滚动训练三(§3.1～§3.2)
一、选择题
1．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 e2i＝cos 2＋isin 2，
由于<2<π，
因此cos 2<0，sin 2>0，点(cos 2，sin 2)在第二象限，故选B.
2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在( )
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 ∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 A
解析 当“a＝b＝1”时，“(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i”成立，
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分条件；
当“(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i”时，
“a＝b＝1”或“a＝b＝－1”，
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的不必要条件；
综上所述，“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．
4．设复数z＝，则z·等于( )
A．1 B.
C．2 D．4
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
答案 C
解析 ∵z＝＝
＝－1＋i，
∴＝－1－i，∴z·＝(－1＋i)(－1－i)＝2.
5．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为( )
A．－1 B．0
C．i D．1
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 B
解析 ∵z(i＋1)＝，
∴z＝＝＝－1，
∴z的虚部为0.
6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a等于( )
A．2 B．－2
C．±2 D．－
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 B
解析 由题意可得＝－＋i，
即＝＝＋i＝－＋i，
∴＝－，＝，∴a＝－2，故选B.
7．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
考点 共轭复数的定义及应用
题点 与共轭复数有关的综合问题
答案 D
解析 对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，
所以1＝2为真；
对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，
所以1＝z2为真；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，
则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，
所以z1·1＝z2·2为真；
对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选D.
二、填空题
8．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 －2i
解析 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，
所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
9．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝________.
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案
解析 由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i|·|z|＝|5＋10i|，
即5|z|＝5，解得|z|＝.
10．设复数z1＝i，z2＝，z＝z1＋z2，则z在复平面内对应的点位于第________象限．
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的几何意义
答案 一
解析 z2＝＝＝＝－i，z1＝i，
则z＝z1＋z2＝i＋－i＝＋i.
∴z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
11．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，i是虚数单位，其中a，b为正实数，则4a＋1－b的最小值为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 2
解析 复数z＝(2a＋i)(1－bi)＝2a＋b＋(1－2ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，
∴2a＋b＝2，∴b＝2－2a.
则4a＋1－b＝4a＋21－2a＝4a＋
≥2＝2，
当且仅当a＝，b＝时取等号．
三、解答题
12．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
考点 复数四则运算的综合运算
题点 复数的混合运算
解 (1)
＝＝＝－1－3i.
(2)
＝＝
＝＝＋i.
(3)＋
＝＋＝＋＝－1.
(4)＝＝
＝＝－－i.
13．复数z满足|z＋3－i|＝，求|z|的最大值和最小值．
考点 复数的几何意义的综合应用
题点 利用几何意义解决距离、角、面积
解 方法一 |z＋3－i|≥||z|－|3－i||，
又∵|z＋3－i|＝，
|3－i|＝＝2，
∴||z|－2|≤，
即≤|z|≤3，
∴|z|的最大值为3，最小值为.
方法二 |z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P为圆心，以为半径的圆，如图所示，
则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.
四、探究与拓展
14．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
A.＋ B.＋
C.－ D.－
考点 复数的几何意义的综合应用
题点 利用几何意义解决距离、角、面积
答案 C
解析 复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，它的几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆以及内部部分．
y≥x的图形是图形中阴影部分，如图，
复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，
则y≥x的概率为＝－.
15．设z是虚数，w＝z＋是实数，且－1
解 ∵z是虚数，
∴可设z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)，
则w＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋
＝＋i.
∵w是实数且y≠0，
∴y－＝0，
即x2＋y2＝1，∴|z|＝1，此时w＝2x.
由－1∴－章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )
A．i∈S B．i2∈S
C．i3∈S D.∈S
答案 B
2．设z1，z2为复数，则下列结论中正确的是( )
A．若z＋z＞0，则z＞－z
B．|z1－z2|＝
C．z＋z＝0?z1＝z2＝0
D．z1－是纯虚数或零
答案 D
解析 举例说明：若z1＝4＋i，z2＝2－2i，则z＝15＋8i，z＝－8i，z＋z＞0，但z与－z都是虚数，不能比较大小，故A错；因为|z1－z2|2不一定等于(z1－z2)2，故|z1－z2|与不一定相等，B错；若z1＝2＋i，z2＝1－2i，则z＝3＋4i，z＝－3－4i，z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错；设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，故z1－＝2bi，当b＝0时是零，当b≠0时，是纯虚数．
3．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A B．B C．C D．D
答案 B
解析 由共轭复数的定义可得．
4．复数等于( )
A．i B．－i
C．2－i D．－2＋i
答案 A
解析 ＝＝＝＝i.
5.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i是虚数单位)，则z等于( )
A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i
答案 D
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋＝2a＝2，得a＝1.
(z－)i＝2bi2＝2，得b＝－1，
∴z＝1－i.
6．设复数z满足＝i，则|1＋z|的值为( )
A．0 B．1 C. D．2
答案 C
解析 由＝i，得z＝＝－i，
∴|1＋z|＝|1－i|＝.
7．已知f(n)＝in－i－n(n∈N＋)，则集合{f(n)}的元素个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．无数个
答案 B
解析 f(n)有三个值0,2i，－2i.
8．已知关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z在复平面内对应的点位于第四象限．其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p2，p4 D．p3，p4
答案 D
解析 z＝＝＝1－i，
p1：|z|＝＝.
p2：z2＝(1－i)2＝－2i.
p3：z的共轭复数为1＋i，真命题．
p4：z在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，位于第四象限，真命题．故选D.
9．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(0,1)，B(－1,3)，则等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－1＋3i D．－3－i
答案 A
解析 z1＝i，z2＝－1＋3i，＝＝3＋i.
10．已知是复数z的共轭复数，z＋＋z·＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案 A
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋＝2x，z·＝x2＋y2，所以由z＋＋z·＝0，得x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，故选A.
11．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则的值为( )
A．1 B．0 C．1＋i D．1－i
考点
题点
答案 D
解析 复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，
可得a＝1，＝＝＝1－i.
12．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意可得定义运算＝ad－bc，
所以＝z(1＋i)－(1＋2i)(1－i)＝0，
代入整理可得(a－b)＋(a＋b)i＝3＋i，
解得a＝2，b＝－1，
所以z＝2－i，所以＝2＋i，
所以复数z的共轭复数对应的点在第一象限．
故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
答案 (3,4)
解析 ∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴解得314．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
答案
解析 ＝＝＝
＝＋i，
∵为纯虚数，
∴∴a＝.
15．已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a，b∈R)，若|z1|答案 (－1,1)
解析 由题意知，a＝0，故z1＝bi，z2＝1.
∵|z1|∴－116．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，则必有②2＋i>1＋i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．
答案 ⑤
解析 由y∈?CR知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时：
(1)z是实数；(2)z是纯虚数．
解 (1)要使复数z为实数，需满足
解得m＝－2或m＝－1.
即当m＝－2或m＝－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1z2；(2).
解 z2＝＝＝
＝＝1－3i，
则(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝
＝＝＋i.
19．(12分)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z.
(1)求z并求其在复平面上对应的点的坐标；
(2)求的共轭复数．
解 (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由已知，得＝1＋3i－(x＋yi)＝(1－x)＋(3－y)i.
由得所以z＝－4＋3i.
其在复平面上对应的点的坐标为(－4,3)．
(2)由(1)知z＝－4＋3i，
所以＝＝＝＝＝3＋4i，共轭复数为3－4i.
20．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
21．(12分)已知复数z＝，ω＝z＋ai(a∈R)，当≤时，求a的取值范围．
解 因为z＝＝＝1－i，
所以|z|＝.
又≤，所以|ω|≤2.
而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1)i(a∈R)，
则≤2?(a－1)2≤3，
所以－≤a－1≤，1－≤a≤1＋.
22．(12分)求同时满足下列条件的所有的复数z.
(1)z＋∈R，且1(2)z的实部和虚部都是整数．
解 设z＝x＋yi(x，y∈Z)，
则z＋＝x＋yi.
因为z＋∈R，所以y＝0.
所以y＝0或x2＋y2＝10.
又1①当y＝0时，可以化为1x＋<0，当x>0时，x＋≥2>6，故当y＝0时，无解．
②当x2＋y2＝10时，可化为1<2x≤6，即因为x，y∈Z，故可得z＝1＋3i或z＝1－3i或z＝3＋i或z＝3－i.
§3.1 数系的扩充与复数的引入
3.1.1 实数系
3.1.2 复数的引入(一)
学习目标 1.了解引入虚数单位i的必要性和数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
知识点一 复数的概念及代数表示
思考 为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数系扩充到实数系；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
梳理 (1)复数的概念
设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数．
(2)复数的表示
复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，i称作虚数单位．
知识点二 复数的分类与复数相等的充要条件
思考1 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？
答案 实数．
思考2 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，z是什么数？
答案 纯虚数．
梳理 (1)复数的分类
①复数(a＋bi，a，b∈R)
②集合表示：
(2)复数相等的充要条件
如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c，且b＝d；a＋bi＝0?a＝0，且b＝0.
1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( × )
2．复数z＝bi是纯虚数．( × )
3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ )
类型一 复数的概念与分类
例1 当实数m满足什么条件时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i：
(1)是纯虚数；
(2)是实数；
(3)是虚数．
解 (1)当时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，解得m＝4.
(2)当时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，解得m＝－2或m＝－3.
(3)当时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是虚数，解得m<1－2或m>1＋2且m≠－2且m≠－3.
反思与感悟 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意参数本身的取值范围，如分母不能为0.
跟踪训练1 实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，
即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，
即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，
且m2＋2m－3≠0，
解得m＝0或m＝－2.
类型二 复数相等
例2 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
解 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴
解得或
(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴
解得a＝11或a＝－.
反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
跟踪训练2 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解 ∵M∪P＝P，∴M?P，
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
1．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A．±1 B．±i
C．±i D．±2i
答案 C
2．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．以上都不对
答案 A
解析 因为(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，所以x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，解得x＝1，故选A.
3．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中真命题的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
4．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a＝________.
答案 －4
解析 根据复数相等的充要条件，有解得a＝－4.
5．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．
答案 2－2i
解析 2i－的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2.
∴新复数z＝2－2i.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数.
一、选择题
1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为a，b∈R，当“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R”．
而当“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．
所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．
2．下列命题中，真命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 A
解析 对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
3．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
答案 C
4．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 B
解析 由题意，得
解得(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
5．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A. B．2 C．0 D．1
答案 D
解析 由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
6．若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为( )
A．7 B．－
C．－7 D．－7或－
答案 C
解析 ∵复数z＝＋i是纯虚数，∴cos θ－＝0，sin θ－≠0，∴sin θ＝－，∴tan θ＝－，则tan＝＝＝－7.
7．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
答案 B
解析 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得
∴z＝3－i，故选B.
二、填空题
8．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
答案 －2
解析 由题意可得解得m＝－2.
9．若复数z＝m2＋m－2＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为________．
答案 2或－1
解析 ∵复数z＝m2＋m－2＋(m2－m－2)i为实数，
∴m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
10．复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．
答案 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)
解析 若复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，
∴当a≠－1时，复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数．
11．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.则m＝1是z1＝z2的________条件．
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
答案 充分不必要
解析 当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
12．已知(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，且m∈R，n∈N＋，则m＋n＝________.
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 1或2
解析 由题意得
由②，得m＝0或m＝3.
当m＝0时，由(m＋n)≥－1，得0∴n＝1或n＝2.
当m＝3时，由(m＋n)≥－1，得0∴－3∴m，n的值分别为m＝0，n＝1或m＝0，n＝2.
故m＋n的值为1或2.
三、解答题
13．已知复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)若z是纯虚数，求a的值；
(2)若z是虚数，且z的实部比虚部大，求a的取值范围．
解 复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)由z是纯虚数，可得a2－1＝0，a2－3a＋2≠0，
解得a＝－1.
(2)由z是虚数，且z的实部比虚部大，
可得a2－1>－a2＋3a－2≠0，
解得a>1或a<且a≠2.
所以a的取值范围为∪(1,2)∪(2，＋∞)．
四、探究与拓展
14．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
解 由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以
得得x＝－1，y＝2.
15．若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1解 当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
解得m＝0或m＝－1或m＝－2，
∴z1＝1或z1＝2或z1＝5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
解得m＝0或m＝1或m＝4，
∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.
上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.
∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z13.1.2 复数的引入(二)
学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.4.理解共轭复数的概念．
知识点一 复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.
知识点二 复数的几何意义
思考1 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)具有怎样的对应关系？
答案 一一对应．
思考2 复平面内的点Z与向量有怎样的对应关系？
答案 一一对应．
梳理 复数z＝a＋bi有序实数对(a，b)点Z(a，b)．
知识点三 复数的模
设＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝.
知识点四 共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi时，则＝a－bi，任一实数的共轭复数仍是它本身．
1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ )
2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( × )
3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( × )
类型一 复数的几何意义
例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
解 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即当－3(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
引申探究
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；(2)第四象限．
解 (1)当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或x＝2时，点Z在虚轴上．
(2)当实数x满足
即当2反思与感悟 按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练1 在复平面内，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
解 由已知得A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则AC的中点E，由平行四边形的性质知E也是BD的中点，设D(x，y)，
则∴即D(3,3)．
∴D点所对应的复数为3＋3i.
例2 (1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是( )
A．－5＋5i B．－5－5i
C．5＋5i D．5－5i
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由复数的几何意义，可得
＝(5，－4)，＝(－5,4)，
所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，
所以＋对应的复数为0.
(2)由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．
所以对应的复数是5－5i.
反思与感悟 根据复数与平面向量的对应关系可知，当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
跟踪训练2 (1)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为________．
(2)复数z＝3＋4i对应的向量所在直线的斜率为________．
答案 (1)2－i (2)
解析 (1)复数2＋i表示的点A(2,1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，∴对应的复数为2－i.
(2)∵复数z对应点Z(3,4)，
∴向量所在的直线的斜率为.
类型二 复数的模与共轭复数的计算
例3 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z及其共轭复数．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得∴z＝－15＋8i.其共轭复数为－15－8i.
反思与感悟 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
跟踪训练3 (1)若复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，则实数a的取值范围是__________．
答案 [－，]
解析 复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，
即1＋a2≤4，即a2≤3，可得a∈[－，]．
(2)若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值分别是________________．
答案 －1,1
解析 由共轭复数的定义得得
1．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 D
解析 ∵∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限．
2．若＝(0，－3)，则对应的复数为( )
A．0 B．－3
C．－3i D．3
答案 C
3．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
答案 9
解析 ∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，
∴m－3＝2，解得m＝9.
4．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________________．
答案 |1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|
解析 ∵3－4i＝x＋yi，
∴x＝3，y＝－4.
则|1－5i|＝，|x－yi|＝|3＋4i|＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝2，
∴|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|.
5．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
答案 4－4i
解析 由复数的几何意义可知，＝(－2,1)，＝(3,2)，＝(1,5)，
＝＋＝(－2,1)＋(1,5)＝(－1,6)，
＝－＝(3,2)－(－1,6)＝(4，－4)，
∴对应的复数为4－4i.
1．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.
(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．
3．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
一、选择题
1．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则a的值为( )
A．a＝0或a＝2 B．a＝0
C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2
答案 A
解析 ∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
答案 A
解析 由题意得
解得－33．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则得得a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应点的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.
4．已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,10)
答案 A
解析 0则|z|＝∈(1，)．
5．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是( )
A．1＋2i B．－2＋i
C．2－i D．－2－i
答案 B
解析 向量对应的复数是2＋i，即A(2,1)，点A关于虚轴的对称点为B(－2,1)，则向量对应的复数是－2＋i.
6．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1＋i或1＋i
D．－2＋i
答案 A
解析 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知， ＝2，解得a＝±1，
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
7．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
答案 B
解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量对应的复数为－2＋i.
二、填空题
8．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为________．
答案 5
解析 由共轭复数的定义得
∴|z|＝|－4＋3i|＝＝5.
9．若a，b∈R，则复数(a2－4a＋5)＋(－b2＋2b－6)i所对应的点一定落在第________象限．
答案 四
解析 复数对应点的坐标为(a2－4a＋5，－b2＋2b－6)，∵a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，－b2＋2b－6＝－(b－1)2－5<0，∴复数对应点的坐标在第四象限．
10．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，若点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
答案 3＋4i
解析 因为点B的坐标为(3，－4)，
所以点A的坐标为(－3,4)，
所以点C的坐标为(3,4)，
所以向量对应的复数为3＋4i.
11．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是____________．
答案
解析 复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，
所以解得－1由条件得|z|＝
＝
＝
＝ ，
因为－1三、解答题
12．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，求|z|.
解 由纯虚数的定义知，
解得m＝4，所以z＝4＋ni.
因为z的对应点在直线x＋y－2＝0上，
所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.
所以z＝4－2i，
所以|z|＝＝2.
13．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴负半轴上；
(3)在上半平面(含实轴)．
解 (1)要使点位于第四象限，
需，∴，
∴－7(2)要使点位于x轴负半轴上，
需∴∴m＝4.
(3)要使点位于上半平面(含实轴)，
需m2＋3m－28≥0，
解得m≥4或m≤－7.
四、探究与拓展
14．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即A>－B，sin A>cos B，cos B－tan A＝cos B－0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故选B.
15．设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数w＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．
解 |w|＝＝＝|z|，而1≤|z|≤，故≤|w|≤2.所以w对应点的集合是以原点为圆心，半径为和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－()2]＝2π.
§3.2 复数的运算
3.2.1 复数的加法和减法
学习目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
知识点一 复数的加法和减法
思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
思考2 复数的加法满足交换律和结合律吗？
答案 满足．
梳理 复数的加法与减法
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
定义z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
知识点二 复数加减法的几何意义
如图，分别与复数a＋bi，c＋di对应．
思考1 试写出，，＋，－的坐标．
答案 ＝(a，b)，＝(c，d)，
＋＝(a＋c，b＋d)，－＝(a－c，b－d)．
思考2 向量＋，－对应的复数分别是什么？
答案 (a＋c)＋(b＋d)i，(a－c)＋(b－d)i.
梳理 复数加减法的几何意义
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )
2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ )
3．复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( × )
类型一 复数的加减法运算
例1 (1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.
(2)已知复数z满足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝________.
答案 (1)－1 (2)1＋i
解析 (1)z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，由题意得a＋1＝0，则a＝－1.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，
∴|z|i＋z＝i＋x＋yi＝x＋(＋y)i
＝1＋3i，
∴解得
∴z＝1＋i.
反思与感悟 (1)复数的加减法运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．
跟踪训练1 (1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.
答案 (1)6－2i (2)－a＋(4b－3)i (3)－4＋3i
解析 (1)∵z＋i－3＝3－i，
∴z＝6－2i.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i，
∴
解得
∴z＝－4＋3i.
类型二 复数加、减法的几何意义
例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.求：①表示的复数；②表示的复数；③表示的复数．
解 因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，
由复数的几何意义知，与表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i.
①因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.
②因为＝－，
所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③＝＋，
所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
反思与感悟 (1)常用技巧
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点．
①四边形OACB为平行四边形．
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形．
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形．
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪训练2 (1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________.
(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是__________．
答案 (1) (2)(－∞，1)
解析 (1)∵＝＋，
∴表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，
∴||＝＝.
(2)z2－z1＝1＋(a－1)i，
由题意知a－1<0，即a<1.
1．已知实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2 C．－2 D．－1
答案 A
解析 ∵(1＋i)x＋(1－i)y＝x＋y＋(x－y)i＝2，
∴由得x＝y＝1，则xy＝1.
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 ∵z1－z2＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．
3．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
答案 D
解析 由得，∴a＋bi＝－2－i.
4．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )
A. B．5
C. D．5
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 D
解析 因为z1－z2＝5＋5i，
所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
答案 －1
解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1.
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
一、选择题
1．已知复数z满足z＋(－3＋i)＝3－i，则z等于( )
A．0 B．2i
C．6 D．6－2i
答案 D
解析 z＝(3－i)－(－3＋i)＝6－2i.
2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
答案 C
解析 z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，
由题意知 得a＝－2.
3．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
答案 D
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝2＋i，
则 解得
∴z＝＋i.
4．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于( )
A．0 B.＋i
C.－i D.－i
答案 C
解析 z1＋z2＝－i＝－i.
5．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是( )
A．1－3i B．－3－i
C．3＋5i D．5＋3i
答案 C
解析 ∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，
∴对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，
∵＝，∴(x－1，y－3)＝(2,2)，
∴ 解得
∴点D表示的复数为3＋5i.
6．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
答案 A
解析 由图知z＝－2＋i，则z＋1＝－1＋i，由复数的几何意义可知，A正确．
7．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．3－2 B.－1
C．3＋2 D.＋1
答案 D
解析 |z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|
＝
＝
＝ .
∵max＝1，
∴|z1－z2|max＝＝＋1.
二、填空题
8．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
答案 3i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，
∴a＝0，b＋3≠0，又|b|＝3，
∴b＝3，z＝3i.
9．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
答案 5－9i －8－7i
解析 ∵z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴
解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
10.如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R)，则zA－zC＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
答案 2－4i
解析 因为＋＝，
所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.
因为a，b∈R，
所以所以
所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i，
所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.
三、解答题
11．计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．
解 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
12．设O为坐标原点．已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i(其中a∈R)，若1＋z2可以与任意实数比较大小，求z1与z2的值．
解 因为1＋z2可以与任意实数比较大小，所以1＋z2∈R.
1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(2a＋a2－15)i∈R，
所以
解得a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
13．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解 (1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝.
所以sin B＝.
所以S＝||||sin B＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
四、探究与拓展
14．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．4 D．16
答案 C
解析 ∵|z－4i|＝|z＋2|，z＝x＋yi，
∴|x＋(y－4)i|＝|(x＋2)＋yi|，
∴＝，
∴x＋2y＝3.
则2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4.
15．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面上所表示的图形；
(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．
解 (1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示．
(2)圆的方程为x2＋y2－2x＝0，
直线l的方程为y＝x－1.
由
得A，B.
∴|OA|＝，|OB|＝.
∵点O到直线l的距离为，且过O向l作垂线，垂足在线段BE上，∴<.
∴集合P中复数模的最大值为，最小值为.
3.2.2 复数的乘法和除法
学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质．
知识点一 复数的乘法
思考 怎样进行复数的乘法运算？
答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
梳理 (1)复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，定义z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
①对任意复数z1，z2，z3，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
②对复数z，z1，z2和自然数m，n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z.
(3)共轭复数的性质
设z的共轭复数为，则：
①z·＝|z|2＝||2.
②＝()2.
③＝·.
知识点二 复数的除法法则
思考 类比根式除法的分母有理化，比如＝，你能写出复数的除法法则吗？
答案 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
梳理 (1)复数的倒数
已知z＝a＋bi(a，b∈R)，如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作.
(2)复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)．
特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．
1．复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ )
2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )
3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( × )
类型一 复数的乘除运算
例1 计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i)；
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(4)－.
解 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝
＝
＝＝＋i.
(4)方法一 －
＝
＝＝＝2i.
方法二 －＝－
＝i＋i＝2i.
反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行．
(2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行．
跟踪训练1 计算：
(1)(1－i)(1＋i)；
(2)；
(3).
解 (1)原式＝(1－i)(1＋i)
＝2＝－1＋i.
(2)原式＝＝＝i.
(3)原式＝＝i－1.
类型二 共轭复数的性质及应用
例2 已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴解得
∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.
反思与感悟 (1)z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R?z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数．
(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
跟踪训练2 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，解得或
所以＝－i或＝－＋i.
类型三 in的周期性
例3 计算：
(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；
(2)－；
(3)＋2 016＋.
解 (1)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)
＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)
＝47－39i.
(2)原式＝－
＝－＝3－i＝i－i＝0.
(3)原式＝＋1 008＋0＝＋(－i)1 008＝i＋1.
反思与感悟 (1)in的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
(2)记住以下结果，可提高运算速度
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.
②＝－i，＝i.
③＝－i.
④设ω＝－＋i，则ω2＝－－i，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
跟踪训练3 计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 012.
解 ∵i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝(i2)2＝1，i5＝i4·i＝i，
∴i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1且i＋i2＋i3＋i4＝0，
∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 012＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)×503＝1.
1．若复数z＝，其中i为虚数单位，则等于( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
答案 B
解析 ∵z＝＝＝＝1＋i，
∴＝1－i，故选B.
2．设复数z1＝1＋i，z2＝m－i，若z1·z2为纯虚数，则实数m可以是( )
A．i B．i2 C．i3 D．i4
答案 B
解析 z1·z2＝(1＋i)(m－i)＝m＋1＋(m－1)i.
∵z1·z2为纯虚数，
∴ 即得m＝－1，∵i2＝－1，
∴实数m可以是i2，故选B.
3.已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是( )
A．M B．N
C．P D．Q
答案 D
解析 由图可知z＝3＋i.
∴复数＝＝＝＝2－i表示的点是Q(2，－1)．故选D.
4．复数z的共轭复数记作.已知(1＋2i)(－3)＝4＋3i，则z＝________.
答案 5＋i
解析 ∵(1＋2i)(－3)＝4＋3i，
∴－3＝，＝3＋，
＝3＋＝3＋＝5－i，
则z＝5＋i.
5．已知复数z的共轭复数为，且z·(－3i)＝，求z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi，
由z·(－3i)＝，得z －3zi＝1＋3i，
即a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
由复数相等的充要条件，得
解得或
所以z＝－1或z＝－1－3i.
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
一、选择题
1．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·等于( )
A．－2 B．－2i C．2 D．2i
答案 C
解析 ∵z＝1＋i，∴＝1－i，
则＋i＝＋i·(1－i)＝1－i＋i＋1＝2.
2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－ C．4 D.
答案 D
解析 ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝
＝＝＋i，
则z的虚部是.
3．若z＋＝6，z·＝10，则z等于( )
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意得
得或∴z＝3±i.
4．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A. B. C．1 D．2
答案 A
解析 z＝＝
＝＝＝.
z·＝·＝.
5．已知复数z＝(b∈R)的实部为－1，则复数－b在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 z＝＝
＝＝＋i，
又复数z＝(b∈R)的实部为－1，
则＝－1，即b＝6.
∴z＝－1＋5i，
则＝－1－5i.
复数－b＝－1－5i－6＝－7－5i，在复平面内对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.
6．i为虚数单位，i607的共轭复数为( )
A．i B．－i C．1 D．－1
答案 A
7．当z＝时，z100＋z50＋1的值等于( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
答案 D
解析 z2＝＝－i，
则z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i12×4＋2＋(－1)25·i6×4＋1＋1＝－1－i＋1＝－i.
二、填空题
8．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
答案 1
解析 ＝2－ai＝b＋i，
即 得
∴a＋b＝1.
9．设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部为________．
答案 1
解析 ∵＋＝＋＝＋＋i＝－＋i＋＋i＝i，∴虚部为1.
10．定义一种运算：＝ad－bc，则复数的共轭复数是________．
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 －1－3i
解析 ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，
∴其共轭复数为－1－3i.
11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第________象限．
答案 二
解析 由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．
三、解答题
12．已知i是虚数单位，且复数z满足(z－3)(2－i)＝5.
(1)求z及|z－2＋3i|；
(2)若z·(a＋i)是纯虚数，求实数a的值．
解 (1)∵(z－3)(2－i)＝5，
∴z＝＋3＝＋3
＝(2＋i)＋3＝5＋i.
∴|z－2＋3i|＝|3＋4i|＝＝5.
(2)由(1)可知，z＝5＋i，
∴z·(a＋i)＝(5＋i)(a＋i)＝(5a－1)＋(a＋5)i.
又z·(a＋i)是纯虚数，
∴5a－1＝0且a＋5≠0，
解得a＝.
13．已知z是复数，z＋2i与均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解 z是复数，z＋2i与均为实数，
可设z＝x－2i(x∈R)，
＝
＝，
可得x＝2.
因为复数(z＋ai)2＝(2－2i＋ai)2
＝－a2＋4a＋4(a－2)i，
因为复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
所以
所以
即2所以实数a的取值范围为(2,4)．
四、探究与拓展
14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案
解析 易知(m＋ni)(n－mi)＝mn－m2i＋n2i＋mn＝2mn＋(n2－m2)i.
若复数(m＋ni)(n－mi)为实数，
则m2＝n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，
所以所求概率为＝.
15．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解 设z＝m＋ni(m，n∈R)，
因为(1＋3i)z＝(1＋3i)(m＋ni)＝m－3n＋(3m＋n)i为纯虚数，
所以m－3n＝0，且3m＋n≠0，①
ω＝＝＝.
由|ω|＝5，得
＋＝(5)2，
即m2＋n2＝250.②
由①②可得或
代入ω＝，得ω＝±(7－i)．
章末复习
学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．在复平面内x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
(5)复数的模
向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
4．共轭复数的性质
(1)z·∈R.
(2)＝z.
(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z＝，则z是实数．
(4)共轭复数对应的点关于实轴对称．
1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )
2．原点是实轴与虚轴的交点．( √ )
3．方程x2＋x＋1＝0没有解．( × )
类型一 复数的概念
例1 已知复数z＝a2－a－6＋i(a∈R)，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，
且a2－4≠0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
引申探究
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由．
解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟 (1)正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．
解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以解得x>且x≠4.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
类型二 复数的四则运算
例2 (1)计算：＋2 012＋；
(2)已知z＝1＋i，求的模．
解 (1)原式＝＋1 006＋
＝i＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.
(2)＝＝＝1－i，
∴的模为.
反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．
(2)虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
跟踪训练2 计算：(＋i)5＋4＋7.
解 (＋i)5＋4＋7
＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋2＋i7
＝16(－1＋i)－－i
＝－＋(16－1)i.
类型三 复数问题实数化思想
例3 已知复数z1＝2，＝i，并且|z|＝2，|z－z1|＝|z－z2|，求z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z1＝2，＝i，
∴z2＝2i.
∵|z|＝2，则＝2.①
∵|z－z1|＝|z－z2|，即|a－2＋bi|＝|a＋(b－2)i|，
∴＝②
由①②得或
∴z＝2＋2i或z＝－2－2i.
反思与感悟 设出复数z的代数形式，利用复数的分类及运算，列出方程，求得复数的实部和虚部，这是求解复数的常用思路．
跟踪训练3 已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)求的模．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
又＝为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
(2)＝＝＝＝－2＋i，
∴＝＝.
类型四 复数的几何意义
例4 设复数z满足|z|＝1，求|z－(3＋4i)|的最值．
解 由复数的几何意义知，|z|＝1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z－(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3,4)的距离的最大值与最小值．
如图，易知|z－(3＋4i)|max＝|AC|＝|OC|＋1＝＋1＝6，
|z－(3＋4i)|min＝|BC|＝|OC|－1＝4.
反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．
跟踪训练4 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解 (1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1－2sin2θ·i.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上，得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
因此sin θ＝，∴θ＝或θ＝.
1．复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
答案 D
解析 z＝＝＝在复平面内对应的点在虚轴上，所以2＋a＝0，即a＝－2.
2．已知f(x)＝x3－1，设i是虚数单位，则复数的虚部是( )
A．－1 B．1 C．i D．0
答案 B
解析 f(i)＝i3－1＝－i－1，＝＝＝＝－1＋i，虚部是1.
3．已知2＋ai，b＋i(a，b∈R)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为( )
A．p＝－4，q＝5 B．p＝4，q＝5
C．p＝4，q＝－5 D．p＝－4，q＝－5
答案 A
解析 由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.
4．若|z－1|＝2，则|z－3i－1|的最小值为________．
答案 1
解析 因为|z－1|＝2，所以复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z－3i－1|表示复数z在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值为1.
5．设复数z和它的共轭复数满足4z＋2＝3＋i，求复数z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)．因为4z＋2＝3＋i，
所以2z＋(2z＋2)＝3＋i.
又2z＋2＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整体代入上式，
得2z＋4a＝3＋i.
所以z＝＋i.
根据复数相等的充要条件，得
解得
所以z＝＋i.
1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．
2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式．
3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．求解复数，往往设出复数的代数形式，将复数问题实数化.
一、选择题
1．复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－，则是( )
A．－＋2i B．－－2i
C.＋2i D.－2i
答案 B
解析 设复数z的虚部为b，则z＝－＋bi，b>0，
∵3＝，∴b＝2，∴z＝－＋2i，
则z的共轭复数是－－2i，故选B.
2．复数＋的虚部是( )
A.i B. C．－i D．－
答案 B
解析 ＋＝＋＝－＋i.故选B.
3．若z＝1＋2i，则等于( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
答案 C
解析 z＝1＋2i，
则＝＝＝i.
4．若复数z＝cos ＋isin (i是虚数单位)，复数z2的实部、虚部分别为a，b，则下列结论正确的是( )
A．ab<0 B．a2＋b2≠1
C.＝ D.＝
答案 C
解析 ∵z＝cos ＋isin ，
∴z2＝2
＝cos2－sin2＋2cos sin i
＝cos ＋isin ＝＋i，
则a＝，b＝，则＝，故选C.
5．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则向量对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．－8＋10i D．8＋(－10i)
答案 A
解析 向量对应的复数是5－4i，可得Z1(5，－4)；
向量对应的复数是－5＋4i，可得Z2(－5,4)；
向量对应的点是(－10,8)，
即向量对应的复数是－10＋8i.故选A.
6．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( )
A．1 B．2 C. D．3
答案 D
解析 ∵|z|＝2，则复数z对应的点的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z－i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3.
7．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 D
解析 由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝＝2＋i，
∴z＝5＋i，∴＝5－i.
二、填空题
8．若复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为__________________________________________．
答案 1
解析 因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为1.
9．若复数＋b(b∈R)所对应的点在直线x＋y＝1上，则b的值为________．
答案 0
解析 复数＋b＝＋b＝＋b＝b＋i.
∵所对应的点(b,1)在直线x＋y＝1上，
∴b＋1＝1，解得b＝0.
10．如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝________.
答案 －2－i
解析 由图可知，z1＝－1＋2i，
∴由＝i，得z2＝z1i＝(－1＋2i)i＝－2－i.
11．使z＋∈R，且|z－3|＝3成立的虚数z＝________.
答案 ±i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则
z＋＝a＋bi＋＝＋i.
由z＋∈R，得b－＝0，
又b≠0，故a2＋b2＝9.①
又由|z－3|＝3，得＝3.②
由①②，得
即z＝＋i或z＝－i.
三、解答题
12．已知复数z1＝(1＋bi)(2＋i)，z2＝3＋(1－a)i (a，b∈R，i为虚数单位)．
(1)若z1＝z2，求实数a，b的值；
(2)若b＝1，a＝0，求.
解 (1)复数z1＝(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i，
z2＝3＋(1－a)i，
由z1＝z2，可得解得
所以实数a＝2，b＝－1.
(2)若b＝1，a＝0，则z1＝1＋3i，z2＝3＋i.
＝＝＝2.
13．若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求复数z.
解 f(z)＝2z＋－3i，
∴f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i
＝2＋2i＋z－i－3i
＝2＋z－2i.
又f(＋i)＝6－3i，
∴2＋z－2i＝6－3i，
即2＋z＝6－i.
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
∴2(x－yi)＋x＋yi＝3x－yi＝6－i，
∴∴
∴z＝2＋i.
四、探究与拓展
14．若z＝－，则z2 012＋z102＝________.
答案 －1＋i
解析 z2 012＋z102＝(z4)503＋(z2)51＝(－1)503＋(－i)51＝－1－i48＋3＝－1＋i.
15．是否存在复数z，使其满足·z＋2i＝3＋ai？如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则原条件等式可化为x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai.
由复数相等的充要条件，得
消去x，得y2＋2y＋－3＝0.
所以当Δ＝4－4＝16－a2≥0，
即－4≤a≤4时，复数z存在．
故存在满足条件的复数z，且实数a的取值范围为
[－4,4]．
