1 解逻辑用语问题的三绝招
1．化为集合——理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵做了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：
①A是B的充分条件，即A?B.(如图1)
②A是B的必要条件，即B?A.(如图2)
③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)
图1 图2 图3
④A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝?或A，B既有公共元素也有非公共元素．
或
例1 “x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)
解析 设命题p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”对应的集合分别为A，B，则A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x≥1}，显然“A?B，B?A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分又不必要条件．
答案 既不充分又不必要
2．抓住量词——对症下药
全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．
例2 (1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．
(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为____________．
解析 (1)将命题p转化为“当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0”，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.综上所述，a≤－1.
(2)将命题p转化为“当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0”，
即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．
综上所述，a≤－1或2≤a≤4.
答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．
3．等价转化——提高速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．
例3 设命题p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围．
分析 “q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”．设p，q对应的集合分别为A，B，则可由A??RB出发解题．
解 设p，q对应的集合分别为A，B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2＋y2＝r2外的点的集合．
∵A??RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，
∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r，
∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离
d＝＝，∴r的取值范围为0
点评 若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．
2 命题的否定与否命题辨与析
否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．
1．否命题与命题的否定的概念
设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定．所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反．
例1 写出下列命题的否命题及否定：
(1)若|x|＋|y|＝0，则x，y全为0；
(2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加．
分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题．
解 (1)原命题的条件为“|x|＋|y|＝0”，结论为“x，y全为0”．
写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|＋|y|≠0，则x，y不全为0”．
写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|＋|y|＝0，则x，y不全为0”．
(2)原命题可以改写为“若x增加，则函数y＝x＋b的值也随之增加”．
否命题为“若x不增加，则函数y＝x＋b的值也不增加”；
命题的否定为“若x增加，则函数y＝x＋b的值不增加”．
2．否命题与命题的否定的真假
从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假．但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真．这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准．
例2 写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：
(1)若x2<4，则－2(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.
分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．
解 (1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”．
命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”．
通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假．
(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”．
命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”．
由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.
3 走出逻辑用语中的误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．
(1)x＋2>0；(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；(4)A?(A∪B)．
错解 (1)(2)(3)(4)都不是命题．
剖析 (1)中含有未知数x，且x不定，所以x＋2的值也不定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；
(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．
(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若A?B，则A∩B＝A?A∪B＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．
(4)A为A∪B的子集，故A?(A∪B)成立，故(4)为真命题．
正解 (2)(4)是命题，且都为真命题．
误区2 原命题为真，其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假：
(1)若a＝0，则ab＝0；
(2)若a2>b2，则a>b.
错解 (1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断．
正解 (1)否命题为：若a≠0，则ab≠0，是假命题；
(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．
误区3 搞不清谁是谁的条件
例3 使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x>3 B．x>4
C．x>2 D．x∈{1,2,3}
错解 由不等式x－3>0成立，
得x>3，显然x>3?x>2，
又x>2? x>3，因此选C.
剖析 若p的一个充分不必要条件是q，则q?p，p?q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4?x－3>0，而x－3>0?x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.
正解 B
误区4 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例4 (1)已知命题p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p或q”．
(2)已知命题p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p且q”．
错解 (1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
剖析 (1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p或q”，“p且q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．
正解 (1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
误区5 不能正确否定结论
例5 p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．
错解 綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
剖析 命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．
正解 綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．
误区6 对含有一个量词的命题否定不完全
例6 已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.
错解一 綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.
错解二 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析 该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．
正解 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区7 忽略了隐含的量词
例7 写出下列命题的否定：
(1)不相交的两条直线是平行直线；
(2)奇函数的图像关于y轴对称．
错解 (1)不相交的两条直线不是平行直线；
(2)奇函数的图像不关于y轴对称．
剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．
正解 (1)存在不相交的两条直线不是平行直线；
(2)存在一个奇函数的图像不关于y轴对称．
4 解“逻辑”问题需强化三意识
1．转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明．
例1 证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
证明 命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，
则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，
则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．
由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.
∵原命题的逆否命题是真命题，
∴原命题也是真命题．
故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
2．简化意识
判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．
例2 已知命题p：函数f(x)＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数f(x)＝－(5－2a)x是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析 函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即g(x)＝x2＋2x＋a的值域包含(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，
Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1；
函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数?5－2a>1?a<2，
即q真?a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题，
知命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；
若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)．
答案 (1,2)
点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．
3．反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．
例3 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．
①A?B?对任意x∈A，都有x?B；
②A?B?A∩B＝?；
③A?B?B?A；
④A?B?存在x∈A，使得x?B.
分析 画出表示A?B的Venn图进行判断．
解析 画出Venn图，如图1所示，则A?B?存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命题，④是真命题．
A?B?B?A不成立的反例如图2所示．同理可得B?A?A?B不成立．故③是假命题．
综上知，真命题的序号是④.
答案 ④
§1 命题
学习目标 1.了解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断．
知识点一 命题的概念及命题的形式
思考 给出下列语句：
①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
②3＋6＝7；
③偶函数的图像关于y轴对称；
④5能被4整除．
请你找出上述语句的共同特点．
答案 上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假．
梳理 (1)定义
可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．
(2)分类
①真命题：判断为真的语句叫作真命题；
②假命题：判断为假的语句叫作假命题．
(3)命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.
由p能推出q，则为真命题．能举一反例即可确定为假命题．
知识点二 四种命题
思考 给出以下四个命题：
(1)若x＝2，则x2－3x＋2＝0；
(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．
梳理 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互逆命题．
如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互否命题．
如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题．
把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
知识点三 四种命题的关系及其真假判断
思考 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？
答案 原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．
梳理 (1)四种命题的相互关系
(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．
(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系．
(4)四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为0或2或4.
1．有些命题的真假性不能确定．( × )
2．有的命题没有逆命题．( × )
3．原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．( √ )
类型一 命题的概念
例1 下列语句：
(1)是无限循环小数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)当x＝4时，2x>0；
(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
(5)一个正整数不是合数就是素数；
(6)作△ABC≌△A′B′C′；
(7)二次函数的图像太美了！
(8)4是集合{1,2,3}中的元素．
其中是命题的是________．(填序号)
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 (1)(3)(5)(8)
解析 本题主要考查命题的判断，判断依据：看能否判断真假．(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题．故答案为(1)(3)(5)(8)．
反思与感悟 一般地，判断一个语句是不是命题，要看这个语句能不能判断真假．
跟踪训练1 判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式．
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
(2)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；
(3)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；
(4)1＋2＋3＋…＋2 014；
(5)这盆花长得太好了！
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
解 (1)(4)(5)未涉及真假，都不是命题．
(2)是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边．”
(3)是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x，y都是有理数”．
类型二 四种命题及其相互关系
命题角度1 四种命题的概念
例2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；
(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；
(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
解 (1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．
逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题．
(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题．
否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题．
逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题．
(4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题．
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题．
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．
反思与感悟 四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
跟踪训练2 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若ab＝0，则a＝0；
(2)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
解 (1)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．
(2)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题．
否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题．
逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．
命题角度2 四种命题的相互关系
例3 若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是( )
A．互为逆命题
B．互为否命题
C．互为逆否命题
D．同一命题
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 B
解析 已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．
命题p的否命题q：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，
命题q的逆命题r：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，
∴r是p的逆否命题，
∴r是p的逆命题的否命题，故选B.
反思与感悟 1.判断四种命题之间四种关系的两种方法
(1)利用四种命题的定义判断．
(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．
2．要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．
跟踪训练3 有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
②一个实数不是正数就是负数；
③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“同位角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是________．
考点 四种命题的真假判断
题点 四种命题的概念及真假判断的综合应用
答案 1
解析 ①“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”，是真命题．
②实数0既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题．
③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，
解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，
而x＝4>－3不是不等式的解，
故是假命题．
④“相等的角是同位角”，是假命题．
类型三 等价命题的应用
例4 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
解 方法一 原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?，判断如下：
二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，
则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，
即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?.故此命题为真命题．
方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．
因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥>1，
所以原命题为真，故其逆否命题为真．
引申探究
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<”的逆否命题的真假．
解 先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，
所以a<.
所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题．
反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．
跟踪训练4 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
证明 “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1
＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.
1．命题“若x>1，则x>－1”的否命题是( )
A．若x>1，则x≤－1
B．若x≤1，则x>－1
C．若x≤1，则x≤－1
D．若x<1，则x<－1
考点 四种命题概念的理解
题点 四种命题概念的理解
答案 C
解析 原命题的否命题是对条件“x>1”和结论“x>－1”同时否定，
即“若x≤1，则x≤－1”，故选C.
2．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A．两个平面
B．一条直线
C．垂直
D．两个平面垂直于同一条直线
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
答案 D
解析 只要分清命题中的条件和结论即可．
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 否命题是既否定条件又否定结论．
因此否命题应为“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．
4．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 B．2
C．3 D．4
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命题，
则其逆否命题是假命题．
该命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”是真命题，则其否命题是真命题．故选B.
5．给出以下命题：
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．
其中为真命题的是________．(填序号)
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ①③
解析 ①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，真命题．
②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题．
③∵Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真．
1．可以判断真假、用文字或符号表述的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变．
3．写四种命题时，可以按下列步骤进行
(1)找出命题的条件p和结论q.
(2)写出条件p的否定和结论q的否定．
(3)按照四种命题的结构写出所有命题．
4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
答案 D
解析 对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句不是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.
2．给出下列三个命题：( )
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③“若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.
3．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．真命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0”
B．真命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0”
C．假命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0”
D．假命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0”
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 “若a>0且b>0，则ab>0”是真命题，又“若a>0且b>0，则ab>0”是“若ab≤0，则a≤0或b≤0”的逆否命题，故原命题为真命题．已知命题的否命题是“若ab>0，则a>0且b>0”．
4．下列命题中为真命题的是( )
A．“若x>2 016，则x>0”的逆命题
B．“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题
C．若x2＋x－2＝0，则x＝1
D．“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 A选项，“若x>2 016，则x>0”的逆命题为“若x>0，则x>2 016”是假命题；B选项，“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”是真命题；C选项，由x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，故C是假命题；D选项，“若x2≥1，则x≥1”是假命题，故其逆否命题是假命题．
5．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是( )
A．若a2＋b2<，则a＋b≠1
B．若a＋b＝1，则a2＋b2<
C．若a＋b≠1，则a2＋b2<
D．若a2＋b2≥，则a＋b＝1
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 C
解析 “a＋b＝1”，“a2＋b2≥”的否定分别是“a＋b≠1”，“a2＋b2<”，故否命题为“若a＋b≠1，则a2＋b2<”．
6．有下列三个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a2③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题为( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析 命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：“若a2≥b2，则a≥b”是假命题；命题③：“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．
7．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．
该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.
8．原命题为“△ABC中，若cos A<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．真，假，假
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 若cos A<0，A为钝角，则△ABC为钝角三角形，所以原命题为真，则逆否命题也为真；△ABC为钝角三角形，可能是B或者C为钝角，A可能为锐角，cos A>0.所以逆命题为假，则否命题也为假．故选B.
9．已知命题p：若a<1，则a2<1，则下列说法正确的是( )
A．命题p是真命题
B．命题p的逆命题是真命题
C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”
D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 若a＝－2，则(－2)2>1，∴命题p为假命题，
∴A不正确；
命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，
∴B正确；
命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，∴C不正确；
命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，∴D不正确．
故选B.
二、填空题
10．已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2
解析 由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．
11．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________．
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 1
解析 原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故答案为1.
12．给定下列命题：
①若k>0，则方程x2－2x－k＝0有实数根；
②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题．
其中真命题的序号是________．
考点 四种命题的真假判断
题点 四种命题的概念及真假判断的综合应用
答案 ①②④
解析 ①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，
∴①是真命题．
②其逆否命题为真，故②是真命题．
③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．
④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题．
三、解答题
13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
解 方法一 因为原命题与逆否命题真假性一致，
所以只需判断原命题的真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为b≤－1，所以Δ≥4>0，
故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，
所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
四、探究与拓展
14．命题“若a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，则a＋b≠1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 1
解析 a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0化简得(a＋b－1)(a＋b＋2)≠0，即a＋b≠1且a＋b≠－2.
命题“若a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，则a＋b≠1”的逆命题为“若a＋b≠1，则a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0”，为假命题，a＋b＝－2也可以使a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0；否命题与逆命题同真同假，故其否命题为假命题；逆否命题为“若a＋b＝1，则a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0”，为真命题．
15．设m，n∈R，证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
证明 将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，
则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．
因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2.
所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．
§2 充分条件与必要条件
2．1 充分条件
2．2 必要条件
学习目标 1.了解充分条件、必要条件的意义.2.掌握充分条件、必要条件的判断方法.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
知识点一 充分条件与必要条件的概念
给出下列命题：
(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；
(2)若ab＝0，则a＝0.
思考 你能判断这两个命题的真假吗？
答案 (1)真命题；(2)假命题．
梳理 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
知识点二 充分条件与必要条件的判断
命题真假
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p?q
p?q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
1．命题“若p，则q”是假命题，p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件．( √ )
2．在判定定理中，条件是结论的充分条件．( √ )
3．若p是q的充分条件，则p是唯一的．( × )
4．若q是p的必要条件，则p是q的充分条件．( √ )
类型一 充分条件与必要条件的判断
例1 (1)判断下列说法中，p是q的充分条件的是 ．
(填序号)
①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；
②已知α，β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，
p：a与b无公共点，q：α∥β；
③设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”．
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 ①
解析 对①，p?q；对②，p?q；对③，p?q，故填①.
(2)下列各题中，p是q的必要条件的是 ．(填序号)
①p：x2>2 016，q：x2>2 015；
②p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，q：0③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：log2a>log2b>0.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 必要条件的判断
答案 ②③
解析 ①q?p；②p：0≤a<1，故q?p；
③log2a>log2b>0?a>b>1，
∴q?p，故填②③.
引申探究
本例(1)中p是q的必要条件的是 ．
答案 ①②
解析 ①x2－2x＋1＝0?x＝1，即q?p；
②?a与b无公共点，即q?p；
③q?p．故填①②.
反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1 对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 必要条件的判断
答案 B
解析 ∵?a>b，
?a∴ac>bc?a>b，而由a>b?ac>bc，
∴“ac>bc”既不是“a>b”的充分条件，也不是“a>b”的必要条件，
故A，C错误．
又?a＝b，
?a＝b，
∴由ac＝bc?a＝b，
而由a＝b?ac＝bc，
∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故选B.
类型二 充分条件与必要条件的应用
例2 已知p：x2－x－6≤0，q：x2－4x＋4－9m2≤0，若q是p的充分条件，求正实数m的取值范围．
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 解不等式得p：－2≤x≤3，
当m>0时，q：2－3m≤x≤2＋3m，
由q是p的充分条件可得q?p，
从而?0所以正实数m的取值范围为.
引申探究
若将本例条件变为q是p的必要条件，求正实数m的取值范围．
解 由p：－2≤x≤3，q：2－3m≤x≤2＋3m(m>0)，
∵q是p的必要条件，∴p?q，
从而
解得m≥.
∴正实数m的取值范围为.
反思与感悟 1.设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p?q可得A?B；q?p可得B?A；p?q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A?B.
2．利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．
跟踪训练2 已知p：关于x的不等式考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 记A＝，B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0(1)若A＝?，即≥，解得m≤0，此时A?B，符合题意；
(2)若A≠?，即<，解得m>0，
要使A?B，应有解得0综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3).
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分条件、必要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 ∵x>0?x≠0，而x≠0?x>0，
∴x>0是x≠0的充分不必要条件．
2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分又不必要条件
D．无法判断
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 A
解析 ∵a＝2?(a－1)(a－2)＝0，
∴a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件．
3．设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )
A．x>1 B．x<1 C．x>3 D．x<3
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 必要条件的判断
答案 A
解析 ∵x>2?x>1，∴x>1是x>2的必要条件．
4．“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根都大于3”是“，”的 条件．(填“充分”“必要”)
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 充分
解析 若方程的两根都大于3，即x1>3，x2>3，
可得成立，故“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根都大于3”是“”的充分条件．
5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 a>2
解析 根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)? {x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.
1．充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p?q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A?B，则p是q的充分条件；若A?B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的既充分又必要条件．
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
一、选择题
1．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分条件、必要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 B
解析 当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．
2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分条件、必要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 B
解析 由a＋b>2?a>1且b>1，所以“a＋b>2”不是“a>1且b>1”的充分条件．
又“a>1且b>1”一定能推出“a＋b>2”，故“a＋b>2”是“a>1且b>1”的必要不充分条件．
3．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 必要条件的判断
答案 B
解析 原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q?p，所以p是q的必要条件．
4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．以上都不对 D．不确定
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 A
解析 当φ＝0时，f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x(x∈R)是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数不一定得出φ＝0，故A正确．
5．a<0，b<0的一个必要条件为( )
A.>1 B.<－1
C．a＋b<0 D．a－b>0
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 必要条件的判断
答案 C
解析 a＋b<0?a<0，b<0，
而a<0，b<0?a＋b<0.
6．下列命题中q是p的必要条件的是( )
A．p：A∩B＝A，q：A?B
B．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1
C．p：|x|<1，q：x<0
D．p：x2>2，q：x>
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 必要条件的判断
答案 A
解析 由A∩B＝A能得出A?B，其余选项都不符合要求．
7．“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是( )
A．0 B．2
C．4 D．16
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的值
答案 B
解析 由x＝2能得出x2＝4，所以选项B正确．
8．集合A＝，B＝{x|－aA．[－2,0) B．(0,2]
C．(－2,2) D．[－2,2]
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 C
解析 A＝{x|(x＋1)(x－1)<0}＝{x|－1B＝{x|b－a因为a＝1，所以B＝{x|b－1若A∩B＝?，则b＋1≤－1或b－1≥1，
即b≤－2或b≥2，
所以A∩B≠?时，－2二、填空题
9．已知p：(x－m)2＞3(x－m)是q：x2＋3x－4＜0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)
解析 p对应的集合A＝{x|x＜m或x＞m＋3}，
q对应的集合B＝{x|－4＜x＜1}，
由p是q的必要不充分条件可知，B?A，
∴m≥1或m＋3≤－4，
即m≥1或m≤－7.
10．设A，B是非空集合，则“A∩B＝A”是“A＝B”的 条件．(填“充分”“必要”)
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 必要条件的判断
答案 必要
解析 由A＝B?A∩B＝A，A∩B＝A?A＝B，
可知“A∩B＝A”是“A＝B”的必要条件．
11．下列说法正确的是 ．(填序号)
①“x>0”是“x>1”的必要条件；
②已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件；
③“a3>b3”是“a>b”的必要条件；
④在△ABC中，“a>b”不是“A>B”的充分条件．
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 必要条件的判断
答案 ①③
解析 ①中，当x>1时，有x>0，所以①正确；
②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；
③中，a>b能推出a3>b3，即a3>b3是a>b的必要条件，所以③正确；
④中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以④不正确．
12．已知p：－4考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 [－1,6]
解析 化简p：a－4故有解得－1≤a≤6.
三、解答题
13．已知p：x2－2x－3<0，若－ab恒成立的实数b的取值范围．
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 由于p：x2－2x－3<0?－1－a0)．
依题意，得
{x|－10)，
所以解得a≥2，
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2，
即(－∞，2)．
四、探究与拓展
14．若“a≥b?c>d”和“a考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 充分
解析 因为“a≥b?c>d”为真，
所以它的逆否命题“c≤d?a又“a所以“c≤d?a故“c≤d”是“e≤f”的充分条件．
15．已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.
(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；
(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数范围
解 (1)因为命题p为真，则－2t2＋7t－5>0，
解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为命题p是q的充分条件，
所以是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0的解集的子集，
因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0的两根为1和a＋2，
所以只需a＋2≥，解得a≥，
即实数a的取值范围为.
2．3 充要条件
学习目标 1.了解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断．
知识点一 充要条件的概念
思考 若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
答案 因为p?q且q?p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．
梳理 一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
知识点二 充要条件的判断
1．由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件
若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，那么p与q有以下四种情形：
原命题
逆命题
条件p与结论q的关系
结论
真
假
p?q，但q? p
p是q成立的充分不必要条件
假
真
q?p，但p?q
p是q成立的必要不充分条件
真
真
p?q，q?p，即p?q
p是q成立的充要条件
假
假
p?q，q?p
p是q成立的既不充分又不必要条件
由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p才是q的充要条件．
2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
1．“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要不充分条件．( × )
2．若命题“若p，则q”及其否命题都是真命题，则p?q.( √ )
3．若命题“若p，则q”及其逆命题都是假命题，则p?q，q?p．( √ )
4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( √ )
类型一 充要条件的判断
例1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)
(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：sin α>sin β，q：α>β.
考点 充要条件的判断
题点 识别四种条件
解 (1)∵四边形的对角线互相平分?四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵a2＋b2＝0?a＝b＝0?a＋b＝0，
a＋b＝0?a2＋b2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵当x＝1或x＝2时，可得x－1＝成立，反过来，当x－1＝时，可以推出x＝1或x＝2，
∴p是q的充要条件．
(4)由sin α>sin β不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sin α>sin β，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．则p是q的既不充分又不必要条件．
反思与感悟 充要条件的常用判断方法
(1)命题判断法
设“若p，则q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；
③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；
④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分又不必要条件．
(2)集合法
若p与q确定的集合分别是A，B，则当且仅当A＝B时，p是q的充要条件．
跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝；
(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；
(3)p：a>b，q：2a>2b；
(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．
解 (1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±，则p?q；若b＝，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即q?p，故p是q的既不充分又不必要条件．
(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p?q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)当a>b时，有2a>2b，即p?q，当2a>2b时，
可得a>b，即q?p，故p是q的充要条件．
(4)方法一 若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p?q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q?p，故p是q的既不充分又不必要条件．
方法二 如图所示，p，q对应集合间无包含条件，故p是q的既不充分又不必要条件．
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 探求充要条件
例2 求关于x的不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
解 充分性：当0判别式Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，
则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0化为1>0.
显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
必要性：因为ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，
所以a＝0或
解得0≤a<.
故0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．
跟踪训练2 “函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是 ．
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
答案 a<－1
解析 函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．
故“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a<－1.
命题角度2 充要条件的证明
例3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两个不等实根，
设两实根为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，且Δ＝b2－4ac>0，即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
反思与感悟 一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即p?q.
跟踪训练3 求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 ①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，
即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，
所以b＝0.
综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
类型三 充分条件与必要条件的应用
例4 已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 由3x＋m<0得，x<－.∴p：A＝.
由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p?q而q?p，∴A是B的真子集，∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．
反思与感悟 首先应把p与q之间的关系转化为p，q确定的集合之间的包含关系，然后构建满足条件的不等式(组)求解．同时要注意命题的等价性的应用．
跟踪训练4 已知p：x≥k，q：<1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
答案 B
解析 q：x<－1或x>2，由题意知，{x|x≥k}?{x|x<－1或x>2}，则k>2，
∴k的取值范围是(2，＋∞).
1．“－21或x<－1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 识别四种条件
答案 C
解析 ∵－21或x<－1，且x>1或x<－1?－21或x<－1”的既不充分又不必要条件．
2．“a>b”是“a>|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 识别四种条件
答案 B
解析 由a>|b|?a>b，而a>b?a>|b|.
3．已知向量a＝(m2,4)，b＝(1,1)，则“m＝－2”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 识别四种条件
答案 A
解析 当m＝－2时，a＝(4,4)，b＝(1,1)，∴a∥b，
当a∥b时，m2＝4，即m＝±2，故选A.
4．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是 ．
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
答案 m＝－4或m＝0
解析 圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离为，
即＝，
解得m＝－4或m＝0.
5．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝ .
答案 3或4
解析 由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，
又n∈N＋，则n＝1,2,3,4.
当n＝1,2时，方程没有整数根；
当n＝3时，方程有整数根1,3，
当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明要分充分性和必要性两方面来证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
一、选择题
1．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 识别四种条件
答案 A
解析 当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数．
2．设p：x<3，q：－1A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 识别四种条件
答案 C
解析 ∵x<3?－1∴p是q的必要不充分条件，故选C.
3．设数列{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“数列{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 D
解析 当数列{an}的首项a1<0时，若q>1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1<0时，要使数列{an}为递增数列，则01”是“数列{an}为递增数列”的既不充分又不必要条件．故选D.
4．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 识别四种条件
答案 D
解析 a>b?a2>b2，
a2>b2?a>b，
∴a>b是a2>b2的既不充分又不必要条件．
5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
答案 A
解析 ∵f(x)＝x2＋mx＋1＝2＋1－，
∴f(x)的图像的对称轴为x＝－，由题意得－＝1，
∴m＝－2.
6．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 识别四种条件
答案 A
解析 p?r?s?q，故q?p，否则r?p，故选A.
7．“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m> B．0C．m>0 D．m>1
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数
答案 C
解析 不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
则1－4m<0，∴m>，
结合各选项，可知“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0.
8．在下列三个结论中，正确的有( )
①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；
②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 识别四种条件
答案 C
解析 ①中，x2>4?x>2或x<－2，
x3<－8?x<－2，
由x<－2?x>2或x<－2，
x>2或x<－2?x<－2，
∴x2>4是x3<－8的必要不充分条件；
②中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件；③正确．故①③正确．
9．设条件p：|x－2|<3，条件q：0A．(0,5] B．(0,5)
C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
答案 A
解析 由|x－2|<3，得－3即－1因为q：0所以要使p是q的必要不充分条件，则0二、填空题
10．关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是 ．
答案 a＜0
解析 由题意知|2x－3|＞a恒成立，
∵|2x－3|≥0，∴a＜0.
11．给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cos α③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．
其中正确命题的序号为 ．
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 识别四种条件
答案 ③
解析 ①∵函数y＝3x是R上的增函数，∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错误；②∵2π>，则cos 2π>cos ，∴α>β?cos α∵cos πβ，
∴“α>β”是“cos α12．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是 ．
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
答案 m＝0
解析 当m＝0时，原方程即为x＝2，满足条件；
当m≠0时，有＝2，解得m＝1或m＝－，
又Δ＝(m＋1)2－8m2，
当m＝1及m＝－时，均使Δ<0，
故充要条件是m＝0.
三、解答题
13．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数
解 由M∩P＝{x|5(1)M∩P＝{x|5(2)M∩P＝{x|5(3)若a＝－5，显然M∩P＝[－5，－3)∪(5,8]是M∩P＝{x|5故a<－3为必要不充分条件．
四、探究与拓展
14．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是( )
A．[6，＋∞) B．(－∞，2＋ ]
C．[2，＋∞) D．(2＋，＋∞)
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 A
解析 由≤0，得0由4x＋2x－m≤0，得4x＋2x≤m.
因为4x＋2x＝(2x)2＋2x＝2－，
要使p是q的充分条件，
则当0又当x＝1时，4x＋2x有最大值6，所以m≥6.故选A.
15．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
解 ①当a＝0时，x＝－，符合题意．
②当a≠0时，显然方程没有零根．
若方程有两个异号实根，则a<0.
若方程有两个负的实根，
则必须满足解得0综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤1.
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
所以关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
§3 全称量词与存在量词
3．1 全称量词与全称命题
3．2 存在量词与特称命题
学习目标 1.了解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判断全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．
知识点一 全称量词与全称命题
思考 观察下列命题：
(1)所有偶函数的图像都关于y轴对称；
(2)每一个四边形都有外接圆；
(3)任意实数x，x2≥0.
以上三个命题有什么共同特征？
答案 都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”．
梳理
全称量词
“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”
全称命题p
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为任意x∈M，p(x)
判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“任意x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“存在x∈M，p(x)不成立”．
知识点二 存在量词与特称命题
思考 观察下列命题：
(1)有些矩形是正方形；
(2)存在实数x，使x>5；
(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.
以上三个命题有什么共同特征？
答案 都使用了表示“存在”的量词，如“有些”、“存在”、“至少有一个”．
梳理
存在量词
“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为存在x∈M，p(x)
判断特称命题真假性的方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x，使p(x)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．
1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( × )
2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( √ )
3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．( × )
类型一 全称命题与特称命题的辨析
例1 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)矩形的对角线不相等；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
考点 全称命题与特称命题的识别
题点 全称命题与特称命题的识别
解 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
反思与感悟 判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
跟踪训练1 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．
(1)对任意x∈R，x2>0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)正四面体的各面都是正三角形；
(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
考点 全称命题与特称命题的识别
题点 全称命题与特称命题的识别
解 (1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；
(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．
类型二 全称命题与特称命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假．
(1)存在α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β；
(2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(4)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
考点 全称命题与特称命题的真假判断
题点 全称命题与特称命题的真假判断
解 (1)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．
(2)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．
(3)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
(4)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．
反思与感悟 1.判断全称命题真假的方法
(1)要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题p(x)为真．
(2)要判断一个全称命题为假，即否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．
2．判断特称命题真假的方法
(1)要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题q(x)为真．
(2)要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题q(x)为假．
所以说，全称命题与特称命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系．
跟踪训练2 判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．
(1)每一个平行四边形的对角线都互相平分；
(2)存在一个x∈R，使＝0；
(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；
(4)至少有一个集合A，满足A?{1,2,3}．
考点 全称命题与特称命题的真假判断
题点 全称命题与特称命题的真假判断
解 (1)是全称命题．由平行四边形的性质可知此命题是真命题．
(2)是特称命题．不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是特称命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．
(4)是特称命题．存在A＝{3}，使A?{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．
类型三 全称命题、特称命题的应用
例3 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．
考点 全称命题与特称命题的应用
题点 存在性问题与恒成立问题求参数的范围
解 (1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
解得a≥，∴实数a的取值范围为.
(2)∵对任意x∈R，p(x)是真命题．
∴对任意x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，
则∴a>1.
即a的取值范围是(1，＋∞)．
反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．
跟踪训练3 (1)对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围；
(2)存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围．
考点 全称命题与特称命题的应用
题点 存在性问题与恒成立问题求参数的范围
解 (1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin≥－，
又∵任意x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin∈，
又存在x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，).
1．下列命题中特称命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1.
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 识别特称命题
题点 识别特称命题
答案 B
解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题．
2．给出下列命题：
①存在实数x>1，使x2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中特称命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 全称命题与特称命题的真假判断
题点 全称命题与特称命题的真假判断
答案 C
解析 由存在量词及特称命题的定义知①③④为特称命题．
3．下列含有量词的命题为真命题的是( )
A．所有四边形都有外接圆
B．有的等比数列的项为零
C．存在实数没有偶次方根
D．任何实数的平方都大于零
考点 全称命题与特称
题点 命题的真假判断
答案 C
解析 C选项中存在负数没有偶次方根正确．
4．对任意的x∈，tan x≤m是真命题，则实数m的最小值为________．
考点 全称量词与全称命题的真假判断
题点 恒成立问题求参数的范围
答案 1
解析 对任意的x∈，(tan x)max＝1，
∴m≥1，则m的最小值为1.
5．将下列命题改写为含有量词的命题，使其为真命题．
(1)相等的角是对顶角；
(2)sin x＋cos x<3.
考点 全称命题与特称命题
题点 全称量词与存在量词的应用
解 (1)存在相等的两个角是对顶角．
(2)对任意x∈R，sin x＋cos x<3.
1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．
2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．
3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．
一、选择题
1．下列命题中，是正确的全称命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．存在x，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 识别全称命题
答案 D
解析 y＝logax(a>0且a≠1)，当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增加的，当02．下列命题为真命题的是( )
A．对任意x∈R，都有cos x<2成立
B．存在x∈Z，使log2(3x－1)<0成立
C．对任意x>0，都有3x>3成立
D．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解
考点 全称命题与特称命题的真假判断
题点 全称命题与特称命题的真假判断
答案 A
解析 A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；
B中，log2(3x－1)<0?0<3x－1<1?C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；
D中，x－2＝0?x＝?Q，所以D是假命题，故选A.
3．下列特称命题是假命题的是( )
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的素数是偶数
D．有的有理数没有倒数
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题的真假判断
答案 B
解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立．
4．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题 B．①②是全称命题
C．②③是特称命题 D．四个命题中有两个假命题
考点 全称命题与特称命题的真假判断
题点 全称命题与特称命题的真假判断
答案 C
解析 ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．
5．下列命题中的假命题是( )
A．有些不相似的三角形面积相等
B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0
C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大
D．有一个实数的倒数是它本身
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题的真假判断
答案 B
解析 以上4个均为特称命题，A，C，D均可找到符合条件的特例；对B，任意x∈R，都有x2＋x＋1＝2＋>0.故B为假命题．
6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan α
B．存在实数x，使得sin x＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题的真假判断
答案 A
解析 ∵α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan 45°，
∴A为真命题，且为特称命题，故选A.
B中对任意x∈R，有sin x≤1<；C，D都是全称命题．
7．下列全称命题中真命题的个数为( )
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题的真假判断
答案 C
解析 ①②③为真命题．
8．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是( )
A．a<1 B．a≤1
C．－1考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
答案 A
解析 当a≤0时，显然存在x∈R，
使ax2＋2x＋a<0；
当a>0时，由Δ＝4－4a2>0，
解得－1综上所述，实数a的取值范围是a<1.
9．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意x恒成立，则( )
A．－1C．－考点 全称量词及全称命题的应用
题点 求参数的范围
答案 C
解析 应用新定义运算可得(x－a)?(x＋a)＝(x－a)·[1－(x＋a)]
＝－x2＋x－a＋a2<1恒成立，
即x2－x＋a－a2＋1>0恒成立，
a2－a而x2－x＋1＝2＋≥，
∴a2－a<，即－二、填空题
10．若对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 恒成立求参数的范围
答案 (－∞，3]
解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
11．命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
考点 全称命题与特称命题的真假判断
题点 全称命题与特称命题的真假判断
答案 0
解析 对于方程x2－3x＋2＝0，Δ＝(－3)2－4×2>0，
∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，
∴①为假命题．
当且仅当x＝±时，x2＝2，
∴不存在x∈Q，使得x2＝2，
∴②为假命题．
对任意x∈R，x2＋1≠0，
∴③为假命题．
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
12．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“存在x>0，f(x)<0”为真，则m的取值范围是______________．
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
答案 (－∞，－2)
解析 由条件知∴m<－2.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若至少存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
考点 全称命题与特称命题
题点 存在性问题与恒成立问题求参数的范围
解 方法一 (1)不等式m＋f(x)>0可化为
m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0，可化为m>f(x)，
若至少存在一个实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，
所以m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
方法二 (1)要使不等式m＋f(x)>0对任意x∈R恒成立，
即x2－2x＋5＋m>0对任意x∈R恒成立．
所以Δ＝(－2)2－4(5＋m)<0，解得m>－4，
所以当m>－4时，m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．
(2)若至少存在一个实数x，使m－f(x)>0成立，
即x2－2x＋5－m<0成立．
只需Δ＝(－2)2－4(5－m)>0即可，
解得m>4.
所以实数m的取值范围是(4，＋∞)．
四、探究与拓展
14．若命题“存在a∈[1,3]，使ax2＋(a－2)x－2>0”是真命题，则实数x的取值范围是________．
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
答案 (－∞，－1)∪
解析 令f(a)＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，是关于a的一次函数，
由题意，得(x2＋x)－2x－2>0或(x2＋x)·3－2x－2>0，
即x2－x－2>0或3x2＋x－2>0，
解得x<－1或x>.
15．若存在x∈R，使cos 2x＋2sin x＋a＝0，求实数a的取值范围．
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
解 依题意，若存在x∈R，使cos 2x＋2sin x＋a＝0，
则有a＝－cos 2x－2sin x＝2sin2x－2sin x－1
＝22－，
令t＝sin x，则a＝22－，－1≤t≤1.
由于函数a(t)在－1≤t≤上是减少的，在所以当t＝时，取最小值a＝－；当t＝－1时，
取最大值a＝3.
所以－≤a≤3.
故当－≤a≤3时满足条件，
所以a的取值范围是.
3.3 全称命题与特称命题的否定
学习目标 1.了解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.
3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
知识点一 全称命题的否定
思考 对下列全称命题如何否定？
(1)所有奇函数的图像都过原点；
(2)对任意实数x，都有x2－2x＋1>0.
答案 (1)有的奇函数的图像不过原点；
(2)存在实数x，使x2－2x＋1≤0.
梳理 要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．
一般地，全称命题“所有的x∈A，使p(x)成立”的否定为特称命题“存在x∈A，使p(x)不成立”．
知识点二 特称命题的否定
思考 对下列特称命题如何否定？
(1)有些四棱柱是长方体；
(2)存在一些周期函数是奇函数．
答案 (1)所有的四棱柱都不是长方体；
(2)所有的周期函数都不是奇函数．
梳理 要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．
一般地，特称命题“存在x∈A，使p(x)成立”的否定为全称命题“所有的x∈A，使p(x)不成立”．
1．若命题p是含一个量词的命题，则p与其否定真假性相反．( √ )
2．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( × )
3．从全称命题的否定看，既要把全称量词转换为存在量词，又要把p(x)否定．( √ )
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任意n∈Z，则n∈Q；
(2)等圆的面积相等，周长相等；
(3)偶数的平方是正数．
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
解 (1)存在n∈Z，使n?Q，这是假命题．
(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．
(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题．
反思与感悟 1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
2．有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
解 (1)存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(3)存在x∈Z，x2的个位数字等于3.
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定：
(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个素数含三个正因数．
考点 特称命题的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1)任意x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)所有的三角形都不是等边三角形．
(3)每一个素数都不含三个正因数．
反思与感悟 与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x，y∈Z，使得x＋y＝3.
考点 特称命题的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．
由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．
由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定：“任意x，y∈Z，x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
因此命题的否定是假命题．
类型三 含有一个量词的命题的否定的应用
例3 已知命题p(x)：sin x＋cos x>m，q(x)：x2＋mx＋1>0.如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题，求实数m的取值范围．
考点 全称命题与特称命题的否定
题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围
解 ∵sin x＋cos x＝sin(x＋)>m，
若p(x)为真命题，则m<－.
∵p(x)为假命题，∴m≥－，①
由q(x)为真命题，得Δ＝m2－4<0，即－2由①②可得－≤m<2.
引申探究 若例3中“如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于任意x∈R，p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解 由例3知p(x)为真命题时，m<－，
q(x)为真命题时，－2由题意知p(x)与q(x)两命题有一真一假，
当p(x)为真，q(x)为假时，
得m≤－2.
当p(x)为假，q(x)为真时，
得－≤m<2.
所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[－，2)．
反思与感悟 若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
解 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在区间[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，
即
即
∴p≥或p≤－3.
故p的取值范围是－31．命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．任意x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x<0
D．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 C
解析 全称命题的否定是特称命题．
2．下列命题的否定为假命题的是( )
A．存在x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．任意x∈R，lg x＜1
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．任意x∈R，sin2x＋cos2x＝1
考点 特称命题的否定
题点 含有一个量词的命题真假判断
答案 D
解析 对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以存在x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；
对于选项B，因为当x＞10时，lg x＞1，所以任意x∈R，lg x＜1是假命题，故其否定为真命题；
对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；
对于选项D，显然成立，因此其否定是假命题．
3．若“存在x∈，sin xcos x>m”为假命题，则实数m的取值范围是________．
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
答案
解析 由题意知，对任意的x∈，
sin xcos x≤m为真命题；
又∵sin xcos x＝sin 2x∈，
∴m≥.
4．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)有些三角形的三条边相等；
(3)余弦值为负数的角是钝角．
考点 含有量词的命题的否定的应用
题点 全称命题与特称命题的否定及真假判断
解 (1)这一命题可表述为对任意的实数m，
方程x2＋mx－1＝0必有实数根．
其否定：存在一个实数m，
使方程x2＋mx－1＝0没有实数根，
因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，
故为假命题．
(2)原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题．
(3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
一、选择题
1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题为“对任意的x∈A,2x∈B”，则该命题的否定是( )
A．对任意x∈A,2x?B
B．对任意x?A,2x?B
C．存在x?A,2x∈B
D．存在x∈A,2x?B
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 D
2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 D
解析 原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定．
3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 C
解析 由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.
4．已知命题p：任意x>0，总有(x＋1)ex>1，则命题p的否定为( )
A．存在x≤0，使得(x＋1)ex≤1
B．存在x>0，使得(x＋1)ex≤1
C．任意x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．任意x≤0，总有(x＋1)ex≤1
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 B
解析 “任意x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“存在x>0，使得(x＋1)ex≤1”．故选B.
5．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则命题p的否定为( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
考点 特称命题的否定
题点 含存在量词命题的否定
答案 C
解析 命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即为对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．
6．已知命题p：存在x∈R，x2＋ax＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．[0,4] B．(0,4)
C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
考点 全称命题与特称命题的否定的应用
题点 由全称命题与特称命题的真假求参数范围
答案 A
解析 ∵p是假命题，
∴任意x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，
∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4.
7．下列命题中是假命题的是( )
A．存在m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减少的
B．任意a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点
C．存在α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β
D．任意φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
考点 全称命题与特称命题的真假判断
题点 全称命题与特称命题的真假判断
答案 D
解析 ∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，
∴m＝2，f(x)＝x－1，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减少的，故A真；
∵y＝ln2x＋ln x的值域为，
∴对任意a>0，方程ln2x＋ln x－a＝0有解，
即f(x)有零点，故B真；
当α＝，β＝2π时，
cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C真；
当φ＝时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos 2x为偶函数，
故D为假命题．
8．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是( )
A．a≥0 B．a<0 C．b≤0 D．b>1
答案 B
解析 函数f(x)＝|2x－1|的图像如图所示．
由图可知f(x)在(－∞，0]上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的，
所以要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1使得f(x1)>f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B.
9．已知二次函数f(x)＝2x2－(a＋6)x－2a2－a，若在区间[0,1]内至少存在一个实数b，使f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
答案 A
解析 考虑原命题的否定，即在区间[0,1]内的所有的实数b，使f(b)≤0，所以有即
解得a≤－或a≥0，故若在区间[0,1]内至少存在一个实数b，使f(b)>0，则实数a的取值范围为.
二、填空题
10．若命题：“存在x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________________．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 由题意可知Δ＝(1－a)2－4>0，解得a<－1或a>3.
11．若任意x∈R，f(x)＝(a2－1)x是减函数，则a的取值范围是______________．
考点 全称量词与全称命题的真假判断
题点 恒成立求参数的范围
答案 (－，－1)∪(1，)
解析 ∵f(x)＝(a2－1)x是减函数，
∴0∴a∈(－，－1)∪(1，)．
12．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
考点 全称命题与特称命题的否定的应用
题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围
答案 [3,8)
解析 因为p(1)是假命题，
所以1＋2－m≤0，解得m≥3.
又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，
故实数m的取值范围是[3,8)．
三、解答题
13．已知命题p：存在x∈R，使得x2－2ax＋2a2－5a＋4＝0；命题q：任意x∈[0,1]，都有(a2－4a＋3)x－3＜0.若p和q中具有一个真命题，求实数a的取值范围．
考点 全称命题与特称命题的否定的应用
题点 由全称命题与特称命题的真假求参数范围
解 若命题p为真命题，则有Δ＝4a2－4(2a2－5a＋4)≥0，解得1≤a≤4.
对于命题q，令f(x)＝(a2－4a＋3)x－3，若命题q为真命题，则有f(0)＜0且f(1)＜0，可得0＜a＜4.
由题设知命题p和q中有且只有一个真命题，
所以
或解得0＜a＜1或a＝4，
故所求a的取值范围是0＜a＜1或a＝4.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝2x2＋(4－m)x＋4－m，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( )
A．[－4,4] B．(－4,4)
C．(－∞，4) D．(－∞，－4)
答案 C
解析 显然f(x)>0恒成立，满足条件时(4－m)2－8(4－m)<0，解得－415．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的图像过点(－1,0)，是否存在常数a，b，c，使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立？
解 假设存在常数a，b，c，使题设命题成立．
因为f(x)的图像过点(－1,0)，
所以a－b＋c＝0.
因为x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，
所以当x＝1时，也成立，即1≤a＋b＋c≤1，
故有a＋b＋c＝1.
所以b＝，c＝－a.
所以f(x)＝ax2＋x＋－a.故应x≤ax2＋x＋－a≤对一切x∈R成立，
即恒成立?
即所以a＝，
所以c＝－a＝.
所以存在一组常数：a＝，b＝，c＝，
使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立．
§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
学习目标 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．
知识点一 含有逻辑联结词“且”“或”的命题
思考 观察四个命题：①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除；④12能被3整除或12能被4整除．请分析命题①②与命题③④分别有什么关系？
答案 ③是由①、②用“且”联结而成的；④是由①、②用“或”联结而成的．
梳理 (1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p且q.
(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p或q.
知识点二 含有逻辑联结词“非”的命题
思考 对“整数a是偶数”的否定该如何写呢？
答案 整数a不是偶数．
梳理 一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”．一个命题p与这个命题的否定綈p，必然一个是真命题，一个是假命题．一个命题的否定的否定仍是原命题．
知识点三 含有逻辑联结词“且”“或”“非”的命题的真假
1．含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：
(1)“p且q”形式命题：当命题p，q都是真命题时，p且q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是假命题．
(2)“p或q”形式命题：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p或q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p或q是假命题．
(3)“綈p”形式命题：当p为真命题时，綈p为假命题；当p为假命题时，綈p为真命题．
2．命题真假判断的表格如下：
p
q
p或q
p且q
非p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
即“p且q”一假即假，全真方真；“p或q”一真即真，全假方假；p与“非p”真假相对．
1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．( × )
2．“p或q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．( × )
3．“梯形的对角线相等且平分”是“p或q”形式的命题．( × )
4．命题的否定与否命题是两个不同的概念．( √ )
类型一 利用逻辑联结词构造新命题
例1 分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．
(1)p：6是自然数；q：6是偶数；
(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直；
(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数．
解 (1)p或q：6是自然数或是偶数．
p且q：6是自然数且是偶数．
綈p：6不是自然数．
(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直．
p且q：菱形的对角线相等且互相垂直．
綈p：菱形的对角线不相等．
(3)p或q：3是9的约数或是18的约数．
p且q：3是9的约数且是18的约数．
綈p：3不是9的约数．
反思与感悟 用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．
跟踪训练1 分别写出下列命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题．
(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；
(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；
(3)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．
解 (1)p且q：函数y＝3x2是偶函数且函数y＝3x2是增函数．
p或q：函数y＝3x2是偶函数或函数y＝3x2是增函数．
非p：函数y＝3x2不是偶函数．
(2)p且q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
p或q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
非p：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．
(3)p且q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．
p或q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．
非p：方程x2＋2x＋1＝0没有实数根或有两个不相等的实数根．
类型二 含逻辑联结词的命题的真假判断
例2 指出下列命题中的“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假．
(1)p：3是13的约数，q：3是方程x2－4x＋3＝0的解；
(2)p：x2＋1≥1，q：3>4；
(3)p：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等．
解 (1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真；
(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假；
(3)因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真．
反思与感悟 判断含逻辑联结词的命题真假的步骤
(1)确定命题的形式．
(2)判断构成该命题的两个命题的真假．
(3)根据“p或q”“p且q”“綈p”的真假性与命题p，q的真假性的关系作出判断．
跟踪训练2 若(綈p)或q是假命题，则( )
A．p且q是假命题
B．p或q是假命题
C．p是假命题
D．綈q是假命题
答案 A
解析 由于(綈p)或q是假命题，则綈p与q均是假命题，所以p是真命题，綈q是真命题，所以p且q是假命题，p或q是真命题，故选A.
类型三 逻辑联结词的应用
例3 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若“p或q”为真命题，且“p且q”是假命题，求实数m的取值范围．
考点 “p或q”形式的命题
题点 由命题p或q，p且q的真假求参数范围
解 p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根?解得m>2.
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根?Δ＝16(m－2)2－16<0，得1所以綈p：m≤2，綈q：m≤1或m≥3.
因为“p或q”为真命题，且“p且q”是假命题，
所以p，q一真一假．
①当p为真且q为假时，即p为真且綈q为真，
所以解得m≥3；
②当p为假且q为真时，即綈p为真且q为真，
所以解得1综上所述，实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
引申探究
若本例条件变为(綈p)或(綈q)为假命题，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解 由例3解可知p：m>2，q：1若“(綈p)或(綈q)”为假命题，即p且q为真命题，
所以解得2所以实数m的取值范围是(2,3)．
反思与感悟 解决逻辑联结词的应用问题，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数的取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围．
跟踪训练3 已知命题p：|m＋1|≤2成立，命题q：方程x2－2mx＋1＝0有实数根．若綈p为假命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
考点 “p或q”形式的命题
题点 由命题p或q，p且q的真假求参数范围
解 |m＋1|≤2?－2≤m＋1≤2?－3≤m≤1，
即命题p：－3≤m≤1.
方程x2－2mx＋1＝0有实数根?Δ＝(－2m)2－4≥0
?m≥1或m≤－1，
即q：m≥1或m≤－1.
因为綈p为假命题，p且q为假命题，
所以p为真命题，q为假命题．
綈q为真命题，綈q：－1由?－1即m的取值范围是(－1,1).
1．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则( )
A．p真q假 B．p且q为真
C．p或q为假 D．p假q真
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案 D
解析 命题p假，命题q真．
2．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案 D
解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
④由于A∩B?A，A∩B?A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
3．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：?＝{0}，则下列判断正确的是( )
A．p假q真 B．“p或q”为真
C．“p且q”为真 D．“綈p”为真
答案 B
解析 由(x＋2)(x－3)<0得－2∵1∈(－2,3)，∴p真．
∵?≠{0}，∴q假，∴“p或q”为真．
4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若xA．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 C
解析 根据不等式的性质可知，若x>y，则－x<－y成立，即p为真命题；
当x＝－1，y＝1时，满足x5．已知p：<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是______________．
考点 “p且q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数范围
答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析 p：x<3；q：－1∵p且q为假命题，∴p，q中至少有一个为假，∴x≥3或x≤－1.
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．
2．判断含逻辑联结词的命题真假的步骤
(1)逐一判断命题p，q的真假．
(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”“p或q”的真假．
p且q为真?p和q同时为真，
p或q为真?p和q中至少有一个为真．
3．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集?UP.因此(綈p)且p为假，(綈p)或p为真．
4．注意区别命题的否定与否命题，命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件．
一、选择题
1．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么( )
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真值相同
考点 “非”命题的概念
题点 “非”命题的真假
答案 B
解析 “非p”为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，故选B.
2．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图像关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．q为真
C．p且q为假 D．p或q为真
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案 C
解析 p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
3．设命题p：方程x2＋3x－1＝0的两根符号不同；命题q：方程x2＋3x－1＝0的两根之和为3，判断命题“非p”“非q”“p且q”“p或q”为假命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由于Δ>0，且两根p为真命题，q为假命题，所以非p为假命题，非q为真命题；p且q为假命题，p或q为真命题，故选C.
4．由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是( )
A．p：4＋4＝9，q：7>4
B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}
C．p：15是质数，q：8是12的约数
D．p：2是偶数，q：2不是质数
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案 B
解析 “p或q”“p且q”都为真，则p真q真，故选B.
5．命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
考点 “p且q”形式的命题
题点 已知“p且q”命题的真假求参数
答案 C
解析 点(x，y)满足
解得P(1，－1)或P(－3，－9)，故选C.
6．给定两个命题p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 因为綈p是q的必要不充分条件，所以q?綈p但綈p?q，所以p?綈q但綈q?p，故p是綈q的充分不必要条件．
7．已知p，q是两个命题，若“綈(p或q)”是真命题，则( )
A．p，q都是假命题
B．p，q都是真命题
C．p是假命题且q是真命题
D．p是真命题且q是假命题
考点 “綈p”形式的命题的真假判断
题点 判断“綈p”命题的真假
答案 A
解析 由复合命题真值表得：若“綈(p或q)”是真命题，则p或q为假命题，则命题p，q都是假命题．
8．命题p：若a>0，b>0，则ab＝1是a＋b≥2的必要不充分条件，命题q：函数y＝log2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则( )
A．p或q为假 B．p且q为真
C．p真q假 D．p假q真
考点 “且”“或”形式的命题
题点 判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案 D
解析 由命题p：a>0，b>0，
ab＝1得a＋b≥2＝2，所以p为假命题；
命题q：由>0得x<－2或x>3，
所以q为真命题．
9．已知命题p：“任意的x∈[1,2]，都有x2≥a”，命题q：“存在x∈R，使得x2－2ax＋2－a＝0成立”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－2 B．－2C．a≤－2或a＝1 D．a≥1
考点 “p且q”形式的命题
题点 已知“p且q”命题的真假求参数范围
答案 C
解析 由“p且q”是真命题，可知p，q均为真命题．故由“任意的x∈[1,2]都有x2≥a”，得a≤1.由“存在x∈R，使得x2－2ax＋2－a＝0成立”，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.故实数a的取值范围是a≤－2或a＝1.
二、填空题
10．已知命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}?{1,2,3}，则下列结论：
①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中所有正确结论的序号是________．
答案 ①④⑤⑥
解析 因为p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}?{1,2,3}，
所以p假q真，故①④⑤⑥正确．
11．已知命题p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p且q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
答案 {－1,0,1,2}
解析 因为“p且q”为假，
命题“綈q”为假，所以q为真，p为假．
故即
因此，x的值可以是－1,0,1,2
12．设命题p：a20，命题p且q为假，p或q为真，则实数a的取值范围是________________________．
考点 “p或q”与“p且q”形式的命题
题点 由命题“p或q”“p且q”的真假求参数的范围
答案 ∪
解析 由a2由x2＋4ax＋1>0恒成立知Δ＝16a2－4<0，
∴－∵p且q为假，p或q为真，
∴p与q一真一假，p假q真时，－p真q假时，≤a<1，
∴实数a的取值范围是∪.
三、解答题
13．给定两个命题p对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：a2＋8a－20<0，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．
考点 “p或q”与“p且q”形式的命题
题点 由命题“p或q”“p且q”的真假求参数的范围
解 p：ax2＋ax＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式恒成立，满足题意．
当a≠0时，由题意得
解得0q：a2＋8a－20<0，∴－10∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p，q一真一假．
当p真q假时，
∴2≤a<4.
当p假q真时，
∴－10综上可知，实数a的取值范围是(－10,0)∪[2,4)．
四、探究与拓展
14．已知命题p：|4－x|≤6，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，若非p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,3]
解析 綈p即|4－x|>6，解得x>10或x<－2，
记A＝{x|x>10或x<－2}，
q：x2－2x＋1－a2≥0，解得x≥1＋a或x≤1－a，记B＝{x|x≥1＋a或x≤1－a}，綈p?q，即A是B的真子集，
所以解得015．已知命题p：对于任意x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：存在x∈R，ax2＋ax＋1≤0.若(綈p)且(綈q)为真命题，求实数a的取值范围．
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
解 因为(綈p)且(綈q)为真命题，
所以綈p与綈q都是真命题，从而p与q都是假命题．
所以“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有解”与“ax2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立”都是真命题．
由关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有解，
得a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，
所以a≤1.
由ax2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，
得a＝0或即a＝0或0所以0≤a<4.
由得0≤a≤1，故实数a的取值范围是[0,1]．
滚动训练一(§1～§4)
一、选择题
1．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为( )
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角
D．以上都不对
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．
2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是( )
A．“p或q”为假，“綈q”为假
B．“p或q”为真，“綈q”为假
C．“p且q”为假，“綈p”为假
D．“p且q”为真，“p或q”为假
答案 B
解析 显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故选B.
3．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )
A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福
答案 D
4．已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由5x－6>x2，得2即q：2所以q?p，p?q，所以綈p?綈q，綈q?綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
5．如果不等式|x－a|<1成立的充分不必要条件是A.C．a>或a< D．a≥或a≤
答案 B
解析 |x－a|<1?a－1由题意可得
即a∈.
6．下列命题中为真命题的是( )
A．若x≠0，则x＋≥2
B．命题“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为“若x≠1且x≠－1，则x2≠1”
C．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
D．若命题p：存在x∈R，x2－x＋1<0，则綈p：对于任意x∈R，x2－x＋1>0
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 选项A中，当x为负数时，不等式不成立，错误；选项B中，根据逆否命题的关系知其是正确的；选项C中，由两直线垂直可得1－a2＝0，即a＝±1，则“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件，错误；选项D中，求含有一个量词的命题的否定时，特别注意不等号的方向，错误．
7．已知条件p：x<－3或x>1，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥－1 B．a≤1
C．a≥1 D．a≤－3
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 由充分不必要条件求参数范围
答案 C
解析 ∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，∴a≥1，故选C.
8．已知命题p：若a＝(1,2)与b＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q：任意k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2y＝0相交．则下面结论正确的是( )
A．(綈p)或q是真命题 B．p且(綈q)是真命题
C．p且q是假命题 D．p或q是假命题
答案 A
解析 命题p为真，命题q：圆心(0,1)到直线kx－y＋1＝0的距离为d＝<1，命题q是真命题．故(綈p)或q是真命题．
9．给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(x＋1)]为偶函数；命题q：函数y＝为偶函数，则下列说法正确的是( )
A．p或q是假命题 B．(綈p)且q是假命题
C．p且q是真命题 D．(綈p)或q是真命题
答案 B
解析 p中，f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，
又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p为真；
q中，f(－x)＝＝＝－f(x)，定义域为R，故函数为奇函数，故q为假，故(綈p)且q为假．
二、填空题
10．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
考点 “p或q”形式的命题
题点 由“p或q”形式命题的真假，求参数的范围
答案 [1,2)
解析 由x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}，
得x<1或x≥2.
∵此命题是假命题，∴1≤x<2.
11．若存在正数x，使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
答案 (－1，＋∞)
解析 存在正数x，使得2x(x－a)<1成立，即存在正数x，使得x－a<2－x，也就是存在正数x，使得a>x－2－x成立．令f(x)＝x－2－x，因为函数y＝x与y＝－2－x都是定义域上的增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)>f(0)＝－1，所以a>－1.
12．已知命题p：存在c>0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：对于任意x∈R，x2＋2c－3>0.若p且q为真命题，则实数c的取值范围为________．
考点 “p且q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数范围
答案 (2,3)
解析 由于p且q为真命题，
所以p，q都是真命题，所以
解得2故实数c的取值范围为(2,3)．
三、解答题
13．命题p：已知“a－1(－1，＋∞)，x＋>a恒成立，如果“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．
考点 “p或q”形式的命题
题点 由命题p或q，p且q的真假，求参数范围
解 由不等式x2－6x<0，得0∵命题p为真，
即“a－1∴(等号不同时取得)，即1≤a≤5.
若命题q为真，∵x>－1，∴x＋1>0，
∴x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝3，
任意x∈(－1，＋∞)，x＋>a恒成立?3>a，
∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p，q一真一假，
当p真q假时得3≤a≤5，
当p假q真时得a<1，
∴实数a的取值范围是(－∞，1)∪[3,5]．
四、探究与拓展
14．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)上是减少的；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p和q有且只有一个正确，求实数a的取值范围．
考点 “p且q”形式的命题
题点 由命题p且q的真假，求参数范围
解 方法一 p真：0＜a＜1.
q真：Δ＝(2a－3)2－4＞0，∴a＞或0＜a＜.
①∵p和q有且只有一个正确，当p正确，q不正确时，a∈(0,1)∩，即a∈.
②当p不正确，q正确时a∈(1，＋∞)∩，即a∈.
综上，实数a的取值范围为∪.
方法二 ∵A＝{a|p(a)}＝{a|0＜a＜1}，B＝{a|q(a)}＝，
∴p和q有且只有一个正确，即a∈且a?，
故实数a的取值范围为∪.
15．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q” 是假命题，求实数a的取值范围．
解 由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0.
显然a≠0，∴x＝－或x＝.
若命题p为真，
∵x∈[－1,1]，故≤1或≤1，
∴|a|≥1.
若命题q为真，
即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
即函数y＝x2＋2ax＋2a的图像与x轴只有一个交点．
∴Δ＝4a2－8a＝0，
∴a＝0或a＝2.
∵命题“p或q”为假命题，
∴a的取值范围是{a|－1章末复习
学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判断方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．
1．四种命题及其关系
(1)四种命题
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若綈p，则綈q
逆否命题
若綈q，则綈p
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2．充分条件与必要条件
(1)如果p?q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)分类：
①充要条件：p?q且q?p，记作p?q；
②充分不必要条件：p?q且q? p.
③必要不充分条件：p?q且q?p.
④既不充分又不必要条件：p?q且q?p.
3．全称命题与特称命题
(1)全称命题与特称命题真假的判断方法
①判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出一个反例．
②判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
(2)含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
4．简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断
可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假.
p
q
綈p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
1．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．( √ )
2．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．( × )
3．已知命题p：存在x∈R，x－2＞0，命题q：对于任意x∈R，x2＞x，则命题p或(綈q)是假命题．( × )
类型一 命题及其关系
例1 (1)有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④不等边三角形的三个内角相等．
其中是真命题的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①③
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p或q B．p且q
C．(綈p)且(綈q) D．p或(綈q)
考点 “p或q”形式的命题
题点 判断“p或q”形式命题的真假
答案 A
解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p或q为真命题．
反思与感悟 1.互为逆否命题的两命题真假性相同．
2．“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假．
跟踪训练1 命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是( )
A．若x2>1，则－1≤x≤1
B．若－1≤x≤1，则x2≤1
C．若－11
D．若x<－1或x>1，则x2>1
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 条件与结论交换位置，并且分别否定．
类型二 充分条件与必要条件
命题角度1 充分条件与必要条件的判断
例2 (1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点 四种条件
题点 识别四种条件
答案 (1)B (2)C
解析 (1)∵x2－3x>0?x>4，
x>4?x2－3x>0，
故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．
(2)∵a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，
∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件．
反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．
(2)等价法：利用A?B与綈B?綈A，B?A与綈A?綈B，A?B与綈B?綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
跟踪训练2 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．a2>b2>0 B．
C．ln a>ln b>0 D．xa>xb且x>0.5
考点 四种条件
题点 识别四种条件
答案 C
解析 设条件p符合条件，则p是a>b>0的充分条件，但不是a>b>0的必然结果，即有“p?a>b>0，a>b>0?p”．
A选项中，a2>b2>0?a>b>0，有可能是aB选项中，?0b>0，故B不符合条件；
C选项中，ln a>ln b>0?a>b>1?a>b>0，而a>b>0?a>b>1，符合条件；
D选项中，xa>xb且01时a>b，无法得到a，b与0的大小关系，故D不符合条件．
命题角度2 充分条件与必要条件的应用
例3 设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用
题点 由四种条件求参数的范围
解 (1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a即p为真命题时，实数x的取值范围是1由解得
即2所以q为真时，实数x的取值范围是2若p且q为真，则?2所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2)方法一 綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p?綈q且綈q?綈p.
设綈p：A＝{x|x≤a或x≥3a}，綈q：B＝{x|x≤2或x>3}，
则A?B.
所以03，即1所以实数a的取值范围是(1,2]．
方法二 因为綈p是綈q的充分不必要条件，
所以q是p的充分不必要条件，
则{x|2所以解得1所以实数a的取值范围是(1,2]．
反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．
跟踪训练3 已知命题：p：2x2－9x＋a<0，q：2考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用
题点 由四种条件求参数的范围
解 ∵綈q是綈p的必要条件，
∴q是p的充分条件，
令f(x)＝2x2－9x＋a，
则解得a≤9，
∴实数a的取值范围是(－∞，9]．
类型三 逻辑联结词与量词的综合应用
例4 已知p：任意x∈，2x答案
解析 由2x，
又x∈时，max＝，
故当p为真时，m>；
函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1＝(2x＋1)2＋m－2，
令f(x)＝0，得2x＝－1，
若f(x)存在零点，
则－1>0，解得m<1，
故当q为真时，m<1.
若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是.
反思与感悟 解决逻辑联结词与量词的综合应用问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．
跟踪训练4 已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点 逻辑联结词与量词的综合应用
题点 由复合命题的真假求参数范围
答案 [e,4]
解析 p：a≥e，q：a≤4，
∵p且q为真命题，∴p与q均为真，
则e≤a≤4.
1．若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p且q是真命题 B．p或q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
答案 D
解析 根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．
2．已知命题p：0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用
题点 识别四种条件
答案 A
解析 ∵函数y＝ax2－ax＋1的值恒为正，
∴①当a＝0时y＝1恒成立，
②∴0综上可得q：0≤a<4，
故{a|03．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A．p且q
B．(綈p)且(綈q)
C．(綈p)且q
D．p且(綈q)
考点 “p且q”形式的命题
题点 判断“p且q”形式命题的真假
答案 D
解析 根据指数函数的性质可知，对任意x∈R，总有2x＞0成立，即p为真命题，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即q为假命题，则p且(綈q)为真命题．
4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点 全称命题
题点 由全称命题的真假求参数的范围
答案 (－∞，0]
解析 由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤(x2)min，得a≤0.
5．已知p：x2＋2x－3>0；q：>1.若“(綈q)且p”为真命题，求x的取值范围．
考点 “p且q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数范围
解 因为“(綈q)且p”为真，所以q假p真．
而当q为真命题时，有<0，即2所以当q为假命题时有x≥3或x≤2；
当p为真命题时，由x2＋2x－3>0，
解得x>1或x<－3，
由
解得x<－3或1所以x的取值范围为(－∞，－3)∪(1,2)∪[3，＋∞)
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“若p，则q”，则该命题的否命题是“若綈p，则綈q”；命题的否定为“若p，则綈q”．
2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．
3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．
4．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．
一、选择题
1．下列命题中为假命题的是( )
A．对于任意的x∈R,2x－1>0
B．对于任意的x∈N＋，(x－1)2>0
C．存在x∈R，lg x<1
D．存在x∈R，tan x＝2
考点 特称命题与全称命题的真假判断
题点 特称命题与全称命题的真假判断
答案 B
解析 对于任意的x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图像是将y＝2x的图像沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，A为真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题；当02．命题“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
考点 四种命题
题点 识别四种命题
答案 D
解析 “且”的否定词为“或”，所以“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0”．
3．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是( )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 要求使a>b成立的充分不必要条件，必须满足由已知选项能推出a>b，而由a>b推不出该选项．
在选项A中，由条件“a>b＋1”可推出结论“a>b”，但是由“a>b”不能推出“a>b＋1”，如a＝1.5，b＝1，故选项A符合要求；
在选项B中，当a>b－1时，a>b不一定成立，故选项B不符合要求；
在选项C中，由a2>b2推不出a>b，如a＝－4，b＝2，故选项C不符合要求；
在选项D中，a3>b3是a>b的充要条件，故选项D不符合要求．
4．给定两个命题p，q，綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 四种条件
题点 识别四种条件
答案 A
解析 由题意知q?綈p且綈p?q，故p?綈q且綈q?p，
∴p是綈q的充分不必要条件．
5．已知命题p：存在x∈N，x3A．p假q真 B．p真q假
C．p假q假 D．p真q真
答案 A
解析 对任意x∈N，x3≥x2，∴p假，
又当x＝2时，f(2)＝loga1＝0，
∴f(x)的图像过点(2,0)，∴q真．
6．命题“任意x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．任意x?R，x2≠x B．任意x∈R，x2＝x
C．存在x?R，x2≠x D．存在x∈R，x2＝x
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 D
解析 全称命题的否定是特称命题，所以“任意x∈R，x2≠x”的否定为“存在x∈R，x2＝x”．
7．命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>0 B．a≥0
C．a>1 D．a≥1
答案 B
解析 若p为真?Δ＝4－4a≥0，即a≤1；
若q为真?a2－a>0，即a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．由题意可得p，q一真一假．
若p真q假，a∈[0,1]；若p假q真，a∈(1，＋∞)，
综上所述，a∈[0，＋∞)．
8．已知命题p：存在x∈R，mx2＋2≤0.q：任意x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
考点 “p或q”形式的命题
题点 由“p或q”形式命题的真假求参数的范围
答案 B
解析 因为p或q为假命题，所以p和q都是假命题．
由p：存在x∈R，mx2＋2≤0为假，得任意x∈R，mx2＋2＞0，所以m≥0.①
由q：任意x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得存在x∈R，
x2－2mx＋1≤0，
所以Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
9．下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．若p或q为假命题，则p，q均不为假命题
C．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
考点 四种命题
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
解析 选项A中，否命题为“若x2≠1，则x≠1”；
选项B中，若p或q为假命题，则p，q均为假命题；
选项C中命题的否定为“对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”．
故A，B，C三项说法均不正确．
选项D中，“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，故其逆否命题也为真命题．
二、填空题
10．命题“存在n∈N，n2＞2n”的否定是________________．
答案 任意n∈N，n2≤2n
11．已知命题“任意x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是____________．
答案
解析 由“任意x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋a，则其图像恒在x轴的上方，故Δ＝25－4×a<0，
解得a>，即实数a的取值范围为.
12．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 [－3,0]
解析 由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，
当a＝0时，显然成立，
当a≠0时，解得－3≤a<0，
综上可得－3≤a≤0.
三、解答题
13．已知命题p：－x2＋6x＋16≥0，q：x2－4x＋4－m2≤0(m>0)．
(1)若p为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
考点 四种条件
题点 已知四种条件求参数范围
解 (1)由－x2＋6x＋16≥0，
解得－2≤x≤8，
所以当p为真命题时，实数x的取值范围为－2≤x≤8.
(2)若q为真，可由x2－4x＋4－m2≤0(m>0)，
解得2－m≤x≤2＋m(m>0)，
若p是q成立的充分不必要条件，
则[－2,8]是[2－m,2＋m]的真子集，
所以(两等号不同时成立)，
得m≥6.
所以实数m的取值范围是m≥6.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝－(x＋2)(x－m)(其中m>－2)，g(x)＝2x－2.
(1)若命题“log2g(x)≤1”是真命题，求x的取值范围；
(2)设命题p：任意x∈(1，＋∞)，f(x)<0或g(x)<0，若綈p是假命题，求m的取值范围．
考点 “綈p”形式的命题的真假判断
题点 与綈p有关的参数问题
解 (1)若命题“log2g(x)≤1”是真命题，即log2g(x)≤1恒成立；
即log2g(x)≤log22等价于
解得1故所求x的取值范围是{x|1(2)因为綈p是假命题，所以p为真命题，
而当x>1时，g(x)＝2x－2>0，
又p是真命题，则x>1时，f(x)<0，
所以f(1)＝－(1＋2)(1－m)≤0，
即m≤1(或根据－(x＋2)(x－m)<0的解集得出)，
故所求m的取值范围为{m|－215．已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上是增加的，q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若p且q假，p或q真，求实数a的取值范围．
考点 “p或q”形式的命题
题点 由命题p或q，p且q的真假求参数范围
解 ∵函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3＝[x＋(a2－a)]2－a2在[－2，＋∞)上是增加的，
∴－(a2－a)≤－2，即a2－a－2≥0，
解得a≤－1或a≥2.
即p：a≤－1或a≥2.
由不等式ax2－ax＋1>0的解集为R得a＝0或
解得0≤a<4，
∴q：0≤a<4.
∵p且q假，p或q真，∴p与q一真一假，
∴p真q假或p假q真，
即或
∴a≤－1或a≥4或0≤a<2.
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列语句中是命题的为( )
①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？
③3＋1＝5；④对任意x∈R,5x－3>6.
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
答案 D
解析 ①无法判断真假，②没有涉及命题的真假，都不是命题；③④为命题．
2．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
解析 原命题和逆命题是真命题，故逆否命题和否命题也是真命题．
3．设命题p：x>2是x2>4的充要条件，命题q：若>，则a>b，则( )
A．p或q为真 B．p且q为真
C．p真q假 D．p，q均为假
考点 “p或q”与“p且q”形式的命题
题点 判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案 A
解析 对命题p：x>2?x2>4而x2>4?x>2，
故p为假命题，命题q是真命题，故选A.
4．命题“任意x∈R，ex>x2”的否定是( )
A．存在x∈R，使得ex≤x2
B．任意x∈R，使得ex≤x2
C．存在x∈R，使得ex>x2
D．不存在x∈R，使得ex>x2
答案 A
解析 此命题是全称命题，其否定为：“存在x∈R，使得ex≤x2”．
5．设p，q是两个命题，则新命题“綈(p或q)为假，p且q为假”的充要条件是( )
A．p，q中至少有一个为真
B．p，q中至少有一个为假
C．p，q中有且只有一个为假
D．p为真，q为假
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 C
解析 ∵綈(p或q)为假，
∴p或q为真，又p且q为假，
∴p与q中为一真一假，故选C.
6．已知命题p：“1，b,4成等比数列”，命题q：“b＝2”，那么p成立是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点 四种条件
题点 识别四种条件
答案 B
解析 1，b,4成等比数列?b2＝4即b＝±2，
∴p?q，而q?p，故选B.
7．下列各命题中，p是q的充要条件的是( )
①p：cos α＝cos β，q：tan α＝tan β；
②p：＝1，q：y＝f(x)是偶函数；
③p：A∩B＝A；q：?UB??UA；
④p：m<－2或m>6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 C
解析 ①中，若α＝60°，β＝－60°，
p成立但q不成立，
②中，若f(x)＝0是偶函数而无意义，
所以①②不正确，故选C.
8．“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
考点 四种条件
题点 识别四种条件
答案 C
解析 任意x∈[1,2]，x2－a≤0?a≥4，
又{a|a≥5}?{a|a≥4}，
∴“a≥5”是“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充分不必要条件．
9．下列叙述中正确的是( )
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 D
解析 由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，
所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；
因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，
若b2＝0，则ab2>cb2不成立，
由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，B错；
“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C错；
由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确．
10．已知命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足x2－5x＋6≤0.如果p是q成立的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )
A．[1,2] B．(1,2)
C．(2，＋∞) D．(0,1)
考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用
题点 由必要不充分条件求参数的范围
答案 B
解析 由x2－4ax＋3a2<0，得a∴p：a∵p是q的必要不充分条件，
∴{x|2≤x≤3}?{x|a则得111．下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．若p或q为假命题，则p，q均不为假命题
C．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
答案 D
解析 选项A中，否命题为“若x2≠1，则x≠1”；
选项B中，若p或q为假命题，则p，q均为假命题；
选项C中，命题的否定为“对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”．
故A，B，C三项说法均不正确．
选项D中，“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，故其逆否命题也为真命题．
12．已知命题p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q：函数y＝(2a－1)x为减函数，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 p且q形式的命题
题点 由p且q形式命题的真假求参数的范围
答案 C
解析 由y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，
得≤1，即a≤，
∴p：a≤.
∵y＝(2a－1)x为减函数，
∴0<2a－1<1，即∴q：∵p且q为真命题，∴p与q均为真命题，
则
∴a的取值范围是二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．写出命题：“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是____________________．
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不都大于0
14．设命题p：x>2或x<；q：x>2或x<－1，则綈p是綈q的________条件．
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 充分不必要
解析 ∵綈p：≤x≤2.綈q：－1≤x≤2.綈p?綈q，
但綈q?綈p.
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
15．已知命题p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为____________．
考点 “p或q”形式的命题
题点 由“p或q”形式命题的真假求参数的范围
答案 [2，＋∞)
解析 依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.
16．在下列四个命题中，真命题的个数是________．
①任意x∈R，x2＋x＋3>0；
②任意x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③存在α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④存在x，y∈Z，使3x－2y＝10.
考点 全称命题与特称命题
题点 全称命题与特称命题的真假判断
答案 4
解析 ①中，x2＋x＋3＝2＋≥>0，
故①是真命题．
②中，x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，
故②是真命题．
③中，α＝，β＝－时，
sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题．
④中，x＝4，y＝1时，
3x－2y＝10成立，故④是真命题．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知命题p：x<－6或x>1，命题q：5x－6>ax2(a为常数)．
(1)写出原命题“若p：x<－6或x>1，则q：5x－6>ax2”的逆否命题；
(2)若p?q，则实数a应满足什么条件？
考点 四种条件
题点 由四种条件求参数的范围
解 (1)命题“若p，则q”的逆否命题为“若5x－6≤ax2，则－6≤x≤1”．
(2)∵p?q，∴x<－6或x>1?5x－6>ax2，即不等式ax2－5x＋6<0的解集为{x|x＜－6或x>1}，
故方程ax2－5x＋6＝0有两根－6,1，
即
解得a＝－1，故实数a应满足a＝－1.
18．(12分)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若“命题p：任意的x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若“命题q：存在x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
考点 全称命题与特称命题
题点 由命题的真假求参数范围
解 (1)A＝{x|－2≤x≤5}，
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B≠?.
∵“命题p：任意的x∈B，x∈A”是真命题，
∴B?A，B≠?，
∴解得2≤m≤3.
(2)q为真，则A∩B≠?，∵B≠?，
∴m≥2，∴
∴2≤m≤4.
19．(12分)求证：“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 充分性：
当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直；当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－，如果a＋2b＝0，那么k1k2＝×＝－1，两直线互相垂直．
必要性：
如果两条直线互相垂直且斜率都存在，
那么k1k2＝×＝－1，所以a＋2b＝0；
若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b＝0，且a＝0.所以a＋2b＝0.
综上，“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
20．(12分)已知命题p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 由q：x2－2x＋1－m2≤0，m>0，
得1－m≤x≤1＋m，
∴綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．
由≤2，解得－2≤x≤10，
∴綈p：B＝{x|x>10或x<－2}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴A?B，
∴或
即m≥9或m>9，
∴实数m的取值范围是m≥9.
21．(12分)设命题p：对任意的x∈R，x2－2x>a，命题q：存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0.如果命题p或q为真，命题p且q为假，求实数a的取值范围．
考点 “p或q”与“p且q”形式的命题
题点 由命题“p或q”“p且q”的真假求参数的范围
解 命题p：对任意的x∈R，x2－2x>a，
∴x2－2x的最小值大于a，
x2－2x的最小值为－1，
∴－1>a，即a<－1，
命题q：存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1，
∵命题p或q为真，命题p且q为假，
∴命题p，q中一真一假，
∴若p真q假，则
解得－2若p假q真，则解得a≥1.
∴实数a的取值范围为(－2，－1)∪[1，＋∞)．
22．(12分)已知命题p：x2－8x－20≤0；q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，求m的取值范围；
(2)若綈p是綈q的必要不充分条件，求m的取值范围．
考点 四种条件
题点 由四种条件求参数范围
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
即p：－2≤x≤10，
q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，则
即即m2≤3，
解得－≤m≤，
即m的取值范围是[－，]．
(2)∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
即(两个等号不同时成立)
即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.
即m的取值范围是{m|m≥3或m≤－3}．
1 利用导数的几何意义解题
1．求参数
例1 设曲线y＝f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.
解析 根据导数的定义，＝＝＝2a＋aΔx，当Δx无限趋近于0时，2a＋aΔx无限趋近于2a，即f′(1)＝2a.又由曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，得2a＝2，即a＝1.
答案 1
2．求倾斜角
例2 求曲线y＝f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角．
分析 要求切线的倾斜角α，先要求切线的斜率k，再根据斜率k＝tan α，求出倾斜角α.
解 设曲线y＝f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为α，
＝
＝＝(Δx)2－1，
当Δx无限趋近于0时，(Δx)2－1无限趋近于－1，
即tan α＝f′(1)＝－1.
因为α∈[0，π)，所以α＝.故切线的倾斜角为.
评注 切线的倾斜角α能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角α的取值范围．
3．求曲线的切线
例3 求在点P处与曲线y＝x3相切的切线方程．
分析 要求直线在点P处的切线方程，需求得过点P的切线的斜率k，然后根据点斜式可求得切线方程．
解 因为点P在曲线y＝x3上，Δy＝(2＋Δx)3－×23＝4Δx＋2(Δx)2＋(Δx)3，
所以＝4＋2Δx＋(Δx)2，
当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于4，即k＝4.
故所求的切线方程为y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.
评注 求在点P处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程．
4．求切点的坐标
例4 若曲线y＝f(x)＝x3＋1在点P处的切线的斜率为3，求点P的坐标．
分析 要求点P的坐标，可设点P的坐标为(x0，x＋1)，然后由切线的斜率为3，解方程求得．
解 设点P的坐标为(x0，x＋1)，
因为＝＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，当Δx无限趋近于0时，上式无限趋近于3x，所以3x＝3.解得x0＝±1.
故点P的坐标是(1,2)或(－1,0)．
评注 值得注意的是切点P的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错．
2 利用导数求切线方程
曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．
1．已知切点，求曲线的切线方程
此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
解析 由f′(x)＝3x2－6x，知在点(1，－1)处的斜率k＝f′(1)＝－3.所以切线方程为y－(－1)＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故选B.
答案 B
2．已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例2 求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
解 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.
所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，
所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．
解得x0＝1或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，
或y－＝，
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
点评 可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．
3．已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例3 求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程．
解 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝－.
所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)，
即y－＝－(x－x0)．
又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，
得－＝－(2－x0)．
解得x0＝1，y0＝＝1，即x＋y－2＝0.
点评 点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性．
4．求两条曲线的公切线
例4 已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－x2＋4x－4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．
分析 设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．
解 设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－x＋4x2－4)．
由C1：y＝x2，得y′＝2x，
则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，
即y＝2x1x－x，由C2：y＝－x2＋4x－4，得y′＝－2x＋4，
则与C2相切于点Q的切线方程为
y＝－2(x2－2)x＋x－4.
因为两切线重合，所以2x1＝－2(x2－2)
且－x＝x－4，
解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.
所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
点评 公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解.
3 导数运算中的常见错误
1．对f′(x0)与f′(x)理解有误
例1 已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为( )
A．0 B．－4 C．－2 D．2
错解 由f(x)＝x2＋2xf′(1)得f(0)＝0.
所以f′(0)＝0.故选A.
错因分析 解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f′(1)是常数．
正解 由f(x)＝x2＋2xf′(1)得，f′(x)＝2x＋2f′(1)．
所以f′(1)＝2×1＋2f′(1)．所以f′(1)＝－2.
从而f′(x)＝2x－4.所以f′(0)＝－4.故选B.
2．切点位置的确定有误
例2 求过点P(1,0)且与曲线f(x)＝x3－x相切的直线的方程．
错解 由题意知点P(1,0)在曲线上．
因为f′(x)＝3x2－1，所以f′(1)＝2.
所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
错因分析 点P(1,0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P(1,0)当作切点显然是错误的．
正解 设切点为(x0，x－x0)，
则过该点的切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)．
由切线过点P(1,0)得：0－(x－x0)＝(3x－1)(1－x0)，
整理得2x－3x＋1＝0.
即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－.
所以切线方程为2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0.
3．对切线定义的理解有误
例3 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋，曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y＝4x－4，试分析该切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．
错解 由于直线y＝4x－4与曲线C相切，因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点．
错因分析 “切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立．
正解 由消去y整理得
x3－12x＋16＝0，即(x－2)(x2＋2x－8)＝0.
所以(x－2)2(x＋4)＝0，解得x＝2或x＝－4.
所以交点的坐标为(2,4)，(－4，－20)，
所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外，还有点(－4，－20)．
§1 变化的快慢与变化率
学习目标 1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度．
知识点一 函数的平均变化率
观察图形，回答下列问题：
思考1 怎样理解从点A到点B自变量x的增量、函数值y的增量？
答案 (1)自变量的增量：用Δx表示，即Δx＝x2－x1，表示自变量相对于x1的“增加量”．
(2)函数值的增量：用Δy表示，即Δy＝f(x2)－f(x1)，也表示为f(x1＋Δx)－f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”．
(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0.
思考2 函数f(x)在区间[x1，x2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？
答案 (1)y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然．
梳理 函数的平均变化率的定义及作用
(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.
其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.
(2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
知识点二 瞬时变化率
思考 瞬时速度与平均速度有何区别？
答案 瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．
梳理 瞬时变化率的定义及作用
(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．
(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．
对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则
1．Δx可正，可负，可为零．( × )
2．函数y＝f(x)的平均变化率为＝＝.( √ )
3．函数y＝f(x)的平均变化率为＝＝.( √ )
4．当Δx趋于0时，就趋于函数在x1处的瞬时变化率．( √ )
类型一 函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝x2在x分别从1到1＋Δx,2到2＋Δx,3到3＋Δx的平均变化率，当Δx都为时，哪一点附近的平均变化率最大？
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
解 在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝
＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝
＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1反思与感悟 求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图像上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.
答案 Δx
解析 (1)＝
＝
＝Δx.
(2)求函数y＝f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
解 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3－x
＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴函数y＝f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为
＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2.
当x0＝1，Δx＝时，
平均变化率的值为3×12＋3×1×＋2＝.
类型二 求函数的瞬时变化率
例2 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在t0时刻处的瞬时速度．
考点 瞬时变化率的概念
题点 瞬时速度
解 因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－
＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
所以＝v0－gt0－gΔt.
当Δt趋于0时，趋于v0－gt0，
故物体在t0时刻处的瞬时速度为v0－gt0.
反思与感悟 1.求瞬时速度的步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度v＝.
(3)当Δt趋于0时，平均速度趋于瞬时速度．
2．求当Δx无限趋近于0时，的值
(1)在表达式中，可把Δx作为一个数来参加运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0，就是令Δx＝0，求出结果即可．
跟踪训练2 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
考点 瞬时变化率的概念
题点 瞬时速度
解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数s(t)在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
＝＝＝4a＋aΔt，
当Δt趋于0时，趋于4a，
∴4a＝8，得a＝2.
1．已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( )
A．在x0处的变化率
B．在区间[x0，x1]上的平均变化率
C．在x1处的变化率
D．以上结论都不对
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率概念的理解
答案 B
解析 ＝，由平均变化率的定义可知，故选B.
2．一物体的运动方程是s(t)＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.4 B．2
C．0.3 D．0.2
考点 平均变化率的概念
题点 求平均速度
答案 B
解析 ＝＝2.
3．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s(t)＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )
A．t＝1 B．t＝2
C．t＝3 D．t＝4
考点 瞬时变化率的概念
题点 瞬时速度
答案 B
解析 设此物体在t0时刻的瞬时速度为0，
＝＝－8t0＋16－4Δt，
当Δt趋于0时，趋于－8t0＋16，
令－8t0＋16＝0，解得t0＝2.
4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案
解析 ∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴球的体积平均膨胀率为＝.
5．设函数f(x)＝3x2＋2在x0＝1,2,3附近Δx取时的平均变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，k2，k3的大小．
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
解 函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.
当x0＝1，Δx＝时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为
k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；
当x0＝2，Δx＝时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为
k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；
当x0＝3，Δx＝时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为
k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k11．平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢．
2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义．
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝sin x，当x从变到时，函数值的改变量Δy等于( )
A．－ B.
C. D.
考点 平均变化率的概念
题点 函数因变量的增量
答案 B
解析 Δy＝f －f ＝sin －sin ＝.
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
答案 C
解析 ＝＝
＝4＋2Δx.
3．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3
C．6 D．－6
考点 瞬时速度与平均速度的关系
题点 瞬时速度
答案 D
解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，当Δt趋于0时，－3Δt－6趋于－6，故该质点在t＝1时的瞬时速度为－6.
4.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 B
解析 依题意可知Δy＝yB－yA＝1－3＝－2，
Δx＝xB－xA＝3－1＝2，
所以函数y＝f(x)在xA到xB之间的平均变化率为
＝＝－1.
5．一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s(t)＝t2，当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A．2 B．1 C. D.
答案 C
解析 Δs＝(2＋Δt)2－×22＝[4＋4Δt＋(Δt)2－4]＝[(Δt)2＋4Δt]，∴＝Δt＋.
∴当Δt趋于0时，趋于.
6．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( )
A．k1k2
C．k1＝k2 D．无法确定
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率概念的理解
答案 D
解析 k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，而Δx可正可负，故k1，k2大小关系不确定．
7．如果函数y＝f(x)＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则( )
A．a＝－3 B．a＝3
C．a＝2 D．a的值不能确定
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 B
解析 ＝＝a＝3.
8．一个物体的运动方程是s＝2t2＋at＋1，该物体在t＝1时的瞬时速度为3，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．7
考点 瞬时变化率的概念
题点 瞬时速度
答案 A
解析 ＝
＝
＝a＋4＋2Δt，
当Δt趋于0时，a＋4＋2Δt趋于a＋4，
由题意知a＋4＝3，得a＝－1.
二、填空题
9．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________________．
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 1<2<3
解析 1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图像知，kOA10．函数f(x)＝＋2在x＝1处的瞬时变化率为________．
考点 瞬时变化率的概念
题点 瞬时速率
答案 －2
解析 ∵Δy＝＋2－(＋2)
＝－1＝，
∴＝，当Δx趋于0时，趋于－2.
11．若一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
答案
解析 ＝＝7Δt＋14t，
Δt趋于0时，趋于14t，即14t＝1，t＝.
12．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________.
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 5
解析 函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是
＝＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
所以当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.
三、解答题
13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
考点 变化率的概念
题点 瞬时速度
解 (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为
＝＝24 m/s.
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝＝＝3Δt－18，
∴当Δt趋于0时，趋于－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为－18，
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为＝
＝＝3Δt－12.
∴当Δt趋于0时，趋于－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12.
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
四、探究与拓展
14.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是( )
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 B
解析 在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．
所以乙厂的治污效果较好．
15．物体的运动方程是s＝(位移单位：m，时间单位：s)，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
解 ∵Δs＝－＝－，
＝＝＝，
当Δt趋于0时，趋于.
∴物体在t＝1 s时的瞬时速度为 m/s.
§2 导数的概念及其几何意义
学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
知识点一 导数的概念
思考 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？
答案 平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．
梳理 导数的定义
函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率是函数y＝f(x)在x0点的导数．用符号f′(x0)表示，记作：
f′(x0)＝ ＝ .
知识点二 导数的几何意义
如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，f(x0))，直线PT为过点P的切线．
思考1 割线PPn的斜率kn是多少？
答案 割线PPn的斜率kn＝.
思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？
答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理 (1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数，是曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)．
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
1．函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关．( √ )
2．函数f(x)在x＝x0处的导数值是Δx＝0时的平均变化率．( × )
3．若函数y＝f(x)在x＝x0处有导数，则函数y＝f(x)在x＝x0处有唯一的一条切线．( √ )
4．函数y＝f(x)在x＝x0处的切线与函数y＝f(x)的公共点不一定是一个．( √ )
类型一 利用定义求导数
例1 建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
解 ∵当x从100变为100＋Δx时，函数值y关于x的平均变化率为
＝，
＝＋，
∴f′(100)＝ ，
＝ ＝0.105，
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．
反思与感悟 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝.
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
跟踪训练1 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
考点 函数在一点处的导数
题点 根据定义求函数在某点处的导数
解 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数
f′(2)＝ ，
而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝ ＝ (－Δx－1)＝－1.
类型二 求切线方程
例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
(2)点A处的切线方程．
考点 切线方程的求解及应用
题点 求在某点的切线方程
解 (1) ＝
＝ ＝ (4＋2Δx)＝4，
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，
即4x－y－2＝0.
反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
考点 切线方程的求解及应用
题点 求在某点处的切线方程
答案 －3
解析 ＝
＝ (4＋Δx)＝4，
曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，
即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
类型三 求切点坐标
例3 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．
(1)切线的倾斜角为45°；
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
解 设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴＝4x0＋2Δx，
当Δx趋于0时，趋于4x0，即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
∴切点坐标为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，
∴切点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
则k·＝－1，即k＝8，
故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，
∴切点坐标为(2,9)．
反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)．
(2)求导函数f′(x)．
(3)求切线的斜率f′(x0)．
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．
跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．
∵f′(x)＝
＝
＝3x2－4x，
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为)或(2,3)．
当切点为时，有＝4×＋a，a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.
∴当a＝时，切点为；
当a＝－5时，切点为(2,3)．
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
考点 函数在一点处的导数
题点 根据定义求函数在某点处的导数
答案 C
解析 f′(x0)＝
＝ (a＋b·Δx)＝a.
2．曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )
A．45° B．60° C．135° D．120°
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切线的倾斜角或斜率
答案 C
解析 ∵f′(x)＝
＝9
＝－9 ＝－，
∴f′(3)＝－＝－1，
又∵直线的倾斜角范围为[0°，180°)，
∴倾斜角为135°.
3.如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4 B．3
C．－2 D．1
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 D
解析 由题干中的图像可得函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选D.
4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
答案 －
解析 f′(1)＝ ＝
＝ ＝－.
5．求曲线y＝f(x)＝在点处的切线方程．
考点 切线方程的求解及应用
题点 求曲线的切线方程
解 因为
＝
＝ ＝－.
所以曲线在点处的切线斜率为－，
由直线的点斜式方程可得切线方程为
y－＝－(x－2)，
即x＋4y－4＝0.
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，
即k＝ ＝f′(x0)．
2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
一、选择题
1．曲线y＝在点(1,1)处的切线的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切线的倾斜角或斜率
答案 D
解析 函数y＝在x＝1处的导数为 ＝－1，
由tan α＝－1及0≤α<π，得α＝，故选D.
2．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
答案 D
解析 ∵ ＝2x，
又切线的倾斜角为，
∴直线斜率为tan ＝1，则2x＝1，
∴x＝，y＝，则切点为.
3．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
答案 A
解析 因为f′(1)＝
＝ ＝a，
所以f′(1)＝a＝2.
4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 A
解析 由题意，知k＝ ＝1，
∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
5．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是( )
A．1 B．－1
C. D．－2
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切线的倾斜角或斜率
答案 B
解析 ∵ ＝－1，
∴ ＝－1，
∴f′(1)＝－1.
6．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为( )
A．(1,0)
B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4)
D．(2,8)或(－1，－4)
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
答案 C
解析 根据导数的定义可求得f′(x)＝3x2＋1，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选C.
7．若直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点P(1,3)，则b等于( )
A．3 B．－3
C．5 D．－5
答案 A
解析 ∵点P(1,3)既在直线上又在曲线上，
∴3＝k＋1，且3＝1＋a＋b，即k＝2，a＋b＝2.
根据导数的定义知y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，
∴3×12＋a＝k，∴a＝－1，b＝3.
8．设P为曲线C：f(x)＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为( )
A. B．[－1,0]
C．[0,1] D.
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
答案 D
解析 设点P的横坐标为x0，则点P处的切线倾斜角α与x0的关系为
tan α＝f′(x0)＝ ＝2x0＋2.
∵α∈，∴tan α∈[1，＋∞)，
∴2x0＋2≥1，即x0≥－.
∴x0的取值范围为.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝2x－3，则f′(5)＝________.
考点 函数在一点处的导数
题点 根据定义求函数在某点处的导数
答案 2
解析 f′(5)＝ ＝2.
10．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为________．
考点 切线方程的求解及应用
题点 求在某点处的切线方程
答案
解析 ∵k＝ ＝3，
∴曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0，
则切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为××4＝.
11．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 4
解析 设抛物线在P点处切线的斜率为k，
k＝ ＝－5，
∴切线方程为y＝－5x，
∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，
将P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
三、解答题
12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
解 ∵抛物线过点P，∴a＋b＋c＝1，①
又 ＝
＝4a＋b，
由题意知4a＋b＝1，②
又抛物线过点Q，∴4a＋2b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.
13．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
解 f′(x0)＝
＝[3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2]
＝3x＋2ax0－9.
f′(x0)＝32－9－，
当x0＝－时，f′(x0)取到最小值－9－.
∵函数f(x)斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线的斜率为－12.
∴－9－＝－12，解得a＝±3，
又a<0，∴a＝－3.
四、探究与拓展
14．过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程为( )
A．27x－4y－23＝0
B．23x－3y－12＝0和y＝3
C．5x－17y＋9＝0
D．27x－4y－23＝0和y＝1
考点 切线方程的求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 D
解析 ＝
＝
＝3x·Δx＋3x2＋(Δx)2，
所以 ＝3x2，
即y′＝3x2.
设过(1,1)点的切线与y＝x3＋1相切于点P(x0，x＋1)，
根据导数的几何意义，曲线在点P处的切线的斜率为k＝3x，①
过(1,1)点的切线的斜率k＝，②
由①②得3x＝，
解得x0＝0或x0＝，
当x0＝0时，k＝0，切点坐标为(0,1)，切线方程为y＝1；
当x0＝时，k＝，切点坐标为，切线方程为27x－4y－23＝0.
综上所述，直线方程为y＝1或27x－4y－23＝0.
15．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
解 ∵f′(x)＝ ＝ ＝2ax，
∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g′(x)＝ ＝ ＝3x2＋b，
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得
§3 计算导数
学习目标 1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数．
知识点一 导函数
思考 对于函数f(x)，如何求f′(1)，f′(x)？f′(x)与f′(1)有何关系？
答案 f′(1)＝ .
f′(x)＝ .
f′(1)可以认为把x＝1代入导数f′(x)得到的值．
梳理 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)，f′(x)＝ ，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
知识点二 导数公式表
函数
导函数
y＝c(c是常数)
y′＝0
y＝xα (α为实数)
y′＝αxα－1
y＝ax (a>0，a≠1)
y′＝axln a
y＝ex
y′＝ex
y＝logax(a>0，a≠1)
y′＝
y＝ln x
y′＝
y＝sin x
y′＝cos x
y＝cos x
y′＝－sin x
y＝tan x
y′＝
y＝cot x
y′＝－
1．函数f(x)与f′(x)的定义域相同．( √ )
2．求f′(x0)时，可先计算出f(x0)，再对f(x0)求导．( × )
3．求f′(x0)时，可先求出f′(x)，再求f′(x)在x＝x0处的函数值．( √ )
类型一 利用导函数求某点处的导数
例1 求函数f(x)＝－x2＋3x的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1)．
考点 导函数
题点 利用导函数求某点处的导数
解 ∵f′(x)＝
＝
＝ (－Δx－2x＋3)＝－2x＋3，
即f′(x)＝－2x＋3，
∴f′(3)＝－2×3＋3＝－3，
f′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.
反思与感悟 f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的函数值．计算f′(x0)可以直接使用定义，也可以先求f′(x)，然后求f′(x)在x＝x0处的函数值f′(x0)．
跟踪训练1 求函数y＝f(x)＝＋5的导函数f′(x)，并利用f′(x)，求f′(2)．
考点 导函数
题点 利用导函数求某点处的导数
解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝＋5－
＝，
∴＝，
∴f′(x)＝ ＝ ＝－.
∴f′(2)＝－.
类型二 导数公式表的应用
例2 求下列函数的导数．
(1)y＝sin ；
(2)y＝x；
(3)y＝log3x；
(4)y＝；
(5)y＝5x.
考点 基本初等函数的导数公式
题点 基本初等函数导数公式的应用
解 (1)y′＝0.
(2)因为y＝x＝，
所以
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)因为y＝＝＝tan x，
所以y′＝(tan x)′＝.
(5)y′＝(5x)′＝5xln 5.
反思与感悟 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导．
跟踪训练2 求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)＋；
(2)y＝x13；
考点 基本初等函数的导数公式
题点 基本初等函数导数公式的应用
解 (1)∵y＝(1－)＋
＝＋＝＝，
∴
(2)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12.
类型三 导数公式的综合应用
命题角度1 利用导数公式求解切线问题
例3 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．
考点 基本初等函数的导数公式
题意 利用导数公式求解切线问题
解 因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．
设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝＝1，
而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－.
所以切点为(－，)．
所以所求切线方程为y－＝(－1)(x＋)，
即4x＋4y＋1＝0.
引申探究
若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解 因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
由PQ的斜率为k＝＝1，
而切线平行于PQ，所以2x0＝1，即x0＝.
所以切点为M.
所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用
(1)切点处的导数是切线的斜率．
(2)切点在切线上．
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．
跟踪训练3 (1)若直线l过点A(0，－1)且与曲线y＝x3切于点B，求B点坐标．
(2)若直线l与曲线y＝x3在第一象限相切于某点，切线的斜率为3，求直线l与坐标轴围成的三角形面积．
解 (1)y′＝3x2，设B(x0，x)(x0≠0)，
则切线斜率k＝3x.
又直线l过点(0，－1)，∴k＝.
∴3x＝，
∴2x＝1，∴x0＝，x＝，
∴B.
(2)设切点为(x0，x)(x0>0)，则该切线斜率为3x，
∴3x＝3，x0＝1，则切点为(1,1)．
∴直线l的方程为y－1＝3(x－1)．
∴直线l与坐标轴的交点分别为(0，－2)，，
∴直线l与坐标轴围成的三角形面积
S＝×|－2|×＝.
命题角度2 利用导数公式求解参数问题
例4 已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值等于( )
A．e B．－e
C. D．－
考点 基本初等函数的导数公式
题点 利用导数公式求解切线问题
答案 C
解析 y′＝(ln x)′＝.
设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y＝＋ln x0－1.
∵直线y＝kx过原点，
∴ln x0－1＝0，得x0＝e，∴k＝.
反思与感悟 解决利用导数公式求解参数问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值．
考点 基本初等函数的导数公式
题点 利用导数公式求解切线问题
解 设两曲线的交点为(x0，y0)，
由题意知，f′(x0)＝g′(x0)，
即
即①
∵点(x0，y0)为两曲线的交点，
∴＝aln x0，②
由①②可得x0＝e2，
将x0＝e2代入①得a＝.
1．下列结论：
①(sin x)′＝cos x；②；③(ln x)′＝.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点 基本初等函数的导数公式
题点 基本初等函数的导数公式的应用
答案 C
解析 ∵②
∴②错误，故选C.
2．函数f(x)＝，则f′(3)等于( )
A. B．0
C. D.
答案 A
解析 ∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.
3．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝ .
考点 基本初等函数的导数公式
题点 指数函数、对数函数的导数
答案
解析 ∵f′(x)＝，
又f′(1)＝＝－1，∴a＝.
4．在曲线y＝上一点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为 ．
考点 基本初等函数的导数公式
题点 利用导数公式求解切线问题
答案 或
解析 设P(x0，y0)，y′＝－，则－＝－4，
得x0＝±.
当x0＝时，y0＝2.
当x0＝－时，y0＝－2，
∴点P的坐标为或.
5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ．
考点 基本初等函数的导数公式
题点 利用导数公式求解切线问题
答案 e2
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S＝×1×|－e2|＝e2.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归．
2．有些函数可先化简再求导．如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
一、选择题
1．下列结论中正确的个数为( )
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝f(x)＝，则f′(3)＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 基本初等函数的导数公式
题点 基本初等函数的导数公式的应用
答案 D
解析 ①中y＝ln 2为常数，
所以y′＝0.①错．
2．已知f(x)＝，则f等于( )
A．－25 B．－
C. D．25
考点 几个常用函数的导数
题点 几个常用函数导数的应用
答案 B
解析 因为f(x)＝，所以f′(x)＝－.故f′＝－25，f＝f(－25)＝－.
3．下列函数中，导函数是奇函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝ex
C．y＝ln x D．y＝cos x
考点 基本初等函数的导数公式
题点 正弦、余弦函数的导数
答案 D
解析 A中，y′＝cos x；B中，y′＝ex；C中，y′＝；D中，y′＝－sin x.
4．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．3
考点 基本初等函数的导数公式
题点 常数、幂函数的导数
答案 C
解析 ∵f′(x0)＝3x＝3，∴x0＝±1.
5．设曲线y＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a等于( )
A．－ B.
C．－ D.
考点 基本初等函数的导数公式
题点 利用导数公式求解切线问题
答案 C
解析 由题意知切线的斜率是－，
∵y′＝2ax，∴4a＝－，得a＝－.
6．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A. B．－
C．－e D．e
答案 D
解析 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴＝·x0，
∴x0＝1，∴k＝e.
7．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
答案 A
解析 ∵(sin x)′＝cos x，
∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1，∴αl∈∪.
8．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 018(x)等于( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
考点 基本初等函数的导数公式
题点 正弦余弦函数的导数
答案 B
解析 f1(x)＝f′0(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝f′1(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f3(x)＝f′2(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，
f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，
可知周期为4，
∴f2 018(x)＝f504×4＋2(x)＝－sin x.
二、填空题
9．已知f(x)＝，g(x)＝mx且g′(2)＝，则m＝ .
考点 几个常用函数的导数
题点 几个常用函数导数的应用
答案 －4
解析 ∵f′(x)＝－，g′(x)＝m，∴f′(2)＝－，
又g′(2)＝，∴m＝－4.
10．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为 ．
考点 基本初等函数的导数公式
题点 利用导数公式求解切线问题
答案 (1,1)
解析 因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.
设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－ (x>0)，
曲线y＝ (x>0)在点P处的切线斜率k2＝－ (m>0)．
因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，
所以m＝1，n＝1，点P的坐标为(1,1)．
11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为 ．
考点 基本初等函数的导数公式
题点 基本初等函数导数公式的应用
答案
解析 ∵f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，则sin x＝1，
解得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴其解集为.
三、解答题
12．已知曲线y＝5(x＞0)，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)过点P(0,5)，且与曲线相切的切线方程．
考点 基本初等函数的导数公式
题点 利用导数公式求解切线问题
解 (1)设切点为(x0，y0)，
由y＝5，得曲线在x＝x0处的切线的斜率k＝ .
因为切线与直线y＝2x－4平行，所以＝2，
解得x0＝，所以y0＝.
故所求切线方程为y－＝2，
即16x－8y＋25＝0.
(2)因为点P(0,5)不在曲线y＝5上，
所以设切点坐标为M(x1，y1)，
则切线斜率为(x1≠0)，
又因为切线斜率为，
所以＝＝，
解得x1＝4(x1＝0舍去)．
所以切点为M(4,10)，斜率为，
故切线方程为y－10＝(x－4)，
即5x－4y＋20＝0.
13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
考点 基本初等函数的导数公式
题点 利用导数公式求解切线问题
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
四、探究与拓展
14．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
考点 基本初等函数的导数公式
题点 指数函数、对数函数的导数
答案 B
解析 设ex＝t，则x＝ln t(t>0)，
∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.
15．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解 根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则k＝2x0＝1，
所以x0＝，
所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
§4 导数的四则运算法则
学习目标 1.了解导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导过程.2.会运用导数公式和导数的加法、减法、乘法、除法法则求一些函数的导数．
知识点一 导数的加法与减法法则
已知f(x)＝x，g(x)＝.
思考1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？
答案 f′(x)＝1，g′(x)＝－.
思考2 若y＝h(x)＝f(x)＋g(x)，I(x)＝f(x)－g(x)，那么h′(x)，I′(x)分别与f′(x)，g′(x)有什么关系？
答案 ∵Δy＝(x＋Δx)＋－
＝Δx＋，
∴＝1－.
∴h′(x)＝ ＝ ＝1－，
即h′(x)＝f′(x)＋g′(x)．
同理，I′(x)＝1＋，即I′(x)＝f′(x)－g′(x)．
梳理 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．
特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．
(2)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．
知识点二 导数的乘法与除法法则
1．若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(2)′＝.
2．[kf(x)]′＝kf′(x)．
1．若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.( × )
2．运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在．( × )
3．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x)．( × )
类型一 利用导数四则运算法则求导
例1 求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；
(4)y＝xsin x－.
考点 导数的运算法则
题点 导数乘除法则的混合运用
解 (1)∵
∴
(2)方法一 y′＝
＝＝.
方法二 y＝＝＝1－，
y′＝′＝′
＝
＝.
(3)方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
(4)y′＝(xsin x)′－′
＝x′sin x＋x(sin x)′－
＝sin x＋xcos x－.
反思与感悟 1.解答利用导数四则运算法则求导问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
3．利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝xln x；
(2)y＝；
(3)y＝2x3＋log3x；
(4)y＝x－sincos .
解 (1)f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1.
(2)方法一 y′＝′＝＝.
方法二 y＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝－＝.
(3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′＝6x2＋.
(4)y＝x－sincos＝x－sin x，
∴y′＝′＝1－cos x.
类型二 求导法则的逆向应用
例2 已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式．
考点 导数的加法与减法法则
题点 导数加减法则的逆向应用
解 由f′(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，f′(x)代入关于x的方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，又该方程对一切x∈R恒成立，所以解得
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
反思与感悟 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．
跟踪训练2 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式．
考点 导数的加法与减法法则
题点 导数加减法则的逆向应用
解 ∵f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，
又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c＝0，
即c＝，
∴f(x)的表达式为f(x)＝x2＋x＋.
类型三 导数运算法则的综合应用
命题角度1 利用导数求函数解析式
例3 (1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 (1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.
所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，
f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)(2)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思与感悟 解决利用导数求函数解析式的题目的前提是熟练应用导数的运算法则．
跟踪训练3 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)等于( )
A．－3 B．2e C. D.
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 D
解析 ∵f′(x)＝2exf′(1)＋，
令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，
∴f′(1)＝.
命题角度2 与切线有关的问题
例4 (1)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
考点 导数的应用
题点 导数的应用
(2)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 (1)1 (2)(e，e)
解析 (1)y′＝＝，
当x＝时，y′＝＝1，
直线x＋ay＋1＝0的斜率是－(a≠0)，
由题意－＝－1，所以a＝1.
(2)设P(x0，y0)，
则y＝xln x在x＝x0处的导数为ln x0＋1＝2，
∴x0＝e，则y0＝e，
则P点坐标为(e，e)．
反思与感悟 1.与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
3．分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练4 设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 4
解析 因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知g′(1)＝2，又因为f(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x?f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.
1．下列运算中正确的是( )
A．(ln x－3sin x)′＝(ln x)′－3′·(sin x)′
B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′
C.′＝
D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 B
2．对于函数f(x)＝＋ln x－，若f′(1)＝1，则k等于( )
A. B. C．－ D．－
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 A
解析 ∵f′(x)＝＋＋，
∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝，
故选A.
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B. C．－ D．－2
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 D
解析 y′＝＝，
∴在x＝3处，函数y＝的导数为＝－，
∴曲线y＝在点(3,2)处的切线斜率为－，
由题意得×(－a)＝－1，∴a＝－2.
4．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 3
解析 由题意得f′(x)＝(2x＋3)ex，得f′(0)＝3.
5．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 －3
解析 y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得
则a＋b＝－3.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．
一、选择题
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
答案 D
解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．
D项，∵y＝sin x＋cos x，
∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.
2．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0等于( )
A．a B．±a C．－a D．a2
考点 导数的运算法则
题点 导数除法法则及运算
答案 B
解析 ∵y′＝1－，在x＝x0处，函数y＝的导数是1－＝0，∴x0＝±a.
3．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B.
C. D.
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 D
解析 ∵s′＝2t－，∴在t＝2处，函数s＝t2＋的导数是4－＝.即物体在时刻t＝2时的速度为.
4．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 D
解析 ∵f′(x)＝sin x＋xcos x，
由题意知f′·＝－1，
∴a＝2.
5．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于( )
A．0 B．1
C. D．不存在
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 C
解析 f′(x)＝，
由题意知f′(x0)＋f(x0)＝0，
即＋＝0，解得x0＝.
6．函数y＝f(x)＝sin x＋ex的图像上一点(0,1)处的切线的斜率为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 B
解析 因为函数y＝f(x)＝sin x＋ex的导数为y′＝cos x＋ex，所以f′(0)＝cos 0＋e0＝2.
所以函数y＝sin x＋ex的图像上一点(0,1)处的切线的斜率为2.
7．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
答案 B
解析 ∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．
8．在下面的四个图像中，其中一个图像是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)的导函数y＝f′(x)的图像，则f(－1)等于( )
A. B．－ C. D．－或
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 B
解析 ∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，
∴导函数f′(x)的图像开口向上．
又∵a≠0，∴f′(x)不是偶函数，
其图像不关于y轴对称，
故其图像必为③.
由图像特征知f′(0)＝0，且对称轴－a>0，
∴a＝－1，则f(－1)＝－－1＋1＝－，故选B.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f 的值为________．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 1
解析 ∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，
∴f ＝1.
10．曲线y＝f(x)＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 3x－y＋1＝0
解析 f′(x)＝ex＋xex＋2，k＝f′(0)＝e0＋0＋2＝3，
所以切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.
11．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________.
考点 导数的运算法则
题点 导数乘法法则及运算
答案 120
解析 因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，
所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x[(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)]′，
所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.
三、解答题
12．若曲线y＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 ∵y＝x2－ax＋ln x，∴y′＝2x－a＋，
由题意可知存在实数x>0使得2x－a＋＝0，
即a＝2x＋成立，
∴a＝2x＋≥2
.
∴实数a的取值范围是[2，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
四、探究与拓展
14．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案
解析 y′＝－＝－，
设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，
∵t＋≥2(当且仅当t＝1时，等号成立)，
∴y′∈[－1,0)，α∈.
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 (1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①②得解得
故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为××|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，
此定值为6.
滚动训练四(§1～§4)
一、选择题
1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内质点运动的平均速度为( )
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 D
解析 因为Δs＝5－3(1＋Δt)2－(5－3×12)
＝－3(Δt)2－6Δt，
所以＝＝＝－3Δt－6.
2．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于( )
A．2 B．2＋Δx
C．2＋(Δx)2 D．2x
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 B
解析 ＝＝2＋Δx.
3．已知f(x)＝，则f′(x)等于( )
A. B.－1
C．1－ln x D.
考点 导数的运算法则
题点 导数除法法则及运算
答案 D
解析 f′(x)＝＝＝，故选D.
4．已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A．f′(1)C．f′(2)考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 B
解析 由图像可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大．∵＝a，
∴f′(1)5．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
答案 A
解析 ∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，
∴a＝4.
6．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn等于( )
A. B.
C. D．1
考点 基本初等函数的导数公式
题点 常数、幂函数的导数
答案 B
解析 由y＝xn＋1得y′＝(n＋1)xn，
∴在x＝1处，函数y＝xn＋1的导数是n＋1.
∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，有x＝，
∴x1·x2·…·xn＝×××…×＝.
7．过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为( )
A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y＋2＝0
D．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0
考点 切线方程的求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 A
解析 设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x－2x0，曲线在(x0，y0)处的切线斜率为k＝3x－2.当x0＝1时，斜率为1，切线方程为x－y－2＝0；当x0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为＝x＋x0－1＝3x－2，解得x0＝－，斜率为－，切线方程为5x＋4y－1＝0.故选A.
8．点P0(x0，y0)是曲线y＝3ln x＋x＋k(k∈R)上一个定点，且曲线在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则实数k的值为( )
A．2 B．－2
C．－1 D．－4
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 A
解析 y′＝＋1，令＋1＝4，得x0＝1，代入切线方程得y0＝3，代入y＝3ln x＋x＋k，得k＝2.
二、填空题
9．函数y＝在x＝2处的导数是________．
考点 导数的运算法则
题点 导数除法法则及运算
答案
解析 y′＝′
＝
＝，
所以在x＝2处，函数y＝的导数为.
10．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 3
解析 f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，
故f(1)＋f′(1)＝3.
11．已知直线y＝kx与曲线y＝2ln x有公共点，则k的最大值为________．
答案
解析 如图，
直线l与曲线y＝2ln x交于两个不同的点，l绕原点O按逆时针方向旋转，
当l与曲线y＝2ln x相切时，k取到最大值．
设切点P(x0，2ln x0)(x0>0)，则k＝，又k＝，
∴＝，∴ln x0＝1，解得x0＝e，此时k＝，
∴k的最大值为.
三、解答题
12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 设切点为(x0，y0)，
则由导数的几何意义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，
又切点(x0，y0)在切线上，∴y0＝3(x－1)x0＋16，
即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，解得x0＝－2，
∴切线方程为9x－y＋16＝0.
13．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 (1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数为f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝1＋1－16＝－14，切线方程为y＝4(x－1)－14，即4x－y－18＝0；
当x0＝－1时，y0＝－1－1－16＝－18，
切线方程为y＝4(x＋1)－18，
即4x－y－14＝0.综上，切点坐标为(1，－14)，
切线方程为4x－y－18＝0或切点坐标为(－1，－18)，切线方程为4x－y－14＝0.
四、探究与拓展
14．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a的值为( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 A
解析 设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，
则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，直线方程为y＝0.
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－.
当x0＝时，直线方程为y＝x－.
由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.
15．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝g(x)＝x2＋a都相切，求a的值．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上．
(1)当O(0,0)是切点时，
由f′(x)＝3x2－6x＋2，得f′(0)＝2，
即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.
由得x2－2x＋a＝0，
依题意知，Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则f(x0)＝x－3x＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，①
又k＝＝x－3x0＋2，②
联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，
故直线l的方程为y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0，
依题意知，Δ＝－4a＝0，得a＝.
综上，a＝1或a＝.
章末复习
学习目标 1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)，f′(x)＝
，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．
3．导数公式表
原函数
导函数
f(x)＝c(c是常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为实数)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝tan x
f′(x)＝
f(x)＝cot x
f′(x)＝－
4．导数的四则运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
差的导数
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
积的导数
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
商的导数
′＝
1．f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( × )
2．若y＝，则y′＝×3＝.( × )
3．因为(ln x)′＝，则′＝ln x．( × )
类型一 导数几何意义的应用
例1 求过曲线y＝sin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x，
曲线在点P处的切线斜率
k＝cos ＝，
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，
故所求的直线方程为y－＝－(x－)，
即2x＋y－－＝0.
反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
跟踪训练1 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．
(1)求a的值；
(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
解 (1)∵f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，
∴f′(x)min＝－a2－9，
由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去)．
故a＝1.
(2)由(1)得a＝1.
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.
类型二 导数的计算
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝x2－ln x＋ax＋π；
(2)y＝3＋4；
(3)y＝.
考点 导数的运算法则
题点 导数运算法则的应用
解 (1)y′＝(x2－ln x＋ax＋π)′
＝(x2)′－(ln x)′＋(ax)′＋π′
＝2x－＋axln a.
(2)y′＝(3＋4)′
＝(3)′＋(4)′
＝4＋6.
(3)y′＝′
＝
＝
＝－.
反思与感悟 有关导数的计算应注意以下两点
(1)熟练掌握公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则．
(2)注意灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导．
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝.
考点 导数的运算法则
题点 导数运算法则的应用
解 (1)∵
∴
＝－1.
(2)∵y＝
＝
＝cos x－sin x，
∴y′＝(cos x－sin x)′
＝(cos x)′－(sin x)′
＝－sin x－cos x.
类型三 导数的综合应用
例3 设函数f(x)＝a2x2(a>0)，若函数y＝f(x)图像上的点到直线x－y－3＝0距离的最小值为，求a的值．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 因为f(x)＝a2x2，所以f′(x)＝2a2x，
令f′(x)＝2a2x＝1，
得x＝，此时y＝，
则点到直线x－y－3＝0的距离为，
即＝，解得a＝或.
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．
由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A，B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝，y′＝，
由题意知kAB＝.
∴kl＝＝，即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1,1).
1．下列说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
答案 C
解析 k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
2．已知函数f(x)＝x22x，则f′(2)等于( )
A．16＋ln 2 B．16＋8ln 2
C．8＋16ln 2 D．16＋16ln 2
考点 导数的乘法与除法法则
题点 利用导数的乘除法则求导
答案 D
解析 ∵f′(x)＝2x·2x＋x2·2xln 2，
∴f′(2)＝16＋16ln 2.
3．设函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 f′(x)＝3ax2＋6x，∵f′(－1)＝4，∴3a－6＝4，
∴a＝.
4．若直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝ .
考点 基本初等函数的导数公式
题点 与切线有关的问题
答案 ln 2－1
解析 设切点为(x0，y0)，
∵ y′＝，∴＝，
∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝×2＋b，∴b＝ln 2－1.
5．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 ．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 －4
解析 由于P，Q为抛物线x2＝2y上的点，且横坐标分别为4，－2，则P(4,8)，Q(－2,2)，从而在点P处的切线斜率k＝f′(4)＝4.由点斜式，得曲线在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)；同理，曲线在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)；上述两方程联立，解得交点A的纵坐标为－4.
1．利用定义求函数的导数是逼近思想的应用．
2．导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率．
3．对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量．
一、选择题
1．y＝2x＋6从x＝2到x＝2.5的平均变化率是( )
A．0 B．0.5 C．2 D．2.5
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 C
解析 y＝2x＋6从x＝2到x＝2.5的平均变化率是
＝＝2，故选C.
2．若物体运动方程为s＝t4－3t2，则t＝4时的瞬时速度为( )
A．4 B．64 C．16 D．40
考点 导数的概念
题点 瞬时速度
答案 D
解析 ∵s′＝′＝t3－6t，
∴s′(4)＝43－6×4＝40.
3.已知y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
答案 B
解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图像可知f′(xA)4．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为( )
A. B. C. D.
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
答案 D
解析 由导数的定义容易求得，曲线y＝x3－1在x＝x0处切线的斜率k1＝3x，曲线y＝3－x2在x＝x0处切线的斜率为k2＝－x0，由于两曲线在x＝x0处的切线互相垂直，
∴3x·(－x0)＝－1，∴x0＝，故选D.
5．函数f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)是常数函数
D．f(x)＋g(x)是常数函数
考点 基本初等函数的导数公式
题点 常数、幂函数的导数
答案 C
解析 由f′(x)＝g′(x)可知f′(x)－g′(x)＝0，
∴f(x)－g(x)＝c.
6．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A. B．[－1,0]
C．[0,1] D.
答案 A
解析 设P点的横坐标为m，先求出函数y＝x2＋2x＋3上此处的导数
＝
＝＝2m＋2＋Δx，
当Δx趋于0时，趋于2m＋2.∴f′(m)＝2m＋2.
由于倾斜角的取值范围为，
∴0≤2m＋2≤1?－1≤m≤－.即点P横坐标的取值范围为.
7．已知函数y＝x3＋ax2－，使其导数为0的x的值也使y为0，则常数a的值为( )
A．0 B．±3
C．0或±3 D．以上答案都不对
考点 导数的加法与减法法则
题点 导数加减法则的逆向应用
答案 C
解析 由题设可知y′＝′＝3x2＋2ax.
令y′＝0，解得x＝0或x＝－.
又∵当x＝0时，y＝0，∴0＋a·0－＝0，解得a＝0；
当x＝－时，y＝0，
∴3＋a2－＝0，
解得a＝0或a＝±3.
∴a＝0或a＝±3.
8．若曲线f(x)＝ax2＋ln x上存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知该函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2ax＋.
因为存在垂直于y轴的切线，所以此时的切线的斜率为0，
问题转化为在区间(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点．
又转化为函数g(x)＝－2ax与函数h(x)＝的图像有交点．
显然a＝0不符合题意；
当a>0时，如图(1)，两函数图像显然没有交点；
当a<0时，如图(2)，两函数图像正好有一个交点，
综上可得a<0.
二、填空题
9．若曲线y＝ax－ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则实数a＝ .
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
答案 1
解析 由题意得y＝ax－ln x的导数为y′＝a－，
∵在点(1，a)处的切线平行于x轴，∴a－1＝0，得a＝1.
10．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝ .
考点 导数的加法与减法法则
题点 利用导数的加减法则求导
答案 6
解析 ∵f′(x)＝6x＋2f′(2)，∴f′(2)＝12＋2f′(2)．
∴f′(2)＝－12.∴f′(x)＝6x－24.∴f′(5)＝30－24＝6.
11．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ．
考点 切线方程的求解及应用
题点 由条件求参数
答案 4
解析 y′＝，切线方程为y－＝(x－a)，
令x＝0得，y＝，令y＝0得，x＝－a，
由题意知··a＝2，∴a＝4.
三、解答题
12．设曲线C：y＝x3－3x和直线x＝a(a>0)的交点为P，曲线C在P点处的切线与x轴交于点Q(－a,0)，求a的值．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 由解得P(a，a3－3a)．
因为y′＝3x2－3，
所以曲线C在点P处的切线的斜率为3a2－3，
切线方程为y－(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a)．
令y＝0得切线与x轴的交点为，
则＝－a，解得a＝或a＝－或a＝0.
因为a>0，所以a的值为.
13．在曲线y＝(x<0)上求一点P，使P到直线x＋2y－4＝0的距离最小．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 由题意得平行于直线x＋2y－4＝0的y＝(x<0)的切线的切点即为所求P点，设P(x0，y0)，
由y′＝－得，k＝－，
又x＋2y－4＝0的斜率为－，∴－＝－，
∴x0＝－或(舍去)，
当x0＝－时，y0＝－＝－，
即P点坐标为.
四、探究与拓展
14．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝ .
答案 64
解析 ∵y＝，∴y′＝－x，
∴曲线在点(a，a)处的切线斜率k＝－a，
∴切线方程为y－a＝－a(x－a)．
令x＝0得y＝a；令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·a＝a＝18，
∴a＝64.
15．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
解 (1)由题意知f′(x)＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为13x－y－32＝0.
(2)方法一 设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过原点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
方法二 根据题意可设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝，
由题意知k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，
解得x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
答案 D
解析 k＝f′(1)＝
＝2 ＝－2.
2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )
A．－4 B．－5 C．－6 D．－7
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 C
解析 ＝
＝＝－6.
3．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2 C．1 D.
答案 B
解析 设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0，
因为y′＝x－，
所以k＝x0－＝－，
所以x0＝2(或x0＝－3舍去)．
4．设曲线y＝f(x)＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于( )
A．－1 B. C．－2 D．2
考点 导数的乘法与除法法则
题点 利用导数的乘除法则求解切线问题
答案 A
解析 ∵y′＝f′(x)＝
＝，
又f′＝－1，∴＝－1，
∴a＝－1，故选A.
5．已知二次函数f(x)的图像如图所示，则其导函数f′(x)的图像大致形状是( )
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 B
解析 由图像知f(x)＝ax2＋c (a<0)，
∴f′(x)＝2ax (a<0)，故选B.
6．已知曲线f(x)＝2ax2＋1过点P(，3)，则该曲线在点P处的切线方程为( )
A．y＝－4x－1 B．y＝4x－1
C．y＝4x－11 D．y＝－4x＋7
考点 切线方程的求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 B
解析 ∵f′(x)＝4ax，又f()＝3，
∴3＝2a2＋1，∴a＝1，∴f′(x)＝4x，f′(1)＝4.
∴曲线f(x)在点P处的切线方程为y－3＝4(x－1)，
即y＝4x－1.
7.如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是( )
A．2 B．1
C．－1 D.
考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 B
解析 由题干中的图像可知直线的切线经过点(1,2)，
则k＋3＝2，得k＝－1，即f′(1)＝－1，且f(1)＝2，
∵h(x)＝xf(x)，∴h′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
则h′(1)＝f(1)＋f′(1)＝2－1＝1，故选B.
8．对于函数y＝f(x)＝，其导数等于原来的函数值的点是( )
A. B. C. D．(1,1)
考点 基本初等函数的导数公式
题点 常数、幂函数的导数
答案 A
解析 设f′(x0)＝f(x0)，又f′(x0)＝－，
由－＝，
得x0＝－2，从而得y0＝.
9．抛物线y＝f(x)＝x2＋bx＋c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是( )
A. B. C. D.
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 C
解析 ∵抛物线过点(1,2)，∴b＋c＝1.
又∵f′(1)＝2＋b，由题意得2＋b＝－b，∴b＝－1，c＝2.
∴所求的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，
∴两平行直线x－y＋1＝0和x－y－2＝0间的距离
d＝＝.
10．已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于( )
A．－2 B．2 C．－ D.
考点 导数的加法与减法法则
题点 利用导数的加减法则求导
答案 C
解析 ∵f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，
∴f′(2)＝4＋3f′(2)＋，得f′(2)＝－.
11．已知函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，下面的不等式在R上恒成立的是( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)>x D．f(x)答案 A
解析 当x＝0时，2f(x)＋xf′(x)>x2为2f(0)＋0f′(0)>02，即f(0)>0，排除B，D项；当f(x)＝x2＋时，f′(x)＝2x，满足2f(x)＋xf′(x)>x2在R上恒成立，而f(x)－x＝x2－x＋＝(x－)2－≥－，不满足f(x)>x在R上恒成立，排除C.综上可知，应选A.
12．设a>0，f(x)＝ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y＝f(x)对称轴距离的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为在点P(x0，f(x0))处的切线的倾斜角的取值范围是，且a>0，P在对称轴的右侧，所以P到曲线y＝f(x)对称轴x＝－的距离d＝x0－＝x0＋.
又因为f′(x0)＝2ax0＋b∈[0,1]，
所以x0∈.
所以d＝x0＋∈.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设f(x)＝＋，则f′＝________.
答案 －＋2
解析 f′(x)＝′＝－＋，
∴f′＝＋＝－＋2.
14．已知f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切线倾斜角或斜率
答案 －1
解析 由偶函数的图像关于y轴对称，
由此可得y＝f(x)在(1，f(1))处与在点(－1，f(－1))处的切线斜率互为相反数．
15．设f ＝x2－(x>0)，则f′(1)＝________.
答案 －4
解析 令＝t，则x＝.∴f(t)＝2－2t，
∴f(x)＝2－2x，f′(x)＝－2x－3－2，
∴f′(1)＝－2－2＝－4.
16．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．
答案 y＝－3x
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0，
∴f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，
∴所求切线方程为y＝－3x.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1与直线4x－y－1＝0平行，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
解 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
18．(12分)求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x2)(4x2＋3x3)；
(2)y＝；
(3)y＝.
解 (1)y′＝[(3x3－4x2)(4x2＋3x3)]′
＝(9x6－16x4)′＝54x5－64x3.
(2)方法一 y′＝′
＝
＝.
方法二 ∵y＝＝＝1＋，
∴y′＝′＝1′＋′
＝＝.
(3)∵y＝x3＋x＋x－2sin x，
∴y′＝3x2－x＋(x－2)′sin x＋x－2(sin x)′
＝3x2－x－2x－3sin x＋x－2cos x.
19．(12分)已知f(x) 是一个关于x的三次函数，若f(－3)＝2，f(3)＝6且f′(－3)＝f′(3)＝0，求此函数的解析式．
解 设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，依题意得
所以
所以即f(x)＝－x3＋x＋4.
20．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，求f(x)的解析式．
考点 导数的加法与减法法则
题点 导数加减法则的逆向应用
解 ∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
又f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，
故解得
故f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x.
21．(12分)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a≥1时，求证：当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，其中e为自然对数的底数．
(1)解 当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋ln x，
f′(x)＝2x－3＋，因为f′(1)＝0，f(1)＝－2，
所以切线方程是y＝－2.
(2)证明 函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋，
即f′(x)＝
＝，
当a≥1时，在x∈[1，e]上，2x－1>0，ax－1≥0，可得f′(x)≥0.
22．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m的方程为y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 (1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0，
即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)由题意知直线m恒过定点(0,9)，先考虑直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点坐标为(x0,3x＋6x0＋12)．
∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．
将点(0,9)代入得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9.
当x0＝1时，曲线y＝g(x)的切线方程为y＝12x＋9，经检验知y＝12x＋9不是y＝f(x)的切线．
由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝－18，不符合题意．
当x＝2时，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝9，符合题意．
∴当k＝0时，直线m：y＝9既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线．
1 椭圆的定义在解题中的妙用
椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的简单性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．
1．求最值
例1 线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是( )
A．2 B. C. D．5
解析 由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知，P点的轨迹是以M为中心，A，B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM长度的最小值是b＝.
答案 C
2．求动点坐标
例2 椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是________．
解析 设椭圆上的动点为P，
由椭圆的定义可知，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PF1||PF2|≤2＝2＝25，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
由
解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，
此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，
即所求点的坐标为P(±3,0)．
答案 (±3,0)
点评 由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．
3．求焦点三角形面积
例3 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
解 由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，
由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
将②代入①，得|PF1|＝.
所以＝|PF1||F1F2|·sin 120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
点评 在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.
从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．
2 解抛物线问题的五个技巧
1．设而不求，整体处理
例1 已知抛物线y2＝－8x的弦PQ被点A(－1,1)平分，求弦PQ所在的直线方程．
解 设弦PQ的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有y＝－8x1，y＝－8x2.
两式相减，得y－y＝－8(x1－x2)，
即(y1＋y2)(y1－y2)＝－8(x1－x2)．
∵A是PQ的中点，
∴y1＋y2＝2，
即y1－y2＝－4(x1－x2)．
∴＝－4，即kPQ＝＝－4.
故弦PQ所在的直线的方程为y－1＝－4(x＋1)，
即4x＋y＋3＝0.
2．巧用定义求最值
例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上移动，记AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离．
解 如图，AA′⊥l，MN⊥l，BB′⊥l，
l为抛物线y2＝x的准线，
由抛物线方程y2＝x，
知2p＝1，＝.
设点M到y轴的距离为d，
则d＝|MN|－.
由抛物线的定义，知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|.
因为AA′，BB′，MN都垂直于准线，
所以AA′∥MN∥BB′，
所以MN是梯形AA′B′B的中位线．
于是|MN|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|AF|＋|BF|)．
若AB不过焦点，则由三角形的性质，
得|AF|＋|BF|>|AB|；
若AB过焦点F，
则|MN|＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝.
所以当AB过焦点F时，|MN|最小，此时d也最小，
此时d＝|MN|－＝－＝.
故点M到y轴的最短距离为.
3．巧设抛物线的方程
例3 抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且被直线y＝x＋1所截得的弦长为，求此抛物线的方程．
解 设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，则有
消去y，整理得x2＋(2－a)x＋1＝0.
设所截得的弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个实根．
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝a－2，x1x2＝1.
由弦长公式知，·＝，
即＝，
解得a＝－1或a＝5.
所以所求抛物线的方程为y2＝－x或y2＝5x.
4．巧设弦所在的直线的方程
例4 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2.
证明 当直线的斜率为0时，直线不会与抛物线有两个交点．
因为抛物线的焦点坐标为，
所以可设过焦点的直线方程为x－＝my，
即x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2－2pmy－p2＝0.
由根与系数的关系，得y1y2＝－p2.
5．巧设抛物线上的点的坐标
例5 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点P(P在x轴上方)作两条直线分别交抛物线于A，B两点．当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率是非零常数．
证明 设P，A，B，
由kPA＝－kPB，得＝－.
整理，得y1＋y2＝－2y0.
kAB＝＝＝－(y0≠0)．
所以直线AB的斜率是非零常数．
3 巧用抛物线的焦点弦
例1 如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的中点M(x0，y0)，过A，M，B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则有以下重要结论：
(1)以AB为直径的圆必与准线相切；
(2)|AB|＝2(焦点弦长与中点坐标的关系)；
(3)|AB|＝xA＋xB＋p；
(4)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即xAxB＝，yAyB＝－p2；
(5)A1F⊥B1F；
(6)A，O，B1三点共线；
(7)＋＝.
以下以第(7)条结论为例证明：
证明 当直线AB的斜率不存在，
即与x轴垂直时，|FA|＝|FB|＝p，
∴＋＝＋＝.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为
y＝k，并代入y2＝2px，
得2＝2px，即k2x2－p(2＋k2)x＋＝0.
由A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝.
∵|FA|＝xA＋，|FB|＝xB＋，
∴|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p，
|FA|·|FB|＝
＝xAxB＋(xA＋xB)＋
＝(xA＋xB＋p)．
∴|FA|＋|FB|＝|FA|·|FB|·，
即＋＝.
点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB⊥x轴的情况．
例2 设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0,则||＋||＋||＝________.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
又F(1,0)，
由＋＋＝0知
(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
∴||＋||＋||
＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
答案 6
4 解析几何中的定值与最值问题解法辨析
1．定点、定值问题
对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．
例1 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线．设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值．
证明 ∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，
则＝，此时λ＝1，μ＝0，
∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，
∴
①－②得＋＝0，
即＝－＝－，
又∵kAB＝＝1，
∴y0＝－x0.
∴直线ON的方向向量为＝，
∵∥a，
∴＝.
∴a2＝3b2，
∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，
又直线方程为y＝x－c.
联立
得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0.
∵x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2.
又设M(x，y)，
则由＝λ＋μ，
得
代入椭圆方程并整理，得
λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，
x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．
例2 已知抛物线y2＝2px (p>0)上有两个动点A，B及一个定点M(x0，y0)，F是抛物线的焦点，且|AF|，|MF|，|BF|成等差数列．求证：线段AB的垂直平分线经过定点(x0＋p,0)．
证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线定义，知
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|MF|＝x0＋.
因为|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，
所以2|MF|＝|AF|＋|BF|，
即x0＝.
设AB的中点为(x0，t)，t＝.
则kAB＝＝＝＝.
所以线段AB的垂直平分线方程为
y－t＝－(x－x0)，
即t[x－(x0＋p)]＋py＝0.
所以线段AB的垂直平分线过定点(x0＋p,0)．
2．最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解，非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．
例3 已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(2,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析 设右焦点为F′，由题意可知，F′坐标为(5,0)，
根据双曲线的定义知，|PF|－|PF′|＝6，
∴|PF|＋|PA|＝6＋|PF′|＋|PA|，
∴要使|PF|＋|PA|最小，
只需|PF′|＋|PA|最小即可，
|PF′|＋|PA|最小需P，F′，A三点共线，
最小值即6＋|F′A|＝6＋＝11.
答案 11
点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．
例4 已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解 (1)设动点P的坐标为(x，y)，
由题意有－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；
当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为
(2)如图，
由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2＋4)2－4k4>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，
即k＝±1时，·取得最小值16.
5 圆锥曲线中存在探索型问题的解法
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．下面仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助同学们复习．
1．常数存在型问题
例1 直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称？请说明理由．
分析 先假设实数a存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．
解 设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB的中点坐标为.
依题设有＝2·，
即y1＋y2＝2(x1＋x2)．①
又A，B在直线y＝ax＋1上，
∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，
∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2.②
由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，
即(2－a)(x1＋x2)＝2，③
联立
得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
∴x1＋x2＝，④
把④代入③，得(2－a)·＝2，解得a＝，
经检验知满足Δ＝4a2＋8(3－a2)>0.
∴kAB＝，而kl＝2，
∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.
故不存在满足题意的实数a.
2．点存在型问题
例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y＝x相切于原点O，椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 假设满足条件的点Q存在，根据其满足的几何性质，求出点Q的坐标，则点Q存在，若求不出点Q的坐标，则点Q就不存在．
解 (1)由题意知圆心在y＝－x上，
设圆心的坐标是(－p，p)(p>0)，
则圆的方程可设为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，
由于O(0,0)在圆上，
∴p2＋p2＝8，解得p＝2，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，
由椭圆的定义知2a＝10，a＝5，∴椭圆右焦点为F(4,0)．
假设存在异于原点的点Q(m，n)
使|QF|＝|OF|，
则有且m2＋n2≠0，
解得
故圆C上存在满足条件的点Q.
3．直线存在型问题
例3 试问是否能找到一条斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析 假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解．
解 设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．
由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，
则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝.
∵AP⊥MN，∴＝－(k≠0)，
故m＝－.
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，
得－1故当k∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l.
§1 椭圆
1．1 椭圆及其标准方程
学习目标 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
知识点一 椭圆的定义
思考 给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？
答案 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．
梳理 (1)定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．
这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
(2)椭圆的集合表示
设M为椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为F1，F2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点M的集合，表示为{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|，a为常数}．
知识点二 椭圆的标准方程
思考 椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？
答案 椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半．a，b，c始终满足关系式a2＝b2＋c2.
梳理
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆．( × )
2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( × )
3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.( √ )
类型一 椭圆的标准方程
命题角度1 求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B；
(2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点．
考点 椭圆标准方程的求法
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
解 (1)当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵点A(0,2)，B在椭圆上，
∴解得
这与a>b相矛盾，故应舍去．
当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)，
∵点A(0,2)，B在椭圆上，
∴解得
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
综上可知，椭圆的标准方程为x2＋＝1.
(2)椭圆＋＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，
可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义可得
2a＝＋，
∴2a＝12，即a＝6.
∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
反思与感悟 求椭圆标准方程的方法
(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．
(2)待定系数法
①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程．
特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．
考点 椭圆标准方程的求法
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
解 (1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知，
2a＝ ＋
＝2，
即a＝.又c＝2，
∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴∴
∴所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，
∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
代入得∴
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
命题角度2 由标准方程求参数?或其取值范围?
例2 若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
考点 椭圆的标准方程
题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案 (0,1)
解析 ∵方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
将方程改写为＋＝1，
∴有解得0反思与感悟 1.利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．
2.＋＝1表示椭圆的条件是
表示焦点在x轴上的椭圆的条件是
表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
跟踪训练2 (1)已知方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为________．
考点 椭圆的标准方程
题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案 (7,10)
解析 化成椭圆标准形式得＋＝1，
根据其表示焦点在x轴上的椭圆，
得解得7(2)已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝____________________________.
考点 椭圆的标准方程
题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案 4或8
解析 ①当焦点在x轴上时，10－m－(m－2)＝4，
解得m＝4.
②当焦点在y轴上时，m－2－(10－m)＝4，
解得m＝8.
∴m＝4或8.
类型二 椭圆定义的应用
例3 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
考点 椭圆的定义
题点 焦点三角形中的问题
解 在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
引申探究
若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝90°”，求△F1PF2的面积．
解 由椭圆＋＝1，知|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝6，
因为∠F1PF2＝90°，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝36，
所以|PF1|·|PF2|＝6，
所以＝|PF1|·|PF2|＝3.
反思与感悟 1.对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)；有时把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
2．焦点三角形的周长等于2a＋2c.设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积为b2tan .
跟踪训练3 已知AB是过椭圆x2＋y2＝1的左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|＝4，其中F2为椭圆的右焦点，则|AB|＝________.
考点 椭圆的定义
题点 焦点三角形中的问题
答案 2
解析 由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝6.
所以|AF1|＋|BF1|＝6－4＝2，即|AB|＝2.
1．“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点 椭圆的定义
题点 由椭圆定义确定轨迹
答案 A
解析 若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件．
2．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 D
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2.
结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，故|PF2|＝8.
3．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 椭圆的标准方程
题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案 B
解析 由题意得，椭圆标准方程为x2＋＝1，
又其一个焦点坐标为(0,1)，故－1＝1，解得k＝2.
4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
考点 求椭圆的标准方程
题点 定义法求椭圆的标准方程
答案 ＋x2＝1
解析 由已知得2a＝8,2c＝2，
∴a＝4，c＝，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
5．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积为________．
考点 椭圆的定义
题点 焦点三角形中的问题
答案 4
解析 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，且|F1F2|＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2是直角三角形，且PF1⊥PF2，
∴△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4.
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．
一、选择题
1．已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 求椭圆的标准方程
题点 定义法求椭圆的标准方程
答案 C
解析 ∵|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，
∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2×2＝4>|F1F2|.
∴点P的轨迹应是以F1，F2为焦点的椭圆．
∵c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∴动点P的轨迹方程为＋＝1.
2．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( )
A．16 B．18 C．20 D．不确定
答案 B
解析 △PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝＝4，
所以周长为10＋8＝18.
3．已知椭圆的焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋x2＝1
考点 椭圆标准方程的求法
题点 定义法求椭圆的标准方程
答案 A
解析 c＝1，a＝×(＋)＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆的方程为＋＝1.
4．设椭圆＋＝1(m>1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m等于( )
A．6 B．3
C．2 D．4
考点 椭圆的标准方程
题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案 C
解析 ∵m2>m2－1，∴椭圆焦点在x轴上，
∴a＝m，则2m＝3＋1＝4，
∴m＝2.
5．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2 B．4
C．8 D.
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 B
解析 如图，
F2为椭圆右焦点，连接MF2，则ON是△F1MF2的中位线，
∴|ON|＝|MF2|，又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝8，
∴|ON|＝4.
6．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 D
解析 ∵a＋≥2 ＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，
点P的轨迹是椭圆．
7．“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以18．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A. B. C. D.
考点 椭圆的定义
题点 焦点三角形中的问题
答案 C
解析 ∵·＝0，∴⊥，
由|MF1|＋|MF2|＝4，①
又|MF1|2＋|MF2|2＝(2)2＝12，②
可得，|MF1|·|MF2|＝2，
设M到x轴的距离为h，
则|MF1|·|MF2|＝|F1F2|h，
h＝＝.
二、填空题
9．若椭圆的两个焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)，椭圆的弦AB过点F1，且△ABF2的周长等于20，该椭圆的标准方程为________________．
考点 椭圆的标准方程
题点 定义法求椭圆的标准方程
答案 ＋＝1
解析 如图，∵△ABF2的周长等于20，
∴4a＝20，即a＝5，又c＝3，
∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
10．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____________．
考点 椭圆的标准方程
题点 求椭圆方程中的参数(或其取值范围)
答案 (8,25)
解析 由题意得解得811．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
考点 椭圆的定义
题点 焦点三角形中的问题
答案 3
解析 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2.
又∵⊥，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
即4c2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，
∴|PF1|·|PF2|＝2b2，
∴＝·|PF1|·|PF2|＝×2b2＝b2＝9，
又∵b>0，∴b＝3.
三、解答题
12．求过点(0,4)且与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点的椭圆的方程．
考点 椭圆标准方程的求法
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
解 由9x2＋4y2＝36，得＋＝1，
则c＝＝，
焦点在y轴上，设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则a＝4，∴b2＝a2－c2＝11，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
考点 椭圆的标准方程
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
解 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，∴·＝0，
而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5，∴F1(－5,0)，F2(5,0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
四、探究与拓展
14．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
考点 椭圆标准方程的求法
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
解 方法一 设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，
由已知条件得
解得所以b2＝a2－c2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
方法二 设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2.
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4.
在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；
在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.
依题意有＝3，得b2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
15．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
考点 椭圆的定义
题点 焦点三角形中的问题
解 (1)由题意得椭圆焦点在y轴上，且c＝1.
又∵3a2＝4b2，
∴a2－b2＝a2＝c2＝1，
∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)如图所示，|PF1|－|PF2|＝1.
又由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F2|＝2，
∴cos ∠F1PF2＝＝.
1．2 椭圆的简单性质
第1课时 椭圆的简单性质
学习目标 1.掌握椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.2.能根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点
思考 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？
答案 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，
(a，－b)．
梳理 椭圆的简单性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
对称性
关于x轴，y轴轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
长轴、短轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
知识点二 椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长度的比称为椭圆的离心率，记作e＝.因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e趋近于1时，椭圆越扁，当e趋近于0时，椭圆越圆．
1．椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．( √ )
2．椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.( √ )
3．椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．( × )
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.( × )
类型一 椭圆的简单性质
例1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
考点 椭圆的简单性质
题点 通过所给条件研究椭圆的简单性质
解 椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.
(1)当0焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，
顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m>4时，由e＝＝，解得m＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，
焦点坐标为F1，F2，
顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．
反思与感悟 解决椭圆的简单性质问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义求椭圆的基本量．
跟踪训练1 (1)椭圆x2＋＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A. B.
C．2 D．4
考点 椭圆几何性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求参数
答案 A
解析 ∵椭圆x2＋＝1的焦点在x轴上，
∴a2＝1，b2＝m，则a＝1，b＝，
又长轴长是短轴长的两倍，∴2＝4，即m＝.
(2)对椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的几何性质的表述正确的是( )
A．范围相同 B．顶点坐标相同
C．焦点坐标相同 D．离心率相同
考点 椭圆的简单性质
题点 通过所给条件研究椭圆的简单性质
答案 D
解析 椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是(－a,0)，(a,0)，(0，－b)，(0，b)，焦点坐标是(－c,0)，(c,0)，离心率e＝；椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤y≤a，－b≤x≤b，顶点坐标是(－b,0)，(b,0)，(0，－a)，(0，a)，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)，离心率e＝，只有离心率相同．
类型二 求椭圆的离心率
命题角度1 利用焦点三角形性质求椭圆的离心率
例2 椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案 －1
解析 方法一 如图，
∵△DF1F2为正三角形，
N为DF2的中点，
∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝c，
∴|NF1|＝
＝＝c，
由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1.
方法二 在焦点△NF1F2中 ，∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，
由离心率公式和正弦定理，得
e＝＝＝
＝
＝
＝－1.
反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝ 求解．
跟踪训练2 设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B. C. D.
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案 C
解析 如图，设直线x＝交x轴于D点，
因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
则有|F1F2|＝|F2P|.
因为∠PF1F2＝30°，
所以∠PF2D＝60°，∠DPF2＝30°，
所以|DF2|＝|F2P|＝|F1F2|，
即－c＝×2c，即＝2c，
即＝，
所以椭圆的离心率为e＝.
命题角度2 利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)
例3 (1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________．
考点 椭圆几简单何性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案
解析 直线AB：x＝c，代入＋＝1，
得y＝±，
∴设A，B.
∴＝＝＝－，
∴直线BF1：y－0＝－(x＋c)，
令x＝0，则y＝－，
∴D，∴kAD＝＝.
由于AD⊥BF1，∴－·＝－1，
∴3b4＝4a2c2，
∴b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac，
∴e2＋2e－＝0，
∴e＝＝，
∵e>0，∴e＝＝＝.
(2)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求离心率的取值范围
答案
解析 椭圆＋＝1(a>b>0)，－b≤y≤b.
由题意知，以F1F2为直径的圆与椭圆至少有一个公共点，
则c≥b，即c2≥b2，
所以c2≥a2－c2，
所以e2≥1－e2，即e2≥.
又0所以e的取值范围是.
反思与感悟 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3 设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求离心率的取值范围
答案
解析 由题意知≤，
∵e＝ ，
∴≤e<1.
类型三 利用简单性质求椭圆的标准方程
例4 (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
(2)如图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
解 (1)∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3.
∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，
∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，
∵e＝＝，∴c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴a2＝3b2＝27，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
(2)依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的对称性，知|B1F|＝|B2F|，
又B1F⊥B2F，
∴△B1FB2为等腰直角三角形，
∴|OB2|＝|OF|，即b＝c.
|FA|＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
反思与感悟 解决利用简单性质求椭圆的标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．
跟踪训练4 如图，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 ＋＝1
解析 设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a.
∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.
∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b
＝(2b－b)b＝2－，
解得b2＝2，则a＝2b＝2.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
1．椭圆25x2＋9y2＝1的范围为( )
A．|x|≤5，|y|≤3
B．|x|≤，|y|≤
C．|x|≤3，|y|≤5
D．|x|≤，|y|≤
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆范围的简单应用
答案 B
解析 椭圆方程可化为＋＝1，
所以a＝，b＝，
又焦点在y轴上，所以|x|≤，|y|≤.故选B.
2．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则( )
A．C1与C2顶点相同
B．C1与C2长轴长相同
C．C1与C2短轴长相同
D．C1与C2焦距相等
考点 椭圆的简单性质
题点 通过所给条件研究椭圆的简单性质
答案 D
解析 由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.
3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D．以上都不对
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 C
解析 由2a＋2b＝18,2c＝6，c2＝a2－b2，得a＝5，b＝4，
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
4. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求参数
答案 (0，±)
解析 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
5．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案
解析 根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)．
又因为a2－b2＝c2，
所以a＝5，c＝4，故e＝＝.
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆可设为＋＝1.
4．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．
一、选择题
1．已知焦点在y轴上的椭圆＋y2＝1，其离心率为，则实数m的值是( )
A．4 B.
C．4或 D.
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求参数
答案 B
解析 ∵焦点在y轴上，∴a2＝1，b2＝m，
∴e＝＝＝＝，
∴m＝.
2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 A
解析 依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
3．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋y2＝2
B．x2＋＝1
C.＋y2＝1或x2＋＝1
D．4x2＋y2＝1
考点 椭圆的性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 C
解析 由题意知2b＝2，且a2＋b2＝5，得a＝2且b＝1，
由于椭圆焦点所在的位置不定，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或x2＋＝1.
4．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )
A.＋y2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C．x2＋4y2＝1
D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16
答案 D
解析 若焦点在x轴上，则a＝2.
又e＝，∴c＝.
∴b2＝a2－c2＝1，
∴方程为＋y2＝1，即x2＋4y2＝4.
若焦点在y轴上，则b＝2.
又e＝，∴＝1－＝，
∴a2＝4b2＝16，∴方程为＋＝1，即4x2＋y2＝16.
5．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆的性质的应用
题点 求椭圆的离心率的值
答案 B
解析 如图，|OF1|＝c，|OB|＝b，则|BF1|＝a，
设原点到l的距离为d，则ad＝bc，
∴d＝，
又d＝×2b，则＝b，
∴e＝＝.
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 椭圆的性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 A
解析 由e＝得＝.①
∵△AF1B的周长为4，由椭圆定义，
得4a＝4，得a＝.
代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，
∴C的方程为＋＝1.
7．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆性质的应用
题点 求椭圆的离心率
答案 C
解析 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，
则kOP＝－，kAB＝－，
∵OP∥AB，∴－＝－，即y0＝.
把P代入椭圆方程，得＋＝1，
∴2＝，∴e＝＝.
8．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有( )
A．3个 B．4个
C．6个 D．8个
考点 椭圆几何性质的应用
题点 椭圆对称性的应用
答案 C
解析 当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当点P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P共有6个．故选C.
二、填空题
9．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0考点 椭圆性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求参数
答案 (2,4]
解析 ∵e＝ ＝ ，
∴0< ≤，
得110．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是________．
考点 椭圆性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案
解析 ∵∠BAO＋∠BFO＝90°，
∴∠BAO＝∠FBO，
∴tan∠BAO＝tan∠FBO，
即＝，得b2＝ac，
∴a2－c2＝ac，
即e2＋e－1＝0，
∵011．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的取值范围的简单应用
答案 6
解析 由题意，得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则有＋＝1，解得y＝3.
因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝＋x0＋3.
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，
因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，
·取得最大值＋2＋3＝6.
三、解答题
12．已知椭圆C1：＋＝1，若椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
考点 椭圆的简单性质
题点 由条件研究椭圆的简单性质
解 (1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，
短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④离心率e＝.
13．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若·＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．
考点 椭圆性质的应用
题点 椭圆性质的综合应用
解 如图，∵·＝0，
∴AF2⊥F1F2.
∵椭圆的离心率e＝＝，
∴b2＝a2.
设A(x，y)(x>0，y>0)，
由AF2⊥F1F2知x＝c，
∴A(c，y)代入椭圆方程得＋＝1，
∴y＝.
∵△AOF2的面积为2，
∴＝cy＝2.
即c·＝2.
∵＝，∴b2＝8，
∴a2＝2b2＝16，
∴椭圆方程为＋＝1.
四、探究与拓展
14.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求离心率的取值范围
答案 C
解析 ∠B1PB2为与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距的长度分别为a，b，c，则＝(－a，b)，＝(－c，－b)，
∵当向量的夹角为钝角时，·<0，
∴ac－b2<0，又b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2>0，
不等式两边同除以a2，得1－e－e2>0，即e2＋e－1<0，解得又∵015.设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B(如图)．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
解 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)．
其中c＝，设B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝，
即b2－c2＝1，
即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
第2课时 椭圆简单性质的应用
学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．
知识点一 点与椭圆的位置关系
思考1 判断点P(1,2)与椭圆＋y2＝1的位置关系．
答案 当x＝1时，得y2＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外．
思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？
答案 当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
梳理 设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二 直线与椭圆的位置关系
思考 类比直线与圆的位置关系，给出直线与椭圆的位置关系．
答案 有三种位置关系：相离、相切和相交．
梳理 判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：
联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点三 弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝，
∴|AB|＝
＝
＝，
或|AB|＝
＝
＝ .
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得．
1．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( √ )
2．在椭圆上的所有点中，长轴的端点到椭圆中心的距离最大，短轴的端点到椭圆中心的距离最小．( √ )
3．在椭圆的焦点弦中，当弦与长轴垂直时弦最短，当弦与长轴重合时弦最长．( √ )
4．设A是椭圆内一点，以A为中点的弦是唯一的．( × )
类型一 直线与椭圆的位置关系
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.①
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
反思与感悟 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0?直线与椭圆相交；
Δ＝0?直线与椭圆相切；
Δ<0?直线与椭圆相离．
特别提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．
跟踪训练1 (1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
答案 A
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交．
(2)若直线y＝x＋与椭圆x2＋＝1(m>0且m≠1)相切，则该椭圆的长轴长为( )
A．1 B.
C．2 D．2
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
答案 D
解析 由消去y，
得(1＋m2)x2＋2x＋6－m2＝0，
由Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，
解得m2＝5，所以椭圆的长轴长为2.
类型二 弦长及中点弦问题
例2 已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 中点弦问题
解 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.
由消去y可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.所以线段AB的长度为3.
(2)设A(x3，y3)，B(x4，y4)，
则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－
由于P(4,2)是AB的中点，
∴x3＋x4＝8，y3＋y4＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．
跟踪训练2 已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 中点弦问题
解 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，
得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，代入①式可得b＝a.
∵直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.
又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，
可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝2－4·.②
将b＝a代入②式，解得a＝，∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋＝1.
方法二 由
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
且直线AB的斜率k＝－1，
∴|AB|＝
＝
＝·.
∵|AB|＝2，∴＝2，
∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，
∴＝＝，将其代入①式得，a＝，b＝.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
类型三 椭圆中的最值(或范围)问题
例3 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的最值问题
解 (1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝
＝＝
＝ ＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
引申探究
在本例中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．
解 可求得O到AB的距离d＝，
又|AB|＝，
∴S△AOB＝|AB|·d
＝··
＝ ≤·＝，
当且仅当－m2＝m2时，等号成立，
此时m＝±∈.
∴所求直线的方程为x－y±＝0.
反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
跟踪训练3 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求|AB|的最小值．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时的其他问题
解 (1)椭圆C：x2＋2y2＝4化为标准方程为＋＝1，
∴a＝2，b＝，c＝，
∴椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设A(t,2)，B(x0，y0)，x0≠0.∵OA⊥OB，
∴·＝0，
∴tx0＋2y0＝0，∴t＝－.
又∵x＋2y＝4，∴0∴|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋＋4≥4＋4＝8，
当且仅当＝，即x＝4时等号成立，
∴|AB|的最小值为2.
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－
C．－2考点 椭圆的简单性质
题点 点与椭圆的位置关系
答案 A
解析 由题意知＋<1，解得－2．经过椭圆＋＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 弦长与三角形面积问题
答案 D
解析 由题意知，其相交弦为通径，长为＝＝4.
3．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>1且m≠3
C．m>3 D．m>0且m≠3
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆公共点的个数问题
答案 B
解析 由?(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
直线与椭圆有两个公共点，
∴
∴
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
4．过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 中点弦问题
答案 x－2y＋3＝0
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则又
两式相减得＝.
∴AB所在的直线方程为x－2y＋3＝0.
5．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为__________________________________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
答案 2
解析 由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a＞2)，
与直线方程x＋y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2.
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(2)联立直线与椭圆的方程．
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程，并判断Δ.
(4)利用根与系数的关系设而不求．
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．
一、选择题
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
答案 C
解析 把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离．
2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A．8,2 B．5,4
C．5,1 D．9,1
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的取值范围的简单应用
答案 D
解析 因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.
3．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1
B．m≥1或0C．0D．m≥1且m≠5
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆公共点的个数问题
答案 D
解析 ∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，
若5>m，则≥1，
若5∴m≥1且m≠5.
4．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 椭圆的性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 C
解析 由题意知，c＝1，|AB|＝＝3，
又b2＝a2－c2，
解得a＝2，b＝，
所以所求椭圆方程为＋＝1.
5．已知AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为( )
A．b2 B．ab
C．ac D．bc
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 弦长与三角形面积
答案 D
解析 当直线AB为y轴时，面积最大，
此时|AB|＝2b，△AFB的高为c，
∴S△AFB＝·2b·c＝bc.
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )
A. B．± C. D．±
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 求椭圆中的直线方程
答案 B
解析 根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，∴k＝＝±＝±.
7．已知A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为( )
A．1 B. C. D.
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案 A
解析 设M(x，y)，N(x，－y)(－a＜x＜a)，
则k1＝，k2＝，
又因为椭圆的离心率为，
所以＝＝，
|k1|＋|k2|＝＋≥2＝＝1，故选A.
8．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交椭圆的四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案 B
解析 将x＝±c代入椭圆方程，得y＝±.
由题意得＝2c，即b2＝ac，
所以a2－c2＝ac，则2＋－1＝0，
解得＝(负值舍去)．
二、填空题
9．若直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆公共点的个数问题
答案 (－2,2)
解析 根据椭圆的范围知：－2≤y≤2，
∴－210．如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率为________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求椭圆的离心率的值
答案 －1
解析 由直线方程y＝(x＋c)，得直线与x轴的夹角∠MF1F2＝，且过点F1(－c,0)．∵∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴∠MF2F1＝，∴∠F1MF2＝，即F1M⊥F2M.∴在Rt△F1MF2中，|F1F2|＝2c，|F1M|＝c，|F2M|＝c，∴由椭圆定义可得2a＝c＋c，
∴离心率e＝＝＝－1.
11．若椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，若＝，则过原点与线段AB的中点M连线的斜率为________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 中点弦问题
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即＋·＝0.
∵＝－1，＝，
∴＝，
∴kOM＝.
三、解答题
12．已知点A，B是椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)与直线x－3y＋2＝0的交点，点M是AB的中点，且点M的横坐标为－，若椭圆C的焦距为8，求椭圆C的方程．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 中点弦问题
解 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，
由题意得
两式相减，得＋＝0，
即＋kAB＝0，
∵点M，
∴－＋×＝0，
∴a2＝3b2.
又∵c＝4，∴a2＝24，b2＝8，
经检验，a2＝24，b2＝8符合题意，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
13．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.
(1)写出C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，当k为何值时⊥？此时|AB|的值是多少？
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 弦长与三角形面积问题
解 (1)设P(x，y)，由椭圆的定义可知，
点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
消去y，并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
Δ＝4k2＋4×3(k2＋4)>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
∴x1x2＋y1y2＝－－－＋1
＝.
又x1x2＋y1y2＝0，∴k＝±，满足Δ>0.
当k＝±时，x1＋x2＝?，x1x2＝－.
|AB|＝
＝，
而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2
＝＋4×＝，
∴|AB|＝ ＝.
四、探究与拓展
14．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为________．
答案 [2,2)
解析 因为0<＋y<1，所以P(x0，y0)在椭圆内部．
所以|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|<2a，
即2≤|PF1|＋|PF2|<2.
15．椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时的其他问题
(1)证明 椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)>0，
得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，
即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即－＋1＝0，
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)解 ∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．
§2 抛物线
2．1 抛物线及其标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一 抛物线的定义
思考1 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？
答案 连接两定点所得线段的垂直平分线．
思考2 平面内，到一定点和一条定直线(点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢？
答案 曲线．
梳理 (1)定义：平面内与一定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．
(2)焦点：定点F叫作抛物线的焦点．
(3)准线：定直线l叫作抛物线的准线．
知识点二 抛物线的标准方程
思考 抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？
答案 p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向．
梳理 抛物线的标准方程有四种类型
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝
x2＝2py(p>0)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
y＝
特别提醒：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．
(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：
焦点轴一次项，符号确定开口向；
若y是一次项，负时向下正向上；
若x是一次项，负时向左正向右．
1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．( × )
2．抛物线的方程都是y关于x的二次函数．( × )
3．方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线．( × )
类型一 求抛物线的标准方程
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1) 过点(3，－4)；
(2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为y2＝2p1x(p1>0)或x2＝－2p2y (p2>0)．
把点(3，－4)分别代入y2＝2p1x和x2＝－2p2y，
得(－4)2＝2p1·3,32＝－2p2·(－4)，
即2p1＝，2p2＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0)．
把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
反思与感悟 求抛物线的标准方程的关键与方法
(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．
(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；
②直接根据定义求p，最后写标准方程；
③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数．
跟踪训练1 求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3.
解 (1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，∵过点(－3,2)，
∴4＝－2p1(－3)或9＝2p2·2，
∴p1＝或p2＝.
故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，
∴抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0，－2)．
当焦点坐标为(4,0)时，＝4，
∴p＝8，此时抛物线方程为y2＝16x；
当焦点坐标为(0，－2)时，＝|－2|，
∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.
故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
(3)由题意知，抛物线标准方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)且p＝3.
∴抛物线的标准方程为x2＝6y或x2＝－6y.
类型二 求抛物线的焦点坐标和准线方程
例2 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向．
(1)y＝x2；
(2)x＝ay2(a≠0)．
解 (1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，
∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1，抛物线开口向上．
(2)抛物线方程的标准形式为y2＝x，
∴2p＝.
①当a>0时，＝，抛物线开口向右，
∴焦点坐标是，准线方程是x＝－；
②当a<0时，＝－，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是，准线方程是x＝－.
综上所述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－，当a>0时，开口向右；当a<0时，开口向左．
反思与感悟 1.先将抛物线方程化成标准形式，再判断开口方向、焦点位置，准确地求出p的值．
2．抛物线y2＝2ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－，不必讨论a的正负．
跟踪训练2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－6x；
(2)3x2＋5y＝0；
(3)y＝4x2；
(4)y2＝a2x(a≠0)．
解 (1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，
2p＝6，p＝3，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为x＝.
(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－y，
知抛物线开口向下，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为y＝.
(3)将y＝4x2化为x2＝y，
知抛物线开口向上，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为y＝－.
(4)由方程y2＝a2x(a≠0)知抛物线开口向右，
2p＝a2，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为x＝－.
类型三 抛物线在实际生活中的应用
例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m,一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
解 如图，
以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面上的部分高为 m，
所以h＝|yA|＋＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
跟踪训练3 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
解 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
由题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
所以100＝－2p×(－4)，2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.
由图知，AB是最长的支柱之一．
设点B的坐标为(2，yB)，
代入x2＝－25y，得yB＝－.
所以|AB|＝4－＝3.84，
即最长支柱的长为3.84米．
1．抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
答案 A
解析 由y＝x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－＝－1.
2．抛物线y2＝8x的焦点坐标和准线方程分别为( )
A．(1,0)，x＝－1 B．(2,0)，x＝－2
C．(3,0)，x＝－3 D．(4,0)，x＝－4
答案 B
解析 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，
准线方程为x＝－2.
3．已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．x2＝－3y D．x2＝－6y
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 D
解析 由题意知p＝3，故选D.
4．抛物线x2＝8y上的点M到x轴的距离为6，则点M与抛物线的焦点间的距离为________．
答案 8
解析 由抛物线的定义可得|MF|＝6＋＝8.
5．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为______________．
答案 y2＝－8x或x2＝－y
解析 设抛物线方程为y2＝2px (p≠0)，
或x2＝2py (p≠0)．
将P(－2，－4)代入，
分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点坐标为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.
一、选择题
1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则A点的坐标为( )
A．(1,1) B．(1，±1)
C．(1，－1) D．(1,0)
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求点的坐标
答案 B
解析 由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋，
∵|AF|＝x0，∴x0＋＝x0，∴x0＝1.
把x0＝1代入y2＝x，得y＝1，y0＝±1，
∴点A的坐标为(1，±1)．
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 B
解析 抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－.由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.故选B.
3．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
答案 C
解析 ∵顶点与焦点距离等于3，
∴2p＝12，
又∵对称轴是y轴，
∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.
4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求点的坐标
答案 C
解析 由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
5．抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 方程化为y2＝－x，
抛物线开口向左，2p＝，＝，
故焦点坐标为.
6．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．直线 D．抛物线
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程
答案 D
解析 设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D.
7．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 C
解析 因为抛物线C：y2＝2px的准线方程为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，故＝－2，解得p＝4.
所以抛物线方程为y2＝8x，焦点F的坐标为(2,0)，
这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
8．从抛物线y2＝4x的图像上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为( )
A．10 B．8 C．6 D．4
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求点的坐标
答案 A
解析 设P(x0，y0)，∵|PM|＝5，∴x0＝4，
∴y0＝±4，
∴S△MPF＝|PM|·|y0|＝10.
二、填空题
9．已知椭圆x2＋ky2＝3k(k>0)的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是________．
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题
答案
解析 抛物线的焦点为F(3,0)，
∵椭圆的方程为＋＝1，
∴3k－3＝9，
∴k＝4，
∴离心率e＝＝.
10．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__________．
考点 抛物线定义
题点 由抛物线定义求点的坐标
答案
解析 抛物线方程化为x2＝y，准线为y＝－.由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1－＝.
11．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求距离
答案 8
解析 如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)．
与准线方程x＝－2联立，得
A(－2,4)．
设P(x0,4)，
代入抛物线方程y2＝8x，
得8x0＝48，∴x0＝6.
∴|PF|＝x0＋2＝8.
三、解答题
12.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点A，B都在抛线C上，且＝2，求点A的坐标．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线的方程
解 (1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－.
∵准线l与圆x2＋y2＝1相切，
∴圆心(0,0)到准线l的距离d＝0－＝1，
解得p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由题意得F(0,1)，
∴＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)，
∵＝2，
∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)，
即代入②得4x＝8y1＋4，
即x＝2y1＋1，
又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，
解得y1＝，x1＝±，
即点A的坐标为或.
13．已知抛物线形拱桥的顶点距离水面2 m时，测量水面宽为8 m，则当水面上升 m后，水面的宽度是多少？
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
解 以抛物线形拱桥的顶点为原点建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的标准方程为
x2＝－2py(p>0)．
把B(4，－2)代入得16＝4p，
所以p＝4.所以x2＝－8y.
把y＝－代入得x＝±2.
所以此时水面的宽度为4 m.
四、探究与拓展
14．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于( )
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 A
解析 由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10，故选A.
15．已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|＝2，|FB|＝5，求原点O到直线AB的距离．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
解 (1)因为曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，
所以曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线，
且＝1，所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义结合|FA|＝2可得，A到准线x＝－1的距离为2，
即A的横坐标为1，代入抛物线方程可得y＝2，
即A(1,2)，
同理可得B(4，－4)，故直线AB的斜率k＝＝－2，
故AB的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0，
由点到直线的距离公式，得原点O到直线AB的距离为＝.
2.2 抛物线的简单性质
第1课时 抛物线的简单性质
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点一 抛物线的简单性质
思考 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)中x的范围、对称性、顶点坐标吗？
答案 范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)．
梳理
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
通径
过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点A，B，线段AB叫抛物线的通径，长度|AB|＝2p
知识点二 焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y2＝2px(p>0)
|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0)
|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0)
|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0)
|AB|＝p－(y1＋y2)
1．抛物线有一个顶点，一个焦点，一条对称轴，一条准线，一条通径．( √ )
2．当抛物线的顶点在坐标原点时，其方程是标准方程．( × )
3．抛物线的离心率均为1，所以抛物线形状都相同．( × )
4．焦准距p决定抛物线的张口大小，即决定抛物线的形状．( √ )
类型一 抛物线简单性质的应用
例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
解 由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F.直线l：x＝，
所以A，B两点的坐标分别为，，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以··2|m|＝4，
所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
引申探究
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是___________________________．
答案 4p2
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
反思与感悟 把握三个要点确定抛物线简单性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
解 设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0)．
因为点P到对称轴的距离为6，
所以y0＝±6.
因为点P到准线的距离为10，
所以＝10.①
因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0，②
由①②，得或或或
所以所求抛物线的方程为y2＝±4x或y2＝±36x.
类型二 抛物线的焦点弦问题
例2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值．
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 求抛物线的焦点弦长
解 因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，
所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y，得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p＝5＋3＝8.
引申探究
1．若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“直线l垂直于x轴”，求|AB|的值．
解 直线l的方程为x＝，
联立解得或
所以|AB|＝3－(－3)＝6.
2．若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“|AB|＝9”，求线段AB的中点M到准线的距离．
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，
所以点M到准线的距离为3＋＝.
反思与感悟 1.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
2．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
跟踪训练2 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 知抛物线焦点弦长求方程
解 由题意可知，焦点F.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不合题意，
故直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k.
联立消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
∴|AB|＝
＝ ·
＝2p＝p，
解得k＝±2，
∴AB所在直线方程为y＝2或y＝－2.
类型三 与抛物线有关的最值问题
例3 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线的定义求最值
解 (1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为.
(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2.因为2>2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线的定义知，|P1Q|＝|P1F|.所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
反思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．
跟踪训练3 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( )
A. B．2
C. D.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线的定义求最值
答案 A
解析 如图，由抛物线的定义知
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，
则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，
则当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值．
又A(0,2)，F，
∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|
＝ ＝.
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 C
解析 设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
由题意将x＝或x＝－分别代入y2＝2px和y2＝－2px，得|y|＝p，
∴2|y|＝2p＝8，p＝4.
即抛物线方程为y2＝±8x.
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求距离
答案 B
解析 由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
3．已知抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求距离
答案 B
解析 由题意知抛物线顶点到准线的距离最短，故最小值为2.
4．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________．
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 求抛物线的焦点弦长
答案 16
解析 由y2＝8x得焦点坐标为(2,0)，
由此直线方程为y＝x－2，
由联立得x2－12x＋4＝0，
设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程知x1＋x2＝12，
∴弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
5．已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线性质的综合应用
解 如图△OAB为正三角形，
设|AB|＝a，则OD＝a，
将A代入y2＝2px，
即＝2p×a，
解得a＝4p.
∴正三角形的边长为4p.
1．讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用．
一、选择题
1．设AB为过抛物线y2＝8x的焦点的弦，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
答案 C
解析 ∵当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p，∴|AB|的最小值为8.
2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线的定义求点坐标
答案 B
解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以点P的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为，故选B.
3．已知抛物线y＝2px2(p>0)的焦点为F，点P在抛物线上，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为( )
A. B.
C. D.
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 C
解析 由P在抛物线上，得p＝，故抛物线的标准方程为x2＝4y，焦点为F(0,1)，准线为y＝－1，
∴|FM|＝2，|PQ|＝1＋＝，|MQ|＝1，
则四边形PQMF的面积为××1＝.
4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3
C. D.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求最值
答案 A
解析 如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的距离，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2.
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为( )
A．2 B．1
C. D.
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案 A
解析 曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.
6．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝2x
C．y2＝6x D．y2＝4x
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 知抛物线焦点弦长求方程
答案 A
解析 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝3，即x1＋x2＝6.
又|PQ|＝x1＋x2＋p＝10，
即p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.
7．经过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的值是( )
A．4 B．－4 C．p2 D．－p2
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 与焦点弦有关的其他问题
答案 B
解析 采用特例法，当直线与x轴垂直时，
易得A，B，∴＝－4.
8．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 抛物线焦点弦的其他问题
答案 D
解析 由已知得焦点坐标为F，
因此直线AB的方程为y＝.
即4x－4y－3＝0.
联立直线和抛物线方程，并化简得x2－x＋＝0，
故xA＋xB＝.
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，
同时原点到直线AB的距离为h＝＝，
因此S△OAB＝|AB|·h＝.
二、填空题
9．抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝3，则|BF|＝________.
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 与焦点弦有关的其他问题
答案
解析 由题意知F(1,0)，且AB与x轴不垂直，
则由|AF|＝3，知xA＝2.
设lAB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x，
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以xA·xB＝1，故xB＝，
故|BF|＝xB＋1＝.
10．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则这条抛物线的方程为________．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 y2＝±3x
解析 由题意设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，
当a>0时，弦的端点坐标为(1，±)，代入抛物线方程得y2＝3x，
同理，当a<0时，弦的端点坐标为(－1，±)，代入抛物线方程得y2＝－3x.
11．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为__________________________________．
考点 直线与抛物线位置关系
题点 直线与抛物线位置关系
答案 ∪
解析 设M(x1，x)，N(x2，x)，两点关于直线y＝kx＋对称，显然k＝0时不成立．
∴＝－，即x1＋x2＝－.
设MN的中点为P(x0，y0)，
则x0＝－，y0＝k×＋＝4.
又中点P在抛物线y＝x2内，
∴4＞2，即k2＞，
∴k＞或k＜－.
三、解答题
12．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，由题知M.
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3.
∵|AM|＝，∴x＋2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0，得
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
13．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，其准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A点，与C的一个交点为B，若＝，求抛物线方程．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
解 由题意知，准线l：x＝－，过M(1,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－1)，
联立解得
∴点A的坐标为.
又∵＝，∴M是AB的中点，
∴B点坐标为，
将B代入y2＝2px(p>0)，得
32＝2p，解得p＝2或p＝－6(舍去)，
∴抛物线方程为y2＝4x.
四、探究与拓展
14.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝3x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝x
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 A
解析 作AM，BN分别垂直准线于点M，N，
则|BN|＝|BF|，|AM|＝|AF|.
又|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BN|，
∴∠NCB＝30°，∴|AC|＝2|AM|＝2|AF|＝6.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|＝x，
则2x＋x＋3＝6，得x＝1，而x1＋＝3，x2＋＝1，
且x1x2＝，
∴＝，∴p＝，
得抛物线方程为y2＝3x.
15．已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线的定义求最值
解 (1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，
则|PA|2＝2＋y2＝2＋2x＝2＋.
∵x∈[0，＋∞)，且在此区间上函数是增加的，
故当x＝0时，|PA|min＝，
故距离点A最近的点的坐标为(0,0)．
(2)设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则P到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝＝，
当y0＝1时，dmin＝＝，
∴点P的坐标为.
第2课时 抛物线简单性质的应用
学习目标 1.进一步认识抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．
知识点 直线与抛物线的位置关系
思考 若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？
答案 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．
梳理 (1)直线与抛物线的位置关系与公共点个数.
位置关系
公共点个数
相交
有两个或一个公共点
相切
有且只有一个公共点
相离
无公共点
(2)直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
1．若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切．( × )
2．直线与抛物线相交弦的弦长公式是|AB|＝·|x1－x2|＝x1＋x2＋p.( × )
3．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ )
类型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线公共点的个数
解 由方程组
消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．
(1)若直线与抛物线有两个交点，
则k2≠0且Δ>0，
即k2≠0且16(1－k2)>0，
解得k∈(－1,0)∪(0,1)．
所以当k∈(－1,0)∪(0,1)时，
直线l和抛物线C有两个交点．
(2)若直线与抛物线有一个交点，
则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，
解得k＝0或k＝±1.
所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．
(3)若直线与抛物线无交点，
则k2≠0且Δ<0.
解得k>1或k<－1.
所以当k>1或k<－1时，
直线l和抛物线C无交点．
反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．
跟踪训练1 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是( )
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线公共点的个数
答案 C
解析 准线方程为x＝－2，Q(－2,0)．
设l：y＝k(x＋2)，
由
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)；
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k<0或0综上，k的取值范围是[－1,1]．
类型二 弦长与中点弦问题
例2 已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 弦中点问题
解 方法一 由题意易知直线方程的斜率存在，
设所求方程为y－1＝k(x－4)．由
得ky2－6y－24k＋6＝0.
当k＝0时，y＝1，显然不成立．
当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①
设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
∵P1P2的中点为(4,1)，
∴＝2，∴k＝3，适合①式．
∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝ ＝.
方法二 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
则y＝6x1，y＝6x2，
∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2，
∴＝＝3，
∴所求直线的斜率k＝3，
故所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝ ·＝.
反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法
跟踪训练2 已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线的方程．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 由抛物线弦长求解相关问题
解 设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝4，
∴|AB|＝＝3，
即5＝45，
∴a＝4或a＝－36，满足Δ>0.
∴所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.
类型三 抛物线中的定点(定值)问题
例3 已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
(1)解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，
所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，
所以y1y2＝－4p2，
所以x1x2＝4p2.
(2)证明 因为y＝2px1，y＝2px2，
所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，
所以kAB＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，
所以y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0)．
反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．
跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
证明 设kAB＝k(k≠0)．
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
即直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
∴4xB＝，
即xB＝.
以－k代换xB中的k，得xC＝.
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
∴直线BC的斜率为定值．
1．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线公共点的个数问题
答案 B
解析 当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2＝x只有一个公共点．
当斜率存在时，设直线为y＝kx＋1.
由
得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，
当k＝0时，符合题意；
当k≠0时，令Δ＝(2k－1)2－4k2＝0，
得k＝.
∴与抛物线只有一个交点的直线共有3条．
2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A. B. C. D.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 由抛物线的弦长求解相关问题
答案 A
解析 线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线性质的综合问题
答案 B
解析 ∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，
∴K(－2,0)．
设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，垂足为B，则B(－2，y0)，
∵|AK|＝|AF|，
又|AF|＝|AB|＝x0＋2，
∴由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，得y＝(x0＋2)2，
即8x0＝(x0＋2)2，解得A(2，±4)．
∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8.
4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上任意一点，若·＝－4，则点A的坐标为________．
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 (1，±2)
解析 由题意知F(1,0)，设A，则＝，
＝，由·＝－4，可得y0＝±2，
所以A(1，±2)．
5．已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.
答案 －
解析 由消去y得ax2－x－1＝0，
∵直线与抛物线相切，∴a≠0且Δ＝1＋4a＝0.
∴a＝－.
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．
一、选择题
1．过抛物线y＝2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为( )
A．2 B.
C. D．1
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 求抛物线的焦点弦长
答案 B
解析 抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，焦点坐标为，当y＝时，x＝±，
∴过抛物线y＝2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为.
2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
考点 直线与抛物线位置关系
题点 求抛物线中的直线方程
答案 D
解析 设直线方程为2x－y＋m＝0，
由
得x2－2x－m＝0，
Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1，
∴直线方程为2x－y－1＝0.
3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )
A．2或－1 B．－1
C．2 D．3
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 弦中点问题
答案 C
解析 联立消去y
得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，Δ＝[－(4k＋8)]2－16k2>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝2，
即x1＋x2＝4，∴x1＋x2＝＝4，
∴k＝2或－1，
经判别式检验知k＝2符合题意．
4．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝20x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积是( )
A．5π B．9π C．16π D．25π
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 综合应用
答案 D
解析 抛物线D：y2＝20x的准线方程为x＝－5.
圆C的圆心(－2,0)到准线的距离d＝3.
又由|AB|＝8，
∴r2＝d2＋2＝25，
故圆C的面积S＝25π，
故选D.
5．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( )
A．2 B．2
C．4 D．2
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求距离
答案 B
解析 由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则M到焦点的距离为2＋＝3，
∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.
∴y＝4×2＝8，
∴|OM|＝＝＝2.
6．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 弦长问题
答案 B
解析 由直线方程为y＝－2(x－1)，
联立方程
得y2＋4y－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y1＋y2＝－4，y1y2＝－8，
∴|AB|＝ ·＝2.
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
答案 B
解析 抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
8．已知直线l：y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是( )
A. B. C．2 D.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 综合应用
答案 D
解析 设抛物线C：y2＝8x的准线为m：x＝－2.
直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，
如图，
过A，B分别作AM⊥m于M，BN⊥m于N.
由|AM|＝2|BN|，
得点B为AP的中点，连接OB，
则|OB|＝|AF|，
∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，
∴点B的坐标为(1,2)．
把B(1,2)代入直线l：y＝k(x＋2)(k>0)，
解得k＝，故选D.
二、填空题
9．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 综合应用
答案 0或1
解析 由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
当k＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；
当k≠0时，由Δ＝(4k－8)2－16k2＝0，得k＝1，
∴k＝0或1.
10．抛物线焦点在y轴上，截得直线y＝x＋1的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 弦长问题
答案 x2＝－20y或x2＝4y
解析 设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
由得x2－x－a＝0.
设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－a，
|AB|＝ ·
＝ ·＝5，
得a＝－20或4，经检验，a＝－20或4都符合题意．
∴抛物线方程为x2＝－20y或x2＝4y.
11.如图，直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于 A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为______．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
答案 48
解析 由消去y，得x2－10x＋9＝0，
设B，A两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
解得或
∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，
∴梯形APQB的面积为48.
三、解答题
12．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合应用
(1)证明 如图所示，
由
消去x得，ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得
y1y2＝－1，y1＋y2＝－.
因为A，B在抛物线y2＝－x上，
所以y＝－x1，y＝－x2，
所以y·y＝x1x2.
因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，
所以OA⊥OB.
(2)解 设直线与x轴交于点N，显然k≠0，
令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．
因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
所以S△OAB＝·1·
＝ .
因为S△OAB＝，
所以＝ ，
解得k＝±.
13．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点M(2，y0)到焦点F的距离等于3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点D(3,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求△ABF面积的最小值．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
解 (1)抛物线的准线方程为x＝－，
∴M(2，y0)到焦点的距离为2＋＝3，
∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设AB的方程为x＝my＋3，由
得y2－4my－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－12，
∴|y1－y2|＝＝，
∴S△ABF＝|FD||y1|＋|FD||y2|＝|y1|＋|y2|
＝|y1－y2|＝≥4，
∴当m＝0时，S△ABF取得最小值4.
四、探究与拓展
14.如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1于点A，B，C，D，则|AB|·|CD|的值是( )
A．8 B．4
C．2 D．1
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求距离
答案 D
解析 方法一 特殊化(只要考查直线y＝1时的情形)．
方法二 抛物线焦点为F(0,1)，
由题意知，直线的斜率存在，
设直线为y＝kx＋1，
与x2＝4y联立得y2－(4k2＋2)y＋1＝0，
由于|AB|＝|AF|－1＝yA，|CD|＝|DF|－1＝yD，
所以|AB|·|CD|＝yAyD＝1.
15．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
所以·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4b＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
因为·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
又·＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线l过定点(2,0)．
§3 双曲线
3．1 双曲线及其标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点一 双曲线的定义
思考 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？
答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数(小于|F1F2|)；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数(小于|F1F2|)，可得到另一条曲线．
梳理 (1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
知识点二 双曲线的标准方程
思考 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
答案 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．
梳理 (1)双曲线两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系式
a2＋b2＝c2
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．
1．平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的集合是双曲线．( × )
2．平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线．( × )
3．焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．( × )
4．在双曲线方程－＝1(a>0，b>0)中，a2＝b2＋c2.( × )
类型一 求双曲线的标准方程
例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．
考点 双曲线的标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
解 (1)当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把A点的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把A点的坐标代入，得b2＝9，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟 求双曲线方程的方法
(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解．
(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论．
(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，把双曲线方程设成mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．
跟踪训练1 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
考点 双曲线的标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
解 (1)∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点坐标为(，4)或(－，4)．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
类型二 由双曲线的标准方程求参数
例2 方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．(－2，－1) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
考点 双曲线的标准方程
题点 已知方程判断曲线的类型
答案 A
解析 由题意可知，(2＋m)(m＋1)<0，∴－2反思与感悟 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
跟踪训练2 若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
考点 双曲线的标准方程
题点 已知方程判断曲线的类型
答案 C
解析 原方程化为－＝1，
∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0.
∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．
类型三 双曲线的定义及应用
命题角度1 双曲线中的焦点三角形
例3 (1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
答案 4a＋2m
解析 由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a.
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.
(2)设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为________．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
答案 12
解析 由已知得2a＝2，
又由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2，
因为|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
所以|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2c＝2，
由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝0，
所以△F1PF2为直角三角形．
＝×|PF1|·|PF2|＝×6×4＝12.
引申探究
本例(2)中，若将“|PF1|∶|PF2|＝3∶2”改为“|PF1|·|PF2|＝24”，求△PF1F2的面积．
解 由双曲线方程为x2－＝1，
可知a＝1，b＝2，c＝＝.
因为|PF1|·|PF2|＝24，
所以cos∠F1PF2＝
＝
＝＝0，
所以△PF1F2为直角三角形．
所以＝|PF1|·|PF2|＝12.
反思与感悟 求双曲线－＝1中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式＝|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
同理可求得双曲线－＝1中焦点三角形的面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|之间的关系．
跟踪训练3 已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．1 B．4 C．6 D．8
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
答案 B
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由余弦定理得|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
即m2＋n2－mn＝8，
∴(m－n)2＋mn＝8，∴mn＝4，
即|PF1|·|PF2|＝4.
命题角度2 由双曲线定义求轨迹方程
例4 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件 |MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|, 因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且2<6＝|C1C2|.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点
(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．
(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．
(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．
跟踪训练4 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1(x≥) B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 A
解析 设动圆M的半径为r，则由已知得
|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
所以|MC1|－|MC2|＝2.
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
所以|C1C2|＝8，所以2<|C1C2|，
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支，
因为a＝，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝14，
所以点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．
1．已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．不存在 D．一条射线
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 B
解析 因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，
由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支．
2．若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是( )
A．－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2
考点 双曲线的标准方程
题点 已知方程判断曲线的类型
答案 A
解析 由题意知，k＋3>0且k＋2<0，
∴－33．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8 C．24 D．48
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
答案 C
解析 由题意得解得
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，且PF1⊥PF2，
则＝|PF1|·|PF2|＝24.
4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是________．
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 1
解析 由a>0,05．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________.
答案 －8
解析 将x2－y2＝16化为标准形式为－＝1，
所以a2＝16,2a＝8，
因为P点在双曲线左支上，
所以|PF1|－|PF2|＝－8.
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．
如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．
一、选择题
1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B.
C. D．(，0)
考点 双曲线的标准方程
题点 由双曲线方程求参数
答案 C
解析 将双曲线方程化成标准方程为－＝1，
所以a2＝1，b2＝，所以c＝＝，
故右焦点坐标为.
2．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，若双曲线上一点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为( )
A．17 B．22
C．2或22 D．7或17
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 C
解析 由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝10，
又|PF1|＝12，则P到F2的距离为2或22，经检验，均符合题意．故选C.
3．过点(1,1)且＝的双曲线的标准方程是( )
A.－y2＝1 B.－x2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1或－x2＝1
考点 求双曲线的标准方程
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
答案 D
解析 由于＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入(1,1)点，得a2＝.此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
4．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．－1－1
C．m>3 D．m<－1
答案 B
解析 依题意应有m＋1>0，即m>－1.
5．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k的值是( )
A．1 B．－1
C. D．－
考点 双曲线的标准方程
题点 由双曲线方程求参数
答案 B
解析 原方程可化为－＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c＝3，且焦点在y轴上，∴k<0.c2＝－－＝－＝9，∴k＝－1，故选B.
6．若双曲线C：2x2－y2＝m(m>0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝4，则m的值是( )
A．116 B．80 C．52 D．20
考点 双曲线与其他曲线的综合应用
题点 双曲线与其他曲线的综合应用
答案 D
解析 由抛物线y2＝16x可知其准线方程为x＝－4.
因为双曲线是轴对称图形，所以点A，B到x轴的距离均为2.不妨设点A(－4,2)．
又点A在双曲线上，将其坐标代入双曲线方程2x2－y2＝m，得m＝20，故选D.
7．已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为( )
A．9 B．10 C．16 D．20
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
答案 A
解析 △ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，
∵|AB|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝16.
根据双曲线定义知，
2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，
∴4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)
＝16－4＝12，
∴a＝3，∴m＝a2＝9.
8．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点 双曲线的标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
答案 B
解析 据已知条件得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点坐标为(0,2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
二、填空题
9．已知动圆M过定点B(－4,0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 －＝1
解析 设动圆M的半径为r，依题意有|MB|＝r，另设A(4，0)，则有|MA|＝r±4，即|MA|－|MB|＝±4.亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又4<8＝|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，且c＝4,2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，
故点M的轨迹方程是－＝1.
10．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．
考点 求双曲线的标准方程
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
答案 －＝1
解析 设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，
∴·＝－1，∴c＝5.
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线过(4，－3)，∴－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
11．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
答案 2
解析 设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
所以(x＋2)2＋x2＝4c2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.
三、解答题
12．已知点A(－7,0)，B(7,0)，C(2，－12)，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．
考点 椭圆与双曲线的综合应用
题点 椭圆与双曲线的综合应用
解 设椭圆的另一个焦点为P(x，y)，
则由题意知|AC|＋|AP|＝|BC|＋|BP|，
∴|BP|－|AP|＝|AC|－|BC|＝2<|AB|＝14，
∴点P的轨迹是以A，B为焦点，
实轴长为2的双曲线的左支，且c＝7，a＝1，
∴b2＝c2－a2＝48.
∴所求的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
13．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且两条曲线都经过点M(2,4)．
(1)求这两条曲线的标准方程；
(2)已知点P在抛物线上，且它与双曲线的左、右焦点构成的三角形的面积为4，求点P的坐标．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
解 (1)∵抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(2,4)，
∴42＝2p×2，解得p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝8x，
∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，
∴双曲线的焦点坐标为F1(－2,0)，F2(2,0)，
则a2＋b2＝c2＝4.
∵双曲线经过点M(2,4)，∴－＝1，
解得a2＝12－8，b2＝8－8.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设点P的坐标为，
由题意，得＝|F1F2|·|yP|＝2·|yP|＝4，
∴yP＝±2.
∵点P在抛物线上，∴xP＝，
∴点P的坐标为或.
四、探究与拓展
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案
解析 设A，B，C的对边分别为a，b，c.
由双曲线定义，得a－c＝10，
由正弦定理，得＝＝＝.
15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上,F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
解 (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1，
则解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
而cos∠MF2F1＝<0，
又因为∠MF2F1∈(0°，180°)，
所以∠MF2F1为钝角．
故△MF1F2为钝角三角形.
3.2 双曲线的简单性质
学习目标 1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系．
知识点一 双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线
思考 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线－＝1(a>0，b>0)的哪些性质？
答案 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．
梳理
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
实轴和虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴；线段B1B2叫作双曲线的虚轴
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
知识点二 双曲线的离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率，记为e＝，其取值范围是(1，＋∞)．e越大，双曲线的张口越大．
知识点三 双曲线的相关概念
1．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．
2．实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线方程是y＝±x.
1．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( × )
2．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( √ )
3．双曲线x2－y2＝m(m≠0)的离心率为，渐近线方程为y＝±x.( √ )
4．平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交点．( √ )
类型一 由双曲线方程研究其性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程研究其性质
解 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；
焦点坐标为(－，0)，(，0)；
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±x.
反思与感悟 由双曲线的方程研究其性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质．
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程研究其性质
解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
类型二 由双曲线的简单性质求标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
考点 双曲线性质的应用
题点 由双曲线的性质求方程
解 (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6?λ＝；
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
将点M(2，－2)代入双曲线方程，
得λ＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟 1.求双曲线的标准方程的步骤
(1)确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴．
(2)设双曲线的标准方程．
(3)根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数．
(4)求出a，b，写出方程．
2．(1)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ(2)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(3)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)焦点在x轴上，离心率为，且过点(5,4)．
考点 双曲线性质的应用
题点 由双曲线的几何性质求方程
解 (1)由题意知，2b＝8，＝，
又c2＝a2＋b2，∴a＝3，b＝4，
故双曲线方程为－＝1.
(2)由题意知，2a＝6,2c＝4a＝12，
又b2＝c2－a2，
∴a2＝9，b2＝27，
∴双曲线方程为－＝1或－＝1.
(3)∵＝，
∴双曲线为等轴双曲线，
则可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ>0)，
将点(5,4)代入双曲线方程，得λ＝9，
∴双曲线方程为－＝1.
类型三 与双曲线有关的离心率问题
命题角度1 求双曲线离心率的值
例3 设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．3
考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线的离心率的值
答案 B
解析 考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a，而|PF1|＋|PF2|＝3b，
两式等号左右两边平方后相减，得
|PF1|·|PF2|＝.
又已知|PF1|·|PF2|＝ab，
∴ab＝，得＝(负值舍去)．
∴该双曲线的离心率
e＝＝ ＝ ＝.
引申探究
若本例条件“|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab”改为“若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°”，结果如何？
解 作出满足题意的几何图形(如图)，设点P在双曲线右支上．
∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，
且∠PF1F2＝30°，
∴|PF2|＝c，|PF1|＝c.
又点P在双曲线的右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝(－1)c＝2a，
∴e＝＝＝＋1.
反思与感悟 求双曲线离心率的常见方法
(1)依据条件求出a，c，再计算e＝.
(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e＝求解．
跟踪训练3 双曲线－＝1(0考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线的离心率的值
解 依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c，
即ab＝c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0，
∴32－10×＋3＝0，
解得＝或＝3.
又∵0∴e＝ ＝2.
命题角度2 求双曲线离心率的取值范围
例4 已知F1，F2是双曲线－＝1(a，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(＋1，＋∞)
C．(1，＋1) D．(1，)
考点 双曲线的几何性质
题点 求双曲线离心率的取值范围
答案 B
解析 由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，且AF2＝BF2，
只要∠AF2B为钝角即可．
由题设可得AF1＝，
所以有>2c，即2ac解得e∈(1＋，＋∞)．故选B.
反思与感悟 求离心率的取值范围技巧
(1)根据条件建立a，b，c的不等式．
(2)通过解不等式得或的取值范围，求得离心率的取值范围．
跟踪训练4 若在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围为________．
考点 双曲线的几何性质
题点 求双曲线离心率的取值范围
答案 (2，＋∞)
解析 由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x＝.依题意，在双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x＝与右支有两个交点，故应满足>a，即>2，得e>2.
1．双曲线－y2＝1与椭圆＋＝1的( )
A．焦点相同 B．顶点相同
C．实轴与长轴相同 D．短轴与虚轴相同
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程研究其性质
答案 A
解析 －y2＝1的焦点坐标是(±4,0)，＋＝1的焦点坐标为(±4,0)，故选A.
2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．－4 B．－3 C．2 D．1
考点 双曲线性质的应用
题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题
答案 A
解析 ∵方程表示双曲线，∴a<0，标准方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝± x，∴＝，
解得a＝－4.
3．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )
A. B．2
C. D．3
考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线的离心率的值
答案 B
解析 由题意知tan 60°＝，即2b＝c，
则4b2＝3c2可得4c2－4a2＝3c2，∴2＝4，
∴e＝2.
4．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率e＝________.
考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线的离心率
答案
解析 由题意知a2＋5＝9, 解得a＝2，则e＝＝.
5．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．
考点 双曲线的简单性质
题点 由条件求渐近线方程
答案 y＝±x
解析 由条件知2b＝2,2c＝2，
∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，即a＝.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．
一、选择题
1．双曲线25x2－9y2＝225的实轴长、虚轴长、离心率分别是( )
A．10,6， B．6,10，
C．10,6， D．6,10，
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线的方程研究几何性质
答案 B
解析 双曲线25x2－9y2＝225即为－＝1，可得a＝3，b＝5，c＝＝，则实轴长为2a＝6，虚轴长为2b＝10，离心率e＝＝.
2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2 C. D．1
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程研究其性质
答案 B
解析 ∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F(4,0)到x－y＝0的距离为＝2.
3．已知双曲线x2－＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是( )
A．－4 B. C．－ D．4
考点 双曲线性质的应用
题点 由双曲线的性质求方程
答案 D
解析 ∵双曲线x2－＝1的虚轴长和实轴长分别为2和2，∴2＝4，∴m＝4.
4．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点 双曲线性质的应用
题点 由双曲线的性质求方程
答案 A
解析 双曲线C的渐近线方程为－＝0，点P(2,1)在渐近线上，∴－＝0，即a2＝4b2，
又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.
5．已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0
C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0
考点 双曲线的简单性质
题点 由条件求渐近线方程
答案 A
解析 由椭圆＋＝1知，长轴端点分别为(－5,0)和(5,0)，焦点是(－3,0)，(3,0)，
由此可知，双曲线的焦点为(－5,0)，(5,0)，
顶点为(－3,0)，(3,0)，所以双曲线方程为－＝1，
所以渐近线方程为4x±3y＝0.
6．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 依题意得，c＝3，e＝，
所以a＝2，从而a2＝4，b2＝c2－a2＝5，故选B.
7．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于( )
A．－12 B．－2 C．0 D．4
答案 C
解析 ∵y＝x为渐近线方程，则b＝2，
即双曲线方程为x2－y2＝2.
当x＝时，y＝1.
又双曲线的半焦距为2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)
＝－1＋y＝－1＋1＝0.
故选C.
8．点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
答案 D
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a，①
又因为PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，②
①2－②得－2mn＝4a2－4c2，所以mn＝－2a2＋2c2.
又因为△F1PF2的面积是9，所以mn＝9，
所以c2－a2＝9.又因为双曲线的离心率＝，
所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.
二、填空题
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________________．
考点 双曲线性质的应用
题点 由双曲线的性质求方程
答案 －＝1
解析 ∵顶点(±a,0)到渐近线的距离为1，
∴＝1，解得a＝2.∵＝，∴b＝.
∴双曲线方程为－＝1.
10.如图，F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．
考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线的离心率的值
答案 ＋1
解析 由题意知A点坐标为，
又点A在双曲线上，将点A的坐标代入双曲线方程，
得－＝1.①
又∵b2＝c2－a2，②
由①②，得e＝＋1.
11．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐行线交于点B，则△AFB的面积为________．
考点 直线与双曲线的位置关系
题点 直线与双曲线的综合应用
答案
解析 双曲线－＝1的右顶点为A(3,0)，
右焦点为F(5,0)，其渐近线方程为y＝±x，
由双曲线的对称性，不妨取与y＝x平行的直线，
则FB所在直线的方程为y＝(x－5)，
联立方程解得
∴S△AFB＝××(5－3)＝.
三、解答题
12．已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，且双曲线G的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
考点 圆锥曲线的综合应用
题点 圆锥曲线的综合应用
解 椭圆C：＋＝1的两焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.
∵圆M的圆心为(0,5)，半径为r＝3.
∴＝3，∴a＝3，b＝4.
∴双曲线G的方程为－＝1.
13．已知双曲线E：－＝1.
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围．
考点 双曲线的几何性质
题点 由双曲线的方程研究几何性质
解 (1)当m＝4时，
双曲线方程化为－＝1，
所以a＝2，b＝，c＝3，
所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，
渐近线方程为y＝±x.
(2)因为e2＝＝＝1＋，e∈，
所以<1＋<2，
解得5所以实数m的取值范围是(5,10)．
四、探究与拓展
14.如图，过双曲线－＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( )
A. B.
C.－ D.＋
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 C
解析 由双曲线－＝1，知a＝，b＝，
设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，
可以得到|MO|＝|PF1|，
又∵|PF1|＝|FP|－2a，∴|MO|＝.
连接OT，∵|FT|2＝|OF|2－|OT|2＝c2－a2＝b2，
∴|FT|＝b，∴|MT|＝|MF|－|FT|＝－b，
∴|MO|－|MT|＝b－a＝－.
15．已知等轴双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F.
(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；
(2)椭圆E的中心在原点O，右顶点与F点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A，B两点(A在第一象限)，若AB⊥AF，试求椭圆E的离心率．
考点 双曲线的几何性质
题点 求双曲线的离心率
解 (1)设双曲线的方程为－＝1(λ>0)，
则2λ＝4，解得λ＝2，
∴双曲线的方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由(1)知F(2，0)，于是a＝2.
设A(x0，y0)，则x0＝y0.①
∵AB⊥AF，且AB的斜率为1，
∴AF的斜率为－1，故＝－1，②
由①②解得x0＝，∴A(，)，
代入椭圆方程得＋＝1，
解得b2＝，∴c2＝a2－b2＝8－＝，
得c＝，∴椭圆E的离心率e＝＝＝.
滚动训练三(§1～§3)
一、选择题
1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 B
解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以点P的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为，故选B.
2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B.
C．1 D.
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线方程是y＝±x，
即x±y＝0，
所以所求距离为＝，故选B.
3．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则可令F(c,0)，B(0，b)，直线FB：bx＋cy－bc＝0与渐近线y＝x垂直，所以－·＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，所以e＝或e＝(舍去)．
4．一条直线过点，且与抛物线y2＝x交于A，B两点．若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于( )
A. B．2
C. D．4
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 与焦点弦有关的其他问题
答案 C
解析 ∵抛物线方程为y2＝x，
∴其焦点坐标为，准线方程为x＝－，
∴直线AB过抛物线焦点，
∴由抛物线的定义知，弦AB的中点到直线x＝－的距离为2，
∴弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝.
5．已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．x2＝4y D．y2＝8x
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交弦中点问题
答案 A
解析 依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝1，
∵P(2,2)为AB的中点，∴y1＋y2＝4，
由
得(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1)，
∴2p＝(y2＋y1)＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
6．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 D
解析 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.
7．椭圆＋＝1与双曲线－x2＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为( )
A．4 B．5
C．5 D．3
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 D
解析 由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,4)和F2(0，－4)，不妨设|PF1|>|PF2|，
由椭圆与双曲线的定义可得
所以|PF1|＝5＋，|PF2|＝5－.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝，
且∠F1PF2是三角形的内角，
于是sin∠F1PF2＝.
因此△PF1F2的面积S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×(5＋)×(5－)×＝3.
8．一动圆与直线x＝－1相切且始终过点(1,0)，动圆的圆心的轨迹为曲线C，那么曲线C上的一点到直线x＝－1的距离与到直线x＋y＋4＝0的距离和的最小值为( )
A. B.
C. D.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求最值
答案 B
解析 由题意知动圆的圆心轨迹为以F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x，
设抛物线上的一点P，点P到直线x＝－1的距离为d1，到直线x＋y＋4＝0的距离为d2，
由抛物线的定义知，d1＝|PF|，
所以d1＋d2＝|PF|＋d2，
|PF|＋d2的最小值为点F到直线x＋y＋4＝0的距离＝.故选B.
二、填空题
9．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案
解析 抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
则双曲线的焦距为2，则有
解得∴mn＝.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________.
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案 2
解析 双曲线的离心率e＝＝＝2，
解得＝，联立得y＝，
所以S△OAB＝×＝，
将＝代入解得p＝2.
11．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
答案 (－2，－1]
解析 将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，
得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，
则Δ＝4(a＋4)2－4a2＞0，∴a＞－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，
∴|AB|＝＝≤8，
即≤1.
又a＞－2，∴－2＜a≤－1.
三、解答题
12．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
解 椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴ 解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
13．斜率为k的直线l经过抛物线y＝x2的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，若线段|AB|的长为8.
(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线方程；
(2)求直线的斜率k.
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 与焦点弦有关的其他问题
解 (1)化y＝x2为标准方程x2＝4y，
由此，可知抛物线的焦点F的坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
于是|AB|＝y1＋y2＋2，
又|AB|＝8，所以y1＋y2＝6，
由(1)得，抛物线的焦点为(0,1)，
所以直线l的方程为y＝kx＋1，
所以kx1＋1＋kx2＋1＝6，k(x1＋x2)＝4，
由直线l的方程与抛物线方程联立得kx＋1＝，
即x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝4k，
代入k(x1＋x2)＝4，得k2＝1，k＝±1.
四、探究与拓展
14．若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为( )
A．－3 B．3
C．2 D．－2
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
答案 D
解析 由题意知，＝－1，
∴＝－1，则y1＋y2＝－1，
∵y1y2＝－1，
∴x1＋x2＝y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，
∴两点A(x1，y1)，B(x2，y2)中点坐标为，代入y＝x＋b，可得b＝－2.
15.如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°，
(1)证明：直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
(1)证明 设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x，
由解得或
即A点的坐标为.
同样由解得B点的坐标为(2k2，－2k)．
所以AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，
化简并整理，得y＝x－2.
不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.
故直线过定点P(2,0)．
(2)解 由于AB所在直线过定点P(2,0)，
所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去x并整理，
得y2－2my－4＝0，Δ＝4m2＋16>0.
所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
于是|y1－y2|＝
＝＝
＝2.
S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|)
＝|OP|·|y1－y2|
＝×2×2＝2.
所以当m＝0时，△AOB的面积取得最小值4.
滚动训练二(1.1～1.2)
一、选择题
1．平面内一动点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a，则点M的轨迹为( )
A．椭圆 B．圆
C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹
考点 椭圆的定义
题点 由椭圆定义确定轨迹
答案 D
解析 当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆，
当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段，
当2a<|F1F2|时，无轨迹．
2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于( )
A. B. C. D．4
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 C
解析 由题意可求得|PF1|＝，
由定义得|PF2|＝2a－＝4－＝.
3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 A
解析 因为2a＝18，所以a＝9.
由题意得2a＝3×2c，所以c＝3.
所以b2＝a2－c2＝72.
所以椭圆方程为＋＝1.
4．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意得，点P的坐标为或，
因为∠F1PF2＝60°，所以＝，
即2ac＝b2＝(a2－c2)，
所以e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－(舍去)．
5．当α∈时，方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆的标准方程
题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案 B
解析 因为焦点在x轴上，所以sin α>cos α，
又因为α∈，所以<α<.
6．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案 A
解析 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
∴＝a，即2b＝，
∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴＝，∴e＝＝.
7．若椭圆的中心为原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 中点弦问题
答案 D
解析 ∵椭圆的中心为原点，一个焦点为(0,2)，
则a2－b2＝4，
∴可设椭圆的方程为＋＝1，
联立消去x，
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8，
∴a2＝12，则椭圆的方程为＋＝1.
8．已知椭圆C：＋y2＝1的焦点F(1,0)，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||等于( )
A. B．2
C. D．3
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时的其他问题
答案 C
解析 如图所示，
设l与x轴交于点A1，过B点作x轴的垂线BB1，交x轴于点B1，设||＝t，
则||＝，
得||＝，||＝，
||＝，故B，
代入椭圆方程得＋＝1，
得t＝，即||＝.
二、填空题
9．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由联立，得3x2－4x＝0，
可得A(0，－1)，B，
又F1(－1,0)，
∴|F1A|＋|F1B|＝＋＝.
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求离心率的取值范围
答案
解析 设M(x，y)，因为·＝0，所以点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，其方程为x2＋y2＝c2.
由题意知，椭圆上的点在该圆的外部，设椭圆上任意一点P(x，y)，则|OP|min＝b，
所以c因为011．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 弦长问题
答案 ＋y2＝1
解析 由题意知＝，
可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±，
因此×＝，可得a＝2.
因此b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
三、解答题
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围．
考点 由椭圆方程研究简单简单性质
题点 由椭圆的几何特征求参数范围
解 依题意得F1(－c,0)，直线l：y＝k(x＋c)，
则C(0，kc)．
因为点B为线段CF1的中点，所以B.
因为点B在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.
所以＋＝1，所以k2＝.
由|k|≤，得k2≤，即≤，
所以2e4－17e2＋8≤0.解得≤e2≤8.
因为0即e的取值范围是.
13．已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m，
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时的其他问题
解 (1)由
消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①
Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，解得－3≤m≤3.
故所求实数m的取值范围是[－3，3]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①得x1＋x2＝－，x1x2＝，
故|AB|＝·
＝ ·
＝·，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.
四、探究与拓展
14．已知椭圆＋＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝4x＋m对称，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时的其他问题
答案 B
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)，kAB＝＝－，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
②－①，得3(x－x)＋4(y－y)＝0，
即y1＋y2＝3(x1＋x2)，
即y＝3x，与y＝4x＋m联立得x＝－m，y＝－3m，
而M(x，y)在椭圆的内部，则＋<1，
即－15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，椭圆上两点坐标分别为A(a,0)，B(0，b)，若△ABF2的面积为，∠BF2A＝120°.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点O(O为坐标原点)作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 求椭圆中的直线方程
(1)解 由题意，知a＝2c，b＝c，
＝×(2c－c)×c＝c2＝，
∴c＝1，a＝2，b＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，
此时△MNO为等腰直角三角形，∴|y1|＝|x1|，
又＋＝1，
解得|x1|＝＝，
即点O到直线MN的距离d＝.
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，与椭圆＋＝1联立消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0，即m2<3＋4k2.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
∴(k2＋1)－＋m2＝0，
整理得7m2＝12(k2＋1)，满足Δ>0，
∴点O到直线MN的距离d＝＝＝.
综上，点O到直线MN的距离为定值.
章末复习
学习目标 1.梳理本章知识要点，构建知识网络.2.进一步理解并掌握圆锥曲线的定义、标准方程及简单性质.3.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过点F)距离相等的点的集合
标准
方程
＋＝1
或＋＝1
(a>b>0)
－＝1
或－＝1
(a>0，b>0)
y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py
(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x
无限延展，没有渐近线
变量
范围
|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e＝，且0e＝，且e>1
e＝1
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
2.椭圆的焦点三角形
设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．
(1)焦点三角形的面积S＝b2tan .
(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
3．双曲线及渐近线的设法技巧
(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x；双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x.
(2)当双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
4．抛物线的焦点弦问题
抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论．
(1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p.
(2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p.
(3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p.
(4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.
5．三法求解离心率
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、简单性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
6．直线与圆锥曲线位置关系
(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．
(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
1．设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|－|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线．( × )
2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．( × )
3．方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x1＜x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．( √ )
4．已知方程mx2＋ny2＝1，则当m＞n时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆．( × )
5．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是.( √ )
类型一 圆锥曲线定义的应用
例1 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
解 由双曲线方程－＝1，
可知a＝3，b＝4，c＝＝5.
由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝6，
将此式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2
＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.
如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝
＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，
所以＝|PF1||PF2|＝×32＝16.
引申探究
将本例的条件|PF1|·|PF2|＝32改为|PF1|∶|PF2|＝1∶3，求△F1PF2的面积．
解 由条件知
所以
所以cos ∠F1PF2＝
＝＝－.
所以sin ∠F1PF2＝，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝×3×9×＝4.
即△F1PF2的面积为4.
反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
跟踪训练1 (1)已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随m，n变化而变化
考点 椭圆与双曲线的综合应用
题点 椭圆与双曲线的综合应用
答案 B
解析 设P为双曲线右支上的一点．
对椭圆＋y2＝1(m>1)，c2＝m－1，
|PF1|＋|PF2|＝2，
对双曲线－y2＝1，c2＝n＋1，
|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
|F1F2|2＝4c2＝2(m＋n)，
而|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝4c2＝|F1F2|2，
∴△F1PF2是直角三角形，故选B.
(2)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程
答案 C
解析 把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
所以动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等，且直线3x＋4y－12＝0不经过原点，
所以动点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
类型二 圆锥曲线的性质及其应用
例2 (1)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
(2)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．
考点 圆锥曲线的综合应用
题点 圆锥曲线的综合应用
答案 (1)A (2)
解析 (1)a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，
C1的离心率为，
双曲线C2的方程为－＝1，C2的离心率为.
∵C1与C2的离心率之积为，
∴·＝，
∴2＝，＝，
∴C2的渐近线方程为y＝±x，
即x±y＝0.
(2)抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，又△FAB为直角三角形，
则只有∠AFB＝90°，如图，
则A(－1,2)应在双曲线上，
代入双曲线方程可得a2＝，
于是c＝＝.
故e＝＝.
反思与感悟 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利解决．
跟踪训练2 (1)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案
解析 由可得B，C.
又由F(c,0)，得＝，
＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
化简可得2a2＝3c2，即e2＝＝，
故e＝.
(2)已知抛物线x2＝8y的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离为，点P是抛物线x2＝8y上的一动点，P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为________．
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题
答案 －y2＝1
解析 抛物线焦点为F(0,2)，准线为y＝－2，
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，
依题意可得＝，
即＝，
又P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，
所以|PF|＋|PF2|≥|FF2|＝3，
在Rt△FOF2中，|OF2|＝＝，
所以c＝，所以a＝2，b＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
类型三 直线与圆锥曲线的位置关系
例3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆位置关系的综合应用
解 (1)由题意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知F2(1,0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程得
化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＝8k2＋8>0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为.
①当k≠0时，AB的中垂线方程为
y－＝－，
因为|MA|＝|MB|，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得，
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，或.
反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
跟踪训练3 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；
(3)在(2)的条件下，求△OAB面积的最大值．
考点 转化与化归思想的应用
题点 转化与化归思想的应用
(1)解 因为椭圆的右焦点为(，0)，离心率为，
所以所以a＝，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程，
消元可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以·＝0.
所以x1x2＋y1y2＝0，
即(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
所以(1＋k2)－km×＋m2＝0，
所以4m2＝3(k2＋1)，
由Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0，
得12k2＋4>4m2，代入4m2＝3(k2＋1)，得9k2＋1>0，所以Δ>0恒成立．
所以原点O到直线的距离为d＝＝.
当直线AB斜率不存在时，
由椭圆的对称性可知x1＝x2，y1＝－y2，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
所以x－y＝0，
因为x＋3y＝3，所以|x1|＝|y1|＝，
所以原点O到直线的距离为d＝|x1|＝，
综上，点O到直线AB的距离为定值．
(3)解 当直线AB的斜率存在时，由弦长公式可得
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝ ≤ ＝2，
当且仅当k＝±时，等号成立，
所以|AB|≤2.
当直线AB斜率不存在时，|AB|＝|y1－y2|＝<2，
所以△OAB的面积＝|AB|d≤×2×＝，
所以△OAB面积的最大值为.
1．双曲线x2－＝1的离心率大于的充要条件是( )
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求参数
答案 C
解析 双曲线x2－＝1的离心率e＝.
又因为e>，所以>，所以m>1.
2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 椭圆的标准方程
题点 求椭圆的标准方程
答案 A
解析 ∵两焦点恰好将长轴三等分，2a＝18，
∴2c＝×2a＝6，∴c＝3，
又b2＝a2－c2＝72，
故椭圆的方程为＋＝1.
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 椭圆的标准方程的求法
题点 定义法求椭圆的标准方程
答案 A
解析 根据题意，因为△AF1B的周长为4，
所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，
所以a＝.
又因为椭圆的离心率e＝＝，
所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
4．设椭圆＋＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为________．
考点 圆锥曲线的综合应用
题点 椭圆与抛物线的综合应用
答案 ＋＝1
解析 ∵y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴＋＝1的右焦点为(2,0)，
∴m>n且c＝2.
又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴椭圆方程为＋＝1.
5．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案 6
解析 如图，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，
所以B点坐标为.
又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.
在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题．
一、选择题
1．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A．2 B.
C. D.
考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线的离心率
答案 C
解析 双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x.
依题意·＝－1，故＝1.
所以＝1，即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝.
2．方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
考点 双曲线的标准方程
题点 已知方程判断曲线类型
答案 D
解析 ∵sin θ－1<0,2sin θ＋3>0，
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
3．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
考点 椭圆的标准方程
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
答案 A
解析 ∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，
∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3,4)，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点 双曲线的标准方程
题点 待定系数法求双曲线方程
答案 C
解析 由已知条件，得2r＝|F1F2|＝2c，
即r＝c，而r＝|OP|＝5.
渐近线方程为y＝±x，
又点P(3,4)在直线y＝x上，
所以解得
所以双曲线方程为－＝1.
5.如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2：－＝1的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是( )
A. B. C.或 D.
考点 圆锥曲线的综合应用
题点 椭圆与双曲线的综合应用
答案 B
解析 由x2－＝1得|F1F2|＝2c＝4，则|F1A|＝4，
由双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝2，∴|AF2|＝2，
由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝4＋2＝6＝2a，
2c＝4，∴a＝3，c＝2，则e＝＝.
6．已知曲线＋＝1和直线ax＋by＋1＝0(a，b为非零实数)在同一坐标系中，它们的图像可能为( )
考点 圆锥曲线的综合应用
题点 由图像判断曲线类型
答案 C
解析 直线ax＋by＋1＝0中，与x轴的交点为P，与y轴的交点为，在图A，B中，曲线表示椭圆，则a>b>0，直线与坐标轴负半轴相交，图形不符合．在图C，D中，a>0，b<0，曲线为双曲线，直线与x轴负半轴相交，与y轴正半轴相交，D中图形不符合，而C中图形正确，故选C.
7．已知点A(4,0)，抛物线C：x2＝12y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|∶|MN|等于( )
A．3∶5 B．3∶4
C．2∶3 D．4∶5
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
答案 A
解析 抛物线焦点F(0,3)，
又A(4,0)，所以FA的方程为3x＋4y－12＝0，
设M(xM，yM)．
由可得xM＝3(负值舍去)，
所以yM＝，所以＝＝.
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a等于( )
A．2 B．1
C. D.
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案 D
解析 根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.
不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，
由已知得－×2＝－1，故a＝.
二、填空题
9．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为__________．
答案 y＝±x
解析 ∵a＝4，b＝3.
又∵双曲线的焦点在x轴上，∴y＝±x＝±x.
10．设中心在原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________________．
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 2x2－2y2＝1
解析 椭圆的焦点为(±1,0)，
∴双曲线的焦点为(±1,0)，
∴设双曲线的方程为－＝1，
椭圆的离心率e＝，∴双曲线的离心率e′＝，
∴c2＝1＝2a2.又c2－a2＝b2，∴a2＝b2＝，
故所求双曲线方程为2x2－2y2＝1.
11．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·＝________.
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆性质的综合应用
答案 －2
解析 由题意，得c＝＝，
又＝2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，∴当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时∠F1PF2＝120°.
∴·＝||·||·cos 120°
＝2×2×＝－2.
三、解答题
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB＝8，BC＝6，其中A(－4,0)，B(4,0)．
(1)若A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，求该椭圆的方程；
(2)若A，B为双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，求双曲线的方程．
考点 圆锥曲线的综合应用
题点 椭圆与双曲线的综合应用
解 (1)∵A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，
连接AC，则|AC|＝＝10，
根据椭圆的定义，|CA|＋|CB|＝16＝2a，
∴a＝8.
在椭圆中，b2＝a2－c2＝64－16＝48，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)∵A，B是双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，
根据双曲线的定义，|CA|－|CB|＝4＝2a′，
∴a′＝2.
在双曲线中，b′2＝c′2－a′2＝16－4＝12，
∴双曲线方程为－＝1.
13．已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线l：y＝x＋1交抛物线C于A，B两点，求△AOB的面积．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 弦长与中点弦的问题
解 (1)∵抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)，
∴抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)联立得x2－4x－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2),
则x1＋x2＝4，x1x2＝－4，
∴|AB|＝＝8.
又O(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝，
∴△AOB的面积为S＝×|AB|×d
＝×8×＝2.
四、探究与拓展
14.如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为________．
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案 －1
解析 设椭圆的左焦点为F′，
抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF′，
∴F，F′，
可得焦距|FF′|＝p＝2c(c＝，为椭圆的半焦距)．
对抛物线方程y2＝2px，令x＝，
得y2＝p2，所以|AF|＝|yA|＝p，yA为点A的纵坐标．
∴在Rt△AFF′中，|AF|＝|FF′|＝p，可得AF′＝p，
再根据椭圆的定义，可得|AF|＋|AF′|＝2a＝(1＋)p，
∴该椭圆的离心率为e＝＝＝＝－1.
15．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个顶点A(0，)，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E相切于点P，且与直线x＝4相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆过定点N(1,0)．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 定点(定值)问题．
(1)解 由已知可得，
∴a2＝4，b2＝3，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
(2)证明 联立方程＋＝1与y＝kx＋m，消元得，
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∵曲线E与直线只有一个公共点，
∴Δ＝0，化简可得m2＝4k2＋3，故m≠0.
设P(xP，yP)，
故xP＝＝－，
yP＝kxP＋m＝，
故P.
又由得Q(4,4k＋m)．
∵N(1,0)，＝，＝(3,4k＋m)，
∴·＝3＋－－3＝0，
∴⊥，
∴以PQ为直径的圆过定点N(1,0)．
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 C
解析 抛物线的焦点到准线的距离为p＝4.
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是( )
A．k＞3 B．2＜k＜3
C．k＝2 D．0＜k＜2
考点 椭圆与双曲线的综合应用
题点 椭圆与双曲线的综合应用
答案 C
解析 由9－k2＝k＋3，即k2＋k－6＝0，解得k＝2或－3.
又由题意知k2<9且k>0，所以03．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点 双曲线性质的应用
题点 求双曲线的标准方程
答案 A
解析 依题意得c＝4，e＝＝＝2，a＝2，
b2＝c2－a2＝12，
因此所求的双曲线的标准方程为－＝1，故选A.
4．若双曲线的顶点为椭圆x2＋＝1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝1 B．y2－x2＝1
C．x2－y2＝2 D．y2－x2＝2
考点 椭圆与双曲线的综合应用
题点 椭圆与双曲线的综合应用
答案 D
解析 椭圆x2＋＝1的离心率为，则双曲线的离心率为，且双曲线的顶点为(0，±)，故选D.
5．已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 D
解析 ∵y2＝8x焦点是(2,0)，
∴双曲线 －y2＝1的半焦距c＝2，又虚半轴长b＝1且a>0，所以a＝＝，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.
6．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线的渐近线方程
答案 A
解析 ∵2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝，
则a＝＝，∴＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
7．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
考点 圆锥曲线的综合问题
题点 圆锥曲线的综合问题
答案 A
解析 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k(k>0)．
若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，
∴e＝＝＝；
若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，
∴e＝＝＝.
8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )
A. B．2
C．4 D．8
考点 双曲线与抛物线的综合应用
题点 双曲线与抛物线的综合应用
答案 C
解析 设双曲线的方程为－＝1(a>0)，
抛物线的准线为x＝－4，且|AB|＝4，
故可得A(－4,2)，B(－4，－2)，
将点A的坐标代入双曲线方程，得a2＝4，
故a＝2，故实轴长为4.
9．已知椭圆＋＝1(0A．2 B. C. D.
考点 椭圆的定义
题点 椭圆的焦点三角形
答案 D
解析 由椭圆的方程＋＝1(0∵|AF1|＋|AF2|＝2a＝6，|BF1|＋|BF2|＝2a＝6，
∴△AF2B的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝12.
若|AB|最小，则|BF2|＋|AF2|最大．
又当AB与x轴垂直时，|AB|最小，
此时|AB|＝＝，
∴12－＝8，解得b＝，故选D.
10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 C
解析 如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，
所以所求抛物线方程为y2＝x.
虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
11.设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B. C. D.
考点 椭圆的性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案 C
解析 ∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|＝|F1F2|，∵P为直线x＝上一点，
∴＝cos 60°，∴e＝＝，故选C.
12.如图，直线y＝x－2与圆x2＋y2－4x＋3＝0及抛物线y2＝8x依次交于A，B，C，D四点，则|AB|＋|CD|等于( )
A．13 B．14
C．15 D．16
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 焦点弦长与中点坐标
答案 B
解析 由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，
∵抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，且直线y＝x－2过(2,0)点，
∴|AB|＋|CD|＝|AD|－2，
联立直线y＝x－2与y2＝8x，可得x2－12x＋4＝0，
设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝12，
则有|AD|＝x1＋x2＋4＝16，
故|AB|＋|CD|＝16－2＝14，故选B.
二、填空题(共大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为________．
考点 双曲线的简单性质
题点 求双曲线的渐近线方程
答案 y＝±x
解析 双曲线的右焦点到左顶点的距离为a＋c.右焦点到渐近线y＝±x的距离为d＝ ＝b，所以有a＋c＝2b，又由a2＋b2＝c2，解得3b＝4a，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
14．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为________________．
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 ＋＝1
解析 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，
双曲线x2－y2＝1的焦点坐标为(±，0)
由题意得
∴a2＝4，b2＝2，
∴椭圆的方程为＋＝1.
15．直线x－2y＋3＝0与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且P(－1,1)恰好为AB中点，则椭圆的离心率为________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时弦中点问题
答案
解析 由消去x，
得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，
Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，
∵线段AB的中点为(－1,1)，
∴＝2，得a2＝2b2.
又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2，∴e＝＝.
16．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 最值问题
答案 32
解析 若k不存在，则y＋y＝32.若k存在，设直线AB的斜率为k，当k＝0时，直线AB的方程为y＝0，不合题意，故k≠0.
由题意设直线AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)．
由得ky2－4y－16k＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝－16.
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝2＋32＞32.
∴y＋y的最小值为32.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知一个椭圆中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为2.一双曲线和这个椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的标准方程．
考点 椭圆与双曲线的综合应用
题点 椭圆与双曲线的综合应用
解 ①若焦点在x轴上，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，c＝.
设双曲线方程为－＝1，m＝a－4.
∵＝，∴可得a＝7，m＝3.∴b2＝36，n2＝4.
∴椭圆的标准方程为＋＝1，
双曲线的标准方程为－＝1.
②若焦点在y轴上，同理可得椭圆的标准方程为＋＝1，双曲线的标准方程为－＝1.
18．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
解 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
把(4，－)代入双曲线方程得42－(－)2＝λ，
∴λ＝6，∴所求双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)知双曲线方程为x2－y2＝6，
∴双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．
∵点M在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3.
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)
＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.
19．(12分)已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别与双曲线C1的两条渐近线相交于A，B两点．当·＝3时，求实数m的值．
考点 直线与双曲线的位置关系
题点 直线与双曲线位置关系的综合应用
解 (1)∵双曲线C1：x2－＝1，
∴焦点坐标为(，0)，(－，0)．
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)，
∴解得
∴双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2)双曲线C1的两条渐近线方程为y＝2x，y＝－2x.
由可得x＝m，y＝2m，∴A(m,2m)．
由可得x＝－m，y＝m，
∴B.
∴·＝－m2＋m2＝m2.
∵·＝3，∴m2＝3，∴m＝±.
20．(12分)已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
(1)椭圆的方程；
(2)△PF1F2的面积．
考点 椭圆的简单性质
题点 求椭圆的标准方程
解 (1)令F1(－c,0)，F2(c,0)，
则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，
所以·＝－1，即·＝－1，
解得c＝5，所以设椭圆方程为＋＝1.
因为点P(3,4)在椭圆上，所以＋＝1.
解得a2＝45或a2＝5.
又因为a>c，所以a2＝5舍去．
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②
①2－②，得2|PF1|·|PF2|＝80，
所以＝|PF1|·|PF2|＝20.
21．(12分)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4，0)．
(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
(1)解 由已知，x＝4不合题意．设直线l的方程为
y＝k(x－4)，
由已知，抛物线C的焦点坐标为(1,0)，
因为点F到直线l的距离为，
所以＝，
解得k＝±，所以直线l的斜率为±.
(2)证明 设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为AB不垂直于x轴，
则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，
直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，
联立方程消去x，得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝，
因为N为AB的中点，所以＝y0，即＝y0，
所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长半轴长和短轴长相等，且过(0,1)点，圆C1：x2＋y2＝5.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线m：y＝kx＋n(k≠0)与椭圆C有且只有一个公共点Q；且m与圆C1相交于A，B两点，问Q能成为线段AB的中点吗？请说明理由．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 中点弦问题
解 (1)∵椭圆C：＋＝1过点(0,1)，
∴b＝1，又∵a＝2b，∴a＝2，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)∵直线m与椭圆C只有一个公共点Q，
∴方程组有且只有一组解，
即(1＋4k2)x2＋8knx＋4n2－4＝0，
从而Δ＝64k2n2－4(1＋4k2)(4n2－4)＝0，
化简得n2＝1＋4k2，设Q(xQ，yQ)，
则xQ＝－＝－＝－，
yQ＝kxQ＋n＝，
∴点Q的坐标为，
由于k≠0，n≠0，∴kOQ×k＝－×k＝－≠－1，
∴OQ与AB不垂直，∴点Q不是线段AB的中点．
1 利用导数研究函数单调性常见题型
1．运用导数求函数的单调区间
利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，得单调区间．
例1 求函数f(x)＝x(ex－1)－x2的单调区间．
解 由已知，得当f′(x)＝(ex－1)(x＋1)＝0时，有x＝0或x＝－1.
当x<－1时，f′(x)>0；当－1当x>0时，f′(x)>0.
故f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(0，＋∞)，递减区间是(－1,0)．
点评 单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“∪”连接，中间用“，”或“和”连接．
例2 已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的递减区间为________．
分析 先求函数f(x)的定义域和导数，再结合定义域解f′(x)<0即可．
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋3－.
令f′(x)<0，即2x＋3－＝<0，
结合定义域知x>0，且2x2＋3x－2<0，解得0即函数f(x)的递减区间为.
答案
点评 求解该类问题时要注意两点：①不要忽视定义域；②如有多个递增(减)区间，不要把这些区间取并集．
2．证明不等式
例3 求证：当x>1时，ln x>－.
分析 可构造函数f(x)＝ln x－，由于f(1)＝0，故若能证明f(x)在(1，＋∞)上是增加的，即证明在(1，＋∞)上，导函数f′(x)>0恒成立即可．
证明 令f(x)＝ln x－，则有f(1)＝0.
因为f′(x)＝＋x＝>0，x∈(1，＋∞)，
所以函数f(x)在(1，＋∞)上是增加的，
又f(1)＝0，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0恒成立，
即ln x>－.
点评 证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)的一般方法：构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈(a，b)，分析F(x)在区间(a，b)上的单调性及最小值与0的大小，进而说明F(x)>0在(a，b)内恒成立即可．
3．求参数的取值范围
例4 已知函数f(x)＝x3－ax2＋1.
(1)若函数f(x)的递减区间是(0,2)，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在区间(0,2)上是减少的，求实数a的取值范围．
分析 注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆．
解 (1)由f(x)的递减区间为(0,2)可知，0与2是方程f′(x)＝3x2－2ax＝0的两根，
故有3×22－2a×2＝0，解得a＝3.
(2)因为函数f(x)在区间(0,2)上是减少的，
所以f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0,2)上恒成立，
即2a≥3x在区间(0,2)上恒成立．
因为x∈(0,2)，所以3x∈(0,6)，故2a≥6，即a≥3.
经验证a＝3时满足题意，
故a的取值范围为[3，＋∞)．
点评 若函数f(x)在区间D上是增加的(减少的)，则有f′(x)≥0(f′(x)≤0)对x∈D恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大(小)值问题求解．也可根据所给区间是递增(减)区间的子区间求解．
2 巧用导数求极值
1．函数的极值点的判定方法
设函数f(x)在x0处连续，判定f(x0)是极大(小)值点的方法是：(1)如果在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(3)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值．极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值．
2．极值常见题型详解
(1)利用导数求函数的极值
例1 求函数f(x)＝xln x的极值点．
解 f′(x)＝ln x＋1，x>0.
而f′(x)>0?ln x＋1>0?x>，
f′(x)<0?ln x＋1<0?0所以f(x)在上是减少的，
在上是增加的．
所以x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．
点评 求极值问题一定注意函数的定义域，所以在定义域内研究函数的极值是求极值时应注意的知识点，再利用求极值的步骤求解即可．
(2)含参数的极值问题
例2 设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax，讨论函数f(x)的单调区间和极值．
解 由已知，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝.
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增加的，无极值；
②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增加的；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减少的．
所以当x＝时，f(x)有极大值，
极大值为f＝ln －1＝－ln a－1.
综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)，无极值；
当a>0时，f(x)的递增区间为，递减区间为，极大值为－ln a－1，无极小值．
点评 本题通过求导，把问题转化为含参数的不等式问题，需要对问题进行讨论，讨论时需要全面，避免遗漏．
(3)极值问题的逆向考查
例3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－ B．－2
C．－2或－ D．不存在
解析 由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
所以
解得或经检验
满足题意，所以＝－.故选A.
答案 A
点评 本题是已知极值求参数，逆向考查了极值的含义，解题关键是需要对所求参数进行讨论，是否满足极值的条件．如果不满足，需要舍去．
3 分类讨论思想在导数中的应用
分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？
1．按导数为零的根的大小来分类
例1 设函数f(x)＝－x(x－a)2(x∈R)，其中a∈R且a≠0，求函数f(x)的极大值和极小值．
解 f′(x)＝－(3x－a)(x－a)，令f′(x)＝0，
解得x＝a或x＝.
当a>，即a>0，x∈时，f′(x)<0，
x∈时，f′(x)>0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极小值－a3，在x＝a处取得极大值0.
当a<，即a<0，x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，
x∈时，f′(x)>0，x∈时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极大值－a3，在x＝a处取得极小值0.
点评 本题对f(x)求导后，得到一个二次函数，令f′(x)＝0得到的两个根是含有参数的，因此应按两个根的大小来分类．
2．按是否为二次函数来分类
例2 已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1，讨论f(x)的单调性．
解 f′(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．
(1)当a＝0时，h(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)是减少的；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)是增加的．
(2)当a≠0时，由f′(x)＝0，
解得x1＝1，x2＝－1，
①当a＝，即x1＝x2时，h(x)≥0恒成立，
此时f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上是减少的；
②当01>0，
x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)是减少的，
x∈时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)是增加的，
x∈时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)是减少的；
③当a<0时，－1<0<1，
x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)是减少的，
x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)是增加的．
综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上是减少的，
在(1，＋∞)上是增加的；
当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的；
当0点评 由于f′(x)的分子是一个二次项含参的函数，因此在分类讨论时，首先应按a是否为零，即该函数是否为二次函数来分类，然后当a≠0时，再按根的大小来分类(与例1类似)，另外，应注意参数的范围．
3．按最值来分类
例3 设函数f(x)＝ex－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围．
解 令g(x)＝f(x)－ax，
则g′(x)＝f′(x)－a＝ex＋e－x－a，
由于ex＋e－x＝ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立)，
所以当a≤2时，
g′(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，
故g(x)在(0，＋∞)上是增加的．
所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax.
当a>2时，方程g′(x)＝0的根为
x1＝ln <0，
x2＝ln >0，
此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，
故g(x)在区间(0，x2)内是减少的．
所以当x∈(0，x2)时，g(x)即f(x)综上所述，满足条件的实数a的取值范围为(－∞，2]．
点评 本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论．
小结 通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤为：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论．
§1 函数的单调性与极值
1．1 导数与函数的单调性
学习目标 1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
知识点一 导函数的符号与函数的单调性的关系
思考1 f(x)＝x2在(－∞，0)上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的，那么f′(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上的函数值的大小如何？
答案 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
思考2 y＝f(x)在区间(a，b)上的单调性与y＝f′(x)在区间(a，b)上的函数值的正、负有何关系？
答案 在区间(a，b)上，f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增加的；
在区间(a，b)上，f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上是减少的．
梳理 (1)在区间(a，b)内函数导数的符号与函数单调性有如下关系：
导函数的正、负
函数的单调性
f′(x)>0
增加的
f′(x)<0
减少的
f′(x)＝0
常函数
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导函数的正、负
增加的
f′(x)≥0
减少的
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍是增加的(减少的情形完全类似)．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
知识点二 函数的变化快慢与导函数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些．
1．函数的导数越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓”．( × )
2．函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( × )
3．函数在某个区间上变化的越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( √ )
4．若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充要条件．( × )
5．若f(x)的图像在[a，b]上是一条连续曲线，且f(x)在(a，b)上f′(x)<0，则f(x)在[a，b]上是减少的．( √ )
类型一 原函数和导函数图像之间的关系
例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的( )
考点 函数变化的快慢与导数的关系
题点 根据原函数的图像确定导函数的图像
答案 C
解析 由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：
x
(－1，b)
(b，a)
(a,1)
f(x)
↘
↗
↘
f′(x)
－
＋
－
由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图像在x轴下方．故选C.
反思与感悟 1.对于原函数图像，要看其在哪个区间内是增加的，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内是减少的，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像．
2．对于导函数的图像可确定原函数的递增(减)区间及增减快慢．
跟踪训练1 函数y＝f(x)在定义域内可导，其图像如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是( )
A.∪[2,3)
B.∪
C.)∪[1,2]
D.∪∪
考点 函数变化的快慢与导数的关系
题点 根据原函数图像确定导函数图像
答案 A
解析 求f′(x)≤0的解集，即求函数f(x)在上的递减区间．由题干图像可知y＝f(x)的递减区间为，[2,3)．
类型二 利用导数求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
(2)f(x)＝3x2－2ln x.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
解 (1) f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)＞0，得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)＜0，解得－3故f(x)的递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
递减区间是(－3,2)．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，
解得x>.
令f′(x)<0，即2·<0，
解得0∴f(x)的递增区间为，
递减区间为.
反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤
(1)优先确定f(x)的定义域．
(2)计算导函数f′(x)．
(3)解f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为递增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为递减区间．
跟踪训练2 求函数f(x)＝的单调区间．
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
解 函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，
所以函数f(x)的递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3.
又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
类型三 含参数函数的单调性
例3 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范围是________．
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 [1，＋∞)
解析 由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
因为k≥，而0<<1，所以k≥1，
即k的取值范围为[1，＋∞)．
引申探究
1．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
解 f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－，
当k≤0时，函数的递减区间为(0，＋∞)；
当k>0时，函数的递增区间为，递减区间为.
2．若f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 由引申探究1知k>0，且>1，
则0反思与感悟 1.讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．
2．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
3．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2＋2aln x.
(1)试讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减少的，求实数a的取值范围．
考点 利用函数的单调性求变量
题点 已知函数的单调性求参数
解 (1)f′(x)＝2x＋＝，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
①当a≥0时，f′(x)>0，
f(x)的递增区间为(0，＋∞)；
②当a<0时，f′(x)＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
↗
由上表可知，函数f(x)的递减区间是(0，)；递增区间是(，＋∞)．
(2)由g(x)＝＋x2＋2aln x，得g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函数g(x)为[1,2]上为减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即a≤－x2在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，
则h′(x)＝－－2x＝－<0，x∈[1,2]，
所以h(x)在[1,2]上是减少的，h(x)min＝h(2)＝－，
所以a≤－.
故实数a的取值范围为.
1．f(x)＝(x－3)ex的递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数的函数求单调区间
答案 D
解析 f′(x)＝ex＋(x－3)·ex＝(x－2)ex>0，
解得x>2，
所以f(x)的递增区间是(2，＋∞)．
2．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则函数的递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
答案 C
解析 由已知得函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－＝，
由f′(x)>0，可得x2－x－2>0，
得x>2.
3．若函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是( )
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
考点 利用函数的单调性求变量
题点 已知函数的单调性求参数
答案 A
解析 ∵函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，
∴f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0在R上恒成立，
∴判别式Δ＝16－12m≤0，即m≥.
4．若函数y＝f(x)＝a(x3－x)的递减区间为，则a的取值范围是________．
考点 利用函数的单调性求变量
题点 已知函数的单调性求参数
答案 (0，＋∞)
解析 f′(x)＝a(3x2－1)＝3a，
令f′(x)<0，由已知得－可得a>0.
5．已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的．
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 根据导数判定(证明)函数的单调性
证明 y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)，
当a>1时，因为ln a>0，ax<1，
所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的；
当01，
所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的．
综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)上是增加的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 根据导数判定函数的单调性
答案 B
解析 显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xex，因为ex恒大于零，易知y＝xex在(0，＋∞)上是增加的；
对于C，y′＝3x2－1＝3，
故函数在，上是增加的，
在上是减少的；对于D，y′＝－1(x>0)．
故函数在(1，＋∞)上是减少的，在(0,1)上是增加的．故选B.
2．函数y＝f(x)＝xcos x－sin x的递增区间为( )
A. B.
C. D.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 根据导数判定函数的单调性
答案 B
解析 y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，
若y＝f(x)在某区间内是增加的，
只需在此区间内y′>0恒成立即可，
∴只有选项B符合题意，
当x∈(π，2π)时，y′>0恒成立．
3．函数f(x)＝x－ln x的递减区间为( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(0,1] D．(0，＋∞)
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
答案 C
解析 ∵f′(x)＝1－＝(x>0)，令f′(x)≤0，解得04．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增加的
B．在(1,3)上f(x)是减少的
C．在(4,5)上f(x)是增加的
D．在(－3，－2)上f(x)是增加的
考点 函数变化的快慢与导数的关系
题点 根据导函数图像研究原函数图像
答案 C
解析 由题图知，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上f(x)是增函数．
5．函数f(x)＝ax3－x在R上是减少的，则( )
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
考点 利用函数的单调性求变量
题点 已知函数的单调性求参数
答案 A
解析 f′(x)＝3ax2－1，由题意知，对任意x∈R，
3ax2－1≤0，当a>0时，显然不符合题意，
当a≤0时，成立．故a≤0.
6．已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示，选项中的四个图像能大致表示y＝f(x)的图像的是( )
答案 C
解析 由题图可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此时原函数是增加的，图像应是上升的；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＜0，此时原函数为是减少的，图像应是下降的；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＜0，此时原函数是减少的，图像应是下降的；当x＞1时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＞0，此时原函数是增加的，图像应是上升的．由上述分析可知选C.
7．已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是( )
A．减少的 B．增加的
C．先增加后减少 D．先减少后增加
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 根据导数判定(证明)函数的单调性
答案 B
解析 因为函数f(x)在定义域R上是增加的，
所以f′(x)≥0在R上恒成立．
又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，
所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立，
所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内是增加的．
8．若f(x)＝，eA．f(a)>f(b)
B．f(a)＝f(b)
C．f(a)D．f(a)f(b)>1
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 比较函数值的大小
答案 A
解析 因为f′(x)＝＝，
当x∈(e，＋∞)时，1－ln x<0，
所以f′(x)<0，
所以f(x)在(e，＋∞)内是减少的．
故f(a)>f(b)，故选A.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝kex－1－x＋x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的递减区间为____________．
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 含参数的函数求单调区间
答案 (－∞，0)
解析 f′(x)＝kex－1－1＋x，
∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，
∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，
故f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)的递减区间为(－∞，0)．
10．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上是增加的，则实数m的取值范围为__________．
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数的单调性求参数
答案
解析 ∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．
令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，
∴当x>2时，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)上是增加的，
∴m≤2＋＝.
11．函数f(x)的图像如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为________．
考点 函数变化快慢与导数的关系
题点 求解不等式
答案 (－3，－1)∪(0,1)
解析 由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f′(x)<0，
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
三、解答题
12．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内是减少的，在区间(6，＋∞)内是增加的，试求实数a的取值范围．
考点 利用函数的单调性求变量
题点 已知函数的单调性求参数
解 f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a－1.
因为f(x)在(1,4)内是减少的，
所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0；
因为f(x)在(6，＋∞)内是增加的，
所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0.
所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7，
所以实数a的取值范围为[5,7]．
13．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图像如图，f(x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
考点 利用函数的单调性求变量
题点 已知函数的单调性求参数
解 (1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，
其图像为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，
把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
∴ 解得
∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2.
(2)f′(x)＝＋2x－8＝(x>0)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
↘
↗
∴f(x)的递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，f(x)的递减区间为(1,3)．
要使函数f(x)在区间上是单调函数，
则 解得即实数m的取值范围为.
四、探究与拓展
14．定义在R上的函数f(x)，g(x)的导函数分别为f′(x)，g′(x)且f′(x)A．f(1)＋g(0)B．f(1)＋g(0)>g(1)＋f(0)
C．f(1)－g(0)>g(1)－f(0)
D．f(1)－g(0)答案 A
解析 令h(x)＝f(x)－g(x)(x∈R)，
因为f′(x)所以h′(x)＝f′(x)－g′(x)<0(x∈R)，
即h(x)＝f(x)－g(x)在R上是减少的，
所以h(0)>h(1)，即f(0)－g(0)>f(1)－g(1)，
所以f(1)＋g(0)15．已知x>0，求证：x>sin x.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 利用导数证明不等式
证明 设f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是增加的，又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴x>sin x(x>0)．
1.2 函数的极值
学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一 函数的极值点与极值的概念
思考 观察函数f(x)＝x3－2x的图象．
f′(－)的值是多少？在x＝－左、右两侧的f′(x)有什么变化？
f′()的值是多少，在x＝左、右两侧的f′(x)又有什么变化？
答案 f′(－)＝0，在x＝－的左侧f′(x)>0，在x＝－的右侧f′(x)<0；
f′()＝0，在x＝的左侧f′(x)<0，在x＝的右侧f′(x)>0.
梳理 (1)如图1，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
(2)如图2，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
(3)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
知识点二 函数极值的判定
1．单调性判别：
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．
2．图表判别：
(1)极大值的判定：
x
(a，x0)
x0
(x0，b)
f′(x)
＋
0
－
y＝f(x)
增加↗
极大值
减少↘
(2)极小值的判定：
x
(a，x0)
x0
(x0，b)
f′(x)
－
0
＋
y＝f(x)
减少↘
极小值
增加↗
知识点三 求函数y＝f(x)的极值的步骤
1．求出导数f′(x)．
2．解方程f′(x)＝0.
3．对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：
(1)若f′(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点；
(2)若f′(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点；
(3)若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．
1．导数值为0的点一定是函数的极值点．( × )
2．在可导函数的极值点处，切线与x轴平行．( × )
3．函数f(x)＝无极值．( √ )
4．定义在[a，b]上的连续函数f(x)若有极值f(x0)，则x0∈(a，b)．( √ )
5．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．( √ )
类型一 求函数的极值
例1 求下列函数的极值．
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝x2－2ln x.
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
解 (1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值21
↘
极小值－6
↗
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.
(2)函数f(x)＝x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
解方程＝0，
得x1＝1，x2＝－1(舍去)．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值1
↗
因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．
反思与感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．
(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根．
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图像也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
解 (1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4
＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
f′(0)＝a＋b－4＝4，①
又f(0)＝b＝4，②
由①②可得a＝b＝4.
(2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，
则f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4
＝4ex(x＋2)－2(x＋2)
＝(x＋2)(4ex－2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln 2，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－ln 2)
－ln 2
(－ln 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上是增加的，
在(－2，－ln 2)上是减少的．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
类型二 已知函数极值求参数
例2 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解 (1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，
∴
解方程组得a＝－，b＝－，
经验证，当a＝－，b＝－时，x＝1与x＝2是函数f(x)的两个极值点．
∴f(x)＝－ln x－x2＋x.
(2)x＝1，x＝2分别是函数f(x)的极小值点，极大值点．
理由如下：
f′(x)＝－x－1－x＋1
＝－－x＋1＝－＝－.
又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值，故x＝1为极小值点，x＝2为极大值点．
反思与感悟 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式时，注意两点
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 (1)2 9 (2)(－∞，1)
解析 (1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)是增加的；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)是减少的；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)是增加的．
故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9.
(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.
类型三 函数极值的综合应用
例3 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
解 因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1，
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图像如图所示．
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合f(x)的图像可知，m的取值范围是(－3,1)．
引申探究
若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？
解 由本例解析可知当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图像有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图像只有一个交点．
反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图像与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x
4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
－m
↘
－16－m
↗
则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同的交点，
得解得－16∴m的取值范围为.
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图像上的应用
答案 C
解析 f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图像易知有两个极大值点，两个极小值点．
2．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为( )
A．a> B．a≥
C．a<且a≠0 D．a≤且a≠0
考点 函数极值的应用
题点 极值存在性问题
答案 C
解析 f′(x)＝3ax2－2x＋1，令f′(x)＝0，
即3ax2－2x＋1＝0有两个不等实根，
则得a<且a≠0.
3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A．－4 B．－2 C．4 D．2
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值(点)
答案 D
解析 ∵f(x)＝x3－12x，
∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)是增加的；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，则f(x)是减少的，
∴f(x)的极小值点为a＝2.
4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．
答案 9
解析 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，
所以a＝9.
5．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 －2
解析 因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意知
即
解得则a＋b＝－2.
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题．
一、选择题
1.如图为y＝f(x)的导函数的图像，则下列判断正确的是( )
①f(x)在(－3,1)上为增加的；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在(2,4)上为减少的，在(－1,2)上为增加的；
④x＝2是f(x)的极小值点．
A．①②③ B．②③
C．③④ D．①③④
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在图像上的应用
答案 B
解析 当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－3，－1)上为减少的，在(－1,2)上为增加的，
∴①不对；
x＝－1是f(x)的极小值点；
当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减少的；
x＝2是f(x)的极大值点．故②③正确．
2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点 函数的极值与导数的关系
题点 判定函数的极值点
答案 B
解析 对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，
不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.
3．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为( )
A．0,1，－1 B．－
C. D.，－
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
答案 C
解析 由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，
令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当0所以当x＝时，f(x)取得极小值，从而f(x)的极小值点为x＝，无极大值点．
4．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处取得极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 B
解析 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处取得极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15.令f′(x)>0，解得x>3或x<2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
5．若函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的递减区间为( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 A
解析 令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，
令f′(x)>0，得x>或x<－；
令f′(x)<0，得－即在x＝－处取得极大值，在x＝处取得极小值．
∵函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，∴f()＝2，f(－)＝6，
即a－3a＋b＝2且－a＋3a＋b＝6，
得a＝1，b＝4，
则f′(x)＝3x2－3，由f′(x)<0，得－1∴递减区间为(－1,1)．故选A.
6．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图像的一部分如图所示，则( )
A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
考点 函数极值的应用
题点 函数的极值在图像上的应用
答案 D
解析 当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－33时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，极小值是f(－3)．
7．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
考点 函数的极值与导数的关系
题点 判别极值点与极值
答案 C
解析 当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，
∴x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，
x在1的右边附近f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.
8．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )
A．a＜－1 B．a＞－1
C．a＜－ D．a＞－
考点 函数极值的应用
题点 极值存在性问题
答案 A
解析 因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，
又因为x＞0，所以－a＞1，即a＜－1.
二、填空题
9．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值
答案 y＝－
解析 令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，
得x＝－1，∴y＝－，
∴函数y＝xex在极值点处的切线方程为y＝－.
10．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax＋b在x＝2处取得极值9，则a＋2b＝________.
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 －24
解析 f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
∵f(x)在x＝2处取得极值9，
∴即
解得
∴a＋2b＝－24.
11．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．
答案 a＋4 a－4
解析 f′(x)＝3x2－6，
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
所以[f(x)]极大值＝f(－)＝a＋4，
[f(x)]极小值＝f()＝a－4.
三、解答题
12.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图像如图所示，且与直线y＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数的递减区间．
考点 极值的应用
题点 函数的极值在图像上的应用
解 (1)∵函数的图像过原点，∴c＝0，
即f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
又∵函数f(x)的图像与直线y＝0在原点处相切，
∴f′(0)＝0，解得b＝0，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－.
由题意可知当x＝－时，函数取得极小值－4.
∴3＋a2＝－4，
解得a＝－3，
∴a＝－3，b＝c＝0.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2)，
由f′(x)<0，得0∴函数f(x)的递减区间是(0,2)．
13．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
考点 极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
解 (1)∵f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)的极大值是f ＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f ＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即＋a<0或a－1>0，
∴a<－或a>1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，
曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B.
C．(0,1) D．(0，＋∞)
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 B
解析 由题意知，x>0，f′(x)＝ln x＋1－2ax，
由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图像有两个不同的交点，则a>0.
设函数y＝ln x＋1的图像上任一点(x0,1＋ln x0)处的切线为l，则k1＝，
当l过坐标原点时，＝，解得x0＝1，
令2a＝1?a＝，结合图像知，015．已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
解 (1)f(x)的定义域是(0，＋∞)．
令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)是减少的；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是增加的，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，又f(1)＝1，
所以f(x)的极小值为1，无极大值．
(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x>0)，
所以k′(x)＝1－，令k′(x)>0，得x>2，
令k′(x)<0，得0所以k(x)在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的．
要使函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，
则需
所以2－2ln 2§2 导数在实际问题中的应用
2．1 实际问题中导数的意义
学习目标 1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题．
知识点 实际问题中导数的意义
思考 某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.
(1)t从1 s到4 s时W关于t的平均变化率是多少？
(2)上述问题的实际意义是什么？
(3)W′(1)的实际意义是什么？
答案 (1)＝＝11 (J/s)．
(2)它表示从t＝1 s到t＝4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.
(3)W′(t)＝3t2－8t＋10，
W′(1)＝5表示在t＝1 s时每秒做功5 J.
梳理 (1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特．功率是功关于时间的导数．
(2)降雨强度：在气象学中，通常把单位时间(如1时，1天等)内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标．降雨强度是降雨量关于时间的导数．
(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．边际成本f′(x0)指的是当产量为 x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．
(4)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s对时间t的导数；速度对时间的导数是加速度．
(5)线密度：单位长度的物体质量称为线密度，它是质量关于长度的导数．
1．导数解决的问题通常是变化率的问题．( √ )
2．位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数为加速度．( √ )
3．导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一个函数表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的不同而不同．( √ )
类型一 导数在物理学中的意义
例1 某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)．
(1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义．
考点 实际问题中导数的意义
题点 导数在物理学中的意义
解 (1)当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化率为＝＝＝11(m/s)．
它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.
(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)＝4t＋3，
则s′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．
s′(1)表示的是该质点在t＝1 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s.
s′(2)表示的是该质点在t＝2 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.
反思与感悟 根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系、功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等．因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解．
跟踪训练1 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，且y＝f(x)＝.
(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？
(2)求f′(27)，并解释它的实际意义．
考点 实际问题中导数的意义
题点 导数在物理学中的意义
解 (1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝ (m3/min)．
(2)f′(x)＝，于是f′(27)＝×＝ (m3/min)，实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为 m3/min，也就是当时间为27 min时，每增加1 min，水流量增加 m3.
类型二 导数在经济生活中的应用
例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义．
考点 实际问题中导数的意义
题点 导数在经济生活中的应用
解 当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元．
此时总成本的平均改变量为
＝67.5(元/件)，
其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．
引申探究
1．若本例条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．
解 因为C′(x)＝x＋60，
所以C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)，
它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．
2．若本例的条件“C(x)＝x2＋60x＋2 050”变为“C(x)＝x2＋ax＋2 050，当日产量为75件时的边际成本大于97.5”，求a的取值范围．
解 因为C′(x)＝x＋a，
所以日产量为75件时的边际成本大于97.5，
即C′(75)＝×75＋a>97.5，
解得a>60.
反思与感悟 生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)中，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f′(x0)个单位的成本．
跟踪训练2 已知某商品的成本函数为C(Q)＝100＋(Q为产品的数量)．
(1)求当Q＝10时的总成本、平均成本及边际成本；
(2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？
考点 实际问题中导数的意义
题点 导数在经济生活中的应用
解 (1)当Q＝10时的总成本C(10)＝100＋＝125；
Q＝10时的平均成本＝＝12.5.
边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，
故边际成本C′(Q)＝Q，
Q＝10时的边际成本是C′(10)＝5.
(2)由(1)得，平均成本＝＝＋，
而＋≥2·＝10，
当且仅当＝，即Q＝20时，等号成立，
所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.
类型三 导数在日常生活中的应用
例3 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数为y＝f(x)＝＋4.
(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的意义．
考点 实际问题中导数的意义
题点 导数在日常生活中的应用
解 (1)当x从1 h变到4 h时，
产量y从f(1)＝ g变到f(4)＝ g，
此时平均变化率为＝＝ (g/h)，
它表示从1 h到4 h这段时间这个人平均每小时生产 g产品．
(2)f′(x)＝＋，
于是f′(1)＝ (g/h)，f′(4)＝ (g/h)，
分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品 g和 g.
反思与感悟 在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义．
跟踪训练3 某年高考，某考生在参加数学考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系式y＝f(x)＝2.
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．
考点 实际问题中导数的意义
题点 导数在日常生活中的应用
解 (1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为＝＝.
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答道题．
(2)∵f′(x)＝，∴f′(64)＝，f′(100)＝.
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题.
1．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f(x)＞0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小
考点 实际问题中导数的意义
题点 导数在经济中的应用
答案 D
解析 导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．
2．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，即W＝W(t)，则W′(t0)表示( )
A．t＝t0时做的功 B．t＝t0时的速度
C．t＝t0时的位移 D．t＝t0时的功率
考点 实际问题中导数的意义
题点 导数在物理学中的应用
答案 D
解析 W′(t0)表示t＝t0时的功率．
3．某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝________，它的实际意义是__________________________________．
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在日常生活中的应用
答案 36台/小时 10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时
解析 Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，则Q′(2)＝36，
由题意知10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时．
4．某物体的运动速度与时间的关系为v(t)＝2t2－1，则t＝2时的加速度为________．
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在物理学中的意义
答案 8
解析 ∵v′(t)＝4t，∴v′(2)＝8.
5．建造一幢长度为x m的桥梁需成本y万元，函数关系为y＝f(x)＝(x2＋x＋3)(x>0)．
(1)当x从100变到200时，平均每米的成本为____万元；
(2)f′(100)＝____________万元/m，
其实际意义为____________________________．
答案 (1)30.1 (2)20.1 当长度为100 m时，每增加1 m的长度，成本就增加20.1万元
解析 (1)f(100)＝1 010.3，f(200)＝4 020.3，
∴＝30.1(万元/m)，
即平均变化率为30.1万元/m.
(2)f′(x)＝(2x＋1)，∴f′(100)＝20.1(万元/m)，即当长度为100 m时，每增加1 m的长度，成本就增加20.1万元．
1．解决实际问题的一般思路：实际问题转化为数学问题，数学问题的结论回到实际问题的结论．
2．解决实际问题的一般步骤
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系．
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．
(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．
一、选择题
1．一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示( )
A．t＝10时的降雨强度
B．t＝10时的降雨量
C．t＝10时的时间
D．t＝10时的温度
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在日常生活中的应用
答案 A
解析 f′(t)表示t时刻的降雨强度．
2．圆的面积S是半径r的函数S(r)＝πr2，那么在r＝3时，面积的变化率是( )
A．6 B．9 C．9π D．6π
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在日常生活中的意义
答案 D
解析 面积S在r＝3时的变化率为S′(3)＝2π×3＝6π.
3．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v＝v(t)＝t3＋3t，则t＝t0 s时轿车的加速度为( )
A．t＋3t0 B．3t＋3
C．3t＋3t0 D．t＋3
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在物理学中的意义
答案 B
解析 v′(t)＝3t2＋3，则当t＝t0 s时的速度变化率为v′(t0)＝3t＋3(m/s2)，则t＝t0 s时轿车的加速度为(3t＋3) m/s2.
4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( )
A．汽车刹车后1 s内的位移
B．汽车刹车后1 s内的平均速度
C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D．汽车刹车后1 s时的位移
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在物理学中的意义
答案 C
5．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5 s时电流强度为( )
A．27 C/s B．20 C/s
C．25 C/s D．23 C/s
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在物理学中的意义
答案 D
解析 某导体的电量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度．
∵q′＝4t＋3，
∴当t＝5时，电流强度为4×5＋3＝23(C/s)．
6．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是( )
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在物理学中的意义
答案 A
解析 开始启动，从原点开始；加速行驶，则路程的增速较快；匀速行驶，路程的增速是常数；减速行驶，路程的增速减慢，所以只有选项A合适．
7．已知一根金属棒的质量y(单位：kg)是长度x(单位：m)的函数：y＝f(x)＝3，则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是( )
A. kg/m B. kg/m
C. kg/m D. kg/m
答案 B
解析 ＝＝(kg/m)．
8．如图所示，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则函数的图像大致是( )
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在日常生活中的应用
答案 D
解析 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，与实际不符；选项C表示开始和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际．
二、填空题
9．某物体的位移s是时间t的函数s＝2t3－at，物体在t＝1时的速度为8，则a的值为________．
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在物理学中的意义
答案 －2
解析 s′＝6t2－a，由题意知6×12－a＝8，∴a＝－2.
10．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在经济生活中的应用
答案 9
解析 令y′＝－x2＋81＝0，得x＝9或－9(舍去)，
当x＝9时，ymax＝252.
11．一物体沿直线运动的方程为s(t)＝t4－t3＋2t2，那么速度为0的时刻为(s单位：m，t单位：s)________．
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在物理学中的意义
答案 0 s,1 s,4 s
解析 s′(t)＝t3－5t2＋4t，根据导数的意义可知v＝s′(t)，令t3－5t2＋4t＝0，解得t＝0或t＝1或t＝4.
三、解答题
12．在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)．
求：(1)当t＝20，Δt＝0.1时的Δs与；
(2)当t＝20时的瞬时速度．
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在物理学中的意义
解 (1)因为Δs＝s(20.1)－s(20)
＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202)
＝21.05(m)，
所以＝＝210.5(m/s)．
(2)因为s′＝10＋10t，所以当t＝20时，
s′＝10＋10×20＝210(m/s)，
即t＝20时的瞬时速度为210 m/s.
13．某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg时的边际利润，并说明其经济意义．
考点 实际生活中导数的意义
题点 导数在经济生活中的应用
解 (1)根据定义知，总利润函数为
L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，
所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.
(2)当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg时，边际利润分别为L′(200)＝1，L′(250)＝0，L′(300)＝－1.
其经济意义是：当日产量为200 kg时，每增加1 kg，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg时，每增加1 kg，则总利润无变化；当日产量为300 kg时，每增加1 kg，则总利润减少1元．由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．
四、探究与拓展
14．向高为8 m，底面边长为8 m的倒置四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟 m3，则当水深为5 m时，水面上升的速度为________m/min.
答案
解析 设注水t min时，水的深度为h m，则容器内水的体积为t＝h2·h，
则h＝2t，
所以h′(t)＝t－.
当h＝5时，t＝，
故v＝h′＝(m/min)．
15．日常生活中的饮用水通常是通过净化得到的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝ (80解 c′(x)＝′＝，
∴c′(90)＝＝52.84，
c′(98)＝＝1 321.
故纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率为52.84元/t；
纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率为1 321元/t.
2.2 最大值、最小值问题
第1课时 函数的最值与导数
学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点 函数的最大(小)值与导数
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图像，试找出它的极大值、极小值．
答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2 结合图像判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
答案 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
答案 不一定，也可能是区间端点的函数值．
梳理 最值的概念及求法
(1)函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值、最值点
①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)，把f(x0)叫作y＝f(x)在[a，b]上的最大值．
②函数f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f(x0)，把f(x0)叫作y＝f(x)在[a，b]上的最小值．
③函数的最大值和最小值统称为最值．
(2)求连续函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．函数的最值一定是极值，而极值不一定是最值．( × )
2．函数的最大值一定大于最小值，函数的极大值一定大于极小值．( × )
3．单调函数在闭区间上一定有最值，一定无极值．( √ )
4．若函数存在最大(小)值，则最大(小)值唯一．( √ )
类型一 求函数的最值
命题角度1 不含参数的函数求最值
例1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
解 (1)因为f(x)＝2x3－12x，
所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，
f(－)＝8；
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，
解得x＝或x＝.
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f ＝＋，
f ＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值0；
当x＝2π时，f(x)有最大值π.
反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．
跟踪训练1 求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值．
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
解 ∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)．
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
∴函数f(x)在区间[2,5]上是减少的，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
命题角度2 含参数的函数求最值
例2 已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
考点 含参数的函数最值问题
题点 含参数的函数求最值
解 (1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
－ek－1
↗
所以，f(x)的递减区间是(－∞，k－1)；递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上是增加的．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，
当0由(1)知f(x)在[0，k－1)上是减少的，在(k－1,1]上是增加的，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上是减少的．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练2 已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
考点 含参数的函数的最值问题
题点 含参数的函数求最值
解 f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)在[0,1]上是减少的，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0；
若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
由x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．
①当0<<1，即0当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(0，)
(，1)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
2a
↘
故f(x)max＝f()＝2a；
②当≥1，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上是增加的，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
类型二 由函数的最值求参数
例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①若a>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②若a<0，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也是函数在[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3 设考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
解 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
↗
b
↘
－＋b
↗
1－a＋b
由表可知，f(x)的极大值为f(0)＝b，极小值为f(a)＝b－，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)及f(－1)与f(a)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b＝1.
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，a＝，
所以a＝，b＝1.
1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 B
解析 ∵f′(x)＝－2x＋4，
∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，
故f(x)在[3,5]上是减少的，
故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
考点 函数最值的应用
题点 最值存在性问题
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是减少的，无最大值和最小值，故选D.
3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A．[0,1) B．(0,1)
C．(－1,1) D.
考点 函数最值的应用
题点 最值存在性问题
答案 B
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，
∴a>0，
又∵x∈(0,1)，∴04．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)＝________.
答案 0
解析 因为f(x)在[a，b]上的最大值与最小值相等，
所以f(x)在[a，b]上为常函数，f′(x)＝0.
5．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)答案 (7，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2－x－2，
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
可求得f(x)max＝f(2)＝7，
所以对于任意x∈[－1,2]，f(x)7.
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
一、选择题
1．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 C
解析 y′＝1－cos x≥0，故y＝x－sin x在上是增加的，所以当x＝π时，ymax＝π.
2．函数f(x)＝在[2,4]上的最小值为( )
A．0 B.
C. D.
答案 C
解析 f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在[2,4]上是减少的，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
3．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 A
解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上是减少的，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．
4．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于( )
A．－ B.
C．－ D.或－
考点 含参数的最值问题
题点 已知最值求参数
答案 C
解析 当a≤－1时，最大值为4，不符合题意．
当－1所以f(x)max＝f(a)，
即－a2－2a＋3＝，
解得a＝－或a＝－(舍去)．
5．函数f(x)＝x3－mx2＋1在[－2，－1]上的最大值就是f(x)的极大值，则m的取值范围为( )
A．(－6，－3) B．[－6，－3]
C. D.
考点 函数最值的问题
题点 最值存在性问题
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－2mx＝3x，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝，
由题意知m<0，f(x)max＝f，
∴－2≤m≤－1，即－3≤m≤－.
6．函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．1＋ B．1
C．e－1 D．e＋1
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 C
解析 由题意得f′(x)＝ex－1.
令f′(x)＝0，得x＝0.
当x∈[－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0,1]时，f′(x)>0.
所以f(x)在[－1,0)上是减少的，在(0,1]上是增加的．
又因为f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，
所以f(－1)－f(1)＝2＋－e<0，
所以f(－1)所以f(x)max＝f(1)＝e－1.
7．已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为( )
A．－ B.
C．－2 D．2
答案 A
解析 因为a>0，b>0，所以f(x)＝ax3＋bx＋2x
在[－1,1]上是增加的，
故f(x)在[0,1]上的最大值f(1)＝a＋b＋2＝4，a＋b＝2，
f(x)在[－1,0]上的最小值f(－1)＝－(a＋b)＋2－1＝－2＋＝－.
8．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )
A．20 B．18 C．3 D．0
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 A
解析 由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
则f(x)min＝f(－3)＝－19，f(x)max＝f(－1)＝1，
由题意知|f(x1)－f(x2)|max＝|－19－1|＝20，
∴t≥20，故tmin＝20.
二、填空题
9．已知a≥0，若函数f(x)＝在[－1,1]上的最大值为2，则实数a的值为________．
考点 含参数的函数的最值问题
题点 已知最值求参数
答案 1
解析 求导得f′(x)＝，
令f′(x)＝0，可得x＝－1或x＝a，
又f(－1)＝0，f(a)＝1＋，f(1)＝，
若1＋＝2，则有a＝1；若＝2，则也有a＝1，
因此a＝1.
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
考点 函数最值的应用
题点 已知极值求最值
答案 －13
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，
由题意知f′(2)＝0，得a＝3，∴f(x)＝－x3＋3x2－4，
令f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，
解得x1＝0，x2＝2(舍去)，
∵f(－1)＝0，f(0)＝－4，f(1)＝－2，
∴f(x)min＝－4，f′(x)＝－3x2＋6x＝－3(x－1)2＋3，
f′(x)min＝f′(－1)＝－9，
∴f(m)＋f′(n)的最小值是－4－9＝－13.
11．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.
考点 含参数的函数最值问题
题点 己知最值求参数
答案 2 3
解析 f′(x)＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)，
∵a>0，x∈[1,2]，∴当x∈(1，)时，f′(x)<0，
当x∈(，2)时，f′(x)>0，
∴f(x)min＝f()＝b－4a＝－5，①
f(x)max＝f(2)＝b＝3，②
由①②可得a＝2，b＝3.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增加的，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值和最小值．
考点 函数最值的应用
题点 已知极值求最值
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋3，
∵x∈[1，＋∞)时f′(x)≥0恒成立，
∴a≤min＝3(当且仅当x＝1时取等号)．
∴a≤3.
(2)由题意知f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．
当10，
即当x＝3时，f(x)取极小值f(3)＝－9.
又f(1)＝－1，f(5)＝15，
∴f(x)在[1,5]上的最小值是－9，最大值是15.
13．设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0恒成立．
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 (1)由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，所以g(x)＝ln x＋，
所以g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故(1，＋∞)是g(x)的递增区间．
因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)因为g(a)－g(x)<对任意x>0恒成立，
即ln a0恒成立．
由(1)知，g(x)的最小值为1，
所以ln a<1，解得0四、探究与拓展
14．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图像分别交于点M，N，则当|MN|取到最小值时t的值为( )
A．1 B.
C. D.
答案 D
解析 由题意画出函数图像如图所示，
由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．
y′＝2t－＝
＝.
当0当t>时，y′>0，可知y在上是增加的．
故当t＝时，|MN|有最小值．
15．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上是增加的，在上是减少的．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f>2a－2等价于ln a＋a－1<0.
令g(a)＝ln a＋a－1，g′(a)＝＋1>0，
则g(a)在(0，＋∞)上是增加的，又g(1)＝0，
于是，当01时，g(a)>0.
因此，a的取值范围是(0,1)．
第2课时 函数最值的应用
学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决不等式问题及恒成立问题．
知识点一 生活中的优化问题
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
知识点二 导数在不等式问题中的应用
利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值问题加以解决．
1．用导数解决实际问题的关键是建立函数模型．( √ )
2．恒成立问题可以转化成函数的最值问题．( √ )
3．用导数证明不等式可以通过构造函数，转化为函数大于等于0或小于等于0.( √ )
类型一 几何中的最值问题
例1 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
考点 几何类型的优化问题
题点 面积的最值问题
解 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，
则每栏的高和宽分别为x－20，，
其中x>20，y>25.
两栏的面积之和为2(x－20)·＝18 000，
由此得y＝＋25.
广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，
∴S′＝＋25＝＋25.
令S′>0，得x>140，令S′<0，得20∴函数在(140，＋∞)上是增加的，在(20,140)上是减少的，∴S(x)的最小值为S(140)．
当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．
反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
跟踪训练1 把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
解 设箱底边长为x，则箱高为h＝×(0箱子的容积为V(x)＝x2×sin 60°×h
＝ax2－x3(0则V′(x)＝ax－x2.
令V′(x)＝0，
解得x1＝0(舍)，x2＝a，
当x∈时，V′(x)>0；
当x∈时，V′(x)<0，
所以函数V(x)在x＝a处取得极大值，
这个极大值就是函数V(x)的最大值，
V＝a×2－×3＝a3.
所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，
最大容积为a3.
类型二 函数的最值与不等式的证明
例2 已知函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，a∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
(1)解 由f(x)＝ex－2x＋2a知，f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
2(1－ln 2＋a)
↗
故f(x)在区间(－∞，ln 2)上是减少的，在区间(ln 2，＋∞)上是增加的，
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为2(1－ln 2＋a)，无极大值．
(2)证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，
由(1)知g′(x)的最小值为2(1－ln 2＋a)，当a>ln 2－1时，g′(x)>0，
故g(x)在R上是增加的，所以x>0时g(x)>g(0)＝0，
即ex>x2－2ax＋1.
反思与感悟 利用函数的最值证明不等式常用的方法与步骤
(1)构造函数．
(2)利用导数确定函数的单调性、最值(或值域)．
(3)将其归结为函数的最值或值域问题．
(4)证明函数y＝f(x)的最大(小)值大于0或小于0，或逆用单调性定义得出结论．
跟踪训练2 证明：当x∈[0,1]时，x≤sin x≤x.
证明 记F(x)＝sin x－x，则F′(x)＝cos x－.
当x∈时，F′(x)>0，F(x)在上是增加的；
当x∈时，F′(x)<0，F(x)在上是减少的；
又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0,1]时，
F(x)≥0，即sin x≥x.
记H(x)＝sin x－x，则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－1<0，所以H(x)在[0,1]上是减少的，则H(x)≤H(0)＝0，即sin x≤x.
综上，x≤sin x≤x，x∈[0,1]．
类型三 与最值有关的恒成立问题
例3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．
(2)若对任意x∈[－1,2]，不等式f(x)考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′＝－a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2，
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的递增区间为和(1，＋∞)；递减区间为.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
当x＝－时，f＝＋c为极大值，
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
反思与感悟 解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使m>f(x)恒成立，只需m>f(x)的最大值即可，同理，要使m跟踪训练3 已知函数f(x)＝xln x．若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围． 