中小学教育资源及组卷应用平台
第二课时 极坐标和直角坐标的互化（学生版）
考点 考纲要求 要点 常考题型
极坐标与直角坐标互化 1.掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式. 2.能进行点的极坐标与直角坐标的互相转化. iii 解答题
知识梳理
点的极坐标和直角坐标的互化
1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．
2．互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式 ρ2＝x2＋y2 tan θ＝(x≠0)
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．
典例解析
考向一 化极坐标为直角坐标
[例1] 分别把下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)；(2)；(3)(5，－5)．
变式训练
1．将下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)；(2)；(3).
考向二 点的直角坐标化为极坐标
[例2] 将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0，θ∈[0,2π))：
(1)(－2,2)；(2)；(3)(0，－)．
变式训练
2．已知点的直角坐标分别为A(3，－)，B，C(－2,2)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．
考向三 极坐标与直角坐标的综合应用
[例3] 在极坐标系中，如果等边三角形ABC的两个顶点的极坐标分别为A，B，且ρ≥0，θ∈[0,2π)，求：
(1)顶点C的极坐标；
(2)三角形的面积．
变式练习
3．(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
过关检测
1．将极坐标化为直角坐标为( )
A．(0,2) B．(0，－2)C．(2,0) D．(－2,0)
2．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( )
A．ρ＝3，θ＝4 B．ρ＝5，θ＝4C．ρ＝5，tan θ＝ D．ρ＝5，tan θ＝－
3．在极坐标系中，点A与B之间的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．若A，B两点的极坐标为A(4,0)，B，则线段AB的中点的极坐标为( )
A. B.C. D.
5．在极坐标系中，点A，B，则线段AB中点的极坐标为( )
A. B.C. D.
6．极坐标系中，直角坐标为(1，－)的点的极角为________．
7．极坐标系中，点的直角坐标为________．
8．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．
9．已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标．
10．分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
(1)(－1,1)；(2)(4，－4)；
(3)；(4)(－，－)．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
第二课时 极坐标和直角坐标的互化（解析版）
考点 考纲要求 要点 常考题型
极坐标与直角坐标互化 1.掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式. 2.能进行点的极坐标与直角坐标的互相转化. iii 解答题
知识梳理
点的极坐标和直角坐标的互化
1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．
2．互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式 ρ2＝x2＋y2 tan θ＝(x≠0)
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．
典例解析
考向一 化极坐标为直角坐标
[例1] 分别把下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)；(2)；(3)(5，－5)．
[解析] (1)∵x＝ρcos θ＝2cos＝1，
y＝ρsin θ＝2sin＝，
∴点的极坐标化为直角坐标为(1，)．
(2)∵x＝ρcos θ＝4cos＝0，
y＝ρsin θ＝4sin＝－4，
∴点的极坐标化为直角坐标为(0，－4)．
(3)∵x＝ρcos θ＝5cos(－5)＝5cos 5，
y＝ρsin θ＝5sin(－5)＝－5sin 5，
∴点的极坐标(5，－5)化为直角坐标为(5cos 5，－5sin 5)．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件
(1)极点与直角坐标系的原点重合；
(2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；
(3)两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
变式训练
1．将下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)；(2)；(3).
解析：由公式将极坐标化为直角坐标．
(1)∵x＝2cos＝－，y＝2sin＝－1，
∴点的极坐标化为直角坐标为(－，－1)．
(2)∵x＝6cos＝3，y＝6sin＝－3，
∴点的极坐标化为直角坐标为(3，－3)．
(3)∵x＝2cos＝0，y＝2sin＝－2，
∴点的极坐标化为直角坐标为(0，－2)．
考向二 点的直角坐标化为极坐标
[例2] 将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0，θ∈[0,2π))：
(1)(－2,2)；(2)；(3)(0，－)．
[解析] (1)由ρ＝＝2，tan θ＝＝－1，且角θ的终边经过点(－2,2)，
当θ∈[0,2π)时，θ＝，
故点的极坐标为.
(2)由ρ＝＝1，
tan θ＝＝－，
且角θ的终边经过点，
当θ∈[0,2π)时，θ＝，
故点的极坐标为.
(3)由ρ＝＝，且角θ的终边经过点(0，－)，当θ∈[0,2π)时，θ＝，故点的极坐标为.
点的直角坐标化为极坐标的注意事项
化点的直角坐标为极坐标时，一般取ρ≥0，θ∈[0,2π)，即θ取最小正角，由tan θ＝(x≠0)求θ时，必须根据角θ的终边经过点(x，y)所在的象限来确定θ的值．
变式训练
2．已知点的直角坐标分别为A(3，－)，B，C(－2,2)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．
解析：根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，
得A，B，C.
考向三 极坐标与直角坐标的综合应用
[例3] 在极坐标系中，如果等边三角形ABC的两个顶点的极坐标分别为A，B，且ρ≥0，θ∈[0,2π)，求：
(1)顶点C的极坐标；
(2)三角形的面积．
[解析] (1)由公式得点A，B的直角坐标分别为A(，)，B(－，－)．
点C必在直线y＝－x上，且|OC|＝2tan 60°＝2，
设点C的直角坐标为(x，－x)，
则＝2，
即|x|＝2，
解得x＝±，
故点C的直角坐标为(－，)或(，－)．
由公式且ρ≥0，θ∈[0,2π)，
得点C的极坐标为或.
(2)由上述，得三角形的边长为4，
得S△ABC＝×2×4＝4.
不论是平面直角坐标系还是极坐标系，都是利用代数方法刻画几何位置以及几何度量问题，所以利用条件画出几何图形就能容易明确解题方向，从而优化解题思路，简化解题过程．
变式练习
3．(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解析：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cos α·|sin|
＝2|sin－|
≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
过关检测
1．将极坐标化为直角坐标为( )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(2,0) D．(－2,0)
解析：由题意可知，x＝2cos＝0，y＝2sin＝－2.
答案：B
2．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( )
A．ρ＝3，θ＝4 B．ρ＝5，θ＝4
C．ρ＝5，tan θ＝ D．ρ＝5，tan θ＝－
解析：由公式得ρ＝ ＝ ＝5，
tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)．
答案：D
3．在极坐标系中，点A与B之间的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：方法一 点A与B的直角坐标分别为(，1)与(，－1)，
于是|AB|＝ ＝2.
方法二 由点A与B知，
|OA|＝|OB|＝2，∠AOB＝，
于是△AOB为等边三角形，所以|AB|＝2.
答案：B
4．若A，B两点的极坐标为A(4,0)，B，则线段AB的中点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：由题易知点A，B的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段AB的中点的直角坐标为(2,2)．
由ρ2＝x2＋y2，得ρ＝2.
因为tan θ＝＝1，且点(2,2)在第一象限，所以θ＝.故线段AB的中点的极坐标为.
答案：A
5．在极坐标系中，点A，B，则线段AB中点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：由点A，B知，∠AOB＝，于是△AOB为等腰直角三角形，
所以|AB|＝×＝1，
设线段AB的中点为C，
则|OC|＝，极径OC与极轴所成的角为，
所以线段AB中点C的极坐标为.
答案：A
6．极坐标系中，直角坐标为(1，－)的点的极角为________．
解析：直角坐标为(1，－)的点在第四象限，
tan θ＝－，所以θ＝2kπ－(k∈Z)．
答案：2kπ－(k∈Z)
7．极坐标系中，点的直角坐标为________．
解析：∵x＝ρcos θ＝6cos＝3，
y＝ρsin θ＝6sin＝3，
∴点的极坐标化为直角坐标为(3,3)．
答案：(3,3)
8．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．
解析：因为点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6|sin|＝3.
答案：3
9．已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标．
解析：根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A，B(－1，－)，C，D(0，－4)．
10．分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
(1)(－1,1)；(2)(4，－4)；
(3)；(4)(－，－)．
解析：(1)∵ρ＝＝，
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)，
由于点(－1,1)在第二象限，所以θ＝，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为.
(2)∵ρ＝＝8，
tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)，
由于点(4，－4)在第四象限．
∴θ＝，
∴直角坐标(4，－4)化为极坐标为.
(3)∵ρ＝＝，
tan θ＝＝1，θ∈[0,2π)，
由于点在第一象限，
∴θ＝，
∴直角坐标化为极坐标为.
(4)∵ρ＝＝2，
tan θ＝＝，θ∈[0,2π)，
由于点(－，－)在第三象限，
∴θ＝，
∴直角坐标(－，－)化为极坐标为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
