－2＝0的两根都大于2的充要条件.
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
解 设关于x的方程x2－2mx＋m2－m－2＝0的两根为x1，x2，依题意，得
不等式组等价于
解得
∴m>.
即关于x的方程x2－2mx＋m2－m－2＝0的两根都大于2的充要条件为.
§1.2 简单的逻辑联结词
学习目标 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p∨q”“p∧q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.
知识点一 p∧q
思考1 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？
答案 命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思.
思考2 分析思考1中三个命题的真假？
答案 命题①②③均为真.
梳理 (1)定义
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”，读作“p且q”.
(2)命题p∧q的真假判断
命题p∧q的真假与命题p和命题q的真假有着必然的联系，我们将命题p，命题q以及命题p∧q的真假情况绘制成命题p∧q的真值表如下：
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
命题p∧q的真值表可以简单归纳为“一假则假，真真才真”.
知识点二 p∨q
思考1 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？
答案 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.
思考2 思考1中的真假性是怎样的？
答案 ①③为真命题，②为假命题.
梳理 (1)定义
一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”，读作“p或q”.
(2)命题p∨q的真假判断
我们将命题p，命题q以及命题p∨q的真假情况绘制成命题p∨q的真值表如下：
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
命题p∨q的真值表可以简单归纳为“一真则真，假假才假”.
知识点三 綈p
思考 观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？并指出其真假：
(1)p：5是25的算术平方根，q：5不是25的算术平方根；
(2)p：y＝tan x是偶函数，q：y＝tan x不是偶函数.
答案 两组命题中，命题q都是命题p的否定.
(1)中p真，q假.
(2)中p假，q真.
梳理 (1)定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”.
(2)命题綈p的真假判断
因为命题p与命题綈p互为否定，所以它们的真假一定不同，真值表如下：
p
綈p
真
假
假
真
命题綈p的真值表可以归纳为“不可同真同假”.
1.逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中.( × )
2.“p∨q为真命题”是“p为真命题”的充分条件.( × )
3.命题“p∨(綈p)”是假命题.( × )
4.平行四边形的对角线相等且平分是“p∨q”形式的命题.( × )
类型一 用逻辑联结词联结组成新命题
例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题：
(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；
(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；
(3)p：正△ABC的三内角都相等，q：正△ABC有一个内角是直角.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 构建“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
解 (1)p∨q：π是无理数或e不是无理数；
p∧q：π是无理数且e不是无理数；
綈p：π不是无理数.
(2)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；
p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；
綈p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根.
(3)p∨q：正△ABC的三内角都相等或有一个内角是直角；
p∧q：正△ABC的三内角都相等且有一个内角是直角；
綈p：正△ABC的三个内角不都相等.
反思与感悟 解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p，q中的条件或结论合并.
跟踪训练1 分别写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题.
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 构建“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
解 (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
綈p：梯形没有一组对边平行.
(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.
类型二 含有逻辑联结词命题的真假
例2 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
解 (1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题.
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，綈p为真命题.
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题.
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题.
反思与感悟 判断含逻辑联结词命题的真假的步骤
(1)逐一判断命题p，q的真假.
(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假.
跟踪训练2 指出下列命题的形式及命题的真假：
(1)48是16与12的公倍数；
(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；
(3)相似三角形的周长相等或对应角相等.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 构建“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
解 (1)这个命题是“p∧q”的形式.其中p：48是16的倍数，是真命题；q：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题.
(2)这个命题是“綈p”的形式.其中p：方程x2＋x＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x2＋x＋3＝0没有实数根”是真命题.
(3)这个命题是“p∨q”的形式.其中p：相似三角形的周长相等，是假命题；q：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题.
类型三 用含逻辑联结词命题的真假求参数的范围
例3 (2018·南通中学月考)设命题p：幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，命题q：a＝－＋在(0,3)上有解；若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q，p∧q，綈p的真假，求参数范围
解 若p正确，则a2－a－2<0，∴－1若q正确?y＝a与y＝－＋的函数图象在(0,3)上有交点?a≤1.
∵p∧q为假，p∨q为真，∴p，q一真一假，
∴或
∴a≤－1或1即a的取值范围为(－∞，－1]∪(1,2).
反思与感悟 由真值表可判断p∨q，p∧q，綈p命题的真假.反之，由p∨q，p∧q，綈p命题的真假也可判断p，q的真假情况.一般求满足p假成立的参数的范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集.
跟踪训练3 已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q，p∧q，綈p的真假，求参数范围
解 若函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－≤－1，∴m≥2，即p：m≥2.
若函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1恒大于零，
则Δ＝16(m－2)2－16<0，
解得1因为p或q为真，p且q为假，所以p，q一真一假，
当p真q假时，由得m≥3.
当p假q真时，由得1综上可知，m的取值范围是{m|m≥3或11.把“x≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为___________________________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 构建“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
答案 x>5或x＝5
2.已知p：??{0}，q：{1}∈{1,2}，则在四个命题p，q，p∧q，p∨q中，真命题有_____个.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 2
解析 ∵p真，q假，∴p∧q为假，p∨q为真，
故真命题有2个.
3.命题s具有“p或q”的形式，已知“p且r”是真命题，那么s是________命题.(填“真”“假”)
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 真
解析 ∵p且r为真命题，∴p为真命题，
∴p或q为真命题.
4.已知命题p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为零；命题q：若a＞b，则＜.
给出下列四个命题：
①p且q；②p或q；③非p；④非q.
其中真命题是________.(填序号)
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 ②④
解析 由于命题p是真命题，命题q是假命题，由真值表可知：p且q为假；p或q为真；非p为假；非q为真，所以真命题是②④.
5.已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围为________________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q，p∧q，綈p的真假，求参数范围
答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)
解析 若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，
即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，
则－≤3，即a≥－12.
∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，
∴即－12≤a≤－4或a≥4，
∴a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞).
1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.
2.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真.类比集合知识，“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集?UP.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真.
3.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.
一、填空题
1.下列命题：
①矩形的对角线相等且互相平分；②10的倍数一定是5的倍数；③方程x2＝1的解为x＝±1；④3?{1,2}.
其中使用逻辑联结词的命题有________个.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 构建“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
答案 3
解析 ①中有“且”，②中没有，③中有“或”，④中有“非”.
2.已知命题p，q，则命题“p或q为真”是“p且q为真”的______________条件.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 必要不充分
解析 p或q为真命题推不出p且q为真命题，而p且q为真命题可以推出p或q为真命题.
3.给出命题p：3≥3；q：函数f(x)＝在R上的值域为[－1,1].在下列三个命题：“p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题的个数为________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 1
解析 由p真q假知，p∨q为真，p∧q为假，綈p为假.
4.命题“若a考点 “非”命题的概念
题点 辨析命题的否定与否命题
答案 若a≥b，则2a≥2b 若a解析 命题“若a5.设命题p：2x＋y＝3；q：x－y＝6，若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p∧q命题的真假，求参数(或其范围)
答案 3 －3
解析 由题意有解得
6.已知命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}?{1,2,3}，则下列结论：
①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假.
其中所有正确结论的序号是________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 ①④⑤⑥
解析 因为p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}?{1,2,3}，所以p假q真，故①④⑤⑥正确.
7.若命题p：不等式ax＋b>0的解集为，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 非p
解析 因为命题p，q均为假命题，
所以“p或q”“p且q”均为假命题，而“非p”为真命题.
8.对于命题p，q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
①p或綈q是真命题；②p且綈q是真命题；③綈p且綈q是假命题；④綈p或q是假命题.
其中真命题是________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 ①③
解析 ∵p且q为真命题，则p真，q真，∴綈p假，綈q假，所以只有①③为真命题.
9.已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q，p∧q，綈p的真假，求参数范围
答案 {－1,0,1,2}
解析 因为“p∧q”为假，綈q为假，所以q为真，p为假.故即
因此x的值可以是－1,0,1,2.
10.已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p且q为假命题，p或q为真命题，则m的取值范围为____________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q，p∧q，綈p的真假，求参数范围
答案 (－∞，－2]∪(－1,2)
解析 ∵x2＋mx＋1>0恒成立，
∴Δ＝m2－4<0，即－2∴q：－2由题意知，p与q为一真一假，
当p真q假时，得m≤－2；
当p假q真时，得－1综上所述，m的取值范围为(－∞，－2]∪(－1,2).
二、解答题
11.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”及“綈p”的形式，并判断真假：
(1)p：2n－1(n∈Z)是奇数，q：2n－1(n∈Z)是偶数；
(2)p：集合中的元素是确定的，q：集合中的元素是无序的.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
解 (1)p或q：2n－1(n∈Z)是奇数或是偶数；(真)
p且q：2n－1(n∈Z)既是奇数又是偶数；(假)
綈p：2n－1(n∈Z)不是奇数.(假)
(2)p或q：集合中的元素是确定的或是无序的；(真)
p且q：集合中的元素是确定的且是无序的；(真)
綈p：集合中的元素是不确定的.(假)
12.已知命题p：1∈{x|x2(1)若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
解 若p为真，则1∈{x|x2所以121；
若q为真，则2∈{x|x24.
(1)若“p或q”为真，则a>1或a>4，
即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞).
(2)若“p且q”为真，则a>1且a>4，
即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞).
13.已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；
命题q：不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立，若p∨q为真命题，(綈p)∨(綈q)也为真命题，求实数a的取值范围.
解 ∵y＝ax在R上为增函数，
∴命题p：a>1.
∵不等式x2－ax＋1>0在R上恒成立，
∴应满足Δ＝a2－4<0，即0∴命题q：0由p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，
由(綈p)∨(綈q)也为真，则綈p，綈q中至少有一个为真，
∴p，q中有一真、一假.
①当p真，q假时，∴a≥2；
②当p假，q真时，∴0综上可知，a的取值范围为{a|a≥2或0三、探究与拓展
14.已知实数a满足1①p∨q为真；②p∧q为假；③(綈p)∧q为真；④(綈p)∧(綈q)为假.
其中正确的命题是________.(填序号)
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 ①④
解析 由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，得a>1且2－a>0，即115.设函数f(x)＝lg的定义域为A，若命题p：3∈A与q：5∈A有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q，p∧q，綈p的真假，求参数范围
答案 ∪[9,25)
解析 A＝，
若p：3∈A为真，则>0，即若q：5∈A为真，则>0，即1若p真q假，则所以a无解；
若p假q真，则
解得1所以实数a的取值范围为∪[9,25).
§1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 量 词
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法.
知识点一 全称量词与全称命题
思考 观察下列命题：
①每一个三角形都有内切圆；
②所有实数都有算术平方根；
③对一切有理数x,5x＋2还是有理数.
以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假.
答案 命题①②③分别使用量词“每一个”“所有”“一切”.
命题①③是真命题，命题②是假命题.三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题②为假命题.
梳理 (1)
全称量词
“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”
符号
?
全称命题p
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)
(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“?x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“?x∈M，p(x)不成立”.
知识点二 存在量词与存在性命题
思考 观察下列命题：
①有些矩形是正方形；
②存在实数x，使x>5；
③至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.
以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假.
答案 命题①②③分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”.命题①②是真命题，命题③是假命题.三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可.所以命题①②是真命题，而对任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题③为假命题.
梳理 (1)
存在量词
“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”
符号
?
存在性命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)
(2)判断存在性命题真假性的方法：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题.
1.“某些”“有个”“有的”等短语不是存在量词.( × )
2.全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词.( × )
3.全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.( √ )
类型一 全称命题与存在性命题的识别
例1 判断下列语句是全称命题还是存在性命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 识别全称命题和存在性命题
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题.
(4)含有存在量词“有一个”，故为存在性命题.
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题.
反思与感悟 判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路
跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)对每一个无理数x，x2也是无理数；
(3)有的函数既是奇函数又是增函数；
(4)对于数列，总存在正整数n，使得an与1之差的绝对值小于0.01.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 识别全称命题和存在性命题
解 (1)是全称命题，表示为?x∈N，x2≥0.
(2)是全称命题，?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数.
(3)是存在性命题，?f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数.
(4)是存在性命题，?n∈N*，|an－1|＜0.01，其中an＝.
类型二 全称命题与存在性命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假，并给出证明：
(1)任意两向量a，b，若a·b>0，则a，b的夹角为锐角；
(2)?x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)?x∈N，x2>0.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 全称命题和存在性命题真假判断
解 (1)∵a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉>0，
∴cos 〈a，b〉>0.
又0≤〈a，b〉≤π，
∴0≤〈a，b〉<，即a，b的夹角为零或锐角.
故它是假命题.
(2)∵当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，
∴不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题.
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.
(4)∵0∈N,02＝0，
∴命题“?x∈N，x2>0”是假命题.
反思与感悟 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
跟踪训练2 有下列四个命题：①?x∈R,2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③?x∈N，x2≤x；④?x∈N*，x为29的约数，其中真命题的个数为________.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 全称命题和存在性命题真假判断
答案 3
解析 ①中，2x2－3x＋4＝22＋>0，
故①正确；
②中，当x＝－1时，2x＋1<0，故②不正确；
③中，当x＝0或1时，x2≤x，故③正确；
④中，?29∈N*,29为29的约数，故④正确.
∴真命题的个数为3.
类型三 全称命题、存在性命题的应用
例3 ?x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求实数a的取值范围.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 由全称命题和存在性命题求参数范围
解 已知不等式化为22x－2·2x＋2－a<0，①
令t＝2x，∵x∈[－1,2]，∴t∈，
则不等式①化为t2－2t＋2－a<0，
即a>t2－2t＋2，
原命题等价于?t∈，a>t2－2t＋2恒成立，
令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，
当t∈时，ymax＝10.
∴只需a>10即可.
即所求实数a的取值范围是(10，＋∞).
引申探究
本例改为：?x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0成立，求实数a的取值范围.
解 已知不等式化为22x－2·2x＋2－a<0，①
令t＝2x，∵x∈[－1,2]，∴t∈，
则不等式①化为t2－2t＋2－a<0，即a>t2－2t＋2，
原命题等价于?t∈，使a>t2－2t＋2成立.
令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，
当t∈时，ymin＝1.
∴只需a>1即可.
∴a的取值范围为(1，＋∞).
反思与感悟 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别.
跟踪训练3 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对?x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 由全称命题和存在性命题求参数范围
解 (1)∵关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
解得a≥，∴实数a的取值范围为.
(2)∵对?x∈R，p(x)是真命题，
∴对?x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，则∴a>1，
即a的取值范围为(1，＋∞).
1.下列命题是“?x∈R，x2>3”的表述方法的有________.
①有一个x∈R，使得x2>3；
②对有些x∈R，使得x2>3；
③任选一个x∈R，使得x2>3；
④至少有一个x∈R，使得x2>3.
考点 存在量词与存在性命题
题点 识别存在性命题
答案 ①②④
2.下列命题中全称命题的个数是________.
①任意一个自然数都是正整数；
②有的等差数列也是等比数列；
③三角形的内角和是180°.
考点 全称量词及全称命题
题点 识别全称命题
答案 2
解析 ①③是全称命题.
3.下列存在性命题是假命题的是________.
①存在x∈Q，使得2x－x3＝0；②存在x∈R，使得x2＋x＋1＝0；③有的素数是偶数；④有的有理数没有倒数.
考点 存在量词与存在性命题
题点 存在性命题真假的判断
答案 ②
解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，因此，使x2＋x＋1＝0的实数不存在，所以②为假命题.
4.对任意的x>3，x>a都成立，则a的取值范围为________.
考点 全称量词及全称命题
题点 恒成立求参数的范围
答案 (－∞，3]
解析 只有当a≤3时，对任意的x>3，x>a都成立.
5.用量词符号“?”“?”表述下列命题：
(1)凸n边形的外角和等于2π.
(2)有一个有理数x满足x2＝3.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 识别全称命题和存在性命题
解 (1)?x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.
(2)?x∈Q，x2＝3.
1.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.
3.要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题.
一、填空题
1.下列命题中，是全称命题且是真命题的是________.(填序号)
①对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0；
②菱形的两条对角线相等；
③?x∈R，＝x；
④对数函数在定义域上是单调函数.
考点 全称量词及全称命题
题点 全称命题真假的判断
答案 ④
解析 ①中的命题是全称命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；②中的命题是全称命题，但是假命题；③中的命题是全称命题，但＝|x|，故是假命题；很明显④中的命题是全称命题且是真命题.
2.下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是________.(填序号)
①存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan α；
②存在实数x，使得sin x＝；
③对一切α，sin(180°－α)＝sin α；
④sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
考点 存在量词与存在性命题
题点 存在性命题真假的判断
答案 ①
解析 ∵当α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan 45°，
∴①为真命题，且为存在性命题；
②中对?x∈R，有sin x≤1<，∴②为假命题；
③④都是全称命题.
3.下列命题中的假命题是________.(填序号)
①?x∈R，lg x＝0；②?x∈R，tan x＝1；
③?x∈R，x3>0；④?x∈R,2x>0.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 全称命题和存在性命题真假判断
答案 ③
解析 对于①，当x＝1时，lg x＝0，正确；对于②，当x＝时，tan x＝1，正确；对于③，当x＜0时，x3＜0，错误；对于④，?x∈R,2x＞0，正确.
4.已知命题：“?x∈{x|－1考点 存在量词与存在性命题
题点 存在性命题求参数的范围
答案
解析 已知命题：“?x∈{x|－1则得m∈.
5.若命题“?x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围为____________.
考点 存在量词与存在性命题
题点 存在性命题求参数的范围
答案 [－8，＋∞)
解析 令f(x)＝x2＋2x＋a，x∈[1,2].
∵f(x)在[1,2]上为增函数，∴f(x)max＝f(2)＝8＋a，
由题意知，8＋a≥0，得a≥－8.
6.若“?x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
考点 全称量词及全称命题
题点 恒成立求参数的范围
答案 1
解析 “?x∈，tan x≤m”是真命题，
当x∈时，tan x≤1，所以m≥1.
故实数m的最小值为1.
7.设?x∈R，函数y＝lg(mx2－4mx＋m＋3)有意义，则实数m的取值范围为__________.
考点 全称量词及全称命题
题点 恒成立求参数的范围
答案 [0,1)
解析 由题意，得mx2－4mx＋m＋3>0对任意x∈R都成立，当m＝0时，显然成立；
当即0所以实数m的取值范围为[0,1).
8.已知命题p：?x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：?x∈R，sin x＋cos x＝，则下列判断正确的是________.(填序号)
①“p且q”是真命题；
②“p或q”是真命题；
③q是假命题；
④“非p”是真命题.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 全称命题和存在性命题真假判断
答案 ②④
解析 由题意知，p假q真，故②④正确.
9.在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y).?x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1恒成立，则实数a的取值范围为________.
考点 全称量词及全称命题
题点 恒成立求参数的范围
答案
解析 由题意，知(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)＝x－x2＋a2－a＜1，即x2－x＋1＞a2－a.
∴对?x∈R，不等式x2－x＋1＞a2－a恒成立，
即(x2－x＋1)min＞a2－a恒成立.
又x2－x＋1＝2＋≥，
∴a2－a＜(x2－x＋1)min＝，
解得－＜a＜，
∴a的取值范围为.
10.已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 由全称命题和存在性命题真假求参数范围
答案 [e,4]
解析 由命题“p∧q”是真命题，得命题p，q都是真命题.因为x∈[0,1]，所以ex∈[1，e]，所以a≥e；?x∈R，x2＋4x＋a＝0，即方程x2＋4x＋a＝0有实数根，所以Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，取交集得a∈[e,4].
二、解答题
11.判断下列命题是不是全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假：
(1)有一个实数α，使sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；
(4)存在实数x，使得＝2.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 由全称命题和存在性命题真假求参数范围
解 (1)是一个存在性命题，用符号表示为“?α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，是一个假命题.
(2)是一个全称命题，用符号表示为“?直线l，l都存在斜率”，是一个假命题.
(3)是一个全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解”，是一个假命题.
(4)是一个存在性命题，用符号表示为“?x∈R，＝2”，是一个假命题.
12.已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 由全称命题和存在性命题真假求参数范围
解 对于p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，
当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1，∴p：a≤1.
对于q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2或a≥1.
∴q：a≤－2或a≥1.
又p∧q为真，故p，q都为真，∴
∴a≤－2或a＝1，
∴实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}.
13.已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；
(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 由全称命题和存在性命题真假求参数范围
解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可.故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x).
若存在实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，故m>4.
故所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
三、探究与拓展
14.已知命题p：f(x)＝对?x∈(－∞，0]有意义；
命题q：数列{an}中，an＝n，且对?n∈N*，均有＋＋…＋＋考点 全称量词及全称命题
题点 恒成立求参数的范围
解 (1)对于命题p，由f(x)＝在x∈(－∞，0]上有意义，
知1－t·3x≥0，x∈(－∞，0]恒成立，
即t≤x，x∈(－∞，0]恒成立，解得t≤1，
所以，若命题p成立，则t≤1.
(2)对于命题q，因为an＝n，
所以＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－<1，
所以log2≥1，解得≤t<1.
因为命题p与q有且仅有一个正确，
所以，若命题p成立，q不成立，则
所以t＝1或t<，
若命题p不成立，q成立，解得t∈?.
综上可知，t的取值范围是.
15.是否存在k和等差数列{an}，使ka－1＝S2n－Sn＋1，其中S2n，Sn＋1分别是等差数列{an}的前2n项，前n＋1项的和.若存在，试求出常数k和数列{an}的通项；若不存在，请说明理由.
考点 存在量词与存在性命题
题点 存在性命题求参数的范围
解 假设存在.设an＝pn＋q(p，q为常数)，则ka－1＝kp2n2＋2kpqn＋kq2－1，Sn＝pn(n＋1)＋qn.
S2n－Sn＋1＝pn2＋n－(p＋q)，
则kp2n2＋2kpqn＋kq2－1＝pn2＋n－(p＋q).
故有
由①，得p＝0或kp＝.
当p＝0时，由②，得q＝0，而p＝q＝0不适合③，故p≠0.
把kp＝代入②，得q＝－；
把q＝－代入③，由kp＝，得p＝.
从而q＝－，k＝.
故存在常数k＝及等差数列an＝n－，满足题意.
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题.
知识点一 全称命题与存在性命题的否定
思考1 写出下列命题的否定：
①所有的矩形都是平行四边形；
②有些平行四边形是菱形.
答案 ①并非所有的矩形都是平行四边形.
②每一个平行四边形都不是菱形.
思考2 对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？
答案 不能.
思考3 对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？
答案 不能.
梳理 (1)
命题
命题的表述
全称命题p
?x∈M，p(x)
全称命题的否定綈p
?x∈M，綈p(x)
存在性命题p
?x∈M，p(x)
存在性命题的否定綈p
?x∈M，綈p(x)
(2)常见的命题的否定形式
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)为真
否定
形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x∈A使p(x)为假
知识点二 含有一个量词的命题p的否定真假性判断
对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断綈p的真假，二是用p与綈p的真假性相反来判断.
1.命题綈p的否定是p.( √ )
2.?x∈M，p(x)与?x∈M，綈p(x)的真假性相反.( √ )
3.从存在性命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.( × )
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；
(2)p：等圆的面积相等，周长相等；
(3)p：偶数的平方是正数.
考点 全称命题的否定
题点 含有全称量词的命题的否定
解 (1)綈p：存在n∈Z，使n?Q，这是假命题.
(2)綈p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.
(3)綈p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题.
反思与感悟 (1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.全称命题的否定的真假性与全称命题相反.
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：
(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字都不等于3；
(3)p：在数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；
(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.
考点 全称命题的否定
题点 含有全称量词的命题的否定
解 (1)綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)綈p：?x∈Z，x2的个位数字等于3.
(3)綈p：在数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数.
(4)綈p：存在被5整除的整数，末位不是0.
类型二 存在性命题的否定
例2 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x∈R，x2＋1<0；
(4)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.
考点 存在性命题的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.命题的否定是假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“不存在x∈R，使x2＋1<0”，即“?x∈R，x2＋1≥0”.由于x2＋1≥1>0，因此命题的否定是真命题.
(4)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”.
当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.
引申探究
若本例(2)改为“某些平行四边形是正方形”，写出该命题的否定并判断真假.
解 命题的否定是“没有一个平行四边形是正方形”，即“每一个平行四边形都不是正方形”，假命题.
反思与感悟 (1)对存在性命题否定的两个步骤
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词.
②否定性质：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.
(2)存在性命题否定后的真假判断
存在性命题的否定是全称命题，其真假性与存在性命题相反；要说明一个存在性命题是真命题，只需要找到一个实例即可.
跟踪训练2 写出下列存在性命题的否定：
(1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：存在一元二次方程无实数根.
考点 存在性命题的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1)綈p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)綈p：所有的三角形都不是等边三角形.
(3)綈p：所有一元二次方程都有实数根.
类型三 含量词命题的否定的应用
例3 对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立.求实数m的取值范围.
考点 全称量词、存在性量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
解 令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin≥－，
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，－).
反思与感悟 若全称命题为假命题，通常转化为其否定——存在性命题为真命题解决.同理，若存在性命题为假命题，通常转化为其否定——全称命题为真命题解决.
跟踪训练3 若本例条件变为：“存在实数x，使不等式sin x＋cos x>m有解”，求实数m的取值范围.
考点 存在性命题的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
解 令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，].
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，).
1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是__________________________.
考点 存在性命题的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
解析 命题p是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根.
2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：?x∈A,2x∈B，则綈p为________________.
考点 全称命题的否定
题点 含有全称量词的否定
答案 ?x∈A,2x?B
3.对下列命题的否定说法错误的是________(填序号).
①p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数；②p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形；④p：?x∈R，x2＋x＋2≤0；綈p：?x∈R，x2＋x＋2＞0.
考点 全称命题，存在性命题的否定
题点 含有全称量词和存在量词的否定
答案 ③
解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故③错误.
4.命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是____________________________.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
解析 把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”，得命题的否定.
5.已知命题“存在x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为________.
考点 存在性命题的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案 (－1,3)
解析 由题意知，“?x∈R，都有2x2＋(a－1)x＋>0”是真命题，可得Δ＝(a－1)2－4×2×<0，∴－1对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.
一、填空题
1.设命题p：?n∈N，n2>2n，则綈p为____________.
考点 存在性命题的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 ?n∈N，n2≤2n
解析 将命题p的量词“?”改为“?”，“n2>2n”改为“n2≤2n”.
2.命题“任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________________.
考点 全称命题的否定
题点 含有全称量词命题的否定
答案 存在x∈R，若y>0，则x2＋y≤0
解析 已知命题是一个全称命题，其否定为存在性命题，先将“任意”换成“存在”，再否定结论，即命题的否定是“存在x∈R，若y>0，则x2＋y≤0”.
3.下列命题的否定为真命题的是________.(填序号)
①?x∈R，－x2＋x－1<0；
②?x∈R，|x|>x；
③?x，y∈Z,2x－5y≠12；
④?x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.
考点 全称量词、存在性量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 ②③④
解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题，其余均为假命题，故否定为真命题的是②③④.
4.若?θ∈R，使sin θ<1是假命题，则cos的值为________.
考点 存在性命题的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案
解析 由题意得?θ∈R，sin θ－1≥0.
又－1≤sin θ≤1，∴sin θ＝1.
∴θ＝2kπ＋(k∈Z)，
故cos＝.
5.下列命题中的真命题是________.(填序号)
①?x∈R，使得sin x＋cos x＝；
②?x∈(0，＋∞)，ex>x＋1；
③?x∈(－∞，0)，2x<3x；
④?x∈(0，π)，sin x>cos x.
考点 全称量词，存在性量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 ②
解析 ∵sin x＋cos x＝sin≤<，故①错误；设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(0)＝0，
∴?x∈(0，＋∞)，f(x)>0，
即ex>x＋1，故②正确；
当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故③错误；∵当x∈时，sin x6.已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，则参数a的取值范围为________.
考点 存在性命题的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案 (－3，＋∞)
解析 由已知得綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立.
∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则
∴解得a≤－3，
∵綈p为假，∴a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞).
7.已知命题p：?x∈R，x2－x＋<0，命题q：?x∈R，sin x＋cos x＝－，则在p∨q，p∧q，綈p，綈q中是真命题的有________.
考点 全称量词，存在性量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 p∨q，綈p
解析 ∵x2－x＋＝2≥0，
∴p为假命题.
∵sin x＋cos x＝sin∈[－，]，
∴q为真命题.
故p∨q，綈p为真命题.
8.下列命题中是假命题的是________.(填序号)
①?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减；
②?a>0，函数f(x)＝(ln x)2＋ln x－a有零点；
③?α，β∈R，cos(α＋β)＝cos α＋sin β；
④?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数.
考点 全称量词，存在性量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 ④
解析 ∵f(x)是幂函数，∴m－1＝1，
∴m＝2，∴f(x)＝x－1，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故①为真命题；
∵y＝(ln x)2＋ln x＝2－的值域为，
∴?a>0，方程(ln x)2＋ln x－a＝0有解，
即f(x)有零点，故②为真命题；
∵当α＝β＝0时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故③为真命题；
∵当φ＝时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos 2x为偶函数，故④为假命题.
9.已知命题p：“a＝1”是“?x>0，x＋≥2”的充要条件，命题q：?x∈R，x2＋x－1>0，则下列结论中正确的是________.
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧(綈q)”是真命题；
③命题“綈p∧q”是真命题；
④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题.
考点 全称量词，存在性量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 ③
解析 因为a＝1可以推出x＋＝x＋≥2＝2，
显然当a＝2时也能推出“?x>0，x＋≥2”成立，
所以“a＝1”是“?x>0，x＋≥2”的充分不必要条件，
故p是假命题.而q是真命题，故③正确.
10.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则实数m的取值范围为________.
考点 全称量词、存在性量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案
解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，
所以m≥.
二、解答题
11.命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数.
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
考点 存在性命题的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
解 (1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0.
(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集，
通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b12.若“?x∈，sin x＋cos x考点 存在性命题的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
解 令f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，x∈.
可知f(x)在上为增函数，在上为减函数.
由于f(0)＝，f?＝1，f?＝2，
所以1≤f(x)≤2.
由于“?x∈，sin x＋cos x则其否定“?x∈，sin x＋cos x≥m”为真命题，
所以m≤f(x)min＝1，即m≤1.
所以m的取值范围是(－∞，1].
13.已知命题p：对任意m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立；命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解，若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围.
考点 全称量词，存在性量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
解 ∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3].
∵对任意m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立，可得a2－5a－3≥3，
∴a≥6或a≤－1.
故当命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解，
∴Δ＝a2－8>0，
∴a>2或a<－2.
∴当命题q为假命题时，－2≤a≤2.
∴当命题p为真命题，q为假命题时，
a的取值范围为[－2，－1].
三、探究与拓展
14.已知当－1≤a≤1时，x2＋(a－4)x＋4－2a≤0不成立，则实数x的取值范围为________.
考点 全称命题的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案 (－∞，1)∪(3，＋∞)
解析 设f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则f(a)>0对?a∈[－1,1]恒成立等价于
即解得x<1或x>3，
即实数x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞).
15.f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果?x1∈[－2,2]，?x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围为________.
考点 全称量词、存在性量词
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案 [－5，－2]
解析 因为当x∈(0,2]时，函数f(x)＝2x－1，所以f(x)的值域为(0,3].又因为f(x)是[－2,2]上的奇函数，所以当x＝0时，f(0)＝0，所以在[－2,2]上f(x)的值域为[－3,3].而在[－2,2]上，g(x)的值域为[m－1,8＋m].如果对于任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则有[－3,3]?[m－1,8＋m]，所以解得所以－5≤m≤－2.
章末复习
学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.
知识点一 四种命题的关系
原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题.
知识点二 充分条件、必要条件的判断方法
1.直接利用定义判断：若p?q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(条件与结论是相对的)
2.利用等价命题的关系判断：p?q的等价命题是綈q?綈p，即若綈q?綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
3.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件：
(1)前提：设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}.
(2)结论：
①若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件；
②若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件；
③若A＝B，则p，q互为充要条件；
④若AB且BA，则p是q的既不充分又不必要条件.
知识点三 简单的逻辑联结词
1.命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词.
2.简单复合命题的真假判断
①p与綈p真假性相反；
②p∨q一真就真，两假才假；
③p∧q一假就假，两真才真.
知识点四 全称命题与存在性命题
1.全称命题与存在性命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例.
(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明.
2.含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题.否定时既要改写量词，又要否定结论.
1.逆否命题是“平行四边形的对角线相等”的原命题是“对角线不相等的四边形不是平行四边形”.( √ )
2.“x>0”是“x2>0”的充分不必要条件.( √ )
3.命题“p”与命题“非p”可能都是真命题.( × )
4.命题“?x∈R，x2≠x”的否定是“?x∈R，x2＝x”.( √ )
类型一 四种命题及其关系
例1 写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题.
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题.
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题.
反思与感悟 (1)四种命题的改写步骤
①确定原命题的条件和结论.
②逆命题：把原命题的条件和结论交换.
否命题：把原命题中的条件和结论分别否定.
逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件，否定了的条件作结论.
(2)命题真假的判断方法
跟踪训练1 下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.
其中正确结论的个数是________.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 2
解析 正确的为①③.
类型二 充分条件与必要条件
例2 (1)“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的____________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
(2)设p：2x>1，q：1考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件、必要条件的判断
答案 (1)充分不必要 (2)必要不充分
解析 (1)∵a＝－1?函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点?a＝0或a＝－1?＝－1，∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵2x>1?x>0?11，∴p是q的必要不充分条件.
反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假.
(2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件.
跟踪训练2 四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件、必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD.在四边形ABCD中，AC⊥BD，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分.综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
例3 设命题p：x2－5x＋6≤0；命题q：(x－m)(x－m－2)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 方法一 命题p：x2－5x＋6≤0，
解得2≤x≤3，∴p：2≤x≤3；
命题q：(x－m)(x－m－2)≤0，
解得m≤x≤m＋2，∴q：m≤x≤m＋2.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件.
∴或
解得1≤m≤2.
∴实数m的取值范围是[1,2].
方法二 ∵命题p：2≤x≤3，
命题q：m≤x≤m＋2，
綈p：x<2或x>3，綈q：xm＋2.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴{x|xm＋2}?{x|x<2或x>3}，
故(等号不能同时取得)解得1≤m≤2，
∴实数m的取值范围是[1,2].
反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.
跟踪训练3 已知p：2x2－9x＋a<0，q：2考点 充分条件、必要条件和充要条件的应用
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 ∵綈q是綈p的必要条件，
∴q是p的充分条件.
令f(x)＝2x2－9x＋a，则解得a≤9，
∴实数a的取值范围是(－∞，9].
类型三 逻辑联结词与量词的综合应用
例4 已知p：?x∈R，mx2＋2≤0，q：?x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q的真假求参数范围
答案 [1，＋∞)
解析 因为p∨q为假命题，所以p和q都是假命题.
由p：?x∈R，mx2＋2≤0为假命题，得?x∈R，mx2＋2＞0，所以m≥0.①
由q：?x∈R，x2－2mx＋1＞0为假命题，得?x∈R，x2－2mx＋1≤0，
所以Δ＝(－2m)2－4≥0，即m2≥1，
解得m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系.其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径.
跟踪训练4 已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q的真假求参数范围
解 由方程2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，
∴x＝或x＝－a.
∴当命题p为真命题时，≤1或|－a|≤1，
∴|a|≤2.
又“只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0”，
即函数y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴当命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}.
1.命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是____________.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 “若x≤y，则x2≤y2”
2.已知命题p：?n∈N,2n>1 000，则綈p为____________.
考点 存在性命题的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 ?n∈N,2n≤1 000
解析 命题p用语言叙述为“存在自然数n，使得2n>1 000成立”，所以它的否定是“任意的自然数n，使得2n≤1 000成立”，用符号表示为“?n∈N,2n≤1 000”.
3.已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________.(填序号)
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 ②③
解析 当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题.
当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题.
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题.
4.对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围为________.
考点 全称量词及全称命题
题点 恒成立求参数的范围
答案 (－∞，0]
解析 由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤(x2)min，得a≤0.
5.已知p：≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案
解析 由(x－a)(x－a－1)>0，得x>a＋1或x所以綈q：a≤x≤a＋1.
而p是綈q的充分不必要条件，
所以有或得0≤a≤.
1.否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题条件的否定作为条件，将原命题结论的否定作为结论构造一个新的命题.
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法.若命题为“若p则q”，则该命题的否命题是“若綈p则綈q”；命题的否定为“若p则綈q”.
2.四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题.
3.判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆.
4.注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定为“不都是”，“全是”的否定为“不全是”，“至少有一个”的否定为“一个也没有”，“至多有一个”的否定为“至少有两个”.
一、填空题
1.已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 2
解析 当c2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac2＞bc2，则a＞b”，逆命题正确，则否命题也正确.
2.给出下列四个命题：
①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆命题；
②命题“若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0”的否命题；
③命题“若x＝y＝0，则x2＋y2＝0”的逆否命题；
④命题“若x，y∈N*且x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数”的逆命题.
其中是真命题的是________.(填序号)
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ①③④
解析 ②中原命题的逆命题：若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x<3为假命题，则其否命题也为假命题，故②为假.③中的原命题为真，则其逆否命题为真，故③为真.①和④显然为真.
3.下列结论中正确的是________.(填序号)
①p∧q为真是p∨q为真的充分条件，但不是必要条件；
②p∧q为假是p∨q为假的充分条件，但不是必要条件；
③p∨q为真是綈p为假的必要条件，但不是充分条件；
④綈p为真是p∧q为假的必要条件，但不是充分条件.
考点 “p∨q”“p∧q”形式的命题、充分条件和必要条件
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假，充分条件和必要条件的判断
答案 ①③
解析 p∧q为真，则p∨q为真，反之不一定，故①正确；当p真q假时，p∧q为假，但p∨q为真，故②错误；当綈p为假时，p为真，所以p∨q为真，反之不一定，故③正确；若綈p为真，则p为假，所以p∧q为假，故④错误.
4.已知数列{an}为等比数列，则p：a1考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 由a15.已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是________.(填序号)
①p∧q；②(綈p)∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∧(綈q).
考点 条件的概念及判断，“p∧q”形式的命题
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断，“p∧q”形式的命题真假判断
答案 ④
解析 根据指数函数的性质可知，对任意x∈R，总有2x＞0成立，即p为真命题.“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即q为假命题，则p∧(綈q)为真命题.
6.已知“x>k”是“<1”的充分条件，则k的取值范围为________.
考点 充分条件的概念及判断
题点 由充分条件求参数的范围
答案 [2，＋∞)
解析 由<1，解得x>2或x<－1.
由题意知{x|x>k}?{x|x>2或x<－1}，∴k≥2.
7.已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：x2<1是x考点 条件的概念及判断，“p∨q”形式的命题
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断，“p∨q”形式的命题真假判断
答案 真
解析 ∵a>1，∴Δ＝4－4a<0，∴x2＋2x＋a>0恒成立，∴p为真命题；由x2<1，得－18.若命题“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________.
考点 存在性命题的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案 [－2，2]
解析 因为“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，
所以“?x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，
因此9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2.
9.有下列几个命题：
①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题.
其中真命题的序号是________.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ②③
解析 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；
②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确.
10.已知p：－40，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围为____________.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 [－1,6]
解析 p：a－4∵由綈p是綈q的充分条件，即綈p?綈q，∴q?p，
∴解得－1≤a≤6.
二、解答题
11.写出命题“若a≥－，则方程x2＋x－a＝0有实根”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 逆命题：若方程x2＋x－a＝0有实根，则a≥－；
否命题：若a<－，则方程x2＋x－a＝0无实根；
逆否命题：若方程x2＋x－a＝0无实根，则a<－.
由Δ＝1＋4a≥0，可得a≥－，所以可判断其原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是真命题.
12.若p：?x∈R，sin x＋cos x>m，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，如果p为假命题且q为真命题，求实数m的取值范围.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
解 ∵sin x＋cos x＝sin∈[－，]，
∴如果p为假命题，
即对?x∈R，不等式sin x＋cos x>m不恒成立，
∴m≥－.
又q为真命题，
即对?x∈R，不等式x2＋mx＋1>0恒成立，
∴Δ＝m2－4<0，即－2∴如果p为假命题且q为真命题，应有－≤m<2.
∴实数m的取值范围是[－，2).
13.命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a>0)，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若q?綈p，求实数a的取值范围.
考点 全称命题和存在性命题，“p∧q”形式的命题
题点 全称命题和存在性命题、已知“p∧q”形式命题的真假求参数(或其范围)
解 (1)由于a＝1，则x2－4ax＋3a2<0?x2－4x＋3<0?1解不等式组得2所以q：2由于p∧q为真，所以p，q均为真命题.
解不等式组得2所以实数x的取值范围是(2,3).
(2)綈p：x2－4ax＋3a2≥0，a>0，
x2－4ax＋3a2≥0?(x－a)(x－3a)≥0?x≤a或x≥3a，
所以綈p：x≤a或x≥3a，
设A＝{x|x≤a或x≥3a}.
由(1)知q：2设B＝{x|2由于q?綈p，所以B?A，
所以3≤a或3a≤2，
即0所以实数a的取值范围是∪[3，＋∞).
三、探究与拓展
14.设a∈R，s：数列{(n－a)2}是递增的数列；t：a≤1，则s是t的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 必要不充分
解析 由s：数列{(n－a)2}是递增数列，知(n－a)2<[(n＋1)－a]2，则2a<2n＋1，解得a<，所以s是t的必要不充分条件.
15.已知f(x)＝m(x－3m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－4.若同时满足条件：
①?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；
②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0，
则m的取值范围为________.
考点 全称命题和存在性命题
题点 由全称命题和存在性命题求参数范围
答案
解析 ∵g(x)＝2x－4，当x≥2时，g(x)≥0，
又∵?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，
∴f(x)＝m(x－3m)(x＋m＋3)＜0在x≥2时恒成立，
∴二次函数图象开口只能向下，且与x轴的交点都在x＝2的左侧，
即解得－5＜m＜0.
又∵?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0，
而此时有g(x)＝2x－4＜0，
∴?x∈(－∞，－4)，使f(x)＝m(x－3m)(x＋m＋3)＞0成立，
由于m＜0，∴?x∈(－∞，－4)，使(x－3m)(x＋m＋3)＜0成立，
故只要使－4比3m，－m－3中较小的一个大即可，
当m∈时，3m＞－m－3，只要－4＞－m－3，解得m＞1与m∈的交集为空集；
当m＝－时，两根为－；－＞－4，不符合；
当m∈时，3m＜－m－3，∴只要－4＞3m，解得m＜－.
综上可得m的取值范围为.
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1.命题“?x∈R,3x≤0”的否定是____________.
考点 存在性命题的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 ?x∈R,3x>0
2.给出命题：“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 3
解析 原命题及逆命题都为真命题，故否命题、逆否命题也为真命题.
3.已知命题p：?x>0，x＋≥4，命题q：?x∈(0，＋∞)，2x＝，则下列判断正确的是________.(填序号)
①p是假命题；
②q是真命题；
③p∧(綈q)是真命题；
④(綈p)∧q是真命题.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 ③
解析 由基本不等式，知p为真命题；由2x＝，知x＝－1，故q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题.
4.设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 ∵(a－b)a2<0，∴a5.已知p和q两个命题，如果p是q的充分不必要条件，那么“綈p”是“綈q”的______________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 必要不充分
解析 “p?q，q?p”?“綈q?綈p，綈p?綈q”.
6.下列有关命题中，正确命题的序号是________.
①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；
②命题“?x∈R，x2＋x－1<0”的否定是“?x∈R，x2＋x－1>0”；
③命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是假命题；
④若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ④
解析 ①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故①错误；
②命题“?x∈R，x2＋x－1<0”的否定是“?x∈R，x2＋x－1≥0”，故②错误；
③命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是“若sin x≠sin y，则x≠y”，是真命题，故③错误；
④若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题，正确.
7.“φ＝”是“函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称”的________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 因为函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称，所以φ＝kπ＋，k∈Z，故“φ＝”是“函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称”的充分不必要条件.
8.设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的__________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 ∵a－b>1，∴a>b＋1.
又a，b为正数，
∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立，反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立，所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件.
9.由命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.
考点 存在量词与存在性命题
题点 存在性命题求参数的范围
答案 1
解析 由题意得命题“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.
10.已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为________.
考点 充分条件概念及判断
题点 由充分条件求参数的范围
答案 [6，＋∞)
解析 由≤0，可得0＜x≤1，即1＜2x≤2，由题意知，22＋2－m≤0，即m≥6.
11.已知命题p：“?x∈R，?m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为________.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 由全称命题和存在性命题真假求参数范围
答案 (－∞，1]
解析 若綈p是假命题，则p是真命题，
即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，
由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1.
12.设有两个命题：p：不等式x＋4>m>2x－x2对一切实数x恒成立；q：f(x)＝－(7－2m)x是R上的减函数，如果“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围为________.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p∧q命题的真假求参数(或其范围)
答案 (1,3)
解析 p为真命题，则有1＜m≤4；q为真命题，则有7－2m＞1，即m＜3，∴1＜m＜3.
13.记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________.
考点 充分条件的概念及判断
题点 由充分条件求参数的范围
答案 (－∞，－3]
解析 由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3a}.而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A?B，故a≤－3.
14.给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；
④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件.
其中真命题的序号是________.
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
答案 ①④
解析 对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0，因此③不正确；对于④，由题意得＝＝，若B＝60°，则sin A＝，注意到b>a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sin B＝，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确.综上所述，真命题的序号是①④.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15.(14分)已知命题p：x<－6或x>1，命题q：5x－6>ax2(a为常数).
(1)写出原命题“若p：x<－6或x>1，则q：5x－6>ax2”的逆否命题；
(2)若p?q，则实数a应满足什么条件？
考点 四种命题、条件的概念及判断
题点 原命题与逆否命题；充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
解 (1)命题“若p则q”的逆否命题为“若綈q：5x－6≤ax2，则綈p：－6≤x≤1”.
(2)∵p?q，∴x<－6或x>1?5x－6>ax2，即不等式ax2－5x＋6<0的解集为{x|x＜－6或x>1}，故方程ax2－5x＋6＝0有两根分别为－6,1，即
解得a＝－1，故实数a应满足a＝－1.
16.(14分)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围.
考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题
题点 由全称命题和存在性命题真假求参数范围
解 (1)A＝{x|－2≤x≤5}，
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B≠?.
∵命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，
∴B?A，B≠?，
∴解得2≤m≤3.
∴m的取值范围为[2,3].
(2)若q为真，则A∩B≠?，∵B≠?，
∴m≥2，∴
∴2≤m≤4，
∴m的取值范围为[2,4].
17.(14分)已知函数f(x)＝x|x＋m|＋n，其中m，n∈R.求证：m2＋n2＝0是f(x)是奇函数的充要条件.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 (1)充分性：若m2＋n2＝0，则m＝n＝0，
∴f(x)＝x|x|，
又有f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
必要性：若f(x)为奇函数，∵x∈R，
∴f(0)＝0，即n＝0，∴f(x)＝x|x＋m|.
由f(1)＝－f(－1)，有|m＋1|＝|m－1|，∴m＝0.
∴f(x)为奇函数，则m＝n＝0，即m2＋n2＝0.
∴m2＋n2＝0是f(x)为奇函数的充要条件.
18.(16分)设命题p：对任意的x∈R，x2－2x>a，命题q：存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0.如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围.
考点 “p∨q”“p∧q”形式命题的真假判断
题点 由“p∨q”“p∧q”形式命题的真假求参数范围
解 命题p：对任意的x∈R，x2－2x>a，
∴x2－2x的最小值大于a.
∵x2－2x的最小值为－1，
∴－1>a，即a<－1，∴p：a<－1；
命题q：存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.
∴q：a≤－2或a≥1.
∵命题p∨q为真，命题p∧q为假，
∴命题p，q中一真一假.
若p真q假，则
解得－2若p假q真，则解得a≥1.
∴实数a的取值范围为(－2，－1)∪[1，＋∞).
19.(16分)已知p：x2－8x－20≤0；q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，求m的取值范围；
(2)若綈p是綈q的必要不充分条件，求m的取值范围.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
即p：－2≤x≤10，
q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，则
即即m2≤3，
解得－≤m≤，
即m的取值范围是[－，].
(2)∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件.
即(两个等号不同时成立)，
即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.
即m的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞).
20.(16分)已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}.
(1)求M∩P＝{x|5(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 (1)由M∩P＝{x|5因此M∩P＝{x|5(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5 