§2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．
知识点一 归纳推理
思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．
以上属于什么推理？
答案 属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．
梳理 (1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
(2)特征：由部分到整体，由个别到一般．
知识点二 类比推理
思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？
答案 类比推理．
梳理 (1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
(2)特征：由特殊到特殊的推理．
知识点三 合情推理
思考1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？
答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．
思考2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确．
梳理 (1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理．
(2)推理的过程
―→―→―→
1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( × )
2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √ )
3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )
类型一 归纳推理及应用
命题角度1 图形中的归纳推理
例1 (1)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的①②③④，那么图中的⑤⑥所对应的运算结果是( )
A．B*D，A*D B．B*D，A*C
C．B*C，A*D D．C*D，A*D
(2)n个连续自然数按规律排列(如图所示)．
根据规律，从2 016到2 018，箭头的方向依次是( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
考点 归纳推理
题点 归纳推理在图形中的应用
答案 (1)B (2)A
解析 (1)由图中①②③④得，A表示“|”，B表示“□”，C表示“—”，D表示“○”，故图中⑤⑥所对应的运算结果分别为B*D和A*C.
(2)观察数字排列的规律知，位置相同的数字是以4为公差的等差数列，故可知从2 016到2 018的箭头的方向依次为↓→.
反思与感悟 对于图形中的归纳推理，找准规律特征是解题的关键．
跟踪训练1 (1)设n棱柱有f(n)个对角面，则(n＋1)棱柱的对角面的个数f(n＋1)等于( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
(2)观察由火柴棒拼成的一系列图形(如图所示)，第n个图形是由n个正方形组成．
通过观察可以发现：在第4个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．
考点 归纳推理
题点 归纳推理在图形中的应用
答案 (1)C (2)13 3n＋1
解析 (1)对于n棱柱，由于过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能确定一个对角面，所以过每一条侧棱可确定(n－3)个对角面，所以过n条侧棱可确定n(n－3)个对角面，又因为这些对角面相互之间重复计算了，所以过n条侧棱共可确定个对角面，所以可得f(n＋1)－f(n)＝－＝n－1，故f(n＋1)＝f(n)＋n－1.
(2)第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火柴棒，第4个图形有13根火柴棒，…，猜想第n个图形有(3n＋1)根火柴棒．
命题角度2 数列中的归纳推理
例2 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试计算f(1)，f(2)，f(3)的值，并推测出f(n)的表达式．
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数列中的应用
解 因为a1＝，a2＝，a3＝，
所以f(1)＝1－a1＝，
f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝×＝×＝，
f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝××＝，
推测f(n)＝(n∈N*)．
反思与感悟 数列中的归纳问题要充分利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，这是检验归纳猜想是否正确的根据．
跟踪训练2 若在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2(n∈N*)，则猜想an等于( )
A．2n－2－ B．2n－2
C．2n－1＋1 D．2n＋1－4
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数列中的应用
答案 B
解析 ∵a1＝0＝21－2，
∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
…，
猜想an＝2n－2(n∈N*)．
类型二 类比推理及应用
命题角度1 平面几何性质类比立体几何性质
例3 三角形的面积S＝(a＋b＋c)r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为四面体内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高)
考点 类比推理
题点 平面几何与立体几何之间的类比
答案 C
解析 设△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c.类比：设四面体A－BCD的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
反思与感悟 平面问题类比空间问题时，注意性质的相同性和相似性，注意等面积类比等体积，线线距离类比线面距离或者面面距离．
跟踪训练3 类比平面上的命题“如果△ABC的三条边BC，CA，AB上的高分别为ha，hb，hc，△ABC内任意一点P到三条边BC，CA，AB的距离分别为Pa，Pb，Pc，那么＋＋＝1”．写出空间中的命题．
考点 类比推理
题点 平面几何与立体几何之间的类比
解 从四面体的四个顶点A，B，C，D分别向所对的面作垂线，垂线段长分别为ha，hb，hc，hd，P为四面体内任意一点，从点P向A，B，C，D四个顶点所对的面作垂线，垂线段长分别为Pa，Pb，Pc，Pd，那么＋＋＋＝1.
命题角度2 等差数列的性质类比等比数列的性质
例4 若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则由bn＝(n∈N*)构造的新数列{bn}也是等差数列．类比上述性质可得，若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则由dn＝________(n∈N*)构造的新数列{dn}也是等比数列．
考点 类比推理
题点 等差数列与等比数列之间的类比
答案
解析 由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性．等差数列与等比数列的类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想dn＝(n∈N*)．
反思与感悟 等差数列{an}和等比数列{bn}类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加、减法运算对应等比数列的乘、除法运算，等差数列的乘、除法运算对应等比数列的乘方、开方运算．
跟踪训练4 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
考点 类比推理
题点 等差数列与等比数列之间的类比
答案
解析 等差数列类比等比数列时，和类比积，减法类比除法．
故类比结论得设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列.
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为( )
A．28 B．32
C．33 D．27
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数列中的应用
答案 B
解析 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，
所以猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故选B.
2．若f(n)＝n2＋n＋21，n∈N*，则下列说法正确的是________．
①f(n)可以为偶数；
②f(n)一定为奇数；
③f(n)可能为质数；
④f(n)一定为合数．
考点 合情推理的应用
题点 合情推理在函数中的应用
答案 ②③
解析 f(1)＝12＋1＋21＝23，f(2)＝22＋2＋21＝27，…，f(n)＝n(n＋1)＋21，
所以f(n)有质数，也有合数，一定不是偶数，
所以f(n)一定是奇数．
3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为正方形数，用图形表示如图所示，则第n个正方形中的点数是________．
考点 归纳推理
题点 归纳推理在图形中的应用
答案 n2
解析 由题意知，第n个正方形中的点数为n2.
4．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正三棱锥的类似属性是
________________________________________________________________________.
考点 类比推理
题点 平面几何与立体几何之间的类比
答案 各侧面与底面所成的二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等
解析 等腰三角形的底与腰可分别与正三棱锥的底面与侧面类比．
5．在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法可知，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.
考点 类比推理
题点 平面几何与立体几何之间的类比
答案
解析 通过类比可得R＝.
证明过程为：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
2．合情推理的过程概括为
―→―→―→
一、选择题
1．下列使用类比推理得出的结论正确的是( )
A．若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
考点 类比推理
题点 类比推理的方法、形式和结论
答案 C
解析 显然A，B，D不正确，只有C正确．
2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数阵中的应用
答案 B
解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，
即1 111 111.
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
考点 合情推理的应用
题点 合情推理在函数中的应用
答案 D
解析 由所给函数及其导函数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)．
4．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
考点 类比推理
题点 平面几何与立体几何之间的类比
答案 C
解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
5．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝(底×高)可推测扇形的面积S′等于( )
A．lr B.lr
C.lr D.
考点 类比推理
题点 类比推理的方法、形式和结论
答案 B
解析 扇形的弧长相当于三角形的底边长，扇形的半径相当于三角形的底边上的高，故类比三角形的面积公式可推得扇形的面积S′＝lr.
6．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
考点 类比推理
题点 等差数列与等比数列之间的类比
答案 D
7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
1 2 3 4 5 … 2 013 2 014 2 015 2 016
3 5 7 9 …………4 027 4 029 4 031
8 12 16 ………………8 056 8 060
20 28 ……………………16 116
……………………………………
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )
A．2 017×22 015 B．2 017×22 014
C．2 016×22 015 D．2 016×22 014
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数阵中的应用
答案 B
解析 由题意知，数表的每一行都是等差数列，
且第1行公差为1，第2行公差为2，第3行公差为4，…，第2 015行公差为22 014，
故第1行的第一个数为：2×2－1，
第2行的第一个数为：3×20，
第3行的第一个数为：4×21，
…，
第n行的第一个数为：(n＋1)×2n－2，
第2 016行只有M，
则M＝(1＋2 016)·22 014＝2 017×22 014，故选B.
8．已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥ 3＝3，…，可以得出推广结论x＋≥n＋1(n∈N*)，则a等于( )
A．2n B．n2
C．3n D．nn
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数式中的应用
答案 D
解析 再续写一个不等式：x＋＝＋＋＋≥4＝4.由此可推得a＝nn.
9．已知>，>，>，…，若a>b>0且m>0，则与之间的大小关系为( )
A．相等 B．前者大
C．后者大 D．不确定
考点 合情推理的应用
题点 合情推理在不等式中的应用
答案 B
解析 观察题中不等式的特征，由归纳推理易得B正确．
二、填空题
10．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般结论为________________．
考点 合情推理的应用
题点 合情推理在函数中的应用
答案 f(2n)≥
解析 由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般性结论为f(2n)≥.
11．圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)在点P(x0，y0)处切线的方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2，由此类比，椭圆＋＝1(a>b>0)在点P(x0，y0)处切线的方程为______________．
考点 类比推理
题点 平面曲线之间的类比
答案 ＋＝1
解析 类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：
椭圆＋＝1(a>b>0)在点P(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.
三、解答题
12．设a>0，且a≠1，f(x)＝ .
(1)求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)；
(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明．
考点 合情推理的应用
题点 合情推理在函数中的应用
解 (1)f(0)＋f(1)＝＋＝＝，
f(－1)＋f(2)＝＋＝＝.
(2)由(1)归纳得对一切实数x，
有f(x)＋f(1－x)＝.
证明：f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋＝＝＝.
13．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由．
题点 类比推理
题点 平面几何与立体几何之间的类比
解 类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
猜想正确．
如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC，AD?平面ACD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
四、探究与拓展
14．观察下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数对中的应用
答案 962
解析 cos α的最高次项的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得1＝m－1 280＋1 120＋n＋p－1，即n＋p＝－350(1)；取α＝，则cos α＝，cos 10α＝－，代入等式⑤，得－＝m10－1 280×8＋1 120×6＋n·4＋p·2－1，即n＋4p＝－200(2)．联立(1)(2)，得n＝－400，p＝50，∴m－n＋p＝512－(－400)＋50＝962.
15．已知正项数列{an}满足Sn＝(n∈N*)，求出a1，a2，a3，a4，并推测an.
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数列中的应用
解 方法一 a1＝S1＝，
因为a1>0，所以a1＝1.
当n≥2时，Sn＝，
Sn－1＝，
两式相减，得an＝－，
即an－＝－，
所以a2－＝－2.
又因为a2>0，所以a2＝－1，a3－＝－2.
又因为a3>0，所以a3＝－，a4－＝－2.
又因为a4>0，所以a4＝2－.
将上面4个式子写成统一的形式：a1＝－，a2＝－，a3＝－，a4＝－，
由此可以归纳出an＝－(n∈N*)．
方法二 令n＝1，则S1＝，
即a1＝a1＋，
∴a＝1，
又∵a1>0，∴a1＝1.
令n＝2，则S2＝，
即a1＋a2＝，
∴1＋a2＝，
∴a＋2a2－1＝0，即(a2＋1)2＝2.
∵a2>0，∴a2＝－1，
令n＝3，则S3＝，
∴a1＋a2＋a3＝a3＋，则＋a3＝.
∴a＋2a3＝1，即(a3＋)2＝3.
∵a3>0，∴a3＝－.
令n＝4，则S4＝，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝a4＋，
即＋a4＝.
∴a＋2a4＝1，即(a4＋)2＝4.
∵a4>0，∴a4＝2－.
∴a1＝1＝－，a2＝－1＝－，
a3＝－，a4＝2－＝－.
归纳可得an＝－(n∈N*)．
2.1.2 演绎推理
学习目标 1.了解演绎推理的含义及其重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并进行一些简单的推理.3.利用具体实例，了解合情推理与演绎推理之间的区别和联系．
知识点一 演绎推理
思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．
答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．
思考2 演绎推理的结论一定正确吗？
答案 所得结论不一定正确．
梳理 演绎推理的定义特点
定义
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
知识点二 三段论
思考1 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？
答案 分为三段．
大前提：所有的金属都能导电．
小前提：铜是金属．
结论：铜导电．
思考2 在用三段论证明“已知f(x)＝lg?，则f(x)是奇函数”时，大前提是什么？
答案 大前提为：奇函数的定义，即若对于函数f(x)的定义域中任意x，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．
梳理 三段论的一般模式
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况作出的判断
S是P
知识点三 演绎推理与合情推理的关系
区别
推理形式
合情推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
部分→整体
个别→一般
特殊→特殊
一般→特殊
推理所得结论
不一定正确
不一定正确
不一定正确
联系
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理
1．演绎推理的结论一定正确．( × )
2．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况作出的判断．( √ )
3．大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的．( √ )
类型一 演绎推理概念的理解
例1 (1)演绎推理是( )
A．由部分到整体、由个别到一般的推理
B．由特殊到特殊的推理
C．由一般到特殊的推理
D．由一般到一般的推理
考点 演绎推理的含义及方法
题点 演绎推理的含义
(2)《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
考点 演绎推理的含义及方法
题点 判断推理是否为演绎推理
答案 (1)C (2)C
解析 (1)由演绎推理的定义可知．
(2)这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用了五次三段论，属于演绎推理的形式．
反思与感悟 演绎推理是从一般到特殊的推理，这是它不同于其它推理的根本区别．
跟踪训练1 给出下列说法：
①演绎推理的特征为：前提为真时，结论一定为真；
②演绎推理的特征为：前提为真时，结论可能为真；
③由合情推理得到的结论一定为真；
④演绎推理和合情推理都可以用于证明；
⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明．
其中正确说法的序号为________．
考点 演绎推理的含义及方法
题点 演绎推理的含义
答案 ②⑤
解析 结合合情推理与演绎推理的概念判断．
类型二 把演绎推理写成三段论
例2 将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
考点 三段论
题点 三段论的结构
解 (1)平行四边形的对角线互相平分，大前提
菱形是平行四边形，小前提
菱形的对角线互相平分．结论
(2)等腰三角形的两底角相等，大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提
∠A＝∠B.结论
(3)在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提
当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论
反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
跟踪训练2 (1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．
(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为
大前提：________________________________________________________________________.
小前提：________________________________________________________________________.
结论：________________________________________________________________________.
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案 (1)②
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线
类型三 演绎推理的实际应用
例3 (1)“因为对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝是对数函数(小前提)，所以y＝是增函数(结论)”．上面的推理( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
考点 三段论
题点 大前提错误导致结论错误
答案 A
解析 对数函数y＝logax(x>0)不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
(2)用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.
考点 三段论
题点 三段论的应用
证明 如图所示，延长AB，DC交于点M.
平行线分线段成比例(大前提)，
在△AMD中，AD∥BC(小前提)，
＝(结论)．
等量代换(大前提)，
AB＝CD(小前提)，
MB＝MC(结论)．
在三角形中，等边对等角(大前提)，
MB＝MC(小前提)，
∠1＝∠2(结论)．
等量代换(大前提)，
∠ABC＝π－∠1，∠DCB＝π－∠2(小前提)，
∠ABC＝∠DCB(结论)．
反思与感悟 在进行演绎推理时，小前提往往是我们进行推理的条件，大前提是推理的依据，然后由条件依据大前提得出结论．三段论推理是演绎推理的一般模式，同时也是一种最常用的推理．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，有时把一个三段论的结论作为另一个三段论的前提．三段论的推理形式在几何证明中有着十分广泛的应用．
跟踪训练3 用三段论形式写出求解下列题目的主要解答过程．
已知不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，求实数a的值．
考点 三段论
题点 三段论的应用
解 推理的第一个关键环节：
大前提：若不等式f(x)<0的解集为(m，n)，
且f(m)，f(n)有意义，
则m，n是方程f(x)＝0的实数根．
小前提：不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，
且x＝－1与x＝2都使|ax＋2|－6有意义．
结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根，
所以|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．
推理的第二个关键环节：
大前提：如果|x|＝a，a>0，那么x＝±a.
小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6.
结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.
故可得出结论a＝－4.
1．指数函数y＝ax(a>1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数．以上推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．正确
考点 “三段论”及其应用
题点 小前提或推理形式错误导致结论错误
答案 B
解析 此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.
2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．① B．②
C．③ D．①和②
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案 B
解析 大前提为①，小前提为②，结论为③.
3．用演绎推理证明y＝x2，x∈(－∞，0)是减函数时，大前提是________．
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案 减函数的定义
4．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案 log2x－2≥0
解析 由三段论形式得，结论应为log2x－2≥0.
5．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)”．上面的推理中错误的是________．
考点 三段论
题点 大前提错误导致结论错误
答案 大前提
解析 大前提应为指数函数y＝ax(a>1)为增函数．
1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是明显的，则可以省略．
2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．
3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.
一、选择题
1．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
考点 “三段论”及其应用
题点 三段论的结构
答案 B
解析 由三段论的一般模式知选B.
2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”以上三段论是( )
A．大前提错 B．小前提错
C．结论错 D．正确的
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理的正误判断
答案 D
解析 前提正确，推理形式及结论正确，故选D.
3．“平行于同一直线的两条直线平行，∵a∥b，b∥c，∴a∥c.”这个推理称为( )
A．合情推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案 D
解析 符合三段论推理形式．
4．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”关于上述推理，下列说法中正确的是( )
A．小前提错 B．结论错
C．推理完全正确 D．大前提错
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理的正误判断
答案 C
解析 该推理完全正确．
5．“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个自然数概念不一致
D．两个整数概念不一致
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理的正误判断
答案 A
解析 该三段论的推理是正确的．
6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，由此推断各班人数都超过50人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n＝1,2,3)，由此归纳出{an}的通项公式
D．三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数
考点 演绎推理的含义及方法
题点 判断推理是否为演绎推理
答案 D
解析 A选项，某校高三共有8个班，1班51人，2班53人，由此推测各班都超过50人，属于归纳推理；
B选项，由三角形的性质，推测空间四面体的性质，属于类比推理；
C选项，由an＋1＝(n＝1,2,3)归纳出{an}的通项公式，属于归纳推理；
D选项，具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理的三段论形式．
7．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四种说法：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中说法正确的是( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案 A
解析 根据三段论的特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数．故①④正确．
8．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒小于0 B．恒大于0
C．可能等于0 D．可正也可负
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案 A
解析 不妨设x1－2<0，x2－2>0，
则x1<2，x2>2，∴2
∴f(x2)－f(4－x1)，
从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，
∴f(x1)＋f(x2)<0.
9．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则( )
A．－1C．－考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案 C
解析 由题意知，(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，
∴－x2＋x＋a2－a<1.
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
则Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
∴4a2－4a－3<0，解得－二、填空题
10．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为?，则实数a的取值范围为__________．
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案 [0,2]
解析 ∵不等式ax2＋2ax＋2<0无解，
则不等式ax2＋2ax＋2≥0的解集为R.
∴当a＝0时，2≥0，显然成立，
当a≠0时，
解得0∴a的取值范围为[0,2]．
11.如图所示，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD.
证明：在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC>BC，①
所以AD>BD，②
于是∠ACD>∠BCD.③
则在上面的证明过程中错误的是________．(填序号)
考点 三段论
题点 小前提或推理形式错误导致结论错误
答案 ③
解析 由AD>BD得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
三、解答题
12．用三段论证明：已知平面α∥平面β，直线l⊥平面α，l∩α＝A，求证：l⊥β.
考点 三段论
题点 三段论的应用
证明 如图所示，在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面．设γ∩α＝a.
①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提
α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提
所以a∥b.结论
②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提
l⊥α，且a?α，小前提
所以l⊥a.结论
③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前提
a∥b，且l⊥a，小前提
所以l⊥b.结论
④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提
因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提
所以l⊥β.结论
13.如图A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴旋转．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在其它方面中的应用
解 (1)取AB的中点E，连接CE，DE，CD.
因为AC＝BC＝，AB＝2，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以CE⊥AB.
因为△ADB是等边三角形，
所以DE⊥AB.
又平面ADB⊥平面ABC，
且平面ADB∩平面ABC＝AB，DE?平面ADB，
所以DE⊥平面ABC，
又CE?平面ABC，所以DE⊥CE.
由已知得DE＝AB＝，CE＝1.
所以在Rt△CDE中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
当D在平面ABC内时，因为BC＝AC，AD＝BD，
所以C，D都在AB的垂直平分线上，
所以AB⊥CD.
当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE，AB⊥CE，
又DE∩CE＝E，DE，CE?平面CDE，
所以AB⊥平面CDE.
又CD?平面CDE，
所以AB⊥CD.
综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.
四、探究与拓展
14．若log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝log4[log2(log3z)]＝0，则x＋y＋z等于( )
A．123 B．105
C．89 D．58
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案 C
解析 log2[log3(log4x)]＝0?log3(log4x)＝1?log4x＝3?x＝43＝64；
log3[log4(log2y)]＝0?log4(log2y)＝1?log2y＝4?y＝24＝16；
log4[log2(log3z)]＝0?log2(log3z)＝1?log3z＝2?z＝32＝9.
故x＋y＋z＝89.
15.如图所示，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，M，N分别为腰AB，AC上的点，过点M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分．
(1)AM＋AN是否为定值？请说明理由．
(2)如何设计才能使四边形BMNC的面积最小？
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在其它方面的应用
解 (1)AM＋AN是定值，理由如下：
△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，
所以AB＝AC＝.
因为M，N分别为AB，AC上的点，过点M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分，
所以AM＋AN＋MN＝MB＋BC＋NC＋MN.
所以AM＋AN＝MB＋BC＋NC，
又(AM＋AN)＋(MB＋BC＋NC)＝AM＋MB＋BC＋AN＋NC＝AB＋BC＋AC＝2＋2，
所以AM＋AN＝MB＋BC＋NC＝＋1，
所以AM＋AN为定值．
(2)当△AMN的面积最大时，四边形BMNC的面积最小．
由(1)知，AM＋AN＝＋1.
令AM＝x，则AN＝＋1－x，
故S△AMN＝AM·AN＝x(＋1－x)＝－[x2－(＋1)x]，
当x＝时，S△AMN有最大值，四边形BMNC的面积最小，
即当AM＝AN＝时，四边形BMNC的面积最小．
§2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
学习目标 1.结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法.
2.了解综合法和分析法的基本模式、思考过程及特点.3.掌握直接证明的一般步骤，会用综合法和分析法证明一些简单的问题.4.通过具体案例，体会数学证明的特点，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用．
知识点一 综合法
思考 (1)综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
(2)综合法的思维过程是怎样的？综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的充分条件还是必要条件？
答案 (1)综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
(2)综合法的思维过程是由已知走向求证，即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，达到待征明的结论或需求的问题．综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的必要条件，综合法的每一步推证都是由“已知”推出“新结论”，直至要证的结论，其实质是命题“p?q”中已知p寻找q，即寻找必要条件．
梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
(2)综合法的框图表示
―→―→―→…―→
(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)
知识点二 综合法的特点
1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理实质上是寻找它的必要条件．
2．用综合法证明不等式，其证明步骤严谨、逐层递进、条理清晰、形式简洁．
知识点三 分析法
思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？
已知a，b>0，求证：≥.
证明：要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．
梳理 (1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．
(2)分析法的框图表示
―→―→―→…―→
知识点四 综合法与分析法的联系
思考 (1)综合法和分析法的本质区别是什么？
(2)在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？
答案 (1)综合法是由因导果法，每步寻找的是必要条件；而分析法是执果索因法，每步寻找的是充分条件．
(2)对于思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q，再根据结论的特点去转化条件，得到中间结论P.若P?Q，则结论得证．
在解题时常用分析法来探寻思路，用综合法来书写求解过程．
梳理 综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点：分析法是“执果索因”，它的优点是利于思考，解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法是“由因导果”，它的优点是易于表述、条理清晰、形式简洁，能较简捷地解决问题，缺点是不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程．
1．综合法是执果索因的逆推证法．( × )
2．分析法就是从结论推向已知．( × )
3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √ )
类型一 综合法
命题角度1 综合法在证明等式、不等式问题中的应用
例1 若＋＝1(a，b，x，y为正实数，且a≠b)，求证：x＋y≥(＋)2.
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
证明 ∵x，y，a，b>0，且＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2，当且仅当＝时，等号成立．
反思与感悟 综合法证明不等式主要依据的是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)；②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，2≥ab，a2＋b2≥；③若a，b∈(0，＋∞)，则≥，特别是＋≥2.
跟踪训练1 若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c.
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
证明 因为a，b，c∈(0，＋∞)，
所以≥>0，≥>0，≥>0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立，
所以··>abc成立．
上式两边同时取常用对数，
得lg>lg(abc)，
所以lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c.
命题角度2 综合法在立体几何中的应用
例2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点．
(1)若线段AC上存在点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；
(2)证明：EF⊥A1C.
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决图形问题
(1)解 点D是AC的中点，理由如下：
∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，
∴AB∥DE，
∵在△ABC中，E是BC的中点，
∴D是AC的中点．
(2)证明 ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝AA1，
∴四边形A1ACC1是菱形，
∴A1C⊥AC1，
∵AA1⊥底面ABC，AB?平面ABC，
∴AA1⊥AB，
又AB⊥AC，AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面AA1C1C，
∴AB⊥平面AA1C1C，
∵A1C?平面AA1C1C，
∴AB⊥A1C.
∵AB∩AC1＝A，AB，AC1?平面ABC1，
∴A1C⊥平面ABC1，
又BC1?平面ABC1，
∴A1C⊥BC1.
又∵E，F分别为BC，CC1的中点，
∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C.
反思与感悟 把立体几何中线面平行、垂直的位置关系判断融合在一起是立体几何新的命题方向．解答这类问题首先要判断线线之间的位置关系，然后利用几何体的性质进行推理或计算．
跟踪训练2 如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：(1)AF∥平面BCE；
(2)平面BCE⊥平面CDE.
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决图形问题
证明 如图，取CE的中点G，连接FG，BG.
(1)∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF＝DE.
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB.
又AB＝DE，∴GF＝AB.
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.
又CD∩DE＝D，CD，DE?平面CDE，
∴AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
又∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
类型二 分析法
例3 已知a>0，求证：－≥a＋－2.
考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 要证－≥a＋－2，
只需要证＋2≥a＋＋.
因为a>0，
故只需要证2≥2，
即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只需要证2 ≥，
只需要证4≥2，
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
反思与感悟 分析法是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，综合法是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，综合法的实质是分析法的逆过程．利用分析法一定要注意证明命题的思维特点以及分析法步骤的特殊性，一定要恰当使用“要证”“只需证”“即证”等词语．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝3x－2x，证明：对任意x1，x2∈R，均有≥f.
考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 要证≥f，
即证，
即证－(x1＋x2)≥－(x1＋x2)，
只需证.
由于x1，x2∈R时，，
所以由基本不等式知，
显然成立，故原结论成立.
1．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
答案 B
解析 因为a≠b，所以a＋b＝2>2，
所以ab<1，所以＝＝2－ab>1，
所以>1>ab.
2．函数f(x)＝(0考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决函数问题
答案 C
解析 取a＝，当x＝2时，f(2)＝－1<0，排除A，B；
当x＝－2时，f(－2)＝1>0，排除D，故选C.
3.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
考点 分析法及应用
题点 寻找结论成立的充分条件
答案 对角线互相垂直(答案不唯一)
解析 要证A1C⊥B1D1，
只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，
因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，
故只需证B1D1⊥A1C1即可．
4．在锐角△ABC中，＝3，＝x＋y，则＝________.
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决图形问题
答案 3
解析 由题设可得＋＝3(－)，
即4＝3＋，
亦即＝＋，则x＝，y＝.
故＝3.
5．已知a，b，c都为正实数，求证：≥.
考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 要证≥，
只需证≥2，
只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以 ≥成立．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．
一、选择题
1．若实数x，y满足不等式xy>1，x＋y≥0，则( )
A．x>0，y>0 B．x<0，y<0
C．x>0，y<0 D．x<0，y>0
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
答案 A
解析 ?
2．在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是( )
A．b2＋c2≥a2 B．b2＋c2>a2
C．b2＋c2≤a2 D．b2＋c2考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
答案 D
解析 由余弦定理的推论，得cos A＝，
∵A为钝角，∴cos A<0，则b2＋c23．若P＝＋，Q＝＋ (a≥0)，则P与Q的大小关系为( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
答案 C
解析 ∵P2＝2a＋7＋2，
Q2＝2a＋7＋2，
∴P20，Q>0，∴P4．欲证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
答案 C
解析 根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，
∴只需证＋<＋，即证(＋)2<(＋)2.
5．若A，B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决图形问题
答案 C
解析 由正弦定理知＝＝2R，又A，B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.
6．若loga(3a－1)>0，则a的取值范围是( )
A．a< B.C．a>1 D.1
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
答案 D
解析 ∵loga(3a－1)>0，
∴loga(3a－1)>loga1，
当a>1时，则有3a－1>1，解得a>，∴a>1；
当0解得综上可知，a的取值范围是a>1或7．函数f(x)＝的大致图象是( )
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决函数问题
答案 B
解析 由函数解析式可得f(x)为偶函数，
当|x|≤1时，f(x)＝＝y≥0，
即x2＋y2＝1，
∵y≥0，∴图象取x轴及其上方部分，
当x>1时，f(x)＝单调递减，其图象在第一象限，故选B.
二、填空题
8．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为________．
考点 综合法及应用
题点 综合法解决图形问题
答案 25π
解析 由直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线知，该直六棱柱的外接球的直径为＝5，∴其外接球的表面积为4π×2＝25π.
9．在△ABC中，∠C＝60°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则＋＝________.
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决图形问题
答案 1
解析 由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴c2＝a2＋b2－ab，①
＋＝＝，②
将①式代入②式，得＋＝1.
10．与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2的圆的标准方程为________________．
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决图形问题
答案 (x＋2)2＋(y－4)2＝20
解析 由题意知所求圆的圆心在直线y＝－2x上，所以可设所求圆的圆心为(a，－2a)(a<0)，又因为所求圆与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2，所以＝2，可得a2＝4，则a＝－2或a＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝20.
三、解答题
11．已知a>0，b>0且a＋b＝1，求证：＋≤2.
考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 要证＋≤2，
只需证a＋＋b＋＋2≤4，
又a＋b＝1，
即只需证明≤1.
而≤
＝＝1成立，
所以＋≤2成立．
12．求证：当x≥0时，sin x≤x.
考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 要证当x≥0时，sin x≤x，
只需证当x≥0时，sin x－x≤0即可．
设f(x)＝sin x－x，
则即证当x≥0时，f(x)max≤0.
∵f(x)＝sin x－x，∴f′(x)＝cos x－1，
∴当x≥0时，f′(x)≤0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴当x≥0时，f(x)max＝f(0)＝0，
∴当x≥0时，sin x－x≤0成立，∴原不等式成立．
13．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1(n∈N*)，求a1的值，并证明数列是等差数列．
考点 综合法及应用
题点 综合法解决数列问题
解 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－22，解得a1＝4.
证明：由Sn＝2an－2n＋1，得Sn－1＝2an－1－2n(n≥2)，
两式相减，得an＝2an－2an－1－2n(n≥2)，
即an－2an－1＝2n(n≥2)，
于是－＝1(n≥2)．
又＝＝2，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列．
四、探究与拓展
14．若对x，y∈[1,2]，xy＝2，总有不等式2－x≥成立，则实数a的取值范围是________．
考点 综合法及应用
题点 综合法解决不等式问题
答案 (－∞，0]
解析 由题意知a≤(2－x)(4－y)恒成立，则只需a≤[(2－x)(4－y)]min，
(2－x)(4－y)＝8－4x－2y＋xy
＝8－(4x＋2y)＋2＝10－(4x＋2y)
＝10－.
令f(x)＝10－，x∈[1,2]，
则f′(x)＝－＝，f′(x)≤0，
故f(x)在x∈[1,2]上是减函数，
所以当x＝2时f(x)取最小值0，
即(2－x)(4－y)的最小值为0，所以a≤0.
15.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
考点 综合法及应用
题点 综合法解决图形问题
证明 (1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知，EF∥BC.
∵EF?平面ABC，BC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1.
又A1D?平面A1B1C1，
∴A1D⊥CC1.
又A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1，B1C?平面BB1C1C，
∴A1D⊥平面BB1C1C.
又A1D?平面A1FD，
∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.
2.2.2 反证法
学习目标 1.了解间接证明的基本方法——反证法.2.理解反证法的基本模式、思考过程和特点.3.结合已学过的数学实例，理解反证法的推理过程及其证明数学命题的一般步骤，体会反证法在数学证明中的作用.4.通过具体实例，体会直接证明与间接证明的区别和联系．
知识点一 反证法的定义
思考 在用反证法推出矛盾的推导过程中，可以作为条件使用的是( )
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
答案 C
梳理 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种基本方法．
知识点二 反证法的理论依据
思考 反证法解题的实质是什么？
答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．
梳理 由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性．根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法．也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)，从而根据等价性原则，肯定原命题成立．
知识点三 反证法的一般步骤
思考 (1)反证法常见的主要矛盾有哪些？
(2)反证法适用范围主要有哪些方面？
答案 (1)常见的主要矛盾有三类：与已知条件矛盾，与假设矛盾(自相矛盾)，与定义、定理、公理及事实矛盾．
(2)一般地，以下几种情况宜用反证法：结论本身是以否定形式出现的命题，结论是以“至多”“至少”形式出现的命题，关于唯一性、存在性的问题，或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等．
梳理 反证法的证题步骤
(1)反设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立．
(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定理、公理、定义、事实矛盾等．
(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而证明了结论成立．
1．反证法属于间接证明问题的方法．( √ )
2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( × )
3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．( √ )
类型一 反证法概念的理解
例1 反证法是( )
A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法
B．对其否命题的证明
C．对其逆命题的证明
D．分析法的证明方法
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 A
解析 反证法是先否定结论，在此基础上，经过正确的推理，最后得出矛盾，从而证明了原命题成立．
反思与感悟 对于反证法，其实质是先否定结论，根据否定后的结论，连同题目条件，推出矛盾，从而侧面说明原命题成立．
跟踪训练1 (1)命题“在△ABC中，若 ∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．aC．a＝b D．a≥b
(2)用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，则a，b，c中存在偶数”时，下列假设正确的是________．(填序号)
①假设a，b，c都是偶数；②假设a，b，c都不是偶数；③假设a，b，c至多有一个是偶数；④假设a，b，c至多有两个是偶数．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 (1)B (2)②
解析 (1)“a>b”的否定应为“a＝b或a(2)“a，b，c中存在偶数”的反面就是“a，b，c中没有偶数”，即“a，b，c都不是偶数”．
类型二 反证法的应用
命题角度1 证明一般性命题
例2 用反证法证明：已知a，b均为有理数，且和都是无理数，求证：＋是无理数．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设＋为有理数，易知(＋)(－)＝a－b，
由a>0，b>0，得＋>0，
∴－＝ .
∵a，b为有理数，且＋为有理数，
∴为有理数，即－为有理数，
∴(＋)＋(－)为有理数，
即2为有理数，
从而也应为有理数，这与为无理数矛盾．
∴＋是无理数．
反思与感悟 用反证法证明数学命题步骤：
第一步，写出与命题结论q相矛盾的假设綈q；
第二步，由綈q出发，应用正确的推理，得出矛盾；
第三步，断定产生矛盾的原因在于所作的假设綈q不成立，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题．
跟踪训练2 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设，，成等差数列，
则＋＝2，即a＋c＋2＝4b.
又b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，
∴(－)2＝0，即＝，
从而a＝b＝c，这与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
命题角度2 证明“至多、至少、唯一性”问题
例3 若x，y均是正实数，且x＋y>2，求证：<2和<2中至少有一个成立．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设<2和<2都不成立，
∴≥2且≥2.
又∵x，y都是正实数，
∴相加得2＋x＋y≥2(x＋y)，
∴x＋y≤2，与x＋y>2矛盾，
∴假设不成立，原命题结论正确．
反思与感悟 常用的“原结论词”与“反设词”如下表：
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有(不存在)
至少有两个
至多有n－1个
至少有n＋1个
跟踪训练3 已知函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根α，β，
即f(α)＝f(β)＝0，且α≠β，不妨设α>β，
∵f(x)在区间[a，b]上单调递增，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，
∴f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
命题角度3 证明否定性命题
例4 已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：，，不可能构成等差数列．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设，，成等差数列，则＝＋，
∴2ac＝bc＋ab.①
又a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c.②
∴2ac＝b(a＋c)＝b·2b，
∴b2＝ac.③
由②，得4b2＝(a＋c)2，
把③代入上式得4ac＝(a＋c)2，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c.
把a＝c代入②得b＝a，故a＝b＝c，
∴公差为0，这与已知矛盾．
∴，，不可能成等差数列．
反思与感悟 证明否定性问题常用反证法，例如证明异面直线，可以先假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
跟踪训练4 设0考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于，
则(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
所以(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a>，
即(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>.
因为(1－a)a≤2＝，(1－b)b≤2＝，(1－c)c≤2＝，
所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤，
这与(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>矛盾．
所以假设不成立，所以原结论成立.
1．以下各数不能构成等差数列的是( )
A．3,4,5 B.，，
C．3,6,9 D.，，
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 B
解析 假设，，成等差数列，则2＝＋，即12＝7＋2，此等式不成立，故，，不能构成等差数列．
2．异面直线在同一个平面上的射影不可能是( )
A．两条平行直线 B．两条相交直线
C．一个点与一条直线 D．同一条直线
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 D
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC，故排除C；BA1与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BC，故排除B；BA1与C1D1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD，故排除A.故选D.
3．由四种命题的关系可知，反证法的实质是通过________来证明原命题的正确性．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 逆否命题
4．用反证法证明命题：“若a，b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是________________．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 a≠1或b≠1
解析 结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”．
5．证明：方程2x＝3有且仅有一个实根．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 ∵2x＝3，∴x＝，
∴方程2x＝3至少有一个实根．
设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，
则
由①－②得2(x1－x2)＝0，∴x1＝x2，
这与x1≠x2矛盾．
∴方程2x＝3有且仅有一个实根成立．
用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.
一、选择题
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 B
2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 D
解析 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有2个偶数”．
3．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )
A．无解 B．两解
C．至少两解 D．无解或至少两解
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 D
解析 “唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面是“没有或至少有两个”．
4．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b为异面直线，则( )
A．a，b都与l相交
B．a，b中至少有一条与l相交
C．a，b中至多有一条与l相交
D．a，b都不与l相交
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 B
解析 逐一从假设选项成立入手分析，易得B正确．
5．“集合M不是集合N的子集”的充要条件是( )
A．若x∈M，则xD∈/N
B．若x∈N，则x∈M
C．存在x1∈M，使得x1∈N，且存在x2∈M，x2D∈/N
D．存在x0∈M，使得x0D∈/N
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 D
解析 若集合M是集合N的子集，则对任意的x∈M，都有x∈N，因此该命题的否定为：若存在x0∈M，使得x0D∈/N，则M不是N的子集．
6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 C
解析 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故选C.
7．若实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则( )
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都大于1
C．a，b，c都小于2
D．a，b，c中至少有一个不小于
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 D
解析 假设a，b，c均小于，则a＋2b＋c<＋1＋＝2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于.
8．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“ay或xA．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 B
解析 ①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
二、填空题
9．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设__________．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 x＝a或x＝b
10．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 ③
11．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是____________________________．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 a，b都不能被2整除
解析 根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”．
三、解答题
12．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证a，b，c中至少有一个是大于0的．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设a，b，c都不大于0，
则a≤0，b≤0，c≤0，
∴a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
∴a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0矛盾，
∴假设不成立，
∴a，b，c中至少有一个是大于0的．
13．已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2.
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设p＋q>2，则p>2－q，将其两边立方，得
p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.
将p3＋q3＝2代入上式，得6q2－12q＋6<0，即6(q－1)2<0，与(q－1)2≥0矛盾，故p＋q≤2.
四、探究与拓展
14．若两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 (－∞，－2]∪[－1，＋∞)
解析 假设两个一元二次方程均无实根，
则有
即
解得－2所以a的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，＋∞)．
15．对于直线l：y＝kx＋1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A，B关于直线y＝ax(a为常数)对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
解 假设存在实数k，使得A，B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由?(3－k2)x2－2kx－2＝0.④
由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2，⑤
由④知x1＋x2＝，
代入⑤整理得ak＝3，与①矛盾．
故不存在实数k，使得A，B关于直线y＝ax对称．
滚动训练(二)
一、选择题
1．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了100次和150次试验，并且利用最小二乘法求得的回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法中正确的是( )
A．l1与l2有交点(s，t)
B．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)
C．l1与l2必定平行
D．l1与l2必定重合
考点 线性回归方程
题点 样本点中心的应用
答案 A
解析 回归直线l1，l2都过样本点的中心(s，t)，但它们的斜率不确定，故选项A正确．
2．已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，则A∩B等于( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{1}
考点 合情推理与演绎推理
题点 合情推理与演绎推理
答案 A
解析 集合B＝，故A∩B＝{0,1}．
3．若命题p：?x∈，sin xA．?x∈，sin x≥x
B．?x?，sin x≥x
C．?x0∈，sin x0≥x0
D．?x0∈，sin x0≤x0
考点 合情推理与演绎推理
题点 合情推理与演绎推理
答案 C
解析 全称命题的否定是特称命题，先变量词，再否定结论，故选C.
4．若直线l1：ax－y＋1＝0与直线l2：2x－2y－1＝0的倾斜角相等，则实数a等于( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在其他方面中的应用
答案 B
解析 由题意可得两直线平行，
∴－2×a－(－1)×2＝0，∴a＝1.
5．若双曲线C：－＝1(a>0)与x轴的一个交点是(2,0)，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在其他方面中的应用
答案 D
解析 双曲线与x轴的交点是(±a,0)，则a＝2，
∴＝，
故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
6．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2>0，那么这个演绎推理出错在( )
A．大前提 B．小前提
C．推理过程 D．没有出错
考点 “三段论”
题点 大前提错误导致结论错误
答案 A
解析 要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2>0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．
7．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得K2＝7.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为( )
A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的方法
答案 C
解析 易知K2＝7.01>6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系．
二、填空题
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋x在x＝1处取得极大值2，则a－b＝________.
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案 －7
解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋1，
又由题意知f(1)＝2，f′(1)＝0，∴
∴a＝－3，b＝4，a－b＝－7.
9．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，记其前n项和为Sn，设a2 018＝t(t为常数)，则S2 016＋S2 015－S2 014－S2 013＝________.(用t表示)
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数列中的应用
答案 t
解析 S2 016＋S2 015－S2 014－S2 013＝a2 016＋a2 015＋a2 015＋a2 014＝a2 017＋a2 016＝a2 018＝t.
10．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．
给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.
其中正确的结论为________．
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案 (1)(2)(3)
解析 由条件可知，
因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，且f(1,1)＝1，
所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝9.
又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)＝23f(2,1)
＝24f(1,1)＝16，
所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝24f(1,1)＋10＝26.
故(1)(2)(3)均正确．
三、解答题
11．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义、单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x2)＝2f(x)；
(2)求f(1)的值；
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
(1)证明 ∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，
∴f(x2)＝f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．
(2)解 ∵f(1)＝f(12)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(3)解 ∵f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2＝2f(2)＝f(4)，
函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴解得012.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，边长为1，∠ADC＝120°，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形．
(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(2)若在线段PC，PD上可以分别找到两点A′，A″，使得直线PC⊥平面AA′A″，分别求出此时，的值．
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决图形问题
(1)证明 ∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
又∵PA⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
又∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.
(2)解 ∵PC⊥平面AA′A″，
∴PC⊥AA′，PC⊥AA″.
在Rt△PAC中，PA2＝PA′·PC，
又∵PA＝1，PC＝2，∴PA′＝.
∴＝，
在△PDC中，PD＝，DC＝1，PC＝2，PA′＝，
又∵PA″·cos∠DPC＝PA′，
cos∠DPC＝＝＝，
∴PA″＝，∴＝＝.
13．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：
甲厂
分组
[29.86，29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
乙厂
分组
[29.86，29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
甲 厂
乙 厂
总计
优质品
非优质品
总计
附：K2＝，
P(K2≥k0)
0.05
0.01
k0
3.841
6.635
考点 独立性检验及其基本思想
题点 独立性检验的思想
解 (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为＝72%；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为＝64%.
(2)
甲厂
乙厂
总计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
总计
500
500
1 000
K2＝≈7.35>6.635，
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
四、探究与拓展
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝sin2A，cos Bcos C＝，则A的大小为__________．
考点 合情推理与演绎推理
题点 合情推理与演绎推理
答案
解析 由正弦定理以及＝sin2A，得
＝sin2A，
又因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以可得sin Bsin C＝，
cos(π－A)＝cos(B＋C)
＝cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
所以cos A＝，且A∈(0，π)，得A＝.
15．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：
喜欢
不喜欢
总计
大于40岁
20
5
25
20岁至40岁
10
20
30
总计
30
25
55
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6名市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率．
考点 独立性检验思想的应用
题点 分类变量与统计、概率的综合性问题
解 (1)由公式K2＝得，观测值k≈11.978>7.879，所以有99.5%以上的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．
(2)由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4个，20岁至40岁的市民有2个，分别记为B1，B2，B3，B4，C1，C2，
从中任选2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)，共15个，其中恰有1位大于40岁的市民和1 位20岁至40岁的市民的事件有(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，共8个，所以恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率为.
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．演绎推理 D．以上答案都不是
考点 演绎推理的含义及方法
题点 判断推理是否为演绎推理
答案 C
解析 根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.
2．设{an}，{bn}是两个等差数列，若cn＝an＋bn，则{cn}也是等差数列，类比上述性质，设{sn}，{tn}是等比数列，则下列说法正确的是( )
A．若rn＝sn＋tn，则{rn}是等比数列
B．若rn＝sntn，则{rn}是等比数列
C．若rn＝sn－tn，则{rn}是等比数列
D．以上说法均不正确
考点 类比推理的应用
题点 等差数列与等比数列之间的类比
答案 B
解析 在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘．故由“{an}，{bn}是两个等差数列，若cn＝an＋bn，则{cn}是等差数列”，
类比推理可得：“设{sn}，{tn}是等比数列，若rn＝sntn，则{rn}是等比数列”．故选B.
3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：
①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．
则说法中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 B
解析 可用反证法推出①②不正确，③正确．
4．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
考点 类比推理
题点 类比推理的方法、形式和结论
答案 D
解析 (xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为( )
A．(3,9) B．(4,8)
C．(3,10) D．(4,9)
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数对(组)中的应用
答案 D
解析 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D.
6．求证：＋>.
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋>，
只需证明(＋)2>()2，展开得5＋2>5，
即证2>0，此式显然成立，所以不等式＋>成立．
上述证明过程应用了( )
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
答案 B
解析 证明过程中的“为了证明…”，“只需证明…”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
7．某同学在纸上画出如下若干个三角形：
△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……
若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2 015个三角形中▲的个数是( )
A．62 B．63
C．64 D．61
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在图形中的应用
答案 A
解析 前n个▲中所包含的所有三角形的个数是1＋2＋3＋…＋n＋n＝，由＝2 015，解得n＝62.
8．若数列{an}是等比数列，则数列{an＋an＋1}( )
A．一定是等比数列
B．一定是等差数列
C．可能是等比数列也可能是等差数列
D．一定不是等比数列
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数列中的应用
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，
则an＋an＋1＝an(1＋q)．
∴当q≠－1时，{an＋an＋1}一定是等比数列；
当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时为等差数列．
9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
考点 合情推理的应用
题点 合情推理在不等式中的应用
答案 D
解析 方法一 ∵a＋b＋c＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，
∴ab＋ac＋bc＝－≤0.
方法二 令c＝0，若b＝0，
则ab＋bc＋ac＝0，否则a，b异号，
∴ab＋bc＋ac＝ab<0，排除A，B，C，故选D.
10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为( )
A．a＝，b＝c＝
B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝
D．不存在这样的a，b，c
考点 合情推理的应用
题点 合情推理在数列中的应用
答案 A
解析 令n＝1,2,3，得所以a＝，b＝c＝.
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，可归纳猜想出Sn的表达式为( )
A．Sn＝ B．Sn＝
C．Sn＝ D．Sn＝
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数列中的应用
答案 A
解析 由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，
∴a2＝，S2＝；
又1＋＋a3＝32a3，∴a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，S4＝.
由S1＝，S2＝，S3＝，S4＝，
可以猜想Sn＝.
12．设函数f(x)的定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 016等于( )
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
A.1 B．2 C．4 D．5
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数列中的应用
答案 D
解析 x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2 016＝x4＝5，故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知x，y∈R，且x＋y<2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 x，y都大于1
解析 “至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x，y都大于1”．
14．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m，n的大小关系是________．
考点 合情推理与演绎推理
题点 合情推理与演绎推理
答案 m>n
解析 ab>0?>0?a＋b＋2>a＋b
?(＋)2>()2?＋>
?>?lg>lg.
15．已知 ＝2，＝3，＝4，…， ＝6，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则a＋b＝________.
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数阵(表)中的应用
答案 41
解析 由题意归纳推理得 ＝6，
b＝62－1＝35，a＝6.∴a＋b＝6＋35＝41.
16.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
考点 类比推理
题点 平面几何与立体几何之间的类比
答案
解析 解法的类比(特殊化)，
易得两个正方体重叠部分的体积为.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg≥；
(2)6＋>2＋2.
考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 (1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg≥lg ab＝.
(2)要证 ＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即证2>2，这是显然成立的，
∴原不等式成立．
18．(12分)若a1>0，a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…)．
(1)求证：an＋1≠an；
(2)令a1＝，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an(不要求证明)．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
(1)证明 若an＋1＝an，即＝an，
解得an＝0或1.
从而an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0或1，
这与题设a1>0，a1≠1相矛盾，
所以an＋1＝an不成立．
故an＋1≠an成立．
(2)解 由题意得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，
由此猜想：an＝.
19．(12分)已知函数f(x)＝x2－2x.
(1)当x∈时，求函数f(x)的值域；
(2)若定义在R上的奇函数g(x)对任意实数x，恒有g(x＋4)＝g(x)，且当x∈[0,2]时，g(x)＝f(x)，求g(1)＋g(2)＋…＋g(2 017)的值．
考点 合情推理与演绎推理
题点 合情推理与演绎推理
解 (1)f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵x∈，
∴当x＝1时，f(x)min＝－1；
当x＝3时，f(x)max＝3.
即当x∈时，函数f(x)的值域是[－1,3]．
(2)由g(x＋4)＝g(x)可得，函数g(x)的周期T＝4，
g(1)＝f(1)＝－1，g(2)＝f(2)＝0，
g(3)＝g(－1)＝－g(1)＝1，
g(4)＝g(0)＝f(0)＝0，
∴g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0，
故g(1)＋g(2)＋…＋g(2 017)＝g(1)＋504×0＝－1.
20．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝3，AB＝4，AC＝CC1＝5，M，N分别是A1B，B1C1的中点．
(1)求证：MN∥平面ACC1A1；
(2)求点N到平面MBC的距离．
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决图形问题
(1)证明 如图，连接AC1，AB1，
∵该三棱柱是直三棱柱，
∴AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩形，
由矩形性质得AB1过A1B的中点M，
在△AB1C1中，由中位线性质得MN∥AC1，
又MN?平面ACC1A1，AC1?平面ACC1A1，
∴MN∥平面ACC1A1.
(2)解 ∵BC＝3，AB＝4，AC＝CC1＝5，
∴AB⊥BC，
又∵BB1⊥BC，AB∩BB1＝B，AB，BB1?平面ABB1A1，
∴BC⊥平面ABB1A1，同理AB⊥平面BCC1B1，
又∵BM?平面ABB1A1，
∴BC⊥BM，
∴S△NBC＝×BC×BB1＝×3×5＝，
∴S△MBC＝×BC×BM
＝×3×＝，
又点M到平面BCN的距离为h′＝AB＝2，
设点N到平面MBC的距离为h，
由V三棱锥M－NBC＝V三棱锥N－MBC，
可得S△NBC·h′＝S△MBC·h，
即××2＝××h，
解得h＝，
即点N到平面MBC的距离为.
21．(12分)某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①＋<2；②＋<2；③＋<2.
(1)已知∈(1.41,1.42)，∈(1.73,1.74)，∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性(注意不能近似计算)；
(2)请将此规律推广至一般情形，并证明．
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在数对(组)的应用
解 (1)验证①式成立：∵<1.74，∴＋<2.74，
∵>1.41，∴2>2.82，∴＋<2.
(2)一般结论为：若n∈N*，
则＋<2，证明如下：
要证＋<2，
只需证(＋)2<(2)2，
即证2n＋2＋2·<4n＋4，
即证·只需证n(n＋2)故＋<2.
22．(12分)已知函数f(x)＝ex＋1－kx－2k(其中e是自然对数的底数，k∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明：x1＋x2>－2.
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决函数问题
(1)解 因为f′(x)＝ex＋1－k，
当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln k－1，
所以当x∈(－∞，ln k－1)时，f′(x)<0，
当x∈(ln k－1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在区间(－∞，ln k－1)上单调递减，
在区间(ln k－1，＋∞)上单调递增；
当k≤0时，f′(x)＝ex＋1－k>0恒成立，
故此时函数f(x)在R上单调递增．
(2)证明 当k≤0时，由(1)知函数f(x)单调递增，不存在两个零点，所以k>0，
设函数f(x)的两个零点为x1，x2，且x1>x2，
则＝k(x1＋2)，＝k(x2＋2)，
所以x1＋2>0，x2＋2>0，
所以x1－x2＝ln，
设＝t，则t>1，且
解得x1＋2＝，x2＋2＝，
所以x1＋x2＋4＝，
欲证x1＋x2>－2，只需证明>2，
即证(t＋1)ln t－2(t－1)>0，
设g(t)＝(t＋1)ln t－2(t－1)，t>1，
所以g′(t)＝ln t＋(t＋1)－2＝ln t＋－1，
设h(t)＝ln t＋－1，
所以h′(t)＝－>0，h(t)单调递增，
所以g′(t)>g′(1)＝0，
所以g(t)在区间(1，＋∞)上单调递增，
所以g(t)>g(1)＝0，
所以>2，故x1＋x2>－2成立．
章末复习
学习目标 1.理解合情推理和演绎推理.2.会用直接证明和间接证明方法证明问题．
1．合情推理
(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
2．演绎推理
(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理，
②小前提——所研究的特殊情况，
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
3．直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：
①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；
②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．
(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．
1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )
2．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √ )
3．一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)．( × )
4．在平面上，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.( √ )
5．在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )
6．命题“对任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”应用了综合法．( √ )
类型一 合情推理的应用
例1 有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数对(组)中的应用
答案 f(n)＝n3
解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，
7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列问题中的常见类型．
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．
跟踪训练1 观察下列等式：
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式应为________．
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数阵(表)中的应用
答案 n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
解析 把已知等式与行数对应起来，则每个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n－1；右边都是完全平方数，
行数 等号左边的项数
1＝1 1 1
2＋3＋4＝9 2 3
3＋4＋5＋6＋7＝25 3 5
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 4 7
…… …… ……
所以n＋(n＋1)＋…＋[n＋(2n－1)－1]＝(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
故填n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
类型二 综合法与分析法
例2 已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决函数问题
证明 构造函数f(x)＝(bc－1)x－b－c＋2(x∈(－1,1))，
则f(1)＝(bc－1)－b－c＋2＝(b－1)(c－1).
∵|b|<1，|c|<1，∴f(1)>0.
又∵bc－1<0，∴f(x)在(－1,1)上为减函数．
∴f(x)在(－1,1)上恒大于0.
∵|a|<1，∴f(a)>0.
∴(bc－1)a－b－c＋2>0，即abc＋2>a＋b＋c.
反思与感悟 根据待证不等式的结构特点构造函数，将此问题转化为函数问题，再利用函数的图象与性质解决问题．
跟踪训练2 设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
即需证a2－ab＋b2>ab成立．
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0，
所以(a－b)2>0显然成立．
即a3＋b3>a2b＋ab2.
类型三 反证法
例3 已知f(x)＝ax＋(a>1)，求证：f(x)＝0没有负根．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设x0是f(x)＝0的负根，
则x0<0且x0≠－1且＝－，
由0<<1，得0<－<1，
解得所以假设不成立．
故方程f(x)＝0没有负根．
反思与感悟 当结论为否定形式的命题时，常常借助于反证法进行证明，如将方程f(x)＝0没有负根，假设为方程f(x)＝0存在负根x0，然后利用已知条件和假设结论进行推理，推出的结果同已知条件或已成立的事实矛盾，从而得出“假设不成立”的结论．
跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d)．
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0且Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.
1．观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－1
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数对(组)中的应用
答案 B
解析 由已知中的式子，我们观察后分析：
等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，
等式右边是一个等差数列．
根据已知可以推断：
第n(n∈N*)个等式为9(n－1)＋n＝10n－9.
2．在平面直角坐标系中，方程＋＝1表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
考点 类比推理
题点 平面几何与立体几何之间的类比
答案 A
解析 ∵在平面直角坐标系中，方程＋＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为＋＋＝1.
3．下列关于否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有三个解 D．至少有两个解
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 C
解析 “至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故选C.
4．在等差数列{an}中，2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)．类比以上结论，在等比数列{bn}中，类似的结论是________________．
考点 类比推理
题点 等差数列与等比数列之间的类比
答案 b＝bn－1·bn＋1(n≥2且n∈N*)
5．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________________成立．
考点 类比推理
题点 等差数列与等比数列之间的类比
答案 b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)
解析 在等差数列{an}中，由a10＝0，得
a1＋a19＝a2＋a8＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0(n<19，n∈N*)，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1.
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n，
若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n.
相应地，在等比数列{bn}中，则可得b1b2…bn＝b1b2…·b17－n(n<17，n∈N*)．
1．归纳推理和类比推理都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．
3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．
一、选择题
1．定义中演绎推理是以下列哪个为前提推出某个特殊情况下的结论的推理方法( )
A．一般的原理 B．特定的命题
C．一般的命题 D．定理、公式
考点 演绎推理的含义及方法
题点 演绎推理的含义
答案 A
解析 据演绎推理的含义，得A正确．
2．若m＝＋，n＝＋，a≥0，则有( )
A．mC．m>n D．不能确定
考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
答案 A
解析 要比较m，n的大小，
可比较m2＝2a＋5＋2，
n2＝2a＋5＋2的大小，
只要比较a2＋5a与a2＋5a＋6的大小．
因为a2＋5a＋6>a2＋5a，
所以＋<＋(a≥0)，即m3．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2.依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数对(组)中的应用
答案 A
解析 观察所给的式子，只有选项A符合规律．
4．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，则P与Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P≥Q
C．P考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
答案 A
解析 要比较P，Q的大小，只需比较P－Q与0的关系，
因为P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2，
又a，b，c不全相等，所以P－Q>0，即P>Q.
5．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则函数f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．为增函数 D．为减函数
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案 A
解析 ∵x＜0，∴－x＞0，则
(－2x)＋≥2＝2，
∴－≤－2.
∴f(x)＝－－1≤－2－1.
当且仅当－2x＝－，即当x＝－时取得最大值．
6．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( )
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF为中位线
D．EF∥BC
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案 A
解析 这个三段论的推理形式为大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.
7．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为( )
A．a，b，c，d中至少有一个正数
B．a，b，c，d全为正数
C．a，b，c，d全部大于等于0
D．a，b，c，d中至多有一个负数
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 C
解析 “a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”．
二、填空题
8．设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝2，则＋＋≥________.
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在不等式中的应用
答案
9．已知函数y＝x＋在区间[3，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案
解析 因为y′＝1－，要使函数y＝x＋在区间[3，＋∞)上是增函数，则1－≥0在区间[3，＋∞)上恒成立，即a≤在区间[3，＋∞)上恒成立，所以a≤.
10．如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是__________________．
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
答案 a≥0，b≥0且a≠b
解析 ∵a＋b－(a＋b)
＝(a－b)＋(b－a)
＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.
∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.
三、解答题
11．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2－Sn(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；
(2)用三段论证明数列{an}是等比数列．
考点 三段论
题点 三段论的应用
(1)解 由an＝2－Sn，得a1＝1；a2＝；a3＝；
a4＝，猜想an＝n－1(n∈N*)．
(2)证明 对于通项公式为an的数列{an}，若＝p，p是非零常数，则{an}是等比数列，大前提
因为通项公式an＝n－1，又＝，小前提
所以通项公式为an＝n－1的数列{an}是等比数列．结论
12．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy.
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
证明 由于x≥1，y≥1，
所以x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)·(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，
所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.
从而所要证明的不等式成立．
13．已知f(x)＝x2＋px＋q.求证：
(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2×(4＋2p＋q)＝2.
(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，
则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.
而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，
这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2相矛盾，
从而假设不成立，故原命题成立．
四、探究与拓展
14．已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在其他方面中的应用
答案 D
解析 由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2>|AF|＝2，
∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，
∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.
15．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，q：实数x满足|x－3|<1.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若a>0且綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在不等式中的应用
解 (1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0，
当a＝1时，1即p为真时，实数x的取值范围是(1,3)．
由|x－3|<1，得－1即当q为真时，实数x的取值范围是(2,4)，
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是(2,3)．
(2)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0，
∵a>0，∴a若綈p是綈q的充分不必要条件，
则綈p?綈q，且綈qD?綈p，
设A＝{x|綈p}，B＝{x|綈q}，则A?B，
又A＝{x|綈p}＝{x|x≤a或x≥3a}，
B＝{x|綈q}＝{x|x≥4或x≤2}，
∴或
解得≤a≤2，
∴实数a的取值范围是.
